Full text of "Mémoires de l'Académie (royale) des sciences de l'Institut (imperial) de France"

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MÉMOIRES 


L'ACADÉMIE DES SCIENCES 
; 5 DE L'INSTITUT DE FRANCE 
À TOME x 


PARIS. 


> GAUTHIER-VILLARS 
IMPRIMEUR-LIBRAIRE DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADËMIE DES SCIENCES 


E. SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER 
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is ; QUAI DES AUGUSTINS, 35 


MÉMOIRES 


L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES 
DE L'INSTITUT 
DE FRANCE. 


TOME X. 


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DE L'IMPRIMERIE DE AMB. FIRMIN DIDOT, 


IMPRIMEUR DU ROI ET DE L'INSTITUT, RUE JACOB, N° 24. 


MEMOIRES 
L’'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT 
DE FRANCE. 


: TOME X. 


CHEZ FIRMIN DIDOT FRÈRES, LIBRAIRES, 


RUE JACOB, N° 24. 


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DES MÉMOIREDNTENUS DANS CE VOLUME, 


Qui est le dixième de (collection des Mémoires de l’Académie 


des Sciences, des l'ordonnance de 21 mars 1816. 


Pages 
Quatrième Mémome surs canaux de navigation considérés sous L 
le rapport de la chute (de la distribution de leurs écluses, par 
M. S. Grmarp....../......................s..e 
ExrérreNces sur le médisme de la respiration des poissons, par 
M. Frourens....../........................44..40. 53 
Raprorr sur l’ouvrage | M. Jacot, intitulé : Fundamenta nova 
theoriæ fonctionum epticarum , par M. Porsson............ 73 
REMARQUES GÉNÉRALES je l'application des principes de l’Ana- 
lyse jalgébrique aux quations transcendantes, par M. le ba- 
| 


ron FOURIER...:../................................. 119 
Recercnes sur la chaur spécifique des fluides élastiques, par 

MADurone cc PR cebeeere cercles 147 
ites par ordre de l'Académie royale des 
iner les forces élastiques de la vapeur 
pératures, par MM. le baron de Prony, 


Exposé des recherche 
Sciences, pour dét 
d’eau à de hautes 
Araco, Girarp, DEONG, rapporteur....................." 193 

Mémome sur le poubir thermo-électrique des métaux, par 
MABrcoueneres..L.-CR em accuse: cc 

Mémoire sur les sulfves, iodures, bromures, etc., métalliques, 
par M. Becquerer|. .............................e.s.e 259 


Mémoire sur de nouvhaux effets électro-chimiques propres à pro- 


VI TABLE DES MNOIRES 


Pages 
duire des combinaisons, et sur leur äçation à la cristallisa- 
tion du soufre et d’autres substances r M. BEcQuEREL. . .. 271 
Mémoire sur la théorie de la lumière, pa. A. L. Caucay, pre- 
mière partie....... sine ren nue En oosetc ob 293 
Mémoire sur le mouvement de deux fluidéastiques superposés, 
par M. Poisson. .......... HD iot doc AS RS Gp OU 317 
Mémoire sur la pose des conduites d’eauns la ville de Paris, 
tableaux et discussions d'expériences enbrises à ce sujet sur 
la dilatabilité de la fonte de fer, par M. ;aRp...........- 405 
Nouves Essai de trigonométrie sphéroïdiqupar M. PuissanT.. 457 
Nore sur l'aire d’un triangle sphéroidique di les côtes sont des 
lignes de plus courte distance généralemer double courbure. 530 
Arrricarion du calcul des probabilités à laesure de la préci- 
sion d'un grand nivellement trigonométriqu par M. Puissanr. 533 
Mémome sur la propagation du mouvemendans les milieux 
élastiques , par M. Porsson....,.,.,.,.,... St dde qe 549 
Osservarions sur quelques maladies des oisea, par M. Frou- 
RENS: mOi AMAR EN Ste DS NO à M DES DE ni C 607 
ExPéRIENCES sur l'action de la moëlle épinièrdans la cireula- 
tion; pan MAR LOURENS 00e done ea ane ca 625 


HISTOIRE DE L’ACAD'MIE. 
Analyse des travaux de l Académie royaleles sciences, pendant 
l’année 1827. 
PARTIE MATHÉMATIQUE, 


Par M. le baron Fourier , secrétaire-perpétuel. ., ...... ] 


ELoce historique de M. le marquis de Laplace, pæ M. le baron 
Founrer , secrétaire-perpétuel .....,......4. EU EE ER Ixxx) 


CONTENUS DANS CE VOLUME. VIE 


Analyse des travaux de l’Académie royale des sciences, pendant 
: l’année :1827. 


PARTIE PHYSIQUE, 


Pages 

Par M. le baron Cuvier , secrétaire-perpétuel .............. ci] 
ÉLoce historique de M. Bosc, par M. le baron Cuvier, secré- 
taire-perpétuel.. ........... dosobdidae 2e nie opte Cx] 


-ERRATA. 


Nouvel essai sur la trigonométrie spheroidique. 


Pages 469, ligne 3, qu'il faudra, Zisez : qu'il faudrait. 
492, lig. 9, qui donneront, lisez : qui donnerait. 
497, lig. 5, plus, lisez : puis. 
522, lig. 2, en remontant, venons faire, lisez : venons de faire. 
535, lig. 12 et 13, somme, Xsez : moyenne. 
539, lig. 2, en remontant, attendu, lisez : entendu. 
543, lig. 13 ,ren remontant, on les düninuerait, lisez : on diminue- 
rait ces bases. 


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27 


HISTOIRE 


DE 


L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT DE FRANCE. 


ANALYSE 


Des Travaux de l'Académie royale des Sciences, 
pendant annee 1827. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. 


Par M. ce Baron FOURIER , SECRÉTAIRE PERPÉTUEL. 


téséomcececece 


GÉOMÉTRIE. 


Supplément au cinquième volume du Traité de la Mécanique 
céleste de M. de Laplace. 


S Cx Mémoire a été publié sur un manuscrit trouvé dans les 
papiers de l'illustre auteur. M. le marquis de Laplace, son 
fils, a bien voulu l’offrir à l’Académie. 

La première partie concerne le développement en série du 


radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes. 
T. X. Hist. 1827. A 


ij HISTOIRE DE L'AÇADÉMIE; 

Une seconde partie du Mémoire a pour objet le développe- 
ment des coordonnées elliptiques. Dans les derniers articles , 
l’auteur considère le flux et reflux lunaire atmosphérique. 
M. de Laplace avait traité précédemment ces questions; il 
reproduit et perfectionne dans ce dernier écrit l'analyse dont 
il s'était servi. Les géomètres y trouveront des applications 
singulièrement ingénieuses et utiles de la méthode qu'il à 
inventée autrefois pour exprimer en intégrale définie le terme 
général de chaque développement, et pour découvrir la va- 
leur de cette expression lorsque le nombre des termes est 
devenu tres-grand. On reconnaît ainsi les cas où les séries 
cessent d’être convergentes. 

Cet emploi de l'analyse des fonctions, où il entre de tres- 
grands nombres, nous paraît offrir une des conceptions mathé- 
matiques les plus heureuses et les plus fécondes dornit on est 
redevable à ce grand géomètre, La partie de ce Mémoire où 
il soumet à la théorie des probabilités la question du flux et 
reflux lunaire, excitera au plus haut degré l'attention de tous 
les géomètres qui ont cultivé cette branche si importante du 
calcul : elle donne lieu de prévoir les avantages immenses 


que doit procurer l'analyse mathématique à la philosophie 
naturelle. 


Mémoires d'analyse lus par M. Cauchy. 


M. Cauchy a présenté, dans le cours de cette année, des 
Mémoires d'analyse dans lesquels il traite les questions les 
plus importantes et les plus variées. La nature de ces recher- 
ches ne nous permettrait pas d’en faire connaître distincte- 
ment l'objet sans l'emploi des expressions et des signes prapres 


PARTIE MATHÉMATIQUE: ii] 


à la science du calcul; nous donnéfons seulement l'énumé- 
ration et les titres exacts de cés savants Mémoires : 

Extrait d’un Mémoire sur l'application du calcul des résidus 
à la solution des problèmes de physique mathématique. 

Développement du Mémoire précédent. 

Sur le choc des corps élastiques. 


Sur la pression ou tension dans les corps solides (Extrait 
de la premiere partie d’un Mémoire sur léquilibre et le 
mouvement intérieur des corps solides ou fluides , élastiques 
et non élastiques.) 

Sur la transformation des fonctions en intégrales doubles , 
et sur l'integration des équations linéaires aux différences 
partielles. 

De la différentiation sous le signe fe 


Sur la détérmination du reste de la série de Lagrange 
par une intégrale définie. Dans un autre Mémoire, l’auteur 
fixe les règles de convergence de la série de Lagrange et 
d’autres séries du même genre, et il prouve que cette con- 
vergence dépend, dans tous les cas, de la résolution d’une 
équation transcendante : cette équation comprend celle qui 
a été obtenue par M. de Laplace dans la théorie du mouve- 
ment elliptique. 

Second Mémoire sur l'application du calcul des résidus 
aux questions de physique mathématique. 

Sur la transformation des fonctions qui représentent les 
intégrales générales des équations différentielles linéaires. 

M. Cauchy annonce qu'il s’est occupé depuis long-temps de 
l'équilibre et du mouvement intérieur d’un corps solide, con- 
sidéré comme un système de molécules distinctes les unes 

[0 


iv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


des autres, et qu'il.est parvenu à des équations dans lesquelles 
les composantes des forces exercées sur chaque molécule ne 
se réduisent pas généralement à des intégrales. ILa présenté 
le manuscrit où se trouvent consignées les recherches qu'il 
a faites à ce sujet. 

Sur quelques propositions fondamentales du calcul des 
résidus. 

Sur le développement des fonctions en fractions. ration- 
nelles. 

Usage du calcul des résidus pour la sommation ou la 
transformation des séries dont le terme général est une fonc- 
tion paire du nombre qui représente le rang de ce terme. 


Mémoire sur le mouvement de rotation de la terre. 


M. Poisson: a lu un Mémotre sur lermouvement de rotation 
de la terre. 

Ce mémoire a pour objet de faire disparaître la différence 
des solutions que l’on a données des deux problèmes de la 
translation et de la rotation des corps célestes; l'auteur expose 
le but et le plan de son travail dans le passage suivant : 

Si l’on excepte une inégalité à longue période qui paraît 
affecter la longitude moyenne de la lune, mais dont l'exis- 
tence n’est pas encore bien constatée, toutes les circonstances 
du mouvement des astres et de ia terre que les observations 
ont fait connaître, les géometres, et particulierement l'auteur 
de la Mécanique céleste , en ont déterminé les lois et la cause 
d'après le principe de la gravitation universelle. Il ne reste 
gutre maintenant qu'à simplifier les méthodes qu’ils ont em- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. v 


ployées; et c'est, en effet, les rendre plus simples et les perfec- 
tionner, que deles ramenerautant qu'il est possible à l’unifor- 
mité. Dans le cas du mouvement des planètes autour du soleil, 
la petitesse des excentricités et des inclinaisons de leurs or- 
bites permet de développer la fonction perturbatrice en une 
série de sinus des multiples de leurs moyens mouvements. 
Or, on peut donner une forme semblable à cette fonction 
relative au mouvement de rotation de la terre, en cbservant 
que la terre tourne à très-peu près autour d’un de ses axes 
principaux, et considérant l'amplitude des oscillations des 
pôles derotation à sa surface comme une très -»etite constante 
arbitraire dont on aura à déterminer les variations dues aux 
forces perturbatrices. Cela étant, si l’on compare les six élé- 
ments arbitraires du mouvement de la terre autour de son 
centre de gravité aux six éléments du mouvement elliptique, 
on aura d’une part cette amplitude et la longitude géogra- 
phique de l'axe de rotation à une époque déterminée, qui 
répondront à l'excentricité de l'orbite et à la longitade du 
péribhélie; ensuite l'inclinaison de l'équateur et la longitude 
de son nœud sur l'écliptique, quantités analogues à l’incli- 
naison et à la longitude du nœud de l'orbite; enfin la vitesse 
angulaire de rotation et la longitude géographique à l’origine 
du temps, d’une droite tracée dans le plan de l'équateur, 
qui remplaceront le moyen mouvement ou le grand axe dont 
il,se déduit , et ce qu'on appelle dans la théorie des planètes 
la longitude moyenne de l’époque. C’est sous ce point de 
vue que l’auteur envisage la question qui est l'objet de ses 
nouvelles recherches. 


HISTOIRE DE L ACADÉMIE, 
Mémoire sur la figure de la terre. 


M. Biot donne , dans ce Mémoire, les résultats des mesures 
du pendule qu'il a faites en 1824 et 1825, avec son fils, sur 
l'arc de parallèle qui s'étend de Bordeaux à Fiume en Istrie, 
et sur la portion australe du grand arc de méridien qui, 
partant des îles Shetland, traverse l'Écosse, l'Angleterre, la 
France, passe sur une partie de l'Espagne, et se termine entre 
l'Europe et l'Afrique dans la petite île de Formentera. L’au- 
teur a réuni ces observations à celles qu'il avait précédem- 
ment faites sur les autres portions des mêmes arcs, soit seul, 
soit avec MM. Mathieu et Bouvard. Ces expériences, toutes 
exécutées par la même méthode et parfaitement comparables 
entre elles, étant ainsi rassemblées, M. Biot cherche les rap- 
ports qu’elles indiquent entre les intensités de la pesanteur 
sur les divers arcs qu’elles embrassent; et il arrive à des 
conséquences bien différentes de celles auxquelles on parais- 
sait s'être arrêté jusqu'alors. En effet, les observateurs qui 
ont fait jusqu'ici des mesures du pendule, et qui les ont ap- 
pliquées à la détermination de la figure de la terre, ont con- 
sidéré cette figure comme un ellipsoïde dont l’aplatissement 
pouvait être calculé d’après les relations mathématiques éta- 
blies par la théorie dela gravitation universelle ; mais l’auteur 
remarque que ces relations ne se déduisent de la théorie que 
dans certaines suppositions sur la constitution intérieure du 
sphéroïde terrestre, suppositions dont la réalité ne peut être 
aucunement démontrée d'avance, mais doit être conclue des 
lois effectives que la pesanteur suit sur les diverses portions 
du sphéroïde. Il s'attache donc d’abord à discuter ces lois 


PARTIE MATHÉMATIQUE. vi] 


mêmes, d'après les mesures qu'il a rassemblées; et il montre 
qu'elles sont loin d'offrir la forme qu'on leur attribuait, qui 
était d’être proportionnelles au carré du sinus de la latitude. 
Car, en admettant ce mode de variation entre des points 
tres-voisins du globe , comme le permet l’ensemble des expé- 
riences, si l’on établit les deux coefficients qui lui sont pro- 
pres, d'apres les observations successives depuis Unst jusqu’à 
Formentera, ces deux coefficients, au lieu d’être constants. 
comme ils devraient l'être dans les hypothèses physiques 
qui donneraient la terre elliptique, se montrent au contraire 
graduellement variables, d’une station à la suivante, sur toute 
cette étendue, et avec une intensité qui ne permet pas d’at- 
tribuer ce phénomène aux erreurs maintenaut si petites des 
observations. M. Biot répète la même épreuve sur un autre 
méridien d'Europe, celui qui, partant du Spitzherg, passe à 
Drontheim en Norwège, puis à Padoue, et se termine à 
Lipari dans les îles Écliennes. Il y trouve un mode de varia- 
tion de Ja pesanteur analogue à celui de Formentera et d'Unst, 
quoique avec des intensités absolues sensiblement différentes 
aux mêmes latitudes. Ces comparaisons le conduisent à con- 
clure que l'accroissement de la pesanteur, en allant de l'é- 
quateur vers le pôle, n’est pas, du moins à l'occident de 
l'Europe, tel que l’exigerait une figure elliptique résultante 
des conditions de constitution intérieure employées j jusqu’à 
présent par la théorie. En discutant de même les mesures du 
pendule faites sur le parallèle de Bordeaux à Fiume et re- 
duites par le calcul à une même latitude géographique, il y 
trouve aussi des inégalités incompatibles avec une figure ellip- 
tique de révolution; et il montre qu'une cause physique , tres- 
étendue et très-puissante, y rend généralement la pesanteur 


vii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


plus forte à lorient des Alpes qu'a l'occident. Partant de ces 
rapports uniquement donnés par l'expérience, M. Biot con- 
clat, des observations faites à de hautes latitudes, la longueur 
du pendule telle qu'on l'observerait au pôle même. Il calcule 
parcillement la longueur du pendule équatorial, d’après les 
nombreuses expériences faites dans ces derniers temps sur 
le contour de l'équateur terrestre; et il place entre ces lon- 
gueurs la valeur moyenne qu’il a trouvée lui-même, avec son 
fils, entre Bordeaux et Fiume, sur le parallèle de 45°. Ces 
trois résultats, qui devraient être équidistants dans l'hypo- 
thèse elliptique , se trouvent bien loin de l'être en réalité; et 
ils offrent ainsi une confirmation nouvelle autant qu'indé- 
pendante des conclusions obtenues d’abord par les seules 
observations d'Europe. Leurs inégalités expliquent pourquoi 
les divers observateurs qui calculaient leurs expériences du 
pendule dans l'hypothèse elliptique, trouvaient généralement 
d'inégales valeurs pour l’aplatissement du globe, selon l'é- 
lévation plus ou moins grande des latitudes qui dominaient 
dans leurs stations. L'auteur retrouve en effet par ses trois 
coefficients , selon qu'il les combine, toutes les diverses va- 
leurs ainsi obtenues. De là il conclut que les rapports de la 
pesanteur avec la figure de la terre sont beaucoup moins 
simples qu'on ne l'avait supposé. Il en infère que désormais 
les expériences du pendule, pour être utiles à la détermina- 
tion de cette figure, doivent être faites systématiquement sur 
des arcs continus de méridiens ou de parallèles, et non pas 
sur des points isolés auxquels le hasard seul pourrait donner 
quelque intérêt local. Enfin, il fait remarquer que la lon- 
gueur du pendule variant ainsi sur les méridiens , et même 
sur les parallèles, d'une maniere qui paraît fort inégale et 


PARTIE MATHÉMATIQUE. IX 
fort compliquée, elle n’est pas propre à être prise pour éta- 
lon de mesure , comme on l’a fait récemment en Angleterre; 
puisqu'il faudrait, pour la fixer dans l'avenir, définir jusqu'à 
la place même où l'expérience aurait été faite; encore en 
admettant, ce dont nous n’avons aucune certitude, que l'in- 
tensité de la pesanteur se conserve à perpétuité dans chaque 
lieu sans altération. 


Mémoires lus par M. Fourier. 


M. le baron Fourier a lu deux Mémoires : 1° Mémoire sur la 
distinction des racines imaginaires, et sur l'application de 
théorémes d'analyse algébrique aux fonctions appelées trans- 
cendantes, et spécialement aux questions de ce genre qui 
appartiennent à la théorie de la chaleur ; 

29 Mémoire sur les températures du globe terrestre et des 
espaces planétaires. 


PHYSIQUE. 
Observations météorologiques faites à l'Observatoire de Paris. 


M. Bouvard a présenté à l’Académie un Mémoire sur les 
observations météorologiques faites à l Observatoire de Paris. 

Les observations que l’auteur s’est proposé de faire con- 
naître et de discuter sont au nombre de plus de cent mille, 
tant barométriques que thermométriques. Elles ont été faites 
régulièrement et jour par jour, sans interruption, au lever 
du soleil, à 9 heures du matin, à midi, à 3 heures et à 9 heures 
du soir. 


T. X. Mist. 1827. B 


x HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Les observations barométriques embrassent un espace de 
11 angées complètes (du 1° janvier 1816 au 1° janvier 1827). 
Les observations thermométriques comprennent un espace 
de 21 années (du 1° janvier 1806 au 1‘ janvier 1827). L'au- 
teur s'occupe d'abord des observations barométriques. 

Il résulte des quatre premiers tableaux dressés par M. Bou- 
vard , qu’à la latitude de Paris, la période barométrique de 
9 heures du matin à 3 heures du soir, prise sur une moyenne 
de 11 années, est égale à 0"",756, et que celle de 3 heures à 
9 heures du soir n’est que de 0"",375, c'est-à-dire environ la 
moitié de la premiere. 

Ces tableaux ne font pas seulement connaître les différences 
de hauteur qui existent entre les différentes heures du jour, 
ils montrent encore celles qui ont lieu d’un mois à l’autre 
aux mêmes heures ; et ils confirment cette remarque impor- 
tante faite depuis long-temps par M. Ramond, que le choix 
des heures et des mois d'observations n’est pas indifférent 
quand il s’agit de déterminer la pression moyenne de l’atmo- 
sphère et l'étendue de la période diurne dans un lieu donné 
comparativement à ce qui a lieu à Paris. 

À l'égard de ia pression moyenne de l'atmosphère à Paris, 
les plus grandes hauteurs barométriques ont eu lieu au mois 
de janvier, et les plus petites au mois d'avril et d'octobre. 
L'excès du maximum sur le minimum est de 0""”,39, quantité 
qui indique que l'incertitude de la hauteur moyenne du ba- 
romètre est d'environ o",1b en plus ou en moins. 

Quant à la période barométrique de 9 heures du matin 
à 3 heures du soir, les tableaux prouvent que sa valeur pen- 
dant les mois de novembre, décembre et janvier, est cer- 
tainement moins grande que celle qu’elle a dans les trois 


PARTIE MATHÉMATIQUE. x) 


mois suivants (février , mars, avril); et qué pendant les six 
autres mois elle n’éprouve que de légères oscillations autour 
de la moyenne. Il y a donc une cause annuelle qui diminue 
la variation diurne dans les mois de novembre, décembre 
et janvier, qui l’'augmente dans les’ trois mois suivants, et 
la soutient dans une valeur intermédiaire pendant les six 
autres. 

D'autres tableaux font aussi ressortir l'influence que la 
direction du vent exerce sur les hauteurs barometriques, 
et sur les variations extrêmes qu’elles éprouvent dans le 
cours de l’année à Paris. Les hauteurs moyennes sont les 
plus faibles par le vent du sud; elles atteignent leur 
maximum par le vent du nord, et la différence moyenne 
s'élève jusqu'à 7,2 millimètres. En prenant les milieux entre 
les hauteurs qui correspondent à des vents diamétralement 
opposés, on trouve des résultats qui sont presque égaux. Il 
en résulte la confirmation de cette remarque de M. Ramond, 
que pour déterminer exactement la hauteur moyenne du 
baromètre, il faut employer, autant que possible, un 
nombre égal d'observations faites par des vents de direc- 
tions contraires. 

Où'trouvera dans le Mémoire de M. Bouvard (imprimé 
tome VIT) une application du calcul des observations baro- 
métriques à la détermination des oscillations de l'atmosphère 
dues à l’action de la lune. Les formules dont l'auteur afait 
usage sont celles que M. de Laplace a déduites de sa 7héo- 
rie des marées ; et communiquées au bureau des longitudes 
peu de jours avant sa mort. 

Cette application conduit M. Bouvard à reconnaître que 


le nombre qui exprime la quantité du flux s'élève à peine 
B 2 


Xi) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


à Paris à 0"",018, quantité si petite si est permis de la 
négliger dans tous les cas. 

Enfin, pour compléter les éléments nécessaires à la dis- 
cussion d’une longue suite d'observations barométriques , 
M. Bouvard a calculé de nouvelles tables pour réduire ces 
observations à zéro de température et les corriger des on as 
sions dues à la capillarité du tube et à la position du zéro 
de l'échelle de l'instrument. 

La seconde partie du mémoire de M. Bouvard est relative 
aux observations thermométriques faites, jour par jour, de- 
puis le 1° janvier 1806 jusqu'au 1° janvier 1827, et aux phé- 
nomènes atmosphériques correspondants à ces observations. 

Après avoir déterminé les températures moyennes des 
jours, des mois, et celle de l’année, conclue de l'ensemble 
de toutes les observations, l’auteur cherche à représenter 
ces observations à l’aide d’une formule déduite des tempé- 
ratures observées. Les différences des observations et de 
la formule, présentées dans un tableau joint au Mémoire, 
n'excedent pas celles que comportent les observations. 

M. Bouvard termine son Mémoire par vingt-un tableaux 
relatifs à l'état de l'atmosphère. Ces tableaux présentent les 
nombres comparatifs de jours couverts, de jours de pluie, 
de brouillard, de gelée, de neige, de grêle et de tonnerre, 
ainsi que le nombre de jours où le vent a soufflé des huit 
principaux points de l'horizon. 

Un dernier tableau présente les résultats moyens des 
vingt-un tableaux précédents. L'auteur trouve, pour une 
année moyenne à Paris, 182 jours de ciel couvert, 184 
nuageux, 142 de pluie, 58 de gelée, 180 de brouillards, 12 
de neige, 9 de grêle ou grésil, et 14 de tonnerre. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xii] 


Le vent souffle 63 jours du sud, 67 du sud-ouest, 70 de 
l'ouest, 34 du nord-ouest, 45 du nord, 4o du nord-est, et 
23 de l’est et du sud-est. Il résulte enfin des tableaux dressés 
par M. Bouvard, que la quantité de pluie qui tombe à Paris, 
mesurée sur l'Observatoire, est de 482 millimètres, et dans 
la cour, à 24 mètres au-dessous de la plate-forme, de 565 
millimètres, c'est-à-dire d'environ un septième de plus. 


! 


Sur le mouvement d'un fluide élastique qui s'écoule hors d'un 


réservoir OU gazomètre. 


M. Navier a lu un Mémoire sur le mouvement d'un fluide 
élastique qui s'écoule hors d’un réservoir ou gazomètre. 


Daniel Bernoulli a résolu, dans son Æydrodynamica, di- 
verses questions relatives au mouvement d'un fluide élastique 
qui s'écoule d’un vase dans un autre par un très-petit ori- 
fice. Ce grand géomètre, pour arriver à la solution de ces 
questions, supposait que le fluide était en repos dans l'inté- 
rieur du vase, que la pression était égale dans toutes ses 
parties, enfin que les molécules prenaient, en franchissant 
l'orifice, la vitesse due à la pression intérieure, comme cela 
aurait lieu dans le cas d’un fluide incompressible. 

D'Alembert, dans son 7raité de l'équilibre et du mouve- 
ment des fluides , en s'occupant des mêmes questions, est parti 
d'hypothèses semblables; et les solutions auxquelles il est 
arrivé ont été reproduites depuis dans l'Hydrodynamique 
de Bossut et dans d’autres ouvrages, et ont conduit à cette 
proposition généralement admise dans les traités de physique, 
que « l'écoulement d’un fluide élastique dans un espace vide 


XIV HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


« s'opère avec la vitesse due à la hauteur d’une colonne de 
« fluide d’une densité égale à celle qui a lieu dans l'intérieur 
«du vase, et dont le poids produirait la pression à laquelle 
« le fluide est soumis. » 

Les hypothèses sur lesquelles les solutions dont on vient 
de parler sont fondées, diffèrent des circonstances natu- 
relles, et elles paraissent surtout s’en écarter en ce que l’on 
suppose que les tranches du fluide qui franchissent l'orifice 
ont la même densité que le fluide qui remplit l’intérieur du 
vase ; ce qui semble impossible , puisque les parties du fluide 
placées à la section extrême, ne supportant évidemment que la 
pression extérieure, doivent avoir la densité correspondante 
à cette pression. 

Il s'ensuit que l’on doit admettre une diminution progres- 
sive de la pression et de la densité dans les tranches de fluide 
qui s’écoulent hors du vase. C’est ce qu'a fait M. Navier; et 
en adoptant l'hypothèse du parallélisme des tranches et la 
supposition que le mouvement du fluide n’est pas altéré par 
le frottement sur les parois, il a donné la loi de l’écoulement 
d'un fluide qui sort d’un réservoir ou gazomètre dans lequel 
la pression est maintenue constante et supérieure à celle du 
milieu, dans lequel le fluide s'écoule en parcourant un tuyau 
où la section varie d’une manière arbitraire. Cette solution 
fait connaître les quantités de fluide qui s'écoulent dans un 
temps donné, ainsi que les pressions et les densités qui ont 
lieu dans les diverses parties du tuyau. 

Les résultats auxquels l’auteur est parvenu ne permettent 
plus d'admettre la proposition introduite dans les traités de 
physique dont il a été fait mention ci-dessus. En effet, on 
déduit de ces résultats que la vitesse d'écoulement du fluide 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XV 


tend à devenir infinie lorsque la force élastique du milieu 
dans lequel il s’écoule tend à devenir nulle. 


Mémoire sur la double réfraction. 


Dans ce Mémoire, M. Biot commence par rappeler la série 
des découvertes progressives qui ont été faites sur la double 
réfraction de la lumière depuis Huygens, qui le premier 
trouva la loi de ce phénomène dans le spath d'Islande, jus- 
qu'à Fresnel, qui en donna l'expression plus générale pour 
toutes sortes de cristaux, soit à un, soit à deux axes. M. Biot 
fait remarquer ensuite que, dans tous les corps cristallisés 
doués de deux axes, on n’a jusqu'ici aperçu que des phéno- 
mènes symétriques autour de ces deux directions, quoiqu'il 
fût généralement concevable que cette symétrie pourrait ne 
pas exister toujours. L'idée d’une telle possibilité avait depuis 
long-temps engagé l’auteur à chercher comment, dans les cas 
de symétrie ou de non symétrie qu'offrirait accidentellement 
la nature, la loi analytique de la double réfraction pourrait 
être conclue des expériences seules , indépendamment de 
toute hypothèse sur la nature de la lumière, en partant du 
principe de la moindre action, qui, par son essence, paraît 
toujours , comme l’a montré M. delsaplace, devoir s'appliquer 
à cette classe de phénomènes, et en le combinant avec les ex- 
pressions des vitesses représentées par des fonctions du se- 
cond ordre des sinus et co-sinus des angles formés par les axes 
de chaque cristal avec les rayons réfractés; expressions qui 
offrent jusqu'ici une approximation très-suffisante, à cause 
de la petitesse des changements que la réfraction absolue de 
chaque rayon subit dans les divers sens d’un même cristal. 


XV] © HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Lorsque M. Fresnel eut publié sa belle découverte de la va- 
riabilité des deux vitesses dans les cristaux à deux axes, 
M. Biot chercha à employer ce caractère expérimental, comme 
nous venons de le dire; et il obtint des formules qui, s’ac-. 
cordant avec celles de M. Fresnel pour les cristaux observés 
jusqu'alors, pouvaient s'adapter également au cas où la na- 
ture viendrait à offrir la généralité plus grande de phénomènes 
non symétriques autour des deux axes. D'après cela, M. Biot 
se borna à déposer dans un paquet cacheté ses formules, et 
la méthode qu'il avait employée pour y parvenir. Mais il vient 
de les reprendre, pour les appliquer à cette extension des 
phénomènes qu'il a reconnue dans un minéral jusqu'alors 
assez rare à l'état de transparence parfaite. Ce minéral est le 
pyroxène diopside du Tyrol. Il s'offre ordinairement en 
prismes alongés, dans lesquels les axes de double réfraction 
sont placés de manière que l’un fait, avec l'axe longitudinal 
des prismes, un angle à très-peu pres de 68°, et l’autre un 
angle de 11° 14; ce qui donne 56° 46° pour leur inclinaison 
mutuelle. Maintenant, si l’on taille dans le diopside des pla- 
ques à faces parallèles, suivant des sens respectivement per- 
pendiculaires à ces deux directions, on trouve que ces pla- 
ques, placées entre deux tourmalines, offrent des anneaux 
dont la configuration n’est pas la même, près de l’un et l’autre 
axe, quand on les tourne dans leur propre plan : il n'y a que 
deux positions rectangulaires entre elles où l'accord ait lieu; 
et il y a dissymétrie dans toutes les autres. L’axe transversal, 
le plus oblique à la longueur des prismes, offre les phénomènes 
ordinaires à tous les autres cristaux ; mais l'axe longitudinal 
présente, près du centre des anneaux, lorsqu'on tourne les 
plaques, des distorsions tout-à-fait inusitées, quoique régu- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. ‘ Xvij 


lières en elles-mêmes et semblables dans tous les échantil- 
lons. M. Biot s'occupe de découvrir si ces nouveaux caractères 
sont, comme ilest vraisemblable, accompagnés de différences 
dans les vitesses de transmission suivant les deux axes; mais 
l'extrême délicatesse des mesures que cette recherche exige 
ne lui a pas encore permis de la terminer. 


Sur les sons produits par les vibrations d'une lame mince 
ébranlée par un courant d'air. 


M. Savart a lu, dans le cours de la présente année , plusieurs 
Mémoires. Ce savant physicien ayant été nommé à la place 
vacante dans le sein de l’Académie par le décès de M. Fresnel, 
ces Mémoires, qui ont contribue au perfectionnement de 
l'acoustique, n’ont été l’objet d'aucun rapport. Nous allons 
donner ici une idée de leur contenu. 

Le premier est relatif aux Sons produits par les vibrations 
d'une lame mince ébranlée par un courant d'air. 

Lorsqu'un courant de gaz au de vapeur s'échappe par un 
orifice percé dans une paroi plane, on sait qu'une lame mince 
et circulaire placée au devant de cet orifice, loin d’être chassée 
par le courant, demeure à une petite distance de la paroi 
_ plane, et que, dans certains cas , le phénomène s'accompagne 
d’un son plus ou moins grave, plus ou moins intense. M. Savart 
s'est proposé d'examiner les circonstances qui déterminent 
‘Où qui accompagnent la production du son doux dans cette 
circonstance. Il arrive à ce résultat, que le son doux est pro- 
duit alors par les vibrations propres du disque, de sorte 
que si l'on fait varier les dimensions des disques, les uom- 
bres des vibrations sont en raison inverse des carrés des 


T. X. Hist. 1827. C 


Xvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; 

diamètres, et proportionnels à l'épaisseur, ainsi que cela a lieu 
pour les lames circulaires ébranlées directement. En effet, 
si l'on dispose l'appareil qui sert à faire ces expériences de 
manière que la lame circulaire soit horizontale, et qu'ensuite 
on répande une poussière légère sur la face supérieure de la 
lame, tandis que le son se produit, la poussière se réunit 
pour dessiner les lignes nodales fort nettes, et le son est 
exactement le même que celui qu’on obtient pour le même 
mode de division en ébranlant la lame directement avec un 
_archet: d’où il résulte que l’action du courant d'air, réunie 
à celle de la pression atmosphérique, constitue dans ce cas 
un genre particulier d'ébranlement qui ne diffère pas essen- 
tiellement de tous ceux qu'on peut produire, quoiqu'il soit 
fort remarquable, en ce queles corps qui y sont soumis sont 
parfaitement libres dans toute leur étendue. 


Recherches sur les vibrations normales. 


Chladni et après lui M. OErsted avaient remarqué que 
quand on répand sur une lame en vibration du sable 
mélangé d'une poussiere très-fine, le sable trace une figure 
acoustique, et que la poussière, plus légère, forme de petits 
amas. M. Savart s’est proposé de trouver la cause de ce 
singulier phénomene, et d'en déterminer les lois. Il résulte 
de ses recherches que, quand un corps solide exécute des 
vibrations normales, il est toujours le siége de deux modes 
de division qui se superposent; que l’un de ces modes est 
indiqué par le sable, et l’autre par la poussière la plus déliée. 
M. Savart désigne ce dernier par la dénomination de mode 
secondaire de division. Par exemple, si l’on fait produire 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xIX 


à une lame circulaire la figure acoustique qui se compose 
d'une seule ligne circulaire tracée par le sable, la poussière 
fine dessine une autre ligne circulaire placée entre la précé- 
dente et le bord de la lame , et de plus elle se réunit en un 
petit amas au centre même de la lame. A l’aide de lois simples 
que M. Savart a découvertes, on peut toujours prévoir la 
figure acoustique secondaire quand on connaît la figure prin- 
cipale; et réciproquement, la figure secondaire étant connue, 
on peut toujours remonter au mode principal de division. 

M. Savart regarde les mouvements secondaires comme la 
cause principale du timbre des divers corps sonores, et il 
présume que les lignes nodales hélicoïdales qu'il a observées 
sur les faces des corps sonores qui vibrent, ne sont que les 
traces d'un mode secondaire de division. Cette remarque est 
propre à éclaircir l’un des points les plus obscurs et les plus 
curieux de l’acoustique. 


Note sur un mouvement de rotation qui peut étre imprimé 
au système des Parties vibrantes de certains corps. 


Lorsqu'on fait résonner une lame circulaire dont le centre 
est immobile, et qu’elle présente l'un des modes de division 
qui se composent d’un plus ou moins grand nombre de lignes 
nodales diamétrales, soit seules, soif combinées avec des lignes 
circulaires, on sait que le nombre des subdivisions qui se 
produisent ,'ainsi que la position des lignes de repos , dépen- 
dent en général des dimensions mêmes de la lame, de la 
nature de la substance dont elle est formée, de la position 
du point ébranlé directement, et enfin de la vitesse avec 
laquelle on fait mouvoir l’archet sur le bord de la lame; de 


C2 


xx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


sorte que rien n'étant changé dans ces conditions, les lignes 
nodales devraient toujours occuper la même position. Néan- 
hoins M. Savart a trouvé qu'il n’en était pas ainsi, et qu'il 
pouvait arriver que le système des parties vibrantes affectât un 
mouvement d’oscillation autour d’une position fixe, et mème 
qu'il devint le siége d’un mouvement de rotation tangentiel au 
plan de la lame. Par exemple, si l’on fait produire à une lame 
circulaire le mode de division qui se compose de deux lignes 
nodales qui se coupent rectangulairement, cas pour lequel 
le mode secondaire est formé du même nombre de lignes 
diamétrales augmenté d’une ligne circulaire, il peut arriver 
que la poussière fine qui trace cette dernière ligne, forme une 
espèce de courant circulaire animé d’un mouvement de trans- 
port tangentiel tres-rapide, et que les lignes diamétrales, 
changeant sans cesse de place, finissent par s’effacer entière- 
ment. M. Savart indique plusieurs moyens pour constater 
l'existence de ce genre de mouvement, non-seulement dans 
les lames circulaires, mais encore dans les anneaux, les tim- 
bres et les membranes. 


Recherches sur l’élasticité. 


Dans ce travail, M. Savarta en vue de montrer qu’au moyen 
des vibrations sonores, on peut déterminer l'état élastique 
des diverses substances solides, opaques ou transparentes ; 
de même qu'au moyen de la lumière on peut étudier la struc- 
ture intérieure des corps diaphanes. L'auteur se fonde sur cette 
proposition, qu'une lame circulaire homogène et également 
épaisse dans toute son étendue, ne devrait faire entendre qu'un 
seul son pour une même figure acoustique , et que cette figure 
devrait se placer dans toutes les directions possibles, si le lieu 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Xx] 


de l’ébranlement parcourait successivement tous les points de 
la circonférence du disque. En conséquence, toute substance 
qui ne remplira pas ces conditions devra évidemment être 
considérée comme ne jouissant pas desmémes propriétés dans 
tous les sens. Des lames métalliques fondues, laminées, ou 
amincies au marteau ,ayant été soumises à ce genre d’épreuve, 
M. Savart a trouvé qu’elles présentaient toutes deux sens 
rectangulaires, suivant lesquels l’élasticité n'était pas la 
même: c’est ce qu'il a vérifié sur l’argent, l’étain, le cuivre, 
le fer, le plomb, le zinc, le bismuth, l’antimoine, l'acier, la 
fonte de fer, le laiton , le métal des cloches, et plusieurs 
autres alliages. On conçoit qu'il doit en être de même pour 
toutes les substances fibreuses. Mais, ce qu'il était plus dif- 
ficile de prévoir, le soufre, le plâtre coulé en lames min- 
ces, les résines et diverses substances salines qui cristal- 
lisent confusément , présentent un résultat tout-à-fait aralo- 
gue. M. Savart désigne par l'expression d’axes d'élasticité, les 
deux sens rectangulaires de plus grande et de moindre élas- 
ticité ; et il montre par diverses expériences que l'existence 
de ces axes est le résultat d’un phénomène moléculaire ana- 
logueà la cristallisation, et lié intimementavecelle; car, d’après 
ses observatiens, tout semble se passer dans les diverses sub- 
stances solides comme si elles étaient formées par un système 
de fibres paralleles. Depuis la lecture de ce Mémoire, M. Savart 
a étendu ses recherches aux corps régulièrement cristallisés, 
ainsi qu'aux métaux fondus en grandes masses, et il a reconnu 
que le mouvement de rotation dont nous avons parlé dans 
l’article précédent dépend de la structure même des corps, 
et de l'inégalité de leur élasticité dans différents sens. Ces 
recherches ne tarderont pas à être publiées. 


XXi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE. 


MÉCANIQUE. 


Mémoire sur les grandes routes, les canaux de navigation 
et les chemins de fer. 


M. Girard a lu un Mémoire sur les grandes routes, les 
canaux de navigation et les chemins de fer. Ses recherches 
sur cet important sujet, qui se rattache d’une manière im- 
médiate aux besoins les plus pressants de l’industrie, établis- 
sent avec plus d’exactitude qu’on ne l'avait fait jusqu'ici les 
différents prix de transport sur chacune des trois voies de 
communications qu’il compare entre elles ; et l’auteur justifie 
par des motifs positifs la préférence qu'on doit accorder à 
chacune dans tel cas donné. 

Nous allons indiquer les résultats principaux de ces nou- 
velles recherches. 

C'est toujours pour effectuer la circulation d'une certaine 
quantité de marchandises, que l’on se propose d'ouvrir une 
communication quelconque entre deux points fixes. Connais- 
sant d’ailieurs le montant des charges annuelles qui doivent 
être acquittées pour les droits de péage perçus sur cette com- 
munication et les dépenses effectives de roulage qu’elle oc- 
casionne, on trouve aisément que la différence du prix total 
du transport à la dépense effective du roulage, par tonneau 
et par kilomètre , est égale au montant des charges an- 
nuelles des concessionnaires divisé par le nombre de ton- 
neaux transportés annuellement sur cette voie. 

Supposant, par exemple, de 100,000 ce nombre de ton- 
neaux, on déduit de la règle précédente que le prix total du 
transport par tonneau et par kilomètre sera, 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXII] 


Sur une route ordinaire, de .......... o",418, 
Sur un chemin de fer, de :....4.2:..11 or, 
Enfin, sur un canal, de .............. of,112. 


D'où l’on voit que, dans cette hypothèse de mouvement de 
marchandises, un canal comparé à un chemin de fer présen- 
terait une économie de 0",029 sur 0",141, ou de plus de 20 
pour 100. 

Cette économie du transport par eau comparé au transport 
par la voie actuelle du roulage, serait de o"306 sur 0418, 
ou de 73 pour 100 environ. 

L'avantage de la voie navigable devient bien plus sensible 
à mesure que la masse des denrées à transporter devient plus 
considérable. 

Si, par exemple, on supposait que cette masse fût annuel- 
lement de 250,000 tonneaux, on trouve que le prix du trans- 
port sur un chemin de fer serait de 00824, tandis que ce 
prix ne serait que de 0",0546 sur un canal. Cette dernière 
voie présenterait donc une économie de 00278 sur 0",0824. 
c'est-à-dire une économie de plus de 35 pour 100. 

Veut-on, en fixant à o",141 le prix total du transport sur 
un canal comme sur un chemin de fer, déterminer combien 
il devra passer de tonneaux de marchandises sur la première 
de ces voies, quand il en passe 100,000 sur la seconde , de 
manière que les charges annuelles de l’une et de l’autre 
soient également acquittées par les produits de leurs péages 
respectifs; on trouve immédiatement qu'il suffira, sur le 
canal, d’une circulation de 77,216 tonneaux. 

Et réciproquement, si l'on fixe à of,112 le prix total du 
transport sur un chemin de fer comme sur un canal, on trou- 
vera que pour acquitter les charges annuelles du premier, il 


XXIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 
faudra qu'il y passe 142,930 tonneaux, tandis qu'il n'en 
passera que 100,000 sur le second. 

La sansequense générale de cet examen est que toute les 
fois qu'il s'agira d'établir une voie de communication entre 
des points plus ou moins éloignés, soit en suivant le cours 
d’une vallée, soit en traversant un pays de plaine , un canal 
navigable devra toujours être préféré à un chemin de fer, 
dans les intérêts du commerce. Mais il peut se rencontrer 
une multitude de cas d'exception, dans lesquels le maintien 
des mêmes intérêts exigera qu'il soit pris un parti contraire. 

Si, par exemple, on doit faire descendre du sommet d'une 
côte les matières extraites d'une carrière ou d’une mine, il 
sera presque toujours plus avantageux de pratiquer un che- 
min de fer à la surface du sol, que d'y ouvrir un canal ou 
tranchée. 

Ainsi, en conservant l'hypothèse d’une exploitation an- 
nuelle de 100,000 tonneaux, on trouve que le rapport nu- 
mérique de 125 à 98, entre les charges annuelles d’un canal 
et celles d'un chemin de fer, est la limite au-dessous et au- 
dessus de laquelle la première de ces voies l'emporte sur la 
seconde ou lui est inférieure. On voit comment, en admet- 
tant que les charges annuelles d’un canal soient doubles de 
celles d'un chemin de fer, on arriverait, avec M. Tredgold 
et quelques autres, à conclure que les chemins de fer sont 
plus avantageux que les canaux. 

Il est un cas où leur avantage se manifeste évidemment, 
c’est celui où des chariots chargés, qui descendent d’eux- 
mêmes sur des plans inclinés, font en même temps remonter 
des chariots vides. Le prix du transport se réduit alors aux 
seuls droits de péage établis pour l’acquittement des dé, 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXV 


penses annuelles des concessionnaires au chemin. Ce prix se 
réduirait, dans l'exemple que nous avons choisi, à 0,098, au 
lieu de o",141. Pour que le transport par eau présentât le 
même avantage, il faudrait que le kilomètre de longueur 
de canal ne coùtât que 82,000 fr. au lieu de 96,520 fr. 

L'emploi des machines à vapeur, comme locomotives, sur 
les chemins de fer, est encore en Angleterre l’objet d’une 
grande question, que M. Girard aborde aussi dans son Mé- 
moire. « Quand même, dit-il, on adinettrait, avec les partisans 
de ce moyen, qu'il offre plus d'économie que l'usage des 
chevaux, il est essentiel d'observer que le combustible à la 
consommation duquel ces machines doivent la production 
de leur force motrice, est chaque jour enlevé à des dépôts 
naturels que leur vaste étendue ne rend pas néanmoins in- 
épuisables. La valeur de ce combustible s’élevera donc, ron- 
seulement avec le prix de toutes choses, mais encore à mesure 
qu'il deviendra plus rare, ou plutôt à mesure qu'on craindra 
davantage qu’il ne le devienne. Les calculs économiques que 
l’on fonderait sur sa valeur ne conviennent qu'à un état de 
choses transitoire, et ne peuvent être admis que sous cette 
réserve. L'emploi des chevaux n’est pas sujet aux mêmes chan- 
ces; les forces motrices qu'ils sont propres à développer ont 
pour aliment les productions du sol, que la nature renouvelle 
chaque année, et qu'elle continuera de reproduire avec d’au- 
tant plus d'abondance que l'agriculture fera plus de progres. » 
Si de telles vérités ont été senties en Angleterre, combien à 
plus forte raison, dit M. Girard, doit-on en être frappé en 
France, dans un pays dont le sol est plus fertile et où les 
mines de charbon sont beaucoup plus rares. 

T. X. Hist. 1827. D 


XXV] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Mémoire sur la composition des moments en mécanique. 


M. Poirsot a lu un Mémoire sur la Composition des mo- 
ments en mécanique. M. Poinsot rappeile dans ce Mémoire 
la théorie des couples, dont il est l'inventeur; il montre que 
le plan qui est nommé invariable n’est, à proprement parler, 
que le plan du couple résultant de tous les couples du sys- 
tème par rapport au centre que l’on considère. 


Notice sur des étalons de l'ancienne coudée égyptienne. 


M. Girard a lu une Votice sur quelques étalons de l'an- 
cienne coudée égyptienne, récemment découverts. 

La découverte du premier de ces étalons date de 1709. 
M. Girard le retrouva dans l’ancien nilomètre de l’île d’Élé- 
phantine, décrit par Strabon. Cette unité de mesure était 
divisée en 28 doigts eten 7 palmes ; sa longueur absolue est 
de 527 millimètres. 

Un second étalon fut trouvé, en 1822, dans les ruines de 
Memphis, par les soins de M. Drovetti, notre consul général 
en Égypte. Cette coudée est aussi divisée en 7 palmes; sa 
longueur, mesurée avec la plus grande précision par MM. Plana 
et Bidone, est de 523 millimetres. 

Un troisième étalon de la même unité de mesure a été 
trouvé également à Memphis, par M. Drovetti; il est déposé 
dans le nouveau Musée royal égyptien. C'est encore une 
coudée septénaire, dont la longueur absolue est de 525 mil- 
himètres. 

Enfin, un quatrième étalon, destiné au Musée de Florence, 
a été découvert par M. d’Anastasy, consul de Suède en Égypte. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXVi] 


Sa longueur est de 526 millimetres et demi; il est d’ailleurs 
divisé, comme les précédents en 7 palmes ou en 28 doigts. 

D'après ces faits, M. Girard regarde la véritable longueur 
de l'ancienne coudée égyptienne comme irrévocablement 
fixée. Cette longueur, comprise entre 524 et 527 millimètres, 
lui sert à expliquer de la manière la plus évidente un passage 
de Pline sur la longueur du côté de la base de la grande 
pyramide, et à rétablir la véritable longueur du stade (de 
700 au degré) connu des géographes sous le nom de stade 
d'Ératosthène. 


ASTRONOMIE. 


Mémoire sur la comète périodique de 6 ans Z. 


M. Damoiseau a présenté un Mémoire sur la comète pé- 
riodique de 6 ans 7 

Cette comète découverte par M. Biela , le 27 février 1826, 
fut immédiatement observée dans presque tous les Obser- 
vatoires de l'Europe. Les premiers résultats furent bientôt 
suffisants pour faire entrevoir , par le calcul des orbites para- 
boliques, que les éléments de la nouvelle comète avaient une 
grande ressemblance avec ceux des comètes de 1772 et 1806. 
En reconnaissant une même comète dans ces trois appari- 
tions, on vit que l'on s’écartait beaucoup des observations ; 
mais MM. Gambart et Clausen, après quelques essais, ont 
trouvé chacun séparément une ellipse qui représente les ob- 
servations assez exactement pour ne laisser aucun doute sur 
l'identité de ces trois astres. 

La révolution moyenne , 2460 jours, De: établit l'identité 
de la comète de 1806, doit être plus grande de 9 jours pour 

D 2 


XX vil] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


établir celle de la comète de 1772. Cette différence ne peut 
être expliquée que par l'altération qu'a dù causer, dans le 
mouvement de la comète, l’action de Jupiter , qui en a passé 
assez près en 1782 et en 1794. L'identité une fois admise, 
pour annoncer le temps du prochain retour de la comète, 
il fallait nécessairement avoir égard aux perturbations dues à 
l'action des planètes dans l'intervalle des passages aux péri- 
hélies de 1806 et de 1826, et dans l'intervalle de ce dernier 
passage à celui de 1832, année qui sera remarquable par les 
réapparitions des deux comètes à courte période de notre 
système , Jusqu'à présent connues. 

Voici ce que donne la théorie pour les perturbations du 
moyen mouvement diurne de la comète et de son anomalie 
moyenne, par l’action de Jupiter, la Terre et Saturne : 


Moy. mouv. diur. Anom. moy. 

der BD6 aln026 7: ce + 1/,4497.---..... + 0°.45'.39/,94 
É000bo0 RO PTE TE EEE + 0..22 .10 ,92 

DR eee ne OO eee ON HO 

TO OO EEE LEE hr. 5h AIX 

de 0 AIT EN cree TD 07 A Deere + 1°.28.50",94 
RUE NO NOB AMAR — 0 . 0.34 ,69 

DOS SOU — 01. re ss — 0 . 3.14 ,83 

CRD DTOU Es ee etes + 22.25. r,40 


On a conclu de ces résultats que l'action des planètes a 
diminué de 1/,6507 la révolution moyenne de 1806 à 1826, 
et que cette diminution sera de 9,6642 sur la révolution 
propre au périhélie de 1826, pendant la période actuelle. Si 
donc l'on suppose que la comète ait passé au périhélie en 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXIX 


1826 le 18,9688 mars, son retour prochain au périhélie au- 
rait lieu en 1832 le 27,4808 novembre. 

Les altérations que doivent éprouver les éléments de l'orbite 
pendant cette dernière période ont été déterminées comme 
il suit : 


Variation de la longitude des nœuds sur l'écliptique... — 3°,13'.45" 
Variation de la ‘longitude du périhélie...,........... +- DT 
Variation de l'inclinaison de l'orbite. ................ — DO 
Variation de l'excentricité.. . ess... + 0,0047388 


En partant des éléments de 1826 de M. Gambart, on a 
formé, avec ces variations, les éléments suivants pour 1832: 


Longitude du périhélie........,......... 109°.56'.45" 
Longitude du nœud ascendant............ 248 .12 .24 
ECHTASORAMR TERRE RICAUD ete 13.13.13 
Excentricitédte 0." 0,7b17481 

Demi grand axe............., 3,53683 


Sur la comète périodique de 3 : ans. 


Le même académicien a lu un Mémoire sur la comète pé- 
riodique de 3 ans =. 

Cette comète, qui a déja été observée plusieurs fois, et 
notamment en 1805, 1819, 1822 et 1825, doit reparaître 
vers la fin de l'été de cette année. Elle passera successivement 
dans les constellations d’Andromède, de Pégase, du petit Che- 
val, d’Antinoüs, etc. Sa plus courte distance à la terre sera 
0,47 (la distance moyenne de la terre au soleil étant 1). La 
comete atteindra cette plus courte distance le 11 décembre : 
ensuite elle continuera de s'approcher du soleil jusqu’au 


XXX HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 
10,56 janvier 1829, jour de son passage au périhélie; sa 
distance au soleil sera alors 0,35. | 

Le dernier passage fut observé, en 1825, le 16,78 sep- 
tembre ; ainsi la période actuelle sera de 1211,78 jours. La 
période de 1822 à 1825 a été de 1211,30 jours; celle de 1819 
à 1822 de 1212;,74, et la période moyenne de 1805 à 1819 
de 120369. Les différences qu’on remarque entre les lon- 
gueurs de ces périodes proviennent de l’action des planètes 
sur la comète; cet effet est devenu assez sensible de 1819 à 
1822, la comète s'étant approchée de Jupiter jusqu’à la dis- 
tance 1,13 pendant cette période. 

Cette comète n’a pas été visible à la vue simple lors de 
ses apparitions précédentes. 

Le retour de 1828 pourra beaucoup contribuer à faire 
connaître s’il est nécessaire d'admettre la résistance du mi- 
lieu, pour représenter le mouvement de la comète. 


GÉOGRAPHIE. 


Cartes de la marine. 


Nous avons fait connaître, dans les analyses précédentes, 
les avantages que procure aux sciences le dépôt général des 
cartes et plans de la marine et des colonies. 

Ce grand établissement est dirigé par M. le contre-amiral 
de Rossel, membre de l’Académie des sciences , que seconde 
puissamment M. Beautemps-Beaupré, membre de la même 
Académie. Ces importants travaux sont continués avec le 
même zele et une activité toujours croissante ; ils obtiennent 
de plus en plus la reconnaissance des navigateurs et des 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXX] 


savants. La plupart des cartes publiées chaque année pro- 
viennent des travaux du corps des ingénieurs-hydrographes, 
qui se trouvent sous les ordres immédiats des chefs de l’éta- 
blissement. Les autres cartes sont le fruit des travaux d'of- 
ficiers de la marine instruits et expérimentés, qui ne né- 
gligent aucune occasion de lever des plans de parties de 
côtes et de ports qu'ils ont visités dans les régions les plus 
éloignées du globe. 

L'autorité royale, en créant ce dépôt, a voulu propager 
les connaissances nautiques, et procurer ainsi aux bâtiments 
de guerre et à ceux du commerce les moyens de se préser- 
ver de nombreux accidents. Les intentions du monarque 
ont été fidèlement remplies ; les opérations qu'exige la cons- 
truction des cartes et plans de la marine ont toujours été 
favorisées, et ont reçu tout le développement désirable. 
Dans l’espace de 11 ans, environ 250 cartes ou plans ont 
été publiés; c'est-à-dire que depuis 1816 la collection des 
cartes a été presque doublée. Les nouvelles cartes, levées 
par des méthodes récemment perfectionnées , sont très- 
préférables aux précédentes; elles ont acquis un degré émi- 
nent d’exactitude. 

Les ingénieurs hydrographes sous les ordres de M. Beau- 
temps-Beaupré ont terminé, en 1826, les opérations qui 
procureront aux navigateurs des cartes tres-détailléés de 
toutes les côtes du golfe de Gascogne et de tous les ports, 
même les moins considérables, de ces côtes. 

Les écueils ont été explorés avec le plus grand soin, et 
leur position a été déterminée très-exactement. Toutes les 
passes ont été sondées, ainsi que la partie de mer libre qui 
y conduit. Au moyen des dessins où se trouve représenté 


XXXi] HISTOIRE DE L'ACADÉHMIE, 


l'aspect des côtes vues des points où l’on est obligé de 
se placer, les navigateurs qui viennent chercher quelque 
mouillage ou quelque port, et ceux qui parcourent cer- 
taines parties de la côte, peuvent diriger leur route avec 
sécurité. 

Ce travail, qui a reçu la plus grande précision qu'il soit 
possible d'atteindre, doit se rattacher à celui de la carte de 
France faite par les ingénieurs géographes du dépôt de la 
guerre; il complètera cette carte en y ajoutant toutes les 
connaissances nécessaires à la navigation &e nos côtes. 

Le public va bientôt connaître ce qui reste à publier des 
travaux de M. Gauttier dans les mers du Levant. Deux cartes 
de l’Archipel et une seconde feuille de la carte générale de 
la Méditerranée vont très-incessamment être mises au jour; 
et, en s'ajoutant à la première feuille de la Méditerranée , aux 
cartes de la mer Adriatique, de la mer de Marmara et de la 
mer Noire, elles compléteront tout ce qu'il est possible de 
retirer des travaux de cet officier, et feront connaître les 
éminents services qu'il a rendus à la navigation. M. Benoist, 
ingénieur-hydrographe, a accompagnéM. Gauttier dans toutes 
ses campagnes, et a été chargé d'observer tous les angles 
et les relèvements nécessaires à la construction des cartes. 
C’est lui qui a rédigé celles qui vont être publiées , d'après 
des minutes qui avaient été primitivement arrêtées sous les 
yeux de M. Gauttier. 

L'ile de Corse, détachée de la France, a fixé l'attention du 
ministre de la marine. M. Hell, capitaine de vaisseau, a été 
chargé de lever des cartes de toutes les côtes de cette île. Il a 
eu sous ses ordres des officiers zélés et instruits, possé- 
dant des connaissances et des talents très-variés. Quatre 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Xxxii] 


campagnes ont suffi pour déterminer les contours des côtes, 
lever le plan des ports, placer les écueils,et reconnaître la pro- 
fondeur de l'eau dans toutes les passes à tous les mouillages. 
Vingt-huit ou trente cartes ou plans formeront la collection 
des cartes de cette île, et l’on est fondé à croire que l'on a 
marqué sur ces cartes tous les écueils qui pourraient compro- 
mettre la sûreté des bâtiments; on en a, pour ainsi dire, 
acquis la certitude, parce que les localités ont permis d’em- 
ployer un moyen connu par les pêcheurs du pays. Au large 
de toutes les parties saillantes de la côte où l’on pouvait 
craindre que les contreforts des montagnes, en se conti- 
nuant sous l'eau, donnassent lieu à quelque écueil isolé, on 
a promené dans la mer, à une profondeur que ne peut 
jamais atteindre la quille des plus grands bâtiments, un cor- 
dage qui ne pouvait pas manquer de rencontrer les têtes de 
roches dangereuses, dont il a été ensuite facile de déterminer 
la position; cet ingénieux procédé a fait découvrir sur les 
côtes de Corse deux ou trois écueils de cette nature. Plusieurs 
cartes ont déja été publiées, et l'on espère que le reste pa- 
raîtra dans le courant de 1828. 

La belle collection de cartes des côtes du Brésil, dont les 
matériaux ont été recueillis pendant la campagne dirigée 
par M. le contre-amniral baron Roussin, alors capitaine de 
vaisseau , a été publiée, et est généralement connue. Toutes 
les côtes depuis l’île Sainte-Catherine jusqu'à Maranham sont 
comprises dans 14 cartes ou plans. Il faut y ajouter la carte de 
l'embouchure de la rivière de Cayenne et deses environs: c’est 
le travail particulier du bâtiment quinaviguait de concertavec 
la Bayadère, commandée par M. le baron Roussin; on le 
doit à M. Gressier, ingénieur hydrographe. 

TX. Hist. 1827. E :- 


XXXIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 

M. Givry, ingénieur hydrographe, était embarqué sur /a 
Bayadère, commandée par M. le baron Roussin. C'est lui 
qui a recueilli tous les matériaux nécessaires à la construction 
des cartes; il les a rédigées au Dépôt des cartes et plans de la 
marine, sous les yeux des chefs de l'établissement. Ce beau 
travail honore à la fois l’officier sous les ordres duquel les 
matériaux en ont été recueillis, et l’établissement précieux où 
il a été définitivement rédigé ; il prouve un soin scrupuleux 
de faire valoir les opérations des officiers qui se distinguent 
par des travaux hydrographiques. 

M. le baron Roussin, commandant /a Bayadère, n'a pas 
rendu de moins grands services dans une campagne qu'il 
a faite sur les côtes d'Afrique, avant d'explorer celles du 
Brésil. Il était accompagné de M. Givry , ingénieur hydro- 
graphe, qui a rempli pendant cette campagne les mêmes 
fonctions que pendant celle du Brésil. Une carte de l'espèce 
de golfe compris entre le cap Blanc et le cap Vert, où se 
trouve l'embouchure du Sénégal , est le premier fruit que l’on 
a retiré de cette campagne. Une seconde carte qui comprend 
depuis le cap Bojador, situé près des Canaries, jusqu'au cap 
Blanc , va être incessamment publiée. Une carte du contour 
extérieur des iles Bisagots, et du canal qui sépare ce groupe 
d'îles du continent, a été également publiée. La Bayadère n’a 
pu visiter l’intérieur de cet archipel ; le peu de profondeur des 
canaux qui séparent les îles exige l'emploi de bateaux qui 
ürent trèes-peu d’eau. La même cause a empêché M. le contre- 
amiral Roussin d'approcher d’une grande partie des côtes 
situées entre le cap Vert et la rivière de Gambie, et même 
de voir ces côtes. Il en résulte que, dans la portion de cûte 
qu'il a visitée au-delà du cap Vert, il se trouve des lacunes 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXV 
qu'on était dans l'impossibilité de remplir. On attend que 
des officiers qui auraient parcouru ces côtes dans les bâti- 
ments d’un faible tirant d’eau, aient recueilli les matériaux 
qu'exige cette exploration : on publiera alors cette portion des 
travaux faits à bord de /a Bayadere. 

Une de ces lacunes vient d’être remplie récemment par 
ordre de M. Massieu , capitaine de vaisseau, commandant la 
station d'Afrique. Il a expédié sur une goëlette M. Le Prédour, 
lieutenant de vaisseau, qui a reconnu et fixé, à l'aide d’obser- 
vations astronomiques et de montres marines, la position 
de la côte depuis le cap Naze jusqu'à la rivière de Gambie, 
intervalle que l’on n'avait pu reconnaître à bord de /a 
Bayadère. 

Les ingénieurs hydrographes embarqués sur les bâtiments 
de S. M. ont répandu parmi les officiers les méthodes adop- 
tées par le dépôt de la marine, et consacrées par l’expé- 
rience. Il en est résulté une grande émulation parmi ces der- 
niers , et ils se sont portés avec un zele digne des plus grands 
éloges à faire par la suite l'application des connaissances 
qu'ils avaient acquises pendant leur coopération au travail 
des ingénieurs hydrographes. Une foule de plans particuliers, 
de cartes de portions de côtes, ont été envoyés au dépôt de 
la marine, et ont augmenté ses richesses. Il serait impossible 
d'énumérer ici tous ces plans, rédigés d'après les travaux 
particuliers des officiers de marine. On se contentera de citer 
MM. Lartigue et Le Prédour, lieutenants de vaisseau : le pre- 
mier nous à procuré la carte d’une portion de la côte du 
Pérou qui avait été tracée tres-imparfaitement par les Espa- 
gnols, et un grand nombre de plans de ports situés tant sur 
cette côte que sur celle du Chili. M. le Prédour, outre la 

E 2 


XXKV]e |. HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


partie de la côte qu'il a levée à la côte d'Afrique, a détermine 
la position géographique d’un grand nombre de points de 
la côte d'Or et de celle qui s'étend plus au sud jusqu'au cap 
Lopez ; on lui devra un plan de la baie de San-Antonio dans 


île du Prince. Des montres marines sont embarquées à. 


bord des bâtiments de $S. M. Les officiers font concourir les 
longitudes des montres avec le résultat des distances de la 
lune au soleil et aux étoiles, et obtiennent, à l’aide de ces 
deux moyens, des positions géographiques d'une exactitude 
plus que suffisante pour la sûreté de la navigation, et bien 
supérieures à celles que l’on pouvait obtenir autrefois, à 
moins que l’on n’eüt occasion d'observer les occultations d’é- 
toiles. On a pu remarquer que des distances observées en grand 


nombre sur plusieurs points, et rapportées à un seul par les 


différences en longitude des montres, donnent dans certains 
cas des longitudes qui méritent autant de confiance que le 
résultat d’une seule occultation observée dans un seul lieu. 
Les méthodes pour faire utilement usage des montres ma- 
rines, et pour combiner les résultats qu’elles donnent avec 
ceux des distances, sont fixées : c’est ce qui a donné les moyens 
de publier des séries de longitudes obtenues par des mon- 
tres dans les principales campagnes. On en a déja publié un 
grand nombre dans la Connaissance des temps, afin de les 
faire connaître à tous les géographes. La disposition des ta- 
bleaux est telle, que l’on pourra juger toujours de la con- 
fiance que chacune d’elles mérite en particulier, et de celle 
que l’on doit ajouter à la masse des longitudes faisant partie 
d'une même série. Les mouvements diurnes de chaque montre 
sont indiqués au commencement et à la fin de chaque série, 
et les moyens employés pour conclure la longitude de cha- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXX VI] 


que lieu porté dans le tableau, sont aussi indiqués par des 
caractères particuliers, soit que le lieu ait été placé par un 
relèvement direct, ou par le calcul d’un triangle dont une 
partie de la route du vaisseau forme un côté, 

Les positions géographiques déterminées par M. Gauttier 
sur la plus grande partie des côtes de la Méditerranée, sur 
les contours de l’Adriatique, dans l’Archipel, sur les con- 
tours de la mer de Marmara et de la mer Noire, ont été pu- 
bliées. IL en est de même de toutes les latitudes et longitudes 
observées sur les côtes du Brésil, à bord de la Bayadère, 
commandée par M. le baron Roussin. Les positions géogra- 
phiques des parties de la côte d'Afrique reconnues et levées 
sous les ordres du même officier-général, le seront successi- 
vement. Les positions que M. Lartigue, lieutenant de vais- 
seau, a déterminées tant sur les côtes du Pérou et du Chili, 
que sur la partie septentrionale des côtes du Brésil, ont été 
insérées dans la Connaissance des temps. 

Tous les objets dont on vient de parler forment la partie 
la plus essentielle des travaux du dépôt des cartes et plans 
de la marine; mais, pour remplir complètement sa destina- 
tion, il est nécessaire qu'il publie des descriptions détaillées 
propres à faire connaître l'aspect que présentent en général 
les côtes tracées sur les cartes, et l'aspect particulier des parties 
les plus fréquentées. Il doit, en outre, ajouter à ces descriptions 
des règles propres à diriger avec sûreté les bâtiments qui s’en- 
gagent dans des passes étroites ou dangereuses, ou qui font 
route le long d’une côte précédée d’écueils. De pareils ou- 
vrages ne peuvent être faits que par l'examen scrupuleux 
des journaux de plusieurs bâtiments qui auraient visité les 
mêmes lieux , ou d’après les ouvrages publiés antérieurement. 


XXXVii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Plusieurs instructions nautiques, rédigées au Dépôt des cartes 
dé la marine, ont été publiées ; mais celles qui sont les plus 
complètes sont les instructions nautiques rédigées en quel- 
que sorte sur les lieux mêmes par les officiers qui les ont 
visités. On doit à M. le baron Roussin une instruction nau- 
tique détaillée sur toutes les côtes du Brésil, dont il a levé 
les cartes; on lui doit également une instruction nautique 
de la partie des côtes occidentales d'Afrique qu'il a recon- 
nues. 

M. Lartigue a publié la description de la partie des côtes 
du Pérou et du Chili, dont il a déterminé la position géo- 
graphique. Le même officier est l’auteur d’une description 
des côtes de la Guyane, depuis le grand fleuve des Amazones 
jusqu’à Maranham ; il y a compris des détails très-remarqua- 
bles sur les vents et sur l’état de l'atmosphère dans les dif- 
férentes saisons de l’année, ainsi que sur le mouvement des 
eaux aux mêmes époques : ces détails sont d'autant plus pré- 
cieux, que l’auteur a discuté les causes des phénomènes ob- 
servés. Non-seulement le Dépôt général de la marine publie 
tous les travaux des ingénieurs hydrographes et des marins 
français, mais encore il s'attache à procurer à ces derniers 
toutes les connaissances nautiques acquises chez les autres 
nations maritimes, principalement en Angleterre. En con- 
séquence , on fait graver toutes les cartes des Espagnols, des 
Anglais et des autres nations, lorsque l'on à la certitude 
qu'elles sont le résultat de travaux authentiques. Il en est 
de mème des instructions nautiques dont le ministre de la 
marine ordonne la traduction, lorsqu’après avoir été müre- 
ment examinées, elles paraissent dignes de confiance ; ces 
derniers travaux pour la plupart sont le fruit du zèle des 


PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXIX 


officiers de la marine française. Toutes ces traductions sont 
soumises à l'inspection du directeur général du dépôt des 
cartes et plans de Ja marine. Ainsi le chef de ce grand établis- 
sement ne néglige aucun soin pour donner au corps entier 
les moyens d'ajouter à une gloire si justement acquise par 
les armes, celle de contribuer aux progrès et à la propagation 
des connaissances nautiques. Cette institution est la seule 
qui ait été formée en Europesur un plan aussi étendu ; la masse 
de ses travaux s'accroît chaque jour, et sa réputation est 
actuellement établie chez toutes les nations maritimes. On 
peut dire sans exagération qu'aucune d'elles ne peut rivaliser 
avec la France, soit pour la perfection des méthodes d’où 
dépend l'exactitude des cartes , soit pour le fini et la netteté 
de la gravure, soit par rapport au grand nombre de cartes 
et d'ouvrages successivement publiés. 


Mémoires lus par M. Dupin. 


Les travaux que M. le baron Dupin a présentés à l’Aca- 
démie, sont tous dirigés vers de grandes questions d'utilité 
publique. Pour donner une juste idée de l’ensemble de ces 
recherches et des motifs qui animent l’auteur, nous insérons 
dans ces analyses l'extrait suivant, où l’on a exposé les prin- 
cipaux résultats auxquels il a été conduit. Une analyse plus 
sommaire de ces ouvrages n'en donnerait qu'une connais- 
sance imparfaite. 

1° Recherches statistiques sur les rapports de l'instruction 
populaire avec le bien-étre et la moralité des habitants de la 
France. 

Ces recherches ont pour objet de considérer l'influence 


x] HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


de l'instruction populaire sur le bonheur public et sur les 
mœurs. 

L'auteur compare les quarante-trois départements qui 
envoient, proportionnellement à leur population, le plus 
d'enfants aux écoles primaires, avec les quarante-trois autres 
départements. 

Il trouve que, dans les quarante-trois premiers, on ne 
compte qu'un enfant naturel par vingt-six enfants qu'ils en- 
voient à l'école; tandis que les quarante-trois derniers 
n'envoient que six enfants à l’école à raison de chaque 
enfant naturel. 

L'auteur insiste d’une manière particulière sur ce qui est 
relatif à la moralité; il trouve que, sous ce rapport, les 
départements éclairés l’'emportent de beaucoup sur ceux qui 
sont livrés à l'ignorance. 

M. Dupin montre ensuite que, dans les quarante-trois dé- 
partements où l'instruction commune est la plus répandue, 
la longueur de la vie moyenne est de quarante ans cinq mois 
et six jours; tandis que, dans les quarante-trois autres dépar- 
tements, elle est seulement de trente-huit ans et neuf mois : 
ce qui résulte de la différence de bien-être des deux popu- 
lations, et de la prévoyance, des soins conservateurs, de la 
propreté, etc., qui prédominent chez la population la plus 
éclairée. 

L'auteur présente ensuite, pour les divers arrondissements 
de Paris, des comparaisons analogues à celles qu'il a faites 
entre les divers départements de la France. Il prend pour 
base de sesrecherches la Statistique de la Seine, dont plusieurs 
volumes ont été publiés. Il fait voir que les arrondissements 
de la capitale qui possèdent le plus de moyens d'instruction 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xl} 


populaire, l'emportent sur les autres sous Îes rapports 
de bien-être, de longévité et de moralité. Il exprime ces 
rapports par une carte figurative à teintes plus ou moins 
foncées, qu'il applique sur les arrondissements dont l'in- 
struction populaire est plus au moins incomplète. 

En terminant ces recherches, l’auteur donne l'idéé de plu- 
sieurs écrits dont la composition serait d’une grande utilité 
pour le peuple. 

M. le baron Dupin a calculé qu’un impôt proposé sur les 
livrets à l’usage du peuple, greverait les classes inférieures 
d'une taxe de 40,500,000 francs; taxe que les personnes à 
petite fortune seraient dans l'impossibilité de payer, et qui 
diminuerait beaucoup Îes moyens d'instruction d’une très- 
grande partie de la population. 


Discours prononcé lors des obsèques du duc de La Roche- 
Joucauld-Liancourt, au nom de l'Académue des sciences et 
des professeurs du Conservatoire des arts et métiers. 


Dans ce discours, M. le baron Dupin présente l'énuméra- 
tion des institutions de bienfaisance et destravaux d'industrie 
qui doivent, soit leur création, soit leur activité et une 
prospérité nouvelle à ce grand citoyen. 

Situation progressive des forces productives et commerciales 


de la France depuis 1814. 


M. Charles Dupin a montré le développement annuel des 
forces productives et commerciales de la France depuis 


1814 jusqu’en 1827. Il à réuni dans un court espace un 
T. X. Hist, 1857. F 


xbi HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


grand nombre de résultats desquels il a tiré des rapports 
utiles aux théories statistiques. Dans une partie de ce travail, 
l'auteur a cherché la mesure de l'accroissement annuel de la 
production et du commerce dans la période dont il a voulu 
faire connaître les progrès. Voici les résultats qu'il présente : 


Accroissements annuels. 


Pour cent, 


De la population humaine........ Set C le - 
Du nombre des chevaux................ gs I 
Du nombre des moutons.......... RCE L, + 
Des consommations indiquées par les droits 
indirects re den ME RSA A AR 3 
Idem, parlées octgois ee. ma Se 
Des opérations industrielles indiquées par le 
revenu des patentes. ....... ET A ghhite,  e 
Dela circulationindiquée parlerevenu dela poste. AS 
Du commerce indiqué par les droits dela douane. 4 
Des productions industrielles indiquées par l’ex- 
traction de la houille..…....... ETS LT 4 
Idem, par la fabrication du fer...... HE 
Des publications de la presse périodique et non- 
périodique. EME RER CES SRE à ST SEE 9 > 


Mémoire sur la vie civile et l'économie domestique des Romains, 
par M. Moreau de Jonnès. 


M. Moreau de Jonnés a continué de présenter à l’Acadé- 
mie, dans le cours de cette année, des communications im- 
portantes sur des sujets très-variés. Nous insérons ici l'extrait 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xlii} 


suivant d’un travail qui intéresse spécialement la statistique, 
et dans lequel on a exposé les résultats des recherches de 
l’auteur sur la vie civile et l'économie des Romains au qua- 
trième siecle. 

Une découverte archéologique, faite récemment dans 
l’Asie-Mineure, a permis de joindre au secours que pré- 
taient les historiens pour traiter ce sujet, l'avantage de 
données numériques, nouvelles et authentiques. Le mo- 
nument qui a fourni ces données est une inscription tabu- 
laire, dont‘les fragments rassemblés et réunis ont fait con- 
naître un édit de Dioclétien, publié l’an 303 de notre ère , et 
fixant le maximum du prix du travail et des subsistances 
dans l'empire romain. Aucun monument de l'antiquité ne 
nous a conservé une aussi longue suite de témoignages po- 
sitifs sur l'économie domestique des Romains. 

M. de Jonnès a déterminé, d’après ce document, quel 
était, sous le règne de Dioclétien, le maximum du prix du 
travail et des subsistances, en monnaie romaine et en mon- 
naie de France, valeur intrinsèque de l'argent ; quelle était à 
cette époque leur valeur représentative. Cet examen fait 
connaître quels étaient , dans l'empire romain, il y a quinze 
siècles, l'élévation du prix du travail agricole et industriel, 
la valeur relative de l'argent et l'étendue de la circulation du 
numéraire, l'abondance ou la rareté de tel ou tel produit 
naturel, l'usage plus ou moins commun de telle sorte d’a- 
liments, la multiplication du bétail et des troupeaux, les 
progres de la culture potagère, l'étendue de la production 
des vignobles de diverses qualités; enfin les relations de va- 
leur existant entre les produits de l’agriculture et ceux de 
l’industrie. On peut ainsi apprécier le degré de prospérité 

pue 


xliv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 
auquel était parvenue, à cette époque éloignée, chacune de 
ces branches principales de la richesse publique. : 
L'ensemble des recherches de l’auteur l’a conduit à re- 
connaître que, comparées au prix du travail, les subsistan- 
ces étaient, en Italie, sous Dioclétien, moitié plus chères 
qu’elles ne le sont en France aujourd'hui; que, comparées à 
leur valeur un siecle auparavant, elles avaient doublé de 
prix, et que, selon la nature de chacune, il fallait, pour 
les acheter, dix à vingt fois autant d'argent qu'il en faut 
maintenant pour en avoir la même quantité. Une différence 
si extraordinaire suppose nécessairement une abondance ae 
numéraire prodigieuse et une disproportion funeste entre Ja 
quantité des produits naturels et industriels et l'étendue 
des besoins de la consommation. L'auteur a déduit ce double 
résultat des témoignages des historiens contemporains, et 
-de ceux de l’édit de Dioclétien. D'après ces vues, l'auteur 
trace le tableau de l'économie seciale sous le règne de ce 
prince ; cette discussion le conduit à des conséquences très- 


remarquables sur l'état politique de l'empire romain. 


RAPPORTS. 


Rapport de M. Mathieu sur un Mémoire de M. Francœur, 
relatif aux mesures anglaises. 


M. le professeur Francœur , dont les savants ouvrages ont 
contribué à répandre les connaissances mathématiques les 
plus utiles à la société, a présenté à l’Académie des sciences 
un Mémoire sur les mesures anglaises, et sur leurs rapports 
avec les nouvelles mesures usitées en France : une commis- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xlv 


sion, composée de MM. Legendre, Mathieu et Dulong, à 
examiné ce travail de M. Francœur, et le rapport présenté 
par M. Mathieu a fait connaître le but et l'utilité de ce tra- 
vail. Les remarques de la commission ont perfectionné cette 
comparaison précise des mesures légales des deux pays de 
l'Europe où les usages civils ont retiré le plus d'avantage de 
l'application des théories mathématiques. 

Le gouvernement anglais avait désigné, parmi des savants 
justement célèbres, une commission chargée de présenter un 
système uniforme de poids et mesures pour toute la Grande- 
Bretagne. Cette commission a proposé l'adoption générale 
de la plupart des mesures déja en usage à Londres et dans 
une grande partie de l'Angleterre ; mais pour que l’on püût au 
besoin retrouver les unités de longueur et de poids, elle à 
cherché , par des expériences précises, leur rapport avec la 
longueur du pendule à seconde à Londres, et avec le poids 
d’un pouce cube d’eau distillée. 

Une décision légale du 17 juin 1824 a établi l'usage de 
ces mesures sous le nom de mesures impériales, et a prescrit, 
à dater du 1° mai 1825, l'abolition de toutes les autres me- 
sures dans le royaume. 

Le yard impérial, déclaré mesure légale, est la distance 
prise à la température de 62° Fahrenheit entre deux points 
marqués sur deux clous en or fixés à une regle de cuivre, 
confiée à la garde du clerc de la chambre des communes, et 
sur laquelle on lit : Yard étalon de 1760. 

Le capitaine Kater, en suivant un procédé fort ingénieux , 
dont la première idée appartient à M. de Prony, avait trouvé, 
en 1818, que le pendule qui bat la seconde à Londres sous 
la latitude 1° 31° 34° dans la maison de M. Brown à 2ort- 


xlv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


land place, a pour longueur 39,15929 pouces de l'étalon de 
sir George Schuckburgh. Ayant comparé entre eux plusieurs 
étalons de yard ( philos. Trans. de 1821), il a trouvé une diffé- 
rence si petite entre l'étalon de sir George Schuckburgh 
et celui de 1760, que l’on peut les considérer comme parfaï- 
tement identiques. Ce dernier, construit par Bird en 1760, 
est précisément celui qui, sur la demande de la commission 
des poids et mesures, a été adopté pour l’unité de longueur. 
C'est d’après ces différentes déterminations du capitaine 
Kater, que la loi définit le yard impérial comme il suit : Le 
pendule simple qui, dans le vide , à la latitude de Londres et 
au niveau des mers, bat la seconde sexagésimale de temps 
moyen par des oscillations infiniment petites, a pour longueur 
39,1303 pouces. 

Si l’étalon du yard impérial se perdait ou s'altérait, on ne 
pourrait pas le retrouver exactement par la mesure du 
pendule, en suivant seulement ces indications de la loi. Il 
faudrait nécessairement refaire les expériences du pendule à 
Londres dans l’endroit même où le capitaine Kater a fait 
les siennes; car on sait maintenant que l’on peut trouver 
des diseordances de 3 à 4 centièmes de millimètre dans les 
longueurs du pendule à secondes mesurées à une même la- 
titude sous des méridiens différents. 

L'unité de poids reconnue par la loi anglaise est la livre 
troy construite en 1758. Sir George Schuckburgh a donné, 
dans les 7ransactions philosophiques de 1798, le détail des 
expériences qu'il a faites avec un cube, un cylindre, et une 
sphère de cuivre qu’il pesait dans l'air et dans l’eau distillée, 
pour déterminer un étalon de poids. On ne peut élever au- 
cun doute, dit le capitaine Kater (phil. Trans. de 1821), sur la 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xlvi] 


partie de ces expériences qui est relative aux pesées; mais 
comme sir George Schuckburgh n’est pas entré dans de 
grands détails sur la méthode qu'il a suivie pour mesurer les 
dimensions du cube, de la sphere et du cylindre, il était à 
désirer que cette opération fût répétée avant que la commis- 
sion des poids et mesures fit son rapport définitif. C’est au 
moyen des données de sir George Schuckburgh, et des di- 
mensions plus précises du cube, du cylindre et de la sphère, 
obtenues par le capitaine Kater, que les commissaires des 
poids et mesures ont déterminé le poids d’un pouce cube 
d’eau distillée; et le résultat auquel ils sont arrivés est consi- 
gné dans l'article suivant de la décision légale : Ze pouce 
cube d'eau distillée, pesé dans l'air avec des poids de cuivre, 
à la température de 62° Kahrenheit , le baromètre étant à 30 
pouces, pèse 259,458 grains troy, dont 5750 font la livre 
troy, et 7000 la livre avoir de poids. 

Dans la première partie de son Mémoire, M. Francœur 
fait une énumération complète des différentes mesures qui 
se déduisent des deux unités que nous venons de faire con- 
naître, en remontant aux diverses expériences qui en ont 
préparé l'adoption. M. Francœur remarque qu’en adoptant 
les mesures de Londres, on a cependant remplacé les me- 
sures de capacité qui étaient différentes pour la bière, le 
vin, le blé, etc., par une mesure unique pour toutes les sub- 
stances.. 

Dans la seconde partie, M. Francœur se propose de déter- 
miner le rapport des mesures anglaises et françaises, en 
s'appuyant sur les définitions que la loi anglaise donne des 
deux unités fondamentales. En se conformant aux seules dis- 
positions de la loi, M. Francœur avait réduit à la latitude de 


xlvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Londres la longueur du pendule à secondes mesurée à Paris 
par Borda; il obtenait ainsi en partie du mètre la longueur 
du pendule à Londres. Les remarques de la commission , fon- 
dées sur une comparaison que le capitaine Kater a faite avec 
beaucoup de soin, du yard avec les mètres étalons de l’obser- 
vatoire de France et des archives, ont donné le résultat 
suivant : le yard équivaut à o"91438348; on connaît 
ainsi avec une grande précision lie rapport du yard impé- 
rial avec le mètre français. 

Quant au rapport des poids français et anglais, on par- 
vient, comme il suit, à les connaître assez exactement. 
M. Hallstrom a donné, dans les Mémoires de l’Académie de 
Suède, des expériences faites avec de très-grands soins, et 
calculées par la méthode des moindres carrés sur la pesan- 
teur spécifique et la dilatation de l’eau depuis zéro jusqu’à 30°; 
il trouve le maximum de densité à 4°,1 : l'incertitude qui 
peut rester sur cette valeur probable étant d'un quart 
de degré, les résultats obtenus par M. Hallstrom servent à 
trouver les nombres dont il s’agit. Nous insérons ici la par- 
tie du rapport des commissaires qui concerne cette dis- 
cussion. D'après le rapport entre le mètre et le yard, on 
trouve qu'un pouce cube d’eau distillée à la température 
normale de 62° Fahrenheit ou 16°? centigr., est égal à 
16,38617 centimètres cubes, le mètre étant ainsi à sa tem- 
pérature normale zéro : ces 16,38617 centimètres cubes 
d'eau distillée à la température de 16 +, étant ramenés au 


IE CRE ESA TS : \ 16,38617 
maximum de densité, sont équivalents en poids à RE 
1,000974 


ou 16,37023 centimètres cubes, en admettant, d’après les 
expériences de M. Hallstrom, qu'un volume d’eau repré- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. xlix 


senté par l'unité au maximum de densité ou à 4°, 1 cent. 
devient, par sa dilatation, 1,000974 à 16°<cent. : or 16,37023 
grammes, tel est le nombre de grammes qui équivalent à 
un pouce cube d’eau distillée à 16° pesé dans le vide; mais, 
d'après la loi anglaise, ce pouce cube d’eau doit être pesé 
avec des poids de cuivre dans l'air à 16°:, le baromètre 
étant à 30 pouces :il faut donc chercher la perte de poids 
qu'éprouve dans l'air un pouce cube ou 16,38617 centi- 
mètres cubes d’eau , et le poids en cuivre. On trouve, par le 
calcul, que 16,386: centimètres cubes d’air pèsent 0,020074 
grammes. Quant au poids de cuivre, dont la densité est 8, 2, 
celle de l'eau étant l'unité, le volume d’air qu’il déplace est 
8,2 fois plus petit et son poidsseulementde0,002448 grammes. 
La différence entre ces deux pertes de poids dans l'air donne 
enfin 0,017626 pour ce qu'il faut retrancher du poids, 
16,37023 grammes, d’un pouce cube d’eau dans le vide, et l'on 
obtient 16,3526 pour le poids d’un pouce cube d’eau dis- 
tillée pesée dans les circonstances exigées par la loi anglaise: 


. mais cette même loi veut que ce poids soit de 252,458 grains, 


dont 5760 font la livre troy; on trouve d’après cela, que la 
livre troy vaut 373,09562 grammes, et l’once 31,0913 gram- 
mes. L'auteur du Mémoire ne trouve que 31,083: : ce résultat 
est un peu faible, parce qu'on y suppose une trop grande di- 
latation de l’eau, et parce qu’on n’a pas eu égard au poids 
de l’air déplacé par le poids de cuivre. Le résultat que nous 
trouvons, ajoute le rapporteur, s'accorde, à 2 ou 3 milli- 
grammes près, avec les pésées que nous avons faites d’une 
once construite avec soin en Angleterre et envoyée à un fa- 
bricant de balances de Paris. 

Les conclusions proposées, et que l’Académie a adoptées, 

T. IX. Hist. 1826. G 


| HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


sont les suivantes : Le rapport du yard impérial au mètre 
français a été obtenu avec une grande précision par une 
comparaison immédiate de ces deux étalons; le mètre vaut 
39,37079 pouces anglais, et le yard 0",91438348. On peut 
accorder une entière confiance à toutes les mesures linéaires 
de superficie et de volume qui seront déduites de ces deux 
nombres. 

Quant à la valeur de l’once, 31,0913 grammes, que nous 
avons obtenue, en faisant par le calcul toutes les réductions 
convenables, et en adoptant les déterminations les plus pré- 
cises sur la dilatation de l’eau et le poids de l'air, nous pen- 
sons que l’on peut la regarder comme exacte, à 3,4 ou 6 mil- 
ligrammes près, et que l’on peut l’employer lorsqu'on n'aura 
pas besoin d’une plus grande précision, jusqu’à ce qu’on ait 
obtenu, par des pesées directes, exécutées avec des étalons 
authentiques, ce rapport du kilogramme à la livre troy. 

Nous proposons à l'Académie d'accorder son approbation 
à un travail dans lequel M. Francœur a résolu avec adresse 
un problème intéressant. Si nous avons apporté quelques 
modifications à son résultat pour le poids de l’once troy, c'est 
principalement parce que nous avons employé pour la dila- 
tation de l’eau une détermination qui nous paraît mériter 
plus de confiance que toute autre. 


Rapport sur un modèle de train de voiture, présenté par 
M. V'an-Hoorick. 


’ 


M. Van-Hoorick, inspecteur général des haras, a présenté à 
l'Académie un modèle de train de voiture à quatre roues, des- 
tiné à prévenir, dans un grand nombre de cas, le versement 


PANTIE MATHÉMATIQUE. lj 


de ce genre de voitures. Une commission, composée de 
MM. de Prony, Girard et Molard, a examiné cette nouvelle 
disposition proposée par M. Van-Hoorick. Il a été reconnu 
que le procédé indiqué ne peut qu'être avantageux : il 
consiste dans l'emploi de flèches cylindriques de fer sus- 
ceptibles de tourner sur les deux essieux de l'avant et de 
l'arrière-train, au lieu d’être adhérentes comme les flèches 
ordinaires. Ce changement ne nuit point à la solidité; il 
simplifie la construction, et peut, dans certains cas, préve- 
nir le versement. Une première épreuve de l'application de 
la flèche mobile à une calèche a été faite sous les yeux des 
commissaires , et ils ont vu la voiture franchir un obstacle 
considérable sans être renversée. Au reste, de nouvelles ex- 
périences , qui seront faites par l'administration royale des 
Messageries, ne tarderont pas à prononcer définitivement 
sur l'utilité de cette disposition. L'Académie a adopté la con- 
clusion du rapport de la commission présenté par M. Girard 
(rapporteur), chargé d'examiner ce modèle. L'Académie a 
donné son approbation à l'invention de M. Van-Hoorick, 
dont l'expérience a déja prouvé l'utilité. 


Rapport sur le cours de mécanique appliquée aux machines, 
présenté par M. Poncelet. 


MM. Arago et Dupin (rapporteur) ont rendu compte à 
l'Académie d'un ouvrage qui a pour objet l’enseignement de : 
la mécanique appliquée aux machines. L'auteur est M. Pon- 
celet, capitaine au corps royal du génie militaire, et profes- 
seur de mécanique à l’école d'application de l'artillerie et du 
génie militaire à Metz. 


G2 


li HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


M. Poncelet a rendu aux sciences des services que l’Acade- 
mie a déja appréciés ; il a traité avec succes diverses ques- 
tions de géométrie : tous ses Mémoires contiennent des re- 
cherches importantes. T1 a beaucoup perfectionneé les roues 
hydrauliques, et l’Académie a couronné, en 1824, le travail 
important dont la mécanique lui est redevable. 

L'ouvrage spécial qui est l’objet du rapport que nous ve- 
nons d'indiquer, contient la première partie du cours que 
ce savant professeur fait à l’école de Metz. Il comprend l’en- 
seignement de la mécanique appliquée à la science des ma- 
chines. 

M. Poncelet a présenté la partie de son cours qui se rap- 
porte à la théorie générale et au calcul des moteurs et des 
machines considérées comme simples agents de la transmis- 
sion du mouvement et des forces. 

La seconde partie traitera des principales machines em- 
ployées dans les travaux de l'artillerie et du génie militaire. 

La première partie est subdivisée en trois sections, qui trai- 
tent successivement : 

1° De l'évaluation des effets ou du travail des machines et 
des moteurs. 

2° Des principaux moyens de régulariser l'action des forces 
qui agissent sur les machines , et d'assurer l’action du mou- 
vement : 

3° De l'évaluation des résistances passives dans les ma- 
chines. 

Le rapport fait connaître , avec beaucoup de soins et de 
détails, la marche que suit l’auteur dans chacune de ces par- 
ties principales. Il est terminé par la conclusion suivante, 
que l'Académie a adoptée : « Nous pensons que l'ouvrage de 


« 


PARTIE MATHÉMATIQUE. lu} 


M. Poncelet est digne de l'approbation de l'Académie , et 
nous proposerions de l’insérer dans la coïlection des Mémoi- 
res des savants étrangers, s'il n’appartenait pas à S. Ex. le mi- 
nistre de la guerre de décider la publication illimitée de cette 
production. » 


Rapport sur un essai de navigation intérieure de la France, 
présenté par M. Brisson. 


M. Brisson ayant présenté à l'Académie le résultat d'un tra- 
vail tres-considérable, sous le titre d'Essai de navigation in- 
térieure de la France ,une commission composée de MM. de 
Prony, Lacroix et Dupin (rapporteur), a été chargé de.faire 
un rapport sur cet important travail. 

Le rapport indique l’ensemble des résultats obtenus par 
M. Brisson sur la direction des voies navigables , la largeur 
des canaux, la dépense que leur construction doit exiger, les 
difficultés principales qu’elle pourrait présenter. 

M. Dupin emploie une notation qui permet d'écrire avec 
concision les données du cours d’un canal , montées, des- 
centes, longueurs horizontales et dénivellations verticales. 
Ce rapport, que toutes les personnes étrangères aux travaux 
de l’art peuvent lire avec fruit , offrira des résultats utiles aux 
administrateurs et aux citoyens qui s'occuperont à l'avenir 
des voies commerciales de la France. 

M. Brisson , auteur de ce travail, est conuu depuis long- 
temps des géomètres par de savantes et ingenieuses recher- 
ches d'analyse. L’exposé de ses vues sur la navigation inté- 
rieure de la France prouve, qu’il réunit à la science du calcul 
les connaissances administratives et expérimentales qui in- 
téressent la société. 


hv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Rapport sur un Mémoire relatif à quelques cas de rupture 
des solides , présenté par M. Vicat. 


M. Vicat, ingénieur en chef des ponts et chaussées , connu 
par un travail fort important sur les mortiers hydrauliques, 
a présenté à l'Académie un Mémoire intitulé : Observations 
physico-mathématiques sur quelques cas de rupture des 
solides. Au nom d'une commission dont faisaient partie 
MM. de Prony et Dupin, M. Girard, rapporteur, a rendu 
compte, d’une manière très-favorable, du travail de M. Vicat. 

Galilée, Léibnitz et Mariotte, qui ont traité les premiers 
de la résistance des corps solides, les ayant considérés comme 
formés de fibres élastiques appliquées parallèlement entre 
elles, ont donné des formules qui conviennent rigoureuse- 
sement aux bois, et, en général, à toutes les substances végé- 
tales que ces géomètres avaient en vue. Mais si on suppose 
aux corps solides une contexture différente, si on les regarde 
comme formés de molécules agglutinées , ce qui a lieu pour 
les pierres et autres substances minérales , il est évident que 
leur résistance doit suivre d’autres lois, qu'il est tres-utile 
d'assigner. 

Coulomb est le premier qui se soit occupé de la détermi- 
nation de ces lois dans un mémoire qui fait partie du sep- 
tieme volume de la Collection des savants étrangers. M. Gi- 
rard s'est livré, en 1809 , à de nouvelles recherches sur cette 
matière : enfin, elle paraît s'être considérablement dévelop- 
pée par de nouvelles observations de M. Vicat et les consé- 
quences qu'il en a tirées. 

Nous transcrivons ici les conclusions du rapport, que l’A- 
cadémie a adoptées. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. lv 


« Le zèle et la persévérance de l'habile ingénieur, auteur 
du Mémoire, n'ont pas besoin d’être encouragés : ce qui ca- 
ractérise ses travaux , ce qui les rend véritablement utiles, 
ce sont les soins qu'il apporte à en approfondir l’objet, et la 
sagacité avec laquelle il y parvient. Vos commissaires ne 
peuvent qu'inviter M. Vicat à faire connaître, le plus tôt pos- 
sible, l'important Mémoire qu'il annoûce, et dont il n’a 
soumis que l'introduction à votre jugement. » 


Rapport sur un Mémoire de M. Clémnt-Désormes relatif à 
un phénomène que présente l'écoulement des fluides élas- 
tiques. 


M. Clément-Désormes à soumis à l'Académie un Mémoire 
relatif à un phénomène que présente l'écoulement des fluides 
élastiques, et au danger des soupapes de sûreté employées 
dans les appareils à vapeur. Le 10 septembre 1827, une com- 
mission composée de MM. Biot, Poisson et Navier, rappor- 
teur, a fait un rapport à ce sujet. 

Le phénomène exposé dans ce Mémoire, et qui a excité 
l'attention des physiciens, a été observé pour la première 
fois par M. Griffith,ingénieur des machines de Fourchambault, 
et l'expérience a été répétée, en septembre 1826, aux hauts 
fourneaux de Torreton en Berri, en présence de MM. Thé- 
nard et Clément-Désormes. Il consiste en ce que, si l’air forte- 
ment comprimé dans un réservoir jaillit par un orifice ou- 
vert dans une surface plane , et que l’on présente au choc de 
la veine d'air une planche ou un disque de métal, ces corps, 
repoussés d'abord par l’äction de ce choc, sont attirés au 
contraire lorsque, en surmontant cette répulsion, on les ap- 


lv] HISTOIRE DE LACADÉMIE, 

proche à une très-petite distance des rebords plans de l'orifice. 
L'écoulement du fluide s'établit alors, suivant des directions 
divergentes , dans le petit intervalle qui reste “entre les deux 
plans , et il en résulte une action qui retient le plan mobile , 
en sorte qu'on ne peut plus l’écarter du plan de l'orifice sans 
surmonter une résistance. 

Cette expérience a été répétée et variée de diverses manières 
par M. Clément, en substituant la vapeur aqueuse à l'air at- 
mosphérique. Ce savant physicien, par des expériences di- 
rectes, a mis en évidence la diminution de pression qui a 
lieu dans le fluide qui s'écoule entre les bords de l’orifice et 
le disque , et qui est la seule cause à laquelle on puisse attri- 
buer cette singulière adhérence par laquelle le disque se trouve 
maintenu dans une position où il ferme, pour aivsi dire, 
passage au fluide, ou du moins en obstrue beaucoup l’écoule- 
ment. Il a montré l’analogie du mode d'écoulement dont il 
s’agit avec le cas où le fluide jaillirait hors d’un orifice par un 
tuyau divergent ; cas dans lequel les mêmes phénomènes de 
diminution de pression se manifestent, ainsi qu'on l'avait 
observé depuis long-temps sur les fluides incompressibles. 
M. Clément à fait aussi des remarques importantes relatives 
aux changements de température , que subit un jet de vapeur 
en entrant dans l'air atmosphérique. L'expérience prouve 
qu'un jet, sortant avec peu de vitesse d’un réservoir où la 
vapeur n'est échauffée qu’à 100° environ, peut brüler forte- 
ment, mais qu'il n’en est plus de même lorsque la vapeur, 
plus fortement échauffée sort avec une densité et une vitesse 
beaucoup plus grandes, la température du jet s’abaïssant alors 
considérablement, aussitôt qu’il a dépassé l’orifice. 

Les commissaires ont distingué ce qui concerne les fluides 


PARTIE MATHÉMATIQUE. lvi] 


incompressibles de l'effet qui se rapporte aux fluides élasti- 
ques. Îls ont rappelé les recherches relatives à la pression 
qui‘ lieu dans les diverses parties d’un fluide incompressible 
coulant dans un vase, recherches qui sont dues à Daniel 
Bernoulli , et dont les résultats ont été confirmés par l’expé- 
rience. Ils ont fait également mention de la solution donnée 
par l’un d’entre eux pour le cas de l'écoulement d’un fluide 
élastique. On reconnaît par cet examen qu'il peut exister, 
dans l'intérieur du tuyau que parcourt le fluide , une pression 
inférieure à la pression atmosphérique dans deux cas, savoir : 
quand le fluide remplit entièrement les sections du tuyau. 
et quand la veine de fluide jaillit sans toucher aux parois de 
ce tuyau. On conçoit, dans ce dernier cas, que le fluide qui 
s'écoule tend, par un effet de frottement, à entraîner l'air qui 
l'entoure, et qui est contenu entre la veine et la paroi, et 
que cet air ne peut se renouveler sans qu'il s’établisse dans 
le tuyau une pression un peu inférieure à la pression atmo- 
sphérique. C’est à ce dernier cas que paraissent appartenir les 
phénomènes observés par M. Clément, et qui ont été depuis 
reproduits par quelques autres physiciens. 

A l'égard de l'influence que ces phénomènes peuvent avoir 
sur la sûreté des appareils dans lesquels on produit la vapeur 
aqueuse , les commissaires ont remarqué que la production 
des effets dont il s’agit supposait certaines proportions dans 
les parties de l'appareil, et certaines relations entre le poids 
dont la soupape est chargée, l'adhésion qui s'établit entre les 
bords de l’orifice et la soupape, et l'excès momentané de force 
élastique acquis par la vapeur. Les limites dans lesquelles ces 
effets peuvent avoir lieu ne sont pas assez bien déterminées 
pour que l’on puisse aujourd’hui apprécier la probabilité 

T. X. Hist. 1827. H 


Ivii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 

d’un accident dont il serait cause. Cette probabilité dimi- 
nuera beaucoup si, comme on le fait ordinairement, on 
donne peu de largeur aux bords de l’orifice et au disque. Il 
suffit d’ailleurs que l’on puisse concevoir la possibilité d’un 
accident de ce genre, pour que l'on doive chercher à l’éviter, 
au moyen de la précaution qui vient d'être indiquée, ou 
même en employant des soupapes de sûreté disposées d’une 
autre marière. 

Les conclusions qui ont été adoptées par l’Académie sont, 
que le Mémoire est tres-digne d’intéresser les physiciens, 
soit par la nouveauté des phénomènes qui y sont décrits, soit 
par les notions que l’auteur s’en était formées , soit enfin par 
les avantages que les arts peuvent recueillir de la connais- 
sance de ces phénomènes , et qu'il doit être approuvé et im- 
primé dans le recueil des savants étrangers. 


E en ÿ HAE 
Rapport sur un essai de géographie méthodique et compa- 
rative, présenté par M. Denaix. 


M. Denaix, ancien élève de l'École polytechnique et chef 
de bataillon au corps d'état-major, ayant présenté à l’Aca- 
démie un ouvrage manuscrit intitulé : Essai de geographie 
méthodique et comparative, M, le comte Andréossy et M. La- 
croix , rapporteur, ont rendu compte à l’Académie de cet im- 
portant ouvrage de M. Denaix. Ce rapport contient des vues 
très-remarquables sur les principes fondamentaux de la géo- 
graphie, et rappelle un mémoire précédent de M. Girard, 
sur les moyens d'obtenir des nivellements multipliés dont 
l'administration publique et la géographie naturelle retire- 
raient les plus grands avantages. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. lix 
Le rapport de la commission sur le travail de M. Denaix 
est détaillé ettres-favorable. Nous insérons ici les conclusions. 
« L'ouvrage que M. Denaix a présenté nous paraissant digne 
« d'attention , non-seulement par le fond de la methode, mais 
«encore par la variété des documents qu’il a réunis et par la 
«manière dont il les a coordonnés, nous pensons que l’Aca- 
« démie doit encourager ce travail par son approbation, et 
«inviter l’auteur à poursuivre la publication de son ouvrage, 
«propre, ce nous semble, à exercer une influence tres-utile 
« sur l'enseignement et l'étude de la géographie. 
Ces conclusions ont été adoptées par l’Académie. 


Rapport sur l'enseignement du dessin linéaire. 


M. le baron de Sylvestre, ayant été prié de faire un rap- 
port à l’Académie, au sujet d’un ouvrage de M. Francœur 
sur l’enseignement du dessin linéaire, a exposé l’objet de 

cet ouvrage et les avantages que les artsen doivent retirer. 
= Le travail de M. Francœur est divisé en six sections. Dans 
la premiere, l’auteur traite du dessin linéaire à vue levée : les 
élèves, soit qu'ils s’exercent individuellement, soit qu’ils tra- 
vaillent simultanément, tracent, sur la demande du professeur, 
des lignes horizontales, verticales , obliques ; ils leur donnent 
une longueur déterminée; ils les divisent en parties propor- 
tionnelles ; ils menent des parallèles dans toutes les directions 
à des distances indiquées; ils forment des angles, des trian- 
gles et des rectangles de toutes dimensions. Le tracé successif 
et souvent répété de toutes les figures rectilignes familiarise 
les élèves avec la construction à vue et à main-levée de tous 


H 2 


Ix HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


les corps réguliers; le professeur rectifie, sous leurs yeux, leur 
travail, à l’aide de la règle et du compas, dont il est seul auto- 
risé à faire usage. 

On pourrait d'obord borner à ce simple exercice le dessin 
linéaire, puisqu'il ne s'agit que de rendre l'œil de l'élève juste 
et sa main sûre, et qu'un long exercice des procédés compris 
dans la première division produit ordinairement cet effet ; 
Mais M. Francœur ouvre aux élèves, dans les sections sui- 
vantes, une autre carrière d'applications qu'il leur est bien 
utile de parcourir. 

Dans la seconde section ; il cherche à les familiariser avec 
l'emploi de la règie et du compas, pour parvenir au tracé 
géométrique des mêmes figures qui avaient été dessinées à 
main-levée, ou pour leur apprendre à pouvoir dorner à leurs 
travaux cette précision nécessaire pour la construction ; pré- 
cision que la plus grande habileté de l'œil et de la main ne 
saurait jamais atteindre. 

Dans la troisième section, M. Francœur expose les pre- 
miers éléments de l’art des projections, à l’aide desquelles il 
donne des notions de la levée des plans et de l’art des con- 
structions. 

Il cherche à établir, dans la quatrième, pour les élèves qui 
se destinent à la pratique des beaux-arts, quelle est la 
transition la plus convenable entre le dessin rigoureusement 
indiqué des figures géométriques ; et celui des figures natu- 
relles irrégulières. Il-s’attache , avec un soin tout particulier, 
à faciliter ce passage de ce qu'on pourraitappeler la pratique du 
métier, à l'exercice de l’art, et à signaler le danger de laisser 
substituer la roideur à la rectitude par un emploi inconsi- 
déré de ces moyens de régularité. Il n'abandonne pas néan- 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ix) 


moins encore ses élèves à leur simple coup-d'œil; et, conti- 
nuant l'usage des mesures et des lignes pour les principales 
divisions et pour les rectifications qui pourraient être né- 
cessaires , il semble placer sous la main même de l'élève 
un régulateur toujours présent qui prévient les erreurs , et 
lui donne le moyen de-corriger lui-même les fautes qui au- 
raient pu lui échapper. 

M. Francœur part de ce principe, que toute figure, quel- 
que compliquée qu’elle soit, peut être ramenée aux rectan- 
gles et aux cercles avec l'habitude , déja acquise par l'élève, de 
tracer correctement des rectangles et des cercles de toutes 
les dimensions ,et de les diviser en parties proportionnelles; il 
trace et divise ainsi les masses des objets qu'il veut représenter, 
afin d’en resserrer les détails dans de justes limites. Cette mé- 
thode est celle qu'emploient les géographes lorsqu'ils veu- 
lent tracer une carte ou un plan; c'étt celle qu'emploient les 
peintres lorsqu'ils veulent réduire ar tableau , excepté 
qu'ils font, avec la règle et le compas, ce que les élèves qui 
ont pratiqué le dessin linéaire peuvent facilement exécuter 
à vue. Après avoir dessiné quelque temps, ainsi dirigé par 
des carreaux proportionnels tracés sur l'original et sur la co- 
pie, l'élève s’habitue peu à peu à substituer des lignes idéales 
aux lignes matérielles de son réseau ; une régiette marquée 
de divisions équidistantes , qui lui sert , tant pour les niveaux 
que pour les à-plombs, le prépare à se passer de toute espèce 
de régulateur. L'auteur termine cette section par des con- 
sidérations sur les dimensions de toutes les parties du corps 
humain qui doivent être l'objet de l'instruction donnée 
aux élèves. Il cite, à cet égard, les règles données par Jean 
Cousin , en faisant observer qne ces règles ne sont pas ri- 


Ixi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


goureuses, et peuvent seulement présenter des termes 
moyens entre les meilleures proportions. C’est surtout ce 
genre d'études auquel les Anciens s’appliquaient avec une 
grande prédilection, et pour lequel les plus habiles peintres 
et sculpteurs avaient écrit, sous le titre de canons, des règles 
que nous ne connaissons plus que par leur renommée , mais 
qui sont bien à regretter, si elles ont contribué à former les 
artistes dont les productions nous semblent inimitables, ou 
bien si ces préceptes sont le résultat de profondes médita- 
tions de ces artistes habiles. 

M. Francœur expose, dans la cinquième section de son ou- 
vrage , les règles de la perspective; il a réuni dans un petit 
nombre de pages ce qui est à l'usage des peintres, et peut 
être compris et retenu par eux, avec une telle facilité, qu'on 
doit être surpris qu'un aussi grand nombre dédaigne de 
consacrer quelques journées à acquérir une connaissance si 
nécessaire à l'exécution de leurs travaux. 

Un atlas zn-folio, composé de douze tableaux, présente le 
tracé de toutes les figures qui doivent servir de modèle aux 
élèves dans l'étude des différentes sections de l'ouvrage. 

L'auteur aurait pu terminer ici son livre; tout ce qui con- 
cerne le dessin linéaire était exposé. Un jeune élève qui possé- 
derait parfaitement toutes les parties de cet ouvrage, serait en 
état de faire des progrès rapides en suivant, pour l'étude de 
l'art, les lecons de nos habiles professeurs. Mais l’auteur a 
voulu tirer un nouveau parti de son ouvrage, pour la plus 
grande instruction de ceux des élèves qui, en dessinant ces 
figures géométriques, auraient parfaitement compris les 
préceptes spéciaux. Il a voulu leur faciliter les moyens d'ap- 
pliquer utilement le calcul et la connaissance des figures 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixiij 
de géométrie qu'ils avaient acquise; et il a termine sa se- 
conde édition, comme il avait terminé la première, par une 
série de problèmes où les calculs sont appliqués à la géomé- 
trie. Il a réuni en conséquence en un corps de doctrine les 
connaissances simples de la géométrie et du calcul; il a ex- 
posé la série des règles et des problemes les plus fréquents 
dans les usages ordinaires de la vie, et il y a joint des exem- 
ples numériques pour faire concevoir l'application des prin- 
cipes. Cet exercice, qui occupe agréablement les élèves, en 
présentant un but manifestement utile, leur donnera lieu 
d'apprécier l'étendue des résultats de leur travail, de faire 
eux-mêmes leurs devis, de composer leurs mémoires, de 
calculer le prix et la quantité de matériaux nécessaires à leurs 
entreprises, enfin de faire toutes les évaluations qui peuvent 
être nécessaires. 

Je me suis arrêté avec intérêt, dit en terminant M. le rap- 
porteur , sur l'ouvrage de M. Francœur, dont vous m'aviez 
ordonné de vous soumettre l'analyse. Il m’a paru que l’auteur 
avait bien rempli son objet ; il est à désirer que ce livre fasse 
partie de l'instruction générale élémentaire. L'industrie fran- 
çaise lui devra des succès. Un objet non moins important de 
ce travail est l'indication des exercices préparatoires à l'étude 
des arts d'imitation. 


OUVRAGES IMPRIMÉS. 


Traité élémentaire du calcul différentiel et du calcul inté- 
gral, par M. Lacroix. 


Les avantages que les sciences. mathématiques ont retirés 


Ixiv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


des traités publiés par M. Lacroix, sont trop généralement 
connus pour qu'il soit nécessaire de les rappeler : les ques- 
tions les plus importantes et les plus difficiles y sont expo- 
sées avec beaucoup de méthode et de clarté, et ces ouvrages 
forment le corps de doctrine mathématique le plus complet 
qui existe dans aucune langue. 

L'auteur vient de publier la quatrième édition de son 
Traité élémentaire du calcul différentiel et du ealcul inté- 
gral. Après avoir expliqué les principes fondamentaux de 
l'analyse différentielle, les règles de ce calcul et les théo- 
rèmes qui servent au développement des fonctions, l’auteur 
présente les applications de l'analyse à la recherche des ra- 
cines égales, à la théorie des courbes, et à l'importante ques- 
tion des maximum. On reconnaît de la maniere la plus 
claire, en lisant ce traité, qu'il ne peut rester aucun doute 
sur l'exactitude rigoureuse du calcul différentiel. Les prin- 
cipes des théories de Newton et de Leibnitz, ceux qui ont 
été exposés dans les ouvrages de d’Alembert et de Lagrarge, 
n’ont aucune différence essentielle ; ils constituent une théorie 
unique, fondée sur l'application de l'analyse générale des 
nombres à la méthode d’exhaustion des Anciens. 

Après les applications à la théorie des courbes, l'auteur 
présente celles qui se rapportent aux surfaces courbes et aux 
courbes à double courbure ; ensuite il traite avec non moins 
de clarté des différentes parties du calcul intégral, et il en 
donne les applications à la géométrie des courbes et des 
surfaces courbes. Il passe à l'intégration des équations dif- 
férentielles, et traite successivement des branches de cette 
importante analyse, et notamment des équations où il entre 
des différentielles partielles. Il donne ensuite la méthode des 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixv 
variations , qui est, à proprement parler, l'application de la 
théorie élémentaire des plus grands où des moindres, au cas 
où le nombre des inconnues est infini. L'ouvrage est terminé 
par un appendice très-important, où l’on expose les éléments 
du calcul des différences et des séries. Dans cette partie de 
l'ouvrage sont indiquées les découvertes les plus récentes des 
géomètres sur l'analyse des intégrales définies. 

Cet ouvrage réunit toutes les conditions que l’on peut dé- 
sirer dans une exposition des principes de la science du calcul. 
Il contient une instruction solide, suffisamment et clairement 
développée, éminemment propre aux grands établissements 
où l’on admet ceux qui se destinent aux différentes parties 
du service de l'état. 


Exercices mathématiques de M. Cauchy. 


M. Cauchy a continué de présenter à l’Académie ses exer- 
cices mathématiques. 

Lés livraisons de ces savantes publications, offertes cette 
année, comprennent depuis la 11° jusqu’à la 23°. 


Histoire de l’ Astronomie au dix-huitième siècle, par M. De- 


lambre, publiée par M. Mathieu. 


Le dernier volume de l'Histoire de l'Astronomie de M. De- 
lambre a été offert à l’Académie dans le cours de cette an- 
née : le monde savant a vu avec un grand intérêt une publi- 
cation qui complete celle d’un ouvrage important que la mort 


de son illustre auteur semblait devoir laisser imparfait. 
T. X. Hist. 1827. I 


Ixv} HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Huit feuilles seulement de l'Histoire de l'Astronomie an 
xvine siècle étaient imprimées quand les sciences perdirent 
M. Delambre. Mais M. Mathieu a bien voulu se charger de 
revoir ses manuscrits, de vérifier sur les ouvrages originaux 
les diverses citations, et d'y ajouter, lorsque cela était néces- 
saire, des notes explicatives. 

Une table dans laquelle le lecteur püt trouver une analyse 
détaillée des matières, était indispensable pour faciliter les 
recherches dans un ouvrage qui présente une si grande va- 
riété d'objets. M. Mathieu en a ajouté une qui ne laisse rien 
à désirer. 

L'Histoire de l’Astronomie n’est pas le seul ouvrage que 
M. Delambre ait laissé inédit : on a trouvé également dans 
ses papiers une Histoire de la mesure de la terre. M. Mathieu 
se propose de faire jouir le public de cette importante pro- 
duction ; il acquerra ainsi de nouveaux droits à la reconnais- 
sance des amis des sciences. 

M. le comte de Cassini, membre de l'Académie des Scien- 
ces, section d'astronomie, vient de publier des réflexions 
relatives à divers passages de l'ouvrage de M. Delambre sur 
l'Histoire de l’Astronomie au xvrr1° siècle. On se borne ici à 
faire mention de ces remarques : elles doivent, sous tous les 
rapports, attirer l'attention de ceux qui veulent acquérir une 
connaissance éclairée et impartiale des travaux d'astronomie. 
Nous ferons connaître plus en détail l’objet de ces remarques 
dans les analyses subséquentes. 


Partie historique du voyage de l'Uranie. 


L'Académie continue de recevoir les différentes parties de 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixvi] 


la Relation du voyage de l’Uranie ; les livraisons de botani- 
que et celles qui intéressent l'histoire ont été présentées cette 
année. 

Un volume de cette dernière partie, rédigée par M. le ca- 
pitaine Freycinet, qui commandait cette mémorable expédi - 
tion, a déja été mis au jour, ainsi que huit livraisons des 
planches destinées à composer l'Atlas de cet important ou- 
vrage; ces planches comprennent des cartes, des paysages, 
des portraits et des sujets tres-divers, propres à faire con- 
naître les usages et les mœurs des peuples visités pendant 
l'expédition. 

Une partie tres-considérable du volume offert cette année à 
l’Académie, est consacrée au Brésil: cette partie formant un tout 
complet, en donne une idée exacte qui nous paraît le moyen 
le plus sûr de faire connaître la méthode que l’auteur a suivie, 
et l’on pourra juger des avantages que les sciences vont retirer 
de cette grande collection. 

M. de Freycinet rapporte d’abord d’une maniere générale 
les particularités de son séjour à Rio-Janeiro : il rappelle les 
opérations entreprises pour l'intérêt des sciences dans cette 
colonie portugaise, et il paie un tribut de reconnaissance aux 
personnes qui ont facilité ses recherches, ou lui ont procuré 
des documents utiles. 

Un premier chapitre contient un résumé succinct, mais 
complet, de l’histoire civile de la province de Rio-Janeiro, 
depuis l’époque de sa découverte jusqu’à nos jours. 

Passant ensuite à la description géographique et physique, 
l’auteur fait connaître successivement les limites et les dimen- 
sions du pays, les montagnes qui s’y trouvent, les rivières, 
les lacs et les marais les plus remarquables. Ïl examine les 

I 2 


Ixvi] HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


ports et les rades dans leurs rapports avec le commerce et 
la prospérité publique. Ces détails sont indépendants dés 
considérations nautiques et hydrographiques déja consignées 
daus un ouvrage de M. de Freycinet, imprimé en 1826. 

Les divisions politiques de la province, l'énumération et 
la situation respective des villes et villages, forment la ma- 
tière d’un paragraphe distinct. On trouve ensuite le résumé 
des observations de météorologie, et l'exposé des principaux 
faits de géologie et de minéralogie ; la météorologie, le ma- 
gnétisme , les observations du pendule et des marées, ont été 
déja ou doivent être plus tard l'objet d'ouvrages spéciaux. 

Les détails botaniques sont aussi consignés dans un tra- 
vail spécial; mais l’auteur fait connaître, dans sa partie his- 
torique, la fertilité du sol et les productions végétales qui 
interessent les rapports économiques et industriels ; il indi- 
que, dans des tables assez développées, et les qualités les plus 
remarquables des bois du pays, et les principales propriétés 
physiques de ceux qui servent à la charpente. 

L'auteur réunit sous le titre de productions animales tout 
ce que l'histoire des animaux du pays peut offrir d’important 
pour la société civile. 

M. de Freycinet passe ensuite aux considérations qui se 
rapportent à l'espèce humaine. Il examine d’abord quelles 
étaient les peuplades sauvages qui habitaient ces contrées à 
l'époque de l’arrivée des Européens. Il décrit leurs qualités 
physiques, leurs usages, leurs mœurs, leur industrie, leur 
religion et leur état politique. L'objet de cette recherche préli- 
minaire est de mettre le lecteur en état de juger des effets qu’a 
pu produire sur ces peuples sauvages la présence des colons 


portugais , arrivés sur ces bords avec tous les avantages d’une 
civilisation avancée. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixix 


À cette analyse succède le tableau général de la colonie de 
Rio-Janeiro ; le chapitre qui contient ces détails est partagé 
en sept paragraphes : l'importance du sujet nous porte à en- 
trer ici dans des développements plus étendus. 

Le premier paragraphe traite des différentes races d’habi- 
tants qui peuplent la colonie, de leurs qualités physiques, des 
maladies qui les affligent , et des traitements employés pour 
les combattre. 

Sous le titre de rapports domestiques, le second paragraphe 
décrit la nourriture, les vêtements, les habitations, les meu- 
bles et les ustensiles économiques. 

Le troisième est consacré aux rapports.moraux et sociaux: 
c'est là que sont réunies les descriptions des villes et des vil- 
lages dont on n'avait donné plus haut que la situation géo- 
graphique. On y rapporte des détails intéressants sur la po- 
pulation, l'éducation, la religion , les usages particuliers , les 
amusements et les objets de luxe. 

Le quatrième paragraphe traite de la littérature, des scien- 
ces et des beaux-arts ; le cinquième de l’industrie agricole et 
manufacturière, comprenant l’agriculture proprement dite , 
la chasse, la pêche, ainsi que tout ce qui intéresse les arts, 
les métiers et les manufactures. 

Le sixième, consacré à l’industrie commerciale, est une des 
parties les plus étendues de l’ouvrage : elle contient une mul- 
titude de données numériques et positives , tant sur la nature 
des objets propres aux exportations et importations, que 
sur les quantités et les prix. On y indique les marchés, les 
halles, le transport des marchandises, soit par terre, soit 
par eau , le nombre des navires qui entrent ou sortent an- 
nuellement du port, l'intérêt de l'argent, les transactions 


xx HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


commerciales , les banques , les compagnies d'assurance, etc. 
Enfin on y donne des détails très-circonstanciés sur les me- 
sures et les monnaies, sur leur rapport avec les monnaies et 
les mesures françaises. 

Le septième paragraphe est encore plus étendu; 1l traite 
des gouvernements. M. de Freycinet en fait connaître la na- 
ture, et présente des notions importantes sur les lois, les 
tribunaux , le système d'administration publique et les finan- 
ces. IL a joint à ce dernier article des tableaux tres-développés 
des budjets du Brésil depuis 1808 jusqu'en 1827. Ces détails 
sont suivis d’une description de l’état militaire , des arsenaux, 
des fortifications et des forces navales. 

L'auteur termine ce qu'il avait à dire sur la province de 
Rio-Janeiro , en jetant un coup-d’œil sur la situation actuelle 
des peuples indigènes qui l’habitent; il consacre à cet écrit 
un dernier chapitre, qui termine le volume ; il décrit l’état 
actuel des Indiens civilisés, celui des Indiens à-demi civili- 
sés, puis enfin l’état de ceux qui sont encore entièrement 
sauvages. 

En ce qui concerne ces derniers, l’auteur s'attache à mon- 
trer combien sont défectueux les moyens employés depuis 
long-temps pour amener ces peuplades indigènes à jouir des 
bienfaits de la civilisation. Il indique les causes d’une dépo- 
pulation toujours croissante, et exprime sur toutes ces ques- 
tions les opinions et les vœux qui lui paraissent les plus con- 
formes aux intérèts de l'humanité. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. IXx] 


Forces produetives et commerciales de la France, par 


M. Dupin. 


M. Dupin à présenté un ouvrage intitulé Forces produc- 
tives et commerciales de la France. 

Dans cet ouvrage l’auteur évalue les forces productives 
et commerciales, en prenant pour unité l'homme de force 
moyenne. 

D'après cette base, il calculé l'équivalent des forces des 
hommes, des animaux et des moteurs inanimés, employés 
aux travaux de la production et du commerce. Il opère les 
mêmes Calculs pour la France et pour la Grande-Bretagne, 
et trouve les résultats suivants pour l'époque actuelle et pour 
1780. 


FORCES PRODUCTIVES ET COMMERCIALES ÉVALUÉES EN TRAVAILLEURS 


EFFECTIFS. 
De là France. Dés trois royaumes britanniques. 
En 1780... 38,792,6066 1.171911. 308635 
En 1826..... 48,814,889 .......:... 60,506,302 
A | 
RAR SU 10,022,2295 2405... 20:020,270 
en 46 années. ÿ 


Frappé de l’infériorité de l’accroissement dé nos forces 
productives et commerciales, comparées à celles des trois 
royaumes britanniques , l’autéur s'occupe surtout, dans son 
ouvrage, des moyens d'accélérer le développement de ces 
forces dans les diverses parties de la France. 


Ixxi) HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


On ne peut donner qu'une idée très-sommaire d’un ouvrage 
dont la première partie, la seule encore publiée, comprend 
deux volumes in-4°. Aussi nous nous bornerons à quelques 
indications. 

M. Dupin consacre un livre spécial à l'amélioration des 
forces productives, non-seulement des forces inanimées et 
les moyens mécaniques qu’elles font agir, mais surtout des 
forces animées. 

Dans les livres suivants, l’auteur décrit en particulier les 
forces productives et commerciales des trente-deux aéparte- 
ments (la France septentrionale.) 

Le dernier livre offre le développement des rapports gé- 
néraux entre les trente-deux départements de la France sep- 
tentrionale et les cinquante-quatre départements de la France 
méridionale. 

Ces rapports confirment les recherches précédentes de 
l’auteur, relativement à l'influence de l'instruction populaire 
sur la richesse, et toutes les sources du progrès social dans 
les diverses parties de la Fance. 

Ce livre est terminé par l'exposition des vues de l’auteur 
sur le canal maritime projeté pour aller de Paris à l'Océan 
et la description des opérations exécutées sur le terrain. 

Afin de rendre populaires les principaux résultats renfer- 
més dans l'ouvrage intitulé les Forces productives et com- 
merciales de la France, et dans ses traités d'économie so- 
ciale, M. Dupin les a résumées dans une suite de petits vo- 
lumes. 

Le premier volume de cette collection présente la situation 
progressive des forces de la France depuis 1814; les suivants 
portent pour titres : le Petit Propriétaire, le Petit Fabricant, 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixxii] 
le Petit Commercant , l'Ouvrier français et l'Ouvrière fran- 
caise. 

Chacun de ces volumes offre un résumé des moyens d’a- 
méliorer le sort physique et moral de chacune des classes 
d'habitants auxquels l'ouvrage est destiné. 


Atlas de la géographie physique, par M. Bory de Saint- 
Vincent. 

M. Le colonel Bory de Saint-Vincent a adressé à l’Acadé- 
mie un volume de l'Encyclopédie par ordre de matières , in- 
titulé : Atlas de la Géographie physique, et dent il est l’au- 
teur. Feu M. Desmarest, membre de l'Institut, l’un des 
collaborateurs de cette grande entreprise, avait fait graver 
pour cet ouvrage un certain nombre de planches qui demeu- 
raient sans explications : ce sont ces planches qui ont fourni 
à M. le colonel Bory de Saint-Vincent les considérations qu’il 
publie sur une partie de la science qui, jusqu'ici, était tres- 
imparfaite et même confuse. Se fondant sur la distribution 
des corps organisés à la surface du globe, et surtout sur 
l'examen de la végétation aquatique, ou de cette branche de 
la botanique appelée hydrophytologie, M. de Saint-Vincent 
propose une division et une nomenclature des mers d'autant 
plus heureuse, qu'elle donne une répartition analogue à celle 
des continents. Ainsi, d'apres ces aperçus nouveaux , il exis- 
terait cinq océans et cinq continents, dont quatre opposés 
deux à deux avec un impair, et chacun de ces océans et 
continents devrait être considéré comme un berceau de for- 
mations locales. Quant aux méditerranées , elles seraient en 


TX His. 1827. K 


Ixxiv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


plus grand nombre qu’on ne le suppose, et présenteraient 
cinq océans. 

M. Bory de Saint-Vincent s'attache à prouver que l'étude 
géologique des montagnes ne peut fournir des données 
aussi importantes qu'on le suppose généralement sur la 
contexture intérieure du globe. Il attaque surtout ce sys- 
tème qui avait prévalu, vers la fin du dernier siècle, sur 
l'enchaînement de toutes les montagnes comme ossature de 
notre planète, et réduit considérablement ce qu'on avait 
avancé d'hypothétique sur la configuration des terrains , des 
bassins, et des amas et cours d’eau douce dans les îles 
et les continents. La lecture de cet ouvrage intéresse les di- 
vérses parties des sciences, et contribuera aux progrès de la 
géographie. 


Recherches sur les antiquités des États-Unis de l'Amérique 
septentrionale. 


M. Warden a présenté à l’Académie un ouvrage intitulé 
Recherches sur les antiquités des États-Unis de l'Amérique 
septentrionale. 

L'auteur accompagne la présentation de cet ouvrage de 
renseignements sur les monuments de Palenqué, dans l'an- 
cienne province de Guatimala. 

Les premières de ces antiquités cachées depuis si long- 
temps dans les épaisses forêts du Nouveau-Monde, consistent 
en ouvrages considérables, qui s'étendent depuis le bord 
méridional du lac Érié jusqu'au golfe du Mexique, et le long 
du Missouri jusqu'aux monts Rocheux ; ces monuments; de 
formes et de grandeurs différentes : les objets d'antiquités 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixxv 


découverts jusqu’à ce jour comprennent , 1° des fortifica- 
tions ; 2° des tumulis ou tertres; 3° des murailles de terre 
parallèles ; 4 des murailles souterraines de terre et de bri- 
ques , et des cbjets enfouis à une profondeur considérable ; 
5° des ouvertures pratiquées dans la terre; 6° des rochers 
avec des inscriptions ; 7° des idoles ; 8° des coquilles d’autres 
pays; et 9° des momies. 

L'une de ces fortifications, située dans l’état de l'Ohio, 
couvre une superficie de plus de cent acres, et est entourée 
d’une muraille en terre de vingt pieds d'épaisseur à sa base, 
et de douze pieds de hauteur , et d’un fossé ou tranchée d’en- 
viron vingt pieds. On a trouvé, sur les murailles des fortifi- 
cations et tertres , des arbres d’une grosseur prodigieuse, et 
dont quelques-uns comptaient plus de quatre cents cercles 
annuels de végétation trèes-aistincts. Il est à remarquer que 
les Indiens modernes ne connaissent point l'usage des tertres, 
et ne se servent pas de retranchements. 

Les idoles trouvées dans l’état de Ténessée et à Natchez 
(état de Mississipi) , les coquilles marines du genre murex, 
découvertes dans une ancienne fortification du Kentucky, 
les momies des cavernes calcaires du même état, enfin les 
inscriptions hiéroglyphiques trouvées sur un rocher dans 
l’état de Massachussets , sont autant de faits importants dans 
la grande question de l’origine des Américains. 

On peut en conclure, suivant M. Warden,, que la vallée 
de l'Ohio, depuis le pays des Illinois jusqu'au Mexique, a 
été habitée par un peuple très-différent de ceux qui l’occu- 
paient à l'époque de sa découverte par les colons français 
du Canada et de la Louisiane : tout ce qui concerne l'ori- 
gine, la durée et l'extinction de ce peuple, est enveloppe 

K2 


Ixxv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


dans une obscurité impénétrable. On ne peut douter cepen- 
dant qu’il n'ait été plus civilisé qu'aucun des peuples indiens 
qui existaient lors de la découverte de l'Amérique. 

Toutefois cette civilisation était peu avancée, si on la com- 
pare à celle des habitants de Palenqué. Les ruines trouvées 
dans ce dernier pays prouvent que ses monuments pouvaient 
rivaliser avec ceux de plusieurs villes de l'Europe, et que ce 
peuple était arrivé à un grand développement de facultés 
intellectuelles. | 

La ligne des fortifications et tertres s'étendant depuis le 
Mexique jusqu'aux grands lacs des États-Unis, peut-être les 
anciens peuples de l'Ohioétaient-ils une colonie de Palenque 
placée dans cet espace pour la facilité des conquêtes et du 
commerce. Cette question pourrait être résolue, si un sa- 
vant naturaliste se donnait la peine d'examiner les crânes des 
squelettes trouvés dans les terres de la vallée de l'Ohio, et 
de les comparer aux figures palenquiennes, dont la tête 
pointue et la physionomie different de celles de tous les 
peuples connus. 

Les anciens monuments de Palenqué, dit M. Warden, 
sont la découverte la plus étonnante qui ait été faite en Amé- 
rique : ils prouvent que le continent appelé Nouveau-Monde 
a été peuplé beaucoup plus anciennement qu’on ne ie croit, 
puisqu'il renferme tant de vestiges d’art sur lesquels la tra- 
dition reste muette, et qui appartiennent peut-être à une 
époque plus reculée que celle où les annales des peuples de 
l'Europe commencent à s'appuyer de preuves historiques. 

M. le professeur Despretz a offert à l'Académie la deuxieme 
édition de son Zraité élémentaire de physique. 

L'auteur est connu depuis lonug-temps par des recherches 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixxvi] 


qui ont éclairé les questions les plus importantes de la phy- 
sique ; les nouveaux Mémoires qu'il a présentés, et dont nous 
allons indiquer l’objet, sont autant de témoignages du zèle 
qui anime ses travaux, et des avantages qu'ils procurent aux 
sciences. 

Le premier Mémoire traite de la compression des gaz. Les 
expériences qui y sont rapportées font connaître que les gaz 
ammoniacal , acide sulfureux , acide hydro-sulfurique, le cya- 
nogène , etc., comparés à l'air atmosphérique, subissent, dans 
tout le cours de la compression , une diminution de volume 
différente de celle qu’éprouve ce dernier gaz; ainsi, les vo- 
lumes de ces gaz ne sont pas proportionnels aux pressions. 

L'appareil de M. Despretz consiste en deux éprouvettes 
exactement comparables, et plongeant dans le mercure: l’une 
de ces éprouvettes contient l’air; l’autre contient le gaz qu'on 
lui compare. Cet appareil est placé dans un tube de cristal 
plein , et dans l'intérieur duquel on exerce une pression à 
l’aide d’une pompe foulante. 

Les nombres suivants, qui répondent à l'air atmosphé- 
rique, au gaz hydro-sulfurique et au gaz ammoniacal, don- 
ueront une juste idée des différences dont il s’agit. 


Air et gaz ammoniacal. 


Pressions indiquées Pressions indiquées 
par l'air. par le gaz ammoniacal. 
0,812 0,812 
1 ,819 1 ,890 
2 ,582 : É 3 ,663 


3 ,865 4 132 


s 


Ixxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Air et gaz acide sulfureux. 


Pressions indiquées Pressions indiquées 
par l'air. par l'acide hydrosulfureux. 
0",810 0",810 
2 ,243 2 ,293 
3 ,975 4,020 
5 ,789 6 ,021 
7 ,208 8 ,058 
10 ,837 12 ,018 


Un second Mémoire de M. Despretz a pour objet la cha- 
leur développée dans la combustion du carbone, de l'hydro- 
gene, du phosphore et de plusieurs métaux. 

Le calorimètre employé par l’auteur est analogue à celui 
du comte de Rumford : il en diffère cependant en ce qu'il peut 
servir à la combustion d’un corps quelconque, et en ce que 
le corps étant enveloppé d’eau de toutes parts, il n’y a pas 
de perte occasionée par le rayonnement. 


Chaleur dégagée pour un gramme d’oxigene absorbé. 


Par PbyYdrogene Re 2578° centigrades. 
Parle charbon 2 29670 » 
Par le fer Alsenstoeemtene 5325° » 


Le zinc, l'étain . développent des quantités de chaleur peu 
différentes de celles que développe le fer. 

Il est remarquable que le charbon, qui ne change pas le 
volume du gaz oxigène en brûlant, dégage les 5 de chaleur 
rendue libre par le fer, qui réduit ce gaz à l’état solide. 

Dans un troisième Mémoire, l’auteur montre que la quan- 


PARTIE. MATHÉMATIQUE. Ixx1ix 


tité de chaleur, développée par un corps qui ne change pas 
le volume du gaz oxigène, est toujours la même, quelle que 
soit la densité de ce gaz: du moins ce résultat est indiqué 
par des expériences faites sur le charbon. M. Despretz déduit 
de ces observations plusieurs conséquences importantes, 
qu'il se propose de développer. 


Le baron de Férussac à informé l’Académie de l’amé- 
lioration qu’il vient d'apporter dans l'établissement dont les 
sciences lui sont redevables. Il a formé, pour la publication 
du Bulletin universel des connaissances scientifiques et in- 
dustrielles, une association légalement autorisée , dont le but 
est de favoriser de plus en plus la propagation des décou- 
vertes utiles. S. A. R. M‘“* le Dauphin accorde une protec- 
tion spéciale à cette entreprise, en considération des services 
qu'elle a déja rendus, et de ceux que la société et les arts 
en doivent retirer. Un grand nombre de personnes, con- 
nues par l'intérêt qu’elles portent aux sciences et aux arts, 
se sont empressées de concourir à cette association. R 


M. Poncelet, ancien élève de l’École polytechnique, pro- 
fesseur de mécanique à l’école d'application de l'artillerie et 
du génie de Metz, a présenté à l'Académie un travail inti- 
tulé : Mémoire sur les roues hydrauliques à aubes courbes , 
mues par-dessous ; suivi d'expériences sur les effets mécani- 
ques de ces roues ; nouvelle édition augmentée d’an second 
Mémoire sur des expériences en grand, relatives à la nouvelle 

. FOue;, contenant une #nstruclion pratique sur la manière de 
procéder à’ son établissement. 

M. Poncelet s’est proposé, dans ses nouvelles recherches , 
de répéter en grand sur une roue hydraulique à aubes cour- 


Ixxx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


bes, construite à Metz, la plupart des expériences déja faites 
par lui, en 1824, sur un modèle de petite dimension , et il 
est parvenu ainsi à lever tous les doutes qui auraient pu 
subsister sur les avantages du nouveau système dans son ap- 
plication à la pratique. 

M. Poncelet a saisi l’occasion qui se présentait de donner 
quelques développements à la théorie exposée dans son 
‘premier Mémoire, notamment dans ce qui concerne les 
meilleures proportions à adopter, suivant les cas, pour les 
différentes parties de l'appareil. Il a cherché également à 
établir, par la théorie et par l'expérience, les principes rela- 
tifs aux cas où là roue peut être noyée en arrière jusqu'à 
une certaine hauteur. Il prouve que les nouvelles roues ne 
présentent pas, dans cette circonstance, au même degré, les 
inconvénients attachés aux anciennes roues hydrauliques à 
palettes. Enfin il s'efforce d’éclaircir tous les points difficiles 
et de mettre tout constructeur intelligent en état de faire 
complètement le projet d'établissement de la nouvelle roue 
d'après des principes positifs, et dont l’exactitude a été con- 
statée par l'application qui en a été faite dans plusieurs des 
usines de la France. 

M. Poncelet s’applaudit surtout d’avoir mis en usage l’ap- 
pareil très-ingénieux, que l'on doit à M. de Prony, pour 
mesurer la force des machines en mouvement. L'emploi de 
cet appareil, qui devrait être connu de tous les chefs et con- 
structeurs d'usines, joint au résultat des expériences faites 
par l’auteur, lui a donné moyen de confirmer les résultats 
de son premier Mémoire. Cet examen met en évidence les 


avantages que présentent les roues à aubes courbes pour les 
chutes au-dessous de deux mètres. 


PARTIE MATHÉMATIQUE. Ixxix 


M. Colladon de Genève a lu à l’Académie un Mémoire sur 
la déviation de l'aiguille aimantée, par le courant des ma- 
chines électriques et par l'électricité atmosphérique. Jus- 
qu'alors la propriété de dévier l'aiguille aimantée n'avait été 
reconnue que pour le courant de la pile de Volta ou pour 
celui de l'appareil thermo-électrique. En isolant entre eux 
les tours du galvanometre et eu augmentant leur nombre, 
M. Colladon est parvenu à prouver que les machines électri- 
ques à frottement, ainsi que la décharge d’une bouteille de 
Leyde, peuvent produire un courant et dévier l'aiguille ai- 
mantée de plusieurs degrés; ce fait offre une nouvelle ana- 
logie entre l'électricité d’une machine à frottement et celle 
de la pile de Volta. 

M. Colladon s’est aussi servi du même galvanomèetre pour 
faire des recherches analogues sur l'électricité atmospérique; 
par un temps serein , la déviation de l'aiguille est nulle; mais 
pendant les orages, l’électricité soutirée des nuages par une 
pointe élevée peut produire un courant plus intense que ce- 
lui des plus fortes machines électriques. 

L’aiguille aimantée indique par ses mouvements l'instant 
qui precède immédiatement un coup de tonnerre, par une 
augmentation ou un changement subit de déviation. 

M. Colladon s’est assuré que l'électricité se distribue quel- 
quefois sur de grandes masses de nuages, comme sur un 
corps conducteur continu. 


LU Fist 1627. L 


AR A AAA A A A A A A A AO A A A A A A OR TR AR A 


ÉLOGE HISTORIQUE 


DE M, LE MARQUIS 
DE LAPLACE, 


PRONONCÉ DANS LA SÉANCE PUBLIQUE DK L'ACADÉMIE ROYALE 


DES SCIENCES, LE 15 JUIN 1829. 


Pan M, Baron FOURIER. 


mme () Cases 


Mussrzuns, 


Le nom de Larzace a retenti dans tous les lieux du 
monfle où les sciences sont honorées : mais sa mémoire 
ne pouvait recevoir un plus digne hommage que le tribut 
unanime de l'admiration et des regrets, du corps illustre 
dont il a partagé les travaux et la gloire, Il a consacré sa 
vie à l'étude des plus grands objets qui puissent occuper 
l'esprit humain. 

Les merveilles du ciel, les hautes questions de la phi- 
losophie naturelle, les combinaisons ingénieuses et pro- 
fondes de l'analyse mathématique, toutes les lois de l’uni- 
vers, ont été présentes à sa peusée pendant plus de soixante 

Lo, 


Ixxxi] ÉLOGE HISTORIQUE 
années, et ses efforts ont été couronnés par des décou- 
vertes immortelles. 

On remarqua, dès ses premières études, qu'il était doué 
d'une mémoire prodigieuse : toutes les occupations de l’es- 
prit lui étaient faciles. Il acquit rapidement une instruc- 
tion assez étendue dans les langues anciennes, et cultiva 
diverses branches dans la littérature. Tout intéresse le 
génie naissant, tout peut le révéler. Ses premiers succès 
furent dans les études théologiques; il traitait avec talent 
et avec une sagacité extraordinaire les points de contro- 
verse les plus difficiles. 

Or ignore par quel heureux détour Laplace passa de la 
scolastique à la haute géométrie. Cette dernière science, 
qui n’admet guere de partage, attira et fixa son attention. 
Des-lors il s’abandonna sans réserve à l'impulsion de son 
génie, et sentit vivement que le séjour de la capitale lui était 
devenu nécessaire. D'Alembert jouissait alors de tout l'éclat 
de sa renommée. C’est lui qui venait d'avertir la cour de 
Turin que son académie royale possédait un géomètre du 
premier ordre, Lagrange, qui, à défaut de ce noble suf- 
frage, aurait pu rester long-temps ignoré. D’Alembert avait 
annoncé au roi de Prusse qu'un seul homme en Europe 
pouvait remplacer, à Berlin, l'illustre Euler, qui, rappelé 
par le gouvernement de Russie, consentit à retourner à 
St-Pétersbourg. Je trouve, dans les lettres inédites que pos- 
sède l’Institut de France, les détails de cette glorieuse 
négociation qui fixa Lagrange à la résidence de Berlin. 

C'est vers le même temps que Laplace commençait cette 
longue carrière qu'il devait bientôt illustrer. 

Il se présenta chez d’Alembert, précédé de recomman- 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. Ixxxii] 


dations nombreuses, qu’on aurait pu croire très-puissantes. 
Mais ses tentatives furent inutiles : il ne fut pas même 
introduit. C’est alors qu'il adressa à celui dont il venait 
solliciter le suffrage une lettre fort remarquable sur les 
principes généraux de la mécanique, et dont M. Laplace 
m'a, plusieurs fois, cité divers fragments. Il était impos- 
sible qu'un aussi grand géomètre que d’Alembert ne füt 
point frappé de la profondeur singulière de cet écrit. Le 
jour même, il appela l'auteur de la lettre, et lui dit, ce sont 
ses propres paroles : « Monsieur, vous voyez que je fais as- 
sez peu de cas des recommandations; vous n’en aviez pas be- 
soin. Vous vous êtes fait mieux connaître; cela me suffit : mon 
appui vous est dü.» Il obtint, peu de jours après, que La- 
place fût nommé professeur de mathématiques à l'Ecole 
militaire de Paris. Des ce moment, livré sans partage à la 
science qu'il avait choisie, il donna à tous ses travaux une 
direction fixe dont il ne s'est jamais écarté : car la con- 
stance imperturbable des vues a toujours été le trait prin- 
cipal de son génie. Il touchait déja aux limites connues de 
l'analyse mathématique, il possédait ce que cette science 
avait alors de plus ingénieux et de plus puissant, et per- 
sonne n'était plus capable que lui d'en agrandir le domaine. 
J1 avait résolu une question capitale de l'astronomie théo- 
rique. Il forma le projet de consacrer ses efforts à cette 
science sublime : il était destiné à la perfectionner, et pou- 
vait l'embrasser dans toute son étendue. Il médita profon- 
dément son glorieux dessein; il a passé toute sa vie à l’ac- 
complir avec une persévérance dont l’histoire des sciences 
n'offre peut-être aucun autre exemple. 

L’immensité du sujet flattait le juste orgueil de son gé- 


Ixxxiv ÉLOGE HISTORIQUE 


nie. Il entreprit de composer l’a/mageste de son siècle: c'est 
le monument qu'il nous a laissé sous le nom de Mécanique 
céleste; et son ouvrage immortel l'emporte sur celui de 
Ptolémée autant que la science analytique des modernes 
surpasse les éléments d'Euclide. 

Le temps qui seul dispense avec justice la gloire litté- 
raire, qui livre à l'oubli toutes les médiocrités contempo- 
raines, perpétue le souvenir des grands ouvrages. Eux seuls 
portent à la postérité le caractère de chaque siècle. Ainsi 
le nom de Laplace vivra dans tous les âges. Mais, et je me 
hâte de le dire, l’histoire éclairée et fidèle ne séparera 


point sa mémoire de celle des autres successeurs de New- 


ton. Elle réunira les noms illustres de d’Alembert, de Clai- 
raut, d’Euler, de Lagrange et de Laplace. Je me borne à 
citer ici les grands géomètres que les sciences ont perdus, 
et dont les recherches ont eu pour but commun la perfec- 
tion de l'astronomie physique. 

Pour donner une juste idée de leurs ouvrages, il est 
nécessaire de les comparer; mais les bornes qui convien- 
nent à ce discours m'obligent de réserver une partie de 
cette discussion pour la collection de nos Mémoires. .... 


Après Euler, Lagrange a le plus contribué à fonder l’a- 
nalyse mathématique. Elie est devenue, dans les écrits de 
ces deux grands géomètres, une science distincte, la seule 
des théories mathématiques dont on puisse dire qu’elle 
est complètement et rigoureusement démontrée. Seule, 
entre toutes ces théories, elle se suffit à elle-même, et elle 
éclaire toutes les autres; elle leur est tellement nécessaire , 
que, privées de son secours, elles ne pourraient que de- 
meurer très-imparfaites. - 


DE M. LE MARQUIS DE LA PLACE. Ixxxv 


Lagrange éiait né pour inventer et pour agrandir toutes 
les sciences de calcul. Dans quelque condition que la for- 
tune l'eût placé, ou pâtre ou prince, il aurait été grand 
géomètre ; il le serait devenu nécessairement, et sans au- 
cun effort : ce qu'on ne peut pas dire de tous ceux qui ont 
excellé dans cette science, même dans les premiers rangs. 

Si Lagrange eùt été contemporain d'Archimede et de 
Conon, il aurait partagé la gloire des plus mémorables 
découvertes. À Alexandrie il eut été rival de Diophantes. 

Le trait distinctif de son génie consiste dans l'unité et la 
grandeur des vues. Il s'attachait en tout à une pensée sim- 
ple, juste et tres-élevée. Son principal ouvrage, la Meca- 
nique analytique, pourrait être nommée la Mécanique phi- 
losophique; car il ramène toutes les lois de l'équilibre et 
du mouvement à un seul principe; et ce qui n’est pas 
moins admirable, il les soumet à une seule méthode de cal- 
cul dont il est lui-mème l'inventeur. Toutes ses composi- 
tions mathématiques sont remarquables par une élégance 
singulière, par la symétrie des formes et la généralité des 
méthodes, et, si l’on peut parler ainsi, par la perfection 
du style analytique. 

Lagrange n'était pas moins philosophe que grand géo- 
mètre. Il l'a prouvé, dans tout le cours de sa vie, par la 
modération de ses désirs, son attachement immuable aux 
intérêts généraux de l'humanité, par la noble simplicité 
de ses mœurs et l'élévation du caractère, enfin par la jus- 
tesse et la profondeur de ses travaux scientifiques. 

Laplace avait reçu de la nature toute la force du génie 
que peut exiger une entrepriseimmense. Non-seulement il à 
réuni dans son Æmalgeste du 18° siècle ce que les sciences 


Ixxxv] ÉLOGE HISTORIQUE 


mathématiques et physiques avaient déja inventé, et qui 
sert de fondement à l'astronomie; mais il a ajouté à cette 
science des découvertes capitales qui lui sont propres, et 
qui avaient échappé à tous ses prédécesseurs. Il résolu, 
soit par ses propres méthodes, soit par celles dont Euler 
et Lagrange avaient indiqué les principes, les questions 
les plus importantes, et certainement les plus difficiles de 
toutes celles que l’on avait considérées avant lui. Sa con- 
stance a triomphé de tous les obstacles. Lorsque ses pre- 
mieres tentatives n’ont point eu de succes, il les a renou- 
velées sous les formes les plus ingénieuses et les plus di- 
verses. 

Ainsi l’on observait dans les mouvements de la lune une 
accélération dont on n'avait pu découvrir la cause. On 
avait pensé que cet effet pouvait provenir de la résistance 
du milieu éthéré où se meuvent les corps célestes. S'il en 
était ainsi, la même cause, affectant le cours des planètes, 
tendrait à changer de plus en plus l’ordre primitif. Ces 
astres seraient incessamment troublés dans leur cours, et 
finiraient par se précipiter sur la masse du soleil. Il serait 
nécessaire que la puissance créatrice intervint de nouveau 
pour prévenir ou pour réparer le désordre immense que 
le laps des temps aurait causé. 

Cette question cosmologique est assurément une des 
plus grandes que l'intelligence humaine puisse se propo- 
ser; elle est résolue aujourd’hui. Les premières recherches 
de Laplace sur l'invariabilité des dimensions du système 
solaire, et son explication de l'équation séculaire de la 
lune, ont conduit à cette solution. 

Il avait d’abord examiné si l’on pourrait expliquer l’accé- 


DE M. LE MARQUIS DE LA PLACE. Ixxxvi) 


lération du mouvement lunaire, en supposant que l’action 
de la gravité n’est pas instantanée, mais assujettie à une 
transmission successive, comme celle de la lumière. Par 
cette voie, il ne put découvrir la véritable cause. Enfin une 
nouvelle recherche servit mieux son génie. Il donna, le 19 
mars 1787, à l'Académie des Sciences, une solution claire 
et inattendue de cette difficulté capitale. Il prouve tres- 
distinctement que l’accélération observée est un effet né- 
cessaire de la gravitation universelle. 

Cette grande découverte éclaira ensuite les points les 
plus importants du système du monde. En effet, la même 
théorie lui fit connaître que, si l’action de la gravitation 
sur les astres n’est pas instantanée, il faut supposer qu’elle 
se propage plus de cinquante millions de fois plus vite que 
la lumière, dont la vitesse bien connue est de soixante-dix 
mille lieues par seconde. 

Il conclut encore de sa théorie des mouvements lunaires 
que le milieu dans lequel les astres se meuvent n’oppose 
au cours des planètes qu'une résistance pour ainsi dire in- 
sensible ; car cétte cause affecterait surtout le mouvement 
de la lune, et elle n’y produit aucun effet observable. 

La discussion des mouvements de cet astre est féconde 
en conséquences remarquables. On en peut conclure, par 
exemple, que le mouvement de rotation de la terre sur 
son axe est invariable. La durée du jour n’a point changé 
de la centième partie d’une seconde depuis deux mille 
années. Il est remarquable qu’un astronome n'aurait pas 
besoin de sortir de son observatoire pour mesurer la di- 
stance de la terre au soleil. Il lui suffirait d'observer assi- 


T. X. Hist. 1895. M 


Ixxxvii] ÉLOGE HISTORIQUE 


dûment les variations du mouvement lunaire; il en con- 
clurait cette distance avec certitude. 

Une conséquence encore plus frappante est celle qui se 
rapporte à la figure de la terre; car la forme même du 
globe terrestre est empreinte dans certaines inégalités du 
cours de la lune. Ces inégalités n’auraieut point lieu, si la 
terre était parfaitement sphérique. On peut déterminer la 
quentité de l'aplatissement terrestre par l'observation 
des seuls mouvements lunaires, et les résultats que l'on 
en a déduits s'accordent avec les mesures effectives qu'ont 
procurées les grands voyages géodésiques à l'équateur, 
dans les régions boréales, dans l'Inde et diverses autres 
contrées. 

C'est à Laplace surtout que l’on doit cette perfection 
étonnante des théories modernes. 

Je ne puis entreprendre d'indiquer ici la suite de ses 
travaux, et les découvertes qui en ont été le fruit. Cette 
seule énumération, quelque rapide qu’elle püt être, excé- 
derait les limites que j'ai dû me prescrire. Outre ses recher- 
ches sur l'équation séculaire de la lune, et la découverte 
non moins importante et non moins difficile de la cause 
des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, on aurait 
à citer ses théorèmes admirables sur la libration des sa- 
tellites de Jupiter. Il faudrait rappeler ses travaux analy- 
tiques sur le flux et reflux de la mer, et montrer l'étendue 
immense qu'il a donnée à cette question. 

Il n'y a aucun point important de l'astronomie physi- 
que qui ne soit devenu pour lui l’objet d’une étude et 
d’une discussion approfondie, il a soumis au calcul la plu- 
part des conditions physiques que ses prédécesseurs avaient 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. Ixxxix 


omises. Dans la question déja si complexe de la forme et 
du mouvement de rotation de la terre, il a considéré l'effet 
de la présence des eaux distribuées entre les terres conti- 
nentales, la compression des couches intérieures, la dimi- 
nution séculaire des dimensions du globe. 

Dans cet ensemble de recherches, on doit remarquer 
surtout celles qui se rapportent à la stabilité des grands 
phénomènes : aucun objet n’est plus digne de la méditation 
des philosophes. Ainsi l'on a reconnu que les causes, ou 
fortuites , ou constantes, qui troublent l’équilibre des mers, 
sont assujetties à des limites qui ne peuvent être franchies. 
La pesanteur spécifique des eaux étant beaucoup moindre 
que celle de la terre solide , il en résulte que les oscillations 
de l'Océan sont toujours comprises entre des limites fort 
étroites; ce qui n’arriverait point si le liquide répandu sur 
ie globe était beaucoup plus pesant. En général , la nature 
tient en réserve des forces conservatrices et toujours pré- 
sentes, qui agissent aussitôt que le trouble commence, et 
d'autant plus que l’aberration est plus grande. Elles ne tar- 
dent point à rétablir l’ordre accoutumé. On trouve dans 
toutes les parties de l'univers cette puissance préservatrice. 
La forme des grandes orbites planétaires, leurs inclinai- 
sons, varient et s’altèrent dans le cours des siècles; mais ces 
changements sont limités. Les dimensions principales 
subsistent, et cet immense assemblage des corps célestes 
oscille autour d’un état moyen vers lequel il est toujours 
ramené. Tout est disposé pour l'ordre, la perpétuité et 
l'harmonie. 


Dans l’état primitif et liquide du globe terrestre, les ma- 
M2 


le ÉLOGE HISTORIQUE 


tières les plus pesantes se sont rapprochées du centre; et 
cette condition a déterminé la stabilité des mers. 

Quelle que puisse être la cause physique de la forma- 
tion des planètes, elle a imprimé à tous ces corps un mou- 
vement de projection dans un même sens autour d’un globe 
immense : par là le système solaire est devenu stable. Le 
mème effet se produit dans le système des satellites et des 
anneaux. L'ordre y est maintenu par la puissance de la 
masse centrale. Ce n’est donc point, comme Newton lui- 
même et Euler l'avaient soupçonné, une force adventice 
qui doit un jour réparer ou prévenir le trouble que le 
temps aurait causé. C’est la loi elle-même de la gravitation 
qui règle tout, qui suffit à tout, et maintient la variété et 
l'ordre. Émanée une seule fois de la sagesse suprême, elle 
préside depuis l'origine des temps, et rend tout désordre 
impossible. Newton et Euler ne connaissaient point encore 
toutes les perfections de l'univers. 

En général , toutes les fois qu'il s’est élevé quelque doute 
sur l'exactitude de la loi neutonienne, et que, pour expli- 
quer les irrégularités apparentes, on a proposé l'accession 
d'une cause étrangère, il est toujours arrivé, après un 
examen approfondi, que la loi primordiale a été vérifiée. 
Elle explique aujourd’hui tous les phénomènes connus. 
Plus les observations sont précises, plus elles sont con- 
formes à la théorie. Laplace est de tous les géomètres celui 
qui à le plus approfondi ces grandes questions; il les a, 
Pour ainsi dire, terminées. 

On ne peut pas affirmer qu'il lui eût été donné de 
créer une science entièrement nouvelle, comme l'ont 
fait Archimède et Galilée; de donner aux doctrines ma- 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. lcj 


thématiques des principes originaux, et d'une étendue 
immense, comme Descartes, Newton et Leibnitz; ou, 
comme Newton, de transporter le premier dans les cieux, 
et d'étendre à tout l'univers la dynamique terrestre de 
Galilée : mais Laplace était né pour tout perfectionner : 
pour tout approfondir, pour reculer toutes les limites, 
pour résoudre ce que l’on aürait pu croire insoluble. Il aurait 
achevé la science du ciel, si cette science pouvait être 
achevée. 

On retrouve ce même caractère dans ses recherches sur 
l'analyse des probabilités, science toute moderne, im- 
mense, dont l’objet, souvent méconnu, a donné lieu aux 
interprétations les plus fausses, mais dont les applications 
embrasseront un jour tout le champ des connaissances 
humaines, heureux supplément à l'imperfection de notre 
nature. 

Cet art est né d’un seul trait du génie clair et fécond . 
de Pascal; il a été cultivé, dès son origine, par Fermat et 
Huygens. Un géomètre philosophe, Jacques Bernoulli, en 
fut le principal fondateur. Une découverte singulièrement 
heureuse de Stirling , les recherches d’Euler, et surtout une 
application ingénieuse et importante due à Lagrange, ont 
perfectionné cette doctrine; elle a été éclairée par les ob- 
jections mêmes de d’Alembert et par les vues philosophi- 
ques de Condorcet : Laplace en a réuni et fixé les principes. 
Alors elle est devenue une science nouvelle, soumise à une 
seule méthode analytique, et d’une étendue prodigieuse. 
Féconde en applications usuelles, elle éclairera un jour d’une 
vive lumière toutes les branches de la philosophie naturelle. 
S'il nous est permis d'exprimer ici une opinion person- 


cli] ÉLOGE HISTORIQUE 


nelle, nous ajouterons que la solution d’une des questions 
principales, celle que l’'illustre auteur a traitée dans le 
dixième chapitre de son ouvrage, ne nous paraît point 
exacte; et toutefois considéré dans son ensemble, cet ou- 
vrage est an des monuments les plus précieux de son génie. 

Après avoir cité des découvertes aussi éclatantes , il serait 
inutile d’ajouter que M. Laplace appartenait à toutes les 
grandes académies de l'Europe. 

Je pourrais aussi, je devrais peut-être, rappeler les 
hautes dignités politiques dont il fut revêtu; mais cette 
énumération n’appartiendrait qu'indirectement. à l’objet de 
ce discours. C'est le grand géomètre dont nous célébrons 
la mémoire. Nous avons séparé l’immortel auteur de la 
Mécanique céleste de tous les faits accidentels qui n’inté- 
ressent ni sa gloire ni son génie. En effet, Messieurs, qu'im- 
porte à la postérité, qui aura tant d’autres détails à oublier, 
d'apprendre ou non que Laplace fut quelques instants mi- 
aistre d'un grand état ? Ce qui importe, ce sont les vérités 
éternelles qu'il a découvertes; ce sont les lois immuables 
de la stabilité du monde, et non le rang qu'il occupa 
quelques années dans le sénat appelé conservateur. Ce qui 
importe, Messieurs, et plus encore peut-être que ses dé- 
couvertes, ce sont les exemples qu'il laisse à tous ceux à 
qui les sciences sont chères; c’est le souvenir de cette per- 
sévérance incomparable qui a soutenu, dirigé, couronné 
tant de glorisux efforts. 

J'omettrai donc des circonstances accidentelles, et, pour 
ainsi dire, fortuites, des particularités qui n'ont aucun 
rapport avec la perfection de ses ouvrages. Mais je dirai 
que, dans le premier corps de l’état, la mémoire de Laplace 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. cliij 


fut célébrée par une voix éloquente et amie, que d’impor- 
tants services rendus aux sciences historiques, aux lettres 
et à l'état, avaient depuis long-temps illustrée (1). 

Je rappellerai surtout cette solennité littéraire qui attira 
l'attention de la capitale. L'Académie française, réunissant 
ses suffrages aux acclamations de la patrie, jugea qu'elle 
acquerrait une gloire nouvelle, en couronnant (2) les triom- 
phes de l'éloquence et de la vertu politique. 

En même temps, elle choisit, pour répondre au succes- 
seur de Laplace, un académicien illustre (3) à plus d’un 
titre, qui réunit, dans la littérature, dans l'histoire, dans 
l'administration publique, tous les genres de supériorité. 

Laplace a joui d'un avantage que la fortune n’accorde 
pas toujours aux grands hommes. Dès sa première jeunesse, 
il a été dignement apprécié par des amis illustres. Nous 
avons sous les yeux des lettres encore inédites qui nous 
apprennent tout le zèle que mit d’Alembert à l’introduire 
à l'École militaire de F rance, et à lui préparer, si cela eût 
été nécessaire, un meilleur établissement à Berlin. Le pré- 
sident Bochard de Saron fit imprimer ses premiers ou- 
vrages. Tous les témoignages d'amitié qui lui ont été 
donnés rappellent de grands travaux et de grandes décou- 
vertes; mais rien ne pouvait contribuer davantage aux 
progrès de toutes les connaissances physiques, que ses 
relations avec l'illustre Lavoisier, dont le nom, consacré 


(x) M. le marquis de Pastoret. 
(2) M. Royer-Collard. 
(3) M. le comte Daru. 


cliv ÉLOGE HISTORIQUE 


par l’histoire des sciences, est devenu un éternel objet de 
respects et de douleur. 

Ces deux hommes célèbres réunirent leurs efforts. Ils 
entreprirent et achevèrent des recherches fort étendues 
pour mesurer l’un des éléments les plus importants de la 
théorie physique de la chaleur. Ils firent aussi, vers: ce 
même temps, une longue série d'expériences sur les dila- 
tations des substances solides. Les ouvrages de Newton font 
assez connaître tout le prix que ce grand géomètre atta- 
chait à l'étude spéciale des sciences physiques. Laplace est 
de tous ses successeurs celui qui a fait le plus d'usage de 
sa méthode expérimentale; il fut presque aussi grand physi- 
cien que grand géomètre. Ses recherches sur les réfrac- 
tions, sur les effets capillaires , les mesures barométriques , 
les propriétés statiques de l'électricité, la vitesse du son, 
les actions moléculaires, les propriétés des gaz, attestent 
que rien, dans l’investigation de la nature, ne pouvait lui 
être étranger. Il désirait surtout la perfection des instru- 
ments; il fit construire à ses frais, par un célebre artiste, 
un instrument d'astronomie très-précieux, et le donna à 
l'Observatoire de France. 

Tous les genres de phénomènes lui étaient parfaitement 
connus. Îl était lié par une ancienne amitié avec deux 
physiciens célèbres, dont les découvertes ont éclairé tous 
les arts et toutes les théories chimiques. L'histoire unira 
les noms de Berthollet et de Chaptal à celui de Laplace. 
Il se plaisait à les réunir, et leurs entretiens ont toujours 
eu pour but et pour résultat l’accroissement des connais- 
sances les plus importantes et les plus difficiles à acquérir. 

Les jardins de Berthollet à sa maison d’Arcueil n'étaient 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. XCVi] 


point séparés de ceux de Laplace. De grands souvenirs, de 
grands regrets, ont illustrés cette enceinte. C'est la que 
Laplace recevait des étrangers célèbres, des hommes puis- 
sants, dont la science avait recu ou espérait quelques bien- 
faits, mais surtout ceux qu'un zèle sincère attachait au 
sanctuaire des sciences. Les uns commençaient leur car- 
rière , les autres devaient bientôt la finir. Il les entretenait 
tous avec une extrême politesse. Il la portait même si loin, 
qu'il aurait donné lieu de croire à ceux qui ne connais- 
saient point encore toute l'étendue de son génie, qu'il 
pouvait lui-même retirer quelque fruit de leurs entretiens. 

En citant les ouvräges mathématiques de Laplace, nous 
avons dù surtout faire remarquer la profondeur des re- 
cherches et l'importance des découvertes. Ses ouvrages se 
distinguent encore par un autre caractère que tous les lec- 
teurs ont apprécié. Je veux parler du mérite littéraire de 
ses compositions. Celle qui porte le titre de Système du 
monde est remarquable par l’élégante simplicité du dis- 
cours et la pureté du langage. Il n’y avait point encore 
d'exemple de ce genre de productions; mais on s'en forme- 
rait une idée bien inexacte, si l'on pensait que l'on peut 
acquérir la connaissance des phénomènes du ciel dans de 
semblables écrits. La suppression des signes propres à la 
langue du calcul ne peut pas contribuer à la clarté, et 
rendre la lecture plus facile. L'ouvrage est une exposition 
parfaitement régulière des résultats d’une étude appro- 
fondie : c'est un résumé ingénieux des découvertes princi- 
pales. La précision du style, le choix des méthodes, la 
grandeur du sujet, donnent un intérêt singulier à ce vaste 
tableau; mais son utilité réelle est de rappeler aux géo- 

T. X. Hist. 1827. N 


XCvii] ÉLOGE HISTORIQUE 


mètres les théorèmes dont la démonstration leur était déja 
connue, C'est, à proprement parler, une table de matières 
d’un traité mathématique. 

Les ouvrages purement historiques de Laplace ont un 
autre objet. 

Il y présente aux géomètres avec un talent admirable la 
marche de l'esprit humain dans l'invention des sciences. 

Les théories les plus abstraites ont, en effet, une beauté 
d'expression qui leur est propre : c’est ce que l’on re- 
marque dans plusieurs traités de Descartes, dans quelques 
pages de Galilée, de Newton et de Lagrange. La nou- 
veauté des vues, l'élévation des pensées , leurs rapports 
avec les grands objets de la nature attachent et remplis- 
sent l'esprit. Il suffit que le style soit pur et d’une noble 
simplicité : c'est ce genre de littérature que Laplace a 
choisi ; et ilest certain qu'il s’y est placé dans les premiers 
rangs. S'il écrit l’histoire des grandes découvertes astro- 
nomiques, il devient un modele d'élégance et de précision. 
Aucun trait principal ne lui échappe; l'expression n'est 
jamais ni obscure ni ambitieuse. Tout ce qu'il appelle 
grand est grand en effet; tout ce qu'il omet ne méritait 
point d’être cité 

M. Laplace a conservé dans un âge tres-avancé cette 
mémoire extraordinaire qui l'avait fait remarquer dès ses 
premieres années; don précieux qui n’est pas le génie, 
mais qui lui sert pour acquérir et pour conserver. Il n'a 
point cultivé les beaux-arts ; mais il les appréciait. Il aimait 
la musique de l'Italie et les vers de Racine, et il se plaisait 
souvent à citer de mémoire divers passages de ce grand 
potte. Les compositions de Raphaël ornaient ses apparte- 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. CXIX 


ments. On les trouvait à côté des portraits de Descartes, 
de François Viète, de Newton, de Galilée et d'Euler. 

Laplace avait toujours eu l'habitude d’une nourriture 
très-légère : il en diminua de plus en pius et excessivement 
la quantité. Sa vue, très-délicate exigeait des précautions 
continuelles; il parvint à la conserver sans aucune alté- 
ration. Ces soins de lui-même n'ont jamais eu qu'un seul 
but, celui de réserver tout son temps et toutes ses forces 
pour les travaux de l'esprit. 11 a vécu pour les sciences : 
les sciences ont rendu sa mémoire éternelle. 

Il avait contracté l'habitude d’une excessive contention 
d'esprit, si nuisible à la santé, si nécessaire aux études 
profondes; et cependant il n’éprouva quelque affaiblisse- 
ment sensible que dans les deux dernières années. 

