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Full text of "Mélanges de Philosophie et de Mathématique de la Société Royale de Turin"

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J^-  ^/oj^ ,  /„. 


MISCELLANEA  TAURINENSIA 

T  O  M  U  S    V. 


MELANGES 

D  E 

PHILOSOPHIE  ET  DE  MATHEMATIQUE 

D  E     LA 

SOCIETE  ROYALE 

D  E    TURIN 

Pour  les  Annees  1770- 1773. 


A     TURIN 


DE    L'   IMPRIMERIE   ROYALE. 

AVEC     PERMISSION. 


SIRE 


'a  Socle te  RoyaU  de  Turin  ofe  paroitre  au^ 
JourdhuL  avec  d'  autant  plus  de  confiance  aux  picds 
du  tr6ne  de  Voire  Majcfti,  qii  en  vous  offrant  le 
fruit  de  fes  travaux,  elle  peia  s  applaudir  de  vous 


prcfcmer  votre  propfe  ouvrage.  C  efl  au  :^le  eclalre 
de  V.  M.  pour  le  progres  des  connoijfances  dlgnes 
de  I  homme  &  vraiment  utiles  a  /'  humanite.  ,  que 
ccne  Socictc  doit  fa  naiffance ;  les  graces  dont  elle 
fut  houoree  par  le  Roi  votre  Pere  de  glorieufe 
memoir e  ,  /'  emprejjemem  que  tant  d'  homme s  illur- 
(Ires  des  nations  etr anger es  ont  temoigne  de  pren- 
dre part  a.  fes  travaux,  de  l  enriclur  de  leurs  pro- 
ducllons  &  de  s"  ajfocier  a  la  glotre ,  que  la  faveur 
d  un  Prince^  pijle  appreciateur  des  fciences  &  des 
arts  ,  fait  rejaillir  fur  ceux  qui  les  cultivent.  Les 
fages  ,  les  favans  de  toute  /'  Europe  ,  qui  ont  ew 
le  bonheur  de  Fous  approcher  ,  ne  nous  reproche- 
ront  pas  ici  le  langage  impofieur  de  la  fatterie. 
II  doit  nous  cue  per  mis  ,  Si  RE  ,  de  nous  en 
rapportcr  a  lew  temoignage  ^  &  il  efl  auffi  hen- 
reux  que  confolant  pour  nous  de  trouver,  dans  leurs 
clogcs,  des  intcrpretes  nonfufpecls  de  nos  femimcns.. 
Combicn  de  fois  les  avons-nous  entendus  r clever  avec 
complaifance,  non  feulement  cct  accucil  gracieux  , 
ail  la  grandeur  ne  parott  que  pour  rcndre  T  affa- 
bilite  plus  touchante  ,  mats  encore  ces  entretiens 
fuivis ,  Oil  ils  ont  etc  eionnes  de  pouvoir  deploy  it 
tout  leur  genie  en  raifonnant  avec  un  Prince,  egw. 


iement  en  hat  de  profiter  dz  leiirs  tumiires  ^  &  de 
leur  en  communiquer.  Le  trone  n  a  run  change,  a 
vos  difpojitlons ,  //  n  a  fait  que  laijjer  a  vos  venus 
le  moyen  de  paroitre  ce  qii  elles  etoient,  &  ajoutef 
a  la  volontc  de  faire  le  hien^  le  pouvoir  de  le  faire. 
plus  ejfficacement  &  avec  plus  £  etendue.  La  provi- 
dence a  voulu  Jignaler  les  commencemens    de   votre. 
Regne  par  un  bienfait  inejlimable,  en  accordant  le 
Jalut  de    vos  peuples   au   premier    ufage   que   vous 
ave^fait  du  pouvoir  fupreme  qu  elle  venoit  de  vous 
conficr.    Nous    n  ofons  entreprendre  de  peindre  les 
traits  fublimes  de  fagejje   &   de   bienfaifance  ,  qui 
out  paru  dans  ces  momens  dicijifs:  ils  font  graves 
dans  tous  les  coeurs^  &  ils  eclatem  dans  tomes  les 
occafons  par  ces  tranfports  d  allegrejfe  &  de  recon- 
noiffance  ,  que  la  prefence  d  un  bon  Prince  infpire , 
^  qu  il  efi  f  aise  de  difinguer  de  ces  mouvemens 
forces  ,  qui  partem  de  tenvie  de  plaire ,  ou  de  la 
crainte   d  offenfer.    E  intiret  general  de   la  fociete 
humaine  tie  pent  que  porter  nos  confreres  etrangers 
a  joindre  leiirs  veux    aux  notres  pour  la  gloire  & 
la  profperite  d  un  Souverain  qui  ne  refpire  que  le 
biett  de  t humanite.  Regne^j  SiRE,  pour  le  bonheur 
de  yos  peuples  ,  pour  jouir   de   leur  amour  ,  pour 


te  tr'ioniphe  de  la  Religion  &  de  la  venu  ,  pour- 
affurer  au  merite  &  aux  vrais  talens  la  protcclion 
qii  Us  attcndcnt  de  V.  AI.  La  Societi  Royale  td* 
chera  de  la  meriter  par  fon  ardeur  a  remplir  les 
oh  jets  de  fa  dejlinatwn,  heureufe^  Ji  par  I  ajjiduiti- 
de  fes  recherches ,  elle  parvient  a  ouvr'cr  quelque 
noitvelle  vue  d  utilite ,  qui  puijje  fournir  a  V.  M, 
de  nouveaux  moyens  d  exercer  fa  bienfaifance  envers 
les  humains. 

Nous  ayons  /'  hojuieur  d  itre  ayec  le  plus  profond 
rcfpcB 

S  ZM.  JE 

De  V.  m: 


Lit  trei-liuml'hc  ,  irh-oielffimu ,  trh-fidellei 
Jtrviteurs  6"  Jiijets  les  AJfocies  de  voire 
/iccditiiie  Rayale  des  Sciences. 


TABLE 

Des  Memoires  contenus  dans  ce  Volume. 
Dans  la  claffe  Philofophique. 


De  r  Ordre  ,  far  le  P.  Gervil  Barnabite  pag.      i. 

Examen  Phyjico-chimique  Jur  la  couleur  des  fleurs  , 
&    dz  quelques    autres    fubflances  vegetates  ,  par 

•    A//    LE    CoMTE    MoUROUX  .  .  -  pag.  1. 1. 

Caroli  Allioni.  Auclarium  ad  fynopjim  methodic  am 

Jlirpium  Horti  Reg.    Taurinenjis  -  -        pag.    5  j . 

JoHANNis  Francisci  Cigna.   De  eUclricitate  pag.   97. 

JoHANNis  Francisci  Cigna.  De  refpiratione  pag.  109%- 

JoHANNis  Petri  Marim  Dana.  De  folano  melano- 

cerafo   H.   R    Taur.  -  -  _  _        pag.  161. 

Second  memoirs  fur  la  different^  dijfoltibilite  desfels 
neutres  dans  Z'  efprit  de  via ,  contenant  des  obferva- 
tions  partici/lieres  fur  plujieurs  de  ces  fels  ,  par 
Ms  Maquer        -----         pag. 1 3 7. 

Rejlexions   fur    un    ejfai    de  chimie   comparee ,  par 

M/ LE  CoMTE  DE  SaLUCE  -  .  -  pag.  I  9 1, 

Dans  la  claffe  Mathematique. 

Memoire    fur    differentes     queflions   d!  analyfe  ,  par 

MJ  LE  Marquis  de  Condorcet         -         -         pag.     i , 

Addidon  ,  ou  Memoire  fur  les  folutions  particulieres 
des  equations  differentielles  ,  par  Mj  le  Marquis 

DE.  CONDORQET pag.    1 2, 


Memolre  fur  la  determination  des  foncllons  arhhraires 
dans  les  integrales  de  quelques  equations  aux  dif- 
ferences  partidUs  ,  par  M.'  MoNGE  .  .     pag.   1 6. 

Second    Memoire  fur  le  calcuL    integral  de  quelques 

equations  aux  differences  partielles  par  M.'MoNGE  pag.   79. 

Sur  la  figure  des  colonnes ,  par  M:  DE  la  Grange  pag.  1 1  j , 

Memoire  fur  C  utilite  de  la  methoie  de  prendre  le 
milieu  enire  le  refultat  de  plujieurs  objervations , 
•dans  lequel  on.  examine  les  avantages  de  cette 
methode  par  le  calcul  des  prohabilites ,  &  oil  l^  on 
refoud  differens  problimes  relatifs  a  cette  matiere  , 
par  Mj  de  LA  Grange        -         •  -         pag.   167, 

Theoreme  pour  fervir  de  fuite  au  memoire  fur  diffe-  ^ 

rentesu  qefiions  d'  analyfe ,  par  MS  LE  Mar<iuis 

DE    CONDORCET  _  .  -  -  -         pag'13  5« 

Nouvelles  recherckes  fur  les  equations  determinees  , 
pour  fervir  de  fuite  ,  &  de  developpement  au  me- 
moire fur  le  mime  oh  jet,  dija.  injere  dans  ce  vo- 
lume ,  par  M:  LE  Marquis  de  Condorcet        pag.iji. 


Imprimatur* 

Johannes  Dominicus  Piselli  Ord.  Freed.  S.  T.  M. 
Vic.  gen.  S.  Officii  Taurini, 

Se  ne  per  met  te  la  fiampa 

Galli  per  S.  E.  il  Sig.  Conte  Caissotti  di  S.  Vittoria 
Gran  Cancelliere. 


DE    L'ORDRE 

Par  le  P.  GERDIL  Barnabite. 

i-''  homme  a  la  faculte  de  comparer  fes  idees  ,  &  de  de- 
couvrir  par  ce  moyen  les  rapports  qui  font  entr'elles  ,  oa 
entre  les  objets  qu'elies  reprefentent.  Cert  en  quoi  coniille 
la  connoiflance  du  vrai.  En  comparant  deux  angles  droits, 
i'appergois  que  ces  deux  angles  font  ^gaux ,  &  ce  rap- 
port d'egalite  eft  une  verite. 

C'eft  par  cette  meme  faculte  de  comparer  les  objers  , 
&  d'en  decouvrir  les  rapports  que  1'  homme  s'eleve  a  I'in- 
telligence  de  I'ordre,  de  la  beaute  ,  &  de  la  perfeftion. 

Lorfqu'en  comparant  deux  objets  Tefprit  appergoit  un 
rapport  quelconque  entr'eux  ,  c'eft  connoitre  fimplement 
une  verite  ,  ainfi  qu'on  vient  de  le  dire.  Si  la  medaille  ^, 
&  la  medaille  B,  que  j'ai  fous  les  yeux,  font  egales  entr* 
elles ,  en  connoiflant  ce  rapport  d'egalite ,  je  connois  fim- 
plement une  vciite  ,  &  rien  de  plus. 

Lorfqu'en  comparant  les  rapports  de  liaifon  ,  que  pla- 
fieurs  objets  ont  entr'eux,  je  decouvre  un  rapport  commun 
qui  exige,  qu'  ils  foient  lies  ,  ou  places  d'une  telle  maniere, 
plutot  que  de  toute  autre  ,  tout  arrangement  ainfi  deter- 
mine par  un  rapport  commun  me  donne  1'  idee  de  I'ordre. 
Je  vois  une  fuite  de  medailles  imperiales  fur  une  table. 
Cefar  eft  le  premier ,  Augufte  le  fecond.  Le  rapport  de 
Celar  a  Augufte  comme  a  fon  fucceffeur  immediat,  exige 
que  Tibere  foit  place  apres  Augufte  ,  &  ainfi  de  fuite.  Ce 
rapport  de  fucceffion  immediate  eft  amfi  le  principe  de- 
terminant qui  fixe  la  place  de  chaque  medaille ,  &  four- 
nit  la  raifon  pourquoi  elle  eft  placee  en  tel  endroit,  plutot 
qu'en  tout  autre.  Or  un  arrangement  oii  tous  les  termes 
font  places,  en  vertu  d'un  principe  qui  determine  la  pofi- 
tion  de  chacun ,  c'eft  ce  qui  conftitue  1'  idee  de  I'ordre. 
Mifc.  Taur.  Tom,  V.  a 


z 

Ainfi  I'ordre  cfl  foiide  en  nature  auffi  bien  que  le  vrat. 
Us  refultent  I'un  &  I'autre  des  rapports  des  chol'es.  Un 
fimple  rapport  e(t  une  verite  ;  un  rapport  qui  amene  un 
autre  rapport  forme  I'ordre,  &  la  connoiffance  de  I'ordre 
n'eft,  pour  ainli  dire  ,  dans  1'  homme,  qu'une  extenfion  de 
r  intelligence  du  vrai. 

11  y  a  cette  difference  entre  la  connoiffance  du  vrai , 
&  la  connoiffance  de  1'  ordre ,  que  la  premiere  (  en  tant 
qu'elle  fe  borne  au  fimpie  rapport ,  independemment  de 
i'  importance  ,  ou  de  1'  excellence  de  I'objet)  eft  fuivie 
d'un  fimpie  afte  d'affirmation ,  par  lequel  je  me  dis  a 
moi-meme ,  que  la  chofe  eft  telle  que  je  1'  apper^ois . 
Quand  j'apperrois  I'egalite  de  deux  angles  droits ,  je  me 
dis  a  moi-meme  ,  que  deux  angles  droits  font  egaux  , 
j'affirme  cette  egalite ,  &  voila  tout.  Mais  la  connoiffance 
de  I'ordre  eft  de  plus  fuivie  d'un  fentiment  d'approbation, 
par  lequel  je  me  dis  a  moi-meme,  non  feulemente  que  la 
chofe  eft  comme  elle  ell,  mais  de  plus  qu'elle  eft  comme 
elle  doit  etre.  Ce  fentiment  d'approbation  eft  toujours 
fuivi  d'un  mouvcment  de  complaifance ,  puifqu'  il  n'eft 
pas  poffible  de  ne  pas  fe  complaire  en  ce  qu'on  approuve. 

II  y  a  done  une  forte  de  diftinftion  a  faire  entre  la  com- 
plaifance qui  accompagne  la  connoiffance  du  vrai ,  (confidere 
comme  fimpie  rapport ,  &  abftraftion  faite  de  la  qualite  de 
i'objet)  &  celle  qui  accompagne  la  connoiffance  de  I'ordre.  La 
connoiffance  du  vrai  eft  fuivie  d'un  fentiment  de  complaifance, 
&  de  fatisfaftion  ,  parceque  1'  intelligence  tend  au  vrai , 
comme  a  fon  objet ,  qu'elle  fait  effort  pour  le  trouver, 
&c  que  la  ceffation  de  cct  effort  ,  lorl'qu'elle  parvient  a 
le  decouvrir ,  repand  dans  I'arae  cette  douce  fatisfadion 
que  la  nature  a  menagce  dans  le  paffage  du  defir  a  la 
poffeffion.  Mais  la  vue  de  I'ordre  excite  de  plus  la  com- 
plaifance qui  accompagne  neceffairement  I'approbation  j 
c'cft-a-dire  cet  aCte  de  i'ame  ,  par  lequel  on  le  dit  qu'une 
chol'e  eft  telle ,  qu'elle  doit  etre. 


5 

L'ordre  facilite  les  progres  de  1'  intelligence ,  &   de  la 

raifon.  Ce  n'eft  qu'en  fuivaiit  le  rapport ,  &  la  liaifon  des 
idees  que  I'efprit  paiFe  d'une  verite  connue  a  une  verite 
qui  ne  1'  etoit  pas.  L'efprit  faifit ,  &  retient  avec  plus  de 
facilite  les  objets  oix  il  apper^oit  un  certain  ordre ;  il 
les  diftingue  ,  &  les  compare  plus  aifement :  cette  liaifon 
les  reprefente  comme  formant  un  feul  tout ,  &  par  ce 
moyen  1'  homme  fe  rend  capable  d'embrafler  un  plus  grand 
nombre  d'objets  par  une  feule  vue  de  l'efprit ,  en  quoi 
confifte  principalement  la  perfeftion  de  1'  intelligence. 

L'  homme  ne  peut  non  plus  rien  executer,  qu'en  vertu 
d'un  certain  ordre  ,  par  lequel  il  difpofe  les  moyens  d'une 
maniere  convenable  a  la  fin  qu'il  fe  propofe.  La  raifon  a , 
pour  ainfi  dire,  une  double  fonftion  dans  1' homme,  elle  nous 
a  et^  donnee  pour  developper  les  progres  de  1' intelligence,  & 
appliquer  1' intelligence  a  Taftion  ,  &  c'eft  toujours  l'ordre  qui 
la  dirige  fous  ce  double  rapport ,  en  forte  qu'on  pourroit  dire 
en  un  certain  fens,  que  comme  le  vrai  eft  I'objet  de  1' in- 
telligence, ainfi  l'ordre  eft  proprement  I'objet  de  la  raifon. 
Ratio  ejl  facuhas  ordinairix.  C'eft  ainfi  que  quelques  an- 
ciens  out  defini  la  raifon,  &  fous  ce  point  de  vue  on 
pourroit  dire  que  le  propre  de  la  raifon  eft  de  fuivre  l'or- 
dre convenable  des  idees  pour  mettre  un  ordre  convena- 
ble dans  I'aftion. 

Tout  ordre,  ou  arrangement  prefente  une  fuite  d' idees, 
ou  de  termes  determines  par  un  rapport  commun.  Ce  rap- 
port fe  trouve  i°  dans  les  fuites  mathematiques  indefinies, 
telles  que  la  progreflion  des  nombres  naturels ,  ou  des 
nombres  impairs  &c. 

Si  je  compare  les  deux  termes  i  &  i,  &  que  j'envifage' 
de  combien  le  (econd  terme  excede  le  premier  ,  ce  rap- 
port de  difference  me  fait  voir  qu'apres  i  je  dois  placer 
le  3  ,  &  ainfi  de  fuite. 

a  > 


4 

Si  en  comparant  ccs  deux  termcs  j'envlfage  le  rapport 
geometrique  de  I'un  a  I'auire,  c'elt-a-dire  que  le  fecond 
conrient  deux  fois  le  premier,  la  continuation  de  ce  rap- 
port m'avertit ,  qu'apres  le  2.  je  dois  placer  le  4 ,  enfuite 
le  8  ,  &  ainfi  de  fuite. 

Ces  furies  font  fansdoute  ordonnees ,  mais,  comma  elles 
font  indehnies  ,  Tefprit  ne  peut  jamais  faifir  la  totalite  des 
termes  dont  elles  font  fufceptibles  j  il  ne  fauroit  jamais  en 
embraffer  tout  I'enfemble  d'une  feule  vue ,  &  dela  vient 
que  cet  ordre,  pour  ainfi  dire,  indetermin^,  ne  fauroit  le 
fatisfaire  pleinement. 

z°  Pour  determiner  I'ordre  qui  refulte  des  fimples  rap- 
ports de  quantite,  il  faut  conduire  la  fuite  jufqu'a  uncer- 
tain point ,  &  enfuite  ,  par  des  rapports  reciproques  ou 
retrogrades  la  ramener  de  I'autre  cote  au  meme  terms 
dont  on  etoit  parti. 

Soit  une  fuite  de  termes  A.  B.  C,  dont  une  raifon 
quelconque  determine  I'exces  de  B.  fur  A.,  &  de  C.  fur 
B.  Cette  fuite  continuant  a  croitre  iroit  a  1'  infini ;  & 
jamais  1'  elprit  ne  pourroit  en  embraffer  la  totalite. 

Mais  fi  Ton  la  continue  de  I'autre  cote  par  une  fuite  de 
rapports  inveifes ,  on  aura  les  termes  D.  y  &c  E.  qui  re-, 
pondront  exaftement  aux  termes  A.  ^  &c  B.  la  fuite  fera 
ainfi  terminee  j  I'efprit  en  faifira  la  totalite  ,  &  la  corref- 
pondance  des  termes  ^.,  &  E. ,  B.,  &/?. ,  relativement 
au  terme  du  milieu ,  prelentera  une  raifon  claire  ,  &  de- 
terminante  de  leur  polition ,  en  quoi  confifte  1'  idee  de 
I'ordre.  Voila  pourquoi  la  correlpondance  des  termes , 
d'oii  nait  la  fymm^trie  plait  naturellement  a  i'efprit.  Et 
c'eft  auffi  la  raifon  de  cetie  regie  generale ,  que  lorfqu'  il 


ill  I     I    I     I    I 

A.  B.  C.  A.  B.  C.  D.  E. 


y  a  deux  parties  femblables  ,  &  une  diflemblable  ,  il  faut 
placer  la  diffemblable  au  milieu  ;  regie  puifee  dans  la  na- 
ture meme  qui  nous  en  ofFre  des  modeles ,  furtout  dans 
la  conforrhation  des  animaux. 

Tout  affemblage  de  moyens  propres  a  produire  un  ef- 
fet  convenablement  au  but  que  Ton  fe  propofe,  forme  un 
tout  ordonne  ;  dans  cette  forte  d'affemblages  I'ordre  refulte 
du  rapport  des  moyens  a  la  fin  ;  &  c'ell  meme  cette  efpece 
d'ordre  qui.  nous  atfefte  le  plus  vivement. 

En  ce  genre  I'ordre  le  plus  parfait  eft  celui  qui  refulte 
d'une  combinaifon  de  moyens  propres  a  produire  I'effet  de- 
fire  le  plus  facilement ,  le  plus  furement ,  &  le  plus  plei' 
nement   qu'  il  foit  poffible. 

La  facilite  doit  faire  pieferer  I'ordre,  par  lequel  on  arrive  au 
meme  but  avec  le  moins  d'appareil ,  &  de  complication 
de  termes  ,  &  d'  inftruments ;  &  la  furete  m^me  du  fuc- 
ces  depend  en  grande  partie  de  la  fimplicite  des    moyens. 

Soil  une  machine  compofee  de  dix  pieces  pour  pro- 
duire un  effet  qui  peut  etre  produit  avec  une  machine 
de  trois  pieces  ,  telle  que  Zabaglia  les  favoit  imaginer  :  je 
dis  que  cette  premiere  machine  muhiplie  les  termes ,  fans 
multiplier  les  moyens:  elle  multiplie  les  termes,  puifqu'elle 
en  renferme  un  plus  grand  nombre  j  elle  ne  multiplie  pas 
les  moyens ,  puilque  les  trois  pieces  jlans  I'autre  machine 
font  autant  d'efFet  que  les  dix  pieces  de  celle-ci. 

Comparez  le  fyfteme  de  Ptolomee  avec  1'  hypothefe  de 
Copernic.  11  s'agit  d'expliquer  le  cours  apparent  des  Aftres. 
Les  fimples  rapports  de  vitefle,  &  de  diltance  fufiifent  dans 
le  fylteme  de  Copernic  pour  fatisfaire  a  routes  les  appa- 
rences;  dans  le  fyfteme  de  Ptolomee  il  a  fallu  imaginer 
des  cieux  particuliers  pour  le  mouvement  propre  de  cha- 
que  planete ,  un  premier  mobile  pour  leur  imprimer  un 
mouvement  commun  en  fens  contraire,  des  Epicycles  pour 
expliquer  les  ftations ,  &  les  retrogradations.    La  machine 


eft  beaucoup  plus  compofee,  &  n'explique  rien  de  plus : 
elle  explique  meme  moins :  car  dans  ce  fyfteme  il  n'  eft 
pas  poHible  d'expliquer,  comment  Mars  eft  quelques  fois  plus 
proche  de  la  terre,  que  le  foleil ;  ni  comment  Venus  ,  & 
Mercure  fe  trouvent  en  oppofition  avec  le  foleil ,  ayant 
la  terre  entre-deux. 

Oil  voit  par  cet  exemple  comment  il  arrive  de  multi- 
plier les  termes ,  fans  multiplier  les  moyens.  Ce  defaut  de 
fimplicite  vient  toujours  d'un  defaut  de  lumieres.  Si  une 
feule  idee  intermediaire  fuffit  pour  Her  deux  idees  extre- 
mes ,  I'efprit  qui  apper^oit  la  liaifon  des  deux  extremes 
par  le  moyen  de  cette  feule  idee  intermediaire  ne  rejet- 
tera  pas  la  lumiere  qui  vient  le  frapper  ,  pour  chercher 
cette  liaifon  par  des  detours  qui  en  rendroient  la  connoif- 
fance  plus  penible  ,  &  moins  claire.  L'efprit  ne  prend 
cette  peine  que  pour  fuppleer  a  cette  idee  moyenne  qui 
lui  epargneroit  tous  ces  embarras ,  8c  le  conduiroit  plus 
direflement  au  but  qu'  il  fe  propofe.  Je  pourrois  ^claircir 
cette  penfee  par  1'  exemple  des  differentes  demonftrations 
que  differents  Auteurs  ont  donnees  de  certaines  propofitions 
de  geometric  ,  dont  les  uns  vont  dire6lement  au  but  paj: 
une ,  ou  deux  idees  moyennes  adroitement  menagees  , 
&  les  autres  n'  y  parviennent  que  par  de  longs  circuits 
qui  rendent  la  demonftration  moins  claire ,  &  plus  fatiguante. 

L'ordre  le  plus  avantageux  eft  done  celui  qui  renferme 
le  maximum  des  moyens  avec  ie  minimum  des  termes. 
Ceft  par  le  moyen  d'un  tel  ordre  qu'on  obtiendra  la  fin 
qu'on  fe  propofe  le  plus  facilement,  le  plus  furement  ^  & 
le  plus  pleinement  qu'il  eft  pofTible.  Un  tel  ordre  eft  le 
plus  conforme  a  1'  intelligence  la  plus  eclairee  dont  la 
perfeftion  conlifte  a  faifir  les  rapports  qui  lient  le  plus 
immediatement  ley  differentes  idees.  II  a  done  en  foi  une 
raifon  de  preference  fur  tout  autre  ordre  ,  &  il  eft  en  con- 
sequence l'ordre  le  plus  parfait  en  ce  genre. 


7 

L'ordre  qui  r^fulte  de  I'arrangement ,  ou  de  la  combi- 
naifon  des  moyens  relatifs  a  une  fin  donnee,  peut  encore 
fe  combiner  avec  l'ordre  de  iymmetrie  dont  nous  avons 
parle  ci-deflus. 

Dans  route  combinaifbn  de  moyens  il  y  a  une  piece 
qu'on  peut  regarder  comme  la  principale,  &  dont  I'aftion 
doit  regler  le  jeu  de  routes  les  autres  ;  ou,  pour  envilager 
la  chofe  d'une  vue  plus  generate,  il  y  a  dans  route  com- 
binaifon  de  moyens ,  comme  un  centre  oil  tous  les  ef- 
forts de  routes  les  difl'erentes  pieces  vont  fe  reunir.  Les 
moyens ,  ou  termes  peuvent  done  etre  rellement  difpofes 
relativement  a  ce  point ,  que  leur  poficion  forme  une  cor- 
refpondance  de  fym metric,  relle  qu'on  la  decouvre  dans 
un  arrangement  oil  la  pofition  de  deux  termes  fembla- 
bles  eft  determinee  par  leur  correfpondance  avec  le  terme 
diflemblable    qui  eft  entre-deux. 

Dans  une  fuiie  ordonnee  indefinie  les  termes  s'eioignent 
de  plus  en  plus  les  uns  des  autres  ;  mais  l'ordre  qui  re- 
fulte  de  Tarrangement  d'un  certain  nombre  de  moyens  re- 
lativement a  une  fin  donnee  exige  que  les  termes  fe  rap- 
prochent  pour  agir  de  concert.  La  meilleure  maniere  de 
les  rapprocher  etant  bien  connue  determineroir  peut-etre 
une  correfpondance  de  fymmetrie  dans  la  pofition  des  ter- 
mes qui  ,  en  qualite  de  moyens  ,  doivent  concourir  le  plus 
avanrageufement  a  la  fin  donnee.  Du  moins  nous  en  voyons 
des  raodeles  dans  I'organilation  des  plantes,  &  des  ani- 
maux. 

Cette  correfpondance  de  fymmetrie,  en  liant  les  parties 
par  des  rapports  plus  marques,  en  forme  un  tout  plus  re- 
gulier  ,  j'oferois  prelque  dire,  plus  identique,  &  dont  I'efprit 
faifit  I'enfemble  avec  plus  de  facilite.  Peut-etre ,  eft  ce  la 
le  tondement  du  Rythme  poeiique,  &  de  la  cadence  ora- 
toire.  La  penfee  la  mieux  concue  eft  celle  qui  prefente 
avec  plus  de  force ,  &  de  clane  i'enfemble  des  idees  qui 


8 

la  compofenr.  II  faut  done  qu'  il  y  ait  le  plus  parfait  ac- 
cord poffible  einre  ces  idees  ;  &  cet  accord  marque  par 
les  expreffions  qui  doivent  frapper  I'oreille  formera  un 
nombre  ,  un  rytlime,  une  confonance  ,  d'ou  refult^ra  I'har- 
monie. 

On  ne  doit  pas  ^ire  furpris  de  remarquer  une  fi  grande 
diverfite  de  jugements  dans  i'application  que  font  les  hom- 
ines de  r  idee  de  I'ordre  aux  difFerents  objets  qui  fe  pre- 
fenferit  a  leur  confideration.  Cette  diverfite  vient  de  plu- 
fieurs  caufes  i°  Du  defaut  de  connoiflance.  Prefentez  le 
rouage  de  la  machine  la  plus  ingenieufe  a  un  fauvage  igno- 
rant ,  il  ne  verra  qu'un  amas  confus  de  pieces  dans  un 
affemblage  qui  fera  I'admiration  d'un  artifte.  C'efl:  que  le 
fauvage ,  ne  connoiffant  pas  la  •  raifon  determinante  de  la 
pofition  des  pieces  qui  compofe.nt  la  machine ,  elles  ne 
reveillent  aucune  idee  d'ordre  dans  fon  elj^rit.  Une  oreille 
grolTiere  eft  peu  rouchee  de  la  mufique  la  plus  harmo- 
nieufe.  Le  fenforium  faute  de  delicateffe  ,  ou  d'  habitude 
ne  diftingue  point  aflfez  les  tons  qui  fe  fuccedent ,  &  ne 
peut  par  confequent  faifir  le  rapport  qui  les  reunit  pour 
en  former  un  accord. 

1°  Dela  fuit  que  fi  le  nombre  des  pieces  qui  entrent 
dans  un  accord  quelconque  eft  trop  grand  ,  1'  efprit  ,  ou 
I'ceil  peu  exerce  ne  faifira  pas  tout  d'un  coup  tous  les 
rapports  de  ces  difFerentes  pieces}  cet  affemblage  paroitra 
done  confus  ,  jufqu'  a  ce  que  I'efprit  ayant  acquis  peu  a 
peu  la  connoiffance  de  ces  differents  rapports  parvienne 
enfin  au  point  d'en  faifir  I'enfemble  &  de  le  reprefenter  d'ua 
feul  coup  d'ceil  I'ordre  qui  regne  dans  tout  I'aflemblage. 

}"  Dans  les  chofes  qui  font  fufceptibles  de  differents 
arrangements  il  y  a  fansdoute  un  ordre  preferable  a  tout 
autre  ordre.  Cell  toujours  le  plus  fimple  ,  &  celui  nean- 
moins ,  qui  fuppofe  le  plus  d'  intelligence.  Une  bibliothe- 
que  prefente  des  livres  arranges  fuivant  une  certaine    me- 

ihode 


"9 

thode.  Cet  arrangement  applaud!  par  les  uns  fera  blame  par 

un  homme  plus  intelligent  qui  aura  en  vue  un  ordre  plus 
convenable.  Ce  n'eil  pas  que  la  premiere  difpofition  foit 
blamable  comme  abfolument  mauvaife  en  elle-meme  ;  car 
tout  homme  conviendra  qu'elle  eft  toujours  preferable  k 
un  tas  confus  de  livres  qui  feroient  amonceles  au  hazard 
I'un  fur  I'autre.  Ce  blame  n'eft  done  que  relatif ,  c'eft-a- 
dire  qu'on  blame  Tarrangement  aftuel  d'une  bibliotheque 
en  tant  qu'exclufif  d'un  ordre  plus  convenable  qu'on  auroit 
pu  lui  donner.  Et  par  un  abus  commun  du  langage  on 
donne  le  nom  de  mauvais  a  ce  qui  n'eft  reellement  que 
moins  bon. 

L'ordre  eft  le  fondement  du  beau  ;  mais  le  beau  dans 
fa  fignification  ordinaire  ajoute  a  1'  idee  d'un  ordre  quel- 
conque  ,  celle  d'une  perfeftioa  ,  &  d'un  agrement  parti- 
cuiier  qui  donne  un  plaifir  mele  de  furpri(e ,  &  d'admi- 
ration.  Dela  vient  qu'  il  eft  difficile  de  fixer  dans  I'^chelle 
de  l'ordre  le  d^gre  ou  doit  commencer  la  denomination 
du  heau.  Ce  degre  devant  etre  celui  cii  la  regularite  de 
i'objet  commence  a  exciter  un  mouvement  de  plaifir 
mele  d'une  forte  d'admi ration  ,  il  eft  aife  de  fentir ,  que 
ce  degre  doit  ^tre  different  relativement  aux  differents  de- 
gres  d'  intelligence  ,  aux  differentes  difpofitions  ,  &  meme 
aux  diiFerentes  habitudes  de  ceux  qui  en  font  afFeftes. 
L'  idee  du  beau  eft  une  idee  complexe  du  genre  de  celles 
que  Loke  appelle  des  modes  mixtes ,  qui  renferme  une 
idee  de  rdgularite  dans  I'objet ,  &  une  idee  de  plaifir ,  & 
d'adrairation  caufee  par  la  vue  ,  ou  la  perception  de  cet 
objet. 

La  denomination  du  beau  dans  le  langage  vulgaire  fera 
done  fujette  aux  m^mes  abus ,  &  aux  memes  inconvenients 
que  routes  les  autres  denominations  des  modes  mixtes  j 
abus  fur  lefqueis  Loke  infifte  beaucoup  dans  fon  ElTai  (ur 
I'entendement  humain.  Si  un  objet  paroit  revetu  d'une 
MifcTaur.  Tom.   V.  b 


to 

qualite  brlllante  qui  caufe  de  la  furprife  &  du  plaifir , 
on  le  nommera  beau,  quoique  toute  la  regularity  de  I'ordre 
ne  s'  y  rencontre  pas.  Au  contraire,  it  a  la  regularite  d'un 
objet  fe  trouve  jointe  une  qualite  qui  blefle ,  &  qui  ^touf- 
fe  le  fentiment  de  plailir  que  la  feule  regularite  leroit 
capable  de  r^veiller ,  cette  regularite  feule  ne  fuffira  pas 
pour  qu'on  lui  donne  le  litre  de  beau. 

La  variete  du  langage ,  &  des  opinions  au  fujet  du 
beau  ,  ne  prouve  done  point  qii'  il  n'  y  ait  rien  de 
reel  dans  I'idee  du  beau,  &  qu*  elle  ne  foit  qu'un  efFet 
capricieux ,  un  phanrome  du  prejug^ ,  &  de  I'^ducatio)!;  il 
ell  conftant  qu'  il  y  a  un  ordre  relultant  du  rapport  des 
chofes  ,  &  par  confequent  fonde  en  nature  :  que  I'ordre 
eft  un  objet  de  1'  intelligence  ,  &  de  la  raifon  :  que  Tor- 
dre  connu  eft  propre  a  exciter  un  fentiment  d'  approba- 
tion ,  &  de  complaifance  :  que  dans  les  differents  ordres , 
ou  arrangements  qui  refulteiit  de  diff^rentes  combinaifons , 
il  y  en  a  de  plus  parfaits  les  nns  que  les  autres:  que 
dans  cette  echelle  de  I'ordre  il  y  a  un  degrd  oil  I'ordre 
connu  excite  un  fentiment  de  plaifir  mei^  de  furprife. 
Si.  d'admiration  :  que  ce  degre  doit  ^tre  different  relative- 
ment  aux  dilTerentes  difpofitions  de  ceux  qui  en  font  af- 
fettes.  Ces  principes  fuffifent  pour  determiner  ce  qu'  il  y 
a  de  ret'l ,  &  de  conftant  dans  la  denomination  du  beau, 
&  pour  demeler  en  meme  terns  le  caufes  des  differentes 
applications  que  I'on  en  fait  aux  differents  objets. 


I  I 


EXAMEN  PHYSICO=CHIMIQUE 

Sur  la  coulcur  des  fleurs ,  S'   de  quelques 
autres  fubjlances  vegctales. 

Par  M.'  le  Comte  Mouroux. 

PREMIERE    PARTI  E. 

^i  I'etude  de  la  nature  a  augmente  le  nombre  des  con- 
noiffances  humaines ,  fi  elle  a  diffipe  une  foule  d'erreurs, 
&  dechire  le  voile  de  la  prefomption  ,  &  de  1'  ignorance  , 
nous  en  devons  la  principale  obligation  aux  progres ,  que 
les  Mathematiques  ont  fait  dans  notre  fiecle  :  la  precifion, 
&  I'ordre  qu'elles  infpirent  ayant  paiTe  dans  les  autres 
fciences  naturelles  ,  elles  ont  tait  naitre  cet  efprit  metho- 
dique  par  lequel  on  examine  un  Phenomene ,  un  fait 
d'une  maniere  fimple ,  &  naturelle ,  &  1'  analife  qui  en 
refulte  eft  toujours  claire  ,  &  conftamme^r  enchainee 
aux  loix  invariables  de  la  mechanique  ,  &  de  la  phifique: 
ainfi  nos  obfervations  combinees  deviennent  une  fource 
prefque  inepuifable  de  principes  vrais  ,  &  feconds. 

La  cliimie  qu'on  peut  regarder  aujourd'hui  comme  une 
des  branches  les  mieux  cultivees  de  la  phifique  y  a  lepan- 
du  un  grand  jour ,  &  la  facilite  ,  qu'elle  donne  a  decom- 
pofer  les  corps  ,  &  a  les  recomporer  nous  fournit  jour- 
nellement  des  applications  utiles  pour  les  arts,  &  metiers, 
&  nous  ne  negligerons  pas  d'obferver  qu'on  aruve  par 
fon  moyen  a  imiter  parfaitement  bien  des  produftions 
naturelles  ,  telles  que  le  cinnabre  ,  les  fafrans ,  le  verd-de  gris, 
le  loufFr«  ,  les  fels  ,  les  ochres  ,  les  chaux  metalliques  ,  & 
nombre  d'autres ,  qu'on  pourroit  apporter  pour  preuve  , 
&  qui  nous  demontrent    que  la  nature ,  quoique  tres-fou- 

b  1 


tl 

vent  impenetrable  a    nos    yeux ,  agit  cependant    toujours 
d'une  maniere  finiple  ,  &  par  des  loix  univerfelles. 

Cela  pofe  ne  doit-on  pas  croire  autant  de  fimplicite , 
&  de  generalite  dans  les  loix,  fuivant  lefquelles  fe  fait  la 
vegetation,  &  fe  produifent  les  couleurs  dans  les  fleurs, 
&  dans  les  fruits  ?  Piufieurs  Auteurs  ce  ebres  nous  ont 
enfeigne  par  quelle  mecanique  s'operoit  raccroiflVment  des 
plantts  ,  &  ont  cherche  a  developper  d'une  maniere  fifte- 
matique  leur  generation  j  Ce  n' eft  qu'en  paffant,  &  d'une 
maniere  affez  imparfaite  ,  que  quelqu'un  d'entr'eux  a  parle 
des  couleurs  des  vegetaux  ,  &  quoique  cet  objet  ne  pa- 
roifle  que  de  fimple  curiofite ,  j'efpere  neanmoins ,  que 
mes  recherches  pourront  reunir  I'agreable  a  I'unle }  Cell 
du  moins  le  but ,  que  je  me  propofe. 

On  ne  doit  pas  s'attendre  a  un  ordre  bien  rigoureux 
dans  une  matiere  fi  vafte  ,  &  je  ne  donnerai  mes  obfer- 
vations ,  que  dans  I'ordre ,  ou  pour  ainfi  dire  elles  font 
nees  ,  &.  c'eft  a  la  confideration  attentive ,  que  je  fis  fur^ 
la  vivacite  de  la  couleur  d'une  fleur ,  que  je  me  determi- 
nai  k  en  chercher  la  caufe ,  de  meme  qu' a  m'affurer,  fi 
ces  couleurs  font  inherentes  ou  accidentelles. 

Les  Botaniftes  s'accordent  a  donner  le  nom  de  fleur  a 
cette  panie  de  la  plante ,  qui  fe  diftingue  ordinairement 
des  autres  par  des  couleurs  particulieres  ,  &  qui  eft  defti- 
nee  a  garder  les  organes  de  la  generation ;  tel  eft  le  fen- 
timent  de  Vaillant ,  Ray  ,  Juffieu  ,  Tournefort ,  &  enfin 
de  la  plus  grande  partie  des  Botaniftes ,  mais  ils  ne  font 
pas  alles  plus  loin  dans  leur  recherches  fur  ce  qui  a  rap- 
port a  la  couleur. 

Geofroi  entre  un  peu  plus  en  matiere ,  &  pretend  que 
les  huiles  efleniielles  des  plantes  pendant  qu'elles  fon  ren- 
fermees  dans  les  fleurs  peuvent  leur  procurer  differens 
melanges  par  cette  variete  de  couleurs ,  qu'elles  poffedent ; 


'5 

(  I  )  il  appuye  enfu'ite  fon  fentiment  fur  ce  qu'une  feule , 
&  meme  huile ,  favoir  celle  du  Thim  combinee  avec 
differens  melanges  d'efprits  acides  ,  volatils  ,  urineux  &c., 
lui  a  donn^  routes  les  nuances  des  couleurs  depuis  le  blanc 
jufqu'au  noir ;  mais  la  renoncule ,  le  cianum  ,  ou  bleuet , 
la  gonfrena  globofa ,  qui  ne  contiennent  cerrainement  pas 
d'  huile  eflentielle  ,  &  auxquelles  on  ne  fauroit  rien  defirer 
pour  r  eclat ,  &  la  vivacite  de  la  couleur  paroiflent  faire 
une  grande  exception  a  la  generalite  de  ce  fentiment. 

Le  ceiebre  Halles  fut  le  premier  a  eclairer  la  partie  de 
la  philique  qui  regarde  la  vegetation  ,  mais  occupe  furtout  a 
demontrer ,  que  I'air  eft  neceffaire  pour  raccroiffement 
des  plantes  ,  &  a  en  mefurer  la  force  en  repetant  les  expe- 
riences du  c^lebre  Boyle ,  il  n'a  pas  examine  la  partie , 
qui  concerne  la  couleur  des  fleurs:  il  dit  cependant  (i) 
au  chapitre  feptieme  de  fa  ftatique.  „  Comme  le  gout 
„  exquis  des  fruits ,  &  I'odeur  agr^able  des  fleurs  viennent 
„  des  principes  aeriens  fubtilifds ,  il  eft  aflez  narurel  de 
„  penfer  que  les  belles  couleurs  de  ces  memes  fleurs  doi- 
„  vent  auili  etre  attribuees  a  la  meme  caufe  j  car  on  fgait 
„  d'ailleurs ,  que  le  terrein  fee  favorife  plus  le  jeu  ,  & 
„  contribue  plus  a  la  variete  de  leurs  couleurs ,  que  les 
,',  terreins  humides ,  d'oii  elles  tireroient  plus  de  nouriture 
„  aqueufe  j  mais  je  demande  p.°  que  Ton  m'explique  quels 
font  ces  principes  aeriens  fubtilifes ,  en  fecond  lieu  que 
r  on  me  donne  raifon  des  fleurs  tresbien  colorees  qui 
croifTent  dans  I'eau  9  il  dit  enfuite  que  les  plantes  meri- 
dionales  contiennent  une  plus  grande  partie  de  principes 
fubtils  aromatiaues  que  les  feptentnonales  ,  parceque  celles-la 
tirent  fansdoute  plus  de  rofee  ,  que  celles-ci  ,  chofe, 
qu'  il  ne  prouve  non  plus  qiie  la  premiere. 


[\] 


Mimoires  de  I'Accad^mie  des  Sciences  de  Paris  an.  1707. 
Halles  flaiiijuc  dc  Vggfitaux  cap.  7  p,  lyy , 


L'  illuftre  Duhamel  (  j  )  qui  par  Ces  travaux  a  beaucoup 
r^pandu  de  lumiere  fur  le  mecanifme  de  la  vegetation  n'a 
non  plus  que  les  autres  recherche  la  caufe  de  la  variete  , 
&  des  nuances  des  couleurs  des  fleurs  j  il  en  a  d^ailleurs 
obferve  tres-attentivement  la  ftrufture  ;  il  parle  k  la  verite 
des  plantes  moins  colorees ,  &  malades,  que  Ton  nomme 
etiolees  ,  dont  je  parlerai  plus  bas. 

Becher  (  4  )  &  Sthal  (  5  )  onr  penfe ,  que  la  couleur 
verte  des  plantes  fut  produite  par  le  fer ,  puifque  Ton  f9ait, 
que  des  cendres  des  plantes  Ton  a  retire  du  fer ,  comme 
Lemery  I'a  demontre.  (  6  )  Becher  a  meme  penfe ,  que 
le  verd  etoit  la  devife  du  regne  vegetal ,  ou  la  carafteri- 
ftique  ,  comme  il  la  demande  ;  car  quoique  cette  couleur  dif- 
paroiffe  pendant  la  deffication  ,  &  la  combuftion  des  vege- 
taux ,  elle  ne  laiffe  cependant  pas  de  reparoitre  apres  la 
vitrification,  &  c'eft  pour  cette  raifoa  ,  que  le  verre  ve- 
getal pour  le  nommer  felon  Becher  n'eft  pas  beaucoup 
propre  a  etre  employe  lorfqu'  il  e(t  tout  pur  tenant  beau- 
coup du  verdatre  ,  outre  qu'  il  fe  decompoferoit  fort  aife- 
ment ,  contenant  une  trop  grande  quantite  d'aikali  deli- 
quefcent.  Ces  illultres  Auteurs  cependant  ne  font  pas  entres 
dans  le  detail  de  la  culture  des  fleurs. 

L'  immortel  Henchel ,  que  j'aurai  iieu  de  citer  avec  ad- 
miration, par  fes  illultres  decouvertes  fur  I'analogie  du  re- 
gne vegetal  avec  le  mineral ,  s'ell  cependant  laiile  entrai- 
ner  a  douter  par  rapport  a  la  couleur  verte  des  plantes , 
il  me  paroit  qu'  il  etoit  plutot  porte  a  I'attribaer  au  cuivre, 
voici  ks  termes.  (  7  )  „    Ne  pourroit-on  point  a  la    viie 


r  3  )    Phifique  des  atbres. 

(  4  )     Pliifica  fubterranea. 

(  5  )     Sihaiii  fundamenta.  chymiae  dogm.nicorationalis  ^c.  Tom.  II, 

(6)  Mfimoires  de  rAccademic  des  Sciences  de  Paris  au  i3novcmbrc  1706 

p.  411  . 

(7)  Henchel  flora  faturni fans  chap.  11  p.  214, 


'5 

„  de  ce  verd  ,  qui  eft  fixe  au  feu  inferer,  que  cette  cou- 
„  leur  tire  fon  origine  d'un  mixte  mineral,  &  que  le 
„  cuivre  a  de  i'aftinite  avec  le  regne  vegetal  ?  (  8  ). 

Au  refte  la  maniere   vague ,    dont    il    s'exprime  ,    fait 

laffez  connoitre  qu'  il  n'eft  pas  bien  decide ,  car  il  admet 

d'avoir  retire  lui  meme  du  fer  des  cendresdes  vegetaux, 

&  il  avoiie ,  que  perfonne   n'eft    jamais    parvenue    a    en 

retirer  da  cuivre. 

II  ne  paroit  guere  plus  decide  fur  la  nature  de  ces  cou- 
leurs ,  favoir  fi  elles  font  accidentelles ,  ou  fixes  ,  &  inhi- 
renres.  Voici  ce  qu'  il  en  dit  en  des  endroits  differens 
pag.  2 1 4.  chap.  1 1  .„  II  eft  conftant  ■  que  des  couieurs 
„  fixes  de  certe  nature  ne  font  point  accidentelles,  com- 
„  me  celles  qui  font  produites  par  la  reflexion,  &  refra- 
„  ftion  ,  mais  elles  font  fi  reelles,  &  fi  effentielles,  qu'el- 
„  les  conftituent ,  ou  du  moins  contribuent  a  conftituer 
„  les  corps. 

„  Les  couieurs  dit-il ,  (pag.  2  5  6  chap.  15)  des  corps  na- 
„  turels  out  une  proprie.e  ,  que  nous  ne  pouvons  venir 
„  a  bout  de  connoitre  par  le  moyen  de  nos  yeux,  il  faut 
„  done  que  cette  qualite  foit  quelque  chofe  de  bien  par- 
„  ticulier ,  puifque  eile  fait  I'objet  le  plus  effentiel  de 
„  nos  fens ;  en  efFet  il  faut  qu'il  y  ait  reellement  des 
„  caufes ,  &c  des  circonftances  bien  delicates ,  qui  faffent 
„  que  certaines  fleurs  ont  differentes  couieurs  ,  que  la  cou- 
„  leur  ordinaire  de  quelques  autres  change ,  &  qu'elle  peut 
„  m^me  etre  changee  artificiellement. 

„  Qu'on  me  dife  maintenant ,  que  la  couleur  eft  un 
„  caraftere  elTentiel  dans  les  plantes ,  puifque  ce  caratlere 


(8)  Nous  obferverons  cependant,  que  cet  argument  n'eft  pas  exclufif ,  car 
le  vitriol  ruaitial ,  dout  la  couleur  eft  venc  n'eft  ccpendauc  autre 
chofe ,  que  le  iglujiai  de  la  combinailon  dc  I'acidc  vitrioliquc  avec 
Icfer. 


i6 

„  eft  fujet  k  tant  de  variations.  Mais  quand  il  feroit  fixe, 
„  qu'on  m'apprenne  quelle  en  eft  la  fource  ,  quels  moyens 
„  nous  avons  pour  la  decouvrir  ;  en  un  mot  les  couleurs 
„  feront  produites  fans  que  nous  fachions  comment  elles 
,,  varient ,  &  fe  perdent  ;  comment  pouvons  nous  com- 
„  pter  fur  elles ,  comment  pouvons  nous  comparer  la 
„  couleur  fugitive  de  la  celidoine  avec  la  couleur  fixe  de 
„  I'or? 

Apres  avoir  ainfi  expoft  ce  qui  a  ete  dit ,  &  fait  par 
ces  illuftres  Savans  fur  les  fleurs ,  &  fur  leurs  cou- 
leurs ,  &  apres  avoir  donne  la  definition  generalement 
adoptee  fur  ce  qu'ils  entendent  par  fleur,  nous  aliens  paf- 
fer  a  une  confideration  preliminaire ,  qui  depend  de  I'Ana- 
life  chimique,  qui  en  a  eie  faite. 

L'Analife  des  vegetaux  felon  Halles  fe  reduit  k  cinq 
principes ,  qui  font 

Le  fouffre , 

Le  fel  volatil , 

L'eau  , 

La  terre  , 

Et  I'air. 

Dans  cette  Analife  tous  les  Clemens  de  la  nature  font 
en  jeu ,  de  fa^on  ,  que  ceci  ne  nous  eclaire  pas  beau- 
coup  ;  je  trouve  plus  fenfe  ce  qu'en  dit  M.  Rouelle ,  favoir , 

Que  la  partie  colorante  verte  des  plantes  eft  d'une  na- 
ture telineufe,  puifque  elle  ne  fe  lailTe  extraire  que  par 
1'  efprit  de  vin  ,  mais ,  que  la  partie  colorante  de  leurs 
fleurs  eft  extraSo  refineufe  etant  egalement  foluble  dans 
l'eau,  &  dans  I'efpnt  de  vinj  il  elt  vrai  cependant  que 
ce  dernier  les  altere  a  raifon  de  I'acide  qui  entre  dans  fa 
combinaifon  j  il  y  a  d'autres  parties  colorantes  qui  ne  font 
folnbles  ,  que  dans  l'eau,  &  qui  par  coifequent  font  pu- 
rement  extraftives ,  telle  eft  la  panic  coiorante  de  la  terra 
meiica  ,    ou    de    la    racine    de    curcuma  j    1'  art.    de    la 

teinture 


»7 
telnture  confide  a  enlever  cette  partie  colorante  au  moyen 

d'uii  acicle  ,  ou  d'  un  alkali ,  &  de  le  precipiter  enfuite 
avec  un  alkali ,  ou  un  acide  j  il  a  reconnu  neuf  princi- 
pes  dans  les  v^getaux ,  que  je  laifferai  de  decrire ,  parce- 
que  il  avouoit  lui  meme  qu'on  pouvoit  encore  en  recon- 
noitre d'autres. 

La  plus  part  de  ceux ,  qui  ont  examine  les  vegetaux  fe 
font  contentes  de  parler  des  huiles  effentielles  ,  des  (els, 
comme  des  principes  plus  connus;  il  eft  certain  cependanr, 
que  Ton  reconnoit  dans  les  plantes  difFerens  mixtes  de  me- 
me que  dans  les  fleurs.  Nous  en  avons  un  exemple  dans 
la  fleur  du  grand  foleil  ,  appellee  corona  folis  ,  qui  fournit 
une  grande  quantite  de  nitre  outre  une  partie  d'aikali  fixe; 
Ton  retire  du  vin  le  fel  de  tartre  ;  de  certaines  plantes  , 
&  fleurs  un  alkali  volatil  comme  dans  les  cruciferes ,  I'on 
retire  des  efprits  de  certaines  autres ;  Ton  a  retire  du  fer 
des  cendres  de  quantity  de  plantes  ,  &  fiirtout  du  chene ; 
du  genet  Ton  en  a  retire  de  1'  etain  ,  &  fi  nous  en  cro- 
yons  les  Chinois  Ton  a  retire  du  mercure  du  pourpier 
lauvage.  (9) 

Enfin  ces  principes  ne  font  pas  encore  bien  analifes  , 
car  Ton  parvient  a  reconnoitre  differens  principes  felon  la 
maniere  qu'on  traite  les  vegetaux  que  Ton  analife  ,  com- 
me il  eft  aife  de  le  voir  dans  les  cendres  des  plantes  ob- 
tenues ,  ou  a  I'air  libre,  ou  a  la  fa^on  de  Takenius,  dont 
les  unes  nous  donnent  un  alkali  fixe  deliquefcent ,  &  les 
autres  des  fels  fixes. 

L'on  doit  cependant  remarquer,  que  le  principe  colorant 
a  beaucoup  d'aflinit^  avec  les  fels;  I'expeiience  que  fit 
Boherave  nous  le  demontre  ,    puifque    ayant    fait    bouiliir 


(  9  )    Lettres  gdifianies  rScueil  12  lettre  iJu  Perc  Dentrecolles  p.  457,  &  fuivan- 
Mifc,  Taur.  Tom.  V.  c 


i8 

une  branche  de  romarin  vingt  fois,  &  plus,  il  ne  lui  refta 
plus  aucuiie  couieur ,  &  ayant  enfuite  bruie  cette  meme 
branche  ,  il  n'en  retira  plus  aucun  fel. 

Je  fis  la  meme  experience  fur  differentes  fleurs,  qui 
apres  avoir  bouilli  quantite  de  fois ,  ne  refterent  plus  au- 
cunement  coloiees ,  &  je  n'  obtins  aucun  fel  de  leurs 
cendres. 

Nous  avons  une  autre  preuve  de  raffinite  de  la  partie 
colorante  avec  les  fels  dans  la  methode  ,'  dont  on  fe  fert 
pour  retirer  la  laque  des  vegetaux,  qui  fe  fait  au  moyen 
d'une  forte  lefiive  de  fel  de  potafle  ,  &  de  chaux ,  &  par 
ce  moyen  la  couieur  des  fleurs  ett  entierement  enlevee 
par  les  fels. 

Si  I'dir  eft  neceffaire  pour  I'accroiflement  des  plantes , 
il  I'cft  de  meme  pour  les  fleurs  ,  puifque  Ton  voit,  que 
lorfqu'on  expofe  des  fleurs  fraiches  fous  la  pompe  pneu- 
matique  elles  fe  fanent ,  &  perdent  en  partie  leurs  cou- 
leurs  naturelles  ;  Boile  la  croit  auffi.  neceflaire  pour  deve- 
lopper  la  couieur. 

Quant  a  la  terre  nous  favons  qu'elle  contribue  autant 
a  la  vegetation  que  I'eau,  qui  attenuant  les  fels,  &  les 
parties  les  plus  lubtiles  de  la  terre  font  portees  dans  les 
vailTeaux  capiliaires  des  plantes  par  Taction  de  I'air,  & 
que  la  terre  qui  elt  plus  ou  moins  chargee  de  fels  con- 
tribue a  i'accroifllment  de  la  plante  plus    ou  moins  rapide. 

Le  Phlcgiftique  eft  fu'ement  une  des  parties  les  plus 
effentielles  des  plantes,  &  il  I'eft  de  m^me  des  fubftances 
metalliques.  Henchel  en  fait  une  de  fes  plus  fortes  preuves 
pour  I'analogie  qu'  il  a  demontree  entre  les  vegetaux  ,  & 
les  mineraux  J  cjue  ft  dans'  le  r^gne  mineral  il  donne  le 
dernier  degre  de  perfcftion  (  i  o  )  aux  terres  metalliques  , 
pourquoi  ne  donneroit-il  pas  la  perfeftion  aufli  aux  plantes, 

(lo)  Henchel  f?ora  faturnifans  pag.  i^6. 


.19 
&  aux  fleurs.  Baume  eft  d'apres  Stahl  (*)  de  fentiment,  que  le 

phlogirtique  (bit  le  principe  des  odeurs,  &  des  couleurs.  (i  i) 
M.  Pott  ne  fait  aucune  diftinftioti  dans  fa  lithogeognofie 
entre  Ic  phlogiftique  ,  &  la  couleur ,  bien  fouvent  il  les 
prend  pour  fynonimcs  ,  comme  parlant  fur  la  terre  gypfeufe, 
il  dit  qu'elie  contient  aufli  un  peu  de  phlogilHque ,  ou 
principe  colorant  (  1 1  )  ,  quelque  fois  il  la  nomme  matiere 
fulfureufe  ,  ou  colorante  ,  beaucoup  volatile. 

M.  le  Comte  Saluces  penfe  de  meme  que  le  phlogiftique  eft 
abfolument  neceffaire  pour  developper  la  couleur  des  parties 
qui  la  contiennent ,  comme  il  le  prouve  par  un  grand 
nombre  d'exper'^nces  qu'  il  a  fait  a  ce  fujet. 

Si  M.  Pott  nous  a  enfeigne  une  maniere  fure  d'  anali- 
fer  les  corps  les  plus  durs  ,  tels  que  les  metaux  ,  &  les 
pierres  par  le  moyen  d'un  feu  violent  ,  qui  en  les  decompo- 
fant  nous  en  montre  les  principes ;  il  eft  chofe  tres-fure 
que  Von  ne  doit  non  plus  s'  ecarter  de  cette  methode  pour 
parvenir  a  connoitre  les  vrais  principes  dans  les  fleurs  ;  c'eft 
a  I'aide  -de  ce  menftrue  ,  que  je  fuis  venu  a  bout  de  re- 
connoitre le  principe  qui  conftitue  la  couleur  ;  perfonne 
je  crois  avant  moi  ne  s'  eft  fervi  de  cette  methode  pour 
les  fleurs,  comme  il  eft  aife  de  voir  dans  la  i'  partie  (13). 
Je  commencerai  en  attendant  par  rapporter  un  nombre 
d'  obfervations  ,  qui  me  laiflbient  foup^onner  que  la  lumiere 
put  contribuer  k  la  couleur  des  fleurs. 

(*)   OEdipus  Chym.  pag.  97  &  fuiv. 

fijj  Manuel  dc  chimie  pag.  47. 

I  II)  Lithogeognofie  torn,  i   p.  66. 

(J3)  Lc  tncme  M.  Poit  ne  croyoit  pas,  que  ces  couleurs  v6ggta!es  fufTent 
dans  le  cas  de  foutenir  un  feu  violent ,  car  dans  I'anajife  ,  qu'  il  fait  de  la 
terre  colorfie  qt'e  on  apelle  de  Scuttgelb  il  dit  qu'elie  n'eft  point 
minfirale  &  qu'elie  n'eft  qu'une  compofition  artificiellc  ,  c'cfti  dire, 
une  efpC'ce  d'argille  que  I'on  colore  avec  la  dficoftion  dc  re'coice  de 
bouleau  ,  ou  des  feuilles  de  liliicul  &c.  „  I'exaraen  dc  ces  couleurs  par 
„  le  feu  nous  fait  voir  ce  que  je  viens  de  dire  ,  car  en  les  caltinaiic 
,,  on  leur  fait  perdre  cette  couleur ,  qui  eft  vggeialc.  (  Liiliogeognofie 
Tom.  II.  pag.  68.) 

C     2 


OBSERVATIONS. 


Oi  Ton  confidere  les  fleurs  a  callce,  lorsqu'elles  font  pra- 
tes a  eclore  ,  ordinairement  Ton  n'  y  voir  du  premier  mo- 
ment que  du  blanc  ,  elles  commencent  a  prendre  de  Ja 
couleur  lorfqu'elles  s'ouvrent  jufqu'a  ceque  ecloles  a  leur  point 
de  perfeftion  ,  elles  aquierent  le  plus  grand  degre  de  cou- 
leur ,  cependant  les  perales  qui  font  immediatenient  cou- 
verts  par  le  calice  rellent  prefque  entierement  fans  cou- 
leur pendant  le  terns  qu'  ils  font  couverts  ,  fur  tout  fi  le 
calice  eft  d'  une  texture  forte  ,  comme  on  a  lieu  plus  par- 
ticulierement  d'obferver  dans  les  ceillets  i  c'  en  eft  de  me- 
me  prefque  de  toutes  les  autres  efjieces  de  fleurs,  qui 
n'ont  point  de  calice  ,  les  parties  qui  font  a  I'abri  de  la 
lumiere  font  les  dernieres  a  fe  colorer ,  &  ne  prennent 
que  trevpeu  de  couleur  (i  elles  ne  patviennent  a   la  voir. 

I  I 

Si  Ton  examine  la  plus  grande  partie  des  fleurs  colorees, 
qui  onr  quantiie  de  petales  (  celles  qu'on  nomme  doubles) 
quoique  dans  leur  point  de  perfeftion  ,  ou  de  vivacite  de 
couleur ,  on  trouve  en  enlevant  les  petales  les  uns  apres 
les  autres ,  que  ceux  qui  font  tout-a-fait  couverts  font 
toujours  d'une  nuance  plus  tendre. 

Ill 

L'onguis ,  ou  la  partie  qui  eft  immediatement  attach^e 
au  calice  eft  tout  a- fait  blanche,  ou  un  peu  verdatre , 
cette  difference  fe  montre  evidemment  dans  I'artichaut,  & 
fi  I'on  remarque  quelque  couleur  plus  fonc^e  a  la  bafe  du 


11 

petale ,  elle  eft  ordinairement  due  aux  neSaires ,  dont  les 
glandes  feparent  uiie  humeur  fioguliere  ,  qui  probublement 
a  re^u  fa  concoftion  ailleurs ;  on  peut  de  m^me  obferver 
les  differentes  nuances  dans  le  verd  ,  felon  que  les  parties 
font  plus  ou  moins  couvertes ;  la  plus  grande  partie  des 
feuilles  des  arbres  ,  des  arbuftes  ,  des  piaiites ,  &  des  her- 
bes  nous  niontrent  kur  face  expofee  au  foleil  d'  une  cou- 
leur  plus  foncde  ,  que  le  revers ,  qui  eft:  au  contraire  d'un 
verd  plus  tendre ,  (14)  &  on  obferve  alfez  gendralement 
aufti ,  que  les  piantes ,  dont  les  feuilles  ont  une  feule  face 
tomenteufe,  ou  blanchacre,  cette  face  ed  prefque  toujours 
r  inteneure  ,  ou  la  moins  e;^ofee  aux  rayons  du  foleil. 

i  V 

II  en  eft  de  meme  de  la  plus  grande  partie  des  fruits, 
car  la  partie  qui  eft  couverte  refte  prefque  fans  couleur , 
&  au  contraire  celle  qui  ne  I'eft  pas,  eft  merveilleufement 
coloree ;  fi  ces  fruits  jouilTent  au  furplus  de  la  vue  imme- 
diate du  foleil ,  la  face  expofee  au  midi  eft  fureraent  plus 
coloree  que  celle  au  Nord ,  qui  ne  I'eft  prefque  point  , 
ce  qu'  il  eft  tres-aife  de  voir  dans  prefque  tous  le  fruits  , 
&  plus  particuliereraent  dans  les  peches. 


J'obferve  enfuite ,  que  fi  on  coupe  tous  les  noyaux  des 
fruits  ,  les  amandes  ,  les  pignols  ,  la  noix  ,  la  noifette  , 
tous  les  pepins  des  poires ,  des    porames ,    &    des   autres 


( 14 )  Cette  difPdrence  de  couleur  dans  les  revers  des  feuilles  ne  s'apperfoit 
pas  encore  toujours  dans  le  mois  d'avril,  mais  elle  commence  i 
itre  fenfihlc  k  la  fin  de  mai ,  loifque  le  foleil  commence  i  avoir 
plus  de  force,  &  cette  dilFfirence  s'obfcrve  encore  plus  tarddans  les 
ttjontagncs. 


21 

fruits  on  !es  trouve  blancs  de  meme  que  les  graines  da 
melons ,  de  courges  ,  de  concombres ,  qui  donnent  des 
emulfions  tres-blanches.  Enfin  les  femences ,  &  les  grai- 
nes dans  la  partie  interieure  fe  manifeftent  blanches,  com- 
me  le  bled ,  I'orge ,  le  riz  en  fournifTent  encore  una 
preuve  :  &  comme  Ton  a  toute  la  raifon  de  croire ,  que 
dans  cette  partie  blanche  des  femences  toute  la  plante  y 
foit  en  petit  pour  fe  former  enfuite,  &  devenir  une  plante 
complette  ,  ne  pourroit-on  pas  foupgonner  avec  raifon  qu'ori- 
ginairement  la  couleur  blanche  eft  propre  a  I'embrion,  on 
a  I'enfance  de  routes  ces  plantes ,  &  que  fi  elles  aquierent 
avec  le  tems  d'autres  couleurs  ,  cela  eft  du  a  d'autres  cau- 
(ts  exterieures ,  que  je  tacherai  d'  ^claircir ,  &  que  je  me 
permets  en  attendant  d'attribuer  aux  rayons  du  foleil ;  en 
continuant  ici  ces  reflexions,  j'obferve  ,  que  la  partie  in- 
terne des  plantes  eft  affez  generalement  plus  blanche,  que 
ne  le  font  les  parties  exterieures. 

V  I 

Les  parties  de  la  peau  de  quantity  d'animaux  ,  qui  font 
les  plus  couvertes  ,  comme  fous  le  ventre,  dans  les  entrecuif^ 
(es  font  d'une  couleur  moins  foncee,  que  fur  le  dos , 
quelque  fois  m^me  blanches ,  comme  on  obferve  dans 
quantite  de  vaches  noires  ,  dans  prefque  toute  la  famille 
des  cerfs  ,  des  dains ,  des  chevres  fauvages  ,  dans  les  ca- 
rters ,  les  renards  ,  &  dans  les  petits  gris  &c.  11  en  eft  de 
meme  des  oifeaux ,  comme  dans  I'Airon  ,  la  Bertavelle  , 
r  Hirondelle  ,  la  Pie  ,  les  Tourterelles  &c.,  le  plumet  fous 
le- ventre  eft  toujours  mouis  colore,  que  celui  du  dos,  & 
bien  fouvent  blanc. 

La  plus  part  des  poiffbns  ofFrent  un  pareil  exemple , 
comme  Ton  peut  voir  dans  le  ton  ,  le  Ipada ,  le  hareng , 
le  merlan  &c. ,  &  dans  la  plus  grande  partie   des   rayes , 


dans  les  poiiTons  de  mer ,  de  meme  que  dans  la  truite , 
dans  le  brochet ,  &  dans  quantiie  d'autres  poiflbns  d'  eau 
douce. 

L'on  voir  a  peu-pres  la  mcme  chofe  dans  la  vipdre , 
dans  quelques  Terpens,  &  dans  les  lezards. 

L'exHmen  des  coquillages  fur-tout  de  ceux  de  la  mer 
des  Indes  nous  offrent  un  fait  femblabie. 

La  pariie  interne  des  coquilles  a  valves  font  prefque 
toujours  d'un  blanc  emaille,  comma  il  eft  aife  de  le  voir 
dans  les  huitres ,  dans  les  petoncles ,  dans  les  couteaux,  & 
dans  ks  pinnes  &c. 

V  I  I 

Le  celeri ,  la  chicoree ,  le  chardon  nous  prefentent  un 
fait  fingulier  ,  ces  plantes  vertes  de  leur  nature ,  fi  on  leur 
defend  la  lumiere  en  les  couvrant  avec  la  terre  devien- 
nent  blanches  ,  &  Ton  a  donne  differentes  explications  de 
ce  phenomene.  Noliet  (  1 5  )  &  Schaw  (16)  pretendent , 
que  c'elt  la  privation  de  I'air,  qui  ote  le  verd  a  ces  plan- 
tes enterrees.  La  laitue ,  &  le  choux  nous  montrent  la 
m^me  chofe,  les  feuiiles  les  plus  centrales  font  ordinaire- 
ment  blanches  ,  &  Ton  voit  par  nuance  du  centre  a  la 
furface  la  couleur  verte  s'augmenter  petit  a  petit  j  meme 
fi  Ton  obferve  avec  attention,  ce  font  les  pointes  des  feuii- 
les qui  coramencent  a  prendre  de  la  couleur. 

VIM. 

L'obfervation  des  plantes,  que  Ton  nomme  etiolees  pa- 
roit  appuyer  ces  reflexions.  Ces  plantes  font  attaquees  d'une 


{:ij 


Le?ons  de  phyfique  tcm.  5  pag.  441 , 
Schaw.  lc(ons  de  chimie. 


*4      _ 

maladie  finguliere,  qui   reffemble    beaucoup    a    cel!e    que 

dans  les  hommes  on  nomme  rachitis,   felon  Du-Hamel  les 

branches  de  ces  plantes  s'  allongent ,  la  tige  eft  petite ,  & 

fans  proportion,  les  feuilles  petites,  au  liea  de  la  couleur 

verte ,  elles  font  plutot  jaunatres.  Si  c'eft  un  arbre  fruitier, 

qui  eft  attaque  de  cette  maladie ,  il  porte  les  fruits    a    la  , 

verite,  mais  fort  petits  prefque  point  colores,  qui  ne  par- 

viennent  jamais  a  maturite,  faute  de  quelque  chofe  necef* 

faire  k  fon  accroiffementj  Ton  obferve  des  plantes  de  cette 

nature  dans  des  petites  cours  entourees  de    batimens    fort 

hauts ,  &  fur  tout  fi  les  dites  plantes  fe  trouvent  expofees 

au  Nord.     L'on  obferve  la  m^me    chofe  dans  les  herbes , 

qui  croiflent  fous  quelque  pierre,  ou  tuile  trespeu  elevees,, 

ou  dans  les  terres  trespeu  expoftes  au  fbleil.  ^, 

On  a  porte  pour  raifon  de  ce  phenom^ne  emre  autres 
Du-Hamel  (17)  que  la  refpiration  de  I'air  etant  genee , 
la  plante  ne  peut  avoir  toute  fa  nourriture ,  faute  du  mou- 
vement  que  I'air  y  donne. 

Je  penfe  qu'on  pourroit  aufli  en  attribuer  en  parrie  la 
raifon  a  ce  que  le  foleil  ne  la  vidte  jamais ,  &  dela  il 
eft  clair  ,  comment  la  couleur  des  differentes  plantes  varie 
felon  le  climat  ,  &  en  preuve  de  cela  il  fuffit  de  voir  , 
que  les  plus  celebres  Botaniftes  conviennent  avec  M.  Liu- 
neus  que  par  des  obfervations  fuivies  faites  fur  les  lieux 
on  parvient  a  diftinguer  par  le  port ,  &  la  couleur,  p.  ex. 
les  plantes  du  Cap  de  bonne  efperance  ,  &  des  autres  pa js 
m^ridionaux  des  autres  plantes  Europdenes  j  d'oii  il  fuic 
que  le  fentiment  de  ces  Botaniftes,  qui  penfent ,  qu'il  n'y 
ait  pas  dans  la  nature  une  telle  multiplicice  de  veritables 
efpeces  de  plantes ,  que  Ton  s'  imagineroit  d'abord  ,  n'  eft 
point  fans  appui,  fi  on  rtflechit  feulement  a  la  variete  des 

cou- 

( 17  )  Duhamcl  phiCquc  des  aibres. 


couleurs,  dont  une  grande  partie  eft  due  a  la  varietd  du 
dim  at  ,  &  a  I'endroit  plus  ou  moins  exofe  au  foleil ,  & 
que  pour  cette  raifon  la  meme  plante ,  par  exemple,  de 
laitue  devient  rouge  cultivee  en  plein  jour  en  Sicile ,  &  qu'elle 
perd  fa  couleur  etant  cultivee  dans  nos  jardins  ,  de  meme 
que  plufieurs  autres  efpeces  de  plantes ,  qui  par  ces  feules 
variations  deviennent  meconnoiffables  aux  Botaniftes  plus 
^claires. 

Malgre  toute  la  variete  qui  s'offre  dans  les  couleurs  des 
plantes  relativement  aux  differens  climats ,  on  ne  laiffe 
cependant  pas  d'obferver  une  certaine  conftance  dans  ces 
couleurs  ,  &  par  la  on  congoit ,  que  ce  n'eft  pas  fans  rai- 
fon, que  le  celebre  M.  Adanfon  a  etabli  fon  n'euvieme 
fifteme  des  plantes  fonde  fur  les  couleurs. 

Cette  difference  de  couleurs  relativement  au  climat,  n' a 
pas  lieu  feulement  dans  le  regne  vegetal  ;  nous  la  voyons 
de  meme  dans  le  regne  animal ,  puifque  dans  les  pays  oil 
il  fait  extremment  froid,  comrae  en  Mofcovie,  en  Pologne, 
les  ours  ,  les  loups ,  &  les  renards  ,  qui  en  hiver  font  blancs, 
font  rouges  en  ete  ,  de  meme  que  les  lievres,  qui  dans 
nos  hautes  montagnes  font  colorez  en  ete,  font  blancs  en 
hiver,  Monfieur  de  Buffbn  obferve  que  les  oifeaux  qui  out 
les  plus  vives  couleurs  dans  leur  plumage  viennent  dans 
-les  pays  chauds.  (  1 8  )  Nous  voyons  cette  diff'erence  aufli , 
dans  quelques  poiffons,  entre  autres,  au  rapport  de  Ronde- 
let  (  19)  ,  la  Mendola,  &  le  Picarel,  qui  en  hiver  font 
ilancs ,  en  ete  deviennent  noirs,  ou  plutot  bigares. 

IX 

Quant  aux  horn mes,  nous  obfervons  en  general,  que  tous 
les  negres ,  les  olivatres,  les  bafanes,  les  cuivreux  fe  irou- 

(  18  )  HiAoiic  naturclle  des  Oifeaux  difcoiirs  prfiliminaire  p.  «  edit,  in  4. 
(19)  Hifloire  emigre  des  Poiflbns  pag.  34.64  134. 

Mijc.  Taur.  Tom.  K,  d 


i6  _  '^ 

vent  dans  les  pays  chauds,  que  jamais  I'on  en  a  trouve 
dans  les  pays  froids,  meme  nous  favons  que  les  Negres 
depayfts,  &  dans  les  climats  froids  blanchiiTent  dans  quel- 
ques  annees,  &  les  Europdens  bruniflent  dans  leurs  climats 
chauds ,  mais  je  me  contenterai  de  rapporter  encore  ici 
une  obfervation  qui  tient  toujours  a  ra6\ion  du  foleil,  & 
de  la  lumiere  fans  entrer  a  difcuter  les  opinions  des  Sa- 
vans  fur  ce  qui  fait  la  couieur  des  Negres  ,  &  c'eft  que 
ces  homraes  ont  la  plante  des  pieds  auffi  blanche,  que  les 
Europeens.  (  lo  ) 

Toutes  ces  obfervations  combinees  me  portoient  toujours 
plus  a  croire ,  que  la  lumiere  du  foleil  infliie  beaucoup 
fur  les  couleurs  des  corps  naturels,  &  particulierement  des 
vegetaux  ,  des  fleurs  ,  des  fruits,  &  meme  des  aniraaux ; 
je  cherchai  par  confequent  de  m'en  affurer  par  des  expe- 
riences. 

Or  le  foleil  peut  agir  de  deux  manieres  differentes  en 
fuppofant  les  couleurs  attaches  a  ce  principe.  i."  comme 
fait  le  feu  fur  les  couleurs  de  la  porcelaine  ,  qui  ne  font 
que  tres-Iaides  quand  on  les  peint  ,  mais  qui  a-quierent  le 
plus  grand  eclat  lorfque  le  feu  vitrifiant  ces  matieres  en 
developpe  la  couieur  ;  de  meme  le  foleil  developpant  les 
principes  analogues  dans  les  fleurs ,  les  reduiroit  a  cette 
beaut^  ,  qui  fait  Tornement  de  nos  jardins. 
•  1°  De  voir  s'il  agit  {implement  comme  lumiere  en  in- 
troduifant  dans  les  parties  des  fleurs  des  principes  colorants 
felon  la  difpoftion  des  memes  plantes  a  reflechir  certaines 
parties  de  la  lumiere  plutot  que  des  autres ,  &  rapportant 
cela  aux  afiinites  des  parties  de  la  lumiere  avec  les  par- 
ties des  corps  en  queltion  ,  effet  femblable  a  celui  que  la 


(  20  )  Vojez  I'Abbe  Manet  Hifloite  de  I'AfFriqiie  Franfoifc,  &  I'appendix  des 
M6moircs  de  I'Academic  RoyaJe  de  Pruffe  Tom^  U,  art,  Vlll.  p.  ij. 


^7 
lumiere  opere  fur  le  phofphore  de  Bologne  (  n  )  ,  fur  lequel 
Ton  f^ait  que  le  feu  n'  y  a  aucune  aftion. 

U  ne  fera  pas  au  refte  inutile  d'obferver  d'avance,  que 
par  I'analife  on  decouvre,  que  les  fleurs  contiennent  route 
forte  de  fels  ,  &  de  parties  terreftres;  c'eft  a  ces  deux  prin- 
cipes  que  je  m'arrete  en  tant  que  generaux ,  &  je  laif- 
ferai  a  part  les  autres  que  Ton  ne  peut  pas  regarder  com- 
oie  colorants ;  mais  venons  aux  experiences. 

Experience  premiere. 

J'ai  pris  une  forte  tige  de  violier  rouge  ,  qui  etolt  plus 
foncee  dans  quelques  endroits ,  &  qui  avoit  des  petites  taches 
auffi  de  rouge  fonce ,  &  lorfqu'elle  eut  a  peine  forme  les 
petits  boutons,  j'ai  mis  le  pot  dans  un  endroit  tres-obfcur 
d'une  chambre  que  j'avois  preparee  pour  cela  ;  j'ai  eu  foin 
de  laiffer  prendre  de  I'air  pendant  la  nuit  a  la  plante,  & 
je  ne  I'ai  arrofee  qu'une  fois,  le  terrein  s'etant  maintenu 
affez  frais ;  cette  plante  a  beaucoup  tarde  a  donner  des 
fleurs ,  &  je  n'ai  obferve  loriqu'elle  eft  eciofe  prefque  au- 
cune couleur  dans  les  petales,  c'eft-a-dire,  elle  ne  montroit 
qu'une  couleur  entre  jaune  ,  &  verd ,  cependant  on  y  di- 
ftinguoit  les  taches ,  quoique  elles  ne  fufTent  pas  autant 
foncees  que  dans  celles  qui  vegetoient  en  plein  jour.  J'ai 
cependant  remarque  ,  que  la  plante  avoit  beaucoup  fouf- 
fert ,  &  que  le  feuilles  etoient  fanees ,  jaunatres ,  &  qu'il 
en  tomboit  quelqu'une,  que  m^me  de  cinq  ou  fix  pointes 
boutonees  il  n'y  en  eut ,  que  deux  qui  fulfent  eclofes ,  la 
plante  raourut  dans  quelques  jours. 

D'autres  plantes  que  j'avois  aufli  mis  dans  I'obfcurir^ , 
tnais  qui  ecoient  d'une  tige  un  peu  plus  foible    moururent 


(  II  )  Cammtntarla  Bononiemta  torn,  i  p.  20  Bartholomai  Btccari,   De    quamflU' 
rimis  phosforit  nunc  primum  dcieSit, 

d   z 


a8 

fans  me  lalffer  lieu  de  rien  obferver ;  j'al  vu ,  que  par 
cette  methode  Ton  pouvoit  audi  foupgoniier  la  raifon  des 
plantes  etiolees,  ou  malades  ,  faute  d'une  libre  refpiration  de 
i'air,  &  j'ai  eu  recours  a  I'experience  fuivante. 

Experience  feconde. 

Entre  plufieurs  plantes  des  memes  fleurs  de  I'experience 
precedente  expofees  en  plein  air  j'ai  choifi  une  tige  aflez 
forte,  qui  avoit  deja  les  boutons,  mais  avant  qu'ils  s'ouvrif^ 
fent  j'ai  couvert  la  pointe  boutonnee  d'  une  cloche  de 
terra  vernifee  pour  lui  oter  la  vue  du  foleil  ,  la  tige  ,  & 
les  feuilles  jouiffoient  cependant  de  toute  la  Jumiere,  &  la 
refpiration  de  la  plante  n'etoit  prefque  point  genee;  j'ai  ob- 
ferve  lorfque  la  fleur  a  eie  eclofe,  que  les  petales  n'etoient 
que  tres-peu  colores  fur  les  bords,  &  un  peu  taches 
en  rouge,  comme  j'ai  eu  lieu  d'obferver  dans  I'experience 
precedente  J  la  plante  n'en  mourut  pas. 

Experience  troijieme. 

J'ai  choifi  une  plante  de  violier  cramoifi  fonce ,  qui 
a  donne  quantite  de  fleurs ;  je  les  ai  routes  coupees  , 
&  il  en  reftoit  feulement  637  boutons  parfaitement  fer- 
\  mes,  &  tout-afait  verds  ,  j' etois  fur  de  cette  fa^on  de  la 
couleur  des  fleurs  ,  j'ai  ferme  cette  plante  dans  une  caifTe 
de  bois  couverte  de  toile  ciree  pour  oter  entierement  la 
lumiere,  j'ai  pratique  en  divers  endroits  de  la  caifle  des 
trous  y  pour  y  faire  circuler  Fair :  la  plante  me  donna 
dans  dix  ou  douze  jours  des  fleurs  qui  etoient  pales  toutK 
a-fait  dans  les  petales  du  centre,  mais  dans  I'exterieur  elles 
Etoient  de  couleur  de  rofe  fort  tendre ,  &  Ton  obfervoit 
la  meme  chofe  dans  tous  les  boutons  qui  etoient  ^clos } 
la  tige  ,  &  les  feuilles  vinrent  d'un  verd  plus  tendre  aulli. 


J'ai  tourne  eiifuite  mes  viies  fur  un  fait  que  tout  le 
moiide  rapporte  ,  &  que  la  plus  part  des  Auteurs  (  ii  ) 
debitent,  favoir  ,  que  la  vapeur  du  (buffre  ore  enciere- 
ment  la  couleur  aux  fleurs  ;  j'ai  voulu  examiner  la  raifon 
de  ce  pheuomene,  que  j'ai  trouve  faux  en  partie,  comme 
il  eft  aife  de  ie  voir  par  les  experiences  fuivantes. 

Experience  quatrieme. 

Ayant  mis  du  foufFre  dans  un  creufet ,  que  j'ai  couvert 
d' un  cone  de  papier,  qui  portoit  a  la  pointe  quattre  ou 
cinq  tiges  de  hyacintes  bleues  ,  &  ayant  allume  le  fouffre  , 
apres  deux  minutes  ces  fleurs  devinrent  tout-a- fait  blanches, 
&  depourvues  de  couleur  ,  mais  les  ayant  de  nouveau  ex- 
pofees  a  la  vapeur  du  fouffre ,  dix  ou  douze  minutes 
apres  les  ayant  regardees ,  j'ai  reconnu  quelques  taches 
rouges  fur  la  pointe  des  petales  ;  je  les  ai  lailTe  encore  un 
bon  quart  d'  heure  &  les  petales  prirent  une  couleur  rouge 
dans  tout  le  contour  de  la  largeur  d'une  ligne  ,  &  meme 
plus  dans  quelque  endroit.  J'ai  obferve  precifement  le  meme 
phenomene  dans  les  fleurs  nommees  primula  veris^  &  hya- 
cintus  mofchatus  ,  qui  font  d'  un  bleu  de  Roi  tres-fonce  j 
elles  devinrent  blanches  dans  les  premiers  momens ,  en- 
fuite  les  extremites  fe  colorerent  d'  un  beau  rouge  ,  com- 
me dans  les  hyacintes  que  j'ai  d^crit. 

Les  violettes  m'  offrirent  le  meme  refultat ,  ainfi  que  les 
fleurs  de  bleuette  ,  de  veronique  ,  1' iris  filveftris  &c.,  en 
deux  mots  toutes  les  fleurs  bleues  ,  &  violettes  que  j'ai 
experimentees  me  donnerent  ie  meme  refultat. 


( 12  )  Henchel ,  Nollet ,  Schaw. 


5® 

Experience  cinquieme. 

J'ai  expofe  de  meme  k  la  vapeur  du  foufFre  pendant  plus 
d'une  heure  de  terns  des  violiers ,  des  narciffes ,  &  des  ro- 
fes  jaunes  ,  des  levions  des  fleurs  de  genet  &  de  farfara 
fans  que  leurs  couleurs  ayent  foufert  la  moindre  alteration, 
&  je  fuis  bien  aife  de  pouvoir  affurer  les  curieux  qu'on 
peut  conferver  par  ce  moyen  la  couleuf  aux  fleurs  jaunes 
quoique  deffechees  par  I'acide  fulfureux  autant  de  tems 
que  Ton  voudra  &  avec  la  m^me  vivacite  qu'elles  peuvent 
avoir  au  moment  qu'on  les  detache  de  la  plante  :  on  me 
pardonnera  j'efpere  cette  tranfition  en  faveur  de  la  nou- 
veaute  (z3) . 

Experience  Jixieme. 

La  vapeur  du  fbuffre  fit  difparoitre  dans  peu  de  tems 
la  couleur  rouge  des  fleurs  dont  je  m'etois  fervi ,  telles  que 
les  rofes  ,  les  tulippes  ,  les  pavots ,  les  fleurs  de  paflion , 
les  violiers ,  les  ceillets ,  &c.  mais  elles  reprirent  apres 
quelque  tems  leur  couleur  naturelle  ,  j'ofe  meme  dire  avec 
plus  de  vivacite  vers  I'extremite  ,  ou  la  pointe  des  petales 
de  la  largeur  a  peu-pres  de  quatre  ou  cinq  lignes  com- 
me  s'll  leur  etoit  arrive  une  elpece  de  concentration  des 
molecules  colorantes  vers  cette  pariie.  II  eft  bon  de  re- 
marquer  ici ,  qu'ayant  eflaye  deux  ou  trois  pointes  de 
violiers  rouges  de  cette  plante  qui  avoit  vegete  a  I'obfcur 
(  experience  troifieme  )  qui  etoient  ^  peine  colorees  d'un  rou- 
ge tendre ,  cependant  apres  avoir  ete  quelque  tems  a  la 
vapeur  du  fouffre ,  la  pointe  des  petales  fe  colora  d'un 
rouge  audi  vif ,  que  celui  des  autres  fleurs ,  qui  avoient 
vegete  en   plein  jour. 

(j?)  Tranfaftions  philofophiqucs. 


3^ 

Experience  fepdeme. 

Ayant  expof^  quantite  d'efp^ces  de  feuilles  vertes  ,  des 
tiges  ,  des  branches ,  difFif  rentes  herbes  a  la  vapeur  du  fouf- 
fre  de  la  meme  fagon  que  dans  les  experiences  preceden- 
tes ,  la  couleur  ne  changea  jamais  ,  elle  s'eft  affoiblie  quel- 
que  peu  dans  quelques  unes,  qui  cependani  refterent  vi« 
fiblement  vertes. 

Experience  huiiieme. 

Toute  efpece  de  fleurs  blanches  de  differentes  qualites, 
que  j'ai  expofe  a  la  vapeur  du  foufFre ,  ne  changerent  au- 
cunement ,  &  Ton  n'y  pouvoit  meme  appercevoir  le  moin- 
dre  changemenr. 

Par  ce  que  je  viens  d'obferver  ,  je  conclus  que  le  fouffre 
n'agit  fur  les  couleurs  des  vegetaux  que ,  comme  font  les 
autres  acides  mineraux  ,  c'eft-a-dire  changeant  en  rouge 
le  bleu  ,  &  le  violet  des  vegetaux  ,  alterant  un  peu  la 
couleur  rouge  ,  &  n'attaquant  pas  ni  la  jaune  ,   ni  la  verte. 

Je  dois  enfin  remarquer  qu'en  lailTant  expofees  a  i'  air 
libre  ces  fleurs  apres  leur  avoir  fait  fubir  cette  tranfmu- 
tation ,  apres  quelque  terns  Ton  reconnoit  de  nouveau 
quelque  trace  de  la  couleur  primitive.  Un  fait  digne  d'ob- 
fervation  c'elt  qu'ayant  effaye  fur  quantite  de  plantes  odo- 
riferantes  les  memes  experiences  ,  la  couleur  etoit  enievee 
dans  les  premiers  moments ,  mais  Ton  en  fentoit  tres-di- 
ftinftement  I'odeur :  de  fa^on  que  Ton  pent  conclure,  que 
le  principe  odoriferant  n'elt  pas  attache  au  colorant ,  qui 
doit  avoir  un  autre  principe  tout  particulier ;  Ton  peut 
tres-aifement  s'en  convaincre  en  faifant  des  epreuves  fur 
les  hyacintes ,  les  violettes  ,  &  les  rofes  &c. ,  &  toutes  les 
plantes  qui  ont  une  odeur  aigiie ,  de  meme  que  fur  les 
fleurs  blanches ,  car  quoiquc  cclies-ci    ne  changent    point 


3» 

leur  couleur  naturelle ,  Ton  fent    tres-dlftin£temeiit  I'odeur 

de  la  fleur. 

L'enfemble  des  experiences  me  confirmoit  toujours  plus 
dans  i'opinion  que  j'avois  formee  ,  i°  que  I'air  eft  d'une 
neceffite  abfoliie  a  la  vegetation  : 

2°  que  le  foleil  contribiie  au  developpement  des  cou* 
leurs  (*)  . 

3°  Que  les  fleurs  contiennent  des  parties  fixes  qui  don- 
nent  les  couleurs  ,  ce  qui  paroit  encore  confirme  par  I'aftion 
de  Tacide  fulfureux  (  pag.  29  &  fuiv.  )  i  &  qu'on  ne  doit 
par  les  regarder  comme  un  iimple  accident  du  tiflu ,  qui 
produife  une  reflexion  determinee  de  la  lumiere. 

4°  Que  tout  bien  confidere  la  queftion  de  1'  inherence 
des  couleurs  peut  etre  regardee  comme  indiferente  &  fu- 
fceptible  d'arguments  pour  &  contre  ,  fuivant  la  maniere 
de  I'envifager :  or  nous  allons  continuer  notre  examen  fous 
le  point  de  viie  ci-devant  (coroUaire  3  )  &  nous  attacherons 
a  decouvrir  principalement  la  nature  des  parties  colorantes 
des  fleurs. 

(*)  Je  crois  qu'on  pourroit  adopter  ici  les  id6es  de  M.  Romberg  fut  la  lu- 
miere, qu'il  regardoit  comme  le  feul  principe  afkif  de  tous  les  mixtes, 
&  qu'il  appelloit  foufre  principe.  Voyes  Him,  de  I'Acad,  des  fcien. 
pour  i'an.  1705.  pag.  89.  &  fuiv. 


SECONDE    PARTIE  ^* 

i^es  obfervations  &  les  experiences  dont  je  viens  de  ten- 
dre  compte  ,  m'ayant  rafTure  fur  les  doutes  qui  s'elevoient 
de  toute  part  contre  les  idees  que  je  m'etois  faites  fur  la 
cauie  produftrice  des  couleurs  ,  fur  la  nature  de  cette  caufe, 
&  fur  les  moyens  dont  fe  fert  la  nature  pour  les  develop- 
per.  Je  me  propofai  d'enrichir  autant  qu'il  feroit  en  mon 
pouvoir  ceite  partie  de  la  vegetation  du  plus  grand  nom- 
bre  de  faits  :  apres  ravoir  envifagee  fous  un  point  de  viie 
botanique  &  phyfique  je  crus  ne  pouvoir  rien  faire  de 
mieux  que  de  i'examiner  d'une  maniere  plus  intime  par 
les  fecours  de  la  Chimie. 

Quelques  perfonnes  aux  quelies  je  communiquai  mon 
projet  ne  crurent  pas  devoir  m'y  encourager ,  &  je  n'ai 
pas  trouve  de  motifs  bien  engageants  dans  les  Auteurs 
que  j'ai  coiifulte :  il  etoit  quelHon  de  tenter  fi  les  couleurs 
des  fleurs  loutiendroient  a  la  violence  du  feu  de  vitrifi- 
cation &  fi  elles  feroient  propres  a  peindre  le  \erre.  M.' 
Pott  Auteur  de  la  Lithogeognoiie  dit  formellemsnt  en  plu- 
lieurs  endroits  que  les  couleurs  vegetales  ne  fupportent  pas 
le  feu  de  vitrification.  M.'  Schaw  afliire  la  meme  chofe, 
ainfi  que  le  Baron  d'Holbach  dans  fes  notes  fur  Neri ,  & 
M/  de  Montami  enfin  ,  qui  dit  en  plufieurs  endroits  de 
fon  excellent  traite  de  la  peinture  en  Email  que  Ton  doit 
rejetter  toute  forte  de  couleurs  animates  ,  &  vegetales  com- 
xne  incapables  de  fervir  ,  ne  me  donnoient  pas  comme  Ton 
voir  de  grands  encouragemens. 

Je  communiquai  mes  idees  a  mon  Ami  M.'  le  Comte 
de  Saluces  a  qui  ces  matieres  n'etoient  pas  neuves ,  & 
j'eus  autant  de  plaifir  alors  de  voir  dans  fon  livre  de  me- 
moires  que  je  m'etois  rencontr^  avec  lui ,  de  ce  que  j'en 
ai  maintenant  de  lui  en  faire  honeur ;  Nous  traitames 
quelque  terns  cet  objet ,  &  uoe  argument  qui  nous  parut 
Mifc.  Taur.  Tom.  V.  e 


34 

toujours  decifif  eft  celui  que  ,  les  verres  dont  le  fondant  eft 
un  fel  alkali  vegetal,  font  toujours  verds  ou  verdatres, 
pendant  qu'ils  font  jaunes  avec  le  piomb  ,  pourpre  avec  Tor, 
bleuatres  avec  le  cuivre  &:c. ,  ainfi  que  Tont  remarque 
plufieurs  celebres  Chimiftes. 

Or  {i  les  vegetaux  dont  on  retire  le  fel  alkali  pour 
I'ufage  des  verreries  apres  avoir  foufert  toutes  les  opera- 
rations  qui  font  neceffaires  pour  etre  reduits  en  fel  & 
apres  avoir  efluye  le  deg'e  de  feu  qui  eft  neceflfaire  pour 
mettre  en  fufion  les  maneres  vitrifiables  ,  &  pour  s'y  com- 
biner dans  I'etat  de  vitrification  ,  portent  neantmoins  cette 
teinte  aux  verres  ,  pour  quoi  les  fleurs  ,  les  racines  &c.  ne 
fourniroient  elles  pas  jufqu'a  un  certain  point  leur  cou- 
leur  naturelle  aux  verres  dans  lefqueis  on  les  auroit  em- 
ployees apres  avoir  ete   reduites  en  fel  ? 

Nous  ne  favions  pas  voir  de  difference  entre  les  parties 
d'une  meme  plante  pour  etre  fondes  a  penfer  que  les  unes 
fuflent  compofees  de  parties  plus  fixes  que  les  autres :  la 
delicateffe  des  couleurs  ne  nous  autorifoit  pas  non  plus  a 
une  telle  fuppofition  ;  de  maniere  que  le  doute  nous  pa- 
roiftbit  affes  fonde  pour  ne  pas  balancer  plus  long  tems 
a  tenter  I'experience  ,  &  je  m'y  d^terminai  d'autant  plus 
volontiers  qu'ayant  repete  un  grand  nombre  des  experien- 
ces ,  dont  M'  Henckel  fe  fert  pour  prouver  la  grande  al- 
liance qu'il  y  a  entre  le  regne  vegetal  ,  &  mineral  je  me 
trouvois  aufli  convaincu  que  lui  des  principes  qui  font  con- 
tenus  dans  fon  excellent  ouvrage  du  Flora  faturnifans. 

La  neceflite  d'un  feu  violent  ,  &  continue  m'engagea 
3  profiter  de  celui  des  fourneaux  de  la  verrerie  Royale  , 
nos  eflais  ayant  manque  dans  le  fourneau  a  vent  du 
laboratoire  de  Monfieur  le  Comte  de  Saluces :  J'aurois 
fouhaite  de  reuflir  un  verre  purement  vegetal  pour  etre 
a  couvert  de  tout  foup^on  ,  ce  qui  eft  de  la  plus 
grande  difficulte  car  non  feuleraent  on    n'y   parvient    que 


.55 

par  un  feu  tres-vioIent,mais  ce  verre  tombe  aifement  en 
deliquefcence. 

Pour  remedier  a  cet  inconvenient  on  acoutume  de  le 
meler  avec  quelque  matiere  vitrifiable  pour  avoir  un  corps 
d'une  plus  grande  durete  ,  cependant  malgre  cette  combi- 
naifon  ce  verre  eit  toujours  verdatre  tenant  a  la  matiere 
vegetale  dont  il  a  ete  compofe ,  c'ell-a-dire  aux  cendres 
de  Kali,  ou  d'autres  plantes  j  de  (:\qon  que  dans  les  fa- 
briques  Ton  ell  dans  I'ufage  d'  y  joindre  un  peu  de  Ma- 
gnefia  ,  ou  Manganefe  qui  a  la  propriete  d'eclaircir  le 
verre  ,  &  de  lui  oter  la  couleur  verdatre ,  ce  qui  i'a  fait 
nommer  par  quelqu'un  le  favon  du  verre.  Voyes  I'ouvrage 
de  M.   Montatni. 

La  fumee  qui  s'eleve  des  fleurs  que  Ton  brule  pour 
les  reduire  en  cendre  ert  fi  dilUnftement  coloree  de  la  cou- 
leur de  ces  memes  fleurs  que  je  commen9ai  a  douter 
du  fucces :  je  continuai  cependant  la  preparation  des  cen- 
dres d'une  grande  quantite  de  fleurs  de  toute  efyece  fans 
oublier  celles  qui  font  parfaitement  blanches  ,  6c  dont  le 
refultat  m'  intereflToit  beaucoup,  perfuade  qu'elles  ne  four- 
niroient  aucune  couleur  au  verre  :  J'en  preparai  auffi  a  la 
maniere  de  Tackenius  dans  I'efperance  de  retenir  une  plus 
grande  quantite  de  parties  colorantes ,  mais  elles  n'en  fu- 
rent  pas  plus  chargees  apres  la  calcination  qui  etoit  ab- 
folument  n^ceflaire  pour  en  chafler  toute  i'humidiie  ,  aind 
je  preferai  de  me  fervir  de  la  methode  de  les  bruler  en 
plein  air ;  d'autant  plus  que  j'aper^us  par  quelques  ef- 
fais  que  Thumidite  qui  fe  deployoit  avoit  terni  les  verres 
que  je  eflayois  ,  &  je  ne  venois  pas  meme  a  mon  bur  de 
reconnoitre  diltinftement  la  couleur  que  j'avois  obtenue 
des  diff^rentes  cendres  des  fleurs. 

J'ai  commence  par  la  couleur  rouge  ,  enfuite  par  les 
autres  couleurs  principals ,  &  enfln  par  les  fleurs  blan- 
ches ,  j'ai  change  dans  la  premiere  experience  les  propor- 

e  % 


3^  .  . 

tions ,  ce  qui  m'a  fervi  de  regie  pour  les  autres,  &    afin 

que  I'on  put  voir  d'un  fimple  coup  d'ceil  les.  reluitats , 
que  j'ai  obtenu.  J'ai  range  en  forme  de  tables  ces  expe- 
riences ou  je  fairai  pourtant  les  remarques  neceflaires. 
II  eft  bon  cepeiidant  de  remarquer ,  que  dans  la  compo- 
fition  de  mes  verres  je  ne  me  (uis  fervi  d'autre  matiere 
vitrifiable  que  de  la  poudre  de  Callioux  {flex  corneus ) 
ou  du  criftal  de  roche  }  que  pour  aider  la  fufion  ,  je  ii'ai 
employe  que  du  fel  de  taitre  bien  depur^,ayant  banni 
le  barax  &  les  autres  fondans  ,  comme  foup9onne4  avec 
raifon  de  contenir  des  parties  colorantes.  Que  pour  oier 
tout  foup^on  de  couleur  etrangere,  j'ai  eflaye  le  fimple  cail- 
lou  &  le  criftal  de  roche  avec  le  fel  de  lartre  qui  me 
donnerent  tous  deux  un  aflez  beau  verre  tranfparent ,  & 
point  du  tout  colore ,  dont  je  me  fuis  fervi  quelque  fois 
auffi  pour  unir  aux  fubftances  vegetales  calcinees.  Dans  les 
tables  j'ai  toujours  mafque  caillou ,  quoique  je  me  fois 
fervi  indiftinftement  ou  d'une  matiere  ou  de  i'autre.  Les 
effais  ont  ete  faits  dans  des  petits  creufets  au  fourneau  de 
•verreiie. 


TABLE     PREMIERE. 


37 


TSi 


Meiasges. 


Proportion.  \Resultats. 


iOULEUR.      ReMARQUES. 


\FUursdi  Pavots 
Scl  de  Tartre. 


■Tteurs  de  Pavots 

Laillou 

Scl  de   Tarire. 


FUurs  dePavoti 

Sel  de   Tartre. 

\ 


Une  panic. 
Une  partie. 


Deux  parties 
Deux  parties, 
Une  partie. 


Fleurs   de 

Mauve     . 
Caillou     . 
Sel  de  Tarire. 


Fleurs  de    Gla 
I  dieul      .       . 
Caillou     . 
Sel  de   Tartre. 


Fleurs  de  Genet, 

Caillou 

Sel  de  Tartre, 


Fleurs  blanches,  Une  partie. 
'\  Caillou  .  .  Une  partie. 
vSel  de  Tartre.     Une  partie. 


Unt  partie. 
Une  partie. 
Une  partie. 


Une  partie. 
Une  partie. 
Une  par  tie. 


Une  partU, 
Unt  partie. 
Une  partie. 


Une  panic, 
Une  partie, 
Une  partie. 


Mafe. 
Friable, 


Un  Verre. 


Un  Verre. 


Subflance 
Vureufe. 


Un  Ferrt. 


Cendrie, 


Pourpre, 


Rouge. 


Un  Verre. 


Un  Verre, 


Rouge ,   & 
vwletie. 


Bleu  tendre 


Jautte. 


Point 

color^. 


on  ton  recon  I 
noijjou  quel  I 
ques points  rou- 
ges, I 


Lafurface  du  ver 
re  itoit  un  peu 
verddtre  avec  I 
des tdches rouges 


Plus   beau     que 
le  pricident. 


De  la  couleur  de 
la  jleur. 


Qui    rejfembloit 
d    r  aigue-ma 
rine. 


Duntlesbordsdu 
Creufet  itoient. 
un  peu  coloris 
en  rouge.   * 


Qui  avoit  I'aiil 
verddtrt  com- 
me  le  verre  or- 
dinaire. 


•E3a 


(  •  )  La  couleur  rouge  ,  qui  fe  deceloit  dans  toutes  les  corapofitions  avcc   le 
genet ,  me  dctermina  ^  fuivie  un-travail  furceiie  planie.qui  adonnSdcs 
•     jdfultats  cuiieux ,  coninie  on  pouira  vou  dans  un  autre  mdmoire. 


3^         .       . 

Je  laifTe  juger  du  plaifir  ,  que  j'ai  eu  clu  fucces  de  ces 

experiences ,  qui  me  confirmoient  dans  mon  idee,  puifque 

chaque    fleur    coloree    a  donne    dans    la    vitrification    (a. 

couleur  naturelle  fort  diftin6tement ,  &  les  blanches    n'ea 

donnerent  point. 

J'ai  cherche  enfuite  a  examiner  fi  j'aurois  regu  les  me- 
mes  refultats  des  autres  fubftances  vegetales  colorees.  J'ai 
examine  la  racine  de  Garance  (i  conniie  par  fa  teinture, 
la  Beterave  qui  eft  fi  coloree  ,  Sc  la  Guefde  doiit  on  fe 
fert  pour  la  teinture  bleiie.  J'ai  enfuite  fait  des  experien-f 
ces  fur  des  graines  colorees ,  &  fur  la  fubftance  farineufe 
des  femences.  Le  Solanum  fut  le  fruit,  ou  plutot  la  graine 
que  j'ai  examinee  ;  c'ell  un  vegetal  du  Brefil  fort  colore 
en  pourpre  ,  que  M.  le  Dofteur  Dana  Profeffeur  de  Bo- 
tanique  a  fait  vegeter  dans  notre  climat ,  &  lui  a  fourni 
des  favantes  obfervations  fur  la  teinture  (14). 

Le  refultat  eft  digne  d'artention  ,  car  ce  Solanum  co- 
lora  le  verre  beaucoup  plus ,  proportion  gardee  que  les 
cendres  des  fleurs. 

Les  fubftances  farineufes  donnerent  des  couleurs  apro- 
chantes  du  blanc  emaille ;  il  m'a  paru  meme  d'entre-" 
voir  que  les  fruits  ,  &  les  graines  donnent  plus  de  cou« 
leur ,  enfuite  les  fleurs,  apres  celle-ci  les  racines,  &  les 
lemences  tres-peu. 

(24}  Je  dois  de  meme  fairc  honneur  k  M.  le  Do£leur  Dana  qui  fe  fit  un 
vrai  plaifir  de  me  donner  ce  fruit  avec  les  preparations  qu'  il  en 
avoit  faiies  en  m'inftruifanc  des  cxpstiences  qu'il  avoit  cntreprifes 
&  de  leur  rgfultats. 


TABLE    S  E  C  0  N  D  E. 


39 


=^^ 


Melasges. 

Proportion. 

Resultats. 

COULEUR. 

Remarques. 

^Garance. 

Caillou. 

Sel  de  Tartre. 

4  panes. 
4  parties, 
}  parties. 

Un  Verre. 

Verd  obfcur. 

Avec  des  petite s^ 
tdches  rouges. 

Betterave. 
Verre  pulverifi. 

Une  partie. 
Une  partie. 

Un  Verre. 

Violet. 

Pas  teaucoup 
clair. 

Ifatis  fativa. 

Caillou. 

Sel  de  Tartre. 

4  parlies, 
4  parties. 
}  parties. 

Un  Verre. 

D'  un  verd 
obfcur. 

Couleur  de  la 
plante.  (♦) 

Solarium. 

Caillou. 

Sel  de   Tartre. 

4  parties. 
i  parties. 
2.  parties. 

Un  Verre. 

Pourpre 
joncL 

Plus  colori  que 
celui  desfleurs. 

Farine, 
Caillou. 
Sel  de  Tartre, 

4  parties. 
4  parties. 
z  parlies. 

Subjlance 
vitreufe. 

Blanchatre. 

Aprochant    <i 
/'  imail. 

Rit. 

Caillou. 

Sel  de  Tartre. 

4  parties. 
4  parties. 
4  parties. 

SutJIance 
vitreufe. 

Plus  blan. 
che. 

Au(fi  imailUe, 

Feves. 

.Caillou. 

Sel  de  Tartre. 

1 

t 

4  parties, 
4  parties. 
I  parties. 

Subjlance 
vitreufe. 

Un  peu  ver- 
ddtre. 

Aufji  emaillie. 
U 

(  •  )  Cctte  plante  que  les  Fran9ois  nomment  pafitl^  ou  gutfle  ,  &  nos  aniftes 
yaud  donne  une  leintuvc  blcije  ,  mais  c'eft  par  la  chsux  \\ve,  2c  1' alun 
qu'  on  r  obtienr. 


40 

La  folbleffe  des  teintes.  colorees  de  la  couleur  de  la 
fleur  ,  qui  paflbit  dans  mes  verres  m'  avoit  fait  foupgonner 
que  par  l'  incineration  &  la  calcination  il  fe  fit  une  gran- 
de  perte  de  la  matiere  colorante,  attendu  la  grande  eva- 
poration qu'  elle  fouffroit ,  &c  je  voyois  d'  ailleurs  clairement 
que  les  chaux  des  fleurs  contenoient  beaucoup  d'  autres 
parties  non  colorantes  j  pour  y  remedier  j'ai  tente  de  me 
fervir  des  fucs  concrets ,  &  j'ai  edaie  celui  de  Pavots 
extrait  avec  1'  efprit  devin  ,  qui  a  la  verite  avoit  retenu 
d'avantage  la  matiere  colorante ,  mais  I'umidite  qui  fe  de- 
veloppoit  rendant  mes  verres  ternes  je  fus  contraint  d'aban- 
donner  cette  methode. 

Je  me  decidai  alors  de  feparer  ces  principes  par  des 
lixiviations  repetees  pour  m'affurer  de  ce  qu'il  refulteroit 
de  ces  fucs  concentrees  tk  enfuite  calcines:  car  ainfi  que 
je  I'ai  remarque  pag.  i8.  les  fleurs  reftoient  entierement 
depourvues  de  couleur  apres  une  forte  decoftion  &  d' ail- 
leurs j'avois  ^prouve  que  le  Marc  du  genet  &  du  Sola- 
num.  que  j'avois  retire  d'une  leffive  reiteree  ne  donnoit 
plus  la  moindre  teinture  aux  verres.  Je  ne  diflimulerai  pas 
ici  le  plaiiir  que  me  fit  la  lectre  de  M.'  le  Comte  de  Sa- 
luces  du  1 8.  avril  1770.,  ou  il  traite  cet  objet,  &  celle 
du  premier  maj  qui  contient  des  experiences  &  des  obfer- 
vations  fur  la  racine  de  garance  ;  je  me  fais  un  devoir  de 
rapporter  ces  articles  qu'on  trouvera  dans  la  note  fuivante. 

EXTRAIT  DES  ARTICLES  DES   LETTRES. 
DE  M.    LE   COMTE   DE   SALUCES. 

D'aitleurs ,  mon  cher  Comie  ,  it  n' y  a  dans  In  fleurs  que  quetques  parties  qui 
jolent  diflineis  !i  les  colo^er ,  6"  dont  on  peut  faire  ufage  pour  peiri' 
dre  le  vcrre.  I'oici  mon  prociJi  pour  Its  feparer  d'  avec  les  parties 
abfolument  non  colorantes.  Faiies  la  decoliion  de  idles  fleurs  qu'il 
vous  plaira  Jufqu  .i  ce  que  les  petales  ou  Its  feuilles  foient  entiere- 
mem  dicolories ,  cvaporiis  en  leniement  /'  umidiic  ,  &  apres  la  def-^ 
ficcation^  calcine:^  le  fuc ,  6"  vous  aures  la  partie  colorante :  calcines 
enfuite  les  feuilles  ou  le  marc  de  voire  fuc,  6"  vous  n'ohtienitis  aucune 
coultur:  (t  qui  prouve  que  la  panic   colorante   i'efl   coinbinit    avec   la 


41 
II  me  reftoit  a  voir  fi  les  fels  extraits  des  fleurs  auroient, 
pour  ainfi  dire ,  ramafle  toute  la  partie  coloraine ,  &  fi 
j'aurois  colore  davantage ,  &  avec  plus  de  vivacite  les 
verres,  ce  qui  ell  en  effet  arrive  avec  les  fels  des  fleurs 
de  Pavot  ,  de  Genet ,  &  de  Garence  qui  donnerent  des 
verres  tres-colorcs  chacun  de  la  couleur  de  la  fleur,  com- 
me  on  peut   le  voir  dans  la  table  troifieme. 

Les  experiences  fur  les  verres  ayant  parfaitement  repon- 
du  a  mon  attente  ,  je  voulus  eflayer  encore  fi  ces  cou- 
leurs  vegetales  etoient  a  portee  de  colorer  les  chaux  me- 
talliques}  j'ai  pris  du  minium,  avec  lequel  j'ai  fait  le  me- 
lange avec  les  differentes  cendres  des  fleurs  ,  comme  oa 
peut  voir  dans  la  table  quatrieme. 

pariie  fal'tne.  Efl  (t  mainliitdnt  le  plilogi/lique  6U  iei  parties  mitalliqut! 
qui  lionnent  la  eouUur}  Ou  tfl  ce  de  VaHion  du  premitr  Jkr  cellei-cl 
^u'on  L'Mitnt}  Paflbns  maimenani  au  fccond  extraic  .  .  ,  Vom  fca- 
vis  que  111  viirificaiion  avec  les  cendres  de  racine  de  garance  vous  a 
manqui ,  ce  qui  fuivant  mes  prineipes  me  parol ffoit  extraordinaire ,  j'en 
at  done  chercke  In  raifon  6"  le  moyen  de  faire  puffer  cetie  couleur  dans 
les  virtts.  J'ai  imagiri  que  par  un  feu  vif  O  ouvert  tcl  qu'il  le  faut 
fOui  la  calcination,  la  pariie  col&rantc,  qui  doit  avoir  felon  moi  un:  gran- 
tie  ofiii:e  jvec  le  phlogiftique  ,  iioit  prefque  toute  entevee ;  car  vous  fa- 
vii  que  ceite  racine  atjnde  en  huile  6"  en  parlies  volaiilts,  Je  commencai 
do'  c  pa;  rniler  une  partie  de  fel  de  tartre  fur  deux  de  poudre  de  ga- 
rance. Vous  connoijfes  la  coul;ur  naturelle  de  cette  poudre  qui  efl  cou- 
l  w  de  feutlle  rnorte  ,  immedi dtement  elle  prit  une  couleur  roirge  pref. 
e^ue  cremoji  6"  manifefla  une  odeur  tres-vive  de  champhre.  Je  Jus  fort 
fu'p'ti  de  ccs  deux  effi'ts  &•  ayant  mis  le  tout  dans  un  alembic  de  verre 
au  bam  de  j-ible  ,  je  commencai  la  difl illation  par  un  feu  doux  qui  je 
poujTiii  par  di^  e  a  la  derniee  violence,  6"  jufqit'a  ce  qu'il  ne  p^Jfoit 
plus  ricn  dans  It  recipieni.  J'obiints  par  cette  diflillation  deux  liqueurs, 
doni  la  prem  ere  tfl  jaune  ,  (/  la  feconde  efl  une  huile  empireumatique 
\i  liable,  n'ayani  pus  encore  pit  eximiner  la  premiere  ,  le  Caput  mortuum 
i  oil  une  fubjlance  gri^iii  charboneufe ,  mais  Sune  couleur  ctptu  pres 
£0  ■•i:e  le  bleu  dc  P'ujje  ires-fonci.  C'efl  cette  ftcule  que  f'ai  combine 
avcc  la  moil  e  dc  pondre  de  marbre  ,  &  fai  obtenu  un  Vtrrc  colore  rou- 
ge jaunalrc ,  lics-btau  &■  tres-lranjparcnt. 


Mifc.  Taur.  Tom.  V. 


4» 


TABLE    TROISIEME. 


Melanges. 


Proportion. 


Resultats. 


COULEUR. 


•^ 


Remarques. 


Sue   it  Pavoti. 
Vem  pulvenfd. 


Genet  lejfive. 

Caillou. 

ISel  de  Tartre. 


Svlantim  UJpve 

faillou. 

Sel  de   Tartre. 


Sel  de  Pavots. 


Sel  de  Pavots. 

Verrepuhcrifd. 


Sel  de  jleur  de 
Genet 

Cadlou. 


Une  partie. 
Une  partie. 


Une  partie. 
Une  partie. 
Une  partie. 


Une  partie. 
Une  partie, 
Une  partie. 


Une  partie. 


Une  partie. 
Une  partie. 


\Sel  de  Gurance. 
\Caitlou. 


'm 


Une  partie, 
Une  partli. 


Un  Ferre. 


Un  Vtrre. 


Un  Verre. 


Une  majlfe. 


Un  Verre. 


Subflance 
vitreufe. 


Une  partie. 
Une  partie. 


Subflance 
vitreufe. 


Rouge 


I 

Dont  rkumlilti 
I'  avolc  beau- 
coup  nolrcl. 


Verd  foncd. 


Fort  verd. 


Rouge, 


Rouge. 


Jaunedorie. 


Comme  celul  des 
houtellles  de 
Bourgogne, 


I 
Oil  cependant  il 

yavoltunfoup-i 

gon  de   rouge} 


Qui  aprhs  quel- 
ques  jours  torn- 
ba    en    deli- 
quium. 


Dont  la  coiilcur 
pa  [fa  lecouver- 
tie  du  creufet. 


Telnte  en 
rouge. 


Un  veu  colored 
en  rouge  Jur: 
le  bords  ,  6' 
imallUe. 


Un  peu  imallUi: 


(  * )  La  volatiliifi  (in  (i  grande  que  le  bas  du  creufet  fut  anffi  colorC'  en 
dehors  malgifi  fa  (jiande  epaifTeur  mcmc  dans  h  coulcur  lougc  la 
VAlatilite  m'a  pacu   plus  fenfible. 


TABLE    qUATRIEME. 


43 


I    Melanges. 


Proportion. 


Resultats. 


COULEUR. 


Remarquls. 


FUiirs  de  Pavots 
MiDiuai. 


I7ne  partie. 
Une  partie. 


Fleurs  it  Iris. 
.Minium. 


Fleurs  de  Genet. 
iMinium. 


Fleurs  blanches. 
Minium. 


Sue  de  Pavots. 
Minium. 


Sel  de  Pavots. 
Minium. 


J/ne  partie. 
Une  partie. 


Une  partie. 
Une  partie. 


Une  partie, 
Une  partie. 


Map. 


Le  plotnb  fut 
en  partie 
revivifii. 


Une  maffe 
friable. 


Majfe 
jnable. 


Une  partie. 
Deux  parties. 


Une  partie. 
Une  partie. 


Sel  de  Genet. 
Minium. 


Une  partie. 
Une  partie. 


Efpice  de 
iitliarge. 


Subjlance 
viireufe. 


Subflance 
viireufe. 


Rouge, 


Avec  des 
points 
bleus. 


D'un  tris- 
beau  jaune 


Grisdtre. 


Calorie  en 
rouge  a  la 
furface. 


Oiileplorhbetoit 
riduit  en  litharge. 


La  couleur  fe. 
foutint  a  un 
plus  grand  feu.\ 


Qui  d.  un  plus 
grand  feu  devint 
un  verre  jaune. 


Aprochant    du 
petit  verd. 


Dont  I'humiditi 
avoii  terni 
I'effai. 


Un  peu  CO   Qui  fe    foutint 
lorie  en     \   dun  plus  grand 
feu. 


Jaune  dorc. 


Les  bords   du 
creufet    itoient 
rouges t  &       I 
imailUs. 


a 


(  •  )  L'on  voit  que  les  rfifultats  de  ces  experiences  fur  les  chaus  mfitalliques 
font  tr^s-conformes  aux  pr6c6dents;  que  fi  les  matieres  n'ont  pas  6i6 
routes  ifiduites  en  verre  c'eft  faute  du  feu  violent  qui  il  y  auroit 
fallu  pour  Ic  verre  de  plomb ,  &  d'ailicurs  le  phlogiftique  en  levivifie 
toujouis  quelque  peu> 


44 

L'on  apper^olt  tres-aifement  d'apres  ces  experiences  que 

les  fels  contiennent  la  plus  grande  partie  des  principes  co- 
lorants des  fleurs  ,  &  des  autres  parties  des  vegetaux  a 
tel  point ,  que  avec  les  fels  extraits  des  fleurs  je  fuis  venu 
a  bout  de  peindre  de  la  porcelaine  ,  de  la  fayance  &  de 
r  email ,  &  que  aufli  en  fe  donnant  du  foin  1'  on  peut 
colorer  du  criilal ,  &c  imiter  de  cette  fa^on  les  pierres 
fines. 

Je  finirai  ces  details  par  Texamen  que  je  fis  fur  le  bois 
petrifie ,  fubftance  jadis  appartenante  au  xegne  vegetal , 
(  qui  eft  rangee  a  prefent  par  les  Naiurdliftes  dans  le  mi- 
neral )  pour  obferver  (i  elle  contenoit  quelques  devi(es 
de  fon  premier  etat  :  I'ayant  dont  agrege  avec  du  lei  tar- 
tre  j'ai  obtenu  un  verre  tres-beau  prefque  tranfparenc  cou- 
leur  d'agathe,  ou  Ton  ne  reconnoiflbit  pas  la  moindre  tra- 
ce de  verd.  (4) 

Tel  eft  le  precis  des  experiences  que  j'ai  fait  fur  les 
fleurs,  &  ks  autres  parties    colorees   -de    vegetaux    (5), 


(  4  )  II  n'en  eft  pas  dc  metne  des  os  foflTles  ,  qui  ne  perdent  jamais  de  leur 
nature,  &  ne  peuvent  etre  jamais  rangtz  dans  le  rcgne  mineral, 
puifque  on  obiient  au  grand  teu  par  icur  diftillation  une  huile  em- 
pircumatique ,  &  un  fcl  volatil ,  &  le  caput  mariuum  inele  avec  U 
fritte  donne  un  verre  blanc  &  opaque,  caraft^rcs  diftinitifs  du 
rcgne  animal,  comme  jaurai  lieu  d'oblervcr  dans  la  fuiie.  VoycE 
M.  Carl.  danS  fon  traite  du  Lapis  Lydius  ojjlum  fojfilium. 

{  5  )  J'ai  icntfe  plufieurs  experiences  pour  pouvoii  ranger  cellcs-ci  dans  un 
ccnain  ordre ,  j'ai  tach6  avec  loutc  la  bri6vc[6  de  n'omettre  aucune 
■ciiconftance  intSrcffante  au  fujet ,  comme  au/Ti  de  rapporter  avec 
toute  J'  impariialii6  les  reluliats  ,  ce  que  Ton  eft  dans  le  cas  de  v6ri- 
iier,  en  refaifant  les  expfiriences.  Je  dois  avveriir  pourceux  qui  vou- 
'  dront  fe  donncr  la  peine  de   les  luivic,  qu'il  faut    avoir   un   aiien- 

tion  toute  particulidre  dans  I'adininiflration  du  feu,  puifque  ancndu 
la  volatility  de  la  matiere  colorante ,  telle  ccndre  ,  ou  tcl  fel ,  qui, 
apres  un  tcl  terns  de  t'cu  vous  donnera  une  belle  coulcur,  fi  vous 
le  laifRz  quclque  heure  davantagc  la  couleur  s'afFoiblit,  ce  qui  arrive 
au/Ii  aux  coulcurs  mdtalliques  de  la  porcellaine  ,  &  de  I'fimail.  Jc  ne 
faurois  indiquer  des  r(Sgles  pi(5cifes,  c'eft  la  pratique  qui  doit  ficlai- 
xer  la  delfus.  J'aurois  a  la  vCait6  pii  lendie  plus  beaux  les  vcricsdes 
efldis,  en  changeaot    les   melanges    &  Jes  proportions  j  cependanc 


45 
Si  il  me  paroit  demontre  que  la  matiere  colorante    dans 

les   fleurs,  comme  dans  les  autres  parties  des  veg^taux  eft  una 

matiere  folide  &  inherente  ,  &  qui,  par  confequent  n'ell 

pas  fujette  (i  aifement  a  changer. 

Nous  ne  connoiffons ,  que  les  fubftances  metalliques 
capables  de  teindre  le  verre  ,  n'y  auroit-il  pas  lieu  de  croire 
que  ce  font  au/Ii  des  parties  metalliques  qui  produifent  la 
couleur  dans  les  fleurs,  &  dans  les  autres  parties  dss 
vegetaux  ?  Que  ces  parties  etant  extremement  divifibles 
&  fblubles  dans  I'eau  par  le  moyen  des  fels ,  font  dans 
Je  cas  d'  ^tre  introduites  dans  les  vaiffeaux  capillaires  des 
piantes ,  &  des  fleurs,  &  qu'a  I'aide  du  phlogiftique  leur 
couleur  en  el\  developpee  ,  ne  devant  pas  au  refte  con- 
fondre  le  phlogiftique  ,  &c  la  matiere  colorante ,  comme 
a  tail  M.  Pott  ,  puifque  ce  font  deux  matieres  bien  dif- 
ferentes  a  men  avis ,  I'une  pour  parler  le  langage  des  An- 
ciens  etant  la  matiere ,   &  I'auire   la  forme. 

Ce  puifl!ant  reflfort  de  la  nature ,  cet  agent  general  qui 
k  trouve  dans  tons  les  corps  ,  pourroit  tres  bien  etre  le 
fluide  eleftrique  ;  j'ai  ete  charme  de  trouver  dans  le  der- 
nier ouvrage  du  celebre  M.  Francklin  un  fentiment 
tres  conforme  (6)„  Je  fuis  porte,  dii-il,  a  croire  que  le 
„  feu  fluide,  de  meme  que  I'air  fluide  eft  attire  par  les 


comme  je  portoisau  refle  mon  attention  furies  rfifultats  de  la  couleur, 
que  les  (ubflances  veggtaics  in'autoient  donn6  dans  la  vitrification  , 
i'ai  cru  pouvoir  m'cn  difpcnfcr  d'autant  plus,  que  comin?  j'-i  dit , 
j'ai  banni  toutcs  les  maiiercs,  qui  fitoicnt  foupfoan^es  de  contenic 
des  parties  colorantes. 
(6)  I  hare  been  rather  inclined  to  think  that  the  fluid //-f  as  well  as  the 
fluid  air,  is  aiira£led  by  plants  in  their  growth  and  becomes  con/o- 
lidated  with  the  other  materials  of  which  they  are  formed  And  in.iKCS 
a  great  part  of  their  fubilance  :  That  when  ih' y  come  to  be  dige- 
fled  and  to  fuffer  m  the  vefTcIs  a  Kind  of  fermentation  part  of  the 
fire  as  well  as  part  of  the  air  recovers  its  fluid  aftive  flate  again  and 
difFufes  iifelf  in  the  body  digeflingand  leparating  it.  ExfT^jimenis  and 
obfervations  on  Ele^ticity  and  Benjamia  fiancKliu  London  '769' 
Letire  i6  page  346. 


a6 

„  vegetaux ,  &  qu' il  s'unit,  &  fait  corps  avecles  autres 
„  matieres  ,  dont  ils  font  formes ,  &  doiit  il  fait  des  lors 
.,  la  principale  partie.  „  II  n'eft  pas  difficile  d'appercevoir 
que  a  I'aide  de  ce  feu  les  vegetaux  re^oivent  un  principe 
vital ,  &  le  developpement  de  la  couleur ;  (7)  il  feroit  a 
delirer  que  1'  illulbe  M.  Francklin  voulut  par  (es  fa- 
vantes  obfervations  examiner  cette  partie  qui  lui  fourni- 
roit  une   carriere  lumineufe  a  parcourir. 

De  ce  que  nous  voyons  que  la  chaine  etroite,  qui  lie 
le  regne  vegetal  au  mineral,  lie  encore  plus  etroitement  i'ani- 
mal  au  vegetal,  ne  peut-on  pas  foup^onner  que  cette  chaine 
s'etend  aufli  de  raiiimal  au  mineral  ?  de  lorte  que  ce  que 
j'ai  dit  plus  haut ,  ne  foit  pas  fans  probabilite ,  favoir  qu'il 
n'  y  a  qu'une  meme  caufe  produftrice  des  couleurs  dans 
les  trois  regnes ,  puifque  par  quelques  effais ,  que  j'ai  fait 
fur  des  fubltances  animales  ,  j'ai  obtenu  les  memes  reful- 
tats  que  dans  les  vegetales. 

Je  me  contenterai  de  rapporter  I'experience  que  je  fis 
fur  le  fang ,  la  fubllance  animale  la  plus  coloree  ,  &  la 
plus  belle :  les  fentimens  de  ceux  qui  ont  traite  de  (k 
couleur  font  partages ,  quelqu'un  a  cru  de  devoir  I'attri- 
buer  au  fouffre  ,  qui  y  elt  contenu  j  quelqu'autre  aux  fels; 
au    mercure   fubtil,    felon    Paracelfe.     Haller    quoique    il 


(?)  II  me  paroit  que  ce  n'eft  pas  fans  probabilite  que  on  afuppoft  le  flui- 
de  eleftrique,  comine  le  moteur  de  la  partie  colorante;  nous  en  vo- 
yons une  preuvc  datis  la  revivification  ,  &  vitrification  des  cliaux  m€- 
lalliques  (  «  ),  coinme  auffi  dans  les  tachcs  circulaires  colorges,  lorfque 
Ton  fail  partci  la  coiumoiion  elcftriquc  i  travers  des  feuilles  de  dif- 
ftrent  in^taux  places  entre  deux  lames  de  verre  pnli.  (i) 

L' experience  de  M.  Prieftley  femble  le  prouver  d'avantage  ,  car 
Qyant  fait  paiTer  I'expiofion  dletlrique  fur  la  furface  de  1'  huilc  de 
vitriol  ,  il  vii  une  couleur  fort  rouge  i  la  furface  de  I'  huilc  qui  etoit 
furement  due  au  fer:  hiftoire  de   1' eieftticitS   Tom.  3  pag.  390. 

{a")    Beccaria  eletiricifmo  anificialc  §.  738,  e  fuiv. 
t)    Experiences,  &  obfervations  fur  reie£tricite'   faites   ^  Philadelphie   pat 
Seniaiuia  FraiiKlin  Tom.  2  pag.  53  ,  &.  fuiv. 


47 

ait  adopte  dans  les  premiers  ouvrages  le  fentlment  de 
Boherave  fon  maitre ,  c'ell-a-dire ,  que  la  couleur  du 
(ang  etoit  produite  par  la  denfite  des  globules.  Dans  les 
derniers  il  a  propofe  une  opinion  tout-a-fait  vraifemblable, 
c'eft-a-dire ,  que  la  couleur  rouge  etoit  due  aux  particules 
terrugineufes  contenues  dans  le  fang  (8) ,  appuyant  ion 
opinion  fur  les  experiences  de  Geofroi  de  Lemeri  &  furtout 
fur  celles  du  favant  Menghini ,  &  des  Academiciens  de 
Bologne  ,  (9)  ,  qui  ont  trouve  que  prefque  toute  la  par- 
tie  rouge  du  fang  apres  avoir  ete  torrefiee  au  feu,  etoit 
attirable  par  I'aimant ,  &  avoir  toutes  les  proprietes  du 
fer. 

En  effet  ayant  calcind  du  fang ,  fen  ai  obtenu  une 
chaux  coloree  en  rouge  comme  du  iiiffran  de  mars ,  laquelle 
a  ete  attiree  en  partie  par  I'aimant,  ce  qui  ne  me  laiffoit 
plus  aucun  doute  I'ur  I'exillence  du  fer  (lo),  ayant  done 
mele  parties  egales  de  cette  cliaux  avec  du  verre  pulverife 
dans  un  creufet  au  feu  de  verrerie  ,  la  raatiere  fut  re- 
duite  en  verre ,  dont  la  furface  etoit  blanche  comme  i'eft 
ordinairement  le  verre  fait  avec  des  parties  animales  ,  mais 
ayant  cafie  le  creufet  le  verre  etoit  extremement  rouge 
en  dedans,  meme  la  couleur  rouge  palTa  le  creufet  par  (a 
grande  volatilite  a  peu-pres  de  la  meme  fagon  ,  que  j'ai 
obferve  dans  I'expenence  cinquieme  fur  Je  fel  de  Pavot 
Table  III. 


/  8  )     Eltmcmorum  phlfiolopat, 

^  9  )  Commentaria  Bonomentia  Tom.  II.  pag,  i.  ViMentii  Men^ini  differtatio  dt 
ferrcarum  particularum  fedt  in  fanguinc  pag.  244. 

(10)  Le  Medecins  acou'.ument  de  doniier  des  pifiparations  de  fer  dans  les 
maladies,  ou  la  panic  colorantc  du  fang  fe  diminiie,  comme  dans 
les  pales  couJeurs  dans  queiques  efpiccs  de  cachexies ,  dans  les  hi- 
dropifies  &c.  Mais  il  ne  foiu  pas  d'accord  fur  la  prgparaiign  ^  la- 
quelle  ils  doivent  donner  la  prgffirence  ,  il  me  paroit  que  le  fer  du 
fang  caicing  feroit,  peut-ctre,  plus  analogue  ,  &  plus  facile  k  reprea- 
vkc  fa  torme  ,  je  laiiTc  aux  Mgdcciiis  k  decider  Au  cet  aiiicle. 


4? 

L'on  voir  par  cette  experience  qu'  il  y  a  un  fcul  prin- 
cipe  colorant  clans  les  trois  regnes.  Le  verre  que  j'  ai 
obtenu  du  Tang,  celui  que  j'ai  obtenu  du  lb!  de  pavots, 
&  celui  que  Von  obiienc  par  les  fafrans  de  mars  font  trois 
rouges  des  trois  regnes  differents ,  &  (i  celui  fait  avec 
le  fang ,  eft  tres-analogue  a  celui  du  fafran  de  mars  par 
le  fer  que  Ton  y  a  reconnu  (i  i) ,  ne  pourroit  on  pas  prc- 
fumer  que  celui  qui  a  ete  compofe  avec  les  pavots  doive 
fa  couleur  a  quelque  partie  metallique  auffi  ?  Et  comme 
j'ai  reconnu  une  grande  volatilite  dans  le  principe  colo- 
rant du  fang,  quoique  d'aileurs  il  foit  inconteftable  que 
ce  principe  ell  mecallique,  on  ne  doit  pas  etre  furpris 
de  la  meme  volatilite  dans  les  couleurs  vegetales,  &  cette 
volatilite  ne  m'empeche  pas  de  les  croire  metalliques. 

Qaelques  autres  effais  fur  des  fubftances  animales  me 
donnerent  des  refultats  conformes  aux  precedentes  dont  je 
me  referve  a  traiter  plus  pariiculierement. 

Les  metaux  donnent  la  teinture  au  verre  en  differentes 
couleurs  ,  dont  chaque  metal  lui  donne  la  fienne  particu- 
liere  ;  Tor  donne  au  verre  la  couleur  pourpre ,  I'argent , 
la  jaune  ,  le  cuivre  une  couleur  bleuatre  ,  le  fer  lui  donne 
un  verd    fonce  ,    le  regule    d'antimoine  donne    la    jaune , 

retain 

|ii)  La  couleur  rouge  du  grenat  du  jafpe  rouge  du  porpliire,  de  la  terre 
rouge  d'Angleterre  ,  que  i'on  demande  beaut6,  &  quamit6  d'autres 
fubrtances  du  regne  mingral  ,  dans  lefquelles  on  reconnoit  tres-di- 
flinfteinenr  le  fer,  &  4  qui  Ton  doit  ia  couleur  rouge  paroit  en 
fouriiir  une  autre  prcuvc. 

^Ji)  Je  nc  ilouie  pas,  que  les  belles  couleurs  du  plumage  de  certains  oifcaux 
vieiinent  du  muinc  principe.  M.  De  Buffon  obferve  trds-bien,  que 
ks  pays  chauds  fourniflent  une  plus  grande  varifiiS  dc  couleurs.  (c) 
11  me  paroit  d'y  entrevoir  la  mcme  raifon ,  que  dans  les  plantes  ; 
une  plus  grande  chaleur  developpe  davantage  les  principes  colorants, 
qui  font  itietall'ques  dans  tous  les  regnes.  C'cft  le  fujet  du  prix  de 
I'Acad^inic  de  Berlin  propof6  pour  I'annge  1772  que  d'  ficlaircir  la' 
raifon  de  la  couleur  du  plumage  des  oifeaux ,  &  dont  je  fuis  bien 
curieux  de  favoir  la  rfifolution. 

(c)    Bullbn  hiftoire  des  oifeaux  Torn,  I.  difc.  prelim,  p.  aa. 


49 

retain  &  le  zinc  leur  donne  une  couleur  laiteufe,  les  dit- 
ferentes  terres  colorent  le  verre  ,  &  par  la  couleur  qu'elles 
donnent ,  nous  coniioiffons  les  parties  metalliques  qui  font 
contenues  dans  ces  terres. 

Si  nous  examinons  les  pierres  colorees  ,  Ton  a  grande 
raifon  de  croire  qu'elles  doivent  leurs  couleurs  au  meme 
principe ,  c'ell-a-dire  aux  parties  merailiques ,  tel  elt  le 
fentiment     du     celebre    Chevalier    Linne     (13)  ,    &    de 

{  1}  )  „  Quartzum  enira,  &  fpatum  ,  dum  in  nietaUa  habitant  colnrata  rc- 
„  pcrimur,  color  autem  eoriim  cum  rubigine  feu  ocra  ipCus  me- 
„  talli  femper  concidit  ocra  enim  feiri,  quae  aut  brunca,  aut  luiea, 
„  aui  rubra  eft  ,  lapides  iifdein  tingic  coloiibus.  Ocra  cupri  quae  ab 
„  accido  fit  viridis ,  ab  alKali  cyana  aut  viridi ,  aut  violaceo  lapidef 
„  tingit  colore.  Hae  ocrae ,  quoniatn  volgares  funt ,  ita  etiam  hi 
„  colores  lapidum  vulgariffimi. 

Le  ineme  Linn6  dit  dans  un  autre  endroit,  omnis  fere  color  in  Re- 
fito  lapideo  a  metalUs  fuam  ducit  originem  ,  hine  Boherav/ius  (  d  )  ,  gtm- 
mae  inquit  pellucidae  tjuidem ,  fed  eximio  nitenies  colore  videniur  maie- 
Tiem  habere  ceteris  fimilem  ,  jed  pigmenium  meialliam  in  primis  aut  (f 
alium  fixmm  ,  &  fijfilc  in  ipfa  naliviiaie ,  quam  iniime  permixtum  ,  uni- 
tumque  ilia  quippe  evincil  colorum  Jimiliiudo  ,  aique  artificiofa.  gemmarum 
tonfedio. 

„  Ferrutn  dat  vitriolum  vitride  ,  fed  ocrain  luteatn ,  quae  urtione 
„  rubra  evadit ,  &  hinc  rubinus  ruber,  (e) 

„  Cuprum  dat  vitrioJum  caeruleum  ,  led  ocram  vividem  ab  acido, 
„  ut  in  fraaragdo,  ocram  caeruleam  ab  alKaii  fixo  ,  ut  in  Zaffiro, 
„  Cyanam  ab  alKalr  volatili ,  ut  in  Beryllo. 

,,  Plumbum  dat  vitiioJum  album,  fed  ocram  albido  flavaia  ,  ut  i*. 
„  topatio. 

„  BLsmutum    dat   ocrain  rubicundam  ,  ut  in  hiacynto,  ergo  vidi- 
„  mus  colorem  criftallorum  dependere  ab  ocra   ipfius  metalli    figu- 
„  ram  autem  a    falibus.   Linnei   ammenitates  Accademicae    Martini 
„  Kaller  de  criflallorum  generatioae  p.  471  Tom.  V, 
tJ  )    Boherave  chem.  i  ,  54. 

\t)  Quant  aux  Rubis,  Libavius  a  cru  qu'on  devoit  en  attribuer  fa  cou- 
leur k  I'or  nous  favons  que  I'on  en  trruve  dans  iej  mines  d'or  ,  ou 
bien  tout  pr^s,  &  fur  cette  particularite'  il  a  dit  que  Ton  pouvoit 
trds-bien  imiter  la  couleur  du  Rubis,  en  melant  avec  le  criftal  une 
icintare  d'or  rgduilc  en  liqueur  ou  en  huile  pr  la  diflblution, 
Voyez  Libavius.  Lib.  »  chap.  35. 

II  fe  peut  trSs-bien  que  la  vapeur  de  I'or    pgngtrant    ces    pierres 
criftallines ,  puiffe  Jeur  donner   cette    couleur   comrac    1' experience 
nous  le  fait  voir,  flans  les  pierres  artificielles ,  comme  il    y  a    plus, 
de  probability  que  le  grenat ,  le  jafpe,  rgmatite,  la  cornaline  doivenc 
leurs  couleurs  an  vapeurs  Uu  fcr ;  dont  on  connoit  i'exiflcnce. 
Mijc,  Taur,  Tom,  K,  g 


JO 

M.  De  Rom^  Deslile  (14),  il  n'eft  pas  difficile  de  coti- 
cevoir  de  la  maniere  ,  que  les  fpaths  les  quarts  ,  les  cri- 
ftaux ,  &  les  pierres  fe  colorent  par  les  vapeurs  metalli- 
ques,  fi  Ton  examine  la  maniere  dont  fe  forment  les  me- 
taux ,  auxquels  les  fpaths ,  &  les  quarts  fervent  de  ma- 
trice  ,  Ton  peut  conluiter  a  ce  fuier  un  favant  memoire 
de  M.  Eller  dans  les  mdmoires  de  I'Academie  de  Pruffe 
an.  MDCGLui.  Tom.  ix.  pag.  3. 

Cependant  comme  le  fer  eft  plus  generalement  repandu 
dans  la  nature  foit  dans  le  regne  mineral  ,  ou  Ton  ne 
fauroit  trouver  que  tres-peu  de  corps  qui  n'en  contien- 
nentpas;  ainfi  que  nous  les  voyons  dans  les  pierres,  les 
marbres ,  les  terres ,  les  argilles  &c. ,  foit  dans  le  re- 
gne vegetal  &  animal ,  ou  on  le  reconnoit  tres-diftin- 
ftement  dans  quantite  de  plantes  ,  &  d'animaux  (15),  il 
pourroit  bien  etre  la  fource  de  toutes  les  autres  couleurs 
vegetales  ;  que  fi  on  lui  a  deja  attribue  la  verte  du  regne 
vegetal  en  gros ,  il  ne  feroii  pas  mal  a  propos  de  lui  at- 


(14)  Le  fentiment  de  M.  Rom6  Deslile  dans  fon  trait6  de  la  CriHallogra- 
phie  eft  trfis-contorme  a  celui  du  Chevalier  Linn6  fur  la  raifon  de 
la  couleur  dans  les  criftaux ,  6l  dans  les  pierres  prgcieufes  due  aux 
fubftances  mfitalliques.  „  Tous  ces  criftaux  colorgs  (  dit-il  p.  184) 
„  fe  ferment  pour  ('ordinaire  dans  les  mines,  &  doivent  Icurs  cou- 
„  leurs  4  des  Emanations  mStalliques  ,  qui  s'y  incorporent  dans  Ic 
„  temp  qu'  ils  font  encore  fluides ,  ou  qui  s'attachent  a  leur  furface, 
„  lorfque  ces  criftaux  ont  pris  trop  de  confiftance  pour  s'en  laifler 
„  pen6trer. 

A  I'  figard  de  la  couleur  des  pierres  prCcieufes  (  ditil  pag.  196.  ) 
,,  La  plus  part  des  N.uuraliftes  I'ont  attribiifi  comme  celle  des  cri- 
„  ftaux  aux  vapeurs  mgialiques,  qui  ciiculent  dans  les  mines,  ou  au 
„  melange  de  quelquc  diftblution  des  fubftances  minSrales ,  mais  ces 
„  Auteurs  ont  gt6  peu  d'accord  I'efpfice  de  mfital  qui  coloroit  telle, 
„  ou  telle  pierrc. 

II  rappoite  cnfuite   le    paflage  de   Chevalier   Linng  que   je   viens 
de  citer. 
EfTai  de   Criftallographie   par    M.  De-Rpm6  Deslile    k  Paris  1772. 

^ij)  L'on  pourra  confulter  les  Commcntaires  des  Savants  Acadfimiciens 
de  B(.logne  pour  voir  des  experiences  trds-curieufes  fur  le  fer  retirg 
des  pUiites ,  &  des  aniinaox  Coutni,  Sonon,  Torn.  U.  pars  I,  p,  109. 


5» 

tribuer  les  autres  aufll, puifque  nous  favons,  que,  outre  la 

grande  facilite  qu'  il  a  d'etre  attaque  par  tous  les  men- 
ilrues ,  ce  qui  prouve  fa  grande  divilibilite ,  nous  voyons 
qii'  a  I'aide  de  differentes  operations  Ton  parvient  a  en 
tirer  toutes  les  couleurs ,  ainfi  que  M.  le  Comte  de  Sa- 
luces  le  prouve  dans  un  ouvrage  qu'  il  prepare  fur  ce 
fujet. 

11  me  paroit  d'entrevoir  que  la  nature  toujours  fimple 
dans  fes  operations  a  etabli  un  meme  principe  colorant 
dans  les  trois  regnes ,  au  moyen  de  cette  admirable  chaine 
qui  en  lie  toutes  les  parties ;  que  ce  principe  ell  m^talli- 
que ;  que  dans  le  regne  vegetal  ces  parties  reduites  en 
forme  (avoneufe  font  introduites  dans  les  (i6)  plantes  ,  & 
y  decelent  leur  couleurj  que  dans  le  corps  mineraux,  enfin 
elle  eft  apponee  par   les  vapeurs   voiatiles. 

Que  la  caufe  de  fon  developpement  n'en  eft  qu'une 
feule  auffi ,  c'eft-a  dire,  le  phlogiftique. 

Cette  partie  de  la  phifique  merite  affez  d'etre  appro- 
fondie  ,  &  nous  ofFre  un  champ  vafte  pour  augmenter  le 
nombre  de  nos  connoiftances. 

