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Full text of "Mémoires de la Société royale des sciences de Liège"

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HARVARD UNIVERSITY. 


LIBRARY 


OF THE 


MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY. 


MEAe 


bacharge 


Odile, à qça 


MÉMOIRES 


DE LA 


SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES 


DE LIKGE. 


MÉMOIRES 


DE LA 


SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES 


7 = æ_ \ 
DE REG 


Nec temere nec timide: 


TOME SEIFIÈME. 


‘LIÈGE, 
CHEZ H. DESSAIN , IMPRIMEUR. 


BRUXELLES , PARIS , 
CHEZ C. MUQUARDT. CHEZ RORET, us'e. 
LEIPZIG, MÊME NAISON. RUE HAUTEFEUILLE , 10 bis. 


1864. 


LISTE DES MEMBRES 


DE LA 


SOCIÉTÉ 


AU 30 JUIN 1861. 


Nota. Les noms des Membres Fondateurs sont précédés d’un astérisque. 


———— 22 24-696 e———— — 
Bureau. 


Président , MM. FRÉDÉRICX. 
, Vice - Président , ScHaan. 

Secrétaire - Général , LACORDAIRE , 

Trésorier , SPRING. 


Membres effectifs. 
MM. 


4835." DELVAUX , Professeur émérite à l’Université, 
* Brasseur , Professeur à l’Université. 
* GLOESENER , id. 
* FRÉDÉRICX, Général - Major honoraire, à Liége. 
4849. LaconDAIRE, Professeur à l’Université. 


Norz , id. 
SPRiI“G , id. 
De KonixGk , id. 
CHANDELON , id. 


DE SéLys-Lonccuamps, Edm. (Baron de), Sénateur, 
Neuexs, Lieutenant Colonel d’Artillerie , à Liége. 
Marryxowski, Répétiteur à l’Université, 


1855. 
4899. 


1854. 
1857. 
1859. 
1860. 


1861. 


Co 
Pt 
(A 


1812. 
1845. 


LISTE DES MEMBRES DE LA 

FRASENSTER , Professeur à l'Université. 

LAGUESSE , Ingénienr des Mines, à Liége. 

SCRAIT , Répéliteur à l'Université, 

KUPFFERSCHLAEGER , Îsid., Professeur à l'Université. 
Decvaux, Adolphe, Ingénieur honoraire. 

LECLERCO , Directeur de l’École industrielle, à Liége. 
DE Cuyrer, Professeur à l'Université. 


SCHWANN , id. 

Bine, Émile, id, 

CANDÈZE , Docteur en Médecine, à Liége. 
CHapuis , F, id. , à Verviers. 


PaQuE , Professeur de Mathématique à l’Athénée, 
DEwALQUE, id. à l’Université. 

Bournow , dules , Docteur en Sciences naturelles. 

ScHaar, Professeur à l’Université. 

Houraix, Docteur en Sciences physiques et Mathématiques. 
MEIER , id, id. 
GILLON , Répéliteur à l’Université. 

TeRssen , Major d’Artillerie, à Liége. 


4 


PérarD , Répélitcur à lUniversité. 
REembres correspondants, 


MM. 


Devaux , Inspecteur Général des Mines, à Bruxelles. 

D'Omazius - D'HALLOY , Propriétaire, à Halloy. 

DumorTier , B. Membre de la Chambre des Représentants, 
à Tournai. 

QUETELET, À. Directeur de l'Observatoire, à Bruxelles. 

TiIMMERHANS, Professeur à l’Université de Gand. 

Tercuan , Gouvernenr de la Province d’Anvers. 

Van BENEDEN, Professeur à l’Université de Louvain. 

DECAISNE, 3. Professeur au Museum d'histoire naturelle, à 

Paris, . 

De JaeBiG (B° Justin}, Professeur de Chimie à l'Université 
de Munich. 

Gnanan, Directeur de la Monnaie à Londres. 

Pezouze, Membre de linstitut à Paris. 

Sras , J. d. Professeur à l'Ecole militaire , à Bruxelles. 

MÉITSCHERLICH , id. à l’Université de Berlin. 


1843. 


1844. 


1845. 


SOCIÉTÉ ROYALE DES £ECIENCES DE LIÉGE. te 


Nvsr, H. Contrôleur des matières d’or et d'argent, à Auvers. 

DE VERNEUIL , Ed, Membre de l'Institut, à Paris. 

KeiserLiNe (Comte de}, Membre de l’Académie de St. Péters- 
bourg. 

Mantius, (Chevalier de}, Secrétaire de l’Académie royale des 
Sciences , à Munich. 

Kickxx, d. Professeur à l’Université de Gand. 

MouL, id, à l’Université de Tubingen. 

GERvaIs, Doyen de la Facullé des Sciences, à Montpellier. 

SUNDEVALL , Professeur à Stockholm. 

Purzeys , Secrétaire - Général au Ministère de la Fustice, à 


Bruxelles. 
R£&IiCHERT , Professeur à l'Université de Berlin. 
VALENTIN , id, à l'Université de Berne. 
WaAGxER , id. id. de GϾtlingue. 
LONGET , id. à la Faculté de Médecine de Paris, 
STEICHEN , id. à l'École militaire, à Bruxelles. 
PIOCHE , id. id. 
LAMARLE , id, à l'Université de Gand. 


« 


BREGUET , Mécanicien , à Paris. 

Masson , Professeur de Physiologie à la Sorbonne, à Paris. 

SiMONOFF , Directeur de l'Observatoire de Casan. 

FCHEFFKINE, Général Aide de Camp de l'Empereur de Russie, 
à St. Pétersbourg. : 

BERTHIER , Professeur à l’Éeole des Mines, à Paris. 

Comes , Ingénieur en chef des Mines et Professeur à l'École 
des Mines, à Paris. 

Simoxis , Répétiteur à l’Université de Gand. 

SEyLErR, Docteur en Médecine, à Wiltz. 

LEcoINTE, Professeur de Mathématique supérieure à l’Athénée 
de Namur. 

MALHERBE , Juge au Tribunal de Metz. 

Carez , Ingénieur des Ponts et Chaussées, à Bruxelles. 

Van Res , Profvsscur à l'Université d'Utrecht. 

Maus , Ingénieur des Ponts et Chaussées, à Mons. 

Navez , Major d’Artillerie, à Bruxelles. 

Micmies , Colonel d’Artilierie, à Liége. 

COQUILHAT , id, à Anvers. 

Du Bus, Bernard (Vicomte), Directeur du Musée d'histoire 
naturelle de Bruxelles. 

Hacex , Docteur en Médecine, à Kônigsherg. 

Ouivier, Professeur à l'École centrale de Paris. 

CHasLes, Membre de Finstitut, à Paris. 


IV 
184. 


1846. 


1847. 
1848. 
1849. 
1851. 


1852. 


1855. 


1854. 


LISTE DES MEMBRES DE LA 


Awgrosi, Répéliteur à l'École militaire , à Bruxelles. 

PERDONNET , Ingénieur civil , à Paris. 

DE VRiese, J. H. Professeur à l'Université de Leyde. 

KLiorTzscn , J. P. Conservateur des herbiers royaux , à Sthœn- 
feld , près de Berlin. 

Bosquer , Pharmacien , à Maestricht!. 

KLIPSTEIN (VON) , Professeur à l’Université de Giessen. 

Micuaëuis , Professeur à l’Athénée de Luxembourg. 

ScHROETER , Secrélaire perpétuel de l’Académie des sciences , 
à Vienne. 

BAUMGARTNER , Président de l’Académie des sciences , à Vienne. 

Jacort, Membre de l’Académie de St. Pétershbourg. 

ANsTED , Professeur de Géologie , à Londres. 

SCHROEDER VAN DER KoLx , Professeur d'Anatomie à l’Université 
d’Utrecht. . 

ScuLeGEz , Conservateur du Museum d'histoire naturelle de 
Leyde. 

Le ConrE , J. L., Docteur en Médecine, à New-York. 

PonceLer , Général du Génie, Directeur de l’École Polytechnique, 
à Paris. 

VROLIK, W. Professeur d'Anatomie à l’Athénée d’Ams- 
terdam. 

LyeLL , (Sir Charles }, Membre de la Société royale de Londres. 

Davinson, Th. Membre de la Société royale de Londres. 

STEINHEIL , Professeur a l’Université de Munich. 

ETTINGSHAUSEN, Professeur de Physique à l'Université de Vienne. 

LamontT, Directeur de l'Observatoire de Münich. 

Dana, Professeur à Philadelphie. 

GRANT , id. à l’Université de Londres. 

Von ETTINGSHAUSEN , Constantin, à Vienne. 

Pouz , Répétiteur de Chimie, à Vienne. 

Wesrwoop , Membre de la Société entomologique de Londres. 


: PARRY , id. id. 


WATERHOUSE , Conservateur du Museum britannique, à 
Londres. | 

Perris , Ed. Chef de Division à la Préfecture de Mont de 
Marsan, (Landes). 