Au commencement de la maladie à laquelle il a suc- 
combé, on remarqua avec effroi un instant de délire. Les 
sciences l’occupaient encore. Il parlait avec une ardeur 
inaccoutumée du mouvement des astres, et ensuite d’une 
expérience de physique qu'il disait être capitale, annon- 
Gant aux personnes qu'il croyait présentes qu'il irait bien- 
tôt entretenir l'Académie de ces questions. Ses forces 
l'abandonnèrent de plus en plus. Son médecin (1), qui mé- 
ritait toute sa confiance par des talents supérieurs et par 
des soins que l'amitié seule peut inspirer, veillait auprès 
de son lit. M. Bouvard, son collaborateur et son ami, ne 
l'a pas quitté un seul instant. 

Entouré d’une famille chérie, sous les yeux d'une 
épouse dont la tendresse l'avait aidé à supporter les peines 


(1) M. Magendie. 
N 2 


c ÉLOGE HISTORIQUE 


inséparables de la vie, dont l'aménité et les graces lui 
avaient fait connaître le prix du bonheur domestique, il 
a recu de M. le marquis de Laplace son fils les témoi- 
gnages empressés de la piété la plus touchante. 

Il se montra pénétré de reconnaissance pour les mar- 
ques réitérées d'intérêt que lui donnèrent le Roi et Mon- 
sieur le Dauphin. 

Les personnes qui ont assisté à ses derniers instants lui 
rappelaient les titres de sa gloire, et ses plus éclatantes 
découvertes. Il répondit : « Ce que nous connaissons est 
peu de chose, ce que nous ignorons est immense. » C'est 
du moins, autant qu'on l’a pu saisir, le sens de ses der- 
nieres paroles à peine articulées. Au reste, nous l'avons 
entendu souvent exprimer cette pensée, et presque dans 
les inèmes termes. Il s’éteignit sans douleur. 

Son heure suprême était arrivée : le génie puissant qui 
l'avait long-temps animé, se sépara de l'enveloppe mor- 
telle, et retourna vers les cieux. 

Le nom de Laplace honore une de nos provinces déja 
si féconde en grands hommes, l’ancienne Normandie. Il 
est né le 23 mars 1749; il a succombé, dans la 78" année 
de son âge, le 5 mai 1827, à neuf heures du matin. 

Vous rappellerai-jie, Messieurs, la sombre tristesse qui 
se répandit dans ce palais comme un nuage, lorsque la 
nouvelle fatale vous fut annoncée. C'était le jour et l'heure 
méme de vos séances accoutumées ? Chacun de vous gardait 
un morne silence; chacun ressentait le coup funeste dont 
les sciences venaient d’être frappées. Tous les regards se 
portaient sur cette place qu'il avait si long-temps occupée 
parmi vous. Une seule pensée vous était présente; toute 


DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. C] 


autre méditation était devenue impossible. Vous vous sé- 
parâtes par l'effet d’une résolution unarime, et cette seule 
fois vos travaux habituels furent interrompus. 

Il est beau sans doute, il est glorieux, il est digne d’une 
nation puissante de décerner des honneurs éclatants à la 
mémoire de ses hommes célèbres. Dans la patrie de New- 
ton, les chefs de l’état ont voulu que les restes mortels de 
ce grand homme fussent solennellement déposés parmi les 
tombes royales. La France et l’Europe ont offert à la mé- 
moire de Laplace une expression de leurs regrets moins 
fastueuse sans doute, mais peut-être plus touchante et plus 
vraie. 

Il a recu un hommage inaccoutumé; il l’a recu des siens 
dans le sein d’une compagnie savante qui pouvait seule 
apprécier tout son génie. La voix des sciences éplorées 
s’est fait entendre dans tous les lieux du monde où la phi- 
losophie a pénétré. Nous avons sous les yeux des corres- 
pondances multipliées de toutes les parties de l'Allemagne, 
de l'Angleterre, de l'Italie, de la Nouvelle-Hollande, des 
possessions anglaises dans l'Inde, des deux Amériques; 
et nous y trouvons ces mêmes sentiments d’admiration et 
de regrets. Certainement ce deuil universel des sciences si 
noblement et si librement exprimé, n’a pas moins de vérité 
et d'éclat que la pompe sépulcrale de Westminster. 

Qu'il me soit permis, avant de terminer ce discours, de 
reproduire ici une réflexion qui se présentait d'elle-même, 
lorsque j'ai rappelé dans cette enceinte les grandes décou- 
vertes d'Herschel, mais qui s'applique plus directement 
encore à celles de Laplace. 

Vos successeurs, messieurs, verront s'accomplir les 


Ci]  ÉLOGE HISTORIQUE DE M. LE MARQUIS DE LAPLACE. 


grands phénomènes dont il a découvert les lois. Ils obser- 
veront dans les mouvements lunaires les changements qu'il 
a prédits et dont lui seul a pu assigner la cause. L'observa- 
tion continuelle des satellites de Jupiter perpetuera la mé- 
moire de l'inventeur des théorèmes qui en règlent le cours. 
Les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, pour- 
suivant leurs longues périodes, et donnant à ces astres des 
situations nouvelles, rappelleront sans cesse une de ses 
plus étonnantes découvertes. Voilà des titres d’une gloire 
véritable, que rien ne peut anéantir. Le spectacle du ciel 
sera changé; mais à ces époques reculées, la gloire de l'in- 
venteur subsistera toujours : les traces de son génie portent 
le sceau de l’immortalité, 

Je vous ai présenté, Messieurs , quelques traits d’une vie 
illustre consacrée à la gloire des sciences : puissent vos 
souvenirs suppléer à d'aussi faibles accents ! Que la voix 
de là patrie, que celle de l'humanité tout entière, s'élèvent 
pour célébrer les bienfaiteurs des nations, seul hommage 
digne de ceux qui ont pu, comme Laplace, agrandir le 
domaine de la pensée, et attester à l’homme la dignité de 
son être, en dévoilant à nos regards toute la majesté des 
cieux | 


HISTOIRE 


DE 


L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT DE FRANCE. 


ANALYSE 


Des Travaux de l'Académie royale des Sciences, 
pendant l'année 1827. 


PARTIE PHYSIQUE. 


Par M. LE Baron CUVIER, SECRÉTAIRE PERPÉTUEL. 


s@cscessreisce 


MÉTÉOROLOGIE. 


ML Mona De Jonnis a communiqué à l’Académie la notice 
des tremblements de terre qui ont eu lieu aux Antilles en 
1827. Il en a donné la date précise, qui peut jeter quelque 
lumière sur la direction des commotions souterraines et 
sur la rapidité de leur propagation. 

Le premier de ces tremblements de terre s’est fait sentir 
à la Martinique le 3 juin, à 2 heures du matin. 


civ HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


Le second, le 24 juillet, à 5 heures 45 minutes apres 
midi : ces deux secousses ont été très-fortes. 

Le troisieme, le dimanche 5 août, à 10" 30° du matin. 

Le quatrième, le 25 septembre, à 5° 30’ du matin. 

Le cinquième, le 27 du même mois, à 4" 30° du matin. 

Le sixième, le 2 octobre, à 4° apres midi. 

Le septième, le 30 novembre, à 2° 45° du matin. 

Le huitième, le 1°" décembre, à 10" du matin. 

Le neuvième, le même jour, à 5" 15' après midi. 

Et enfin le dixième, le 8 décembre, à 5" 20° du matin. 

La plupart de ces tremblements de terre n'ont été que 
des mouvements ondulatoires et lents dont il n’est résulte 
aucun événement fâcheux; mais celui du 30 novembre, avant 
le jour, a été singulièrement violent et prolongé: la moindre 
estimation de sa durée la porte à 5o secondes, et l’on assure 
qu'on n’en a point éprouvé d'aussi fort et d'aussi long de- 
puis près d’un siècle, Il n’a fait cependant qu'ébranler et lé- 
zarder quelques édifices, et les accidents qui ont eu lieu 
doivent être attribués seulement à l’effroi qu'il a causé, et 
qui a fait abandonner les maisons avec trop de précipitation. 
Des lettres de la Guadeloupe ont fait connaître que ce trem- 
blement de terre s’est'étendu à la Grande-Terre, l’une des 
deux îles de cette colonie, située à environ 4o lieues au 
nord-ouest de la Martinique; il s'y est fait sentir avec une 
violence non moins grande, mais quelques minutes plus tard 
qu'au Fort-Royal. La Martinique est de formation volcani- 
que, tandis que la Grande-Terre de la Guadeloupe est de 
formation calcaire. 

L'opinion commune aux Antilles, que ces commotions du 
sol sont des phénomènes liés par leurs causes à l’état de l’at- 


PARTIE PHYSIQUE. Cv 


mosphère, s'est appuyée de nouveaux indices. On a remar- 
que que la pluie a commencé à tomber immédiatement après 
que la terre a tremblé; et l’on a si constamment observé 
cette coïncidence singulière, que plusieurs personnes incli- 
nent à ne point l’attribuer au hasard. 

On a appris postérieurement que des tremblements de terre 
désastreux ont eu lieu, pendant novembre dernier, dans la 
montagne de Quindiu, à la Nouvelle-Grenade; et que le 16 
de ce mois, à 6" 15’ du soir, une partie de la ville de Santa- 
Fé-de-Bogota a été renversée, par une suite de violentes se- 
cousses qui se sont prolongées durant 24 heures. 


CHIMIE. 


Une loi dela composition' des corps, qui a été entrevue de- 
puis long-temps dans la classe des acides et des alcalis, confir- 
mée parRichter et généralisée depuis par M M.Wollaston, Guy- 
Lussacet d’autres chimistes,c'est que les quantités pondérables 
dans lesquelles deux substances entrent en combinaison, con- 
servent , dans toutes les combinaisons qu’elles peuvent former 
avec une même masse de toute autre substance, un rapport 
constant, ou dont les variations, lorsqu'il en éprouve, sont 
des multiples ou des sous-multiples de l'une de ses valeurs; 
et nous avons vu, dans notre analyse de 1819, à quelle pré- 
cision M. ne a porté la table de ces rapports. Elle est 
telle que l’on peut aujourd’hui l'employer à la vérification 
des paies qui comportent le plus de chances d'erreurs , et 
qu'elle sert à prédire même la proportion des combinaisons 
qui n’ont pas encore été réalisées. Une conséquence néces- 
saire de ces faits, dans le système de la philosophie corpus- 

T. X. Hist. 1827. O 


cv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


culaire, c'est que les matières ectrent en combinaison par 
des nombres déterminées de molécules de chacune d'elles : or 
est même allé plus loin, et l'on a cherché à fixer ce nombre 
pour chaque substance dans chacune des combinaisons où 
elle peut entrer. Mais ici un mélange d'hypothèse a été in- 
évitable, ou plutôt on a dù s'arrêter à un certain point, à ce- 
lui qui est nécessaire pour rendre compte des combinaisons 
connues ; et quelquefois il arrive que la découverte de com- 
binaisons nouvelles, où des substances entrent dans des pro- 
portions moins simples que celles que l'on connaissait, oblige 
de subdiviser par la pensée les molécules hypothétiques 
qu'on leur avait attribuées. Dans les substances que nous pou- 
vons observer à l'état gazeux, et où nous pouvons détermi- 
ner les proportions par les volumes qui sont toujours faciles 
à mesurer, les résultats laissent beaucoup moins d’incerti- 
tude que dans les combinaisons des substances fixes; mais 
l'on a du moins l’avantage d'appliquer cette méthode à celles 
de ces dernières substances qui passent à l'état gazeux par 
l'effet de la combinaison, et ces substances sont en assez 
grand nombre. 

M. Dumas, jeune chimiste déja connu par des travaux in- 
téressants sur diverses branches des sciences naturelles, s’est 
occupé de ce genre de recherches. Toutes les fois que l'on 
combine deux gaz, la combinaison éprouve une contraction, 
et le volume qui en résulte est lui-même dans un rapport 
constant avec ceux des gaz combinés. Si l'on pouvait donc 
déterminer exactement la densité d'une combinaison binaire 
gazeuse où entrent une substance fixe et celle de son élément : 
élastique, il resterait peu d'incertitude sur la densité de la 
vapeur qui en constitue l’autre élément, et qui est provenue 


PARTIE PHYSIQUE. cvi 


de la substance fixe. C'est de ce fait que M. Dumas est parti; 
mais, pour l'appliquer, il a été obligé de supposer que la con- 
traction est semblable à celle qu'éprouve l’ammouiaque lors de 
sa formation, ce qui introduit aussi dans sa méthode un prin- 
cipe hypothétique. Il a d’ailleurs, par un moyen ingénieux et 
simple, imaginé de constater directement la densité des divers 
fluides élastiques à une température et sous une pression don- 
nées, base nécessaire et préalable de tout son travail. L’exac- 
titude de ce moyen a été confirmée par un essai qu'il en a 
fait sur la densité de la vapeur d’iode, et qui lui a donné un 
nombre peu différent de celui qui avait été déduit d'analyses 
trés-exactes. La densité de la vapeur du mercure, si utile à 
connaître pour un grand nombre d'opérations, a été déter- 
minée également avec beaucoup de soin, ainsi que celles de 
l'hydrogène phosphoré au maximum et au minimum, de l'hy- 
drogène arseniqué, des acides fluo-silicique et fluo-borique, 
et du chlorure de bore; et l’auteur s’est occupé ensuite de 
l'application de sa méthode aux substances fixes qui entrent 
dans ces combinaisons gazeuses. L'examen de l'hydrogène : 
proto-phosphoré et du proto-chlorure de phosphore lui a 
donné pour le phosphore le résultat qu'il cherchait; il l’a ob- 
tenu pour l’arsenic, au moyen de l'hydrogène arseniqué et 
du proto-chlorure d'arsenic. Il a examiné dans les mêmes 
vues les chlorures de silicium, d’étain et de titane, et les ré- 
sultats qu’il a obtenus sur le nombre et le poids relatifs des 
atomes de chaque substance sont exprimés en chiffres, dans 
lesquels des hypothèses différentes de celles dont il est parti 
ne produiraient que des multiplications ou des divisions, et 
qui offrent toujours par conséquent un élément permanent. 


Tout en poursuivant l’objet principal deses recherches, M. Du- 
O2 


ovii] HISTOIRE DE L'ACADÉNMIE, 


mas a eu occasion de faire des observations importantes sur 
la préparation, les propriétés physiques et la composition 
de plusieurs combinaisons connues. 

Ainsi il a fait voir que la composition du gaz hydrogène 
arseniqué, privé du gaz hydrogène qui s'y trouve mêlé en 
proportion variable, est la même que celle du gaz hydrogène 
proto-phosphoré, sur lequel il a publié antérieurement des 
observations importantes. 

Il indique un nouveau moyen de préparer le chlorure de 
bore, découvert par M. Berzelius, et un chlorure de titane 
volatil, qui n'avait point encore été observé. 

Enfin, il annonce la découverte d’un chlorure gazeux de 
manganèse correspondant à l'acide manganésique; mais il 
se propose de revenir sur cette combinaison dans un autre 
Mémoire. 


Nous avons annonce, dans notre analyse de l’année der- 
nière , la découverte que M. Balard a faite du brome, sub- 
stance d’une grande analogie avec le chlore et avec l’iode, et 
qui forme avec les autres corps des combinaisons fort sem- 
blables. 

M. SÉRULLAS s’est particulièrement attaché à l'étude de ces 
combinaisons. Il a obtenu successivement un éther hydro- 
bromique; un cyauure de brome ; des bromures d’arsenic, 
d’antimoine et de bismuth, et un oxibromure d’arsenic. L’é- 
ther hydro-bromique se rapproche singulièrement de l'éther 
hydriodique : c'est un liquide plus pesant que l’eau, d’une 
odeur forte, tres-soluble dans l’alcohol, dont il est précipité 
par l’eau. Le cyanure de brome n’a pas moins de ressem- 


PARTIE PHYSIQUE. cix 


blance avec le cyanure d'iode : il cristallise en aiguilles lon- 
gues et déliées, d'une grande volatilité, d’une odeur très- 
piquante, et d'uneaction si forte sur l’économie animale, qu'un 
grain dissous dans un peu d’eau suffit pour tuer un lapin. 

La décomposition du bromure d’arsenic par l’eau a prin- 
cipalement fixé l'attention de M. Sérullas. Employée en quan- 
üité suffisante, l’eau réduit ce bromure en acide arsenieux 
et en acide hydro-bromique ; lorsqu'il y a moins d’eau, il 
se précipite une poudre, qui donne à la distillation, de l’eau, 
de l'acide arsenieux et du bromate d’arsenic, et qui paraît 
à l’auteur un sous-bromate d’arsenic. 

Le bromure de sélénium s'opère aisément quand on rap- 
proche quatre parties de la première substance avec une de 
la seconde dans un grand état de division ; au moment de 
leur union, il se dégage de la chaleur; un léger bruit se fait 
entendre. Ce bromure a l'odeur du chlorure de soufre; il se 
volatilise à une grande chaleur; il se dissout dans l'eau, mais 
en passant à l’état d'acide hydro-bromique et d'acide sélé- 
nique. 

Le même chimiste s’est occupé des propriétés d’une com- 
binaison que Berthollet, qui en a parlé le premier, avait 
nommée acide prussique oxigéne, mais que, d'apres la nou- 
velle théorie qui a reconnu des substances acidifiantes au- 
tres que l’oxygène, et qui a donné au chlore le premier rang 
dans cette classe de corps, M. Gay-Lussac a dû nommer 
acide chloro-cyanique. 

Il résulte du travail de M. SéruzLas une connaissance plus 
exacte des propriétés de cette combinaison et des moyens de 
l'obtenir avec pureté, ainsi que des notions plus approfondies 
touchant l’action du chlore sur l'acide hydro-cyanique et su 


cx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


le cyanure de mercure. Pour l'obtenir, on introduit quel- 
ques grammes de cyanure de mercure délayés avec de l’eau 
dans un flacon rempli de chlore; on le laisse 10 à 12 heures 
dans l’obscurité : le chlore se partage alors, et forme d’une 
part du bichlorure de mercure, et de l’autre la combinaison 
que l’on désire. En plongeant ïe flacon dans un mélange 
frigorifique à 18° au-dessous de o, cette matière cristallise sur 
les parois. Du chlorure de calcium, introduit dans le vase, 
s'y empare de l’eau; au bout de % jours, on refroidit de nou- 
veau le flacon, et on le débouche sous du mercure également 
refroidi, qui le remplit aussitôt : on y ajuste alors un tube 
qui va s'ouvrir sous une cloche pleine de mercure; et l’ap- 
pareil reprenant la température de l'atmosphère, la combi- 
naison obtenue se fond et s’évapore, et va remplir la cloche. 

Une première propriété observée par M. Sérullas, c’est 
qu'a l'état de pureté, elle ne rougit point la teinture de tour- 
“esol, et ne peut être considérée comme un acide : aussi la 
nomme-t-il chlorure de cyanogene, dénomination à laquelle 
les commissaires de l’Académie préfèrent celle de cyanure 
de chlore. Elle cristallise à 18° au-dessous de o, et se fond 
à 15 ou à 12. Sous une pression quadruple de celle de l'at- 
mosphère, elle conserve sa liquidité jusqu’à 20° au-dessous 
de 0. Son action sur les animaux est des plus délétères. 

Si, au lieu de tenir à l'obscurité et au froid le flacon rem- 
pli de chlore où l'on a mis du cyanure de mercure, on l’ex- 
pose au soleil, il se produit un liquide jaune plus pesant que 
la solution du bichlorure de mercure produite en même 
temps, et que l’on peut en séparer aisément. Ce liquide ne 
se dissout point dans l’eau, ne précipite point le nitrate d’ar- 
gent, et ne rougit point le tournesol : il est tres-soluble 
dans l’alcohol. 


PARTIE PHYSIQUE. Cx] 
D'après sa décomposition par le temps, et ce qui arrive 
quand on le distille sur un mélange de craie et de chlorure 
de calcium, M. Sérullas le regarde ou comme un mélange 
tres-intime de proto-chlorure de carbone et de chlorure d’a- 
zote, Où comme un proto-cyanure de chlore. C’est cette der- 
nière idée qui a paru la plus vraisemblable aux commissaires 
de l'Académie. 


Ea théorie nouvelle dont nous venons de parler, et qui 
place le chlore, l'iode, le fluor, le brome et le soufre comme 
l'oxygène, dans la classe des substances électro-négatives qui 
peuvent produire des combinaisons analogues aux acides, 
et jouant le même rôle dans les combinaisons. ultérieures , 
et la classification que l'on a faite en général de toutes les 
substances d'apres leur électricité relative, ont conduit à re- 
connaître et à examiner une foule de composés dont on n’a- 
vait point d'idée auparavant, et à enrichir la chimie d’une 
foule prodigieuse de faits aussi nouveaux qu'importants. Ceux 
de ces composés qui se forment de deux combinaisons bi- 
naires, et sont par conséquent analogues aux sels proprement 
dits, ont dù fixer de préférence l'attention des chimistes; et 
tels sont surtout ceux qui résultent de l'union de lhydro- 
gène sulfuré avec les sulfures métalliques, que M. Gay-Lus- 
sac a considérés comme des sels auxquels ce sulfure métallique 
üendrait lieu de base : tels sont encore les doubles sulfures, 
les doubles cyanures, les doubles chlorures. Il arrive aussi 
que le sulfure, le chlorure d’un métal s’unit à l’oxide du 
même métal, d’où il résulte encore une longue série de pro- 
duits analogues aux précédents. 


Cxi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


M. Polydore BouLzay a essayé de faire sur les combinai- 
sons de l'iode ce qui avait déja été opéré sur celles du soufre 
et du chlore; et il a reconnu que les iodures métalliques, 
d’après leur position relative dans l'échelle électrique, jouent 
les unes le rôle d'acide, les autres celui de base, et que les 
premiers s'unissent aux seconds de manière à produire des 
espèces de sels; que l'acide hydriodique peut s'unir à des 
iodures métalliques, comme l'acide hydro-sulfurique à des 
sulfures ; que les iodures et les chlorures peuvent se combi- 
ner les uns aux autres, mais en des composés peu stables, et 
que les diverses combinaisons peuvent avoir lieu en des pro- 
portions différentes, mais toujours définies; le bi-iodure de 
mercure, par exemple, se combine en trois proportions avec 
les iodures alcalins, et ses trois composés peuvent se repré- 
senter par un atome d'iodure alcalin avec 1, 2, 3 atomes de 
bi-iodure de mercure faisant fonction d'acide. 


On sait depuis long-temps que de l'acide sulfurique, chauffé 
avec un poids égal d’alcohol, donne naissance à divers pro- 
duits, dont les plus anciennement connus sont : l'éfher et 
l'huile douce du vin. 

Depuis long-temps MM. Fourcroy et Vauquelin avaient 
pensé que, dans cette opération, l'acide sulfurique réagit sur 
l'alcohol, contraint une partie de son hydrogène et de son oxi- 
gene à se combiner pour former de l’eau qui s'incorpore à 
l'acide, et qu'il reste ainsi un composé où le carbone est dans 
une proportion plus forte que dans l’alcohol, et qui est l'éther. 
En eftet, les expériences de MM. Théodore de Saussure et 
Gay-Lussac ont constaté qu'un volume de vapeur d’alcohol 


PARTIE PHYSIQUE. cxii] 


est représenté par un volume de vapeur d’eau et un volume 
d'hydrogène bicarboné; tandis qu’un volume d'éther l’est par 
un volume de vapeur d’eau et deux volumes d’hydrogène 
bicarboné. Néanmoins la découverte faite par M. Davy, et 
confirmée par MM. Sertürner, Gay-Lussac et Vogel, que, 
dans l’opération par laquelle on fait l'éther, il se dégage aussi 
un acide particulier que l’on a nommé sulfo-vinique, exigeait 
d’être prise en considération; et il devenait nécessaire de 
connaître les éléments de cet acide, et même d'examiner 
ceux de l'huile douce du vin, sur lesquels on n'avait pas fait 
encore des recherches assez exactes. 

M. Hennell a entrepris ce travail en Angleterre, et MM. Du- 
mas et Polydore Bourray s’en sont occupés, de leur côté, à 
Paris. 

Ces deux derniers chimistes ont constaté l’exactitude des 
analyses antérieures de l'éther; ils ont trouvé l’huile douce 
du vin formée de quatre volumes de carbone et de trois 
d'hydrogène; ils ont déterminé la composition élémentaire 
de l'acide sulfo-vinique , en faisant l'analyse des sulfo-vinates 
de baryte et de deutoxide de cuivre, et celle du bisulfo-vi- 
nate de plomb. Leurs expériences les ont conduits à recon- 
naître que l'acide sulfo-vinique est composé d'un atome 
d'acide hyposulfurique contre deux atomes d’huile douce du 
vin, et que, dans les sulfo-vinates neutres de baryte et de 
cuivre, il y a un atome d’hyposulfate, deux atomes d’huile 
et cinq atomes d’eau. 

D'après ces données, MM. Dumas et Boullay pensent que, 
lors de l'éthérification , une portion d’alcohol se change, par 
l'influence de l'acide sulfurique, en éther et en eau, et que 
cette eau affaiblit une portion de l'acide; qu’une autre por- 

T. X. Hist. 1827. P 


P+ 


cxiv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


tion de l'acide se change en acide hypo-sulfurique , en cédant 
une partie de son oxigène, laquelle se combine avec de l'hy- 
drogène provenant de l'hydrogène bicarboné de l’autre por- 
tion de l’alcohol; qu'il reste ainsi la proportion d'hydrogène 
et de carbone nécessaire pour former l'huile douce; et qu’une 
partie de cette huile douce, en s’unissant à une partie de 
l'acide hypo-sulfurique, donne l'acide sulfo-vinique. Une 
partie d'eau, provenant de la décomposition de l’alcohol, 
est d’ailleurs mise en liberté. 

MM. Dumas et Boullay pensent, au reste, avec M. Vogel, 
que l'acide sulfo-vinique se forme en mème temps que 
l'éther; et que sa production et celle de l’huile douce, quoi- 
que simultanées, avec celle de l’éther, en sont indépen- 
dantes. 


Depuis long-temps des chimistes distingués ont étudié la 
garance, et ont cherché à recennaître de quelle manière on 
peut l'employer dans la teinture avec le plus d'avantage; et 
toutefois, son analyse proprement dite, qui aurait été le plus 
sûr moyen d'arriver à ce résultat, n’a pas été poursuivie avec 
assez de soin, et il est remarquable que, dans cette multi- 
tude de travaux entrepris depuis trente ans sur la chimie vé- 
gétale, le seul écrit que l’on puisse citer sur la composition 
de cette racine est celui de M. Kuhlman, qui n'a paru 
qu'en 1824. Jusqu'alors on n'avait que les essais de Walt sur 
l'action que sa décoction éprouve de la part des réactifs, et 
ceux de MM. Bartholdi et Braconnot, pour y rendre sensible 
la présence du sulfate de magnésie et de l’acide malique. 

MM. Cours et Rogiquer ont cherché à remplir cette lacune 


PARTIE PHYSIQUE. CXV 


de la science; et leurs travaux leur ont procuré des résultats 
intéressants, et qui en laissent entrevoir de plus intéres- 
sants encore. 

De la racine de garance macérée dans le triple de son poids 
d’eau et égouttée donne un marc qui, abandonné à lui-même 
dans un lieu frais, se prend en une gelée, qui contient 
presque toute la couleur rouge. On la traite à plusieurs re- 
prises par l’alcohol bouillant; et après avoir concentré les 
solutions alcoholiques, on y ajoute de l'acide sulfurique et 
de l’eau. Il en tombe un précipité d'un jaune-fauve, qui 
bien lavé et chauffé, donne un sublimé cristallisé de la cou- 
leur et de l'aspect du plomb rouge de Sibérie, volatil, so- 
luble dans l'eau en petite quantité, très-soluble dans l'alcohol 
et surtout dans l’éther, formant avec les alcalis des combi- 
naisons bleues ou violettes. MM. Colin et Robiquet ont 
nommé cette substance alizarine. Appliquée sur la toile de 
coton au moyen d’un mordant alumineux, et avec des avi- 
vages suffisamment énergiques, elle donne une teinture d’un 
beau rouge; et néanmoins, comme on ne peut en préparer 
de belle laque avec l’alun, il y avait fort à douter que ce 
füt le seul principe colorant de la garance. Ces chimistes 
durent donc se livrer à de nouvelles recherches, et ils dé- 
couvrirent dans la garance une autre substance, qu’ils ont 
nommée purpurine, et qui est douée à un bien plus haut 
degré du pouvoir tinctorial. 

La purpurine, comme l’alizarine, est fusible, volatile, cris- 
tallisable par sublimation, dissoluble dans l’éther : elle a 
plus de solubilité dans l’eau que l’alizarine, et surtout les 
_alcalis ne lui donnent point de teintes bleues ou violettes ; 
enfin, sa propriété distinctive la plus frappante, c'est de 

Pa 


XV) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


donner avec la solution d’alun bouillante une liqueur d'un 
rouge-rosé très-pur, dont on peut retirer une belle laque. 

Il reste à savoir si l’alizarine et la purpurine sont bien 
réellement deux principes immédiats distincts, ou si la pre- 
_mière n’est pas une purpurine altérée par quelque mélange : 
c'est ce que MM. Colin et Robiquet ont été invités à exa- 
miner. Dans le cours de leurs expériences, ils sont parvenus 
à quelques résultats pratiques. Leurs procédés leur donnent 
les moyens d’assigner la vraie valeur des garances venues 
dans des sols et à des expositions différentes, et qui, comme 
on sait, varient beaucoup pour la quantité de matière tinc- 
toriale qu’elles contiennent; ils ont reconnu que certains 
degrés de fermentation n’altèrent point la couleur rouge, et 
que l’on ne doit point jeter la garance qui les a subis; ils 
ont préparé une laque qui aura des avantages pour l'art de 
la peinture, même après celle dont la fabrication a été dé- 
couverte par M. Mérimée; enfin, en traitant la garance par 
l'acide sulfurique, ils ont obtenu une sorte de charbon qui 
contient la matière colorante à un état beaucoup plus pur 
que celui où elle se trouve dans la racine même, et que l’on 
peut aussi employer avec plus d'avantage pour la fabrica- 
tion des toiles peintes. 


Des membres ou des correspondants de l’Académie ont 
fait paraître sur la chimie des ouvrages généraux, qui, par 
leur nature, ne sont pas susceptibles d’être analysés ici, et 
dont nous ne pouvons rapporter que les titres. 

Tels sont la cinquième édition du Traité de chimie de 
M. Thénard, le Nouveau Système de philosophie chimique 


PARTIE PHYSIQUE. CXVi] 


de M. Dalton, et le Traité des manipulations chimiques de 
M. Faraday. 


MINERALOGIE ET GÉOLOGIE. 


M. Bertmigr, ingénieur des mines, aujourd'hui membre 
de l’Académie, avait présenté, avant son élection, quatre 
Mémoires minéralogiques. 

Le premier a pour objet une substance connue sous le 
nom de petro-silex rouge de Sahlberg, et que sa fusibilité 
en un émail blanc et une analyse déja ancienne avaient fait 
considérer comme appartenant, ainsi que les autres petro-si- 
lex, aux feldspaths compactes. Mais la potasse y est rempla- 
cée par la soude, et il s’y joint une quantité notable de ma- 
gnésie; enfin il y a beaucoup plus de silice que dans aucun 
feldspath, en sorte que lon est conduit à considérer cette 
pierre comme une espèce distincte. 

Le second de ces Mémoires est relatif à un minerai d’an- 
timoine découvert en Auvergne, et dont on n'avait pu ex- 
traire le métal. Il s’est trouvé formé de sulfure d’antimoine 
et de proto-sulfure de fer en combinaison intime, et telle 
que le fer n’agit point sur l’aimant, et d’une petite quantité 
de sulfure de zinc. La preportion des deux principaux com- 
posants est de quatre atomes pour le premier, et de trois 
pour le second. Ce minerai est analogue à celui que l’on a 
nommé jamesonite; seulement dans ce dernier, le sulfure de 
fer est remplacé par du sulfure de plomb. 

Dans son troisième Mémoire, M. Berthier traite d'une 
substance jaune, tendre, onctueuse, qui se trouve en rognons 
dans les argiles ferrugineuses où l’on exploite le minerai de 


CXVii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


manganèse, dit vulgairement de Périgueux. Elle se compose 
de silice, de peroxide de fer, d'alumine et de magnésie; et 
comme elle ne ressemble point aux silicates ordinaires de 
peroxide de fer, il y a lieu de croire que de l’eau entrée en 
combinaison est ce qui en modifie les caractères. 

Enfin le quatrième Mémoire, qui est d’un intérêt pratique, 
traite de la composition du minerai de fer en grains. C'est 
essentiellement un peroxide de fer hydraté, mais souvent 
altéré par des mélanges accidentels d’hydrates d'alumine, de 
phosphates de fer et de chaux. Certains grains mêlés aux 
autres dans quelques localités s'en distinguent par une ac- 
üon magnétique. M. Berthier a reconnu que cette propriété 
est due à la présence d'un silicate de protoxide de fer et 
d'alumine, et cette combinaison du fer avec la sitice est ana- 
logue à un minerai que M. Berthier a reconnu à Chamoison 
dans le Valais, et où il a trouvé un atome de silicate de fer, 
un atome d’alaminate biferruginé, et douze atomes d’eau; 
les grains magnétiques, dont il donne ici l'analyse, contien- 
nent seulement une plus grande proportion de peroxide de 
fer. 

Une observation remarquable de l’auteur, c'est que les 
grains qui renferment de l’oxide de manganèse perdent leur 
action sur le barreau aimanté, lorsqu'on les calcine, et que 
ceux qui n’en renferment pas ont, au contraire, une action 
à peu près aussi forte après la calcination qu'auparavant; ce 
qui s'explique très-bien, parce que l’oxide de manganèse cède 
son oxigène au fer, qui, de l’état de protoxide, passe ainsi 
à celui de peroxide. Quelques minerais de fer hydraté ont 
laissé, lors de leur dissolution, de petits cristaux octaèdres 


de fer titané, qui étaient accidentellement mélangés à leur 
masse, 


PARTIE PHYSIQUE. CXIX 


A ce travail M. Berthier a joint l'analyse d’autres minerais 
de fer, qui s’exploitent en couches réglées dans un calcaire 
oolitique du département de la Moselle, et qui lui ont offert 
un mélange de carbonate de fer avec un peu de carbonate de 
chaux, et 48 pour 100 de silicate alumineux de fer magné- 
tique. Sa composition est d’un atome d’aluminate de fer, de 
quatre atomes de silicate bi-ferrugineux , et de six atomes 
d’eau. 

Ces Mémoires ajoutent, comme on voit, quatre espèces à 
celles que l’on possédait en minéralogie, si toutefois l’on doit 
continuer de donner aux combinaisons minérales, et uni- 
quement d’après les proportions des éléments combinés, un 
titre qui ne semble applicable qu'aux règnes organiques. 


M. BronGniarT a fait paraître un petit traité sur les roches, 
extrait du Dictionnaire des sciences naturelles. Il les y con- 
sidère sous le rapport géologique, c’est-à-dire à l'égard de 
leur position mutuelle à la surface du globe, et sous le rap- 
port minéralogique ou des minéraux d'espèces plus ou moins 
nombreuses qui les composent. Minéralogiquement parlant, 
les roches sont simples ou composées : les roches simples 
sont formées d'un minéral connu, où ne peuvent être rap- 
portées avec certitude à aucune espèce minérale; les roches 
composées résultent ou de la cristallisation de leurs com- 
posants, ou de leur simple agrégation. La nature du minéral 
dans les roches simples, et lorsqu'il s’agit de roches compo- 
sées, la nature de celui qui y domine, donnent ensuite les 
divisions ultérieures. C’est ainsi que M. Brongniart arrive à 
établir ses genres. Il en a cinquante-un, seulement dans les 


Cxx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


roches composées. A l'article de chacun d'eux, il décrit les 
espèces ou variétés qui y appartiennent, et fait connaître avec 
soin les lieux où on les trouve, et leurs positions relatives, 
en sorte qu’en relevant ce qui est dit de ces positions, on en 
déduirait aisément une classification géologique. 


Ce que la géologie demande par-dessus tout aujourd’hui, 
ce sont des descriptiens méthodiques des terrains dans les 
divers pays, d'où il puisse résulter une connaissance géné- 
rale et positive de la structure des couches qui enveloppent 
le globe. 

MM. Deccros et Rozer, ingénieurs géographes, ont pré- 
senté un travail de ce genre sur les montagnes qui bornent 
au sud les étangs de Caroute et de Berre en Provence. 

Ils y ont reconnu trois dépôts successifs. Le plus ancien est 
un calcaire tendre, de nature oolitique, contenant des co- 
quilles très-différentes de celles de la craie, et qui devient 
compacte à sa partie supérieure, Au-dessus est une suite de 
couches alternatives de grès calcarifère, de sable ferrugineux 
et de marne rougeâtre, qui a aussi à sa partie supérieure des 
couches considérables d’un calcaire compacte qui contient 
des hippurites, des sphérulites, une petite gryphée et beau- 
coup de madrépores. Les auteurs regardent ces couches comme 
analogues à celles qui portent en Angleterre le nom de co- 
ral-rag. Le dépôt supérieur confinant avec le précédent, et 
renfermant les mêmes hippurites, est formé de lits alterna- 
tifs de marnes plus ou moins bitumineuses, et de lignites qui, 
d’après cette position, seraient plus anciens que la: plu- 
part des lignites connus. 


PARTIE PHYSIQUE. CXX) 


Les marnes schisteuses, voisines de ces lignites, contien- 
nent des coquilles d'apparence fluviatile, mais qui ne sont pas 
assez bien conservées pour que l’on puisse en déterminer les 
espèces avec certitude. On a cru pouvoir comparer ce troi- 
sième dépôt à celui de Kimridge en Angleterre. 

Il semble résulter de ces observations, que ces montagnes 
appartiennent à un ordre de formation beaucoup plus ancien 
qu'on ne l'avait supposé jusqu’à présent. 


Nous avons parlé, en 1824, du grand travail entrepris 
par M. de Bowxarp sur la constitution géologique d’une par- 
tie du département de la Côte-d'Or, où le calcaire, dit com- 
munément alpin, n’est séparé du granite que par une roche 
à gros grains de quartz et de feldspath, qui appartient au 
genre des psammites ou grauwackes, et que, dans ces der- 
niers temps, on a nommée arkose. Les autres roches qui ser- 
vent communément d’intermédiaires à celles-là sont réduites, 
dans le pays dont il s’agit, à de légers vestiges dont la série 
même n’est pas complète. 

Depuis lors, M. de Bonnard a poursuivi ses recherches 
dans d’autres parties de ce département, et dans ceux de la 
Nièvre, de Saône-et-Loire, de la Loire, et du Rhône. Elles 
ont été singulièrement favorisées par les excavations et les 
percées souterraines qu'ont exigées les canaux de Bourgogne 
et de Nivernais; et partout l’auteur a-pu constater la justesse 
de ses premières idées, à quelques modifications près, en 
sorte qu'il peut présenter aujourd’hui ce rapprochement de 
couches, qui, ailleurs, sont fort séparées, non plus comme un 
accident particulier à certaines localités assez circonscrites, 


T. X. Hist. 1827. Q 


‘CXXi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


mais comme une disposition constante du sol d’une partie 
considérable de la France. Les terrains qui reposent immédia- 
tement sur le granite, le porphyre ou le gneiss, sont, en 
certains endroits, l’arkose, en d’autres le grès houiller; et 
ce qui est très-remarquable, ces deux terrains semblent 
étrangers l’un à l’autre; ils ne se superposent ni ne s’enve- 
loppent : partout où est l’un, l'autre manque, quoique les 
terrains supérieurs et inférieurs demeurent uniformes. Il 
semblerait que ce soient deux formations parallèles, ou deux 
de ces équivalents géognostiques dont on a déja cité d’autres 
exemples. Les passages entre les granites et les arkoses sont 
tellement insensibles, que l’on est souvent embarrassé d'en 
tracer la limite. Mais la liaison de l’arkose avec les terrains 
supérieurs est d’une tout autre sorte : il s'y interpose par 
couches jusqu'à une certaine hauteur; les minerais métalli- 
ques qu'il contient s’y élevent comme lui. M. de Bonnard con- 
clut même de là que le lias (l'un de ces terrains supérieurs) a 
des rapports géologiques plus intimes avec l’arkose qu'avec 
les calcaires oolitiques, dans la série desquels on le range 
communément. 


: à > S 
On sait depuis long-temps que l'Allemagne et la Hongrie : 
recèlent dans plusieurs de leurs cavernes des amas immenses 


d'ossements d'ours, d'hyènes et d’autres animaux aujour- 
d'hui étrangers à ces pays. Ce fait, déja intéressant par lui- 
même, a acquis encore plus d'importance depuis que l'on a 
trouvé des cavernes semblables, et plus riches encore en 
ossements, dans d’autres pays de l'Europe. M. le professeur 
Buckland, qui a décrit celles de l'Angleterre dans son ou- 


PARTIE PHYSIQUE. Cxxii} 
vrage, intitulé : Relquiæ diluvianæ, a contribué lui-même 
à en découvrir en France. Visitant celle d’Oiselles, près de 
Besançon, il a jugé que des couches de stalactites qui la ta- 
pissent devaient recouvrir quelques dépôts d'ossements ; et, 
en effet, des fouilles ayant été faites et continuées pendant 
quelque temps par les ordres de M. de Milon, préfet du dé- 
partement, et par les soins de M. Gevrir, conservateur du 
cabinet de Besançon, il en à été retiré une tres-grande quan- 
tité de crânes et d'os de la grande espèce d'ours à ffont bom- 
bé, déja reconnue dans les cavernes d'Allemagne, et qui a 
entièrement péri; et ce qui est remarquable, c'est qu'ils ny 
sont accompagnés de ceux d'aucune autre espèce. 

Une autre caverne, située à Échenoz, près de Vesoul, a 
été examinée plus récemment par M. TuirraT, qui y a dé- 
couvert des os d’hyène et de plusieurs herbivores. 

Des savants distingués, et particulièrement MM. Marcel 
de Serres et Dubreil, professeurs à Montpellier, sont chargés 
en ce moment de décrire une caverne découverte, il y a trois 
ou quatre ans, à Lunel-Vieil, département de l'Hérault, et 
qui contient surtout des ossements d'hyène; et l’on doit es- 
pérer que leur travail verra bientôt le jour. 1l s’en est trouvé 
aussi une à Saïint-Macaire, dans Je département de la Gi- 
ronde, où des os d’hyène sont également aécompagnés de 
ceux de beaucoup d’herbivores. Il en a été annoncé une du 
département de l'Aude. En ur mot, les cavernes à ossements 
paraissent devoir devenir un phénomène général commun 
à toutes les montägnes ou collines de la nature de celles qui 
composent le Jura, et la destruction des animaux qui les 
habitaient se place au nombre des faits importants de l’an- 


Q2 


CxxIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


cienne histoire du globe, dont la géologie cherche l’expli- 
cation. 


Beaucoup de géologistes se croient autorisés à penser que 
la mer a envahi à plusieurs reprises la surface d’une partie 
de nos continents, et qu'il y a eu entre ses invasions des in- 
tervalles pendant lesquels cette surface était à découvert, et 
nourrissait des végétaux et des animaux terrestres. Ils fon- 
dent cette opinion sur les alternatives de couches remplies 
de productions de la mer, avec d’autres qui ne paraissent 
contenir que des productions terrestres. 

M. Constant Prevosr n'a pas jugé cette maniere de voir 
conforme aux faits qu'il a observés; et, dans un Mémoire 
présenté à l’Académie, il s'attache à prouver qu'entre les di- 
vers terrains de transport et de sédiment il n'existe aucune 
couche que l’on puisse regarder comme ayant formé une 
surface continentale, et ayant été couverte pendant long- 
temps de productions terrestres. Il en a vainement cherché 
des traces au contact des terrains marins et des terrains 
d’eau douce : il rappelle que les fleuves portent à de grandes 
distances des débris organiques de toute espèce, et que les 
eaux de la mer, accidentellement soulevées de leur bassin, 
font quelquefois irruption sur des terrains bas, dans des ima- 
rais et des lagunes dont le fond a dù être rempli auparavant 
de dépôts renfermant des débris de productions de la terre 
et de l’eau douce; il fait sentir enfin que, par diverses cau- 
ses, le détroit de la Manche doit avoir sur son fonds des 
alternations de couches fort analogues à celles qui constituent 
la partie inférieure de beaucoup de terrains tertiaires, et que, 
si le niveau en baissait de vingt-cinq brasses, il se change- 
rait en un vaste lac, où il se formerait des dépôts très-sem- 


PARTIE PHYSIQUE. CXXV 


blables à ceux qui composent la partie supérieure des mêmes 
terrains. 

Il essaie de faire une application de cette théorie à nos 
couches des environs de Paris, et après en avoir représenté 
la position relative au moyen de deux coupes transversales où 
l'on prend une idée assez nette des alternats, des mélanges 
et des enchevêtrements des divers dépôts, il tâche d'établir 
que les couches marines de la craie, du calcaire grossier , des 
marnes et des grès supérieurs , ont pu être formées dans le 
même bassin et sous les mêmes eaux que l'argile plastique, 
lé calcaire siliceux, et le gypse lui-même, qui ne renferment 
essentiellement que des débris d'animaux et de végétaux 
terrestres et fluviatiles. 

À une premiere époque, selon M. Prevost , une mer pro- 
fonde et paisible a déposé les deux variétés de craie, qui con- 
stituent le fond et les bords du vaste bassin dont il s’agit. 

A une seconde époque, ce bassin, par l'abaissement pro- 
gressif de l'Océan, est devenu un golfe où les affluents des 
rivières ont formé des brèches crayeuses et des argiles plas- 
tiques, bientôt recouvertes par les dépouilles marines du 
premier calcaire grossier. 

Il est arrivé une troisième époque où ces dépôts ont été 
interrompus par une commotion qui en a brisé et déplacé 
les couches: le bassin est devenu un lac salé traversé par 
des cours d’eaux volumineux , venant alternativement de la 
mer et des continents, et qui ont produit les mélanges et les 
enchevétrements du calcaire grossier, du calcaire siliceux et 
du gypse. 

Une quatrième époque a amene dans ce lac l'irruption 
d’une grande quantité d’eau douce, chargée d’argiies et de 


CXXV) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


marnes, au milieu desquelles se formaient encore quelques 
dépôts de coquilles marines ; le bassin n’a plus été qu'un 
immense étang saumätre. 

À une cinquième époque, il a cessé de communiquer avec 
l'Océan; le niveau de ses eaux a baissé au - dessous de celui 
des eaux de la mer; il a continué de recevoir les dépôts des 
eaux continentales et de leurs productions. 

À une sixième époque, les eaux de la mer ont rompu leurs 
digues, et ont rempli l'étang où elles ont formé les grès ma- 
rins supérieurs ; le bassin, presque comblé, n’a pu recevoir 
alors que des eaux douces peu profondes ; enfin la succes- 
sion de toutes ces opérations s’est terminée par le grand 
cataclysme diluvien. 

Le grand probleme de la géologie est tellement indéter- 
miné, qu'il offrira pendant long-temps de l'exercice aux 
combinaisons de l'esprit : heureux du moins lorsque ceux 
qui se livrent à ce genre de spéculation ont soin , comme 
M. Prevost, de chercher dans les faits des appuis à leurs con- 
jectures. Ils enrichissent véritablement la science, pour peu 
qu'un rapport nouveau, une superposition inaperçue , des 
débris jusque-là inconnus, s'offrent à leurs regards, et c’est 
seulement lorsque le trésor qu'ils concourent à agrandir 
aura été complété, que l’on sera en état de rendre justice 
à leur sagacité, et d’assigner le degré de justesse avec lequel 
chacun d'eux avait conçu ses hypothèses. 


Tout le monde s'accorde à croire que la masse du globe a 
été liquide ; mais cette liquidité était-elle aqueuse ou ignée? 
c'est sur quoi il y a plus de divergence. La température 


PARTIE PHYSIQUE. CXXVI] 


propre du globe, les motifs que l’on peut avoir d'admettre 
l'existence d’un feu central, sont au nombre des éléments 
qui doivent conduire à la solution de cette question; et sous 
ce rapport la géologie doit y prendre un grand intérêt. 
M. Corprer s’en est occupé, et a communiqué, à ce sujet, à 
l'Académie, un Mémoire tendu. 

Cette supposition du feu central, soutenue par Descartes, 
par Leïibnitz, par Buffon, avait été fort ébranlée par les 
observations de Saussure, et par les théories de Pallas et de 
Werner. Mais la certitude acquise depuis quelquetemps, que 
les agents volcaniques résident sous les terrains primordiaux, 
l'identité des laves-dans toutes les parties de la terre, la fa- 
cilité avec laquelle certains minéraux se cristallisent par l’ac- 
tion du feu, la chaleur des sources ,une certaine augmentation 
de température dans les grandes profondeurs, ont commencé 
à lui rendre du crédit. De grands mathématiciens ne l’ont 
point trouvée en contradiction avec leurs calculs. Il s’agit de 
lui donner l'appui d'expériences précises et concluantes. 
M. Cordier a rassemblé les résultats de celles que d’habiles 
physiciens ont faites, et qui sont au nombre de plus de trois 
cents, et ont eu lieu dans quarante mines différentes. L’au- 
teur lui-même en a fait dans trois mines de houille fort éloi- 
gnées les unes des autres. Ù 

Après avoir analysé avec soin les différentes causes de 
perturbation qui résultent de la pénétration de l'air ex- 
térieur, de sa circulation dans la mine, de l'introduction 
des eaux qui y pénètrent, enfin de la présence des hommes 
et des lumières qu'ils emploient, causes dont l'effet s’é- 
tend jusqu'au fond des excavations les plus éloignées, il 
a toujours trouvé la preuve d’un accroissement rapide de 


CXX VII] HISTOIRE DE L ACADÉMIE, 


température dans la profondeur. Ainsi, les eaux qui s’é- 
chappent des mines d’étain de Cornouailles ont une cha- 
leur moyenne de 10 degrés supérieure à la chaleur moyenne 
du pays, tandis que deux mille ouvriers auraient à peine 
suffi pour en élever la masse d’un quart de degré. Toutes 
les eaux de sources , excepté celles qui sont dominées par 
de grands amas de neiges et de glaces, donnent des résul- 
tats analogues. 

La loi de cet accroissement offre plus de difficultés. 

D’après ce que l’on a constaté dans les caves de l'Obser- 
vatoire, il y aurait 1 degré d’angmentation pour 28 mètres; 
ce qui, si l'augmentation se faisait uniformément, ferait croire : 
qu'à 2,503 mètres , ou une forte demi- lieue au-dessous de 
Paris, la chaleur de la terre égalerait déja celle de l’eau bouil- 
lante. M. Cordier a observé un accroissement semblable dans 
une mine; mais il en est une autre où il ne l’a trouvé que 
de 1° pour 45 mètres ; et au contraire , dans une troisième, 
elle était de 1° pour 15 mètres; et dans une quatrième , de 
1° pour 19 mètres. En général, la moyenne des observations 
annonce un accroissement plus rapide que tout ce que l'on 
avait imaginé jusqu'à présent , et d’après lequel il suffirait de 
descendre à vingt et trente lieues pour rencontrer une cha- 
leur capable de fondre toutes les laves et la plupart des ro- 
ches connues. On doit donc croire que l’intérieur du globe 
conserve encore sa fluidité primitive. L’écorce solide du globe 
s'épaissit à mesure que le globe lui-même se refroidit : son 
épaisseur actuelle n’est pas au-dessus de la cent vingtième 
partie du diamètre. Mais cette épaisseur n’est point égale, et 
c'est une des causes qui font varier les différents climats, 
indépendamment de leur latitude. Il est même probable que 


PARTIE PHYSIQUE. CXXIX 


l'écorce du globe jouit encore d'une certaine flexibilité, qui 
expliquerait les phénomènes des tremblements de terre , 
cette élévation progressive du sol, que l'on dit s’observer en 
Suède , et l’abaissement que l’on assure avoir lieu sur d’autres 
côtes, et plusieurs autres phénomènes embarrassants pour 
la géologie. Les éjections des volcans se trouveraient ainsi un 
simple effet mécanique de la contraction de la croûte qui se 
refroidit, et qui de temps en temps doit comprimer certaines 
parties des matières fluides qu’elle enveloppe. Des laves arri- 
vant de vingt lieues seraient pressées par une force équiva- 
lente à celle de 28,000 atmosphères, et il ne faut rien moins 
qu’une telle puissance pour élever leurs énormes masses. 

Dans l'origine, les couches les moins fusibles doivent s’être 
consolidées les premières; et en effet, dans les terrains pri- 
mordiaux, ce sont les calcaires, les talcs, les quartz, qui se 
superposent aux autres couches. Cette fluidité centrale est 
ce qui a permis aux couches de se rompre et de se disloquer 
comme nous les voyons, etc., etc. 

Ces conclusions si importantes, si variées, et beaucoup 
d’autres que l’espace qui nous est accordé ne nous permet 
pas de développer, résultent ,comme on voit , d’un fait très- 
simple en apparence, mais dont la fécondité selon M. Cordier 
est en quelque sorte merveilleuse, celui de l'augmentation 
sensible de température dans les profondeurs , fort petites, 
à la vérité, où nous pouvons pénétrer, et de la supposition 
qu'il juge très-vraisemblable que cette augmentation conti- 
nue proportionnellement à des profondeurs plus grandes. 


Le peuple a le préjugé que les eaux thermales conservent 
T. X. Hist. 1827. : R 


CXKX HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 
plus long-temps leur chaleur que les eaux échauffées artifi- 
ciellement. 

M. Genpeix a pris la peine de réfuter cette bizarre opi- 
nion, et il a fait voir, par des expériences précises , que les 
différences, lorsqu'il y en a, etelles sont toujours infiniment 
petites, ne tiennent qu'aux principes étrangers, dissous dans 
ces eaux, lesquels, comme chacun sait, en alterent la capa- 
cité pour le calorique. 

M. Longchamps avait déja publié précédemment des ex- 
périences analogues. 


Parmi les volcans éteints, qui couvrent une partie de la 
France et de l'Europe, il en est qui appartiennent à des 
époques différentes, et l'on a aujourd'hui dans les couches 
remplies de corps organisés, sur lesquelles ils ont versé 
leurs déjections, un moyen de fixer leur chronologie rela- 
tive. C’est ce que M. Marcer DE SÉRRES a essayé pour quelques- 
uns de ceux du midi de la France, dont les éruptions ont 
été postérieures au deuxième terrain d’eau douce de MM. Cu- 
vier et Brongniart, terrain dont M. Marcel de Serres a fait 
lui-même une étude très-soignée, et qu'il a suivi sur de fort 
grands espaces. Cette formation calcaire, marneuse et sili- 
ceuse, qui ne renferme que des coquilles de terre et d’eau 
douce, n’est pas , selon M. Marcel de Serres, en assises con- 
tinues , mais en lambeaux isolés, et elle occupe d'ordinaire 
des fonds de vallées où elle se superpose à des terrains ter- 
tiaires marins ou à des couches volcaniques; ce qui avait 
déja été observé par plusieurs géologistes. Mais ce que 
M. Marcel de Serres a remarqué de plus que la plupart de 


PARTIE PHYSIQUE. CXXX] 


ses prédécesseurs, c'est que les produits volcaniques sont 
souvent en mélange intime avec le calcaire d’eau douce, et 
que ce calcaire a éprouvé de grands dérangements dans leur 
voisinage : d'où il conclut que tantôt les matières volcani- 
ques arrivaient de l'intérieur de la terre avec assez de force 
pour saisir des masses de calcaire d’eau douce, et que tantôt 
elles n’ont pu que soulever la grande assise de calcaire , et 
s'étendre par-dessous. Il promet de développer cette opi- 
nion dans une édition nouvelle qu'il donnera bientôt de ses 
observations sur les volcans éteints du midi de la France. 


PHYSIOLOGIE VÉGÉTALE ET BOTANIQUE. 


M. Durrocuer a confirmé ses recherches sur cette force 
qui, selon lui, est le principal agent de la vie, et qu'il dérive 
de l'électricité. On a vu, par nos analyses précédentes, que 
lorsque deux liquides de densité ou de nature chimique dif- 
férente sont séparés par une cloison mince et perméable, 
il s'établit au travers de cette cloison deux courants dirigés 
en sens inverse, et inégaux en force. Il en résulte que la masse 
liquide s’accumule de plus en plus dans la partie vers la- 
quelle est dirigé le courant le plus fort. Ces deux courants 
existent dans les organes creux qui composent les tissus or- 
ganiques , et c'est là que M. Dutrochet les a désignés sous les 
noms d'endosmose pour le courant d'introduction et d’exos- 
mose pour le courant d'expulsion. Ses expériences lui ont 
prouvé que ce phénomène n’est pas produit exclusivement 
par les membranes organiques. Les plaques poreuses inor- 


ganiques, très-minces, le produisent également; mais une 
R 2 


CXXXI] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


extrême minceur de la cloison perméable est une condition 
nécessaire du phénomène. Si la cloison perméable a quatre 
millimètres d'épaisseur, Ps exemple, ilne se manifeste point; 
mais il a lieu si elle n’est épaisse que d’un millimètre, quoique 
l'action capillaire des Pete poreuses soit égale dans l’une 
et l’autre circonstance : d’où il résulte, selon M. Datrochet, 
que le phénomène ne dépend point de la seule capillarité. 

Un autre fait qui lui paraît démonstratif en faveur de sa 
maniere de voir, c'est qu'il existe au travers de la cloison 
deux courants opposés et inégaux en force ; ce qu’une diffe- 
rence de capillarité entre les deux fluides ne pourrait pas 
produire. 

M. Dutrochet ajoute que si l'endosmoseetl’exosmoseétaient 
des phénomènes dus à la capillarité, il devrait exister un 
rapport constant entre la hauteur à laquelle les différents 
liquides s'élèvent dans un même tube capillaire, et la ma- 
nière dont ils se comportent par rapport à l’endosmose et à 
l’exosmose. Or il a observé qu’à la vérité, lorsque l’eau pure 
est séparée par une cloison membraneuse d’un liquide dont 
l'ascension dans les tubes capillaires est moindre, on voit l'ac- 
cumulation s'effectuer du côté où se trouve le liquide le moins 
ascendant; mais que si l'expérience a lieu entre de l'huile 
d'olive, par exemple, et de l'huile de lavande, c'est du côté de 
l'huile d'olive que se fait l'accumulation, quoique l'huile d'olive 
s'élève dans les tubes capillaires plus que l'huile de lavande, 
comme 67 à 58. Cette action, qui est très-faible, a besoin, 
pour devenir appréciable, d'une température qui ne soit pas 
inférieure à + 15 degrés R. Si l’on met en rapport l'huile 
essentielle de lavande avec l'alcohol , on voit l'accumulation 
du liquide s'effectuer du côté de l'huile essentielle, c’est-à-dire 


PARTIE PHYSIQUE. CxxXxii] 


encore du côté où se trouve le liquide le plus ascendant dans 
les tubes capillaires. Cette action est beaucoup plus éner- 
gique que la précédente. L'huile essentielle de térébenthine 
se comporte, dans ces expériences, comme l'huile essentielle 
de lavande. 

Ainsi, dit M. Dutrochet, il est démontré que l’accumula- 
tion des liquides, dans les expériences dont il s’agit, n'est 
point dans un rapport constant avec la manière dont ces 
mêmes liquides se comportent par rapport à l'attraction ca- 
pillaire , et il en résulte en définitive que l’action capillaire 
n'est point la cause de ce phénomène d’accumulation. Il 
reste à déterminer si cette cause est dans l’affinité qui peut 
exister entre des liquides hétérogènes : des expériences 
que l’auteur a rapportées dans son ouvrage lui parais- 
sent avoir répondu à cette question. Si l’on met du blanc 
d'œuf dans un large tube de verre, et que l’on fasse couler 
dessus avec précaution de l’eau pure, il: ne se fera aucun 
mélange de ces deux liquides ; on verra parfaitement la ligne 
de démarcation qui les sépare. Cette ligne de démarcation 
ne variera point ; il n’y aura aucune augmentation du volume 
de l’albumen, quel que soit le temps que durera cette expé- 
rience. L’albumen n’a donc aucune affinité pour l’eau qui le 
recouvre. Et néanmoins, lorsque les deux substances sont 
séparées par une membrane, l’eau traverse cette membrane 
pour s'accumuler du côté de l’albumen, avec lequel elle se 
mêle alors. C’est donc à une autre cause qu’à l'affinité ré- 
ciproque des liquides qu'il faut attribuer ce phénomène, 

M. Dutrochet persite à penser que cette cause est l’électri- 
cité, tout en convenant que cette électricité ne manifeste 
point du tout sa présence au galvanomètre : il avait d’abord 

L] 


CXXXIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


été porté à croire qu’elle naissait du rapprochement des deux 
liquides hétérogènes que sépare imparfaitement la cloison 
perméable qui leur est interposée ; mais alors ces deux li- 
quides devraient posséder une électricité différente , ce que 
le galvanomètre ne manifeste point. Il lui paraît donc assez 
probable que cette électricité résulte du contact des liquides 
sur la cloison qui les sépare. On sait, par les expériences de 
M. Becquerel, que le courant des liquides sur les corps so- 
lides produit de l'électricité: ainsi , dans cette circonstance , 
le contact des deux liquides différents sur les deux faces op- 
posées de la cloison produira deux degrés différents d’élec- 
tricité, laquelle sera, par conséquent, plus forte d'un côté 
que de l’autre. C’est probablement de cette double action 
électrique que résultent les deux courants opposés et iné- 
gaux en intensité qui traversent la cloison. Ce qu'il y a de 
certain, c’est que ce phénomène cesse d’avoir lieu lorsque les 
deux faces opposées de la cloison ne sont plus en contact 
immédiat qu'avec un seul des deux liquides. Un tube de 
verre, imuni d’un évasement terminal , bouche par une plaque 
d'argile blanche cuite, fut rempli en partie avec une solution 
aqueusé de gomme arabique, et plongé ensuite dans l'eau 
au-dessus de laquelle la partie vide du tube s'élevait verti- 
calement. L’endosmose eut lieu, et le liquide gommeux s’é- 
leva graduellement dans le tube. Quelques heures après, 
l'ascension s'arrêta, et bientôt le liquide commença à des- 
cendre. À yant retiré l'appareil de l’eau , M. Dutrochet s’aperçut 
que la plaque d'argile était enduite en dehors par le liquide 
gommeux , qui avait transsudé du dedans , chassé par l’exos- 
mose ; il essuya la surface extérieure de cette plaque, et re- 
plaça l'appareil dans l’eau. Dès ce moment, l'endosmose se 


PARTIF PHYSIQUE. CXX 


manifesta de nouveau par l'ascension du liquide dans le 
tube. 

Le double phénomène de l’endosmose et de l'exosmose 
pouvant être produit avec des lames minces de corps inor- 
ganiques perméables aux liquides, comme il l'est avec des 
membranes organiques, ce n’est pointexclusivement un phé- 
nomène organique ; cependant il se trouve appartenir ex- 
clusivement aux corps organisés, parce que ce n'est que 
chez eux qu'il existe des liquides hétérogènes séparés par des 
cloisons minces et perméables. C'est le point par lequel la 
physique des corps vivants se confond avec la physique des 
corps inorganiques ; et M. Dutrochet pense, avec beaucoup 
de physiologistes, que plus on avarcera dans la connais- 
sance de la physiologie, plus on aura de motifs pour cesser 
de croire que les phénomènes de la vie sont essentiellement 
différents des phénomènes de la physique générale. 


M. or Mirser s'est appliqué à démontrer que les couches 
du liber des arbres et des arbrisseaux à deux cotylédons con- 
servent chacune, pendant une suite d'années plus ou moins 
considérable , la propriété de végéter et de croître; que la 
croissance du liber se manifeste par l'élargissement ou la 
multiplication des mailles de son réseau, et par l’augmen- 
tation de la masse de son tissu cellulaire; que, lorsque le 
liber se porte en avant, ce n'est pas, comme on le croit 
communément, parce que les nouvelles productions qui 
s'interposent chaque année entre le bois et l'écorce le chas- 
sent devant elles, mais parce qu'il acquiert plus d'ampleur 
par l'effet de sa propre croissance, et que, par conséquent, 


CXXXV) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


il se sépare et s’écarte de lui-même du cône ligneux sur 
lequel il était appliqué; que si, dans cette circonstance, 
on n’aperçoit pas de lacune entre le bois et le liber, cela 
provient de ce que la place abandonnée par le liber est 
occupée immédiatement par le cambium. Il cherche à prou- 
ver, en outre, que les canaux séveux ou méats de M..Tré- 
viranus, qui, selon cet auteur, sont les interstices que 
laissent entre elles des utricules, d’abord séparées comple- 
tement les unes des autres, puis soudées incomplètement 
ensemble, ne sont, en réalité, que des fentes produites 
par le dessèchement tardif de la substance interne des pa- 
rois épaisses du tissu cellulaire originairement mucilagineux 
et continu dans tous ses points; que l’on ne saurait voir 
dans les tubes criblés des couches ligneuses , que des cel- 
lules plus larges et plus longues que celles du tissu cel- 
lulaire alongé qui constitue la partie la plus compacte du 
bois ; que les parois des tubes criblés sont en même temps 
les parois des cellules alongées contiguës à ces mêmes tubes ; 
et qu'ainsi, sans qu'il soit nécessaire d’alléguer d’autres faits, 
on peut déja affirmer , contre le sentiment de plusieurs au- 
teurs , qu'il existe des cellules criblées, comme M. de Mirbel 
l'a annoncé autrefois. 


M. Du Perir-Taouars ayant voulu faire connaître quelques 
particularités de la végétation des conifères importantes pour 
leur culture, a cru devoir faire précéder leur exposition 
par des recherches de bibliographie historique; il s’est ar- 
rêté principalement à faire connaître le premier ouvrage 
spécial qui ait été publié sur ce sujet : c'est le traité de 4r- 
boribus eoniferis, de Belon. 


PARTIE PHYSIQUE. CXXXVI] 


Il fait voir que cet excellent observateur avait déja signalé 
plusieurs singularités de ces arbres. Ainsi il annonçait que 
l’on peut de loin distinguer les espèces par la forme déter- 
minée de chacune d'elles ou par leur port; il citait entre autres 
le cèdre du Liban et le pin pignon; les prenant des leur 
naissance, il remarquait, entre autres dans le sapin, que Îles 
premières feuilles ( ou les cotylédons }) sont verticillées. Cet 
arbre se distingue aussi des autres, dit-il, ‘Parce que ses ra- 
meaux sont de même verticillés quatre à quatre, et disposés, 
ce sont ses termes, comme les feuilles de la garance. Il faisait 
pareïllement observer que dans les pins, surtout le sylves- 
tre, les premières feuilles sont simples et aiguës comme celles 
du genévrier, tandis que les autres sortent deux à deux. Ce 
n'était pas seulement dans le cours de ses voyages qu'il ob- 
servait ces arbres, il cherchait à les multiplier sur tous les 
points de la France, en recueillant partout des graines : il les 
semait, soit à Paris dans les jardins de l’abbaye de Saint-Ger- 
main-des-Prés, soit au Mans dans ceux de l'évêque du Bellaï. 
Il y avait vu germer le cèdre du Liban, des cônes qu’il avait 
rapportés du Levant : les jeunes cèdres étaient déja assez forts 
lorsqu'ils lui furent volés , et ce qui le désola , c'est que c'était 
par des ignorants qui os laisserent périr. Il constatait qu'à 
cette époque on avait déja introduit en France un arbre non 
moins magnifique, mais qui ne devait pas encore y prospé- 
rer. Examinant à Fontainebleau le thuia occidentalis, on lui 
fit voir un autre arbre qu'on disait avoir été rapporté avec ce 
thuia du Canada, et que l’on confondait avec lui sous le même 
nom d'arbre de vie. Belon crut que l’on se trompait, et il lui 
sembla que c'était le pin cembro des Alpes. C'était Belon qui 


“était dans l'erreur, car il avait sûrement sous les yeux de 
TX Hist 162". S 


CXXX VII] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


jeunes plants du pin qui r’a reparu en Europe que deux siecles. 
après, sous le nom de lord Weimouth, mais on s'y trompe- 
rait encore aujourd'hui en voyant les deux arbres sans fruc- 
tification. 

Cet ouvrage doit donc être regardé comme le premier 
d'un genre qui ne s’est multiplié que long-temps après, celui 
des descriptions particulières que l’on nomme monogra- 
phies, et il faut arriver jusqu'à ces derniers temps pour 
en trouver qui le surpassent pour le fond. Il suffit pour pla- 
cer Belon aux premiers rangs parmi les botanistes de son 
temps, tandis que, dans l'ouvrage intitulé Remontrances sur 
le défaut de labeur, il se montre le cultivateur le plus zélé 
pour la prospérité de son pays; si l’on eût suivi ses conseils, 
il n’y aurait pas un espace vide qui ne füt recouvert de ve- 
gétation. 

C’est par l'examen des racines, que M. du Petit-Thouars 
rentre dans son sujet; il commence par faire un résumé de 
sa manière d'envisager cette partie essentielle des végétaux : 
mais ce qui lui paraît le plus important à découvrir, ce sont 
les phases de la végétation des racines, c’est-à-dire, l'époque 
de leur première apparition et celle de leur arrêt ou termi- 
naison. 

Les liliacées, ou les plantes à oignons, nous indiquent, 
suivant lui, déja quelque chose de remarquable; c’est que sur 
les bulbes enfouis, les racines disparaissent en même temps 
que les feuilles, et que les unes et les autres reparaissent à 
la même époque. 

Les conifères semblent destinées à nous éclairer sur un 
autre point; c'est que, dans ces arbres, les racines ont un 
moment assez précis pour commencer leur élongation. Si 


PARTIE PHYSIQUE. CXXXIX 


l'on découvre les racines d’un pin pendant l'hiver, on trouve 
que leur extrémité est simple, c'est-à-dire formée d’un cy- 
lindre sans ramifications, de trois à quatre pouces de long; 
il paraît sec et d’une couleur fauve; son bout est renflé, et 
des espèces d’écailles lui donnent l'apparence d’un bourgeon. 
Pour plus de conformité, cette élongation paraît se faire 
jour à travers les écailles; elle s’alonge insensiblement jus- 
qu’à ce qu’elle ait acquis à peu près la longueur de la précé- 
dente ; mais elle s’en distingue par sa couleur blanche et son 
apparence suceculente, et par un diamètre à peu près double. 
Il en sort horizontalement des tubercules blancs disposés 
distiquement qui fournissent des racines latérales, lesquelles 
sont en conséquence rangées comme les dents d'un peigne; 
elles sont de moitié plus petites dans leur dimension que 
la terminale, et parviennent à peu près en même temps à 
leur maximum. Alors la couleur blanche se ternit, en même 
temps l'épaisseur diminue, et, vers le milieu de l'été, elles 
se trouvent recouvertes d’un épiderme sec et fauve. L’extré- 
mité de l'élongation se déchire longitudinalement en lanières 
étroites qui prennent l'aspect d’écailles et recouvrent le 
bout, qui seul conserve son diamètre primitif et sa couleur 
blanche; de là vient l'apparence de bourgeons de cette partie. 
Le bout reste stationnaire jusqu’au printemps suivant. Alors 
une partie seulement des racines latérales font leur évo- 
lution; les autres disparaissent. Un nouvel épiderme se re- 
forme sous l'ancien; celui-ci est obligé de se déchirer en 
lambeaux pour lui faire place, et d'années en années il s'accu- 
mule. Ces faits sont analogues à ce qui se passe sous l'écorce 
extérieure, c’est-à-dire celle du tronc et des branches ; 
mais il y a des modifications qui dérivent de leur position 
S 2 


exl HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


respective. M. du Petit-Thouars regarde leur examen comme 
un des points capitaux qui lui restent à étudier. 


M. pe Mirsez a présenté à l'Académie des recherches sur 
la distribution géographique des végétaux phanérogames de 
l’ancien monde, depuis l'équateur jusqu'au pôle arctique. Il 
serait impossible de donner une courte analyse «’un Mémoire 
aussi étendu, et qui renferme de nombreux aperçus sur la 
géographie physique, le climat et la végétation des contrées 
que l’auteur passe en revue. Nous nous bornerons donc à 
donner en peu de mots les idées fondamentales auxquelles il 
rattache tous les faits particuliers , et le plan qu’il a suivi dans 
l'exécution de son travail. 

Quand on suit les mêmes méridiens des pôles à l'équateur, 
et que l’on fait abstraction des accidents locaux qui contra- 
rient de temps en temps la marche normale des phenome- 
nes, on voit que les richesses végétales se multiplient en 
raison de l'élévation croissante de la température annuelle et 
de la plus longue durée de la période des développements. 
On peut donc établir une progression numérique des espè- 
ces, croissante ou décroissante, selon que l’on descend les 
latitudes ou qu'on les remonte. 

On compte cent cinquante à cent soixante familles de 
plantes phanérogames dans l’ancien monde. Toutes, sans ex- 
ception, figurent entre les tropiques. Par-delà ces limites, un 
grand nombre d’entre elles s’éteignent successivement. Dans 
les contrées boréales, sous le 48° degré, il n’y en a guere 
que la moitié qui soit représentée; il n'y en a pas quarante 
sous le 65e degré; il n’y en a que dix-sept au voisinage des. 
glaces polaires. 


PARTIE PHYSIQUE. cxl} 


L'auteur pense que, s'il était permis de se former une opi- 
-nion d'après des notions très-positives, mais qui sont loin 
d'être complètes, on pourrait dire qu'entre les tropiques le 
nombre des espèces ligneuses, arbres, arbrisseaux et sous- 
arbrisseaux , égale, s'il ne surpasse, celui des espèces herba- 
cées annuelles, bisannuelles et vivaces. Le rapport des espèces 
ligneuses aux espèces herbacées annuelles, bisannuelles et 
vivaces, décroiît de l'équateur au pôle; mais, par une sorte 
de compensation, le rapport des herbes vivaces aux herbes 
annuelles et bisannuelles va croissant. Près du terme de la 
végétation, il est au moins de 24 à r. 

Cette échelle végétale, avec des circonstances analogues, a 
été observée également dans les montagnes. Les plaines si- 
tuées à leur pied sont pour elles ce que sont les régions équa- 
toriales pour les deux hémisphères. Le nombre des espèces 
et des familles, le rapport des espèces ligneuses aux espèces 
herbacées, le rapport des espèces annuelles aux espèces vi- 
vaces, diminuent de la base au sommet des montagnes, et 
ut station offre une végétation qui lui est propre. Ici, 
comme dans les plaines, la température trace les lignes d’ar- 
rèt. Plus on s'élève au-dessus du niveau de la mer, moins est 
chaude et longue la période des développements, et par 
conséquent plus est froide et prolongée la période du repos. 
Que les causes qui déterminent le décroissement progressif 
de la température soient autres qu'à la surface plane et basse 
de la terre; qu’en rase campagne le refroidissement marche 
beaucoup plus vite durant la période du repos que durant 
la période des développements; que sur les montagnes il soit 
un peu plus accéléré durant la période des développements 
que durant celle du repos, l’auteur ne pense pas que cela 


exli] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


infirme la comparaison, si les résultats généraux de la végé- 
tation sont les mêmes, et si les différences s'expliquent d’une 
manière satisfaisante, soit par la graduation particulière de 
la température, soit par des circonstances climatériques qui 
lui sont étrangères, soit enfin par les qualités diverses du 
sol. 

M. de Mirbel est si frappé de la ressemblance des résultats, 
qu’il n’hésite pas à comparer les deux hémisphères de notre 
globe à deux énormes montagnes réunies base à base, por- 
tant sur leurs larges fiancs une innombrable quantité de vé- 
gétaux, et chargées à leur sommet d’un épais et vaste cha- 
peau de neiges permanentes. 

Les botanistes, pour exposer avec méthode et clarté la suc- 
cession des végétaux sur les pentes des Pyrénées, des Alpes, 
des Andes, etc., se sont appliqués à déterminer la hauteur 
. des lignes d’arrêt des espèces qui caractérisent le mieux les 
diverses stations ; et, par ce moyen, ils ont partagé hori- 
zontalement la surface des masses proéminentes du globe en 
grandes bandes ou régions végétales. Le même procédé a été 
employé pour les deux hémisphères, mais non pas avec au- 
tant de succès : les difficultés sont incomparablement plus 
grandes. 

De la base au sommet des montagnes, la température 
poursuit sans intermittence une marche descendante plus 
ou moins rapide, selon les hauteurs des stations : il n’en est 
pas ainsi dans les plaines. A la vérité, le refroidissement pro- 
gressif considéré dans l’ensemble des phénomènes est de 
toute évidence; mais quand on vient aux faits particuliers, 
on reconnaît que souvent des circonstances locales préci- 
pitent ou retardent la marche de la température, ou mème 


PARTIE PHYSIQUE. cxlii] 


quelquefois lui font prendre une direction rétrograde. Tan- 
tôt ce sont les espèces du Nord qui s’enfoncent vers le tro- 
pique; tantôt celles du Midi qui remontent vers le Nord; et 
quelquefois des groupes appartenant à ces races distinctes 
font échange de patrie, se croisent, et, chacun de leur côté, 
s'en vont établir des colonies dans des stations privilégiées, 
au milieu de populations végétales auxquelles ils ne sont 
pas moins étrangers par la physionomie que par le tempé- 
rament. 

Ces difficultés n'ont point rebuté M. de Mirbel; il distingue 
dans l’ancien continent, depuis l'équateur jusqu’au pôle arc- 
tique, cinq régions végétales, savoir: la zone équatoriale, la 
zone de transition tempérée, la zone tempérée, la zone de 
transition glaciale, et la zone glaciale. £ 

Partout où aucune limite accidentelle n'arrête ces zones 
dans leurs expansions naturelles, on peut les comparer aux 
couleurs du prisme , qui se fondent les unes dans les autres 
par leurs bords; de sorte que l'œil ne saurait les séparer, 
alors même qu’il les distingue parfaitement. Pour marquer 
le terme des différentes zones, le moyen le plus sûr est de 
prendre pour limite de chacune d’elles les points d'arrêt des 
espèces qui, caractérisant le mieux sa flore particulière, 
cessent de se propager sitôt que des changements notables et 
généraux dans les températures annuelles amènent sur la 
scène une flore nouvelle. | 

M. de Mirbel avoue qu’il lui a été impossible de faire l'appli- 
cation de ce procédé à la zone équatoriale, parce que des 
sables et des chaînes de montagnes y contrarient trop sou- 
vent l'expansion normale de la végétation : il a été plus heu- 
reux en remontant vers le Nord. La zone de transition équa- 


exliv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


toriale trouve une limite naturelle dans la ligne d'arrêt de 
l'olivier; la zone tempérée, dans la ligne d'arrêt du chêne 
commun ; la zone de transition glaciale, dans la ligne d’arrêt 
du pin sylvestre en Occident, et du mélèze en Orient. Quant 
à la zone glaciale, l’auteur la divise en deux bandes; l'in- 
férieure ou méridionale, la supérieure ou septentrionale : 
l’une et l’autre n'offrent aucun arbre; la premiere nourrit 
encore beaucoup d’arbrisseaux ou arbustes, et finitouils s’ar- 
rêtent ; la seconde ne nourrit guère que de petites herbes 
vivaces , et finit où commencent les neiges permanentes. Les 
espèces de la zone glaciale ne forment qu'une seule et même 
flore en Asie, en Europe et en Amérique. 

L'auteur joint à ce Mémoire un tableau de la végétation 
des contrées les plus connues des quatre zones septentrio- 
nales, et il indique dans un appendice les lignes d'arrêt mé- 
ridionales et septentrionales d’un grand nombre d’arbres. 

M: de Mirbeï a publié en même temps que ce travail la 
description de neuf espèces nouvelles d'arbres de la famille 
des amentacées. Nous ne connaïissions jusqu'ici que trois es- 
peces de hètres : il a porté ce nombre à sept; deux des quatre 
espèces qu'il publie croissent au Chili, et les deux autres au 
détroit de Magellan. 


L'ouvrage de M. Adolphe BronewrarT, fils de l’un de nos 
confrères , sur la fécondation des végétaux, qui a obtenu 
l’année derniere une distinction éminente, a été publié. 

D'après les observations de l'auteur, le pollen forme d'a- 
bord une masse qui n'adhère point aux parois de la loge 
qui le renferme, et qui se divise bientôt en cellules conte- 


PARTIE PHYSIQUE. cxlv 


nant les grains; mais chaque grain de pollen mür contient 
lui-même dans sa membrane un certain nombre de grains 
plus petits, ou degranules enveloppés aussi dans une tuni- 
que membraneuse mince. 

M. Amici avait observé que lorsque le so de pollen tombe 
sur le stygmate, il en sort un filet plus ou moins long, qui 
paraît une production de sa membrane interne, dans lequel 
une partie des granules se porte et exerce des mouvements. 
Ce filet a été vu et dessiné par M. Adolphe Brongniart dans 
un grand nombre d’espèces. Il s'introduit dans l'épiderme 
du stygmate, s'y unit en quelque sorte, et paraît être un 
organe important pour la fécondation. C'est aux granules 
qu'il contient et qu’il transporte dans le stygmate, que notre 
jeune auteur attribue surtout cette fonction. Il es compare 
aux animalcules spermatiques, dont ils semblent avoir les 
mouvements. Dans quelques espèces même , telles que cer- 
taines malvacées, ils s’agitent visiblement , et se courbent 
comme des vibrions. 

M. Brongniart croit que les granules polliniques ne se sont 
pas formés dans l’intérieur du grain de pollen, mais qu'ils 
ont été absorbés par des pores tres-visibles à sa surface dans 
certaines espèces. C’est au travers duparenchymedustygmate, 
et non par des vaisseaux particuliers qu’il les fait arriver aux 
ovules. Il suppose que le liquide dont le stygmate est cou- 
vert à sa surface aide à les transporter à l'intérieur par le 
mouvement naturel qu’il prend dans cette direction. La 
graine future; ou l’ovule, composée de deux enveloppes et 
d'une amande parenchymateuse, recoit ses vaisseaux nour- 
riciers par son point d’adhérence, qui se nomme hile ou 
chalaze, mais a constamment ses téguments ouverts en un 

FX. Hist. 1897. T 


cxlv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


autre point qui est le micropile, et même dans les ovules où 
l’amande est soudée aux téguments, elle a un mamelon qui 
fait saillie au travers de cetté ouverture. C’est en face de ce 
point que se termine sensiblement le tissu du stygmate, qui 
sert à la transmission des granules , sans toutefois s'y unir ; 
et de cet endroit ouvert, il règne dans l’intérieur de l’ovule 
un tube particulier jusqu’au sac embryonnaire; ce tube sort 
même quelquefois de l'ovule sous forme defilet, et M. Bron- 
gniart croirait volontiers qu'il prend toujours cette extension 
au moment de la fécondation. 

La marche des granules, depuis la surface du stygmate 
jusque dans l’ovule, est assez lente, et l’auteur assure avoir 
remarqué que dans les cucurbitacées elle exige au moins huit 
jours. Dans le sac embryonnaire est une petite vésicule des- 
tinée à devenir ou à renfermer l'embryon. M. Brongniart la 
compare à la cicatricule de l'œuf des oiseaux. Il a cru y voir 
dans certaines plantes, au milieu d'une petite masse paren- 
chymateuse, un grain qu’il soupçonne d'être un granule 
provenu du pollen, qui y aurait pénétré, et il suppose que 
l'embryon formé d'un ou de plusieurs de ces granules du 
pollen, et de plusieurs autres granules fournis par l’ovule, 
se confond avec cette vésicule, qui devient son épiderme. 


M. Tuorrix, qui a fait tant de recherches microscopiques 
sur le tissu intime des végétaux, les a portées cette année 
sur la truffe, et a fait ses efforts pour en découvrir l'organi- 
sation et le mode d’accroissement et de propagation. 

Cette production singulière, dépourvue de feuilles et de 
racines, ne se nourrit que par l'absorption de sa surface, et 
n'a de moyens de se reproduire que dans son intérieur. 


PARTIE PHYSIQUE. cxlvi] 


Sa masse ne se compose que de deux sortes d'organes élé- 
mentaires, des vésicules globuleuses destinées à la repro- 
duction, et que M. Turpin compare au tissu cellulaire des 
autres végetaux, et des filaments court et stériles qu’il nomme 
tigellules, les comparant aux tiges des végétaux ordinaires 
et aux vaisseaux que ces tiges renferment. 

Le tout forme une chair blanche d’abord, et qui, en avan- 
çant en âge, devient brune, à l'exception de certaines parties 
qui imitent les veines blanches d'un marbre. Ce changement 
de couleur est dû, selon M. Turpin, à l'apparition des corps 
reproducteurs qu’il nomme truffinelles, et dont il explique 
la formation et le développement de la manière suivante : 
Chaque vésicule globuleuse est disposée de façon à donner 
naissance de ses parois à une multitude de corps reproduc- 
teurs; mais il n’y en a qu'un petit nombre qui remplisse 
réellement cette destination ; et celles-là, après s'être dila- 
tées , font voir dans leur intérieur des vésicules plus petites, 
dont quelques-unes grossissent , brunissent , se hérissent ex- 
térieurement de pentes pointes, et se remplissent encore 
d’autres vésicules qui s’entre-greffent bientôt. Ce sont ces pe- 
tites masses ainsi formées , ou les truffinelles , qui deviendront 
des truffes, après que celle dans l’intérieur de laquelle elles 
ont été conçues aura elle-même péri. Micheli et Bulliard 
avaient reconnu une partie de ces faits; mais M. Turpin les 
a mieux constatés , les a débarrassés d'hypothèses gratuites, 
et les a représentés par de très-beaux dessins. 

Mais comment ces petites truffes, qui ne jouissent d'aucun 
mouvement progressif, peuvent-elles quitter le point où elles 
sont nées, et se propager à distance ? C’est un problème dont 
M. Turpin ne s’est point occupé, et digne d'exercer toute la 

T2 


cxlvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


sagacité d’un observateur qui habiterait les lieux où la truffe 
croît abondamment. 


Les laminaires, genre de ia grande classe des hydrophytes, 
sont sujettes à de fortes variations, d'apres l'âge où on les 
observe, et ces variations avaient donne lieu à en admettre 
jusqu’à quinze espèces sur nos côtes de Normandie. Des ob- 
servations faites sur ces plantes dans leur lieu natal, et qui 
ont porté sur toutes les modifications que leurs formes, leurs 
grandeurs, leurs couleurs ét leurs consistances éprouvent , 
soit successivement dans le même individu, soit simultané- 
ment dans un grand nombre, ont démontré à M. DesPrÉAux 


que ces quinze espèces doivent se réduire à cinq. 
4 


Les ouvrages de botanique proprement dite, les recueils 
de descriptions et de figures si précieux pour la science des 
végétaux, mais si difficiles à analyser dans un travail tel 
que le nôtre , ont été nombreux cette année. 

La Flore brésilienne de M. Auguste ne SarnT-Hi£atRE à con- 
tinué de paraître, et MM. Adrien pe Jussreu et CAMBESSÈDE 
se sont associés à ce savant et zélé botaniste ; pour en accé- : 
lérer la publication. 

Les plantes recueillies lors du voyage de M. Freycinet sont 
décrites par M. GaupicæauD , et forment une partie impor- 
tante du bel ouvrage où sont consignés les riches résultats 
de cette savante circumnavigation. M. Derrcre à fait impri- 
mer le travail sur l’/soëtes, dont nous avons déja rendu compte 
dans notre analyse de 1824. Le même botaniste a publié une 
centurie de plantes recueillies par M. Caicrauo en Nubie, 


PARTIE PHYSIQUE. exlix 


et le long des rives de cette branche du Nil que l’on a nommée 
le Fleuve blanc : ce sont surtout des végétaux de l'antique 
Méroë, cette source de la civilisation égyptienne ; autrefois 
si fameuse et si respectée, maintenant livrée à La même dé- 
solation que le reste de l'Afrique. M. Jaume-Sarnr-Hrrarre 
annonce une }lore et une Pomone française, qui fera suite 
a la Flore française qu'il a fait paraître depuis quelques an- 
nées. M. Décawnoze a donné un traité sur les plantes de la 
famille des mélistomées. 


Parmi les genres et les espèces si nombreuses dont la bo- 
tanique a été ainsi enrichie, nous ferons remarquer le Jo- 
hffia, cucurbitacée vivace à tiges sarmenteuses et ligneuses, 
à ratneaux grimpants, qui croissent à cinquante et cent pieds 
de longueur, à fruit charnu, anguleux, leng de deux et trois 
pieds, sur huit pouces de diamètre, et dont les grains four- 
nissent une bonne huile. Cette plante est originaire de la 
côte orientale de l'Afrique, et s’est propagée à l'Ile-de-France, 
où on la nomme Liane joliff, d'après le nom du capitaine qui 

l'y a apportée le premier. On n'y possédait d’abord que des 
pieds femelles ; mais l'espèce a été complétée par M. Bojer, 
botaniste anglais, qui l’a recueillie dans une expédition faite 
à Madagascar et à Zanquebar; les nègres de cette côte la con- 
naissent sous le nom de Aouémé. C'est de M. Derir1x que 
l'Académie a recu l’histoire de ce végétal intéressant. 


M: Auguste pe Sainr-HiLaire, ainsi que nous l'avons déja 
fait connaître plus d’une fois, ne s'est pas borné à la simple 
description des plantes qu'il a recueillies ; et cette année il à 


cl HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


présenté, dans ur Mémoire particulier, des considérations 
nouvelles sur les rapports qui unissent entre elles les diffé- 
rentes familles de plantes de la classe des polypétales. Il 
prouve, par de nouveaux exemples, tirés de ses découvertes, 
ce que déja les recherches de tous les naturalistes ont fait 
apercevoir; c'est que l'établissement d'une série linéaire com- 
plète des genres et des familles serait un problème insoluble; 
que l'on ne pourrait essayer de la former sans sacrifier des 
rapports importants pour en ménager d’autres, et qu'enfin 
il ne serait pas impossible de composer plusieurs séries qui, 
différant sur un certain nombre de points, seraient pour- 
tant également bonnes. Les exemples qu'il allègue à l'appui 
de son assertion paraissent incontestables, mais ne sont 
pas de nature à être rapportés ici. 


ZOOLOGIE. 


M. Bory Saint-VincenT a publié une Histoire naturelle de 
l’homme, extraite du Dictionnaire classique d'Histoire na- 
turelle, et concue d'apres des idées entierement propres à 
l’auteur. Selon lui, le genre humain, non-seulement ne serait 
pas réduit à une seule espèce, mais il se composerait d’es- 
pèces plus nombreuses qu'il n’en a été admis jusqu’à ce jour 
par les écrivains qui les ont le plus multipliées. Le commun 
des Européens, les Arabes, les Indous, ies Tartares, les 
Chinois, les petits hommes qui habitent le nord des deux 
continents et que l’on connaît sous les noms de Lapons, de 
Samoyèdes et, d'Esquimaux, les habitants des îles de la mer 


du Sud , ceux de la Nouvelle-Hollande, seraient des espèces. 


PARTIE PHYSIQUE. cl} 


distinctes aussi bien que les Nègres, les Cafres et les Hot- 
tentots. L'Amérique aurait trois espèces qui lui seraient 
propres; celle qui occupe les pays situés entre la baie d’'Hud- 
son et le fleuve des Amazones, celle qui habite au sud de 
ce fleuve, et celle qui est confinée à.la pointe méridionale, 
ou ce que l’on appelle les Patagons : mais les Mexicains et les 
Péruviens seraient descendus de l'espèce des îles de la mer 
du Sud. M. Bory donne des noms à ces quinze espèces, et 
cherche à leur assigner des caractères distinctifs; il les subdi- 
vise en races et en variétés. Ainsi, l’espèce japétique ou euro- 
péenne se divise en race caucasique, race pélage, race cel- 
tique, race germanique, qui elle-même comprend une variété 
teutone et une variété slavone. 

Les personnes qui se sont occupées d’ethnographie, et se 
sont fait queique idée des caracteres des peuples, concevront 
facilement sur quelles bases reposent ces distinctions, et en 
rechercheront sans doute avec intérêt le détail dans l’ouvrage 
de M. Bory. ; 


o 


La girafe donnée au roi par le pacha d'Égypte, et qui se 
voit aujourd'hui à la ménagerie du Jardin du Roi, étant le 
premier individu de cette espèce qui ait été vu vivant en 
France, a donné lieu à plusieurs écrits concernant son his- 
toire naturelle. 

M. Mowcez à rassemblé les passages des auteurs anciens 
où il en est question, et ceux des auteurs du moyen âge qui 
parlent des girafes vues en Europe à diverses époques. 

Aristote ne paraît pas avoir connu ce singulier animal : 
Ptolomée Philadelphe fat le premier qui en montra une dans 


cli HISTOIRE DE L'ACALÉMIE, 


la célèbre fête dont Athénée nous a conservé le détail. L'espèce 
a été décrite par Agatharchide et par Artémidore. César en fit 
paraître une à Rome, dans les jeux du Cirque, 45 ans avant 
Jésus-Christ. Il y en aune représentée assez exactement sur la 
mosaïque de Palestrine, monument que l’on croit de l'époque 
d'Adrien. A la fin du premier millénaire de Rome, l'an de 
Jésus-Christ 248, l'empereur Philippe fit voir, entre autres 
animaux extraordinaires, jusqu'à dix girafes à la fois; et 1l 
en parut encore plusieurs au triomphe d’Aurélien , en 284. 

Il en est question ensuite dans nombre d'auteurs. Cosmas, 
Philostorge, Héliodore, Marcellin , Cassianus Bassus, Pachi- 
mere, en parlent plus ou moins exactement; et l'on juge, par 
ce que ces écrivains en disent, qu'il avait dû en être amené 
plus d’une fois, sait à Alexandrie, soit à Constantinople. 

Depuis la conquête de l'Afrique par les Arabes, c'est pres- 
que aux princes mahométans que le privilége d’en posséder 
a été réservé, ét ce sont en général les maîtres de l'Égypte 
qui en ont fait des présents. Il en fut envoyé une à T'amerlan, 
à Samarkand, en 1404. Bernard de Breitenbach, chanoine 
de Mayence, en vit une au Caire, en 1483, et la représenta 
grossièrement dans son Voyage à la Terre-Sainte, imprimé 
en 1486. Les sultans de Constantinople en ont reçu à plu- 
sieurs reprises. Gillius en vit trois dans la ménagerie du sé- 
rail, au commencement du seizième siècle, et Thevet, son 
compagnon de voyage, en donne des figures dans sa Cos- 
mographie. Il y en avait une peu de temps avant l’arrivée de 
Busbeck, en 1554. Michel Baudier y en dessina une en 1622, 
et M. le comte Anpréossy a fait voir à l'Académie la gravure 
qui se trouve dans l'Histoire du sérail de cet auteur, im- 
primée en 1632; mais, dans l'Europe chrétienne, on n'en 
cite que trois durant tout le moyen âge. 


PARTIE PHYSIQUE. chi} 


L'empereur Frédéric II, qui entretenait des relations assez 
intimes avec les princes du Levant, et qui avait envoyé un 
ours blanc au soudan d'Égypte, en reçut en retour une gi- 
rafe, qui a été décrite par Albert-le-Grand. Il en fut envoyé 
une autre à son fils naturel, Mainfroi, roi ce Sicile. 

La troisième et en même temps la dernière qui ait été vue 
dans la chrétienté, avant celle qui est maintenant à Paris, avait 
été envoyée à Laurent de Médicis, en 1486, par le soudan 
d'Égypte: elle est peinte dans les fresques de Poggio Caiïano; 
et Antoine Constanzio, qui l'avait vue à Fano, l'a décrite 
dans une lettre insérée dans son Recueil d'épigrammes, im- 
primé en 1502, et adressé à Galéas Manfredi, prince de 
Faenza. 

Les parties du corps de la girafe étaient elles-mêmes rares 
dans les cabinets. 

Buffon et Daubenton n’en ont jamais vu qu’un os du ra- 
dius, qui était conservé d’ancienne date au garde-meuble de 
la couronne comme un os de géant. Depuis quelques années, 
on en possédait des peaux au cabinet du roi et au muséum 
britannique; et le premier de ces établissements en avait un 
beau squelette. Les derniers voyages en Afrique les ont ren- 

dues plus communes. Feu Delalande en a rapporté du Cap 
une peau de femelle et plusieurs têtes osseuses, il en est venu 
récemment plusieurs squelettes du Sénégal, et M. Ruppel 
en a envoyé aussi des peaux et des têtes au cabinet de Franc- 
fort; mais c'est en Nubie qu'il les a recueillies, pays où la 
girafe vivante du Jardin du Roi paraît également avoir été prise. 

Ces différentes peaux ne se ressemblent pas entièrement 

pour la grandeur et pour la distribution des taches, et l’on 


observe aussi quelques variétés dans les formes des têtes, ce 
T. X. Hist. 1827. \/ 


cliv HISTOIRE DE L'ACADÉMIÉ, 


qui a fait penser à M. Georrroy-Saivr-Hicarre que les girafes 
du Cap et celles de Nubie pourraient bien ne pas appar- 
tenir à la même espèce. 

Deux faits curieux et nouveaux pour l'anatomie comparée 
résultent de l'examen de ces pièces : le premier, c'est que les 
cornes de la girafe ne sont pas simplement,comme les noyaux 
des cornes des bœufs ou des moutons, des productions des 
os frontaux, mais qu'elles constituent des os particuliers, sé- 
parés d’abord par des sutures, et attachés à la fois sur l'os 
frontal et sur le pariétal; le second, plus important peut- 
être encore, c'est que la troisieme petite corne, ou le tuber- 
cule qui est placé entre les yeux en avant des cornes, est 
elle-même un os particulier, séparé aussi par une suture, et 
attaché sur la suture longitudinale qui sépare les deux os du 
front. Cette circonstance affaiblit les objections que plu- 
sieurs auteurs, et surtout Camper, avaient faites contre 
l'existence de la licorne, objections fondées sur ce qu'une 
corne impaire aurait dù être attachée sur une suture, ce qui 
leur paraissait impossible. Toutefois il ne résulte pas de là 
que la licorne existe; et en effet, bien que partout la croyance 
populaire admette la réalité de cet animal, bien que partout 
on trouve des hommes qui prétendent l'avoir vu, tous les 
efforts des voyageurs européens pour le retrouver ont jus- 
qu'a présent été inutiles. 


M. Gerorrroy-SarnT-Hiramme a traité de l'oiseau que les 
anciens avaient nommé frochilus, qui débarrasse la gueule 
du crocodile des insectes qui l'incommodent: les faits qu'il 
a constatés à ce sujet dans la Thébaïde, pendant l’occu- 
pation de l'Égypte par les Français, ont été publiés en 1807; 


PARTIE PHYSIQUE. clv 


et deux ans après (en 1809), M. Descourtils à assuré que la 
même chose a lieu sur le crocodile de Saint-Domingue. 

Ce ne sont pas des sangsues, comme l’a dit Hérodote, 
qui tourmentent ce grand amphibie, car il n’y en a point 
dans les eaux courantes du Nil, mais bien. des cousins, 
insectes si insupportables dans tous les pays chauds ; ils s’at- 
tachent à la langue du crocodile, seule partie de son corps 
assez molle pour être entamée par leur trompe, et qui de 
plus ne peut se défendre, puisqu'elle est fixée à la mâchoire 
inférieure. 

L'oiseau qui vient avec tant de sécurité enlever ces insectes 
ne paraît pas le même dans les deux pays. On a donné comme 
tel à M. Geoffroy le petit pluvier à collier, nommé chara- 
drius ægyptius , qui senomme en Égypte tec-tac ou sec-sAC ; 
nom qui avait déja été indiqué par le P. Sicard comme 
étant celui du trochilus. M. Descourtils dit simplement qu'à 
Saint-Domingue c’est le todier (todus viridis), oiseau d’une 
toute autre famille, qui, à la vérité, se nourrit aussi d’in- 
sectes , mais qui les poursuit et les prend en volant avec beau- 
coup d'adresse. 

Quelques auteurs avaient pensé que le trochilus pourrait 
être un des pluviers ou des vanneaux armés que produit 
l’Afrique, et qu'il pouvait se défendre contre le crocodile 
au moyen des éperons qui garnissent ses ailes; mais une pa- 
reille défense serait trop faible contre un être si robuste et si 
vorace. On ne peut donc douter que si en effet l'oiseau vient 
prendre des cousins sur la langue du crocodile, ce ne soït 
du consentement de cet amphibie. C’est l'opinion de M. Geof- 


froy, et il croit que le crocodile est déterminé en cela par le 
Vis 


clv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


sentiment du bien-être que lui procure l'opération du tro- 
chilus. 


M. Grorrroy s’est aussi occupé de nouveau d’un sujet qu’il 
avait déja traité, il y a quelques années, des espèces de 
crocodiles de moindre taille, qui peuvent vivre dans le Nil, 
et du nombre desquelles il pense qu'était celle à laquelle Le 
Égyptiens rendaient des hommages religieux. L'examen de 
plusieurs momies de crocodiles, rapportées dans ces derniers 
temps, et celui d’un assez grand nombre d'individus récents 
du même genre, lui ont offert, dans la forme plus alongée du 
museau, et dans d’autres détails, des caractères qui lui pa- 
raissent suffisants pour établir cette multiplicité d'espèces ; et 
il continue de penser que l’une d'elles, moins cruelle et plus 
docile que les autres, portait spécialement le nom de suchus, 
et que c'était cale qui recevait les honneurs divins. 


M. Cover, qui s'occupe de l'impression d’un grand ouvrage 
sur l'histoire naturelle des poissons, en a communiqué quel- 
ques chapitres à l’Académie. Il l'a entretenue surtout du 
poisson si célèbre chez les anciens, sous le nom de scarus , 
et d'un poisson d'Amérique, qui a été nommé tambour, à 
cause du bruit très-fort et tres-singulier qu’il fait entendre. 

Les anciens regardaient le scarus comme supérieur, pour le 
goût, à tous les autres poissons; il n'habitait que les mers de 
Grèce, et les Romains avaient envoyé des flottes pour en rap- 
porter dans la mer de Toscane et l'y naturaliser. On fit des lois 
pour en protéger la propagation , et cependant il paraît ne pas 
s'y être conservé long-temps. Les naturalistes n'étaient même 
pas d'accord sur l'espèce à laquelle le nom de scarus a appar- 


PARTIE PHYSIQUE. clvi] 


tenu; mais on savait que les Grecs modernes donnent encore 
ce nom à un poisson de leurs côtes qu'ils estiment beaucoup. 
M. l'amiral de Rigny ayant bien voulu faire prendre de ces 
scarus des Grecs modernes, etlesenvoyer au Cabinet du roi,ila 
été facile de reconnaître qu'ils répondent à tout ce queles an- 
ciens ont dit du leur, et que c’est la même espèce qui a gardé 
son nom au travers des siècles. Aldrovande se trouve être le 
seul moderne qui ait connu et décrit ce poisson, qu’il a nommé 
scarus creticus. Bloch a donné à sa place une espèce du même 
genre, mais assez différente; et Belon a représenté sous ce 
nom de scarus un poisson inconnu aujourd'hui, et qu’il n’a 
peut-être dessiné ou décrit que de mémoire, en sorte qu'il a 
induit en erreur les autres naturalistes, et nommément Gme- 
lin et M. de Lacépède. 

Le poisson appelé tambour est le pogonias que M. de La- 
cépède a décrit, mais seulement d’après de petits individus. 
Son espèce devient tres-grande : il égale ou surpasse notre 
maigre, dont il se rapproche aussi par toute son organisa- 
tion ; mais il s’en distingue par une multitude de petits fila- 
ments qui lui forment une espèce de barbe sous la mâchoire 
inférieure. Dans son gosier sont des plaques pavées de grosses 
dents rondes, et sa vessie natatoire, qui est très-épaisse , a, 
comme celle du maigre, des espèces de ramifications qui 
pénètrent dans l'épaisseur des chairs. 

M. Cuvier, considérant que le maigre fait aussi en- 
tendre un bruit particulier, soupçonne que cette disposition 
de la vessie natatoire n’est point étrangère à la production 
de ce bruit. Néanmoins le phénomène reste encore difficile 
à expliquer par cette voie: c’est dans l’eau même que le bruit 
est produit; il est très-fort, très-continu ; on l'entend de l'in: 


clvii] HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


térieur des vaisseaux quand le poisson s’en approche, et plus 
d'une fois il a effrayé des navigateurs. 


M. pe BLaiNvicee a fait paraître à part, sous letitre de Manuel 
de Malacologie et de Conchyliologie, un ouvrage dont il 
avait déja jeté les principales bases dans le Dictionnaire des 
sciences naturelles, et où il embrasse la classe entière des 
mollusques sous un point de vue général, en donne l’histoire 
et la bibliographie, et présente, d'après une distribution qui 
lui est propre, le tableau des genres, avec des exemples pris 
des espèces les plus remarquables, et de belles planches. 

Le même naturaliste a donné un traité particulier sur les 
bélemnites, où il considère ces corps comme des coquilles in- 
termédiaires aux os des sèches, et aux coquilles chambrées 
des nautiles et des spirules , et où il en décrit méthodiquement 
plus de quarante espèces. Il fait connaître à la fin quelques 
autres productions fossiles analogues aux bélemnites. Cet ou- 
vrage est aussi accompagné de figures exactes et nombreuses. 


Il n'est pas rare de voir des insectes du même genre, mais 
assez différents par l'espèce ou du moins par les caractères de 
couleurs, que lon a cru désigner des espèces, s’accoupler 
ensemble. 

M. LepercerieR De S'-FarGeau a observé de ces sortes 
d'unions dans les voluccelles, genre de mouches à deux 
ailes qui ressemblent singulièrement à ces abeilles sauvages 
et velues que l'on a nommées bourdons, et dont, par une 
de ces coïncidences dans lesquelles il est si difficile de ne 
pas voir des causes finales, les larves sont destinées à vivre 


PARTIE PHYSIQUE. clix 


aux dépens de celles des bourdons. M. Lepelletier de St.- 
Fargeau pense que certaines voluccelles qui semblent tenir 
le milieu entre deux espèces du même genre, ne forment pas 
véritablement une troisième espèce, mais sont le résultat de 
ces accouplements qu'il appelle illégitimes. C’est une pré- 
somption qui mériterait d’être constatée par des expériences 
suivies. 


M. Léon Durour, qui a travaillé avec beaucoup de suite à 

. l'anatomie des insectes, et qui a décrit les viscères d’un très- 
grand nombre d’entre eux, a présenté un Mémoire sur le 
genre des forficules, nommés vulgairement perce-oreilles, où 
il entre dans les plus grands détails sur leur splanchnologie. 
Leurs organes de la digestion ne ressemblent pas entière- 
ment à ceux de l'ordre dans lequel on les range, celui des 
orthoptères ; elles ont des appendices pyloriques plus nota- 
bles : leur second estomac ou gésier est très-petit, quoique 
très-propre à la trituration; leurs appendices hépatiques sont 
plutôt disposées comme dans les hyménoptères, comme dans 
les guëpes, par exemple, etc. De ces détails, et de quelques 
autres relatifs à la disposition des anneaux de l'abdomen, 
M. Dufour conclut que l’on doit, à l'exemple de M. Kirby, 
faire des perce-oreilles un ordre particulier. Il le nomme /4- 
bidoüre, ce qui signifie queue en tenaille, et se rapporte à 
la conformation singulière de la pince qui termine l'abdomen 
des perce-oreilles, et qui déja en latin les a fait nommer 


forficula. 


Nous sommes loin de l'époque où Linnæus avait cru pou- 


clx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


voir se contenter de diviser en trois genres la famille des 
papillons. L'innombrable quantité des espèces découvertes 
depuis ce grand naturaliste, et les formes variées de leurs 
organes, ont donné lieu de multiplier les coupes génériques 
au point que l'on en fait maintenant plus de 5o, et que l’on 
a été même obligé de les répartir entre certaines tribus que 
l'on a élevées au rang de familles. Dans ce nombre est celle 
des zygénides, démembrée des sphynx de Linnæus, et qui 
aujourd'hui comprend assez de genres pour être elle-même 
subdivisée. 

M. Boispuvar, qui en a fait l'objet d'une étude spéciale, 
a présenté à son sujet un Mémoire d'autant plus remarquable 
par les faits curieux qu'il contient sur les habitudes de ces 
insectes, que trop souvent les auteurs de semblables recher- 
ches s’en tiennent à des descriptions et à des nomenclatures. 
La chenille de l’un des genres, le tkyris, vit dahs l’intérieur 
des rameaux de l’hyeble, et sa chrysalide, comme celle de 
plusieurs autres insectes dont la larve vit dans le bois, est 
armée de petites épines qui lui servent à s’avancer du fond 
de sa retraite vers l’orifice extérieur, par lequel le papillon 
doit sortir. L'auteur a continué pendant huit années ses ob- 
servations sur les zygènes proprement dites. Ces jolis in- 
sectes, dont les ailes supérieures sont d'ordinaire d’un bleu 
d'acier, et ornées de taches rouges ou jaunes, volent en plein 
jour, se reposent toujours sur des fleurs, et y demeurent 
accouplés pendant vingt-quatre heures : le mâle périt deux 
jours après, et la femelle aussitôt après sa ponte. Les accou- 
plements d'espèces différentes ne sont pas rares dans ce genre; 
mais l’auteur n’en a jamais obtenu d'œufs. Après la première 
mue, même lorsque le temps est encore assez beau, les che- 


PARTIE PHYSIQUE. clx} 


nilles s'engourdissent, et elles demeurent dans cet état jus- 
qu'au printemps suivant. Elles vivent à découvert et isolées, 
ou en petites sociétés. Des légumineuses herbacées servent 
de nourriture au plus grand nombre. Elles forment, pour se 
métamorphoser, des cocons de la consistance de parchemin, 
ou de coquille d'œuf, vernissés en dehors et en dedans, qu’eiles 
suspendent à des plantes grêles. M. de Boisduval décrit dans 
ce seul genre jusqu’à quarante espèces. 


Les cecidomyes sont de petits insectes à deux ailes, déta- 
chés par Meigen du genre des tipules de Linnæus, et dont 
l'histoire est intéressante, parce que les larves de plusieurs es- 
pèces vivent dans l’intérieur des végétaux, et qu’il en est même 
qui font tort aux céréales. 

M. Varcor, professeur à Dijon, en a décrit sept espèces, 
dont six doivent être ajoutées, selon lui, aux dix-sept qui 
avaient déja été décrites par Meigen. Sur les six, Réaumur 
en a connu deux, mais seulement à l'état de larve : l’une 
d'elles produit de grandes altérations dans les étamines et 
les pistils du verbascum; une seconde produit de petites galles 
barbues, qui s'observent sur la véronique chamædris. Des 
monstruosités analogues dans le lychnis, l'euphorbe et le 
laiteron, sont dues à trois autres. La plus singuliére serait 
celle dont la larve habite, selon M. Vallot, la surface inférieure 
des feuilles de la grande éclaire, et y sucerait les cirons ou 
acarus qui s’y trouvent, comme les larves de certains syrphus, 
autre genre de diptères qui font la guerre aux pucerons; 


mais ce genre de vie serait si différent de celui que suivent 
T. X. Hist. 1827. : X 


clxi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


les autres espèces, que l’on croit nécessaire de le constater 
par de nouvelles observations. 


M. Bosc a découvert, dans les étangs des environs de Pa- 
ris, une production vivante semblable à une légère croûte 
verdâtre qui se contracte quand on la touche, et qui, vue au 
microscope, paraît composée de petits tubes anguleux, dans 
chacun desquels on observe un animal à tentacules nombreux 
et courts, un peu disposés en entonnoir. Cette production 
ressemblant, à quelques égards, à ces polypiers marins que 
l’on a nommés alcyons, a été rangée dans leur genre par 
Bruguière, et décrite par lui sous le nom d’alcyon fluviatile ; 
et depuis lors, M. de Lamarck en à fait un genre distinct, 
qu'il appelle alcyonelle, mais qu'il laisse auprès des alcyons. 

MM. Raspaiz et Rorineau-DeEsvoipy ont fait nouvellement 
une étude particulière de l'alcyonelle, et ils assurent avoir 
constaté que ses tubes ne sont pas ouverts; que chacun d’eux 
est occupé par une sorte de sac rempli de petits corps ova- 
les, comprimés, entourés d’un bourrelet, dont l'écorce est 
dure et cornée, et l’intérieur cellulaire et élastique, rempli 
de myriades de granules qui se répandent sur le porte-ob- 
jet du microscope comme par explosion. Les auteurs consi- 
dérent ces petits corps comme des gemmes, et le sac qui les 
contient comme un ovaire. Les germes se développent suc- 
cessivement, et lorsque l'ovaire en est rempli, sa membrane 
se déchire pour les laisser sortir : c'est alors que l’alcyonelle 


paraît composée de tubes. 
Quant aux animaux que l’on y a observés, MM. Raspail 


et Robineau les croient des parasites qui sont venus se loger 


PARTIE PHYSIQUE. clxii] 


dans les tubes. En avant retiré un, ils lui ont vu un corps 
’ P 
formé de quatorze anneaux et terminé par des filaments, que 
l'on peut avoir pris pour des tentacules de poiype : ils re- 
gardent ces animaux comme des naïdes. Les commissaires 
de l’Académie pensent que ce sont plutôt des larves de dip- 
tres, de la famille des tipules, et que leurs filaments adhe- 
rent, non pas à la tête, mais à la partie postérieure. 
9 Us 
Cette production mérite, comme on voit, une attention 
Le 3 

particulière de la part des naturalistes ; mais on voit aussi 
qu’elle a besoin d’être encore étudiée avec persévérance avant 
de décider les difficultés qui se présentent sur sa nature et 
sa classification. 


Lorsque, en 1820, M. Bory DE SainT-ViNCENT présenta, 
pour la première fois, à l’Académie ses observations sur les 
êtres organisés qu’il nomme psychodiaires, et qu'il regarde 
comme des intermédiaires entre les plantes et les animaux, 
il y forma un ordre des artrodiées ou articulées, et il établit 
dans cet ordre une famille des osci/lariées, dans laquelle entre 
le genre nommé 7remelle, par Adanson, et Oscillaire, par 
M. Bory lui-même, il y a bien long-temps; que M. Vaucher 
a appelé depuis Oscillatoires. M. Bory se défend beaucoup 
du soupçon qu'il partagerait l’idée de quelques naturalistes 
qui ont cru voir dans des êtres de cette famille des animal- 
cules réunis pour végéter sous la forme de plantes, ou des 
plantes qui se résoudraient en animalcules, pour recommen- 
cer alternativement cette disjonction animale, ou cette coa- 
lition végétale; les Oscillaires, d’après sa définition, sont 
des filaments simples, formés de deux tubes articulés, s’en- 

X 2 


clxiv HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


veloppant l’un l’autre, et dont l’intérieur contient une ma- 
tière colorante : chaque filament constitue un individu; et 
les individus sont associés en groupes, enduits d'une muco- 
sité dans laquelle ils exercent des mouvements spontanés. 
Ces mouvements observés par M. Bory de Saint-Vincent, avec 
beaucoup plus de suite que par ses prédécesseurs, sont plus 
variés qu’on ne l'avait cru jusqu'ici. Aucune regle n’y préside; 
en général ils sont brusques ; quelques espèces ne peuvent 
en faire qu’un; d’autres les exécutent tous, et il est impos- 
sible, quand on les a observés, de leur supposer une cause 
mécanique ou physique; les enlacements, les reptations de 
quelques-unes de ces espèces sont des marques d’animalité 
trop prononcées pour qu'on puisse laisser les Oscillaires dans 
le domaine de la botanique. M. Bory de Saint-Vincent a dé- 
crit avec le plus grand soin, et examiné sous tous les points 
de vue près de trente espèces du genre Oscilaria, dont la 
plupart se trouvent dans les eaux stagnantes, mais dont quel- 
ques-unes, ce qui est assurément fort remarquable, ne vivent 
que dans les eaux thermales les plus chaudes. 

Les genres Microcoleus, Dikwinella et Anabaina, com- 
pletent la famille des Oscillariées, sur laquelle le travail de 
M. Bory jette le plus grand jour. | 


La zoologie continue à s'enrichir d'ouvrages importants 
sur ses diverses branches. Après les nombreux matériaux 
qu'avait procurés à cette science le voyage de M. Freycinet, 
et qui ont été si bien décrits par MM. Quoy et GaymarD, nous 
voyons commencer une publication qui ne sera ni moins 
abondante ni moins belle, celle du voyage de MM. Duperrey 


PARTIE PHYSIQUE: F clxv 


et d'Urville, qui aura pour rédacteurs, quant à la zoologie, 
MM. Lesson et Garnor. Ce qui a déja paru est aussi remar- 
quable par l'exécution que par la nouveauté des animaux 
qüe l’on y apprend à connaître. L'histoire des mammiferes, 
par MM. Gzorrroy-SainT-HiLaiRe et FRéDÉRIC Cuvier, en 
est à sa 57° livraison. Les insectes recueillis par M. Caizcaun 
dans le pénible et dangereux voyage qu'il a fait dans l’ancienne 
Éthiopie, ont été décrits avec soin par M. Latreille. 


} 


ANATOMIE ET PHYSIOLOGIE ANIMALE. 


M. Georrroy-Saint-HiLaiRE a repris ses observations re- 
latives à l’ornithorinque, et les a fait porter principalement 
sur les organes génitaux de la femelle. Dans cet animal six:- 
gulier, ainsi.que dans l’échidné, autre animal de la même 
famille, de celle que M. Geoffray a appelée monotrèmes, rien 
ne semble fait comme dans les autres; «et c’est à plusieurs 
reprises que M. Geoffroy lui-même a dû étudier son organi- 
sation pour la ramener à un type comparable, soit avec celle 
des mammiferes, soit avec celle des oiseaux et des reptiles. 
En 1822, il soupconnait la vessie d’être un utérus; mais au- 
jourd’hui il rend à-cet organe le nom qui lui avait été d’abord 
attribué. Le nom de monotrèmes a été donné à ces animaux, 
parce qu'ils n'ont qu’une ouverture extérieure apparente pour 
les excréments:et les produits de la génération. Une grande 
cavité percée de cette ouverture reçoit le rectum et un large 
canal qui y arrive de la vessie, et que M. Geoffroy nomme 
urétro-sexuel. C'est dans ce canal qu'aboutissent, d’une part, 
les uretères; de l'autre ; et! plus près de la vessie, dans le 


Clxv) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


mäle, les canaux déférents, et dans la femelle, les canaux 
qui descendent des ovaires et qui se divisent en deux parties: 
une plus voisine de l'ovaire, plus mince, que M. Geoffroy, 
d’après les dénominations qu'il a appliquées aux oiseaux, ap- 
pelle trompe de Falloppe; l'autre plus voisine du canal, plus 
large, à parois plus épaisses, qu'il nomme ad-uterum. L’au- 
teur a découvert, à l'entrée de l’ad-uterum, dans le canal 
urétro-sexuel, une petite bride qui divise cette entrée en deux 
orifices. La grande cavité terminale, qui existe aussi dans les 
oiseaux et les reptiles, a été nommée communément cloa- 
que, parce qu'’eile reçoit les orifices par lesquels passent les 
produits du canal intestinal et des reins, aussi bien que ceux 
qui transmettent les produits de la génération. Et toutefois 
c'est mal à propos, selon l’auteur, qu'on lui a donné cette 
dénomination : aucun excrément n'y fait son séjour, on peut 
dire même qu'aucun n’y passe; mais l'animal la renverse au 
besoin, de manière que la terminaison du rectum, qui était 
percée dans son fond, ‘se trouve portée à l'extérieur; et il 
en est de même, pour d’autres besoins, de celle du méat 
urétro-sexuel : c'est pourquoi il aime mieux l'appeler avec 
M. Home le vestibule commun. Au total, cette disposition des 
organes s'éloignerait peu de ce que lon voit dans les repti- 
les, dans les tortues, par exemple; mais une circonstance par- 
ticulière à l'ornithorinque, et que M. Geoffroy nomme, à 
cause de cela, une circonstance toute monotrémique, c'est que 
les orifices des organes de la génération, soit les canaux dé- 
férents, soit les ad-uterum, débouchent dans le canal uré- 
tro-sexuel, plus près de la vessie que ceux des organes uri- 
naires. M. Geoffroy compare la double ouverture par laquelle 
se fait l’entrée de l’ad-uterum dans le canal urétro-sexuel à 


PARTIE PHYSIQUE. clxvi] 


ce canal en forme d’anse que possèdent tous les marsupiaux 
de chaque côté de leur vagin, et qui établit une communi- 
cation un peu détournée, mais la seule qui existe, entre ce 
vagin et l'utérus. Le pénis et le clitoris, attachés comme à 
l'ordinaire au pubis par leur racine, sont, dans l’état de re- 
pos, cachés dans une poche de la paroi inférieure du vesti- 
bule commun. Ils se terminent par un double gland, ce qui 
forme un nouveau rapport avec certains marsupiaux, les 
didelphes. Le pénis n’est pas, ainsi qu’on l'avait cru , simple- 
ment creusé d'un sillon, comme dans les oiseaux, mais il est 
perforé d’un canal qui n’est cependant point un urètre, car 
il ne conduit pas l'urine , mais seulement la semence. M. Geof- 
froy cherche à expliquer ces différentes terminaisons de trois 
ordres d'organes dans les diverses classes, par les nécessités 
que leur imposait la forme du bassin. Il ne paraît pas éloigné 
de penser que ce même développement de la peau , qui pro- 
duit la bourse dans les didelphes, les kanguroos, y est déter- 
miné par quelque mouvement des os particuliers qui s’atta- 
chent sur les pubis de ces animaux, et que c’est cette même 
expansion membraneuse qui, rentrée à l’intérieur dans les 
monotremes et les animaux ovipares, y forme le vestibule 
commun. 

De tous ces détails d'organisation et du fait, qu'il regarde 
comme très-vraisemblable, que les monotrèmes sont ovipa- 
res et manquent de mamelles, M. Geoffroy conclut que 
l’on doit en former une classe distincte à la fois et des mam- 
mifères et des oiseaux et des reptiles. 


M. Frépéric Cuvier a lu un Mémoire sur les épines du 


clxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


porc-épic, dont la grandeur lui a paru propre à éclairer 
sur la structure et le développement des poils; ces dernières 
productions n'étant en quelque sorte que des épines plus 
grêles et plus flexibles. 

Les épines du porc-épic sont toujours implantées par sé- 
ries transversales de sept, neuf ou onze, ordinairement pla- 
cées les unes au-devant des autres. Malgré leurs variétés de 
grandeur, de forme et de couleur ;elles sont toutes composées 
d’une enveloppe dure et cornée, striée en longueur à l’exté- 
rieur, et produisant à l’intérieur autant de cannelures sail- 
lantes qu'elle a de stries au dehors; tout le vide laissé par 
ces cannelures est rempli d’une substance spongieuse, 

L'organe producteur de l’épine se compose d’un bulbe ge- 
latineux, élastique et rempli de beaucoup de vaisseaux, et 
de deux tuniques membraneuses, dont l’externe s’unit plus 
ou moins à la peau, et dont l'interne, qui enveloppe immé- 
diatement le bulbe, se termine et se confond avec l’épine à 
sa partie inférieure. Le bulbe a des stries profondes, dans 
lesquelles entrent des lames saillantes de la tunique; et ces 
lames se continuent avec les cannelures internes de l'épine , 
comme la tunique elle-même avec son enveloppe cornée : 
l’épine croît par en bas, et, par le développement et le dur- 
cissement graduel de sa partie inférieure; sa croissance 
dure aussi long-temps que le bulbe et la tunique qui l’enve- 
loppent conservent leur activité ; mais iorsque l’épine s'achève 
et prend une racine, ces deux organes s'obliterent ; c'est le 
buibe qui dépose la matière spongieuse de l’épine, et c’est 
la tunique interne qui donne l'enveloppe cornée et ses can- 
nelures intérieures, 


Il arrive, en certains cas, que le bulbe s’oblitère avant la 


PARTIE PHYSIQUE. clxix 


tunique interge, et il se forme alors des portions de tubes 
cornés sans matière spongieuse : c’est ainsi que naissent 
entre autres les épines creuses de la queue, dont la pointe 
finit par se casser, et qui ne présentent plus alors que l’ap- 
parence de tubes ouverts et suspendus à des pédicules. 

Ces pédicules eux-mêmes, et en général les racines de 
toutes les épines , sont les dernieres productions de la tuni- 
que, lorsque déja il n’y a plus de bulbe qui puisse écarter 
les parois cornées de l'épine, ni en remplir le vide par de la 
substance spongieuse. 

Cet appareil producteur de l’épine est implanté dans une 
grande poche ovale fermée, remplie de graisse, et il yaà 
l’un de ses côtés deux cavités plus petites qui communiquent 
l’une avec l’autre, et dont la plus superficielle verse dans la 
cavité de la tunique extérieure une matière sébacée et odo- 
rante, dont l'objet est sans doute de lubrifier la peau : ce 
sont des organes analogues aux follicules graisseux de la 
peau de l’homme, et qui n'ont que des rapports accidentels 
avec les épines et leur formation. 

Ce détail, comparé avec celui que nous avons donné l’an- 
née dernière, d’après le même auteur, sur la formation des 
plumes, démontre la plus grande analogie entre ces deux 
genres d'organes. 

Les poils grands et roides que le porc-épica entre ses épines, 
les moustaches cornées des phoques naissent dans des appa- 
reils exactement semblables; ils ne diffèrent des épines que 
par leur minceur et leur flexibilité, et tout annonce que ce 
mode de production est en général celui des poils de toute 
espèce, et de ceux mênie que leur finesse n’a pas permis 
d'observer sous ce rapport. 


T. X. Hist. 1827. Ÿ 


clxx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


M. Vecrrau a présenté un Mémoire sur l'œuf humain , et 
particulièrement sur sa membrane la plus extérieure, celle 
qui a reçu le nom de Caduque. Elle est visible sur un grand 
nombre d'œufs avortés; on la trouve tapissant la cavité de la 
matrice dans toutes les femmes qui meurent enceintes, et il 
en subsiste encore des lambeaux quelques jours après la mort 
dans les femmes qui étaient récemment accouchées. la plupart 
des auteurs pensent qu’elle se forme par une espèce d’exhala- 
tion de matière coagulable. Suivant M. Velpeau, cette ma- 
tiere se concrète en une espèce d'ampoule ou de sac sans ou- 
verture, de sorte que l’ovule fécondé , après avoir traversé la 
trompe, pousse devant lui la portion de cette membrane qui 
lui ferme le passage , et se glisse entre elle et l'utérus; mais, 
après qu'il s’est attaché à l'utérus et lorsqu'il prend de l’ac- 
croissement , la membrane, ainsi devenue double, l’'embrasse 
et l'enveloppe partout, hors le point par lequel il adhère à la 
matrice : la lame externe de cette membrane tapisse alors l’uté- 
rus , et sa lame interne ou sa partie réfléchie recouvre le 
chorion. Elle est disposée par rapport à l'utérus et à l’ovule 
comme la plevre par rapport à la poitrine et au poumon. 

M. Velpeau a bien constaté que la membrane caduque n’a 
point d'ouverture, que son intérieur est rempli d'une humeur 
limpide, rosée, filante, quis’oppose à l'oblitération desa cavité, 
et qui fait qu'a l’époque même de l'accouchement , elle peut 
encore se diviser en deux feuillets. 

M. Velpeau n’adopte pas l'opinion des auteurs qui ont cru 
voir des vaisseaux dans la membrane caduque ; il la croit , avec 
Haller, formée par simple concrétion, et propose de la nom- 
mer anhiste, c'est-à-dire sans texture. Il la regarde comme 
destinée à forcer l'œuf de s'implanter sur un point donné 


PARTIE PHYSIQUE. clxx] 


de la matrice, et à l'empêcher de se porter vers la partie la 
plus déclive. 


M. Grorrroy-S'-HiLaiRe a continué ses recherches sur la 
physiologie des monstres. 

Depuis long-tempsi il pense que, lorsque des viscères se 
montrent au dehors de la cavité qui devrait les contenir, c'est 
parce qu'ils ont contracté, pendant que l'individu était à l’état 
d'embryon, quelque adhérence avec les: membranes exté- 
rieures, et que les téguments qui devaient les recouvrir, 
n'ayant pu les embrasser, sont demeurés incomplets et ou- 
verts. 

Il a observé cette année un nouvel exemple de la puissance 
de cette cause. Un poulet naissant s'est trouvé avoir la tête 
repliée contre l'abdomen et hors d'état de: se redresser; des 
adhérences l'avaient attachée au vitellus; et, à mesure que 
le jaune pénétrait dans le ventre, il l'en rapprochait davan- 
tage. Une peau rougeître, de formecylindrique, servaitdelien, 
et cette peau , remplie par le cerveau, n’était autre que la dure- 
mère : les lobes cérébraux et optiques, entraînés par les adhé- 
rences, sortaient hors du crâne, dont les os supérieurs, de- 
meurés très-petits, entouraient comme un anneau l'ouverture 
par laquelle ces lobes sortaient ; le cervelet était demeuré en 
place. Dans une autre circonstance, il a trouvé, à la vérité, le 
cerveau sorti du crâne et toutefois recouvertpar les téguments 
extérieurs, la peau et même les plumes : mais il pense que, 
dans ce cas, l’adhérence qui avait einpèché le crâne de, se 
fermer avait cessé assez tôt pour que la peau eût le temps 


de prendre son développement ordinaire. 
Y2 


clxxi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


C’est par cette supposition que M. Geoffroy ramène ce cas 
particulier à une règle à laquelle il semblait d’abord fort con- 


traire. 


Le même auteur a présenté un Mémoire spécial sur un 
genre de monstruosité observé dans quelques chevaux dont 
le pied se divise en plusieurs doigts, et qu'il nomme chiro- 
podes. Une monstruosité de ce genre se voit dans le ca- 
binet de M. Brédin, directeur de l’école royale vétérinaire 
de Lyon. Ces doigts, multiples seulement aux pieds de 
devant, y sont au nombre de trois à droite, et de quatre à 
gauche; et l’un des doigts, à chaque pied, est imparfait et 
pourvu d’un seul osselet phalangien et de son ongle, qui est 
grêle et allongé. Un autre pied de cheval polydactyle fait 
partie du muséum anatomique de l’école vétérinaire d’Al- 
fort. On y voit deux doigts seulement; l'externe de la gran- 
deur ordinaire, était employé seul au mouvement progres- 
sif, et l'interne, de moitié moins gros et assez court, ne 
touchait pas à terre. Suétone, Pline et Plutarque rapportent 
qu'il était né, dans les haras de Jules-César, un cheval dont 
les pieds de devant étaient divisés en maniere de doigts, et 
que les aruspices annoncèrent qu'il promettait à son maître 
l'empire du monde; c'était probablement quelque confor- 
mation analogue à celles-là. ; 

ILest donc, ajoute M. Geoffroy-Saint-Hilaire, des cas où 
les faits de monstruosité rentrent dans la règle suivie dans 
le reste de la famille à laquelle l'animal appartient, car c'est 
une disposition générale des mammifères, que tout pied soit 
terminé par un nombre quelconque de doigts. Le cheval 


PARTIE PHYSIQUE. clxxii] 


forme seulune exception. Îl n’a qu’un doigt parfait, et, pour 
lui en trouver deux autres imparfaits sous la peau, il a 
fallu les inductions de la science et des observations anato- 
miques. C’est à rendre une existence entière à ces deux doigts 
ou à l’un des deux que s’est employée l’action de la mon- 
struosité considérée dans cet article : le cheval y renonce aux 
caractères de son espèce, pour reprendre ceux des autres 
animaux de sa classe, les formes mutidigitales des mam- 
miferes. 


M. Ramsur, médecin à Ingrande, a envoyé la description 
d'un enfant à double corps, âgé d’un mois, et qui était en- 
core vivant lorsque le médecin l'observait. C’est le genre 
de monstruosité que M. Geoffroy nomme hétéradelphe. Les 
deux individus étaient mâles et placés ventre à ventre: le prin- 
cipal complet dans toutes ses parties, et de la grosseur ordi- 
naire à son âge; l'autre de moitié plus petit et sans 
tête. Les membres supérieurs de ce dernier étaient réduits 
à de très-courts moignons : le droit plus court que legauche, 
et terminé par un seul doigt ; le gauche en avait deux faible- 
ment attachés. Son anus était imperforé; mais il avait son 
appareil urinaire distinct, d'où l'urine coulait continuel- 
lement et goutte à goutte. Ses téguments étaient pâles, sa 
chaleur sensiblement moindre qu’à son frère; on ne lui sen- 
tait point de pouls : une plaie survenue spontanément à son 
genou a résisté à tous les essais de médication, et il ne pa- 
raissait donner aucun signe de sensibilité: Cet enfant est 
mort peu de temps après avoir été décrit, et ses parents n’ont 
pas permis que l’on en fit l'anatomie. Sa mort précoce a em- 


clxxiv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 

pêché aussi que l’on ne s’occupât de savoir s'il aurait été pos- 
sible d'enlever ces parties surnuméraires ; ce qui, dans l'idée 
de M. Geoffroy, qui a fait le rapport de cette monstruosité à 
l'Académie, n'aurait peut-être pas offert beaucoup plus 
de difficultés que la résection d’un membre superflu. 


M. VincenrT Porra, médecin à Montmirail, a communi- 
qué à l’Académie des observations sur trois de ces mon- 
struosités par défaut, que M. Geoffroy nomme anencéphales, 
c'est-à-dire dépourvues de cerveau, et qui ont entre elles, 
malgré quelques différences inévitables, une similitude sin- 
gulière : la boîte du crâne y est ouverte, et ses pièces atro- 
phiees et rejetées sur ses côtés; les vertèbres du cou y sont 
aussi ouvertes en arrière; mais, des le haut du thorax, tout 
rentre dans l’état ordinaire. Une poche pendait hors de cette 
solution de continuité contre nature, et cependant il ne pa- 
raît pas qu'il soit resté trace des adhérences qui ont dû pro- 
duire cette déviation de l’organisation. 


Une anomalie non moins étonnante que toutes celles dont 
nous venons de parler, s’est offerte à M. RogerT, médecin 
du lazaret de Marseille : c'est une femme qui, outre ses 
mamelles ordinaires, en porte une à la cuisse, si parfai- 
tement organisée, qu'elle a servi à nourrir plusieurs enfants. 


On trouve , au mois de septembre, les branchies externes 
des moules d'étang, ou anodontes, et celles des mulètes, 
remplies d'un quantité prodigieuse de petits bivalves vi- 
vants; et Leuwenhoek, qui en a fait le premier l'observation, 


PARTIE PHYSIQUE. clxxv 


les regarda comme la progéniture de ces testacés, Il devait 
s'y croire d'autant plus autorisé, qu’à une époque anté- 
rieure, on trouve, au lieu de bivalves, des œufs qui bientôt 
laissent voit.le petit bivalve dans leur intérieur, et qu’en les 
observant encore plus tôt, on découvre ces œufs, non pas dans 
les hbranchies, mais dans l'ovaire situé vers le dos de l'animal : 
aussi son opinion a-t-elle été généralement adoptée, sauf 
quelques légères modifications, jusqu’à ces derniers temps 
où quelques naturalistes du Nord ont cru devoir la com- 
battre. 

L'un d'eux, M. Rathke, a pensé que ces petits bivalves sont 
des animaux parasites, dont il a même cru devair faire un 
genre sous le nom de cyclidium. M. Jacogson, savant ana- 
tomiste de Copenhague ; a adressé à l'Académie un Mémoire 
à l'appui de cette manière de voir. Il y montre que la forme 
des petites coquilles n’est pas la même que celle des grandes 
dont les branchies les recèlent : en effet, leur forme approche 
de latriangulaire, et leurs valves ont chacune un petit cro- 
chet mobile et denté; entre ces crochets sort un petit fais- 
ceau de filets très-irritables, qui tient à l'abdomen. Il fait 
remarquer qu’elles sont de même grandeur et de même forme 
dans les diverses espèces, quelle que soit la taille de ces 
dernières ; que leur développement n’est en rapport ni avec 
la saison, ni avec l’âge de l'individu où elles sont contenues ; 
que leur quantité semble énorme en proportion du nombre 
existant des animaux dont on croit qu'elles sont les petits. Il 
ajoute enfin qu'il est bien difficile de concevoir comment des 
organes aussi délicats que les branchies ont pu être destinés 
naturellement à remplir la fonction d’oviductes, et même 
d'utérus. 


cixxv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


A ces arguments, M. De BLaiNviLe, qui a fait le rapport 
sur l'ouvrage de M. Jacobson, en a oppose d'autres qui ne 
lui paraissent pas moins concluants. On voit dans l'ovaire 
des œufs tout semblables à ceux qui, à une certaine époque, 
remplissent les branchies externes. On peutsuivre leur route 
depuis leur premier séjour jusqu'au second : avant que l’o- 
vaire se débarrasse, la branchie se remplit d’une liqueur 
laiteuse, comme pour se préparer à recevoir le dépôt qui va 
lui être confié; un animal parasite irait-il déposer ses œufs 
au fond de cette cavité regardée comme l'ovaire? les dépo- 
serait-il mème en si grande abondance dans les branchies, 
et seulement dans les branchies externes, sans qu'il s'en 
répandit ailleurs? Les anodontes, les mulètes ne marque- 
raient-elles pas quelque souffrance lorsqu'elles seraient ainsi 
surchargées de parasites ? Au contraire, on ne voit jamais à 
leurs branchies des traces de désorganisation. Pour mieux 
établir son opinion, M. de Blainville a observé, de concert 
avec M. de Roissy, des mulètes et des anodontes dans la sai- 
son où leurs branchies se remplissent. Ils les ont vu pondre 
et déposer des grains, qu'ils ont regardés comme des œufs, 
par séries assez régulières et en petites masses inégales; mais 
ils n'ont pu en voir sortir de petits animaux : observation 
qui serait assez peu d'accord avec celles d’après lesquelles 
les petits éclôraient dans le corps même de la mère, ce qui 
serait nécessaire si les êtres sur lesquels on est en doute 
étaient les petits eux-mêmes; car bien certainement ceux-ci 
se développent dans le corps de la moule. MM. Éverard, 
Home et Bauer ont vu les œufs bien formés dans l'ovaire 
le 10 août; ils les ont vus passer dans l’intérieur de la bran- 
chie vers le 20, mais offrant déja le petit bivalve au tra- 


PARTIE PHYSIQUE. clxxvi] 


vers de leurs parois. Lorsque les petits animaux s'apprêtent 
à quitter cette demeure, il se forme un canal qui entoure en 
partie le pied de la moule, et par lequel ils sortent, ce qui 
a lieu en octobre et en novembre. A la fin de novembre tous 
ces petits animaux sont sortis, et l'on trouve déja dans l’o- 
/vaire de jeunés. œufs préparés pour l’année suivante, 


Les organes de la circulation des crustacés ont été l’objet 
derecherches suivies, et de préparations anatomiques très- 
soignées de la part de MM. Aupoux et Mizye Enwaros. On 
savait, par ces leçons d'anatomie comparée de M. Cuvier, que, 
dans ces animaux, comme dans les mollusques gastéropodes et 
acéphales le cœurmusculaire est placéà l'inverse des poissons, 
c'est-à-dire sur le dos, où il reçoit lesang des branchies, qu'il 
transmet par les artères dans les diverses parties du corps, tan- 
dis que Îesang du corps, réuni dans un ou plusieurstroncs vei- 
neux qui regnent le long du ventre, se distribueaux brarchies 
sans appareil musculaire; d'où ii résulte quele cœur des crus- 
tacés représente les cavités gauches du cœur de l'homme, 
tandis que celui des poissons en représente les cavités droites. 
Mais des ouvrages postérieurs avaient jeté da doute sur 
cette doctrine. MM. Audouin et Milne Edwards, ayant in- 
jecté les vaisseaux de plusieurs grandes espèces d'écrevisses 
etde crabes, ontnon-seulement reconnu que telle est la marche 
du fluide dans ces animaux ; mais ils ont encore décritet repré- 
senté dans le plus grand détail la distribution de‘leurs vais- 
seaux , la structure de leurs branchies, en un mot, tout ce 
qui se rapporte à leur angiologie. L'ouvrage de ces natura- 
listes , accompagné de belles planches lithogranphiées, forme 

Xe Est 1627. Z 


clxxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉNIE, 

une monographie complète de cette partie importante du 
système vasculaire; il a été imprimé dans les Annales des 
Sciences naturelles, recueil qui devient de jour en jour plus 
intéressant par la richesse des Mémoires dont il se compose. 

Un grand vaisseau de chaque côté va des branchies au 
cœur; des-valvules placées à l'entrée du viscère s'opposent 
à la rétrogradation du sang; six artères principales sor- 
tent du cœur: trois en avant pour les yeux, les antennes 
et les parties voisines; deux moyennes pour le foie; enfin 
une sixième plus considérable, qui descend vers la poitrine, 
et se distribue dans l'abdomen, dans les parties postérieures 
du tronc et dans les membres. Les veines sont d’une ténuité 
extrème; leur tunique ne semble qu'une membrane liée in- 
timement au tissu des parties qu'elles traversent. Elles abou- 
tissent à un ou à deux sinus ou réservoirs pratiqués dans 
l'épaisseur des pièces écailleuses qui composent le thorax , et 
elles forment, sous leur protection, des espèces de cellules com- 
muniquant ensemble et d'où se détachent les vaisseaux qui 
s'introduisent sur la face externe des branchies par leur base. 
Après que le sang a été subdivisé presque à l'infini sur les 
parois des lames ou des houppes branchiales, c’est par des 
vaisseaux de leur face interne qu'il retourne dans les deux 
grands troncs qui aboutissent au cœur. 

Ces cellules veineuses, qui envoient le sang aux branchies, 
ont, selon MM. Audouin et Milne Edwards, de l'analogie 
avec ce que , dans les céphalopodes, on a nommé les cœurs 
latéraux. Elles représentent, en effet, les cavités droites ; seu- 
lement elles ne paraissent pas musculaires. 


Nous ne pouvons qu'indiquer ici un travail considérable 


PARTIE PHYSIQUE. clxxix 


de M. CnaBrier, sur les mouvements progressifs de l’homme 
et des animaux, travail qui offre des détails précieux. sur 
les organes par lesquels ce mouvement s'exécute, et qui en 
donne une théorie que l’auteur juge nouvelle, mais qui n’a 
paru différer que par les termes, de celle qui est le plus 
généralement reçue. 


MÉDECINE ET CHIRURGIE. 


Nous ne répéterons pas ce que nous avons dit l’année 
dernière du grand Traité sur l’épilepsie de M. le baron Porrar. 
Cet ouvrage, dont nous avons donné alors une courte ana- 
lyse , a été publié, et tous les praticiens ont été à même de 
l’apprécier ; la Justice qu’ils lui ont rendue était le seul éloge 
que püt rechercher le célèbre auteur de tant d'ouvrages, 
tous consacrés au soulagement de l'humanité souffrante. 


M. Moreau DE Jonnës a communiqué à l’Académie la 
notice des irruptions de la fièvre jaune, qui ont eu lieu cette 
année aux Antilles. Ces îles ont éprouvé, jusqu’au mois de 
juin dernier, une sécheresse extraordinaire et désastreuse. 
Il n'est point tombé de pluie pendant soixante-dix jours, 
période pendant laquelle les campagnes des Antilles en re- 
çoivent ordinairement beaucoup plus que celles de la France 
pendant l’année entière. Aussi les sources ont-elles été taries, 
la plupart des rivières desséchées, et les moissons presque 
entièrement perdues. C'est pendant cette sécheresse, sans 
exemple dans l’Archipel, que la fièvre jaunea paru, et qu’elle 

Z2 


clxxx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


a développé sa puissance meurtrière, depuis le littoral du 
Mexique jusqu'à Cuba. Ce fait s'élève contre l'opinion qui 
rattache l'origine de cette maladie à l’état de l'atmosphère, 
et qui fait de l'humidité de l'air sa cause essentielle ou l’une 
des conditiotis de son existence. 11 semble indiquer que si 
les contrées de l'Inde en sont exemptes, ilne faut pas l’attri- 
buer à la sécheresse de leur climat, et qu'il ne faut pas non 
plus accuser de ses ravages l'humidité des contrées de l’Amé- 
rique. Loin d'être arrêtée dans ses progres ou atténuée dans 
sa malignité, par l'influence d’une constitution extraordinai- 
rement sèche, la fievre jaune a montré cette année aux An- 
tilles sà plus grande activité de propagation et ses symp- 
tômes les plus redoutables. Elle a fait périr beaucoup plus 
du tiers de ceux qu'elle a atteints , et, pour la première fois, 
depuis 1820, elle s’est manifestée par les caractères qui lui 
sont communs, à quelques époques, avec les contagions les 
plus formidables : des pétéchies et des charhons gangréneux. 

D'après les recherches de M. de Jonnès, ce dernier caractère 
n'a été observé, dans les irruptions de la fièvre jaune, qu'aux 
époques suivantes : à la Martinique en 1694, par Labat; en 
1796, par Davidson; en 1802, par Savarési et Moreau de 
Jonnès ; à Rochefort en 1694, par Chirac; à la Barbade en 
1719, par Hughes; à Minorque en 1744, par Cléghorn ; à 
Saint-Domingue, de 1933 à 1746, par Poupée Desponts; à 
New-York en 1798 et 1805; à London en 1798; à Cadix en 
1800 , par les médecins anglais, ét à Gibraltar en 1804, par 
Pym. 

Un fait récent, dont la connaissance est acquise par 
des documents officiels, a été/pareillement communiqué à 
l’Académie par M. Moreau be Jonnès. Un bateau ionien 


PARTIE PHYSIQUE. cÎxxx] 


ayant été forcé d’avoir quelques rapports avec un vaisseau 
turc, l'équipage, lors de son retour à Céphalonie, fut mis en 
quarantaine. Le patron, qui était monté quelques instants à 
bord du bâtiment ottoman, était déja atteint des premiers 
symptômes de la peste, sans toutefois que les autres marinsen 
donnassent aucun indice. Néanmoins le médecin anglais du 
lazaret résolut de les soumettre tous également à un traite- 
ment mercuriel énergique ; interne et externe. Ainsi qu'il 
l'avait prévu, tous ces individus furent successivement atta- 
ques de la peste, mais avec des différences extrêmement re- 
marquables. Le patron et un autre homme de l'équipage, qui 
n'avaient éprouvé aucun effet sensible du traitement mercu- 
riel, subirent la maladie dans toute sa violence et sa mali- 
gnité, et ils y succombèrent. Au contraire, les matelots, sur 
-qui le mercure produisit ses effets ordinaires en se portant 
sur les glandes salivaires , ne furent attéints que de symptômes 
sans aucun danger. Ils échappèrent à la mort, et rien ne 
peut faire douter qué cette heureuse issue n'ait été causée 
par les frictions mercurielles, qui ont empêché et prévenu le 
développement de la maladie ét ses suites funestes. 

Un moyen aussi simple et aussi facile, qui préviendrait 
sinon l'invasion de la peste, du moins ses effets mortels , doit 
exciter , ajoute M. de Jonnès, un intérêt d'autant plus grand, 
que des communications avec des navires infectés de cette 
contagion peuvent être provoquées à chaque instant par les 
événements dont la Méditerranée est aujourd’hui le théâtre. 


M. Brecuer, l’un de nos anatomistes et chirurgiens les 
plus instruits, a porté l'attention des gens de l’art sur une 


clxxxi] HISTOIRE DE LACADÉMIE, 


lésion particulière du cœur, dont la description avait été 
omise dans les principaux traités des maladies de cet organe. 
Il la nomme anévrisme faux consécutif du cœur ; c’est 
une sorte de déchirure qui se fait dans les parois du cœur, 
à certains endroits du ventricule gauche, mais particulière- 
ment vers sa pointe. Le sang s'engage dans cette ouverture, 
pousse au dehors les enveloppes membraneuses, et produit 
ainsi à la surface du cœur une tumeur quelquefois aussi 
volumineuse que cet organe lui-même : le sang se coagule 
dans cette espèce de poche, et y forme des couches de fibri- 
ne, qui lui opposent pendant quelque temps une résistance 
suffisante, et retardent ainsi une mort qui autrement aurait 
été inévitable. 

M. Brechet, à la suite de plusieurs observations qu'il a 
trouvées dans les livres, ou qui lui ont été communiquées, 
en rapporte une qui lui est propre, et qui a été faite sur le 
cœur du célèbre Talma. Une poche assez grande pour con- 
tenir un petit œuf de poule communiquait avec le ventri- 
cule gauche par une ouverture circulaire d’un pouce de dia- 
mètre, garnie d’une sorte de virole cartilagineuse, épaisse 
de près de trois lignes; ce qui annonce que l'ouverture était 
fort ancienne , bien que personne, ni Talma lui-même, qui, 
dans sa jeunesse, avait étudié en médecine, n’en ait soup- 
conné l'existence. Les émotions, les sentiments exaltés, 
qu'avec un talent tel que le sien il devait nécessairement 
éprouver dans l'exercice de son art, n'ayant point fait naître 
d'accidents qu'il ait pu remarquer, on doit croire que ce 
genre de lésion serait peu redoutable dans des hommes d’une 
existence plus paisible. 

Un officier anglais, atteint depuis long-temps de cette 


PARTIE PHYSIQUE. cixxxi] 


maladie, a succombé, en dormant, à la rupture de sa poche 
et à l’épanchement du sang dans le péricarde. 

Le traitement de cette affection, comme on le comprend 
aisément, doit consister dans tous les moyens qui peuvent 
donner à la circulation plus de calme et de régularité : éviter 
tout ce qui peut occasioner des émotions fortes, ne point 
déclamer, faire peu de mouvements, prendre peu de nour- 
riture, ralentir la marche du sang par des remèdes appro- 
priés et en diminuer la quantité par des saignées. Ce sont 
à peu près les mêmes moyens que ceux qu’exigent les ané- 
vrismes ordinaires. 


M. SExx, médecin de Genève, a fait connaître les resul- 
tats d’une opération de trachéotomie qu'il a pratiquée avec 
succès. Une petite fille, après divers accidents, avait au la- 
rynx un engorgement qui.apportait la plus grande gène à 
sa respiration : elle maigrissait à vue d'œil; mais une incision 
à sa trachée-artère, dans laquelle on introduisit une canule 
d'argent, rétablit promptement cette fonction importante : 
elle n’a pas cessé dès-lors de se bien porter; son larynx a 
commencé même à reprendre ses dimensions naturelles; sa 
voix est devenue plus forte; et l’on espère même qu’à l'époque 
de la puberté, elle pourra se débarrasser de l’incommodité 
qui lui rend ce moyen artificiel nécessaire. 

Il y a des exemples semblables dans les animaux, et plu- 
sieurs membres de l'Académie ont vu une jument qui de- 
puis dix-huit mois ne respirait que par un tube implanté 
dans la trachée, et qui n’en faisait pas moins un service très- 


pénible. 


clxxxiv HISTOYRE DE L'ACADÉMIE, 


Depuis long-temps on a cherché à remédier à l’obstruction 
de la pupille, en percçant l'iris et en formant ainsi une pu- 
pille artificielle; mais il arrive quelquefois que cette nouvelle 
ouverture se referme, par la tendance de ses bords à se rap- 
procher et à se joindre. 

M. Faure, oculiste de S. A. R. Madame Duchesse de Berry, 
a fait beaucoup d'expériences sur des animaux, pour con- 
stater par quel mode d’incision on peut obtenir l'ouverture 
la plus durable. L’enlèvement d’un lambeau lui paraît plus 
avantageux qu'une simple incision; et néanmoins il s’est as- 
suré qu'une incision dans la direction des rayons et en travers 
des fibres circulaires d’un iris parfaitement sain, mais sans 
diviser le bord de la prunelle, donne une ouverture qui a 
moins de tendance que toute autre à s'oblitérer, quoique l’on 
n'ait point emporté de lambeau. 


Une des opérations les plus étonnantes de la chirurgie, et 
qui cependant est pratiquée de toute ancienneté dans l'Inde, 
est celle par laquelle on peut reproduire un nez qui à été 
coupé où qui a péri par tout autre accident. On parvient du 
moins à en rendre à peu près l'équivalent, au moyen d'un 
lambeau triangulaire de la peau du front que l’on détache, à 
l'exception d’un pédicule par lequel on lui conserve de l’adhé- 
rence, et que l’on abaïsse en tordant ce pedicule, pour le 
greffer par approche sur les bords ravivés du nez enlevé. 
M. Delpech de Montpellier, et M. Lisfranc de Paris, et d’au- 
tres habiles chirurgiens y ont parfaitement réussi. 

M. Lisrranc a présenté à l’Académie l'individu dont il a 
ainsi restauré la figure, et qui ne présente rien de difforme. 


PARTIE PHYSIQUE. clxxv 


Cet homme a même retrouvé l’odorat, que le contact trop 
immédiat de l'air sur la membrane pituitaire lui avait fait 
perdre; la cicatrice de son front n’est pas trop désagréable à 
la vue; mais ce déplacement de parties a amené de singuliers 
changements dans ses sensations. Lorsqu'on le frappe sur le 
milieu du front, il ressent le choc sur son nez artificiel ; tou- 
ché à la racine de ce nez, il rapporte la sensation au front: 
la percussion faite sur les ailes du nez est ressentie aux joues, 
mais il n’y a point à cet égard de réciprocité. 

M. Lisfranc, pour éviter une difformité que la torsion du 
lambeau du front produit quelquefois, l'avait incisé plus bas 
d’un côté que de l’autre et n'avait eu qu'à le faire pivoter sur 
sa pointe. Il en insère les bords dans une incision qui divise 
perpendiculairement la peau, et offre ainsi une rainure toute 
prête à les recevoir, et il les maintient au moyen de bandes 
agglutinatives qui dispensent d'y faire des sutures. Des rubans 
de plomb laminé, roulés sur eux-mêmes et fixés dans les na- 
rines, en ont conservé le diamètre. 


M. Derpecx a lu un Mémoire sur le même sujet. C’est sur- 
tout aux artères qui remontent de la racine du nez vers le 
front, et que l’on ménage en coupant le lambeau, qu'il rap- 
porte le grand avantage de cette méthode; la laxité du tissu 
cellulaire qui unit l'aponévrose du muscle frontal au péri- 
crâne fait que ces points de suture rapprochent avec une fa- 
cilité extrême les bords de la plaie, dont il ne reste ainsi que 
des traces très-légères. Les précautions varices qu'exigent les 
divers états des parties sont indiquées avec beaucoup de soin 
dans ce Mémoire, qui est fondé sur de nombreux succès : 

TX. Hist. 1827. Aa 


clxxxv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


mais M. Delpech ne s’est pas borné à réparer des nez. Il a 
restauré une partie de la paupière inférieure, et les voies de 
l'excrétion des larmes, dans un individu où, dès la nais- 
sance, ces parties avaient été détruites par une sorte d’arra- 
chement. Une bande étroite de la peau du front, abaissée 
et greffée, a réparé cette erreur de la nature, et fait dispa- 
raître une difformité hideuse. 


Un étranger, qui montrait à Rouen une ménagerie ambu- 
lante, ayant été piqué à la main par un serpent à sonnettes, 
la mort s’ensuivit au bout de huit heures, quoique l’on se 
fût empressé de lier et de cautériser la partie blessée. Les 
docteurs Pinhorel et Desmoulins trouvèrent le sang d’une 
grande partie des veines du bras concrété en un caillot con- 
tinu. Ce malheur a engagé l'autorité à requérir l'avis de l'A- 
cadémie sur les moyens de prévenir de semblables accidents. 
L'Académie a demandé que l'exposition, et même l’introduc- 
tion de ces sortes d'animaux à l’état de vie, füt interdite, et 
elle l'a demandé avec d'autant plus d'instance, que leur çli- 
mat natal n’étant pas moins froid que le nôtre, rien n’empè- 
cherait une femelle pleine qui viendrait à s'échapper, de 
propager son espèce. On sait, par exemple, que la grande vi- 
père fer-de-lance, qui n'est pas moins venimeuse que le ser- 
pent à sonnettes, et qui ravage si cruellement la Martinique 
et Sainte-Lucie, n'a été introduite dans ces îles que par 
des causes accidentelles, et n'existe point dans les autres 
Antilles. Leur arracher les crochets à venin ne préviendrait 
point le danger, car ces crochets sont promptement rem- 
placés; et quant aux autres remèdes, quoique l’on en ait 
préconisé plus de trois cents, il n'en est aucun dont l’ef- 


PARTIE PHYSIQUE. clxxxvi] 


ficacité soit suffisamment constatée. La ligature elle-même 
est, selon M. Dezirce, qui a donné un Mémoire à ce sujet, un 
moyen beaucoup trop faible. C’est à l’ablation ou à la cau- 
térisation la plus prompte de la partie blessée, qu'il faut 
recourir sans délai; et trop souvent encore elles n'ont point 
de résultat, parce qu’elles ne peuvent être exécutées en temps 
utile. 


VÉTÉRINAIRE, AGRICULTURE, ET TECHNOLOGIE. 


Des expériences curieuses, non seulement pour l’agricul- 
ture, mais pour la physiologie générale, sont celles de M. G- 
ROU DE BUSARAINGUES, sur la procréation des sexes. C’est du 
plus ou moins de vigueur comparative des individus que l'on 
accouple, que dépend selon lui le sexe du produit. Si l'on 
veut avoir plus de femelles, il faut employer des mâles jeunes 
et des femelles dans l’âge de la force, et nourrir celles-ci 
plus abondamment que ceux-là. Il faut faire l'inverse si l'on 
veut produire plus de mâles. Avec le premier procédé l’on a 
obtenu d’un agnelage 84 femelles contre 53 mâles ; et avec 
le second, l'on a eu 55 brebis contre 80 mäles ; tandis qu’une 
égalité de force et de nourriture avait donné dans le même 
troupeau 71 femelles et 61 mâles. Les oiseaux suivent la 
même loi que les moutons. Dans la même basse-cour, les 
plus fortes femelles procurent un nombre d'individus de 
leur sexe plus grand que les petites ; les jeunes femelles qui 
n'ont pas acquis un développement précoce, donnent plus 
-de mâles. 


Un rapport de M. Siivesrre sur l'exploitation du domaine 
Aa2 


clxxxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 


rural de Grignon, qui est devenu une sorte d'école d'agri- 
culture, et un Mémoire de M. Grrou DE BusarAINGUES sur le 
revenu d'une ferme dans le département de l'Aveyron, mon- 
trent ce que la terre peut devenir dans des mains intelli- 
gentes. 

C'est précisément le contraire que l’on peut apprendre 
dans le Mémoire de M. Aucuste Sainr-Hicaire sur l’agricul- 
ture des Brésiliens : couper de belles forêts, les ensemencer 
pendant quelques années sans aucun labour; les abandonner 
ensuite à de mauvaises herbes qui empêchent jusqu’au moin- 
dre arbuste de s’y remontrer , et en aller chercher d’autres pour 
les traiter de même, voilà tout ce qu'ont imaginé jusqu’à 
présent les habitants de la province de Minas-Geraës. 


La maladie des chevaux que l’on nomme en français four- 
bure est appelée Crithiasis par les vétérinaires grecs, qui 
l’attribuent à un usage immodéré de l'orge, dout le nom grec 
est Kgufa : les traducteurs ont rendu ce mot en latin par Aor- 
deatio, et comme l'H se change aisément en F, c'est du mot 
hordeum devenu forbeum, que M. Huzard dérive celui de 
fourbu eu forbeu ; etil a fait imprimer une note à ce sujet ac- 
compagnée d'articles intéressants sur l’ancienne bibliographie 
vétérinaire. D'autres auteurs croyaient le nom /orbu venu 
de ce que la fourbure arrive aussi aux chevaux lorsqu'on les 
fait trop boire, ou boire lorsqu'ils ont trop chaud, boire 
hors de propos. 


Il a été fait, à la demande de M. le préfet de police, un 
travail intéressant auquel MM. Darcer et Huzarp, membres 


PARTIE PHYSIQUE. clxxxix 


de cette Académie , ont concouru, sur l'enlèvement et l'emploi 
des chevaux morts. Le résultat en a été publié en un vol. in-4°. 
Les auteurs y font l’histoire de cette branche de la police, 
décrivent son état actuel , font connaître tout le parti que l’on 
peut encore tirer de ces utiles animaux après qu'ils ont suc- 
combé à leurs fatigues , et proposent un projet de réglement 
pour améliorer cette partie du service public. 


M. Heron pe Viccerosse a publié un ouvrage important 
sur les progrès de la fabrication du fer en France et sur son 
état actuel. Les premières causes de ces progrès ont été la 
substitution de la houille au charbon, et celle du laminoir 
au marteau; l'accroissement rapide de la consommation du 
fer, suite des progrès des autres industries, y a également 
concouru, et l’auteur y donne aussi une grande part à la 
protection accordée aux usines françaises par la loi des 
douanes de 1822. Ce qui paraît certain, c'est que la France 
ne produisait encore, en 1820, que les deux tiers de la quan- 
tité de fer en barres qu’elle a produite en 1825. L’accroisse- 
ment annuel de la production a été d'environ 400,000 quin- 
taux métriques. L'importation du fer en barres qui, en 
1821, fut encore de 138,000 quintaux métriques, s'est ré- 
duite au tiers de cette quantité. Mais un effet contraire au 
but que l'on se proposait par l'introduction de la houille, 
c'estque la consommation du bois a augmenté, parce que, 
pour affiner plus de fer au moyen de la houille et du lami- 
nage, il a fallu plus de fonte, et que jusqu’à présent c’est en- 
core par le bois que l'on obtient la fonte brute. Cependant 
on commence à élever de hauts fourneaux pour traiter la 


cxcC HISTOIRE DE L'ACADÉMIE. 


fonte par la houille carbonisée dite coke, et ce procédé, en 
se répandant, fera cesser l'inconvénient dont nous venons 
de parler. 

Il existe aujourd'hui en France 379 hauts fourneaux qui 
donnent plus de 1,600,000 quintaux métriques de fonte. 
Quatre seulement sont alimentés par le coke. Il en vient en- 
core de l'étranger plus de 70,000 quintaux métriques. 

L’affinage par la houille et le laminoir ne s'exécute jus- 
qu'à présent que dans 31 établissements dits forges à l’an- 
glaise, et dans 172 fours d’affinage; mais il ÿ a encore 1215 
feux d’affinerie où l’on n’emploie que du bois. On doit 
ajouter 96 feux dits de forges catalanes, où l’on obtient di- 
rectement le fer sans faire préalablement de la fonte. 

La fabrication du fer affiné a produit, en 1825, plus de 
1,100,000 quintaux métriques, et l’on en a tiré 51,000 quin- 
taux de l'étranger; 70,000 ouvriers environ sont employés, 
sous divers rapports, dans ce genre d'industrie, et la valeur 
du fer en barre produit est d'environ 73 millions. 

Le haut prix des fers en France ne pourra être réduit que 
par la multiplication des fourneaux où l'on emploiera le 
coke, par leur rapprochement des mines de houille, ou par 
l'établissement de routes et de canaux qui facilitent soit le 
transport de la houille, soit celui du minerai. D’après les 
projets que l’on connaît à divers particuliers, et les ouvrages 
entrepris par le gouvernement, on peut espérer que la pro- 
duction de la fonte pourra augmenter jusqu’à 600,000 quin- 
taux métriques. Plus de 70 millions sont déja engagés en en- 
treprises de hauts fourneaux et de forges à l'anglaise. 


RSS RER 


_ ÉLOGE HISTORIQUE 
DE M. BOSC, 


LU A LA SÉANCE PUBLIQUE DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, 
LE 15 JUIN 1820. 


Par M. LE Baron CUVIER, 


SECRÉTAIRE PERPÉTUEL. 


Louis-Augustin-Guillaume Bosc, long-temps connu sous 
le surnom de »’Anric, naquit à Paris, le 29 janvier 1759, 
de Paul Bosc d’Antic (1) et de Marie-Angélique Lamy d'Han- 
gest. 

Sa famille paternelle, autrefois florissante dans les Céven- 
nes, était fort déchue par suite des guerres de religion; et 
l'attachement permanent qu'elle avait montré au protestan- 
tisme avait consommé sa ruine. M. d’Antic le père, contraint 
par sa position d’embrasser un état lucratif, choisit la méde- 
cine : mais, comme protestant, il ne put prendre de degrés 


(1) Paul Bosc d’Antic, né en 1726 à Pierre-Ségude en Languedoc, 
mort À Paris en 1784. Ses œuvres ont été recueillies en 2 vol. in-r2. Pa- 
ris, 1780. 


CxCI] ÉLOGE HISTORIQUE 


en France; et c'était en Gueldre, sur les bords du Zuyder- 
zée, et dans la très-petite et tres-obscure université de Harder- 
wick, qu'il était allé chercher le bonnet de docteur : aussi ne 
lui fut-il permis d'exercer à Paris que long-temps après, à la 
faveur d’une charge qu’il acheta dans la maison du Roi. En 
attendant, il s’occupait de la chimie et des arts chimiques, et 
on a de lui, sur ces matières, des ouvrages qui ne sont pas 
sans mérite pour leur temps. 

Le jeune Bosc pouvait espérer un appui plus utile de ses 
parents maternels : sa mère était fille et sœur de deux officiers- 
généraux d'artillerie, distingués dans leur arme, et cette 


circonstance engagea sa famille à le destiner de bonne heure 


au service militaire. 

Rarement le génie d’un enfant se conforme-t-il à ces voca- 
tions arrangées d'avance. Celui-ci du moins ne s’occupa ja- 
mais de la sienne. A peine sut-il marcher, que l'observation 
des objets naturels devint son unique passion. Il rassemblait 
des pierres et prenait des insectes bien avant de savoir écrire, 
et il a dit de lui-même qu'il ne se souvenait pas d’avoir eu 
d’autres jouets. 

Le goût de la campagne et d’une vie solitaire, et même un 
peu sauvage, qui s’alliait si bien avec cette première inclina- 
tion, se renforca encore par des événements domestiques. 
M. d’Antic avait fait un second mariage, et s'était transporté 
à Servin, près de Langres, où on lui avait confié une grande 
verrerie. Sa nouvelle femme montrait peu de tendresse pour 
un fils d’un premier lit. On le laissait passer ses journées au 
milieu des bois, et l'amour qu'il y prit pour la solitude se 
conserva si long-temps, qu'à quinze ans, et tout protes- 
tant qu'il était, l’idée de s’y livrer tout entier, jointe à celle 


DE M. BOSC. cxcii] 
de-cultiver ‘un petit jardin, le décida presque à céder aux 
suggestions d'un chartreux qui voulait l’attirer dans son 
ordre. 

Cependant on pensait toujours à le préparer à l'état au- 
quelon le destinait, et son père s'étant chargé d’une verre- 
rie plus considérable que celle de Servin, qui était située 
dans les montagnes de l'Auvergne, le laissa âgé de dix ans 
au collége de Dijon, en priant ses maîtres de l'appliquer de 
préférence aux mathématiques, et à tout ce qui pouvait être 
utile à un futur officier; direction qui, suivie trop à la let- 
tre, lui fit négliger les langues anciennes et la littérature, 
sans le rendre un grand mathématicien. En effet, aucune idée 
d'avancement ni de fortune ne pouvait le détourner de ses 
premiers goûts. Les petites ambitions de collége ne le tou- 
chèrent pas plus que ne firent dans la suite celles du monde; 
il ne prenait même qu’une faible part aux jeux de ses cama- 
rades, ét ne se montrait guère au milieu de leurs ébats que 
lorsqu'il y avait des faibles à protéger ; car dès-lors une jus- 
tice inflexible faisait le fond de son caractere. Le reste de ses 
récréations se passait, dans sa chambre, à arranger ses plantes 
ou ses insectes, et à lire sans choix toutes sortes de livres, 
et chaque fois qu’il pouvait sortir, il se hâtait de courir à la 
campagne. Enfin ses maîtres imaginèrent de l'envoyer au cours 
de botanique de Durande, qui avait alors à Dijon quelque 
célébrité, et il se crut éclairé d’un jour tout nouveau. L’é- 
tude méthodique de ces objets que jusqu'alors il n'avait re- 
cueillis et observés que dansune sorte de confusion, s’empera 
de son esprit : ce même écolier pour qui le latin de Cicéron 
n'avait point eu d'attrait se passionna pour celui de Linnæus ; 
il ne voulut plus en écrire d'autre, et son français même, 


T. X: Hist. 1827. Bb 


cxciIv ÉLOGE HISTORIQUE 


nous devons l'avouer , eut quelquefois avec son latin une 
trop grande ressemblance. 

Ce n'étaient pas là des moyens d'obtenir les prix du col- 
lége : peut-être même ne se serait-il pas trouvé trop bien 
préparé pour son examen de l'artillerie; mais d’autres événe- 
ments le dispenserent de subir cette épreuve. 

La nouvelle entreprise de M. d’Antic le père ne lui avait 
valu que des procès ruineux. Venu à Paris pour chercher 
d’autres ressources, et ne pouvant plus présenter son fils pour 
un corps où l’on n’entrait-point sans faire preuve de quel- 
que revenu, il se trouva heureux de lui obtenir un petit em- 
ploi dans les bureaux du contrôle général, et ensuite dans 
ceux de la poste. C'était un cruel changement pour un jeune 
homme qui n'avait de bonheur qu’à courir tout le jour à l'air 
libre des champs; mais, quelque ami que füt M. Bosc d'une 
vie indépendante, il savait aussi mettre son caractère à se 
ployer à ses devoirs, et l’intendant des postes, M. d'Ogny, 
le trouva si exact et si intelligent, qu'après quelques années 
il l'éleva à l'emploi de secrétaire de l’intendance, ce que main- 
tenant l'on décorerait du titre de secrétaire général, et qu'il 
lui donna la promesse d'une place encore mieux rétribuée, 
celle de premier commis, ou de chef de division, comme on 
s'exprime aujourd'hui. 

Dès ce moment, M. Bosc, arrivé à quelque aisance, put 
disposer d’une partie de son temps en faveur de ses premiers 
goûts, et il se lia successivement avec les hommes qui les 
partageaient à Paris. Sa place lui donnant la franchise des 
ports, il en profita pour établir des correspondances éten- 
dues, et il ne tarda point à se mettre en relation suivie avec 
es naturalistes les plus célèbres de France et de l'étranger. 
Bientôt il prit lui-même parmi eux une sorte de rang. 