J'  efpere  que  la  nouveaute  du  fujet  fera  acueillir  fa- 
vorablement  ce  memoire ,  &  je  me  referve  a  faire  des  plus 
amples  obfervations ,  pour  raettre  la  maiiere  dans  fon  plus 
grand  jour. 


(  i6  )  C'eft  encore  \k  la  penfge  de  M.  le  Comte  de  Saluces ,  favoir  que  la  nutri- 
tion fe  fait  dans  les  plantes  par  inturfufception,  &  que  le  fuc  n6- 
cefTairement  doit  prendre  cette  nature  au  moyen  d:"s  fc-ls ,  &  de 
I'cau  pour  pafler  dans  tous  les  plus  petits  vailfeaux  ,  &  y  etre  dlAlL* 
bugs  dans  toutes  les  parties  de  la  plante  iaus  les  endommagei. 


CAROL  I    AL  LI  ONI  I 

AUCTARIUM 
AD  SYNOPSIM  METHODICAM  STIRPIUM 

HORTI  REG.  TAURINENSIS. 

JL^xhibet    hoc    opufculum  enumerationem  plantarurtiy 
quihus  Hortus  Regius  Taurinenjis  aucius  ejl  ab  annO' 
1762,     quo    prodiit     Mifcellaneorum     Taurinenfiam 
I  Tomus  alter.   Ut  autem  in  hjoc  auclario  commode  Ty- 
\  rones,  &  Botamci  Jlirpes,  quas  addidi,  reperire pof- 
Jint,  paucls  omnino  muiaiis  eamdem  meihodlcamdif- 
I  pcjitiontm  fervavi,  jimiliterque  fpccies  ad  Linnaena 
I  genera  tenaciier  reiuli.  Nominibus  quoque  trivialibus- 
ufus  fum  CI.  LinNaEI,  fed  illae  Jilrpes,  quas  LlN- 
NAEUS  non  habei,  indicantur  nomimbus^  quae  a  Cl. 
VirU  JaCQUIN,  &:  Crantz  mumatus  fum,  am  ipfe 
ajfignavi,  fi  nullum  adhuc  haberent.  Opponunum  porro 
judicavL  huic  auclario  iterurn  infcrere  Jlirpes  quafdam 
in  fynopfi  jam  recenftas,  quae  nullum  tunc  temporis 
triviale  nomen  habebant.  Quae  minus  notae  aut  novae 
funt ,  brevi  defcripnone  iia  defniuntur,  ut  faltem  certo' 
fiunc  internofci  pofjint ;  alio  auiem  loco ,  ^  copiojius, 
&  icone  illujlrabuntur. 


I 


Mifc.  Taur,  Tom.  JT..  li: 


CLASSIS  PRIMA. 

Plantae  flore  monopetalo 
fimpllci. 

I.  MONOSTEMONESv 

Boerhavia  erefta.  L. 

difFiifa.  L. 
Najas  major  *  (i) 

minor  *  (i) 

II.  DISTEMONES. 

A.    GVMNOSPERMAE^ 


Salvia  indica,  l. 
hifpanica.  L. 
dilermas.  L.  (3) 
ferotina.  L.  (4) 
haemarodes.  l. 
aurea.  l. 

acetabulofa.  l.  (j) 
pomifera.  L. 
pinnata.  L. 
fylveftris.  L. 
fyriaca.  l.  (6) 
aegyptiaca.  l. 
lyrata.  l. 

clandelhna.  L.  *  (7) 
ceratophylloidts.  i.. 


n 


(i)     Fluvialis  latifolla  fructu  minus  obtufo  monofpermo  Mich.  gen.  v.    m' 

T.  6  f.   1. 
(i)     F.tivialis  minor  foUis  angufliffimis  denticulatis ,  deorfum  rejlexis,fruc!u 

acuta  tenuiori  monojpermo  Mich.  gen.  p.    n    T.   S  f.    }. 
(})     Haec  eft  falvia   vtllofa  ,  &  vifcoja  foltis  lanceolatoovatis  verfus pe~ 

ttolum  angulatis   Mtjc.   Taur.   Tom.    If.    p.   49 ,    quam    CI.  ARr 

DuiNi  notani  tecit  fpec.  I.  p.  9   T.  I.    Huius    autem    CI.    Viri 

liber  anno   175  <>  cditus  ad  aianus  noftras    tunc    nondum    ve- 

nerat. 
(4)     Haec  eft  falvia  Americana  Chia  dicla  Mffc.  Taur.  Tom.  II.  p.   49 

etiam  ab  AB-oriNi  defcripta  fpec.  I.  p.   10  T.  1. 
(j)  Salvia  or.  foUis  jubrotundis  acetabults  moluceae  Tourn.  cot.  pag.    jo 

&  Mfc.   Taur.  p.   49i 

(6)  Syriaca  L.   non  difFert  ab   Aegyptiaca  L.  mantifs.  p.   16  n.    jtf,  fed 

Arduini  fynonioion  fub  Synaca  politum  in  fyli.  p.  6^  n.  18 
pertinet  ad  falviam  df.rmui   L. 

(7)  Clandejiinam  falviae  verbenacae  varietatetn  eflTe  puto,  cum  eain  ia 

horto  Taurioenli  cultacn  non  modo  floras  ex  purpureis  cae- 
luleos,  fed  oninino  ampliores,  ^uaks  \u  yerbenaca  QiLCUUvatf. 
piotuiiHe  vidcrim. 

li  j: 


56  .       . 

nivea.  (8^ 

caefia.  (9) 
Ziziphora  capitata.  1. 
Verbena  Carolina.  L. 

mexicana.  L. 

indica.  l. 

Curaffavica.  L. 

nodiflora.  I,. 

jamaicends.  L. 

orubica.  l. 

fupina.  L. 
Monarda  punftata.  L. 

clinopodia.  L. 

fillulofa.  L. 

B.  MONANGIAE. 

Amethyftea  caerulea.  L. 
Pinguicula  vulgaris,  jl.  * 
Utncularia  vulgaris.  L.  * 

C.  DiANGIAE. 

Veronica  longifolia.  L,  * 
fpuria  L. 
fcutellata.  l.  * 
aphylla.  l.  * 
belhdioides.   L.  * 
peregrina.  l. 
Virgiiiica.  L. 
fruticulofa.  L.  * 


proftrata.  L.  * 
lanfolia.  L.  * 

D.  Fructv  pulposo. 

Jafminum  humile.  l. 
Phillyrea  anguftifolia.  L.  * 
media,  x.  * 

III.  TRISTEMONES. 

A.  Hypocarpiae. 
Momia  fontana.  l.  * 

B.  Epicarpiae. 

I.  Flore  calyculato. 
Melothria  pendula.  l. 
Cucumis  anguria.  L. 

prophetarutn.  L. 

chate.  L. 
Momordica  operculata.  L. 
Bryonia  laciniofa.  L. 

1.  Calyce  deflitutae. 
Crocus  vernus.  * 
Jris  Xiphium.  L. 

florentina.  L. 

foetidiffima.  x,. 

tuberofa.  x. 

fibirica.  L. 
Valeriana  fibirica.  L. 


^8)     Hoc  trWiali  nomine  indicatur  Jah'ia  cret'ua  angujlifolia  CLUS.  hifi. 

34  J  cuius  foHa  bruniaii  pracfcrcim  icmpoic  alba  onioioo  ,    &: 

nivea  evadunt. 
0J     Hurminum  Jubroiundo  folio  fi.  eaejio  hijpanicitm  Baubxl.  ic.  zoo. 


57 
veficaria.  L.  *  Gallium  mollugo.  l.  * 

coronata.  L.  *  uliginofum,  L.  * 

celtica.  L.  *  rubrum.  l.  * 

dentata.  L.  *  fpurium.  L.  * 

rubra  l.  *  filvaticum.  L.  *  (n) 

anguftitblia  *  (lo)  paluftre.  l.  * 

iaxatile.  *  (ii) 

IV.  TETRASTEMONES.  lucidum.  *  (13) 

A.  Gymnodispermae.  >>  ^' 

1.  Flore  piano. 


(10)  Valeriana  rubra  angujlifolii  Bauh.  pin.  itfj  nullo  niodo  pro  va- 
tietate  Valerianae  latifoliae  marinae  haberi  porert.  Sic  etiani  fpe- 
cie  inter  fe  drfFerunt  vejicaria  ,  coronata  ,  Rentata. 

'{\i)  Eft  Galium  montanum  latijoltum  ramofum  Tourn.  infl.  iij  & 
Mifc.  Taur.  p.  5 1  Galium  autem  artjiatum  L.  ,  €f  Galium  beri- 
cum  TuRRA  diar.  ital.  1J64,  p.  11^  tortafTe  referri  debent  ad 
Galium  filvaticum  L.  Certe  ad  hoc  pertinet  Rubia  laevis  limfolia 
jloribus  alhis  mantis  virginis  Bocc.  mus.  p.  83  t.  75.  uti  pro- 
bat  icon  a  BoccoNE  data ,  &  locus  oatalis.  In  collibus  enira 
Taurinenfibus  abundat  Galium  filvaticum ,  8c  ex  Etruria  acca- 
pta  fpecimina  Ruhiae  levis  Imijoliae  ad  idem  Galium  fpedlant. 

(i  i)  Galium  joins  fents  ellipticis,  petiolis  brevilJimis  unijloris  Hall.  Iiift. 
n.  718,  &  Galium  jaxatile  fupinum  molltvre  folio  lussi.  Acad. 
fcien,  Paris  1714  ad  noftrum  Galium  pertinent;  num  eamdeoi 
ftirpem  inteliigat  CI.  Linnaeus  ,  dubitari  poteft. 

!(l3)  Galium  caule  herbaceo,foUis  fenis  fubulaiis  incurvts  ,  fruclibus  nigrit 
rugofis  oblongis  mcurvis.  Hoc  eft  Galium  foliis  fents  rigidis  ob- 
fcure  viremitus,  jloribus  purpurafcentibus  e  fummo  caule  prodeun- 
tibus  enum.  nic.  p.  4  Nitide  ,  &  iplendide  tota  planta  viret. 
Folia  femiteretia  margine  revoluto  fcabriufculo,  fed  fcabritie  vix 
ta(5tu  percipienda.  Primum  fena,  deiade  5  aut.  4  folia  funt. 
Ad  radicem  valde  ramofutn  eft ,  fed  rami  eriguntur  foepius 
limplices,  panicula  fl<4ruc]  tertninati.  Flores,  quos  in  hoito  olim 
dedit  lubrubentes  ,  nunc  albos  praebet. 

(14)  Galium  caule  fubhgnofo  ,  folus  fenis  longe  ellipticis,  rigidis,  ferrat» 
Mculeatis,  fudikus  ovatis  laevtbus  alhefctnttbus.  la  vineis   Saurgii 


5*  .     . 

tenuifolium.  *  (15) 

Yalantia  muralis.  L.  * 

hifpida.  l. 

aparioe.  L.  * 

cruciata.  l.  * 

articu'ata.  l. 

glabra,  l.  * 
a.   Fl.   infunduliformL 
Criicianella  Jatitolia.  * 
Spermacoce  tenuior.  t. 

B.  Gymnotetraspermae. 

I.  Galea  plana, 
a.  Parum  fixa. 
Mentha  vindis.  l.  *' 


gentilis.  t. 

fylveltris.  L.  * 

piperita,  l. 

exigua.  l.  * 
Origanum  ereticum.  e» 

onites,  t. 
Thymus  malHchinus.  L. 

cephaloros.  L. 

alpinus.  L.  * 

patavinus.  L. 

piperella.   l.  * 

pannonicus.  *  {16) 
Hyflbpus  nepetoides.  L. 

lophaiuus.  L. 
i__  Jatureja  capitata.  L. 


nafcitur  elegans  haec  Galii  fpecies  rore  gl'auco  obduifta,  quo 
deterfu  lucide  viret,  non  tamen  obfcuro  atque  intenfo  virore.. 
Caules  obfcure  tetragoDi.  Folia  longe  elliptica ,  in  fine  am- 
pliora ,  Sc  alba  notabili  fpina  pracdita.  Rami  ?d  angulum  le- 
d:uui  ex  caule  folent  difcedere ,  evidenter  articulatis  interoodiis. 
Panicula  rainos,  &  caulera  teruiinat  extremis  pedunculis  faepe 
tnfljris  uoo  abortiente ;  femina  prae  reliquis  liuius  generis 
magna  fordide  albefcentia  glabra ,  fed  ex  magna  maturttate 
lugas  contrahunt.  Non  eft  Galium  glaucum  L.  ,  cuius  folia  11- 
nearia  funt  limgiora  ,  non  patcntia,  non  (errato  aculeata  ,  ut 
omittatn  in  Glauco  ramos  potius  tercninari  uiiibella  floiuin  ,. 
quain  panicula. 

(15)  Galium  herbaceuin  procumbens  diffufe  ramofum,  folits  fenis  lineari- 
tus  nioUibus ,  frtt'Bibus  nigris  rugofis  fubiolundis.  Galium  foliii 
fenis  rtgidis  diflufc  rambrum  floribus  aSis  e  jummo  cauU  pro- 
dewuibus  enum.  nic.  p.  5  Folia  radiatim  uiicjue  exilant ,  fed  ri- 
gida  non  funt,  mollia  ,  Sc  flexilia ,  nitida  ,  fed  non  fplcnden- 
tia  linearia,  leviter  ferruiata  cum  fpinula  ,  ad  ramos  faepe 
o6tona.  Caules  acute  quadranguli  diffufe  ramoli ,  lingulis  ra- 
mis  pauicula  fl-aium  terminatis.  Pedunculi  biflori^ 

ik6]  Thymus  foliis  elUgticis  hufuiis  Hall.  lujl.   i}6^ 


b.  Profunde  feSa. 
Lavandula  llaechas.  L.  * 
Syderitis  mvontana.  l.  * 

fyriaca.  L. 

canarienfis.  L. 

hyflbpitolia.  L.  * 

cretica.  L. 
Marrubium  alyffon.  l.  * 

candidi/Iimun).  L. 

crifpum.  L. 
1.  Galea  concava. 
Lamium  garganicum.  L.  * 

maculatum.  l.  * 

laevigatum.   l.  * 
Stachys  maritima.  L. 

re£ta.  L.  * 

annua.  L.  * 
Dracocephalon  peregrinum.L. 

('7) 
Tuyfchiana.  l.  * 

virginicum.  L. 

thymifura.  L. 

Leonurus  tartaricus.  l. 


fibincus.  L. 
Phlomis  herba  venti.  L. 

niilolii.  L. 

nepetella  l. 
Prunella  hyffopifolia.  l.  * 
Cleonia  luticanica.  L. 
Prafium  majus.  l. 
Balloca  alba.  l. 

fuaveolens,  l. 
Betonica  alpina.  (i8) 

danica.  (19) 
Nepeta  nepetella.  L.  *  (lo) 

jtalica.  L. 

tuberofa.  l. 

violacea.  t. 

hirfuca.  L. 

Janata,  j. 
Meliffa  cretica.  L. 
Horminum  virginicum.  L. 

pyrenaicum.  t.  * 
Scutellaria  peregrina.  l.  (ii) 

lateriflora,  l, 

alpina.  h.  * 


(17)  Dracocephalon  folils  e.x  lanceolato  linearlbus  ,  rarius    dentatls    fp'tnu- 

lofis  fioribus  gemellu  Martini,  Hail.  gott.  p.  }}j,&  Mfc.  Taur, 
p.   SI. 

(18)  Betonica  foliis  evatis  rotunde  crenatis ,  fpica  ovata  compaBa  Hall. 

htlt.  n.  16  j  Betonica  foliis  hirfutis  floritus  purpureis  ampUJiJimis 
Zanon  hip.  J).  ^6  t.   JO,  6"  Mijc.  Taur.  p.   ji. 

•,(19)  Bttoiiica  maior  danica  PabJc  thef.   6ij. 

(io)  tatarta  tenuifolia  Clxts.  hiji.  xx\iii  ,  &  Mlfc.  Taur.  p.   51. 

(11)  Lajjida  caule  quadrangulo  rubente  teucrti  ferrato  folio  Jl.  £acruU» 
labro  alio  Tilu  j>is  ,  &  Mijt.  Taur.  f.  j  i. 


6o 

3.  Galea  nulla  feu  fiore. 

unilabiato. 

Teucrium  campanulatum.   l. 

hircanicum.  l.  (13) 
iva.  L.  * 
fruticans.  L,  * 
lucidum.  L.  * 
Ajuga  orientalis.  L.. 

C   MoNANGIAE» 

Browalia  elata.  l. 
Scoparia  dulcis.  L. 
Capraria  graholoides,  l.  (14) 
Tozzia  alpina.  L.  * 
Hebenllretia  dentata.  L. 

D.    DiANGIAE.. 

V.  Corolla  non  labiatcu. 
Fiaiuago  media,  l. 
alpina.  L.  * 
indica.  l. 


*. 


maririma.  l. 

albicans,  l.  * 

lufitanica.  l. 

■  ferpentina.  L.  *  (25) 

Cufcuta  europaea. 

2.   Corolla  labiata. 

a.  Calyce  quadrifido. 
Euphralia  odontites,  l,  * 

lutea.  L.  * 

b.  Calyce  quinquefido, 
Pedicularis  tuberofa.  l.  * 

tlammea.  l.  * 
palulbis.  L.  * 
hirfuta.  l.  * 
coraofa.  L.  * 
rortrato  fpicata.c.  * 


Antirrhinum  orontium.  L. 
alpinum..  l.  * 
arvenfe.  L.  * 
beilidifolium.  l.  * 
fupinum.  l.  * 
aegyptiacum.  L. 


(26) 


(22)  Teucrium  fupinum  palitflre  apuliim  glabrum  foUis  laciniatis  ft.  alhv, 
D.   Micheiu  TiLLl  pif.   Mifc.    Taur.    Tom.   Jl.  p.    5J. 

(-2-^)    Teucrium  foliis  cordatis  crenatis  petwktts ,  fpicis  oblongis  denfffimis. 

.n.v  1  .  tx  Hircania  Martini  Uaix.  comm.  Gotiing.  i-j ^■l^  &  Mifc.  Taur. 
Tom.  II.  p.   j}. 

{24)  Haec  eft  Lmdernia  a  me  defctipta  Mifc.  Taur.  Tom.  HI.  p.  178, 
cjuam  a  Caprariae  genere  diffdrre  demonftravi. 

(25)  Planiago  gramineo  folio  maior  Tourn.  infi.    iij  ,  quae    raihi    vi» 

detur  ab  alpina,  coronopo. ,  aliifque  diftingueoda. 

(26)  Celeb.  LiWNAEUs  noftram  ,  quae  clt  rojirato  fpicata  CI.  Cranzji, 

retert  ad  incarnatam  in  fpecicbus  plantaruin  y    fed.  notae    huic 
ulbucae  nofti&e  adainuQiui  iioa  leipuadeut. 

geni- 


geniftifoltum.  l.  *  (27) 

elatine.  L.  * 
Scrophularia  lucida.  L.  * 

Tambucifolia.  L. 

fcorodonia.  L,  * 

frutefcens.  L. 

peregrina.  I..  * 

auriculata.  l. 
Digitalis  purpurea.  L. 

obfcura.  L. 

canarienfis.  L. 

grandiflora  *  (18) 

parviflora  *  (19) 
Gratiola  officinalis,  l.  * 
Erinus  alpinus.  L.  * 
Chelone  glabra.  L. 
Martynia  annua.  L. 
Bignonia  capreolata.  L, 
Lantana  aculeata.  L. 
Ruellia  clandertina.  u 

V.  PENTASTEMONES. 

A.    MONOSTYLE. 

I.  Gymnomonofpermae: 


<5i 

Sefamuin  indicum.  L. 
Plumbago  zeylanica.  L. 
Bafella  alba.  l. 
Mirabilis  longiflora.  L.    (30) 
dichoroma.  l. 
2.  Gymnotetrafpermae, 

a.  S^uamulis  in  fauce, 
Anchuld  fempervirens.  L. 

unduiata.  l. 

anguftifolia.  L.  * 
Borago  officinalis,  t. 

indica.  l. 

africana.  l. 
C^noglolTum  cheirifolium.  £. 

apenninum.  l. 

virginicum.  L. 

b.  Fauce  nuda. 
Pulmonaria  officinalis.  L.  * 

anguftifolia.  l.  * 
Cerinthe  major,  l.  * 
Onofma  echioides.  l.  * 
EchiuHi  creticum.  L.  * 

violaceum.  l. 
Heliotropium  peruvianum.  L» 
Myofotis  nana  *  (}i)' 


(17)  Gcnijlifoltum  ab  antirrhino  linaria  vere  diffeirre  non  puto^ 
418)   Digitalis  lutea  magna  jlore  Bauh.  pin.   244. 

(19)  Digitalis  jlore  minore  jublutto  angulhoTe  folio.  Bwa,  hijl.  11.  p.  814* 
Hae  duae  Hirpes  revera  inter  fe  ditFerunt ,  ita  ut  duas  di« 

fiinttas  fpecies  coodituant,  ficuti  \QOiG  monet  in  hijioria  plan- 

tarum  Celeb.  Halleb.. 
•{id)  Mirabilis  foliis  vtfcidis  villous,  tubo  fioris  cylindrico  villofo  folds  Ion* 

giore  ZiNN.  comm.  gotting.   Tom.  1^.  ,  &  Mifc.  Taur.p.  ,4. 
(31)  Echium  fcorpicidts  alpinum  nanum  fupmum  Bocc.   mus.    pag.  145P 

T.   107. 

Mifc.  Tour.  Tom,  V..  % 


6i 


3.  Monangiae. 

Vinca  rofea  t. 

a.  Valvis  duabus. 

Datura  metel  l. 

Anagallis  latifolia.  L. 

faftuofa  L.  (35) 

Menyanthes  nymphoides.  L.  * 

ferox  L. 

b.  Valvis  quinque. 

Hyofcyamus  aureus  L. 

Soldanella  alpiiia.  l.  * 

Nicoiiana  ruftica  l. 

Androface  maxima.  L. 

glutinofa  L. 

laftea.  L.  * 

fruticofa  L. 

Diapenfia  helvetica  L.  *  (j  i) 

Verbafcum  arfturus  l. 

Aretia  alpina  l.  * 

thapfoides  l.  * 

punftata.  *  (n) 

Ipomea  pes  tigridis  L. 

Azalea  procumbens  L.  * 

tamnifolia  t. 

Hottonia  paluilris  l.  * 

violacea  l. 

Cortufa  matthioli  L.  * 

bona  nox  l. 

Coris  monfpelienfis  l.  * 

lacunofa  l. 

c.  Valvis  decern. 

tuberofa  l. 

Primula  farinofa  t.  * 

curaflavica.  (36) 

hirfuta.  *  (34) 

Evolvulus  alfinoides  l. 

Lyfimachia  ephemeron  l. 

linifolius  l. 

linum  ftellatum  L.  * 

J.   Tri-aut  Pentangiae. 

tiemorum  L.  * 

Convolvulus  lineatus  l.  (37) 

4.  Diangiae. 

cantabrica  L.  *     • 

Spieelia  anthelmia  L. 

fcammonia  l. 

(ji)  Diaptnjia  helvetica  L.  cum  Androface  la3ea  omnino  ad    Aretiae 

genus  pertiaent. 
(33)  Aretia  foliis  crajjis  rugojts  gramineis ,  fcapis  muhifloris  Wkll.  hifi. 

n.  61^  t.    17. 
(34.)  Primula  foUis  ciliatis  dentatis ,  fcapo  paucifloro  Hall.  hifl.  n.  61  j. 
(jj)  Stramonium  aegyptiacurnfiore  plena  tntus  albo  forii  violaeeo  ToURHEr. 

in  ft.  /».    I  1  8   Mifc.   Taur.   Tom.  II.  p.   55. 
(36)  Convolvulus  fcammonii  folio  fubroiundo  Aore  albo  umione  nigra  cil 

rajfavicus   HtRM.  par.   bat,  cat.  p.   6. 
^37)  Convolvulus  ferpens  maritimus  fpicaefolim  TBSVttf.  obf.  p.  91  , 

Mijc.  Taur.  £>  ;j. 


umbellatus  L. 

fbldanella  L. 

cneorum  L. 

purpureus  L. 

batatas  L. 

pes  caprae   L. 

carolinus  L. 

jalapa  l. 
Lobelia  cardinalis  L. 

fiphilitica  L. 

inflata  l. 

urens  L. 
Jafione  montana  L.  * 
Phyteuma  hemifphaerica  L.  * 

orbicularis   L.   * 

pauciflora  L.  * 

fcheuchreri.  *  (38) 
Campanula  perfoliata  l. 

hybrida  L.  * 


rapunculoides  l.* 
rotunditolia  L.  * 
medium  l.  *  (39) 
cervicaria  l.  * 
pyramidalis  l. 
elatines  l.  * 
cenifia  l.  * 
alpeftris.  *  (40) 
rhomboidalis  L.  * 
petraea  l.  (41) 
barbata  L.  * 

Trachelium  caeruleum   l. 

Polemonium  caeruleum.  L. 
6.  Fruclu  pulpofo. 

Atropa  zanoni.  (41) 

Nolana  proftrata  l. 

Solanum  mammofum  t. 
verbafcifoliura  L. 
fan6lura  L. 


63 


(3  8)  Rapuneulus  foliis  imis  lortge  petiolatis  cauUnis  lineariias  integris ; 
bracleis  lincanbus  duatui  imts  longijjims  Hall.  hill,  n,  68i  , 
fed  ad  haDC  Rapunculi  fpeciem  con  pettioet  Rapuntulus  alpi- 
nus  cacrultus  angujio  raro  fuiinde  diniato  folio  Michelii  Hon, 
Ptf. ,  &  Florent.  p.  40  ,  £■  Feudinandi  Bassii  Comm.  Bonon. 
Tom.  IK  p.   i%<)  t.    I  /.   2. 

(39)  Campanula  hortenjis  folio ,  &  Jlore   oblongo    Bavh.    pin.    94    Mifc. 

Taur.  />.   55   olim  a  CI.  Linnaeo  cum  barbata  coniuodla. 

(40)  Campanula  foliis  hifpidis ,  caulc  unijloro.    Spec.    p.  Z    t.    &    f.    z  . 

Hanc  pro  variutate    barbatae  habet  CI.  Haller. 
1(41)  Campanulae  glomcratae    JD/ignis  varietas  videtur.  Ex  M.  Baldo    m 
Hortum  TauriDeDfem  illata  planta  viva,    &c    culta    glomeratac 
oninino  fimilis  evafit. 

(41)  Solanum  fpinis  carens,  mtlongcnae  facie,  fruclu  rotundo  Zanon.  hift. 

T.    15!  Calyx,    flos ,    &    fruiftus ,  qui  eft  poinum  biloculaie, 
iubent,  ad  mandragorac  genus  plaatam  banc  levocaie* 

i  7- 


^4 


panlculatiim  t, 
carolinenfe  L. 
radicans  l. 


virginianum  L. 

aethiopicum  l. 

fufcatum  L. 

guineenfe  L. 

diphyllum  L. 

trilobatum   L. 

melanocerafum.  (43) 

inianum  L. 

caplicoides.  (44) 
Phyfalis  pruinofa  l.  (45) 

vifcola  L; 
Capficum  frutefcens  L. 

baccatum   l. 
Lonicera  caerulea  l.  * 


pyrenaica  L.  * 

alpigena  l.  * 
Lycium  barbarum  l. 
Rhamnus  frangula   l.  * 

alaternus  L.  * 

alpinus  l.  * 
Sideroxylon  fpinofum  L. 

B.  Distylae. 
Gentiana  lutea  l.  * 

cruciata  l. 

punOiata  L. 

pneumonanthe  : 

acaulis  l.  * 

verna  l.  * 

bavarica  l.  * 
Swertia  perennis  L. 
Stapelia  variegata  L. 


* 


(43)  Solanum  guineenfe  friiUu  magna  inflar  cerafi  DlLL.  elth.  ^G.  Haec 

folani  fpecies  in  vulgare  nigrum .  cultura  numquanV  abit  ab 
eo  diftindla.  Dixi  melanocerafum,  ut  guineenfe  nomen  triviale 
alteri  rtirpi  aflignatum  lervarem. 

(44)  Solanum  caule  acukato  fruticofo ,  joliis  pilofis  ,  ovatis  finuato  lobatis, 

pedunculis  unifloris.  Elegantis  huius  folani  ,  cuius  nullam  apud 
Auclores  mentionem  video,  fcraina  ad  me  uiifiTa  hoc  anno  fua- 
runt  a  CI.  Guatteri  Parmenfi  bot.  Prcf.  fub  nomine  folani 
capfcoidis  ex  h.  Patavino.  Tota  planta  fpinofa  eft  caule,  foliis, 
ramis,  petiolis,  peduoculis  ,  &  calyce.  Caules  rotundi  ramofi 
faepe  longis  tenuibui'cjus  pilis  inlUu(5ti.  Folia  lucide  virent  &C 
iuniora  unditjue  pilofa  ,  fubtus  aculeata  ;  lupra  ad  coftan)  unam 
alteramciue  fpinulam  habent.  Fk,s  albus  patens,  non  tamen  rota- 
tus,  magnus,  pendulus,  quern  fecjuitur  magaus  fruClus  laevis 
cioceus ;  e  caule  infra  folium  unus  aut  alter  pedunculus  nafci 
folet. 
44j)  Alkekengi  barbadenfe  nanum  alliariae  foliis  Dill.  «Zf A.  p.  10,^ 
MjJc  Tour.  p.  j6. 


hirfuta  L. 
Cynanchum  monfpeliacum  L. 

aphyllum  L. 
Afclepias  nigra    L. 

nivea  L. 

VI.  HEXASTEMONES. 

Aloe  carinata  (46) 

Verucofofpinofa  (47) 

fuccotrina.  (48) 

maculata.  (49) 

glauca.  (50) 

margaritifera  L.  (5 1) 
Hyacinthus  mufcari. 

comofus  L.  * 

ferotinus  L. 

botiyoides  L.  * 
Aiphodelus  luteus  L. 

fillulofus  L. 

ramoius  L.  * 


^5 

Convallaria  bifolia  L.  * 

Dracaena  draco  L. 
Ariftolochia  longa. 

VII.  OCTOSTEMONES. 

Daphne  gnidium   L.  * 
Diofpyros  virginiana  L. 
Vaccinium  oxycoccos  L. 

myrtillus  L.  * 

vitis  idaea  L. 

uliginofum  L. 

VIII.  ENNEASTEMONES 

Rheum  compa£lum  L. 

IX.  DECASTEMONES. 

Cotyledon  orbiculata  t. 
Jatropha  goffypifolia  L. 

curcas  L. 
Adoxa  mofchatellina  L.  * 


* 
* 


(4(5)  ^loe    Jfricana  feffilis  foliis  carinatis  verrucous  Dill.  ehh.  p.   i©. 

(47)  ^loe  Ajricana  humtlis,  Jpmis  mermibuSi  &  verrucojis  ol>(ita  Coaim. 

prae/.  p.  77. 

(48)  Aloe  fuccctrina  angujlifoita  jl.  purpurea  Comfn.  hort.    1,  p.   91. 
(451)    '4ioe   Ajncana  cakjuns  joins   Jpinofis ,    maculis    ab    utraque   parte 

albicantibus  notatts  Coirni].   hort.    11   p.    9. 
(50)  jitoe  Afrtcana  joins  glaucis  margine  ,  &  dorji  pane   fuperiore  fpi- 

nojis  jl.  Tuhro  Couini.  prael.  p.   7). 
(ji)  Aloe    -l\ncana   jolio    in   jummkate    triangulari    margaritifera   flora 

jubvirtJi  Conim.  hort.    11  p.   .0. 

Pio  varietatibus  aliaruin  aloes  fpeciebus  habef  CI.  Linnaeus, 

fed  mihi  videntur  conllanti  foliorum  tornia  ,  habiai  atque  ciiarn 

flonbus  diftiniflae  fpecies ,  quas  ia  Horto  Gottingenfi    diftinxit 

CI.  Haller. 


66 

Anacardium  occidentale  L. 
Arbutus   unedo   L.  * 

uva  urf)  L.  * 

alpina  L.  * 

X.  POLYSTEMONES. 

Mimofa  plena  L. 

afperata  L. 

calta  L. 

nilotica  L. 

arborea  L. 
Poterium  fanguiforba  L.  * 

hybridum  L. 

fpmofum  L. 
Styrax  officinale  L.  * 


CL4SSIS  II. 

Plantae  flore  monopetalo 
flofculofo. 

I.ANTHERIS  DiSJUNCTIS 

Dipfdcus  fativus. 
Scabiofa  cretica  L. 

ucranica  L.  (51) 

tranfylvanica  L.  * 

prolitera  L. 

gramuntia  L. 

afiicana   L. 

filvatica  L.  * 

palaelbna  L. 

marilandica.    (5 }) 
Globularia  cordifoiia  L.  * 

alypum  l.  * 

nudicaulis  L.  * 
Cephalanthus  occidentalis  L, 


(ji)  Scabiofa  folils  planis  carnojli,  inferior Ibus  pinnatis,  ramorum  integer- 
Tunis  Uncaribus  Gmsl.   lib.   11.  p.   iij  ,  6>   Mifc.   Taur.  p.   )S. 

(53)  Hue  nomine  ex  Anglia  primum,  deinde  etiam  ab  amico  optimo 
lull.  Marsilli  Bot.  Prof.  Patavino  miffa  fcabiofa  eft  diffufe  ra- 
iDofa  limilis  ucranicae ,  fed  ab  ea  vere  differens.  Humilior  eft 
foliaijue  habet  omnia  pinnata.  Flores  uniformes  vix  inaequales 
fegnicntis  eredtis ,  quinquefidi  ,  brcviores  calyce  flotis ,  qui 
petiolatus  eft  in  quioque  ariftas  rigidas  rubentes  florem  fupe- 
rantes  divifus.  Calix  frudui-.iniuiediate  impofitus  menibranaceus 
planus  J  dentatus ,  &  denfibus  looge  aiiftatis.  Eft  ne  fcabiofa 
divancata  Ci.  Jacquin  io  horto  Vindobonenfi  ?  Decernera  non 
licet  cum  fpleniiidum  hoc  opus  nondum  poflideam.  Noftrae  fe- 
minibus  respondent  feiaina  ab  hoc  lUuftri  viro  fub  hoc  no- 
mine accepta,  quae  in  horto  fata  noa  germia^runt. 


Parthenlum  hyfterophorus  L. 
Ambrofia  trifida  L. 

elatior  L. 

maritima  L.  * 

peruviana.  (^4) 
Xanthium  ftrumarium  L.  * 

II.  ANTHERIS  COALITIS. 

A.  Capitatae. 

Sphaeranthus  indicus  L. 
Onopordon   arabicum  L. 

acaulon  l. 
Cynara  liumilis  L. 

cardunculus-L. 
Arftium  carduehs  L. 
Carduus  fyriacus  L. 

palultris  L.  * 

tuberofus  L.  * 

tataricus  L.  * 

cafabonae  l. 

ferratuloides  l.  * 


acau'Is  L.  * 

defloratus  l.  * 
pyrenaicus  L.  * 
erifithales  j.  * 
5errarula  glauca  l. 
coronata   l.  * 

centauroides  L. 

babylonica  L. 
Carthamus  lanarus  L.  * 
Atraftylis  cancellata  l.  * 
Cnicus  cernuus  l. 

oleraceus  l.  * 
Carlina  acanthifolia.  * 

^    lanata  l.  * 
Centaurea  glaftifolia  l. 

orientalis  l. 

phrygia  l.   * 

argentea   l. 

ficula  L. 

^lendens  l.  * 

alpina  l.  * 

nigra  L.  * 


67 


(5  5) 


(j4)  Ambropa  caule  perenni  fruticofo ,  folus  fubtus  tomenrofs  b'lp'in- 
natis  ,  pinnulis  pinnatifiJis  ,  exterionbus  majoribus.  Jjqi  dcceca 
abhinc  annis  io  h.  T.  vivit  fragraDtiffima  haec  Ambrofiae 
fpecies  ,  cujus  femina  Ambrojiae  peruvianae  nomiDe  traofiiiilit 
CI.  Bernardus  lufliaeus. 

(jj)  Carlina  acaulis  foliis  tomentofis  femipinnatis ,  plicatis ,  pinnis  femi 
bilobis  pungentibus.  In  alpibus  valdeolium  frequcns  eft  liaec 
Carlinae  fpecies  Acaulis  uniflora,  magoum  habei  s  florem,  cu- 
ius lucidae  fquamae  albae  fuot.  Folia  onopordi.  Ejus  int^gratn 
^defciiptionein  dabo  in  Enucc.  Hirpium  I'edeaiooiii.  Necju  1  ctTe 
pyrcnatca  l.,  cui  CI.  Au6l:oi  caulem  ciibuit  multifloium,  atque 
folia  decuiientia. 


6i 

fempervirens  L.  * 
rhapoiitica   L.   * 
cineraria   L. 
conifera  L.  * 
amara  L.  * 
beneditta  L. 
uniflura  L.  * 
lippi  L. 
pullata  L. 
triumfetti  (56): 
tingitana  L. 

B.    DiSCOlDEAE. 

t' 

I.  Semine  nudo. 
Carpefium  cernuum  L.  * 
Tanacetura  crichmitolium   L, 
Cotula  grandis  L. 

turbinata  L> 

aurea  L. 
Artemifia  arborefcens  L.*  (5  7) 

annua  L. 

rupellris  L.  * 

glacialis  L.  * 

cnthmifoiia  L. 

valleliaca  *  (jS) 


•    .   lobelii  *  (59) 
Filago  germanica  L.  * 

leontopodium   L,  * 
2.  Semine  pappis    coronato. 
Gnaphalium  lyivancutn  L.  * 

onentale  L. 

undulatum   L. 

luteo-atbum  l.  * 

obtuiifolioin   L. 

uliginolum  L.  * 

fupinum  L.  * 

alpinurn  L.  * 
Chryfocoma   linofyris  L.  * 

coma  aurea^  L. 

cernua  L, 
Eupatorium  Chinenfe  L, 
Conyza  fquarrofa  L.  * 

laxatilis  L.  * 

rupeltris  L, 
Bacchans  ivaefolia  L. 
Tuililago  alpma  L.  * 

fiigida  L.  * 

alba  L.  * 
3.  Sem.  arijiis  coronato, 
Ageiaium  ahiliimum  L. 


(j6)  Cyanus  alpinus  maior  folds  incljis  Triumf.  oif.  p.  16.  A  Centaur ta 
montana  differt  non  uiodo  t'oliis  conllanter  protunde  pinnatiri- 
dis;  veruni  etiaui  ciliis  fquauiaruin  albis  ,  quae  nigra  in  mori' 
tana  fuat. 

^^7^  Af^jinthium  arborefcens  Lob.  ic.  75  J  ,  &  Mifc.  Taur.  p.   58. 

(j8)  Anemifia  folits  tomentofis  muitifidis  ,  Jloribus  ereciis  ionge  ,fpicatis 
pent  fej^ibui  Hall,  hifl,  n.  ii8. 

Jj>)  Abrotanum  odoratum  humUc  denfe  fruticofum  LoB»  it.  7^9; 

cony- 


conyzoides  L, 
Xeranthemum  annuum  L.  * 
Bidens  bullata  L.  *   (60) 
Spilanthus  oleraceus  t. 
Aihanafia  annual.. 

crithmifolia  L. 

C.  Radiatae. 

1,  Sent.  nudo. 
a.  Placenta  paUacea. 
Helianthus  tuberofus    L. 

divaricatus  L. 
Buphthalmum  aquaticum  L. 
Ipinofum   L,  * 
maritimum  L.  * 


($9 


.  falicifolium  L.  * 
Silphium   perfoliaium  L. 

akernifolium.  (61) 
Siegeibeckia  occidentalis  L. 
Achillea  magna  L.  * 

macrophylla   L. 

erba  rotta.  *  (6i) 

atrata.  * 

liguftica.  *  (63). 
Anthemis  cota  L. 

cotula  L.  * 

valentina  L. 
Anacyclus  valenrinus  L.  *"' 

creticus  L. 
b.  Placenta  nuda.- 


{60)  Bidens  foliis  ovatis ,  &  tr'ipteris,  caulibus  kirds-  brachlatis  Hall,  gott.- 
p.  38}.,  &  Mifc.  Taur.  p.  59. 

{61)  Silphium  foliis  alternis,  ovatis ,  finuatodentatis,fubtus  afperis  ,  radica- 
titus  longi(pme  petiolatis.  Altitudine  fua  ,  &  florendi  forma  ad 
perfoliatum  accedit ,  fed  pluribus  differt ,  quod  ad  frudificas- 
tionem  fimile.  Seniiflofculos  habet  aureos  bidentatos,  &  ca- 
lycem  floiis  ex  fquauiis  triiim  ordinmn  omni  ex  parte  appref- 
fis,  cum  in  perfoliato  duorum  ordinum  fint,  &  in  fummo  fo- 
lutae,  &  reflexae.  Caulis  in  akernifolto  teres  glaber  :  femina 
radii  in  alternifoUo  duabus  ariAis  iDlhu(fba. 

{61)  Achillea  foliis  cuneiformibus ,  integris  odoratis ,  in  apice  dtntotis  fpec- 
pedem.    Tom.  11.  f.  4. 

{6})  Achillea  foliis  pinnatis  ,  pinnis  acute  pinnato  dentatis ,  planis  ,  gla* 
bris.  Id  maritimis  Ligutiae  provenit  perennis  haec  achilleae  fpe- 
cies.  Caules  funt  fublignofi,  cubitales,  foliofi  ,  &  ratnofi,  (triati, 
glabri  aut  fubhirfuti.  Folia  caulina  ,  &  maiora  pinnata  pinnulis 
aequaliter  cum  nerve  confluentlbus  ;  ramea  fiaipliciter  pinna- 
to dentata .  dentibus  plerumque  floiplicibus ,  qui  in  caulinij 
maioribus  faepe  dentem  unum  acceffotium  habeat.  Flores  ia 
extremis  ramis  umbellati  albi.  Semiflofculi  aibi  tridentati  coir 
dati.  Odore  veliementi  Atlidlae  agerati  donatux. 
Mifc,  Taur.  Tom.  F,.  Jtu 


70 

Milleria  quliiqiieflora  L^ 
Othonna  cheirifoHa  L. 
Polymnia  uvedalia  L. 
Calendula  pluvialis  L. 

hybrida  L, 
Chryfanthemum  alpinum  t.  * 

millefoliatum  l. 

italicum  L.   (64) 
1.  Sem.  pappis  coronaio. 
After  amcllus  l.  * 

tenellus  L. 

acris  L.  * 

divaiicatus  L. 

annuus  L. 

radefcanti  L. 
Inula  crithmifolia  L.  * 

falicina  L.  * 

montana  L,  *  (65) 

bifrons  L.  * 

oculus  chrilH  L.  * 
Erigeron  bonarienfe  L. 

acre  L.  * 

phyladelphicum  L. 

ficulum  L. 

alpinum  l.  * 

vifcofum  L.  * 

foetidum. 


Seneclo  aegj^ptius  L, 

doria  L. 

vifcofus  L.  * 

doronicum  L.  * 

elegans  l. 

fylvaticus  L.  * 

lividus  L, 

byzantinus  L. 

(iculus.    (66) 
Solidago   uniflora.  *  (67) 

flexuofa  L. 

alpina  L.  * 
Arnica  montana  L.  * 

fcorpioides  L.  * 

clufii.  *   (68) 
Doronicum  bellidaJlrum  L.  * 

3.  Sem,  arijlis   coronato. 
Ar6lotis   triftis  L. 
Zinnia  multiflora  L. 

pauciflora  L. 
Verbefina  alata  l. 

pfeudoacmella  L. 

acmella  l. 

nodiflora  L. 
Coreopfis  leucanthema  L. 

bid  ens  L.   '^^ 

tripteris  L. 


((J4)  Chryfanthemum  haiicum  LiNN,    Jill.  nat.  n.   \o ,  &  Ckryfanihemum 
achdleae  n.   ii    UGnm  ,  iJc  eaindem  ftirpem  conftituunt. 

(65)  AJler  montanus  lurfiuus  Lob.  ic.    350,  &  Mifc.  Tuur.  p.  Co. 

(66)  lacobea  (icula  chryfanthemi  fade  Bocc.  rar.  p.    66. 

{6-}  Solidago  foliis  tome/itofs  ovatis ,  iS"  femipinnatis  Hall,  hif,  n.  70. 
(68)  Arnica  joliis  ovatis  altcrnis  integernmis  Hall,  hfi.  n.  pi. 


7« 

laticeolata  L.  paludofum  L.  * 

-.    „  villofum  L.  * 

D.  Planipetalae.  •    u    j      *  /^  \ 

cerinthoidcs.       (69) 

I.  Sem.  nudo.  glaucum   *  (70) 

a.  PLicenta.   nuda.  Uaticifolium  *  (71) 
Lapfana   zacintlia  L.  *  taraxaci  l.  * 

b.  Placenta  paleacea.  inrybaceum.  *  (71) 
Scolymus  hifpanicus  L.  *  Crcpis  libirica  L. 

z.Sem.pap.autariJliscoronato,  alpina   L.   * 

a.   PLicenta  iiuda.  rubra  L. 

Leoiuodon   hirtum   L.  *  biennis  L,   * 

Hieracium  aurantiacum  L.  *  pulchra  L,  * 

dubiuiii   L.  *  diofcoridis  L.  * 

kvilmi  L.  auftriaca  L.  *  (73) 

fabaudum  L.  *  Hycferis  hedypnois  L. 


((jp)  Vere  difFert  a  Hieracio  vlllofo  I.  cui  caeteroquin  fimile  eft.  Fo- 
lioruin  Superior  iupeificies  glabra,  &c  io  ambitu  taotum  pilofa 
Calyx  fere  calyculatus,  ex  fquan  is  linearibus  aciitis  in  apice 
conipofitus,  nigris  brcvibus  deDdfque  pilis  hir tus ,  non  habens 
viljum  rericcuiii ,  uti   Hieracium  villofum  l. 

(70)  Hieracium  joins  lanceolatis  glaucis  ,  cauU  brachiato  multijloro  Hall. 

em.  II  D.  9(J.  A  fequenti  omuino  eft  diftinguendum,  folia  loQ- 
gidime  elliptica  acuto  fine,  glauca,  obiter  denticulata,  ambitu, 
&  cofta  pilofa.  Calyx  ovatus,  ex  fcjuamis  multorum  ordinuca 
deofe  appreflis,  viridibus  ,  in  ambitu  tomento  albicaotibus:  fe* 
mina  aliquantuin  incurva,  oblonga,  ftriata,  coronata  pappo  fim- 
plici   fclTiii. 

(71)  A  porrifolio    L. ,    &    glauco    feparandum.    Porrifold   iconem.    Si 

defijf'ptioneDi  dedit  CI.  Iacqiun.  StaticifoHum  folia  habet  re- 
mote ,  et  obiter  denticulata,  concava  ,  fere  linearia  ,  nunquatn 
pik'.fa.  Rami ,  &  pedunculi  fatis  fLjuamofi.  Calyx  calyculatus  ad 
ba(im  ,  lc]uamis  parvis  fere  capillaribcs.  Calyx  verus  e  unico 
ordioe  fquamarum  viridium  dorfo  obfcurius  vixente. 

(71)  Flieracium  fotiis  cblongis  ,  afperis  ,  lanceolatis,  dentatis,  calyce  hir^ 
futiffmo  Hall.  hijl.  n.   41. 

(7j)  4/'  Hieracium  Pyrenaicum  L.  /?.  7-  •5", 


* 
* 


7» 

radiata  L. 

cretica  L.  * 

fcabra  L. 

lucida  L. 
Sonchus  paluftris  l. 

tenerrimus  L.  "* 

alpinus  l, 

arvenliis  L. 

floridanus  L. 
Prenanthes  purpurea  L,  * 

altiffima  jl. 
Laftuca  canadenfis  L. 

fcariola  L.  * 

faligna  JL.  * 

augurtana,  *  (74) 
Scorzonera  picroides  L.  * 

graminifolia  L. 
Tragopogon  picroides  L, 

porrifolium  L.  * 

crocifoliuoi  L.  * 

dalechampii  l.  * 

lanatum  L. 
Geropogon  glabrum  L.  * 

hirlutum  t.  * 
b.  Placenta  fquamis  diftincla. 
Seriola  aedineniis  L.  * 
Hypochaeris  radicata  L.  * 
Catananche  luiea  L. 


c.  Placenta  villofa. 
Andryala  integrifolia  L.  * 
{inuata  L. 
lanata  l.  * 

CLASSIS  III. 

Plantae  flore  dipetalo. 

-Circaea  alpina  L.  * 
Callitriche  verna  L.  * 

autumnalis  l.  * 
Mufa  paradiftaca  L. 

CLASSIS  IV. 

Plantae  flore  tripetalo. 

Commelina  erefta  l. 

comnnunis  L. 
Phoenix  datlylifera  L. 
Hydrocharis  morfus  ranae.  l.*' 
Stratiotes   abides  L. 
Alifma  parnaffifolia  L.  * 

ranunculoides  L.  * 
Sagittaria  fdgittifolia  L.  * 
Triglochin  paluftre  L. 
Empetrum  nigrum  L. 


* 
* 


((74)  Latluca  foliis  intcgr'is  ,  dentatis  ,  acute  hamatis  ,  cofla  laevi.  Nafci- 
tur  in  valle  Augujlae  praetoriae.  Nifi  fuerlt  Lacluca  longo ,  & 
valde  anguflo  folio  Bauh.  hifl.  ii.  p.  999.  6ive  Lacluca  folio 
oblongo ,  acuto  Bauh.  pin.  1 15.  non  memoratur, /«</ Bauinorum 
iicvis  defciiptio,  Ss.  icon  ojuaino  non  refpoadent. 


I 


CLASSIS  V. 

Plantae  flore   tetrapetalo 
cruciformi. 

I.  TETRASTEMONES. 

Ptelca  vifcofa  l. 

trifoliata  l. 
Cornus  luccica  L. 
Potamogeton  compreffum  L.* 

gramineum  l,  * 

perfoliatum  L.  * 

denfum  L.  * 
Trapa  natans  l.  * 
Oldenlandia  corymbofa. 
Ludwigia  alternifolia  h. 

II.  HEXASTEMONES. 

A.    SiLICULOSAE. 

Draba  aizoides  t.  * 


* 
* 
* 


pyrenaica  l.  * 

hirta  L,  *  (75) 

muralis  L.  *  (76) 
Lunaria  annua  l. 
Myagrum  orientale  l, 

paniculatum  L. 

perenne  l. 

rugofum  L. 

faxatile  l. 
Vella  frutefcens  L. 

annua  l. 
Iberis   rotundifolia  L.  * 

faxatilis  l.  * 

pinnata  L.  * 

cretica  L, 

garexiana  *  (77) 
Alyffum  ufriculatum  l. 

gemonenfe  L. 

alpeftre  L.  *  (78) 

campeftre  l.  * 

argenteum  *  (79) 
Clypeola  maritima  L.  * 


73 


(7j)  Ad  banc  ftirpem  referendae  funt  Dreba  aujlriaca  i..,  Jlcllata,  k- 
cana  L.  ,  &  Oed.  ic.  141.  Folia  enim  pro  locorum  varietate 
modo  iDtegerrinia  funt,  hirfuta,  ant  tomentofa ;  alias  autem 
ampliora  ,  pene  glabra  ,  &  dentata. 

(76)  Myagroides  fubrotundis  ferratis  foliis  ,  fi.  albo  Barrel,  ic.  %i6. 

(77)  Ibtns  perennis  foliis  lincaribus  ,  obtufis  ,  inlegerrimis. 

(78)  Clypeola  perennis  incand ,  foliis  fubrotundis,  calyce  deciduo ,  filiculis 

ovato  acutts  Mfc.   Taur.  p.   61.   jj. 

(79)  •^(x//""'  argenteo  folio  ,  fiofculis  luteis  ,  Zan.    hip.   p.   i6.    Differt 

ab  ^lyfjo  montano ,  cui  proximuin  eft ,  caule  annuo  raniofo, 
habitu  ramofo  ere<fto ,  foliis  fupra  viridibus  ,  petalis  ovatis 
Don  inciiis,  frudu  fubiotuudo  piano   sob  eraarginato,  feoiino 


7* 

Peltaria   alliacea  l.  * 

Cochlearia   druba   L.  * 
Lepidium   ruderale  L.  * 

virginicum  L. 

alpinum    L.  * 

perfoliatum   L. 

petraeum   L.  * 
.    ipinofum   a.   (8o) 

cardamines  L. 
Thlafpi  perfoliatum  L.  * 

montanum  L.  * 

alpellre  L,  * 
B.fcutella  auriculata  L.  * 

didyma  L.  * 
Anaftatica  hierochuntica  L. 
Bunias  cakile  L.  * 

aegyptiaca  L. 

balearica  L. 

B.    SlLIQUOSAE. 

Ifatis  kruanica  u 


Ricotia  aegyptiaca  L.  (8i) 
Dentaria  pentapliyllos  L.  * 

bulbifera  L.  * 
Sinapis  laevigata  L.  * 

pubefcens  h, 

erucoides  L. 

brafficata  L. 

juiicea  L. 

pyrenaica  L,  * 

incana  L. 

orientalis. 
Brailica  erucaftrum  L.  * 

eruca  L.  * 

alpina  L.  * 
Arabis  'alpina  L.  * 

pendula    L. 

turrita  L.  * 

canadeniis  L. 

bellidifolia   L.  * 

caerulea.  *  (82,) 

fcabra.  *  (S3) 


margiaato  mcmbrana  phaenicea  ,  piano.  j4lp(j{re  autem  humilius 
argenteo  eft,  &  dccumbit,  attjue  perenne  clt  cauliculis  pluri- 
tnis  (iiiiplicibus ,  habet  folia  aiagis  lotunda ,  filiquam  ovato 
acutam  drabae  inftar  ,  aIi<^uantuQi  tLimentcui ,  ftimina  nou  mar- 
ginata. 

(So)  Ellue  Lepidium  didymum  L.  ? 

(8i)  Lunar'ta  folds  pinnaiis,  folioUs  laclniatis ,  ROT.  Leid.  )}.,  tt  Mifc, 
Taur,    II.  p.   (ji.   n.    57. 

(8i)  Leucojum  join  oblongis ,  dmtatis ,  fpica  nutante  Hall.  hill.  445. 
Tuni  bacc,  cuai  bellidit'olia  ad  Arabis  genus  nou  videntur  per- 
tiueie. 

(8j)    Arabis  muhicauUs  folds  radicalibus  ,  fcabris  ,  dentatis  ,  dentibus  ci- 
iiatis.  Hall.  hi^.  n.  4jj. 


Cardamine  impatlens  L.  * 

parviflora   L.   * 

refedifolia  L.  * 

afarifolia  L.  * 

amara  L.  * 

bellidifolia   L.  * 
Hefperis  africana  L. 

triftis  L. 
Cheirantus  feneftralis  1. 

chius  L. 

annuus  L. 

(inuatus   L.   * 

alpinus  L.  * 


75 


filveftris  c. 
triftis  L 


?   * 


(84) 


Eryfimum  officinale   L.  * 

barbarea  L.  * 

repandum  L. 
Sifymbrium    polyceratium  L. 

tenuifoliiim  L.  * 

fylvertre  L.  * 

onentale  L. 


pyrenaicum  L. 

monenfe  L.  * 

palujlre   L.   * 

terrepre  L. 

murale  L.  * 
.barbareae  L. 

locfelii    L. 
Cleome  dodecandra  L. 

violacea  l. 

pentaphylla  L. 

arabica  L. 

gigantea  L. 
Glediiia  triacanthos 


mermis  L. 


L. 


III.  OCTOSTEMONES. 

Oenothera  parviflora  L. 

fruticofa  L. 

piimila  L. 
Gaura  biennis  L. 
Ruta  chdiepenfis  L. 
Moerhingia  mufcofa  L.  * 


(84)  Cheiranthus  caule  ramofo  ,  diffiifo  ,  foliis  Unearibus  actttls , 
Jinnaio  dematis  ,  pnalis  lincanbus  crifpis.  Totaplanta  afpe- 
riufcula  eft  cinereo  incana,  &  caulibus  ranioiis  fere  de- 
cunibit.  Folia  fuot  concava  duobus ,  aut  tribus  dentiiim  pa- 
ribus pincaca  ,  Sc  liuuata,  ramea  uno  alterove  dente  ootantur, 
demuai  intsgerriina.  Rami  in  longo  racemo  flirigeri  floribus 
alterais  feffihbus.  Calyx  tubulolus  connivens  duobus  tolii)lis 
ball  gibbis.  Petala  linearia  apice  emarginata  fulphurco  viridia 
per  autateni  Juride  putpurafceutia  venofa  venis  fufcis  ,  margi- 
ne  cril'pOj  denriculato.  6iliqua  rotunda,  torofula  ,  praelonga 
apice  craflTiori,  ftigmatis  dividone  rancum  lignata.  Eft  ne  verc 
Cheiranthus  trijiti  l.  iigd  noftor  oodu  non  trillem  ,  fed  gratum 
odorem  exhalat,  qui  accedit  ad  Gerauii  triftis  fragraatiam. 


7-6 

Sapiiid'us  faponaria  L.. 
Elatine  alfinailrum.  * 
Myriophylium  verticillatumL.* 
fpicatum  L.  * 

IV.  POLYSTEMONES. 

A.  MONOSTYLAE. 

Euphorbia  peplis  L.  *' 

deuclroides  L.  * 

characias  L.  * 

pithyufa  l.  * 

exigua  l.  * 

paralias  L.  * 

epithymoides  L. 

portlandica  L. 

linifolia.   (85) 
Papaver  cambficum   L. 

argemene  l.  * 

B.  POLYSTYLAE. 

Tormentilla  reptans  L. 
Thaliftrum  cornuti  L. 

{implex  L.  * 
Glematis  viiicella  l. 


CLASSIS  VI. 

Plantae  flore  tetra-aut 

pentapetalo  papi- 

lionaceo. 

r.  TETRAPETALAE. 

A.  Hexantherae., 
Fuinaria  veficaria  l. 

B.  OCTANTHERAE. 

Polygala  chamaebuxus  L.   * 

C»  Decantherae. 

I.  Unilocular es: 
Trifoliuni  incariiatum  l.  * 
melil.  credca  l. 
melitotus  indica  l.  * 
melitotus  minima.   (86) 
refupinatum  L.  * 
alpeltre  L.  * 
fubterraneum  l.  * 
aJpinum  L.  * 
fragiferum  l.  * 
ftellatum  l.  * 
ochroleucum  L.  *' 
apulum.  (87) 


(8j)  Tithymalus  lini  folio  maior  Italicus  Barrel,  ic.  8zi. 

(86)  Melitotus  minima,  recla  Itaea  ,  filiquis  crajjis ,  curtis    in    capitulam- 

congejlis ,  femine  foenugraeci  MoR.  ox.  n.  f.   17./  9. 

(87)  Trifolium  annuum  apulum    rotundifoliun  glairum  ,  foliis    alia    ma- 

cula notaiis,fi.  purpurafunu,  calycc  yejicario  Tilia  Pis.  ■  tab.  ^^. 

faxacile 


Eixatife.   (88) 
Lotus  j.;Cobaeus  L. 

crericus  L. 

arabicus  l, 

peregiinus  L.  * 

angultiflimus   L, 

maritimus  L. 

filiquofus'L.  * 
Arachis   hypogaea  L. 
Anthyllis  monrana  L. 

cytifoides  L. 
Medicago  marina  L. 

circinata  L. 

laciniata  l. 

arborea  L. 

tmiricata  L.  * 
Ononis  fruticofa.  L. 


miriuriflima   L.  * 
cheileri  L.  * 
crifpa  L. 
foetens*  (89) 
columnae  *  (90) 
vifcofa  L. 
alpina  *  (91) 

Cytifus.  feffilifolius   L.  * 
cajan  L.  . 
hiifutus  L.  * 
argenteus  l.  * 
nigricans  L,  * 
fupinus  L.  * 
auitriacus  L. 

Genifla  canarienfis  L. 
germanica  L,  * 
candicans  l.  * 


11 


(88),  Trifolium  faxatiU  hirfutijjlmum  Bauh.  prodr.  143.  Ex  radice  caules 
plures  ramoli  procuuibeotcs  triuai ,  aut  quatuor  unciarum  lon- 
giiuJioe  .  Foliorum  vaginae  ftriatae  amplexicaules  caudatae. 
Foliola  ex  ovatis  cxiriata  ,  emarginata,  nervofa ,  deaticolata 
fubtus  fubincana.  Capicula  Horum  axillaria ,  &  termioalia  , 
laxa  ;  calyces  molli ,  &  deufo  tomento  tedi,  Don  ioflati,  dentibus 
redlis  ,  oon  rcfl:xis.   Nafcitur  in  fuuimis  alpibus  Tarantallae. 

(8^)  Snort's  fpinis  carens  purpurea  Bauh. 'pm.  jij.  Anoms  non  fpincfu 
Clus.  Conftamer  ineruiis,  ramis,  &  calyce  praefertitn  muitum 
villi  Us.  Folia  moilia  ,  fubtiliter  piiofa.  Ramos  fpica  florum  ter- 
minat.  Flores  gcmini  pciiolati;  fi  udtus  calyce  brevior  fairfutiflU- 
mus.  Vexillutji  ri.fljxuui  teie  planum,  carina  angulo  obtufo  in- 
flexa .  In  ononid-j  vulgari  ftipulae  looge  minorcs,  hamatae; 
frudus  minus  liirfutus  calyce- longior ,  carina  floris  ad  anguluiB 
redtum   irfl.xa.  Flores  folitarii. 

(90)  Onons  luua  ■(ilvcjlns  minima  CoL.   ecphr.    i.  p.   J04. 

(<)i)  Ononis  glabra  inermis^  vagtnis  foUorum  criftatis,  pedunculii  longjji- 
mis  unifier  IS  J  pa-  p'd  T.  JC,  j,  3. 
Mifc.  iaur.  Tom.  V,  \. 


fagittalis.  L.  * 

fibirica.  (91) 

hypericifolia  L.  * 

radiata  l.  * 
Phafeolus   maximus  L. 

radiatus  L. 

farinofus  l. 
Dolichos  biflorus  L. 

lignofus  L. 

unguiculatus  L. 

minimus  L. 
•Hedyfarum  coronarium  L.  * 

caput  galli   L.  * 

maculatum  L. 

junceum  L. 

alpinum   L.  *   (93) 

canefcens  l. 

hirtura  l. 

gangeticum   l. 
^icia  pififormis  l.  * 

onobrichioides  L.  * 

lathyroides  L.  * 

hybrida  L. 

biennis  L. 


fepiu 


m   L. 


cracca  l. 


bith)' 


nica   L. 


Ervum  monanthos  L. 


Orobus  pyrenalcus  L    * 
Laihyrus   angulatus   L.  * 

hiifutus  L.  * 

fylveftris  L.  * 

tuberofus  L.  * 

fetifolius  L.  * 

odoratus  l, 

annuus  x. 

palullris  L. 

heterophillus  L.  * 
Pifum   ochrus  L,  * 

arvenfe  l.  * 
Colutea  frutefcens  l. 

perennans  j. 
Indigofera   pforaioides  L. 

glabra  L. 
Erythrina   crifta  galli.  L. 

corallodendrum  L. 
Abrus  precatorius  L. 
AFlchinomene  lesban.  »J„ 
Crotalaria   retufa  L. 

verrucola  l. 

incana  l. 

juncea  L. 

albn  L 
Clitoria   ternatea  L. 
Coronilla  cretica  l. 

argeniea  l. 


(91)  Indicatur  in  CataJ.  plantarutn  liorti  Turicenfis.  Videtur  difFerre  a 
Genitla  tmcloria  t.  caule  percnni ,  trutii.ofo ,  5.  aut  etiani  lex 
pedum  altitudinecn  habeote. 

(9.;)  Hedyfarum  alpinum ,  &  otfcurum  t.  unam  j  eatndemciue  plactam 
cunftituunt. 


L. 

* 


glauca  L. 

juncea   L. 

minima   L.  * 

valenrina   L. 
Oinithopus  fcorpioi-les  L.  * 

compreffus  L.  * 

perpufillus  L. 
Hippocrepis   comofa 

multifiliquofa  L. 
Lupinus  varius   L. 

luteus  L. 
Scorpiurus  vermiculata  L.  * 

muricata  L.* 
Phaca  alpina  L.  * 

aultralis   L.  * 
2 .   BilocuUres. 
Aftragalus  fulcatus  t. 

campertris  L.  * 

tragacaiiiha  L.  *  (94) 

monfpeflulanus  L.  * 

boeticiis  L. 

hamofus  L.  * 

galegiformis   L. 

cicer  L.  * 

felameus  L.- 


onobrichis   L.  * 
microphy'Ius    L.  * 
contortuplicatus   L, 
alpinus  L.  * 
depreffus   L. * 

II.  PENTAPETALAE. 

Sparrium  fpinofum  L.  * 
Plbralea  pinnata   l. 

glandulofa  L. 

paleftiiia   B.   (95) 
Cercis  canadenfis  l, 
Anagyris  foetida   L.  * 
CaJlid  obtulifolia  l, 

manlandica  L. 

tora  L. 

niftitans  L. 

emarginata   t. 

ligultnna  L. 

planililiqua   L. 
Poinciana  puicherrirna  L. 


79 


(94)  Trapacantham,  quae  ad  maris  litus  nafcitur,  eamdcm  cum  a/jswtf 
plantain  efle  CI.  viri  afticcnant.  Nolleni  ab  his  fummis  viris 
diirentire  ,  cuai  ood  liceat  illius  cum  nollrare  part'cdta  fpeci- 
cimina  comparare  ;  reperio  folia  mariumx  fciicca  cffe  ,  noa 
hi.futa,  minora,  &  fubrotuoda. 

X95)  Njvaiii  banc  pforaUae  rpccierii  debeo  praeltanii ,  &  amicillimo- 
viro  FiRDiNANDo  Bassio  ,  cjul  eaui  in  Commentarus  Bononuri' 
fil/us  dcfwiiplit. 

1  X 


8o 


CLASSIS  VII. 


Plantae  flore  pentapetalo, 
&  Gymnodifpermae. 

A.  SEM.  AD  PLACENTAM 
COMMUNEM  CON- 

JUNCTiS. 

Eryngium  amethyftiiuim  L.  * 
alpinum  L.* 

B.  Manifesta  umbella. 

I.  Scm.  gibbu-flriads. 

a.  Pdialis   aequj-libus. 
Phellandrium   muteliina  i..  * 

aquaticum  L.  * 
Bunium  bulbocadanum  l.  * 
Ligufticum  peregrinum  l.  * 


nocliflorum  *  C96) 

ferulaceum  *  (97) 
Sium   nodiflorum  L.  * 

latifolium  L.  * 
Sifon  ammi  L. 

fegetum  L. 

amomum  L.  * 
Cicura  virofa  L. 
Aneihum  pufillum.  (98) 
Cuminiim  cyminum   L. 
Selinum  filveitre  L.  * 

paluflre   L.  * 

carvifolia  L.  * 

moiinieri  x,. 
Bupleurum  odontites   L. ' 

rotundifolium    L.  * 

ranunculoides  L.  * 

itellafum  l.  * 

fruticofura   L. 


(^6)  Angelica  alpina  ad  nodos  florida  Tourn.  infl.  jij, 
(97)  Ligujlicum  alpinum  ptrennt  ferulae  foUo ,  jlonbus  albis  Segu.  Veron. 
11.  p.  41.  Nodracn  flirpem  accurate  r^fert  icon.  c).  Seouierii, 
atcjue  confentit  defcriptio.  Involucrum  autem  univerfale  habere 
negat    cl.  Seguier..,  fed  cum  facile  caduca  fint,  verifiaiile  eft 
illud  praeftantem  hunc  Virum  idcirco  non  adnotafle  .    Habet 
auteui  involucrum    univerfale  ,    &c    partlculare.    Frudlus  tribus 
iCoftis  acutis,  femialatis  in  dorfo  percuiritur.  Z./^«/'//6«/n  Seguieru 
citatum  ad    Selinum   carvifoliam    fuam    retert    cl.    Linnaeus  , 
fed    huius    Selini    nomine     aliam    a    ftirpe  Seguilkii    celeb. 
LiNNAEUM   intelligere  probant  ca  pauca,  quae  ad  indicandam 
ftirpem  afferuntur. 
.{^t)  Simile  ett.  Anetho  graveolenti,  fed  palmaris  altitudiois ,  &  pufiUum,  i 
an  mera  varietas  .=   Video  cotnmemoraxi  in    catalogo  plar.tarum 
honi  Turicenjis. 


ii 


gerardi.   *  (99) 
Athamanta   cervaria  L.  * 

xneum  L.  * 

fibirica  L. 
b.    Fetalis  inaequalibus, 
Carum  Bunius  L.  * 
Sefeli  annuum  L.  * 

ammoides  L. 

datum  t.  * 

pumilum   L.  * 

hippomarathrum   L. 

pimpinelloides  L.  * 

motuanum  * 

pratenfe  c.  * 

faxifragum  L.  * 
Pimpinella  peregrina  L. 

anifum   l. 
Oenanthe  crocata  L.  * 

prolifera  L, 

globulola  L. 
Ecliiiiophora  fpinofa  L.  * 
Conium   atricanum  L. 

rieens  L. 

A         ■  ■  * 

Ammi  majus  L. 


copncum  l. 


Coriandrum   fativum   L. 
tefticulatum  L.  * 
aquilegifolium.   (100) 
2.  Scm.  gibb.   &  alatis. 

a.  Alls   duabus. 
Angelica  atropurpurea  L. 

b.  Alis   quatuor  ,  &  ultra, 
Laferpitium  fimplex  L.  * 

gallicum   L.  * 

mutellinoides  c.  * 
Aftrantia   minor  l.  * 

J.  Scm.  planis  alatis. 
Paltinaca  lucida   l,  (ioi) 
Tordylium  anthrifcus  L.  * 
.  officinale   l.  * 

nodofum  L.  * 

larifoiium   L.  * 
Heracleum  fibiricum  l. 
Ferula  communis  l.  * 

nodiflora  L.  * 
Thaplta  viHofa  l. 

garganica   L.   (102) 
4.  Sem.  afperis. 


(99)  Bupleurum  involucris  ,  &  involacelUs  pentaphyllis  acutis ,    foliolis  Ji- 

neari  fubulatis  Geb..  galloprov.  p.   ij.  t.   9. 

(100)  Ligujticum  aluTum  Lolrelu  Dalech.  hijl.y^^.  Diverliflicna  plaota 

ed    a    Liguflico    aujlriaco ,     cuius    fynonimum    babetur    a    cl. 

LiNNAEo    Sy(i.  nat.  p.  11 1.  Huius  iconem ,    &    defcriptionem 

dabo  in   cnum.  liirp.  pedem. 
(toi)  Paflinaca   folio    quajl  Ubanotidis   latifoUae  BoEKH.  ind.    i.  6-j.,  & 

Mifc.   Taur.  p.  6y. 
(lOii)  Thapfia,  five  twbuh  garganicum  femine  UtiJJimo  ,  Bauh.  hijl.  UL 

1.  JO.  J  &  Mifc.  Tata.  p.  6ji 


St 

Caucalls  leptophylla  l.  * 

daucoides  L.  * 

latifolia  L.  * 

maritinia    (103) 
5 .  Sem.  villofis,  nee  roftratis^ 
Daucus  gingidium  L.  * 

vi(naga   L. 

muricatus  L. 

niauritanicus  L.  * 

gumnifer.   (104) 
Bubon   rigidius  L. 

macedonicum   L. 
b.   Sem.   r off r mis. 
Scandix  anthriicus  L.  * 

aullralis   L.  * 
Chaerophyllum  temulum  l.  * 

coloiatum  L. 

bulbofum  L. 

CLASSIS  VIII. 

Plantae  flore  pentapetalo, 
nee  Gymnodifpermae. 

l.FILAMENTIS  IN  UNUM 
TUBUM  CONJUNCTIS. 

Waliheria  mdica  I,. 


amencana  L> 
Hermannia   hylTopifolia  L. 
Melochia   pyrarnidata.   L. 

corchanfolia   L. 
Geranium  vitifolium   L. 

carolinianum    L. 

macroihiium   L. 

ciconium   L.  * 

althaeoides  L.  * 

papilionaceum  L. 

phaeum  L.  * 

columbinum   L.  * 

groffalarioides  L. 

peltatum   L. 

acetofum   L. 

molcliatum  L.  * 

rotundifolium  L.  * 

hybridum   L. 

coriandrifolium   L. 

maritimum   L. 

difleftum   L.  *   (loj) 

fibiricum  u 
Slda  erifpa  l. 

criltata  L. 

rhombitolia  L. 

occidentalis   L. 

periplocifolia  L. 

alnifolia  L. 


(loj)"  Caucalis    involucro  univerfali  diphillo  ,  partialibus  pentaphillis  Geb.. 

galloprov.  p.    2^7.  f.    10. 
(404)   Paucus  manttmus  lucidus,  gummiftr  TouR-N.  injl.   }o2.  Pajfinaca 
'  tenuifolia  ,  lucida  ,  gummi  wanans ,  Bocc.   muf.    l.  p.    iO.  f.    20. 

(10 <)  Geranium  foliis  ad  nervum  qutnquefidts,  pedicuUs  trtvioribus ,  laulc 

crtclo ,  HaU..  helo.  p.  j6<5. ,  &  Mijc,  Taur.  p.  67. 


indica  L. 

afiatic^   L. 

umbellata   L. 

americana  L. 

triquetra   L. 
Malachra  capitata  L. 
Napaea   hermaphrodita  L. 
A  cea  ficifolia   L. 
Mdlva   capends   L« 

peruviana  L. 

americana  L. 

coromandeliana  L. 

parviflora  L. 

mofchata  L.  * 

sherardiana  L. 

aegyptiaca  l. 

crilpa  L. 

limenfis   L. 
Lavatera  triloba.  L.  * 


Sj 


micans  L. 

olbia  L    * 

cretica  u 
Goffipium  hirfutum  t. 

barbadenfe  L. 

arboreum   L. 
Urena   lobata  L. 
Pentapetes  phienicea  L. 
Hibifcus  mofcheutos  L. 

labdaiiffa  L. 

manioih  i. 

trionum  L. 

cannabinus  L. 

ficulneus  L. 

pentacarpos  L, 

malvavifcus  L. 

fpinifex  L. 

laevis.    (106) 

autumoalis.   (107) 


(ic6)  Hihifcus  glater ,  foliis  trilobis  haflatis ,  fruclu  cylindrko  calyte. 
brcvwri,  feminibus  hirfutis.  Radix  perenais  ,  ex  i]u«  caulcs  hcr- 
bacsi  purpurafcentcs  humanae  altitudinis ,  floies  (iogulares 
ex  funimis  aiis  (oWotum  hitifco  fyriaco  Hiniles,  pcdunculi  petio- 
lis  aliquaotum  longiores.  Caiyx  exterior  ex   ij.,  au(    14.  folio- 

lis,  interior  inflatus  campanulatus  ad    —  quinquefidus.  Fxucftut 

quinquelocularis  polyfpercnus. 
^107)  Hibifcus  caule  herbaceo  foliis  ovatohajlatis ,  afperis  ,  calyet  inttriori 
tubuUto  ,  fruclus  apice  reclo.  Similis  ell  hibijco  palul.n  ,  fed  al- 
tius  aflfurgit  ,  &  aucuoiao  floret,  diftort  foliis  non  lacvibus  , 
neque  fiibius  molli  tomento  albicantibus;  potius  horizonialibus, 
quaai  dcflsxis  .  Cal^  floris  interior  in  palujiri.  campanulatus, 
bafi  ventjiico^s,  &  fl  s  roTcus  unguibus  albis.  In  ui>llrr  flus 
albus ,  uDguibus  purpureis ,  fubdaotiae  Erniae ,  oervofac.  Fiu> 
4tus  ia  palujhi  fubtotuadus ,  tubeiofiis ,  apice  iuiui to  ,  &  pit- 


84 
II.  FfLAMENTiS  BASI 
COALITIS. 

Hypericum  quadrangulum  i.* 

hirfuturn   l.  * 

humifiifiim  L.  * 

coris  L.  * 

crifpum   l.  * 

tomentofum  L.  * 

montanum  l.  * 

hircinum   L. 

pulcrum   L.  * 

nummularium  l.  * 
'elegantiffimum  c.  * 
Croton  argenteum  L. 

III.  FILAMENTIS    OMNI- 
BUS LIBERIS. 

A.  Tetrastemones. 

Melianthus  major  L. 
minor  l. 


B.    Pentastemones. 

1 .  Monoflylae. 
Ribes   uva   cnfpa   L. 
j^yenia   pufilla   L. 
Viola  arborefcens  L.  * 

arvenfis  *  (io8) 
Ruppii  *   (toy) 
pinnata  *  (t  i.o) 
cenifia  L.  * 
Impatiens  balfamina  L. 
noli  tangere  L.  *. 

2.  Trijlylae. 
Polycarpon  tetraphillum  t.  * 
Ttlephiura  imperaci  L.  * 
Andrachne  lelephioides  L. 
Corrigiola  liitoralis  L. 
Turnera    ulmifolia   L 
Tamarix  gallica   L.  * 
Clutia  pulchella   L.  * 

Rhus  toxicodendron  L. 


cato.  Neutram  ex  his  duabus  hibifci  fpeciebus  apud  Audores 
reperire  licuit.  Primus  virginci,  alter  palujlns  nomine  miffus  el\. 
(ic8)  yiola  buolor  arvenfis  Bauh.  pin.  200.  ,  &  Mifc.  Taur.  p.  63. 
Hdoc  a  tricolor!  fejungendam  putavi,  atcjue  eamdom  etiam 
nuac  opinionem  teoeo  ,  diftindlamque  propofuit  celebsr. 
Halllrus  iiift.  p!.  n.  569. 

(109)  VwUi  caule  ereBo  mulnfloro ,  foliis  ovato-lunccolatis  ferratis  Hall. 

hili.   561. 

(110)  K/o/rf  pinnata  ,    quae    quotatrnis   femina  perficit  ia   horto  Tauri- 

neoli,  in)perfe(Sla  plerumque  pctala  hibct;  femcl  autem  ,  atque 
icerum  flirem  pcrfecilum  monllravit ,  qui  re(pondct  defcriptioni, 
quain  dcdic  ia  hift.  plautaium  dodbfUiuus  Haixeb.. 

glabra 


glabra  L. 

laevigatum  L. 
Pafliflora  minima. 
3.  Pentajlylae. 
Statice  limonium   L.  *  (m) 

iinuata  L. 

(peciofa  L. 

cordata  L.  * 
Linum  tenuifolium   L.  * 

caiharticura  l.  * 

maritimum   L.  * 

alpinum  L.  * 

perenne  L. 

narbonenfe  L.  * 

gallicum  L.  * 
Sibbaldia  procumbens   L.  * 
Crafl'ula   letragona  L. 

cultrata   L. 

obvallata  L. 

portulacaria  L.  (112) 


8j 

B.  Hexastemones. 

Frankenia  pulverulenta    L. 

C.  OCTOSTEMONES. 

Acer  campeftre  L.  * 

pfeudo-platanus  L.  * 

D.  Decastemones. 

I .   Monojlylae. 
Pyrola  rotundifolia  L.  * 

uniflora  L.  * 

minor  L.  * 

fecunda  L.  * 
Rhododendrum  ferrugin.  L.  * 
Tribulus  ciftoides  L. 
Zygophyllum  fulvum  L. 
Melia  fempervirens  (113) 
Guilandina   bonduc  L. 
Fagonia  cretica  L. 

1 .    Dijlylae, 
Dianthus  carthufianorura  L.  * 


(ill)  Limonium  maritimum  majus  Bauh.  pin.  i^i.  &  Mifc.  Taurin, 
p.  6g. 

(ill)  Crajfula  portufacae  facie  arborefcens  DiLL>  elth.  p.  120.  /.  110. 
&  Mifc.   laur.  p.    (Jjj. 

(llj)  Aitdarach  fempervirens,  &  florens  Tournef.  infl.  6i6.  babet 
pro  varietate  /4^eJarach  CI.  Linnaeus.  Obfervo  in  A^edarach 
pionas  feo)per  oppofitas,  folia  lucida  efTe  acutius,  &  minus 
profunde  dentata  ,  tirmioris  fubllantiae  ,  frudus  roiundos  ;  in 
Jempervirenci  pionas  nou  fibi  ex  advecfo  rcfpondere,  magnis 
dentibus  ita  profunde  fedas  efle,  ut  etiam  lobatae  videantur, 
taceniuni  fruduum  triplo,  Sc  ^uadiuplo  longioieiu  eSi  ;  fiu- 
dus  ovatos. 

Mifc.  Taur.  Tom,  K*  nj 


Stellaris  L.  * 

cuneifolia  L, 

* 

hypnoides  L. 
androfacea  L 

* 
* 

• 

caefia  L.  * 

multiflora.  * 

(im) 

purpurea.  * 
oppoliti  folia 
biflora.  *  (i 

(it!) 
L.  * 

16) 

96 

glaucus  L.  * 

fuperbus  L.  * 

alpinus  L.  * 

vireineus  L.  * 

monlpeliacus  L. 
Saponaria  lutea  L.  * 
Gypfophila  perfoliata  L. 
Saxifraga  afpera  L.  * 

autumnalis  L.  * 

cefpitofa  L.  * 

(114)  Saxifraga  foliorum  ora  cartllagineay  caulc  triplicato  ramofo  ,  peta- 

lis  immacukt'is  ,  Hall.  hifi.  n.  977. 

(115)  Saxifraga  caule  reptante ,  joins  qnadnfariam  imbricaiis  acutii  gla- 

(■ris  ;   an  faxifraga   alpina  aicoides  jl.  purpurafctme  Tourn.  infl. 
(i  t(j)  Saxifraga  folits  imbricatis  ,  ovatis ,    caulibus  reptantibus,   bijloiis  , 
Hall.  hift.  n.   981.  Hae  tres  faxifragae  oppofitifolia,  purpurea , 
&  biflora ,  aflSaes  maxitne  funt ,    diveifas    autetn    tres    I'pecies 
conltituunt.    Oppofitifolta  ,   quae    refpondet  faxifagae   alpinae , 
ericoidi  jl.  ceruleo  ,  tolia  habet  glabra  ciliata,  ovata,  laxe  iin- 
bricata,  in  cauliculis  confertiora;  petala  ovata,  lioeata,  caeru- 
lea ,  aut  purpuroviolacea  ,  ftaniinibus  fere  longitudine  petalo- 
rum.    Ea ,    quam    voco  purpuream  folia  habet  denfe  imbricata 
in    ramis    decun.bentibus ,    &    ia    cauliculis    florigeris  diflita  , 
fed  glabra,  apice  acuto,  &  reflexo  ,  caules  quadrjfloros  ,  aut 
triflotos  fere  nudos,  ftylis ,  &  ftaminibus  purpurafcentibus  pe- 
tala longitudine  fuperantibus,    atque  haec  eft  fortafle  varietas 
a    CI.    LiNNAEO  in  flora   lapponica   metnorata;    petala   vivide 
rubra  funt  ,  non  lineata  ,  ex    ovatis   longe    acuta  ,    patentia. 
Biflora   autetn ,  quam  defctipfit  C).  Haller.  ,  &  cui  refp-^ndet 
icon    Oederi    tab.   34.    vifcofa    eft;    habet    folia    non    ci'iata , 
fed  villofa,  in  fummis  cauliculis  potius  alterna,  quam  oppofita, 
acumine  non  ri-flcxo.  Flos  rofeus  ,  petalis  ovatis  ,  acutis  ,  (la- 
mina  tubis  multo  breviora ,    quae   in  oppofitifolia   petalis  fub- 
aequalia  funt,    in  purpurea  peialis  longiora.    Oppofitifolia  folet 
habere    caules    unifloros ;    biflora    duos  plerumque  in  fummis 
cauliculis  fubfefliles  flores ,  purpurea  tres,  aut  quatuor  umbel' 
latos  longe  pedunculatos  pofTidct.    Has   omnes  faxifragae  Ipgr 
cies  cum  aliis  exhibebo  icons  in  Enum.  flirp,  Ptdemortui. 


mufcoides.  *  (117) 
3 .   TriJiyUe. 

Arenaria  trinervia  L.  * 
tenuifolia  L.  * 
ciliata  L.  * 
teiraquetra   L.  * 
biflora  L,  *  (118) 
maritima.  *  (119) 
ianceolata.  *  (1*0) 
obtufa.  *  (ixi) 
flaccida.  *  (1 2.2) 

Clierleria  fedoides  L.  * 

D.ypis  fpinofd   L. 

Stellaria   nemorum  L.  * 
graminea  L.  * 

Silene  peiidala  L. 


mufcipula  L.  * 
armeria  L.  * 
fruticofa  L. 
gigantea   L. 
nodiflora   L.  * 
antirrhina  L. 
nofturna  L.  * 
vallefia  l.  * 
cretica  L. 
virginica  L. 
faxifraga  L.  * 
acaulis  L.  * 
bupleuroides  L.. 
viridiflora  L. 
polyphylla  L. 


87 


(117)  Saxlfraga  foliis  mnUibus  ,  ellipticis  ,  fubhirfutis  ,  cauU  pauci flora  y 
Hall.  A;//,  n.   <>%$. 

(iiS)    -lijine  cauU  reclo,  proflrato,  foliis  ovatis ,  Hall.   hift.  n.  877. 

{119)  Maritima  a  campejlri  dirtinftam  fpecicm  conftituit.  Maritima. 
eerie  decandra,  campejlris  peotandria.  Flos  in  maritima  major 
ex  petalis  ovatis,  putpureisj  per  aetatem  albidis,  &  diu  per- 
fidcDtibus,  fruiSlus  in  cornu  produdtus  inultum  extra  calycem. 
Semiaa  leucophaea  margine  psliucido  aiidba.  In  campel^ri  fru- 
€tus  vix  calyce  major  ,  femina  anguiata ,  obfcura  fine  ullo 
margine  ,  ut  alia  oiDittaai  difcrimina. 

{lio)  Arenaria  Joins  ,  &  calycibus  lanceolatis  ,  trinerviis.  Apud  auftores 
rei  herbariae  defcriptam  non  reperi.  Radix  perennis  cefpitofa. 
Cauliculi  ex  ramis  procumbentibus  eriguntur  digitales ,  folia 
oppolita,  eredo  patentia  glabra  raro  fubhirfuta,  6ima  ,  acute 
6ne.  Calyx  ex  fuliolis  Hniilibus  ,  fed  concavis ,  flos  patens 
albus,  calyce  paulo  major,  petalis  integerrimis.  Stamina  decem> 
antheris  purpurafceotibus. 

(ill)   Atjme  foliis  linearibus  obtufis ,  calycihus  vifcidis.  Hall.  A//?.  8<J}. 

(iJii)  Alfine  caule  flacudo  dichotemo  ,  foUis  Uneartbus  acuiis  ,  HalIi. 
hijl.  864. 

m  I 


88 

niceenfis  *  (113) 

portends  L. 

paradoxa  L.  (114) 

porrigens  L,  (125^ 
Cucubalus  otites  L.  * 

tartaricus  l. 

cutholicus  L. 
4.  Pentaflylae. 
Coriaria  myrtifolia. 
Sedum  ftellatum.  l. 

acre  l.  * 

dafiphyllum.  L.  * 

teflexum.  L.  * 

anacampferos.  L.  * 

fexangulare.  l.  *  (126) 
Agroftemma  caeli  rofa.  l.  * 

coronaria.  l.  * 


L. 

* 


flos  jovis.  L.  * 

githago,  L.  * 
Lychnis  chalcedonica.  l. 

flos  cuculi.  L.  * 

dioica.  L.  * 

alpina.  l.  * 
Ceraftium  perfoliatum.  l. 

dichotommum.  l. 

manticum.  l.  * 

alpinum.  L.  * 

arvenfe.  l.  * 

vulgatum  L.  * 
Forskohlea  aegyptiaca.  L. 

5 .   Decajlylae. 
Phytolacca  icofandra.  L. 

E.    POLYSTEMONES. 


(113)  Silene  villofa  ,  &  vifcofa  ,   foliis  linear iius    obtujis ,    petalis  fem'i- 

fidis ,  fruUibus  ovatis  ,  calycibus  decemflriaus.  In  agro  Ni- 
ceenfi  nafcitur  haec  filene ,  quae  ab  audoribus  praetervifa 
niihi  videtur.  Caules  infirmi  vix  eredti.  Folia  linearia  crafliu- 
fcula  fulcata ,  caulis  de  more  gentis  in  pedunculos  dichotome 
finditur.  Calyces  decemfttiati  ftriis  viridibus  ,  non  icflati  tubu- 
lofi ,  petala  feroifida  coronata  fquamis  fubrotundis  extus  pal- 
lida flavo  purpurafcentiajintus  albida,  &  per  diem  intus  convo- 
luta,  ungues  pallide  lutefcentes.  Antherae  didymae  luteovirides. 
Styli  trescum  ftigmatibus  hirfutis.tota  planta  villofa, &  vifcofa  eft. 

(114)  Siknc  vifcofa    alpina,    folds  omnibus  plants,    ac  prorfus  glabris , 

pi  talis  anguflis,  intus  candidis ,  extus  ex  viridi  luteolis  projundt 
bifdis  ,  dtvifionibus  divaricatis  linear ibus,  neclariis  exjiantibus ,  ac 
tribus  longiffimis  purpurafcentibus  fub  folo  fpiraliter  convolutis , 
Manetti  fpicil.  n,   1005  ,  6-  Mifc.  Taur.  p.   6cj. 

(i2j)  Hanc  Gypfophilae  chalepenfis  ,  nomine  jamdudum  mifit  CI. 
GovAN  ,  led  omnino  ad  gypfophilae  genus  pertinet. 

(ti<J)  Sedum  joliis  terttibus  ternatis ,  caulibus  Jimplicibus  trifidis  HaLL. 
tnum.  n.  107,  &  Mifc,  Taur.  p,  70, 


I.  Monojlylae. 
Portulaca  anacampferos.  L. 

racemofa.  l. 

fruticofa.  L. 
Ciftus  lauritblia.  L.  * 

incanus.  L.  * 

monfpelienfis.  L.  * 

ledifolius,  L.  * 

guttatus.  L.  * 

ferpillitblius.  Li  * 

apenninus.  L. 

tuberaria.  L.  * 

thymifolius.  L.  * 
^  polifolius.  L.  * 

aegyptiacus.  L. 

laevipes.  l.  * 

falicifolius.  L.  * 

ladaniterus.  L. 

rofens.  *  (117) 

arabicus.  L. 

pilofus,  L.  * 
Triumfletta  lappula.  l. 

femitriloba.  l. 
Corchorus  aettuans.  l. 

Caplularis  l. 


89 
Prunus  laurocerafus.  L. 

padus  L.  * 

pumila  L.  /- 

avium  l.  * 

Canadenfis.  l. 
Amygdalus  pumila.  l. 
Piidium  pyriferum  L. 

2.  Dljlylae. 
Agrimonia  repens.  L. 
Crataegus  azarolus.  L. 

3.  Trijlylae. 

Refeda  odorata.  l.  (ii8) 

phyteuma.  L.  * 

undata,  L. 
Aconitum  napellus.  L.  * 

Cammarum.  l.  * 
Delphinium  peregrimim.  l.  * 

grandiflorum.  l. 
Paeonia  officinalis.  L.  * 

4.  Pentajlylae. 
Aquilegia  canadenfis.  L. 

alpina.  L.  * 
Nigella  arvenfis.  l.  * 
Mefpylus  pyracantha.  l.  * 


(117)  Hcliantathemum  folio  ampliori ,  fl.  rofeo  Shirard.  Phil.  Tranf. 
n.   383.  Hall.  gott.  p.    114. 

(ii8)  Refeda  foliis  integris  ,  Jloriius  odoratis.  Hall.  gott.  93  ,  & 
Mifc.   Taur.  p.  70. 

(129)  Delphinium  neSaris  dipkillis ,  Jloritus  folitariis,  foliis  multipartilis , 
foUolis  lineariacuminatis,  enum.  nic.  p.  200,  &  Mifc.  Taur, 
p.  81.  A  peregrino  olim  feparavi  eo,  quod  tnonophylla  oedlaria 
peregrino  tribuiflfet  CI.  Linnaeus.  Sed  noftrum  eft  verc  pere» 
grinum  CI.  LiNNAEi,  ut  pci  litsias  etiaia  ceitioiem  mc  fecit. 


90 

chamaemefpilus.  l.  * 
amelanchier.  L.  * 
cotoneafter.  L.  * 
5.  Polyjtylae. 

Spiraea  opulifolia.  L. 

Helleborus  hyemalis.  L.  * 
foetidus.  L.  * 

Potentilla  alba.  L.  * 
gratidiflora.  L.  * 
caulefcens.  L.  * 
aurea.    L.  * 
opaca.  L.  * 
penfylvanica.  L. 
valderia.  L,  * 
intermedia.  L.  * 
norvegica.  L.  (ijo) 

Geum  reptans.  L.  * 
virginianum.  L. 

Fragaria  fterilis.  L.  * 

Rubus  fruticofus.  L.  * 
faxatilis.  L.  * 

Rofa  pendulina.   L.  * 
lutea.  (131) 


CLASSIS  IX. 

Plantae  flore  hexapetalo. 
I.  DIANTHERAE. 

Orchis  militaris.  L.  * 

mafcula.  L.  * 

coriophora.  L.  * 

latifolia.  L.  * 

abortiva.  L.  * 
Satyrium  nigrum.  L.  * 

hircinum.  l.  * 

viride.  L.  * 
Ophrys  (piralis.   L.  * 

minima.  L.  * 

Alpina.  L.  * 
Serapias  latifolia.  L.  * 

grandiflora.  L.  * 

lingua.  L.  * 

longifolia.  L.  *  (132) 

II.  TRIANTHERAE. 

SiTyrinchium   bermudiana.  L. 
Ixia  corymbofa.  L. 

buibifera.  L. 

crocata.  L. 
Wachendorfia  thyrfiflora.  L. 


|ijo)  Tottntilla  follii  tematts ,  kirfutis,  caul*  rtdo,  umiellifero ,  Hali. 

gott.  p.   108,   &  Mifc.  Taur.  p.   114. 
(iji)  Rofa  lutea  fimplex.  Ba.uh.   pio.    6)6. 
i\)i)  EpipaUis  fol is  enfiformibus ,  lahello  obtufo ,  per  oras  plicato,  Hali. 

tcl,  ktlv.  t.  ly.  f.  Ill,   6"  Mifc.  Tnur.  p.  71. 


III.  HEXASTEMONES. 

MONOSTYLAE. 

1 .  Flore  fruclui  impojito. 
Hemerocallis  flava.  l. 

fulva.  L. 
Amaryllis  lutea.  L. 

belladonna.  L. 

atamafca.  l. 

farnienfis.  L. 
Pancratium  maritimum.  L. 
Leucojum   vernum.   L.   * 

2.  Flore  frudum  cingente. 
Alium  fillulofum.  l. 

Schoenoprafum.  L.  * 
fenefcens.  L.  * 


oleraceum.  L. 
viftorialis.  L. 


magicum. 


^H       paniculatum.   L.  * 
^B       chamaemelys.  L. 
^P        pallens.  L.  * 

Fritillaria  meleagris.  L.  * 
Uvularia  amplexifolia.  L. 
Tulipa  gallica.  L.  * 
Ornuhogalum  luteum.  L. 
Anthericum  annuum.  L. 
calyculatum.  l.  * 
afphodeioides.  L. 
ferotinura.  L.  * 
liliallrum.  L.  * 
Veratrum  album. 
Aibuca  major.  L, 


L    * 


9« 

Medeola  afparagoides.  L. 
Peplis  portula.  L.  * 

IV.  POLYSTEMONES. 

Lythrum  falicaria.  L,  * 
hyflbpifolia.  L.  * 

CLASSIS  X. 

Plantae  flore   polypetalo.' 

Caftus  curaflavicus.  L. 

repandus.  L. 

ficus  indica.  L. 

melocaftus.  L. 
Mefembryanthemum  loreumL, 

cryllallinum.  L. 

fplendens.  L. 

acinaciforme.  L. 

nodiflorum.  h. 

noftiflorum.  l. 

calamiforme.  L. 

deltoides,  L. 

barbatum.  L. 

uncinatum.  l. 

forficatum.  L. 

ringens.  L. 

tonuofum.  l. 
Sempervivum  arboreum.  L, 

teftorura.  l.  * 

arachnoideum.  L.  * 

montanum.  L.  * 
Adonis  autumnalis.  L. 

aeftivalis.  L.  * 
Anemone  pulfatilla.  l,  * 


92 

ranuticuloides.  l.  * 

alpina.  l. 

baldenfis.  L.  * 

fulphurea.  L.  *  (135) 

halleri,  *  (134) 

narciffiflora.  L.  * 
Atragene  alpina.  L.  *   (135) 
Butomus  umbellatus.  l.  * 

CLASSIS  XL 

Plantae    flore    apetalo 
exceptis  graminibus. 

I.FIL  AMENTIS  CO  ALIUS. 

Thuja  orientalis.  l. 
Pinus  fylveftris.  L,  * 

pinea.  L. 

picea.   L.  * 

cembra.  l.  * 
Juniperus  fabina.  L,  * 

oxycedrus.    l.  * 
Taxus  baccata.  h.  * 


ir.  FILAMENTIS 
DISTlNCTiS. 

A.   JULIFERAE. 

Salix  caprea.  l.  * 

reticulata,  l.  * 

herbacea.  L.  * 

retufa.  l.  * 
Betula  alba.   l.   * 
Populus  balfamifera.  L. 
Quercus  coccifera.  l.  * 

ilex.  L.  * 

B.    NoN    JULIFERAE. 

1.  Monantherae. 
Hippuris  vulgaris.  L.  * 
Blitum  virgatum.  L.  * 

2.  Dianiherae. 
Fra"xinus  excellior.   L.  * 

3.  Triantherae. 
Phillamhus  niruri.  L. 
Ortegia  dichotoma.  *  (136) 
Axyris  hybrida.  L. 


(1J3)  Anemone  tubis  caudath  ,    involucris  multifidis  foliis  hirfuiis  ,  pin- 

netis  y  pinnii  acute  lobatis  Hall.  hifl.  n.    1147. 
(IJ4)   Anemone  tuhis  cauJacis  ,  involucris  multifidis,  foliis  hirfutis  ,  pin- 

natis  ,  pinnis  talis  lobatis  Hall.   htfl.    1148. 
(ijj)  Id  editis    alpium   humilis  ,    nee  fcaodit.  In  hoito  culta  trium , 

&  (]uatuor  pedum  altitudinem  fcandendo  acquifivit.  Nod  igitui 

difFert  Atragene  clematides  C. 
(ijtf)  Ortegia    dichotoma  Mifc.   Taur.    torn.  III.  p.    j6.    Num    Ortegia 

dichotoma  noflra  /it  Hifpanica  l.  ftatuere  nondum  fcio,  collata 

etiam    defcriptione ,    c|uam    Cel.  Linmaeus  dedit  in  poflrema 

r^rllem.  aat.  editioue  pag.  74. 

Minuartia 


M-nuartia  campeftris. 

indica. 

Mollugo  verticillata.   L. 

f]cula.  (138) 

Oiyns  alba.  L.  * 

lanata.  l. 

4.   Teirantlierae. 

Herniaria   hirfuta.   L. 

Ilnardia    pn.ultiis.   L.   * 

A  triplex  rofea.    l. 

Hippophae  rhamnoicles.  L.  * 

fibirica.  l. 

Mynca  cerifera.  L. 

Chenopodium   ariftatiim.  i. 

Urtica  dodartii.  L. 

viride.  L.  * 

pilulifera.  L.  * 

urbicum.  l.  * 

nivea,   L. 

polyfpermum.  L. 

* 

balearica.  L. 

album.  L.  * 

divaricata.   L. 

auguftanum.  *  ( 

■39) 

Alchimilla  vulgaris.  L.   * 

Amaranthus  hybridus. 

L. 

alpina.   L.  * 

caudatus.  L. 

jeritaphyllea.  L.  * 

hypochondriacus. 

L. 

lllecebrum  paronychia.  L.  * 

graecizans.  L. 

achyranta.   l. 

albus.  L.  * 

Camphorofma  monfpeliaca.L* 

languineus.  L. 

Rivina   humilis.  L. 

polygonoides.  L. 

Buxus  ("empervirens.   L.  * 

viridis.   l. 

5.  Pentantherae. 

Beta  cycla.  L.  * 

Salfola  fruticofa.  L.  * 

maritima.  L.  * 

muricata.  L.  (157) 

Govana  domingerifis. 

L. 

Thefium   linophyllum.  L.   * 

Pharnaceum  cerviana. 

L. 

alpinum.   L.   * 

6.  Hexantherae. 

Achyranihes  lappacea.  L. 

Smilax  l^lfaparilla.  L. 

* 

93 


(137)  Baffia  Aegyptiaca  ,  Mifc.  Taur.  torn.  III,  p.   ly^. 

(ij8}  Sicutam    indicae    varictateui    putet  CI.  Limnalus  ;  fed  oiihi    di- 

(liiidae  fpecies  videntur. 
('39)  Chenopodium   folits  juhulatii  fericeis  ,  florum  glomeruUs  gt minis  , 

Haller..  hiR.  n.    i)7;. 
Mijc.  Taur.  Tom.  V.  n 


9^ 

Rumex  aegyptius.  l 

fanguiiieus.   L. 

aquaticus.  l. 

rofeus.  L. 

luxurians.  l. 

digynus.  L.  * 

fpinofus.  L. 


arifolius. 


(140) 


7.  OSoftemones. 
Chryfofplenium  alternifolium, 

L.  * 
Polygonum  penfylvanicum.  l. 
maritimum.  L.  * 
viviparum.   L.  * 
virginianum  L. 
ftriftum.  *   (141) 


alp 


inum. 


(14O 


Stellera  pafferina.   L.  * 
Rhodiola  rofea    L.  * 
Trianthema  portulacaftrum.L. 

8.  Decajlemones. 
Nyflfa  aquatica.  l. 
Datifca  cannabina.  L. 
Scleranthus  annuns.  L.  * 
perennis.   l.  * 

5.  Poly  anther  a€. 


Ceratophyllum  demerfum.  l,* 
Theligonum  cynocrambe.  i.* 
Mercurialis  tomentofa.  L. 
Dalechampia  fcandens.  L. 
Tetragonia  fruticofa.  L. 
Aizoon  canarienfe  L. 

hifpanicum.  L, 
Glinus  lotoides.  L, 

CLASSIS  XII. 

Plantae  flore  apetalo 
Gramina. 

II.  TR[STEMONES. 

A.    MONOSTYLAE. 

Nardus  ftrifta.   l.  * 
Cenchrus  racemofus.  L.  * 

echinatus.  l.  * 
Lygeum  (partum.  L. 
Zea  mays.  L. 
Coix   lacryma  job.  L.   * 
Cyperus  flavefcens.  L.  * 

fulcus.   L.   * 

roiuiidus.  L. 


(140)  Lapaihum   acetofum  ,  fexu  d'ljliaclum  ,  foliis  plants  ,  cordiformltusA 

Hall.  gott.  p.    16 ,  &  emend,    i,  n.    18,6"  Mifc.  Taur.  p.  74.I 
Hijioriae  autem  CI.   Halleri  n.    1)98. 

(141)  Polygonum  folus    ovato  lanceolatis  ,  glabris  ,  fpica  firigofa ,  vagjnis 

ctltatis  ,  Hali  .   hiji.  n.    i  J  5  5 . 
(141)  Polygonum  caule  ereUo  ,  foliis  ovato  lanceolatis  ,  fubhirfKtis  ,  fpici^ 
paniciilatis ,  Hall.  hiJi,  n.  ij<>4> 


¥ 


papyrus,  L. 

glomeratus.  L.  * 

fpadiceo  viridis.  (143) 
Scirpus  acicularis.  L.  * 

michelianus.  L.  * 

triqueter.  L.  * 

fylvaticus.  L.  * 

holofchaenus.  L.  * 

lacullris.  L.   * 

maritimus.  l.  * 

mucronatus.   L.  * 
Eriophorum  po'yltachion.  l.* 

varginatum.   l.  * 
Schoeiius  marifcus.   l.  * 

nigricans.  L.  * 

albus.  L.  * 

compreffus.  L.  * 
Carex  dioica.  l.  * 

muricata   l.  * 

remota.  l.  * 

leporina.  l.   * 

velicaria  L.  * 

flava.  L.  * 

globularis.  L.  * 

atrata.  L.  * 
Typha  angullifolia.  l.  * 

latifolia.  L.  * 
Sparganium  erectum.  l.  * 


B.    DiSTYLAE. 


9J 


Phalaris  oryzoides.  L,  * 

paradoxa.  l.  * 

utriculata.  u.  * 
Panicum  coloratum.   L. 

capillare.  L, 

hirtellum.  L.* 
Phleum   arenarium.  L.  * 

pratenfe.  l.  * 

alpinum.   L.  * 
Alopecurus  monfpelienfis.  l.  * 
Milium  paradoxum.  L.  * 

effufum.  L.  * 
Agroftis   verticiilata.  L,  * 

ftolonifera.   L.  * 

indica.  L. 

miliacea.  L.  * 

interrupta  L.  * 
Aira  caerulea.  l.  * 
Melica   aliiffima  L. 
Poa  alpina.   l.  * 

Gerardi.  *   (144) 
Briza  eragrollis.  L.  * 
Daftylis  glomerata.  L.  * 
Cynofurus  aureus.  L.  * 

indicus  L, 

echinatus  L.  * 

coracan.  L. 


(143)  Cyperus  parvus  panicula  conglob.,  fpicis  comprejjis  fpadicto  viriditus 

Segu.  Jupp.  p.  6i. 

(144)  Poapanicula    ertcla  ,    fpiculis    tr'jloris  glabris,  coroUis  acuminatis, 

calycc  diplo  longioribus  GfcA.  gailoprov-  p.  j)i. 


96 

Feftuca  amethyftina.  L.  * 

ovina.  L    * 
Bromiis  mollis.   L.  * 

fquarroCus.  L.  * 
Stipa  capillata.  L.  * 

juncea.   L.  * 
Arundo  calamagrortis.   L.   * 
Elymus  (ibiricus.   L. 

canadenfis.  L. 
Hordeum   zeocriton.  L. 

dilHchon.  L. 
Triticum  hybernum.  L. 

polonicum.   h. 

repens.   L.  * 

junceum  L.  * 
AEgilops   ovata.  L.  * 
Andiopogon  hirtum.    L.  * 
Hulcus  lanatus  L.  * 

forghum.   L. 

faccharatus.  L. 

fpicatus  L. 
Tripfacum  hermaphroditum.L. 

daftyioides.   L. 

III.  HEXASTMONES. 

Oryza  fativa.  L. 
Juncus   articulatus.   L.  * 

bufonius.  l.  * 

tnfidus.  L.  * 

effuliis.  L.  * 


acutus.  L.  "^ 
bulbofus,  L.  * 
niveus.  L.  * 
comprefTus.  j. 
Acorus  calamus,  l.  * 

CLASSIS  XIII. 

Plantae  flore  imperfefto , 
feu  potius  inconfpicuo. 

Marfilea  quadrifolia.  L.  * 

natans.  L.  * 
Marchantia  polymorphia.  L.  * 
Lycopodium  annotinum.  L.  * 

complanatum.  L.  * 
Equifetum  paluftre.   L.  * 

flaviatile.  L,  * 
Ophiogloffbm  vulgatum.  L.  * 
Ofmunda  lunaria.  L.   * 
AcrolHcum   maraivhae.  L.  * 

thelypteris.   L.  * 
Pteris  creiica.   L.   (145) 
Afplenium  adiantum  nigrum. 

L.  * 
Polypodium   fontaniim.  L.  * 

phegopteris.   L.  * 

regium.  L.  * 
Pteris  cretica.  L. 


(14;)  Lingua  cervina  foliis  cojlae  innafamibus ,  Toujln.  infi.  J44. 

REFLE- 


JOHANNIS    FRANCISCI    CIGNa'' 

DE     ELECTRICITATE. 


v^uum  muneris  mei  ratio  jam  longius  a  general!  phy. 
fica  me  avocet ,  &  temporis  mei  partem  anatome  , 
partem  aegrorum  cura  Cibi  vindicet  ,  conltitui  fiibfeci- 
vis  horis  ex  adverfariis  meis  ea  depromere,  quorum  per- 
ficiendorum  jam  pauca  fpes  fupereffet, 

ARTICULUS     PRIMUS. 

£)e  Symmeriana   eleclricltate. 

Menfe  aprili  anni  1770  quum  domum  CI.  Marchionis 
Berset  conveniflent  Equites  Lovera  ,  &  Debutet  ,  ut 
experimentis  elettricis  operam  darent  ,  ab  eorum  uno 
obfervatum  eft  phialam  ,  quae  oneraia  fuerat ,  poftquam , 
communicatione  oppofitarum  fuperficierum  per  arcum  de- 
ferentem  inftituta  ,  peniius  deonerata  ellet ,  mora  ,  & 
quiete  paucorum  minutorum  novam  fuccutiendi  vim  reci- 
pere  ,  quae  fi  rurfus ,  inftituta  oppofitarum  facierum  com- 
municatione ,  deleretur  ,  nova  iterum  poft  aliquod  tempus 
prodiret  ita  tamen ,  ut  fuccufliones  ,  quae  ex  fucceilive 
genita  eleftricitate  producerentur ,  pedetentim  minores  ef^ 
fent ,  ac  tandem  quocumque  temporis  iniervallo  nuliae  am- 
plius  haberi  poflent. 

Quum  id  mihi  phaenomenum  a  CI.  Viris  humaniter  nar- 
raretur ,  principio  paradoxum  ,  ac  vix  credibile  vifum  eft, 
Mijc.  Taur.  Tom.  V,  9 


quill  potius  aut  prima  vice    imperfcfte    deoiieratam    phia- 
1am  tuiffe  ,  aut  alium  errorem  admiffum  fufpicabar. 

Quum  vero  &  phaenomeiii  veritatem  propria  obferva- 
tione  perfpeftam  habuiflem  ,  &  ejus  cauflam  animo  verfa- 
rem  ,  demum  intellexi  experimentum  hoc  maximam  ana- 
logiam  praefeferre  cum  alio  a  me  alia  occafione  propofito, 
quod  nempe  (i  biiia  vitra  in  unum  junfta  ,  &  inllar  fim« 
plicis  vitri  armata  onerarentur ,  turn,  inftituta  oppofitarum 
facierum  communicatione ,  induCtum  onus  tolleretur ,  etfi 
exinde  quamdiu  junfta  vitra  perllabant,  eledilricitatis  reliduae 
indicia  nulla  praeberent ,  fi  tamen  ab  invicem  divelleren- 
tur  ,  valde  eleftrica  fe  oftenderent.  (i) 

Inde  vero  colligebam  eleftricitatum ,  quae  in  armata 
vitra  congeruntur  ,  partem  aliam  liberam  ad  vitrorum  fu- 
perficiem  efle ,  eamque  effe,  quae,  indu6ta  communi- 
catione ad  aequilibrium  fe  componens  fuccutiat  j  partem  j 
aliam  earum  eleClricitatum  altius  in  vitri  poros  pervadere, 
banc  nonnifi  lente  five  a  vitri  ,  five  ab  aliorum  coercen- 
tium  poris  fe  expedire ,  ideo  fuccutiendo  ineptam  efTe ,  j 
nee  quamdiu  vitra  junfta  perftant  ullum  fui  indicium  exhi- 
bere ,  quod  oppofitae  eleftricitates  oppofitis  vitris  inhae- 
rentes  fe  invicem  retineant,  cohibeantque.  Disjunftis  vitris, 
fublataque  earum  eleftricitatum  in  fe  invicem  aftione,  utram- 
que  pedetentim  ,  ac  tarde  fe  expedire  ,  fie  figna  eleftrica 
producere ,  &  diuturnam  eorum  vitrorum  turn  ad  fe  in- 
vicem ,  turn  ad  alia  corpora  adhaefionem  efficere.  (i) 

Itaque  concludebam  in  novo  hoc  experimento  eodem  fere 
modo  rem  fe  habere.  Eledricitatum  fcilicet,  quae  in  phia- 
1am  congerebantur ,  partem  eam ,  quae  ad  ipfius  phialae 
fuperficies  libera  erat,  iududa  communicatione,  feadaequi- 


(j)     Mifcel.  torn.  Ill  §.  it, 

(2)  lb.  §.  69, 70. 


99 

libriuni  componere  ,  ac  (uccutere ;  earn  vero,  quae  alrius 
in  vitri  poros  pcnerraverat ,  quaeque  eorum  relillentia  ir- 
retita  erat ,  noniiih  lente  prodire  ,  prodeuntem  in  armatu- 
ras  paullatim  colligi ,  colleftam  novae  fuccuflioni  efficieii- 
dae  aptam  elTe. 

Ut  igitur  experimentum  iftud  ex  noftra  liypothefi  de 
Symmenana  eleftricitate  in  vitri  poris  delitefcente  feliciter 
explicatur  ,  lie  vicifliin  ab  eodem  novum  argumeiitum  ad 
earn  hypothefim  fulciendam  videtur  accedere. 

Enim  vero  calore  vitrorum  Symmerianam  eleftricitatem 
augeri  obfervavi ,  idque  turn  tribuebam  humori ,  quern  vi 
caloris  expelli  arbitrabar  ;  (3)  poftquarn  vero  cognovi  ex 
propriis  ,  &  ex  variis  Anglorum  experimentis  vitra  calore 
deferentia  fieri  (4),  inde  etiam  meam  illam  hypothefim  con- 
firmari  deprehendi.  Nam  prout  vitra  majori  calore  magis 
meabilia  fiunt ,  neceffe  eft  induftam  eleftricitatem  facilius, 
altiufque  in  ipforum  poros  pervadere ,  quae  quum,  frigefa- 
ftis  vitris  ,  pari  facilitate  ab  ipfis  erumpere  amplius  non 
poffit ,  pedetentim  prodiens  vehementiora  Symmerianae  ele- 
ftricitatis  phaenomena  exhibebir. 

Viciffim  quo  calidiora  funt  vitra  ,  dum  onerantur ,  eo 
ineptiora  fuccutiendo  evadunt ,  ut  ex  Frankliniano  expe- 
rimento  de  phialis  ebulliente  aqua  plenis.  (5)  Enim  vero 
ea  eletlricitas ,  quae  in  vitri  ex  calore  meabilis  poros  ir- 
repfit ,  iis  poftea  irretita  fimul  ac  femei  erumpere  non 
poterit ,  ac  fuccutiendo  inepta  erit.  Quum  igitur  calor  Sym- 
merianam eleftricitatem  augeat ,  Franklinianam  minuat , 
inde  utriufque     difcrimen  confirmatur. 

Immo  vero  cenferem  vitrum,  inferiori  armatura  con- 
flanter  cum  folo  communicante ,  ex  fuperioris    lU^erficiei 


K 


L.  c.  §.  97  in  not. 
,,     Vid.  Pryestlfy  hirtoire  de  rdeftriciig  III  p.  134, 

J)      Yld,  l'RY£STUV  I.  C.  II  p.  430,  III  p.   307. 

o 


lOO 

fri6Vione  ielcftricum  faftum  ,  atque  adeo  fola  Symmeriana 
eleftricitate  imbutum  ,  &  fuccutiendo  ineptum,  (6)  impofita 
tamen  fuperiori  faciei  ,  quae  fricata  fuit ,  armatura  ,  poll 
aliquod  tempus  fuccutiendo  aptum  fieri  ob  Symmerianam 
eleftricitatem  paullatim  explicatam  ,  &  in  armaturis  colle- 
ftam. 

Exiftimo  etiam  fecundam  ,  tertiam  &c.  fuccuffionem  eo 
majores  futuras,quo  vitrum  calidius  fuir,  quum  oneraretur,quo 
majus  onus  accepit ,  quo  diutius  id  fervavit  ,  quum  eae 
omnes  conditiones  majorem  in  vitri  fubftantiam  eleftrici 
fluidi  quantitatem  adigant. 

Quod  vero  ab  Anglis  ,  ut  dicebam  ,  demonftratum  eft, 
vitrum  ex  calore  igni  eleftrico  meabile  fieri  etiam  ante- 
quam  eorum  experimenta  comperca  haberem,  parum  difli- 
mili  experimento  cognoveram.  Scilicet  onerati  vitri  faciem 
inferiorem  altera  manu  tangebam,  fuperiorem  extremo  uno 
vitri  tenuis  quinque  tranfverfos  digitos  longi  ,  cujus  extre- 
mum  alteram  oppofita  manu  apprehendebam  :  fi  tubus  fri- 
gefaClus  effet ,  nee  iftum  ullum  excipiebam,  nee  deonera- 
batur  vitrum;  fi  igne  candefaftus  elfet,  ipfumque  uno  extre- 
ino  forcipe  prehenfum  extremo  altero  ad  armaturam  vitri 
fuperiorem  admoverem  ,  iftum  experiebar ,  quo  vitrum 
ipfum  omnino  deonerabatur. 

lllud  fimiliter  ex  proprio  experimento  cognoveram , 
quod  poftea  a  CI.  Prvestleyo  oblervatum  effe  comperi ; 
Iigna  quamdiu  ex  igne  admodum  calent  deferentia  effe  . 
(7)  Nam  cilindrum  ligneum  recens  excalefaftum  fruitra 
fricabam  ,  quamdiu  calorem  fervabat  j  nee  enim  ullam  ex 
eo  afFriilu  eleftricitatem  recipiebat ,  maximam  vero  ex  fri- 
tlu  acquirebat ,  poftquam  fufceptum  calorem  amiiiffet. 


(6)  Vid,  Mifcel.  torn.  Ill  §.  71. 

(7)  Prtestiet  III  p.  a3J. 


ARTICULUS     SECUNDUs/"' 

De  experimemis  eleclricis  in  poculo 
metallico  injlitmis. 

Experimenta  quaedam  narrat  Pryestleyus  iii  poculo 
ftanneo  eleftrico  unius  menfurae  (^une  pinie)  capaci  a  fe 
inltituta  ex  Franklini  monicu  ,  per  quae  compererit  fila  , 
nut  globos  ex  fubere  intra  id  vas  eletlricum  demifTa  ex 
ipdus  eleftricitate  nee  commoveri ,  nee  (e  invicem  repel- 
lere  ,  inde  edufta  eleftricitatein  aliquam ,  fed  exiguam 
ortendere,  eo  tamen  majorem  ,  quo  remotius  a  fundo  la- 
tera  vafis  contigiflent.  (8)  Phialam  vero ,  cujus  exterior 
armatura  poculi  fundo  incumberet,  uncus  manu  homints 
folo  infidentis  detineretur ,  ex  congeiia  in  poculum  ele- 
ftricitate  non  onerari ,  aut  minimum  onus  recipere.  (9) 
Ex  quibus  concludit  attraftionem  poculi  eleftrici  attra6lioni 
fphaerae  cavae  fimilem  effe ,  nee  corpora  eleftricitatem  ex 
una  parte  recipere  pofle ,  ni(i  in  partem  aliam  ipfara 
emittere  queant.  (10) 

Ad  horum  phaenomenorum  caufTam  perfequendam , 
mihi  aptiflima  machinula  vifa  eft ,  quae  ex  metallico  filo 
ad  utrumque  extremum  acuminato ,  &  ad  contrarias  par- 
tes flexo  ,  tum  fupra  apicem  metallicum  librato  conficitur, 
(11)  quaeque  vi  fluidi  eleftrici  per  acuminatos  apices 
erumpentis  eadem  ratione  in  gyrum  agitur ,  qua  Segneri 
molendinum  ab  erumpente  aqua  circumvolvitur.  (iz)  Hujus 
itaque  eleftrici  molendini  motus  ad  fundum  vafis  metallici 


(81  III  p.  461,  h6i. 

19)  lb-  P-  462,  46J. 

1 10)  lb.  463,  464. 

fin  Vid.  Pryestl.  I.  c.  II  p.  455  ,  436. 

(11)  Vid  mem.  de  I'Acad.  de  Berlin  tom.  X  p.  rtj  &  (eg. 


lOl 


explorare  adgreffus  fum.  Ufus  veio  Cam  vafe  metallico  peram* 
plo  ,  caldario  fcilicet  aheiio  aliquot  pedes  alto ,  totidem- 
que  amplo.  Htfce  experimentis  humaniter  interfuit ,  immo 
ipforum  aliqua  at;:  excogiiavit ,  aut  perfecit  Vir  ingenio- 
fus  ,  &  in  mechanica  verfatiffimus  Eques  Debutet,  quae 
hujufmodi  funr. 

Expeiimentum  prlmiim. 

Machinuiam  ad  fundum  aheni  conftitui ,  ut  cum  ipfo 
communicaret ;  ahenum  vero  undique  infulatum  erat.  Ele- 
ftricitatem  ope  fili  metallici  a  catena  ad  ahenum  ,  vel  ad 
machinuiam  duxi.  Nulla  ind^  machinulae  rotatio ,  quod 
videbatur  convenire  cum  fententia  eorum  ,  qui  affirmant 
corpora  ad  metallici  vafis  fundum  nuUam  eleftricitatem 
recipere  :  hinc  enim  proclive  eft  concludere  machinuiam 
eleftricara  non  fieri ,  nee  propterea  in  gyrum  agi  poflfe. 

Experimentum  fecundum. 

Quum  veto  dubltarem  ,  machinuiam  eleftricam  quidem 
fieri ,  fed  ideo  non  moveri  ,  quod  fluidum  eleftricum  ab 
ejus  acuminatis  extremis  in  latera  aheni  aeque  eleftrici 
ferri  non  poflet ,  proindeque  quiefcere  non  quidem  ele- 
ftrici  fluidi  defeftu  ,  fed  quod  hoc  ipfum  fluidum  intra 
eamdem  omnino  llagnaret ,  coronam  ex  charta  inaurata 
confeci  diametro  unius  pedis  ,  aut  ultra,  eamque  circa  rao- 
lendinum  ita  conftitui ,  ut  molendinum  ejus  centrum  oc« 
cuparet.  Corona  haec  nee  cum  molendino,  nee  cum  aheno 
comraunicabat ,  fed  per  filum  metaUicum  in  hominem  folo 
infidentem  eleftricitatem  ,  fi  quam  reciperet  ,  ■  difperdere 
poterat.  Rebus  ita  conftitutis ,  &  eleftricitate  ad  ahe- 
num impulfa    molendinum   pernicifllme    in    gyrum  ageba* 


'°5 

tur.  (13)  Oportuit  ergo  molendinum  a  fundo  aheni  ele- 
ttricitatem  recipere  ,  quum  ex  eadem  per  acuta  extrema  in 
ambientem  metallicam  coronam  emifTa  in  gyrum  ageretur. 
Falfum  igitur  corpora  ad  fundum  vafis  metallici  nullam 
eletlricitatem  recipere  ,  fed  poiius  dicendum  ,  eorum  ele- 
ftricitatem  ab  aequali  laterum  ipfius  vafis  eleftricitate  ita 
reprimi ,  ut  motum  nullum  habeat ,  ficque  fuae  praefentiae 
indicia  nulla  praebear. 

Quod  fi  edufta  corpora  vix  ullam  eleclricitatem  often- 
dunt,  id  indicio  eft  ea  corpora,  dum  educerentur ,  acquifi- 
tarn  eleclricitatem  amififfe  verofimiliter  ex  eo,  quod  lege 
a  Cantono  ,  &  AEpino  detefta  (14)  ,  fundus,  &c  latera 
vafis  in  ea  corpora  jam  ab  ipfis  disjunfta  contrariam  ele- 
ftricitatem  inducere  nitantur,  proindeque  receptam  eju(- 
dem  nominis  eleftiicitatem  ab  iifdem   expellere. 

Experimentum  terdum. 

Machinulam  ad  fundum  aheni  fupra  poculum  vitreum 
parum  altum  infulavi ,  ut  fie  parum  ab  ejus  fundo  abefTct. 
Ahenum  item  infjlatum  erat.  Eleftricitatem  ad  machinulam 
deduxi ,  quin  ahenum  ullam  reciperet.  A  recepta  electri- 
citate  in  gyrum  afta  eft ,  paullatim  vero  ejus  celeritas 
imminuta  eft ,  ut  tandem  omnino  quiefceret :  tum  per  ad* 
motum  digitum  ab  aheno  fcintillam  eduxi ,  inde  molendi- 
num prirtinum  motum  ,  priftinamque  velocitatem  recepit , 
quae  paullatim  languens ,  nova  ab  aheno  edu£ta  fcintilla , 
reftaurata  eft ,  &  ita  deinceps. 

Ex  quo  apparet,  ex  eledricitate  machinulam  ad  fundum 
aheni  in  gyrum  agi ,  dum  per  acuminata  extrema  in  aheni 


fij^    Experimentum  hoc  propofuit  Eques  DzButzt, 
(X4)    Vid.  Priest.  I.  c.  Il  p.  18,  &  feq. 


I04 

Jatera  machinula  fe  exonerat:  prout  latera  aheni  ex  con- 
gei}a  eleftricitate  magis  reliltunt  fluido  ab  iis  extremis 
advenienti  ,  &  ejus  fluidi  fluxum ,  &  machinulae  celerita- 
tem  retardari  ;  demum  fluido  aeque  denfo  in  aheni  parie- 
tibus  exfiftente  ac  in  ipfa  machinula  jam  nullum  ejus  flu- 
xum a  machinula  ad  ahenum  fieri  poffe  ,  ficque  machinu* 
lam  qaiefcere  nifi  ,  edufta  per  admotum  digitum  aheni 
electricitate ,  novae  eleftricitati  a  machinula  excipiendae 
ipfura  ahe;ium  iterum   aptum  evadat, 

Experimemum  quartum. 

Machinula ,  ut  prius  ad  fundura  aheni  infulata  eft ,  ut 
tamen  ex  ipfa  ad  manum  hominis  folo  infidentis  filum 
deduceretur.  Ahenum  item  infulatum  eft.  Eleftricitas  autem 
ad  ipfum  ahenum  dedufta.  Continuo  molendinum  in  gy- 
rum  aftum  elt  eadem  velocitate ,  eademque  direftione 
ac  prius  ,  five  eleftricitas  ad  ahenum  deduda  pofitiva  eflfet, 
five  negativa. 

Uc  igitur  in  priori  cafa  ex.  eleftricitate  ab  acuminatis 
extremis  machinulae  in  aheni  latera  effluente  machinula  in 
gyrum  agebatur ,  ita  in  poftremo  hoc  ab  eleftricitate  ex 
aheni  lateribus  in  acuminata  machinulae  extrema  adve- 
niente  haec  ipfa  machinula  movebatur.  Ex  quo  confirma- 
lur  differentiam  inter  eleftricitatem  machinulae ,  &  late- 
rum  ahem,  aut  ambientium  corporum  earn  efle  ,  quae  flu- 
xum eleftrici  fluidi  ab  ipfa,  aut  in  ipfam  efiiciat,  ficque 
eamdem  in  motum  agar. 

Confirmatur  item ,  quod  alio  experimento   jam  conftite- 
rat,  (i  j)  contrarium  motum  fluidi  modo  erumpentis,  modo     f 
fubeuntis  per  extrema  machinulae  eamdem  tamen  direclio- 
rem  ipfi  machinulae  impertiri. 

<i5)    Pryest.  1.  c.  II  p  4}I>  4}S»  HI  p.  137,  138,  140. 


lOJ 

ARTICULUS    TERTIUS 

De  AEpini  expenmentis ,  in  quo  a'erea  lamina 
eleSlrico  vapore  oneratur. 

Elegans  AEpini  experimentum  de  aerea  lamina  oneranda 
in  hunc  modum  inftitui. 

Tabulas  ligneas  binas  amplitudinis  pedum  %  —     charta 

inaurata  cooperui ,  alteram  alteri  fuperpofui  fitu  parallelo, 
ut  faciebus  inauratis  fibi  mutuo  obverterentur.  Inaurata 
charta  fuperioris  tabulae  ab  inferiore  ejus  facie  in  fupe- 
riorem  producebatur ,  quo  commodius  eleflricitatem  a 
globo  advenientem  recipere  pofTet,  Tabulis  hifce  interpo- 
fui  fruftula  vitrorum  diverfae  crafStiei,  ita  ut  inauratae  fa- 
cies  modo  ii  lineis ,  modo  19,  modo  36  didarent.  Ad 
minimam  earn  1 1  lin.  dillantiam  onerabantur  armatu- 
rae ,  vel  fi  mavis  lamella  aerea  ipfis  interpofita,  modo 
tempeftas  valde  ficca  effet ,  indeque  fuccuffio  &  i6tus  fatis 
validus  habebatur.  Si  tempeltas  minus  ficca,  minufque  op- 
portuna  experimento  effet  tabulae  ad  19  lin.  diftantiam 
conftituendae  erant ,  ut  onerari  poffent ,  iftumque  prae- 
bere ,  qui  minor  etiam ,  quam  in  praecedente  diftantia 
percipiebatur.  Si  demum  tabulae  ad  3  6  lin.  diftantiam  col- 
locarentur ,  armatura  quidem  inferioris  tabulae  contra- 
riam  fuperiori  eleftricitatem  recipiebat ,  ut ,  infulata  infe- 
riori  ea  tabula  ,  facile  deprehendebatur  ,  fed  ita  exigua  utriuf- 
que  armaturae  eleftricitas  erai ,  ut  fenfibilem  iftum  non 
praeberet. 

Quando  lamella  aerea  onerabatur,   conftanter  obfervavi, 
quod  ab  AEpino  jam  fuerat  animadverfum ,  eleftricitatem 
armaturae  fuperioris  cum  globo    communicautis    veljemen- 
Mifc,  Taur.  Tom.  V,  p 


io6 

liorem    fuifle    contraria    eleftricitate    oppofitae    armaturae 

communicantis   cum  folo; 

Quando  vero  tabula  inferior  infulata  erat,  ejufque  com- 
municatio  cum  folo  per  admotam  manum  perficiebaiur  pott 
induftum  onus  auferendam,  tunc  alterno  tabularum  contaftu 
obfervabam  fcintillas  ab  ipiis  eliciendas  celeriter  decrefcere. 
Scilicet  attaftu  fuperioris  armaturae  non  folum  exceflum 
ipfius  eleftricitatis  fupra  eleftricitatem  inferioris  armaturae 
auferebam  ,  fed  multo  etiam  plus,  ita  ut  ejus  eleftricitas 
eleftricitate  inferioris  armaturae  multo  minor  evaderet.  Vi- 
ciifim  quum  inferiorem  armaturam  tangebam  ,  non  folum 
ejus  ele£tricitatem  eleftricitati  fuperioris  aequabam  ,  fed 
multo  minorem  etiam  efficiebam  ,  ut  fie  duobus,  tribufve 
alternis  hujufmodi  atta6tibu$  totam  penitus  eleflricitatent 
exftinguerera. 

Et  haec  quidem  inaequalitas  eleftricitatum  etiam  ir 
onerato  vitro  deprehenditur.  Notum  enim  eft  corpus  ej 
file  ferico  pendulum  inter  binas  armaiuras  vitri  onerati 
&  infulati  tamdiu  ofcillare ,  donee  eleftricitas  penitus  ex- 
ftinfta  fit.  Verumtamen  fi  inter  oppofitas  eleftricitates  abfo-^ 
luta  aequalitas  requireretur ,  nunquam  eo  modo  vitrum 
exonerari  poflet :  nam  ubi  ad  earn  aequalitarem  perven- 
tum  effet,  pendulum  quiefceret ,  nee  ex  una  armatura 
ele£lricitatem  haurire  poffet ,  nifi  eodem  tempore  par 
quantitas  eleftricitatis  ex  oppofita  armatura  educeretur. 

Quae  omnia  ab  AEpino  feliciter  explicantur.  (i6)  Enim- 
vero  determinata  quantitas  eleftricitaiis  intra  datara  arma- 
turam feorfim  fpe6tatam  colligi  poteft  }  fed  hujufmodi  ele- 
ftricitas  exigua  eft,  fi  comparetur  cum  ilia,  quam  eadem 
armatura  recipit  ,  quando  oppofitae  armaturae  contraria 
ele6lricitate  attrahitur ,  ac  retinetur ,  quae  tamen  attradio 


(16)    Vid.  Prtut.  II  p.  90. 


107 
eo  minor  eft ,  quo  oppofita  armatura  contrario  modo 
eleftrica  magis  remota  eft ,  craffiorique  coercente  corpora 
ab  eadem  feparatur.  Jam  vero  quando  lamella  aeiea  one- 
ratur  ,  oppofitae  armaturae  ad  ingentem ,  ut  vidimus  ,  di- 
itantiam  collocari  debent ,  ne  oppofitae  eleftricitates  per 
ipfum  aerem  fponte  permifceantur.  Hinc  modica  eft  con- 
trariarum  ele^lricitatum  in  fe  invicem  aftio ,  perinde  ac 
in  crafliori  vitro  contingit ;  propterea  ,  ut  eleftridtates  in 
armaturas  tanta  quantitate  congeri  poffint ,  quae  mediocri 
iftui  fufficiat ,  necefle  eft  amplitudinem  earum  augere , 
unde  eleftricitas ,  qaam  fingulae  per  fe  recipere  poffuni  , 
major  evadit  ,  &  fenfibilem  acquirit  proportionem  ad  earn, 
quae  ex  eleftricitatis  contranae  in  oppofita  armatura  re- 
fidentis  a6lione  allicitur. 

Hinc  mirum  non  eft  priori  eleftricitate  ( quam  per  fe, 
&  feorlim  fjjeftatae  fingulae  armaturae  recipere,  &  emit- 
tere  poftunt )  ex  una  armatura  per  atta£lum  fublata ,  fen- 
fibilem inter  eleftricitates  oppofitas  differentiam  nafci ,  & 
ex  alterno  hujufmodi  contattu  cito  omnem  eleftricitatem 
exftingui.  Hinc  eiiam  intelligitur  ,  cur  homo ,  ut  advertit 
AEpinus ,  qui  hujufmodi  aeream  laminam  inlula'tus  deone- 
rat  ,  eleftricus  reperiatur  eadem  eleilricitate  ,  quam  fupe- 
rior  armatura  poHldebat  ,  in  quam  adveniens  ele6lricitas 
congefta  eft. 

.Porro  quaefitum  eft,  num  fuccutiens  eleftricitas  in  ar- 
maturis  relideret ,  an  in  coercente  corpore  ,  quod  arma- 
turis  interjicitur.  Argumenta  alibi  adduxi ,  ex  quibus  con- 
fici  videtur  revera  in  armaturis  pofitam  efle.  (17)  His 
alia  addidit  Priestleyus  ,  quae  eamdem  opinionem 
confirmant.  (18)  Quum  veto  maximum  argumenturo,  quo 


f  17^    L.  C.  Tom.  Ill  5.  75  &  feq. 


L.  C,  III  a  p,  434  ad  440, 


io8  _         ■ 

contraria  opinio  fulcitur ,  ex  Frankliniano  experimento  ' 
defumatur  de  vitro  onerato ,  cujus  armaturae  fi  certa  lege 
auferantur  ,  mutenturque ,  fuccuffio  nihilo  minor  habetur. 
Hinc  peropporiuiium  fore  exiftimavi  ad  hanc  quaertionem 
dirimendam  ,  fi  e  converfo  iifdem  manentibus  armaturis, 
mutataque  interjefta  iifdem  coercente  lamina,  fuccuffio  ha- 
beri  poffet ;  quumque  id  in  lamella  aerea  commodiffime 
fieri  poffe  praeviderem ,  in  eum  maxima  finem  elegans 
AEpini  experimentum ,  ut  fuperius  expofui ,  iterandum  fu- 

fcepi.  ... 

Itaque  aeream  laminam  ,  ut  prius ,  inter  oppofitas  arma- 
turas  oneravi;  dein  omnem  apparatum  ex  uno  in  aliud  cu- 
biculum  tranftuli :  qua  translatione ,  &  motu  omnis  aer 
armaturis  interjeftus  mutari  debuitj  &  tamen  nihil  inde  fuc- 
cutiendi  vim  debilitatam  effe  obfervavi.  Unde  videtar  con- 
firmari  fuccuiientes  eleftricitates ,  in  armaturis  praefertim, 
polltas  effe. 

Equidem  in  animo  habebam  oleum  phiala  tenui ,  lata- 
que  includere  ,  cujus  oppofitae  planae  ,  ac  latae  facies  de- 
ferentes  eflent ,  reliquae  partes  coercentes ,  oleum  fie  in- 
clufum  onerare ,  poltea  vas  leniter  agitate  exploraturus , 
num  fie  eleftrica  fuccutiendi  vis  deleretur.  Verumtamen 
quum  oleum  fluidum  ,  ae  divifibile,  perinde  ac  aer,  fit,pro- 
pterea  &  ingens  craffities,  &  maxima  amplitudo  in  olei 
lamella  fimiliter  ac  in  aerea  requireretur ,  ut  fenfibile  onus 
reciperet :  hinc  nonnifi  vafis  peramplis  ad  hoc  ipfum  pa- 
ratis  tale  experimentum  perfici  poffet  (19). 

Taurini  die  13  julii  1773. 


(19)    Prtcstletus  abfque  fucceflu  olei  tamiaam  oneiare   tentavit  I,  c.  Ill 
p.  »4S. 


JOHANNIS    FRANCISCI    CIGNA°' 

DE     RESPIRA  T'f^O  N  E. 


Kyuum  olim  caujfam  invejligarem  cur  flamma  in 
imerclufo  aire  deficiat ,  &  intereat  rei  affinitati 
adduclus  fum ,  ui  caujfam  quoque  inquirerern ,  cur 
animalia  ah  imerclufo  acre  JimiLiter  enecemur.  Quo 
factum  ejl,  ut  in  v arias  quaejliones  incur rerem  ad 
refpiTadonem  pertinentes ,  &  varia  eiiam  ad  eas  fol- 
vendas  inirem  experimental  quae  omnia  eo  ordine 
expofui ,  quo  fe  mihi  primum  obtulerunt.  Quum  ea- 
dem  recoleremy  ax:  retraciarem,  exiflirrmvi  equidem, 
fi  in  meliorem  ordinem  digererem,  &  cum  aliorum 
CI.  Virorum  experimemis  conjungerem,  &  cornpara- 
rem ,  magnum  inde  praefdium  erui  poffe  ad  multas 
&  di£icdiimas ,  de  hac  re  quaefiones  elucidandas. 
His  iiaque  mihi  incumhendum  confiitui,  neque  ve- 
rebar  ^  ne  cuipiam  fonaffe  viderer  in  argurrunto  pa- 
rum  anatomico ,  aique  adeo  a  mimere  meo  alieno 
verfarif  de  refpiratione  agens,  quum  non  mode  nema 
illorum ,  qui  univerfum  anatomes  ambiium  complexi. 
funt ,  principem  banc  aclionem  humani  corporis  prae~ 
terire  pciucrit ,  fe,d  &  maximi  hujus  aetatis  anato- 
mici  WiNSLOVius,  Ferrenius,   Hallerus   ipfam 


I  lO 


ex  propojito,  &  peculiaribus  quldem  opufculls  perfe- 
qutijint ;  quum  FantONUS  cathedrae  nojirae  anatomicae 
ornamentum  &  decus  non  foliirn  in  dijjenationibus 
anatomicis  eleganter^  &  ingeniofe  ^  ut  cetera  ^  id  per- 
il aclaverit  ,  fed  peculiarem  etiam  lihrum  pollicitus  Jity 
in  quo  multa  ex  iis  problematibus ,  quae  nunc  ego 
adgredior y  Jibi  folvenda propofuerat.  (*)  Si  vir  exi- 
mius  pro  ea  ,  qua  excellebat ,  ingenii  acie ,  6^  uber- 
tate  doclrinae^  quod  promifer at  perfect jfetj  per exiguus 
fane  meis  difquifitionibus  locus  reliclus  effet ,  quem- 
admodum  ex  iis ,  quae  in  differtationibus  anatomicis 
interfperfit  ^  quae  quidem  mihi  faepe  erunt  laudanda, 
conjeciare  licet.  Hi  vero  qualefcumque  conatus  nifi 
praejlabunt,  ut  lucubratioties  tanti  viri  minus  dejide- 
remus .,  at  f ahem  meam  in  perutili  Jludio  diligentiam 
Jignijicabunt.  Meliora  fortaffe  ,  certioraque  fuiffem 
allaturus^  fi  vana,  quae  in  hanc  rem  mihi  tentanda 
propofueram »  experimenta  exfequi  potuijfem ,  fed  aliis 
aliifque  curis  difracius  ufque  adeo  dijiuli.,  dum  Regi'J. 
Sccietas  quintum  hoc  volumen  prope  editura  ej^et. 
Quare  occafonem  captare  conflitui  meditationes  has , 
quoad  fieri  poiuit  emendatas^  evulgandi,  accuratiora 
impoferum^  &  ex  propriis  experimemis ,  &  ex  do- 
Borum  virorum  animadverfonibus  allaturus. 

("*)    Anatomia  corpoiis  humani  p«  35r« 


Ill 
CAP.!. 

De  Problemate  HaRVEJANO  ,   &  de  caujfa 

inchoandae   refpirationis, 

I  v/lim  problema  do£lis  viris  Harveus  propofuit  ,  qui 
„  fiat ,  ut  foetus  in  lucem  editus ,  &  membranis  inte- 
„  gris  opertus ,  &  etiamnum  in  aqua  Tua  manens  aliquot 
„  horas  citra  fufFocationis-  periculum  fuperftes  fit ,  idem  ta- 
„  men  fecundinis  exutus  ,  li  femel  aerem  intra  pulmonem 
„  attraxerit ,  poftea  ne  momentum  quidera  temporis  abfque 
„  ea  durare  poffit ,  fed  confeftim  moriatur;  fimiliter,  quum 
„  in  feftione  caefarea  foetus  horis  complufcuHs  po(t  matris 
„  obitum  eximitur  ,  vitalis  taraen  reperitur  ,  fimulac  vero 
„  eo  femel  gavifus  fuerit ,  etiam  in  eafdem  feamdinas  re- 
„  pofitus ,  illico  ob  hujus  carentiam  fuffocetur.  (a) 

II  Ex  eo  tempore  plerique  anatomici  ejus  probfematis 
folutionem  adgrefli  funt.  Et  quidem  alii  infantes  a  matre 
divulfos  reipiratione  carere  non  pofle  docoerunt ,  quod 
ejus  fanguinem  acre  imbutum  non  amplius  accipiant,  ficque 
reipiratione  egeant ,  qua  fanguini  neceffariam  aeris  quanti- 
tateni  haurire  poffint.  {b)  Cenfuerunt  alii  indu£lam  (pirandi 
necefiitatem  mutationi  in  pulmonibus  fa^e  tribuendam 
efTe ,  qui  prius  denfi  ,  aqua  graviores ,  ex  lefpiratione    te- 


(fl)  Certum  ejl  per  nDJlra  ,  6"  per  magnorum  dudum  virorum  exptrimenta  foetus 
auper  ex  utero  matris  txcifos  ,  inqui  amnio  reliClos  midiis  in  atjuit  vi. 
vere,  neque  perirt ,  niji  eo  tempore  ,  quo  aliaquia  treditile  fiurit  tent- 
rum  animal  aliunde  periturum  ,  pojl  ali^uat  nempe  koras  ,  out  aluro  dt- 
mun  die  CI.  HallER  el.  phyf.  Ill  p.  }I4.  f^eritas  faSi  at  Harveo  pro- 
pofiti  confirmatur  fcQionibus  caeftrtis  ,  6i  memorabili  exemplo  fandeiwiel 
dc  milite  ,  qui  uttrum  cum  foetu  c  gravUa  txclufom  ad  iribuitum  detutit, 
uti  folutis  membranis  vivus  puer  lu£em  vidih  fiUkCERUS  dc  cat.  hum. 
lib.  II  cap.  f  p.  499. 

(*)    BoKELLus  de  inci.  atiim.  prop,  cxviij. 


mel  inchoata  varlores  leviorefque  evadant ;  ea  nempe  ex 
mutarioiie  fieri,  ut  jam  fanguinem  copioi'us  admittant,  qui 
per  ipfos  trajici  abfque  refjairatione  non  poffit.  Propterea 
ex  ejus  (anguinis  congeftione  animalia  fufFocari ,  quum  pri- 
mum  fpirandi  facultas  iifdem  adimitur.  ( c)  Sunt  qui  obli- 
quitatem  ovalis  foraminis  duftufque  arteriofi  in  fufFocatio- 
nis  cauflam  adduxerunt,  (d)  aut  a  refpiratione  dilatata  pul- 
monalium  arteriarum  orificia.  (e)  Sunt  qui  earn  fufFocatio- 
nem  tribuerunt  occlufioni  ovalis  foraminis  ,  duftufque  arte- 
riofi ,  propter  quam  ,  praetermiffo  pulmone  ,  fanguis  circu- 
lum  obire  amplius  non  poffit.  (/)  Sunt  demum  qui  velint 
foetum  in  utero  ab  aeris  preffione  non  affici ,  nee  eidem 
fiiftinendae  vires  ejus  fufficere ,  nifi  refpirando  elafticura 
aerem  hauriat ,  qui  exteriori  aeri  contranitatur :  hinc,  nifi 
refpiret ,  ab  externa  preffione  fiiflFocari.  (g) 

III  Ad  primum  quod  fpeftat  non  video  ,  cur  foetus  a 
matre  fejunftus ,  &  intra  amnion  reli£tus  refpiratione  ca- 
rere  poffit ;  pofteaquam  aperto  amnio  femel  refpiravit , 
amplius  non  poffit.  Neque  enim  credibile  eft  membranas 
a  matre  feparatas  fanguinem  aere  imbutum  foetui  fuppedi- 
lare :  fimiliter  foetus  caefarei ,  qui  vivi  educuntur  ,  hu- 
mores  novo  aere  imbutos  a  matre  jam  moriua ,  atque  adeo 
non  refpirante  excipere  non  potuerunt.  Addit  Bernoul- 
Lius  ,  fi  ex  hac  caufTa  raorerentur,  quibus  fpirandi  facultas 
adimitur,  tardius  faltem  effe  interiiuros.  (A)  Demum  Pit- 
Caknius  obfervat,  catulum  ,  obftrufto  ore,  &  fublata  re- 


(c)    Truston   de  refpir.  uAi  diatriba  a  p.  104  ad  107.    .  j 

id)     Idem  I.  c.  p.  107  ,  108.  I 

(f)    Vide  apud  Hallerum  I   c.  p.  315,  316. 