PETRINA, Professeur de Physique, à Prague. 

KOELLIKER , id. à l'Université de Würzbourg, 

L. Durour, Docteur en Médecine , à St. Sever, (Landes). 

Durreux , Receveur-Général , à Luxembourg. 

DroueT , H. Naturaliste , à Troyes (France). 

WEBer , Professeur de Physique à l'Université de Gôttingue. 


1854. 


1855. 


1856. 


4857. 


4859. 


4860. 


1861. 


SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. Y 


SrAMMER, Docteur à Dusseldorf. 

ERLENMEYER, id. à Neuwied. 

Lucas, Henri, Aide Naturaliste au Museum d'histoire naturelle, 
à Paris. 

BLancHARD , Emile , Aide Naturaliste au Museum d'histoire 
naturelle, à Paris. 

PLücker, Professeur à l’Université de Bonn. 

Van HAuErR, Membre de l’Académie des sciences de Vienne. 

Nopor , Directeur du Museum d'histoire naturelle, à Dijon. 

GeiniTz , B. B. Professeur à l’École Polytechnique de Dresde. 

CATALAN , à Paris. 

FoucauLT, L. attaché à l'Observatoire de Paris. 

BECQUEREL , E. Professeur de Physique au Conservatoire des 
Arts et Métiers , à Paris. 

DEspreTz , Membre de l’Institut de France , à Paris. 

BABINET , id. id, id. 

Liais , Astronome à l'Observatoire de Paris. 

DomonceLz , Physicien , à Paris. 

TcHEBICHerF , Membre de l’Académie de St-Pétersbourg. 

MicaorT , (abbé), Botaniste, à Mons. 

Janin , Professeur de Physique à l’École Polytechnique, à Paris. 

SenGwICck, À. Membre de la Société géologique de Londres. 

FiTron , Docteur, à Londres. 

Ray , J. Trésorier de la Société d'Agriculture de Troyes. 

WRIGuT , T. Docteur en Médecine , Membre de la Société royale 
d’Edimbourg. 

ScHMIT , Docteur en Sciences physiques et mathématiques, 
à Bruxelles. 

DE BixcxHorsT, propriétaire, à Maestricht. 

DE CALIGNY , à Versailles. 

Woon , Edw. propriétaire , à Richmond , (Yorkshire). 

DE Marseuz , (abbé), à Paris. 

BEyRICH , Secrétaire de la Sociélè géologique de Berlin. 

Marcou , J. Professeur de Géologie , à Boston , (Etats-Unis). 

Dugois -RaymonD, Professeur à l'Université de Berlin. 

ENCkE , Directeur de l'Observatoire de Berlin. 

BrüCKE , Professeur à l’Université de Vienne, 

THomassy , id. à la Nouvelle Orléans. 

MuLLER, d. A. Professeur an Gymnase , à Aix-la-Chapelle, 

Murray , A. id. à Edimbourg. 

BOUCHER DE CRÉVECOEUR DE PERTHES (Jacques), Président de 
la Société linpériale d’Emulation d’Abbeville. 

CoLxET D'HuART , Professeur à l’Athénée de Luxembourg. 


wf LISTER DES MEMBRES, ETC. 


1861. Zris, Conservateur du Museum royal d'histoire naturelle, à 
Dresde. 
Maçaus , Professeur de Physique à l’Université de Berlin, 


Membres décédés depuis la Fondation de Ia Société. 


MM. 


Caucuy , Ingénieur en Chef des Mines, à Namur, membre 
correspondant. : 
Foumanx , Professeur à l’Université, membre fondateur. 
SCHMERLING , Docteur en Médecine , membre fondateur. 
PAGANI, Professeur à l’Université de Louvain, membre fon. 


dateur. 
LEnAIRE , Professeur à l’Université de Liége, membre fondateur. 
DuxoNT , id, id, id, id. 
LESOINNE , id. id. id. id. 
RENAULT, Major d’Artillerie. id. id. 


GUILLERY , Ingénieur des Ponts et Chaussées , à Bruxelles, 
membre eorrespondant. 

Bucn , (Barou de) Chambellan de S. M. le Roi de Prusse, 
membie correspondant. 

GENÉ, Professeur à Turin, membre correspondant. 

Piocue, id. à l’École militaire, id. 

MEYER , id. à l’Université de Liége, membre effectif. 

PELLETIER, rentier, à Paris, membre correspondaut. 

GALEOTTI , Bolaniste , à Bruxelles, membre correspondant. 

Lessox , (R. P.), Professeur à l’École maritime de Rochefort à 
membre correspondant. 

Corpa, Botanisle, à Prague, membre correspondant. 

DE LA BÈcHE , H., Directeur du Musée de Géologie pratique, 
à Londres, membre correspondant. 

Forges, Ed. Président de la Société géologique de Londres , 
membre correspondant. 

HAINE , J. Professenr au Lycée Napoléon, à Paris, membre 
correspondant. 

Von Bar, Membre de l’Académie de St Pétersbourg , membre 
correspondant. 


TE © 2 © Em — —— 


1. — Mémoire sur les genres et les sous-genres des Brachio- 
podes, munis d'appendices spiraux destinés au soutien 
des bras buccaux et sur leurs espèces découvertes dans les 
couches carbonifères des Iles Britanniques, 


PAR 


Tu. DAVIDSON, 


MEMBRE DE LA SOCIÉTÉ ROYALE ET SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ GÉOLOGIQUE DE LONDRES, 


Traduit et augmenté de quelques notes 


PAR 


Le D° L. DE KONINGK, 


PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE, 


RS Deere 
AVIS DU TRADUCTEUR. 


Depuis vingt-cinq ans, M. Davidson se livre à l'étude des 
Brachiopodes et y consacre la majeure partie de son temps. 
Le nombre des observations qu'il a pu recueillir et celui des 
matériaux précieux qu’il a réunis dans sa collection ou qu’on lui 
a prêtés, est très-considérable. Aidé des travaux anatomiques et 
microscopiques de MM. Carpenter, Owen, Gratiolet , et surtout 
des récentes et magnifiques recherches de M. Hancock, il a été 
en état, beaucoup mieux qu'aucun de ses prédécesseurs , de dis- 
siper les ténèbres qui enveloppaient il n’y a pas bien long-temps 
encore , l’organisation de cette classe intéressante d'animaux. 
M. Davidson est sans aucun doute aujourd'hui la première 
autorité dans cette partie des sciences zoologiques et ç’a été une 
véritable bonne fortune pour la société Paléontographique en 
particulier et pour la Paléontologie en général , d’avoir obtenu, 
d’un homme dont le zèle égale le savoir et à qui aucun sacrifice 
n’est de trop pour remplir conseiencieusement la tâche assumée 
par lui, qu'il voulut bien se charger de la Monographie des 
Brachiopodes fossiles des Iles Britanniques. Déjà il a publié les 

| 1 


2  L. pe Konincx. — Mémoure sur des genres et les sous-genres 


Monographies des Brachiopodes tertiaires , erétacés, jurassiques 
et permiens , ainsi qu'une partie de celle qui comprendra les 
Brachiopodes carbonifères ; il les a fait précéder d'une Fntroduction 
générale, dans laquelle il a exposé toutes les découvertes récentes 
relatives à l’organisation des animaux qui font le sujet de ses études 
de prédilection , ainsi que la classification à laquelle il s'est dé- 
finitivement arrêté. Mais comme ces publications , qu'il a accom- 
pagnées d’un grand nombre de planches , d'autant plus exactes et 
plus précieuses qu’elles ont été lithographiées par lui-même , ne 
peuvent se trouver dans toutes les mains, à cause de leur prix élevé, 
il a eu l’heureuse idée de réunir sa méthode concernant les Bra- 
chiopodes munis d’une spire calcareuse, dans un article publié 
par le Géologist et de le faire suivre de la liste de toutes les espèces 
carbonifères britanniques appartenant à cette division. 

J'ai pensé que la traduction de ce mémoire serait utile aux 
personnes qui ne sont pas familiarisées avec la langue anglaise. 
J'ai cru en outre, devoir saisir cette occasion de faire connaitre 
les espèces carbonifères belges appartenant à la même division 
et de publier quelques notes relatives à la distribution de ces espèces 
dans les différentes contrées de l’Europe. De cette façon, il me 
sera loisible de rectifier quelques erreurs qui se sont glissées dans 
mon ouvrage sur les fossiles carbonifères de Belgique, publié à 
une époque où les idées actuelles étaient loin de prévaloir et où 
la paléontologie n'avait pas encore acquis la précision, ni l'impor- 
tance qu'on lui reconnait généralement aujourd’hui. 