BE M. BOSC. CXCV 


À cette époque, l’histoire naturelle n'était pas, à beaucoup 
près, ce qu’on la voit de nos jours. Les élèves immédiats de 
Linnæus, oubliant que ce grand maître ne leur avait donné 
ses méthodes quecommeles avenues du sanctuaire, quecomme 
des moyens de se préparer à la véritable science, croyaient 
y voir la science tout entière. Ils s’y tenaient strictement at- 
tachés, ne proposaient que des systèmes artificiels, des ca- 
ractères extérieurs, de sèches nomenclatures, le tout expri- 
mé dans un langage créé tout exprès, ingénieux sans doute 
et expressif, mais que ses formes rendaient presque effrayant 
pour les hommes nourris des ouvrages classiques. La Fran- 
ce; enorgueillie, à juste titre, des surprenantes découvertes 
de Réaumur, des profondes recherches de Bernard de Jus- 
sieu, des conceptions hardies et de la haute éloquence de 
Buffon, semblait peu touchée de cette précision dans la dé- 
termination des espèces, qui faisait le principal mérite de 
l’école du Nord, et dont on ne pressentait point encore toutes 
les conséquences. À peine les noms linnéens commençaient- 
ils à être adoptés pour les végétaux, et cela grace à l’appui 
que leur avait prêté Bernard de Jussieu. Herman à Stras- 
bourg, Gouan à Montpellier, et à Paris son élève Brous- 
sonnet, étaient à peu près les seuls hommes de quelque ré- 
putation qui se fussent déclarés complètement sectateurs du 
naturaliste suédois. 

M. Bosc, dont les premières occupations avaient.été des 
collections de plantes et d’ insectes, dut sentir de bonne heure 
la nécessité d'une nomenclature précise et applicable à un 
grand nombre d'objets, linnæus seul pouvait la lui offrir, 
et c'est ce qui l'engagea à s'y attacher, et à s’y attacher ex- 
clusivement : le suivant avec scrupule pour les noms, pour 


Bb 2 


CxCV) ÉLOGE HISTORIQUE 


les distributions, pour la terminologie, dans toutes les par- 
ties de la science. Romé Delille, qui plus tard a porté la crys- 
tallographie beaucoup plus loin que Linnæus , avait cepen- 
dant aussi arboré l’étendard de ce grand naturaliste, et cette 
circonstance lui valut en M. Bosc un disciple zélé qui fit un 
: bon usage dans ses études des crystaux de ce qui lui restait 
de ses mathématiques du collége. On lui doit même la dé- 
couverte de l'espèce de pierre zéolitique appelée chabasie (x). 

Néanmoins ce furent surtout les insectes qui l'occupè- 
rent; et une anecdote curieuse qui montre bien l'état où 
se trouvait parmi nous l'étude de la nature, c'est qu'il n’ap- 
prit qu’en 1782, lorsque Broussonnet revint d'Angleterre, 
l'existence des ouvrages de Fabricius. Le Systema entomo- 
logicum , ce livre qui a fait une si grande révolution dans 
l’histoire des insectes, était imprimé depuis sept ans, et per- 
sonne encore à Paris n’en avait entendu parler. Bientôt 
M. Bosc fit la connaissance de Fabricius lui-même, et cet 
excellent homme a été jusqu'a sa mort son ami dévoué. Il a 
décrit dans sa collection les plus intéressants de ses insectes , 
et il le cite à chaque page de ses écrits. M. Bosc lui abandon- 
nait, en effet, toutes ses collections ; et ce qu'il a fait pour 
Fabricius, il l’a fait pour une multitude d’autres : personne 
n'a été plus communicatif. Ne s’occupant des sciences que 
pour son plaisir, il ne ressentait, ni n’excitait ces jalousies 
personnelles qui ont troublé la vie de tant de savants. Tout 
au plus, les vieux antagonistes des méthodes linnéennes pou- 


(x) Description de la chabasie dans le Journal d'histoire naturelle de 


Lamarck, Bruguière, étc., tome IL, p. 18r, et Journal des mines, tome V, 


P: 277-1791. 


DE M. BOSC. CXCVI] 


vaient-ils prendre quelque humeur de son ardeur à les pro- 
pager; mais il était d’ailleurs d’un caractère si égal, si peu 
disposé à l'attaque, si juste appréciateur des mérites de cha- 
cun , que ces vieillards mêmes lui pardonnérent. Quant aux 
jeunes gens, frappés de la facilité apparente des voies qu'il 
leur indiquait, ils se hvrèrent et avec ardeur à sa direction. 
Si plus tard quelques-uns ne demeurèrent pas étrangers à 
des vues plus profondes, il n'en est pas moins vrai qu'il donna 
alors une vive et utile impulsion, et que c’est à cette im- 
pulsion que l’on a dû plusieurs des hommes qui maintenant 
honorent le plus la science. 

Pour compléter l'espèce de révolution scientifique qu'ils 
avaient entreprise, Broussonnet et M. Bosc déterminèrent 
quelques-uns de ces jeunes naturalistes, et des hommes déja 
plus avancés, mais qui partageaient leurs sentiments, à fon- 
der avec eux une société linnéenne sur le modele de celle qui 
venait de se former à Londres, et qui a rendu de si grands 
services à toutes les branches de la science de la nature par 
les quinze volumes qu’elle a publiés, et qui sont si pleins de 
faits nouveaux et d'espèces singulières ou brillantes. 

Celle de MM. Bosc et Broussonnet se proposait des travaux 
semblables, et voulait, en outre, par des excursions régu- 
lières , recueillir et faire connaître toutes les productions des 
environs de Paris; mais elle n’a pas eu le niême succès. À la 
vérité, elle commença à préparer ses publications, et l’on a 
d'elle un cahier in-folio imprimé en 1792, dont M. Bosc a 
composé une grande partie (1), mais bientôt ces travaux fu- 


(x) Actes de la Société d'histoire naturelle de Paris, tome I°*, 1° partie, 
Paris, 1792, in-fol. Il y a de M. Bosc neuf Mémoires : 4rdea gularis. — 


CxCvii] ÉLOGE HISTORIQUE 


rent arrêtés par les troubles civils. Les gens de la campagne 
la prenaient dans ses excursions pour un rassemblement de 


malintentionnés; à Paris même, le buste qu’elle avait érigé 


à Linnæus, en 1790, sous le grand cèdre du Jardin-du-Roiï, 
fut brisé par uné populace qui, au lieu de Charles Linnœus, 
croyait lire Charles neuf; et ce qui lui fut plus funeste, c'est 
que les dissensions qui agitaient la nation pénétrèrent dans 
son sein et que les plus distingués de ses membres furent 
assez faibles pour se brouiller à propos d'opinions passagères, 
qu'eux-mèmes, quelques années après, avaient oubliées ou 
désavouées. 

La société philomatique, composée d'éléments moins com- 
bustibles, donna plus de suite à ses travaux, et M. Bosc lui 
fournit plusieurs observations (1). Il enrichit aussi vers ce 


Sepia rugosa. — Lacerta exanthemaica. — Serropalpus Keroplatus. — 
Ackheta sylvestris. — Locusa punctatissima. — Lycoperdon Axatum. — 
Decumuria sarmentosa. L 

(1) Bulletin des sciences par la socièté philomatique, tome 1%, r° partie, 
1791. Description d'un nouveau bostriche (. fuscatus) ; — d'une nouvelle 
espèce d'opatie (op. rafipes) ; — d'une nouvelle espèce d'iule ( élus guttu- 
latus) ; d'une nouvelle espèce de riz {oriza cristata) ; — d'un nouvel agros- 
tis (agr. cylindracea ); — d'un nouvel insecte (callopus marginatus). 
1792. Description de deux insectes nouveaux { phalangium spinosum et 
cynips aptera). An INT. Emploi économique des baies du vaccinium myr- 
tillus. — Description de deux nouvelles espèces d'animaux (corvus cæru- 
lescens et acarus manicatus). Plus tard on trouve de lui dans le même re- 
cueil : 1797. Description d'objets nouveaux d'histoire naturelle trouvés 
dans une traversée de Bordeaux à Charlestown (tantaculane-actinée pana- 
chée, plusieurs clara-oscane, plusieurs hydis. An VI. Du VYlarcia. An 
VIIT. Description de trois lépidoptères de la Caroline fcrancleus adspergil- 
lus, pyralis saccularia , alucita cerella). An IX. Description d'une espèce 


DE M. BOSC. CXCIx 


temps-là de divers morceaux un Journal d'histoire naturelle, 
entrepris par MM. Lamarck, Brugnière, Haüy et Pelietier, 
qui ne fut pas de longue durée (2). 

Au reste, ces nombreux petits écrits ne sont guère que des 
descriptions isolées d'espèces, et faites avec une brièvété peut- 
être plus que linnéenne; et toutefois ce genre facile de pu- 
blications fut aussi interrompu, lorsque M. Bosc devint lui- 
même l’objet des persécutions d’un parti à jamais fameux par 
sa férocite. 

Pour en expliquer les causes, il est nécessaire que nous le 
reprenions un peu plus haut dans la carrière de ses emplois. 

Nous avons vu que l'estime bien fondée de M. d’Ogny l’a- 
vait porté par degrés à une place assez avantageuse dans les 
postes. En 1790, cette administration avait été ce que l’on 


de conferve (conf. incrapata); — d'une nouvelle de puce (pulex fascia- 
tus). An X. Observation et description d'une espèce de balane qui se fixe 
dans les madrépores (bal. madreporatum.); — sur deux nouvelles alvéo- 
lithes (alp. grain de fétuque ). An XI. Note sur l’ecureuil capistrate de la 
Caroline. Plus tard il a inséré aussi quelques articles dans le nouveau Bul- 
letin. 1808. Notice agronomique sur les espèces de frènes. Extrait du plan 
de travail adopté pour étudier et classer les diverses variétés de vignes cul- 
tivées dans les pépinières du Luxembourg. 1811. Sur un nouveau genre 
de vers intestinaux nommés fétragales. 1812. Description du dipodion, 
nouveau genre de vers intestinaux. 

(2) Journal d'histoire naturelle, rédigé par MM. Lamarck, Bruguière, 
Olivier, Haüy et Pelletier, 2 vol. in-8°, Paris, 1792. Tome 1°. Descrip- 
tion d'une nouvelle espèce de grimpereau. II. — de deux mouches (m. tri- 
dens et m. cephalotes); — du seiurus carolinensis; — du cynips quercus 
tozæ ; — du tanagra humeralis. Mémoire sur la chabasie. Description d'une 
nouvelle espèce de cucume; — du bostrichus Jurcatus ; — du ripiphorus ; 
. — du coturnix ypsilophorus. 


cc ÉLOGE HISTORIQUE 
appelle réorganisée. On en avait éloigné M. d'Ogny, et, sui- 
vant l'usage, les nouveaux administrateurs n'avaient eu rien 
de plus pressé que de faire descendre de quelques degrés le 
protégé particulier de leur prédécesseur. Un prompt retour 
de fortune le fit remonter, au contraire, beaucoup plus haut. 
Les événements porterent momentanément au pouvoir un 
homme avec qui il était depuis iong-temps lié d’une amitié 
étroite, ce Roland que sa probité et ses Iumières n'empêche- 
rent point de commettre des fautes funestes à son pays, mais 
dont les malheurs ont fait pardonner la mémoire. On réor- 
ganisa une autre fois l'administration des postes, et, le 11 
mars 1792, M. Bosc en fut nommé l’un des chefs, on peut 
dire même le chef principal; car ses liaisons particulières 
avec le ministère lui donnaient à peu près toute l'autorité: 
autorité passagère qui ne dura que seize mois, et devint pour 
celui qui en était le dépositaire la source de cruelles souf- 
frances. 
Le premier renvoi de Roland par Louis XVI n'eut point 
encore d’effet contre lui. Une troisième réorganisation déja 
imminente fut alors empêchée par l’Assemblée Législative. 
Mais il n’en fut pas de même du second renvoi du même mi- 
nistre, lorsque le parti appelé de la Gironde, dont Roland 
était la créature, fut abattu et mis en jugement par celui qu’on 
nommait de la Montagne. Le 31 mai 1703, jour de cette ré- 
volution qui amena ce qu'on à appelé ie règne de la terreur, 
M. Bosc fut arrête dans son domicile, et nous le dirons avec 
honte, par un homme qui, sous prétexte d'histoire naturelle, 
s'était depuis long-temps insinué dans sa familiarité. On le 
conduisit à la poste, où on le rendit témoin de la première 
violation du secret des lettres qui ait eu lieu depuis qu’il en 


DE M. BOSC. cc] 


était administrateur , violation qui des-lors continua ouver- 
tement pendant tout le règne de la terreur, et qui, sous des 
formes moins impudentes, s’est prolongée long-temps depuis. 
A la vérité, la Convention, non encore subjuguée, le rendit 
pour lors à ses fonctions ; et comme son département person- 
nel n'embrassait que les messageries, il put encore y vaquer 
sans déshonneur ; mais ses collègues et lui ne tardèrent pas 
à être définitivement renvoyés. Le 14 septembre 1793 fut le 
jour de leur destitution. 

Si quelque chose étonna M. Bosc, ce fut d’avoir été con- 
servé si long-temps. Intimement lié au ministère tombé, rien 
n'avait pu l'empêcher de lui montrer son attachement. Il avait 
visité Servan à la Conciergerie; il avait toujours vu ouver- 
tement madame Roland, soit chez elle, soit dans ses diffé- 
rentes prisons. Le jour où elle fut arrêtée, elle lui avait confié 
sa fille, et c'est dans ses mains qu’elle déposa ces Mémoires 
célèbres où l’on est également frappé de l'esprit distingué et 
de la pureté d’ame de l’auteur, et du mal que peuvent produire 
les intentions les plus pures, et l'esprit le plus distingué, lors- 
que l’expérience ne leur sert pas de guide. Roland lui-même 
avait trouvé son premier asile dans une petite maison dont 
M. Bosc disposait, au fond de la forêt de Montmorency, et 
c’est de là que, par des chemins détournés, il s'était rendu à 
Rouen, où deux amies l’avaient dérobé à tous les yeux. C’en 
était plus qu'il ne fallait pour que le parti dominant ne l'en 
tint pas quitte pour une destitution, et il est probable que 
s’il fût derneuré à Paris, il eût subi le même sort que ses amis. 
Heureusement il eut l’idée de se retirer dans cette même so- 
litude. L'éloignement où il s’y trouvait des lieux et des che- 
mins fréquentés, le costume populaire dont il s'y revêtit, le 

T. X. ist. 1827. Cc 


L 


cci} ÉLOGE HISTORIQUE 

soin qu'il y prit de travailler lui-même à la terre et au bois, 
empéchèrent que le voisinage ne se doutât ni de ce qu'il était, 
ni surtout des liaisons qu'il avait eues, et qui, dans un temps 
où chaque village avait son inquisition, n'auraient pas man- 
qué de le faire dénoncer. 

Cependant les misérables qui-s’étaient emparés du pouvoir 
multipliaient leurs assassinats. M. Bosc, quand par hasard il 
sortait de sa retraite et Jjetait les yeux sur un Journal, y li- 
sait chaque fois la perte de quelque ami. Sa douleur n'eut plus 
de bornes lorsqu'il apprit que madame Roland avait péri sur 
l'échafaud, et que son mari, à cette nouvelle, s'était donné 
la mort. Lui-même se jugea perdu un jour qu'il rencontra 
face à face, dans une promenade, Robespierre, à qui il en- 
tendit prononcer tout bas son nom. Mais ni la douleur ni le 
danger ne lui firent repousser les malheureux qui venaient 
encore le prier de leur donner asile. On frissonne quand on 
le voit cachant dans un petit grenier l’un des députés voués 
à l'échafaud , au moment même où le hasard amenait autour 
de la maison des agents occupés de la recherche des pros- 
crits; lorsque n'ayant quelquefois à partager avec ce malheu- 
reux que des limaçons et des racines sauvages, ne pouvant 
lui offrir, quand il souffre, que les œufs d'une seule poule, 
cette poule est tuée un jour par un oiseau de proie. Aucun 
roman n'a rien de si déchirant; mais aucun roman non plus 
n'a rien de si merveilleux que lorsque le même député, sorti, 
après le 9 thermidor, de son étroite cachette, se voit, au 
bout de quelques mois, nommé le premier à ce Directoire, 
qui, bientôt tout-puissant au-dedans et au-dehors, fait trem- 
bler l'Allemagne, conquiert l'Italie, détrône le pape, le roi 
de Sardaigne et le roi de Naples, humilie le roi d'Espagne, 


DE M. BOSC. ccii] 


et contraint l'Autriche à signer une paix qui agrandit la France 
d’un quart, et la laisse à peu près maîtresse du Midi de l'Eu- 
rope. Ÿ 

On va être tenté de croire que M. Bosc sera porté à la for- 
tune par l’homme qui, si récemment, lui avait dà la vie, et 
que voilà devenu l’un des maîtres de l’état. Il n’en fut rien. 
M. Bosc était trop fier pour se laisser faire du bien autre- 
ment qu'il ne l’entendait. On voulait lui rendre sa place aux 
postes; mais on voulait, en même temps, qu'il y devint le 
collègue de ceux qu'il croyait les provocateurs de sa desti- 
tution : rien au monde n’aurait pu l'y faire consentir, et son 
grand protecteur n'eut pas le pouvoir d'obtenir qu'il en fût 
autrement. Toute la faveur qu'il lui put montrer fut de ve- 
nir quelquefois se promener avec lui dans la petite maison 
qui leur avait servi d'asile. 

Un nn plus vif se joignit à celui-là. La; jeune personne 
qu'une mère mourante lui avait confiée lui fit éprouver un 
sentiment qu’elle ne partagea point, et rien ne put le calmer 
qu'un grand et long éloignement. 

On lui avait promis de le nommer, à la première vacance, 
consul aux États-Unis. Son ami Michaux dirigeait dans la 
Caroline un jardin de naturalisation. Il était sûr qu'il en se- 
rait bien recu, et il se décida à aller attendre sa promotion 
sur les lieux; maïs bien des désagréments lui étaient encore 
réservés dans l'intervalle. Après s'être rendu à pied à Bor- 
deaux, faute de moyens de voyager autrement, il s'était em- 
barqué, le 18 août 1798, sur un vaisseau américain, qui, à 
peine sorti de la Garonne, fut visité par une frégate anglaise. 
M. Bosc se vit au moment d'être dépouillé de tout ce qui lui 
restait, s’il n’eût réussi à se donner au capitaine pour un co- 


Ce 2 


cciv ÉLOGE HISTORIQUE 


lon de Saint-Domingue qui essayait d'aller sauver quelques 
débris de sa fortune. Arrivé à Charlestown, il apprit que 
M. Michaux l'avait croisé. Nommé successivement vice-con- 
sul à Wilmington (1), et consul à New-York (2), il ne put 
obtenir d'exequatur du président Adams, qui avait alors avec 
la France de graves discussions politiques. Du moins il tou- 
cha ses traitements, et, n'ayant aucune fonction à exercer, 
il s'établit dans le jardin de Michaux, et s’y livra tout entier 
à l’histoire naturelle. 

On comprend quel soulagement ce dut être pour lui après 
tant de soucis, de dangers et de malheurs, de reprendre, 
loin des cabales et des intrigues, cette vie des bois que, dès 
sa première jeunesse, il avait tant aimée. Le matin, à la 
chasse, ou à la recherche des plantes et des insectes; le soir, 
occupé d'étudier et de préparer ce qu'il avait recueilli, il 
redevint plus naturaliste que jamais; et lorsque, dans l'été 
de l’année 1800, les brouilleries entre la France et les États- 
Unis en furent venues au point qu'il n'y eut plus de possi- 
bilité pour des agents français de demeurer en Amérique, il 
se vit en état d'apporter des matériaux à tous les naturalistes 
de l'Europe. 

En effet, toujours également généreux, s'il avait des in- 
sectes nouveaux, c'était pour son ami Fabricius ou pour Oli- 
vier; des poissons, il les donnait à Lacépede; des oiseaux, 
a Daudin ; des reptiles, à M. La Treille. Quiconque travaillait 
sur quelque branche que ce fût, de l’histoire naturelle, était 
sûr d'obtenir de M. Bosc tout ce qu'il possédait, d'en appren- 


(1) 18 messidor an V, avec 5000 fr. d'appointements. 


(2) 12 messidor an VI, avec 12,000 fr. 


DE M. BOSC. cev 

dre tout ce qu'il savait qui s’y rapportât. Ce ne fut qu'après 

avoir enrichi tant d'écrivains du fruit de ses travaux, qu'il 
se décida à en profiter pour lui-même. 

Peu après son retour, était arrivée la fameuse révolution 
du 18 brumaire. Inconnu au nouvel arbitre des fortunes, bal- 
lotté encore de l'administration des postes à celle des hos- 
pices, et de celle-ci aux postes, voyant que la carrière des 
emplois politiques ou administratifs ne lui promettait pas, 
depuis son retour, une existence plus assurée qu'avant son 
départ, il renonça enfin à demeurer dans une dépendance 
si immédiate du pouvoir; et M. le comte Chaptal l'ayant 
chargé en 1803 de l'inspection des jardins et des pépinières 
de Versailles, il se ‘consacra désormais tout entier à cultiver 
l’histoire naturelle, et à en appliquer les principes aux di- 
verses branches de l’agriculture. Appelé successivement au 
Conseil d'agriculture, à la Section d'agriculture de l’Institut, 
au Jury de l'École d’Alfort, à l'inspection générale des pépi- 
nières, il mena une vie nouvelle, tout opposée à la première, 
toute de calme et de considération; et c’est aussi depuis lors 
seulem ‘nt que ses ouvrages ont pris un caractère d’impor- 
tance et de aurée. 

Avant son départ, il n'avait publié, comme nous l'avons 
vu, que des fragments, que des descriptions d'espèces iso- 
lées, et rédigées avec sécheresse. À peine l’histoire des coquilles 
et des vers qu’il donna, peu après son retour, dans le petit 
Buffon de Déterville, sort-elle de cette catégorie (1). Mais 


(x) Histoire naturelle des coquilles, contenant leur description, les mœurs 
des animaux qui les habitent, et leurs usages, avec figures dessinées d’après 


nature, à vol. in-18, avec 94 pl., Paris, 1801, et la 2° édition, 1824, 


cCY] ÉLOGE HISTORIQUE 


le Nouveau Dictionnaire d'histoire naturelle et le Cours com- 
plet d'Agriculture, publiés par le même libraire, et auxquels 
M. Bosc a eu la plus grande part, se présentent sous un au- 
tre jour. 

C'est surtout dans le Dictionnaire d'Histoire naturelle que 
M. Bosc a placé les nombreuses observations qu'il avait faites 
dans ses courses et dans ses voyages (1). 

Sur les reptiles, les poissons, les mollusques, les vers, le 
plus grand nombre des articles est de lui, et il en a donné 
une infinité sur la botanique : tous sont remarquables par 
leur précision, leur netteté, et beaucoup renferment des faits 
propres à l’auteur. C’est aussi de ses portefeuilles que sont 
tirées un grand nombre de figures relatives à ces parties de 
la science. Tout autre aurait mieux aimé employer ces riches 
matériaux pour un ouvrage qui n’eût pas été collectif; mais 
ici, comme en tout le reste, M. Bosc ne voyait que l'utilité, 
et ne songeait point aux intérêts de son amour-propre. C'est 
par la même raison qu'il mettait le Cours d'Agriculture (2) 
au-dessus de ses autres travaux. La 2° édition de ce recueil 
paraît surtout avoir excité tous ses efforts. « Il ne m'est pas 


Histoire naturelle des vers et des crustacés, 5 vol. m-18, 1827, et la se- 
conde édition, 1825. 

(x) Nouveau Dictionnaire d'histoire nrturelle, appliquée aux arts, prin- 
cipalement à l’agriculture et à l'économie rurale et domestique, par une 
société de Naturalistes et d'Agriculteurs, 24 vol. in-8°, Paris, 1803 et 
1804; 2° édit., 36 vol., id., id. 1816-1810. 

(2) Nouveau cours complet d'agriculture théorique et pratique , ou dic- 
tonnaire raisonné et universel d'Agriculture, par les membres de la sec- 
tion d'agriculture de l'Institut de France, 13 vol. in-8°, Paris, 1809; — 
2° édit. 16 vol., id., id., 1821-1823. 


DE M. BOSC. CCVi] 


« passé un livre sous les yeux, écrivait-il, lorsque cette édi- 
«tion se préparait; je n'ai pas assisté à une séance de société ; 
« je n'ai pas fait un pas dans les jardins ou dans la campagne 
« sans prendre des notes, et ces notes sont rédigées de ma- 
« nière à être intercalées, en peu de jours, dans les articles 
« qu’elles concernent. » 

C'est avec la même conscience qu'il a constamment tra- 
vaillé, soit à ses notes sur l'édition d'Olivier de Serre, don- 
née par la Société d'Agriculture, soit aux Mémoires qu'il à 
insérés dans les. collections de cette Société (1), dont il était 
un des membres les plus actifs, soit dans les Annales de l’A- 
griculture française (2), dont il partageait la rédaction avec 
notre respectable confrere M. Tessier, soit enfin dans les 
Mémoires de l’Institut (3). 

Une grande partie de son temps était employée, et toujours 
par le même sentiment d'utilité, à ses fonctions publiques , et 
il n’y mettait pas’ seulement son temps : toute la fermeté, la 
roideur même de son caractère n’y étaient pas de trop; car, 
du moment où l’on sort du cercle de la pure théorie, ce ne 


(1) Observations sur les différences qu'il y a entre les marais propre- 
ment dits, et les terrains marécageux (Mémoires de la Société d'agriculture 
de Paris, tome XVII, p. 20, 1814). 

Rapport sur une maladie des pommiers à cidre, #bid., 1821, page 42r. 

(2) Voyez à la fin de cet Éloge les titres des Rapports, Mémoires, No- 
tices et Extraits d'ouvrages insérés par M. Bosc dans ces Annales. 

(3) Mémoire sur les différentes espèces de Chènes qui croissent en 
France, et sur ceux étrangers à l'empire, qui se cultivent dans les jardins 
et péninières des environs de Paris, etc. Lu à l'Institut, le 2 juin 1806 

Mémoires zd., tome VIIL, p. 307, vol. de 1807). 
Notice agronomique sur les diverses espèces de Frênes qui se culti- 


cCvii] ÉLOGE HISTORIQUE 

sont plus de simples erreurs qu'il faut combattre, mais des 
erreurs alliées à des passions. M. Bosc en fit l'expérience dans 
plus d'une occasion, et nous voyons dans ses Mémoires qu'il 
se plaint avec amertume d'avoir eu, pendant quelque temps, 
pour supérieur un homme d’un caractère indéfinissable, qui 
semblait se plaire à détruire à mesure, tout ce dont il le 
voyait occupé avec intérêt. 

Ailleurs, du moins, et soutenu par un ministre éclairé, il 
obtint le pouvoir de faire quelque bien. Chacun a pu voir la 
belle collection qu'il avait formée, près du Luxembourg, de 
nos principales variétés de vignes. Le royaume en produit 
plus de 14,000 : les comparer, fixer leurs caractères, constater 
pour chacune d'elles les conditions de leur prospérité; pro- 
pager alors de préférence les plus avantageuses, relativement 
à chaque sol, à chaque exposition, à chaque latitude, serait 
un travail de la plus haute importance et dont les conséquen- 
ces pourraient être immenses pour notre richesse territoriale : 
M. Bosc l'avait entrepris. Déja, en trois années, il avait de- 
crit ou fait représenter plus de 4oo de ces variétés; mais il 
lui aurait fallu dix ans, et en France il est bien rare qu'un 
projet qui n’est qu'utile trouve dix ans de suite de l'appui 
dans l'administration supérieure. Il faudrait que le chef fût 
aussi instruit que son subordonné, ou qu'il eût la modestie 
de ne pas vouloir mettre du sien dans la direction, et lors- 
qu'il possede l’une ou l’autre de ces qualités déja si rares, il 
faudrait qu’il restât dix ans en place : chacun voit bien que 
la réunion de ces conditions est la chose impossible. 


vent, en ce moment, dans les jardins et pépinières de Paris, lu à l'Insti- 


tut, le 29 février 1808 (Mémoires, id., tome IX, p. 195, vol. de 1808 ). 


DE M. BOSC. ccix 


C'est dans les voyages qu'il faisait pour compléter son tra- 
vail que M. Bosc a pris le germe de la maladie qui a abrégé 
ses jours; il les faisait toujours à pied comme dans sa jeu- 
nesse; surpris en 1824, dans le département du Var, par un 
violent orage, il fut saisi d'une fièvre qui, mal soignée, se 
convertit en affections chroniques, dont la mort seule devait 
le délivrer. 

Cette triste perspective, sur laquelle il perdit promptement 
toute illusion, l’affligeait d'autant plus, que le désintéresse- 
ment le plus constant ne lui avait rien laissé faire pour l'ave- 
nir de sa famille. Une occasion cependant se présenta d’aiouter 
quelque chose à son aisance pendant les années qu'il espé- 
rait encore pouvoir travailler pour elle. Ce fut la vacance de 
la chaire d’horticulture au Jardin-du-Roi, lors du décès de 
notre confrère M. Thouin. Aucun titre assurément ne man- 
quait à M. Bosc pour y prétendre, et toutefois il n’obtint 
pas la pluralité des suffrages des corps qui avaient droit d'y 
présenter : non qu'il n’y füt généralement aimé et respecté; 
non qu’on ne lui reconnût au plus haut degré toutes les lu- 
“mieres et l'expérience nécessaires, mais parce qu’à son âge 
et avec des souffrances, qui déja étaient devenues très.vives, 
on n'en espérait plus l’activité qu'exigeait, plus que jamais. 
un établissement aussi vaste, et depuis trop long-temps con- 
duit par un vieillard. L'autorité cependant l’y nomma par 
un procédé dont il n’y a eu qu’un autre exemple, et qui dut 
paraître alors d’autant plus extraordinaire, que l’on n’aper- 
cevait pas comment M. Bosc s'était attiré une telle faveur. 
Aussi n’en était-ce pas une. L’éloignement pour son concur- 
rent l'avait servi plus que son mérite; et à peine avait-il pris 
possession de son nouvel emploi, que l’on s'empressa, en 

T. X. Hist. 1823. Dd 


cCx ÉLOGE HISTORIQUE 

supprimant les pépinieres, de lui apprendre que ce n'était ni 
pour l’enrichir, ni pour lui plaire, que l’on s'était écarté de 
tous les usages. Trompé ainsi dans un espoir si légitime, le 
chagrin qu'il en conçut donna plus d'activité au mal qui le 
rongeait : les douleurs les plus violentes l'accablerent souvent, 
et, malgré toute son ardeur à remplir ses devoirs, il ne put 
faire les cours publics dont il était’ chargé. L'administration 
du jardin occupa seule tous les moments que ses maux lui 
laisserent, et du moins, en cette partie, il fit de grands ef- 
forts et obtint de vrais succès. Ses souffrances, devenues in- 
tolérables, l'enlevèrent enfin le 10 juillet 1628, à l'âge de 
soixante-neuf ans. 

Sans les chagrins et les accidents qui se combinèrent pour 
détruire sa santé, il aurait pu long-temps encore se rendre 
utile aux sciences et à son pays. La nature l'avait créé vigou- 
reux; une stature robuste, une figure noble et calme annon- 
caient à-la-fois la force du corps et la pureté de l'ame. Étran- 
ger aux intrigues du monde, on pourrait dire qu'il la été 
quelquefois aux ménagements que la société réclame; mais 
toujours aussi il a été plus sévère encore pour lui-même que 
pour les autres. Sa probité inflexible, son dévouement entier 
à ses amis, un désintéressement poussé jusqu’à l'exagération, 
et qui, après tant de travaux et tant d'occasions légitimes 
d'améliorer sa fortune, ne laisse à sa famille d'autre ressource 
que la justice du gouvernement, ne marqueront pas moins 
sa place parmi les hommes que leur caractère désigne au 
respect de la postérité, que parmi ceux que leurs services 
désignent à sa reconnaissance, 

M. Bosc avait épousé, en 1800, mademoiselle Susanne 
Bosc, sa cousine, Il laisse deux fils, dont un officier de ma- 


DE M. BOSC. CCx] 
rine, et l’autre docteur en médecine, et deux filles, mes- 
dames Pilatre et Soubeiran. Sa place à l’Académie a été rem- 


plie par M. Flourens, et sa chaire au Jardin-du-Roi, par M. de 
Mirbel. 


Dd 2 


RSS 


ÉLOGE HISTORIQUE 


A TA A AT A SA A ARR À A A RE RER EDR RE 


LISTE 


DES ARTICLES INSÉRÉS PAR M. BOSC DANS LES ANNALES 


1807. 


1810. 


1810. 


1812. 


1821. 


1823. 


1824. 


1824. 


DE L'AGRICULTURE FRANCAISE. 


Rapport sur le Mémoire de M. Féburier, relatif à la culture de 
l’'Anémone. 
(Fait à l'Institut, le 22 juin 1807.) 
(1° Série. — T. 30, p. 346.) 
Rapport sur l’Essai relatif aux abeilles ; par M. Féburier. 
(Institut, 22 janvier 1810.) 
(T. 42, p. 30.) 
Rapport sur un Mémoire de M. Deslandes : Observation sur les 
sols et terres de bruyères. 
(Soc. d’agricult., 19 sept. 1810.) 
(T. 43, p. 348.) 
Rapport sur la dessiccation des Châtaignes. (Z4.) 
(T::5x1, p.257.) 


Rapport au Conseil d'agriculture sur l'Éducation des Oiseaux. 
(2° Série. — T. 15, p. 329.) 
Rapport à la Soc. d'agriculture (le 20 août 1823) sur une presse 
propre à retirer la mie des gâteaux de cire. 
(T. 24, p. 129.) 
Rapport fait à l'Académie des sciences (en 1824) sur une notice 
de M. Dejean , relative à la conservation des blés dans des vais- 
seaux hermétiquement fermés. (In-8°.) 
(T. 26, p. 262.) 
Rapport fait à la Société centrale d’agricult. sur l'emploi du mu- 
riate de chaux, ou chlorure de chaux en agriculture. 


(T 26; p. 327.) 


1806. 


1806. 


1807. 


1807. 


1807. 


1808. 


1808. 


1808. 


1808. 


1812. 


DE M. BOSC. CCxii} 


Notice sur la vie et les travaux de J. M. Cels. 
(Lue à la Soc. d’agr. du dépt. de Seine-et-Oise, le 22 juin 1806.) 
(1° Série. — T. 27, p. 356.) 


Notice sur le traité des Arbres et Arbustes qu'on cultive en 
France en pleine terre; par Duhamel. 
(Lue à l'Institut ; le 26 janv. 1807.) 
(1° Série. — T. 28, p. 388.) 
Note sur le sucre du Rosage pontique (Rhododendron ponticum). 
(Lue à l'Institut.) 
(T. 30, p. 418.) 
Mémoire sur l'utilité des Clôtures en général, et sur celle des 
haies vives en particulier. 
(Lu à la Soc. d'agricult. de Versailles, en 1807.) 
(T. 37, p. 24.) 
Exposition faite à la Soc. centrale d’agricult. de la Seine, du plan 
de travail adopté pour étudier et classer les diverses variétés 
de vignes cultivées dans les pépinières du Luxembourg. 
(T: 32, p. 100.) 
Mémoire sur les différentes espèces de Chênes, etc. 
(Lu en extrait à l'Institut, le 2 juin 1806. ) 
| (T. 33, p. 183.) 
Note sur le Kermës, et instruction sur sa récolte. (Avec MM. Oli- 
vier et Tessier.) 
(T:34, p. 237.) 
Considérations sur le Plant, et sur les principes qui doivent gui- 
der ceux qui l'arrachent et le replantent. 
(T. 35, p. 130.) 
Note sur les espèces de Magnoliers qui se voient en pleine terre 
dans les jardins des environs de Paris, et de leur culture. 
(T:35, p. 392.) 
Note sur le Lin de Sibérie. 
(T. 51, p. 278.) 


CCxIV 


1812. 


1813. 


1814. 


‘1814. 


1817. 


1819. 


1820. 


1821. 


1823. 


1826. 


1927. 


1827. 


ÉLOGE HISTORIQUE 


Notice sur deux insectes du G. Cerceris, qui font la guerre aux 
charançons, les plus nuisibles aux arbres fruitiers. 
(T. 51, p. 370.) 
Notice sur la Pirole et autres insectes qui nuisent aux vignobles. 
(T. 53, p. 379.) 
Notice sur les Insectes qui dévorent les laines des matelas et des 
habits, les fourrures, les plumes , et autres objets d'économie 


domestique. 
(T. 57, p. 232.) 


Observations sur les différences qu'il y a entre les marais propre- 
ment dits, et les terrains marécageux. 
(1° Serie. —T. 57, p. 364.) 
Quelques apercus sur l'insecte, connu sous le nom de Mouche 
hessoise, et sur un insecte parasite qui s’en nourrit. 


(T. 70, p. 277.) 


Note sur les moyens de rétablir en état d'être consommés par les 
personnes les plus difficiles , les beurres devenus rances. 
(2° Serie. — T. 7, p. 104.) 

Note sur un rouleau coupant. 

(T. 9, p. 149.) 

Note sur un remède reconnu propre à la guérison des abeilles 

affectées de dysenterie. 

(T. 16, p. 154.) 


Note sur les Bières économiques. 


(T:23;, p. 285.) 
Note sur les deux modes de cultures propres à augmenter les 
produits de la Champagne craïeuse. 
( Lues à la Soc. d’agricult., 1824.) 
(T. 33, p. 60.) 
Notice sur l'Arracacha. 
(T. 35, p. 42.) 
Note sur les moyens de nourrir les vers à soie avec d'autres 
feuilles que celles du mûrier blanc. 


(T. 37, p. 208.) 


— 5m 0-00 ———— 


DE M. BOSC. CCXV 


EXTRAITS D'OUVRAGES. 


1811. Ext. du Traité du Citrus ; par Georges Gallesio. (In-80.) 


1811. 


1811. 
1811. 


1811. 


1811. 


1812. 


1813. 


1814. 


1814. 


(1° Série. — T. 45, p. 328.) 

Ext. de l'ouvrage de M. G. H. Walz (méd. vétérin. } : De /a gale 
des moutons, de sa nature, de ses causes, et des moyens de la 
guérir. (In+8°, traduit de l'allemand. ) 

(T. 46, p. 227.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Truchet, sur l'insecte du Kermès. (In-8?, 
1811.) 

(T. 46, p. 328.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Carena (H.), sur les Réservoirs artifi- 
ciels, etc. 

(1" Série. —T. 47, p. 120.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Lullin de Châteauvieux, intitulé: Des 
associations rurales pour la fabrication du lait, connues en 
Suisse sous le nom de Fruitières. (In-8°.) 

(T: 48, p. 122.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Sarrazin : Traité élémentaire de la cul- 
ture du tabac en France. (In-8°.) 

(T. 48, p. 246.) 

Ext. de l'ouvrage de M. de Barbancois , intitulé : Petit traite sur 
la partie la plus importante de l’agriculture en France. (In-8°.) 

(T. 50, p. 3rr.) 
Ext. du Traité du Pastel et de l'indigo ; par Giobert. (2 vol. in-8°). 
(T: 54, p. 202.) 

Ext. des nouvelles observations de M. F. Huber, sur les abeilles. 
(2 vol. in-8°.) 

(T. 59, p. 241.) 

Ext. des Principes pratiques sur l’éducation , la taille et Pébour- 
geonnement des arbres fruitiers ; par J. Mozard. ( In-8°.) 


(T. 59, p. 232.) 


(1) C’est à compter dn mois de janvier 1811 que M. Bosc à partagé avec M. Tessier 
la direction principale du Journal. 


CCxXV] 
1815. 


1819. 


1815. 


1816. 


1817. 


1817. 


1818, 


1818. 


1819. 


1821. 


ÉLOGE HISTORIQUE 


Ext. du Mémoire de M. Quenin, sur les Prairies Artificielles. 
(Couronné à Aix.) 
(T. 62, p. 342.) 
Ext. du Mémoire de M, Pajot Descharmes, sur la culture de la 
Betterave à sucre. 
(TN65, pro.) 
Ext. d'un Mémoire sur les fonds ruraux du dépt. de l'Escaut ; 
par M. de Lichtervelde. (1 vol. in-8°.) 
(T. 64, p. 214.) 
Analyse de la partie agricole du Journal des maiïres et des habi- 


tants des campagnes. 


(T° 65; p.112 et 205); 
66, p. 116; 
68, p. 266 et 387.) 
Ext. de l’Essai sur l'amélioration des principaux animaux domes- 
tiques du département de la Charente-Inférieure ; par M. Cham- 
bert. (2 vol. in-8°.) 
(T: 69, p. 57.) 
Ext. de la Topographie de tous les vignobles connus ; par M. A. 
Jullien. (In-8°.) 
(T. 70, p. 3x.) 


Ext. de l'ouvrage de M. L. Reynier : De l'Economie publique et 
rurale des Ceîtes, des Germains, et autres peuples du Nord et 
du centre de l'Europe. (In-8°.) 

(2° Série. — T. 2, p. 380.) 

Ext. de la Description du département de la Vendée, et considé- 
rations sur la guerre civile de 1793 à 17997; par M. Cavo- 
leau. (In-8°, 1818.) ’ 

(Sp 304) 

Ext. de l'ouvrage de M. Trouvé : Statistique du département de 
l’Aude. (In-4°.) 

(T. 6, p. 384.) 

Ext. du Rapport des travaux de la Société d'agriculture, d’his- 
toire naturelle, et arts utiles de Lyon, en 1820; par M. Gro- 
gnier. (In-8°.) 

(T. 12, p. r12 et 218,) 


1822. 


1822. 


1822. 


1823. 


1824. 


1824. 


1826. 


1827. 


1828 


DE M. BOSC. cexvi] 


Ext. des Principes sur la culture de la vigne en cordons, sur la 
conduites des treilles, et la manière de faire le vin ( Ano- 
nyme). In-8°. 

« (T. 19, p. 118.) 
Ext. de l'ouvrage de M. d'Harcourt : Reflexions sur l’état agri- 
cole et commercial des provinees centrales de France. (In-8°.) 
(T. 19, p. 260.) 
Ext. de l'ouvrage intitulé : De la disette et de la surabondance 
en France, et avec un Mémoire sur les réserves à domicile; par 
M. Labonlinière. ( In-8°.) 
À (T. 19, p. 388.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Chaptal: De la Chimie appliquée à l'a- 
griculture. ( 2 vol in-8°.) 

z (T.23, p. 299.) 

Ext. de l'ouvrage intitulé : Vouveau traité sur la laine et sur les 

moutons ; par MM. Perrault de Jatemps, Fabry et F. Girod de 
l'Ain. (In-8°.) 
. (T. 26, p. 345.) 

Ext. de l'ouvrage de M. Guyetant (couronné par la Soc. d'ému- 
lation du Jura, 14 juin 1822, -et intitulé : Essai sur l’état 
actuel de l’agriculture dans le Jura. (In-8°.) 

(T. 26, p. 362.) 

Ext. de l’ouvrage de M. Delamarre , intitulé : Traité pratique de 
l'Agriculture des Pins à grandes dimensions , de leur uména- 
gement, de leur exploitation , et des divers emplois de leur bois 
(In-8°.) 

(T. 33, p. 288.) - 

Ext. de l'ouvrage de M. Puvis, ayant pour titre : Essai sur la 
Marne. (In-8°.) 

(2° Série. — T. 35, p. 111.) 

Ext. du Mémoire de M. Gasparin, (lu à la Société centrale d'A- 
griculture de Paris, le 2 novembre 1825): Des effets du cli- 
mat sur les assolements, considérés dans la région des oliviers. 
(In-8°.) 

(T. 38, p. 97.) 


XF. VI007. j Ee 


CCX VI] ÉLOGE HISTORIQUE DE M. BOSC. 


1828. Ext: du Mémoire de M. Théodore de Saussure ( communiqué à 
la Société d'histoire naturelle de Genève, le 17 mars 1825 ): 
De l'influence du dessechement sur la germination de plusieurs 
graines alimantaires. (In-8°.) 


(T. 38, p. 108.) 
1828. Ext. du Cours de culture et de naturalisation des végétaux ; par 
A. Thouin, publié par son neveu Oscar Leclerc. {3 vol. in-8°, 


1827.) 
(T. 38, p. 379.) 


tone te 


RIRE SLR LRR LR RAR A Le Ve en 3 nus ARR Re 


MÉMOIRES 


L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT DE FRANCE. 


QUATRIÈME MÉMOIRE 


Les canaux,de navigation considérés sous le rapport 
de la chute et de la distribution de leurs écluses. 


Par M. P.S. GIRARD. 


Lu à l'Académie royale des Sciences, le 13 février 1826. 


—— 


(2) A PRÈS avoir développé, dans nos trois Mémoires pré- 
cédents, les divers avantages que l’on trouve à réduire la 
‘chute des écluses pour obtenir tout à la fois l’économie de 
l'eau nécessaire à l'entretien de la navigation , et l'économie 
d'argent dans la dépense de construction des ouvrages, nous 


allons; dans celui-ci, considérer les écluses mises dans leur état 
Xe L 


2 QUATRIÈME MÉMOIRE 


d'activité, et chercher comment la durée de leurs manœuvres 
peut modifier les avantages que nous venons d'indiquer. 

(2) Jusqu'à présent les écluses des canaux de navigation 
ne paraissent pas avoir été envisagées sous leur véritable 
point de vue. Elles ne doivent pas être des monuments d’ar- 
chitecture hydraulique, mais de simples appareils au moyen 
desquels, à l’aide d’un certain volume d’eau qui tombe d’une 
certaine hauteur, on fait monter ou descendre des poids 
déterminés , c'est-à-dire , des bateaux plus ou moins chargés. 
Rentrant ainsi dans la classe des machines les plus simples, 
on doit en établir la discussion en les considérant succes- 
sivement dans leur état de repos et dans leur état de mou- 
vement; c'est, comme on voit, sous ce dernier aspect qu'il 
nous reste à les examiner. 

(3) Lorsque nous avons avancé qu’en réduisant la chute 
des écluses, on pouvait obtenir, sur la dépense d’eau des 
canaux de navigation, une économie plus grande qu'on ne 
l'avait pensé jusqu'alors , on objecta que, par cette réduction 
de chute, le nombre de ces ouvrages sur une longueur 
donnée de canal pouvait devenir tel que l'accroissement de 
dépenses en argent résultant de leur construction , l'empor- 
terait sur l’économie d’eau qu'on obtiendrait par la réduction 
de chute dont il s'agit. 

(4) Quoique l'économie de l'eau soit toujours la plus im- 
portante de celles qu'on doit avoir en vue, quand on entre- 
prend un canal de navigation , puisque la possibilité ou l'im- 
possibilité de l'exécuter avec succès dépend du volume d’eau 
disponible pour son entretien ; cependant, sans égard à cette 
considération , nous avons recherché, dans notre troisième 
Mémoire ; les rapports théoriques qui existent entre la dé- 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 3 


pense de construction des écluses , et leur nombre sur une 
partie de canal dont les extrémités sont données, et nous 
sommes parvenus à démontrer, 1° que les chutes d'écluses 
demeurant telles qu’on est.dans l'usage de les établir, la dé- 
pense de leur construction s'accroît plus rapidement que 
leur nombre n’augmente : 2° qu’il est toujours possible de 
racheter une pente déterminée, par des écluses de chute dif- 
férente, dont la dépense de construction soit la même. Ce 
dernier théorème , d’une application facile à la pratique, lève 
toutes les objections que l’on fondait sur la prétendue aug- 
mentation de dépense de ces ouvrages résultant de l’augmen- 
tation de leur nombre entre deux extrémités fixes. 

(5) Reste l’objection fondée sur la dépense du temps em- 
ployé à parcourir un certain développement de canal. Dé- 
pense qui s'accroît à mesure que la chute de ses écluses de- 
vient moindre, de telle sorte, a-t-on dit, que la perte de 
temps qu’exigeraient des passages d'écluses trop multipliés, 
sur un espace donné , ne serait pas compensée par l’économie 
d’eau et d'argent que l’on pourrait obtenir dans la manœuvre 
ordinaire d'écluses à petites chutes, et dans les premiers 
frais de leur établissement. 

(6) La recherche de l'expression rigoureuse du temps 
dont il s'agit, va réduire cette dernière objection à sa juste 
valeur. 

Supposant d'abord le cas le plus simple, celui d’un seul 
bateau qui monte ou qui descend une portion de canal dont 
les écluses sont isolées, nous observerons que, soit qu'il 
monte ou qu'il descende, on aperçoit toujours le bateau 
d'assez loin pour, qu'avant son arrivée à l’écluse qu'il doit 
franchir, on ait le temps de remplir ou de vuider le sas de 

Ie 


4 QUATRIÈME MÉMOIRE 
cette écluse, de sorte que la durée totale du trajet se com- 
pose, 1° du temps employé à parcourir le développement 
entier des biefs du canal; 2° du temps employé à en remplir 
ou en évacuer successivement tous les sas, quand le bateau 
y a été introduit. 

Cela posé : 


Faisons le développement de la partie donnée de canal. —/ 
SA DORE IE ne Mine taime tete nl FE EE 
La chute de chacune de ses écluses. ............... —Z 
LÉ DER A Mr des ous NN SES 7 
EaOnEuenr AU SAS en me eue e à qu as pit ed — 
DA SUNET ÉRIC LE Re dupe le cie sue due 2: «2 =) 
Celle de l'orifice par lequel on introduit l’eau du sas 
dans le bief inférieur et du bief supérieur dans le sas. —O 
a gravité 0: M Ne aENe (Dante nc OR Se de 
Le temps employé pour parcourir successivement tous 
BE TS ER on Pere Pan 44 VE de PRE 4% 
Le temps employé pour remplir ou pour vuider succes- 
sivement tous les sas...,......... SLA AE ee de + 
L'espace parcouru dans les biefs pendant l'unité de 
CEMDS EE === E ec 0 
Enfin la durée entière du trajet... ............ in 


Nous avons d’abord : 
. Lol 
L'a LAE l T— 7 
z 
En second lieu, le temps du remplissage ou de l’évacua- 
tion d’un sas, étant comme on sait, par les lois de l'hy- 


draulique, 


SUR LES CANAUXIDE INAVIGATION. 


nous aurons: : 


donc 


(7) Prenons pourexemple d’une’application de-cette for- 
mule, le canal de Soissons, destiné à joindre le canal de 
l'Ourcq à'celui'de St.-Quentin ; entre le port aux Perches, sur 
l'Ourcq, et Manicamp sur la riviere d'Oise. 

Suivant le projet que nous en avons rédigé (2). ‘! : 

1— 60163, metres, : 
a 1232575. 
M— 100. 
Lo. 
S—88",40. 

10=0%,25::1: 
g— 9,808795:1:7 1: 


Supposons de plus , que le ha!age soit fait par des hommes, 
ou des chevaux, et que le bateau parcoure 2000° par heure 


(x) Architecture-hydraulique de Prony, tome I, page 338 
(2) Mémoire-sur le) canal de:Soissons, 1824: 


6 QUATRIÈME MÉMOIRE 


la seconde étant prise pour unité de temps, on a 


à 20007 
i— —04;65p. 
[eo] 


360 


La substitution de ces valeurs numériques , dans l’expres- 
sion générale de +, la change en celle-ci: 


63% 12357,5 n 
= FT SRE Std Le 


TES À ons 34 heures 41 min. 


(8) Si, au lieu de supposer aux écluses du canal de Sois- 
sons 1,235 de chute, on leur en supposait 32,745, on 
aurait — 334et la valeur de + deviendrait 


60163"  176,8V/0778 


GES Font es — | 179224"—32 heures 33 min. 


Ainsi, il n’y aurait qu’une différence de 2 heures 9 minutes 
dans le trajet d’un canal de 60,163 mètres de développement, 
et de 123,57 de chute totale, en supposant cette chute 
rachetée ou par 100 écluses de 1",235 , ou seulement par 
33 écluses de 32,745. 

(9) Mais une considération importante, rend beaucoup 
moindre encore la différence que nous venons de trouver 
dans la durée du trajet du canal de Soissons, que nous avons 
pris pour exemple , suivant que l’on donnerait à ses écluses 
de grandes ou de petites chutes. 


(10) Il arrive en effet presque toujours que, pour ouvrir les 
portes d’un sas dont un bateau doit sortir, on n'attend pas 
que la surface de l’eau se soit mise parfaitement de niveau 
en amont et en aval de-ces portes , car une dénivellation de 
3à 4 centimètres ne présente qu’un très - léger obstacle à leur 


Là 


SUR LES, CANAUX: DE! NAVIGATION. 7 


ouverture, tandis que le temps-nécessaire pour faire dis- 
paraître entierement cette dénivellation;,est toujours, plus 
long que le temps nécessaire pourfaire sortir entièrement le 
bateau du sas. F9 « r *8; 

L'expression der, trouvée ci- deebus, peut donc être dimi- 
nuée au moins du temps nécessaire, pour parcourir tous les 
sas du canal, comme s'ils faisaient partie des biefs. On aura 
par conséquent 


Pour le canal de Soissons L'— 34» , et en ne 100 
écluses de 1”,235 de chute, on a 


60163" _:56,81/1:35,5 3400 


EE NL ATV 5538 119894" —= 33 heur.18 min. 


Tandis que, dans l'hypothèse de 33 écluses de 32,745 de 


chute chacune , on a : 


FRE me PLAT LE ci 116865" —32heur. 34 min. 


0,555 0,25 119,618 0, 555 


… En calculant ainsi la durée du trajet du canal de Soissons, 
on yoit qu'il n’y aurait que 44 minutes de différence dans 
cette durée, en supposant la pente de ce canal rachetée, 
soit par 100, écluses de 1,235 de chute chacune, soit par 
33 écluses de 3,745. 

(11) Cet exemple, dans lequel nous ayons regardé ies 
écluses d’un canal de navigation comme isolées les unes des 
autres, suffit pour montrer, 1° aus le temps employé à les 
traverser, n'est ordinairement qu’une faible partie de celui 
qui est employé à parcourir les biefs de ce canal. 2° Que dans 


8 QUATRIÈME MÉMOIRE 


celui pris pour exemple, le retard occasionné dans le trajet, 
lorsqu'on réduit au tiers la chute de ces écluses, ou ce qui 
revient au même, lorsqu'on triple leur nombre , n'est guère 
que la 48° partie environ de la durée totale de ce trajet. 

(12) Nous n'avons eu besoin, pour assigner le temps du 
remplissage ou de l’évacuation d’une écluse isolée, que d’ap- 
pliquer à cette recherche une des formules les plus simples 
de l'hydrodynamique. La question se complique lorsqu'il 
s'agit d’assigner la durée du remplissage ou de l'évacuation 
des sas contigus d’une écluse multiple qui ont été mis simul- 
tanément en communication les uns avec les autres. Mais 
cette question ne se présentera pas dans l'usage ordinaire, 
attendu que le corps d’écluses qu’un bateau doit remonter 
ou descendre, peut toujours être chargé ou déchargé d’eau 
assez à temps pour que ce bateau soit introduit dans les sas 
inférieur où supérieur, au moment même où il arrive au 
pied ou au sommet de cette écluse multiple. 

(13) Supposons donc que pour préparer l'ascension d'un 
bateau, le nombre #2 des sas d’une écluse multiple compris 
entre le premier et le dernier , aient été préalablement rem- 
plis au-dessus de leur profondeur ordinaire , d’un prisme 
d’eau que l’on désigne sous le nom de prisme de remplissage, 
la hauteur de ce prisme sera égale à la chute commune des 
écluses , et il est clair qu'immédiatement après l'introduction 
du bateau dans le sas inférieur E,, l’eau se trouvera plus 
élevée dans le sas contigu E,_, d’une quantité — 2x. 

Le témps employé pour mettre l’eau de niveau dans les sas 
E, et E, (voyez la figure), sera donc représenté par : 


A 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 9 


Le temps employé pour mettre le sas E,_, de niveau avec 
le sas E,_, sera pareillement 


Et ainsi du temps employé pour faire passer le bateau 
dans tous les sas , excepté pour le faire passer du sas E' dans 
le bief supérieur B', où le niveau reste constant: la durée du 
remplissage du sas supérieur E’ est alors, comme on sait, 
exprimée par : | 

SE SV pr 
Or Or Tir 
La durée totale & de l'ascension du bateau à travers l’écluse 
multiple sera donc ; 


AELE, SV/zV/2 —Û 


8—6'(n—1)+8"—(r — Dore — or 1 +170). 


(14) Tous les sas étant maintenant supposés évacués , on 
trouvera de même, pour la durée de la descente d’un bateau 
par la même écluse multiple : 


. x a 
ou bien à cause de Z—, 


Sa (n—1+v7). 


D dan 


d’où l’on voit que le temps de la montée ou de la des- 
cente d’un seul bateau sera toujours d’autant plus grand que 
le nombre n des sas de l’écluse multiple sera lui-même plus 
considérable. 5 
x 2 


10 QUATRIÈME MÉMOIRE 


(15) Il n'en est pas toujours ainsi lorsque les bateaux 
cheminent en convoi. En effet, des que le premier bateau 
d’un convoi ascendant (fig. 1°*°) sera passé dans le 3° sas 
E,_,, à partir du bief inférieur, le 2° sas E,_, d’où il sort se 
trouvera rempli de l’eau du sas E,_,, qui vient d'y être versée, 
et le sas E, pourra se trouver évacué. 

On y fera alors entrer le 2° bateau du convoi, qui passera 
à son tour dans le sas E,_.. Alors le troisième bateau du 
convoi entrera dans E,, et continuera de cheminer comme 
les précédents, de sorte que pendant l'ascension du convoi, 
récluse multiple contiendra au même instant un certain nom- 
bre de bateaux séparés les uns des autres par un seul sas. 

Le temps employé par le premier bateau à passer du bief 
inférieur B” dans le bief supérieur B', sera, comme on vient 
de le trouver: 

7 SVa (n—1i4+ Va) 
GZ Du 

Mais pendant ce temps-là, le 2° bateau a lui-même franchi 
tous les sas de l’écluse jusqu’au sas E,, dans lequel il entre 
au moment même où le premier bateau est introduit dans 
le bief supérieur; par conséquent il ne faut plus à ce second 
bateau , pour passer dans ce bief, qu'un temps exprimé par : 
__ Sa (14Va) 


1, 
CRETE 


lequel est toujours d'autant moindre , que le nombre des sas 
de l’écluse multiple est plus grand. 

(16) Il est évident que, pendant la montée de ces deux 
premiers bateaux du convoi, le troisième arrivera au sas E, 
et pour qu'il entre dans le bief supérieur B", il ne faudra plus 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. II 


qu'un temps 
Sv/a (1413) 
EME 


0— . 


On trouvera de même pour le temps employé par le 4° 
bateau à passer du sas E, dans le bief supérieur 


Sy/a(1+Vv3) 
Os Ir al) 


1\p — 


et ainsi de suite jusqu’au dernier bateau du convoi; de sorte 
qu’en désignant par “6, le temps qu'un convoi composé d'un 
nombre N de bateaux emploie à traverser une écluse mul- 
tiple d’un nombre 7 de sas, on aura: 


VS 9 82/0 TELE EE Np 
ess ait), N Dennis V'a(n—2+Nva) 
COONZE Fe DA Or A 


Les trois quantités 0,7 et N sont, comme on voit, fonctions 
l'une des deux autres, de sorte qu’elles peuvent être consi- 
dérées comme les coordonnées d’une surface courbe, dont 
l'équation sera , en faisant pour abréger 

Shan « 
OVz 
N lr—2+N(G+ V2) 
6, — A <<; 
V’n 


os A) 
Si l’on suppose le temps ‘6, constant et A — B, on aura 


B __n—2+N(i+V2) 
RME 
équation de la projection sur le plan des coordonnées », N, 


de l'intersection de la surface qu'on aura construite, par un 
2. 


' 


12 QUATRIÈME MÉMOIRE 
plan parallele à celui de ces coordonnées d’où l'on ure, toutes 
réductions faites : 


n=|[2 +EN—V3+#1)| +BWË +2 NG+VE), 


laquelle appartient à une parabole; ce qui montre qu'un 
convoi d’un nombre déterminé N de bateaux pourra franchir 
dans le même temps une écluse multiple dont la chute totale 
est donnée, soit que dans l'expression du nombre variable 
n des sas de cette écluse, on affecte du signe + ou du signe 
— la quantité radicale qui entre dans cette expression. Ainsi 
l'on peut toujours satisfaire à la question par deux hypo- 
thèses différentes de distributions de chute. 

(18) Suppsons maintenant que la même chute d'une écluse 
multiple soit répartie en un nombre »' de sas calculés, on 
aura pour le temps du passage "6, d’un nombre » de bateaux 
à travers cette écluse. 

M _n'—2+ Ni) 
ANT Vr' 


Si l'on suppose égaux entre eux les temps ‘6, et"6, de la tra- 
versée des deux écluses multiples de même chute totale, on 
aura : 
n—2 +N(G+Va) _n—24N'(1+Vva) 
Vr te Vn' À 
équation qui exprime le rapport qu'ont entre elles les quatre 
quantités N, N’, 2, et »'; on en tire 


1__VWn [a (r—2) Var —2)] 
Net PACE NA) 


Si l’on suppose N'=N, on trouve : 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 13 


Ne Van +2 
Fee 
expression très-simple du nombre de bateaux qui traverse- 
raient dans le même temps deux écluses multiples, dont la 
même chute totale à serait rachetée par des nombres diffé- 
rents z et 7 de sas accolés. 

(19) Pour faire une application de ces formules à un cas 
qui soit généralement connu, cherchons de quel nombre de 
bateaux devrait être formé un convoi ascendant pour traver- 
ser dans le même temps 24 écluses éccollées qui seraient sub- 
stitués aux sept sas actuels de l’écluse de Rogny sur le canal 
de Briare, lesquels rachètent comme on sait une pente to- 
tale de 23,253. 

Nous avons ici nr —24,etn—", et ces vaieurs substituées 


dans l’expression 
N— V'nn! +2 
JET 


N— 6,197. 


C'est-à-dire qu’un convoi de six bateaux traversera les deux 
écluses multiples de 7 et de 24 sas accollés à très-peu près 
dans le même temps. 

(20) Supposons, en second lieu, qu’un convoi de 25 ba- 
teaux traverse les écluses actuelles fe Rogny dans un temps 
donné, et cherchons de quel nombre de bateaux serait com- 
posé un convoi qui traverserait, dans le même temps, les 
24 sas qui rachèteraient la même chute totale. 

Nous aurons comme ci-dessus : 


donnent 


net n—24, 
Et de plus N — 25. 


14 QUATRIÈME MÉMOIRE 


Ces valeurs étant substituees dans la formule 


IN, [WP ni(n—2)— Va(a—2)] 
Na 6 mme pos 


on en tire N—#41 bateaux. 

Il serait superflu de pousser plus loin les applications que 
nous pourrions faire des formules auxquelles nous sommes 
parvenus. 

Il nous suffira de remarquer que le temps de la descente 
d'un convoi de bateaux par une écluse multiple, est préci- 
sément le même que le temps de la montée du même convoi 
par la même écluse; ainsi ce qui vient d’être dit s'applique 
également à la traversée de cette écluse dans l’un ou l’autre 
sens. À 

(21) Nous allons maintenant comparer le temps de la tra- 
versée d’un certain nombre d’écluses simples, au temps de 
la traversée d’une écluse multiple qui rachèterait la même 
pente par un même nombre de sas accollés. 

On a trouvé précédemment que le temps nécessaire à la 
montée d'un bateau, par une écluse simple, était exprimé 


par 
2SV/z 
OV3g 
Lorsqu'un second bateau doit monter à la suite du pre- 
mier, il faut d’abord évacuer le sas, et cette partie de la 
2SV/z 
OV 
Le second bateau étant introduit et enfermé dans le sas, 
il faut remplir celui-ci de nouveau pour faire passer ce bateau 
dans le bief supérieur , et cette derniére partie de la manœu- 


2SV/x 
OV2g 


manœuvre exige un temps égal 


vre exige encore le même temps 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 15 


La durée totale du temps employé pour opérer la montée 
du second bateau sera donc 


2(2SV/x) 
OV’2g 
Le 3°, le 4° et généralement tous les bateaux dont un con- 
voi ascendant sera composé , exigeront précisément le même 
temps; ainsi le nombre des bateaux de ce convoi étant tou- 
jours représenté par N,la durée de son passage par une 
écluse simple sera exprimé par : 


Il faudra le même temps au même convoi pour passer une 
seconde écluse simple de même chute, de sorte que si, pour 
racheter la pente totale & d’une portion de canal comprise 
‘entre deux points fixes , il faut le nombre n d’écluses iso- 
lées , le temps +” nécessaire pour les franchir sera : 


à (2SV3) 

=n{2(N—1r1) +112. 
T [ ( ) ] OV 
ou bien à cause de = 


Sa 
OV 


d—=V/sn(oN— 1) 


Mais on a vu (16) que le temps employé par le même 
convoi pour traverser une écluse multiple qui rachèterait 
la même pente totale a, au moyen du même nombre » de 
sas accollés, a pour expression : 


__SVafr—2+N(i1+1v2) 


Dr — 
UOTE Va ? 


16 QUATRIÈME MÉMOIRE 


on a donc cette proportion : 


r': 6, ::V En (aN— 1); EP) 
::aV/2(2N—i)i:n—2+N(1+V/2), 
et l’on aura: 
rit, 
ou bien 
LV, 
suivant que l’on aura l’une ou l’autre de ces deux inégalités. 
nV2(2N—1)>n—2+N(1 +12), 
nV/2(2N—1)<n—2+N(1+Va), 


lesquelles reviennent à celles-ci : 


n(14+ V2) — 2 
eu 7) 
N< n(1+V/2)—2 


anVs—(1+Va) 


Or si l'on donne à » une valeur plus grande que l'unité, 
c'est-à-dire, si l’écluse est composée de deux ou d’un plus 
grand nombre de sas , les seconds termes des inégalités pré- 
cédentes deviennent des quantités fractionnaires. 

D'un autre côté, quel que soit le nombre de bateaux for- 
mant le convoi, ce nombre sera toujours un nombre entier, 
on aura donc toujours , sauf le cas particulier de 2 —N —1, 


n(1+V3)—2 


Dee 2RV/3—(1+V a)? 


Et par conséquent 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 17 


C'est-à-dire, qu’un convoi formé d’un nombre quelconque 
de bateaux emploiera toujours plus de temps à traverser 
successivement un certain nombre d’écluses simples. d’égale 
chute , qu’il n’en emploiera à traverser un corps d’écluse mul- 
tiple qui rachèterait la même pente par un nombre de sas 
accollés égal à celui des écluses simples. 

D'où il suit qu’en ayant seulement égard au temps employé 
à parcourir un canal de navigation, il convient, pour abré- 
ger la durée de ce trajet, de distribuer la pente de ce canal 
en écluses multiples, et d'y faire naviguer les bateaux en 
convois. 

(22) Dans les recherches qui vont suivre sur le plus ou 
moins d'avantages que présentent les canaux de navigation , 
eu égard aux dépenses simultanées d’eau et de temps qu'oc- 
casionne, à raison de la chute de leurs écluses, le mouve- 
ment des bateaux qui y circulent, nous aurons besoin de con- 
gaître le volume d’eau dépensé pour l'ascension ou la des- 
cente, soit d’un seul bateau, soit d’un convoi de bateaux par 
une écluse multiple. Il nous reste à nous occuper de cette 
détermination avant d'aller plus loin, car il n’a été question 
dans notre premier Mémoire que de la dépense d’eau par des 
écluses simples. 

Ne considérons d'abord qu'un seul bateau, montant ou 
descendant à travers une écluse multiple dont les sas E E, 
E,,....E, ont des chutes égales. (Figxet\a.) 

L'eau est à son niveau naturel dans les sas lorsque sa hau- 
teur y est égale à la profondeur d’eau du canal, c’est-à-dire 
au plus grand tirant d'eau des bateaux qui le fréquentent ; 
chacun des sas contient alors un prisme d'eau que l’on 
désigne sous le nom de prisme de flottaison. 

TEX: 3 


15 QUATRIÈME MÉMOIRE 


Dans cet état , il est évident que la différence de niveau de 
l'eau d’un sas à l’autre est égale à la chute x des écluses ; il 
est également évident que cette différence de niveau restera 
la même si l'on verse dans chacun des sas un prisme d’eau 
de même hauteur. 

Supposant cette hauteur du prisme de remplissage x, 1 
est évident qne la différence de niveau des sas inférieurs E, 
et E,_, sera 2x, tandis que les différences de niveau de 
toutes les autres compris depuis E,_, jusqu’à E, inclusivement, 
sera seulement —#x. 

Le bateau montant étant enfermé dans le sas inférieur 
E,, on y verse le prisme de remplissage du sas E,_,, ce qui 
établit le niveau entre l’eau de ces deux sas, et permet l’en- 
trée du bateau dans celui-ci. 

L'eau s'y trouve déprimée d'une hauteur 2 x au- dessous 
de l’eau du sas E 

Le bateau étant enfermé dans le sas E,_., on en éleve le 


n—2* 


niveau de la hauteur æ en y versant le prisme de remplissage 
du sas E,_, où le bateau est introduit aussitôt apres; et ainsi 
de suite en faisant passer successivement le prisme de rem- 
plissage d'un sas quelconque du corps d’écluses dans le sas 
inférieur contigu. 

Lorsque le bateau est entré dans le bief supérieur B', tous 
les sas depuis E, jusqu'a E, inclusivement, contiennent un 
prisme de remplissage, et la somme de ces prismes augmen- 
tée du volume d’eau que le bateau déplace représente l'eau 
fournie par le bief supérieur pour opérer l'ascension de ce 
bateau , cette dépense du bief supérieur est donc exprimée 
par S (2x + £,) en représentant par & , comme nous l'avons 
fait jusqu'ici. le tirant d’eau du bateau montant. 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 19 


On pourrait , laissant les choses dans cet état, procéder 
à la descente d'un bateau, mais il faudrait que les sas déja 
chargés eussent été rendus capables, par l’exhaussement de 
leurs murs, de contenir le nouveau volume d’eau qu'on y 
verserait ; or après ces versements, les nouveaux prismes de 
remplissage des sas EE, E, E....E, se trouveraient, comme 
il est aisé de s’en assurer, 


de tofs 
AD CEE TE 


LA 

Et l'on conçoit que la dépense et les autres inconvénients 
qui résulteraient de l'exhaussement des murs de sas pour- 
raient bien n'être pas compensés par l'économie d’eau que 
l'on se procurerait au moyen de cet exhaussement. 

Il est donc plus convenable pour faire descendre un ba- 
teau de décharger tous les sas, à l'exception du premier , de 
leur prisme de remplissage. Ainsi, par l'effet de cette ma- 
nœuvre, en quelque sorte intermédiaire, il passera du corps 
d'écluse dans le bief inférieur un volume d’eau exprimé par ; 


S[(r—1)x], 


et tous les sas depuis E, jusqu'à E,, inclusivement , ne con- 
tiendront plus que leurs prismes de flottaison. 
Le premier sas E contiendra un prisme d'eau exprimé par 


S(x+t,). 


Le bateau descendant au moment où il y sera introduit, en 

fera sortir son prisme de flottaison Sé,, il y restera par con- 

séquent S(æ+t—+t), prisme de remplissage que l'on fera 

passer successivement dans tous les sas afin d'y recevoir 
Ds 


20 QUATRIÈME MÉMOIRE 


successivement le bateau descendant jusqu'au biefinférieur B,. 
Ce bief apres le double passage aura donc recu 


Sf[(n—1i)x+rx+t—t,)=S(nx+t—t,), 


volume d’eau précisément égal à celui qui aura été dépensé 
par le bief supérieur 


(23) Tant que 2x demeure une quantité constante, on 
voit que la dépense d’eau est la même pour le double passage 
d’un bateau montant et descendant, quels que soient lenombre 
et la chute des écluses accollées, il n’en sera pas ainsi lorsque 
les bateaux chemineront en convoi. 

En effet, supposons un nombre N de bateaux montants 
(fig. 1°); il faudra d’abord tirer du bief supérieur B le vo- 
lume d’eau nécessaire pour remplir tous les sas excepté le 
dernier E,, ce volume est évidemment 


(n—1)Sx, 


pour faire passer successivement tous les bateaux du convoi 
montant N du sas supérieur E dans le bief B' contigu, il faudra 
tirer de ce bief un volume d’eau représenté par 


NS(x +t,). 


La dépense du bief supérieur pour l'ascension du convoi sera 
par conséquent 


Sz(n—1)+ NS(x+t,), 


Il restera à opérer la descente du convoi que nous suppose- 
rons généralement composé du nombre de bateaux N'(fg.2°); 
a cet effet, on évacuera tous les sas , excepté le sas supérieur E, 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 21 


ce qui noccasionera aucune nouvelle dépense d’eau dans 
le bief contigu. 

Le premier bateau du convoi descendant trouvera le sas 
E, rempli au niveau du bief supérieur, et en y entrant il y 
fera refluer un volume d’eau S£, qui est par conséquent à 
retrancher de la dépense d'eau déja faite. 

Tous les autres bateaux descendants, au nombre de N— 1, 
exigeront qu'il soit tiré du bief supérieur un volume d’eau 
représente par : 


(N—1)S(x—#,). 


La dépense totale du bief supérieur , pour le double pas- 
sage du convoi montant et du convoi descendant, sera par 
conséquelit : 


Sx(n—1)+ NS(x+t)—St + (N—1)S(x—t+) 
=Sx(n+N+N—2)+S(Nr— Nr), 


Ê . (74 
ou bien en faisant Z=, 


EN +N—2)+Sa—S(N'e,—Nt)=Sy. 


Expression qui, toutes choses égales d’ailleurs , sera tou- 
jours d'autant moindre, que le nombre » des sas sera plus 
grand , ou que la chute des écluses sera plus petite. 


(24) Si l’on fait 


n=1 et N—N, IN A et NE = 
on aura : 


Sy=Sa(2N— 1)—(T'—T'}S 


pour la dépense d'eau occasionée par le double passage à 


22 QUATRIÈME MÉMOIRE 


travers une écluse simple, de deux convois composés d’un 
même nombre de bateaux. 
Si, de plus, l’on suppose N— 1, on aura encore: 


Sy—Sa—sS(t —t ) 


d/ 


pour la dépense du double passage d'un bateau montant et 
descendant à travers une écluse simple, résultats identiques 
avec ceux auxquels nous sommes déja parvenus dans notre 
premier Mémoire , en faisant les mêmes hypothèses. 

(25) Maintenant que nous connaissons en fonction de la 
chute des écluses simples ou multiples, et en fonction du 
nombre de bateaux dont sont composés des convois mon- 
tants et descendants , soit le temps employé par ces bateaux 
au passage de ces écluses, soit la quantité d’eau dépensée 
pour opérer ce passage , nous pourrons assigner l'avantage 
d'un système de distribution de chute sur un autre système 
pour un nombre donné de bateaux qui navigueraient isolé- 
ment ou en convoi. 

L'avantage dont il s’agit est évidemment exprimé par le 
rapport de l'effet utile à la dépense nécessaire pour le pro- 
duire. 

L'effet utile est le produit de la masse transportée, ou du 
chargement des bateaux qui forment le convoi, par le che- 
min qu'ils doivent parcourir. 

Quant à la cause de cet effet, elle se compose évidem- 
ment d’une dépense d’eau et d’une dépense de temps, mais 
ces deux éléments d’une même cause n'étant point homo- 
gènes , il faut , pour les rendre comparables et les fatre entrer 
dans l'expression de l'avantage cherché , les ramener à une 
mesure commune , c’est-à-dire les évaluer en argent. 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 23 

(26) D’après quels principes la valeur de l'eau qui sert 
a entretenir la navigation sur un canal artificiel peut-elle 
être estimée? C'est une question que, jusqu'à présent, les 
ingénieurs ne se sont point occupés de résoudre. Cette va- 
leur n’en est pas moins réelle et sa détermination n’en est 
pas moins importante. 

I] faut admettre d’abord qu’un canal de navigation produit 
un certain revenu par les droits de péage qu'on y percoit. 
Or ce revenu est évidemment la mesure palpable et l'expres- 
sion numérique de l'utilité de l'entreprise. 

On concoit dès-lors comment le degré de cette utilité doit 
varier suivant les lieux, les temps, et une multitude de cir- 
constances qu'il est impossible de prévoir et de classer. 

(27) Mais si l’on ne peut en général assigner préalable- 
ment à son exécution jusqu'où s’étendra l'utilité d’un canal 
de navigation, il est du moins facile de fixer d'avance la 
limite à laquelle cette utilité doit commencer à se manifester. 

En effet, il est évident que le revenu net d'un canal qui 
sera ouvert dans une certaine contrée devra être égal, quel- 
ques années après son établissement , au moins à l'intérêt des 
capitaux dont il aura exigé l'emploi. S'il en arrivait autre- 
ment, et que le revenu du canal restät inférieur à l'intérêt 
de ces capitaux , il est manifeste qu'on aurait pu faire un 
meilleur placement des fonds qu’on y aurait dépensés, et 
par conséquent le canal ne serait pas véritablement utile, 
en tant qu'il serait considéré sous le rapport de son produit 
immédiat, 

Au surplus , quel que soit le revenu net d'un canal utile, il 
est évident que sa valeur vénale sera exactement représentée 
par le capital de ce revenu net. 


24 QUATRIÈME MÉMOIRE 


(28) Mais un canal quelconque ne peut avoir d'existence 
comme moyen de communication par eau, qu'autant qu'il 
est entretenu par un volume d’eau suffisant. 

Si donc on suppose que, par une cause quelconque, l'eau 
qui servait à entretenir ce canal vienne tout-à-coup à lui 
manquer, le revenu qu'on en retirait se trouvera anéanti, 
et il ne lui restera plus de valeur vénale que celle des ter- 
rains qu'il occupe et des matériaux de diverses natures qui 
sont entrés dans la construction de ses ouvrages. La valeur 
de l’eau, par laquelle il était alimenté, peut donc être ri- 
goureusement exprimée par la différence qui existe entre le 
capital de son revenu net et le capital composé du prix actuel 
des terrains qu'il occupe, et du prix des matériaux prove- 
nant de la démolition de ses ouvrages, en supposant toute- 
fois que ces terrains et ces matériaux puissent être vendus, 
pour recevoir une nouvelle destination. 

(29) Faisons donc le capital du revenu net d'un canal 

deénavisätibn:-maves 4 ap. Peufrest SRE D === LS 

Le prix qu'on pourrait obtenir des terrains qu'il 

occupe, s'ils étaient mis en vente après l’assèche- 


ment du canal....... ete L'eau Lt. 4h: — | 
Le prix des matériaux provenant de la démolition 
de sesouvrages: ts Hasta" 1e ii Le” eo ES ME 
Enfin le prix de l'eau.......... 35. Sanaa. "Et 
on aura : 


équation dans laquelle les quantités P et M sont constantes. 
Si donc on regarde C et E comme variables, leur rapport 
sera exprimé par celui des coordonnées d’une ligre droite 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 25 


et l'on voit que la valeur de l'eau d'un canal de navigation 
s'accroît propertionnellement au capital de son revenu net. 
Cette valeur est nulle lorsque 


C—(P+M)—0: 


ce qui n’exprime autre chose, sinon que dans cette hypothèse 
le capital C du revenu net n’est plus que la valeur intrinsèque 
d'une certaine surface de terrain et d’une certaine quantité 
de matériaux ; alors en effet il n’existe plus de canal, car on 
a aussi E— 0, et l’eau d’un canal quelconque en activité doit 
toujours avoir une certaine valeur réelle et positive. 


(30) Observons maintenant que le capital dépensé pour 
l'exécution d’un canal se compose : 


1° Du prix des terrains qu'il a fallu acquérir pour son em- 
placement; 


2° De la valeur brute des matériaux employés dans l’exécu- 
tion de ses ouvrages ; 

3° Des frais de main-d'œuvre, et de salaires de toute espèce 
qu'il a fallu acquitter pour le mettre en état de perfection ; 

4 Des indemnités au prix desquelles il a fallu acheter le 
volume d’eau nécessaire à son entretien, si ce volume d’eau, 
par l'emploi utile qu’on en faisait déjà avait acquis une cer- 
taine valeur échangeable. 


Ainsi, faisant le capital dépensé pour l'établissement du 
canal 


C’ 
Dénbti CC CMONCTO ENS CTRG CGT: CRC: PERS à RSR Er — 


Le prix des terrains acquis.................. —P' 
La valeur brute des matériaux. ............... —M 
Les frais de main-d'œuvre, salaires, etc........ —F 
Enfin les indemnités dues pour les cours d’eau. —E 


TX 4 


26 QUATRIÈME MÉMOIRE 


On aura cette équation 
C—P+M+F+E 


(31) Il doit toujours exister un certain rapport entre le 
capital du revenu net du canal quand il est en activité, et le 
capital dépensé pour son établissement, c'est-à-dire que l'on 
a toujours 

C=mC, 


m étant un nombre entier ou fractionnaire. 

Dans le cas de m— 1 ou de m> 1, le canal est une pro- 
priété avantageuse entre les mains de ceux qui l'ont créée, 
puisque le capital du revenu net qu'ils en retirent, est au 
moins égal au capital qu'ils ont dépensé pour l’établir : dans 
le cas de m < 1 au contraire, cette propriété leur serait oné- 
reuse, puisqu'ils en retireraient un revenu moindre que celui 
qu'ils auraient pu retirer du capital employé pour la créer 
s'ils en avaient fait un autre placement. 

(32) En raisonnant ainsi, on voit que l’utilité du canal com- 
mence à se manifester à ses propriétaires lorsque m— 1 ou 
bien lorsque C— C'; nous admettrons cette hypothèse comme 
la limite de celles d’après lesquelles on se détermine à ouvrir 
un canal de navigation. 

Cela posé, nous aurons deux valeurs de C, savoir: 


C=E+P+M+F", 
donc 
E—E—F'+(M—M)+(P—P), 
c'est-à-dire que l'excédent de valeur que l’eau employée à 
entretenir un canal de navigation, a acquise sur celle qu’elle 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 27 


avait lorsqu'elle servait précédemment à tout autre usage, 
estexprimé par trois termes, dont le premier représente tou- 
jours le prix du travail de toute nature au moyen duquel on 
est parvenu à l'exécution du canal, et dont les deux autres 
représentent, tant la détérioration des matériaux employés 
dans sa construction, que celle des terrains qu'il occupe. 

(33) Cependant si ces terrains ont été améliorés par des 
plantations, ou si on les a rendus susceptibles de produits 
plus recherchés que ceux qu’on en retirait avant l'ouverture 
du canal, on peut avoir dans certains cas, 


(M'—M) + (P—P)—0. 


La détérioration des matériaux se trouve ainsi compensée 
par l'amélioration des terrains, et l’on a: 


E—E—F". 


D'où l’on voit que dans ce cas particulier l'augmentation 
de valeur que l’eau a acquise, en passant de l'usage primitif 
auquel elle était employée, à l'usage de la navigation sur le 
canal, est précisément égale au prix du travail que l’exécution 
de celui-ci a exigé. 

(34) Mais si l’eau que nous avons supposée enlevée au canal 
après son exécution, restait encore disponible pour être rendue 
à sa première destination, il est évident qu’elle reprendrait 
sa valeur primitive, laquelle viendrait en déduction de la 
valeur que cette même eau avait acquise pendant qu’elle était 
employée à l'entretien de la navigation, 

On aurait alors les deux équations 


C=—E+P+M+E 
C—E'+P+M+F, 


28 QUATRIÈME MÉMOIRE 
d'où l'on tire 
E=F'+(M—M)+(P—P); 
et dans l'hypothèse faite plus haut de (M—M)—(P—P), 
on aurait : 
ET" 

Ce qui signifie que la valeur de l’eau nécessaire pour l'en- 
tretien de la navigation sur un canal artificiel, est exactement 
représentée PRE le prix du travail, ou par la masse des salaires 
de toute espèce acquittés pour son execution. 

Conséquence rigoureuse et qui s'accorde parfaitement avec 
l'opinion de David Ricardo; lequel n’attribue, comme on sait, 
à quelque objet que ce soit, de valeur échangeable ou vénale 
que celle du travail employé pour rendre cet objet productif. 

(35) Le capital qui représente la valeur de l’eau dans un 
canal de navigation, étant déterminé comme nous venons de 
le faire, la consommation annuelle de cette eau sera le revenu 
en nature de ce capital. 

Si donc on suppose le taux de l'intérêt à 5 pour 100, on 


E L La » 
aura = pour la valeur de l’eau dépensée annuellement, si de 


plus le volume de cette eau exprimé en mètres cubes est 
représenté par k, le prix du mètre cube d’eau dépensé sera 
E 

204 P* 

Quant à l'évaluation en argent du temps employé à franchir 
une écluse, il est beaucoup plus simple d'y parvenir. 

En effet, le loyer du bateau, celui des chevaux qui y sont 
attelés, le salaire des hâleurs et les gages des bateliers qui le 
conduisent, sont toujours évalués en argent, soit par jour, par 
heure, par minute, etc. On peut donc toujours évaluer cette 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 29 


dépense pour l’unité de temps que l'on aura adoptée dans le 


calcul. 
Le prix du mètre cube d’eau dépensée étant donc —p 
Le prix de l'unité de temps....:....,..1.... +2 
Le volume d’eau dépensé pour le passage d'un ba- 
teau ou d’un convoi par une écluse simple ou 


! 


multiples 440272 Mae Rs Ares cle. PEA ANT = À 
La durée/dtpassage): een te cents y == 
Enfin la masse transportée................... —G$ 
Onaura pour le rapport de l'effet utile à la dépenseen argent 

GVTET 
Vo 


qu'il conviendra toujours de rendre le plus grand possible 
en faisant Vp + 6p'— minimum, ou d(Vp+06p') —o. 

(35) Proposons-nous pour premier exemple, de déterminer 
le nombre d’écluses simples et de chute égale qui doivent ra- 
cheter la pente d’un canal de navigation, entre deux points 
donnés de manière que la dépense en argent de l’eau con- 
sommée et du temps employé, soit la moindre possible : ap- 
pliquons d’abord cette recherche à un bateau montant. 

OnaiciG—S£,etl'effetutileestexpriméici par S £ L/a: +7 . 

Mais pour ce cas particulier nous avons aussi 


1° Pre Gr} 


= 2SV/an ’ 
PO des T2 
Le rapport de l'effet utile à la cause qui le produit, est donc: 
Se, Va Fr 


2SV/an ni 
s(£ +4)p+(5 HE =: 


30 QUATRIÈME MÉMOIRE 


La seule quantité x étant variable si l'on fait 


SEV/a+e Lt 
Fer s(£ +e)p+(3 nu | 
__ V2pp.0'ag 


TR. . 


pour le nombre d’écluses propre à rendre le rapport précé- 
dent le plus grand possible. 

(36) Si l’on considère un bateau descendant, le chemin 
parcouru horizontalement sera —/, la chute parcourue sera 
aussi —a, mais l’on aura toujours pour la résultante de ces 
deux directions, 


on trouve 


La 4e. 


Le rapport de l’effet utile à la dépense d'eau et d'argent est 


donc 
St, Var + 


S(F—1,)p +(£ +)? Wan 


expression dont la différentielle égalée à zéro, donne encore 


__Vapp0'ag 


700 


Ainsi, le même système de distribution d’écluses est égale- 
ment le plus avantageux dans les deux hypothèses dela montée 
et de la descente d'un bateau , et par conséquent dans l'hy- 
pothèse du double passage. 

(37) En jetant les yeux sur la valeur de », à laquelle nous 
venons de parvenir, on voit que le nombre des écluses simples 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 31 


d'un canal de navigation propre à rendre leur système de dis- 
tribution le plus avantageux possible sous le rapport de la 
dépense d’eau et detemps nécessaire pour leur manœuvre, doit 
croître comme la racine cubique de la pente totale qu’elles ser- 
vent à racheter. 

Or, on a vu, dans notre précédent Mémoire, qu’en considé- 
rant les écluses sous le rapport des frais de construction de 
leurs murs de sas, ces frais étaient les moindres possibles 
lorsque leur chute était égale à la profondeur d’eau des ca- 
naux où elles sont établies, c’est-à-dire au plus grand tirant 
d’eau des bateaux qui y navigueut; cette hauteur de chute 
restant par conséquent la même pour deux canaux de même 
navigation, il est évident que les nombrs z et n' des écluses 
de chacun d'eux doivent être proportionnels à leurs pentes 
respectives a et a. 

Il faut donc satisfaire tout à la fois aux trois conditions d’une 
moindre dépense de construction pour les écluses d’un canal, 
et d’une moindre dépense d’eau et de temps pour le parcourir 
satisfaire simultanément à ces deux équations, 


nh—=a, 
& / 2pp O’a 
DEMpoe, 
| V?'P 
d'où l’on tire 
mi à 
Ha. PhVagh" 
c'est-à-dire que les orifices des pertuis qui servent au rem- 
plissage et à l'évacuation des sas, doivent être sur deux canaux 
de même navigation et de pentes totales différentes propor- 
tionnels à ces pentes. 


32 QUATRIÈME MÉMOIRE 


(38) Recherchons maintenant, par un calcul analogue, 
l'avantage d'une écluse multiple, suivant le nombre de sas 
qui la composent. 

L’effetutile dans cette hypothèse a pour expression, L étant 
la longueur d’un sas et 2 leur nombre, 


SéV/a rl. 


Quant à la cause qui le produit, nous avons trouvé ci-des- 
sus (22), que la dépense d’eau nécessaire pour faire monter 
un seul bäteau à travers une écluse multiple, était toujours 
la même, quel que fût le nombre des sas, pourvu que la chute 
totale füt constante. Elle est exprimée par : 


S(nx+t)=S(a+t). 


De plus nous avons trouvé (14), que le temps employé à fran- 
chir cette écluse était : 


Sa [(u—1)+v2] 
Oz Va 


On a donc pour l'avantage cherché 


t, Va n° L 
V'a [(n—1)+v2]p? 
GO Tor ds 


oubien en ayant seulement égard au mouvement ascensionnel 
du bateau, 

at, 
Va [@i) + +Va2]p'? 


(@+t)p+ EPA ANT ECTS 


expression qui devient évidemment d’autant moindre que le 
nombre » des sas devient plus considérable. 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 33 


Lorsque le bateau descend, l'effet utile avant lieu dans une 
q , hi 
direction contraire à l'ascension l'avantage est exprimé par : 
? P P 


—t,a 
LICE NE LA 
er Torz Va 


Or, le premier terme du dénominateur de cette expression 
diminue par l’accroissement du nombre des sas, tandis que 
le deuxième terme de ce même dénominateur augmente avec 
ce nombre; il y a donc une valeur de n, qui rend le rapport 
précédent le moindre possible, valeur que l’on détermine en 
faisant, 


GIE 


a \ Wa [(a—1)+v3)p 
G—i)e+ Va 


d'où l’on tire 


|—=0, 


ap p' A I te LÉ RUE ) RO 
FCI Creer td 
et par conséquent, après avoir réduit au même dénominateur 


tous les termes du second membre de cette expression , 


= P,, PV'e(a 0,414) 
POLE ROVER? 


donc enfin : 


Dre ‘p'an = 
ap ET (a— 0,414), 


équation du troisième degré, d’où l'on tirera la valeur cher- 
chée de 7. 

(39) Lorsqu'il y a successivement passage inverse d’un 
bateau montant et descendant, on a pour déterminer le 
nombre » , qui rend l'avantage le plus grand possible, 


11e 5 


34 QUATRIÈME. MEMOIRE 


7 at, 


(14 Pa 


A EE ES 
ré] 
n (01 V’n 

I sera toujours facile de déduire de cette équation la valeur 
cherchée de 7; nous ne croyons pas devoir nous y arrêter : 
nous passerons à la recherche du plus grand avantage des 
écluses multiples quand elles sont traversées par des convois 
plus ou moins nombreux. 

(40) Nousavons trouvé plus haut (23), que la dépense d’eau 
d’une écluse multiple ayant un nombre * de sas, lorsqu'elle 
esttraversée par un convoi ascendant composé d’un nombre 
N de bateaux, avait pour expression : 


(R—1)Sz+NS(œ+ 6) 0 + SN(< % :,). 


Nous avons trouvé aussi (16) pour le temps de cette ascen- 
sion : 
SVafr—2t+N(Vati)] 
OVz Vn 


L'effet utile est d’ailleurs Sa Né, l'avantage est donc 
aNt, 
Va [n—24N(V3+i)) 
ie fer Fo y 


Si le convoi compose du nombre N'de bateaux descend une 
écluse multiple ayant un nombre »’ de sas, on se rappelle (23) 
que la dépense d’eau est exprimée par : 


—St,+(N—1nS(5—t,), 


SUR LES CANAUX DE / NAVIGATION. 35 


et le temps employé par : 


SV/afn—2+N(1+v2)] 
O3 ni (16) 


L'effet utile est d’ailleurs 


—SaN't,, 


quantité négative parce que cet effet utile s'opère en sens in- 
verse de celui qui a lieu en montant. 

L'avantage cherché, en descendant l’écluse, a donc pour 
expression : 


—aN'é, 
TERCTeS) NE) 


(41) Si l'on suppose l'écluse multiple déja construite, et par 
conséquent les nombres de sas x et 7’ donnés d'avance, il ne 
restera qu'a déterminer les nombres de bateaux N'et N', dônt 
il faudra composer les convois ascendant et descendant pour 
que les avantages des écluses multiples à l'expression ‘dés- 
quelsniousvenons de parvenir soient les plus grands possibles. 

Or il suffit de jeter les yeux sur ces deux expressions pour 
reconnaîtreimmédiatement:que ces avantages seront d’autarit 
plus grands,-que les convois-seront composés:d’un nombre 
de bateaux plus considérable) » 

(42) Si l’on suppose au contraire que les convois montant 
et descendant unicanal de mavigation, soient toujours formés 
du même nombre de bateaux N et N',:et qu'il's’agisse.de 
déterminer dans cette hypothèse les nombres #1et!7/-de:sas; 
dont les écluses multiples devront être composées pour que 
l'avantage de leur montée et de leur descente soit le plus 


5. 


36 QUATRIÈME MÉMOIRE 


grand possible, il faudra que l’on ait, en regardant N et N° 
comme des quantités constantes les deux équations : 


Pers: rt PAR 
p[ ent +4)|+r 0 Va C—2HENGS +) 


(0147 Vn 
et 
tnseds sie à lie ReNrhiootse sYHasbir ITR 
EN ET 


lesquelles donnent 


[paOv/z(N— DRE nû (HV) — (2 +2) 
P'Va 2 é 
et 
[paOV/z (N— esp [N'GH Va) (+2) 
Pp' Va dx 2 
Ainsi les nombres de sas cherchés 2 et 7° se déduisent 
chacun de la solution d’une équation du troisième degré de 
mème forme. 


(43) Lorsqu'il s'agira de faire monter ou descendre un 
mème nombre de bateaux par deux corps d’écluse de même 
chute, il est clair que l'on aura 7—n", et par conséquent la 
même distribution de sas sera également la plus avantageuse 
pour la montée et la descente de convois formés d'un même 
nombre de bateaux. 

La dépense en eau et en argent occasionée par le double 
passage , à travers la même écluse, de deux convois montant 
et descendant, composés du même nombre de bateaux , sera : 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 37 
S[P(N—n+p(a+Ne)] + pp In—2 + Ni +172) 
Ant vos Va ife—2+N(i+v3) 
+S[22(N 1) INA RP 2 ,... 


=S|(N—1)+a)p+ 2 LEO R 


Expression qui, comme on voit, est tout-à-fait indépendante 
du tirant d’eau des bateaux. 

(44) L’équation 

CpaOvs (Ni), NS +r) —G+) 

p'Va 2 

qui donne Île rapport entre le nombre 7 de sas, dont une 
écluse multiple doit être composée pour qu'un convoi d'un 
nombre N de bateaux occasionne, pour son passage à travers 
cette écluse, la moindre dépense possible d’eau et de temps, 
appartient, comme on voit , à une courbe du troisième degré 
que l’on pourra toujours tracer graphiquement. Mais nous 
devons faire ici une observation importante sur les solutions 
numériques que l’on en tirera. 

Remarquons en effet, que par la nature même de la question 
les quantités » et N doivent toujours être des nombres en- 
tiers, or il peut arriver qu’en donnant pour valeur à l’une de 
ces quantités, prise pour variable indépendante tous les nom- 
bres entiers possibles, on trouve pour les valeurs de l’autre 
des nombres composés d’entiers et de fractions ; on ne peut 
alors satisfaire pratiquement à la question qu'en prenant 
pour cette dernière quantité le nombre entier qui approche 
Le plus de celui auquel le calcul aura conduit ; ainsi la solution 
à laquelle on parviendra ne sera qu’approximative. 


38 QUATRIÈME MÉMOIRE 


(45) Remarquons d’un autre côté que des convois qui che- 
minent sur un canal ne sont pas toujours composés du même 
nombre de bateaux ; il faudrait donc pour obtenir de la dis- 
tribution des sas d’une écluse multiple qu'ils doivent tra- 
verser, le plus grand avantage possible, que le nombre de ces 
sas variàt avec celui des bateaux du convoi, ce qui est évi- 
demment impraticable. C’est donc d’après le nombre moyén 
des bateaux dont on peut supposer les convois formés, qu'il 
faut déterminer sur un canal le nombre des sas dont une 
écluse multiple doit être composée pour racheter une pente 
donnée. Toutes les fois que le nombre de bateaux d’un convoi 
sera au-dessus ou au-dessous du nombre moyen pour lequel 
la distribution du corps d’écluse aura été faite, il est évident 
que la question n'aura encore été résolue qu'approximati- 
vemnent: nous insistons sur ces remarques, afin qu'en appli- 
quant la théorie qui fait l’objet de ce Mémoire, on n’attribue 
pas à ses résultats plus de rigueur et de précision qu'ils n’en 
comportent en effet. 

(46) Nous allons terminer ce Mémoire en assignant pour 
un cas particulier les valeurs en argent de l'unité de volume 
d'eau dépensée, et de l'unité de temps employé au passage 
d'uneécluse ;appliquons par exemple à cette recherche les con- 
ditions du canal de Soissons, dont nous avons rédigé le projet. 

Ce canal est estimé 4,135,916 fr. y compris une somme de 
216,000 fr. pour la valeur des terrains qu'il occupe, on à 


donc LACS ET | eee ere De 2 TO CUBE 
Les ouvrages d'art de ce canal sont esti- 
INES CT DRAP EMA 21010 1,670,000 


et comme la valeur brute des matériaux em- 
ployés dans leur construction, n’est guëre 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 39 
que le tiers de ceprix, on aura 2° ci....., , M—600,000 fr. 
environ. 

Nous ne comptons point ici de dépense à faire pour l’ac- 
quisition de l’eau nécessaire à l'entretien du canal, parce que 
les usines que l’on pourra établir à la chute de ses écluses 
compenseront au moins par leurs posa celles qui auront 
pu être supprimées. 

Le revenu brut du canal de Soissons a été évalué 523, 166 fr. 
si l’on porte à 123,166 fr. les frais annuels d'entretien et 
d'administration de ce canal, äl restera un revenu net de 
400,000 fr.; lequel étant multiplié par 20 donnera la somme 
de 8,000,000.fr. pour le capital C, dont ce revenu net repré- 
sentera l'intérêt au taux de 5 pour 100. 

La formule 


C—(P +M)=E, 


que nous avons trouvée plus haut (29), devient par la substi- 
tution des valeurs numériques que nous venons d’assigner : 


8,000,000 fr. — 816,000 fr. —7,184,000 —E. 


Le produit annuel de cette eau évalué au taux de 5 pour 
cent de sa valeur vénale qui vient d’être trouvée, est donc 
de 359,200 fr. 

Que l'on suppose 300 jours de navigation par année, l’eau 
dépensée chaque jour vaudra 1197 fr. environ. 

La superficie S d’un sas du canal de Soissons est, comme 
on l’a vu (7), de 88",40 superficiels. 

La chute moyenne de ses écluses est de 1",25; par consé- 
quent le volume d’eau d’une éclusée sera — 110°,5 cubes. 

Supposons que la dépense journalière soit de 15 éclusées 


4o QUATRIÈME MÉMOIRE 


entre ses deux extrémités , on dépensera par jour 16575 me- 
tres cubes, qui vaudront en argent 1197 fr., comme on vient 
de le trouver, ce qui porte le prix du metre cube d’eau à 
0",72 C., ainsi on a 


D=—=0, 72: 


(47) S'il n'y avait qu'une seule écluse sur un canal de na- 
vigation, l'eau tirée du bief de partage de cette seule écluse 
serait dépensée au passage ; alors le prix du mètre cube d’eau 
pour ce passage serait tel que nous venons de l’assigner: 
mais , attendu que l’eau fournie par le réservoir. culminant 
passe dans les biefs inférieurs, et sert aux passages successifs 
des écluses qui les séparent, il est évident que le prix du 
metre cube d’eau tiré de ce réservoir, doit se répartir sur 
toutes les écluses, de telle sorte par exemple que ce nombre 
d’ecluses étant de 100 entre les deux extrémités du canal, le 


prix du mètre cube d'eau à chaque écluse sera —2-., et gé- 
100 


néralement il serait À le nombre des écluses étant 7. Ainsi 


pour avoir la valeur en argent de l’eau dépensée pour le trajet 
d'un bateau qui , ne parcourant qu'une certaine longueur du 
canal, ne traverserait qu'un certain nombre de ses écluses , il 


faudrait multiplier le prix À du mètre cube d’eau dépensé 


à chaque écluse par le nombre »’ des écluses traversées. 
(48) Pour évaluer maintenant en argent le prix de l’unite 
de temps, supposons le prix d’un bateau de...... 3000 fr. 
et sa durée de 15 ans. 
L'intérêt du capital employé pour leconstruireestde 150 
La prime de son renouvellement de ....... Fee 200 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 4 


portons-en les réparations annuelles à 70 fr., c1.. 7o fr. 
Supposons que le bénéfice annuel du propriétaire 

du bateau soit de 20 pour 100 de sa valeur ou de.. 600 

Les gages du patron du bateau de.............. 1800 

Les pages detsont aidé 19224. MTL AR 900 

Le salaire de deux hâleurs pour 300 jours de navi- 
2210 eg 6 dre A TdEs 2n e Le sR ESP à je ua 1200 

Dépense annuelle du bateau.................. 4920 fr. 


En supposant 300 jours de travail ou de navigation, la 
dépense journalière sera de 16 fr. 4o c., et commeil n’y a que 
10 heures de travail, la dépense par heure sera de 


CRE UPPER Re ne AL PUR, CAN PROC 7e: 1fr. 64 c. 
praminnie de:ci:....2.....::..., + at OT. 027939 
CPIPATAECON AE CI CNQQC,O. se TE ofr. 000455 


ainsi l’on a p—ofr. 000455. 

La seconde étant prise pour unité de temps. 

(49) Nous allons maintenant considérer un seul bateau 
montant et traversant toutes les écluses d’un canal ou d’une 
portion de canal, depuis son bief inférieur jusqu’à son réser- 
voir culminant; nous aurons alors 2—n', et par conséquent 
le prix du mètre cube d'eau dépensé —p. 


Supposons, comme pour le canal de Soissons : 


La longueur du canal ou /—60000° 


S— 88",40 
a—193",579 
n— 100 
210,909. 


42 QUATRIÈME MÉMOIRE 


Le tirant d’eau du bateau où #4 = 1" 


O=— 0,25 
\ g—=9,808795 
P — 0 72 


p —=0", 000455. 


On aura pour le prix de la montée de ce bateau qui est ge- 
néralement exprimé par 


S(£+c)p+(£ +) f 


ci s(* + ) p=88,40.(2,2357).0",72— 142“,210 


at 60000 2 
P = = es 0° ,000455 — 49,189 


3 2SV/an k ___ 176,80 V/12357 
De ES 0,25 V/19,6176 


2 


0,000455 — 8,074. 


Ainsi, dans la dépense totale de 199", 50°" faite pour la 
montée du bateau, la valeur de l’eau est de 142", 21°"; tandis 
que celle du temps est de 57" 26" seulement , et encore cette 
dernièresomme ne comprend-elle que 8". 0o7“" pour la valeur 
du temps employé au passage des écluses. 

(5o) Nous avons trouvé (35) pour le nombre » des écluses, 
propre à rendre l'avantage d’un canal le plus grand possible, 
sous le rapport de la dépense d’eau et de temps, 


__ 280" apr app. 
VPP 


La substitution des quantités numériques applicables a 
l'exemple que nous avons choisi donne 


R= 529,020; 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 43 


ou en nombres ronds 724; par conséquent pour obtenir la 
moindre dépense d’eau et de temps dans la montée d’un bateau 
sur un canal de 6oooo mètres &e développement, au moyen 
d'écluses simples qui racheteraient une pente totale de 123 met. 
57 c., il faudrait distribuer cette pente en 724 écluses; d’où 

l'on voit que la chute de chacune de ces écluses devrait être 
_encore environ sept fois moindre que celle de 1",223, à la- 
quelle les écluses du canal de Soissons sont réduites. 

(br) Si dans l'expression de la dépense 


Sri) ++)?" 


On suppose n=724 ou plus exactement n="1723,0:5, on 
trouvera: 


1° S(F+ c)p= de oo VANNES cr 74 fr. 468 c. 
2° Lp'= +) Si txt à de 2 PATATE ON fee 4o fr. 189 
2SV/an 1 
3 Ov PE sers. 21 fr. 729 
ét pOur Id dépense totale. 2 PMU nee 145 fr. 386 


laquelle est la moindre possible. 


(52) Si l’on ne faisait que 5o écluses au lieu de 100, on 
aurait 


1e S(£+s)p= end, 169 1 1981 ON 220 fr. 086 c 
2° p= sense » de se SEE N0e M 347) à 49 fr. r89 
À. 2SV/an PRE 

à) PE AE A EE 53 4 3 1 FRAME ET 5 fr. 710 


depensentétaleni:r 1H LOS .AUON 274 fr. 985 c. 


A4 QUATRIÈME MÉMOIRE 


La dépense pour 100 écluses a été trouvée de... 199 fr. 505 c. 
Ainsi, cette dernière distribution présente une 


ÉCONOMIE 6: me Re dou re 75 fr. 482 


(53) Il est inutile de multiplier les applications que nous 
pourrions faire des formules auxquelles nous sommes par- 
venus; mais il importe de faire remarquer que la valeur de 
l’eau dépensée pour la navigation sur un canal, est en général 
beaucoup plus considérable que la valeur du temps em- 
ploye à le parcourir. C’est en effet dans la quantité d'eau par 
laquellé un canal est alimenté, que réside, à proprement 
parler, la force motrice des bateaux qui y circulent, et la 
valeur de cette force l'emporte de beaucoup sur la valeur de 
la main d'œuvre nécessaire à son développement. C'est ainsi 
que dans l'usage d’une machine à vapeur la dépense du 
combustible est presque toujours plus forte que celle qui se 
compose des intérêts du capital employé à la construction 
de cette machine, des frais de son entretien journalier et 
de son remplacement, enfin du salaire des divers ouvriers 
qui la tiennent en activité; et comme les machines à vapeur 
se sont perfectionnées à mesure que l’on a mis en œuvre 
de nouveaux moyens d'économiser le combustible, de 
même aussi l’art de construire des canaux artificiels se per- 
fectionnera par tous les procédés à l’aide desquels on par- 
viendra à économiser l’eau destinée à les entretenir. 

(54) Résumons en terminant ce mémoire les propositions 
fondamentales qu'il contient. 

Après avoir déduit des formules fondamentales de l’hydro- 
dynamique la durée du remplissage ou de l'évacuation d’une 
écluse simple, nous avons montré que le temps exigé par 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 45 


l'une ou l’autre de ces manœuvres, n’était communément 
qu’une faible partie de celui qui est nécessaire pour faire 
parcourir à un bateau les biefs successifs d’un canal. Nous 
avons recherché ensuite, sous la forme la plus générale, 
l'expression du temps du remplissage, et de l'évacuation des 
sas accolés d’une écluse multiple, et nous avons indiqué 
comment cette question se simplifie dans l’usage ordinaire. 
Lorsque l’écluse multiple rachète une pente donnée, letemps 
de la montée et de la descente d’un bateau isolé croît évi- 
demment avec le nombre des sas qui la composent; mais il 
n'en est pas ainsi lorsque les bateaux cheminent en convoi: 
il existe un certain rapport entre le nombre de bateaux dont 
ce convoi est composé et celui des sas de l’écluse multiple 
qu'il doit traverser pour que le temps qu'il emploie à ce pas- 
sage soit un 72nimum. 

En général, le nombre de bateaux d’un convoi, celui des 
sas d’une écluse multiple, et le temps de sa traversée par ce 
convoi, sont les trois coordonnées d’une surface courbe, dont 
nous avons donné l'équation. 

Faisant l'application des propositions théoriques auxquelles 
nous avons été conduits au cas généralement connu des sas 
accolés de l’écluse de Rogny sur le canal de Briare, nous 
avons fait voir que si un convoi était composé de plus de six 
bateaux, il lui faudrait plus de temps pour franchir les sept 
écluses actuelles de Rogny, qu'il ne lui en faudrait pour fran- 
chir vingt-quatre écluses qui racheteraient la même chute 
qui est totale de 23" 253: 

(55) Nous avons comparé ensuite le temps qu'un convoi em- 
ployerait à traverser une suite d’écluses simples au temps 
qu'il employerait à traverser les sas accolés d’une écluse 


46 QUATRIÈME MÉMOIRE 

multiple qui racheterait la même pente. Il résulte de cette 
comparaison , qu’il y a toujours économie de temps, d'autant 
plus grande dans la traversée de l’écluse multiple que le 
nombre de bateaux du convoi et celui des sas de l’écluse 
sont plus considérables ; d'où l'on tire cette conclusion gé- 
nérale : qu'en ayant seulement égard au temps employé à 
parcourir un canal de navigation, il conviendrait, pour 
abréger la durée de ce trajet, de distribuer la pente de ce 
canal en écluses multiples, et d'y faire naviguer les bateaux 
en CONVOISs. 

Mais il ne s’agit pas seulement d'économiser le temps, 1l 
s’agit surtout de diminuer autant que possible la consomma- 
tion de l'eau nécessaire à la navigation. On y parvient évi- 
demment par la réduction des chutes des écluses ; et nous 
avons vu, dans nos précédents mémoires, comment cette 
réduction doit s'opérer, lorsque ces écluses sont isolées. 

{b6) Il nous restait à rechercher dans celui-ci la dépense 
d'eau qu'occasionne le passage d’un seul bateau ou d'un 
convoi de bateaux à travers une écluse multiple. Dans le 
premier cas, la dépense d’eau pour le double passage d’un 
seul bateau montant et descendant est la même,quei que soit 
le nombre de sas dont l'écluse multiple est composée; dans 
le second cas, c'est-à-dire, pour le double passage de plusieurs 
bateaux cheminant en convoi, la dépense d’eau est toujours 
d'autant moindre que l’écluse multiple est divisée en un plus 
grand nombre de sas. 

Et comme au-delà d'un certain nombre de bateaux, un 
convoi franchit une écluse multiple d'autant plus prompte- 
ment que sa chute totale est divisée en un plus grand nombre 
de chutes partielles, il résulte de notre théorie, que l’on di- 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 47 


minue simultanément les dépenses d’eau et de temps pour 
le passage d’une écluse multiple : 1° en la composant d'un 
plus grand nombre de sas; 2° en répartissant une quantité 
donnée de marchandises sur un plus grand nombre de ba- 
teaux , avantage de la petite navigation sur la grande qui 
n'avait point encore été remarqué. 

(57) Sous quelque point de vue qu'on considère la navi- 
gation des canaux artificiels, le passage de leurs écluses 
donne toujours lieu à deux sortes de dépenses distinctes : 
celle de l’eau tirée du bief de partage, et celle du temps em- 
ployé à la traversée des écluses. Dans certains cas, il y a di- 
minution de dépense d’eau et augmentation de dépense de 
temps; le contraire arrive dans d’autres circonstances; enfin, 
en combinant le nombre de bateaux d'un convoi avec le 
nombre de sas accollés des écluses multiples, on obtient 
une double économie dans la dépense de l’eau et du temps. 

Ces deux dépenses ne peuvent être comparées entre elles 
qu'autant qu'on les ramène à une mesure commune, c'est- 
à-dire qu'on les évalue en argent. L'évaluation en argent de 
l'eau consommée pour l'entretien de la navigation sur un 
canal, est l’objet d'une question nouvelle; la solution que 
j'en ai donnée, est déduite des considérations les plus 
simples. 

Il en résulte que la valeur de l’eau dont il s’agit, est égale 
au capital du revenu net que l’on retire du canal, moins le 
capital qui représente la valeur des terrains qu'il occupe , 
et des matériaux qui sont entrés dans la construction de ses 
divers ouvrages. L'eau déjensée annuellement pour la navi- 
gation , équivaut donc rigoureusement à l'intérêt du capital 
qui représente la valeur de cette eau, et comme ce capital 


48 QUATRIÈME MÉMOIRE 


et son intérêt sont connus, et que d’ailleurs on est cense 
connaître la consommation annuelle et journalière de l'eau 
pour le passage des écluses, il est aisé d'en déterminer rigou- 
reusement le prix du mètre cube. 

Quant à la valeur du temps, le prix d'achat des bateaux, 
leur durée, le bénéfice que retire leur propriétaire de leur 
loyer, le salaire des bateliers qui les conduisent, et celui des 
hommes ou des chevaux qui les mettent en mouvement étant 
assignés d'avance, on peut aisément connaître la valeur en 
argent de la journée d'emploi d’un bateau et des divers agents 
auxquels il est confié; la valeur de l’unité de temps se trouve 
ainsi déterminée, et par suite la dépense en argent du temps 
employé par ce bateau au passage d’une écluse simple ou 
multiple. 

(58) Ces déterminations obtenues, on assigne facilement 
l'avantage de tel système de chute d'écluses sur tel autre sys- 
teme, en rendant le plus grand possible le rapport de l'effet 
utile de la navigation sur le canal, à la cause de cet effet. 

Or, cet effet utile est toujours le produit de la masse trans- 
portée par le chemin qu’elle parcourt dans les directions 
horizontale et verticale. | 

D'un autre côté la cause de cet effet est évidemment la 
dépense d’eau et de temps qu'il faut faire en argent pour 
effectuer le mouvement du bateau, et de son chargement 
d'un point à l’autre du canal. 

Si donc on divise l'effet utile par cette dépense totale, et 
qu'on regarde la chute des écluses comme variable, on ob- 
tiendra en égalant à zéro la différentielle de ce rapport, la 
chute qu'il convient de donner aux écluses pour que l'avan- 
tage du canal sur lequel elles sont établies, soit le plus grand 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. re) 


possible, la détermination de cette chute dépend en général 
de la solution d’une équation du 5° degré. 

(59) Lorsqu'on recherche le plus grand avantage d’une 
écluse multiple qui rachète une pente donnée, eu égard au 
nombre de sas qui la composent et au nombre de bateaux 
dont sont formés les convois qui la traversent, ilest évident 
que ces deux nombres dépendant toujours l’un de l’autre, 
on peut les représenter par les coordonnées d’une ‘certaine 
courbe:dans la pratique, la construction de l’écluse multiple 
étant nécessairement antérieure à l'usage du canal, le nombre 
des sas dont elle est composée, est nécessairement la variable 
indépendante d’après laquelle le nombre de bateaux des con- 
vois qui la traversent doit être déterminé ; et comme il n’est 
pas présumable que l’on puisse constamment réunir en convoi 
précisément le même nombre de bateaux pour le passage de 
cette écluse , il faut regarder le nombre de bateaux indiqué 
par le calcul comme celui dont il convient de se rapprocher 
le plus possible. 

(60) L'application que nous avons faite des propositions 
théoriques auxquelles nous sommes parvenus, montre que 
la valeur de l’eau employée à l'entretien d’un canal de navi- 
gation, est de beaucoup supérieure à la valeur du temps em- 
ployé à la traversée de ses écluses dans le mouvement plus 
ou moins actif imprimé aux bateaux qui naviguent sur un 
. canal; l’eau qui l’alimente est la matière de leur force motrice, 
comme un combustible quelconque est la matière de la force 
motrice d’une machine à vapeur; or., la valeur de ce com- 
bustible, à moins qu'on ne l'emploie dans la mine qui le pro- 
duit, est toujours beaucoup plus considérable que le prix du 


temps des ouvriers chargés de surveiller sa combustion pour 
JS UE 


/ 


bo QUATRIÈME MÉMOIRE 


tenir la machine en activité. Cette analogie nous a paru digne 


de remarque. 


Ayant pris pour exemple un canal de 60000 mètres de 
longueur, dont la pente totale de 123",575 est rachetée par 
cent écluses de 1",23 centimètres de chute, nous avons trouvé 
que le prix de l'eau dépensée pour le parcourir était de 
142 fr. 21 c., tandis que le prix du temps employé à la ma- 
nœuvre des écluses n'était que de 8 fr. 074 c., c'est-à-dire 
dix-huit fois moindre envirom; nous avons trouvé aussi que 
pour rendre la moindre possible la dépense du trajet de ce 
canal en eau et en temps, évaluée en argent, il fallait réduire 
à 17 centimètres la chute de ces écluses, c’est-à-dire à moins 
du quatorzièéme de la chute dont l’usage a prévalu dans les 
divers canaux qui ont été ouverts jusqu'à présent. 

L'objection qu'on à tirée contre le système d’écluses à pe- 
tites chutes, de l'excès de temps employé à en traverser un 
plus grand nombre rachetant une chute donnée, est donc 
tout-à-fait dénuée de fondement; et comme par l'adoption 
de ce système on obtient évidemment une économie plus où 
moins considérable dans la dépense d’eau qui a lieu au pas- 
sage des écluses, et une réduction importante dans les frais 
de leur construction, il ne peut plus rester de doutes sur 
les avantages qui lui sont propres. 

(61) Au surplus quand on soumet à des calculs théoriques 
des matières analogues à celles que nous avons traitées, il 
ne faut pas prétendre appliquer les résultats de ces calculs 
dans toute la rigueur mathématique ; on est obligé de mettre 
en œuvre des matériaux que la nature n’a pas doués de toutes 
les propriétés qu'on leur suppose, et il n'est pas toujours 
permis de compter, pour le meilleur emploi du temps, sur 


SUR LES CANAUX DE NAVIGATION. 5r 


l'exactitude et la précision des agents auxquels la conduite 
des bateaux est confiée. La théorie n’en est pas moins indis- 
pensable, elle pose les véritables principes, elle en déduit 
les conséquences utiles, et ne fût-elle propre qu'à indiquer 
la perfection comme une limite à laquelle il est impossible 
d'atteindre, ce ne sera jamais qu'aux discussions qu’elle fera 
naître que l’art devra ses progrès. 


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Wémotres de l'Académie des Neaencar Tom: X pag. #2 


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Le bateau N°4. entre dans le Sas E, 


IRIS EIESIER URLS LRE LE ERA LÉ R VOA LR ARLES LS LAS LRU AR LA SA 


EXPÉRIENCES 


SUR 
LE MÉCANISME DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 


Par M. FLOURENS. 


Lues à l’Académie royale des Sciences, le 12 avril 1830. 


S I. 


I. D: qu'il a été démontré que ce n’est pas l’eau que le 
poisson respire, mais seulement l’air contenu dans l'eau, il 
a été naturel dese demander quel était donc le rôle que jouait 
l’eau dans la respiration du poisson ? 

2. Or, l’eau ne peutavoir, dans la respiration du poisson ,' 
que trois genres d'action : ou une action chimique, et sup- 
posé que, n'étant pas respirée, c’est-à-dire décomposée par le 
poisson, comme je viens de le dire, elle ait pourtant une pa- 
reille action, je ne m'en occupe paint ici; ou une action 
Physique, comme, par exemple, de prévenir le desséchement 
des branchies, et l’on verra bientôt qu'on a beaucoup trop 
exagéré l’étendue de cette action : ou une action mécanique, 
et l’on verra bientôt encore que c'est précisément ce genre 
d'action, assez peu connu jusqu'ici, qui est le principal. 


54 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


3. Ainsi donc, l’eau joue-t-elle un rôle dans le mécanisme 
de la respiration du poisson, et quelle est la limite de ce rôle; 
ou, en d’autres termes, quels sont les divers ressorts du mé- 
canisme de la respiration du poisson, et jusqu’à quel point 
l'intervention de l’eau est-elle nécessaire à l’'accomplissement 
de ce mécanisme ? Ce sont-là les questions à la détermination 
desquelles ont été consacrées ces expériences. 

4. Malpighi (1) est le premier qui ait fait connaître la sin- 
gulière diversité de structure qu'offre l'appareil respiratoire, 
dans les différents animaux ; Perrault (2) et Duverney (3) ont 
montré ensuite que le mécanisme, ou le jeu, de cet appareil 
ne variait pas moins que sa structure ; et Duverney (4) le pre- 
mier a mis dans tout son jour cette grande proposition : que, 
quelque varié que soit ce mécanisme , quelque variée quesoit 
cette structure, le but fondamental, le but définitif de toute 
structure , comme de tout mécanisme respiratoire, est tou- 
jours de présenter le sang à l'air dans l’état de la plus ex- 
trême division possible. 

5. Mais pour que l'organe présente le sang à l'air dans cet 
état extréme de division, il faut évidemment que cet organe 
acquière la plus grande étendue, la plus grande surface, le 
plus grand développement possibles. Or, la question ainsi 
précisée, tout le monde voit que la détermination du méca- 
nisme par lequel chaque animal respire n’est autre chose que 


(1) Malpighi Opera etc. 
(2) Perrault, OEuvres de physique, etc. 
(3) Duverney, Mémoire sur la circulation des poissons et sur leur res- 


piration , etc. Mém. de l'Acad. roy. des Sciences de Paris, an. 1701. 
(4) Zbid. 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 55 


la détermination du mécanisme par lequel l'organe respira- 
toire de chaque animal se déploie et se développe. 

6. Dans les animaux à poumons vésiculeux, mammiferes, 
oiseaux , reptiles , deux ressorts distincts concourent au déve- 
loppement de l'organe respiratoire: l’un , le mouvement actif 
de l'appareil extérieur de la respiration, l’autre, l'élasticité 
de l'air. 

7. Ainsi, dans les mammifères, dans les oiseaux, c’est d’abord 
le thorax (c’est-à-dire l'appareil extérieur doué dans ces ani- 
maux d'un mouvement actif) qui se dilate; les poumons se 
dilatent par suite du thorax, et l'air, pénétrant de lui-même 
dans les poumons en partie dilatés, achève et accomplit leur 
développement. 

8. Dans certains reptiles, nommément dans les batraciens, 
le mécanisme a un peu changé. Ce n’est plus le thorax, c’est la 
gorge qui se dilate; l'air ne pénètre plus de lui-même dans 
les poumons, il y est poussé par la contraction de la gorge : 
mais, quoique le mécanisme ait changé, le résultat'est tou- 
jours le même, et ce sont toujours les mêmes ressorts , ou des 
ressorts de même genre, qui amènent ce résultat. 

9. Ainsi donc, que ce soit le thorax ou la gorge qui se dila- 
tent, que Vair pénètre de lui-même dans les poumons ou qu'il 
y soit poussé par les contractions de la gorge, c'est toujours 
par l’action combinée de deux ressorts, le mouvement actif 
d’une partie quelconque de l'appareil extérieur, d’une part. 
et l'élasticité de l'air, de l'autre, que le développement des 
poumons ou de l'organe respiratoire est produit dans les ani- 
maux des trois premières classes. Les ressorts qui déterminent 
le développement de l'organe respiratoire, dans les poissons. 
sont-ils les mêmes, ou bien l’un d'eux a-t-il changé, et quel 
est-il ? C'est-là, comme l’on va voir, toute la question. 


56 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


Se 


1. L'appareil respiratoire des poissons (du moins de la 
plupart , et de ceux en particulier sur lesquels ontété faites ces 
expériences, la carpe, la tanche, etc.) se compose, comme 
celui des autres animaux vertébrés, de deux appareils di- 
stincts : un appareil extérieur, et un appareil intérieur. 

2. L'appareil extérieur comprend les deux mâchoires, 
l'arcade palatine, l'hyoide, les opercules, les rayons et la 
membrane branchiostèges ; l'appareil intérieur se compose 
de quatre paires de branchies, portées sur quatre paires 
d’arcs. 

3. Chaque branchie se compose de deux feuillets ; chaque 
feuillet, d’un rang de lames ou franges ; ces lames ou fran- 
ges, libres à leur sommet, sont réunies à leur base; et ce 
sont ces lames, ces franges, ces feuillets, ces branchies, en 
un mot, qui, comme chacun sait, sont l'organe respiratoire 
même, ou les poumons des poissons. 

4. Duverney a non-seulement fait connaître presque tous 
les détails de cette structure aussi curieuse que compliquée; 
il a fait connaître encore la route que suit le sang, soit pour 
se porter du cœur aux branchies, soit pour se porter des 
branchies au reste du corps. Duverney a même indiqué, et 
toujours avec sa précision savante, la plupart des mouve- 
ments qui constituent le mécanisme de la respiration des 
poissons : le mouvement de la bouche, celui des lèvres, ce- 
lui de la gorge, celui des opercules, celui des arcs bran- 
chiaux, etc. 

5. Mais Duverney n’a vu qu'une partie de ce mécanisme ; 
et c'est pour n'avoir pas vu ce mécanisme tout entier, qu'il 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 57 


n'a donné qu'une explication erronée de ce phénomène si 
singulier et qui embarrasse depuis si long-temps les physio- 
logistes, savoir : que, bien que les poissons ne respirent 
dans l’eau que l'air, ils meurent par asphyxie dans l'air, où 
pourtant, et puisque ce n'est pas l’eau mais l'air qu'ils 
respirent, ils devraient respirer plus commodément que 
dans l’eau, 


S II. 


1. Si l'on examine un poisson qui respire dans l’eau, on 
distingue bientôt les deux mouvements principaux qui con- 
stituent sa respiration, et que Duverney a si bien marqués. 
Dans l’un, toutes les parties de l'appareil, la bouche, la gorge, 
l'arcade palatine, les opercules, les rayons et la membrane 
branchiostèges, les arcs branchiaux, se dilatent; l’eau entre 
par la bouche, et c’est l'inspiration : dans l’autre, toutes ces 
parties se resserrent, se rapprochent, se rétrécissent ; l’eau, 
pressée de toute part, sort par l'ouverture des ouïes, et 
c'est l’exspiration. 

2. Maïs tous ces mouvements, quelque variés, quelque 
nombreux qu'ils soient, composent-ils à eux seuls tout le 
mécanisme respiratoire? Non : car tous ces mouvements 
ne sont qu'un moyen, ce moyen a un but, ce but est le 
développement des branchies ou de l'organe respiratoire 
même. 

3. Ce n’est donc pas tout que d’avoir vu le mécanisme 
par lequel s’effectuent tous ces mouvements; il fallait en- 
core voir quel est le mécanisme par lequel tous ces mouve- 
ments concourent à opérer le développement des branchies; 


il fallait voir s'ils suffisent à l'opérer; il fallait voir s'ils 
Jet h 8 


58 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


l'opèrent également dans l'air et dans l’eau : et ce sont là tout 
autant de points que Duverney n’a ni vus ni songé à voir. 

4. Ainsi donc, Duverney a vu le mécanisme par lequel se 
meuvent presque toutes les parties de l'appareil ; ce qu'il n'a 
pas vu, c'est le développement des branchies, pour lequel 
seul pourtant tout ce mécanisme est fait; omission d’un 
grand anatomiste qui n’a point été réparée depuis, du moins 
à ma connaissance. 


S IV. 


1. La détermination du mode selon lequel se développent 
les branchies étant, conséquemment à ce que je viens de 
dire, le point important et le point jusqu'ici négligé du 
mécanisme respiratoire , c'est de cette détermination que 
j'ai dù m'occuper d’abord. 

2. Or,si l’on examine un poisson qui respire dans l’eau, d'ane 
respiration libre et régulière, on voit ses branchies, et toutes 
les parties de ses branchies, s'approcher et s’écarter, ou, en 
d’autres termes , se resserrer et se développer tour à tour. 

3. Pour mieux suivre ce mécanisme du mouvement des 
branchies dans tous ses détails , j'ai successivement enlevé, 
sur plusieurs tanches et sur plusieurs carpes, soit l’opercule 
d'un seul côté, soit les deux opercules ; et comme ces abla- 
tions n’ont pas empêché ces poissons de survivre durant plu- 
sieurs jours (1), j'ai pu répéter et varier, avec tout le soin 
convenable, mes observations. 


(x) Quoique, dès l'ablation même des opercules, l'énergie du mé- 
canisme respiratoire, soit pour l'inspiration, soit pour l'exspiration, et 
conséquemment pour le renouvellement ou le passage de l'eau, fût très- 
diminuée. Aussi les poissons à opercules enlevés ne font-ils presque plus 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 5g 


4. J'ai donc vu que, pendant la respiration, les branchies 1° 
s'écartent et se rapprochent tour à tour les unes des autres ; 
2 qu’elles s’écartent l’une de l’autreen se portant en avant, 
et qu'elles se rapprochent en se portant en arrière; 30 que, 
dans leur rapprochement, elles ne vont jamais jusqu’à se 
toucher, et gardent toujours une certaine distance entre elles; 
4° qu'au contraire, les deux feuillets de chaque branchie, 
après s'être brusquement détachés et écartés, se réappli- 
quent promptement et complétement l’un sur l’autre; 5° que 
les branchies sont continuellement agitées d'un double mou- 
vement d'extension et de raccourcissement alternatifs, d’une 
part, et de rotation d’arrière en avant et d'avant en arrière, 
de l’autre ; et 6° que les lames ou franges de chaque feuillet, 
après s'être écartées, se rapprochent et vont quelquefois 
jusqu’à se toucher (r). 

M9 ann sh. greg Semensvhon ls myoisos dsbyocdesren 


aucun mouvement, et faut-il renouveler beaucoup plus souvent l’eau dans 
laquelle ils sont placés. 

(x) J'ai vu, en second lieu (ce qui avait été déja plus ou moins bien vu par 
d'autres), que les arcs branchiaux 1° ontchacun deux mouvements distincts : 
l'un derotation d'avant en arrière et réci proquement, l'autre d'élongation et 
de raccourcissement alternatifs; mouvement d'élongation et de raccourcis- 
sement qui, comme le mouvement particulier de l’arcade palatine, avait 
échappé à Duverney, et qui, comme le mouvement de cette arcade, a 
été décrit depuis par M. Cuvier; 2° que le mouvement de rotation ou 
de transport en avant correspond toujours au mouvement d'élongation, 
et le mouvement de rotation en arrière, au mouvement de raccourcisse- 
ment; 3° que le mouvement de rotation en avant écarte les arceaux, et que 
celui de rotation en arrière les rapproche; et 4° ce qui se voit surtout par 
la bouche maintenue ouverte, que le mouvement d’écartement va jusqu’à 
amener un vide entre les dentelures des arceaux, et le mouvement de rap- 
prochement jusqu’à porter ces dentelures les unes sur les autres. 


8. 


6o EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


5. Après avoir ainsi déterminé les divers genres de mou- 
vements propres à chacune de ces parties, je voulus déter- 
miner l'ordre que ces mouvements observent entre eux. 

6. Or, je vis bientôt, et toujours sur des carpes et des 
tanches dont les opereules étaient enlevés : 1° que la rota- 
tion des arcs et des branchies en avant, la séparation des 
deux feuillets de chaque branchie, l'éloignement des lames 
ou franges de chaque feuillet, c’est-à-dire tous les mouve- 
ments d’écartement ou de développement, s’opéraient simul- 
tanément ; 2° que, par opposition, la rotation des arcs et des 
branchies en arrière, la rejonction des feuillets , le réappli- 
quement des lames, c’est-à-dire tous les mouvements de 
resserrement ou de rétrécissement, s'opéraient simultané- 
ment de même ; et 3° que chacun de ces deux mouvements 
principaux, soit de resserrement, soit de développement, 
correspondait toujours au mouvement pareil des parties ex- 
térieures de la respiration, c’est-à-dire des opercules, de 
l'hyoïde , de l’arcade palatine, des deux mâchoires , des 
rayons et de la membrane branchiostèges. 

7. Je n’entre point ici dans le détail des mouvements de 
ces dernières parties ; mouvements qui, pour la plupart, ont 
été si bien indiqués par Duverney, comme je l'ai déja dit, 
et qui, comme tout ce qui tient à la structure de l'appareil 
respiratoire des poissons, ont été si complétement exposés 
depuis dans deux grands ouvrages de M. Cuvier, ses Lecons 
d'Anatomie comparée, et son Aistoire naturelle des pois- 
sons (1). 

8. Je reviens au développement ou écartement des bran- 


(1) Voyez aussi au sujet de la structure et du mécanisme de la respi- 
ration ‘des poissons : Broussonnet; Mémoire de l'Acad, roy. des Sciences 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 61 


chies, et à la concordance de ce développement avec celui 
de toutes les autres parties de l'appareil. 

9. Ainsi donc, le mécanisme respiratoire des poissons se 
compose de deux mécanismes distincts : celui de l'appareil 
extérieur, et celui de l'appareil intérieur. 

10. Voyons maintenant quels sont les ressorts par lesquels 
ces deux mécanismes s’opèrent, soit dans l'air, soit dans l’eau ; 
et jusqu'a quel point l’un et l’autre s’opèrent dans l’un ou 
l’autre de ces deux milieux. 


sv. 


1. Si on examine un poisson qui respire dans l’eau, on 
voit ses mâchoires, son hyoïde, son arcade palatine, ses 
opercules, ses arcs branchiaux, etc., se mouvoir dans un 
certain ordre. 

2. Si l’on met ce poisson dans l'air, toutes ces parties non- 
seulement se meuvent encore, mais elles se meuvent avec 
une énergie, avec une violence qu’elles n’avaient pas dans 
l'eau. 

3. Cependant le poisson, dans l'air, meurt bientôt par 
asphyxie. Ainsi donc, ni le mouvement detoutes ces parties, 
puisqu'il subsiste, ni l'intervention de l'air, puisque l’animal 
y est plongé, ne suffisent à l’accomplissement de sa respira- 
tion. 

4. Si, ne bornant plus son attention aux mouvements 
de l'appareil extérieur , on examine ce qui se passe dans les 
branchies mêmes, on voit ces branchies et toutes les parties 


deParis, an. 1785.—M.Duméril, Mémoire sur le mécanisme de la respiration 
des poissons; M. de Humboldt, Recherches sur la respiration des poissons ; etc, 


62 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


de ces branchies, quand le poisson respire dans l’eau, se 
mouvoir, et se mouvoir dans l'ordre (d'écartement et de 
rapprochement alternatifs } que j'ai exposé plus haut. 

5. Mais si l’on met ce poisson dans l'air, tout aussitôt ses 
branchies ne se meuvent plus. Il n'en est donc pas de leur 
mouvement, comme du mouvement de l'appareil extérieur ; 
celui-ci persiste dans l'air, et celui des branchies n’y per- 
siste pas. 

6. J'ai souvent observé, sur plusieurs tanches, sur plu- 
sieurs carpes, et soit que les opercules fussent enlevés ou 
non , l'état des branchies, quand le poisson est dans l’air ; et 
j'ai toujours vu qu’au lieu et de l'écartement des branchies, 
et de celui de leurs feuillets, et de celui de leurs lames, 
tous écartements qui constituent le développement des bran- 
chies dans l'eau, ces branchies et toutes leurs parties ne 
formaient plus, dans l'air, qu'une masse, un faisceau solides : 
à peine si ce faisceau tout entier se mouvait un peu et en 
bloc (1); à peine si les branchies , ébranlées par les efforts 
violents de l'appareil extérieur, glissaient un peu les unes 
sur les autres; mais aucune partie de cette masse, de ce 
faisceau solides qu'elles formaient, ne se détachait, ne se 
séparait, ne s’écartait plus ; toutes ces parties restaient at- 
tachées et collées les unes aux autres. 

7. En replongeant, au contraire , l'animal dans l’eau, je 
voyais aussitôt toutes ces parties se détacher et se séparer; 


(1) Quelquefois dans les mouvements des opercules , une branchie (en 
général, l'antérieure ou la postérieure) reste collée ou à l’opercule (l'an- 
térieure), où au corps (la postérieure), et se trouve ainsi accidentellement 


séparée du faisceau commun. 


tm tt 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 63 


les branchies prendre une certaine distance entre elles ; leurs 
feuillets s'ouvrir et se fermer tour à tour; et tour à tour 
leurs lames s'éloigner et se rapprocher. 

8. Or, le développement total des branchies n'est que le 
résultat de l’écartement partiel de chacune de leurs parties : 
cet écartement n'ayant plus lieu dans l'air, les branchies ne 
s'y développent donc pas. D'un autre côté, le développe- 
ment des branchies étant le but final de tout le mécanisme 
respiratoire, et ce développement ne s'opérant plus dans 
l'air, l'animal ne respire donc réellement plus dans l'air, 
ou il n’y respire que d’une manière très-imparfaite , et con- 
séquemment il y succombe bientôt par asphyxie. Enfin , le 
mouvement actif de l'appareil extérieur (et je n'excepte pas 
celui des arcs branchiaux, car il subsiste dans l’air comme 
celui de toutes les parties de l'appareil extérieur) ne suffit 
pas sans l'intervention de l’eau pour opérer le développe- 
ment des branchies, pas plus que le mouvement actif du 
thorax, par exemple, dans les mammifères et les oiseaux, 
ne suffirait à développer les poumons sans l'intervention de 
l'air. 

9. Ainsi, dans un mammifere, quand le thorax est ouvert, 
l'air ne pénétrant plus dans les poumons , ces poumons ne 
se dilatent plus aussi; mais les mouvements du thorax n'en 
subsistent pas moins un certain temps encore : ces mou- 
vements subsistent surtout long-temps, si un seul côté du 
thorax est ouvert, parce qu’alors l’animal respire par le 
développement du poumon de l’autre côté. 

10. Or, ces poumons du mammifère qui , le thorax ouvert, 
ne se dilatent plus, bien que tous les mouvements du thorax 
persistent, ce sont ces branchies du poisson qui , l'animal 


64 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


étant à l'air, ne se développent plus, bien que tous les 
mouvements, et des opercules, et des mâchoires, et de l’ar- 
cade palatine , etc., subsistent : dans les deux cas, l'organe 
respiratoire est plongé dans l'air; mais, dans les deux cas, 
il ne se développe pas, et il est tout aussi naturel, dans l’un 
de ces cas que dans l’autre, que l'animal succombe par 
asphyxie. 
$ VI. 


1. L'eau joue donc un rôle constant et déterminé dans le 
mécanisme de la respiration des poissons ; et ce rôle est tel 
que si l’on plonge dans l’eau un poisson mort (1), on voitses 
branchies et toutes leurs parties, leurs feuillets, leurs lames, 
jusqu'aux arcs branchiaux , prendre un certain écartement 
entre elles et le garder : mais 1° cet écartement n'est plus 
aussi prononcé que pendant la vie de l'animal; et 2° il 
ne s'y joint plus ce mouvement continuel qu'on y observait 
alors. 

2. Ainsi donc, c’est l'eau qui écarte les branchies et qui les 
maintient dans un certain écartement donné; et c’est le mou- 
vement actif de l’appareil, joint à l'intervention de l’eau, 
qui les meut et qui porte leur écartement au plus haut degré 
qu'il leur soit possible d'atteindre. 

3. Deux ressorts distincts déterminent donc le développe- 


(x) D'un autre côté, si, un poisson vivant étant mis dans l'air, on répand 
de l'eau sur ses branchies, on voit aussitôt toutes les parties de ces bran- 
chies se détacher ou se décoller, l'eau pénétrer plus ou moins dans tous 
leurs interstices, atteindre plus ou moins toutes leurs surfaces; et c'est là 
le mécanisme par lequel l’eau aérée, répandue sur les branchies, prolonge 
la respiration des poissons dans l'air. 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 65 


ment de l'organe respiratoire des poissons : l’un, le mouve- 
ment actif des diverses parties de l'appareil ; l’autre, l’inter- 
vention de l’eau. 

4. Maintenant, pour concevoir comment l’écartement et 
le mouvement des branchies s’opèrent facilement dans l'ean, 
et comment ils ne peuvent s’apérer dans l'air, il n'y aqua 
réfléchir sur les deux points suivants. 

5. 1° L'eau maintient les branchies et toutes leurs parties, 
leurs feuillets, leurs lames, isolées; voilà donc un premier 
écartement qui se fait sans aucun effort de la part de l'animal: 
dans l'air, au contraire, toutes ces parties, par leur affaisse- 
ment ; se superposent, et il faudrait, pour surmonter leur 
force d'adhérence, une force à laquelle l'énergie musculaire 
de l'animal ne suffit pas. 

6. 2° Quant au mouvement oscillatoire des feuillets et des 
lames, il suffit dans l’eau, pour le produire, du plus léger 
effort, parce que ces lames et ces feuillets y sont dans un 
état presque d'équilibre ; pour les mouvoir dans l'air, au con- 
traire, il faudrait surmonter l’action totale de leur pesanteur. 

7. Ainsi donc, l'eau, 1° isolant toutes les parties de l'organe 
branchial, supprime tout besoin d'effort musculaire pour ce 
premier isolement ; »° maintenant toutes ces parties presque 
dans un état d'équilibre, elle diminue d'autant la quantité 
de force rauscue qu'il eût fallu dépenser pour leur mouve- 
ment; 3° c'est parce que, dans l'air, l'animal n’est plus aidé 
par une pareille intervention, que , réduit à ses seules forces, 
il ne peut plus ni isoler, ni mouvoir ces parties ; et 4° enfin, 
c'est à la diversité d’action ou de concours des deux milieux 
où ellessont alternativement plongées, que tient la possibilité 


TX. 9 


66 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


ou la non-possibilité alternatives du développement et du 
mouvement de toutes ces parties. 

8. On sent donc que, pour ce qui n’est que du mécanisme, 
tout autre liquide pourrait y servir aussi bien que l’eau: 
aussi ai-je vu le mécanisme respiratoire des poissons s'opérer 
dans du vin, dans de l'huile, etc., bien que les qualités nui- 
sibles de ces liquides et le défaut d’air permissent à peine à 
l'animal de survivre quelques instants. 

9. On sent encore que, puisque la respiration du poisson 
ne dépend, quant au mécanisme, que du développement des 
branchies, si l'on entravait ce développement dans l’eau, 
l'animal y succomberait bientôt par asphyxie, comme dans 
l'air. 

10. Îl y a un moyen fort simple d'empêcher le dévelop-. 
pement des branchies dans l’eau, c’est de lier les opercules. 
Si la ligature est serrée au point de ne permettre aucun mou- 
vement aux opercules et à l'hyoïde, l'animal succombe bien- 
tôt; si, au contraire, la ligature est assez lâche pour per- 
mettre aux opercules un certain mouvement, qui ne va 
pourtant pas jusqu'à laisser passer l’eau par l'ouverture des 
ouïes, alors l’eau est tour à tour avalée et rejetée par la 
bouche, et l'animal #aspire et exspire par la même ouverture, 
comme les vertébrés aériens. 

11. Mais la ligature des opercules, au elle est très- 
serrée, empêchant l’eau de pénétrer jusqu'aux branchies, et 
n’empêchant pas, quand elle est peu serrée, un certain dé- 
veloppement des branchies, il fallait avoir recours à des 
expériences plus décisives. 

12. Or, le but du développement de tout organe respira- 
toire n’est, comme on l'a déja vu, que de présenter le sang 


LE LA RESPIRATION DES POISSONS. 67 


à l'air par une plus grande surface; et, comme on l’a vu en- 
core, le poisson n'est asphyxié dans l'air que parce que , ses 
branchies ne s’y developpant plus, au lieu de trente-deux 
surfaces (à me compter même que les feuillets) qu’elles pre- 
sentaient à l'air, dans l'eau, elles ne présentent plus à l'air, 
dans l'air, que les quatre surfaces des deux faisceaux solides 
qu’elles y forment. Il s’ensuivait donc que, en réduisant peu 
à peu le nombre des surfaces développées dans l’eau au 
nombre des surfaces développées dans l'air, on devait peu à 
peu réduire la respiration à être aussi imparfaite dans l’eau 
que dans l'air. 

13. J'ai donc lié d’abord, pour prévenir l’effusion du sang, et 
retranché ensuite, soit une, soit deux, soit trois branchies de 
chaque côté et les arcs qui les portent; et, les branchies rédui- 
tes à ce dernier état, j'ai vu la respiration, jusque là de plus en 
plus affaiblie, être à peu près aussi imparfaite dans l’eau qu’elle 
l'est naturellement dans l'air ; et l'animal, ainsi mutilé, ne sur- 
vivre dans l’eau qu'un temps à peu près égal au temps pendant 
lequel il eût, avec des branchies demeurées intactes, survécu 
dans l'air. 


S VIL. 


1. J'aisupposé jusqu'ici, commeun faitétabli, que le poisson 
meurt dans l'air par asphyxie; voici quelques expériences 
propres à lever, sur ce point, tous les doutes, s’il en restait. 

2. 1° J'ai maintenu dans l'air, durant un certain temps, 
plusieurs tanches et plusieurs carpes; et, ces poissons étant 
au moment de succomber, je les ai vus constamment re- 
prendre une certaine énergie, dès que j'écartais les branchies 
les unes des autres, ou, en d’autres termes, dès que j'accrois- 


9: 


68 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


sais artificiellement ainsi l'étendue ou le développement des 
surfaces branchiales présentées à l'air. 

3. 2° C’est surtout dans les poissons que l’on a privés de 
leurs opercules que se voit bien tout l'effet de cet accroisse- 
ment artificiel des surfaces. Un pareil poisson étant mis 
dans l'air, ses branchies deviennent peu à peu d’abord 
bleuâtres, puis noirâtres, et l'animal est sur le point de 
suffoquer ; mais si on dilate alors les branchies, et qu’on 
les maintienne dilatées par l’écartement artificiel des arcs 
branchiaux, on voit ces branchies redevenir plus où moins 
rouges et les signes de suffocation disparaître (r). 

4. 3° Une expérience plus simple, et non moins directe, 
est de maintenir alternativement, et pendant un certain 
temps, un poisson dans l'air et dans l’eau; on voit alterna- 
tivement alors, et au bout d’un certain temps, ses branchies 
devénir noirâtres dans l'air, et reprendre dans l’eau leur cou- 
leur rouge; et à mesure qu'elles deviennent noirûtres, l’ani- 
mal offrir de plus en plus des signes d'angoisse et de suffo- 


(1x) On a cru pouvoir expliquer par le seul desséchement des branchies 
l'asphyxie des poissons dans l'air; mais outre que ce desséchement ne sau- 
rait avoir lieu dans les poissons qui meurent à l'instant même où on les 
tire de l’eau, j'ai toujours vu la mort d'un poisson quelconque survenir 
dans l'air avant que les branchies fussent sèc/es ; j'ai toujours vu ces bran- 
chies, quelque temps même après la mort du poisson, contenir une cer- 
taine couche d’eau que le contact ou la pression y constataient. En second 
lieu, on vait par mes expériences que plus on écarte les branchies, (c'est- 
à-dire plus on accroît le desséchement) et plus on prolonge la vie du poisson 
dans l'air; ce qui seul montre que, dans l’asphyxie du poisson dans l'air, 
le défaut d'air est une cause bien autrement immédiate et prochaine que 
le dessechement. 


1 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS, : 69 


cation; et à mesure qu'elles redeviennent rouges, l'animal 
reprendre son énergie. 

5. Ainsi donc, et quant à la respiration même, tout dé- 
pend du développement ou de l'étendue des surfaces de l’or- 
gane respiratoire; et, soit dans l'air, ou dans l’eau, quand 
ce développement n’a plus lieu , l'animal succombe par 
asphyxie. 

$ VIII. 


1. On voit maintenant que la contradiction entre ces deux 
faits , l'un, que le poisson ne respire, dans l’eau, que l'air, et 
l'autre, qu'il meurt asphyxié dans l'air, n’est qu’une contra- 
diction apparente; puisque c’est précisement quand il est 
dans l'air que l'air ne pénètre pas dans ses poumons, et que 


l'air n'y pénètre que quand il est dans l’eau. 


2. On voit aussi combien est peu fondée l'opinion de Du- 
verney qui, pour expliquer ce singulier contraste, suppose 
que le poisson meurt asphixié dans l'air parce que ses bran- 
chies laissent un passage trop libre, trop large à l'air (1); 
c'est précisément, au contraire, parce que l'air n’ÿ peut plus 
passer ou les pénétrer. 

3. On voit enfin, et en résumant tout ce qui précède, 
1° que, dans les poissons, comme dans les vertébrés aériens, 


le but définitif de tout le mécanisme respiratoire est le déve- 


loppement de l'organe respiratoire même; 2° que, dans les 
poissons , le développement de cet organe, ou des branchies, 
ne peut être opéré que par l'intervention de l’eau; 3° que, 
quelque énergiques que se maintiennent les mouvements du 


(x) Hist. de l'Acad. des Sciences, an. 1701. 


70 EXPÉRIENCES SUR LE MÉCANISME 


reste de l'appareil dans l'air, cesmouvements n'y produisent 
pas ce développement ; et 4° que c’est parce que ce développe- 
ment n’est pas produit dans l'air que l'animal y succombe par 
asphyxie. 

4. Mais, arrivé à ce point de mon Mémoire, je sens qu'il se 
présente une grande difficulté dont les. physiciens seront 
juges. Cette difficulté est de savoir si les quatre surfaces 
branchiales développées dans l'air n’équivalent pas aux 
trente-deux surfaces développées dans l’eau, et s’il n'ya 
pas compensation entre une petite surface et beaucoup d'air, 
d'une part, et une grande surface et très peu d'air, de 
l'autre. 

5. Il est évident que, cette compensation admise, ou, en 
d’autres termes, le non-développement des surfaces bran- 
chiales ne suffisant pas à expliquer l’asphyxie du poisson 
dans l'air, il faudrait nécessairement supposer le concours 
de quelque autre cause. 


6. Mais d'abord, je n’aï compté encore, en comparant les 


surfaces développées dans l'air aux surfaces développés dans 
l'eau , que les surfaces des feuillets : il faut y ajouter les sur- 
faces des lames ou franges, lesquelles ne se développent 
pas dans l'air, comme on a vu, et qui , se développant dans 
l'eau , y déploient une multitude de nouvelles surfaces, dont 
le nombre, d’après le calcul de Duverney, s'élève à huit 
mille six cent quarante. 

7. Ne pourrait-on pas dire d'ailleurs que, indépendam- 
ment de ce nombre infini de surfaces qui, dans l'air, sont 
perdues pour la respiration, celles mêmes que l'air y atteint, 
étant plus ou moins recouvertes d’une certaine couche d’eau, 
cette couche d’eau , adhérente et non renouvelée, s'oppose à 


DE LA RESPIRATION DES POISSONS. 71 


la pleine et entiere action de J'air sur elles? Car, bien qu'à 
mesure que cette couche perd son oxigène, par la respiration, 
elle en reprenne à l'air, elle n’en reprend pourtant que pro- 
portionnéllement, et à la petite quantité d'eau qui la com- 
pose, et au petit nombre de surfaces qu’elle recouvre. Ne 
pourrait-on pas dire que l’affaisement des surfaces (et je ne 
parle toujours que de celles que l'air atteint) s’opposant à ce 
que le sang les parcoure et s’y renouvelle avec autant de facilité 
que lorsqu'elles se développaient, diminue d'autant la quan- 
tité de sang qui respire ? Ne faut-il pas tenir compte enfin de 
ce mélange, dans la circulation, de deux sangs dont l’un, 
celui des branchies extérieures , a reçu l’oxigénation , et dont 
l’autre, celui des branchies intermédiaires, n’a pas été modi- 
fié : mélange qui réduit la circulation parfaite du poisson à 
une circulation imparfaite, ou mélée de sang rouge et de 
sang noir, comme celle du reptile, et qui réunit par-là , dans 
le même animal , à une respiration déja imparfaite une circu- 
lation devenue imparfaite aussi ? 

8. Quoi qu'il en soit de ces conjectures sur les causes, plus 
ou moins secondaires, qui peuvent se joindre à la cause im- 
médiate et prochaine du non-développement des branchies, 
pour déterminer l'asphyxie du poisson dans l'air, je sépare 
ces conjectures des expériences mêmes de ce Mémoire ; et je 
ne les donne ici que comme des essais, qui pourront en 


appeler d’autres, sur une question aussi importante que 
difficile. 


. 


RS SR SSSR SSL 


RAPPORT 


SUR 
L'OUVRAGE DE M. JACOBI, 
INTITULÉ : 
FUNDAMENTA NOVA THEORIÆ FUNCTIONUM 
ELLIPTICARUM. 


Lu à l’Académie des Sciences, le 21 décembre 1829. 


Par M. POISSON. 


P our expliquer autant qu’il sera possible sans le secours 
des signes algébriques, l’objet de cet ouvrage dont l’Aca- 
démie m'a chargé de lui rendre compte, et surtout pour faire 
connaître l'extension nouvelle et inattendue que l’auteur a 
donnée à cette théorie, je rappellerai d’abord les travaux de 
ses prédécesseurs dans la même matière. 


(1) Sur la proposition de M. Lacroix, l'Académie a arrêté que ce rap- 
port serait inséré dans la collection de ses Mémoires. On y a ajouté quel- 
ques notes, où l’on trouvera les nouvelles formules relatives à la trans- 
formation des fonctions elliptiques de la première espèce. 

Tome X. 10 


74 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


Les fractions rationnelles et quelques formules qui s'y 
ramenent immédiatement ou par une transformation très- 
simple, sont les seules différentielles dont on sache trouver 
les intégrales indéfinies. Relativement aux intégrales définies, 
le nombre de celles que l’on sait déterminer par différents 
moyens , est beaucoup plus considérable; mais ce nombre 
est encore extrêmement petit, eu égard à celui des intégrales 
qui peuvent se rencontrer dans les diverses applications de 
l'analyse ; et le plus souvent on est obligé de calculer leurs 
valeurs approchées , soit par la réduction en séries conver- 
gentes, soit par la méthode des quadratures. Il y a lieu de 
penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jusqu’à 
présent aux efforts si souvent réitérés des géomètres, et 
qui échappent à des méthodes où l’on a mis en œuvre toutes 
les ressources de l'analyse, sont impossibles sous forme finie, 
quoique cette impossibilité n’ait encore été démontrée pour 
aucune d'elles (1). Cela étant, on a cherché à diminuer le 
nombre de ces quantités transcendantes, en les faisant dé- 
pendre les unes des autres ; ce qui a donné naissance à une 
branche d'analyse, très-étendue et d’une grande impor- 
tance , dont l’objet est la comparaison et la réduction des 
intégrales. 

Les principales classes d'intégrales que l’on a ainsi com- 
parées entre elles, se réduisent à trois. Les unes sont les 
intégrales définies que M.'Legendre a nommées 1ntégrales 


(1) Dans la Mécanique céleste, Laplace dit qu'il a démontré que l'inte- 
grale d'où dépend l'attraction des sphéroïdes elliptiques, est impossible ; 
mais cette démonstration n'a été publiée nulle part, et l'on n'en a trouvé 
aucune trace dans les, papiers de l'auteur. 


er É mm — 


DE M. JACOBI. 75 


Eulériennes de première.et de seconde espèce, et dont il a 
exposé la théorie avec tous les développements que l’on peut 
désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui 
doivent être l'objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont 
susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en 
conséquence, en fonctions elliptiques de première, de se- 
conde et de troisième espèce ; chacune des fonctions des 
deux premiers ordres ne renferme qu'une seule constante 
qu'on nomme le module ; la fonction de seconde espèce est 
l'arc d’ellipse; ceile de troisième espece est la plus compliquée, 
et contient deux quantités constantes. La variable d’où de- 
pend chaque fonction s'appelle l'amplitude. 

On compare les fonctions elliptiques sous deux points de 
vue différents : par rapport aux grandeurs de l'amplitude 
d’une même fonction, et relativement aux grandeurs du mo- 
dule de deux fonctions de même espèce, ou de deux fonctions 
d'espèce différente. Le théorème de Fagnanti par lequel on 
assigne, sur une même ellipse, deux arcs dont la diffé- 
rence est une quantité donnée, et la division de la Zemnis- 
cate en parties égales, que ce géomètre a fait dépendre 
d'équations algébriques , se rapportent au premier mode de 
comparaison. Ce sont les premières questions de ce genre, dont 
les géomètres se soient occupés: elles datent de 1750; et on les 
citera toujours dans l’histoire du calcul intégral, comme le 
germe et l’origine de la théorie des fontions elliptiques. Vient 
ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes d’Æuler, 
l'intégration sous forme finie, d’une équation à deux termes 
dont aucun ne peut s'intégrer séparément. L'intégrale qu'Eu- 
ler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la sômme 
et de la différence dés amplitudes de deux fonctions données ; 

10. 


76 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait 
donnés , et tout ce qui concerne le premier mode de com- 
paraison des fonctions elliptiques et leur division en parties 
égales. Sur ce premier point, Euler n’a rien laissé à faire 
à ses successeurs , si ce n’est la résolution même des équa- 
tions algébriques, d’où dépend la division d’une fonction 
donnée ; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus 
tard, ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais 
M. Legendre remarque, comme une chose singulière, 
qu'Euler ne se soit jamais occupé de l’autre mode de com- 
paraisen et de réduction des fonctions elliptiques. Le pre- 
mier pas qu'on a fait dans cette seconde partie, est le théo- 
rème de Zanden , sur la réduction de l'arc d’hyperbole aux 
arcs d'ellipse. Quelque temps après (en 1784), Lagrange 
donna une méthode applicable à toutes les fonctions ellip- 
tiques, dont le but est d'en faciliter le calcul numérique, 
en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur 
du module. Et, en effet, apres qu’on a rendu par ce pro- 
cédé, le module d'une fonction, très-peu différent de zéro 
ou de l'unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de 
sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode 
d'approximation, celle que l'on doit à Lagrange ne laisse 
donc rien à désirer; mais indépendamment de leurs valeurs 
numériques , il existe entre les fonctions elliptiques, des re- 
lations nombreuses qu'il est intéressant de connaître, et 
qu'on doit regarder comme autant de théorèmes d’analyse, 
ou bien encore , comme autant d’intégrales particulières 
d’une équation à deux termes , d'où il est facile de conclure 
son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin 
d'avoir épuisé la matière; et il ne paraît pas même qu'il ait 
envisagé la question sous ce point de vue. Quoi qu'il ensoit, 


DE M. JACOBI. 77 


par sa méthode, on établit entre deux fonctions de pre- 
mière espèce, un rapport constant ou indépendant des 
amplitudes. Leurs modules se déduisent très - simplement 
l'un de l’autre; et en répétant indéfiniment la même opéra- 
tion, on obtient une suite de fonctions équivalentes dont 
le rapport change continuellement d’un terme à l’autre, 
et l'on forme en même temps la série de leurs modules, as- 
cendante dans un sens et descendante dans le sens opposé. 
Cette série est ce qu'on appelle une échelle de modules : 
celle qui se déduit de la méthode de Lagrange était la seule 
que l’on connût jusqu'a ces derniers temps. 

Tel était l’état de cette partie de la science en 1786, lorsque 
M. Legendre donna un premier mémoire sur la comparaison 
des arcs d’ellipse. Depuis cette époque, jusqu’à la publica- 
tion de son Traité des fonctions elliptiques, en 1825, M. Le- 
gendre est à peu près le seul géomêtre qui se soit occupé 
de cette théorie. Après en avoir perfectionné successivement 
toutes les parties, notre illustre confrère les a réunies en un 
corps de doctrine qui contient un grand nombre de réduc- 
üons et de propriétés des fonctions elliptiques que l’auteur 
a le premier fait connaître, et particulièrement une nouvelle 
échelle de module dont la découverte lui est également due. 
L'ouvrage de M. Legendre renferme les méthodes les plus 
simples pour réduire en tables, les valeurs numériques des 
trois espèces de fonctions elliptiques ; et joignant l'exemple 
aux préceptes, l’auteur a formé effectivement des tables de 
ces valeurs, calculées à un très-grand degré d’approximation. 
Le premier volume contient aussi des tables analytiques, 
comprenant un grand nombre d'intégrales qui se réduisent 
aux fonctions elliptiques ; réduction dont Maclaurin et 
d’Alembert avaient autrefois donné quelques exemples. On y 


78 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


trouve, en outre, les solutions de plusieurs problèmes de géo- 
métrie et de mécanique, propres à montrer l'usage des fonc- 
tions elliptiques et des tables de leurs valeurs numériques. 
J'essaierai maintenant de donner à l'Académie une idée 
générale de l'ouvrage qui lui a été adressé par M. Jacobi, pro- 
fesseur à l'Université de Kœnisberg (1). L'auteur prouve que 
l'on peut transformer une fonction donnée de première es- 
pèce, en une autre, et établir entre elles un rapport cons- 
tant, en prenant pour le sinus de l'amplitude de l’une, une 
fonction rationnelle du sinus de l'amplitude de l’autre, qui 
contient un nombre impair quelconque, et dont il assigne 
tous les coefficients pour chaque valeur de ce nombre (note A). 
Ces coefficients renferment les racines de l’équation algébri- 
que, relative à la division en ce même nombre de parties 
égales, de la fonction donnée, dans le cas où son amplitude 
est égale à un angle droit. M. Jacobi donne aussi, au moyen des 
mêmes racines, l'expression du rapport des deux fonctions 
et la relation de leurs modules. En répétant indéfiniment cette 
reduction d’une fonction à une autre, il en résultera done 
une échelle de modules, qui équivaudra à un nombre illimité 
d’échelles différentes, à raison du nombre indéterminé dont 
elle dépend , et qui sera mème une échelle multiple pour 
chaque valeur particulière de ce nombre, à cause que cha- 
que module se déduit du précédent par la résolution d’une 
équation d’un degré élevé ( note B ). Ainsi la découverte prin- 
cipale de M. Jacobi consiste en ce qu'il a résolu d’une infi- 
nité de manières différentes, et par des formules tres-remar- 
quables en elles-mêmes, un problème d'analyse dont on ne 


(1) Dans sa séance du 8 février 1830, l'Académie a nommé M. Jacohi 
correspondant pour la section de géométrie, 


DE M, JACOBI. 79 


connaissait auparavant que deux, solutions particulières. 
L'échelle de modules que M. Legendre a trouvée et qui 
n'était pas encore connue de M. Jacobi, est renfermée dans 
la solution générale et répond au nombre trois. L'ancienne 
échelle n’y est pas comprise explicitement; mais elle a avec 
l'échelle indéterminée de M. Jacobi, une très-grande analo- 
gie, et peut être censée appartenir au nombre deux. 

L’équation algébrique entre les modules des deux fonc- 
tions qu’on veut réduire l’une à l’autre , étant très-difficile 
à former, quand le nombre auquel ils répondent est un peu 
considérable, on y substitue avec avantage une équation 
transcendante , très-importante dans cette théorie, et dont 
M. Legendre a montré l'usage pour calculer la valeur appro- 
chée d’un terme quelconque de l’échelle des modules. M. Ja- 
cobi a aussi exprimé la relation entre deux modules consécu- 
tifs, par une équation différentielle du troisième ordre, qu'il 
a intégrée complètement au moyen des fonctions ellipti- 
ques. Des tables numériques de ces fonctions ayant été cal- 
culées, on peut maintenant admettre ce mode d'intégration 
dans l'analyse, aussi bien que l'intégration par arcs de cercle 
et par logarithmes. M. Legendre en avait déja donné l’exem- 
ple, à l'égard de deux équations différentielles du second 
ordre, et d’une équation du premier ordre, analogue à 
l'équation de Riccati. 

Par une combinaison très-simple des formules de M. Ja- 
cobi, on obtient une solution nouvelle du problème de la 
multiplication et de la division des fonctions elliptiques dans 
le cas d’une amplitude quelconque, en supposant le pro- 
blème résolu lorsque l'amplitude est un angle droit (note C). 
On en conclut immédiatement que l'équation relative à la 


80 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


division en un nombre impair de parties égales , dont le de- 
gré est marqué par le carré de ce nombre, peut se décom- 
poser en deux autres, d’un degré seulement égal à ce même 
nombre. C'est de cette manière que M. Jacobi a résoiu le 
premier par des radicaux du second et du troisième degré, 
le problème de la trisection d’une fonction elliptique dont 
le module et l'amplitude sont donnés. 

Ea rendant infini le nombre indéterminé que ses formules 
renferment, M. Jacobi parvient, dans la seconde partie de son 
ouvrage, à de nouvelles formules au moyen desquelles le sinus 
et d’autres fonctions trigonométriques de l'amplitude se 
trouvent exprimés, soit en produits d’une infinité de facteurs, 
soit en séries infinies (Note D). L'auteur fait voir comment 
ces séries peuvent servir à la démonstration des théorèmes 
de Fermat; ce qui établit un rapport singulier entre la dé- 
composition des nombres en plusieurs carrés et la transfor- 
mation des fonctions elliptiques, et donne lieu à une nou- 
velle application de l'analyse à la théorie des nombres, tout- 
à-fait semblable aux recherches d'Euler sur la partition des 
nombres. Enfin M. Jacobi s’est aussi occupé de la réduction des 
fonctions de seconde et de troisieme espèce; et depuis la pu- 
blication de l'ouvrage dont nous rendons compte, il a donné 
suite à ses recherches sur ce point, dans un mémoire qui fait 
partie de l’un des derniers numéros du journal de M. Crelle. 
I nous serait impossible de donner aucune idée de cette par- 
tie de son travail; nous dirons seulement que l’auteur propose 
de remplacer ces fonctions elliptiques, par deux autres trans- 
cendantes dont il a formé les développements en séries, et 
qui seraient plus simples que la fonction de troisième es- 
pèce, en ce qu’elles ne dépendent que de deux éléments, 


DE M. JACOBI. 81 


tandis que cette fonction contient trois quantités, l'ampli- 
tude, le module et le paramètre. 

Aucun de nous n’a oublié les éloges que M. Legendre à 
donnés aux travaux de M. Jacobi, en les annonçant à l’Aca- 
démie à mesure que l’auteur les lui communiquait, ou qu'il 
les publiait dans les Journaux de M. Schumacher et de 
M. Crelle. L'importance que M. Legendre y attache est encore 
prouvée par l'empressement qu'il a mis à publier deux 
suppléments à son Traité des fonctions elliptiques, où il 
expose les résultats de ces travaux, avec tous les développe- 
ments nécessaires et des additions qui lui appartiennent. 
Le suffrage de M. Tegendre en cette matiere suffisait seul 
pour fixer l'opinion des géomètres et la mienne en particu- 
lier. L'étude que je viens de faire de l'ouvrage de M. Jacobi, 
n'a fait que confirmer l'idée que j'avais déjà du mérite de ses 
découvertes en analyse et de la haute capacité qu'elles sup- 
posent. Je partage également et je me plais à rappeler l'opi- 
nion émise par un de nos secrétaires, dans le compte rendu 
de 1828, en annonçant les travaux de M. Jacobi et d’un 
autre géomètre dont il me reste à parler : « les questions de 
« la philosophie naturelle, dit M. Fourier, qui ont pour but 
« l'étude mathématique de tous les grands phénomènes, 
«sont aussi un digne et principal objet des méditations des 
« géomètres. On doit désirer que les personnes les plus propres 
« à perfectionner la science du calcul, dirigent leurs travaux 
« vers ces hautes applications, si nécessaires aux progres de 
« l'intelligence humaine. » 

Qu'il me soit permis, avant de terminer ce rapport, d’ajou- 
ter encore quelques mots concernant des recherches analo- 


, gues à celles de M. Jacobi, faites à la même époque par 
EX. 11 


82 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


M. Abel de Christiana, dont la mort prématurée est une des 
plusgrandes pertes que les sciences pouvaient éprouver(1).Par 
un singulier hasard, Abel et M. Jacobi à peu près du mème 
âge et inconnus l’un à l’autre, ont débuté en même temps 
dans la carriere des sciences, par de profondes investiga- 
tions sur un même sujet, dont un seu} géomètre s’occupait 
depuis long-temps; et plusieurs fois, il leur est arrivé de 
parvenir aux mêmes résultats, quoique les voies qu'ils ont 
suivies fussent tres-différentes. 

Dans son premier Mémoire sur les fonctions elliptiques, 
publié en 1827 dans le journal de M. Crelle, Abel eut l'heu- 
reuse idée de renverser la question et de considérer l’am- 
plitude comme une fonction de l'intégrale, contrairement 
à ce qu'on avait fait jusque là. Il démontre que le si- 
nus de l'amplitude est une fonction de l'intégrale qui a 
deux périodes distinctes, l’une réelle, comme le sinus d’un 
arc de cercle, et l’autre imaginaire, comme les fonctions 
exponentielles; ce qui est une découverte capitale, propre 
à jeter un grand jour sur la nature des fonctions ellipti- 
ques, et qui fait connaitre la signification des racines réelles 
ou imaginaires des équations algébriques que l’on obtient 
en égalant à zéro ou à l'infini, le sinus et d’autres fonctions 
trigonométriques de l'amplitude. L'auteur en conclut diverses 
expressions de ces fonctions en produits et en séries infinies, 
que M. Jacobi a obtenues ensuite par un moyen tout diffé- 
rent, ainsi que nous l'avons dit plus haut. Le même mé- 
moire renferme aussi pour une amplitude quelconque, la 


(x) Les géomètres français sauront gré à M. Abel d'avoir écrit ses ou- 


vrages dans notre langue, et à M. Jacobi d'avoir fait usage du francais 


ou du latin. 