{/)  DioNis  Anaiom.  de  I' hom.  p.  44J:  Qui  homines  quofdam  ftrangulationis 
vim  elufifTe  putat ,  quod  vias  foetus  adliuc  apertas  fanguis  repetere 
potuerit.  Eadem  eft  opinio  Bernoulli  in  difputatione ,  quae  exdat 
in  colleft.  Haueriana  p.  638. 

(rt    Berserus  I.  c.   p.  499, 

(Aj    L,  c,  p,  615 ,  6*6. 

Ipira- 


I'} 

^ii^tione ,  haud  minus  perlre  ,  licet  per  tranfufionem  fan- 
guinem  interim  commuter  com  alterius  atiimalis  libere  fpt- 
Mntis  fanguine,  ficque  fanguinem  adcipiat  aere  divitem  (/)• 
y^  IV  Ad  alterum  refpondet  Celeber.  Hallerus  haud  ita 
fiibito ,  nee  ex  paucis  refpirationibus  recens  nati  pulmo- 
nem  mutari ;  quin  imo  etiam  poll  plufculas  refpirationes 
avium  pulnOonem  ne  quidem  natare.  (/:)  Quoniam  ivero 
mora  in  variori  acre  'paullatim  pulmones  iteriim  denfiores 
evadunt(/),  haud  impoffibile  effet ,  aSre  paullatim  ad  ma- 
jorem  raritatem  perdufto  ,  ac  interim  per  partes  renovato 
(771),  p«-iftinam  pulmoni' denfitatem  reftttuere  ,  atque  adeo 
animalia  a  fpirandi  neceffitate  liberare ',  fi  ab  ea  fola  cauff* 
haec  neceffitas  penderet. 

f  Obliquitas  duftus  arteriofi  ,  &  ovatis  foraminis ,  obfervante 
Daoustene  (  /I  ),  a  refpiratione  non  mutatur,  augeturve  ,  nee 
propterea  in  cauiTara  afFerri  poteft  ,  cur  femel  coepta  re- 
fpiratio  ejufdem  perennandae  neceflitatem  inducat. 
*'^'V  .  Dilatatio  arteriaruni  pulmonalinm  aitgebit  quidem 
f|5irandi  neceffitatem ,  feu  eamdem  urgentiorem  efficiet ; 
fed  quum  ea  mutatio  a  paucis  refpirationibus  exfpe6tanda 
non  fit,  idcirco  primae  iliius  neceiiitatis  ,  quae  poll  pau- 
cas  refpiratioiie*  nafcitur  ,  cauiTa  efle  nequit. 

Nee  etiam  phoenomeni  explicario  peii  poteft  a  claufo 
foramine  ovah  ,  duftuque  arteriofo  ,  quae  nonnifi  progreflu 
temporis  ,  diuturniorique  re/piratione  demum  clauduniur  (0). 


(j)      De  cauffrs  diverf.  itiolis  §.  19.  h\  etiam  expeitmentum  a  Duverneyo 
rcfertur.  Oeuvres  anatom.  II  p.  82. 
J)    L.  C.  p.  314. 

/)     GuiDEUs  tranf.  philof.  n.  r»i  Musschemb.  in  Florent.  p.  51,  51  rot.  a. 
m)    Vid.  Mifc.  Taur.  II  p.  i8d. 
n)     In  difput. ,  quae  exftat  in  colfeft.  Hailer.  p.  689. 

0)     BerGERUS  dC  natur.  hum.  p,  498.  QuinJo  nunc    refpir.ivit  animal,     non 
quidem  cominuo  aut  dudus  aritriofur  cl'uditur  ,  am  foramen  ovale  HAtr 
LER.  1.  c    p.  315.  Coafer.  eumdem  op.  niin.  ).  p.  440. 
Mijc,  Taur.  Tom.  V.  4 


114 

Poftremo  ex  pielHone  .^eris ,  ac  neceflitate  elaftici  flui- 
di  in  fanguuie  refpirandi  necellitas  deducenda  non  eit,quum 
&  in  utero  ac  membranis  comprehenfus  foetus  mediatam 
quidem  ,  Ted  minime  dubiam  aeris  preflionem  patiatur,  & 
foetus  humores  jam  elallico  aere  referti  fint,  ut  alibi  con- 
itabit  (/>).  ! 

VI  At  vero  longe  probabilior  Harvejani  problematis; 
folutio  fe  offerl  ex  oblletricantium  conftami  obiervatione 
petita,  qui  tradunt,  in  partu  foeium  interfici,  queries  funi- 
culus umbilicalis  ante  caput  ita  propendet ,  ut  inter  ipfum, 
&  uteri  oltium  comprimatur  prius,  quam  infan? ,  exerio 
capite  ,  &  auram  captare  ,  &  relpirare  poiuerit  (  ^  )  ,  ea 
nimirum  ex  obfervatione  coUigitur  ex  intercepto  placentani 
inter  &  foetum  vel  in  ipfo  utero  commercio ,  intantem 
interfici ,  fi  interim  refpirare  non  poflit.  Hinc  BoHNius 
exiftimat  foetus ,  qups  vuigo  mulierculae  ex  funiculo  circa 
collum  circumvoluto  inter  pariendum  ftrangulari  fibi  per* 
luadent,  non  quidem  ex  ftrangulatione  lufFocari,  fed  pQtius 
ex  nimia  circumdufti  funiculi  tenfione  ,  aut  preffione  ,  ex 
qua  cum  placenta  commercium  intercipiatur :  fiquidem  re- 
fpiratione  haftenus  impune  caruerint,  &  etiam  nunc  carere 
poflint ,  commercio  cum  placenta  ,  quamdiu  refpirandi  fa- 
cultas  non  datur  ,  (ine  vitae  dUpendio  non  poffint  ( r  ). 

VII  Equidem  nonnulii  opinati  funt ,  fublato  cum  pla- 
centa commercio  ,  refpirationem  tantopere  neceflariam  eva- 
dere  ex  eo,  quod  foetus  ,  qui  fanguinem  matris  aere  refer- 


(/»)    Vid.  infra  cap.  III. 

(  ^  )  RoEDERER  art.  obft.  p.  99,  198,  296,  306;,  307 .  Funiculus  etiam  a  per 
ftore  aut  pelvi  contra  uteri  oftium  compreffus ,  iniercepto  fatigUinis 
citculo  ,  foetum  interficit  ( ib.  p.  nz).  Eadem  ob/eivacio  a  Mervo 
propofiu  fuerat  ( Mem.  de  I'Acad.  T.  X ) ,  &  a  Mauriceaux 
(  Malad.  des  fern.  cap.  xxxvi)  Monro  (  eflais  d'edimb,  II  p.  t^) 
Hebensreit  (  puthol.  funic,  urabil,  §.  10,) 

f  r  )     Infantic.  p.  358  . 


«'5 

turn  exclpere  nequit ,  nifi  refpirando  aerem  hauriat ,  quo 
iplius  humores  imbui  pofllnt ,  ex  penuria  aeris  in  eifdem 
humoribus  moriatur  (s).  At  earn  alii  opinionem  gravif- 
fimis  difficultatibus  prerai  fuperius  obfervavimus.  Quare 
longe  verofimilior  hujus  phoenomeni  explicatio  videtur , 
quam  tradidit  DAOUSTtNC  ex  mechanica  necelfitate  dedu- 
ftum  \,  fcilicet  ligatis  arteriis  umbilicalibus  majorem  reft- 
ftentiam  opponi  fanguini  in  inferiorem  aortam  influent!  , 
qui  prius  libera  in  placentam  efFundebatur  :  hinc  fangui- 
nem  in  aorta  inferiori  congeftum  refiftere  fanguini  per  du- 
Aum  arteriofum  advenienti ,  qui  propterea  majori  nifu  in 
pulmonales  ramos  irruat.  Similiter  ligatam  venam  umbili- 
calem  efHcere,  ut  copia  ,  &c  impetus  fanguinis  in  dextram 
auriculam  advenientis  minor  fit ,  qui  propterea  facilius 
coerceri  poflit  ab  aufta  jam  copia  fanguinis  per  pulmo- 
nales venas  in  finillram  auriculam  influentis  ;  ex  utraque 
vero  cauiTa  impetum  &  copiam  fanguinis  ad  pulmonem 
tantopere  augeri ,  ut  ablque  refpiratione  tranfmitti  non 
poffit  :  hinc  ex  fanguine  in  pulmonibus  cohibito,  ac  con- 
gello  infantem  luffocari ,  nifi  per  refpirationem  explicatQ 
pulmone  ipfius  trajeftus  adjuvetur  liberiorque  reddatur  ( t  ). 
VllI  Sic  etiam  ob  hgatas  artenas  umbilicales  opple- 
lioni  pulmonum  ,  &  capitis,  recens  natos  infantes  obnoxios 
effe  olim  Covperus  adnotavit  (  «  ),  &  ex  eadem  porro 
cauffa  fanguis   inferioris  aortae  arterias  pelvis  pedumque    di- 


[■] 


Mert  I.  c.  Mauriceaux  I.  c. 

In  difp.  quae  habetur  in  colleft.  Haiier  p.  688  .  Inuriiurot ,  qui  ante 
pulmonum  txpanfionem  ttiam  nativuati  proximi  oppriffa  vet  Jlrangulata 
vafa  umiilictUia  hattnt ,  quum  tx  altera  pane,  qua  venam,  iniercepio  ejus 
flumtne ,  ventriculi  cordis  anterioris  vacuiias  ,  ex  altera  autem  parte, 
qua  arterias  ,  opprejjls  tarum  canalihus  ,  plenitudo  ventriculi  cordis  po- 
jlerioris  ,  ac  dephiio  e]us  impedita  ,  hinc  fuHlanea  mors  necejfaria  co/l- 
ftquatur.   HebENSTREIT  I.  C.  §     9. 

'(tt)    In  append,  ad  anaioiu.  hum.  Corp.  c.  ^9. 

q  » 


I'  116 

latat  (x)  y  unde  inferiores  arms  injignuer    augentur     {y). 

Ex  venae  autem  umbilicalis  ligatura  iclerum  recens  oato- 
-fum  proficifci  fufpicatur  Q.  Morgagnus  (  ^ ).  An  verb 
•ex  eadem  etiam   cauda  lac  in  mammis   recens    natorutm, 

ex  aufto  fcilicet  fanguinis  impetu  in  mammarias  arterias.? 

IX  Quemadmodum  vero  ligato  funiculo  augetur  im- 
petus fanguinis  ad  pulmones  ,  lie  vici/lim  per  refpiratiooem 
liberiori.  parata  via  fanguini  in  pulmonem  advenienti:,  ejus  '• 
impetus  a  funiculo  avertitur.  Hinc  eft,  ut  funiculi  ligaiu- 
ram  licet  tutiorem  ,  rninimeque  omittendam  ,  baud  tamen 
neceflariam  e(Te  CI.  viri  contenderent  (a),  quod  nempfi 

"-ifanguis  multo  minori  impetu  ad  ipfura  pellatur,  poftquam 
,jper  refpirationem  explicaio    puJmone ,    in    hunc    copioiius 
liberiufque  decorquetur. 

X  Ex  quibus  jam  fu'virur  problema  Harvejanum,  cur 
nempe  infans,  ubi  I'emel  refpirando  aerem  hauferit ,  eo- 
dem  deinceps  carere  non  poffit,  (  I  )  fcilicet  per  refpira- 
tionem fanguis  a  funiculo  avertitur  (IX)}  defeftu  vero 
fanguinis  ,  &  aeris  contaftu  turn  funiculus ,  turn    placenta 

^refrigerantur :  &  immeabilia  fiunt  {b).  Hinc  nee   fanguis 

fx)    Haller  pr.  lin.  §.  913  ,  948. 
y  )     lb.  §.  952. 
(  ^  )     De  cauf.  ,  &  fedib.  ep.   xlviij  §.60.  ' 

(a  J  Primus  banc  obfervationem  propofuit  CI.  Fantonos,  (anan  corp. 
hum,  p.  161  ),  quae  multo  magis  in  brutis  obtinet,  quatn  in  homi- 
ne.  Confer  Cel.  Hallerum  cI.  phyf.  viij  p.  i  p.  441 ,  &  fc-, 
(i)  Pulcherrimac  funt  ,  &  ad  rem  noftram  apprime  faciunt  Roedereri 
obfervationes  ,  quibu-s  conftat  ,  extrafto  foetu,  nee  compreffo  funi- 
culo, calnrem  primum  ,  dein  piilfum  in  hoc  exftingui,  in  locis  pri- 
mum  ab  umbilico  magis  diflltis  ,  inde  pedetentim  in  propioribus  ; 
idque  intra  pauca  minuta  contingere  ,  fi  placenta  edu£la ,  &  fngida 
aijri  expofita  fit,  paullo  tardiiis,  fi  foetu.s,  funiculus,  &  placepia  intra 
fcpidum  demerganiur,  vel  fi  placenta  ad  uterum  adhuc  adhaerear  . 
Ex  quibuR  concludit  pioculdubio  pulfus  in  funt ,  quum  natus  tfl  infans, 
Ceffat  propter  novam  partim  circulailonu  in  infnnie  a  rifpiratione  ratio- 
nem  ,  pariim  propter  cxurni  airis  ,  a  tjuo  funis  iifficitur,  coruaflum.  .Vid. 
Auft.  icon,  liter,  hum.  tali,  vj  p.  2-» ,  18 .  CanJiius  umtilicaliius  rr- 
frigeratis  ,  fanguis  ,  tjuem  continent  ,  ommm  mox  vitpl"inem  Je"on'' 
con^ilafcii  BoHNlVS  I.  . 


funiculi  viam  ,  quam  ob   inchoatam  refpirationem   deferuit, 
repetere  poterit  ,  nee  propterea  intans    refpiratione    dein- 
jceps  carere  (  VII ). 

XI  Hinc  eft,  ut  per  refpirationem  recens  natus  novam 
alacritatem  acquirat  (c):  fie  enim  fanguini  aegrius ,  ac 
tardius  per  refiftentem  funiculi ,  ac  placentae  viam  circa- 
meunti  nova  ac  liberior  paratur,  unde  expeditior  per  uni- 
verfum  corpus  ipfius  circuitus  evadit.  Hmc  etiam  ratio 
eruitur ,  cur  debilis  infans  ,  quamdiu  non  refpiravit  citius 
reficiaiur ,  fi  funiculus  non  fuerit  deligatus ,  &  cur  cauti 
obrtetricantes  non  prius  vinciant ,  quum  coeperit  refpirare 
((/),  ne  videlicet  per  ligaturam  nova  fanguini  debiliter 
moio  refillentia  opponatur ,  ex  qua  debilis  circuli  vires 
ita  opprimaniur ,   ut  metuendum  lit ,  ne    penitus    fatifcant 

XII  Quum  ,  intercepto  per  funiculum  circuitu,  foetus 
neceffario  pereat ,  nifi  refpiret  (  VI ) ;  hinc  perperam  non- 
nuUi  ex  nodis  in  tuniculis  foetuum  quorumdam  repertis 
eos  noniiifi  per  os  nutriri  potuide  concludunt  (e).  Eifi 
enim  per  os  nutriri  aliis  argumentis  fatis  fuerit  eviftum 
if);  ex  ea  tamen  obfervatione  fententia  haec  nequit  con- 

.firmari :   nam  fi  nodi  ejufmodi   fuiffent ,  ut    fanguinis     tra- 
ijtfftum  per  funiculum  impedirent  ,  non  folum  nutrimentum 
fuftuliffent ,  fed  &  fuppreffo  fanguinis  circuitu  (^  VII )  toe- 
turn  enecalTent  {§)> 


( f.)  Solus  inter  caiulos  caefareos  robur  demonftravit  ,  qui  refpiraverat 
(  Haller  el.  phyf.  Ill  p.  318)  nova  alacritas  animalis  pofl  capnum 
aerem  (  ib.  viii  p.  II  p.  i6x)  fi  ovum  ferpentis  frangatur,  quum  ex- 
cluConi  proximus  eft,  ferpens  apparec  in  fpirain  contortus  ,  &  im- 
inoius ,  fed  portquum  bis  terve  ore  hiaverit ,  aeremque  haufeiit  ,vi- 
vidos  motus  habec.  Aer  repenie  machinam  in  motum  cict.  Duver- 
NEY  I.  c.  p.  573. 

(J'\    RoEDERER  el.  art.  obft.  p.  167,  Hebenstreit  I.  c.  §.  10. 

it)    Petit  M6in.de  I'Acad.  an.  1718  Heister  comp.  anat.  p.  316. 

(fS    Vid.  Hallerum  phyf.  el.  viij  p.  I  p.  201  &  feq. 

(f;)    Haec  obfervaiio  Monroi  cA.  EiVais  d'EoiMBOVRG  II  p.  196. 


ii8 

XIII  Ex  propofito  igitur  phoenomeno  (  VI  ,  VII )  cor»- 
ftar,  magnam  partem  fanguinis  in  foetu  reSius  ad  umbiUcales 
arterias  duci ,  &  a  pulmone  onus  averti  (  /:  )  i  3C  propterea 
placenram  tamquam  diverticulum  fanguinis  confiderari  pofle, 
dum  pulmo  ex  aeris  defeftu  nequeat  diiatari  ( i  >,  Etfi 
enim  in  oviparis  defit  ,  hinc  diverfa  in  ipfis  oeconomia 
admittenda  videatur  (  A:  ).  Attenta  tamen  obfervatio  demon- 
ftrat  aliquid  analogiim  ipfis  reperiri  ,  quod  eidem  officio 
inferviat,  Revera  Nehedamius  refert  in  ovo  etiam  tunicas 
injigniter  crajfefcere  ,  &  fpeciatim  in  ovo  anferino  albuminis 
tenuioris  lunicam ,  fub  finem  incubationis  exiguas  quafdam 
carneas  papulas  Jibi  interfperfas  ubique  ojiendere  iis  fere  fi- 
miles  ,  quae  in  equa  occurrunt  (  /  )•  Eae  igitur  tunicae ,  &  . 
vafa  per  eas  diltributa  in  ipfis  etiam  oviparis  detorquere  \ 
fanguinem  a  pulmone  poterunt ,  &  vicariam  placentae  vU 
viparorum  operam  praertare  ,  quod  confirmatur  elegantiti 
fimis  perfpicaciffimi  Halleri  obfervationibus ,  qui  nempej 
vidit  in  pullo  incubato  turn  demum  pulmonem,  &  dextrut 
ventriculum  evolvi ,  qaum  membrana  umbilicalis  ,  &  rami 
arteriofi  per  ipfam  diftributi ,  immutabili  ovi  longitudine 
terminati ,  minus  extenfiles  evaferunt ,  &  magis  refiftunc^ 
fanguini  per  inferiorem  aortam  advenienti  :  ex  hac  enim 
refiftentia  fieri  cenfet  Vir  fapientiflimus  ,  ut  dextra  auricula 
juxta  derivationis  leges  in  dextrum  ventriculum  facilius 
fe  exoneret  ,  quam  in  finillram  auricalam  }  propterea  & 
ipfiim  auriculam  dextram  &  ventriculum  dextrum ,  &  pul- 
monalem  arteriam  evolvi  ac  diiatari ,  majoremque  fangui- 
nis quantitatem  ad  pulmonem  pelli  ( m  ). 


'  k)    Haller  pr.  lin.  §.  924 


Needham.  de  fornii  foetu  in  Bribl.  Makget  i  p.  s;3. 
k)    Id.  ib. 

Idem  p.  545. 

Formation  <b  c<r«r  11  p,  100,  lOl,  102. 


;U 


XIV  An  non  igitur  quantltas  fanguinis  ad  pulmonem 
appellentis  ienfim  au6^a  ,  tandem  tanta  erit,  ut  non  neque 
libere  ablque  refpiratione  tranfmitti  amplius  poflit?  An  non 
quum  primum  ex  hac  cauflfa  gravari  incipiet  pulmo  ,  an- 
xietatem  aliquam  puilus  experieiur  ,  primofquc  refpirandi 
ftimulos  percipiet  ?  An  non  adeo  turn  demum  incipiet 
reipirare  ,  quum  ab  umbilicali  membrana  repulfus  Tanguis  , 
majorique  copia  ad  pulmonem  delatus,  quam  ut  commode 
traiil'mitti  poilit  anxietatis  fenlUm  excitare  in  eodem  inci- 
piet ? 

XV  Haec  aut  his  fimilia  in  homine  etiam  &  vivapa- 
ris  locum  habere  obfervatio  fuadet :  nam  in  his  etiam  , 
progrediente  gellatione ,  placentae  ad  foetum  proportio 
minuitur  ( /2  )  ,  &  magna  pars  foraminis  ovalis  obcuratur, 
ut  folus ,  tranfverfim  ovahs ,  obliquus   aditus  liber  fit ,  qui 

ii)  mature  foetu    —  venae  Cavae  vix  fuperet  (  o  )  ,  ex  qui- 

bus  cauflls  ventriculus  cordis  dexter  juxta  derivationis  le- 
ges explicatur  (/»),  licque  quantitas  fanguinis,  &  impe- 
tus in  pulmones  gradatim  augetur.  Quapropter  non  inve- 
rofimile  ert,  turn  demum  foetum  ad  refpirandum  follicitari , 
quum  tanta  quantitas  fanguinis  ad  pulmonem  affluit,  ut 
aegrius  tardiufque  per  ipfura   tranfmittatur, 

X^I  Hinc  aliquod  robur  ad  illorum  opinionem  vide- 
tur  accedere ,  qui  foetum  refpirandi  defiderio  ad  exitum 
excitari  docuerunt  (  ^ ).  Quoniam  eaim  in  utero  refjiirare 


(n)     AsTRUC.  Art.  (Taccoucher  p.  210. 

(o)    Hauer  pr.  tin.  §.  9*2  ,  aut  ad  fummum  —  el.  phyf,  vAj  p.  lip.  r^, 

10 
Id.  pr.  lin.  §.  911. 

FABRiciusab  Aquapendente.  Vid.  Harveum  de  partu  p.  338  Pechlinus 
cap.  xij,  BoHNius  circ.  anat.  progyra.  Ill  B£RGeru5  I.  c.  lib.  II  cap. 
Ill  p.  492,  DieMerbroek.  anat.  lib.  i  cap.  XXX\'  p.  314  Liev- 
TAUD  el.  pliyf,  p.  196. 


Hi 


nequit ,  quum  primum  majori  copia  fangu'mis  per  com- 
prefTos  pulmones  difficilius  trafmittendi  gravari  incipiet , 
anxius ,  inquietufque  evadet ,  primofque  m  paritura  pa- 
riendi  ftimulos  excitabit ,  quae  caulTa  partus  a  natura  pe- 
tita  (XV)  videtur  confirmari  obfervatione  infantum,  qui 
mortua  jam  matre  fponte  prodierunt  ( r ):  neque  ris  diffi- 
cultatibus  obnoxia  eft  ,  quibus  ceterae  ,  quae  folent  pio- 
poni  ( J )  ,  quamquam  non  diffirear  ,  caulTas  etiam  alias 
turn  in  ipfo  foetu  ,  turn  praefertim  in  matre  ( f )  ad  hanc 
aftionem   excitandam  concurrere. 

XVII  Ex  quibus  jam  conftat ,  quae  nam  fit  primae 
refpirationis  cauflfa.  Nempe  maturus  foetus  ,  qui  vel  in  ipfo 
uiero  jam  moleftia  aliqua  ex  copiofius  ruente  in  pulmo- 
nes fanguine  affici  incoeperit  (  XV  )  ,  quum  primum  pro- 
dierit ,  &  fcfpirandi  facultatem  adeptus  fuerit ,  ob  idipfum 
refpirabit ,  ut  liberiori  fafto  fanguinis  per  pulmones  cir- 
cuitu  ,  quum  moleftiam  avertat ,  qui  porro  ftimulus  in  ne- 
ceflitatem  conveftetur,  quum  ex  ipfa  refpiratione  ,  aut  fri- 
gore  ,  aut  vinculo  ,  fublato  cum  placenta  commercio  (  X  ), 
tanta  quantitas  fanguinis  ad  pulmonem  urgebitur ,  ut  nili 
o  OK    .'  :  trii'h  fn;;j  refisi- 


(  /•  )    Hakvzvs  I.  c.  p.  345   Haller  el.  phyf.  viij  P.  I  p.  410. 

{s)    Uti  moles  pondufvc  tdetus ,   alimenti    defeftus.    Vide    Harveum    }.   c. 

■'  p.  346    Hiji.  naturtl  Tom.  IV   p.    119,   &  feq.   DlEMEEBROEKIVS,  qui 

infancem  prodire  contendit  ex  eo  quod,  ejus  calore  fenfim  au£to, 
tandem  refpirationis  refrigeria  opus  habeat  ,  haec  addit  „  ilium  autem 
.,  ealoris  incrtmtntum  atqut  coniinfit  in  parvo  foetu  ,  qui  falls  diu  in 
,,  utero  haept  ,  quam  in  magna  ,  aique  hinc  cujuslibet  maturi  foetus  fivt 
J,  magni ,  jivi  parvi  eadem  efl  caujfa  majoris  catcitralionis  ,  &•  partus, 
I  c.  p.  314. 
.,    .       Neque    vero  opponi  poteft  foetum  aerem  defiderare  non  pofle, 

>i  .'I '»  cujus  nullam  habeat  nntionem  (  de  BufFon.  I.  c.  124.)  nam  fufiictt 
eumdem,  gravato  pulmone,  inquietuiii  effe  ,  ut  uiatrera  motibus.fui^ 
ad  pattern  ftimulet,  idemque  caecus  appetites,  naium  inf^ntem  ad 
refpirandum  incitabit  ,  qui  ad  furgendum  papillam  invitat  ,  aliafjue 
magis  compofitas  afliones  edendas ,  quarum  nee  cffeftum  novit ,  nee 
inftromcnta. 

(()    Ut  menftiuae  evacuatioiiis  molimina  Dc  Bvffon  I,  c. 


reipirare  pergat,  eumdem  fuffocarl  necefie  fa  (VII):  jure 
igitur  affirmarunt  Viri  CI.  ob  eamdem  cauflam  perennare 
refpirationera  ,  ob  quam  femel  inchoavit  (u);  jure  etiam 
ftatuerunt  caufTam  banc  talem  effe  oportere  ,  ut  non  for- 
luito ,  fed  conftanrer ,  ac  neceflario  animalia  ad  earn 
aftionem  edendam   impelleret  (x  ). 

XVIII  An  igitur  ob  dolores  ,  quos  in  partu  ,  &  pod 
ipfum  ex  novi  eiementi  injuriis  infans  patitur  ad  quiritan- 
dum,  atque  adeo  ad  refrjirandum  impellitur  (y)?  At  pul- 
lus  intra  ovum  pipit  nulla  exteriori  moleftia  atfeftus ,  & 
animalia  eriam  muta  aerem  captant  ( {  )  ,  &  hujufinodi 
caufTa  tumultuariae  mufculoruro  contraftioni  porius  ,  quam 
ordinato  refpirationis  motui  excitando  apta  effet  i  unde  CI. 
Fantonus  exiitimare  ie  ajebat  ob  voluptatem  potius,  quam 
ob  dolorem  animal  recens  natum  ad  refpirandum  impelli 
(ii).  An  ob  liberaros  a  preffione  nervos  diaphragmaticos 
animal  primum  refpirat  ( ^  )?  At  in  avibus,  quibus  nullum 
diaphragma  ,  refpiratio  baud  minus  certum  exordium  habet 
( c ).  An  ob  nilum  ad  emittendas  feces  refpiratio  incipit 
dd)?  At  eae  feces  in  avibus  nuilius  fere  moment!  funt  (e), 
eafque  vel  intra  uterum  deponere  potell  foetus,  &  reaple 
deponit  (,f),  ut  proptere^  meconii  excretio  pro  eifeft u  po- 


a)    Fanton.  I.e.  p.  351  Martin  effais  d'EdimS.  i  p.  toi. 

x^     Soli   tiium  cafui  quadruptJum  ^  avium^ut  viiam    comniiture   noUm  ^   ut   motui 
•litem    temert    ex  fenfu  incommodi  fiflo  ....    Opontt     aulcm    tjufmoii'r 
caujfain  invtnire ,  quae  nequt  late   pattat    aC   ferarum   fpiritalia     Ijtcla.. 
Hall£R  el.  plivT.  Mi  p.  317. 
y^    BoRELLUs  prop.  CXVII .  Truston  1.  c.  p.  115,  \i6, 
I  )    Hailer  I.  c    p.  316 
a)    L.  c.  p.  35c,  351. 

t)    Martin  I.  c.  p.  20J:  alii,  que;  recenfct  C).  Halurus  /.  c.  p.  317:1.  6. 
c)     Uii  adnotat  Hallerus  Ioc.  ult.  cit. 
d\    Truston  J.  c.  p.  117. 
tS    Haller  I.  c    p.  316. 

./ )     Mihi  quidem  non  raro  contlf;lt  fece<  in  liquore  cmnii  contemns  ,  in    viniri- 
culumque   reforptas  invenue.  J^EEOHAM   I.  C.   p.   553.   Siinii;a  obfcivaViC 

CI.  Hallerus  I.  c.  p.  318. 
Mljc.    i^ur.    Tom.   V  E 


I  ^^ 


tius  quam  pro  caufla  refpirationis  habenda  fit.  An  aSr  pon- 
dere  fuo  in  nuper  nati  pulmonem  defcendens  ipfum  ad  re- 
fpirandum  follicitat  (  ^  )  ?  An  potius  irritatis  naribus ,  exci- 
lataque  fternutatione  eumdem  refpirare  <:ogit  (h)i  At 
nuper  natum  animal  non  reffirat  ,fi  langueat,,  etiamfi  w  lan- 
guor ponderis  necejfarium  effcBum  rnorari  non  pojjit  (i),fae- 
piffimeque  non  (tet-nutat  ( /t  ),  aut  certe  a  Iternutatione  re- 
i'piratio  exordium  non  ducit. 

An  demiim  motus ,  quo  animal  cibum  quaerit  ,  is  eft  , 
quo  vekui  infcius  primum  aerem  hauriat  ?  At  motus  quo 
cibum  quaerimus ,  aut  deglutimus,  a  motu  refpirationis  valde 
differ!  (/),  deinde  puUus  rtatim  ac  exclufus  eft  cibum  non 
quaerit  ( /w  ),  nee  infans  praefeitim  abortivus  (  «  )  ,  quum 
tamen  a  nativitate  ftatim  loleat  reipirare  ( o ).  Poltremo 
pullus  longo  ante  exclufionem  tempore  roftrum  aperit ,  & 
claudit ,  qiiafi  cibum  quaerens  ,  quum  nonnifi  poftremis  die- 
bus  &  refpiret ,  &  pipiat  (f  ). 

XIX  Cauffa  igiiur  refpirationis  eft  mutatio  fenfim  nata 
in  placenta ,  &  corde  foetus  progreflu  geftationis ,  multo- 
que  magis  fublatum  cum  placenta  commercium  ,  ex  quo 
tanta  quantitas  fanguinis  in  pulmonem  urgetur ,    ut  abfque 


(/;J    Bernoullios  I,  c.  p.  625  6i6.  Pitcarnius  I.  c.  §.15. 

(A)     L'j4na!om.   d'HEISTER  II  p.   115. 

?  i )    Haller  1.  c.  p.  317 

(  k)     OEconom.  animal  par  M.  SlGAUD  II  p.  40. 

(  /  )     Dtglaliri  abfque  rcfpirauone  adet  male  negaiur,  ut  cum  refpirationt  Jcglu' 

tiri  niqueat.   Hallir  el.  phyf.  VlII  p.  I  p.  201,  102. 
(  m  )     Aliquaindiu  nutritur  vitelli  colliquamento.  Haller  form,  du  coeur  p.  158.' 
Pulli  ovi  coriictm  ea  pane  percuiiunt ,  qua  rtfpirationc  opus    habent ,    hoc 

agentes  potius  a  refpirationt ,  quam  a  cibi  ir.dlgeniia  coadi,  quum,  flalim 

ac  e  cortice  excluji  funt ,  refpirem;  fine  cibo  autem  biduo  ,  diuiiufque  con- 

fiflant.  Fabricius  ab  Aquapen.  1.  c. 
(  n  )     Majfae  vegeiatili  Jimilis  continuo  fomno  indulget ,  vagitum  non  edit,   ciiurn 

non  appetit.  RoEDERBR.  el.  art.  obft.  §.  aoj. 
(  0  )     Statim  refpirat  vel  ante  feptimum  menfem  natus.  Pitcarniu<;  1,  c.  §.  10. 
\  p)    Jam  bora  190  aperto  roftro  cibum  quaerit  (  Haller  for.  du   coeur   U 

p   50)  quum  nonnifi  hora  451  primuui  pipiat  (ib.  p.  53 J 

.■•1 


«1J 

refpiratione  per  ipfum  nequeat  tranfmitti,  (  XVII )  Propter- 
ea  canalis  arteriofus ,  auc  foramen  ovale  ,  utcumque  aper- 
tum  (  y )  neque  fanguinem  a  pulmone  avenere  poterit  , 
neque  animal  a  fpirandi  neceflitate  immunem  reddere.  Et 
quidem  eae  viae  fuperftites  necera  a  ftrangulatione  non 
praecavent  (r  )  ,  &  foramen  ovale  etiam  Ji  ampUjfimum  num- 
quam  tanien  plenum  otiuni  pulmonis  faceret ,  quum  venae  cavae 

fanguinem    —   fere  minuat  ( j )  ,  &  eaedem    viae    in    am- 

phibiis  quibufdam  fie  diftis ,  &  in  aquaticis  quibufdam  avi- 
bu5 ,  etfi  perpetuo  apertae  maneant. ,  fuffocationem  tamen 
ab  intercepta  earumdem  refpiratione  non  impediunt  ( t  ). 
XX  Qui  autem  putarunt  ab  earum  viarum  obllruftione 
folummodo  fpirandi  neceffiiatem  afferri ,  quum  viderent  ia 
nuper  natis  eas  vias  baud  ita  fubito  claudi  ,  propierea  du- 
bitarunt  de  veritate  phaenomeni  ab  Harveo  propofiti  (1), 
nee  ira  fubito  fieri  crediderunt ,  ul  infans  tacultatem  amit- 
teret ,  per  quam  haftenus  acre  carere  impune  potuerat  (w);. 
quum  tamen  ,  ut  diximus,  commercium  cum  placenta  ob 
inchoatam  ferael  refpirationem  interceptum  illi  facultati  au- 


(?)  Quale  '"ud  a  CI.  Morgagni  obfervatiiin  in  infante  quindecirn  dierurrr, 
in  quo  valvulam  dicit  penilus  defuifle  (  I.  c.  ep.  XLVIII  §.  63  )  & 
Cmile  LiEUTAUDii  {cjfai  anat.  p.  326)  &  dcmuin  illud  Albini  in 
anu  decrepita  ,  quod  cum  corde  increverat  ,  &  per  actaiem  augcri 
perexerat  (  anat.  Acad.  lib.  I  c.  IX  p.   34, 

( r )  In  noflris ,  6"  aliorum  cxperimentis  aperiuin  in  homine  ,  inque  animali  id 
foramen  mortem  ab  aquis  minime  moralum  efl ,  neque  necem  a  ftrangulj.. 
tione,  aut  a  fufocatione  fequentem  averili  Hailer.  el.  p'lyf.  Ill  p.  252; 
flmilia  iterum  ib.  VIII  p.  II  p.  159.  Inutilis  foret  levit  ilte  hiatui 
tanto  fanguini  tranfmiuenJo.   BARTHOLIN,  anat.  p.  410. 

(s")     Haller  I.  ul.  cit.  p.   14. 

K'\    Id.  ib.  HI  p.  270,  &  in  Boerh.  not.  14  ad  §.  691. 

(•)  Boerhaave  in  prael.  ad  §.  ^91  inflit.  ad  verbum  mu/amr.  Centra  DiE- 
MERBROEKius  DC  in  anijiio  quidcin  conienium  eouinum  pullum,  vel 
ad  horae  femiquadrantem  extra  uterum  vivere  afiirniat ,  &  errori.s 
Hakvcvm  redarguic  (I.  c.  lib.  I  cap.  XXXV  p.  31;).  Verofiniiliter 
uli.-i  eventus  frigoti  tiibucndus,  cui  fecuaJinae  extra  uteium  fuerunc 
upoliue. 

r   z. 


114 

ferendae  par  (it  (  X  ).  Alii  putarunt  per  eas  vias  utcumqae 
apertas  languiiiem  moveri  amplius  non  polFe  ;  cur  autem 
moveri  non  poffer,  cauffam  quaefiverunt  in  eanim  viarum 
obliquitate  (  x ),  Alii  demum  eas  vias  fufficere  cenluerunc 
futioeationi  praecavendae  (j>');imo  impedito  earum  coalitu 
per  trequentem  receiis  natorum  in  tepidam  fubmerlionem 
vera  amphibia  effici  potle  Iperarunt  (  {  )}  quod  tamen  & 
me  olira  frullra  in  recens  naiis  telibus  tentaffe  memini , 
3i  rieri  non  polle  propoiua  ratio  (  VI  VII )  pieniilime 
evincir. 

XXI  Equidem  eae  viae  foerui  peculiares ,  li  apertae 
maneant  ,  quum  oneris  pariem  a  pulmone  avertanc  ,  etfi 
plenum  ipfius  oltium  tacere  nequeunt  ( XlX  )j  efficient  ta- 
men ,  ut  animaiia  pauUo  diutius  refpiratione  carere  pof- 
(int ,  quam  cetera  ,  in  quibus  eae  viae  jam  tuerint  coaii- 
tae  ( a  )  }  ex  quo  apparet ,  cur  recens  iiaia  animaiia,  fi  in- 


(x)  Quairitur  quae  fit  caujfi ,  cur  intcrcepto  infantis  in  lucem  idiii  fpiritu , 
itlius  fangu'u  ,  elfi  per  piilmones  moveri  nequeai ,  per  aniiquas  tamen  illas 
vias  traofirt  non  conetur :  hoc  en'im  fi  fierel,  viJeiur  per  aiiquod  faliem 
tongius  temporis  fpatium  non  mcriiurum,  Thruston  J.  c.  p.  loi.  Vide 
fupra  2,3. 

(j/)  Auftotes  I'upra  citati  §.  a,  not. /"  turn  Muschembroikius  ,  qui  felcs 
recens  n.itos  in  vacuo  inflari,  profterni,  voineie,  fed  non  moii  con- 
tcndit  (In  Florent.  p.  56,  col.  Acad.)  &  alibi.  Fda  ,  inquit  ,  etiam 
odo  Jifius  poll  nativiiaitn  non  moriumur  in  vacuo,  nee  alia  quihus  fo- 
ramen in  coide  ovale,  turn  canalis  in puimonitus  arterjofus patel.  Incrod. 
ad  Pliilof.  nar.  §.  2166. 

(5;)  An  confuciudine  fieri  pcjjit ,  ut  fanf^uis  antiquas  femilas  rrpelal ,  mihi  nondum 
compertum  efl  ,  quair.vis  illud  fieri  ,  led  rarilTime  poffe  urinatorcs  ,  & 
animaiia  quaedam  alia  non  contcninendo  proifu";  argunicntn  fint. 
Thruston  \.  c.  p.  110.  Fieii  pofTe,  &  inde  amphibia  paiari.  Boer- 
HAAVE  loco  ultimo  citato ,  &  CI.  De  Buffon  ,  qui  cxperiineatum 
inflituit  hift.  natur.  IV  ,  p.   176. 

(a)  Niiper  nata  animaiia  difficilius  flrangulari ,  Bohnius  infant,  p.  355, 
Quum  ligata  fuiffct  afpera  arteria  ,  port  10  minuia  aiirc  opus  habe- 
bant  (cK  BiRCHJ  Hallerus  el.  pliyf.  Ill,  p.  316,  not.  /)  aut  poft 
24  demum  hoias  (ex  Senac.  ib.  p.  314,  n.  /)  quod  incredibile  vi- 
dctur  ,  nifi  fyncope  ,  aut  alia  fortuita  cauffa  acceflerit.  Feles  rcccns 
natae  7  minutis  in  vacuo  pereunt.  Bovle  ex  p.  pneutn.  tit,  IV, 
jk  de  iclat.  iaiei  aisrem ,  &  flatn,  vital,  animal,  exp.  VI, 


firmiilima  fuerint,  ad  horas  aliquot  refpiratiouem  ncn  mo- 
liancur  (b)i  quum  enim  neceffitas  rdpirationis  ex  vi  ,  ik 
impetu  circumeuntis  fanguinis  dependeat ,  aique  ob  idipl'uin 
fubmerfi  ,  lyncoptici ,  convulli  homines  ad  temp  us  inter- 
dum  fatis  longum  refpiraiione  carere  poflint,  quin  enecentur 
(c),  eo  potiori  latioae  hoc  privilegio  eos  gaudere  necefie 
elt ,  quibus  ob  nondum  obibudas  memoratas  vias  minus- 
urgens  necellitas  relpirationis  incumbit.  (  ^ ) 


(  A  )      Qu  jni/o  infans  langutt  aliquo  ne^ut  minima  ttmport  aifque  rtfpirtllont  ptr- 
Jurat.  Haller  el.  phyf.  Ill  ,  pag.  225  ,  317. 

(c)     Coiiter  Hallirum  I.  c.  p.  266.  Diemerbroek  I.  c.  lib.  II  cap.  XIII. 

\d)     Hue    fpcdare   videniur   nirtoriae  a  Bohnio    propofitae   de  recens  natiu 

puellis  ,  quae  quum  fub  terrain  fepultae  fuiflenr  ,  viventes  inde  pro- 

tra£lae   fuerunt ,  etfi  carum    altera  per  feptcm  horas  delituilTei  (  I.e. 

P-  3^5'    35^)    adveriit    fiquidem    ipfe  Bohnius    infirmum    aliquando 

cxcluJi  parium  ,  uc  omni  fc'ifu  ,    rnotu  ,    ac    rifpiralione   per   aliquot    mo- 

menia  ,  feu  notahile  icmpus  dtfliiui    viJeaiur  ,    inde    qiiaj!    fyncopii^aniein 

vitam  in  apricum  poni.    (  lb.  p.    352  ).   Et    pauilo    pert.  Simile  quid  his 

fieri  concipiendum,    quod   in  hiflericae  ,    &    hypochondriacae  fujfocaiianie 

nonnullis    fpeciekus  ,    6"  animi  dcliquio  contingere  otfervarr.us     in  his  ni- 

mirum  affeOiius  infpiraiionem  aeris  evidenter  inie'poUri per  notahile  lempus 

fine  vitjc  cum  morie  comrrutaiione  (p.  354,   355)  Hue  fpcitare  quoque 

videtur  fimilis  hiftoria  a  Boerhaavio  relata  (  pracl.  I.  c.),  nifi  quod 

in  hac  relictus  funiculus  cum  kcundini.s ,  &  cum  infante  fepultus  aj 

eius  vitam  fervandam  confpirarc  potuerit. 

Hallerus  catellum  recens  natum  ,  qui  tatnen  refpiraverat  per  diraidiam 

horatn  in  tepida  vixifle  vidit ,  (  fut  la  refp.  exp.  113  )    &    acimalia 

recens  naia  diutius  vim  vacui  ferre  advertit,  (el.  phyf.III,  pag.  314'"? 

eadeinque   eft  obfervatio  Duvernet  (I.  c.  II,  p.  89  J  expeiiment'a 

etiam  Buffon.  (  vid.  fupra  n.  X  )    ad  diuturniorem  tantum  refpira- 

tionis  fufpenfionem  pertinent,  nee  aliter  videniur  inierpretanda  ex- 

periincnta    Muschembroekii  fuperius  jiot.  V.  memorata. 


1 16 

CAP.    II  I. 

In  quo  nam  pojita  Jit  neceffiias ,  ' 

in  quo    uiilitas  refpiradonis. 

XXII  Aerem  refpiratum  non  allam  ob  cauflam  refpi- 
rationi  ineptum  evadere  oftendi  ,  nifi  ob  noxios  ad- 
mixtos  vapores,  qui  &  animalibus  infenfi  fint,  &  flam- 
mam  fufFocent,  &  odore  foetido  fe  prodant.  Nam  eam- 
dem  aeris  quantitatem  multo  diutius  refpirationi  infervire 
per  experimenta  comperi  ,  fi  condenfetur  ,  quam^  fi  in 
majus  rpatium  fuerit  expanfa ,  quod  apprime  refpondet  va- 
porum  indoli  ,  qui  multo  tardius  per  denliorem  aerem 
expanduntur  ,  eumque  propterea  tardius  ita  inquinare  pof- 
funt ,  ut  refpirationi  ineptum  reddant  (  e ). 

XXIII  Et(i  autem  vapores ,  qui  refpiratum  aerem  in- 
ficiunt ,  ipfius  elafticitatem  imminuant ;  banc  tamen  ela- 
fticitatis  jafturam  noxiorum  ipfius  efFeftuum  cauffam  baud 
effe  demonftravi ,  quum  &  exigua  fit ,  &  in  condenfato , 
iriterclufoque  acre  animalia  moriantur  quo  tempore  inter- 
clufi  aeris  preffio  atmofphaerae  pondere  multo  adhuc  major 
exfiftit ,  &  in  aperto  etiara  aere  ,  ubi  non  elafticitate,  fed 
pondere  aeris  pulmones  diftenduntur,  vapores  exitiales  fint 
(/).  Addere  poffumus  vapores  alios ,  qui  multo  magis 
elafticitatem  aeris  infringunt ,  minus  tamen  effe  perni- 
ciofos. 

XXIV  Itaque  ex  confideratis  phaenomenis  animalium 
in  interclufo  aere  exltinftorum ,  verofimile  cenfui  vi  irritante 


(«)    Mifcel.  torn.  11,  p.  199,  §.  n,  24. 

„  Aer  non  renovatus  perpetuo  evadit  lethalis  non  ob  calorem,  vel  rare- 
„  faftionem  ,  denfitatemve ,   fed  ob  aliam  occultam  cauflam,  BotR.. 
„  inft.  §.  203. 
(/■)    I"  C.  §.  44.  49. 


1*7 
eum  aerem  nocere  ,  propter  quam  broncma  ,  forte 
ctiam  pulmones  convellantur,  &  ingrefiuro  aeri  refilknt;  eo- 
dem  nimirum  nocere  mode,  quo  Boerhaavius,  &  Sau- 
AGius  mephitidis  aut  accenli  fulphuris  vapores  fuffocare 
exillimarunt  (g). 

■  XXV  Et  (i  vero  pulmones  fenfu  ,  &  irritabilitate  ca- 
rere  videantur,  id  de  externa  tantum  iplbrum  fuperficie 
verum  efle  probabile  eft  ,  quum  interna  vivido  fenfu  in- 
ftrufta  fit,  pari  modo  ,  quo  externa  cordis,  &  inteftino- 
rum  fuperhcies  parum  fentif,  interna  exquifitiflimo  fenfu 
pollet  (h)  ,  &c  revera  fulphuris  accenfi  vapores ,  aliique, 
qui  fuffocationem  afFerunt ,  fi  per  infpirationem  haurian- 
tur,  abfque  damno  in  peftoris  cavum  immittuntur  (  i  ),  quo 
folo  experimento  probatur  inter  fenfum  externae  inter- 
naeque  pulmonum  faciei  maximum  difcrimen  interce- 
dere  (h). 

XXVI  Haftenus  quidem  fibrae  verae  carneae  in  ipfo 
pulmone  demonftraiae  non  funt ;  certura  tamen  eft  fibras 
mufculares  ab  ipfa  deorfum  cartilagine  cricoidea  defcen- 
dentes ,  &  infra  divilionem  bronchiorum  deduftas  in  pul- 
mone evanefcere  ( /  );  motus  vero  pulmonis  in  ranis  aliifque 
frigidis  animalibus  ,  qui  etiam  aperto  thorace  perfeverar, 
abfque  hujufmodi  mufculari  ftruftura  explicari  non  poteft, 
cujus  vi  intrufus  in  pulmonem  aer  a  pulmone  ipfo  poffit 
expelli  (  m). 

XXVII  lis  autem  mufcularibus  fibris  refolutis  pulmo- 
num aftionem  laedi ,  aut  tolli  innuunt  experimenta  in  brutis 


(.0    L.  c.  §.  48. 

f  A  )     Haller.  el.  phyf.  I  p.  489. 
i  i  )    Langrish  experiences  fur  les  betes. 

(  A  )    De  fenfu  internae  membranae  trachaeae ,  quae  ipfa  in  pulmonem  pro- 
pagari  videtur.  Confer  Hallerum  el.  phyf  111  ,  p.  148. 

i</)    Haller.  pr.  lin.  cd.  ul.  §.  138  el.  phyf.  111.  p.  147. 
m)    Confer   MAiPieH  in  pofth,  p,  8,  MoRttAeni    adverf,  anat,  V  29. 
p.  159. 


viventibus  inftituta  dum  Ilgato  nervo  recurrente  refpiratio 
laeditur  ,  &  rariffima  fit ,  quamquam  ab  eo  nervo  nihil 
ad  feptum  veniat  ( /j ) ,  &  refpiratio  fimiliter  laeditur  li- 
gatis  nervis  oftavi  paris  ( o  ),  a  quibus  maxima  ex  parte 
dependet  (f);  eaque  propterea  laello  fibrarum  pulmona- 
lium  paralyli  videtur  ufcribenda  (<]):  fimiliter  refolutis  pro- 
pter  cerebri  morbum    pulmonuni   fibris  natum   afthma    tri- 

buunt    MORGAGNUS    (r),    &   WlLLISIUS    (s). 

XXVI 1 1  Contra  a  fpafmodica  earum  fibrarum  contra- 
ftione  id  afthma  oriri  videtur ,  quod  convulfivum  dicitur, 
quodque  fubito  invadit  ,  &  dimittit  fine  phlegmatis  excre- 
lione  ,  frequentefque  habet  recurfus  (t  )  ,  quod  confirma- 
tur  eorum  obfervatione  ,  qui  fi  retrorfum  caput  moverent 
ftatim  anheli  fiebant  j  quod  nimirum  feri  acris  colluvies  , 
quae  deinceps  cerebrum  diffecando  inventa  eft  ,  dum  ca- 
put reclinarent,  verfus  nervorum  pulmonalium  originem  re- 
lapfa  illos  vehementius  urgeret  (u).  Ex  conftriftis  etiam 
convulfifque  pulmonum  fibris  dyfpnoeam  repetit  Rydle- 
yus ,  quae  diu  hominem  vexavit,  qui  in  cellam  vinariam, 
ubi  cerevifia  fermentabat ,  imprudenter  intraverat  ,  quique 
fme  tufli  diu   ita  manfit  anhelofus  ,  ac  fi  omnia  ,    ut    aje- 

bat, 

(n)    Haher  in  BoER.  IV  p.  6i  n.  y  ,  &  ibid.  p.  lOO ,  not.  17. 

(0)  Idem  rnitab.  p.  215  exp.  182  ,  &  p.  226  exp.   185. 
tp)     Idem  irritab.  p.  231  exp.  193,  Earth,  anat.  p.  423,  425. 

1^)  Nam  ii  nervi  pulraoni  profpiciunt ,  non  diaphragmati ,  ceterifve  refpi- 
rationis  mufcuiis.  Duverney  pofth.  II,  p.  41.  Aiiimalia  feftis  nervis 
cardiacis  pereunt  ,  quia  pulmonum  nervis,  qui  eadem  vagina  inclu- 
duniur  fimul  detruncatis  ,  eorum  inflammatorius  tumor  invadit. 
Chirac,  de  mot.  cord;,"!  fpecira.  analyt.  a  p.  105  ad  109. 

tr)    De  fcdibus  epifl.  XV,  §.  6,  7. 

(1)  Ex   tali   caufTa  Wiiiisius  modo  convulfiones  repetit,  modo  paralyfes , 

&   hanim   alterutras    modo  in  ipfis  pulmonum  intimis  fibris,  modo 
in    diauhragmate  ftatuit ,  aliifque  mufcuiis  refpirationi  iofcrvientibus  , 

MORGAG.  ),    C.  §.   5. 

(()  De  GoRTER  fyftema  pras.  §.  33i.HALii  (?atiquedes  anim;iux  exp.  XII» 
§.  17,  p.  75. 

(«)      MORGAftNl    I.   C.   §.    ^  ,\>i.    .(l- 


I 


119 
bat ,  intra  peftus  coar6larentur  (x):  propterea  verofimile 
eft  pulmonalem  etiam  vaporem  ,  quo  interclufus  aer  in- 
quinatur,  iimilem  bronchiorum  convulfionem  inducere  ,  & 
animalia  in   eo  pofita  ex  convulfivo  afthmate  interire. 

XXIX  Ex  tali  autem  vi  irritante  refpirati  aeris  (III) 
etiam  deducitur  ,  cur  animalia  diu   fpiritum  cohibere   noa 

.poflint :  nempe  eadem  cauffa,  quae  efficit ,  ut  animalia  in 
interclufo  aere  intereant,  efficit  etiam  ,  ut  ab  aere  per  diu- 
tumiorem  infpirationem  retento  fuffocentur  (y  ).  Hinc  erga 
neceffitas  alterni  infpirationis  ,  &  exfpirationis  motus  ,  ut 
aer  vaporibus  inquinatus  expellatur ,  &  novo  aeri  per  fub- 
fequentem   infpirationem  hauriendo  locum  cedat  ({). 

XXX  Rem  mirifice  confirmat  Hookianum  ingeniofif- 
fimum  experimentum  ,  in  quo  aperto  pe6lore,  perforatifque 
pulmonibus ,  duplici  folle  per  trachaeam  aer  in  pulmones 
jugiter  ita  immittitur,  ut,  dum  per  pulmonis  vulnera  aer  ela- 
bilur  ,  novus  continue  impulfus  fuccedat ,  ficque  ,  &  pul- 
monem  in  perpetua  difteniione  fervet,  &  defe£turam  ani- 
malis  vitam  diutiflime  fuftineat  ( a ). 

XXXI  Equidem  fuerunt ,  qui  contenderent ,  non  tffe 
necefTarium  in  eo  experimento ,  ut  pulmo  perforetur ,  aut 
laltem  perforati  pulmonis  nullam  meniionem  habuerunt  (  ^  )i 

fx)    Obferv  de  aflhmate  p.  139,  140, 
y)    Haller  cI.  pliyf.  Ill,  p.  258,  159.  Ubi    calculo    infticuto    deraonflrar, 
rantum  iniercluC  aeris  intra  datum  tempus  vitiari ,  quantum  eo  tem- 
pore per  repetitas  infpiiaiiones  hauflum  fuir. 

(I'S     DUVERNEY    I.  e.   p.  84. 

(a)  Vid.  Boer,  praelec.  I  p.  451,  §.  203  ad  vetbum  reciproce  ,  &  IV  p.  1 
p. 32  ad  vcrbura  Hookii  Stewensom  efTais  d'Eilimbourg  VI  p.  472» 
473  per  integram  horain  animalis  vitam  in  eo  c.tperimento  fufleiv. 
tan.  Hallerus  el.  phyf.  Ill  p.  248  ad  duas,  &  piures.  Baguviuj  ,  qui 
fimilc  experimentum  inftituit  dc  fibra  motrice  p    294. 

(i)  Perlbrati  pulmonis  non  meminit  Rydleyus  (  obf.  de  allli.  p.  141  )  ubi 
Hookii  experimentum  repetiit,  nee  Baguvius,  fed  is  per  inter- 
vaila  acrcm  immifit,  nee  pulmones  in  perpetua  diflenfione  fcrvavit 
(  de  fibra  motrice  app.  p.  294 ):  ncc  Muschembroekius  ;  indequc 
faftum  videtui ,  ut  obfervaverit  experimentum  non  lacccdeic,  nifi 
foliis  per  aliquot  rtciprocaiiontt  moveaiur, 

Mifc.  faur.  Tom.  K  S 


i3«» 

quae  tameii    omnino    eft    neceflaria ,    i\    dtiltiils    animafis 

vita  per  novum  aerem  admiflum  fuerit  fuftentanda ,  fecus 
aut  per  vices  pulmonem  inflare  ,  am  aerem  alterne 
in  pulmonem  immittere ,  alterne  ab  ipfo  haurire ,  opor- 
tebit,  nee  propterea  pulmo  conftanter  inflatus  fervabitur, 
quo  tamen  inprimis  ingeniofiffimum  hoc  experimentura 
videtur  fpeftare  .  Hanc  ipfam  animadverfionem  BoE- 
RHAAVius  propofuit ,  quod  nempe  HooKius  ,  fi  diuiius 
experimenrum  protrahere  vellet ,  cogeretur  fodicare  pul- 
monem ,  ut ,  veteri  acre  expulfo  ,  novum  recentemque  in 
e)us  locum    impelleret  (  c  ). 

XXXII  Quod  fi  in  eum  tantum  finem  experimentum 
inftituatur ,  ut  pulfo  ex  pulmone  fanguine  in  cor ,  fopitus 
cordis  motus  exfufcitetur  in  ftrangulatis  fufFocaiifve  animali- 
bus,  vehemens  per  os  aeris  infufflatio  fufficiens  erit  ,  quum 
femei  flifflaminatus  cordis  motus  Iponte  deinceps  perennet, 
&  refjpirationis  organa  integra  fint ,  ficque  exfuCeitatum 
motum  fervare  queunt  (d),  fecus  ac  in  HooKii  experi- 
mento,  in  quo  aperto  peftore  refpiratio  haberi  amplius 
no'n  poteft ,  cui  ut  fuppleatur,  &  vita  fiiftentetur  non 
tantum  diftendi  pulmo  debet,  fed  renovato  affidue  acre 
repleri  :  unde  omnino  neceffarium  eft,  ut  veteri  foedatoque 
aeri  per  fodicatum  pulmonem  effugium  concedatur,  ex  quo 
novo  aeri  in  ipfum  continue   immittendo  aditus  patefiat. 

XXXIII  Igitur  exfpiratio  non  'propterea  eft  neceftaria, 
quod  fanguis  per  pulmonem  conftanter  inflatum  tranfmitii 


(  c  )  L.  c.  &  DirvERNEflrus  II ,  p.  84  ,  Stewehson  I.  c,  Lovervs  de  corde 
p.  162,  163. 

J  d)  Quo  lenfu  interpretatus  fuifTe  videtur  Hoom  experimeBtum  Thrwsto- 
Nus  ,  qui  ipfum  comparat  cum  cxperimento  Croon  ,  quo  fuffocatum 
pullum  gallinaceum ,  immiflb  per  trachaeanj  aire ,  fufcitavit,  &  cum 
alio  Nehedamii  ,  qui  flangulatum  canem  immiflb  per  du£tiUB  iho- 
wcicum  flacu  xevocavit.  (  Outrua  p.  77  )  . 


noil  poffit  (e)  J  lit  multi  cenfuerunt ,  fed  ut  foedato  aeri, 
ac  irritand  novus ,  blandufque  fuccedar.  Hinc  quemadmo- 
dumi  in  hoc  experimento  animal ,  perpetuo  inflato  pulmo- 
ne  ,  vivit ,  ex  eo  quod  aer  novus  affidue  immittatur ,  fie 
viciflim  in  interclufo  ,  nee  renovato  acre  perit ,  quamvis 
infpirationis ,  &  exfpirationis  motus  alternet.  Hinc  ,  ceteris 
paribus  ,  refpiratio  tardior  celeriorve  eft  prout  aer  denfior 
rariorve,  citius  ,  tardiufve  pulmonali  vapore  inquinatur,  & 
in  animalibus ,  qui  interclufum,  propriifque  vaporibus  jam 
ifiquinatum  aerem  refpirant ,  celerrima  evadit. 

XXXIV  Quum  vero  in  pulmone  fanguis  plurimum 
evaporet,  inde  colligi  potell  ibidem  eumdem  refrigerari. 
Equidem  in  hac  quaefti'one  parum  adeo  confentiunt  phy- 
liologorum  celeberrimi,  ut  in  fententias  oppido  contrarias 
abeant.  Alii  nimirum  cum  Galeno  munus  fanguinem  refri- 
gerandi  pulmoni  uibuunt  (/).  Alii  contra  in  pulmone  fan- 
guinem calefieri  affirmant  (g)  r  utrique  vero  ab  eadent 
obfervatione  difcedunt :  animalia  omnia  calida  duplici  cor- 
dis ventriculo ,  &  puimonibus  inftrufta  effe  y  fecus  vero: 
frigida  aut  carere  puimonibus  y  ant  tales  habere ,  qai 
nonnifi  partem  fanguinis  e  corde  ejefti  excipiant  ,  atque 
tranfmittant.  Hinc  qui  refrigerari  in  pulmone  fanguinem 
exiltimant ,  iis  tantum  animalibus  pulmonem  datum  efffr 
conllituunt ,  quorum  fanguis  ob  calorem,  quo  afficirur,  re- 


{  »  J  Ob  cauffis  varias  apud  varibs  auftores  Borellum  (  prop.  CXIX  )  Sau- 
AGiUM  (  efFets  de  I'air  p.  44,  &  feq. )  &  Boirhaave  (inft.  §.  619).. 
At  ex  hoc  ipfo  experimento  detnonllrat  Hallerus  ,  per  pulmonem 
cpnftantcr  inflaium  /anguinem  commode  tranfmitti  (ci.  phyf.  Ill, 
p.  255  )  turn  ex  argumeniis  aliis  (  ib.  pag.  257.  2S8). 

(/)  Refrigerationem  pro  praecipuo  fcopo  refpirationis  tiabuit  Hambebgerus 
(Haller  in  BoERH.  I,  p.  433,  not.  ?)  &  alii  multi  ( apud  euradem 


cl.  phyf.  Ill,  a  p.   34a,   ad  344)    turn  Daoustenc  (  difp.  p.  681 
6  41  )   HuxHAM   (  ptoleg.   de  acre  p.  IV  )  Nehkdam  ( in  biblioih. 
Manget.  I.  p.  561$). 
(1)    Au£loies  citandi  oota  feq, 

&  X 


frigerio  egens  eft  (  A  ).  Qui  contra  calefieri  opinantur,  ideo 
animalia  calida  effe  decent ,  quod  fanguis  ,  dum  per  ipfo- 
rum  pulmones  trajicitur  ,  plurimum  calefiat ,  eaque  pro- 
pterea  frigefcere,  quorum  fanguis  aut  omnino  non ,  aut 
ex  parte  tantum  pulmonis  vires  experitur  ( i  )}  hancque  opi- 
nionem  confirmant  ex  alia  neque  inceria }  in  pulmone 
maximum  fieri  attritum  fanguinis  ad  vafa,  ex  quo  maxiraus 
in  eodem  calor  excitetur  (k). 

XXXV  Verumramen  atiritus  in  pulmone  non  quidem 
major  ,  fed  minor  potius ,  quam  in  ceteris  partibus :  ne- 
que enim  attritus  aut  copiae  tantum  ,  aut  velocitati  fan- 
guinis refpondet  (  / )  ,  fed  omnino  pendet  a  refiftentia  viae, 
per  quam  movetur ,  &  ab  exceffu  celeritatis  majpri  ijii- 
norive  fanguinis  a  lergo  urgentis  fupra  praecedentem  lan- 
guinem  ,  unde  adverfus  vaforum  latera  pofterioris  fangui- 
nis vis  refleftatur.  Verum  in  animalibus,  quamdiu  refpirant, 
via  per  pulmonem  omnino  libera  eft,  &  brevisj  &;-,inir 
nimae  funt  refiftentiae  ( m ).  Hinc  vis  ventriculi  cordis", 
dextri  fanguinem  per  pulmonem  pellentis  multo  minor  a 
natura  conftituta  eft ,   quam  iiniftri  (  «  )  }  ex  quo  confici- 


{  h)  BoERHAAVK  (  in  prael.  ad  §.  loo ,  7  ad  verbum  calor.  I ,  p.  437. ) 
(  BuFFON  hid.  natur.  IV.  p.  129  8cc. ) 

(  J  )    Plcrique  auftores  citati  nota  t. 

(/I)  Ex  Halesio  in  ranae  pulmone  celeritatem  fanguinis  43  majorem 
effe,  quain  in  teliquo  corpore,  hinc  niajoiem  atiritum,  &  maiorem 
calorein  gigni  (  Scwenke  (Hematol.  p.  is).  Attriium,&  flaidilaien\ 
msjorem  in  pulmone  ponit  Boerhaave  (  infl.  §.  soo ,  7  ,  &  206  , 
208,)  (&  in  prael.  hie  ):  Winslow  (  de  peftor.  §.  154)  Daoustenc 
(  difp.  p.  547  )  MuscHEMB.  (  difp.  p.  612  )  Keiluus  (  de  fecrct. 
p.  60,  61  ). 

(/)     Sauvages  fur  I'infiam.  §.    82. 

(  m  )  Ex  eo  ipio  ,  quod  obfervantc  Halesio  fanguinis  vclocitas  in  xanae  pulmone 
43  major  fit,  ingeniofe  conclufit  CI.  Hallerus,  minorcm  ibi  refiften- 
liam  adcffe,  quum  ab  eadem  unici  cordis  vi  quaqujveifus  fanguis 
pellatur.  In  Boerh.  1 ,  nor.  r.  ad  §,  CCXV. 

(1)    Winslow  de  peftore  §.  ji. 


I?; 

tur  exiguum  in  pulmone  attritum  haberi  (  o  ).  Hue  accedit 
pulmonem  vifcus  fuapte  natura  molle,  cedens,  fpongiofum 
efl'e ,  ik  pulmonalera  arteriam  ceteris  molliorem  ,  ac  pro- 
pterea   minima  aptam  calori  ex  attritu  excitando  (p). 

XXXVI  Rurfus  obfervat  Lowerus  in  HooKU  faltem 
experiraento  ,  in  quo  conftanter  pulmo  inflatus  perftat  (IX), 
minimum  in  ipfo  attritum  haberi ,  quum  interim  animal 
aeque  caleat  (  y  )  ;ij&- in' pullo  progreflu  incubationis  ca- 
lorem  ex  interna  caufla  naici  animadvenit  Stewensonus, 
licet  nulla  adhuc  fit  refpiratio  (r);  &  demum  adnotat 
CI.  Hallerus  pulmone  obilrut^o ,  ulcerofo  ,  pene  deleto, 
morbofum  tamen  calorem  prodire   (s). 

XXXVII  Contra  jefrigerari  in  pulmone  fanguinem  vel 
ipfe  perpetuus  frigidk  aeris  ,  ac  fere  immediatus ,  &:  qui- 
dem  per  amplam  pulmonis  Cuperrtciem  ad  fanguinem  at- 
ta£lus  ,  fuadere  videtur  ,  ex  quo  plurimum  caloris  in  eum 
aerem  diffundi  debet,  ac  diffipari  (r),  &  Halesius 
quidem  quantum  inde  caloris  languini  decedat ,    fubduftis 


(o)  Ab  aere  impetum  fieri  in  piilmonem,  aut  fanguinem  in  eodemcom- 
minui  negat  Bernoulli  (  difp.  p.  6ai  )  Lowirus  (  de  corde  p.  i6y  ). 
Attriiym  in  pulmone  non  elTe  naajorem.  Haller.  (el.  phyf.  Ill  a 
p.  435  a<1  238  )  &  paium  tribuendum  elTe  aeris  preflioni  ( ib.  p. 
358   n.  /■ , /)  nee  calorem  in  eodem  generari  ( ib.  p.  360). 

(/>)  Contra  majortm  in  pulmont  attritum  nupcr  CI.  GuENET  differiationtm  fcri- 
p/ii ,  in  ,^ua  (f  parvitatem  vifctris  ,  6"  paucitatem  va forum,  6"  minut 
Ipatium.ptrcurfum,  6-  molliorem  pulmonis  arteriam  confiderat  .  Haller 
in  addend,  t.  VIII  el.  phyf.  p.   162. 

(  j)  De  coiiio  (j).  163  )  eadem  eft  obfervatio  Stewensoni  (eflais  d'Edim- 
bourg  ,VI,  p.  471 ,  47J  ,  &  feq.  ) . 

( r )    Siquidem   pallina   ova    deferere  poteft  per  lempus ,  quod  refrigerandis 


['.] 


ovis    fufficcret  ,     nifi   iniernam  caloris    cauflam    haberent   (  I.    c. 

Pr.  lin.  §.  278,  edir.  ul.  el.  phyf.  II,  p.   58, .311,  318. 

Aliqua  j>ars  caloris  tranfit  inaerera.  Haller.  in  Boer.  n.  9.  ad  §200, 

i>.P'  433  1  &  prim,  lin,  §  278,  calorem  fanguiuiscx  lupprefla  refpi- 

laiione  mu  femiborua  i  17}  augerj, 


«34   . 

calculis  inveftigavit  (u).  At  non  ea  tantum  ex  cauffa  re- 
frigeratur  in  pulmoiie  ("anguis  ,  quod,  frigidum  aerem  con* 
tingat ,  fed  ex  eo  nraxime  ,  quod  plurimum.  exhalet  ;  a 
qua  exhalatione  vel  in  ipfo  vacuo  corpora  vehementer  re» 
trigerari  a  CI.  Culllnlo  nuper  eft  demonftratum  (  x  ). 

XXXVIII  Hinc  provide  natura  videtur  utramque  uti- 
litatem  &  refrigerii ,  &  exhalationi*  pulmoni  tnbuiffe :: 
nam  quo  calor  major  eft  ,  eo  plures  etiam  progigni  de*. 
bent  partes  per  exhalationem  elitninandae.  Ex  quo  inteUI 
ligitur  cur  refpiratio,  ceteris  paribus,  eo  celenor  fit,  quo! 
calor  fanguinis  major  eft  (j)  ^  Si  item  eo  celerior ,  quO' 
magis  calor  aeris  ad  languinis  caiorem  appropinquat    ((). 

XXXIX  Inde  vero    phoenomenon  almd  commode  ex- 
plicari  poffe  videtur;   quod  a  Douglassio  eft  oWervatum:; 
lani  nimirum  honvinis  caiorem  eumdem    propemodum    re- 
inanere,  quicumque  fuerit  calor  ambientis  aeris  ,  aut  bai- 
nei,  in  quod  homo  fuerit  demerfus  (a  )  ,  quod    fane  vi- 

(u)  HAEMAtTAT  exjJ  XIII  a  p.  8i  ad  SS.CalcuIum  hunc parvi  facit  Senac; 
(  du  coeur  II ,  p.  256  )  :  de  hoc  etiam  Haller.  el.  phyf.  Ill , 
p.  346. 

(«)  Vid.  Mifcel.  11,  p.  143,  &  feq.  Inde  caloris  deperdiiio  multo  major 
Halesii  aeftimaiione. 

iy)  Quum  calefcimus  ,  magnas,  &  frequentes  refpirationes  edimus ;  contra 
quum  frigore  vexamur  ,  Jentas  ,  &  parvas :  ergo  refpiratio  non  ad 
calefaciendam  fanguinem  ,  fed  ad  eumdem  reftigerandum  data  eft  . 
Stewenson  (  eflais  d'  Edimbourg  VI ,  p.  479  )  In  ardentibus  fcbribus 
cum  rubore  faciei ,  refpiratione  frequenti  ,  pulfu  picno ,  &  frequcnti, 
aperta  feaeftra,  frigidiorique  aere  reipirato ,  rubor  minuebatur^  pulfus 
minus  plenus,  refpiratio  minus  frequens  evadebat,  etfi  ftragula  cadem 
perflarent ,  (  id.  ib.).  Similia  apud  Nehesam  ,  (  in  bibioth.  Mang,  I, 
p.  566). 

(l)  Si  aer  frigidus,  refpiratio  fenfibiiis,  ac  fere  fufpenfa ,  contra  fi  ambiens 
calidus  ,  refpiratio  fortior  erit ,  ac  frequentior.  PotssONERiUS  (traitfr 
des  fifivres  dc  s.  Domingwe  p.  15  ,  Sigaud.  11 ,  p.  61  ,  61 .  Similia 
Stewenson  cffais  d'^Edimb.  VI,  p.  310,  Diemerbroek  lib.  II,  c.  23  , 
p.  416. 

|-«)  Effai  lur  la  generation  de  la  chaleur  dans  les  animaux,  qui  liber  ex 
Anglico  converfus ,  &  adjc>aus  verfioni.  DilTert.  Martini  p.  253  ,  & 
feq.  Eiut  obfervatio  nuper  con/irmata  eft  a  fi&AVKiO.  MoV4Commen, 
AcaJ,  Petiop.  torn,  XtU,  p.  4M,  4B)t  ■■  «'"'  viiw.;:; 


I 


'5  5 

detur  repugnare    notiflimis  calefaftioni^ ,  ac  refrigerauonis 

legibus.  Nam  quum  intrinfeca  cauffa  rin  iiomine  ,  aliifque 
animalibus  affidue  calorenl  gignat,  eo  plus  caloris  in  ipfo 
accumulari  oporceret ,  quo  minus  is  calor  per  vlcina  cor- 
pora diffipatur  ;  quum  vero  eo  minus  diffipari  debeat,  quo 
ambientium  calor  major  eft ,  &  animalis  calori  proximior, 
major  propterea  eiiam  effe  deberet  caloris  ex  interna 
'CauiTa  nati  retentique  accumulatio. 

XL  DouGLASsius  quidem  earn  animalis  caloris  con- 
Aantiam  tribuit  mutationi ,  quam  ex  calore  fubeunt  va(a 
capillaria ,  quae  inde  dilatata  laxataque  minori  cum  attritu 
fanguinem  tranfmittant  ,  unde  minor  calor  producatur  ( i»  ), 
fed  multo  fimplicior  ex  refpirarione  ejus  phoenomeni  ex- 
plicatio  deducitur  ,  quum,  quo  calidior  fanguis  eft,  eo  cita- 
tior  fiat  relpiratio  ,  hinc  &  plus  fanguinis  per  pulmonem 
trajici  debeat ,  &  eodem  tempore  plus  frigidi  aeris  in 
pulmones  attrahatur.  citius  expellendus ,  &  plures  exhala- 
tiones  ex  fanguine  erumpant  ( c ) ,  quibus  eo  raagis  re- 
frigeretur  (  IX  )  ,  ut  fie  eadera  neceffitas  mechanica ,  quae 
magis  citato  fanguinis  motu  citatiorem  refpirationis  motum 
efficit ,  ut  is  fanguis  ea  majori  celeritate  per  pulmonem 
iranfraitti  poflit  ,  efficiat  eiiam  fecundario ,  ut  idem  fanguis 
plus  caloris  difperdat ,  ficque  aequabilem  fere  fanguinis 
calorem  fervet.  Similis  in  hoc  fanguis  mihi  effe  videtur 
cbullienti  aquae  ,  quae  qiiocumque  addito  calore ,  ultenuj 
calefieri  nequit ,  <lummodo  evaporate  pofiit :  nam  prout 
major  calor  additur  au6la  proportionaliter  exhalatio  parero 
ejus  quantitatem  diflipat :  fie  pro  ut  i^nguiuis  calor  auge- 


T.] 


'  L.'  c.  p.  271 ,  &  feq. 

Minimc  dubium  videtur  aerem  per  rerpiraiionem  renovatum  evapo- 
rationem  faoguinis  promovere ,  non  fecus  ac  renovatus  per  vcntuin 
majorem  efficit  evaporationem  liquoruin ,  qui  eidem  exponuniur, 
&  rn  HooKii  quidem  exp«rimento  lefpiiadoflis  vices  gerit  artificiaiit 
vemus  per  pulmonem  tiajeftus,  vapoiem^ue  pulmonaiem  abripieas. 


iy6 

tur ,  &  calor  ipfe ,  &  citatlor  refpirario  ( XVII  )  copio- 
fiorem  exhalationem  producer ;  quare  proportionaliter  major 
fieri  debet  caloris  deperditio ,  &  propemodum  uniformis 
fanguinis  calor  fervari   (  XVII  ). 

XLI  Illud  vero  propofltam  fenfentiam  refellere  vi- 
detur  ,  quod  (anguis  venofus  arteriofo  calidior  per 
carta  experimenta  non  fueric  demonftratus ,  quod  tamen 
effet  neceflarium ,  ut  conrtaret ,  arteriofum  fanguinem  ,a 
pulmone  refluum  concept!  caloris  partem  in  eo  vifcere  de- 
pofuifle  (</).  At,  fi  quod  difcrimen  caloris  inter  arterio- 
fum venofumque  fanguinem  ell  ,  illud  eft  ,  quod  ex  uno 
tantura  fanguinis  per  pulmonem  trajeftu  proficifcitur,  quum 
ad  fingulas  circuitiones  fanguis  per  pulmonem  agatur.  Jam 
vero  tempus  ,  quod  in  unoquovis  per  pulmonem  trajeftu 
fanguis  infumit,  exiguum  eli(e),  exiguamque  afferre  po- 
teft  caloris  jafturam  ( XVI ),  Nihil  mirum  igitur  adeo 
parum  inter  fe  confentire  experimenta,  quibus,  viri  Clarif" 
fimi  eamdem  inveftigarunt  (f).  Perfpicuum  nimirum  eft 
quodcumque  aut  in  celeritate  fanguinis,  dura  educeretur,  aut 
in  materie  ,  figura,  calore  vaforum  ,  quibus  excipiebatur  , 
aut  in  promtitudine  therraoroetrorum,  quae  adhibebantur  (g), 

difcri- 

(</)    Hailer  in  BoERH.  not.  ?  ad  §.  joo  inflir.  1,  p.  433  ,  &  in  prim,  lin. 

§.  182  ,  &  el.  phyf.  Ill ,  p.  346. 
(<)    Ex    calculo   CI.  Haileri    qnaelibct    unda   fanguinis  12  pulfuiim  imer- 

vallam  in  pulmone  trajiciendo  abfoivit.  In  Boer.  not.  g  ad  §.  2.08  , 

1'  P-  457- 

(/)  Sanguinem  venae  jugularis  calidiorem  invenit  St^vensonus  fanguine 
carotidis,  fed  differentia  nimia  fuit,  ut  in  eo  experimcniofc  ertorem 
adraidfTe  auftor  dubitet.  Effais  d'Edimb.  VI ,  p.  454  .  Calidiorem  etiam 
invenit  David,  in  difp.  quae  praemium  Acad,  de  Rouen  obiinuit, 
p.  98,  frigidiorem  contra  duobus  tribufve  gradibu.s  invenit  Schwencke 
nemtol.  p.  3«,  31,  &Arbuthnot  do  aerc  p.  60.  Quum  CI.  Sioaud 
expcrimenium  bis  coram  idoneis  tcftibus  cocpilTet  fe  nullum  difcii- 
men  inveniffe  affirmavir.  Oecononi.  animal.  I,  p.  313. 

(s)  Notum  eft  quam  tarde  ihernionictra  in  primis  paullo  majora  uliimos 
caloris  gradus  excipiant ,  quum  jam  calorcm  aaibicniis  medii  caloii 
pcoxlmum  acquiGverunc. 


difcrimen  experimento  turbando  fufFeciffe  ,  &  alium 
aliumque  exitum  producendo  (A).  Et(i  vero  paucos  tan- 
mm  caloris  gradus  (ingulis  per  pulmonem  circuitionibus 
fanguis  amittar ,  quum  ramen  pluncs  in  hora  univerfa  fan- 
guinis  mafia  earn  viam  relegar,  id  vel  fatis  efle  poterit 
ejus  fervori  temperando,  eidemque  intra  certos  limites  con- 
tinendo  (  XIX  ):  fic  intra  certos  limites  contineretur  calor 
penduli  ex  calidiori  medio  in  frigidius  olcillantis ,  etfi  di- 
fcrimen  ex  quovis  itu  vel  reditu  produ£iuai  parum  feniile 
cflet.  Profefto  videretur  natura  temere  pulmonem  calidis 
praefertim  animalibus  conceliiffe  (XIII),  ft  ad  calorem 
moderandum  nihil   pulmo   conterret. 

XLIl  lllud-  eiiam  propoiitae  opinioni  adverfari  videtur 
( i  ) ,  quod  animaiia  vivere  poffint  in  aere  ipforum  fan- 
guuie  calidiori  (k).  Ut  animaiia  in  eum  aerem  translata 
aequalem  primum  ipfi  calorera  concipiant  neceiTe  eft,  quern 
admoduQi  cetera  inanimata  corpora  in  eum  immerra,mox 
«X  conunuata  aiiione  cauffae  nativum  in  ipfis  calorem 
producentis  novo  calore  curaulabuntur  ^  quo  ambientis  ca- 
lorem fuperabunt  ;  quum  vero  ambientis  calor  jam  con- 
fueto  major ,  &  animalibus  incommodus  fit  ,  fi  mterim  no- 
vam  banc  calons  acceflionem  ,  quam  ex  interna  cauffa  a£- 
fidue  accipiunt,  difperdere  per  relpirationeoi  non  poflint  (/), 


(A)  In  pulmone  fangvinU  calorem  fcrvari  Boehh,  inft.  §.  soo,  7,  nfc  ca- 
Icfi'-ri,  nee  refrigerari  Bernoulli  dilp.  p.  642:  eademque  eft  opinio 
CI.  PeissoNERii,&  SiGAVD.  (  oeconom,  animal.  II,  p.  59,  60. 

(>)    BEacERus  de  natura  huniana ,  p.  ^4. 

(£}    Calor  ordinarius  in  tepidariis Rufllcls  eft  106-  Farcrneith.  ,  maximus 

1x6  (  Eraun.  I.  c.  p.  431)  CI.  RiGHMANNUs  tameo  calorem  1:5 
ftrre  poiiiii  (ib. )  quod  une  miruin,  quum  canes  ex  calore  115 
perierint  (  ib.  p.  432). 
(/)  DeinoaftrBium  a  Cullenio  eft,  evaporationem  ,  qualis  per  pul- 
monem fit,  non  fnium  aptam  eflb  ciiius  lefrigerandis  coiprribus  , 
vcrum  ciiam  per  ipf.im  ad  calnrem  minorcm  ,  qium  fit  ambicniis 
calor  evaporantia  corpora  peiduci   pone. 

ALJc.  Laur.  Tom.  /,  t 


confcquens  eft  ,  ut  ex  nimio  congefto  calore  in  vitae  dl- 
fcrimen  adducatur  (m).  Si  igitur  refpiratio  utilis  femper  eft 
ad  aequabilem  fanguinis  calorem  fervandum  (  XIX  )  ,  hie 
maxime  videtur  neceflaria  ad  praecavendum,  ne  calor  jam 
maximus  ,  &  funefto  proximus  adaugeatur,  necemque  ani- 
malibus  inferar.  Hinc  in  eo  calore  animalia  vehementips 
frequentiufque  refpirant ,  ut  eo  efficacius  imminens  peri- 
cuium  avertant  (  XVII  ). 

i  I  XLIII  Ex  haftenus  diftis  jam  iicet  definite,  in  quo 
^neceffitas  refpitadonis ,  in  quo  ipfius  utilitas  fit  coUocanda 
{n).  Nempe,neceflitas  refpirationis  in  eo  ponenda  eft, 
quod  in  exfpiratione  quidem  compreffus  pulmo  fanguinem 
Tion.  tranfmittat ,  in  diuiurna  autem  inrpiratione  aer  non 
renovatus,  vaporibufque  onuftus,  convulitonem  in  pulmond 
exciter,  unde  fimiliter  tranfinittendo  fanguini  ineptus  eva- 
dat  ( 111 ).  Neque  multum  ab  hac  neceflitate  utilitas  re« 
/pirationis  videtur  diftare ,  neque  alium  finem  natura  in 
condendo  pulmone  fibi  propofuiffe,  nifi  ut  irritaritem  mo* 
leftumque  vaporem ,  qui  ad  exfpirationem  nos  cogit ,  ex* 
pelleret ,  &  conveniens  inde  fanguini  refrigerium  afFerret 
(  XIII ,  &  feq. ) 

XLIV  Et  utrique  quidem  utilitati  confiiluifle  videtur 
in  conftruendo  calidorum  animalium  pulmone:  in  his  enim 
quum  ob  majorem  attritum  ,  caloremque  exhalatio  major 
requireretur  &  refrigerium ;  idcirco  omnem  fanguinem 
per  pulmonem  trajici  voluit.  In  frigidis  veto  animalibus 
ob  idipfum  partem  tantum  fanguinis  ad  pulmonem  videtur 


(  m  )    Ex  feri  coagulaiione ,  fanguinis  corruptione  &c.  "* 

(n)  i,  Sed  a  neceffitate  refpirationis  diiFert  ipfius  utilitas:  illam  natura  vi- 
„  taflet  pulmone  ,  aut  nullo  fafto ,  aut  tali,  qualis  in  foetu  eft.  Hal- 
„  LER  pr.  iin.  §.  176.  Comjjendiofa  natura  unicum  cordis  finutn 
„  cffecifTet,  quum  ad  generalem  circulationem  nil  conferat  proelum 
„  pulmonicum.  Fanton.  edit  i ,  p,  341.  Similia  Borellus  part.  II, 
prop.  3  ,  p.  240,  fiERNpujLU  di(p.  §.  4i  p.  631. 


dilhibuiffe ,  quod  altera  refpirationis  utilitas,  nempe  refri- 
gerium ,  in  ipfis  locum  non  haberet ;  altera  autem ,  feu 
exhalatio  minus  urgefet ,  quam  in  caiidis ,  tieque  adeo 
conllans  ,  aut  copio(a  requireretur. 

r  XLV  Ef  tamen  in  his  ipfis  animalibus  exhalationi  natu- 
ram  proipexifTe  cooftat,  eomque  imprimis  ufiim  eorum  pulmo- 
ni  iribuiffe  (o).  Et  revera  ranas  fub  aquis  ligatas  interire 
obfervavi ,  &  five  (ub  aquis ,  five  in  interclufo  corrupto- 
que  acre  rc/pirare ,  &  magno  labore  aquam  ,  vel  corru- 
ptam  aerem  haurire ,  &  licet  primum  in  interclufb  a«re, 
ipfo  adhuc  integro  ,  nonnifi  per  intervalta  ad  fuperficiem 
aquae  afcendant  refpirandi  cauiTa ,  fub  finem ,  acre  jam 
foedato ,  magno  nifu  conftanter  ad  aquae  fiiperfieiem  fe 
fuftinere ,  ut  ibi  frequenti ,  ac  laboriofae  refptrationi  in- 
eumbiftit ,  iifdem  nimirum  (ymptomatibus  afiici ,  quibus 
ealida  animalia  in  (imilibus  adjun^is  vexantur ,  ac  tandem 
iflterire ;  durationem  vero  vitae  earumdero  interclufi  aeris 
quantitati  refpondere  (/)• 

XLVI  Jam  vero  quum  in  his  animalibus ,  etiam  in* 
tercepta  per  pulmonem  via  Sanguinis  circulus  perfeverare 
queat ,  evidens  eft  talem  anxietatem  ,  &c  refpirandi  cona- 
turn,  &  laboriofam  refpirationem  in  interclufo  acre,  ac 
natam  inde  fulfocationem  non  aliunde  nifi  ex  fublata  re- 
<pirationis  utilitate  efle  repetendam ,  adeoque  fuppreflbs 
vapores  ab  acre  jam  ipfis  faturato  {q)  eos  effe  ,  qui  pul- 
monemi  veUieent  (  /"  ),  eamqUe  r<efpirandi  neceffitatem  indu- 


(«••)    Opkiioniertj  Emii,  ^'pmaftiiM  timte  puhnonewrtfe  eontendebat,  rcfutat 

Thruston   Diaiiiba  p.  i4»,  Malpighius  J.  c.  p.  lo. 
t-p)     Mifcel.  TauriH.   H,  §.  ii. 
{•q  j    Rcfpiratom  aerem  eliiialem  effe  ,    quod    perfisiratione    putmonali  jaw 

faroraius    ipfam   fupprimat,  FRJOfKUNUS  (trans,   phttef.  an.  1766, 

F.  journal  tncyclop.  ejus  anni  1 5  novcmbris  )  . 
(>r  )'  Aefcm  a  ranarum  refpiratione  flmiliter  inoumari ,  ae  a  rcrpiiafione  ca. 

)id('n(mt   aniftiitium  ,  vel  ex  co  confirmaiur  ,  qucd  is  acr  fljaiaiam 

iimiliter  cxfliuguat.   Mifc.  I ,  p.  48. 

t  X 


I40 

cunt  (/),  forte  etiam  reliquum  fanguinem  inquinent,  iifdem- 
que  tandem  interitum   inferant. 

XLVII  BoERHAAWius  cenfuit  ad  eruendam  utilitatem 
relpirationis  plurimum  lucis  afFerre  poffe  confiderationetn 
animalism  in  aere  interclulbrum  (  t ),  fed  in  his  mors  non 
lam  fublatae  ref{5iraiionis  utilitati ,  quanj  impeditae  necef- 
fariae  fanguinis  tranfmiffioni  tribuenda  eft.  Quare  (peravit 
CI.  Hallerus  ex  animalibus ,  quibus  viae  foetus  apertae 
perftant,  ejus  quaellionis  folutionem  potius  effe  exfpeftan- 
dam  (tt):  fed  amphibia  animalia,  de  quibus  agimus,  mi-j 
norem  adhuc  habeni  refpirandi  neceffitatem  ,  quum  fanguis 
per  ipforum  pulmonem  tranfmitii  non  debeat ,  propterea 
aptilfjina  folvendo  problemati  mihi  videntur  ,  &  propofitae 
fententiae  confumandae. 

XLVIII  Et  hunc  quidem  praecipuum  pulmonis  ufura 
effe  ,  ut  perfpirationi  inferviat,  jam  oHm  Galenus  docue- 
rat  ( jf )  :  ejus  tamen  opinionem  recentiores  plerique  defer 
ruerunt,  quod  hujufmodi  haUtum  mere  aqueum  eife  -arbi- 
trarentur  (y ).  Verumtamen  non  mere  aqueum  effe  oltendunt 
perfpirati    per  cutem  humoris  acrimonia ,  &  morbi  ex  co 


(/)  Quumranae  etiam  aperto  peftore  refpirare  pergant,  curiofum  effet  in 
corrupio  acre  pulmonis  motum  in  ipfis  obleivare. 

(  /  )  „  Interim  aer  praeter  modo  difta  aliquid  lefpiranti  praeflat ;  nam  noa 
„  renovatus  perpetuo  evadit  leihalis  non  ob  calorem  ,  vcl  rarefa- 
„  Aionem ,  denlitatemve  ,  fed   ob  aliam  occultam  cauflam.  Inflic. 

§•  103- 
(  «  )    „  Si  foramen  ovale  ampliier  in  adulto  homine  ,  ut  videtur  pofle ,  non- 

„  nunquam   pateret  ,   diligens  annotatio  hujufmodi   fabiicae   pofTet 

„  aliquid  forte  lucis  ad  puhnonum  utilitatem  accendere.  £1.  phyf.  VIII, 

p.  II,  p.  14. 
(*)    De  ufu  partium  lib.   VI,  cap.  i6.  Ignis    &   animalium  refpeftu  hunc 

efle    aeris    ufum  ,   ut   cxhalantes    partes  excipiat.  Morgan.  (  effnis 

d'Edimb.  IV  ,  p.  595).  Vide  confentientes  auftores  apud  Hallerui^ 

(el.  phyf.   Ill,  p.   355  ,  n.  a). 
(_>')     Bo£RH.  infiit.  §.  201,  &  in  praeledt.  hie  ad  veibam  ful/ginis  I ,  p,  448, 

&   iterum   m   prael.    ad   §.  203  ad   veibum  renovatus  I ,   p.  4j  i , 

BoREuus  prop,  97,  p.  aSi. 


MI 

repercuflb ,  &  fimilitudo  ejufdem  cum  urina ,  &  odor,  per 
quern  canes  dominum  facile  diftinguunt  (  ^  )  ,  &  morbi, 
qui  ex  hominibus  in  angurtum  fpatium  itipatis  nafcuntur 
(a),  &  refpirati  aeris  indoles  animalia  fufFocans,  ac  flam- 
mam  exftingens,  &  foetor  ipfius  aeris  a  Laghio  obferva- 
tus  (b).  Neque  exiguam  efTe  ejus  halitus  pulmonalis  quan- 
titatem  ex  Halesii  experimento  conftat ,  quo  aequalis  pro- 
pemoduro  cutaneae  perfpirationi  ftatuitur  (c).  Ex  his  eruitur 
in  pulmone  non  alkalefcentiam  produci ,  ut  Helmontius 
exiftimaverat  {d),  fed  alkalefcentes  putridas  partes  calore, 
&  attritu  in  fanguine  genitas  per  pulmones  exhalare,  ideo 
alkalefcentiae  indicia  in  eodem  potiora  haberi.  £t  animalia 
frigida,  quibus  attriius  minor  eft  ,  minorque  peripirationis 
pulmonalis  neceffitas  ,  aliquamdiu  refpiratione  carere  poffe 
(  XXIV  ),  &  infefta  abfque  pulmone  per  trachaeas  in  uni- 
verfum  corpus  difperias  eamdem  perfpirationem ,  eamdera- 
que  utilitacem  confequi  {e),  ac  demum  ftirpes ,  abfque  ullo 


'! 


JHAtLER.  el.  phyf.  II,  p.  37,  58  ,111,  p.  3,  3J4  ab  fad  a. 
Halur.  el.  phyf.  I.  c,  &  pr.  lin.  §.  290,  267. 
■t)    Vid.  Mifcel.  II,  p.  199. 

Vid.  effais    d' Edimb.  II,   p.  495. 

Helmont  Bias  humanum  §.  45,  p.  180.  Confer  Boerh.  inflic.  §  iri  ,) 
&  in  prael.  hie  ad  verbutn  volatile  I ,  p.  460 
(«)  Dc  his  Perrault  eflais  III,  p.  278,  279,  Duverney  pofth.  p.  83, 
86,  Lyonnet  oflervaz.  alia  teologia  dcgl'  infetti  del  signor  Lesser 
1,  p.  105,  106,  io8,  II,  p.  73.  Per  eas  trachaeas  aerem  recipere, 
&  cmiitere  ex  dilatationc  ,  &  conftriaione  corporis  akerna ,  qua 
aliquot  gaiident  Perrault  (  I.  c.  p.  178  ),  turn  ex  eo  quod  oleo  in- 
unftae  percant ,  obflrirdlis  fcilicet  ftigmatibus  (  ib.  p,  277  ).  Pleraquc 
infrifba  aquaiica  frcquenier  ad  aquae  superficiem  feruntur,  &  caudarn 
emiuunt,  ut  rcfpirent ;  fi  aqua  cooperiaiur,  fundum  petont ,  &  pc- 
ixunt  (  Lyonnet  I.  c.  p.  105  ).'  De  modo  vero  ,  quo  aerem  per  ■ 
trachaeas  exfugant ,  dein  expellant,  conjedturas  propofuir  Fantonos 
(  edit.  II,  p.  '^40) .  Jam  vero  quuin  vacuum  mulia  infefta  impune  feranr, 
hirudo  (  Boyle  phyf.  pneum  tit.  17  ,  e.xp.  2,  p.  456)  papiliones 
•  (  ib.  tit,  19,  exp.  6  ),  vermes  fpontc  in  lafte  nati,  (  id.  phyfico  mech. 
com.  II,  not.  X,  exp.  to),  infe^^a  hexapoda,  quae  liliorum  floribus 
Dutriuniur  (  MusscH,  in  Florent.  p.  48  ,  49  ) ,  fcarabacus,  impennis, 
tardipes  (id.  inttod.  §.  ii66).  Quum  eiiaiu  ab  iaieidufo  ai;ie  ooa  laedao' 


hujufmodi  machinamento  ( f) ,  per  amplam  foliorum  fuperfi- 
f  iem  banc  ip(am  exhalationein  emittere  ,  quae  propcerea 
eo  fenfu  non  mal^  cum  exhaiance  fuperiicie  pu'monum 
fuerit  comparata  ,  quod  vicariam  his  ipfis  utiliiatem 
afFerat  {g).  ^ 

\ 

•A 

tur  (Basin,  apud  Haller.  in  Boerh.  IV,  p.  90,  nor.  ■tg  fub  fin.l 
contra  olea  inun£ta  pereant ,  peifpicuutn  eil  non  tain  defeftu  aeris 
perire ,  quam  ex  coerciio  intra  corpus  infenlb  humore,  qui  per  &h 
gmata  exhalare  debuiflbt :  nam  ea  exhalatio  oleo  cc'crcectir,  in  vacuo 
liberior  evadit ,  fpatiutn  autem  vacuum  ,  aut  etiam  aere  plenum  licci 
cxiguuni  nonnifi  rardifTirae  ejihalante  parvorum  aninialculorum  va> 
pore  iia  repleri  poterit ,  ut  novum  erupturum  vaporem  coerceat. 
Quod  fi  quaedam  infeAa  in  vacuo  moriuntur,  id  tribuendum  videtut 
cau/Tae  a  Lyoneto  propoHiae  ,  ea  neinpe  ab  interoo  hutnorum  aexc 
exitum  non  invcniente  ,  fublaia  externi  aeris  ptefllone  fuflcicari  i.  c.  i 
p.  105  ;  fed  ut  eo  revertamur,  unde  difcc/iimus ,  chryfallldes  faltem 
aliquas  non  refpirare,  quaraquaro  trachaeis  inftruftae  fiat,  Lyomnexus 
demonArat  (  I.  c.  p.  loi,  101)  Sccenfct  Aigmata  in  iis  apcna  iiifer- 
vire  taatummodo  ad  excedentis  homoris  evaporationem  (ib.  p.  10^);  quoji 
pro  ceno  haberi  poAet.fi  conAarct  has  ctiam  chryfailides  oleo  inun- 
£las  perire ,  quemadmodum  de  chryfallidibus  generaiim  docuii  Reav* 
MURius  (bift.  des  inCeCt.  I,  p.  401), 
Ex  quibus  illud  Trui  potPe  videtur  etiam  quando  infe£ta  refpirant , 
trachaeas  eidem  ufvii.  inferyire ,  fedalieuiam  \a  eifdem  aeris  admiC- 
fionem  ,  &  expulfionem  copiofiori  evaporationi  favere  ,  qualis  ex-f 
fpe£tari  debet  ab  animali  magis  vivido,  quara  fit  cliryfatlis. 
-(/)  Eafd^m  effe  iiflulas  ,  quae  devehant  fuccum  nutritium ,  &  neteva 
^  BoREL.  epift.  ad  Malfigh.  in  poAh.  p.  1;  )  qualis  eA  ctiam  con- 
fcAura  CI.  EhiHAMEL  ( phyfiquc  des  aibres  1,  p.  43,  173)  qtit 
cenfet  ofiicium ,  quod  a  Malfighio  trachaeis  Airpium  ,  fic  di£lis  , 
tiibuitur  ,  fola  analogia  inniti  ,  nee  fatis  demooAratum  effe  (  ib. 
p.  44):  idemquc  adnotat  a'erem  non  folum  per  ea  vafa,  fed  etiam 
per  vafa  Airpium  propria ,  feu  lymphatica  facile  iranfmitti  (  ib. 
p.  77 ) ,  &  exiAimat  ipfnm  aerem  Airpes  fubire  fucco  nutritio 
admixtum  ,   interdum  per   folia,  copiofifTime  veto  per  radices  (  ib. 

.  ^  P-  '73.  '77)- 
if)  Grew.  Ditvernet  II,  p.  89,  Hales  Aatique  des  veget.  paflim.  Kric  cA  ,  ut 
in  Papini  experimento  Airps  pereat ,  fi  Integra  vacuo  includatur  ; 
diutifTime  vivat,  dummodo  folia  extra  vacuum  recipiens  in  liberum 
acrtm  emergant  (  Duhamel.  I.  c.  p.  169,  170.^  Hinc  eriam  eA  , 
ut  non  in  vacuo  folum ,  fed  etiam  iti^  interclulo  aere  Airpes  pereant. 
(Confer  Boyle  experimema  phyflco-mech.  cont.  II,  Mt;scH.  introd. 
§.  1I7IJ,  mucor  tainen  in  inierclufo  aere  vivat,  nifi  vafa ,  quibus 
includiiui: ,  admodum   fine  auguA^  (com.  Bonon,  Jll ,  p.  41 ,  43). 


XLIX  Alia  proculdubio  palmonum^  Be  relplrationis 
utilitas  vox  eft  ,  quae  exfpirati  aeris  aftione  abfplvitur  (  /i)i 
Haud  tamen  videtur  natura  banc  finem  aut  folum  ,  aut 
primario  (ibi  propofuifle  in  pulmone  efformando.  Nam  & 
pulmo  quails  frigidis  animalibus  datus  eft,  voci  efformandae 
fufFeciffet  (i)  ;  &  animalia  funt  pulmone  inftrufta  ,  quae 
tamen  vocem  nullam  edunt  (  ^  ) ,  &  infeftorum  trachaeae 
pulmonis  vices  gerentes  ,  voci  tamen  non  inferviunt  (XXVII). 
Demum  frigida  animalia  ,  quae  unico  cordis  ventriculo  in- 
ftrufta  funt ,  refpiratione  carere  diuiiffime  poflent ,  ft  nul- 
lam aliam  praeter  vocem ,  &  natatum  a  pulmone  utilita- 
tem  acciperent  (  XXV  ). 

L  Alias  fecundarias  ,  eafque  manifeftas  relpirationis  uti- 
litates  ,  fuftum  ,  olfa6lum  ,  excreatum,  fternutationem,  ofci- 
tationem  confulto  omittiinus  ,  de  quibus  conferri  m^rentur, 
quae  luculentiffime  a  CI.  Viris  tradita  habentur  ( / ).  Una 
tantum  reftat  in  controverfia  poHta  refpirationis  utilitas  , 
aeris  fcilicet  elaftici  in  fanguinem  ingreftus ,  quam  tanti 
fecerunt  recentiores  nonnulli ,  ut  in  hunc  imprimis  finem 
conditum  efle  exiftimarent :  ex  tatt  eriim  a^ris  cum'  fan^ 
guine  mifcela  fanguinis  fluiditacem,  (  to  ),  colotem  (n)  ca« 


fcilicet  in  fpatk)  claiifo,  five  vacuo,  five  aSte  p|eno  foliorum  pcrfpi- 
ratio  cohibctur  ,  ubi  femel  illud  fpatium  exhalante  vapore  fuerit 
xefenum  ,  nifi  ftirps  admodum  exigua  fit ,  quemadmodum  mucor , 
quae  nonnifi  tardifiiihe  ibcerclufum  fpatiunrfuis'fizhalaftionibas  replere 
pofTit  ,  uti  de  infeftis  difluin  not  v  praeccd.  Confer  Mifc.II,  §.44, 
p.  196.  •"  •     .    , 

Ih)    Vocis  modulationi',  &  olfa£h]i  Neheoam.  p.  ^66^'iii-  1,'Bibiior. 

(j|    Vox  buffonis  clara,  &  dulcis.  Perrawlt.  (1.  c.  p.  13^.) 

(  A  )  Camaleon ,  tefiudo.  Perrault.  (  I.  c. ).  Teftudo  animal  abfolute  mutum 
BOMAR.  diftion.  V,  p.  467. 

(/)     G)nfer  Hallerum  el.  pnyC  III. 

(  m  )  Thruston.  I.  c.  p.  62 ,  63  ,  aliique  permuiti,  quos  Hallerus  reccnfet 
el.  phyr.  Ill ,  p.  331  ,  331  a  not,  d  ad  k, 

(  n  )    LoTi&vs  t  Lv/iJivs ,  aiii. 


«44 

lorem  (o)  imo  &  progreflivum  (;>),  inteftinum  motum, 
&  vitam  ipfam  pendere  nullatenus  dubiiarunt ,  aliis  ita  ad- 
verfantibus  ,  ut  vel  ipfius  aeris  elaftici  in  (anguine  prae- 
fentiara  omnino  inficiarentur  (  y ).  De  qua  quidem  quae- 
ftione  non  prius  licet  differere,  quam  de  aere  liquorum  ge- 
neratim  nonnuila  a  phyftcis  petita  attulerimus. 

C  A  P.    Ill 

De  aere  liquidorum^  in  fpecie  de  aere  fanguinis. 

LI  Aer  in  liquidis  plerifque  continetur  (/■),  ita  divi- 
fus ,  ut  bullarum  (pecie  confpici  non  poffit.  Sublato  aere 
externo  ab  ipforura  poris  erumpit ,  bullafque  conOiruic  (j), 
ejus  quanritas  in  liquidis  variis  definita  hoc  pa6toeft(/): 
ac  praeterea  obfervatum  liquida,  e  quibus  haultus  aer  eft, 
cumdem  iierum  forbere  ,  principio  celerius  ,dein  tardius  («), 

{«)    Maipi  Ml ,  I.  c.  p.  i8.  Fanton  edit.  II,  p.  J43.  Duvernet  II,  p. 478, 

&  507 ,  509. 
yPl     Mert  mem.  dell' Acad.  1700,  p.  221,  223. 
(9)     BoFRH.  in  prael.  §.  CCI,  p.  443.  I  ad  vcrbum  ofellUtient, 


\ 


Boyle  phyfico  mech.  ab  exp.  lo  ad  2^  p.  43  ,  &  feq. 
t)     BoTLE  i.  c.  MusCHEMB.   Introd.    §.  1162. 

)      BoTLE   1.   C.    CXp.   24,  fiOCRHAAWE   ch.    I    p.    273  ,    MuSCHEMB.     I.     C.     §. 

ai6;.  la   aqua  Halesius  pofuit  —     vol.    (  itatiquc     des     v£g£iauz 

54 


append).    Noletius  —  (  M£m.  dc  FAcad.  1743  p.  215  ).  Forte  di- 

•JO 
verfiras  in  exp.  a  diverfitate  caloris. 
(  « )  In  aqujm  nnnnifi  decern  hrris  penctrat  (  Muschembroek  d'fp.  §.  » ) 
Quum  Mariotte  nonnifi  20  diebus  penetrare  in  aqiiam  docuifli't  , 
NoLLETius  autiiTi  6  ditbiis  (I.  c.  ),  concludii  du  Tour  id  cofiHaits 
noil  elfe  ,  hii  p-nl-re  a  quaniiute  aquae,  &  ab  amphcudine  (uper- 
ficie  per  qimn  .ie-  in'reditur  (  Mdiii.  pr€fent6c  11  p.  448).  Cun- 
fer  NoLLETiuM  I -fnri  X   exp    10,   Musch.  introd    §    1478.    Hauk- 

SBEE    II    p.    4T9.    ijEMAREST   ib.   p.  4O7,   £0CRHA>kWE     (  ch.    1    p.     273, 
Maikan  dt  La  glace  p.  191. 


'4y 

ac  demtrm  ipfo  faturari  ,  ut  nullum  recipere  amplius 
poffint  (x).  Edutlo  aere  liquidorum  volumen  non  minui- 
fur  (y),  nee  eodem  in  liquida  fubeunte  horum  volumen 
augetur  (  ^  ).  Augetur  autem  inrerea  dum  erumpir  adeo,ut 
liquida  tunc  temporis  fpecifice  leviora  fi-anr  (  a ) :  etfi  vero 
liquida  aere  faturara  Tint,  baud  minus  incomprelfibilia  funt, 
quam  ilia,  quae  aerem  nullum  continent  (i),  aer  hie 
non  folum  fublata  externa  preffione  e  liquidis  prodit ,  fed 
etiam  calore(c),  aut  igne  eietlrico  ( W ),  aut  congelatione 
( tf  ),  aur  percolatione  (/)  ,  aut  ex  alto  delapfia  (^). 
"  LII  Ex  quibus  perfpicuum  eft  aerem  fola  gravitate  aut 
clafticitate  fua  liquidorum  poros  fubire,  donee  uniformiter 
per  ipfa  fuerit  diftributum  (h).  Hinc  i*"  prout  fenfim  in 
poros  fubeuus  aer  denfior  fit  ejufdem  fubeuntis  celeritas 
imminuitur  ,  donee  tandem  denfitas ,  &  elafticitas  recepti 
in  poros  aiiris  denlitati ,  &  preffioni  ambientis  aequalis 
evaferit ,  quando  liquida  jam  nullum  amplius  aerem  ad--i 
mittunt ,  eoque  faturata  dicuntur.  i°  Aer  hujufmodi  quo- 
tiiam   in  jx)ros  liquidorum  incompreffibilium  recipitur ,  in- 


('«  )  Auftores  ino.v  cit. ,  Boerha.awe  praclec.  ad  §  CCI  p.  441  ad  veibuin 

<taj}ice. 

ly)  Hales  I.  c   exp    1  n    7  p.  337,  338. 

^)  Mairan  1.  c.  p.  i}8,  MuscH.  introd.  §  2165. 

'  a  )  BoYLc  I.  c.  cxp.  25  ,  MuscM    I.  c.  §  1165. 

'i)  Eller  Acad,  de  Berlin   1750  p.  69,70,  71. 

cS  Mairan  I.C.P.185.B0ERHAAWE  ch.  1  p.  274exp.  6MusscH.imrod. §  i45Ji. 

d)  P.  Bei-caria  el    artif.  §    400  let.  VI,  §.  i88. 

e  )  Mairan  I.  c.  a  p.  287  ad  290. 

'f)  Du-TooR  I.  c    p.  492,  493. 

f  J  )  MuscHEMB.  intiod.  §  1477. 


,'fi)  Paries  ac'i'i  inflar  ipongiae  aqua  repleri  (  Muschembroek  irurod.  II, 
")  1480)  acreni  ai)uac  poros  fubirc  ,  uti  vioi  fpiritus  eofdcm  fubit 
Mairan  I.  c.  p.  13^).  'ola  sravitaie  liquorum  poros  fubire  (  Du- 
TouR  I.  c.  p.  477),  rum  Veijel  ex  eo  in  primis  ,  quod  agititione 
is  aer  cxcuii  nequeat ,  quum  rtvi'ra  aquae  pori  ob  asitationcm  I.  cum 
quidein  mutent ,  led  nee  coaiftaxi ,  nee  delcri  poffint   (Mem,  pre- 


Tc 


femees  II ,  p.  88  )  . 
Mijc.   Taur.  Tom.  F.  u 


I  46 

compreflibilis  efle  debet:  nam  comprimi  nequit,  quin  pori, 
quibus  continecur,  coarftentur,  atque  adeo  quin  liquidum 
ipfum  comprimatur.  3°  Et  {imiliter  liquidorum  volumen 
tpGs  adjet'tum  augere  nequit ,  quum  in  interlHtia  partium 
tantummodo  recipiatur.  4°  Quoniam  vero  in  liquidorum 
poros  aer  hie  nonnifi  lente  penetrat  ^  necelTe  ell  refiften- 
tiam  pati  ab  angutha  pororum  ,  quos  fubit.  5°  Ean;ideni, 
refillentiam  ,  quani  patitur  aer  exterior,  ut  poros  pervadar, 
pati  debet  aer  poris  inclufus ,  quando  ab  lifdem  erumpere 
nititur.  6*  fiinc  dufli  praevalente  vi  fua  erumpit ,  angu- 
ftia  pororum  impeditus  ,  liquida  expander  in  majus  volu- 
men,  undas  ,  &  bullas  in  iifdem  excitabit.  7°  Id  vero  fit, 
quotiefcumque  elafticitas  aeris  in  poris  contenti  major  fiet 
preffione  ambientis.  8"  Fiet  autem  major  ,  h  aut  transla- 
tione  rariorem  aerem  ,  vel  anthlia  ambientis  preflio  imrai- 
nuatur  ,  aut  interni  aeris  elailicitas  vel  per  calorem  ,  vel 
per  ignein  ele6iricum  adaugeatur  ;  aut  demum  fi  conge- 
latione  conftriftis  liquorum  poris  aer  condenfetur  ( i ).  Con- 
tra (  IX  )  aer  in  liquidorum  poros  irruet ,  fi  ejus  prelSo 
elafticitatem  inclufi  aeris  fuperet ,  quod  fiet  translations  in 
denfiorem  aerem  ,  ambientis  condenfatione  ,  liquorum  re-' 
frigeratione  ,  eorumdem  congelatorum  folutione, 

■  .'Jrjv  bfi 


(i)  Aerem  in  aquae  poris  comentum  per  congeUtionem  claflicitate-m  recupe- 
rare  contendit  Halesius  (I.  ol.  c.  e,xp.  2,  n.  7)  &  Dbmarmt  (in  ' 
notis  ad  Hauksbeiom  II,  p.  400,  401):  eJafticum  jam  fuiffe  ;  fi^ui- 
dem  frigus  aeiis  volumen,  &  elafticitatem  non  auget ,  fed  minijit: 
(  MuscHEMBROEK  introd.  §  1477  )  perinde  expelli ,  ut  vini  fpiritus  , 
&  falia  aqua  foiuta  ab  eadem  congelafcente  extrudiintur ,  Mairan 
(  1.  c.  a  p.  287  ad  290)  . 

Quum  vis  refxaftiva  glaciei  vi  aquae  refraftiva  paullo  minor  (}t 
(  De  ia  Hire  mfim.  de  I'Acad.  1693,  p.  252,  Mairan  I.  c.  p.  299,' 
300  ),  atque  adeo  denfitas  minor ;  rairum  eft  aerem ,  cujus  volumen 
ex  glacial!  frigore  contrahi  debuit  ,  ejus  tamen  poiis  contineri  am- 
plius  non  poflfc  ,  imo  ab  iifdem  expelli ,  nifi  aut  niutaiam  figuram 
pororum  ,  a\it  extraneum  corpus  aerem  pellens  incufemus  ,  quae 
tatneo  haftcnus  nullKs  certis  argtimentls  dctnonilxai^  func. 


147 
LIII  Ex  his  facile  refelluntur,  quae  adverfus  elaftict- 
tatem  aeris  in  liquidis  contenti  afferuntur.  Ajunt  enim 
aerem  liquidis  conrentum  elafticum  noii  effe.  i°  Quod 
comprimi  non  poflit  (  k  ).  i°  Quod  ipfius  volumen  majus 
fit  volumine  liquorum,  a  quibus  recipirur  (/).  3"  Quod 
e  liquoribus  erumpens  ipforum  volumen  augeat  (m). 
4"  Quod  non  Hatira  e  liquidis  prodire  incipiat ,  ac  aer 
ambiens  rarefieri  incipit  ,  fed  ingens  rarefaftio  praecedere 
debeat  ,  priufquam  erumpat  (n).  Ex  his  nempe  omnibus 
eoncluduiit  aerem  In  liquidis  in  minima  elementa  ita  di- 
vifum  efle  ,  ut  elafticitatem  non  exerceat  (0),  aut  eadem 
prorfus  dellirujtur  (p).  Recuperare  vero  eiafticitatem , 
quotiefcumque  aut  ambientis  rarefaftione  ,  aut  calore,aut 
igne  eleftrico  ,  aut  congelatione  in  majores  bullas  fuerit 
colleftus. 

LIV  Harum,  inquam  ,  fimiliumque  objeftionum  folutio 
ex  praecedentibus  perfpicua  eft.  Nam  1"  aer  quantumvis 
e'ompreflibilis ,  liquidis,  quorum  poiis  continetur,  comprefli- 
bilitat€m  nequit  impertiri  ( II ).  Falfunj  verq  eft  volu?-- 
men  aeris  in  liquidis  contenti  horum  volumine  niajus  effe, 
fi  ad  ambientis  aeris  denfitatem  redigatur  (q).  Etii  enim 
Mariotte  ex  aqua  aeris  volumen  fe  eduxiffe  tradat 
ipfius  volumine  8  ,  aut  10  vicibus  majus }  erroris  ta- 
mefi  iontero    Halesivs.  invenjt  y.  quj  xex,  oieo  aquae' ci/^ 


ciocv  ti:  a 


fky    Aufbores  cit.  ad  not.  k. 

(l)    BoERHAAWE  ch.  1,  p.  279,  a«t>,  exp.  idK.AfAiRXit  i:  ci  li;  i3¥,exMA. 


RiOTTE  oraaes. 
lit)    Eller  i.  c.    ,:■  -o   l^ 


'J       CLLEK    I.     C.      ,.  •■■J    •-(111     .,     J     ■      ■ 

>'  Bosrh*awe  I.  e.  p.  477  corolf  VI ToBficJWtdfitTi  mercurioin  haromerro 
ad  IS  pol,  ex  aqua  nnodum  prodire.  Non  prodre  nifi  exienio  acre 
ad  dimidium  raretafto  (id.  prael.  §  CCI  ad  verbum  thflua, )  fubfi- 
deote  mercurio  ad  tres,  vel  quatuor  pol,  MoscJiembroek  ( intioi 
§  1477  ) 


f  aj    Boermaawe  prael.  1   c. 

(p )    Id.  I  c.  &  ch.  I .  p.  a«d ,  a8u 

Cj  j    Vid.  fupra  noc  J.. 


U  IL 


■J  4S 

cumpofito  in  eo  experlmer.to  magna  ex  parte  aerem  ilium 
prodiiffe  adnotavit  (  r  ).  Cur  vero  liquorum  volumen  erum- 
pendo  adaugear,  fuperius  indtcavimus  (  II  )  ,  quia  nempe 
dum  propria  elafticrtate  dilatatur,  pororum  angullia  impe- 
ditur,  quominus  €a  velocitate  effugiat ,  qua  nititur  expand! 
(f  ).  Ex  quo  intelligitur  cur  bullarum  fpecie  aer  non  erum- 
pat,  nifi  poftquam  ambiens  admodum  fuerit  rarefaftum  : 
nam  fi  elafticitas  interni  aeris  externi  prefEonem  paruni 
fuperet  ,  per  pororum  meatus  erumpens  paullatim  aer 
aequilibriura  quiete  reftituet  (r),  tum  vero,  ut  dicebam,' 
ipfius  eruptio  tumultuaria  demum  ,  &  violenra  erit ,  & 
bullas  ,  undafque  excitabit ,  quum  exceflus  elafticitatis  in- 
terni aeris  fiipra  preffionem  externi  tantus  erit ,  ut  per 
anguftias  pororum  ea  velocitate  erumpere  nequeat ,  quara 
elafticitatis  differentia  poftularet. 

LV  Aer  igitur  in  liquidorum  poris  divifus  utique  in 
minimas  partes  eft,  fed  ita  ut  elafticitatem  exerceat^ 
nam  phaenomena  ejus  aeris  f>roprietatibus  elaftici  fluid! 
apprime  confentanea  eflfe  oftendimus  (II).  Nee  obftat.y 
quod  obfervant,  in  liquorum  poris  hunc  aerem  quiefcere: 
non  enim  quiefcit  ex  eo  ,  quod  elafticitare  careat ,  fed " 
quia  nifus  ejus  elafticus  ab  aequali  ambientis  preffione  c<>" 


(/•)    L.  ult.  c.  exp.  s,   n.  VI,   p.   335,   336.   Mariotte  experimentutn  a 
BoERHAAwio   narratur  ch.  I,  p.  279,  exp.  10. 

!s)    Vifcidiiate  liquorum  itnpeditur,  Muschemb.  introd.  §  2162. 
t )    Revera  ,  quando  vas  aquam  coniinens ,  &  obturatum  repente  in  vacuo 
aperitur,  longe  copiofiores  bullae  erunipunt,  quam  quum,aqua  inapef- , 
to  vafe  intra  cxcipuium  pneumaticum    conftjtuta ,  paullatim  vacuuni  / 
paratur;  praefenim  fi  cxcipuium  amplum  fit ,  ut  non  nifi  taidiusex- 
hautiri  poflit.  BoYtE  exp.  phyfico-niech.  exp.  28,  p.  64,-65. 

•Quod  .fi  igitur  taidifiime  aer  ,edocatur  ,  interpofiia  mora  inter 
fingulas  .cxanthlationes ,  vcrofimile  eft  a'ercm  e  liquoribus  latenter 
&  abfque.bullis  .pofle  exhauriri ;  quemadmodum  latenter  &  abfque 
bullis  in  cos  ixrepflt.  JHinc  veio  concludi  poteft  etiam  ex  translatU 
liquoribus  in  rariorem  aerem,  tum  ex  au£to  per  tempeftatem  calore 
aerem  ab  ipfis  clam  prodire,  licet  ex  defeftii  bullarum  contratiutB  ) 
flatuai  MusCHEMBROEKius  Introd.  §  1477.  \  ^) 


'4' 

hibetur.  Nee  £tiam  admrtti  poteft ,  quod  addant,  calore , 
igne  eleftrico  ,  congelatione,  partes  ,  quae  prius  elafticae 
non  erant,  elalticitatem  recuperare,  quamdiu  haec  taiita  non 
funr,  ut  elementa  ipfa  liquorum  tranfmutare  poffint.  Etfi 
vero  ab  harUm  cauiTarum  vehementia  fixae  corporum  par- 
tes in  aerera  elafticum  convert!  queant  ;  nihil  tamen 
fimile  ab  ambientis  aeris  exanthlatione  licet  exfpeftare , 
quae  nihil  aliud  praellat  nifi ,  ui  aeifi  e  poris  liquorum 
eri^pcuro  refiilemiam  loUat ,  qui  certe  ,  ea  tantum  fublata, 
elarticorum  corporum  more  non  expanderetur ,  bullafque 
■efformaret  ,  (i  illic  elafticirate  orbatus  delitefcerer. 

LVI  Enimvero  phaenomena  aeris  fixi  corporum  a  phae- 
nomenis  aeris  elaftici  haftenus  expofitis  longiffime  abfunt , 
-Ut  enim  i"  acr  elafticus  ,  nulla  indu6la  in  partes  liquo- 
rum elementares  mutatione  ,  elici  poteil,  &  iterum  admitti 
(I,  II):  contra  aer  fixus  excuti  nequit ,  nifi  per  putredi- 
nem,  fermentatioaem  (z^  ),  effervefcentiara  (*),  vehemen- 
tioris  ignis  vim  (jy)  corporum  compages  deftruatur ,  & 
elementa  ipforum  pervertantur  :  nee  propterea  :  2°  aer  hoc 
pafto  expulfus  corpora  a  quibus  educitur  ,  ^onte  fua  ite- 
rum fubii ,  unde  aeram  metamorphohm  ekmentorum  cor- 
poris in  aerem  elalUcum  fieri  concluferunt  ( j^ ).  3"  Aer' 
hie  pluries  fiiperat  volumen  corporum  ,  a  quibus  educitur 
(a).  Hinc  nullatenus  elaltica  forma    in    ipfis  praeexftitiite 


■(  B  J    BoYiE  exp.  phyfico-mech.  coiu.  II ,  paflim. 

1x1    Statique  des  veger.  cap.  VI  ab  exp.  83  ad  1^04, 

C y  1     lb.  ab  exp.  49  ad  79.  •  ,] 

\i)  AerciD  anihlia  e  liquorum  poris  eduftum  dallicum  fuifTe  ,  Sc  zd  en rutfi\ ) 
compofiiionem  non  peninere,  fecus  ac  ilium,  qui  fixus  eft ,,  nee  nifi 
chymicis  artificiis  educiliK  (Dia.  de  chym.  I,, p.  59).  Simiiia  Mac 
BRJDE  (effdis  p.  359  in  not.)  &  Halesius  ,  qui  hoc  addit  adutiiuf- 
que  ai:ris  ciifcrimen  oftcndendum  aerem  actefaflum  citius  taidinft'c 
clafticitatcm  amitterc  (I.  c.  append,  exp.  2,  n.  VlII);  jaauram  vero 
pondcris,  quam  tairarus,  aliaque  corpora  per  diftiilationem  patiuncur 
iribuit  converfioni  corumdem  in  aerem  elafticum  (  1.  c.  p.  341  ). 

{4)    BoYiE,  Hales,  Macbridk  1.  e.  ,.  ;. 


'5°  • 

cenfendus  eft  :  nam  denfitatem  ,  &  proprerea    elafticltatem 

tantam  habuiflet,  ut  eidem  coercendae  nee  ambientis  pref- 

fio,  nee  corporum  firmitas  paria   efTe    poflent  (i).  4°  A'ec 

ille  artifieiaiis  plerumque  venenatus  ,  flammaeque  ,  $c    ani- 

Pialibus  infenfus  eft,  uiide  aliqui  verum  aerem  efle  perne- 

garunt  ( c )  ,  qui  tamen    aerem    liquorum    poris    contineri 

concedunt  (d),  forte  quod  ejus  naturam  a  communis  aeris 

indole  baud  fimiliter  abludentem  obfervaverint :  quae  omnia 

rantam  inter  priorem  ilium    liquidorum    aerem ,    &    hunc 

arte  faftum  ponunt  differentiam ,  ut  wel  iple  Halesius  ,  qui^ 

tantam  in  aere  fixo  corporum  expiorando  ,  ac    illuftrando 

diligentiam  adhlbuit ,  aerem  vere  eiafticum    liquorum  ,    8c. 

inprimis  aquae  poris  contineri  affirmet ,  &  diffidentium  ar-j; 

gumenta  refellat  (  e  ). 

LVII  Ut  vero  de  ceteris  iiquoribus  diximus ,  de  fangui-' 

ne  etiam  dicendum  ,  ipfum  aerem  continere  ,    qui    fublato- 

externo  aere  bullarum  fpecie  erumpat  (/) ,  &  a  faoguine; 

ultra  faturationem  recipi  non  poffit    (^)^    Hic    etiam    a^i' 

dum  erumpit  fanguinis  volumen  adauget  (A),  adeo  ut  ar-' 

teria ,  &  vena ,  quae  aqua  graviores  ipfius  fundlitn  peturif,',' 

fdfto  vacuo,  jam  rumidiores ,  leviorefque  innatent  ( i  ).  Neque 

quod  aerem  contineat  (anguis  ideo  compreflibilis  evadit  (k)^ 

i' ,.  ^ 


i)    HxtEs  1.  c.  exp.  af,  p.  189. 
■     MusCHEMB.  in  Florent.  p.  17  ,  3?.  r  >  > 

Id.  cffai  de  phyfiq.  §  884,  885.  \  ./y 

.  ,     L.  c.  exp.  I,  n.  VI,  VII  a  p.  335  ad  338.  '  .) 

/)    MuscHEMB.  difp.  p.  575  introd.  §  2165,  Bergerus  de  nat.  hum.  p.  45}. 

BoYiEus,  dcs  agulicrs.  cou  f.  de  phyf.  II  ,  p.  457- 
f)  BockHaaVE  praelec.  ad  §  CCI  ad  verbum  abford. 
h)  Goagulum  cruorofum  in  vacuo  intumefcit.  Muschembroek.  difp.  p.  575. 
j)  MosCHEMBROiK:  difp.  §  14  introduc.  §  2165.  auagius  efFets  dc  I'air 
6  71,  MoRGAGNi  de  fedibus,  &  cauflis  moib.  V,  p.  18,  p.  41. 
vifcera,  quae  aquae  (unduni  petunt  in  vacuo  iniumefcuni ,  &,  inna. 
tant.   MuiCHEMB.  difp.  §  5.  ;n  ,    1 

(  *)    SauaGius  J.  c,  §  71  ,  &  cl.  phyf.  §'  138; 


I 


I 


Demum  coagulatione  aer  ad  concrefcentis  fanguinis  fuper- 
ficiem  bullarum  hexagonarum  fpecie  expellitur  (/). 

LVIIl  De  hoc  aere  quaeftio  eiiam  fit,  utrum  elafticus, 
&  communi  fimilis ,  an  fixus  ,  &  elafticitate  deftitutus  cen- 
feri  debeat.  lllud  ex  haftenus  diftis  conftare  fatis  videtur 
aerem  in  pori?  fanguinis  contentum  ab  iilo  ,  qui  in  cete- 
rorum  liquorum  poris  continetur  nequaquam  difcrepare  (m). 
Hinc  eft ,  ut  qui  aerern  ceterorum  liquorum  inelafticura 
dicunt ,  hanc  quoque  fanguinis  elafticitatem  denegent(rt): 
viciflim  ,  qui  nobifcum  liquorum  aerem  elafticum  efle  opinan- 
tur,  elafticum  quoque  aerem  in  fanguine  nobifcum  :;dmittant 
(o).Nec  propterea  neceftarium  puto  diucius  immorari  in  ex- 
pendendis  difficulfatibus ,  quae  adverfus  elafticitatem  aeris 
in  fanguine  contenti  atferri  folent  iis  prorfus  fimiles ,  quas 
§111,  IV  expendimus ;  quod  nempe,  quum  fanguis  incom- 
preffilis  fit,  ejus  aer  ela(ticitate  carere  debeat ,  quod  quum 
nonnifi  ,  fublato  externo  aere ,  expandatur  ,  prius  inelafti- 
cus  effe  debuerit ,  quod  demum  inelafticus  fit ,  quum  fan- 
guis frigore  parum  adeo  conftringatur.  Enim  vero  aer  in 
pori^  Sanguinis  tontentus  nee  ipfum  compreilibilem.,  nee  fri- 


^ /)    Idem  el.  phyf.  §  i^o,  Littrivs  Tngm.  de  I' Acad.  1714,  p.  jji. 

i(/n)     Idem  affirraaDt  BoERHAjtvE  (  iiift.  §  210),  Hallerus    (el.  pnyf.  Ill,' 
P-  337,  339).  Savagius  (el.  phyl.  §  133,  137,  138),  Muschem. 
BROEKrus  ( introd.  §  1481  ). 

in)  SoERHAAVE  ch.  I ,  p.  181  ,  alii ,  quos  memorat  Bzkgeaus  ,  qui  aeris 
qiumdain  lenuiorem,  mtdjae  naturae,  non  tlaflicam  ,  quam  ipfi  jaiis 
txpontre  non  qutunt  portioneio  fanguini  cotntnifceii  contendunc.  De 
n.itur.  hum.  p>  40. 
(.0)  Vulijaiem  aerem  in  fanguine  contineii  Savagius  el.  pbyf.  §133,  137, 
&  MuscHEMBROEKius  ,  qui  ait :  „  Aer ,  qui  cum  chylo  tranfit  in 
„  fanguinem  ,  eiuldtni  eft  naiurae,  ac  aer,  qui  iofpiratur  .  .  .  nam 
cJarticiini  gravfm  fe  prohat  in  duftu  thoracico  (  difp.  p.  581  ).  Ela- 
flicuin  qiicque  aerem  fanguinis  faciunt  Ferrein  (  difp.  p.  559  ),  Du- 
VERNEY  (  pofth.  II ,  p.  83  ,  84),  Macbkide  ,  qui  contrariam  Boer- 
MAAvn  opinionem  impugnat  (  1.  c.  a  p.  66  ad  102),  Bergerus  (  I. 
c.  p.  43  ).  Fantohus  (difl"en.  anat.  p.  143  ),  Halesius,  qui  ab  aere 
<Iaftico  fluida  animalium  promoveri  cootendic  (1.  c.  p.  266),  &  ex 
piimis  BoREjivs  (prop.  CXII,  CXIII). 


gcxre  magis-  denCabileiiv  eiiicere  debet  ,  nee  fuas  proprieta-- 
tes  uHo  modo  fanguini  poteil  inipeitiri.  Similiterque  aer 
(an^iiinis  prellioue  atmolphaerae  cohibitus  non  prius  fe  ex- 
pander ,  quam  ea  preffio  fuerit  fiiblata.  Confer,  (bpra  §.  III. 
LIX  lllud  utique  ex  (anguinis  incompreflibilitate  erui 
poteft,  aerem  per  ejus  porosdifperfum  (/>)  neutiquam  vero 
in  bullas  diftinftum  (  ^r ).  Nam  hujufmodi  bullae  extria  po-' 
ros  fanguinis  politae  id  utique  efficeren-t ,  utpote  compreP- 
fibiles  ,  ut  commune  ex  iplis ,  &  ex  fanguine  eonflaium 
volumen  minui  poflet ,  unde  fanguis  compreffibiiis  videre- 
tur.  Quod  fi  aereae  bullae  in-  (anguine  non  adfunt ,  inde- 
poteft  intelligi,  cur  aer  in  fanguine  contentus  non  noceat  f, 
licet  bullae  aereae  in  fanguine  genitae  (r)j  aut   in    vafiil 

inje* 


Si 


Qt>)  „  AertMn  elaftieum  in  intimis  irfterfititiis  huthorum  omiiiutn  cum  fan-- 
„  guine  circulantium  coniineri ,  &  quidem  ipfum  ita-  divifum  ,  ut^ 
„  non  facile  aliquot  partes  invicem  colleaas  pofllJear  (  MusChemb,>. 
„  difp.  p.  591 ),  dilTolutuin  in  aqua  ,  &  in  ea  tainquam  fal  aliquis- 
,  colliquefceniem  (  Hailer  I.  c.  p.  366,  367).  Siniilia  Sauagii/si 
el.  phyf.  §  144),  MoRGAGNi  (I.  c.  V.  §  18,  p.  4'  ).  Bokelius  . 
^  prop.  CXIII ),  Fantonus  (  I.  c.  p.  345  ).  Atnplam  pultnonibus  fu- 
perficiem  datam  efTe ,  ut  aer  per  minimas  partes  fanguini  faciliu*. 
admi  ceretur  (  Duveeneit  1.  c   11 ,  p.  87  ,  506). 

(9)     Quales  bullas  adiinnit  Meryus  (  Mem.  de  I'Acad.   1707  ). 

f  r)  „  Si  vero  contingat  aiiquot  partes  aeris  in  fanguine  combinari,  morbi 
„  periculofi,  &  mors  oboiicntur  (  Muschemb.  difp.  593).  Aer  ipfc. 
,,  loluius  ,  ac  liber  inter  fanguinis  partes  inteijeftiis  harum  mctuife' 
.,  opponit  (  MoRGAGNi  I.  ul.  c).  Moiibus  liquidorum  obflat  ,  ut  vide- 
,,  mus  liquores  in  vafa  fyphorre  injefto<i,  iniercepio  acre  ,  validum 
„  obiicem,  ac  fere  infuperabiUin  invenire  (Fanton  1.  c):  vidctut 
„  aer  cor  diflendendo  ejus  inotum  impedire ,  ficque  mortem  jnferre' 
(  MORGAGNI   I.  c.  V.   §   23  ). 

Aeris    vero  bullae  in  cadaveribus  obfervatac  vel  cum  manifefla  pu- 
tredine    (  Morgasni  V.  §  19,  30,  XXXI,  §  23  ),  vel  abfque  ulia - 
alicuius  m<^menti  atliun£la  putrcdine  (Hailer  in  Boerh.  n.  i  ad  §  CCI). . 
Port  haemorragias  (  Littre  Mem.  de  I'Acad.   1771   p.  331,  Ferkein 
difp.  p.  5J9  ).  Port  vulnera  (  Halier  pr    lin.  §  280  ,  &  ul.  ).    Poft 
repcntinam  mnrtem  cor  acre  plenum  (  Ruyschius  epiH.  probl.  XVI', 
p.  9  ).  Ex  atrophia  venae  aeris    plenac  (  Lieutaud  prficif.  p.  401  ).. 
Confer  MoRGAGNi  Lc.  V.  §  17 ,  19,  10 ,  »4,  25. 


injeflae  (s),  quaeque  poris  (anguinis  aere  jam  faturati  ex- 
cipi  amplius  non  poHTunt ,  utique  laedant. 

LX     An  vero  aer  fanguinis  per  pulmonem  advenit?  an 
is  ell  primarius    refpirationis    finis    (  f )  ?    Quantitas  aeris, 

•  quae  ad  fanguinis  faturationem  requintur ,  cum  chylo    vi- 
•.detur  advenire  :  nam  chylus  ex  alinicntis  ,  &  potuientis  fit 

aere  refertis  (  u).  Hmc  aerem  elalHcura  in  vacuo  emittir, 
eademque  phaenomena  praebet ,  quae  a  fanguine    exhiberi 

•  obfervavimus  (  x).  Quare  [quum  fanguis  aere  femel  foturdtus 
nullum  (y)  recipere  amplius  poffit  (IX),  perfpicuum  ei% 
aerem  nullum  per  pulmonem  in  fanguinem  advenire,  nifi 
caufla  aliqua  occurrat  ,  quae  aequilibrium  inter  externum 
aerem  ,  &:  aerem  in  fanguine  contentum  valeat  perturbare. 
Rem  confirmant  aquatica  animalia  (  {  )  ,  &  foetus  ipli  in 
amnio  conteati  (a),  qui  humores  aere  .elaftico  haud  mi- 


afil)    Dc  effeftibus  aeris  in  venas  atiimalis  iniefti   confer  Helvetium  ( \f5nT, 

o,   •  dc  I'Acad.   1718  p.  132),  Morgagnum  ,   qui  ab  iiiimiiro  aere  fan- 

guinem negat  coagulari  ,  &  animalia  alia  prae  aliis  ab  eodem  iaedr 
affirmat  (I.  c.  V.  §  21,  21),  Bergerum  ,  qui  pedc'.cniim  imminiinr 
aerem  (  I.  c.  p.  40  )  ;  turn  Pringlium  ,  qui  pauca  copia  funeflum  non 
enb  oblervat ,  licet  pulfum  inteimittentcm  reddat  (  maladies  des  ar- 
,  ni6es  II  p.  295  ). 

.^«)  Ut  fentit  BoRELLUs  (1.  c.  prop.  CXIII),  Loverus  (de  cord.  p.  158), 
Fantonus  (  I.  c.  p.  342,  343  ),  RuYSCHius  (  ep'ft.  probl.  XV!  ), 
Duverney  (I.  c.  p.  83,   84),  Ferrew  (  difp.  p.  559). 

(a)  Ita  VliscHEBROEK  (  di/p.  580),  Nehedam  (  i.  c.  p.  562),  Macbrioe 
(  I.  c.  p.  103),  Senac  (du  cneur  II  p.  121  ).  Non  didVntt  Meryls 
aerem  ,  qi;i  aj  faogunis  faturationem  rejuiritur,  cum  cKjilo  advenire 

'_,  (  M6m.   de  i' Acad.  1707  p.  X57,  158,  165)    Sauagius   (  effcts  de 

.,  I'air  §  76  ). 

Jt,x)  In  chylo  pcrinde  ac  in  veDis,  &  fanguine  demonftrari  Morgagkx  (1. 
c.  V.  §  21  ),  MusCH.  (  difp.  p.  173  ),  ex  ductu  thoracico,  icilicet 
duohus  vincuiis  iniercepto,  &  in  \acuo  tumcnte. 

{_)>)•  Ita  Boerhaave  (  pracl.  §  CCI  ad  verbnm  abjorii),  Halleri's  (  cl. 
,;  ,j      ,  phyf.  HI  p.  3-37),  &  ipfe  Meryus  (  M6m.  di;  i'Acad.  I.  ul.  c  ). 

^ti)' FLORENTiNi  (p.  <;4.  55  col.  Acad.).  Hauiubee  (  cxp.  phyfico  rrcch.  tf 
.  ,.       p.  429),  Boyle  f  experiraenta  phyfico-pneuui..  tit.  VII  )^  OuvERNEt 

.   .'  ,„.C  P-  v^'  504). 

t«)    MuscH.  difp.  p.  ^70. 

Mijc.  Tuur.  Tonu  V  X 


M4 

nui  iifibufcS  habent ,  licet  Ifla  pulmonibas  carearit,  hi  yerb 

nuikim   reiiuratioiiem  exeiceaiVr, 

LXl  Quod  li  aequrlibrium  imer  externum  interniuntqae 
aferem  pervertatur ,  tunc  equidem  videtur  per  pulmonem 
CommodiiHme  poiie  r^parari  ( 6 ).  Nam  aer  vapori  pul- 
monali  admixtus  earn  viam  facile  penetrac  (c),  &  per 
eumdem  majores  eiiam  aeris  bullae  intcrdum  immittuntur 
(d),  &c  banc  iplam  viam  effluvia  odorifeia  ,  &  venena 
faepiflime  legunt  («),  &  demum  per  ampiillimam    fuper-  ' 


(.*)    Vel  ipfe  MuscHEMBROEKius  adiiiittit"(  introd.  §  ar68),  Ircei  in  primis 

fcripns  copiofe  probare  conatus  cffct ,  viam  aeii  in  faiiguinem  per 
pulmonem  denepatam  efTe  (  difp.  cap.  Ifl  toto  ). 

(fie')  „  Aetem  in  (anguuiem  venire  ,  nemo,  piito,  nepar,  fed  diflblutiim  in 
aqua  &  l.c.(  Haller  el  pliyf.  Ill  P-336,  337).  Sunt  qui  ncgant  inje- 
£lum  in  trachaeam  a?iem  fubire  venam  pulmonalem,  ai  fi  aertm  in 
tenuia  iniejlina  intrudant ,  nil  quoquc  laflea  vaja  fubiic  noiabunt ,  inttrcm 
chylus  (ppioje  tadem  fitb'intral ,  qucm  a'ert  prorfus  d'llitui  nemo  aj^rma* 
veric ,  Fanton  I.  c.  p.  242,  243.  Ita  plerique  aufintes  cit.  fuperius 
ad  not.  y.  .  .  ,     . 

(</)  Eifi  experimentum  non  fucceiJlt  Harveo  {  in  proem,  ad  eicerc.  I  de 
mot.  cord.  p.  21);  nee  Nehedamio  (I.  c.  p.  565  )  :  iVec  Bchnio 
(circ.  anat.  p.  69  ):  ncc  ButtiNGERO  (  com.  a6V.  Petr.  Ill  p.  24o1:acc 
Halesio  (  haemallar.  exp.  XI  n.  VI):  nee  Muschemsroekio  (  difp. 
p.  610):  nee  DuvERNEYO  (I.  c.  II  p.  82  ,  83),  qui  abfque  adhibita 
vi    id    ricri    non    pofle    fiifpicamur.   Succe/Iit  laineu  SwaMerdamio 


(dc  refp.  feft.  3  cap.  1,  §  4^  ttflibu';  cxperimenti  Stivio  (  di(p. 
VII,  §  86),  Stemonio  (  epilt.  ad  BARtHOL  IV  ep.  55  ),  Borri- 
CHio  ,  qui  nil  unquam  diuuptum  app.iiutne  affirmai  (  I.  c.  ep.  76  ),• 


Succcffit  etiani  Meryo  (Mem.  de  I'Acad.  1707  p.  164).  Ferreinio 
(difp.  p.  549),  LiEUTAUDio  (  cl.  pliyfic.  p.  89),  &  Hallero,  qui 
aeiem  lent  vi ,  fed  contirmaia  tianlmiiti  ex  propiio  expcr memo  docet 
(in  BOERH.  n.  i  ad  §  CCI  )  ,  &  Morgagno  ,  ijiti ,  inflaio  pulmone  , 
Ttpititis  praeftrtim  y  &  diutiui  in  earn  piodudis,  nee  tamcn  vioUntis  ia. 
fpiialionitus  pulmoiialis  vtnae  iruncum  vidii  jpumtfo  humore  tcompUri 
(  I.  c.  V.  ■§  22);  cx  quibus  erui  pofTe  vidctur,  etfi  aijris  bullae  fi?. 
cundum  naiuram  in  fanguinem  per  pulmones  non  adveniant ,  quum 
nullae  rrvcra  in  eodem  infint  (IX).  patulas  tamen  vias  efle  ,  pcrquas 
non  difficile  pcfTint  impelli. 
(  t  )  Odor  fpiritu.<v  iherebinihinac  ,  qui  obfervante  Hombercio  urinas  inficit 
apua  Mert  (  Mfim.  de  I'Acad.  1707  p.  166,  167),  &  miafroara 
contagiola  m  fanguinem  tranfmiffa  f  Bernovili  difp.  p.  6(4^  Sava. 
«iu$  (I.  c.  §  140)  ,  DuvERN£T  ( 1. c. p. 87 ),  LiEVTAVD  Cel.phyf. 
p.  90). 


Mi 

ficiem  in  pulmone  nudus  fere  fanguis  aerem  contingit  (f), 

Idque  so  magis  verodmile  ^  quod  cutis  >  quae  altera  via 
vifa  eft  emittendo ,  admittendoque  aeri  apta  ( ^  )  ,  longe 
tamen  durior  pulmone,  denfiorque  fit,  &  minoribus  exha- 
lantibus  vafis  inftrufta  ;  hinc  animalia  in  vacuo  inflata  per- 
^ant ,  nee  detumefcuru  (  obfervante  Meryo )  njfi  aerem 
per<  OS  emittant  {h). 

r.'LXll  Si  itaque  aer  externus  interne  rarioc  fiat,  inter-, 
BUS  vi  fua  elaftica  fe  expandens  animalia  inflabit ,  eadem- 
que  fymptomata  inferet,  quae  ab  immilTo  in  veiwy  acre 
producuiuur  (  IX )  ;  quae  tamen  omnia  acre  ipTo  raox  per 
pulmones  prodeunte ,  &  ad  aequilibrium  fe  componente 
ftvanefceni  (  i ).  Itno  veto  fi  ilia  externi  aeris  rarefcemia 
paullatim  oboriatur ,  ut  fenfim  aer  per  pulraones  erumpere 
poflit  (IV),  fenfim  etiara  aequilibrium  reparabitur  ,  quia 
ulla  animalium  inflation  uUumve  incommodura  nalcatur  {k). 
Coatra  li  aer  externus  deniior  fiat,  preflione  fua  in  pulmo- 
nalem  fanguinem  peneuabit  donee  per  omnes  corporis  hu- 
iDor.es  aequabilem  denfitaiem  fuerit  adeptus.  c.,;; 

LXllI  Parum  difiimili  ratione  coniingit  ,  "ut  il  vacuum, 
aliquod  in  humano  corpore  nafeatur  ,  in  illud  aer  per 
exhalantia  vafa  fe  diftundat ,  quo  fpe6tat  aer  in  luxati  ar- 
ms- cavum  colleflus ,  &  ejus  reduftioni  refillens  ( / )  ,  aut 


1 .    .   .■ 

(yj)oMjitLFR  pr.  (in.  .^  175^-Se,  non  videre  quid   otftet  airi  ,   quominut  venas 
adeo  mannas  fubtat  ,  id  in   BoERH.  not.  /  ad   §  CCI.- 

(.;•)?»  Pofo.'i  cutaneos  aerem  a4[nittete,  8c  einittcre ,  qoirm  pulmones  ei  mu- 
neri  non  fuflicianc,  RuY.iicHius  epift.  prob.  XVI  p.  9.  In  >  mnes  cor- 


pori.<i    caviiates  viam  aijri  per  cutein  patere.  Keil.    (tent.  p.  193^, 

BouiLLET  hift.  de  I*  Acad.  1743  p.  Sk 
f  A)     M6ni.  de  t' Acad.  J79?  p.  221. 
f  iiV  Mi(fc.  Taur  ll,  p.  1?^  §  13. 
\k)    Iflcommod*  in  Academicis  aUiflimosPeruvianos  monies  confcendentibiis 

ex    labofC'  itintris-:    nam    quando    equo   vefti  confcendcbant ,  eadem 

viiabant,  obfervante  Sa.uagio  (  effcts  de  I' air  68). 
(/)    Hallgr  e4.  pbyf.UI,  p.  329  ,  not.  «,  *,  x.,.y. 