La première des deux planches qui accompagne ce mémoire 
est celle même qui a paru à Londres. La Société Royale est rede- 
vable de cette faveur à l’obligeante intervention de l’auteur Anglais. 
Il en est de même de la gravure sur bois. J'ai ajouté la seconde 
planche, afin d'y reproduire quelques gravures sur bois que 
M. Davidson, a publiées dans un supplément à sa première 
notice (1) et d’y représenter quelques échantillons de ma collection 
dont la reproduction m'a parue devoir être utile. 


L. D. K. 


(1) Jai intercalé les observations qui font le sujet de ce supplément, 
dans les parties du Mémoïre auxquelles élles se rapportent, 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux , etc, 5 


Comme le Géologue a intérêt à connaître tout ce qui a rapport 
à la Paléontologie, il est probable que certaines observations re- 
latives aux Brachiopodes et accompagnées de figures destinées à 
faciliter l'intelligence du texte, pourront être de quelque utilité, 
et auront pour effet d'engager d’autres naturalistes à poursuivre 
des recherches qui ont déjà coûté de si longs et de si nombreux 
travaux, 


Un naturaliste très-distingué a remarqué avec justesse, qu'il 
y a avantage à ce qu'un certain nombre d’observateurs différents 
s’oceupent d'un même sujet; la vérité de cet axiome a été complète- 
ment prouvée par toutes les connaissances acquises relativement 
aux affinités de la elassification et l’anatomie des Brachiopodes (1). 

Néanmoins, il est bon de faire observer, que bien que ce sujet 
ait donné lieu à des travaux considérables tant individuels que 
collectifs , il reste encore beaucoup de découvertes et de recherches 
à faire, avant que les problèmes concernant le caractère et 
l'histoire de la classe pourront être considérés comme définitive- 
ment résolus. 

Tous les paléontologistes semblent être d'accord pour admettre 
que les Brachiopodes doivent se diviser en deux groupes prin- 
cipaux. Le premier sera composé de tous ceux dont les valves 
sont articulées au moyen de dents et de fossettes ; le second ren- 
fermera les non-articules, c'est-à-dire ceux dont les valves 
sont retenues en place au moyen de muscles et autres agents. 

Les Brachiopodes articulés ont été provisoirement divisés en 5 
familles qui sont : les Terebratulidæ, les Spiriferidæ , les Rhyn- 
chonellidæ, les Strophomenidæ etles Productide ; les Non -articulés 
comprennent les Craniadæ , les Discinidæ et les Linqulidæ. 

Je n'ai pas l'intention de m'étendre sur les caractères anatomi- 
ques de quelqu'importance qui distinguent ces deux groupes 
entre eux, ni d'entamer une discussion au sujet de leur classi- 
fication générale ; mon intention en ce moment consiste unique- 
ment à exposer tout ce que l’on a connu anciennement et ce que 


(1) La plupart des naturalistes ont considéré les Brachiopodes comme une 
classe particulière des Mollnsques, mais les anatomistes ne sont pas tous 
d'accord sur cette question importante. M. Hancock, a cherché à démontrer 
l’analogie de structure entre les Brachiopodes et Îes Polyzoaires, tandis que, 
l'opinion du D' Gratiolet, diffère de celle de Mr Owen, qui a placé les 
Brachiopodes entre {es Lameïllibranches et les Tuniciers. 


4 L. pe KoniNcx. — #émore sur les genres et les sous-genres 


lon a appris récemment, concernant les genres qui sont garnis 
de lamelles spirales destinées à servir de support aux bras buccaux. 
Ma classification ( aussi bien que toutes celles qui ont été pro- 
posées jusqu'ici ) ést plus ou moins artificielle et provisoire. Il ne 
doit pas paraître étonnant , que, forcé de chercher ma route à 
l'aide des quelques rayons de lumière que de récentes découvertes 
ont jetés sur le chaos dans lequel cette classe a été plongée 
pendant si longtemps , je me sois quelquefois heurté et que j'aie 
été obligé de revenir Sur mes pas, et d'abandonner certaines con- 
clusions , que pendant quelque temps , j'ai pu croire établies sur 
des fondements solides. 

Comme on n'a encore découvert aucun Brachiopode vivant 
muni d'appareils spiraux-calcaires , il est impossible de déterminer 
au moyen d’un examen anatomique direct, la relation exaete 
qui existe entre ces appendices calcaires et les parties molles des 
bras buccaux, Néanmoins , l'existence dans deux espèces de 
Rhynchonella apparténant au groupe des Articulés, de bras 
membraneux , qui, bien que libres et privés de tout support 
sont tournés en spirale et dirigés vers la concavité interne de la 
petite valve ou valve dorsale , d’une façon tout-à-fait semblable 
à celles que nous offrent les lamelles spirales dans le genre éteint 
des Atrypa, permet, jusqu’à un certain point, de supposer 
qu'il existe de l’analogie entre les appendices ealeaires et les parties 
molles des bras buccaux. 

Le D' Gratioletest d'avis que le bras médian des Tercbratula 
est divisé chez le Rhynchonella psittacea en deux bras largement 
développés, munis d’une seule rangée de cirrhes et sans aucun 
support testacé, mais que probablement l'inverse a eu lieu chez 
les Spirifera, chez lesquels le bras moyen est supposé ne pas 
avoir existé ; en outre, que les cirrhes ont été exclusivement 
limités par des appendices calcaires en forme de spire, partagés 
en deux parties indépendantes l’une de l’autre et parfaitement 
symétriques ; mais ce point important ne pourra étre définitive- 
ment tranché, que par de nouvelles recherches. 

Les bras buccaux semblent avoir différé beaucoup quant à leur 
position et aux différents détails qui leur sont propres. Leur mode 
d’enroulement varie beaucoup dans les divers genres articulés ; 
il ny a d'exception que pour ceux qui composent la grande 
famille des Terebratulidæ , chez lesquels le bras médian seul 
a été tourné en spirale. Chez les Rhynchonclla , les Strophomene 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux, etc. 5 


et les Productus les bras ont été tournés en spirale, mais n'ont 
eu aucun support testacé, tandis que chez les Spirifere, les 
Athyris et leurs sous-genres , les bras spiraux ont été supportés 
ou limités par deux longues lamelles , tournées en spirale et ayant 
leurs extrémités dirigées en dehors. 

Chez les Atrypa, Davidsonia , Koninchina et Anoplotheca , 
les deux lamelles tournées en spirale, sont verticales et dirigées 
vers le fond de la valve, ou disposées horizontalement , chaque 
tour de spire étant sensiblement parallèle à la surface interne 
d'une valve. 

Leurs principaux caractères résident par conséquent dans ces 
bras tournés en spirale et dans les apophyses qui les supportent ; 
mais on s'est demandé, si l'on peut ou si l'on doit placer dans 
la même famille, des animaux dont les bras sont libres et ceux 
chez lesquels ces bras sont bordés ou soutenus par des lamelles 
caleareuses. M. S. G. Woodward est d’avis que Îles Atrypa 
doivent être séparées des Spirifaridæ et que leur place se trouve 
parmi les Rhynchonellidæ , parce qu’il considère la calcifieation 
des supports oraux comme un caractère d’une valeur incertaine. 

Cette opinion mérite certainement d’être examinée , quoique 
je ne cache pas, que jétais disposé, lorsque Jj'écrivais mon 
Introduction générale, à placer les Airypa de Dalman dans la 
même famille où se trouvaient les Spirifera et les Athyris. LE a 
été avancé, que parmi les Terebratulidæ certaines espèces n'avaient 
leurs bras buccaux, supportés qu’à leur origine, comme cela a 
lieu chez les T. vitrea, caput-serpentis , etc. , tandis que dans 
d’autres genres la bandelette apophysaire occupe une grande partie 
de l’intérieur de la coquille, P. E. chez les Waldheiïmia , 
Terebratella , etc. ; néanmoins , bien que la présence et le dé- 
veloppement des pièces calcaires aient pu être un bon caractère 
pour grouper des formes similaires dans un même genre, leur 
présence ou leur absence , ne parait pas avoir nui au développe- 
ment du bras lui-même , ou de sa membrane. 

Il est donc à supposer qu’il en est de même des espèces garnies 
de bras spiraux. 

La classification des espèces garnies de supports spiraux mérite 
une certaine attention et exige quelques recherches ultérieures ; 
cependant , il me paraît, que dans ce moment et eu égard à nos 
connaissances actuelles , les espèces peuvent être groupées en- 
semble de la manière suivante : 


5  L. pe KoniNcx. — Hrémoire sur ies genres et les sous-genres 


Genre SriRiFERA , (1) Sow. ; type Sp. striata, Martin. 
? Sous-genre CyrTiA. Dalman; C. exporrecta, Wall. 
» Spiriferina, d'Orb.; S, rostrata, Schloth. 
» Suessia, E. Deslongs. ; S. costata. Des]. 
» Cyrtina, Dav.; C. septosa, Phillips. 
- Genre Artayris, M’Coy, — Spirigera, d'Orb.; 4. concentrica, V. Buch. 
Sous-genre, Âerista, Suess; M. Herculea , Barrande. 
» Retzia, King; R. Adrieni, de Vern. 
» Trematospira; Hall; T. perforata, Hall. 
» Nucleospira, Hall ; N. ventricosa, Hall. 
» Uncites, Defr.; U. gryphus, Lefr. 