DE M. JACOBI. 83 


résolution complete de l'équation relative à la division d’une 
fonction elliptique, en Supposant connue la résolution de 
la même équation dans le cas où l'amplitude est égale à un 
angle droit. Quant à ce cas particulier, l’auteur a d’abord 
fait voir que l'équation qui s’y rapporte peut se décomposer 
en deux équations auxiliaires d’un degré moins élevé, et que 
l'une de celles-ci: est toujours résoluble per le procédé de 
M. Gauss, fondé sur Ja relation qui existe entre les racines 
et sur la considération des racines primitives des nombres. 
En revenant de nouveau sur le même sujet , il a montré que 
la seconde équation auxiliaire peut encore se résoudre par 
le même procédé, mais seulement dans quelques circons- 
tances particulières, qui ont lieu par exemple relativement 
à la Lemniscate ; d'où il conclut que la circonférence entière 
de cette courbe se divisera en parties égales , par la règle 
et le compas, dans les mêmes cas que la circonférence du 
cercle, c’est-à-dire, lorsque le nombre des parties sera premier 
et égal à une puissance de deux augmentée d'une unité. 
Le second Mémoire du géomètre norvégien est postérieur 
aux premiers extraits publiés par M. Jacobi. L'auteur est 
conduit par ses propres idées à la transformation générale 
des fonctions de première espèce que son digne émule avait 
trouvée. Il termine son Mémoire en disant qu'il était achevé, 
lorsqu'il a eu connaissance du théorème de M. Jacobi ; ce 
qu'on ne doit sans doute pas révoquer en doute, sans que 
cela change rien aux droits de M. Jacobi à l’antériorité. 
Les recherches qu'il a publiées en moins de deux ans 
dans les journaux de M. Crelle et de M. Schumacher, prou- 
vent, par leur nombre considérable, l’activité de son esprit 
et l’ardeur qu'il mettait à cultiver les sciences. Elles sont 
11. 


84 RAPPORT SUR L'OUVRACE 


toutes remarquables par la généralité des considérations 
que l’auteur y expose, et par les vues nouvelles qu’il se pro- 
posait de développer. La mort a interrompu ses travaux 
avant qu'il eùt achevé sa vingt-septième année; mais pen- 
dant une vie si courte, il s'est placé au premier rang parmi 
les géomètres ; et dans ce qu'il a fait, la postérité saura re- 
connaître tout ce qu'il aurait pu faire, s’il eût vécu davantage. 


Note A. 


La démonstration du théorême de M. Jacobi peut se di- 
viser en trois parties que je vais successivement exposer. 


I. 
Considérons d'abord la différentielle 
dx 


V/(i—ax)(1—a'x)(1—a"x)(1 —a"r) À 


dans laquelle a, 4’, a”, a”, sont des constantes données; et 
proposons-nous d’y ramener une autre différentielle de 
la même forme, savoir : 
u dy 
Vino bn ny) 


en prenant pour y une fonction rationnelle de x, et déter- 
minant convenablement y, b, db’, b”, b”", en fonctions de a, 
a’, a”, a”. On suppose ces quatre constantes inégales , ainsi 
que b, b', b", b"”", de maniere que ces différentielles ne soient 
point integrables sous forme finie. 


Désignons par U et V deux fonctions rationnelles et en- 


tières de x, et par 
onu 
VAT 


la valeur cherchée de y. Pour que la seconde différentielle 


DE M. JACOBI. 85 
coïncide avec la première, il faudra qu'on ait 
(V—bU)(V--B'U)(V—8'U)(V—2"U) ; 

Gv\a 


= (1-ax)(1—ax) (1—a"x)(1—a"x) (VS Si 


Or, si l’on trouve par un moyen quelconque, des valeurs de 
U et V, et d’un troisième polyrome T, qui rendent identique 
une équation : 


(VU) (V— BU) (V—8"U)(V—8"U) 


—=(1—ax)(i—ax)(1—a"x)(1—a"x)T, 


(2) 
je dis qu'on aura nécessairement 
dU av 
lier 


en donnant à la constante y une valeur convenable. 

En effet, les deux polynomes U et V étant premiers entre 
eux , et les coefficients D, b', b”, b"”', inégaux, les polynomes 
V— BU, V—b'U,V—0"U, V—0"U, seront aussi premiers; 
par conséquent, les facteurs de T° ne pourront être que des 
facteurs doubles d’un ou de plusieurs de ces quatre poly- 
nomes. Réciproquement, les coefficients a, a, a”, a”, étant 
aussi inégaux , tous les facteurs doubles de ces polynomes 
sont facteurs de T°; donc T° est égal au produit de tous les 
facteurs doubles de V—BbU, V— PU, V—2"U, V—2"U, 
multiplié par un coefficient constant. Observons, de plus, 
que si p est le degré de U et de V, ou du plus élevé de ces 
deux polynomes, le premier membre de l'équation (2) sera 
du degré 4p, et T, du degré 2p —2; en sorte que ce nombre 
2p — 2 sera celui des facteurs doubles de V—&U, V—£L'U, 
V—L'U,V—P"U. É 


86 l RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


D'un autre côté, on a identiquement 


AVEMUN "LAURE AY 
(VU Le 


ce qui montre que tout nn double de V—bU est un 


LU À Lo N ya 
facteur simple dev tue - I! en sera de même à l'é- 
P 


gard de tout ae ne des trois autres polynomes 
V—DU, V—P'U, V—VO"U; par conséquent, le carré de 


- dU V TE : 
V-— —U-- renfermera le produit de tous les facteurs dou- 
d x dx Ë 


bles des quatre polynomes ; ce qui exige que ce polynome 
- dU 
\ 


re U == soit au moins du degré 2p — 2. Or, si p et p' 
sont les degrés de U et de V, celui du polynome dont il s'agit 
ne pourra surpasser p + p'—1:1l sera égal à ce nombre, 
si p et p sont égaux, et s'abaissera d’une unité , ou sera 
simplement égal à 2p— 2, dans le cas de p'—p ; il faudra 
donc qu'on ait p—p ou p—p—1; et dans ces deux cas le 
polynome Le —U > sera du degré 2p — 2. Par consé- 
quent son carré ne pourra être que le produit de tous les 
facteurs doubles de V—bU, V—_ PU, V—F"'U, V—B"U, 
multiplié par un coefficient constant ; donc, à un coefficient 
pres, ce polynome sera le même que T; ce qu'il s'agissait 
de démontrer. 

Ainsi, l'équation (r) sera une conséquence nécessaire de 
l'équation (2); et la transformation que nous voulons effec- 
tuer, se réduit à remplir la condition exprimée par cette der- 
niere équation. Or, si l'on prend pour chacune des quantités 
U et V, le polynome le plus général du degré p, et pour T 


DE M. JACOBI. . 87 


7 
le polynome le plus général du degré 2p—2, ces trois quan- 
tités comprendront 4 p + 1 coeflicients indéterminés; on 
pourra en réduire le nombre à 4p, en divisant le numéra- 
teur et le dénominateur de y ou de la fraction Le par un 
de ces coefficients, ou, ce qui revient au même, en le fai- 
sant égal à l'unité; en ajoutant à ces quantités les quatre 
constantes b, b', b”, b"”, on aura donc 4p+ 4 coefficients 
indéterminés : le nombre des équations que l'on obtiendra en 
égalant les coefficients de chaque puissance de x, dans les 
deux membres de l'équation (2), sera égal à 4p +1; il sers 
donc inférieur de trois unités à celui des coefficients dont 
on pourra disposer, et trois d'entre eux resteront indéter- 
minés. Mais cette énumération des inconnues et des équa- 
tions de condition ne suffit pas pour établir & priori la pos- 
sibilité de l'équation (2); car il pourrait arriver que les 
équations de condition fussent incompatibles, et qu'on n'y 
püt satisfaire, n1 par des valeurs réelles, ni par des valeurs 
imaginaires des inconnues, quoique le nombre de celles-ci 
fût plus grand que celui des équations. Dailleurs la méthode 
des coefficients indéterminés ne pourrait conduire à aucun 
résultat général, et c'est par d’autres moyens qu'il faudra 
satisfaire à l'équation (2). Toutefois, comme on peut tou- 
jours faire disparaître les puissances impaires de la variable, 
dans les différentielles de la nature de celles que nous con- 
sidérons , nous nous occuperons simplement de la transfor- 
mation exprimée par cette équation : 
ER 2 M LE ) Nue G3) 
VG—a)G— re) Gr) GAP) 


dans laquelle # est une constante donnée, et & et À sont des 


88 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


”, * 
constantes inconnues. L'équation (2) sera alors remplacée 
par celle-ci : 


(VU) (VAT) (1x )(1—Pa)T. (4) 


ET. 


Si nous faisons 
Æ— 810 0,4 =—SiN. d. 
l'équation (3) deviendra 


DE CARE ET Er 

V/1— #4? sin" p TT 
En prenant les intégrales de ses deux membres, de manière 
qu’elles s'évanouissent avec les variables et 4 , nous aurons 


F(&e) = uF(2,4), 


en sorte que la transformation demandée sera celle d'une 
fonction elliptique de première espèce en une autre; À et + 
étant le module et l'amplitude de la fonction donnée, L et 4 
le module et l'amplitude de la fonction cherchée, et y. le rap- 
port de l'une à l’autre. 


Représentons par K la fonction complète dont le module 
est #, de sorte qu'on ait 


F(# 7) —K; 


r désignant à l'ordinaire le rapport de la circonférezce au 
diamètre. Soit p un nombre impair quelconque; divisons 
K en un nombre p de parties égales ; prenons un nombre m» 


de ces parties, et représeutons par z, l'amplitude de LEA es 


DE M. JACOBI. 89 


Ou, autrement dit, faisons 
FE (,2,) ES 


Cela posé, nous allons considérer l'équation 


RE 2 x 2 x 2 
1—y—(1 x) (: MR Sine «n) GT.) Ko) (5) 


1 — #°?x°sin.? CR ET SEE TT RP T'sin.æ, à 
5 


dans laquelle on prendra les signes supérieurs ou infé- 
rieurs selon que p sera de la forme 4 nr + 1 ou A2 rt 
Pour transformer cette équation en une autre; soit en gé- 
néral 
F(4,9) + FE 6)=F(E:), 
F(Ae)—F(4,6)—F(4,5). 


D'apres les formules connues d’Euler, on aura 


nr sin. cos. 3/1 —%sim.:5 + sin. 0 cos.l/1— Fm $ 
16—= 


1—#*sin?o sing À 


(6) 


: Sin.Qcos PV: —Fain0Sin.fcos. pl/+— #0 
SD, À = ee ; 
1— Æ sm°osin”( 
et en faisant 


K—F(46)—F(4,6). 


on en conclura sans difficulté (*) 


sin.® \2 
! Ca __(i—sin.s) (sind). 
1— k°?sin-o sin°0 cos.?® 


Si l’on prend 4—%,, on aura D—4,_,, eten même temps 


Ro 


(*) Traité des fonctions elliptiques, tome IT, page 4. 


MX 12 


90 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 
F(ke)=F (be) + TK; 
F(HD)=F (be) — TK. 


Soit, pour abréger, 
F(4,9) Ai 


l'angle + sera l'amplitude de z; on pourra écrire 
&=—= Sin. p — Sin. AZ, 
et, par la mème raison, 
. ë mn . . nt 
sin. s—sin.A(z +5K) ; sin. =sin.A(z 7 K) ; 
d'où il résultera 


Ca) rasta (5 [uma( | 


1—# x sin cos.” « 
m 


m 


À cause que le signe de l'amplitude change avec celui de la 
fonction, on pourra mettre — x et —z à la place de x et z; 
on aura, par conséquent , cette double expression : 


(a Aa à [r=sin.A (2—2K)] [1 sin. as )] A 


1— X °° sin. q cos.” x 
_ Æ 


au moyen de laquelle, la formule (5) deviendra 
«æ (1 sin. 2 BE : 
LIT cos. ‘a cos”æ .... cos? ? (7) 


î p—i 


P désignant le produit des = facteurs : 


* DE M. JACOBI. 91 
1 + sin. À (z—2x) RE SIDA (z FE) Le. 


rad 1 —sin. À (. he K) j 


et P’ celui des = ! facteurs : 


Les amplitudes de 2K et 4K étant + et 2r, on a 
sin. A(T+-2K)——sin. At, sin. A((+4K)—sin. At, 


quel que soitt; d'après cela nous mettrons z4-2 K à la place 
de z dans les facteurs impairs de P et P',et nous changerons 
les signes des sinus qu'ils contiennent, puis nous augmente- 
rons z de 4K dans les facteurs pairs de P sans autre chan- 
gement ; cela fait, si l'on réunit les facteurs pairs de l’une 
des séries aux facteurs impairs de l’autre, on formera ces 


x RC 14 nr . 
deux autres séries, de chacune — facteurs, savoir : 


I +sin.A(z+%K), 1Fsin.A(2+ÈK), RAP 


RARE sin A(z+ PEER), 


| 1zsin A(:+#2EK), nr) 


S'ORRE $ sin. A(2+42—4), 


per pete 


dont PP' sera toujours le produit. Par conséquent la valeur 


12. = 


92 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


précédente de 1 — y deviendra 


(1 sin. Ac) | 12sin. A (+: K)| FRE [: sin. À (:+ tx )| 


cos.” 4 cos” a . 
2 ï 


Ha (8) 
HA COST k 
P 


où l'on prendra toujours les signes supérieurs ou inférieurs 
selon que p sera de la forme 4n +1 où 4r—1. 

Cette formule nous montre que la quantité 1 —7y ne 

ME Herr 
changera pas, si l'on y met z + ŸK à la place de z; car alors 
P 

chaque facteur du numérateur se changera dans le suivant, 
et le dernier dans le premier. Il en résulte que 1 —y ne chan- 


_gera pas non plus en y mettant z+ De à la place de z; m1 


étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Or, 
en faisant 2—0o dans les premières expressions des facteurs 
de P et P', leur produit devient 


PP Eos Conte: -hocds à 


pi 
à cause que l'on a ; 


} 21m 
1—sin.'AÀ CE) Cost. 


D'après la formule (7), on aura done 1 —y—1, où y=o, 
pour z—0, et par conséquent pour z — _ K: 
Maintenant l'équation (8) donne 
au 
Dye 
en prenant 


V=(i= ka sine,)(1— # x sin a). ..(1— Ææsin«,=,), 


\ 


DE M. JACOBI. 95 


et désignant par U une fonction rationnelle et entiere de x, 
qui sera du degré p. Cette fonction sera nulle, ainsi que y, 


our re c'est-à-dire, quand on y fera x=—sin.A TK c 
P P q 


d'où il résulte que les p racines de l'équation U—o, nc 
1 c 4 D 8 ) 2P—2 37 

+ sin. = Æ sin. = RU = AN EE E ; 
0, sin AK), E sin AGK ; sin A( = K), 
ou, ce qui est la même chose, 

are Rd 4K\ er (= 

0, sin AK), sin. A(OK), ....2 sin. A F K) 
Nous aurons donc 
Æ Da æ? 4° 
Du QG) Ce 0) æ: nn) ? 


désignant une quantité indépendante de x qui restera à 
déterminer. Par conséquent, la valeur de ÿ aura pour 
expression : 


re œ? di 
I ——— Gr re LE — = N 
zx sin” œ, sin? æs SITE (a) 
EE = — — > ——— LEE 
D wi—#k?x’sin.’a, 1— k°x°sin.’ x, t—kixtisn. a, ; 


Pour déterminer y, j'observe qu'en faisant æ — + 1, selon 
que +(p—1) sera pair ou impair, l'équation (8) donnera 
y=1 dans les deux cas. Je fais donc à la fois 3— + 5 et 
y==1 dans l'équation (9); le nombre des facteurs de son 
second membre, le premier excepté, étant ‘(p—1), il en 
résultera 


(1 — 4? sin.’ x, LEE — .. (x — 4? sin. apr). 
ir cot.” «, cot.* COLLE, 7 


D'ailleurs à cause de 


RAPPORT SUR L'OUVRAGÉ 
9 


F(ha) = F(REx)) Fer = Eh 2  )s 


on aura 


F(kSz)— F(bas)=F (4e 


pan); 


si donc on prend 9—5r, 6—%,, —a,_,,, la seconde 
équation (6) donnera 


. : Cost, 
SIN &, on — - (10) 


= ; 
1—#2$im 2,» 


au moyen de quoi la valeur précédente de y deviendra plus 


simplement 
4 MINS TS AnesTTe (na) 
F SD ENSIDEL ES --SIn ue 
LE ON Pa 


Il résulte de l'équation (9) que y change de signe avec x; 
si donc on met — x et —7 à la place de x et y dans l'équa- 
tion (8), on aura la valeur de 1 +y; et en la multipliant 
par celle de 1—y, et prenant la racine carrée du produit, 
on en cenclura 


Lie He) ==, UE CE ) (r2). 


RE rs (1 kxsm'u,) (t—Æasima,)....(1—# x sin, ,) 


7 I 2 £ 
Je désigne par > ce que devient y quand on y met 7x 4U 


lieu de x ; d'après les équations (9) et (10), on aura 
u—y}#? pu Sin.“ x, Sin.’ Geo c Sin. «, _ 


c'est-à-dire, u—hy, en ayant égard à la valeur de y, et 
faisant 
R — KA sinm er Sin. 0... -SIT. 


Cp=39 (13) 


DE M. JACOBI. 99 
d'où lon conclut que x et y se changent simultanément en 
= et —. J'effectue ce double changement dans l'équation 
kx hky 
(12); en divisant ses deux membres par L/— :, il vient 


I 


Vie nos rEs _ mnt Re sin. @y 4). 


où l’on a fait pour abréger, 


kPsin.’ x, Sin.°«;...Sin.’« 
3 


où 


1 2 = 2 . 2 === 
p—2° SIN. &, SIN. a;... SIN. &,_, — 


Je multiplie l'équation précédente par y; je substitue en- 
suite dans son second membre, la valeur de y donnée par 
l'équation (9): en tenant compte des valeurs de w, h, 6, en 
obtient 


. UE (1 Æ xsin"&, —.) (1— x sin. = .(1—Æ x° sin” «;) \ 
Dia Es (1— Æxsin/c,) (1—Æx°smea,)...(1— #xsin. a) * (14) 


Au.moyen des formules (12) et (14), nous aurons 


VE Go Fr) 


en faisant, pour abréger, 
Je 
Q=(1— sin. =) (1— sin.” & Re) 3. (ui ssh 
| Q'— (1% x sin a,) (1—Æxsin"a,)....(1—#x sin "x, _,), 


-et prenant pour V la même valeur que précédemment. Si 


U 4 
donc on met ÿ à la place de y, on aura 


VD) (= RU)= (Ge) (1) QQ"; 


96 RAPPOKT SUR L'OUVRAGE 

ce qui montre qu'on remplit la condition exprimée par l’é- 
quation (4), au moyen des valeurs précédentes de V, U, k, 
et en prenant QQ"' pour T ; par conséquent, en vertu de la 


“ : / c U 
première partie de cette démonstration, la valeur + de y, 


ou la formule (9) satisfera à l'équation différentielle (3); w 
et À étant donnés en fonctions de Æ par les formules (11) et 
13). C'est en cela que consiste le théoreme de M. Jacobi, 
qu'il s'agissait de démontrer. 

L'équation (9) sera une intégrale particuliere de cette 
equation différentielle; on en déduira l'intégrale complète, 
en désignant par c une constante arbitraire, et remplaçant 


y par 
a Gr) He GG) 


Rey ? 

dars les deux équations ; substitution qui ne changera rién, 
comme on sait, au second membre de l'équation différen- 
tielle. 

Les expressions du multiplicateur 4 et du module } peu- 
vent êtré présentées sous différentes formes, équivalentes 
aux formules (11) et (13). Les trois équations (9), (12) et 
(14), sont aussi équivalentes : elles font connaître les valeurs 
de sin.Ÿ, cos.ÿ et V/1—#% sin”, relatives à l'amplitude de 
la fonction cherchée, au moyen du sinus de l'amplitude 4 
de la fonction donnée et de son module 4. Si l’on voulait 
avoir immédiatement l'amplitude 4, on emploierait la 
formule (*) 


= p + 2purt 2p HE fe R20- 2 


‘*) Traité des fonctions ellitiques , tome IIT, page 26. 


A 


Z 
Es 


DE M. JACOBI. 97 
dans laquelle », est déterminé par l’équation : 


COS. m 


tang o, — = tang. o. 
59 v SIN.4, =» 8.9 


Note B. fs 


Les sinus des amplitudes «,,«,,...4,_,, qui entrent dans 
les formules précédentes, s'expriment tous en fonctions ra- 
tionnelles du sinus et du cosinus de la première; mais pour 
obtenir les valeurs de sim «,, il faut résoudre l'équation 
relative à la division d'une fonction complète K en un 
nombre p de parties égales. Si l’on conçoit qu'on l'ait 
formée , et qu'on élimine l'inconnue sin. 4, entre cette équa- 
tion et la formule (13), on obtiendra une équation algébri- 
que, que je désignerai par M — o, entre les modules # et À 
des deux fonctions qu’on veut réduire l’une à l’autre. On 
pourra employer toutes les valeurs réelles ou imaginaires 
de À que l’on tirera de M — 0, et il en résultera autant de 
transformations différentes de la fonction F(#,%) en la fonc- 


tion F(,4). Le degré de cette équation sera généralement 


: : ' 
très-élevé : en y faisant 4=u, h—vt, elleserasymétrique 
par rapport à w et v, et du quatrième degré dans le cas de 
P = 3, et du sixième dans le cas de p— 5. Si p n'est pas un 
nombre premier, on considérera séparément ses différents 
facteurs, et l'ôn opérera la transformation relative à p, par 
une suite de transformations relatives à tous ses facteurs. 
En prenant pour p un nombre premier quelconque, il exis- 
tera deux valeurs de 2 pour lesquelles la transformation de 
F(£,+) en F(A,4) se fera par des quantités réelles, c’est-à- 
dire, qu’abstraction faite des transformations imaginaires, il 
Lx, 13 


98 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


y aura toujours une double transformation réelle pour cha- 
que valeur donnée du nombre premier p. 
Pour le faire voir, soit, comme précédemment, 


F(4, e)—2. 


Afin d'indiquer le module dans la notation de l'amplitude, 
nous écrirons 


p—A(z,k), sin.p—sin.A(z, 4). 


Nous conviendrons aussi de désigner par #, k, g', etc., les 
compléments des modules #, L, g, etc., et par K, H, etc., 
K', H', etc., les fonctions complètes dont les modules sont 
k, k, etc., k',h', etc., de sorte qu'on ait 


= Tel ete. , 
K=F(4,:r), K—E(#, 27), H=EF(hA,2r)etc. 


M. Abel a démontré que sin. A(z,) est une fonction de: 
z qui ne change pas de valeur, quand on augmente où qu'on 
diminue z, soit d'un multiple de 4K, soit d’un multiple de 
2K'V/—:, de manière qu'on a 


sin. A(z+4nK+o2n KV/—5,4)=sin. A z,k); 


n et »' étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Il suit 
de là que si l'on veut diviser une fonction quelconque z en 
un nombre p de parties égales ; que le sinus de son ampli- 
tude soit donné , et qu'il s'agisse d'en déduire le sinus de celle 
d'une partie ME les racines réelles ou imaginaires de l’équa- 
tion relative à cette division seront les valeurs différentes. 


de 
Sn ARRETE : k), 


_— 


\ 


DE M. JACOBI. 99 


dont il est aisé de voir que le nombre sera égal à p°, savoir, 
p réelles, et toutes les autres imaginaires. Si donc on fait 
z—K, on aura 


sin. a, =sin. À (OR E p 

P- 

pour l'expression de toutes les valeurs de sin.«,. Or, parmi 
ces valeurs, nous considérerons celle qui répond à n=o et 
n—0, et la valeur relative à 27 —1—p et 4n+1—=+p, 
selon que p sera un multiple de 4 augmenté ou diminué de 


‘ l'unité. Ces deux valeurs seront 


+ 


sin, sin A(TK,4), 


’ 


sin. sin. A (+ K—K'p—5+* + ") 


et quoique la seconde soit imaginaire, en l'employant dans 
les formules de la note À , elles n’en seront pas moins réelles. 
En effet, pour un indice pair quelconque, on aura 


2, 


Sin. 4,1 — Sili. À (Æ2mkK—2mRV + ee K'V 7) : 
on peut augmenter une amplitude, d’un multiple de 2 K’—x 
sans rien changer à son sinus, et l’augmenter ou la diminuer 


d’un multiple de 2K en changeant le signe de son sinus ou 


sans y rien changer , selon que ce multiple est impair ou 
pair; on aura donc simplement 


a . 2m / — 
Sin. «,, — Sin. À ts IKKS k). 
D'ailleurs, st l’on fait 
sin.o—|}/—1.tang.6, 


al vient 


13. 


100 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


de dx 
L/1—Æsin." DATE FE sin20 


dans cette hypothèse, on a donc 
En) RME), enz=7 
en appelant z la nouvelle fonction. Il en résultera 
Sin A(2,%) SAT, #17 "5 -tang. Az, 
et par conséquent 


Sin. &,n ——tang AK, F) (1) 


Pour un indice impair, on aura, en même temps 


z 


Sin. (2 RER RSR EE 
1 —k'* sin. A (= K',4 j 


Pam ? 


en vertu de l'équation (10) de la note précédente; et d'apres 
k même équation, on pourra aussi écrire 1 


“ 


sin. Mme K’,4 #1) 


2m pe (2). 
cos AN y 


sin. Ap— 2m — 


Or, les formules relatives à la AT de F(#,9) ne 
renfermant que les puissances paires de sin.«,, sin.,,.... 
sil s'ensuit qu'elles seront réelles, dans le cas de la 
seconde valeur de sin. «, comme dans le cas de la premiere. 

Afin d'exprimer plus commodément ces deux systèmes 
de formules, nous cenviendrons d'indiquer par la caracté- 
ristique 11, placée devant une quantité R,, le produit des 


Sin. 


DE M. JACOBI. IOI 
ME di Ë 

— facteurs que l’on obtient en prenant successivement 

pour rm tous les nombres 1,2, 3,....:(p—1), de sorte que 


l'on ait 
R,—=R,R.R.. .. Rif 1) 


R,, étant une fonction quelconque de m. 
Cela posé, si l’on fait usage de la première valeur de sin. «,, 
on satisfait à l'équation 


F(X, p)=uF(h,4), 


au moyen des formules : 


sin.p— "+1 ( er | ’ 


EE —————————— 
bs sin A(2K,4) 


cos. sin.”® . 
cos. ÿ — D | 2 —— 
œ ( ur —— k5) 
Lange CMS m1 (1 — Esin. gsin, A (UK ,#) y» 
b—II (i—Æsin:esin. ACPK,#)) au 


sin’ À (= K, #) 
HU JBL td 


sin." A( 22 K, D) d 


h= Re nsinTA(EEK, 4). 


LU 


Le module 4 étant plus petit que l'unité, on aura À < 1 
si donc on calcule un troisième module qui dépende de k, 
comme » dépend de 4, puis un quatrième , et ainsi de suite, 


(3) 


102 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


on formera, pour chaque valeur du nombre p, une échelle 
descendante de modules dont zéro sera la limite. 

En employant de même la seconde valeur de sin.:,, et 
par conséquent les formules (1) et.(2); désignant par à et g 
ce que 4 et À deviennent; et mettant d’autres angles 6 et w 
à la place de © et 4, on satisfera à l'équation 


F(4,9)—2F(£,0), 
au moyen des formules : 
sin. = Il (i +-sin. 6 cot.” AG K,#)), 
cos. o = II (cos 5+#sin.’4sin A Gus #)) 2 


EN En RE Æ sin 6 
LR no RES —- Bi D — : 
1—#° sin. A (2 K', x) 


e—n(1 +-# sin.’ 6 ang. À (2 K',#)), | (4) 


pa 2(p—1) cot° À (KA 
au te y ne Es) 
XP EN 


& cos. fa (KE) 
P 


On peut rendre le multiplicateur 4 toujours positif, en 
supprimant le facteur (— 1): me ; ce qui est permis, pour- 
vu qu'on suppose en mème temps l'angle w toujours crois- 
sant avec l'angle 6. En mettant #' à la place de # dans l'équa- 


tion (ro) de la note précédente, on a d’ailleurs 


DE M. JACOBI. 103 


cos? A[2"K,# “A fre 
Ame . sa KE); (5) 


on aura donc plus simplement 


in A(E TK, # 
A II ne “e Ce (6) 


Si l'on observe qu’en vertu de la seconde équation (4), 


w et 6 atteignent ensemble l'angle droit, et qu'on fasse 
6—:+r et w—2?r dans la troisième, on en conclura 


ue costA(2UK, K) M Em th 
CEE); )) / 


ou, ce qui est la même chose, 
: g' =k"Itsin.f A CES AA) (7) 


Cette dernière équation montre qu'on aura g' <£',ou 
g>k; par conséquent l'échelle de modules à laquelle elle 
donnera naissance, sera ascendante et aura l'unité pour li- 
mite. Pour des valeurs données de # et du nombre p, les 
deux racines réelles de l'équation M—o, seront les modules 
de cette échelle et de la précédente qui suivent immédiate- 
ment le module £. On pourra remplacer cette équation algé- 
brique entre deux modules consécutifs de l’une ou de l’autre 
échelle, par une équation trancendante à laquelle on par- 
viendra comme il suit. 


104 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 

Si l’on fait croître + depuis zéro jusqu’à +, l'angle y croitra 
en même temps ; mais la première équation (3) montre que 
sin.ÿ passera par zéro, un nombre p de fois, et changera 
de signe à chaque passage; d'où il résulte qu’on aura ÿ=pr 
en même temps que = 7, et par conséquent F(k,4)=2pH 
en même temps que F(%,9)—2K. Il en résultera donc 

Ke tp H. 
D'un autre côté, si l’on fait 
sin.p—V”"—1.tang.6, sin.ÿ—V”—7r1.tang.w, 


les équations correspondantes 


OR LUE Te À da 
rc era er (su) 


se changeront en celles-ci : 
dû u dw 
Li Rsme0  L—#rsn'v) 


Par les mêmes substitutions, la première équation (3) pren- 
dra la forme 


F(#,0)=yF (4! ol. 


tang. w — Ptang. 6; 


P étant une quantité positive qui ne pourra être mi nulle 
ni infinie, pour aucune valeur réelle de 6: les nouvelles va- 
riables 6 et w atteindront donc ensemble l'angle droit ; il en 
résultera | 
f Le be H' 5 

et en éliminant y entre cette équation et K—ypH, on aura 


K H 
EP: (8) 


DE M. JACOBI. 10 


qui sera l'équation demandée. Quand on en aura déduit la 
valeur approchée de k, l'une ou l’autre des deux équations 
précédentes fera connaître la valeur correspondante du coef- 
ficient y. 

En opérant de la même manière; sur la première équa- 
tion (4), on en conclura d’abord l'équation K—)6G, et en- 
suite l'équation K'=-1pG'. L'une ou l’autre donnera la va- 
leur de x d’après celle de g; et pour calculer la valeur ap- 
prochée de g, lorsque # et p seront donnés, on éliminera 
x et l’on aura 

G K 
PR 

Cette dernière formule, comparée à l’équation (8), nous 
fait voir que g se déduira de # de même que 4 se déduirait 
de 4. Si donc on prenait À pour le module donné, # serait 
le premier module ascendant, c’est-à-dire, que si l’on met 
k à la place de X dans les équations qui se rapportent à 
l'échelle ascendante , il y faudra mettre en même temps 
# à la place de g. Par ce changement, le coefficient x, qui 


était égal à pG deviendra pK> OU p à cause de l’équa- 


tion (8); donc en vertu de l'équation K=—p4 H,0on aura 
Âu—= =: 

Ep 
Les valeurs de y et à qui vérifieront cette équation seront 
données par la cinquième équation (3) et par la formule (6), 
en mettant dans celle-ci 2! au lieu de 4’; on devra donc avoir 


106 RAPPORT SUR /L'OUVRAGE 

Après qu'on aura changé l’équation.F (4,9) =uF(2,4) en 
F(4,8)=uEF(#l,v) par la substitution de L/—: tang.6 et 
V5 tangiw à la place de sin. et sin. 4, si l’on y substitue 
k! au lieu de #, on aura p—, h —g", h—g, en vertu des 
deux dernières équations (3) et des formules (6) et (7). Il en 
résultera done F(4,6)—2F (2,0); par conséquent chacune 
des:trois premières équations (3) satisfera à celle-ci, apres 
les substitutions qu'on a supposées; mais cette solution de 
l'équation F(4,6)—2F (2,0), coïncide avec celle qui est 
donnée par les équations (4). En effet, les substitutions étant 
effectuées , si l’on divise membre à membre la première équa- 
tion (3) par la seconde, il vient 


1 +- sin.” 0 cot.? A (2 K,K) 


1 sin.” Ücot.? À = 5 K', w) 


mais en vertu de l'équation (5), on a 


3 (P=2m HA NE 5 2 SULTAN AIN ve 
cor ATK K)= À tange A (PK ,X") ; 


ce qui fait coincider la formule précédente avec la première 
équation (4). En divisant membre à membre, la premiere 
équation (3) par la troisième , et en renversant les deux mem- 
bres de celle-ci, après les substitutions indiquées, on obtien- 
dra de même la troisième et la seconde équation (4). Réci- 
proquement les formules (4) se changeront dans les équa- 
tions (3), par les substitutions de L/—r tang.+ ,L/—:tang., 
k" et X', au lieu de sin.6, sin. o, # et g. 

On peut combiner ensemble les formules (3) et (4), rela- 
tüives à différentes valeurs impaires du nombre p; on peut 


DE M. JACOBI. 107 


aussi les combiner avec les formules. de Lagrange citées au 
commencement de ce rapport, lesquelles sont censées ré- 
pondre à p—2; il.en résultera an nombre extrêmement 
grand de transformations réelles de la fonction elliptique de 
première espèce, lors même qu’on ne prendra pour p que 
des nombres peu considérables. 

On peut les multiplier encore en observant que si l'on a 
trouvé une équation entre x et y qui satisfasse à l'équation . 
différentielle 

dx ; dy 
V'Gi—x) G—FE) Vip) kr) 


on y satisfera aussi en mettant dans l'équation donnée, 
a+ bx #4 a'+b'y 
I+x 1+Y 
constantes a, b, a’, b', de manière que l'équation différen- 
tielle reste la même; ce qui exige qu'on ait identiquement 


à la place de x et y, et déterminant les 


[(t+x) —(a+bx)}][(1+x) —#Æ(a+bzx)] 
=(i1—x)(1—A x), 

[OH — (a + 6 yPIIG +7) (a+ 6yy] 
D CO 


et pourra se faire de plusieurs manières différentes. 


Note C. 


Mettons dans les formules (4). de la note précédente, : à 
la place de 0 et #, l'angle,4 et le module À qui entrent 
dans les formules (3) : d’après ce qu'on vient de dire , il fau- 


dra en même temps mettre À et à: à la place du module g 


14. 


108 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 
et du multiplicateur x; ainsi l'on satisfera à l’équation 
1 
FH 4)=E EF (E a); 


au moyen de la formule 

1 + sin.” 4 tang. A(EE He w) 

SiD.,6 pp Sin. QT |} %# 
1H AS sin. ÿcot.” af? AP ff}? W) 


et simultanément à l'équation 
F(ke)=uF(4 4), 


au moyen de la première formule (3), savoir: 


f ARE sin. melusiniqn N 
an | sin.? AU ae #) \ 
sin.ÿ—" "1 RER ] : 
& 1—hsinsgsin A (22 K,4) | 


Si donc on substitue cette valeur de sin. 4 dans celle de sin.o 
et qu'on élimine F(,4) entre les deux autres équations, 
on aura une valeur de sin.v en fonction rationnelle de sin.®, 
qui satisfera à l'équation 
F(k)=pF (4,8). 

Ce sera le sinus de l'amplitude d’un multiple impair quel- 
conque de la fonction donnée; mais cette expression ren- 
fermera les quantités irrationnelles sin. A ( H', n) et 
sin. À ee K, k) qui sont étranbères à la question; et pour 


chaque valeur particulière de p, elle devra se réduire à une 
fonction rationnelle, non-seulement par rapport au sinus de 


DE M. JACOBI. 109 


l'amplitude de la fonction donnée, mais aussi par rapport 
à son module. 

Réciproquement , la même équation entre sing et sin. w 
servira à la division d’une fonction de première espèce, en un 
nombre p de parties égales. Pour cela, on y considérera sin.« 
comme une quantité donnée, et sin.s comme une inconnue : 
cette équation sera du degré p°; mais on pourra la rempla- 
cer par les deux équations précédentes, l’une entre sin et 
sin. +, l’autre entre sin. et sin.w, et toutes les deux du de- 
gré p par rapport à l’inconnue sin.4. L’équation du degré 
p* pourra donc toujours se décomposer en deux équations 
du degré p, pourvu que l’on connaisse les valeurs de 
sin. À Ce K, à et sin. À (EE H x) qui répondent à la di- 
vision des fonctions complètes K et H', et dépendent, comme 
on sait, d'équations qui s’abaissent au degré :(p?— 1). Dans 
le cas de p—3, ces équations auxiliaires n'étant que du 
quatrième degré, on pourra résoudre complètement l’équa- 
tion du neuvième degré, ralative à la trisection d’une fonc- 
tion donnée. La bisection répétée autant de fois qu'on vou- 
dra ; ne dépend que d'équations du second degré; on pourra 
donc aussi résoudre les équations relatives à la division en 
un nombre 7 de parties égales, toutes les fois que z n'aura 
d’autres facteurs que 2 et 3, élevés à des puissances quelcon- 
ques. 

C'était là tout ce que l’on savait sur la division des fonc- 
tions elliptiques en parties égales, lorsque M. Abel s'est 
occupé de cette question, et qu'il est parvenu aux résultats 
énoncés à la fin du rapport. 


110 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


Note D. 


Parmi les développements en séries que M. Jacobi a ob- 
tenus, nous citerons ces trois formules : 


19: (an+iYr 
V/ksin. A (2EK,#) = Pi ra DELA me AL Ra 
25(—1)"e *""cos.2nx—1 
e —(on+i)r 
Ho EEE Ar 
2Y3(—1) e COs.2 72% —1 


VE V/rainra (ER = IE ERREE », 


25(—1) e HE COS.27X—1I 


dans lesquelles ? est un nombre entier positif ou zéro, les 
sommes Ÿ s'étendent à toutes les valeurs de 7 depuis 2 —0 
jusqu'à » — œ, e désigne la base des logarithmes népériens, : 
les autres notations sont les mêmes que dans les notes pré- 
cédentes. et l’on a fait 
sk 
ARE 


La variable x peut être réelle ou imaginaire. Si l’on fait 
æ—2V/—1, on aura, comme précédemment, 


sin. A(2EKV/—5,4)=1/ 5 tang. A (ER), 
et par conséquent 
mr Op NETe 


mr 7) nn ce 


A (= K, 2) 
3 


DE M. JACOBI. [II 


Je subtitue ces valeurs dans les équations (1), et j'en:con- 
clus celles-ci : 


5: . \y Sep CRE) 
VFsin. A(2K, D Se Qeent. Orne 


= à 5 Mere per à 
VFena(x te) Eee Es 2) 


T — 4 2,2 = ui 
VRV is AÎEK,F)= ÿe f'Cert Fe nz)_, 


D 'HONTAE ERA | 


Cette transformation des équations (1) en ces dernières peut 
encore s'effectuer de la manière suivante. 
D'après une formule connue, on a 


“A4 r I CORTE 
e 4 = /f e  cos.{nra du; 
Vz 
Eee 
on aura donc 


ee) 


23e M 'eosana— te f (s 6" cos. 2n(2ra+x) 


Te 


+ EE” cos.2n(2ra—x)) e* da; 


6 étant une quantité positive ou négative, mais plus petite 
que l’uuité, abstraction faite du signe, afin que les sommes 
contenues dans le second membre de cette équation, soient 
des séries convergentes. On aura alors 

12H63 


n 
.27 RS CEE 
2 26 ac0s Pete TX 126 cos. 2(2ra x) + 6: 


, 


d’où l’on conclura 


D 7 6 ce. 2nX—I = (fax +f(—2)), (3) 


112 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


en faisant, pour abréger, 


En (1—6)e du 
— 


1—26cos.2(2ra ta) +6 


Maintenant, soit 6—— 1 +}, y étant une quantitite positive 
et infiniment petite. L'expression de fx se réduira d’abord à 


ë 7€" du £ 
HY+4cos”(2ratzx) 


Jr 


De plus, le coefficient de da sous le signe f étant infiniment 


petit, excepté pour les valeurs de « qui rendent cos.(274+x) 
infiniment petit, on pourra v'étendre l'intégration qu'a ces 
valeurs ; en désignant donc par z un nombre entier, positif, 
négatif ou zéro, et faisant 
2141 


DOTE 


du 
T+U, da—=—, 


on pourra considérer la variable : comme une quantité infi- 
niment petite, positive ou négative. D'après cela nous aurons 


2  —(2t+r) rt (2i+i)re 


ue em 7 167? 4r° ydu 
JE 2e < EE 


la somme YŸ s'étendant à toutes les valeurs de z, et les limites 
de l'intégrale, l’une positive et l’autre négative, étant toutes 
deux infiniment petites. Mais à cause que cette intégrale est 
aussi infiniment petite, dès que w a acquis une grandeur fi- 
nie, on n’en alterera pas la valeur en l’étendant à des limites 
finies, ni même en la prenant, si l’on veut, depuis 4 — — © 
jusqu'à 4 — œ, ce qui donne 


| 


DE M. JACOBI. 113 


ydu GT 
f+4e 27 
Je conclus de là que pour 6— — 1 +, l'équation (3\deviendra 
q P Y q / : 


(a 1)%°,/ (air 
- n {nr VV br TG T 008 
2Y(—1) e PR ere PEP A Des Lo k ct 


ù —(2 nl 
LTe , 
+e 


en négligeant y dans son premier membre. 
Si nous faisons 


TA TK F K 4r° 
œil, LEZ, 
167 4K K T 
cette équation pourra s'écrire ainsi : 
£ n —4nr 
2Y(—1)e AT cos.2n x—1 
Haba abs à (4) 
L 27 Gr * (on+1r)z —(272+:1)z 
GEVr Ye (e ne ) +6 — LE ) LE 


la somme Ÿ ne s'étendant dans le second membre comme 
1 
dans le premier, qu’aux valeurs positives du nombre » , de- 
À puis z — 0 jusqu'à 2 — œ. Pour 6—1—7;, on trouvera de 
x À 5 : 
même que l'équation (3) devient 
—4n°r? 


k 2ÿe CO$.2nT—1— 
| 
: 


—2° 
| s 2er (Se rer ( ("24e 2) 1); 
| 
| 


et par une semblable analyse, on obtiendra ces deux autres 
équations : 
Lex 12 


(5) 


114 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


: _(: 21,2 
3e LR D cos.(27n + 1)x 


7! = n —4n'r”{ anz Le (6) 
= 57e E1) e (e +e )—1), 
DRE" 


S(— Ce 


are One EM), 


au moyen desquelles et des deux équations précédentes , les 

formules (1) deviendront 

n Ur (2241) —(ar+1)s 

7/Xsin. A(EK', Fes “(e * ) 

Ye 
Déni 


ARS 1Ÿr me (2724 1)z Lee) 


De 


—n+ 1}7 ne CAMES re) 


n Puis Tu je 2n2 —2n2 
e +e = 


2 cos. AÇ2EK,, lo 


2 ,,,2 


—4rèr 2n2 —2n2 
Ye e +e — I 


VV ir sin.’ À (2K', DCE D EE AE PE CET 


ce qui n’est autre chose que les équations (2) dans lesquelles 
on a mis À à la place de #’, et par PRES k, KR 70 ta 
lieu de #, K, F: 

On peut remarquer qu’en opérant les mêmes changements 
dans les équations (4), (5), (6) et (7), et mettant en outre 
æV/—x à la place de z, il faudra mettre z1/—1 au lieu de 

ë ; ANR AR : 2 
æ, puisque cette variable était égale à =z, qui devient 
Re = == ER : : 
k£V/—7r, ouz1/—1. De cette manière les équations (4) et 


(6) se changeront réciproquement l’une dans l’autre, et cha- 


(7) 


DE M. JACOBI. 115 
cune des équations (5) et (7) demeurera la même, de sorte 
que les changements dont il s’agit ne fourniront pas d’autres 
formules, de la nature de ces équations. 

En développant les fonctions trigonométriques de l'am- 
plitude, en séries ordonnées suivant les sinus et cosinus 
des multiples de la fonction elliptique, M. Jacobi a aussi 
trouvé ces deux formules : 


EK 2% Ne k sin. (22+1)x \ — 
Sin A(EK,4)=X (2n+1)Ta —(2n +1)Ta 
Tee NE (8) 


£K D MENT cos.(2n2+1)x 
ne ee T eee 


dans lesquelles on a fait 


et qui s'accordent avec celles qu’on trouve à la fin du premier 
Mémoire d’Abel, cité dans ce rapport. On peut les changer 
en des séries d’exponentielles par le moyen suivant. 
Quelle que soit la fonction F et la quantité /, on a (*) 
© [Le +] : 
>F(2n += if Fzdz + 72) f cos." Fzdz; 
p o . 
les sommes > s'étendant, comme dans les formules précé- 
dentes, à toutes les valeurs positives du nombre », depuis 
et compris 2—0 jusqu’à r — œ. Si donc nous faisons /—x, 
et successivement 


(*) On obtient cette équation en faisant + — o dans celle de la pag. 451 
du 19° cahier du Journal de l'École polytechnique. 


15. 


116 RAPPORT SUR L'OUVRAGE 


sin. z cos.z 
Fr ——, | DA 
raz az raz Taz 


e x —e zx e x +e x 


les équations (8) deviendront 


n.A(2E K RER r ja. 2. Ar 


oi À TI 
cos si z 
I MIRE) Ke 
F2 fe = ed 
a EE z | (q) 


1 œ cos. z dz 
A EE Nr 


e « +e z 


nTrz 
= En CE RNR EC 
MP der” 
€ 


raz Taz 


) — 


Soit maintenant 


les limites des intégrales relatives à £ seront toujours zéro et 
l'infini; au moyen des formules connues 


ñ sin. 2 04 ef Es 
se T£ = dlE 6? 
L e e +e 
04 
2f nus dit 6? 
o mul one e +e 


dans lesquelles 4 est une constante quelconque , on obtiendra 
les valeurs des intégrales que contiennent les équations (9); et 
en les substituant dans ces équations, elles se changeront 


DE M. JACOBI. 
en celles-ci : 


117 
ZT 
> e?%—_e 3% 
— sin A(ÉEK, 0) = 
T LE LE 
Lu CE 
æ à 
a Sa Gu} 
Ale TA 2 Ar LE x Hi 
e + + e LA +et+e C2 
4K' 
7 008. À (EK,#)—— : 
TT T zr ZT 
ARLES 
A7 AT 
Ten s (—i) \e24+pe 2a 
+ e?*+e 2e UE UE Ed zx? 


e C2 + e a + et + en = 
qu'il s'agissait de former. 


/ 
# 
“ 
Lt 
“Ta 


£ ; 
al 
{ - 
ES ANA 
he 20 8 
OS AL de 
54 


’ e 
t 
7 
% ; : 
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REMARQUES GÉNÉRALES 


SUR 


L'APPLICATION DES PRINCIPES DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 


Par M. re B° FOURIER. 


Lu à l’Académie royale des Sciences , le Qq mars 1829. 
y pe 9 


Avavr de traiter la question qui est l’objet principal de 
cette note, je discuterai, dans un premier article, une objec- 
tion proposée plusieurs fois par M. Poisson, et que ce sa- 
vant géometre a reproduite récemment dans un écrit pré- 
sente à l’Académie. 

Pour résoudre la question dû mouvement de la chaleur 
dans le cylindre solide, j'ai appliqué un théorème d'analyse 
algébrique à l'équation transcendante propre à cette ques- 
tion. M. Poisson n’admet point cette conséquence. IL ne se 
borne pas à dire que l'on n’a point encore publié la démou- 
stration de ce théorème, en faisant connaître qu'il s'applique 
aux équations transcendantes ; il soutient que l’on arriverait 
à une conclusion fausse si l'on étendait cette proposition à 
l'équation exponentielle 


(D) À e‘—be —0. 


120 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


Il assure que, si l’on fait dans ce cas l'application littérale 
du théoreme, on trouve que l'équation (x) et ses dérivées 
ont toutes leurs racines réelles; et comme il est évident 
que cette équation a des racines imaginaires, l'auteur en 
conclut que la proposition conduirait ici à une conséquence 
erronée. Je me propose 1° de discuter cette objection spé- 
ciale, et de montrer qu'elle n'a pas de fondement; 2° de 
prouver que le théoreme dont il s’agit s'applique exactement 
à l'équation transcendante propre au cylindre. 

En général, cette proposition, exprimée dans les termes 
dont je me suis servi, doit s'étendre aux équations trans- 
cendantes; en sorte que l’on commettrait une erreur grave 
en restreignant le théorème aux équations algébriques. 

Dans ce premier article, qui se rapporte à l'équation citée 
(1), je montrerai que le théorème n'indique nullement que 
cette équation (1) n'a point de racines imaginaires. Au con- 
traire, il fait connaître qu'elle n’est pas du nombre de celles 
qui réunissent les conditions que le théoreme suppose, et 
qui distinguent les équations dont toutes les racines sont 
réelles. 

M. Poisson a présente, pour la premiere fois, cette objec- 
tion dans le 19"° cahier des Mémoires de l'École Polytech- 
nique (page 382). Il ne citait point le théorème dont j'ai fait 
usage, mais une proposition très-différente, puisqu'il y omet 
une condition qui en est une partie nécessaire, et qu'il ne re- 
gardait point comme sous-entendue. La réfutation aurait donc 
été pour ainsi dire superflue : mais le mème auteur a repro- 
duit son objection plusieurs années après, et c’est alors seu- 
lement qu’il a cité la proposition dont il s’agit teile qu'on la 
trouve «ans la Théorie de la chaleur ( pages 372 et 373). 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 121 

Voici l'énoncé du théorème : 

Si l’on écrit l'équation a/gébrique X —0, et toutes celles qui 
en dérivent par la différentiation, X'— o,X"—0,X”—o,etc.; 
et si l’on reconnaît que toute racine reelle d'une quelconque 
de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède 
et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signes 
contraires, il est certain que la proposée X —o a toutes 
ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de 
même de toutes les équations subordonnées X'— 0, X"=—o, 
X"— o, ete. Or, en proposatit l'objection dont il s’agit, on 
n’a point fait l'application littérale du théorème, parce qu'on 
a omis de considérer les racines réelles du facteur e°—o. 


. . . . Æ \m 
Ce facteur coincide avec celui-ci, (i + =) 0, lorsque le 


nombre " croît sans limites et devient plus grand que tout 
nombre donné. L’équation e*— 6 a donc une infinité de fac- 
teurs dont on ne doit point faire abstraction, lorsqu'on en- 
treprend d'appliquer textuellement la proposition. On ne 
peut pas dire que l'équation e° + bé**— 0 à une seule racine 
réelle, et une infinité de racines imaginaires ; car cette équa- 
tion, qui a une infinité de racines imaginaires, a aussi une 
infinité de racines réelles. Or l'auteur n’emploie qu’une 
seule de ces racines réelles : il en omet une infinité d'autres 
égales entre elles, savoir celles qui réduisent à zéro le fac- 
teur e*, \ | 

Lorsque dans ce facteur on attribue à x une valeur réelle 
négative dont la grandeur absolue suürpasse tout nombre 
donné, la fonction e* approche continuellement de o, et de- 
vient plus petite que touùt nombre donné. C’est ce que l’on 
exprime en disant que l'équation e*— 0 a pour racine réelle 

MX: 16 


122 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


une valeur infinie de x prise avec le signe —. Une fonction 
telle que e: diffère essentiellement de celles qu'on ne pour- 
rait jamais rendre nulles, ou plus petites que tout nombre 
donné, en attribuant à x des valeurs réelles. Lorsqu'on assi- 
mile deux fonctions aussi différentes, on doit arriver à des 
conséquences erronées. 

On connaît encore la nature de l'équation e*—o si on la 


4 . I ’ 
transforme en écrivant x ——-,; car la transformée 


1 


e *—o a certainement o pour racine réelle, puisque la 
ï € 

ligne dont l'équation serait y—=e + coupe l'axe à l’origine 

des +’. 

Pour faire l'application complete du théoreme que nous 
avons énoncé à l'équation e*— be‘ —o, il ne faut pas se 
borner à une seule des racines réelles de cette équation, 
mais les considérer toutes. Or, si l’on rétablit ces racines 
réelles, auxquelles l'auteur de l’objection n’a point eu égard, 
on voit que la règle n'indique nullement que toutes les ra- 
cines de l'équation sont réelles. Elle montre au contraire 
que cette équation ne satisfait pas aux conditions que le 
théorème suppose. 

Pour établir cette conséquence, nous allons rappeler le cal- 
cul mème qui est employé par l’auteur ; et afin de rendre les 
expressions plus simples, sans altérer en rien les conclusions 
que l’on en déduit, nous considérerons seulement l'équation 
e*—e’*—0o. Le lecteur pourra s'assurer facilement qu'il n'y 
a ici aucune différence entre les conséquences qui convien- 
nent à l'équation e‘—be**— 0, a et b étant positifs , et celles 
que l’on déduirait de l'équation très-simple e*—e**— 0. 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 123 
Ecrivant donc 

NES ea 
d'X z n 2: 
2e 2e 
d'EEX 
dæ'+z 
d'+:X 
des 


6; 9%br0ns 
— e*— 9"+2 e°*, 


LES: 


RAID SEX É 
et posant l'équation Tai: 0, OU e*—92"*",e°*— 0, on en 


tire la valeur de e: pour la substituer dans les deux valeurs 


LRQ d"+2 me " . 
dé RE Par cette élimination, on trouve 
CECILE 
» d'X n 2x CID. CURE 2"+" Fi 
Laicnt (QAR 
; 2 . .,. d'X d'+?Xx : 
et l'on détermine la valeur du produit FN car NU 


—2°"+",ef*, L'auteur en conclut que toute racine réelle de 


, : £ rt dE XL, DRAC 1 
l'équation intermédiaire = » étant substituée dans l’équa- 


tion qui précède et dans celle qui suit, donne deux résultats 
de signes contraires : c’est cette conclusion que lon ne peut 
pas admettre. En effet, si la valeur réelle de x qui rend 
nulle la fonction intermédiaire e°—2"+: .e°*, réduit à zéro le 
facteur e* commun aux deux termes, cette même valeur de 
æ étant substituée dans la fonction qui précède, savoir 
—2".e°*, et dans celle qui suit, savoir e*— 2"#°.e:*, ré- 
duira l’une et l’autre à zéro. Les deux résultats ne sont donc 
point de signes différents, ils sont les mêmes. Pour que l’un 
des résultats füt positif et l’autre négatif, il faudrait ne con- 
sidérer parmi les racines réelles de l'équation e‘— 2"*" .e—0, 


16. 


124 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


que celles de ces racines qui ne rendent point nul le fac- 

teur e°. Or il n’y en a qu'une seule, savoir la racine réelle 

du facteur 1—2"t".e*—o. Cette racine, qui rend e* égale à 
LL 


I 
o"ti) 


donne certainement deux résultats de signes opposés : 
mais l'application du théorème ne consiste pas à substituer 
dans les deux fonctions intermédiaires une seule des racines 
réelles de l’équation e*—2"#".e**— 0; elle exige que l’on 
emploie toutes ces racines, et il est nécessaire qu'il n'y ait 
aucune de ces racines réelles qui, étant substituée dans les 
deux fonctions intermédiaires, donne deux résultats de 
signes epposés. C’est ce qui n'arrive point ici; car il ya, au 
contraire, une infinité de valeurs réelles de x, dont chacune, 
étant mise pour + dans les deux fonctions intermédiaires, 
donne le même résultat, savoir zéro. 

Pour appliquer à une équation X — 0 la proposition dont 
il s’agit, il faut reconnaître avec certitude qu'il n’y a dans 
le système entier des fonctions dérivées aucune fonction in- 
termédiaire que l’on puisse rendre nulle, en mettant pour æ 
une valeur réelle quelconque, qui, substituée dans la fonc- 
tion précédente et dans la suivante, donne deux résultats de 
même signe. S'il y a une seule de ces valeurs réelles de x qui 
rendant nulle une quelconque des fonctions intermédiaires 
donne deux résultats de même signe pour la fonction pré- 
cédente et la fonction suivante, ou si l'on ne peut recon- 
naître avec certitude que les signes des deux résultats sont 
différents, on ne doit point conclure que toutes les racines 
de X —o sont réelles. 

Donc on n’est point fondé à objecter qu'il résulterait du 
théorème algébrique que l'équation e°—e’*—o a toutes 
ses racines réelles. 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 129 


Il en est exactement de même de l'équation e* —be*— 0, 
où l’on suppose a et » des nombres positifs. Pour conclure 
que la proposition indique dans ce cas que toutes les raci- 
nes sont réelles, il faudrait nécessairement omettre toutes 
les racines réelles du facteur e*— 0. Il faudrait donc démon- 
trer que ce facteur n’a point de racines, ou qu’elles sont toutes 
imaginaires ; et, faisant comme nous l'avons dit plus haut, 


I . . 2 n r 
æ—— 5, il faudrait supposer que l'équation transformée 
ZI 
» 


e +*—o n'a point o pour une racine réelle, en sorte que 


1 


la courbe dont l'équation est y=e *” 
point l'axe des +’ à l’origine o. Toutes ces conséquences sont 
contraires aux principes du calcul. Au lieu de conclure que 
dans l'exemple cité lé théorème est en défaut, ce sont les 
expressions de l'auteur,tome VIII des Nouveaux Mémoires 
de l’Académie royale des Sciences, il faut reconnaître que 
dans cet exemple les conditions qui indiqueraient que toutes 
les racines sont réelles ne sont point satisfaites. 

Le résumé très-simple de notre discussion est que la dif- . 
ficulté assignée s'évanouit entièrement si, au lieu de faire une 
énumération incomplète des valeurs réelles de x qui rendent 
nul le facteur commun e*, et par conséquent la fonction 
e‘— be“, on considère que cette fonction devient plus pe- 
tite que tout nombre donné lorsqu'on. met pour x une quan- 
tité réelle négative dont la valeur absolue devient plus grande 
que tout nombre donné. 


ne rencontrerait 


Je rappellerai maintenant l'équation déterminée propre 
à la question du cylindre, et les principes qui m'ont conduit 


126 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


à appliquer avec certitude à cette équation un théorème 
d'analyse algébrique. L’équation qui sert à représenter le 
mouvement de la chaleur dans le cylindre solide, est com- 
mune à plusieurs questions physiques ; elle exprime les effets 
du frottement dans un système de plans qui glissent les 
uns sur les autres, et elle se reproduit dans des recherches 
dynamiques très-variées : ainsi il est utile d’en discuter avec 
soin la nature. 

M. Poisson a pensé que la proposition énoncée plus haut, 
concernant les conditions des racines réelles, ne s'applique 
point aux fonctions transcendantes, si ce n’est dans des cas 
très-particuliers ( 19°" cahier de l'École Polytechnique, page 
385); mais par rapport à l'équation déterminée qui convient 
au cylindre, il a adopté successivement deux opinions diffé- 
rentes. Dans le tome VIII des Nouveaux Mémoires de l’Aca- 
démie des Sciences ( page 367), après avoir affirmé de nou- 
veau que le théorème cité serait en défaut si on l’appliquait 
à l'équation exponentielle e*— be**—o, il ajoute que 
la règle convient cependant à l’équation 
/ za LE LA 
(2) PRUTEE nrs einer 0 fÈC 
qui appartient à la question du cylindre. Le même auteur a 
énoncé une autre conclusion dans un second écrit présenté 
à l'Académie; il y rappelle qu'il avait d’abord pensé qu'à 
cause de l'accroissement des dénominateurs, le théorème s’ap- 
pliquait à l'équation (2), mais qu’en y réfléchissant de nou- 
veau il a reconnu que cette conséquence n’est pas fondée. 

Il serait inutile de discuter ici ces conclusions, qui, en effet, 
ne peuvent être toutes les deux vraies, puisqu'elles sont op- 
posées. Je dirai seulement que l'application du théorème 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 127 
algébrique à la question du cylindre doit être déduite d’une 
analyse exacte qui exclue toute incertitude. 

Quant aux principes que j'ai suivis pour résoudre les équa- 
tions algébriques, ils sont très- différents de ceux qui ser- 
vent de fondement aux recherches de de Gua ou à la méthode 
des cascades de Rolle. L'un et l’autre auteur ont cultivé l’a- 
nalyse des équations ; mais ils n’ont point résolu la diffi- 
culté principale, qui consiste à distinguer les racines imagi- 
naires. Lagrange et Waring ont donné les premiers une so- 
lution théorique de cette question singulière, et la solution 
ne laisserait rien à désirer si elle était aussi praticable qu’elle 
est évidente. J'ai traité la même question par d’autres prin- 
cipes, dont l’auteur de l’objection paraît n'avoir point pris 
connaissance. Je les aï publiés, il y a plusieurs années, dans 
un Mémoire spécial (Bulletin des Sciences, Société Philoma- 
tique, années 1818, page 61, et 1820, page 156.) 

J'ai eu principalement en vue, dans cet écrit, la résoiu- 
tion des équations algébriques ; je pense que personne ne 
peut contester l'exactitude de cette solution, dont l’applica- 
tion est facile et générale. En terminant ce mémoire très-suc- 
cinct, j'ai ajouté que les propositions qu’il renferme ne con- 
viennent pas seulement aux équations algébriques , mais 
qu’elles s'appliquent aussi aux équations transcendantes. Si 
j'avais omis cette remarque, j'aurais donné lieu de croire 
que je regardais la méthode de résolution comme bornée 
aux fonctions algébriques, proposition entièrement fausse : 
car j'avais reconnu depuis long-temps que les mêmes prin- 
cipes résolvent aussi les équations non algébriques. Je pen- 
sais alors qu'il suffisait d'énoncer cette remarque. Il me sem- 
blait qu’en lisant avec attention la démonstration des théo- 


As 


126 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


rèmés, on distinguerait assez facilement ce qui convient à tou- 
tes les fonctions, et ce qui peut dépendre des propriétés spé- 
ciales des fonctions algébriques entières. Il est évident que ces 
dernières fonctions ont un caractère particulier, qui provient 
surtout de ce que les différentiations répétées réduisent une 
telle fonction à un nombre constant ; maïs les conséquences 
principales, dont le mémoire contient la démonstration, ne 
sont point fondées sur cette propriété des fonctions entières. 
Les conclusions que l’on tire des signes des résultats, les pro- 
cédés d’approximation, les conditions auxquelles il est né- 
céssaire que ces procédés soient assujettis , la mesure exacte 
de la convergence, les différentes règles que j'ai données au- 
trefois dans les cours de l'École Polytechnique pour suppléer 
à l'usage de l'équation aux différences, et qui conduisent 
toutes à distinguer facilement les racines imaginaires, les 
conséquences que fournit la comparaison des nombres de 
variations de signes, en ne considérant que les différences 
de ces nombres ; toutes ces propositions fondamentales, qui 
constituent la méthode de résolution, s'appliquent aux fonc- 
tions non algébriques. 

Quant aux conditions données par de Gua pour recon- 
naitre qu'une équation a toutes ses racines réelles , elles con- 
viennent certainement à toutes les équations, soit algébriques, 
soit transcendantes, qui sont composées d’un nombre fini ou 
infini de facteurs. Je n'ai point regardé alors comine néces- 
saire de développer ces propositions, parce qu'elles sont au- 
tant de conséquences des principes dont j'ai rapporté la dé- 
monstration dans le mémoire cité. Il n’y en à aucune qui 
soit bornée aux seules équations algébriques ; mais l’applica- 
tion de principes très-généraux peut nécessiter un examen 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 129 


spécial. C’est ainsi que le théorème de Viète sur la compo- 
sition des coefficients s'applique différemment aux équations 
dont le premier membre est une fonction entiere, et à celles 
qui ont des dénominateurs. 

Il n’est pas moins évident que si l’on considere une fonc- 
tion non continue, les conséquences algébriques ne subsis- 
tent point pour toute l'étendue de la fonction: elles s’appli- 
quent aux parties où la fonction varie par degrés insensibles, 
et ne peut changer de signe qu'en devenant nulle. On doit 
aussi faire une remarque semblable au sujet de la proposi- 
tion algébrique qui exprime que le produit de tous les 
facteurs du premier degré, correspondant aux racines de 
X ==%6,; équivaut au premier membre X de cette équa- 
tion. J'ai prouvé, dans mes premieres recherches sur la 
thécrie de la chaleur, que cette proposition ne convient 
pas à certaines fonctions non algébriques : par exemple 
à l'équation très-simple tang.x—o. La fonction tang.x 
est fort différente du produit de tous les facteurs du premier 
degré formé des valeurs de x qui rendent tang.x nulle : ce 
produit complet donne sin.x, et non tang. æ. Cela provient 
de ce que la fonction taug.x est le produit desin.x par sec. x. 
Or les racines de l'équation sec.x—o, qui sont imaginaires, 
ne rendent point targ.x nulle: elles donnent à sin. x une 


valeur infinie, de sorte que la fonction tang. x devient = et j'ai 


montré que si l’on détermine exactement sa valeur, on 
trouve que tang. x se réduit à V/— 1, et non à zéro. Ainsi les 
racines du facteur sec.x— 0 n'appartiennent pas à l'équation 
tang.z— 0. Il en est de même de toutes les équations ana- 
logues que j'ai employées dans la Théorie de la chaleur, par 


te X. 17 


130 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


exemple de celle-ci, « —à tang.e — 0. # est l'inconnue, et x est 
moindre que l'unité (page 367). En général le produit, quoi- 
que complet, des facteurs formés de toutes les racines d’une 
équation non algébrique 9x— o peut différer de la fonction 
++; et cela arrive lorsque les valeurs de x qui rendent nul 
un des deux facteurs dont la fonction 9x est composée, 
donnent à l’autre facteur une valeur infinie. Comme. cette 
condition ne peut point avoir lieu dans les fonctions algé- 
briques entières, c'est pour cette raison que le théorème de 
Viete sur la composition des coeïficients convient à toutes 
ces fonctions. Je pourrais ici multiplier les exemples qui 
montrent que le produit de tous les facteurs simples peut 
différer du premier membre de l'équation. En général il 
faut distinguer les cas ou une fonction est égale au produit 
d'un nombre fini ou infini de facteurs formés de toutes les 
racines, et les cas où cette propriété n'a pas lieu ; mais nous 
ne pourrions point ici entreprendre cette discussion sans 
nous écarter trop long-temps du but spécial de cet article, 
qui est d'expliquer clairement comment j'ai été conduit à 
prouver, par l’application d’un théorème algébrique, que l’é- 
quation transcendante (2), qui se rapporte à la question du 
cylindre, a en effet toutes ses racines réelles, et de montrer 
quelles sont ces racines. 

Il est d'abord nécessaire de rappeler un théorème général 
dont j'ai donné la démonstration dans les Mémoires de la 
Société Philomatique (année 1820, pages 160 et suiv.). Cette 
proposition peut être ainsi énoncée : une équation algébrique 
X — 0 étant donnée, on forme toutes les fonctions qui dé- 
rivent de X par la différentiation , et on écrit la suite entière 
dans cet ordre inverse, 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTÉS. 151 
DAME) EUR, D'OR ET 


En substituant dans cette suite de fonctions un certain nom 
bre ,, et marquant les signes des résultats , on ôbtient une 
suite de signes, qui serait ou pourrait être très-différente si 
le nombre substitué venait à changer. On suppose main- 
tenant que la valeur substituée : augmenté par degrés insen- 


, SE I . \ I . 
sibles, depuis «— = jusqu'à «—*, et l’on considère les 
o o 


changements qui surviennent dans le nombre des variations 
de signes que présente la suite des résultats. Cela posé, nous 
disons que les racines réelles ou imaginaires de la proposée 
X — o correspondent aux nombres des variations de signes 
que la suitedes résultats perd, à mesure: que le nombre sub- 
stitué augmente. Voici en quoi consiste cette relation. Lies 
variations de signes que peut perdre la suite des résultats, 
lorsque le nombre substitué passe par une valeur détermi- 
née, sont de deux sortes. 


1° Il peut arriver, lorsque quelques-unes de ces variations 
disparaissent , que la dernière fonction X devienne nulle. 

2° Il peut arriver que des variations de signes disparais- 
sent, sans que la dernière fonction X devienne nulle. Le pre- 
mier cas répond aux racines réelles , et le second aux racines 
imaginaires. 

J'ai reconnu que la proposée’ a précisément autant de ra- 
cines réelles, égales ou inégales, que la suite perd dé varia- 
tions designes de la première espèce; et qu’elle a précisément 
autant de racines imaginaires que la suite des résultats perd 
de variations de signes de la seconde espèce. Ce théorème, 
que l’on doit regarder comme fondamental, renferme comme 


17: 


132 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 
corollaires la remarque de Huddesur les racines égales, la regle 
de Descartes concernant le nombre des racines positives ou 
négatives, et la proposition de de Gua relative aux équations 
dont toutes les racines sont réelles. 

La démonstration ae ce théorème général, publiée dans 
les Mémoires cités de la Société Philomatique, ne diffère point 
de celle que j'ai donnée autrefois dans les cours de l'école 
Polytechnique de France. Je suppose ici que le lecteur a sous 
les yeux cette démonstration, et je me borne à rappeler 
conséquences principales. 


Le nombre substitué + passant par degrés insensibles de 
. . ÿ DA * . I . A 
sa valeur initiale — Fr la derniere + 3e il ne peut survenir 


de changements dans la suite des signes des résultats que 
lorsque « atteint et dépasse infiniment peu une valeur de x 
quirend nulle une des fonctions X!, X®—°,.:.X7,X7,X",X. 
Or, après que + a dépassé cette valeur de +, il peut arriver 
que le nombre des variations de signes de la suite n’ait point 
changé: ainsi on trouverait le même nombre de variations 
en les comptant avant et apres. Il peut arriver aussi deux 
autres cas : le premier, lorsque la fonction qui s'évanouit est 
la derniere; alors la valeur substituée + est une des racines 
réelles, et le nombre des variations de signes ne demeure 
pas le même ; il est diminué d’une unité. Dans l’autre cas, 
la fonction qui s’évanouit n’est pas X : elle est une des fonc- 
tions dérivées intermédiaires , et il arrive que le nombre des 
variations de signes n'est pas le même qu'auparavant; il est 
diminué de deux unités, et l'on conciud avec certitude que 
deux des. racines de l'équation proposée sont imaginaires. 
Ainsi 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES: 13% 

1° Les valeurs accidentelles de x, qui font évanouir une 

des fonctions, peuvent n'apporter aucun changement dans 

le nombre total des variations ; ces valeurs substituées sont 
indifférentes. 

2° La substitution qui fait évanouir une des fonctions peut 
diminuer d’une seule unité le nombre des variations; alors 
la valeur substituée est une racine réelle. 

3° La substitution qui rend nulle une fonction interme- 
diaire fait disparaître deux variations de signes, sans rendre 
nulle la fonction X ; alors on est assuré que deux des racines 
de l'équation sont imaginaires. Ce sont les deux cas élémen- 
taires pour lesquels le nombre des changements de signes 
. diminue. Il ne peut jamais augmenter; il est conservé, ou 
il est diminué d’une unité pour chaque racine réelle, ou il 
est diminué de deux unités pour chaque couple de racines: 
imaginaires. Îl n'y a point d’autres cas possibles ; ils peuvent se 
réunir accidentellement, et alors ils donnent lieu à autant 
de conclusions séparés. 

Il est fort important de remarquer ces valeurs critiques 
de +, qui ont la propriété de faire disparaître à la fois deux 
variations de signe. Cette disparition a lieu parce que la va- 
leur de æ qui rend nulle la fonction dérivée intermédiaire 
donne deux résultats de même signe, lorsqu'on la substitue 
dans les deux fonctions dont l’une précède et l’autre suit la 
fonction intermédiaire qui s'évanouit: c'est cette condition 
qui est le caractère propre des racines imaginaires. Autant de 
fois que ce caractère se reproduit, autant la proposée a de 
couples de racines imaginaires ; réciproquement, il ne peut y 
avoir de couples de racines imaginaires que dans le cas où 
cette condition subsiste. 


134 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


Cette considération nous fait mieux connaître la nature des 
racines imaginaires. En effetelle montre que les racines man- 
quent dans de certains intervalles, savoir ceux où il arrive 
que le nombre substitué +, passant d'une valeur de x à une 
autre infiniment voisine , rend nulle une fonction interme- 
diare sans rendre nulle la fonction X , et fait ainsi disparaître 
deux variations de signes, en donnant deux résultats de même 
signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Cette con- 
clusion a toujours été regardée comme évidente dans le cas 
tres-simple où la courbe de forme parabolique, et dont l'é- 
quation est y = X , s'approche de l'axe des x, et après avoir 
atteint une valeur minimum sans rencontrer l'axe, s’en éloi- 
gne et poursuit son cours. Mais ce n’est là qu'un cas /parti- 
culier des racines imaginaires : ce minimum peut avoir lieu 
pour une des fonctions dérivées d’un ordre quelconque, et 
alors il détermine toujours un couple de racines imaginaires. 
A proprement parler, les racines imaginaires sont des racines 
déficientes, qui manquent dans certains intervalles ; et l'on re- 
connait que c’est à un de ces intervalles que correspond en 
effet un couple’de racines imaginaires, parce qu'il suffit de 
prouver querces deux racines n’existent point dans l'inter- 
valle dont il s’agit, pour conclure avec certitude que l’équa- 
tion proposée a deux racines imaginaires. 

Quoique dans l'énoncé de ces propositions nous ne consi- 
dérions ici que les fonctions algébriques , il‘est'assez évident 
que ces racines déficientes , que l’on a-appelées imaginaires . 
ont le-même caractere dans les équations non’ algébriques 
formées d'un nombre fini ou infini de facteurs du premier 
degré réels où imaginaires. Ce minimum absolu:est le signe 
propre du manque de deux racines ; mais nous écartons iti 


AUX ÉQUATIONS  TRANSCENDANTES. 135 


toute conclusion relative aux équations non algébriques, 
afin d'appliquer. d’abord les principes fondamentaux à un 
objet simple et parfaitement défini. 

Ce n'est pas seulement dans la fonction principale X que 
résident ces valeurs critiques de la variable +, elles peuvent 
appartenir à toutes les fonctions dérivées d’un ordre quel- 
conque. Pour la résolution d’une équation il est nécessaire 
de connaître les, intervalles où manquent les racines imagi- 
naires; et ces derniers, intervalles doivent: être cherchés dans 
tout le système des fonctions dérivées des différents ordres. 

Examinons d'après ces principes le cas particulier où 
l'équation proposée n’aurait que des racines réelles. Alors la 
suite des signes des résultats, qui perd successivement toutes 
ses variations à mesure que le nombre substitué passe de 


EL, I . . . 
me perd ces variations que d’une seule manière.Elle 


en perd une toutes les fois que le nombre x devient successi- 
vement égal à chacune des racines réelles. Dans tous les autres 
cas où l’une des fonctions dérivées devient nulle, le nombre 
des variations de signes n’est point changé. Il n’arrive jamais 
qu'une valeur de x, qui rend nulle une fonction intermé- 
diaire dérivée , donne le même signe à la fonction qui, pré- 
cède et à celle qui suit. Au contraire toute valeur réelle de x, 
qui rend nulle une fonction dérivée intermédiaire, donne 
deux signes différents à la fonction qui précède et à celle qui 
suit ; et cette dernière condition n’a pas lieu seulement pour 
une des valeurs réelles de x qui fait évanouir une fonction 
intermédiaire, elle a lieu pour toutes les valeurs réelles de x 
qui ont ceite propriété : s'il y avait une seule exception, il y 
aurait un couple de racines imaginaires. Réciproquement si 


136 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


l'on est assuré que toute valeur réelle de +, qui rend nulle 
une des fonctions intermédiaires, donne deux résultats de 
signes contraires lorsqu'on la substitue dans les deux fonc- 
tions précédente et suivante, il est certain que l'équation 
algébrique proposée à toutes ses racines réelles: c’est la pro- 
position donnée par de Gua ; on voit qu'elle est un corollaire 
évident du théorème général que j'ai énoncé plus haut. 

Dans tous les cas possibles, une équation algébrique a 
nécessairement autant de racines imaginaires que la suite de 
signes perd de variations, lorsque le nombre substitué passe 
par de certaines valeurs réelles de x, qui font disparaître des 
variations de signes sans que la dernière fonction X s’éva- 
nouisse. Ainsi lorsqu'il n'y a point de telles valeurs de x, il 
n'ya point de racines imaginaires. 

Il suffit done, pour être assuré qu'une équation algébrique 
a toutes ses racines réelles, de reconnaître qu’il n’existe au- 
cune de ces valeurs réelles de x qui, sans rendre nulle la der- 
nière fonction X, fassent disparaître deux variations à la fois. 

Nous considérons maintenant la fonction transcendante 


r T° 7 


4 
bar du past TR. — etc. ,afin de prou- 
ver que l'équation 9r—0 a toutes ses racines réelles. Cette 
equation est celle qui se rapporte au mouvement de la cha- 
leur dans un cylindre solide. 

Je me suis d'abord proposé de connaître la forme de la 
ligne courbe dont l'équation est y —+r, y désignant l'or- 
donnée dont 7 est l’abcisse. Cette ligne a des propriétés fort 
remarquables, que l’on déduit d'une expression de #r en in- 
tégrale définie. Dans mon premier mémoire sur la Theorie 


de la chaleur (1809), j'ai employé cette intégrale pour dé- 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 137 


terminer la forme de la ligne dont l'équation est y —+r; et 
j'ai indiqué une propriété principale, que j'ai rappelée dans 
la Théorie analytique de la chaleur, page 380. Le mémoire 
de 1807, qui demeure déposé dans les archives de l’Institut, 
contient d’autres détails, art. 127, page 180 ; on en conclud 
évidemment que la courbe dontil s’agit coupe une infinité de 
fois son axe, et forme des aires qui se détruisent alternative- 
ment. 

L'examen attentif de l'intégrale définie ne laisse aucun 
doute sur la multiplicité et les limites des racines réelles. 
On voit clairement que l'équation transcendante 9r—0o a 
une infinité de ces racines réelles : nous les désignons par 
4, 8, y, 05e, etc. Mais, pour compléter la discussion, il res- 
tait à examiner si cette équation +7 —0 est en effet du nom- 
bre de celles qui ne peuvent avoir que des racines réelles. 

Au lieu d'appliquer immédiatement à cette équation trans- 
cerdante les théorèmes que nous avons rappelés ci-dessus, 


nous examinons d’abord la nature de la fonction algébrique 
suivante : 


nx n N—1 x° n N—I n—2 x 
En) =i— += — "2 — "7 — 
I NUE 2 I 2 3 2.3 

R N—1n7—2 n—3 zx F été 
f RAS) 3 4 2.3.4 Ë 


} 


Cette fonction est à deux variables x et n ; n est un nombre 
entier. Le nombre des termes est 7 + 1, et si l'on suppose » 
infini, la fonction transcendante qui en résulte ne contient 
que le produit zx, et devient 


æ° ni x ni x t 
D NOT ea din Mot 10 
EXC 18 


138 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


Faisant 2æ—7r, on trouve la fonction transcendante 4(r) qui 
est l'objet de la question. 

Nous allons maintenant démontrer que l'équation alge- 
brique F(æ,n)—0o;, dont æ est l'inconnue, n'a que des ra- 
cines réelles; et nous prouverons qu'il s'en suit nécessaire- 
ment que l'équation trancendante 4 (r)—0, dont rest l'incon- 
nue, a aussi toutes ses racines réelles. 

Pour reconnaître la nature des racines de l'équation algé- 
brique F(x,7)—0o, nous appliquerons les théorèmes que 
l'on vient de rappeler. 

La fonction F(x, ») étant désignée par y; on trouve que y 


2y ; dr ts 
2e +(I— x) +nÿ—=0; 


M'A CENT L Laat à d 
satisfait à l'équation différentielle æ 
ce dont on peut s'assurer par la différentiation. On conclud 
de cette dernière équation les suivantes, 


Ch dy DYE 
Este) + émet 
d'y d'y digisst 
pes noi Cent 2e HAS = 0 
\ d5 3 diy dy 


CC 


Cette relation récurrente se reproduit autant de fois que la 
fonction y peut être différentiée sans devenir nulle, en sorte 
qu'il y a un nombre n» de ces équations (e). Si actuellement 
on suppose, dans chacune des équations (e), que le second 
terme est rendu nul par la substitution d’une certaine va- 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 159 


leur réelle de z dans une fonction dérivée ,on voit que la 
même substitution donne, pour la fonction dérivée précé- 
dente et pour celle qui suit, deux résultats dont le signe ne 
peut pas être le même. En effet la valeur de x qui, subs- 
tituée dans le second terme, rend ce terme nul, n’est pas 
un nombre négatif: car la fonction qui exprime y ne peut 
pas devenir nulle lorsqu'on donne à x une valeur négative, 
puisque tous les termes recevraient ce même signe. Ilen est 


à dy G AS 
de mème de FE et de toutes les fonctions dérivées de y : au- 


cune de ces fonctions ne peut être rendue nulle par la sub- 
stitution d’une valeur négative de x, car tous les termes 
prendraient le même signe. Donc les valeurs réelles de x, 
qui auraient la propriété de faire évanouir une des fonctions 
dérivées , ne peuvent être que positives. Donc en substituant 
pour æ, dans une des équations (e), une valeur réelle de x 
qui ferait évanouir le second terme , il arrivera toujours que 
le premier et le dernier terme n'auront pas un même signe; 
car leur somme ne serait pas nulle. On ne peut pas suppo- 
ser que la même valeur de x, qui fait évanouir le second 
terme, rend aussi nuls le premier et le troisième terme 
d'une des équations (e); car si cela avait lieu , on conclurait 
de ces équations que la même valeur de x fait évanouir les 
fonctions dérivées de tous les ordres , sans aucune exception. 
Ce cas singulier serait celui où l'équation proposée y —a 
aurait toutes ses racines égales, 

Il résulte évidemment de la condition récurrente qui vient 
d'être démontrée, que l'équation F(x,7)—o a toutes ses 
racines réelles. En effet cette équation est algébrique, et il 
n'existe aucune valeur de x propre à faire évanouir une fone- 


18, 


140 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


tion dérivée intermédiaire, en donnant deux résultats po- 
sitifs ou deux résultats négatifs pour les fonctions précé- 
dente et suivante. Il suit donc rigoureusement des principes 
de l'analyse algébrique que l'équation F(x,7)—o n'ayant 
aucune valeur critique, n'a point de racines imaginaires. 
Cette conséquence est entièrement indépendante de la va- 
leur du nombre entier » : quel que puisse être ce nombre , 
et quand on supposerait qu'il croît de plus en plus, et de- 
vient plus grand que tout nombre donné, chacune des 
équations que l’on formerait aurait toutes ses racines réelles 
et positives. 

On supposera » infini , et désignant par 4(n, x) la fonction 
trauscendante , on voit que l'équation o(n,x)—0 n'est autre 
chose qu'un cas particulier de l'équation F(7,x) — o. Elle ap- 
partient'au système de toutes les équations que l'on forme ,en 
donnant à » dans F(n,x) les différentes valeurs 1,2,3,4,5, etc. 
à l'infini; et comme on ne trouverait ainsi que des équations 
dont toutes les racines sont réelles, on en conclud que cette 
propriété, entierement indépendante du nombre », subsiste 
toujours lorsque 7 devient plus grand que tout nombre 
donné. Alors la fonction est transcendante , et l'équation de- 
vient o(r) — 0. Donc cette équation n’a point de racines ima- 
ginaires. On pourrait regarder comme superflu toutexamen 
ultérieur de l'équation p(r)—0; et toutefois la conclusion 
deviendra encore plus conforme aux principes communs de 
l'analyse algébrique, en le présentant comme il suit. 

Soitrx—r: nous avons ditque, par l'emploi des construc- 
tions, Gu en remarquant les propriétés de l'expression de o(r) 
en intégrale définie ,on voit que la courbe dont l'équation est 
y—o(r) a une infinité de sinuosités, et qu'elle coupe l'axe 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 141 


des r en une multitude de points à la droite de l'origine 0. 
Nous avons désigné par «,6,7;d,etc. les distances de o à ces 
divers points d’intersection. Si l’on écrit 2x4 =r dans l’équa- 
tion algébrique F(x,n7)—0o, qui est du degré n, et a ses n 
racines réelles, on a une transformée algébrique , que nous 
désignons par f(r,n)— 0. r'est l'inconnue, et toutes les racines, 
c'est-à-dire les valeurs de 7, sont réelles ; car on les trouverait 
en multipliant par le nombre » les valeurs de x qui sont 
les racines de l'équation F(x, 7)— 0. Or si l’on donnait au 
nombre entier 7 une valeur immensément grande, qui sur- 
passerait, par exemple, plusieurs millions, il est manifeste 
que l'équation algébrique f(r,r)=0o donnerait pour l'in- 
connue 7 des valeurs réelles a, b,c, d, etc. extrêmement 
peu différentes de ces racines que nous avons désignées 
par 4, B, y, d,etc., et qui, étant prises pour 7, rendent nulle 
la fonction # (r). Si l'on remarquait une des valeurs algébri- 
ques a, b, c, d, etc., par exemple la quatrième d par ordre de 
grandeur , on la trouverait extrêmement peu différente de 
la racine à du même rang qui satisfait à l'équation transcen- 
dante &(r) —0. En général chacune des valeurs algébriques 
de r données par l'équation f(r, n)—o, et désignées par 
les quantités a, b, c, d, etc., approche continuellement de ia 
valeur du même rang, prise parmi les racines de l'équation 
pr—0; elle en approche d'autant plus que le nombre x est 
plus grand, et ce nombre peut être tel que la différence 
soit moindre que toute grandeur donnée. Les racines «, 6, 
7 à, etc. sont les limites respectives vers lesquelles les va- 
leurs a, b, c, d, etc. convergent de plus en plus. Le nombre des 
valeurs données par l'équation f(r, n) —o augmente con- 
tinuellement, et ces valeurs se rapprochent infiniment des 


142 . APPLICATION DE L'ANALYSE ALGEÉBRIQUE 

racines cherchées 4, 6, y, à, etc. Or l'équation f(r, n)—0o 
étant algébrique, a toutes les propriétés élémentaires dont 
jouissent les équations algébriques et qui sont démontrées 
depuis long-temps : par conséquent les théorèmes de Viète 
et d'Harriot sur la composition des équations s'appliquent 
à celle-ci. 

Ainsi la fonction f (r, n) n’est autre chose que le produit 
des x facteurs du premier degré, qui répondent aux # va- 
leurs réelles a, b, e, d, etc. données par l'équation f(r,r)—o. 
Nous écrirons donc l'équation générale 


(E) Frsn)=(a—7) (1—5) (a=2) (5). 


Il ne reste plus qu'à passer de cette équation au cas parti- 
culier où le nombre » est supposé infini. | 

Pour connaître la propriété qui, dans ce cas , est exprimée 
par l'équation (E), il suffit de porter les quantités qui en- 
trent dans cette équation aux limites vers lesquelles elles 
convergent. Or la fonction f(r, n) a pour limite la fonction 
transcendante o(r); les limites des valeurs à, b, c, d, ete. sont 
les nombres que nous avons désignés par 4,8, y, à,, ete. On 
a donc cette relation ° 


e=(i2) Cr (um) (its) sci fs afsee à l'infini. 


On connaît par ce résultat que la fonction transcendante 
9 (r) est formée du produit d'an nombre infini de facteurs du 
premier degré correspondants aux racines «,6, 7,3, etc:, 
dont chacune fait évanouir la fonction &(r). On regarde comme 
utile de-démontrer spécialement cette proposition pour la 


AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 143 
fonction transcendante + (r), parce qu'il y a, comme je l'ai re- 
marqué autrefois, plusieurs cas où le produit des facteurs 
simples ne forme pas le premier membre de la proposée. 

’ LA ! ” 
Il résulte donc de l'analyse précédente que la fonction #(r) 
est le produit de tous les facteurs du premier degré 
I AT REC 
a? 6? Ÿ’ j? L 
qui correspondent aux racines. Cela posé, il est manifeste 
qu'aucune valeur différente des grandeurs réelles #, 8, y, 5,etc. 
ne pourrait faire évanouir cette fonction o(r). En effet un 


facteur tel que 1 —; ne peut devenir nul que si l'on fait r—«: 


donc si l’on donnait à x une valeur quelconque réelle ou 
imaginaire qui ne$eraitni «, ni P, ni y, etc., aucun des fac- 
teurs ne serait nul ; donc le produit aurait une certaine valeur 
non nulle. Donc si l'on met pour 7 dans % (r) une valeur quel- 
conque, soit qu'on la suppose ou réelle ou imaginaire , et si 
elle n’est point une des racines que nous avons désignées 
par  «, 8, y, 9, etc., la fonction 4 (r) ne devient point nulle : 
donc l'équation transcendante 57—0 a ces racines réelles 
#8, y; d, etc.,et n'a aucuneautre racine ou réelle ou imaginaire. 

Il est remarquable que l’on parvienne ainsi à démontrer 
que toutes les racines de l’équation transcendante +(7)—0 
sont réelles, sans qu'il soit nécessaire de regarder comme 
connue la forme des expressions imaginaïres, que l’on sait 
être celle du binôme y + 1x. 

Au reste, en considérant & priori que si les équations déter- 
minées propres à la théorie dela chaleur avaient des racines 
imagipaires ; leur forme ne pourrait étre que celle du 
binôme y + vL/Zr, on voit qu'il est pour ainsi diré superflu 


144 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE 


de démontrer que les équations dont il s'agit ont toutes leurs 
racines réelles. Car la communication de la chaleur s’opé- 
rant toujours par voie de partage, il est évident, pour ceux 
qui connaissent les principes de cette théorie, que le mou- 
ment oscillatoire ne‘peut s'établir et subsister sans une cause 
extérieure. Cela résulte aussi de la nature de l'équation dif- 
férentielle, qui, dans les questions dont il s’agit, ne contient 
pas, comme les équations dynamiques , la fluxion du second 
ordre par rapport au temps. Or cette oscillation perpétuelle 
de la chaleur aurait lieu , si l'expression du mouvement con- 
tenait des quantités imaginaires. Si les équations déterminées 
qui conviennent à cette théorie pouvaient avoir de telles ra- 
cines, on ne devrait point les introduire dans les solutions. 
On est assuré d'avance qu'il faudrait les omettre. 

En recherchant la nature de ces racines, je n'ai d'autre 
but que de montrer l'accord de tous les éléments analytiques 
dont la théorie se compose. 

Il me reste à rappeler les premières objections qui ont 
éie présentées sur la nature des équations déterminées pro- 
pres aux questions principales de la théorie de la chaleur. 
Cette théorie a été donnée pour la première fois sur la. fin 
de l’année 1807, dans un ouvrage manuscrit qui est encore 
déposé aux archives de l’Institut, Les principes physiques et 
analytiques qui servent de fondement à ces recherches, n’ont 
point été saisis d'abord : il s’est passé plusieurs années avant 
qu'on en reconnüt l'exactitude. Aujourd'hui même les résul- 
tats cosmologiques, de cette théorie, la notion de la tempe- 
rature des espaces planétaires, les lois mathématiques de la 
chaleur rayonnante, les équations différentielles du mouve- 
ment de la chaleur dans les liquides, n'ont point encore fixé 


AUX ÉQUATIONS TKANSCENDANTES. 145 


l'attention de tous les principaux géomètres. Les vérités ma- 
thématiques, quoique exactement démontrées , ne s’établis- 
sent qu'après un long examen. Les théorèmes généraux qui 
m'ont servi à intégrer les équations différentielles s'appli- 
quant à un grand nombre de questions physiques qui n'a- 
vaient point été résolues, la connaissance de ces théorèmes 
et la méthode d'intégration qui en dérive sont devenues 
assez générales; mais les autres résultats de la théorie sont, 
pour ainsi dire, encore ignorés. Quant à l'équation trans- 
cendante déterminée qui exprime le mouvement de la cha- 
leur dans le cylindre, elle se reproduit dans des recherches 
physiques très-diverses : c'est pour cette raison que j'en 
présente aujourd’hui l'analyse avec de nouveaux développe- 
ments. 

On a objecté, durant plusieurs années, que les équations 
déterminées qui servent à exprimer le mouvement de la 
chaleur dans la sphère ont des racines imaginaires , et l'on 
a cité, comme exemple, l'équation très-simple tang. zx — o. 
Comme elle est formée des deux facteurs sin. x et sec. He, 
on concluait qu’elle doit avoir, 1° les racines réelies de l'équa- 
tion sin, x —0o, 2° les racines de l'équation sec. x—o, qui 
ne peuvent être qu'imaginaires. 

J'ai discuté avec soin celles de ces objections qu’il m'a paru 
nécessaire de réfuter, et j'ai écrit à ce sujet des notes assez 
étendues , qui sont annexées au premier Mémoire , et dépo- 
sées aux archives de l'Institut. Elles ont été communiquées 
à plusieurs géomètres, et il n'y a personne qui ne puisse en 
prendre connaissance. Ces pièces ont été remises à M. La- 
place, qui , selon son usage , a bien voulu inscrire de sa main 
la date de la présentation, savoir le 29 octobre 1809. J'ai 


EX: 19 


146 APPLICATION DE L'ANALYSE ALGÉBRIQUE. ETC. 


rappelé spécialement dans ces notes l’objection relative aux 
racines de l'équation tang. x—o ; et pour la réfuter j'ai 
prouvé, non pas que l'équation sec. x—o n’a aucune racine 
ni réelle ni imaginaire, ce qui ne serait pas conforme aux 
principes d’une analyse exacte, mais que les racines imagi- 
naires de cette équation sec. æ—0o n'appartiennent point à 
l'équation tang. x—0o. On n'avait pas encore eu l’occasion 
de remarquer qu'il y a des cas où une fonction n'est pas ie 
produit de tous les facteurs du premier degré correspondant 
aux racines de l'équation dont le premier membre est la 
fonction elle-même ; je montrai que, pour l'équation dont il 
s'agit, tang. æ — 0, ce produit est sin. , et non point tang. x. 

Je termine ici ce Mémoire, en omettant des développements 
qui n'appartiendraient qu'aux traités généraux d'analyse. 
Ces considérations sur les propriétés des fonctions transcen- 
dantes, et sur leurs rapports avec l'analyse algébrique, mé- 
ritent toute l'attention des géomètres. Elles montrent que 
les principes de la résolution des équations appartiennent 
à l'analyse générale, dont elles sont le vrai fondement. 

L'étude approfondie de la théorie des équations éclaire 
des questions physiques trèes-variées et très-importantes , 
par exemple celles qui représentent les dernières oscillations 
des corps, ou divers mouvements des fluides, ou les condi- 
tions de stabilité du système solaire, ou enfin les lois natu- 
relles de la distribution de la chaleur. 


TT 


RECHERCHES 


SUR 
LA CHALEUR SPÉCIFIQUE DES FLUIDES ÉLASTIQUES 


Par M DULONG. 


Lu à l’Académie royale des Sciences , le 18 mai 1828 


PREMIÈRE PARTIE. 


Pour traiter une multitude de questions théoriques ou pra- 
tiques, on a besoin d'estimer les quantités de chaleur qui 
correspondent à une certaine variation thermométrique de 
tel ou tel corps, et, par conséquent, de connaître la chaleur 
spécifique des divers substances solides, liquides ou gazeuses. 
ainsi que les lois des variations de cet élément, lorsqu'il ne 
demeure pas sensiblement constant. 

L'importance de la détermination exacte de ce coéfficient 
specifique s’est fait sentir depuis long-temps : on en peut 
juger par les nombreux travaux qui se rapportent à ce sujet. 

Les méthodes expérimentales applicables aux corps so- 
lides et aux liquides ont, dans ces dernières années, recu 
des perfectionnements remarquables. Quant aux fluides élas- 
tiques, il se présente d’autres difficultés, qui proviennent, 


19. 


148 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 

en majeure partie, de ce que leurs dernières particules étant 
douées d’une mobilité toujours très-grande, mais inégale 
pour chacun d'eux, les effets que l’analogie porte à regarder 
comme devant servir de mesure aux chaleurs spécifiques, 
peuvent, dans ce cas, dépendre encore d’une autre cause, 
et quelquefois même devenir entièrement étrangers aux dif- 
férences de chaleur spécifique. D'ailleurs, à l'ég dd de cette 
classe de corps , la question acquiert lié d’étendue : les va- 
riations de température nécessairement accompagnées d’un 
changement correspondant de volume, dans les solides et 
les liquides, peuvent être observées isolément dans les fluides 
élastiques ; en sorte que, pour ceux-ci, la chaleur spécifique 
peut et doit être envisagée de deux manières différentes : ou 
bien, avec changement de volume, sous une pression con- 
stante, ou bien, sous un volume invariable, avec une élasti- 
cité plus ou moins grande. Enfin, il est très-probable que 
des changements de volume aussi grands que ceux qui peu- 
vent s’observer dans les gaz, entraînent des variations con- 
sidérables dans le coëfficient de la chaleur spécifique ; ce qui 
rend indispensable la recherche des lois de ces variations. 

Malgré les efforts multipliés d'un grand nombre de phy- 
siciens qui se sont occupés de ces questions, on peut dire 
que nous sommes encore bien loiu d'en posséder une solu- 
tion complete. 

Je ne retracerai pas ici L'Higtéiée des premières tentatives 
dont les défauts ont depuis long-temps éte signalés; toute 
incertitude semblait enfin avoir cessé, du moins quant aux 
chaleurs spécifiques des gaz soumis à une pression constante, 
par le travail très-étendu et justement estimé de MM. Laroche 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 149 


et Bérard (1}, lorsque M. Haycraft, d'abord, et ensuite MM. de 
La Rive et Marcet sont venus révoquer en doute les résultats 
des physiciens français, et chercher, par des moyens diffé- 
rents , à établir ce principe : que tous les gaz simples ou coin- 
posés ont, sous le même volume et à force élastique égale, 
la même chaleur spécifique. 

On doit regretter que le premier n'ait pas décrit ses ap- 
pareils avec tous les détails nécessaires, pour permettre 
d'apprécier les causes d'erreur que comporte sa méthode. 
Les circonstances qui, à une certaine époque , paraissent les 
plus indifférentes, peuvent acquérir une haute importance, 
lorsque la science a fait quelques pas de plus. 

L'appareil de M. Haycraft (2) ne diffère pas essentiellement 
de celui que MM. Laroche et Bérard avaient employé. Mais, 
au lieu de mesurer, comme ceux-ci, l'élévation de tempé- 
rature produite, dans le calorimètre, par un certain volume 
de gaz, M. Haycraft a établi, l’un à côté de l’autre, deux 
appareils semblables en tout, et il a cherché à constater si, 
toutes les circonstances étant les mêmes de part et d'autre, 
des volumes égaux de deux gaz différents cédaient aux deux 
calorimètres des quantités de chaleur égales ou inégales. 

De ces expériences il croit pouvoir déduire cette loi géné- 
rale : que tous les gaz simples ou composés ont, à volume 
égal, la méme capacité pour la chaleur. Quoique l'auteur 
ne s'explique point à cet égard, il est évident que sa propo- 


(1) Annales de Chimie, t. Lxxxv, p. 72 et 115. 
(2) Edinburg's philosoph. Transact., Annales de Chim. et de Phys., 


t. XXVI, P. 298. 


190 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


sition concerne seulement les fluides élastiques soumis à 
une pression égale et constante. 
Nous ferons d'abord remarquer que l'auteur n’a expéri- 


menté que sur six gaz différents, dont quatre sont simples, 
et que, des deux autres qui sont l'acide carbonique et le gaz 
oléfiant, le dernier a constamment indiqué une capacité su- 
périeure. Déja :es résultats de MM. Laroche et Bérard et les 
remarques que nous avions faites sur l'erreur qui devait 
affecter spécialement le coëfficient relatif au gaz hydrogène(1), 
rendaient très-probable que les gaz simples ont, sous le 
mème volume , la même chaleur spécifique. 

Les expériences de M. Haycraft tendent à confirmer cette 
proposition; mais je ne pense pas qu’elles autorisent à y 
comprendre aussi les gaz composés. L’acide carbonique est 
le seul corps de cette classe dont la chaleur spécifique n'ait 
pas excédé celle des gaz simples, et, lors même que le pro- 
cédé expérimental ne donnerait prise à aucune objection, 
il ne serait pas permis d'étendre, à tous les autres corps, le 
resultat d’une observation faite sur un seul. Malheureusement 
l'omission de tous les détails dans la description des parties 
essentielles de l'appareil, ne laisse pas la possibilité de lever 
les doutes que suggère la lecture du Mémoire de M. Haycraft. 
Il aurait été utile de savoir comment les serpentins étaient 
disposés dans les calorimètres , si toutes leurs courbures 
etaient placées dans le même plan horizontal ou vertical ,ou 
si elles avaient la forme de l’hélice qu’on leur donne assez 
souvent; de savoir, enfin, si le gaz entrait par la partie su- 


(1) Annal. de Chim. et de Phys. , t. x, p. 406. 


DES FLUIDES ELASTIQUES. 11 


périeure ou par l'extrémité inférieure : aucune de ces circon- 
stances n’est indifférente. 

Il paraît que M. Haycraft a fait usage d'un thermomètre 
à boule; et il passe entièrement sous silence l'artifice qu'il a 
dû employer pour évaluerexactement la températuremoyenne 
du calorimetre. Le comte de Rumford avait proposé de placer 
dans l'axe de l'instrument un thermomètre à réservoir cylin- 
drique, d’une longueur égale à la profondeur du premier. 
J'ai fait voir anciennement que ce moyen pouvait encore oc- 
casionner des erreurs assez grandes, et qu'il était bien pré- 
férable de mélanger toutes les parties du liquide, afin de 
leur donner uné température uniforme. Ne connaissant, du 
reste, ni la construction du calorimètre , ni la manière dont 
l’auteur s’en est servi , il est impossible de prononcer avec 
certitude sur le genre d’erreur inhérent à ce procédé ; mais, 
puisque M. Haycraft ne fait mention d'aucune précaution 
spéciale pour se garantir des effets de l’inégale distribution 
de la chaleur qui a pu résulter de ce que des gaz différents, 
en parcourant un même conduit, perdent plus ou moins 
promptement leur exces de température, les circonstances 
étant égales d'ailleurs, il est tres-probable que la différence, 
assez faible, qui existe entre la capacité de l'acide carbo- 
nique et celle des gaz simples, aura été masquée, dans ses 
expériences , par la cause que je viens de signaler. 

Quelque temps après, MM. Aug. de La Rive et Marcet 
publièrent, sur le même sujet, un travail fort étendu (1), 
et, par un procédé tout autre, parvinrent à la même con- 


(x) Annal. de Chim. et de Phys., t. xxxv, p. 35. 


152 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


clusion que M. Haycraft; avec cette différence, cependant, 
que la loi annoncée par celui-ci se rapporte aux gaz soumis 
à une pression égale et constante, tandis que MM. de La Rive 
et Marcet supposent un volume constant. Le talent bien 
connu de ces jeunes physiciens, le soin avec lequel les ob- 
servations paraissent avoir éte faites, la simplicité de la loi, 
sa coïncidence avec les résultats de M. Haycraft, tout semble 
concourir pour donner une grande probabilité à l'opinion 
des savants Génevois. Cependant, si l'on soumet à un exa- 
men réfléchi les principes sur lesquels repose leur méthode 
expérimentale, on ne tarde point à s'apercevoir que le phé- 
nomèene auquel ils ont eu recours, est trop complexe pour 
qu'il soit possible d'en tirer une mesure de la chaleur spéci- 
fique des gaz. 

C'est en observant le refroidissement ou le réchauffement 
d'un même volume de tous les gaz contenus dans le même 
vase, et placé sous les mêmes influences , qu'ils ont cru pou- 
voir déterminer {es rapports de leur chaleur spécifique. En 
these générale, il existe, en effet, une relation nécessaire 
entre la chaleur spécifique d’un corps et le temps qui s'écoule 
pendant qu'il subit une certaine variation thermométrique, 
sous l'influence d’une cause extérieure. 

Nous avons fait connaître, Petit et moi (1), les précautions 
qu'il convient de prendre à l'égard des corps solides, pour 
que la relation dont il s'agit se présente de la manière la plus 
simple, et que l'observation du temps de refroidissement ou 
de rechauffement donne immédiatement le rapport des cha- 


(1) Annal. de Chim. et de Phys., 1. x, p. 400. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 153 
leurs spécifiques. La première condition à remplir, c’est que 
la quantité de chaleur absorbée ou perdue par l'enveloppe 
destinée à contenir les corps soumis à l'observation ne soit 
pas une fraction trop grande de la totalité de la chaleur per- 
due ou gaguée dans l'expérience; voilà ce qu'il est presque 
impossible de réaliser avec les fluides élastiques. 

Les premieres expériences de MM. de La Rive et Marcet 
ont été faites dans un ballon de verre de 4 cent. de diamè- 
tre et de : millim., environ, d'épaisseur. Avec ces dimen- 
sions , le poids du verre devait être de 7,017, et celui de 
l'air à 0",65, et à 200 de 0‘,036 ; la quantité de chaleur né- 
cessaire pour faire varier la température de l'enveloppe, dans 
le rapport de 126: 1 avec celle qu’aurait exigée, pour s’éle- 
ver d'un même nombre de degrés, l'air qu’elle contenait. 
Pour un autre gaz possédant une capacité de 0,25 plus 
grande que celle de l'air, la chaleur correspondante à cette dif- 
férence de capacité ne ferait que la + partie de la quantité 
totale. Comment serait-il possible d'apprécier d'aussi petites 
fractions. Le refroidissement ou le réchauffement du même 
nombre de degrés, dans ces deux cas, correspondrait à des 
temps qui ne différeraient que de 36 tierces sur 5". 

Dans les premiers essais, on plongeait subitement, dans 
nn bain d'eau à 30°, le ballon successivement rempli de 
divers gaz sous une même pression et à la température ini- 
tiale de 20°. Le réchauffement produit en 4”, et mesuré par 
l'augmentation même d’élasticité de chaque fluide, s’est 
trouvé différent pour chacun d'eux; résultat que les auteurs 
ont , avec raison, attribué à une différence de conductibi- 
lité pour la chaleur. 

Déja, plusieurs fois, les physiciens ont cru reconnaître 


3180 ù 20 


154 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


une grande inégalité de la part des divers fluides élastiques, 
dans la propriété de conduire ou de transporter la chaleur ; 
mais cette propriété n’a pas toujours été bien nettement 
définie. Ce que nous avons nommé pouvoir refroidissant des 
fluides élastiques (1) est un effet composé qui dépend tout 
à la fois et de leur capacité pour la chaleur, et de l'inégalité de 
masse de leurs dernières particules, d'où résulte l'inégalité 
des vitesses qui leur sont communiquées par une même im- 
pulsion. Nous avons fait connaître les moyens de mesurer 
exactement ce coefficient et les lois suivant lesquelles il varie 
avec la force élastique de chaque gaz et l'excès de tempé- 
rature du corps chaud. Toutes les fois qu'il s’agira d'évaluer 
la perte de chaleur occasionnée, dans un corps, par le 
contact d’un gaz dont l’élasticité sera connue, ainsi que la 
différence de température, cet effet pourra se calculer d'a- 
près les principes établis dans le Mémoire cité. Mais souvent 
on a moins à s'occuper de la quantité de chaleur enlevée que 
de la promptitude plus où moins grande avec laquelle une 
masse de gaz se met en équilibre de température avec les 
parois qui servent à la contenir. Dans ce cas, il faut avoir 
égard , seulement à l'inégale mobilité des particules fluides ; 
mais ce genre de phénomènes subordonné aux dimensions et 
à la configuration du vase ne peut plus être soumis au calcul. 
Avant que cette propriété fût bien constatée et rapportée à sa 
véritable origine on attribuait à des différences de capacité 
pour la chaleur , des phénomènes tout-à-fait étrangers à cet 
élément, et qui ne dépendent que de la densité plus ou moins 


(1) Annal. de Chim. et de Phys., t. var. p. 350, 


DES FLUIDES EÉLASTIQUES. 155 


grande des divers fluides. Suivant la disposition des appareils, 
on était porté à tirer des conséquences contraires sur l’ordre 
de supériorité des gaz relativement à la chaleur spécifique. 
Ainsi, dans le cas où c'était un thermomètre plongé dans la 
masse fluide, le gaz ie plus facile à mettre en mouvement pro- 
duisait un effet plus marqué; ce qui devait le faire regarder 
comme possédant une capacité plus grande (1). Si l'on re- 
cherchait, au contraire, les temps que deux volumes égaux 
de gaz différents exigeaient pour se mettre en équilibre de 
température avec les parois, c'est le gaz le plus mobile qui 
demandait le moins de temps, et qui paraissait avoir la capa- 
cité-la plus faible (2). 

MM. de La Rive et Marcet ont pensé qu'ils pourraient se 
mettre à l'abri des effets de la conductibilité en employant 
quelques-unes des précautions que nous avons indiquées 
dans notre Mémoire sur la chaleur spécifique des corps 
solides (3). Au lieu d’échauffer brusquement l'enveloppe, ils 
l'ont placée dans une enceinte vide, dont les parois étaient 
maintenues à une température constante et peu supérieure 
à celle des gaz. Des lors, ils n'ont plus aperçu de différence 
sensible entre les températures prises, pendant le même 
temps, par tous les gaz; d'où ils ont conclu que tous posse- 
dent, à volume égal , la même capacité pour la chaleur. 

Quoique l’on désigne par le même nom , dans les solides 
et les gaz, la propriété de transmettre la chaleur, il ne faut 
pas oublier que la conductibilité des solides, qui n’est sans 


(1) Mémoires d'Arcueil, 1. 1, p. 201. 
(2) Journal de Physique, novembre 1819, t. zxxxix, p. 337. 
(3) Annal. de Chim. et de Phys., t. x, p. 400. 


20. 


156 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


doute qu'un rayonnement à petites distances , est d’une na- 
ture très-différente du transport des parties du fluide inéga- 
lement chaudes , lequel constitue, à proprement parler, la 
conductibilité des gaz. Pour se rendre raison du résultat ob- 
servé par MM. de La Rive et Marcet, et qui me paraît se 
rattacher encore à cette dernière paopriété et non à la capa- 
cité, il faut se rappeler 1° que les quantités absolues de 
chaleur prises par les gaz, dans ces expériences, formaient 
une si petite fraction de la chaleur totale du système , qu'on 
peut ne pas y avoir égard. 2’ Que les temps employés par les 
divers gaz pour s'échauffer d’un même nombre de degrés, 
dépendent exclusivement , dans les conditions de l'expérience 
dont il s’agit, de la rapidité plus ou moins grande du mé- 
lange des parties intérieures du fluide avec les parties exté- 
rieures, qui reçoivent seules la chaleur, par communica- 
tion immédiate des parois de l'enveloppe. 3° Que, à force 
élastique égale pour tous les fluides ayant la même force 
élastique, ces temps différeraient d’autant plus entre eux 
que l'excès de température du même vaseserait plus con- 
sidérable; de sorte que si ses parois s’échauffaient très- 
lentement, la différence pourrait devenir insensible. 4° Que 
dans le mouvement progressif de la température, le gaz 
doit toujours indiquer une moyenne inférieure à la tem- 
pérature réelle des parois au même instant; mais que le mé- 
lange des parties inégalement chaudes d'un même gaz se 
faisant d'autant plus rapidement que ses molécules sont 
plus distantes ou que sa force élastique est plus petite, la 
quantité dont la température du fluide est en retard sur celle 
du vase, doit diminuer avec l’élasticité de ce fluide, et l’éga- 
lité du réchauffement des gaz de nature diverse, paraître 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 157 


d'autant plus exacte, que les fluides que l’on compare ont une 
élasticité moindre. 

C’est surtout ce dernier résultat, c’est-à-dire la diminution 
du temps nécessaire pour produire le même effet thermome- 
trique , dans le même volume d’un gaz de plus en plus raré- 
fié, qui a paru à MM. de La Rive et Marcet un argument 
sans réplique en faveur de leur procédé; et, dans un nou- 
veau travail, dont un extrait nous a été communiqué dans 
la dernière séance de l’Académie; ils reproduisent la même 
idée qu'ils avaient déja énoncée dans le premier Mémoire, 
savoir : que, puisque leur appareil est assez sensible pour 
montrer la diminution de capacité qui tient au changement 
de densité, il doit encore l'être suffisamment pour accuser 
la différence de capacité qui tiendrait à la diversité de na- 
ture; mais il me semble que, pour rendre ce raisonnement 
péremptoire, il faudrait commencer par prouver que l’in- 
égalité des temps de réchauffement de volumes égaux du 
même gaz pris avec des densités différentes, dépend exclusi- 
vement de l'altération survenue dans la chaleur spécifique. 
Essayons de vérifier si les résultats en question peuvent se 
concilier avec cette supposition. 

On trouve, dans le Mémoire de MM. de La Rive et Marcet (1), 
une série d'observations relatives à l'air atmosphérique, d’une 
force élastique comprise entre 65 et 26 centimètres. Au lieu 
des temps employés pour un réchauffement égal, dans les 
divers cas, c’est le nombre des degrés de température gagnés 
pendant le même temps qui est indiqué ; ce qui rend la com- 


(x) Annal. de Chim, et de Phys. , t. xxxv, p. 28. 


158 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


paraison un peu plus pénible. Toutefois si, en partant des 
autres données de l'expérience rapportées plus haut, on 
calcule la température qu'aurait dû manifester le gaz, après 
l'intervalle constant de 5’, en supposant que sa chaleur spé- 
cifique füt réduite à zéro, par l'effet de la raréfaction, on 
trouve, au lieu de 69,3, qui correspond au gaz de 65 centim. 
de pression, 6,329; or, dans le tableau des observations 
que nous venons de citer, une diminution de 6 centimètres 
seulement dans l’élasticité de l'air, entraîne une différence 
déja huit fois plus grande ; en sorte que toutes les observa- 
vations conduiraient à une valeur négative (1) pour la capa- 


(x) Appelons T l'excès variable de la température de l'enceinte sur 
celle du matras ; S la surface extérieure de ce vase, e son pouvoir émissif 
ou absorbant, 7 son volume, D la densité et C la chaleur spécifique 
moyennes ; enfin # le temps. Comme il ne s’agit ici que de petites diffé- 
rences de température, on peut, sans erreur sensible, faire usage de la 
loi de Newton. La vitesse de réchauffement sera, d'après l'énoncé même 
de cette loi, proportionnelle à l'excès T de la température de l'enceinte. 


x exprimant la valeur de cette vitesse, pour 1° d’excès de température, 


REA D : 4 : o 
on aura en général ——— — n T. Or, il est facile de voir que la constante » 


dt 
est directement proportionnelle à la surface s et au pouvoir absorbant e 
(puisqu'il s'agit d'une enceinte vide), et qu'elle doit être en raison inverse 
du poids VD du corps (le gaz et son enveloppe), et de la capacité C du 


système. L'équation devient ainsi CARRE EN T, ou CAEN dt 

k RER ON DONNE TON IDIONE 
ne A Se 

et, en intégrant, log. = VDc' : en nommant À la valeur de T lorsque 


Z—=0} 
Après un temps 6, l'enveloppe contenant un certain gaz, l'excès de tem- 
pérature sera T’, et, après le même temps 6, l'enveloppe renfermant un 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 159 


cité de l'air dilaté. Ce calcul, contre lequel je ne vois pas 
qu'on puisse élever d'objection, suffirait pour montrer que 
ce n'est pas à une diminution de capacité qu'il faut attri- 


ET EL UN OM 
HA MÉENPOUS 
Séparant les éléments relatifs à l'enveloppe de ceux du gaz qu'elle ren- 


TE À 
autre gaz, l'excès sera T'’. On aura donc log. w:l0 


ferme, on aura, en nommant p le poids du verre, et c sa chaleur spécif- 


tn 


A A Re AE RSA 
que : log. T log. : :pe+pce,:p'ce'+pe; dans la série d expériences 
P’ / I 
dont il s’agit, ——=— —, pour l'air à o",65 et à 20°. Il sera donc facile 
pe 126 
de tirer, de la proportion précédente, ou la capacité c” du même gaz, dont 
le poids p'’ sera donné, ainsi que les excès T’ et T”, correspondants au 
même temps écoulé ; ou bien la valeur de T”, que l'on devrait observer si 
P ? ? 
c" prenait une valeur déterminée. 


Le 2° Mémoire de MM. de La Rive et Marcet, dont J'ai plus haut an- 
noncé l'extrait, vient de paraître pendant l'impression de celui-ci, dans le 
tome 41 des Annales de chim. et de phys., p.78. Les objections précédentes 
conservent la même force relativement aux conséquences que les auteurs ti- 
rent de leurs nouvelles expériences. Avec le ballon pesant 22 grammes et 
renfermant 0,4 gram. d'air, qu'ils ont substitué au premier, le rapport des 
quantités de châleur nécessaires pour produireune même variation de tempé- 
rature dans l'air et dans son enveloppe, serait à peu près !, au lieu de > qui 
convenait au premier appareil; ce qui n'apporterait qu’un changement 
insignifiant dans le résultat du précédent calcul 11 paraît que le réchauf- 
fement du système était encore trop rapide pour que l'hydrogène s'accor- 
dât avec les autres gaz. En recouvrant d’une feuille d'argent la surface ex- 
térieure du ballon , je suis persuadé qu'alors on ne trouverait plus de 
différence, même pour ce gaz, dont les molécules possèdent en effet une 
mobilité beaucoup plus grande que celle de tous les autres , ainsi qu'on 
peut le prévoir, en comparant les pesanteurs spécifiques de tous ces 
fluides. 


160 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


buer l’échauffement plus rapide du même volume de gaz, 
quand sa densité s’affaiblit. Je crois avoir assigné précédem- 
ment la vraie cause du phénomène. 

En définitive, il ne me paraît pas possible d'imaginer une 
disposition d'appareil, ou une manière d'opérer, qui per- 
mette de conclure les chaleurs spécifiques des gaz, de l'ob- 
servation des temps de leur réchauffement ou de leur re- 
froidissement. 

Les résultats de Laroche et Bérard sont donc jusqu'ici ceux 
qui doivent inspirer le plus de confiance; et, s'ils laissent 
encore désirer une plus grande précision , ils suffisent bien 
pour mettre hors de doute que tous les gaz simples ou com- 
posés n'ont pas, sous le même volume, une égale capacité 
pour la chaleur. 

Toutefois, ces déterminations se rapportent seulement aux 
gaz soumis à une pression constante; la question relative 
à la supposition d’un volume constant reste tout entière. 
Envisagée sous le point de vue expérimental, celle-ci pré- 
sente de beaucoup plus grandes difficultés que la première; 
jusqu’à présent, même,aucune méthode directe n’a été indi- 
quée pour la résoudre. 

Mais une des inspirations les plus heureuses de M de La- 
place a fait découvrir, dans la théorie mathématique de la 
propagation du son, certaines relations entre les chaleurs 
spécifiques d’un même gaz considérées sous ces deux aspects 
différents. 

On sait que c'est ce grand géomètre, dont nous ressen- 
tons encore si vivement la perte, qui imagina , le premier, 
que la différence entre l'évaluation de la vitesse du son dans 
l'air, par le calcul et par l'observation, pourrait bien pro- 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. Ii 
venir de ce que Newton et les géomètres qui depuis étaient 
parvenus au même résultat que lui, n'avaient point eu égard, 
dans le calcul, aux variations de température qui accom- 
pagnent les changements subits de densité dans les fluides 
élastiques. MM. Biot(1) et Poisson (2) firent voir, en effet,que, 
en tenant compte de cette cause , la vitesse calculée devait 
se rapprocher davantage de la vitesse réelle. Toutefois, on ne 
possédait point alors les données physiques indispensables 
pour vérifier complètement l'exactitude de cette conjecture(3). 

Plus tard , M. de Laplace soumit cette idée à un nouvel 
examen, et prouva que la vitesse réelle du son devait s’ob- 
tenir en multipliant la vitesse calculée d’après la formule de 
Newton, par la racine carrée du rapport de la chaleur spé- 
cifique de l'air, sous une pression constante, à la chaleur 
spécifique du même fluide , sous un volume constant (4). 

M. Poisson (5) parvint aussi au même théorème par un 
calcul plus direct et complètement débarrassé des hypo- 
thèses fort peu probables que l’auteur de la mécanique cé- 


(x) Journal de Physique, t. 1v, p. 175. 

(2) Journal de l'École polytechnique, 14° Cahier, p. 362. 

(3) C’est, sans doute, par inadvertance que le savant auteur du premier 
des deux Mémoires que nous venons de citer, cherche à déduire, de la 
seule connaissance du coëfficient de la dilatation des gaz, l'élévation de 
température qui résulterait, dans l'air, d'une compression déterminée. 
(Mémoire cité, p. 181). 

(4) Annal. de Chim. et de Phys., t. 111, p. 238 ; et Mécanique céleste, 
tv, p. 123. 

(5) Annal. de Chim. et de Phys., t. xxunr, p. 337; et Connaissance des 
Temps, 1826, p. 257. 

1 LS a 21 


162 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


leste avait adoptées touchant la manière d’être de la chaleur 
dans les fluides élastiques. 

Une expérience de MM. Clément et Désormes (1), répétée 
avec des appareils plus parfaits et dans des circonstances plus 
variées par MM. Gay-Lussac et Welter (2), permit de calculer, 
pour l'air atmosphérique, la valeur de ce rapport des deux 
chaleurs spécifiques dont il vient d’être fait mention ; et, en 
la substituant dans la formule générale, la vitesse du son 
ainsi obtenue ne différa plus, que de quelques mètres, de la 
vitesse observée. 

D'après les expériences de MM. Gay-Lussac et Welter, 
citées dans la Mécanique céleste, il paraîtrait que ce rapport 
des deux chaleurs spécifiques serait sensiblement constant 
pour l'air atmosphérique à toutes les températures et à toutes 
pressions. Cette condition introduite dans le calcul , permet- 
trait d’assigner les variations de température qui correspon- 
dent aux changements brusques de densité d’une masse quel- 
conque d'air; et, si l’on y joignait l'hypothèse, à la vérité 
fort invraisemblable, d’une capacité constante à toute tem- 
pérature sous la même pression , on pourrait arriver à l'ex- 
pression générale de la chaleur spécifique de l'air atmo- 
sphérique à force élastique constante , ou à volume inva- 


riable (3). 


(1) Journal de Physique, t. zxxxix , p. 333. 

(2) Mécanique céleste, t. v, p. 125. 

(3) Poisson, Ann. de Chim. et de Phys., t. xx, p. 341. M. Ivory, 
Philos. Magazine new series, vol. 1 ,p. 249, donne une autre expression 
du même élément; mais M. Avogadro (Memorie della reale academia delle 
scienze di Torino, t. xxxux, p. 237) a fait voir comment M. Ivory avait 


été induit en erreur. On verra plus loin que mes observations m'ont con- 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 163 


Enfin , en etendant la même supposition à tous les autres 
gaz, on pourrait résoudre toutes les questions relatives aux 
chaleurs spécifiques des divers fluides élastiques , par la seule 
connaissance du rapport des deux chaleurs spécifiques dé- 
terminé pour chacun d'eux, et au moyen d’une seule obser- 
vation faite sous une pression quelconque. Ces lois sont trop 
importantes pour que l’on ne cherche pas à les vérifier dans 
leurs principales conséquences. Lors même que les hypo- 
thèses sur lesquelles elles sont fondées ne seraient pas con- 
formes à ce qui existe, la détermination exacte du rapport 
des deux chaleurs spécifiques, pour chacun des gaz en par- 
ticulier, n’en demeurerait pas moins une acquisition tres- 
utile pour la science, puisque l’on pourrait alors conclure de 
la chaleur spécifique à pression constante, la seule que l’on 
sache mesurer directement , la chaleur spécifique à volume 
constant, qui intéresse le plus la théorie générale de la cha- 
leur, et, enfin, la quantité de chaleur correspondant pour 
chaque gaz à une dilatation ou une condensation déter- 
minée (1). 

USER VAUT pie FERA AU HOT TT LETE 2 ANT ut 


duit à une conséquence opposée à celle que le même géomètre avait tirée 


de sa théorie générale ( Phil. Magazine , t. 1, p- 253. 

(x) Les essais ingénieux de M. Dalton (Méëm. de Manch., vol. v, p. 525, 
et New System. of Chem. philos., 1.1, P- 127) pouvaient bien prouver 
que les variations thermométriques observées dans un gaz, dont on change 
brusquement la densité, étaient loin de représenter le changement de tem- 
pérature réellement produit dans le fluide élastique; mais ils n'auraient pu 
servir à une évaluation suffisamment approchée de la quantité de chaleur 
correspondant à une condensation déterminée. 

Quant au moyen indiqué par M. Despretz (Ann. de Chim. et de Phys., 
t XXXVI, p. 182) comme propre à déterminer la chaleur dégagée par Ja 


21. 


164 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


Malgré toute l’habileté des observateurs et la perfection 
des appareils, je ne crois pas que l’on puisse arriver à une 
approximation suffisante, par un moyen analogue à celui 
qu'ont employé les physiciens que je viens de citer. 

J'ai pensé qu'on y parviendrait plus sûrement en recher- 
chant la vitesse réelle du son dans chaque fluide élastique et 
en la comparant, conformément à la théorie de M. Laplace, 
avec celle qu'indiquerait la formule de Newton. 

Nous admettrons donc, comme un principe démontré, 
que le carré du quotient de la vitesse réelle du son dans un 
fluide élastique quelconque, divisée par la vitesse calculée 
d’après la formule de Newton , est égal au rapport de la cha- 


condensation de l’oxigène et de quelques gaz brûlés, il ne pourrait con- 
duire même à une approximation grossière des quantités qu'il s'agit de 
mesurer. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que la chaleur dé- 
gagée par une compression du gaz oxigène qui en doublerait la densité 
(supposition conforme à l'expérience de M. Despretz) ne ferait pas + cen- 
tième de la chaleur produite par la combinaison de ce gaz avec le char- 
bon, c'est-à-dire de la quantité que l'on mesure immédiatement par le 
mode d’expérimentation qu'il propose; et si les autres gaz abandonnaient, 
pour une même réduction de volume , des quantités de chaleur plus pe- 
tites ou plus grandes d'ou d'+, ces différences ne correspondraient qu'à 
1 ou 2 millièmes des nombres donnés par l'observation; de sorte que la 
quantité que l’on chercherait à déterminer serait au moïns quinze ou vingt 
fois plus petite que Les erreurs inévitables dans ce genre d'expériences. Si 
M. Despretz a exécuté le projet de recherches qu'il annonce dans le Me- 
moire cité, je suis persuadé qu'il n'a trouvé aucune différence entre les 
quantités de chaleur développées par la combinaison de l'oxigène d'une 
densité simple, puis double , avec le mème corps, quel que soit l'état so- 


lide ou gazeux du produit de la combustion. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 165 


leur spécifique sous une pression constante à la chaleur spé- 
cifique sous un volume constant (1). Ainsi la recherche de ce 
rapport se réduit à celle des vitesses réelles du son dans les 
divers fluides élastiques. 

Pour tout autre gaz que l’air atmosphérique, on ne peut 
songer à mesurer directement la vitesse de propagation d’une 
onde sonore ; il faut évidemment recourir à un moyen indi- 
rect. La théorie des instruments à vent en a suggéré un qui 
a été indiqué et mis, pour la première fois, en pratique par 
Chladni et Jacquin (2). Ce moyen consiste à faire parler un 
même tuyau, à embouchure de flûte, successivement avec 
tous les fluides élastiques, supposés à la même temperature, 
et à déterminer la hauteur du ton donné par chacun d’eux. 
En admettant que la colonne fluide contenue dans l'instru- 
ment éprouve le même mode de subdivision dans tous les 
cas; qu'il corresponde, par exemple, à ce que l’on nomme 
le son fondamental, où le plus grave de tous ceux que la 
théorie de Bernoulli indique pour le même tuyau, on arrive 
facilement à connaître la longueur d’une onde et sa durée 
dans chaque fluide élastique et, par conséquent, la vitesse 


(x) Soient À la hauteur du baromètre, g l'intensité de la pesanteur, D 
la densité du gaz , celle du mercure étant prise pour unité ; £ la tempéra- 
ture au-dessus de zéro, p la vitesse du son d’après l'observation; et # le 
rapport des deux chaleurs spécifiques sous une pression constante et sous 
un volume constant, on a : 


js mous min: 
7 gh.(146,0,00375) 
D 


, 


(2) Chladni , Traité d'Accoustique, p. 87 et 274. Paris , 1809. 


166 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 
avec laquelle un ébranlement se propagerait dans chacun 
d'eux (1). 

Les expériences de Chladni ne peuvent être considérées 
que comme une ébauche très-imparfaite; il serait impossible 
d’en rien tirer pour la solution du problème qui nous occupe. 

Kerby et Merrick (2) en Angleterre, perfectionnerent l'ap- 
pareil de Chladni ; ils étendirent leurs observations à un plus 
grand nombre de corps, et, surtout, mirent plus de préci- 
sion dans la détermination du nombre de vibrations propre 
à chaque ton. Peu de temps après, le professeur Benzenberg 
de Dusseldorf (3) fit de nouvelles observations, au moyen 
d'un appareil tout-à-fait identique avec celui de Chladni, mais 
en mesurant, à l’aide d'un monocorde, les nombres de vibra- 
tions de chaque son. Enfin M. Richard Van Rees prit pour 
sujet d’une thèse inaugurale soutenue à Utrecht, en 1819, 
la détermination de la vitesse du son dans les fluides élasti- 
ques (4) et exécuta, à cette occasion, dans le laboratoire de 


(x) En nommant la longueur d'une onde condensante ou dilatante , 
’ sa vitesse de propagation dans un fluide élastique, t la durée de chaque 
demi-oscillation positive ou négative d'une tranche de fluide, on a, comme 
on le sait, I—vt; ou, en prenant le nombre » de vibrations dans une 
seconde, v—Xx. Dans la théorie de Bernoulli, le nombre des concaméra- 
tions entières etant p, il existe la relation générale (p+1)}={; en appe- 
lant / la longueur d'un tuyau ouvert par les deux bouts; pour le ton fon- 
damental p—0. =; et, partant, v—/n. Si l'on se sert du même tuyau 
pour tous les gaz, on voit que les vitesses de propagation d'une onde, 
dans tous ces fluides, sont directement proportionnelles aux nombres de 
vibrations des tons qu'ils produisent. 

(2) Nicholson’s journal , t. xxvir, p. 269, et t. xxxurr, p. 161. 

(3) Annalen der Phrsik von Gilbert; neue Folge, t. xu, p. 12. 

(4) Dissertatio physico-mathematica inauguralis de celeritate sont per 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 107 


M. Moll , une longue suite d'expériences, qui paraissent avoir 
été conduites avec beaucoup de soin. On verra, cependant, 
que par les erreurs dont elles sont affectées , elles ne permet- 
traient, pas plus que les précédentes, de découvrir la loi du 
phénomène. 

La discordance des résultats obtenus par les habiles expé- 
rimentateurs que je viens de citer, ne laissait guère d’espoir 
d'arriver à une solution satisfaisante de la question par l’em- 
ploi des mêmes procédés. 

On devait soupçonner que ces observations n'étaient pas 
exactement comparables, soit parce que les gaz n'avaient pas 
toujours été exempts d’impuretés, soit parce que le mode 
d'insufflation pouvait, indépendamment de toute autre cause, 
faire varier la hauteur du ton. Je résolus donc de reconnaître 
et de vaincre, s’il était possible, les difficultés inhérentes à 
ce sujet. 

D'abord, je voulus savoir quel degré de précision on pou- 
vait attendre de ce genre d'expériences; pour cela, je fis 
parler des tuyaux de divers calibres avec de l'air atmosphé- 
rique. Ces tuyaux, à embouchure de flûte, réunissant les 
proportions que l'expérience a fait découvrir comme les 
meilleures pour obtenir un son plein et difficilement variable, 
étaient placés horizontalement dans l'air libre, et l’on y faï 
sait passer un courant d’une vitesse constante, à l’aide d’un 


fluida ‘elastica propagati. Trajecti ad Rhenum. John Altheer, in-4° 18109. 
On trouve un extrait de cet ouvrage dans le tomie xv, page 102 de la Bi- 
bliothèque universelle. Il n'existe pas dans le commerce, et je n'ai pu me 
le procurer que par l’obligeance de M, Hachette, et de M. Quetelet, de 
Bruxelles. 


168 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


gazomètre muni d'une éprouvette qui laissait juger le degré 
de pression initiale. Cette pression était ordinairement de 5 
centimètres d’eau. 

Pour mettre sa théorie à l'épreuve, Daniel Bernoulli avait 
déja comparé les tons rendus par deux tuyaux de longueurs 
différentes, fermés par une de leurs extrémités (1), mais l'un 
des deux tons était obtenu en soufflant avec la bouche, à 
quelque distance, dans un tuyau fermé par un bout : tous 
ceux qui ont fait cette expérience savent que le son produit 
ainsi n’est, ni assez distinct, ni assez soutenu pour que l'on 
puisse garantir une grande précision dans les accords. D'ail- 
leurs, de cette manière, on ne pourrait vérifier que la rela- 
tion qui existe entre la longueur des colonnes vibrantes et 
les intervalles musicaux qui leur correspondent; mais il a 
aussi cherché à déterminer, par expérience, le nombre ab- 
solu de vibrations d’un son rendu par un tuyau d’une lon- 
gueur donnée. 

Sa formule indiquait 1 15 vibrations par seconde pour le ton 
d'un bourdon de 4 pieds, et le nombre de vibrations déter- 
miné par une corde à l’unisson était de 116. La coïncidence 
semblait parfaite ; cependant, si l'on examine les données du 
calcul , on voit qu'il prend 12000 pour le rapport de la den- 
sité du mercure à celle de l'air d'une force élastique de 28 p.; 
ce qui supposerait une température de 39° centigrades, su- 
périeure de beaucoup , sans doute, à celle que possédait l'air 
au moment de l'expérience, et qui n’est point indiquée; enfin, 
si l’on fait entrer dans la formule, non plus la vitesse déduite 


(1) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris; 1762, p. 465. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 169 


de l'ancienne théorie, mais la vitesse observée dans l'atmo- 
sphère, la coïncidence, que Bernoulli avait cru remarquer, 
n'existe plus : car on trouve que , dans son expérience , le ton 
rendu par letuyau de 4 pieds fermé par un bout, devrait être, 
a la température ordinaire de 20°, de 152,7 vibr. par seconde, 
au lieu de 116 donné par la corde vibrante. L'expérience de 
Bernoulli était donc insuffisante pour la vérification dont il 
s'agit. Le même géomètre avait indiqué un procédé fort ingé- 
nieux, et qui paraît susceptible d’une grande exactitude , 
pour mesurer la longueur des colonnes d'air qui vibrent à 
plein orifice. Ce procédé consiste, comme l’on sait, à enfon- 
cer un piston gradué dans le tube sonore, jusqu'à ce que 
celui-ci rende le même ton que lorsqu'il était ouvert. La di- 
stance de la surface antérieure du piston à l’orifice du tube 
est prise pour la longueur de la colonne d’air vibrant à plein 
orifice dans le tuyau, bouché par un bout, qui serait à l’unis- 
son du premier. C’est ce moyen que j'ai d'abord employé sur 
des instruments de longueurs très-différentes. en y joignant 
la détermination du nombre exact de vibrations correspon- 
dant à chaque son. Pour ce dernier élément, la sirène de 
M. Cagniard de Latour (1) m'a paru ne rien laisser à dési- 
rer. Quand on s’est familiarisé avec cet instrument, la pré- 
cision de ses indications est presque illimitée. La sirène dont 
je me sers habituellement porte un disque mobile assez épais 
pour conserver une vitesse invariable pendant les intermit- 
tences très-couftes du courant qui la fait parler. Une souf- 
flerie d’un orgue de Grenié, qui permet d'augmenter à vo- 


(1) Annales de Chimie et de Physique, t. xur, p. 167, et t, xvut, p. 438. 
TX. 2.2 


170 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


lonté la vitesse du vent, en appuyant plus ou moins sur une 
pédale, sert à entretenir le mouvement du plateau à un degré 
tel, que le ton de la sirène se maintienne à l'unisson de celui 
que l’on veut évaluer : pour des sons purs et forts, l'oreille 
est sensible à de tres-petites différences, et en soutenant pen- 
dant 4 au moins, comme je l'ai toujours fait, le mouvement 
du plateau, si l'unisson est d’ailleurs bien observé, on voit 
que les seules erreurs que l'on puisse commettre en engre- 
nant la roue du compteur, ou en l'arrêtant, se trouvent ré- 
parties sur un intervalle aussi grand qu’on le veut, de ma- 
nière à s'affaiblir de plus en plus; d'après un principe ana- 
logue à celui de la répétition des angles. 

Il serait inutile de décrire en détail des expériences qui 
ont toutes été faites de la même manière : je me contenterai 
d'en rapporter les résultats dans le tableau ci-joint : 


171 


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Bouche libre, 

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[=] 

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[e] 

em] 

Ex 

re] Bouche couverte 

[e] d'un entonnoir 


de fer-blanc. 


Embouchure de flûte, 
traversière, 


Bouche rétrécie 
par une lame de plomb. 


“nefny np 1non$u0T 


“nefny np noie 


‘neÂn] np 1n9puo;o14 


“ayonoq e[ 2p 1n9318T 


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172 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


Toutes ces observations s'accordent à donner une vitesse 
de propagation trop petite; on voit d’ailleurs que l'erreur est 
à peu près la même en considérant des tons graves ou des 
tons aigus. Cette remarque suffit pour écarter l'idée qu’elle 
pourrait provenir de la chaleur enlevée ou cédée à la colonne 
fluide par les parois du tuyau; car, si ceteffet était sensible, 
il le serait davantage sur les tons les plus graves, produits 
par des vibrations plus lentes, et, partant, exposées plus 
long-temps à l'influence de la cause rétardatrice. 

Mais la théorie plus générale et plus conforme aux effets 
uaturels , que M. Poisson a donnée du mouvement de Fair 
dans les tuyaux de flûte (1), suggérant quelques doutes sur 
la vraie longueur de la demi-concamération finale, j'ai voulu 
essayer si, comme cette théorie l'indique, la mesure de l'in- 
tervalle entre deux nœuds consécutifs ne conduirait pas à 
des valeurs plus approchées de la vitesse du son. Le tableau 
suivant offre les résultats d’une série d'expériences dirigées 
vers ce but. 


(1) Mémoires de l'Académie des sciences; 1817, p. 303. 


1793 


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Bouche rétrécie par| 31 1 cl. Diet id. | 986 317,1 
une lame de plomb. {35 20,3] 193b,2 321,6 
Le tuyau octavie (1). 7 À 1 ] 20 |1927,2 311,4 


id, 464,6 314,5 


Le tuyau octavie 
par s pi, grand 5 984,7 336,4 
volume d'air. : 


Bouche rétrécie par HE: 
une lame de plomb, ES * : r- - de 
de manière à faire : ‘0 k 


: id, 4 nn. | 23,47 


son: 


sortir le 2 


174 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE. 


La vitesse du son calculée en partant de l’intervalle des 
surfaces nodales approcherait donc davantage, d'apres ces 
observations, de la vitesse réelle dans l'air libre. Il est très- 


(x) En faisant ces expériences, j'ai eu occasion de remarquer un fait 
assez curieux qui mérite d'être rapporté. Lorsque l'on modifie, par de- 
grés insensibles, l'ouverture de la bouche d'un tuyau de flûte ordinaire , 
ouvert par les deux bouts, on finit par lui donner une grandeur telle, que 
le son fondamental et son octave en sortent avec la même facilité. Dans ce 
cas , le tuyau rendant actuellement le ton le plus grave, si l’on agite l'air 
avec la bouche près de l'orifice du tube, perpendiculairement à sa direc- 
tion , comme pour étendre une bougie , le courant d'air générateur du 
son continuant d’ailleurs avec une vitesse constante, le ton passe à l’oc- 
tave aiguë et y persiste. Alors, si on fait sonner, par un autre tuyau, 
l'octave grave (je me servais d'une anche libre) un peu fortement, le 
tuyau de flûte repasse à l’octave grave; et cette alternative est reproduite 
par les mêmes moyens autant de fois qu'on le désire. On peut, par cet ar- 
tifice, comparer très-exactement les deux premiers tons donnés par 
le tuyau ouvert, par les deux bouts; il n’y a ici aucune altération dans 
la vitesse du courant, ni dans la grandeur de la bouche, qui puisse 
troubler le rapport des deux tons. On voit ainsi qu'ils sont presque ri- 
goureusement à l'octave l’un de l’autre (*). Je ne me suis même apercu 
d'une légère altération que par les battements , qui devenaient plus sensi- 
bles, pour l’un des sons, quand je l’associais à un ton faible d’une anche 
expressive , et plus marqués pour l’autre quand la même anche parlait plus 
fortement. 

IL n'en est pas de même des deux tons que rend le même tuyau succes- 
sivement ouvert où fermépar son extrémité opposée à l'embouchure: ils 
ne sont point exactement à l’octave l’un de l'autre. Le tuyau fermé donne 
un son qui est à peu près d'un demi-ton au-dessus de l'octave grave du 
son rendu par le tuyau entièrement ouvert. Voilà, du moins , le rapport 
que l'on observe pour un tuyau de la dimension que je viens d'indiquer. 

(*) Le tuyau avait 60 cent. de longueur; il donnait à peu près lus du milieu du 


glavier. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 179 


remarquable que, dans la même expérience qui donne un 
résultat moins erronné par l'intervalle de deux nœuds con- 
sécutifs, la demi-conéamération finale donne toujours, au 
contraire, un écart plus grand. Tel est le résultat obtenu 
avec des tuyaux bien proportionnés, c'est-à-dire! éonstruits 
d’après les règles des facteurs d’orgues; maïs c'est'!le con- 
traire sur le tuyau de la 63° expérience, beaucoup plus al- 
longé, et dont il était difficile d'obtenir le son fondamental ; 
la plus légère augmentation dans la vitesse du courant le fai- 
sant octaviér. ê } 

On peut conclure de tout ce qui précède, que la valeur 
absolue de la vitesse du son! dans l'air libre! ne peut être 
exactement déduite de li position’des surfaces nodales dé- 
terminée par le procédé de Daniel Bérnoulli;lérsque d’ailleurs 
la durée des vibrations de la colonne d'air ne laisse aucune 
incertitude dans $a mesure. 

Le nombre 333" que j'ai adopté pour la vitesse à 0° ëst la 
moyenned’untrès-grand nombre d'observations directes faîtes 
dans l'air libre par divers physiciens. J'ai vérifié, par l'expé- 
rience, que le coëfficient L/1-E0,00375 c représente fidèlement 
les variations qui dépendent de l’inégalité des températures, 
du moins entre 4°'et 22° centigr. J'ai trouvé; parexemple ,que 
le même tuyau , pour lé même mode de division: de la!to- 
lonne d'air, rendait à 39° un sonde 500 vibrations'par se- 
conde, tandis qu’à 4° le son correspondait seulement à484;8. 
La formule , en partant du premier nümbre, indiquait 484,2: 
qui ne differe que d'un millième environ du hombré obtent 
par l’observation: F1 

Nous avons déja rejeté, comme contraire à l'expérience, 
la supposition que les parois du tuyau influent,surlastem- 


176 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


pérature de la colonne d’air pendant les diverses périodes de 
ses oscillations. La vitesse de propagation du son serait-elle 
donc moindre dans une colonne cylindrique isolée de fluide 
élastique que dans le même milieu indéfiniment étendu dans 
tous les sens, comme M. Poisson a reconnu que cela devait 
être pour un milieu à l’état solide? La différence de consti- 
tution des solides et des fluides élastiques rend cette con- 
jecture peu probable. La discordance que nous observons 
entre les résultats de la théorie et ceux du calcul , me paraît 
tenir beaucoup plus vraisemblablement à ce que l'on sup- 
pose, dans la théorie mathématique des tuyaux de flûte, 
que les vibrations s’exécutent parallèllement à l'axe du tuyau, 
et qu'il n'y a aucun mouvement dans le plan perpendiculaire 
à cette ligne; ce qui n’a pas lieu avec le mode d'embouchure 
généralement employé, ainsi que M. Savart s’en est assuré 
par des expériences très-concluantes (1). Je suis très-porté à 
croire aussi , d'apres l'ensemble de mes chservations , que les 
surfaces nodales qui s’établissent quand le tuyau est ouvert, 
ne sont pas de la même forme et n’occupent pas le même 
lieu lorsqu'on obtient le même ton du tuyau après l'intro- 
duction du piston. 

J'ai voulu savoir si, avec un mode d’ébranlement plus con- 
forme aux suppositions de la théorie, on arriverait à une 
solution plus exacte. J'ai donc cherché à ébranler la colonne 
d'air renfermée dans un tuyau bouché par un bout, en fai- 
sant vibrer, à l'extrémité ouverte, une lame élastique dont 
le ton pouvait être déterminé fort exactement : c'était d’a- 
bord un simple diapason, dont je plaçais une des branches 


(x) Annales de Chimie et de Physique, t. xx1x, p. 406. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES: 177 
dans le plan de l’orifice d’un tube queje raccourcissais, à 
volonté , en y vérsant du mercure, jusqu’à ce que le ton rendu 
par le tuyau, et qui était toujours le même que celui de la 
tige élastique, fût le plus fort possible. Alors, en mesurant 
la longueur du tube, on pouvait, comme précédemment, 
en conclure une valeur de la vitesse du son. En faisant ces 
expériences, on s'aperçoit bientôt de la réalité du résultat 
auquel M. Poisson a été conduit par sa théorie, savoir : que 
le même tuyau peut rendre une infinité de sons peu difié- 
rents les uns des autres; ou, ce qui est la même chose, 
que le même son peut être obtenu de tuyaux différents: 
mais j'ai toujours employé la profondeur correspondant au 
son le plus intense. 

À la température de 20°, une verge élastique qui rendait 
un son de 504 vibrations par seconde, faisait résonner le 
plus fortement une colonne d'air de 33°2 de longueur et 
renfermée dans un tuyau bouché par un bout. En consi- 
dérant la longueur de cette colonne comme une demi-con- 
camération finale , elle correspondrait à une vitesse de 334", 
au lieu de 345",2. — J'ai fait souder un disque de cuivre de 
2 centimètres de diamètre à chacune des branches d’un autre 
diapason; ce qui a fait descendre le ton d'une tierce et ; de 
ton : J'ai déterminé le nombre des oscillations correspondant 
à cette modification de l'instrument , et, en le faisant vibrer 
à l'orifice d'un tube dont je variais à volonté la profondeur; 
j'ai déterminé celle qui donnait le son le plus intense: 


Nombre de vibrations............ . 664,4; 
Profondeur du tube ............ suis 220: 
Profondeur d'après la théorie. .... s e20;19; 


FX: 23 


178 RECHERCHES SUR LA! CHALEUR SPÉCIFIQUE 


Ainsi ce nouveau mode d'ébranlement, qui doit produire 
des mouvements parallèles à l'axe du tuyau, conduit encore 
arune vitesse trop faible; mais cela tient, sans doute, à ce 
que l’orifice se trouve plus ou moins obstrué par la pré- 
sence de la lame solide vibrante. Dans la 2° expérience, où 
la lame élastique couvre une plus grande partie de l'orifice, 
on voit, en effet, que la difiérence est plus grande : au sur- 
plus, comme il s'agirait ici de comparer les intensités de 
plusieurs sons successifs, on ne pourrait pas espérer d'un 
procédé fondé sur ce principe , une précision suffisante pour 
l'objet qui nous occupe. 

Il me paraît bien établi, par les expériences ci-dessus 
rapportées, que la relation indiquée par la théorie entre la 
vitesse du son dans l'air libre, et la longueur, telle qu’on sait 
l'observer, des concamérations qui se forment dans un tuyau 
de flûte , ne se vérifie pas exactement: j'avais en vue quelques 
autres expériences propres à manifester d’une manière plus 
évidente la cause de cette discordance; mais , afin de ne pas 
m'écarter du sujet principal de mes recherches, j'ai préféré, 
pour le moment, de m'assurer si l'erreur, quelle qu’en soit 
la cause, n'affecterait pas proportionnellement lamesure de la 
vitesse de propagation du son dans tous les fluides élastiques. 
J'avoue que , en lisant un Mémoire de M. Biot sur ce sujet(r), 
je me sentis presque découragé, en voyant que le même 
tuyau enflé successivement avec plusieurs fluides élastiques 
se trouvait partagé en colonnes vibrantes de longueurs fort 
inégales ; cependant, comme la cause de cette inégalité ne 
me parut pas très-clairement expliquée, et que, d’ailleurs, 


(1) Bulletin de la Société philomatique; 1816, p. 192. 


DES FLUIDES ; ÉLASTIQUES: 179 


j'attachais une grande importance à la détermination qui fait 
l'objet de ces recherches, je voulus reconnaître moi-même 
quel genre d'obstacles il fallait, surmonter. Je construisis 
donc un appareil qui permit de comparer le plus nettement 
possible les sons donnés par le même tuyau, que l'on ferait 
parler successivement avec divers fluides élastiques, et: de 
rechercher comment les surfaces nodales se déplaçaient en 
substituant: un fluide à un autre; soupçonnant que l’impul- 
sion variable pour les'divers gaz pouvait influer sur le ré- 
sultat ; je me:suis attaché à rendre les expériences plus exac- 
tement comparables. 

Le tuyau de flûte, placé dans une grande:caisse de bois 
doublée de plomb en dehors et en dédans ;etconvenablement 
étayée dans l'intérieur pour supporterextérieurementla pres- 
sion de l'atmosphère, recevaitd'un gazomètre, à pression con- 
stante, le fluide élastique préalablement desséché par un sel 
déliquescent ou par dela chaux caustique. Sur la face dela 
caisse opposée à celle qui était traversée par le porte-vent, 
on avait pratiqué trois ouvertures : l’une, bouchée par un 
disque de glace, derrière lequel était un thermomètre; l'ou- 
verture du milieu communiquait avec un large tube de verre 
qui pouvait être fermé par un bouchon à vis; enfin, la troi- 
sième ouverture laissait passer, à travers une boîte à cuir, 
une longue tige rodée qui servait à introduire un piston 
dans le tuyau afin de connaître, la position dela ‘surface 
nodale. Après avoir fait le vide dans:la caisse à l'aide d'un 
tube de plomb que l’on vissait sur la machine pneumatique, 
on la remplissait avec un fluide élastique ; puis, én ouvrant 
le bouchon à vis, l'écoulement du gaz qui faisait parler le 
tuyau:continuait sous la pression constanteide l'atmosphère, 

4 23, 


180 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


sans que l'air extérieur püt se mêler avec le gaz intérieur ; 
après avoir pris l'unisson du ton fondamental done par 
chaque fluide élastique, lorsque le tuyau était ouvert, on 
introduisait le piston, pendant que l'écoulement du gaz et 
le son se prolongeaient , jusqu'à ce que l’on eût obtenu le 
ton primitif; alors l’enfoncement de la tige permettait, dans 
chaque cas, de connaître la position de la surface nodale. 
Toutes les précautions que j'avais prises pour rendre les ré- 
sultats comparables m'ont permis de reconnaître bientôt, 
contre l’assertion de notre savant confrère, que la nature du 
fluide élastique n'apporte aucun changement dans le mode 
de division d'une colonne de même longueur. Si l’on cher- 
chait à déterminer la vitesse absolue de propagation du son 
dans les divers fluides, d’après la distance de la surface no- 
dale à l'orifice du tuyau, on trouverait, dans cette circon- 
stance, une erreur plus grande encore que dans les exemples 
précédemment cités; car, pour le même nombre de vibra- 
tions, la colonne est plus courte : ce serait à peu près la 
même chose que si, avec la disposition ordinaire, l’on pre- 
nait pour base la demi-concamération tournée du côté de 
l'embouchure. Il arrivait même, dans mon appareil, que, 
par les proportions accidentelles de longueur et de diamètre 
du tube d’éceulement, la surface nodale était sensiblement 
au milieu du tuyau, c'est-à-dire que l'influence de toutes les 
parties extérienres était précisément la même que celle de 
son embouchure. Je ne crois pas qu'il faille chercher ailleurs 
que dans la moindre ouverture de la bouche, comparée à 
l'orifice du tuyau , la cause de l'inégalité de longueur des deux 
concamerations situees de partet d'autre de la surface no- 
dale, dans un tuvau ouvert, et qui reud ie son fondamental. 


DES FNUIDES: ÉLASTIQUES: 111) r8r 


On voit, en effet, dans l'expérience que je viens de décrire, 
qu'un obstacle quelconque, apporté au mouvement de l'air 
du côté de l’orifice, a pour résultat de faire avancer la sur- 
face nodale de ce côté, c'est-à-dire de raccourcir la colonne 
vibrante. Quoi qu’il en soit, il est certain que, avec les gaz 
les plus différents par leurs propriétés physiques , tels que 
le gaz hydrogène et le gaz acide carbonique, la surface no- 
dale était exactement à la même place. Ce point était trop 
capital pour que je ne cherchasse pas à le mettre hors de 
doute ; aussi ne l’ai-je admis comme un fait positif et géné- 
ral, qu'après l'avoir vérifié sur six gaz différents : mais, ce 
principe une fois reconnu, il est évident qu'il suffit de con- 
stater les nombres de vibrations correspondant aux tons 
obtenus des mêmes tuyaux, parlant successivement avec tous 
les fluides élastiques; ces nombres exprimeront les rapports 
des vitesses de propagation du son dans les divers fluides. 
On pourra donc déterminer, par un calcul très-simple (1), 
la valeur du rapport de la chaleur spécifique sous une pres- 
sion constante, à la chaleur spécifique sous un volume con- 
stant pour tous les fluides élastiques autres que l'air atmos- 
phérique; la valeur de ce mème rapport étant donnée, quant 
à ce dernier fluide, par la comparaison de la vitesse réelle de 


(1) Soient » et »’ les nombres de vibrations en une seconde de deux 
sons rendus par le même tuyau, le premier avec l'air atmosphérique, le 
deuxième avec un autre gaz d’une densité — P, celle de l'air étant 1; Æle 
rapport des deux chaleurs spécifiques à pression constante et à volume 
constant, pour l'air; #’, la quantité analogue pour l’autre gaz; on a la re- 
Vi H0,003754) V4 


lation très-simple : r2 : n°: : V/(1-0,00375e) V4 : VE Ù 


où #' 


est la seule quantité inconnue. 


182 RECHERCHES SUR: LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 

propagation\du son dans l'atmosphère avec la vitesse calculée 
d'apres la formule de Newton. La table suivante présente 
des résultats relatifs à six fluides élastiques, choïsis convena- 
blement parmi ceux que l’on peut se procurer en assez grande 


quantité. 


DES /FLUIDES ÉLASTIQUES: 183 


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184 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


C'est, surtout, relativement au gaz hydrogène que mes 
résultats different de ceux des précédents observateurs. La 
faible densité de ce fluide rend énormes les erreurs provenant 
du mélange accidentel de queiques portions d’un autre gaz 
permanent, ou même de vapeur d'eau. Préparé avec toutes 
les précautions nécessaires pour l'avoir pur, il donne sensi- 
blement la double octave aiguë du ton rendu par l'oxigèene. 
Chladni n'avait jamais trouvé plus d’une dixième d'intervalle, 
quelquefois qu’une octave, Le nombre obtenu par M. Van 
Rees, quoique moins erroné, était encore de ? environ plus 
faible que ne l'aurait voulu la formule de Newton. En sorte 
que la vitesse de propagation du son, loin d’être augmentée 
dans ce fluide, aurait été diminuée par l'effet des compres- 
sions et des dilations alternatives; ce qui eût été incompré- 
hensible dans la théorie actuelle (1). Au surplus, les er- 
reurs eussent été beaucoup plus faibles, qu'elles se seraient 


(x) On trouve, dans le grand ouvrage ( Lectures on natural philosophy, 
vol. 1, p. 409) de M. Young , un passage qui ferait supposer que l'auteur 
s’est lui-même livré à des recherches expérimentales pour déterminer la 
vitesse réelle du son dansiles fluides élastiques, bien qu'il ne rapporte 
aucun nombre, aucune indication précise de ses résultats. M. Young se 
borne à dire que « il parait (je traduis littéralement), d'après les expé- 
« riences faites sur les sons rendus par les diverses espèces de gaz, que la 
« correction relative à la vitesse du son serait presque la même (early 
« the same) pour tous. » Cette assertion est bien éloignée de la consé- 
quence à laquelle m'a conduit mon travail; car, parmi les gaz mentionnés 
dans le tableau précédent, qui ne comprend pas sans doute les extrêmes, 
la correction dont il s’agit, varierait déja du simple au double. Les ré- 
sultats théoriques de M. Ivory ne s'accordent pas mieux avec mes recher- 
ches, puisque, suivant cette théorie , le rapport des deux chaleurs spécifi- 
ques, ou le facteur par lequel il faudrait multiplier la vitesse théorique du 
son pour passer à la vitesse réelle, devrait être Ze méme pour tous les gaz. 
(Phil, mag. new series, t. 1, p. 253). 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 185 


encore opposées à la manifestation de la loi du phénomène. 

Je ne puis m'empêcher de rappeler, à cette occasion, com- 
bien la science est redevable aux physiciens , dont les travaux 
ont pour objet de porter plus de précision dans la détermina- 
tion des coëfficients numériques, qui deviennent des éléments 
théoriques d'un usage journalier. Pour être obtenus avec une 
exactitude suffisante, et pour conduire à la découverte d’une 
loi physique, les nombres contenus dans la huitième colonne 
du tableau précédent nécessitaient la connaissance préalable, 
1° de l'intensité de la pesanteur; 2° du rapport de la densité 
du mercure à celle de l’air ; 3° des coëfficients de dilatation des 
gaz et du mercure; 4° du rapport des densités des fluides élas- 
tiques; 5° de la vitesse réelle du son dans l'air; et 6° enfin, de 
la durée des vibrations d’une colonne de même longueur 
de tous les gaz. Une erreur un peu considérable, même sur 
une seule de ces données, aurait empêché d’apercevoir la 
relation existante entre les phénomènes qui nous occupent. 

Les nombres qui marquent le rapport des deux chaleurs 
spécifiques sont tous plus grand que l'unité : ce qui doit être, 
puisque c'est la chaleur spécifique à volume constant que l'on 
suppose — 1, et que la quantité de chaleur nécessaire pour 
produire une même élévation de température avec dilatation, 
est toujours plus grande que celle qu'il faudrait pour accomplir 
la même variation detempérature sans changementde volume. 
Ainsi, la chaleur nécessaire pour faire varier d’un degré une cer- 
taine masse de gaz, d'air, par exemple, lorsque son volume reste 
invariable, étant prise pour unité, la chaleur nécessaire pour 
produire une élévation de 1° dans la même masse, libre de se 
dilater sous sa pression primitive, serait 1,421; et son volume 


augmenté de +, si l’on partait de latempérature o°. Maintenant, 
EX, 24 


186 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


supposons que, après avoir subi ce changement de tempéra- 
ture et de volume, la masse soit instantanément réduite à son 
volume primitif sans éprouver aucune perte de chaleur, l’é- 
lévation de température qui se manifestera sera due tout en- 
tière à la portion de chaleur correspondant au seul change- 
ment de volume, à la quantité de chaleur qu'absorberait la 
même masse en se dilatant de >, sans changer de tempéra- 
ture; et comme la capacité, sous le volume primitif, est 
prise pour unité, l'excès 0,421 du premier nombre sur l'unité 
sera la mesure de l'effet #hermometrique produit dans la 
masse , sous un volume constant, par la chaleur que déga- 
gerait une compression équivalente à -. Le même raisonne- 
ment s'applique à tous les autres fluides élastiques, et l'on 
peut ainsi comparer les élévations de température qui résul- 
teraient, dans tous ces corps, d'une mème compression. 

On voit que, pour les gaz oxigène, hydrogène et pour 
l'air, c'est-à-dire pour les gaz simples, le rapport des deux 
chaleurs spécifiques est, à fort peu près, le même. Comme 
c'est en élevant au carré les nombres fournis immédiatement 
par l'observation, que l’on obtient ces coëfficients, on ne fera 
aucune difficulté d'attribuer aux erreurs de l'expérience les 
petites différences que l’on y aperçoit. 

La fraction qu'ils comprennent pouvant être regardée 
comme exprimant l'élévation de température produite dans 
ces fluides par une condensation subite de + de leur volume 
à o°; on eu conclurait donc que ces gaz, en subissant une 
même condensation, éprouvent une même élévation de tem- 
pérature : ov, s'il est reconnu que les gaz élémentaires ont la 
même chaleur spécifique sous une pression constante (1) , la 


(1) Annales de Chimie et de Physique, t. x, p. 406. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 187 


mañière la plus simple et la plus probable de beaucoup, d’in- 
terpréter ce résultat, c’est d'admettre que la chaleur spéci- 
fique de ces gaz à volume constant est aussi la même, et que 
tous ces fluides dégagent une même quantité absolue de cha- 
leur pour une condensation égale. Quant aux autres sub- 
stances gazeuses, on voit que le rapport des deux chaleurs 
spécifiques devient en général d'antant plus petit, que le 
gaz auquel appartient ce coëfficient possède une capacité 
plus grande; par conséquent, l'élévation de température pro- 
duite, dans ces divers gaz, par une mêmé condensation, est 
d'autant plus faible que la chaleur spécifique est plus grande. 

On est ainsi conduit à rechercher si ces différences de tem- 
pérature ne proviendraient pas uriquement de la différence 
de capacité des divers fluides. Les rapports qui résulteraient 
de cette supposition entre les chaleurs spécifiques des quatre 
gaz composés sur lesquels j'ai opéré, se lisent dans la neu- 
vième colonne du tableau précédent; et, en calculant, tou- 
jours dans la même hypothèse, les chaleurs spécifiques sous 
une pression constante, on trouve des nombres qui different 
très-peu de ceux qu'ont obtenus, par des observations di- 
rectes, Bérard et Laroche, ainsi qu’on peut le voir en con- 
frontant les colonnes 10° et 11° du tableau de la page 183(1). 


(x) Si l'inégalité des effets thermométriques produits dans tous les gaz 
par un même changement brusque de densité, dépendait seulement d'une 
différence de capacité, les variations de température correspondantes de- 
vraïent être, en raison inverse, des chaleurs spécifiques à volume con- 
stant. Ainsi, par exemple les variations correspondantes de température 
éprouvées par l'air et l'acide carbonique étant 0,421 et 0,337, le rapport 
des chaleurs spécifiques de ces deux fluides, à volume invariable, serait 


° 24. 


188 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


Il en serait donc des gaz composés comme des gaz simples, 
et nous serions conduits à cette loi générale remarquable par 
sa simplicité, savoir: 1° que des volumes égaux de tous les 
fluides élastiques pris à une méme température et sous une 
méme pression, étant comprimés ou dilatés subitement d'une 
méme fraction de leur volume, dégagent ou absorbent la 
méme QUANTITÉ ABSOLUE DE CHALEUR; 2° que les variations 
de TEMPÉRATURE qui en résultent sont en raison inverse de 
leur chaleur spécifique à VOLUME CONSTANT. 

Je ferai remarquer, en passant, que si les fluides élas- 
tiques composés avaient tous une même chaleur spécifique, 
sous un volume constant, comme le pensent MM. de La Rive 
et Marcet; et, si les différentes observées par MM. de La Roche 
et Bérard tenaient à l'inégalité des quantités de chaleur pro- 
venant de la diminution de volume qui accompagne le re- 
froidissement d’un fluide élastique soumis à une pression 
constante , les effets thermométriques, dont nous venons de 
parler, devraient se présenter dans un ordre inverse de 
grandeur. Ainsi, par exemple, la compression du gaz oléfiant 


obtenu par la proportion 0,421 : 0,337 : : x: 1, qui donne æ— 1,249. La 
capacité de l'acide carbonique serait donc d'un quart plus grande que celle 
de l'air, lorsque les volumes ne peuvent pas changer. Mais si l’on com- 
parait les capacités des deux mêmes corps sous une pression constante , 
leur rapport se trouverait en ajoutant 0,421 aux deux termes du précé- 
dent; et si lon prend encore pour unité la chaleur spécifique de l'air 
sous une pression constante (en remarquant bien que cette unité n’a plus 
la même valeur que précédemment, quoiqu'elle se rapporte au même 
corps), on trouvera la capacité de l'acide carbonique par cette propor- 
tion 1,421 : 1,24940,421 :: r:æ—1,195. Les autres nombres ont été 
obtenus de la même manière, 


Re HE TS 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 189 


devrait produire une-élévation de température sensiblement 
plus grande que celle de l'air, tandis qu’elle est presque deux 
fois plus faible. 

Peut-être trouvera-t-on que le nombre des gaz, sur le- 
quel cette loi se trouve maintenant appuyée, n’est pas suf- 
fisant pour lui donner toute la certitude désirable; mais, 
indépendamment de ce que la chaleur spécifique à pres- 
sion constante n’a été déterminée jusqu'ici pour aucun autre 
gaz que ceux sur lesquels j'ai opéré, je me trouve dans 
la nécessité de modifier mes appareils, pour expérimenter 
ter sur d’autres fluides élastiques. Dans mes premiers essais, 
j'avais été forcé de donner des dimensions considérables 
(60 centimètres de longueur) au tube sonore, et, par suite, 
à l’enceinte destinée à le contenir, parce qu'il devenait indis- 
pensable d'établir , dans des circonstances identiques , une 
comparaison entre plusieurs gaz, parmi lesquels on ne 
pouvait manquer de comprendre l'hydrogène. En employant 
des dimensions plus petites, la plupart des gaz auraient 
rendu des sons facilement appréciables ; mais le ton du gaz 
hydrogène aurait pu se trouver si aigu , qu'il n'aurait plus 
été possible d'en évaluer exactement le nombre de vibra- 
tions , d'autant plus que le peu d'intensité qui lui est propre 
le rend encore moins distinct. Tel est le volume de la boîte 
qui m'a servi jusqu’à présent, qu’il ne me fallait pas moins 
de 100 à 120 litres de fluide pour chaque observation; et, 
par la nature même du procédé, cette masse ne pouvait 
servir qu’une fois. La préparation de ces expériences deve- 
nait ainsi fort pénible et tres-dispendieuse; mais, maintenant 
qu'il n’est plus nécessaire de comprendre le gaz hydrogène 
dans la série des substances à examiner, on peut considéra- 


190 RECHERCHES SUR LA CHALEUR SPÉCIFIQUE 


blement réduire le volume intérieur de la caisse; la plupart 
des gaz devant donner des tons compris dans l'intervalle 
d'une quinte. Après avoir fait servir encore quelques autres 
corps à la vérification et à l'établissement définitif de la loi, 
j'espère pouvoir employer celle-ci à déterminer la chaleur 
spécifique des autres gaz pour lesquels on ne possède pas 
d'observations directes. Je dois aussi faire un changement 
nécessaire à mes appareils, pour rechercher les altérations 
qui surviennent dans la valeur des coëfficients déterminés 
dans ce Mémoire, lorsque l’on fait varier la température et 
la pression. Déja, même, j'ai tenté plusieurs expériences qui 
avaient pour but de manifester la loi suivant laquelle varient 
les chaleurs spécifiques, quand la pression subit des varia- 
tions connues; mais ces expériences ne sont point encore 
assez multipliées pour que je puisse compter sur leurs ré- 
sultats. Ce sera l’objet d’un deuxième Mémoire, où j'exami- 
nerai aussi les lois de la chaleur spécifique des gaz composés 
relativement à leur composition. Les quatre exemples com- 
pris dans le tableau s'accordent avec la loi que nous avons 
annoncée (1) relativement à la capacité des corps composés ; 
mais on ne peut rien affirmer jusqu’à ce que l’on possède 
des observations relatives à tous les modes connus de con- 
traction dans la éombinaison des gaz élémentaires. Parmi 
les déductions les plus importantes de la loi précédemment 
énoncée, j'en citerai seulement une qui exigera cependant 
encore quelques essais pour être convenablement établie. Si 
les gaz permanents simples ou composés dégagent la même 
quantité absolue de chaleur pour une même condensation, 


(x) Annales de Chimie ét de Physique, t. x, p. 407 et 408. 


DES FLUIDES ÉLASTIQUES. 1gI 


les circonstances initiales étant identiques, les vapeurs de- 
vront suivre aussi la même loi, si l'on a soin d'établir la 
comparaison de maniere que la distance des particules étant 
la même dans l’état primitif du fluide, elle se trouve encore 
égale après la condensation. On voit maintenant pourquoi 
les chaleurs latentes, mesurées comme on l’a fait jusqu'ici, 
n'ont paru soumises à aucune loi; en les considérant sous 
ce nouveau point de vue, elles ne présenteront plus qu'un 
cas particulier de la loi générale que j'ai cherché à établir 
aujourd’hui : c'est ce que j'ai déja vérifié, quoique d’une ma- 
nière encore incomplète, sur des observations entreprises 1l 
y a plus de douze ans, mais que je ne publiai point alors, 
parce que, ne possédant pas encore la clef de cette théorie, 
mes recherches demeurèrent sans succès. Je me borne, au 
reste, à indiquer ici cette idée, que je développerai, avec tous 
les détails qu’elle mérite, dans la deuxième partie de ce 
travail. 


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EXPOSE 


DES RECHERCHES FAITES PAR ORDRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
DES SCIENCES, POUR DÉTERMINER LES FORCES ÉLASTIQUES 


DE LA VAPEUR D'EAU A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 


Le Gouvernement ayant résolu de soumettre les machines 
à vapeur à des épreuves préalables, et d'assujettir leur 
emploi à certaines mesures de sûreté, consulta l'Académie 
des sciences sur les moyens qui, sans entraver le déve- 
loppement de l'industrie ou les opérations du commerce, 
seraient les plus propres à prévenir les accidents funestes que 
peut occasionner l'explosion des chaudières. 

Cette importante question fut examinée par une commis- 
sion spéciale, dont le rapport, discuté et approuvé par l’Aca- 
demie, fut adressé àson Excellence le ministre de l'Intérieur. 