X     1 


viciillm  fi  in  cava  corporis  effufus  aer  comprimatur  ,  & 
addenfetur  ,  per  reforbentia  vala  paullatim  peneiret ,  &  in 
humorum  rndfTam  fe  diffundat.  i^tque  hue  reterri  poteft 
aer  per  pe6l:ons  vulnera ,  aut  paracentehm  admiffus  ,  & 
per  occlufionem  peftoris  reliftus ,  qui  licet  principio  dy- 
Ipnoeam  inferat ,  cito  tamen  incommodus  efle  definit  (  wi  ), 
hue  quoque  emphyfematum  refolutio  fpe£lare  videtur  {n)^ 
quae  phaenomena  aeris  reforptioni  potius  ,  quum  deftructo 
iplius  elateri  adfcribenda  effe  vel  ex  eo  conllat,  quod  Ha- 
X.£SIL'S  obfervaverit  aerem  numquam  ex  toto  elalticitatem 
amittere   (  o  ). 

LXIV  An  vero  praeterea  admittenda  eft  circulatio 
quaedam  aeris  ,  &  renovatio ,  ut  in  pulnione  receptus  aer 
per  cutem  exhalet  (f)  ,  aut  abfoiuto  circulo  per  pulmo- 
nem  ipfum  iterum  expellatur  ( y )  ?  An  inde  deducenda 
diverfnas.  coloris  artenofum  inter  fanguinem  ,  &  venoium? 
Equidem  omnes  hutriores  exerementuii  acre  ad  f'aturaiio- 
nem  refcrti  funt  ( r ) ,  fed  languinis  mofla  reparatur  a 
novo    chylo ,    novo    acre    faturato  ( X )  i    nee   propt^rea 


fm)    Haxes  1.  e.  p.  »Tj,  114,  Haher  I.  c.  p.  140  241. 

(n)  „  In  eHipliyfemate  fiquiitem  flatus  difpellitur,  necefleeft,  utvelcuteitt 
,,  inveniai  perviam  .  quam  dicunt  aeri  nrn  cfle  pcrmeabilem  ,  vel 
,,  refoibeatur   in    canales    noflros   (  H>iiLER.  n.  m  ad  §  CCl  Soer- 

HAAV.  ). 

{«)    Statique    des   v€git.   p.    263,   164,    165.   Vid.   Mifcel.    II,   p.    i8j,. 

§  *S' 

(f>)  Quae  vetus  fcnteniia  Mery  eft.  Hift.  Acad.  reg.  1.  4  ,  fe&.  a,  cap.  j, 
n.  II,  13,  non  repiignaie  Sauagio  1    c.  §  i3<;. 

(?)     Q^^c  nova  fcnteniia  Merv  Mfein.  de  I' Acad  1700,  1707. 

{r)    Per  omnia  organa  extexiora  ai-rem  prodire ,  &  etiam  humores  per  cu.  1 
•  tein    eiumpentcs,   impliciias  habere   aeris  particulas ,  indcque  cfle,' 
ut  animalibus  in  interclulo  acre  mortuis  ,  mercuiii  aitrtudo   in  baro- 
nietro  iterum  a»igcatur.  Fantonus  I.e.  344,  345.  Aerem  fuperfluum 
per  vias  uriiue,  &  perrpuatioOils  ejici.  MaC^rioi  I.  c.  p,  104, 


uUa  neceflitas  aen's  per  pulmonem  admittendi  (j)  ut  j,i- 
ftura  repareiuf ,  quae  per  excreriones  contingit.  Quod 
vero  fpi'ftat  )"ed  colorem  fanguinis  arterioii  ,  venofique  ,  ii 
dUcrimen  iatis  certum,  &  cciiftans'  til ,  nbn  inverofimile 
videtur  ab  evaporanone  fanguinis ,  quae  in  pulmone  fit, 
effe  dedncendum.  Etfi  enim  alibi  experimenta  protuii  fua- 
dentta  colorem  fanguinis  ab  aere  muiari  ( /  )  ,  erfi  eorura 
ventatem  deinceps  conftanti  fucceffu  comprobatam  vidi } 
<juum  tamen  aniinadverterem  conditiones,  propter  quas  aer 
admirtitur  ,  aut  arcetur ,  evaporationi  eiiain  aut  favere , 
non  obilare ,  in  -earn  opinionem  dedu6tus  fum  ,  ut  aut 
tarn  praefeiuiae  aut  contaftui  aeris  ,  quam  evaporatjo- 
ni  eos  effeftus  tribuendos  fufpicarer ;  quae  tamen  hypo- 
thefis  non  prius  poteft  admitti  ,  quam  experimentis  explo- 
rata  fuerit ,  ac  comprobata. 

■•LXV  Aer  vero  danguini  admixtus  quid  boni  praeftat  ? 
An  ad  fanguinis  fluiditatem  fervandam  conducit  (  w  )  ?  An 
inde  fit ,  ut  cum  aere  qualTatus  fanguis  numquam  concre- 
fcat  (x)l  Verumtamen  flaiditas  fanguinis  per  agitjrionem 
produda  a  fero  ell,  quod  nunquam  concrefcit ,  rubris  glo- 


(j)  Hoc  ipfum  rattocinium  prnponit  Ipfe  MertuJ,  quando  quaeflio  lantum 
fit  tie  aere ,  qui  ad  fanguinis  Ijiurationem  requiriiur  (  Mfim  di-  I* Ac. 
1707,  p.  157,  158  ,  165):  nam  eius  hypoihefis  de  circulatione  e  is 
verlaiur  ciica  aerem  adunatum,  air  en  majjt,  qucm  f<inguini  uUia  fa- 
turationcm  inefle,  &  in  pulmone  renovare  ccnfct  (  ib.  p.  i6i,  164, 
•65  )•  ;i  ;.  .  ,.,    .■. 

Lt)    Mifc.  Taur.  i  ,  p.  68  ,  &  feq."  ,/_,ij  .,,  ,,  ,  .,.-,.     ; 

*)  .  Thrusto*  (I.  c.  p.  6t,  63).  QuatentJS.  fangmni  fupperfitat  tcBuius  ele- 
•idiil  iniJiifntuin.  Malpig«i  (I.  c.  p.  18).  Eamdcm  leotcntiain  fcquu'nuf 
plafcs  alii,  quos  meniorat  CI.  Hallerus  (  cl.  yhyfic.  Ill,  p.  j)i  , 
331)  ;  ncgat  tamen  Borelius  (  prop.  CXIV  . 
^*)  Sanguis  quaiTatus  nee  coire  amplius  potefl  ,  ncc  infulam  faceie  (  De 
Haen  Bofoc.  praa.  pan.  IV,  cap.  VI,  §  3).  Similia  Mcschembroe- 
Kius  (  difp.  p.  554).  AuRiviLiius  (di(p.  175,  not.  m).  I^aoustene 
(  ilifp.  p.  547  ).  Sanguis  emijfus  vafis  fun  in  lihcrriitio  ..e  <  ,  tti.im 
conquajfatus  cum  aere  tlaflieo  ,  proiinui  obfervatur  COaguUli  iO.tRRAAVS 

it  prael,  g  CCI  ad  vetbum  efsUlationt ), 


158 

bu!is  infe^o ,  quum  pars  gelatinofa  ,  quiie  alias  riibros  glo* 
bulos  f.cum  in  placentam  abripit,  agitatione  in  ferum  di- 
miitat ,  &  fola  concrefceiis  membranam  Ruyfchianarri'  di- 
ftam  efFormet  (y).  Quamvis  igitur  ferum  cruore  tinttum 
falfam  cruoris  non  eoncrefcentis  fpeciem  referac  ,  certutn 
tamen  eft  agitatum  cum  acre  fanguinem  coagulari,  Vicii^. 
fim  fanguis  animaiium  in  vacuo'  exftinftorum  acre  licec  fpob 
liatus  ,  fluidus  reperitar  (  ^ ).  Deraum  in  calore  animalij 
fervatus  fanguis ,  quamvis  quiefcat ,  diutiffime  fluidus  per. 
flat  (a),  ex  quo  conficitur  fluidiiatem  fanguinis  non  ah 
agitatione,  nee  ab  adinixto  aere ,  fed  a  calore  effe  repe- 
tendnm  ?  .       •    ,  ■  ■     ■  :-  '  . 

LXVl  Aer  eiiam  ianguiiti  admixtus  parum  nihilv!<»  act 
fanguinis  ofcillationem,  motunaque  inieftinum  videtur  •c©n.« 
ferre  ( ^  )  ,  faltem  quamdiu  cum  externo  aere  aequilibra-- 
tus  in  ejufdera  meatibos  quiefcit.  Enim  veto  fuperius  con- 
ftitic  in  pbris.:Uquoru)iii  incompr.effibilium  contemum  aeroni', 
comprimi  non  poffe ,  cum  am^jlitudo  aut  figura  pororiim^ 
nequeat  mutari  (11,  IV. ).  Aer  vero  non  comprefTus)  necr 
etiam  refiliet,  nullumque  proptereamotum  fanguinis  partibusj. 

'  imprimere  poterir. 

LXVII  Quam  nam  igirur  demum  utilitatem  aer  fan- 
guinis  atfert  ?  ;Praeci^ijani  e35n,:,pffe  Cienfep,;,ut  ,^equljib|■iuIp;^ 
cum  externo  aere  conftituac ,[  >iiicqu>e    impediat    quominus' 

vafa  ab  ^jijs  pt'^ffioae  didaTitwr^j^,^,-)^;Praeterea;j<9^;  exha- 

(y)    CI.  Gaber.  Mifcel.  Taur.  Ill,  §  ij,  .14. 

ll)    BoRELLi  prop.  CXX.  .    .^  . 

{•0}    ScHwENCHE  hemacol.  p.  90.  SbnaC  <Ju  cceur  U,  p.  124.  In  calere  hu* 
niani  corporis  (iinguis  per  dimidiatn  horam  nullam  mutaiionein  fubi- 
,bat.    Ellcr  Acad,  de  Berlin  17^1  col.  CI.  Paul.  II,  p.  390. 

{*)    Uii  ccnfet  Malpighius  (I.  c.  p.  i8  ).  Duverney  II,  p.  478,  &  J07^ 
509  ,  &  alii  multi.  ; 

(•c)  SJmillier  Bzrgerus  (I.  c  p.  41).  Sauagius  (  I.  c.  §  74).  Mwschem. 
(  introd.  §  1170).  Senac  (  I.  c.  H,  p.  n8).  Macbride  (  I.  ci  p.  95, 
&  feq  ).  „  Et  fane  nifi  res  fie  fe  haberct,  huius,  in  quonoltra  funt 
„  corpora  ,  aiiris  circutnundiciue  prementis  vis  urgendo  vafa  moium 
M  fanguinis  fu/Saminaret,  Mokgacni  J.  c,  V,  §  18. 


'^9 

land  admiftus  videtur  efficere ,  ut  vifcera  ac   membranae 

iupra  fe  invicem  moveri  poffiiu  perinde  ac  fi  ,  ulla  ex- 
terna preflione  opprimer«ntur  (d)i  atque  hue  incommo- 
da  retero ,  quae  ab  aufta  fubito  exteuni  aeris  preiTione 
natcuntur  ,  non  prius  ceflatura ,  quam.  aer  humorum  uiii- 
formetn  denlitatem  acquifiverit  (  e  )  ,  unde  animal  non  fo- 
lum  aptus  fit  attnofphaerae  ponderi  ferendo,  fed  ejus  etiam 
decuplurft  faci'le  fudinet  (/).  Inde  etiam  intelligitur  cur 
animalia  in  rariorem  aerem  repente  translata ,  inflentur , 
convellanturque  j  quae  tamen  iyinptomaia  aut  nulla  fint , 
■^  ea  mutatio  paullatim  fiat,  aut  etiam  paullo  pod:  fedeti- 
tixr  ,  quum  afer   humorum  aeque  rarus  evaferit  (  XII  )• 

LXVill  Aer  itaque  humorum  animalium  quamdiu 
-<e)urdem  cum  "exterhd  denfitatis  eft,  cum  eodem  in  ae- 
<)uilibno  elt,  lit  iiamorti  per  fua  vafa  aeqae  libere  movean- 
tur,  ac  flnovek-^htur  in  vacuo  fpatio  j  fimiliterque  mem- 
branae ,  &  vife^ra  fupra  fe  invicem  facile  glifcunt :  at  fi 
minoris  extus  <ienfitatis  repente  evadit  vafa  intumefcunt , 
membranae  fecedunt ,  ik  divellunmr ,  fi  majoris  exprimun- 
tuT  va(a  ,  intertor^s  partt^  ad  le  mutu3  apprimuntur. 

LXiX  Ex  quibuS  exp^rimentum  Halesu  explicatur, 
•tjiii  nemp*  deprehendit  aniraalis  in  vacuo  erte^ti  pulmo- 
iies ,  qui  aibi  repenri  fdieant ,  rubros  adparere,  ffanima- 
lis  ipfius  thorax  variis  irtcifionibus  apertum  fuerit  priuC- 
quam  vacuo  committeretur ;  tum  experimentum  alterum , 
in  quo  feiis  tranverfim  fub  diaphragmate  feftae  diaphragma 


^}  Pan*  tnaxime  fltjtilfs,  ut  aMtrmeh  ,  rentrrctrtus  refiftunr  ponderi  ai^ 
mofphaerae  ob  inclufum  aerem  (  Saua6ius  I.  c.  §141  ).  Sitre  «erc  in- 
tefno  elirftico  cava  corporis  elidereniur  (  Sekac  ).  al.  c.  Km.  1,  c, 
p.  191). 

C*  )    Qaalia  incommoda-  gravilTima  ex  nimis  celer i  campan^e  erioaion'ae  de— 
fcenfu  orianiur.  Desaguliers  cours  de  phyflque   II ,   p>  4<f9.  Saua> 
' '  ~      '«ius  I.  c.  a  §  43  ad  46,  Mvstfa,  mtroti,  §  M70. 

(/)    Dhaguueks  1,  c.  . 


i6o 

in  vacuo  deprimi  obl'ervavLt  ( g ).  Patet:  nimlrum  aerera 
rore  thoracico  contentum  in  vacuo  fe  expandere  debere 
pulmonem  inter  ^  &  diaphragma  ,  eademque  ab  itivicen* 
divellere,  non  fecus,  ac  Icleroticae  laminae  abaere  humori- 
bus  contento  ia  vacuo  dlvelluntur  (A),  aut  .inarmorea 
plana  fibi  adhaerentia  in  vacuo  feparantur  ab  elatere  aeris 
oleo  inhaerentis,  quo  inunguntur  (r).  Itaque  expanden^, 
fe  ser  pulmones  iia  comprimet ,  fanguinemque  ita  ab  iifr 
dem  expriinet ,  ui  ,  raortuo  animali ,  exfar.gues  ^  albique 
appareant  ;  quod  non.  cootinget  ^  fi  aperto  prius  peftore 
aer  ille  libere  exhauriri  pofiit.  Eadem  vero  caufla  ,.  quae 
p)jImones  coroprimir,  diaphragma  etiam  in  oppofuam  parr 
tem  detrudir^ 

.  LXX  Enimvero  baud  verofimile  videtur  ,  d^iaphragma. 
dippelli  ab  aere  in  pulmone  relUtante  ,  ac  fe  expandent^,, 
quum  aer  ille  libere  per  glottidem  prodire  poiTit  ^  bine. 
pu!mo  in  vacuo  non  intumefcat,  aut  dirtrahatuc,  fed  coq^; 
tra  denfior  fiai  ( ^t ) ,  unde  potius  locunv  cedere  diaphrar- 
gmati  deberet  ,  ut.  altius  in  peftus  alTurgeret.  Quemadmor 
dum  igitur  in  fanguine.  fecundum  naturarn  rvuilae  infune,- 
aeris  bullae  (IX)  ,itsi  nee  in  eavo  pe£loris  (/),  Sc 
quemadmodum  ex  fanguine  bullae  erurapunt  ,  fi  in  vacuo 
fpatio  ronitituatur  (VII);  iic  etiara  videntur  ex  vapore 
perfpirante  peftoris  poffe  prodire,  &    memorata    phaeno- 

mena. 


(g)    Haemast.  exp.  Xn,  n.  lo. 

"  '  '       MUSCHEMIROEK   difpUI.   p.    587. 

Boyle  experiin.  phyfico-mech.  cont.  I,  e3tp.  p,  1,  p.  303,  PuRCHO* 

Tius  inftit.  Philof.  11  ,  p.  329. 
(.*)    Ut  aquae  fuodum  petat,  modo  animalia  in  vacuo  lente  enecentur,  aue 

aliquamdiu  port  nioriem  in  vacuo  relinquantur  (  Verati  com.  Bon. 

T.  11,  P.  I,  p.  338,  339),  8c  aet  paullaiim  admiitaiur  (  Mujchem* 

•ROEK.   introd.  §12167. 
(/)    Experimento  a  viris  CI.  Lieberkunio  ,  &  Halli&o  iiiilKuto.  V.  Hxiua 

dc  lefpir,  part,  II,  §  39,  pare.  III,  §  1$.  ^uKiO*.ia\i    (\) 


mena  producere.  Proinde  verofimile  eft  ab  aperro  in  vacuo 
peftoris  cavo  aerem  erupturum  non  fecus  ac  ab  arteria  , 
aut  vena  in   eodem  vacuo   pertufa  cernitur  prodire. 

LXXl      Quamquam  vero  aerem  internum  cum  externo 

aere  ad  aequilibrium   componi  in   pulmone    inprimis    exi- 

ftimem   (XI,  XII),  ejufque  aequilibrii  fervati   aut    refti- 

tuti  maximam  efle  utilitatem  (XVII),  baud  tamen    cen- 

(eo  hunc  fuifle  praecipuum   pulmonis   finem.     Nam    primo 

rariffime  aut  numquam  natura  tantam     producit    in    pon- 

dere    armo(pberae    mutationem ,  quae  ipfius    aequilibrium 

cum  interno  aere  infigniter  valeat   perturbare  i    dein    etfi 

tentius ,  reparari  tamea  per  alimenta  id  aequilibrium    po- 

tuiflet   (X),  &  pulmo  quails   in  frigidis,    aut  infeftorum 

tracheae  ei  promtius  reftituenda  fufFeciffent :  imo  vero  in 

pifcibus ,  qui  mutationi    eXternae    prefllonis    maxims    funt 

obnoxii ,  alia  proculdubio   ratione  rellituitur.    Quare    cum 

pulmo  humano  fimilis  nonnifi  calidis  animalibus  datus  fue- 

rit ,  concludendura  videtur  exhalationem  ,    &  inde    confe- 

<}uens  refrigerium  ,  quibus  calida  animalia  maxime  egent^ 

primarium  effe  reipirationis  ufura.  Vid.  cap.  praec. 


■^  5ri"ialiii\  ii 


u 


Mifc.  Taw.  Tom.  V»  y 


JOANNIS    PETRI    MARIAE     i 


D    ANA 

£)e  Solano  melanocerafo    H-  R'  Taw: 


•A 


C/uamqoam  Celeberr.  Linnaeus  in  eximioopere,  quo  Plaw-- 
^^  TARUM  SPECIES  complefti  nititur,  Solanum  Guineenfe 
-bis  nominaverit ,  &  ante  ipfum  CI.  Dillenius  ,  ac  BoE- 
•RHAAVius  plantam,  de  qua  hic  agitur,  cognoverint;  omnes 
tamen  ipfius  defcriptionem  paucis  complexi  de  viribus ,  & 
"Jiroprietatibus  ejufdem  nullam  omnino  mentionem  fecerunti 
nee  alium  Auftorem  invenire  datum  eft,  qui  ipfius  ufus 
Tnemoriae  mandaverit.  Non  inutile  propterea  duxi ,  paucis 
additis  ad  defcriptionem  pertinencibus ,  in  ejufdem  propricr 
tares ,  &  ufus  minima  vulgares  inquirere ,  ut  demum  in- 
telligatur  quomodo  hucufque  aut  neglefla  ,  aut  fufpefka 
planta  fuas  late  pandat  utilitates. 

<3uod  in  Guinea  fponte  nafcatur  Boerhaavius  {Ind.alt, 
part.  II.  p.  LXVIII  n.'  XVIII)  appellavit  Solanum  Gul- 
neenfe  fruclu  magna  infiar  Ceraji  nigerrimo  umbellato^  eodem- 
que  nomine  DiLLtNius  vocavit  (^Elt/tam. p.  ^^^6)  &ciconem 
dedit(Tab.CCLXXIf^  fig.  354)  Boianicus  {vecus  fupra  laudatus 
{implici  guineenjis  Solani nomine  (i)  plantae  fpeciem  intellexit 
a  noftra  modo  difta ,  five  a  Dillenu  ,  &  Boerhavii 
planta  omnino  diverfam,  perennem,  foliis  laurinis.  Hanc  pro 
varietate  fui  Solani  nigri  pofuit  ,  quam  guineenfem  vocat, 
&  fie  nomine  tenus  ab  aliis  varietatibus  diftinguit  in  Spec, 
plant,  (pag.  z66).  Hinc  in  Syjlemaiis  naturae  edit.  11  refor- 
mata  nullum  aliud  peculiare  nomen  triviale  ipfi  dedit.  Quo- 
niam  vero  per  quindecim ,  &  ultra  annos  in  noHro  Horto    j| 

.  A    .W^j't   .■'"••^'l    .j'.:U. 


botanico  excultum  inermes  fpinas ,  quibus  fpecie "  fans  di- 
ftinguitur  ,  nunquam  dimifirj  fed  conftanter  ab  omnibus  So- 
lani  fpeciebus  turn  acinorum  fiicco  purpuro-colorato  ,  turn 
datura  ,  aliifque  notis  diverliflimum  fe  fe  ollendiffe  vidi ; 
ideo  pro  diltinfta  plane  fpecie  luberi ,  &  nominari  poffe 
nullus  dubito.  Proptereaque  triviali  nomine  melanocerafi 
optime  diltingui  puto  cum  CI.  Viro  Carolo  Allionio 
BoT.  Prof.,  quod  netupe  apte  nomen  hoc  exprimat  fru^tuum, 
£b{i  baccarum  hujus  Solani  fimtlitudinem  ,  quae  cum  nigris 
Cerafi  fruftibus  iniercedit :  quemadmodum  idipfura  immor- 
talis  BofcRHAAVii  ,  &  ocolatiffimi  DiLLENli  defcriptiva 
nooiina  lignificare  voluerunt  Sub  iK)mine  Solani  /winamen- 
fis  olim  in  Horto  R.  Taurinenfi  excultam  oilendebat  primus 
Praeceptcr  meus  Vitalianus  Donati  ,  an;  quod  hoc 
nomine  ad  ipfura  femina  milTa  fuertnc  c*  vel  quod  Surina- 
jDum  pro  pacria  revera  quoque  agnofcat  ?  nefcio.  Praeter 
hos. ,  eoique,  qui  notiones  tnde  hauierunt^  vix  alium  inve- 
liies  ,.  qui  de  eodem  fcripferii; 

,  PUnta.  eft  glabra,  bicubitalis  fer€,caule  angulofo,  ramofo, 
ipinis  ad  angulos  &  ramos  non  pungentibu$  feu  inermibus. 
Folia  5"o/-  officinalis^  feu  ni^ri  L.  ampliora  ,  angulata,  lan- 
ceolata  ,  obtu(a  ,  alterna.  Floras  parvi  ex  bad  virefcente 
^zalbidi ,  ad  limbum  leviter  purpuro'violacei ,  antheris  fu- 
fcis.  Baccae  (phaericae  ,  cerafiformes  ,  imraaturae  virides, 
per  maturitatem  atrae  ,.  magnitudine  nucis  avellanae  ,  vel 
£ru6his  ceraii  mediocris-,  lucentes ,  in  racemos  fubumbella- 
tos  difpofitae,  niiidae  ,  viridi  pulpa  ,  &  parvis  ,  multis  air 
bidis  ,  compreflis  orbicularis  feminibus  faetae ,  lucco  pur- 
puro-violaceum  colorem  €X  fe  praebenie  praeditae.  Sliccus 
•doris  pouus  viooii  e(i ,  quam  graveoleatis ,  &:  narcutiti. 


Jl)     Spti,  pi.  ti.  c  pag.  ti%  ;  6"  lyft.  rut.  td.  li  rtfaf.  Bag.  17}. 
J*J    M«lcel.  Tjur.  vol.  V  in  auftw-   ad  H.  R.  Taur..    Eodcroquc   referente, 
'  rf>  6cah\  teftipofe  tn  Hotto  jam  esculta  fcerat  ha  c  fptcies. 


1  64 

uti  a  rdiquis  plantae  partibus  exhalat,  per  fermentationem 
'praeisrfim'  vinolum  odorcm  emittit. 

f^' 'Tota  planta  contufa  ,  &  retortae  indita  pondere  libra- 
jum  trium  unciarum  decern  &  drachmae  unius  ,  atque 
lummo  ignis  gradu  calciiiata  caput  mortuum  reliquic  in 
fundo  retortae  pondere  unciae  unius  drachmaTum  quinque 
'^  granorum  triginta  ,  coloris  atri,  faporis  fubfalfi  ;  quod 
intra  fornacem  calcinatum  in  crucibulo  mediam  fui  ponr 
<deris  partem  fere  adhuc  amilit  ,  &  cinerem  reliquit  albido)- 
rubentem  ,  ex  quo  per  lixiviationem  eduftum  ell  fai  alkali 
tixum  pondere  drachmarum  trium  ,  &  granorum  duorum. 
Si  a  combuftis  Solani  coloratis  acinis  obtenia  cinereo-fali- 
na  materies  ,  vel  lal  inde  elixiviatum  fimul  in  vitrum  abiire 
cogatur  cum  filice  »  Vel  alia  excolore  vitrefcibili  fubftantia, 
-vitro  ipfi  colorem  purpureum  communicare  I'uis  experimen- 
tis  detexit  ingenio  noii  minus  ,  quam  fanguine  clarus 
D.  Comes  Mgrozzi  (i),  qui,  ut  in  non  paucis  alits 
plantarum  cineribus  ,  ita  in  hoc  principia  colorantia,  fixa 
veluti ,  in  igne  manere  expertus  contendit ,  colorem  fuum, 
dum  in  vitrum  tranfeunt ,  rurfus  oftenliira.  Baccae,  earum« 
rumque  fuccus  fimilia  fere  per  analyhm  praebent  princi- 
pia chymica  ac  tota  planta,  hcst  falis  fixi  paulo  minorem 
quantitatem  largiantur ,  &  aliqua  in  odore  primae  per  <ie- 
itillationem  prodeuntis  aquae  differentia  iiuercedat.  -  ■■  ji 
Experimenta  in  maiuro  fruftu  ,  aut  ejus  fucco  recenter 
exprello  pleruraque  tentata  iiuelliguntur,  nih  contrarium  at 
feratur.  Fru6tus  obtinui  ex  planta  turn  in  Horto  Taurinenfi 
Regio  Botanico  exculta  ,  turn  etiam  ex  aliis  locis  collinis, 
aut  fubmontanis  ,  vel  campellribus  fatis  agri  Pedemontani , 
in  quibus  omnibus  fub  dio  maturum  fruftum  praebuit,  & 
fua  ,  utut  annua  radice  hyemahs  frigoris  rigorem  aliquando 


(2)    Examen  phyficochimique  fur  la  couleur  des  fleurs  ,   &   de  quelques  au^ 
ucs  Jubilances  veg6taic5.  Mifctl,  S«(,  Reg.  Tauu  vel,  V,  tub,  ». 


toUefavit  quando  ferius  fata  intra  annum  flores  non  dede- 
lat.  Difficile  propterea  non  erit  magnam  jpfius  quaatita- 
icm,  &  ad  opus  quodcumque  pro  lubitu  neceffariam  quet- 
annis  latione  obtinere. 

Cum  fyrupo  fucci  exprelfi  ab  cjufdem  Solani  acinis  ma- 
turitati  proxixnis  nonnuUa  experimerua  inftitui  ad  aquarum 
quarumdam  mineralium  examen  praefertim  commoda,  & 
neceffaria  ;  quae  nimirum  fimiles  produnt  fignificationes , 
<)uales  fere  a  (yrupo  florum  vioiarum  obfervari  folent. 
Item  cum  noftro  fyrupo ,  &  cum  fimili  fuccefTu  aliqua 
lentavi  ex  muhis  illis  experimentis ,  quorum  feriem  oUm 
(})  profecutus  eft  Illuftrilfimus  Comes  De  Saljuce,  in  quo 
acquifitae  pro  multiplici  fcientia  laudes,  &  honores  generis 
antiquitaii  pares^  &  indito  fcientiarum ,  ac  artium  amoti 
debiti  fimul  refulgent.  '>. 

\  Colorum  varietas,  ■&  pulchriiudo,  quiexhac  planta  ob- 
tinentur,  &  extrahuntur  primam  hucufque  flbi  confidera- 
lionem  nierentur  ob  ufus ,  quos  in  piiloria  non  minus , 
quam  tin£loria  arte  poilicentur.  Et  fane  fuccus  a  maturis  , 
vel  fubmaturis  &  coloratis  baccis  expreffus  purpuro-viola- 
cei  coloris  pulcherrimi  ell ,  &  ad  ufus  piftorios  fupra 
^hartam  opportune  adhibitus  per.  k  optime  cedit,  fuumque 
colorem  cum  pauco  etiara  alumine  &  gummi  diutiffime 
fulHnet.  Idem  fuccus  brevi  ad  flccitatem  Mariae  Balneo  , 
aut  aliter ,  antequam  corruptionis  notas  fibi  reliftus  prae- 
beat,  evaporatus  extraclum  largitur,  quod  fimilem  colo- 
rem fervat ,  &  ,  ubi  opus,  prodit  cum  pauca  aqua  diiu- 
tum.  Neque  mutationes  facile  fentit  hie  color ,  quas  traftu 
temporis  hujufmodi  pifturae  fponte  pleraeque  fubeuot:  fal- 
tem  fupra  chanam  a  decern  ,  6c  ultra  annis  piftae  plantae, 
quae  hunc  coiorem  receperunt  ,  hucufique  inimutatae  fer- 
yantur  j  dum  non  pauci  alii  plantarum  colorati  fucci  his  , 
quas  fola  dies  afi'ert  ,  mutatiombus  facile  deturparuur.  Quo- 

(3)    In  Mifccllan.  Taux,  Vol.  Ill  p,  153. 


t66 

niam  vero  vividiortm  ,  &  magis'purpurafcentem  colorem 
hujus  Solani  baccae  recentes  praebeiit ,  quam  ad  corruptio- 
nem  tendentes,  noil  incongruum  erit  adnotare  eafdem  per 
totum  fere  annum  in  acre  aperto  fervari  poffe,  licec  tan« 
dem  flaccidae  fiant ,  aut  (iccefcant  in  acre  nimis  ficco.  Ser- 
vandi  modus  multiplex  ell:  fie  vel  cum  ramorum,  quibus 
valde  adhaerent,  fummitatibus  in  loco  frigidiufculo  fufpen* 
duntur  ;  vel  in  liquore  oleofo  ,  aut  appropriate  alio,  ex.  cai, 
fpiritu  vini ,  auc  aqua  aluminofa  immerfae  detinentur  loco 
frigido ,  ut  tu^emes ,  &  fatis  ad  \xiam  accommodatae  bac- 
cae ferventur  :  ob  denfam  nimirum  cutem  ,  qua  teguntur, 
fie  propriam  diu ,  quam  etiam  habent  maturae  ,  duritierrt 
fervant.  Optiroam  aliam  folanacei  hujus  Coloris  fervandi 
methodum  earn  effe  probabis  ,  quae  communis  fere  fucco 
Solani  eft  cum  aliis  coloratis  quibufdam  liquoribus  ,  qui  fibi 
re!i6li  fub  forma  fluida  mutarentur,  uti  eft  color  carthami 
tintlorii  &c, :  futntintur  nempe  ftamina  cannabis  carptae  ^ 
mundatae  ,  &  ad  optima  fila  ducenda  paratae  ;  maceran- 
tur  aliquantifper  in  aqua  ;  dein  probe  lota  ,  &  exficcata 
ia  purum,  vel  praeparatum  plantae  fuccum  immerguntur  j. 
mox  brevi  exficcftta  fine  expreffione  ,  in  aere  aperto  ,  & 
calido ,  loco  claufo,  tuto  ,  ac  ficco  fervantur  ad  ufum. 
Tmcturam  ,  qua  onufta  fuerit  cannabis,  filaque  ejus,  fim- 
plici  immerfione  deinde  ,  quolibet  dato  tempore ,  immuta- 
Mm  facile  reftiruent  aquae ,  ex  qua  fere  decolor  eximi 
poterit )  &  color  aquae  communicatus  ad  fetam  ,  ubi  opus, 
tingendam  ,  aliofque  ufus  pi^lorios  traduci  poterit.  Chartae 
emporeticae  ad  fimiles  etiam  ufus  fucco  imbutae  inferviunr, 
aliaque. 

Dixi  fpiritu  vini  quoque  rubram  tinfturam  elici  ex  bac- 
cis  integris  ,  earumve  cortife.  Haec  tamen  tinftura  longe 
intenfior  ,  &  plane  purpurea  ex  iifdem  difruptis  obtinetur, 
quae  non  ,  quemadmodum  fuccus  ,  fcrmentationi  vinofae  $ 
&  mox  putrefaction!  fubjacet ,  fed   fub   hac  forma  colo- 


Wiues  particulas  poteft  diutius  confervare.  Pars  igiturprin- 
cJpiorura  cobrantium  reiinofam  indolem  praeftfert,  quam- 
vis  fuccus  ipfe  in  concreto  naturaliter  exulens  totus  in 
.aqua  pura  folvi  poffit.  Idipfum  confirinatur  experiinentis  , 
quibus  conftat  purum  fuccum  abfqae  aluminis  Tubudio  fuum 
ferae  colorera  vividura  probe  communicare;  quod  colori- 
bus  fimpliciter  gummofo-extra6livis  vix  convenit ,  faltem 
his  minus  proprium  cenfetur  terte  Clariflimo  MACQUtRO. 
(4)  Sperandum  propterea  videtur  ob  earn  caufam ,  quod 
refinofo  etiam  principio  vis  inhaereat  tinftoria  ,  perfeftio- 
res ,  &  Iblidiores  adbuc  has  >  aliafque  reddi  pofle  tincluras 
ex  continuata  horura ,  aliorumque  cum  hoc  Solano  inlli- 
tuendorum  experimentorum  ferie. 

Non  omnia  nunc  recenfebo  experimenta  a  me  fafta  fu- 
pra  Solani  hujus  melanocerafi  plantam,  &  praefertim  fupra 
iucci^m  baccarum  ejus  recentem  ,  vel  ad  extrafti  formam 
per  evaporationera  redaftum  ,  ut  ipfius  indolem  detegerem. 
Aliqua  tantum  attingam,  quoniam  naturam,  &  proprietates 
reipiciunt  ftirpis  ,  a  nemine  ,  quod  fciam ,  ante  hanc  diem 
accurate  perpenfas.  Sic  recenter  expreffus  purpureus  Solani 
melanocerafi  luccus  ab  aceti  fpiritu  ,  &  ab  iplb  aceto  plus 
minufve  purpuro-grifeum  colorem  induit ;  a  fucco  limonum 
dilute  &  pallide  rubentem.;  a  ftillatitiis  fpiriiibus  acidis  fa- 
jis  marini ,  &  nitri  in  aqua  dilutis  plus  minus  intenfe  rubrum, 
cpccineumque  j  ab  oleo  vitrioli  fimiliter  foluto  vividiffimum 
■ciniwbarinum ,  qui  fibi  diutiuj  reIi(£lus.Mj  lutefcentem  ver- 
eit  ^  &  deraum  flocculos  in  fluido  inuatantes  fenfim  prodit. 
Chhi  plumlnis  iblBtipne  idem  f«f  ous  d^t  laete.  caeruleum 
eolofcra  variae  int^nfitatis  pro  varja  utriufque  ad  diluen- 
-WH)  ^qyana  proporiione ,  qui  inemoratis  pifturis  commode 
jnfervif.  Vitnolum  martis  obfcure  caeruleum,  at  mutabilem 


44)    Patfm  ta  £je  dtOaonario  chymka  anoDyao;  &  in  egtegio  operc   I'an. 
4t  1*  tamiune.  tn  fiiy. 


i68 

reddit.  Alkalini  fates ,  calx  ,  &  aqua  calcis  ad  viridem  cH- 
verlimode  difponunt  ,  ac  imniutanr.  Attamen  ,  i\  ad  telas 
pingendas  adhibearur,  praellat,  e.vperientia  teile,  cam  calce 
mifcerff,  quam  cum  lalibus,  quorum  aftione  fortaffe  nimia,. 
linrea  debiliora  reddi  poffent,  &  fucci  pars  in  flocculos 
per  iiquidum  dirperfos  cogi :  lie  viridis  optimus  color  viJi 
praetio  habebitur. 

Qaod  fi  maturefcentes  eaedem  baccae  contuse  ,  fermerj- 
fationem  vinofam  p^ffae  putrefaflioiiem.  fponte  fticcedeiuetn 
fjlHiieatit,  &  expreflus  inde  foetens  (6)  liquor  lente  ad  ignem 
evaporet  ,  obfcurum  extrattutn  habebirur  ,  cujiis  colorem 
umbraticum  appellare  poiTemus  ,  ob  I'uam  ad  corporum  um- 
bras praeftjrtim  fupra  chartam  pingendas  utiliratem.  Hie 
color  prae  caeteris  optimus  eft  ad  ficcefcentes  plantarum 
partes  ^  praecipue  ad  earumdem  caules  ,  &  non  paucas  ra- 
dices perfefte  imitandas,  quin  muiationibus  facile  fubiiciaa- 
tUir  pitturae  exinde  elaboratae. 

Yerutn. 


{6)  Hiinc  foetorem  tandem  port  fex,  &  ultra  menfes  fervstus,  Scadfoleni' 
expofitus  in  vitrca  amplaphiala  obturaculo  chartaceo  te£la  ,  fere  ami- 
fit,  &  in  liquamen  abiit,  quod  dccantatum  conrpiciendam  in  vafisfundo- 
reli^jiiit  materiain  grumoft  concretam  ,  nee  cryflallizaram,  in  aqua 
fonti";  nullatenus,  &  ex  parte  tantum  in  fpiritu  vini  foldbilem,  aqaa 
/pecifice  feviorem,  indeque  fupernatantem  ,  terrae  fullonicae ,  faponf, 
vel  fineaidi  exteriori  facie  fimilem ,  at  peculiaris  naturae  fubinflpr- 
Aivn  ,  naufeam  nioventem  ,  parumper  ingrate  odoratain  ,  exalbe/cen- 
tc  pallido  colore  praeditam.  Haec  inflammata  oleum  nigrum  extus 
emifit,  quod  lactam,  nee  fcintillanrem  flammam  diu  aluit  fine  iff- 
gtato  odoie:  pauci  poll  combuflisnem  teliili  cineres  cum  oleo  vi- 
irioli  efFerbiicrunt  alkalinae  fuae  naturae  indicio;  an  calcareae  ,  vel 
falinac  ?  hucufque  non  fum  experrus.  £x  diftis  interim  fere  patet  con- 
cretionem  banc  novum  cfTe  alkalino  oleofum  ,  &  fingulare  ariis  pro- 
duftum,  cujus  naturana,  &  ufus  haftenus  omnino  ignoramus,  lic^ 
^uafdam  faponis ,  alias  refinae  propiieiatcs  ipfum  oflender<it. 


16^ 
Verum  de  virtutlbus  (7)  medicis ,  quas  hucufque  non  fum 
expertus  ,  nihil  addens  jam  alias  ad  fetam  tingendam  a  me 
probatas^  exponam  (8).  Quod,  ut  brevi  fiat,  aliqua  tan- 
tum  ex  multis  experimentis  eiigam  ,  quae  inter  privates 
parietes  primum  feci  ann.  176^^  1770:  turn  deinde  repetii, 
&  fum  profecutus  ann.  1771,  1771  in  Regio  Tinfturae 
laboratorio,  ut  fpeciali  in  banc  rem  juffui  AUGUSTISSI- 
MI,  ET  INVICTISSIMI  REGIS  parerem  ,  GUI  colorum 
hoc  Solano  obtentorum  fpecimina  quaedam  non  difplicue- 
runt;  QUIQUE  ideo  Perilluftrem  D^  Comitem  d'Aglie  ab 
Alladio  ad  Tintloriae ,  aliarumque  artium  culturam  promo- 
vendam  I'peciatim ,  &  ex  hereditaria  veluti  propeniione 
addiftum  publicae  utilitatis  caufa  experimentis  repetendis 
praeeffe  voluit.  Theoriam  horum ,  aliorumque  experimen- 
torum  alio  fonafle  tempore  una  cum  aliis  adhuc  infti-- 
tuendis  prodam.. 

I 

Sapone  Maffilienfi  venali  dealbata  feta ,  mox  indita  ^m- 
flici  tepentique  baccarum  Solani  melanoceraji  jucco  colorem 
induit  ex  purpureo  ad  violaceum  tendentem  ,  vulgo  nobis 
diftum  (Tlfabella  chiaro ,  qui  repetitis  lotionibus  ,  &  im- 
meriionibus  non  magis  evanuit ,  nee  atiae  rautationi  fubje- 


(7)  Si  ex  indole  pleraruraque  coogenerum,  &  praefertim  ex  afRnitate  cum 

Solano  vulgaii  nigro  ofTicinarum  de  Solani  mdanocerafi,  viribus  me- 
dicis aliqiiid  per  analogiatn  conjcftare  liceret,  &  odor,  fapor,  analy- 
fis  confulerentur ,.  pro  ufu  inurno  infidas  ,  &  de  vi-neno  fufpeftas 
proiiniis  fore  hucufque  fufpic^rcr  pro  cxierno  autein  ufu  fortaffe 
non  fpernenda?  refolvcnies  ,  difcutientes  anodynas  intfTe  in  foliis  , 
caulibus ,  &  Hnribus  :  aique  lenientcs  ,  detergentefque  aJverfiis  car- 
cinomaia  icifanabilia  in  fruftuum  fucco  recenii ,  &  depurate  repeiiri 
pofTe  non  obflupefcerein. 

(8)  Ex  antccedentiuin  confideratione  ad  appncatinnem  principiorum  coloran- 

tium  fupra  fetam  deveniri  poffe  putavi.  Nee  fpem  fefellit  cvenius, 
uti  etiam  ipfo  lindlorum  lato  fuper  hanc  tin£luram  judjcio  jam  fau» 
conftat. 

Mijc.  Taur,  Tom.  V  z 


'7°       . 

ftus  fuit ,  quam  foleat  longo  labore ,  &  longe  majori  tem- 

poris ,  ac  aua  difpeiidio  paratus  color  Lichenis  Rocellae  L. 

Italis  oricello  ,  aliique  diverfi  generis  ,    ex.   gr.    Canhami  , 

Luteolae  &c.  Intenlior  ad  violaceum  ufque  fiet  fetae  color, 

fi  poll  repetiram  .in    idem    tepens    balneum     immeilionem 

ipla  exficcari  linatur ,  quem  vocaut  Lilla  violante. 

I  I 

Baccae  integrae  cum  fucco  earumdem  exprejfo  coSlae,  & 
deinde  expreffae  balneum  praebuere  ,  in  quod  ad  ebullino- 
nem  ufque  calefaSum  demerfa  fimilis  feta  colorem  vividifll- 
mum  pod  opportunas  lotiones  acquifivit  grifeofubpurpura- 
fcentem  ,  quem  tinftores  apud  nos  vocant  gris  de  prince , 
Hie  variae  intenfitatis  fuit  pro  varia  liquoris  tingentis  ad 
fetam  ,  vel  additam  aquam  proportione  ,  &  pro  vario  tem- 
pore ebullitionis.  Hos  colores  a  nulla  alia  planta  adeo  fa- 
cile obtineri  norunt  tin8:ores. 

I  I  i 

Sic  jam  tinftis  fetis  (n.  I,  II),  vel  ipfi  balneo  addita" 
leris  quantitas  fucci  limonum  colorem  dat  pallide  fubpur- 
pureum  ,  ut  in  vulgaris  Colchici  floribus  inert  ,  qui  nobis 
audit  color  di  frejdolina  chiaro.  Vividus  utique  per  fe  hie 
etiam  eit,  at  ex  laeviffima  Carthami  florum  tindura  ad  ro- 
feum  dilutiilimum  mox  accedet. 

I  V 

Eadem  (  n.  I,  II  )  tinfta  feta  intenfiorera  florum  Colchici 
colorem  adipifcetur  ex  levi  acidi  vitriolici  in  multo  liqui- 
do  diluti,  &  probe  mixti  additione.  At  rigiditas  inde  aliqua 
fetae  infertur,  unde  forta0e  fufpedus  eile  pofTet  hujus  tin< 
Aurae  ufus. 


171 


Succus  a  Solano  expreflus ,  &  fpiritui  vini  vulgari  jun- 
£lus  ,  five  tinclura  fpir'nuofa  ex  baccis  dealbatae  ,  &  ficca- 
tae  fetae  colorein  djbit  purpura- ruhentem  ^  veluti  vinofum  j 
qui  minus  intenfus  erit ,  fi  ante  iramerfionem  feta  non 
fuerit  probe  ficcata.  Si  huic  balneo  fucci  limonum  parva 
quantitas  addatur,  feta  immerfa  colorem  acquiret  levifiime 
purpureum.  Sed  in  hifce  tribus  cafibus  fetae  color  pecu- 
liariter  lucens  ^  &  nitidior  erit,  quod  a  fpiritu  vini  fortaffe 
provenit  colorantia  refinofa  elementa  intimius  penetrante , 
folvente ,  &  intra  fetam  inducente.  Etenim  infuper  iidera 
quoque  colores  difficilius  (6)  mutabiles  in  ipfa  feta  obfervantur. 

V  I 

Ex  variorum  alkalinorum  additione  mutationes  tales  bal- 
neo communicatae  funt ,  ut  minus  facile  applicandos ,  ik 
minus  optabiles  colores  feta  deinde  immerfa  obtinuerir. 

VII 

Exceptione  tamen  omnino  digna  funt  bina  produfta  al- 
kalinae  indolis ,  quae  a  Spartio  fcopario  Lin.  eduxit  PeriU 
luftris  Comes  Morozzi  ,  mihique  obtulit  experiunda ;  fci- 
Jicet  fal  alkali  fixum  ex  corabufta  Spartii  fcoparii  planta 
eduftum  per  cineris  ejufdem  elixiviationem ;  &  fpiritus 
olcofus  alkalinus  volatilis ,  empyreumatico-foetidiffimus  per 
dilbllationem  A.  B.  obtentus.  Etenim  five  cum  fimplici  So- 
lani  fucco  ^  five  cum  addito    alumine  ,  aliifve ,    pro  varia 


.{9)  Immutabiles  fere  colores  fetae  nemo  haftenus  indidit  ,  licet  demur 
varii  eorum  mutabilitaiis  gmdus ,  plus  inioufve  facile  induccndi , 
&im  aeii,  &  Soli  leta  diuiius  exponitur. 


»7»    ,      .  . 

ingredientiuin  applicatione  ,  &  proportions,    ea    produ6la 

communicant  immer(ae  fetae  varios  colores  maxime  niti- 
dos ,  &  vivaces ,  grifeos ,  argenteos,  atque  caerulefcentes. 
Si  loco  Talis  Spartii  modo  laudad  fal  altud  alkali  fixum 
ex.  gr.  tartari  adhibeatur,  memorad  colores  nullatenus  fe(e 
produnt:  unde  etiam  eruirur  notabile  horum  fixorum  fa- 
lium  ,  noviimque  difcrimen  ;  utlibet  in  pluribus  aliis  pro-< 
prietatibus  inter  fe-  vere  Gonveniant. 

V  1  I  I. 

Solani  fuccus  in  aqua  leviter  nitrata  fblutus  grlfeum  puU 
chrum  caeteris  intenfiorem  fetae  colorem  communicat. 

IX 

Seta  fapone  minima  dealbata ,  feu  cruda ,  turn  etiam- 
alumine  nullatenus  penetrata  hujus  tinfturas ,  feu  princi- 
pia  colorantia  baccarum  Solani  per  fe  fatis  facile  ,  &  me- 
lius recipit ,  &  firmius  tenet ,  quam  fapone  ,  &  alumine 
praeparata.  Immo,  fi  faponem  adhibitum  nimia  copia  alkar 
lini  falis  ingrediatur  ,  praeftabit  femel  fetam  intra  aquam  li- 
monum  fucco  leviter  acidulatam  immergere  ,  turn  ex  aqua: 
fontis  faepius  eluere  ,  ut  deinde  purpureus  color  melius  ^ 
nee  ad  caeruleum  inclinans  fetae  communicetur  per  Solani 
fuccum  tingendae. 

X 

Praeter  hucufque  diftos  colores  alii  enati  funt  ex  quo- 
rumdam  tinfturae  ingredientium  connubio,  medii  veluti,  & 
quales  ab  alterutro  ingredientium  obdneri  non  poffunt.  In- 
ter hos  futt  fupra  fetam  color  nuccus  variae  intenlitads  ad 
rubicundum  vergensj  murinus,  gnfeus  margaritaceus  claius, 
caerulans ,  caffe  tolti,  vel  magis  clari,  &  lubefcentis,  &c. 
de  quibus  nihil  addo  ,  quia  aeque  folidi  ac  optimi  magi« 
facile ,  aut  ininori  fumptu  aliter  parari  polTunt^ 


SECOND    M^MOIRE"" 

Sur  la  diffcrente  dlffolubillte  dc  fels  neutres  dans 

L'efpnt  de  vin ,  (^i^  contenant  des  ohfervanons 

paniculierei  fur  plufieurs  de  ces  fels. 

Par    M/    MAQUER. 


iiuoique  I'objet  que  j'aie  eu  principalement  en  viie  dans 
ce  travail ,  ait  ete  de  reconnoitre  Taftion  de  I'efprit 
de  vin  fur  les  fels  neutres,  c'eft-a  dire  fur  les  coinpofes 
qui  refultent  de  Tunion  d'un  acide  qiSelconque  avec  une 
fubilance  de  quelque  nature  qu'elle  foit ,  j'ai  fenti  cepen- 
dant ,  en  continuant  ces  recherches,  qu' il  etoit  necerfaire 
de  les  erendre  encore  plus  loin,  &  de  determiner,  autanc 
que  cela  feroit  poflible ,  la  maniere  dont  I'efprit  de  vin 
agit  fur  les  fubltances  menies ,  dont  I'union  peut  former 
des  fels   neutres. 

Les  phenomenes  de  combinaXons  7'ue  pretente  ce  dilToivant 
avec  les  acides  vitriolique  ,  nitreux  6i  marin,  etant  deja  bien 
connus  par  les  travaux  d'  un  grand  nombre  de  Cnimiftes 
tres  eclaires  ,  j'ai  cru  qu'il  etoit  inutile  de  reveoir  fur  cet- 
te  matiere  qui  paroit  eclaircie  autant  qu'elle  peut  I'^rre. 
Mais  il  n'en  elt  pas  de  mema  de  ceux  que  1'  elprit  ardent 
peut  offrir  avec  les  fubltances  fufceptibles  de  s'  unit  aux 
acides ,  &  principalement  avec  les  matieres  falines  alkali- 
nes.  J'ai  penle  par  cette  raifon  qu'  il  etoit  a  propos  de 
faire  quelques  experiences  fur  ces  dernieres ,  avarit  d'aller 


(i)    Le  premier  Me'raoire  fe  trouve  dans  Ic  HI  Vol. 

MlJc,  Taur.  Tom.  V.  a  a 


^74 

plus  loin  ;  il  auroit  meme  ,  Hiiis-doute ,  ete  mieiix  de  s'eti 

occuper  d'abord  ;  mais  dans  des  recherches  coinme  celles-ci 

qui    n'ont   pour  but  que  de  bien  conllater  des  fdit;.  effen- 

tiels  a  connoitre ,  &    de    raffembler  .  des    miteriaux    qui 

pourront  etre  employes  par  la    fuite  avec    fucces,    il    eft 

toujours  terns  de  fouiller  dans  la  carriere  &  d'en  extraire 

les  maiieres  premieres.  Je  reviendrai  done,  pour  ainli  dire 

ici,  fur  mes  pas  ;  je  commencerai  par  I'examen  des  pheno- 

menes  qu'offre  I'efprit  de  vin  avec  les  alkalis  fixes  ,    vǤgetal 

&  mineral ,  avec  I'aikali  volatil ,  enfuite  avant  que  de  trailer 

des  fels  neutres  tartareux  ou  rartres  folubles,  dont  il  s'agira 

principaleraent   dans  ce   fecond   niemoire ,    je    reconnoitrai 

la  maniere  dont  (e  comporte  Tacide   tartareux    pur    avec 

Tefprit  de  vin  ,  &  Qifin  je  le  terminerai  par   deux  epreu- 

ves  fur  I'arlenic  cc  le   lei   neutre  arfenical  ,  qui  feront  ici 

des  efpeces  de  hors  d'ceuvre ,  mais  qui  doivent  cependant 

entrer  quelque  part   dans  un  travail  de  la  nature  de  celui-ci. 

Alkali  fixe  du  tanre, 

J'ai  pris  de  I'aikali  fixe  du  tartre ,  tres-blanc ,  tres-fec, 
purifie  avec  tout  le  foin  poffible  par  les  dilTolutions ,  fil- 
trations ,  &  deiiccation  parfaite  j  j'ai  fait  bouillir  defl'us 
dans  un  matras ,  du  meme  efprit  de  vin  qui  m'avoit  fervi 
pour  les  experiences  de  mon   premier  memoire. 

Au  premier  contaft  de  Te/jsrit  de  vin  ,  I'aikali  a  com- 
mence par  fe  pelotter ,  &  enfuite  a  forme  par  I'ebullition, 
une  Ibrte  de  liqueur  epaifle  blanche  &  trouble  qui  occu- 
poit  le  fond  du  matras.  Cette  elpece  de  liquefaction  du 
lei  alkali  clt  due,  comme  Ton  fait ,  a  une  petite  portion 
de  flegme  dont  I'eljjrit  de  vin  le  mieux  reftifie  n'eft  jamais 
entierement  exempt ,  quand  il  I'a  ete  par  la  (imple  diftil- 
lation  ,  fans  aucun  intermede  ,  tel  que  Tell  celui  dont  je 
Die    lets.    Je  dois  faire  obferver  audi    que    dans    I'expe-. 


»7J 
rience  dont  je  parle  la  quantity  de  I'efprit   de    via    etoit 

trois  fois  plus  gratide  que  celle  de  I'alkali. 

Apres  rebullition  ,  j'ai  decanre  I'efprit  de  vin  encore 
tres-chaud ,  puis  je  I'ai  filire  par  le  papier  gris  quoi  qu'il 
fut  fort  clair ;  il  a  paiTe  tres-limpide. 

Quelques  gouttes  de  cet  efprit  de  vin  mifes  fur  une 
glace  fe  font  evaporees  en-  affez  peu  de  terns  a  fair  iibre, 
&  y  ont  laifle  des  criftaux  figures  en  lames  d'epee;  quel- 
ques uns  de  ces  criltaux  etoient  folitaires  ;  mais  la  plus 
part  etoient  croifes  deux  a  deux  I'un  fur  i'autre ,  avec 
cette  fingularite  ,  que  I'un  beaucoup  moins  long  que  I'autre 
coupoit  ce  dernier  a  angles  droits  vers  une  de  fes  extre- 
mites  de  maniere  qu'  ils  reprefentoient  enfemble  une  croix, 
ou  encore  mieux  une  de  ces  epees  a  I'antique  dont  la 
poignee  &  la  garde  forment  une  croix. 

J'ai  fait  evaporer  a  une  chaleur  douce  de  bain  de  fable 
cet  efprit  de  vin  qui  avoit  bouilli  fur  I'alkali  fixe  du  tar- 
tre  ,  a  mefure  que  la  liqueur  s'evaporoit ,  elle  contratitoit 
une  couleur  d'abord  jaune ,  puis  roul'satre  &  une  faveur 
acre  alkaline. 

Lors  qu'elle  a  ere  evaporee  aux  trois  quarts  ,  j'en  ai 
mis  une  portion  dans  une  capfule  de  verre  ,  pour  la  lail- 
fer  achever  de  s'evaporer  a  la  feule  chaleur  de  i'air;  il  s'eft 
forme  dans  celle-ci  des  criltaux  d'une  forme  route  diffe- 
rente  :  c'  etoient  des  pyramides  quadrangulaires  fort  baffes, 
dont  les'elemens  etoient  des  quarres  reguliers  ,  pofes  les 
uns  fur  les  autres ,  &  decroiflans  depuis  la  bafe,  jufqu'au 
fommet ;  on  diltinguait  tres-bien  au  microfcope  la  fepara- 
tion  de  ces  elemens  quarres  qui  formoient  comma  des 
efpeces  d'efcaliers  ,  ou  de  gradins  fur  chaque  face  de  la 
pyramide. 

Une  demi  oiKe  du  meme  efprit  de  vin  qui  avoit  bouilli 
fur  I'alkali  du  tartre  ,  evaporee  tout  de  fuite  jufqu'  a  fic- 
cite  au  bain  de  fable  a  une  chaleur  aflez  forte  ,  dans  une 

a  a  2. 


i-]6 

petite  tafle  ou  capfule  de  porcelalne ,  a  laifTe  deux  grains 
d'uiie  matiere  roufle  ,  foncee  ,  dans  laquelle  il  n'  y  avoit 
aucune  criftallifation.  Cette  matiere  avoit  une  faveur  acre 
alkaline  ,  verdiffoit  fortement  le  fyrop  violat ,  &  avoit  les 
carafteres  d'un  .compofe  huileux  ,  favonneux  alkalin  ;  elle 
fe  diflblvoit  egalement  bien  dans  I'eau  ,  ou  dans  I'efprit 
de  vin. 

La  flamme  d'une  autre  demi  once  du  meme  efprit  de 
vin  ,  ne  differoit  point  fenfiblement  de  celle  de  I'efprit  de 
vin  pur  ,  il  eft  refte  dans  ia  capfule  qui  avoit  fervi  a  cette 
deflagration  un  enduit  d'une  matiere  loute  femblable  a 
celle  que  je  viens  de  decrire. 

Une  circonftance  remarquable  de  I'expeiience  dont  je 
viens  de  rendre  compte  ,  c'eft  que  I'efpece  de  difl'olution 
aqueufe  de  I'alkali  fur  leque!  j'avois  fait  bouillir  I'efprit 
de  vin  ,  s'eft  coagulee  route  entiere  par  le  feul  refroidif- 
fcmenr,  en  une  mafie  blanche,  filine  ,  criftallifee ,  mais 
en  crillaux  infiniment  petits  ,  conftjs  ,  entaffes  ,  &  dont  je 
n'ai  pu  dererniiner  d'abord  la  forme  a  caufe  de  leur  pe- 
titeffe  &:  probablemeni  auffi  a  caufe  de  leur  irregularite 
&  de  leur  confufion. 

L'ayant  rediflbus  dans  de  I'eau  &  laiffe  criftallifer  dans 
une  c.ipfule  de  verre ,  j'ai  obtenu  une  crirtaliifation  en 
belies  ramifications  compofees  d'aiguillcs  ou  de  filamens 
longs  ;■  mais  qui  par  cela  meme  ne  me  prefentant  point 
de  criftaux  folitaires  ,  ne  m'en  lailToit  point  dilHnguer  la 
vraie  torme  ;  il  y  avoit  cependant  dans  dps  intervalles  de 
ces  ramifications  quelques  crillaux  folitaires  tres-petits, 
bien  reguliers  ,  &  formant  des  tianches  de  pri(mes  exa- 
gonaux  ou  Acs  folides  abfoiument  femblables  a  des  car- 
reaux  de  chambre. 

On  fait  pour  I'ufage  de  la  medecine  une  preparation 
nonimee  tcinturc  dz  Jcl  dc  tartre  Sc  qui  conlille  a  verfer 
fur  de  I'alkali  fixe  de  tartre ,  bien  calcine  Sc  encore  tout 


^77 
cliaud ,  de  I'  efprit  de  vin  rfcftifie  ,  &  a  lalfler  ce  melange 

en  digeftion  dans  un  raatras  au  bain  de  fable  pendant  plu- 
fieurs  jours ,  ou  jufqu'  a  ce  que  l'  efprit  de  vin  ait  acquis 
une  couleur  jaune  fonc^e. 

Le  refultat  de  cette  preparation  devant  avoir  beaucoup 
de  rapport  avec  celui  de  l'  experience  dont  je  viens  de 
rendre  compte ,  j'  ai  voulu  comparer  1'  un  a  1'  autre. 

J'  avois  environ  dix  ou  douze  onces  de  cette  teinture 
de  fel  de  tarrre  extremement  foncee  en  couleur  ,  &  qui 
etoit  dans  mon  laboratoire  depuis  plus  de  vingt  ans  duns 
une  bouteille  bouchee  d'un  fimple  bouchon  de  liege. 

J' ai  trouve  en  I'examinant  que  cette  liqueur  avoit  perdu 
une  partie  de  fa  couleur ,  quoi  qu'  elle  en  confervat  en- 
core beaucoup  ,  &  qu'  il  s'  etoit  forme  au  fond  un  depot 
partie  liquide ,  partie  folide  d'  une  intenfite  de  couleur 
beaucoup  plus  grande. 

Cette  liqueur  verdiflbit  le  (yrop  violat ,  avoit  une  fa- 
veur  melee  de  la  fpiritueufe,  &  de  1' alkaline.  Sa  flamme 
ne  differoit  point  fenfiblement  de  celle  de  l'  efprit  de  vin 
pur.  En  ayant  fait  evaporer  une  portion  dans  une  caplule 
de  verre  a  1'  air  libre ,  apres  que  la  liqueur  a  ete  eva- 
poree  a  peu  pres  au  trois  quarts ,  j'  ai  obferve  qu'  elle  pa- 
loiiToit  un  melange  de  deux  liqueurs  tres  diiferentes  ,  & 
tres  dillinftes ;  l' une  fans  couleur  comme  de  I' eau  ,  &c 
Y  autre  d'  un  jaune  fonce  ;  cette  derniere  nageoit  dans  la 
premiere  en  forme  de  gouttes  ou  de  globules  exaftement 
femblablcs  a  ceux  d'  une  huile  jaune  qui  auroit  ^te  me  ee 
avec  de  1'  eau  par  la  fecouflfe.  Apres  I'evaporation  totale, 
a  une  chaleur  douce  de  bain  de  fable  ,  elle  a  lailfe  dans 
la  capfule  un  enduit  d'  un  jaune  brun  ,  crillalife  confufe- 
ment ,  mais  formant  cependant  tres  fenfiblement  diis  la- 
mes en  quarres  longs. 

Au  fond    de  la    bouteille  qui  contenoit    cette  ancienne 
teinture  de  fel  de  tartre  j  il  y  avoit,   comme  je  I'ai  dir, 


^78   ^ 

un  depot  dont  utie  partie  efolt  fliii-ie ,  &  formoit  environ 
deux  gros  d'  une  liqueur  tranfparente ,  mais  d'  un  jaune 
fort  brun. 

J' ai  fepare  cette  liqueur  par  I'entonnoir;  elle  ne  s' eft 
point  diflbute  dans  de  nouvel  efprit  de  vin  que  j'  ai  verfe 
deflus  j  fa  faveur  etoit  acre  ,  trcs  alkaline ,  &  nullement 
Ipiritueufe  :  par  1'  evaporation  a  1'  air  libre  elle  s'  eft  epai(- 
lie ,  &  a  forme  diffefentes  criftailifations ;  elle  s'  eft  dif- 
(bute  entierement  dans  l' eau  ;  1' acide  marin  affoibli  ,  s'y 
eft  mele  avec  effervefcence  ,  &  en  a  fepare  des  floccons 
bruns. 

Cette  liqueur  etoit ,  comme  je  I'ai  dit  ,  au  fond  de  la 
bouteille  melee  d'  une  certaine  quantite  de  matiere  folide 
de  meme  couleur  ;  cette  derniere  examinee  feparemenc 
avoil  une  confiftance  gelatineufe  ,  elle  ne  s'eft  laifte  diC- 
foudre  ,  ni  par  1'  eau ,  ni  par  1'  efprit  de  vin  ,  ni  par  les 
alkalis ,  ni  par  les  acides. 

Toute  la  bouteille  etoit  enduite  interieurement  d'  une 
pellicule  ,  prefque  femblable  pour  le  coup  d'  ceil  aux  in- 
cruftations  que  fait  I'eau  de  chaux  ,  &  a  refifte  a  tous  les 
diftblvans ,  &  a  tous  les  frottemens  que  j'  ai  pu  employer 
pour  r  enlever. 

Enfin  pour  terminer  ce  qui  concerne  cette  ancienne 
teinture  de  fel  de  tartre ,  j'en  ai  pris  une  demi  once  de 
tres  claire  ,  &  bien  feparee  des  ditferens  depots  dont  je 
viens  de  parler,  &  1' ayant  fait  evaporer  au  bain  de  fa- 
ble jufqu'  a  ficcite  dans  une  capfule  de  porcelaine  ,  elle  y 
a  laifle  dix  grains  d'  un  refidu  de  couleur  de  caramel ,  ou 
fucre  k  demi  brule  ;  ce  relidu  ^toit  alkalin  ,  favonneux , 
tres  deliquefcent ,  &  d'  une  odeur  forte  que  je  ne  puis 
comparer  a  aucune  odeur  connue. 

Ces  effets  de  1'  efprit  de  vin  fur  1'  alkali  fixe  vegetal 
prouvent  bien  manifeftement  qu'  il  en  pent  diflbudre  ,  fur- 
lout  avec  le  temps  une  quantite  affez  fenlible  j  mais  il  eft 


179 
eflentiel  de  remarquer  que  Cctte  diffoliition  n'  eft  point  en- 

ticiement  fcmblable  a  celle  des  fels  neutres  dansl'eau,  ou 
m^me  dans  l'  efprit  de  vin  ,  car  dans  ces  dernieres  ni  le 
diflolvant  ni  le  fel  diffous  ne  re^oivent  d'  alteration  fenli- 
ble  j  ce  doiu  on  peut  s'  affurer  en  les  examinant  apres  les 
avoir  fepares  l'  un  de  1'  autre ,  au  lieu  que  dans  celle  de 
r  alkali  iixe  par  1'  efprit  de  vin ,  il  paroit  que  ces  deux 
fublhnces  s'alterent  &  fe  decompofent  en  partie  ,  Sc  reci- 
proquement. 

L'  etat  de  1'  alkali  fixe  qui  a  ete  diffous  dans  1'  efprit 
de  vin  ,  &:  qui  en  a  ete  enfuite  fepare ,  foit  par  1'  evapo- 
ration de  ce  diffolvant,  comme  dans  la  premiere  expe- 
rience ,  foit  par  depot ,  6z  avec  le  temps ,  comme  dans 
mon  ancienne  teinture  de  fel  de  tartre  ,  prouve  qu'  il  eft 
charge  d'  une  matiere  huileufe  qu'  il  a  extraite  de  1'  efprit 
de  vin  ,  ou  qu'  il  a  formee  en  agiffant  fur  les  principes 
de  ce  compose  ,  &  d'  une  autre  part,  le  depot  folide  ge- 
latineux  ,  ainfi  que  1'  enduit  terreux  de  la  bouteille ,  qui 
proviennent  fans  doute  de  1'  alkali ,  indiquent  que  cette  ma- 
tiere faline ,  eft  aufU  en  partie  decompofee  par  1'  a6l:ion  de 
r  efprit  de  vin  j  mais  je  n'  entreprends  point  pour  le  pre- 
lent  de  determiner  exactement  en  quoi  confillent  ces  alte- 
rations ,  &  quelles  en  font  les  caufes ,  par  ce  qu'  il  fau- 
drolt  pour  ceia  une  nombreufe  fuite  d'  experiences  d'  un 
genre  tout  different  de  celles  dont  il  s'  agit  dans  ce  me- 
moire,  &  qui  me  detourneroit  de  mon  objet ,  au  quel  je 
reviens  en  examinant  fuivant  mon  plan  d'  autres  raaiieres 
falines. 


i8o 

Alkali  marin. 

L'  efprit  de  vin  >  apres  avoir  bouilli  fur  ce  fel  bieii  det 
feche ,  &  apres  avoir  ete  filtre  ,  a  brule  avec  une  flamme 
qui  ne  differoit  pas  bien  fenfiblement  de  celle  de  1'  efprit 
de  vin  pur  ,  il  avoir  une  faveur  un  peu  falee  ;  foumis  a 
r  evaporation  au  bain  de  fable  ,  lorfqu'  il  a  ete  diminue  a 
peu  pres  des  trois  quarts  ,  il  avoit  une  couieur  rouflatre  , 
&  une  faveur  un  peu  falee  ,  une  partie  de  cette  liqueur 
reduite  ,  &  evaporee  a  I'  air  libre  fur  une  glace  ,  y  a  laiffe 
des  criftaux  cubiques  bien  reguliers. 

La  demi  once  de  cet  el'prit  de  vin  evaporee  jufqu'  a. 
ficcite  ,  dans  une  capfule  de  porcelaine ,  a  laiffe  deux  grains 
d'  une  matiere  faline  ,  rouffutre  d'  une  faveur  de  fel  marin. 

On  voit  par  cette  experience  que  1'  alkali  mineral  fe 
comporte  avec  1'  efprit  de  vin  de  meme  que  1'  alkali  ve- 
getal j  il  s' en  diflbut  la  meme  quantite  ^^.  La  couieur  rouf- 
(atre  de  celui  qui  a  ete  dilTous  indique  qu'  il  agit  auffi  fur 
la  partie  huileufe  ,  de  1'  efprit  de  vin  ou  fur  les  principes 
de  ce  compofe  qui  font  propres  a  former  une  combinaiibn 
huileufe ,  de  la  meme  maniere  que  le  fait  1'  alkali  fixe 
vegetal. 

Alkali  volant  du  fel  ammoniac. 

Je  me  fuis  fervi  pour  reconnoitre  la  diffolubilite  de  cette 
matiere  faline  dans  1' efprit  de  vin,  del' alkali  volatil  con- 
cret  qui  avoit  ete  degage  du  fel  ammoniac  par  I'intermede 
de  r  alkali  fixe  vegetal ,  j'ai  laiffe  evaporer  a  1' air  libre  fur 
une  glace  une  portion  de  1'  efprit  de  vin  bien  filtre  que 
j'  avois  fait  bouillir  dans  un  matras  fur  cet  alkali  volatil  y 
il  s'eft  forme  par  cette  evaporation  une  crilbllifation  affez 
abondante  dans  la  quelle  je  n'  ai  pu  dirtinguer  meme  a 
r  aide  d'  une   forte   loupe  aucun   criftal  folitaire   ou  ifole 

d'  une 


d'  line  forme  reguliere ;  mais  T  enfemble  de  cette  crillal- 
lifation  reprefentoit  tout  ce  qu'  on  peut  imaginer  de  plus 
beau  &  de  mieux  defline  en  ramifications  ,  arborifations , 
tiges  tres  agreablement  courbees  ^  &  garnies  de  larges 
feuillages.  Mais  par  le  refroidifTement  du  refle  de  la  li- 
queur dans  une  fiole  bouchee  ,  il  s'  eft  forme  une  quan- 
tite  affez  conliderable  de  criftaux  fepares  ,  &  non  groupes, 
figures  comme  des  tranches  de  colonnes  prifmatiques  a  fix 
coies  ,  fans  y  comprendre  les  faces  fuperieure  &  inferieure, 
qui  ^toient  les  deux  grandes  faces  de  chaque  criftaU  ces 
faces  etojent  par  cofjfequent  des  exagones  ;  mais  il  n'  y 
en  avoit  qu' un  petit  nombre  qui  fuflent  reguliers:  dans  la 
plus  part  il  y  avoit  un  ,  deux  ,  ou  trois  cotes  plus  petits 
que  les  autres. 

Voila ,  comme  on  voit  deux  criftallifations  bien  diffe- 
rentes  1'  une  de  l'  autre  d'  une  meme  matiere  faline  ,  dif^ 
ibute  dans  la  meme  liqueur  ,  mais  la  premiere  s'eft  faite 
par  r  evaporation  fur  une  furface  plane  ,  &  la  feconde 
par  le  refroidiftement  dans  un  vaiffeau  Ipherique ,  &:  9'  a 
ete  fans  doute  de  ces  feules  differences  qu'  a  dependu  la 
forme  fi  defferente  de  ces  deux  criftallifations  ;  ces  effets 
font  tres  ordinaires  dans  la  criftallifaiion ;  ils  prouvent  com- 
bien  il  relte  d'  obfervations  a  faire  fur  les  phenomenes  de 
cette  operation   importante. 

Je  crois  qu'  on  peut  conclure  de  ce  que  je  viens 
d'  expofer  ,  que  le  vraie  forme  des  criftaux  de  1'  alkali 
volatil  concret  eft  celle  que  j'ai  obtenue  par  le  refroidif- 
fement  fans  evaporation ,  &  je  prefume  que  ce  moyea 
eft  le  feul  d'  obtenir  des  criftaux  folitaires  ,  &  reguliers  de 
cette  matiere  faline. 

L' alkali  volatil  etant  aumoins  aufli  evaporable  que  I'efprit 

de  vm ,  je  ne  pouvois  me  fervir    de    1'  evaporation    pour 

determiner  combien  l'  eljjrit  de  vin  pouvoit  en  dilToudre  a 

I'aide  de  la  clialeur  de  1'  ebullition  comme  je  1'  ai  pratique 

JWi/c.  Taur.  Tom.  V.  b  b 


pour  tous  les  autres  felsj  &  la  diftillation  ctant  une  ve- 
ritable evaporation  dans  les  vaiffeaux  clos ,  ce  dernier 
moyen  ne  paroiflbit  guere  plus  propre  que  le  premier  a 
remplir  mon  objet ;  )' ai  voulu  voir  neanmoins  (i  a  I' aide 
d'  une  chaleur  bien  menagee  dans  les  vaiffeaux  clos  ,  on 
ne  pourroit  point  parvenir  a  faire  la  feparation  que  j'  avois 
en  vue  ;  f  ai  done  mis  dans  une  cornue  de  verre  de  mon 
efprit  de  vin  encore  chaud  &:  fature  d'  alkali  volatil  par 
r  ebullition  ,  &:  apres  y  avoir  lute  un  recipient  tres  exa- 
ftement,  j' ai  procede  a  la  diftillation  a  une  chaleur  des 
plus  foibles  du  bain  de  (able.  I!  a  pafle  d'  abord  de  I'al- 
kali  volatil  qui  s'  eft  criftallife  en  belles  ramifications  fur 
les  parois  du  recipient  ;  mais  prefque  en  meme  temps ,  il 
eft  monte  audi  de  1'  efprit  de  vin  encore  tres  charge  d'al- 
kali  volatil  ,  &  la  diftillation  ayant  ete  ceffee  apres  que 
les  trois  quarts  de  la  liqueur  ont  ete  paffe  dans  le  reci- 
pient ,  le  quart  reftant  dans  la  cornue  s'  eft  trouve  ,  a  en 
juger  par  fon  odeur ,  tout  auffi  charge  d'  alkali  volatil  qu'  il 
r  etoit  avant  cette  operation  ,  &  j'  en  ai  conclu  qu'  il  fal- 
loit  avoir  recours  a  un  autre  moyen  pour  determiner  la 
quantite  d' alkali  volatil  que  1' efprit  de  vin  peut  diflbudre 
a  r  aide  de  l'  ebullition. 

Pour  y  parvenir  j'  ai  mis  dans  une  fiole  un  gros  d'  al- 
kali volatil  concret ;  j'  ai  fait  bouillir  deffus ,  la  tiole  etant 
bouchee  ,  une  once  de  mon  efprit  de  vin  j  enfuite  je  I'ai 
decante  tout  chaud  ,  &  apres  avoir  laifl"e  bien  egouter  la 
fiole  ,  &  le  fel  qu'  elle  contenoit ,  j'  ai  trouve  qu'  elle  ne 
contenoit  plus  qu' un  demi  gros  de  fel,  d' ou  j'ai  conclu 
que  la  demi  once  d'  efprit  de  vin  avoit  diffbus  ,  a  l'  aide 
de  r  ebullition ,   1 8  grains  ou  £  d'  alkali  volatil  concret. 

J'  ai  obferve  dans  cette  experience  que,  malgre  la  prompti- 
tude avec  la  quelle  j' avois  decante  I'elprit  de  vin  ,  charge 
d' alkali  volatil,  le  peu  qui  en  etoit  refte  adherent  au  col, 
&  aux  parois  du  macras  ,  y  avoit  forme ,  avant  qu'  il  put- 


^tre  parfaitement  egoute  ,  des  criftallifations ,  partie  en  ai- 
guilles entre  croifees ,  partie  en  criftaux  exagonaux  lem- 
blables  k  ceux  qui  ont  ete  clecrits  cideflus, 

Les  phenomenes  de  criilaMiration  par  refroidiffement  & 
par  evaporation  que  1'  alkali  volatil  m'  avoic  prefentes  avec 
r  efprit  de  vin  ,  m'  ont  paru  meriter  que  je  verifiaffe  s'lls 
feroient  les  memes  avec  I'eau  ,  j'  ai  done  fait  diffoudre ,  a 
r  aide  de  la  chaleur  beaucoup  d' alkali  volatil  dans  de  I'eau 
pure,  &  ayant  bien  bouche  la  fiole  dans  la  quelle  cette 
diflblution  s'  etoit  faite ,  je  1'  ai  laiffe  refroidir  a  1'  air ,  le 
termometre  de  Reaumur  etant  alors  a  i  3  degres  au  deflus 
de  zero ;  il  s'  elt  forme  par  le  refroidiflement  une  grande 
quantity  de  criilaux  foiitaires  en  partie  a  la  furface  ,  mais 
en  plus  grande  quantite  au  fond  de  la  liqueur ;  ces  cri- 
ftaux avoient  exaftement  la  meme  forme  ^xagonale  que 
ceux  qui  s'  etoient  formes  par  refroidiffement  dans  1'  efprit 
de  vin  ;  il  n'  y  avoit  point  d'  aiguilles  ni  de  ramifications 
aux  parois  de  la  bouteiile. 

Apres  que  cette  liqueur  a  eu  depofe  ces  criftaux  par 
refroidiftement ,  )'  en  ai  mis  une  portion  fur  une  glace 
plane ,  pour  la  faire  criftallifer  par  evaporation  j  il  s'  y  efc 
forme  encore  quelques  criliaux  femblables  aux  precedens  ; 
mais  la  plus  grande  partie  de  la  criftallifation  s'  eft  faite 
en  belles  ramifications  branchues  ;  il  eft  a  remarquer  qu* 
elles  etoient  toutes  formees  par  des  lignes  droites  ,  faifant 
dilferens  angles  les  unes  avec  les  autres ,  &  fans  aucune 
de  ces  belles  courbures  ,  dont  j'  ai  parle  plus  haut  j  il  y 
avoit  parmi  ces  criftaux  un  aftez  grand  nombre  d'  aiguil- 
les prifmatiques  quadrangulaires. 

Je  ferai  remarquer  de  plus  qu'  ayant  voulu  faire  criftal- 
lifer  de  meme  par  evaporation  une  diiTolution  d'  alkali  vo- 
latil dans  r  efprit  de  vin  ,  la  quelle  avoit  depofe  depuis 
huit  jours  tout  ce  qu'elle  pouvoit  former  de  criftaux  par  le 
refroidiffement ,  elle  n'  a  forme    par    1'  evaporation    fur  la 

bb  1 


1S4 

glace  plane  aucune  efpece  de  ramifications,  mais  feulement 
une  grande  quantiie  de  criftaux  tres  petits  &  informes  , 
comme  des  grains  de  fablon  ,  ce  qui  me  fait  prefumer  que 
r  alkali  volatil  ne  peut  fe  criftallifer  en  ramifications ,  & 
furtout  prendre  des  formes  courbes  agreables  que  lors  qu' 
il  n'  eft  ecendu  que  par  une  petite  quantite  de  diflblvant 
fpiritueux  ,  ou  peut-etre  m^me  fimplement  aqueux  ,  mais 
ces  phenomenes  de  criftallifation  m'eloignant  de  mon  objst 
principal ,  je  me  hate  d'  y  revenir  par  1'  examen  de  la 
diffolubilite  de  differens  fels  neutres  dans  1'  efprit  de  via  , 
&  je  commence  par  plufi^eurs  tartres  folubles. 

Tarire  Joluble ,  ou  fel  vegetal. 

Ce  fel  refulte  ,  comme  on  fait  de  la  faturation  de  la 
creme  de  tartre  par  1'  alkali  fixe  du  tartre  ,  ou  vegetal. 

L'efprit  de  vin  ayant  bouilli  fur  ce  fel  bien  defleche ,  puis 
ayant  ete  filtre  tout  chaud  a  fourni  par  1'  evaporation  jufqu 
a  (iccite  dans  une  capfule  de  porcelaine  une  matiere  faline 
jauiiatre  ,  a  raifon  de  deux  grains ,  ou  —,  par  demi  once. 

La  flamme  de  cet  efprit  de  vin  etoit  un  peu  decre- 
pitante  ,  ce  qui  n'  arrive  point  a  celle  de  1'  elprit  de  vin 
pur. 

Ce  diflblvant  charge  de  ce  fel  a  fourni  par  1'  evapora- 
tion fpontanee  ,  dans  une  capfule  de  verre  ,  des  criftaux  en 
piramides  quadrangulaires ,  dont  quelques  unes  ecoient  tron- 
quees  par  la  pointe:  plufieurs  de  ces  crillaux  etoient  foli- 
taires  ,  &  tres  reguliers  ,  1'  eau  chargee  de  ce  meme  fel  a 
donne  par  1' evaporation  a  I'airlibre,  dans  une  capfule  de 
verre  ,  des  criftaux  ,  dont  quelques  uns  etoient  folitaires ,  & 
formes  en  pri(mes  a  quatre  cotes  pointus  par  les  deux 
bouts  :  ceux  qui  etoient  groupes  ecoient  joints  en  grand 
nombre  tous  par  un  de  leurs  bouts  ,  &  formoient  des  af- 
femblages  en  rond  tout  heriffes.  La  couleur  jaune    du   fel 


»85 
vegetal  fepar^  de  1'  eCpnt  de  vin  par  1'  Evaporation  a  fic- 
cite  femble  indiquer  que  ce  fel  revolt  quelque  alteration 
par  fa  diffolution  dans  1'  efprit  de  vin  ,  &  par  Ca  delicca- 
tion  ,  &  ce  qui  confirme  ce  foupgon  ,  c'  eft  que  le  fel 
fur  le  quel  1'  efprit  de  vin  avoit  bouilli  ,  rediflbus  dans 
r  eau  n'  a  fait  qu'  une  diffolution  trouble. 

Sel  de  Saionene. 

L'  efjjrit  de  vin  n'  a  point  diffous  une  quantity  appre- 
ciable de  ce  fel  bien  deffeche  a  1'  air ,  &  la  flamme  de 
celui  qui  avoit  bouilli  deffus  ne  differoit  point  de  celle  de 
i'  efprit  de  vin  pur.  Mais  ayant  voulu  repeter  cette  expe- 
rience en  me  fervant  de  fel  de  faignette  non  deffeche  , 
criftallife  ,  &  contenant  par  confequent  fon  eau  de  cri- 
ftallifation ,  cela  m'  a  donne  lieu  d'  obferver  un  eflFet  qui 
me  paroit  fingulier  ,  &  que  je  ne  dois  pas  paffer  fous  (i- 
lence  ;  c'eft  que  au  degre  de  chaleur  neceffaire  pour  faire 
bouillir  r  efprit  de  vin ,  le  quel  ,  comme  1'  on  fait  n'  eft 
pas  bien  confiderable  ,  ce  fel  s'  eft  liquefie  fous  1'  efprit  de 
vin ,  &  a  forme  une  liqueur  fiuide  ,  &  tranfjjarente  com- 
me de  r  eau ;  cette  liqueur  occupoit  le  fond  du  matras  : 
clle  s'  eft  coagulee  par  le  refroidiffement  en  une  maffe  fa- 
Jine  folide  ,  &  d'  une  feule  piece. 

Cet  effet  prouve  la  grande  faciliie  qu'  a  le  fel  de  fai- 
gnette a  i'i  liquefier  a  I'aide  de  fon  eau  de  criftallifation; 
mais  il  en  refulte  auffi  que  1'  efprit  de  vin  ne  peut  lui  en- 
lever  cette  meme  eau,  quoiqu' il  la  perde  par  la  feule 
aftion  de  1'  air.  En  feroit-il  de  meme  de  tous  les  autres 
fels?  C  eft  ce  qui  n' eft  pas  a  prefumer  j  il  y  a  lieu  de 
croire  au  contraire  qu'on  trouvera  a  cet  egard  une  gran- 
de diverfue  dans  les  diff"erens  fels  neutres  j  mais  c'  eft  aulli 
ce  qu'  on  ne  pourra  connoitre  que  par  une  nouvelle  fuice 
d'  experiences  dependantes  de  celles  que  j'  ai  commem"Ees, 
&  qui  merite  bien  d'  etre  entreprife. 


i8(5 

Tartre  foluble  par  la  chaux. 

Ce  fel  etoit  en  tres  beaux  &  gros  criftatix  tranfJDarens; 
traite  avec  1'  efprit  de  vin  comme  le  precedent ,  fans  de- 
ficcation  preliminaire  ,  il  s'  eft  comporte  de  meme ,  mais 
il  ne  m'  a  pas  prefente  le  phenomene  de  la  liquefaftioii 
fous  i'  efprit  de  vin. 

Tartre  foluble  ammomacal, 

y  ai  verfe  une  diffolution  d'  alkali  volatil  concret  fur  de 
la  creme  de  tartre  reduite  en  poudre  fine  ,  &  mife  dans 
un  matras  ;  il  s'  eft  excite  a  froid  une  effervefcence  aflez 
confiderable  ,  une  grande  partie  de  la  creme  de  tartre  a 
ete  diffoute  ,  &  la  diffolution  a  ete  achevee  a  1'  aide  de 
la  chaleur  moderee  du  bain  de  fable  ,  avec  une  legere 
effervefcence}  j' ai  ajoute  a  deflein  un  peu  d' exces  d'aU 
kali  volatil ,  puis  ayant  filtre  la  liqueur  toute  chaude ,  e!le 
a  pafle  tres  tranfparente  ,  d'  un  beau  jaune  fonce  ,  &  d'uiie 
faveur  de  fel  vegetal, 

Cette  liqueur  evaporee  a  l'  air  libre  fur  une  glace  a 
forme  une  criftallifation  compofee  d'  aiguilles  en  lames  lon- 
gues  ,  &  tronquees  ,  partant  d'  un  centre  ,  ou  d'  uii  pedi- 
cule  commun ,  &  reprefentant  par  ieur  divergence  une 
efpece  d'  eveniail. 

Une  autre  portion  de  la  meme  liqueur  evaporee  au  bain 
de  fable  jufqu'  a  pellicule  dans  une  capfule  de  verre  a  donne 
par  le  refroidiffement  deux  fortes  de  criftaux  ,  fort  diffe- 
rens ,  pour  la  forme  ;  les  uns  etoient  de  petits  criftaux 
allonges  ,  renfles  par  le  milieu  ,  &  fe  terminant  en  lon- 
gues  pointes  par  chaque  bout,  comme  des  tufeaux  j  les 
autres  qui  fe  font  formes  les  derniers  ,  &  a  ce  que  je  crois 
autant  par  evaporation  que  par  rehoidiffement  ,  etoient  de 
gros  prilines  a  quaere,  cinq ,  &  fix  cotes.  Quoiqu'  ils  fuffent 


'87 
folitaires ,  ils  paroifToient  de  meme  efpece  que  ceux  qui 
s'  etoient  aflembles  en  eveinail  fur  la  glace.  Le  refte  de 
la  liqueur  evaporee  dans  une  caplule  a  une  chaleur  douce 
de  bain  de  fable,  mais  juCqu'a  forte  pellicule  a  donne  par 
le  refroidiffement  &  par  1'  evaporation  ,  qui  continuoit  en- 
core ,  les  memes  crillallifations  en  eventai! ;  mais  les  ra- 
yons au  lieu  d'  etre  des  lames  ,  comme  ceux  qui  s'  etoient 
formes  fur  la  glace,  etoient  des  prifmes  comme  ceux  dont 
il  a  etc  parlc  plus  haut  a  caufe  de  la  profor.deur  du  vafe 
dans  le  quel  cette  derniere  crirtallifation  s'etoit  faite:  comme 
ces  criftaux  n'  etoient  pas  tous  d'  une  egale  longueur  ,  ils 
reprefentoienc  allez  bien  une  gloire  rayonnante  pareille  a 
-celles  que  font  les  peintres ,  &  les  fculpteurs. 

Le  tartre  foluble  ammoniacal  etant  de  nature  a  fe  de- 
compofer  par  une  chaleur  fort  peu  confiderable  ,  je  n'  ai 
ofe  le  porter  a  la  plus  grande  liccite,  dans  la  crainte  de 
r  alterer  j  mais  apres  lui  avoir  enleve  toute  humidite  fur- 
abondante  le  plus  qu'  il  a  ete  poffible  par  une  deficcation 
bien  menagee,  je  l' ai  fait  bouiUir  dans  F  efprit  de  vin , 
comme  les  precedens. 

Cet  efprit  de  vin  filtre  a  bruld  comme  1'  efprit  de  vin 
pur  i  fa  flamme  ctoit  feulement  accompagnee  de  quelques 
petites  tulgurations  rouges.  En  en  faifant  evaporer  une  demi 
once  dans  la  capfule  de  porcelaine ,  j'  ai  remarque  qu'  il 
r^pandoit  une  odeur  plus  fuave  que  celle  de  i'  efprit  de 
vin  ordmaire ,  &  cette  demi  once,  apres  Ion  entiere  eva- 
poration a  laifle  un  enduit  d'  un  jaune  brun  pefant  un  grain 
&  demi.  Ce  i  efidu  ne  fe  diffolvoit  pas  dans  1'  eau ,  & 
n'  etoit  par  confequent  ni  une  matiere  faline,  ni  une  ma- 
tiere  Hivonneufe  ,  il  s'  eft  tres  bien  rediffous  dans  de  nouvcl 
efprit  de  vin.  Je  crois  qu'on  ne  peut  le  regarder  que  comme 
une  portion  d' huile  qui  fe  fepare,  foit  de  la  creme  de 
tartre,  (bit  de  1' aikali  volatil  ,  foit  enfin  de  I'un  &:  de 
1-  auice  Iqis  qu'  on  les  combine  :    c'  etoit    probablement  a 


i83 

cette  partie  hulleufe  qu'  etoit  diie  Li  couleur  jaune  de  ma 
diflblution  de  tartre  foliible  ammoniacal  dont  j'ai  fait  men- 
tion en  commen^ant  cat  article. 

Avant  de  le  finir  je  ne  dois  pas  oublier  de  faire  men- 
tion d'  un  petit  depot  falin  (ingulier  en  petits  grains  irre- 
guliers  ,  &  memcs  comme  ceux  du  fablon  le  plus  fin,  qui 
s'  eft  fepare  par  le  refroidifferaent  de  ma  diflbiution  de  tar- 
ire  foluble  ammoniacal  ;  j'  en  avois  trop  pen  pour  en  faire 
un  exaraen  exatt  j  je  me  fuis  contenie  de  m'  affurer  que 
cette  matiere  craquoit  fous  la  dent ,  qu'  elle  n'  avoit  point 
de  faveur  bicn  fenfible  ,  ni  prefque  de  difiblubilite  dans  I'eau, 
&  enfin  que  1'  acide  vitriolique ,  non  plus  que  1'  alkali 
fixe ,  ne  lui  ont  occafionne  aucun  changement  fenfible . 
Cette  matiere  provenoit  fans  doute  de  la  creme  de  tartre, 
&  merite  d'  etre  examinee  avec  plus  de  detail  ,  car  la 
creme  de  tartre  elle  meme  n'  eft  pas  encore  bien  connue, 
M.  Margraf ,  &  M.  Rouelle  ont  prouve  par  des  experien- 
ces decifives  qu'  elle  contenoit  de  l'  alkali  fixe  vegetal  tout 
forme  ,  &  c'  eft  affurement  une  connoiflance  efTentielle  done 
nous  fommes  redevables  aces  celebres.  chymiftes  ^  mais  cen 
alkali  n'  eft  point  libre  dans  la  creme  de  tartre  j  il  y  eft 
certainement  combine  avec  quelqu'  autre  fiibftance  ,  peut- 
etre  meme  avec  plufieurs  qui  ne  peuvent  etre  bien  coi> 
nues  que  par  de  nouvelles  recherches. 

Tartre  foluble  antimonlc  ,  oil  Tartre  cmetique* 

Ce  fel  que  j'  ai  employs^  criftallife  ,  &:  bien  fee  s'  eft: 
comporte  avec  I'efprit  de  vin  comme  le  tartre  foluble  par 
la  chaux  ;  il  n'  a  occafionne  aucun  changement  a  fa  flam- 
me  J  une  demi  once  de  I'efprit  de  vin  qui  avoit  bouilli. 
deftlis  n'  a  laifte  apres  fon  entiere  evaporation  dans  la  ca- 
pfule  de  porcelaine  qu'  une  tache  aflez  legere  d'  un  enduic 
de  couleur  de  maron  ,   de  nature  huileufe ,  &  que  1'  can 

ne 


I  S9 
ne  diflblv'oit  polnr.  J'  ai  cependant  remarque  que  les  pa- 
tois  de  U  bouteille  dans  la  quelle  avoit  ere  filtre  1'  efprit 
de  vin  tout  chaud  apres  avoir  bouilli  fur  le  tartre  eme- 
lique  etoient  garnis  dans  quclques  endroits  de  criftaux  longs 
plus  fins  que  des  clieveux ,  implantes  diverfement  par  une 
de  leurs  extremices  les  uns  fur  les  autres ;  mais  ces  criftaux 
etoient  fi  fins,  &:  en  fi  petite  quantite  que  j'  eftime  qu'iis 
ne  pouvoient  guere  peler  en  tout  qu'  un  quarantieme  ,  ou 
meme  un  cinquancieme  de  grain. 

Arfenic. 

En  verfant  1'  efprit  de  vin  a  froid  fur  de  1'  arfenic  blanc, 
criltallin  ,  &  en  poudre  fine  j'  ai  obferve  que  cette  liqueur 
le  mouilloit  bien  plus  facilement  que  1'  eau  ne  le  mouille} 
ellc  en  a  diflbus  a  1'  aide  de  1'  ebullition  ^^  de  fon  poids 
ou  -^ ;  le  refidu  de  T  evaporation  etoit  verdatre  ;  la  flamme 
de  r  efprit  de  vin  charge  d'  arfenic  ne  m'  a  paru  avoir 
rien  de  particuher. 

Sel  neuire  ai finical. 

Ce  fel ,  que  j'  ai  fait  connoitre  dans  les  memoires  de 
r  academie  des  fciences  de  Paris  annee  1746  ,  s'  eft  difl'ous 
dans  1'  efprit  de  vin  bouillant  dans  la  proportion  de  trois 
grains  par  once.  La  flamme  de  I'elprit  de  vin  tenant  ce 
fel  en  diflblution  m' a  prefente  une  fingularite,  qui  me  pa- 
roit  meritcr  beaucoup  d'  attention  ,  favoir  que  ,  iians  diffe- 
rer  effentiellement  de  celie  de  1'  efprit  de  vin  pur  ,  elle 
etoit  bordee  depuis  le  bas  jufqu'  en  haut  d'  une  autre  flam- 
me ,  moins  lumineufe  ,  &  tres  fenfiblemeni  verte. 

On  fait  que  le  fel  fedatif,  qui  colore  aufli  en  verd  la 
flamme  de  T  efprit  de  vin  ,  a  quelques  proprietes  commu- 
nes avec  r  arfenic  ,  telles  que  la  vitrefcibilite  ,  le  pouvoir 
Mifc.  Taur,  Tom,  V.  c  c 


I  90 

de  decompofer  le  nitre  Sec.  la  clrconftance  done  que  je 
viens  d'  expofer  femble  montrer  encore  une  nouvd'e  con- 
formite  entre  ces  deux  fubftances.  Je  n'  ofe  cependant  la 
donner  ici  comme  entierement  conftatee  ,  parceque  ,  quoi- 
que  j'aie  tout  lieu  de  croire  que  1' arfenic  ainli  que  le  lii- 
ire  que  j'  avois  employes  pour  faire  le  fel  neutre  arfenical, 
dont  je  me  fuis  fcrvi ,  etoient  purs  ,  &  exempts  du  me- 
lange de  cuivre  ;  cependant  comme  il  y  avoir  ties  long- 
temps  que  j'  avois  fait  ce  fel ,  je  crois  qu'  il  eit  a  propos 
avant  de  prononcer  affirmativement  fur  ce  fait  de  le  veri- 
fier en  compofant  de  nouveau  fel  neutre  arfenical  avec 
toutes  les  precautions  neceiTaires  pour  m'  affurer  qu'  il  ne 
contiendra  aucune  parcelie  de  cuivre  ,  &  je  n'  aurois  pas 
manque  de  le  faire  des  a  prefent  fi  le  peu  de  temps  qui 
in,e  reftoit  pour  achever  ce  memoire ,  me  l'  eut  permis, 

A  Paris  ce  4  juin    1773. 


REFLEXIONS     '" 

SUR    UN   ESSAI    DE  CHIMIE  COMPAREE 
Par  M.'  le  COMTE  de  SALUCES. 


V^e  feroit  paroitre  debuter  par  un  paradoxe  que  d'ofer 
avancer  que  tout  eft  grand  dans  la  nature  &  que  tout  y 
peut  paroitre  d'une  petitefle  inconcevable ;  tant  qu'on  s'ar- 
rete  ,  en  effet  a.  examiner  la  face  d'un  objet ,  ou  cet  objet 
meme  de  tous  les  cotes,  fans  aucun  rapport  avec  d'autrcs , 
on  ne  pourra  le  former  aucane  grande  idee  ;  mais  lorfque 
en  faifiirant  les  relations  qui  .peuvent  lier  le  plus  petit  objet, 
ou  le  fait  pax  lui  meme  le  plus  comun  a  d'autres ,  d'ou  il 
refulte  un  alTemblage  de  verites  ,  cet  enchainement  ne  peut 
^  moins  de  reveilier  des  idees  ecendues  &  lumiiieules  i 
dont  I'utiliie  fera  enfuite  plus  ou  moins  fenfible  fuivaiu 
I'etendue    de  ccs  memes  raports. 

Le  premier  pas  qui  fe  prefente  dans  la  marche  naturelle 
de  Tefprit  humain  eft  celui  de  comparer  les  objets  entre 
eux  }  (j  I'on  s'en  tient  toujours  aux  cara£teres  feniibles  ,  qui 
fervent  a  diftinguer  ces  objets  entr'eux,  il  doit  neceflairement 
en  refulter  une  monotonie  qui  relferre  nos  connoilTances  j  (i 
au  contraire  on  fe  permet  un  plus  grand  nombre  de  com- 
binaifons ,  on  parviendra  non  feulement  a  repandre  plus 
de  lumieres  pour  la  conduite ,  &  pour  le  bien  de  1'  hom- 
me  ,  mais  ce  qui  interefle  bien  plus  encore,  on  parvien- 
dra a  fimplifier  les  methodes  &  a  approcher  par-la  toujours 
plus  des  routes  que  tient  la  nature. 

Si  un  Chimirte  ne  f^ait  que  ion  art ,  fi  un  Naturalifte 
u'etudie  ^ue  la  fienne ,  h  le  Botanifte  &  le  Phificien  n'ap- 

c  c  z 


t<5% 

pliquent  chacun  qu'ala  leur,  on  n'auraqu'un  Erudit  ,  ou 
un  Artifte  plus  ou  moins  r^avanr,  &  il  ne  reviendra  que  des 
avantages  bien  peu  intereffants  pour  chacune  de  ces  par- 
ties ,  conliderees  en  tant  que  fciences  j  c'eft  done  du  con- 
cours  des  lumieres  que  routes  les  branches  de  la  Philofo- 
phie  naturelle  peuvent  fournir  ,  &  fe  preter  qu'on  doit  at- 
lendre  des  decouvertes  utiles  aux  fciences ,  &  a  la  Societc: 
mais  en  attendant  le  Genie  qui  fache  s'elever  d'un  vol  rap- 
de&faifir  le  fil  des  verites  eparfes,dont  on  eft  contraiint 
de  former  tant  de  fciences  a  part ,  nous  chercherons  a  en 
rapprocher  quelques  unes  qui  dependent  de  la  Chimie,&: 
qui  en  meme  terns  tirent  des  fecours  de  quelqu'autre  par- 
tie  de  la  Philofophie  ,  ou  qui  en  empruntent  a  leur  tour  . 

I 

Les  corps  font  ou  fluides  ou  folides ,  fous<:esdeux  de- 
nominations on  peut  a  la  verite  ranger  tous  les  corps  de 
cetUnivers,  mais  elles  ne  fuffifeiu  pas  pour  nous  eclairer 
d'une  maniere  vraiment  Pliilofopliique. 

I  I 

Les  corps  font  ou  vegetaux  ,  ou  animaux  ,  ou  enfin  foffi- 
les  &  mineraux,  mais  c'eft  encore  la  une  notion  bien  vague. 
Diftinguer  tous  les  corps  des  trois  regnes  &  noter  ceux  qui 
font  ou  fluides  ou  folides,  n'eft  pas  dire  encore  aflfez;  faire 
le  denombrement  de  leurs  apparences  exteiieures  &  de  leur 
tiflu  int«rne  feroit  un  pas  un  peu  plus  avance  ,  ft  ces  ap- 
parences &  ces  tiflus  font  conftans.  Ajouter  les  proprietes 
extrinfeques  &  intrinfeques  de  ces  memes  corps  feroit 
toujours  avancer  chemin;  feparer  enfin  les  parties  de  ces 
corps  par  le  feu  ou  par  les  menftrues ,  les  recompofer  & 
les  faire  reparoitre  dans  leur  premier  etat  eft    encore    un 


»9J 

tresgrand  pas  vers  la  perfeftion  ;  mais  avec  tout  ceci, 
la  comparaifon  des  pioduits  des  parties  ainfi  feparees  par 
la  m^me  voye ,  dans  les  differents  etats  oil  ces  corps  peu- 
vent  fe  trouver  me  paroit  offrir  un  point  de  viie  trop 
intereflant ,  pour  que  le  Chimirte  Phyficien  puifle  negli- 
ger  d'y  apporter  la  curiofite  la  plus  inftruftive  ,  &  toute 
I'exaftitude  dont  il  eft  capable. 

I  I  I 

Ce  point  de  viie  je  I'avoiie  eft  tres-vafte  &  I'executioti 
en  paroitra  fans  doute  tres-difficile  :  mais  (i  Ton  reflechit 
au  grand  nombre  de  materiaux  que  I'on  a  fous  la  main, 
on  verra  que  les  obrtacles  ne  feront  pas  infurnionrables  ; 
nous  allons  done  commencer  par  un  petit  eflai  qui  pourra 
fervir  a  mieux  developper  mes  idees  ,  &  a  en  faire  naitre 
a  d'autres  peut-etre  de  plus  g^nerales  &  de  plus  lumi- 
neufes. 

IV 

Uanalyfe  etant  la  voye  par  laquelle  on  parvient  a  de- 
compofer  les  corps,  &  a  en  feparer  les  parties  d'une 
maniere  diftirtie  ,  il  me  paroit  que  c'eft  elle  principale- 
ment  qui  peut  nous  fournir  les  donnees  pour  la  re(olu- 
tion  de  cet  important  probleme  ,  je  dis  important  parce- 
qu'il  me  paroit  tel ,  &  je  ne  crois  rien  ditc  qui  doive 
allarmer  I'homme  le  plus  delicat  ,  car  c'eft  une  verite 
aujourd'hui  afles  gen^ralement  reconnue  que  I'analife  eft  la 
clef  des  decouvertes  (d'ailleurs  je  fuis  bien  aife  d'etre  torce 
par  la  nature  du  fujet  a  dire  bien  des  chofes  qui  ont  eie 
dites  de  long-tems )  :  mais  la  definition  du  terme  analyfe 
ne  fournit  aucune  notion  pofitive  &  precife  ;  la  diftinftion 
d'analife  par  le  feu  en  chimie  ou  d'analyfe  par  les  menftrues 
eft  generaie  mais  encore  trop  vague,  la  feparation  des  par- 


194 

ties  des  corps  par  tel   moyen  que  ce  folt  eft  le  but  qu'on 
doit  fe  propofer  &  doit  faire  I'objcc  de  nos  recherclies  ("). 

V 

II  ell  de  parties  qui  conftituent  efTentiellement  utr  corps 
determine  &:  cellesci  iie  peuvent  etre  que  tout-a-fait 
fimples  ,  au  moins  par  raport  a  nous,  &  elFentielles  a  tel 
corps,  de  maniere  que  fans  elles  le  corps  cefferoit  d'etre 
tel,  c'elVa  dire  de  tel  genre,  &  de  telle  efpece:  d'autres 
au  contraire  fans  fixer  necelTairement  la  nature  du  corps 
fe  trouvent  combinees  ,  unies  &c.  a  ces.  memes  parties  : 
elles  font  meme  quelque  fois  abfolument  etrangeres  ,  mais 
elles  peuvent  caufer  dans  certaia  cas  quelque  modification 
a  ce  corps,    (i) 

V  I 

II  eft  done  tres-neceflaire  de  chercher  a  decouvrir  &  a 
diftinguer  autant  qu'  il  eft   pofllble    les    parties    efteiitielles 

(•)  II  paroitra  du  premier  coup  d'oeil  qu'll  y  a  ici  un  abus  d'iJees  fur  le 
terine  d'  analyle  ,  mais  la  reflexion  ji  flifieia  nion  laconifine. 

(i)  Pour  rcndre  ma  penfee  plus  clairenicnt  it  fuffit  de  confidtirer,  par  cxem- 
plc,  qu'il  doit  ni-cefraireniein  fe  trouver  dcs  panics  aqueufcs,  ou  pout 
jc  dire  plus  fimplement  de  I'cau  dans  un  certain  raport  determine 
dans  toutes  les  fubftances  falines ,  fans  quoi  ces  fels  cefTeroient  d'etre 
tcis  qu'ils  font,  pendant  qu'ils  en  tiennent  ,une  plus  grande  quantity 
dans  Icur  criftallifation  ,  qu'on  peut  tifi'-bien  leur  oter ,  fans  qu'ils  chan- 
gent  de  nature  ;  toute  la  modification  fe  rgduifant  alors  a  leur  figu- 
re ;  d'ou  il  fuit  qu'une  partic  de  I'eau  elt  eiTcnticllc  commc  nous 
I'avons  dit  dans  un  raport  d^terming  k  une  telle  cfpfice  de  fcis,  pen- 
dant que  I'autre  partie  n'eft  qu'accidentelle  quant  a  la  naiure ,  &  ne 
peut  etre  regard^'e  tout  au  plus  que  comme  une  partie  intfigranie: 
nous  allons  raporter  encore  une  excmple  pour  rcndre  la  chole  plus 
fenfible.  Monfieur  Baum6  nous  dit  dans  Ion  manuel  de  Cliimie 
pag.  329  §.  3,  que  le  fel  marin  a  bale  terreufe  quoique  difficile  k 
criftallifcr,  crirtalife  niSanmoins  avec  celui  qui  eft  a  bafe  d'alkali  mi- 
neral &  qu'il  eft  meme  caufe  qu'on  ohticnt  des  criflaux  cubiques 
infinimcnt  plus  gros  que  lorfque  le  fel  marin  ed  trh-pur -.  voila 
done  un  exemple  qu'il  fe  trouve  quelque  fois  dans  les  corps  des 
parties  abfolument  dtrangfres  qui  peuvent  cependant  y  caufer  dans 
ccitaias  ca$  des  modifications. 


195 
d'un  corps  ,  de  celles  qui  ne  font  qu'accidentelles  &  in- 
differcntes  pour  ainfi  dire  a  la  nature  de  c%  corps ,  &  qui 
ne  contribuent  tout  au  plus  qu'a  lui  faire  prendre  une 
forme  conllaiite  :  mais  ce  pas  que  le  raifonnement  porte  a 
faire,  ell  fans  contredit  de  la  plus  grande  difficuitej  aufli 
n'oferais-je  pas  me  flater  d'y  reuflir  toujours,  mais  pour 
i'amour  de  la  verite  on  me  paflera  ies  reflexions  que  je 
foumets  au  jugement  des  maitres  de  I'art. 

V  I  I. 

Les  circonftances  qui  contribuent  a  alierer  un  corps  de 
meme  efpece  ou  nature,  font  celles  qu'on  ne  doit  jamais 
iiegliger ,  &  peut-etre  qu'elies  font  les  plus  propres  a  nous 
developper  bien  des  myfteres;  mais  nous  y  reviendrons  , 
&  nous  propoferons  en  attendant  queiques  reflexions  pre- 
liminaires  fur  les  carafteres  gcneraux  qui  afferent  6c 
quoa  decouvre  dans  les  corps. 

VIII. 

II  faudra  commencer  par  un  des  trois  regnes,  Sc  apres 
avoir  choili  le  genre  &  1' efpece  conrtderer  ce  qui  arrive 
a  ce  corps  par  le  meme  moyen  dans-  les  dilTerents  etats 
ou  Ton  le  foumet  a  Tanalyfe;  remarquer  apres  ce  qu'il  a 
de  commun  ,  &  les  differences  fimples  ou  compofees  qu'on 
y  obferve ;  raprocher  enfuite  ces  verites  des  opinions  ou 
des  idees  qu'on  a  dans  la  Chimie  fur  ces  memes  objets  , 
&  retlifier  ainfi  &  enrichir  cette  fcience  par  le  plus  grand 
detail  poflible  de  verites  utiles.  Venons  au  fait. 

I  X. 

Je  commencerai  done  par  les  vegctaux,  &  je  me  con- 
tenierai  en  premier    lieu    d'examiner    une   gcncraliie,    Les 


I  9(3 

plantes  font  ou  faines  ou  putrefides  ;  je  prends  les  extr^mesj 
comme  les  plrfs  propres  a  inarquer  les  differences ;  les 
etats  intermediaires  devant  participer  des  deux  en  raifon 
de  leur  proximite  d'un  des  extremes.  Nous  allons  done 
former  une  table  des  produits  que  nous  fouroit  une  meme 
plante  dans  ces  deux  etats  par  la  di/lillation  ,  rincineration 
&  la  lixiviation :  cette  methode  me  paroiffant  la  plus  pre- 
cife  &  la  plus  propre  a  rapprocher  les  objets  pour  en 
rendre  plus  fenlibles  les  differences,  &  les  changemens. 

Table  des  rifultats  qiion  obtient  des  Plantes  faineSj 

%  putrejiies  par  la  dijlillation ,  I'incineranon , 

6?  la  lixiviation. 

PLANTES. 


Saines  Putrefiees 

Par  la  dijlillation. 

_, ,  .      J  contenant  da 

^   Pl^'^g"^^ '^"^'"i  fel  volatii. 

v_ 

2  Huile  noire  empireumatique     .     .    etiam 

3  Acide °'^ 

4  Huile  legere °   '   I 

*  Beaucoup  d'air °   '  I 

)   Charbon  ou  caput  mortuum  *    .    .  etiam  V  »m    i-  y^i^^j 

*  qui  par  rincineration  &  la  lixiviation 
donne  de  I* 

6  Alkali  fixe o 

7  Terre  infipide etiam  (a) 

(a)    Pour  ne  pas  lepetcr  le  produit  ;c  ijie  fers  de  cette  abbreviation. 


'97 
X 

Les  produits  communs  font  n."  i  &  z  dans  la  didilla- 
tion  &  meme  le  5  fi  Ton  veut,  &  dans  rincineraiion  & 
la  lixiviation  le  n.**  7  . 

X  I 

Lcs  particuliers  aux  plantes  faines  font  les  n.°  3  ,  4  &  * 
dans  la  diftillation  ,  &  le  n.°  6  par  1' incineration,  &  la 
lixiviation:  produits  qu'on  n' obtieiu  pas  dans  les  planres 
putrefiees. 

X  I  I 

Les  particuliers  enfin  aux  plantes  putrefiees ,  &  qu'on 
ne  rencontre  pas  dans  les  autres  font  I'alkili  volatil  :  mais 
cette  fubftance  n'  exifte  pas  toute  formee  dans  les  plan- 
tes faines  de  cette  claffe  ,  elle  eft  done  vraiment  1'  ouvra- 
ge  de  la  putrcfaftion  ;  or  n'eft  il  pas  naturel  de  penfer 
cju'elle  eft  le  refultat  des  produits  qui  manquent  ,  favoir 
des  n."'    3,  4,  &  6. 

1  Voyons  maintenant  les  idees  que  Ton  a  fur  I'alkali 
volatil,   elles  font  ou  theoriques,  ou  tirees  des  faits. 

2  naikali  volatil  dit  M.  Macquer  Elem.  de  Chim.  Theor. 
p.  130  ejl  compofe  cTune  certaine  quantiti  d'acidc  combine  ^ 
6'  engage  dans  mine  portion  de  la  terre  du  mixte  dont  on 
le  tire  ,  &  £une  ajfes  grande  quantite  de  matiere  grajfe  ou 
huileufe  &c. 

3  11  n'eft  pas  neceflaire  de  faire  remarquer  la  conformite 
qui  fe  trouve  entre  ces  idees,  &  ce  que  nous  donne  I'ex- 
perience,  nous  allons  palTer  maintenant  aux  differens  tours 
de  main  que  nous  propofent  pluiieurs  Auteurs  des  plus 
claffiques  pour  volatilifer  les  alkali  fixes ,  ce  qui  dans  le 
fond  eft  la  meme  chofe  que  dire  de  faire  des  alkali>  vo- 
iatils}  ce  feroit  difputer  fur  des  mots  que  de  ne  pas  en- 
vifager  d'une  maniere  generale  les  expreffions  ,  rendre  vo- 
latils  ,  changer  en  fels  volatils  ,  volatilifer  &c.  tout  bien  con- 
iid^ii  c'eil  toujours  ajouter  la  propriete  carafteriftique  de 

Mifc,  Taur.  Tom,  F.  d  d 


198 

le-erete  a  un  corps  qui  tie  I'avoit  pas ,  &  qui  au  con- 
traire  avoir  celle  d'etre  fixe ,  ainfi  nous  pourfuivrons  notre 
exaraen. 

4  Wan-Helmoi>t  dit  qu'  en  faifant  dig^rer  le  fel  de  ca- 
ndle avec  fon  huile  pendant  3  mois  en  obtieni  un  alkali 
volatil  par  la  dirtillation. 

5  Starckei  pretend  qu'en  imbibant  le  fel  de  tartre  de 
huile  de  Therebentine,  on  rend  ce  fel  volatil  par  la  di- 
geftion. 

6  Ludovic  affure  que  le  fel  de  tartre  imbibe  de  fon 
huile  empireumatique  fe  fublime  en  fel  volatil  a  une  cha- 
leur  mediocre. 

7  Stahl  nous  apprend  que  ce  fel  devient  volatil  en  le 
combinant  aux  hudes  etherees. 

8  Nous  obferverons  cependant  encore  une  circoftance  , 
tres  importante ,  a  men  avis  ,  fur  ce  fujct ,  favoir  que  pour 
furmonter  la  difficult^  que  les  alkalis  out  a  s'unir  aux  hui- 
les  dirtillees  on  les  combine  auparavant  avec  le  vinaigre. 

9  L'on  recomande  enfin  la  combinaifon  des  fels  fixes 
avec  le  vinaigre  diftilie  le  tout  uni  avec  un  elprit  urineux 
pour  en  titer  un  alkali  volatiL 

10  Si  nous  refiechifTons  maintenant  fur  Aous  ees  precedes 
nous  voyons  qu'  il  fe  rencontre  dans  tous  la  combinaifon 
des  memes  principes  que  nous  fournit  la  comparaifon  des 
analyfes,  &  qui  eft  ij  bien  enoncee  par  I'llluftre  Monfieur 
Macquer. 

XIII 
Toute  la  fineffe  de  I'artitte  confifte  a  fournir  le  princi- 
pe  qui  manque  :  ce  qui  ne  pourroit  pas  a  la  verite  Stre 
determine  avec  precifion  ,  pour  le  raport  entre  ces  memes 
principes ,  mais  qui  peut  tres-bien  etre  aper^u  &  fenti  par 
un  homme  de  I'art. 

XIV 
En  effet  nous  voyons  que  dans  le  procede  §.  9  ce  n'eft 
pas  une  matiere  auiii  chargee  de  phlogiltique  que  le  Cont 


199 
fes    Inilles  &c.    qu'on  prefcric  ,    mais  bieti  plu-tot  an  acide 

plus  developpe,  &  cela  parceque  les  fels  fixes  contiennent 

plus  de  phlogiftique  que  le  fel  de  tartre ,  ou    tout    aurre 

fel  parfaiiement  alkaliie. 

X  V 

En  efFet  s'il  n'arrivoit  pas  ce  que  dit  Monfieur  Macquer 
d'apres  Stahl ,  que  les  fermentations  devant  etre  regardees 
comme  des  acheminemens  a  la  putrefaftion ,  les  acides 
recoivent  alors  la  plus  grande  alteration  qu'  ils  puiflent 
eprouver  fans  cefTer  d'etre  fels ,  &  que  cette  metamor- 
phofe  de  I'acide  confilte  en  ce  qu'  il  s'unit  a  une  portion 
de  I'huile  ,  &  de  la  terre  fubtilifee  du  mixte  ,  pour  former 
I'alkali  volatil ,  nous  devrions  retirer  des  fels  volatils  de 
tous  les  favons ,  ce  qui  n'arrive  cependant  pas  dans  les 
favons  ordinaires ,  ainfi  qu'on  s'en  aflure  par  la  dillillation, 

XVI 

Le  tartre  regenere  ,  ou  pour  parler  plus  exaftement  la 
terre  foliee  de  tartre  femble  venir  a  I'appuy  de  ce  fenti- 
ment ;  tout  le  monde  f^ait  que  c'eft  un  fubiUnce  volatile 
favonneufe  ( fi  or:  ne  veut  pas  lui  accorder  le  nom  de  fa- 
von  )  qui  refulte  de  la  combinaifon  du  vinaigre  diftilie 
avec  Talkali-fixe ,  &  perfonne  n'  ignore  aufli  que  cet  acide 
vegetal  contient  encore  une  grande  quantite  de  matiere 
huileufe  ,  d'ou  il  refulte  une  combinaifon  de  ces  principes  , 
dont  elle  tire  la  propriete  de  fa  volatilitc  ,  Sc  c'eft  ce  qui 
prouve  d'  autant  mieux  I'opiiiion  que  nous  venons  d'ex- 
pofer ,  favoir  que  I'alkali  volatil  ell  le  refultat  de  I'union 
qui  fe  fait  de  i'acide  dans  un  raport  determine  avec  une 
terre  fubtiliiee  &  des  maticres  graffcs  j  &  quoique  nos  ta- 
bles puiflent  fervir  de  demonftration  nous  allons  raporter 
le  fentiment  du  celebre  Boherave  a  I'article  du  tartre  re- 
genere p.  149  Elcm.  Chem.  Veneiiis  1759  ap.  Scb.  Colcii 
dubitavi  faepe  omnibus  his  confideratis  jedulo  ,  an  non  hie 
ejfct  fal  tartar i  volatilis  reddiius  Helmomianus  &c.  Quoiief- 
♦  ••  d  d  2. 


100 

cuwqtie  vcro  mm'ia  cura  falem  hunc  folvere  dcpurare ,  colare  ,' 
infpiJJ'are ,  calcinare  ,  Jic  in  allium  convertere  ,  quis  conatur  , 
ioties  deprehendet ,  abire  in  auras ,  perdique  :  unde  quidem 
volatilicatem  fic  natam  difcit  ,  coeterum  oleum  perdic ,  & 
operam. 

XVII 

Puifque  nous  voyons  que  les  plantcs  faines  donnent  par 
la  dirtillation  des  priiicipes  que  Ton  ne  trouve  plus ,  au 
moins  fepares,  dans  ces  memes  plantes  putrefiees  ,  &  que 
celles-ci  fourniffent  un  produit  qu'  on  n'  obtient  pas  des 
premieres  ,  ce  qui  fait  un  argument  afles  folide  pour  ju- 
ger  que  ces  principes  fe  font  metamorphofes  en  fe  combi- 
nant  par  le  mouvement  de  putrefaftion  :  (i)  il  me  paroit 
tres-convenable  de  rapprocher  ici  quelques  objets  qui  fem- 
blent  lies  par  le  meme  refultat ;  nous  verrons  done  ce 
qui  refulte  de  TAnalyfe  des  plantes  Inines  qui  fourniflent 
beaucoup  d'alkali.  volatil  ,  &  nous  paiTerons  enfuite  a  faire 
la  comparai(on  des  produits  que  Ton  obtient  des  matieres 
animates  qui  font  celles  principalement  qui  en  fourniffent 
une  plus   grande  quantite. 

Cette  inaniere  de  trailer  la  Chimie  me  paroit  afles 
me;hodique  ,  &  propre  a  donner  des  idees  generales,  elle 
me  femble  au  relte  avoir  les  memes  avantages  que  Tana- 
tomie  comparee  a  fur  la  fimple  anaioraie. 


(i)  On  ne  fcroit  pas  trop  fond^  il  me  paroit  4  fuppofcr  qu'on  ne  trouve 
plus  d'acide  dans  les  planres  putrefiees  parcenu'on  voulut  croire  qu' il 
fe  tut  diiFipfi  dans  le  tems  de  la  fermentation  puiridc  ;  il  fatidroit 
alors  rcndie  compte  de  I'huile  ,  &  de  I'al.ali  fixe  audi:  d'ailleurs  il 
fe  piiSfcnte  une  difficult^  k  mon  avis  infurinoniable,  favoir,  fi  on 
nc  vcut  pas  que  I'acide  ,  I'huile,  &  ralKali  fixe  fe  ioicnt  cotnbingi 
&  iiietan\orphof6s  en  alKali  volatil,  il  faut  convenir  au  moins  de 
la  pteexillancc  de  cet  alKali  vol.iiil ,  car  d'on  pourroit  il  vcnii  ?  mals 
r' il  cxifte  tout  forme  pourquoi  ne  fe  difilpctoit-il  pas  aii/Ji  dans  le 
tems  du  mouvement  de  putrcfa(5lion  ,  puiique  fa  volatiliiL-  ell  biea 
fupfiiiciirc  a  ccllc  des  acidcs  ?  ces  fuppofitions  font  C\  d^nufies  de 
probabiliit^  qu'il  efl  inutile  de  s'y  aiteiei  plus  long-tempi:. 


aoi 


Table  dfS  refusals  quon  ohilent   des    plantes   pmre- 
Jiees  qui  Tie  donnoient  point  dalkdi   volatil    dans 
riiat  fain  &  de  celles  qui  en  fournijfenc  naiurel- 
lement  fans  paffer  a  cet  etat  par  les  mimes  ope- 
rations que  Les  precede ntes. 

PLANTES. 

Putreliees     ....      Semcnce  de  fynapi 
Par  la  diflUlation. 

1  Phlegme  contenant  du  fel  volatil     .      etiam 

2  Huile  noire  epaiffe  &  fetide     .     .     .    etiam 

^,      ,          .  j     contenant   un  peu 

%  Charbon •<        ,      ,   r  i 

'  ^  \       de  phojphore. 

4  Sel  volatil   concret     ......     etiam 

5  ...   o      ... huili;  legere, 

6  .  .   ,   o beaucoup   d'air. 

XVIII 

11  eft  vifible  combien  ces  fubllances  d'une  nature  tota- 
lement  differente  peuvent  i'e  rapprocher  du  moment  que 
par  quelque  operation  on  les  amene  au  point  de  fournir 
les  memes  produits  &  nous  obferverons  que  les  deux  qu'on 
trouve  n.°  5  &  6  dans  la  femence  de  fynapi  &  qui  ne 
font  pUis  dans  les  vegetaux  putrefies  quoiqu'ils  exillalTent 
dans  I'etat  lain,  difparoiflent  preciCement  par  le  mouve- 
ment  de  fermentation  ,  d'aiileurs  les  acides  ne  paroilTent 
ni  dans  Tune,  ni  dans  I'autre  de  ces  fubttances,  ce  qui  ell 
tres-interelTant  pour  Tobjet  en  queltionj  U  elt  pourtant  vrai 
que  le  phofphore  concourt  a  prouver  qu'  il  s'y  trouvoii  de 


i'acide:  mais  c'eft  precisement  ce  qui  fert  a  confirmer  que 
I'alkali  volatil  ell  I'ouvrage  ou  de  la  fermentation  putride 
ou  du  feu  ,  qui  en  detruifant  les  liens ,  &  I'adherance  en- 
tre  les  parties  du  mixte  rapproche  tellement  I'acide  des 
parties  huileufes  &  lerreftres  ,  qu'il  en  vienc  un  nouveau 
produit. 

Cette  theorie  qui,  je  le  repete,  eft  celle  que  Monfieur 
Maquer  nous  doiine  dans  ies  ouvrages ,  fe  trouve  encore 
confirmee  par  les  analyfes  des  matieres  animales  :  nous  al- 
iens nous  en  occuper  mainienant  d'une  maniere  egalement 
concife  ,  c'ert-a-dire  en  n'en  rapportant  que  les  refuhais. 
en  generaL 


i03 
^able    dcs    refuhats    quon    obtient   des    vegetaux  dans  leur 

dijprens  eiats ,    ou  felon  Icur  nature   particuUere  ^  &  des 

niaiieres  animates  ;  par  La  dijiillation,  l' incineration  y  &  la 

lixiviaiion. 

PAR  LA  DISTILLATION. 

AIATIERES    VEGETALES.  MATIERES    ANIMALES. 

\aines  .  .  .  putrtfiies  .  .  ,  analogues  aux  ....  fang,  de  boeuf  .  .  chair  de  boeuf 

animates 
I  Pblegme  etiam,  contenant  du 

felvolacil  ,  .  etiam etiam etianz 

I  Hulle  noireN 

epailTe  &/../•... 

•^    .  (  ettam,  v  joetide  . .  ettam ettam etiam 

empireu-   \  ■^ 

matique    / 

I  Acide  .   .   .    .  o   .^  .  .  .  .  o o o  .  . 

f  Huilelcgcre^  .  o  .    1  .  .  .  .    etiam etiam etiam 

B  .  .  .  .    etiam etiam etiam 

5  beaucoup  d'air  .  o    .1    ....    etiam  .......  o o  .  . 

J  Charbon  .  .    etiam  ffel  yolaiil  etiam etiam etiam 

\        Le  chaiboD  traite  par  riiicineiation,&  lixiviatioo, 

7  Alkali  fijce  .  .   o  .   J  .  .  .  .    o  . .  un  feu  de  .  .  ,o o  .  .  un 

*  phofphore  peu  de  fit 

mar  in, 

X  I  X 

Cette  table  comparative  fait  voir  i"  que  de  toutes  les 
fubftances  dont  on  peut  retirer  de  I'alkali  volatil  foit  na- 
turellement  foit  en  faifant  effuyer  quelque  alteration  au 
mixte  on  ne  fauroit  jamais  obtenir  ni  de  I'acide  ni  de  i'al- 
kali-fixe. 


Z04 

X  X 

2°  Que  les  matieies  qui  ont  befoin  de  !a  fermentation 
putride  pour  fournir  i'alkali  volatil  ne  dcnnent  plus  cer- 
tains produits  qu'on  obtient  cependant  des  matieres  oii  il 
n'eft  pas  neceflaire  d'  excirer  la  putrefaftion  pour  avoir 
I'alkali  volatil,  &  ces  produits  font  principalement  I'huile 
legere  ou  tenue  &  I'air ;  perfonne  ne  s'etonnera  de  cette 
difference  en  reflechiffant  fur  les  effets  de  la  putrefaftion : 
quand  a  I'air  il  ell  fenfible  qu'  il  doit  s'echapper  dans  ce 
mouvement  de  defunion  entre  les  parties  des  mixtes,  & 
quand  a  1'  huile  legere  il  n'eft  pas  hors  de  probabilite 
qu'elle  foit  neceflaire  pour  metamorphofer  I'acide  en  alkali 
volatil  dans  les  fubftances  ou  cette  matiere  faline  n'eft  pas 
le  produit  ou  de  I'elaboration  de  la  nature  ou  des  altera- 
tions qui  dependent  du  feu  des  artiftes. 

X  X  I 

Cette  verite  eft  d'autant  plus  inconteftable  que  dans  les 
fubftances  animales  memes  ,  qui  font  celles  qui  abondent  le 
plus  en  alkali  volatil  ,  il  y  a  des  parties  dont  on  n'en  tire 
pas  un  atome ;  telles  font  les  graifles ,  &  au  contraire 
elles  donnent  une  grande  quantite  d'acide  :  d'ailleurs  ce 
qu'il  y  a  de  plus  remarquable  c'eft  que  les  memes  parties, 
donnent  des  differences  fi  fenfibles  fuivant  qu'elles  ont  fou- 
fert ,  ou  non  la  fermentation  putride  ;  nous  allons  rappro- 
cher  encore  cet  objet  d'une  maniere  plus  generate  dans  la 
table  fuivante. 


TaSie 


I 


'^able  des  rifuhats  quon  ohaent ,   i°  de  tomes  Ics  fub fiances 
I   qui  fourmjfent  naiurellement  de  I' Alkali  volatile  2*  dc  celles 
qui  nen  donnent  quau  moyen  de  la  putrefaciion;  3'  ^(e  celles 
'   qui  en  donnent  dans  les  deux  itats. 

PAR  LA  DISTILLATION,  L" INCINERATION,  ET  LA  LIXIVIATION. 


M  A  T  I  E  R  E  S 


V^itaUs 


Anlmaks 


'1 

I     K 


Saines :  Putrefiees, 

* , 

ui  nc   fournif-  B 


— 'V 
C     I 


Saines Putrcficjs 

, ,J 


ent  pas  de  I'Al-  Qui 

kali  volatil.  fourniffcnt    toutes    de 

Flcgoie    .    .    .  «  .   .    etiam,fel*  ,  ,  .   ctia.m,ftl*  , 
*  vektil  *  volatil 


D 

r  Aiicaii 
.  etiam  . 


J 


etiam etiam  *  . 

*  &f(Xti<ie 
.  o o  .  . 


volatil 

.  .  ,  etiam  ,  fricddi 
par  du  fdvo' 
latil  concret. 

,  .  .  etiam  &  foiide. 


o  .  .  .    .  etiam 
o  .    .  .    .  eiiam 


oV  vo 


ALKALI 
"■OLATIL 
(  CONCRET, 


') 


Huile  empi.    }    .  .  .  etiam etiam  •  .  .  .  etiam 

teuDiatique 

Acide  . 

Huile  Icg^re  .   .  .  .  un  peu 

Beaucoup  d'air  .  .  .    moias o  .    . 

A'kali  fixe  par~» 

r  incineration  ^  .  .  .    o tris  peu 

&lalixiviaiion_;' 

M.B.  Je  crois  inutile  de  parler  des  rcfidus  aprcs  toutes  les  operations ,  &  je 
reniarquerai  feulement  que  (A)  n'a  de  comua  avec  (B,  D)  que  les 
D.°4,5  (C,E)  avec  les  n."  i,  i;  8c  que  la  difference  entre  (13,  D)  & 
(C,E)  coofifte  dans  les  n."  4,  5;  ce  qui  depend  de  ce  que  les  unes  ont 
foutFsrt  la  fermentation  putriJe  ,  &  les  autrcs  font  dans  1'  etac  fain.  Ea 
effct  r  (E)  donne  du  fil  volatil  avant  rejevation  du  flegme,  d' ou  il 
me  parole  d'  etre  toujours  plus  en  droit  de  conclure  que  I'alkali  volatil 
ne  peut  ctre  que  le  produit  de  n.°  5,  4,  &  6  qui,  ou  ne  fe  montrent 
point  fcparcmcnt ,  ou  qui  dlfparoiHeDt  dans  les  maticres  dont  on  pcut 
tirer  ce  fel. 

Mifc.  Taur.  Tom.  V,  ee 


lo6 

XXII 

Le  fujet  que  je  vlens  de  trailer  Tert  a  nous  montrer  qu'  il 
en  elldeceux,  dont  il  n'eft  pas  necellaire  de  favoir  d'avan- 
ce  le  refultat  principal  ,  tel  que  celui  qu'on  peut  maintenant 
etablir  avec  plus  de  confiance  ,  Tavoir  que  I'alkaii  volatil 
conrte  d'un  acide  combine  avec  une  pame  de  ce  qui  de- 
viendroit  alka!i-fixe  par  1'  incineration  ,  &  une  partie  de 
la  Tubrtance  inflammable :  car  cette  fubftance  faline  n'exi- 
ftani  pas  toute  formee  dans  des  vegetaux  fains  ,  dont  on 
la  retire  cependant  par  la  putrefaftion  ,  ce  n'eft  qu'au  pre- 
judice de  I'acide  ,  de  la  matiere  inflammable  ,  &  de  I'alka- 
li-fixe  qu'on  peut  fe  la  procurer  j  ce  qui  me  paroit  de- 
montre. 

XXIII 
Nous  allons  faire  maintenant  une  application  du  meme 
principe  de  comparaifon  ,  qui  pourra  pour  ainfi  dire  nous 
tournir  un  moyen  pour  verifier  des  maximes  qui  auroient 
ete  etablies  fur  des  faits  ,  &  je  me  flute  que  cette  methode 
ne  fera  pas  jugee  tout-a-fait  inutile.  Je  prendrai  pour  exem- 
p!e  un  principe  aflfez  connu  ,  favoir  que  trois  parties  de 
rouge  combinees  avec  trois  de  bleu  &  deux  de  jaune  four- 
niflent  une  couleur  noire  dans  la  peiniure  en  email ;  &  il 
eft  queftion  de  voir  fi  ce  principe  eft  de  meme  applicable 
a  la  teinture  ;  c'eft  ce  que  nous  allons  examiner ,  en  fup- 
pofant  d'avance  le  fait. 

■rous^e 


Le  noir  eft  le  refultat  d\i  [jaune 

bleu 


rrouo-i 

I 


-\ 

)»de  ces  deux . 
1 

. orange 

::^  de  ces  deux . 
yde  ces  deux  . 

.  .  vioUt 

. .  vcrd 

107 
XXIV 

L'  infpeftion  de  cette  table  prefente  d'abord  1'  idee  des 
foludons  du  probleme:  car  fi  la  maxime  eft  (j)  vraye,  on 
pourra  former  du  noir ,  i"  en  combinant  trois  fubftances 
iimples  dont  Tune  foit  rouge  I'autre  jaune  &  la  troifieme 
bleue,  moyenant  qu'on  obierve  les  proportions  qui  font  pre* 
icrittes ,  &  c'eft  la  la  premiere  folution. 

XXV 

\°  On  fera  du  noir  en  mettant  une  couleur  orangie 
avec  du  bleu.  La  troifieme  Iblution  nous  viendra  de  la 
combinaifon  du  verd  avec  le  rouge.  La  quatrieme  fera 
celle  du  violet  avec  le  jaune.  Une  cinquieme  enfin  naitra 
de  raflemblage  de  I'orange  du  violet  &  du  verd.  Je  me 
bornerai  a  une  de  ces  Solutions  pour  ne  pas  furcharger 
cet  effai  de  details  minutieux.  Voict  done  comment  j'ai 
fait  du  noir  fur  ces  principes :  j'ai  m^Ie  a  une  diffolution 
de  vitriol  bleu  une  quantite  a  peu-pres  egale  de  deco- 
ftion  de  noix  de  galle ;  le  melange  prit  d'abord  une 
couleur  rouge  orange}  j'y  ajoutai  de  la  diffolution  de  cui- 
vre  faite  par  I'efprit  volatil,  &  la  liqueur  devint  peu-a-peu 
d'un  noir  tresfonce. 

XXVI 

Tout  le  monde  fait  qu'on  ne  peut  pas  former  de  I'encre 
avec  le  vitriol  de  cuivre  &  la  noix  de  galle;  I'experience 
m'avoit  enfeigne  qu'en  mettant  de  I'acide  dans  la  decoftion 
de  noix  de  galle  on  obtenoit  un  rouge  orange ;  il  ne 
s'agiffoit  done  que  d'y  developper  le  bleu  fuivant  le  i**  ca- 
non de  notre  analyfe  ;  ce  qui  ayant  ete  fait  par  le  moyen 
de  I'dlkdli  volatil ,  il  en  eft  effe^tivement  refulte  du    noir 


(^3)  La  maxirr.e  eft  rename  dans  ce  cas,  mais  fe  parle  comme  fi  elle  gtoit 
encore  probl6tnatique ,  parcequ'  il  s'agit  de  I'appliquei  ^  une  nout 
vcllc  tranche  de  la  phyfique. 

^  e  1 


(4)}  fi  j'en  avois  eu  le  terns,  fauroi's  de  m^me  effaye  les 
autres  combinaifons  ,  mais  en  attendant  je  ferai  obferver 
qu'  il  ert  tres-aife  de  reconnoitre  auffi  dans  les  encres  com- 
munes la  combinaifon  de  ces  trois  couleurs ;  car  le  bleu 
lui  vient  du  fer  ,  &  I'acide  dans  la  decoction  de  noix  de 
galle  change  la  couleur  jaune  en  rouge  orang^  ,  oii  le  rouge 
cependant  domire  ,  lorfque  I'acide  y  eft  en  affei  grande 
quantite  i  ce  qui  ell  tres-conforme  a  la  proportion  pie- 
fcrite. 

XXVII 

Avant  de  finir  cet  elTai  je  rendrai  compte  encore  d'une 
methode  par  laquelle  il  me  femble  qu'on  peut  parvenir  a 
porter  quelque  perfeftion  dans  les  arts ,  &  meme  a  les 
enrichir  de  quelques  nouvelles  branches.  Je  rapporterai 
pour  plus  de  brit^veie  la  fuite  de  mes  idees  fur  un  objet , 
ce  qui  fervira  a  faire  mieux  fentir  ma  penfee, 

Perfonne  n'  ignore  que  I'acide  vitriolique  a  plus  d'affi- 
nite  avec  le  fer  qu'avec  le  cuivre  ,  ce  qui  a  donne  lieu 
a  la  pretendue  tranfmutation  du  fer  en  cuivre  en  le  plon- 


(4)  Ce  me'moite  6toit  d^ia  Tnus  la  preffe  lorfque  je  fis  cette  experience 
avec  de  )i  teintuie  d' irji^n ,  me'Se  avcc  celle  d  bois  dubrt-fil,  & 
de  celle  de  paftel  ou  gaude  ;  en  r-bfervant  i  pcu-pies  les  mStnes  pro- 
portions j'ai  fait  line  teiniure  noire,  cu  qui  paroit  du  nioins  telle 
i  t'ceil  en  Texaminant  foic  ^  la  (nrfacc  dans  un  verre  ,  foit  dans  un 
flajon,  apres  I'avoir  fetendue  dans  beaucoup  d'eau.  On  objeftcra,  pcut- 
eire,  que  de  h  combinaifon  de  ces  irois  couleurs  en  teinture  il  ne 
fauroit  r^fulter  un  veritable  noir  fur  les  6toftcs  ;  mais  on  me  per- 
mcitra  d'obferver  qu' il  fe  paffe  une  tiCs  grande  difffiience  dans  la 
teinture  appliquSe  aux  ctoffes  ;  que  paimi  les  gtoffcs  raemes  il  arri- 
ve dcs  differences  confidSra'^les  dans  I'oeil ,  que  prend  une  meme 
teinture  4  caofe  du  tifTu ,  du  grain,  &  de  d'ffferentes  autres  peiites 
circonftances  qui  caufent  des  grandes  modifications,  &  par  confS- 
qucnt  dcs  variCngs  bien  fenfibles  C'ef>  pour  cette  raifon  aufTi  que 
la  mcilleure  encre  pour  I'^crituie  n'  tfl  d'aucun  ulage  pour  _  la 
finiurc  des  gtofFes.  Cela  ticjit  4  un  prmcipc  trnp  connu  dcs  piiy- 
ficietis,  8c  dont  les  donnces  nianquent  ordinairement  4  I'aitifte 
meme  le  plus  intelligent.  J'ai  tait  dc  meme  une  teinture  noire  avec 
du  t'inlct  &  des  jaunes;  mais  je  dois  remurquer  que  dans  routes  ces 
couleurs  ou  eft  oblige  d'auginentcr  la  proportion  du  bleu, 


2C9 

geant  dans  des  eaux  thermales  cuivreufes  qui  fe  trouvent 
en  Allemagne.  La  propriete  du  cuivre  de  reprendre  fa  for- 
me metallique  dans  cette  operation ,  &  en  m^me  terns 
I'art  de  Damafquiner  setant  prefentees  k  mon  efprit,  j'ay 
imagine  qu'on  pourroit  tres-bien  tirer  quelque  parti  de  la 
theorie  des  affinites  pour  cre^r  un  nouvei  art  ,  fi  on  ne 
veut  pas  le  regarder,  feulement,  comme  une  nouvelle  bran- 
che  ajoutee  h  I'art  de  damafquiner. 

Dans  le  cas  particulier  du  fer ,  &  du  cuivre  ,  il  fuffit  de 
plonger  dans  de  la  cire  de  graveur  la  piece  de  fer  done  on 
decouvrira  enfuite  par  le  deflein  les  parties  qui  doivent  pa- 
roitre  en  cuivre  ,  on  paflera  apres  la  piece  ainfi  prepaiee 
dans  une  diffolution  de  vitriol  de  cuivre  ,  &  meme  on  I'y 
retiendra  autant  de  temps  qu'  il  en  faut ,  pour  que  1'  acide 
vitriolique ,  dilTolvant  une  plus  grande  quantite  de  fer , 
puifie  etre  remplace  par  une  couche  plus  forte  de  parties 
cuivreul'es ,  far  lefquelles  il  faudra  avoir  la  precaution  de 
paffer  le  burin  ,  d'ou  il  refultera  plus  d'eclat  ,  &  une  plus 
grande  folidire  dans  le  damafquinage  en  queftion, 

Mais  pour  prendre  la  chofe  plus  gineralement  encore  , 
il  fuffira  de  remplir  les  conditions  fuivantes ,  favoir  :  que 
le  m^tal  de  la  piece  qu'on  deitine  a  etre  damafquinee  ait 
une  plus  grande  affinite  avec  le  menftrue ,  que  n'en  a  celui 
qui  y  eft  en  diffolution  ,  &  qui  eft  deftine  au  damafquinage. 
Une  autre  condition  feroit  celle  que  le  precipite  reparut 
fous  fa  forme  merallique  ,  mais  j'ai  lieu  de  croire  qu'on 
pourroit  y  fuppleer  en  foulpoudrant  route  la  piece  de  char- 
bon  ou  de  quelque  autre  matiere  inflammable  qui  put 
revivifier  cette  chaux  par  fon  phlogiftique  en  la  paffant  fur 
k  feu  ,  s'll  le  faut. 

Cette  idee,  quelque  imparfaite  qu'elle  foit,  pourroit  bien 
un  jour  ^tre  leftifiee  &  etre  portee  plus  loin  par  le  fecours 
de  la  dottrine  des  aflinites  compolees.  J'elpere  d'etre  conir 


pris  par  les  gens  de  I'art  j  &  ce  fera  une  nouvelle  obli- 
gation que  nous  aurons  aux  lumieres  que  1'  llluftre  Mon- 
lieur  Macquer  a  r^pandu  fur  cette  parde  fi  controverfe,  fi 
abliraite,  &  fi  intereflaiire    de  la  chymie. 


2  I   I 


CORRECTIONS  POUR LAPARTIEPHILOSOPHIQUE 
Dans  Ic  ircmolre  do  M/  le  CoMTE  MoUROUX. 


I 


F.,utes, 

Corrige^. 

Pag.  17  /.1 3.   que   on  fraite 

dont  on  traite 

19./.  1  6.  il  elt  cho(e 

c'  ell  une  chofe 

14/.  19.  ne  la  vifite 

ne  les  vifite 

zjV.   I.  exofd 

expofe 

/.    3    que  pour 

que  par 

1.1%.  extremment  froid 

extremement  froid 

comme  en  Mofco- 

comme  en  Mofco- 

vie  ,  en  Pologne 

vie,&  en  Pologne 

27./.  15.  eclofes, 

eclofes  } 

3o./.i  J.  a  1'  obfcur 

dans  r  obfcurite 

48./.  17.  particulierement 

particulierement   ( i  2 

JVofe(ij)  49./.11.  nietallium 

metallicum 

/.I  X.  Bxmni 

fixum 

/.1 5.  vivide 

viride 

/.1 5.   urtione 

uftione 

/.  17.  vividem 

viridem 

Note{i/^)   50./.  14.  d'accord  I'efpece 

d'acord  fur  I'efpece 

/.  1 6.  de  Chevalier  Linne 

du  Chevalier  Linn^ 

Note{i(>)   J  I./.   1.  inturfufception 

intuffulception 

In  Caroli  Allionii  au£lario  ftirpium  horti 

Regii  Taurinen 

fis. 

Errata. 

Corrigc, 

Pag. 


55.  1.11.  moluceae  moluccae 

58.  /.X9.   rambruni  ramofum 

61.  I.    I.  fefamum    indicum  transferenJum  Cub  RucWii 

69.  /,  4.  Siegerbtkia  Siegesbeckia 


/.   6.  macrophylla  1 
71.  /.31.  e 
Mifc.  Taur.  Tom.  V. 


macrophylld  1  *  " 
ex 

f  f 


211 


Errata. 

Corrtge. 

P'^g-  73. 

I.    7.   Sue.  ira 

Svecica 

74- 

1 16    du)ym;m 

bonaiienfe 

76. 

l.ij.   Argcinene 

Argemone 

/.I  ^.14   meliioius 

melilotus 

I.Z4.   melrotus 

melilotus 

79- 

/.    2.  juncea  L 

juiicea  L  * 

/.   4.  valeiitina  h 

valeiitina  L  * 

84. 

l.i  I .  pulcrum 

pulchrum 

89. 

l.i6,  treiiantathemum 

fl^lianthemuin 

91. 