Genre ArTryPA, Daiman. — Spirigerina, d'Orb. ; À. reticularis, Linn. 


ot 


Genre KoniNoxiNaA, Suess; K. Leonhardi, Wissemann. 
n »  ANOPLOTHECA, G. Sandberger; À. lamellosa, G. Sandb. 
> DavinsonA, Bouchard; D. Verneuilii, Bouchard. 


J'ai moi même rassemblé les groupes N° 1, 2 et 5 dans une 
seule famille, sous le nom de Spiriferidæ et cet exemple a été 
suivi par plusieurs auteurs, mais M. Woodward en a exclu le 
9° groupe, qu'il a réuni aux Rhynchonellidæ. 

Depuis plusieurs années déjà, M. le Professeur King, à pro- 
posé la famille des Davidsonidæ, dans laquelle certains auteurs 
comprennent outre les Davidsonia , les Anoplotheca et les 
Koninckina. 

Les caractères distinctifs des Spirifera , des Athyris et des 
Atrypa ont été si parfaitement établis, qu'il ne peut y avoir 
le moindre doute sur la définition et la conservation de ces 
trois genres. 

Les espèces qui composent le genre si remarquable et si étendu 
des Spirifera , créé par Sowerby , ont des formes très- différentes : 
tandis que les unes sont transverses , d’autres sont allongées ou 
arrondies ; les unes sont lisses ou anguleuses, d’autres sont 
couvertes de côtes ou de stries ; les unes ont leur petite valve 
garnie d'un bourrelet médian et leur grande valve d'un sinus 
correspondant , d’autres n’en possèdent pas de traces ; toutes néan- 
moins se distinguent par une charnière en ligne droite, mais 


(4) J'ai conservé le nom générique de Spiriferæ employé par M. Davidson, 
quoique je sois d'avis que l'expression de Spirifer doit lui être préférée, 
parce que c’est le terme dont s’est servi Sowerby, quand il a créé le genre. 


[DK 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux , ele. 7 


d’une longueur très- variable ; la grande valve est munie d’une 
area plane ou concave , d’une forme triangulaire ou à bords 
subparallèles , mais très- différente dans ses longueur , largeur 
et hauteur , suivant les espèces. Cette area est partagée en deux 
parties égales , par une ouverture triangulaire , libre dans le jeune 
âge, mais se retrécissant plus ou moins graduellement pendant la 
croissance de la coquille, au moyen d’une seule ou de deux 
petites plaques courbées, insérées dans le voisinage de la char- 
nière , et auxquelles M. de Koninck , a donné le nom de pseu- 
dodeltidium. La petite valve possède également une area étroite. 
Les valves des Spirifera, et de tous les genres et sous-genres 
de la même famille, sont articulées au moyen de dents recourbées , 
placées de chaque côté à la base de la fissure et s’ajustant dans 
des fossettes correspondantes de la valve opposée. Dans la grande 
valve, des plaques calcaires verticales servent de support aux dents. 
Ces plaques après avoir servi de limite à la fissure , s'étendent du 
crochet jusqu'au fond de la valve ; elles sont petites ou grandes, 
régulièrement divergentes, ou convergentes d'abord pour di- 
verger de nouveau; ensuite elles avancent plus ou moins vers 
l'intérieur de la valve. Entre ces plaques et quelquefois en dessous 
d'elles, la majeure partie du fond de la coquille porte des 
impressions musculaires , parfois partagée en deux au moyen 
d’une faible crête longitudinale. Le muscle adducteur qui a pour 
fonction de fermer la coquille, détermine sur la valve à son point 
d'insertion , une impression ou cicatrice étroite de forme ovale 
allongée; de chaque côté de celle-ci, on remarque les impressions 
des muscles cardinaux , qui sont les antagonistes du précédent et 
qui ont servi à ouvrir la coquille. (1) 

A l'intérieur de la petite valve (valve dorsale ), se trouvent 
deux grandes spires coniques , remplissant presque complètement 
l’intérieur de la coquille, ayant leurs extrémités dirigées vers les 
angles extérieurs et latéraux de la coquille ; mais tandis que les 
bases de ces cônes creux se touchent presque du côté de la char- 
nière , elles se trouvent à une assez grande distance du côté du 
front. L’area cardinale est divisée en deux parties , auxquelles 
les branches principales de la spire sont soudées et dans la 


(1) Pour plus amples détails , on peut consulter l’admirable mémoire de 
M. A. Hancock, intitulé : On te anatomy of the Brachiopoda , très-récem- 
ment publié dans les Transactions de la Société Royale de Londres. 


Q 


8 LL. pe Konnex. — Mémotresur les genres et les SOus-genres 


rainure et au-dessous de l'extrémité du crochet, on remarque 
une apophyse calcaire , à laquelle se trouvait attachée l’autre ex- 
trémité du muscle cardinal (divaricator muscle). Un peu plus 
bas , la valve porte à sa surface, quatre grandes impressions 
produites par le musele adducteur (anterior et posterior ocelusor 
muscle de M. Hancock). Par conséquent , et quoique nous 
n’ayons pas pu distinguer parfaitement sur la grande valve des 
Spirifera , les impressions du divaricateur accessoire , et du muscle 
du pédicule ventral ou ajusteur, ni celle du muscle du pédicule 
dorsal ou ajusteur sur la petite valve, il est probable que ces 
muscles ont existé, mais qu'ils n’ont pas laissé subsister des 
impressions aussi bien déterminées que celles que l’on observe sur 
les valves correspondantes des Terebratula. 

Le sous-genre Spiriferina présente quelques caractères bien 
marqués, au moyen desquels il sera facile de le distinguer des 
Spirifera proprement dits. Malgré la ressemblance externe des 
coquilles de ces deux genres, la structure de celle des Spirifera 
ne présente pas de traces du système de canaux ou de perforations 
dont est criblée la coquille de toutes les espèces de Spiriferina 
actuellement connues (1). 

IL est probable qu’à ce caractère s’en ajoutaient d'autres pro- 
venant de modifications importantes dans la structure de Fanimal , 
mais dont l'existence serait difficile à prouver , dans l’état actuel 
de la science ; cependant, on peut jusqu'à un certain point, 
tirer cette conclusion, de la différence de conformation des parties 
internes de la grande valve ou valve ventrale, car il existe chez 
toutes les espèces de Spiriferina entre les plaques dentales ou 
rostraies divergentes une cloison médiane très - développée que 
l’on n’observe jamais chez les Spirifera et qui servait d’attache au 
muscle adducteur. 

Quoique les Spériferina soient beaucoup plus rapprochés des 
Spirifera et peut-être aussi des Suessia que d'aucun autre genre, 
on peut cependant les conserver avantageusement comme coupe 
particulière, par les raisons que nous venons d'indiquer , afin d'y 
introduire les espèces , qui outre le test perforé, possèdent encore 
une crète médiane bien développée à l’intérieur de la valve 
ventrale. 


(1) Voir les additions à la fin du Mémoire. 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux , etc. 9 


Dalman a créé le sous-genre Cyrtia pour y introduire les 
formes de Spirifera , dont le pseudo - deltidium de la grande valve 
est percé d’une ouverture circulaire. L'auteur n’a fourni aucun 
renseignement sur la structure interne de ses deux espèces 
typiques , le Cyrtia exæporrecta et le C. trapezoïdalis. Après 1827, 
différents auteurs ont rapporté au genre Cyrlia plusieurs autres 
espèces que celles que je viens de citer ; parmi celles-ci, il s’en est 
trouvé dont la coquille était perforée, tandis que les espèces de 
Dalman n'ont pas le test ponctué, pas plus que les Spirifera 
proprement dits. 

Ce n'est que tout récemment que je suis parvenu à découvrir 
quelques uns des caractères des espèces suivantes : C. exporrecta ; 
C. trapezoïdalis , C. Murchisoniana; C. cuspidata ; C. heteroclyta ; 
C. Demarlii et C. septosa. Il résulte de mes recherches , que 
chez les quatre premières , qui appartiennent au genre de Dalman, 
les caractères internes sont semblables , mais différents de ceux 
des trois dernières. Celles-ci ne peuvent donc pas être convenable- 
ment retenues dans le même groupe, ni conserver le même nom 
générique , car il est évident , que des différences considérables 
dans larrangement des plaques de la valve ventrale, ont dü 
occasionner des différences importantes dans les parties molles 
de l'animal. En conséquence, J'ai proposé (au moins provisoirement) 
de former un sous-genre du groupe dont font partie les C. hete- 
roclyta , C. Demarlit, C. septosa, C. dorsata et probablement 
aussi le C. carbonaria et de le désigner sous le nom de Cyrtinu , 
en conservant celui de Cyrtia pour les espèces analogues aux 
C. exporrecta, C. Murchisoniana , etc. ; cependant il est néces- 
saire de faire observer , que le genre de Dalman est lui-même 
fondé sur un caractère de si peu d'importance , qu’il y aura lieu 
d'examiner par la suite, sil devra être conservé, ou si on 
devra le considérer comme synonyme du genre Spirifera de 
Sowerby. 