Quelques mois après (1), parut une ordonnance royale qui 
rendit obligatoires les mesures proposées par l’Académie ; 
c'est-à-dire, l'essai préalable de la résistance des chaudières 
destinées à supporter un effort intérieur de plus de deux 
atmosphères ; l'application d’une soupape grillée, chargée 
d'un poids convenablement déterminé et qui ne puisse pas 
RER 2 ne ur eo emmener 


(1) Le 29 octobre 1823. Bulletin des Lois, n° 637. 
EX 25 


194 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 

être augmenté ; enfin, un mur d’enceinte, ayant pour objet 
d’amortir les effets des explosions que l’on n'aurait pu éviter. 
Mais on y prescrit, en outre, l'emploi de rondelles métal- 
liques fusibles à des températures qui surpassent de 10 et 20° 
les températures correspondant à l’élasticité de la vapeur dans 
le travail habituel de chaque machine. 

MM. les ingénieurs des ponts et chaussées ou des mines, 
chargés spécialement de l'exécution de cette ordonnance, ont 
bientôt senti l'impossibilité de remplir cette dernière indica- 
tion du réglement avec des données incertaines sur la force 
de la vapeur. On ne possédait, en effet , aucune table, d'une 
exactitude généralement reconnue, qui permit d'assigner sans 
hésitation les températures qui correspondent aux tensions de 
la vapeur supérieures à la pression de l'atmosphère; et comme 
l'ordonnance n'apportait, avec juste raison, aucune limite à 
la force élastique qui pourrait être mise en jeu dans les ma- 
chines, on aurait infailliblement rencontre, sans sortir de la 
pratique ordinaire, des conditions tout-à-fait en dehors des 
expériences tentées jusqu'à ce jour. 

L'administration, prévenue de ce genre d’ ahétariet qu'elle 
n'avait pas prévu, s'adressa de nouveau à l'Académie, pour 
obtenir les documents réclamés par MM. les ingénieurs; mais 
la science ne possédait que des mesures assez discordantes au- 
dessous de huit atmosphères, et, pour des pressions plus 
fortes, absolument aucun résultat d'expériences directes (1), 


ni aucune théorie qui pût y suppléer. 


(1) A l’époque où ceci a été écrit, nous ne connaissions pas encore le 


mémoire d'Arzberger qui sera cité plus loin. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 195 

Dans cet état de choses, il fut fait un rapport provisoire, 
dans lequel on présenta à l'Administration une table (1) qui 
s'étendait jusqu’à huit atmosphères , et qui avait été déduite, 
par interpolation , de toutes les expériences qui paraissaient 
mériter le plus de confiance, soit par l'habileté des observa- 
teurs, soit par la nature des méthodes d'observation. Pour 
aller au-delà,et même pour ne conserver aucun doute sur les 
nombres compris dans ces limites , il fallait se livrer à des 
recherches expérimentales, longues, pénibles et dispendieuses. 
Le Gouvernement engagea l’Académie à entreprendre ce 
travail, qui fut renvoyé à une commission dont la composition 
a subi quelques changements pendant la longue durée de son 
existence ; elle est restée définitivement formée de MM. de 
Prony , Arago, Ampère, Girard et moi, qui ai été plus parti- 
culièrement chargé de la construction et de l'établissement des 
appareils. Ce sont les résultats de nos recherches que nous 
venons soumettre à l'examen et à l'approbation de l’Académie, 

Il nous a paru que, pour remplir les intentions du gou- 
vernement , il fallait que les observations s'étendissent à des 
tensions de plus de 20 atmosphères. Aucun physicien n'avait 
été au-delà de 8 . à cause de l’extrême difficulté de ces sortes 
de recherches, et du danger qui les accompagne. 

Si l’on se bornait , comme quelques observateurs , et entre 
autres, Robison , à déterminer le poids dont une soupape 
doit être chargée pour résister à l'effort de la vapeur , presque 
toutes les difficultés d'exécution disparaitraient , et l'appareil 


(2) Annal. de Chim. et de Phys. , t. 27, p. 95. 
25. 


196 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 
deviendrait fort simple; mais on sait à quelles erreurs peu- 
vent exposer ces sortes de mesures. La commission désirant 
donner à son travail toute la perfection que comporte et que 
réclame l’état actuel de la science , et présumant bien que, 
de long-temps, on ne trouverait l’occasion de recommencer 
et d'étendre aussi loin ce genre d'observation , s'est déter- 
minée à recourir au moyen le plus pénible, mais aussi le plus 
exact : la mesure directe de la colonne de mercure capable 
de faire équilibre à l’élasticité de la vapeur. 

Lorsque cette force n'excède pas un petit nombre d'at- 
mosphères, la mesure immédiate de la colonne liquide 
qu'elle peut supporter, ne présente aucune difficulté ; mais 
lorsqu'il s’agit de contenir, dans un tube de verre, une colonne 
de mercure de 20 à 25 mètres de hauteur, il n’est personne 
qui ne regarde le succès de l'expérience comme tres-douteux. 
On verra bientôt par quels moyens nous sommes parvenus 
à écarter toutes les chances défavorables. 

On aurait pu, à la vérité, maintenir la colonne de mercure 
par une enveloppe métallique, et se garantir ainsi des in- 
convénients attachés à la fragilité du verre; mais alors il eût 
fallu borner les observations à des termes fixés d'avance par 
la longueur des tuyaux, puisque le sommet de la colonne 
n'eût été visible que dans le plan de niveau de l'extrémité de 
chaque tuyau ; d’un autre côté, l'élasticité de la vapeur ne 
pouvant être prise exactement qu'au moment même où 
l’appareil atteint un maximum de température que l'on n'est 
pas maître de porter à un degré déterminé, on voit que 
la difficulté de faire coïncider ce maximum avec la limite im- 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 197 


posée par la longueur des tubes , rendait ce procédé à-peu- 
près impraticable. 

Nous craindrions d’être entraînés dans des détails fasti- 
dieux, si nous exposions 1ci toutes les réflexions qui nous 
ont amenés, en dernier résultat, à la construction de l'appa- 
reil que nous avons employé: chacune des pièces qui le 
composent a été l’objet d'un examen approfondi, et ce n’est 
qu'après avoir apprécié, autant qu'il était possible de le faire, 
les conditions les plus avantageuses de grandeur, de forme 
et de position relative de toutes ses parties, que nous les avons 
fait exécuter par les artistes les plus exercés. 

Toutefois, nous nous attacherons à donner une descrip- 
tion exacte des dispositions principales, afin que les physiciens 
puissent juger , en supposant d’ailleurs les observations bien 
faites , de quelles erreurs nos résultats pourraient être encore 
susceptibles. 

L'appareil aurait pu se réduire à deux parties essentielles : 
une chaudière destinée à fournir la vapeur, et un tube de 
verre employé à soutenir la colonne mercurielle ; mais il était 
à craindre que l'augmentation trop rapide de la puissance 
de la vapeur, et surtout la diminution instantanée qui de- 
vait suivre l’ouverture de la soupape de sûreté, n’occasion- 
nassent des chocs analogues à ceux du bélier hydraulique; 
ce qui aurait pu compromettre les parties lse plus fragiles, 
et entraîner l'effusion et la perte d’une masse considérable 
de mercure: la prudence commandait de se mettre à l'abri 
de cet accident. C’est afin de l’éviter que nous avons ajouté 
un manomètre pour servir de mesure intermédiaire ou de 


198 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


terme de comparaison. Cette addition qui, par des circons- 
tances locales, est devenue d'une nécessité absolue, nous per- 
mettait d’ailleurs de vérifier, en même temps , une des lois 
physiques les plus utiles, que l'on n'étendait, que par in- 
duction, aux pressions très-élevées. Nous voulons parler de 
cette relation entre les volumes d’un gaz et les pressions 
correspondantes, connue sous le nom de loi de Mariotte. 

Il fallait donc commencer par graduer le manomètre , c'est- 
a-dire qu'il fallait mesurer les colonnes de mereure capables 
de faire équilibre aux divers degrés d'élasticité d'une même 
masse d’air,réduite à des volumes successivement décroissants, 
et peu différents lesuns des autres dans les termes consécutifs. 

Des expériences qui -exigeaïent la mesure immédiate d’une 
colonne de mercure de 75 à 8o pieds de hauteur, ne pou- 
vaient pas être exécutées partout; il devenait indispensable de 
trouver un édifice tres-élevé dont la distribution intérieure 
se prêtât à l'établissement des échafauds nécessaires pour 
ériger la colonne et pour l'observer. Nous avions d’abord 
songé à appuyer le tube contre la surface extérieure de lun 
des murs de l'Observatoire ; mais en réfléchissant, d’une part, 
aux frais énormes que l'échafaudage aurait occasionnés, et 
de l’autre, au danger d'exposer nos instruments à toutes les 
intempéries de l'air, nous abandonnâmes ce projet, surtout 
lorsque nous aperçümes un autre édifice qui nous parut pre- 
senter des conditions plus favorables. 

Dans les bâtiments du collége royal de Henri IV, 
se trouve enclavée une tour carrée, seul reste de l'ancienne 
église de Sainte-Geneviève; il existait encore dans lin- 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 199 


terieur trois voûtes percées dans leur centre ; disposition 
qui permettait de prendre «les points d'appui plus fermes 
pour l'établissement de la charpente. Le collége n’ayant 
point encore employé ce local pour son usage, nous en 
fimes la demande au proviseur et -à la direction des bâti- 
ments civils, et, après avoir rempli les formalités requises, 
nous obtinmes l'autorisation d’y installer nos appareils. 

Au milieu de la tour s'élevait verticalement un arbre assez 
bien dressé sur sa face, antérieure, composé de trois mor- 
ceaux de sapin de 15 cent. d’équarrissage , assemblés à trait 
de Jupiter, et solidement fixés par des liens de fer aux voûtes 
et à la charpente qui supportait anciennement les cloches. 
Par .ces attaches multipliées, on évitait les flexions qui an- 
raient pu rompre la colonne de verre qui devait y être ap- 
pliquée. Celle-ci se composait de 13 tubes de cristal, de 2 
mètres de longueur , 5 millimètres de diamètre, et autant 
d'épaisseur, fabriqués exprès dans la verrerie de Choisi. 
MM. Thibeaudeau et Bontemps, directeurs de cette usine, 
d'une si grande utilité pour les arts, par sa proximité de la 
capitale , se sont prêtés, avec une complaisance que nous ne 
saurions trop louer, à tous les essais que nous avons dû ten- 
ter, afin d'obtenir les qualités de verre les plus convenables, 
soit pour rendre les tubes capables d’une résistance suff- 
sante, soit pour que, nonobstant leur grande épaisseur, ils 
pussent supporter, sans se briser spontanément, les varia- 
tions detempérature de l'atmosphère. Ce qu'il y avait de plus 
embarrassant, dans l'établissement de cette longue colonne, 
c'était le moyen de décharger les tubes inférieurs du poids 


200 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


énorme des tubes plus élevés et de leurs viroles d'assem- 
blage, poids qui aurait été plus que suffisant pour les écraser. 
Nous avions d’abord imaginé de faire reposer chaque virole 
de jonction sur des fourchettes scellées dans le mât de sapin, 
et d'éviter la fracture des tubes qui aurait pu résulter de l'iné- 
gale dilatabilité de leur matière et de celle de leur support, en 
employant des tiges de compensation; nous avions même déja 
déterminé les coëfficients de dilatation des substances dont les 
effets devaient être opposés l'un à l’autre, lorsqu'il nous vint à 
l'esprit un autre moyen plus simple, qui a parfaitement réussi. 

Les tubes de verre sont réunis par des viroles, dont 
on voit la coupe verticale dans la fig. I, pl. r. La virole 
supérieure s'appuie, par une surface dressée, sur un cuir qui 
recouvre le fond de la virole inférieure. Un écrou roulant, 
que l’on peut serrer avec un: griffe, permet de faire joindre 
ies surfaces de contact, de manière à résister à une très- 
forte pression intérieure. Le bord relevé A} est destiné à 
contenir le mastic que l'on coule, au besoin , sur la jointure, 
pour s'opposer à la fuite du mercure ,et en même temps pour 
assujettir, dans une position horizontale, la languette K dres- 
sée sur sa face supérieure, qui sert de point de repère pour 
la mesure des hauteurs, et qui fait partie d’une pièce indé- 
pendante oo. Le tuyau inférieur t est maintenu dans un 
collier cc’ en fer, fig. 2 et 3, fixé par une patte à vis sur la 
face antérieure de l'arbre de sapin. Au moyen de la vis #', on 
maintient la virole dans une position à-peu-près invariable , 
en ne lui iaissant que le jeu strictement nécessaire pour 


obéir aux variations de température. Les secousses latérales 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 201 
se trouvent, par-là, complétement évitées ; mais, afin de 
décharger les tubes inférieurs du poids de tout le reste de 
la colonne, on avait disposé au-dessus de chaque virole deux 
poulies pp", fig.4,sur lesquelles passaient des cordons attachés 
par un bout à la virole située immédiatement au-dessous et 
portant à l’autre extrémité un petit seau de fer-blanc, dans 
lequel on mettait de la grenaille de plomb, jusqu'à ce que 
la charge totale fit à-peu-près équilibre au poids de chaque 
virole et du tube qu'elle portait. Par cette disposition , 
que l'on voit représentée en perspective, pl. TI, fig. 1, les 
tubes inférieurs n'étaient pas plus comprimés que les supé- 
rieurs ; toute la colonne pouvait se mouvoir verticalement 
d’une seule pièce par le plus léger effort; ce qui rendait 
tres-faciles les manipulations que l’on pouvait avoir besoin 
d'exécuter pour la réunir aux autres parties de l'appareil. 
On voitsur la pl. I, fig. 4, que la première virole était appli- 
quée sur l’un des orifices latéraux d’un vase S à trois tubulures. 
Ce vase en fonte douce, de deux centimètres d'épaisseur, était 
capable de contenir 100 livres de mercure. Sur l'autre orifice 
opposé au premier, se trouvait placé le manomètre dont il 
faut donner une description détaillée, pour que l’on puisse 
apprécier le degré d’exactitude qu'il comporte dans ses indi- 
cations. 

Le tube manométrique aa’, des mêmes dimensions en 
diamètre et en épaisseur que ceux de la colonne, avait seu- 
lement 1°,70 de longueur ; avant de le mettre en place, il 
avait été gradué avec beaucoup de soin, mais sans pratiquer 
aucun trait sur sa surface extérieure, parce qu’il devait être sou- 


EX: 26 


202 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


mis à des pressions très-fortes; deux petits morceaux d'étain 
laminé appliqués avec du vernis servaient de points de repère. 
Après l'avoir fermé à la lampe par le bas, on l'avait étranglé 
près de l’autre bout , en ne laissant subsister qu'un canal très- 
délié, et à paroïs assez minces pour être facilement fondues 
au chalumeau. Ce tube étant placé sur une planche verticale à 
côté d’une règle divisée munie d’un voyant et d’un vernier, 
dans la position même où il devait être pendant l'expérience, 
on dressa une table des longueurs correspondant à un 
même volume de mercure, dans toute l'étendue du tube. 
Nous passons sous silence une multitude de détails que les 
personnes habituées à ce genre d'opérations se représente- 
ront aisément. Nous dirons seulement que ce procédé avait 
été adopté, pour éviter l'erreur assez grande qui aurait pu 
résulter , dans les hautes pressions, de la convexité de la 
colonne de mercure, si la mesure du volume n'eüt pas été 
faite dans la même circonstance que la graduation. Ce tube 
coupé ensuite par le bas, et portant encore à sa partie supé- 
rieure le canal délié dont nous avons parlé, fut mastiqué dans 
la virole en fer bb", fig. 5,PL.1. Pour diminuer l'effort qu'ilaurait 
à supporter dans l'expérience; le fond de cette virole n'offrait 
qu'une ouverture égale à la section de la colonneliquide qui 
devait être soulevée. Sans cette disposition, qui supprimait 
la pression exercée contre la surface annulaire du verre, les 
mastics n'auraient pu résister, et le tube eût été arraché. La 
même précaution avait été prise pour tous les tubes de la 
grande colonne. Avant de le mettre en place, il avait été 
désséché intérieurement; mais, pour plus de sûreté, on mit 


dans le vase de fonte, une quantité de mercure suffisante pour 


RE 


À DE HAUTES TEMPÉRATURES. 209 
faire plonger de deux ou trois centimètres l’orifice inferieur 
du tube, et l'on fit passer pendant long-temps, à l'aide d'une 
machine pneumatique , un courant d'air sec qui entrait par 
le canal étroit encore existant dans le haut et qui sortait à 
travers le liquide métallique. Lorsque l'on présuma qu'il ne 
devait plus rester de traces d’humidité,on fondit avec le dard 
du chalumeau , le tube capillaire à un point marqué lors de la 
graduation, et le manomètre se trouva fermé et rempli d’air 
sec. Cette opération , exécutée avec adresse, ne peut OCCa- 
sionner aucune erreur sensible. On s’en est assuré, d’ailleurs. 
en vérifiant la graduation, apres avoir terminé les expériences. 

Dans un plan passant par l’axe de ce tube manométrique 
s'élevaient de part et d’autre deux règles verticales de laiton, 
dont l’une, divisée en millimètres, portait un vernier attaché 
à un voyant, tel que celui qui est employé dans le baromètre 
de Fortin. Ces regles étaient assujetties dans le haut à une tra- 
verseen cuivre, et fixées dans le bas sur la platine de la virole. 

Les variations de température de l’air, qui ne se commu- 
niquent qu'après un temps assez long à une masse de verre 
de quelques millimètres d'épaisseur , auraient laissé dans une 
incertitude continuelle sur la vraie température du gaz ren- 
fermé dans le manomètre, s’il eût été exposé à l'air libre. Le 
seul moyen de lui donner, dans toutes ses parties, un même 
degré de chaleur et un degré facilement appréciable, c'était 
de, le placer au milieu d’une masse d’eau continuellement 
agitée , afin que les couches situées à des hauteurs différentes 
ne fussent pas inégalement chaudes. 

Tel est le but auquel était destiné le manchon de verre 


26. 


20/4 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D EAU 


mm’ qui enveloppe le tube et les règles. Un filet d'eau coulait 
continuellement d’un réservoir supérieur e, et, après avoir 
parcouru rapidement toute la longueur du manomètre , 
s'échappait par un robinet r situé dans le bas. 

Le liquide du réservoir étant d’ailleurs à la température 
de l'air ambiant, la masse de gaz contenue dans le tube mano- 
métrique, devait posséder dans toutes ses parties une tem- 
pérature uniforme , que l’on déterminait par un thermo- 
mètre X suspendu au milieu du liquide environnant. On 
voit en w,q,7,le mécanisme indispensable pour manœu- 
vrer le voyant et pour prendre le niveau dans chaque 
observation. C’est un cordon de soie dont les deux bouts 
sont attachés à la pièce mobile et qui en passant sur les trois 
poulies supérieures et sur la poulie inférieure, s’enroule sur 
le tourniquet extérieur # qu'il suffit de tourner dans un sens 
ou dans l’autre pour faire monter ou descendre le voyant et 
le vernier qui en fait partie. 

On doit voir par cette description , que ce genre d’obser- 
vation comporte la même exactitude que la mesure des hau- 
teurs du baromètre dans l’instrument de M. Fortin. Dire que 
cet habile artiste avait construit cette partie de l'appareil, 
c'est donner la plus forte garantie de la perfection avec la- 
quelle elle a été exécutée. 

Enfin, la troisième tubulure x du vase de fonte pouvait 
recevoir à volonté une pompe à liquide ou à gaz. Nous 
nous sommes d'abord servis de celle-ci, afin d'éviter 
l'humidité dans le vase de fonte; mais, après avoir reconnu 
que la hauteur du mercure contenu dans le réservoir était 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 20) 
suffisante pour empêcher l’eau de passer dans le manomètre, 
nous avons substitué la pompe à eau, beaucoup plus expé- 
ditive. 

Nous allons maintenant décrire la manière de procéder 
dans les observations, qui ont toutes été faites par M. Arago 
et moi. 

Nous avons commencé par déterminer le volume initial 
de l'air du manomètre, et son élasticité à une température 
connue. Le volume était donné par l'observation du point 
de la règle auquel correspondait le sommet de la colonne de 
mercure, et en transportant ces mesures sur la table de 
graduation dont il a été parlé plus haut. L'élasticité se 
composait de la hauteur du baromètre au même moment, 
et de la différence de niveau des deux colonnes de mercure 
dans le grand tube vertical et dans le manomètre lui-même, 
différence qui était prise à l’aide du micromètre décrit /nn. 
de Chim.et de phys., t. VIT , p. 132. 

Le soin que l’on avait eu de choisir les deux tubes du même 
diamètre, dispensait de toute correction de capillarité. En 
faisant agir l’une ou l’autre pompe, on réduisait à volonté 
le volume de l'air du manomètre et le mercure s'élevait dans 
la colonne verticale dd” jusqu’à ce qu'il y eût équilibre ; il 
était donc facile de prendre des termes aussi rapprochés 
qu'on le désirait. A chaque observation, on déterminait le 
volume de l'air, comme il vient d’être dit; pour connaître la 
hauteur de la colonne de mercure, on avait mesuré d'avance 
la différence invariable de hauteur de deux repères consé- 
cutifs à l’aide d’une règle divisée gg’, dont le zéro coïncidait 


206 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 

avec le plan supérieur du repère immédiatement au-dessous, 
et l’autre bout portait une languette complémentaire que l'on 
poussait, jusqu'à ce qu'elle affleurât la surface supérieure du 
repère suivant, fig. I, pl. 1. On avait fait d'avance le relevé de 
toutes les distances comprises entre les viroles consécutives, 
en sorte qu'il ne restait, dans chaque observation, qu'a con- 
naître le N° du tube où la colonne de mercure se terminait. 
et à mesurer la différence de niveau du sommet de cette 
colonne avec le repère immédiatement au-dessous; ce qui se 
faisait avec la même règle, qui s'adaptait également à toutes les 
stations, et qui était, pour cette raison, munie d'un voyant 
et d'un vernier. 

Ces mesures, pour être faites exactement, exigeaient qu'on 
pût placer l'œil à la hauteur du sommet de la colonne en 
quelque point qu’il se trouvât. L'établissement primitif né- 
cessitait aussi des manipulations assez délicates à la jonction 
de tous les tubes; il existait pour cela des échafauds de 2 en 
2 mètres, avec des échelles de communication , dans toute 
la hauteur de l'arbre de sapin. Enfin, on avait distribué six 
thermomètres dans toute l'étendue de la colonne, pour ap- 
précier la densité du mercure, et afin que leurs indications 
fussent plus approchées, leurs réservoirs plongeaient dans 
des portions de tube des inêmes dimensions que ceux de 
la grande colonne et remplies de mercure. 

Nous avons fait trois séries d'expériences sur la même 
masse d'air. Nous en rapporterons seulement les résultats 
tout calculés et ramenés à la même température. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 207 


TABLE des forces elastiques et des volumes correspondants 
d'une méme masse d'air atmosphérique, la température 


étant supposée constante pendant chaque observation. 


ELASTICITÉ ÉLASTICITÉ 
exprimée exprimée VOLUME VOLUME |TEMPÉRATURE | 
en atmosphères | en centimètres 
de 0,76 de de OBSERVÉ. CALCULÉ. THERM. CENTIG. 
mercure, mercure. 


Ie SÉRIE. 


80.09 479.73 
156.9 244.687 
326.706 117.168 
365.452 104.578 105.205 
504.072 75.976 76.222 
557.176 68.910 69.007 
688.54 55.45 55.801 
883.94 43.359 43.466 
933.346 40.974 
1070.862 35.767 


11° SÉRIE. 


79.497 481.806 

156.112 244.986 

313.686 121.542 

362.11 104.795 

381.096 99.59 

464.752 81.787 

508.07 74.773 

506.592 74.985 

578.162 65.723 

580.002 65.473 

637.108 59.767 60.039 
875.052 43.428 43.682 
881.202 43.146 43.378 
962.108 39.679 39.758 
1269.132 30.136 30.140 


III° SÉRIE. 


76 501.3 "ce 
361.248 105.247 105.47 
375.718 101.216 101.412 
381.228 99.692 99.946 
462.518 82.286 82.380 
500.078 76.095 76.193 
573.738 66.216 66,417 
859.624 44.308 44.325 
999.236 37.851 38.132 

1262 .000 30.119 30.192 
1324.506 28.664 28.770 
1466.736 25.885 25.978 
1653.49 22.968 23.044 
1658.44 22.879 22.972 
1843.85 20.547 20.665 
2023.666 18.833 18.872 
2049.868 18.525 18.588 


Qi 


CORNE 


1 
2 
4 
4. 
5 
6. 
6 
6. 
7 
1e 
8 


208 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D EAU 

Indépendamment de l'objet principal que l'on s'était pro- 
posé en faisant les expériences précédentes, on peut encore, 
ainsi que nous l'avons dit en commençant, s'en servir pour 
constater si la loi de Mariotte s'étend à des pressions de 27 
atmosphères. 

Jusqu’à ces dernières années , on n'avait cherché à vérifier 
cette loi que pour des forces peu supérieures à la pression 
habituelle de l'atmosphère. Les essais de Boyle (1) et de Mus- 
schenbroek (2) paraissaient indiquer que, même au-dessous 
de 4 atmosphères, la compressibilité de l'air atmosphérique 
allait en diminuant pour des forces de plus en plus grandes ; 
en sorte que pour réduire une masse d'air, soumise d’abord 
à la pression ordinaire de l'atmosphère, à un volume 4 fois 
moindre, par exemple, il aurait fallu employer une force plus 
de 4 fois aussi grande que cette pression (3). Les expériences 
entreprises long-temps après par Sulzer (4) et Robison (5), 
donnaient un résultat opposé. L'air réduit à : de son volume 
primitif n'aurait possédé qu’une élasticité égale à 6,8, l’élas- 
ticité primitive étant 1, Mais, depuis que nos expériences sont 
commencées , M. OErsted a fait connaître celles qu'il a entre- 


(1) Defensio contra Linum, t. V. 

(2) Musschenbroek, Essai de physique, tome Il, p.655. Leyde, 1751. 

(3) Mariotte, Traité des eaux, p. 142, éd. in-12, 1700, ne rapporte au- 
cun nombre et se borne à indiquer le genre d'appareil avec lequel on 
peut vérifier la loi qu'il énonce sans restriction. 

(4) Sulzer, Mém. de Acad. de Berlin, 1753. 

(5) Encyclopédie Britannique, art. Preumaties , L. 16, p.700. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 209 


prises avec le capitaine Suensson (1). Les élasticités de l'air 
ont été mesurées jusqu'à 8 atmosphères, par la longueur de 
la colonne de mercure à laquelle elles pouvaient faire équi- 
libre, et les volumes se sont trouvés, assez exactement, en 
raison inverse des pressions correspondantes. Ces physiciens 
ont même étendu leurs observations jusqu’à 60 atmosphères, 
en déterminant les pressions par les poids nécessaires pour 
vaincre la résistance d’une soupape ; mais, nous ne pensons 
pas que l’on puisse accorder à ce dernier procédé une entière 
confiance. 

Dans le tableau qui précède, on voit les résultats de 39 
expériences faites sur la même masse d'air soumise à des 
pressions comprises entre 1 et 27 atmosphères. La troisième 
colonne indique les volumes observés, et la quatrième le 
volume initial multiplié par le rapport inverse des élasticités 
correspondantes , toutes corrections faites pour ramener les 
deux termes à la même température. 

Si l’on compare les nombres de la 3 et de la 4° colonne, 
on peut s'assurer que, dans aucun cas, la différence entre le 
calcul et l'observation ne s'élève à : , qu'elle est pour la plu- 
pait de = environ, et pour quelques-uns presque nulle. On 
ne remarque pas que ces différences augmentent avec les 
pressions, comme cela devrait avoir lieu, si elles tenaient à 
une déviation réelle de la loi que nous cherchons à vérifier. 
D'ailleurs, d’après le procédé qu'on est dans l'habitude d'em- 


(x) Edinburgh's Journal of Sciences, t. 4, p 224. Bulletin universel, 
t.5, p.331. 


EX | :. 


210 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 

ployer, pour jauger les tubes , on doit s'attendre à ce que les 
observations ne soient pas toutes affectées de la même erreur: 
or, Nous nous sommes assurés que les termes qui s'accordent 
le mieux avec le calcul, sont précisément ceux qui s’écartent 
le moins des points de la graduation fixés par des mesures 
directes, et pour lesquels la supposition d’une forme exacte- 
ment cylindrique dans une certaine longueur du tube ne 
peut exercer qu'une très-légère influence. 

On aurait pu facilement adapter au manomètre un appareil 
propre à mesurer l'augmentation de capacité occasionnée 
dans le tube à air par la pression qu’il supportait intérieure- 
ment ; mais ayant constaté que letube tout entier ne subissait 
pas un allongement sensible sur la division des regles qui ser- 
vaient à mesurer le volume , lors même que la pression attei- 
gnait son maximum, nous en avons conclu que la correction 
relative à ceteffet devait être tout-à-fait inappréciable. 

On peut donc regarder la loi de compression de l'air atmos- 
phérique comme étant vérifiée directement jusqu'à 27 atmos- 
phères; et l'on pourrait, sans doute, en étendre l'application 
beaucoup au-dessus de cette limite sans erreur notable. Bien 
qu'il soit très-probable que les autres gaz permanents obéissent 
à la même loi notre intention étaitde profiter du même appareil 
pour soumettre à l'observation deux ou trois autres espèces 
de fluides ; mais nous devions, avant tout, compléter les re- 
cherches attendues par le Gouvernement, et lorsque celles-ci 
furent terminées, nous ne pümes obtenir, de l'administration 
des bâtiments civils, la jouissance du local où notre appareil 
de compression était établi. Cette circonstance est d'autant 


A DES HAUTES TEMPÉRATURES. 211 
plus fâcheuse, que nous aurions pu achever d'éclaircir ce point 
important de la mécanique des gaz, sans augmentation de 
dépense ,et en très-peu de temps ; tandis qu'il faudrait main- 
tenant une dépense considérable et plusieurs mois de tra- 
vaux pénibles pour reprendre ce sujet où nous l'avons laissé. 


Détermination de la force élastique de la vapeur d'eau. 


Les expériences précédemment décrites pouvaient servir à 
faire connaître , par le volume de l'air du manomètre, les 
pressions correspondantes qui ne dépasseraient pas 29 atmos- 
phères. 

Il suffisait donc de faire communiquer une chaudière avec 
le réservoir du manomètre pour mesurer l'élasticité de la 
vapeur, avec la même précision que si l’on eût observé 
immédiatement la colonne de mercure qui lui aurait fait 
équilibre. On avait même l'avantage, en opérant ainsi, 
d'éviter les inconvénients déja signalés des grandes oscilla- 
tions de la colonne métallique. L'appareil avait été disposé de 
manière qu'on pût substituer une chaudière à vapeur à la 
pompe de compression, sans déranger aucune autre pièce. 

Mais, après avoir remarqué que la moindre explosion pou- 
vait entraîner l’'éboulementdes trois voûtes, dont l’état de déla- 
brement faisait craindre même une chute spontanée ; effrayés 
des conséquences d’un pareil accident , qui aurait pu compro- 
mettre les bâtiments environnants , nous nous déterminâmes 
à faireles expériences, sur la vapeur d'eau, dans une des cours 
de l'Observatoire. Il fallut donc y transporter le manomètre 
sans le séparer du réservoir en fonte auquelilétait adapté,afin 

27, 


212 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


queles nouvellesindications de l'instrument fussent identiques 
avec les premières. Cette translation n’était pas sans difficulté, 
à cause du poids énorme de l'ensemble et des grandes dimen- 
sions du tube à air. Cepeñdant, par des précautions multi- 
pliées, nous avons réussi à l'opérer , en conservant la même 
masse d’air qui existait primitivement dans le tube. Ce point 
important a été soigneusement vérifié. 

On peut prendre une idée générale de l'appareil, en je- 
tant les yeux sur la planche IIT, fig.2, où il est représente 
en perspective, et sur la planche IT, fig. 1, qui en offre une 
coupe verticale, dans laquelle on a supprimé les parties 
accessoires pour éviter la confusion. 

La chaudière a, pl.Il,fig. 1, d'une capacité de 8olitresenviron, 
a été construite dans les ateliers de Charenton, sous la direc- 
tion de M. Wilson , dont les lumières et l'expérience sont bien 
connues de l’Académie. Elle est formée de trois morceaux de 
tôle de première qualité fabriquée exprès, ayant 13 millimètres 
d'épaisseur dans sa partie cylindrique , et beaucoup plus vers 
lefond et près de l’orifice. Cet orifice, de 17 centimètres de dia- 
mètre, était fermé par une plaque de fer battu de 4,5 d’épais- 
seur et de 26 centimètres de diametre. Elle portait en-dessous 
une languette circulaire bien dressée sur sa face inférieure qui 
était recue dans une rainure de lamème forme, pratiquée dans 
l'épaisseur du bord de la chaudière et dont le fond était gar- 
ni d'une lame de plomb. En dedans de cette rainure, on avait 
fait entrer, à force, de dedans en dehors, six boulons d'acier, 
à large tête, de 35 millimètres de diamètre, qui traversaient le 
couvercle, et dont la partie supérieure taraudée recevait un 


A DES HAUTES TEMPÉRATURES. 219 


ecrou à pans. En interposant, entre l’écrou et le couvercle, un 
anneau de plomb, ce métal s’introduisait, pendant le ser- 
rage, dans tous les interstices, de manière à fermer hermé- 
tiquement, même pour les plus fortes pressions. 

Toute cette fermeture demandait impérieusement une 
matière sans défauts et un travail soigné. Le couvercle seul 
devait en effet pouvoir supporter , dans quelques expériences, 
un effort intérieur équivalent à près de 20,000 kilogrammes ; 
et bien que les dimensions eussent été calculées dans les 
suppositions les plus défavorables, avant de faire usage de cette 
chaudière , il était prudent de l'essayer. C'est ce que nous 
avons d'abord voulu faire à l’aide d'une pompe à eau, telle 
que celles qui sont employées pour le service des presses 
hydrauliques. Pour appliquer à notre chaudiere l’article du 
réglement concernant les essais préalables, il aurait fallu la 
soumettre à une pression de 150 atmosphères; mais, bien 
avant ce terme, quelques fissures du métal et plusieurs des 
joints rivés laissaient sortir une quantité d’eau égale à celle 
que la pompe permettait d’injecter dans le même temps; de 
sorte que la pression ne pouvait plus être augmentée. En 
faisant ces essais ,nous avons eu l’occasion de remarquer dans 
quelles erreurs on peut être jeté quand on estime la pression, 
comme on le fait ordinairement, par une soupape conique 
chargée d’un poids qui doit être soulevé. Indépendamment 
de la difficulté de connaître l'étendue de la surface exposée à 
la pression intérieure, l'adhérence tres-variable de la soupape, 
selon sa position, avec les paroïs de la cavité où elle est reçue 
peut occasionner des différences énormes, quoique la pression 


214 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


soit réellement la même. Il serait préférable d'employer des 
soupapes planes qui nécessiteraient, il est vrai, des soins as- 
sidus pour être en bon état, ou, mieux encore, un mano- 
mètre conique, lorsque les forces de compression ne dépas- 
seraient pas 50 ou 60 atmosphères. Comme il nous aurait 
fallu beaucoup de temps pour adapter ce mécanisme à notre 
pompe, et que d’ailleurs la haute température à laquelle la 
chaudière devait être exposée, nous aurait encore laissés dans 
l'incertitude sur l'affaiblissement qui pouvait en résulter dans 
la cohésion des substances métalliques, nous avons préféré 
de la soumettre à une épreuve plus rassurante , en la plaçant 
dans les conditions mêmes de l'expérience, et sous l'influence 
d'une force expansive plus grande que celle qui devait faire 
le sujet de nos observations. C'est principalement pour cet 
essai, que nous imaginämes la soupape que l’on voit repré- 
sentée en 4’, fig. 1, pl. Il, et dont la construction offre 
l'avantage , que l’on n'obtiendrait pas avec celles qui sont 
communément usitées, de donner ure libre issue à la vapeur, 
aussitôt que son élasticité a dépassé le terme pour lequel les 
deux poids ont été calculés d'avance. 

Les poids mobiles sur les deux bras de levier sont composés 
de plusieurs pièces susceptibles d'être réunies où séparées; ce 
qui permet de faire varier leur grandeur, selon la pression à 
laquelle on se propose d'atteindre, et le moindre soulèvement 
de la soupape les fait glisser, l'un vers le centre de mouvement 
et l’autre vers l'extrémité du bras oppose, de maniere à laisser 
constamment ouvert l’orifice par où la vapeur peuts’échapper. 

Le refroidissement occasionné par la perte de vapeur à 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 219 


travers les jointures et par un vent assez violent, réuni à 
quelques autres dispositions peu favorables du fourneau pro- 
visoire établi dans les ateliers de Charenton , ne nous permit 
pas d'observer le soulèvement de la soupape dont la charge 
avait été calculée pour une élasticité de 60 atmosphères ; mais 
nous avions eu la précaution de mettre un thermometre dont 
l'échelle pouvait être observée de loin avec une lunette, et la 
température de 240° à laquelle parvint l’intérieur de Ja chau- 
diére,nous fit présumer, d’après quelques résultats obtenus en 
Angleterre, que nous avions dû approcher de la limite que 
nous nous étions proposée, de sorte que l'épreuve ne fut pas 
poussée plus loin. On verra , par la suite que, dans cette cir- 
constance, la force de la vapeur n’avait été quela moitié environ 
de celle à laquelie nous croyons avoir soumisnotreinstrument. 

Cette chaudière ainsi essayée, fut établie sur un fourneau 
d'une masse assez considérable pour que le système n’éprou- 
vât pas des variations trop brusques de température. Un tuyau 
de fer d d'd”" composé de plusieurs canons de fusil, s'élevait 
d’abord verticalement au-dessus du couvercle ét sa branche 
latérale d' d!', légèrement inclinée, allait s'adapter par son 
autre extrémité à la tubulure moyenne du réservoir en fonte f. 
C'est par ce tuyau que la pression se transmettait au mano- 
mètre. On commençait par le remplir d'eau, avant l'expé- 
rience, et, pour apprécier exactement la pression exercée par 
cette colonne, qui s'ajoutait à celle de la vapeur on faisait 
continuellement tomber un filet d'eau froide sur des linges 
placés en V pres du coude supérieur. L'intérieur de l'ap- 
pareil étant vide d'air, on conçoit qu'il s’établissait une dis- 


216 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


tillation continuelle qui devait remplacer les petites portions 
de liquide que l'accroissement d'élasticité de la vapeur avait 
fait écouler dans le vase de fonte, et que pendant toute la 
durée de l'expérience, le mercure était surmonté d’une co- 
lonne d’eau qui s'élevait constamment jusqu’à la jonction du 
tuyau incliné avec le tuyau vertical d. 

Le niveau variable ## du mercure dans le réservoir de fonte 
était connu à chaqueinstant par l'observation de la colonnekp, 
communiquant, par le haut avec le même réservoir, au moyen 
d’un tube de plomb OX. La hauteur du mercure au-dessus d'un 
repere fixe était prise sur la règle /m, déja décrite. Enfin, la force 
élastique de la vapeur s’obtenait en ajoutant, à l'élasticité cor- 
respondant au volume de l'air du manomètre, la hauteur de 
la colonne mercurielle soulevée, dans cet instrument, au-des- 
sus du niveau ##, eten retranchant la pression due à la colonne 
d'eau comprise entre ce même niveau et le point fixe d’. Cette 
dernière quantité qui ne variait que de quelques centimètres, 
avait été déterminée relativement à un point fixe de la regle 
lm, et ia position variable du sommet K servait à trouver ce 
qu'il fallait ajouter ou retrancher à cet élément dans chaque 
cas particulier. 

La mesure exacte des températures présentait quelque 
difficulté. Le thermometre, quel qu'il fût, ne devait point 
être exposé immédiatement à la pression de la vapeur; car, 
lors même qu'il aurait pu la supporter sans en être brisé, 
il aurait fallu tenir compte des effets de la compression dont 
l'évaluation eût été assez embarrassante; c'est pour obvier à 


cet inconvénient, que l'on a introduit dans la chaudière, deux 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 217 
canons de fusil fermés par un bout et amineis au point de 
ne conserver que la résistance nécessaire pour ne point être 
écrasés pendant l'expérience. L'un descendait presque jusqu’au 
foud de la chaudière, l’autre ne dépassait pas le quart de sa 
profondeur. 

C'est dans l’intérieur de ces cylindres remplis de mercure, 
que l’on plaçait les thermomètres ; le plus court servant à 
donner la température de la vapeur, et le plus long celle de 
l’eau qui conservait encore la forme liquide. Ce moyen, le seul 
praticable dans des expériences de cette nature, serait très- 
défectueux, si l’on ne réunissait pas les circonstances conve. 
nables pour rendre, très-lentes, les variations de température. 
C'est une des causes qui nous avaient fait donner à la chaudière 
et au fourneau , des dimensions plus considérables que celles 
dont on aurait pu, sans cela, se contenter; mais nous nous 
sommes assurés, à plusieurs reprises que, pres du maximum, 
les plus légères variations d’élasticité de la vapeur, en plus 
ou en moins, étaient accompagnées de variations correspon- 
dantes dans les indications des thermomètres. 

Si l’on se füt contenté de plonger les réservoirs de ces in- 
struments dans les enveloppes dont il vient d’être question, 
les corrections relatives à la température toujours beaucoup 
plus basse des tiges, situées au-dehors, eussent été trop in- 
certaines. Il est vrai qu'on aurait puse dispenser de ce soin , en : 
employant des thermomètres à poids (1); mais les observations 
devant être très-multipliées, nous avons préféré conserver 


(1) Journal de l'École Polytechnique, 18° cahier, p. 201. 


T,. X. 28 


218 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


à l'instrument sa forme ordinaire, en donnant à la tige tout: 


entiere une température uniforme et facile à déterminer. 

On voit sur la fig. 2, pl. IT, que cette tige se recourbait à 
angle droit au-dessus du couvercle de la chaudière, et était 
enveloppée par un tube de verre dans lequel on faisait couler 
de l'eau provenant d'un grand réservoir. La température de 
ce liquide, qui variait très-lentement, se communiquait à la 
tige, et était accusée par un autre thermomètre plus petit, 
situé horizontalement à côté. À chaque observation , on avait 
soin de lire, après l'indication principale de chaque thermo- 
mètre, la température du mercure de la tige, et, par un calcul 
tres-simple, on pouvait atteindre à la mème précision que si 
le thermomètre tout entier eût été plongé dans la chaudière. 
ILest presque inutile de dire que ces instruments avaient été 
calibrés, et qu’ils présentaient dans leur graduation toute la 
précision que l’on sait maintenant leur donner. 

D'après la description que nous venons de faire de l'appa- 


reil, on doit se représenter facilement la manière d'opérer ; 


la chaudière étant chargée de la quantité d’eau convenable, 
pour que le réservoir du petit thermomètre fût tout entier 
au-dessus de sa surface, on tenait le liquide en ébullition 
pendant 15 ou 20’; la soupape de sûreté étant ouverte, ainsi 
que l'extrémité d' du tube vertical, pour chasser complète- 
inent l'air atmosphérique et les gaz dissous ; on fermait alors, 
toutes les ouvertures et l’on réglait les robinets d’écoule- 
ment soit pour le manomètre, soit pour les tiges des thermo- 
inètres , soit enfin pour la condensation de la vapeur dans la 
partie V du tuyau de fer. On chargeait d'avance le fourneau 
d'une quantité de combustible plus ou moins grande, selon 


À LE HAUTES TEMPÉRATURES. 210 


le degré plus ou moins élevé que l'on se proposait d'obtenir ; 
puis on attendait que la marche ascendante de la température 
se rallentit ; l’un de nous observait le manometre et l’autre 
les thermomètres, et, lorsque le réchauffement ne faisait plus 
que des progrès très-lents, nous commencions à noter les 
indications simultanées du manomètre, des 4 thermomètres 
de la chaudiere et de la hauteur du mercure dans le tube la- 
téral op. Nous prenions ainsi plusieurs nombres tres-rapro- 
chés, jusqu’à ce que nous eussions atteint le maximum; c'é- 
tait seulement l'observation faite à ce terme qui était calculée. 
Les précèdentes et les suivantes ne servaient qu’à garantir des 
erreurs de lecture. Lorsque le manomètre et les thermomètres 
avaient sensiblement baissé, on mettait une nouvelle dose de 
combustible et l’on procédait de la même manière. On.ne 
pouvait pas, à la vérité, obtenir ainsi la force élastique cor- 
respondant à une température déterminée. Toutefois, en 
faisant un grand nombre d'observations, on a fini par avoir 
des termes assez rapprochés dans toute l'étendue de l'échelle. 
Nous avions l'intention de pousser les expériences jusqu’à 
trente atmosphères, mais la chaudière perdait une si grande 
quantité d’eau qu'il nous fût impossible d’aller au-delà de 24. 
On verra bientôt qu'il serait permis de suppléer aux obser- 
vations directes, même pour des pressions beaucoup plus 
éloignées de la limite à laquelle nous avons été contraints de 
nous arrêter. 

Les explications précédemment données indiquent assez la 
maniere dont les observations devaient être calculées. Comme 
toutes les échelles étaient arbitraires, ces calculs ont exigé 
beaucoup de temps ; il serait inutile de rapporter ici tous les 

28. 


220 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


intermédiaires ; nous nous contenterons de donner les résul- 
tats définitifs. La comparaison des termes très-rapprochés a 


servi de vérification. 


123. 
132, 
1992 
138. 
149. 
191. 
153. 
163. 
168. 
169. 
172. 
180. 
189. 
187. 
188. 
193. 
198. 
207. 
204. 
206. 
206. 
207. 
208. 
209. 
210. 
215. 
219. 
218. 
220. 
224. 


D 


I HnNINI TT SES SUR ET œ © NI 


ON x 


a 
æ 


M = et = © 
MO UR À M © 09 00 NI D STOUR © CO & D D D 
14 


OR De MI GU 


Co 


en à ME 
DU O OO CR © co 


" AR Qt © Ut m 


LA 


.2343 


(1) Les lettres a et a. 1. signifient température 
ascendante, p. presque. 


INDICATION PETIT GRAND FORCE FORCE CONDI- FORCE 
des élastique élastique TION élastique en 
NUMÉROS THeRMo- | ruenmo- | en mètres | en atmos- [des obser-| mètres de 
de de phères vations. mercure, 
L'OBSERVAT ION MÈTRE. merçure. de 0,76. (r) à 0°. 


.14 | max. .62916 
.87 a: 1967 
.88 |p. max.| 2.1816 


.584 3.479 


.12 ê .88r 
x -9383 
.391 . 6054 
.613| a.1l. 773 
“r14| ta .1)1 
.893|p. max.| 7.5001 
6 ; 


QUI OCR EE D D D 


AO Ra .-6995 
.66 : .840 


.66 a. .1826 
.-094| max. -1894 || 


348 5386 
86 | a. 3.6868 


a .09)2 


-9989 
019 
! .862 
ae .290à 
an -9872 
max. .061 
p- max. -1276 
: .6843 
-7069 
.0634 
- 4995 
; .1528 
p. max.|16.3816 


ascendante ou lentement 


‘+ 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 221 

La table précedente renferme les trente observations faites 
dans les conditions les plus favorables. 

Les deux thermomètres s'accordent, en général, aussi par- 
faitement qu’on peut l’espérer dans des expériences de cette 
nature. Le plus grand écart est de 0',7,;et encore ne se fait-il 
remarquer qué dans le bas de léchelle, ce qui tient, sans 
doute, aux conditions spéciales de l'appareil. En effet, en sup- 
posant que le maximum de température fût rigoureusement 
le même dans la vapeur et dans l’eau , les deux thérmomètres 
n'auraient pas dû marquer exactement le même degré ; le 
réservoir du plus petit, surmonté d’une colonne de mercure 
beaucoup plus courte et plongé dans un milieu dont la faible 
densité retardait la communication de la chaleur, devait 
ressentir plus fortement l'influence du refroidissement qui 
sopérait pres du couvercle de la chaudière. Cette cause s’af- 
faiblissait à mesure que la température s'élevait, parce que la 
quantité de chaleur que la vapeur pouvait céder, dans un même 
temps, à l'enveloppe du thermomètre, croissait à peu-près 
dans le même rapport que sa densité. Aussi la différence des 
indications diminue-t-elle à mesure que les tensions devien- 
nent plus fortes. Ceci s'applique aux observations dans les- 
quelles il s'est établi un maximum ; pour celles qui ont été 
faites pendant un mouvement ascendant de la température, 
on remarque que les deux instruments s'accordent beaucoup 
mieux; mais cela tient à ce que le grand thermomètre sur- 
monté d'une colonne de mercure beaucoup plus longue exi- 
geait plus de temps que l’autre pour se mettre en équilibre, 
et qu'au même moment il devait être plus éloigné que le pe- 
tit de la température du milieu environnant. 


229 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


D’après ces considérations , nous regardons comme plus 
exacts les nombres fournis par le thermomètre plongé dans 
l’eau pour toutes les observations faites au maximum de 
température. 

Pour qu'on n'ait pas à craindre que la vapeur fût réellement 
à une température plus basse que l’eau , nous avons eu soin 
de constater d'ailleurs , comme nous l'avons déja dit, que le 
manomètre indiquait une diminution de tension au même 
moment où le grand thermomètre commençait à rétrograder; 
ce qui prouve que l’espace était saturé de vapeur pour la 
température marquée par l'instrument. 

Nous avons construit la courbe de ces observations, elle 
offre une régularité parfaite. En choisissant deux termes quel- 
conques, même tres-rapprochés , il n’est jamais arrivé qu'une 
observation intermédiaire tombât de l’autre côté de la corde 
qui réunissait les deux extrêmes. 

On avait déja entrepris de nombreuses recherches expé- 
rimentales sur le même sujet; mais elles ne s'étendaient, pour 
la plüpart, qu'à des pressions de 4 ou 5 atmosphères; quel- 
ques-unes seulement allaient jusqu’à huit. 

En examinant, avec attention, les procédés mis en usage, 
lorsqu'ils ont été décrits avec soin, on peut y reconnaître les 
causes probables des différences que présentent leurs résul- 
tats comparés aux nôtres. 

Les déterminations seules de Southern et de Taylor offrent 
avec celles-ci une conformité d'autant plus frappante, qu'elles 
ont été fournies par un mode d'observation totalement diffe- 
rent. À l'époque où nous avons calculé la table insérée au 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 223 


rapport provisoire cité plus haut, nous les considérions déjà 
comme les plus vraisemblables ; aussi ,ne trouvera-t-on,entre 
cette table et celle que nous allons donner, que des diffé- 
rences presque insignifiantes, dans la partie de l'échelle qui 
leur est commune. 

Au-dessus de 8 asmosphères , nous ne connaissions qu'un 
seul nombre isolé que M. Perkins avait communiqué à 
M. Clément. D'après ce célebre ingénieur, à la température 
de 2159 cert., la force de la vapeur serait de 35 atmosphères, 
tandis que nous l'avons trouvée seulement de 20. N'ayant 
aucun renseignement sur le mode d'observation, nous ne 
pouvons nous expliquer comment l’auteur a pu se tromper 
dé 15 atmospheres sur l'élasticité, ou de 30° sur la tempé- 
rature; car la multiplicité et la progression régulière de nos 
résultats ne permettent pas de supposer que l'erreur soit de 
notre côté. 

C'est depuis peu de temps seulement que nous avons 
découvert dans un ouvrage allemand (1) fort peu répandu 
en France : l'Annuaire de l'institution polytechnique de 
Vienne; une série d'observations faites avec beaucoup de 
soin par Arzberger, professeur dans cet établissement. 

C'est encore en déterminant l'effort nécessaire pour s'op- 
poser au soulèvement d’une soupape à levier, que l'élasticité 
de la vapeur est mesurée. Quoique ce procédé soit toujours 


(1)Jahrbücher desk.k. polytechnisches Institutes in Wien, t.1,p.144. 1819 
Polytechnisches Journal von Dingler, t. 12, p. 17. 
Bulletin des Sciences technologiques, t. r, p.123. 


22/4 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


inférieur, pour l'exactitude, à celui que nous avons employé, 
on peut présumer que la précaution de prendre une sou- 
pape sphérique d'acier, reposant sur le contour d'un orifice 
circulaire pratiqué dans une autre pièce de même matière, 
et la perfection du travail de toutes les autres pièces de la 
machine, ont dû atténuer beaucoup les erreurs sur la me- 
sure de l’élasticité; mais, selon toute apparence, c'est l'éva- 
luation de la température qui a toujours été portée trop 
haut. L’enveloppe du thermomètre qui plongeait immédia- 
tement dans l’eau, ayant été soumise à toute la pression 
intérieure, a dû éprouver une diminution de capacité et 
faire juger la température plus élevée qu’elle ne l'était réel- 
lement. Cette erreur, dont nous ne saurions apprécier au 
juste l'étendue et qui varierait avec l'épaisseur de chaque 
enveloppe, eût été sans doute beaucoup plus forte encore, 
s’il ne s'en füt produit en même temps une autre en sens 
contraire. La tige du même instrument, placée horizontale- 
ment en dehors de la chaudière, ne pouvait participer à l’é- 
chauffement du réservoir, et, pourtant, l’auteur n'indique 
aucune correction relative à cette circonstance. Il est donc 
tres-probable que la plus grande élasticité observée par 
Arzberger était effectivement de 0 atmosphères environ; 
mais il attribue à cette tension la température de 2220 qui 
correspond, selon nous, à 23 atmosphères. Tous les autres 
termes sont affectés, par les mêmes causes, d’une erreur sem- 
blable, mais moindre à mesure que les tensions décroissent. 

La loi physique qui exprimerait exactement la force élas- 
tique de la vapeur en fonction de la température ne se ma- 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 295 
nifeste pas plus sur nos observations que sur celles que l’on 
possédait déjà dans la partie inférieure de l'échelle thermo- 
métrique. On. n'y parviendra,sans doute, que par des consi- 
dérations théoriques; et lorsqu'on connaîtra les densités qui 
correspondent aux divers degrés d’élasticité. En attendant, 
on peut chercher une formule d’interpolation propre à faire 
connaître les forces élastiques pour un point quelconque de. 
l'échelle thermométrique. 

Nous allons passer en revue quelques-unes de celles que 
l'on a proposées jusqu'a ce jour. 

La plupart n’ont été appliquées qu’à des pressions équi- 
valentes à un petit nombre d’atmosphères, et, bien que 
dans cet intervalle, elles aient pu offrir une approximation 
suffisante pour les usages ordinaires, on ne sera pas étonné 
qu'elles ne puissent plus convenir au-delà de ces limites. 

La premiere formule est celle de M. de Prony, qui avait 
été imaginée pour représenter les observations dé Bétan- 
court. La longueur des calculs nécessaires pour déterminer 
les six constantes qui entrent dans cette formule; et même 
pour en faire usage lorsqu'elles sont connues , a fait renon- 
cer à ce mode d’interpolation (x). 

M. Laplace (2), se fondant sur la’ loi approximative 
annoncée par Dalton, savoir: que les forces élastiques de la 


vapeur croissent, à peu près, en progression géométrique 


(1) Cette formule est z = pf+u, p;'+p,,p,", où z est la force 
élastique de la vapeur et x la température. Archit. hydrauliq. t. 2, p. 192, 
(2) Mécanique celeste, t. 4, p. 233. 


5 27 29, 


226 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D EAU 


pour des températures en progression arithmétique , repré- 
sente la force élastique par une exponentielle, dont l'expo- 
sant serait développé en série parabolique. Les deux pre- 
miers termes lui avaient paru suffisants, mais M. Biot (1) 
prouva la nécessité d'en prendre un troisième. On peut 
s'assurer que ce genre d'expression est un de ceux qui 
s'écartent le plus des observations, quand on sort des limites 
entre lesquelles les données ont été prises pour calculer la 
valeur des coëfficients indéterminés. Si l'on voulait embras- 
ser, dans la même formule, l'ensemble des observations que 
l'on possède aujourd'hui, il faudrait prendre cinq ou six 
termes de la série, ce qui rendrait le calcul interminable. 
Nous pensons que cette méthode doit étre entièrement 
abandonnée. La formule de M. Ivory, absolument de la 
même nature, quoique ces coefficients aient été calculés par 
un autre procédé, présenterait le même inconvénient. A la 
plus haute température de nos expériences, elle donnerait 
une force élastique plus que double de celle que l’on ob- 
serve. (Philosoph. Muguzine new series, vol. X, p. 1.) 

Le docteur Ure a proposé une méthode facile dans son 
emploi et qui s'accorde assez bien avec l'expérience tant 
qu'on ne s'élève pas au-dessus de 5 ou 6 atmosphères. Il 
a remarqué qu'à partir de 2100 Fahrenheit, où la force 
élastique est de 28,9 (mes. ang.), si l'on s'élève de 10° de 
la même échelle, la nouvelle force élastique s'obtient en 
multipliant la précédente par 1,23; pour ro° au-dessus, en 


(3) Traité de phys., t..1, p. 2977 et 350. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 227 
multipliant par 1,22, et ainsi de suite, en diminuant tou- 
jours le facteur d'une unité de l’ordre du dernier chiffre 
pour chaque accroissement de 10°. Indépendamment de ce 
que cette règle ne permettrait pas de résoudre la question 
inverse, on voit qu'à la température de 44o° Far., qui est 
à peu près la limite supérieure de nos observations, une 
augmentation de 10° ne donnerait aucun accroissement de 
force expansive ; et que, pour des températures un peu plus 
élevées, la force élastique diminuerait; ce qui est absurde. 

M. Roche, professeur de mathématiques à l'École d’artil- 
lerie de la marine à Toulon, à envoyé à l'Académie, au 
commencement de l’année dernière, un mémoire sur la loi 
des forces élastiques des vapeurs. Ce n’est pas seulement 
une interpolation propre aux usages des arts que l'auteur se 
propose d'établir, il regarde la formule à laquelle il parvient, 
comme une loi physique déduite, par le calcul, des principes 
les plus généraux de la théorie des vapeurs. 

Il serait trop long d’entrer ici dans l'examen détaillé des 
raisonnements sur lesquels M. Rochese fonde; nous ne croyons 
pas qu'ils puissent obtenir l’assentiment des physiciens. Nous 
reconnaissons, néanmoins, que la formule à laquelle il est 
conduit (1) est une de celles qui s'accordent le mieux avec 


LE 2 


(1) Cette faormule.est F — 760 X 10 '“F%%*, où F exprime la force 
de }a vapeur en millimètres de mercure et x la température en degrés 
centigrades , à partir de 100°, positivement en-dessus et. négativement 
en-dessous. La valeur moyenne de »# déduite de nos observations serait 
m—0,1044. 


29. 


228 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


nos observations. Cet accord ne serait cependant que très- 
imparfait si l'on employait le coëfficient déduit des observa- 
tions faites au-dessous de 100°; mais, en le calculant d'après 
les données précédentes, et en prenant la moyenne des valeurs 
relatives à sept observations choisies dans l'intervalle de 1 à 
24 atmosphères, la formule n'est en erreur que d’un degré à 
24atmosphèreset d’un dixièmeseulementvers 2 atmosphères. 

A: peu près à la même époque, M. Auguste de Berlin (1) fit 
connaître une formule qui a cela de commun avec la précé- 
dente, que la force élastique y est représentée par une ex- 
ponentielle, dont exposant fractionnaire renferme la tem- 
pérature au numérateur ét! au dénominateur (2); mais 
l’auteur fait usage de considérations différentes pour l’établir, 
et, d'ailleurs, les températures n'y sont pas comptées sur le 
thermometre à mercure; on les suppose ramenées aux indi- 
cations du thermomètre à air. Nous avons calculé la tempé- 
rature qui, d’après cette formule, correspondrait à une ten- 
sion de 24 atmosphères; on la trouve égale à 214°,37. 
L'observation donne 224,2 sur le thermomètre à mercure, 


qui se réduiraient à 220°, 33, seulement, sur le thermomètre à 


(x) Annalen der Physik und Chemie, 1828, n°5, p.128, et Pulletin 
/ y: ; LP ; 
universel, t. 10, p.302. 
(o+n)e 
; ; NES RTE NES DE AN F 
(2) La formule est ea (:) #40 oùe est l'élasticité en mètres de 


mercure , a l'élasticité de la vapeur à 0°, 4 — 0,76, nr — 100, © — 266 : et 
t la temp. cént. à partir de la glace fondante. 
23,945871 t 


En la réduisan RE 
duisant en nombres, log. e— 800 + 34 


— 2,2960383. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 229 
air. La différence est donc de 6° envirôn; ou, si l’on recher- 
chait l'élasticité pour la température de 290°, 2 (th. à air), on 
trouverait un excès de plus de 2 mètres de mércure. 

On trouve encore dans le n° 19 du 7he Edinburgh Journal 
of sciences, p.68, une autre formule proposée! par M. Tre- 
gaskis, qui croit'avoir vérifié, sur les anciennes observations, 
que les forces élastiques croissent: en progression -géome- 
trique dont la raison est 2, lorsque les températures crois- 
sent aussi en progression géométrique! dont la raison serait 
1, 2. Cette formule ne satisfait point aux observations faités 
à des températures élevées: On voit que cela revient à sup- 
poser que les élasticités croissent comme une certaine puis- 
sance des températures. Pour savoir'si telle est en effet la loi 
du phénomène, nous avons déterminé lexposant de cette 
puissance d’après leterme le: plus élevé du tableau précédent, 
qui, selon toute apparence, est affecté de la moindre erreur: 
la formule ainsi construite a ensuite été comparée aux autres, 
termes. Les écarts de.2°,quisesont alors.manifestés, montrent 
bien que les variations de la force de la: vapeur ne peuvent 
pas être représentées par le concours de deux progressions 
géométriques. 

Presque toutes les autres formules proposées jusqu'ici re- 
posent sur une même idée, et ne diffèrent qué par les con- 
Stantes qui y entrent. M. Young paraît être le premier qui 
ait employé ce mode d'interpolation, qui consiste, à repré- 
senter les forces élastiques de la vapeur par une certaine 
puissance de la température augmentée d’un nombre con- 
Stant. M. Young avait trouvé que l’exposant 7 satisfaisait 


230 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 

aux expériences connues à l'époque de la publication de son 
ouvrage (1). Creighton (2) prit lexposant 6 qui lui parut 
mieux s’accorder avec les résultats du docteur Ure. M. Sou- 
thern (3) adopta le nombre 5,13 qu'il détermina sans doute 
par tâtonnement. M. Tredgold (4) rétablit l’exposant de Crei- 
ghton, en changeant le coëfficient; enfin, M. Coriolis (5), dans 
l'intéressant ouvrage qu'il vient de publier, s'arrête à l’expo- 
sant 5,355, déduit des observations de Dalton au-dessous de 
100°, et de la table que nous avons donnée dans le rapport 
provisoire adressé au Gouvernement (1). Cette formule dif- 
fère très-peu de celle que nous avions employée à cette 
époque pour calculer la table dont il vient d’être question ; 
elle satisfait très-bien aux observations extrêmes et ne s’'é- 
carte que de 2 ou 3 dixiemes de degré des nombres inter- 
médiaires; mais nous préférons, comme étant d'un usage 
plus facile et d’une exactitude encore plus parfaite, la for- 
mule e— (1 + 0,7193t), où e exprime l’élasticité en atmos- 
phères de 0®,76 et £ la température à partir du r00° degré, 
positivement en-dessus et négativement en-dessous, en pré- 
nant pour unité l'intervalle de 100°. Le seul coëfficient qui 


(x) Natural philos. t. 2, p. 400. 

(2) Philosophical Magazine, t.53, p. 266. 

(3) Robison mecan. philosophy, t. 2, p. 172. 

(4) Traité des machines à vapeur, 1828, in-4°, trad. de Mellet, P: 101. 
(5) Du’calcul de l'effet des machines, 1829, in-4°, p. 58. La formule 


gp8 ENS, , ADN x 
est e— teonrss) où e exprime l'élasticité en atmosphères de 0,76 
2,87 


et « la température en dég. centig. à partir de o°. 
(x) Annales de Chimie et de physique, t. 27, p. 107. 


À DE HAUTES TEMPÉRATURES. 231 


entre dans cette expression a été déduit du terme le plus 
élevé de nos observations. 

Nous avons réuni dans un même tableau les valeurs que 
donneraient, pour les principaux termes de la série, les 
quatre formules qui s’écartent le moins de l'expérience et 
qui ne sont pas d’un calcul trop pénible. 


N° , TEMPÉRA- el TEMPÉR 4 -|} 
des | ÉLASTICITÉ |ÉLASTICI-| TÉMPÉ-| TURE TURE TURE TURE || 
ob- TÉ calculée par|caleulée par|calculée par|caleulée par|} 
ser- | en mètres de |en atmosph.| RATURE | la formule | la formale | la formule | la formule 
va- de Tredgold.| de Roche |de. Coriolis.| adoptée, 
tions | mercure à 0°. | de 0,76. | observée. coëff.moyen. 


(1) (2) (3) (4) 


14 |123°,7 | 123954] 123°,58] 123°,45| 122°,97 
-8705|133 ,3 | 133 ,54| 133 ,43| 133 ,34| 132 ,9 
-5735/149 ,7 | 150 ,39| 150 ,23| 150 ,3 | 149 ,7| 
-4977/163 ,4 | 164 ,06| 163 ,9 | 164 ,1 | 163 ,47k 
-3755|168 ,5 | 169 ,07| 169 ,09| 169 ,3 | 168 , 
-632 |188 ,5 | 188 ,44| 188 ,63l 189 ,o2| 188 ,6 
17.185 |206 ,8 | 206 ,15| 207 ,04| 207 ,43| 207 ,2 
17-285 |207 ,4 | 206 ,3 | 206 ,94| 207 ,68 207 5 
18.504 |210 ,5 | 209 ,55| 210 ,3 | 211 ,06| 210 ,8 
21.555 |218 ,4 | 216 ,29| 218 ,or| 218 ,66| 218 ,5 
23.934 |224 ,15| 222 ,09| 233 ,4 | 224 ,o 


er 
HN OR b b 


(1) 4— 85 Vs 7), t étant la température en degrés centigrades à 
partir de o° et f l'élasticité en centimètres de mercure: 
11 (log. f — log. 760) 
7 0,1644—0,03 (log: f— log. 760) 
tigrades au-dessus de 100° et f l'élasticité en millim. de mercure. 


2,88 V f— 1, 


bre Races ADO la température en degrés centigrades 


(= ; €'étant la températ: en degrés cen- 


à partir de “ etf l'élasticité en atmosphères de 0",76. 


Ve 
0,7153 


(4) =] 


de 100° en prenant pour unité l'intervalle de 100° , et Î lVélasticité en 
aimosphères de 0",76. 


> test la température en degrés centigrades, x partir 


239 FORCES ÉLASTIQUES, DE -LA VAPEUR D EAU 


En comparant les cinq dernières colonnes de ce tableau, 
on voit que, jusqu'à 3 ou 4 atmosphères, les trois premières 
colonnes représentent assez fidèlement les observations ; mais 
à partir de là, la quatrième formule, qui est celle que nous 
avons adoptée, est constamment plus rapprochée des résul- 
tats de l'expérience. La plus grande différence est de o°,4, 
presque toutes les autres ne sont que de o‘,1. L'écart plus 
considérable, qui se remarque dans les deux premiers termes, 
serait de peu de conséquence dans cette partie de l'échelle, 
pour les applications aux arts, et l’on pourrait se servir de 
la formule, même dans cet intervalle. Quoique, par la na- 
ture du procédé expérimental que nous avons employé, les 
erreurs doivent être proportionnellement plus fortes pour 
les basses pressions, il n’est pas probable que la formule 
soit en défaut par cette cause; car on s'aperçoit que, pour 
des pressions plus petites qu'une atmosphere, la divergence 
augmente de plus en plus à mesure que l'on descend plus 
bas. Il paraît donc que l'emploi de la formule doit être 
restreint aux tensions supérieures à une atmosphère. On 
pourra continuer-de-se servir de- celle de Tredgold jusqu’à 
100° ou même 140°. î 

Ayant ainsi trouvé une formule tres-simple qui s'accorde 
aussi parfaitement avec l'expérience, on, peut s'en servir 
pour dresser la table qui faisait l'objet principal de ces re- 
cherches, et, comme le seul coëfficient qui y entre a été 
déterminé à l’aide du dernier terme de la série, on ne peut 
douter, en voyant sa coïncidence avec les termes précé- 
dents, qu'elle ne s'étende beaucoup au-delà sans erreur 


+ 


À DE HAUTES TEMPÉRATURES. 233 
notable; nous sommes persuadés qu'à 5o atmospheres l’er- 
reur ne serait pas d’un degré. 

La table suivante renferme les températures calculées pour 
des pressions qui croissent par demi-atmosphères, depuis 
1 jusqu’à 8, et, par atmosphères, de 8 à 24, où s'arrête l’ob- 
servation, et, enfin, par 5 atmosphères, de 25 à 50.en suppo- 
Sant que la formule s'étende jusque-là. 


234 FORCES ÉLASTIQUES DE LA VAPEUR D'EAU 


TABLE des forces élastiques de la vapeur d'eau et des tem- 
pératures correspondantes de 1 à 24 atmosphères d 'après 
l'observation, de 24 à 5o atmosphères, par le calcul. 


ÉLASTICITÉ COLONNE TEMPÉRATURES PRESSION 

2] de la vapeur en prenant 6 . |corréspondantes  don- 
ñ É ; de mercure à 0°, qui À 4 

la pression de l'atmo- nées par le thermomèt. 

sphère pour unité. mesure l’élasticité. centigrade à mercure. carré. 


sur un centimètre 


.033 
-549 
.066 
.b82 
+099 
.615 
.132 
.648 
.165 
.681 
.198 
.714 
«231 
+747 
.264 


-297 
.330 


v|= Die ME v|- 


HUE à © © D À Om Cod b 


I 


sl 


DIN OO EE © CO D D Er + 


I 0. 
I Le 
2 18à 
2 I. 
3 2. 
3 2. 
4 3. 
4 Je 
5 où 
5 4. 
6 4. 
6: 4. 
7 5. 
7 5e 
8 6. 
9 6. 
10 7. 
II 8. 
12 9. 
15 9 

10. 


© æœo 


w| bo nb mA GE MU O © nm 


Qt © D 
or Qt 


(1) Les températures qui correspondent aux tensions de 1 à 4 atm. in- 
clusivement, ont été calculées par la formule de Tredgold qui, dans cette 
partie de l'échelle, s'accorde mieux que l’autre avec nos observations. 


A DE HAUTES TEMPÉRATURES. 235 

En résumé, l'Académie peut voir qu'il résulte des expé- 
riences que nous avons faites , M. Arago et moi, 1° la vérifica- 
tion de la loi de Mariotte jusqu’à 27 atmospheres; 2° une 
table des températures correspondant aux tensions de la va- 
peur qui n'excèdent pas 24 atmosphères. C’est cette table que 
l'administration réclamait pour l'exécution de l'ordonnance 
précédemment citée. 

Ces recherches toujours pénibles et souvent dangereuses, 
auraient demandé plusieurs années de travaux assidus. Les 
interruptions que d’autres devoirs et des circonstances indé- 
pendantes de notre volonté nous ont forcés d’y mettre,en ont 
encore prolongé la durée. On ne pourrait, sans injustice, at- 
tribuer ce retard à notre négligence. Les personnes habituées 
aux grandes expériences de physique peuvent seules apprécier 
l'énormité de la tâche qui nous était imposée, à laquelle on 
ne trouverait rien de comparable dans nos archives, et qui a 
nécessité de notre part un dévouement que l’Académie n’au- 
rait peut-être pasle droit d'exiger de chacun de ses membres. 
Toutefois, nous ne regretterons point le temps que nous y 
avons consacré, 5i l'Académie juge que nous avons rempli 
dignement la mission qu’elle nous avait confiée, et si, tout en 
répondant aux vœux du Gouvernement , les résultats que nous 
présentons sont considérés par les physiciens comme une 

acquisition utile à la science. 

La Commission , ayant pris connaissance de ce travail, a 
l'honneur de proposer à l’Académie d'adresser à Son Excel- 
lence le Ministre de l'Intérieur, la présente relation des re- 
cherches entreprises d’apres son invitation. 

Fait à l’Institut, le 30 novembre 1829: 


Baron DE lRONY, ARAGO, GIRARD, DULONG: rapporteur. 


N. B. On trouvera, à la fin de ce volume, les tableaux des 
observations originales qui ont servi à calculer les résultats 
contenus dans ces recherches. 


ARR RAR RS LR LR ARR RAR LA LORS LR LR LUE LRU RE ARR Re Len Rene ete 


MEMOIRE 


SUR 


LE POUVOIR THERMO-ÉLECTRIQUE, DES MÉTAUX. 


Par M. BECQUEREL. 


Lu à l'Académie royale des Sciences, le 3 août 1829. 


$ I. 


Des effets électriques produits dans une lame ou un fil de 
métal, pendant que l'on chauffe l'une de ses extrémités. 


La chaleur et l'électricité sont deux effets que l'on observe 
dans tous les phénomènes de la nature; lorsque l’un se ma- 
nifeste, l’autre paraît ordinairement avec plus ou moins 
d'énergie. Leurs rapports mutuels sont donc indispensables 
pour la connaissance des propriétés physiques de tous les 
corps. 

La plupart des physiciens du siecle dernier croyaient à 
l'identité de la chaleur et du fluide électrique, qu’ils appe- 
laient le feu élémentaire. L'abbé Nollet s’exprimait ainsi 
(Leçons de physique, t. vi, p. 252) : L'observation vient ici à 
l'appui de l'expérience , et nous porte à croire de plus en plus 


238 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


que le feu, la lumière et l'électricité dépendent du même 
principe et ne sont que trois modifications différentes du 
même être. Ce n'est là qu'une hypothèse vague, fondée sur 
quelques faits, que l'on a voulu trop généraliser. Winterl 
précisa davantage les rapports immédiats qui peuvent exis- 
ter entre la chaleur et l'électricité; car il conçut le premier 
l'idée que la chaleur était formée des deux principes de l’é- 
lectricité. Cette conjecture ne fut appuyée d'aucune expé- 
rience propre à établir une théorie. 

MM. Thenard et Hachette découvrirent qu'en faisant passer 
la décharge d’une pile voltaïque dans un fil métallique suff- 
samment fin, ce fil devenait incandescent jusqu’à la fusion. 

Davy vint ensuite, et montra qu’en répétant l'expérience 
dans le vide avec deux morceaux de charbon en contact , 
fixés à chacun des pôles d’une forte pile, les éloignant suc- 
cessivement, l'intervalle compris entre eux devenait éga- 
lement incandescent. Ce fait important donna un degré de 
plus de vraisemblance à la manière de voir de Winterl. 

M. Seebeck, en découvrant les courants thermo-électri- 
ques, a établi de nouveaux rapports entre la chaleur et le 
fluide electrique, rapports qui jusqu’à présent n'ont conduit 
a aucune découverte importante sur l'identité présumée de 
ces deux principes. Néanmoins, les faits qu’il a observés sont 
de nature à donner plus d'extension à la théorie de l’électri- 
cite. 

- M. Nobili, auquel la physique doit un grand nombre 
d'expériences ingénieuses et délicates, a envisagé la ques- 
tion d’une manière plus générale qu'on ne l'avait fait jus- 
qu'à lui:il a cherché à prouver que tous les phénomènes 
électro - dynamiques sont dus au mouvement de la chaleur 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 239 


dans les corps conducteurs. Cette théorie est accompagnée 
d'observations importantes sur la question à laquelle elle se 
rattache. Dans l’état actuel de la science, il est bien difficile 
de se prononcer sur la nature de la chaleur et du fluide 
électrique, considérés comme provenant du même principe. 
Ce qu'il y a de mieux à faire, je crois, est de rechercher 
avec soin tous les rapports qui existent entre eux. En effet, 
de leur comparaison pourront résulter des notions impor- 
tantes sur la cause qui les produit souvent simultanément. 
C'est la marche qui m'a paru la plus anaiytique. 

Pour fixer de suite les idées sur une des causes qui pro- 
duisent les phénomenes thermo-électriques, je pose le prin- 
cipe suivant , auquel j'ai été conduit par les expériences que 
je rapporterai ci-après. Quand un fil de métal, ou une 
suite 4 a a” etc. de molécules métalliques, liées entre 
elles par la force d’agrégation, est en contact, par une de ses 
extrémités a, avec une source de chaleur à, d’une nature 
quelconque, à l'instant où la chaleur commence à se pro- 
pager, cette extrémité prend l'électricité positive, tandis 
que l'électricité négative est chassée dans tous les sens ; 
mais & recevant de la chaleur de a, a” de a’ etc., il s'ensuit 
que la seconde molécule, qui s’échauffe aux dépens de la 
premiere, prend à celle-ci de l'électricité positive et lui 
donne de l'électricité négative, ainsi de suite pour les 
autres molécules. Dans le premier instant, on a donc une 
distribution de l’électricité semblable à celle qui est indi- 
quée dans la fig. 1; dans le second instant, on aura pa- 
reillement l’état que représente la fig. 2, et ainsi de suite. 
Les électricités positives et négatives qui s'accumulent autour 
de chaque molécule, se recombinent continuellement ; pen- 


240 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


dant tout le temps de la propagation de la chaleur, il se 
forme donc üne suite de décompositions et de recompositions 
de fluide neutre. D’après cela, comme l'électricité est en 
mouvement, le fil ou le systeme ne manifestera aucune 
électricité libre, tant qu'il sera isolé, ou du moins ne pourra 
manifester qu'un faible excès d'électricité négative, propre 
aux molécules extrêmes. Mais si, par un moyen quelconque, 
on lui enlève une des deux électricités, l’autre pourra être 
recueillie avec un condensateur. 

Voici maintenant les faits sur lesquels cette théorie est 
établie : 

On introduit un fil de platine, dans un tube de verre 
fermé à la lampe par une de ses extrémités, et l’on fait 
communiquer le bout libre de ce fil avec l'un des plateaux 
d'un condensateur de Volta, en évitant le contact des mé- 
taux hétérogènes; puis, au moyen d’une lampe à alcool ou 
d'un autre foyer de chaleur, on chauffe Jusqu'au rouge la 
partie du tube qui est fermée; en général, on n'obtient 
aucun effet électrique résultant de l'élévation de tempéra- 
ture : cela se conçoit d’après ce que j'ai exposé plus haut. 
Mais si l’on enroule autour du bout du fil qui a été formé, 
an fil de platine, dont l’une des extrémités communique 
avec le sol, et que l'on chauffe fortement ce bout, de ma- 
nière à le faire rougir, le fil de platine qui est dans l'inte- 
rieur du tube, acquiert un excès assez fort d'électricité po- 
sitive. Ce fait prouve que l'électricité négative du fil extérieur, 
qui est repoussée vers la partie non chauffée, s'écoule dans 
le globe, tandis que l'électricité positive de celle que l’on a 
fait rougir, pénètre le tube de verre, dont la température 
est également très-élevée, et se rend sur le condensateur en 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 24t 


suivant le fil intérieur. J'ai vérifié, avec l’appareil de M. Rous- 
seau, que le verre qui a été chauffé à 80 ou 90 degrés et 
même au-dessous, devient conducteur de l'électricité, même 
pour de tres-faibles tensions. 

On ne peut attribuer l'effet dont je viens de parler, à 
l'une des deux électricités dégagées pendant la combustion 
de l'alcool; car le résultat est encore le même quand, après 
avoir fait rougir fortement le tube, on retire le foyer de 
chaleur et l’on prend entre les doigts le bout libre du fil 
de platine extérieur; seulement l'effet est moins marqué. 
IL faut donc admettre le phénomène tel que je l'ai expliqué, 
c'est-à-dire une suite de décompositions et de recompositions 
de fluide électrique, pendant le mouvement de la chaleur 
dans une barre de métal; mais ce mouvement, comment de- 
gage-t-il de l'électricité? Est-ce par la vitesse de propaga- 
tion ou de toute autre manière ? C’est une question à laquelle 
on ne peut encore répondre : on doit se borner à étudier les 
phénomènes qui en résultent. 

De plus, j'ai prouvé, il y a quelques années , que lorsqu'on 
élève la température de Fun des bouts d’un fil de platine et 
que l'on pose l’autre dessus, il s'établit dans le circuit un 
courant tel que le bout qui s’échauffe, prend à l’autre l'élec- 
tricité positive, et que ce courant continue jusqu'à ce que 
l'égalité de température se soit établie entre les deux bonts. 
Ce fait que l’on avait attribué à une solution de continuité 
daus le circuit , est évidemment dû à ce qui se passe pendant 
la propagation de la chaleur ; car le bout qui est chaud doit 
donner à l'autre l'électricité positive et en recevoir l'électricité 
contraire. 

L'expérience suivante vient encore à l'appui decettethéorie, 


Dex 3t 


242 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


Soitun circuit fermé à, b, c (fig.3), formé d’un fil de platine 
dont les deux bouts ont été soudés avec le plus grand soin; 


toutes’les parties peuvent être considérées alors comme ho-- 


mogènes. Si l'on élève la température de l’une d'elles, l'état 
d'équilibre de l'électricité ne sera pas troublé ; cela se conçoit, 
puisque la propagation de la chaleur se fait également à droite 
et à gauche des points chauffés; mais si l’on fait un nœud 
en o, et que l’on porte le foyer de chaleur à peu de distance 
en F ,il se produit aussitôt un courant électrique dont la direc- 
tion indique que l'électricité positive va à gauche du point o. 
Ce résultat s’expliqueaisément ; en effet , le circuit ne présente 
pas de solution de continuité; ainsi le phénomène doit pro- 
venir d’une différence dans la propagation ou le mouvement 
de la chaleur : or, le foyer étant en F, cette propagation se 
fait inégalement à droiteet à gauche; la partieF o , dont la tem- 
pérature est portée continuellement au rouge, se refroidit 
plus vite à cause de la présence de la petite masse 0, laquelle, 
s’échauffant, prend l'électricité positive; le courant doit donc 
suivre la direction a b c indiquée par la figure. 

D'apres cet exposé, il est assez naturel de supposer que, 
dans un circuit fermé, composé de deux fils ou barres de 
métal différent, si l’on éleve la température de l’une de sou- 
dures , et si le mouvement de la chaleur ne se fait pas de la 
même manière dans chaque métal, à droite et à gauche des 
points de jonction, il en résultera des effets électriques, qui 
étant inégaux et dirigés en sens inverse, produiront un cou- 
rant électrique dont l'intensité sera égale à leur différence. 
C'est ce que je vais démontrer dans les phénomènes thermo- 
électriques découverts par M. Seebeck. 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 243 


S II. 


! 


De la cause des courants thermo-électriques dans les circuits 
Jormés de metaux différents. 


Dans un circuit fermé cac! b (fig, 4), formé de deux fils, 
l’un de fer, l’autre de cuivre, soudés en c et c’, si l'on main- 
tient le point c et les points adjacents, à droite et à gauche, 
à une température constante mais plus élevée que celle de c', 
en passant la partie o co’, dans un tube de verre recourbé, 
qui plonge dans un bain de mercure, on a un courant qui suit 
la direction cab, et dont l'intensité est la même, tant qu’il 
n'y à pas de variations dans la température. Une différence 
de température dans les parties de chaque métal qui avoisi- 
nent les points de jonction , n’est pas la cause qui influe sur 
la production des phénomènes thermo-électriques; car si l’on 
porte le foyer de chaleur en o ou en o’, la chaleur ne tarde 
pas à gagner le point c, et le courant va toujours dans le 
même sens, quoique ce soit, tantôt le fer, tantôt le cuivre 
qui ait la température la plus élevée, Il est probable que le 
rayonnement de la chaleur du cuivre au fer et du fer au cuivre 
au contact des deux fils, est une des causes qui agissent avec 
le plus d'efficacité pour produire le courant. 

Il est facile, en outre, de démontrer que ce courant est 
dù au mouvement de la chaleur d’un métal dans l’autre, et 
non à des effets chimiques, résultant de l’action de l’oxigène 
sur les métaux. On prend une cloche de verre, dans laquelle 
on pratique deux ouvertures latérales ; à chacune d'elles on 
fixe avec du mastic un double crochet en platine, lesquels 

31. 


244 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


communiquent intérieurement l’un et l’autre avec les bouts 
d'un fil formé de deux autres, platine et or, ou platine et 
fer, et extérieurement avec les extrémités du fil d'un multi- 
plicateur; puis on fait le vide sous la cloche et l’on y intro- 
duit du gaz hydrogène bien sec. Ces dispositions faites, on 
élève la température des points de jonction platine et or ou 
platine et fer avec une lentille sur laquelle on fait tomber 
des rayons solaires. 11 se développe aussitôt un courant élec- 
trique, absolument semblable à celui que l'on obtient dans 
l'air, et pour la direction , et pour l'intensité; ainsi les alté- 
rations produites dans les métaux par l’oxigène, n’ont aucune 
influence sur la manifestation des courants thermo-électriques 
qui sont düs seulement à la différence des mouvements de 
la chaleur, quand elle passe d’une surface sur une autre. 
Pour prouver ce dernier point, il faut mesurer avec exacti- 
tude l'intensité de chaque courant, et voir si elle n’est pas 
soumise à une certaine loi. J'ai commencé par construire 
une table qui donne avec exactitude les rapports entre les 
déviations de l'aiguille aimantée dans un galvanomètre, et 
les intensités correspondantes du courant. La marche que 
j'ai suivie est la même que celle indiquée dans un de mes 
précédents Mémoires. Voici cette table. (Annales de chimie 


et de physique, T. XXXI, p. 371). 


DÉVIATIONS | INTENSITÉS | DÉVIATIONS | INTENSITÉS 
de l'aiguille du courant de l'aiguille du courant 
AIMANTÉE. ÉLECTRIQUE. AIMANTÉE. ÉLECTRIQUE. 

LAIT os oh LA) M Nea Sen raL En 
mA Ullsore I 
den 1 ragga rl. nd Eee lididic 
l'in da elltoce D PUR 1] PSS Ce lIO PE 
HAE S DeSÉ CN Éroniou| Laon SLR AENNEUTS 
OAI SEE OP PR TS SE AT 
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PE JE É| Erte o 16,35 08e TD EE 

26-1:.6kte 17,57. 1! |. | 55... 

CA eo) EC 18,78 


J'ai soudé, par un de leurs bouts, un fil de platine etun fil 
defer,dontles deuxautres communiquaient avec les extrémités 
dufil decuivre du galvanomètre. Les soudures ayantété mises 
dans la glace fondante, excepté celle où le fer et le platine se 


246 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 

réunissaient, on a élevé successivement la température de 
cette dernière; des circuits formés avec d’autres métaux 
ont été soumis à la même expérience, et l’on a obtenu les 
résultats suivants : 


METAUX. TEnPÉRATURE | DÉVIATIONS | INTENSITÉS | 
INTENSITES 
qui composent de l’une des | de l'aiguille du 
CALGULÉES. 
LE CIRCUIT. SOUDURES. AIMANTÉE. COURANT. 


Fer et argent... 


Fer et cuivre... | 


Cuivre et platine. 


Argent et étain... 


Cuivre et étain. | 


\ 


On: voit que si, dans ces divers circuits , onélève successive- 
ment la température d'une des soudures depuis zéro jusqu’à 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 247 


40° , tandis que les autres restent à zéro. l'intensité du courant 
électrique croît en raison de la température, c’est-à-dire 
que pour une température double, l'intensité du courant est 
double. 
J'ai déja fait voir, dans un précédent Mémoire, que plusieurs 
métaux, ceux surtout dont le terme de fusion était très-éloi- 
gné, jouissaient de la même propriété; mais je n'avais pas 
démontré qu'elle s’appliquait à tous les métaux pour des 
températures au-dessous de 5o°. Les appareils n'avaient pas 
alors le degré de sensibilité qu'on leur a donné depuis, et 
qui permet maintenant d’apercevoir des rapports qu'on ne 
pouvait trouver avant. Quant à ceux qui existent entre les 
intensités des courants produits par le contact de divers 
métaux pour la même température, les premières expériences 
que J'ai faites pour y parvenir ont été sans succès. Je me 
_bornai à former des circuits et à déterminer rigoureusement 
l'intensité du courant, provenant de l'élévation de tempéra- 
ture à telle ou telle soudure. Toutes les fois que je changeais 
de circuit, les résultats cessaient d’être comparables; je ne 
tardai pas à en découvrir la cause : chaque circuit ne possé- 
dait pas le même pouvoir conducteur, à cause de la diffé- 
rence de grosseur et de longueur des fils métalliques , et de 
la nature de ces derniers. Je crus obvier à cet inconvénient 
en donnant aux fils les dimensions convenables ; mais je 
n'atteignis pas encore le but; enfin, j'essayai si la perte que 
le courant éprouvait en passant d'un métal dans un autre, 
et qui variait suivant la nature de chacun d'eux, et par con- 
séquent suivant chaque circuit, n'était pas un obstacle à la 
manifestation de la loi que je cherchais, Cette conjecture s’est 
vérifiée. Pour que la perte fût constamment la même dans 


278 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


toutes les expériences, je composai un circuit de tous les me- 
taux dont je voulais déterminer le pouvoir thermo-électrique. 
En ne changeant pas de circuit, la conductibilité se trouvait 
être toujours la même, et les résultats devenaient compa- 
rables. Toutes les soudures étaient à la température de zéro, 
excepté une seule que je plaçais dans une source de chaleur, 
suivant la méthode que j'ai déja indiquée. Le tableau suivant 
renferme les divers resultats que j'ai obtenus. 


Circuit N° r. 


DÉSIGNATIONS | TEMPÉRATURE | DÉVIATIONS INTENSITÉS 


de la soudure|correspondan:- 
des du courant 
soumise à |tesdel’aiguille 
2 : Pt à : électrique. 
SODRARES, l'expérience. | aimantée. q 


E y ” Fa 
Fer étain 


er —È 
Cuivre platine 


+ - 
Fer cuivre 

52 — 
Argent cuivre..|.... 
+ — \ 
Fer argent JS 


3 = 
Fer platine 
+ 


Cuivre étain 
— 
Zinc cuivre 


ax: 5: 
Axcentior--.:\|.".7 20 


| 


A l'inspection de ce tableau, on voit sur-le-champ que 
pour une température donnée de 20°, par exemple, chaque 
métal acquiert une puissance ou action thermo-électrique, 
telle que l'intensité du courant électrique que l’on obtient 


THÉRMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 249 


par l'élévation de température d’une soudure, est égale à la 
différence des quantités qui représentent chacune de ces ac- 
tions dans chaque métal. Par exemple, pour le fer et le cui- 
vre. en désignant par P cette action ou cette puissance, on 
a P fer — P cuivre — 27,96 pour l'intensité du courant, lors- 
qu'on eleve la soudure fer, cuivre à 20°; de même pour le 
platine et le fer P fer — P platine — 36, 07. En retranchant 
la premiere de la seconde, on a P cuivre—P platine —8, 11: 
or, l'expérience donne 8, 55, qui en diffère peu. La soudure 
fer, étain, donne 31,24; celle cuivre étain 3,50; la différence 
fer-cuivre est donc 27, 74 au lieu de 27,96 que donne l’expé- 
rience. Il est donc bien démontré que l'intensité d’un courant 
thermo-électrique est égale à la différence des actions thermo- 
électriques produites dans chaque métal par la même tempe- 
rature : mais quel est ce genre d’action ? quoiqu'il soit difficile 
d'y répondre, on entrevoit néanmoins la cause qui peut la 
produire. En effet, on a, en représentant la puissance ou ac- 
tion thermo-électrique du fer à 20° par x, 


PPfer LA ee x 
P212E0bacises x— 926,20 
Por vera æ— 26,70 
D'rnTenn Ie x — 26,96 
PEUT. de x— 27,96 
P.étain....... z— 31,24 
Ppratite. 4. TZ — 3 


Dans cet arrangement, chaque métal est positif, par rapport 
à ceux qui le suivent, et négatif par rapport à ceux qui le 
précédent. 


Si + était connu, le pouvoir thermo-électrique de chaque 
EN 32 


250 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


métal s'en déduirait, mais comme le fer est positif par rap- 
port aux métaux ci-dessus mentionnés, on doit en conclure 
que sa valeur est supérieure à 36. De plus, on sait que l'or, 
l'argent, le zinc et même le cuivre ont des pouvoirs à peu- 
près égaux, puisqu'ils different de celui du fer de 28, 20; 
26, 70; 26, 06; 27, 96. Or, quand on cherche, parmi les pro- 
priétés calorifiques, celles qui sont sensiblement les mêmes 
pour ces quatre métaux, on ne voit que le pouveir rayon- 
uant qui s'y rapporte. Il faudrait donc admettre que dans le 
contact de deux métaux différents , le rayonnement de chaque 
surface est le mêmé que celui qui a lieu dans l'air, et que la 
différérice des pouvoirs rayonnants détermine et le sens et 
l'intensite du courant ; dans cette supposition rien n'est plus 
facile que dé déterminer x, car alors on a, d'après la table 
formée par M. Leslie : 
æ : æ— 26,90 ::19 : 12. 

15 et 12 sont les pouvoirs rayonnants du fer et de l'or. Il est 
facile ensuite de trouver les valeurs relatives aux métaux. 


DEP Pas. 133,90 
P.argent.... 107,30 
POSER 106,80 
FAT 106,54 
cuivre. ... 109,4 
étain. .... 102,26 


platine . 00700 


Ces valeurs se rapportent à une conductibilité électrique 
donnée; car , si l’on changeait le circuit, les nombres ci-dessus 
ne seraient plus les mêmes ; mais rien n’est plus aisé que d'ob- 
vier à cet inconvénient. La valeur P fer — P cuivre est propor- 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 251 


tionnelle à la température et au pouvoir conducteur du cir- 
cuit ; si donc l'on représente cette différence par à pourun cir- 
cuit dont le pouvoir conducteur électrique est 1 et la tempé- 
rature {, On aura pour un pouvoir »2 et une température £. 


P.fer —P cuivre —mt); 
de même : 
P.fer—P-platine = mt, 


ainsi de suite, etc. 


re? est indépendant 


du pouvoir conducteur du circuit et de la température. Il est 
encore de même pour un circuit quelconque, en employant 
une température #' et un pouvoir conducteur m', car le fac- 
teur m',t' disparaît. L'expérience vérifie complètement ce 
résultat théorique, comme on peut le voir ci-après. 


Il résulte de là que le rapport 


Cireuit 2. 


| DÉSIGNATIONS: | TEMPÉRATURE | pévranions | 1NreNsiTéS 


de la soudure TL 
des de l’aiguille | du courant 
soumise à 


SOUDURES. aimantée. électrique. 


l'expérience. 


me “a 
Fer platine 
+ — 

Fer cuivre. .... 


AS S 
Cuivre platine. . |... 


E. ee 
Cuivre plomb 


32. 


252 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


Circuit 3. 


DÉSIGNATIONS |remPéraTuRe | DÉVIATIONS INTENSITÉS 
des de la de l'aiguille du 


SOUDURES. SOUDURE. aimantée. COURANT. 


SE = 
Fer cuivre 


= F 
Fenplatiner.. | 0..e 


Cuivre platine. .|....20....|... 


P. fer — P. platine |" 36,07 En 
P.fer— P.cuivre 27,96 FE 
P'.fer — P'. platine vit 46,50 114 
P'.fer— P'.cuivre 35,18 2 

P'.fer —P".platine 5x 


Dans le circuit n 3 CS CI DE SU PR DT dire 38 = 1,34 


Dans le cireuit n° 1, on trouve 


Dans le circuit n°2......... 


Ces rapports sont sensiblement égaux, comme l'indique 
la théorie; car les légeres différences qui existent entre eux 
sont dans la limite des erreurs que l’on peut commettre en 
mesurant des phénomènes aussi délicats que ceux qui font 
l'objet de ce mémoire. 

La moyenne de ces trois nombres 1,32, est le rapport des. 
différences fer-platine et fer-cuivre pour un pouvoir con- 
ducteur quelconque et une température aussi quelconque, 
mais inférieure à o°. En faisant P.fer—P cuivre = 1, et 


P fer 15 
—=—, on‘aura 


adoptant encore le rapport Pare 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX. 253 
Métaux! Pouvoirs thermo-électriques. 
RAT Mein 5 ï 
EAP EL. AAA 4,07 
DR OT0 RRAeE CA  PAAREESE N ERA 4,052 
ESA D a ES ON EN 4,035 
PA GUINEA EN UM DT NU 4 
CAEN Tel ASE AA 3,89 
PDAs... MN PE, 3,08 


Ces valeurs seront les mêmes pour un circuit quelconque 
et pour tous les cas où les différences entre les pouvoirs ther- 
mo-électriques des métaux croissent comme les tempéra- 
tures; ce qui a lieu pour celles qui sont au-dessous de 50°, 
et dans la supposition où ces pouvoirs seraient proportionnels 
aux pouvoirs rayonnants des métaux. C’est en faisant de 
nouvelles expériences qu'on pourra voir jusqu’à quel point 
est exacte cette hypothèse, basée sur un fait qui paraît fon- 
damental. Dans le cas où elle ne le serait pas, on aurait 
toujours pour les pouvoirs thermo-électriques : 


P.fer..... 


P argent. 


Pons à 
P.zinc..... 
P. cuivre... 


LEE PL A A = 

nn LA ANNE = T7 —0,93 
Ja sise = —0,948 
aabiaon: &! —x— 0,965 
&3 Vas A a .=L—I 

M ut: pti =X—I,1I 
AE ZX — 1,32 


Toutes ces valeurs sont indépendantes du plus ou moins 
de chaleur, et du refroidissement dans l'air de la partie des 
fils ou barres située au dehors de la source de chaleur. I} 


254 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


suffit, pour le prouver , de former un circuit de plusieurs fils 
alternatifs de fer et de cuivre, n'ayant pas les mêmes dimen- 
sions en longueur et en grosseur, et d'élever successivement 
la température de chaque soudure au même degré , toutes les 
autres étant à zéro, et de voir quelles sont les intensites 
‘ des courants. L'expérience montre que ces intensités sont 
égales. Je me borne à rapporter les expériences faites avec 
un seul circuit. 


DIMENSION S D ES FI LS TEMPÉRATURES |  DÉVIATIONS 
des de l'aiguille 


A 
FORMANT UN MEME CIRCUIT. SOUDURES. ATMANTÉE: 


| Fer, long: 3 décim., diam. 3 mill 
| Platine ; long. 5 décim., diam. 3 mill. ..… 


{Fer, long. 1 décim. diam. 3 mill e 

Platine, long. r décim., diam. r'mill! ... 
Fer, long. 3 décim., diam. 1 mill....... | 
Platine, long. 3 décim., diam. 1 mill...…. 


On peut objecter à cette permanence dans l'égalité de l'in- 
tensité des courants, que la conductibilité du circuit étant 
diminuée par la présence de fils tres-fins de platine et de fer, 
il ne passe plus alors qu'un courant d’une certaine intensité, 
et qu'au-delà aucun accroissement ne saurait être rendu sen- 
sible; à cela on répond que s’il en était ainsi, on devrait 
trouver une certaine température inférieure à 5o°, passé la- 
quelle le courant n’augmente plus, et comme cette circon- 


THERMO-ÉLÉCTRIQUE DES MÉTAUX. 355 
stancé ne se présente pas, puisque l'inténsitéaugmente comme 
la température, il faut donc admettre que pour la même 
conductibilité électrique et là même température inférieure 
à 5’, l'intensité du courant est indépendante de la longueur 
et du diamètre des fils. 

Où peut vérifier , avec les résultats précédents, le fait bien 
connu, que lorsque la température est la même dans toutes 
les parties d’un circuit composé de fils de différents métaux , 
le courant est nul, c’est-à-dire qu'il n’y a pas de développe- 
ment d'électricité. Il faut , pour cela, que la somme des nom- 
bres qui représentent l'intensité des courants, pris chacun 
avec leurs sighes, soit égale à zéro. 

Je prends le circuit fer, platine, argent, cuivre , et j'affecte 
du signe + le nombre qui représente l'intensité du courant 
qui va à droite, et du signe — celui relatif au courant qui 
suit une direction opposée; on aura, en représentant les 
points de jonction des métaux par &, b, c, d, et par A,B, 
C, D, les intensités dés courants dans les mêmes points. 


/ 


B— +0,59 A—— 1,32 
D= + 1,500 C——o,07. 


Or, comme la somme A4B+C4+D—o, le courant doit 
étre nul; dans tout autre circuit, on trouve la même chose. 
Cet accord entre les résultats de l'expérience justifie leur 
exactitude. 

Dans un aûtre Mémoire, je ferai connaître les pouvoirs 
thermo-électriques des métaux pour des températures au-des- 
sus de 50°. Les résultats que j'ai déja obtenus pour quelques 
uns, entre autrés pour l'or et l'argent, et que je ne rapporte 
pas ici, dans la crainte d'abuser trop long-temps des mo- 


356 MÉMOIRE SUR LE POUVOIR 


ments de l’Académie, donneront plus d'extension encore à 
la théorie que j'ai exposée précédemment. Je ne terminerai 
pas sans tirer quelques conséquences des faits qui ont été 
l'objet de ce Mémoire. 

Il est généralement admis que lorsqu'une barre métallique 
plonge, par un de ses bouts, dans un milieu plus chaud 
que l'air environnant, chaque point infiniment petit de 
cette barre reçoit de la chaleur par le contact du point qui 
précède, eten communique à celui qui le suit; qu'un même 
point est influencé, non-seulement par ceux qui le touchent, 
mais encore par ceux qui l'avoisinent à une petite distance, 
en avant et en arriere, de manière qu'il se produit, dans 
l'intérieur de la barre, un véritable rayonnement de molecule 
à molécule; d'ou il résulte que chaque point intérieur du 
corps communique de la chaleur à tous ceux qui l'environ- 
nent à une petite distance, et en reçoit deux. L'exces de cette 


seconde quantité sur la première détermine la quantité dont 


sa température propre s'accroît à chaque instant. 

Les actions électriques observées pendant la propagation 
de la chaleur dans une barre métallique, produisent des 
effets analogues. Si l’on considère, par exemple, une molé- 
cule de cette barre, recevant successivement de la chaleur et 
en communiquant aux molécules voisines, les électricités 
positives et négatives qui l'entourent exercent des actions 
attractives et répulsives sur les électricités des molécules 
situées à peu de distance. Ainsi, tant qu'il y a rayonnement de 
chaleur d'une molécule à une autre, il y a pareillement actions 


électriques à distance. deux effets qui ont de l’analogie en- | 


semble et qui concourent à établir un nouveau rapport entre 
la chaleur et le fluide électrique. Les effets électriques qui 


THERMO-ÉLECTRIQUE DES MÉTAUX 259 


ont lieu pendant l'échauffement et le refroidissement des 
corps, font naître plusieurs conjectures , que jé ne dois 
PAS passer sous silence. Une partie de l'électricité atmo- 
sphérique ne serait-elle päs due à une cause semblable ? 

Considérons un instant une portion de l'atmosphère dans 
un calme parfait et ayant partout. la même température, 
l'état d'équilibre de son électricité ne saurait être troublé ; 
mais Si, par une cause quelconque, il survient un courant 
d'air plus froid, qui pénètre cette portion, celle-ci se refroi- 
dira, prendra l'électricité négative et l’autre l'électricité 
positive. Le contact des molécules étant de peu de durée en 
raison de la vitesse du courant, chacune d'elles devra con- 
server une partie de l'électricité qui s'est dégagée pendant 
le chañgement de température. Si les portions qui se sont 
refroidies renferment des vapeurs aqueuses, elles se con- 
denseront, s'empareront de l'électricité, et formeront un 
nuage chargé d'électricité négative. Dans le cas où l’air froid 
contient aussi des vapeurs, on a un nuage possédant l'élec- 
tricité positive. 

On a observé qu'en général l'air qui est à une certaine 
distance des maisons et des arbres possède l’électricite posi- 
tive dans les temps froids et sereins; cela se conçoit, car 
l'air froid, qui se trouve en contact avec la terre, apres s'être 
échauffé à ses dépens, s'élève en raison d'une pesanteur spé- 
cifique moindre, et emporte avec lui l'électricité positive 
qu'il a prise pendant son réchauffement. 

Je ne m'étendrai pas davantage sur les conséquences que 
l'on peut tirer des faits consignés dans ce Mémoire, lesquels 
faits sont de nature à établir de nouveaux rapports entre la 


TX. 33 


258 MÉMOIRE, SUR LE POUVOIR ; ETC. 


chaleur et le fluide électrique. Des recherches ultérieures 
préciseront ces, rapports, et fourniront probablement des 
éléments utiles à la théorie de la chaleur. 


SR TE CP EEE 


MEMOIRE 


SUR 
LES SULFURES ,IODURES, BROMURES , ETC., MÉTALLIQUES. 
Par M. BECQUEREL. 


Lu à l’Académie myale des: Sciences, le 26 octobre 1829. 


| SRE qui cherche à se rendre compte de quelle 
manière ont pu s’opérer la production et la cristallisation de 
la plupart des substances que renferment les filons et quel- 
ques-unes des formations dont se compôse la couche super- 
ficielle de notre globe , reconnaît aisément que l’une et l’autre 
ont dû s'effectuer au moment où les masses ise trouvaient 
dans un état pâteux, favorable à l'accroissément des cris- 
taux, puisque les molécules ne pouvaient arriver qué lente- 
mént vers les premiers rudiments de cristaux formés. 
L'inspection seule des nombreuses géodes dé quartz et de 
chaux carbonatée fermées de toutes ‘arts, et renfermant 
dans léur intérieur des cristaux de diverses substances, dont 
les formes ont subi une dépression semblable à’celle qui au- 
rait eu lieu si elles avaient été comprimées par le poids des 
masses environnantes, porte à croire que des infiltrations 


(] 


06! 


260 MÉMOIRE SUR LES SULFURES, 


lentes de composés différents, à travers des masses dans un 
état pâteux, ont pu produire des réactions particulières et 
des grouppements réguliers de molécules, que l'on n'obtient 
pas toujours par les opérations ordinaires de la chimie, dans 
lesquelles on ne dispose pas du temps comme dans la nature. 
Telle est l'idée qu’on peut se faire du mode de production de 
quelques-unes des substances que l’on trouve dans le sein de 
la terre. J'ai pensé que des recherches propres à appuyer 
cette théorie de faits positifs, devaient fournir des documents 
utiles à la géologie. En général, dans tous les phénomènes 
les causes n’excitent pas moins d’intérèt que les effets qui en 
découlent. Les causes premières nous seront à jamais in- 
connues, mais les causes secondaires, celles qui naissent de 
forces physiques, dont nous pouvons calculer les actions, 
rentrent dans le domaine de la philosophie, et sont livrées 
par conséquent à nos investigations. 

Dans l’un de mes précédents Mémoires, j'ai montré l'usage 
que l'on peut faire de l'emploi de forces électriques à petites 
tensions, pour obtenir cristallisés des oxides métalliques et 
diverses espèces de combinaisons chimiques. Je vais prouver 
maintenant, par des faits incontestables, que les mêmes forces 
servent à produire d’autres composés analogues à ceux que 
l’on trouve dans la terre, et, en raison de la simplicité et de 
la généralité du principe employé, je rendrai probable la 
conjecture que la nature a pu employer un moyen semblable 
pour former les mêmes substances. 

La première question à résoudre est celle-ci: Les sub- 
stances minérales qui existent dans les filons ont-elles été 
dissoutes primitivement dans un liquide qui, en disparaissant 
lentement, a permis aux molécules de s'arranger suivant les 


IODURES, BROMURES, ET C., MÉTALLIQUES. 26r 


lois de la cristallisation, ou bien proviennent-elles de la 

décomposition lente de certaines combinaisons peu solubles, 

dans lesquelles elles entraient comme parties constituantes ? 

Les résultats consignés dans ce Mémoire contribueront , je 
crois, à jeter quelque jour sur cette question. Avant de les 

exposer, il est nécessaire d'indiquer les moyens de les obte- 

ir : il suffit pour cela de faire quelques modifications aux ap-, 
pareils que j'ai déja fait connaître. Soient (fg.5 ) a b, a'b' deux 

petits tubes ouverts, chacun par les deux bouts, et remplis 

dans leur partie inférieure, jusqu’en e et c', d'argile très-fine, 

légérement humectée d'un liquide conducteur de l’électri- 

cité ; dans leur partie supérieure, on verse jusqu’en det d' les 

liquides dont la réaction l’un sur l’autre et sur la lame m/m', 

formée d’un seul métal ou de deux métaux, suivant le cas, 

donne naissance aux effets électriques qui produisent le com- 

posé que l’on cherche. Les deux tubes. sont placés dans un 

autre P Q, contenant un liquide ss’, qui est destiné à établir 

la communication électrique dans l'appareil. 

L’argile sert ici à retarder, autant que possible, le mélange 
des liquides renfermés dans les deux petits tubes, et comme 
chacun de ces liquides se mêle préalablement avec celui du 
grand tube, il est facile de constater par l'expérience, que: 
ces différents mélanges ne s’opèrent pas dans le temps qui 
est nécessaire pour que la formation des composés puisse 
avoir lieu ; c’est là le point essentiel. L'appareil ainsi disposé, 
suffit dans un grand nombre de cas, comme on va le voir. 


Des sulfures métalliques cristallisés. 


On trouve dans la terre treize sulfures métalliques qui sou-- 


2692 MÉMOIRE SUR LES SULFORES, 


vent sont cristallisés, tandis que l’art ne peut les obtenir 
qu'amorphes, soit en décomposant les sulfates par le char- 
bon à une haute température, soit par l’action du soufre sur 
les métaux à l’aide de la chaleur, soit par celle des hydro- 
sulfates alcalins sur les dissolutions métalliques , modes de 
formation trop prompts pour que les molécules aient letemps 
dese grouper suivant les loisde la cristallisation. D’après cela , 
pour obtenir ces composés cristallisés, il faut suivre une 
autre marche. 

Les sulfures uaturels sont, les sulfures de zinc, de fer, de 
manganèse, d'étain ; d’arsenic, de molybdène, d'antimoine, 
de bismuth, de cuivre, de plomb , d'argent et de cobalt. Les 
sulfures n'ont aucure espèce d'action à froid sur le gaz oxi- 
gene bien sec; mais ceux dont les inétaux sont très-oxidables 
en ont ne sur le gaz humide, ils l'absorbent tres-lentement 
et se changent en sulfates ou en sulfites. De plus, lorsqu'un 
métal est capable de décomposer l’eau à la température or- 
dinaire , son sulfure la décompose également à cette même 
température. 

Les métaux attaqués par l'acide nitrique lorsqu'ils sont 
isolés , le sont presque tous lorsqu'ils sont unis au soufre. Il 
en résulte un oxide métallique, de l'oxide d'azote et de l'acide 
sulfurique ; qui se combine en tout ou en partie avec l'oxide 
métallique. Telles sont les principales propriétés des sulfures 
qui vont servir, avec l’action des forces électro-chimiques, 
à obtenir cristallisés ces composés. 


Sulfure d'argent. 


Voici le procédé que j'ai suivi pour obtenir ce sulfure : 
on verse dans le tube & une dissolution saturée de nitrate 


OIDURES ; :BROMURES ; ETC., MÉTALLIQUES. 263 


d'argent ,et dans le-tube a! une dissolution d'hypo-sulfite dé 
potasse, obtenue par la décomposition à l'air du sulfure de 
potassium ; puis l’on plonge, dans chacune d'elles ; l'un des 
bouts d’un fil ou d'une lame d'argent pur. Peu à peu le nitrate 
d'argent est décomposé en raison d'actions électriques con- 
nues ; le bout de fil qui plonge dans la dissolution du nitrate 
d'argent étant le pôle négatif, se recouvre d'argent à l'état 
métallique, tandis que l'oxigène et l'acide nitrique se por- 
tent de l’autre côté, où ils concourent à la formation d’un 
double hypo-sulfite d'argent et de potasse, qui cristallise en 
beaux prismes ; mais l’oxigène et l'acide continuant à arri- 
ver, cette combinaison ne tarde pas à être décomposée : il se 
forme du sulfate de potasse et du sulfure d'argent qui reste in- 
tact, tant que l'acide nitrique n’est pas en quantité suffisante 
pour réagir sur lui. Pendant cette action , une partiedu liquide 
s'évapore ;etilnereste plus aù fond du tube , au-dessus de l'ar: 
gile, qu'une matière pâteuse, au milieu de laquelle le sulfure 
d'argent cristallise en jolis petits cristaux-octaèdres,non-seule- 
ment sur la lame d'argent | mais encore surla parois du tube. 
Ces cristaux ont le même aspect que ceux de la même sub: 
stance que l’on trouve dans les mines d'argent: comme eux, 
ils s'étendent légèrement sous le: marteau: leur'couleur’est 
gris de plomb, et leur surface extérieure est terne La ves- 
semblance est telle, que les cristaux artificiels ne peuventêtre 
en rien distingués des cristaux naturels. L'action de l'air con- 
court à la décomposition du double sulfure, ‘en fournissant 
de l’oxigène au soufre et au potassium. 
La cristallisation du sulfure d'argent est due’ à ce que lac- 
on étant très-lente, les molécules ont.le temps d'effectuer 
le mouvement d'oscillation nécessaire pour que les faces simi- 


264 MÉMOIRE SUR LES SULFURES, 


laires puissent réagir les unes sur les autres en vertu des lois 
de la cristallisation, Il semblerait qu'on eùût dû obtenir un 
sulfite au lieu du sulfure d'argent; mais il paraît que le pôle 
positif, dans cette circonstance , exerce sa faculté réductive 
sur l’oxide d'argent et l'acide hypo-sulfureux , comme j'ai eu 
occasion de le remarquer dans des cas à peu pres semblables. 
On n'obtient rien de semblable avec une dissolution de sul- 
fure de potassium. Dans ce cas les résultats de l'expérience 
sont du sulfate de potasse et du sulfate d'argent. 


Sulfure de cuivre. 


Si le principe à l'aide duquel on parvient à former le sul- 
fure d'argent est général, on doit l'appliquer aux autres sul- 


fures métalliques. Effectivement, si l’on remplace la disso-" 


lution de nitrate d'argent dans le tube &, par celle de nitrate 
de cuivre, et la lame d'argent par une lame de cuivre, il ne 
tarde pas à se former, dans le tube a’, un double hypo-sulfite 
de cuivre et de potassium qui cristallise en aiguilles soyeuses 
tres-fines. Peu à peu ce double sulfure se décompose ; et l'on 
finit par obtenir sur la lame de cuivre des cristaux aplatis à 
faces triangulaires de deux millimètres de longueur. 

Ces cristaux sont d'un gris métallique et quelques-uns 
nuancés de bleuâtre; leur poussière est noirâtre. Ils se dis- 
solvent dans l'ammoniaque qu'ils colorent en bleu, et il est 
facile de reconnaître qu'ils ne sont composés que de soufre 
et de cuivre. Ces caracteres sont les mêmes que ceux qui con- 
viennent au sulfure de cuivre naturel. [analyse fera connaître 
les quantités relatives de métal et de soufre qui entrent dans 
ce composé. 


IODURES, BROMURES, ET C., MÉTALLIQUES. 265 


De l'oxi-sulfure d'antimoine ou kermes. 


On trouve dans la nature un antimoine hydro-sulfuré d’un 
rouge sombre, qui se présente en masses granuleuses ou 
sous la forme aciculaire. Pour préparer le kermès par la 
méthode électro-chimique exposée précédemment, on se 
sert des mêmes liquides que dans l'expérience précédente et 
l'on établit la communication entre les deux tubes, au moyen 
d’un arc composé de deux lames cuivre et antimoine. Le 
bout-cuivre qui plonge dans le nitrate, étant le pôle négatif, 
attire le cuivre à l'état métallique, tandis que le bout anti- 
moine, ainsi que les parois du tube se recouvrent d’un pré- 
cipité brun rouge. Quelque temps après, il se forme sur l'an- 
timoine des petits cristaux octaëèdres rouges et des lames 
cristallisées de même nature que le précipité. Ces cristaux 
sont solubles dans l’hydro-sulfate neutre de potasse, et lais- 
sent dégager de l'hydrogène sulfuré par l’action de l'acide 
hydro-chlorique dans lequel ils se dissolvent : les alcalis les 
rendent jaunes. Tous ces caractères conviennent au kermès 
proprement dit: c'est la première fois qu'on a obtenu cette 
substance dans un état cristallisé. Comme la théorie de sa 
formation est la même que celle du sulfure d'argent, je n’en 
parlerai pas ; l’analyse fera connaître au juste sa composition. 


Des sulfures d'étain, de plomb et de mercure. 


En suivant la même marche que précédemment, on peut 
obtenir le sulfure d’étain en très-petits cristaux cubïques 
d’un blanc brillant métallique ; jusqu’à présent cette substance 


ne s’est présentée dans la nature que dans un état amorphe. 
Dix: 34 


266 MÉMOIRE SUR LES SULFURES ; 


Les expériences relatives à la production des sulfures de 
plomb et de mercure n'étant pas encore terminées, je ne 
puis dire quel en sera le résultat ; mais il est probable qu'il 
sera conforme à la théorie que j'ai exposée, si l'on prend les 
précautions convenables, pour ne pas opérer trop rapidement 
l1 décomposition des doubles hypo-sulfites. 


Des sulfures de fer et de zinc. 


Ces sulfures, qui sont facilement décomposables par le 
contact simultané de l’eau et de l'air, doivent être plus dif- 
ficiles à former que les précédents : aussi ne peut-on espérer 
de réussir qu'en fermaut hermétiquement le bout du tube 
qui contient l’hypo-sulfite alcalin ; encore ce moyen ne 
suffit-il pas toujours. Je suis parvenu, cependant, deux fois 
à obtenir, sur la lame de fer qui se trouvait dans l'hypo- 
sulfite de potasse, une multitude de petits cristaux cubiques 
de fer sulfuré, d’une couleur jaune, semblables à ceux des 
pyrites que l’on trouve dans la nature. Quant au sulfure de 
zinc, je ne l'ai pas encore obtenu; mais tout porte à croire 
qu'en modifiant convenablement les appareils, on pourra le 
former. Par un autre procédé que je ne décrits pas ici, je suis 
parvenu à former un grand nombre de pyrites dodécaëdres , 
dont plusieurs ont des faces de un à deux millimètres. 


D'après l'exposé que je viens de présenter, il est permis 


de croire que la nature a pu suivre quelquefois une marche 
semblable pour produire les sulfures que nous trouvons dans 


certains filons. 


Le sulfure d'argent, par exemple, s'ÿ rencontre combiné, 


tantôt avec le sulfure d’antimoine, tantôt avec celui d’arsenic 


IODURES, BROMURES, ET C., MÉTALLIQUES. 267 


ou de plomb, c’est-à-dire avec les sulfures des métaux élec- 
tro-positifs qui ne décomposent pas l’eau. Ces combinaisons 
n'ont dû éprouver, par conséquent, aucune action de la 
part de l'air, et sont restées dans l’état où elles étaient à 
l'époque de leur formation; mais il n’en a pas été de même 
des doubles sulfures d'argent et de potassium ou de sodium, 
qui sesont formés, sans doute , à l'époque de la consolidation 
des grandes masses; les alcalis ne faisant pas alors partie 
des végétaux qui n’existaient pas, durent entrer dans un 
grand nombre de composés où se trouvait également le sou- 
fre, comme eux. répandu très-abondamment dans la nature. 
Une décomposition lente a dû commencer , et il en sera ré- 
sulté de l’argent sulfuré cristallisé. 

Les mêmes réflexions s'appliquent aux autres sulfures 
métalliques, même à ceux de zinc et de fer qui auront 
pu être formés hors du contact de l'air, et sous l'influence de 
forces analogues à celles que l’on développe dans les appa- 
reils électro-chimiques. 

Le facies des sulfures métalliques, formés par le procédé 
que j'ai décrit, est tellement semblable à celui des sulfures 
naturels , tant sous le rapport des formes, du groupement des 
cristaux, de la couleur et de l’aspect général, que tout porte 
a croire que les forces dont j'ai fait usage sont au nombre de 
celles dont la nature s’est servie quelque fois pour les pro- 
duire. Î5 = 

On doit conclure des faits précédents que, pour obtenir 
cristallisée une substance insoluble, il suffit de la faire entrer 
en combinaison avec une autre qui soit soluble, et d'opérer 
ensuite une décomposition très-lente, analogue à celle qui 

se produit dans les appareils électro-chimiques. Je citerai à 


34. 


268 MÉMOIRE SUR LES SULFURES, 


l'appui de cette opinion l'expérience suivante. De l'argile: 


très-divisée et humectée d’une solution d’arséniate de potasse 
a été mise dans un tube de verre, puis on a versé dessus une 
solution de nitrate de cuivre; la réaction des deux solutions 
a eu lieu, dans les premiers instants, seulement à la surface 
du contact de l'argile et de la solution de nitrate, mais peu 
à peu celle-ci a pénétré dans la masse de l'argile; la réaction 
a eu lieu alors tres-lentement, circonsiance favorable à la 
cristallisation, et l’on a aperçu dans quelques parties vides 
de l'argile, des cristaux semblables à ceux d’arséniate de 
cuivre. IL est probable que les substances cristallisées qui 
tapissent les géodes dans les formations secondaires et ter- 
tiaires, ont pu avoir une origine semblable. 

La formation des doubles sulfures et des sulfures simples 
étant soumise à certaines lois, il ne faut pas donner aux tubes 
des dimensions quelconques, et employer des liquides dont 
la conductibilité électrique serait trop considérable: s'il se 
formait, par exemple, une trop grande quantité de double 
hypo-sulfite pour être décomposée complètement par l'acide 
qui vient du tube où se trouve le nitrate de cuivre ou le nitrate 
d'argent, l'opération serait incomplète. D'un autre côté, si 
le liquide du grand tube et celui de l'argile étaient trop 
bons conducteurs, l’oxigene et l'acide seraient peut-être 
transportés en même temps au pôle positif,et l’on n'aurait 
pas alors les réactions nécessaires pour la production des 
composés que l’on veut former. Ainsi, suivant que les cir- 
constances auront été plus ou mains favorables, on aura une 
cristallisation, parfaite, une cristallisation confuse, ou absence 
de cristallisation et même de production de double sulfure. 
Je répète encore, que si l'acide arrivait en trop grande quan- 


IODURES.; BROMURES4 IETC:5 MEPABLIQUES. 269 


U 


tité dans le tube où-se treuve la double: combinaison3:il 
réagirait sur chacun dés composants ;et l'on:n'aurait pas ‘le 
résultat attendu. Ïl,nefaut pas oubliér que l'hypo:sulfité al- 
calin, dont j'ai fait usage, provenait de la décomposition à 
l'air d'un sulfure de potassium. 


Des Jodures métalliques. 


On sait que les iodures métalliques sont soumis à la même 
loi de composition que les sulfures : on doit doncse procurer 
les iodures insolubles par le même procédé que celui qui a 
servi pour les suliures : ee n'est là qu’nne généralisation du 
principe. 

On substitue, dans l'appareil électro-chimique, l'hydrio- 
date de potasse ou de soude à l’hypo-sulfite alcalin. Avec le 
plomb , on obtient d'abord un double iodure de plomb et 
de potassium, qui cristallise en aiguilles blanches soyeuses 
très-fines; peu à peu cette combinaison se décompose, en 
commençant par la partie inférieure contigué à l'aiguille. 
puis l'on aperçoit un grand nombre de cristaux dérivant de 
l'octaëdre régulier, d'un jaune d'or et d’uu aspect brillant. 
Cette substance, qui est insoluble, est de l’iodure de plomb: 

Le cuivre , soumis au même mode d'action, donne d’abord 
un double iodure en aiguilles blanches cristallisées, puis l'on 
obtient, apres la décomposition, de jolis cristaux octaédres 
d'iodure de cuivre. 

Il est probable que les autres métaux, avec des précau- 
tions convenables, conduiraient à des résultats semblables. 
Les bromures , les séléniures , peuvent sans doute être obte- 
aus par le même procédé: je me borne à indiquer ces faits, 


270 MÉMOIRE SUR LES SULFURES, ETC. 

parce qu'ils découlent d’un principe général dont l'application 

ne peut manquer d'intéresser la philosophie naturelle. 
Dans un prochain Mémoire, je donnerai de plus grands 

détails sur le mode de formation des corps que je viens de 

faire connaître. 


RAR RAR RSR RAR LR AUTRE RS RU RNA RNA E RES NE LR RUE RAR ERA RL ARR TR LA LR ELLE LL LL SELLE LR SALES SOS 


MÉMOIRE 


SUR 


De nouveaux effets électro-chimiques propres à produire des 
combinaisons, et sur leur application à la cristallisation 
du soufre et d’autres substances. 


Par M. BECQUEREL. 


Lu à l’Académie royale des Sciences, le 25 janvier 1830: 


$ I. ÆExpose. 


L chimie se compose de deux parties distinctes : l'analyse 
et la synthese. La premitre, qui apprend à séparer tous les 
éléments dont un corps est formé, a été portée dans ces 
derniers temps à un grand degré de perfection ; mais il n'en 
est pas de même de la seconde, qui montre comment on 
peut recomposer ce corps , au moyen de ses éléments, quand 
il appartient au règne minéral et à la nature organique; car 
l'on est parvenu jusqu'à présent à ne former qu'un petit 
nombre de composés qui s’y rapportent. 

C'est à Halle et à M. Berthier, notre collegue, que l’on doit 
les premiers essais qui aient été tentés pour reproduire des 
substances minérales cristallisées. Le premier a montré qu’en 
soumettant de ia craie et des substances végétales à une 
haute température, sous une forte pression, on avait pour 


2e MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


résultats du carbonate de chaux dans un état cristallin et de 
la houille ; le second a;obtenu , par l’action du feu et à l'aide 
d'un refroidissement très-lent , ‘des silicates ayant seulement 
la structure cristalline, semblables à ceux que l’on trouve 
dans la nature, tels que des pyroxènes, des péridots, des 
grenats , des sulfures et autres; mais le nombre de ces pro- 
duits est nécessairement limité , en raison du mode d'action 
employé, qui ne peut s'appliquer qu'aux substances fusibles ; 
de plus, dans les fourneaux on trouve, soit sur les parois, 
soit dans les layetiers, divers produits cristallisés qui ont 
leurs analogues dans la nature, et qui ont été formés, les uns 
par sublimation, les autres par fusion. Je citerai entre autres 
des cristaux que M. Mitscherlitz a rapportés au mica. Quant 
à la formation des composés organiques, la science est en- 
core moins avancée : la difficulté de recomposer les corps 
naturels tient aux procédes dont on fait usage ordinairement: 
en effet, comment opère-t-on des combinaisons? c'est en 
faisant réagir les uns sur les autres des corps dissous dans 
des liquides, ou en employant l'action du calorique et quel- 
quefois celle de l'étincelle électrique , modes d'action trop 
rapides pour un grand nombre de composés, surtout pour 
ceux de nature organique, qui, formés des mèmes élé- 
ments, ne différent souvent entre eux que par de faibles 
variations, dans les proportions et quelquefois mème seule- 
ment par leur mode d'agrégation. 

En outre, quand on fait réagir deux corps l’un sur l’autre 
pour déterminer ure combinaison , toutes leurs parties con- 
stituantes concourent en même temps à l'effet général, et le 
chimiste n’a pas toujours la possibilité d'empècher la réaction 
de l’une d'elles, ce qui doit restreindre le nombre des pro- 


EFFETS ÉLECTRO-CHIMIQUES. 27 


duits; souvent aussi il ne peut employer les éléments des 
corps à l’état naissant, circonstance si favorable aux actions 
chimiques : l’électro-chimie, au contraire, telle que je la 
considère, n'emploie que des, corps à l’état naissant et des 
forces excessivement faibles, qui, produisant les molécules 
pour ainsi dire une à une, disposent par-là les composés à 
prendre des formes régulières, même quand ils sont inso- 
lubles , puisque le nombre des molécules ne peut apporter 
aucun trouble dans leur arrangement. 
._ Rien n'est plus propre, je crois, à nous initier sur la cause 
des phénomènes de décomposition et de recomposition qui 
ont lieu dans les parties constituantes des liquides en mou- 
vement dans les tissus des corps organisés, que les effets 
chimiques opérés avec les piles à petite tension. Quelle que 
soit la cause de ce mouvement, ces liquides, chargés de di- 
verses substances, éprouvent, ainsi que ces dernières, des mo- 
difications de la part des parties avec lesquelles ils sont conti- 
nuellementen contact.Ces effets sont probablement analogues 
à ceux que l’on observe dans les corps transportés par l’électri- 
cité à travers des dissolutions de diverse nature; car, dans l’un 
et l’autre cas, la force d’impulsion est un obstacle à leur 
réaction chimique, laquelle ne s'effectue que lorsque la ré- 
sistance qu’elle lui oppose est vaincue par les affinités. 

Les faits consignés dans ce Mémoire serviront, je pense, 
a donner plus d'extension à l’électro-chimie, et montreront 
en même temps les avantages qu'on en peut retirer pour la 
chimie générale. 

L'action chimique de la pile de Volta consiste, comme on 
sait, dans la faculté dont jouissent deux fils de métal en 
communication chacun avec l'une des extrémités de l’appa- 

EUX. 35 


274 MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


reil, et plongeant tous les deux dans un même liquide, d'o- 
pérer la décomposition de ce liquide et des substances qu'il 
tient en dissolution, de manière que les acides et l’oxigène 
se rendent au pôle positif, les bases et l'hydrogène au pôle 
négatif. Quand le liquide est réparti dans deux capsules de 
porcelaine communiquant ensemble avec une meche d'a- 
miante, les effets sont encore les mêmes. On obtient encore 
un résultat semblable, lorsque chaque capsule ne renferme 
pas la même dissolution. Voilà ce qui se passe toutes les fois 
que la force de la pile est suffisante pour opérer la décom- 
position des deux dissolutions; mäis si elle ne peut en dé- 
composer qu'une seule, alors les éléments de celle-ci sont 
transportés dans l’autre capsule, où ils produisent ordinai- 
rement des modifications qui amènent la formation de nou- 
veaux composés. C’est l'ensemble des faits relatifs à ce mode 
d'action que j'ai désigné sous le nom d’électro-chimie. 
Davy a avancé que, dans les décompositions opérées avec 
la pile, si l'acide rencontre, en se rendant au pôle positif, 
une base avec laquelle il forme un sel insoluble, la combi- 
naison a lieu et se précipite. Ce fait, qu'il a généralisé, prouve 
seulement que, dans les circonstances où il opérait, l'affinite 
de l'acide pour la base l'emportait sur l’intensité du courant 
électrique, qui tendait à transporter l'acide au pôle positif. 
Cet illustre chimiste nous a donné lui-même la preuve du 
fait que je viens d'avancer, quand il a décomposé avec ‘une 
pile très-énergique des liquides contenus dans des vases de 
verre; l'intensité des forces électriques était alors suffisante 
pour retirer du verre la soude, qui formait avec la silice un 
composé insoluble. Ainsi, dans l'expérience où l'acide sulfu- 
rique, par exemple, en rencontrant la baryte, formait avec 


ETFETS ÉLECTRO-CHIMIQUES. 27 


elle un précipité, si la tension de la pile eùt été assez con- 
sidérable, ce précipité n'aurait pas eu lieu, l'acide sulfurique 


°se serait rendu au pôle positif, et la baryte au pôle négatif. 


Ce résultat n'aurait été qu'une conséquence de l’expérience 
dans laquelle le silicate de soude a été décomposé. 

Cette lutte des affinités avec la force des courants va 
être mise en évidence dans l'analyse que je vais donner des 
phénomènes de décompositions et de recompositions, pro- 
duits par la réaction des corps sur les parties constituantes 
des dissolutions, au travers desquelles ils sont transportés 
par de faibles courans électriques. 


S IL. 


Cas où le métal quiest au pôle positif concourt, par laréaction 
de son oxide, à la formation des composés. 


I Exewpze. Un tube de verre de plusieurs centimètres 
de diamètre, ouvert par ses deux bouts et contenant dans sa 
partieinférieure de l'argile tres-fine imprégnée d’une dissolu- 
tion de nitrate de potasse, et dans sa partie supérieure, de l’al- 
cool ordinaire est placé dans un autre tube rempli d’une disso- 
lution de sulfate de cuivre; puis l’on établit extérieurement la 
communication entre les deux liquides, au moyen d’un are 
composé de deux lames cuivre et plomb soudées bout à bout ; 
le côté cuivre plongeant dans le sulfate, et le côté plomb dans 
l'alcool. Le sulfate de cuivre ne tarde pas à être décomposé 
par suite des effets électriques qui résultent, en grande 
partie, de l’action de ce sel sur le nitrate de potasse. Le cuivre 


35. 


276 MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


se réduit sur la lame de même métal, qui est le pôle négatif ; 
l'oxigène et l'acide sulfurique se transportent du côté de la 
lame de plomb, mais, au lieu d'obtenir du sulfate du même 
métal, il se forme en peu de jours une grande quantité 
de cristaux octaëdres de nitrate de plomb. Ce fait prouve 
évidemment que l'acide sulfurique, en traversant l'argile 
impregnée de nitrate de potasse, décompose ce sel, se com- 
bine avec la potasse en raison d'une plus grande affinité pour 
cette base; l'acide nitrique se rend alors au pôle positif, qui 
exerce aussi sur lui une action attractive; et se combine 
avec l’oxide de plomb formé avec l’oxigène de cuivre. Il en 
résulte du nitrate de plomb, qui cristallise, à mesure que 
l'alcool en est saturé. Un appareil voltaïque , formé d’un seul 
couple, possède le degré de force nécessaire pour produire 
les effets décrits plus haut. On voit, par ce premier exemple, 
qu'un acide transporté par un courant dans une dissolution 
est capable de décomposer un sel, quand les affinités sont 
supérieures à l'intensité de ce courant. | 

Ile Exempce. Le sulfo-carbonate de potasse, dont la dis- 
solution, quand elle n’est pas très-concentrée, se décompose 
peu à peu à l'air, se trouve dans des circonstances favorables 
pour que des forces très-faibles apportent des changements 
dans l’état de combinaison des molécules. Voici comment on 
opère sur cette substance : on prend deux bocaux en verre, 
dans l’un on verse une dissolution de sulfate de cuivre, et 
dans l’autre, une dissolution alcoolique de sulfo-carbonate 
de potasse , puis l’on établit la communication extérieurement 
entre les deux liquides, d’une part, avec un tube de verrere- 
courbé rempli d'argile imprégnée d’une dissolution de nitrate 
de potasse, et de l’autre, avec un arc formé de deux lames 


EFFETS ÉLECTRO-CHIMIQUES. 277 


cuivre et plomb, le cuivre plongeant dans le sulfate et le 
plomb dans le sulfo-carbonate. D’après la nature des actions 
électriques produites dans cet appareil, le plomb se trouve 
être le pôle positif d’une petite pile dont l'intensité est suffi- 
sante pour décomposer le sulfate : le cuivre se réduit ; l’oxi- 
gène et l'acide sulfurique se transportent vers le plomb; 
l'acide, dans son trajet, décompose le nitrate de potasse, 
comme dans l’expérience précédente, de sorte que l’oxigène 
et l'acide nitrique se rendent seuls dans le sulfo-carbonate ; 
aussitôt qu'ils y pénètrent, ils commencent à réagir sur ses 
parties constituantes, et cette action persévère jusqu’à ce 
que la force du courant soit devenue supérieure aux affinites 
des divers corps qui sont en présence; alors le transport des 
molécules continue jusqu'à la lame de plomb où s'opère la 
derniere réaction. Il se forme successivement les produits 
suivants : du carbonate neutre de potasse qui cristallise sur les 
parois du vase; du carbonate de plomb en eristaux acicu- 
laires, semblables à ceux que l’on trouve dans la nature, et 
probablement du sulfaté de potasse et du sulfate de plomb ; 
enfin, une partie du soufre qui provient de la décomposi- 
tion du sulfure de carbone et du sulfure de potasse, se 
porte sur la lame de plomb, qui est le pôle positif, et y 
cristallise en octaëdre à base rhombe, comme les cristaux 
naturels. Ces octaëdres avaient un millimètre de longueur 
après un mois d'expérience. 

On obtient également du soufre cristallise en abandonnant 
à l’air une dissolution de cette substance dans le carbure de 
soufre, ou en faisant fondre du soufre, laissant refroidir le 
liquide, jusqu’à ce qu'il se forme une croûte solide à la surface, 
que l'on brise pour décanter. Mais le procédé que j'ai fait 


278 MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


connaître est différent des deux précédents, et a de l’ana- 
logie avec celui dont la nature fait usage dans quelques cir- 
constances, par exemple, dans la décomposition lente du gaz 
hydrogène sulfuré et des matières fécales, qui déposent avec 
le temps des cristaux de soufre bien caractérisés. Dans l’un 
et l’autre cas, la cristallisation est le résultat d'une action 
excessivement faible. 

Au lieu du sulfate de cuivre on peut se servir du nitrate, 
qui fournit immédiatement l'acide nitrique. 

Les produits auxquels donne lieu la décomposition du 
sulfo-carbonate de potasse, varient suivant l'intimité des cou- 
rants électriques et le degré de concentration de la dissolu- 
tion. Avec une dissolution de sulfo-carbonate dans l’eau, 
on obtient peu de soufre et une grande quantité de carbo- 
nate de plomb. Ces différences, dans les résultats, tiennent 
aux rapports qui existent entre les affinités des divers corps 
et les intensités du courant, qui varient suivant la conduc- 
tibilité des liquides et l'énergie de l'action chimique. Dans 
l'état actuel de la science, il est impossible de prévoir à 
priori ce qui doit arriver dans tel ou tel cas, c'est l'expé- 
rience seule qui peut l’'apprendre. 

Les sulfo-carbonates des autres bases, soumis au même 
mode d'expérience, m'ont donnédes résultats analogues ; c'est 
par leur décomposition lente, et en employant des métaux 
convenables au pôle positif, que je suis parvenu à obtenir en 
cristaux, dérivant de la forme primitive, le sulfate de chaux 
et celui de baryte, comme on les trouve dans diverses forma- 
tions du globe. Je me borne à énoncer ici ce fait sur lequel 
je reviendrai dans un autre Mémoire , en traitant des sulfates 
insolubles et des circonstances de leur formation ; au surplus, 


EFFETS THERMO-CHIMIQUES. 279 


j'aurai encore l'occasion ci-après de reparler du sulfate de 
baryte. 

IIS exempce. On remplit d’une dissolution de bi-carbo- 
nate de soude un tube contenant dans sa partie inférieure, 
de l’argile imprégnée de la même dissolution , et on le place 
dans un autre où l’on verse une dissolution de sulfate de 
cuivre; puis l’on plonge dans chaque liquide l’une des extré- 
mités d’une lame de cuivre. Voici ce qui arrive : le bout qui 
est dans la dissolution du sulfate étant le pôle négatif, de- 
compose ce sel , attire le cuivre, tandis que l'oxigène et l’acide 
sulfurique se portent de l’autre côté; mais l'acide sulfurique 
trouvant sur son passage de l'acide carbonique, le chasse de 
la combinaison et prend sa place; alors l'acide carbonique 
forme avec l’oxide de cuivre un carbonate, lequel en se com- 
binant avec celui de soude donne naissance à un double car- 
bonate, qui cristallise en belles aiguilles d’un vert bleuâtre 
satiné. Cette substance qui n’est pas soluble dans l’eau, se 
décompose à l’aide de la chaleur, le carbonate de soude se 
dissout, celui de cuivre se précipite et devient brun comme 
le carbonate ordinaire traité par l’eau bouillante. 

Dans les expériences précédentes, la propriété dont jouit 
l'acide sulfurique de chasser des acides qui ont moins d’af- 
finité que lui pour les bases, n’a lieu qu’en raison du peu 
d'énergie de l’action de la pile, car si elle eût été plus con- 
sidérable, tous les acides indistinctement auraient été trans- 
portés au pôle positif. Cette propriété est subordonnée néan- 
moins à certains phénomènes dont il sera question dans le 
chapitre suivant. 

Le courant électrique dont je me suis servi pour déter- 
miner des décompositions, peut provenir de deux causes, de 


280 MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


la réaction chimique des deux liquides, qui sont en contact, 
et de l’action chimique du liquide du petit tube sur le métal 
qui plonge dedans; dans le premier cas, si la réaction est 
suffisamment énergique, on peut se passer de la seconde, 
de même si celle-ci a une intensité convenable, la première 
devient inutile; mais quand l’une et l'autre sont faibles et 
que les courants qui en résultent sont dirigés dans le même 
sens , alors leur somme devient indispensable à la production 
des effets électro-chimiques. En général toutes les fois que 
les deux courants cheminent dans le même sens , leur somme 
ne peut que favoriser les décompositions et la formation des 
produits. Il arrive souvent que ces deux courants sont si fai- 
bles que la réduction dans le grand tube ne saurait avoir lieu; 
des-lors iln’y a aucun effet de produit. Si donc l'on n’aperçoit 
dans les appareils , au bout de quelques jours, aucune préci- 
pitation de cuivre sur la lame du même métal, qui plonge 
dans la dissolution du nitrate ou du sulfate, il devient inutile 
de pousser plus loin l'expérience; il faut alors changer l'ap- 
pareil. Dans l'expérience, où le grand tube renferme du sul- 
fate de cuivre et le second de l'argile imprégnée d’une dis- 
solution de nitrate de potasse, puis de l'alcool, la réaction 
chimique du nitrate sur le sulfate suffit pour produire un cou- 
rant électrique , capable de décomposer complètement le sul- 
fate de cuivre et de former le nitrate de plomb dans le petit 
tube; car on ne peut supposer que l'alcool ait exercé sur le 
plomb une action assez forte pour qu'il en résulte un courant 
électrique sensible. Il serait à désirer qu’on püt toujours 
opérer sur des dissolutions, qui exerçassent les unes sur les 
autres des actions chimiques suffisamment énergiques pour 
développer des courants convenables, quand la lame qui 


EFFETS THERMO-CHIMIQUES. 281 


plonge dans le liquide du petit tube est d’or ou de platine, 
afin de pouvoir étudier facilement les phénomènes de dé- 
compositions et de recompositions indépendamment de la 
réaction des oxides. Ce serait la seule marche à suivre pour 
découvrir ce qui se passe dans les composés organiques li- 
quides, lorsqu'on y transporte au moyen de l'électricité, des 
corps capables d'enlever quelques-unes de leurs parties con- 
stituantes. On peut suppléer à ce défaut de réaction suffisante 
des liquides, en opérant avec l'appareil dont je vais donner 
ladescription, lequel permet d'éviter, quand on le veut, l’ac- 
tion des oxides métalliques qui se forment au pôle positif. 
Comme cet appareil est de nature à donner de nombreuses 
applications, j'entrerai dans quelques détails sur sa con- 
struction. 


S III. 


Description d'un appareil électro-chimique, qui permet d'é- 
viter ou d'employer à volonté au pôle positif la réaction 
des oxides métalliques. 


On prend trois bocaux A, A’, A’ (fig. 6°) rangés sur la 
même ligne, à peu de distance les uns des autres : le premier 
est rempli d'une dissolution de sulfate ou de nitrate de cui- 
vre, le second, d’une dissolution de la substance, sur les par- 
ties constituantes de laquelle on veut opérer des change- 
ments, et le troisième, d’eau rendue légèrement conductrice 
de l'électricité par l'addition d'un acide ou de sel marin. A 
communique avec A’ au moyen d’un tube recourbé a bc 
rempli d'argile humectée d'une dissolution saline, dont la 
nature dépend de l'effet que l’on désire produire dans A’; A’ 

LUUXe 36 


282 MÉMOIRÉ SUR DE NOUVEAUX 


et A’ communiquent ensemble par l'intermédiaire d'une lame 
de platine ou d'or «'b'c', et enfin A et A” avec un couple 
voltaique CM Z composé de deux lames M C et MZ, cuivre 
et zinc; enfin, un tube de süreté ## est placé dans le bocal 
A’ pour indiquer les pressions intérieures résultant des dé- 
gagements de gaz. D'après cette disposition, l’extrémité &' de 
la lame de platine est le pôle positif d'une petite pile dont 
l’action est lente et continue quand le liquide contenu dans 
A est bon conducteur; l'intensité des forces électriques est 
suffisante pour décomposer le sulfate de cuivre qui se trouve 
dans A; dès lors l’oxigène se rend vers a', ainsi que l'acide 
sulfurique, qui, en passant dans le tube a b c, chasse quel- 
quefois les acides qui ont moins d’affinité que lui pour les 
bases. Tous les éléments se rendent dans le liquide A’, où 
leurs réactions lentes déterminent divers changements. Cet 
appareil ainsi disposé a un grand avantage. sur tous ceux 
dont j'ai fait usage jusqu'ici ; il permet d'opérer sur de plus 
grandes dimensions et d'éviter la réaction de l'oxide, qui se 
formait en a’ quand on employait un métal oxidable pour 
faire naître le courant. 

On est forcé souvent de placer un quatrième bocal entre 
A et A’, dans lequel on met une quantité suffisante de la 
dissolution saline, qui doit être décomposée par l'acide sul- 
furique, pour que les effets produits dans le liquide A’ne 
soient pas interrompus quand tout le liquide de l'argile a été 
décomposé. Ainsi, quand on voudra porter un gaz électro- 
négatif ou un acide à l'état naissant dans le liquide du bocal 
A’, il suffira de placer dans l'argile une dissolution qui, par 
sa réaction sur. l'acide sulfurique provenant de la décom- 
position du sulfate de cuivre, laisse dégager ce gaz ou cet 


EFFETS THERMO-CHIMIQUE: ; 283 


acide. S'il s’agit, au contraire, d'y porter de l'hydrogene ou 
un gaz électro-positif, il faut renverser les moyens de com- 
munication,et mettre a b'c'à la place de a bc,et réciproque- 
ment. Enfin, si l'on remplace la lame de platine par une lame 
d'un métal oxidable, l’on introduit dans la dissolution la 
réaction d’un oxide qui, se trouvant à l’état naissant, con- 
court à la formation des produits. L'inspection seule des ap- 
pareils précédents donne une idée des résultats qu'ils peuvent 
donner en variant convenablement les dissolutions; je vais 
en faire connaître plusieurs : 


T° Expérience. On verse dans le bocal A'une dissolution 
alcoolique de sulfo - carbonate de potasse, dans le bocal A 
une dissolution de sulfate de cuivre, et dans l'argile du tube 
abc une autre de nitrate de potasse; après 24 heures d’ex- 
périence , la réaction de l'oxigène et de l'acide nitrique sur la 
dissolution du sulfo-carbonate est déja sensible; car l’on 
aperçoit sur le bout à’ de la lame de platine les produits que 
j'ai indiqués plus haut , en opérant avec une lame de plomb, 
c'est-à-dire des cristaux de soufre, de carbonate neutre, de 
potasse, etc., mais non du carbonate de plomb, puisqu'il n'y 

‘a pas d’oxide de ce métal. 


T° Expérience. On substitue dans l'appareil précédent 
au sulfo-carbonate de potasse une dissolution dans l’eau de 
sulfo-carbonate de baryte; des réactions analogues ne tardent 
pas à se manifester : précipitation de soufre en petits cris- 
taux, et formation de sulfate de baryte en aiguilles prisma- 
tiques. On obtiendrait sans doute par ce procédé des cris- 
taux d’une certaine dimension, si l’on courbait la lame de 
platine de manière à en faire une cuiller, pour empêcher 


36. 


284 MÉMOIRE SUR DE NOUVEAUX 


que ceux qui se forment sur la surface de la lame ne tom- 
bassent au fond du vase. 

IIIe Expérience. Moyen de constater la présence de l'acide 
nitrique et celle de l'acide hydrochlorique dans une disso- 
lution quelconque , même lorsqu'ils s’y trouvent en tres-petite 
quantité : on remplace la lame de platine a'b'c' par une 
ame d’or, puis l’on verse dans le bocal À une dissolution 
de sulfate de cuivre; dans le bocal A’ et l'argile du tube 
abc, une dissolution du composé qui est censé renfermer 
les deux acides en combinaison avec des bases; aussitôt 
que l'appareil commence à fonctionner, l'acide sulfurique 
chasse les deux acides de leurs combinaisons; lesquels se 
portent, avec l’oxigène qui provient de la réduction de l'oxide 
de cuivre, sur le bout a de la lame d’or; la couleur jau- 
ne, qui se manifeste sur-le-champ, indique la présence de 
l'acide nitrique et de l'acide hydro-chlorique. Cette réac- 
tion s'obtient également en substituant aux bocaux des tubes 


de petites dimensions; par ce procédé aucunes parties des’ 


acides ne sont perdues, toutes sont transportées au pôle po- 
sitif, et concourent à la production de l'hydro-chlorate d'or. 

IV Expérience. On remplit le bocal A d'une dissolution 
de sulfite de potasse, et l’on remplace la lame de platine a 
b c par une lame de cuivre. L’extrémité à étant toujours le 
pôle positif, attire l’oxigène et l'acide nitrique; ce dernier 
décompose le sulfite et s'empare de la base; l'acide sulfureux 
se porte sur l'oxide de cuivre qui se forme en même temps 
et se combine avec lui; le sulfite de cuivre se combine lui- 
même avec le sulfite de potasse ; il en résulte un composé 
qui cristallise en beaux octaëdres ; mais l'acide nitrique con- 
tinuant toujours à arriver, finit par décomposer ce double 


EFFETS THERMO-CHIMIQUES. 285 


.sulfite, 1l se dégage alors du gaz acide sulfureux; le sulfite 
de potasse est transformé en bisulfite et en nitrate de 
potasse. Quant au sülfite de cuivre, il se précipite en cris- 
taux, octaëdres transparents, d'un rouge vif, avec l'éclat du 
grenat pyrope. M. Chevreul a obtenu, il y a iong-temps, ce 
sulfite de cuivre par les moyens ordinaires de la chimie. 

Je pourrais étendre encore davantage le nombre des résul- 
tats, mais je crois avoir rempli le but que je me suis proposé 
dans ce Mémoire, celui de faire connaître à l’Académie des 
principes et des appareils nouveaux, à l'aide desquels on 
pourra découvrir, dans l’électro-chimie, des vérités qui con- 
tribueront à donner plus d'extension à cette science, dont 

-les applications paraissent avoir des rapports directs avec 
tous les phénomènes de la nature. 


AS RS LR AL AS SR RS LR RAS LAS LS RAR LAN LAURE LUE LE LL LE LES LES LES SAS SAS 


MÉMOIRE 


SUR 


Un procédé électro-chimique pour retirer le manganèse et le 
plomb des dissolutions dans lesquelles ils se trouvent. 


Pan M. BECQUEREL. 


Lu à l’Académie royale des Sciences, le 3 mai 1830. 


À vssrrôr que l’on eut découvert la propriété dont jouit 
la pile, de décomposer les acides et les dissolutions salines, 
au moyen de deux lames de platine, qui plongent dedans 
et en communication chacune avec l’une des extrémités de 
l'appareil, on reconnut que l’oxigène et les acides étaient 
toujours transportés au pôle positif, l'hydrogène et les bases 
au pôle négatif. Dans le cas où la dissolution renferme plu- 
sieurs combinaisons , il y a donc, de chaque côté, mélange _ 
de corps de même nature, et il reste à l'analyse chimique à 
en faire la séparation. Si l'on veut faire de suite cette analyse 
avec la pile, il faut disposer les appareils de manière à chan- 
ger la nature de quelques-uns des éléments, sans modifier 
celle des autres avec lesquels ils sont combinés ou mé- 
langés. 


e 


MÉMOIRE SUR UN PROCÉDÉ ÉLECTRO-CHIMIQUE. 287 


Les recherches nombreuses auxquelles, je me suis livré, 
sur les rapports qui existent entre les affinités et les forces 
électriques, m'ont mis à même de résoudre cette question à 
l'égard du manganèse et du plomb; et je suppose que l'on 
peut obtenir des résultats semblables pour d’autres métaux, 
en étudiant convenablement leurs propriétés électro-chimi- 
ques. L’électricité, comme on va le voir, peut donc servir 
de réactif très-sensible, non-seulement pour découvrir la 
présence du manganèse et du plomb dans les dissolutions ; 
mais encore pour les en retirer avec facilité, au point de n'en 
laisser aucune trace, et sans craindre qu'ils n’entraînent avec 
eux d'autres métaux. Je pense que ces résultats pourront 
être utiles à la chimie. Avant d'exposer les principes sur les- 
quels repose la méthode d'analyse électro-chimique dont je 
viens de parler, je vais donner l'appareil et le procédé dont 
j'ai fait usage. 

On prend un bocal A,A; (fig. 7°) dans lequel on verse 
une dissolution de nitrate de cuivre, puis on plonge dedans 
un tube & b', rempli, dans sa partie inférieure, d'argile lé- 
gèrement humectée d’une dissolution d’acétate de soude, 
et l’on verse, dans sa partie supérieure, une dissolution d’a- 
. cétate defer. Une lame de platine cc’, qui communique avec le 
pôle, positif d’une pile à petite tension (formée, par exemple 
d'unseulcouple), plonge dans l’acétate,etunautre de cuivre dd, 
est en communication avec le pôle négatif dans le nitrate. 
Dès l'instant que l'appareil commence à fonctionner, comme 
le nitrate de cuivre se décompose avec facilité, sous l’in- 
fluence de forces électriques très-faibles, le cuivre se réduit 
sur la lame de même métal, tandis que l’oxigène et l’acide 
nitrique sont transportés dans l’autre tube, où l’oxigène se 


288 MÉMOIRE SUR UN PROCÉDÉ 


dégage et l'acide nitrique décompose l'acétate de fer en se 
combinant avec le métal, et chassant l’acide acetique. L'action 
de cette pile étant trop faible pour décomposer par elle- 
même l'acétate et déterminer le transport de l'oxide de fer 
au pôle négatif, il en résulte que tous les produits qui se 
forment restent dans le tube, et la surface de la lame de pla- 
tine conserve le brillant qu'elle avait avant l'expérience. 
Vient-on à ajouter, à la dissolution de l’acétate de fer, une 
seule goutte d’acétate de manganèse qui ne renferme qu’un 
millième de gramme de ce sel, et même moins, la lame de 
platine, qui est le pôle positif, prend peu après une teinte 
légère de couleur de bistre. Augmente-t-on la quantité 
d’acétate de manganèse, la couleur devient de plus en plus 
foncée, puis tout-à-fait noire. Cette réaction se produit tant 
qu'il y a du manganèse dans l'acétate de fer; la substance 
qui colore ainsi la lame de platine est le peroxide de maga- 
nèse. Voici ce qui se passe dans.cette expérience : la lame de 
platine exerce sur la dissolution des acétates une action de- 
composante, sans pouvoir cependant opérer leur décompo- 
sition, à cause de la petite tension de la pile; mais l'oxi- 
gène et l'acide nitrique qui arrivent dans la dissolution, 
complètent la décomposition, l’oxigene en suroxidant le 
manganèse, et probablement le fer, et l'acide nitrique en 
chassant l'acide acétique qui devient libre; le peroxide de 
manganèse étant insoluble dans ce dernier, se dépose sur la 
lame de platine comme une pellicule dont les parties ont 
un aspect métallique, tandis que le peroxide de fer, s’il se 
forme , reste dissous dans les acides. 

Je me suis servi d'une pile à petite tension, pour mieux 
faire connaître ce qui se passe pendant l'expérience ; mais on 


ÉLECTRO-CHIMIQUE. 289 


parvient au même tésultat avec une pile ordinaire : on verse 
dans une capsule de porcelaine la dissolution d’acétate de 
fer et de manganèse, et l’on plonge dedans deux lames de pla- 
tine,en communication chacune avec l’un des pôles de la 
pile. Il y a aussitôt décomposition de l’eau, et dégagement 
de gaz; l’oxigène, en se rendant au pôle positif, suroxide 
le manganèse, qui abandonne alors l'acide acétique, et se dé- 
pose comme précédemment sur la lame positive de platine. 
On voit maintenant pourquoi le nitrate de cuivre était néces- 
saire quand on a employé la pile à petite tension; l'eau n'é- 
tant pas décomposée, il fallait se procurer de loxigène et 
un acide plus fort que l'acide acétique; la décomposition fa- 
cile du nitrate de cuivre a fourni l’un et l'autre. Le sulfate 
et le nitrate de manganèse conduisent au même résultat que 
l’acétate, parce que le peroxide de manganèse est insoluble 
dans les acides sulfurique et nitrique; mais les expériences 
rapportées dans ce mémoire ont été faites particulièrement 
sur l’acétate. Rien n’est plus simple que de séparer, par 
ce procédé, le manganèse du fer; il suffit de former une 
dissolution de ces métaux dans l'acide acétique, et de pren- 
dre des lames de platine assez grandes et une pile suffisam- 
ment énergique, pour que l'expérience puisse marcher 
promptement; quand on opère sur une petite quantité, 
quelques heures suffisent quelquefois, surtout si l’on a la 
précaution d'enlever de temps à autre le peroxide qui se dé- 
pose sur la lame positive de platine. Quand la dissolution 
renferme un gramme d’acétate de manganèse, il faut 24 heures 
et plus; mais, je le répète, le temps dépend de la dimension 
des lames et de la tension de la pile. Quand la lame cesse 
de se colorer, on est assuré alors que la dissolution ne 


EX 37 


2090 MÉMOIRE SUR UN PROCÉDÉ 


renferme plus de maganèse, ou du moins en renferme une 
quantité inappréciable, puisqu'un millième de gramme et 
encore moins dans un gramme d’eau, est rendu sensible 
par ce procédé. À mesure que la décomposition s'effectue, 
la liqueur devient de plus en plus acide; c’est par ce motif 
qu'il se dépose peu d'oxîde de fer sur la lame négative, parce 
qu'il est redissout en partie aussitôt. Quand l'opération est 
terminée, on lave cette lame avec de l'acide, pour dissoudre 
la petite quantité d’oxide de fer qui s’y trouve, et recueillir 
le peroxide de manganèse qui a pu s’y attacher. 

Quels que soient les métaux combinés avec le manganèse, 
on parvient à en séparer aisément ce dernier: je citerai entre 
autres le manganèse et lezine, dont la séparation est difficile 
par les voies ordinaires de la chimie. 

La liqueur se colore souvent en rose vers la fin de lopé- 
ration , et redevient incolore quelque temps après , lorsque 
l’action de la pile a cessé; cela tient à ce que celle-ci, exer- 
çant une action réductive sur le tritoxide, tend à reformer 
une petite quantité de sel au minimum d’oxidation : mais 
en continuant l'expérience on finit par décomposer ce der- 
nier, au point qu'il n’en reste plus dans la dissolution. Je 
me suis servi, pour ces expériences , d’une pile à auge, de 
trente paires de disques, de 8 centimètres de hauteur sur 
6 de largeur, chargée avec une dissolution légère de sel 
marin , pour qu'elle puisse fonctionner long-temps. Des piles 
plus énergiques , en décomposant l'acide acétique, produi- 
raient peut-être des effets qui contrarieraient ceux dont on 
a besoin pour former le peroxide de manganèse. La sépa- 
ration du plomb des autres métaux exige quelque moditi- 
cation au procédé que j'ai indiqué précédemment, et qui 


ÉLECTRO=CHIMIQUE. 291 


consiste à remplir une capsule de la dissolution des acétates 
et à plonger dédans deux lames de platine, en communi- 
cation chacune avec les pôles d'une pile ordinaire :: quand 
il s’agit du plomb, cette disposition ne peut être adoptée, 
attendu que l’oxide se réduisant facilement, le métal se 
porté aussitôt sur la lame négative de platine , ainsi que des 
autres bases qui se trouvent dans la dissolution. Avec les 
piles à petite tension, on n’éprouve pas le même inconve- 
nient ; le plomb se comporte alors comme le manganèse , 
c'est-à-dire qu’il se suroxide et se dépose sur la lame posi- 
üve de platine. Souvent la pellicule de peroxide est noire 
- et cristalline; en la broyañnt, la couleur puce reparaît. Mais 
comme les piles à petite tension n’agissent que lentement, 
si l'on veut se servir d’une pile ordinaire, il faut disposer 
les choses de maniere à ce que l’oxide de plomb ne puisse 
être transporté au pôle négatif, où la réduction du métal 
s'opérerait: on y parvient en se servant de l'appareil (fig. 7°) 
que l’on fait fonctionner avec une pile voltaique ordinaire. 
Par ce moyen, on rend sensibles, non-seulément les plus 
petites parties du plomb qui se trouvent dans la dissolu- 
tion ; mais encore on les en retire toutes, sans que les réactifs 
chimiques les plus sensibles, l’hydro-sulfate d'ammoniaque, 
par exemple, puissent en reconnaître des traces, quand 
l'opération est terminée. Pour distinguer ce peroxide de 
celui de manganèse, la chimie donne les moyens de le 
faire ; il est inutile par conséquent d’en parler. 

L'acétate d'argent, préparé avec l'argent de coupelle, 
donne assez promptement la réaction du plomb; ainsi que 
le nitrate du même métal. On peut donc employer avec 
succès ce procédé pour retirer le plomb de toutes les disso- 


37. 


292 MÉMOIRE SUR UN PROCÉDÉ ÉLECTRO-CHIMIQUE. 


lutions où il se trouve. L'avantage qu'on y trouve, ainsi que 
pour le manganèse, est d'éviter les manipulations, qui occa- 
sionnent souvent des pertes plus ou moins sensibles dans les 
produits de l'analyse. 

L’exposé que je viens de présenter montre le parti que 
l’on pourrait tirer de l’action de la pile voltaique pour l'ana- 
lyse chimique , si l’on connaissait mieux les propriétés élec- 
tro-chimiques de tous les corps simples ; car il est probable 
que l’on parviendrait à les isoler les uns des autres, comme 
le plomb et le manganèse. De nouveaux résultats mettront 
peut-être à même de donner plus d'extension à ces recherches, 
dont les applications seront utiles'à la chimie. 


masses 
RS SSD CS ET EE ETS 


MÉMOIRE 


SUR 
LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. 
Par M. A. L. CAUCHY. 


PREMIÈRE PARTIE, 


Présentée et lue à l’Académie royale des Sciences, les 31 mai et 7 juin 1830. 


J'ar donné le premier, dans les Exercices de Mathémati- 
ques (troisième et quatrième volumes), les équations géné- 
rales d'équilibre ou de mouvement d’un système de molécu- 
les sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion 
mutuelle, en admettant que ces forces fussent représentées 
par des fonctions des distances entre les molécules ; et j'ai 
prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre 
de coefficients dépendants de la nature du système, se ré- 
duisaient, dans le cas où l’élasticité redevenait la même en 
tous sens, à d’autres formules qui ne renferment qu'un seul 
coefficient , et qui avaient été primitivement obtenues par 
M. Navier. J'ai de plus déduit de ces équations celles qui 
déterminent les mouvements des plaques et des verges élas- 
tiques, quand on suppose que l’élasticité n'est pas la même 
en tous sens ; et j'ai ainsi obtenu des formules qui compren- 


294 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


nent, comme cas particuliers, celles que M. Poisson et d’autres 
géomètres avaient trouvées dans la supposition contraire. 
L'accord remarquable de ces diverses formules, et des lois 
qui s'en déduisent, avec les observations des physiciens , et 
spécialement avec les belles expériences de M. Savart, devait 
m'encourager à suivre les conseils de quelques personnes 
qui m'engageaient à faire des équations générales que j'avais 
données, une application nouvelle à la théorie de la lumière. 
Ayant suivi ce conseil, j'ai été assez heureux pour arriver 
aux résultats que je vais exposer dans ce Mémoire, et qui 
me paraissent dignes de fixer un moment l'attention des 
physiciens et des geomèetres. 

Les trois équations aux différences partielles qui repré- 
sentent le mouvement d’un système de molecules sollicitées 
par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, ren- 
ferment, avec le temps #, et les coordonnées rectangulaires 
x, Y, z d'un point quelconque de l’espace, les déplâcements 
5, n, € de la molécule 5 qui coïncide au bout du temps #, 
avec le point dont il s’agit; ces déplacements étant mesurés 
parallèlement aux axes des x, y, z. Les mêmes équations 
offriront vingt et un coefficients dépendants de la nature du 
système, si l’on fait abstraction des coefficients qui s’éva- 
nouissent, lorsque les masses m, m', m", des diverses 
molécules sont deux à deux égales entre elles et distribuées 
symétriquement de part et d'autre de la molécule »57 sur des 
droites menées par le point avec lequel cette molécule 
coïncide. Enfin ces équations seront du second ordre, c’est- 
à-dire qu’elles ne contiendront que des dérivées du second 
ordre des variables principales £, n, €; et l'on pourra, en 
considérant chaque coefficient commeunequantité constante, 


DE LA LUMIÈRE. 29 


ramener leur intégration à celle d'une équation du sixième 
ordre, qui ne renfermera plus qu’une seule variable princi- 
pale. Or, cette dernière pourra être facilement intégrée à 
l'aide des méthodes générales que j'ai données dans le 19° 
cahier du journal de l'École Polytechnique, et dans le mé- 
moire sur l'application du calcul des résidus aux questions 
de physique mathématique. En appliquant ces méthodes an 
cas où l'élasticité du système reste la même en tous sens, et 
réduisant la valeur dela variable principale à la forme la 
plus simple, à l'aide d’un théorème établi depuis long-temps 
par M. Poisson, on obtient précisément les intégrales qu'a 
données ce géomètre dans les Mémoires de l'Académie. Mais 
dans le cas général, la variable principale étant représentée 
par une intégrale définie sextuple, il fallait, pour découvrir 
les lois des phénomènes, réduire cette intégrale sextuple à 
uue intégrale d’un ordre moins élevé. Cette réduction m'a 
long-temps arrêté : mais je suis enfin parvenu à l'effectuer, 
pour l'équation aux différences partielles ci-dessus men- 
tionnée, et même généralement pour toutes les équations 
aux différences partielles dans lesquelles les diverses déri- 
vées de la variable principale, prises par rapport aux variables 
indépendantes x, y, 2, #, sont des dérivées de même ordre: 
Alors j'ai obtenu, pour représenter la variable principale , 
une intégrale définie quadruple, et j'ai pu rechercher les lois 
des phénomènes dont la connaissance devait résulter de 
l'intégration des équations proposées. Cette recherche a été 
l'objet du dernier mémoire que j'ai eu l'honneur d'offrir à 
l'Académie, et qui renferme entre autres Ja proposition 
suivante. 

Étant donnée une équation aux différences partielles dans 


296 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


laquelle toutes les dérivées de la variable principale rela- 
tives aux variables indépendantes x, y, z, t, sont de même 
ordre, si les valeurs initiales de la variable principale et de 
ses dérivées prises par rapport au temps sont sensiblement 
nulles dans tous les points situés à une distance finie de l'o- 
rigine des coordonnées, cette variable et ses dérivées n'auront 
plus de valeurs sensibles au bout du temps #, dans l'intérieur 
d'une certaine surface, et par conséquent les vibrations 
sonores, lumineuses, etc., qui peuvent être déterminées à 
l’aide de l'équation aux différences partielles , se propageront 
dans l’espace, de manière à produire une onde sonore, lumi- 
neuse, etCc..... .., dont la surface sera précisément celle 
que nous venons d'indiquer. De plus on obtiendra facilement 
l'équation de la surface de l'onde, en suivant la règle que je 
vais tracer. 

Concevons que, dans l'équation aux différences partielles, 
on remplace une dérivée quelconque de la variable princi- 
pale prise par rapport aux variables indépendantes x, y, z, #, 
par le produit de ces variables élevées à des puissances dont 
les degrés soient marqués, pour chaque variable indépen- 
dante , par le nombre des différenciations qui lui sont rela- 
tives. La nouvelle équation que l’on obtiendra sera de la 


forme 
F (æ; y, mme), 


et représentera une certaine surface courbe. Considérez 
maintenant le rayon vecteur mené de l'origine à un point 
quelconque de cette surface courbe; portez sur ce rayon 
vecteur , à partir de l’origine, une longueur égale au carré 
du temps divisé par ce même rayon; menez ensuite par 


DE LA LUMIÈRE. 297 


l'extrémité de cette longueur un plan perpendiculaire à 
sa direction. Ce plan sera le plan tangent à la surface de 
l'onde, et par conséquent cette surface sera l'enveloppe 
de l’espace que traverseront les divers plans qu'on peut 
construire en opérant comme on vient de le dire. Au reste, 
on arrive encore aux mêmés conclusions, en suivant une 
autre méthode que je vais exposer en peu de mots, et que 
j'ai développée dans mes dernières lecons au collége de 
France. 

Supposons que les valeurs initiales de la variable princi- 
pale et de ses dérivés prises par rapport au temps ne soient 
sensibles que pour les points situés à des distances très-pe- 
tites d’un certain plan mené par l’origine des coordonnées, 
et dépendent uniquement de ces distances. Cette même va- 
riable et ces dérivées ne seront sensibles, au bout du temps t, 
que dans le voisinage de l’un des plans parallèles, construits 
à l’aide de la règle que nous avons précédemment indiquée. 
Par conséquent, si les vibrations sonores, lumineuses, etc., 
sont primitivement renfermées dans une onde plane, cette 
onde, que nous nommerons élémentaire, se divisera en plu- 
sieurs autres dont chacune se propagera dans l’espace, en 
restant parallèle à elle-même, avec une vitesse constante. 
Mais ces diverses ondes auront des vitesses de propagation 
différentes. Si maintenant on conçoit qu'au premier instant 
plusieurs ondes éiémentaires soient renfermées dans des plans 
divers menés par l'origine des coordonnées, mais peu inclinés 
les uns sur les autres , et que les vibrations sonores, lumi- 
neuses, etc., soient assez petites pour rester insensibles dans 
chaque onde élémentaire prise séparément ; alors, ces vibra- 


tions ne pouvant devenir sensibles que par la superposition 
ŒUX 38 


208 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


d'un grand nombre d'ondes élémentaires , il est clair que les 
phénomènes relatifs à la propagation du son, de la lu- 
mière, etc. ne pourront être observés, au premier moment, 
que dans une très-petite étendue autour de l'origine des 
coordonnées , et au bout du temps #, que dans le voisinage 
des diverses nappes de la surface qui sera touchée par toutes 
les ondes élémentaires. Or, cette dernière surface sera préci- 
sément la surface courbe dont nous avons parlé ci-dessus , et 
que l’on nomme généralement surface des ondes. 