1.1.1.  chamaemeliis 

chamaemelii 

9^- 

Confute  numeros  13 3.1 34. 

94. 

/.17.  dilliadr^uru 

diftinftum 

96. 

polymorpiiia 

poiymorpha 

In  diiTertatlonem  JoHANNis  Francisci  Cigna 

de  refpiranone  ,  ob  auftoris  tunc  graviter 

aegrotantjs  abfentiam  multa  irrepferunt 

raenda ,  quae  flc  corrigenda. 


Pag.  111.  I.    I.  varicres               lege 

rariores 

i  I  J.  /.   8.   variori 

l.iy  DaUSTENE 
1 1 4.  l.pen.  puth.  funic 

rariori 
DAOUSTENC 

paihol.  funic. 

115./.   5.  alii 

/.  6.  dedu£lum 

deduftam 

116.  /.3}.  tepiduin 

1 17.  /  1 3.  circuli 
/.JO.  portquura 

118./.   7.  Attenta 

/.   8.  analogum  ipfis 
/.i(3.  ipfum  auriculam 

tepidam 
corculi 
pollquarn 
;  attenta 

analogum  in  ipGs 
ipfam  auriculam 

119./.   1.  non  neque 
/.  10.  vivaparis 

non  aeque 
vivipans 

/ 


Corrls:e. 
earn  mbleftiam 


Errata. 
Pag,  no,  I. ly.  quum  moleftiam 
/.  15.   retngena 
ib.      ilium  auiem 
/.3  3.  ad  jjatrem  ftimulet 
/.3  5.  ad  iurgendum 
111.  Li6.  qaae  neque 
114.  /.1 3.  oltium 

/.29.30.  Totus  textus  curfivo  charatlere  eratex- 
pnmendus 

memorata 


refrigerio 

illud  autem 

ad  partum  ftimulet 

ad  fugendara 

quae  aeque 

otium 


125 


l.ulc, 

I,  J. 


nota   V 
(111) 


«3  0.  /.  18.  queunt 

131./.   9.  in  animalibus ,  qui 

1 3  2.  I.  6.  neque  incerta 

/. 23.  not.  b 

433.  ultima  linea  hujus  paginae  in  principium  fequentis 
notae  transferenda 


nota  y  memorata 

(XXIV)  Citationes 
nempeomnesnume- 
rorum  hujus  &  fe- 
quentis capitis  men- 
dofae  funr,  quod  or- 
do  numerorum,  qui 
in  (ingulis  capitibus 
ab  unitate  incipere 
debuifletjContinuata 
ferie  produftus  (it  a 
principio  ad  Hnem. 

queant 

in  animalibus ,  quae 

aeque  incerta 

not.  f 


134.  /.  3 1.   refpiratio  lenfibilis 
13  5.  /.2i.  ea  majori 
137.  /.  1 5.  Ut  animalia 

/.  19.   Rigmannus 
141./,  ).  Exitingues 


refpiratio  infenfibilis 
eo  majori 
At  animalia 
Richmannus 
Exitinguens 


114 

Errata. 
Pag.  1^1, 1,10.  condiium  effe 

/.30.  camaleon 
144, /.19.  fuperficia 

/.48.  imo  &  progreffivum 
(p)  inteilinum  morum 


i4<5. 


147. 

149. 

150. 

151. 

154. 

156./. 

157./, 


M9 


12.  fit 

15.  rariorem  aerem 
.9.  (IX) 
ult.  not.  d 
11.  aeream 
3  I.  Avagius 
9.  hanc  quoque 

7.  eumdem   majores 

8.  potius  quum 
10.11.  aut  favere  non  ob- 

ftare 
1 1. 1  i.aut  tarn  praefentiae 

24.  aer  en  maffe  • 

25.  renovare  cenfet 
pen.  obfervatur  coagulati 

2.  ac  {1   uila 

3.  opprimerentur 


Corrige, 
pulmonem  condicuoi 

effe 
chamaeleo 
fuperficiei 
inteilinum    motum 

imo  &  progrefli- 

vum  (p) 
fiet 
in  rariorem  aerem 

9-° 
not.  1 

veram 

Savagius 

huic  quoque 

eamdera  mnjores 

potius  quam 

aut  favere,  aut  obfta- 

re 

non  tarn  praefentiae 

air  en  maffe 

renovari  cenfet. 

abfervatur  coagulari 

ac  (i  nulla 

apprimerentur 


Ad  D.  Dana.  Z)e  folano  melanocerafo. 

170.  omne  omnes 

171.  not.    1.  pertinet  ad  paginam  praecedentem 
not.   2.  Mifcel.   Taur.   &c.    legenda  port  verba 

Bot.  Prof. 
ijj.  L  1,  Pod  alias  ad  , . ,  adde     Serviceura  opus  vulgo 

di6lum 


i1  ^     J 


M  E  M  O  I  R  E 

Sur  difflrentes   quejllons  d'  Analyfe. 
Par  M.  le  Marquis  de  CONDORCET. 

ARTICLE   I 

Reflexions  fur  la  forme  des  racines  des  iijuations  determineeSf 
la  reditcllon  &  la  folution  de  ccs  equations. 

V-^ardan  &  fes  difciples  ont  refolu  les  equations  des  3.', 
&  4.*  degres.  Les  Algebriiles  qui  leur  ont  fuccede ,  ont 
perfe8;ionne  leurs  lolutions ,  en  developant  la  forme  &  la 
nature  des  racines.  Us  ont  donne  une  Theorie  profonde 
fur  la  formation  des  equations  des  tous  les  degres  &  fur 
les  racines  imaginaires  j  mais  malgre  les  travaux  de  tant 
des  grands  Geometres  ,  1'  equation  du  5  .*  degre  eft  encore 
a  refoudre ,  &  a  refilte  a  leurs  efforts.  M.  Euler  qui 
s'eft  exerce  avec  tant  de  fucces  fur  toutes  les  qucftions 
de  r  Analyfe ,  s'eft  occupe  de  celle-ci ,  &  y  a  rapelle 
r  attention  des  Geometres  qui  paroiftbient  I'avoir  tournee 
fur  d'autres  objets.  M.  Bezout ,  M,  Waring ,  M.  le  Che- 
valier de  Marguerie ,  M.  de  la  Grange  ,  M,  de  Vander- 
monde  ont  donne  fur  cette  matiere  des  recherches  inte- 
reffantes  &  tres-propres  a  jetter  une  nouvelle  iurniere  fur 
cette  theorie  fondamentale  de  1'  Analyfe.  Cell  a  la  lefture 
de  leurs  ouvrages  que  je  dois  les  reflexions  fuivantes  qui 
peut-eire  ne  feront  pas  abfolument  inutiles  a.  ceux  qui  fe 
propoferoient  de  fuivre  la  m^me  carriere. 

Mifc,  Taur,  Tom,  V.  a 


I 

La  folution  d'une  equation  du  3.*  degre  ,  fe  reduit  a 
une  equation  du  fecond  ,  celle  du  quatneme  a  une  equa- 
tion du  fixieme ,  immediatement  reductible  au  troifieme, 
M.  Be/.out  a  prouve  que  1' e  juation  du,cinquieme  fe  re- 
duifoit  a  une  du  14.""  niais  le  rabaiflement  de  ceile-ci  a 
des  equations  du  4.',  du  i' ,  &  du  i.'  ne  fe  prefente 
pas  immediatement ;  il  faut  de  longs  calculs  pour  y  par- 
venir ,  &  c'eft  le  principal  obftacle  qui  a  retarde  jufqu'ici 
la  folution  de  ces  equations. 

I  I 

Les  racines  d'une  equation  doivent  etre  des  fonStions 
algebriques  &  entieres  des  coefficiens  de  cette  equation , 
&  li  le  degre  eft  n  en  general ,    elles   ne  peuvent  conte- 

n 

nir  de  radicaux  d'  un  degre  plus  eleve  que   y/'.     Suppofbns 

done  que  nous  ayons  une  Equation  du  degre  ;z ,  oil  Ip 
fecond  terme  manque ,  &  faifons 

n  n  n 

x^-Va  •^Vb'  -^VcT; 

le  nombre  de  ces  radicaux  etant  n^ —  i  ,  il  eft  clair  que 
{\  je  fais  difparoitre  les  radicaux  de  cette  equation  hypo- 
thctujue ,  &  qu'enfuite  je  mette  au  lieu  de  x"  fa  valeur 
tiree  de  la  propofee ,  il  me  reftera  une  fontlion  oil  x  ne 
montera  qu'  a  la  « —  %."  puiftance  ;  ce  qui  me  donnera 
n — I  equations  pour  determiner  les  n — i  quantites  A^ 
B,  C,  &c.  On  voit  que  les  conditions  de  cette  opera- 
lion  font  que  1'  equation  propofee  &  1'  equation  hypothe- 
tique  aient  lieu  en  meme  temps  &  pour  toutes  les  racines. 
On  voit  aufli  que  pour  faire  dilparoitre   les    radicaux   de 


3 

n  It 

r  equation  x  =  VT  -4-  v'b",  &c.    on    en    aura    une  oii  x 

montera  au  degre  /z""",  &  c' eft  ce  qui  doit  arriver , 
puifqu'  a  caufe  des  n  racines    de  I'equation  y"  —  i  =  o  , 

a  n 

chaque  V^f  ou  \^B~,  &c.  a  n    valeurs    qui    peuvent    etre 

combinees  avec  les  n  valeurs  de  chaque  autre ,  &  que  les 
tadicaux  font  au  nombre  de  n  —  i.. 

I  I  I. 

L'  equation  en  j4  ne  pouvant  contenir  de  radicaux ,  ni 
du  degre  n  ,  ni  des  degres  fuperieurs ,  fera  neceffairement 
du  degre  .  .  .  .  m  .  n  —  i./z^i./z  —  3...1}  m  etant 
la  produit  des  nombres  plus  petits  que  n  ;  &  comme  la 
quantite  que  nous  appellons  A ,  repond  a  une  quantity 
qui ,  en  fuivant  la  mechode  de  Tfchirnaus  eft  donnee  par 
une  equation  du  degre  n  —  i./z  —  i./z  —  3...1.  L'equa- 
tion  en  ^  fera  reducible  a.  une  equation  du  degre 
n  —  i./z  —  ^  .  n  —  3...1}  en  forte  que  fi  on  avoir 
m  =  m.  p.  q  .  .  .  on  auroit ,  en  refolvant  fucceffivement 
des  Equations  des  degres  m' ,  p\  q  ^  ou  m'  p'  ^  ni q  &c. 
ni  p  q  &c.  (fi  ces  produits  font  moindres  que  « )  on 
auroit,  du-je,  une  equation  definitive  du  degre  n. —  i  . 
n  —  »  .  . .  .  1 .  Toutts  les  fois  que  «  >  3  ,  cette  equa- 
tion monte  done  a  un  degre  plus  eleve  que  n\  &  c'  eft 
ce  qui  a  rendu  fi  difficile  la  folution  des  equations  des 
degres  fuperieurs. 

On  voit  deja  que  pour  refoudre  I'equation  produite  par 

n  n 

I'equation  hypothetique  . .  .  x  =  v^IT  -4-  ^~Bi  &c.  il  y  a  deux 

moyens  a  employer;  1.°  la  rdduftion  de  cette  equation  j 
i*  une  nouvelle  equation  hypothetique.  Suppolons  d'abord 
que  r  equation  en  jf'  du  «  —  1 ,  «  —  x  .. .  \  degre  ,  ne  loir 

a  X 


4 

fufceptlble  d'  aucune  reduftlon ;  il  eft  clair    que    fi  on  la 

J   .    2   .    J  .    .  .  B  —  l 

trait^  comme  la  propofi^e  ,  qu'on  fafle  x  c=  \/       a 

I  .  2  .  J  .  .  .  n— I 

-+-  v^       ]^  -+-...-  le  nombre  des  radicaux    etant 


n  —  1  -  n  —  i  .  .  .  .  z  •  I  —  I  ,  on  aura  une  equation    pour 
A'.  Mais  comnje  les  racines  de  I'equatioti  en  x'  ne  doivent 


/I  —  1 


pas  conteoir  dg  radicaux  plus  gleves  que  v^      ,  on  voit  que 

I'equation  en  A' ,  montera  ou  lera  reducible  a  un  d^gre 
qui  n'aura  point  de  divifeurs  premiers  plus  grands  que  n  —  z. 
En  repetant  la  meme  operation  ,  6c  reduifant  loujours  ces 
equations  autant  qu'elles  peuvent  I'etre,  on  en  aura  une 
d'un  degre  qui  n'aura  point  de  divifeurs  premiers  plus 
grands  que  n  —  3  &  ainfi  de  fuite  jufqu'  a  une  equation 
rationnelle^ 

I  V 

Ces  fuppofitions  pour  les  equations  hypothetlques  ,  font 
fans    douic    trop    compliquees  j    ainfi   il  faudra ,    au    lieu 

n  —  I  n. —  1 

de  pela  ,  faire  feuletnent  x'  ==  V"!?"  *+-  v''s'~.  .  ,  -+-  Q' ,  le 

nombre  des  A'  ,  B'  ^tant  n  —  x  ;  &  on  examinera  fi 
1' Equation  en  A' ,  ou  en  Q'  devient,  apres  etre  reduite  , 
d'un  degre  qui  n'ait  pas  de  divifeurs  premiers  plus  grands 
que  n  —  2.  Si  cela  a  lieu,    on    verra   fi  en   faifant    dans 

n  —I 

cette  equation  reduite  dont  1'  inconnue  eft  x'' ;  x"  =  y/'ZT' 

n  —  2 

■+•  V~B^. ...-+-  Q"  ,  le  nombre  des  radicaux  etant  /^  —  3, 

&  ainfi  de  fuite  on  aura  fucceffivement  des  Equations  dont 
le  degre  n'ait  que  des  fac^eurs  premiers  plus  petits  que  n  —  j, 
72  —  4  &c. ,  &  ainli  de  luite.  Nous  obierverons  encore  que 


5 

fi  requation  rd^luite  en  x"  eft  d'un  degre  produit  par  des 

fafteurs  premiers  plus  petits  que  n  —  •  ,  &  que  quelqu'un 
de  ces  fafteurs  foit  r^pete  plus  d'une  fbis  &  foit  en  meme 
temps  fafteur  de  n  —  i  ,  il  faudra  effayer  auffi  une  equa- 
tion hypoilietjque 

n  n" 

x"=V^  =  V^"fi^  .    .   i   t/,:   '.    -f-    Q" 

oil  n'  eft  ce  fafteur ,  &  oii  le  nombre  des  A"  &c.  eft  «  —  i^ 


Pour  favoir  fi  une  Equation  eft  fufceptible  de  reduftion, 
on  prendra  reus  les  divifeurs ,  rant  fimples  ,  que  compo- 
fes  de  r  expofant  du  degre  de  1'  equation  ;  &  foit  m  un 
de  ces  divileurs ,  mm  le  degre  de  I'equ  tion  8c  x  V  in- 
connue  ,  ou  chercliera  h  on  ne  peut  pas  avoir. 
x"  -4-  ax'"—'  -^-  bx"'-^''  ....-+■  p  =  o  , 
les  a  ,  b ,  Sec.  erant  donnes  par  des  equations  du  degre  m'. 

D'  abord  on  eflayera  les  divifeurs  fimples  ,  &  enfuite  on 
verra  fi  on  a  des  divifeurs  compofes  qui  reulliflent  fans 
qu'aucun  divifeur  fimple  ait  reuili.  U  fera  queftion  de  r^- 
foudre  d'abord  I'equaiion  m  ;  or  dans  ce  cas  quand  meme 
m"^  n  ,  il  eft  clair  que  m  eft  le  produiPdes  divileurs  premiers 
plus  petiis  que  n;  que  I'equation  x"  -+-  ax"*"'  .  .  .  -+-  p  =  o, 
ne  peut  avoir  dans  fa  racine  de  radicaux  auffi  ele^es  que 
n ,  &  qu'ainii  on  la  refoivera  en  prenant  des  equations 
hypothetiques  comme  ci-deflus. 

II  eft  inutile  d'avertir  que  Ton  n'a  pas  befoin  d'avoir 
refolu  I'equation  en  772  ou  m'  pour  favoir  fi  la  propofee 
du  degr^  m  m'  eft  redudible  ou  non. 

V  I 

On  peut  regarder  la  mediode  ci-deffus  comme  genera- 
te i  en  etTet  jl  ell  certain  que  la  racine  d'une  equaiion  du 


6 

degre  n  ne  peut  contenir  ,  fous  le  radical  n  ,  que  des  fon- 
ftions  de  radicaux  moins  elevees  :  or  quelles  que  foient 
ces  fon£lions  ,  il  ell  clair  que  les  Equations  hypothetiques 
ci  defTus  ferviront  a  faire  difparoitre  a  chaque  fois  le  ra- 
dical fous  qui  tous  les  autres  fe  trouvent  ,  &  ainfi  de  fuite, 
jufqu'  a  ce  qu'on  ait  une  equation  qui  ait  uu  divifeur  ra- 
tionnel.  Ain{i  Ton  voit  que  la  methode  employee  pour  re- 
foudre  les  3.*,  4.'  degre,  peut  s'etendre  aux  degres  fupe- 
rieurs ,  &  que  la  difficulte  qui  nait  de  I'elevation  de 
I'equation  oil  conduit  Thypothefe  pour  la  forme  des  raci- 
nes ,  ne  tient  qu'  a  I'enorme  complication  des  calculs  qu' 
exige  alors  la  ibluiion  du  probleme  ;  mais  qu'on  parvien- 
dra  toujours  a  la  (olution  cherchee  en  employant  fucceffi- 
vement  les  reduttions ,  &  les  Equations  hypothetiques  ^ 
quand  il  n'y  a  plus  de  redutiions  poffibles. 

V  I  I 

Les  equations  que  produifent  les  differenres  hypothefes-. 
qu'on  peut  faire  pour  avoir  les  racines  d'une  propofee  ,, 
ne  peuvent  contenir  dans  leurs  racines  que  les  memes  ra- 
dicaux ,  mais  combines  differemment  avec  des  coeiliciens 
num^riques ,  qui  feriSiit  en  general  les  racines  d'equations 
y"  —  I  =  o  ,  jk"*  —  A  =  o  ,  A  ^tant  un  nombre  ,  m  <C  riy 
ou  d'equations  produites  par  la  multiplication  de  celles  ci. 
On  pourra  done  abreger  confiderablement  le  calcul ,  en  ne 
cherchant ,  foic  pour  la  r^duftion  des  equations ,  foit  pour 
les  refultats  ou  conduifent  les  equations  hypoiheciques  que 
des  fonftions  rationnelles ,  par  raport  aux  coefficiens  in- 
determiiies  de  la  propofee  ,  fans  s'embaraffer  des  coefficiens 
numeriques.  Si  on  joint  a  cela  une  remarque  qu'on  doit  a 
M.  le  Chevalier  de  Mirguerie  ,  que  fi  on  a  une  equa- 
tion x»  ^-  a  x"  •"•-+■  ^'  x"  -'....  -4-  ^''  =  o  ,  les  racines 
feront  dtis  fonftions    homogenes    &    du   degre    1  de  ces- 


r 

coefficiens;  &  que  par  ce  moyen  on  fache  par  le  feul  de- 
gre  de  chaque  equation  de  quels  termes  de  ces  coefficiens 
chacun  des  liens  peut-^tre  compofe  :  1'  examen  des  equa- 
tions qu'on  cherche  a  reduire  ,  ou  pour  lefquels  on  clier- 
che  des  equations  hypoiheiiques ,  en  deviendra  bien  moins 
Jong, 

VIII 

J'ai  dit  ci-deflus  que  les  coefficiens  numeriques  depen- 
droient  d'equations j'"  —  1=0  , j/"  —  A^=  o,  ou  de  leurs 
combinaifons ;  mais  quand  cela  n'auroit  pas  lieu  en  gene- 
ral ,  la  recherche  de  ces  coefficiens  n'auroic  aucune  diffi- 
culie  analytique.  En  efFet ,  fi  I'on  connoit  une  fois  les  fon- 
ftions  des  coefficiens  indetermines  d'une  equation  du  de- 
gre  n  qui  entrent  dans  la  racine  ,  ainfi  que  routes  les  equa- 
tions qui  ont  fervi  a  determiner  ces  fonftions  j  comme  les 
nonibres  inconnus  rellent  conltans ,  quelles  que  foient  les 
racines ,  il  y  aura  toujours  moyen  de  les  avoir  par^la  me- 
thode  des  coefficiens  indetermines. 

ARTICLE     II 

Demonjlradon  d'un  Theoreme  de  M.  de  la  Grange  (  memoires 
de  r Academic  de  Berlin ,  tome  14.'  ) 

^oit  I'equation 

y —  x-Jr(p  x  =  o  ; 
^x  defignant  une  fonftion  quelconquc  de  x,    &    que  je- 
cherche  une  valeur  de  -vl/  x  ,  autre  tonftion    de  x  Qi\  J  i 
j'aurai  par  le  theoreme  de  M.  d'Alembert , 

■^x^^y^—q>  x-^-^-j-:  (p  x^  +  &c. 


8 

par  le  m^me  th^oreme 

done  faifant  (p  x  =  (p  j  -h  B  ,  B  =■  — —  (p  jy  -+-  C ,  & 

ainfi  de  fuite  :  j'ai  en  ordonnant  par  raport    aux    puiflan- 
ces  de  <py  &c  de  fes  differences , 

a  X  s=  m  y  -* \ --— -  -+-  &€. 

^  ^  *^  xay  2.3.  dy^ 

^x-        <P  y-        zd<Py  x  d'  <t)  y  n 

2  2         2.3.^7        2.3.4^))- 

(px^       <p  )<»         3  <s^  (p  >■»       6  d"-  (p  yi        p 

—  -i 1 7--+- 7—    <^c. 

4,3         2.3  2.j.4/«y       2,3.4.5.^^' 

fublHtuant  done  ces  valeurs  dans  celle  de  -^  x  ^  ou  aura , 

en  ordonnant    par  raport  aux   puiffances  de  -vj/j,  &:  (p y 

&  de  leurs  differences  , 

d-\y         mv-d^4v  <Py^  di-ly  ^ 

^x^A^y-^^py-jj-^r^-^^J.^'^^^-jJ-  &c. 

d(py  d-ly        z.d.cp  v^     d-4 y 
^^   dy    dy         z  .  -^  dy  d  y^ 

d-  <p  j'    dA-y 


X  .T,dy^    dy 

&  reduifant 

d-iy       dmy^d-lv           d-<py^  d-ly  . 

^x^^y^<py-^-i-  ^  -*■   jj        &c. 

%dy    _  2.3  dy- 

formule  dont  U  loi  eil  facile  a  faiiir. 


AR- 


ARTICLE    in. 

Sur   line  equation  aux  differences  finies. 

Ooit  ^=z  A  F  X  -Ji-  ay  -f-  B  F  x  ■+- h  y  -h  C  F"  x  -+-  cy 
'+■  D  F"  X -r- e y  &c.  I'int^grale  d'une  equation  aux  diffe- 
rences partielles  oii  les  F  dedgnent  des  fonftions  arbi- 
traires  &  oil  A,  B  ,  C,  D,  &c.  font  des  fonftions  de j, 
Je  fuppofe  que  lorfque  ^=j\yz=:f':  que  lorfque  {  =^, 
y=zg';  que  lorfque  ^  =  h,y  =  /ii  que  lorfque  {  =  /, 
y  =  1' ,  &  ainfi  de  fiiue.  On  aura  done  pour  determiner 
les  fontlions ,  les  equations^ 

/-  AFx'^af  -  B  F  x-^yf-  C  F'  x-^cf  -  D  P"JT7f  ±  df-  =  o 


h-A'Fx-^uh'-B'Fx-i-ih'  -C'F'x-t-ch'-D'P"x->-ek'±&:=o 


g-A"¥x-^ag'-'B"fx-i-l>g'  -C"F"  x-^Cg'-D"F"x^eg-±&=.o 


l-A"Fx-^*r-B"'V'x-*'bl'-C"'  F"x-^aD"'F"'  x-*-e/'±&:=:o 

&  ainfi  de  fuite  ;  les  A  A'  &  BB'  Sec.  etant   ce   que  de- 
viennent  les  coefficiens  en  y  ,  lorfque  y  ell  ^gal  a.  /',  ou 

Mdintenant  pour  avoir  chaque  fon£lion  arbitraire  ,  on 
mettra  dans  routes  les  equations ,  hors  la  premiere  ,  au 
lieu  dex,x-+-p,x-i-<j,x-hr,  Sec.  ,  &  on  deter- 
minerap,  y,  r  par  la  condition  que  af'  =  p-i-ah'=  q 
-k- ii  g  =  r  •+•  a  l\  &  ainfi  de  fuite.  Par  ce  moyen  ,  C\  le 
nombre  des  fonftions  ell  n  ,  on  aura  apres  avoir  elimine 
F,  n — I  equations  qui  contiendront  chacune  deux  fon- 
£lions  de  la  forme  F  x ,  F  x  ■+■  P  pour  la  premiere  equa- 
tion ,  Fx,  F  X -h  P'  pour' la  fecoiid.' ,  F x' ,  F x -+- P" 
pour  la  tKJilieme  ,  6c  ainli  de  fuite  avec  deux  fonftions  F' , 
deux  fonitions  F" ,  &c.  Je  prends  les  deux  premieres 
equations  ,  6c  fai ,  tn  ir.eiiant  dans  la  premiere  .v  -i-  P'  au 
Mifc.  Tour.  Tom.  V.  h 


lieu  de  X  ,  &  dans  la  feconde  x  ->-  P  su  lieu  de  x ,  quatre 
equations  qui  coiitiennent  P  x ,  Fx-4-P,  I'  x  -t-  P\  Fx 
^  p  .^  P' ,,  done  je  puis   eliminer    F  x  :    j'aurai    mainte- 
nant  n — x   equations    qui   contiendront    ch^cune    F"x ,    & 
quatre  fonftions  I'emblables  de  x ,     plus    quatre  conftantes 
ditlerentes  ,  &  de  nseme  F"'x  -i-  Q    8i  quatre  autres  fon- 
ftions  femblables  de  x  ,  plus  quatre  conltantes  differentes} 
On  eiiminera  F"  par  une  methode  femblable  ,  &  aind  de 
fuite  i  en  effet  quelque  loit  le  nombre    des  fonclions    F" ., 
pourvu  qu'on  ait  deux  equatiotis ,    on  parviendra  loujours 
a  eliminer ,    parce  que  lorfqu'on  aura  chaile  une    de    ces 
fonftions  F"  x  -t-  Q;    par    exemple  ,    on  n'aura  qu'a  met- 
tre  X  -+-Q_  au  lieu  de  x  dans  i'equation  d'oii    on  a  chaf- 
fe  F"  X  -^  Q  ,  on  aura  une  equation  contenant  F"  x  -i-  Q^ 
P"  X  -i-  Q^  Q,  F"  X  -^  Q  -+-  Q^,  Sec.  ,    &  mettant  dans 
celle-ci  pour  F"  x  -i-Q(a.  valeur  tiree  d'une  des  deux  pro- 
polees  ,  on  aura  une  equation  en  F"  x  -^  Q^  ,  F"  x  -+■  Q ' , 
pn  x-t-Q'^q',  P  ,v  -T-  z  (2' ,  /■"  X  -4-  1  <2"  ,    &c.  done 
on  aura  deux  equations  qui  ne  contiendront  plus  F"  x  -i-  Q^j 
oa  chaflera  de  meme  F'^  x  -h  Q  ,  &  F"  x  -t-  i  q ,  &c  ainfl 
de  fuite.  Cela  pole  ,  foit  une  equation  definitive  de  la  for- 
me J,Fx-i'£,Fx-t-A'~t-CFx-hA''-^D,Fx-^^''' 
au  nombre  de  ot  ,  &  qu'on  faiTe    Fx  =  N^e^' ,    on    aura 
i'equation. 

.  r>       /"A  I        _    /"An         „    /Aiij   ~ 

&  il  ell  clair  que  Ton  aura  Fx  egal  a  une  ferie  d'autant 
de  termes  en  Ne^'  ,  que  f  peut  avoir  de  valeurs. 

Examinant  cette  Equation  ,  on  voit  que  (i  les  A  font 
tous  commenfurables  entr'eux  ,  I'equation  eft  comme  celles 
aux  differences  finies  ordinaires  }  mais  fi  les  A  ne  font  pas 
commenfurables,  alors  on  obfervera  i.°  que  ii  ot  eft  le 
nombre  des  fonftions  ,  il  pourra  arriver  que  /  ait  m — i 
yaleurs  reelles.  En  effet ,  fuppofant  a  fm-~i   valeurs   reel- 


1 1 

les  h  volonte  ,  &  fubftitirant ,  on  aura  les  ^  ,  B,  C,  &c. 

en  fi  ou  peut  de  meme  avoir  f=  -^fV^^  rant  de  fois 

que   contient  d'  unires.    En  effet ,    en    mettant    les 

imaginaires  fous  la  forme  a  -i-  b  v^ — i  ,  la  premiere  fuppo- 
fition  donney^  -*-B  v^~r=  ojla  feconde  J — B  V — i  =  o; 
ce  qui  ne  fait  que  deux  conditions  yd  Sc  B  =  o.  comme 
c'ert  reellement  ef  qui  entre  dans  requation  ci-deflus  ,  C 
etant  la  valeur  de  e^ ,  on  aura  d'autres  valeurs  de  f  en 
aufli  grand  nombre  que  ef  —  C=o  a  de  racines ,  c'eft- 
a-dire  ,  un  nombre  inhni,  Mais  il  ne  fuit  p;is  de  la  qu'il 
y  air  ici  un  nombre  infini  de  termes  correipondans  a  cha- 
que  valeur  de  e^.  En  effet ,  la  fuite  de  routes  ces  valeurs 
^'e  /,  ell  f,f-hy,  f-h  y\  f-^y",  &c.  y  ,  y  y  ,  &c. 
^tant  des  quantites  telles  que  £>•  =  eJ-'  .  .  .  .  =  i  j  mais 
dans  le  cas  de  I'equation  prelente  ,  en  mettant  ces  valeurs 
pour/,  ou  auroit  A  ,  ■+■  B  tA  e?^  -t-  C  i/^'  e>^« ,  (S-c.  =  o  , 
equation  qui  dtit  avoir  lieu  en  meme  temps  que  y^, 
-i-  B  J^  +■  C tf^^  &c.  ce  qui  demande  que  ey^  -+■  e>^* 
foient  egaux  a  I'unite.  Or  quoique  £>•  =  i  ,  quelque  valeurs 
de  y  qu'on  eut  prife,  cependant  lorfque  A,  Ai  ne  font 
pas  des  nombres  entiers,  y=o  e(l  la  feule  des  valeurs 
de  y ,  pour  laquelle  ey^  Ibit  egal  a  I'umte ;  or  ,  ici ,  les 
quantites  A  ,  A'  etant  incommenfurables  entr'elles  ,  on  voit 
que  y  =  o  ell  la  feule  valeur  qui  convienne  au  probleme. 


xa 


ADDIxfoN  AU  MEMOIRE 

Sur  les  folutions  particulieres    des  equations 
dlff'erenuelles. 

Par  M.  le  Marquis  de  CONDORCET. 

XVloEuIer  a  remarque  le  premier  qu'il  y  avoit  des  equa- 
tions qui  fatisfaifaicnt  a  une  equation  differentielle  fans 
cependant  etre  comprifes  dans  fon  integrale  generale.  Void 
quelques  reflexions  iiir  la  caufe  de  ce  paradoxe ,  c'eft  ainfi 
que  M.  EuLer  1'  a  apelle. 

1  Soit  AdZ-+-BZ'"=o  une  equation  differentielle, 
il  eft  clair  que  Z  =  o  y  fatisfera  ,  mais  I'equation  fous 
cette  forme  eft  egale  a  la  differentielle  exafte  de  1'  inte- 
grale multipliee  par  un  fafteur  ,  done  il  pent  arriver  que 
Z  =  o  fatisfaffe  a  la  propofee  fans  fatisfaire  a  la  diffe- 
rentielle exafte  de  fon  integrale ,  il  fuffit  pour  cela  qu'el- 
le  fatisfaffe  au  facleur ,  &  que  Z  y  foit  a  une  puiffance 
pofitive  plus  grande  que  la  plus  petite  puiffance  de  Z  dans 
le  denominateur  de  la  differentielle  exafte. 

2  Une  equation  integrale  ecant  fuppofee  Q-f-C=& 
ou  C  eft  une  conftante  arbitraire  les  equations  ,  qui  ren- 
dent  Q  =  o  ,  ou  Q  =  00  fatisfont  egalement  a  Q  -+-  C=  o 
les  unes  repondant  a  I' hypothefe  de  C=  o  &  les  autres 
a  celle  de  C  =  —  oo  done  pour  que  la  foluTion  2  =  o 
fatisfaffe  a  la  propofee  fans  fatisfaire  a  1'  integrale  ,  il  faut 
que  non  feulement  elle  multiplie  le  fafteur  fans  fatisfaire 
a  la  differentielle  exade  ,  mais  qu'elle  ne  puiffe  pas  rendre 
I'iniegrale  infinie. 

Z" 

3  Soit—   le   fafteur  ,  r  integrale  fera   S  AFZ-"  dZ 

^B  Z"^"  &  elle   eft  egale    ^  SAVZ-^dZ    prife    en 


1 5 

regardant  Z  fealement  come  variable  plus  au  terme  in- 
dependant  de  Z  il  faudra  done  ici  que  5^^  ?^Z~"  i/Z  pri- 
i'e  par  rapport  a  Z  ne  foit  point  infini  lorfque  Z  =  o  done 
(  come  M.  Euler  I'a  enfeigne  dans  le  chapitre  de  fon  cal- 
cul  integral  ou  il  traite  de  ces  foiutions  particulieres ) 
il  faut  que  n  foit  entre  o  &  I'unite  ,  mais  il  faut  aufli  que 
B  Z"^"  ait  un  terme  fans  Z  fans  quoi  Z  fe  trouveroit  a 
tons  les  termes  de  1'  integrale  ,  ce  qui  elt  centre  I'hypo- 
thefe  done  m  =  n  done  m  eft  entre  zero  &  1'  unite. 

4  Done  fi  on  a  une  equation  differentielle  d'un  ordrc 
quelconque  elle  ne  pourra  avoir  des  foiutions  particulieres 
non  comprifes  dans  1'  integrale ,  a  moins  qu'elle  ne  renfer- 

me  des  radicaux  v^  Z  ,  &  que  ces  radicaux  ne  s'  y  trouvent 

pas  multiplies  a  tous  les  termes  par  des  puiflances  de  Zr 
&  les  radicaux  qui  feront  dans  le  cas  Sc  qui  refolveront 
la  propofee  doneront  les  foiutions  particulieres. 


5  Soit  I'equation  A  d  Z  -hB  i{x-hCdjZ"'  =  o  a  la- 
quelle  Z  =  o  fatisfait  &  que  cette  Equation  n'ait  pas  d'in- 
tegrale  generale,  il  eft  clair  que  routes  les  fois  que  m  n'  eft 
pas  entre  zero  &  I'unite  Z  =  o  fatisfait  a  I'equation  de 
condition  connue  pour  1'  integrabilite  de  ces  equations ,  & 
que  lorfque  m  eft  entre  zero  &  I'unite  Z  =  o  n'  y  fa- 
tisfait pas  J  done  on  pourra  avoir  dans  ce  cas  pour  foiu- 
tions particulieres  de  la  propofee  non  feulement  requation 
de  condition  ,  mais  encore  les  quantites  qui  fe  trouveror.t 
dans  la  propofee  fous  le  figne  radical  avec  la  meme  con- 
dition que  ci-deffus  ,  Sc  il  fera  facile  d'appliquei-  le  meme 
raifonement  aux  equations  de  tous  les  ordres  pour  lefquel- 
les  j'ai  donne  les  equations  de  condition. 

6  M.  Euler  a  remarque  dans  les  memoires  de  Peterf^ 
bourg  oil  il  recherche  la  courbe  que  decrit  un  point  at- 
tire par  deux  centres  fixes  que   ces  foiutions    particulieres 


non  comprifes  dans  requatlon  gin^rale  ne  pouvaient  Stre 
emploiees  a  la  folution  des  prob'eTies.  Aiiifi  lorfque  I'on  a 
fa  par  des  fubftitutions  ou  autrement  qu'une  certa'me  equation 
fatisfait  a  une  equation  difFerentielle ,  il  faut  avant  de  I'em- 
ployer  ,  examiner  fi  elle  n'ett  pas  dans  le  cas  de  nos  folu- 
tions  particulieres  (C  •  a  d) ,  fi  la  foiiftion  egalee  a  zero 
dans  cette  equation  ne  fe  trouve  pas  dans  la  propofee  fous 
le  figne  radical  avec  la  condition  ci-deffus. 

7  La  caufe  de  ce  nouveau  paradoxe  remarque  encore 
par  M.  Euler  fe  peut  decouvnr  en  examinant  la  maniere 
dont  pour  chaqae  problentie  on  parvient  a  une  equation 
differentielle  ;  en  effet  on  verra  qu'elles  font  formees  par 
la  comparaifon  des  valeurs  fuccelRves  des  j  ,  des  x,  &  en 
forte  que  (i  au  lieu  de  j^  -H  dy  on  mettait  y  ,  &  x  au 
lieu  de  x  -^  d  x    elles  doivent  demeurer  ideniiques ,  or  il 


eft  aife  de  voir  que  fi  dans  AdZ~^VZBz:^AZ  -f-^Z 
—  A  Z  -¥■  V~zB  on  met  Z  au  lieu  de  Z  ->n  d  Z  elle  ne 
devient  pas  identique. 

8  On  voir  que  dans  le  cas  de  ^  i  Z  -H  5  Z  =  o  la 
meme  fubftitution  ne  rend  pas  la  propofee  identique,  audi 
Z  =  o  n'eft  pas  meme  dans  ce  cas  une  veritable  folution 
de  la  propofee  ,  elle  ne  peut  T^tre  que  dans  le  cas  par- 
licalier  oii  elle  fe  trouve  etre  la  ra^me  que  ce  que  devient 
alors  la  folution  generale.  En  effet  foit  une  equation 
ay-^hx^  —  ^  c^  =  o  ,  a  etant  arbitraire,  on  ne  peut  pas 
dire  que  I'equation  x  =  C  foit  une  folution  de  cette  equa- 
tion ,  puifqu'il  y  a  une  infinite  de    cas  ou  elle    ne  relbut 

pas ,  &  Il  on  avoit  eu  1  equation =  o  on  n  au- 

rait  pas  pu  dire  que  x  =  b  refout  le  probleme  qui  a  con* 
du  t  a  cette  equation  par  ce  qu'il  y  a  u  le  infinite  de  cas 
du  probleme  qu'elle  ne  peut  leioudre.  Aind  les  lolutions 
coattawes  dans  I'integrale  tefolvent    non  pas  le   probleme 


a 


»5 

propofe,  mais  quelques  cas  de  ce   probl^me ,  &    les  autres 

fblutions  de  1'  equation  differentielle    non    contenues    dans 
rintegrale  n'en   refolvent  aucun. 

lo  Dans  le  cas  des  equations  abfurdes  on  trouvera  que 
fi  (  ces  equations  etant  entre  x  ,  y  Si  {  )  on  cherche 
les  valeurs  de  i  repondant  a.  y  =  X  ^  ^eft  une  fonftion 
de  X.  Les  folutions  de  la  propofee  contenues  dans  I'equa- 
tion  de  condition  deviendront  en  y  mettant  Xpour  j)^  des 
folutions  contenues  dans  1'  integrale  de  I'equation  en  ^  6c 
X.  Au  lieu  que  celles  qui  ne  ieront  pas  contenues  dans 
I'equation  de  condition  ne  donneront  pas  non  plus  de  fo- 
lutions contenues  dans  1'  integrale  de  I'equation  en  ^  &  ,v. 

Je  ne  me  fuis  point  etendu  fur  ce  fujet  par  ce  que  je 
f^ai  que  M,  de  la  Place  de  TAcademie  des  Sciences  de 
Paris  en  a  tait  Fobjet  d'un  travail  confiderable  ,  Ion  ouvra- 
ge  qu'il  a  eu  la  bonte  de  me  communiquer  en  manufcrit, 
il  y  a  plus  d'un  an  ,  fera  imprime  dans  les  meraoires  de 
r  Academic  des  Sciences  de  Paris  pour  Tannee   1773. 


M  fe  M  O  I  R  E 

Sur  la  determination  des  fonclions   arbitraires 

dans  les  integrales  de  quelques  equations 

aux  differences  panielles. 

Par  M/  Monge. 


Li'  integrale  d'une  Aquation  aux  differences  ordinaires  doit, 
comme  on  fait ,  renfermer ,  pour  etre  complete  ,  autant 
de  coftantes  arbitraires  que  le  degre  de  la  differentielle 
contenoit  d'unites  avant  1'  integration ,  &  ces  conftantes 
doivent  etre  telles  que  1'  integrale  fatisfafle  a  autant  de 
conditions  particulieies ,  qui  font  ordinairement  que  pour 
certaines  valeurs  donnees  de  x  ,  certaines  fonftions  de  x 
deviennent  egales  a  des  quantites  donnees  ;  &  en  fuppofant 
la  perfection  de  1'  analyfe  ,  la  determination  de  ces  con- 
ftantes n'ed  foumife  a  aucune  difficuite.  De  meme  I'lnte- 
grale  complete  d'une  equation  aux  differences  partielles 
renferme  autant  de  fonftions  arbitraires  des  variables  de- 
terminees  que  le  degre  de  la  differentielle  contenoit  d'uni- 
tes ,  &  ces  fondlions  doivent  etre  de  telle  forme  que  I'ln- 
tegrale  fatisfaffe  a  un  meme  nombre  de  conditions  parti- 
culieres  ,  qui  font  toujours  qua  ,  pour  certaines  equations 
donnees  entre  x  &i  y  ^  I'lntegrale  fe  transforme  en  d'autres 
equations  donnees  entre  x  ik  ^. 

Par  exemple  ,  {  etant  une  quantite  fonftion  de  x  & 
de  J' ,  S  le  caratlere  de  fa  diffrentieile  en  ne  fi'fant  va- 
rier  que  x  S>C  d  ceiui  de  fa  differentielle    par  raport  a  y, 

I'integrale  {  =  (p   {ax  —  y  )  de  ['equation  -; — f-  a  — —  =  o, 

appartient  a  autant  de  furfaces  courbes  diltiu^es ,  oc  dans 

cha- 


'7 
chacune  des  quelles  on  aura  egalement  - — t-  a  — —  =  o  , 

que  (p ,  peut  avoir  de  formes  differentes ,  &  fi  I'on  veut 
avoir  Tequation  de  celle  de  ces  furfaces  qui  pafle  par  une 
courbe  a  double  courbure  donnee  ,  il  faut  determifier  quel- 
le forme  doit  avoir  la  fonftion  cp  pour  qu'en  fefaut  j/  =  A  .  x, 
on  ait  J'  =  \|/  •  AT :  ces  deux  dernieres  equations  etant  celles 
des  projeftioiis  de  la  courbe  donnee  fur  deux  des  plans 
aux  quels  eft  rapportee  I'equation  de  la  furface. 

Pareillement  ^  =  (p  (  a  x  -y  )  -+-  x  (p'  (  a  x  ~y  )  ,  inte- 

,        ,      fiz         ra^dz  d'ddz  n    i,  , 

erale    de  — — ^  h ■ — - — H  =  0    eft  1  equation 

^  dx^  dxdy  dy^  ^ 

d'autant  de  furfaces  differentes  qu'  il  y  a  d'unites  dans  le 
nombre  des  combinaifons  deux  a  deux  dont  font  fufceptibles 
toutes  les  formes  que  peuvent  avoir  les  fonftions  ^  (&  (p';  & 
Ton  ne  peut  indiquer  une  de  ces  furfaces  qu'en  affignant ,  par 
exemple  ,  deux  courbes  a  double  courbure  par  lefquelles 
elle  doive  paffer :  ou  plus  generalement ,  qu'en  donnant 
deux  conditions  diftinftes  aux  quelles  il  faille  que  I'equa- 
tion fatisfafle  en  meme  terns.  II  en  eft  de  meme  des  equa- 
tions qui  contiennent  un  plus  grand  nombre  de  fonftions 
arbitraires. 

De  plus  il  arrive  fouvent ,  furtout  lorfque  les  fonfiions 
arbitraires  font  affeftees  de  fafteurs ,  que  la  determination 
des  formes  des  fonftions  introduife  dans  I'integrale  des  con- 
ftantes  arbitraires  que  Ton  ne  peut  determiner  qu'en  con- 
noiffant  les  valeurs  de  {  qui  correfpondent  a  des  valeurs 
donnees  de  x  &  de  ^  ,  ou  ,  ce  qui  revient  au  meme ,  qu' 
en  affignant  dans  I'efpace  un  meme  nombre  de  points  par 
lefquels  la  furface  doive  paffer.  Jufqu'ici  j'ai  fuppo(e  que 
les  conditions  ,  aux  quelles  devoit  fatisfaire  1'  integrate  , 
^toient  de  nature  a  etre  exprimees  analytiquement ,  mais 
fi  ces  conditions  etoient  que  la  furface  dut  pailer  par  des 
courbes  difcontinues  ou  tracees  au  hazard  ,  les  formes  des 
iWi/c.  Taur.  Tom.  V.  c 


t8 

fonftlons  ne  feroient  plus  analytiques  &  feroient  par  con- 
fequent  inaflignables  neantmoins ,  comme  je  I'ai  fait  voir 
dans  un  memoire  precedent,  I'lntdgraie  n'en  feroit  pas 
moins  conftruftible. 

Ainfi  lors  qu'on  a  integre  une  equation  en  differences 
partielles  ,  I'integrale  qui  donne  en  quantites  finies  la  va- 
ieur  de  {  ,  eft  vague  ,  par  ce  qu'elle  renterme  des  fon- 
ftions  aux  quelles  on  peut  donner  toutes  fortes  de  for- 
mes ,  analytiques  ou  difcontinues  ,  il  faut  done  determiner 
quelles  doivent  etre  les  formes  chacune  en  particulier , 
pour  que  I'integrale  rempJiffe  les  conditions  particulieres 
de  la  quertion ,  lorfque  ces  conditions  font  analytiques  , 
ou   conftruue     Tintegrale   lors  qu'elles   font  difcontinues. 

Cette  operation  ell  generalement  fujette  a  des  grandes 
difficulres ,  dont  les  celebres  geometres  MM.  D'Alembert, 
Eu'.er,  &  La-Grange  n'ont  encore  leve  qu'un  tres-petit 
nombre.  Je  ne  crois  pas  meme  que  nous  foions  bientot 
en  etat  de  les  lever  toutes ;  neantmoins  ,  perfuade  que 
dans  les  matieres  nouvelles  les  moindres  progrez  ne  font 
pas  a  negliger  ,  &  qu'une  idee  fterile  entre  les  mains  d'ua 
homme  ordinaire  peut  devenir  tres-profitable  entre  celles 
d'un  habile  geometre  ,  je  vais  faire  part  a  I'Academie  du 
refuliai  de  mes  recherches  fur  cet  objet ;  trop  heureux  fi 
ce  memoire  pouvoit  etre  1'  occaJGon  de  quelques  decouver- 
les  utiles  dans  I'analyfe  ou  dans  la  geometric. 

1.°  Quelque  foit  la  condition  a  laquelle  doive  fatisfaire 
une  imegraie ,  je  donne  toujours  la  valeur  deierminee  de 
^  lorfqu'eile  ne  contient  ciu'une  feule  foiitl:ion  arburaire, 
ou  j'en  donne  la  conitruftion  iorlque  la  condition  n'elt 
pas  analytique.  z."  S'll  y  a  plus  d'une  fonftion  dans  I'equa- 
tion  ,  je  ne  les  determine  &  ne  les  conlhuis  que  dans  cer- 
tains cas ,  c'ett-a-dire ,  que  pour  certaines  conditions ,  qui 
font  ccpendant  aifci  etendues  ,  &  que  I'on  pt  ur  (uppoler 
continues  ou  diiconiinues.    Aiuli  chaque  probieme  dans  le 


19 

memoire  a  d'abord  une  folutlon  analytlque ,    &  un6  cori- 

ftru6Hon  appliquable  aux  fonftions  dKcontinues ,  &  par  ce 
que  cette  conftruftion  eft  independante  de  la  folution  pre- 
cedente  ,  j'en  deduis  une  feconde  folution  analytique ,  qui 
donne  toujours  le  meme  refultat  que  la  premiere  ,  par  con- 
fequent  chaque  probleme  eft  une  nouvelle  preuve  de  la 
poffibilite  de  conftruire  les  fondions  arbitraires  difcontinues. 
Pour  donner  plus  de  generalite  aux  foiutions  ,  je  fuppo- 
fe  la  perfection  de  I'analyfe ,  c'eft-a-dire  qu'etant  donnee 
une  equation  quelconque  en  x  Sc  j  on  puiffe  toujours  en 
tirer  la  valeur  de  jc  en  j' ,  ou  celle  de  jy'  en  x  ,  ou  pour 
mieux  dire  ,  que  quelque  foit  la  forme  connue  de  la  fon- 
ftion  \|/ ,  on  puiffe  toujours  tirer  la  valeur  de  x  en  y  de 
I'equation  -^  x  =y  ^  &  que  les  fonftions  arbitraires  ne 
foient  envelopees  fous  aucun  figne  d'integration. 

PROBLEMEI 

Trouver  quelle  doit  ^tre  la  forme  de  la  fonftion  (p  dans 
Teqaation  ^  =  <p  ^,  pour  qu'en  fefant  jy  =  A  •  x  on  ait 
^  =  4^  .  j:  J  y  etant  une  quantite  quelconque  donnee  en  x 
5c  J  f  &  les  formes  des  fonftions  A  &  -4^  etant  connues. 
N.B.  J'ai  deja  donne  la  folution  de  ce  probleme  dans  un 
memoire  qui  a  precede  cclui-ci ,  mais  pour  fuivre  un  cer- 
tain ordre ,  je  fuis  oblige  de  le  remetre  ici ,  ou  i'enonce 
eft  d'aillcurs  plus  general. 

Solution, 

Soit  mife  dans  F"  la  valeur  de  j  =  A  x,  &  foit  V  la 
fonftion  de  x  que  donne  cette  fubftitution ,  il  eft  evident 
que  Ton  aura  par  la  condition  de  la  queftion  4^  •  x  =  (p  y'. 
Soit  fait  maintenant  V  =  11 ,  d'ou  Ton  tirera  la  valeur  de 
X  en  «,  que  je  reprefente  par/-  m,    &    foit    mife   cette 

c  z 


valeur  dans  4^  •  *•  =  <p  J^' ,  on  aura  SP"  •  (/•  u)  =  <p  u.  Or' 
on  connoit  les  formes  dea  fonftions  •^  ^  f  y  on  connoirra 
par  confeqiient  celle  de  la  fondion  <p  .  Done  ^  r=  >^  (fF") 
fera  I'equation  demandee.  C.  Q.  F.  T. 

Exemple. 

Soit  propofe  de  trouver  la  forme  de  la  fonftion  ^,  pour 
qu'en  fefant  ^  =  to  jf ,    dans  I'equation  {- =<p  (x' -t-j^^ ) , 

on  ait  f  =  — . 

^  a 

II  eft  clair  que  fi  Ton  met  a  la  place  de  y  dans  cette 

equation  fa  valeur  m  jc,  elle  deviendra  —  =  (p  (  :«*  -t-  /w*  x*  )  , 
puis  qu'alors  la  valeur  de  i  doit  etre  =  —  .  Soit  fait  maiu' 


tenant  x*  -»-  /ra*  x'  =  k  ,  ce  qui  donne  x^  =  ,  & 

foit  fubftituee  cette  valeur  de  x  dans  la  derniere  equation, 

on   aura ;—  =  «  k  ,  ce  qui  fera  connoitre  la  for- 

(^m^->-  i)a  ^       '  ^ 

me  de  la  fonftion  (p ;  d'oii  il  fuit  que  I'equation   qui    (a- 

tisfera  a  la  queftion  (era   ?  = — - . 

^  "^  (w'  -(-  I )  <* 

En  efFet  fi  Ton  met  a  la  place  de  j  dans  cette   equa- 

X* 

tion  fa  valeur  ot  *  ,  on  irouve  :^  =  ~  , 

Remarque  I. 

L'equation  f  ss=  ^  (*'-+■  jy^  eft  celle    de  toutes  les 
furfaces  des  revolutions ,  I'origine  des  coordonnees  reftan- 

x'  •*-  y^ 

eulaires  etant  dans  i'  axe  ,  ainli  r  = — -  eft  I'^qua- 


2,1 


tlon  de  la  Turface  qu*engendreroit  la  courbe  dont  les  pro- 

jeftions  ont  pour  equation    {  =  —  Scy  =  m  x^en  tournant 

autour  d'un  axe  parallele  aux  ^  &  mene  par  Torigine  & 
parce  que  cette  courbe  eft  une  parabole  dont  le  plan  palTe 

par  I'axe,  il  s'enfuit  que  I'equation  7  = -^^ ^eft  celle 

de  la  furface  d'un  paraboloide.  J'ai  choifi  cet  exemple  par- 
ceque  la  furface  en  eft  connue  ,  Sc  que  les  operations  en 
font  fimples. 

Remarque  II 

L'  operation  precedente  fuppofe  que  les  fonftions  A  &  'f- 
font  analytiques ,  c'eft-a-dire  foumifes  a  la  loi  de  conti- 
nuite ,  mais  fijy=A-x&{=  "f"-x  reprefentoient 
les  equations  des  courbes  difcontinues  &  tracees  au  hazard, 
la  forme  de  la  fonftion  <p  feroit  inaffignable  ,  on  pourroit 
neantmoins  la  conllruire ,  comrae  on  va  le  voir ,  ou , 
ce  qui  revient  au  m^me ,  conlf  ruire  la  valeur  ,  que  donne 
alors  pour  j  I'equation  ^  =  <p  y  ^  x  dc  y  etant  donnes 
a  volonte. 

Conflruction. 

Soient  CAD  le  plan  des  jc  &  j' ,  que  pour  la  commo- pianchc 
dit^  je  fuppoferai  toujours  horifontal  dans  la  fuite  ,  B  A  C  ^  , 
celui  des  x  &  { ,  s  m  S  la  courbe  a  double  courbure  , 
difcontinue  ,  ou  tracee  au  hazard  &  dont  les  projections 
r  q  R  &  s  m  S  ont  pour  fytnboles  d'equations  y  =  /^  ■  x 
&  ^■=-^  x  ;  foient  enfin  A  P  &  P  Q  ks  deux  coordon- 
nees  x  &c  y  pnfes  a  volonte  ,  pour  lefquelles  il  s'agit  de 
trouver  la  verticale  QAf={.  Cela  pofe  par  le  point  Q 
on  conftruira  fur  le  plan  horifontal  la  courbe  7"<2^dont 


it 

I'equation  eft  Vssb  ,  b  etant  une  indetermlnee  telle  que 
la  courbe  paffe  par  le  point  Q ;  elle  coupera  la  courbe 
r  q  R  en  un  point  q  par  lequei  on  eievera  la  verticale  q  m, 
qu'on  prolongera  juiqu'  a  ce  qu'elle  rencontre  quelque  part 
la  courbe  s  m  S  en  un  point  m,  on  fera  QM=:  q  m  ^Sc 
le  point  M  fera  dans  la  furface  demandee.  Car  fi  dans 
I'equation  ^z=<pK  on  fait  V=b,  on  a  ^  =  conft. 
c'elt-a-dire  que  routes  les  verticales  elevees  par  les  points 
de  la  courbe  T Q^q  doivent  rencontrer  la  furface  a  la 
meme  hauteur ;  mais  cette  conftante  doit  etre  telle  que 
pour  le  point  q  Ton  ait  :^=.  q  m ,  done  on  doit  avoir 
qMz=qm.  C.Q.F.T  &  D. 

Si  par  la  courbe  T Q^q  on  imagine  une  furface  cylin- 
drique  verticale  ,  elle  coupera  la  furface  a  conftruire  (  fup- 
polee  pour  un  inftant  conllruite )  en  une  courbe  Af/7z, 
qui  fera  horifontale,  qui  paflera  par  le  point  demande  M 
&  dont  la  projeftion  verticale  fera  une  droite  horifonta- 
le  M  m  •  Done  ayant  abaifle  q  p  perpendiculaire  aux  Xy 
&  eleve  la  verticale  p  m  ,  le  point  m  ,  ou  elle  coupera 
la  courbe  s  m'  S' ,  fera  la  projeftion  verticale  du  point  m, 
&  i'horifontale  m  M  la  projeftion  de  la  courbe  M  m  ;  par 
confequent  (\  Ton  eleve  la  verticale  P  M',  le  point  M' 
fera  celle  du  point  M,  &  Ton  aura  PM  =  QM.  Cette 
methode  eft  plus  commode ,  par  ce  qu'elle  n'exige  pas 
qu'on  dieve  la  verticale  q  m  dans  I'efpace. 

Cette  conftruftion  eft  generale ,  mais  dans  un  grand 
nombre  de  cas  il  peut  etre  plus  (imple  de  lui  fubftituer 
un  mouvement  continu  en  voici  des  exemples. 

I."  Si  Ton  a  V  =  ax — y,  on  engendrera  la  furface 
en  fefant  glifTer  une  droite  horifontale  parallelement  a  elle 
meme ,  fur  la  courbe  s  m  S ,  par  ce  que  dans  ce  cas  1^ 
la  ligne  T Qq ^  pour  quelque  point  Q  que  ce  foit  ,  eft 
une  droite  qui  fait  un  angle  conftant  avec  I'axe  A  P, 


i."  Si  Ton  a  y^x^-^-y* ,  la  furface  fe  forme  par  la 
revolution  de  la  courbe  s  mS  au  tour  de  la  verticale  A  B 
prife  pour  axe,  car  alors  la  courbe  T'Q^  pour  quelque 
point  Q  que  ce  foit ,  ert  la  circonftrence  d'un  cercle  dont 
le  centre  eft  au  point  A  ;  c'eft  ce  que  j'ai  deja  demoa- 
tr^  dans  le  memoire  precedent, 

AUTRE  SOLUTION  DU  MEME  PROBLEME 

Tirce  de  la  conJlruSion  pre  ce  dent  e. 

Ooient  A  P  ■=  x'  &  P  Q^=y  ^  il  eft  Evident  que  la  que- 
ftion  conlifte  a  trouver  une  valeur  de  ^  en  x'  &  y'  qui 
fatisfafle  aux  conditions.  Pour  cela  foit  fait  V=  b  ,  SiC  foit 
determinee  la  conftante  b  de  telle  maniere  qu'en  fefant 
dans  cetre  equation  x  =  x' ,  on  ait^=^'j  foit  elimi- 
nee  y  des  deux  equations  V  ■=b  8>c  y  =  A  •  x  ,  cc  qui 
donnera  une  valeur  de  x  en  :^  ,  y'  &  conltantes  j  foit 
mife  cette  valeur  a  fa  place  dans  la  quantite  "f"  •  x  foit 
enfin  K  ce  qu'elle  devient  alors ,  1  =  K  fera  i'equation 
demandee. 

Exemple. 

Pour  faire  voir  I'accord  de  ces  deux  folution* ,    je  vais 
appliquer  celle-ci  au  m^me   exemple    qu-;  la  precedente  , 

ou  Ton  a  V=  x'-+-y%  ^-  x  =  m  x  &  -^  •  x  c=  — . 

II  eft  evident  qu'afin  que  dans  I'equation  x*-»-j'*  =  ^, 

on  illy  =y  en  felant  x  =  x\  Too  doit  avoir  b  =  x'^  •+■  yS 

foit  done  eliminee  J'  des  deux  equations  x*  H-^*  =  x'^  -*-y* 

Sc  y  =  m  X  ,    on  aura  x*  -+-  /«'   x'  =  x'^  ■+■  y'"- ,  gu 

■*■'*  ""^  y '     ...  .  ** 

X*  =  ^—    foit  mife  cette  valeur  a  fi  place    dans    — . 


i4 

Ton  aura    — r — - — »  &  par  confdquent  pour  Equation  de- 

mandee    r  =  —7 rr . 

••  a{i  •+■  »»  ) 

qui  eft  la  meme  que  celle  que  nous  avons  deja  trouvee.   - 

PROBLEME    II 

Determiner  la  forme  que  doit  avoir  la  fonftion  <p,  pour 
qu'en  fefant  dans  I'equation  :[  =  M-h  N  (pK  y  =  ^  •  x  y 
on  ait  {  =  -^  •  X  }  les  quantites  M ,  N  Sc  ^etant  donnees 
d'  une  maniere  quelconque  en  x  8c  y. 

Solution 

Soient  M' ,  N'  &  y  les  fonftions  de  x  que  Ton  a  en 
fubftituant  a  la  place  de  j  fa  valeur  A  •  x  dans  les  quan- 
tites My  N  &c  V;  il  eft  evident  que  Von  aura  par  la 
condition  -V  •  x  =i  M'  ■+•  N'  (pV^.  Soit  fait  a6l:uellement 
y  =zuy  d'  oil  Ton  tirera  la  valeur  de  x  en  u,  &  foit 
X  =fu  cette  valeur ,  qui  raife  a  fa  place  dans  I'equation 
precedente  donnera 

•4^  ■  (/■  K  )  =  M" -4- iV'>  w , 
les  quantites  M"  &  N"  etant  ce  que  deviennent  M  &  N' 
en  y  metiant /•  «  a  la  place  de  ;c  on  aura  par  confequent 
•*•  ■{f-u)-M" 

<P"  =  -j^, 

Or  on  connoit  les  formes  des  fonftions  -^  Sc  f,  &  la 
maniere  dont  M"  &  N"  font  compofees  de  u ,  done  on 
connoitra  la  forme  de  la  fonftion  (p.         C.  Q.  F.  T. 

Exemple 

Soit  propofe  de  determiner  la  nature  de  la  fonftion  <p , 
pour    que   I'equation  j  s=;  _y"  a;"  «+■  x''  _y'  <p  {ax  —y  ) 

don 


donne  ^=sh  x'  en  fe(arit  y  =:c  x. 

Soic  mife  a  la  place  de  y  fa  valeur  ex,  &  I'equadon 
deviendra  b  x'  =  c"  x"^"  -+-  c'  x'"^'  (p  (  a  x  -  c  x  ) 

foil  fait  maintenant  ax  —  c  x  =  u  ,  ce  qui  doniie  x  = , 

&  foit  fubftituee  cette  valeur  de  x  ,  on    aura 

.-   =€"   {  —  )  -+-  cM  —  )'  <pu 

(4-0*  v-*  (J  y"-'/ 

d  ou  1  on  tirera  (p  i:  =  —  (  —  j  —  "^        V  "T"  ) 

done  I'equation  qui  fatisfera  a  la  queftion  fera 

En  efFet ,    fi    dans    cette    equation   Ton  fait  y  :=  c  x  ,  on 
trouve  ^  =  b  x''. 

Ell  fuppofant  la  perfection  de  I'analyfe  ,  cette  operation 
fera  toujours  praticable  ,  lorfque  les  fonctions  A  &  •f'  fe- 
toiit  analytiques  ,  mais  fiy  =  A  ■  x  ^  1  =  ^  x  reprefentent 
les  equations  des  courbes  difcontinues  ,  la  fonclion  (p  u'aura 
pas  de  valeur  analytique .  11  fera  ueantmoins  poflible  de 
conltruire  la  furface  doiu  I'equation  eft  {  =  M -+- A' tp  F, 
de  telle  maniere  qu'elle  palTe  par  la  courbe  difcontinue 
dont  les  lymboles  d'equations  font  y=/\-x3<^  =  '^-x. 

Conflruclion. 

La  queftion  (e  reduit  atrouver  I'ordonnea  i  qui  re-Plandie 
pond  a  un  X  &  un  y  donnes  a  volonte.  Pour  cela  foient  pn;  n 
CA  D  ie  plan  horifontal  des  x  &c  y ,  BA  C  le  plan  des 
X  ik.  I ,  s  m  S  \di  courbe  difcontinue  par  laquelle  doit  paf- 
fer  la  furface ,  &  dont  les  projections  r  q  R  &  s  m  S  oni 
pour  fymboles  d'equations,  la  premiere  j=  A  •  x  &  la 
feconde  {■  =  \|/ •  X  enfin  ibient  A  P  S>i  P  Q_  Its  coordon- 
nees  pour  lefcjuelles  il  s'agic  de  conftruire  la  verticale 
Mifc.  Taur.  Tom.  K,  d 


i6 

Q  M=  {.  Cela  pofe  foit  decrite  fur  le  plan  horifontal  la 
couibe  TQq,  dont  I'equation  eft  V=hy  la  conftante  b 
devant  etre  telle  que  la  courbe  paflfe  par  le  point  Q ,  ou 
qu'en  fel'ant  x  =  A  P  on  ait  y  =  P  Q  :  cette  courbe  ren- 
contrera  r  q  R  en  un  point  ^  ,  par  lequel  on  elevera  la 
verticale  ^  m  ,  qu'on  prolongera  jufqu' a  la  courbe  smS; 
on  menera  cj  p  parallele  aux  y ,  &  on  elevera  la  verti- 
cale p  m' ,  qu'on  prolongera  jufqu'a  la  courbe  s  m'  S  qu'elle 
Tcncontrera  en  un  point  m  ,  &c  Ton  aura  qm=pm'. 
On  conrtruira  fur  le  plan  vertical  5  ^4  C  la  courbe  K  Mm 
dont  I'equation  e(\.  :(  z=:  M'  -i^  N'  d  ,  M'  &c  N'  etant  les 
fonftions  de  x  que  donne  la  fubftitution  dans  M  &  iV^de 
la  valeur  de  y  prife  dans  I'equation  V  =  b  ,  &  |8  etant 
une  conftante  telle  que  la  courbe  pafle  par  le  point  m  . 
Enfin  on  elevera  la  verticale  P  M' ,  on  fera  QM'  =P  M\ 
&  le  point  M  fera  dans  la  furface  demandee. 

Car  fi  dans  I'equation  :^  z=  M  -4-  N  (p  K  on  met  a  la 
place  de  y  fa  valeur  prife  dans  V  =.  b  ,  on  aura  i  =  M 
H- iV' |3  ,  equation  de  la  projeftion  verticale  K  M  m  de 
r  interfeftion  Mm  de  la  furface  demandee  par  une  furface 
cylindrique  verticale  qui  auroit  pour  bafe  la  courbe  7"  Q  ^; 
&  dans  laquelle  la  conftante  /B  doit  etre  telle  que  cette 
projeftion  pafte  par  le  point  m'  a  fin  que  pour  le  point  p 
i'on  ait  :^=apm'  =  qm,  &  que  la  furface  demandee  paffe 
par  confequent  par  le  point  m, 

Dans  certains  cas  particuliers  cette   conftruflion   fe  fim- 

plifie  beaucoupj  par  exemple,  d  la  propofee  eft  ^=>:  (p  [ -j, 

on  engendrera  la  furface  e»  fefant  glifler  une  droite  fur 
la  courbe  a  double  courbure  donnee ,  &  dont  I'extremite 
foit    fixee    a    I'origine    des    coordonnees  ,    car    I'equation 

-  = /»  eft  celle  d' une  droite  qui  pafle    par  le  point  A^ 

quelque  foit  la  conftante  ^ ,   &  en  fubftituant    la    valeur 


.  '7 
de  y  pnTe  dans  cette  equation  ,  on  a  {•  =  x  (p  ^  ,  qui  elt 

encore  celle  d'une  droite  qui  paffe  par  le  meme  point 
quelque  foit  <p  •  b.  Ain(i  I'^quatlon  ^  =  x  <p  f  —  left  cel- 
le d'une  furface  conique  a  bafe  quelconque ;  mais  dont 
le  fommet  eft  determine  a  1'  origine. 

AUTRE  SOLUTION  DU  PROBLEME  11. 

Tiree  de  la  conjlruciion. 

JUa  queftion  fera  refolue  ,  fi  en  fefant  A  P  ■=  x\  & 
P  Q^^=y'  ^  on  trouve  une  valeur  de  ^  enx'  &  y  qui 
fatisfaffe  aux  conditions.  Pour  cela  foit  fait  V=  b  ,  &  foit 
determine  b  de  telle  maniere  qu'en  fefant  x  =  x  on  ait 
y  =y.  Soit  tiree  de  cette  equation  la  valeur  dey  en  x,  x' 
&  y  ,  pour  la  mettre  dans  les  quantites  M  &c  ^N  &c  Co- 
ient  M'  &  N'  ce  qu'elles  deviennent  par  cette  fubltitution; 
foit  dliminee  y  de  deux  equations  F'=  b  &  j'  =  A  •  x  , 
ce  qui  donnera  une  valeur  de  x  Qn  x  Sl  y,  que  Ton 
mettra  a  fa  place  dans  -vl/  •  x  ,  &  foit  K  ce  que  devienc 
cette  fonction  ;  cela  fait ,  fi  dans  I'equation  M'  -+•  iV"  i8  =:  { 
on  determine  (8  de  telle  maniere  que  pour  cette  meme 
valeur  de  x  on  ait  i"  =  ^ ,  &  qu'enfuite  oh  mette  par 
tout  x    a  la  place  de  x  ,  on  aura    I'equation     demandee. 

Je  ne  demontre  pas  ce  procede  ,  par  ce  qu'il  n'eft  que 
I'application  de  I'analyfe  a  la  conftruiilion  precedente  ,ou 
je  fuppofe  alors  que  les  fonftions  A  &  'i'  foient  analyti- 
ques. 

II  pourroit  arriver  que  la  propofee  fut  de  cette  for- 
me, F  ■  1  =  M~^  N  (j>V ,  F  erant  le  caraftere  d'une  fon- 
ftion  conniie  ,  mais  cette  equation  ne  feroit  pas  plus  dif- 
ficile a  determiner  que  la  precedente  ,  car  en  meccant  par 
tout  a  la  place  de  y  fa  valeur  prife  dans  j'  s=  A  x,    on 

d     X 


i8 

aura  F (^  ■  x)  =  M' -h  N"  <p  V\  ow^'  x  —  M  -^  IST  <p  F", 
d'  oil  Ton  tirera  la  nature  de  la  fonftion  (p  comme  je  i'ai 
fait  dans  la  premiere  folution.  Aiiifi  par  ce  prob'.eme  on 
eft  en  etat  de  determiner  toute  equation  qui  ne  contien- 
dra  qu'une  fonftion  arbitraire. 

CONSTRUCTION  DU  MEME  PROBLEME. 

Dans    le    cas    ou    toutes    Us  quandtcs     M ,  N  &  V 
feroi-ent  elles  mimes  difcontinues. 

Xjes  quantites  M,  N  &c  V  etant  fonftions  des  deux  va- 
riables AT  &  j^,  ne  peuvent  etre  reprefentees  que  par  les 
ordonnees  verticales  de  trois  furfaces  courbes  donnees  ou 
conftru6lib!es ,  &  par  ce  qu'elies  font  fuppoiees  difconti- 
nues J  Ton  doit  avoir  ,  avant  de  conftruire  la  furface  de- 
Tnandee  ,  trois  autres  furfaces  difcontinues ,  foit  donnees 
au  hazard ,  foit  conltruites  par  quelques  merhodes  telles 
que  celles  que  j'ai  d^ja  donnees ,  &  dont  les  fymboles 
d'equations  foient 

^^=.  M  pour  la  premiere. 

:^r=N  pour  la  feconde. 
^l=zV  pour  la  troifieme. 
On   elevera  par  le  point  donne  Q  ,  pour  lequel  on  cher- 
1     che  I'ordonnee  de  la  furface  a   conftruire ,     une    verticale 
FIG.  II  que  Ton  prolongera  jufqu'a  ce  qu'elle  rencontre    la  furfa- 
ce, dont  le  fymbole  d'equation  eit  i=V ^    en    un  point 
par  lequel  on  menera  un  plan  horizontal ,  qui  coupera  cet- 
le  furface  en  une  courbe    dont    la    projeftion    horifontale 
fera  la  courbe  difcontin^  T  Q^q  ^  on  aura  pour  Equation 
V ■=  b  •  cette  courbe  etant  conltruite  ,    on    imaginera  une 
furface  cylmdrique  verticale  ,  dont  elle  foit  la  bafe  ,  &  qui 
coupera  les  deux  autres  furfaces  donnees  en  deux  courbes 
dont  les  projeftions  verticales  feront  les  courbes    difconti* 


nues  HNG  Sc  hng,  &  auront  pour  fymboles  d'equa- 
tions  la  premiere  i  =  N'  &  la  feconde  {  =  M'  ;  les  quan- 
tites  M'  &c  N'  reprefentant  ce  que  deviendroient  M  & 
N  a  Ton  pouvoit  analytiquement  y  mettre  pour  y  fa  va- 
leur  prife  dans  I'equatiori  difcontinue  f^=  b  ■  or  Tequation 
de  la  courbe  K  M  ni    ert  comme  je  I'ai  dcja  dit 

^  =  7W'  -+-  #'  /3 
on  aura  done  P  iW' = /* /z -H  P  iVX  |S  •  mais  la  conftanre 
j8  doit  etre  telle  que   la  courbe  pafTe  par  le  point   rti  ,  ou 
que  pour   rabcille  Af    I'oh  ait  pm=pg~\-pG\(i.,  ce 

qui  donne  jQ  =    j~^  ,  done  fi  Ton  condruit  rexpreffion 

P  n-h    -;= ' 

pG 

on  aura  Tordonnee  P  M'  =z  Q  M .  C  Q.  F.  F. 

PROBLEME     III 

Determiner  les  formes  que  doivent  avoir  les  deux  (on- 
ttions  <p  &  (p',  pour  que  I'equation  ^  =  tp  K -+■  x  <f)' F  fa- 
lisfaffe  aux  deux  conditions  fuivanres,  i°  qu'en  fefant  j'  =  A  •  x 
on  ait^  1  =  -]^  ■  X  ,  %"  qu'en  fefnnt  j  =  ^'  ■  x  ,  on  ait 
J  =  ■^''  •  X  ,  la  quantite  t^  eiant  une  fonftion  donnee  en 
X  &  J' ,  8*  les  formes  des  fonttions  A  ,  A' ,  -i^  ,-^'  etant 
connues. 

Solution, 

Solent  V  la  fon£tion  de  x  que  Ton  obtient  en  met- 
-tant  a  la  place  de  y  dans  f^  fa  premiere  valeur  =  A  ■  x, 
&  V"  la  fonftion  de  x  que  Ton  obtient  en  y  mettant  fa 
feconde  valeur  A'  x  ,  il  ell  clair  que  Von  aura  par  les 
conditions  les  deux  equations  fuivantes. 

(A) 


3^ 

(A)     ^  ■x  =  pr''^x(p'  F' 

(B)         ^■.x  =  (p  V"  -+-  ;c  (p'  V". 
Soit   fait  V  z=u  ^  &  de  cette  equation  foit  tiree  la  va- 
leur  de  x  en  w  ,  que  je  fuppofe  reprefentee   par  /•  «  ,  & 
que  Ton  mettra  a  la  place  de  x  dans  I'equation  (A)  1'  on 
aura   (C  )     -^  •  (/•  u)  =  if  u  -+•  fu  •  <p'  u. 

Soit  fait  de  meme  jT"  =  v  ,  &  foit  /'  .  v  la  valeur  de 
X  prife  dans  cette  equation ,  en  la  mettant  dans  I'equa- 
tion (B)  r  on  aura 

(D)     •q-'(/'-v)  =  (pv-f-/r^- ^'v 
on  tirera  de  la  premiere  (pu='¥(f-u)   —  f  u  ■  <p'  u  ^ 
mettant  a  la  place  de  cp  cette  forme  dans  1'  equation  (D)  , 
Ton  aura 

■^'  (f  .v)=z-^  (/•  V  )  — /.  v.<p'v+-f'v'<p'v 
&  par  confequent 

J     V    f  ■  V 

or  on  connoit  les  formes  des  fonftions  'J'  ,  -f-' ,  /  &  /' , 
done  on  connoitra  i"  celle  de  la  fonSk'ion  (p  .  Subllituant 
aftuellement  a  la  place  de  (p  dans  I'equation  (C),  la  for- 
me que  Ton  vienc  de  irouver ,  Ton  aura 

^u  =  ^if-u) fr-,-:ZfZ 

•u  bien  reduifant 

ft*  —fu 
done  on  connoitra   i°  la  forme  de  la  fonflion  ,p  ,   &  par 
confequent  I'equation  demandee  fera 

^—  f'V  —  fV^  " 

C.  Q.  F.  T. 


Exemple: 

Solt  propofe  de  determiner    les  fon61:Ions    arbltraires  (p 
&  (p'  dans  I'equation 

l  =  <p{ax  —^  )  -H  x<p'{ax  —  y) 
dp  telle  maniere   i"  qu'en   fefant  ^  = /»  x  on  ait  ^  =:^  x% 
1°  qu'en  fefanc  ^  =  c  x  H-  A  ,  on  ait  ^  =  «  x*  H-  /2 . 

On   mettra  a  la  place    de   y    fes    deux  valeurs  b  x  Sc 
c  X  -h  k  ,  &c  I'on  aura  les  deux  equations  fuivantes 
g  x"-  =  q)  {  a  X  —  bx')~hx<p'(ax  —  ^.v) 
W2x*-+-/2  =  (p  (a  X  —  ex  —  h)  -i-  x  <p'  (^a  X  —  c  x  —  h) 

on  fera  ax  —  b  x  =  u  ,  ce  qui  donnera  x  i=  — ;  ,    &  la 

premiere  equation   deviendra 

g  u'  u       , 

-I    =    »p2^    -4-    — 7    (p     K, 


(*-*)'  —  '^~  a-b 

d  ou  1  on  iirera  m  us= 7— r  «  w. 

On  fera  de  mSme  a  ;e  —  ex  —  A  =  v ,  ce  qui  donne- 
ra   x  =  ,    &    la   feconde  equation    deviendra 


m 


( J   -+-  n  s=  (D  V  -♦- 9)  V  .    bubltituant    a  la 

place  de  la  tbnftion  (p  fa  forme  que  Ton  vient  de  trouver, 

a  —  ej  (<* - ^ )  a-b    ^  a-c 


on  aura 
m 


m 
d'oii    Ton  tirera  <P'  v  = 


a  —  e  a—b 

mettant  enfin  cette  forme  dans  la  valeur  de  (p  a ,    &   re* 
duifant  on  trouvera 


3* 


^  u  = 


M — c     {_a-l>y  a-b\a-c  )  a-b 


u 


a  —  c  a-b 

I'equation  qui  fatisfaic  a  la  queltion  fera  done 

h-t-nx-y         /nx-y'V'     m(iix-y)  /h-t-ax-y\^     n'ax-y)        mx/'k-t-ax-y\'  /nx-yS^ 

a-c       "SVlTi/         a-b     V    a-c    )~     a-b"*"       \    a  -  c     /    '^ '*•*     ^VITi/ 

t  """"  h-^ax"y  ax"y 

il  eft  en  effet  facile  de  voir    que    ceite  equation   remplit 
les  deux  conditions. 

On  pourroit  reduire  confiderablement  cette  valeur  de  r, 
mais  elle  ne  paroitroit  pas  etre  de  la  forme  (p  (ax — j). 
•Ir  X  <p'  (a  X  — y  ). 

Remarque. 

L'equation  {•  =  (p  (  a  x  — j  )  -+•  x  (p  (a  x  — j)  ,  integra- 

le  de \-  1  a  — — ; 1-  a^  - —  =  o    elt    celle  de  la 

a  x^  ax  ay  dy'^ 

furface  engendree  par  le  mouvement  d'une  droite  qui  gtif- 
feroit  fur  les  deux  courbes  a  double  cou:bure  dont  les 
equations  font  j=A-x&{  =  -^'-x  pour  1'  une 
jy  =  A'  •  X,  {■  =  •4''  •  ;c  &  pour  I'autre,  de  maiiiere  que  cette 
droite  fut  toujours  dans  des  plans  verticaux  ,  paralleles ,  & 
dont  l'equation  generale  feroit  a  x  — y  =  /3  ,  i3  etant  une 
conl^ante  pour  chaque  plan ,  mais  variable  d'un  plan  a 
I'autre.  Car  en  fefant  ax  —  j)/ =  conftante  dans  l'equa- 
tion ,  elle  devient  i  =  A  -¥-B  x  ^  qui  eft  a  une  droite  , 
&  dans  laquelle  les  conftantes  A  ik  B  doivent  etre  telles 
que  cette  droite  foit  appuiee  fur  les  deux  courbes  a  double 
courbure  donnees  a  fin  que  la  furface  ,  en  palfant  par  les 
deux  cQurbes ,  fatisfaiTe  aux  conditions. 


35 
U  feroit  facile  de  tirer  dela  la  conftruftion.  de  1'  equa- 
tion :j^  =  (p(ax — y)-\-x<p'(ax — j),  meme  en  llip- 
pofant  les  fonftions  A,  A',  i' ,  &  4"' difcontinues  ,  mais 
comme  ce  n'ell  qu'un  cas  particiilier  du  probleme  fuivant, 
je  ne  m'  y'  arreterai  pas  d'avantage. 

PROBLEME    IV. 

Determiner  les  formes  des  fonftions  (p  ,  &  <p' ,  pour  que 
dans  I'equation 

^  =  M<pV-i-N(p'F-+-K 
Ton  ait    i  °  ^  =  4^  •  x  en  fefant  y  =  A-  x  ^  i"  ^  =  ^'x 
en  fefant  y  =  A'  x.  Les  quantites  M ,  N ,  K  &i.  ^  erant 
donnees  d'une  maniere  quelconque  en  x  &  _/ ,  &  les  fon- 
ftions  A ,  A' ,   "f"  6i   ■ir'  ecant  aufli  connues. 

Solution. 

Soient  M' ,  N' ,  K'  Sc  V  les  fonftions  de  x  que  de- 
viennent  correfpondamment  les  quantites  M ,  N  ^  K  Sc  V 
en  y"  mettant  pour  y  fa  premiere  valeur  A  •  x.  Soient 
de  meme  M"  ,  N"  ,  K"  &  V"  ce  qu'elles  deviennent  ea 
y  mettant  la  feconde  valeur  dsyA-x,  il  elt  evident  que 
I'on  aura  les  deux  equations  fuivantes. 

{A)  -^  ■  x  =  M' (p  F' ^  N' <!)' F' ■+-  K' 
&  (B)  ■^'x  =  M"  <p  F"  -+.  N"  (p  F"  -4-  K" 
Soit  fait  F' =  u  ^  &c  Ibit  x=fu  la  valeur  de  x  que  don- 
ne  cette  equation ,  foit  fait  de  meme  F"  =  v  &  foit 
x  =  j'  V  la  valeur  de  x  que  Ton  en  tire  ;  on  fubltituera 
la  premiere  de  ces  valeurs  dans  {A)  &  la  feconde  dans 
(5)  ,  &  I'on  aura 

■^  if  ■  u)  =  M'  <p  u  -^  N'  <p'  u  -^.  K 
&  -4"'  (/' .  v)  =  M"  «)  V  -H  iV"  <p'  V  -+-  A'" 
les  quantites  M\  N'  &:  K"  etant  les  fondtions  de  u ,  que 
Mifc,  Taur,  Tom,  F.  e 


34  .      , 

donne  la  fubilitution  de  f-  u  a  la  place  de  x    dans   M' , 

N'  8c  K',  de  meme  M'\  N''  &  K''  etant  les  fonaions 
de  V  que  Ton  trouve  en  mettant  f'v  a  la  place  de  x 
dans  M",  A''"  &  A^".  Ces  deux  equations  fe  traiteront 
comme  les  equations  (C)  &  (Z?)  du  probleme  precedent, 
c'eft-a-dire  qu'on  en  ^liminera  une  des  fonftions  arbitrai- 
res  ,  pour  connoitre  la  forme  de  I'autre  &  reciproquement, 
ce  qui  n'eft  fujet  a  aucune  difficulte. 

Remarque. 

On  ne  parvient  par  cette  methode  a  trouver  les  for- 
mes des  deux  fonflions  independantes  cp  &  <p'  ,  que  par  ce 
qu'elles  font  compofees  de  la  meme  quancite /^i  autrement 
elle  leroit  infufifante. 

Cerollaire. 

II  fuit  dela  que  de  quelque  nombre  d'arbitraires  que 
foit  compofee  I'equation 

il  fera  toujours  poffible  de  determiner  les  fonftions  cp  ,  <p' 
<p"' ,  pour  qu'en  fefant 

1°  y  =  A  •  X     onait^  =  -^-x 

1°  y  =  A'  •  X    on  ait  ^  =  -4^'  -  x 

^°  J  =  A"  ■  X  on  ait  ^  =  4^"  •  a: 
&c.  &c. 

le  nombre  de  ces  conditions  etant  egal  a  celui    des   arbi- 
traires  ,  car  en  exprlmant  les  conditions  on  a 
i"  ^  ■  X  =  K'  -i-  r  <pF'  -t-  M'  qi  F'  -^  N'  <p"r-  ■  ■  &c. 
x"  ^^'■x=  K"  H-  L"  <p  V"  -H  M"  <p'  F"-hN'  <p"  V"  .  .  &c. 
3 »  •4""  . X  =  K" -hL"'<p V"' •+  M'" <p' V" -^ N'" (p' ' V"  .-&€. 

&c.  &c. 

fefant  dans  la  premiere  V  =:u  ,  dans  la  feconde  V"  zsv  ^ 


,       35 

dans  la  troifieme  V"  *=a...  .&c.  on  aura  autant  d'equa- 

tions 

^  (f.  u)  t=  K' -h  V  (p  u -h  AT  <p' u  -*- N'  <i>"  u  '  ■  ■  &c. 

^'(f  •  v)  =  A'''-+-  r'q)v-i-Ar  <p'v-h  N"'<p"  V  ■  •  &c. 

<i'"(f"  .c)  =  K'''^.r'(pu^JVrq)'co-+-N'"<p"co-  ■  •  &c. 
&c.  &c. 

qu'il  y  a  d'arbitraires  dans  !a  propofee  ,  par  confequent  il 
lera  facile  de  les  eliminer  routes  ,  pour  ies  connoitre  cha- 
cime  en  particulier ,  cogime  je  Tai  taic  dans  le  probleme 
precedent.  « 

Conjlruclion. 

II  s'agit  de  trouver  pour  un  x  &  un  jy  donne  a  vo- 
lonte  I'ordonnee  verticale  {  de  la  furface  done  Fequation 
eft  i  =  Mq)V-{-N<p'V^  les  fonclions  ip  8c  <p'  etant  rel- 
ies que  cette  furface  palfe  par  deux  courbes  a  doable  cour- 
bure  donnees  ,  continues  ou  difcontinues  &  qui  aient  pour 
fymboles  d'equations  la  premiere  jy  =  A>x&{'  =  ''f'x,  & 
la  feconde  j  =  A'  •  a.-  &  {^  =  •4^'  •  a; 

Pour  cela  foient ,  comme  dans  les  figures   precedentes  ,pianchc 
C  ^  Z>  le  plan  horifontal  des  x  &    y  ,  B  A  C    celui    des     I 
X  &  ^  ,  s  m  S  une  des  courbes  a  double  courbure  par  lef-    ki' 
quelles  doir  pafTer  la  furface  ,  8c  dont  les  projetlions  r  <^  R 
Sz    s  ni  S'    ont    pour    fymboles    d'equations    la     premiere 
jy  =  A  •  x  &  la  feconde  |-  =  •^^  •  .v.    Soit  de  meme  u  NU 
la  feconde  courbe.a  double  courbure  donnee  ,  &  done  les 
projeftions  vTK  Si.  unU'  ont  des  equations  reprefentees 
par  jK  =  A'  •  X  &  i^=-V-  X.     Enfin  foient  A  P  Sc  P  Q 
les  X  &c  y  donnees  a  volonte ,  pour  lefquelles  il  s'agit  de 
conrtruire  I'ordonnee  verticale  QAf=:^.    Cela  pofe  ,   par 
le  point  donne  Q  on  conftruira  la  courbe  T  Q(j    qui    ait 
pour  equation  V=b,    I'indeterminee  h  devant  etre    telle 
que  cette  courbe  paffe  par  le  point  Q  ,    elle    rencontrera 

e  1 


les  deux  courbes  r  q  R  Si  vTP^  en  deux  points  q  Sc  T , 
par  lelquels  on  abbaidera  fur  I'axe  y4  C  les  perpendicu- 
laires  q  i]'  &  Tt,  ce  qui  donnera  les  points  q'  Si  t  par 
lefqueis  on  elevera  les  verticales  q'  m'  Sc  t  n  ,  qu'on  pro- 
longera  julqu'  a  ce  qu'elles  rencontrent ,  la  premiere  ,  ia 
courbe  s  m  S'  en  un  point  m  ,  &c ,  la  feconde,  lacouibe 
u  n  U'  en  un  point  n.  Cela  fait  on  conllruira  fur  le  plan 
vertical  B  AC  \2^  courbe  n  M'  m  qui  a  pour  equation 
^  =  iW'  oc  ^N'  (i-hK\  les  qu^ntites  M\  N'  &  K' 
etant  ce  que  deviennent  correfpondamment  A/,  N  &l  K  ta 
y"  mettant  pour  j^  fa  valeur  prife  dans  I'equation /^= /> , 
de  plus  oc  &  j3  etant  des  conllantes  qu'on  determinera  de 
telle  maniere  que  la  courbe  n  M'  m  palle  par  les  points 
determines  n  &  ?n' ;  eniin  on  eievera  la  verticale  P  M' , 
on  fera  QM=P  M' ,  &  le  point  M  fera  dans  la  furfa- 
ce  demandee. 

En  efFet,  foient  elevees  les  verticales  q  m  Sc  T  N ,  il 
eft  evident  par  conftruftjon ,  que  Ton  aura  qm  =  q'm'  ^ 
&  TN=tn;  foit  imaginee  par  la  courbe  TQq  une  fur- 
face  cylindnque  verticale,  dont  I'equation  (eia  neceffaire- 
ment  V  =-b ,  elle  coupera  la  furface  k  conftruire  dans 
une  courbe  NMm  qui  paflera  par  le  point  cherche  M 
&  par  les  deux  points  iV"  &  ot.  La  projeftion  verticale  de 
cette  interfeftion  paffera  par  conlequent  par  les  points  n  &c 
m'  ,  &c  on  aura  fon  equation  on  fefant  V=-b  dans  la  pro- 
pofee.  Cette  equation  fera  done  |-  =  M'  k.  -h  N'  d  -+-  K'j 
dans  laquelle  il  eft  evident  que  les  conftantes  k  &  /3  doi- 
vent  etre  determirees  de  maniere  que  cette  projection 
pafte  par  les  deux  points  n  &  m  .  Or.  les  deux  courbes 
NMm;  &  n  M'  m'  pour  la  meme  abfcifle  AP  oni  les 
ordonn^es  P  M&L  P  M  egales  ,  done  en  tefant  QM  =  PM'f 
le  point  M  eft  dans  la  furface  demandee. 


37 

Corollaire. 

On  cnnftruira  de  la  meme  manlere  I'equation  ^  ■=  K 
•^-L  (j;  y  -i-  M  (p'  K  ■+•  N  (p'y  .  .  .  &c.  quelque  nombre  de 
fon61:ions  arbitraires  qu'elle  renferme  ,  pourvu  que  Ton  ait 
uti  pareil  nombre  de  courbes  donnees,  continues  ou  difcon- 
tinues,  par  lefquelles  la  furface  foit  obligee  de  paffer.  II 
arrivera  feulement  que  I'equation 

:^  =  K'-i-L'  «  -i-M'UN'y &c. 

qui  appartient  a  la  courbe  n  M' m' ,  contiendra  un  pareil 
nombre  de  conftantes  indeterminees ,  mais  on  aura  un  me- 
me nombre  de  points  tels  que  n  ,  m  . .  .  .  Sec.  par  leCquels 
devra  paffer  cette  courbe  ,  &  qui  ferviront  a  determiner 
ces  conllantes. 

AUTRE  SOLUTION  DU  PROBLEME  IV 

Tiree    de  la  conjlruclion. 

Solent  y4  P  =  x' ,  &  PQ=y',    il    eft    evident  que  laPiandie 
(juellion  confifte  a  trouver  la  valeur  de  {   en  x'  &  y  qui   ^\q 
iatistait  aux  conditions.    Pour  cela  on  feraF'=ii,  &  Ton     HI 
determinera  b  de  telle  maniere  qu'en  fefant  x  =  x'  on  ait 
y=yi    on    prendra    dans  cette  equation  la  valeur  de  ^ 
en  X  ,  x'  &  ^' ,  on  la  mettra  a  fa  place  dans  les  quanti- 
tes  M,  N  &c  K,  &c  foient  M'  ,    N'  &z  K'   les  tonftions 
en  X  ,  jc'  &  ^'  que  donne  cette  fubltitution.  On  ehminera 
y  des  deux  equations  ^=^&^  =  A'jc,  ce  qui  donnera 
une  premiere  valeur  de  x  en  x'  &  y'   que  Ton  mettra  a 
fa  place  dans  ■^I'  •  x  ,  &  foit  P  ce  que  devient  cette  quan- 
tite.    On  eliminera  de  meme  y  des  deux  equations  V  =  b 
&j'  =  A'-x,    ce  qui  "donnera  une  feconde  valeur  de  x 
en  x'  en  x    &c  y' ,  que  Ton  mettra  a  la  place  dans  ^  x, 
&    foit   P    ce    que   devient  cette  quantite.    Cela  fait ,  fi 


^8 

dans  requation 

on  deternnne  les  conftantes  «  &  /S  de  telle  maniere  i" 
que ,  pour  la  premiere  valeur  que  Ton  vient  de  trouver 
pour  X  ,  on  ait  {•  =  /',  i°  que  pour  la  feconde  valeur , 
on  ait  i=zP' ,  &  qu'enfuite  on  mette  at'  a  la  place  de  «■, 
on  aura  Tequation  demandee. 

Cette  Iblution  n'etant  implement  que  I'application  de 
I'analyfe  a  la  conltruftion  precedente ,  il  eft  inutile  de  la 
demontrer.  On  remarquera  feulement  qu'elle  ne  peut  avoir 
lieu  qu'en  fuppofant  les  fonftions  A  ,  A' ,  -^  &  4^'  anaiy- 
tiques  &  continues. 

L'application  de  ces  deux  folutions  a  un  meme  exem- 
ple  produiroit  le  meme  refultat. 

CoroUaire. 

On  determineroit  facilement  par  cette  methode ,  com- 
me  par  la  premiere  les  fonftions  arbitraires  dans  1'  equa- 
tion 1=  K-hL<p  F-+-  M(f)'F-h  N(p"F-  ■  ■  &c.  ,  il  ar- 
riveroit  feulement  que  I'equation  :[i=  K'  -h  L  k  -h  M'  0 
~i-  N'  y  •  •  •  •  &c.  Contiendroit  autant  des  conftantes  inde- 
terminees  que  la  propofee  renfermeroit  de  fon^Hons  arbi- 
traires ,  mais  auffi  Ton  auroit  un  meme  nombre  de  condi- 
tions pour  les  determiner  ,  par  ce  qu'on  trouveroit  autant 
de  valeurs  particulieres  de  x  qui  mifes  a  fa  place  devroient 
donner  la  premiere  ^  =  P  ,  la  feconde  {  =  P' ,  la  iroiiie- 
me  i  =  P" &c. 

PROBLEME    V 

Determiner  la  forme  que  doit  avoir  chaeune  des  fon- 
ftions  <?&{.(()'  dans  Tequation  j-  =  (p  V  -^  (p'  IV ,  pour 
^u'en  fefant  i"  F  =  a,  on  ait  ^  =  p-x,  2"  qu'en  fefant 


39 

y  =  A  •  X  on  ait  :^  =  -^  •  x.  Les  quantites  VSiJV  etaiu 

donn^es  d'une  maniere  quelconque  en  x  &  jx  &  les  fon- 
t^ions  i^,  A  s5>:   ■^   etant  de  formes  connues, 

11  faut  remarquer  que  la  premiere  condition  n'a  pas 
route  la  generaliie  dont  elle  feroit  fufceptible ,  par  ce  qu* 
elle  renferme  la  quantite  determinee  V. 

» 
Solution. 

Soit  W'  la  fonftion  de  x  que  I'on  obtient  en  mettant 
dans  ff^  pour  y  fa  valeur  prife  dans  I'equation  V  =  a  , 
il  eft  clair  que  Ton  aura  par  la  premiere  condition 

F  ■  X  =  (^  a-+-  (p  W 
&  par  confequent  ip'  W  =  F  •  x  —  (pa..  Soit  fait  W'=2u., 
pour  en  tirer  une  valeur  de  x  en  z^  ,    que    je    reprefente 
par  f  •  u  ^  on  aura  en  fubftituant  cette  valeur 

q)  u  =  F { f  ■  u)  —^  (p  a. 
Mettant  cette  forme  a  fa  place  dans  la  propofee  ,  elle  de- 
viendra  ^  =:(pV -\r  F  {j  .  J-F)  —  <p  a  mais  par  ce  que  (pa 
eft  une  conftante  ,  la  quantite  <pV^ — (pa  eft  une  certame 
fonftion  de  V  ditferente  de  (pV .,  &  que  je  deligne  par 
(p'  K  f  on  aura  done 

l  =  ,p'K^-F{fJF) 
Equation  dans  laquelle  il  n'y  a  plus  qu'une  fon£lion  arbi- 
traire,  puifque  Ton  connoit  les  formes  des  fonftions  F  Sc  f. 
Or  il  refte  encore  la  feconde  condition  que  Ton  n'a  pas 
encore  emploiee  ,  done  elle  rentrera  dans  le  cas  du  pro- 
bleme  II  &  fe  traitera  de  la  m^me  maniere. 

Remarque. 

Quoique  dans  les  conditions  (qui  font   que  I'on  ait   i* 

I  =  F  ■  X  en  fefant  y  =  a ,    i."  ^  =  ^  .  x    en  feiant 

jrs=i^.x)  les  fonftions  /",  A  &  -f"  puifTent  ecre    quel- 


conques ,  1!  efl:  neantmoins  neceflaire ,  pour  que  la  que- 
ftioii  ne  renferme  pas  de  coiitradiftion  ,  qu'elles  aient  en- 
tr'elles  un  certain  rapport.  En  efFet  les  equations  y  =  ^  •  x 
&  ^  =  4^  .  X  appartiennent  a  une  courbe  a  double  cour- 
bure  determinee  par  laquelle  doit  paffer  la  furface  courbe 
qui  a  pour  equation  la  propofee  ,  de  meme  K  =  a  Sc 
l-=F.x  font  les  equations  d'une  autre  courbe  a  double 
courbure  par  laquelle  doit  aufli  paffer  la  meme  furface. 
Or  ,  comme  il  fera  facile  de  la  reconnoitre  dans  la  con- 
ftruftion  fuivante  ,  ces  deux  courbes  doivent  fe  couper  fur 
Ja  furface  ,  done  leurs  projeii^ions  doivent  audi  fe  couper, 
done  pour  I'ordonnee  x  qui  repond  au  point  d'interfeftion 
de  leurs  projections  horifontales ,  ou  doit  avoir  audi  un 
point  d'  interfeftion  dans  les  projeftions  verticales  ,  ce  qui 
peut  s'expliquer  analytiquement  de  cette  maniere  les  fon- 
ftions  jF,  A  &  ■f'  doivent  etre  telles  qu'en  eliminant  y 
des  deux  equations  V  ■=■  a  ^  y  •:=■  bi. .  x  ^  pour  avoir  une 
valeur  de  x  en  con(tantes  ,  &  en  fubltituant  cette  valeur 
dans  les  fondtions  F .  x  ^  -^ .  x  ^  on  ait  deux  quantites 
egales. 

Exemple. 

Soit  propofe  de  determiner  les  formes  des  fonflions  ar- 
bitraires  (p  &l  cp  ,  pour  que  dans  I'equation  i=-<p  {bx  —y) 
-t- (p' (  X  H-j)^  )  on  ait  i°  :^  =  y/jix  en  fefant^A:  —  JK==^> 
a°  1=^  K  x  en   fefant  y  =  n  -{-  q  x. 

(  D'apres  ia  reraarque  precedente  les  conftantes  A,  a^ 
K  ^  n  S>i.  q^  qui  entrent  dans  les  exprellijns  des  conditions 


a,  remplir,  doivent  etre  telles  que  Vomit  Kz=  Jr  A ?' 

car  fi  Ton  egale  les  deux  valeurs    de  y  on  aura  b  x  —  a, 
=  /2  -+-  J  a:  ,  ce  qui  donne  x  =  -r —  &  mettant  cette  va- 
leur 


41 

leur  dans  les  quantit^s  >/ A «  &  iC  x ,    qui    doivent    alors 


6tre  ^gales,  on  aura    y  A^i — -   =  K.     ,__    »  d'oii  Ton 


tirera 


^=l^4H) 


L'equation  h  x  — y  =  a  donne  y  =  hx  —  <z  ,  mettant 
cette  valeur  a  la  place  de  y  dans  la  propofee  ,  on  aura 
VJTx  =  <p  a-f-(p'  (_x  -i-  b  X  —  a).  Oil  (p'  (  X  -i-  b  X  —•  a) 
=  v'a  X  —  <pci'  Soit  fait  X  -i-  b  X  —  a  =  u  ,  ce  qui  don- 
ne  x   =  -7 ,  &  foit  mife  cette  valeur  de  x  a  fa  pla- 

^  ■+-  I  ' 

ce    dans    la    valeur    de    la    fon£lion    (p'  ,    &    1'  on    aura 

9*  u  :=    ]/  -^  -7 —  'Pa,    ce  qui  fera    connoitre    la 

forme  de  la  fonftion  <P' ,  que  Ton  fubftituera  dans  la  pro- 
pofee ,  &  Ton  aura  i  =  (p  (b  x  —  y  )  -+•  y  A  " ,"  —  <p  a 
ou  bien  fefant  (p{b  x  • — y  )  —  <pa  =  <p^  (b  x  -y)  Ton  aura 

Equation  dans  laquelle  il  ne  fe  trouve  plus  que  la  fonftion 
arbitraire  <p  >  &  que  Ton  traitera  comme  celle  du  pro- 
biame  II. 

Pour  cela  ,  on  fubftituera  ky  fa  valeur  prife  dans  l'equa- 
tion y  =  n-\-qXy  &  Ton  aura 


K  X  ss:  (p''  (b  X  -~  n  —  ^  *)-4-l/ 


A 


b—x 

que    Ton    transformera    en    fefant    b  x  —  n  —  dxs=v, 
Mi[c.  Taur.  Tom.  V.  f 


4» 

o\i  X  =i  -, &  I  on  aura 

l>-q 


oil  il  fera  facile  de  reconnoitre    la  forme    de  la  fon£l!on 
(p* ,  &  d'ou  Ton  conclurra  que    requation   demandee ,    eft 

1  ^— (/        '  ^ yijrr K      /j*i        I 

En  effet  fi  Ton  fait  dans  cette  equation  y  =  n  -4^  ij  x  , 
on  trouve  ^  =  K  x  ,  &  fi  I'on  fait  b  x  — y  =  a,  on 
trouve  I  =  ^  A  x  ,  par  ce  que  comme  je  1'  ai  fait  remar- 

quer  plus  haut ,  Ton  doit  avoir  K=   y  A - 


I  "^  a 


Conflmcllon. 

La  queftion  confifte  ,  comme  dans  les  conftruftions  pre- 
cedentes  a  trouver  pour  deux  coordonnees  x  ,  &  ^  don- 
nees  a  volonte  I'ordonnee  verticale  ^  de  la  furface  courbe 
qui  xi  pour  equation  :^  =  <pV  •+•  ^  JV^ ,  quand  meme  les 
deux  courbes  a  double  courbure  par  lefquelles  doit  pafler 
cette  furface  ,  &  dont  les  projeftions  ont  pour  fymboles 
d'equations  ,  1'  une  V  =  a&c  i  =  F  •  x  ,  I'autre  ^  =  A  .  x 
&  ^  =  •>}/•,  X ,  feroient  difcontinues  &  tracees  au  hazard 
dans  I'efpace. 
Pianche  Pour  cela  ,  foient  C  A  D  \q  plan  horifbntal  des  x  &^, 
FIg'iV  ^  -^^  ^^'"^  des  X  &c  I  ,  M  m'  &^  s  m  S  les  deux  cour- 
bes a  double  courbure  par  lefquelles  doit  pafler  la  furface, 
foient  r  q  R  S)L  s  m"  tri"  les  projeftions  horifontale  &  ver- 
ticale de  la  premiere ,  &  dont  les  fymboles  d'equations 
font  V=a  pour  I'une  &  :^  =  F.x  pour  I'autre  j  foient 
de  meme  Q^  q'  &  Y  M"  m"  les  projeftions  horifontale    & 


43 
verticale  ae  la  feconde ,  &  dont  les  equations  font  repre- 

fent^es  par  j  =  A  .  x  pour  I'une  ,  &  par  ^  =  -^  .  x  pour 
I'autre.  II  ell  evident  que  li  par  le  point  ^'  interfeftion 
des  deux  courbes  Q'  q'  Sc  r  R  on  6\eve  Ja  verticale  q  m, 
elle  rencontrera  dans  le  meme  point  m  les  deux  courbes 
s  m'  S  &  Mm,  par  ce  qu'etant  fur  la  meme  furface ,  ces 
deux  courbes  doivent  avoir  un  point  commun  correfpon- 
dant  au  point  d'interfeftion  de  leurs  projections  ;  d'oii  il 
fuit  que  li  Ton  mene  ^'  K'  parallele  aux  y  ,  &  que  Ton 
eleve  la  verticale  K'  m  ,  cette  droite  rencontrera  les  deux 
courbes  Sm"m"'  &  F  M"  m"  dans  le  meme  point  m'\ 
&  que  Ton  aura  K'  m"  ■=  q'  m  .  Enfin  foient  A  P  =  x, 
P  Q  =^y  ,  de  maniere  qu'il  faille  conftruire  la  verticale 
Q  Af  qui  paffe  par  le  point  Q  ,  le  point  M  etant  dans  la 
furface. 

Cela  pofe  ,  on  conftruira  fur  le  plan  horifontal  la  cour- 
be  Q  ^  dont  I'equation  eftF'=  oe,  oe  etant  une  conftante 
telle  que  la  courbe  paffe  par  le  point  Q  ,  cette  courbe 
coupera  r  q  R  quelque  part  en  un  point  q  ,  par  lequel  on 
menera  q  K  perpendiculaire  aux  x ,  on  elevera  la  vertica* 
le  K  m'\  qu'on  prolongera  jufqu'a  ce  qu'elle  coupe  la 
courbe  S  m" m"'  en  un  point  m",  on  prendra  dans  I'equa- 
tion V  =  K  la  valeur  de  y  que  Ton  fubltituera  dans  ^, 
pour  avoir  une  fontlion  de  x  que  je  reprefente  par  JV  , 
on  fera  la  meme  chofe  pour  I'equation  F"  =  a  ,  &  foit 
W  la  nouvelle  fonftion  de  x  trouvee  ;  on  fera  enfuite 
W^  =  «  ,  ce  qui  donnera  une  valeur  de  x  en  k  ,  que  je 
reprefente  par  f.u,  la  forme  de  la  fontlion  /  etant  con- 
nue.  On  portera  de  A  en  X  une  droite  egale  a  /  ^' , 
AP  etant  =x,  &  on  elevera  la  verticale  X Y  qu'on 
lerminera  a  la  courbe  M"  m"  :  on  regardera  pour  un  indant 
A  K  comme  =:  x  ,  &  Ton  fera  dans  cette  hypotbefe 
AG=f.  W  ,  on  elevera  la  verticale  GN ,  enfin  on  fe- 
xa  <2  -W=  XY-^Km"  ^GN  ,^\t  point  M  fera  dans 


44 

la  fuiface  demandee.  (  La  quantity  K  m"  —  G  N  t'k  tou- 
jours  la  m^me  pour  routes  les  verdcales  menees  par  les 
points  de  la  courbe  Q^,  c'eft  a-dire  qu'elle  eft  conftante 
tant  que    «c  ne  varie  point )  . 

Demonjlration. 

Soil  fuppofee  pour  un  inftant  la  furface  conftruite  ,  & 
foit  imaginee  par  la  courbe  Q  q  una  furface  cylindrique 
verticale,  qui  coupe  la  furface  fuivant  une  courbe  Mm^ 
dont  M"'  rri"  foit  la  projeftion  verticale ,  il  eft  evident 
1°  que  cette  projection  doit  pafler  par  le  point  m"  ,  puif- 
que  Tinterfeftion  pafle  elle  nieme  par  le  point  m ,  &  que 
le  point  m"'  eft  la  projeftion  verticale  du  point  ot  ;  I'que 
I'on  aura  I'equation  de  la  courbe  M"'  rri"  en  mettant  dans 
la  propofee  ^  =  (p  ^ -+- <p' /i^  a  la  place  de  y  fa  valeur 
prife  dans  ^=  «  ,  Equation  de  la  ("urface  cylindrique  ver- 
ticale. Cette  equation  fera  done  j'  =  ^  -+-  (p'  W  ,  la  con- 
ftante arbitraire  A  devani  etre  telle  que  la  courbe  M"  m'" 
pafle  par  le  point  determine  m" .  Mais  ft  Ton  fait  aufli 
pafler  par  la  courbe  Q'  q'  une  furface  cylindrique  vertica- 
le ,  dont  I'equation  fera  neceflfairement  V'=a,  elle  cou- 
pera  la  furface  a  conftruire  fuivant  la  courbe  M'  m' ,  dont 
la  projeftion  verticale  eft  Y  M"  rri' ,  &  Ton  aura  I'equation 
de  cette  projection  ,  en  mettant  de  mime  dans  la  propofee 
:^  =  (pV  -^  <p'  W f  a  la  place  de  y  fa  valeur  prife  dans 
V  =  a.  Cette  equation  fera  par  conlequent  i  =  a  ->t~<p'  W^y 
or  la  courbe  Y  M"  m'  eft  donnee ,  &  fon  equation  eft 
aufli  ^-^  F '  X  ^  done  on  aura  F  x  =  a-h  <p  W^ ,  &  par 
confequent  <p'  IV^  =F x  —  a.  Soit  fait  aftuellement  W^-=u^ 
d'ou  Ton  lirera  la  valeur  de  j:  en  w  qui  fera  xz=.f  •  u  , 
&  foit  fubftituee  cette  valeur  de  x  dans  la  derniere  equa- 
tion ,  elle  deviendra  <p'  u  r=  F  {f  ■  u)  —  a  ,  ce  qui  fera  con- 
noitre  la  forme  de  la  fonftion  <p'  ,  &    d'oii   il  fera  facile 


45 

de  conclure  que  I'dquation  de  la  courbe  M'"  m"  doit  dtre 
1  =  /4  —  a  ■+■  F  (f-  W  ).  Mais  puifque  I'equation  de  la 
courbe  V  M"  m"  eA  ^  =  F  ■  x  ,  il  fuit  que  fi  Ton  porte 
de  ^  en  X  une  quaniite  egale  a  /.  IV  ,  ce  qui  n'eft  fu- 
jet  k  aucune  difficulte  ,  la  verticale  ^JT  fera  = /(/.  ^'). 
Quant  a  la  conftante  j4  —  a  ,  que  pour  abbreger  je  re- 
prefente  par  h ,  elle  doit  etre  telle  que  pour  le  point  K 
on  ait  ^  =  K  ni" .  Soit  pour  un  inftant  regarde  ^4  K  com- 
me  =  X  ,  foit  fait  dans  cette  hypothefe  AG^=f.lf^\ 
&  Toit  elevee  la  verticale  CrJV,  il  eft  evident  que  Ton 
aura  ^  ou  ^  m"  =  h  -\-  G N ,  done  on  aura  k=:  K  m" 
^GN,  &  par  confequent  P  M"  =  Xr-^K  m"  —  GN: 
or  QM  =  FM'%  done...  Sec.  C  Q.  F.  D. 

Remarque  I. 

Pour  fimplifier  la  conftruftion  ,  j'ai  fait  quelques  opera- 
tions analytiques  ,  mais  elles  ne  s'  executent  pas  fur  les 
fonftions  /"  A  &  4^ ,  done  les  formes  peuvent  etre  foumi- 
k%  ou  non  a  la  loi  de  eontinuite  .  Je  n'ai  opere  que  fur 
les  quantites  V  &  W  que  j'ai  fuppofees  analytiques.  II 
pourroit  neantmoins  arriver  que  ces  grandeurs  fuflfent  dif- 
continues ,  &:  ne  puflent  etre  reprefentees  chacune  que  par 
I'ordonnee  d'une  I'urface  courbe  donnee  au  hazard  dans 
r  efpaee  ,  ou  conllru6tible  par  une  methode  quelconque , 
alors  la  conitruftion  precedente  feroit  imparfaite ,  puifque 
les  operations  preferites  nepourroient  pas  s'executer  ana- 
lytiquement ,  mais  il  feroit  poffible  de  les  conftruire  elles 
memes. 

Tout  etant  dans  la  figure  ?  ,  comme  dans  la  figure  4  , 
u  s  agit  premierement  de  conltruire    les    courbes    {^q    oi.     n 
Q' /  dont  les  equations    difcontinues    ont    pour    fymboles  Fl»-'.V• 
^  =  oc    &  V ■=■  a.   Pour  cela ,    je    fuppofe    donnee    dans 
I'efpace  la  furface  courbe    dont  I'equation    eft    reprefentee 


-a6 

par  ^  =  ?^,  &  on  la  coupera  par  deux  plans  horifontaux 
dirtans  du  plan  CAD,  I'un  de  la  quainite    oe     &  i'autre 
de  a  ,  les  projeftions  horifontales  des  feftions    que  forme- 
ront  ces  deux  plans  feront  les  courbes  demandees  Q  (^   & 
Q'  q  ,  car  ces  deux  courbes  feront  telles  que  Ton  aura  pour 
Tune  :^  oa  K  =  K    &  pour  I'aurre  ^c=a.  On  conftruira 
done  ces  deux  projeftions.  ( Cette  operation    n'eft    fujette 
a  aucune  difficulte  ,    car  fi  la  furface  eft  donnee  quoiqu'au 
hazard ,  pour  un  x  ,  &  un  ^  quelconque  ,    on    doit    etre 
en  etat  de  trouver  la  coordonnee   y    correfpondante  ,    & 
par  confequent  pour  rabfcilTe  A  P  &  la  verticale    ^  =  oc 
ou  ^  =  a,  de  trouver  I'ordonnee  P  Q  on  P  Q^.    Si  cette 
furface  n'eft  pas  tout  a  fait  donnee  au  hazard  ,    mais  qu' 
elle  foit  conftruflible  par  una  methode    analogue    a    celles 
que  j'ai  deja  donnees ,    &  obligee  de  paffer   par  quelques 
courbes  difcontinues  ,  comme  j'ai  fait  voir  qu'on  pourroit, 
pour  un  X  Sc    un  j  donnes  a  volonte  trouver  la  verticale 
^  correfpondante  ,  il  fera  poflible  de  meme    de  conftruire 
I'ordonnee  y  ,  etant  donnees  a  volonte  les  abfcilTes  x  &  ^, 
en  renverfant  la  figure,  &  regardant  le  plan  B  A  C  com- 
me  horifontal.    De  plus  la  quantite  a  eft  donnee  ,  il  n'y  a 
que  r  indeterminee  oc  que  Ton  doit  faire  telle  que  la  cour- 
hQ  Q^q  paffe  par  le  point  donne  Q  ;  mais  il  eft  facile  de 
reniplir  cette  condition  ,  en  elevant  par  le  point  donne  Q 
une  verticale  indefinie ,  qui  rencontrera    la  furface  difcon- 
tinue  en  un  point  par  lequel  on  fera  pafler  un  plan  hori- 
fontal ,  done  la  feftion  doit  donner    la  courbe    Q^q  ■>    car 
ce  plan  etant  horifontal,   donne   i°  i  ou  V=  conftante. 
2°  cette  conftante  eft  telle  que  Q^q  paffe  par  le  point  Q, 
puifque  le  plan    coupant  ,    &    par    confequent    fa    feftion 
paffe  par  le  point  oix  la  verticale  indefinie    Q  M  rencon- 
tre la  furface    donnee .      Que    I'on  fuppofe    auffi    donnee 
au  hazard  ,  ou   conftruite   la  furface  difcontinue  dont  I'equa- 
lion  eft  reprefentee  par  ^  =  ^,   &    foit    menee    par   la 


47 
courbe  Q  c}  une  furface  cylindrique  verticale  ,  elle  coupe- 

ra  la  feconde  furface  dans  une  courbe  done  la  projeftion 
E  HL  fur  le  plan  vertical  aura  une  equation  reprefentee 
par  ^=W^\  puifque  Ton  a  fp^'  en  mettant  dans  ff^  a 
la  place  de  y  fa  valeur  prife  dans  y  =  k  ,  &  que 
y=  oz  eft  Tequation  de  la  furface  cylindrique.  Soit  de 
meme  menee  par  la  courbe  Q'  ^'  une  feconde  furface  cy- 
lindrique verticale  ,  elle  coupera  la  feconde  furface  difcon- 
tinue  &  doanee  dans  une  courbe  dont  la  projeftion  ver- 
ticale e  h  I  aura  pour  fymbole  dVquation  ^  =  fp^'' ,  puifque 
I'equation  de  cette  feconde  furface  cylindrique  elt  repre- 
fentee par  K=  a  j  foient  done  conftruites  les  deux  courbes 
E  H L  &  eA/,  il  eft  evident  i°  que  pour  telx  =  ^jP 
qu'on  voudra,  on  zmx^  P  H=W'  &  Ph  =  JV',  la 
courbe  e  k  I  ayant  lieu  pour  toute  I'etendue  de  la  furface 
a  conftruire  ,  &  la  couibe  EHL  ne  pouvant  etre  em- 
ployee que  pour  les  points  de  la  courbe  q  Q_\  "^^  q'JS  fi 
on  prend  une  abfcifle  quelcoiique  j4  I ,  &c  que  Ton  mene 
I'ordonnee  horifontale  IT,  Ion  aura  ITs=f.(Al)f 
car  on  trouve  la  fonftion  f  en  fefant  ff^'  =  u  ,  &  en  ti- 
rant  de  cette  equation  la  valeur  de  x  =/.  u  ,  done  fi 
Ton  a  IT  =  X  ,  &  par  confequent  A  I  =  7^,  on  aura 
AI  =  u  &  IT=  f.  u.  Done  ft  par  le  point  H  on  me- 
ne r  horifontale  HO,  &  que  par  le  point  0  on  mene 
la  verticale  XV,  on  aura  A  X=f  {O  X)  =f{P  H) 
■s=:f.lV\  On  trouvera  de  m^me  A  G  en  menant  par  le 
point  k  I'horifontale  kg,  &  en  abaiffant  la  verticale  o^  G, 
les  points  X  8c  G  etant  trouves ,  le  refte  s'achevera  com- 
ine  dans  la  conllrudton  piecedente. 


4« 

Remarque  II 

Planehe 

II  Si  la  courbe  m"  Af'*  ^  difcontinue  &  tracee  au  hazard 
g^V  ^'O'^  fubitement  interrompue  en  G ,  la  verticale  XV  fe- 
roit  ( je  n'ofe  pas  dire  iraaginaire  ,  par  ce  que  cela  fup- 
poferoit  peut-etre  une  expreffion  analytique  )  mais  impof' 
fible ,  &  par  confequent  la  furface  a  conllruire  n'auroit 
aucun  point  qui  repondit  au  point  Q.  Si  la  m^me  cour- 
be T  Y  M"  etoit  fubitement  interrompue  en  G' ,  la  verti- 
cale G  N  feroit  de  meme  impoliible  ,  &  par  confequent 
toutes  les  ordonnees  {  menees  par  les  points  de  la  courbe 
Q  q  feroient  aufli  impoffibles  ,  parceque ,  comme  je  I'ai 
deja  dii  la  verticale  XY  n'appartient  qu'au  point  Q  & 
que  K  m"  —  GN  appartient  a  toute  I'etendue  de  la  cour- 
be ^  ^. 

D'apres  tout  ce  qui  a  ete  dit  precedemment ,  il  ne  fe- 
roit pas  difficile  de  conftruire  fur  le  plan  horifontal  le 
contour  de  la  projeftion  de  tout  ce  que  la  furface  a  con- 
ftruire a  de  reel  ou  de  poffible  ,  on  eviteroit  par-la  un 
grand  nombre  d'operations  inutiles  ,  mais  tant  de  quanti- 
tes  peuvent  devenir  imaginaires  ou  impoffibles  ,  que  leur 
enumeration  nous  meneroit  ici  irop  loin. 

AUTRE  SOLUTION  DU  PROBLEME  V 

Tirie  dt  la  conjlruilion. 

^oient  x'  &  y  les  coordonnees  pour  lefquelles  il  s'agit 
de  trouver  1' expreffion  de  la  verticale  ^,  onfera^=oc  , 
oc  etant  une  conllante  qu'on  determinera  de  telle  maniere 
qu'en  fefant  x  =■  x' ,  on  ait  j=y.  On  eliminera  j  des 
deux  equations  V  z=  <k  6c  y  =  ^  .  x  ce  qui  donnera 
une  valeur  de  x  en  x  ^  y'  &  conftante  que  je  reprefen- 
le  par  X.    On  prendra  la  valeur    de  y  dans  ^  =  «  , 

qu'on 


49 
qu'on  fubftituera  dans  W ^    pour    avoir    une  fonflion  de 

jc ,  x  Sc  y  que  je  reprdfente  par  fF"'.  On  fera  la  meme 
chofe  pour  y=a,  &  Ton  aura  une  fonftion  de  x,  fans 
x' ni  y,  que  j'exprime  par  ff^  .  On  fera  W^  =  u  ^  ce 
qui  donnera  une  valour  de  x  en  k  que  je  defigne  par 
fu ,  &  la  forme  de  la  fonftion  f  fera  connue.  On  com- 
^oiersi  f .  IV' ,  &  enfuite  F  (/^'),  ce  qui  eft  facile, 
puifque  la  fonftion  F  eft  donnee  dans  les  conditions  ;  en- 
fin  on  compo(era  F  (f.X)  en  mettant  dans  F  (f.  l^') 
X  a  la.  place  de  x  ,  &  I'equation  de  la  furface  deman- 
dee  fera 

,   ^  =  F(ffr')-h<i'.X—F(fX') 
apres  avoir  mis  partout  x'  a  la  place  de  x. 

Cette  operation  etant  demontree  par  la  conftruftion  pre- 
cedence ,  je  ne  m'y  arreterai  pas  d'avantage  ,  mais  pour 
faire  voir  I'accord  des  deux  folutions,  je  vais  appliquer  cel- 
le-ci  au  meme  exemple  que  la  precedente. 

Exemple. 

Solt  propofe  de  trouver  les  formes  des  fonftions  p  &c  <p  ^ 
pour  que  dans  I'equation  ^  =  (p  (/>  x — y) -t- <P  (.x -^ y) 
on  ait  1  °  ^  =  V  Ax  en  fefant  b  x  — y=.a^  i"  i  =  K  x 
en  fefant  y  =  n  -^  q  x. 

II  eft  evident  qu'afin  que  dans  I'equation  b  x  — y  =  cc 
i'on    ait   J  =  y    en    fefant  x  z=  x' ,    Ton    doit    avoir 
K  =  b  x'  — y'  .  Soit  done  ^limine   y  des  deux  equations 
y  =  n  -h  q  X    &    b  X  — y  =  b  x'  — y' ,    ce    qui    donnera 

■  =  X.  Soit  enfuite  prife  la  valeur   de  y 


n  —  y 


dans    bx — y  =  b  x' — y'  ,    pour    la    mettre    a    {a  place 
dans  x  -+-j  ,  &  Ton  aura  fF'  =  x  -+■  b  x  —  b  x'  — y'.  On 
prendra  de  meme  la  valeur  de  y  dans  b  x  — y  =  u  ,  qu* 
Mifc.  Taur.  Torn,  V.  g 


'5° 

on  mettra  dansx-4-y  ,  &  I'on  aura  IV^'^^x-^hX'-'asriu, 

ce  qui  donnera 

on  aura  par  confequent 
flV   =  — 


^  -+-  1 


&       F(^fJV')—\/    .^JUVl^mlj^-L   par  ce  que 
F  .xr=.^  A.x    raettant  X  a  la  place  de  x  ,  on  trouvera 

ou  bien  en  reduifant 

done  raettant  x'  a  la  place  de  x  ,  requation  demandee  fera 


qui  eft  la  meme  que  celle    que    Ton    a  deja    trouvee    en 
appliquant  la   premiere  fblution  au  meme  exemple 

La  premiere  iblution  peut  paroitre  plus  fimple ,  mais 
elle  n'.i  pas  comme  celle-ci  I'avantage  de  doiiner  direde- 
ment  la  valeur  de  ^  en  ;c  &  j  ,  fans  avoir  recours  aux 
folutions  des  problemes  pr^cedens. 


;  5» 

PROBLEME    VI 

Determiner  les  fonftions  arbitraires  dans  1'  equation 
^:=K-hL<fF-t-Mq)'ff,  oil  les  quantites  K,  L,  M, 
V  S>c  W  Ibnt  donnees  en  x  &c  y ,  de  telle  maniere  i" 
qu'en  fcfant  V=a,  Ton  ait  ^  =  i^-x,  z°  qu'en  fefant 
y  ■=  C^  •  X  on  ait  ^  =  \l/  •  x. 

Solution. 

Soit  prife  dans  Tequation  ^=iz  la  valeur  de  y  que 
Ton  mettra  a  fa  place  dans  les  quantites  K ,  L  ,  M,  V 
&  If^,  &  foient  K'  y  L\  M'  ,  V  &  JV  les  fonaions  • 
de  X  que  donne  cette  fubltitution  ,  on  aura  par  la  premiere 
condition  F-x=^K'-^L'<pci-+-  M  cp'  l^'  , 
equation  dans  laquelle  la  quantite  (pan'  etant  plus  qu'une 
conrtante  indeterminee  il  fera  facile  de  reconnoitre  la  for- 
me de  la  fonftion  <p' ,  qui  fera 

^  M' 

Soit  fait  aftuellement  I-f^'  =  u ,  d'oii  Ton  tirera  la  valeur 
de  X  en  u ,  que  je  reprefente  par  f-u^dc  I'equation  pre- 
cedente  fe  cransformera  en  celle-ci 

Fi  fu)—  k—  i(pa 

tn 
Les  quantites  k ,  I  ,  m  etant  les  fonftions  connues  de  u 
que  donne  la  fubftitution  de  cette  valeur  de  x  dans  K' ,  II 
&  M'.  Soit  mis  W  k  la  place  de  u  dans  les  quantites 
k  ,  I  &c  m  ,  &c  foient  k' ,  /'  &  m'  les  fonftions  de  If  que 
Ton  obtiendra  ,  il  eft  evident  qu'en  fubftituant  a  la  fon- 
ftion  <p'  fa  forme  que  Ton  vient  de  trouver ,  la  propofde 
fe  traniformera  en  celle-ci 

1  =  K -^-LcpV-^M  {—-^ — - — ; ■^—) 

qui  ne  contient  plus  qu'une  fonftion  arbitraire  <p  ,  8c  qui 
rentre  par  confcquent  dans  le  cas  du  probl^me  II. 


5*  .        .  .    ,  . 

II  eft  vrai  qu'il  reftera  encore  la  conftatite  inci^terminee 

(p  a  ,  mais  lorfque  Ton  aura  la  valeur  de  ^  fans  fonftions 
arbitraires  ,  il  fera  facile  de  la  determiner.  II  faut  fimple- 
ment  remarquer  que  les  conditions  de  la  quelHon  ne  fuf- 
fifent  pas  pour  cela  ,  car  en  fefant  1'  operation  ,  on  s'ap- 
per9oit  aiftment  que  quelque  foit  la  quantite  (p  a,  la.  va- 
leur de  {■  fatisfait  egalement  aux  deux  conditions ,  &  par 
confequent  ,  que  I'equation  finale  appartient  egalement  a 
une  infinite  de  furfaces  courbes  diftinftes  ,  dont  les  equa- 
tions font  de  la  forme  de  la  propofee ,  &  qui  paflent  rou- 
tes par  les  courbes  a  double  courbure  donnees.  Ainfi  pour 
determiner  celle  de  ces  furfaces  dont  on  cherche  I'equa- 
tion ,  comme  il  ne  reile  plus  d'indeterminee  que  la  quan- 
tite (p  a  ,  il  faut  affigner  de  plus  dans  l'  efpace  un  point 
par  lequel  elle  doive  palTer  ,  &  determiner  <p  a  de  telle 
maniere  que  cette  condition  foit  remplie.  C'eft-a  dire  que 
la  conftante  (p  a  doit  etre  telle  qu'en  mettant  dans  I'equa- 
tion trouvee  de  la  furface  ,  a  la  place  de  x  &  dejy,deux 
conftantes  donnees,  la  valeur  de  ^  devienne  egale  a  une 
autre  conftante  aufti  donnee.  Tout  cela  deviendra  plus- 
fenfible  par  un  exempie. 

Exemple. 

Soit  propofe  de  determiner  les  fonftions  arbitraires  (p  & 
f '  dans  r  equation 

de  fagon  i"  qu'en  fefant  b  x  — j  =  a  ,  I'on  ait  ^  =  V'b  x , 
2*  qu'en  fefant  y=scx  on  ait  i  =  p  ~^-  <j  x  ;  ou  Ton  ob- 

fervera  que  Ton  doit  avoir  »  =    \f  jB  ~  —  ,— ,    afin 

qu'en  egalant  les  deux  valeurs  donnees  de  j'  ,  ce  qui  don- 
ne  b  X  —  a-=c  X  ^  on  ait  y/'B~x  =  p  -^  ^  x  fuivant  la  re- 
marque  qui  fuit  le  probleme  precedent. 


En  mettant  dans  la  propofee  a  la  place  de  y   fa  valeur 
prife  dans  hx — y  ■=■  a  ^  elle  deviendra 
v/^~=  (^x  —  a)  (pa  -J- (  ^  X  —  a  )*  (p' (  x-t-^x — a) 
d'oii ,  tefant  x-t-^x  —  a  =  u  ^  &  reduifant  Ton  tirera 

1/  » C'^'-^-i)'  C^-t-")  ^  -+-  I 


(/>i/  —  a)*  bu~a 

fubftituant  cette  forme  a  la  place  de  la  fonftion  <p'  dans  la 
propofee  ,  Ton  aura 

Equation  qui  ne  contient  plus  que  la  fonftion  arbitraire  (p. 
Soit  atl:uellemeut  mife  a  la  place  de  y  fa  valeur    prife 
dans  y  =zc  X  I'on  aura  par  la  feconde  condition 


p+.x=cx,p(i>x-cx)-Hc'xVB(itO:(f^fil^O)//(t::l? 

^       ^  ^"^  '  M  {bx{l-^c)-ay         hx^i+cya^ 

d'oii  fefant  b  x  —  c  x  =  v  ,  Ton  nrera  ,  redu6tion  faue 

fubftiruant  enfin  cette  forme  dans  la  derniere  valeur  de  ^, 
on  irouvera  pour  equation  demandee 

\<^^--^)        '  y        {_Khx-y)[^l^cya[_b-c)y 

l'^:^      cy{b-^i){bx-y)<fa  \ /'j<[EIlIJ—~'llJ. 

I      b{bx-y\i^c)-a{b-c)  ^      y  ^    ^/,l^^y)^ay 

{—.  .y' ( ^ t  O  'P ^ 

blx+-y)-a 
qui  fatisfait  aux  conditions  quelque  valeur  que   Ton  donne 
a    la    contlanie    indeterminee    (p  a ,    puifque    fon    facteur 


54 

,1        ^ /    '( ^ ^ — j")  y  \  J    • 

y  (i  -+-  I  )  (  777 r    ,,    .  -  y—^ — ^^ —  )  aevient  =  o, 

foit  qu'on  fade  h  x  — y  =  a  ,  (on  qu'on  fafle  y  =  c  x  ; 
done  cette  conllante  ne  depend  pas  des  conditions  j  done 
la  queftion  eft  indeterminee  ,  dc  ne  peut  fe  particulariier 
qu'en  donnant  une  valeur  de  ^  qui  reponde  a  des  valeurs 
donnees  pour  x  &  pour  y  ,  c'elt-a-dire,  qu'en  affignant  dans 
I'efpace  un  point  pour  lequel  doive  pafler  la  furface.  Soient 
done  n  ,  T  &  w  les  trois  coordonnees  de  ce  point ,  il 
faudra  donner  a  <p  a  une  valeur  telle  qu'en  fefant  x  =  11 
8^  y  z=  TT ,  Ton  ait  ^  =  a  .  Ce  qui  n'ell  plus  fujet  a  aucu* 
ne  difficulte ,  &  ce  que  je  ne  fairois  pas  ici  parceque 
les  expreffions  font  trop  diffufes. 

Conjlruclion. 

Conftruire  I'equation  i  =  K-^L<pV-^M(p'W,  de 
telle  maniere  que  la  furface  courbe ,  a  laquelle  elle  appar- 
tient  ,  pafle  par  deux  courbes  donnees  ,  continues  ou  difcon- 
tinues ,  qui  aient  pour  fymboles  d'equations  ,  la  premiere 
K=  a  ,  {■  =  Z'  •  X  ,  la  itconAey  =  A  -'x  ^  i'='¥  •  x  ^  Sc 
que  cette  furface  pafle  encore  par  un  point  donne  dans 
I'efpace ,  &  au  quel  repondent  les  coordonnees  fl ,  t 
Si.  u. 
Pianche  Soient  ,  de  meme  que  dans  la  fig.  4  ,  C  A  D  \q  plan 
FIG.  horifontal  des  jc  5c  y  ,  C  u4  B  ceiui  des  x  &  {■ ,  M'  /«' 
^^  &c  s  m  S  les  courbes  a  double  courbure  donnees  par  lef. 
quelles  doit  paffer  la  furface  ,  &  dont  les  projeftions 
Q'  y' ,  M'm' ,  r  q  R  S>c  s  m"  m!"  ont  correfpondamment  pour 
lymboles  d'equ.itions  V  =  a  ,  i  ■=  F  ■  x  ^  y  =  A- a: 
&  ^  =  S'  .  X.  Soit  fjL  le  point  par  lequel  doit  de  plus  pafler 
la  luiface  ,  &  dont  les  projeftions  t  &  (/!"  font  donnees, 
ou  ,  ce  qui  revient  au  meme  ,  pour  le  quel  on  connoit 
les  coordonnes  A 11=  U,  U.  ti  =  tt  &  irjw=«.    Soit 


55 
enfin  Q  le  point  pris  a  volonte  fur  le  plan  des    x  &  jy  , 

pour  le  quel  il  s'  agit  de  conftruire  1'  ordonnee  Q  M  de  la 

furface.  Cela  pofe ,  on  conltruira  la  courbe  tttt  dont  I'equa- 

tioneft/^=  «,  la  conilante  k  etant  telle  que  cette  courbe 

paflTe  par  le  point  n  ,  &  on  la  prolongera  jufqu'  a  ce  qu'elle 

coupe  quelque  part  la  courbe  r  q  R  en  un  point  t'  ,   par 

le  quel  on  menera  ir'  k  perpendiculaire    a  1'  axe  AC,   & 

on  elevera  la  verticale  fc  y.",  qu'  on  prolongera  jufqu'  a    la 

rencontre  de  la  courbe  s  m   m" ,  On  prendra  dans  ^=  « 

la  valeur  de  j' qu' on  fubftituera  dans  les  quantiies  iC  ,  Z,  M 

&  IV ,    qui  par-la  deviendront  des  fonftions  de  x,    que 

je  fuppofe  reprefentees  par  K,  II,  M'  &  JV  ;  on  prendra 

de  meme  dans  K  =  a  la  valeur  de  y  que  1'  on  mettra   a 

fa  place  dans  les  memes  quantites  ,  &  foient  K\  L\  AP  &  Jf 

les  nouvelles  fonilions  de  x  que  donne  cette  fubftitution. 

On  tera  IF"'  ==  u  ,&cV  on  en  tirera  une  valeur  de  x  en  u 

que  j'  exprime  par  f-u,  &  que  1'  on  mettra  a  la  place  de 

X  dans  K\  V  Sc  M'  qui  par  la  deviendront  des  fonftions 

de  u  ,  que  je  deiigne  ,refpe6livement  par  h  ,1  Sc  m  .  Cela 

fait ,  les  fonftions  k  ,  I  6c  m  etant  connues  ,  on  les  com- 

pofera  en  fV ,  c'ell-a-dire  ,    que  1'  on  y  metira    par   tout 

JV    a  la  place  de  ;^ ,    &  elles  deviendront    de  nouvelles 

fondions  de  x  que  j'  indique  par  k\  I'  &  rn.  On  coullruira 

M' 
la  quantite  K'  -h  —7  (F ■  {flV' )  —  k!)    par    la  valeur 

de  x  =  ^/t  (  fig.  6  )  ,    &  on  la  rctranchera  de  la  droite 

k  yil'  pour  avoir  une  difference    que  je  reprefente    par  R. 

On  conlhuira  la  meme  quantite  pour  la  valeur  de  *  =  ^^  fl 

&  on  la  retranchera  de  la  droite  H  (ji!"  =  n  fjt. ,  pour  avoir 

une  feconde  dilFerence  r  .  Soit  A  ce  que  devient    L   lorf- 

que  X  e[\=i  A  k  ,  &  A.  lorlque  Ton  a  x  =^  fl,  foit  auffi  Q. 

M  I' 
ce  que  devient    — ;-    lorfque  xs^-=i  A  k,    8c  a  lo.fque 

X  ell=  A  n  ,  ii  foit  defigne  par  a  le  raport  lAlir  _   dar-s 

X  n  A  « 


lequel  toutes  les  quantites  font  conpues  &  conftruftlbles. 
On  conftruira  la  couibe  ^  ^  dont  I'^quatioii  ell  F'=oc ', 
•c  '  etant  tel  que  cette  courbe  palTe  par  le  point  ^,  & 
on  la  piolongera  jufqu'a  ce  quelle  rencontre  rqR  en  un 
point  q,  par  lequel  on  abbaiffera  qK  perpendiculaire  k 
i'axe  J4  C ,  &  on  elevera  la  verticale  K  m"  •  On  prendra 
dans  V-=  oc '  la  valeur  de  y  qu'on  mettra  dans  K,  Z, 
M  Scff^ ,  ce  qui  donnera  des  fonftions  de  x  que  je  indi- 
que  par  K"  ,  Z"  ,  M"  &  fp^'\  on  compofera  enW"  les 
fonftions  /t  ,  /  &:  /w ,  en  y  mettant  W'  a  la  place  de  u^ 
&  elles  deviendront  de  nouvelles  fonftions  de  x  que  je 
defigne    par    F,    /'    &    m".    On    conftruira    la  quantite 

K"  -+-  ^'  {F{fJV")—h"  —  al")  pour  une  valeur  de 

X  =  A  K  (^^g.  6)  on  la  retranchera  de  la  droite  K  ni" 
&  foit  R  la  difference  ;  enfin  on  conftruira 

K"-^   ~L"  -^~  {F{fW')  —k'  —  a  I") 

pour  la  valeur  de  x  ==  A  P ,  A'  e^ant  ce  que  devient  Z" 
en  fefant  x^=-  A  K  ,  &  Ton  aura  la  verticale  Q_  M  de- 
mandee. 

Demonjlration. 

Soit  imaginee  par  la  courbe  Q  q  une  furface  cylindrl- 
que  verticale  ,  qui  coupera  la  furface  a  conftruire  ( pour 
un  inftant  fuppofee  conftruite  )  en  une  courbe  Mm,  qui 
paffera  neceffairement  par  le  point  demande  M;  foit  ele- 
vee  par  le  point  q  la  verticale  q  m  qui  rencontrera  la 
courbe  smS  quelque  part  en  un  points,  par  lequel  doit 
aulli  paffer  I'inrerfeftion  Mm;  cela  fait  il  eft  evident  que 
la  courbe  M"  m"  projeftion  verticale  de  Mm  doit  palfer 
par  le  point  ///"  ,  &  que  Ton  aura  fon  equation  en  x  &  f  , 
en  mettant  dans  celle  de  la  furface ,  la  valeur  de  j  prife 

dans 


57 

dans  I'equation  de  la  furface  cylindnquei  or  I'equation  de 

cetre  derniere  furface  eft  y=oz',  done  celle  de  la  pro- 
jeilion  verticale  de  I'interfeftion  fera 

^  =  K'  -^L'  A-^  M"  (p'  IV" 
la  conftaiue  A  n'etant  pas  abfolue  ,  mais  une  certaine  fon- 
ftion  de  A  P  &  de  /*  Q ,  conftante  pour  tous  les  points 
de  la  courbe  Q  17  ,  mais  variable  dependamment  de  oc ' ,  & 
devant  etre  telle  que  la  courbe  M'"  rd"  pafle  par  le  point 
determine  /tz"'.  Soit  de  meme  coupee  la  furface  a  conftruire 
par  une  furface  cylindrique  verticale  qui  auroit  Q'  q  pour 
bafe,  il  eft  clair  que  I'interfeftion  fera  la  courbe  donnee 
M'  m  ^  projetee  verticalement  en  M" ni' ;  &  I'on  aura  de 
mime  I'equation  de  cette  projetlion  en  mettant  dans  la 
propolee  a  la  place  de  jy  fa  valeur  prife  dans  ^=  a,  qui 
appartient  k  la  furface  cylindrique,  on  aura  done  pour  la 
courbe  M''  rn' 

Mais  par  les  conditions ,  on  a  auffi  pour  la  meme  courbe 
^=:  F  ■  X  ,  done  on  aura 

&  en  fefant  W^  ■=  u  ^  d'ou  Ton  tire  x=fu,    on  aura 

f-  {fu)  —  k  —  la  .  ^ .  .        .     r 

<p  u  = ,  ee  qui  rait  eonnoitre    la  ror- 

m  ' 

me  de  la  fonftion  (p' ,  qui  mife   a  fd   place    dans    I'equa- 
tion   de    la    courbe    M"'  m"    la    transforme    en    celle-ci 

M'' 

l  =  K"^L"  A-^  -^  iF.if-JV")-k:'-l'a-)  qui  ne 

contient  plus  de  fonftions  arbitraires ,  mais  (implement  les 
deux  conllantes  indeterminees  A  Sc  a,  dont  la  premiere 
eft  une  conftante  relative ,  fonftion  de  «  ' ,  comme  je  I'ai 
deja  dit ,  &  don:  I'autre  eft  une  conftante  abfolue ,  fon- 
ftion  de  a  ,  &  qui  doit  etre  determinee  de  telle  maniere 
que  la  furface  pafTe  par  le  point  donne  fi.  Sou  enhn 
imaginee  une  troifieme  furface  cylindrique  verticale  ,  &  qui 
Mifc.  Taur.  Tom.  V,  h 


5^ 

ait  11  It'  pour  bafe  ,    elle  coupera  la  furface    a    conftrulre 

dans  une  courbe  /w  fx  ,  qui  paflera  evidemment  par  le  point 
donne  ja  ,  &  dont  la  projeftion  verticale  paffera  par  les 
deux  points  determines  ^"'  &  fx".  En  fefant  le  meme 
raifonnement  que  pour  la  courbe  M'"  m"  ,  on  trouvera 
que  I'equation  de  celle-ci  doit  etre 

M' 

1^=  K' -^  L  A -^  ~  (FiffF')  —  h'  —  an 

ou  la  quantity  a  eft  la  meme     que  precedemment ,    mais 

oil  A'  eft  une  conftante    indeterminee ,    fon6tion    de    oc  ; 

ces  deux  conftantes  devant  etre  teiles  que  la  courbe  paffe 

par    les    deux    points    determines  jj."'  &  ix".    11  faut  done 

qu'en  conftruifant    d'abord    pour  une  valeur    de  x  =  A  k 

cette  valeur  de   f ,  on  trouve  :^=z  k  fji."  ,  &  enfuite   pour 

une  valeur  de  ;t:  =  ^  O    ou  trouve  ^  =  11  fi"\    Done    ft 

M' 
Von  conftruit  K'  -i (i^(//F')  — /t')  pour  le  point  FI, 

on  aura  r  =  \A' — aa^  de   meme    fi    Ton     conftruit  la 
meme  quantite   pour  le  point  X: ,  on  aura  i?  =  A  y^' —  a  f2, 
d'oii   Ton  tirera   les  valeurs  Aq  A'   &  de  a  ,  on  aura  done 
r h~  R  \ 

*  —  Ka  —  hv  ' 

Ainfi  dans  I'equation  de  la  courbe  M" m" ,  il  ne  refte 
plus  d'indeterminee  que  A  ,  or  elle  doit  etre  telle  que  pour 
le  point  K  on  ait  {  =  iC  m"  ,  done  ft  i'on  conftruit  pour 
ce  point  la  quantite 

K"  -^  ^{F{f1V'')  —  U'  —  al") 

R' 
'oti  aura-iJ' =  ^  A'  &  par  confequent  A=-^,   d'oii  il 

ftiit  que  I'equation  determinee  de  la  courbe  M"'  m"  eft 


Done  en  conftrulfant  cette  valeur  de  {  pour  le  point  P, 
on  doit  avoir  la   verticale  P  M"'  =  (^M.         C.  Q.  F.  D. 

Remarque. 

1°  Je  n'ai  pas  donn^  les  conftruflions  particalieres  des 
differeates  fonftions  de  x  que  j'employe ,  parcequ'elles 
m'auroient  rendu  trop  diffus ,  &  qu'il  n'  y  a  aucun  geo- 
metre  qui  ne  fbit  en  etat  de  les  trouver. 