Chez les Cyrtia une petite dent cardinale se trouve placée de 
chaque côté et à la base de la fente ; cette dent est soutenue par 
des plaques calcaires verticales, qui s'étendent en divergeant, 
depuis l'extrémité du crochet , où elles servent de parois à la 
fente , jusques vers le tiers environ de la longueur de la valve, 
absolument comme cela a lieu chez un grand nombre de Spirifera. 
Les Cyrtia, pas plus que les Spirifera , ne possèdent d’arête 
médiane ou septum ; seulement le pseudodeltidium qui recouvre 

2 


10 L. ne Koninex. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


la fente , est généralement, mais non pas toujours, percé d'un 
trou circulaire produit par un prolongement tubulaire ainsi 
qu'on le remarque sur certains échantillons chinois du Cyrtia 
Murchisoniana, de Kon. (1). 

Les appendices spiraux de la petite valve sont dirigés en dehors, 
et remplissent à peu près la cavité de la coquille ; leur mode 
d’attache est parfaitement identique à celui des Spirifera. En 
conséquence , les Cyrtia ne peuvent être distingués des Spirifera 
que par leur pseudodeltidium et l'ouverture qu'il possède; ces 
caractères sont à peine suffisants pour permettre de les ériger en 
sous-genre, 

Chez les Cyrtina on n'observe pas les arêtes divergentes ci-dessus 
décrites , mais en revanche, on trouve à l’intérieur de leur valve 
ventrale, deux cloisons contiguës et verticales, qui se trans- 
forment en une plaque unique médiane , s'étendant de l'extrémité 
du crochet jusqu'à une petite distance du bord frontal et se 
bifurquant ensuite pour former les plaques dentales , d’une façon 
tout-à- fait analogue à celle que l’on observe chez les Pentamerus 
(PI. IT, fig. 2). La fente est recouverte d’un pseudodeltidium 
voûté ; néanmoins M. Bouchard a fait l'observation , que chez le 
C. Demarlit , la cloison médiane s’étend jusque contre le pseudodel- 
üidium, (PI. I, fig. 15), en sorte que les plaques dentales sont 
soudées aux côtés du septum au lieu de l'être à sa partie supé- 
rieure , comme chez les C. heteroclyta et septosa. La conformation 
interne de la petite valve, ne m'est connue que par le moule 
interne que j'ai représenté PI. IL , fig. 1. Cet échantillon démontre 
que les impressions musculaires de cette valve sont en tout sem- 
blables à celles des Spirifera , et que la valve elle-même ne possède 
pas de septum analogue à celui des Pentamerus. La ressemblance 
avec ce dernier genre, consiste plutôt dans la disposition du 
septum médian, et des plaques dentales convergentes ou dentales 
de la valve ventrale. 

Comme jusqu’à présent, on n’y a pas encore découvert des 
traces de spire, ilest impossible de donner une définition exacte 
et définitive de ce genre ou sous-genre ; il est à espérer que les 
personnes qui habitent des districts où l’on rencontre certaines 
espèces de Cyrtina, cherchent à en compléter la conformation 


interne. 


(4) Voir mes observations sur le ©. distans, Sow., à la fin du Mémoire, 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. À 


Un autre sous-genre qui mérite aussi notre altention , a été 
créé par M. E. Deslongchamps , sous le nom de Suessia ; mais 
comme ses caractères internes ne sont encore qu'imparfaitement 
connus , il sera nécessaire d'attendre des renseignements ultérieurs, 
pour décider s'ils sont suffisants pour le maintenir à l’état de 
genre ou de sous- genre. Les deux branches qui servent à former 
le cône spiral, sont reliés ensemble par une petite bandelette 
transverse et calcareuse , du milieu de laquelle s'élève une autre 
petite lamelle se dirigeant vers le fond de la valve. Les espèces 
qui forment ce petit groupe, possèdent une plaque cardinale 
extraordinairement grande , ainsi que deux appendices d’une 
conformation singulière, lesquelles, prenant naissance sur les 
bords des fossettes cardinales , se dirigent vers l’intérieur de la 
valve. Aucun autre genre appartenant à la famille des Spiriferidæ 
n’a encore offert une semblable conformation. 

Notre second groupe comprend provisoirement un certain 
nombre d’espèces ayant la forme des T'ercbratula ; dépourvues d’une 
area bien marquée, à ligne cardinale, courbe, à crochet entier, 
ou tronqué , percé d’un trou circulaire ayant servi de passage au 
pédoneule permanent ou temporaire, et à appendices spiraux 
dirigés en dehors, comme chez les Spirifera , mais reliés au 
moyen d'un système de lamelles plus compliqué que chez ces 
derniers. Néanmoins, il reste encore bien des choses à découvrir, 
relativement à l'organisation intérieure de la plupart des espèces 
de ce groupe , avant que nous puissions avoir l’espoir de le diviser 
en sections satisfaisantes et définitives. 

Quoique le genre Afhyris ait attiré depuis plusieurs années, 
l'attention des paléontologistes, ce n’est que depuis peu que lon 
ait pu établir tous les caractères importants qui le distinguent. 
La forme extérieure des espèces est extrêmement variable; elle 
est circulaire ou anguleuse , allongée ou transverse , lisse, striée 
ou costulée ; quelques espèces ont toute leur surface externe 
couverte de plaques concentriques ayant souvent plus d’un pouce 
de largeur, tandis que d’autres portent un grand nombre de rides 
écailleuses qui se prolongent en une infinité de longues épines 
rayonnantes légèrement aplaties ; ces ornements sont quelquefois 
tellement serrés, qu'il est impossible de distinguer la moindre 
partie du test. 

Le crochet de la grande valve est quelquefois tellement recourbé, 
sur la petite valve, que pendant long-temps on s'était imaginé 


12 L. DE KoniNck. — Mémotre sur les genres et les sous-genres 


à tort, que les espèces de ce genre étaient dépourvues d'ouverture. 
Cest par suite de cette erreur que M. M’Coy proposa pour ce 
groupe le nom générique d'Athyris, dont Pétymologie semble 
impliquer une coquille non perforée (1). Ii est toutefois certain 
que la plupart des espèces et des échantillons sont garnis d’un 
crochet tronqué et d’une ouverture circulaire, de sorte que l’on 
doit en conclure nécessairement , qu'à certaines époques de sa 
vie, l’animal, suivant les circonstances partieulières dans lesquelles 
il se trouvait , avait la faculté de devenir libre, par suite de la 
forte courbure que prenait son crochet et de limpossibilité où 
celui-ci se trouvait de continuer à donner passage aux fibres 
pédonculaires. 

Les dents cardinales de la grande valve, sont soutenues par 
des arêtes calcaires verticales et la partie de la surface interne 
de la valve comprise entre ces arêtes et celle qui se trouve en 
dessous , est couverte d’impressions musculaires. Le muscle, qui 
avait pour fonction de fermer la coquille, ‘a laissé une impression 
médiane étroite , allongée et cordiforme ; au - dessous de celle-ci 
et sur ses côtés , on observe les impressions des muscles cardinaux , 
c’est-à-dire de ceux qui servaient à ouvrir la coquille. Les im- 
pressions du muscle pédiculaire ou de celui qui sert à fixer la 
valve ventrale (ventral adjustor muscle ) sont également très- 
visibles de chaque côté de celles du muscle abducteur ;. de sorte 
qu’il semble que les impressions musculaires , se trouvent placées 
dans cette valve des Athyris d'une manière parfaitement analogue 
à celles que porte la valve correspondante des Terebratula , 
quoiqu'il soit impossible d’apercevoir la moindre trace des muscles 
divaricateur accessoire et capsulaire ou pédoneulaire ; mais il 
est bon de faire remarquer que ces impressions ne sont pas 


toujours três-distinctement visibles sur les valves des Tere- 
bralula. 


(1) M. Phillips avait proposé le nom de Cleiothyris plusieurs années avant 
celui adopté par M. M’Coy ; son étymologie rencontre les mêmes objections 
que celle d’Athyris. La plupart des auteurs du continent, n'adoptent ni l’un 
ni l’autre de ces noms et préfèrent celui de Spirigera proposé bien plus 
récemment par d'Orbigny. J'aurais volontiers suivi leur exemple , si dans ce 
cas comme dans bien d’autres, des naturalistes n'avaient pas conservé des 
noms impliquant des contradictions zoologiques. ( Si M. Davidson avait été 
conséquent avec lui-même, il aurait dû remplacer le nom d’AtAyris par celui 
de Cleiothyris, qui est le plus ancien : c’est ce que je propose. L. pe K.). 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , ete. 15 


À l'intérieur de la petite valve , la plaque cardinale est garnie 


de quatre dépressions ou fossettes , qui ont servi de points 
d'attache aux muscles ajusteurs dorsaux ou du pédoncule dorsal, 
et qui ont servi , selon M. Hancock, à mouvoir la coquille sur 
le pédoncule et à la fixer. 