Cela posé, si l’on considere le mouvement de propagation 
des ondes planes, dans un système de molécules sollicitées 
par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, on 
pourra prendre successivement pour variables principales 
trois déplacements rectangulaires d’une molécule t mesurés 
parallèlement aux trois axes d'un certain ellipsoïde qui aura 
pour centre l'origine des coordonnées, et que l’on construira 
facilement dès que l’on connaitra les coefficients dépendants 
de la nature du système proposé, et la direction du plan 
ABC, qui renfermait une onde plane au premier instant. 
Alors cette onde se divisera en six autres qui auront cor- 
stamment la même épaisseur que la première, et se propa- 
geront avec des vitesses constantes, dans des plans parallèles 
à AB C. Ces ondes, prises deux à deux, auront des vitesses 
de propagation égales, mais dirigées en sens contraires. De 
plus ces vitesses, mesurées suivant une droite perpendicu- 
laire au plan ABC, pour les trois ondes qui se mouvront 
dans un même sens, seront constantes, et respectivement 
égales aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les 
trois demi-axes de l'ellipsoïde ci-dessus mentionné. Les 
points situés hors de ces ondes seront en repos, et si les trois” 


DE LA LUMIÈRE. 299 


demi-axes de l’ellipsoïde sont inégaux, le déplacement ab- 
solu et la vitesse absolue des molécules, dans une onde 
plane, resteront toujours parallèles à celui des trois axes de 
l'elipsoïde qui sera réciproquement proportionnel à la vitesse 
de propagation de cette onde. Maïs si deux ou trois axes 
de l’ellipsoïde deviennent égaux, les ondes planes qui se 
propageront dans le même sens avec des vitesses récipro- 
quement proportionnélles à ces axes, coïncideront, et la vi- 
tesse absolue de chaque molécule renfermée dans une onde 
plane sera, au bout d’un temps quelconque, parallèle aux 
droites suivant lesquelles les vitesses initiales se projetaient 
sur le plan mené par les deux axes égaux de l'ellipsoïde, ou 
même , si l’ellipsoïde se change en une sphère, aux direc- 
tions de ces vitesses initiales. 

Concevons maintenant qu'au premier instant plusieurs 
ondes planes, peu inclinées les unes sur les autres et sur un 
certain plan A BC, se rencontrent et se superposent en un 
certain point A. Le temps venant à croître, chacune de ces 
ondes se propagera dans l’espace, en donnant naissance, de 
chaque côté du plan qui la renfermait primitivement, à trois 
ondes semblables renfermées dans des plans parallèles, mais 
douées de vitesses de propagation différentes; par conséquent 
le système d'ondes planes que l’on considérait d'abord se 
subdivisera en trois autres systèmes, et le point de rencontre 
des ondes qui feront partie d'un même système se déplacera 
suivant une certaine droite avec une vitesse de propagation 
distincte de celle des ondes planes. Donc, au bout d’un 
temps quelconque #, le point A se trouvera remplacé par 
trois autres points, dont les positions dans l’espace pourront 
être calculées pour une direction donnée du plan ABC, et 


38. 


- 


300 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


les diverses positions que pourront prendre les trois points 
dont il s’agit pour diverses directions primitivement attri- 
buées au plan ABC, détermineront une surface courbe à 
trois nappes, dans laquelle chaque nappe sera constamment 
touchée par les ondes planes qui feront partie d’un même 
système. Or cette surface courbe sera précisément celle dont 
nous avons déja parlé ci-dessus, et que nous avons nommée 
surface des ondes. 

Au reste, pour que la propagation des ondes planes puisse 
s'effectuer dans un corps élastique , il est nécessaire que les 
coefficients, ou du moins certaines fonctions des coefficients 
renfermés dans les équations aux différences partielles qui 
représentent le mouvement du corps élastique, restent po- 
sitives. Dans le cas contraire , les ondes planes ne pourraient 
plus se propager, et lon en serait averti par le calcul qui 
donnerait pour les vitesses de propagation des valeurs ima- 
ginaires. 

Dans la théorie de la lumiere, on désigne sous le nom 
d'éther le fluide impondérable que l'on considère comme 
étant le milieu élastique dans lequel se propagent les ondes 
lumineuses. Le point de rencontre d'un grand nombre 
d'ondes planes dont les plans sont peu inclinés les uns aux 
autres, est celui dans lequel on suppose que la lumière peut 
être percue par l'œil. La série des positions que ce point de 
rencontre prend dans l’espace, tandis que les ondes se dé- 
placent, constitue ce qu'on nomme un rayon lumineux; et 
la vitesse de la lumière mesurée dans le sens de ce rayon doit 
être soigneusement distinguée, 1° de la vitesse de propaga- 
tion des ondes planes, 2° de la vitesse propre des molécules 
éthérées. Enfin l’on appelle rayons polarisés ceux qui cor- 


DE LA LUMIÈRE: 3o1 


respondent à des ondes planes dans lesquelles les vibrations 
des molécules restent constamment parallèles à une droite 
donnée, quelles que soient les directions des vibrations 
initiales. 

Pour plus de généralité, nous dirons que, dans un rayon 
lumineux , la lumière est polarisée parallèlement à une droite 
ou à un plan donné, lorsque les vibrations des molécules 
lumineuses seront parallèles à cette droite ou à ce plan, sans 
être parallèles dans tous les cas aux directions des vibrations 
initiales; et nous appellerons plan de polarisation le plan 
qui renfermera la direction du rayon lumineux, et celle de 
vitesses propres de molécules éthérées. Ces définitions s’ac- 
cordent, comme on le verra plus tard, avec les dénomina- 
tions recues. 

Cela posé, il résulte des principes ci-dessus établis, qu’en 
partant d'un point donné de l’espace, un rayon de lumiere 
dans lequel les vitesses propres des molécules ont des direc- 
tions quelconques, se subdivisera généralement en trois 
rayons de lumières polarisées parallèlement aux trois axes 
d'un certain ellipsoïde. Maïs chacun de ces rayons polarises 
ne pourra plus être divisé par l’action du fluide élastique 
dans lequel la lumière se propage. De plus, le mode de po- 
larisation dépendra de la constitution de ce fluide, c’est-à- 
dire de la distribution de ses molécules dans l’espace ou 
dans un corps transparent, et du plan qui renfermait pri- 
mitivement les molécules vibrantes. Si la constitution du 
- fluide élastique est telle que les vitesses de propagation des 
ondes planes deviennent imaginaires, cette propagation ne 
pourra plus s'effectuer, et le corps dans lequel le fluide éthéré 
se trouve compris, deviendra ce qu'on nomme un corps 


302 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


opaque. Si le corps reste transparent, et si dans ce corps le 
fluide éthéré se trouve distribué de telle sorte que son élas- 
ticité demeure la même en tous sens autour d’un point 
quelconque, les trois rayons polarisés dans lesquels se 
subdivise généralement un rayon de lumiere, seront diri- 
gés suivant la même droite; et, comme la vitesse de la lu- 
mière sera la même dans les deux premiers rayons , ceux-ci 
se confondront l’un avec l’autre. Il ne restera donc alors que 
deux rayons polarisés, l’un double, l'autre simple, ayant la 
même direction. Or, le calcul fait voir que dans le rayon 
simple la lumière sera polarisée suivant la direction dont il 
s'agit; tandis que dans le rayon double la lumiere sera pola- 
risée perpendiculairement à cette direction. Si les vibrations 
initiales des molécules lumineuses sont renfermées dans un 
plan perpendiculaire à la direction dont il s’agit, le rayon 
simple disparaîtra, et les vitesses propres des molécules dans 
le rayon double resteront constamment dirigées suivant des 
droites parallèles aux directions des vitesses initiales; de 
sorte qu'à proprement parler, il n’y aura plus de polarisa- 
tion. Alors aussi la vitesse de propagation de la lumière sera 
équivalente à la vitesse de propagation d’une onde plane, et 
la même en tous sens autour de chaque point. Or, la réduc- 
tion de tous les rayons à un seul, et l'absence de toute po- 
larisation dans les milieux où la lumière se propage en tous 
sens avec la même vitesse, étant des faits constatés par l’ex- 
périence , nous devons conclure de ce qui précède que dans 
ces milieux les vitesses propres des molécules éthérées sont 
perpendiculaires aux directions des rayons lumineux, et 
comprises dans les ondes planes. Ainsi lhypothèse admise 
par Fresnel devientrune réalité. Cet habile physicien, mal- 


: DE LA LUMIÈRE. 303 


heureusement enlevé aux sciences par une mort prématurée, 
a donc eu raison de dire que dans la lumière ordinaire les 
vibrations sont transversales, c’est-à-dire perpendiculaires 
aux directions des rayons. A la vérité, les idées de Fresnel 
sur cet objet ont été vivement combattues par un illustre 
académicien dans plusieurs articles que renferment les An- 
nales de physique et de chimie , et dont l’un est relatif au 
mouvement de deux fluides superposés. Suivant l’auteur de 
ces articles, les vibrations des molécules dans l’éther fini- 
raient par être toujours sensiblement perpendiculaires aux 
surfaces des ondes que le mouvement produit en se propa- 
geant; et dès lors la polarisation , telle qu’elle a été préce- 
demment définie, deviendrait impossible et disparaîtrait 
complètement. Alors aussi la surface des ondes serait tou- 
jours un ellipsoïde, et n'offrirait qu'une seule nappe, en 
sorte que, pour expliquer la double réfraction, on serait 
obligé de supposer deux fluides éthérés simultanément ren- 
fermés dans le même milieu. Mais on doit remarquer que 
l’auteur, comme il le dit lui-même , avait déduit ces diverses 
conséquences de l'intégration de l'équation connue aux diffé- 
rences partielles qui représente les mouvements des fluides 
élastiques, et de celle qu’on en déduit lorsqu'on suppose 
inégaux les trois coefficients des dérivées partielles de la 
variable principale. Or, ces équations ne paraissent point 
applicables à la propagation des ondes lumineuses dans un 
fluide éthéré, et l'accord remarquable de la théorie que je 
propose avec l'expérience me semble devoir confirmer l’as- 
sertion que j'ai déja émise dans un précédent mémoiré sur 
le mouvement de la lumière : savoir, que les équations dif- 
férentielles de ce mouvement sont comprises dans celles que 


4o4 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 
renferment les 31 et 32° livraisons des Exercices de mathé- 
matiques. 

Dans la seconde partie de ce mémoire que je me propose 
de lire à la séance prochaine, j'appliquerai les principes que 
je viens d'établir à la détermination des lois suivant les- 
quelles la lumière se propage dans les cristaux à un seul axe 
ou à deux axes optiques, et je montrerai comment on peut 
déduire de mes formules des règles propres à faire connaître 
les vitesses de propagation des ondes élémentaires, et les 
plans de polarisation des rayons lumineux. Lorsqu'on s'arrête 
à un premier degré d’approximation, ces règles s'accordent 
d'une manière digne de remarque avec celles que plusieurs 
savants ont déduites de l'expérience où de lhypothèse des 
ondulations, eten particulier avec celles que Fresnel a don- 
nées dans son beau mémoire sur la double réfraction. 
Seulement il s’est trompé en admettant que les vibrations 
des molécules éthérées dans un rayon lumineux étaient sen- 
siblement perpendiculaires au plan généralement nommé 
plan de polarisation. Dans la réalité, le plan de polarisation 
renferme la direction du rayon et celle des vibrations de l’éther. 
Un jeune géomètre, M. Blanchet, avait, de son côté, et même 
avant moi, déduit cette conséquence et les lois de la polari- 
sation pour les cristaux à un seul axe optique des premières 
formules que j'avais données. Mais la nouvelle analyse dont 
j'ai fait usage ne laisse rien à désirer à cet égard , et s'étend 
à tous les cas possibles. 

Je ferai voir encore dans la seconde partie du mémoire 
que la pression est nulle dans le fluide éthéré qui propage les 
vibrations luminéuses; et je montrerai les conditions aux- 
quelles doivent satisfaire les coëfficients renfermés dans les 


DE LA LUMIÈRE. 305 


équations différentielles du mouvement des corps élastiques, 
pour que la surface de l'onde lumineuse acquièere la forme 
indiquée par l'expérience. Enfin, dans une troisième partie, 
je dirai comment on peut établir les lois de la réflexion 
et de la réfraction à la première ou à la seconde surface d'un 
corps transparent, et déterminer la proportion de lumière 
réfléchie ou réfractée. Ici encore, la théorie s'accorde parfai- 
tement avec l'observation, et l'analyse me ramène aux lois que 
plusieurs physiciens ont déduites de l'expérience. Ainsi, en 
particulier , le calcul me fournit la loi de M. Brewster sur l’an- 
gle de la polarisation complète par réflexion, ‘et la loi de 
M. Arago sur la quantité de lumière réfléchie à la première 
ou à la seconde surface d’un milieu transparent. J'obtiens 
aussi les formules que Fresnel a insérées dans le 17° numéro 
des Annales de physique et de chimie, et qui sufliraient à 
elles seules pour constater la sagacité vraiment extraordinaire 
de cet illustre physicien. 

Enfin je rechercherai les moyens à l'aide desquels les physi- 
ciens pourront constater la réalité de la triple réfraction, ou, 
ce qui revient au même, l’existence du troisième rayon po- 
larisé , traversant un milieu dont l’élasticité n’est pas la même 
dans tous les sens. 


DEUXIÈME PARTIE. 


Présentée à l'Académie, le 14 juin 1830. 


Ainsi qu’on l’a vu dans la première partie de ce mémoire, 
l'intégration des équations aux différences partielles que j'ai 
données dans les exercices, comme propres à représenter 


AU 39 


306 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


le mouvement d’un système de molécules sollicitées par des 
forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, conduit direc- 
tement à l'explication des divers phénomènes que présente 
la théorie de la lumiere. Il y a plus : pour établir cette 
théorie, il n’est pas nécessaire de recourir aux intégrales gé- 
nérales des équations dont il s’agit. Il suffit de discuter les 
intégrales particulières qui expriment le mouvement de pro- 
pagation d'une onde plane dans un milieu élastique. En effet, 
la sensation de lumiere étant supposée produite par les vi- 
brations des molécules d’un fluide étheré, pour déterminer 
la direction et les lois suivant lesquelles de semblables vi- 
brations, d'abord circonserites dans des limites très-resser- 
rées, autour d’un certain point O, se propageraient à travers 
ce fluide, il suffit de considérer au premier instant un grand 
nombre d'ondes planes qui se superposent dans le voisinage 
du point O, et d'admettre que, les plans de ces ondes étant 
peu inclinés les uns sur les autres, les vibrations des mole- 
cules sont assez petites pour rester insensibles dans chaque 
onde prise séparément, mais deviennent sensibles par la 
superposition indiquée. Or, le calcul nous à fait voir que 
dans un fluide éthéré, dont l’élasticité n’est pas la même en 
tous sens, chaque onde plane se subdivise généralement en 
trois autres de même épaisseur, comprises dans des plans 
parallèles, mais propagées avec des vitesses différentes, de 
chaque côté du plan qui renfermait l'onde initiale. Nous 
en avons conclu qu'un système d'ondes planes superposées 
d'abord dans le voisinage d’un point donné O, se subdivise 
en trois systèmes d'ondes qui viennent successivement se su- 
perposer en différents points de lespace, et nous avons 
nommé rayon lumineux la droite qui renferme, pour l'un 


DE LA LUMIÈRE. 307 


des systèmes, tous les points de superposition. Nous avons 
ainsi montré que trois rayons lumineux résultent générale- 
ment de vibrations moléculaires qui ne s’étendaient d’abord 
qu'à une très-petite distance autour du point O. Nous avons 
d'ailleurs reconnu que, dans chacun de ces rayons lumineux, 
les vibrations des molécules éthérées demeuraient constam- 
ment parallèles à l’un des trois axes d’un certain ellipsoïde , 
et qu'en conséquence dans les trois rayons la lumière était 
polarisée suivant trois directions perpendiculaires l'une à 
l'autre, et parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde, quelles que 
fussent, d’ailleurs, les directions des vibrations initiales. 
Nous avons vu les trois rayons se réduire à deux, ou même 
à un seul, lorsque les vibrations initiales étaient parallèles 
à l'un des plans principaux de l’ellipsoïde ou à l'un de ses 
axes, et dès lors il a été facile de comprendre pourquoi 
les rayons polarisés ne se subdivisent pas à l'infini. Nous 
avons prouvé que dans le cas ou l’élasticité de l'éther est 
la même en tous sens, les trois rayons se réduisaient à 
deux; savoir : un rayon simple et un rayon double, dirigés 
suivant la même droite, et polarisés, le premier parallèle- 
ment, le second perpendiculairement à cette’ droite. Enfiu 
nous avons vu le rayon simple disparaître, lorsque les vibra- 
tions initiales des mélécules de l’éther étaient SHPPORSES per- 
pendiculaires aux directions des rayons, et alors il n’y avait 
plus, à proprement bte de polarisation. Or, la réduc- 
tion de tous les rayons à un seul, et l'absence de toute po- 
larisation dans les milieux où la lumiere reste la même en 
tous sens, étant constatées par l'expérience, nous avons tiré 
de notre analyse cette conclusion définitive que, dans la 
lumière ordinaire, les vibrations sont transversales, c’est-à- 


39. 


308 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


dire perpendiculaires aux directions des rayons; et ainsi 
l'hypothèse que Fresnel avait admise, malgré les arguments 
et les calculs d’un illustre adversaire, s’est transformée en une 
réalité. 

Nous allons maintenant appliquer la théorie que nous ve- 
nons de reproduire en peu de mots à la propagation de la 
lumière dans les cristaux à un axe ou à deux axes optiques. 
Pour y parvenir, il ne sera pas nécessaire d'employer les 
équations générales que nous avons données dans la 31° li- 
vraison des Æxercices comme propres à représenter le mou- 
vement d'un systeme de molécules sollicitées par des forces 
d'attraction ou de répulsion mutuelle ;et l'on pourra réduire 
ces équations aux formules (68) de la page 208 du troisieme 
volume, c'est-à-dire, aux formules qui expriment le mouve- 
ment d'un système qui offre trois axes d’élasticité perpen- 
diculaires entre eux. On pourra d’ailleurs supposer qu'aucune 
force intérieure n’est appliquée au système, et alors les for- 
mules dont il s'agit renfermeront seulement le temps #, les 
coordonnées x ,y,z d'une molécule quelconque "», ses dé- 
placements £, 1, {, mesurés parallèlement aux axes coor- 


donnés, et neuf coefficients G, H,1,L, M,N,P,Q,R, 


dont les trois premiers sont proportionnels aux pressions 


supportées, dans l'état naturel du fluide éthéré, par trois. 


plans respectivement perpendiculaires à ces mêmes axes. Les 
coefficients dont il est ici question étant regardés comme 
constants, on construira sans peine l'ellipsoïde dont les trois 


axes sont réciproquement proportionnels aux trois vitesses. 


de propagation des ondes planes parallèles à un plan donné, 
et dirigés parallèlement aux droites suivant lesquelles, se 
mesurent les vitesses propres des molécules éthérées dans 


DE LA LUMIÈRE. 309 


ces ondes planes. On pourra aussi déterminer, 1° les direc- 
tions des trois rayons polarisés produits par la subdivision 
d'un rayon lumineux dans lequel les vibrations des molé- 
cules auraient des directions quelconques; »° la vitesse de 
la lumière dans chacun de ces trois rayons ; 3° les diverses 
valeurs que prendrait cette vitesse, dans les rayons polarisés 
-produits par la subdivision de plusieurs rayons lumineux qui 
partiraient simultanément d’un même point. Enfin l'en 
pourra construire la surface à trois nappes, qui, au bout du 
temps £, passerait par les extrémités de ces rayons, et que 
l'on nomme la surface des ondes. Quant à l'intensité de la 
lumière, elle sera mesurée, dans chaque rayon, par le carré 
de la vitesse des. molécules. Cela posé, si l’élasticité du fluide 
éthéré reste la même en tous sens autour d’un axe quelconque 
parailèle à l'axe des z, on aura, 


(1) GER LME SRE = 0"; 


et par conséquent les neuf coefficients dépendants de la dis- 
tribution des molécules dans l’espace se réduiront à cinq, 
savoir : H, 1, N, Q,R. Il y a plus : deux. nappes de la sur- 
face ci-dessus mentionnée pourront se réduire au systeme: 
de deux. ellipsoïdes de révolution circonscrits l’un à l’autre; 
et, pour que cette dernière réduction ait lieu, il suffira que 
la condition 


(2) (3R—Q)(N—Q)—40Q: 

soit remplie. Enfin l'un des deux ellipsoides deviendra. une 
sphère qui aura pour diamètre l'axe de révolution de l'autre 
ellipsoide, si l’on suppose 


(3) H —1] x 


310 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


et alors la marche des deux rayons polarisés sera précisément 
celle qu'indique le théoreme d'Huyghens; relatif aux cris- 
taux qui offrent un seul axe optique. Or, l'exactitude de ce 
théorème ayant été mise hors de doute par les nombreuses 
expériences des physiciens les plus habiles, il résulte de 
notre analyse que, dans les cristaux à un axe optique, les 
coefficients H, 1,N,Q,R, vérifient les conditions (2) et (3). 
D'ailleurs l'élasticité dun fluide éthéré n'étant, par hypothése, 
la même en tous sens qu'autour de l'axe des z, il n'est pas 
naturel d'admettre que l'on ait G—H=—T, à moins que l'on 
ne suppose les trois coefficients G , H, [, généralement nuls. 
Il est donc tres-probable que dans l’éther ces trois coefficients 
s'évanouissent, et avec eux les pressions supportées par un 
plan quelconque dans l’état naturel. Cette hypothèse étant 
adinise, l'ellipsoïde et la sphère ci-dessus mentionnés seront 
représentés par les équations 


\ 
\ 


/ 2 +r Fm a y +z 
4) » er 


en sorte que V/Q sera le demi-diamètre de la sphere, et 
V’R le demi-diametre de l'équateur dans l’ellipsoïde. Il im- 
porte d'observer que dans les cristaux doués d’un seul axe 
optique, ces deux demi-diamètres, où leurs carrés Q, R, 
sont toujours très-peu différents l’un de l’autre, et qu’en 
conséquence l’ellipse génératrice de l'ellipsoïde offre une ex- 
centricité tres-petite. Il en résulte aussi que la condition (2) 
se réduit sensiblement à la suivante 


N—3R,: 


c'est-à-dire, à une condition qui est remplie, toutes les fois que 


DE LA LUMIÈRE. 311 


l’élasticité d’un milieu reste la même en tous sens autour 
d'un point quelconque. Ajoutons que l'intensité de la lumière 
déterminée par le calcul pour chacun des deux rayons pola- 
risés que nous considérons ici, est précisément celle que 
fournit l'observation. Quant au troisième rayon polarisé, le 
calcul montre qu'il est très-difficile de l'apercevoir, attendu 
que l'intensité de la lumière y demeure toujours très-petite 
quand elle n’est pas rigoureusement nulle. Nous recherche- 
rons plus tard les moyens d'en constater l'existence. 

Concevons à présent que, dans'le fluide éthéré, l’élasti- 
cité cesse d’être la même en tous sens autour d’un axe paral- 
lèle à l'axe des z. Si l’on coupe la surface des ondes lumi- 
neuses par les plans coordonnés, les sections faites dans 
deux nappes de cette surface pourront se réduire aux 
trois cercles et aux trois ellipses représentées par les. 
équations 


Ce AN PRÉ ï 
| Fto—t PB 0 

(6) A Ne 
PPIR , Q he) 

x? VE = Les © 2 È 

G + p—t à — —?; 


et, pour que cette réduction ait lieu, il suffira que, les 
coefficients G, H, I étant nuls, les trois conditions 


Se  MSPNTP)=4P, (N—Q)(L--Q)—40, 
o | (ER)(M—R)=4R;, 


toutes trois semblables à la condition (2), soient vérifiées. 
Ï y a plus, si les excentricités des trois ellipses sont assez 
petites pour qu’on puisse négliger leurs carrés , les conditions 


3 


(6) entraîneront la suivante 


2 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


= 


(M—P)(N—Q)(L—R)—(N—P)(L—Q)(M—R) 
—8PQR, 


et l'équation de la surface des ondes pourra être réduite à 


(x +7 +2) (Pa +Q7 +R) 
—[P(Q+R)2 +Q(R+P)Y'4+R(P+Q)7]"+1#—0. 


Q 


Or, les trois cercles, les trois ellipses , et la surface du 4° de- 
gré représentées par les équations (5), (7), sont précisément 
celles que Fresnel a données comine propres à indiquer la 
marche des deux rayons polarisés, aperçus jusqu’à ce jour 
dans les cristaux à deux axes optiques; et l’on sait d’ailleurs 
que, dans ces cristaux, les excentricités des ellipses sont 
fort petites. Donc les conditions (6) doivent y être sensible- 
ment vérifiées. Au reste, il est bon d'observer que si les ex- 
centricités devenaient nulles, ou, en d’autres termes, si l’on 
avait 


(8) P=Q—R: 
les conditions (6) donneraient 
(9) LM Ne 3R; 


et que les conditions (8), (9) sont précisément celles qui 
doivent être remplies pour que l'élasticité d'un milieu reste 
la même dans tous les sens. 

Quant au troisième rayon polarisé, comme l'intensité de 
sa lumière est fort petite , il sera généralement très-difficile 


DE LA LUMIÈRE. 313 


de l'apercevoir, ainsi que nous l'avons déja remarqué. 

En résumant ce qu’on vient de dire, or voit que, les con- 
ditions (6) étant supposées rigoureusement remplies, les 
sections faites dans la surface des ondes lumineuses par les 
plans coordonnés, coincideront exactement avec celles que 
Fresnel a données. Quant à la surface même, elle sera peu 
différente de la surface du 4° degré que cet illustre physicien 
a obtenue, et par conséquent cette dernière est dans la théo- 
rie de la lumière ce qu'est le mouvement elliptique des pla- 
nètes dans le système du monde. 

Les excentricités des ellipses suivant lesquelles la surface 
des ondes se trouve coupée par les plans coordonnés étant 
généralement fort petites pour les cristaux à un ou à deux axes 
optiques, il en résulte qu’on peut déterminer avec une grande 
approximation , dans ces cristaux , les vitesses de propagation 
des ondes planes, et les plans de polarisation des rayons lu- 
mineux à l'aide de la règle que je vais indiquer. 

Pour obtenir les vitesses de propagation des ondes planes 
parallèles à un plan donné 4 BC, et correspondantes aux 
deux rayons polarisés que transmet un cristal à un ou à deux 
axes optiques, il suffit de couper l’ellipsoïde que représente 
l'équation 


x? DA ZA A 
(10) DO Al 


par un plan diamétral parallèle au plan donné. La section 
ainsi obtenue sera une ellipse dont les deux axes seront nu- 
mériquement égaux aux vitesses de propagation des ondes 
planes dans les deux rayons. De plus, celui de ces deux 
rayons dans lequel les ondes planes se propageront avec une 


j PE). 63 4o 


314 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE 


vitesse représentée par le grand axe de l'ellipse, sera pola- 
risé parallèlement au petit axe, et réciproquement le rayon 
dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse 
représentée par le petit axe de l’ellipse, sera polarisé paral- 
lèlement au grand axe. Si l’on fait coincider le plan 4BC 
avec l’un des plans principaux de l’ellipsoïde , les deux rayons 
polarisés suivront la même route, et les deux vitesses de la 
lumière dans ces rayons seront précisément les vitesses de 
propagation des ondes planes. Par suite, les vitesses de la 
lumiere dans les six rayons polarisés, dont les directions 
coincident avec les trois axes de l'ellipsoïde, sont deux à 
deux égales entre elles et à l’un des nombres 1”P,1/Q, V7R. 
Ajoutons que les deux rayons dont la vitesse est L/P sont 
polarisés pcrpendicurement à l’axe des x, ceux dont la vi- 
tesse est L/Q perpendiculairement à l’axe des y, et ceux dont 
la vitesse est L/R perpendiculairement à l’axe des 3. Dans le 
cas particulier où les quantités P, Q deviennent égales entre 
elles, la surface représentée par l'équation (10), ou 

Te AR 2, 


(11) Qr* += 2; 

devient un ellipsoïde de révolution dont l'axe est ce qu'on ap- 
pelle l'axe optique du cristal. Alors, l’un des demi-axes de 
la section faite par un plan diamétral quelconque est con- 
stamment égal à |/Q , ainsi que la vitesse de la lumière dans 
l'un des deux rayons polarisés. Le rayon dont il s’agit est 
celui qu'on nomme rayon ordinaire, et il se trouve polarisé 
parallèlement à la droite, qui dans le plan ZBC forme le 
plus petit et le plus grand angle avec l'axe optique, tandis 
que l’autre rayon, appelé rayon extraordinaire, est polarisé 


parallèlement à la droite d’intersection du plan 4BC et d’un 


DE LA LUMIÈRE. ar 


plan perpendiculaire à l'axe optique. Alors aussi les deux 
rayons ordinaire et extraordinaire se superposent, quand ils 
sont dirigés suivant l'axe optique, et se réduisent à un rayon 
unique qui n'offre plus aucune trace de polarisation. 

Lorsque les trois quantités P, Q, R, sont inégales, l’ellip- 
soïde représenté par l'équation (10) peut être coupé suivant 
des cercles par deux plans diamétraux qui renferment 
tous deux l'axe moyen. Donc les deux rayons polarisés 
se superposent lorsque les ondes planes deviennent pa- 
ralleles à l’un de ces plans. Alors la direction commune 
des deux rayons est ce qu'on appelle un axe optique. Donc, 
pour les cristaux dans lesquels l’élacticité de l’éther n’est pas 
la même en tous sens autour d’un axe, il existe deux axes 
optiques suivant lesquels se dirigent les rayons qui n'offrent 
plus aucune trace de polarisation. 

Toutes ces conséquences de notre analyse sont conformes 
a l'expérience, et même, dans des leçons données au collége 
royal de France, M. Ampère avait déja remarqué que la 
construction de l'ellipsoide représenté par l'équation (10) 
fournit le moÿen de déterminer les vitesses de propagation 
des ondes planes et des plans de polarisation des rayors lu- 
mineux. Seulement ces plans, que l'on croyait perpendi- 
culaires aux directions des vitesses propres des molécules 
éthérées, renferment au contraire ces mêmes directions. 

Nous ajouterons qu'à l'équation (10)on pourrait substituer 
la suivante 


(12) Pr +OYFRZ—71. 


En effet, les deux sections faites par un même plan dans les 
deux ellipsoïdes que représentent les équations (10) et (12) 


4o, 


316 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. 


ont leurs axes parallèles, et ceux de la seconde section 
sont respectivement égaux aux quotients qu'on obtient en 
divisant l'unité par les axes de la premiere. 


P. S. Pour faire mieux saisir les principes ci-dessus exposés, je 
développerai, dans un second mémoire, les diverses formules que 
j'ai seulement indiquées dans celui-ci. Je ferai encore, au sujet 
des mêmes principes, deux remarques importantes ; et d’abord, 
lorsqu'on parle de l'attraction ou de la répulsion mutuelle des 
molécules d’un fluide éthéré, on doit seulement entendre que, dans 
la théorie de la lumiere, tout se passe comme si les molécules de 
l'éther s’attiraient ou se repoussaient effectivement. Ainsi la re- 
cherche des lois que présentent les phénomènes si variés de la 
propagation , de la réflexion, de la réfraction, etc. ,de la lumière, se 
réduit au développement d’une loi plus générale qui renferme toutes 
les autres. C’est ainsi que, dans le système du monde, on ramène 
la détermination des lois suivant lesquelles se meuvent les corps 
célestes, à l'hypothèse unique de la gravitation universelle. 

Je remarquerai en second lieu que, pour établir les propositions 
énoncées dans ce mémoire, nous avons eu recours aux formules 
(68) de la page 208 des Exercices de mathématiques, et que, pour 
réduire les équations différentielles du mouvement d’un système 
de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion 
mutuelle aux formules dont il s’agit, on est obligé de négliger 
plusieurs termes, par exemple ceux qui renferment les puissances 
supérieures des déplacemens £, , €, et de leurs dérivés prises par 
rapport aux variables indépendantes x, y, z. Lorsqu'on cesse de 
négliger ces mêmes termes, on obtient, comme je le montrera 
dans un nouveau Mémoire déja présenté à l’Académie, des for- 
mules à l’aide desquelles on peut non-seulement assigner la cause 
de la dispersion des couleurs par le prisme, mais encore découvrir 
les lois de ce phénomène qui, malgré les nombreux et importants 
travaux des physiciens sur cette matière, étaient restées inconnues 
jusqu’à ce jour. 


SR RS A PEER 


MEMOIRE 


LE MOUVEMENT DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES 
SUPERPOSÉS (*). 


Par M. POISSON. 


LE; propagation du mouvement, dans un milieu de nature 
quelconque, présente deux problèmes essentiellement diffé- 
rents : on peut supposer qu'à une époque déterminée, le 
mouvement a été imprimé d'une manière quelconque à une 
partie du système; et l'on doit alors conclure de ce mouve- 
vement initial, l’état futur de tous les points du système à 
un instant quelconque; ou bien le mouvement est produit 
et entretenu par une cause constante, telle que les vibrations 
d'un corps solide; auquel cas il s’agit de déterminer les vibra- 
tions correspondantes du milieu environnant. Mon Mémoire 
sur le mouvement des fluides élastiques dans des tuyaux 


(*) Ce Mémoire est une partie de celui que j'ai lu à l'Académie le 24 mars 
1823, sous le titre de Mémoire sur La propagation du mouvement dans les 
fluides élastiques. 


318 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


cylindriques et sur la théorie des instruments à vent, ren- 
ferme des exemples de ces deux problèmes. Dans celui-ci, 
je ne m'occuperai que du premier; et mon objet prin- 
_cipal sera de déterminer les modifications que le mouve- 
ment éprouve, soit dans sa direction, soit dans son inten- 
sité, en passant d’un fluide à un autre; question importante 
en elle-même, et indépendamment de ses applications à la 
physique, que j'ai déja traitée dans le Mémoire cité, mais 
seulement sous le rapport des changements d'intensité (”). 
La méthode que j'emploierai pour la résouare est celle dont 
j'ai fait usage pour la première fois à la fin de mon second 
Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps soli- 
des, et que j'ai appliquée, dans ces derniers temps, a un 
grand nombre d’autres questions de physique ou de meca- 
nique, dépendantes des équations linéaires aux différences 
partielles. Elle consiste en un procédé uniforme pour déter- 
miner, d’après l'état initial du système, les coefficients des 
séries de sinus ou d’exporentielles qui expriment leurs inté- 
grales complètes; et l'on peut également l'employer, soit que 
ces équations né contiennent que deux variables indépen- 
dantes, ou qu'elles en renferment un plus grand nombre, et 
soit aussi que leurs coefficients soient constants, ou qu'ils 
soient des fonctions de ces variables. 


() Nouveaux Mémoires de l'Académie, tom. IL, page 372. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 319 
SI 
Formules génerules. 


(1) Considérons deux fluides homogènes et partout à la 
même température. Faisons abstraction de la pesanteur, de 
sorte que, dans l'état d'équilibre, la densité soit constante 
pour chaque fluide, et la force élastique aussi constante et 
la même pour les deux fluides. Dans ce même état, leur sur- 
face de séparation sera uv plan qui se prolongera indéfi- 
niment en tous sens et que nous supposerons horizontal, 
pour fixer les idées. Pendant le mouvement, les vitesses et 
les dilatations seront très-petites, et l’on négligera, comme 
dans la théorie du son, leurs carrés et leurs produits. 

Soit M un point quelconque du système. Désignons par 
æ, Y,2, Ses trois coordonnées rectangulaires qui auront pour 
origine un point O du fluide supérieur : l'axe des x sera ver- 
tical et dirigé dans le sens de la pesanteur; les axes des y et 
des z seront horizontaux. Représentons le temps par #, et 
supposons que £— o réponde à l'origine du mouvement. Les 
composantes de la vitesse du point M à un instant quelcon- 
que, seront, comme on sait, les trois différences partielles 
relatives à x,7,z, d'une même fonction de ces variables et 
de £, en admettant toutefois que cette condition soit remplie 
quand = 0, c'est-à-dire, dans l’état initial du système. Nous 
féensron cette fonction par + pour le fluide supérieur et 
par © pour le fluide inférieur; et, cela étant, nous aurons 


d'Oppn ve d? =. d°p 
CRE où dx° GIE TE 
20! () 
deg. GE An Dr 
Pr -msll 7 D Mr] 


320 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


a et a’ étant des constantes positives, qui exprimeront les 
vitesses de propagation du mouvement dans le premier et 
dans le second fluide. Nous supposerons qu'on a a>a',en 
sorte que le fluide supérieur est celui pour lequel la vitesse 
de propagation est la plus grande. Dans le cas de a— 4, les 
deux fluides n’en forment plus qu'un seul, du moins quant 
aux lois de leur mouvement. Dans le cas général, leurs dila- 
Ra fharcare 
que si l’on suppose qu’au point M et au bout du temps #, 
la densité du fluide soit à sa densité naturelle comme 1 —s 
est à l'unité, pour le fluide supérieur, et comme 1 —s' est à 
l'unité, pour le fluide inférieur, on aura 


tations seront représentées par c'est-à-dire 


1 dy , I 


D — SES 
ardt? ? 


se 
a” dt 
Appelons À la hauteur du point O au-dessus du plan de 
contact des deux fluides , de sorte qu’on ait x—h pour tous 
les points de ce plan, avant que le mouvement ait commencé. 
En tous ses points, la vitesse verticale sera constamment la 
même pour les deux fluides ; on aura donc 
Age a 
Arr? 
pour æ—h et quel que soit £. Les forces élastiques des deux 
fluides y seront aussi égales pendant toute la durée du mou- 
vement ; car si l’on considere une portion »m de matière, qui 
s'étende dans chaque fluide jusqu’à une distance insensible 
de leur plan de contact, cette petite masse sera poussée ver- 
ticalement par la différence de leurs forces élastiques : elle 
prendrait donc une vitesse extrêmement grande, si cette dif- 


DE DEUX: FLUIDES  ÉLASTIQUES :SUPERPOSÉS. 321 


férence avait une grandeur sensible; ce qui serait contraire 
à la supposition que les vitesses sont tres-petites dans toute 
l'étendue des deux fluides. Les forces élastiques relatives à 
leurs points de contact, étant égales dans l'équilibre et pen- 
dant le mouvement, les dilatations s.et s' le seront aussi (*), 
et l'on aura 


pour 2 — .et, pour toutes les valeurs de £. 
Je supposerai les deux fluides terminés horizontalement 
_ par des plans fixes , et je désignerai par # l'épaisseur du fluide 
supérieur et par Béalé du fluide inférieur. Pour tous les points 
adjacents à ces deux plans fixes, la vitesse verticale sera con- 
stamment nulle; on aura donc . 
d 


Tr J — 0, 


la première équation ayant lieu pour x—A—k, la seconde 
pour æ— h +, et toutes deux pour toutes les valeurs de 4. 

Teiles sont les équations différentielles du problème dont 
il s'agira de déduire les expressions de 4 et +’ en fonctions 
de x, Y,z,t, en y joignant les données relatives à l'état 
initial. du système, Or, nous supposerons qu'on à 


=f (x, Y>7 p—f" (2; 7,2), 


? 
d do / 
= F(x, y, ù TDF (x, 7,2), 


* 

(*) Si l'on avait égard à ce que la force élastique ne croît pas exacte- 
ment dans le même rapport que la densité pendant le mouvement, il fau- 
draitemployer dans l'équation suivante, des constanteslà et 4! différentes 
de a et a! qui entrent dans les équations (1). 


5 fe à 41 


392 ._ MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
quand #—o: ces quatre fonctions f, f”, F, F', seront don- 
nées pour toutes les valeurs de y et z, positives ou négatives; 
les deux premières ‘depuis æ—h—4% jusqu'a x—, et les 
deux dernières depuis x jusqu'à æ—h + L : elles pour- 
ront avoir une forme quelconque continue ou discontinue, 
pourvu seulement qu’elles satisfassent aux équations précé- 
dentes , relatives aux valeurs extrêmes de x. 

(2) Quelles que soient les inconnues + et +’, on pourra, 
d’après un théorème connu (*), les représenter pour toutes 
les valeurs de y et z, par les formules : 


p=<ffffucosé(y—)e0s.7(c—2)dédrdyids, | | 
cs | (2) 
p = ffffvcos.6(7—r')c0s.x(s —z)d6d;dy dz'; | 


4 etv étant ce que deviennent + et? quand on y met y et z' 
à la place de y et z; + désignant le rapport de la circonfé- 
rence au diametre; les intégrales relatives à y' et z' ayant 
+'o pour limites, et les autres étant prises depuis 6—0 et 
y—0 jusqu'a 6—% et y—%. À cause quelles équations du 
numéro précédent doivent subsister pour toutes les valeurs 
de y et z, si l'on y substitue ces expressions de + et +’, il fau- 
dra qu’elles aient lieu entre les coeificients du produit 
cos. 6(y—y') cos.y(z—z) sous les intégrales quadruples. 


(”) M. Fourier a donné le premier cet important théorème pour des 
fonetions d'une -seule variable , qui sont égales et de même signe , ou égales 
et de signe contraire, quant on:y change le signe de la:variable. “T1 était 
facile dell'étendresà des fonctions quelconques de: deux oud'un-plus grand 


nombre de variables. On en ‘peut voir la démonstration dans meswprécé- , 


dents Mémoires. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 323 
D'après cela, les équations (1) donneront 


d'u ,d?u | 


De 0e — —a (8 +y), | 
, (3) 
RÉ AE (E + ŸL | 
RC 1 NT 
On aura, en outre, 
du dv : dy x dv 
ide Rd) (4) 
pour æ—h, et les équations 
d 
To ÉD: (5) 


la première pour æ—h-— 4 et la seconde pour x=h + L. 
De cette manière, nous n’aurons plus à considérer les va- 
riables 2 et z; mais on aurait pu également les conserver, 
et appliquer directement l'analyse. suivante aux inconnues 
9 et #’. Nous aurions pu aussi, sans nouvelle difficulté et en 
rendant seulement les formules plus longues à écrire, sup- 
poser que les deux fluides fussent limités latéralement au 
lieu de les considérer comme indéfinis parallèlement à leur 
surface de séparation, ce qui suffit pour l’objet principal de 
ce Mémoire. 
(3) On satisfait de la manière ia plus générale aux équa- 
tions (3) et (5), en prenant 
u—>2(Ccos.1t+ Dsin.1t)cos.a(x + 4 —h), 
v—=3X(C' cos.xé + D'sin.ré)cos.a'(x—7—h), 
où l’on représente par C, D, C',D’,x, des constantes arbi- 


traires , et par a et « d'autres constantes qui se déduiront de», 


41. 


324 MÉMOIRE SUR : LE! MOUVEMENT 


au moyen des équations : 


Ve +6 +y)=a" (at HE X y),. (6) 


\ 


Elles donneront pour chaque valeur de x, deux valeurs de 
a ou de 2', égales et de signe contraire ;mais d'apres la forme 
des expressions de w et dev, il suffira d'y employer une seule 
de ces valeurs, soit pour «, soit pour 4. Les sommes > devront 
s'étendre à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, 
de C, D, C', D',1; toutefois, nous supposerons qu'on a 
réuni en un seul, les termes de ces sommes qui ne diffèrent 
que par le signe de à, et, cela étant, nous n’étendrons plus 
‘les sommes > qu'aux valeurs de x dont les carrés sont diffé- 
rents. 

Si l’on substitue les expressions de # et » dans les équa- 
tions (4) relatives à æ— et qui doivent avoir lieu quel que 
soit {, on en conclura 


Casin.kx + C'xsin./x —0,  Dasin.ka + D's'sin./« —0, 


Ca°cos.ka—C'a’cos.lx =o, :Da*cos.kx—D'a cos.lx —=0. 
On tire de là 


C=Aa cos.lx, D—Bacos./a, 
C'=Aa"cos. ka, D—Bacos.f«, 


et, en outre, 


da cos. Lx Sin. # x + @°«/ sin. lz cos. k« — 0; 7) 
? 7) 


A et B étant deux constantes qui ne sont pas encore déter- 
ininées. Cette Ces (7), jointe aux équations (6), servira 
à déterminer à, «, #. Au moyen des valeurs de C, D, 4 D’, 
celles de w et » deviendront 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES! SUPER POSÉS. 3925 


u— a >(Acos.1t+ Bsin.rt)U, | 8 
v—a#>(Atcos.xt+Bsin.xt)V, j.(8) 

en faisant, pour abréger, 

U=—cos./4" cos. «(x +k=—h), V — cos. kacoS:a/ (x — 1h); 


et il ne restera plus qu'a déterminer les coefficients A et B 
en fonctions de , d'apres les données initiales du systeme. 
(4) Pour y parvenir, observons qu'on a identiquement 


d'U ANT \ 
Pr ne UE >: U: 

7 eh ne (9) 
Pr (6 + y )V—— SV, 


et, en particulier, 


De 1 1 


CE rc er ESP pour rx =#; 
T 

Do, pour æ—h—#; 

Po, pour 4—h;+ L. 


Cela posé, multiplions la première équation (3) par U dx, 
puis intégrons ses deux membres dans toute la hauteur du 
fluide supérieur ; nous aurons 

h 


TJ, ,uUdrs ef fe Eire) 7 Dee 


En intégrant par partie et ayant égard aux conditions rela- 
tives à la première limite x—h—%#, on aura 


1 % : F: 
noires Udz=( e (ue Uy + fs rs Tudz: 


326 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


les parenthèses indiquant que les quantités qu'elles renfer- 
ment, répondent à æ— À. Si l'on a aussi égard à la première 
équation (9), on aura donc 


if. “Udæ—a (Eu) (u$ EU #Uda. 


On déduira dé même, de la seconde équation (3), 
h+1 h+£1 
die k x V 1 
ff. Vida (TV) + (of vVdx. 
Ce dx dx Ja 
J'ajoute ces deux équations, apres avoir divisé la première 
par a° et là secondé par a°. Les térmes compris hors du 


signe fa qui répondent à æ—, se détruisent, en sorte que 


l’on a simplement 
7 io A: h ee h+1 
(ES uUdx+-— vVdaæ) 
h—k h 
nee ht 
ie) DUd& ++ vVdz)=0; 
h—k h 


équation différentielle du second ordre dont l'intégrale com- 
plète est 
: 2 À : h+ 1 
m | uU dx+— vVdx=—EÆEcos.1t+Fsin.xt, (10) 
a a 

h—k h 
en désignant par E et F les deux constantes arbitraires. On 
les déterminera immédiatement au moyén des valeurs de 

du dv 

u,V, dt? at , 


Me , dd td 
initiales de p,9 5% +, en ÿ mettant y' ét z' au lieu de y 


relatives à {— 0, qui se déduisent des valeurs 


DE DEUX :FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 397 


et z : -on aura, en-effet, 


. h : .h+1 

E = sf Uf(x,y; sde + 7f VA dd, 
FT px A7 

k h+ 7 qu) 

FE f UF(&,7, )dx +5; VEF'(x,7', 2) as 
ET pk FR 


en faisant é— 0 dans l'équation (10) et dans sa différentielle 
première. 

Maintenant, je substitue les formules (3) à la place de & 
et v dans cette équation (10). Comme elle doit subsister 
pour toutes Jes valeurs de #, il faudra que le ;coefficient de 
A cos.x£+ Bsin.1é dans son premier membre, soit égal à 
zéro , toutes les fois que la quantité? ne sera pas la même, ab- 
straction faite du signe, que dans son second membre. Si 
donc on désigne par U' et V' et par U, et V,, ce que devien- 
nentU et V, lorsqu'on y met successivement deux valeurs de 
dont les carrés sont différents, on aura necessairement 


;. h ; LE A 
= U'U, dx + <= V'WV,dzx —0; (12) 
a h—% a k 


; M “+ : F 
ce qu'on pourrait d’ailleurs vérifier en ayant égard aux équa- 


tion (12) ue subsistera plus dans le ças de deux valeurs égales 
de}, abstraction faite du signe ; et, en vertu de l’équation (10), 
en aura alors 


A (fiv da+ d "pq dx) =E, 


CHE MR à 


328 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


résultat qui fera connaître les valeurs de A et B; d'après celles 
de E et F qu'on vient de trouver. En effectuant les intégra- 
tions indiquées , on à 


h 2 
ke . U'dæ=(2ka + sin:24a) es 
7 h=k 


h+! 


Î Vida =(até +sin.ote) EE ILBRES 
” À 


et si nous faisons, pour abréger, 


cos.” /a' cos. ka 
E + (2 la! + sin. 2/4 dire 


A—(2#« + sin. 2k a) 


nous aurons finalement 


Au moyen de ces valeurs de A et B, les formules (8) de- 
viendront 


. U 
u—=@>(EcosAt+ Fsin.1t)-, 


(13) 


: if 
v=a"2(Ecos.xt + Fsin.x6);; 


et jointes aux équations (2), elles renfermeront la solution 
complète du problème, puisqu'elles ne contiennent plus rien 
d'inconnu. 

(5) Ilest évident, par la nature de la question, que la 
quantité à ne peut avoir que des valeurs réelles; car l'équilibre 
de deux fluides superposés étant un état stable , leurs diffé- 
rents points ne peuvent faire que de petites oscillations, 
lorsque cet état est un tant soit peu troublé; et cela exige que 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 329 


la quantité Ecos.1t + F sin. xf soit une fonction périodique 
pour toutes les valeurs de x, ce qui n’aurait pas lieu si à avait 
des valeurs imaginaires, pour lesquelles cette quantité se 
changerait en une fonction exponentielle. Mais au moyen 
de l'équation (12), on peut prouver que les valeurs de et 
° sont aussi toutes réelles. 

En effet, les équations (5) donnent 


72 7 es a? — a"? 
MS 


(6° + y). 


PE 


À cause de a > a', la quantité 4 sera réelle pour toutes les 
valeurs réelles de «. En substituant pour x, la racine carrée 
de cette formule dans les expressions de U et V, elles ne 
contiendront plus d’autre inconnue que«, et ne renfermeront 
explicitement aucune quantité imaginaire. Si « a des valeurs 
imaginaires dont la partié réelle ne soit pas nulle, on pourra 
représenter deux d’entre elles par p+qgV/—1; p et q étant 
des quantités réelles qui ne sont zéro, ni l’une, ni l’autre. 
Or, on pourra aussi supposer , dans l'équation (12), que les 
quantités U’ et V’ répondent à l’une de ces valeurs de &, à 
a=p + qV/—ùx, par exemple, et que U, et V, répondent à 
l'autre valeur a—p — qV/—x; alors ces quatre quantités 
seront de la forme : 


D PO es po VERSA Es 
D'pa Ohms 


P,Q,R,S, étant des fonctions réelles de la variable x; et, 
cela étant, l'équation (12) deviendra 


TE P dx +- out S°)dx — 
SJ)" (P'+QVdr+ AD EE 
1 2 Th ( 

TX 42 


330 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


Mais tous les éléments de ces intégrales étant réels. et posi- 
tifs, cette équation ne pourra pas subsister à moins qu'on 
n'ait P—o et Q—o dans toute la hauteur du fluide supé- 
rieur, et R—o et S—0o dans toute celle du fluide inférieur; 
ce qu'on peut regarder comme impossible ; donc aussi, il est 
impossible que l’inconnue + ait des valeurs en partie réelles 
et en partie imaginaires, ou dont le carré ne soit pas une quan- 
tité réelle (*). 

Il en sera de même à l'égard de 4/, en vertu de la liaison 
qui existe entre cette quantité et ; mais comme on a supposé 
(n° 3) qu'on ne pendrait pour # et 4, qu'une seule des deux 
valeurs égales et de signe contraire dont chacune de ces quan- 
tités est susceptible, et que l'équation (12) n’a lieu que dans 
cette hypothèse, il s’en suit qu'elle ne pourrait pas servir à 
prouver que « et «’ n’ont pas de valeurs imaginaires de la 


(*) Cette démonstration a été ajoutée depuis la lecture de ce Mémoire. 
Nous ferons observer, à cette occasion, que dans une question ‘différente 
de celle-ci, on pourrait craindre que les quantités P,Q,R,S, ne fussent 
de la nature des fonctions de æ qui sont nulles dans un intervalle déter- 
miné des valeurs de la variable, savoir, P et Q depuis æ—#—# jusqu’à 
z—=h,etR et S depuis æ— jusqu'à æ—#-+-{. Alors il ne serait plus 
suffisamment prouvé que l'inconnue n'eût que des valeurs réelles ; mais 
si elle en avait d'imaginaires , les termes correspondants n'entreraient pas 
dans les sommes 3 ,puisque leurs coefficients U et V seraient nuls en même 
temps que P,Q,R, S. Cette remarque est nécessaire pour prévenir un 
objection qu’on pourrait éléver contre l'usage de la démonstration précé- 
dente , dans tous les problèmes de physique ou de mécanique , où l'on .ex- 
prime les intégrales par des séries d’exponentielles ou de sinus dont les 
exposants ou les arcs sont'proportionnels au temps et ont des coefficients 
donnés par une équation transcendante qui est souvent très-compliquée. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 33r 


forme + gx, ou dont le carré soit réel. L’une‘ou l'autre 
de ces quantités admet effectivement de semblables valeurs ; 
mais il importe de remarquer que dans le cas ou les hauteurs 
Æ'et 7 des deux fluides sont très-grandes , et, à plus forte 
raison, quand elles deviennent infinies, on ne peut pas avoir, 
à la fois, a = #4 TX et 2 — +, Vi; «et &, étantdes 
quantités réelles qu’on pourraient supposer positives. Cela 
résulte ; en effet, de la forme même de l'équation (7); car si 
l'on y substitue ces valeurs de + et «’, si l’on change ensuite 
les sinus et cosinus en exponentielles , et que l’on ne conserve 
que ceiles dont les exposants sont positifs, il vient 


(a au + a” a) À É AE } 


—O; 


ce qui est impossible. Ajoutons encore que « étant imagi- 
naire en même temps que #/, à raison de a > 4, on en peut 
conclure que la seconde inconnue sera réelle et que la pre- 
mière seule pourra être imaginaire, dans le cas de 4— et 
Î—=< dont nous allons nous occuper spécialement. 

Au moyen des équations (6), on pourra éliminer 4! et dans 
les équations (7) et (13). On se servira ensuite de l'équa- 
tion (7) pour déterminer les valeurs de «; et les sommes xdes 
formules (13) s'étendront à toutes celles de ces valeurs dont les 
carrés sont différents. 

(6) Supposons infinie, la hauteur # du fluide supérieur, 
et considérons successivement les valeurs réelles et positives 
de «, et ses valeurs de la forme a V/—1, que donnera, dans 
ce cas, l'équation (7); x, étant une quantité réelle et positive. 

Quelle que soit la valeur positive de k4, on pourra la re- 


présenter ‘par 
Ra—ir+2r +5; 


42. 


332 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
: étant un nombre entier et positif, et « une quantité positive 
ou négative, mais moindre que :r, qui sera déterminée en 
fonction de à par l'équation (7). Chaque somme > relative aux 
valeurs réelles de x, se changera en autant de sommes relatives 
à &, qu'il y aura de valeurs différentes de e; mais il est facile 
de prouver que cette inconnue ne sera susceptible que d’une 
seule valeur. 

En effet, pour des valeurs infiniment petites de «, l’équa- 
tion (7) se réduit à cos.k «— 0; d'où l'on tire 


ka—ir+ir, e—=0. 


Si, au contraire, 4 est une quantité finie, il faudra que z soit 
infini ; on pourra alors négliger « par rapport à + en dehors 
de sin.ka et cos. k«; et l'équation (7) deviendra 


d'irCos. la COS.e— a° ka’ sin. la'sin.«—0, 
où l'on fera 
/ 0 CNED PEN DCE V7 NP 
d'ha=V/ Prat (a —a")(6+ y) 


Or, il est évident que cette équation ne donnera qu’une seule 
valeur de :, plus petite que =, abstraction faite du signe. 

Il résulte de là que dans le cas de #— et relativement 
aux valeurs réelles de ;,on devramettre dansles formules(13), 
ir + 2x à la place de X4, en dehors de sin.#a et cos.k«, soit 
que z soit un nombre fini, ou qu'il soit infini, et changer en- 
suite chaque somme > en une somme relative à , qui s’éten- 
dra depuis :—0 jusqu'à :—+ . Quant aux valeurs de sin.#« 
et cos.#«, l'équation (7) donnera 


a°a'sin./æ k a’a cos. la 
a = —— 


sin. {a— — Hi , COs. H = 


"PL ON TS = 


n° 


DES DEUX FLUIDES ÉLASTIQUÉS SUPERPOSÉS. 333 


en faisant, pour abréger, 
H'= af cos.” la + aa° sin? l«!, 


Après avoir substitué ces valeurs dans les quantités U et V 
que contiennent les formules (13), on pourra donc con- 
sidérer « comme une variable continue dont la différen- 


tielle sera 7 et changer, en conséquence, les sommes rela- 


tives à z ou «, en intégrales dont les limites seront « — Z et 
«—% , Ou, sans aucune erreur, zéro et l'infini. 

Les expressions de U et V du n° 3 Lee par cette 
substitution, 


—{[a'acos. la'cos.a(æ—h)+4a" "sin. la sin. « (x — RE La : 


V—{cos./4" cos. «(x —h) +sin./a'sin. (x h)]2 FRE L 


D'ailleurs, à cause de 4— et la variable + étant réelle, 


la quantité À du n° 4 se réduit à 


A—-=kcos" là ; 


les parties des formules (13) qui répondent aux valeurs réelles 
de x, deviendront donc, dans le cas que nous examinons, 


cos? Zi ? 


= f" (Ecos. xt+F sin. Fète 0e 
(15) 
v—? EL} (Ecos. 1t+Fsin. M) raté 


On y mettra pour E,F,U, V, leurs valeurs données par les 


(14) 


334 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


formules (11) et (14); on fera, en outre, 
1—=aV/ 0 + 6+y; 
a = d'a +(a— a")(67+ y); 


et, pour fixer les idées, on regardera ces quantités comme 
positives. 

(7) Relativement aux valeurs de la forme 4 = 4,171, et 
en supposant toujours #— , on aura 


I ko PTE 
77e CoSska= 4e: à 


sin. Âa=— 
en désignant par e la base des logarithmes népériens. L'équa- 
tion (7) deviendra donc 
a" al sinlé — à x;cos. la —0. (16) 
On aura en même temps 


U—: cos. ae” GS Dè : 


V—<cos. ax Thhyer® 


2 lu'+sin.2/æ  cos*/«' \ 240, 
a (PRET 16 a! 5 8a, Je ‘ 


L’exponentielle e Fe disparaîtra des formules (13), apres la 
substitution des valeurs de E,F,U, V, 4; ét si nous faisons 


EE 6 RP y ve ee 


1 
ces formules deviendront 


SAN U 
u=@a(E, cost +F,sina) D 


E (17) 
v—a"3(E, cos. EF ,sinat) : 
J 


DES DEUX FLUIDES ÉIASTIQUES! SUPERPOSÉS. 335 
le sommes > s’étendant-à toutes les valeurs réelles et positives 
dex,, qui seront données par l'équation (16), et les valeurs 
de x et «étant. 

= a VE FRE, 
TE pee. 


En ajoutant les formules (15) et(r7), on auralesexpressions 
complètes de z et v, qui répondent au cas où la hauteur du 
fluide supérieur est infinie ; le fluide inférieur ayant encore 
une hauteur quelconque /. Chacune de ces expressions se trou- 
vera ainsi composée d'une somme > et d’une intégrale, qui 
ne contiendront, l'une et l’autre, que des quantités réelles. 

(8) Passons actuellement au cas où la hauteur / du fluide 
inférieur est aussi infinie. 

Si l'on substitue dans les formules (15), à la place deE, EF, 
U, V, leurs valeurs résultantes des équations (11) et (14), 
le facteur cos.” /4 disparaîtra au dénominateur qui se réduira 
à H°. Or, on aura 


2 H° —=(&" aq"? 2h +2(a a — a" x) (aa + a° a) Cos.2 x 
+ (aia+ da); A 
les quantités : et + étant réelles et positives, la fraction 
a—a" a 
a+ a° 

sera toujours-plus petite que l'unité; par conséquent on ob- 
tiendra une série convergente en développant H=° suivant 
les puissances de cette fraction. D'ailleurs, ce développement 
sera de la forme : : 


H=°— A, + À,cos.2/x + A’cos. 4lx + etc. ; 


336 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 

À,, À,, À,, etc., désignant des coefficients indépendants de 
2 la. De là, il résulte que les quantités soumises à l’intégra- 
tion dans les formules (15), seront des séries de sinus et de 
cosinus de 2/4", comprenant un terme indépendant de cet 
angle. Or, dans le cas de /—o , il est évident que l'intégra- 
tion fera évanouir tous les termes périodiques ou dépendants 
de 2/4!, et ne laissera subsister que les termes non-périodi- 
ques. Il suffira donc de réduire à ces derniers, les quantités 


comprises sous les signes f 


Les termes de cette nature s'obtiennent facilement par des 
intégrations relatives à /4'; et si l’on fait /#—w, on aura, 
de cette maniere, 


AUTRE cos. © do 20% 1 

rJ, até cos + ata"sinfe  aa(a a+ ax)? 

DUT sin. © 40 MT I 

rJ, a'écos/6+atasin/o  a*«(a a+ a"a')? 

pour les parties non-périodiques de H” cos.’ /4'"et H=*sin.’/4", 
seules quantités comprises sous les signes Je dont les déve- 


loppements puissent renfermer de semblables termes. 
Avant de substituer les formules (11) à la place de E et F 
dans les formules (15), nous mettrons x' au lieu de x sous 


les signes f que les premieres renferment. Ensuite, nous te- 


rons, pour abréger, 


DES DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 337 
h 
P 42008. (œ—h) f. (a, T3 2')e0s. a(æ—h)dax 
— co 
k 
+ d'a'sin.a(æ—2) f J{x”, ÿ';2)sin. 2 (x —Rh)dax! 
ï ; — © 
aix | F5ÿ / / TT, (PEN ! 
+ eee Fa, y',z')cos. a (x —h)dx 
ai CA 2 2 1 TNT EC / Ü 7 
RP née fe FT 32) sin. (x'—h) dx, 
k 
7 — A" a cos. x (x —}) f f(a,7,2)cos.a(x 1h) dx 
: eg | 
k 
+ 4° asin. &(æ— 2) f Fay", 2')sin. «(x — h)dx 
— — 0 
; co 
+ a'xC0s. a! eh f J'(x',7",7')cos.# (x — h)dax! 
h 
añæ . / æ / / / Q 1 ! 1 
+ Sin. « 4) f FP&,ysz)sin.d (x — k)dax'; 
C#: ) 


nous désignerons par P et Q, ce que deviennent ces quantités 
P et g, lorsqu'on y met les fonctions F et F' à la place de 
Jet f'; et dans le cas de / — , les formules (15) deviendront, 
d’après tout ce qui précède, 


(°e] c 
2 sin. À# dx 
EE (pcosar+P at Pres | 


(18) 
ra nf ne. ge: dau | 
Eh (g cos. ii À re. 


(9) Dans ce même cas de {= , l'inconnue 4 qui entre 
EX 43 


300 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


dans les formules (17), n’aura que des valeurs réelles (n° 5) 
que l'on pourra supposer positives. L'autre inconnue x, est 
aussi réelle et positive; et d’après la liaison existante entre 
ces deux quantités, on a 


D. 
sr ET 
en prenant ce radical avec le signe +, et faisant 
J—= Va — a ar) (y): 


Si l'on substitue cette valeur de z,, dans l’équation (16), il 
vient 
d'au Sin. la — aV Fa cos. la —0; 


et si l'on se sert de cette équation pour déterminer x’, les 
sommes > des formules (17) s'étendront à toutes les valeurs 
réelles et positives de cette inconnue qui ne rendront pas x, 
imaginaire, où qui seront moindre que à. Or, / étant infini. 
on verra par un raisonnement semblable à celui du n° 6, 
que ces sommes > se changeront en des intégrales qui s'éten- 


dront depuis 4 æ — 0 jusqu'à « —0,en prenant ? pour la dif- 


ferentielle de 4, et mettant préalablement dans U, et V,, 
à la place de sin./4' et cos./ 4", leurs valeurs tirées de l’équa- 
tion précédente, savoir : 


Sin. la CURE 
L'ETÉ SN 
nv (9 —x7) + a" x? 

. 1 a a! 
sin. {a — 


Nous aurons, de cette maniere, 


DES DEUX FLUIDES ELASTIQUES SUPERPOSÉS. 300 


: 19h DD VE 
LS (4 
2L/a (54%) + a° «° 


VA 1 
EE COS T7 
IV a (9 — 0?) + a" x" [ ç | 
+ aV/3 sine (xh)], 
Le radical qui se trouve au dénominateur de ces expressions 
est la même chose que 


Lee VE EF) TP; 


à cause de /— , la quantité A, se réduit à A,— * / ; cela étant, 
les formules ( ie se changeront en celles-ci : 


\ 


sin.À # d'a’ | 
= ane nat (p.cosat+ P, A va J/a?(6+7y° are | 


ke 
; 2 sin. f d'a! 
ar Cage 6 re 729 : 
où l'on à fait, pour FE 

VF Pa VF, , 
Pia" Dee ) Fe y',z)es Ont) dx 


2 —h = ) / YEL 1.1 PRO 
aa des Ma fn gd done 
+ aV/5°— 4° sin.» (x —h)]da", 


.@ (æ—h) 


A ErE 


AV Fe Sin. a "(æ— —h) nf FX Ÿ, Z ea 2 (æ eye 


h) 
+ aV/F a sin. « (x — MI. ACT z')[a'a' cos. x (&—h) 


+ a/F— sin. (x —h)] dx", 
43. 


340 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
et désigné par P, et Q,, ce que deviennent p, et q,, quand 
on y remplace fet f” par F et F°. 

(10) Les sommes des formules (18) et (19) seront les: ex- 
pressions complètes de w et.v qu'il s'agissait d'obtenir. Il ne 
restera donc plus qu'à les substituer dans les équations (2), 
pour avoir les valeurs de + et &’ qui répondent au_cas où les 
deux fluides superposés s'étendent indéfiniment en tous sens. 
Ces valeurs se trouveront exprimées par des intégrales sex- 
tuples dont chaque élément satisfera isolément aux équa- 
tions (1). Pour la valeur particulière x—}, on a 

I I Ty dp __dq dp 


I 
PP TS D ER odr) Dr de 


et de même à l'égard de P, Q; P,,Q*; au moyen de quoi les 
équations relatives à la surface de contact des deux fluides, 
sont aussi vérifiées. Quant aux équations qui répondent à 
x—h—# et x—h +1, elles disparaissent dans le cas de : 
k— et /—c; par conséquent les expressions de + et o 
dont il s'agit, satisfont effectivement à toutes les équations 
différentielles du problème. 

Dans le cas de 4'—a, les formuies (19) s'évanouissent. En 
effet, supposons que la différence 4 — à" ne soit. qu'infini- 
ment petite; faisons 


d'—di=c, 0=cd, deco) de -6lo; 


9’ sera une quantité finie, et l'intégrale relative à aura w— 0 
et w —)" pour limites; mais, en même temps, c’ sera facteur 
de P,,P,,Q,, Q.,et c facteur de & et » qui s'évanouiront 
conséquemment avec cette quantité. De plus on aura =», 
et par suite 


DES DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 341 


h 
p=g=@a(f f&,T',2)cos.a(r —x)d? 


—@. * 


Le] 
+ (&', y, 2)cos. «(x x)dx!'), 
J, FR, 7,7) cos. «( )da') 
h 
Pi Q=a"i(f F(x',7',2)cos.4(x'— x) dx 
{ -- © 
De, 
+ F{x',y',z)cos.a(x'—x)dx'). 
JL FGr 290082 (2 >) da) 


On pourra regarder f et f” comme les deux parties d’une 
seulé fonction qui sera donnée depuis 4 —— jusqu’à 
zæ'—% , et de même à l'égard de F et F’. La constante À dis- 
paraîtra, comme cela devait être, des valeurs dep, P,g,Q, 
et des formules (18). Il suffira de considérer l’une de ces deux 
formules, la première, par exemple, dans laquelle on fera 


2 C') MERS : 1 
rareaP= f[ S(' 7, #)008.2(x —2)dr, 
SR se LACS ’ , 
el F(x',7',2)cos. a(x' — x)d x. 

— 00 


La valeur correspondante de 9 sera 


e=5 ler, z')cos.x 4 


nee STE ; E (20) 
+ F(x,y',2 = Cos.a(x'—x)cos.6(y'— 7) cos.y(z2—2)dud6d,dx dy dz'; 
ce qui est, en effet, l'expression de cette quantité qui répond 
au cas de a — a, où les deux fluides n’en font plus qu'un 
seul. Les intégrales relatives à x’, ÿ', 2’, ont + pour limites, 


342 MÉYOIRE SUR LE MOUVEMENT 
et celles qui répondent à «,6,7y, ne s'étendent que depuis 
zéro jusqu’à l'infini. | 

Si l’on remplace le fluide inférieur par un corps solide qui 
ne transmette pas le mouvement d'une manière sensible, les 
formules précédentes seront celles du mouvement d’un fluide 
terminé par un plan fixe. On devra alors supprimer les ter- 
mes dépendants de f'(x', y’, z') et F'(x', y’, z'), et faire a —0 
dans les autres, ce qui rendra nulles les quantités p, et P., 
ainsi que la valeur de x donnée par la première formule (19). 
On aura, en même temps, 


h 
p=:aaf MGR ANT ESS Er 
hk 
+ra af f'(x,Y,7)cos.«(x'+x—2h)dx, 
— D 


h 
p—= 4 71 F(x,7',2) cos. a(x'— x)dx 
J _œ 
hk 
Fu F(x',y',z)cos. «(x + x—2h)dax, 


— 2 


ou, ce qui est la même chose, 
: 
| à LA 
p=iaaf f(x ,Y32) cos. a(x'— x) dx 
* —æ 


Le] 
+2: f(2h—x,y",3)cos.«(x —x)dax, 
h = 


h 
Pate f F(x,y',2)cos.«(x' —x)dx 


7 — 00 


[°°] 
+=! aa F(2h—x,y',z)cos.a(x'—x) d x. 
h 


Ne + 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 345 
Or, les fonctions f(x’, y',z/) et F(x',7',2) n'étant données 
que pour les valeurs de x moindres que À ou négatives, et 
ces deux fonctions étant entièrement indéterminées, pour 


les valeurs de x’ positives et plus grandes que À, nous pou- 
vons supposer qu'on à 


F@h—x",7, z!) =f(x,9", z); 


{or 
(24x72) =F(x, 7,2): 1 ) 


car les valeurs de 2k— x! qui répondent à x h sont toutes 
>h, et pour x'—, ces équations sont identiques. De cette 
maniere les valeurs de p et P prendront la forme : 

(°»] 


P=id 2 FX, y',2)cos.a(x' —x)d a", 
co 


_ * 


" À 
ST 71 F(x',7', 2) cos. « (&— x)dx'; 
V6 d 


en faisant «= 0 dans la première formule (18), nous aurons 


À ee / ! 1 ! LA / 1 )£ A / 
“=; ]. IRRPCRHEOEN ICE À c0s.a(—x) de da’; 


et la valeur de 5 donnée par la première équation (2), coïn- 
cidera avec la formule (20). Delà et des équations (21), on 
coüclut que le mouvement d'un fluide appuyé contre un plan 
fixe, est le même que celui d’un fluide qui s’étendrait indé- 
finiment des deux côtés de ce plan, et dont les deux parties 
auraient été symétriquement ébranlées, de sorte qu’à l’ori- 
gine du mouvement, les dilatations et les vitesses horizon- 
tales soient les mêmes, et les vitesses verticales, égales et 
contraires, pour les points situés à distance égale d’un côté 


344 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


et de l’autre de ce plan. C’est effectivement ce que j'ai trouvé 
d’une autre manière , dans mon ancien Mémoire sur la théorie 
du son, en considérant la réflexion du mouvement de l'air 
par un plan indéfiniment prolongé. 

Après avoir ainsi vérifié les formules générales que nous 
avons obtenues dans ce paragraphe ; nous allons les réduire 
à une forme plus simple; ce qui est indispensable pour 
pouvoir énoncer les lois de la communication du mouvement 
entre deux fluides superposés, qui y sont renfermées. 


S IL. 
Simplication des formules précédentes. 


(11) Nous supposerons que le mouvement a été imprimé 
à un seul des deux fluides et que l’ébranlement primitif était 
circonscrit dans une étendue limitée. Les résultats étant dif- 
férents selon que ce fluide sera celui qui répond à la plus 
grande ou à la plus petite vitesse de propagation, nous exa- 
minerons ces deux cas successivement en commençant par 
le premier , c'est-à-dire, en supposant, en premier lieu, que 
ce soit le fluide supérieur qui a été mis en mouvement, et qu'à 
l'origine le fluide inférieur était dans son état naturel. Les 
fonctions f” et EF’ qui répondent à ce second fluide, seront 
donc nulles; les deux autres fonctions f'et F n’auront de va- 
leurs que dans l'étendue de l'ébranlement primitif; et si l’on 
suppose qu'il n’atieignait pas la surface de séparation des 
deux fluides, ces fonctions seront aussi nulles pour x'— À et 
x! > h; par conséquent, on pourra étendre au-delà de x —h, 
et, si l'on veut; jusqu'à x!= , les intégrales comprises dans 
les expressions dep, g, p,,q. De cette maniere, nous aurons 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES! SUPERPOSÉS. 345 
RE 2 1 ON) nie ( ! INES ! \d u 
p=;(a'x +a"x), H(&',9: 2) cos. (x x)dr 
— 


Lee] 
CL —d'd)f S(&,Y',2)cos.a(x' +x—2h)dx, 
— 


Co 
ET J(æ&,y',2)cos. [a(æ—h)—x'(x—h)]dx, 
— 00 
à co LATE 2 h}V PS 
P. ES ai &° Sf&,T'; z) ea (æ +x 2 ) Æ) dx’ | 
TT 
NE uUT 
(LE — [a & COS. « (x — h) 
PS FA NE 
+aV F2 sine Ge—2)f Cf V5 z)es ÉROLÉETER : 
\ — 


et nous pourrons ne nous occuper que des valeurs de o et + 
relatives à ces quatre quantités, dependantes de la fonction f 
ou des vitesses initiales du ;système ; car les valeurs de o et o' 
qui répondent aux quantités P,Q, P., Q,, dépendantes des 
dilatations, se déduiront des premières en y mettant F au 
lieu de f, et.intégrant par rapport à &, de manière que les 
intégrales s’évanouissent avec cette variable. 

Appelons & la partie de 9 correspondante à la première 
des deux parties dont p se compose; æ étant la valeur com- 
plète de dans le cas de 4’ —a, son expression:sera donnée 
par la formule (20); mais on pourra la mettre sous une forme 
beaucoup plus simple, en faisant usage de l'intégrale com- 
plète de l'équation (1).à laquelle je suis parvenu dans un 
autre Mémoire (*). Au moyen de cette intégrale et en ayant 
égard aux deux fonctions f'et F, on aura 


(*) Nouveaux Mémoires de l'Académie , tome III. 


2%. 44 


346 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


d T 27 L 
rer ÿh f(æ+ atcos.#, y + atsin.6sin.v, 
Le) Oo 


z + atSin. 6 cos.w)é£sin.0 d6dœ 


I 
+ 


4T 


T 27 
$ f F(x+ atcos.h, y + atsin.bsin.v, 
o* o 


z + atsin.4 cos.o)tsin.6 db do. 


Lorsque l'ébranlement primitif aura été le même en tous sens 
autour du point O, origine des coordonnées x, y, z, cette 
formule générale se réduira à 


b——[(r+ at) +f(r+at) +(r—at}f(r—at) 
art 


+2F.(r+at)—2F(r— at), 


comme on peut le-voir dans le Mémoire cité : on représente 
ici par r le rayon vecteur OM du point quelconque M. 
ou la racine carrée positive de x*+y +=; et l’on sup- 
pose que f(x,y,z) et F(x,y,2), ont été remplacées par 
des fonctions /r et Fr de la seule variable 7, et qu'on a fait 
ensuite 7 Fr— Lars 
dr 

Désignons par HI et 11! les parties de y et #’ qui répondent 
à la seconde partie de p et à 9. En représentant par 7! le 
rayon vecteur d’un point quelconque du fluide supérieur, et 
mettant fr' au lieu de f{x',y', 3), il est aisé de voir, que 
nous aurons, d'apres les équations (2), 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 347 


= ps /[fff fr cosatcos.[i(a'+ x 23) | 


a a— a? PA 


+ EN ET E dadédydx dy'd7, 


Ho Jr cos. X6COS. [a (x — 2) — 2 (x — }) 


HET +7G DRE dedédydx dy'az;) 


a+ a" 


(é) 


les intégrales relatives à £ et y ayant maintenant Lo pour 
limites, comme celles qui répondent à x’, y’, z',.et les inté- 
grales relatives à étant les seules qui sont prises depuis zéro 
jusqu’à l'infini. 

Soient enfin Q et Q’ les parties de g et © qui répondent à 
p:et qg..…. En vertu des équations (2) et (19), on aura 


et oran éech are 
= //f]) a SECRET) 


a'?1œ'2 


HET de dédyde dy az, 


r ae) (Er TE (c) 
/ a'i , a AS : 
Q =#—s//|||Îrr cos.ite [a «COS. (6 (y —) 
+ (2 —2) + x (&—h})) +av/F—% sin. (6 ('—r)+y(z—2) 


+a (x —h))] Fee de dédids dy 47 ; 


les intégrales relatives à 4’ étant prises depuis x —o jusqu'à 
a —), et les autres ayant les mêmes limites + que dans 
les formules (). 

La valeur complète de +’ se composera de:celles de I'+ Q/ 
qui répondent à f'et F , et la valeur de y s’obtiendra en ajou- 
tant celles de 11 +Q à la formule (a). Les expressions den, 11’, 
0,9", supposent, comme cette dernière formale, que l'ébranle- 


44. 


348 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


ment primitif a été semblable en tous sens autour du point O; 
hypothèse que nous ferons pour toute la suite de ce Mémoire, 
et qui permettra d'effectuer en partie les intégrations indi- 
quées et de réduire les équations (b) et (c) à une forme beau 
coup plus simple. 

(12) Pour y parvenir, je change les coordonnées rectan- 


gulaires +’, y',z!, en coordonnées polaires, et je fais, en con- 


séquence, 
x'=r'cos.#, y'—r'sin.b'sin:w', z!—r'sin.6'cos.u. 
On aura, en même temps, 
dx'dy' dz = 7" sin." dr dé de, 


et les intégrales relatives à ces nouvelles coordonnées devront 
être prises depuis r'— 0,8 —0, vw —0,jusqu'à r — ,6—7r, 
wo —27—. Je fais de même 


a —pCos.b, 6—9psin.bsin.w,. y—pSin. 6 Cos.w; 
il en résultera 
dxd6dy—$sin.6 dé dé do; 


les intégrales s’étendront depuis $—0,0—0, w —0, jusqu’à 
e—%0 ,8—2+7r, w—2*+; et nous aurons (n° 6), 


des - 
1=do, a —-V/x—a"sin"f. 


a 


La double intégration relative à 4’ et’ se changera d’abord 
en une intégrale simple et s'effectuera ensuite entièrement 
dans chacune des formules (b), d'après une remarque que 
j'ai faite autrefois, et suivant laquelle on a 


DE DEUX FEUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 349 


AT 2T ? ‘ ! sd : 
T [ F(cos.0'cas.8 + sin. #’ sin. 6 cos. (w'—w))sin.# 48 do — 
0° o 
T 


2r/ F'cos.u)sin.udu, 
Lo] 


quelle que soit la fonction F. Il en résulte qu'on aura 


T 27 
7 T cos. {Lr’(cos.6' cos. 6 + sin.6’sin.0 cos. (w — w')) 
o o 
+p(x —2h)cos.6ô—,7y sin.fsin.w—,zsin. 8 cos. w]|sin.#' 46 de 


= sin. ercos.b((x—2h)cos.6—ysin.6sin.w—zsin.6 cos.«), 


LÉ costertcos d'cos.6 + sin. sin. 6 cos. (o—«')) 
a o 
—Ê(x— A2 ar sn à —  hcos.6—;ysin.6 sin. 
—L.2sin.6 cos.w|sin.6'd6'd sin. pr'cos. EVE 
+ kcos.0 + y sin. sin. + zsin.0 cos.w ): 
Cela étant, si nous faisons, pour abréger , 


(2h— x) cos. 8 + ysin.6sin.v -+zsin.6cos.w+Eat—&, 


Rs mr Le . 4 : 
Va — a" sn + hcos.0 + ysin.6 sin.w + z8in.6COs.6 + at — «7, 


les formules (b) deviendront. 


| © ho r3T r2T(0c0s.0— a’ 2— a'sin.”6)sin. FRE : noyer 
nf fi L GR PR rar a did, 
| o Oo o 


x & cos.6+ a Va —a"sin 0 : 


| Mr CO C a 27 a? cos. ÿ sin. à FAT ter 
nf à Î fe sin. pr cos.ç& fr dr d, dû do. 
« o “ © o: Lo) 


& cos.0+ a Va — a°sinp 


(a) 


350 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


J'ai mis + devant at dans les hpnisss que & et & représen- 
tent; mais il faudra se rappeler qu'on doit prendre succes- 
sivement le signe supérieur et le signe inférieur, puis ajouter 
les résultats pour former les expressions complètes deïtet Ir. 

Afin d'éviter l’indétermination des intégrales relatives à &, 
qui aurait lieu à la limite :— , je multiplie sous les signes 


fs par e _ÊPse désignant la base des logarithmes népériens, 


et g étant une constante positive et infiniment petite que 
l'on fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul. On aura alors 


DEEE 
1h e eSin. pr’ COS: p d dp 


Le] 
re 
it 


PL EC GER Un NE PP. LOUER ANS 
2 dr’ Kg +(r—% es 


J'integre les deux membres de cette équation depuis 7'—o jus- 
qu'à = ©, après les avoir multipliés par r'fr' dr". Je sup- 
pose que pour de très-grandes, valeurs de 7’, la fonction fr’ 


2 . . I , 
décroisse plus rapidement que =, en sorte que le produit 


! 2 7 . 4 . . 1 , . 
r fr" s'évanouisse à la limite 7'—, aussi bien que pour 
r'—0. D'apres cela, si l’on effectue l'intégration par partie 
dans le second membre, on aura 


PISE Ce met À . L Li L 
’ É e er'sin.sr'cos.pmfr'dr'dé 
GRO 


r Cr = Pen a) MU 


Mais la fonction fr n'étant donnée que pour les valeurs po- 
sitives de 7'et restant indéterminée pour ses valeurs néga- 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 351 


tives, on peut supposer qu'on ait f{—r')=fr', On aura, en 


à df(—r! dfr sr : 
même temps, AE 3 et si l’on fait 
der fr ; 
INC MeN UE 


On aura aussi ÿ(—r")— 47", et l'équation précédente prendra 
la forme : 


Le TE r'sin.pr'cos.o © fr dr'd = 1 sien 
ü 8 Daouté brest nés Les) 


À cause que la constante g est infiniment petite, cette der- 
nière intégrale s’évanouira pour toutes les valeurs de 7’ qui 
ne rendront pas aussi infiniment petit, le dénominateur sous 


le signe f. En faisant donc 
r=c+u, dr=du, 


on pourra considérer la nouvelle variable # comme infini- 
ment petite, positive ou négative; et quelles que soiént les 
limites relatives à r’, nous aurons simplement 


de AT 
GC A LE 


en intégrant entre deux limites arbitraires, l’une positive et 
l'autre négative, et faisant, après l'intégration, g—o ou seu- 
lement g infiniment petit par rapport à ces limites. Il en resul- 
tera donc 


0) icobeere L $ & 
1f f e  pr'sin.pr cos. po fr dr'de ==; 
o o 


ce qui fait connaître l'intégrale relative » et r! que renferme 


352 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 

la premiere équation (d): en y mettant & au lieu de &, on 
aura la valeur de celle qui est contenue dans Ja seconde équa- 
tion (d); et, de cette manière , ces deux équations deviendront 


kg 27 (acos.8— aV/a—a"sin. _ () 
=}: & d6 d 
MAT = fl a° cos.8+ a'V/ a — a" sin” Ÿ hu 


(e) 


PPS ESA a° cos. Bsin.0 
W=; f Î "dde. 
27), Jé dcos.ÿ+a'V/a— a"sin-0 


Ainsi les quantités II et Il qui étaient d’abord exprimées par 
des intégrales sextuples, le sont maintenant par des inté- 
grales doubles. On ne peut pas les simplifier davantage, si 
ce n’est dans le cas où le point M auquel elles répondent est 
trèes-éloigné du centre de l’'ébranlement primitif. C’est ce que 
nous allons faire, en commencant par l’expression de IF, re- 
lative au fluide supérieur. 


(13) Transportons l’origine des coordonnées en un point 
O' du fluide inférieur, situé à une distance 2 au-dessous de 
la surface de séparation des deux fluides, et sur la même ver- 
ticale que le point O. Soit r’ le rayon vecteur O'M du point 
M appartenant au fluide supérieur. Désignons par 4 l'angle 
compris entre O'M et la verticale passant par le point O'etdi- 
rigée en sens contraire de la pesanteur, et par » l'angle que 
fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical des x et z; 
nous aurons 


2h—x=r'cos.u, y—r'sin.usin.v, z—7r'sinC0s.v, 
et, par conséquent, 


&— r'(cos.bcos.u + sin.bsin. wcos.(w—v)) + a t. 


‘ 


DE DEUX FIUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 353 


Menons par le point O’ un plan horizontal ; au-dessus de ce 
plan, du point O' comme centre et d'un rayon égal à l'unité, 
traçons la surface d'une demi-sphère ; soit N le point de cette 
surface dont le rayon O’N fait l'angle 4 avec la verticale 
et pour lequel la projection horizontale de ce rayon fait 
l'angle w avec une parallele à l'axe des z, menée par O',ou, 
autrement dit, soit O’N le rayon dont la direction coïncide 
avec OM , pour les valeurs particulières 6 —u et w —v: l'in- 
tégrale relative à 9 et w s’étendra à tous les points de la demi- 
surface sphérique, et l'élément de cette surfacesera sin. 6 6 do. 
Menons par le point O', un autre plan perpendiculaire à O'M. 
Soit #', l'angle compris entre O'M et O'N, et w’ l'angle que 
fait la projection de O’N sur ce second plan, avec une droite 
fixe, tirée dans ce même plan, par ie point O’. On pourra 
substituer les variables 6’ et w’ à 4 et w; l'élément de la sur- 
face sphérique sera alors sin.6" 46’ dv’, en sorte que l’on aura 


sin.6 dô do —sin.6 db dw'; 
on aura aussi 


cos.b cos. & + sin. Ü Sin. & COS.(w — v) —Ccos.ÿ'; 
et par les règles de la trigonométrie sphérique, on trouvera 


cos. 4 — cos. 4 cos. 6 + sin. sin.f COS. , 
sin. f' sin. (o—%)—sin.o sin.b, 


en supposant que le zéro de l’angle w’ réponde à w—v. De 
plus, si l’on appelle y l'angle que fait la droite OM avec une 
position horizontale de O'N correspondante à l'angle w’, les 
intégrales relatives à 4’ et w’, étendues à tous les points N 
de la demi-surface sphérique, devront être prises, d'abord 
depuis 8 — 0 jusqu'à # — 4, et ensuite depuis w'—0 jusqu’à 
TX 45 


54 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
/ / r 4 I 
»—2-#; et comme # — y répond à ÿ—;7, on aura 
COS. y —SiN, 4 COS. (w— %), 
pour détérminer la limite y. 
Cela posé, la première équation (e) deviendra 


nef (feutres. + at)sin.' d8') du », LT) 


en faisant, pour abréger, 


a° cos.ÿ—a/V/a? — a!° sin°g : 
a? cos.0+a'V/a—ag?sin "6 ? 

et considérant @ comme une fonction de 6’ et w’. Pour # — 0, 
on aura cos. —cos.w et 6 —U, en désignant par U ce que 
devient © quand on y met x au lieu de 6; pour #—%, qui 


répond à 8—:r, on aura 6—— 5; si donc on intègre par 
à ë ATUfT UN. : 
partie , et si l’on observe que bre il en résultera 
u dr ) 


[ss = LA / 
Fi OY(r'cos.f+ at)sin.#d0= © (r Eat) f(" € aë 
oO s 


r #7 mes \ 1 er 
+ (cosy + at) f(r cos.n E at) 


ne “(iobl Hat) f(r'cos d+an dv 
rip, TON à ut aUX ME 


Je représenterai par < le rayon de l’ébranlement primitif au- 
tour du point O, de sorte que la fonction f'soit nulle pour 
toutes les valeurs de la variable, positives et > <. Comme on 
a supposé qu'elle restait la méme , lorsque la variable change 
de signe, elle sera aussi nulle pour toutes les valeurs de la va- 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSES. 355 


riable <—:,et n'aura des valeurs différentes de zéro,que quand 
la variable sera comprise entre + c. Or, si l’on suppose la dis- 
tance r' du point M au point O', extrêmement grande par 
rapport à e, il est évident que les valeurs de 6' pour lesquelles 
r"cos.b' alt tombera entre ces limites, auront une très- 
petite étendue; d'où l’on conclut que l'intégrale relative à 
cette variable , contenue dans le second membre de l'équation 
précédente, sera très-petite par rapport aux termes compris 


hors du signe /. Nous la négligerons, en conséquence; et de 


cette manière l'équation (f) deviendra 


u—=U("+at)f(r+at) 


27% 
L mr); (r'cos.u + at) f(r'éos.u + at) du. 
L'étendue des valeurs de w pour lequelles 7’ cos. y + at tom- 
bera entre les limites He, sera aussi très-petite ; ce qui suffit 
pour que nous négligions cette derniere intégrale relative 
à w; mais on peut en outre s'assurer que cette intégrale dis- 
paraît exactement de la valeur de 11. En effet , on y doit prendre 
successivement le signe +- et le signe — devant af, et faire 
la somme des résultats; de plus, l'angle w augmente de + en 
même temps que v'; les valeurs de cos. y ou de sin. cos. (w—v), 
relatives à w et + +, sont donc égales et de signes contraires; 
donc, à cause de f(r'cosu+at)—=f(—r'cos.u Fat), la 
somme des deux éléments de l'intégrale qui répondent à 
ét w' +7 sera égale à zéro, et, par conséquent aussi, l'inté- 
grale entiere dont les limites sont w'—0 et w —27. Nous 
aurons donc finalement 


356 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
a cos.u— a’V/a° —a"sn-u E e 
VA 7, r + at 

2 r' (a? cos. u + a Va — a"sinu) [C A ) 


+(r— at) f(r'—at), 


en remettant pour U sa valeur et ayant égard au double signe 
de at. On se rappellera que l'expression complète de I, doit 
comprendre une autre partie correspondante à la fonction F 
et qui se déduira de la précédente, comme il a été dit plus 


haut. 
(14) Pour réduire de même la seconde formule {e), je fais 


= 
| 


(8) 


h—r;c08. 4, 7; 0;VSn.2;00e— 7, Sin. COS. Ÿ; 


c'est-à-dire, que je désigne par r, le rayon vecteur du point 
de la surface de séparation des deux fluides, dont y et z sont 
les coordonnées horizontales ; par &, l'angle que ce rayon fait 
avec la verticale abaissée du point O, et par », l'angle com- 
pris entre le plan de ces deux droites et celui des x et z. Ii 


en résultera 
= E a — a” sin-0 +7, (cos.0 cos. w+4-sin.6sin.zC0s.(o—v))+ at; 


et par le moyen d’une transformation semblable à celle quia 
donné l'équation (f), on changera la seconde équation (e),. 
en celle-ci : 


! I 


A — 


a 


27 


2T 
(e] 


“be 2 ne 
(J 9’ e AE — a”sin.?f +r,c08.0/4at )sin.#' 49") do, 
4 3 


où l’on a fait, pour abréger, 


a"? cos. f à 
Hei0) 


& cos.0+ a V/ a — a" sin>6 


1 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 307 
et désigné par y la valeur de 6’ qui répond à 46—:#. 
Si l’on remet &' à la place de sa valeur sous la fonction 4, 
et si l’on observe qu’on a 


ton DRE — = 
DA q x—h d\Y/&— a asie 0 ps 


PTA ar d A 


0 dope 
sin. 6 db — r aŸ 


, 


il en résultera 


y 


VA 9'4&'sin. a? f” CPÉRPT 


zh ,, SdVa—arsn — a" sin$ 
73 f" ow dÿ dw. 


Nous supposerons que r, est très-grand, nou-seulement à 
l'égard du rayon : de l’ébranlement primitif, mais encore par 
rapport à la distance æ—h du point M au-dessous de la sur- 
face de séparation des deux fluides; nous négligerons, en 
conséquence, le second terme de la formule précédente à 
d.S'f5 


} æ—h à 1 
raison de son facteur ——; et, à cause de Lo TE : 


nous aurons 


ë gs D ? Fdai 
Sin sé die l'O y. 
r dA 
o 52 (5) 
À la limite 8 =—y,ou6—2r, on a@ —o; si donc on désigne 
par U' la valeur de 6’ qui répond à &'—o et pour laquelle on 
a cos.4—cos. u; si l’on fait, en outre, 


u'=2T À D — a sine PO, 


et que l’on intègre par partie, on aura 


{- 
de o'y'sin.# 9" = EU'u fu + E fl fa SE du, 
Oo 1 


’ 


= 


+r,+ 


358 | MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT . 


ou simplement 
( (a 1 = À LA | À LA LA 
si ©'4 w'sin. 448 —©U u'fu', 
NO I 


en s'arrétant au même degré d'approximation et par la même 
raison que dans le numéro précédent. Cela étant, en prenant 
successivement le signe + et le signe — devant at ,et faisant 
la somme des résultats, l'expression de I' deviendra 


Pr Era 


r, (a* cos. u +-a' HU. Le 


a'2c05s. u sl Z—h 


a és ie Va —asin-« (4) 


— h nn 
+7, gb), des — a sin u + ne 


On y ajoutera la partie correspondante à la fonction F qui se 
déduira de celle-ci par la substitution de F à f et l’intégra- 
tion par rapport à 4. 

(15) Occupons-nous actuellement de la réduction des for- 
mules (c). Si l'on y considere #,6,7, comme les trois coor- 
données rectangulaires d’un point de l’espace, les intégrales 
relatives à ces variables s'étendront d’après leurs limites, à 
tous les points compris entre le plan des 6 et y et la surface 
dont l'équation est 


LIVE TEEN, 


c'est-à-dire, entre le plan des 6 et y et une surface conique 
qui a son sommet à l'origine des coordonnées et dont la gé- 
nératrice fait avec ce plan, un angle constant c, moindre 


que !#, et tel que l'on à 


tang.c = = Ve ART 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 359 
Il en résulte que si l'on transforme %, 6,7, en coordonnées 
polaires, et qu’on fasse pour cela 
æ —psin.é, 6—pCos.0sin.v, y —e COS. Ô COS.w, 


les intégrales relatives à ,6,w, devront s'étendre depuis 5=—0, 
lo b—06, jusqu’à p—D,0—C,w—2r.Onaura,en même 
temps, 

du dédy—$cos.tdsdbdo; 


on aura, de plus, 
1=a'p, DFE Dobsi, 
en faisant, pour abréger, 
Ÿ—V/ tango — tang 6, 


et si l’on fait aussi 


L(a'+r— 2h)g d'cos.8 
T=/}}]]) is cos.e(( 7 —y)cos. sin. 


, ; a/° sin.” 6 cos.f a LA AE 
= (z'— 2) cos.6 cos.o0 + a DETTE On de dôdo dx dy d'z : 


T=/]}j]) PO Gi APE p((>'— Y)cos.6 sin. « 


+ (2 —2) cos.écos.w + (x—h)sin.4+ «À 


+ aÏcos.6sin., ((y—y)cos.6 sin. w + (z'—z) cos. cos. w 


+ (æ — h)sin.6 + at)|— HD ser  dedidodzx dy'iz, 
( = sde dy 


cos.” 6 — a” sin. 
les équations (c) pourront être remplacées par celles-ci : 


me 5 A : DE 
ii Re Ce 2 dr 


T° (a? — 4°) de 


On a mis Le signe Æ devant 4’4, et l'on‘ prendra successive- 


360 MEMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


ment le signe supérieur et le signe inférieur, puis on fera les 

sommes des résultats pour avoir les valeurs totales de T et T”. 

Les limites des intégrales relatives à æ’,y', z', sont £ , et 

par rapport à ?,6,, celles que l'on vient de déterminer. 
Les produits 


1 
Ces 


ete 2.#)p 9 cos.f —(æ—h)e d'cos. } 


TT HE 
s’'évanouissent à la limite $— ; car les valeurs de x pour 
lesquelles fr’ n’est pas nuile, sont, par hypothèse, moindres 
que 2, et d’un autre côté, dans T où entre le premier pro- 
duit et qui répond au fluide supérieur, on a aussi x € h; d’où 
il résuite que les coefficients de : sont négatifs pour les deux 
exposants. Cela étant , les deux intégrations relatives à b s’et- 
fectueront sans difficulté , et, par suite, les expressions de 
T et T’ deviendront 


T—’ IN: a” sin 6 cos.0 fr'dôidodx'dy! dz’ 

ET 72 5.0 — TEE Er] ! e 4 ; 5 RTE 7] 
RC R CT à Ph: (x d' + (y'sin.w+ 2'cos.6) 1/5 |cos. 0 
T'— 1 RS ee fr'd0dodzx'dy'dz 

ne 


* &' cos. 0— a’° sin.” 9 


— e æ'd'+(y'sin. © + z/ cos.) V=) cos. fl 


JC \ P 
en faisant, pour abréger, 


u==(2h—x)S cos.& +[(ysin.w + zcos.w)cos.6 +(k—x)sin.6 + a'él 5, 


+ a 


' 
RCE 


w—=—Ahd"cos.6 +[(ysin.e + zcos.w)cos.6 +(k—x)sin.6 Æ a't]L/—5. 


On prendra successivement le radical L/—5 en plus et en 
moins, puis on fera les sommes des résultats pour avoir les 
valeurs complètes de T et T', dans lesquelles ce radical dis- 
paraitra. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 36r 


Je transforme maintenant les coordonnées 2 Y 2 ypen 
coordonnées polaires 7, 8!,v', comme dans le no 12; je faits 
ensuite 


T 2T sin. 046! dw’ 
m= ff CAS : ; RE EN ? 
70 E— —Ô cos. 0 + cos. (w'—@) sin. ÿ Lx \ r’cos. 0 


et je désigne par m’ ce que m devient quand on y change y 
en y. Il en résultera 


AMAR a’? sin.” cos. 0 
== Zona Mmrifr'dr' dé de, 
2 Soie a” COS. 0 — a” sin 0 = 


C2T )- = | =S 
1 [D & Sin. 6 COS.0 (a'sin.6— a d'cos. 0 = ; 
T=:f W'f 2 Sc08,9 (g' ain: 07 sa deon 016) à à r'dr'd6 dv; 
o o/0 


a° cos.*0— a/°sin.” 6 
et les intégrales rm» et m' que ces formules renferment s’ob- 
tiendront par les règles ordinaires. 
En effet, on peut d’abord mettre dans M, & + o à la place 


de w', sans changer les limites relatives à cette variable. On 
aura ensuite 


2T do _8E 
'à d'y , 1e on cn 
MÉCils cos. 0 + cos. w'sin. ÿ/—x |r’ cos. 


T do’ 
n ue LE r/ à" cos. 6 cos. 0 — r' cos. 0 sin.f/ cos.w = 
T dw! 
+f B—Tr'd'cos. 0 cos.5'+-r'cos. 6 sin. 6/cos.w' =; 


T 2 (er d' cos. 0 cos. DEC 
=f - 


a 2 ; 
——7'd'cos.6 cos. 4! | + 7/2c0520 sin.*0! cos.? w’ 
a 


On peut n’étendre cette dernière intégrale que depuis w —0 


Li ua‘ 46 


362 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
jusqu'à w'=;r, pourvu que l’on double le résultat. Si lon 
fait alors 


du 


’ 1 
tang.o A dos; 


les limites relatives à z seront zéro et l'infini, et l'intégrale 
dont il s’agit se changera en celle-ci : 


a(e—2rs cos. 0 cos. DEC 


[e -] 
T CS ,\2 LA a! ! mea 
o &——r" à cos.6cos. 0 + 7° cos." 8 sin.? 6!+ u——rù cos. cos. 1 }u 


? 


dont la valeur est 
a’ 1 1N3 (E 2 e 2{ == 
27 [(u—£r cos.6cos.t") + r°° cos." 6 sin. | ; 


et, en particulier, 
27% 2T 
Ter PE) 


ANG ar  bicdie D ana 
pe ——r à cos. 0 m4 70" cos. 0 


pour 8 —0o et ÿ—r. La valeur de m s'en déduit immédia- 


5 dm 3 - 
tement; mais celle de = a une expression plus simple, sa- 


Voir : 
dm _, 2ma Vi I 1 ; 
TER in nl au cu More 
ë farce Era) 
a a 


le signe ambigu répondant à celui de + a+ que y renferme. 

dm, : Et À 5 
La valeur de Te s'obtiendra par la substitution de y’ au lieu 
de pe. ; 


On conclut de la 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 363 


dT__2ra fo FT 2 sin?0 cos. 26 /—> r'3 fr dr dôdo 
des tr A f Heyf. 4 ? 
o + o” 0 


CT ET EN RR EE | 2 
a” cos.” 0 a" sin.” 0 e(p—Sr> cos.? o) 
a 


mere f" [fe sin.6cos.”"O(a'sin.5l/—; + acos.6) r'fr dr dède 
a k 40 a° cos 0— a° sin. p(e-Srs cos. 9) 


L'intégration relative à v s’effectue, dans chacune de ces for- 
mules, comme celle qui répondait à w’, en sorte que ces ex- 
pressions et par suite celles de Q et o/ peuvent se réduire à 
des intégrales doubles, de même que les valeurs de II et 1 
données par leséquations (e). Mais sans aller plus loin , on voit 
que les valeurs de _ et _ seront du même ordre de gran. 
deur que la quatrième puissance du rapport de « à la distance 
du point M, soit au point O’, soit au point O; on pourra 
donc les négliger dans le cas des points très-éloignés du centre 
de l’ébranlement ; par conséquent l'expression de ’ se réduira 
alors à celle de 11’ du numéro précédent, et celle de CRE 
l'expression de II du n° 13, augmentée de la valeur de p 
donnée par la fermule (a). 

(16) Ces résultats se rapportent au cas où l’ébranlement 
primitif a eu lieu dans le fluide supérieur pour lequel la 
vitesse de propagation est la plus grande. Pour obtenir ceux 
qui répondent au cas où c’est le fluide inférieur qui a été pri- 
mitivement ébranlé, je transporte l'origine des coordonnées 
en un point O' de ce fluide, situé. à la distance À au des- 
sous de la surface de séparation des deux fluides : les axes 
des y et z seront toujours horizontaux ; l'axe des x sera ver- 
tical et dirigé en sens contraire de la pesanteur. Il faudra 
alors mettre 2 k—x et 2h— x à la place de x et x’ dans les 
expressions de p,q,p., q., des n*8 et 9. On y supprimera la 


46. 


364 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 

fonction /, et l’on y remplacera f'(2h—x',y',z) par f'r, 
en désignant par r’ la distance d'un point quelconque du 
fluide inférieur au point O’, et supposant que l'ébranlement 
primitif a eu lieu autour de ce point et qu'il a été semblable 
en tous sens. On supposera aussi, comme précédemment, 
qu'il n’atteignait pas la surface de séparation, ce qui permettra 
d'étendre les intégrales relatives à x’, depuis x —— jusqu'à 
æ—. De cette manière, on aura 


p= ef" frcos[ (#1) a(x—h)|dax, 
= 


a’ a(a”a'+a°a) f © 
ge fl f'r'cos. « (x'+ x—2h)da, 
— 
LIVE fe 
1 = Zxx 2— xl? ’ 
Pa a és Ë 7 f'r'[a'a'cos. «(x —h) 
: Ci © © 


| A 
[ee] 
D a") (E+y) ae) [| J'r'cos.a' (à —x)dx 
7 _o 


x 


© 
+<[a" (a+ a")a— a(a—a")6 +) f f'r'cos.a(t—x—2h)dx 
— a 
7 e 2 
aa au VF F'r'sin.a' (x +x—2h)dx; 
— 


et si l'on désigne par Fr la fonction relative aux dilatations 
initiales, par laquelle il faudra remplacer F'(2h—x,y',2!), 
on aura les expressions de P,Q, P,,Q,, en mettant F'r'au 
lieu de fr" dans celles de p, q, p,,q. 

Je substitue dans les secondes formules (18) et (19), à la 
place de g et q,, les premières parties de leurs valeurs, et à la 
place de Q et Q,, les parties correspondantes ; puis je désigne 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 365 


par % la somme des résultats, en sorte qu'on ait 


(HAUT PO oo er 7, Sin.\é 2 AIN ZT ! 
if JE Creosat+rr : eos: a (xx) 2 da da 


I ù Le eh = /Sin.Àt Gg 17 7 
rte # (J're0s.xt+F ra ) cos. « (t — x) dudx:. 
& o (2e) 
Dans la première de ces deux intégrales , je substitue à la 
variable :; en vertu de l'équation 
a (a° + EF y) — a (&° LT Et Y); 
qui lie ces variables l’une à l'autre, on aura 
ae Tue 
a 


et les limites relatives à # , Qui répondent à 4—0 et :—% , 
seront # — 9 ete —c. Il en résultera done 


[ee] : 
mena CPE FER COS. a (x — x) da 


ù 6 
, sr 
ii Ce r! cos.1t+ Fr 
(e] 


ë TPE) / 
) cos.a (&@—2)d«| dx’; 


ou, ce qui est la même chose, 


1 I œ re À 4 / Sin. À # / 1 7 1 
vif (J'r'cos.16+ Fr = ) cos. (2 x)da dax, 
0 “ — : 


en réunissant en une seule les deux intégrales relatives à «!. 
Si donc on appelle 4! la partie de +’ qui répond à cette partie 
v' de , on aura, d’après la seconde équation (2), 


+ Fr 


MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


“Ir 


,Sin.À# 


Les intégrales relatives à « ,6,y, seront prises depuis zéro jus- 
qu'à l'infini ; celles qui répondent à x',y, z',auront + pour 
limites, et l’on prendra la racine carrée de a°(x°+6°+ 7) 
pour la valeur de. Or, en comparant cette expression de &' 
à la formule (20), on verra, comme dans le n° 11, qu'on 
peut la remplacer par une autre beaucoup plus simple, et 
représenter ® par la formule (a) dans laquelle on mettra f”, 
F',a',au lieude f, F, a, et l’on regardera 7 comme le rayon 
vecteur OM d’un point quelconque M du fluide inférieur. 
C'est d’ailleurs ce que l’on peut vérifier en effectuant les in- 
tégrations indiquées dans la valeur précédente de +’; ce qui 
est possible par les transformations du n° 12. 

Représentons par Il et Il’ les parties de + et +’ qui répon- 
dent à p et à la seconde partie de g. En vertu des équations 
(2) et (18), et en substituant « à la variable + dans les inté- 
grations , nous AUrTONS 


= = [III r'c0s. 1écos. FE (@—h)— a(x —h) 


+6(Y— 7) +y(z—2 JL: rs - da dédy; dx dy dx, 


i— NI recs.rccos. [a (+ x—2h) 


+ 6(Y —7) + er) de dé dydx dy da; 


@ 


les intégrales relatives à 6 et y ayant maintenant + pour limi- 
tes, comme celles qui répondent à x, y", z', et les intégrales 
relatives à a’ étant prises depuis 4'— 5 jusqu’à a —. 


Jcos. a! (x! —x) cos.6(y—-y)cos.y(z —2)da/dédy;dxdy dx. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 367 


Désignons enfin par Q la partie de et par Q/ et Q” les deux 
parties de +’ qui répondent à p, et aux deux dernières parties 
de g,, la première ayant déja été employée pour former #'; 
au moyen des équations (2) et (19), nous aurons 


À LU LA r'cos.\tea Am Enr EP a'cos.(a' (x —h) 


+ 6 (7 — 7) +yG—2)) av 505 sin. (2 (x — A) 
+) +2) er 2er dédédyda'dy'dr, 


mr) À LU LA cos.1Écos. [x (æ'+ æ— 2h) (4) 


+E(y Aa dédydx' dy d?, 


ve cer HU" cos.xtsin.f[«' (x +x—92h) 


+6(Y—7 + eng ner de dédydx dÿ'dz ; 


———— 


les intégrales relatives à x',7,2,6,7, an toujours co 
pour limites , et celles qui répondent à 4 étant prises depuis 
a'—0 jusqu'à « — 0. 

Dans ces équations (z) et (4), on prendra 


A=AV/EHE ET) 

= Va (ed) E + y), 

= Tea) +). 
Pour avoir les parties de + et ’ relatives à la fonction F',on 
changera f'r' en F'r', on multipliera par dt, puis on inté- 


grera par rapport à £ de manière que les intégrales s’évanouis- 
sent avec cette variable. Cela fait, la valeur complète de + 


368 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


sera la somme des valeurs de IL +9 qui répondent à f' et F', et 
cellede %', lasomme des valeurs de 1'+Q'+0Q',augmentée ded 

(17). Je transforme x’, y',z, en coordonnées polaires. Je 
faits aussi 


x'—= pcos., 6—pSin.Bsin.o, y—psin.6 COS.w; 


puis je substitue :,6,0, aux variables 4,6,;: les limites 
des intégrales par rapport à ? et w seront les mêmes dans les 
équations (z) et (4), savoir, p—0 et p—® ,w—0 etuw—2r; 
mais relativement à 6, les intégrales devront s'étendre depuis 
b—0o jusqu'à 6—:+, dans les formules (:), et depuis 6—0 
jusqu’à 6—b, dans les formules (Æ); d étant un angle aigu, 
déterminé par l'équation 
I —— 
cot. b—=V/a re 
Cela posé, par une analyse semblable à celle du n° 12,0on 


transformera les équations (2) et la seconde équation (4), en 
celles-ci : 


1 PARIrBT a sin. 0 cos.0 HU 
2T à a" cos. 0 + aV/ a? — a? sin? 0 


da Fr F (a cos. (a°cos.0—al/a a°— à sin. — & sin 0) sin.f sin.0 
I = © y s'dtd 
JUL a’? cos. ER CALE a sin.? 8 FE 
a” (a4-a*)cos/0— a°(a—a")sin-0]sin.0 ,, , \ 
= — à ee ML a sin. j — a” cos.” () Ÿ'w did; 
en faisant, pour abréger, 
Z—h 


Va" a sin.” 04 hcos.0+ysin.6sin.w + zsin.0 cos. w+a F0, 


RE trente +2sin.0 cos. <a t—© 


On suppose, en outre, 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSES. 369 


Fr), Er 
et dans chacune des formules précédentes, il faudra prendre , 
le signe supérieur et le signe inférieur devant a'f, et faire en- 
suite la somme des résultats pour avoir les valeurs totales 
de I, Il et Q!. 

Quant à celle de Q, par le même calcul que dans le n° 15, 
on pourra réduire la première formule (4) qui la représente, 
à une intégrale double; et sans effectuer entièrement cette 
réduction , on preuvera que cette quantité doit être négligée, 
lorsqu'il s’agit des points tres-éloignées du centre de l’ébran- 
lement primitif et que l’on s'arrête au même degré d’approxi- 
mation que dans le n° 15. Il en sera de même; mais par une 
raison différente , à l'égard de la quantité Q”. 

En effet la transformation du n° 12 par laquelle on a d’abord 
changé les équations (b) dans les formules (d), étant appli- 
quée à la troisieme équation (4), elle devient 


Co 00 APN DT : RE = PSS 

À a aa'sin."Ocos.OV/cot.:b—cot-8 *. : AIS 

D f jk jh Î nr armee CSD 0 SIN. PS f r'dr'dp dodo, 
HOMO OMNO 


2 (a? — a”) a? sin. j—a°? cos.?9 


en observant qu'on a, par hypothèse, f(—r)=f7r", ce qui 
permet d'étendre l'intégrale relative à r' depuis 7 = — 
jusqu'à r'—c , pourvu qu'on réduise le résultat à moitié. 
Si l'on désigne par g, une constante positive, on aura 


2 dre +P+ES) +5) 


Eu 1 : JR, ; dd. Eos a Gl 
L e #8bsin.or sin. Se — —- DRE ee ) 
[e] 


mnt 


En multipliant par r'f r'dr', intégrant par partie, et obser- 
vons que le produit r'fr' peut être regardé comme nul aux 


AUX 47 


370 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


deux limites r'— +, il vient 


11 Met For'sin. pr ‘sin.s© f'r'dr'dp 
SABRE 


= G+v)yrdr ‘ti (r—8)Y dr 
grrr) JL E+-r=8) 


A la place de 7’, je mets {—«’ dans la première de ces deux 
dernières intégrales, et {+ &' dans la seconde; les limites 
relatives à la nouvelle variable € seront encore Ho; et si 
l’on fait la constante g infiniment petite, il en résultera 


, © co 
J fe er'sin.er'sin.ew f'r'dr' de 
—2 Oo 
2 1 4 [A 1 / ! 
D ARC nt 
—- . i 
[o »] 
Nous aurons, par conséquent, 


af” ni D AEACS ne lé sintdtdide. 


en faisant, pour abréger, 


_aa'3 sin. Ü cos. /cot.&—cot.:6 
4m? (a — a”) (a° sin? 6 — 4° cos? 6) 


Q= 


Or, en remplaçant 8 et w par les mêmes variables 4’ et w’ que 
dans le n° 13, et désignant par 7, la distance du point M au 
point O situé à la distance L au-dessus de la surface de sépa- 
ration des deux fluides et dans la même verticale que O', 
cette valeur de Q” deviendra 


af ROINT ({—r,cos. VE at) 


—Y(C+7r,cos.8 Eat)|@sin.6 dé de) 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 371 


pourvu que l’on détermine convenablement les limites rela- 
tives à #et w. Mais quelles que soient ces limites, que nous 
fixerons dans le numéro suivant, il nous suffit maintenant 
d'observer qu’elles répondront à 5—:+ et 4—+, et que, par 
conséquent , la quantité © y sera égale à zéro. En intégrant 
par partie, relativement à #', on aura donc 


D'ETC + 7, cos. VLat)osin. 6 de 
do 


I £ à F 
=? fQ+ncos.t£ a F(+ res. and, 


et l'on verra, comme dans le n° 13 que cette dernière intégrale 
peut être négligée, dans le cas des points très-éloignées de O". 
On pourra donc aussi négliger la quantité 9"; ce qu'il s’agis- 
sait de démontrer. 

Ainsi relativement à ces points, nous aurons seulement à 
considérer les formules (/), et à leur faire subir des réduc- 
tions semblables à celles des n° 13 et 14. 

(18) A l'égard des deux dernières formules (/), qui répon- 
dent aux points du fluide inférieur, nous ferons 


2h—x—r'cos.u, y—r'sin.uwsin.v, Zz—7'sin.4Cos.v, 
L 


et nous aurons 


& —r'(cos.6cos.u + sin.6sin.# Cos.(o— v)) + at. 


La variable 7’ sera le rayon vecteur d’un point quelconque M 
de ce fluide, qui aura son origine en un point O du fluide 
supérieur, situé à la hauteur À au-dessus de la surface de sé- 
paration et sur la même verticale que O'; x désignera l'angle 
compris entre ce rayon O M et la verticale OO, et v l'angle 
que fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical pas- 
sant par l'axe des z. Par le point O, faisons passer un plan 


47: 


372 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


horisontal, et traçons au-dessous de ce plan, du point O 
comme centre et d’un rayon égal à l'unité, une demni-surface 
sphérique; traçons aussi, au-dessous du même plan, une 
surface conique dont le sommet sera en O et dont les gené- 
ratrices feront toutes l'angle D avec la verticale OO": cette 
seconde surface partagera la première en deux portions, 
l'une intérieure et que j'appellerai S, l'autre extérieure et que 
je nommerai S'. L'élément de la surface sphérique aura 
sin. 0 46 dw pour expression; l'intégrale relative à 4 et ws'éten- 
dra à toutes les éléments de S dans la deuxième équation (/), 
et à tous ceux de S' dans la troisieme; mais pour effectuer 
ces intégrations, nous substituerons à 6 et w, les variables 
6" et w du n° 13: l’élément de la surface sphérique sera 
alors exprimé par sin.6' d6' dv’; on aura, en même temps, 
d'—7r'cos.ÿ at; et si l’on fait, pour abréger, 
a cos.0—aV/a— «sin ?06 ke 
a? cos.0+ aV/a—& sin 0 2 


a (a° + a”) cos.°0 — a? {a —a")sin.?0 , 


—6}, 


(a — a") (a sin 0— 4° cos 0) 


les deux dernières équations (2) deviendront 
We Jet (r'cos.W + a't) sin.’ db’ dv’, 
/ I AA TT ! 2 ° ! 0 
Q = 7/0 Ÿ'(r"cos.b' + a't)sin. 0" db dv'; 


les intégrales s'étendant, comme on vient de le dire, à tous 
les points de S dans Il et à tous ceux de S’ dans Q’. Or, une 
intégrale qui répond à S’ peut être remplacée par l'intégrale 
relative à la demi-surface sphérique toute entière, moins l'in- 
tégrale relative à S; par rapport à la demi-surface sphérique, 
les limites sont ÿ — 0 et #' =, w —0 etw'—2r; y désignant 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 373 


le même angle que dans ie n° 13: la valeur de © est donc 
la même chose que 


1 AMEN : 
Q =/ 9'Ÿ’(r’ cos. 8 Æ a’) sin. 6 d6 do 
C2 ENS 
I PAT EC / < 1 Le 
MS = [fe J'(r'cos.# E a't)sin. #' d'dw'; 


la seconde intégrale répondant à S comme dans l'expression 
de I. 

Ses limites seront différentes selon que le rayon vecteur OM 
du point auquel ces formules appartiennent traversera S ou 
tombera en dehors, c'est-à-dire, selon que l’on aura u <b 
ou & > b. Pour les déterminer dans ces deux cas, on se rap- 
pelera que représente l'angle que fait un rayon quelconque 
de S avec O M, et v’, l'angle compris entre le plan de ces deux 
droites et un plan fixe passant par OM. Cela posé, 

1° Lorsque O M traverse S, chaque plan mené par OM et 
correspondant à un angle w', rencontre la surface conique 
qui limite S suivant une seule génératrice; celle qui se trou- 
vera dans le prolongement de ce plan, de l’autre côte de la 
verticale, devant être regardée comme répondant à w ++. 
Donc, en désignant par rm l'angle que fait cette génératrice 
unique avec OM, l'intégrale étendue à tous les points des 
devra être prise, d’abord depuis #—0 jusqu’à (—"», et en- 
suite depuis w —0 jusqu’à w —27r. Par conséquent, dans ce 
premier cas, les expressions de Il et Q’ seront 


5 27% mt 
n' = 1 (f 6ÿ (r'cos.t'Æ at) sin.d'd6 )d'u', 
o o 


ñ 27% be 
O— ze Ci @'4'(r'cos.d'Æ a't\sin.#" du)dw, 
4m (e] m L 


(ne) 


374 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


en réduisant à une seule, dans ©’, les deux intégrales rela- 
tives à 9’. D'après les formules du n°13, à la limite 8 — 0, on 
aura cos.ÿ — cos. w , et à la limite —m, qui répond à 5—4, 
on aura 


cos. b— cos. COS. mm + Sin.uSiNn.7n COS.w, (7) 


pour déterminer m en fonction de v’. L'angle y appartenant 
à une direction horisontale du rayon deS, on aura ÿ =y. Si 
la droite O M se trouvait exactement sur la surface conique 
par laquelle S est terminée, il ne faudrait étendre les inté- 
grales relatives à w', que depuis w'—0 jusqu’à w —=7 

2° Quand le rayon O M tombera en dehors deS , on menera 
par cette droite, deux plans tangens à la surface conique, 
lesquels répondront à deux valeurs de w’ que je représenterai 
par o, et w,. Pour chacune des valeurs de w' comprises entre 
ces limites, le plan passant par O M rencontrera la surface 
conique suivant deux génératrices. Je désignerai par mn, et m, 
les angles qu’elles feront avec OM ; et cela étant, on intégrera, 
d'abord depuis d'—72, jusqu'a 0 — "2, , et ensuite depuis w—e, 
jusqu’à w'— w.. Les expressions de Il' et {relatives à ce second 
cas seront donc 


1 &, m , L 
I — TE Gb OY'(r'cos.6 + a't\sin. 9 d0') dw', 
CAO m, N 


27% (2 
Q—— de @'J'(r" cos.b' + a’ tsin.#' 48 )du (o) 
o Le) 


“ 


, 2 

Oo, mm 
—=/ Qi @'Y'(r'cos. d'+ a't)sin. s'dW' )du. | 

“ 2 m; 


Dans ce même cas, l'équation (7) donnera deux valeurs 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES: SUPERPOSÉS. 375 


de 77, moindres que +, qui seront celles de m, et m,. Si la 
droite OM fait partie de la surface conique qui termine S, 
l'une de ces deux valeurs sera égale à zéro; les deux plans 
tangents menés par OM, se réduiront à un seul plan, à partir 
duquel on comptera l'angle w’; et alors l'intégrale relative à 
cette variable s'étendra depuis o’ — 0 jusqu'à w —#. 

(19) Je désigne par U, ce que devient @ pour # —0o ou 
Ô—u; à cause de 


12 


a? — a'° : a 
cos. b ——— J sin b——, 


On aura 6 —@—1, pour &—7» ou 6—b; on aura aussi 
6—0——1, pour ÿ—y où 6 —!x; par conséquent , en in- 
2 . b 17 dr'f'r! il / 
tégrant par partie et observant que ÿr =, ûilen ré- 


sultera 
m U ; 
re UN Sn de eye art 
fe O4 (r' cos. WE a'£)sin.6 d8—=(r+ at) fr Eat 
—<(r cos.m LE a't) f'(r' cos. m + a't) 
de 


m 
I n / 0 AN / / / 
sf. (r'cos.d' + a'6)f'(r cos.ÿ at) d#', 


be 
ji @'V'(r'cos.t'+a’t)sin.t'd d—(r'cos.m +a't)f (r'cos.m—+a't) 
nm 
—: (r' cos. y E a't) f'(r' cos. u + a't) 
I Fr , (OPEI EVPEL 1 , / CET de’ 5 , 
+ af (r cos. 8 Hat) f'(r'cos.b+ a t)5 49°. 


La distance 7’ du point M au point O étant supposée extré- 
mément grande par rapport au rayon de l'ébranlement pri- 
mitif, on verra, par la même raison que dans le n° 13, qu'on 


376 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


peut négliger le dernier terme de chacune de ces deux for- 
mules. En les ajoutant ensuite, nous aurons 


a TE 


/ 


#O 


p ' ! Œ LA / LA ‘: ® / LA 
@Y'(r'cos.0 +a't)sin.t' dt +f @'V'(r'cos.d + a't)sin.t'd6 
m 
J / ! 4 U ! LA 2 l 
2 (<a f(r+a ê—5(r cos.u+at)f(r'cos.u + at), 


eh 
r 


et, d’après les équations (m), 
! PRE U ner TRUST 
W+Qo=-(rÆEat)f(r+a't) 


2T 
/ / 2722 ! / 
mr. (r' cos. +a t)f (r cos.p + & éd. 


Je négligerai aussi, comme dans le n° cité, cette dernière in- 
tégrale relative à «’: en mettant pour U sa valeur et ayant 
égard au double signe de a't, il en résultera 

a? cos.u — a” a°—«@ sin°u 


m'=E Q = —_— "| +abf(r + a't) 


a°cos. u+- aV” a? — & sin? x 


+ (r— at) f(r—at)], 


(P) 


depuis 4 —0o jusqu'a w—0, c'est-à-dire depuis sin.u —0 
. 1 . «a , . 2 
jusqu'à sin.# ——. Nous n'avons pas besoin de connaître sé- 
parément les quantités Il’ et Q'; car c'est leur somme qui 
entre dans la valeur de l’inconnue &’. 

Comme les deux limites m, et m, répondent à h—b, valeur 
de 6 pour laquelle ona 6 —6'— 1 ,il s'ensuit qu’en intégrant 
par partie, nous aurons 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 377 
m , ? - 
ni 6 (r'cos.W+ d'tjsin.t'd8—;(r'cos.m,+ at) f'(r'cos.m,—+a't) 
m 
I ! ! {l ! ! 
| me Li cos.m,—+ a't) f'(r'cos.m, + a't) 
1 fi do 
+if (r'cos.s'+a't) f'(r'cos.t'+at)7;d0", 
me, GA 
nm, = 
©'Y'(r'cos.b'Æ a'é)sin.0' do'—=>(r'cos.m,+at)f(rcos.m+at) 
mt; 
—; (r'cos.m,Æa't) f'(r'cos. m,+ af) 
Te do’ 
je (cos. + a't) f(r' cos. t'Æa't)-77 du. 
7. me, 
Je négligerai, comme précédemment, le dernier terme de 
chacune de ces formules; en les retranchant ensuite l’une 
de l’autre, on aura 
mn, 
sf. @Y'(r'cos.m, + a't)sin.6' db 
mt, 
m, 
—f @'d'(r'cos.b+a't)sin.t' db —0, 
mt; 
et, en ajoutant les formules (0), 
1 fit Fe à 
m+oE f 3 (J @'Y'(r'cos.d + a'é)sin.#' db’) dw'; 
o o 


équation que l’on changera en celle-ci : 


k 3 a” (a+ a") cos” u— a° (a — a”)sin°u : , Var 
us LE aa 1) LR 
II <= Q 2 r' (a (a+ a") cos? ua (a +a") sin.” 4) [er ni a D f (r Fe æ t) 


+(—aDf (ra 0), 
par les mêmes considérations que dans le n° 13, et qui aura 
ie ce 48 


378 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 

lieu , comme les formules (o), depuis 4 — b jusqu'à u =}. 
Nous voyons donc que la valeur de la partie + 9’ de 9 

sera donnée par la formule (p) ou par la formule (9), selon 


! 


: a! ‘ a 
qu'on aura sin.u < ou Dee dans le cas de SiN.u——, On 


emploiera indifféremment l’une ou l’autre de ces deux for- 
mules qui seront alors égales entre elles. 

(20) Il ne nous reste plus qu’à transformer et réduire de 
même la première formule (/). Pour cela, je faits, comme 
dans le n° 14, 


h=T,cos.4;,, pr. sin;usin.v, 2=r,sin.uw cos; v; 


c’est-à-dire, que je désigne par r, le rayon vecteur dont l’ori- 
gine est O', du point de la surface de séparation des deux 
fluides qui a y et z pour coordonnées horisontales, par w l'angle 
que fait ce rayon avec la verticale élevée par le point O', et 
par l'angle compris entre le plan de ces deux droites et 
celui des æ et z. Je substitue, en outre, à 6 et w, les variables 
get w du numéro cité. La quantité & qui entre dans la pre- 
imière équation (/) aura pour valeur 


æ—h 


(A =— 


a Va" — a sin 0 + r, cos. d + a't; 


et cette équation deviendra ° 
=; ffeY wsin.s dv du, 
27% À 
en faisant, pour abréger, 


a cos. Ô 


a? cos.0 + aV/ a? — & sin.° 


— 0? 


mettant sin.8 46 dw' au lieu de sin.6d6dw, et considérant 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉES. 379 


© comme une fonction de 6! et w. Quant aux limites de l'in- 
tégrale relative à ces variables, elles seront les mêmes que 
pour la seconde équation (/), en sorte que si l’on fait passer 
par le point O', un plan horisontal et une surface conique 
qui ait son sommeten ce pointet dont toutes les génératrices 
fassent l'angle à avec la verticale, et que du même point O' 
comme centre et d’un rayon égal à l’anité, ou décrive au- 
dessus du plan horisontal, une demi-surface sphérique, l'in- 
tégrale dont il s’agit s’étendra à tous les points de la portion 
de cette demi- Fe terminée par la surface conique. On 
aura d’ailleurs 


sin. d0 —— + en eh d'V/a7— a'sin7t 46, 
9 a d 0! 


et, par conséquent 
EL TT 1 do 
= —— J ps 
+ (for ad. Va — «su — «° siu. 120 7 dy. 
| 2tar d90! 


Nous supposerons le point du fluide supérieur auquel cette 
expression de II appartient, situé à une distance x— À au- 
dessus de la surface de séparation des deux fluides, tres-petite 
par rapport à sa distance du centre de l’ébranlement O' au- 
dessous de cette surface, et, à plus forte raison, par rapportau 
rayon r,; ce qui permettra de négliger le second terme de la. 


x—h , 
valeur de If, à cause de facteur . Cela étant, nous aurons 


I 


ee me hi oÿ 597 du )du, 


dans le cas de u<b, et 


48. 


380 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


I—— se C QE oo dar )a, 


dans le cas de >b, les angles ,, w,,m, m,,m,, étant les 
mêmes que dans le n° 18. 


. ’ x . a! . 4 
Puisque &’—m répond à 8—+ ou sin.ô—", il en résulte 
qu'on aura en même temps 


2 


OT, Drm alt, 
et de même pour 8 —77, et d —m, qui répondent aussi à 
5—b. Je désigne par U et €, les valeurs de @ et 5 relatives 
à 8’ — 0 ou cos.ô— cos.u, de sorte qu'on ait 


U acos.u 
a cos.u+ a}/a4° sin: u ? 


: Z—h 1 
== % La" —&œsin°u +7, Eat. 


En intégrant par partie, on aura alors 


nt 
d a? 1 
[ OY'& di — = (cos. m+a't) f'(r,cos.m +a't) 


ut f" dif'o di 


foi 6J 5 dv —< À (r,cos. m, Æ a't) f'(r,cos.m, + a’ t) 


me, 


œ e ne 1 71 ne 1 Frs 72 de r 
—7ñ (7, cos. m,+ a't) f' (.cos.m £a — f° DACETLLE 


On négligera, comme précédemment, les intégrales relatives 
à 0" que renferment les seconds membres de ces équations, 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 381 


au moyen de quoi , les deux valeurs différentes de II devien- 
dront 


n=>Utf't 


Sn re = af. (r,cos.m + a't)f'(r,cos.m + a't)dw', 


(r,cos.m, + af) f'(r, cos. m, + a't)dw 


é | (r) 


277, a° 
®, 
ri. (r,cos.m,—a't) f'(r,cos.m, + a't)du| $ 
o 
I 


Généralement, c’est-à-dire, pour toutes les valeurs de 7, 
m,,M,, Qui ne différeront pas tres-peu de zéro, on verra, 
comme dans le n° 13, qu’on peut aussi négliger ces dernières 
intégrales relatives à w’. De cette manière, la seconde valeur 
de IT, qui répond à w > b, devra être regardée comme nulle, 
et la première, quia liewpour uw < b, aura pour expression : 


æ Cos.u Æ—h 
EE — = [(E enr — sin.” a 
r, (a cos.u + aV/ a — & sin? u 


/ 7 —h © —— p 7 en 
+7, +a e)f (— La æsinu+r,+a t)+ (E=° Va asin. 4 (s) 
T— 
+r—at)f(—— ER pan: a+r—at)| 


Mais il est important d'observer que cette quantité II ne pas- 
sera pas brusquement de cette dernière valeur à zéro, pour 
les valeurs de w tres-peu différentes de b en plus ou en moins.” 
En effet, l'angle w étant moindre queb, lorsque la différence 
b—u est très-petite, ce qui a lieu quand le rayon 7, s'écarte 
très-peu de la surface conique qui termine S, l'angle m2 est 
très-petit pour la moitié des valeurs de w'; ce n’est donc que 


382 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 

pour l'autre moitié de ces valeurs qu’on peut négliger l'in- 
tégrale contenue dans la première formule (r): dans la moitié 
que l’on devra conserver, et qui s’étendra, par exemple, 
depuis w— 0 jusqu’à vw —+, on pourra faire, à tres-peu près, 


cos.m— 1 , ainsi que dans le terme compris sous le signe ff 


et, de cette manière, on aura, aussi à tres-peu près, 


na ((r +aûf(r,+aè+(r-abf(r—at], (© 


pour les valeurs de # moindres que b et qui en different très- 
peu. De mème si w surpasse à d’une très-petite quantité, la 
premiere des deux limites m», et m, sera à tres-peu près zéro; 
on ne pourra plus négliger la première intégrale contenue 
dans la seconde formule (r); ses limites w, eto, pourront être 
remplacées par zéro et 7; et en y faisant cos.m,—1, et né- 
gligeant toujours la seconde intégrale, la valeur de II coïn- 
cidera avec la formule (?) , laquelle*aura lieu à très-peu près, 
pour toutes les valeurs de & qui différeront très-peu de à, 
en plus ou en moins. Cette valeur intermédiaire de I est la 
moitié de celle que donne la formule (s) pour w—b ou 


; a! : = , 
sin.u—"; et c'est effectivement ce que l'on aurait trouvé, 


en ayant égard aux limites des intégrales relatives à w' qui 
doivent avoir lieu dans ce cas particulier (n° 18). Lors donc 
que la différence b — x passe du positif au négatif, la quan- 
tité IL passe graduellement de sa valeur donnée par la for- 
mule (s) à zéro, et se réduit à la moitié de cette formule, ou 
à la demi-somme de ses valeurs extrêmes, quand cette dif- 
férence b— uw est tout-à-fait nulle. l'intervalle des valeurs 
de dans lequel a lieu cette réduction de It, d’abord à moitié, 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 383 
puis à zéro, est d'autant plus petit que la distance du point 
que l’on considère au centre de l’ébranlement primitif, sera 
plus grande, eu égard au rayon de cet l’ébranlement, et il 
serait insensible si le rapport de cette distance à ce rayon, 
était extrêmement grand. et comme infini; supposition qui 
rendrait rigoureuses, toutes les formules approchées que nous 
avons obtenues pour le cas où ce rapport est seulement un 
très-grand nombre. 


S IIL 


Lois du mowwement à de grandes distances du centre de 
l'ébranlement primitif. 


(21) L'analyse du paragraphe précédent est sans doute très- 
compliquée; mais il paraîtra difficile de la rendre plus simple, 
si l'on fait attention que les formules générales qui renfer- 
ment la solution du problème, sont exprimées par des inté- 
grales sextuples ; qu'on en a d’abord réduit les différentes 
parties.a des intégrales doubles , sans en altérer l'exactitude, | 
et en supposant seulement que l’ébranlement primitif était 
circonscrit dans une portion limitée de l’un des deux fluides, 
et symétrique en tous sens autour d'un point donné; et 
qu’ensuite on a ramené ces mêmes formules à des expres- 
sions dans lesquelles toutes les intégrations sont effectuées, 
en considérant des points très-éloignés du centre du mouve- 
ment, et s'arrêtant alors à un degré d’approximation qui sera 
d'autant plus grand que leurs distances seront de plus grands 
multiples du rayon de l’ébranlement initial. 

Rappelons d’abord les notations qu’on a employées, les 


384 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


suppositions qui ont été faites, et les formules auxquelles on 
est parvenu. : 

Le plan qui sépare les deux fluides dans leur état d'équi- 
libre est horisontal. La vitesse de propagation est représentée 
par a davs le fluide supérieur, par 4 dans le fluide inférieur, 
et l’on suppose & > a. Les vitesses propres des molécules 
sont très-petites par rapport à ces deux constantes, et les 
dilatations ou condensations qui les accompagnent sont aussi 
de tres-petites fractions. On suppose qu’à l'origine et, par 
suite, pendant-toute la durée du mouvement, les compo- 
posantes de la vitesse d’un point quelconque, sont exprimées 
par les trois différences partielles relatives à ses coordonnées, 
d'une même fonction dans chaque fluide. Cette foction a été 
représentée par © pour le fluide supérieur et par +’ pour le 
fluide inférieur. Le temps est désigné par # et compté à partir 
de l’origine du mouvement, en sorte que et +’, et leurs dif- 


; . do , do , 48: PAS 
férences partielles et 7; sont données quand £—o, d'après 


l’état initial du système. L’ébraniement primitif est circon- 
scrit dans une portion de l’un ou de l’autre fluide, le même 
en tous sens autour d'un de leurs points , et son rayon est re- 
présenté par :. On appelle M le point du système dont on 
considère le mouvement à un instant quelconque ; O le centre 
de l'ébranlement primitif, quand il a eu lieu dans le fluide 
supérieur , et O’ dans le fluide inférieur : O et O' sont situés 
sur une même verticale, à une même distance 2 au-dessus et 
au-dessous du plan qui sépare les deux fluides; enfin les dis- 
tances de M à ces deux points sont supposées extrêmément 


grandes par rapport à e, et la distance k est plus grande que 
ce rayon. 


DES DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 385 


Cela posé, lorsque l’ébranlement primitif a eu lieu dans 
le fluide supérieur, on a 


p="[(r+a8 f(r+at+(r—a Ef(r— at)+F(r+at) —F(r—at)] 
cos.u—a Va — a? sin°u : , ; { 1) 
(+ A0) + a + {ra FU 20) | 
+F(r'+at) —F(r—at)]; 


retr' étant les distances de M aux points O et O’, et w l'angle 
que fait la droite O’M avec la verticale O’O. Les valeurs ini- 


6 d à 5 b 
tiales de ® et Se sont des fonctions de r qu’on a supposées 
égales pour des valeurs égales et contraires de la variable, 
nulles quand la variable sort des limites He, et qui sont re- 

L ; adFr 
présentées , dans cette formule, par fr et ee 


Dans le même cas, l'expression de &! est 
, Q 


f) a Cos.u, AE ———— 
— 2 = 2 
PR L — Va? — 4° sin. u, 

r,(a*cos.u, +a La — à sin.?x,) L\& 


A MELON ITR El : 
+r+at) FEV arsneu +7, +at) + Gr a— a" sin?u, 
+7, —a DEV da" sin ar at)+F (OV a a, 


+7, + at) FEV sn, +7, — a e)]: 


(2) 


Les fonctions f'et F sont ici les mêmes que dans l'équation (1); 

r, est la distance au centre O, d’un point de la surface de sépa- 

ration des deux fluides, qu'on appellera H et qui est situé 

sur la verticale passant par M; w, désigne l'angle que fait la 

droite OH avec la verticale OO, et x la distance MH, laquelle ; 
est supposée très-petite par rapport à À. 


EX. 49 


386 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT l 


Si l'ébranlement primitif a eu lieu dans le fluide inférieur, 
et que l’on désigne par r la distance du point M à son centre 
O’, par r’ la distance OM, et par & l'angle que fait la droite 
OM avec la verticale O O', on aura 


re r+at)f(r+at)+(r—aû f'(r—at)+F(r+ at 


a? cos.u — aV” a? — a sin? u 


—F'(r—at)}+ EE fe + ab) f'(r +-a0) O8) 


2 r'(a°cos.u + aV/ a" a"sin °u) 

+(r— at) f(r—a't) +F'(r'+ at —F'(r—a't)], 
pour toutes les valeurs de sin. w qui ne sont pas plus grandes 
que + jfét 


= a fe + dD+ + af Ga 0 
+ E'(r+ at —F'(r—a't)] 


a” ( 2 


(a +a”)cos.u— (a —-a°) sin." u 


2 r (a? (a+ a”) cos2u + a*(a*— a*) sin?) [Cr m4 of ( SE î) 
+(r—abf (rat) +F(+at —F(r—a't)], 


(4) 


à ; : a! 
pour les valeurs de sin.w qui ne sont pas moindres que —: 


0 


. a . . . ’ » ? 
pour sin.w——, on emploiera indifféremment l’une ou l'autre 
de ces deux formules qui seront alors égales entre elles. Les 


ed er 4 , 
valeurs de + et TE qui répondent à £— 0, sont représentées 


a! » 


a dF'r QE À Ée 
par fret —=—, et assujéties aux mêmes conditions que les 


de. 
de 


Dans le même cas, et en désignant par r, la distance 
au centre O', du point H appartenant à la surface de sépa- 
ration des deux fluides et à la mème verticale que M; par w, 
l'angle que fait la droite O'H' avec la verticale O'O; par « la 


valeurs initiales de + et 


DE DEUX FLUIDES ‘ÉLASTIQUES :SUPERPOSÉS. 387 


distance HM ; et supposant:cette distance æ'très-petite par 
rapport à », on aura 9 —0, lorsque sin:#, est sensiblement 


plus grand que =. et 


a* cos. u 4 =: 
Q =" "û [( Va? — sin °u 
a Ÿ 


r, (a°cos.u, +a L/a2— a sin. u,) 
NAT ES LE vare DDR EEE 
#7, + at)f Éerres +a t) ai Cr 


SERRE a JE sin u, +7, — € t) 


L — NE Mare ques 
+FV a°— a sin u, +r,+at)—F Qanru, + at)] j 


$ ù ë : a! : 
lorsque sin. u, est sensiblement moindre que — © quand sin.u, 


differe tres-peu de, la valeur de + est à tres-peu près la 


moitié de cette formule (3). Les fonctions f” et F' qu’elle ren- 
ferme sont les mêmes que dans les formules (3).et (4). . 

Ces diverses formules et généralement toutes celles de ce 
Mémoire conviennent, non-seulement aux fluides aëriformes, 
mais aussi aux autres milieux, tels que les liquides et les corps 
solides, dans lesquels le mouvement se propage.en vertu de 
leur élasticité et abstraction faite de la pesanteur : elles sup- 
posent seulement que les composantes de la vitesse en un 
point quelconque de ces différents milieux , peuvent s’'expri- 
mer par les différences partielles, relatives aux coordonnées 
- de ce point, d'une même quantité dont la valeur en fonc- 
tion de ces coordonnées et du temps, dépend de l’une des 
équations (1) du n° 1, comme dans le cas des fluides aëri- 
formes (*}. Voici maintenant les conséquences qui s’en dé- 
duisent. 


(*) Cette supposition satisfait, en effet, aux équations d’où dépendent 


4 9 


() 


388 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


\ 


(22) Supposons d’abord qu'on ait a'—a , en sorte que les 
deux fluides n'en forment plus qu'un seul qui s'étend inde- 
finiment en tous sens. En vertu de la formule (1), nous 
aurons 


e=ir+afr+ah+(r—anf(r+a 
+F(r+aû—F(r— af); 


équation qui ne sera plus restreinte aux très-grandes valeurs 
de r, et qui subsistera, au contraire, pour tous les points de 
ce fluide. 

Si l'on appelle » la vitesse du point M suivant le prolon- 
gement de son rayon vecteur r, et s la dilatation du fluide 
qui a lieu au même point, on aura, à un instant quelconque, 
2 


V—= = . 
dire a? dt 


Par hypothèse, les fonctions jet F sont égales pour des va- 
leurs de la variable égales et de signes contraire, et nulles 
quand la variable est <—e+ ou >e. Il s'ensuit qu'on a 
f(—at)=f(at) et F(—at)—F (at); ce qui rend nulle pour 
r—0, la valeur de » déduite de l'équation (6); et cela doit 
être, en effet, à cause que le mouvement étant semblable 
en tous sens autour du point O, ce point ne peut se mouvoir 


les petits mouvements des corps élastiques, qui sont connues depuis la 
lecture de ce Mémoire; et comme les formules précédentes satisfont aussi 
a l’état initial du système, il s'ensuit que, dans le cas où l'ébranlement pri- 
mitif a été semblable en tous sens autour d'un point donné, élles résol- 
vent complètement le problème qui, par sa nature, n’est susceptible que 
d'une seule solution. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 389 


suivant aucune direction. Si le point M est hors de l’ébranle- 
ment primitif, ou si l'on a r >e, les quantités /(r + at) et 
F(r + at) seront constamment nulles ; f(r—at) et F(r—at) 
seront aussi zéro, tant qu'oh aura at << r—c, et le redevien- 
dront dès que at surpassera r + :; d’où l’on conclut en vertu 
del’équation (6), que l'ébranlement du point M commencera 


PE ,. 2€ 
au bout de t=—— , qu'il durera pendant un temps —, que 


le mouvement se propagera dans le fluide avec la vitesse con- 
stante a, et que l'épaisseur de l'onde mobile sera 2e. Si, de 
plus, la distance r est très-grande par rapport à «, et qu'on 
néglige les termes qui ont r*° pour diviseur, on aura 


ae. [état _ ere?) 


or dr dr 


ques SO EEE] 


= — 
2ar dr dr 


et, par conséquent, 


S—=—- 


a? 


ce qui montre qu'à l'égard des points très-éloignés du centre 
du mouvement, la dilatation est proportionnelle et de signe 
contraire à la vitesse, laquelle varie suivant la raison inverse 
de la distance. 

Nous prendrons pour mesure de l'intensité de l'ébranle- 
ment, la somme des forces vives dans toute l'épaisseur de 
l'onde mobile; en la désignant par I, et par D, la densité na- 
turelle du fluide, nous aurons donc 


€ 
I=f D(—svar, 


390 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
c'est-à-dire, 


I=- DE, 


en négligeant les termes divisés par r’ et faisant, pour abré- 


Aa AE Barr if Ce 


Si l'on veut déterminer les deux fonctions / et F, on aura 


ger, 


et, par conséquent, 
fr=fyrdr+0, Fra frvrdr+ C6 


ÿr et Yr désignant les valeurs initiales de » et s; C et C' 
étant des constantes arbitraires. Les fonctions dr et Yr 
étant données seulement pour les valeurs positives de r, et 
indéterminées pour les valeurs négatives, on satisfera aux con- 
ditions f(—r) = fr, F(—7r)=Fr, en prenant 4(—r)—=—#r, 
Y(—r) =Yr. Ces mêmes fonctions br et Yr étantnulles pour 
r>e, fr et Fr seront constantes pour r=eetr>e; on les 
rendra nulles, au moyen des deux constantes C et C; et l’on 
aura alors 


| fr=fvrdr— trdr, Pr=afrvrdr—afrvrdr; 


o 


les premières intégrales étant prises de manière qu'elles s'éva- 
nouissent avec 7. La valeur précédente de », deviendra 


€ 
= Cu f édé—auve); 


Eure 


PR ee 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 391 


pour qu’elle füt nulle, il suffirait qu'on eût 
à | 
vrai). gédé; (7) 


€ 
ce qui exige que l'intégrale | 4e de soit nulle, afin que w7 
Lo) 


ne devienne pas infinie pour 7 —0. Dans ce cas, il faudra 
conserver les termes divisés par 7° dans l'expression de », 
qui variera alors suivant la raison inverse du carré des dis- 
tances au centre du mouvement, et deviendra beaucoup 
plutôt insensible. 

Lorsque l'ébranlement primitif n’a pas été le même.,en 1ous 
autour du point O, les vitesses et les dilatations sont diffé- 
rentes sur les différents rayons partant de ce point; mais cela 
n'empêche pas que la vitesse de propagation ne soit con- 
stante, indépendante de l'ébranlement primitif et la même 
dans toutes les directions , et qu’à une grande distance de cet 
ébranlement, la vitesse propre des points du fluide, ne, soit 
sensiblement dirigée suivant leurs rayons respectifs. C’est ce 
qui résulte de l'intégrale générale, citée dans le ne 11, ainsi 
qu'on peut le voir dans le Mémoire où cette intégrale a été 
donnée; et c’est aussi ce que j'avais démontré d’une antre 
manière, dans mon Mémoire sur la théorie du son (*). 

(23).Nous pouvons maintenant faire abstraction de la pre- 
miere partie de la formule (r). L'autre partie 


& cos.u— al” «& — a”? sin u ; So 
PR ER MOMIE fer) 
+ ('— af) f(r— at) +F(r'+ at) —F(r—at)], 


{*) Journal de l'École Polytechnique, 14° cahier. 


392 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


renfermera les lois du mouvement du fluide supérieur , ré- 
fléchi à la surface de séparation des deux fluides. En la com- 
parant à la formule (6), on en concluera que l'onde réfléchie 
a son centre au point O' du fluide inférieur ; et comme O' et 
O sont situés à la même distance, l’un au-dessus et l’autre 
au-dessous de la surface de séparation, il en résulte que le 
rayon de l'onde primitive et le prolongement du rayon de 
l'onde réfléchie, qui se croisent en un même point de cette 
surface, font des angles égaux avec la normale; ce qui con- 
stitue la loi de l'angle d'incidence égal à l'angle de réflexion. 
L'épaisseur de l'onde réfléchie et sa vitesse de propagation 
seront constantes et égales à 2e et a, comme celles de l'onde 
directe. Mais dans l’onde réfléchie, la vitesse prapre de chaque 
point M du fluide, dépendra de l'angle # que fait son rayon 
O'M avec la verticale O'O. En appelant », la composante de 
cette vitesse suivant le prolongement de O'M, et 8 sa com- 
posante perpendiculaire à O'M et comprise dans le plan de 
O'M et de O'O, nous aurons 
de 


V = —— ee 
Don Cr r'du 


Or, la valeur précédente de + supposant r' très-grand par 
rapport à e, et les valeurs de 8 et de +, qui s'en déduisent, 
étant divisées, la premiere par le carré de r'’, et la seconde 
par r' seulement, on pourra , en général, négliger 8 par rap- 
port à v,, et considérer la vitesse du point M comme étant 
dirigée suivant son rayon 7 et égale à ».. Il n’y aurait d’ex- 


ception que si l’équation (7) avait lieu ; ce qui ferait dispa- 


raître la partie principale de v, , et réduirait sa valeur au même 
ordre de grandeur qué celle de 8. Nous exclurons ce cas par- 


PV 


dr td dires 


NOR + VERS 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 393 


ticulier qui se distinguerait du cas général , en ce que, dans 
l'onde réfléchie comme dans l'onde directe, la vitesse des mo- 
lécules varierait suivant la raison inverse du carré des dis- 
tances, et l'intensité de l’ébranlement, en raison inverse de 
la quatrième puissance. 

En désignant par s, la dilatation du fluide qui accompagne 
la vitesse v,, on aura 


Dr 


a 


Si 


2 


comme dans l’onde directe. 

Soit I, l'intensité de l’'ébranlement dans l’onde réfléchie ; 
en la comparant à l'intensité I qui a lieu au même point M 
dans l’onde directe, nous aurons 


I 7? pie EE, 


& cos.u + a 'V/ a —a°sin?u 
Cette quantité sera nulle, quand on aura 

a’ cos.u—aV/a—a"sin-u—0; 
d'où l’on tire 

tang. u—* ; 

par conséquent le mouvement réfléchi sera nul ou insensible, 
suivant les directions qui font avec la normale à la surface 
réfléchissante , l'angle dont la tangente est égal au rapport 
Le C’est, effectivement, ce qui a lieu, d'après l'observation, 


dans le cas de la lumiere polarisée suivant le plan de réfléxion, 
mais non pas dans le cas de la lumière'ordinaire. Si la distance 
du point M à cette surface est très-petite par rapport à celle de 
O à O', on aura à tres-peu près r'—7r. Sous l'incidence per- 


EX: 5o 


394 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


pendiculaire, ou dans le cas de u—0, on aura alors (*) 


Pas er (LS — «à : 
a +- a ) 
A l’autre limite 4—=#, les intensités I, et I seront égales, 
quelque soit le rapport de & à a'; résultat qui s'accorde avec 
l'observation, a l'égard des rayons de lumière réfléchis sous 
de tres-petits angles. 

(24) Les formules (3) et (4), comparées à l'équation (7), 
montrent que dans le fluide supérieur, les lois du mouvement 
direct seront les mêmes que dans je fluide supérieur, et que 
celles du mouvement réfléchi ne différeront que par la ma- 
uière dont l'intensité de l’ébranlement dépendra de l'angle w. 
Si l'on appelle, comme dans le numéro précédent, I et I, les 
mesures de cette intensité, relatives à l'onde directe et à l'onde 
réfléchie , et au même point M du fluide inférieur, on aura 

I Léré: ps TS, 
17 re o\ccos.u tal a = sin uv ? 


! 


; . . \ « a 
depuis Sin. 4 —=0 jusqu'à sin.u——, et 
a 


ARTE e (a? +4") cos. u — 4? (a? — a/°)sin.? u\2 
Û r a” (a+ a*) cos u + «(a —a°)sinu) ? 


; è CHE ES. ’ 
depuis sin. u=—— jusqu'à sin.w = 1;u représentant, dans les 


deux cas, l'angle de réflexion O'O M. 


(*) On peut voir dans mon Mémoire sur le mouvement des fluides élas- 
tiques dans des tuyaux cylindriques, un examen détaillé de tout ce qui 
concerne le mouvement réfléchi ou transmis sous l'incidence perpendi- 
culsire. 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 395 


La première valeur de I, sera nulle dans le cas de 


/ 


tang. u —° 
BAT Gb 
et la seconde, lorsqu'on aura 

a V/ à + a? u 


alle < 


tang.u— 


! 


Ê x . 1, . «a 
valeurs admissibles , puisque la première suppose sin. Sr 


! a! d LAS 
et qu'on a, pour la seconde , sin.w >, comme il est aisé de 


le vérifier en observant que l'on suppose a > à’. Il résulte de là 
que quand le mouvement est produit dans le fluide qui répond 
à la moindre vitesse de propagation , et réfléchi par le fluide 
où elle est la plus grande, il y a deux angles de réflexion dif- 
férents, pour lesquels l'intensité de l’ébranlement est nul ou 
insensible. Ainsi, par exemple, la vitesse du son dans l’eau 
étant à peu près quatre fois et demie celle qui a lieu dans 
l'air, il s'ensuit que si le son est produit dans l'air et réfléchi 
à la surface de l’eau, il y aura deux directions suivant les- 
quelles son intensité sera nulle, et où l’on n’entendra rien, 
quelque grande que soit l'intensité du son directe : en prenant 


MORE s nr 
a en. on aura, d’après les deux valeurs précédentes de 


\ 4 o 2,/ o ( " 
tang. w, à peu près 12° 32’ et 12° 50, pour les angles que font 
ces deux directions singulières avec la normale à la surface de 
2 . . a” 
l'eau. Entre ces angles, est compris celui dont le sinus est — 
et pour lequel l'intensité du mouvement réfléchi est égal à celle 
du mouvement direct, lorsque les distances r'et r du point M 
à O et O' sont regardées comme égales. L'égalité L=1I, a 
aussi lieu à la limite u — :r des angles de réflexion ; à l’autre 


396 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


limite u— 0 et en supposant toujours 7'—r, on a 


a'—a\? 
L=I( ES) ; 
a +a 
en sorte que, pour ces deux valeurs extrèmes de #, le rap- 
port de I, à I est le même que dans le numéro précédent. 


(25) Considérons actuellement les formules relatives au 
mouvement transmis d’un fluide à l’autre. 

Si l’on appelle £ la projection horizontale du rayon vecteur, 
appartenant au point H de la surface de séparation des deux 
fluides et faisant l'angle w, avec la verticale, on aura 


: k 
PS ONE NE à sin.u, —© COS D — 
1 Li: 
d’où l’on tire 
d.sin.u,  cos®u,  d.cos.u, sin.u,cos.u, 


M CR TNT NES TN 


driesin. à 

dt ïe 
Dans la formule (2), les termes où af est précédé du signe +, 
sont nuls par la nature des fonctions f'et F ; de plus, au degré 
d'approximation ou l’on s’est arrêté, il faudra négliger dans 
les différences partielles de 9’, les termes qui auront le carré 
de r, pour diviseur; d’après cela, nous aurons 


dg _  Ra'cos.u, La — 4% sin” u, 

dx alt: (a cos. u, + a'V aa sin.” &,) ‘ 
GX AE R a” cos. u, sin.u, 

GREEN 0 (EE cos. #, + a'l/a* = a®sin”u,) ! 
Ce Ra a’? cos. ur 
Es 


r, (a cos.u, +a'V/a?— a" sin: u,) ? 


en faisant, pour abréger, 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 397 
d. [rx 5 Lames 
R—-— ex d—a"sm°u +7,—at LÉ La — a" sinu, +7,—at 
dr, [Ka 1 a! 
LATE RE on 
—F CG Va — a" sin? rar 2): 


La vitesse verticale du point M et sa vitesse horisontale, 
dirigée suivant le prolongement det, seront respectivement 


do ? 3 î c AT TRS. x 

— et 5 la dilatation ‘du fluide inférieur, aui répond à ce 
ê int M, aur ion + 2 ; lant 

même point M, aura pour expression -; ==; en appelan 


donc +’ la résultante de ces deux vitesses, w’ l'angle qu'elle 
fait avec la verticale, et s’ la dilatation dont il s’agit, on aura, 
d’après les formules précédentes, 


1 Ra a’ cos.u, 


r, (a? cos. u, + a'}/a?— a"sin?u, 
DE 
, a! sin. u 
tang. (72 = — ñ (8) 
La — a sin.°4, 
LCA 
/ v' 
SR— LC 


«a H Î 
ce qui montre déja que la vitesse propre de chaque molécule 
est indépendante de l’ébranlement primitif, et qu'il ya, entre 
cette vitesse et la dilation correspondante, la même relation 
que dans le cas du mouvement direct ou du mouvement 
réfléchi. 

Menons par le point M, dans la direction de sa vitesse +, 
une droite qui rencontre la surface de séparation des deux 
fluides , en un point que nous appellerons K et qui tombera 
entre les projections de O et M sur cette surface. Appelons 
la distance HK comprise entre la projection H de M et ce 
point K , et ? la longueur de la droite MK; nous aurons 


n—=pSinu', Æ—peos.u. 


393 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
Soit aussi 7 le rayon vecteur OK du point K, et, par consé- 
quent, 

rl +(C— 1). 
À cause de {=7,sin.u,, k +{=r,, n—psin.u’,cette équa- 
tion est la même chose que 


TT — 027,9 Si0.4,Sin.w + 0° sin’ u'; 


et, comme par hypothèse, + est tres-petit par rapport à r., 
on en conclura, à très-peu pres, 


r—=r,—9sin.4, sin. . 


Si l’on appelle w l'angle que fait le rayon r avec la verticale 
OO", la différence u— u, sera du même ordre de grandeur 


que L; dans les formules (8), on pourra faire u,—u; la se- 


I 


conde donnera alors 
sin.u'—% sin. u ; (9) 
.u'—— Sin. u ; 9 
on aura, en même temps, 


a! à I se 
M—=r+—pSIN u, x—-pl/a— a" sin°u; 
a «a 
et si l’on fait 
r ! 
LEUR 
«a 
1l en résultera 


PRE =" en à a 
SV a ana, +7, —dat— m(p—d'é). 


Donc, en faisant 
TL a 
MATTER 

? 7 € 


la quantité R deviendra 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 399 


_d.(efe —Fe), 
pe 


et elle sera nulle, ainsi que la vitesse v', pour toutes les va- 
leurs de <’ qui tomberont hors des limites +2. 
On conclut de la que le point M du fluide inférieur com- 


2 € 
mencera à s'ébranler, quand on aura “=, et que son 


mouvement cessera, lorsqu'on aura t=i+ , en sorte 


À | em 


; F à 2€ 
qu'il durera pendant le même temps — que le mouvement 


de chacun des points du fluide supérieur. Suivant chaque 
droite K M tirée dans le fluide inférieur et dont la direction 
est déterminée par l'équation (9), ce mouvement se propa- 
gera uniformément avec la vitesse a’, et l'épaisseur de l’onde 
mobile, ou l'intervalle des valeurs de + pour lesquelles la 


: ; \ 2UWE À]: 
vitesse v’ n’est pas nulle, sera égale à —,  Cest-à-dire, que 
cette épaisseur sera constante, comme dans le fluide supérieur, 
mais diminuée dans le rapport de 4 à a. On voit aussi que 


tous les points du fluide inférieur qui se mouvront en même 
temps, ou, pour plus de précision , ceux qui atteindront en- 


semble le milieu de eur mouvement correspondant à = : 


formeront une surface qui aura pour équation 


o" 


re 
a 


al 


s 


en y considérant le temps £ comme une quantité constante. 
Or, on peut faire voir que la droite K M est la normale à 
cette surface, menée par la point M. 

En effet, si l'on met dans cette équation, à la place de 7 


400 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
CAE ; 
sa valeur 7, — —psin/u, elle devient 


p 


a?a. 


r A 
= (a — a*sin’u)=t. 


Mais d’après l'équation (9), on a 
1 5 — | 
cos. u! — = Va — a? sine u ; 


. donc, à cause de x —,cos.u', on aura 


r Fe z Er ah) 

«a 
Je differentie cette équation par rapport à æ ett; en obser- 
vant que dans le terme dont x est facteur, on peut regarder 


l'angle 4’ comme constant, nous aurons 


1 dr cos. u' 
A 1 — 0! 
HUE ; 
d'aill drhae ses APT Pet 
on a d’ailleurs 7—sin.u,, où, à très - peu pres at sin. 
me ; 
= ;sin.u'; on aura donc 
L SIT er Ts 
ENS. QE 


pour la tangente de l’angle que la tangente à la section ver- 
ticale de Ja surface fait avec l'axe des x; et comme la droite 
MK fait l'angle w' avec le même axe, il s'ensuit que ces deux 
droites sont perpendiculaires lune à l’autre; ce qu'il s’agis- 
sait de démontrer. 

Puisque K M est la direction de la vitesse +’ du point M, 
nous voyons que dans le mouvement transmis, comme dans 
le mouvement direct et dans le mouvement réfléchi, la 


CNRS 


Dh. sims nt ci”, 


tie 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. foi 


vitesse propre des points du fluide est normale à la surface 
de l'onde mobile. En considérant KM comme le rayon de 
l'onde transmise, nous voyons aussi, par l'équation (9), que 
ce rayon et le rayon OK de l’onde directe qui se croisent au 
même point K de la surface de séparation des deux fluides, 
font avec sa normale, des angles w et w’ dont les sinus sont 
entre eux dans un rapport constant , égal à celui des vitesses 
a et a' dans les deux fluides; résultat qui s'accorde avec la 
loi de la réfraction ordinaire de la lumiere. 

(26) Je représente par [l'intensité de l'ébranlement qui 
a lieu au point M de l'onde transmise et qui sera mesurée, 
comme précédemment, par la somme des forces vives prise 
dans toute l'épaisseur de l'onde. En désignant par D’ la densité 


naturelle du fluide inférieur , et observant qu’on a de —“de, 
nous aurons 
G 1 
l=f 2D'(1—5s)v" de. 
a 
—€ 
Je néglige la dilatation s' et je mets dans l'expression de ?” 


donnée par la première équation (8), w et r à la place de w, 
et r,, et pour R sa valeur précédente ; il en résulte 


4aa'3 D'Ecos.°u 
Sie ae V 2 1255: 2,13 ) 
r° (a° cos.u +a a*— a° sin v) 


= 


E étant la même quantité que dans le n° 22. Comme on a fait 
abstraction des variations de température qui accompagnent 
les dilatations s et s’ des deux fluides (n° 1), leurs densités 
Det D’ sont en raison inverse des carrés des vitesses de pro- 
pagation & et a'; on a donc 

D a° 


f 
D ee GA 


3 HD. CS 5x 


? 


4o2 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 
et à cause de DE—17° (n° 29), on en conclut 


qe 4aa!'Icosu 

(a? cos.u +aV/& — a"sinu) ? 
pour le rapport de l'intensité de l’onde transmise, qui a liew 
au point quelconque M de la droite KM, à celle de l’onde 
directe, qui répond au point K appartenant à la surface de 
séparation des deux fluides. On voit par là que, le long d’une 
même droite KM, perpendiculaire à l’onde transmise, l'in- 
tensité l’est constante, et qu’elle ne varie d'un point K à un 
autre, qu à raison de l'intensité I relative à ce point; ce qui 
tient à ce que nous avons supposé la distance K M très-petite 
par rapport à l'éloignement du centre O de l’ébranlement 
primitif. 

Si l'on considere autour du point K, une portion très-pe- 
tite w de la surface de séparation des deux fluides, l'aire de 
sa projection sur la surface de l'onde transmise, sera wcos.u!; 
car les normales à ces deux surfaces font entre elles l'angle w’, 
d’après la valeur de _- qu'on a trouvée dans le numéro pré- 
cédent. La projection de » , soit sur la surface de l'onde inci- 
dente au point K, soit sur celle de l'onde réfléchie au même 
point, a pour valeur wcos 7; la partion de l'onde directe 
qui répond à cette petite surface w, et qui a pour intensité 
Tv cos., se partage donc en deux parties, l’une transmise, 
dont l'intensité est l’ocos.w', l’autre réfléchie, ayant Lo cos. w 


pour intensité; par conséquent on doit avoir 
lo cos.u =Tl'ucos.u'+ I.wcos.u. 


Or, en faisant '—7 dans la valeur de I, du n° 23, substituant 
cette valeur et celle de l’dans cette équation, et supprimant 


+ 


DE DEUX FLUIDES ÉLASTIQUES SUPERPOSÉS. 4o3 


le facteur Iucos.u, commun à ses deux membres, il vient 


4aÿ a'cos.ucos.u' + (a? cos. u— a Va — 37 sin.?u) 


EE —— —= 1; 
(a? cos.u+ a Va — a" sim u) s 


ce qui est effectivement vrai, à cause que l'on a a cos.u'— 
L'a-a"sn-u, en vertu de l'équation (9). 

(27) Supposons que l'on place au-dessous du fluide infé- 
rieur, un troisième fluide de la même nature que le fluide su- 
périeur et dont la surface soit horisontale. 

La normale KM à l'onde transmise dans le fluide intermé- 
diaire, rencontrera la surface de ce nouveau fluide, en un 
point que j'appellerai K'; en ce point, l'angle d'incidence 


: ñ CARE , 
sera 4”; et comme on a sin. & —-Sin.u, et par conséquent 
: PEN Fi ë a 
sin.u <<, il faudra faire usage de la premiere formule du 


n° 24 pour exprimer l'intensité de l’ébranlement dans l'onde 
qui sera réfléchie à cette surface. En désignant cette inten- 
sité par 1;', faisant »'—7r dans la formule dont il s’agit, et 
y mettant w’ et là la place de w et I, on aura 


L' r{ a"cos.u— a VV” a" — sin uw il 
8 = | —————— — 


a’? cos. u! + aV/a°— & sin°w 
Mais d’après l'équation (9), on a 
COS LL aan, La œan ue cos de 
l'équation précédente est donc la même chose que 


È La — a sin y —4 cos. à 2 
2 


a Va — a sin-u+ a cos.u 


ES 


_<t en la comparant à la valeur de J’ du n° 23, dans laquelle 
57. 


404 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT 


on fera aussi r —r, nous voyons que quel que soit l'angle 
d'incidence à la surface supérieure du fluide intermédiaire, 
et quoiqu'il diffère de l’angle d'incidence qui lui correspond 
à la surface inférieure, il ya, cependant, à ces deux surfaces 
parallèles, le même rapport entre les intensités de l’ébran- 
lement dans l’onde incidente et dans l’onde directe, c’est-a- 
dire, entre I et l', à la surface supérieure, et entre let [;, 
à la surface inférieure. 

Ce résultat coïncide avec celui que M. Arago a trouvé par 
l'expérience, et d'après lequel la lumiere se réfléchit, sous 
tous les angles, en proportion égale aux deux surfaces patal- 
leles d’une lame de verre, 

(28) Lorsque le mouvement sera produit dans le fluide in- 
férieur et transmis dans le fluide supérieur , on déduira de la 
formule (5), toutes les conséquences relatives à la propagation 
de l'onde transmise et à la direction des vitesses propres des 
molécules , auxquelles nous sommes parvenus dans le n° 25 
d'après la formule (2). Quant à l'intensité de l’ébranlement re- 
lative à l'onde transmise, elle sera nulle, lorsque le sinus de 


l AE : : a' 
angle d'incidence sera sensiblement moindre que 3 et lors- 


: 5 a = 
qu'il surpassera sensiblement —, elle s'exprimera par la for- 


mule du n°26, dans laquelle on échangera entre elles les 
vitesses a et a’. 


LES 
: 


Planche 1 


Planche 5. 


+ 


ll 
| 


Planche 3 


MÉMOIRE DE M? GIRARD. Académie des sciences TOME X. 


NS 


Coupe Sur AB. 


| 
| 


| 


| 


| 


| 


1] 


k 


F 


NS N 


Echelle des Fig. j et 5, de À centimétrer pour mètre. 
o% 


JR 


Gravé pur Adam 


MÉMOIRE DE M® GIRARD, Académie der raiencer TOME X 


Conpe d'un compensateur 


£chelle der Fig. 1 3 et 3, de 1 cmtimétre pour métre 


LA 


SE TR RSS D SE TS US ST EE EEE ERREURS 


MÉMOIRE 


SUR 


La pose des conduites d’eau dans la ville de Paris , tableaux 
et discussions d'expériences entreprises à ce sujet sur la 
dilatabilité de la fonte de fer. 


Par M. P.S. GIRARD. 
Lu à l’Académie royale des Sciences , le 25 janvier 1829. 


= mo e—— 


| FREE les conduites qui servent à la distribution des eaux 
dans les différents quartiers d’une ville sont composées de 
tuyaux de plomb ou de fonte de fer, soudés , ou liés solide- 
ment entre eux bout à bout, chacune de ces conduites peut 
être considérée comme une verge métallique d’une seule 
pièce, laquelle exposée aux variations successives de la tem- 
pérature en subit l'influence et s’allonge ou se racourcit sui- 
vant les saisons. 

Cette verge métallique ayant ordinairement ses deux ex- 
trémités appuyées contre des obstacles inébranlables, on 
conçoit que les tuyaux qui la composent doivent, par l'effet 
de leur dilatation ou de leur condensation , s'étendre ou se 
comprimer entre ces obstacles, mais la tenacité spécifique de 
ces métaux, et la résistance du sol dans lequel ils sont en- 
fouis et qui les comprime de tous les côtés ne leur permet- 


406 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


tent pas toujours d'obéir, par l’altération plus ou moins sen- 
sibles de leurs dimensions ou de leurs formes, à l’action que 
la chaleur exerce sur eux, leur rupture devient alors iné- 
vitable : une partie des eaux qu'ils contenaient se perd, et ce 
n'est souvent qu'après de longues recherches et beaucoup 
de dépenses, que l’on parvient à remettre la conduite en bon 
état et à restituer le volume entier de ses eaux à leur desti- 
nation utile. 