2°  J'ai  fuppofe  les  differences  quantites  K  ,  Z,  M,  V  $cW 
analytiques,  mais  c'etoit  pour  fimplifier  la  defcription  des 
operations ,  car  il  feroit  polfible  de  conltruire  la  propo- 
fee ,  quand  m^me  aucune  de  ces  quantites  ne  feroit  ana- 
lytique ,  &  qu'elles  ne  pourroient  etre  reprefentees  que 
par  les  ordonnees  de  furfaces  courbes  difcontinues  &:  don- 
ndes ,  foit  executees  au  hazard ,  fbit  conftruclibles  par 
quelque  meihode  analogue  aux  precedentes.  Si  je  n'entre 
pas-ici  dans  ce  detail ,  c'efl:  que  la  figure  devient  trop 
compliquee  ,  &  que  d'ailleurs  j'ai  donne  dans  le  probleme 
precedent  un  exemple  de  la  maniere  dont  il  faudroit  s'  y 
prendre. 

AUTRE  SOLUTION  DU  MEME  PROBLEME 

Tiree    de  fa  conflruclion, 

^oient  x'  &  y  les  coordonnees  pour  lefquelles  il  s'agit 
de  trouver  rexpreffioa  de  la  verticale  ^  ;  on  fera  K  =  k  , 
«e  ^tant  lel  qu'en  fefant  x  =  l\  on  ait  jy  =  a-  ^  on  eli- 
minera  y  des  deux  equations  ^=«  &c  y  ■=^  x  ,  ce 
qui  donnera  une  valeur  de  x  en  conftantes  que  je  repre- 
fente  par  ^  .  On  mettra  dans  les  quantites  K ,  Z ,  M 
S)i  IV  \di  valeur  de  y  prife  dans  V=  k  ^  &  elles  devien- 
dront  K',  Z' ,  M'  &  PF".    On  y   mettra  de  nieme  la  va- 

h  a 


6e 

leur  de  y  prlfe  dans  y=:a:,  &  I'on  aura  des  nouvelles 
fonftions  de  x  que  j'exprime  par  K^ ,  L\  M\  &i  W\ 
on  fera  ff^^=u  ,  &  Ton  en  tirera  une  valeur  de  x  en  z/, 
defignee  par  /k,  &  que  Ton  naettra  a  fa  place  dans  les 
quantites  K\  V  ,  &  TW" ,  qui  par  la  deviendront  des  fon- 
ftions  connues  de  u  que  je  reprefente  correfpondamment 
par  k  ,  I ,  &  m.  On  mettra  dans  ces  dernieres  quanti- 
tes TV  a  la  place  de  ?/ ,  &  Ton  aura  des  nouvelles  fon- 
ftions  de  x  que  j'indique  par  /:',/'  &  m  ,  &  dans  I'equatiora 

M' 
^  =  K'-hAL'-^-^  {F{fJV'  )  —  k'^al') 

Ton  determinera  les  deux  conftantes  A  &i  a  Aq  telle  ma- 
niere  i°  qu'en  fefant  x=^Y\  on  ait  ^  =  «  ,  2°  qu'en  fe- 
fant  a:  =  ^  ,  on  ait  ^  =  -4^  •  ^  . 

On  mettra  partout  dans  les  quantites  K' ^  Z' ,  M',W\ 
k\  ! ,  m  &c  ^,  x  k  la  place  de  FI ,  &  y  a  la  place 
de  T ,  &  foient  K' ,  Z",  M"  ,  ^T"  ,  k"  ,  r  ,  /tz"  &  ^'  ce 
que  deviendront  refpeftivement  ces  quantites.  On  mettra 
?'  a  la  place  de  x  dans  la  quantite 

K"  ^  ~{F(  (TV'  )—k"  —  a  I" ) 

on  la  retranchera  de  -4^  ^'  ,  &  foit  R  la  difference ,  foit 

aulfi  A  ce  que  devient  L"  en  tefant  x  =  ^',  &  I'equaiion  de- 

mandee  fera 

7?  M ' 

l=K"+^  L'  -4-  9;  iF^fW"  )-k"-a  r ) 
apres  avoir  mis  partout  x'  a  la  place  de  x. 

APPHpATION  DE  CETTE  SECONDE  SOLUTION 

All  mane  excmple  que  la  premiers. 

JL/ans  cet  example  ona^  =  o,    L=yiM  =  y'-^ 
y  =.b  X  — y,  JV=zx-¥-y,  &  par  confequent  oc  =  />  n  — t, 

d'oii  Ton  tire  ^  =      •     .  prenant    la    valeur    de   y  dans 


6t 

I  X — y  =  bn — w,   &  la  fubftituant  on  aura 

L'=b{x-n)-<-'^  I-'s=l>x-a  fuz= 

on  rrou-   , ,,       ^ ,        ,        &   pat  b  u  —  a 

iW'=(^(Ar-nh'^)'  veradc  M  =  (^v-^)*      ccnft-     /^^if—l 
inctnc  quent  b  -^  \ 

r'=,v(^-+-iWn+T  /F'-=s^(^-Hi)-<«  , C"*  *\ 

, bxib-^-i^  —  b'n-^b.r  —  a 

b  -*•  I 


, fbx{b-*-i  ) — b^-n-*-b T  —  aY 


M' 
ainfi  I'equation  i=K'-hJL'-^ (F(fPr')  —  k  —  at) 

deviendra  

z^A{bx-a)'^{bx-ay  — /^;.(^^i)Zr^n^^^_^y 

oil  les  conftantes  A  Sc  a  doivent  etre  telles    que  Ton  ait 
en  meme  terns  les  deux  equations  fuivances 

^/b-n-b.   sV^^^b^T^ry  ^r=:)—b^i~) 

ce    qui    donnera     par    confoquent    la  valeur    de  a. 


6i 

On  trouvera  aufifi 


L"=b(x  -x' )  -^y       I"  =  ^^(^-^o-^'^'-^v-^ 


^^  I 


reduftion  faite 


jF'=xib-^i)-bx'-*-y    ^'=      i^ 


^_      .^^y^)_ 

"*"  p  [^b x-y) C I -^ c)-a{b-c) X  {b-c) 
Par  confequent  I'equation 

,^  ^K"  -+-  f  £"-4-  ^  ( F  (ffrn  -k"-a  I" ) ,  oil  I' 

a  K"  =o  &  k"  =  o  deviendra  en  fefant  x  =  x' 

j{b-c-)y'      qy     cy'ibx'-y')(b-c)  ]/  BC^-^O  (^        -^ZTc        ) 

c{bx--y')        c  (T(^y-/ )(!-+- c)-a(^b-c)y 


on 


1 — <       ac)!'{bx'-y'){b+-i)  f  \^B{b -^  i  )' {a-^x' -^-f  ) 


-t- 


b  {bx'-y'  ){i'i-c)-a{b-()        {b  {x' -^  y' )  —  a^ 

ay'^  (  ^  -+-  I  ) 
b  {x'-*-y')-a 

Equation  qui  eft  la  meme  que  Ton  de'jk  trouvee  dans  I'ap- 
plication  que  Ton  a  faite  de  la  premiere  folution  au  mS- 
me  exemple  ,  &  qui  en  metiant  pour  a  fa  valeur  tirde 
des  deux  equations  (C)  &  ( /? ) ,  fera  celle  de  la  furfa- 
ee  deniandee. 


J'ai  deja  remarque  que  ce  qui  facilite  la  folurion  de  ce 
probleme ,  c'elt  cette  particularite  qui  entre  dans  les  con- 
ditions,  qu'en  fefanr  V=a,  on  ait  :i^  =:  F  ■  x  ,  la  quan- 
tite  P^  n'etant  pas  quelconque ,  mais  etant  prile  dans  la 
propofee  ;  or  les  deux  fontlions  arbitraires  (pV^  $c  <p'  IV 
n'ont  rien  a  cet  egard  qui  les  carafterife  j  done  on  refol- 
veroit  de  la  meme  maniere  la  propofee  ,  fi  une  des  con- 
ditions eroit  qu'en  fefant  TV  z=  a  on  due  avoir  ^  =  i^-x, 
I'autre  condition  etant  d'ailleurs  generale. 

II  y  a  encore  d'autres  conditions  particulieres  pour  Icf- 
quelles  ce  prob'eme  fe  refout  facilement  j  le  problems 
fiiivant  en  ell  un  exemple. 

PROBLEME    VII 

Determiner  les  fonclibns  arbitraires  dans  T  equation 
7=K-i-L(pV-f-M<p'fV,  de  telle  maniere  i"  qu'en 
tefant  Z  =  o  I'on  ait  i  =  F .  x  ,  i°  qu'en  fefant  j  =  A  •  x, 
on  ait  ^  =  -^  .  X  ;  les  quantites  X  ,  Z  ,  M ,  K  Si.  ^  erant 
donnees  en  x  &  ^  ,  &  les  quantites  F x ,  A-x  &  4^  x 
etant  des  fonftions  quelconques  &  donndes  de   x  . 

Solution. 

Son  prife  la  valeur  de  y  dans  I'equation  Z  =  o  ,  pour 

la  roettre  a  fa  place   dans   les  quantites^,  M,  V  & /F, 

&  foient  K\  M' ,  V   &  W  ce  qu'elles  deviennent  par 

cette  fubrtitution  ,  il  eft  clair  que  par  la  premiere  condi- 

Fx  -K' 

tion  Ton  aura  F  ■  x  =  K'  -h  M'  m  }F' .  ou  m'W'= 

M' 

Soit   fait  J'P'''  =  u  ,    ce  qui  donne  une  valeur  de  x  en  a 

'  que  je  reprefente  par  fu  ,    &     foit  fub;lituee  cette  valeur 

dans  la  derniere  equation ,  on  la   transformera  en  celle-ci 

F(f-  a)~k         ,     g  ,  ,         r      n-  J 

<p  u^=:. f  k  oc  m  etant  les  fonctions  de  u  que 


64 

Ton  obtient  en  mettant  dans  K'  &  M  a  la  place  de  x 

(a  valeur  /•  u.   Soient  k   &  m    les  fonftions    en  a:  &  _y 

que  i'on  a  en  mettant  TV  a   la  place  de  u   dans  ^  &;7z, 

F  ( f-  W^)  —  k' 
&  Ton  aura  (p'  ^= -; j   done   la  propofee  fe 

transformera  en 

^- =  is:  4- z  <p  r-4- ^  ( i^ (//T)  —  yt' ) 

dans  laquelle  il  n'  y  a  plus  qu'une  fonftion  arbitraire  ,  que 
Ton  determinera  comme  dans  les  problemes  precedens. 
Pour  cela,  foient  K\  L\  M\  V\  JV\  'k  &  W  ce 
que  deviennent  les  quantites  A"  ,  Z,  iW,  V,  W^k'  &[.ni 
en  mettant  pour  y  fa  valeur  A  •  x  j  par  la  feconde  con- 
dition ,  la  derniere  equation  deviendra 

■^  .  X-  K'  -  ^  {F  {fW^)-'k  ) 
d'oix  Ton  tirera  <p  F'^:= . 

Soit  fait  K' =  V ,  foit  x=f'v  la  valeur  de  x  que  don- 
ne  cette  equation  ,  &  foient  K  ,  V  ,  M'\  W^^ ,  k  &  'V 
ce  que  deviennent  les  quantires  K\  L\  M\  fF'\  ^k  &  W  , 
en  mettant  /'  v  a  la  place  de  x  ,  &  la  derniere  equation 
(e  transformera  en  celle-ci 

■q^(f'v)  —  K''^^  iFCffT'  )  —  ''k  ) 

qui  fera  connoitre    la   forme    de  la  fonftion  <p  ■  v  .    Soit 
done  mis  V  k  h  place  de  v    dans  le  fecond  membre    de 
cette  equation  ,  &  foient  K"' ,  Z"  ,  M''' ,  fV\  "' /t'  &  ''W  ce 
qu'en  deviennent  tous  les  termes    par    cette    fubiUtution  ,  ■ 
ii  eft  evident  que  I'equation  demandee  fera 


D'apres 


65 

L.  in  m 

C.  Q.  F.  T. 

D'apres  tout  ce  qu'on  a  vu  jufqu'ici ,  la  conllruttion  de 
ce  probleine  n'a  rien  qui  doive  arreter.  De  plus ,  il  eft 
facile  d'appercevoir  que  ce  probleme  fe  refolveroit  de  la 
meme  maniere ,  li  la  premiere  condition  etoit ,  qu'en  fe- 
fant  M=  o   on  due  avoir  :j^=  F  x. 

PROBLEME    VIII. 

Determiner  quelles  doivent  etre  les  formes  des  fonftions 
arbitraires  (p  ,  ip'  ,  (p"  •  •  •  &c.  dans  I'equation 
l  =  H-*'K<pr-^L(p'  JF-^  M<f>"  fr-+- N<p'"  JV---  &c. 


pour  qu'en  fefant  i°W=za,        Ton  ait  ^:=F-x, 
2<»  y  =  A  •  X,  .   .   .  .   ^^=^  •  X 
3°  ^  =  A'  •  X  .  .  .  .   :[=  y  •  X 
4?  ^  =  A"  X  .  .  .  .     ^  =  •>^"  X 
&c.  &c. 

le  nombre  des  conditions  erant  egal  a  celui  des  fonftions 
arbitraires,  les  quantites  H,  K  ,  L  ,  M ,  N,F  tk  JF  etant 
donnees  en  x  &  j  ,  &  les  fondions  i^,  A  ,  A',  A"  •  •  •  &c. , 
•4'" ,  •4'' ,  V' . . .  &c.  etant  de  formes  connues. 

Solution. 

Soit  prife  dans  W=  a  la  valeur  de  y  que  Ton  raettra 
h  fa  place  dans  les  quantites  H^  K  ,  L,M,  N...ScF, 
&  foient  H\K'  ,L'  ,M'  ,N  ...  &  F'  les  fonftions  de  x 
que  donne  cette  fubltitution ,  on  aura  par  la  premiere  con- 
dition 

F .  X  =  H'  -^  K'  cF'  -^  L  y4  -h  M'  B  -h  N'  C . . .  &c. 
Equation    dans    laquelle    les  conllantes  ^ ,  -5  ,  C  . .  .  &c. 
Mifc.  Taur.  Tom,  V,  i 


66 

font  des  conftantes  indeterminees  &  qui  donne 

F  «  —  H'—U  ^  —  M'B  —  -N'C...&c. 

<pV'  — Y'  ' 

Soit  fait  aftuellement  F=m,  &  foit  tiree  de  cette  Equa- 
tion la  valeur  de  x  en  k  que  je  reprefente  par  f-u,  foit 
mife  cette  valeur  dans  H' ,  K\  L  ,  M\  N' . , .  &cc.  &c 
foient  A,  h  ^  /,  wz,  n.  . .  &c.  les  fonftions  de  u  que  de- 
viennent  refpeftivement  ces  quantites  ,  I'equation  preceden- 
te  fe  transformera  en  celle-ci 

F{f-u)-h-al  ,-Bm-Cn &c. 

<?  "  = -^ 

Dans  laquelle  on  connoitra  la  forme  de  la  fonftion  (p , 
qui ,  mife  a  fa  place  dans  la  propofee ,  la  rendra  ,  de  la 
meme  forme  que  celle  du  probleme  IV,  &  par  confequent 
traitable  par  la  meme  methode. 

Quant  aux  indeterminees  A  ,  B  ,  C . .  .  &c.  qui  reftent 
apres  I'operation ,  elles  indiquent  que  les  conditions  du 
probleme  ,  contenues  dans  I'enonce  ,  ne  fuffifent  pas  pour 
determiner  la  furface  a  laquelle  appartient  I'equation  ,  mais 
qu'il  faut  encore  donner  outre  cela  autant  de  points  dans 
I'efpace  par  lefquels  doive  pafler  cette  furface ,  qu'il  y  a 
des  quantites  arbitraires,  fontiions  dc  TF",  dans  la  propofee. 

Cette  folution  eft  trop  (imple  par  elle  meme  pour  avoir 
befoin  d'etre  eclaircie  par  un  exemple. 

Remarque. 

Quoique  les  fonftions  i^,  A ,  A' ,  A", .  .  •  --f-  -f-'  ^f-"  .  .  .  &c. 
puiffent  etre  de  formes  quelconques  ,  il  faut  neantmoins  , 
pour  qu'il  n'y  ait  point  de  conllru6tion  dans  les  condi- 
tions ,  que , 

X  etant  la  valeur  de  x  que  Ton  a  en  Eliminant  y  de« 
deux  equations  W=  a  &  j  =  A  .  jc  , 


I 


X'  celle    que    I'on    a    en    dliminant  y    des    equations 

W=  a  &  ^  =  A'  AT , 
X'  Ce!!e    que  Ton    a    en    eliminant  y    des    equations 

^=a   &  jy  =  A^'at 

Ton  ait      F   X  ^  "if  X, 

F-  X'^-^'X' , 

F-  X"=  -^"X" 
&c-  &c. 

Ceci  eft  analogue  k  la  remarque  du  piobleme  V  ,  &  pa* 
roitra  d'ailleurs  evident  par  la  conftruftion  fuivance 

Conjiruciion, 

Conftruire  I'equation  ^^H-^  K (pF-h  Lp'lF-h  M([>"TF 
•+•  N (p"  .  .  .  &c.  De  telle  maniere  que  la  furface  a  laquel- 
le  elle  ap'partient  pafte  par  autaiit  de  courbes  a  double 
courbures  donnees  ,  continues  ou  difcontinues ,  qu'il  y  a  de 
fonftions  arbitraires  dans  I'equation  ,  les  fymboles  d'equa- 
tions  de  ces  courbes  etant 

pour  la  premiere  W^=:a         Sc  :[  =  F  ■  x 
pour  la  feconde      y  =A-x&  {^  =  ^-x 
pour  la  troifieme  y  =  A' •  x  &  ^=-^'  ■  x 
pour  la  quairieme  y  =  ^'  x    &  {  =  "4^"  jf 

&c.  &c. 

&  que  cette  furface  pafle  encore  par  autant  de  points 
donnes  dans  I'efpace ,  qu'il  y  a  de  fonflions  de  fF  dans 
la  propofee  ,  en  forte  que  11 ,  t  &  w  foient  les  coordon- 
nees  du  premier  de  ces  points  IT ,  t'  &  5^  celles  du  fe- 
cond ,  n" ,  t'  &  a"  celles  du  troifieme  &  ainfi  de  fuite. 
Pour  fimplifier  la  defcription  des  operations  ,  i°)'aifup- 
pofe  dans  la  figure  que  le  nombre  des  fonftions  arbitraires 
&  par  conftquent  celui  des  courbes  a  double  courbure 
donnees ,  ne  fiit  pas  plus  grand  que  quatre  ,  mais  il  fera 

i  1 


68 

facile  d'appercevoir  que ,  quelque  grand  que  pfit  etre  ce 
nombre  ,  les  operations  ,  pour  Stre  plus  longues ,  n'en  fe- 
roient  pas  plus  difficiles .  2.°  je  regarderai  comme  analyri- 
ques  toutes  les  quanrites  H  ,K  ,  L  ,M ,  N ,  •  ■  •  ■  V  &  IV, 
quoique  la  propofee  fut  ccnftruftible ,  dans  le  cas  meme 
oil  toutes  les  quantites  feroient  difcontinues ,  &  ne  pouf- 
roient  fe  reprefenter  que  par  les  ordonnees  verticales  des 
furfaccs  couibes  difcontinues ,  foit  execurees  au  h-izard , 
foit  donrtruites  comme  celles  des  problenies  precedens.  Si 
je  ne  conllruis  pas  !e  prob'eme  dans  cette  generalite  ,  c'ell 
que  la  figure  deviendroit  d'une  enorme  complication  ,  & 
que  d'ailkurs  j'ai  donne  dans  le  probleme  V  un  exemp!e  de  la 
maniere  dont  on  doit  operer  fur  ces  quantites.  Je  fuppoferai 
done  feulement  les  fonClions  F,  A,  A",  a"  •  •  •  '^  "4^'  '4^"  •  •  •  &c. 
Planche  ^i^*^0"^'"ues. 

IV  Enfin  ,  pour  abbreger  je  vais  donner  la  conftru6lion 
yjj"  telle  qu'elle  n'ait  pas  befoin  de  demon'lration.  Soi'ent  CA  D 
le  plan  horifontal  des  x  &  jy  ,  &  BAC  celui  desx&f, 
que  jw,"'  M'^'  m'  foit  la  courbe  dont  les  projeftions  ont 
pour  fymboles  d'equations  Jf^=a,  :^  =  F  •  x ,  &  foient 
K^'  Q'"  ^''■' .  iV^''  ^/Y""  n''  ces  projettions.  Soient  fj.^'^ iji. y!  jw"]!*'' 

la  courbe  dont  les  projections  K"  K  K'  K"  K"'  & 
iV"'  N  N'  N"  N"'  ont  leurs  equations  rcprefentees  par 
j  =  A.xSc  i  =  -^-x:  ^ir  M^H'  M"  S\C"'  celle 

dont  les  projeaions  Q"  Q  Ql  Q."  Q"  ^^"'SYSA^'  3V"^"' 

ont  pour  equations  y  z=  a'  •  x  8c  :(  =  '^'  •  x,  m"  m  m  ni  ni" 
celle  dont  les  projeflions  4'  <1^  'l'  4"  ^  n'^' -n  n  n"  n"'  ont 
pour  e  [uation  j'  =  a"  x  &  ^  =  •+•"  a:  •  •  •  •  &  ainfi  de 
fuite.  11  eft  evident,  puifque  toutes  ces  courbes  font  fur 
la  meme  furface ,  qu'au  point  K'^'  I'ordonnee  verticale  de 
la  courbe  ^'"^5^/^''/72"  &  celie  de  la  courbe  f*'" /x  jw' /a"  n*" 


69 

doivent  ^tre  egales  :  que  de  meme  au  point  Q'" ,  celle  de 
la  premiere  courbe  &  celie  de  la  courbe  ^^'"'  ^f  ^J^ ' 

^^"  ^"  doivent  etre  egales  :  qu'au  point  q^  celle  de  la 

meme  courbe  &  celle  de  /w""  m  m  v{  m'"  doivent  etre  ega- 
les —  ••  &  ainfi  de  fuiie.  Cell  le  fujet  de  la  remarque 
precedente. 

Soient  £,  /",  G---  &c,  les  points    donnes  par   lef- 

quels  doit  pafler  la  furface ,  &  dont  le  nombre  eft  egal 
a  celui  des  arbicraires  ,  fonftions  de  JV ^  contenues  dans 
la  propofee  ,  de  maniere  que  Ton  ait 

A  F  =  n    A  P'  =  n'   A  P"  =  n" 

P'q  =  Tr     P"  Q"  =  7r'     P'"  Q^'^-k" 

Soient  £' ,  F,  G  •  •  •  •  t!^c.    leurs    projedlions    verticales  . 
Enfin  foient  AP  &  /*  Q  les  deux  coordonnees  x    ^   y 
donnees  a  volonte ,  pour  lelquelles  il  s'agit    de  conftruire 
la  venicale  QAI={.  Cela  pcfe  ,  on  conftruira   la  courbe 
K  Qq  qui  ait  pour  equation    ?F==  «  ,    «.   etant  tel     que 
cette  courbe  pafle  par  le  point  determine  <2 ;   cette  cour- 
be coupera  les  proj_'cl;ions  horifontales  des  courbes  donnees 
en  des  points  K  Q<]  ■  ■  ■  &c.  par  lefquels  on  abbaiiTera  des 
perpendiculaires  fui   I'axe  AC  qui  le  rencontre ront  en  des 
points  p  ,  v  ,  u  •  •  ■  &c.  par  lefquels  on  elevera    des    ver- 
ticales p  N,  -n  ^t  uu  •  •  '  &c.  J  qu'on  terminera  aux  pro- 
jections verticales  des  courbes  correfpondantes.  Soient  ima- 
ginees  par  les  points  K  Q^q  •  •  •  &c.  des  verticales  terminees 
^ux  courbes  a  double  courbure  correfpondantes ,  il  eft  clair 
que  Ton  auta  p  N=-Kn,  it ^y=Q_  J/^,  a  n^=q m  •  ■  ■  &c. 

Que  Ton  imagine  une  furface  cylindrique  verticale  qui  ait 
la  courbe  K  Q^q  •  ■  •  pour  bafe  ,  elle  coupera   la  furtace  a 


70 

conftruire  ,  &  fuppofee  pour  un  inftant  conftruite ,  en  une 

courbe  fj,  ^'j^rn ,  qui  paffera  evidemment  par  le  point  de' 

mand^  M,  &  de  la  projeftion  verticale  de  laquelle  oh 
aura  requation  en  mettant  a  la  place  de  y  dans  la  pro- 
pofee  ,  fa  valeur  prife  dans  JV-—  ck.  ^  qui  appartient  a  cet- 
te  furface  cylindrique.  Soit  N ^/y  n  ceite  projeftion  verti- 
cale ,  &  H\K\L\M\^r---  F'  les  fonftions  de  x 
que  Ton  obtient  en  mettant  dans  H,K,L,  M.)N---Scy 
la  valeur  de  j  dont  on  vient  de  parler ,  il  eft  clair  que 
I'equation  de  la  courbe  N  ^y  n  fera 

(A)  Z—W-^K'<pV'-^r<p-  X  -»-M>"oc  -HiN^VV  ■■■&€. 
qui  ne  contient  plus  qu'une  fonftion  arbitraire  pV,  puif- 
que  les  quantites  p  «  ,  (p'oc  ,  (p"' «  .  . .  font  des  conftart- 
tes  indeterminees  ,  &  qui  doivent  etre  telles  que  la  courbe 
N  ^/yn  paffe  par  les  points  determines  N^^/Y",  n  .  . .  &c. 

II  faut  (implement  remarquer  que  ces  indeterminees  ne  font 
conltantes  que  pour  toutes  les  verticales  Q  M  qui  paffent 
par  la  courbe  K  Q^q ,  pour  laquelle  on  a  «  =  conltante  , 
mais  qu'elles  feroient  variables  dans  le  paffdge  de  ces  ver- 
ticales a  d'autres  pour  lefquelles  la  quantite  oc  feroit  dif- 
ferente.  Ce  ne  font  a  proprement  parler  que  des  conftan- 
tes  relatives. 

Or  la  fonftion  <p  V^  doit  etre  de  telle  forme  que  C\  la 
courbe  K  Q^q  etoit  la  meme  que  K" Q"  q"' ,  e'eit-a  dire 
que  (i  Ton  avoit  fait  «  =  a  ,  on  eut 
P  ■  x=i  z  =  K  -t-  K  (pV'  -*-  L  <p'  K  -^7W"<p"oe  -t-N'fy'K  ■■'■&(. 
Soient  done  H' ,  K\  L' ,  M'  ,N' . .  .F'  Les  nouvelles  fon- 
ftions  de  x  que  Ton  trouve  en  mettant  a  la  place  de  <x 
dans  H\K\,  Z',  M\  N\  . .  F\  ou  ce  qui  revient  au 
m^me  en  mettant  dans  H  ,K  jZ  yM ,  N.  .  .F  k  la  place 


7« 

de  y  fa.  valeur  prife  dans  I'equation  ^=  a  .  on  aura 
F  ■  x=H'  -i-K-  (pT'  -h-L'  (p'  a-*-  M'  <p'  a  ■*-  N'  (p'"  d  •  ...  &(. 

,        „       .             ,^      F.x-H'-I.'(p'd-M'<p"a--N'(p-"a- -.&£. 
d  ou  1  on  tirera  <p  K  e= j^, 

Equation  dans  laquelle  les  quantites  (p'  a  ,  <p"  a  ^  <p"'  a  .  . .  &c. 
font  des  conllantes  abfolues  ,  puifque  a  eft  une  conftante 
donnde  par  les   conditions. 

Soil  fait  aftuellement  V^  =  u ,  &  foit  x=f-u  la  va- 
leur de  X  que  donne  cette  Equation  ,  on  fubftituera  cette 
valeur  dans  les  quantites  F .  x  ^  H' ,  L\  M' ,  iV'  . .  . .  K'  ^ 
qui  deviendroiit  des  fonftions  connues  de  u  ,    que    je  re- 
prelente  correfpondamment  par  F  {f .  u),k^l,m,n...k 

.    „                             F{fu)~h-l<P'A-m<p"a-n  (p'"  a 
&  I  on  aura  <p  u=i r 

D'oii  il  fuit  qu'aux  conftantes  pres  <p'  a,  (p"  a  ,  <p"'  a  . ..  &c. 
qui  rellent  indeterminees  ,  la  forme  de  la  fonclion  cp  fera 
connue.  On  la  fubllituera  a  fa  place  dans  I'equation  (A) , 
&  Ton  aura  la  valeur  de  ^  en  x  ,  c'eft-a-dire  I'equation  de 
la  courbe  N  ^''  n  lans  fonftions  arbitraires.  Pour  cela  foit 

mis  V  a  la  place  de  u  dans  les  quantites  h^  h  ^l  ^m  ^n  . .. &c, 

&    foient    reprefentees    par  A'  ,  1C ,  t ,  m\  n  .  . .  &c.    les 

nouvelles  fonftions    de  x  que  donne    cette    operation    on 

_..        F  (fV  )  -  "A  -  V  (p'  a-m'  <p"  a-ti  <p"'  a 
aura  <p  K  = 

d'oii  il  fuit  que  I'equation  (A )  deviendra 

(B)  {=^"-l-f  {F  ifV')-  'k-'l<p'a-  m'  <p"  a'-n<p'"a.  ..  &c.) 

-t-  Z'  (p'  oc  -+-M'  (p"  K  -*-  N^  <p"  oc . . . .  &c.  oil  les  fonftions 
indeterminees  de  a  font  des  conrtantes  abfolues  qui  de- 
pendent de  la  pofition  des  points  doiines  E ,  F  ,G  .  .  . .  &c. 
&  oil  les  fonchons  indeterminees  de  oc  dependent  de  la 
pofuion  des  points  N  ^y «...  &c.  Or  ces  derniers  points 


7» 

font  toujours  les  memes  tant  que    «  ne  varie  point ,  c'eft- 

a-dire  tant  que  le  pie  de  I'ordonnee    Q  M  k  trouve  fur 

la  meme  courbe  K  Q^q ;    mais    il  changent    de    pofition 

lorfque  «  varie  ,  quoique  d'gilleurs  ils  doivent  toujours  fe 

trouver  correfpondamment  fur  les  courbes  N'" N N' N"  N'" . . . 

^r"  SV  ^'  5\'"  ^"'  • .  •  ^''  n  n  n"  n'"  . . . 

Cette  valeur  de  ^  ne  peut  fe  conltruire  que  Ton  n'ait 
au  paravant  conllruit  toutes  les  indeterminees  <p'  a  ,  <p"  a , 
<p"'  a  ,  .  .  <p  oc ,  (p"  oc ,  <p"  oc  . . .  &c. ,  en  commeiigant  par 
les  fon6lions  de  a  , 

Pour  cela  ,  foit  conftruite  la  courbe  K'  Qq  dont  I'equa- 
tion  eA  ^=oc',  oc'etant  tel  que  cette  courbe  palTe 
par  le  point  donne  Q' ,  ou  qu'en  fefant  x  =  n ,  on  ait 
y  =  T  ;  &  par  les  points  K\Q^  ,  q  ,  .  .  &c.  ou  elle  coupe 
les  projeftions  honfontaies  des  courbes  donnees,  foient 
menees  des  perpendiculaires  a  I'axe  AC,  qui  le  rencon- 
treront  en  des  points  p\  tt'  ,  a\  .. ,  par  lefqueb  foient  ele- 
vees  les  verticales  p'  N'  ,  n'  ^/y"  ,  ^'/z' , . . .  qu'on  terminera 

aux  projections  verticales  correfpondantes  cnN',^Y",  n  ...  &c. 

Soient  auffi  elevees  par  les  points  K' ,  Q  ,  q' .  . .  des  ver- 
ticales qu'on  terminera  en    y,' ,  ^^^ '  ,  m  . .  .  aux  courbes 

a  double  courbure  correfpondantes.  Cela  fait ,  que  Ton 
imagine  par  la  courbe  K'  Q^  q  .  .  .  une  furface  cyliudrique 
verticale ,  elle  coupera  la  furface  a  contlruire ,  fuppofee 
pour  un  inftant  conftruite  ,  en  une  courbe  fx  ^'\^'  m' ,  qui 

paffera  par  le  point  donne  E ,  &  dont  la  projection  ver- 
ticale N^^y'n  paffera  par  les  points  determines iV',^|/*'  «'..., 

en  meme  tems  que  par  le  point  E' ,  projedion  verticale 

da 


7  ^ 

du  point  £.  Or ,  puifque  cette  courbe  eft  dcterminee  par 
les  memes  proccdes  que  la  courbe  N  ^yn  ,    &  qu'elle 

n'en  differe  que  parceque  Ton  a  fait  W=  «  '  au  lieu  de 
W^=  K  ,  on  aura  fon  equation  en  mettant  partout  dans 
I'equatioii  (B)  « '  a  la  place  de  « .  Soient  done 
H' ,  K' ,  r  ,  M''  ,N\..  .V' ,  ^'k  ,  7^ ,  ■  V  ,  ni'  ,n\..  &c. 
ce  que  deviennent  les  fonftions  de  x 

H\K\L\M\N\..  F\  'k,'h,'l,m\  n\  . .  &c.  en  y 
mettant  «  '  a  la  place  de  oc ,  &  I'equation  de  la  projeftioa 

N  SY  ^'  ^^'■^ 

(C)  ^  =  fl"  ^-f-  -|^  (  /"  (/r^O  -  /^"-^"  a?  <^-r^i^  <p''a-;z>'"  a.) 

-f-  Z^'  (p'  0=  '  -t-  Af^^  (p"  oc '  -+-  iV'\p"'  oc '  .  .  .  (S'c.  oil  les  conftan- 
tes  ,  fonftions  indeterminees  de  a  font  les  memes  que  dans 
Tequdtlon  iJB) ,  mais  ou  les  fonftions  de  oc '  doivent  etre  telles- 
que  la  courbe  A'"',  j5^j/*',/z'pafre  par  les  points iVj^jy , ;z'..  .6-c. 

Soit  done  conftruite  la  quantite  W-^  ^  (  F  (/F"  )  -  '"A) 

pour  une  valeur  de  A:==n  =  -(^P,  &  foit  retranchee  de 
P  £'  (  =  ^  )  la  droite  dont  cette  quantite  eft  I'expreffion, 
pour  avoir  un  premier  refte ,  que  je  reprefente  par  Ry 
il  eft  clair  que  I'on  aura  I'equation   fuivante 

(Z?)  i?  =  -^  (  —  7  <p'  a  —  rri-'  <p"  a  — /z"  <^"  a....&c.)) 

-t-  r>'  0=  '  H-  M''  <p"  oc '  -^-  iV"  <f>"'   ^'  ...&c. 

X  etant  fait  =11  =  A  P. 

K' 
Soit  conftruite  la  meme  quantite  H"  -+-  -:^  (F^fV^  )  -  /O 

pour  la  valeur  de  x  =:  j4  p' ,  &  qu'on  la  retranche  de 
f  N'  pour  avoir  un  fecond  refte  R' ,  on  aura  une  fecon- 
de  equation. 

Mifc,  Taur,  Tom,  V.  k. 


(£)  R'=:~  (  —  t  (pa  —  m^'  <p"  a  —  ri^  <p"'  a  -  - --  &c.) 

^  Z>'  «  '  -1-  M''  (p"  cc  '  H-  N''  (p"'  cc  '  •  •  .  &c. 
X  etant  fait  =  A  p' 
On  conftruira    la  meme    quantite    pour    la    valeur    de 
xi=  A  Tt' ,  &  on  la  retranchera  de  tt'  ^'",    ce  qui  don- 

nera  un  troifieme  refte  R'  &  par  confequent  une  troifieme 
equation 

(iT)  iJ"  —   ^  (  —  t  q>'a  —  nr  <p'  a  —  n''  <p'"  a  .  ..&c.) 

•*-r<p'   cc  '  -»-  M"  <P"  =>=  '  -4-  A7"  <P"'  «  ' .  .  .  £.c. 
X  etant  fait  =  A  ir' 
On  conftruira  la  meme  quantite  pour  la  valeur  Aqx  =  Au\ 
on  la  retranchera  de  la  verticale    a  n' ,    ce    qui    donnera 
un  quatrieme  refte  R"  ,  &  par  confequent  une  quatrieme 
equation. 

(G)    R"  =   -^  (  —  r^  <P'  a  —  //z''  (p"  a  —  «''  (p'"  a  .  . .  6'C.  ) 

-*.  Z>'  «  '  -H  M'  <p"  oc  '-f-  iV^'  <P"'  «  ' . . .  (S-c. 
X  etant  fait  =  A  a 
En  continuant  ainfi  de  fuite  ,  jufqu'a  ce  qu'on  ait  opere 
pour  tous  les  points  N\^Y\  n'  ...&c.   dont  le  nombre 

eft  egal  a  celui  des  fon£tions  arbitraires  (p  ,  <p"  ,  <p"' . . .  &c., 
on  aura  autant  d'equations  &  une  de  plus  qu'il  y  a  d'in- 
determinees  fonftions  de  k  '  dans  I'equation  (C)  ;  on  les 
eliminera  ,  &  il  reftera  par  confequent  une  premiere  equa- 
tion en  <p  a  ,  tp"  a  ,  <p"'  a  . .  .  &c  conftantes. 

11  faut  bien  remarquer  que  les  feconds  membres  des  equa- 
tions (D)  ,  (£■)  ,  (F)  ,  (G)  . . .  &c.  ne  font  pas  les  me- 
mes  quoi  qu'il  foient  exprimes  par  les  memes  carafteres, 
il  font  tous  des  conftantes  differentes ,  &  on  trouve  le  pre- 
mier, en  donnant  a  A- la  valeur  A  P  ,  Iq  lecond,  en  fefant 


75 
x=iAp...&c.  J'ai  ete  oblige  d'employer  ici  les  memes 

carafteres  pour  des  quantices  differences  ,  pour  ne  pas  trop 

en  multiplier  la  variete. 

On  conilruira  la  courbe  K''  Q"  q"  ,   dont  I'equation  eft 

JV-=i  '^"  1    oe "  ^tant  tel  que  cette  courbe    paffe    par    le 

point  donne  Q"  ,  ou  qu'en    fefant  at  =  IT  on  ait  y  =  7r', 

par  les  points   K' ,  Q" ,  q"  . .  .  &c.  par  lefquels  elle  cou- 

pera  les  projeftions  horifontales  des  courbes  donnees  ,  on 

abbaiffera  des  perpendiculaires  a  I'axe  A  C ,  qui  le  rencon- 

treront  aux  points  p"  it"  u"  . .  .  &c.  par  lefquels  on  elevera 

les  veriicales  p'  N"  ,  it''  SV" •>  ^"  "■"••'  <^c.    qui    decermi- 

neront  les  points  N'\  ^/Y"  n   . . .  &c.  On  imaginera  par 

la  courbe  K"  Q"  q"  une  autre  furface  cylindrique  verticale 
qui  coupera  la  furface  a  conftruire  dans  une  autre  courbe 
fjt,"  M"  m"  ,  qui  paflera  par  le  point  donne  F,  &  dont  la 
projeftion  verticale  N"  ^/y"n"  paffera  neceffairement    par 

les  points  N"  ,  jJV  >  ^'  •  >  •  <S'c.  ainfi  que  par  le  point  F  . 

On  fera  pour  cette  courbe  les  memes  operations  que  I'on 

a  faites   <ur  la  courbe  N'  ,^/y,  «' ,    &    I'on    trouvera    un 

meme  nombre  d'equations  analogues  aux  equations  (D)  , 
(£)  ,  {F)  ,  (G)  ...  en(p'  a,  q,"  a  ,  (p"'  a  .  . .  q,'  «  "  ,  ^"  ^  ", 
(p'"  <K  "  ;  on  eliminera  les  fonftions  de«",  &  Ton  aura  une 
feconde  equation  en  <p.'  a',   <p"  a  ,  <p"  a  .  . .  Sc  conftantes. 

On  conilruira  la  courbe  K"  ,  Q'"  q"  dont  I'equation  eft 
Tf^=  ce  "' ,  oc '"  etant  tel  que  cette  courbe  palTe  par  le 
point  donne  Q'"  ,  &  Ton  fera  pour  elle  les  memes  ope- 
rations que  celles  que  Ton  a  faites  jiour  les  courbes  K'  Q  q 
&  K"  QT  q" ,  &  Ton  parviendra  a  une  troilieme  equa- 
ti on  en  <p'  a  ,  <p"  a  ,  <p"  a  .  . .  &C  conltantes. 


7«  .  ,  ... 

En  continuant  ainfi  de  fuite  ,  on  trouvera  entre  les  quan- 

tites  (p'  a  ,  (p"  a  ,  (f)'"  fl  .  ■.  .  •S'c.  autant  d'^quations  qu'il  y  a 
de  points  donnes  Q'  ,Q" ,  Q"' .  . .  &c. ,  c'eft  a-dire  qu'il  y  a 
de  fon6l:ions  arbitraires  de  fF"  dans  la  propofee  ,  ou  qu'il 
y  a  d'ilideterminees  fon6lions  de  a  dans  requation  (B  )  . 
On  pourra  done  trouver  la  valeur  de  chacune  d'elles  en 
particulier  ,  &  les  conftruire  routes.  Ainfi  dans  I'equation 
(£)  il  ne  reilera  plus  a  determiner  que  les  fonftions  in- 
determinees  de  k  . 

Or  on  a  deja  vu  que  ces  conftantes  doivent  etre  telles 
que  la  courbe  N^yn^  a  laquelle  appartient  cette  equa- 
tion ,  paffe  par  les  points  determines  N^  ^jy,    n  . .  .  &c. 

Soit  done  conftruite  la  quantity 

H'-~{F  ifr  )-h'-t(p'a^  m'  cp"  a-^n'  q)"'  a...  &c.) 

pour  la  valeur  de  x  =z  A  p  ^  &  apres  avoir  mis  a  la  pla- 
ce de  (p'  a  ,  (p"  a  ,  (p" a  .  .  .  &c.  leurs  vaieurs  que  Ton  vient 
d'enfeigner  a  trouver.  Soit  retranchee  la  droite   dont    elle 
eft  I'expreffion  de  la  verticale  p  N .,    ce    qui    donnera  un 
premier  refte  que  j'exprime  par  r  ,  &  Ton  aura 
r  —  r(p    cc   -t-  M'  (p"  oc   ■+•  i\^'  <p"'  0=   ...&c., 
X  etant  fait  =  A  p  . 
On  conftruira    la  meme    quantite     pour    une    valeur    de 
X  =  A  TT  ,  on  la  retranchera  de  la  verticale  t  ^y,  ce  qui 

donnera  un  fecond  refte  r' ,  &  Ton  aura  une  feconde 
equation 

r'  =  L<p    <K  ■+■  M'  <f)"  cc  -H  iV>'"  oc  ...  &c. 
X  etant  fait  =  A  ir  . 
On  conftruira  la  meme<[uantite  pour  la  valeur  de  x  =  A  tS, 
on  la  retranchera  de  la  verticale   u  n  ,  ce  qui  donnera  un 
troifieme  refte  r".  &  Ton  aura   une  troifieme  equation 


77 

X  6tant  fait  =  A  at . 
En  continuant  ainfi  de  fuite  ,    on    parviendra    a    avoir 
autant  d'equations    en  (p  <k  ,  (p"  k  ,  ip'"  «    •  .  .  &c.    Sc    con- 
ftantes  qu'U  y  a  de  points  determines  iV",  SV  >  «  •  •  •  par 

lefquels   doit  paffer  la  courbe  N  ^^V'' ?  c'eft-a-dire,  autant 

qu'il  y  a  de  fonftions  indeterminees  de  k  dans  I'equation 
(^B) .  II  fera  done  poffible  de  trouver  la  valeur  de  cha- 
cune  d'elles  en  particulier  ,  tk  les  conftruire  ;  on  pourra 
par  confequent  conttruire  Teqaacion  (iff),  c'eft-a-dire  lit 
courbe  N  ^y  n  . 

Enfin  cette  courbe  etant  conftruite  ,  on  elevera  par  Ic 
point  P  la  verticale  P  M'  qu'on  terminera  a  la  courbe 
N  ^  n  ,  on  fera  Q  M  =  PM  ,  &  le  point  M  fera  dans 

la  furface  demandee.  C.  Q.  F.  T.  &  D. 

On  me  reprochera  peutetre  d'employer  du  calcul  dans 
une  conftruftion  ,  fur  tout  apres  avoir  avance  qu'elle  fe- 
roit  pofTible,  qunnd  meme  il  n'y  auroit  dans  la  propofee 
aucun  fafteur  analytique  ,  mais  j'ai  ete  oblige  d'avoir  re- 
xiours  a  ce  moyen  pour  abreger  des  details  qui  auroient 
confiderablement  allonge  la  defcription  des  operations , 
d'ailleurs  le  nombre  des  courbes  qu'il  eut  fallu  faire  entrer 
dans  la  figure  pour  fuppleer  au  calcul  ,  I'eut  tellement  com- 
pliqut^e  qu'il  eut  ete  difficile  de  s"y  reconnoitre.  Neant-moins 
toutes  les  operations  analytiques  ne  tombent  que  fur  les 
quantites  que  j'ai  fuppofe  analytiques  au  comm-encement  de 
la  conllruftion.  De  plus  une  droite  ,  dont  rexpreffion  n'ell 
pas  analytique ,  etant  conftruite ,  on  peut  en  mefurer 
I'etendue  a  I'aide  d'une  echelle ,  &  la  faire  entrer  dans  le 


78 

calcul.  J'avoue  que  ce  moyen  eft  peu  g^ometrique  &  Inu- 
fitd  dans  les  conftruftions  ,  &  que  ce  probleme  ne  peut- 
pas  etre  conftruit  plus  elegamment  que  par  la  methode  que 
j'ai  expofee  dans  la  remarque  qui  fuit  la  conftruftion  du 
probleme  V. 

Je  pourrois  donner  ici ,  comme  dans  les  problemes  pre- 
cedens  une  feconde  folution  atialytique  ,  independante  de 
la  premiere ,  &  tiree  de  la  conftruction  ,  mais ,  apres  tout 
ce  qui  precede ,  elle  ell  trop  facile  pour  que  je  m'y  are- 
te d'avantage. 


SECOND    MEMOIRE  " 

Sur  k  cakul  integral  de  quelques    equations 
aux  differences  panielles. 

Par  M.'  Monge. 

JLndependamment  de  1'  utilite  du  calctil  integral  des  equations 
aux  differences  partielles  pour  la  determination  du  mouve- 
ment  des  fluides  &  des  vibrations  des  corps  elaftiques,  cet- 
te  efpece  de  calcul  eft  encore  neceffaire  a  la  folution  d'un 
grand  nombre  d'autres  beaux  problemes ,  &  particuliere- 
ment  de  ceux  qui  ont  pour  objet  de  trouver  unc  furface 
courbe  qui  jouiiTe  d'un  maximum  ou  d'un  minimum.  Si  i'oa 
fe  propoie ,  par  exemple  ,  de  trouver  en  trois  coordonnees 
I'equarion  de  la  furface  courbe  qu'il  fauc  donner  aux  ailes 
d'un  moulin  a  vent ,  pour  que  ,  mues  par  1'  impulfion  du 
vent ,  &  parvenues  a  i'  uniformite  de  mouvement ,  elles 
aient  la  plus  grande  viteiTe  poffible,  on  parvient  a  une 
equation  aux  differences  partielles  qu'  il  faut  integrer 
afin  d'avoir  la  relation  demandee  entre  les  trois  coordon- 
nees. U  en  eft  de  meme  pour  I'equation  de  la  furface  de 
moindre  rcfiftance  ;  car  les  folutions  que  Ton  a  donnees 
jufqu'a  prefent  du  foiide  de  moindre  reliftance  font  im- 
parfaites ,  &  ne  peuvent  etre  d'ailleurs  d'aucune  utilire 
pour  la  conftruftion  des  vaiffeaux.  On  a.toujours  ,  en  ef- 
fet  ,  fuppofe  I  °  que  ce  foiide  etoit  un  foiide  de  revo- 
lution ,  1.°  qu'il  etoit  eniierement  fubmerge  par  le  fluide 
refiilant ,  hypotheles  qui  ne  peuvent  pas  avoir  lieu  dans 
la  pratique.  Pour  que  Ton  put  retirer  quelqu'avantage 
de  la  folution  de  ce  probleme ,  voici  comme  il  faudroit 
Tenonce. 


8o 

Etant  donnees  la  mahrejfe  couple  d\in  valjfeau ,  ou  fa. 
coupe  en  travers  dans  Cendroit  ou  il  efl  le  plus  o^ros ,  & 
fa  coupe  horifontale  par  le  plan  de  la  furface  de  Heau  , 
trouver  parmi  toutes  les  fur  faces  courbes  qui  peuvent  paffer 
par  ces  deux  courbes  donnees  ,  continues  ou  difcoatinues ,  celle 
qui ,  mile  par  C action  du  vent  fur  les  voiles ,  &  parvenue  a 
runiformite  de  mouvement ,  ait  la  plus  grande  viteffe  unifor- 
me.  Mais  ce  probleme  depend  de  riniegradon  d'une  equa- 
tion aux  differences  partielles ,  tres  compliquee  ,  &  que 
jufqu'a  piefent  j'ai  vainement  effaye  de  trailer. 

II  faut  cependant  ^tre  de  bonne  foi ,  &  convenir  que 
les  folutions  des  deux  problemes  precedens  ne  font  pas 
de  toute  I'utilite  dont  elles  paroiltent  a  I'infpeftion.  Eti 
efFet  la  nature  de  la  furface  de  I'aile  d'un  moulin  a  vent, 
depend  de  la  viteffe  du  vent  que  je  fuppofe  uniforme  & 
de  la  refillance  qu'apportent  le  frottement  des  menfes  & 
des  autres  parties  de  la  machine  au  mouvement  de  I'ar- 
bre  ,  or  ces  quantites  font  fujettes  a  dts  variations  qu'il 
n'eft  pas  pofllble  de  foumettre  au  calcul  ;  d'oii  il  fuit  que 
la  furface  qui  donneroit  le  maximum  de  vitetTe  uniforme 
pour  une  certaine  virefTe  abfolue  du  vent ,  ne  le  donne- 
roit plus  pour  une  vitefle  un  peu  moindre  ou  plus  gran- 
de  .  De  meme  la  nature  de  la  furface  de  moindre  refi- 
ftance  eft  afflijetie  a  la  viteffe  du  vent,  a  la  direftion 
du  mouvement  du  vaiffeau  ,  a  la  nature  de  fa  coupe  ho- 
rifontale par  le  plan  de  la  furface  de  I'eau  &c.  or  la  vi- 
teffe du  vent  ne  peut  pas  etre  fuppofee  conftante ,  du 
moins  pendant  un  terns  confiderable  ,  les  ofcillations  du 
vaiffeau  apportent  des  changemens  inevitables  &  tres 
prompts  dans  la  coupe  horifontale  ;  les  inegalites  de  viteffe 
du  vent ,  la  maniere  variable  dont  il  agit  fur  les  voiles  fu- 
jettes a  differens  mouvements  ,  quand  menie  elles  auroient 
toujours  la  meme  pofition  par  rapport  au  vaiffeau  ,  era- 
pechent  que  Ton  puiffe  regarder  la  direction  de  fon  mouve- 
ment 


8i 
ment  CQmme  conftante  ;  d'oii  il  faut  conclure  que  la  fur- 
face  qui  fatisferoit  au  maximum  de  viteffe  uniforme  pour 
un  inltant ,  n'y  fatisferoit  plus  dans  I'inftant  fuivant ,  ou 
du  moins  que  cette  furface  ne  pourroit  etre  la  meme  que 
pendant  un  terns  peu-coniiderable. 

Si  ces  coniiderations  font  capables  de  nous  confoler  de 
rimpoffibilite  ou  nous  fbmmes  pour  ainfi  dire  de  refoudre 
completement  de  pareils  problemes  ,  elles  ne  doivent  neant- 
moins  pas  nous  empecher  de  faire  lous  nos  efforts  pour 
vaincre  les  obttacles  ,  qui  fe  prefentent  ;  d'ailleurs  comme 
ces  obftacles  ne  confiftent  que  dans  des  difficultes  d'ana- 
lyfe  ,  on  peut  en  les  furmontant  fe  frayer  une  route  a  la 
folution    de  prob!emes  plus  utiles. 

Dans  un  memoire  que  j'ai  deja  eu  I'lionneur  de  prefen- 
ter  a  rAcademie  fur  le  calcul  integral  des  equations  aux 
differentielles  partielles  ,  j'ai  donne  la  maniere  de  trouver 
comment  la  quantite  ^  doil  etre  fonftion  Aq  x  Sc  dt  y 
pour  latisfaire  a  cette  equation 

^^m       dx"'-'dj         dx"-'dy      dx'^'dy 

i  etant  la  caracleriftique  d'une  differentielle  prife  en  ne 
fefant  varier  que  x  ,  &  ^  celle  d'une  differentielle  prife 
en  ne  felant  varier  que  y  ;  lescoefficiens  A  ,  B,C .  . .  &c. 
etant  conftants ,  &  le  fecond  membre  K  etant  compofe 
par  voie  d'addition  ou  de  foultraftion  ,  d'un  nombre  quel- 
conque  de  quantites  de  ces  formes  y"  F  •  x  ^  x""  F  ■  y  ou 
plus  generalement  de  ces  formes^"  <p  (a  x—y)  ,  x"  (p' {ax-y) . 
Je  vais  aftuellement  int^grer  en  quantites  finies  quelques 
Equations  de  la  m^me  forme ,  en  fuppofant  que  les  fa- 
fteurs  A  ^  B  ,  C  . . .  &c.  foient  certaines  fonftions  de  x  &_/, 
&  particulierement  celle-ci 

dx"  -^dx^-'dy  -  -^  dx-^'dy^ 

Mifc,  Taur.  Tom.  V.  I 


8t 

K  etant  compofe  de  la  fomme    ou  de  la  difF^renpe    d'un 

nombre  quelconque  de  quantites  idles  que 

y,  (i)  ,  «-  +  (^)  . 

Pour  fuivre  uti  certain  ordre  ,  &  oppofer  avec  plus  de 
clarte  le  detail  des  operations  ,  je  vais  commencer  par  des 
equations  moins  gen^rales  ,  c'e(t-a-dire  oil  I'expofant  m  lera 
determine. 

PROBLEME     I. 

Integrer  ou  reduire  a  un  ordre  moindre  d'une  unite 
I'equation 

dx'  -^ dx'dy  -^    dxdy^      -^   dy' 

Solution. 

Soit  fait  x'-  — ^-f-xxy ^ -t- y* — -  =  V .  &  foit  dif- 

dx^  -^  dxdy       -^  dy^  ' 

ferentiee  cette  equation  par  rapport  a  x  ,  &  par  rapport 

a  JK  ,   ce  qui  donnera 

,8*7       ,^-.  SSc/r  ^dd7  1^7  Idz 

X  —-^^d  K  —  xxy  - — - — y^ :  -  x  x 1  -^T  -r" 

dx^  dxdy  dy-  d  x  dy 

•^  dy'-  dx'  -^  dxdy  dx  dy 

on  multipliera  la  premiere  de  ces  equations  par  ^ —  la  fe- 

conde  par  -^  &  Ton  fubftituera  a  la  place  de  ;t' —^&de 
dy  ^  dx' 

d'z 

jy*  -r7  ^^"''^  valeurs  ,  ce  qui  donnera 


W  .     lidz  ,^ddz  lt{  Id 

dx  dx'-dy       -^  dxdy  .        dx'         •'  dxdyi 


lldz  Iddz 


i 

.  ^  df) 


83 


dx^dy  dxdy'' 

JK  l^dz  Iddz  Idr 

^V  dV 

ou  bien    en  reduifant  x  -j \'y  -r-  ■=■   %  V  ^    equation 

ax  ay 

dont  I'intdgrale  donnera  colle  de  la  propofee. 

Pour  incegrer  cecte  derniere  equation  ,  fuppofbns  que 
la  quantice  K  (bit  telle  que  Ton  ait  dV  =-f  d  x -^  qdy: 
on  aura  f  x  -^  c^y  =  -l  V ,  &  par  confequent 

dV=p  dx-\ ^  —  i —  dy 

^  y  y     -^ 

que  Ton  peut  mettre  fous  cette  torme 

dV  py   fydx — xdy\  rdy 

dV            z  dy 
or  les  deux  termes  -=;r  &    —  etant   des  differentielles 

logarithmiques  ,  &:  I'autre  terme-^f-^^ )  etant 

o        -  y  \     y       J 

multiple  det^.—  ,  cette  equation  ne  peutetre  integrable 
que  ce  terme  ne  foit  la  differentielle  logarithmique  de  quel- 
que  fonttion   de  —  j    foit    reprefente    cette    fonftion    par 

^  I  ~  )  )  on  aura  done 

Log.  F=  log.  (p  T- j  -+-  2  log.  J*  ou  K=jK*  (p  (  -  j 

on  neglige  ici  la  conftante  par  ce  que  le  cara^lere  arbi- 
traire  (p  la  comporte. 

Done  i'integrale  de  la  ptopofee  fera 


84 

dx  dxdy     ■  dy'-  \yJ 

C.  Q.  F.  T. 

PROBlImE    II 

Integrer ,    ou  reduire  a  une  equation    difFerentielle    du 
premier  ordre  I'equation 


,SS7  Sflfj-     ,     Jdx 

iy  d^ 

Solution 


X*  Hi  -*-  X  X  y  - — 1-  +_K^ — i  =j''  (p  (  —  ) 
dx^  dxdy  dy'-  \y/ 


Soit  fait  X  -7--*-y  7~  =  ^»  equation  que  Ton  differen- 
tiera  par  rapport  k  x ,  Sc  par  rapport  ky  ,  pour  avoir 

dx  dy 

Scy^J^^dF-x'^-p-d^ 
•^  dy  dy  ^ 

on  raultipliera  la  premiere  de  ces  equations  par  -^  la  fe« 

conde  par  — ,  &  Ton  fubftituera  dans  la  propofee  ,  a  la 

place  dex^— -i^  &  de  y^— — ^  leurs  valeurs  ,  ce  qui  doninera, 
*^  dx"-  dy^  '        ^ 

toute  reduftion  faite ,  la  transformee 

IV  dV       „        ,^(x\ 

X h y  —  =-V -+- y*  "P  (  -  ) 

dx       -^  dy  ^        \y) 

Pour  integrer  cette  equation ,    foit    V   telle    que  Ton  ait 
^f^asptix  +  ^c/j  ,on  aura/j  x-i- ^^s*/^-i-^'>p  T-j 


8? 

&  par  confequent 

dV  =  p  d  X  -i •  -4-_y  ^J'<p(-)  —  p  X   ■ — ,  que  1'  on 

peiit  mettre  fous  cette  forme  dy=py  ( ■; -\ 

ou  —^, =;,  ( )  ^dy<p   y  . 

Soit  aCliiellement  <j)'  le  coefficient  de  la  difFerentielle  de 
<p  ,  de  maniere  que  a  etant  une  variable  quelconque  ,  on 
ail  d  (p  u  ■=(()'  a  d  u.  Cela  pofe ,  on  remarquera  que  le  pre- 
mier membre  de  la  derniere  equation    eft   la  differentieile 

complete  de    —  ,    de    plus    que    le   terme  dy  ^    (  —  ) 

eft  =  <7.(jV^^-  C-)<j)-  =  <^^  (Y)) 

(x\    /  y  d  X -^  X  d 'y\ 
-)   { -^ j  d'ou  il  fuit  que  cette  equation 

peut  fe  tranfcrire  ainfi 

or  le  fecond  membre  de  cette  equation    ne  peut-etre  une 
differentieile  complete ,    que  fon  premier  terme  ne  foil  la 

differentieile  d'une  fonftion  de  -  ;    done  fi  Ton  reprefente 

cette  nouvelle  fonftion  par  le  caraclere  ^  ,  I'integrale  de 
la  transformee  fera 

done  on  aura  pour  int^grale  de  la  propofee 

'j~'-y^y-y^{S)-^y^''lS)' 

C.  Q.  F.  T. 


S6 

PROBLEME     III. 


Iritegrer  I'equation  x  ~  ^-y  ~  =  y^(^^^-i.y-^(^Z^ 


Solut 


ion. 


on  aura 
ou 


Soit,  comme  dans  les  problemes  precedens  d:(s=pdx 
qd y ,  ce  qui  donne 

di=pdx^-^(^-^  dy^y<p[j^dy-^dy 
ry  dx-xdy  -^  ,    f  x\    .  f  x\     , 

Mais  on  a  ^  (^^)^^=^  (^  ^  (-;)  )-^^( f)(^-^^2:) 
Done  en  fubllituanr  ces  valeurs  on  aura 

Or  les  deux  derniers  termes  de  cette  equation    font    des 
differentielles  completes  ,  &  le  premier  terme    du  fecond 

^— ^ — ^J  ne  peiu  6tre 

la  differentielle  quq  d'une  fonftion  de  —  ;  done  fi  i'bn  re- 

prefente  cette  fonftion  par  F ,    I'integrale  de  la  propofee 
(era 

l^F{'^-^y^{y)-^\r<p{j)         CQ.F.T. 


'7 

Corollaire. 

II  fuit  des  folutions  de  ces  trois  problemes ,    que  I'l  nte-- 
grale  fiiiie  de  Tequation  dii  troifieme  degre 

dx'  -^  dxUy      *    -^  dxdy'      "^    dy' 

le  divifeur  2  de  la  fon£lion  (p  difparoit  ici ,  par  ce  que 
cette  fon£lioii  elt  arbitraire  ,  an  lieu  que  dans  leproble- 
me  precedent  elle  etoic  determinee  &  donnee  par  i'e  non- 
ce de  la  quedion. 

La  methode  que  je  viens  d'employer  pour  avoir  I'in- 
tegrale  finiede  cette  equation  du  troilieme  degre,  s'ap- 
plique  avec  le  meme  fucces  aux  equations  de  meme  for- 
me 5  &  des  degres   I'uperieurs. 

P  R  O  B  L  E  M  E     IV. 

Integrer  ou  reduire    a    un  ordre  raoindre    d'une    uniti 
I'equation  generale 

^.n+^.^^ylllli^m.-x-y^^-J  ...&c.=:o 
dx"  '^  dx'^'dy  '        "^  dx'^-'dy^ 

Solution. 

Soit  fait ,  comme  dans  le  probleme  premier.   . 

gm-  I'^'-d?      ,  ,n>.z  l'"-'ddz  .  ^. 

:x"^' >+(»»- 1 >™-=y T-^{m-\)— xT^^f-- 7-  ...&c.^=iVy 

Soit  differentiee  cette  equation  par  rapport  ax,    &    par 
rapport  a  y ,  pour  avoir  les  valeurs  iuivantes 


88 

X-'l"'{         .xlV  .  \     ^,        S"-'  J  r 

— — -=f  —, (  m —  1  )  x"^^  y i— 

dx-"        i    dx  ^  -^  dx-^'dj 

1-  (  m-t  )  (mzL)  x-^y»i^^ &c. 

im^i  -r  S""'  d  7 

\-  {m- 1 )  x"^" -  On- 1 )  (m~i)x"-'-Y — 

'/  dx"^'      ^        ^^  -^dx^-'dy 

-(^-0(— )('^0^""y|^^ 

'  ^  ^  J  ^       '         -^    dx""-'dy'' 
& 

<?''"       /     ^JK  ofx'^'a?/  -^  dx'^^dy'- 

^        ^  dx'^--dy     ^       '\  z  J        ■'   rt'A"-3^y^ 

On  fubftituera  ces  deux  valeurs  dans  la  propofee ,  ou  ce 
qui  revient  au  meme  ,  on  ajoutera  enfemble  les  feconds 
membres  de  ces  deux  egalites ,  &  on  ajoutera  a  leur  fom- 
me  les  auires  termes  de  la  propofee ,  qui  font 

. . .~.  ^  pll  +„  (-)  ,-^y.  plir ....  J,. 

•^  dx"'-'dy         ^  ^  ^         -^    dx'^-'-dy'- 

Cela  fait ,  on  remarquera  dans  cette  fomme  deux  efpeces 
de  fuites  ,  les  unes  contiennent  des  differentielles  de  ^  du 
degre  /tz  ,  &  les  autres  des  diflferentielles  de  i  du  degre 
m—i.  Or  la  fomme  de  toutes  les  premieres  fe  reduit  a 
zero  j  en  effet  la  fomme  des  coefficiens  du  terme 

"'^'y  dJ^^^y  eft  =  "^  -  ("^-0  -  »  =  o 
cellede.->^^£;^|ieft=^(^)-(,.-0(^)-(--0=o 

&  ainfi  de  fuite  pour  les  autres  termes  du  meme  ordre  , 
quant  aux  autres  fuites ,  il  eft  facile  de  les  reduire  ,  en 
remarquant    i°  que  tous  les    termes    font    multiplies    par 


(m — i)  i"  qu'en  les  divifant  par  (jn — i)  ,  le  coefficient  du 
terme    x"—^—, — i-  eft  =  — i 

celui  du  terme  x'^^y—. r-  eft  =  -  (m — i)  —  i  =  -  (m—i) 

ff-iJdz 

celui  du  terme    x'^^y^- 7—  eft 

=  -(^)  ('^3)  -  <==-^)  =  -  ('"-0  (^') 

&  en  continuant  ainfi  de  fuite ,  on  trouvera  que  tous  les 
coefficiens  font  les  memes  ,  que  ceux  des  termes  correfpon- 
dans  de  la  valeur  de  V  ^  multiplies  par  —  {m — i)  ,  d'ou 
il  fuit  que  la  transformee  fera 

sV         dV     ,        ,r- 

d  X        -^  dy 
Or  en  integrant  cette  equation  comme  celle  du  proble- 

me  premier,    on  trouve  F^«=j'^' ^f  -  j  ,  done  I'integrale 

premiere  de  la  propofee  fera  jc»»"»       J^  +(«-i>'»-2y      ^    '^ 

-I-  (  m-i  )  (  —  )  a:'»-5j'» -^    ...    &c.'=:  y"-'  <p   (  -  I 

^  '  ^  -  J         -^  dx'^-idy^  -^         ^    \y) 

Equation  qui  eft  de  la  meme  forme  que  la  propofee , 
except^    que    le    fecond    membre    au   lieu    d'  eire    5=  o 

C  Q.  F.  T. 

PROBLEME    V. 

Integrer  ou  reduire    a    un  ordre    raoindre  d'une  unite 
r^quation 

Afi/c.  TauT*  Tom»  V*  <» 


dx"  '^dx"-'Jj      ^  '  ''       -^    dx-^'dy 

Solution, 
On  fera  ,   comme  dans  le  prob'eme  precedent. 

&  en  operant  de  la  meme  maniere    on    transformera    la 
propofee   en  celle  ci 

Soit  aftaellement  J^'  telle  que  Ton  2\i  dV'=pdx-^qdy^ 

on  aura  px-t-qy  =  F"(  n — i)  -^  y"  <p  [-\  'iiL  par  conle- 

quent 

^r'=/£/x-t-(/2-i)r'^-Hy-(p  {€\dy  —  ^dy  ou 

bieny^F'-(n-i)  V'dy^py^i^^l  )  +y  ^  (^)  ^j. 
cela  pofe,  on  rendra  le  premier  membre  ditierentielle  comple- 
te en  le  raultipliant  par   -  ou  ,  ce  qui  eft  la  meme  chofe  ,  par 

r"-*                 ,         .,    1     •       I      y""'  dV -(n-i)V' y"--dy 
—7 r,  car  alors  il  deviendra ; — ■: ou 

d  \~;;z[ji  ainfi  en  divifant  auffi  le  fecond  membre  par  jy", 


©n 


^"'■^  "^  (^3  ^Py''"  (j^^-^  -t-  <p  (0i  J  }  ou  par 


91 
ce  que  Ton  a  ,p  ^^)  ^y=dj  y  ^  (^^^^  y  ^'  ^f^ 

( j  ,    la  transformee  deviendra    d  (  — ^~-  J 

tion  dont  I'integrale  eft  -^z=-^f  -}-+'y<p[~),  en  multi- 
pliant  parjK"''  ,  V  =y''-'  ^  (-)  ■+•7"  <P  ( -)•  Done  1'  in- 
tegrate de  la  propofee  fera 

■    dx"-'     ^  ^dx-'-'dy      ^       ^*^       -^  dx'^^dy 

C.  Q.  F.  T. 

Corollaire  I. 

Si  le  fecond  membre  de  la  propofee ,    au  lieu    d'etre 
y"  (p  (  —  J  etoit  x"  ^  (  —  )  I'integrale   fe  trouveroit  de  la  me- 

me  maniere,  car  on  a  x>  0)  =j^-.  1^^(  p)  =  :>'"/•  (  j) 

done  il  fuffiroit  de  changer  dans  I'integrale  precedente  la 
fondion  donnee  <p  en  une  autre    qui  leroit    Ion    produit 


a:" 

par    — . 


Corollaire  11. 


Si  dans  la  propofee  du  probl^me  precedent  on  fait 
n  =  m  —  I  ,  on  aura  1'  inidgraie  du  probleme  IV  ,  done 
r  equation 

m  X 


9* 

eft  I'iniegrale  feconde  de  Tequation  du  problems  IV. 

PROBLEME    VI. 

Int^grer  ou  reduire  a  un  ordre    moindre    d'une   unite 
I'equation 

Soit  fait  ;c*-fe  -^  (/t-i ) X*-  r  ^^^  • .  •  (S-c.  =  F"  & 
Ton  aura  la  transformee 

done  I'integrale,  par  la  methode  du  probleme  precedent  , 
fe  trouve 

done  I'integrale  de  la  propofee  fera 

-^■'  SS  -  c^-0  -*-'^  £^  •  •  •  ^-  -^^-  ^  (  ^  ) 

C  Q.  F.  T. 


Cbrollaire, 

La  propof^e  etant  1'  integrale  feconde  de  Tequation  g^- 
n^rale  du  probleme  IV  dans  laquelle  on  a  fait  kz=m~-i.  , 
il  i'uit  que  I'iiuegrale  troiiieme  de  cette  equation  fera 

X^i H  (;;j_3)A'^4y g-C.     c=  V™-'   f^   (  -  ) 

Le  divifeur  i  de  la  fonftion  <p  eft  compris  dans  cette 
fonftion  qui  eft  ici  arbirraire,  au  lieu  que  dans  le  pro- 
bleme precedent  elle  eft  deierminee  &  donnee  dans  i'enonce. 

Condujion 

En  continuant  ces  operations ,  il  eft  facile  de  recori' 
noitre  que  I'equation  generale 

x'" \-  m  x'^^ •  •  •  &c  =  o  a  pour  inteerale  finie 

les  fonftions  f  ^  f\  f  •  •  •  F  ^  -^^  &  (p  etant  arbiiraires  & 
independantes  les  unes  des  autres  &  leur  nombre  etant  :^;7z. 
Jufque  ici  j'ai  (uppofe  que  le  fecond  membre  de  la  pro- 
pofee  generale  fut  =  o ,  mais  on  pent  encore  I'integrer 
meme  en  quantites  finies ,  lorfqu'il  eft  compofee  d'une 
certaine  maniere  de  x  &  de  ^  comme  on  va  le  voir  dans 
les  problemes  fiiivans. 


9-4. 


P  R  O  B  L  E  M  E    VII. 


Int^grer  en  qu^ntit^s  finies  I'equatioti  generale 

X"  --  -H  ;72;^'*-' y- .  ■  ■  &c.=Y<p[   ~] -k-  Y'  -^  (  -  J 

les  quantites  F  &  F'  etant  des  fon6lions  quelconques  & 
donnees  de  j ,  &c  les  fonftions  <p  &  ^^  etant  aufli  don- 
nees. 

Solution 

I 

On  integrera  d'abord  une  fois  cette  equation ,  comma 
celles  dts  problemes  precedens ;  pour  cela  on  fera 

;,-.   L_l  ^_  (^rn—i)  x'^-^y  V^ (5-0.  =  ^ 

dx"'-'  ^  -^   dx"'--iiy 

ce  qui  donnera  pour  transformee 

&  par  confequent ,  en  fefant  dV=^pdx-^qdy 
px  +  qy=:im-i)V^Y  <p(^^^Y'^{^-^ 

ouydF-im.Ordy=:py(^±^^yYdy<p(^-^ 

-+-  Y'  dy  "^  (  ~)  on  divifera  tout  par  y"  ,    pour    rendre 

le  premier  membre  differentielle  complete  ,    ce    qui    don- 

f  \  d  X  —  X  dv  \ 


ym-i dY-im -i)V y^-^dy  ,_^   f  y  d  X  —  x  dy 


^/2(m-i) 


Ydy       fx\       Y'dy   ,    /x\        ,     ^  . 

-^  <P  (  -  1  H — —  "t"  I  -  1  cela  ran,  on  remarquera  que 


Ton  a 


95 

p'  dtant    la   coefficient  de  la  difFerentielle  de  <p  .  on  a  de 

m^me 

— jjj^j  d'oii  il  fuit  qu'en  fefant  pour  abreger 

Pf""  -  <P  (  J)/  ^  -  ^'  (^)/^=^'  ^'^^^''''°"  P""^- 
cedente  fe  peut-mettre  fous  cette  forme 

•4-  ^/(•^  (  — )  /  — ^)  done  I'integrale  ne  peut-etre  que 

^~~     \^)  \y}J    y"  \y)j    y"" 

Done  I'integrale  premiere  de  la  propolee  f'era 

H-J^'"-'<P  0)/"^+r-'^(^)/^     dans    laquelle 

la  fonftion  F  ell  arbitraire  ,    les  autres  fon6lions  <p   ^  -^ 
etant  donnees  dans  I'enonce. 

II 

Cette  integrale  eft  precifement  de  la  meme  forme  que 
la  propofee ,  d'oii  il  luit  qu'on  I'integrera  de  la  meme 
maniere  ,  &  Ton  aura  pour  integrale  feconde 

- — .  -«-  (/n-2)  x-^'y J  ••■&€.  =  y'^r  (  -  ] 

dx"^-        ^        '         -^  dx-^-idy  -^  \yl 


jc"*-' 


9^ 

III 

On  integrera  encore  cetre  equation   de    la   meme  ma- 
niere ,  &  Ton  trouvera  pour  integrale  troili^me 

oil  Ton  remarquera  que  la  fonftion  F  devioit  etre  divifee 
par  2  ,  mais  comme  cette  fonttion  ell  arbitraire  ,  de  me- 
me que  F  &  F" ,  elle  comporte  route  forte  de  coefficiens 
conftans. 

IV 

II  eft  facile  aftuellement  de  conclure  par  analogic  que 
I'integrale  finie  de  la  propofee   eft 

.=yG)-//(-;)*^-/"(;)  ■•->"' ^■■(;) 

'^^VyjJ  ~r^'  C.  Q.  F.  T. 

PROBLEME    VIII. 

Integrer  en  quantites  finies  I'tiquation  generale 

les  quantites  X  8c  X'  etant  des  fonftions  donnees  de  x. 

Solution. 

On  fera  la  m^me  transformation    que  dans  le  problS- 
me  precedent ,  &  Ton  aura 


97 

cela  fait  an   lieu  d'eliminer  q  ,    on    eliminera  p ,    ce  qui 
donnera  ,  (en   mettaiu  fa  valeur  Ad.ns  dV=p  d  x -^  qd  y) 

-t- J%r  li  X  4^  (-}  on  divifera  tout    par  x"  pour  rendre  ie 

premier  membre  ,  differentielle  complete  ,   &  Ton  aura 
xC-"-')  d  V-{m—\')V>."^^  dx -r/y"    / ydx-xdy\         Xdx      f  x\ 

X'dx  ,    /x\  Xdx       /x\  ,/       /^\   r^dx- 


■»■(;)- o"  ^' ^  (  J)  =■'(»  (^)/ X^-) 

=<*(j)/^0-*(J)(^--)/"-f" 

confequent  ,    en    reprefentant  *  par    A'    la    quantite 
dente  deviendra  c/  ( j    =  A"   f  ^^ — x    ^x    y  ^ 

tegrale  ne  peut-etre  que-;^  =  i^f-j  -+"^1"')/  — ^ 
-4-  S'  (  —  J  /  — ^,  done  I'integrale  premiere  de  la  propofee 
ferax'^'-; 1- (ot-Ox"^*  y •  >  •  (S-c.  =  x"-'  i^l  -  ) 

,     /  x\  rxdx  ,  /atn  rx'dx    ..  . 

■4-  x"^'  <P  ( ~ )  /  "^  "+■  ^°''  ^  (  ~ )  /  — ^  •  ^^'^  ^^"^ 

integrale  elt  de  la  meme  forme  que   la  propofee ,  on  I'in-- 
tegrera  par  conl^quent  de  la  meme  maniere  ,  &  en  coa- 
Mifc,  Taur.  Tom.   V.  n 


9^ 

tinuant  aitifi  de  fuite  ,    on  parviendra   a  1'  integrale    finie 

qui  eit 


{^r~ 


C.  Q.  F.  T. 


Thiorime 


Le  caraftere  JJ^  reprefentant  une  formule  en  difFeren- 
tielles  partielles  ,  fi  I'equation  W  =■  G  a  pour  integrale 
finie  &  complete  {  =  g  ■,  &  que  i'equation  W  ■=■  K  ait 
pour  integrale  finie  &  complete  ^  =  yt ,  je  dis  que  ['equa- 
tion W=^G-^  K  aura  pour  integrale  finie  &:  complete. 
l^g-i-k. 

Dcmonflration 

Soit  A  le  fymbole  des  operations  qu'il  faut  faire  fur 
£  pour  avoir  TV ^  de  maniere  que  Ton  ait  f\  •  i=.W 
on  aura  auffi  A  •  k  =  K  ,  8c  A  .  g  =  G  .  foic  ^  ==  w 
I'integrale  de  I'equation  Wz=G  -^  K ,  on  aura  de  me- 
me  A.a)  =  G-H-Ar&  par  confequent  A.«  =  A  .  ^-4- A/r, 
ou  ,  ce  qui  revient  au  meme  a==g~^h.  Done  genera- 
lement  parlant  de  ce  que  Ton  a  Aw  =  A(^-+-^)  on 
ne  peutpas  en  conclure  que  Ton  ait  u=.  g  -\-  k  ^  mais 
feulement  (c  =  g  -^  k  plus  une  arbirraire  ,  mais  comma  on 
fuppofe  completes  hs  integrates  l=g  Sc:^  =  k  les  quan- 
tites  g  &c  k  contiennent  deja  les  arbitraires  ,  d'ou  il  fuit 
que  le  theor^rae  ell  venu  a  la  rigueur. 


P  R  O  B  L  E  M  E    IX. 


Integrer  en  quantites  finies   i'equatioii  generale 

(-+-X'^"(^-)  ....S-c. 

Les  quantites  ¥  ^  V ,  Y''  etant  des  fonftions  quelcon- 
ques  de  ^  i  X,  X' ,  X"  .des  fonftions  quelconques  rle  x, 
le  nombre  des  termes  du  fecond  membra  ecant  quelcon- 
que  ,  &  les  fonctions  donnees  (p  ,  (p',  ip"  .  . . .  '^',  4^' ,  4'". . . 
etant  independantes. 

Solution 

On  pourroit  refoudre  ce  probleme  particulierement  com- 
me  les  precedents ,  mais  il  ell  plus  fimple  d'employer  le 
principe  ddmontre  dans  le  theoreme  .  Ainfi  I'integrale  de- 
mandee  doit  etre 

r/(-;)^./(^Ky'(;)..-.-r(^j 


^<;y"^-*"6)/ 


—    .    .    .    &C^ 


n   z 


lOO  * 

Mais  I'on  a  x' f  (~\  rrs^y^/r- j  lors  que  la  fonftion  / 
eft  arbitraire  ,  done  I'integrale  fera 


C  = 


^„  ,  ::  w  ™  ^^ji^i:  _  ^  ^-.^ 


Remarque, 

J'ai  fait  voir  dans  le  memoire  qui  a  pour  objet  la  d^ 
termination  des  fonftions  arbitraires  dans  les  integrales  des 
equations  aux  difFerentielles  partielles  qu'il  eft  toujours  pof- 
fible  de  determiner  les  fonftions  dans  una  equation  de 
cette  forme  i'=K-^L<f>V~i-M<p'V-^Nq)"V...  &c. 
pour  que  ceite  equation  fatisfafle  a  autant  des  conditions 
particuiieres  qu'elle  renferme  de  fonftions  ,  lors  que  ces 
condiiions  font  de  nature  a  etre  exprimees  par  une  Equa- 
tion }  ou  de  conftruire  la  valeur  de  i"  ,  lorfque  ces  con- 
ditions ne  font  pas  foumifes  a  la  loi  de  continuite  ;  done 
il  fera  toujours  poffible  de  conftruire  I'equation  differen- 
tielle  du  dernier  problerae ,  ou  fon  integrale ,  quand  me- 
me  la  furface  courbe  a  laquelle  elle  appartient ,  (eroit  d'ail- 
leurs  obligee  de  pafler  par  un  nombre  m  de  courbes  a 
double  courbure  ,  difcontinues ,  ou  tracees  au  hazard  dans 
i'efpace ,  mais  donnees. 


lOI 

Pour  abr^ger ,    je  fuppoferai  toujours  dans  la  fuite  que 
Ton  ait 

rr^  X"' H  m  .  .V^'y ■+-»».(  Z_)  .v"^Hi* ..  .&(. 

dx"'  •'  dx'^^dy  V    i  -'  dx"^-dy^ 

_.  ^""-'2    ,        ^  i'"^-di     ,        ^/■m-i\  S'^^ddr    ^ 

j^m-x    ^        ^       •' dx'^'-dy  A  i   ;        ■^   dx""idy- 

V'^x-"-'  1^^  '■  &c.    &  ainfi  de  fuite; 

D'ou  il  fuit ,    comme    on    I'a  vu  dans  le  probleme  IV , 
que  Ton  aura 

W=x- Hy-i (m — \)V 

d  X       -^  dy 

d  X       ^    dy         ^ 
J..,  s-  V"  dV"         ^  ^  __„ 

&c &c. 


PROBLEME     X. 

Intdgrer  ,  ou  reduire  a  un  ordre  moindre    d'  une  unite 
I'equation 

IV-^AV-^BV  -^CV'-^DV"  .  .  .  .  &c.^K. 
Les  coefficiens  A  ^  B ,  C  ^  D  .  .  .  &c.  etant  conftans ,  & 
]e  fecond  membre  K  etant  de  meme  forme   que  celui  de 
I'equation  du  probleme  precedent. 


10% 

Solution. 

Soit  mife  a  la  place  de  JV  fa  valeur  donnee"  ci-deffus, 
&  la   propofee  deviendra 

ax  ay 

Cela  pose ,  quoique  le  nombre  des  coefHciens  j4  ,  By 
C ,  D  ■  ■  ■  &c.  puiffe  etre  =m,  &  que  la  quaniiie  ^ 
puiile  fe  trouver  fans  differentielles  dans  la  propofee , 
neant-moins  je  fuppoferai  que  le  nombre  de  ces  coefficiens 
foit  quelconqiie  Sc  reprefente  par  n  .  &  Ton  transformera 
la  prop(fee  en  fefant 

J^^aF'  -^-bF"-^c  V"  .  .  .  &c.  =  u 
Le  nombre  des  coefficiens  conftans  &  indetermines  a  ,  h, 
c  •  •  •  &c.  etant  =  n  —  i  c'ell  a-dire  les  plus  hautes  dif- 
ferentielles de  I  qui  fe  trouvent  dans  les  valeurs  de  K 
&  de  a»  eian:  le  meme  ordre  la  derniere  equation  donne 
F=  u^-aVkV"  —  c  V"  ■•■&€. 

X =  X —  ax  - —  —  bx ex  — —  •  •  •  O'c, 

dx  d  x  d  X  d X  d  X 

^     dV         du         dV     ,     dV"         dV'" 

^y—y-ay---by——-cy~ &c. 

dy  dy  dy  dy  dy 

lubftituant  ces  valeurs  dans  la  propofee  elle  deviendra 

X f-  y -; h  CO  (  A  —  (m —  i)  ) 

ax        -^  a  V 


&C'  ) 

ou,   ce  qui  revient  au  m^me 


(S-c.       ) 

Mettant  a  la  place  de  x- hv— —  -  (m-i)  V  fa  vale ur 

'^  dx       ^  dy        ^ 

SV"           d  V" 
V ,  h  \a  place  de  x \ry  — (jn-})y'  fa  valeur  V\ 

la  transformee  deviendra 

d  X        -^     dy  ^  ^ 

^  a  ^ 

&c. 

ou  bien  en  reduifant 

*  -.  (^-  -^  ^X'-K-^-  3 + V )  ^'"  •  •  •  ^■^ = ^ 

Or  il  faut  remarquer  que  le  terme 

ne  difFere  de    la    valeur    de  «    que    par    les    coefficiens  j 


104 

de  plus  on  peut  donner  aux  indeterminees  a  ,  b  ,  c  ., ,  &c, 
des  valeurs  telles  que  ces  coefficiens  foieot  egaux  ,  c'ell- 
a-dire  que  Ton  ait 

A  —  1-4-    =  a 

a 

A  /-    ,  c-C  N  ,  -  c-C 

-  {  A-l  H T-  )  =  w   ou  A — z  -f-  —r-  =  a 

c  * -D  * -D 

-  (A-~-i  H =  c  ou  A — 3  -H =  a 

&c &c. 

Car  le  nombre  des  indeterminees  eft  le  meme  que  celut 
des  coefficiens ,  done  la  transforraee  peut  fe  reduire  a 

;if  — -+- y  — ^. -4-  (A  — On — i)  — a  )  w  =  iC 
ax       -^  ay         ^  -' 

Mais,  par  ce  qui  precede  ,  I'integrale  de  cette  equation  elt 

La  quantite  K'  fe  trouvant  comme  dans  le  probleme  pre* 
cedent ,  done  Tintegrale  de  la  propofee  eft 

oil  les  coefficiens  a  ,  ^ ,  c  . . .  &c.  ne  dependent  que  de  la 
fo;ution  d'une  equation  algebrique  du  degre  m. 

C.  Q.  F.  T. 

Exemple 
Soit  m-=ix  ^  de  maniere  que  la  propofee  fe  reduife  W 


;«   — ^-  -h  1  xy — »-  y 


0» 


105 

r  3  J  Z  o      r     \i  c  • 

on  aura  &»  =  x f-  y 1-  a  r  i  'i^  li  l  on  rait  enco  •  e, 

pour  fimplifier  K  =  o  ,    on  aura    pour  integrale    x    - — 

^y  — — i-  a  1  =  y'—^-*-'  F  (-J  .  aftuellement  pour  de- 
terminer la  conllante  a  qui  le  trouve  feule  dans  ce  cas 
la  ,  on  fe  fervira  de  la  premiere  eqaation  entre  les  inde- 
terminees ,  qui  parceque  I'on  a  b  =  o  devient 

A —  I ■=  a  ,  d'ou  Ton  tire 

a 

a  = i 

d'oii  il  fuit  que  rinte3;rale  demandee   eiT: 

dx^   dy^  z ='y 1  ^^-y) 

Remarque  I. 

Peut-etre  fe  trouverat  on  embaraffe  par  I'ambiguite  des 
fignes  ,  &  demanderat  on  fi  Tequarion  differentielle  de  cet 
exemple  a  deux  integrales  premieres  ;  raais  il  faut  obfer- 
ver  que  ces  deux  integrales  font  identiques.  On  s'en  con- 
vaincra  facilement  en  les  integrant  ou  toutes  deux  fepa- 
rement ,  ou  conjointement  ,  en  conlervant  le  double  figne 
car  alors  on  remarquera  que  I'lnte'grale  en  quandtes  finies 
eft  unique.  En  effet  on  fait  que  I'lntegrale  de  I'equation 

g^nerale  x  il  -^yil^mi^yF^j^  eft  l=y-"'f-  (^ 
-f-  y'- FI  -  )  ou  ,  (  lorfque  la  fontliion  F  eft  arbitraire, 

comma  dans  ce  cas  ci  )  £  :=  J'""  f  (  ~  )  "+'j"^  {  ". )  '    "^""^ 
Mifc,  Taur.  Tom.  V.  o 


io6 

I'integrale  finie  de  Teqiiation  que  fai  prife  pour  exemple  fe.ra 

oil  I'on  voit  que  chaque  expofant  de  y    eft    une  des  ra- 
cines  de  I'equation  a'-t- (^4 — i)  a -^  B  =  o 
Done  fi  Ton  reprelente    par  P'  8c  F   ces  deux  racines , 
I'lntefjrale  finie  lera 


ou 


blenj=j,"/(^)+^''f(j,) 


Or  ces  deux  equations  font  identiques  ;  done  &c. 

II  eft  facile  de  s'aflurer  de  I'exaftitude  de  cette  inte*- 
grale  ,  par  la  differentiation  ,  car  on  aura  ,  en  ne  confer- 
vant  que  ies  carafteres  f  Sc  F  pour  abbreger, 

Ax~=^A  yP^'-f  ■  -+-  Ay""  -  F 
dx        ^   y"  y 

A  y  it=-Ay^tf  ^  A  Py^f-  Ay^'^j  P  V^  F y^' F 
IX'iiaz  p  ^  r/         P  ^  rt'  ,       n    p"^  rt         P'^  V  p/ ■*     77/' 

-^^P'y^   -P 


ddz  _^}  p  X  f, 

T 


X 


:  i'-Py'  -  f'^y'yJ"-r  P^y'f  -  Py'-r 
r  5=  i-^-y"  jf'-Py'f^y"  ;  F-Py"^y  F'  -^y"  f^  P" 


P"-  yP'  F-P'  yP    -  P-^y^-  -F  -  P'y^'  F 

J  J  y  J  y  J 


B  I  —  B  y\f  -^  B y^'  F 
ajoutant  enlemble  routes  ces  quantites ,  on  trouvera 


«»7 

Quantite  qui,  parceque  les  fonftions  f  6c  FCont  indepea- 
daiitcs  ,  ne  peut  dpvenir  =0,  que   chacun  des  coefficiens 

P' -h  {A~i)  P -h  B  &  F--^{A-i)P'  -^  B 
ne  foit  ::=  o  &  par  confequent  que  les  expofans  P  &  P' 
ne    foient    les    racines    inegales    de    I'equation     commune 
/*'  -+-  {A-i)  P  -*-  B  .  Je  dis  que  les  racines  F  Sc  P'  doivent 

etre  inegales,  parcequ'autrement  I'integrale  ^  =j'^/ T  -  J 

•+■  y^  F(  -  )  fe  reduiroit  a  {  ■=.y^  f  |  -  J  &  ne  feront  plus 

completus  ,  puis  qu'elles  ne  renfermerout  plus  qu'une  fon- 
ftion  arbitraire. 


Remarque  II. 


\ 


L'integrale  du  probleme  precedenx  etant 

ij"  fuit  qu'elle  eft  de  meme  forme  que  la  propofee,  que 
par  confequent  on  I'integrera  de  la  meme  manieie  ,  & 
^ue'fon  intdgrale  fera  encore  de  meme  forme  c'eft-a-dire 

v.-^ar\u  v^"-..  &c.  =  y^j^^^^ypf  (f)  ^K" 

Lfs  expofans  P,  &  P'  devant  fe  trouver  en  fondion  de 
a,  h,  c-  •  •  &c.  d'ou  il  eft  facile  de  conclure  que  l'in- 
tegrale finie   de  la  propofee  doit  etre  de  cette  forme 

r=/^  (^)^-/"  ^( j)-^^'v(^)-y  '^( J)-  ■  •  '^--M 

les  expofants  /* ,  P  ,  P' ,  F"  •••&€.  etant  conftans  Sc 


0  i 


xo8 

dependans  des  cocfficiens  A  ,  B ,  C  •  •  >  &r.  &:  le  terth'fe 
M  dependant  du  iecond  membra  K ,  de  maniere  que  li 
Ton  a  /C  =  o  ,  on  aura  aufTi  M==o.  11  s'agit  a61uelle- 
ment  de  trouver  ce  terme  M  &  les  expofansP,  /",  P'  •  ■  ■  &c. 
or  ces  expo(ans  P  ,  P'  •  ■  •  &c.  font  independans  de  iC  , 
ainii  pour  les  trouver  plus  fimplement ,  je  fuppoferai  iir=o, 
je  cliercherai  enfuke  la  forme  du  terme  M.  ' 

P  R  O  B  L  E  M  E     XI.  ^  s.rt 

Integrer  en  quantitis  finies  I'equation   W-^AV-^BV 
■JfCV'-^DV"  ■•■&c.=  o 

Solution. 

On  vier.t  de  voir    que  Tintegrale  demandee    eft  de  la 
forme  ^^y^<p  {^  ^y"'  ^  (p  -^y''f0'-  •  •  &c. 

II  ne  s'agit  done  plus  que  de  differ«ncier  cette  equation 
pour  irouver  le  rapport  des  expol'a.ns  P,  P' ■  •  •  &c.  aux 
coefficiens  A ,  B  ,  C  ■  •  •  &c,  mais  i'operation  n'etant  pas 
praticable  Ibus  cette  generaJiie ,  je  vais  prendjje.  des  cas 
particu'iers. 

On  a  deja   vu  que  dans  le  cas  de  m  si"^  ^''fi  Ton  fait' 

I  =y' <p  (p -^y"-^  (p'  °" ^ JV^AV^Bz=y\{0 

(P^  -+-  (^_,)  p  ^B  )-+-y  •^I'  (-)  (  P^  H-  {A~i)  P'-^^  B) 

quantite  qui  ne  peut  devenir  «=  o ,  que  les  expofans  P 
Be  P'  ne  foient  les  racines  de  I'equation  P--^{A—^)P~^-B=o 
on  trouvera  de  la  meme  maniere  pour  le  cas  de  m=  y 

qu'en  fefant  j=j^  <p  (p^j,.?'^' (f)-^jP"/(i)  Ton  ne 
peut  avoir  W-^AV-^BV'-irCZs=o    que    les  expo- 


109 
fens  tie  foientles  raclncs  de  Tequatlon  P>  ^  P'-  (  j4~(^i^:)  ) 

Si  Ton  a  w  =  4  ,  on   trouvera  qu'en  fefant   ^  =^^  (p    (S\ 

y 

■+-J'''  +  (p  -^J^"/(p  -^  J''"^(p  °"  "e  peut  avoir 

fF-i-AF.^-BF'^CF"'i-DZ=o  que  les  expofans 

ne  foient   les  racines  in^gales  de 

P-'-t-P'    '"^-(3-+-i-t-i))-t-P'(5-(i-H.)^-H3(z-t-i)  ~: 

V>.  -t-   2.    •    I  J 

^P^C-B~h  2  •   i^-  3  •  i^)>-4-Z>=o 

Dans  le  cas  de  ;«  =  5  ,  on  trouvera  que  les  cinq  e^■po- 
fans  doivent  etre  les   racines  de   I'equanon 

-Hi  •  I  -* 

I  w-2    I       f'^-4{+i.,     O^H-3.^^    ^+  £=0 

-3(1  i)       )       '->-4  3    !■  •' 
En  continuant  ainfi  de  fuite  ,    on     trouvera   faciiement  la 
loi  fuivant  iaauelle  fe  forme   cette  equation  ,    &  Ton  re- 
connoitra  qu'elle  ert  toujours  de  la  forme  fuivante 
pm    P"^'(^-o,).,P'^-(B-x'A+(i)*P'^>{C-«"B^li'J-y) 
-+■  P"-*  (D-  <=^'"C-hBi'  B-y'J-h^)  ■  ■•  &c.  =  o 
dans  laquelle  les  quanciies    «   ,    oc ' ,    «  "  ,    k  "'  .   .   .  &c. , 
/3  ,  18'  ,  /3',  /3"  •  ■  .  &c.  y,y',  y'.y"  ■  ■  ■  &c.   I  ,1'  •  ■  ■  &c. 
ibiit  des   nombres  dont   voici   la   formation. 

1°  Si  i'on  retranche  le  premier  des  termes  dont  eft 
compofe  «  on  aura  « ' ,  de  meme  fi  Ton  retranche  le 
premier  terme  de  « '  on  aura  o^  "  6c  ainfi  de  fuite.  La 
m6me  chufe  a  lieu  pour  tous  les  autres  nombres  repre- 
fentes  par  le  meme  carafteej  ain't  en  retranchaiu  le 
premier  terme  dont  ell  compole  j8  on  a  |3' ,    de   meme 


110 

on  forme  Q''  en  effd^ant  le  premier  terme  tie  ff^  il  en 
eft  "^e  meme  pour  la  (uite  dts  nombres  y  ,  y'  y     y'  . .  .  &c.. 

5  •  S' . .  .  &c.  de  maniere  que  tous  ces  nombres  feront  con- 
nus  fi   on  connoit   les  premiers  de  cliaque  luite  ,  c'elt-a  dire 

«  ,  S  ,  V  ,  S  .  .  .  &c. 

2"  II  ell  ai(e  de  voir  que  k  e(l  ==  (//z — i) -h  Qn — z) 
-4-  {m — 5)  ■+■  {m — 4)  .  .  .  o 

qut  /3  "it=(/?z-i)  "X  '-^(?;^— 1)  «  ''-^{m—})  «  'V(/n-4)  =«  "'...6'c. 
qu»=  ^  eit=(w-i)|8'-f-(/72-i)|8"-(-(:n-})  i3"'-+-(/K-4)0'".  . .  &c^ 
qu^  8  eft  ={m^i)y'-\-{m.~i)y"  -^-{171-1')^"  -h(m-^)y"".  .  ,  &c. 

Il  eft  peutene  plus  (imple  de  dire  que  «  eft  =  (m— 1) 
^  (^ — i)  ^..  (ot — 3)  -H  (;;z — 4)  . .  .  &c.  ,  que  (3  eft  la  fom- 
me  des  produits  de  ces  quantites  prifes  2  a  1  ,  y  la  fom- 
me  de  leurs  produits  prifes  trois  a  trois ,  .  .  &c.  De  me- 
me que  oc '  eft  =  {m — 2)-H(/?2 — j)  -^-("^ — a)^{"'' — 5)  •  •  •  ^''^' 
que  i3'  eft  la  fomme  des  produits  de  ces  quantites  prifes 
2  a  1  ,  y'  la  fomme  de  leuis  pro-luits  prifes  3  a  5  .  .  .  &'c. 
Pareillement  que  oc  "  eft=  (/«—})-+-(/« — 4)-}-(/72— 5)  ...,&c. 
que  Q,''  eft  egai  a  la  fomme  des  produits  de  ces  quancifes 
prifes  2  a  2  ,  )/ "  la  fomme  de  leurs  produits  prifes  3  a  3  ...  &c. 

6  ainft  de  luite. 

Done  il  fera  poffible  de  former  I'equation  du  degre  m 
dont  les  racines  doivent  donner  les  expofans  de  y  dans> 
I'integrale  ge  lerale  de  la  proposee  ;  or  on  a  vu  qu'il  n'y 
avoit  plus  rien  d'indetermiiie  dans  I'lutegiale  que  ces  ex- 
pofans  ,  done  en  fuppofant  la  perteftion  de  I'algebre  ,  on 
aura  toujours  I'integrale  Hnie  de  I'equation 

C.  Q.  F.  T. 
W-^  A  V-^  B  V  -+-  cr-t-  D  V"  ...&c.  =  o 

Remarque 

Les  expofans  P ,  P  ^  P" ...  &c.  doivent  etre  les  raci- 
nes megales  de  I'equation  que  nous  veuons    de  trouver , 


Ill 

parcequ'autrement  le  nombre  des  fonftlons  arbitraires 
de  rintegrale  devieiidroit  moindre  que  }e  degre  de  la  dif- 
ferentielle  de  la  propofee ,  &  que  cette  inteti rale  ne  (emit 
plus  complete.    En  effet  h  Ton  fuppofe  P=:P'  I'equation 

l'=y^<P  {y)-^y^-^{-^  ^e  ^^duit  a  iz=yf<p(^^    qui 

n'efl:  que  I'lntegrale  incomplete  d'une  equation  en  difFe- 
rentielles  partielles  du  fecond  degre.  Or  il  peut  arnver 
que  I'equation  qui  donne  les  valeurs  des  expolans  ait  tou- 
tes  ces  racines  egales ,  done  il  peut  arriver  des  cas  oil  la 
merhode  precedcnte  ne  donne  pas  I'intt^grale  complete  de 
la  propolee.  Le  probleme  fuivant  remedie  a  cet  incon« 
venient. 

PROBLEME     XIL 

Completer  I'integrale  de  I'equation  W  -\-  AV  -^  B  V 
H-  C  V"  -^  DV' ...  &c.  =  o  lorfque  les  expolans  P  , 
P'  i  F' . . .  &c.  font  egaux. 

Solution. 

On  integrera  d'abord  une  fois  la  propofee  ,  &  d'apres 
lout  ce  qui  precede  ,  il  eft  clair  que  Ton  aura  pour  in« 
tegrale  premiere  ik  complete 

/>-_H. .,  ^'  -^-  ^  K"  ■+-  c  K'"  .  .  .  &c.  z=iy^  (p   (-) 

De  plus   en  fefant  (  comme  dans  le  prob!eme  X  )  V'-ha'V" 

■*-b-F"..  

nie  fuivance 


b'  K  "  .  .  .  &c.  =  u  on  mettra  cette  integraie  Ibus  la  for- 


dans  laqueile  la  quaiitue  H  eft  une  conftante   fonftion  de 
A  ,  £  ,  C . . .  &c.  Gi  nous  avons  vu  que  I'inte Jtdle    ue 


Hi. 

cetie"equation  eft 

Pone  puifque  les  expofans  P ,  P',  P"...&c.,  par  hypo- 
thefe  ,  font  egaux ,  il  fauc  que  I'on  ait  P  =  — H ,  d'ou 
il  fuit  que  la   transformee   doit  etre 

Pour  integrer  cette  equation  foit  d  co=-  p  d  x  -¥•  q  d y ,  ce 
qui  donne  p  x  -^  qy  ~  P  u  =JK^  (p  ("}  >  on  aura  dcii:::=pdx 

H i^ y -^ y''~' (i y  (p  \- ) '^JK  o^^  '^ien 

ydu-Pudy=py'^ ~ — J> -hjW  j  $  {^ 

on  rendra  le  premier  membre  differentielle  complete  en 
divifant  tout  par  y^"*"^  &  I'on  metira  apres  I'operation 
r equation    precedente  fous  cette  forme 

y''cico-Pa3y^-'dy  i-pfj'^x-xdy\  x^ 

- — yf-—=py<c~J^-j"^y  ^yKy) 

dans  laquelle  le  premier  membre  eft  =:  d—  .  Mais  le  der- 
nier terme  -  vp  (-)  eft 

done  cette  equation  fe  reduit  a 

4j^)=(.r--ioE.j,-(;))S^'-^}-4iog.^»(;-)j 

dont  I'lntegrale  ne  peut  etre  que 

oy-^  =  ^  (J)  +  log-  y  <P  (j) 

oa 


OU  ffl  =  / -^^  ^  J  j   -4-^' log.  J  (J,    (^  j  . 

dans  laquelle  les  expofans  de  y  font  egaux  k  la  verite  , 
mjis  fans  que  les  deux  fonftions  arbitraires  fe  re-|ui(ent , 
le  fecon^  etant  multiplie  par  log.  y .  Ainfi  I'integrale 
deuxieme  dans  I'hypothefe  des  racines  egales  eft 

On  transformera  cette  equation ,  comma  la  precedence 
en  ceileci 

&  Ton  trouvera  de  la  mSme  maniere  que  les  expofans 
etant  dgaux  ,  Ton  doit  avoir  H'  ■ssi  —  P  d'oii  il  fuit  qu'eil 
fefint  d  u  :=  p  d  X  -i-  (J  dy  y  on  aura  de  mSme  que  pre- 
cedemment 

ydci-Pudy=py  ^J^^f^y   ^y^dy^  (^ 

En  divifant  par  ^^"•"' ,  on  rendra  le  premier  membre  dif- 
ferentielle  complete ,  &  Ton  aura 

ou  parceque 

u  v/j  H;)='C-^" » (;))-  -:%  M'-^%(j) 

on  aura 

MifcTaur.TonuV.  p 


114 

tjont  I'integrale  ne  peutetre  que 

fi,>-'^ F  (  0  -H  log.  j4  ^^^  -+-  I  ( \og.yY  <P  (  p)  ou  bien 

multipliant  par  y^ ,  &  negligeant  le  coefficient    *-  a  caiife 

que  la  fonttion  (p  e(t  arbitraire  ,  on  aura  pour  integrale 
Iroineme  &  complete  de  la  propofee 

V"u^a"V"'^b"V"'-  •  ■  ^c.c=y  ir(j)-Hy  log.j.>f-(j) 

-^y(log.j)'<p(j) 

On  fera  la  meme  operation  fur  cette  troifieme  inte- 
grale •  •  •  &c.  d'oii  Ton  conclurra  que  I'intes^rale  complete 
de  la  propofee  ,  lorlque  les  expofants  P ,  P' ,  P"---  &c, 
font  egaux ,  eft 

-^-y  Clog.7)'(p(^y  ••  &c. 

C.  Q.  F.  T. 

Corollaire 

Si  les  racines  P ,  P' ,  P"  ...&c-  dont  le  nombre  eft 
=  m  n'etoient  pas  toutes  egales  mais  qu'il  n'y  en  eut  qu'yn 
certain  nombre  =  m-  n  ^  on  intggreroit  d'aboid  la  prO' 
pqfee  un  nombre  de  fois  =^  « ,  &  Ton  auroit  fon  inte- 
grale a*"'  complete}  enfuite  en  I'integreroit  {m-r-n)  fois 
connue  dans  le  probleme  precedent ,  &  fon  integrale  finie 
&  complete  feroit  par  confequent 


»M 


f  =1  +  J.''  .   log.  yF(^^)    +y'( log.  J  y  F  ( j) 

Le    nombre  des  termes  de  la  feconde  fuite  etant  {m-n-i) 
&  (i-+-«)  itant  celui  des  termes  de  la  premiere. 

PROBLEME    XIII. 

Integrer  en  quantites  finies  I'equation  g^nerale 
J^^AV^-BV-hCr-^D  V"  •'■&c.^K,  le  fe- 
coiid  membre  K  dtant  compofe    par  voie    d'addition    & 
foullradion  d'un  nombre  quelconque  de  quandtes    de  ces 

formes  Y  <p  {~\^X'V{-\Y^X  font  correfpondam- 

ment  des  fonctions  quelconques  donnees  la  premiere  de 
y  &  la  feconde  de  x. 

Solution. 

Suppofons  d'abord  que  le  fecond   rtiembre  K  contienne 
feulement  Y  <p  (  -  )  ,  on  raettra  la  propofee  fous  cette  for- 
me x-;^  -^  Y  ~  =  P u-}^  Y 0\~];  P  etant  une  des  raci- 
dx       -^  dy  ^  \y} 

nes  de  I'equauon  qui  donneroit  Icb  expofans  de  j'  dans  I'iff- 
tegralfe  de  la  propolee  ,  fi  Ton  avoit  iST  «=  o  .  Or  irous 
avons  vu  (  probl.  VII. )  que  I'integrale  de  cette  transfor- 

me.  eft.**y/'(^)^y<p0)y*-^,    done  1' in- 

tegrak  preimete  fera 


n6 


on  transtormera  de  meme  celleci  en 

P'  etant  la  feconde  racine  de  I'eqaation  qui  donne  les 
expofans  Sc  Ton  aura  en  integrant 

En  integrant  encore  une  fois  on  i  ouvera 

^  p-'^  ^^\  Cf  y'"''y  ff  y^'^'y  C^'^y  \\ 

"^^    ^  VyjJ  i.y^'^J  1  ^^-  /  y~^'  }f 

d'oii  Ton  conclurra  que  K  ecant  =  F  cp   (  -  )  ,  I'integra- 

le  finie  de  la  propofee  feroit 

^_Lvi"-m/'*^/  rfy'"''^y rfy'Jyf<i''^y 

La  feconde  fuice  qui  ell  ici  indefinie  a  caufe  de  I'expo- 
fant  inderermine  m ,  doit  etre  pouflee  jufqu'a  ce  qu'on  ait 
empoye  toutes  les  racines  /*  ,  P' ,  P"  . .  .  &c.  c'elt  a  dire 
que  pour  avoir  fon  expreffion  finie  il  faut  integrer  un  nom- 
bre  de  fois  =  m. 

Si     le    terme    K    au    lieu    d'etre    =  Y  <p  {-)  ^toit 

s=:  y  <p'  (  "-  j  ,  on  auroit  dans  I'integrale  qui  donne  la 
valeur  de  {  une  feconde  fuite  de  meme  forme  j  done  quel- 


»'7 
que  nombre  des  quantites  de  cette  forme  V  (p  (  ~j    que 

K  rer  fertnp ,  I'integrale  de  la  propofee ,  en  Verru  du 
Tl'cor^me  d^inonne  ci-devant,    fera    compofee    i."  de  la 

premiere  fuite  y''  f  [-)  -i-  y^  F  (  -)  •••  &c.  plus  d'au- 

tant  de  fuites  de  m^mes  formes  que  la  feconde  ,  mais  oil 
il  faudra  mettre  fucceffivement  F ,  1^' ,  Y"  . .  .  &c.  pour 
y  &C  <p  ,  <P'  ,   (p"  •  •  •  &c.   pour   (p. 

Acluellement  fuppofont    que   le  fecond  membre    K    ne 

renferme  que  X  "^  {~)  i  on  mettra  la  propofee  fous  cette 

forme  x  j^  -4-  y  —-  =  Qu-h  X^-  (  -j  ,  Q  etant  une  con- 

ftante  done  je  Lrai  voir  la  nature,  &  par  la  methode  du 
probleme  VIII  on  trouvera  que  cette  equation  a  pour 
integrate. 

ou  parceque  I'on  a  ,ef  (^)=,e.^  f(:)=jef  Q 

la  fontlion  F  etant  arbitraire  on  aura  pour  integrate 
u  =  j^  F  (~j  -+•  x^  ^  (~)f    Q^^  •  Mais  par  le  Theore- 

me  le  termejy^  -^  {  ~  )  *^°''  ^'""^  '^  meme  que  fi  Ton  avoit 

en  K=Oy  &  dans  ce  cas  la  on  auroit  Q  =  P^  racine 
de  I'equation  que  Ton  a  trouvee  dans  le  probleme  XI . 
done  on  aura  pour  integrate  premiere 

On  I'integrera  de  nouveau  ,  6c  P'  etant  la  feconde  ra- 
cine de  I'equation  qui  donneroit  les  expofans  de  y  fi  Ton 
avoit  K  =  o  ,  on  trouvera  par  la  meme  methode  pour 
iniegrale  feconde 


en  continuant  ainii  de  fuire  ,  on  trouveia  pojr  integrale  huie 

yJ  \.p~^  J    \7p^  J   'x^ffff  •••  f 

Mais  par   tout  ce  qui  precede  ,  il  elt  taciie  de  reconnoitre 
que    fi  le  fecond  membre  K  etoit  compofe   d'un    certain 

nombre  de  quantites  de  cette  forme   X  •^'  (  -  ]  I'integrale 

de  la  propof^e  feroit  compofee   i"  de  la  fuite  d'arbitraires 

yP  f  ^-"^  ^yP  p  ^-^  . .  .  &c.  1°  d'autant  de  Tuites  com- 

me    la    feconde ,    qu'il    y.auroit    de  quantites  X  ^^  (-J 

-4- X' "i''  (-},    en  obfervant   qu'on  auroit  fucceffivement 

X ,  X' ,  X"  •  •  •  &c.  pour  X  &:  4^ ,  •4'' ,  ■>^"'  •  •  •  &c.  pour  4" . 
Done  en  joignant  (  en    vertu  du  Theoreme  )    les   deuS 
parties  de  la  folution  on  trouvera  pour  integrale  generale 
&    finie  de  la  propofee 

jplus  a  autant  de  termes  comme  le  dernief  qu'Il  y  a 

de  quantites  de  la  forme  T  <f>  (~^  ^  en  obfervant  de 

,mettre  fucceffivement  Y\  ¥",¥'", ..&c.&i(p'<p"<p'\..&c. 


x' 


ti9 

yPlub  -JL  autant  de  termes  comme  le  pfecedent  qu'il  y  a 

jdans  K  de  quantites   de  la  forme  J^-^-  (-)  ,  en  ob- 
fervant  d'employer  focceffivement  X',  X",  X'"  . . .  &c. 

C.  Q.  F.  T. 

Remarque  I. 

II  importe  peu  dans  quel  ordre  on  emploie  les  racines 
P,  P' ,  P"..,  &c.  pour  former  les  termes  determines  de 
cette  Equation  ,  on  aura  toujours  le  mdme  refultat  pourvu 
qu'on  les  emploie  toutes ;  car  on  fait  quefiAf,  iV,  Z  . . 
font  des  fonttions  de  x ,  Ton  aura 
f{Mdxf{NdxfLdx))=f{Ndxf{MdxfLdx)) 
=f(NdxfiLdxfMdx))  =  ...  &c. 

Remarque  II. 

J'ai  fuppofe  dans  I'integrale  precedente  que  toutes  les 
racines  P  ,  P' ,  P"  . .  .  ^c.  etoient  inegales  ,  mais  dans  le 
cas  oil  elles  feroient  toutes  egales  ,  il  ert  facile  de  voir, 
(^Probl.  XII.)  que  Ton  auroit  pour  mtegrale  fiiue  &  complete 

U'F{l^^f  Log- J  i="  (p  -^y'  C  Log.  J  r  F"  (p 
^)H-^^(Log.^)'F"Q 

)-y.(P{.../{?/{^7<»>»...> 

(^ &c. 


L &c, 

car  (\  le  fecond  membre  K  ne  renfermoit  que  des  termes 
de  la  forme  J^(p^-J,  il  ell  evident  que  la  fuite  des  ar- 
bitraircs  feroit 

y  F  i^^-y'  Log.  J  i^'  (p  ^y^  ^Log.yTF'  (p  . . .  &c. 
De  meme,  {i  K  ne  contenoit  que  des  termes  de  la  for- 
me X'f"(-)  la  fuite  des  arbitraires  feroit 

x"  FQ)^xn.xFXp+x''  ( log.  xy  F"  (p . . .  &c. 

Or  il  eft  evident  que  ces  deux  fuites  fe  reduifent  a  la  me- 
me. On  a  deja  vu  (Probl.  V.  Coroll.  I. )  ,  que  Ton  pouroit 
fubftituer  y''  a  jc^  ,  il  ne  refte  done  plus  qu'a  faire  voir 
qu'on    peut  fubllituer  1.  j^  a  1.  a:    c'eil-a-dire    que  I'on  a 

yn.xFC-^=yn.jF'(^^,  y\\.yyF'  (p  =y\\.xyF"{'^ 
Mais  Ton ^y'lxFl-^=y\\.x^\.y-\y-)FQ=.yn.yF(;^ 
'*-y^\.(^~)  F'  ^-^  &  (parceque  la  fonftion  F  eft  arbi- 
traire)=yi.j.F(p+^''/'(p 

De  meme  on  a  (  1.  x  )'  F"  (-)  =  (1.^+1.  x-1.  j'yF'(-)  = 

^{ly  ^  l-y  F"  (^)=:  UyY  F'^l) 
-h  z  l.jy  /  -  i^'(-)  -4-  (•-)'-^'(y)  •    Done  en  ajoutant  en- 
femble  ce«  -deux  valeurs,  on  aura  F  (-)  -^X,  x  F  (-) 


+  (.i'yF'0= 


n') 


III 


X 


'     ^(^)+l.Ji^'(p 


* 


■Fiy)^.\.yF\A^O-yrF'{i\ 


y/  "  vy> 


^ou  bien  cdnfondant  les  fonftions  arbitraires  )  =.  F  (-^ 

•^  ].  y  F' (^-^ -+•  (lyY  F"  (-V    II    en  ferolt  de  meme 

pour  un  plus  grand  nombre  de  termes  ,  done  &:c. 

Ceci  n'avoit  pas  befoin  d'une  demonftration    particuliere  , 

c'etoit  uiie  fuite  immediate  du  Theoreme. 

Corollaire  I. 

Si  les  raciiies  P ,  P\  P"  .  .  .  &c.  fe  furpaflent  toutes 
les  unes  les  autres  de  I'unitd ,  c'eft-a-dire  que  Ton  ait 
P  =  P'  -H  I  J  P'  =  P"  -^  I  ■  ■  ■  &c. ,  les  termes  determi- 
nes de  I'integrale  generale   deviendront 

Or  fi  Ton  a  A=  o  ,  B  ^=  o  ,  C  =  o  •  ■  •  6'c.  I'equatioil 
du  probleme  XI  a  non  feulement  les  racines  en  progref- 
fion  arithmetique  dont  la  difference  eft  i  ,  mais  on  a  en- 
core P  =  m  —  I  ,  done  alors  les  termes  derermines  de 
I'integrale  feront 

<p  (-)J   -jr-^<P  (y)l   -yr---  ^■'-  -*-^(-)i   -^ 

+  "*■(-)  / ••  &c, 

Mifc.  Taiir.  Tom.  V'.  q 


"Xdx'^ 


Ce  qui  revient  an  cas  da  probUtne  IX ,  &  donne  le  m^ 
me  refultat  que  Von  a  deja  trouve. 

Corollaire  11. 

L'lnt^grale  g^nerale  du  probleme  precedent  eft  de  la 
forme  i  =  K -^  L  <p  u -t- M<p' u -^  N (p"  u  ■  -  •  &c.  Or  j'ai 
fait  voir  dans  le  memoire  qui  a  pour  objet  la  determi- 
nation des  fonftions  arbitraires  ,  qu'il  eft  toujours  poffible 
de  determiner  les  fonftions  de  cette  equation  ,  de  maniere 
qu'  elle  fatisfaffe  a  antant  de  conditions  particulieres  ,  ana- 
logiques  ou  non  ,  qu'il  y  a  de  fonftions  arbitraires  ,  done 
il  lera  toujours  poffible  de  conrtruire  la  furface  courbe 
qui  auroit  pour  equation 

W-^AV^BV  ■^CV"-hDV"'..-&c.  =  K 
quand  meme  les  courbes  a  double  courbure  donnees  ,  par 
lefquelles  on  feroit  oblige  de  la  faire  pafler    &    dont    le 
nombre  eft  =  /;z ,  feroient  difcontinues ,  &  donnees  au  ha- 
zard dans  I'efpace, 


SUR  LA  FIGURE  DES  COLONNES 
Par  M.  de  la  GRANGE. 

r  vyn  a  coutume  de  donner  aux  coloniies  la  figure  d'uir 
conoide  qui  ait  fa  plus  graiide  largeur  vers  le  tiers  de  fa 
hauteur ,  &  qui  aillc  de  la  en  diminuant  vers  les  deux 
extremites  J  d' oil  rdfulte  ce  qu'on  appelle  vulgairement  le 
renflcmcnt  &  !a  diminution  des  colonnes;  mais  perfoiine 
que  je  fache  n'  a  encore  donne  une  raifon  fatisfailante  de 
cette  pratique }  car  je  ne  crois  pas  qu'  on  puifl'e  regarder 
comme  telle  celle  que  la  pluspart  des  Auieurs ,  qui  ont 
ccrit  fur  cette  matiere ,  apportent ,  &  qui  confilVe  dans  la 
resemblance  qu'  ils  pretendent  qu'  une  colonne  doit  avoir 
avec  le  corps  humain.  II  me  parcit  au  contraire  qu'  il 
feroit  bien  plus  naturel  de  faire  les  colonnes  plus  minces 
en  haut  qu'  en  bas ,  &  cela  a  1'  imitation  des  troncs  d'  ar- 
bres  qu'  on  a  du  neceflairement  employer  dans  les  premiers 
batimens ;  c'  eft  ainfi  que  les  anciens  Architeftes  en  ont 
ufe,  comme  on  le  voit  par  les  ouvrages  antiques  qui  font 
relies  a  Home  ,  dans  Icfquels  la  plus  grande  partie  des 
colonnes  commencent  a  avoir  leur  diminution  des  le  basj 
mais  comme  Vitruve  qui  eft  devenu  le  legislateur  des  Ar- 
chitecles  modernes  ,•  pr(^fcrit  formellement  le  renjlenient  des 
colonnes  en  difant  qu'  il  faut  ajouter  quelque  chofe  a  leur 
milieu  (liv.  in  chap.  2)  quoique  par  la  perte  qu'on  a 
faite  des  figures  qui  etoient  jointes  a.  fon  ouvrage  ,  on 
ignore  la  methode  dont  il  s'  y  prenoit  pour  tracer  la  li- 
gne  du  contour  des  colonnes ,  1'  ufage  de  renfler  les  co- 
lonnes au  milieu  ,  &  de  les  diminuer  aux  deux  extremiies 
eft  devenu  general ,  &  on  ne  varie  plus  que  fur  la  courbe 
qui  doit  former  le   renflement  &  la  diminution. 

Palladio  propofe  pour    cela    un    moyen  mecanique    qui 
eonfilte  a  plier  tant  foit  peu  une  reg'e  de  bois  j    Vi^nole 

2  ^ 


114 

(donne  deux  efp^ces  de  conftrufllons  g^ometriques  par  lef- 
quellcs  on  peut  decrire  le  profil  d' une  coionne  par  plu- 
fieurs  points  j  enfin  M.  Biondel  a  imagine  de  faire  i'ervir 
^  ce  deffein  1'  inftrument  de  Nicomede  ,  en  forte  que  le 
profil  de  la  coionne  ait  la  figure  d'  une  concoide.  11  fe» 
roit  tres-aife  d'  iiiventer  plufieurs  autres  moyens  pour  rem- 
plir  le  ir.eme  objet ,  car  tant  qu'  il  n'  y  a  d'  autres  don- 
n^es  que  1' epaifleur  de  la  coionne  aux  deux  extremites, 
&  au  point  du  plus  grand  renflement ,  il  eft  clair  que  le 
probleme  eft  tres  indetermine ,  puifqu' il  nc  s' agit  que  de 
faire  pafler  une  ligne  courbe  &  concave  vers  1'  axe  par 
trois  points  donnes.  Mais  n'  y  auroitil  pas  dans  la  na- 
ture meme  de  la  chofe  quelque  principe  qui  put  fervir  a 
determiner  la  queftion  ?  Parmi  ceux  qui  fervent  de  fon- 
dement  a  I'architefture  il  n' y  en  a  qu'un  feul  qui  ait 
des  regies  fixes  &c  invariables ,  &:  par  confequent  fufce- 
ptibles  de  calcul  5  c' eft  la  folidite;  il  faut  clone  examiner 
{i  on  peut  deduire  de  cette  confideration  les  conditions 
neceflaires  pour  la  determination  &  la  folution  du  pro- 
bleme dont-il  s'  agit  j  c'  eft  1'  objet  du  Memoire  qu'  on  va 

lire . 

z  Comme  les  colonnes  font  toujours  deftinees  a  fup- 
porter  des  charges  plus  ou  moms  conliderables,  luivant  les 
circonftances  oil  on  les  emploie  ,  il  eft  evident  que  fi  une 
coionne  eft  trop  chargee ,  elle  commencera  a  fe  courber 
un  peu  du  coie  oil  la  matiere  fera  moins  de  refiftance, 
apres  quoi  elle  fe  caftera  faute  d'elafticite,  furtout  ii  c'eil 
une  coionne  de  pierre  ,  ou  de  briques  ;  or  il  n'  eft  pas 
dilHcile  de  comprendre  que  la  courbure  iiiivant  laquelle 
la  coionne  le  pliera  iera  differente  fuivant  la  figure  meme 
de  la  coionne  j  de  Ibrte  qu'  a  hauteurs ,  &  a  maffes  ega- 
les  la  force  d'  une  coionne  pourra  etre  plus  ou  moins 
grande  faivant  la  nature  de  la  courbe  qui  en  fornura  ie 
profil.  Alnli  c'  eft  uii  probleme  de  nuxiinis  &  minimis  d» 


determiner  la  courbc  qui ,  par  fa  rotation  amour  de  ion 
axe ,  formera  une  colonne  capable  dj  fupporter  !a  plus 
grande  charge  pofllble ,  la  hauteur  &  la  malie  de  la  co- 
lonne etant  doniiees  ;  c'  ell  la  ,  ce  mc  (emble  ,  le  veritable 
point  de  vue  ,  fous  le  quel  on  doit  envifager  la  quelUou 
du  renflcme'it,  &  de  la  diminution  des   colonnes. 

3  Quoique  la  theorie  de  la  force  des  colonnes  entant 
qu'  elle  depend  de  leur  figure  ait  deja  fait  le  fujet  d'  uii 
tres  beau  Memoire  que  M.  Eulera  donne  dans  le  volume 
de  r  Academic  de  Berlin  pour  i' annee  1757;  cependant 
comme  le  point  de  vue  fous  lefquel  cet  illuftre  Auteur  a 
difcute  cette  matiere  eft  different  de  celui  dans  lequel  nous 
nous  propofons  de  hi  traiter ,  nous  croyons  faire  quelque 
pilaifir  aux  Geomexres  en  leur  communiquant  les  recher- 
ches  que  nous  avons  faites  fur  un  fujet,  qui  intereffe  ega- 
lement  la  Mccanique  &  IMnalyfe. 

4  Soit  A  M  B  (  fig.  I  )  une  colonne  dreffee  vertica- 
leineat  en  ^  ,  &  chargee  a  T  autre  extremire  B  par  uii 
poids  qui  1'  oblige  !l  le  courber  infiniment  peu  ,  enforte 
qu'  elle  prenne  la  figure  A  N  B.  Suppofons  d'  abord  que 
cette  colonne  foit  d'  une  figure  cilindrique  ,  &  que  F  foil 
la  force  ablolue  qu'  elle  a  dans  chaque  point  pour  refilter 
a  etre  p'.iee,  &  qui  fera  par  confequent  la  nieme  par  tour, 
fuivant  la  loi  generale  des  corps  elalliques  ,  cette  force 
croitra  en  raifon  de  1'  angle  de  courbure  ;  de  forte  que 
dans  1'  etat  A  N  B  ,  l<x  torce  de  la  colonne    a    un  pouit 

quelconque  N  fera  proportionelle  a  - ,  en  defignan:  par  p 

le  rayon  ofculateur  de  la  courbe    A   N  B.     D'  un   autre 

c6;e  ,  (\  on  nomine  P  le  poids  comprimant  a  1'  extreinite 

B  ,  il  eft  facile  de  voir  que  le  moment    de  ce  poids  par 

rapport    au  point    N  (era  exprirae    par    P  \  M  N;    de 

forte    que    la  condition    de    1'  equilibre    donnera   d'abdrd 

X 
cette  equation  P  X  M  iV  =  -    d'oii  on  pourra  connoitre 


ti6 

tant    la    nature    de   la    courbe    A  N  B  ,   que 'la  valeur 
de  P. 

5  Nommons  pour  cela  les  abfclffes  A  M  =  x,  &  les' 
ordonnees  M  N  ^=-  y ;  &  comme  on  fuppofe  que  la 
courbure  de  la  colonne  foit  partout  infiniment  petite ,  on 
aura  y  infiniment  petit  par  rapport  h.  x  ^  dy  infiniment 
petit  par  rapport  ^.  dx;    de   forte  que    1' element    de  la 

eourbe  d  s  =^  V  [Jix'^-dy   '\  fera  a  tres  peu  pres  &  fans 

erreur  fenfible  =  d  x  .     Or    on    fait  qu'  en  prenant  d  x 

As 

conftant  on  a  f  = r  >  done  on  aura  dans  notre  caS' 

»  -  iix  dy 

p  = i— J  par  confequent  1'  equation  a  la  courbe  A  N  B 

■^  K  dy  ,  K  dy 

fera  P  y  ^=.  -  r,  c'  eft  a  dire  P  y  -\r =  Ot 

dx  d  X 

II  faudra  done  integrer  d'  abord  cette  equation ,  enfuite 

faire  en  forte  que  1'  expreffion  de  y   foit  nulle    aux  deux 

points  A  ,  8>c  B  ,  c'  elVa-dire  lorfque  x  =  o  ,  &c  lorfque 

X  =  A  B    hauteur    de     la  colonne.    Or  1' integration  eft 

facile  ,  a  caufe  que  P  &c  K  font  des  quantites  conftantes, 

/p 
-  •+-  ^  )    f  S<  g 

ctant  des  conftantes    arbitraires  ;  done  fi   on  nomme    a  la 
hauteur  donnee  de  la  colonne ,  il  faudra  que  1'  on    ait  f 

fin  o-  =  0,  &  f  fn.   (l/jf  +  g^  )  =  0  ;    done  puifqu' on 

ne  peut  pas  faire  /  =  o  ,  ce  qui  donneroit  y  =  o ,    il 
faudra  faire  d'  abord   g  =  o,  6c  enfuite  il  faudra  encore 

que  I'on  ait  Jin.   (  a  y --^  cz=:  o ;    &  par  confequent  que; 
a  1/7.  =='«  ''■f  ^  etaiit  r  angle  de  j8o°,  &c  m  un  nombre 


»»7 
quclconqae  entier ;  ^  ok  F  on  tire  P  = — ^  Tequa- 

tion  ft  la  courbe  A  N  B  devienJra  par  la  y  =  f  fn. 
(— — — )  ,  ou  la  conilante  /  demeure  arbitraire,  &  ex- 
prime  la  plus  grande  valeur  de  y. 

6   Si  on  fait   m  ■=.   \  ^  on  aura  y  ■=■  f  {\n   ,    d'  ou 

r  on  voit  que  la  courbe  A  N  B  nc  coupe  1'  axe  qu'  aux 
deux  extremites  -^  ,  &  ^  i  &  le  poids  requis  pour  don- 

c 

_    jr 

ner  a  la  colonne  cette  courbure    fera  — -.    Si  m  :=  i  , 

a 
on  aura  y  =  fjin.   ,  &  la  courbe  coupera    1'  axe 

au  point  ou  x  =  -  ,  c'  eft  a  dire  au  point  du  milieu  C, 

enforte  que  la  colonne  prendra  la  figure   i  ;  mais  il  fau- 

dra  pour  cela  que  le  poids  /*  foit  =  --~^— ,  c'eft-^-dire 

a 
quadruple  du  precedent.   Si  on  faifoit  m  =  3  ,  on  auroit 

y  ■=  f  Jin. ,  de  forte  que  la  courbe  couperoit  I'axe 


2   a 


aux  points  oil  x  =  —  ,  &  x  =  —  &:  feroit  femblable 
k  la  figure   3  ,  or  pour  que  la  colonne  foit  pliee  de  cette 

inaniere  il  faudra  que  le  poids  P  foit  = ^ —  ,  c'  eft- 

a-dire    neuf  fois  plus  grand  que  le  premier  ;    &  ainfi  de 
fuite. 


ii8 

7  Malntenant  pulique    le   plus  petit  polds    qui   foit   erf 

etat  de  faire  plier    la  colonne  eft   — ^ — ,  il  femblequ'on 

en  peut  conclure  que  tout  poids  qui  fera  moindre  que 
celutci  ne  fera  abfolument  aucun  eiFet,    &    qu' ainfi    on 

doit  regarder  la  quantite  comme  la  vraie  mefure  de 

la  force  de  la  colonne  cylindrique  A  B.  C  eft  par  cd 
principe  que  M.'  Euler  a  determine  dans  le  Memoirs 
cite  la  force  de  plufieurs  fortes  de  colonnes  tant  cylindri- 
ques  que  paraboloidiques ,  &  ce  fera  aufli  fur  le  merae 
principe  que  nous  fonderons  nos  recherches  fur  la  figure 
qu'  on  doit  donner  aux  colonnes  pour  qu'  elles  aient  la 
plus  grande  force  poffible  ;  mais  avant  d'  en  ftire  ufage 
il  eft  bon  d'  examiner  ce  qui  doit  arriver  lorfque  le  poids 

fera  un  peu  different  de  — ^ — ;  pour  cela  il  faut  deter- 
miner rigoureufement  la  nature  de  la  courbe  A  N  B  fans 
negliger  Ja  petite  differ'.^nce  qu'  il  y  a  entre  1'  element  de 
Tare  d  s ,  &c  celui  de  1' abfciffe  d  x. 

K 

8  Qu'  on  fubrtitue  done  dans  l'  equation  P y  =:  -    de 

d  s^ 
V  art.  4  a  la  place  de  p  fa  valeur  rigoureufe  -     ,         ,     & 

K  (ix  dy 
r  on  aura  celle-ci  P y  -^ ^T' —  ^^  °  laquelle  etant  multi- 

pliee  par  dy&c  enfuite  integree  donne  Py'  -  — ; =  a  une 

°  — -        as 

conftante.     Pour  determiner  cette  conftante  foit  /  la  plus 

grande  valeur  de  y ,  &  comme  on  doit  avoir    au    point 

du 


119 

du  maximum  d y  =  o  ,    8c    pair  confequent   d  s  =  d  x  y 

on  aura  pour  la  valeur  de  la  quantite  ^y_  -  ~z —     dans 

ce  point ,  — — •  -  K  y  qui  fera  done  la  conftante  cherchee. 

Ainfi  r  equation  deviendra  -  (K-v   )=K(i  -  — ); 

tnais    d  X    =    f^j^  -  dy    »  ^onc    -      (  K  -y)  =  K 

(  I   -     V  '^^  ••  Jy  J     )  ou  bien  en  faiflint    — ^   =  d  ,   - 
\  ds  J  a  s  ^       1. 

('y  1  y)  =  iS:  (  I  -  v/(  I  _  /)  ^  d'  oil  r  on  tire 
caufe  de  fl'j  =  —  ,  ij  =     , ; '■ 

Ka(/-;)-i-ov)') 

On  inte2;rera  done  cette  equation  en  forte  que  y  foic 
=  0  lorfque  j  =  o ,  enfuite  on  fuppofera  aufli  y  =  o 
lorfque  s  ■=.  a-.,  Qa  cette  derniere  condition  fervira  a  de- 
terminer la  valeur  de  P,  ■ 

8.  Puifque  la  plus  grande  valeur  de  y    eft  /*,    on   pent 
fuppofer  j)^  ■=  f  Jl?i,  (p ,    Si  fubllituanc    cette    valeur    dans 

Tequation  prec^dente,  elle  deviendra  d'j=:     ; r-, • 

par  laquelle  on  dsterminera  la  valeur  de  (p  en  j  ;  6<:  comme 
on  veut  que  J'  foit  nul  lorfque  j  =  o  ,  &  lorfque  j  =  a  il 
faudra  que  (p  foit  =  o  lorfque  j  =  o  ,  &  que  (p  ^=  m  ir 
lolque  s  =■  a.  Lorfque  m  =  i  la  couibe  n' .lura  qu'un 
fcul  ventre  comme  dans  la  iiti.  i  ;  en  taifant  m  =  l  elle 
aura  deux  ventres  comme  dans  la  fig.  2  ;  Si  ainli  de  fuite. 
fvlijc.  Taur.  Tom.  K,  r 


no 

9'  Si  /  eft  une  quantite  infiiiiment  petite,  on  a  a  tres 

d  (p  <P  . . 

peu  pres  ds  =  —7 — ,  &  integrant  s  =  —jt  d'oii  faifaiit 

J  =  a  ,  &  (p  =  w2  T  ,  on  a  le  meme  relultat  que  ci- 
delTus  arr.  5.  Mais  (1  /  n' eft  pas  une  quantite  infiiii- 
ment petite  ,  alors  1'  equation  de  1'  art.  prec.  n'  eft  point 
fufceptible    d' une    integrale.  exa£le ,    car    la   differentielle 

//P     /f-^Bs  p\  depend  en  general  de  la  reftification  des 

feftions  coniques.  Mais  en  employant   les    feries   on    aura 

/  i  »  244  )  S  6 

"   '^  I  Pf  COS.  (p        -^P  f  COS.  (p  J.')Pf  COS.(f)  \ 

ds=-^p\  H- 4- -+ -+a,,j 

^\        z.  4  K      2.  4.  16  ^       1.4.6.   64K 
Or  les  difFerentielles  ccj.  (p'  </<p,  crij.  $"  ^  (p  &c.:  font  toutes 

integrables  ,  comme  V  on  fait,  &  pour  les  integrer  il  n'y 
a  qu'  a  changer  les  puiftances  cos.  (p  en  des  cofinus 
d'  angles    multiples    de    (p     par    les    formules    connues   , 

z 
cos,  <p    =    COS.  1  (p  -+-   I , 


,  4.  3. 


cos.  (p  =  COS.  4  (p   -t-  4  COS.  1 


1.     2. 


A  ^  ,  ^-  ')  6.    <;.   4 

*       co^.  6  (p  -H  6    co^.  4  (p  H coj.  2  (p  H-  

COS.  (p=  2  1.23 

&c. 

Mais  comme  par  1'  integration  tous  les  cofinus  deviennent 

dts  fiiius  ,  il  ell  clair    qu'  en    faiiant  <p  ==.  m  ir  tous   ces 

termes  evanouironr  d'eux  memes  j  c' eft  pourquoi  il  fuffira 


»  3  I 

pour  notre  objet  de  confiderer  les  termes  tous  conflantes 

des  valeurs  de  cos.  (p*,  cos.  tp'  &:c.:  &  de  les  fiibftituer  a  la 
place  de  ces  memes  valeurs  dans  1'  equation  ci-delTjs  j  ce 
qui  la  rciduira  a  celled  : 

qui  etanc  integree ,    donnera  apres  y  avoir  fait    j  =  a  , 

&    (p    :^    7/2    ^  ^ 

K^         4(8/2:)         4.16  (J  zK")         4.i6.j(J(i28X) 

par  ou  r  on  pourra  determiner  la  valeur  de  /  pour  cha- 
que  valeur  donnee  de  P  &  de  a. 

1  o.    On  voit   d'  abord    par    1'  equation   prdcedente  que 


tant  que  /  n' eft  pas  nul  a  eft  neceffairement  >  i/f    i 

&  par  confequent  P  >•  "^  ^  ^  j  d'  ou  il  s  enfuit  que   la 

a 
colonne  ne  peut  ^tre  courbee    que    par    une  charge  plus 

grande  que  ^'^'•^.  En  effet  (\  on  met  1'  equation  ci-deffus 

a  ' 

fous  cette  forme. 

m  irY  K     4,{%K)      4.i6(3iK')      4. 16.36  (ii8  A'>) 
&    qu' on    regarde    la    valeur    de   y*  comme    1' inconnue 
qu'  il  s'  agit  de  determiner ,    il   eft  clair    que  puifque  les 
quantites  P  Sc  K  font  politives    de  leur    propre    nature  , 
la  quantite /'  n' anra  que  des  valeurs  negatives,  ou  ima- 

•'    ,    P 

ginaires  taut  que  1  -  — L/  -i^  >•  o  ,  que  cette   quantite 

r  2 


aura  une  valeur  nuUe  lorfque   i  -         U  ^=  o,   toutes 

les  autres  etant  negatives  ou  imaginaires ;  qu'  enfin  la 
quantite  /*  aura  toujours  une  feule  valeur  pofitive  lorfque 

I  -  — J  7%.  <;  c.    Done   1°  la  quantite  /  fera   toujours 

imaginaire   lorfque    i    -         y  ^  >    o  ,  c'  eft  -  a  -  dire 

P   <; z°  la  quantite  /aura  toujours  deux  valeurs 

reelles  &  egales  ,  mais  1'  une  pofitive  &  1'  autre  negative, 
lorfque  i  -  ' — ^^  <C  o,  fgavoir  P  >•  — ^ — ;  Sc 
n  aura  point  d'  autres  valeurs  reelles,  D'  oil  il  s'  enfuit 
que  tant  que  P  fera  <C  — »  ^a  colonne  ne  pourra  pas 
etre  courb^e  j    que  tant  que  P  fera  renfermee    entre  les 

limltes    &  1 ,  la  colonne  fera  courbee ,  mais  en 

ne  formant  qu' un  feul  ventre;  que  tant  que  P  fera  en» 
tre  les  limites &  ?J1 ,  la  colonne    fera    necef- 


fairement  courbee  &  pourra  former  ou  un  feul  ventre , 
ou  deux  ;  &  ainli  de  iuite. 

II.  Nous  avons  done  deraontre  tres-rigoureufement  que 

la  quantite     ^         eft  la  limite  des  ppids  que  la  colonne 

a* 

peut  fupporter  fans  fe  plier  j  &  comme  cette  quantite 
eft  egale  a  la  valeur  que  doit  avoir  la  force  P  lorfque 
f  eft  nulie  ,  ou  ce  qui  revjent  au  meme  infiniment  peti- 
te ,  il  s'  enfuit  qu'  on  peut  la  trouver  direftement  en  fuppofant 
ti'abord  J  infiniment  petite  dans  ['equation  de  la  courbe,  com- 
me on  r  a  fait  dans  1'  art.  5  ,  &  faiiant  enforte  que  1' integrate 
de  cette  equation  fatisfaffe  aux  deux  conditions  de  ^  =  0 


'35 

lorfque  j  =  o    Sc  s  =  a,    ou  bien  lorfque    x  =   o    Sc 

X  =  a,  parceque  dans  le  cas  de  j  infiniment  petite  , 
1'  arc  s  fe  coiifond  fenfiblemenc  avec  1'  abfcifle  x .  C'  eft 
de  cette  maniere  qu'  on  pourra  determiner  la  limite  dont 
il  s'  agit  pour  les  colonnes  qui  ne  feront  pas  d'  une  epaif- 
feur  uniforme  &  dont  1'  equation  feroit  abfolument  in- 
traitable  par  les  methodes  connues  fans  la  fuppofition  de 
J  infiniment  petite. 

I  z.  En  effet ,  fi  on  fuppofe  que  la  colonne  ne  foit  pas 
cylindrique,  mais  quelle  ait  la  forme  d' un  conoide  formd 
par  la  rotation  d'  une  courbe  quelconque  autour  de  fon 
axe,  lequel  fera  par  confequent  auffi  1'  axe  de  la  colonne, 
&  qu'  on  nomme  ^  1'  ordonnee  de  cette  courbe  qui  re- 
pond  a  une  abfcilfe  quelconque  x ,  enforte  qu'  on  ait 
une  equation  entre  {  &  x  ,  qui  ferve  a  determiner  ^  en  x; 
il  eft  clair  que  i  ^  fera  le  diametre  de  la  grpfleur  de 
la  colonne  a  la  hauteur  x  depuis  la  bafe  ,  &  il  n'  eft  pas 
moins  evident  que  la  force  abfolue  avec  laquelle  la  co- 
lonne refiftera  dans  cet  endroit  a  etre  courbee  fera  d'  au- 
tant  plus  grande  que  la  quantity  i  {  fera  plus  grande  i 
de  maniere  que  cette  force  pourra  etre  regardee  comme 
une  fonftion  de  ^  &  per  confequent  auffi  comme  une 
fonftion  de  x  ,  que  nous  defignerons  en  general  dans  la 
fuite  par  X.  Ainfi  il  n'  y  aura  qu'  a  mettre  {implement 
Xi  la  place  de  ^  dans  I'eouation  de  1' art.  5  ,  &  1' on  aura 

P  y  _^.  _^L  —  o 

par  r  equation  de  la  courbe  fuivant  laquelle  la  colonne 
fera  pliee  par  le  poids  P  dont  on  la  fappofe  chargee,  en 
fuppofant  que  cette  courbe  foit  infiniment  peu  ditferente 
de  la  Ugne  droite. 

1}.  Or  puifque  dans  le  cas  ou  X  ^toit  une  quantite 
coiiftante  K  on  a  trouve  en  general  pour  la  valeur  dey 


cette  expreffion  j  =  f  Jin.(x   ^>  _j.,  ^   j  ,    fuppofon's 

maintenant  y  ==  ^  fin.  (p  ,  ^,  &  (p  etant  des  fonftions 
iiiconnues  de  x,  Sc  1' on  aura  en  difierentiant  dy  =  fin. 
^  J  ^  -+-  ?  COS.  <p  d  (p,  d'y  =  Jin.  <p  d'^  ■+•  2  cos.  (p  d(p 
^p  _i..  ^  COS.  (p  d'(p  ~  ^  Jin.  <p  d  (p'j  done  fubftituant  ces 
valeurs  dans  i'  equation  de  1'  arr.  prec.  on  aura 

Comme  nous  avons  introduit  deux  variables  indetermi- 
nees  ^  &  <p,  nous  pouvons  faire  difparoine  dans  cette 
equation  les  Jin.  &  cos.  de  (p  ,  en  la  partageant  en  ces 
deux-ci 

i.  d  <p  d"^  5 J'  $ 

la  feconde  etant  multipliee  par  ^  i/  x  ,  &  enfuite  integr^e 
^Vj  ^       d  p  It  rdx 

donne    -; —  =  A  ,   d'  ou  Ton  tire  -r~  =  f^  3c  m  =  k     ;7t 
d  X  d  X       ^-        ^  '  K   i 

h  etant  bae   conftante  arbitraire.     Subftituant  cette   vaieur 

dans  la  premiere  equation    elle  deviendra 

par  laquelie  il  taudra  determiner  la  variable^;   enfuite  de 

quoi  on  aura  y  =  ^fin.  f  h   I  fi    J  . 

Soit  pour  plus  de  fimplicite  ^*  =  A  ^^ ,  on  aura  en  fub- 
ftituant  cette   vaieur  dans  T  equation  en  ^  celle-ci : 

rdx 

&  la  vaieur  de  y  fera  y  =  y/{liii).  Jin,   I  ^  . 


135 

14    On  remarquera  d' abord    a   1' egard    de    cette    ex- 

preflion  de  y  qu'  elle  contient  deux  conftantes  arbitraires, 
r  une  c'  eft  la  conftante  h  qui  ne  fe  trouve  point  dans 
r  equation   en  ii ;  1'  autre  c'  eft  celle  qui  eft  virtuellemenc 

/dx 
—  ,    c'  eft  pourquoi  il  lufEra 

d'y  fubftituer  une  valeur  quelconque  de  u  qui  fatisfafte 
a  I' equation  en  u  fans  s'embarafTer  ft  eile  eft  une  inte- 
grale  complette  de  cette  equation  ou  non. 

Un  autre  avantage  de  la  meme  expreffion  de  jy' ,  c'  eft 
qu'  elle  eft  tres-commode  pour  la  determination  du  poids  P., 
car  luivant  les  conditions  du  probleme  il  faut ,  i ."  que  y 
foit  =  o  lorlque   ar  =  o  ,  condition  qu'  on  remplira    en 

prenant  I'  integrate  de  /  —  enforte  qu'  elle  ^vanouifte  lorf-. 

que  X  =  o  .  2.  ^  11  faut  ^ue  y  foit  audi  =  o  lorfque 
X  =.  a;    &L  pour  remplir  cette  condition    il   faudra  que 

la  valeur  de  1'  integrale    /  — >  qui   repond    a.  x  =:  a    foit 

es:  m  v  ;  car  alors  yT/z.    /  —    fera  nul .     Or    corame    la 

quantite  u  ne  doit  point  contenir  de  conftantes  arbitrai- 
res ,  il  eft  vifible  que  cette  derniere  condition  donnera 
une  Equation  entre  les  quantites  P  Sc  a ,  par  laquelle 
on  pourra  determiner  P. 