Cette plaque cardinale est également percée tout près de son 
sommet (sous le crochet), d’une petite ouverture circulaire , 
qui dans certaines espèces est en communication avec un petit 
tube cylindrique, lequel, prenant naissance sous le plateau 
cardinal , s'étend longitudinalement , libre et courbé , jusqu’au 
üers environ de la longueur de la valve. La surface interne de 
la valve est divisée au moyen d'un petit sillon longitudinal et 
porte visiblement les impressions ‘de l’adductor longus anticus 
de M. Owen ( anterior occlusor de M. Hancock); mais je n'ai 
jamais pu apercevoir les impressions du posterior occlusor sur 
aucune des nombreuses valves que j'ai eu occasion d'examiner. 
Il est probable que le muscle oceluseur a quatre attaches dans cette 
valve , comme chez les Terebratula et autres genres. De chaque 
côté de la plaque cardinale, déjà décrite et de son ouverture, 
il existe une plaque calcaire, placée à un niveau supérieur , et 
formant l'extrémité interne des rebords des fossettes. Ces deux 


appendices s’allongent et don- 
nent naissance ( en servant de 
points d'attache ) aux deux la- 
melles (a) qui , en se contour- 
nant de chaque côté, forment 
les spires, ainsi que l’appareil 
intermédiaire servant à les réu- 
nir. Les lamelles spirales , dis- 
posées verticalement au plan 
dela valve, convergent d’abord, 
puis à une petite distance de 
leur origine se recourbent su- 
bitement sur elles-mêmes en 
se dirigeant en dehors et en 
arrière (b) pour former un 
demi-cerele ; celui-ci passe en premier lieu près des fosseties (b), 
ensuite se dirige vers le fond de la valve (0, c) pour se recourber 
de nouveau et produire ainsi le premier des sept ou huit tours 
dont chaque cône est composé. Des deux premières lamelles 


4 EL. be Koninck. —- Hfémure sur les genres ct les sous-genres 


spirales , il surgit perpendiculairement deux autres lamelles se- 
condaires ( 0, d ) lesquelles s'étant recourbées , se relient entre 
elles, vers le milieu de la coquille (d) et entre les deux cônes 
spiraux , en ne donnant lieu qu'à une seule branche(dedàe). 
Celle-ci, après avoir atteint le niveau supérieur de la spire (àe), 
se bifurque de nouveau, pour donner naissance à deux autres 
lamelles (f) recourbées en demi-cercle et se terminant librement 
en arrière (g) entre le premier et le second tour de chaque cône 
spiral. 

Telles sont au moins les dispositions de la spire et des autres 
parties internes de l’Afhyris pectinifera , et il est probable qu’elles 
sont les mêmes pour tout le groupe ; néanmoins il serait trés- 
important de savoir si les À. concentrica et Royssii et quelques 
autres espèces du même genre, ont la même organisation, 
surtout , qu'il a été avancé , que les caractères internes du 
test sont les mêmes chez ces deux espèces que je viens de 
nommer (1). 

Le genre Merista a été proposé par M. Suess pour désigner 
certaines espèces analogues aux Athyris, mais qui offrent quelques 
dispositions internes spéciales , ne se retrouvant pas chez ces 


(4) Quoique les impressions musculaires de la grande valve des Athyris ou 
Spirigera soient en général bien visibles, et aient été figurées correctement, 
et parfaitement décrites , néanmoins celles de la petite valve sont rarement 
distinctes. Les cicatrices produites par le muscle adducteur ou occluseur 
antérieur , ont été indiquées par Bouchard dans l’Athyris concentrica ; mais 
les impressions de la paire postérieure n’ont pu êlre reconnues sur aucune 
des nombreuses valves qu’il avait en sa possession. Il est cependant probable, 
pour ne pas dire certain, que chez cette espèce, comme chez toutes celles 
du même genre , l’adducteur ou occluseur avait quatre points d'attache à la 
valve ventrale. 

Le Docteur Sandberger a représenté les impressions musculaires des deux 
valves de l’Athyris undala ; son dessin laisse cependant à désirer et ne 
comporte pas en tout cas, l'exactitude , qu'offre celle qui nous est fournie par 
plusieurs moules internes silidifiés de l'AtAyris ambigqua trouvés dans le 
calcaire carbonifère de Bakewell (Derbyshire ) et faisant partie de la collection 
du Muséum de Géologie pratique. La PI. IX, fig. 14 et 15, en reproduisent des 
dessins grossis. 

Je donne également une figure de la disposition interne de la valve dorsale 
de ce même Athyris, afin de démontrer qu'elle ést la même que celle in- 
diquée dans VA, pectinifera et qu'il ne peut y avoir le moindre doute 
que cette conformation ne soit la même pour toutes les espèces du genre. 
(PI. IT, fig. 16.) 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. 15 


dernières. Il est toutefois certain , que, dans leur jeune âge, les 
Merista ont été garnis d’un trou circulaire qui a servi de passage au 
pédoncule et que cette ouverture a été fermée à un âge plus avancé, 
à cause de l’incurvation du crochet. L'intérieur de la grande valve 
diffère de celui des Athyris, en ce qu’il renferme une plaque 
arquée où processus, située entre les plaques dentales ; et celui de 
la petite valve de ce genre , par l'absence d'une plaque cardinale 
régulière, cette partie de la coquille étant partagée en deux au 
moyen d'un petit canal, d'où s'élève une grande et profonde 
cloison longitudinale ou septum , occupant à peu près les deux 
tiers de la longueur de la coquille , tandis que chez les Athyris 
on ne remarque qu’un faible sillon. 

Les appareils spiraux sont fixés aux prolongements des rebords 
des fossettes ; leurs extrémités sont dirigées en dehors ; comme 
jusqu'ici, on n’a pas encore pu observer nettement la structure 
des appendices internes , il est à désirer que l’on fasse des re- 
cherches ultérieures, afin d'arriver à une restauration complète 
de ces appareils. Le test des Athyris et des Merista n’est pas 
ponctué (1). 

M. King a appliqué le nom de Relzia à certaines coquilles 
terebratuliformes , possédant une petite area cardinale, un 
crochet tronqué et une ouverture cireulaire en partie formée au 
moyen d'un deltidium bien distinct. Ses spires ont leurs ex- 
trémités dirigées en dehors et le test est ponctué. Des recher- 
ches ultérieures sont nécessaires avant de pouvoir représenter 
d’une manière exacte, les détails de la structure interne de ces 
coquilles. 

Aux pages 207-218 du troisième volume de la Paléontologie 
de New-York, M. J. Hall a proposé deux nouveaux genres 
ou sous-genres , sous les noms de Trematospira et Nucleospira ; 
mais comme je ne connais aucune des espèces qui s’y rappor- 


(4) Les impressions musculaires de la grande valve des ÆMerisia sont sem- 
blables à celles des AfAyris, mais on ne connaît pas encore parfaitement celles 
de la valve opposée. La présence d’une plaque cardinale n’est pas absolument 
indispensable pour l'insertion des muscles dorsaux pédiculaires ou dorsaux 
ajusteurs , puisque M. Hancock a fait l'observation , que chez la Waldheimia 
Cranium et chez la Terebratulina Caput-Scrpentis, les muscles dorsaux ajus- 
teurs ne sont pas attachés à une plaque cardinale, mais insérés dans la 
valve même et que chez une espèce peu différente de la WW. australis les 
muscles divaricateurs et divaricateurs accessoires sont réunis. 


16 L.pe Koxincx. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


tent, et comme je ne possède pas les planches qui les repré- 
sentent, je dois me borner à fournir des extraits des descriptions 
faites par l'auteur. 

Les Trematospira sont des coquilles terebratuliformes , ayant 
leurs spires disposées comme celles des Spirifera ; leur crochet 
est tronqué et percé d’une ouverture circulaire , qu’un deltidium 
sépare du bord cardinal; ils seraient donc identiques aux Retzia, 
s'ils n’en différaient par leur forme extérieure et quelques autres 
caractères. L'auteur attache une grande importance à la présence 
d’une fossette triangulaire profonde placée au-dessous du crochet 
de la grande valve , et comblée par le crochet faiblement recourbée 
de la valve opposée ; mais comme de l’aveu même de M. Hall, 
l’état de l’échantilion ne permettait pas d'obtenir des renseigne- 
ments satisfaisants sur sa structure interne , le genre ne peut 
pas être considéré comme suffisamment bien établi. 