Les chances de rupture de semblables conduites devien- 
nent bien plus nombreuses lorsqu'elles sont posées sur un 
sol factice composé comme celui des rues de la plupart des 
grandes villes, de terres rapportées et de décombres pour 
l’affermissement desquelles il n’a été pris aucune précaution. 
En cas pareil l'eau qui s'échappe d’ure conduite fracturée en- 
traine les parties les plus tenues des remblais qui l’enveloppent 
dans les intervalles vides que les parties les plus grossières 
de ces remblais laissent entre elles ; à la vérité le sol devient 
ainsi plus dense et plus compact, mais en s'affaissant sous une 
certaine portion de la conduite, il la laisse sans appui , ce qui 
provoque de nouvelles ruptures et de nouvelles fuites d’eau. 

Ces accidents ont en général ces deux causes : la dilata- 
bilité du métal dont les conduites sont formées, et le peu 
de consistance et la perméabilité du sol dans lequel elles sont 
posées. 

Les effets de la première de ces causes se manifestent 
d'autant plus que la matière des conduites est plus dilatable 
au même degré de température. Ainsi de deux conduites de 
mêmes dimensions , l’une en plomb et l’autre en fer fondu, 
la première sera plus exposée à se rompre que la seconde, 
parce que les dilatabilités de ces deux métaux sont entre 


DANS LA VILLE DE PARIS. 407 


elles, à peu près comme les nombres 28 et 11. Ainsi, par 
ce motif, l'emploi de la fonte est plus avantageux que celui 
du plomb; à quoi il faut ajouter que le prix ordinaire du 
plomb étant à celui de la fonte de fer dans le rapport de 5 
à 2, il est beaucoup plus économique d'employer ce dernier 
métal. 

Aussi en fait-on depuis long-temps en Angleterre un em- 
ploi exclusif pour les conduites d’eau, et a t-on commencé 
depuis quelques années à Paris à remplacer par des tuyaux 
de fonte les anciens tuyaux de plomb dont les grosses con- 
duites de cette ville étaient originairement formées. 

Quoique cette substitution de la fonte de fer au plomb 
contribue à assurer le service de la distribution des eaux, 
elle ne fait pas disparaître toutes les chances de rupture des 
conduites, et il en reste un assez grand nombre pour qu'il 
importe de les atténuer. 

Ce fut pour y parvenir que je proposai, en 1808 de poser 
sous des galeries voutées les conduites principales qui de- 
vaient servir à la distribution des eaux du canal de l’Ourcq 
dans les différents quartiers de Paris. 

Ces galeries, ainsi que les procédés suivis pour la pose 
des grosses conduites qu’on y a renfermées sont l’objet d’une 
description spéciale qui a été publiée en 1812, et à laquelle 
nous renvoyons. Il nous suffira pour l’objet de ce mémoire 
d'indiquer l'emplacement et les dimensions de celle de ces 
galeries dans laquelle sont posées les conduites qui ont été 
soumises aux observations dont nous nous proposons de 
rendre compte. 

Cette galerie que l’on distingue sous le nom de galerie 
Saint-Laurent, parce qu’elle passe sous les terrains où se 


408 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


tenait autrefois la foire de ce nom, est construite entre les 
deux chaussées du faubourg Saint-Denis et du faubourg 
Saint-Martin à peu près à égale distance de chacune d'elles, 
elle a trois mètres de largeur , et 15 mètres de pente depuis 
son origine jusqu'à la rue Neuve-Saint-Jean, où elle se ter- 
mine. Voyez la planche fig. 1°. 

On a placé dans cette galerie quatre conduites en fonte 
de fer de 25 centim. de diametre intérieur; elles sont posées 
parallelement entre elles sur des blocs de pierre de taille so- 
lidement établis. Ces blocs ou tasseaux élevés de 30 centi- 
metres au-dessus du plafond de la galerie sont placés paral- 
lelement à son axe ,à 1m 15 de distance les uns des autres , de 
maniere que chaque bout de tuyaux de 2°,50 de longueur se 
trouve toujours soutenu sur deux appuis. (Plan. fig. 2, 3 et 4.) 
On conçoit qu’au moyen de ces précautions il n’y a à crain- 
dre aucun affaissement ou tassement vertical de ces con- 
duites, et que si elles se rompaient, cela ne pourrait avoir 
lieu que par l'effet de leur dilation, ou de leur condensation 
dans le sens de jieur axe. 

Les seules précautions qui restaient à prendre pour pré- 
venir cet effet se réduisaient donc à faire en sorte que l’al- 
longement et le raccourcissement de la conduite ne portassnt 
aucune atteinte à l'assemblage et à la liaison des tuyaux par. 
tiels dont elle est composée. 

Ces tuyaux sont assemblés les uns aux autres bout à bout 
au moyen de six boulons qui traversent les collets ou brides 
par lesquelles ces tuyaux sont terminés. Afin de rendre étan- 
ches toutes ces sutures on a placé entre les brides contigués 
une rondelle en plomb, qui est elle-même garnie sur ses 
deux faces d’une double flanelle goudronnée. Chacun de ces 


DANS LA VILLE DE PARIS 409 
joints, qui peut avoir 25 à 30 millimètres d'épaisseur, est 
doué d’un certain degré d'élasticité. Mais cette élasticité ne 
peut altérer en rien l'effet naturel de la dilatation ou de la 
condensation des tuyaux à cause de la rigidité des boulons 
très-courts qui compriment ce joint, et qui, proportionnel- 
lement à leur longueur, sont susceptibles de s’allonger et de 
se raccourcir comme les tuyaux qu’ils servent à assembler. 
Dans cet état d’une conduite en fonte , et en supposant 
inébranlables les appuis contre lesquels ses extrémités sont 
appuyées, il est évident, à cause de la rigidité dont elle est 
douée dans toute son étendue, qu’elle est exposée aux mêmes 
chances de rupture auxquelles des variations de température 
exposeraient une verge métallique de même matière, de 
même longueur, et qui serait formée d’une seule pièce. 

Pour la soustraire à ces chances d'accident, il fallait donc 
articuler cette verge en certains points de sa longueur, de 
manière qu’elle pût librement s’allonger ou se raccourcir 
entre ces articulations. 

Ces articulations sont composées de deux tuyaux de mêmes 
dimensions que tous ceux de la conduite; mais au lieu d’être 
liés entre eux par un joint fixe semblable à ceux que nous 
venons de décrire ils s’emboîtent l’un dans l’autre, au moyen 
d'un renflement pratiqué dans le premier pour recevoir le 
bout du second qui est dégarni de sa bride, et qui peut ainsi 
glisser librement dans l'espèce de manchon qui ie recoit. 
(Voyez la planche fig. 5.) 

Ce tuyau décolleté dépourvu de bride fixe, est garni d’une 
bride mobile en forme d'anneau qui peut glisser sur sa 
surface. ( fig. 6.) + 

On a désigné sous le nom de compensateurs chaque sys- 

LacX. 59 


&io SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


tème des deux tuyaux articulés dont il s’agit. Ils ont été placés 
de cent mètres en cent mètres environ sur chacune des quatre 
conduites de la galerie Saint-Laurent, et comme la longueur 
de chacune d’eiles est de 578 mètres, cette longueur totale 
se trouve divisée en cinq parties par autant de compensateurs. 

L’assemblage des deux tuyaux de chaque compensateur 
n'est point à frottement. Cela eût exigé une perfection d’exé- 
cution inutile, et dont les gros ouvrages de cette espèce ré 
sont point susceptibles. Il faut, au contraire, qu'il ÿ ait un 
certam jeu entre les surfaces intérieures et extérieures des 
deux extrémités du compensateur qui s'emboîtent ; ilne s’agit 
que d'empêcher l'écoulement de l’eau de la conduite par l'in- 
tervalle vide qui peut rester entre ces deux extrémités; or 
il est aise d'y parvenir au moyen d’une garniture de plomb 
et de flanelle goudronnée que l’on place entre la bride fixe 
du manchon et la fausse bride, de manière qu'en serrant 
fortement cette garniture à l’aide de boulons , entre les deux 
brides du compensateur, elle s'applique exactement en tous 
les points de son pourtoursur la surface extérieure du tuyau 
décolleté. On voit par cette disposition , que les deux parties 
du compensateur sont réunies l’une à l’autre par un joint 
mobile, que le manchon à bride attire ou repousse avec lui 
sur la surface du tuyau emboîté , selon que la portion de con- 
duite à laquelle appartient ce compensateur, se raccourcit où 
s'alonge par l'effet de la température. 

Les deux extrémités de la conduite étant inébranlablement 
fixées dans des massifs de maçonnerie, il est évident que la 
somme des allongements ou raccourcissements observés sur 
chacun des compensateurs de la même conduite en représente 
l'allongement ou le raccourcissement total: il ne s’agit donc 
que d'observer, à chaque variation de température, la position 


DANS LA VILLE DE PARIS. Aus 


de la bride mobile de chaque compensateur , par rapport à 
une ligne de repère tracée parallèlement à cette bride sur 
la surface extérieure du tuyau. 

Cette ligne de repère fut tracée à 250 millimètres de distance 
de chacune des brides de nos compensateurs ; cette première 
opération fut faite ie même jour sur les quatre conduites à 
la fin de décembre 1811 ; la somme des distances des brides 
mobiles aux lignes de repère correspondantes sur chaque 
conduite, se trouva, par conséquent, de 1250 millimètres. 

Deux des conduite de la galerie Saint-Laurent sont appli- 
quées près de ses parois, les deux autres occupent l’espace in- 
termédiaire. 

La premiere à droite en descendant que nous désignerons 
sous le z° 1, porte les eaux du bassin de la Villette à la fon- 
taine des Innocents. 

La conduite suivante, »°2, devait les porter à la fontaine de 
l'École de médecine. 

La conduite »° 3 alimente le château d’eau du boulevard 
Bondi. 

Enfin la conduite n° 4 se rend au milieu de la place Royale. 

Il était aisé de prévoir que les alongements ou raccourcis- 
sements qu'il s'agissait d'observer sur ces quatre conduites. 
se manifesteraient d'autant plus facilement et avec d’autant 
plus de promptitude, que les tuyaux compris entre deux 
compensateurs consécutifs éprouveraient moins de difficultés 
à se mouvoir dans le sens de leur axe; et comme il importait 
d'apprécier, autant que possible, l'influence que pourraient 
exercer sur ce mouvement divers obstacles disséminés le long 
des conduites, elles ont été posées avec des précautions dif- 
férentes. 

52. 


412 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Ainsi la conduite »° 1, au lieu d’être posée horizontalement 
sur la surface plane des blocs de pierre de taille destinés à 
la recevoir, était soutenue par de petits rouleaux de fonte in- 
terposés entre elles et la surface de ces blocs. Ces rouleaux, 
dont l’axe était perpendiculaire à celui de la conduite avaient 
à peu pres trois centimètres de rayon. 

Les trois autres conduites ont été posées sur leurs appuis 
de pierre, soit à nu, soit sur des cales de boïs en forme de 
coin servant à racheter les inégalités qui pouvaient se trou- 
ver sur la face supérieure de ces appuis. 

Ces dispositions étant faites, on a commencé les observa- 
tions le 13 janvier 1812, et on les a continuées, en suivant 
toujours la même marche jusqu'au 17 décembre 1815. 

On observait d’abord la température de l’eau à son entrée 
dans les conduites, et celle de l’air dans la galerie Saint-Lau- 
rent; on mesurait ensuite les distances comprises entre les 
faces antérieures des brides mobiles des compensateurs et les 
lignes de repères qui avaient été tracées sur le tuyau emboîté 
de chacun d’eux. 

Des le 3 mars 1812, j'avais déja recueilli un assez grand 
nombre d'observations entre o et 5 degrés du thermomètre 
de Réaumeur, pour être assuré du mouvement longitudinal 
imprimé aux conduites par les variations de la température: 
j'en rendis compte à l’Institut dans un Mémoire, où je sup- 
posai que la température effective des conduites était la tem- 
pérature moyenne arithmétique entre celle de l’eau qu’elles 
contenaient et celle de la galerie où elles étaient renfermées, 
je trouvai en comparant entre elles les observations recueil- 
lies jusqu'alors, 

1° Que les variations de la température produisaient des 


DANS LA VILLE DE PARIS. 413 


effets bien plus prompts sur la conduite »° 1, qui était sup- 
portée par de petits rouléaux de fonte que sur les trois autres 
conduites %° 2, 3 et { , que soutenaient immédiatement leurs 
appuis de pierre de taille, ou des cales intermédiaires plus 
ou moins compressibles de bois de chêne. 

9° Que moins les températures différaient entre elles d’une 
observation à l’autre, plus les effets de la dilatation et de la 
condensation des conduites s’éloignaient d’être exactement 
proportionnels à ces différences de température; ce qui semble 
provenir, de ce que le défaut d'homogénéité du métal , et les 
courants d’air extérieur qui s'introduisent accidentellement 
dans la galerie, et, en général, les causes diverses capables 
d'exercer quelque légère influence que ce soit sur les varia- 
tions de température d’une conduite en fonte, exercent cette 
influence d'une manière plus sensible dans un petit intervalle 
de l'échelle thermométrique que dans unintervalle plus grand. 

Je concluais de ces remarques que les résultats des obser- 
vations devaient être d'autant plus certains, 1° que ces ob- 
servations seraient faites dans un état de température sta- 
tionnaire depuis un temps plus long , parce qu’alors la tem- 
pérature de la conduite aurait pu s'établir par suite de toutes 
les circonstances capables de la modifier; 2° que la compa- 
raison de plusieurs observations faites à des températures 
différentes, servirait à déterminer la dilatabilité du métal 
avec d'autant plus de certitude que ces températures seraient 
plus éloignées l’une de l’autre. 

D’après ces considérations , je choisis pour en comparer 
les résultats les observations faites le 13 janvier 1812 et le 
24 février suivant. 

Lors de la première, la température de l’eau dans la con- 


414 SUR IA POSE DES CONDUITES D'EAU 


duite ; était à 1 degré et celle de l'air de la galerie à 3 degrés 
au-dessus de zéro. 

Lors de la seconde observation, la température de l’eau 
était à 5 degrés +, et celle de la galerie à 6 degrés. 

En prenant pour la température réelle de la couduite la 
moyenne arithmétique , entre la température de l'eau qu’elle 
contient et celle de l’air dont elle est environnée , on trouve 
que cette température réelle était le 13 janvier de 2 degrés, 
et le 24 février de 5 degrés 7, ainsi la différence entre les 
températures correspondantes aux observations comparées, 
était de 3 degrés 7. 

Le 13 janvier , les distances mesurées sur les cinq compen- 
sateurs de la conduite n° 1, donnaient en somme 1256 milli- 
mètres. 

Le 24 février, la somme de ces distances était de 1224 mil- 
limètres; ainsi par une élévation de température de 3 degrés : 
du thermomètre de Réaumur, la conduite n° 1 s'était allongée 
de 32 millimètres, ce qui équivaut à 8 millimètres -£ d’allon- 
gement par degré de temperature. 

La longueur de nos conduites étant de 578 mètres, on voit 
que l’alongement du »° 1 par degré de Réaumur et par mètre 
serait de0",00001/1 ou par degré centésimal de o",00001 1 128. 

La conduite »° 2, destinée à porter les eaux du bassin de la 
Villette à la fontaine monumentale de l’École de médecine, 
n'était remplie d'eau que dans sa partie supérieure sur 210 
mètres de développement; elle était vide sur le reste de sa 
longueur. Par l'effet de cette circonstance, les observations 
dont elle a été l’objet ne sont point comparables à celles qui 
ont été faites sur les trois autres conduites, ainsi nous les pas- 
serons sous silence. 


DANS LA VILLE DE PARIS. 415 


Le 7° 3 indiquait ; le 13 janvier 1812, pour la somme des 
distances de la bride mobile à la ligne de repère mesurées 
sur chacun des cinq compensateurs 1259 millimetres, et le 
24 février 1232 millimètres ; on a donc eu un alongement de 
27 millimètres pour une variation de température de 3 de- 
grés ?; ce qui donne 6 millimètres + par degré du thér- 
momètre de Réaumur, ou o",0000118 par degré et par mètre, 
ou bien enfin, par degré centésimal , 0",00000944. 

La conduite n°4 indiquait ,le 13 janvier, 1259 millimètres, 
et le 24 février suivant 1233 millimètres : ce qui donne un 
alongement total de 26 millimètres pour une variation de 
3 degrés ? de température, et par mètré et par degré cen- 
tigrade de 0”,00000909. 

On voit que le résultat des expériences faites sur les con- 
duites n° 3 et {sont très-peu différents entre eux ; mais l’alon- 
gement moyen qu'on en conclut est à l’alongement déduit 
des observations faites sur la conduite #° 1, comme 926 à 
1128. 

Ainsi sous la même variation de température, la conduite 
n° 1 s'est alongée d'environ 1/6 de plus que les conduites 
n®3 et 4, ce qui provient évidemment de la plus grande mo- 
bilité de la première qui, étant posée sur des rouleaux de 
fonte , peut s’alonger ou se raccourcir sans avoir à vaincre les 
obstacles que le frottement oppose au mouvement longitu- 
dinal des deux autres, lesquels reposent à nu sur des appuis 
de pierre couverts d’aspérités ou sur des calles de bois plus 
ou moins élastiques. 

J'ai supposé dans les évaluations qui précèdent, que la 
température réelle des conduites mises en expérience, était 
la température moyenne arithmétique entre celle de l’eau 


416 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


qu'elles contenaient, et celle de l'air de la galerie dans la- 
quelle elles étaient placées. 

Cette supposition qui pourrait être rigoureusement exacte 
si les surfaces intérieure et extérieure de nos conduites se 
trouvaient baignées par des liquides de même densité et de 
températures différentes, cesse d’être admissible ici à cause 
de l'extrême différence de densité de l'eau et de l'air. Les 
comnissaires de l’Institut qui rendirent compte de mon 
Mémoire, pensaient même que les tuyaux de fonte devaient 
prendre la température de l’eau dont ils étaient remplis, et 
que , par conséquent, c'était d'après les variations de cette 
température, sans aucun égard à celle de l'air ambiant qu'il 
fallait évaluer la dilatation du métal. C'était au surplus, de 
la suite d'observations que je me proposais de continuer, 
qu'on devait attendre des résultats plus certains et la con- 
firmation de l’une ou de l’autre hypothèse. | 

Je n’ai terminé ces observations qu’au mois de décembre 
1815. Les tables que j'en ai dressées en contiennent plus 
de seize cents, faites en différentes saisons, sur les compen- 
sateurs de nos quatre conduites, entre zéro et 17 degrés : 
de température du thermomètre de Réaumur. 

On n’a aucun moyen de mesurer la température de l’eau 
contenue dans une conduite quelconque; on ne peut l'ob- 
server qu'immédiatement avant son entrée, et immédiate- 
ment à sa sortie de cette conduite. Or, je me suis assuré, 
le 27 février 1812, que la température de l'eau qui était à 


2 


4 degrés = à son entrée dans la conduite n° 1, était encore 


2 


exactement à 4 degrés i à son arrivée à la fontaine des 
Ianocents : d’où il suit que la température de l'eau dans nos 
conduites demeure exactement la même que la température 


DANS LA VILLE DE PARIS. 417 


de l’eau observée dans le réservoir commun, où elles 
prennent leur origine. 

Nous avons dressé nos tableaux d'observations, en com- 
prenant dans une première série toutes celles qui ont été 
faites entre zéro et 1 degré de température de l’eau. 

La 2e série d'observations comprend toutes celles faites 
entre 1 et 2 degrés; la 3°, toutes celles faites entre 2 et 3 
degrés, et ainsi de suite. 

Nous avons pris les températures moyennes de l’eau et de 
l'air, entre toutes celles correspondantes aux observations 
de la même série. 

Enfin, après avoir formé la somme des distances mesurées 
-sur les cinq compensateurs d’une même conduite, pour 
toutes les observations d’une même série, nous avons 
divisé cette somme par le nombre des observations faites 
sur cette conduite; ce qui nous a donné la somme moyenne 
des distances, ou l'indice moyen des compensateurs corres- 
pondants à cette série. 

Ainsi, du tableau suivant qui comprend la première 
série des observations faites sur la conduite n° 1 


DATES TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE Inprces 


des des 


OBSERVATIONS. 1 compensateurs, 


12 janvier 1813: 5 1261,50 


16 janvier 1815. 1261,25 
23 janvier 1815. 1263,00 


3787,55 


418 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


je déduis, en divisant par 3 qui est le nombre des observa- 
tions de cette série les sommes portées au pied de chaque 
colonne, je trouve les quantités moyennes qui entreront dans 
la composition du type suivant de nos tableaux par séries : 


Nomsre [Temrérarure |TemréraTure| INDICE DrFrÉRENCE 


moyen de tempéra- 

p 7 
d'observa- | moyenne moyenne LE 
des compen- | ture de l'air 


: $ DE 
1° série du 12 tons de l’eau. de l'air. sateurs. et de l’eau. 


janvier 1813 s LE ER) manne 
au 23 janvier 
1815. 3 0,50 1261,91 1,333 


et de même pour la formation des séries suivantes. 

Nos tableaux d'observations ramenées à une observation 
unique par série, se trouveront ainsi composés de cinq 
colonnes. 

La premiere indiquant le n° de la série et intervalle de 
temps compris entre la première et la dernière observation. 

La seconde, le nombre d'observations dont cette série est 
composée. 

La troisieme , la température moyenne de l'eau. 

La quatrième, la température moyenne de l'air dans la 
galerié, l’une et l’autre mesurées sur le thermomètre de 
Réaumur. 

La cinquième l'indice moyen des cinq compensateurs, en 
millimètres. 

Nous porterons, en outre , dans une sixième et dernière 
colonne, la différence des températures moyennes de l'air et 
de l’eau , correspondante à chaque série. 

Nous allons présenter et discuter successivement les ta- 


DE LA VILLE DE PARIS. 4i9 
bleaux de nos séries d'observations sur les conduites n°1, 
n°35 et n°4, qui alimentent la fontaine des Innocents, le 


Château d’eau du boulevard Bondy, et les bassins de la 
place Royale. 


Tasreau I. Conduite de la fontaine des Innocents. 


Nomsre [TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE Inproe DirrÉRENCE 


: moyen des | de tempéra- 
d’observa- moyenne moyenne 

\A es 
compensa- | ture de l'air 


tions. de l’eau. de l’air. teurs, et de l'eau, 


2° série du 13 
janvier 1812 
au 9 janvier à 
1815. 1256,12 


—— 


3° série du 17 
mars 1812 au 
5 déc. 1812. 
4° série du 12 
février 1812 au 1241,97 
31 déc. 1814. 


5° série du 27 
février r8r2au 1235,85 1,421 
14 févr. 1815. 


6° série du 19 
février 1812 au 1228,87 0,750 
10 mars 1815. 


—————— 


7° série du 7 
nov. 1812 au É 1222,2b 
28 mars 1815. 


————— | 


8° série du 30 
mars 1812 au ,255 1215,16 
22 avril 1815. 


9° série du 3 


avril 1812 au 53125 1207,18 
6octobre 1814. 


420 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


NomBre [TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE Ixpice Drrrérence 


É moyen des | de tempéra- 
d'observa- | moyenne moyenne ii 
compensa- | ture de l'air 


tions. de l’eau. de l'air. teurs: ttde l'édui 
10° série du 1 ER de en 
avril 1812 au degrés degrés 
10octob. 1815. 9 :333 9 :833 1201,37 


11° série du 15 
octobre 1812 au 10 ,150 1195,55 
18 octob.1815. 


12° série du 16 
avril 1813 au 11 ,625 1187,37 
21 mai 1814. 


"13° série du 4 
mai 1812 au 8 12 ,4375 1179,43 
mai 1815. 


—— 


14° série du 25 
mai 1812 au 1172,16 
26 mai 1815. 


15°série du 21 
mars 1812 au 14 ,472 116,06 
2 août 1815. 


16° séfie du x 
juin 1812 au 15 ,398 1158,69 
19 août 1815. 
ln see 
17° série du 28 
mai 1812 au 
28 août 1815. 


18° série du 18 
août 1812 au 
24 août 1812. 


Supposant que la température de la conduite soit la même 
que celle de l'eau qu’elle contient, et comparant entre elles les 
deux séries extrêmes d'observations, on voit que pendant la 


DE LA VILLE DE PARIS. 42i 


première la température moyenne a été de 0",50, et pen- 
dant la dernière de 17%,441 ; il ya par conséquent entre ces 
deux séries une différence de température de 17*,441 — 
0,500 — 16,941. 

L'indice moyen des compensateurs a été pendant la pre- 
mière série de 1261"",91, et pendant la dernière de 1146, 37. 
C'est un allongement de 1261, 91 — 1146,37 — 115%", 54 
pour un intervalle de 16,941. Cet alongement équivaut par 
degré à He FT 

La longueur de la conduite étant de 578 mètres, l’allon- 
gement par mètre et par degré de Réaumur, est donc expri- 


mé par 
0", 006812 x. 
se mer ,00001178, 


ou, pour un degré du thermomètre centigrade, par 
0",00000942. 


Tagreau IL Conduite du boulevard Bondy. 


Nomusre [TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE Ixorce DirFÉRENCE 
moyen des | de tempéra- 
d’observa- moyenne moyenne : 
compensa- | ture de l'air 

s : PRE 
tions. de l’eau. de l'air. Pure te este 


1"° série du r2 


janvier 1812au degrés | degrés 
17 déc. 1815. 4 0 ,500 1 ,812 1265,37 1,312 


2° série du 13 
janvier 1812au x ,150 3.,050 1260,60 
gjanvier 1815. 


3° série du 20 
mars 1812 au 4 ,750 1251,91 
5 déc. 1812. 4 


422 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Nomsre [TEMPÉRATURE |TaMPÉRATURE Ixprce DiFFÉRENCE 
; É moyen des | de tempéra- 
d’observa- moyenne moyenne sel 
compensa- | ture de l'air 
, , 9, + 
tions. de l'eau. de l’air. teurs etdeleans 
4° série du 12 


février 18r2au à degrés 


egrés 
3r déc. 1814. 3 ,236 4 797 1245,95 1,555 


5° série du 27 
février 1812 au 3302 5 ,984 1238,87 1,682 
1 déc. 1814. 


6° série du 19 | 
février 1812 au 5354 6 ,187 1232,87 0,833 
10 mars 1825. 


7° série du 16 
avril 1812 au 1226,50 
28 mars 1815. 


8° série du 13 


avril 1812 au 1220,45 
22 avril 1815. 


9° série du 3 
avril 1812 au 1215,12 
6 octob. 1814. 


10° série du 1 
avril 1812 au 
10 octob. 1815. 


11° série du 19 
octob. 1812 au 1204,70 
18 octob. 1815. 


12° série du 28 
mai 1813 au 1107,37 
21 mai 18r4. 


13° série du 4 
mai 1812 au 12 1191,70 
septemb. 1814. 


DE LA VILLE DE PARIS. 423 


Nomsre  |TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE IxDice Dirrérence 


moyen des | de tempéra- 


d’observa- moyenne | moyenne | 
compensa- | ture de l’air |h 


tions. de l'eau. de l'air. de lean 


14° série du 19 Ph ML 
mai 1812 au 26 degrés degrés 
mai 1815. 13 ,360 14 ,404 1186,00 


15°sérieduar 
mai 1812 au 2 14 ,438 15 ,438 1179,02 
août 1815. : 


16° série du 1 
juim 1812 au 15 ,433 15 ,716 1174,20 
13 août 1814. 


17° série du 18 


mai 1812au 23 15 ,892 1170,71 
juillet 1814. 


18° série du 18 
août 1812 au 17 ,625 1164,50 
24 août 18r2. 


On voit, en comparant les séries extrêmes de ce tableau, 
que depuis 0*,5o jusqu'à 17,40 de température, c’est-à- 
dire pour une différence de 16",90, l’alongement total de la 
conduite n° 2 a été de 1265,31 — 1164, 50 — 100°,8r. 

- L’allongement total par degré de Réaumur a donc éte 


10081 sy 
00 —9"),969. 


L’allongement de cette conduite par mètre et par de- 


gré = — 0",00001032, et par degré centigrade 


0",00000825. 


424 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


TasLeau III. Conduite de la Place Royale. 


Nomere [TEMPÉRATURE TEMPÉRATURE Ixpice DiFFÉRERCE 

: moyen des | de tempéra- 
d'observa- | moyenne moyenne : 
compensa- |ture de l'air 


tions. de l’eau. de l'air. teurs. et de l’eau. 


ee | a | ————— 


degrés degrés 


1'* série du 12 
janvier 1813au 


17 déc. 1815. 4 o ,500 1 ,81a 1274,87 1,312 


2° série du 23 
déc. 1812 au ,150 1268,75 
gjanvier 1815. 


3° série du 30 
nov. 1812 au 1259,50° 
5 déc. 1812. 


4° série du 10 
mars 1812 au 1251,50 


31 déc. 1814. 


5° série du 7 
mars 1812 au 1243,30 
12 nov. 1814. 


6° série du 19 
février 18r2au 1238,41 
ro mars 1815. 


7° série du 7 
nov. 1812 au 1232,41 
28 mars 1815. 


8° série du 30 
mars 1819 au 1226,375 
27 oct. 1814. 


9° série du 6 
avril 1812 au 1218,75 
6 octob. 1814. 


10° série du 1 
avril 1812 au 1211,08 
10 octob.1815. 


DANS LA VILLE DE PARIS. ! 425 


NomBre [TEMPÉRATURE | TEMPÉRATURE Ixpice DixFÉRENCE 


moyen des | de tempéra- ï 


: d'observa- moyenne moyenne 


compensa- | ture de l'air | 
tions. de l’eau. de l'air. 
A teurs. et de l’eau. 


MIN ACTIE QUIL Of ER ER 
octob. 1812 au degrés degrés 
28 mai 1814. ” 3 10 ,250 13 ,750 1106,4t 2,500 


———__ — | ——— 


12° série du 28 
maii813au2r 2 11,375 13 ,500 1200,125 2,125 


mai 1814. 


13° série du 4 
mai2812 au 12 4 12 ,250 12 ,916 1104,37 0,666 
septemb.1814. 


14° série du 25 
N| mair8r2 au 4 5 13 ,366 14 ,816 1187,70 1,550 
{| juin 1814. 


15° série du 6 
mai 1812 au 27 17 14 ,431 15 ,431 1180,80 1 
août 1814. 


1| 16° série du r 
{| juin 1812 au 10 15 ,433 15 ,716 1175,32 
13 août 1814. 


17° série du 28 
mai1812au 17 4 16 ,437 15 ,937 1169,43 
août 1812. 


| 18° série du 18 
août 1812 au 4 17 ,399 17 ,625 1164,75 
24 août 18712. 


Les expériences de la premiere série de ce tableau ont été 
faites à o",5o de température moyenne; celles de la der- 
nière série ont été faites à 17°, 395, ce qui donne une diffé- 
rence de tempétarure de 16”, 895. 

L’alongement de la conduite pendant cet intervalle a été 


de 1274,87 — 1164,75 = 110%, 12. 
Te 54 


426 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


; 2 77 110", 12 & 
L’alongement par degré a donc été de TS LT 0" ;018. 


6518 
Par mètre et par degré c'est un alongement de RL RE 1 3 


578 
0",00001127 et par degré du thermometre centigrade 
0", 00000002. 


Comparaison des résultats obtenus sur la dilatation des trois 
conduites qui ont été soumises à l'expérience. 


En comparant entre eux les indices des compensateurs 
correspondants aux températures les plus basses et les plus 
élevées, c'est-à-dire les plus distantes entre elles, nous avons 
obtenu pour l’alongement par mètre, et par degré du ther- 
mométre centésimal, savoir : 


Sur la conduite »° 1, de 0",00000942 ; 
Sur la conduite »° 2, de o ,00000825 ; 
Sur la conduite »° 3, de o ,00000902. 


Nous allons maintenant déduire cet alongement de la 
comparaison des températures, correspondantes aux indices 
des compensateurs qui laissent entre eux le plus grand in- 
tervalle. | 

Le 23 janvier 1815, le thermomètre de Réaumur marquant 
0",75, les compensateurs de la conduite n° 1 indiquaient 
1263 millimètres. 

Ils marquaient 1145"",75, le 24 août 1812, la tempera- 
ture étant à 17,33; c'est par conséquent pour un intervalle 
de 17%,33—0%,75—16",58 un alongement de 1263"" = 
0",011725 

16,58 
L'alongement par mètre et par degré de Réaumur est donc 


mil. 


145% 117%", 25, ou par degré de —0",0070717. 


DANS LA VILLE DE PARIS. 427 


— ne 0",00001223, et par degré du thermomètre 


centésimal 0",00000978. 
Le 16 janvier 1815, les compensateurs de la conduite n° 2 
marquaient 1264"",75 le thermomètre étant alors zéro. 


Le24 août, les compensateurs de la même conduite indi- 
quaient 1164°" à 17%,33 de température. 

Ainsi, pour un intervalle de 17*,33, il y a eu un alonge- 
ment total de 100"",75, ce qui équivaut à un alongement par 
M,010075 


5 
degré de 7,35 


—0,00001053, et par degré du thermomètre centé- 


— 0",00581. C'est par degré et par mètre 
0",00581 
578 

simal 0",000008042. 

Enfin, le 16 janvier 1813, les compensateurs de la con- 
duite n° 3 indiquaient 1276"",25 à zéro de température, ils 
indiquaient 116450 le 24 août 1815 à la température de 
17%,33. C’est par conséquent, pour un intervalle de 17%,93, 
un alongement de 1276%",25 — 1164"",50— 111,75. 

L’alongement total par degré de Réaumur a donc été 


O",O11175 25 
nu —0,006/48. 
Fe & z m,006448 
Il a donc été par mètre et par degré Se — 
7 
0",00001115 , et par degré du thermomètre centésimal, de 


0",00000892. 

Les alongemnents de nos trois conduites par mètre et par 
degré centésimal, tels que nous venons de les déduire de la 
comparaison des indices extrêmes de leurs compensateurs, 
sont, savoir : 


54. 


428 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Sur la conduite n° 1, de 0”,00000978. 
Sur la conduite 7° 2, de o ,0000080/2. 
Sur la conduite 7°3, de o ,00000892. 


On ne remarque qu'une légère différence entre ces alon- 
gements, et ceux que nous avons déduits précédemment des 
observations faites aux températures les plus distantes. 

On voit aussi que, dans les deux modes d'évaluations de 
ces alongements, les conduites 2° 2 et 3, se sont moins dila- 
tées que la conduite ° 1. 

Ces faits confirment ceux que nous avions déja observés 
au commencement de 1812; ils s'expliquent par la plus 
grande mobilité de la conduite »° 1 , elle peut, en effet, se 
contracter ou s'étendre facilement en faisant rouler les petits 
cylindres de fonte qui la supportent, tandis que les conduites 
n° 2 et 3 éprouvent d'autant plus de résistance à glisser sur 
leurs appuis que les obstacles qui naissent de leur compres- 
sibilité, des aspérités de leur surface et de leur élasticité sont 
plus nombreux et plus intenses. 

Recherche de la loi de dilatabilite de la fonte de fer d'après 
les tableaux d'expériences précédentes. 


L'alongement des conduites s'opere-t-il uniformément de 
degré en degré à partir de zéro jusqu'à 17 degrés du ther- 
momeètre de Reaumur, limites de température entre lesquelles 
nous l'avons observé? Pour résoudre cette question, il suffira 
de comparer l'alongement qui s’est opéré dans l'intervalle 
thermométrique d'un certain nombre de degrés de tempéra- 
ture inférieurs, à l'alongement qui s'est opéré dans l'inter- 


DANS LA VILLE DE PARIS. 429 


valle d’un certain nombre de degrés immédiatement supé- 
rieurs. Voici le résultat de cette comparaison : 

L'alongement de la conduite »° 1, de la première à la 11° 
série d'observations inclusivement — 1261%",91— 1195"",55 
— 607596. 

La différence moyenne de température entre ces deux séries 
d'observations — 10%,15—0"*,50 — 9,65. 

L'alongement total de la conduite par degré est par con- 


È nil. 36 ! ; : 
séquent TS — 6"",876, par degré de Réaumur et par 
? 


\ # 6"! 876 
metre, il est de 578 — 000001 189. 


Enfin, par mètre et par degré du thermomètre centésimal, 
il est de 0",00000951. 

L'alongement de cette même conduite pour les sept der- 
nières séries —1187,37— 1 AD Te 

La différence de température de la 12° série à la 18€ 
—17%,441— 11%,625 — 5,816. 

L'alongement total de la conduite par degré — 

; 
7,049. A à 

C'est par degré de Réaumur, et par metre, 0",000001219. 

Et par degré du thermomètre centésimal, 0",00000975. 

On voit que sur cette conduite les alongements par degré 
sont plus considérables lorsque la température est plus élevée 
que lorsqu'elle est plus basse. 

Prenons de même sur la conduite n° 2, les onze premieres 
séries d'observations, nous aurons, pour l’alongement de la 
première.à la 11°, 1265"",31 — 1204,70 — 60"".6r. 

La différence de température entre ces deux séries —10".,300 
— 0,00 — 9,80. 


430 © SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


L’alongement total de la conduite est en conséquence par 


, . 60",6r 4 à 
degré de Réaumur —2=— 6"",184 ; et par mètre, cet alon- 
9",80 
sement RER Let 0000 ar degré du thermo- 
gement —=—ÿ3 =0"000001070, ou par deg 


mètre centigrade — 0",00000856. 

Pour les 7 dernières séries, l’alongement total de la con- 
duite a été 1197"",37— 1 164"",50 —392"",87. 

La différence de température a été 17°,395— 11%,375— 
6” ,020. 


; 5 an > 3 mg 
L’alongement total de la conduite a donc été — Fe Eu 
: ,020 
—— 5,460. ES 
Il a été par degré et par mètre ae —0",000009/46, 


et par degré du thermomètre centigrade 0",00000755. 
On voit que sur cette conduite, les alongements ont été 
moindres à mesure que la température s’est élevée. 
L’alongement de la conduite n° 3, sur les 11 premieres 
séries d'observations a été = 1274"",87—1206"",41—68"",46. 
La différence de température moyenne entre la première 
et l'onzième série — 10,250 — 0"%,500—9",750. 
L’alongement total de la conduite a donc été par degré 
68":-,46 
9:79 


—=7",021. 


» , : 0",007021 
C'est par degré de Réaumur et par mètre AU 
0",00001214, et par degré du thermomètre centigrade 


0",00000971. 
L’alongement de la conduite, pendant les 7 dernières séries 
d'observations a été — 1200"",125— 1164"",750—35"",375. 
La différence de température a été 17%,395— 11,375 — 
6,20, 


DANS LA VILLE DE PARIS. 431 
35" "395 


6,20 


| 


Par conséquent l'alongement total pour un degré 
— 5", 704. 
C'est par mètre, et par degré de Réaumur 0",00009872. 
Et par degré du thermomètre centigrade 0",000007808. 

Le même phénomène se manifeste ici sur la conduite n°3 
que sur la conduite n°2, c'est-à-dire que l’alongement par 
degré est moindre à mesure que la température s’éleve. Or, 
ceci s'explique aisément, si l’on fait attention que les deux 
dernières conduites qui sont posés à nu sur leurs appuis ou 
sur des coins de bois, les compriment plus où moins, et que 
la difficulté de glisser sur leur surface qui est douée d'un 
certain degré d’élasticité s'accroît à mesure que l’espace par- 
couru sur elle est devenu plus grand. 

En effet, les fibres des cales de bois qui se trouvent per- 
pendiculaires à la direction du mouvement de la conduite 
étant poussées dans cettedirection, sont amenées à un certain 
état de courbure, comme autant de petites verges élastiques 
dont les extrémités seraieni fixes, et dont une force extérieure 
agissant entre ces extrémités tendrait à produire l'inflexion. 
Or, on sait, que de semblables ressorts présentent d'autant 
plus de résistance à leur flexion , que leur courbure est déja 
plus grande. 

Si la ligne de repère qui a été tracée sur les compensateurs 
au commencement des observations, lorsque la température 
de l'eau était à 2 ou à 3 degrés, y avait été tracée pendant 
l'été, l'eau étant à 17 ou 18 degrés de température, il se serait 
manifesté un effet contraire, c'est-à-dire que les alongements 
des conduites n° 2 et 3 auraient été moindres à mesure que 
la température se serait abaissée d’un mêmenombre de degrés, 
parce que les obstacles au glissement de la conduite auraient 


432 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


acquis plus d'intensité à mesure que les fibres du bois auraient 
acquis une plus grande courbure. 

La conduite #° 1, qui est supportée sur des rouleaux de 
fonte de fer, n'ayant à vaincre aucun obstacle de cette nature, 
doit manifester plus sensiblement les effets naturels de la 
condensation et de la dilatation. Les observations recueillies 
sur elles doivent, par conséquent, donner une mesure plus 
exacte de la dilatabilité spécifique de la fonte, 


Recherche de la dilatabilité de la fonte de fer déduite des 


observations faites sur la conduite n° 1. 


Jusqu'à présent nous n'avons eu aucun égard à l'influence 
que peut exercer la température de l'air de la galerie Saint- 
Laurent, pour modifier celle de nos conduites que nous avons 
supposée être la même que celle de l'eau qu’elles contiennent; 
mais un corps dont les surfaces parallèles opposées sont en 
contact avec des fluides incompressibles ou elastiques main- 
tenus à des températures diverses, doit évidemment acquérir 
une température permanente qui soit elle même une cer- 
taine fonction des températures respectives des deux fluides 
entre lesquels il est placé: si donc lair de la galerie Saint- 
Laurent n’est point au même degré que l’eau de nos con- 
duites, il n’est pas rigoureusement permis de supposer que 
celles-ci acquiereront la même température permanente que 
celle-là. 

Pour éclaircir par un exemple simple ce que nous disons 
ici, supposons qu'au lieu d’être renfermées dans une galerie 
pleine d'air, nos conduites toujours remplies d'eau à la tem- 
pérature observée soient plongées dans une masse d’eau à 


L'EST, à 


x 


RE 


DANS LA VILLE DE PARIS. 433 


la même température que l'air de la galerie. Concevons main- 
tenant une bande annulaire de tuyau comprise entre deux 
plans perperdiculaires à son axe; il est clair que les deux 
surfaces circulaires intérieure et extérieure de cette bande 
pourront être considérées comme deux surfaces parallèles 
d’une longueur infinie , car la couronne circulaire qu'elles for- 
ment étant une surface rentrante en elle-même, ne présente 
aucune extrémité sur laquelle puisse agir quelque source de 
chaleur extérieure capable d’altérer la température due à 
l’action de l’eau qui coule dans la conduite et à celle de l'eau 
dans laquelle nous la supposons plongée ; la bande circulaire 
que nous considérons, est donc précisément dans le même 
cas où se trouverait un prisme rectangulaire d’une longueur 
infinie, d'une épaisseur égale à celle de cette bande et dont 
les faces parallèles comprenant cette épaisseur seraient inéga- 
lement échauffées par les deux liquides de températures dif- 
férentes qui seraient respectivement en contact avec elles. 

Or, la Théorie de la chaleur (Théorie analytique de la cha- 
leur, par M. Fourier, pag. 46 et 47), nousapprend qu'un pareil 
prisme rectangulaire d’une longueur infinie, ayant deux de 
ses faces opposées échauffées différemment par deux sources 
de chaleur permanentes, si l’on fait : la température du fluide 
qui touche l'une de ces faces — 4, celle du fluide qui touche 
l’autre face — 0. L 

La distance des deux faces ou l'épaisseur du prisme —e, 
la température permanente d’un plan intermédiaire quelcon- 
que parallele à ces faces —» ; 

Enfin la distance de ce plan intermédiaire à l'une des faces 
limites —z. 

On aura entre » et z cette equation linéaire, 


EX. 55 


5 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 
4 


(b— a)z 
DEEE 
e 

qui s'applique également à un prisme rectangulaire d'une lon- 
gueur infinie, et à une bande cireulaire comprise entre deux 
sections transversales de nos conduites. 

Appelant V la somme des produits de chacun des éléments 
concentriques de cette bande par la température permanente 


de cet élément, on aura 


NY A7 [a +(= 2] =a2 + (= 


La constante c est évidemment nulle RARE cette expres- 


sion disparaît lorsque z — 0. 
Si l’on complète cette expression en faisant :—e, elle 


devient 
(+ D e—Y, 
2 


donc la température moyenne permanente de la bande cir- 
a + b 


: nos V ; 4 . , 
culaire que nous considérons = , c’est-à-dire qu'elle 


est précisément moyenne proportionnelle arithmétique entre 
les températures des surfaces intérieure ‘et extérieure du 
tuyau. 

En supposant db > &, et en faisant b—a—d, on trouve 


V d \ i ; 
encore =: —a@ +=, d'où l'on voit que la température moyenne 


dont il s’agit, est égale à la température de celui des deux 
fluides qui est le moins échauffé, augmentée de la demie dif- 
férence de leurs températures. 

Au surplus, ces expressions de la température moyenne 


DANS LA VILLE DE PARIS. 435 


d'un tuyau de conduite dans les circonstances que nous avons 
admises, ne sont rigoureusement exactes qu'en supposant 
l'épaisseur de cetuyau très-petiteen comparaison de ce rayon. 

Les deux faces opposées du prisme rectangulaire infini, 
ou de la couronne circulaire que nous avons considérées sont 
baignées. par deux liquides homogènes qui ont à peu pres la 
même densité; mais lorsque leurs densités spécifiques sont 
tres-différentes, comme, par exemple, lorsque le tuyau de 
conduite, toujours supposé plein d'eau, est plongé lui-même 
dans de l'air atmosphérique plus chaud ou plus froid que cette 
eau, on conçoit que l'air atmosphérique en raison de sa moin- 
dre densité, doit exercer, pour échauffer ou pour refroidir 
la conduite, beaucoup moins d'influence que l’eau beaucoup 
plus dense qui y est, contenue n’en exerce pour l'amener à 
sa propre température. 

Il suit de là que la température permanente à laquelle cette 
conduite doit arriver, ne peut plus être moyenne propor- 
tionnelle arithmétique entre les températures de l’eau et de 
l'air qui baignentses faces intérieure ctextérieure, mais qu'elle 
se rapprochera d'autant plus de celle de l’eau, que la densité 
de ce liquide est plus grande que celle de l'air atmosphérique. 

Pour parvenir à l'expression de la température moyenne 
de la conduite, en ayant égard à l'influence que l'air exté- 
rieur de la galerie exerce sur le métal, nous remarquerons ; 

1° Qu'il est généralement prouvé par les observations 
recueillies sur la dilatabilité des métaux, qu’ils se dilatent de 
quantités égales par des accroissements égaux de température; 

2° Que la dilatation d’une conduite pleine d’eau à ure cer- 

taine température, et qui est plongée dans une masse d'air 

atmosphérique élevé à une température différente, doit être 
50! 


436 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


une certaine fonction de la différence de ces températures. 

Si donc on appelle a l’alongement de la conduite par mètre, 
et par degré de température de l'eau tel qu’on l’a observé; 
d la différence de cette température à celle de l'air au moment 
de l'observation; enfin si l’on appelle x l’alongement par 
mètre dù à l'augmentation réelle de température du tuyau 
telle que la produisent par leurs actions combinées, les sources 
de chaleur auxquelles ses deux surfaces sont exposées, on 
pourra toujours supposer : 


L—0 LH AU EPBaeECdEt'etc 


Les quantités À ,B,C, etc. étant des coefficients à déterminer 
par l'expérience. On y parviendra aisément en substituant. 
pour & et d leurs valeurs numériques correspondantes à autant 
d'observations, plus une que l’on voudra déterminer de coef- 
ficients A, B,C, etc. 

Or, pour les onze premieres séries du tableau I, nous 
avons trouvé a—0",00000951. 

Quant à la valeur de d, elle doit être représentée par la 
différence de la température de l’eau dans la conduite à la 
température de l'air de la galerie pendant ces 11 premières 
séries d'expériences. 

Nous obtiendrons par approximation cette différence 
moyenne en divisant par le nombre de séries d'expériences, 
la somme des différences de température de l’eau et de l’air 
observées pendant leur durée. 

La somme de ces différences — 15°,444, par conséquent 
la diffé herchée = 1444 1 04; 

a différence moyenne cherchée =—""— 1°,404; on a, 
II 


par conséquent, pour les 11 premières séries cette équation : 


DANS LA VILLE DE PARIS. 437 
x — 0",00000951 + A(1°,404) + B(1°,404) + etc. 


Nous avons trouvé pour les 7 dernières séries d'observations 
du même tableau 4 —0",00000975. 

La somme des différences de température de l’eau et de Dir 
34,553— 04,701 


observées pendant ces sept dernières séries — = 


__ 2,852 852 
SE720 
Les 7 dernières séries d'expériences sur la conduite n°1, 
fournissent donc cette deuxieme équation : 


— 0,407. 


æ—0",00000975 + À (0°,407) + B(0°,407) + etc. 


Admettons ce qui est très-vraisemblable que l'alongement 
par degré x ne soit fonction que de la première puissance 
des différences de température de l’eau dans la conduite et 
de l'air dans la galerie, comme cela a lieu lorsque la conduite 
se trouve intérieurement et extérieurement en contact avec 
des liquides de même nature irégalement échauffés, on aura 
ces deux équations, 


æ—0"%,00000951 + À (1°,404) 
æ—0",00000975 + A (0°,407), 
d’où l'on tire 
he 0",00000975 —0",00000951 _ 0",00000024 


RE a APE ET Pong 0) 00000PAÂOT 


Substituant cette valeur de A dans les deux équations prévé- 
dentes , elles deviennent : 

æ—0",000009ÿ1 + 0",000000338— 0",000009848 

æ— 0",00000975 + 0",000000098 —0",000009848. 


438 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Appliquons maintenant la formule générale x—a + Ad; 

1° Aux dix-huit séries d'expériences faites sur la conduite 
n°2, en prenant pour le coefficient À la valeur 0",0000002407 
que nous venons de trouver. 

Nous avons a—0",00000825 et d— 1*,164. 

Ces valeurs numériques substituées dans la formule don- 
nent : 


x — 0",00000825 + 0",000000247(1°,164)— 0,000008537. 


> Aux dix-huit séries d'expériences faites sur la conduite 
n°3,en prenant la même valeur pour le coefficient A. 

Nous avons ici 4— 0",000009020 et d— 1", 243. 

Par la substitution de ces valeurs numériques dans la for- 
mule, elle devient : 


2 — 0",000000020 —0",000002407(1*,243)— 0",000009327. 


Recherche de la dilatation des conduites mises en expérience 
lorsqu'elles sont vides d'eau. 


Nous venons de voir que la véritable température des con- 
duites mises en expérience, température en vertu de laquelle 
elles se dilataient et se condensaient, n'était ni la tempéra- 
ture de l’eau qui y était contenue, ni la température de l'air 
de la galerie dans laquelle elles étaient renfermées, mais 
une certaine fonction de la différence de ces températures. 

Pendant les quatre années que nos expériences ont été 
suivies, on s'est trouvé plusieurs fois dans l'obligation de vi- 
der les conduites : elles étaient alors remplies d'air atmo- 
sphérique qui se trouvait à la même température que l'air 


DANS LA VILLE DE PARIS, 439 


extérieur qui les environnait; on a observé la température 
de cet air, ainsi que les variations correspondantes de‘la lon- 
gueur de ces conduites. 

Nous allons rendre compte de ces observations et discu- 
ter leurs résultats. 


Conduite n° 1. TABLEAU des expériences. 


DATES 


des TEMPÉRATURE. 


observations. compensateurs 


millim. 
11 décembre 1812. 5 1243 ,25 


16 mai 1814....,. 1198 


Moyenne des 16 et 


19 juin 1812..... IT7I ,37 


Comparant ces trois observations deux à deux pour en 
déduire l’alongement par degré, on obtient les résultats sui- 
vants : 


: ALONGEMENT 
DrrréRENCE | ALONGEMENT | ALONGEMENT 


OBSERVATIONS 
ALONGEMENT. de total par mètre N 
comparées. £ À ME degré cen- 
température.| par degré. | et par degré. 


par mètreet 


tigrade. 


0",04525 6,375 | 0",007098 | 0",00001228| 0",000000982 
o ,07188 10 ,160 0 ,007074 | 0 ,00001223| 0 ,000000978 
o ,02663 3 ,785 0 ,007035 |:0 ,00001217| 0 ,000000974 


0",000002934 
Moyenne..| o ,000000978 


4o SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Conduite n° 2. TaBreau des expériences. 


DATES Ixpice 


des TEMPÉRATURE. des 


observations. compensateurs. 


metres 
11 décembre 1812 1248 
21 mai 1813 1205 
24 octobre 1812.. 1199 ,75 


16 juin 18r2..... 1178 ,25 


Si l’on compare ces quatre observations deux à deux pour 
en déduire l’alongement par degré, on obtient les six résul- 
tats dont suit le tableau. 


DrrFéRENCE | ALONGEMENT | ALONGEMENT | ALONGEMENT 

OBSERVATIONS nier 
ALONGEMENT de total par mètre P 

comparées. par degré cen- 

température. ar degré. | etpar degré. . 

P P 5 P Li tigrade. 


| 


6ds ",00716 ,00001239 | 0°,00000997 
575 007148 ,00001233| © ,00000986 
575 007153 ,00001237 | o ,00000989 


6 
9 
0 ,75 3007000 ,00001211| © ,00000969 
370 3007133 00001234 | 0 ,00000987 
3 007166 00001239 30000099 1 


0",00005913 
Moyenne..| o ,00000985 


DANS LA VILLE DE PARIS. 44 


Conduite n° 3. TABLEAU des expériences. 


DATES Ixprce 


des TEMPÉRATURE. des 


observations. compensateurs. 


| pe 
mêtres 
11 décembre 1812. 1255 


21 mars 1813 et 16 


16 et 19 juin 1812 
et 9 septemb.1815. 


Si l’on compare ces trois observations deux à deux pour 
en déduire l’alongement par degré, on obtient les quatre 
résultats dont voici le tableau : 


| 
} DIFFÉRENCE | ALONGEMENT | ALONGEMENT | 'ALONGEMENT 
OBSERVATIONS] ÂLONGEMENT 
par mètre et 
des par par mètre 
comparées. | observé. par degré cen- 


températures degré. et par degré. tigrade. 


0",04500 615,25 0",007200 | 0",00001245 | 0",00000996 
0 ,07000 10 0 ,007000 |o ,00001211 | o ,00000969 
0 ,02500 3 ,75 0 ,006933 | o ,00001199 | o ,00000959 


0",00002924 
Moyenne. . | e ,00000975 


Les alongements moyens par mètre et par degré centési- 
mal, sont donc, savoir : 


FX 56 


442 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


Conduite n° ‘1.......:...4..,  0",00000978 
Conduite n° 2:......%..... 0 ,00000985 
Conduite meer DNA 00075 


0", 00002938 
Alongement moyen........ © ,00000979 


Nous avons trouvé l’alongement par degré centigrade et 
par mètre pour la conduite »° 1, en ayant égard aux tem- 
pératures de l'eau contenue dans la conduite, et de l'air 
de la galerie 0" ,000009848 : ainsi, il n’y a qu’une différence 
de 0",000000068 entre cet alongement et celui de la con- 
duite vide, par degré et par mètre, ce qui permet de regar- 
der ces résultats comme à très-peu près identiques. 

Si nous comparons entre eux les alongements de chaque 
conduite, quand elle est pleine et quand elle est vide; nous 
formerons le tableau suivant : 


| INDICATIONS. VUIDES.  |PLEINES D'EAU.| DIFFERENCES. 


Conduite n° 1. | 0",000009780 0",000009848 0° ,000000068 
Conduite n° 2. | o ,000009850 0 ,000008537 |— o ,o000c1313 


Conduite n° 3. | o ,000009750 0 ,000009327 |— 0 ,000000423 


En jetant les yeux sur ce tableau, on remarque d’abord 
que les alongements par degré de la conduite »° 1, qu’elle 
soit vide ou pleine d’eau, sont à très-peu près identiques, 
tandis que les alongements par degré des conduites 7° 2 
et 3 sont beaucoup plus considérables quand elles sont vides 
que quand elles sont pleines. 


DANS LA VILLE DE PARIS. 443 


Ceci s'explique encore en considérant que les conduites, 
telles qu'elles sont posées sur leurs appuis, éprouvent à s’y 
mouvoir, c'est-à-dire à s'alonger et à se raccourcir, certaines 
résistances de la nature du frottement ordinaire, et par con- 
séquent proportionnelles au poids de ces conduites. 

Nous avons dit que leur diamètre intérieur était de 25 
centimètres, et que le poids de chaque bout de tuyau de 2”, 50 
de longueur était de 340 kilogr., ce qui revient à 136 kilogr. 
le mètre courant. 

Chaque conduite de 578 mètres de longueur pèse donc, 
étant vide, 78608 kilogrammes. 

On trouve aisément que le poids de l’eau contenue dans 
la conduite est de 49 kil. 106 par mètre courant. 

Le poids de l'eau sur toute la longueur des tuyaux est par 
conséquent de 28383 kilog. 

Chaque conduite pleine pèse donc 106991 kilogr., tandis 
qu'étant vide elle n’en pèse plus que 78608. 

Le frottement que les conduites pleines ou vides éprouvent 
sur leurs appuis, ou, ce qui revient au même, les obstacles 
qui s'opposent à leur mouvement étant, dans les deux cas, 
a peu près comme les nombres 107 et 78, il s'ensuit que leur 
alongement par degré d’accroissement de température, doit 
être plus sensible quand elles sont vides que quand elles sont 
pleines, ce qui est entièrement conforme à l'observation. 

Si les alongements de la conduite »° 1 ne different point 
sensiblement entre eux lorsqu'elle est pleine ou vide d’eau, 
c'est-à-dire, lorsque son poids est de 107 milliers ou seule- 
ment de 78 milliers de kilogrammes, cela tient à ce qu'elle 
n'éprouve pas, sur les rouleaux de fonte qui la supportent, 


56. 


444 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


un frottement qui soit proportionnel à la pression, comme 
cela a lieu pour les conduites 7° 2 et 3. 

Nous remarquerons, en second lieu, que la conduite n° 2 
est celle dont les alongements par degré ont présenté la plus 
grande différence lorsqu'elle était pleine et lorsqu'elle était 
vide. 

Nous avons trouvé en effet que, dans le premier cas, l'a- 
longement pour un degré n'était que de 0",000008537, tan- 
dis qu'il était de 0",000009850 dans le deuxième. 

Cette particularité s'explique en considérant que, dans le 
mouvement longitudinal d'une conduite posée sur des coins 
de bois, les fibres transversales de ces coins subissent une 
certaine inflexion analogue à celle que subiraient des fais- 
ceaux de ressorts sur lesquels elle serait posée. Ce n’est donc 
pas seulement à cause du frottement proprement dit que la 
conduite éprouve de la résistance àse mouvoir, elle en éprouve 
encore à cause de l’élasticité des éléments de la surface de 
ces appuis; car elle ne peut glisser sur eux sans les courber 
plus ou moins, effet auquel ils résistent avec plus ou moins 
d'énergie. 

Plus leur résistance est grande, plus les mouvements de la 
conduite dans le sens de sa longueur s'exécutent difficile- 
ment; et voilà pourquoi, ainsi que l'expérience l’a constaté, 
la conduite »° 2 étant pleine ne s’alonge que de 0" ,006008537. 

Maintenant, que l’on diminue le poids de cette conduite 
en la vidant de l’eau qu'elle contient, il est évident que sa 
pression , et par conséquent son frottement sur ses appuis, 
deviendra d’autant moindre; d’où ilsuit, en vertu de ce frot- 
tement moindre, qu’elle agira avec moins de force pour 
courber les fibres transversales du bois. Donc, l’élasticite 


SR 


DANS LA VILLE DE PARIS. 445 


propre de ces fibres opposera moins de résistance aux alon- 
gements et aux raccourcissements de la conduite, et ceci 
explique pourquoi l'alongement de la conduite 7° 2 étant 
vide, a pu s'élever jusqu’à 0",000009850 par degré centé- 
simal. 

Les quantités de dilatation de la conduite n° 3, lorsqu'elle 
est pleine et lorsqu'elle est vide, présentent entre elles des 
différences bien moindres que les quantités de dilatation de 
la conduite 7° 2 dans les mêmes circonstances. 

Des effets que nous avons observés sur nos trois conduites 
de la galerie Saint-Laurent, et des explications naturelles 
que nous avons données de ces effets, il faut conclure que 
la conduite 7° 1, plus libre que les deux autres de s’alonger 
et de se raccourcir par l’action de la température, a sur les 
autres l'avantage de fournir une mesure de la dilatabilité de 
la fonte de fer plus approchante de l'exactitude; c'est en 
conséquence les résultats de nos expériences sur cette con- 
duite qu’il faut comparer à ceux des expériences faites pré- 
cédémment sur des barres de la même matière. 

La seule expérience que je connaisse sur la dilatabilité li- 
néaire de la fonte de fer a été faite en Angieterre au mois 
d'avril 1785, à l'aide d'un pyromètre microscopique de Rams- 
den ; elle est rapportée dans la Description des opérations 
entreprises pour déterminer les positions respectives des ob- 
servatoires de Greenwich et de Paris, dont la traduction a 
été publiée par M. de Prony en 1791. Cette expérience est 
aussi la seule qu’on trouve rapportée dans les différents trai- 
tés de physique récemment publiés; car, ni Smeaton, qui me- 
sura la dilatabilité du verre et de plusieurs métaux en 17954, 
ni MM. Lavoisier et de Laplace, qui se livrèrent depuis à la 


446 SUR LA POSE DES CONDUITS D'EAU 


même recherche sur différentes substances, ne soumirent la 
fonte de fer à l'épreuve. 

D'après cette expérience de 1785, dont les résultats ont 
été traduits en mesures françaises par M. de Prony, une 
verge prismatique de fer fondu d’une toise de long s’alonge, 
pour un degré du thermomètre de Réaumur, de 0,011988, 
ou par mètre, de 0",00001389, et, pour un degré centési- 
mal, de o%,00001111. 

La dilatation par mètre et par degré centésimal a été trou- 
vée, sur notre conduite 7° 1, de 0%,000009848. 

Il y a, comme on voit, une différence de 0”,0000001263, 
équivalente à peu près à — de l'alongement libre, et cette 
différence très-légere est due aux obstacles qu'éprouve la 
conduite à se mouvoir sur les rouleaux qui la soutiennent. 

Ainsi, une conduite en fonte qui, remplie d’eau, pèse plus 
de 106991 kilogrammes, n'éprouve à se dilater, comme elle 
se dilaterait si elle était absolument libre, qu’une résistance 
capable d’atténuer d’un dixième environ sa dilatation libre. 

Comparant à la dilatation libre de la fonte, qui est de 
0",00001111 par mètre et par degré centésimal, la dilatation 
de la conduite »° 2, que nous avons trouvée de 0",00000854, 
on voit que la différence de ces dilatations, due aux résis- 
tances de diverse nature qu'éprouve la conduite n° 2 à 
se mouvoir dans le sens de sa longueur, est exprimée par 
0",000002)7. 

Si notre conduite n° 2, au lieu d’être posée dans une ga- 
lerie voûtée, eût été enterrée sous le sol à un mètre de pro- 
fondeur, elle aurait été chargée par mètre courant d'environ 
300 kilog. de plus, à cause du poids de la terre et des pavés, 
et sur toute sa longueur, de 173400 kilog.; à quoi ajoutant 


sers 


DANS LA VILLE DE PARIS. 447 


le poids de la conduite elle-même et celui de l’eau qu’elle 
contient, montant ensemble à 106991 kilog., on aura, pour 
la charge totale du sol inférieur sur lequel elle aurait été po- 
sée, 280391 kilogrammes. 

Si l’on supposait la résistance à l’alongement proportion- 
nelle au frottement, c’est-à-dire à la pression, on aurait 
pour déterminer cette résistance la proportion suivante : 
106991 “"# : 280391" :: 0",000002b7 : 0",00000673, et ce 
derniernombre représenterait la diminution dedilatation due 
au frottement, Ainsi, au lieu de s’alonger par degré du ther- 
momètre centésimal de o”,o0001111, comme elle s’alonge- 
rait si elle était parfaitement libre, l'alongement de cette 
conduite ne serait que de 0”,00000438, mais il est évident 
que cette hypothèse n’est point admissible. 

En général, quelle que soit la quantité dont une conduite 
d’eau enfouie sous le sol puisse s’alonger ou se raccourcir, sui- 
vant les variations de la température, il arrivera toujours, 
par l'influence de la chaleur sur le métal, que les joints des 
tuyaux dont la conduite est formée se comprimeront avec 


lélévation de la température et se dilateront avec son abais- 


sement. 

Les rondelles de plomb, de cuir ou de flanelle goudron- 
née dont les joints sont ordinairement composés, n'étant 
point parfaitement élastiques, on conçoit que lorsque ces 
joints ont été comprimés par l’alongement de la conduite 
pendant l'été, la matière qui les remplit ne se restitue pas à 
mesure que les tuyaux se raccourcissent pendant l'hiver; les 
joints restant ainsi plus ou moins ouverts, il se manifeste 
des pertes d’eau qu’il faut réparer après avoir souvent passé 
beaucoup de temps à en faire la recherche. 

Lorsque les tuyaux sont terminés par des collets ou brides 


448 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


entre lesquels on a placé des rondelles de plomb , de cuir ou 
de flanelle, et que les joints ainsi composés sont serrés par 
des boulons, leur contraction ou leur dilatation devient en 
quelque sorte impossible, mais alors, les boulons qui retien- 
nent entre elles les brides des tuyaux contigus ou ces brides 
elles-mêmes, se brisent, et leur rupture entraine encore des 
pertes d'eau comme si le joint compris entre elles s'était ou- 
vert dans son épaisseur. 

Voilà pourauoi quand on relève d'anciennes conduites qui 
avaient été posées de cette manière, on en trouve les collets 
brisés de distance en distance. Les anciennes conduites de 
Mariy, que nous avons eu occasion d'examiner, présentaient 
beaucoup d'exemples de ces ruptures. 

Une multitude de fractures semblables eurent lieu sur la 
conduite des eaux de Chaillot, que l’ancienne compagnie 
Perrier fit poser sur le boulevard, depuis la porte St.-Honoré 
jusqu’à la place de la Bastille; quand au bout de quelques 
années et par suite du mauvais succès des spéculations de 
cette compagnie, cette conduite eut passé dans le domaine 
de la ville de Paris, on attribua les ruptures fréquentes qu’elle 
éprouvait à la seule influence des variations de la température 
auxquelles elle était soumise, et comme c'était presque tou- 
jours aux joints de ces tuyaux que ces ruptures avaient lieu, 
onse proposa de Îes prévenir en abattant leurs collets,etenem- 
boîtant leurs extrémités dans des especes de manchons de bois 
formés de douves d'un décimètre ou deux d'épaisseur, entou- 
rées de plusieurs cercles de fer. Les extrémités des tuyaux con- 

“cutifs reçues dans chaque manchon, pouvaient ainsi s’y mou- 
ir en avançant et en reculant, et si la dilatation et la conden- 

“on du métal eussent été les seules causes des ruptures 


DANS LA VILLE DE PARIS. 449 


auxquelles on voulait remédier, il est probable que le pro- 
cédé auquel on avait eu recours les aurait prévenues, mais 
les variations de température n'étaient qu'une cause secondaire 
des accidents auxquels cette conduite était sujette. Le sol du 
boulevard dans lequel elle était enterrée, est, comme on sait, 
un sol factice de peu de consistance, susceptible de s’affaisser 
subitement en différents endroits, par des causes qui ne se 
manifestent pas toujours à l'extérieur. Par suite de ces affais- 
sements accidentels, des portions plus on moins considéra- 
bles de la conduite se trouvant porter à faux, fléchissaient et 
se rompaient enfin sous leur propre poids, et sous celui des 
terres dont elles étaient chargées. 

En Angleterre les conduites d’eau sont aussi enterrées sous 
le sol, et pour les mettre à l'abri des ruptures auxquelles 
elles seraient exposées par l'influence de la température, on 
s'est borné à supprimer les collets qui terminent les tuyaux 
à chaque bout, ainsi que les boulons destinés à comprimer 
les joints formés entre ces collets. Chaque tuyau porte à l’une 
de ses extrémités un renflement dans lequel s’'emboîte le bout 
du tuyau suivant qui est décolleté à cet effet. Tous les tuyaux 
dont la conduite est composée forment ainsi, deux à deux, 
autant de compensateurs semblables à ceux que nous avons 
décrits, avec cette différence néanmoins, que la matière du 
joint n'est point retenue contre la bride fixe du manchon de 
l’un des tuyaux, par une bride annulaire de fonte mobile 
sur le tuyau décolleté qui s’yemboîte (/’oyez la planche fig. 6.) 

L'intervalle compris entre le pourtour de la partie emboîtée 
de celui-ci, et les parois intérieures du manchon qui la reçoit 
est ordinairement rempli d’étoupes ou de vieux cordages que 
l'on y maintient en fermant cet intervalle par une bague de 


j He 57 


450 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


plomb fondu sur place, et chassée de force pour en bou- 
cher exactement l'entrée. On conçoit que si ces matières 
_ étaient parfaitement élastiques et pouvaient former un joint 
parfaitement étanche, les tuyaux dont la conduite est com- 
posée pourraient se mouvoir librement dans le sens de leur 
longueur en cédant aux influences diverses de la température, 
les ruptures de joint et les pertes d’eau qui en sont la suite 
se trouveraient ainsi prévenues ; mais il n’en ést point ainsi : 
quelques précautions qu'on prenne pour remplir exactement 
par la matière du joint l'espace compris dans l'emboîture 
de deux tuyaux contigus, il est extrèmement difficile d’y 
parvenir ; ainsi quelque petite que soit l'amplitude du mou- 
vement d’un tuyau dans l'autre, il suffit que ce mouvement 
ait lieu pour qu'il y ait désunion dans le joint, et qu’il se 
manifeste une fuite d'eau par l’espece de scissure ainsi pro- 
duite. 

En adoptant ce mode de poser les conduites d'eau, les 
associations de particuliers qui entreprennent ordinairement 
à leurs frais et risques ces sortes d'opérations en Angleterre, 
ont eu spécialement en vue d'économiser le poids de la fonte 
employée à la fabrication des brides, et la valeur des bou- 
lons destinés à les réunir. Ces procédés n’ont été envisagés 
que secondairement, comme moyen de prévenir les accidents 
dus à la dilatation et à la condensation du metal, et dont il 
est vrai de dire qu'ils ne les préviennent qu'imparfaitement 
comme il est aisé de le reconnaître. 

En effet, supposons que l'abaissement de la température 
raccourcisse les tuyaux, il pourra arriver que le tuyau dé- 
colleté, en sortant de son emboîture, entraîne avec lui en 
dehors la garniture du joint, et qu'il ne l'y fasse pas rentrer 


DANS LA VILLE DE PARIS. 45i 


lorsqu'il se ralongera, la température venant à s'élever. Or, 
on conçoit que le déplacement de la garniture du joint pour- 
rait laisser , entre cette garniture déplacée et les parois de ce 
joint , quelque espace vide qui livrerait passage à l’eau de la 
conduite. 

Il n’en serait pas ainsi si la garniture du joint semblable 
à celle des compensateurs que nous avons employés se trou- 
vait comprimée extérieurement par une bride annulaire mo- 
bile, qui serait boulonnée à la bride fixe du manchon; car 
alors si, par l'effet du raccourcissement de la conduite la gar- 
niture du joint se trouvait entraînée en dehors par la bride 
mobile, la mème bride la refoulerait en dedans lors du ralon- 
gement, et lui ferait reprendre précisément la même place 
qu'elle occupait auparavant ; il devient même alors superflu 
de garnir le joint dans toute ou partie de sa longueur; il suffit 
de former avec un peu plus de précaution un joint ordinaire 
entre les deux brides fixe et mobile du manchon et du tuyau 
décolleté, lesquels pris ensemble se transforment ainsi en 
tuyaux compensatéurs tout-à-fait semblables à ceux que nous 
avons employés. 

Ausurplus, on parviendrait peut-être à se dispenser decette 
transformation en choisissant pour la pose des conduites un 
état de température tel que l’on n'ait jamais à craindre la dis- 
location du joint par l'entraînement de sa garniture au dehors. 

Si, par exemple, on pose, suivant la méthode anglaise, une 
conduite pendant l'hiver lorsque la température est la plus 
basse, et que par conséquent les tuyaux de fonte se sont 
raccourcis le plus possible, il est clair qu’en s’alongeant pen- 
dant l'été les tuyaux contigus s’emboîteront davantage en 
s’enfonçant l’un dans l’autre, ce qui tendra à rendre leurs 


57. 


452 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 


joints plus étanches. La température s'abaissant de nouveau 
au retour de l'hiver suivant, les tuyaux pourront se raccour- 
cir sans entraîner à l'extérieur la garniture de leurs joints 
qui se retrouveront respectivement dans leurs positions pri- 
mitives. 

Nous ne doutons point qu’en ayant égard à ces considé- 
tions et en procédant à la pose des conduites en fonte dans 
la saison la plus convenable, on ne perfectionne d’une ma- 
niere notable les procédés de pose que nous avons emprun- 
tés aux Anglais. Mais, pour en assurer le succès, il ne faut 
pas seulement perfectionner la façon du joint de manière à 
le garantir des effets de la condensation et de la dilatation, il 
faut encore rendre solide le terrain dans lequel la conduite 
sera placée; et c'est en cela que git presque toujours à Paris 
la plus grande difficulté; car le sol de la plupart des rues de 
cette ville est formé de remblais de toute espèce, qui ne pré- 
sentent aucun appui solide. Pour peu qu'un pareil terrain 
subisse quelque tassement sous une certaine longueur de con- 
duite, elle portera à faux dans toute cette partie, et l'inflexion 
qu'elle éprouvera, tant par son propre poids que par celui 
de la terre dont elle est couverte, comprimera la partie su- 
périeure des joints et ouvrira d'autant leur partie inférieure : 
ce sera par cette ouverture que les fuites d’eau se manifes- 
teront. 

Celles auxquelles donnera lieu le tassement du sol pour- 
ront devenir d'autant plus considérables, que l'épaisseur des 
joints sera plus grande et que leur longueur sera moindre ; 
car les quantités de compression de ces joints seront néces- 
sairement proportionnelles à leur épaisseur, et, d’un autre 
côté, l'inflexion de la conduite sera d'autant plus facile, que 


DANS LA VILLE DE PARIS. 453 


l'emboiture sera plus courte. C’est à ces deux causes réunies 
qu'il faut attribuer les accidents survenus à une conduite de 
trente centimètres de diamètre, qui a été posée il y a quel- 
ques années dans la rue du Faubourg-Poissonnière , accidents 
tellement nombreux, qu’il a fallu relever cette conduite pour 
la poser avec plus de précautions, et notamment en emboi- 
tant les tuyaux qui la composent plus profondément les uns 
dans les autres. 

Lorsqu'on pose dans des galeries voûtées les conduites prin- 
cipales d’une grande distribution d’eau, on se met tout-à-fait 
à l'abri d'accidents de cette nature; car, d’un côté, des com- 
pensateurs placés à des distances convenables préviennent 
les accidents que les variations de température pourraient 
occasionner; tandis que, d'un autre côté, les conduites po- 
sées sur des appuis solides suffisamment rapprochés les uns 
des autres, et n'ayant aucun poids étranger à soutenir, ne sont 
exposées à aucune inflexion. 

La pose des grosses conduites de distribution d’eau dans 
des galeries voütées entraînerait sans doute des dépenses de 
construction considérables, notamment à Paris, s’il n’exis- 
tait pas déja une multitude d’égoûts souterrains, dont le 
nombre augmentera de plus en plus, et dans lesquels on 
pourra sans nouvelles dépenses ajouter à la première desti- 
nation de ces égoüis celle de recevoir de grosses conduites 
d'eau qui pourront y être facilement visitées chaque jour 
et replacées au besoin. 

Les grosses cerduites qui amènent les eaux du bassin de 
la Villette à la fontaine des Innocents, au boulevard Bondy, 
à la Place des Vosges et au Palais Royal, sont, comme nous 
l'avons dit , posées dans des galeries construites exprès depuis 


454 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU 
peu d'années, et dans quelques anciens égoûtsde capacité suf- 
fisante. On peut ainsi les visiter chaque jour ; et depuis vingt 
ans il en a moins coûté pour les entretenir en bon état sur 
un développement de plus de ro mille mètres, que n’ont 
coûté én six mois avant son remaniement les réparations et 
l'entretien de lanouvelle conduite du faubourg Poissonniere 
sur moins de 1,200 mètres de longueur. 
Nous conclurons des faits rapportés dans ce Mémoire : 
1° Que par l'effet de la dilatation et de la condensation de 
la fonte, dues'aux changements de saison et aux variations de 
la température, les conduites de ce métal, posées dans des 


galeries souterraines, s'alongent ou se raccourcissent par . 


mètre et par degré de température du thermomètre centé- 
simal, de 0",00000985; quantité moindre d'environ + de 
l'alongement ou du raccourcissement qui aurait lieu si, au 
lieu d’être retenue sur leurs appuis par le frottement, ces 
conduites étaient absolument libres de se mouvoir, comme 
les barres de fer et de fonte que les physiciens ont soumises 
à l'expérience pour en assigner la dilatabilité. 

9° Que l'effet de cette dilatation et de cette condensation 
de la fonte devenant moins sensible quand les conduites sont 
enterrées sous le sol, n’en opère pas moins la rupture des 
conduites, d'où proviennent des fuites d’eau et par suite des 
tassements qui occasionnent des inondations souterraines , 
et des dépenses plus ou moins considérables, tant en répa- 
rations qu'en frais de recherches souvent infructueuses. 

3° Que si, pour compenser les effets dus aux variations 
de la température, on emboîte les houts de tuyau les uns 
dans les autres au lieu de les assembler au moyen de collets 
et de boulons, il faut que l'épaisseur du joint, c'est-à-dire , 


DANS LA VILLE DE PARIS: 455 


l'intervalle compris entre la surface extérieure du tuyau dé- 
colleté et la surface intérieure du manchon, soit formé d’une 
substance élastique qui présente la moindre épaisseur pos- 
sible, et qui soit susceptible de se renfler lorsqu'elle est pé- 
nétrée d’eau. 

4 Que la longueur de l’emboîture des tuyaux contigus 
soit assez considérable, non-seulement pour que leur déboi- 
tement soit impossible par l'effet de la condensation, mais 
encore afin de rendre difficile l’inflexion de la conduite, la- 
quelle ne peut avoir lieu que par la compression du joint 
en dessus et son ouverture en dessous. 

5° Que, pour assurer la stabilité du joint dans son état 
primitif et le rendre constamment étanche, il est convenable 
d'en resserrer la matière entre une bride fixe ajustée au 
manchon, et une autre bride mobile susceptible de glisser 
sur le tuyau décolleté qui sy emboîte. 

6° Que l’on pourra jusqu’à un certain point s'affranchir de 
cette précaution en posant les tuyaux de conduite assemblés 
à l'anglaise, dans la saison de l'année pendant laquelle la 
température est ia plus basse. 

7° Que des conduites enterrées sous le sol, quel que soit 
le mode d'assemblage de leurs tuyaux, doivent être posées de 
distance en distance sur des appuis solides formés de mas- 
sifs de maçonnerie, dont la résistance prévienne autant que 
possible les inflexions de cette conduite qui en entraîneraient 
la rupture. 

8° Que dans les grandes villes dont le pavé des rues est 
ordinairement établi sur des remblais et des terres rappor- 
tées, il est extrêmement avantageux de poser les conduites 
principales des distributions d’eau dans des galeries voutées 


456 SUR LA POSE DES CONDUITES D'EAU, ETC. 


construites sous ces rues, soit pour cet usage spécial, soit, 
ce qui arrive plus ordinairement et ce qui est plus écono- 
mique, que ces galeries remplissent en outre la destination 
d’égoûts pour l'écoulement des eaux pluviales et ménagères, 
et concourent ainsi au maintien de la salubrité publique. 

9° Enfin, que l'avantage des galeries voütées pour rece- 
voir les conduites principales de distribution d’eau étant au- 
jourd'hui constaté par vingt ans d’épreuve, il est à propos 
de profiter de cette expérience, et de ne point s’exposer à des 
bouleversements de pavé plus ou moins fréquents, à des re- 
cherches de fuites d’eau plus ou moins infructueuses en en- 
terrant les conduites sur un sol susceptibie de tassements, 
comme celui des boulevards et de la plupart des rues de la 
capitale. 


RS RS NE CE CE CPP OPEN 


NOUVEL ESSAI 


DE 


TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE, 


Par M. PUISSANT. 


Lu à l’Académie royale des sciences, le 7 décembre 1829. 


SE 


Notice historique. 


Lis triangles que l'on considère dans les opérations géo- 
désiques sont formés de lignes de plus courte distance sur 
la surface d’un ellipsoïide de révolution. Ces lignes sont 
toutes très-petites par rapport au rayon de cet ellipsoïde 
lorsque les triangles sont destinés à mesurer, soit un arc de 
méridien, soit un arc de parallèle, soit enfin l'étendue su- 
perficielle d’une grande contrée; ou bien les trois côtés sont 
d'une grandeur quelconque, et il en est deux qui représen- 
tent des arcs de méridiens. Les formules fondamentales d’où 
dérive la résolution des triangles de cette seconde’espèce ont 
été données, par plusieurs géomètres, avec plus ou moins 
de simplicité : elles résultent nécessairement de la propriété 
qu'a cette ligne géodésique d'être la plus courte parmi toutes 
celles qu’on peut mener sur la terre entre deux points. 
5 58 


458 NOUVEL ESSAI 


Les premières recherches les plus importantes en ce genre 
sont dues à Euler et remontent à l'année 1753. Ce grand 
géomètre parvint, à l'aide de sa théorie de maximis et mi- 
nimis aux trois équations qui expriment les relations qu'ont 
entreeux les six élémentsd’un triangle sphéroïdique.Toutefois 
Clairaut, vingt ans auparavant , avait déja signalé les princi- 
pales propriétés du triangle sphéroïdique rectangle. 

Des trois équations obtenues par Euler, la première est 
donnée en termes finis, et contient le rapport entre les azi- 
muts de la ligne géodésique et les latitudes de ses extrémités; 
la seconde exprime le rapport entre la différentielle de la 
plus courte distance et celle de l’une des latitudes données : 
la troisième fait connaître le rapport entre la différentielle 
de cette même latitude et celle de l'angle au pôle formé par 
les deux méridiens des extrémités de la ligne géodésique. 
Pour appliquer ces équations aux questions de pratique, il 
est donc indispensable d'intégrer les deux dernières; mais 
c'est une opération que Euler regarda comme très-difhicile et 
même comme impossible dans certains cas. Il était réservé à 
Dionis-du-Séjour d’aplanir cette difficulté d'analyse en faisant 
subir aux deux équations différentielles de la ligne la plus 
courte des transformations qui en simplifient la forme, et 
dans lesquelles les latitudes vraies sont remplacées par les 
latitudes réduites qui leur correspondent sur la sphère inscrite 
à l’ellipsoïde de révolution. On peut voir à ce sujet son Traité 
analytique du mouvement apparent des corps célestes, t. I, 
pag. 3. 

Depuis lors d'autres géomètres mettant à profit cette heu- 
reuse idée, parvinrent à perfectionner et étendre la théorie 
des triangles sphéroïdiques obliquangles. C'est surtout à l’oc- 


DE TRIGONOMÉTRIE SPSIÉROIDIQUE. 459 


casion dela mesure de la méridienne de France, par Delambre 
et Méchain , que MM. Legendre et Oriani établirent, chacun 
de leur côté, les véritables principes de la résolution de ces 
triangles, l'un dans les Mémoires de l’Académie des Séiénces, 
année 1806, l’autre dans les Mémoires de physique et de ma- 
thématiques de Milan , même année. Les formules principales 
de ces deux savants célèbres. ont celade remarquable que leur 
exactitude a lieu pour toute grandeur de la ligne géodésique ; 
ainsi la convergence des séries qui en proviennent dépend 
uniquement de la petitesse de l’excentricité des méridiens. 
Dans le présent Mémoire où se trouve refondu celui que 
je lus dans le sein de cette société, le 17 mai 1813, je me suis 
proposé d'établir la résolution de tous les cas des triangles 
sphéroïdiques quelconques sur les formules mêmes de M. Le- 
gendre, que j'ai démontrées au livre VI de la Géodésie, et 
d'obtenir les valeurs analytiques des éléments cherchés à 
l'aide du théorème de Maclaurin relatif à une fonction d’une 
ou de deux variables, au lieu de les faire dériver de plus 
hautes considérations. Sous ce rapport mon travail est tout- 
a-fait distinct de celui que M. Oriani a publié sur le même 
sujet. J'ai pensé qu’en ramenant la résolution des triangles 
dont il s’agit, à une méthode uniforme, directe, et pour 
ainsi dire élémentaire, il serait plus facile, dans la prati- 
que, de traiter les questions les plus importantes de la 
Géodésie avec toute la rigueur convenable , et d’assigner, au 
besoin , le degré de précision des formules approximatives 
et beaucoup plus simples qu'on jugerait à propos d'employer 
dans la recherche de la figure de la terre. Il est vrai, cepen- 
dant, que des dix-neuf problèmes résolus dans ce Mémoire, 
quelques-uns seulement sont susceptibles de recevoir une 


58. 


460 NOUVEL ESSAI 


pareille application ; mais comme ils forment dans leur en- 
semble une doctrine complète, j'ai cru devoir les réunir afin 
de ne laisser rien à désirer sur cette partie intéressante de 
la science. 


$ EL. 
Formules fondamentales. 


On sait qu'à tout triangle sphéroïdique formé par deux 
arcs de méridiens et une ligne de plus courte distance cor- 
respond un triangle sphérique de même espèce, et que les 
angles azimutaux comptés, par exemple, du nord à l'est, 
sont les mêmes de part et d'autre. Si, en pareille circonstance, 
H'H” sont les latitudes vraies des sommets M'M” du triangle 
sphéroïdique M'PM' ou des extrémités de la ligne géodésique 
M'M", et v'+” leurs longitudes M'PM,M'PM; que les lati- 
tudes réduites des points 77m" sur la sphère inscrite soient 
xx’, et leurs longitudes »#/pm=—v,m"pm =", il existera 
entre les latitudes H'\' et H”3” la relation suivante : 


/ b ! [24 b [14 
(1) tang. —;tang. H ; tangX =; tang. H à 


ab désignant respectivement le demi-grand axe et le rayon 
du pôle de l'ellipsoïde de révolution auquel se rapporte le 
triangle MP M”. 

D'un autre côté si VV" sont les angles azimutaux de la 
ligne M'M” de plus courte distance, les angles en #° et m” 
du triangle sphérique m'r#"p seront les mêmes; et si l'on 
suppose la ligne géodésique M’M'M perpendiculaire en M 
au méridien PM, il existera également entre la latitude H 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 461 


du pied de cette perpendiculaire et sa latitude réduite À cor- 
respondante à celle de 72 la relation 


” , 
tang.\— - tang. H. 
a 


On aura de plus cette autre relation 


cos.1— cos. À sin. V' 
cos. —cos. sin. V” 


| (2) 


et si l’on fait EE «, qu'on désigne par s la ligne géodési- 
que M'M',et pars's’ lesarcs m'm,m"m sur la sphère inscrite; 
enfin par s’s” les lignes géodésiques correspondantes sur l'el- 
lipsoïde, on aura rigoureusement dans les triangles spheri- 
ques m'pm,m'pm, mpm' les relations suivantes qui ramè- 
nent à ces mêmes triangles la résolution des triangles sphé- 


roidiques correspondants : 


EP y__ sin. À cs nm __ Sin. À" 
TT Ann ©: POS A sinA À | 
tang.c” ”_ tang.6” 
tang. w — tang.w = —— 
8 cos. À ? el cos. À ? 
É ’ . 1 ’ : 72 . 72 2 
SIN.s —SIN.w COS.\, Sil.o —SIN.w COS.X, (3) 
1 GE ! " mt 2 
Cos.w —cos. s'sin. V', COs.w —cos.c'sin. V”, 
sin.\— sin. cos.c', Sin.\’—Sin.ÀCOs.6', 
sin. (e” n_ sin.(s"—.')sin. V'- sin. V'__ cos.]" 
APTE cos. À" ? sin. V'" cos. | 


Relativement au triangle sphéroïdique rectangle M'PM, on 
aura ces deux séries, 


462 NOUVEL ESSAI 

$ 2 4 

an ie + gesin. TA ri sin. À 
E . à I 422 4 . 

+ ( Sesin.*1——6<"sin."à }sin.26 
8 32 


DR jou 
— —.€ SIn.'}Sin.46c 
256 4 


(B) p —o— (Le fe esins) 5 COS. À 


I . : 
+ 3, < Sin." COS. x SIN. 26 


écrivant ici, pour abréger, 6, s et o au lieu de ç's’ et o. 
Relativement au triangle sphéroïdique obliquangle M'PM", 
on aura de même, en faisant s—s"— 5", et p—g"—#", 
LA : " L2 Q 3 . 24 
(A”) = (6 IC + fesinr— ge sin.") 


e . 1 . I , 
+ (sin.206 —sin26/)(=esin.1——"°<sin 
8 32 à 


— (sin. 45”— sin. 45) (es sin.) 


(B) o9=w—v— (s'— 0!) (£ E— ; Ce ) cos-X 


772 0 ) do 771 ; Me nl pee É 
+ | 6 += Sin. 26 TT; SIn.25 16° Sin." COS.) 


Ces quatre séries démontrées au chapitre [°° du livre VI 
de la Géodésie, sont d'autant plus convergentes que la quan- É 


tité < est plus petite, quelle que soit d’ailleurs la grandeur à 
de l’are s. Or e’ désignant le carré de l’excentricité de l’el- 
2 2 ; - 


lipsoide de révolution, on a — 5e, et par conséquent 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. Â63 


= £ 2 y: 4 6 
a — =e +e+e+....... 


EE 


ou bien 


D'un autre côté si « désigne l’aplatissement du même ellip- 


à a—b 
soïde, auquel cas a, On aura exactement 


CE —2a—«x, 
ou 
2 Ca 
e—(2a— 0%); ; 
ou enfin en série, 
e—2a + 3° + 4 + RE ONE 


On voit donc que e* et : sont de l'ordre de l'aplatissement, 
et que les séries précédentes sont exactes aux quantités près 
du troisieme ordre. 

Les mesures les plus précises donnant au sphéroïde ter- 


restre un aplatissement de ZE il est entierement inutile, 


dans les applications, de prolonger davantage ces séries ; on 
peut même, dans bien des cas, y supprimer les termes du 
second ordre. 

Après avoir rappelé les formuies qui servent de base à la 
résolution des triangles sphéroïdiques, examinons chaque 
cas en particulier. 


464 NOUVEL ESSAI 
S III. 


Résolution des triangles sphéroïdiques rectangles. 


Ier cas: Étant données la latitude H du pied de la perpen- 
diculaire s et cette ligne elle-même, determiner la latitude 
H' de son sommet, ainsi que la différence en longitude % 
de ces mémes points. 


SoLuTION. D'abord la latitude réduite x s’obtiendra au 
moyen de la relation (1) du paragraphe précédent; ensuite si 
l'on retourne la série, (A), c'est-à-dire si l'on cherche & en 


fonction de _ on trouvera facilement, par la méthode des 


coefficients indéterminés employée à l'art 363 de la Géodesie, 


(1 sin.”1 + Z sin n) 
Ty 2% . 64° . 


. SI ere LM A, LE ner 
— SIN. 2; |ZESIN. À —-— € Sin. 'À 
8 16 


\ 


b 
© cos 25 (< sin n) 
SEPT BNC 
biogte St à 
À GE sin. 4>sin. À 


PIOIDICLONDIO DROIT DICO 


(C) 


—+- 


Connaissant « on tirera la latitude réduite }! de sin. — 


tang. }’ ; 
28 ; et lon aura la 
tang.À 


longitude + , comptée du méridien PM, au moyen de la série 
(B). Enfin l’azimut V' sera donné par l'équation 


sin.} cos.5, puis l'angle w de cos.w — 


cos. À 


in. V'— . 
si cos. }’ 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 465 
Si l’on voulait obtenir directement la latitude réduite X 
on opérerait ainsi qu'il suit. 
De ce que sin.» = sin. cos.c , On a évidemment 


(4) Sin. \ —Sin. } COs. G + :) : 


en désignant dans la série (C) tous les termes en + et = par x. 
Il n’est pas moins évident que si », exprime la valeur de ?' 
lorsque + ou :— 0, on aura 


. . S 
Sin.\, — sin. | COs. 2° 


et, par la série de Maclaurin, 
1088 dv 1/d'X\ 
À Head C)r+: (5): <roobône 


ayant soin de faire r—o après les différenciations. Or la 
relation (4), donne 


. a Ss 
da) sin. À Sin. k 2 
ae rene ——— tang.x.tang.; — M 


d\ 1 (dX Na ; 
7 )=tungx (9) tnga,=N, 


et l'on a, aux termes près du troisième ordre, 


A A I ue i s Le A s 2 
Fe sin.‘ |} + = sin. 2°] £ 
partant 
N—}!,— = Misin.:x Ê +-sin. 2] 
4 b 
Mens | eMOMeUtr hu 
+-5M: sin. [25 + sin. 354 5006.25+ À sin, 45] 
NT le re LOT 
+ZNe sin x [5 + Sin 2; | 


is & s 59 


466 NOUVEL ESSAI 

Telle est l'expression analytique de la latitude réduite )' : en 
y négligeant les termes du second ordre en :* on retombe 
sur la valeur que nous avions obtenue dans notre premier 
Mémoire, par un procédé élémentaire, mais moins général 
que le précédent. Il est inutile d’avertir qu’il faudra recourir 
à la relation (1) pour avoir la latitude vraie H' cherchée. 


IIS cas. Étant connues la longueur s d’un arc de plus 
courte distance perpendiculaire au méridien P M et la diffe- 
rence en longitude + des extrémités de cet arc, trouver les 
autres parties du triangle’ sphéroïdique rectangle. 


Sozuriox. Le triangle sphérique correspondant au triangle 
sphéroïdique donné offre cette relation, 


tang.S, 


tang. O—= ox 5 


. . . s 
ainsi en faisant 6—9 +y ets—;+ 7, ON aura 


(5) cos.1—cot.(o +)tang. G + ). 
Supposons maintenant que ?, soit la valeur de lorsque y et - 


sont nuls à la fois, alors à sera une fonction des deux varia- 
bless et et +, et par lethéorème connu, on aura généralement 


IN 7 en u + (2) Gare 00e 


Nous négligeons ici les termes du second ordre pour sim- 
plifier. Différentiant l'équation (5) successivement par rap- 
port à & et r,il viendra, après avoir fait nulles ces variables, 


Des ang. NX cot.p 
ee sin. À, Sin.°® ? nm) . s 


sin. À, cos 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIODIQUE. 467 


D'un autre côté l’on a, par ce qui précède, aux termes pres 
du deuxième ordre, 


=? +-  — sin,à[; sin. 2° 
Op -E EHESS DATE à 41 + ;+ssinsl; 


ou 


W—p + 2e COS.) ; 


partant, au même degré de précision, 


HS 
m—:e7Cos.X 
——"{;sin”} É © sin. 2 ? 
D— 3° in}, UE 5 1 


Concluons de là que 


s cot.X,cos.À, 1 sin.\cot.p[s r . s 
Rene name: |: 

sin. 2œ 4 RS b 2 b 

cos? 


série dans laquelle cos. à, = Cot. ptang. 3: 


Le moyen d’avoir À avec plus d’exactitude serait de pousser 
la série précédente jusqu'aux termes du second ordre inclu- 
sivement; mais il est plus simple de déterminer, à l’aide de 
cette valeur approchée, le côté & et l'angle opposé v par les 
formules entières (C) (B), en négligeant toutefois les termes 
du troisième ordre; ensuite d'évaluer cette latitude réduite 


par la relation 
tang.G 


COS.1— 
tang. w 


2 


dans laquelle les angies « et w seront alors connus et exacts 
aux quantités près du troisième ordre. 

Quand on aura ainsi la valeur de à on passera à celle de » 
ou de la latitude réduite du sommet de la perpendiculaire, 


59. 


468 NOUVEL ESSAI 


laquelle sera donnée par une des relations (3), savoir : 
sin.\ —Sin. À COS. ç. 


Enfin, l'on tirera l'azimut V' de l'équation (2). - 

Lorsqu'on ne veut ayoir égard qu’aux termes du premier 
ordre en <, on peut obtenir directement l'azimut V' par le 
procédé qui vient de donner la valeur approchée de à. En 
effet le triangle sphérique rectangle, destiné à remplacer le 
triangle sphéroïdique, donnant 


sin. V —%®° 
Epices 


on a, conformément à la notation ci-dessus, 


si vreuéose (EF). 


— ; ï 
cos.( 54 +) 
et par conséquent 
aN’ dV' 
VE: Ne Je ." es =): FERA 


en nommant V, la Dit de V' correspondante à la fois à y 


et r—0. Mais alors 
? 


? 


cos. 
8.7 


et les coefficients différentiels du premier ordre sont 


En ptang.V, ee T)=tang., ;tang. V, 


mettant donc ces valeurs dans la série précédente, ainsi que 
celles de 4 et - citées plus haut, on aura définitivement 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉKOIDIQUE. 469 


VI=VIE= 2e ;tang.> tang. V,' 


! G\\e s 
sin.(9 +ÿ)sin.(e—5) 
—- 0 5P1be afin tang. ;tang. V,' É + sin. 2; | 
+ sin? cos Ÿr y 


On voit, par ce résultat, la correction qu'il faudra faire à 
l'azimut V,/ calculé dans l'hypothèse sphérique, pour qu'il 
satisfit à la condition d’ellipticité du sphéroïde. Dans la 
recherche de la figure de la terre, on détermine de préfé- 
rence la longitude + par l’azimut V’: tel est le cas suivant. 


INT cas. Connaïssant la longueur s d’un arc perpendicu- 
laire au méridien et l’azimut V' de cette ligne de plus courte 
distance sur l'horizon de son sommet, trouver les latitudes H'H" 
de ses extrémités et leur différence + en longitude. 


Sorurriow. Le triangle sphérique correspondant au triangle 
donné procure évidemment la relation 


An RL A 3 
8 nc ? 
. . . . S 
ainsi, en faisant comme ci-dessus, «—;+ 7, l'on a 
cot. V' 
ang N 
. Ë T 
sin. (3 + ) 
Si donc », est la valeur qu'acquiert à lorsque +— 0, on a 
‘ cot. V’ 
ne 
SU 


et, en vertu du théoreme de Maclaurin, 


NOUVEL ESSAI 


sua é 1172 4 NNEET, 
=, + )r +: (53) LOT 


Reste à déterminer les termes de cette série. Or on a, en 
n'évaluant que le coefficient différentiel du premier ordre, 


PS 
1 
Q 


d} sifueix 
(SZ) ==; —tang. À, COt. 3 COS." X ; 


et l’on sait, par ce qui précède, que 


——°{ssin7, | © :sin. 2 »| 
T= 2 À [g+isi NAUIES 


quantité exacte aux termes près du second ordre; ainsi au 
même degré de précision, 


I 


A7): 
54 


in; CN I at a 
e Sin. 2, cos.2, cot.ÿ [5 +5 sin. 23 | ; 


à sas cot. V’ 
MAIS SIN. - — donc 


Bb tang.X,? 


I 


\=X, + 
4 


. S'Is Le s 
sin.‘ . V'cos.;|-+-sin.2; |. 
€ x tang. V'cos.? [5 + sin 2; 

Sans prolonger davantage cette série, on pourra avoir une 
valeur plus exacte de à en introduisant celle-ci dans la série 
(C), sauf à rejetter les termes supérieurs au deuxième ordre; 


puis en calculant la formule rigoureuse 


cot. V’. 
7 ? 
sin.G 


tang.1— 
ensuite on aura 
sin.\ —5sin.Cos. 6 


COS.w— Cos.csin. V', 


et la longitude + s’obtiendra au moyen de la série (B). Enfin 


DE TRIGOMÉTRIE SPHÉRIODIQUE. 471 


des latitudes réduites 1x’ on passera sans difficulté aux lati- 
tudes vraies HH” auxquelles elles se trouvent liées par la 
relation (r). 

Cherchons directement la longitude +, mais bornons le 
degré de précision aux termes du premier ordre; on aura 


d’abord 
cos. w— sin. V'cos. G + =) ; 


ensuite appelant «, ce que devient « lorsque + —0, on pourra 
écrire 
AE do ï 2@ 3 
d—= 0, + (+5) A ococé 


e . . S 
et w, se tirera de la relation cos.w, —sin. V'cos.;. D'un autre 


côté 
au sin, V'sin. : à 
= — Cot.w.tang.;, 
ae Z sin 2 s I in ve » 
GE In. [3+ssi n sis 
de plus 


O—P +u—9 + 27 COS.) ; 
on aura donc, toutes substitutions faites, 


sin, V'sin. > 
a, at cost ete pee el | lin n° |. 
rar STD © QU SSI 0 ML) PE en 2]? 


formule dans laquelle», se déduiradela relationtang.r,— EE 


sin. 
Si l’on voulait avoir l’angle w exact jusqu'aux termes du 
second ordre inclusivement, il serait nécessaire de substituer 


dans tous les termes de + pour à sa valeur approchée précé- 


472 NONVEL ESSAI 


dente, et d'évaluer le coefficient différentiel 


CRC D )cot.; do? _ do \2 t 
= )=( (7) co |: —(S Jo 0. 


Cette opération n’ayant rien de difficile, nous nous borne- 
rons à l'indiquer. / 


IV® cas. Étant données la perpendiculaire s et la latitude 
H' de son sommet, trouver tant l'azimut V' de cette ligne 
sur l'horizon de ce point que la latitude H de son pied, et la 
longitude o. | 


Socurion. Apres avoir déterminé \', on aura recours à la 


relation 
sin. \ sin. 


——— —= SRE GN) 
COS cos. (e +s) 


pour obtenir, comme dans le problème précédent, la valeur 
de à exacte seulement jusqu'aux termes du premier ordre 
inclusivement. D'abord on aura 


SD — 


Ë sin,’ 
SIN. = ——- ; 


cos. > 
‘D 


ensuite à cause de 
di 
À =), + (5 +. ne. 
T 
et de 
dx s 
Co —tang.r.tang.7, 


il viendra définitivement 


Lesin” UE ina |. 
aa tang.1tang. z Lo+ ssin.2 | 


1 
l 


dé 


nm a, 


a 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 473 


Cette valeur approchée servira à calculer la série (C) dont 
on conservera tous les termes, et l’on aura, avec l'exactitude 
requise, 


is sin. À’ 4 cos. À 
Sin. —= >; Sin V—=——; 
COS. cos. À 


enfin la solution du premier cas fera connaître la longitude +; 
ou bien l’on cherchera directement l'angle w, comme dans 
le problème précédent, lequel sera donné par la relation 


. S 
sin. (; +) _ sine. 


cos. \' =,cos=){ 


Sin. 6 — 


et l’on déduira ensuite l’angle © de la série (B) dont les élé- 
ments « et 1 seront connus par ce qui précède. 


V® Cas. Connaissant l’azimut V' de la perpendiculaire et 
la différence + en longitude de ses extrémités, trouver les 
latitudes de ces points et la longueur de cette ligne de plus 
courte distance. 


Sorurion. Comme daos le triangle sphérique m'pm, sub- 
stitué au triangle sphéroïdique donné, on a la relation 


sin.\ — cot. V'cot.(p + u), 


lorsqu'on désigne par & tous les termes en « dans la série (B), 
ou ce qui est de mème lorsqu'on fait w—9+u, il s'ensuit: 
que si \,' est la valeur de » correspondante à 5 —0, on aura 


sin.}, —cot. V'cot.o, 


d\ d?\ 
D) nes A: cet ele ë 


et 


474 NOUVEL ESSAI 
mais d’une part 


dx cot. V' tang. À, 
En) M er Se 
dy. sin.” @ cos, À, sin, 29 

d'autre part la série (B) donne, en ne conservant que le terme 

du premier ordre, 4 


u—;66COS.), 
ou bien assez exactement 


pu —:;e6a COS.) ; 
partant, 
tang.}, 
sin. 2 9 


N—= À —:56, COS. À, 


On a d’ailleurs rigoureusement 
COS. w — cos. 6 sin. V', 


ou, aux quantités près du premier ordre 
L) , 


__ cos. EMRCORNRE 
COS. yrr €t de DU tang.1,— nes à 


donc enfin tout est connu dans l'expression précédente de \. 
Cette latitude réduite n'étant donnée qu'approximativement, 
les valeurs de à et « du même ordre se tireront des relations 


sin.X . 


cos: cos.) Sin Ÿ-h0c08!5 25-—— 5; 
sin. À 


alors en substituant celles-ci dans la série (B) on obtiendra 
w aux quantités près du troisième ordre. Ensuite on aura 
au même degré d’exactitude, à l’aide de cette formule rigou- 


reuse 
cos. @ 


SCO 


et la ligne géodésique s sera donnée par ia série (A); enfin 


RE PE sotppeat 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 475 


ies latitudes réduites »',x seront exactement données par ces 


relations 
sin.\ — cot. V'cot.o 


cos. —cos.x/sin. V’. 


Si l'on était curieux d’avoir immédiatement la ligne géo- 
désique, on partirait de la formule rigoureuse 


_ cos: (p+v) 


COS. 6 = 
SITE OV 


laquelle servirait à procurer les valeurs des coefficients dif- 
férentiels de la série 


En effet on aurait 


__ cos.p LTIEN EEE aix 
cos. Re A0 ) —tang.opcot,. Go 


de plus à cause de y—=:56,cos.2,, il viendrait 
6 — 6, + +e6, COS.) tang. o COt.c,. 
on sait d’ailleurs que 


EUrS 245 I si 2 PEER S 
Sn 20 a REA n. Æ RS 25] 


aux termes près du second ordre; ainsi donc 


s I RÉEL SET Pre Sa} 
5% +66 COS. tang.pcot.s, + esin.’x [5+isin.2;] e 


mais cette formule n’est suffisamment exacte qu'autant que € 


est fort petit, comme dans le cas du sphéroïde terrestre: On 
vot. V' 


fera attention que ?, se déduit de tang.1, = —— 
sin. ©, 


60. 


476 NOUVEL ESSAI 


Il est évident qu’en introduisant dans la série (B), et dans 
la relation cos.1— cos.»'sin. V', les valeurs approximatives 
de x et « que nous venons de trouver, on aurait y ou la 
somme de tous les termes en +, exacte aux quantités près 
du troisième ordre : alors en évaluant le second terme de la 
série qui donne »', et ayant égard pour cela à ce que 


PIN FN 2 (22) cot 

2) =) FPE An Jet» 
on obtiendrait directement cette latitude réduite au même 
degré d’exactitude que par le procédé ci-dessus. 


VIe cas. La latitude Wet la différence en longitude + étant 
données, trouver l'autre latitude H et la ligne géodésique s. 


Sozurion. Pour résoudre cette question, partons de la 
relation 
tang.À'__  tang.\ 


RE cos.&@  cos.(p+4) ? 


et appelons comme à l'ordinaire ), la valeur de x correspon- 
dante à y —0; on aura 

tang.\ . 

cos. ? 


tang. x, — 


expression toute connue, puisque x est la latitude réduite 
du sommet de la perpendiculaire s dont la latitude vraie 
donnée est représentée par H'. 

On a d’ailleurs, par la série de Maclaurin, 


et comme 


d'A : \ t + 
CEE: ,COS.3, tang.®, 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 477 
que de plus 
u— ec COS.X;, 
on a par conséquent 


—}, + <eocSin.}, COS."X, tango. 


Mais il s’agit, pour calculer x, d’avoir « aux termes près du 
premier ordre: or à cause de 


sin. —sin.(p + y)COS.\', 
on a,à ce degre de précision, 


. Sin.c,—Sin.y COS.) ; 


par suite 
AY, + +6 6,SiN.X, COS.’ tang.p 
y COS: : 


cos. 6, 


eo 


6 —6, + +ec, COS.X, COS. À 


Maintenant l’on aura l’angle « exactement en substituant 
ces valeurs approximatives dans la série (B); puis au même 
degré de précision, la valeur de x se déduira de la relation 
ci-dessus , qui sert de base à notre solution, et celle de s s'ob- 
tiendra en évaluant tang.s—cos.\tang.o; enfin la longueur 
de la ligne géodésique s se tirera de la série (A) dans laquelle 
1 et seront connus au degré d’exactitude requis. 


VIIe cas. Étant données la latitude H du pied de la per- 
pendiculaire et la longitude $ de son sommet, trouver les 
autres parties du triangle. 


Sozurion. Une des relations (3) donnant 
tang.o—cos.\tang.(o +u), 


en faisant, comme dans la solution du deuxième problème, 


478 NOUVEL ESSAI | 


w—9 + y, il est évident que l’on a 


=. + (+: ()e Hide ete 


et que la valeur de 6, se tire de la relation 


tang. 6, =— COS. ose D. 
z)= EL 2. 
sin. 29? 


D D Ennng en se , 


Mais d’une part 


d'autre part 


en négligeant les termes du second ordre; partant 
L 


sin. 2 o, 


G— 6, + —e0,COS.À — 
sin.29 


Maintenant, si l'on introduit cette valeur dans la série (B), 
il viendra 


FR I SELON TOME RS 
o=p+ (Dee Tee sin. à ) 5, cos. 


sin. 26, 


1 
+ 5e 6, COS.‘ 


11 . . 
à HS he e° Sin.” COS. À SIT. 2 6,. 


Connaissant par ce moyen l'angle au pôle sur la sphère in- 
scrite, Où aura 


cos. . 


, ] t= = 
tang.\ —tang.1cos.w, et sin.V DEA 


puis déterminant & à l’aide de 
tang.s— Ccos.x tang.w, 


on pourra enfin évaluer la ligne géodésique par la série (A). 
Indépendamment des sept cas précédents, il en est encore 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 479 


trois qui se résolvent immédiatement par les formules fon- 
damentales du $ IL: ce sont ceux'où l’on connaît dans uu 
triangle sphéroïdique rectangle, 1° H et H'; 2° H et. V'; 3° 

_H'et V': c’est ce que l’on reconuaitra à la seule inspection 
de ces formules. Occupons-nous maintenant des problèmes 
suivants. 


S IV. 
Résolution des triangles sphéroïdiques obliquangies. 


1% cas. Étant donnés l'azimut V' et les latitudes H'H' des 
extrémités M'M" de la ligne géodésique s, trouver les autres 
parties du triangle sphéroïdique M'PM'. 


Sozurton. Après avoir évalué les latitudes réduites xx" au 
moyen des relations (1), on calculera la latitude réduite à 
du pied M de la perpendiculaire M'M'M à l'aide de cette 
autre relation 

cos.1—cos. \ sin. V’, 


et les triangles sphériques rectangles m’ pm, mpm, don- 
neront \ 


D.\ Sim" | 


cos nes cos 
Lin AE TE UE 


sin. À? 
puis le triangle obliquangle m'm"p, donnera 


. VRORIN AE TG 0 1) / 

sin. (6 Me sin. V”. 
On connaîtra donc tout ce qu'il faut pour tirer définitivement 
des séries (A) (B') la valeur de la ligne géodésique s et la dif- 
férence en longitude +, et d’une des relations (3) l’azimut V”. 


480 NOUVEL ESSAT 


II° cas. Connaïssant la latitude H', l’azimut V' et la lon- 
gueur s de la ligne géodesique ; déterminer la latitude H, 
l’'azimut NV" et la différence de longitude o. 


SoLuTion. On commencera par évaluer à, 5 et w' au moyen 
des relations 
tang. o' 
cos. } 


sin. 
cos.1— cos.» sin. V', cos. ==. tang.w — 


2 
dans lesquelles x est donné par la formule 
nié 7 
tang.\ — > tang. H'; 


ensuite on déterminera 5” en retournant la série (A) par le 
procédé suivant déja employé à l’art. 362 du tom. II de la 
Géodésie. 

On tire d’abord de cette série, en n'ayant égard qu'aux 
quantités du premier et du deuxième ordre, 


= it Lesin.”} + Ze sin.{} 
G C7 né 64° in. ee 


NA Eu HR Le: 2e 
—(sin.26'—sin.26) (. sin. À — Re sin.) 


- 7 k É Xp 
+ (sin. 4 —sin. 4e) (5e sin. à) , 
ou, ordonnant, on a 


"1 $ 


'—5—;— [sin à + gsin. 21(sin.26"—sin. 26!)| 


(51 12 
+e [Zzsin: À + sin. #(sin.26—sin.25) } (A) 


+ sin. #1 (sin. 46”—sin. Go] 


résultat déja donné par M. Legendre. 


DE TRIGONOMETRIE SPHÉROIDIQUE. 481 
On voit donc qu’en général 
S 
s—6—;+Pe+Q2+ cale 6 8 (A7) 


ainsi on aura à fort peu près 
. 7 : 40 DS 
sin. 26 —Sin. 2( +;) + 2 P:cos. 2 ( ne 7) 


sin. 4’ —sin. 4 (s! + 5) ; 
de là 
Sin. 26'— sin. 26 —sin. 2( + 7)—sin.26 +2P. cos.2( 5 + 5) 
et 
sin. {o'— sin. 46! —sin. 4 (- + 5) ST 60 
ou bien 
Sin.26'— Sin. 26 —2C0s. (2 5 + 3) sin. ; + 2Pecos. 2 (+ 5) 
sin. 46'—sin./4c —2çcos. (4 s' +2 :) sin. 25. 
Substituant ces valeurs dans (A”) et comparant la série résul- 
tante, terme à ‘terme, à celle hypothétique (A”), on trouvera 
I S 


MES Sprasdan Les di PAR Sd 
P=—;;sn. À q sin. Asin.; cos. ( 2 +3) ; 


alors éliminant ce coefficient P de la série (A”), il viendra 
définitivement 


DER ES É ee e RARE à 
s'—5 +7 (1 PAPER Sin. à) 
in. 2 +5) ( sin/\— 2 e<’sin D 
— sin. ;cos. ( s+3)(Gesin. 5° L 
s / F (fc 1854 1w 
+5cos.(26+ 25) (Se sin. x) (A”) 


in. > (2 +5 )cos (2 RG e 2si a) 
+ Sin.zcos. 6 2 à G ;) 16° n. 


in. 2° Po NE sin tn) 
+ sin.2;cos. (4e + 7) (x: sin. à) : 
T. X. 61 


482 NOUVEL ESSAI 


Il s’agit maintenant de passer de cette valeur de &” à celles 
de x”, w”, V”, lesquelles seront données par les relations 


cos.\—cos.X sin. V', sin.\’—sin.xcos.c’, 


©. ; COS AE 
g 72 | JA 
yes in V 
cos. ? se FETE à 2 


et de déduire la différence de longitude 9 de la série (B'). 
De cette maniere le problème sera complètement résolu. 
Au lieu de passer par la latitude réduite x” pour avoir 
l'azimut V'on peut obtenir cet angle plus directement ainsi 
qu'il suit. 
Après avoir déterminé x et s' au moyen des relations 


cos.1— cos.X sin. V', cos.5 — AUS à 
sin. À 

on évaluera &"— 5 par la série (A"),et l’on connaîtra de cette 

maniere les quantités dont se compose le second membre 

de cette formule 

tang.\” sin. (s"— 5) 4 cos. V'cos. (s"— s). 


ce sin. V' 


Si l'on veut au contraire déterminer V”" par la série de Ma- 


. s 
claurin, on fera dans la formule actuelle, s—5—; + r,et 


b 
l’on aura généralement, à cause de la petitesse de +, 


7 CA’ H}/ A2 MAS À 
V 2H) (Er rico :o: 


alors Z sera la valeur que recoit V” lorsque +—0. Effectua n 
les différentiations indiquées, on obtiendra 


av" sin? Z [eos.V'sinÿ—tang.X cos. 


( ){ ë Elie jy 


d>:, sin. V' 


avt à 
Tr )=2Moot.Z + sin.Z cos. Z=N; 


, DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 483 
et à cause de la série (A") dont tous les termes en set e* re- 
présentent la valeur de + exacte jusqu'aux quantités du 
deuxième ordre inclusivement, on aura 


V'—7—M. 5 (Ge ar e° sin.) sin’ 


a S RO TA MORE LE OL: 
— Msin.F cos. (2 +) (Gesin. \— gesin. à) 


À 1592) (—esin. 
+ M. cos. (26 +2) (%: sin. à) 


TS l'E ! 2) eee te 
+ M:.sin.>cos. (26 +;) cos {2 6 + 23) (ec sin. à) 


Pb s 1 s AE 
+ M.sin.»ÿcos. (a + 2) C sin. à) 
I N Lo ao US ( h s 2}, 
HN. sin. |; + sin.ÿcos. 26 +3)| 2 
série dans laquelle Z a une valeur déduite de la relation 


$ 


. $ 
tang. N sin.- +- cos. V' cos: 
g. À aa o 08: 


cot.Z— sin. V’ 


IIIe cas. Étant données la ligne géodésique s et les lati- 
tudes H'H" de ses extrémités, trouver les azimuts V"V' et la 
différence ‘en longitude o. 


SocuTion. On déterminera en premier lieu les latitudes 
réduites XX”, ensuite on aura dans le triangle sphérique obï- 
quangle correspondant au triangle sphéroïdique donné cette 
relation 

sin.\ —sin.\” cos. (5'— 0) + cos. \'sin.(s"— 5/)cos. V”, 
de laquelle, en faisant &'—6—6, on tire 
q 1 , 


sin. } — sin.\" Cos.c 


cos. V'— 3 
cos. À" sin. 


Gr. 


48/4 NOUVEL ESSAI 


Maintenant soit =? +-;onaura,en vertu de la série (A), 
BRON a = 2 EL CEE ui Q Has 2 ! 
Dr gg sin —3esin. à [isin.2 5 sin. 25 | 
+ ee sin {\|ir4 3 436 (sin. 26"—{sin.25!) 
128 10 2 2 


+ sin. #—{sin. 4] 4 
ou : 
(D) 5——e;sin."1—"esin.°1[A0)] 
AM Due 4 É 
+ e sin." [ra 16 AM) + ao] ; 


lorsque, pour abréger, l’on fait 
£sin.26 —{sin.26— A0), sin. {co —+sin. 40 — A), 


D'un autre côté la série de Maclaurin donne généralement, 
en appelant Z la valeur de V” correspondante à :— 0, 


” CAE LAN OS 
V =2+(5)5+ (5): ONE 


et en différenciant la relation ci-dessus, il vient, apres avoir 
fait + — 0, ainsi que l’exige la série précédente, 


AV" cot. Zeot.? —tang.2" 


I sin, Z =M, 
d 


get V'en Z. Dans ce cas Z est 


puisqu'alors 5 se change en 
donné par l'équation 
sin, N — sin. }” cos. 
AA LE ; ; 
cos. }" sin. 5 


cos. Z— 


ainsi l’on a, en ne conservant que les termes du premier 


LA LA 0 
DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 485 


ordre, Pons 
— 1 MIT: 


Mais cet angle azimutal ne pourra réellement être évalué 
qu'autant que les éléments qui entrent dans l'expression de + 
seront déterminés avec une exactitude convenable. Cherchons 


donc à et remarquons qu'à cause de 
cos.x — cos.x'sin. V’—cos.x’sin.(Z + M), 
on a, en désignant par ?, ce que devient À lorsque r—0, 
cos. — cos. , + Mrcos.r, cot.Z; 
expression dans laquelle cos.»,— cos.x’sin.Z. De là 
1—=ù, —Mrcot.r,cot. Z—2,—u. 
D'un autre côté 


ARE TASSE sin." 
08.6 Sn. À  sin.(k —#)? 


LD PARSID NN 
ainsi faisant COS.5, == 


> On aura 


“0 


cos. «'— cos. + Mr cot.’à,c0s.5,"cot.Z 


et 
= 6;—Mrcot.à, cot.s."cot.Z. 


Il est évident qu'on a pareillement node em set 
sin. À 


—=6;—M-cot."1, cot.c, cot.Z; 
ainsi, d'une part, 
sin.x —sin.x, — Mrcot.x, cos.2,cot.Z 
sin.’1— sin", —2 M r cos.’ 1, cot.Z. 
D'autre part ; 
sin. 26/— sin. 26, — 2M-cot.",cot.Zcot. 5, C0S.26, 
sin.26"—sin.20,— 2M- cot."1, cot.Z cot. 6 COS.26, 3 


486 NOUVEL ESSAI 


par suite, et en vertu de la notation adoptée dans le pro- 
blèeme précédent, 


+ (sin.26”—sin.26)— À,(? 


— M cot."1, cot.Z[cot.<”, cos. 26,"— cot. 5, cos. 25,']. 


Telles sont les valeurs à substituer dans la série (D); mais 
il faudra de plus mettre dans le second membre pour + sa 


valeur approchée + — — 4 sin.”}, G + a ,dans laquelle A,” 


exprime, par abréviation, le binome ‘sin.26/—:sin.26,. 
On trouvera définitivement, en n’ayant toujours égard qu’aux 
termes du premier et du second ordre en :, 

I 


See | RON : 2 S eo 
GG Pr PAS A [5 + A4 


— _ M sin.”},cos.°1, cot.Z F5 + A] _ 
[2 G he A9) + cot. «COS. 2 6, — CO. 6, COS. 26 | 


ï 
si 128 


sin, | 1454 16 A," + A.) 5 


! 


alors ç'—5' étant connu par cette série, il ne s'agira plus 


que d'évaluer V' au moyen de la relation 


sin. \ — sin. À” cos. 


cos. V'— : 
cos. À” sin.s 


1 
c'est-à-dire de trouver un angle d’un triangle sphérique dont 
on connaît les trois côtés. 


Mais l’on peut avoir directement V' en évaluant le coeffi- 


d NV" PA : 
. ) de la série ci-dessus, et poussant le 
| 


cient différentiel ( 


développement jusqu'aux quantités du second ordre. D'abord 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 487 
on obtient 


/d°V" _ 25 7 A0 # s dN"' 2 à 
Tr)=—cotZ [cosec. ae (Er) tang.Z cot.> + (T) ] 3 
Puis si l’on substitue dans la série (D) pour sin.*}, Sin.26 , 


sin.26 et + leurs valeurs données plus haut, on aura 


I 


T—=——- 


4 
— Re Msin, cos.” }, cot. Z Ë de A °)] | 


esin.’à, Ê Le A°| 


Ë G + A‘) +. cot. 5,” cos. 2 6,— ot. 6,/ cos. 2 | 


SE ere PAPE 
ee sin", | 143 + 16, +A |); 


et par conséquent 


I . à L 2 
T'—-gesin x Ê <F A®)] 2 
Les trois premiers termes de V' sont donc connus mainte- 


nant. Quant à l’azimut V', il se déduira de 


sin. V' cos." 
sin. V" cos. \ ? 


et l'angle 4 s'obtiendra par le moyen des équations (2) (3) du 
S IT, et de la série (B'). 

Occupons-nous de la recherche plus immédiate de l'angle 
?,et dans ce but déterminons d'abord l'angle correspondant 
sur la sphère inscrite, savoir l’angle 6 — ww. 

De la relation 


si . « 
cos. G + 5 )=sin.» Sin.)"+ COS. \ COS. N”’COS. w , 


on tire, en faisant r—0, 


488 NOUVEL ESSAI 


S . . 
cos. x — sin. }’sin.}" 


OS. — 7 
SEC cos. \/ cos. À" 


? 


et l’on a en outre, dans la même circonstance, 


. s 
Sin. — 


de ë _p 
nement ? 

do s {do ee 
(FE )=cot. (7) — cote. (7 —QN 


Maintenant si l’on fait attention à la valeur précédente de + 
prolongée jusqu'aux termes du deuxième ordre inclusive- 
ment, et à ce que généralement 


se ee) 1e ; 
O—= 6, + FRET 78 BTS RL D 8 ro 


on aura, en quantités connues, 
o—wù, —}Pesin.à Ë 8 cl 
o 4 Le] Bb o 
— 7e MPsin”x cos.” à, cot.Z É se A] x 
[2 G + A6) + cot.c,” COS. 2 o,/— COt.c, COS. 2 a | 
+ pa>sin. s ©) (2) 
+=sPe sin. a [145 + 16 À.) + A, 
2Ossin.4 | a [?. 
2e 3 Qc sin.f}, [5+ pA* ] 


Après avoir trouvé * on déduira ® de la série (B') dans la- 
quelle on aura mis pour à,6',6" leurs valeurs approximatives 
obtenues ci-dessus, 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 489 


IV® cas. Les quantités connues sont H' V' et S, trouver 
H"V' et 9; c’est-à-dire étant donnés deux côtés et l'angle op- 
posé à l’un deux , trouver les autres partes du triangle. 


SocuTion. De la latitude vraie H' on passera à la latitude 
réduite *'; et si, pour abréger, l’on fait, comme ci-dessus, 


S . 7e 0 
s—;+7, le triangle sphérique correspondant au triangle 
sphéroïdique donnera 

sin.\ —sin.X'cos. G + 5) + cos.»”sin. G + 5) cos. V”. 


Différenciant en faisant varier x” et +, puis représentant par 
L” ce que devient »” lorsque :—0, on aura 


S 
c a" tang. L'tang. 7 — cos. V” 


ge 1—tang. L’ cos. V' tang.} 
Quant à la valeur de L” elle se tirera évidemment de la re- 
, lation 


s 


: à . / AS 
sin.\ —sin. L’cos. + cos. L/’ sin. > 


b 
qui fournira nécessairement deux valeurs. On voit donc qu'en 
‘général 
d [14 
Ni (D) +. CE MER Pre 


cos. V”, 


D'un autre côté, à cause de cos.1— cos. *”’sin. V',ona 
cos.1— cos. (L”+ M-)sin. V': 


ainsi en appelant à, la valeur de x correspondante à -—0, 
on trouve, aux quantités pres du second ordre, et parce que 
cos.},— cos. L’'sin. V", on trouve, disons-nous 


cos.1 — cos. — M = cos.1, tang. L”, 
T. X. 62 


4go NOUVEL ESSAI 


par suite 
A3, + Mr cot.r, tang.L'”’; 


sin.}’ . : Te 0 
et comme cos. s—-—.ilsensuitqu'en éliminant au moyen 


de sa valeur on a , au même degré de précision, 
COS. 5 =— ne M =cot.°7,tang. L”) 
5 sin.x, ECO be ho ADS: Ÿ 


Désignant également par 5,’ ce que devient 5’ lorsque 5—0, 
sin. \/ 


on aur = 
aura COS.c, En 


cos. — cos.s, — M 7 cos.5, cot.’x, tang. L”, 
de là 
s'—6, + Mrcotx, cot.s, tang. L”. 


D'un autre côté, à cause de sin. s”—cot.xcot. V',ontrouve, 
en substituant pour à sa valeur ci-dessus, 


£ CORNE 
SIN.c — 
tang.X, 


(1 —M scosec.’r, tang. L''); 


et sis," représente «” lorsque :—0, on aura 


sin. «, —cot. V''cot.1, 
sin. —sin. 5, —M-tang. L’cosec.’x, sin. 5"; 
par suite 
s'—6 —Mrstang. L''cosec.'},tang.,”. 


Concluons de là que 


sin. 26 —=sin.26, + 2 Mr cot.’à,tang. Lot. 5, cos. 25, 
sin. 2 6"— sin. 20, —2M -cosec.”},tang. L’'tang. "cos. 26,”, 
A — À,0 — 2 M- cosec.x, tang. L''[tang. 5,” cos. 25,” 

+ cos.” ?, cot. 5, COS. 26, |, 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 4gr 
en vertu de la notation employée dans le problème précédent. 
De plus 

sin.) —sin.}, + M cot.1, cos. à, tang. L' 
sin. —sin."}, + 2M-cos.’}, tang. L”. 


Introduisant ces valeurs dans la série (A), il viendra d’abord 
o—} —=esin. |[° +A0] FR sin] 14; + 16 AM + A°)] ; 
b 4 É b 128 b L 
È 
4 
quantités près du second ordre; on aura définitivement 


puis faisant attention que r——"c<sin."}, [+ A] ) AUX 


Q « 7 (l 2 
c——"esin"}, Ë + A] + ge Msin.}, cos.”x, tang.L' [3+ A6] 
b 4 b 8 b 
PRE CCE | Ga) 
<Msin-x tang.L [5 + À, | x 
[tang. c” cos. 2 5, + cos. À, COt. 5’ COS. 26, '] 


+ 5 esin.f}, [14 + 16A 0 + A]. 
‘Cette valeur étant trouvée, on déterminera celle de à à l'aide 
de la relation d'où nous sommes partis; enfin les formules 
(2) (3) et (B) du $ IT feront connaître la latitude réduite /” 
et la jongitude e. 

La valeur exacte de + étant représentée dans ja série pré- 
cédente, par tous les termes en et sil suffirait de l’introduire 
dans celle de x” donnée elle-même en série qu'on prolonge- 
rait alors jusqu'aux termes du second ordre. Dans ce cas l’on 
aurait 


s n (x 
ay ANNE tang.L'| | 1+cos.V E; 
=) \ er $ 5 ë s(? 
cos? 1—tang. L'cos,V tang.Z 


62. 


492 NOUVEL ESSAI 


et 


Je, pre 5 «|? 
ge sin. 2, [3 + A, | 5 


Mais vu la forme compliquée du coefficient différentiel du 
second ordre, il est préférable, dans la pratique, de déter- 
miner X” ainsi que nous venons de l'indiquer. 

Pour avoir directement sur la sphère inscrite l’angle au 
pôle w—=w"— %', on partirait de l'équation 


sin. Ç + <) sin. V'" 


SIN. 6 — 
cos. \/ 


? 


qui donneront pour valeurs correspondantes à r— 0, 


. sin. =sin. V' 

SIN. w, — ABS 
7e cos. zsin. v'" È 
= UE TA tango, Cot.7 — P 
do 


do\ 2 
Ta) = (7) tang.w, — tang.w,—Q, 


et l’on aurait 

w—=0, + Pr + :Q7:. 
Cet angle étant trouvé on aura l'angle + qui lui correspond 
sur l’ellipsoide, par la série (B') dans laquelle tous les élé- 
ments seront connus, puisque à, 6, viennent d’être calculés 
approximativement. 


V° cas. Étant donnés la ligne géodésique s et ses deux 
azimuts V'N", trouver les autres parties du triangle. 


SoLurion. Supposons qu'on veuille d'abord déterminer la 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 493 
latitude réduite \, on aura dans le triangle sphérique sub- 
stitué au triangle sphéroïdique donné , 


cot. V'sin. V'— cos. 6 cos. V’ 


tang.à — SATE , 


en faisant, comme ci-dessus &—6 —5. D'un autre côté on 


s 


sait, par le théorème précédent, que s—;+7,et que 
ml a] PRPNENRCE pr [ s Qi) JE 
7 gesin."|5+ À + sinf} 145+16A + A |; 


par conséquent 


\ 


= . S 
cot. V'sin, V’— cos. V' cos. G+ <) 


b 
L s 
Sin. È + 5) 


Il est donc évident que si I} est ce devient » lorsque + — 0, 
on a, en général, 


Y=L'+( 


tang.\ — 


d\ 


à 
FRS DCE 


Pour trouver le coefficient différentiel es , le seul qu'il 


soit nécessaire d'évaluer quand on ne veut pas prolonger la 
série qui doit donner 5, au-delà des termes du second ordre, 
on opérera sur la relation 


b 
sin. V’ É 


- tang. \'sin. G+ -)+ cos. V' cos. G + -) 
cot. V'— 


en faisant varier » et +, et l’on trouvera 


ax £ 1 : , F 
(=) — cos. L cos. V'— sin. L'cos.L cot.;—M; 


expression dans laquelle 


494 NOUVEL ESSAI 


cot. V'sin. V'— cos. V’ cos. 

(Re Ÿ 
tang. L'— _. 
PBLz 


Ayant maintenant recours à la relation cos.1 —cos.x sin.V', 
on aura, à cause de x—L'+Mz et de cos.>,—= cos. L'sin. V', 
cette valeur approchée 


1=3, + Mrcot.),tang.L’, 
ou, ce qui revient au même, 


sin.x—sin.}, + M -cos.),cot.x,tang.L'; 
par suite 
sin.*x —sin." à, + 2M x cos.’} tang. L'. 


On sait en outre que 


sin. —cot.icot-V', sin.s — cot.xcot.V'; 


ainsi en remplaçant x par sa valeur ci-dessus, et remarquant 


que 


sin. —cot. V'cot.x,, sin.c,”—cot. V’'cot.1,, 


où obtiendra aisément 


s —6, — M7cosec.’},tang.c, tang. L' 
LL4 


6, —M-cosec."),tang.c,’tang. L/; 


par suite 
AM— A0 — M zcosec.1, tang. L'[tang.c,’ cos. 26,” 
—tang.o, COS. 2 6, 
Il reste à substituer dans la série « du problème précédent, 
pour sin. et ‘(sin.26—sin.26)— A), etc. leurs valeurs, 


à éliminer ensuite F—=—;esin x [5 2e AP] » et à dévelop- 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 495 
per en ne retenant, comme à l'ordinaire , que les termes en 
ete. Effectuant ces opérations, on aura pour résultat, 

I 
4 
Ss 


LE CA A À ! G) " 1 1 FE 
APTE Msin.”},tang.1 Ê +A, ]ltang.c cos. 26, —tang.s, COS. 25, | 


1m 2 9 (x) Dis E NT as 2 2 L of 
e Sin. [5 +A 3° M sin. 3,cos."x. tang.L 3 +A 


Lattl C7 
GE 708 


+ ge sin, [145 +16 A+ A]. 
Enfin de cette valeur on passera à celle de tang.x\ que don- 
nera la relation ci-dessus; après quoi les autres parties du 
triangle s’obtiendront sans difficulté. 
IL est évident qu'on prolongerait la série qui donne ?' 
comme on l’a fait dans le problème précédent pour avoir 
directement 7”. 


VIe cas. Connaissant la latitude H", l’azimut Ven ce 
point et la différence + de longitude des extrémités de la ligne 
géodésique s inconnue, résoudre le triangle. 


SorurTion. Faisons pour abréger w"—w—%, et désignons 
par « tous les termes en : dans la série (B') du S IL; on aura 


(4 ' I 3 à ERA 
(6 —5)|(e—ÿ: cos. — et sin. x cos. | 


1 . I: 19% 
——, s° Sin.‘ X COS. À (sin. 26/—- sin. 2 v| ; 
16 2 2 


et 

OP + 4. 
On sait d’ailleurs que le triangle sphérique, correspondant 
au triangle sphéroïdique, donne 


cos. V"sin.w + sin. V”sin.x”cos.w —sin. V''cos.x’tang.», 


DE 


496 NOUVEL ESSAI L 


sin. (+4) +tang. V” sin.\' cos. (p+ 4) 


tang, À — 5 
° tang. V'cos.\ 


Si donc L'est ce que devient x lorsque 4 —0, on aura 


tang. mé sin. g+- tang. É sin. cos. ?. 

tang. V' cos. 1" 

et comme en Li 
dx 

L+()e+. 
que. d’ailleurs 
T)=* ? L'[cos.p—tang. V'sin. X\" sin.®] _M | 
= tang. V’ cos.)" ? 


il s'ensuit qu'on a 


Remarquons en outre que cos.1— cos."sin. V', et qu'à 


. sin.\ 
cause de cos. ——— , on a 
sin. À 


cos. 5 — cos. «, + My cot. L'cos.c,', 
Gi: y Atsinelt 
en laisant Co5.6, AR partant 


6 —6,—M ucot. L' cot. s,. 
D'un autre côté -’ se tire de la relation cos.c Enr : de là 
d—6—0c — 06, +M y Co. L'cot.c,'. 
Substituant cette valeur dans celle de , il vient 


wu— y + [ie 5e (6 + sin.”})] (s!— Ge )COS. À 
+ <eMcos.’xcot. L'cot.c,.(6"— 0.) 
— "sin. cos.xsin. (6'— 0") COS. (+ 0). 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 497 

A yant de cette manière la valeur de w développée jusqu'aux 

quantités du second ordre inclusivement, on passera à celle 
de \ qui se tirera de la relation 


sin. ® +-tang, V' sin." cos.o 
2 


ang. \ — 
NS? tang. V" cos." 


plus l’on aura 


tang. H'— - tang.\. 


Quant à la ligne géodésique s, à l’azimut V' et à la lati- 
tude \', on eu obtiendra les valeurs à l’aide des formules (2), 
(3), (A) du S IL. 

Si l'on veut maintenant prolonger la série qui donne *', 
rien n'est plus facile; car la valeur exacte de y est donnée 
par l’ensemble des termes en : et + dans celle de w, et l’on a 
d’ailleurs 


ŒY d\' 2 1 " ! ! 
4e) —= — 9 En tang. L'—sin. L'cos.L 


ui ei (s'— Ge) cos.”À. 


VITE cas. Étant données les latitudes H'H” des extrémités 
de la ligne de plus courte distance s et la différence en lon- 
gitude », trouver cette ligne et les angles qu’elle fait avec les 
deux autres côtés du triangle sphéroïdique. 


Sozuriox. Soit, comme dans le problème précédent, 
&'—w —w la différence. de longitude sur la sphère inscrite; 
la série (B') donnera, en désignant par y tous les termes en 
s ete’ 

D —O +4; 
et si l'on considère le triangle sphérique correspondant au 


T. X. 63 


498 NOUVEI, ESSAI 
triangle à résoudre, on aura, en appelant z' l'angle intérieur 
formé par le côté s et le méridien de »', 


sin. (® + be) 
cos. N' tang.N'—sin.N cos. (p+ 1) 


(E) tang.z — 


IL est donc évident que si Z est la valeur de z' lorsque y —0, 


2=72+ =) L Le, 2 
— dy. {e + à ( du ts = ND DAoU oO e 
Pour tirer de la relation précédente la valeur des coeffi- 


cients différentiels, on prendra d’abord celle de tang.x”, en- 
suite on la différenciera par rapport à z'et p., et après avoir 


on aura 


fait y —0, on trouvera 


dz! 
dy. 


) —=cot.osin.Zcos.Z—sin.x\ sin Z—M, 


puisque z' se change en 7; et alors on aura 


sin. ® k 
cos. V tang, À'— sin. \ cos.® 


(E') tang. Z — 


ainsi donc 
< z= 7, 4-.M pe 

Nous négligeons, comme de coutume, les autres termes de 
a série qui sont inutiles, vu que, dans le résultat cherché, 
nous bornons le degré d’approximation aux termes du second 
ordre en e. . 

Si nous prenons maintenant la relation cos. — cos.1'sin.7, 
on aura 

cos.i— cos.\'sin.(Z + My), 

d’où il est facile de conclure que 


1 —Mycot.rcot. Z—1,—, 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 499 


et 
cos. — cos.r, + M y cos.i, cot.Z, 


lorsque cos.},— cos.» sin.Z. 
De plus, à cause de la relation 
sin. \ sin.)” 


Ve PR SL AT DRE 
CET sin.À sin.(},—#)? 


on trouve, par le même procédé, 
6 —= 6, —M Co. GICOEM CO Z : 


PT SInENX 


lorsqu’en fait cos. c, == On a pareillement 


An 
co — c —M u Cot. & Cot.’1, cot. Z 
et par suite 
à sin. (6, —0,') 


G —06 —0 —-6, + M p.cot."7, cot. Z - —— - 
sin. 6," Sin. o, 


Il ne reste plus qu’à mettre dans (B') pour cos. et « — 6 les 
valeurs qu'on vient de trouver, puis à remplacer y par sa 
valeur approchée 4 —(6,"—5,) (:cos.x,) , et ensuite à déve- 
lopper en ne conservant que les deux premières puissances 
de : : on obtiendra en définitive 


(Œ) 6—=9+ (5 —0,) [Ascos a, e cos.2, (6 + sin."2,) | 


ji : : 2 : 
Tan <sin."% COS.), (Sin. 2 a,/— Sin. 26.) 


Le, 11 / : s . sin. (a — G) 
36 ñ M (Ge — Q: )cos. À, COt."à, COt. Z FONET  er 


+- a. Miss — 5!) cos, cot.Z. 


Dans cette série, les quatre quantités Z,x,, 6, ,6,! sont con- 
nues par ce qui précède. 


63. 


500 NOUVEL, ESSAI 


Ayant obtenu ainsi la valeur de 6 =w"—v', on calculera 
celle de z' au moyen de cette relation 


sin. © 


tan LÉ F 
L] cos. }/tang,N'— sin.}' cos. w ? 
puis l’on aura exactement 
SN À Pr SITE 


sin.) ? En sin. À 


cos.\— cos. \ Sin.z’, COS. o! — 


Enfin la plus courte distance s cherchée se tirera de la for- 
mule (A”) dans laquelle tous les termes du second membre 
seront connus au degré d’exactitude requis, et l'azimut V” 
sera donné par cette relation 


COS AE. v' cos. }’ 


— 1 21 
se MR mr lou 


puisque V'—180°—z. 
En prolongeant jusqu'aux termes du second ordre inclusi- 
vement la série qui représente la valeur de z', on trouverait 


pour celle du coefficient différentiel (x) la suivante : 


Ta. 


sin.2Z 
pr me 


sin"® 


dz! : Ra I 
Le (2) (cot.pcos.22— sin. 2Z sin.x)—- 5 
ainsi 
2 My +=Nv, 
ayant soin ici de mettre pour y sa valeur exacte 
u= (5 — 5) Le cos. x —e cos. (6 + sin.2)| 
I 


SC . Et 71 \ O7 / 
——<sin."àcos.à |-sin.26'——-sin.26 |, 
16 2 2 


laquelle s'obtiendra, en quantités connues, en y substituant 
pour s'—6' et cos. leurs valeurs approchées données ci- 


DE TRIGONOMETRIE SPHÉKOIDIQUE. 5ot 


dessus. Toute opération faite on trouvera directement 
pra [22 1 I 1 à à 
2=2+M(s"—06) Lee (6 + sin. x)| COS.À, 


I . . . 
es #Msin.’x, cos.x, (sin. 2 6,"—sin. 20, ) 


°sin,c,/sin. 6,/ 


+ Li M° (o"— Ge) cos’), cot.Z [s'— 6, + cot."} 


+ ge N cos.”2,(5"— 6. 


Soit qu'on procède de la sorte pour calculer exactement z/, 
soit qu'on emploie la méthode trigonométrique ci-dessus, 
on parviendra au même résultat numérique. 

Si l'on voulait déterminer la ligne géodésique s indépen- 
damment de la valeur exacte de 7, on déduirait d’abord l’are 
s—6—56 de la relation 


COS. «— sin.” Sin. À + COS. \' COS. \ COS.w, 


dans laquelle on prendrait pour v sa valeur trouvée ci-dessus; 
puis l’on aurait recours aux valeurs approchées de x, 5’, 5” 
obtenues plus haut, lesquelles donnent 


sin./1 —sin."x, — 2 My cos."1, cot.Z 
sin. 25 —sin. 26, —2M y cot.s, cos.26, cot.Z cot.’x, 
sin.26 —sin. 26, —2Myucot.c,"cos.2 6," cot. Zcot."x,, 


et où l’on a 

q = (oo —6,/) [£ e COS.) |; 
enfin l’on introduirait le tout dans la série (A”) qui donnerait 
alors la ligne cherchée. Si l’on effectue cette opération, et 
qu'on ne retienne, comme de coutume, que les termes du 
premier et du second ordre; que de plus on fasse pour abréger 


5o2 NOUVEL ESSAI 

2(sin.26, —sin.26,/)—= A0, et =(sin.4o,—sin. 45) A. 

2 0 1 2 0 o 

on trouvera en dernière analyse 

I 

4 

I 2 ’ 

WT M: (o' —6 )cos.°x, cot.Z [o"—5'+ A, 

+ = (cot.c,” cos. 2 6,"— cot. c,/'cos. 2 CIE 


5 Es o]. 
)+ À, +gÀ 


s 11 0 
= EE 


b 


esin.”, [s"— G + A0] 


FER 1n 4 3 a? 
— ge sin. x [5e 


Nous avons donné à la fin de ce Ménioire une application 
numérique de la premiere solution de ce problème. 


VIIIS cas. Les éléments connus du triangle sphéroïdique 
sont H'V'et &, on demande la latitude H"' et les autres par- 
ties de ce triangle. 


SoLuTiox. Apres avoir calculé la latitude réduite \' et fait, 
comme ci-dessus 6 — © + y —=w"—",on déduira de la relation 
cot. V'sin.(o + p)—tang.x cos.\'—cos.(o + p)sin.\', 
qui a lieu sur la sphère inscrite, la valeur du coefficient dif- 
je À AE Nr 4 Le : Ps CE 
férentiel re correspondante à #—0, et l’on y désignera 

par L' celle que prend alors x”. On trouvera 


ee tang. L'— cos. gtang. 
du) sin. o(tang.N'tang. L'+ cos.) 


M, 


et les deux valeurs de L' se tireront de la formule 


cot. V'sin.e—tang.? cos. L'— cos.o sin. L”. 


Cela fait on aura 
V=L' #4 My+...... 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 503 


et si l’on a égard à ce que y—(s"—5)(:ecos.x), aux quan- 
tités près du second ordre, on verra que la valeur de x” sera 
exacte au mème degré. Cette valeur étant introduite dans 
la relation cos.1— cos.1”sin. V', il viendra 


cos. — cos.x, — My cos.à, tang. L”, 


et par suite 
13, + Mycot. tang.L”, 
en faisant 
cos.X, —= sin. V’cos. L/!. 


D'un autre côté, à cause de 


Sn AS SLT 
COS.6————, et de cos. Go —=——<— 
sin, À si 


on aura 
s—56 + My cot."1, cot.c, tang. L”. 
De même, à cause de 


sin. s'— cot.x cot. V”, et de sin.c,/—cot.à, cot. V”, 


on aura 
= —M y cosec.*), tang. c,!! tang. L”; 
partant 


d'— 6 —0, —6—Mytang. L’{cosec.’x,tang.c.”+ cot.’1,cot. 5] 
à My. cosec.”1, tang. L’[tang. "+ cos.à, cot. c,]; 


—=G,y 


! 
Go 


et puisque y —(5,"—5,)(1ecos.x,)aux quantités près du second 
ordre, on aura, après avoir introduit ces valeurs dans la 
série (B'), 


504 NOUVEL ESSAI 
" Nfz LS in? 
oO — 9 + (CA — 6 )[Ze cos. 6€ cos. }, (6 + sin. À)| 
+5 e’sin.*}, COS. (sin. 26, —sin.20,') 
— = «M (se — Go) cos.*?, tang. ET 
a 2e M (5 — 6) cot."x,tang. L'(tang.o,”+ cos.’x, cot. 5’). 


Arrivé ainsi à cette valeur de © on tirera celles de x” de la 
relation 


cot. V'sin. w —tang. \ COs.\'— cos.w sin. }". 
Au surplus on a en série 
. d\' d? x 
X'=L"+ (5 Ta) PIS 12 = )B" RU 2e 
et à cause de 


CLS a ue L''— cos. ptang.\ M 

du) sin.p(tang. L'tang.\'+cos.®)  ? 

Ge)= tang.V+ 2 M sin.@ — M° (tang.N/+ tang.L' cos. ©) 
de Musee ae Ou 


N, 
il se définitivement 
\'=L"+M{(s"—6,) DE £ COS. À, — Re COS. 2.(6 + sin.”2.)| 
+ "Me sin."}, COS.) (sin. 26,/—Sin.20,') 
— - Me (6, —6!)cot.12, tang. L’[tang. "+ cos.’7,cot. c,] 
+ Se (so — 6) c0s.°2, [N — 2 M'tang. L/"). 
Il reste à trouver V' et s: or on a rigoureusement 


2 ; cos." 
sin. V =sin. V'———., 
cos. 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 505 


et les relations (2) (3) feront connaître à, s', «”; on sera donc 
en état d'évaluer le second membre de la série (A'), et par 
conséquent de conclure la valeur de la ligne géodésique. 


IX° cas. Étant donnés les angles azimutaux V'V!'!' et la 
différence en longitude +, résoudre le triangle. 


SorurTion. Adoptons en tout point la notation précédente 
et faisons w— + y; le triangle sur la sphère inscrite don- 
nera , 


cos. V' — cos. V'cos.(?9 +u)—sin. V'sin.’sin.(o + w), 
ainsi 
METES (Hje+i(S) FSU k 
série dans laquelle L'' désigne la valeur de x” correspondante 


à &— 0. Opérant la différenciation dans cette hypothèse, il 
vient 


dax' — (cot. V'+ cot. osin.L”) - 

rs) = Tr — M , 

dy cos. L 

et en s’arrêtant aux termes du premier ordre, on a 
d— L'+ M De 

Bien entendu que L”” se tirera de 


Lpoyrbees V''cos.p— cos. V' 
à HE sin. V/’sin. ® 
On sait d’ailleurs que 
cos.1— cos.X”sin. V'— sin. V’cos.(L'"+ Mu), 


ainsi On aura, en faisant cos.x,— sin. V’cos. L”, 


cos.1 —cos.r,— M y cos.x,tang. L”, 
T. X. 64 


506 NOUVEL ESSAI 


et 
13, + Myucot.i,tang. L”. 


D'un autre côté la relation sin.c — cot. V'cot.1, donnera, 
en y mettant pour à sa valeur actuelle, 


s'— 6, —My cosec.”?, tang.c,'tang. L”, 


en faisant 
sin. 6, —cot. V' cot.1,. 
Par la même raison 


LZ4 [4 


s'—6, — My cosec.’}, tang.c,”tang. L”, 


lorsque sin.5,"—cot. V”cot.x, ; ainsi 


sin. (c,'— 5,') 
cos. 6,” cos.c,/ 


[72 


— 5 — My cosec.’?, tang. L'! 


LA ‘ 
CCG 


, 


Substituant cette valeur et celle de cos. dans la série (B') 
du SIT; puis développant, on aura 


w—=9 + (0, — 6.) [ E COS. À, — 2 e cos. x, (6 + sin.’ x)] 
TL 


Le 


£’sin.’}, COS. ,|sin. 2 6,/—5in. 20, | 


ee 7 ' ë 72 7 1 sin.(s'— Go) £ 
nu” “M (se TE ) cos."?, tang. L Le ELEC sin”), cos. 6,” cos. oc, | ? 


après quoi l’on déterminera 


Fat cos. V" cos. &— cos. V' 
: sin. V/’sin.o 


Mais pour avoir directement ?” par la série de Maclaurin, il 
fandrait évaluer le coefficient différentiel du second ordre; 
ce qui donnerait 

ad?) 


a) —— M cot.v + tang. L”(1 + cot.p + M')—N; 


DE TRIGONOMÉETRIE SPHÉROIDIQUE. 5o7 
alors cette série deviendrait 


1 [24 [2 ! Le L . = 
Ie M (6, — 6 )COS.À, EST (6 + sin. D] 


I : à ù , 
+ M sin”), cos.1, (sin. 26, —sin. 2 6,) 


sin. (5, —6,/) 
° cos. 6," cos. 5,” 


Le = eM(s,—5, )tang. L’cot.1 
+ & e cos." (oc —)[N—2Mtang. L”]. 


La latitude réduite x” étant trouvée, on aura \ par cette re- 


lation 
# sin. V" 


OS AN —- COS 
< 2! sin. V’ 


Recourant ensuite à celles (2) et (3), on obtiendra à,56',5; 
enfin l’on aura s par la série (A'). 

Les solutions précédentes dérivent toutes d’une ap- 
plication fort simple du théorème de Maclaurin relatif à 
une fonction d’une variable; voici maintenant deux autres 
problèmes qui se résolvent aussi facilement à l’aide d’une série 
applicable à une fonction de deux variables, et dont les so- 
lutions méritent, ce nous semble ,la préférencesur celles que 
M. Oriani a données d’une manière très-compliquée dans ses 
éléments cités de trigonométrie sphéroïdique. 


X° cas. Étant donnés l'azimut V", la ligne géodésique s 
et la différence en longitude +, trouver les latitudes H'H' et 
l’autre azimut V'. 


1° socurion. D'après la notation précédente o— w"— w — 
. . S 
g+4; et si en outre on fait o—6"—c—;+7,0naura,en 
vertu de la propriété du triangle sphérique correspondant 
64. 


5o8 NOUVEL ESSAI 


au triangle donné, 
cot. (5+s) cos. À"— cos. V' sin. 1" 
cot. (@ + == DIT NA | ATEN ; 


Ainsi lorsque y et + sont nuls à la fois la latitude réduite à” 
devient L/”, et lon a 


Ÿ e « 
cot. r cos. L'—cos V'sin.L” 


(m) cot.p— PA OV Mat E0Ÿ 
relation qui fournira deux valeurs pour L”. 
De plus, le théorème de Maclaurin, applique à une fonc- 
tion de deux variables, donne 


MATE (R)e +(T D) LA 


Les autres termes étant inutiles à cause du degré d'ap- 
proximation fixé aux termes du premier et du second ordre, 
dans le résultat que nous nous proposons de trouver. 

D'abord si l’on différencie successivement la relation ci- 
dessus par rapport à w et =, et qu’on fasse ensuite nulles ces 
variables , on aura 


« S 
sin. V'tans. 


d?" 2h 
T)=- Hi 2 4 11 1 1 s —=M “ 
sin. ® [sin.L + cos. L''cos. V'tang. ;| 


$ 
— cos. L''tang, - 
co ang. > 


GRIS 0 EN 
FEV [21 11 {12 mt & 
sin.?- | sin. L/-+- cos. L''cos. V tanig. > 
ou bien 
Ne sin.? o cos. L’” M 
sin. > sin. V7 


et par suite 
\'=L'+M UE Nr. 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 509 
D'un autre côté, on a à très-peu près 


u—(5!""— 5!) (<e cos.) 
——6;sin. "1 —-esin."à[sin. 26 —sin.25 |; 
D— A ë 8° : . . ; 
Il faut donc obtenir À,6,6°, et leurs valeurs doivent seule- 
ment être exactes aux quantités près du premier ordre, puis- 


qu'elles sont multipliées par :. Or on a 


cos.1=sin. V’cos.}"—sin. V’'cos.(L”+ My + N) 
— sin. V"cos.(L”+ 6), 


en faisant, pour abréger, My + N:—4; et si x, exprime ce 
que devient à lorsque 9 est nul, on aura 


cos.x,—=sin. V’cos. L/, 


et 
cos.1 — COs.7,—4 cos. ?, tang. L”; 
par suite 
1=3, + 8 cot.x, tang. L”, 
et de là 


sin.\—sin.?, + 6 Cot., cos. 1, tang. E/" 
sin — sin.” à, + 286 cos.’x,tang. L”. 


On a en outre 


sin. çs’—cot. V''cot.1—cot. V”cot. (à, + 4 cot.x, tang. L”); 


partant 


sin.o, —cot. V'cot.1,, 
et 


LA 


s'—6, —0 tang. s,”cosec.’?, tang. L”. 
Concluons de là que 
Q 1 » [11 1! 2 ue Il 
sin. 26 — sin. 26, — 26 tang. os, cosec.’x, cos. 26, tang. L'. 


Quant à s on en tirera la valeur approchée de la série (A), 


5ro . NOUVEL. ESSAI 


et l'on aura 


, 7: D tee SPA £ ” : ; 
s—6 —3+3e;sin x + $esin x (Sin.26, — SIN. 26,); 

expression dans le second membre de laquelle il suffira de 
S. 

141 


faire 6, —6, , et où l’on voit que 


' 
s 


£ E : luc 
ZSin x, —%esin."?.(SiN.26, —Sin.26,), 


== z 
T — 3€ 


en s'arrêtant toutefois aux termes du premier ordre : ainsi 
on aura 


, : : , s s 
sin. 26 —Ssin. (27 —25)—2rcos. (26°+ 25). 
Pareillement, l’on a, au même degré de précision, 


(0, — 0, )(£ecos.X,)—Ee;co8.1.. 
b 


s 
B 
Introduisant ces valeurs approchées de cos.1 et de 5’— 5 dans 
la série (B’), on aura finalement 
1 s 1 3 1 
w—@+:e;cos.,[1—0tang.L]— ie; cos. 


3 3 
— — € Sin.” \, COS. }, [ 
16 


s 


3 t+2sin. 26, —+5in.2 s| ; 


résultat dans lequel tout est connu, et dont le degré d’approxi- 
mation est poussé jusqu'aux termes du second ordre inclu- 
sivement. 

Maintenant il faut avoir la valeur de 5 avec la même pré- 
cision, et c'est à quoi l’on parviendra en faisant les mêmes 
substitutions dans la série (A”). Tout calcul fait on a 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. br 


[2 1 S ss) . : 2 [2 
s—=6 —0—;—7%e;[sin.2, + 20cos.1 tang.L ] 


— <e[sin."x, + 26c0s.°\ tang. [|| <sin.26/—ïsin.26] 
2 
85 


+ Se sin [isin. 4c/— sin. 4], 


x Q 1 e [14 1 > 1] 
+ ;esin., | + <Sin.26, —+sin. 36, | 


en remarquant que, dans cette expression, 


Lee 1! 1 2: . Ss 1! S” 
3; SIN.26 —-sSin.25 Se COs: (2 ne) 


2 TRASERSEA TARN EE 2 
+ 26 cosec.”X1tang.c, sin.ÿsin. (25, —;) tang. L 


" s 
+ Tr COS. (2 Gr 2 >) 
/ 


w et « étant connus de la sorte, on tirera la valeur de ?" de 
la relation 


ct cot. 6 cos. N/—sin. \’ cos. V' 
D — - 
sin. V'’ 2 


et cela au moyen du procédé expliqué dans la trigonométrie 
sphérique. j 

La question est ramenée actuellement à celle où il s’agit 
de résoudre un triangle sphéroïdique, connaissant deux 
côtés et l'angle compris; c’est le cas traité précédemment. 

Nous ferons remarquer en passant, que si l’azimut V' était 
de 90°, les formules ci-dessus se simplifieraient considéra- 
blement et se réduiraient à celles du second cas des triangles 
sphéroïdiques rectangles. 


II sozurion. Notre but maintenant est de ne faire dé- 
pendre la latitude réduite \ que d’une seule variable, de 
manière à ce qu'on ait \ —F(4), F étant le signe d’une fonc- 


512 NOUVEI, ESSAI 


tion. Dans ce cas nous opèrerons ainsi qu'il suit pour déter- 
miner cette fonction. 
D'abord de w—w"—w', l’on tire 


tang. w//—tang.@! . 


tango 1 +- tang.®//tang.@" ? 
xpressi  ansedetann ee ee tine DE 
€xp on qui, à ESS cos.À ? que cos.} ? 


deviendra 
cos. Aliens. c' tn: g1, 


(ane Pr cos. 71 + tang. Cu 'tang. o 


On reconnaît ensuite que 
tang.w — sec.) tang. (—5— =) ; 
si donc y désigne la valeur de vw’ lorsque +—0, on aura en 
faisant d’ailleurs '—;—2 P 
(a) tang.y—sec.\tang.x, 


et de plus en série 


esta pénÿani( yes re noi 


les coefficients différentiels étant tirés de l'équation (a), on 
trouvera, avec un peu d'attention, 


1 cos. À —P 

dæ 1—sin?\cosz 

dut. Vafar à Doc: 
(5%) tang.} Sin.) Sin. 24 —Q). 


Posant ensuite 


£sin.26 —{sin.26 —Al, sin. 4 —-=sin.45 — Al), 


DT 7 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 513 


_il viendra, à cause de l'expression (D), IIIe cas, 
D —Y + + Psin.”} |; nm EU] 
np Te in.‘  A() (2) 
ue Psin. x] 14; + 16 A0) + A | 
onu @) |? 
+3, Qsin.*à [5+ A | 
ou désignant par R tous les termes en, on aura 


D —o—=0"— y —R—09+ U; 
de là 


D —Y—=p+u+R, 
et 
tang. ©’— tang,y 


© pee 
tang.(o +u+ R) 1 + tang. w” tang. y ? 


ou bien soit 4 + R—, et mettant pour tang.y sa valeur, on 
trouvera 


$ 
a 
cos. À sec.’ 5 tang.r 


tang.(o + b)—— 


2: 2 1] = 1 ss F 
cos.” À + tang. 5'— sin.\tang.s tang.7 
enfin introduisant ici les valeurs suivantes : 


: sin. \ : ; cos. À’ cos. V” 
cos. — cos.X” sin. V'', cos.c/— SIG = 


sin, À ? sin. À j 
on obtiendra, apres les réductions, 
. S 
sin. V'tang. 5 
CRE TC) et En Bee 
cos. N'—sin.)"cos. V'tang.- 
ë 
Il est évident, par ce résultat semblable à celui que M.Oriani 
a obtenu dans la même circonstance (Éphémérides de Milan, * 
1808), que x” n'est plus fonction que de la seule variable y; 


FX 65 


o14 NOUVEL ESSAI 
et il n’est pas difficile de s'assurer, qu'à cause de + R—, 
l'on a 


I s LIRE 3 
(c) ‘4 = [25cos.» + Psin. Ne Si D] 


3 . 
—:g€ cos. À É + sin" (5+ A0) |] 


6 b 
Ps ge Psin.x [r45+16A0+ ao] 


Me Deinende «:) |? 
+3,< Qsin. x[5+ A | ; 
Il n'est pas moins évident que 
[22 R d)" I FENT : 
(d) D CE red dpt 


série dans laquelle L/! qui répond à ÿ —0 , se déduira comme 
ci-dessus de la relation (#7), et dont on évaluera les termes 
en quantités connues de la manière suivante. 

Premièrement si l’on différencie (b) et qu'ensuite on fasse 
Ÿ —0o, on aura 


d)" 
Ca 


En second lieu si l’on met simplement X'=L"+ My dans la 
relation cos.1—sin. V'cos.”, on trouvera 


sin. V'" tang.r 
Ru 
sin. ® [sin. L'+- cos.L'"cos.V" tung.; | 


cos.x, —sin. V” cos. L” 

cos.1 — cos.x,— M 4cos.1, tang. L” 
à, + M ycot,tang.L 

sin.*1—sin."7,+ 2M4cos."1, tang.L”; 


expressions dans lesquelles il suffira de faire 


s 


=: [23cos.x, +P sin, (; + a)] ; 


PRE EC ES 


LL: Sienne 


OR 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 51 


el 


A,0 — = sin. 2 Ge” 


2 


=sin. 26,. 
On remarquera en outre que de 
sin.6”— cot. V’cot.1 —cot. V” cot.(à,+ My cot.x, tang. L), 


on tire 


sin. os, —cot. V’cot.\, 
et 
s —6, — My coset.’1,tang.o,'tang.L'"; 


et comme d’ailleurs on a, par ce qui précède, 


} 11 S I 


G—6G Gars Are x | 


S 


b 


ÿ)] 


Tiers 11 ju 0 [2 
+ -Sin.26 —-SIn, 2| 6 
2, 2 
Pa UT S 
— G MPa Mo 
il s'ensuit que 
ape 7 CE x Lx RÉ S 
— SIN. 26 —-SIn.26—=SIN.;COS.{ 26 —;) 
2 2 b b 
$ 
+ ro0s. 2(c'—})=— At"; 


enfin l’on a 


Dee cos. À, 
1— sin." }, cos.? (a F) 
: . . 11 S 
Q— — P'tang.?,sin.2, sin. 2 (5, oh 


Telles sont les valeurs à substituer dans la série (c) pour avoir 
exactement 4; ayant soin toutefois de ne conserver que les 
termes du premier et du second ordre en e, et par conséquent 
de changer dans ceux en # les facteurs A1, A® en A", AO, 
c'est-à-dire et « en 6, et 6. 


4 Re 
Si l'on fait 2° © 


ni co les DE ’ à 
PRE + sinx (5 + A —=E, et qu'on effec 


65. 


516 NOUVEL ESSAI 


tue les substitutions qui viennent d’être indiquées, on trou- 
vera en définitive, 


Ÿ =; PE #MPE cos.) tang. L'Îr — 2c08.2,(7 se A9)] 
—- À e cos. 1e |25 + sin’, G 23 A) ] 
Ts P sin.‘}, 14; + 16A,0 + Ag] 
Re =# Qsin. sa, Le + A0. 


Cette valeur étant obtenue, on déterminera aisément 2” 


en résolvant l'équation (b); ou bien l’on aura cette latitude 


réduite en prolongeant la série (d) qui en est l'expression. 
Dans ce cas l’on y mettra pour 4 sa valeur ci-dessus, et le 
coefficient différentiel du second ordre sera 


d?} 


Tr) =—Mcot. o(2 + M'sin.'e). 


On voit donc que par l’une ou l’autre de ces deux solutions, 
la question doune lieu à une assez longue série de calculs. 
Il en est de même du cas suivant dont nous nous contenterons 
de donner une solution. 


XI cas. Etant données la ligne géodésique s, la latitude 
H" de l’une de ses extrémités, et la différence en longitude » 
de ces mêmes points ; trouver l'azimut V”. 


Sorurion. Si, comme dans le problème précédent, 
=D D —p+U, 66 — 5 — > LT, 


le triangle sphérique correspondant au triangle donné offrira 


D, ét te mn 


LR 


DE TRIGONOMETRIE SPHÉROIDIQUE. 517 


cette relation 
cos. V’sin.1”+ cot.(o + )sin. V’—cot. G + 5) COS. À. 


Il est donc évident , qu’en appelant Z la valeur que prend V” 
lorsque # et + sont nuls en même temps, on a 


dNV' AL 
CON COS 
et que Z sera donné par la formule 


cos.Zsin.X"+ sin. Zcot.o==cot. 7 COS. Ne 


La précedente étant différenciée successivement par rapport 
aux variables V”, # et r, on aura 


CNVIN GES sin. Z tang.® “es 
— r)= sin.@[cos.Z—sin.Zsin.)"tang.®|  ? 
E. — cos. À" tang. o Don 

= , 


22 [cos. Z—sin.Z sin. )" tang. o] 
d’où 
N—== nr" pcs." M 


. s 
sin? sin. Z 


On a donc, en s’arrêtant aux termes du premier ordre, 
" V'=Z+Mu+N:=2 +06, 


expression dans laquelle on a fait My + N+—6, pour abréger. 

Comme il s’agit maintenant d’avoir y et r en quantités toutes 
connues, prenons d’abord la relation cos.1—cos.x”sin. V”, 
et mettons-y pour V” sa valeur approchée; on aura, confor- 
mément à la notation adoptée, 


cos. 1 — COS. ), + 8 cos.x, cot.Z, 


518 NOUVEL ESSAI 


À ),— 6 cot.x, cot. Z, 


5 e FRE = 
expressions dans lesquelles cos.}, — cos.)”sin.Z. 
De même à cause de 
Fr MEN à. 70e sin. À/” 
7 —sin.À  sin.(À,— 0cot. à, cot. Z)? 
il vient, en développant, 


11 


oU— 6,.—0COt.ZCot.:),COt.0, . 


sin. À" 
et alors cos. «= ——- 
sin. À, 


Pour déterminer 5’ aux quantités près du deuxième ordre, 
on remarquera qu'à cause de 


fe 
6 —=6 — Le° sin.'\ + 


Se gesin."} (sin.26"— sin.26), 


on a, à ce degré de précision, 


(ae ep) ] s 
C—G —,;—7T 


b 


Sin. 2 5 —Sin. (25' RE) 3)— 2 cos. (25 


25) 


et 
LT TEE UN en e () 
F—5 = ;esin. À: zsin. ATAET, 
eu faisant dans le second membre 5, —5,"—°, et donnant à 


b 
A,!° la mème signification qu’au troisième cas. On a donc 


sin, 2 6'— sin. 2 6,/— 2008.26, (0 cot. Z cot.”, cot. ,") - 


: ’ . 7 s 
Sin. 26 — Sin. (25 —2;) 


+ cos. (2 s'— af) [<esin.'x, + te sin.”x, (A ()] , 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 519 


et, dans la même circonstance, 


D z e5sin x — 5 esin.*1, [A0], 
u—(s"—5")(© ecos.1) — Le COS... 


On a, en outre, 


Cos.1— cos. ), “+ 6 cot. Z cos.\, 
sin.\—sin.),-—6 cot. Z cot.2,cos.1, 
sin.’ — sin.’ X,—24cot.Z cos." \.. 


T'elles sont les valeurs de &'— 9, de cos., etc. à substituer 
dans la série (B”). Effectuant cette opération et s’arrêtant au 
degré d’approximation fixé, on trouvera définitivement 


3 
D — + <ecos.2, [1 + 6 cot. Z]—5e; cos.1, ; 


3 . S 
Donne à a)|. 
Ge Sin. 2, 008.2, [5 + À, | 


« A . . S 
Faisant les mêmes substitutions dans la valeur de c—; +7, 
il viendra 

% Pos I 


SRE Es k 
G—=6 —6 3 3°; (in. 1,— 26 cot.Z cos."r,) 


_ (sin.1,— 26 cot.Zcos.°x,)[ A] 


te G)+eL A 0)|.: 
+gesin. 1[75+ A. Has E 


ayant soin de mettre ici pour A(° ou :sin.26'—;sin.26 sa 
valeur approchée ci-dessus. 
Enfin des valeurs de w et « on passera à celle de V” au 


moyen de la formule 
cos. V''sin.\” + cot. sin. V’— cot.ccos.?", 


qui donnera nécessairement deux solutions. 


520 NOUVEL ESSAI 


Pour trouver les autres parties du triangle sphéroïdique 
on aura à résoudre le deuxième cas. 


XII° cas. Connaiïssant les azimuts V'V" de la ligne géodé- 
sique et la latitude H" de l’une de ses extrémités, trouver 
l'autre latitude H'. 


Sorurion. Après avoir calculé la latitude réduite >" par 
la relation (1), on déterminera l’autre latitude réduite à l’aide 


de la relation 
cos. "sin. V". 