Quant  au  nombre  eniier  m  qui  demeure  indetermine  , 
il  eft  clair  ,  par  ce  qu'  on  a  vu  plus  haut,  qu'  il  iera  tou- 
jours  egal  au  nombre  des  ventres  que  la  colonne  for- 
mera  en  fe  courbant  par  la  preflion  du  poids  P  j  done 
pour  avoir  la  limite  des  'fardeaux  que  la  colonne  pourra 
fupporter  fans  fe  courber  d'  une  maniere  quelconque  ,  il 
faudra  toujours  prendre  pour  m  le  nombre  entier  qui 
renJra  la  valeur  de  P  la  plus  petite ;  (k  cette  valeur 
fera  ia  limite  cherchee. 


15.  L' hypothefe  la  plus  fimple  qu' on  puiffe  faire  fur 
la  figure  des  colonnes  lorfqu'  elles  ne  doivent  pas  etre 
cylindriques ,  eft  de  les  fuppofer  formees  par  la  rotation 
d'  une  feftion  conique  autour  de  fon  axe  ;  or  1'  equation 
generale  d'  une  feftion  conique  oii  les  abfcifles  font  pri- 
les  dans  1'  axe  ,  eft  comme  1'  on  fait  :^^  =  tt  -i-  B  x  -^  y  x% 
X  etant  les  abfciffes  ,  &  ^  les  ordonnees ;  8c  a  ,  Q  ,  y  etant 
des  conftantes  arbitraires ;  ainfi  nous  adopterons  d'  abord 
cette  equation  entre  les  variables  {  &  ;v  ,  &  nous  cher- 
cherons  quelle  eft  la  valeur  de  P  qui  en  refultera;  mais 
pour  cela  il  faut  encore  etabiir  la  loi  qui  doit  avoir  lieu 
entre  les  rayons  ^  &  la  force  X  avec  laquelle  la  colon* 
ne  refifte  a  fe  courber  (  art.   i  2  ). 

16.  II  paroit  que  la  theorie  &  1' experience  s'accor- 
dent  afses  a  faire  X  proportionelle  a  :(*;  comme  on  peut 
le  voir  par  les  ouvrages  oii  cette  matiere  eft  traitee  ; 
ainfi  nous  fuppoferons  en  general  X  =  K  :[*  i  ce  qui 
donnera  dans  le  cas  de  I'art.  prec.  X=  K  (a  -+-^  •^-+-JK  ^^Yi 
ce  qui  etant  fubftitue  dans    1' equation  en   u    de  Tart.    13 

_  f  l.ud^  II  — du'^  .        \ 

on  aura  4  P  u^-hK  (*-4-  (3  x~t-y  x^y  I  —- )-  4  1=  o 

equation  a  laquelle  on  peut  fatisfaire    en    faifant    u  =  g 

{a  -^  (i  X  -^  y  x^)  =g  l'- ;    car  on  aura  — — = 

4^'^(et-l-|8:v-H)^x^)-^*  (^a  -¥•  ^  y  x)  '■ 
=  ^^  (  4  ec  y  -  /3'  )  ;  de  forte  qu'  apres  les  lublhtu- 
tions  on  aura  4  P  g''  -+-  ^  ( g^*  (4  <«  ?  ~  /3")  -  4 )  =  o- 
d'  oil   r  on   tire  i 

^  =  VG  ■+- *  5^ -f  )• 

Cette  valeur  de  u  n'  eft ,  comme  1'  on  volt ,  qu'  une  inte- 
grale  particuliere  j  mais  elle  fuftit  pour  notre  objet  ,  comme 
on  r  a  fait  voir  plus  haut  (art.   14). 

Main- 


^37 

17  Maintenant  on  aura   f  —  =   I  — -^ 

Ju  J  g  (a-^  (ix -*- y  x')i 

d  X 

done  fi  on  nomme  A  I'inteerale  de    x 

°  A  -i-  ^  X  ^  y  x^ 

dx  . 

c'  eft-a-clire    de     —  ^  prife  enforte  qu'  elle  foit  nulle  lorf- 

que  ;f  =  0  &  complette  lorfque  .r  =  a ,    on    aura  — 

pour  la  valeur  de    I  -    repondante    k  x  =  a ;    on    fera 

done  (art,    14)    ~    =  m  tt  ;  8c  on  tlrera  de  la 


==(^--.,.--)x 


Telle  ell  done  la  valeur  du  poids  P  qui  pourra  faire  plier  la 
colonne  iafinimeiit  peu  ,  &  comme  cette  valeur  augmente  k 
mefure  que  le  nombre  m  e(t  plus  grand  ,  on  fera  m  =  i ,  pour 
avoir  la  limite  des  poids  qui  pourront  etre  fupportes  par 
la  colonne  fans  qu'  elle  foit  fujette  a  fe  courber  en  aucune 
maniere  ;  ainli  la  force  de  la  colonne  I'era  d'  autant  plus 
grande  que  la  valeur  de  P  fera  plus  grande  ;  d' ou  Ton 
voit  que  la  force  augmentera    a  mefure    que    la  quantite 

—  -  «  y  croitra  ,  &  que  la  quantite  A  decroitra ; 
4 

ainfi  ce  fera  une  queftion  de  maximis  &  minimis  de  de- 
terminer les  valeuis  des  conftantes*,  |3,  }/ pour  que  la  for- 
ce P  ibit  la  plus  grande  i  mais  comme  cette  force  doit 
neceflairement  augmentcr  a  mefure  que  les  dimenhons  de 
la  colonne  augmentent ,  on  ne  peut  chercher  qu'  un  maxi- 
mum relatit  a  la  mafl'e  de  la  colonne ,  en  fuppofant  fa 
hauteur  donnee ;  c'  eft  fous  ce  point  de  vue  que  nous 
allons  envifager  la  queftion. 


Mifc.Taur.  Tom,  V. 


i}8 

1 8  Pour  commencer  par  les  cas  les  plus  fimples  nous 

fuppoferons  d'  abord ,  que  1'  on  ait  ^  ~  a  y  =  <? ,  auquel 

cas  1'  equation  du  profil  de  la  colonne  deviendra  {*  c=s 
(v^et  -+-  X  ^yYi  &  tirant  la  racine  carree  {  =  VA-^xVy, 
qui  eft  a  une  ligne  droite  ;  enforte  que  dans  ce  cas  la  fi- 
gure de  la  colonne  fera  celle  d'  un  cone  tronque  ;  faifons 
pour  plus  de  commodite  ,  v'et  =  i" ,  \^y  =  c  ,  &  par 
confequent   (i  =  i  b  c  ;    on  aura    done  ^  =  i>  -h  c  x 

&  I'  integrate  de  -^    prife    de  maniere   qu'  elle    foit    nulle 

lorfque  x  =  o,  fera '   (  ~  ~  T  J  '  ^""'^  faifant  x  =  a 

I    /      1  I   \  ^  a 

on  aura  A  = (  -, ~  T  J  "^   777 >  =^  TT'  ' 

en  faifant  b'  =  b  -+-  ca  ;  oil  1'  on  remarquera  que  b  eft 
le  rayon  de  la  bafe  inferieure  de  la  colonne  ,  &:  b'  ce- 
lui  de  la  bafe  fuperieure ;    ainfi    on    aura    dans    ce    cas 

Maintenant  pour  avoir  la  folidite  de  la  colonne  on 
remarquera  que  l' aire  du  cercle  dont  le  rayon  eft  ^, 
etant  exprimee  par  t  {* ,  il  n' y  aura  qu' a  prendre  l' in- 
tegrate   de    T{^ix,    depuis   x  =  o    jufqu'  a    x    =  o, 

laquelle  fera  —   (  (b  -t- c  a)L  b^  j  ,  c' efta-dire  (a  caufe 

de  b  -h  ca  =  b'  Si  c  =  tjl±\  L^  (h^  _H  /./,'  -+.  i' ») . 

Ainfi  le  rapport  du  poids  que  la  coionne  eft  en  etat  de 
fupporter  au  carre    du  poids  meme    de   la    colonne   fera 

exprime  par  —      _^  /  y — aTyT   ^'^^ntue    qui    ne    depend 

que  du  rapport    des  rayons   b  &c  b'  des  deux  bafes  j    en 


139 
1/ 
efFet  faifant   ^  z=  r^    la    quantite    precedente    deviendra 

a  K  r-  ci  K 


<?♦  (  I -+- r -t- r»  )»  *»■*  (  n-r-t--; )» 

Ceite  quantite  fera  done  la  plus  grande  lorfque  la  va- 

leur  de   i  H-  r  -4-  -  fera  la  plus  petite  ,  ce  qui  aura  lieu, 

en  faifant   d  r  —  —    =  o ,  ou  blen   i    —  — ■    =  o  favoir 

r  =  I  ,  &  par  conf^quent  b  =  b'.  D'  oii  1'  on  doit 
conclure  que  la  force  d'  une  colonne  de  figure  conique  , 
relativement  a  fa  folidite ,  fera  toujours  la  plus  grande 
lorfque  les  deux  bafes  feront  egales  ,  c'  eft-a-dire  lorfque 
la  colonne  fera  cylindrique-  Ainft  pour  cette  confideraiion 
les  colonnes  cylindriques  doivent  etre  preferables  aux  co- 
niques- 

19  Nommons  en  general  s  la  folidite  de  la  colonne, 
qui  ell  egale  a  1'  intigrale  de  tt  {'  i  x  prife  de  maniere 
qu'  elle  fuit  nul!e  lorfque  x  =  o ,   Sc    complette    lorfque 

a:  :^  a ,  &  le  rapport  de  P  a  5-,  c'  eft-a-dire  la  valeur 

p 
de  ^^  pourra  etre  regardee  comme  exprimant   la   force   re- 
lative   d'  une    colonne ;    cette    force   fera    done ,  pour  les 
colonnes  coniques  ,  oil  les  diametres  des  bafes    font   entr' 

elles  comme  r  a  i  ,  =   — ■ rr,  ,   &  pour   les  co- 

lonnes  cylindriques  =  —  ;     ce    qui  fert   a   determiner  la 

valeur  de  la  conftante  K ;  c'  eft  pourquoi  fi  on  fait 
K  =  a'*  F ,  \a  conllante  F  exprimera  la  force  relative 
d'  une  colonne  cylindrique  de  meme  hauteur, 

ao  Suppofons  maintenant  y  =  o  ,  ce  qui  donnera 
{*  =  *  -t-  /3  X  qui  eft  I'  equation  d'  une  parabole  ,  T  in- 

dx  dx  I 

tegrale  de  "^  =  — -— r —   fera  en  general  "T  /.  (<t+/3-0 ; 


I40 

d'  oil    en  completaiit    &  faifant    x  =  a    on    aura  A  = 

I  /.  (.  ^^J)  .  done  ^  =   (  j-  ^Z^)  ^'^- 

Maiiitenant  pour  avoir  s  on  integrera  la  formule  Trfdx^^ 
r  (*-t~/3x)   dx,  &  completant    1' integrale    comme    on 

r  a  enfeigne  plus  haut  on  aura  j  =  t  («  -h  — )  a  i  done 

Faifons  —  =  r  ,  &  mettons  Fa*  a  la  place  de  K ,  on 
aura    pour    la    force  relative    de    la  colonne   parabolique 

rexpreffion|=7lt7)^  y   (t^^-^/TcTTo)'^^^'"' 

celle  de  la  colonne  cylindrique  de  meme  hauteur, 

1 1   Cherchons  le  maxwium    de  cette  expreflion  ,    &    la 
differentiation  donnera  cette    equation    tranicendente  en   r 

^•'   ('iLlL-^  /.  (H-r)  ^liJ-lUll^i   d'oiiilfau. 

dra  tirer  r.  Pour  y  parvenir    je  fais    /.(t  -4-/)  =  t ;   & 
par    confequent    r    =    e'  -    i  i     j'  aural    en    ("ubltituant 


4^^' 


Je  r^duis  en  ferle  les  quantites  exponentielles ,    ce  qui 

me   donne    e  -  e       =  r  -h ■+• -H&c. 

— a.  3  2.  3.  4.   J 


de  forte  que  I'equation  deviendra 


(    1.     3       ~    4    Tt'J 


O    -H   --H '  -i- Sec.   =    O 

1.3.4.}         i.  3--7 


141 
Cette  equation  donne  d'  abord  f  =:  <? ,  enfuite  ^:ant  di- 
viiee  par  ;'    elle  devient 


t* 


Sec. 


1-3  47'  I.    3.4-5  i-   3-  •  •  7 

laquelle  ,  a  caufe  de  t  >  3  ,  aura  tous  les  termes  po- 
fitits  ,  enforte  que  comnie  elle  ne  concient  que  des  puif- 
(ances  paires  de  f ,  elle  ne  pourra  avoir  aucune  racine 
r^elle,  puilque  i*  ne  (auroit  avoir  aucune  valeur  reelle  po- 
fitive.  Ai.id  t  =  o  fera  la  feule  racine  reelle  de  I' equa- 
tion done  il  s'agit,  par  confequent  la  valeur  cherchee  de  r 

fera  aulli  =  o  j  ce  qui  donnera  —  =  o    &    par    confe- 

quent  /3  =  o  c'ella-dire  la  colonne  cylindrique.     Faifons 

p 
done  r  =z  o  dans  l'  expreflion  de   —  ,  ou  plutoc  r  infini- 

ment  petit  &  elle  fe  rdduira  k  F  i  or  fi  on  donnoit  a 
r  une  toute  auire   valeur,  comme  ii  on  faifoit  r=  «,  on 

P         f 

trouveroit  -  ==:  — ^  valeur  moindre  que  la  precedentcj  ce 

qui  prouve  que  le  cas  de  r  =  o  eft  celui  du  maximum ; 
d' oil  il  taut  conclure  que  la  force  eft  toujours  plus  gran- 
de  dans  its  colonnes  cylindriques  que  dans  les  paraboli- 
ques . 

11  Confiderons  prefentement  1'  equation  generale 
^  =  </.-h(ix~^yx^  laquelle  reprefente  une  ieftion 
conique  quelconque  rapportee  a  I' ua  des  axes,  &  faifant 
j3=iZ)j^,ct  =  cj^,  on  pourra  la  mettre  fous  cette 
forme  {^  =  y  (  (x  -+-/>)*-+-  c  —  i*  )  laquelle,  li  c  —  b- 
eft  une  quantite  negative  ,  reprekntera  une  hyperbole  rap- 
portie  a  (un  grand  axe  lorfque  y  eft  polltive  ,  &  une 
ellipfe  Ijrfque  y  eft  negative ;  mais  fi  c  -  />*  eft  une 
quantise  poiitive  ,  y  deura  etre  pofitive  &  I'equdnon  iera 
a  une  hypjrbole  rapportee  a  Ion  axe  conjugi  enicrte  que 
ia  col(^iiiie,  au  lieiiu'ecre  rentlee ,  fe  trouvera  dmimu'ie  au 


14^ 

milieu.  C  eft  pourquol  il  fuffira  d'  examiner  le  premier 
cas  oil  c  -  i)*  :^  -  r* ,  en  forte  que  1'  on  ait  £*  =  y 
(  (x  -4-  />)*  -  r*  )  ;  &  nous  remarquerons  d'  abord  ici 
que  puifque  la  hauteur  de  la  colonne  eft  =  a ,  il  faut , 
pour  que  la  courbe  qui  repond  a  la  portion  d'  axe  a  foit 
toute  reelle ,  que  1'  on  ait  i°  ,  fi  j^  >■  o  ,  />  =  o  k  >  r 
(  r  &  fuppofee  une  quantite  potitive  )  i°  (i  y  <;  o , 
•^b<Cr,&i.a-^b<:ir;  {-j^  b  denotant  la  valeur 
de  b  prife  pofitivement)  - 

^  ,         .,  dx        ^* d* 

Cela  pole  on  aura    -"   =         7~~1     ^  --        7    ,TT~\ 

dont  r  intdgrale    prife    enforte    qa  elie    evaiiouilfe     lorfque 


X  t=i  o  fera /.  ( r —  /\  —. )  ;    done   faifa 

xyr        \x-i-v^-r  b-r   I 

I  ( a*-b  -r    y^  h  ^  r  \ 

jc  =  a  ,  on  aura  A  =  /.  | -. —    X  ~, ) 

'  %    y  r         \a-i-  b  '  r  y^    b-  r  / ; 

de  la  a  caufe  de   ^   -  a  y  ^  y'    (b^-  c)    =  y'  r- , 

4 

r  expreffion    P    deviendra    (  article   17  )    F    =    y^  r* 
J   I  -f        /  a  +  b-r   y  b^r  \   \k 

13    II  ne  refte  plus  qu' a    trouver    la  valeur    de  S  par 
I'integration  de  la  formule  1:  7^  i  x=zi{  y  (  {x-^b)  *-r')  dx^ 

laquelle  donne  1'  integrale  n  y  {[IJ1}ALzJL  "  r*  x\ 
x=.  -g  y  X  {t^  -r-  X  b  -\-  h"-  —  r^  Ji  de  forte  qu'  ea 
faifant  a:  =  a  ,  on  aura  5"=  v  y  a  {  ~.  ~t-  a  b  •+•  b'^  -/■*  J » 


r.        — r-\\.         .^     Kr^ 


done  enfin-H  =    ]  ^  -+-  ^-   ( —  /{  — )  f      a* 


14? 
Faifons  encore    h'=pa^rs=qa^&c    mettons  F  a  Ja 

place   de  -7-  011  aura 


P 


{-  -^  p  -^  p'  -  f  ) 

'expreffioa    qui    peut    fe    iimphlier    encore     en    fuppofatits 
p  -i-  p^  -  f  =  t  ce  qui  la  reduira  a  celle-ci : 

qui  ne  contient  que  deux  indeterminees  t  &c  (j . 

f 
14.  Puifque  ^  =   -,    il    eft    clair    que    la  quantite  q 

devra  toujours  etre  pofitivej  voyons  done  d'abord  qu'elle 
fera  la  valeur  de  q  qui  rendra  1'  expreffion  precedente 
au  maximum.  Pour  cela  il  fuffit    de  rendre    un    maximum 

la  quantite  ^-    |  -:   -^    — - — 3 — -  j ;  dont  la  differentielle 

\i  -  l) 

logarithmique  etant  egale  a  zero   donnera    1'  equation 

d'  ou  il  faudra  lirer  le  valeur  de  q . 
Faifons   pour  cela  /.  [  )  ^^  T  Aowz  — 


/  -  q 
S>c  q   =    t  ,  r  equation  precedente  deviendra 


=  c^  , 


144 

L   -}-  4.  r  =  1 —  =  1   (  e     "  -  I    J  ;     done    re- 

duifatit  r  exponentielle  e -^  en  ferie  on  aura  I' equation 
7^-4-  I  ~ ^-7- )   ?  »  -4-  — ^ z*  -+-  &c.  =  o 

laquelle  donne  d' abord  ^  =  o,  &  a  caufe  que  tons  fes 
termes  font  pofitifs  ne  fauroit  avoir  aucune  racine  reelle 
plus  grande  que  zero.  Mais  nous  aliens  prouver  que  cetie 
equation  ne  peut  avoir  non  plus  de  racine  reelle  negati- 
ve.  Pour  cela  je  reprends  la  forme 


{»  27 
—I-   ■»  r  r^z  />       <- 


111' 


e  —J 


Ui  I 

=  I  -  «  -  -„ 


&  ie  fais  ?  =  — ,  i' aurai  celle-ci:-  ^ 

II  eft  vifible  qu' en  faifant  k  =  0,  les  deux  membres  de 
cette  equation  deviennent  nuls  a  la  fois  ,  &  par  confe- 
quent  egaux  entr' eux  j  mais  a  mefure  que  «  augmente, 
le  premier  membre  augmente  aulli ,  8c  le  fecond  diniinuej 
done  il  fera  impoffible  que  1'  equation  puilTe  jamais  avoir 
lieu  lant  que  u  fera  >  o  j  pour  prouver  que  le  fecond 
membre  diminue  a  mefure  que  u  augmente  il  n' y  aqu'a 

prendre  fa  differentielle ,  laquelle  eft  -  ^  i   -     ,   j    d  u  \ 

or  comme  e  eft  >»   i   il  eft  vifible  que  e  '   fera  toujours 

aufli  >   1    tant  que  //  >  o  dont   i   —  -^    fera    toujours 

un  nombre  pofitif,  par  confequent  la  differentielle  dont  il 
s'  agit  fera  toujours  negative  j  done  &e. 

25.  Nous  venons   done  de  demontrer  qu' il  n' y  a  qu'une 

feule  valeur  reelle    de  ^  ou  de  /. qui  puifle  rendre 

la  formule  propcfee  un  maximum  ou  un  minimum  ;    cette 

valeur  eft    /. s=  o  ,  d'  ou  1'  on  tire  — 


f  - q  _    t- q 

&  de 


^4J 
&  de  la  y  =»  0,  Qu'  on  fafle  done    dans    V  expreffion  de 

—  y  <j  =  0  ,  ou  feulement  infiiiiment  petit ,  elle  deviendra, 


9 


a  cauie  de  /.  ( —  )  = =  —2.    a   tres  -  peu 

\  f-i  J  1-7         * 

ores ,  -   =  -^  :  pour  voir  maiiitenant  h  cette  va- 

leur    eft    uii  maximum  ou  un  minimum  ^    qa'on  faffe    par 

exemple   q  z=  t  on  aura    / =  /  «  =    cc  ;  de  for- 

to  que  rexpreffion  de  —  fe  reduira  a  celle-ci — r-,    qui 

eft  evidemment  plus  petite  que  la  precedente,a  caufe  de  tt>i. 

Quant    aux    valeurs    imaginaires  de   i,  c'  eft-a-dire  de 

/, ,  il  eft  clair  qu' elles  doivent  ^cre  rejetees,  parce- 

t  -  q  P  .  . 

qu'  elles  rendroient  toute  la  valeur  de    -^  imaginaire ,    il 

n' y  a  que  le  feul  cas  ou  {  feroit  de  la  forme  fji.  W'"  i, 

P 

dans    lequel    —    auroit    neanmoiiis  une  valeur  reelle ;    or 


ce 


t-t- (J  


cas  aura  lieu  quand  =  -  i  ,  c'  efta-dire  lorfque 

/t  -^  CI  — 

,—2 —  =  I  -  \  =.  r  \'-  I 

&  rexpreffion  de  —   deviendra _  laquelle 

-(i  +  0' 

eft,  a  la  veritc,  toute  reelle  ;  mais  comme  elle  eft  en  meme 
terns  negative  ,  ce  qui   eft   ablurde ,  on    voit  que    le  cas 
dont-il  s'  agu  doit  etre  egalement  rejete. 
Mifc.  Tuur.  Tom,  V.  t 


14^ 

.       P  .  . 

26.  Le  maximum  de  la  quantlte   -^    aura  done  lieu  unl- 

quement  lorfque  ^  =  0  ,  ce  qui  donne  r  =  o,  &  par 
confdquenc  £»  =  ^  ( ^  -+-  M*  poi^'"  1'  equation  de  la 
ccube  ,  ce  qui  rentre  dans  le  cas  de  1' art.  18,  ou  la 
colonne  etoit  fuppofee  conique  ;  d'  ou  il  s'  enfuit  que  la 
figure  conique  dans  les  colonnes  ell  preferable  a  la  figu- 
re renflee  qui  proviendroit  de  la  revolution  d'une  feclion 
conique  autour  de  fon  axe.  Mais  li  on  veut  que  la  co- 
lonne ait  la  plus  grande  force  poffible ,  il  faudra  lui  don- 
ner  la  figure  cylindrique  ,  comme  nous  1*  avons  demon- 
tre  plus  haut   (art.  cite). 

17.  Je  n'  examinerai  pas  ici  quelle  eft  la  force  des 
colonnes  qui  font  formees  par  d'  autres  courbes  que  des 
feftions  coniques ;  parceque  d'  un  cote  l'  equation  en  u 
de  r  art.  1 3  eft  rarement  integrable ,  &  que  de  1'  autre 
la  confideration  de  plufieurs  cas  parriculiers  ne  pourroit 
jamais  conduire  a  une  conclufion  vraiment  generale  .  Je 
vais  tacher  plutot  de  refoudre  la  quellion  propoiee  d'  une 
maniere  direfte  &  generale,  en  cherchant  immediatement 
la  courbe  qui,  par  (a  rotation  autour  de  fon  axe,  piodui- 
ra  une  colonne  qui  ait  la  plus  grande  force  poillble ; 
probleme  d'  un  genre  affes  neuf ,  &  dont  la  folution  de- 
mande  des  artifices  particuliers  qui  pourront  nieme  etre  uti- 
les dans  d'  autres  occafions. 

28.  Voici  en  quoi  coniifte  ce  probleme  exprime  analy- 
tiquement  :  il  /  agit  de  trouver  une  equation  entre    les  or- 

donnees  z  &  les  abfcijfes  x ,  telle  que  la  quantite  z^  folt   la 

plus  grande  qu  il  efi  pojjihle  ^  s  etant  egale  a  C  integrate 
V  f  i'-  dx  prife  depuis  x  =  0  ,  jufqu  d  x  ^=  Oy  &  P  etant 
une  conjlante  qui  doit  etre  determinee    par   cette   condition  , 

—  prife  enforte    qu!  die  foit  nulla  lorfque 


M7 

X  =  <?  ,   devlenne    =  w  lorfque  x  ^  a,    en    fuppofant  u 

donnee  par  I'  equation  differentielle 


une 


j^  P  U--+-   X    f J- ■   -  4    J   —  o    ou  X  eft 

foncllon    donnee    de   i  que  nous  avons   fuppofee    plus    haul 

On  voit  que  ce  qui  rend  lurtout  le  probleme  difficile, 
c' eft  que  la  quantite  u  n' eft  pas  donnee  en  P,  &  en  ^, 
en  termes  finis  ;  niais  fuppolons  pour  un  moment  que  ce 
foit  une  fondion  connue  de  {,  &  de  /* ,  enforie  que 
du  =  Md^  -+-  NdP,  en  faifant  auiFi  P  variable ,  dans 
ce  cas  voici  comment  on  pourra  s'  y  prendre. 

P 

Puifque    rrj    doit    etre  un  maximum    on    aura    d'  abord 

en  differentiant  &  employant  la  carafleriftique  ^ , 
—  -f-  — ^ —  =  o  j  Or  puiique  /  —  =  a  une  quan- 
tite donnee  t  laquelle  eft  independante    de   P ,    on    aura 

_f ^  ==  c> ,    &   mcttant  pour 

5«    fa    valeur    Ml  i  -^   NIP,   f  ^^  ]  '^ ""       -t- 

CNIP  dx  ■      n    '  'a 

I ^  0 ;    mais   P  eraiit    une    conltante    par 

rapport  a  x ,  on  pourra  mettre  fa  differentielle  IP  hors 

du    figne     d'  integration  ,    ce    qui    donnera    1'  equation 

/■jVf  S  zd  X        ^  n    rNdx  ,,    .    „ 

/  i ~h  I  P   I   =  0  d  ou  1   on  tire 

(•Ml  {dx 

I  P  =  — '-i__J'-! ces  integrates  etant  prifes  depuis 


/ 


Nd 


X  =i  0  y  jufqu'  a  X  =  a. 

t  a 


Quant  a  la  valeur  de  S  j  ,  puifque  s  :=  it  j  i^  d  x  ; 

on  aura  Sj  =  2   it   I  ^l  idx  ;  done  fubftituant  ces  va- 

leurs  de  SP,    &   de  i  s   dans    1' equation    ci-deffus ,  on 

fMlidx 

..    .     rtidx    J  — —— 

aura  celle-ci:  ir  n — i— — 


/ 


Ndx 


— JL   qui    peut  etre  re- 

gardee  comme  une  conftante ,  &  nous  aurons  1'  equation 

f  fll—JLS\  lidx  =  o,  laquelle  donne  LL— _^=  o. 

Or  comme  u  ei\  fuppofee  une  fonftion  de  {  &  de  con- 
ftantes ,  que  M  ell  par  confequent  audi  une  fonftion 
de  {  &  de  conftantes  ,  &  que  5  &  i?  font  auili  des 
conltantes ,  il  s'enfuit  que  cette  equation  donnera  {=  a 
une  conrtante  ;  mais  il  faut  que  cette  valeur  de  ^  fatis- 
faffe  aufli  a  1' equation  en  u  ;  or  comme  u  eft  (liyp.) 
une  fonftion  de  {  &  P  on  aura  auffi  u  =  k  une  con- 
Itante ;  done  T  equation  dont  nous  parlons  deviendra 
j^  P  u^  —  j^  X  =^  0  ,  on  4  P  u^  -  X  ==  0  ;  laquelle 
pourra  toujours  fe  verifier  lorfque  X  fera  une  fontlion 
de  {■ ,  comme  nous  T  avons  fuppole. 

Au  refte  comme  cette  folution  eft  fondee  fur  1'  hypo- 
thefe  particuliere  de  u  egal  a  une  fonflion  de  {  ,  il  s'  en 
faut  beaucoup  qu'  on  puiile  la  regarder  comme  exafle  &c 
complette  ;  aufli  n'  eft  elle  ici  que  comme  une  introdu- 
dion  a  la  foluiion  generale  que  nous  allons  donner  dans 
les  articles  fuivans. 

29.    Nous    aurons  d'  abord    comme    cideflus    les  deux 

SP           ^^s                  rdxlu  „     . 

Equations  —  —  =  ^j    /    =  "  >     &  de 


149 
plus  nous  aurons  auffi  1'  Equation  ^  s  =  z  v  I  -i  I  i  d  x; 

&  il  ne  reftera  plus  qu'  a  trouver  une  equation  entre 
IP,  i  u ,  Sc  S  {.  Pour  cela  je  reprends  I'  equation  en  //, 
&  pour  la  rendre  plus  traitable ,  je  la  ramene  a  fa  pre- 
miere forme ,  en  failant  z/  =  r  ^ ,  ce  qui  la  reduit  a  celie- 

c\  P  t  -h  X  (  — ;    -    —J-  j    =    o    laquelle    eft    moins- 

chargee  de  differentielles  que  celle  en  u  ;  maintenant  je 
la  dilFerentie  en  affeftant  les  differentielles  de  la  caradte- 
rirtique  S  &  faifant  varier  a  la  fois   t ,    P  &  {  ,    j'  aurai 

mais  puifque  X  eft  fuppofee  une  fonftion  de  ^  on  aura 
d  X  =  X  d  I,  &  par  conf^quent  audi  IX  =  X't^-, 
de  plus  on  a  par  les  principes  de  la  methode  des  varia- 
tions,  expofee  dans  les  tomes  II,  &cW,td-t  r=  d'- '^  t ; 

—  P  t 
done  fubftituant  ces  valeurs  &  mettant  de  plus      —  a  la 

.  .      d'  t  I  ,         . 

place   de  -—-;  -  — p,  on  aura  cette  equation 

PS,  H-  ,SP  -  Zi£li_H-Z  f^^'-^Uo 
c'  elVa  dire 


r  -  '#) 


It  ^X  —^  -4-  r   S   P  - 


dx'  X 

Je  multipUe  maintenant  cette  equation  par  a  d  x,  tt,  etant  une 
nouvelle  mdeterminee,  &  je  Tiniegre  en  faifant  difparoitre, 
par  des  integrations  partielles  ,  les  differences  de  5  f,  j' aurai 

dx  ,  dx 

-t-SP  I  i*d  X  -  P  I  -^  - — L  d  X  =-d  une  conftante. 


*5° 
Je  fuppofe  ce  qui  eft  perrais  que  la  quantite  a  foit  telle 

que  r  on  ait 

I  P  -   ^ —  )  A  -^    ^; =  —  ,    ( H  etant  une 

conftante  quelconque  )  &  1'  equation  precedente  deviendra 

h   I 1 -~ — -+-S  PI  t  Ad  X 

J         ti  dx  dx  J 

—  P  J   — -^ — ^  dx  i=^  a.  une  conft.,    oii  je  remarque 

qu  a  caule  de  r*  =  u^  on  aura  /   =  j    -^ — j 

Done  fi  on  etend  1'  integration    de   1'  equation    precedente 
depuis  X  =  o  ^  jufqu'  a  x  ;=  a  ,    on   aura    la    valeur   de 

r  integrale   /  -— — ~    laquelle    devra    etre    nulle    par   les 

conditions  du  probleme. 

Pour  cela  je  nomme  B  la  valeur  fotale    de    1'  integrale 
ft  A  d  X  prife  depuis  x  =  o  jufqu'  a  ^  =  a ,    enfuite  je 

nomme  fl  &  4^  les  valeurs  des  termes  — ^ — .--  -  ■—^, — -  S  t 

a  X  dx 

pour    le  point   oii  x  =  o ,    &    pour    celui    ou   x  =  a  ; 
j  aurai  done  a  caule  de  /   — ^ =   /   — =^, 

I'equation  H-^-^BlP-P  H-^^ilS  d  x  —o 
d'  oil  r  on  tire  d'  abord 

1^  =  ijzLB  ^  -i  Ti^lii  d  X 

P                B  F  B  J         X 

r  integrale   f  — f — i   etant   aufli    fuppofee  prife  de- 
puis  X  =  o  jufqu'  a.  X  =  a  . 

Done  fi  on  fublHtue  cette  valeur  de  S  P,  ainfi  que  celle 

de  S  5"  dans  1'  equation  —  -  =  o 

^  I'  s 


Ml 

on  aura  celle-cl 

li  B  B    J  X  S     J    ^       ^ 

ou  bien  ,  a  caufe  que  les  quantites  B  Sc  S  font  conftan- 
tes  par  rapport  a  x,  piiifqu' elles  expriment  des  integrales 
determinees  ou  x  elt  fuppofee  =  a , 

izji+  rc..^-.±iL)t^dx^o 

B    P  J     \   BX  S       J       ^ 

On  aura  done  d'abord  pour  tous  les  points  de  la  courbe 

i»  ,  •         •    A  >r    ■       t  oL  X'  4  Tf  ? 

I  ecTuation  indennie   —  — — i-  =  o 

^  B  X  S 

»    (I  X  J-       ^  *  X'         4  Tt  B 
c  elt-a  dire    =^—  =  .1 j 

enfuite  on  aura  I'  Equation  determinee  N  =  M  laqueile 
ne  fe  rapporte  qu'  aux  points  extremes  de  la  courbe  oil 
X  =  0  &:.  X  =  a. 

30.  Ainfi  pour  avoir  ['equation    de  la  courbe   cherchee 
il  n'  y  aura  qu'  a  eliminer  les  deux   indeterminees  f  &  *, 

a  r  aide  de  ces  trois  equations 


t  uX'  4  Tt  B 


X 


P^^x(p.-l\^o 

&  comme  X  eft  fuppolee  une  fonclion  connue  de  { ,  on 
aura  une  equation  finale ,  entre  les  ordonnees  { ,  &  les 
abiciifes  x . 

II  ell  bon  de  remarquer  que  fi  on  fait    a  =  H  r  ^    la 
conltante  H  difparoicra  de  la  feconde  equation,  &  que  la 

premiere  etant  divifee  par  H  deviendra    —  =  ^■,  ..-  » 

de  forte  que,    comme  H  eft  une  conftante  arbitraire ,  la 

■    .      AT  B 

quaniite  -  —  aura  une  valeur  conftante  queiconque  in- 
dependante  de  ^,  &  de  5". 


151 

De  cette  maniere  on  aura  done ,  en  prenant  une   con- 
ftante  arbitraire  C,  les  trois  equations  fuivanres 

P  t  -^  X  i  j—^  "■  "i  )  =  ^ »    ^""^  renferment  la  folution 

du  probleme  propofe,  pris  dans  toute  fa  generalite. 

31.  Si  on  chaffe  r  &  f  ,  il  viendra  une  equation  en  |^  &  jk 
du  quatrieme  ordre  ,  qui  fera  peut-etre  bien  difficile  a  in- 
tegrer ;  mais  je  remarque  que  ^  =  a  une  conftante  fera 
fureraent  une  integrate  particuliere  de  cette  equation  j  car 
fuppofant  :^  conftante  ,  X&L  X'  qui  fent  des  fonftions  de  ^, 
feront  aufli  conftantes ,  de  forte  que  fi  on  fuppofe  aulii 
r  &  t  conftantes  en  meme  terns,  les  equations  cideffus 
deviendront 
rtX'         ^     rP--i  X\  I  n         X 


dont  les  deux  d^rnieres  donneront  d'  abord 

4  .         t  1 

<  +  =   //x     r  =  -^~~:         rp  =  ""  4  _     3  J  enfuite  la  pre- 

x' 

miere  donnera  -  ^  ,-  v-"  =  C ;  d'  ou  1'  on  tirera  la 

z I Xv  p  X 

valeur  de  ^  laquelle,  a  caufe  de  la  conftante  arbitraire  C, 
pourra  etre  une  conftante  quelconque. 

32.  Cette  valeur  de  ^  donne  evidemment  un  cylindre 
pour  la  figure  de  la  colonne ;  mais,  comme  ce  n'  eft  qu' 
une  valeur  particuliere ,  elle  ne  peut  etre  cenfee  refoudre  le 
probleme  que  dans  certaines  circonftances.  En  effet,  comme 
1'  equation  en  j  doit  etre  du  quatrieme  ordre  ,  ainfi  que 
nous  r  avons  remarque  ci-defTus ,  elle  renfermera  necefl'ai- 
rement ,  etant  integree,  quatre  conftantes  arbitraires ,  en- 
forte  qu'  on    pourra    faire    paffer    la    courbe    par    quatre 

points 


points  quelconques  donnas ,  ou  par  deux  points ,  &  par 
deux  tengentes,  ou  &c-:  Si  on  veut  que  la  courbe  de  la 
colonne  qui  doit  avoir  la  plus  grande  force  pOilible  pafle 
par  quatre  points  egalement  eloignes  de  Taxej  dans  ce 
cas  on  fera  aflure  qu'  il  n'  y  aura  qu'  une  ligne  droite 
qui  refolve  le  probl^me  ,  enlbrte  que  la  colonne  devra 
6tre  neceirairement  cylindrique ;  la  meme  chofe  aura  lieu, 
par  exemple  ,  fi  les  deux  bafes  de  la  colonne  doivent  etre 
egales  entr'  elles ,  &  que  de  plus  les  tengentes  de  la  cour- 
be aux  deux  exiremites  doivent  etre  paralleles  a  I'  axe  } 
&  ainfi  du  refte. 

En  general ,  routes  les  fois  que  les  quatre  conditiotrs 
donnees  feront  lelles,  qu' elles  pourront  quadrer  avec  une 
ligne  droite  parallele  a  I'axe,  cette  ligne  fera  furement 
celle  du  maximum  ;  mais  dans  tous  les  autres  cas  le  pro- 
pleme  ne  pourra  fe  refoudre  que  par  1'  integration  com- 
pleite  de  1'  equation  differentielle  en  ^  &  x. 

33.  Si  on  veut  que  la  colonne  foit  a  peu-pres  cylin- 
drique ,  ce  qui  eft  le  cas  le  plus  ordinaire ,  on  pourra 
refoudre  le  probleme  d'  une  maniere  approchee  que  voici. 

Puifque  lorfque  i  eft  conftaiue  on  a  aufli  r  ,  &c  t  con- 
ftantes,  il  eft  vifible  que  fi  {  varie  peu ,  r  ,  &:'f  varie- 
font  peu  auffi. 

Suppofons  done 
J  =  Z  (I  +  ?^),  r  =  ;?  (i  -t-p),  r  =  r  (1-4-6), 
Z,  Ry  T  etant  des  conftantes  finies ,  &  ^ ,  p ,  6  des  va- 
riables trespetitesr  &  fubftituant  ces  valeurs  on  pourra 
negliger  les  produits  de  deux  ,  ou  de  plulieurs  dimeniions 
de  t,  ,  p  ,  6  ,  etiforte  que  Ton  aura  des  equations  ou  les 
variables  ne  fe  trouverom  que  fous  une  forme  lineaire , 
&  qui  feront  par  confequent  integrables  par  les  methodes 
connues. 

Mais  avant  de   faire  ces  fubftitutions    on    remarquera  , 
que  comme  X   eft  'fuppolee    une  fonftion  donnee   de  {  , 
jMlfc.  Taur.  Tom,  V.  u 


'54 

j-y-  ATP 

fi  on  fait  1±  =  X,  &  ^  =  X",  lesquamltesX&X 

deviendront  a  tres-peu  pres  X-\-X'  Zt^y  X' -+- X"  Z  ^  , 

c-  eft-a-dire  X   (  '  *  ^)  X    ('  +  ^  )  e„ 

fuppofant  que  1'  on  ait  mis  Z  a  la  place  de  ^  dans  X,  X\  X'. 
enforte  que  ces  quantites  feront  maintenant  conftantes. 
De  cette  maniere  les  equations  de  1' art.  30  deviendront 

Or  fi  les  quantites  p ,  9  &  J^  etoient  nulles  on  auroit 

d'  oil  r  on  tire  X  =  P  T\  R  —  ■-  7;^  J  done  fup- 
pofant ( ce  qui  e(l  permis )  que  ces  equations  aient  lieu, 
les  equations  precedentes  deviendront 

e  ^-  r^  ^  -  £Z1  ^-..36  =  ., 

ZX'  ZX' 

oubien,  en  failant  pour  plus  de  fimplicite =M,  i  -+- . 

Z  X" 

=  iV,  on  aura  ces  trois  equations-ci : 


X' 


»55 

de  r  integration  defquelles  depend  maintenant    la   folutioa 
du  probl^me. 

34.  Pour  int^grer  ces  equations  je  fuppofe 

Z^  =  A  fin.  {^e  -^  K  -^  j 

et ,  |8 ,  >'  ,  e  &  6)  etant  des  conftantes  indeterminees  j  Je 
fubllitue  ces  valeurs,  &  je  divife  enfuite  tous    les  termes 

par  fin.    {s-+-x  — -  j  ;    j'  ai  les  trois  equations  fuivantes 
-  M  *  {a  -{-  i)  "  y  {a  -  i)-4-<r|3  =  o, 

-|8(w-4)-iVfet   =   oj 

la  derniere  donne  a  ==  —  ——'- i-  ,    ce   qui  etant  rul> 

M  ^ 

ftitue  dans  les  deux  premieres,  on  aura 

^    /  N  {CO    -   ^)\ 

/3(<r-4-    (w-H    j)    («-4))    ->'    («-i)=^C7i 
la  premiere  donnera  (ur  le  champ 

&  fubftituant  enfuite  cette    valeiir    dans    1*  autre  equation, 
on  aura  apres  avoir  divil'e  tous  les  termes  par  /3 , 

r  +  (0)-+-  3)   (ft,-4)  +  (aj-  O    fi   -+-  — ^-)    =  '^ 

u   z 


c'  eft-a-dire  en  redulfant 

(M  -h  N)  u"  -  5  N  u-\-  4  N-  y  M  ==0 

equation    d'  oil  T  on  tirera   deux  valeurs    de  a ,   lefquelles 

feront  toujours  neceffairement  reelles,  a  caufe  que 

(^  N)'  -r  4  {M-hN)  i^N  ~  jM)  = 

9  A^^-4-  12  MN  -H   z8  M'  =  (3  iV-h  ^M)'^^^itM'■i 

&  ces  valeurs  feront 

_  5  N-*r-_  v^  ( ( 5  iV  -+-  2  M)  ^  -4-  M  MO 
i  (Af  ■+  iV) 

Comme  la  quantite  /3  a  difparu  de  1'  equation  en  « ,  il 
s'  enfuit  qu'  611e  refte  indeterminee  ,  de  forte  qu'  on  pour- 
ra  la  prendre  a  volonte  j  mais  on  peut,  fi  1' on  veut,  pren- 
dre *  a  volonte  au  lieu  de  /3 ,  ce  qui  fera  plus  commode, 
parceque  c'  elt  proprement  la  quantite  ^  que  1'  on  cher- 
che  ;  alors  les  quantites  /S  ,  &  }^  devront  dtre  determinees 

ainfi  /3  =  -  ,  y  =  {   iv  -+"   1  A  i 

10-4  \  a  -  4   / 

Quant  a  la  conltante  s ,  comme    elie  a  auffi   difparu    des 
equations  ,  elle  fera  pareillement  arbitraire. 

Or  puifque  la  quantite  a  a  deux  valeurs,  fi  on  defigne 
ces  valeurs  par  co  Sc  u ,  &  qu'  on  prenne  deux  autres 
conftantes  arbitraires  a.  &  e\  on  aura  pour  la  vaieur  com- 
pleite  de  ^  1'  expreffion 

&  les  valeurs  correfpondantes  de  6  &  p  feront 

f  =  y  /«•  (f  -+"  ^  ^)  -^  y  h-  ( ^'  ■+•  ^77  ) ' 

jS'  &  y    etant   les  valeurs    de    (i  Sc  y  qui    refulteiit    era 
mettant  «  &  &>'  a  la  place  de  </.  &l  co. 

35.  Je  remarque  maintenant  que  lorfque  ^  eft  egal  a 
une  conftanie  ,  ce  qui  elt  le  cas  des  colonnes  cylindnques, 


on  a  (art.   ii.)  P  = ,  a  etant  la  hauteur    c!e  la 

a' 
colonne,  t  etant  1' angle  de   180.°;  ainfi  dans  notre  cas  ok 
I  :=z  Z  -\-  Z  J^,  on  aura,  aux  quaniites  tres-petites  pres , 

P  =  — - — ,    puifque  X  etant    conftante    eft    la    meme 

quantite  qu'  on  avoit  defignee  par  K  (  art.   x  2. )  }   or  on 

a  (art.  33.)  Z  >=  PT^i  done  X  =  ''' ^^*  ,    d' oii 

T '•  ■=■  — ,  &  par  confequent  r*s=  — .  i  done  fi  on 
fubftitue  cette  valeur  on  aura 

^  =  *  >•  (f  -«-  —7—;   ■^-  *  A    V         ~^~  J  ' 

* ,  ot ,  f ,  i  etant  quatre  conftantes  arbitraires  qu'  on 
pourra  determiner ,  enforte  que  la  courbe  cherch^e  ,  dont 
les  abfcifles  font  x  &  les  ordonnees  font  t  =  Z  (i  -+•  ^) 
paffe  par  quatre  points  donnes,  ou  par  deux  points  & 
deux  tangentes ,  ou  &c.  comme  on  1'  a  dit  plus  haut 
(art.   32.) 

A  r  egard  des  valeurs  de  6j    &  a    elles  ne  dependront 
que   de  la  nature  de  la  fonftion  X  de  Zj  car  en  faifant 

=  ^'   TTTTT  =  M',  oi\  aura 


JT  </ Z  '     dXJZ 

—  5  (i  ■^^f-M')  -^-v^(f?  -r--?  M-3  MO'-H  24  MQ 

2  ^^i  1-  2  y^i  ~  M  ) 
,  _  5  f  I  -4-  M  -  M' )  -  v/((3  -4-  5  M-  3  Af  y  ->-  ^4  M^) 

2  (i  -+-  2  M-M) 

S'  il  arrive  que  u  foit  negatif ,  alors  le  radical  Vu  de- 

viendra  imaginaire ;   &  le  terme  ce  Jin.    (  «  -*-  ^-^^ — "  ) 

deviendra  (  en  jy  mettant  tV  -  i  a  la  place  de  f  &  2  *  /-  i 
k  celle  de  * )  de  cette  forme 


^J8 

il  en  fera  de  meme  du  terme  a  /in.  (  «  •+-  -  ^    '^    j  fi 

a/  devient  negatif. 

Si  X  eft  fuppofe  proportionel  a  une  puiflance  quelcon- 

que  de  ^,  ou  Z,    enforte    que  X  =  K  Z"  y    on   aura 

M  =  n  y  M   =  n  -r-   1  ;   done 

5  -f->^(9H-(r«-t-7w') 
ft)  =  — ~ . i.  , 

2  +   n  ' 

to  ■ —    ■  i 


2    +    n 

Et  fuppofant  «  =  4,  comme  on  1' a  fait  plus  haut,  on 
aura  u  =  1  ,  a  =  -'  ~  ;  par  confequent  1'  equation  de 
la  courbe  contiendra  dans  ce  cas  des  finus  &  des  expo- 
nentielles. 

36.  Pour  ce  qui  regarde  les  conftantes  «,  a,  f,  f',  le 
moyen  le  plus  limple  pour  les  determiner  eft  de  fuppofer 

que  les  valeurs  de  ^,   &  —3  foient  donnees  aux  deux  ex- 

d  X 

tremites  de  la  colonne  oii  x  :=  0  ,  Sc  oh  x  =  a.   Pour 
cela  fuppofons  done  que  lorfque  x  =  0  on  ait  ^  =  fy 

— i?  =  y  ,  &  que  lorfque  a:  =  a  on  ait  ^  =  /?'  —3  =  7% 

enforte  que  Z  (i  -h  p)  Z  (i  -i-  p' )  foient  les  rayons 
des  deux  bafes  de  la  colonne,  1' inf(6rieure  &  la  fuperieure, 
&  que  Z  f,  Z  q'  foient  les  tangentes  de  1'  inclination 
du  profil  de  la  colonne  avec  1'  axe  ,  a  1'  extremite  infe- 
rieure  &  a  T  extremite  fuperieure  i  on  aura  (  art.  prec. ) 
p   =   et  Jin.   f  -+-  et  fin.   i  , 

q    =       C  *    <^°^-    f    -+-    K     COS.    f  )  , 

p'  =  A  Jin.   (  f  -+-  TT  v^  6))  -+-  oc  Jin.  (/  •+•  tt  /uj  )  , 

f'    = (  It    COS.    (f  -+-    TT   \/  w)   -t'    «'  COS.     (  f'  -J-  71-    /OJ)  )  } 


'^9 

d'  ou  r  on  pourra  tlrer  les   valeurs   de  «  ,  «' ,  e ,  / ;    en 

effet  les  deux  premieres  donneront  celles-ci 

a  q 

p  COS.   IT  ^  u   -+•  — TTT  fin.  T  v^a   = 

«  Jin,   (  f  -t-  TT  »/&)')  -H  a  Jin.   (e  -*-  ir  \^d  )  , 

a  q 

—  p  /in.  It  y/d  -H  -j-r  cos.  ir  Vci  ^ 

<c  COS.   (f  -f-  w  »/&)  )  ■+•  «  coj.  (e'  -«-  T  /ffl), 
lefquelles  etant  corabinees    avec    les  deux  dernieres    don- 
neront 


^  A    COS. 


\^  ^  It  — - — J  A  M  ^^  T(  — -^ —  J 


a  q 


t=  p'  -  p  COS.   T  >/a  -  7~r  fin.   ft  v^d, 

—  XV.    Jin.    (  5   -H  ff     1  .J\.Jin.  I  ir  I 

a  q'  a  q 

s=        l/T  -i-  p  fin.  ir  Vu  -    — TTT  <^<^^'  ^  ^*» 
d'  ou  en  faifant ,  pour  abr^ger , 

a  q  a  q 

P  ■=.  p  fin.  ic  v^u  •+■    — :> ",  COS.  V  Vcio  -f-  yr  I 

a  q 
Q    =    p    COS.    T    )/u    -+■     77^/«.    TT    >^U   -/, 

on  tire 

tang.    {^s  =  ^ )  =  ^, 

&  de  merae  en  faifant 

P   s=z  v  Jin.  71  va  -+■    — -7—  coi.  w  V'u  -*-  7—  , 

Q    =  P   COS.  It  Voi  -^  ,~  fin.  It  Vu-  Pi 


i6o 


on  aura  fa«o-, 


37.  Ainfi  les  conftantes  «,  ?,  «,  5*  auront  des  valeuris 
d^terminees  fi  les  quantites  p,  ^,  /;',  ^'  font  routes  don- 
nees  ,  de  forte  qu'  il  ne  reftera  plus  rien  d'  indetermine 
dans  I'  equation  de  la  courbe  cherchee }  mais  fi  quelques 
unes  de  ces  dernieres  quantites  ne  font  pas  donnees  ,  alors 
quelques  unes  des  conftantes  * ,  ?  ,  «  ,  /  relleront  inde- 
lerminees  ,  &:  ce  fera  une  nouvelle  queftion  de  maximis 
&  minimis  de  determiner  ces  conftantes,  enforte  que  la 
force  de  la  colonne  foit  la  plus  grande  qu'il  eft  poffible. 
Or  r  equation  de  la  courbe  etant  donnee  il  eft  clair  qu'ii 
n'  y  aura  qu'  a  chercher  1'  expreffion  de  la  force ,  &  la 
rendre  enfuite  un  maximum ,  en  fuppofant  que  les  conftan- 
tes indeterminees  foient  variables  ,  ainft  que  nous  1'  avons 
fait  plus  haut ,  lorfque  nous  avons  pris  une  feftion  conique 
pour  la  courbe  de  la  colonne ;  naais  la  methode  que  nous 
avons  employe  pour  refoudre  le  probleme  en  general  of^ 
fre  un  moyen  plus  fimple  de  parvenir  au  merae  but. 

38.  Pour  cela  il  n' y  a  qu' a  fe  rappeller  que  1' equa- 
tion ,  qui  renferraoit  les  conditions  da  maximum^  contenoit 
deux  parties,  1'  une  affeftee  du  figne  f,  qui  a  fervi  a 
determiner  en  general  1'  equation  de  la  courbe ,  1'  autre 
hors  du  figne /,  qui  ne  fe  rapportoit  qu'aux  deux  points 
extremes  de  la  courbe  ,  &  dont  nous  n'avons  jufqu'  a  pre- 
fent  fait  aucun  ufage. 

Cette  derniere  partie  de  T^quation  dont  il  s'agit  (art.i9.) 

eft ,  QU  n  eft  la  valeur  de  la  quantite — ^ — -  0  t 

B   P  ^  dx  dx 

pour  le  premier  point  o\x  x  =■-  o ,  &c  -^   la  valeur  de  la 
lyeme  quantite    pour   le  dernier  point    ok  x  ■=  a  ;    ainli' 

comme 


i6i 

comtne  on  a  egale  fepar^ment  a  z^ro  la  premiere  partie 
aife6lee  du  figne  /,  il  faut  paieillement  egaler    a  zero  la 

"4^  -.  n 

partie  algdbrique  ,    ce  qui  donnera  1' equation  de- 

terminee  ■i'-  -  U  =  o .  Pour  faire  ufage  de  cette  equa- 
tion    on    remarquera    que    les    variations    Z  t    Sc    1 t, 

d  X 

ou  bien  — t — ,    qu'  elle    contient  ,  ne  regardent  que  les 

valeurs  extremes  de  t ,  &  —  ,    lefquelles    dependent    uni-' 

quement  des  qiiatre  conftantes  arbitraires  que  1'  expre/Iion 
generate  de  t  doit  renfermer  ,  &  qui  font  les  memes  qui 
entreni  dans  1'  exprefllon  de  t,;  d'  ou  il  s'  enfuit,  que  pour 

avoir  les  valeurs  en  queftion  de  S  ?    &:  de  5    —    il  fau- 

dra  faire  varier  ces  memes  conftantes  dans  les  exprelTions 

de  t  &  de    —  ,  ou  feulement  celles,  d'entr' elles  ,  qui  fe- 

ront  demeurees  indeterminees ;  Ton  aura  par  ce  moyen 
les  conditions  neceffaires  pour  la  determination  de  toutes 
les  conltantes  indeterminees. 

39.  Pour  appliquer  ceci  au    cas  de    I'art,    33.,  on  fub- 

ftiiuera  d'abord  dans  rexprelTion  X  aI  -^ —  S  t,  Hr  = 

'  ax        ax 

HR  (  I   -H  /> )    a  la  place  de  *  ,  A:   (  i  -4-  A/  ^ )    a  la 

place  deA",   &   ^(1   -+-G)^  la  place  de  6,   &  negli- 

geant  les  termes,  ou  les  qaantites  tres-petites  ^ ,  p,  6, lefquelles 

tormeroient  enfemble  deux  ou  plufieurs  dimenlions,  on  aura 

celle-ci:   H X  RT  I.  ~^,  ou  HXRT   eft  une  quantity 

conftante. 

Or  l' expreflion  g^nerale  de  0  eft  (art.  34. ,  &  35.),  en 
y  fubiHtuant  les  valeurs  de  /3 ,  |3'  &  T^,  celle-ci : 
Mifc.  Taur,  Tom.  K.  x 


J  6% 

L  4-0'  '  4-0.'  J 

d'  Oil  r  on  tire 

J0       Mt  J  ct  Va  COS.   (s  -+-   )       aVucos.\j-4- )  I 

—   = "S  ^  a      ■'  •+" a       ^    r 

ax        a      I     ■ '■ y 

"■*V^  4-4.  4-ft'  J 

Done    i.°   faifant  x  =  o,  on  aura 

<^  6    M  TT     /ct  V  CCC05.  B  d  V^^y  COS.  s\ 

I ~h J, 

ax  a\4-a)  4  -  a        ■/ 

&  differentiant  par  ^  en  faifant  varier  a  la  fois  ec ,  s,  ot,/, 
on  aura  pour  le  premier  point  de  la  courbe 

S.  T  =   —  X  —  (  coj'  so  a.-  A  fin.  eoe) 
ax  a   '  *  4  s. 

.   M 


-/\  — ;  (  COS.  e  t  A  —  A  fn.  i  t  f')» 


4-41 


cette  quantite  multipliee  par  H  X  RT  fera  la  valeur  de  FT. 

a,°  Faifant  x  =  a ,  on  aura 
£6_ Mn  (a  Vwcos.  (f  -f-  t  Vco)       a  y/ci  COS.  (  f  -»-  T  V'a  )V 

d  X  a      \  4-41  4-4;  / 

done    differentiant    par    J  ,    en     faifant    varier    egalement 
rt,  f,  et,  f  ,  on  aura  pour  le   dernier  point  de  la  courbe 

8.^  =^X~   (cos.(,-hirVa>)lA-AjIn.(e  +  Wc^)h) 

dx               a  4-a 

-+-     — .     p{  ;-    {cos.  (f-t-  T  Vui)  %  A  -A  Jin.  (f  -t-  T  \/a))  Sf*), 

1  y  \  4  -  4>' 

&  cette  quantite  multipliee  de  meme  par   H X RT  fera 
la  valeur  de  ■•V. 

40.  Ainfi  r  equation  4^  -  n  =  o  donnera   en  ordon- 
nam  les  termes 

(  COS.    (  £    -+-    T    Va  )    —   COS.    s)    t   A 

' '  v.. 

—    {fin.    ( e  -+-   ^  V^6)  )  -  fin.  f  )   *  ^  £ 

4  -  • 


V, 


4       <u 


163 

(cos.   (e'  •+-  T  v'a)   -  coj.  e')   I  <t,' 


(Ji/2.    (f'  -4-   T  >/&)')   -fin.  s  )    aSf'sso. 
4      141 

d'  oil  1'  on  deduira  les  conclufions  faivantes. 

i.°  Si  les  valeurs  des  quatre  coiillantes  a.,  «,  f  ,  f  font 
donn^es  comme  dans  le  cas  de  1' art.  36.,  ou,  en  gene- 
ral ,  lorfque  la  courbe  doit  fatistaire  a  quatre  conditions 
donnees  ,  leis  differences  5  ct ,  Id,  t  b  ,  i  e  feront  niilles 
d' elles  memes ,  &  1' equation,  dont  il  s' agit ,  fe  trouvera 
identique. 

z.°  S'  il  n'  y  avoit  que  les  quantites  et ,  &  a,'  de  don- 
nees ,  alors  S  ec ,  &  I  oi  ieroient  nulles  ,  &  il  faudroit  fai- 
re  ^vanouir  feparement  les  termes  affeftes  des  differences 
indeterminees  S  6 ,  1 1  ,  ce  qui  donneroit  ces  deux  equa- 
tions 

Jin.   (b  -^  Tt  V u)  -  fin.  e  ■=  o 
Jin.   (  f    -4-   X  Vu)  fin.   «'  =  0  , 

lefquelles  fetviroient  a  determiner  les  angles  5 ,  6c  / »   on 
auroit  done  dans  ce  cas 

fin.     ir    y^u                It  v^a 
tang,  e  =  J. =  cot. .  , 

I    —  COS.  TT  VCC  2 

fin.    TT   y/  u                  71   ^ a> 
tang.    I    =  -1 .  =  cot. y 

1  —  COS.  It  V  cJ  1 

J,    .                     ^        Tt  Va       ■                  T  v^ffl 
a  ou   B  =  90.    —  ,   f  =  90  — . 

Si  c'  etoient  les  quantites  b  &  b  qui  tuffent  donnees  , 
alors  les  termes  affstles  de  8f,  &  Se  evanouiroient,  Sc 
il  faudroit  enluite  taire  difparoitre  ceux  qui  font  affvCtes 
de  See,  &  'Bet;  mais  comme  ces  termes  ne  rentcrment 
pomt  les  quantites  indeterminees  *  ,  « ,  mais  feulement 
les  donnees  f  ,  f'  ,  il  s'  eniuit  qu'  li  ell  irapoilibie  de  les 
faire  evanouir   en  general,    ce  qui  ell  une  marque  qu'ii 

X    z 


1^4 

n'  y  a  point  de  maximum  par  rapport  aux  conftantes  et,  ee 

en  particuUer. 

3.°  S' il  n' y  avoir  de  donne  que  les  deux  bafes  de  la 

colonne  ,  alors  les  valeurs  de  p ,    &    p'  feroient    donnees 

( art.    36.);  on  prendroit  done  les  deux  equations  de  cet 

article 

p  =  A  Jin.  e   -^  of  fin.  b  , 

p'  ==   a  Jin.   ( f  -H   T   y^u)   -+-   ec  Jia.   ( f'   -4-   tt   V^d)  ^ 

&  les  ditterentiant  par  S  ,  en  failJnt  p  ,  p'  conftantes,  & 

«t ,  et,  f,  e'  variables  on  auroit  ces  deux-ci : 

yT/z.   s^  A  -i-  «.  COS.  e^  e  -{-Jin.  £  ^  «  -+-  ot  coj.  /  §  s'  =  o  , 

y?/Z.  (5  -t-  T  */&))  ^  OC  -+-  *  COS.  (l-t-TT  V^Cii)  &  f  -+-y?«.  (f  -H  TT  /&')  S  d 

•+■  d  COS.  (e  -t-  IT  v'a)  S  j  =  o  , 

a.  r  aide  desquelles  on  pourra  determiner  deux  des  qua* 
tre  differentielles  indeterminees  ^oc,  Id,  Sf  ,  le  par  les 
deux  autres,  Cherchons  S*,  &  Is;  pour  cela  on  re- 
tranchera  les  equations  precedentes  1' une  de  1' autre  apres 
avoir  multiplie  i.°  la  premiere  par  cos.  (e  -+•  t  »/a)  ,  & 
la  feconde  par  cos.  t  ,  2."  la  premiere  par  Jin.  (s  ~t~  Tf  ^cS) 
&  la  feconde  par  fin.  e  ;  on  aura 
;      Jin.  e  X  COS.  (f  H-  tt  Va)  —Jin.  (e  -+-  t  /a)  X  cos.  s   ^     , 

Jin.   It   V'u 
,    cos.  i  X  cos,  (g  -4-  T  V'oi)  —  COS.  U  -t-  T  ^cS)  X  co^.  5  /  ^   / 

•4- . ^ . — ■■      , 1.. 1 «  5  f , 

yi/z.  It  v'o) 

J  yT/j.  f  ^yF/?.  (f  -f-  TT  v^ffl)  — y?/2.  (e  ■+■  r  y/ci)  fin.  s    ^ 

Jin.   Tt   Va 

COS.  t  X  Jin.  (e  •+-  t  v^u)  —  cos.  («'  ■+■  tt  Vu)  Jin.  e    ,  -,  ,_ 
"■ . ; 1 oc  0  5J 

On  fubftituera  done  ces  valeurs  dans  1'  equation  gene- 
rale  ,  &  on  t^era  enluite  egaux  a  zero  ,  feparement ,  les  deux 
membres  affeftees  de  S  « ,  &  5  / ;  ce  qui  donnera  ces 
dfcux  equations. 


^<i 


:6j 


4  -  al 

4  -  * 

4  -  * 

(coi. 

(a'H- 

tan^. 

It  ^iS) 

'""tj* 

2 

(/«. 

(e'-h 

ra/jo-. 

Tt  Va 

11  v'w  )   -  COS.  f')  -4- 

(Jin.   (e  -i-  IT  v'co)  ■+-Jin.  e)  ==  o, 

Tt  V  ci  )   -  Jin.  s)  ■+■ 

(  COS.   (e  -¥•  IT  ^u  -t-  COS.  s)  =  o , 
4  -  »         "  a  _  .  ,  , 

qui  ferviront  a  determiner  les  qaantit^s  a.  &  f. 

En  effet  ,  la  premiere  ne  contenanc  que  la  quantite  / , 
donnera  la  vaieur  de  cette  quantite  ;  enfuite  il  faudra  de- 
terminer rt  par  la  feconde  equation  ,  laquelle  donnera  «  =  o  i 
ainfi  la  vaieur  de  J^  fe  reduira  a  celle-ci 

„  r        f  XT[>/  a>\ 

^    =    *   /«•    \^    -+-     -7-  ) 

oil  les  conftantes  et  ,  &  5,  devront  fe  determiner  par  les 

deux  conditions 

p  =  A  Jin.  s  ^  p    =  A  Jin.   (  £   •+•   tt   V^w)  , 

d'  oil  r  on  tire 

p  fin.   It   ^'ca 
tang,  e  =    '—J. _  , 

p—p  COS.  77-  V  a 

*^(f '*-  i  f/  COJ.  TT  >/&)-+-  p*) 

K 1    J 

yi/J.     TT     >^  CO 

&  r  on  remarquera  que  1'  on  peut  prendre  IndifFeremment 
pour  CO  r  une  quelconque  des  deux  racines  de  1'  equation 
en  u;  de  forte  que  la  folution  fera  double. 

4.°  Enfin  ,  s'il  n'  y  avoir  rien  de  donne,  &  qu'  on  cher- 
chac  ablblument ,  entre  toutes  les  courbes  poHibles  ,  celle  qui 
forrnera  une  colonne  de  la  plus  grande  force  ,  relativcment 
a  fa  hauteur  &  a  fa  malTe,  comme  nous  I'avons  fuppofe 
dans  nos  calculs,  il  faudroit  alors  dans  1' equation  ci-delTus 
egaler  feparement  k  zero  les  membres  atlettes  des  diffe- 
reniielles  indeterrainees    J*,  Sf,   S«,  5  /  j    ce    qui   don- 


i6(S 

neroit  ces  quatre  equations 

COS.   ( e  -4-  7  \/ii) )  -  COS.  f  =  0  , 

(y?/2.    (  e   -+-    T    V^ffl  )    -  y7;7.    £  )   «    =   0  , 
COJ,    (  5     -h    ^    V^fi))    -    COS.    £     =    o  , 

(y^/z.  ( J  -H  T  v^aj )  -  y?«.   i  )  A  =  0  J 

comme  la  premiere  ne  contient  que  1'  angle  e ,  elle  ne 
pourra  fervir  qu'  a  determiner  cette  quantite ;  enfuite  de 
quoi  on  ne  pourra  verifier  la  feconde  qu' en  faifant  *  =  o; 
de  meme  la  troifieme  donnera  la  valeur  de  f  ,  &  la  qua- 
trieme  donnera  necelTairement  «  =  o  j 

On  aura  done  dans  ce  cas  <«  =  o  ,  &  «  =  o ,  &  par 
confequent  Z^  =  o.,&ciz=Z  (i  -+-2!|)=Z; 
c'  elt-a  dire  {  egale  a  une  contlante ,  ce  qui  donne  un 
cylindre  pour  la  figure  de  la  colonne.  D'  ou  1'  on  doit 
conclure  que  la  figure  cylindrique  ell  celle  qui  donne  le 
maximum  maximorum  de  la  force* 


ME  MOIRE 

Sur   r  utilite  de  la  methode  de  prendre    le  milieu 

entre  les  refultats'  de  plujieiirs  obfervations:, 

dans  Icquel   on  examine  les  avaniages  de 

cetie  meihode  par  le  calcul  des probabiluesy 

&  oil  r  on  rejoud  differens  problemes 

relatifs  a  cette  mature. 

Par  M.  de  la  GRANGE. 

V^uand  on  a  plufieurs  obfervations  d'  un  meme  pheno- 
mene  dont  les  refultats  ne  font  pas  tout  a  fait  d' ac- 
cord ,  on  eft  fur  que  ces  obfervations  font  routes ,  ou  au 
moins  en  partie  ,  peu  exaftes  ,  de  quelque  fource  que  1'  er- 
reur  puifTe  provenir;  alors  on  a  coutume  de  prendre  le 
milieu  entre  tous  les  refultats  ,  parceque  de  cette  maniere 
les  dilferentes  erreurs  fe  repartiffani  egalement  dans  rou- 
tes les  obfervations ,  1'  erreur  qui  peut  fe  trouver  dans  le 
refultat  moyen ,  devient  aufli  moyenne  entre  routes  les 
erreurs.  Or  quoique  tout  le  monde  reconnoiffe  1'  utilite 
de  cette  pratique  pour  diminuer ,  autant  qu'  il  eft  polfible, 
r  incertitude  qui  nait  de  1'  imperfeftion  des  inftrumens 
&  des  erreurs  inevitables  des  obfervations  ,  j'  ai  cru ,  ce- 
pendant ,  qu'  il  feroit  bon  d'  examiner  &  d'  apprecier  par 
le  calcul  les  avantages  qu'  on  peut  efperer  de  retirer  d'une 
femblable  methode ;  c'  eft  I'  objet  que  je  me  fuis  propofe 
dans  ce  memoire.  Je  commencerai  par  fuppoter  que  les 
erreurs  qui  peuvent  fe  gliiTer  dans  chaque  obfervation 
foient  donnees ,  &:  qu'  on  connoifie  auffi  le  nombre  des 
cas  qui  peuvent  donner  ces  erreurs ,  c'  eft  a-dire  ,  la  faci- 
lite  de  chaque    erreur ;    je    fuppoferai    enfuite    que    1'  on 


i6S 

connoifTe  feulcment  les  limites  entre  lefquelles  toutes  les 
erreurs  pofTibles  doivent  etre  renfermees  avec  la  loi  de 
leur  facilite  ,  &  je  chercherai  dans  1'  une  &  dans  1'  autre 
de  ces  hypothefes  ,  quelle  eft  la  probabilite  que  1'  erreur 
du  refultat  moyen  foit  nulle ,  ou  egale  a  une  quantite 
donnee ,  ou  feulement  comprife  entre  des  limites  donnees. 
Je  fairai  voir,  en  meme  terns,  comment  on  peut  determi- 
ner ,  a  pojiericri ,  la  loi  meme  de  la  facilite  des  erreurs,  & 
quelle  eft  la  probabilite  que  dans  cette  determination  on 
ne  fe  trompera  pas  d'  une  quantite  donnee.  D'  ou  je  de- 
duirai  des  regies  afles  fimples  pour  la  correction  des  in- 
ftrumens  par  des  verifications  reiterees. 

Au  refte ,  je  fuivrai  dans  toutes  ces  recherche?  la  regie 
ordinaire  du  calcul  des  probabiliies ,  fuivant  laquelle  on 
eftime  la  probabilite  d'  un  evenement  par  le  nombre  des 
cas  favorables,  divife  par  le  nombre  de  tous  les  cas  poffi- 
bles.  La  difficulte  ne  confifte  que  dans  I'enumdration  de 
ces  cas ,  mais  cette  enumeration  demande  fouvent  des  cal- 
culs  afles  compliques,  &  dont  on  ne  peut  venir  a  bout 
que  par  des  artifices  particuliers  ;  c'  eft  ce  qui  a  lieu  fur 
tout  dans  la  matiere  que  je  vais  trailer. 

Problime  I. 

I.  On  fuppofe  que  dans  chaque  obfervation  on  peut  fe 
tromper  d' une  unit^,  tant  en  plusqti'en  moins  ,  mais  que 
le  nombre  des  cas  qui  peuvent  donner  un  refultat  exaft 
eft  au  nombre  des  cas  qui  peuvent  donner  une  erreur 
d' une  unite  comme  a:  rb;  on  demande  quelle  eft  la 
probabilite  d'  avoir  un  refultat  exaft  en  prenant  le  milieu 
entre  les  refultats  particuliers  d'  un  nombre  n  d'  obferva- 
tions . 

Puifque  W  y  z  a  cas  qui  donnent  zero  d'  erreur  ,  8c  ih 
cas  qui  donnent   -i-   i  ,    &  —  i  ,    c'  eft-a-dire   b  cas    qui 

donnent 


I  69 

donnent  -H  i  ,  &  i  cas  qui  donnent  -  i  d'erreur,  il  elt 
clair  par  les  regies  ordinaires  des  probabilites  que  la  pro- 
babilite  que  1'  erreur    foit    nulie    dans    chaque  obfervation 

particuliere  fera  exprimea  par   -;  voyons  done  quelle 


■-h  11 


fera  la  probibilite   que  I' erreur  foit  auOi  nulie  en  prenant 

le  milieu  entre  n  obfervations.     II    eft  facile   de  voir  que 

cette  queftion  fe  reduit  k  celle-ci :  „  ayant  n  des  dont  cha- 

cun  au  a  faces  marquees  d'  un  zero  ,  b  faces  marquees 

d'  une  unite  politive  ,  &  b  faces  marquees   d'  une  unite 

negative ,    enforte    que    le    nombre   total  des  faces  foit 

a-Hi*,    trouver  la  probibilite    qu' il    y    a    d' amener 

z^ro  en  jettant    tous   ces    des    au  hazard.     Or    on    fait 

par  la  the  trie  des  combinaifons  que  fi  on  eleve    le  trino- 

me  a-i-  b   (  X  -t-  a:"'  )  a  la  puilTance  n  ,    le  coefficient  du 

terme    abiblu    c'  elt  a-dire   ou  la  puifTance  de  x  fera  zero, 

d^notera  le  nombre  des  cas  ou  des  hazards,  ou  la  lomme 

des  points   marques  par   tous    les  des  fera  egale    a  zero  : 

done  nommant  ee  coefficient  A,   on  aura,  a  caufe  que  le 

nombre  de  routes  les  combinaifons  pofiibles  ell  (a  -h  i  ^)", 

A 

on  aura,  dis  ie,  , , —  pour  la  probabilite  cherchee. 

'       '      {d  -■-  xhy    ^  ^ 

Tout  fe  reduit  done  a  trouver  le  coefficient  y^;  or  c'efl: 
a  quoi  on  peut  parvenir  de  pluileurs  manieres  differences. 

I.*  Si  on  developpe  la  puiffance  (a -f- 6  (  x -H  a."  )  )" 
fuivant  le  theoreme  de  nevvton  on  aura,  comme  1' on  fair, 

«"-»-  n  a-'  t  (x  -t-  X-  )  -+-  "AHJlll  a  "''  b'  (x  -h  x"')'  -+■  &C. 

or  il  eft  facile  devoir  que  les  puiffances  impaires  de  x-l-x"' 
ne  renferment  aucun  terme  fans  x  ,  &  que  dans  les  puif- 
fances paires  il  y  a  toujours  ua  terme  fans  x  ,  qui  ell 
celui  du  milieu,  dans  lequel  les  expofans  de  x,  &  x" 
font  les  memes , 

Mifc.  Tour.  Tom.  V'  X 


170 

ainfi  le  terme.  fans  x  de  ( ;c -+- x"')'fera  i 

4-   3 
celui  de  (  x  -t-  x"  ' )  "*   ^era  

I.    z 

6.  5.4 


celui  de  (  x -+- x"')  *  ^^•'^ 

I.  z.  3 

&  ainfi  des  autres  ;  done  on  aura  en  general 
^  =  a"  -+-   -. a"-'    b'  -f. 

I  I.    z 

4.3        «(«-iH«-i)(»-3) 


a  "--^  ^  ♦  -4- 


i.z  I. a. 3. 4 

1.1.3     1.2.3.4    .    5.6 

c'  ell-a-dire 

^  1.1 

z     .     3      .     1     .     3 

a."   U  ell    viiible    que   le   trinome  a   •+•   b    (x-4-x"') 

peut    fe    decompofer   en    ces    deux    binomes  *  -4-  ^  x , 

ct -,...  (8  V " ' ;   ce  qui  donne   par  la    comparaifon    des  termes 

«^-f-/3^  =:a,  &  ct|8  =  ^i  d'ouron  are  *  ±-./3  =  v^<JTT^ 

&   de  la 

v'(4  -»- 1  ^ )  •+■  v'C^  - 1  ^  ) 
«  = 

IS  _   __ 

Cela  pofe    on  aura    done  {a  -^  b  {x  -i-  x""^))' 
=  (*-t-/3x)"  X  (*-J--f)"  = 

(."  +  ^^^  -..  l^t-h  "-^L^  -^  &e.  ) 
d'  ou  il  eft  facile  de  conclure  qu'  on  aur^ 


\  I     ,    1    .    J  / 

Corollaire  I, 

1.  Soit  a  ■^  h  ^  c' eft  a-dire  qu' il  y  ait  un  nombre  egal 
de  cas  qui  donnent  o ,  ou  -+-  i  ,  ou  -  i  d'  erreur  ;  la 
probabilite  d'  avoir  ua  refultat  exaft  dans  chaque  obferva- 

tion  particuliere  lera  ,    =  — .  ;     &    cel'e    d'  avoir 

un  refaltat  ex 4ft  ,  en  prenant  le  trrme  moyen    entre  les 
refulats  de /z  obfervations,  lera  fuivant  la  premiere  formule, 

(en  divifant  le  haut  &  le  b;is  de  la  fraftion  ; r—    par  a") 

_._      /        ^    .  »(»- !)(;»- iK"- 3)   .  <« -!)••..(»- 5")  .  ^^ 

1  -H  «  {n-\)  H 1 HCxC. 

i.i     .    \     .     1  I. I. 3. I. z.  3 

_  - 

Done  en  faifant  fucceffivement  n  =  i ,  i ,  3 ,  &c,  on  aura 

n  probab. 

I 
X 

3 

I 
X 

3 

7  -       ' 

5 17 

>9 
4 87 

' 143 

6     ......  ^^ 

&c.  ^  t  On 


17* 

On  voit  par  cette  table  que  la  proba^i'i-^  que  1'  errcur 

fbit  nulle  diminue  a  mefure  que  roii  prend  un  plus  grand 
rombre  d'  obfervations ,  de  lone  que  li  on  vou'oit  efti- 
mer  r  avantage  qu'  il  peut  y  avoir  a  prendre  le  miliea 
entre  plufieurs  oblervations ,  par  I' f  xces  de  la  probabilite 
que  1'  erreur  foit  nulle  dans  ie  refultat  moyen  ,  fur  celle 
que  r  erreur  foit  auffi  nulle  dans  chaque  re(ultat  particu- 
lier ,  on  trouveroit  dans  le  cas  dont  il  s'  agit  ici  que  I'avan- 
tage  (eroit  toujours  negatif,  c' ell  a  dire  qu'il  fe  change- 
rcit  en  defavantage,  lequel  iroit  meme  en  augmentant  plus  il 
y  auroit  d'  obfervaiions  j  d'  oil  il  iemble  qu'  on  pourroit  con- 
clure  ,  que  dans  ce  cas  ihvaudroit  mieux  s'  en  tenir  a  une 
obfervation  unique,  que  de  prendre  le  milieu  entre  plu- 
fieurs obfervations  i  mais  il  y  a  une  conlideranon  effen- 
tielle  a  faire  fur_^x:ette  matiere ,  de  laqueile  il  refulte  qu'il 
eft  toujours  plus  avantageux  dans  la  pratique  de  multiplier 
des  oblervations  autant  que  1'  on  peut ,  c'  ell  ce  que  nous 
difcaterons  plus  bas. 

CoroUaire  II, 

J.  Soit  maintenant  a  t=i  r  b  ^  enforte  que  le  nombre 
des  cas  qui  donnent  un  refultat  exaft  foit  egal  au  nom- 
bre de  ceux  qui  peuvent  donner  une  erreur  de  -♦-  i  , 
ou  —  I  j  dans  ce  cas  il  vaudra  mieux  fe  fervir  de  la  fe- 
conde  formule  ;  car  on  aura  a  =  v^b  ,  Q  =Vb  ,  de  forte 
qu'  a  caufe  de  a  -+-  x  b  :=  4  b,    on  aura  ,  en  divifant  le 

haut  &  le   bas  de  la  fraftion  , -—^  par  b", 

— 

pour  la  probabilite  que  1'  erreur  foit  nulle  en  prenant  le 
miueu  entre  n  oblervations. 


»73 

Done  faifant  fuccefllvement  n  =  i  ,  i ,  3  &c.  on  aura 

Its  i^fultats  luivans 

a  prob. 

I 
I — 

I 

3 
" "F 

> 7? 

35 
^ TTs 

&c. 

oil  1'  on  voir  que  la  probability  diminue  a  mefiire   que  m 
augmente  comme  dans  le  cas  du  coroliaire  ptec. 

Corollaire  III. 

4.  Solt  &  =  1  a  de  maniere    que    le  nombre    des  cat 

qui   peuvent  donner  una  erreur  d'  une  unite   rant    en  plus 

qu'en  moins  foit  double  de  celui   oii  I' on  auroit  un  reful- 

tat   exatt ,  on  aura    ici    pour   la  probabilite    que    1'  erreur 

fbit    nulle  en  prenant  le  milieu  entre  n  obfervations 

i6n(n-i){n'iyn-i)        %6n'n-\) (»-5) 

1-J-4«(/1-i)h i —-A ^^ — ^-t-&C. 

.  ^    •    '- ^         1     •    T.   ■    3 

i" 

Done  faiiant  luccellivenient  n  =   i  ,   2  ,  }  ,  on  aura 
a  prob. 

I 
1     .•...,      — 

J 

1 -^ 

I 

' T 

4   • ^ 

&e. 


174 

Ainfi  pour  z  obfervatlons  T  avantage  fera  de  —  -  —  =  »-♦ 

pour  trois   il  fera —   =;  0  ;    pour    quatre    egal    k 

—  -  —  =   — ;  &c.  d'  ou  il  paroit  que  le  plus  grand 

avantage  a  lieu  en  prenant  le  milieu  entre  deux  obferva- 
tions  feulement. 

Remarque  J. 

5'  Pour  facillter  davantage  la  folution  du  probleme  pre- 
cedent, il  ell  bon  de  chercher  la  loi  que  fuivent  les  ter- 
,.jnes  de  la  ("erie  qui  reprefentent  les  probabilites  qui  repon- 
dent  a   I  ,  i  ,   3    &c.  obfervations ;  or  li  on  prend   la  fra- 

ftion 7-7 r^    &    qu'  on    la    developpe    en 

I  -  z  (  ^  +-  />  (x   •  A-' ) )  '^^ 

ferie    fuivant   les  puiflances  de  a;  ,    on    aura   comme  1'  on 

fait  I  -H  {  (a  -f-  i  (x  -+-  X-')  )-^i^  {a-^b  (x-ha;-))'-*-  &c. 

de  forte  que  dans  cette  ferie   le  coefficient  de  i"  fera  la 

puiflance  n-""'  de  a  -^  b  {x  -\-   x"')  ;    done  fi  on  nomme, 

A' i    A"  ^    A"'    &c.     les    valeurs    de    A    qui     repondent 

a  /2  =  I  ,   1,3  &c. ,  c'  e(l-a-dire  ,  lestermes  I'lns  x  des  puiP 

fances  a->e-b  {x ->>~  x"')  ,  (a  ■+■  b  (x  -+-  x~^)  )*  &c.  il  ell  clair 

que  la  feiie  i  -h  A'  i -^  A"  i'-  ■+■  A'"  {'  -h  &c.fera  egale  a  la 

fomme  des  termes  fans  x  de  la  fraftion r — 

developpee  fuivant    les  puiflances  de  x,  &    de  x"' j    de 

forte    que    fx    on    reprefente  par   Z  -^  Z'     (x-+-_j 

«+•   Z"  Tx*  H ^ )  -t-  &c.  la  ferie  qui  refuite  du  deve- 

loppement  de  cette  fraftion  fuivant  les  puiflfances  de  x  , 
&  de  -  ,  (  car  il  eft  facile  de  voir  que  la  ferie  dont-i] 
s'  agit    doit    avoir  neceffairement   cette  forme )    on   aura 


'75 
Z  =  1  -*-  -<4'  {  -4-  y^"  {'  -+-  &c. ;  ainfi  connoiflant  la  fon- 
ftion  Z  il  n' y  aura  pius  qu' a  la  require  en  f'ene  fuivant 
les  puilFances  de  ^  pour  avoir  les  quantiies -•5?,  ^'',  y5?'"&c. 
Pour  cela  je  reduis  d'abord  le  trinome  i  —  a  ^  —  b  ^  {x~t-x~^) 
en(p-ijx){p  —  q  x~^  )  ce  qui  me  donne  ^*  -+-  ^'  ;=  i  -a^", 
&  p  q  =  b  ^  ;  enluite  je  reduis  Ja  traftion 

I  /?  /?  . 


en  « 


&  je  trouve    oc  =   — ^ ,  /3  =   — ^ } 

I/*  -jf*            p"-  -q* 
mamtenant    =  — h  i-  -+- -+-  &c. 

p-qx  p  p'-  pi 

&  de  meme =  r  -< ~  -+-  — - —  -+-  &c. 

p-qx-'  p  p-  X  pi  x"- 

done    on    aura  Z  =  *  ^  ii- ,    Z  =  ^  ,  Z"  r=  '^-C 

Done  Z  =  


!/'-/'*  Z-^-!?^  P'-q'  (p-  q)ip    q) 

mais  puifque  f'  -H  y'  =    i  -  a  ^  ,  &  ^  ^  =  b  l-,  on    uara 
P   -+■    q    =     V^  I  -  az'*'±^z,   p   -   q  =   V I      ^z-xbz; 
done  ip-+-q)  {p-q)  =  V^i-azy  -A,b-  z'  ;  douc  enfifi 


Z  = 


s=    I    -+-  ^'  ^  -t-  ^^  ^^=  -f.  A-'  (»  -t-  &c. 
deCorte  que  1'  on  aura  par  les  forinules  connues 
A   =  a 
^„  -^  a  A'  -^4  i5-  -  a'- 

2 

A"    =    ^  a  A'  -^i{i,h-  -a^  )  ^' 

&c. 


ty4 

Denotons    par  F,  P'\  F"  Sec.   les    probablHt^s    que 

r  erreur  foit  nulla  en  prenant  le  milieu  entre  1,2,3  &c, 

ji'                        A" 
obfervations ,  &  1'  on  aura  P'  = ; ,  P"  =  . 7-— 

P'  =  ^^i-    &c.  ;  d'  ou  y^'  =  (<z  ^  2  h)  P', 

A'  =  (a  H-  2  by  P"  ,  A"  =  (a  -H  2  i)»  P"  &c.    done 
fubitituant    ces  valeurs  dans  les    formules    precedentes ,  & 

faifant  pour  plus  de   fimplicite  —  t=  r,  on  aura  P  = — 

2  (i-t-r) 

3(1  -^r) 
p.T^   7T""--i(r-x)r" 
4(1--^) 

5    (I  -^r) 

Jiemarque  IJ. 

6.  SI  on  fait  r  =   i   on  aura  le  cas  du  corol.   2  ,  ou 

«  =  2   ^  ,  &  r  on   trouvera 

&c. 


P'  —    '     P"         *  '  ^     P"         ' 

•  3 

5 

J.     —       ,    J       —               ,   /       — 

2                               2.4                               2 

&   en  general 

_     I  .  3  .  J  ....  1  «  -  I 

•  4 

6 

4.6**..  2X7 
De  la  on  voit  que  la  probabilite  diminue  toujours  a  me- 
fure  que  n  augmente ,  ce  que  nous  avons  deja  obferve 
dans  le  corollaire  cite  ;  de  forte  qu'  en  prenant  «  =  c« 
la  probabilite  deviendra  iiifiniment  pente  ,  ou  nulle  j  en 
effet  par  la  quadrature  du  cercle  de  Wdllis  on  a  (t  etant 
Tare  de  i8o.*  degres) 

Jp 


'77 

7  I  .  }  .  3  .  J  .  5  .  7  . . . 

c'  eft-a-dirc  ,  en  prenant  «  =   « 

Tf        %  .  X      i.  ■  A  .  6  ,  6 •ifftiff 

2         I.   J.}.   5.   5.  7...  i»— i  .  i«-i .  i«-i-i 

done  multipliant  par  z  n  -t-  i  ,  Sc  tirant  la  racine  carr^e 

on  aura 

.     /zn-*-t       \    I  .  4  .  6  .  .  .  .  iM 

y    \      1  /  1.3.5...  ^"~^ 

done  lorfque  n  =    »    on  aura  • 

y  n  v 
11  ell:  boil  de  remarquer  que  puifque    nous  avons  trouv^ 
dans  le  coroll.  cite  pour  la  probabilite   F"  V  expreflion 

on  aura  ,  en  comparant  cette  e.xpreflion  avec  la  precedente, 
r  equation 


&C, 


-  &c. 
V.        i     •     3  / 

1.3.3....    i»-i 

= i" 

1.^.3 » 

Jaquelle  €tl  d'  autant  plus  remarquable    qu'  elle    nc  paroit 
pas  ai£^e  a  demontrer  a  priori. 

Remarque   III. 
7.  Par  les  formules  de  !a  Remarque  i"*  on  aura  en  general 
i>«   =    (^»-i)  F-'-^-C^-O    (r-i)P- 
n  (r  -t-  1  ) 

pn-t-i     __     ^ / ^ £ 


JVIZ/c.  jfar/r.  To/tz.  J^. 


oil  les  expofans  n  -- 1  ,  «  -  i  ,  n  &c*  Ai  P  fle  denotent 
pas  des  puidances  ,  mais  feulement  le  qaamieme  du  rang. 
Or  (i  n  eft  un  nombre  afiez  grand ,  il  ell  clair  que   les 

fractions ,    ■"■■  -  •-  ,  &e.    teront   a    tres-peu 

»  W-f-  I  »  -I-  1  ' 

pres  =   2  ;  &   que  les  fractions    — 


'    «-+-i'     »-t-a 


feront  auffi  a  tres-peu  pres  =  i  j  de  forte  qu'  on  .aura 
dans  cette  hypothefe 

D» i < 

r  -+-    I 

r  ■*-   1 
Sec. 

d'  ou  r  on  voir  que  les  quantites  P",  P"-*-*  &c.  ferment 
une  fuite  recurrante  dont  le  denominateur    de  'a  frat^ion 

generatrice  feroit  x* ;    ainfi  on  aura  en 

°  r  -I-  I         /■  -*-    I 

general 

V     1  (i  •+-  0     / 

\      1   {1   -t-  r)      / 

&  pour  determiner  les  coefficiens  A ,  Sc  B ,  on  fuppofera 
que  les  termes  P",  &  P""*"' foient  connus,  ce  qui  donnera 
P'  z=  A  -*-  B  ,  Sc 

P"+-    _   ^    Jll_ LL 

2(1  H-r) 
i_x/(4,i_3) 


B 


2  (  I  H-  r) 

d'ou 

_     2  {i  +r)   F"-*-'  -(t  -</(4  7-^-3))  P« 

2t/(4r'-3) 
(1 -*-v'(4>*  -  3  ))  P"  -  2  (i -^-r)  ?»■»="» 

~  1  v(4r'-3) 


179 
d'od 

Vi  2  v^(4  '•'-  3)  /    \        2(i  "*-r)  ""y 

/P"         1  (i  -f-r)  ?"-»-' -P"  \    /  I  -  v'(  4  ;  J  -  3  )Y 

"*"  V"!  z  V^(4  r'  -1)        /    V  ^(i  -Hr)        / 

&  cette  formule  fera  d'autaiu  plus  exafte  qu' on  prendra 
le  nombre  n  plus  grand. 

Aind  apres  avoir  calcule  les  termes  P*  &  /*"-+-'  foit 
par  les  formules  de  1'  art.  i  ,  foit  par  celles  de  la  Re- 
marque I.*"  ,  on  pourra  trouver,  a  tres-peu  pres ,  tous  les 
termes  Cuivans  par  la  formule  precedence. 

Au  relte  il  elt  facile  de  voir  par  cetce  formule  que  la 
probabilite  fera  nulle  a  1'  infinij  c'eft-adire,  lorfque  j  =  * ; 
en  eft'et  il  eft  clair  que  quel  que  foit  r,  pourvu  que  ce  foit  un 

nombre  pohtit ,  les  quantites    — '■ ; — ^    leront  tou- 

'  ^  2  (i  -•-/•) 

jours  <C  I ;  car  fuppofons,  s'il  eft  poiTible  -^ — -i.'t!__Zli  ^  ^ 

on  aura  done  4  r*  -  2   -+:  2  ^{_\  r*  -3) 

>  4   (i  ■+•  2  r  -+-  /•*)  favoir 

*  »/(4'-*-3)  >  3-^4^}  & 

4/'*— 3   >   i6r'-+-24/--4-9  favoir 

o>   12  r*-*-  24/  -+-  12,  ce  qui  ne  (e  peut;  done  en 

cr  1  •    .       /l  •+•  V'(4  ^^  -  »)\' 

iailant  ^  =  00    les  quantites    (  7 ~  )    ,   & 

T-  _^  ■- )   deviendront  nulles  j  &  par  confiquent 

P"*^  auffi. 

'Schalie. 

8,  Soit  /)  le  refultat  que  chaque  obfervation  devrort 
donner  fi  eile  etoit  exatle  ,  puifque  on  fuppofe  que  Ton 
puilfe  fe  tromper  d'une  unite  tant  en  plus  qu'en  moins, 
on  aura  dans  chaque  obfervation  un  de  ces  trois  reiultats 


i8o 

p,  p-  t  ,  &  /)  -t-  I  ;  Jonc  (i  on  a  deux  obfervations,  & 
qu  on  prenne  le  milieu  enire  leurs  rdfuttats,  c'ert-a-rlire,  la 
demi  fbmme  de  ces  r^ful[ats,on  aura  un  de  ces   cinq    re- 

fultats    ^P-,  llZA,   il±l,  llZl,  tl±l,    favoir 


1  I 


p,/)-— ,^H i  p  "-   'jP-*"'}  ainfi,  dans  ce  cas, 

r  erreur  pourra  etre  i  ,  ou  —  tant  en  plus  qu^  en  moins; 
on  verra  de  meme ,  qu'  en  prenant  le  milieu  entre  trois 
obfervations,  1'  erreur  pourra  etre ,   i  ,  ou  — ,  ou  —    tant 

en  plus  qu'  en  moins ,  &  ainfi  de  fuite.  Ainfi  quoique  la 
probabilite  que  1'  erreur  foil  nuUe  puiffe  etre  plus  petite 
lorfqu'  on  prend  le  refultat  moyen  de  plufieurs  obferva- 
lions  ,  que  lorfque  on  prend  le  refultat  de  chaque  obfer- 
vation  en  particulierj  cependant  fi  on  cherche  la  proba- 
bilite que   r  efreur  ne  furpafle  pas  — ,  ou   —  Sec.  on  trou- 

vera  que  cette  probabilite  fera  plus  grande  dans  le  pre- 
mier cas  que  dans  le  fecond  ;  en  efFet ,  dans  le  premier 
cas  il  n'  y  a  d'  iiutres  cas  favorables  que  ceux  oil  1'  er- 
reur eft  ab(oIument  nulle  ;  mais  dans  le  fecond  ,  les  cas 
favorables  font  non  feulement  ceux  ou  1'  erreur  eft  nulle  , 

mais  auffi  ceux  oii  1'  erreur  eft    — ,    ou  —    Sec. ;  &  c'eft 

par  cette  confideration  qu'  il  eft  toujours  plus  avantageux 
de  prendre  le  milieu  entre  les  refultats  de  plufieurs  obfer- 
vations ,  que  de  s'  en  tenir  au  refultat  de  chaque  obiervation 
en  particulier.  Nous  allons  examiner  la  queftion  fous  ce 
point  de  vue    dans    le  probleme  fuivant. 


i8i 

ProhUntc  II. 

9.  Les  m^mes  chofes  etant  fuppofees  que  dans  le  pro- 
blfime  precedent  trouver  la  probabilite  qu'  en  prenant  le 
milieu  entre  les  refultats    de    n    obfervations ,  i'  erreur  ne 

furpaffera  pas  la  fraftion  —  ,  m  etant  <   « • 

En  prenant  le  milieu  entre  les  refultats  de«  obfervations,  il 

eft  clair  que  I'erreur  peut  etre,ou  o,  ou  ::*-—  ,  ou  H — ^ ,  ou  -+-~ 


&c.  jufqu'a  r*-  —  favolr±  i;  ainfi  la  probabilite  que  I'erreur  ne 
foit  pas  plus  grande  que  :+:  — ,  fera  la  fomme  des  pro- 
babilites  que  1'  erreur  fera  nulle ,  ou  H — ,  ou  H-  -  &c. 
jufqu'  a  r"^  — .  Voyons  done  d'  abord  quelle  eft  la  proba- 
bilite que  r  erreur  fera  -+-  —  . 
*  ~    n 

En  ramenant  cette  queftion  aux  des,  comme  nous  Tavons 
pratique  dans  le  probl.  i.,  il  eft  clair  qu'elle  fe  reduit 
k  chercher  la  probabilite  d' amener  -+-  ju  ,  ou  ~  (j.  points 
avec  n  des,  dent  chacun  ait  a  faces  marquees  zero,  /»  faces 
marquees  -+-  1  ,  &  Z'  faces  marquees  -  i.  Pour  cela  il 
n'  y  a  qu'  a  eiever  le  rnnome  a  -h  i  ( x  -t-  .x"'  )  a  la 
puifTance  /z ,  &  le  coeificient  de  ,\f  denotera  le  nonibre 
des  cas  oil  la  fomme  des  points  de  tous  les  des  fera  ^, 
de  meme  que  celui  de  jc"'*  denotera  le  nombre  des  cas 
oil  la  fomme  des  points  fera  -  (/.;  ainii  la  fomme  de  ces 
deux  coefficiens  divifee  par  ( a  -+•  z  />)",  qui  eft  le  nom- 
bre de  tous  les  cas ,  donnera  la  probabilite  chercliee. 


i8i 

Or  on  a    (a-+'h(x-i-x''^))''=a'-i-na"'^b 

plus 

(x   -h  X-' ) '^  =  x^  -i-  X-'  -i-  1 

(x   •+-  x"'  )  '  =  x'  -+-  x"*  -+-  3    (x   -t-   x"') 

(x   -+-  x"'  )  ■*   =  x^  -+-  X"*  -H  4   (x-  H-   A"0     -r ^ — 

(x  -t-  X-')  s  =  x'  -+-  X-'  -+-  5   (x'  -4-  x-«)  -+-  —    (x  -+-  X-) 

&  ainfi  de  fuite  ; 

Done  i\  on  fuppofe  (a  -+-  ^  (x  -+-  x"'))"  =  -^  -^  B  (x-+-x"0 
-H  C  (x»-i-x-')   -H   Z)   (x'+x-»)  -4-  &c. 
on  aura 

I  z 

4  •  3   ^   »  (»  -  i)  («  -  O    (»  -  3)  ^„.,   ^,   _^ 

1jj_i^.  "^"-  '^ ^"-;J  a"-  i«-H  Sec. 

I.Z.3  1.3.4.5.6 

I  2.3 

5.4       »  (»-  i)  (a>-i)  C«-3)  ("-4)  ,,5 

•+-    • • "         '■ 

1.1  2.3.4.5 

i  I  i     •     3     •'■-'4 

_^    ^  •  5       «  (»  -  I)  •  •  •  •  (»  -  5  )   ^„_«  V^ 

1.1.3         1.2....0 

&  ainfi  de  fuite. 

Done  fi  on    appelle   M  le  terme    de  la    firie  /i  ,    ^, 
C  &c.  done  le  quamicme  fera  |W  -+-    i  ,    il  eft    fa;-;le    de 


18} 


voir  qu  on  aura 

M  =    — ^ > tf ^  a"-!^  bf^ 

1.2. fi 

^     ^    ^^^     »(«-!) .(«-,.-     I)     ^,_^.,^^^, 

1.2  i.z....f*-*-4 

-+-  &:c. 

Or  ce  terme  Meft  le  coefficient  des  puiflances  xf^  &  x'^'j 

2    M 

de  forte  qu'  on  aura jr^  pour  la  probabilite  que  I'er- 

reur  foit  ■±-  —  .  Ainfi  la  probability  que  1'  erreur    ne   fur- 

paffera  pas  -+-  —  fera  reprefentee  par  la  ferie 
A  -f-  X  B  -^'  X  C  ■*•  z  D  -t-  &e.  •^-  ^  M 

(T  ■+-  2  ^y 

Pour  faciliter  la  recherche  des  valeurs  de  j4,  B,  C  &cc. 
il  eft  bon  de  faire  voir  comment  ces  quantites  dependent 
les  unes  des  autres  i    pour    cela    on  reprendra   1'  equation 
(a  -4-  ^  (x  -+-  ;*-))"=  A  -¥•  B  (x  -+-  X-) 
-•(-  C  (x"   -+-  x-^)  -H  Z>  (x»  -H-  X-')  -*-  &c. 
&  prenant  les  difFerentielles  logarithmiques   on  aura  apres 

avoir  divife  par  — • 


&c. 


a-*-  l>  (a-  -t-  Ar->)       A  -H  jB  (.V  ■+■*-')  >+■  C  (*»H-  ;tf-»  J    -»-    ^<r 
done  multipliant  en  croix ,  il  viendra 

nbA  (x-x-')~hnbB(x^  ~x-')  ~t-  n  b  C  (x>  --'-x-f-A"') 
-hnb  D   (x-*  -  X"*  -  X*  -+-  x"0  -+-  &C.  = 
aB   (x  -  x")  -t-  i  <^  C  (x»  -  X"')  -r-  J  a  Z?  (x»  -  x"')  -+-  &C, 
■+-bB  (x*  -  x"0  -I-   2  /.  C  (x'  -  X-'  -t-  X  -  X-') 
-+-   3  Z'  Z?  (x-f  -  X-*  -H  X'  -  X-')  -+-  Sic. 


i84 

de  forte  qu'  en  comparant  les  termes  on  aura 

nb  (^-C")  =  a  B  -t-  1  b  C 

nb  (,B-D)  =   1  aC-\-b  {B  -^  I  D) 

nb  (^C-E)  =  3   uD-^b  (zC-+-4£) 

&c. 

d' ou  en  iaifant  pour  plus  de  fimpliciie  -  :=  ^,  on  aura 
r  —  »  -^  -  ^  ^ 


D  = 


(  »  -  I  )  B  -  1  K  C 


«  •+-  3 

»  -»-  4 
&C. 

Ainfi  en  connoiflant  les  deux  premiers  termes  A ,  Sc  3 
on  pourra  trouver  fucceilivement  lous  les  autres. 

Corolldirc  . 

10.  Suppofons,  comme  dans  1'  art.  2  ,  a  t=  J  ,  enforte  que 
1'  on  alt  K  =  I ,  &i  faifant  fucceliivement  n  =  i ,  i ,  j  &c. 
&  a  =  I  ,  ce  qui  eft  permis ,  on  trouvera  les  valeurs 
fuivantes 

a         A       B        C        D       E       F        G      &c 


I           I 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

1           3 

2 

I 

0 

0 

0 

0 

3           7 

6 

3 

I 

0 

0 

0 

4         19 

16 

10 

4 

I 

0 

0 

5         5' 

45 

30 

M 

5 

I 

0 

6       14 1 

I?.  6 

90 

50 

21 

6 

J 

&c. 

Dc  la  on 

formera 

la  tab 

e  fui 

vante 

de 

3    p 

robabiliti^s 

"Valeurs 


,85 

Valeurs  du 

Probabiiites  que  1'  erreur  ne  furpaflera  pas 

norabre  n 

les  fra6lions 

des  oblerv. 

_t-   O            _f-    I     ,      _+_   1 

n                      n 

I 

I 

3 

1 

3 

7^ 
9 

•  •   • 

•      •     • 

•      *      * 

•             * 

3 

2 
17 

1? 
17 

17 

•      •     • 

•       •      • 

•      •     • 

4 

>9 

81 

51 

8^1 

7J 
81 

79 
81 

•       •      • 

•     •      • 

5 

5» 

141 

201 

131 

141 

«     «      • 

143 

*43 

143 

^43 

^43 

6 

141 

3  93    ' 

573 

673 

7M 

1-^1 

719 

719 

719 

7^9 

729 

7^9 

&c. 

On  voir  par  cette  table,  qu'en  prenant  le  milieu  entre 
•deux  obfervations ,   la  probabilite    que  i' erreur    foic  nulle 

■fera  i^    =   ~  ,  &  celle  que  1'  erreur  ne  furpaflera  pas  — 
93  '  '       1 

tant  en  plus  qii'  en  moins  fera  ~ ;   or    dans  chaque   obfer- 

.vation  particuli^re,  il  y  a  —  de  probability  que  1'  erreur 

Xera  o  ,  &  comme  ( hyp. )    1'  erreur  ne  peut  ^tre   que    o 
Mifc,  Taur.  Tom,  V,  a.  a- 


a6 

ou  -+-  I ,  il  eft  clair  que  la  protabilite  que  f  erreur  ne 
furpaffera  pas    —  fera  dc  merae  —  ^  ainfi  quoiqae  la  pro- 

babilite  que  1'  erreur  fera  nulle  foit  la  iDerne  ,  foit  qu'  on 
prcnne  Ic  refultat  m-©yeH  ^iitre  deux  obfervat+ons ,  ou 
qu'  on  prenne  ie  refultat  particulier  d'  une  obfervatioii 
unique  ,  cependant  la  probability  que  l'  erreur  ne  furpaf- 
fera pas  —    fera  plus  grande  dans  le  premier  cas  que  dans 

71 
Ie  fecond  ,  ces  deux  probabilites  etant  comme  —  :    —  jc'efl- 

a-dire  ,  dans  la  raifon  de.  7  :   3  . 

De  meme  en  prenant  le  milieu  entre  trois  oBfervations 

on  aura  —    pour  la  probabilite   que  1'  erreur    fera   nulle , 

—  pour  la  probabilite  que  I'erreur  ne  fera  pas  >-  rh  — ,  &  — 

pour  celle  que  I'erreur  ne  fera  pas  !>■':■*-  —  jmaisdans 
chaque  obfervation  particuliere  la  probabilite  que  1'  erreur 
foit  nulle  eft  — ,  6c  celle  que  1'  erreur  ne  furpafTe  pas  — 

ou  —   eft  de  meme  —  parceque  (Iiyp.)  I'erreur  ne  pout  etre 

que  nulle  ,  ou  --h  i  »  done  la  probabilite  que  1'  erreur  foit 
nulle  fera,  a  la  verite,  plus  grande  dans  le  refultat  parti- 
culier d'une  x)bfervatioa  unique  que  dans  le  relultat  mo- 
yen  de  trois  obfervations ,  &  cela  dans  la  railbn  de"  9  :  j; 
mais,  en  revanche,  la  probabilite  que  1' erreur,  ne  furpaffera 

pas  •±:  —  fera  plus  grande  dans    le  fecond  cas    que  dans 

Ie  premier  en  raifon  de    19:9,   Sc  celle  que  1'  erreur  ne 

furpaffera  pas  -J-  —  le  fera  encore  davaptagCj   cette  pro- 


187 

babilite  etant ,  dans  le  fecond  cas  ,  plus  grande  qre  dans  le 
premier  en  raifon  de   25:9. 

Voila  done  en  quoi  confide  principalemenr  1'  avantage 
qu'  il  y  a  a  prendre  le  milieu  entre  les  refultats  de  plu- 
fieurs  obfervations.  Pour  rendre  la  chofe  encor  pins  fenfi- 
ble  nous  aliens  recliercher  les  probabilir^s  que  I'crreurne 

furpaflera   pas    la   fraftion    —    en  fuppofant  fucce/Tivement 

n  =  12,  3,  &c.   c' eftadire,  pour  une  obfefvation  uni- 
que ,  pour  deux ,  pour  trois  &c.  ,  &  nous  aurons 
n  I  z  3  4  5  6  &c. 

prob.    I        L        l^       V        ^-21      'JI       &c. 

ou  bien  en  reduifant  au  meme  denorainareur  729. 
rt  I  2  3  4  5  6         &c. 

nrnh  ^^^^         5^7  5^  639        605         673 

proD.     —  ,  — ,    —  ,    —  ,  —  ,  —  ,  Cxc, 
729     719'    729      729     719     729 

On  voit  par  la  que    la  probjbilite  que  1'  erreur  ne  fur- 

paffera   pas    —    va    en  augmentant    a    mefure    que    1'  on 

prend  un  plus  grand  nombre  d'  obfervations  ,  mais  avec  cetre 
difference ,  que  la  probabilite  eft  plus  grande  pour  deux 
obfervations  que  pour  trois  ,  pour  quatre  que  pour  cinq, 
&  en  general  pour  un  nombre  pair  quelconque  que  pour  le 
nombre  impair  qui  !e  fuit  immediatement ;  de  forte  que  dans 
I'hypothefe  dont  il  s'agit,  il  eft  plus  avantageux  de  ne  prendre 
le  milieu  qu' entre  un  nombre  quelconque  pair  d'obfervations. 

Remarque  /• 
II.  Nous  avons  vu  dans  1' art.  5.  que  fi  on    developpe 
la  fraftion 

!. . en  une  fdrie    de    cette  forme 

I   -  {    ^a  -^  b  {x^^-Yj 

£  -+•   Z    (x  ^l^\  -^  Z'  (x'-i-  l^^  -^  &:c. 

aa  1 


i88 

Z  ,    Z'  ,    Z"  &c.    etant   des    fon£tions  de  j ;     ort   aura 

&  ar^fi  de  fuite,  /?,  &  ?  etant  telles  q\ie/>*  -t-  ^'  =   i  -  <z  { 

&^^  =  Z)^,  cequiclonnep^-^^-==v/(i  -  z  a  ^ -t-  (a*-4^0{*> 

p     ,     ,.    ^  r  -a?--v/(i  -  2<i  {-+-(a*-4^)  {') 

&  de  la  i-  =  i- J 

V  ^  "  I 

de  forte  qu'  en  faifant  pour  plus  dc  fimplicite 

^  =  v'Ci  -  2  a  j;  -h   (a^  -  4  i'  )('  ) 

on  aura 

z=i,2'=^-^^"^ 


Z"  =  C  ~[l~  -)  p  ^  '"  s^'^^'^ 


Or  fi  on  developpe  cette  quantite  en  une  ferie  de  puif- 
fances  lationelles  &  entieres  de  ^,  on  verra  aifement  par 
ce  que  nous  avons  dit  plus  haut ,  que  le  coefficient  d'  une 
puilTjnce  quelconque,  commS  .^'',  denotera  le  nombre  des 
cas  ou  la  fomme  des  erreurs  de  n  obfervations  pourra 
^tre  -+-  jw  ,  ou  -  /ic ,  de  forte  que  le  double  de  ce  coeffi- 
cient exprimera    le  nombre  de  tous    les    cas    oil    1'  erreur 


xnoyenne  fera  rh  -  •  De  la  il  eft  facile  de  conclure    que 


la  quantite 

2     £>     |-  \         2 

_ 

etant  regardee  comme  une  fonflion    de  ^    &   developpee 
fuivant  les  puiffances  de  cette  variable ,  donnera  une  lerie 


-i' 


IS9 

de  telle  nature  que  le  coefficleiit  d*  une  puiiTance  quelcon. 
que  i"  exprimera  juftement  le  nombre  de  cas  oil  1'  erreuc 

moyenne  pourra  ^tre  renfermee  dans  ces  limites  -  ^,  -+-  ^  j 

ft  n 

de  forte  que  ce  coefficient  etant  divife  par  le  nombre  total 
de  cas    (a  -t-  1 1')"  on  aura  la  valeur  de  la  probabilite  que 

r  erreur  moyenne  ne  furpaffera  pas  la  fraftion  ^  foit    en 

ft 

plus  ou  en  moins.  Or  la  quantite  dont  il  s'  agit  n'  ^tant 
autre  chofe  qu'  une  ferie  geometrique  ,  elle  peut  fe  mettre 
(bus  cette  forme  plus  fimple 

-  ^  {-K  Y*' 

2     I?    I /_ 

Alnfi  toute  la  difficult^  confiftera  h  redulre  cette  mSme 
quantite  en  ferie  i-'.fiiiie  qui  procede  fuivant  les  puiflances 
de  {.  Pour  en  venir  plus  facilement  a  bout,  on  la  fup- 
pofera  =  a  une  indetermin^e  j  ,  &  1'  on  aura  une  equa- 
tion entre  y  ,  &  ^  ,  qu'  on  pourra  ,  par  des  differentia- 
tions, delivrer,  tant  de  la  puiflance  ju  -+-  i,  que  de  I' ir- 
rationality de  t,  i  par  ce  moyen  on  aura  une  equation 
differentielle  du  fecond  degre  entre  ^ ,  &  ^ ;  &  il  n'  y 
aura  plus  qu'  a  fuppofer  y  =  1  •+■  A  ^  -^-  B  i*  ■+•  &c. 
&  determiner  les  coefficiens  y4,  B  &c.  par  la  comparai- 
fon  des  termes. 

Au  refte  comme  ce  calcul  eft  un  peu  long  nous  nous 
contentons  de  l'  indiquer  ici ,  pour  mettre  fur  la  vole  ceux 
qui  voudront  poulfer  cette  theorie  plus  loin. 


<90 

Scholie. 

11.  Nous  avons  fuppofe  dans  les  deux  problemes  pr^r. 
c^dens  qli'  il  y  avoir  un  nombre  egal  de  cas  pour  avoir 
une  erreur  pofitive ,  &  pour  en  avoir  une  negative  ;  (t 
cela  n'  etoit  pas  ainii ,  &  que  le  nombre  des  cas  qui  don- 
neroient  o ,  -(-  i  ,  &  -  i  d'  erreur  fuffent  a  ,  ^  ,  &  c  ^ 
alors  on  pourroit  refoudre  les  problemes  avec  la  meme 
fecilite  en  coniiderant  le  rrinome  a  •+•  b  x  ~i-  c  x~\  a  la 
place  de  a  -i-  b  (x  -f'  x~')  pour  avoir  le  nombre  des  cas 
oil  r  on  auroit  une  erreur  moyenne  donnee ;  &  prenant 
enfuite  (a  -r-  b  -i-  c  )"  pour  avoir  le  nombre  total  des  cas 
k  la  place  de  (a-i-  z  b)"  ;  on  pourroit  meme,  fans  faire 
un  nouveau  calcul,  adapter  a  ce  cas-ci  les  formules   que 

nous  avons  deia  trouveesj  car  fi  dans  le  trinorae  a  -*-  b  it  -+— . 

on  met  x  y~  a  la  place  dex^ildeviendra  a->r'^b  cix  -+--)» 

ainfi    il    n'  y    aura    qu'  a   merrre    dans    le    trinome 

a  -^b  [x  -\-  -    \    des  problemes  precedeas  V  b  c  a  la. 

place    de    b ,  5c    enfuite    jc    A^     a    la    place  de  x ;  du 

refte  nous  allons  Jraiter  ee  cas  d'  une   maniere  beaucoup 
plus  generale  dans  le  probleme  fuivanc. 

Probleme  III. 

.13.  Suppofant  que  chaque  obfervation  fok  fiijette  a  une 
erreur  d' une  unite  en  moins-,  6c  a  une  erreur  de  r  unites 
en  plus  ,  &  que  le  nombre  des  cas  qui  peuvent  donner 
o,  —  I  ,  -H  r  d' erreur  foit  refpeftivement  a  ,  Zi,  c,  on  de- 
mnnde  qu'eile  elt  la  probabilite  cjue  1' erreur  moyenne  de 
plufieurs  obfervations  fera  renfermee  dans  des  limites  donnees. 


Soit  n  le  notrbre  des  obfervations  doni   on  veut  prendre 
le    n>ilieu ,     on    formera    la    puiffance    n""    du    trinome 

tf  -h  —    ■+■  c  x\  8c  \e  coefficient    d'  une  puiffance    quel- 


X 


conque  xi^  denotera  le  nombre  des  cas  oil  la  fomme  des 
erreurs  fera  fx ,  &  par  coiilequent ,  oii  1'  erreur  moyenne 

fera   ".     Conliderons  done  la  quantite  fan '"*^*'jj 

laquelle  le  reduit  a ^ -^-^ ,  &  1  on  aura, 

comme  1'  on  fait,  (^!.-*.  x  (a  ■+-  c  x'))"  = 

h"  -H  Ji  />"-'  X  (a  -+-"cx')  -+-  "  -    ^"-^v»(a•^-cx')»-+-&c. 

d'  oil  il  ell  facile  de  voir  que  le  coefficient    d'  uiie    puif- 
fance quelconque  x^  fera 
n  (n  —   I ) n  -  s  -h    1 


b"-' 

i   •    3 s 

n   {n  ~  \)   .  .  .   n-  s  -\-  r  s 


.  b"-'^'  a 


f-  r 


1     .     3     .     .    .     .  ^  -  r  I 

1.3...J—  2r  I.      2 

-^  Sec. 

cette  ferie  ^tant  continuee  jufqu'  a.  ce  que  1'  on   parvienne 
a  des  termes  neguits ,  done  ce  coefficient  fera  celui  de  la 

puiffance  x''"  dans  la    quantite  (a-\ 1- c  x'  j   ;     done 

fi  on  d^figne  en  ge^.eral  par  (fx)   le  coefficient  de  la  puif- 
fance xi^  de  cette  derniere  quantiie  ,  on  aura 

Ox)  =  "   ^"-'^ '-^     .  h-l^  af**- 

2.3     .     .     .     fji.  -^  n 
n   (  n  —  I  ) r  —  u      , 

a  .   3    .  .  .  jw  -+-  n—r  —  i 


'9* 

H-  &C. 

oil  il  faudra  toujours  omettre  les  terraes  qui  contiendroieiit 
des  puiffances  negatives  de  a,  ou  b. 

Done  ,  puifque  pour  n  obfervations  la  fomme  de  tous  les 
cas  ell  (a  ■+•  6  -H  c)",  on  aura  pour  la  probabiliie   que  I'eE- 

reur  moyenne  ioit    ^  la  quantite  -. — ■:^^~ — r^  i    &  de 

la  la  probdbilite  que  1'  erreur  moyenne  fera  renfermee  en- 

tre  cts  limites  -—,-+-    —    fera  exprimee   par    la  ferie 

(_p  -t-  i)  ■+•  &:c.  -4-  (-  I  )  H-  (o)-4-(  I  )•+-&€. -f-(jr-.  i) 

(a-l-i'-i-c)" 

ProbUme  IV. 

14.  Suppofant  tout,  comme  dans  le  problerae  precedent, 
•on  demande  quelle  eft  I'  erreur  moyenne  pour  laquelie  la 
probabilite  eft  la  plus  grande. 

Nous  avons  vu  que  la  probabilite  que  I'  erreur  moyenne 

foit    ^    eft   =  z r— ,   (a)  etant  le  coefficient  da 

(b  N"  .  . 

a.   H '  -^  c  x'\  ;    ainfi    il 

ne  s'  agit  que  de  favoir  quel  ell  le  terme  de  la  puiflan- 
ce  «'""  de  rt  -H  — t-  c  jc'  qui  aura  le  plus  grand  coeffi- 
cient }  pour  cela  il  eft  clair  qu'  il  n'  y  a  qu'  a  cbercher 
le  plus  grand  terme  du  trinome  a  -+-  ^  -+-  c  eleve  a  la 
puiffance  n;  car  fuppofant  que  ce  terme  foit  i:a*  b^ cy ,  a,,^,  y 
etant  les  expofans  de  a,  i*,  c  dont  la  fomme  doit  ecre 
egale  a  «,  &  t  le  coefficient  de  ce  terme,  il  n'y  aura 


qu'  a  mettre  -  ^  la  place  de  i ,  &  c  x'  a  la  place  de  c , 
&.  V  on  aura  x  a"  i>  ^^  c  >  x'^'*"'>  pour  le  terme  cherchd 
de  la  puiflance  rt""  du  trinome  a  -t-  -     ■+•    ex';    ainfi 

X 

r  y  ..  ff 
on  fera  -  |8  -H  r  y  =  jw,  &  t*  on  aura pour  1'  er- 

reur  moyenne  done  la  probabilite  fera  la  plus  grande. 

Or,   par  les  regies  des  combinailbns,  on  fait  que  le  coef- 
ficient T  du  lerme  t  a*  b^  c>  ,  doit  etre 
iiX>   3  ••• 1% 

I     .    Z    .    3...a.I.2.}...^.I.2.3....y 

denotoris  ce  terme  par  M  enforce  que  1'  on  ait 

I   .   t  .  X n  *  *  b  (i  cy  -, 

_    M 

I   .  2  .  3....ee.i'2.3....|(j.i.2.3....^ 

&   il  faudra  qu' en  faifanc  vaiier  les  expofans  «  ,  jS,  y^Ia 

valeur  de  M  dirainue  ;  faifons  done  varier  a  d'  une  unite, 

enforte  que  «  devienne  *  -+-  i ,  &  comme  ce  -+-  ;8  -^y=  n^ 

il  faudra  que  |3,  ou  y  diminue  en  meme  terns  d'  une  uniiej 

or  il  eft  fdcile  de  voir    que  fi  dans    la  valeur    de  M  on 

jnet  <L  -J-  I   pour  «  ,  &  |8  -  i  pour  /3 ,    cette  valeur  de- 

viendra  _iL  Y  f^,  done  _A_   Y  ^  <  M 

&  par    confequent    Y-^  <  i  j 

«  -f-  I"'*  £> 

reciproqueraent,  fi  on  augmente  |8  d' une  unit^,   Sc  qii' on 

iiimtnue  *  auili  d' une  unite,  on  irouvera  la  condition 

«        \/b 


<3-H  I 


V—  <C  I  i    ainfi  il  faudra  que  Ton  ait  en  meme 


tcms <  -  &    - >   -  ,  Or  c'  eft  ce  qui  aura 

13-H I      6        a       b 

heu  fi  g=  -i 

itf(/ir.  Taur.  Tom,K  b  h 


194 

On  trouvera  de  la  meme  maniere  s_  =  -  j  deforrequ'ea 

prenant  un  coefficient  indetermine  p ,  on  aura  dans  le  cas- 
du    maximum    a.  =  p  a ,    ^=pb,'y=pc;    mais 

a  -t-  A  -4-  v  t=  nj  done  p  =  ; ;  done  enfiti 

'  <  a  -*-  If  -i-  e 

n  a  n  "  ^  n  c 


A 


■^  ^=  tttt:'  y  = 


.,  n  a  n  If  n  e  .  , 

Si  les  quantites  — — ■   ,  ; — ■  ,  ; — ■     lont    des 

^  a ■^ b  ■*'  c        a  ■+•  V -i- (       a--*- b-^e 


nom 


bres   entiers ,  on    aura  exaftement  oe  = 


tt  ■ 


/3  = : • ,  V  = ; — '   com  me  nous  venons    de  le 

a-*-  b  ■^-  c      '  a-*-  b  ■■*-  c 

trouver  ;  mais  fi  ces  quantites  ne  font  pas  des  nombres 
entiers  ,  alors  il  faudra  prendre  pour  a  y  (i ,  y  les  nom- 
bres entiers  qui  en  ferontles  plusprochesj  on  peut  pren- 
dre cependant ,  pour  plus  de  fimplicite,  ces  memes  quantites 
pour  les  valeurs  de  et ,  jS,  j/,  car  1' erreur  ,  s'il  y  en  a, 
ne  pourra  jamais  etr^  que  tres  petite  j  de  cette  maiiiere 
nous  aurons  pour  l'  erreur  moyenne  qui  a  la  plus  grande 

probabilite  T  expreffion  ^^~  -  as   ~^ — . 

CoroUaire. 

•15.  De  la  il  s^enfuit  qu' on  peut  foujours  regarder    la 

quantite  r——    comme  1' erreur  du  refultat  moyen,  & 

qu'  ainfi  on  peut  prendre  la  meme  quantite  pour  la  cor- 
reftion  de  ce  refultat. 

Lorfque  r  =  i  ,  &  c  r=r  ^ ,  comme  dafis  1'  hypothefe 
du  prob.  I  ,  la  correftion  du  refultat  moyen  devient  nulle; 
elle  le  feroit  aulii  ii  Ton  avoit  b  =.  re;   mais  dans  touS 


*        I9J 

les  autres  cas  elle  fera  d'  autant  plus  grande  que  r  c  dif- 
ferera   davantage  de  b. 

Problcme   V. 

1 6.  On  fuppofe  que  chaque  obfervation  foit  fjjette  St 
des  erreurs  quelconques  donnees  ,  &  qu'on  coniioille  eii 
m^me  terns  le  nombre  des  cas,  ou  chaque  erreur  peut 
'avoir  lieu  \  on  de^mande  la  correftion  qu'  il  faudra  faire 
au  refultat  moyen-  de  plufieurs  obfervations. 

Soient  p  1  <]  1  r  ,  s  &c.  les  en-eurs  auxquelles  chaque 
obfervation  elt  fujette,  &c  a^  b  ,  c  ,  d  &c.  les  cas  qui 
peuvent  donner  ces  erreurs ,  favoir  a  le  nombre  des  cas 
qui  donnerqient  1'  erreur  p  ,  ^  le  nombre  des  cas  qui  don- 
neroient  1'  erreur  q  ,  &  ainli  des  autres  ;  il  ell  clair ,  par 
ce  que  nous  avons  demontre  dans  les  problemes  prccedens, 
que  fi  On  eleve  le  polinome  a  x*"  -+-  i»  x<  ■+-  c  x''  -*-  Sic. 
a  la  puiffance  n  ,    &  qu'  on  denote  par  M  le  coefficient 

de  la  puiffance  x^*.   on  aura  z 7-  -^t, — ri  pour  la 

^       •  ■*  (a-¥-b  ^c  -^  &:c.)    '^ 

jjrobabilite  que  1'  erreur  du  refultat  moyen  de   n  obferva- 

;iions  foit  -  .  Or  on  fait  par  la  tlieorie  des  combinaifons 
n  ' 

que  le  coefficient  M  fera  de  cette  forme 

I    .1.    3.4 n  a"  bl^  cy 

oil  les  expofans  et ,  &  t  y  Sic.  doivent  etre  tels  que 
rt  -4-  (8  -+-  >'  -+-  &c.  =  /:,&«/'^-i8^-^-}//•-^-  &c.  =  « 
De  plus,  il  ell  facile  de  demontrer ,  par  une  methode  lem- 
blable  a  celle  du  probleme  pi ecedent ,  que  le  coefficient  M 
iera  le  plus  grand  lotfque  on  aura 
»  a 


_                n  b 

■+-  &c. 

a  ■*•  b  ■+  c 
n  c 

■*-  &c. 

^0 


t(f6 

d'  ou  il  s'  eniiitt ,  que  1*  erreur  moyenne  ,  poar  laquelle  la 

probabilite  fera  la  plus  grande ,  fera  exprimee  par    "    =s 

a  •*•  l>  •*•  e  >+•  &(. 

Ainfi  cette  quantite  reprefentera  la  correftion  qu'ilfaudra 

faire  au  refuliat  moyeii  de  plufieurs  obfervations. 

Corollaire  I. 

17.  Si  on  regarde  les  quantites  a,  b^  c  Sec.  comme  des 
poids  appliques  a  une  droite  indefinie ,  a  des  diftances 
Morales  a  p  ,  q ,  r  Sec.  d'  un  point  fixe  pris  dans  cette  droi- 
te ,  Sc  qu'  on  cherche  le  centre  de  gravite  de  ces  poids, 
la  diftance  de  ce  centre  au  point  fixe  fera  la  corretlion 
qu'  il  faudra  faire  au  reililtat  moyen  de  plufieurs  obferva- 
tions j  cela  fuit  evidemment  de  la  formule  que  nous  avon* 
trouvee  plus  haut  pour  la  valeur  de  cette  correction. 

Corollaire   II, 

18.  Done,  fi  on  fuppofe  que  chaque  cbfervation  foif 
fujette  a  toutes  les  erreurs  poffibles,  qui  peuvent  ^tre  com- 
prifes  entre  des  liraites  donnees ,  &  qu'  on  connoifle  la 
courbe  de  la  faciliie  des  erreurs ,  dans  laquelle  les  abfcit 
{ss  ecant  fuppolees  reprelenter  les  erreurs ,  les  ordonnees 
r^prefentent  les  facilites  de  ces  erreurs  ,  il  n'  y  aura  qu'  k 
chercher  le  centre  de  graviie  de  I'aire  totale  de  cette 
courbe,  &  1'  abfcilTe  repondante  a  ce  centre  exprimera  la 
correction  du  refultat  moyen.  De  la  on  voit  que  fi  la 
courbe,  dont  il  s'agit,  eft  egale  ,  eft  femblable  de  cote  & 
d'  autre  de  l'  ordonnee  qui  pafle  par  1'  origine  des  abfcif- 
fcs,  enforte  que  cette  ordonnee  foit  un  diametre  de  la 
courbe  dont  il  s'  agit ,  alors  la  correftion  fera  nulle  ,  le 
centre  de  gravite  tombant  neceffairement  dans  le  diametre. 


»97 
Ce  cas  a  lien  routes  les  fois  que  les  erreurs  peuvent  etre 
egalement  pofitives  &  negatives. 

ProbUme  VI. 

19.  Je  fuppofe  qu'on  ait  vetifie  un  inftrument  quelcon- 
que,  &  qu' ayant  reitere  plufieurs  fois  la  meme  verifica- 
tion on  ait  trouve  diff'erentes  erreurs ,  dont  chacuiie  fe 
irouve  repetee  un  certain  norabre  de  fois;  on  demande 
quelle  eft  I'erreur  qu' il  faudra  prendre  pour  la  correftion 
de  r  inftrument. 

Soient  p  ,  q,  r  &c.  les  erreurs  trouv^es ,  &  foient 
«  ,  18 ,  >/  &c.  les  nombres  qui  marquent  combien  de  fois 
chaque  erreur  s'  eft  trouvee  repetee  en  faifant  n  verifica- 
tions ;  fuppofons  que  le  iiombre  6es  cas  qui  peuvent 
donner  I'erreur  p  ,  ou  y  ,  ou  r  &:c.  fbit  deligne  refpe- 
ftivement  par  a  y  b ,  c  &c.  ;  qu'  on  eleve  le  poliuome 
ax'^-^-bx^-i-cx''-^  &ic.  a  la  puiffance  n  ,  &  foit 
N  (a  x'')"  (b  X  ^)^  (c  X'')  y  .  .  .  .  un  terme  quel- 
conque  de  ce  polinome  ,  le  coefficient  N  a  "  b  ^  cy  .  .  .  . 
de  la  puiffance  /7ce-+-^i8-+-r^-+-  &c.  de  x  divife 
par  (a  -H  i  -+-  c  -+-  &c. )'  denotera  la  probability  que 
les  erreurs  p ,  q^  r  &c.  fe  trouvent  combinees  enfemble, 
de  maniere  que  p  foit  repete  ee  fois,  q  j8  fois,  r  y  fois, 
&  ainfi  des  autres.  Ainfi  cette  probabilite  fera  la  plus 
grande  dans  la  combinaifon  oil  la  valeur  de  N a'  b  '^  c>  ...&c. 
tera  la  plus  grande  ; 

..  1.1.3 t' 

raais  on  3.  N.  = 


,i'.3  •••*•  I  .  1  •  3  . . ,  fi  .  I  .a  .  3  ...7. .. 
comme  nous  I'avons  deja  vu  dans  le  probleme  prccedentj 
done ,  par  le  meme  probleme ,  la  plus  grande    valeur    de 
N  a'  b  ^  c  y  .  .  .  aura  lieu  lorfque 
tj  a 


18   = 
y   = 


a 

-♦- 

b 

-f- 
w 

c 

b 

-f- 

&c. 

a 

••(- 

b 

c 

t 

-t- 

ire 

•*•  (  -¥■  crc. 


198 

equations  par  lefquelles  on  pourra  determiner    les    incon- 

nues  a^  b  ,  c  Sec.  ;  &  l'  on  aura,  en  faifant  a  -+-i  -t-  c  -1-  &c. 

-^  *    A   =  IJ^    c  =    -  ^  &c. 

Or  nous  avons  demontre  dans  le  probleme  cite  ,  que  la 
correftion   qu  il  faut  faire  au  refultat  moyen  d' uii  nombre 
.  .     ,  a  p  ■*- i  n  -*-  c  r  ■*■  &r. 

quelconque  d'obfervations  eft  expnmee  par  ^  ^  ^  _^  ^  ^  ^^^ 

done ,  mettant  dans  cette  expreffion  les  valeurs  de  a  ,  ^,  c  &c. 
que  nous  venons  de  trouver  ,  la  cocreftioa,  dentil  s'  agit, 
deviendra 

*p-t-|8^-+'>'r-+-  &c.  • 

■n 

c"  eft-a-dire  ,  egale  a  1'  erreur  moyenne  entre  toutes  les  er- 
.reurs  particulieres  que  les  n  verifications  ont  donnees. 

Harollaire. 

10.  Si  on  vouloit  tenir  compte  auffi ,  au  moins  d'  une 
maniere  approchee  ,  des  erreurs  intermediaires  auxquelles 
r  inftrument  pourroit  etre  lujet  ,  il  n'  y  auroit  qu'  a  pren- 
dre ,  dans  une  ligne  droite  indefinie ,  des  abfciffes  propor- 
lionelles  aux  erreurs  trouvees  p,  q,  r  &c.  comme  dans 
r  arc  J  7.,  &  y  ayant  applique  des  ordonnees  proportio- 
nelles  aux  quantites  a,  b ,  c  &c.  on  feroit  paffer  par  les 
extremiies  p  ,  q  ,  r  &:c.  une  ligne  parabolique  ;  on  cher- 
cheroit  enluite  le  centre  de  gravite  de  1'  aire  de  toute  la 
courbe  ,  &  la  perpendiculaire  ,  abaillee  de  ce  centre  fur 
r  axe  ,  y  couperoit  une  abfcifle  qui  feroit  la  correftioa 
de  r  initrument. 

On  voit  par  la  comment  on  peut  connoitre  apofleriori 
la  lot  de  la  facilite  de  chacune  des  erreurs  auxquelles  uq" 
initrument  peut-ecre  fujet. 


Remarque-  I. 
11.  On  a  trouve  ci-deffus    cjue    la  plus-  grande  proba- 

blliie   a    lieu  lorrque  a  =  — ,  b  =  — ,  c  =  — l.    &c. 

n  n  n 

de  forte  que  les  valeurs  de  a  ,  by  c  &c.  font  les  phis  pro- 
bables qu'  on  puiiTe  fuppoier  ^  li  on  vouloit  (avoir  de  plus 
quelle  eft  la  probabilite  que  ces  memes  valeurs  ne  s'  ecar- 

teront  pas  de  la  verite  d' une  quantite  quelconque  ::*^   ■ — » 

n 

il  n'  y  auroit  qu'  a  mettre  dans    1'  exprt^on  generale   de 

N  a"  b  S  c  y  . . , . 
la  probabilite ;; (prob.  prec. )    au    lieu    d^ 

a,i>yC  Sec.  les  quantites  _i ,  — : ^  ,  —l — .^l&c. 

n  n  n 

&  faifant  fucceffivement  x,y,{Scc.  =-»-  i,-+- 1,-+-}  &c.  -*-r, 
enforte,cependant,que  Ton  au  toujours  x  -<-y-»-{-+-  &c.=o, 
a  caufe  que  a  -+-  ^  -+•  c  -+-  &c.  =  j&ec-Hj8-*-y-»-  &c.  =  n 
(hyp.)  on  aura  autant  de  probabilites  particulieres ,  dont 
la  lomme  fera  la  probabilite  cherchee. 

Soit  P  la  probabilite  que  1'  on  ait  a  =  —  ,  ^  =  _ , 

c  i=  —^  Sec.  mettant  ces  valeurs  dans  T  expreffion  pre- 
c^denie  on  aura 

P  ^ .Lii^iii^  V  __il Y    g^      X... 

n"  y\   1.2.   3...«/X  1.2.3.../2 

Soit  de  plus  Q  la  probabilite  que  1'  on  ait  a  =  —^ — —y 

b  ^  — ^ :2_L.  ^c.  on  aura  la  valeur  de  Q  en  met- 

n  ^ 

tant  ces  valeurs  dans  la  meme  expreffion  ,  &  il  eft  facile 
de  voir  qu'  on  aura 


e=M-m-*m--^y- 


200 

Done ,  fi  on  fait  en  g6ieral 

''  =  (-:)'0-iro*^)-- 

&  que  fv  denote  la  fomme  de  routes  les  valeurs  parti- 
culieres  de  »  ,  en  faifant  varier  x  ,  jy  ,  ^  &c,  depuis  o 
jufqu'  a  •+-  /■  ,  &  ayanc  foin  que  1'  on  ait  toujours 
AT  "4-  ^  -+■  ^  -t-  &c.  =  o ,  la  probabilite  cherchee  fera 
egale  a  P  fv . 

Comme  il  n' eft  pas  facile  de  trouver  1' integrale /v, 
furtout  lorfqu'  il  Jj  a  plus  de  deux  variables  ,  on  pourra 
fe  contenter  de  I'  avoir  d'  une  maniere  approchee  ;  pour 
cela  il  n'  y  aura  qu'  a  prendre  une  valeur  moyenne  de  v 
&  la  multiplier  par  le  nombre  de  toutes  les  valeurs  par- 
ticiilieres  de  c  qui  doivent  entrer  dans  Fintegrale  fv^  &  la 
difficulte  ne  confiftera  qu'  a  trouver  ce  nombre.  Or  fi  on 
deiigne  par  m  le  nombre  des  quantites  ot  ,  |3,  T'  &c.  il 
ell  fdciie  de  concevoir  que  le  nombre ,  dont-il  s'  agit ,  ne 
fera  autre  choie  que  le  coefficient  de  u* ,  c'eft-sl-dire  ,  le 
terme  tout  connu  de  la  ferie  qui  repiefente  la  puiflance 
772  du  polinome  «/"■-+-«"'■+'. -t- &c. -4- ?/"'  -t-  i  -+- k -H  &c. 
-!-«'■"'-+-«'.  Qu' on  denote  ce  terme  par  T,  &  Ton 
aura  ,  comme  nous  le  demontrerons  plus  bas 

(m  r  -*-  i)  {m  r  -^■  i)  (w  >-  •+-  3) (w  r  -«-/»-  1) 

I  .         1         .  3......WJ-1 

((OT-i)r)   {{m-x)r-i-i)  {(m-i)r-'-i) .  (  (w-z)  r-t-/w-i) 

—  m 

1  .  z         .  1       .      .      .      m  ■-   I 

fn{m-i)  ((w-4y-0  ((>«-4)0  ((ot-4>-^0 (.(»»-4y-^^-3) 

1  I         .         Z.3 m  -  I 

—  &c. 

en  continuant  cette  ferie,  feulement  jufqu' ace  que  quelqu' 
un  des  fadeurs  m  r  -h  i  ^  (m  —  1)  r  ^  (m  —  4)r— 1  &C. 
devienne  negatif. 


J^onc 


20I 


Done,  fi  i^eft  la  valeur  raoyenne  de  V ,  on  aura,  pour 
•la  valeur  approch^e  de  fv ,  la  quantite  T  W;  &  la  pro- 
:babilite   cherchee  fera  a  peu  pres  egale  k  P  T  fV 

Si ,  au  lieu  de  prendre  pour  ff^  la  valeur  moyenne  de  K^ 

on   prend    la  plus  petite  ,  il   elt  clair  que    T  W  fera    ne- 

ceffairement  moindre  que  la  veritable   valeur  de    f  v  ■■,    & 

;par  conlequent  la  probabilue  cherchee  fera  necefl'airtment 

plus  grande  que  P  T  W ;    ainfi  on   pourra    parier    avec 

avantage  P  T  W    contre    i    -^  P  T  W    qu'  en     failant 

a         it      b  ^      c  To  f 

—  =-,—   =l--,,_    =   L  &c.  on  ne  le  trompera  pas 
s  n       s  n       s  n 

d' une  quantite  plus  grande  que  —  taiu  en  plusqu'enmoins. 


Remarque  IJ. 

■ti.  Suppofons  que /2  foit  un  nombre  tres-grand  ,  &  que, 
:par  confdcjuent ,  les  nombres  *  ,  /3  ,  ^  &c.  dont  la  fomme 
ell  =  n  foient  auffi  tres  grands ;  pour  trouver  dans  ce 
cas  les  valeurs  deP&de^on  remarquera  i.°  que  lorfque 
X  ell  un  tres-grand  nombre  on  a,  a  tres  peu  pres, 

/  I  -+-  Z  1  -+-  /  3  -+-  &C.    -t-i«=    —  I  1!  ~i-{u  -\ j   I  u  —  u 

jt  etant  le  rapport  de  la  peripheric  du  cercle  au  rayonj 
d'  oil  il  fuit  que  1'  on  auia 

/I     2  .  3 U  I  I      , 

«"  2  2  ' 

&  par  confequent 

1   .   2  .   3   .  .  .  ^    v^(t  u) 

done ,  a  caufe  de  a -*-  Q 'i- y  -+■  &e.  =  n,  on.  aura 
.■M:fc,  Taur.  Tom.V-  .^.jC 


1."  Si  on  prend  le  logaritlime  deVon  aura 

mais  /(i  -+--)  =  --  — -J  -^  &c. 

done  ,  a  caufe  de  x  -H  y  -+-   {  H-  &c.  =  o,. 
on  aura  ,  a  tres  peu  pres , 

ir=-  ^   ("C -+-  -Tl  H-  l!  ^  &cA 
a     \«  /J  J-  / 

&  de  la  . 

Soit  maiinenant  x  =  ^   y/n  ^  y  ^=-V '^  h  {•  =  ^v'«  &c,  y 
Sctr=A,'^  =  B,Z  :=  C&cc.  on  aura  ? -t-  •>!'-+- r -+- &c.  =  o- 
6>c  A  -h  B  -i-  C  -\-  &c.  =  I  J  doncy 
P  =  ^ & 

Or ,  comme  1'  increment  oil  la    difference    des    quantites 
X ,  y,l  &G.  eft  =  I ,  la  difference  des  variables  ^,  4',  ^  &c, 

^era  =  -r-  &  ,  par  confequent ,  infiniment  petite  ;  de  forte' 

que  ,  fi  on  appelle  cette  difference  d  6 ,  on  aura 


r  = 

Done 

e 

'^  ABC 

) 

//r/ 

- 1 
A  . 

^ 

.  c.  . . 

^ 

Done,  fi  OT  inteiTre  la  diff^rentielle 


.Ki"-r-r-^o 


m  —  I  fois  ,  en  mettant  d'  abord  a  la  place  de  "C  fa  vi- 
leur  -  >f-  _  J^  -  &c.  &  faifant  varier  eiifjite  fuccpfTive- 
ment  les  variables  •f' ,  "C,  &:c.  de  la  meme  dilferentielle 
f/6,  &  qn' on  complette  1' integrale  ,  enforce  que  les  va- 
leurs  de  ^ ,  -^k ,  ^  &c.  s'  etendent  depuis  -  ^  jufqu'  a  p 
(en  faifant  r  =  ^  •«  )  on  aura,  ea  nomruant  cette  in- 
tegrale iJ,  la  quantity 
R 

pour  la  probabiiite  que  les  valeurs  de  <z ,  i  ,  c  &c.  feront 

exaftes  ^  ^ —  pres. 

Soil  par  exemple  m  =  2  ,  enforte  que  1'  on  n'  alt  trouve 
que  deux  erreurs  differentes,  dont  l' une  ait  ete  reperee  * 
fois  ,  &  r  autre  /3  fois  dans  un  nombre  tres-grand  n  de 
verifications  de  I'lnltrument  j  en  ce  cas  il  n'y  aura  qu'une 
feule  integration  a  faire,  &  la  differentiel'e  a  integrer  fera, 
.en  mettant  -  ^  a  la  place  de  ^,  &  faifant  d^  =  </  x, 

dx 

ilaquelle  n'  eft  integ  able  par  aucune  des  methodes  connues, 
.a  mouis  qu'  on  ne  reduife    en  ierie  la    quantite  exponen- 

tielle        ~  {~j  '^'  "r   )   ^''    ^^    ^^"®  maniere   on  aura 
la  difTerenticiie 


d  ^ 


(.   -iC^^^-^-^Ll^^&c.) 


A--B 


jen  faifant,  pour  abr^ger,  K  =      j^i 


ge  1 


i©4 

de  forte 

que 

r  integrale 

era 

SP-  -  — — 

_^  A'^4^' 

K* 

4.7 

-*- 

&c. 

J 

»  •  5 

i  •  3 

•7 

Done 

R  =  1 

(' 

_    Kp^    ^    K 

'f' 

,, , 

iT'^ 

T 

i 

2 

•  ; 

i  .  3 . 

7 

&c 


) 


Done  ——. — 'T~d\  exprimera  la  probability  que  les  va- 
leurs  de  a ,  &  b  foient  renfermees  antra  ces  li mites 
s  (a  ^  ^^\  Sa  s  (b  ■±  ^  )  ,  C  eft-a-dire,  que 
les  facilites  des  erreurs  qui  fe  font  trouvees  repetees  «  , 
&  (8  fois,  lefquelles  font  proportionelles  a  ■—,&  —  ,  ne 
s'  ecartent  pas  des  quantites  j4,  Sc  B  donnees  par  les 
obfervations  ,  d'  une  quantite  plus  grande  que   -t<  . 

Si  on  fait,. pour  plus  de  fimplicite  ,  p  c=  /x  y/ A  B  ^  on 
aura ,  a  caufe  At  A  -^  B  =  1  ,  K  =  ^— - ,  &  la  pro- 
babilite  ,  dont  il  s'  agit ,  fera  exprimee  de  cette  maniere 

VT  \        i.  3         2.4. J       2.4.<r.7  / 

Donc.fi  onfuppofe/a=  i.on  aura  la  ferie  i i &c. 