Les Nucleospira sont des coquilles de forme sphæroïdale ou 
transversalement elliptique , possèdant des spires analogues à 
celles des Spirifera ; le crochet de leur grande valve se recourbe 
au- dessus de [a valve opposée ; en-dessous de ce crochet on 
observe une petite dépression ou area donnant parfois lieu à la 
formation d’une fossette peu profonde; une côte ou cloison étroite 
s'étend à l'intérieur de la valve, le long du centre, depuis le 
crochet jusqu’à la base; la valve dorsale possède un appareil 
cardinal solide , en forme de spatule , lequel s’élevant verticale- 
ment du bord cardinal, est fortement saisi à sa base par les 
dents cardinales de la valve opposée et ensuite, se courbant 
subitement vers le haut en s’élargissant, se rend dans la cavité 
de la valve ventrale ; le milieu du côté supérieur de cet appareil, 
possède une rainure ou une dépression , destinée à servir de 
passage à un pédoneule, qui traverse la petite ouverture dont 
le crochet est parfois garni. 

L'appareil brachial supportant les spires, prend son origine 
sur les côtés de l'appareil que nous venons de décrire, au-dessus 
de la jonction des dents de la valve opposée et du point où il se 
recourbe. Une cavité profonde située en-dessous de la charnière, 
s'étend jusqu’au crochet dorsal, d’où s'élève une mince cloison 
qui atteint la base de la coquille. Un faible espace, de forme 
ovale, reçoit les empreintes musculaires. Le test a une texture 
ponctuée et lorsqu'il est bien conservé, sa surface est cou- 
verte de petites épines piliformes. Je renvoie au reste le 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , elc. 17 


lecteur au magnifique ouvrage de M. Hall, où il trouvera une 
excellente description des diverses espèces (1). 

On n’a encore découvert qu'une ou deux espèces du genre 
Uncites et leur structure interne n’a pas encore été élucidée à mon 
entière satisfaction. La coquille est de forme ovale allongée ; Je 
crochet de la valve ventrale cst long, conique, recourbé à son 
extrémité , creux et tronqué dans le jeune âge et muni d’une 
petite ouverture ovale (PI. I, fig. 25, F.) ; il n'existe pas de 
vraie area ; l'ouverture est en partie fermée par un grand deltidium 
concave , qui s'étend jusque vers le bord cardinal ; les côtés du 
crochet de chacune des deux valves se prolongent quelquefois 
intérieurement et produisent alors de profondes dépressions ou 
poches ouvertes à l'extérieur, mais n'ayant aucune communi- 
cation directe avec l’intérieur (PI. I, fig. 23 et 24, g.}). Les 
impressions musculaires ne sont pas encore connues et l'existence 
d'appareils spiraux n’a encore été constatée que sur un seul 
échantillon bien imparfait (PI. I, fig. 25, L. ). 

Le troisième groupe ne comprend jusqu’à présent qu’un seul 
genre, auquel Dalman a donné le nom d’Atrypa, parcequ'il a 
eru que les coquilles étaient privées d'ouverture ; néanmoins, 
et quoique l'ouverture soit oblitérée dans certains échantillons à 
cause de la forte courbure de leur crochet, on peut souvent en 
observer l'existence, non seulement sur des jeunes individus , mais 
encore sur d'autres qui ont atteint leur plus complet développe- 
ment; dans ce cas, elle est séparée de la ligne cardinale au 
moyen d’un deltidium bien prononcé. Il résulte de ceci, que le 
nom d’Afrypa ne convient pas pour désigner les coquilles de ce 
genre ; si on le conserve , il est nécessaire de faire abstraction de 
son origine et de le considérer comme une simple dénomination, 
sans signification aucune. Sur le continent on remplace souvent le 
nom d'Atrypa par celui de Spirigerina ; un grand nombre d'auteurs 
donnent néanmoins la préférence au premier , à cause de sa 
priorité. Les espèces de ce genre ont été bien étudiées, et leur 
structure interne est presque complètement connue. La coquille 


s 


(1) La figure de l'espèce qui semble avoir servi de type à l'établissement 
de ce genre, a une telle ressemblance avec certains échantillons de l’Afhyris 
Roissyi, que je ne serais nullement surpris d'apprendre, que ce fut de cette 
espèce dont M. Hall s’est servi dans cette circonstance, 


L, pe Ko. 


Pr 


d 


18 L.pne Konncex. — Mémoire sur les genres ei les sous-genres 


est de forme circulaire , allongée ou transverse ; sa surface est 
lisse ou diversément plissée et couverte d’un grand nombre de 
lames imbriquées, produites par l’accroissement successif et se 
transformant quelquefois en longues épines tubuleuses ou en 
expansions foliacées qui s'étendent souvent au-delà des bords. A 
l'intérieur de la grande valve et à la base des dents , se remarque 
de chaque côté une crète semicireulaire, servant de limite à une 
dépression ayant la forme d’une soucoupe ouverte du côté du front. 
Cet espace est entièrement couvert d'impressions musculaires, 
le muscle adducteur ou occluseur , donne lieu à une petite im- 
pression médiane , de forme ovale allongée ( PI. TL, fig. 27, AD: 
A côté de celle-ci se trouvent deux impressions plus larges pro- 
duites par les muscles cardinaux ou divaricateurs (Ibid. R ), 
lesquelles à leur tour sont flanquées de celles du muscle pédi- 
culaire ventral ou ajusteur (Ibid. P. ). Cette disposition est très- 
analogue à celle qui s’observe chez les Terebratula, les Rhynchonella 
et d’autres genres de Brachiopodes articulés. L'intérieur de la valve 
dorsale ne porte pas de lame cardinale distincte, mais les fossettes 
sont larges et sur leurs bords se trouvent implantés deux petits 
cylindres qui donnent naissance à deux larges lamelles spirales 
( PI. I, fig. 26 et 28 ) qui se contournent pour former deux 
grands cônes creux serrés l’un contre l’autre , et ayant leurs 
extrémités dirigées vers le fond et le centre de la valve. A l’in- 
térieur de la valve, la quadruple impression du muscle adducteur 
ou occluseur antérieur et postérieur est séparée au milieu, par 
une petite crête longitudinale (PI. I, fig. 29, À }. Tous ces 
caractères seront beaucoup mieux compris par un coup d'œil 
jeté sur nos figures que par la description la plus détaillée. 

Le genre Koninckina a élé créé par M. Suess pour une coquille 
remarquable, qui pendant longtemps a été placée parmi les Pro- 
ductus. ŒElle est concavo-convexe, très-déprimée , à crochet 
assez développé et recourbé ; on ne lui connaît pas de charnière 
articulée. La petite valve est concave extérieurement , convexe à 
l'intérieur ; les bras oraux étaient soutenus par deux faibles 
lamelles spirales, formées de quatre tours espacés se dirigeant vers 
Pintérieur et à peu près parallèles au plan de la coquille. On n’en 
connait pas encore les impressions musculaires , mais celles 
des vaisseaux sont fortement marquées sur la petite valve 
(PL. F, fig. 35 et 56). 

Le Docteur G. Sandberger a proposé le genre Anoplotheca pour 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux, etc, 19 


une coquille qu'il considère comme rapprochée des Koninckina , 
mais qui s'en distingue néanmoins par quelques caractères. Les 
coquilles de ce genre sont concavo- convexes et ne possèdent ni 
area , ni deltidium. Le mode d'attache des spires n’est qu'im- 
parfaitement connu ; celles-ci sont composées d'environ dix tours; 
la base du cône qu’elles produisent , est inclinée sous un angle 
aigu sur le plan médian de la coquille ( PI. I, fg. 50), tandis 
qu'il lui est parallèle chez les Spirifera et perpendiculaire chez 
les Atrypa. Cette spire diffère de celle des Koninckina , par un 
plus grand nombre de circonvolutions. L'intérieur de la valve 
dorsale n’est pas garni de plaque cardinale ; les fossettes destinées à 
recevoir les dents de la valve opposée sont extraordinairement 
grandes et profondes ; elles sont séparées l’une de l'autre, par un 
appareil cardinal , d’une forme toute particulière , au-dessous 
duquel on remarque une petite dépression ovale, bordée d’une 
crête élevée , dont l'usage n'a pas encore été expliqué. A côté de 
celle-ci, se remarque la quadruple impression du muscle 
adducteur (Ibid. A), ou occluseur antérieur et postérieur, partagée 
dans son milieu par un sillon , qui occupe une grande partie du 
fond de la valve, On n’a pas encore pu bien observer les im- 
pressions musculaires de la grande valve ; elles sont au nombre 
de quatre principales à peine visibles et que M. Sandberger à 
attribuées au muscle adducteur, mais que , afin de les interprêter 
d'une manière analogue aux observations faites sur d’autres genres, 
nous rapporterons en partie au muscle adducteur et en partie 
au muscle cardinal où divaricateur de M. Hancock ; les deux 
plus petites situées de chaque côté du sillon médian appartien- 
draient au premier et la troisième un peu plus grande que les 
deux autres, serait produite par le dernier , dont l’autre extrémité 
aurait été fixée à l’apophyse cardinale de la petite valve. Ni l’une, 
ni l’autre valve n'ont offert des traces de l'impression produite 
par le muscle pédiculaire. Des recherches ultérieures seront 
nécessaires, afin de déterminer d’une manière précise , le point 
d'attache des appendices spiraux. 