OS — = 
EPS sin. V’ u 


ensuite On aura 


tang. H'— 5 tang.}'. 


Maintenant si l’on veut connaître la ligne s et la différence 
de longitude & ou l'angle des deux méridiens qui passent 
par extrémités de cette ligne, on cherchera d’abord la lati- 
tude réduite à du pied de la perpendiculaire dont s fait partie, 
laquelle sera donnée par la relation 


cos.\—cos.x sin. V', ou cos.1—cos.1"sin. V”. 


Ensuite on aura sur la sphère inscrite les côtés 5’, «”, ou les 
distances des points x ,2” au pied de la perpendiculaire, an 
moyen des formules : 


TSX 11 SSID) 
COS. —= COS. 6 —=——; 
sin. À 


Sin) 


s 


Puis l’on calculera la valeur de r à l'aide de la série primitive 


(A), celle de w”"—w'—+ par la formule 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. bar 


din __sin.(o"—6)sin. V’. 
ET Sin. V” ? 


Enfin lon aura + par la série fondamentale (B'). 

IL n'est pas difficile de voir que, parmi les vingt cas qui 
se présentent dans la trigonométrie sphéroïdique, il en est 
nécessairement huit qui rentrent dans les douze que nous 
venons d'analyser. Au surplus voici un tableau où se trouvent 
énoncés tous les problèmes concernant la résolution des trian- 
gles sphéroïdiques en général. | 


QUANTITÉS QUANTITÉS 

À ——— SOLUTION.|| _— = |SoLurIoR. 
DONNÉES. | CHERCHÉES. DONNÉES. | CHERCHÉES. | 

À HA AV NS QUE 1e" cas. || H//95 NÉAEMAN EN Etre cas 
HV's 15 LA LU 2° MINE NES "S 12° 
HéHis) | V V'o 3à NE eV ei 
H’ V’'s H’ V'# 4° HS NI! H Vo 2° I 
V'V's H'H'' 5e H' V’s H V9 4° | 
HV’ | H'V's 6° H Vo, | H/V”s | 6& | 
H'H/'9 VAN es 7° H!/,V' H' V's 8° l 
HV’ H/' V's 8° V'os H H'' V'! | 10° 
VV'e |H/Hs | o Hse [VH'V'|ur 
V''os HR Proe H' V' V" H"s9 25 


Il est important de remarquer qu'il est nécessaire d'établir 
l'homogénéïité dans tous les termes des séries telles que 
(A) (B), etc., avant de les soumettre au calcul sumérique; 


TX 66 


592 NOUVEL ESSAI 


ce qui ne présentera aucune difficulté si l'on fait attention 
que toutes les quantités désignées par 5’, 6”, w', w” sont censées 
des arcs dont le rayon a été pris pour unité. Si donc ces 
arcs sont exprimés en secondes de degré et qu’il faille les 
ramener à leur définition primitive, on les multipliera par 
sin. 1”. Réciproquement si certains termes sont donnés en 
parties du rayon et qu'il soit nécessaire de les avoir en secon- 


s . 1! : s n 
des, on les divisera par sin. 1". Par exemple > est le rapport 


’ A SEM S A 
de l'arc s au rayon d du pôle, et;r"= —— est ce même 
b bsin.r 


arc réduit en secondes de degré; r” désignant par conséquent 
le nombre de secondes contenues dans un arc égal au rayon. 


, _6 
On remarquera en outre qu'a cause de tang.1—"tang. H, 


b I S 
et de -————, on a, à peu de chose pres, 
a _ 
GS) 
NIKE DR RE 
4 Ssin.i 


C'est d'apres cette expression, et en ne conservant dans les 
séries désignées que les termes du premier ordre, que l’on 
parviendrait à résoudre différents cas des triangles sphéroï- 


diques indépendamment des latitudes réduites ou de la con- 


sidération de la sphère inscrite. La recherche de ces nou- 
velles formules approximatives faisant partie du mémoire de 
M. Oriani, nous renverrons le lecteur à cet ouvrage. 

Les triangles sphéroïdiques traités d’une manière aussi gé- 
nérale que celle dont nous venons faire usage se présentant 
trés-rarement dans la pratique, M. Legendre a résolu le cas 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 593 


où la ligne géodésique est de l’ordre de l'aplatissement de la 
terre, et à donné à ce sujet des formules indépendantes de 
la latitude réduite du point où cette ligne rencontre perpen- 
diculairement un méridien; ce qui simplifie beaucoup les 
calculs : cemme elles sont également démontrées au livre VI 
de notre Géodésie nous ne nous en occuperons point ici. 

L'analyse des triangles formés par trois lignes de plus 
courte distance d’une longueur quelconque, et dont aucune 
ne représenterait un méridien, serait une conséquence im- 
médiate de celle qui fait objet de ce Mémoire; mais l’on con- 
çoit que la position de pareils triangles sur l'ellipsoïde de 
révolution ne pouvant être arbitraire, il est indispensable 
de connaître alors la latitude de l'un des trois sommets et 
l'azimut d'un de leurs côtés. 


S V. 
Exemple de la résolution du VIIe Cas. 


Les ingénieurs géographes français ont lié l'ile de Corse 
au canevas trigonométrique de la nouvelle carte de France, 
en relevant de deux points du continent deux sommets de 
montagnes de cette île. L'un nommé le Monte-Cinto, a été 
observé de la station A du Cheiron la plus boréale, dont voici 
la position géographique calculée géodésiquement dans hy- 
I 


308,65 


latitude  H'—485,0831",50 
longitude P—— 5,1478,28. 


pothèse de 


d’aplatissement terrestre : 


Le même sommet a ensuite été observé de la station 8 de 


66. 


594 NOUVEL ESSAI 


la Sauvette, dont les ingénieurs-géographes ont trouvé 


la latitude H”'—48:,8841",40 
la longitude P”——4,4444,79; 


(le signe. — indique que les longitudes comptées à partir 
du méridien de Paris sont orientales.) 

Il s'agit de déduire de ces seules données la plus courte dis- 
tance AB—5 qui sert de base au grand triangle ABC: or si 
l’on suppose que 

log. a—6.8046154 log. b —6.8032060 
log. e —7.8136902 log. e —7.8108714, 


on aura, par la relation (1) du SI, 


b b 
log. 2—=9-9985906 log. = —9.9985906 
1 tang. H'— 9.9820282 1 tang. H'—9.9738447 
l. tang. V —9.9806188 1. tango.) —9.9724353 
X'—485,5799",52 N/—=476,9810",36 


La relation (E”) donnera, à cause de 9=—P'—P"—0",7033",49. 


L.cos.}" —9.95809595 + 1. sin.N— 9.839782 — 
L'tang. }—9.9724353 1. cos.p —9.9999735 
9-8313948—0,6782077 9:8390517 ———0,6911171 
l.sin.y—8.0432820 Ut 0 
c. log. dénom.— 1 .8907793 — dénomin. ——0,0128594 


© Ltang. Z=9.9340613 —455,1855",8 
ainsi Z—194,8144,2 


On passera de là au calcul du coefficient différentiel 


dz! ; 
(=, et l’on aura 
du 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 


1. sin. Z—9.8140223 
1. cos. Z—9.8799610 — 
1 cot.p —1.9566915 
1.6506748 — 
—— 44,737810 
— 0,293509 
M—=—45,031319 


Évaluant ensuite 


cos.X,—Ccos.\'sin.Z, COs.c, 


on trouvera 


(SX. 
D 
O1 


1. sm. Z—9.6280446 — 
1. sin. —9.8395782 


9.4676228 — 
—— 0,293509 


log. M==1.6535147 — 


sin. À’ MER sin. \’ 
= LENS: 
sin ee S sin. À, ? 


1 —68,7816",95; «. —425,6875",92, So —431,4746",31. 


Au moyen de ces valeurs la série (F) donnera, à cause de 


s —5 —7870",39 centésimales, 


log. (s/—5,/)—3.8959963....... 


log.+e—7.b126590 


1. cos. 1, —9.6729818........ 
1.081637x 
— 12",068 
(E) —7-99224— 
. log.6— 0.797815 
8.77039———0",0589 


log. Le cos. sin." \,—3.98733 
c. log. sin.1"—=5.80388 
log.=—9.69897 


9-49018 
log. 2 5/—9.98843; 
9-47861 + 
—+- 0",30103 


3.89600 | 
log. = nr AS 
9.67298 
1. sin.*\,—9.89109 
7.88333 — 
——0",0076 
— 0 ,0589 
—0 ,0665 
+ 12,068 


2° terme —+- 12,002 


9.49018 
1. sin. 26, —9.9g9081 — 


9: 48099 — 
—— 0",30269 
+ 0 ,30103 


3° terme——0 ,00166 


526 NOUVEL ESSAI 
log.+e—5.02532 
log.M—1.65351— 
log. (c,"— ,/) ==3.89600 
1. cos. 1, —9. 34596 


DÉO2OPO ER eee : ce one 9:92079 — 
1. cot.Z—0.06594 — log. (s/— 5,/)—3.89600 
L cot.® 1 —9.45492 1. sin. 1"—4.:9612 

Lsin. (6,/—6,/) —8.08909 L.cot. Z—0.06594 — 


c. log. sin. 5," —0.20662 


? 8.07885 +- 
c. log.sin.c,' —0.19994 on ton 
7:93730 + +0 ,00866 


— + 0",008656 4° et 5° termes — +0 ,02065 


REÉCAPITULATION. 


P—05,7033/,490 


om 12 ,002 
— 0 ,002 
3e O0 ,021 


6— 0,7045",5 11 —0— 0", 
La valeur de w étant trouvée, on aura celle de z! au moyen de 
l'équation (E); c'est-à-dire que 
log. sin. ® —8.0440228 
c.log. dénomin.— 1 .8907827 — 


l.tang.z—9.9348055 ——— 455,2395//,07 


2 —154,7604,93 
Partant 


V'=200— 7 —45,2395",07. 
Ensuite on trouvera, à l’aide des relations 


ue sin. À’ sin. \' 
COS. 1== COS. À Sin. Z'; COS, =; COS. « — 5 


tes valeurs suivantes : 


DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. 527 


1— 685,7481",87; '—42",6650",37; s'—43",4526",12; 


et la formule (A) du S II donnera, à cause de &"—5—7875",75, 
log. (c”—6/)—3.8962926  ..............,... 3.89629 — 
log.+e—"7.2116290 1. = —8.6709 
1.sin.® 1 —9.8908462 log. e —5.62738 
0.998768 1. sin.i\—9.78169 
2° terme —+ 9",9716 7:97031 — 
RS 3° terme —— 0",00946 
log. sin. 2 5"—9.9907468— + 0,978919 log.+e— 6.091060 
log. sin. 25/—9.9881730——0,973135 1. sin \—9.89085 
sin. 26"—sin.25/— 0,005784 dont le log. —7.76223+ 


0.36756+ 
4° terme —+ 2",3311 
1. (sin. 2 '— sin. 2 5) —7.76223 — 
1.5 — 4.72429 
L.+—)9-39794 
Lsinf1—9.78169  l.sin‘o'—9.9621634—+0,916565 
c.log.sin.1"—5.80388 [.sin.{5'—9.9513289 —— 0,893982 


7.470038 D sin. {ç"— sin. 46/—  0,022583 
5° terme —— 0/,00295 
log. = —7.59176 — 
log. e —5.62738 


1. sin.{1—9.78169 
L. (sin. 45''— sin. 45')—8.35378 
c. log. sin. 1'—5.80388 


7.1b849— 


6° terme ——0",00144 


528 NOUVEL ESSAI ! 


RÉCGAPITULATION. 
s—0/—05,7879",7d0 
+ 9972 
— 0,009 
+ 2,931 
— 0003 
— 0,001 


== 7888",04— U. 


Enfin l’on aura la ligne cherchée s — AB, ainsi qu'il suit : 
log. U—3.896969r 
1. sin. 1—4.1961199 
log. b— 6.8032060 
log.s — 4.8962950 
et s—78758",053. 

Quant à l’azimut V” on l'obtiendra par la derniere des 
équations (3), laquelle donnera V”=:/45,7541"60. 

La ligne géodésique que nous venons de déterminer, par 
le procédé le plus rigoureux qu'on puisse employer, se dédui- 
rait un peu plus aisément de la solution rapportée à l’art. 367 
de la Géodésie , et due à M. Legendre. Par exemple on aurait 
s—98797",5; résultat seulement plus faible que le précédent 
de 0",6. Une autre solution d'une extrême simplicité nous a 
donné 5—78756",9; dans la supposition que la ligne géodé- 
sique est non-seulement de l'ordre de l'aplatissement de l’'el- 
lipsoïde, mais encore une courbe plane (voyez les additions 
à la Connaissance des temps pour 1832). On est donc porté, 
en comparant ces résultats, à conclure que les formules ap- 
proximatives, fondées sur cette dernière hypothèse, ont 
encore assez d'exactitude, lors même que les longueurs des 


PT TE 


| 
\ 


DE TRIGONCOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE: 529 


côtés des triangles seraient de plus de 80000 mètres; et l’on 
voit que l'analyse précédente possède, outre l'avantage de 
mettre en évidence un pareil fait, celui d’être applicable aux 
plus grandes lignes qu'on puisse jamais mesurer et faire servir 
à la recherche de la figure de la terre : aussi c’est ce qui nous 
a engagé à lui donner de la publicité. 


RS OR 


NOTE 


Sur l'aire d'un triangle sphéroïidique dont les côtes 
© 
sont des lignes de plus courte distance genérale- 


ment à double courbure. 


Tour triangle M,M,M, terminé par des lignes de plus 
courte distance quelconques, se confond sensiblement avec 
celui qui en représente la projection sur une sphère dont le 
rayon serait moyen proportionnel entre ceux de plus grande 
et de plus petite courbure au point dont la latitude 4 se- 
rait la moyenne arithmétique entre les latitudes des trois 
sommets : alors l'aire > de ce triangle s'évaluera tres-simple- 
ment par la formule suivante due à M. Lhuilier de Genève, 


I : s— A s — B °s—C 
tang.;2— Vos =tang. ES (: = Jrang. (==) A 


A,B,C étantles trois côtés et s désignant leur demi-somme ; 
puis l'on aura en mesures métriques carrées, 


Dés: sie LA À Pons 
? (1—e sin”) 100°? 
l'angle droit étant de 100 grades ou degrés centésimaux. 
(Voxez le tom. I de la Géodesie, p. 94 et suivantes). 
On pourrait encore obtenir l'aire T du triangle dont il 
s'agit en menant par les trois sommets M, M, M, des méri- 


NOTE SUR L'AIRE D'UN TRIANGLE SPHÉROIDIQUE. 931 


diens elliptiques M,P, M,P, M,P ; car on aurait 
MM,M,—=M,PM, +M.PM,—M, PM. 


Reste à savoir déterminer l'aire d’une triangle sphéroïdique 
dont deux côtés sont des arcs de méridiens : or on y par- 
viendra ainsi qu'il suit. 

Supposons qu'un tel triangle M. PM,,,—T, soit partagé 
en un assezgrand nombre d’autres M, PM,,M,PM,,M, PM... 
M,PM,,,, 7 étant leur nombre; et que, pour plus desimpli- 
cité, les méridiens PM,, PM....... PM, divisent l'angle 
M.PM,,!—+, en parties égales; on aura alors 


Pr— 79, 


9 désignant un de ces angles partiels, et r étant pris de ma- 
nière que Y soit d'un demi-degré au plus. Cela posé chaque 
aire partielle T, T,..... T, sera à très-peu pres équivalente 
à celle de la portion de fuseau ellipsoïdique dont + désigne 
l'angle, et dont l’arc de parallèle intercepté a pour latitude la 
moyenne 4 entre celles des points M,M,, M, M, etc. 

Soient de plus H, H, H;..... H,., les latitudes respectives 
des points M, M,M,..... M,,,, qu'on déterminera en résol- 
vant par le VI® cas un triangle sphéroïdique dont on con- 
vaîtra deux angles et un côté; et l’on aura pour l'expression 
différentielle de l’un de ces fuseaux 


zb°d.sin. 
PU Re 
(Géodésie, p. 33%.) 
Développant le second membre en série, et intégrant entre 
les limites 4 et 100%, on obtiendra définitivement 


Gr. 


/ 


532 NOTE SUR L'AIRE D'UN TRIANGLE SPHÉROIDIQUE. 


2 


T=?"? 


200$ 


[(1—sin.4)+ <e(1— sin-4)++e(r—sin. 4) . 


formule générale dont la loi des termes est manifeste, et dans 
laquelle on fera successivement 


AH IH HE 


H,+H; 
Qt, js, jt 


ñ 
MERE 
our avoir les aires partielles T, T,....T,, et par suite l’aire 
1 - 
entière 


L'application numérique de ce second procédé serait sans 
doute fort longue; mais il n’est pas probable qu'on puisse 
arriver à une solution rigoureuse du problème actuel par 
des considérations plus élémentaires. 


RS SR TEE TE SES SE SEE RER 


APPLICATION 
DU CALCUL DES PROBABILITÉS 


A LA MESURE DE LA PRÉCISION D'UN GRAND NIVELLEMENT 
TRIGONOMÉTRIQUE. 


Par M. PUISSANT. 


Lu à l’Académie royale des sciences, le 8 mars 1830. 


Lss travaux géodésiques relatifs à la nouvelle carte de la 
France offrent plusieurs chaînes de triangles du premier 
ordre qui sont très-propres à faire connaître exactement les 
hauteurs de toutes les stations au-dessus du niveau des mers ; 
mais pour avoir une juste idée de la précision de pareilles 
mesures déduites d’un grand nombre d'observations angu- 
laires, il ne suffit pas de remarquer leur accord plus ou 
moins parfait, il faut de plus évaluer par l'analyse des proba- 
bilités l'étendue des erreurs dont elles sont susceptibles : 
or c’est ce que M. Corabœuf et moi venons d'entreprendre, 
en appliquant une formule qui m'a paru propre pour cet 
objet; parce que je l'ai fait dépendre, tant des erreurs qui 
affectent les grandes distances comprises entre les stations, 
que des erreurs accidentelles dues à la mesure des angles 
verticaux et de celles provenant de la variabilité des réfrac- 


534 MESURE DE LA PRÉCISION 

tions terrestres; enfin parce qu’elle est fondée sur l’analyse 
des probabilités. Voici, en peu de mots, sur quelles consi- 
dérations je me suis appuyé. 

Supposons qu’une quantité X soit déterminée par l’en- 
semble d’un grand nombre d’observations sujettes à diverses 
sources d'erreurs indépendantes, et que l'erreur s de cette 
quantité soit de la forme : 


s—Ax+By +CGz +... 
+ A x'+ B'y + C'z +..... 
(Laser d TO! 12/2 


+ A'x"+ By" + Cr +... 
+ etc. £ 


x,Y,2,... étant ces erreurs indépendantes multipliées respec- 
tivement par un coefficient donné, et dont la loi de proba- 
bilité soit la même pour chacune; on aura plus simplement, 


s—2Ax+2Byr+20Cz+..... 


en désignant par > la somme de tous les termes en x, en y, 
en 3, etc. Or d’après l'analyse exposée au troisieme Supplé- 
ment à la théorie analytique des probabilités de Laplace, 
p. 26, la probabilité de s est proportionnelle à l'exponen- 
tielle 


SEA) Hg, 2) +8 EC +. 
e 

e représentant la base de logarithmes népériens , et gg, g.... 
étant des facteurs à déterminer en fonction des erreurs des 
observations : ainsi la probabilité que l'erreur s est comprise 
entre les limites 

X—rV/g"2:(A) +2," 2(B) +g,°x(C) +... 

X + rV/g2(A) +g,"2(B'+g, >(C) +... 


tr 


2 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 535 


p=ÿ- fe" dr, 


l'intégrale commençant depuis r—0. (Voyezaussi sur ce sujet 
un Mémoire de M. Poisson inséré dans la Connaissance des 
temps pour 1827, p. 273.) 

Si l’on suppose le nombre des observations très-grand, 
et que dans chacun des systèmes d'erreurs x, ÿ,2..... ce 


est 


nombre soit respectivement respectivement représenté par 
6366 3... On pourra, en se conformant à la théorie re- 
lative à la probabilité des erreurs des résultats moyens déduits 


: ! 2 (m/— m°) 
d'un grand nombre d'observations, faire passaient), 


3 
expression dans laquelle » représente la somme des 5 erreurs 
qui s’écartent de ja valeur moyenne, et par m! la somme des 
carrés de ces mêmes erreurs. En raisonnant pareillement 
pour les autres systèmes d'erreur, et appelant G le module 
ou la mesure de la précision de X, on aura, d’après cela 
G=V/3 2) +8" 2(B) +8 20) +. 

et en multipliant successivement ce module par r—0,47708 
et r—3, on obtiendra l'erreur moyenne de X et la limite 
de cette erreur. Telle est la règle générale qui dérive de la 
Théorie de l’illustre Laplace, et que M. Fourier a énoncée dans 
un des Mémoires qu'il a publiés en 1826 et 1829 en faveur 
des personnes occupées de recherches statistiques mais étran- 
geres à l'analyse mathématique. 

Procédons maintenant à la détermination de la fonction 
X, dans le cas particulier qui nous occupe. 

On sait d’abord que la différence de niveau de deux points 
éloignés entre eux et liés par un réseau de triangles, se dé- 


536 MESURE DE LA PRÉCISION 


duit d’une suite de nivellements partiels à chacun desquels 
on applique la formule 


(A) pute M tang.=(z'—z), 


z et z! étant les distances zénitales moyennes apparentes, 
observées réciproquement aux extrémités de la base K, R 
désignant le rayon de la terre, et x la différence de niveau 
de ces deux extrémités. (/’oyez p.6 du Supplément au Traité 
de Géodésie). On sait de plus que les distances zénitales qui 
sont données par plusieurs séries prises avec le cercle répé- 
titeur, et qui diffèrent peu de l’angle droit, sont en général 
affectées d'erreurs fortuites provenant des défauts de l'instru- 
ment ou d’autres causes accidentelles; nous désignerons donc 
ces erreurs respectivement par dz et dz'. Enfin il est évident 
que les observations n'ayant pas été faites simuitanément 
aux extrémités de la base, la réfraction, supposée la même 
dans la formule précédente, a pu cependant être différente 
en passant d’une station à l'autre; ainsi nous aurons égard 
à cette circonstance en appelant r r' les réfractions relatives 
a zet z. 

Cela posé, on aura, en désignant par Z et Z' les distances 
zénitales moyennes rigoureuses 


K 
Z—=7 + dz+tr—=7:4+4dz +R 
De 
Z=3+d3+r—=2+4d2+ =; 


n,n étant les coefficients variables de la réfraction. 


gi ns  RE 


miser: 


De là 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 537 


eZ g—z dzi—dz n—n K 
ENNE TON 2 SULUR 


et pour véritable différence de niveau partielle 


Ein tang.:(2— 2)+S (dé —di)+ E (an), 
= 

dans la supposition toutefois que la base K est exactement 
connue. Si au contraire elle est entachée d’une erreur dk, 
on aura alors, en faisant 2(7—z)—7v et » —n—dn, pour 
abréger , et prenant pour K sa longueur # au niveau dela mer, 


RACE LME Dar For ONU) x 
2 2 2R 


Chaque nivellement partiel donnera évidemment une équa- 
tion semblable; ainsi lorsque X est la différence de niveau 
des deux points extrêmes de la chaîne de triangles, on a, en 


1fk 
supposant cos. 2(2) — 
X—k, tang.v,+ #,tang.v,+ k,tang.v....+4,tang.v,,, 


z'étant le nombre de ces nivellements partiels ; et sa différen- 
tielle ZX a généralement pour expression 


dX—32(vdk)—3x (Gaz) + »(Fdz) +3(%dn) J 


3 désignant la somme de tous les termes pareils à celui que 
cette caractéristique précède. Il résulte delà et de la règle gé- 
nérale énoncée ci-dessus pour déterminer l'erreur probable 
de X , que cette erreur est 


G) dX=V/@ar+(fa) #(les (Fan) 
1124 | 68 


538 MESURE DE LA PRÉCISION 


Or si à chacune des quantités moyennes k,1z, z,kns@on 
applique la méthode exposée au n° 13 du Supplément à la 
Géodésie, pour déterminer tant leurs plus grandes erreurs 
probables A#,, Az, Az", An que leurs valeurs moyennes 34, 
5z,9z,dn, et qu'on substitue successivement ces erreurs 
dans la formule (r), la limite de l'erreur de X sera 


(2) aX=V/20œa8+(fac) +s(fas) (au), 


et l'erreur moyenne dont cette même différence de niveau 
pourra être affectée, sera représentée par 


(3) XV a(o8t)+a(tos) 4e (loe) +2 Don) 


On aura donc de la sorte la mesure de la précision du nivel- 
lement trigonométrique. 

Un grand nombre de comparaisons et de vérifications de 
bases mettent hors de doute que les côtés d’un réseau de 
triangles sont connus en général à un trente millième pres; 


dés 5 à k 
ainsi on pourra évaluer 4} en faisant AR=IR=SE. On 


pourra en outre supposer que dans n'—n = dn, la valeur 
de » est la moyenne entre toutes cellesin, 7, n;:.. /.n;; qui 
auront été conclues des distances zénitales réciproques. 

Quant aux limites entre lesquelles chacune des valeurs 
moyennes z, 2,72 est comprise, elles se trouveront ainsi 
qu'il suit, &’après la méthode dont on vient de parler. 

Soient par exemple x, x, «:... les différences des distances 
zénitales observées à la distance zénitale moyenne z, € 6,G,G3+« 
les nombres de répétitions qui leur correspondent ; on aura, 
en appelant ç le nombre total de ces répétitions, 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 539 


1° Pour la valeur moyenne de ces différences 


SU Ho, +S;az 
TR ARE am 


Lo) 


2° Pour la valeur moyenne des carrés de ces mêmes dif- 
férences ù 
CLP SCC AR CE CAE CRUE ea 


LA 


g=V/2m— rm), 


le nombre g sera la mesure de la précision de la distance 
zénitale moyenne z, ou, en d’autres termes, 3g sera la limite 
Az de l'erreur positive ou négative dont la valeur de z peut 
être affectée , et =£ ou plus exactement (0,47708)g exprimera 
l'erreur moyenne ÿ z de cette même distance zénitale, c’est- 
à-dire celle dont la probabilité est =. 

C’est ainsi qu'on déterminera les autres limites AZ, An et 
les valeurs moyennes correspondantes 3 z/, ÿn à introduire 
dans les formules (2) et (3); mais il sera suffisamment exact 
de faire l'erreur moyenne dz—;g, et la plus grande erreur 
Az—63z; de cette manière on aura dans la formule (2), 


Ù (£a z) + x (Gazÿ+ x (San) 
— 36 Ë (5 2) e 2(82) + > (£ ôn) |. 


En ayant donc égard à cette remarque, le calcul des formu- 
les (2) et (3) s'effectuera très-promptement. 
On aura soin, bien attendu, pour satisfaire au principe de 
l'homogénéité , de réduire en parties du rayon les quantités 
68. 


Prenant ensuite 


54o MESURE DE LA PRÉCISION 

angulaires v, Az, Az ,9z,92, c'est-à-dire d'écrire vsin.1", 
Azsin. 1”, etc. si ces quantités sont exprimées en secondes : 
alors les valeurs de AX et SX seront données en mêmes 
unités que les bases , 4, k,..... 


Exemple numérique. 


Le triple nivellement que MM. le lieutenant-colonel Cora- 
bœuf et le capitaine Peytier ont effectué depuis l'Océan jus- 
qu’à la Méditerranée, me paraît réunir toutes les conditions 
nécessaires pour faire reconnaître si effectivement ces deux 
mers, considérées dans un état de repos absolu, présentent 
une différence de niveau, ainsi qu’on l’admet assez générale- 
ment. Ces habiles ingénieurs obligés de déterminer les diffé- 
rences de hauteurs de leurs stations par des distances zénitales 
non simultanées, mais réciproques , se sont imposé la loi de 
n'observer que dans les circonstances atmosphériques les plus 
favorables, et de prendre à chaque station, à des jours dif- 
férents, au moins trois séries d’un même angle, et quelque 
fois six séries de dix répétitions chacune; afin que le résultat 
définitif répondit, autant que possible, à l’état moyen de 
l'atmosphère : aussi remarque-t-on dans les registres de cal- 
culs de M. Corabœuf, que les écarts des séries comparables 
entre elles sont le plus souvent renfermés dans des limites 
fortétroites, et que les plus grandes oscillations du coefficient 
de la réfraction autour de sa valeur moyenne ne dépassent 


pas le quart de cette valeur. (Voyez les tableaux I et IT qui 


accompagnent ce Mémoire.) 
Ce nivellement important sur lequel leurs auteurs four- 


uiront eux-mêmes plus de détails par la suite, a été opéré: 


rage = 


Cr 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 54 


sur trois lignes différentes : celle passant par les sommets 
de triangles, situés au sud de la zône trigonométrique, forme 
un développement d'environ 400000 mètres, et comprend 
dix-huit stations trèes-bien liées entre elles. M. Corabœuf a 
trouvé au moyen de cette ligne et par un calcul rigoureux, 
que la hauteur du point géodésique du fort de Socoa au- 
dessus de la Méditerranée, est de................ 8",85 
C'est ce que fait voir le tableau IT ci-annexé. 


La seconde ligne de nivellement, dirigée par les 

sommets de triangles , situés le plus au nord, a donné 

pourra mémetDaute tn oc PARCS ENTER 10,40 
Enfin la troisième ligne passant alternativement 

par les sommets nord et les sommets sud, a donné. 8 ,69 
En prenant une moyenne entre ces trois résultats, 


Par une mesure immédiate, la hauteur du même 
point au-dessus de l'Océan (mer moyenne), a été 


trouvée de .......... 2,408 09 D 16 ANRT 8 ,43 
Ainsi la différence entre ces deux mesures est de..  o ,88 


Doit-on conclure, d’une si petite différence , que la Médi- 
terranée est plus basse que l'Océan d’un mètre environ, ou 
est-il plus exact de dire que cette différence est due en grande 
partie aux erreurs inévitables des observations? C'est une 
question sur laquelle le calcul des probabilités peut seul jeter 
quelques lumières. 

En effet en appliquant la méthode précédente à la pre- 
miere ligne de nivellement que présentent nos deux ta- 
bleaux ci-joints, on trouve pour l'erreur moyenne du ré- 
sHIEAt. à 4 RU CAL RS NT CAD 0",92 


542 MESURE DE LA PRÉCISION 


et pour la plus grande erreur positive ou négative...  1",86 

Par la seconde ligne de nivellement, on trouve 
Ferreur moyenmesdez .cacco) .@erosh como ,56 
et par conséquent la limite de cette erreur de.... 1 ,42 
Ainsi il est évident que ces deux nivellements ont le même 
degré de précision, et qu’en faisant concourir tous les trois 
à la recherche de la différence de niveau des deux mers, on 
peut assurer avec une probabilité suffisante, que cette diffé- 
rence, si elle existe, est inférieure à la limite de l'erreur pos- 
sible des mesures trigonomeétriques. Il y aurait beäucoup 
plus de cinquante mille à parier contre un que cette erreur 
n'est pas d’un mètre et demi, si les observations de distances 
zénitales eussent été multipliées davantage, toutes choses 
égales d’ailleurs. ; 

Les conséquences déduites du calcul des probabilités n'étant 
relatives qu'aux erreurs fortuites de mesures, il est essentiel 
d'employer les meilleurs instruments, de multiplier lenombre 
des observations et d’en varier les circonstances, afin d'at- 
ténuer l'effet des erreurs accidentelles, d'éviter les causes 
constantes d'erreur , et d'obtenir des résultats très-précis. On 
remarquera cependant que l'erreur constante dont le cercle 
répétiteur peut être affecté, n’a aucune influence sur la dif- 
férence de niveau conclue des distances zénitales récipro- 
ques, puisqu'elle disparaît nécessairement de la formule (A). 

Les résultats numériques qui viennent d'être énoncés 
m'ont paru assez intéressants pour que je crusse devoir en 
faire l'objet d'une communication à l’Académie des sciences. 
Ils prouveraient seuls que les travaux trigonométriques de 
la nouvelle carte du royaume, exécutés d’après les procédés 
mêmes qui ont été employés dans la mémorable opération 


Te 


CN'HÉE- - 


82m 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 543 


de la méridieune, méritent une entière confiance. Ces tra- 
vaux réunis à ceux dont le corps royal des ingéniéurs-géo- 
graphes à également enrichi le dépôt de la guerre pen- 
dant plus de trente ans, formeront sans contredit la plus 
riche et la plus précieuse collection géodésique qui ait jamais 
existé. Qui le croirait cependant ! il n’est bruit que de la 
fusion prochaine de ce corps spécial dans celui d'état-major, 
et que d'ôter par conséquent à l’École polytechnique le 
privilège exclusif dont elle jouit depuis 1809 , de fournir des 
élèves pour le service de la géodésie. 

Observons, en finissant, que si l'on était curieux de véri- 
fier les différences de niveau calculées au moyen de la for- 
mule (A), il serait nécessaire de les évaluer d'abord approxi- 
mativement en prenant pour bases # #;.... celles qui pro- 
viennent immédiatement de la résolution des triangles et 
qui représentent, à la surface de l'Océan, les plus courtes 
distances des stations. Ensuite on les diminuerait de leurs 
excès sur les cordes correspondantes, puis on les augmen- 
terait d’une quantité dépendante de la hauteur absolue de la 
station la plus basse des deux que l’on compare. Cette double 
correction est essentielle ici, à cause de l'éloignement et de 
la hauteur considérable des montagnes aux sommets des- 
quelles les signaux ont été placés. Enfin l'on déterminerait 
de rechef les différences de niveau en faisant usage des bases 
ainsi corrigées, et cette fois les résultats seraient exacts. 

Il résulte de cette remarque qu’en désignant par 4 un arc 
terrestre au niveau des mers, et par K la corde d’un arc 
semblable à la hauteur absolue À, on a 


K=k (is) (+7), 


544 MESURE DE LA PRÉCISION 


+ étant le rayon de la terre ou mieux la normale dans le lieu 
du nivellement. On trouvera, pour simplifier les calculs, une 
table du log.K à la fin du supplément au Traité de Géodésie. 


NN. B. Les valeurs des constantes gg ,g, que nous avons adoptées dans 
ce Mémoire ne sont pas celles qui résulteraient de l'hypothèse de Laplace, 
(p.28 du Supplément à la Théorie analytique des probabilités). Nous nous 
sommes , à cet égard, écartés de la méthode de ce savant célèbre, parce 
que les constantes dont il s’agit ne nous paraissent pas devoir dépendre 
des erreurs de la somme des trois angles horizontaux des triangles qui re- 
présentent la ligne de nivellement. 


ERRATA. 


Pag. 469, lign. 3, qu'il faudra, lisez: qu'il faudrait. 
Pag. 522, lign. 2, en remontant, venons faire, Usez : venons de faire. 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 


TABLEAU I. 


545 


Ecarts des distances zénitales 


rad = 
STATIONS FE autour de la moyenne z. Fi 
COMPARÉES. ‘ ë 
Vigie St-Ange-St-Laurent....... 36|12,7 11",7/0",4 22 
St-Laurent-terme austr. dela base.|46|39,2| 7,0 33 ,8|12,3 44 
Terme austral-Forcefal . ...... 5ol22,r| 6,5 16 ,0|12,7 52 
Forceral -Canigou............ 70/10,6| 8,116,5114 ,o| 7,6[3,5|50 
Canigou-Liouses.............. 56|12,4| 9,7 12 ,2| 6,613,2136 
Liouses-Colrouge............. 341 3,5 2 ,2| 1,2 44 
Camigou-Modrès.............. 44| 6,8| 6,7 13 ,3| 0,2 58 
Modrès-Colrouge .......:..... 60|14,9| 4,5[0,5]12 ,8| 7,1] |46 
Colrouge-Montcal............. 42|11,2| 7,7 17 ,| 7,3 34 
Montcal-Crabère. .......,...,. 30137,5|23,5 61 ,0 42 
Crabère-Maupas.............. 36] 8,0! 1,5 9 ,5 32 
Maupas-Troumouse. .......... 32/]21,7|15,7 37 ,4 32 
Troumouse-Baletous.......... 30|14,8 9 :6| 4,7 32 
| Baletous-Pic d’anie....., LEURS 30] 3,3 2 ,7| 0,6 30 
h|Pic d’anie-Orhi........... .... [30] 5. 3 .-| 30 
Orhi-Lissératéca.............. 30| 7,3] 2,3 9 7 34 
à Lissératéca-Larhune F-+- A0 .[32/10. | 7. 17 30 
ÎLarhune-Fort Socua........... 30! 4,7 3 ,3| 1,4 42 
| 


Écarts des distances zénitales 


autour de la moyenne 2. 


en + en — 
centésim. 

US) 0,3 
10 ,5| 6,5] 6,0/23 ,r 
12 ,5| 5,3] 4,4]22 ,2 
6 ,2| 4,7] 0,9] 7 ,8/4;r 
29 ,0| 2,5 8x ,4 
8 ,1| 3,9 10 ,611,4 
4 ,4| 43 4 ,8/2,1|1,8)8 
6 ,7| 6,7] 2,215 ,5 
2 :,6 1 ,4|1,2 
12 ,0| 6,0 11 ,8/6,2 
22 ,0 16 . |6 
10 ,3 8 ,711,6 
27 . 22 ,)|5 
27 . 20 . 7 
22 ,7|11,7 54,3 
12 . 12 . 
3 ,3| 2,4 557 
15 ,5|10,5 24 ,511,5 


546 MESURE DE LA PRÉCISION 


TABLEAU 


Distances zénitales réduites : HAUTEUR, 
BASES DIFFÉRENCES 


aux sommets des signaux. au-dessus 
au niveau de 


STATIONS 


COMPARÉES. 
niveau. 


Vigie du fort St-Ange 
Vigie-St-Laurent de Salanque 


St-Laurent-terme austr. de la base. 


Terme austral-Forceral 


Forceral-Canigou..............|.. neeeaele » 
Canigou-Liouses 

Liouses-Colrouge 

Canigou-Modrès 

Modrès-Colrouge, 


Orhi-Lissératéca 
Lissératéca-Larhnne 


Larhune-Fort S0CQu:....:....s. le 00. ...[105 


D'UN NIVELLEMENT TRIGONOMÉTRIQUE. 547 


Erreurs moyennes des 


| BASES 4 Ur Quantités dépendantes de la réfraction. 
| & distances zénitales. 
|: T 
B . à. 
- Ex Re © 
S 
D. pe] © 
Univeau | erreurs | + * [Coefficient]  Écart Erreur 
1 dz ES dz! de la 
a mer. [moyennes = ñ. | | moyenne. moyenne. 
— ||} == 


centésim. centésim. 


12 ,65 | 0 ,3404 | 46 | 2 ,753a | 44 | o ,9224 || 45 0,0678 |+-0,0035 
252 ,10 | o ,5084 || 50 | 1 ,5386 | 52 | 1 ,a940 | 51 | o,0813 |-o,0170 
40 ,44 | 1 ,0180 ||70 | o ,7600 | 50 | o ,8355 


60 0,0688 |+0,0045 
25 ,63 | o ,9042 ||56 | o ,8970 | 36 | à 9135 
536 ,04 | o ,7545 ||34 | o ,3015 | 44| o 7445 
227 ,81 | o ,8742 || 44 | o ,8725 | 58 | o ,3435 
629 ,32 | o ,8209 | 60 0 »8725 | 46 | r ,2016 


46 0,0628 |—0,0015 
39 | 0,0676 |+-0,0033 
5r | o0,06g0 |+-0,0047 
53 0,0615 |—0,0028 | 42—0,00023219 
0495 | 34 | o ,2230 


ï 38 0,0614 |—0,0029 
398 ,40 | 1 ,5999 || 30 | 5 ,6170 | 42 | 1 ,0310 


36 0,0624 |—0,0019 
102 ,68 | o ,9701 ||36 | o ,8510 | 32 | 2 ,o100 || 34 0,0675 |-0,0032 


32 0,0588 |—0,0055 


De] 
© 
s 
ES] 
» 
eo 
» 
M 
es 
© 
© 
Co 
D 
œ 


,3200 | 32 | r 6970 


o 
5 
9 
ÿ 
m 
Ÿ 
ps 
D 
© 
go 
© 
LI 


3600 | 32 | 2 ,5190 


310,66 0®,2070 | 36 | 1",1447 | 22 | 0! ,0000 ; +-0,0812 |+-0,0169 
l 0,0527 |—0,0016 


o 
, 
Wo 
S 
Le 
UD 
rs 
LES 
© 
o 
© 


30 | 0,0598 | —0,0045 
30 0,0588 |—0,0055 
32 9,0703 |--0,0060 


798 ,10 | o ,7933 | 30 | o ,4600 | 30 | 3 ,1880 


“ 

Tr 
co 
co 
(=) 


187 ,80 | o ,7394 || 30 | o ,92x0 | 34 


07 ,80 | r ,3869 | 32 | 1 ,5100 | 30 | o 5820 || 31 | a,0650 |+-0,0007 | 
14 95 | o ,3425 || 30 | o ,4400 | 42 | 1 ,6840 || 36 0,0399 |—0,0244 
| SRE 71 U 
704 0,0643 


,3210 | 30 | 2 = 


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RAR LAR VER LOS LES LAS LEA LAS LAS VERS ALLER LUE LAS LUS LUI LS LEE LAS AA LUE LUE LA LAS LES LEA LAN LEE ES 


MÉMOIRE 


SUR 


LA PROPAGATION DU MOUVEMENT DANS LES MILIEUX 
ÉLASTIQUES. 


Par M. POISSON. 


Lu à l'Académie, le 11 octobre 1830. 


SE — 


1 les corps, solides, liquides, aëriformes sont suscep- 
tibles de compression, Dans les solides et les liquides, la 
compressibilité est très-faible, et il faut employer de très- 
grandes forces pour la rendre sensible. Dès qu’on enlève ces 
forces, les liquides reprennent leur volume primitif. Il n’en 
est pas de même à l'égard de tous les corps solides : les uns 
conservent la forme et le volume que ces forces leur avaient 
fait prendre; les autres reviennent exactement à leur volume 
et à leur forme propres, aussitôt que ces forces ont cessé 
d'agir, en sorte que ces corps sont parfaitement élastiques, 
aussi bien que les liquides et les gaz. Un milieu élastique 
peut donc être un gaz, un liquide ou un solide; et le mou- 
vement ayant été imprimé d'une manière quelconque, à une 
portion limitée d’un semblable milieu, l’objet de ce Mémoire 
est de déterminer les lois suivant lesquelles il doit s’y pro- 


550 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


pager. Pour former les équations différentielles de ce mou- 
vement, il est nécessaire d’avoir-égard' à lanature intime du 
système, aux forces d'attraction ou de répulsion qui ont lieu 
entre ses molécules , et à la propriété essentielle qui distingue 
les fluides des corps solides: C'est ce que j'ai fait dans un 
autre Mémoire; dans celui-ci, il s'agira d'intégrer ces équa- 
tions, de déterminer, d'après l'état initial du ‘système , les 
fonctions arbitraires qui complètent leurs intégrales, puis 
de déduire de ces intégrales, les lois de la propagation du 
mouvement et la constitution des ondes mobiles, à une grande 
distance de l’ébranlement primitif, c'est-à-dire, leurs pro- 
priétés indépendantes du mode particulier de cet ébranle- 
ment. 

Nous supposerons très-petites , les vitesses de tous les points 
du système, ainsi que les dilatations ou condensations qui 
les accompagnent , et nous négligerons, en conséquence, les 
carrés et les produits de ces quantités, ce qui rendra lineai- 
res, les équations différentielles dont elles dépendent. Nous 
supposerons aussi le milieu homogène et partout à la même 
température, afin que les coefficients relatifs à la nature du 
système, que ces équations renferment, soient des quantités 
constantes, et que les intégrales puissent s’obtenir sous une 
forme qui ne soit pas trop compliquée. 


$ I. 
Propagation du mouvement dans un fluide. 
(1) Soit M un point quelconque d’un fluide, dont la posi- 


tion, au bout du temps #, est déterminée par les trois coor- 
données rectangulaires æ,Y, z, et qui est sollicité suivant 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 551 


leurs prolongements, par:les forces X, Y, 2, accélératrices 
ou rapportées à l’unité de masse. Représentons, au même 
instant par , vw, les trois composantes de la vitésse de 
M, en sorte qu'on ait 
he9" 10 g} dz 
denis ee NE 
Soient aussi p et e deux fonctions de x, Y> 2; t, Qui repré- 
sentent , au point M et au bout du temps #, la pression rap- 
portée à l’unité de surface et la densité du fluide. Les équa- 
tions du mouvement seront celles-ci : 
% du du du du d p \ 
€ (X—R— Bon Dr a ne 
dy dv dv da\ __dp 
e( TR Ur 7) ur (1) 
(2 dw dw dw dw\ __ dp 


ne decided ar) Tia 


qui sont fournies par le principe de d'Alembert, et celle-ci 


dp  d.pu d.pv d.pw 
PMR EL dy M ra (2) 


qui exprime que la masse de chaque petite partie du fluide 
ne varie pas pendant son mouvement. 

Les équations (r) supposent la pression p égale en tous sens 
autour du point M et normale à la surface sur laqueile elle 
s'exerce. C’est, en effet, ce que l’on admet ordinairement ; 
mais, en examinant avec attention la cause de cette égalité 
de pression, j'ai fait voir, dans un autre Mémoire, qu’elle 
peut s'observer dans l’état d'équilibre d’un fluide et n’avoir 
plus lieu pendant son mouvement. Les équations (1) devraient 
alors être remplacées par d’autres, que l’on trouvera dans le 


559 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


Mémoire cité et dont nous ne nous occuperons pas dans 
celui-ci. 

(2) Les équations (1) et (2) sont communes aux gaz et aux 
liquides. S'il s’agit d'un fluide aériforme, et si l’on veut que 
sa densité soit constante dans son état d'équilibre, il faudra 
que les forces X,Y,Z, soient nulles. Désignons alors par 
D, la densité naturelle de ce fluide , et par gA la mesure de 
sa force élastique; g étant la gravité et À la hauteur d’un 
liquide déterminé dont la densité est prise pour unité. Dans 
l'état d'équilibre, on aura 


e=D, p=gh. 


Au bout du temps #, soit s la dilatation du fluide qui à lieu 
au point M , en sorte que sa densité y soit diminuée dans le 
rapport de 1: —sà l'unité. Suivant la loi de Mariotte, la pres- 
sion p varierait dans le même rapport ; mais on sait que pen- 
dant le mouvement, elle suit une loi différente, et qu'on 
aura, en même temps, 


e—Dii—s), p=gh(i—}s); (3) 
7 étant une constante positive et plus grande que l'unité, 
qui représente le rapport de la chaleur spécifique du gaz 
sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un 
volume constant. En négligeant les quantités du second ordre 
par rapport à s, u, v, w, et faisant, pour abréger, 
h L1 

Date ? 

les équations (1) deviendront 


CITRON CE do ds CNRS GS ñ 
dé Vas’ di dy di ar. W 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 553 
et l'équation (2) se réduira à 


ds. du dy  dw 5 
Hide Mail de () 


Dans le cas d’un liquide, nous représenterons encore par D 
sa densité naturelle correspondante à une pression gk. La 
densité de ce liquide , au point M et au bout du temps t , de- 
venant D(1 —5), par l'effet des forces X, Y,Z, et de l’état de 
mouvement, les équations (3) subsisteront toujours; mais y 
y représentera une constante qui dépendra de la dilatation 
du liquide, correspondante à une diminution de pression 
donnée. Ainsi , par conséquent, en supposant que la pression 
et la densité deviennent en même temps, g(X—#) et D(1—+), 
on aura 

g(—=ghG—Ye); 
d’où l’on tire 


puma 2 
Am PL DIR: 


Si donc on suppose les forces X, Y, Z, nulles, et que l’on 
néglige les quantités du second orûre par rapport à w,v, 
w, s, les équations (1) et (2) se changeront encore dans les 
équations (4) et (5); par conséquent, les lois du mouvement 
qui en dépendent, ne différeront, dans les deux cas d'un 
liquide et d’un fluide aériforme, que par la valeur de la con- 
stante a et par les données de l'expérience qui serviront à 
la déterminer. 

Mais ilne faut pas confondre le mouvement qui se propage 
dans un liquide, en vertu de son élasticité et des petites dila- 
tations ou condensations dont il est susceptible, avec le mou- 
vement produit par la pesanteur de ses parties, lorsqu'on 

TX. 70 


554 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


l'écarte un tant soit peu de son état d'équilibre. C’est ce 
second cas que j'ai traité dans mon Mémoire sur la propa- 
gation des ondes à la surface et suivant la profondeur de 
l’eau : j'ai alors négligé la dilatation s et considéré la densité 4 
comme constante; mais je me propose de reprendre bientôt 
cette question, et de considérer le mouvement de l’eau en 
ayant égard, à la fois, à sa pesanteur et à son élasticité. 

Dans tous les cas, si le fluide, gaz ou liquide, est contenu 
dans un vase , on joindra aux équations précédentes, celles qui 
expriment que la vitesse normale aux parois est nulle en 
chacun de leurs points. S'il s’agit d’un liquide et qu'une partie 
de sa surface soit libre et soumise à une pression constante, 
on aura, en tous les points de cette surface , l'équation dp— o 
qui servira à la déterminer à chaque instant. Mais dans ce 
Mémoire , on ne s’occupera que de la propagation du mou- 
vement dans un fluide qui se prolonge indéfiniment en tous 
sens et dont on ne considère pas la pesanteur, mais seule- 
ment l’élasticité, ce qui réduit la question à l'intégration des 
équations (4) et (5), et à la discussion des valeurs de u,v,w,5, 
qui en résulteront. 

(3) Pour intégrer ces équations (4) et (5), je désigne pars 
uue fonction inconnue de x, y,2, t, et je fais 


NU 
S—- Fe. (6) 
Les équations (4) donneront 
_dg 4} si d@ de 
u— 7 + U, ns à we + W; (7) 


U,V,W, étant des fonctions arbitraires de x,7,2. On à 
coutume de supposer, d'après la Mécanique analytique, que 


DANS LES MiLIEUX ÉLASTIQUES. 555 


dans les petits mouvements des fluides , les trois composantes 
u, v,w, de la vitesse de chaque molécule, sont les différences 
partielles relatives à æ,7,z, d'une fonction de +,7,2, t. 
Cela revient à faire égales à zéro, les trois quantités U,V, W; 
hypothèse qui ne conduirait qu’à une solution particulière 
des équations (4) et (5); et, en effet, ilestévident que la for- 
mule uw dx + v dy + w dz ne peut êtreune différentielle exacte 
à trois variables indépendantes, pendant toute la durée du 
mouvement, à moins que cette condition ne soit remplie à 
l'origine; ce qui n’a pas lieu nécessairement. Nous suppose- 
rons qu'on à 9—0o quand #— 0; les trois fonctions U, V, W, 
arbitraires et indépendantes l’une de l’autre, seront alors les 


DT re 1 d ue 
valeurs initiales de ,v,w. La valeur de = qui répond à 


—0, sera une quatrième fonction arbitraire , qui représen- 
tera la dilatation initiale en un point quelconque du fluide ; 
et dans chaque cas particulier, cette valeur etcelles de U,V,W, 
seront données en fonctions de x, y, z. 

Cela posé, si l’on substitue les formules (6) et (7) à la place 
des,u, v,w, dans l'équation (5), et qu’on fasse, pour abréger, 
dU dV 4W_., 
Dean ele mo C2) 
on aura 


2 


do _,fd?e  d°® d’o 
Tr =4@ Gi + (ayse)) (8) 


Mais quelle que soit la fonction 4, on a, d’après la formule 
de Fourier étendue à trois variables, 


Y(x,Y; 2—=g2/|||]) g(x',y'z')cos.[a(x—x") 
+6(y—7)+y(c—2)]dad6 dydx dy dz'; 
70. 


556 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


les limites de ces six intégrales étant + co. Si donc, nous 
faisons 


ee +521 4er 1, 3)cos.[a(æ-——x") 


1 dad6d';dx'dy'dz (9) 
QD + fermement 
l'équation (8) deviendra 
4 sul (EEE p:.,d°9 RÉ 
Or, J'ai trouvé, dans un autre Mémoire, 
ï T 27 
= ff F(x + atcos.6, y + atsin.6sin.o, 
-0 oO 
z +atsin.6cos.w)tsin.0d6dw 
(10) 


es f Nero y +atsin.6sin.o, 


z+ atsin.f cos. w)ésin.6 406 do, 


pour l'intégrale complète de cette dernière équation; + dé- 
signant le rapport de la circonférence au diamètre, et F et 11 
étant les deux fonctions arbitraires, lesquelles sont telles 
que l'on a 


S=N,y,2), F(x,7,2), 
quand #—0. Donc, à cause de 9—0 pour cette valeur de £, 
et, en vertu de l'équation (9), F(x, y, z) sera la valeur initiale 


do , 
de rs € l’on aura 


u(r:7,2)— == 5 flex ,r)00s, [a(æ—x"') 


£a Et dud6dydx'd y dz 
Hérenmals ee 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 5b7 


pour la valeur de I(x, y, z). Les deux fonctions F et 11 étant 
ainsi déterminées, si l'on met la formule (10), à la place 
de o’, dans la Rene (9), l'expression de + qui en résul- 
tera, sera l'intégrale complète de l'équation (8); et en sub- 
stituant cette expression de + dans les équations (6) et (7), 
on aura les intégrales complètes des équations (4) et (b). Mais 
avant d'effectuer ces substitutions ,nous réduirons à une forme 
plus simple, l'intégrale contenue dans la formule (9) et dans 
la valeur précédente de H(x,7, 2). 

(4) Considérons 4,6, y, comme les trois coordonnées rec- 
tangulaires d'un point quelconque de l'espace; remplacons 
ces trois variables, par les coordonnées polaires du même 
points et faisons, en conséquence, 


a —pCos.b, 6 —psin.fsin.o, y— sin, 4 COS: ; 


e étant son rayon vecteur, et 4 et w les deux angles qui en 
déterminent la direction. Nous aurons 


dadédy;—p$" sin.6dp dd; 


les intégrales relatives à 5,6,w, s’étendront depuis +— 0, 
0—0,w—0, jusqu'à p—@,0—r,w—27+; et la formule (9) 
de ds 


en If arr ereo tte con 


+(y—7')sin.6sin.o +(2—7')sin.6cos.v]sin.8 dé dédudx dy dz!. 


Mais, d’après des formules connues, si l’on fait 
Ga} (pp PAGES, 


et que l’on regarde r’.comme positif, on.a 


255 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


T 27 } Ê: 
À *) cos.p{[(x —x")cos.0 + (y—y')sin.6sin.o * 
o o 


4msin.0 7” 
2 L) 


+ (2—7")sin.6 cos. w]sin.6 dû do — 


© sin er" 
f dp—2ir; 
ô g 


d'où il résultera 


/ rs n dx dy'dz 
er + ff r TE, 
äs 1 Prier dix’ dy’ dz' ; (11) 
pi Dee 


29 
@—2ÿ+0—r)+(G—2) 
ce qui réduit à une intégrale triple, l'intégrale sextuple dont 
il s'agissait. 
(5) Pour réduire encore davantage, l'intégrale dépendante 
de celle-ci ou de la fonction I, que renferme la formule (10), 
soit 


pr 


T 27% 
=) fa [(x+atcos.ô—2) +(7+atsin.bsin.o— y} 
o* o (12) 
+ (2+ atsin.fcos.w—2)] “atsin. dodo. 
En faisant 
æ'—x—r cos.l, 
y'—y=r'sin.6'sin.v", (13) 
z' —2—r'sin.0" cos.w', 


nous aurons d'abord 


T TT 
C— [ ‘à [r®—ar'at(cos.ëcos.b'+ sin.6sin. 4’ cos. (w' — w)) 
o* oO 


+ d FE] “atsin.6d6do. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 559 


Ü 


Cetteintégrale double est relative à tous les points d’une sur- 
face sphérique dont l'élément différentiel est sin.6d6 do. 
Or sil’on fait 


cos. 6 cos. 6’ + sin.8 sin. # COS. (w'—w)— COS.p ; 


on pourra considérer 8,8" et &, comme les trois côtés d’un 
triangle sphérique dans lequel w'—w est l'angle opposé au 
côté L.; en appelant à l'angle opposé à #’, on pourra substi- 
tuer les variables 4 et x à 6 et w; l'élément différentiel de 
la surface s’exprimera alors par sin. dud\; et l'intégrale 
devra s'étendre depuis 4 —0 et 1—0 jusqu'à y—0 et \—27r, 
en sorte que l'on aura 


_ atsin. ___ atsin.mdt. dx 
=f fé La rarcosn Let 2r'atcos. u + a? du À 

Aux deux limites u—o et w—r+, les valeurs du radical 
V7 oratcos.u+er seront +(r—at) et E(r'+at);et 
comme ce radical doit être urñe quantité positive dans toute 
l'étendue de l'intégration, il faudra prendre, à la première 
limite, r’—at ou at—r', pour sa valeur, selon qu'on aura 
at<r'ou at >r', et dans les deux cas, r'+ at à la seconde 
lirnite. Cela étant, on aura 


CC" +at)—(r —at)| = ==. 


dans le cas de r'> at, et 
= 22 (Cr +at)—(at—r)]—=47r, 


dans le cas de rat. 
En comparant la seconde formule (11) et la frmule (12), 


56o PROPAGATION DU MOUVEMENT 


on en conclura 


f ‘à I(x+atcos.i, y+atsin.ésin.o, 
£ z + atsin.6cos.v)a#sin.6 dde 


——/}fs œ, y Dre ,ou=—/ffr(a,r,2dxdy ds, 


et, par conséquent 


ff I(x + atcos.b, ÿ+atsin.6sin.w, 
852 z + atsin.6cos.v)ésin.0 d6 do 


1’ ’ ü d 1 d d ! 
—— ff} Gr SE, où —0, 


selon qu'on aura at r', ou at >r. Mais, d'après les équa- 
tions (13), si l'on substitue 7°, 6',w', à x',y ,2', dans l’inté- 
gration relative à ces dernières variables, on aura 

dx dy'dz'=—r" sin.6 dr'dt'dw'; 
les limites relatives à x’,7',2', étant Æ co, celles qui répon- 
dent à r' 4, ©; seront F0) ER w— OPIEU Tr —@ ; d—7+, 
w'—27; On aura donc 


f) ÿ(a,y,2) EEE =ffT ua+reont, 


y+r'sin.f'sin.w, 2 + 7r'sin.0’ cos. w’)r'sin.('dr'db'dw, 
et, par coñséquent, 
d T 2T A : 
SJ IH(x+atcos.b, y+atsin.bsin.o, 
ee z + atsin.6cos.o)fsin. 6 d6dv 


SL Né d(x +r'cos.t, y+r'sin.d’sin.w’, 
1487 Rf z + r'sin.0’sin.v’)r'sin.6' dr d6 de’. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 561 
Or, en vertu de ces deux dernières équations, si l’on ajoute, 
membre à membre, l'équation (10)etla première équation(11), 
on aura finalement 


== D F(æ-+atcos. 6, y+atsin.fsin.o, 
z + atsin.0 cos.v)ésin.6d0 do 


x rot 27 (14) 
+2 SJ ÿ(x + pCos.0, y + pSin.6sin.o, 
z + atsin.6 cos. w) psin. 0 dp dô do, 


en De dans cette dernière intégrale, :,6,, au lieu 
de r',0',w. 

Cette expression de ? est, sous la forme la plus simple, 
l'intégrale générale de léquétisi (8). En la substituant ,comme 
on l’a dit, dans les équations (6) et (7), on aura les intégrales 
des équations (4) et (5) qu'il s'agissait d'obtenir. On se sou- 


viendra que 2F(&,7; 2), U, V, W, sont les valeurs de s, u, 
v,w, qui répondent à £—0o, et qu'on a fait, pour abréger. 
L'UVTINETANN 
2e ar Re — (2:72): 
(6) Appliquons ce résultat au cas où les quantités U, V,W 
sont les différences partielles relatives à x, y, z, d’une fonc- 
tion de ces trois variables, et supposons qu'on ait 


__df(æ 72) __df(æ;7;2) df(&;7 2). 
er mo Er A PEU 


d’où il résultera 
(x +pcos.b, Y+psin.w, z + psin.6Cos.w) 
_dé d8 dm (15) 
k MCE ho OP E ‘dr? x 
TX. 71 


562 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


en faisant, pour abréger, 
f(æ+ pCOS.8, Y+psin.ôsin.o, Z“+ pSiNn.f COS.6) = ©. 


D'après cette expression de &, 6n aura 


di d4@ do … : do … 
nl 2 +7; Sin. 6 COs.o, 
da d : do c d& 
ao one en ne 0 PNR 7e pG0s.AGas.e. 
d&ü dv CKo) 
Dee da o Sin. 6 cos. &—-"—p Sin. ôsin.o; 
d’où l'on tire 
do d% d& sin.6 
DE monf cos. DE 
da d© d& cos.Gsin.w dT cos.w 
AT dp sin.6sin. LEFT Le do psin.d” 
d5  dÿ dû cos.Ücos.&  dG sin. 
PARU] Te Sin.  COs. CRETE Be TL PU) 40 paine 


= do 4 # 4 
En mettant au lieu de & dans la premiere de ces trois 


dernières équations, on a 


d'&_ d°& cote d’&@ sin.0. 
CR ET PRET” TO 


et en différentiant successivement cette même équation par 
rapport à & et à 6, il vient 

dx d? IRC ne. d'& sin.0  d& sin.0 

dxdp — dp dpds p 2 .p ? 


dd & d°& n LAON d°5 sin.{ 4 cos. 
dads — dpad PRE EN TANT 0e 2 


par consequent, on aura 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 563 


LE Fe D d°5 sin. @cos.0  Z°& sin°8 
Ar a dalle GAP 
d& sin.êcos.0 J& sin°6 


4 COR ETAT) 


Par des combinaisons analogues , on obtiendra les valeurs de 
d°& d?& 
a 77 en différences partielles relatives à pb, 0, w. En 


d? 

dc 
les ajoutant ensuite à la valeur de +, On trouve, toutes 
ce faites, 


4.5 sin.0 | 
do d'ü d°'&_14.p5@ T0 Ven 78: 40420 
dx? F2 de Tei,dp AE e*sin.0  Zp T 5rsin-6 de" 


On conclut delà 


ae DS Do + _— T2 )esin.0ded0 du 
AT 
LÉ" : SE de) sin.t déde 
at ,2T% ke CRAN at AT 
ASE tape PC f sa yat 
o * o o dû g o /o o Psin 


On a évidemment 


fosse d.atw 


né is 2 2); 


en désignant par & la valeur de & qui répond à s—at, et 
observant que f(x, y, z) est la valeur de & qui a lieu quand 


t— 0. On a aussi 
à T , dG. 
f dr sin. 
—O, 


“o dû 


7I. 


564 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


2T 
dd 5 
“h der 400; 
[e] 


\ do HA à 
à cause que les valeurs de To qui répondent à w—0 et 


et de plus 


w—2r, sont égales entre elles. On aura donc simplement 


fi DT Ja ' ‘ 
PER (TE +5 a + LT gsin.sde dt do 
27% 
pr d'tsin.6d6du—4rf(x, y, 2). 
Le) Le) é 


Donc, en vertu de l'équation (15), et en faisant 


pHf(R, P,2) = 


la formule (1/4) deviendra 


NI F(x+atcos.ô, y+atsin.bsin.v, 
ÂT 
z + atsin.6cos.o)tsin.6didvw 


D “E "fa - atcos.f, y + atsin. Ô sin. o, 
4 
z + atsin.0 cos. w)tsin. 6 dd; 


(16) 


ce qui est effectivement vrai, en observant qu'on a 


us a 


QE 0) a =f(#, 72); q e—=F(x, 7,2), 
quand £—0, et que l'équation (8) se change en celle-ci : 


a d? 2 
DS ES, +R), 


dont l'intégrale complète est l'équation (16), d'apres la for- 
mule (10) citée plus haut. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 565 


(7) Voici maintenant les conséquences reiatives à la pro- 
pagation du mouvement qui se déduisent des formules pré- 
cédentes. ê 

Soit r le rayon vecteur du point M,  l’angle qu'il fait avec 
l'axe des +, à l'angle compris entre le plan de ces deux droites 
et celui des x et z; on aura 


Z—TrC0S.p, YŸ—rsinpsin.}, Z—rsin.pCos.; 


et les fonctions F(x,y,z), 4(x,y,2), f(æ,y,z), résultant 
de l’état initial du fluide, se changeront en trois autres fonc- 


‘ tions de 7, p,x, qui seront aussi données et que nous repré- 


senterons par F(r,u,x), (r,w,x), f(r, w,À). Soit ensuite 


r COS. y. + p COS.Ü—7" COS." 
r'sin. p Sin.) + psin.0sin.w—7"sin.p Sin. \', (17) 
r Sin. 4 COS.) + 9 Sin. 0 COS.w —7" Sin. y COS. ; 


désignons par r,, p., à, , les valeurs de 7’, u',\, qui répondent 
à ,—at; la formule (14) deviendra 


TT h2% 
=) J. Fr, 2) ésin.0 dédw 
"’oa 


(18) 
at T h2T 
+). sa d(r',u,X)esin.6 dedéde; 
et la formule (16) se changera en celle-ci: 
TT h2T 
I . 

=] J F(r,,wX)tsin.6d6do 

(19) 


ÿ 2 T 2T À 
+ ET [ Jr X,)6sin.6 d6 du. 
o* o 


566 PROPAGATION DU MOUVEMENT 

Supposons que l’ébranlement primitif du fluide a été cir- 
conscrit dans une sphère décrite de l’origine des coordon- 
nées comme centre et d’un rayon donné que nous représen- 
terons par e, où, autrement dit, supposons que les vitesses 
et les dilatations initiales, et, par conséquent, les fonctions 
F(r,u,2), d(r,u,2),/f(r, u,n), étaient nulles, quels quesoïent 
s et à, pour toutes les valeurs de 7 plus grandes que :. Les 
fonctions F(r.,,u,,2,) et /{r,,u,, x) qui entrent dans la for- 
muie (19), seront donc. aussi nulles, lorsqu'on aura r, >. 
Or, en mettant at et r; à la place de & et r' dans les équa- 
tions (17), on en déduit 


r—r"+2rat(cos.ycos.t+sin.ssin.6cos.(w—x)]+ @° 6"; 
et si l’on fait 
COS. . COS. Ü + Sin.y.Sin.6 COS. (0 —X)—Cos.2m , 


il en résultera 


r'=(r—at) + 4ratcos’m; 


ce qui montre qu'on a r,>e, toutes les fois que at est 
>r—e ou <r+e On aura donc : 


Fos h)=0, Asa), 


et par suite 9, —0, pour toutes ces valeurs de at. Mais, dans 
le cas auquel répond la formule (19), on a, à un instant quel- 
conque, 


Lsap; 
LE dx 


dq 49; 
, ne LR RTE PL AN) ET TH (20) 
cestrois vitesses et cette dilatation seront donc nulles, lorsque 


at tombera hors des limites 7 +e; par conséquent, dans le 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 567 


cas dont il s’agit, le mouvement se propagera avec la même 
vitesse en tous sens autour de l’origine des caordonnées, 
eette vitesse sera constante et égale à a, le mouvement de 


chaque point du fluide durera pendant un temps égal à = } 


et l'onde mobile sera sphérique et d’une épaisseur constante 
et égale à 2e. 

Dans le cas général, où la formule udx +vdy + wdz n'est 
pas une différentielle exacte à trois variables indépendantes, 
c'est-à-dire, dans le cas de la formule (18), la partie du mou- 
vement qui dépend des dilatations initiales ou de la fonc- 
tion F, suivra les mêmes lois que dans le cas précédent ; 
mais il n’en sera pas tout-à-fait de même à l'égard de la partie 
dépendante des vitesses initiales ou de la fonction 4. Pour 
toutes les valeurs de ; qui tombent hors des limites rÆe, 
la valeur de r' déduite des équations (17), surpassera  , et la 
fonction p(r',u',X) sera nulle, ce qui rendra aussi nulle la 
partie correspondante de l'intégrale relative à ç qui entre dans 
la formule (18). Cette intégrale ne sera donc différente de 
zéro que pour les valeurs de , comprises entre les limites 
r+e; et comme elle ne doit pas s'étendre au-delà de  — at, 
:; Mais 


on voit aussi qu'elle ne redeviendra pas nulle, et qu’elle sera 
seulement indépendante de #, quand on aura at > r + e. Cela 
suffit pour qu’on en conclue que la partie du mouvement 
qui est due aux vitesses initiales du fluide, se propagera avec 
la vitesse a, mais que chaque molécule ne reviendra pas com- 
plètement à l'état de repos comme dans le cas précédent, 
après un intervalle de temps déterminé. 


C'est surtout à de grandes distances du centre de l’ébran- 


568 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


lement primitif, qu'il importe de connaître les lois du mou- 
vement du fluide; nous allons donc examiner spécialement 
ce que deviennent les formules (18) et (19), lorsque le rayon r 
du point M auquel elles répondent, est un très-grand mul- 
tiple de e: il faudra, d’après ce qu’on vient de dire, que at 
soit aussi très-grand, pour que le mouvement de M ait com- 
mencé. 

(8) Mettons a£,r,,p,,X,, à la place de b,r',u,X, dans les 
équations (17). Soit ensuite 


ai=T—{, 0—=r—p En. © —7r ++". 


Si l’on corisidère r, et € comme des quantités très-petites par 
rapport à r, il est aisé de voir, d'après ces équations (17), 
que » et n’ seront aussi très-petites; et en négligeant les carrés 
et les produits de C,n,1, on aura 


Ccos.u— nrsin.u—7,Cos.p,, 
£sin. y Sin. + 17 COS. y sin.1—1"7sin.p COS. \=—=7, Sin. p, SIN.),, 


sin. y COS.À + n7 COS. COS. À + 1 PSiN.pSin.}—7, Sin. y, COS. , ; 
d’où l’on üre 
ré=C+ nr +nr' sin pu. 


En même temps la formule (19) deviendra 


= /) F (ru Bo h)7SIn. dada 
d. . , 
ie RE. >BX)rsin.p dndr. 
On y considérera r,, .,,X,; comme des fonctions de E,n, 1", 


données par les équations précédentes, et l’on déterminera 
les limites des intégrales relatives à r et x’, de manière que 7, 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 569 


soit moindre que +, condition nécessaire pour que les deux 
fonctions F(r,,u,,x,) et f(r,, u,,x,) ne soient pas nulles. 

Les variables x et x pouvant être positives ou négatives, 
et leur rapport n'étant aucunement limité, nous ferons 


nT—SSiN.c, n7SIN.u—S5COS.c, 


et nous regarderons les nouvelles variables s et , comme 

des quantités positives dont la seconde s’étendra depuis zéro 

jusqu’à 2r. En les substituant à » et x, on aura d’après les 

règles connues de la transformation des intégrales multiples, 
r° sin. p dn dr —=5sdsdo. 


À cause de 7, = € + s°, il faudra que la quantité t ou r— at, 
tombe entre les limites Le, ainsi qu’on la déja vu dans le 
numéro précédent ; et cette condition étant remplie, les limites 
de s seront zéro et 2%. Par conséquent, nous aurons 


d 27 
I 
Een f. F(rousÀ)5dsdo 


à 2T 
d. 
ss) Je Srmm)sdsde, 
o* o s 


en faisant, pour abréger, 


(21) 


= FER, 


et déterminant 7,, p.,),, en fonctions de £,5,6, au moyen 
des formules 


r=VÈrr, 
___Ücos.u— ssin. psin.c 
COS. pu, — DAMLT TE UUZE , 


sin. psin.À + s cos. sin.} sin. « — s cos. À cos. o 
== PET en) 
Üsin. pu cos.À + scos, je cos. À sin.c + ssin. cos. « 


TX 72 


tang.}, 


57o PROPAGATION DU MOUVEMENT 

(9) Les trois premières équations (20) feront connaître les 
composantes de la vitesses du point M suivant les axes des 
æ,Y,2; Si lon désigne par x,,7,,z,, les coordonnées du 
même point par rapport à trois autres axes rectangulaires, 
et par %,,%,,w,, les composantes de sa vitesse suivant ces 
nouveaux axes, on aura de même 


d; > 4; 
1 dx 9 or ri 


__dm. 
; Farrs 5 


or, on peut rendre mobiles les axes +, , y, , z,; et si l'on sup- 
pose que l'axe des x, coïncide, à un instant quelconque, avec 
le rayon vecteur r du point M, l'axe des y, avec la perpen- 
diculaire à ce rayon comprise dans le même plan que l'axe 
des +, et l'axe des z, avec la perpendiculaire au plan de ce 
même rayon et de l’axe des x, on aura 


da. =dr dy;=rdu, .dz.=rsinywd), 


d’après la signification des angles 4 et à, et, par conséquent, 


do, I do, 


a TÜL—— 


1 
Fr u ? FU psinp dXÀ 


Vi —= 


Cela posé, on voit par la formule (21) et les valeurs de 7, 


Jp D w 
3%, qu'il y faut employer, que les rapports & et = sont 


Li 


des quaritités très-petites, du même ordre de grandeur que 
ù . € . , 11 ’ 7 . 
la fraction 2e il en résulte donc qu'à mesure que l’on s'éloigne 


du centre de l’'ébranlement primitif, la vitesse du point M 
approche de plus en plus d’être dirigée suivant son rayon 
vecteur r, et qu'à une très-grande distance, où l'onde mobile 
peut être regardée comme sensiblement plane dans une grande 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 571 
étendue, on doit, en même temps, considérer lemouvement 
des molécules qui la composent, comme perpendiculaire à 
sa surface, quel qu'ait été l'ébranlement primitif. 

Observons aussi que l'expression de », résultant de l’équa- 
tion (21), est de la forme 


I 
Pi Y(T ED): 


Y désignant une fonction qui n’est différente de zéro, quels 
que soient les angles & et \, que pour les.valeurs de { com- 


. prises entre les limites +e. À cause de {= at—7r,\et en né- 


gligeant le terme divisé par 7°, on aura donc 


a, = CE : ou: 

ce qui montre qu'a une grande distance du centre de l’ébran- 
lement primitif, la vitesse varie à tres-peu près suivant la 
raison inverse de cette distance, et que la dilatation corres- 
pondante, déterminée par la quatrième équation (20), est 
égale et contraire au rapport de cette vitesse à celle de la 


e , 4 Q ’ 3 u DRE 
propagation, c'est-à-dire, égale à 3: En négligeant cette 


dilatation, désignant par D la densité naturelle du fluide, 
et prenant pour mesure de l'intensité de l’ébranlement, la 
somme des forces vives dans toute l'épaisseur de l'onde mo- 
bile, son expression sera 


fi et TAN 


Elle variera pour les différentes ondes, en raison inverse du 
carré de leurs rayons , et, d’un point à un autre d’une même 
onde, suivant une loi dépendante de l’ébranlement primitif. 


72. 


572 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


(10) Relativement à la formule (18), il nous suffira d'en 
considérer le second terme, puisque le premier est le même 
que dans la formule (19) dont nous venons de nous occuper. 
Or, l'angle m étant le même que précédemment, les équa- 
tions (17) donnent 

r—=(r—$) + 4rpcos®m; 
de plus la variable r’ devant être très-petite, pour que la valeur 
de dont il s’agit, ne soit pas nulle, il faudra que la diffé- 
rence r—e soit aussi très-petite ; et par ces considérations, 
on transformera d’abord l'intégrale double 


FT h2T - 
ne p g(r', u',X)psin 0 dôdw, 
oo 


Ÿ -2T 
fief p(r' su, N)sdsdo, 


dans laquelle on a 


SVT, eV PET) 


en celle-ci : 


et où les valeurs de y’ et» seront données par les formules : 


cos. TR _ cos. —< VO r—(r— 0) sin. be sin. Ga 
(r—p)sin.psin. 1 +47? —(r— 9) (sin. y sin.Xsin.s— cos. X cos.) 


tang.\ — , 
ô (r—p)sin. pu cos. +17? —(r—0) (sin. cos. Xsin. &4- sin. Xcos.6) 


Si l’on substitue ensuite 7’ à s dans l'intégration relative à 
cette dernière variable, on aura sds—r'dr'; et comme r’ 
est une quantité positive, les limites qui répondent à s—ù 
et s—0, seront r'—cetr'—#+(r—.), en prenant le signe 
supérieur ou le signe inférieur selon que ? sera < ou >r. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 573 


De cette manière, la formule (18) réduite à son second terme, 
deviendra 


ef fe, so) r'dr' dc) de, (22) 


en désignant par <’ une quantité positive, égale à r—p, ab- 
straction faite du signe. 

Le point M étant situé en dehors de l’ébranlement primi- 
tif, les quantités U, V, W, sont nulles (n° 3); et si nous repré- 
sentons par 4,,%,,#,, les composantes de sa vitesse suivant 
les mêmes directions que dans le numéro précédent, nous 
aurons 


pour déterminer cette vitesse et la dilatation correspondante. 

Maintenant, tant qu'on aura at<r—e, il en sera de même 
à l'égard de la variable 4: la quantité e’ surpassera &; et l'on 
aura r’ ><, dans toute l'étendue de l'intégration relative à r'; 
ce qui rendra nulle, la fonction 4(r',#',X), et conséquem- 
ment la valeur précédente de #. Le mouvement du point M 
ne commencera donc pasavant qu'on n'ait &é—r—e. Lorsque 
at sera devenu >r—:,la partie de + relative aux valeurs de b 
moindres que r—c<, sera encore nulle, et l'on pourra ne 
faire commencer l'intégrale relative à cette variable qu'a partir 
de pb—r—&; en faisant donc, 


e=r—6+p, dp—dp, 


l'intégrale relative à ÿ’ s'étendra depuis = 0 jusqu'à 
g—=at—r+:; le rayon r disparaîtra des valeurs de y et x 
qui ne sont fonctions que de la différence r—- ; et l’on aura 


574 PROPAGATION DU MOUVEMENT 

de ;ou-——:,selon que ,'sera <eou >e.Pendant que 
at sera compris entre r—c et r+e, toutes les valeurs de 
seront positives et.moindres que 2e; pour toutes ces valeurs, 
=’ sera donc moindre que ; et les intégrations relatives à 
s,r',e, étant effectuées, la valeur de + qui en résultera, sera 
de la forme : 


r 
I 
ps E(r—at,; un). 
Elle substituera depuis t=7 © jusqu'à t—°© 4°, c'est-à- 
a a a n «a 
2 : , 5 : 
dire, pendant un intervalle de temps égal à pour chaque 


molécule. On en déduira les mêmes conséquences que dans 
le numéro précédent, relativement à la direction des vitesses 
propres des molécules, à la dilatation du fluide , et à l'inten- 
sité de l'ébranlement. Enfin, quand on aura at > r +2,une 
partie des valeurs de ,’ surpasseront 2:; pour ces valeurs, 
on aura s>e, et par suite e—0. Il suffira donc d'étendre 
l'intégrale relative à 4’, depuis &’'—0o jusqu'a p — 2: : il est 
aisé de voir que la valeur de l'intégrale triple, relative à 6, 
r',e", se trouvera indépendantede r et de #, et que l'expres- 
sion de + sera de la forme : 


PT "D(y, 1): 


On aura donc s— o. La vitesse perpendiculaire au rayon 7, 
ou la résultante de », et w,, sera du même ordre de gran- 
deur que la vitesse z, dirigée suivant ce rayon. Mais l’une et 
l’autre varieront en raison inverse du carré der, et à de grandes 
distances du centre de l’ébranlement, on pourra les regar- 
der comme insensibles, eu égard à la vitesse qui avait lieu 
auparavant, et considérer en conséquence l'épaisseur de 
l'onde mobile comme étant limitée et égale à 2e. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 570 


Il résulte de cette discussion que dans le cas où la formule 
udx+ vdy +wdz ne satisfait pas à la condition d'intégra- 
bilité, les lois de la propagation du mouvement, à une grande 
distance de l'ébranlement, ne different pas essentiellement 
de celles qui ont lieu, lorsque cette condition est remplie, 
ainsi que je l’avais supposé dans mon ancien Memoire sur 
la Théorie du son. 

(11) Le mouvement imprimé arbitrairement à une portion 
limitée d'un fluide hemogène, se propäge toujours en ondes 
sphériques autour du lieu de cet ébranlement. A une grande 
distance, ces ondes sont sensiblement planesdans chaque par- 
tie, d’une petite étendue par rapport à leur surface entière; et 
alors, la vitesse propre des molécules'est, dans tous les cas, 
sensiblement normale à leur plan tangent. Mais on peut aussi 
considérer directement la propagation du mouvement par 
des ondes infinies et planes dans toute leur étendue. Or, on 
va voir que la vitesse des molécules sera encore perpendicu- 
laire à ces sortes d'ondes en mouvement. 

En effet, soient «, 6,7, w, quatre quantités constantes ; 
X,Y,Z,T, quatre autres quantités dont chacune peut être 
une fonction de x, y, z,t; faisons pour abréger, 


ax F6Y+YZ2+oi—=g; 
désignons par og une fonction arbitraire de g, et prenons 
u=Xeg, v=Ypg, w=ZLog, 5—=Teg. 


Si l’on suppose que og ne diffère de zéro que pour les va- 
leurs de g comprises entre les limites ++, en représentant 
par « une constante donnée, il est facile de voir qu’en vertu 
de ces expressions de w, v, w,s, la partie du fluide en mou- 


576 PROPAGATION DU MOUVEMENT 

vement à chaque instant sera limitée par deux surfaces planes 
et parallèles, dont les distances à l’origine des coordonnées 
sont wt—+e, et dont la normale fait avec les axes de x, 7,7, 
les angles qui ont «,6, y, pour cosinus; ces trois constantes 
étant liées entre elles par l'équation : 


+6 +y=I. 


Ce mouvement sera donc celui qui se propage par des ondes 
planes, parallèles et d’une épaisseur constante. Mais pour qu'il 
puisse avoir lieu dans le fluide que l'on considère, il faut 
que les valeurs précédentes de u,v,w,5, satisfassent aux 
équations (4) et (5). Or, en les y substituant et égalant les 


ë d 
coefficient de #g et Le , dans les deux membres de chaque 
équation, afin que #g reste une fonction arbitraire, il vient 


dR GTI ame z PAU 
arr da ent déni! 
dT_4X dY ,d2 
di dx * dy di? 
Xo—=@Te, Yo=aT6é, Zo—=«aT}, 
To—=Xa+Y6+Z}. 


Si l'on élimine X, Y,Z, de la quatrième ou de la dernière 
équation , au moyen des trois équations intermédiaires, on a 


w'—& (x + 6° +y)=«. 
Nous prendrons w—@, et, par conséquent, 
X—aTanY=alé, .Z=aTy; 


ce qui tiendra lieu des cinq dernières équations. Les trois 
premières deviendront ensuite 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 577 


dT AT AT) 24T 41 4%. 


Po ee apr large 
d’où l’on tire pour la valeur de T, une fonction arbitraire 
P , 
de at+6ÿ+yz+at, ou de g, que l’on pourra com- 
prendre dans 9. Cela revient à prendre T'—;. On aura 
alors 


Haagg, Vabsg,, W=aypg,, s—=pg; 


où l’on voit que la direction de la résultante de , v, w, 
ou la vitesse propre’ de chaque molécule, coïncide avec la 
normale aux ondes planes que nous considérons; ce qu'il 
s'agissait de démontrer. À cause de w— à, ces ondes se pro- 
pageront avec la vitesse «, indépendante de leur direction, 
et du côté où la normale à leur plan fait avec les axes des 
æ, 7, z, les angles donc les cosinus sont —,—€, —"7. En 
appelant v, la résultante de , v,w, et la considérant comme 
positive ou comme négative, selon qu'elle sera dirigée dans 
le sens ou en sens contraire de la propagation, on aura 


$—=—“, comme dans le cas des ondes sphériques. 
L a 


Il n’était pas inutile de comparer les ondes planes aux ondes 
sphériques ; mais les premières ne pourraient s’observer que 
dans un cylindre perpendiculaire à leur surface, et les ondes 
sphériques sont les seules qui aient lieu dans un fluide ho: 
mogene et indéfiniment étendu en tous sens, en supposant 
toutefois que le mouvement a d'abord été circonscrit dans 
une portion limitée de ce milieu élastique. 


578 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


S II. 


. Propagation du mouvement dans un corps solide élastique. 


(12) Nous représenterons par +,Y,z, les trois cordon- 
nées rectangulaires d’un point quelconque M de ce corps, 
dans son état naturel; par x+u,y+v,2+", ce qu'elles 
sont devenues au bout du temps #, compté de l’origine du 
mouvement, et par p la densité du milieu élastique en ce 
même point. Nous ferons abstraction de la pesanteur et de 
toute autre force accélératrice, et nous supposerons que le 
mouvement soit produit par les déplacements qu'on a fait 
subir et les vitesses qu'on a imprimées arbitrairement aux 
différents points du corps que l’on considère. Les équations 
de ce mouvement seront alors 


du. aus. ad Ps \ 


PORN ANT del der 
dv 40 40.4 ON. 
OR TE HD PEINE 6 G) 
d'w,dR, | dR, | dR; 


Be das tar ge 


Si, de plus, on veut connaître les petites dilatations ou con- 
tractions dont les vibrations sont accompagnées, et qu'on 
appelle s la dilatation positive ou négative qui répond au 
point M, on aura 


pour la déterminer quand les valeurs de w, v,w , seront con- 
nues en fonctions de x,y,2z, t. 

Les neuf quantités P,, P,, etc., expriment les composantes 
des pressions rapportées à l'union de surface, qui ont lieu au 


RE DE PR ET EE © ES D ee CR 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 579 


point M, sur trois plans paralleles à ceux des #,7, z. On 
a entre elles les égalités 
P,=R;,;, Q=R,, P,—Q;, 

qui les réduisent à six quantités distinctes , dont chacune est 
de la forme : 
A+ BI+ CE | 

+D(S4T)HECT +R) + (SE ) 
ainsi que je l'ai fait voir dans un autre Mémoire: A,B,C,D, 
E,F, sont des coefficients qui dépendent de la constitution 
du corps autour du point M, laquelle peut n'être pas la même 
en tous sens, et peut aussi varier d’un point à un autre. Il en 
résulte qu'indépendamment de la densité », les équations (1) 
renferment trente-six quantités dépendantes de la nature du 
milieu que l'on considère, qui ne peuvent être réduites à 
un moindre nombre qu’en faisant des hypothèses, particu- 
lières sur la disposition respective des molécules et sur les 
lois de leurs actions mutuelles. Dans le cas d'un corps ho- 
mogèene et partout à la même température, ces quantités et 
la densité du corps sont constantes ou indépendantes de x, 
y, 2. Si, en outre, il s’agit d’un corps non-cristallisé, dont 
la constitution et l’élasticité soient les mêmes en tous sens 
autour de’ chaque point, ces constantes. se réduiront à une 
seule qui dépendra de la matiere du corps et de sa tempéra- 
ture. Cette quantité sera-négative. En la désignant par — a’, 
prenant la densité naturelle du corps pour unité, et négli- 
geant la dilation s dans les premiers membres des équa- 
tions (1), en sorte qu’on ait aussi ,— 1 , ces équations se chan- 
geront en celles-ci : 


73. 


/ 


580 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


LE 2 dv s dw L,ardiqu 1 du 
LE dd rh 3 dx di ur oae) 
CHON d'y 2 d°u 2 d’w 1 da y dv 
De TE agent ia Peas tagn)» | (à) 
di, — ve d'u js dw 1 d’w x dw 


2e — 3 4x d2 sayds tidr t3dp 
dont nous allons nous occuper spécialement. 
Indépendamment des équations (1) ou (2), communes à 
tous les points du corps, il en existe d’autres qui n’ont lieu 
que pour les parties de sa surface, libres ou assujetties à des 
conditions données. Mais nous supposerons infini en tous 
sens, le milieu dans lequel il s’agit de considérer la propa- 
gation du mouvement; ce qui nous dispensera d’avoir égard 
à ces équations particulières. 


(13) On satisfait aux équations (2), en faisant, pour abréger, 


a(t—#) +6(7—7)+y(c—7)—=À, 


et prenant ensuite 


» Sin. pÀ 
u=(Acos.gàat+ À Fener) cos. pd, 
v= (Boos.prar + BMP LAS) cos. #0, (3) 


w—( Ccos. pla C'É-aèer cos. bp; 
pha 2 


A,A!,B,B,C,C,4,6,7;0,x',7',z, étant des constantes 
dont les quatre dernières sont entièrement arbitraires , et 
les neuf autres sont liées entre elles par les équations : 


3AY—A(3a +6 +y)+2Ba6+ 2Cx27, 
3B1 —B(36+a +y)+2A4a6+2C6), 
3CX—=C(3; +x +6)+2A4y+2B6y, 


2 


DANS, LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 581 


et par celles qui s'en déduisent en y remplaçant A,B,C, 
par À’, B’, C'. On obtient les unes et les autres en substituant 
les valeurs de z,v,w, dont il s’agit, dans les équations (2), 
et égalant les coefficients des termes semblables dans leurs 
deux membres. 

Sans restreindre aucunement les formules (3), nous pou- 
vons prendre à volonté l’une des trois constantes #,6,}, ou, 
plus généralement, les réduire à deux quantités indépen- 
dantes. Soit donc 


a—C0s.6, 6—sin.6sin.o, y—sin.bCos.v, 


de sorte qu'on ait «+ 6 + ÿ —1. Les équations précédentes : 
se réduiront à celles-ci : 


A(31—1)—=323aD,: A'(3X—1)—2aD, 
B(SXY—1)—26D, B'(3x—1)—26D, 
C(BX—1)—=2;D, C(31—1)—2,D', 


où l'on a mis D et D’ au lieu de A+ B6+Cy et A'a + 
B'6+C';, et auxquelles on satisfait de deux manières dif 
férentes : en prenant 


a+, A=—2 97, us io": 0"y 


œ ar ? 


ou bien, en prenant 


A A A'6 4 
= ÆTr; B "6 GET, B'—— ; C—=-=2+ 
œ œ a a 
Il en réSultera deux solutions différentes des équations (à); 
et. ces équations étant linéaires, on y satisfera encore en 
ajoutant les valeurs correspondantes des inconnues, c’est-à- 


dire, au moyen 


582 PROPAGATION DU MOUVEMENT 
u=—[Acos. ç at + A A CEHS T) cos. ebt \ 
/ 4 1 b 
“ape + i ] cos.p), 
LA a p 4) 
sin.pbt ( 
n ) cos. pd, 


ee (Cr cos.pat LT 4 Goes pot CE) cos.pà, 


+Bcos.,dt+B 


. A'6sin.pat 
v=(É$cos. PU = 


où l’on a mis b à la place de — =. 

Les deux angles 6 et w, les quatre quantités +, x’, y’, z', et 
les six coefficients A , A’,B, B', C,C', que renferment les for- 
mules (4), sont douze indéterminées auxquelles on pourradon- 
ner toutes les valeurs que l’on voudra ; et à raison de la forme 
linéaire des équations (2), on pourra prendre pour u,v,(w, 
des sommes > de ces formules, étendues à toutes les valeurs 
de ces douze indéterminées. Nous pourrons aussi considérer 
une partie de ces quantités, par exemple, les six coeffi- 
cients A, A',B,B',C,C’, comme des fonctions: arbitraires 
des six autres indéterminées ; faire croître eellés-ei par de- 
grés infiniment petits; multiplier sous les signes > par 
leurs différentielles , et remplacer les signes 3, par des inté- 
grales sextuples, relatives à x’,7',2", b,0,w. Cela étant, 
nous regarderons x',y',2', comme les trois coordonnées 
rectangulaires d’un point quelconque de l’espace ; nous mul- 
tiplierons par l'élément de volume dx'dy'dz'; puis nous 
étendrons l'intégrale relative à x’, y',z!, à tous les points de 
l'espace, en sorte qu’elle aura pour limites + +, pour cha- 
cune de ces variables. Nous regarderons aussi :,6, w, comme 
les trois coordonnées polaires d’un point de l’espace ; & étant 
son rayon vecteur, 0 etw les deux angles qui en détermi- 


DANS LES MILIEUX | ÉLASTIQUES. 583 
nent la direction. Après avoir multiplié par l'élément de 
volume &* sin. 6 d? d6 du qui répond à cette sorte de coordon- 
nées , nous étendrons à tous les points de l’espace, l'intégrale 
relative à p,6,w; ce quiexigera qu’on la prenne depuis p—0, 
80, w—0, Jusqu'à p—0,6—r,v—27. De cette manière, 
nous aurons 


U—= [Acos. ç at + ARE se dpt cos.pbt 
a 


B' = MORCA "| cos pd. 6 sin. MNPEE dy" dz?, 


TL #6 cos. pat+ SEE 4 Bos. obt .\s 


4, Be 08 ge] cos. d.P*sin.6dp do dwdx'dy'dz', 


= [III cos. pat+T ie ok C'cos.obt 


sin.o bé]. \ + Er | 

+ C5] cos.»8.p CNE dz. | 

Ces formules satisferont aux équations (2) dont elles de- 

viendront les intégrales complètes, lorsqu'on y aura déter- 

miné les six fonctions arbitraires A, A’, B, B', C,C', d’après 
du dv: dw 


les valeurs initial ES: See 
es valeurs initiales de CELA EE 


(14) Pour cela, soit 
u=f(a,ÿ;2), vf 72), w=f"(, »,2), 

= E:Y; 2), n=P 72 a Fe F2), 

à l'origine du D den ou quand t—0o. Représentons 


par o(x, y, 2), l'une de ces six fonctions de x, y, z; quelle 
qu'elle soit , nous aurons 


584 PROPAGATION DU MOUVEMENT 
TCHAE 


à ete ,2)c08.4/(æ—2)008.6/(ÿ—yyc0s. y(c—7')ds dé dy; dx dy dz'; 


les intégrales relatives à x',y',z', ayant Ho pour limites, 
et celles qui répondent à «,6',y, étant prises depuis zéro 
jusqu'à + . En donnant à celles-ci + pour limites, cette 
formule pourra s’écrire ainsi : 

P 


95 /fÎfffe@ 7, 200.0 (œ"—2) 
+6 (y —7)+y(z —2))de d6 dy dx dy dz. 
Soit ensuite 
æ —pcos.ÿ, 6 —psin.Osin.w, y —psin.cos.v; 
on aura, en même temps, 
da dé d;'"=$sin.td,d6dw; 
les intégrales relatives à ,6,w, s'étendront depuis —0, 
6—0,0= 0, jusqu'à p—c , Û—7+r, w—2r; et il en résultera 


TCRADE 


ET TILIE (2,9, 2) cos.e3.e sin. 6 de dé dud x dy'dx ; 


à étant la mème quantité que dans les formules (5). Si l’on 
fait é—0o dans ces formules, et qu’on les compare à cette der- 
nière équation, on en conclura | 


' BENVE 
sfr", 2) =A——— 1, 


œ 
2 U 4 r A6 
sf (,y,2)= "+8, 


I 7510 ut Ar 
TA (æ 9:2)=1+0; 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 585 
d’où l’on tire 4 
A= ge Gf(a',7,2)+6f(x,y", 21) + PCA ELÉ)E 
A ! 6 L 4 LA LA LA ! 

B=S (72) (ef (c',9,2)+ Ef (x, 7,2) 
+yf(x',7",2), 

CS fer) Cf 2)+6/ (&,72) 
+" (72). 

Les valeurs de A',B',C',se déduiront de celles de A, B, C, 


en y remplaçant les fonctions f, f’, f", par F, F',F”. Ces six 
quantités étant ainsi déterminées , si l’on fait, pour abréger, 


D (af, 9 2) + Ef Ua, 2)+ fa, 7,2) (cos. eat — cos. + DP 
+ GE (ay ,2)+6F (ay 2)+yE"(a/,y' 7) = Fe 2, 
les formules (5) deviendront 
u=f[][ [fr e05.+8.essin.0de dédudx y'a: 

+0": z')cos. pbt 


+F(x,7,7) ee LS cos.bd.8*sin.6dedédwdx dy'dz!, 


2= ff} rccs. . 6$"sin.6dodidodzx dy'dz! 
+ HTC SE CUL (6) 


+ F(x,7,2)> LT) cos. e0.P*sin.6dpd6dodx'dy'dz, 


w=f]]] JT cos. eà.yp"sin.tdedodwdx'dy d2! 
Je (732 )cos. et 


+F"(x, y',2 ee SU cos.pà.£’sin.0 de dodudx' dy'dz. 
Lx. 74 


586 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


D’après ce qu'on a dit plus haut, ces expressions de w,v,w, 
seront les intégrales complètes des équations (2); mais on 
peut les réduire à une forme plus simple par l'analyse sui- 
vante. 


(15) Considérons les intégrales sextuples 


= ff[]] p(xr,y,2)cos.LbŸcos.sat.x’p’sin.6 ds d0 dudzx dy dz, 
[NT (&',y',z')cos.Lbdcos.bat.6y-*sin.6d,d0 dudx'dy'dz, 


dont les limites sont les mêmes que précédemment. 
Si nous faisons 


x'—=x +?" cos.b', 
Y =? + p'sin.#'sin.v", 
z'— 2 + p'sin.ÿ COS.w’, 


et que nous remplacions æ',7',2,par les nouvelles variables 
s',8',w' , nous aurons 


da'dy'dz =" sin.v dé d8 dv’, 


et les limites relatives à e,0,w', seront les mêmes que par 
rapport à p,0,w. Nous aurons aussi 


d—p?'(cos.8 cos.b' + sin. 6 sin. ÿ’ cos.(w —w')) ; 
d’où il résultera 
00) p(2,y',z)cos.(? P'cos.6,)cos.pat.#’,"sin.bsin.d'dodédude db'dw, 
A TITITE p(x',y',2')cos.(b9 cos.6,)cos.sat.6ye")"sin.ësin.0 dodédod dt dw’, 


en conservant x, y',z', à la place de leurs valeurs, et posant 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 587 


cos.6cos.f" + sin. 6 sin. 4 cos. (w —w")—= cos.6,. 

D’après cette dernière équation, les angles 4, 4!, 0, peu- 
vent être regardés comme les trois côtés d’un triangle sphé- 
rique dans iequel l'angle opposé à 6, sera w—w!. Si l'on ap- 
pelle w, l'angle opposé à 6, on aura 

cos.6— cos. f’ cos. 6, + sin. sin. 0, cos. &,, 
Sin. 0 sin. (w —w)— sin. 6, sin. w, ; 
en substituant la valeur de cos.6 dans celle de cos.6,, on en 
déduit 
Sin. 6 COS. (ow—w')—sin.4/ cos.6, — cos. é’sin. 0, C0S.w, ; 
et de ces trois dernières équations, on conclut 
4 — COS. Ü — cos. d’ cos. 6, + sin. 4’sin. 6, cos. &, 
6—sin.6 sin.w —sin. 4, Sin. w, COS. w!/+ sin. 4’ Cos. 6, Sin. w 
— cos. ’sin. 6, COs. w,sin.w , 
7 —=Sin.6 COS.” —sin. 6’ cos. 6, cos. w’— cos. sin. 0, COS.w, COS. w 
—Sin.6, Sin. w, Sin. w.. 

L'intégrale relative à 4 et w s'étend à tous les points de la 
surface d’une sphère décrite d'un rayon égal à l'unité et dont 
‘élément différentiel est sin.6 46 du. Si l’on y remplace les ya- 
riables 6 etw par 8,etw,,cet élément deviendra sin. 6,46, du, ; les 
limites de l'intégrale seront 4, —0 et w,—=0, Ü,—=r et w, —927r; 
et d’après les valeurs précédentes de «, €, +, on aura d’abord 


T 127 
f fl cos. (PP cos.0,)°sin.0 d6 do 
(SC (a) 
T 
—2rC0s. cf cos.” 6, cos. (pp cos.6,)sin.6, 40, 
0 


T 
+ssin0" f sin.?6, cos.(b9'cos.6,)sin. 8, d0,, 
o 


588 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


T 27% 
f je cos. (L9’cos.0,) 6ysin.6 d6 do 
Jo 


ui 
—rsin."'sin.w' COS. of (2 cos.*0,—sin.’6,)cos.(pp'cos.6,)sin.0,d06,, 
(e] 
en effectuant les intégrations relatives à w,. Les intégrales 
qui répondent à 0, s ‘obtiennent aussi par les règles ordinaires; 
il en résulte 


sin. n.pp'  cos.pp' 


je cos. (9 9 cos.0,) a sin.6 dédw—4rsin 1e de 


sin. sn 2 COS.p p” 2 sin. pp” 
+ 4r cos.’ MES + D pr SARA TT EE , 


sin, pp’ 


0 a (ra PA nt de 
Le o 


3cos.pp! 3 re) 
ep” pp 7? 


et, par conséquent, 


«hr ff fax, ere, pat [Ce g'sin.pp +3cos. un) cos.’ 4 
mEpe ee ! 
cos. pp + - sin.'de dé d6 dv 


eh fffe 7, z!) me p'sin. pp + 3C0s.pp 
2 ci ! 
=. sin.*6’sin. cos. w' ded p db do. | 
P 
Si l’on désigne par g une constante positive, et par e la 
base de logarithmes népériens, on aura 


[7e £Pcos. satcos. ‘d den HU SAT 
Je PRE gp — a) g+(p+at)” 


(e-] 
RE £ 
: e SD RAT SIT de (Re ne: 
af L us ESC) g+(p+ ai) 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 589 


En regardant # commeune quantité infiniment petite ,qu'on 
fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul, on en conclura 


Cyr el EST 0 PME ® gp(x’ LT) 
f fl o(æ,y2)cos.p (Le +at)dpdo— PMR AE LA À 


oO o 
œ fo co UNS 
x',yY',2')cos.o(,—at)d d=f Et 7 Fe 
in p(x,y,2')cos.p(p—at)dede LÉ 2? 


Lorsque at aura une valeur finie, la première de ces inté- 
grales simples s’évanouira avec g ; la seconde n’aura de valeurs 
différentes de zéro, que pour des valeurs de $” infiniment peu 
différentes de at; en faisant donc 


—=at+n, ds —dn, 


on y pourra considérer la variable » comme infiniment pe- 
tite, positive ou négative. Ainsi, l’on aura 


\ co do ñ 
ni “à p(r,7,2)c08.0(p +at)dedp—0, 
o a 


ee] do 
LT e@y'r2)008.0(— an dedé = 
oO Le] 


o(x + atcos.b', y+atsin.6'sin.w, 2+atsin.0'cos.w') A 


g +? 
en ayant égard aux valeurs de x’, y', z’. À cause de g infini- 
ment petit, cette dernière intégrale est égale à +, quelles que 
soient ses limites, l’une positive et l’autre négative. En ajou- 
tant les deux équations précédentes, on aura donc 


œ f œ@ 
af ni p(æ,y',z)cos.patcos.pp dodp = 
o (o] 


ro(x+atcos.f, y+atsin.0b'sin.w', z+ a {sin. 0" Cos.w). 


(8) 


590 PROPAGATION DU MOUVEMENT 

Si l'on retranche l’une de l’autre, après y avoir mis po(x,y,2) 
à la place de o(x',y',z7'), et que l’on différentie le résultat 
par rapport à #, il vient 


œ fœ 
af Ls p(2,7,z)cos.patsin.pe.pe dpdp = 
oo (9) 


(Ps [2 Q TO ’ Q A r 
r7,to(x+atcos.b, y +aésin.f'sin.w, z + @£sin.é COS. w ). 


On a en outre 
©0 À ’ 2 a , - d 
[ sin. p (p +0) =ir, f sin.f(e—at)T=+ ir) 
CCD o 


en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que 
e —at est positif ou négatif. On conclut de la 


1 


So RS tr / : de d £ CON; n de 
2f 1 p(x,y,z)cos.patsin.op Sir f p(æ,Y32) à 
(o) o 


o 


at 
1 / / de’ 2 œ 1 1 / do' 
—irf ICRA D g(a,77)%, 
a g at 


ou, ce qui est la même chose, 
œ Co ( 
RU à o(&',y',2)cos.patsin. pp! 2% 
40 PP 
N œ ñ ; : d 1 (10) 
UNE CTADES 
at . F 


Au moyen des équations (8), (9), (ro), les formules (7) 
deviennent 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 5ot 


T 27% 
taf , p(x+ata,y+at6,2+aty)(3#—1)sin.0d06 du 
o o £ 


% h27% \ . 
+or nf Î p(r+ate, y+at6,2+ aty)tasin.6 do du 
o* o 


T «2T cn. 
—27T° PTT p(t+pa;Y+PE, 2+py)(3a—1)— dedido, 
o 


g 
ai içi En) 
t=6r ff. p(t+ata, y+at6é,z+aty)6ysin.6d6do 
(010) 


TT 27% 
ser ff p(t+ata,y+at6,z:+aty)t6ysin.6d0du 
o o : 


NAN sin. Ÿ 
—6f JE px +pa Y+P6, z2+py)6y dedôdo, 
211070 ? 


en y mettant p,0,0, au lieu de ÿ',0',w', et faisant toujours 
a—cos.ô, 6—sin.fsin.w, y—sin.icos.o. 


Soit encore 


= ff fer, z')cos.-Ÿcos.sat.b’sin.0 ds dodwdæx'dy'dz'. 


Si nous mettons successivement «, 6°, y", à la place de + sous 
l'intégrale sextuple que © représente, et que nous fassions la 
somme des trois résultats, nous obtiendrons l'intégrale repré- 
sentée par C'; et d’après la première équation (11), sa valeur 
sera 


: 1 T h27T% 1 
t or Sf | p(t+ata, y +at6,z+aty}tsin.édôde; (12) 
o*o 


ce qu’on trouverait aussi en appliquant directement l'analyse 
précédente à la transformation de £. 


592 ! PROPAGATION DU MOUVEMENT 


(16) Les formules (11) et (12) fournissent le moyen de 
réduire à des intégrales doubles ou triples, toutes les parties 
des formules (6) qui dépendent des fonctions f, f',f". Quant 
aux parties dépendantes de F,F',F", on les déduira de celles 
qui répondent à f, f',f', en y remplaçant ces dernières 
fonctions par F, FE’, F”, multipliant pas dt, et intégrant par 
rapport à #, de maniere que les intégrales s'évanouissent 
quand £— 0, ce qui revient à mettre #’ au lieu de t, puis à 
intégrer depuis #’—o jusqu’à #’—1. De cette manière, on 
trouve 


u—=P+y(at) —4(be) + f'rabai—f'rGHar | 


Le d'to(at) ee 
ET 


vf” et +f ( da var, 


v=P'+ (at) —v(br) 1 sanarf vera 


% d. SAGE d. + ee 


—— + tD(at)—+p(be) 


+td'(at) —t# (be )(13) 


En "#4 4 f ie watt) AE 
w=P'+ (a (be)+ "a v'(at)dé—f V(Eeydt 


se 


d.to"(at)  d.to"(bé 7 11 
D ET + ad" (at) — 1" (bo) 


dt 


at t at! 
4 d y d 
+f d + f a yo) dt, 
bt o “/&v ê 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 593 
en faisant, pour abréger, 


d. Tr 2T . à 
10. PS f fe +bta,y+bt6, z+btytsin.idôde 


1 T 27% x j 
DU à F(v+bta, y+bt6,z+bty)tsin.0d6du, 


et désignant par P' et P”, ce que P devient, quand on y met 
successivement f” et F', f” et F”, à la place de feet F; 


29. af(æ+ap; Y+6p, z+yp) +6 (T+ap; Y+6p;Z + Ye) 
HI (G+an +60 2 + Ye) —=pP; 


= T h27% N 
dE f [Bpa—fla+ap, +68 2+ ye)]sin.0dédu, 
o (e] 
TT h27% 
Ve] J Br6—f(œ+us +60, 24 1e)sin.tdid, 
o* o ‘ 


T p27% ‘ 
vez) J CBpy—f"(&+ ap, r+ 60, 2+p)]sin.0 dd, 
07 oO 


et désignant par Yb,%’p, WP, ce que deviennent 4p,%'p,Ÿ"o, 
quand on y change f, f',f", en F,F',F”; 


T 27% 


I . 
3o. er) J pasin.6d0 do, 
T h2T 
A i 
=) J p£sin.4d6 dv, 


- T 27% 
der) J pysin.tdt do, 


et désignant par ®p,%'?,®’P, ce que deviennent pp,9p:9"p3 
lorsqu'on y met F,F',F”, au lieu de f, f',f". 
12. 75 


594 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


Telles sont donc les intégrales complètes des équations (2) 
qu'il s’agissait d'obtenir. Leur forme est moins simple que 
celle des intégrales que j'ai trouvées pour les mêmes équa- 
tions, dans l’Æddition à mon Mémoire sur l'équilibre et le 
mouvement des corps élastiques (*); mais elles ont l’avantage 
d’être symétriques par rapport aux trois inconnues 4,v,w, 
et aux variables x, y, z; et les fonctions arbitraires qu'elles 
du du 
CRAN 
en En effet, on vérifie immédiatement que les valeurs 


renferment sont les valeurs initiales de w,v,w, 


(*) Tome VIIT de cette collection, page 623. 

(”*) Depuis que ce Mémoire est écrit, M. Ostrograski, de l’Académie 
de Saint-Pétersbourg, m'a communiqué d’autres intégrales des équations (2) 
qu'il a présentées à cette Académie. Ces intégrales sont : 


d. fm fax . c 
au [of f(æ+btcos.0, y+6tsin.0sin.o 
o o 
2-4-Btsin.0cos. &)#sin.040do+ 27, 
d. fs far | ; dx 
amor ff. F'(æ+btceos.0, y+btsin.6sin.o, 
o o 
24 Btsin:6cos.v)/sin.0dido +, 
d. Tr 
AE NN à (æ+ bécos.0, y + btsin.6sin.®, 
o Oo 


z+ bésin.Ücos.w) US LES 


: dz? 
en les réduisant à la partie dépendante des fonctions f, f’,f", et faisant, 
pour abréger, 


at fr ffax[ d. " Ê k 
= AE [AE + p008.0, 7 + esin.gsin.w, 2 +-psin. 0 cos. 6)+ 
d 


27 (x +Pcos.0, y +psinÜéin.e, z+ psin. Ü cos. ©) + 
de Ë É : ; 
Li (æ+ pcos. 0, y + psin.6sin.o, 2 psin.Gcos.0)| esin.bdpdpdw. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 595 


de ces six quantités qui répondent à é—o, coïncident avec 
les fonctions données f, f’,f", F,F',F”. 

(17) Lorsqu'il s’agit d’un corps homogène, on satisfait, 
au moyen des formules (3), non-seulement aux équations (2), 
mais aussi aux équations (1) qui sont alors linéaires et à coef- 
ficients constants. Dans le cas de ces dernières équations, c’est- 
à-dire, dans le cas d’un corps cristallisé dont la constitution 
et l’élasticité sont différentes suivant différentes directions 
autour de chaque point, on trouve que la quantité x est dé- 
terminée par une équation du troisième degré, renfermant 
les coefficients des équations (2) et les quantités «, €, y; d'où 
il résulte pour à, six valeurs dépendantes de ces quantités 
et, deux à deux, égales et de signes contraires. En les em- 
ployant toutes, les expressions de 4, v,w, contiennent six 
fonctions arbitraires de x, y, 2, que l’on peut déterminer 
du dv dw 
dt’ dt’ dt 
Cela fait, les expressions dont il s’agit sont les intégrales com- 
plètes des équations (2). Elles renferment des intégrales sex- 
tuples relatives à des variables 9, 6,0, & ,Y',2', et semblables 
à celles que contiennent les formules (6). On peut facilement 
transformer ces intégrales définies en intégrales quadruples ; 
mais malgré cette réduction, les expressions générales de 
u,v,w, sont encore très-compliquées, et nous nous con- 
tenterons d’avoir indiqué le moyen de les obtenir. 


au moyen des valeurs initiales de w,,w, 


(18) Appliquons maintenant les formules (13) au cas où 
l'ébranlement primitif a été circonscrit dans une portion peu 
étendue du corps solide non-cristallisé auquel elles répondent. 
On verra aisément que cet ébranlement donnera naissance 
à deux ondes sphériques qui se propageront uniformément, 


TD. 


596 PROPAGATION DU MOUVEMENT 

’ Q If: 1 b GAL 
l’une avec une vitesse a, l’autre avec une vitésse b ou re 
mais pour mieux connaître la nature de ces deux ondes dif- 
férentes, nous allons examiner, d’une manière spéciale, ce 

1 ? 2 

que deviennent les formules (13) à une grande distance de 
l’ébranlement primitif et pour de grandes valeurs de at de bt. 


L'expression de . déduite de la première formule (13), 


renfermera les quantités : 
dE NL net 
a), = sta —v(i), 


/ 
A ve) dt pee 
RS 2 g be P 
Le temps f étant devenu très-grand, par hypothèse, on pourra 
négliger la première à raison de son facteur = On négligera 
aussi la seconde à cause du dénominateur ? contenu sous le 


signe fet de la grandeur des deux limites a t et Dt de cettein- 


£ : ; du 
tégrale. Parmi les autres termes de 77; NOUS ne Conserverons 


que ceux qui ont # pour facteur, et par rapport auxquels 


les termes non-multipliés par #, sont insensibles et négli- 
: À d 

geables. En traitant de même les valeurs de Te et =. 

nous aurons 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 597 


du ta. frffa. 
ES [ [fe +bta, y+bt6, z+bt) 
o 0 


+F(œ+bta,y+0t6,2+bty)|sin.tdéde 
d'o(at) d’q(bt) do(at)  de(bt) 
+t( HELENE )+t AE 


TdË ar D 


t 


d dur SA? Sruss 
ent ce 0 Fr Gréte;y+b66)2 + tx) 


+ Fat bte, y+bt6, 2+ bty)|sin.t dé du (4) 
d'g(at)  d’'e'(6t) d'{at) der) 


dt dt D 


d PE ARC De 
= | de LESC + bte, y +066, 2+ ben) 
oO oO 


+ F'(x+dta, y+bt6, z+bt;)| sin.6 dûdw 
d?o" (at) d°œ"(be) dœ"(at) dœ'(be)\,. 

Re à ar 
les fonctions o,9/,p", ®,/,®”, étant les mêmes que précé- 
demment. 
… Dans l'état naturel du corps, soit r le rayon vecteur du 
point M dont les coordonnées rectangulaires sont «,Y,Z; 
appelons L& l'angle que fait ce rayon avec l'axe des x, et à 
l'angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des 
Z,Z; nous aurons 


x—rcos.u, Y=rsinpsin.}, %=—78in.4 cos.) 


Les six quantités f(æ,7, 2), f'(æ, 7; =) F'(a:72), F(x,7; 2h 
F'(æ, 7,2), F'(æ, y,2), pourront être regardées comme de 
fonctions données de r, u, À; et si l’on suppose que l’ébran- 
lement primitif était circonscrit dans une sphère décrite de 
l'origine des coordonnées comme centre et d’un rayon qu’on 


598 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


représentera par +, ces fonctions ne seront différentes de 
zéro que pour des valeurs de r positives et moindres que e. 
On conclura de là, comme dans le n° 7, que les fonctions 


comprises sous les signes sk dans Îes formules (14) ,ne differe- 


ront de zéro que pour les valeurs de at ou de bt, comprises 
entre les limites rÆe:; on verra de même que dans l’inter- 
valle où ces fonctions ne seront pas nulles, les angles # et w 
différeront très-peu de r—y et r + x, en sorte que l’on aura, 
à très-peu près, 


Ep x 
a——CoS.u—— 0 
6——sin. psini=—?, 
— « — Z. 
y= — Sin. p COS. —"; 


enfin, par un calcul semblable à celui du numéro cité, et en 
désignant par H(£,u,21), I (C,u,a), I'(C,u,X), des fonc- 
tions qui s’évanouissent pour toutes les valeurs de la varia- 
blet, non-comprises entre les limites ++, on transformera 
les formules (14) en celles-ci : 


du _1 4. 
dt rdt “ 
+° 


dE 5 2.4 bt,u,1) 


 « xzd . 1" 
lue GO UE aa 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 599 


IS (r r—b,u,X) 
HE ER AE = (r—at,u,x) 
En tu) nt bt,u, à) 
rie bt,u, 1) — ere r—bt,yu,ù); 

PIE (r— bt,pN) 
D TU(r—at,p,1) +7 EE n'(r—atsus x) 
Life Gby 3) BA Pa 
NE (rnb ee D 


Il n’est pas nécessaire de donner ici les valeurs des fonc- 
tions I, Il, IL”, exprimées au moyen des fonctions f, f', f”, 
F,F",F", que contiennent les formules (14). Nous observe- 
rons seulement que II ne dépend que du mouvement initial 
parallele à l'axe des x, ou des fonctions f'et F, et qu'il en 
est de même à l'égard de Il par rapport à f' et F', et de 11” 


par rapport à f” et F”. 


dv dw 
D Ti er mettent 


en évidenceles deux ondes sphériques dont le centre commun 
est l’origine des coordonnées , et qui se propagent, l’une avec 
la vitesse & et l’autre avec la vitesse à. Dans la première, on 
aura 


(19) Les dernières expressions de < 


du __zxdA dv Dj LAN dy 2 d'A 5 
di r'dt? di mdt dt r dt? (5 


et, dans la seconde, 


600 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


du hs x dB 

As nnt—-bbe—-s 7) 

d'onde: y dB 

dt re En) (16) 
CAC DP EME NE dB 

ae de DE) 0 


en faisant, pour abréger, 

x 1 2 
A—=T(r—at,u, à) +21 (r—at;u) + (r—at;u,), 
B—®T(r—bt,u,à) +2 (r— 66, p,3) + (r—bé,u,2). 


L’épaisseur de chacune de ces deux ondes mobiles sera 
constante et égale à 2-; le mouvement durera pendant un 
temps égal à ES pour la première, et à = ou LA AN pour 

«a a 
la seconde; l'intensité de l’ébranlement, mesurée comme 
dans le IS de ce Mémoire (n° 9), variera, pour les ondes 
d’une même série, en raison inverse du carré du rayon r, 
et, dans l'étendue d’une même onde, suivant une loi dépen- 


dante de l'ébranlement primitif. 


D’après les formules (15), la vitesse du point M dont elles 


expriment les trois composantes, sera dirigée suivant son 
rayon r. Les déplacements de ce point qui répondent à ces 
trois composantes, auront pour valeurs : 


æ z 
u—";ÀA , v—7 A, w—- A. 


Or, la dilatation correspondante du fluide est exprimée 
(n° 12), par 


dz * (17) 


3 


| 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 6or 
D'ailleurs, on a 


ALL: 


ar TU(—at;u, à), 


d. 
zal(r—-at,;p,1\)=— 


en négligeant la partie qui serait de l’ordre de £ ,} compara- 


tivement à celle que l’on a conservée. Il en est de même par 
rapport aux fonctions Il et I”. À ce degré d'approximation, 
on aura 


dA zæ dA du x? dA 
CRC TNT ON arÿ dt? 
A » p2 dv dw 
et de même à l'égard de 7, €t + On aura donc 
2 dz 
PR FAR SN 13 
Han ET «di ea 


en appelant , la vitesse du point M, déterminée par les for- 
mules (15). Par conséquent, l'onde mobile qui se propage 
avec la vitesse à, est constituée comme celle qui a lieu dans 
un fluide homogène, à une grande distance du centré de 
l'ébranlement, c'est-à-dire que la vitesse propre des molécules 
y est perpendiculaire à sa surface et en raison inverse de son 
rayon, et la dilatation du milieu, égale et contraire au Tap- 
port de cette vitesse à celle de la propagation. 
Les formules (16) donnent 


zdu ydv  zdw 


De ne rase 0 
et comme cette quantité est la composante de la vitesse du 
point M suivant son rayon r, il en résulte que sa vitesse est 
perpendiculaire à ce rayon. Ses déplacements suivant les pro- 
longements des coordonnées x, Y>2, sont 


TX: 76 


602 PROPAGATION DU MOUVEMENT 
u—="n(r—0t,u,1)—%8B, 
v—==m(r—bt,p,)) —78B, 
w= =" (r—bt,u, Sie 


On aura, comme dans le cas précédent, 


dB zx dB du æ d, x? dB 
era das or tetoeer 
d x ; , dv PE do 1 ] 

et de même par rapport à 2 et  ; d'où l'on conclura 


du dv  dw 

BE se Zr 27 RS : 
c'est-à-dire, s—0o en vertu de l'équation (17). Ainsi, dans 
l'onde mobile qui se propage avec la vitesse 2, les vitesses 
propres des molécules sont parallèles à sa surface, et le mi- 
lieu que nous considérons n’éprouve ni augmentation, ni di- 
minution de densité. 

(20) Quelles qu’aient été les grandeurs et les vitesses des 
molécules d’un corps solide homogène, il résulte de cette 
analyse, qu'à une grande distance de l’ébranlement primitif, 
et lorsque les ondes mobiies sont devenues sensiblement pla- 
nes dans chaque partie très-petite par rapport à leurs sur- 
faces entières, il ne subsiste plus que des vitesses propres 
des molécules, normales ou paralleles à ces surfaces ; les vi- 
tesses normales ayant lieu dans les ondes de la première 
espèce, oùelles sont accompagnées de dilations qui leur sont 
proportionnelles, et les vitesses parallèles appartenant aux 
ondes de la seconde espèce, où elles ne sont accompagnées 
d'aucune dilatation ou condensation de volume, mais seule- 
ment de dilatations et de condensations linéaires. 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. 603 


Pour que ces dernières sortes d'ondes existent seules, il 
faudra que les formules (15) s'évanouissent par la nature de 
l’ébranlement primitif; ce qui exige qu'on ait 

Ge n)+E EN Gen) +E TN (Gt 0) 
r Ed é dt ) 
pour toutes les väleärs de et, et pour toutes celles de & 


qui sont comprises entre les limites + <; au moyen de quoi, 
les formules (16) se réduiront à 


dt Le d. 
dt zu(—bt,p,), 
dv 7 5 
dt paie sp PAIE 
dw. 14. 


Fra = LU (—-bé,p,n). 


De même pour que les ondes de la première espèce soient 
seules produites, il faudra que les formules (16) s’'évanouis- 


tr 
sent : en y mettant + à la place de t, on en conclura 


d. zx dA 
NA RES mt 
y dA 
EV(r—at, ENT Zi? 
; zdA. 
ZA (—at,u,1)=; 7; 
et les formules (15) deviendront 
du xd. 
FC => ut — at;u,X)s 
dv :d. 
FT re ll Ge at,uà); 
dw d. 


Te: TU (—at,u,n). 


604 PROPAGATION DU MOUVEMENT 


Si l'on substitue à la place de A sa valeur dans les équations 
qui précédent celles-ci, et que l’on élimine ensuite entre 
elles, deux des trois fonctions 11, I, I”, on parvient à une 
équation identique, en sorte que ces trois équations de con- 
dition se réduisent à deux, et qu'il n'y a que deux des fonc- 
tions II, Il’, Il”, qui soient déterminées au moyen de la troi- 
sième qui reste arbitraire. 

Ce dernier cas particulier est celui qui arrivera si l'on sup- 
pose qu'à l'origine du mouvement, la vitesse et le déplace- 
ment de chaque molécule avaient lieu suivant son rayon r, 
ou autrement dit, si l'on suppose qu'on ait eu 


S(&:7 2) —°9; J'(&,7;2)}=Ÿ9; HE) —- 4; 
Fay, DO) E(c;y2)=70) PF (Gp 2)—°0; 


g et Q étant des fonctions arbitraires de r, w,1. Les valeurs 
correspondantes de 11, Il ,1”, seront de la forme 


Ha) —=Y (ua); 
Ir ((@ BN=TY(, mà); 
n”(6; BV, ) à). 
Elles feront évanouir les formules (16), et réduiront les for- 


mules (15) à celles-ci : 


du æ)4. 
= Je V0—at,p,), 
DCR AI 0 
AT TTNAR 
dw 2 da. 
PEUT 


Y(r—at,u,n), 


Y(r—at,u,x), 


DANS LES MILIEUX ÉLASTIQUES. Goi 


en s'arrêtant au même degré d'approximation que dans le 
n° 18. Lorsque l’'ébranlement primitif aura été le même en 
tous sens autour de l’origine des coordonnées, les fonctions 
q et Q seront indépendantes de 4 et x et ne dépendront que 
de r; la fonction Y(t,4,2) ne dépendra aussi que de? ; èt le 
mouvement produit sera le même, comme cela doit étre, 
suivant toutes les directions. 


RSR RRELLL ELLE IS Res RAR ARR RAR LR ÈS ÉRR LA RAR RARE LE LAR LA LAR RAR MER ERA RUIARRLER AURAS 


OBSER VATIONS 


SUR 


QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 


Par M. FLOURENS. 


{Lues à l’Académie royale des Sciences, le 18 novembre 1828. 


SE 


1. Les recherches sur les animaux , auxquelles je me livre 
depuis plusieurs années, m'ont fourni l’occasion d’observer 
quelques unes de leurs maladies singulières ou peu connues, 
et dont je me propose de publier successivement l’histoire. 
J'ai déja fait connaître, par plusieurs Mémoires précédents, 
le mode selon lequel s’opèrent, chez eux, la cicatrisation 
des plaies cérébrales (1), la reproduction de la peau et des 
os (2), et la réunion des nerfs (3). Je continue par ces Obser- 
vations sur les maladies des oiseaux. 


(1) Voyez Recherches expérimentales sur les propriétés et les fonc- 
tions du système nerveux, etc., Paris, 1824, p. 101 et suiv. 

(2) Voyez Expériences sur le système nerveux, Paris, 1825, p.18 et suiv. 

(3) Voyez expériences sur la réunion des plaies de la moelle épinièreet 
des nerfs : Annales des sc. nat., février 1828. 


608 OBSERVATIONS 


>. Le 12 avril 1823, on m'apporta, parmi les animaux 
qui devaient servir à mes expériences, une jeune poule dont 
les allures représentaient tout-à-fait les allures d’un animal 
ivre, au point que les gens mêmes qui la soignaient, frappés 
de cette similitude, l'avaient surnommée la poule wrogne. 

Cette poule, en effet, chancelait presque à chaque instant 
sur ses jambes, soit qu'elle se tint simplement debout, soit 
qu'elle voulût marcher ou courir. Elle n’avançait que par 
Zig-zags : souvent elle tournait à droite quand elle voulait 
aller à gauche, et à gauche quand elle voulait aller à droite : 
elle reculait au lieu d'avancer, elle avançait au lieu de re- 
culer. Très-souvent aussi elle tombait sur ses jambes qui 
fléchissaient et pliaient tout-à-coup sous elle. Mais, c'était 
surtout quand elle s'élançait pour fuir, ou pour grimper sur 
un point élevé que, ne pouvant plus maîtriser et régulariser 
des mouvements devenus plus rapides, elle tombait et roulait 
quelquefois long-temps à terre, sans pouvoir réussir à se 
relever et à reprendre l'équilibre. 

Ces singuliers phénomènes avaient trop d’analogie avec 
ceux que venaient de me montrer mes expériences, alors 
toutes récentes encore, sur le cervelet, pour que je ne fusse 
pas impatient de voir ce qui pouvait en être. Je procédai 
donc tout de suite à cet examen. 

Je commencai par mettre le crane à nu : les os étaient 
parsemés de points noirâtres et cariés : J'enlevai les os, et 
j'ouvris la dure-mère; il s’écoula aussitôt une grande quan- 
tité de lymphe qui recouvrait l’encéphale et pénétrait dans 
toutes ses cavités. 

Quant aux parties mêmes de l’encéphale, les lobes céré- 
braux et les tubercules quadrijumeaux étaient dans leur 


Î 
- 
L 
È 
D 
| 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 609 


état naturel, et offraient leur couleur ordinaire; le cervelet, 
au contraire, avait un aspect jaunätre qu'il devait à un 
nombre infini de points et de stries jaunes, ou plutôt couleur 
de rouille, qui en recouvraient toute la surface. Je l'ouvris , 
et je trouvai dans son centre un amas de matière purulente 
et coagulée, du volume à peu près d’un petit grain de vesce, 
et parfaitement isole de l'organe qui le contenait dans une 
cavité, creusée dans son épaisseur et dont les paroïs étaient 
extrêmement fines et lisses. : 


3. Cette année-ci, 1828, peu après mon retour à Paris, 
M. Frédéric Cuvier voulut bien m'ipstruire qu'il y avait à la 
ménagerie du Jardin du Roi un coq atteint d’une maladie 
cérébrale dont tous les symptômes semblaient indiquer le 
siége dans le cervelet. Ce coq avait été beaucoup plus ma- 
lade qu’it ne l'était dans le moment, le mal ayant en partie 
cédé à quelques applications de sangsues faites sur la nuque. 
Je fas voir ce coq. 

Chez la poule qui précède, les mouvements avaient quel- 
que chose de fougueux et d’impétueusement désordonné. 
Chez ce coq, au contraire, les mouvements étaient calmes 
et lents; ils se faisaient avec peine , comme avec paresse ; mais 
leur trouble et leur défaut d’équilibration n’en paraissaient 
pas moins. 

Ainsi, si l'animal se tenait debout, ses jambes fléchissaient 
à tout moment sous lui; s'il marchait, on apercevait une 
sorte d’hésitation et de disharmonie dans ses mouvements : 
on le voyait chanceler , et quelquefois , surtout si on le faisait 
marcher vite, perdre l'équilibre et tomber. Quand il becque- 
tait, rarement son bec frappait-il juste, et rencontrait-l 

EX. 77 


610 OBSERVATIONS 


le grain : enfin , sa tête et son cou étaient dans un état d’in- 
stabilité ou d'oscillation presque continuelle. 

Ce coq mourut dans les premiers jours du mois d'août. 
J'ouvris son crâne : les veines ou sinus de la dure-mère qui 
répondent au cervelet, tant le supérieur que les latéraux, 
étaient gonflés et gorges de sang. Quant aux lobes cérébraux 
et aux tubercules quadrijumeaux, ils se trouvaient encore 
cette fois-ci dans leur état naturel, et offrant leur couleur 
ordinaire : mais le cervelet avait une couleur rosée, ou d’un 
rouge tendre, couleur qu’il tirait d’un nombre infini de points 
et de stries rouges dont était parsemée toute sa surface. Les 
points ressemblaient exactement à de petites ecchymoses 
qu'auraient produites des piqüres d’épingle, faites sur cette 
surface ; et les stries ressemblaient à des veinules gorgees de 
sang, ou, mieux encore, à des filets de sang. Au reste, il n'y 
avait que la superficie de l'organe qui offrit de pareilles stries 
et de pareils points : tout l'intérieur, parfaitement sain, 
conservait sa couleur naturelle. 


4. Le 9 du même mois, madame Rousseau voulut bien 
m'envoyer de sa riche basse-cour du Pecq, près St-Germain, 
un jeune coq qui venait de mourir d’une maladie qui lui 
avait paru singulière. Ce coq me fut apporté par M. le doc- 
teur Salla, qui me donna les détails suivants sur sa maladie. 

L'animal ne pouvait se tenir quelque temps debout, sans 
chanceler sur ses jambes : il chancetait encore plus, quand il 
voulait marcher ou courir :son cou oscillait où tremblait 
presque toujours, surtout quand il s’allongeait et s’éloignait 
du corps : cette oscillation cessait , si l’on offrait quelque appui 
au bec ou à la tête de l'animal. 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. Grr 


On voit que ces symptômes se rapprochent tout-à-fait de 
ceux que je viens de décrire chez le coq précédent : aussi 
l'état des parties cérébrales fut-il entièrement le même. 

La dure-mère m'offrit le même engorgement de ses veines 
ou de ses sinus dans la région du cervelet; le cervelet la 
même couleur rosée, et cette couleur également due à des 
points et à des stries rouges dont toute sa surface était par- 
semée. Je retrouvai enfin la même intégrité dans son intérieur, 
et le même état naturel du reste de l’encéphale. 

5. Maintenant, si l’on compare ces trois observations entre 
elles , on voit : 1° Qu'il y a deux degrés distincts d’apoplexie: 
une apoplexie profonde, ou dont le siége pénètre jusque 
dans le centre même de l'organe; et une apoplexie super- 

Jicielle, ou dont le siége n’atteint que la superficie de l'organe. 

2° Qu'àa chacun de ces degrés différents d’apoplexie 
correspondent des symptômes propres et déterminés : à 
l’apoplexie profonde, un trouble et un désordre complets 
des mouvements; à l’apoplexie superficielle, une simple ënsta- 
bilité ou défaut d'énergie musculaire, et de situation fixe et 
équilibrée. 

3° Que l'apoplexie profonde s'accompagne de lapoplexie 
superficielle (1), mais qu’il n’en est pas de même de celle-ci 
qui peut exister sans l’autre (2), et qui n'en paraît que le 
premier degré, un degré précurseur qui doit éveiller toute 


(1) Dans la première observation, la superficie de l'organe offrait des 
traces de lésion comme l'intérieur. 

(2) Dans les deux dernières observations , la surface de l'organe offrait 
seule des traces de lésion. k 


AVS 


612 OBSERVATIONS 
l'attention du médecin pour prévenir le passage de la ma- 
ladie au second degré. 
5 . , . A , . 
4° Enfin, que l’apoplexie, même l’apoplexie profonde, 
l'apoplexie la plus grave par conséquent, est susceptible de 
guérison naturelle : ce que montre bien la première obser- 


vation par la couleur jaune des points et des stries, par l'iso- 


lement de la matière épanchée, surtout par la cicatrisation 
parfaite des points de l'organe qui entouraient l'épanchement; 
et ce dont, au reste, les belles observations de M. Serres sur 
les différents cas d’apoplexie chez l’homme, et mes nom- 
breuses expériences sur toutes les parties de l'encéphale, 
chez les animaux, ont déja donné tant d'exemples. 


$ IL. 


1. Au mois de juin 1824, il y avait au Jardin du Roi une 
grue dont la tête, par un mouvement horizontal plus ou 
moins rapide, se portait, presque continuellement, de droite 
à gauche et de gauche à droite. J'ai long-temps observé ce 
curieux animal avec M. Frédéric Cuvier, à qui je devais 
d'être instruit de sa maladie. Cette grue est morte durant mon 
absence ; et je n'en rappelle ici le souvenir que pour signaler 
et constater un exemple naturel, et par cela seul précieux, 
des mouvements singuliers qui, comme l'ont montré mes 
nouvelles expériences, suivent la section des canaux sémi- 
circulaires de l'oreille. D'après ces expériences, cette grue 
était évidemment atteinte d’une affection spéciale des canaux 
semi-circuiaires horizontaux. 


2. Je passe à un autre ordre de maladies. 


€ 


| 
Î 
1 
| 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 613 


SLT 


1. Au mois de mai 1826, me trouvant à la campagne, 
on m'apporta un petit canard d’une couvée nouvellement 
éclose, qui, disait-on, venait sans doute d’avaler quelque 
chose de travers, et qui était sur le point de suffoquer. Ce petit 
canard ouvrait un large bec, et ne respirait qu'avec une 
peine extrême. J'examinai le gosier, la trachée-artere, l’œso- 
phage : je ne vis rien. Cependant les angoisses de l'animal 
continuaient et s’accroissaient, et, au bout d’une ou deux 
heures, il mourut. 

Je l'ouvris aussitôt : je ne trouvai aucun corps étranger 
ni dans la trachée-artère , ni dans l'œsophage ; mais je trouvai 
les poumons d’un rouge foncé et gorgés de sang. C'était 
d'une violente inflammation aiguë de poitrine que ce canard 
était mort. 


2. Je me rendis à la terrasse où se trouvaient les petits 
canards. On n'en montra aussitôt un autre qui venait de 
tomber dans le même état de suffocation que le précédent, 
et à qui cette suffocation, me dit-on, avait pris tout d'un 
coup. En effet, pendant que je l’examinais, un troisième fut 
subitement saisi, sous mes yeux, d’une oppression de poi- 
trine si vive, qu'au moment même où il fut frappé, l'animal 
devint immobile, il ouvrit un large bec, il ne respira plus 
qu'avec une peine extrême; en touchant son cœur, on sen- 
tait une palpitation très-vive; il ne mangea plus, il ne but 
plus, et mourut au bout de deux ou trois heures. Celui que 
j'avais trouvé suffoquant, à mon arrivée à la terrasse, 
mourut aussi quelques heures après l'invasion de sa maladie. 


614 OBSERVATIONS 


Je les ouvris tous les deux, et je retrouvai, chez tous les 
deux, le même engorgement inflammatoire des poumons que 
j'avais observé chez le premier. C'était à la même espèce de 
pneumonie aiguë qu'ils avaient tous trois succombé. 


3. La terrasse où l’on avait porté , de ce jour-là seulement, 
ces petits canards, et qui n'était d’ailleurs nullement des- 
tinée à élever de la volaille, était située au nord; le soleil y 
parvenait à peine, et conséquemment elle était fort froide. 
Or, c'était évidemment le froid, et le froid seul, qu’il fallait 
accuser de ces violentes inflammations pulmonaires aux- 
quelles trois petits cagards avaient déja succombé. Je fis 
donc tout de suite transporter ceux qui survivaient encore, 
et qui étaient au nombre de sept, dans une basse-cour 
située au midi, et parfaitement exposée au soleil. On réchauffa 
soigneusement ces petites bêtes, et, de ce moment, les inflam- 
mations de poitrine disparurent sans retour : les sept cane- 
tons, tous les sept, sans en excepter un seul, ont parfaite- 
ment réussi, et sont parvenus à l’âge adulte. 


4. Cet effet si violent, et, si l’on peut ainsi dire, foudroyant, 
du froid sur ces jeunes oiseaux, me rappela ce que j'avais 
observé, quelques années auparavant, sur des poules et des 
canards privés de leurs lobes cérébraux. Ces poules et ces 
canards, opérés durant la belle saison, et complètement 
guéris d’ailleurs de leur plaie, étaient presque tous (1) morts 


(1) Hors deux poules âgées de trois à quatre ans que je conservai vivantes, 
quoique privées de leurs lobes cérébraux, l'une durant dix mois, et l’autre 
durant six mois et demi. J'abandonnai la première de ces poules à mon re- 
tour d'alors (1823) à Paris; la seconde mourut d'un accident étranger et à 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 615 


de phthisie pulmonaire, dès les premiers froids qui avaient 
succédé à leur opération. 


5. En 1824, j'avais porté dans ma chambre, pour mieux 
la garantir du froid, l’une de ces poules que je conservais et 
étudiais avec soin, depuis plusieurs mois. Cette poule n’était 
tranquille que lorsque je la tenais près du feu : si je l'en 
éloignais , elle paraissait tout de suite inquiète, mal à son 
aise, souffrante; elle allait de côté et d'autre jusqu'à ce 
qu'elle se retrouvât encore près du feu, et alors elle s’en ap- 
prochait jusqu'a se brûler, quelquefois mème jusqu'a s'y 
jeter dedans : quand elle en était à une distance convenable, 
elle se couchait sur le côté, étendant une aile, et soulevant 
ses plumes, pour mieux se pénétrer de l'impression de la 
chaleur. Si le feu venait à s’éteindre , ce qui arrivait souvent, 
surtout quand je sortais, la poule’s’en approchait de plus en 
plus à mesure qu’il s’éteignait; et enfin elle allait se coucher 
jusque sur les cendres et sur les tisons éteints. Elle mourut 
vers la fin de novembre : je trouvai ses poumons enflammés 
et gorgés de sang sur divers points, et, sur divers autres, en 
état de suppuration. En 1825 , je perdis également, dès les 
premiers jours de décembre, une autre poule et un canard 


son opération et au froid. (Voyez mes Rech. exp. sur les prop. et les 
fonct. du syst. nerv., etc., Paris, 1824, p. 87 et 124.) Les oiseaux ( poules 
ou canards ) privés de leurs lobes cérébraux , que j'ai perdus de phthisie 
pulmonaire, étaient tous des oiseaux de l’année : circonstance digne de 
remarque, en ce qu'elle montre bien, ce que montrent également d’ailleurs 
toutes ces Observations, que la phthisie est surtout une maladie du jeune 
âge, et que c'est surtout à cet âge que le froid est susceptible de la pro- 
duire. 


616 OBSERVATIONS 


que je conservais, privés de leurs lobes cérébraux, depuis le 
mois de juillet. J'ouvris ces deux animaux; et je trouvai 
qu'ils avaient péri, comme le précédent , d’inflammation et 
de suppuration pulmonaires. 


6. Le rapprochement de ces effets du froid sur ces diffé- 
rents animaux, son action si déterminée et si constante sur 
l'organe respiratoire, ces degrés divers d’inflammation chro- 
nique ou aiguë qui venaient de se produire sous mes yeux, 
tout cela me fit sentir que j'avais enfin ,entre les mains, un 
moyen d’'investigations et d'expériences directes sur l’une 
des maladies les plus cruelles qui affligent l'humanité, sur 
la phthisie pulmonaire. Je résolus d'en tirer tout le parti pos- 
sible. Je voulus voir d'abord si, dans certains cas donnés, 
le froid seul suffit pour déterminer la phthisie pulmonaire. Je 
voulus voir ensuite si, dans ces mêmes cas, il suffit d'éviter le 
froid pour éviter cette maladie. Je voulus voir enfin si cette 
maladie, commencée sous l'effet d'une température froide, 
ne pourrait pas guérir par le seul effet d’une douce tempéra- 
ture. 


7. J'eus bientôt à ma disposition une nouvelle couvée de 
onze canards, âgés de huit jours. Je fis trois parts de cette 
couvée. Trois petits canards furent portés, à dix heures du 
matin, sur là terrasse située au nord, où je les laissai, ou 
plutôt, où je m'étais proposé de les laisser jusqu'à 4 heures 
du soir. Mais deux de ces canards moururent de deux à trois 
heures ; le troisième fut trouvé mort le lendemain matin, 
dans le panier où on l'avait couché; et c’est encore de pneu- 
monie aiguë qu'ils étaient morts tous les trois. Trois autres 
furent constamment portés, durant le beau du jour, dans 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 617 


la basse-cour située au midi : tous les trois sont parvenus à 
l’âge adulte. Enfin, les cinq autres furent alternativement 
portés de la basse-cour du midi à la terrasse du nord, de 
manière à passer à peu pres une heure dans l’un de ces 
lieux, et une heure dans l’autre. J'avais pensé déterminer 
ainsi en eux, par l’action d'un froid non continu, une inflam- 
mation pulmonaire chronique : mais ils périrent tous d’inflam- 
mation aiguë, comme les trois précédents; ils périrent seu- 
lement un ou deux jours plus tard. 


8. Il était évident que c'était au jeune âge de l'animal qu’il 
fallait attribuer cet effet si soudain du froid, même d'un 
froid interrompu ; aussi aurais-je vivement désiré alors des 
canards plus âgés, mais il n’y en avait pas : d’ailleurs, la 
saison chaude avancçait : je renvoyai donc mes expériences 
au retour des froids. 


9. Je me procurai, dans les premiers jours d'octobre 1826, 
une couvée de 23 poulets, âgés d’un mois à peu près. Dès 
que les premiers froids parurent, je mis six de ces poulets 
dans un local approprié que je maintenais tout le jour à 
une douce température : la nuit je couchais ces poulets dans 
des paniers où ils étaient chaudement couverts. Aucun de 
ces six poulets, parmi lesquels il y avait quatre femelles et 
deux mâles, n’a été atteint de phthisie pulmonaire : un seul 
est mort d’une maladie aux yeux, dont je parlerai tout à 
l'heure, et un autre en a perdu un œil. 


10. De onze poulets que j'ai constamment tenus dans la 
basse-cour située au midi, tous, à l'exception de deux, une 
poule et un coq, sont morts, avant la fin de décembre, de 


T. X. 78 


618 OBSERVATIONS 


phthisie pulmonaire, après avoir passé par tous les degrés 
de l’étisie et de la consomption. 

Ces poulets qui, à la fin d'octobre, étaient encore vifs et 
gais, perdirent peu à peu leur vivacité et leurs forces : ils 
traînaient leurs ailes; leurs plumes se hérissaient; leurs 
flancs se creusaient; ils gémissaient et piolaient presque 
continuellement, leur voix s'altérait, s'enrouait, s'éteignait 
progréssivement; ils ne mangeaient presque plus; ils de- 
vinrent d’une maigreur extrême; leur peau sèche était 
collée sur les os : ils cherchaient à entrer dans les apparte- 
ments pour s'y abriter, et, quand ils y étaient entrés, on les 
voyait s'approcher le plus qu'ils pouvaient du feu, et aller 
se coucher jusque sur les cendres, mème sur les chiens ou 
les chats qui entouraient le feu. 


11. À la mort de ces animaux, je trouvai leurs poumons 
dans différents états d'inflammation et de suppuration. 
Généralement, le larynx, toute la trachée-artère et les 
bronches, étaient pleins d’une humeur purulente d’un gris 
sale ou couleur de boue, et d’une odeur fétide : cette humeur 
était parsemée d’une infinité de tres-petits points noirâtres ; 
et quand on la mettait dans l’eau, elle allait au fond. Les 
poumons, sur certains points, étaient gorges de sang; et là, 
leur tissu, ramolli et comme putréfié , avait une couleur lie 
de vin : sur d’autres points, ordinairement sur le bord ex- 
terne et postérieur, les vésicules offraient des points noirs 
pareils à ceux dont l'humeur purulente était parsemée (r); 


(1) Dans plusieurs de ces points noirs se trouvait un srès-petit corps dur, 
crépitant, de couleur blanche, et d'une apparence osseuse où comme 


cornée. 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 619 


enfin, sur d’autres points, on voyait des vésicules rongées, 
et formant de petites poches remplies de ce pus sale dont les 
bronches, la trachée-artère et le larynx étaient pleins. 

Quant aux deux poulets qui survécurent, ce qu'ils durent 
sans doute à ce qu'ils s'étaient trouvés mieux revêtus de 
plumes que les autres quand les froids survinrent, ils sont 
toujours deineurés petits et faibles. 


12. Ïl reste six poulets encore pour compléter le nombre 
de vingt-trois sur lequel j'avais établi mes expériences : voici 
ce que je fis de ces six poulets. Je les laissai d'abord avec les 
onze de la basse-cour Jusqu'à ce qu'ils m'offrissent des 
signes bien évidents de phthisie plus où moins avancée. 
Alors je les portai dans le local à température douce où je 
les réunis, après les avoir marqués d'un morceau d’étofle à 
la pate, aux six qui s’y trouvaient déja. 


13. Deux de ces poulets qui seraient sûrement morts ou 
le jour même ou le lendemain, si je les eusse laissés dans 
la basse-cour, après avoir paru d'abord reprendre quelque 
force, périrent, l’un au bout de cinq jours, et l’autre au bout 
de neuf : je trouvai leurs poumons dans un état complet de 
suppuration ou d'inflammation. 


14. Les quatre autres poulets reprirent peu à peu de la 
vivacité et de la vigueur : ils se remirent à manger avec 
appétit ; ils se rétablirent enfin complétement, et au mois 
d'avril 1827, époque où je leur donnai la liberté à tous, ils 
se portaient tout aussi bien que ceux qui n'avaient jamais 
quitté le local à température chaude. 


15. Parmi les quatre poulets guéris, se trouvaient trois 


78. 


620 OBSERVATIONS 


coqs que je sacrifiai pour voir et quel pouvait être l'état 
actuel de leurs poumons, et quel pouvait avoir été celui par 
où ces organes avaient passé durant les signes évidents de 
phthisie que ces animaux m'avaient offerts : signes dont le 
plus immédiat et le plus direct est un pus sale qu'on voit 
sortir de la glotte, en tirant la langue au dehors du bec, et 
en comprimant le larynx, ou la trachée-artère. J'ouvris donc 
la poitrine de ces trois coqs: je trouvai, chez tous les trois, 
des traces d’une altération ancienne des poumons, plus ou 
moins profonde, et maintenant guérie. Je conserve, dans la 
liqueur , un de ces poumons guéris dont un lambeau entier 
n'offre plus que des vésicules affaissées et déprimées, et où 
se distinguent encore des traces des points noirs qu'elles 
avaient contenus durant le cours de la maladie (1). 


16. J'ai déja dit que l’un des six poulets que j'avaisenfermés 
dans un local approprié, pour les garantir du froid, était mort. 
d'une maladie aux yeux, et qu’un autre en avait perdu un œil. 
Cette maladie consistait en de petits abces qui se formaient 
sur divers points de la cornée, et qui contenaient un pus 
blanchâtre. Quelquefois l'inflammation s'étendait à tout le 
globe de l'œil : les paupières offraïent alors une tuméfaction 
énorine ; il s'accumulait sous elles une matiere albumineuse, 
coagulée, semblable à du blanc d'œuf : la cornée se déta- 
chait, tombait, et l'œil se vidait. C'est ce qui arriva au 


(1) Je conservai la poule que je destinais à me donner des œufs au 
moyen desquels je me proposais d'étudier le mode d'action que peut exer- 
cer par la génération la phthisie pulmonaire guérie. Mon retour à Paris 


m'a empêché de mettre cette expérience à exécution, 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISÉAUX. Gai 


poulet qui mourut, et à celui qui perdit un œil. Chez les 
autres, la maladie se borna à quelques abcès qui se gué- 
rirent d'eux-mêmes. 


17. Au reste, cette maladie des yeux, due, dans ce cas, 
aux vapeurs concentrées du local où ces poulets étaierit 
renfermés, est aussi très-souvent déterminée chez ces ani- 
maux, et d'une maniere bien plus cruelle, par le froid ; 
surtout par le froid humide. 


18. Durant les pluies de l'hiver de 1826 à 1827, le vo- 
lailler qui fournissait à mes observations, et dont le niveau 
du sol était trèes-bas, se trouva constamment inondé d’eau. 
La plupart des poules, surtout des poules jeunes, furent 
atteintes d’abcès à la cornée et d’inflammations du globe de 
l'œil, au point que plusieurs en perdirent les yeux : mais 
l'effet du froid humide ne se borna pas là. A ces abces de la 
cornée se joignirent souvent des tumeurs énormes sur la 
tête. Ces tumeurs abcédaient; il s'en écoulait, avec abon- 
dance, un pus sanieux; et presque toujours l'animal succom- 
bait. Plusieurs poules furent aussi atteintes alors de rhuma- 
tisme aigu et de sciatique; ce qui me donna lieu de-faire sur 
ces maladies quelques observations que je renvoie à un 
second Mémoire. 


ç IV. 


1° Des observations qui précèdent touchant les effets 
du froid sur les oiseaux, il suit : 1° Que , chez ces animaux, 
le froid exerce une action constante et déterminée sur les 
poumons; 

2° Que l'effet de cette action est d'autant plus prompt 
et plus grave que l'animal est plus jeune; 


622 OBSERVATIONS 


3° Que, quand le froid ne détermine pas une inflammation 
pulmonaire aiguë et promptement mortelle, il produit une 
inflammation chronique, laquelle est la phthisie pulmowaire 
même ; 

4 Que la chaleur prévient constamment l'invasion de la 
phthisie pulmonaire; que constamment aussi, quand l'inva- 
sion à eu lieu, eile en suspend les progrès , et que quelque- 
fois mème elle les arrête et amène une guérison complète; 

5° Que cette maladie, à quelque degré qu’elle soit par- 
venue, nest jamais contagieuse : les poulets atteints de 
phihisie étaient non-seulement tout le jour avec les poulets 
sains, mais la nuit on les couchait dans les mêmes paniers, 
saus que jamais ceux-ci aient éprouvé la moindre influence 
d'une communication aussi intime et aussi prolongée; 

6° Enfin, que l'action d’un air, trop long-temps renfermé, 
expose ces animaux à des abcès à la cornée, et à des inflam- 
mations du globe de l'œil; abcès et inflammations que déter- 
mine aussi chez eux, et d’une manière bien plus cruelle 
encore, le froid, et surtout le froid humide. 


2. Une longue suite d'observations faites sur l’homme a 
sans doute bien appris que le froid est le fléau le plus redou- 
table pour les inflammations pulmonaires chroniques, et 
que le chaleur est, au contraire, leur remède le plus efficace. 
Les expériences qu'on vient de voir, confirment, d’une 
manière aussi directe que décisive, et l'effet pernicieux du 
froid et l'effet salutaire de la chaleur; et en montrant ainsi, 
avec la dernière évidence, et où est la source du mal et où 
est la source du bien, peut-être que leur résultat ne sera 
pas entièrement perdu pour l'humanité. 


+ 


SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 623 


A la vérité, ces expériences ne portent encore que sur 
la phthisie pulmonaire accidentelle ou acquise ; mais je me 
propose de les compléter par des expériences sur la phthisie 
tuberculeuse ou congéniale de certains mammiferes, rumi- 
nants ou rongeurs, chez lesquels cette espèce de phthisie est 
très-commune. 


3. Je termine ici ce Mémoire. Je renvoie à un second la 
suite de mes observations sur les maladies des animaux, 
oiseaux ou mammiferes. 

Ce qui précède, bien qu'il ne s’étende encore qu'aux 
oiseaux de nos basses-cours, suffit pour donner une idée du 
parti qu'on pourrait tirer de ces observations, même pour 
éclairer la pathologie humaine, et pour montrer combien on 
aurait tort de les négliger et de les dédaigner. 


4. Réaumur se plaignaït de ce que « les connaissances les 
« plus élémentaires sur les oiseaux de nos basses-cours nous 
«manquaient encore (1)». Il ajoutait que l'étude de ces 
animaux pouvait néanmoins offrir des amusements aussi 
doux qu'utiles, et qu'il appelait des amusements vraiment 
philosophiques (2). 

Mais si ce célèbre académicien eût vu sortir de cette 
étude des résultats directement et immédiatement applica- 
bles aux maladies de nos semblables, il l'eût sans doute 


(x) Art de faire éclore et d'élever en toute saison des oiseaux domes- 
tiques, etc., t. IL, p. 24r. | 
(2) Ibid. , p. 239. 


624 OBSERVATIONS SUR QUELQUES MALADIES DES OISEAUX. 


regardée comme aussi sérieuse que féconde, et digne de 
toute l'attention de ceux qui se livrent au traitement des 
affections morbides de l’économie vivante, soit chez l'homme, 
soit chez les animaux. 


A EE ER 


EXPÉRIENCES 


TOUCHANT 


L'ACTION DE LA MOELLE ÉPINIÈRE 


SUR LA CIRCULATION. 


Lues à l’Académie royale des Sciences, le 20 juillet 1829. 


Par M. FLOURENS. 


1. Chacun connaît l'opinion de Le Gallois (1), opinion de- 
venue si rapidement célèbre, et qui consiste à placer dans 
la moelle épinière le siége du principe des mouvements du 
cœur. 


2. J'ai déja fait voir, en 1823, par des expériences que 
j'eus l'honneur de soumettre alors au jugement de l'Académie, 
1° que la circulation qui, chez les animaux adultes, est abo- 
lie, sur-le-champ, par la destruction de la moelle épinière, 
survit, au contraire, un certain temps, à cette destruction, 
chez les animaux qui viennent à peine de naître (2); 2° que, 
chez les animaux adultes même (et M. Wilson Philipp 


(x) Voir Expériences sur le principe de la vie, etc. 
(2) Voyez mes Recherches expérimentales sur les PORTES et les fonc- 
tions du systeme nerveux , Paris, 1824. 


ne 79 


626 ACTION DE LA MOELLE ÉPINIÈRE 


avait déja constaté ce point(r)), la circulation survit à la destruc. 
tion de la moelle épinière, pourvu qu'on supplée à propos 
la respiration par l'insuflation (2). à 

3. Ainsi, chez le jeune animal, où la respiration est moins 
nécessaire à la circulation, la moelle épinière l’est moins aussi ; 
et, chez l'animal adulte, quand l'insuflation continue la res- 
piration, la circulation survit à la moelle épinière. C'est donc 
surtout parce qu’elle concourt à la respiration que la moelle 
épinière concourt à la circulation. 


4. D'où il suit que, s’il y avait un animal où la respiration 
püt se passer complètement, du moins pour un certain temps, 
de la moelle épinière, la circulation pourrait s'en passer 
complètement aussi. 


5. Cet animal est le poisson. J'ai fait voir, par des expé- 
riences précédentes (3), qu’on peut détruire la moelle épi- 
nière tout entiere chez les poissons, sans détruire la respi- 
ration; attendu que ce n’est plus de la moelle épinière, comme 
dans les autres classes, mais de la moelle alongée elle-même, 
et de la moelle alongée seule, que, chez ces animaux, les 
nerfs du mécanisme respiratoire ou des opercules tirent leur 
origine. 


6. On peut également détruire la moelle épinière, chez les 
poissons, sans détruire la circulation. 


(1) Voir M. Wilson Philipp. Exp. ing. etc. 

(2) Voyez mes Recherches exp. sur les propr. et les fonctions du systeme 
nerveux. 

(3) Voyez mes Nouvelles expériences sur le système nerveux, Mémoires de 
l’Acad. roy. des sc., tome IX, an 1830. 


naissant 


DANS LA CIRCULATION. 627 


7. J'ai détruit successivement, sur plusieurs carpes et sur 
plusieurs barbeaux, la moelle épinière tout entière, sans 
toucher à la moelle allongée; chez tous ces poissons, la res- 
piration et la circulation ont long-temps survécu à cette des- 
truction : les mouvements du tronc et de ses appendices ont 
seuls disparu, mais la tête et la région des opercules ont con- 
tinué à se mouvoir comme à l'ordinaire; et la circulation 
subsistait encore, même à l'extrémité du tronc, plus d’une 
demi-heure après la destruction totale de la moelle épinière. 


8. D'un autre côté, j'ai constamment vu, dans les autres 
classes, la circulation survivre à la destruction de toutes les 
parties de la moelle épinière auxquelles survit la respiration: 
à la destruction de la moelle lombaire, par exemple, chez 
les oiseaux, à celle de la moelle lombaire et de la costale, chez 
les mammifères, etc. (1). Sur plusieurs oiseaux, pigeons, 
poules, etc., j'ai détruit la moëlle lombaire, et la circulation 
a survécu , même dans le train postérieur, pendant des jour- 
nées entieres ; j'ai détruit la moëlle lombaire et la costale sur 
plusieurs lapins, et la circulation a survécu pendant plusieurs 
heures, même dans le train et dans les jambes de derriere ; 
enfin, j'ai détruit, sur plusieurs grenouilles, toute la moëlle 
épinière, hors le seul point de la moëlle cervicale duquel 
naissent les nerfs de la gorge( c'est-à-dire de la partie mobile 
de l'appareil respiratoire de ces animaux), et la circulation, 
comme la respiration, a survécu pendant fort long-temps (2). 


(x) Voyez mes Nouvelles experiences sur le\sysième nerveux, Memoires de 
l’Acad. des se., t. IX, an 1830. 


(2) Voyez mes Recherches exp. sur les prop. et les fonct. du système 
nerveux. 


628 ACTION DE LA MOELLE ÉPINIÈRE DANS LA CIRCULATION. 


9. Ainsi donc, 1° on peut détruire ämpunément (1) pour 
la circulation tous les points de la moelle épinière qui peu- 
vent l'être impunément pour la respiration, et quand la moelle 
épinière peut l'être tout entière pour celle-ci, comme chez 
les poissons; elle peut l'être tout entière aussi pour l’autre; 
2° la moelle épinière n’a donc sur la circulation qu'une ac- 
tion relative et variable comme sur la respiration; 3° c’est 
donc surtout parce qu'elle influe, et par les points par les- 
quels elle influe sur la respiration, que la moelle épinière 
influe sur la circulation; et 4° enfin, ce n’est donc pas en 
elle que réside le principe essentiel, encore moins le prin- 
cipe exclusif, de cette circulation. 


10. Mais où réside donc ce principe? On verra, dans un 
prochain mémoire, quelles sont les parties où mes expérien- 
ces me conduisent à le placer, et quel est le mode selon le- 
quel il s’y répartit. 


(1) Impunément: relativement, du moins, à un principe d’action absolu 
ou exclusif; car la destruction de la moëlle épinière 1° affaiblit toujours 
sur le champ la circulation ; et 2° au bout d'un certain temps , détermine 
son abolition : mais c'est là, non une action spéciale et telle que je l'entends 
ici, mais une simple action générale, telle que je l'ai indiquée précédem- 
ment pour tous les centres nerveux. Voyez mes Recherches expérimentales 


sur les proportions et les fonctions du système nerveux. 
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FIN DU TOME DIXIÈME. 


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Gravé par Ambroise Tardien 


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représentant, teintes en rouge, les portions du territoire où le Phylloxera a été reconnu à la fin 
de chacune des années 1865 à 1872; 1874. . . . : . . . . …. . . . .  .. . . 2... (Epuisé.) 

II. —- CORNE (Maxime), aide-naturaliste au Muséum d'Histoire naturelle, délégué de l'Académie. — 

tudes sur la nouvelle Maladie de la Vigne. In-4, avec 3 planches en couleur, gravées sur acier, 
représentant les galles produites par le Phylloxera sur les feuilles des vignes américaines, les 
altérations des racines par le Phylloxera et des coupes de racines en un point sain et sur un 
tentlennent LENS PC PNITEIN AE CEN ANS CRE Era AE tou CRE ne MAL 2.fr. 50 c. 


HI. — FAUCON (Louis). — Mémoire sur la Maladie de la Vigne et sur son traitement par le procédé 
dela submersion In MOTTE EE EE 0 do lame ee lel ie eh ne te table coute 2 fr. 50 c. 


IV. — BALBIANI. — Mémoire sur la reproduction du Phylloxera du chêne. In-#; 1874 . . . A fr. 
V. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences. — Mémoire sur les moyens de 


combattre l'invasion du Phylloxera. [n-4; 1874. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 fr. 
VI. :— BOULEY, Membre de l'Institut. — Rapport sur les mesures administratives à prendre pour 
préserver les territoires menacés par le.Phylloxera. In-#; 1874 . . . . . . . . . . . . . .. 15 c. 


VII. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. — Communication relative à la 
destruction du Phylloxera; suivie de : Nouvelles expériences effectuées avec les sulfocarbonates 
alcalins; manière de les employer, par M. Mouiccerert, délqué de l’Académie; et de Recherches 


sur l’action du coaltar dans le traitement des Vignes phylloxérées, par M. BazBran1, délégué de 
PA CAEN RER STE RTE ET ce TE EN a RE dede ce» mel 75 c 


VIII. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences. — Rapport sur les études relatives 
au Phylloxera, présentés à l’Académie des Sciences par MM. Ducraux, Max, Connu et L. Faucon. 
SRE NE SR SEL AE RM  DETT TS  T  nIO tee DOUTER RP LT OC OO C 75 c. 

IX. — DUCLAUX, Professeur à la faculté des Sciences de Lyon. — Études sur la nouvelle Maladie 
de la Vigne dans le sud-est de la France. In-4, avec une planche représentant, coloriés en rouge, 

les pays vignobles atteints par le Phylloxera en 1873. . . . . . . . . . .......... 75 c. 

X. — COMMISSION DU PHYLLOXERA (Séance du 3 décembre 1874). — Observations faites par 
MM. Bazsranr, Connu, Gina, MouizzererT. — Analyses chimiques des diverses parties de la vigne . 
saine et de la vigne phylloxérée, par M. BouriN. — Sur les vignes américaines qui résistent au 
Phylloxera, par M. Micrarper.— Vins faits avec les cépages américains, par M. Pasreur.— Traitement 
par le goudron de houille, par M. Rowwier. — Sulfocarbonates, par M. Dumas. In-4; 1875. . 2 fr. 


XI. — COMITÉ DE COGNAC (Station viticole. Séance du 21 mars 1875). Expose des expériences 
faites à Cognac et des résultats obtenus par M. Max. Connu et M. Mouiczerenr. In-£; 1835. 1 fr. 
XII. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. — Note sur la composition et les 
propriétés physiologiques des produits du goudron de houille. In-#; 1875. . . . . . . . .. 50 c. 
XIII. — DUCLAUX, Professeur à la Faculté des Sciences de Lyon. — Études sur la nouvelle Maladie 

de la Vigne dans le sud-est de la France. In- -4, avec une planche représentant, coloriés en rouge, 
les pays vignobles atteints par le Phylloxera en 1874. . . . . . . . . . . - . . . . . . . .. 75 €. 
XIV. — BOULEY, Membre de l’Institut. — Rapport sur les réclamations dont a été l’objet le décret 
relatif à l'importation en Algérie des plants d'arbres fruitiers ou forestiers venant de France. 
TO A BTD a tee LATE LU cute TR TO e AUeU e Le Le aie ILE Gene 15 €. 
XV. —- DUMAS, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, et Max. CORNU: — Instruction 
pratique sur les moyens à employer pour combattre le Phylloxera, et spécialement pendant l'hiver. 
Ines 1810 Eee vas ous us RHODENe e rene MMS Le ends en CR RENE 151 C: 


XVI. — MILLARDET, Déléqué de l'Académie. — Études sur les Vignes d'origine américaine qui 
Yésistent au Phylloxera.ln-#; 18762250 UN RU Ca Re CR 2 fr. 


XVII. — GIRARD (Maurice), Dé léqué de l'Académie. — Indications générales sur les vignobles des 
Charentes; avec 3 planches représentant, teintes en rouge, les Poe du territoire des Charentes 
où le Phylloxera” a été reconnu à la fin de chacune des annces 1872, 1873 et1874.In-4,1876. 2fr.50c. 


XVIII. — CORNU (Maxime) et MOUILLEFERT, Délégués de Acutnis _— NO faites à la 


station viticole de Cognac dans le but de trouver un procédé efficace pour combattre le Phylloxera. 
Int AND eo condo ee Ne RE ENS re LED SIC ee ce Nues 5 fr. 


XIX. — AZAM, Docteur en Médecine. — Le Phylloxera dans le département de la Gironde. In-#, 
ayec une grande planche représentant, au moyen de teintes noires, rouges et bleues, l’état du 
fléau en 1873 et son développement en 1874 et en 1875; 1876. . . . . . . . . . . . . . .. Die: 


XX. — BALBIANI. — Sur l'éclosion de l'œuf d'hiver du Phylloxera de la Vigne. In-4; 41876. 
(Voir n° XXIIL.) 
XXI. — Extraits des Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences de l'Institut de France. 
(Séances des 2 novembre 1875 et 2 juillet 1876): : . . . . +... 4e RU me ANT: 
SomwaIRE : Sur la parthénogénése du Phylloxera comparée à celle des autres Pucerons; par M. BALBIANI, — 
Résultats obtenus, au moyen du sulfocarbonate de potassium, sur les vigues phylloxérées de Mëzel, par M: AUBERGIER. 
— Observations sur la lettre de M. Aubergier; par M. Dumas. — Sur le mode d'emploi des sulfocarbonates, par 
M. J.-B. Jauserr. — Etat actuel des vignes soumises au traitement du sulfocarbonate de potassium depuis l'année 
dernière; jar M. P. MouirrererT. — Résultats obtenus à Cognac avec les sulfocarbonates de sodium et de baryum 
appliqués aux vignes phylloxérées; par M. P. MouicLérerT. — Expériences relatives à la destruction du Phylloxera; 
par M, MarioN. 


XXII. — BOUTIN (ainé ), Délégué de l’Académie. — Études d'analyses comparatives sur la vigne 
sanetet-sur la vigne phylloxérée. In-4:4877. 4 Dh. lee. CO RENE ere infre 
XXII — BALBIANI, Délégué de l Arade mie des Sciences, Professeur au Collége de France. — 
Mémoires sur le Phylloxera, présentés à l’Académie des Sciences, en 1876. In-4; 1876. . . . 2 fr. 
Sommamme : Sur l'éclosion prochaine des œufs d'hiver du Phylloxera (mars 1876). — Sur 'éclosfon de l'œuf d'hiver 
du Phylloxera (avril 1876). — Sur la parthénogénèse du Phylloxera comparée à celle des autres Pucerons. — 
Nouvelles observations sur le Phylloxera du chêne comparé au Phylloxera de la vigne. — Remarques au sujet d'une 
Note récente de M. Lichtenstein sur la reproduction des Phylloxeras. — Récherches sur la structure et sur la 
vitalité des œufs du Phylloxera. 

XXIV. — DUCLAUX, Professeur à la Faculté des Sciences de Lyon, délégué de l'Académie. — Études 
sur la nouvelle Maladie de la Vigne dans le sud-est de la France. Pays vignobles alteints par le 
Phylloxera en 1875 et 1876. In-#, avec 2 planches; 1876. . . . . . . . . . . . . . .. Anfre 20 ce 

XXV. — COMMISSION DU PHYLLOXERA. — Avis sur les mesures à prendre pour s'opposer à 
l'extension des ravages du Phylloxera. In-#; 1877. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . To rce 

XXVI. — CORNU (Maxime), Délégué de l'Académie. — Études sur le Phylloxera vastatrix. In-4 
de 358 pages, avec 24 planches en couleur. 1878 ....-.., .. . 4... 4. 10 fr. 

INSTITUT DE FRANCE. — Instruction sur les paratonnerres, adoptée par l’Académie des Sciences 
(fre Partie, 1823, par Gay-Lussac. — W® Partie, 14854, par M. Pouillet. — III° Partie, 1867, par 
M. Pouillet). In- 18 Jésus, avec 58 figures dans le texte et une planche; 1874. . . .. 2 fr. 50 c. 

PRÉFECTURE DE LA SEINE. — Assainissement de la Seine. Épuration et utilisation des eaux 
d'égoût, 4 beaux volumes in-8 jésus; avec 17 pl., dont 10 en chromolithographie ; 1876-1877. 26 fr. 

PRÉFECTURE DE LA SEINE. — Assainissement de la Seine. Épuration et utilisation des eaux 
dégoût. — Rapport de la Commission d'études chargée d'étudier les procédés de culture horti- 
cole à l’aide des eaux d’égout. In-8 jésus avec pl. ; 1878. . . : : . . . . . . 2... . .. 1 fr. 50 

RAPPORT DE LA COMMISSION D'ÉTUDES chargée d'étudier l'influence exercée dans la presqu'ile 
de Gennevilliers par l'irrigation en eau d'égont, sur la valeur vénale et locative des terres de 
culture. In-8 jésus avec 3 planches en chromolithographie; 1878 . . . . . . . . . . . . .. 3 fr.
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