2.3      2.4.5 

dont    la  fomme  eft   k  tres-peupres  o,   855624;  de  forte 

que  la  probabilite  eherchee  fera-^ =  o,  682688 

a  peu  pres. 

Ainfi  on  pourra  ,  dans  ce  cas ,  parier  avee  avantage  que, 
en  fuppofdnt  les  facilites  des  erreurs  re(peftivement  ega- 
les  a  y^  &  .5  ,  on  ne  fe  trompera    pas    de    la  quantity 

f*  I /  f j   qui ,  i  caufe  de  n  tres-grand  ,  eft  neceffai- 

rement  infiniraent  petite. 


"5 
1!  feroit  beaucoup   plus    difficile    de  trowvef    la  valeur 

Ae  R  fi  les  variables  ^,"4^,^  &c.  etoient  pitts  de  deux, 

furtout  a  caufe  que  I'  integration  doit  etre  telle ,  qu'  elle 

n'  embraffe    que    les  valeurs    de  ces  memes  variables  qui 

font  comprifes    entre    les  limites  -  p  &  -H  p ;     mais   on 

pourra  ,  dans  ces   cas ,  fe  fervir  de  1'  approximation    que 

nous  avons  donn^e  dans  1'  art.   pr^c. 

Pour  cela  on   remarquera  ,  que  puifque  nous  avons   fait 

r  =  p  v^n,  &  que  n  eft  fuppofe  fort  grand ,  le  nombre  r 

devra  etre  fort  grand  aufli ;  de  forte    qu'  on  aura ,  a  tres- 

peupres , 

T  = (  m"-^  -  m  (m-ty-^ 

I .  z . 3  . .  . m- I    \ 

-h   — ^^ (/72-4)"'  '  -  &:c.) 

en  continuant  cette  ftrie  jufqu'  a  ce  que  quelqu'  un  des 
nombres  m  —  i ,  m-~  4  Sec.  devienne  negatif ;  done  on  aura 

&  il  n'  y  aura  plus  qu'  a  multiplier  cette  quaniite  par  ^, 
c'  eft-a-dire,  par  la  valeur  mc)yenne  ,  ou  ,  fi  1'  on  veut ,  par 
la  plus  petite  valeur  de  f^.  Or ,  comme  on  a 

^= I . 

il  eft  clair  que  la  plus  petite  valeur  de  F"  fera   celle  ou 

la  quantity  >    -f-    -__    -(-   2  -H  &c.  fera  la  plus  grande; 

&  il  eft  facile  de  voir  que  cela  arrivera  en  prenant 
g  =  p  -^  =-f,^c=o  Sec.  a  caufe  de  ^  -+-  S^  -+-  (^  =  0, 
8c  fuppolant  que  A,  Sc  B  foient  les  plus  petites  de  toutes 

les  quantites  A,B,CScc.  ainfi  on  aura^=- 


Kh^^y 


266 

Done,  failant,  pour  nbreger , 

m     ~m(m-2)        -t-  ^C^"')   (//:-  4)       -  &C. 

M= '— 

on  aura  la  quantite 

M  '        ' 


ii-r  X 


laquelle  fera  neceffairement  moindre  que  la  proba'bilite 
cherchee  ;  de  (orre  qu'  en  nommant  H  cette  quantite ,  on 
pourra  toujours  parier  avec  avantage  H  centre  i  —  H 
qu' en  fuppofant  les  facihtes  des  erreurs  egales,  refjjetlive- 
ment  a.  A ,  B ,  C  &c.  on  ne  fe  trompera  pas  de  la  quati- 

tite  tres  petite  -^  . 
*■  \  n 

Lemme  I. 

^3.   Soit  X   unfe    fonftion    rationelle    &    fans    divlfeur 
de  X,  on  demande  le  coefficient  de  la  puiffance  xt*   dans 

]a  ferie  refultante  du  developpement  de  la  fraftion — .. 

On  a,  comme  1'  on  fait, 

I                 1             n  X           «(«■+•  Ojc* 
=  —  -t-     — —    -+■ : -f-  oic. 


I    .   z  .   3   ....»--   I 
done ,  fi  on  ordonne  la  quantite  X  par  rapport  aux  puif- 
fances  de  jc  ,  en  commen^ant  par  la  plus  haute  ,  de  miniere 
que  i'on  ait  en  general  X  =  Ax''  -t-jS ;*«•"»  -t-Cx"-^  -*-  &C. 


&  qu'on  mnlriplie    cetfe  {erie   par  celle    qui  exprime  la 

valeur  de  ; r—  ,  il  eft  facile    de  voir    que    le  terme 

(*  -  x)"  ^ 

qui  contiendra  la  puiflance  xf*  fera 

-  — ■ ■ — —  xf* 

I.X.3 ff  —  I 

de  forte  que  le  coefficient  cherche  fera  reprefent^  par  la  lerie 

i.a.^...»-i,,       2.3...W,-      3.4...w-i-i„ 

Ia2>3       •••••»—      I 

Denotons  par  X'  la  forame  de  tous  les  termes  de  la  va- 
Jeur  de  Xoii  les  puiflances  de  x  ne  font  pas  plus  hautes  quex'*, 
enforte  que  Ton  ait  X'  ^=  M  x  f*  •+•  N  xl*-*-f  Fxf*-*~t- dcc.^ 
&:  divifant  par  xf"*"'  on  aura 

X'  iW  N  P  „ 

Z-TT     =     —      -J-     —-+■--      -H    &C. 

done ,  differentiant  n  -  i  fois ,  &  faifant  enfuite  x  =  a, 
on  aura 


\    i^-*-'     /       T.l.  3  ..«-  1 


ax"-'  a "  «""•-' 

le  figne  fuperieur  etant  pour  le  cas  oil  n  ell  impair,  8c 
r  inferieur  pour  celui  ou  n  eft  pair. 

Done ,  le  coefficient  cherche  de   la  puiflance    x  f  fera 

1    ■>  1-1  •    /  *       \  xC--*"^    I 

egal  a  ce  que  devient  la  quantite  ^  ' 


I .  Z.3  ...rt  — I  {^ixY 
lorfqu'  on  y  fait  x  =  a . 


io8 

Remarque. 

14.  Si  on  divife  la  quantite  Xpar  xf*"*-',  &  qu'on  en  re- 

jette  enfuite  tous  les  termes  oii  il  y  aura  des  puifl'ances  pofi- 

X' 

tives  de  X,   il  eft  vifible  qu'on  aura  la  valeur  de — ~tt- 

■done ,  a  la  place  de  la  quantite -ST'  on  peut  prendre  la  quan- 
tite  meme  X,  en  ayant  foin  de  rejater  les  termes  dont 
nous  venons  de  parler  ;  de  cette  maniere  on  aura  ,  pour 
r  expreflion  du  coefficient  cherche  de  x'',  la  quantite 

•     I      ^,    1    en  rejettant  dans  cette  quantite  ,  avant ,  ou 

i.i.3...«-i(-<^^)""' 

apres  les  differentiations,  tomes  les puiffances pofitives  dex, 

&  faifant  enfuite  x  ==  a. 

Co  roll  dire  I. 

15.  Suppofons  qu' on  demande  le  coefficient  de  x"  dans 

Ja  ferie  x" ■+■  x"^  -t-  a:"*  -i-x°  -+■  x*  -ir  x*  -+- x^ 

elevee  a  la  puiffance  n. 

Suivant  les  regies  ordinaires  de  la  fommation  des  pro- 
greliions  geometriques  on  trouve  que  la  fomme  de  cette 
le.ie   ell   reprefen^ee  par 

x-'  (i-x"*/^-^') 

•de  forte  que  la  puiffance  n""'  de  la  m^me  ferie  fera^gale  k 

(i  -  *)«  * 

Compardnt  aonc  cette  formule  avec  celle  du  probleme 
precedent ,   on   aura 
X  =  x-"«  i^i-x'-*-/^-*-'^  )"  = 

■*  •  J 

■done 


109 
done,  divifant  par  xf*-*-^  &  faifant  pour  abreger  n  ct  -h  {j,=-s, 
ct  -H  |3  -J-  I  =  /!  on  aura 

^ -(t-(-i)  —  (T-i-i-p)-H-li^— i-^  X— ()r-+-i-"ip) 

-  "   ^"-'^   ^^"-^)    y-^^  "^  '  -  3  ''^    -4-  &C. 
&  par  conftqueni  en  diiferentiant  n  —  i   fois  , 

-  /Z   (t  -+-   I   —  p)   (tT  -4-   2  — /)) (t  -4-  «  — I  — p)x      ^     "^       r/ 

'+' -. :(T-t-i-ip)(T-J-i-2/3; {ir+n~i-ip)  X    ^  '^' 

-  &c- 

On  rejettera  done  de  cette  ferie  les  termes  oii  les  ex- 
pofans  de  x  fe  trouveront  pofitifs  ,  c' ell-a-dire,  que  ii  j- ell 
le  iiombre  entier ,  qui  eft    egal    ou    immediatemeut   plus, 

grand  que  ,   on  continuera  la  ferie  leulement  jufqu' 

au  terme  j'"*;  ou  bien  il  fuffira  de  la  continuer  jufqu'  a 
ce  que  quelqu'un  des  premiers  fatleurs  t  -+-  i ,  »  -i-  i  -/j  &c. 
devienne  negatif ;  enfuite  on  fera  x  =  i  &  on  divifera 
le  tout  par  i  ,  i  .  3  ....«;  on  aura  ain(i  la  valeur  du 
coefficient  cherche  ,  la  quelle  fera  par  confequent 

((''■-+-0   (t-Hz) (t  -Jr  n-  \) 

1  .z  .  3....K-  I    \ 

-  /2  (t  -+-  :  -  p)  (t  -4-  1  -  p) (t  -h  rt  -  I  -f) 

i — ^^- — -  (ir  -H  I  -  1  p)  (s-  -4-  2  -  ip) (t  -+-  «  -  I  - 1  p) 


-  -^ ~- ^(t-H  I  -3p)  (t  -H  2  -3  p) (t4-,7-  1-3^) 

2.5 

•^  &c.  ^ 

De  la  on  tire  la  folution  du  probleme  fuivanr. 
Mij'c.  Taur.  Tom.  V.  dd 


2  10 

Prohleme  VII. 

i6.  Oil  a  plufieurs  obfervations  dans  chacune  defquelles 
on  fuppofe  qu'on    ait    pu    fe    tromper    egalement    d'  une 

quelconque  de  ces  quantites  -«, -'^j-  ^1°^  '?»» ^i 

on   demande  quelle  ell  la  probabilite  que  1'  erreur  du  re- 

fultat  moyen  de  n  obfervations  fera  -  ,  ou  qu'elle  fera  ren- 
fermce  entre  ces  hmites  -  -  &  —  . 

n  n 

Pour    trouver    la    probabilite    que    le    refultat    moyen 

foit    tf  ,    il  faut  chercher  le  coefficient  de  la  puiflance  x^ 
n 

du  polinome  x" -+-  x^*  -t-  jT'-J-  x"  -fr-  x'  -t-  x'-h x^ 

eleve  a  la  puiflTance  n  ,   &    divifer  enfuite    ce    cotfficient 

par  la  valeur  du  m^me  polinome  eleve  a  la  puiflance    «, 

qui  repond  a  x  =   i  ;  c'  ell-a  dire  ,  par  (*  -t-  (3  -H  i  )» 

c'  eft  ce  qui  fuit  evidemment  de  ce  que  nous  avons    de- 

montre  dans  les  prob.  pr^c. 

Done,  par  le  corollaire  precedent,  on  trouvera  que  la 

probabilite  cherchee  fera,  en  taifant  »=/2it-J-fji,p=«-^-j8-f-i, 

:  (  (tt  -4-  i)  (t  -t-  J.) (t  -H/z-  i) 

-  «  (t  -+-  I  -  p)  (t  -H  1  -  p) (t  -f-  «  -  I  -  f) 

^1\n~\)  ^^_^  ^  ^  ^^  ^^  _^  2-a/j)....(3--f-/2-i-ip) 


~    &C.^ 


en   continuant  cette    ferie    jufqu'  a    ce  que   quelqu'  un  des 
fafteurs  tt  -t-  i  ,  t  ■+•  i  —  p  &c.  devienne  negatif. 

Telle  ell  I'exprellion    generale    de    la    probabilite    que 

r  erreur  moyenne  de  n  obfervations  foir  s=   -;ainfipour 

avoir  la  probability    que  1'  erreur  foit  contenue   entre   les 


21  I 


limltes  —    &    —     il  n'  jt  aura  qu*  a  faire  varier  jit  dans 

la    quantite    precedence ,    &  prendre    la    Ibmme   de  rou- 
tes les  quantites  particulieres  qui  repondronc  a 

A*  =  -/'» -ij-  I  ,o  ,1  ,2. ....9. 

Or ,  puifque  la  quantite  /j.  n  entre  que  dans  la  valeur 
de  T,  il  n'y  aura  done  que  cette  quantite  de  variable;  de  forte 
que  la  difficulte  fe  reduira  a  fommer  des  fuites  dont  le  termc 

general  fera  de  cette  forme  (i-Hi)  (s-hi)   (s-i-}) (s-hk) 

Pour  ceia ,  fbit  la  fbmme  de  cette  ferie  reprefentee    par 

u  (i-+-i)  (JH-i) is-*-k) 

u  etant  une  fonftion  inconnue  de  j  ,    &  mettant  s—  i   a 
la  place  de  j  ,  &  u'  a  la  place  de  w  ,  on  aura 

U     S     (i  -+-    I )    (  J-H  2) (s  -+•  K  —  l) 

quantite ,  qui  etant  retranchee  de  la  precedente  ,  on   aura 
la  difference 

(U    (s-hK)  ~u's)    (^-+-1)    (S'i-i).i (s-^K-i) 

mais  il  faut  que   cette  difference  foit  egale  au  terme  ge- 
neral de  la  ferie  dont    on  cherche    la  fomme ,    done  on 
aura  1'  equation 
u  (s  •*-  K)  —  us  =  s  -h  JC 

k  laquelle  on  faiisfera  en  faifant  u  =  — ;  de  (br- 

te  que   la  fomme    generale  de  la  ferie  dont   le  terme  ge- 
neral eft  (s  -+■  i)  (s  -i-  1) (^s  -h  K)  fera  reprefentee 

(s ■*-  1)  (s -*■  z) (.f->-K)  (/-hK-»-i) 

P"  irr-i 

&  par  confequent  la  fomme    de  tous    les  terpies  compris 

entre  ces  deux-ci 

(^H-O  (y_^i) (s'-i-K)  &  (/'-+-1)  (/-H2) (/'-+-/<:) 

fera  egale  a 

s"(s"-hi)  (s'-h^) (s"-hK)^(s-i-i)  is'-+-i) (s'i-K-hi) 

K  -^  I 


Ill 


Appllquant  done  ceci  a  la  formule  trouvee  plus  haut , 
on  aura  pour   la  probabilite  que  1'  erreur  moyenne  tombe 

entre    —  &  —  1'  expreflion  fuivante  ,  dans  laquelle  j'  ai  fait 
n  n 

pour  abieger  n  a.  -  p  =  t  Si.  n  a-\-  q'=:y  , 

' (y  (y-+-i)....(y-l-/t-i)-(S-*-0(^-'-0--(5-+-«) 

I  .  2. .  3  . . . «  ^"  V 

-/2(()/-p)(y-p+i) (}/-p+n-i)-(^-p+i)(S-/!-i-a)....  (S-(3+/2)) 

-  &c.    \ 

Cette  ferie  doit  etre  continuee  jufqu'  a  ce  que  quelqii' 
un  des  fafteuis  y  - /?  ,  y  ~  ^  (>  &c.  devienne  negatif;  & 
quant  aux  aui/es  fatieurs  S  -  p  -+-  i  ,  ^  -  i  />  -+-  i  &c.  (i 
quelqu'  un  d'  entr'  eux  fe  trouve  negatif,  alors  il  faudra 
augmenter  le  nombre  IS  d' autant  d'uni,.e  qu' il  faudra  pour 
le  rendre  pohtifj  cela  fuit  ^videmment  de  ce  que  la  ferie, 
done  la  precedente  eft  la  (omme,  ne  doit  etre  coniinuee 
que  jufqu'  a  ce  que  quelqu'  un  des  premiers  fafteurs 
ir-i-i-p,  7-t-i-ip  &c.  devienne  negatif,  comma  nous 
i' avons  vu  dans  I'ari.  prec. 


'CorolL 


aire. 


-ly.    Suppofons    que  les  nombres  «,    &    3    deviennent 
infinis ,  aufli  bien  que  p  (k  q  ,  mais  de  ta^on   qu'  ils  aient 

.    /?  p  q 

entr' eux  des  rapports  finis;  &  foit  —  = /,  -  =  r, -=  j, 

er.fone  que  Pon  ait  j6  =  «/,  ;?=*r,5'  =  eci,  I ,  r  ^  s 
etani   des   nombres  fims  ;  dans   ce   CdS   on   aura 
p=ct-t-|S  =  (i-+-/)ct,  i  =  nit-p  =  {n-r)et. 
y  =  no.  -t-  q  =  {n  -+-  s)  a.  ;  de  foite   qu'  eh  fuhftiruant  ces 
valeurs  dans  la  tormule  precedenie  ,  ik  negligCdnt  ce  qu'on 


113 
doit  negliger  a  caufe  de  «:=«•,  on  aura  celle-ci  ou/srri-t-/, 

1,1.}.... nf"  \  ■'  z  ■' 

^{n-rY-^n {n-r-f)'-  "-^^  (n-r-ify  -4-  &c.  ^ 

chacune  de  ces  deux  feries  devant  etre  continuee  feulement 
^ufqu'a  ce  que  quelqu'une  des  quantites  n-^s—f,  n-*-s—ifS>cc. 
&c  n  —  r  — y  ,  n  —  r  —  1  f  &c.  devienne   negative. 

Le  cas  de  ce  coroliaire  a  lieu  lorfqu'  on  fuppofe  que 
chaque  ob(ervation  ei\  egalement  fujette  a  routes  les  erreurs 
poffibles  comprifes  entre  des  limites  donnee*  ;  car  fi  on  prend 
la  plus  gran-'le  erreur  negative  pour  1'  unue  ,  &  qu'  on 
dcMigne  la  plus  graiide  erreur  politive  par  /  ,  la  foimule 
precedente  denoiera  la  probabilue  que  1'  erreur  du  reful- 
tat  moyen   de  n  obfervacion  loic  renfermee  eiitie  ces  deux 

limites  -—&-+-—. 
n  n 

Au  relle  nous  donnerons  plus  bas  une  methode    beau- 

coup  plus  fimple  pour  relbudre  ces  fortes  de  quellions. 

ProhUme  Vlll. 
1%.  Suppofant  que  les  erreurs  qu'on  peut  commettre  dans 
chaque  obiervation  (oient-  u,...—  i,-  i,o,  i ,  i....«,  &  que  le 
•nombre    des  cas  qui   repondent  a  chacune   de  ces  erreurs 

fcit  refpeftivement  proportionel  ai,a,3  rt-+-i, 3,1,1. 

on  demande  quelle  elt  la  piobabilite  que  1' erreur  du  re- 
■fultat   moyen  de  m  obfervations  foit  comprife  entre  les  li- 
mites —   &    —  . 
m  m 

Commen^ons  par  chercher    la  probabilite    que   I'erreur 

f* 
moyenne  (oit  =     —  ;    cette    probabilite    fera    egale  au 

coefficient  de  la  puilfance  xf*  du  polinome 


2  14 

eleve  a  la  puiffanca  m ,  ce  coefficient  etaiit  enfuite  dlvife 
par  la  valeur  du  meme  polinome  eleve  a  la  puiffance  n  , 
qui  repond  ^  x  =    i 
Or  on  a  i  -f-zjc-h (a-+- 1  )x*-+-....ix**'"'-4-x:*«=(  i  -+-x-f-.....-v;'»)* 

j  }  done  le  polinome  dont-il  s'  agit  fera  egal 

I ,  &  par  corifequent  la  puiffance  n  de  ce 

polinome  fera  reprefentee  par 

(i  -  xy^ 

Cette  formule  etant  comparee  a  celle  de    1' art.    23.,    on 
aura  n   ^  %   m,    nti=/na},Scot.-i-Q-i-i    =  u -*-  i  i 

d'  oil  r  on  tire  n  =  z  m  ,  ci  =—=:-,  Sc  &  =^  -  i 

n  1  1 

done  (  prob.  prec. )  la  probabilite  cherchee  fera 

((»  -t-  1)  (tt  -+-  2) (t  -t-  2  m-  i) 

—  2m(T-t-i—  p)(t-+-2—  f) (jr-f^m  —  I— ^ 

•*-zm{im-i) 

{tt  -h  I  -  2  p)  (:r  -+-  2  -  2  p) (t  •+-  2  to-  I-  2f) 


—  &c.) 


en  fuppofant  7r  =  TO6>-4-jM,  &p  =  a-+-i  &  continuant 
la  ferie  jufqu'  a  ce  que  quelqu'  un  des  fafteurs  »  -I-  i  -  (?, 
a-  -+-  1  —  2  /)  Sec.  devienne  negatif. 

De  la  on  trouvera,  comme  dans  le  probl.  preced. ,  que  la 
probability  que  1'  erreur  moyenne  fe  trouve  entre  les  limi- 


tes  — '    &  —  fera  exprimee  par 


7ZI3I^"(^^^'^ '  )....()/-4-iTO- 1  )-(S-+- 1  )(S-+-2)....  (l-him) 

+  ^^*—^((>-»p)(>+I-4/>).,..(>-«-»'»'X-2f)H'''-'-«'*/>)(^"*^"*/')".(^'*"  >'»-*/')) 

2 


—  &c.   \ 


i'5 
y  etant  =  m  «  -4-  y ,  &  J  s=  /n  <u  -  p.    a  1'  ^gard  de' 

la  continuatioa  de  ces  deux  feries  il  faudra  fiiivre  les  re- 
gies prelcrites  plus  haur  (art.  14.) 

Corollaire. 

ji.  Suppofons  mainteiiant  que  les  nombres  a  ;>  ,  &:  j 

deviennent  infinis,  mais  enforte  que  Ton  ait  -=  r,  -=  *  , 

^  «  ft)  ' 

r  y  &c  s  ^tant  des  nombres  finis ,  &  la  formule  precedente 

deviendia  (  art.   1  j.  ) 

(iOTW)*"»-  im  (i  («-i)  w)"*  H ^  w-i ;  ^^  (^m-%)-*-sy*'-&c. 

I.  2.3.  ...2m.  1^" 

(iw-r)^"  -   i»»  (i  (w-i)-r)-'"-f-    i ^(i(»»-z)  -  r)^"- ^*. 

i. 

1.2.3 iW.   i*" 

ces  deux  feries  etant  continuees  jufqu'  a  ce  que  quelqu'une 
des  quaniiies  qui  font  elevees  a  la  puiflance  z  n  devienne 
negative. 

Cette  formu'e  exprimera  done  la  probabilite  que    1'  er* 
reur  moyenne  de  n  obfervations    foit    comprife    entre   les 

limites  —    &    — ,  dans  1'  hypothefe    que  chaque  obferva- 

tion  fbu  fujette  k  toutes  les  erreurs  poffibles  contenues 
entre  ces  deux  limites  —  i  &  -+-  i  ,  &  que  la  facility 
de  chaque  erreur  foit  proportionelle  a  la  difference  qu'ily 
a  entre  cette  erreur  &  la  plus  grande  erreur  polTible  dans 
le  meme  lens;  cette  hypothele  elt  plus  conforme  k  la  na- 
ture que  celle  de  Tart.  17.;  la  courbe  des  erreurs  (art.  lo.) 
fcroit  ici  un  triangle  ifocele  quelconque. 


1 16 

Scholie. 

31.  En  general  on  pourra  trouver,  a  I'aide  du  Icmme 
precedent,  la  probabilite  que  T  erreur  moyenne  foit  egale 
a  une  quantite  donnee  daii^  1'  hypothefe  que  les  erreurs, 
auxquelles  chaque  obfervation  eft  fujette ,  forment  une  pro- 
greflion  arithmetique  ;  &  que  les  tacilites  de  ces  erreurs 
formenr  une  progreffion  algebriq^ue  quelconque  ,  dont  les 
differences  d'  un  ordre  quelconque  devienneiU  nulles  ; 
car  foit 

j4x-'-^  B  x'"-*-^  ■+■  Px"""  -i'(2x''-^Rx'  -^...-h-FxH 

le  polinome  dont  les  expofaiis  de  x  reprefentent  les  erreurs, 
&  les  coefficiens ,  les  facilitei  de  ces  erreurs ;  qa'  on  de- 
note par  A  y^  ,  A--y4  &c.  les  differences  premieres  ,  fecon-' 
des  &c.  de  la  ferie  A  ,  B ,  C  Sec,  enforte  que 
A  .  ^  =B  -A,  d^.^A  =  C-zB-^-A,&i.c.,  &  qu'  on 
denote  de  meme  par  A.K,  A.'V  les  differences  de  la  ferie 
y  ^  X ,,  Y  &c.  fuppolee  continuee  au  dela  de  F^  on  aura, 
comme  1'  on  fait ,  pour  la  valeur  du  polinome  pr.opofee, 
la  ferie 


X 


"« 


I H  X \-    &C.      I 

\      1    -  X  {1    -  x)-  J 


Or,  fi  la  ferie  ^  ,  5  ,  C  &c.  F,  X  &c.  eft  telle  que 
fes  differences  d'  un  ordre  quelconque  m  par  exemple  de- 
viennent  nulles,  on  aura  A-™  y^  =  0  ,  &  A-"  F  =-o  & 
routes  les  differences  ult^rieures  feront  aufli  zero  }  de  forte 
que  r  expreffion  precedente  deviendra  finie  quand  meme 
le  polinome  propofe  contiendroit  un  nombre  inhni  de  ler- 
ines  }  de  plus  cette  expreffion  pourra    fe   reduire    a   ceite 

forme    -; rr",  "S,  etant  une  fonftion  rationelle  &  en- 

(1  -  xr 

tiere  de  x  }    de  forte  qu'  en  elevant  cette  quantity  a  une 

puiffance  quelconque ,  on  aura  toujours  une  expreffion    qui 

fera  dans  le  cas  de  celle  du  lemme. 

Lemmt 


117 
Zemme  II. 

33.  On  demande  le  coefficient  de  la  puiflTance  xf*  dans 
la  f^rie    qui    relultera    du    developpemeiit    de    la    fraction 

; : — ; — r-  ,  X  etant  ,  comme  dans  le  lemme  I.  une  (on- 

ftion  raiionelle  &  fans  divifeur  ,  de  x. 

On  fait  que  la  fraction — — — —  peut  fe  decompo- 

fer  en  differentes  fraftions  telles  que  celles-ci 

A  A'  A'  „  y^«-' 

&c. 


{a-xY  (-a-jv)""-'  {a-x')'"-'-  '  a-x 

B  B'  B"  „  B"- 


{i>-x)'  {i-x)"-'  C^-a)"-*  i  -  X 

les  coeriiciens    A^  A\  A"  &:c.    etant    egaux    a   ce    que 

deviennent  les   quantites    — » 

^  (^  -  xY  * 

— ^—— ,  — ^— ! —  &:c.  lorfque  x  =  a,    &    les 

—  ax  %   a  x^ 

coefficiens  B  ^  B' ,  B"  &c.    etant    egaux    a    ce  que  de- 
viennent  les  quantites 

d 


,    '  {a- xY        {." - ^y 


{*  -  xY       — ^^ ■ —  >  — ^^ —  ^^' 

-  d  X  1.  dx- 

lorfque   x  =  ^  .     Done  la  fradion  propofee    fe  changera 

dans  ces  deux  fuites  de  fractions 

AX  A'X            ^ 

H- -+-   OCC.  H- 

[jt-xY  {a-xY~^ 

BX  B-X              _ 

Mais  par  le  lemme  premier  le  coefficient    de    la  puif- 
fance  x(^    dans    la    ferte    refultante    d'  une    fraclion  telle 
M-ifc.  Taur.  Tom.  V.  e  c 


A'- 

-X 

a 

-  X 

X 

•  f- 

l>  - 

■    X 

ii8 

^"^   TTTT)^   P^"*  *  expnmer  par 
J.""-'/    X    \ 

; — :^ 1    en  y  faifant  apres    les 

difFerentiations  ,  x  =  ai 

Done,  en  general ,  la  fra£iioii  —^^ —  donnera  pour 

ie  coefficient  de  xi^  la  quantite 

{i>-xY  ■V/' \x(i-^i  ) 

1.2.3  ...  J  i^—  d  X  )'     '  ^  I  .  i .  3  . . .  w  — J  —  I  {—dx)'*  '"' 
ou  il  idut  taue  a;  =  a.   Done,  puifque  a'""'.  ^  j;  =^  </""ȣ 

-^(m-  \)dy  d'^^i  -v-  i i^ ^^V  (^"■•{-H&c.  -+-{</"-'j', 

il  eft  facile  de  voir  que  Jes  fraftions 


(4  -  x)"  (*J  -  a:)""-'  '  a  -  X  * 

prjfes  routes  enfemble ,  donneront  pour  le  coefficient  dexf* 
la  quantite 

V-v^-^-     ^^-*)»  /      

I  .  2  .  3  . .  .  /72-  I    (-</ac;"^» 
^  etant  fait  =  «. 

De  na^me  les  fraftions 

BX  B'X  „  B-'  X 

&c. 


donneront  pour  le   coefficient  de  xf*  la  quantite 
d."-'/         X         \ 

Va:'*-*^'  {a-x)"  ) 

I    .   2  .  J    ....  /2  -    I     (-  </  x)  •"' 

;;  ^taiit  tdit  =  ^. 


^'9 

Done ,  eti  r^unifTant  ces  deux  qu.intites ,  on  aura  pour 

le  coefficient  de  ar"  dans  la  ferie  refultante  de  la  tra6hoa 

"7 TiTT"/. TT  1'  expreffioB 


d." 


\xl^-*-t{l'-xY  J  ,  ^ 

.  (x  =  a) 


1  .  1  .  J  .  .  .  /7J  -   1    (—  c/  ;c)""' 

-H U"-    (^--)"  j (  X  =:  O 

i.i.3...«— I   (-ix )*"' 

X 
en  ayant  Coin  de  rejecter  dans  la  valeur  de   loutes 

les  puiffatices  pofitives  de  x. 

Corollalre. 
34.  II  eft  facile  de  conclure  de  la  que   fi  on  develop- 
poic  en  ferie  la  frat^ion 

X 

i^a-x)"  {h-xY    {e-x)P.T.. 

on  auroit  pour  le  coefficient  de  x**  V  expreffion   fuivante 

dr^'  ( X \ 

U^H-.  {^b-xY{(-xy....)   ^^  _  ^^ 

dr'  ( X \ 

^  \xl^^^  {a-xy  ^c-x)pj^    (X   =   b) 

I.Z.3....W-1    (-</a)""' 

dr'f x_ ^ 

^     v^^'  (^-Ar)"  c^-A^)' rr  y .  __  ^j 

1    .    2   .    3    .../'-  I    (-d'^r)/^' 
-*-    &C. 

X 

en  ne  prenant  dans  la  valeur  de  que  les  puiSaa- 

ces  negatives  de  x  ,  &  rejettant  toutes  les  pofitives. 

e  e  X 


tio 

Remarque. 

3  c.  Par  le  moyen  du  lemme  pr^ce-^ent  on  pourra  done 
dfftei  miner  aifemenr  la  prr.bdbilire  que  1' erreur  nioyenne, 
relultante  de  tant  d' obie  vaiions  qu' on  voudra,foit  nulle 
ou  egale  cl  une  quaiime  donnee  ,  loifque  le  polinome 
(art.  31.  ) 

j4  x-'-i-B  A-*-^' H-  P  X-'  -+-  Q  A*  -+-  i?  *'. . .  -»-  f^xlf 

forme  une  lerie  recurrente  quelconLjue  ;  car  alors  la  fom- 
me  de  cette  ferie  pourra  s'exprimer,  cooime  i' on  Idit , 
par  une  fraftion  rationelle ,  telle  que 


(a-x)^  {h-xy  Q:-x)P  .... 

"H.  etant  une  fonftion  rationelle  &  fans  divifeur ,  de  x  ; 
de  Ibrte  qu'  en  eievant  cette  quaonte  k  une  puiffance  queU 
conque,  on  aura  toujours  une  expreffioti  qui  pourra  fe 
rapporter  h  celles  du   lemme  cideirus. 

Au  relte  rhypothefe  la  plus  conf-orme  a  la  nature  eft 
celle  oil  Ton  (uppoie  que  chaque  oblervation  foit  fujeite 
a  toutes  les  erreurs  comprifes  entre  des  limites  donnees , 
nforte  que  le  iiombre  de  toutes  les  erreurs  pollibles  (bit 
iiifini,  comme  dans  Jes  art,  ay.  &  31.;  or  pour  trouver 
en  ce  cas  la  probability  que  i'  erreur  moyenne  d'un. 
nombre  quelconque  d'  obfervanons  ioit  aulii  renfermee  en- 
tre  des  limites  donne.s,  il  n' eit  pas  necelTaire  de  confi- 
derer  n' abord  an  noaibre  fini  d' erreurs,  &  de  fuppofer 
eniuite  que  ce  nombre  dtvicnne  iniini  ,  comme  mius  I'avons 
orntiqu^  dars  les  art.  cites  }  raais  on  peut  y  parvenir  di- 
reciemerjt  par  une  raidiode  beaucoup  plus  limple  &  plus 
generaie ,  i.;qu.Mle  ell  fbiidee  lur  le  knime  lui'Aint.    • 


e 


211 

Lemme  III. 

36,  Si  ^  denote  une  fontlion  quelconque    de   x   telle 
que    ■—   foit  une  quantum  conftante ,  on  aura 

/,  ,  ,  (  y       ^_  ^'y 

-   Sec.    -*-    ^       ,,    ^  ^        )    -+-    confl. 

c"  ell  ce  qui  elt  aile  a  verifier  par  la  differentiation. 

CoroUaire  I. 

37.  Si  on  fair  J/-  =  x"  ■,  m  etant  un  nombre  entler  & 
poliiit",  on   aura   done 

»/(/»-  0  ;»"»-»  „  m  {m-  \\  {m-  \\ .  .  ,x  .  \  \ 

-*-  cony?, 

Qa' on  prenne  I' integrale    /  x"  a'  d  x  enforte    qu'elle 

foit  nulle   lorfque  ,v  =  o  ,  &   I'on  aura 

/.  /*"        zw  *"■"  •  „ 

x''u'  d  X   =  a'    (  --    -   —-—  -    -+•  &C. 
\'a  {lay 

I.2.3....W  I.     !';.../» 


Or ,  <i  on  iuppofe  que  a  iuit  une  fraftion  moindre  que 
r  unite ,  enforte  que  ~  foit  ua  nombre  plus  grand  que 
r  unite,  &  qu' on  fa  lie  x  =  00,  11  elt  facile  de  voir  que 
/—J  fera  une  quaniite  infinie  d'un  ordre  infiniment  plus 
grand    que    x " ,    &    qu'  aucime    puilFance    fuiie    de    x ; 


/ 

/ 


Ill 


done    -^ — r7  ,  ou  bien  a'  x"  fera  nulla ,  &  ,  a  plus  forte 

raifon  aufli ,  routes  les  autres  quantites  a*  x"*"*,  a'  x"*"*  &c. 
feront  nulles ,  de  forte  qu'on  aura  dans  ces  cas 


/ 


<f  X    = 


D' ou  je  conclus,  que  la  quantite  ■.      ~  eft  egale  a  lln- 

tegrale  de  x**"'  a"  i  x  prife  depuis  x  =  o  jufqu'  k  x  =  oo  ^ 
&  divifee  par  1.2.3...W2-1;  pourvu  que  a  foil 
un  nombre   pofitif  moindre  que  T  unite. 

Si  a  etoit  un  nombre  pofitif,  plus  grand  que  1'  unitd  ,  U 

n'  y  auroit  qu'  a  mettre  —    a  la  place  de  x  dans  la  for- 

mule  precedente,    &    1*  on    en  concluroit  que  k  quantt- 

te"rj feroit  egale  a  T  integrale   de    — - —    piife     de 

meme  depuis  x  =  o  jufqu'  ^  x  =  00  ,  &  divifee  par 
I   .X.3   .  .  .  m  —   ijon  voit  par  la  comment  on  peut 

reduire  les  puiffances  quelconques  de  —    en  des  furies  in- 

fintes  qui  proc^dent  fuivant  les  puiffances  de  a. 

Corollaire  II. 

3  8.  Done  ,  fi  r  on  a  une  fonftion  quelconque  rationelle 
&  fans  divifeur  de  a  telle  que 
A  =  P   ar  ^   Q^  af"  -*-   Raf'-   ■+■   &C. 
&  qu'  on  demande  le  coefficient  de  la  puiffance  a  '"*  dans 

la  fonftion     -77—  i  il  "'  Y  a^ra  'i^'  a  mettre ,  k  la  place 

{la)"" 

de   — —  ,  la  fomme  des  valeurs  de depuis  x  =  o 

{la)"  '  «"  "^ 


jufqu'  a  X  =  00  ,  divifee  par  i  .  i  .  3  . . .  m  -  i  (corol.prec.), 
&:  ralTemblant  touts  les  termes  oil  a  fe  trouvera  eKve  a 
la  puiffance  donnee ,  on  aura  pour  le  coefficient  de  cette 
puiirance   la  ferie 

"^ ax 

laquelle  ne  devra  etre  continuee  que  jufqu'  a  ce  qje  quelqu' 
un  des  termes  x -^  i  ,  x  —  i  &c.  devieiine  n^gatif}  &:  com- 
me  ce  coefficient  ne  depend  point  de  la  vaieur  de  a  ,  il 
ell  clair  que  la  formule  que  nous  venons  de  ttouver  aura 
toujours  lieu ,  loit  que  a  foit  plus  grand  ou  moindre  que 
y  unite. 

A 
Si  au  lieu  de  la  fonftion  — on    avoit    celle  -  ci  : 

—- ;  comme  /  a  -  *  =  /  ~,  il  faudroit    fubrtituer  a 

la  place  de  — — -  la  fomme  des  valeurs  de - 

depuis  X  =  0  jdlqu'  a  jf  =  00  ,  divLfee  par  i  .  i  .  3  .  /72  —  i  , 

&  Ton  auroit  pour  le  coefficient   de  a*""'  la  ferie 

P  <•««*"-■  -t-  Q  e'i"-)  (x-\y^'  •+-  Rf«(»-»  {x-  2.")  ■  ^f.     , 
-  ■"= d   X 

Enfin,  fi  on  avoit  la  tondion 
A^ 

on  decompoferoit  d'  abord ,  par  les  m^thodes  connues  ,  la 
^a£hon 

7- ; •    en  celles-ci 

a  a-*  ^n/A-fi)"  — 

F                        F                    .,               F  — 
-f- -f-   &C.    -4- 

V--0'         (/4-0—  /--- 

G  G'  «  G«-' 


■+■ 


&c. 


■^  CJ^:^»  ■*■  ^^-  -»■  TT^ 


enfuite  multi'pliant  chacune  de  ces  fra6lton$  par  A,  on 
auroit  autanr  de  fonftions  de  a  ,  dans  lesquelles  on  pour- 
roit  trouver  le  coefficient  de  la  puiffance  a  *  par  la  for- 
mule  ci-deffus. 

Remarque. 

39.  Par  le  moyen  du  lemme  precedent  on  peut  trou- 
ver r  integrale  de    I  y  a."  d  x   lorfque   y  =^  X   e"*', 

X  etant  une  fonclion  rationelle  &  fans  divifeur  de  x  , 
telle  que  fa  differentielle  d'  un  ordre  quelconque  foit  con- 
ftante ;  car  pour  cela  il  n'  y  aura  qu'  a  mettre  dans  la 
formule  du  lemme,  X  a  la  place  <ie  y  &  ae-"  a  la 
place  de  a  ;   moyennant  quoi  on  aura 

/X  a'  __        a*        / X dX      ^ 

e "»  eax       \  I  a  -~A  dx  (/<«-*)» 

-+- -, ;, &C.  )  -H  confix 

Et  on  irouvera  de  meme  Tintegrale  dey  a'  d x ,  lorfque 
y  fera  eompofee  de  differentes  foii6tions  de  m6me  efpece 

que   — . 

D'  oil  il  s'  enfuit  que  V  on  pourra  auffi  trouver  1'  inte- 
grate de  y  a'  d  X  lorfque  y  fera  de  cette  forme  X  cof.  tt,x, 
ou  X  Jin.  u  X  ,  o\i  eompofee  de  plufieurs  fonftions  d'  une 
forme  lemblable  j  car  il  n'  y  aura  qu'  a  mettre  a  la  place 
des  ^nus  &  cofinus  les  expreffions  exponentielles  imagt- 
naires  qui  leur  font  eqaix  alentes,  &c  le  calcul  acheve  on 
remettra  a  la  place  de  ces  expreffions ,  \q%  fmus  ou  cofinus 
qui  y   repondent. 

Ce  font  la  les  feuls  cas  ou  la  formule  y  a*  d  x  foit  in- 
tegrate ,  au  moins  par  les  methodes  connues  .  jufqu'  ici ; 
dans  tous  les  autres  cas  1'  integration  ne  peut  s'  executer 
que  par  approximation. 

Prohlimt 


»»5 

Probliine   X. 

40.  On  fuppofe  que  chaque  obfervation  foit  fujctte  i 
toutes  les  erreurs  poJfibles  compnfes  entre  ces  deux  limi- 
tes  /J  &  -  y ,  &  que  la  facilite  de  cliaque  erreur ,  x 
c'elta-dire,  le  nombre  des  cas  oil  elle  peut  avoir  lieu  ,  di- 
vifc  par  le  nombre  total  des  cas ,  foit  reprelentee  par  une 
fonftion  quelconque  de  x  defignee  par  y;  on  demande  la 
probabilite  que  1'  erreur  moyenne  de  n  obfervatioHS  foit 
comprile  entre  les  limites  r,  &  —  j. 

On  commencera  d'  abord  par  f  hercher  la  probabilite 
que  r  erreur  moyenne  foit  ^  ,  &  cette  probabilite  etant 
reprefentee  par  une  fonftion  de  ^,  il  n'  y  aura  qu'  a  en 
prendre  1'  integrale  depuis  {  =  r  jufqu'  a  ^  =  s  ;  ce  (era 
la  probabilite  cherchee. 

Maiiuenant  pour  avoir  la  probabilite  que  V  erreur  mo- 
yenne de  n  obfervations  foit  ^  ,  il  faudra  confiderer  le  po- 
lynome  qui  elt  reprefente  par  1' integrale  de  ^  a'  dx^ 
en  fuppolant  cette  integrale  prife  de  maniere  qu'  elle 
s'  etende  depuis  x  r=  p  jufqu'  a.  x  =  —  ^  ,  1'  on  elevera 
ce  polynome  a  la  puiflance  /z ,  &  1'  on  cherchera  le  coef- 
ficient de  puiffance  ^  de  a,  par  les  regies  donnees  dans 
les  coroll.  du  lemme  prec.  ;  ce  coefficient ,  qui  fera  une 
fonftion  de  j  exprimera  la  probabilite  que  1'  erreur  mo- 
yenne foit  ^,  comme  il  eft  facile  de  le  voir.d'apres  ce 
qui  a  ete  demontre  plus  haur. 

Exemple  I. 

4t.  Suppofons  d' abord  que  j'  foit  une  quantite  con- 
ftante  =  K,   enlbrte  que  toutes  les  erreurs    foient  egale- 

ment  probables  ,  &  1'  integrale  de  y  a'  d  x  fera     - —  , 

de  forte    qu'  en    prenant    cette    integrale    depuis  x  =  p 
jufqu'  a  X  =  —  <j ,    on    aura   pour    la    valeur  complette 

—  Jlf — i;  qu'on  ^!e/e  done  cette  quantite  a  la  puit 

I  a 

Mifc.  Taur-  Tom.  V.  ff 


126 

fance  n,  &  T  on  aura  une  quantity  de  la  forme  .  .    .  ,< 
oil  (  faifant  ^  «+-  ^  =  t ) 

Done  par  le  coroll.   x  du  lemme  (  art.   38,)    le  coefE- 
cient  de  puiflance  a'""'  (era. 

^''       _  ("^e-.-^  (x-f)  «-'-+.   ^^^    (x-z:)""' 
-I    \  1 


I  .z  .3 


.»— I 


«  («  -  0  («  -  1) 


(x-  3  0'"'    -«-   &c-    ) 


ix 


en  ayant  foin  de  -ne  contifluer  la  ferie  que  jufqu'  a  ce 
qu' on  parvienne  a  des  termes  x-mt  qui  (oient  negatifs. 
Faifant  done/? /z  -  X  =={• ,  c'ell-adire,  x  =  pn-i  on  aura 
la  probabilite  que  1'  erreur  moyenne  de  n  obfervations  (bit  {. 
On  incegrera  maintenant  la  forraule  precedence  en  y  fai- 
fant varier  x  ,  &  on  prendra  1'  integrale,  enforte  qu'  elle 
foit  nulla  lorfque  x=/'/2— r,  &  complette  lorfque  x^pn-^s; 
on  aura  de  cette  maniere  la  quantity 

K"  / 

{  (p  a  -Jr  sY   ~  n{p  n  -i-  s  -t)  " 

%-.  1  .  I  . . .  .  n     \    ' 

»   (b-  l)  \„  o 

2,  ^ 

—   (p  n-r)"  -¥■   n.{p  n-r-t)" 

_   tS:LZl±^pn-r-.iy  -4.&C.   ) 

laquelle  exprimera  la  probabilite  que  1'  erreur  moyenne 
de  n  obfervations  foit  contenue  entre  les  limites  r  &  —  j; 
au  rerte  cette  formule  revient  a  la  meme  que  cellede  I'art.  17. 

Exempie  II. 
41.   On  fuppofe  que  la  quantite  y  foit  =  K  (/>'— x*), 
&  que  les  deux  limites    des  erreurs  foient    p   Si  ~  p  ,    il 
fdudra  int^grer  la  differentielle  if  a' (/t^-x*)  c/ j:  ,  &  pren- 
dre i' integrale  enforte  qu' elle  s'etende  depuis   x  =  '^  p 


jufqu''^  X  =  /?,    Or  y  puifque    la  feconde  diffirentielle  de 
^'  — a;'  e(l  coiillante ,  on  aura  par  le  lemme  cette  integrate 

laquelle  ^tant  completee,  comme  on  vient  de  le  dire  ,  don- 
nera 
%  K  p  (dP  -*-  a-P)  a  K  (aP-a-P)  _ 

On  elevera  done  cette  quantite  k  la  puiflance  n,  &  Torf 
aura 

{i  Kp)"  (dP  -^a-P)"  (iKY/i"-'  (aP -t-a-f)"-"   (aP-t-a-f) 

»  (»-  I  )        (i  K)"/?"-*  (^''  -t- tf-^)«-»  {aP  -  a^py 


—  6cc. 

on  devcloppera  Ics  puilTances  de  a'-i-aT  &  decf-a"'', 
&  Ton  cherchera  enfuite  par  les  regies  de  1' art.  38.  le 
coefficient  de  la  puiffance  a  K  Pour  faciliter  ces  operations, 
nous  fuppoferons 

(aP  -fa-n"  =  aP"-*-  P  a'"""''  -h  Q  aP'-^P  -+■  See. 
{af  H--  a"0""'  (a''~a-P)  =  a"/-  -H  F  a''P-'P  -h  Q  a"''"'*?  -+-  &C. 
la''  ■+■  a'O  "-'  (aP  -  a^  )'  =  a=v  4,  p"  aT'P  -t-  Q    a''P-'r  -+-  &c. 
&c. 

&  r  on  trouvera  ,  pour  le  cx>efficient  de  la  puiflance /7p-.x, 
la  ferie 

i.i.3--i''~i\  / 

-n^^^— f  X"  -H  P  (x-ipy  -h  Q  (x-4P)^»  -+-  &c.  )ju 
1.1.3...  i"\.  \~  i '  J 

1  1  I.}...2n4-l  \  *  v.  <  J 

—  &c. 

On  tera  done  £  =  «  ^  -  x  ,  c'eft  a-dire  ,  *  =  «  ^  -  ^,  &:  on 
integrera  de  inaniere  que  I'lUK^g rale  foir  nulle  lorlque  {  =:r, 

if  - 


ii8 

&  complette  lorfque  js=-j,  e' eft-a-dire  ,  nulle  qunnd 
X  =  n  p  —  r  ,  &  complette  quand  x  =  n  p  -i-  s  ,  on  aura 
la  qu?ntite 

i^ — -  ((np^sy-hP  ((«-i)p+i)"  -f-  Q  ((/z-4)p-+-j)'"-»-  &C. 
*.2.3...in\  ^  ' 

I.J.3...in^.i\  I  >-  • 

-  (w/5-r)"-^'-P'.((A--i);;-/-)"+'-Q'((«-4)f-'-)""*"~&C-  ) 

i         i.i.3...in-H\ 

laquelie  exprimera  la  probabilite  que  T  erreur  moyenne 
de  H  obfervations  foit  comprife  entre  les  limites  r,&.— jj  ; 
au  refte  il  faudra  toujours  fe  fouvenir  que  les  feries  prd- 
cedentes  ne  doivent  erre  continuees  que  jufqu'  a  ce  que 
■quelques  unes  des  quanrit^s  qui  fpnt  elevees  aux  puiflan- 
ces   1  /2  ,   2  /J  -t-  I  &c.  deviennent  negatives. 

Remarque. 
43.  L' hypothefe  du  dernier  exemple  paroit  la  plus  fim- 
ple  &  la  plus  naturelle  qu'  on  puilTe  imuginer  ;  11  eft  vrai 
que  celle  du  probleme  8.  paroit  encore  plus  iimple,  puifqu'on 
y  fuppofe  que  la  facilite  des  erreurs  x  S>c  ~  x  foit  repre- 
fentee  par  p  "  x ,  p  etant  la  plus  grande  valeur  poifible 
de  jc ,  c'  elt-a-dire ,  la  limite  des  erreurs  tant  poiinves  que 
negatives  ;  mais  ceite  hypothefe  a  1'  inconvenient  que  la 
loi  de  continuite  n'  y  elt  pas  obiervee  en  paffant  des  er- 
reurs politives  ,  aux  negatives ;  c'ell  pourquoi ,  fi  on  vou- 
loit  y  appliquer  la  methode  du  prob.  prec.  ,  il  faudroit  en 
fajidnt  J  =  K  {p  -  x)  prendre  d'  abord  1'  integrale  de 


ii9 
fy  a' d  X  depuis  x  =  o  jufqu' a  *  =  /» ,  laquelle  feroit 

\Uay  ~  Ta  J 
enfuite  ,  en  faifant  x  negatif,  &  confervant  la  meme  valeur 
dej/ ,  il  faudroit  prendre  de  meme  1' inregrale  6e  fyoT'dx 
depuis  X  =  o  jufqu'  a  x  =  /J ,  laquelle  (eroit  (en  ne  fai- 
fant que  mettre  —  a  la  place  de  a  dans  I'  expreffion  pre- 
cedence ) 

&  la  fomme  de  ces  deux  integrales  particulieres  feroit 
r  iniegrale  complette  Aq  fya'dx  depuis  x  =  p  jufqu' a 
X  =  —  p   dans  1' liypothefe  dont  il  s'agitj    on  aura  done 

la  quantite  K  ( j-— J  ,   ou  bien  K  (  —^ .'  j 

qu' il  faudra  elever  a  la  puiflance  n,  &  fur  laquelle  on 
pourra  enfuite  operer,  comme  dans  I'exemple  I.;  on  pourra 
meme  ,  fcins  faire  un  nouveau  calcul,  apphquer  ici  les  tor- 
mules  de  cet  exemple  en  y  mettant  2  «  a  la  place  de  «, 

-  a  la  place  de  /»  ,  &  de  y,    &    par    confequent  />  a  la 

place   de  f  =  p  -4-  ^  J    de    cette    maniere    on  aura    fur  le 
champ  r  expreffion  de  la  probabilite  que  1'  erreur  moyen- 
ne  de  n  obfervations  foit  renfermee  entre  les  limites  r,  &—  f, 
laquelle  iera 
A"  / 

((p«-(-j)"-i  rt((/z-  i)p-+-0" 

-« ^^ —  ({n  ~  1)  p  -+-  s)"  —  &C. 

^  (pn-ry^ini{n-i)p-r)" 

—  ^ ^  {{n-z)p-  r)"  -H  &c.  j 

ce  qui  s' accorde  avec  la  formule  de  i'art.  31, 


Prohleme  11. 

44.  Suppofant  que  chaque  obfervation  foit  fujette  a  rou- 
tes les  erreurs  polfibles  comprifcs  entre  les  limites^  &  -  ^, 
(^  etant  Tare  de  90  degres)  &  que  la  facilite  de  chaque 
erreur  x  foit  proponionelle  a  cof.  x\  on  deraaade  la  pro- 
babilite  que  i' erreur  moyenne  de  n  obfervations  fera  ren- 
fermee  entre  les  limites  r  &  —  ^. 

On  aura  done  ici  y  ■==  K  cof.  ar,  &  il  s'agira  d'abord 
d*  Inr^grer    la    differentielle  K  a'  cof.  x  d  Xy    done    I'ini- 

tegrale  ,  (en  mectant  _ _a  la  place  deco/jf) 

fe  trouvera  par  Part.  39. 

Kg"   /       r-V  --  f.  •-.vV^'-       \ 

z       \la-i-V-i  la-V~\    / 

c'  ert-a  dire  ,  en  repaflant  des  exponeatiels  imaginaires  aux 
Jinus  Sc  cofinus  , 

cette  integrale  doit  maintenant  etre  prifr  enforre  qu'  elle 
s' etende  depuis  x  ■=■  —  f>,  auquel  cas  cof.  x  =  o  ^  fin. 
X  =  I  jufqu'  a  X  =  p,  oil  cof.  x  =  0  &  fin.  x  =  i ;.  ainfi 
r  on  aura  pour  1'  integrale  complette 

K  {af  -t-  a-P) 
{/ay  ->-    I 

Qu' on  eleve  done  cette  quantite'  a  la  pui fiance  «,  &  fat« 
fant  pour  abreger 

__^ 
on  aura  la  quantite  — -  dans    laqueile    il  s'  aglra 

jTiaintenant  de  cherchcr  le  coefficient  de  la  puiffance  at. 
Pour  cela  il  faudra    (art.   38.)    decompofcr  la    frat^ion 

-—-7-— —   c'elt-a-dire,  ;-; — r-77 — ; — r-"  en  ces  fra- 


£tions  fimples 

F  F'  F" 

{U-^-V-l)*  (/^-t-v'-i)"-'  (/-J-t-V-l)-*        ^    ^^^' 

G  G'  G" 

H 1 H L,    Rtq 

{ia-V-i)"  (/rf-v/- !)«•■«  {/a-v -I  )"■■'■ 

■&  r  oa  aura  par  les  methodes  cx)nnues  (art.   35.) 

f= I p=, 1 F"~-  "("-O       p.. 

(-zV-i)*'  (_iV_i)»-»-i'  i^-n/.i^.+i  ^^* 

luultipliaat  enfuite  par  A  cliacune  de  ces  fractions ,  on 
trouvera  par  la  meihode  de  I'art.  jS.,  que  le  coefficient 
de  la  puiliance  a'"'"''  fcia  expum6  de  cette  maniere 

1  .1 .  3  ,..»-z     \  ' 

H -—- ((F  '  e  -V-  ^  G  "  e'V-.)  X  -' 

-^  "^""*)  (ir"e-(^-v)v--.^g"^u>if)w-.)  (x-4/))"-*-H&c.  ^ 

-t-  &c. 

Or  on   a  e±'*^-'  =  cof.  x-*-y  -  i  fin.  x  ,  &  ainfi  des 
autres ;  done  I'ublHiuant  ces  valeurs,  &  taifant  pour  abreger 

G-^F=f,  G-F=^,G'-+-F'=f',G'-F'  =  -^ 

J  V_l'  J  V_I 

C"  -^  F"  =f"  y  G''-i^"=  -? —  Sec,  oil  les  quantites 


2J1 

/»  S  ■>  f  ^  S'  ^'■'  'f^ront  neceflairement  reelles ,  la  for- 
mule  precedente  devieiidra 

K"  dx         f  ,  r        f  r         \ 

• (    ( /  co\.  X  ->c-  s,  (in.  x)  X  ""' 

i.z. 5  ..  w-i  V 

-4-  n  (fcof.   (x-xp)   -^gfin.   (x  -  x  p))    (x  -  i  p)"'^ 

-t — r-~-    {fcof.  (X'^fp)  ^gfin.{x-A,p))  (jc-4p)'-'-t-&cJ 

-»-    "— ( (  f  cof.  X -h  ^  ' /irt.  x)   X"-' 

-t-  «  (/'  ^of  (x-ip)  -+-  5-'//j.  (x  -zp))  {x-->.  ;;)*■» 
-+-—7—  (/'<^''/'  (^-4F)  -+-g'y'«-(jf-4/')(jf-4/')''."'-H&C.  \ 

-i ^^ (  Cf"  cof.  X-+-  8:"  fin.  x)  x  "-» 

-H  /z  (/"  cof  ix-2  p)-hg  "fin.  {x  -  2  p))  (x  -2  j?)»-» 
^,"±lll(f"  cofix-4  p)-^-g"M  ix-4p)  (.x-4pr>-^8cc. ) 

-»-  &c. 

oil  il  faudra  continuec  les  diiFerentes  feries  jufqu'a  ce  que 
les  quantites  x,  x  -  x  p  ,  x  -  4  p  &c.  ou  leurs  expofans 
deviennent  negatifs  j  cette  quarftiti  exprtmera  done  la  pro- 
babilite  que  1' erreur  moyenae  de  n  obfervations  foit^  tz-xj 
par  confequent  il  n'  y  aura  plus  qu'  a  1'  integrer  de  ma- 
niere  que  I' mtegrale  foit  nuUe  lorfque  x  =  pn—  r,8c 
compleite  lorfque  x  =  p  n  -+•  s  pour  avoir  1'  expreffion  cher- 
ch^e  de  la  probabilite  que  I'erreur  moyenne  loit  renfermee 
entre  les  limites  donnees  r  8>c  —  s  ;  mais  comme  cette  in- 
tegration, eft  facile  par  les  mecliodes  connues  ,  nous  n'  en- 
trerons  pas  dans  un  plus  grand  detail  la-deflusj  &  nous 
termmerons  mSme  ici  nos  recherches,  par  lefquelles  on  doit 
voir  qu'  il  ne  relte  plus  de  diffi'culte  dans  la  folution  des 
queftions  qu  on  peut  propofef  fur  ce  fujet. 

THEO- 


T  H  E  O  R  i:  M  E 

Pour  fervir    de  fuiie  aa  mimoire  fuT  dijfirentes 

quejiions  d  Analyfe. 

Par  M.  le  Marquis  de  CONDORCET. 

Ooient  les  3  equations  V  =  0  ,  V  =  0,  V"  =  oj 
V^  v.,  V"  etant  functions  de  :t,  j,^,  li  je  mets  ces 
equdticns  fuus  la  forme  x=.A-^^^y=^B-^<p^ 
{  =  C  -H  (p"  ,  oil  (p,  (p,  <p'  contienent  d' une  tagon  quel- 
conque    les  trois  variables  x  ^  y  ^  z^    j'  aurai    +    x  ,  y , 

I  ^  -^  A,  B  ,    C  -4-  it  (p    -+-  l.t    <P' 

iA.  id  A» 

(^Jf  y?,  ell  une  autre  dAr     1  idd<ir        , 

lonchonquelconque  ''^  ^  xdAdB  ^ 

^i^''t.<p'<p-+^ 


.  <<■ 

4^ 

?>' 

•  •    • 

<i^» 

z? 


<3u  D,  D' ,   D''  font  ce  que  devient  le  terme  (1)    en  y 
mettant  pour  ^  ,  (p  ,  ?i',  ou  (p",  £,  £' £"  ce  que  devient 
le  terme   (3)  en  y  mettdnt  pear  4^,  (p ,  ^',  ou  (p"i  iU.  le 
AJj/c.  7a«r.  To^ti.  V,  g  § 


terme  (m)  fe  trouvera  en  prenant  ■4^(/4-4-A/^,5-+-A5,(r-l-AO 
par  le    iheoreme  dc-  M.  d'  Alembert  ,  en   nittiaiu   pour 

A/^,A5,AC(p-+-(p(^>-+-(p('^-+-(p^*^ -t-(p("-^)..®'-Kp'('>-^-(p^') 

-+-  ©'('■-),  <p"-h  <p"(^)  -+-  (p"('^.  . .  -^^'^'-'l  (p^"'  (p'C^  cp' W}  defi- 
gnant  en  general  le  terme  (m)  de  la  ferie  ea  ■}•  oil  pour 
•"f-  on  auroit  mis  <p,  cp'  ou  <p",  &:  en  prenant  dans  ce  que 
devient  aiors  -^A-^-AJ,  B-^AB,C-+-AC,  le  rerme 
oil  ^  &  ^k  montent  au  degre  n  ,  les  fonftions  (p^"^  <p'W  (p"W 
etant  regard^es  comme  du  degre  m;  on  aura  done  la  va- 
leur  de  chaque  terme  de  la  ferie  qui  reprefente  4^x,jk,  f, 
par  une  fonftion  finie  des  termes  precedents. 

Si  cette  forme  ne  paroit  pas  ailei  fimple ,    on  peut  y 
fublhtuer  celle-ci , 

^x^z=-¥A,BC-h'S  cp  +    -f£_    -4-_M^/^Ji!L_: 


"■"  (p     2dS  z.j.dAdB 

.   H-:!^:). 

d^ 


(p'      Jv4 


<P'     a<iC 

<P"      i.dB'" 
,,d-i-       »\ 


»35 

oil  V  eft  une  quantity  telle  que 

^><       <p  Ta  ''^  (p  Tb  dB~'' 

; —    --     «(Ty     -^J     OC        ^'/a  I,  dB     <t  '  o.      ■    r 

-  ^         ^^   ,>  _^^- ^,    __^ ,    Ck  ainfi 

de  luite,  Ces  termes  fuffileni  pour  voir  la  maniere  dont  il 
faut  s'  y  prendre  pour  trouver  les  autres  &  continuer  la 
ferie.  On  voit  que  la  methode  eft  generate  pour  un  nom- 
bre  quelconque  de  variables.  Le  theoreme  ie  demontrera 
toujours  avec  la  meme  facilite ,  Sc  de  la  meme  maniere 
que  j'  ai  demontre  celui  de  M.  De  la  Grange  pour  une 
feule  variable.  II  elt  inutile  de  s'  etendre  ici  fur  1'  ulage 
qu'  on  en  peut  faire  dans  tous  les  probi^mes  dependans 
4es  eliminations  &  des  feries. 


g  g 


NOUVELLES  RECHERCHES 

Sur  les  equations  determinees ^  pour  ferv'ir  dc  fuite 

&  de  developpement  au  rnemoire  fur  le  meme 

objet  ,  deja  inferc  dans  ce  volume* 

JLe  but  que  je  me  propofe  ici  eft  de  prouver.  i.'Qaefi' 
une  equation  determinee  de  T  otdre  n  elt  refoluble  par  une- 
formule  generale ,  c'eft-a-dire,  fi  fa  racine  eft  fufceptible 
d'  une  expreflion  finie  ;  il  n'  y  a ,  pour  la  rrouver ,  d'autre 
difficulte  que  celle  de  la  longueur  des  calculs.  x.°  D' indi- 
quer  la  marche  d'  une  methode  generale ,  par  Faquelle  on 
parviendroit  dans  ce  cas  a  trouver  la  racine,  &  d' exa- 
miner les  tnoyens  de  faciliter  cette  methode  que  1'  analy- 
fe  peut  fournir.  3."  D' indiquer  comment  on  pourroit  s'al' 
furer  fi  une  telle  equation  ell  ou  n'  eft  pas  poffible. 

ARTICLE    I. 

De  la  forme  generale  des  foncllons  radicates^  du  degri 

oil  moment  les  equations  qui  fervent  a  les  determiner^ 

&  de  la  recherche  des  coe^ciens  de  ces  equations^ 

d'  ou  r  on  deduit  la  preuve  du  premier 

objet  dc  ce  rnemoire. 


1.S, 


'oit  la  forme  \f  A  ^  elle  a  n  valeurs :  ces  n  valeurs 
font  y^A  multiplie  lucceflivement  par  les  n  racines  de 
r  equation  y'  —  i  ;  &c  fi  on  fait  x  ■=  ^  A  f  on  aura 
x"  -  A  =   Q. 

II.  Soit  X  =  ^A  -H  ^B  -+-  yC  &c.  ces  quantites 
etant  au  nombre  de  m ,  comme  chacune  peut  etre  mul- 
tipliee  par  chacune  de  n  racines  dejy"  —  1  =  0,  x  pourra 
avoir  n"  valeurs  ,  &  par  confequent  fera  doune  par  une  equa- 
tion du  degre  n". 


1^7 
TIT,  11  efl  aife  de  voir  que  cette  Equation  ne  peut  con- 
tenir  que  les  termes 

X      ,      X        —  n ,   X     —  in,    ixC. 
cn  effet   ce  fonr  les  feuls  qni   puiirent  conienir  lies  rermes 
rationiicls  A,  B,  C,  &c.  A\  B^  ,   C\  AB ,  AC,  &c. 
IV.  Chaque  A ,  B  ,  € ,   &:c.   devaiu  enirer   d'  une  ma- 

niere  fcmblable  dans  les  coefficiens,  le  coefficient  dc  x  "^n. 
(era  do  la  forme 

A  -+'  B  ■+■  C x/7} 

celui  de  x""  — zn  fera 


B- 


-^AB  -^  AC -\-  BC ,  bcc.  q'  i 

C£lui  de  x" —I  n  fera 

^  »   -4-  ^  >    _H  C j>" 

H-  A'  B  -J-  A'C  -+-  B'  A  -f-  B'C  8ic.  q" 
■i-  A  B  C  Sec.  r";  &   ainfi  de  fiiire. 

V.  Pour  trouver  p,  on  obfervera  que  y'A  a  pour  coe& 
ficiens  routes  les  racines  de  1'  equation  y'  —  i  y  repetees 
un  nombre  n"^'   de  fois  chacune,   ou    bien  les  racines  de 

r  equation  jy"  -  1       =  o;    done  le  coefficient  de  (v'A)* 
©u  le  coefficient  de  A   lera    la    fbmme    des   produits  de 


toutes  les  racines  de  J'equaron  y'  -  i  =  o  ,  priles 
«  a  ra  ,  c'  ell-a-dire  ,  au  coefficient  de  y  '—n  ,  dans  y"—  i 
^leve  a  la  puillance  n""^  ,  ou    a   -  (/.""')• 

VI.   Pour   trouver  p\  on   cbleivera    que    par  la  meme 
raifon  ce  terme  doit  etre  egal    au  coefficient    de  y'—zit 


dans  y"  -  i  egal  a  i  ;    p'  fera  egal  a 

i    &  ainli  de  fuue. 


•   \ 


»3« 

VII.  Pour  avoir  ^',    on  obfervera    que    le    coefficient 

de  X " — 2  n  eft  egal  a  la  fomme  des  produirs  des  raci- 
nes  prifes  i.  n  a  in;  que  dans  chacun  de  .  ces  produits 
on  aura  pour  coefficient  de  -^  ^  la  fomme  d'  un  nombre 

ri"-' 

de  produits  des  racines  de  ^*"  —  i       prifes     x  n  k   m 

X  n 

egal  au  coefficient  de  P"  Q"  dans  P  -+-  Q  ;  mais  le 
coefficient  total  de  A  B  doit  conienir    tons    les    produits 

/z"^' 

des  racines  de  ^''  -  i  ,  i  n  k  i  n ,  d'une  maniere  fem- 
blable  ;  done  ,  puifqu'  il  contient  un  nombre  de  ces  pro- 
duits egal  au  nombre    qu'  il  y  en  a  de  difFerens ,    multi- 

20 

plie  par  le  coefficient  de  P"  Q"  dans  P  ~i-  Q  ,  il  fera 
egal  a  la  forame  des  produits    des  racines    de    1'  equation 

«"-' 

jy"  -   I    ,    prifes   2/2  a  2  «  ,  multipliees  par  le  coefficient 

m 

de  P'  Q"  dans  P -+■  Q     . 

VIII.  De  meme  g"  fera  egal  a  '- '- ; 

■'  "  1.2.5 

3/2 

muhipliant  le  coefficient  de  P"  Q"  dans  P  -+-  Q  ,  Sc  r" 
au  meme  terme  multiplie  par  le  coefficient    de  P"  Q'  R' 

dans  P-f-Q-t-/?  ,  &  ainfi  de  fuite  ;  en  forte  que  le  coef- 
iicient  de  x''—np  fera 

1.2-3 P  ^ 

^-  p,AP-^  B 


•^'  I  A'  B'  c y 


1J9 

np 

jp  ,  ctant  le  coefficient  de  /'•'-"  Q"  dans    P  -h  Q   ,    &c 

I  le    coefficient    de    F'"  Q'"  R"    dans  i?  -j-  Q  -+-  i?  , 
tt-f-f-+-j =F' 

IX.  Suppofons  maintenant  que  au  lieu  de  x  =  v^/4 
-h  v-S  ~i-  v^  ^c.y  au  nombre  dc  m,  (qui  ne  variei.t 
que  felon  les  coefficiens  de  C^,  yB  Sec.  qui  font  les 
racincs  de  j"  —  i  =  o, )  nous  avons  auffi  ies  y^ ,  B  .,€,  &c. 
qui  varient  &  qui  deviennent  fufceptibles  de  p  combi- 
nailbns  differentes,  1' equation  en  x  deviendra  du  degre 
p  .  if.  bupi^ofons  les  differentes  combinaifons  de  A^  B,  (T,  &c. 
independatitt's  les  unes  des  autres,  nous  aurons  1'  equation 
en  X  ega'e  au  produit  de  p  equations  du  degre  n"  fem- 
blables  entr'  clles  ,  &  donn^es  par  ce  qui  precede. 

X.  Son  done  a:"  =  ^ ,  /z"  =  ^  ,  nous  aurons  p  equations 
j»  ^-  PQ,r'  -H  (li'!-^  -J-  R^n  .... 

{«  -+-  P'ff-"  ■+■  <;>■{«•'  -t-  R'l^'   &:c. 
Done    le    coefficient    de    i""'   fera   P  -H  P'  -t-  P'\  &c. 

celui  de  |»'-^  fera  Q  "+-  <2'  -+"  <2"  -^  ^^'  -+"  ^-P"  •  •  •  • 
&  ainfi  de  fuite. 

XI.  Maintenant  foit  ^  le  degre  de  1' equation  y^,  ^,  C  Sec. 
r  le  nombre  des  A ,  B,C,  &c.  differens  qui  entrent  dans 
chaque    racine    ( voyez    le    n.*   fuivant  )    p    fera    egal    ^ 

— '■ '-' '-LL  :  maintenant  il  eft  aife  de  voir  que 

I   .  1 r. 

P  ■+•   F  -h  P"   &c.  doit   {article  precedent)   etre  egal   a 

n'*"',  puifque  j'  appelle  r  ici  ce  qui  etoit  m   ( ankles  pre- 

cedens).  Multipliant  — '- '  '  '  '     fommes  de  r 

'  I  .  1 r 

A  ,  B  .  C ,  &c.  done  cette  fomme  contiendra  — 

termes  A .,  By  C,  dec.  done,  puifque  chaque  terme  j   en- 
tre  d'  une  nianieve    lemblable  ,    divilknt    par  s ,    on  aura 


P  -+•  if...'..  =  rT^ . X  (lefecona 

•  ■"■■  "^    •?•     •  I  ....  r  —  I  t^tmb  on<h 

terme  de  1' equation  tn  A). 

XII.  Enfuite  Q  -+.  e  ■+-  (2"  =  z^-— '•'^''•'••^'';?!! 
^  ^  ^  i.i.3....r-i  ^' 

( fomme  des  quarres    des  racines    de    1'  equation    en  A  ) 
^_   1 ~ — ,    multipliant  le  coefficient    de  P"  Qf. 


/. /—  I  .  r  — 1, 


dans  P  -t-Q  i  jnultipliant  une  quantite  egale  a  — ^^ ~ 

produits  deux  a  deux  de  ^^  ,  ^  ,  C,  pris  entre  r   de  ces 

/  .  f  -  I  .  .f  -  a  .  .  .  . 
quantites ;  done  ce  nombre  lera • 

—  ^  ~  ■   produits  deux  k  deux,  'mais    le    nombre    total 

^  -  '>   .' 

eft  '^  '  '^  ~       &  tousdoiventy  entrer  femblablement:  done 


ce  -terme  fera  ^eal  a -^^ — 1_LJ_l:  x   (letroifieme 

°  I  .....  r  —  1. 

terme  de  I'equation  en  A  );  enfuite  pour  avoir  JPP'-i- FP".... 
je  remarquerai  que  (  le  nombre  des  P  etant  p  ,  celui  de 

ces  produits  -^-^-^ )  chacun  contiendra  /i""'-^     termes 

en  At  B  ,  C ,  &c.  que  dans  !a  ferie  des  P  .  A  fera  re- 
pute {.,  ~  '  •  ^  "  ^  •  •  '  '  /z'--'  fcis  J  ou  /i'"'.  A  un  nombre 

J—  ,1  .  /  -  2  .  .  .  ^^.^  ^^^  J,  appelle  p'  fois ,    done   dans 
•1   .   i  .  .  .  r  —  4  

PP'  -+■  PP"  &CC.  A'  fe  trouvera  repete  tEzLn'--'-'-  fois^ 
done  ce -terme  contiendra  ^!1j1jl4  "  '  '"'  (^o'"r"e  des 
qaarris  de  _-^'  )  plus 


241 

termes  ou  les  prodults  font  cle  A^  J?,  C,  &c,  diffe'reiisj 
done  divifant  ce  terme  par  -^ &  appellant  le  quo- 
tient Af ,  on  aura  pour  la  valeur  de  ce  terme  My.  (le 
troifieme  terme   de   1'  equation   en  ^4  )  . 

XIII.  Connoiffant  dorft  1'  equation  en  ^ ,  on  aura  par 
ce  moyen  les  coefficiens  de  I'  equation  en  x  par  la  do- 
ftrine  des  combmailbns  ,  pourvu  qu'  on  ait  la  maniere  de 
trouver  les  fonftions  femblables  de  toutes  les  racines  de 
r  Equation  en  A. 

XIV.  Cela  pofe  ,  je  fuppofe  que  j'  aie 

*  =  v^-+-v5 

au  nombre  de_p  ;  que  A  foil  de  !a  forme 

au  nombre  de  p\  j'  aurai  s  =  n  ""  ;  V  equation  en  A  -  F 
fe  formera  comme  ci-defTus,  &  par  confequent  1' equation 

€n  X  qui  fera  du  degre  '■ LU—  x  n^ . 

*  "        1.2 ,p 

XV.  Si  on  fuppofe  que  les  A\  B',  Sec.  font  de  la  forme 
au  nombre  de  p",  on  aura  A  par  une  Equation  du  degre 

B'  ''"    .   n'f"   —I    ....   -  .  „'     o  r- 

— nP  f  oc  par  conlequent  x  par 

une  equation  du  degre 

ti  '^    .   n  1^    —■    I       .     -r      n       .  n       —    i  . .  ,  .      ,  , 
n    . ,   nf-i.,.. 


3 


/^^ 


i.i.3 p 

&  ainfi  de  fuite  pour  des  formes  plus  compliquees. 

XVI.  Nous  nous  bornerons  maintenant  a  conclure  de 
cette  Theorie ;  i ."  que  1'  on  doit  toujours  fuppofer  que 
j>  <C  que  le  degre  de  1'  equation  en  A  ,  p'  <Z  que  le 
-degre  de  1' equation  en  A'^  p"  <C  que  le  degre  de  i'e:|ua- 
lion  en  A'\  &  ainli  de  fuite.  Autrement  le  nombre  des 
M.J  c.  Tour,  Tom,  K,  h  li 


1^1 

Jl ,  £,  C,  ^tant  plus  grand  qu' il  ne  peut  ^tre  ,  il  fau- 
dioit  qu'  ils  fufTent  repetes  pluiieiirs  fois ;  ce  qui  eft  coii- 
tre  r  hypothefe.  i.'*  Qu'  on  n'  a  fuppofe  pour  V  equation 
en  .V  que  des  racines  oii  les  A,  B,  C,  &c.  fuflent  ii^r 
ferens  dans  chacune  j  il  auroit  ete  facile  d'  y  faire  entrer 
les  racines  oil  ils  font  les  memes'  mais  cela  etoit  inutile, 
parceque  les  racines  oil  ils  feroient  les  memes  formeroient 
des  feries  de   racines 

a  vB  -^  v''^  ■+■  y'C  ,  Sec. 
oil  le  nombre  des  radicaux  ell  moindre,  &  qui  donne- 
roient  par  confequent  des  racines  rationnelles  en  x,  d'uii 
degre  moindre  que  celui  de  la  ferie  lotale  des  valeurs 
de  X  ;  done  1'  equation  en  x  feroit  divifee  par  celles  la , 
&  le  quoaent  feroic  i' equation  trouvee  ci-deffus.  3.°  Si  on 
fait  p'  =  n" ''"  f  on  aura  ^  par  une  equation  du  degre 
n' '"'  i  &  ft  p  =  ;z'  '■' ,  on  aura  x  par  une  equation  du 
degre  /z-".  Si  on  fait  p  =  n" '"  -  r  5c  p  ==  n  ''  -  n"'% 
on  aura  A  par  une  equation  da  degre  n"  ^  /z'^',  &:  x 
par  une  equation  du  degre  ii^  n^  n  P"  &c.  &c.  Sec. 

XVII.  Cela  pofe  ,  imaginons  que  1'  une  des  formes  ci- 
delTus  qui  contient  2  ,  3  radicaux  faccefTifs ,  reprefente  la 
racine  de  1'  equation  du  degre  n  ,  comme  (  articles  pre- 
cedens )  le  degre  oix  e'.le  monte  eft  toujours  multiple  de  n; 
foit  n  w  ce  degre  ,  on  aura  u  equations  du  degre  n  ,  qui 
par  leur  rniiliiplication  doivent  produire  la  popofee. 
,  XVlil.  Sjppofons  d' abord  que  Ton  ait  1' equation 
x'  ■+•  a  x"-'  -H  b'  x"-'  -+-  c'  x"-^  ....-+-  A"  ,  &  que 
^  r  on  ait  1'  equation  du  degre  x"' ,  dont  (art.  preced.)  les 
coelficiens  loient  donnes  en  P  ,  P',  P" . . ..  A,„  /tz,  B,,,  /tz, 
le  nombre  des  P  etant  /n,  &  /w -+•  i  le  pombre  des  ra- 
dicaux fucceffits ;  il  eft  ail'e  de  voir  que  fi  x  eft  une  'ion- 
ftion  du  degre  i  homogene  SKa,b,c....h,  P  fera 
une  fondion  rationnelle    &  eniiere  du  degre  n;    P'    une 


...  .  MJ 

da  6egr6  nn;  P"  da  degre  nn  n\  &  A..  ^  du  degr^ 
n  n  n' .  .  ..  n"'",  &  que  les  coefRciens  de  ces  fonflimis 
pourront  dcre  rationnels.  Prenant  done  l'  equation  hypo- 
th^tique  du  degre  n  u  formee  par  cette  hypoihefe ,  pre- 
nanr  una  aurre  equation  hypothetique  du  degre  n  u  —  ;^  ; 
muhipliant  celle-ci  par  la  propofce  ,  &  comparant  terme 
S  terme  ,  on  aura ,  fi  on  a  pris  pour  n  ,  n\  n\  &c.  des 
valeurs  convenables  ,  on  aura  ,  dis-j?  ,  les  cotfiiciens  ration- 
nels des  differens  termes  qui  entrant  dans  P,  P\  P". .  . .  A„„  » 
:  par  des  equations  numeriques  ,  &  le  probleme  fera  refolu. 
Or  comme  on  peut  prendre  n  ,  n  ,  n"  a.  volont^ ,  &  en 
aufli  grand  nombre  qu'  on  veut ,    il  e(l    clair    que    routes 

•  les  fois  qu' une  equation  aura  une  racme  de  cette  forme, 
'On  la  trouvera  par  cette  methodej  done  pour  prouver  que 
!  cette  methode  ell  generale  pour  routes  les  equations ,  dont 

les  racines  ont  une  forme  finie,  il  relle  a  prouver  feule- 
ment  que  routes  les  fonftions  algibriques  &  fihies  peuvent 
ctre  repiefeniees  par  cette  forme  generale. 

XIX.  Je  fuppoie  d' abord  que  la  fraftion  fbit  reduite  a 
un  feul  de:iominateur  rationnel  ,  ce  qui  eft  toujours  pofll- 
ble  en  general ,  &  que  l'  on  fafle  abitraftion  de  ce  deno- 

•  niinateur  J  je  remarque   i."  que  les  formes 

i~A    -+-    "y'B    -e    XQ.     &<^- 

•ibnt  reJuftibles    a    la  forme  prec<Jdente,   en    les    ecrlvant 


nn  n  . . ,  .  n  n  n 


y~^~.  •*-  y/'B^-  •  •  •  •  ^'^'  *!""  ^"  formes  P  y'^  font 
les  m^mes  que  v^P"  A.  2."  Cela  pofe  ,  fuppofons  une  for- 
me ou  il  y  ait  deux  radicaux  fucceffifs;  il  ell  clair  qu'eile 
fera  ( les  radicaux  lupeneurs  &  inferieurs  eianr  reJuiis  ai^ 
meme  degre,  comme  je  viens  de  le  dire)  il  eft  clair, 
dis-je,  qu'eile  fera  de  la  forme 

V^  ^%B  ^  "vc ^'"  ""'""'^  '^ 

a 

-*-  \^A'  -t-  yj   -f  vc^ (^"  nombre  r) 

hk  1 


a44 

(Si  un  nombre  quelconque  de  termes    ae  cette    forme). 

Dans  ce  cas  il  ell:  aife  de  voir  que  fuppofant  que  r  eft  le 

plus  grand  des  r  ,  r  ,  ■/''y  See.  on  peut  mettre  le  terme  A' 

&  tous  les  termes  fembkbles  fous  la  forme  ^ -*- vC^'-yi""), 

i'alors  la  forme  deviendra 


^J  ■+-  vB  -^^e 

•^  &c. 


y A  •+■  v^-f-vC, 
ou  1'  on  peut  fuppofer  le  nombre  des  radicaux  egal  dans 
chacune  ,  puifque  s'  il  en  faut  trois  de  plus  ,  par  exemple, 
on  peut  prendre  y^'  &  lefaire  egal  a  /^-f-y  (BT^)"*-!-"  {B,'P^y 
-j-^(^'  -  B")",  ou  bien  fuppofer  que  deux  ou  trois  de 
A,  B,  C,  font  zero.  Soit  donc^le  nombre  des  radicaux 
fous  le  figne  ;?,  &  r  celui  des  radicaux  fous  le  figne  m  ,  on 
aura  «  r ,  5,  C ,  &c,  qui  prifes  r  a.  r  ,  donneront  les  valeurs 
des  termes  fous  le  figne  ;  done  nous  aurons  cetre  fonftion 
de  la  forme  ci-delTus  (n."  XL,  Xll.,  Xlll.,  &  XIV.)  oh  ce 
que  nous  avons  appelle  /z  &  /?  eft  le  meme,  &c  s  =  nf.  Il  en 
fera  de  meme  des  formes  plus  compliquees  ;  il  faut  fur«touE 
obferver  ici  que  fouvent  pour  reduire  a  cette  forme  ,  il  fiut, 
comme  1'  on  voit ,  la  fuppofer  beaucoup  plus  compliquee 
que  celle  fous  laquelle  la  fonftion  fe  prefente. 

XX.  Maintenant  il  refte  a  prouver  que    la  fonftion  ne 

peut  avoir  de  denominateur.  Soit  done   - — - — ^ — '-LL1  la 

valeur  de  la  racine  d'  une  equation    oil    le  coefficient   de 

la  pljs  haute  puilTance  eft  numerique ,  &  dont  les  racines 

■  — j 
*'font  *,  x',  x"&c.  on  aura  ^   s=:flx-+-^x'-Hc  ;f"&c.  a,^,  c, 

etant  numeriques;  or  faifant  j'  =  a  x -+•  b  x' -^  c x' Sec. 
on  aura  y  par  une  equation  oil  auffi  la  plus  haute  puil- 
fance  aura  un  coefficient  numerique  ik.  les  autres  entiers  j 

A       ■  .        n-  -.  A  A'-^yS'-^yC' 

done  p^  kra  une  toncnon  entierej  mais  jj-^= p^ i 


done  ~  fera  une  fon^lion  entlere ,  &  par  confequent  ^^ 

,8f  ainfi  de  fuite ;  done  en  general   - — ^^  -  Cera  imme- 

diatement  divifible  par  P ;   done  on  peut  la  fuppofer   en- 
tiere.  Or  il  eft  aif^  de  voir  qu'  il    doit  etre  general    que 
le  coefficient  de  la  plus  haute  puiflance  de  y  (bit  numeri- 
que  ,  car  ce  coefficient  ne  depend  que  du  premier  coeffi- 
cient de  la  propolee  ,  qu'  on  peut  fuppofer  1'  unite  ,  &  du 
degre  de  1'  equation  ,  &  eft  independant  de  tous  les  autres. 
/•;!!  XXI.  J' ai  done  prouve  que  Ton    auroit    toujours    une 
in^thode  g^nerale  de  trouver  la  racine  d'  une  equation  du 
degre  ,  pourvu  que  certe  racine    fiit    d'  une    forme  finie  ; 
•mais  le  nombre  des  radicaux  fuccellifs  &  leurs   expofans , 
-reftent  indetermines  j  d' ailleurs  1' equation  en  x  alaqueile 
.  on  compare  la  propofee ,    eft  beaucoup    plus   elevee  peut 
f  6tre  qu'  elle  ne  doit  1'  etre.  C  eft  done    a  fimpliher  cette 
methode ,  &  a  tacher  de  determiner ,  s'  il  eft  poffible ,  le 
nombre  de  degres  des  radicaux,    que    je  dois   ra'occuper 
maintenant. 

ARTICLE     II. 

iNI  ous  examinerons  quatre  queftions  dans  cet  article . 
1.°  La  maniere  dont  1' equation  produite  par  1' evanouifle- 
ment  des  radicaux  fucceffifs  &  dont  la  racine  eft  v'A  -+■  vB 
•+■  v'C ,  &c.  peut  fe  reduire  a  une  equation  rationneile 
du  n.*  degre  .  z."  Combien  &  quels  radicaux  font  neceC- 
faires  pour  que  cela  foit  poffible.  3.°  De  la  reduftion  & 
folution  des  equations  en  Ji,  B,  C.  4."  De  la  marche  gene- 
rale  la  plus  fimple  qu'  on  puifle  faire  fuivre  a  la  methode. 
I.  Soit  I'equation  dont  la  racine  eft  x=y'Z4-i-v  B-+-C  C,&:c. 
rationnelle  du  degre  n,  &  Coit  pie  nombre  totaldesy^, ^,C, &c. 
il  eft  clair  que  ce  nombre  doit  etre  egal  ou  plus  grand  que 


n— I.  En  efFet ,  s' 11  eroit  plus  petit ,  foient  x,  x\x'*..iii 
les  n  racines  de  la  propofde ,  nous  aurions  entre  n—  i  de 
ces  racines  une  equation  lineaire  j  ce  qui  eft  contre  I'hy- 
pothefe  ,  puifqu'  on  peut  les  fuppofer  quelconques.  D'  out 
il  fuit  que  ii  les  memes  A  ,  B  ^  C ,  fe  trouvent  dans  cha- 
que  racine  de  1' equation  ,  il  faut  que  ces  n—  t  tecmss 
au  moins  fe  trouvent  dans  chacune. 
•  :    II.   Soit   maintenant 

une  des  racines,  les  A,  B,  C,  &c.  ^tant  au  nombre 
de  « —  I  ,  &  appelons  n ,  n\  n'\  n"\  &c.  les  n  racines 
de  r  equation  y"  -  i  =  o  ,  les  n""'  combinaifons  differences 
de  ces  racines  donneront  n"~'  racines  de  i'  equation  en  x. 
Suppofons  que  v'34  -h  y-S  ■+■  vC  Sec.  foic  une  racine  de 
r  equation  raiionnelle  en  x  ,  il  faut  que  tout  fyrteme  de 
radicaux  convenant  a  cette  equation  du  degre  n,  foit  af- 
fujctti  aux  conditions  de  1'  article  precedent.  Le  nombre 
total   de    fyltemes    de  n  racines    eft    ici ,    ( «""' )  =  j , 

— '- ■— -*j  mais  comme  il  n'  eft  queftion  que 

I  .  ^  .  3   .  .  .  »  ' 

de  ceux  qui  contiennent  y^A  -t-  v5  -I-  yC  ,  &c.  le  nombre 

eft  reduit  a  '■ — '-^-^  .  Maintenant    i°  tout  fy- 

Jleme  de  ces  » -  i  radicaux ,  qui  contiendroit  un  ou  plu- 
fieurs  des  «  -  i  racines  «',«",«''',  multipliant  yA~i-y'B^... 
eft  exclus  j  done  il  ne  reftera  plus  que  Jiysb 

lyftemes.  z°    11  eft  aile    de  voir  que, 

i.a.3...»-i         •' 

ii    on    divife  J/ A  -+-  y'S  -H  vC,  &c.     en    deux    parties 

/>  -+-  Q  ,  le  cas   oil  le  fyfteme  des  n  racines  contiendroit 

deux  tormules  n  P  -^  n"  Q^,   ou   en   le  divifunt  en   trois 

/>  _f_  ^  H-  iJ  ,    ce    fyfteme  contiendroit    trois  formules 

„'  />  -f-  /z"  Q  -+-  n"  R  ,  &  ainfi  de  fuite  ,    doit  etre  egale- 

inen:  exclus.   3.°  Que  foit  n  ^A  -+-  n'  y/B   -*-  n"  y  C,     &c. 


^47 
une  feconde  racine ,  toute  formule     ....'... 

in    vA   -^  n"  yB   &c. )  x    n    fera  exclue  ;   or    comme 

n%  n   n"  Sic.  font  auffi  des  racines  de  1'  equation j'"  -  i  =  o, 

la  formule  (n   v^   -+*  «'  i/5   Sec.)    ;:'    fcra    une    des  s 

racines  i  ainfi  cette  obfervadou  exclut  encore    des  racines 

de  I'  equation  en  x  du  degre  n  ■"'    toute    cette    claffe   de 

racines  ,  &  ainfi  de  fuite. 

HI.  Mais  fans  chercher  par  ce  moyen  le  nombre  de 
fyftcmes  repondant  a  la  racine  y/J  -h  yB  -+•  yC  j  &c. 
il  ell  aife  de  s' affurer  qu' il  n*y  en  a  en  general  qu' ua 
feul  >  en  effet ,  fi  y^'A  -4-  v'5,  &c.  appartenoit  a  deux 
fyftemes  de  n  racines  d'  equations  rationnelles  du  degre  «, 
on  auroit  une  equation  rationnelle  du  degre  z  n  qui  auroit 
deux  racines  egales  }  done  difFerenciant ,  on  aura  la  racine 
propofee ,  ou  par  une  equation  foit  lineaire  ,  foit  infe- 
rieure  au  degre  n  ;  ce  qui  eft  contre  1'  hypothefe  ;  ou  par 
une  equation  du  degre  « j  or  ce  dernier  cas  fuppoferoit 
que  r  equation  en  x  du  degre  72*"  a  n  racines  egales  deux 
a  deux,  a  toutes  les  racines  egales  au  moins  deux  a  deux, 
ou  plutot  les  a  toutes  /z  a  «  ,  puifque  n  eft  en  general 
le  feul  divifeur  de  n""' ,  done  l'  equation  en  x  du  degre 
n"'"  feroit  reducible  en  general  a  une  rationnelle  du  de- 
grd  moindre  ,  ce  qui  eft  contre  l'  hypothefe. 

IV.  II  fuit  des  memes  principes  que  ci-defius  ,  que  fi 
jc  =  y^  -H  v''5  •  •  •  •  elt  la  racine  d' une  equation  du 
degr^  n  ,  r  equation  du  degre  ra""  eft  formee  par  le  pro- 
duit  de  /z""*  equations  du  degre  n  ,  qui  ne  different  de  la 
propolee  que  parceque  leurs  coefficiens  font  multip'ies  par 
d'  autres  nombres.  Nous  obferverons  ici  que  1'  equation  ra- 
tionnelle en  n  ,  ^tant  fous  la  forme 
■  «"  ^4-  a"-  x"--  -+-  b'  A-"-»  -i-  c*  x"-*  .'...-+-  f, 
les  autres  equations  feront 

x"  -+-  A,  a'  x"-^  -+-  B,  b'  x*-'  -1-  (C,  c*  -h  D,  a*)  x"^^  &C. 
^ais  i\  on  avoit  regards  T  equation 


24S 

x"  •+-  A^   a-  X""'  -+-  J?,   i'   ***'....  =  « , 

comme  etant  la  propofee ,  1'  equation 

feroit  devenue 

x'^  ^  (A,  a')  x'-^ 

&  ainfi  de  fuite  ;  &  il  n'  y  a  pas  lieu  de  favoir  fi  en  ge- 
neral on  peut  fuppofer  a  ces  autres  equations  une  forme 
plus  fimple. 

V.  Mdintenant  foit 

jc  =  v'^^  -H  vB  -H  ^C 

au  nombre  de  p  termes  ,  nous  aurons  une  equation  en  x 
du  degte  /^^  Suppofons  que  x"  -t-  a^  x"** . . . .  -^~  /,  foit 
une  equation  rationnelle  qui  divife  I'  equation  du  degrd 
n^  a^  .  .  .  q"  demeurant  quelconques ,  il  eft  aile  de  voir 
que  fi  le  nombre  p  eft  «  -  i  ,  on  pourra  avoir ,  en  met- 
tant  pour  x"  fa  vaieur ,  une  Equation 

V  x"  -^V  x"-' =  0; 

que  la  multipliant  par  x  ,  &  fubftituant ,  on  en  a  une  fe- 
conde  de  la  meme  forme,  qui  fera 

Z  x»  -+-  Z'*"-' =  0; 

que  multipliant  la  premiere  par  Z' ,  on  aura  une  equation 

rz'-y'Zx''-r-  V" z'  -  rvx'-^  &c. 

ou  mcttant  pour  x"  (a  vaieur  ,  on  aura  n  -  i  equations 
pour  determiner  les  /z  -  i  quantites  indeterminees ;  done 
il  taut  toujours  fuppofer  qu' il  y  a  un  nombre  d'u^,5,C,  &c. 
En  effet ,  i\  on  ie  fait  plus  petit ,  il  y  a  trop  d'  equations 
de  comparaifon  ,  &  fi  on  le  tait  plus  grand  ,  il  reitera  des 
valeurs  jndeterminees.  II  fuit  de  la  que  la  formule  qui  ren- 
ferme  /i  -  i  radicaux  xndetermines  dans  la  meme  racine, 
eft  la  ieule  qui  puifTe  convenir,  VI, 


249 

VI.  Suppofons  matntenant  que  (bus  le  figne  ^  il  fe 
trouve  des  fonftions  de  radicaux  fucce/Cfs ,  en  Torte  que 
le  radical  d'  un  degre  quelconque  ne  contienne  qu'  una 
feule  fonftion  (bus  lui  ,  ou  des  fonftions  compofees  des 
niemes  radicaux,  il  ed  aife  de  voir  qu'il  t'audra  n  —  \ 
radicaux  fuccefllfs. 

VII.  En  effet  pour  que  I'  equation 

X"  -I-  a"-  x""* -+-  5*  =  o 

ait  une  racine 

X  =i^A  -^  vB  ■+•  \'C    &CC. 
il  faut  que  parmi  les  AB ,  AC,  &c.    il   y    ait    un  terme 


qui  devienne  P-i-Q  en  forte  que  P  foit  rationnel  ,  &  Q^ 
tel  que  la  fomme  de  toutes  les  quantites  femblables  qui 
le  trouvent    dans    le    terme    forni6    par    les  produits    des 

A  ^  B ,  C fous  le  figne  y  »  &  qui  doit  etre  ega- 

le  a  a%  que  la  fomme,  dis-je ,  de  tous  ces  termes  Ibit 
Dulle.  Mais  pour  que  A  B  ait  cette  propriere ,  fans  que 
A  foit  de  la  meme  forme  ,  il  faut   que  faifant 

A  —  A'  -^  ;^B-  -H  vc  &c. 
&i  B  =  A'  -^  a\  B   -^  b  vc;  fi^c.  ^a  5c  h  font  jdes  nom- 


bres  )  on  ait  ou  B'  C  —  F  -^  Q'    ou  B  B  =  P  -4-  (^' , 

&i  aiiifi  de  fuite  ;  en  forte  qu'  il  taudra  que  dans  les  ra- 
dicaux fuccelTifs  il  y  en  ait  un  quarre:  on  prouvera  de 
meme  qu'il  faudra  qu' il  y  ait  un  radical  troilleme,  ua 
radical  quatrieme  ,  ou  un  nouveau  radical  quarre,  un  ra- 
dical cinquienie,  &c.  &  ain(i  de  fuite  j^fqu'au  radical  n 
qui  n'  ell  pas  neceffaire ,  puifque  le  dernier  terme  con- 
tient  A,  B,  C,  &c.  au  premier  degre ,  ainfi  il  n' y  a  au- 
■c\xn  beibin  que  A  contienne  des-radicaux  plus  eleves  j  mais 
.ccla   ne  prouve  pas  qu'  il  n'  en  puilfe  contenir. 

VJII.  Maintenant  fuppofons  que  x  =  C^  A  -t-  ^  B -h^  C Sec. 
les  A  ,  B  ,  C,  &c.  eraut  au  nombre  de /z  —  i  ,  foit  la  r^- 
MijC.Taur.Tom.V'.  .ii 


cine  de  1'  dquarion  du  degre  n ;  M.'  de  la  Grange  a  prou- 
ve  qu'  en  general  fi  n  elt  un  nombre  premier  ,  l'  equation 
en  A  fera  reduftible  au  degre  i  .  x  .  ■^  .  .  .  .  n  -  ^  i 
&  que  fi  n  eft  un  nombre  qui  ait  des  divifeurs,  elle  fera 
reducible  fi  m  eft  un  divifeurpremierj  enforte  que  n  =  ot  «' 

au  degre '-'—i-LLl _  m  •  done  C\mSc  n. 

font  des  nombres  premiers  ,    elle  le  fera    auffi    au   degre 

'- '■ — '- — r-^- -^ — — — ,.  c'  eft-adire  ,  redu6li- 

I    .    2    .    .   .     .    /W*    .     I    .    2    .    3    .    .    .    »' 

ble  ,  en  fuppofant  m  <i  ri  egalement  a  une  equation  dii 

,       ,  x.2.3 n 

de^re -: —  —  m  .    o\x    ■&  une 

°  1.2.3    »«""*"    '   m-l-i  •  ">-t-i  ■■■" 

equation  du  degre 

°        I.   2.   3..   ../»"-•-•.  OT-t-i. //»•+•  z...n'y 

ou,  ce  qui  eft  la  raeme  chofe ,  a  une  equation  da  degrd 


1.1.3...  ;»"«-*-'  .mw-i. «-).»...,'      1.1.3...  m"'"" 
ou  a  une  du  degre —  x 

°         1.2.3   .m'"-*-^    .    m-i- I.  m-t- :...;■' 

,  &  pax  confequent  reducible  a  une  da  • 


/?» -t-  I  ./»-*-  2  ...  a" 

I   .  2 


degre 

»      1,2.3...  w-^'  .  ^r:^rT  .TTT^™ 

IX,  Si  I'  on  examine  maintenant  la  forme  de  ce  der- 
nier nombre,  on  trouvera  qu' en  general  I'equation  en  A 
n'  eft  reducible  qu'  a  une  equation  dont  le  degie  eft  urt 
produit  de  nombres  plus  petjts  que  n  ,  mais  lui-meme  plus 
grand  que  /2  5  &  Ton  verra  que  fi  on  traite  cette  equa- 
tion reduite  comme  la  propofee,  on  parviendra  a  une  re- 
duite  d'  un  degre  encore  plus  elev^ ,  &  ainfi  de  fuite . 
Mais  fi  Ton  ne  peut  efperer  ,  par  ce  moyen,  de  parvenir 
a:  une  equation  toujours  de  plus  en  plus  rabaiffee,  on  peut 
etre  fur,  cependant,  qu' en  la  repetant  un  nombre  de   tois 


fuffifant,  on  parviendra  k  une  equation  rationnelle.  En 
efFet ,  fuppofbns  que  la  derni^re  equation  reduite  foit  du 
degre  m'  n  f'  &c.  to',  n',  p  Sec.  etant  des  nombres  <  /z, 
que  nous  fuppofions  1'  inconnue  x'  de  cette  equation  mife 
fans  fecond  termc- ,  &  que  nous  faffions 

■m'  n' p'  &c.  m*  n' p 

X'=     yr—  H-     ^—     &C. 

au  nombre  de  /tz'  n'  p'  .  .  .  -  i  j  il  eft  aife  de  voir  que  les 
fon6lions  A,  B',  C  contiennent  un  moindre  nombre  de  ra- 
dicaux  fucceffifs  que  la  valour  de  x'i  &  qu'ainfi  en  conti- 
nuant toujours  de  meme  ,  on  parviendra ,  Ci  la  propofee 
a  une  racine  exprimable  en  rermes  finis ,  a  une  equation 
dont  la  racine  fera  rationnelle,  Mais  jufqu'  ici  on  n'  a  pas 
encore  pu  parvenir  a  determiner  combi«n  d' equations  fuc- 
ceffives  en  x' ,  x" ,  &c.  on  auroit  a  lefoudre  auparavant. 
X.  II  ell  au  moins  tresvraiferablable  que  cette  maniere 

generale  de  refoudre  1' equation  en  jc' du  degre  m' /z' ^' 

ell  trop  generale.  En  effet  cette  maniere  feroit  dependre 
la  folution  de  la  propofee  de  radicaux  qui  auroient  pour 
expofans  des  nombres  premiers  contenus  entre  m  n'p'..... 
.&  n  ;  or  ces  radicaux  ne  doivent  pas  etre  contenus  dans 
Ja  racine  d'une  equation  du  degre  n.  Suppofons  done  que 

m' n' p*  . . ,  m' n'p' 

X'  =   ^-^,  -H    ^^gT-     &C. 

les  A\  B\  C  &c.  etant  au  nombre  fculement  de  m  —  i, 

'Ou  n  —    I  y  ou  p   —    I    termes ,  &c.    il    ell  aife    de  voir 

.1.°  que  fi  r  expofant  m  n  p' .  .  .  .  da   radical  a  ete  fuppo- 

:fe  trop  grand,  &  qu' il  ne  doive  etre  que  m',  n,  p,  &c. 

.nous  aurons  une  equation  en  Aj  telle  que  la  meme  equa- 

I  I 

•lion  feroit  aulli  rationnelle  pour  ^'"V"-    A^'f'-  ,    Sc   ainli 

•de  fuite.  Ainfi  dans  ce  cas  1' equation  en  A  ne  contier.dra 
.que  des  puiffances  n  p  .  .  .  oa  m'  p'  .  .  .  i.°  que  fi  le 
lOombre  des  A',  5'  ....  n' eft  que  m  ~  i,  on  aura  par 

i  i     X 


les  principes  employes  par  M.  de  la  Grange,  T  equation 
en  J' ,  du  degre  (  m  n' p'  .  .  .)  .  (jn  n' p  .  .  .  ^  i)  jufqu'  a 
tn  n  p' .  .  .  .  —  m  degr^  qui  s'  abaiffera  par  des  reductions  de 
la  maniere  que  M.  de  la  Grange  I'a  enfeigne.  3."*_que  li 
on  avoit  au    contraire    pris   y  a'  ■+■  v  s'  &c.    au   nombre 


map 


de  m.' "  I  ,  8c  que  c'  cut  ete  le  radical  V  ~  qu'  il  eut 
fallu  prendre ,    l'  equation   ayant   *$te  trouvee    en  A  ,  on 

auroit ,  en  mettant  au  lieu  de  A ,  Z  "'  -p'---  a  caufe  de 
Z=  A"'' .  .  . .  une  equation  en  Z  d' oii  le  radical  aura 
difparu  ;  ce  qui  prouve  que  i'  on  peut  laus  inconvenient 
feire  r  une  ou  1'  autre  fuppofition  ;  4."  que  fi  le  nombre 
des  niL  —  I  ,  n  ~  I  &c.  ell  plus  petit  que  ne  doit  etre 
ceiui  des  fonftions,  nous  auroiis ,  (en  ne  fubllituant   dans 

r  equation  du  degre  x""'         que  les  valeurs  dej:'""'"'^' ) 

T)i  n  p  —  I  equations  entrc  m  —  1  variables  qui  nous  fer- 
viront  a  voir  fi  la  fuppofition  eft  legitime ,  &  a  avoir 
dans  ce  cas  pour  A^  B'  &c.  les  equations  du  plus  petit 
degre  pofiible.  On  voit  aifement  que  fi  m  elt.  le  plus  grand 
des  fa6teurs  mn'p,  on  aura  prefque  toujoursOT''"'"'>'/.'2Vzy 


m    n 


P 


&  fi  on  prend  v/""    ou    v  &  ainfi  de  fuite  ,    on  par- 

viendra  toujours  a  une  equation  en  A'  B' &:c.  x'  qui  fera 
d' un  degie  p)us  eleve  que  1' equaiion  propofee.  Au  relle, 
li  au  lieu  de  fuppofer  que  route  racine  de  I'  equation  du 
,degre  ni  n  p  . .  .  .  eft  de  la  forme  v  >4'  -^-  v's'  .au  nom- 
bre de  77i  —  I ,  on  fuppofoit  que  ces  deux  equations  ii'ont 
que  m  racines  communes ,  on  trouveroit  toujours  autanc 
d'  equations  pour  determiner  A,  B',  qu'  il  y  auroit  de  ces 
quaniit^s ;  mais  la  methode  ci-delTus  me  paroit  plus  pro- 
pre  a  abajfler  le  degre  de  1'  equation  en  A  ,  aut*uu  que 
cela  fera  poffible. 


XI.    Soit    la    propofce    du    degr^  n ,    que    je    fuppol>r 

X  =  ^A  -H  v^ au  nombre  de  n—\   termci,  cjlik 

je  faffe  evanouir  tous  ces  radicaux  ,  j*  aurai  une  equation 
du  degre  a*""'  qui  fera  divifible  par  la  propofee.  Suppofons 
la  divilioii  faite  ,  &  le  relle  egal  a  zero,  les  equarions  de 
condition  doiineront  les  valeurs  que  doivein  avoir  y^,^,C,&c. 
pour  que  la  raciiie  hypotherique  foic  celle  de  la  propole^i 
done  toure  valeur  Ao.  A  ^  B  ^  C  .  ,  .  .  qui  latiiRra  a  la 
condition  ,  donnera  une  valeur  de  la  racine  de  la  propo- 
fee. Suppofons  que  1'  elimination  foit  faite  ,  &  que  nous 
aions  C  donne  par  une  equation  en  A  ,  B  ,  C ;  B  par 
une  equation  en  A ,  B  ;  &i  A  par  une  equation  du  de- 
gre n  ,  il  ell  clair  qu'  a  chaque  racine  de  1'  equation  en 
A,  repondront  certaines  valeurs  de  ^  ,  de  C,  &  au  moins 
une  racine  de  la  propofee  ;  mais  ces  racines  ne  peuvenc 
etre  qu'  au  nombre  de  n  j  done  foient 

A ,  B ,  C n  —  I   de  ces  racines  j 

A'  B'  C n  -   I   autres  ; 

A"  B"   C" 72-1    autres  ; 

&  ainfi  de  fuite  ,  lefquelles  reprefcntent  n  racines  de  la 
propofee  ,  les  autres  racines  de  i'  equation  en  A  ne  pour- 
ront  etre  que  quelques-unes  de  ces  n  —  i  .  n  racines  j 
done  r  equa*don  en  A  fera  neceflairement  reducible  a  une 
equation  de  ce  degre ,  qu'  on  voir  devoir  fe  re.^uire 
a  une  du  degre  m  —   i.     Cette    reflexion  fuppofe    que  fi 

y/A  -J-  V  5  ....  &    °  6"    -H  v'Z? font  des  valeurs 

d'  une  m^me  racine  de  I'  equation  en  n  ,  aucun  de  ces 
radicaux  n'  etanc  rationnel ,  il  faut  que  C  =  A ,  ou  =  B 
Sc  D  =  B  oa  =  A.  Si  done  on  fuppofe  en  general 
r  equation  en  A  ,  telle  qu'  etant  donnees  n  .  n  -  i  va- 
leurs de  ^ ,  ou  meme  /z  -  i  ,  les  autres  racines  foient 
egales  a  ces  memes  valeurs  de  A ,  multipliers  par  des 
nombres  ,  ou  a  la  forame  d'  un  certain  r.ombre  de 
ces    valeurs    inultipliees    par    des    coeflicicns    numenqucs, 


154 

on    pourra    trouver    un    moyen    de    rabaifTer    V  Equation 

en  A. 

XII.  Generalement  apres  avoir  trouve  V  Equation  en  y^, 
il  faudra  (  le  degre  de  I'equation  en  A  etant  p'^"r'....} 
rechercher  (i  cetie  equation  n'  eft  pas  d'  une  forme  telle 
que  prenant 

Jp  ~t-  A'  JP-'  -H  B'  Ap"  ..,.:=  oi 
ou  A^  -+-  A'  A^'  ■+-  B'  Ai-"- .  .  .  .  =  o  ; 

A'  -t-  A'  A'-'  -+-  B'  A'-'-  .  .  .  .  =  o  } 
&c. 

on  ait  A '  par  une  equation  du  degre  p"^^  f  r'  Sec.  oa 
m  t-i  ^j  g^(,^  gr  gn  traiter  de  la  meme  maniere  les  equa- 
tions en  A' ,  jufqu'  a  ce  qu'on  parvienne  a  une  Equation 
ron  reducible.  Soit  cette  equation  encore  du  degre/j"' ^"'  r''.... 
on  fuppofera  que  fa  racine  (  le  fecond  terme  ayant  ete  de- 
truit)  foit  A'  =  v'jf'  -H  v^jj'  au  nombre  de  p"'  -  i 
termes;  &  ayant  trouve  (  n.°  X.)  I'equation  en  A"  ,  fx 
^lle  eft  poffible  ,  on  la  traitera  comme  on  a  traite  I'equa- 
tion en  y^ ,  &  ainfi  de  fuite.  Si  cela  n'  etoit  pas  poflible, 

ilfaudroit  effayer  la  fuppofition  de  A'  =  'y^A"  ■+■  '^'s' 

au  nombre  de  p"'  f  -  i  ,  &  continuer  ainfi  jufqu'  a  ce 
qu'  on  ait  une  equation  en  A'.  Par  ce  moyen  ,  toutes  les 
fois  que  la  propofee  aura  une  racine  finie ,  on  parviendra 
a  la  fin  a  une  equation  rationnelle ,  &  le  probleme  fera 
refolu. 

XIII.  Nous  obferverons  ici  que  nous  avons  deux  efpe- 
<:es  de  reductions  a  confiderer ;  1'  une  eft  celle  dont  nous 
venons  de  parler ,  &!' autre  eft  numerique  pour  ainfi  direj 
c' eft  lorfque,  cu  la  propofee  ne  contient  que  des  puit 
fances  x*' .  .  .  ce  qui  fait  que  Ton  a  (  faiCant  ^  =  x") 
les  valeurs  de  .-c  en  ^  par  la  folution  de  1'  equation  nu- 
raerale  jy"  —  i  =  o  >  on  bien  lorfque  la  propofee  du  de- 
frre  /z'  eft  divifible  par  une  equation  du  degre  ni  <i  n  ^ 
\.^%  coefficiens  de  cette  nouvelle  equation    etant   ratiounek 


quant  aux  fon£lIons  algebrlques.  II  faudra  done  examiner 
d'  abord  li  les  equations  reduites  qui  fervent  a  la  iblurion 
du  probl^me  ne  font  pas  fufceptibles  de  ces  reduftions  . 
La  leconde  efpece  de  reduction  eft  algebrique ,  c'  eft  celle 
oil  r  on  fuppofe  qu'  une  equation  du  degre  p  q ,  par  exem- 
ple ,  eft  telle  que  i'  on  puiffe  y  fubftituer  une  equation  du 
degre  p,  dont  les  coefficiens  foient  donnes  par  une  equa- 
tion du  degre  ^ ,  ou  reciproquement  j  &  comme  nous 
r  avons  dit  dans  le  memoire  precedent ,  il  ne  faut  jamais 
tenter  la  (olution  d'  une  equation  par  la  fubftitution  de  la 
forme  x  =  x' A  •+•  v'B  ....  que  Ton  n' ait  examine 
toutes  les  redudions  dont  elle  peut  etre  fufceptible  ,  tou- 
tes  les  fois  que  le  nombre  des  coefficiens  algebriques  in- 
determines  de  1'  equation  eft  plus  petit  que  1'  expofant  de 
degre  diminue  d'  une  unite.  ' 

XlV.  Nous  avons  donne  dans  le  premier  article  de  ce 
memoire ,  la  maniere  d'  avoir  en  general  une  equation 
rationnelle  en  x.  A,  B ^  C,  lorfqu'  on  a  x  =  C  A  -+-  v5  . .. . 
Suppofons  que  nous  ayons  cette  equation  du  degre  w*^'  , 
nous  la  pouvons  fuppofer  etre  identique  au  produit  de 
«""-  equations 

x'  -t-  a-  A;"-^  ...-+-  g"-'-  A-*  -J-  A"-'  -+-  j"  =  0  J 

x"  -^  p  a'-  x"-'' 

"+■  P/?'  -^p,,a^  q'"-  =  Oj 

oil  les  coefficiens  p^  p,  p,,  font  des  nombres  ,  ou  bien  iden-; 

tique  a 

x'  -t-  a'  x""- -H  5% 

muhipliee  par 


•  J 


X  -  n   -\r  p  a*x  -  n  -  2  ,    &c. 

Cela  pofe ,  nous  avons  trouve  ci-deffus  que   le  coefficient 
de  x°    —n  etoit  dans  1' equation    en  ;c,  ^■^j   B  ,  C,  Sec. 


de    la  forme  M.A-^  B  -*-  C  &;c,  que  celui  du  tcrme  fui- 
vant  etoit  JV.  ^^b-*-  C  -+■  N'  (le  produit  des  yi,i^,C,&c. 


ajS  

deux  a  deux;)  celui  du  tcrme  fulvant  ^gal  a  P.  A-*-B  -^-  C...' 
.+-  P'.  A -^B ■+•€..  (le  produir  des  y^  ,  jff  ,  C,  &c.  deux 
a  deux)  H-  /*"  (  le  produit  des  ^,  B  ,  C,  &c.  trois  a 
troii )  &  ainfi  de  fuite.  Done  egalant  ces  valeurs  aux  ter- 
mes  correfpondans  de  T  equation  en  at  ,  a^  ,  />' ,  &c.  & 
laiflant  les  coefficiens  numeriques  indetermines  ,  on  aura 
des  valeurs  rationnelles  ;  i.°  de  A  -i-  £  -+-  C,  &c.  i.''du 
#  produit  des  y4 ,  B  ,  C,  &c.  deux  a  deux  ;  3.°  du  produit 
des  A,  B  ,  C,  &c.  trois  a  trois,  &  ainii  de  fuite;  done 
on  aura  une  equation 'en  ^,  ou  B  ,  Sec.  rationnelle  quant 
aux  quaniites  algebriques  &  du  degre  «  —   i. 

XV.  Les  feules  chofes  qui  pourroient  empecher  cette 
conclufion ,    feroieat    1.°  i\  Ton  avoic    un    coefficient   de 

n-l 

r  equation  en  x,  yd,  B,  C,Scc.  pour  le  terme  x"     —nm, 

qui  ne  contint  point  le  produit  convenable  des  A,  B,  C,  &c. 
pris  m  a  m.  Ce  dont'il  eft  aife  de  s' affurer  d'  apres  le 
premier  article  ,  &  cela  n'  exige  qu'  un  calcul  que  tout 
le  monde  peut  faire.  r."  S'  il  arrivoit  que  les  coefficiens 
numeriques  des  termes  de  I'equation  ci-deflus  du  degre  «— i, 

fulTern   — ,  ce  qui  eft  plus  difficile  a  conftat<;r  en  general. 

XVI.  Si  aucun  de  ces  inconveniens  n'  a  lieu  ,  alors  oit 
aura  par  ce  moyen  T  equation  iitterale  reduite  par  una 
voie  tres  fimple  ,  &  pour  la  determination  des  coefficiens 
nufneriques  p^  p^  p\,  &:c.  (n."  XII.)  comme  on  a  les  coef- 


.  "~^ 


ficiens  des  termes  aa  dcla  de  x  -"-t-"-'  donnes  &  coef- 
ficiens des  termes  pyrecedens ,  on  aura  immediatement  les 
equations  de  condition  ,  en  fojrmant  cts  termes  &  egalanc 
a  zero  le  coefficient  de  chaque  terme  en  a%  b^,  &c. 

XVII.    II  feroit  done    tres  utile   d'  avoir    des    formules 
generates  &  abregees  pour  calculer    les    fonftions    homo- 
•  genes  de  a^,  ^',  c*,  .  •  .  .  j",   auquel  le  probleoie  propo- 
l{j  conduit  a  chaque  inftaut. 

XVI  IL 


157 

XVIII.  D'abord  ,  foit  /i  -  i    le  nombre  6es  a',h*,.  ..  .  f, 

&  n  =  m  n  ~h  p  p  <Cn\e  degre  de  la  fonflion  homogcue 
cherchee  ,  nous  auroiis  le  nombre  T  des  termes  de  la  fon- 
£tion  homogeive  egal  h  ce  que  devient  T",  en  y  mettant 
..pour  n,  n  -  i  ,  plus  ce  que  devient  T  en  mettant  poar 
.«  ,  n  —  1  ,  &c  pour  «',  n' -' n  ,  plus  ce  que  devient  2"  ea 
mettant  pour  n  ,  w  —  i  ,  &  pour  n',  ;i'  —  i  «  ,  &  ainfi  de 
fuite  ,  julqu' ^  ce  que  devient  T,  en  y  jnettant  p  au  lieu 
de  n  &  de  n.  (Mais  il  ne  s'  agit  pas  iei  de  developper 
cette  theorie ,  non  plus  que  la  maniere  d'  avoir  les  coef- 
ficiens  de  chacun  des  terme:> ;  ce  qui  depend  de  la  thco- 
jie  des  combinaifons.) 

XIX.  Connoifl'ant  en  general  la  maniere  de  former  ces 
fonftions  homogenes  ,  on  refoudra  ce  probleme:  etanc 
donnee  unc  equation  dont  les  coefficiens  foient  de  cette 
forme  &  une  propofee  4  favoir  li  fuppofant  ces  coefficicn'; 
numeriques  indetermines  ,  la  forme  hypothetique  ne  refout 
jpas  la  propofee.  On  pourra  y  parvenir  par  la  methode 
des  coefficiens  indetcrmines ,  Sc  on  aura  les  equations  de 
condition  eiitre  les  coefiiciens,  li  on  fjit  former  les  foe- 
..ftions  de  1' article  precedent. 

XX.  Pour    cela  on  cherchera    d'  abord    une    propofee 

x"'  •+-  a  .x"'"'  ■+■  b'x"''' etant  donnees  les  equations 

.de  condition  pour  qu'  elle  ait  pour  racine  les  n  raciiies 
•xlc  x' -4-  ax""  .....  en  fuppolant  a  ou  a  connus  a  vo- 
.lonte.  -Cela  pofe ,  on  prcndra  telle  hypothefe  qu'  on  vou- 
.dra  po.ur  la  forme  de  la  racine  cherphee,  &  failant  difpa- 
roitre  les  radicaux  &  comparant  terme  ji  tcrme  ,  on  aura 
les  equations  de  condition  encre  les  cociliciens  numeriques, 
pour  que  cette  fornie  foit  .celle  de  la  racine  propoiee  ; 
ou  bien  ,  fi  au  lieu  de  la  forme  de  la  racine  cherchee 
jon  prendia  feuleraent  x  ;=  y'A  -+■  y £  .  .  .  .  j}l  6c  B 
pouvant  etre  irrationnels ,  on  aura  les  equations  en  A^B. 
.Ces  equations  en  Ay  B  ,  &c.  font  al jrs  en  bien  plus 
grand   r.ombre  que  .les  A .,  B  ,  6vC.    m-ns    cela   ne    peut 

Mifc.  Taur.  Tom.  K  k  k 


m8. 

fervir  a  abaifler  le  degre  des  ^quatloni  en  A ,  B ,  parce- 

que  les  coc-fficiens  numeriques  doivent  etre  tels  que  ces 
equations  fe  r^duifent  3.  n  —  i ;  mais  cependant  l\  on  doit 
avoir  des  equations  d' un  degre  moindre  en  n'ayant^gard 
qu'  aux  fondions  algebrjques  ,  on  Ics  trouvera  par  ce  mo- 
yen.  En  cffet  il  n*  y  aura  qu'  a  fuppofer  dans  routes  ces 
equations  A  ,  B,  C,  &c. .  ,  .  donn^es  par  une  Equation 
du  degre  m  ,  par  exemple  ,  le  meme  pour  toutes  ,  on 
aura,  1.°  le  degre  de  cette  equation  &  la  forme  de  (es 
coefficiens  en  a%  i»,  &c.  i."  les  equations  en  A,  B,  C,  Sec. 
les  contenant  d'  une  maniere  fembiable ,  on  aura  toutes 
ces  equations  en  valeurs  de  ces  coefficiens ,  &  par  con- 
ftquent  immediatement  les  equations  de  comparaifon  entre 
les  coefficiens.  Si  on  veut  examiner  fi  I' equation  en  j4,B,  &c. 
eft  reducible  ,  ou  non  ;  on  prendra  ces  differentes  hypo- 
ihefes ,  &  on  comparera  de  meme  fans  avoir  befoin  d'eii- 
mination. 

Ceci  pourroit  donner  lieu  a  des  d^veloppemens  plus 
etendus  ,  que  je  fupprime  ,  mais  auxquels  je  me  livrerai 
fi  les  geometres  trouvent  que  ces  recherches  meritent  d'etre 
fuivies. 

ARTICLE    III. 

J.I  ne  me  refte  plus  maintenant  pour  remplir  Je  plan  que 
je  me  fuis  propofe,  qu'  a  examiner  la  polfibilite  ou  la  non 
poffibilite  de  la  redui^ion  a  I'indefini  de  toutes  ces  equa- 
tions. J'  y  ajouterai  quelques  remarques  fur  1'  elimination 
&  lur  la  maniere  la  plus  (imple  de  la  faire. 

1.  Si  d'  abord  nous  examinons  les  remarques  de 
M.'  De  la  Grange  ,  nous  trouvons  que  la  methode  gene- 
rale  ne  nous  conduit  qu'  a  des  reduites  toujours  plus  ele- 
vees  que  la  propofee,  lorfqu'  elle  ell  du  5."^  7.*  8.'  degre,  &c. 
car  il  me  paroit  d'  apres  les  recherches  de  M.'  De  la  Grange, 
&  de  M.'  Vandermonde ,  qu'  on  peut  regarder  celle  du 
6'  comme  ie  reduifant  au  cmquieme. 


M9 
IF.  Si  on  examine  les  remarques  clu  premier  article   de 

ce  memoire ,  &  que  produifant  par  le  moyen   d'  u:ie  des 
formes  quelconques  de  radicaux,  une  equation  du  degre  f, 
on  fuppofe  que  cette  equation  foit  le  produit  d'  une  equa- 
tion rationnelle  du  degre  p  —  n   par  utie  du  d^gre  n  ;    il 
ell  clair  que  le  nombre  de  terraes  en  a%  b*  . .  . .  q"  dont 
les  coefficiens  numeriques  font  indetermines,  eft  egal ,  i."  au 
nombre  des  termes  femblables  dans  une  equation  du  degre 
p  ~  n.   1."  au  nombre  de  ces  termes    qui   entrent    dans   la 
t'orme  hypothetique ;  &  que  celui  des  equations  de  com- 
parailbn  eft  celui  de  tous  les  termes  qui  entrent  dans  une 
Equation  du  degre  p  ;  en  forte    que    ce   nombre    furpafle 
celui  des  coefficiens  indetermines  de  celui  du  nombre  des 
termes  contenus  dans  n  fonftions  de  a%  b*  ... .  du  degre 
p  ,  p  —  I   , . . .  p  ~  n  -*-  I    raoins  celui    des  m^mes   termes 
dans  des  fonftions  du  degre  n,  nn,  nn  n"  ....nn  n"  ...  n'-"'* 
au  nombre  de  m ,  m  etant  le  nombre  des  radicaux  fuccef^ 
fifs  ,  Sc  n  ,  n,  n" .  . .  n"~"~'    leurs  expofans.   Or  ce  nombre 
eft  toujours  poiitif.  Done  en  general  le  nombre  d^s  equa- 
tions furpaffera  toujours  celui  des  coefficiens  indetermines . 

III.  Ces  deux  reflexions  ne  fuffifent  pas  pour  afTurer  la 
non  poffibilite  de  la  folution  generale  ,  ni  meme  pour 
prouver  qu'  on  ne  puifle  demontrer  cette  pollibilite.  Exa- 
minons  done  les  moyens  de  s'  en  afTurer. 

IV.  Nous  avons  d' abord  i' abaiflement  del' equation  du 
degre  p  (  N."  II. )  .  Cette  equation  n'  eft  pas  1  equation 
generale  du  degre  p ;  elle  ne  contient  qu'  un  nombre  plus 
petit  de  coefficiens  indetermines,  elle  eft  done  fufceptible 
d'  abaiflement ,  ik  il  eft  clair  que  fi  on  prouve  que  cette 
equation  eft  r^duftible  algebriquement  (les  coefiiciens  nu- 
meriques reftant  irrationnels )  a  une  equation  telle  que  le 
nombre  des  equations  ne  (urpafl^at  point  celui  des  coeffi- 
ciens ,  le  probleme  feroit  reiolu ;  &  fi  cela  n'  eft  pas  en- 
core poffible  en  g^n^ral ,  cette  confideration  peut  du  moins 
fervir  a  diminuer    i'  exces  du  nombre  des   conditions  fur 

it  k      2 


i6o 

ce!ui  des  coefRciens  inddtermines.    On   pourrolt    diminuer 

encore  la  difficu'te  en  condderant    d'  abord    una    equation 

dii  degre/J  -  n  multipliee  par  x"  -H  a^  x'"-  -+-  i'  .x""' -+-/» 

&  telle  qu'  il  n'  y  ait  dans  le  produit  que  des  puifl'ances  «, 
&  en  examinant  ce  qui  refte  de  termes  indeterniines.  On 
fijpporcroit  de  meme  ,  comme  cela  fuit  de  la  difparition 
fucoffive  des  radicaux  inferieurs  fous  ks  fignes  ;/,  n'\  que 
r  equation  eft  formee  femblablement  des  puiffances  n',  /:",  &c. 
&  il  eft  tres  poflible  que  fbus  ce  point  de  vue ,  1'  exces 
du  nombre  des  conditions  foic  encore  diminue. 

V.  En  attendant  que  ces  calculs  foient  executes  ,  voici 
toujours  une  mithode  de  s'  affurer  de  la  poiribilite  du  pro- 
bleme.  Soit  (article  i.  )  1' equation  reduite  autant  qu'elle 
peut  r  etre  &  du  degre  /tz  ,  p,  ^,  /-;  Ces  nombres  etant 
premiers  &  moindres  que  n  ,  s'  eftaie  la  folution  de  cette 
equation  par  la  meme  methode  que  la  propofee  &  je 
cherche  une  autre  reduite.  J'  examine  le  degre  le  plus  bas 
oil  elle  s'  abbaifle  :  fi  ce  degre  a  pour  divifeurs  premiers 
des  nombres  plus  grands  que  ceux  qui  formoient  le  produit 
par  lequel  le  degre  de  la  propofee  dtoit  exprime  ,  oudes' 
nombres  egaux  a  n  ,  ou  plus  grands ,  on  pourra  rcgarder 
la  Iblution  comme  impofllb^e  ,  fmon  on  pourra  la  regar- 
der  comme  pofiible.  Continuant  ,  on  obfervera  fi  dans  cha- 
que  reduite  le  nombre  des  termes  dont  le  produit  forme 
le  degre  de  Tequation,  ne  diminue  pas,  quant  au  nom- 
bre loit  des  produifans  ,  foit  quant  a  leur  degre- 

VI.  Si  on  rapproche  de  ceci  ce  que  f  ai  dit ,  (article 
I."  N."'  14.  (k  fuiv.)  on  verra  que  chaque  operation  qu'on 
fait  pour  chercher  les  reduites ,  tend  a  debarralTer  d'  uii 
radical ;  on  verra  egalement  pourquoi  les  equations  fe  prd- 
fentent  lous  un  degre  plus  eleve  que  le  produit  des  radi- 
caux fucce/fits  oa  ieurs  puiffances  ,  pourquoi  ce  degre  pour- 
roit  etre  le  produit  du  nombre  premier  plus  grand  que  «,. 
comment  enlia  li  doit  toujours   pouvoir    fe    rabbailler    au 


i6t 

VII.  Je'  finis  par  quelques  reflexions  fur  T  elimination  . 
L'  introduftion  a  l'  analyfe  de  T  infini  de  M.  Euler  r'.'n- 
ferme  d' excellens  principes  fur  cette  maciere  i  c'eft  d'apres 
lui  que  je  vais  proceder  ici. 

VIII.  Quel  que  Ibit  un  m  nombre  d'  Equations  entre  m 
variables  X ,  ^,  ^,  ?/....  fi  je  veux  avoir  une  equation 
d^termin^e  en  une  feule  variable  ,  ii  el\  clair  que  ,  quelque 
methode  que  je  prenne ,  I' equation  determinee  en  x,  par 
exemple ,  fcra  une  fbii6tion  de  x  egal^e  a  zeroj  &  ft 
A  =  o  ,  y4'=o,  j4"  =  o  ,  Sec,  font  les  equations  propo- 
lees ,  cette  fbn6tion  de  x  purs  fera  AB  ■+■  A'B'  -\-  A  B"  &c. 

IX.  B ,  B',  B",  feront  des  fonftions  entieres  toutes  les 
fois  que  1'  on  n'  aura  point  d'  equation  en  jy^ ,  {  ,  «  .... 
Satisfaifant  aux  equations 

y4    =     O   ,    -4 '    =     O  ,     &C. 

independamment  de  x,  Dans  ce  cas ,  ft  on  veut   avoir  x, 
il  faut  fuppofer  a  B ,  B\  B",  &c.  un  denominateur. 

X.  Suppofbns  done  que  1'  on  cherche  1'  Equation  la 
plus  fimpie  rationnelle  en  x  ,  qui  fatisfaffe  aux  equations 
y4  =  o  ,  A'  =  o  ,  A"  =  o  ,  &c.  il  n'  y  aura  qu'  a  les 
multiplier  par  les  fondions ,  ft  /tz  eft  le  degre  de  ces 
equations 

C       C      C" 

D  '    D  '    D  '        ■ 

les  C  etant  des  fonftions  entieres    du  degre  u ,  Sc  D   da 

degre  «  •+-  TO  —  1  ,  tout  au  plus.  Prenant  au  lieu  de  cha- 

que  C  Si  de  D  ,  des  feries  indefinies ,  multipliant  Sc  ftip- 

j4C         u4'C' 
pofant   —   -t-   — T—  ,  &'c.  une  fonftion  entiere  de  x,  & 

r  egalant  a  zero ,  on  aura  1'  equation  cherchee ;  &  fup- 
poiant  fticcelTivement  pour  chaque  degre  des  fonftions  C, 
ceiui  des  Z) ,  le  plus  grand  qu' il  eli  poflible. 
.  XI.  Si  on  cherche  au  contraire  1' equation  en  x  la  plus 
ele\ee  qu' il  ell  poffible,  toujours  en  fuppolant  qu' on 
n'  admette  point  de  racines  mutiies  ,  il  taut ,  en  luivant  la 


i6z 

meme  operation,  prenc?re  pour  les  C,  comme  pour  la  quan- 

tite  D,   le  plus  petit  degre  qui  puiffe  reuffir. 

XII.  Toutes  les  fois  que  1'  on  n'  a  aucune  valeur  de 
y,  ^,  u,  &c.  independantes  de  toute  valeur  des  x,  on 
aura  par  cette  maniere  la  valeur  des  coefficiens  de  I'^qua- 
tion  en  x  ,  en  refolvant  des  equations  lineaires  ;  &  comme 
il  eft  aife  de  voir  en  general  la  forme  de  ces  equations, 
on  fubftituera  immediatement  aux  equations  a  eliminer  un 
fylleme  d'  equations  lineaires,  Cela  peat  etre  d'  une  gran- 
de  utiiite  dans  la  pratique. 

XIIL  II  y  a  maintenant  deux  cas  a  confiderer;  i.°celui 
oil  s' arretant  a  un  degre  pour  les  valeurs  desC,  le  nom- 
hre  de  ces  equations  lineaires  eft  plus  grand  que  celui  des 
coefficiens  indetermines.  Dans  ce  cas ,  Ja  folution  n'  eft 
poffible  que  lorlque  les  coefficiens  des  equations  propofees 
ont  entre  eux  certaines  conditions.  2.°  Lorfque  dans  la 
meme  hypothefe  le  nombre  des  coefficiens  eft  plus  grand 
ou  egal  a  celui  des  equations.  II  femble  qu'alors  on  devroit 
conclure  qu'en  general  la  folution  eft  poffible  ;  mais  il  faut 
obferver  qu'  il  faut  que  le  fyfteme  ne  puifte  pas  fe  divifer 
en  deux  autres  dans  I'un  defquels  le  nombre  des  indeter- 
minees  foit  plus  petit  que  celui  des  equations.  Par  exera- 
pie ,  foit  m  -i-  n  le  nombre  total  des  equations ,  p  -h  ^ 
celui  des  indetermindes,  &  /j  -h  ^  >  «  -+-  /«.  Si  p  de 
ces  ind^termindes  fe  trouve  n'  entrer  que  dans  n  equations, 
&  que  p  <C  n,  on  voit  que  1'  elimination  n'  eft  pas  pof- 
fible ,   tant  que  les  fatleurs  C  ne  feront  pas  plus  eleves. 

XIV.  Si  les  equations  fe  trouvent  reellement  en  moindre 
nombre  que  les  coefficiens ,  il  y  a  une  remarque  impor- 
tante  a  faire.  11  peut  arriver  que  la  fonftion  AC  ■+•  AC 
-4-  AC" ,  Sec.  qui  devient  une  fonclion  entiere  de  x  par 
r  hypothefe ,  -fe  trouve  monter  a  un  meme  degre,  quel- 
ques  coefficiens  de  C,  C,  C",  &c.  reftant  arbitraires.  Dans 
ce  cas ,  comme  la  veritable  equation  en  x  ne  doit  pas  en 
contenir ,   il    eft  aife  de  voir  que  pour  avoir    cette  equa- 


fion ,  il  faut  chercher  le  divifeur  le  p!us  elev^  de  la  fon- 
ftion  AC  -+-  A'C  -+-  A"C",  &c.  qui  ne  conticnne  p^is  de 
coefficiens  arbitraires,  &  ce  divKeur  fera  1' equation  cherchee. 

XV.  On  aura  done  toujours  dans  ce  cas  1*  equation  la 
plus  fiinple.  La  m^me  choie  aura  lieu  pour  celui  oii  Ton 
fuppofe  que  les  C  peuvent  avoir  un  denominateur  j  mais 
alors  on  peut  reduire  les  operations  a  la  folution  d'  equa- 
tions lineaires. 

XVi.  On  voit  ei»  general  que  quelque  methode  que  Ton 
choififle  pour  avoir  une  equation  en  x  ,  on  aura  toujours 
la  fonclion. 

AC  H-  AC  -+-  A'C  &c.  =  o  , 
qui  repond  dgalement  aux  fyllemes  d' equation 
A^=o^A';=o^  A'  =  o  .  .  .  . 

A  =         A'  =:  o,   C"   =  o 

■^  =  C     ^^  o  ,  A    =  o   .   .   .  , 

&  autant  de  fyflemes  qu'  on  pourra  former  de  la  meme 
maniere  ;  &  il  faut  pour  que  AC  ■+■  AC  -f-  AC"  &c. 
foit  la  fofiftion  de  X  ,  la  moins  elevee  polfible  ,  que  ces 
fy'iemes  aient  abftjlument  le  meme  nombre  de  valeurs  de  x 
qui  y  faiisfaffenr,  Hors  de  ce  cas ,  quelque  methode  d'eli- 
mination  que  1' on  choidfTe  ,  eile  conduiroit  toujours  a  une 
equation  plus  elevee  qu'  elie  ne  doit  etre. 

On  trouvera  toute  la  theorie  de  1'  elimination  developpee 
d'  une  maniere  tres  favante  dans  un  memoire  prefente  par 
M.  Bezout  a  r  Academic  Royale  des  Sciences  de  Paris, 
&  qu'  elle  publiera  dans  le  volume  de  fes  memoires  pour 
r  annee   1773. 

XVII.  Par  la  methode  fuivante,  dont  la  marche  eft  tres 
fimpie ,  on  pourra  parvenir  a  trouver  la  racine  cherchee 
de  toute  equation  determinee. 

Sou  une  equation  du  degre  m  fans  fecond  terme  ,  on 
prendra  x  egal  a—,  (a-t-^-+-c-4-<^...)au  nombre 
de  /n  -  I  &  on  comparera  a  la  propofee  ,  terme  a  terme^ 
le  produit  de  x  ~i- a-t^b-i-c  &c.  XA-f-na  +  n'^-f-  n"c&zc. 
X  X  -^  p  a-^  p'b  -i-  p"c  Sec...  i^  aiiili  de  fuite,  les  n  ks  p,  6cc, 


z64 

n' etant  que  des  nombres  qu'on  decsrminera  par  la  con* 
■ditlon,  1°  que  (a  caufe  du  z.**  terme  qui  manque,  & 
qu'  on  ne  doit  pas  avoir  d'  equation  lineaire  entre  les 
a ,  b  ,  c  &c. )  r  on  ait  i  -t-  2  -H  «'  -+-  «"  .  •  •  =  o 
I  -^  p  -h  p'  -+-  p'^  .  . .  =  <p ,  &  ainfi  de  fuite.  2.°  Que 
r  equation  dehnitive  en  a  qu'on  aura,  apres  avoir  elirmnd 
i  y  c  &c.  ne  coiitienne  que  des  puiflances  multiples  de  rn 
de  la  quantite  a ,  ou  (i  m  a  des  divifeurs  m\,  m'\  Sic.  des 
ipuiffances  multiples  de  m',  ou  de  ot'  dn'\ 

Eiifuite  on  iubllituera  au  lieu  de  a,  ^  =  a"  j  on  fera 
difparoitre  le  fecond  terme  ,  &  on  traitera  I'  equation  en 
{'  comme  la  propofee  ,  en  obfervant  de  determiner  alors 
les  nouveaux  coefficiens  numeriques  n,  p,  &c.  par  leg 
deux  conditions  ci-deffus,  &  par  cette  troifieme  condition 
que  r  equation  que  1'  on  aura  en  a' ,  f '  =  -  (a'  -t-Zi'  -i-  c'. ..) 
ait,  s'il  eft  poffible  ,  uu  fafteur  rationel  j  &  on  aura  foiii, 
Jorfque  cela  arrive,  de  prendre  pour  n,  p^  &c.  les  valeurs 
qui  rendeiu  le  degre  de  ce  fa6teur  le  plus  petix  poffi- 
ble;  &  fi  a'"'  eft  la  puiiTance  de  a' dont  rl  ne  doit  fe 
trouver  que  les  multiples  de  l'  equation  ,  on  cherchera  les 
valeurs  de  w'  p^  qui  rendtont  m'    le  plus  grand  poffible  . 

On  refoudra  1'  equation  en  a ""  comme  1'  equation  en 
£  /  &  ainfi  de  fuite. 

Par  ce  moyen  a  chaque  operation  on  fera  difparoitre 
un  des  radicaux  qui  entrent  dans  la  forme  de  la  racine 
•de  r  equation  ,  &  I'on  aura  le  double  avantage  de  don- 
ner  a  {'  la  forme  qu'  il  doit  avoir  rigoureufement  &  in- 
dependamment  de  toute  Iiypothefe  ;  &  fi  cette  forme  eft 
-trqp  compliquee,  d'eviter  les  embarras  qui  pourroient  nai- 
ire  de  cette  complication  fuperflue. 

On  aura  done,  par  ia,  la  racine  routes  les  fois  qu' elle 
^ft  poffible  i  &  fi  elle  ne  1'  eft  pas  toujours  ( ce  qui  me 
paroit  .tfjespeu  vrai  femblable )    on  decouvrira    ion  impof- 

fibilite  par  celle  de  la  redu6tion  de  requation  en  a'"'    ou 

.des  fuivantes. 


i6^ 
ERR  AT  J  DANS  LA  P  ARTIE  MATHEMATIQUE. 

n  ,  Iz  dz  t-r  adz 

Pag.i-j.l.    1.   — -    -f.  a  —  hfcs H    -p- 

^      '  d  y  dy     ■'       d  X  dy 

Pig.  I  7.  /.  I  }.  q   &  (p  ;    lifes  <p  &  <p  \ 

Pag  10  lp:n.  des   revolutions  lijes  de   revolution 

Pag.T,',.  l.w.  doncl'equation  et  lifes  dont  I'equation  eft 

Pag.i<j.  I  pen.  les  ordonnees  PM  &  PM  ifes  QM  &  PM 

Pag-iJ,  l.pen.  en  jf' en  x  Scj'    lifes   en  x    &C  j' 

Pag.^i.l.  9.  de  la  fonftion  '  lijes  da  la  fonit'on  cp' 

/.  I  4.  ^  =  (p'  (^  X  —  y)  /i/eV  {  =  ^'   (^  X  — y^) 
Pag.  4  3 .  /.  z  I .  ^  ot"    lifes    K  ni" 

/.Z3.  dans  W  lifes  dans  '/F 

/.1 5.  V  =  a  lijes   ^r  ==  a 
Pfl^.47.  /.  I  4.  Ph  =  IV'    lifes  Ph  —  W 

Uo.  W  =  u  lifes  ^JV  =  u 

Liz.  AI  =  TV  lifes  AI  =:'fV 
Pug.4c,.  I.   z.  x    &  y  lifes  x    &C  y 

Pag.^i.l.14,  <p  =  __p^Lcv  hfes    —P-^J  —cv 

1.17.  y!    c  y  lifes  U  -^  c  y 

Pag.'^j.  /.1 2.  <p    u    lifes  <p'  u 

Pug.6x.l.   4.   lV  =  x{b-^  i)   hfes  W'^x  b-h  I 

Pag. 6 6.  I.   9.  <pu=Fif.a)~h.-al  lifes  =  F   {f.ayh-Al 

Li6.  point  de  conltruclion    lifes  point  de  contra- 
diftion 
Pag  io.  1.16.  le  trottement  des  menfes  lifes  des  meules 

Pag.Si.l.i6.  x'^-^  =  dF  lifes  x^^   =  S  K 
°  dx'-  ■'  dx* 

Pag.^^.lMlt.  ^    <P   (^)   ^^/"   -^    f>   {}) 

Pag. ^2. 1.  4.  -h  x°-^  ^  (-)  ^'-f  -^  ^"'■*  ''^ O 
Mifc,  Taur.  Tom.  V,  I  L 


t66 

Pa^.ioy  1.4.  la  coriikante  a  qui  fe  trouve  lifes  la  coiillaute  « 
Hx^        dy      ■'  dx        "^    dy 

Pag.n6.  I.    17.   empoy6     Ufes  employe 

Pag.  I  1 7./.  1 8.  J  9,  que  (i  Ton  avoit  en  A^  =  o  iifis  que  (1  i'on 

avoit  ea  K:='  o 
Pag.ix6.l.i^.xo.  fi  on  nomm."  a  la  hauteur  iifis  fi  on  nom- 

me  a  la  hauteur 

/.  1 1 .  ffin. {U  ^  +g)  =  o  lifcs  f.  f.n.  (a|/  -  -»- ^  =:  o 
Pag.\  11.1.17.  par  I' equation    lifes  pour  i'equatioa 

Pag. i  17.  l-^-  J  -    I'f^'Jj; 

P  P 

Pug.isi.  l.ulc.   -      lifcs     — 
"  J*        -^         0* 

Pjg.it6.'l.iz.    -    pour  la  probabilire /(/"«  --    pour  la  pro- 

babilite 
Pag.ioo.ioi.  en  plufieurs  endrolts  a  la  place  de  fv  met- 

tez  partout  /  ^ 
Pag.io-il.  1 8.  faifaiit  dB=dx  lifes  'faifant  ^^6  =  d -^^ 
Li<).  dx  lifes  d^ 

Pag  io^.l.i.^J'''^x-(,ir~*-i-2p)  liJis1<"zD.  X  "C^^-^'-^TP) 

1  X 


a67 

Pjo'.iij./.ig.  I'integrale  (leja'dx  f^-ra  -^ —  lifes  fera  - — 
P.i^>-.  130.  /  I .  Problime  II.   lifcs    Problems  XL 


Pag.i^^hi.  £B  =  P'-h(^  lifesB-B'  =  P-r(^ 


«J 


A 


PlAXCHt:     I. 


PLANCHt:     J. 


Fig.  4^,^. 


I 


\ 


PLANCHE.tn. 


»IL 


Planche.iii. 


PlJ^NCHF..  /v. 


;       Fu 


:X- 


Pla^'che.  IV. 


B 


M 


N 


Tia.    2. 


1/ 
A 


B 


F.|.    3 


D 


\J 


N 


B 


B 


M 


N 


rig.    2 


K 


J 


A 


B 


Fid.     3 


D     / 


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