Le genre Davidsonia a été créé par M. Bouchard en faveur de 
quelques coquilles de la forme des Leptæna , mais qui possédent 
la faculté de s'attacher par une partie plus ou moins grande de 
leur valve ventrale, aux corps sous-marins avec lesquels elles 
ont vécu. Leur forme est transverse-ovale; leurs valves sont 
inégalement épaisses ; leur area est droite et divisée par une fente 


20 L.pE Konixer. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


entièrement recouverte d’un pseudo -deltidium convexe. A l’inté- 
rieur de la valve ventrale ou adhérente , au-dessous et entre 
les extrémités des dents , on remarque les impressions du muscle 
adducteur (PI. T, fig. 84, A), sur les côtés desquelles se trouvent 
les impressions plus grandes des muscles cardinaux (Ibid. R ). 
On aperçoit facilement sur la petite valve , le bourrelet qui recoit 
les fossettes cardinales , entre lesquelles se trouve une petite 
apophyse médiane servant de point d'attache aux muscles cardinaux 
(PI. 4, fig. 55, J.). En dessous de cette apophyse se trouve 
la quadruple impression du muscle adducteur (Ibid. A), de 
sorte que les deux séries de muscles destinés à ouvrir et à 
fermer les valves, sont ici au complet. 

On n’a pu encore observer de trace d’impressions des muscles 
ajusteurs , qui ont pu exister où ne pas exister chez des espèces 
non perforées à ligne cardinale droite ; néanmoins j'en ai trouvé 
les empreintes sur les esnèces de Strophomena munies d'une 
ouverture servant de passage au pédoncule, sur le S. analoga , ete. 
Le caractère le plus important des Davidsonia, consiste dans la 
présence à l'intérieur de la valve ventrale, de deux élévations 
coniques , plus ou moins fortement prononcées, dont les parties 
latérales et frontales laissent voir les traces de 5 ou 6 sillons 
sémicireulaires ou spiraux ; ces sillons sont tous de longueur 
différente et ils sont d'autant plus courts qu'ils se rapprochent 
d'avantage du sommet des cônes ( PI. E, fig. 44). M. de Koninck, 
à qui l’on doit la découverte de la petite valve, y a observé deux 
fossettes coniques, correspondant aux cônes de la valve adhérente 
et séparées l’une de l'autre par une arête arrondie ( PI. F, fig. 55). 
L'usage de ces cônes a été diversément interprété, mais l'opinion 
la plus probable consiste à admettre qu'ils sont le résultat de 
la secrétion du manteau , lequel leur a transmis en quelque 
sorte les impressions des tours de spire qui le comprimaient 
lui-même. 

J'ai exprimé cette opinion dans les éditions anglaise, française 
et allemande de mon Introduction générale sur les Brachiopodes ; 
mais alors je supposais que les bras spiraux étaient libres comme 
chez les Productus , les Strophomena ; etc. Depuis lors, M. de 
Koninck a découvert chez les Davidsonia deux lamelles spirales , 
fixées aux bords cardinaux de la petite valve, formant quelques 
tours verticaux et ayant de la ressemblance avec ceux que 
l’on observe chez les Atrypa; seulement ils ne sont pas aussi 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux, etc. 21 


fortement comprimés l’un contre lautre comme chez ces 
derniers. 

Tel est l’état de nos connaissances relativement aux bras spiraux 
et leur support calcareux. Malgré le grand nombre de découvertes 
concernant cette partie, il restera encore beaucoup à faire , avant 
de pouvoir donner des restaurations complètes de l'intérieur d'un 
certain nombre de sous-genres et d'espèces dont on a proposé 
l'admission; mais je suis convaincu qu'il ne se passera pas un 
temps bien long avant que l’on ne soit en possession des matériaux 
qui nous manquent ; il est impossible que les eflorts tentés par 
un grand nombre de paléontologistes dont le zèle égale le savoir, 
ne parviennent à compléter l’histoire d’une classe d'animaux qui 
sous tous les rapports excite le plus vif intérêt. 

Je termine cette notice par la liste de tous les Brachiopodes 
carboniféres anglais, munis d'appareils spiraux , destinés au 
support des bras buccaux. J'ai consacré à ces recherches, la plus 
grande partie de mon temps pendant ces deux dernières années 
et je suis arrivé à ce résultat, que les 125 espèces environ , que 
l'on croyait se trouver dans les couches carbonifères des Îles 
britanniques, se réduisent à 42 ou 43 seulement. Tout le reste se 
compose d’espèces dont l'existence n’a pas été positivement re- 
connue chez nous, ou d'espèces carbonifères qui ont été confon- 
dues avec des espèces dévoniennes ou rapportées à d'autres genres 
qu'à ceux auxquels elles appartenaient (1). Parmi ces 43 espèces 
même, il s’en trouve quelques unes qui exigent des recherches 
ultérieures , afin de décider , si elles ne sont pas des variétés 
d'espèces antérieurement décrites. IL est donc probable, qu'il 
résuitera de cet examen, que le nombre ci-dessus indiqué devra 
encore être réduit, par suite de la suppression de quelques 
unes de ces espèces et de leur réduction au rang de simple 
variété. 

Certains naturalistes et géologues ont lancé des reproches 
souvent mérités contre les fabricants d'espèces {species - makers ) 
et je serai le dernier à nier que cet abus de la nomenclature n'ait 
pas apporté un grand obstacle à l’avancement de la science ; 
mais il me sera également permis de faire observer, que les 
difficultés que l’on rencontre à différentier les caractères et à 


(1) On en trouve la liste dans ma Monographie des Brachiopodes carboni- 
fères de l'Angleterre , publiée par la Société Paléontographique. 


22 L. ne Konincx. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


déterminer les limites réelles d’une espèce , sont beaucoup plus 
grandes, que ne peuvent se l’imaginer les personnes qui ne sont 
pas familiarisées avec Île sujet , ou d’autres qui, par suite de 
circonstances locales ont été assez heureuses pour découvrir cer- 
tains passages de formes qui servent à confondre une ou plusieurs 
soi-disant espèces , dans une espèce unique et déjà connue. 
J'applaudis aux efforts de ces personnes et je suis toujours heureux 
de rectifier les erreurs que j'ai pu commettre , n’ayant d'autre but 
que lavancement de la science à laquelle j'ai consacré environ 
25 années de mon existence. 

Les espèces carbonifères des Iles britanniques , se rapportant 
aux genres Spirifera , Spiriferina , Cyrtina, Athyris et Retzia 
actuellement connues, peuvent-'être provisoirement classées dans 
l'ordre suivant : 


4. SpiriFerA srRtatTA, Martin, sp. Petr. Derb. tab. xxtrr, 1809 ; Dav. Brit. 
foss. Brach., part V, pl. 2, fig. 12-91 ; pl. 5, fig. 
2-6 — T. spirifera, Lamk. — attenuata ; J. de 
C. Sow. — princeps et clathrata, M'Coy. Cette 
espèce doit être considérée comme le type du 
genre. 

2. —  MOSQUENSIS, Fischer de Waldh., Progr. sur le Choristite. p. 8, 
N° 4, 1825; Dav. pl. IV, fig. 13, 14et pl, xur, 
fig. 16. — Sowerbyi et Kleinis, Fischer ; — incisa, 
Goldfuss , — choristiles, v. Buch.; — priscus, 
Eichwald. Cette espèce est plus rare que la pré- 
cédente et se trouve principalement en Irlande. 


5. — numMErOsA, Phillips, Geol. of Yorks., vol. II, pl. XI, fig. 8, 
1856 ; Dav. pl. IV, fig. 15 , 16. 
À, —  pupLicicosTA, Phillips. Geol. of Yorks., vol. II, pl, X, fig. 4, 


1856 ; Dav. pl. IT. fig. 7-10 et pl. IV, fig. 5, 
5-11; — fasciger, Keyserling ; — fasciculata , 


M’Coy. 
N. B. Toutes ces espèces ont beaucoup de rapports 


entre elles. 

CNE —_ crAssa. DE Konincx, Anim. foss, de la Belg., pl XVbis, 
fig, 5, 1845 ; Dav. pl. VI, fig. 20-22, pl. VII, 
fig. 1-5 ; — planicostata, M’Coy. Quelques auteurs 
regardent cette espêce comme synonyme du Sp. 
duplicicosta , d'autres la confondent avec le Sp. 
bisulcata et il est certain qu’elle possède quelque- 
fois beaucoup de ressemblance tantôt avec l’une 
et tantôt avec l’autre; toutefois par divers motifs, 
j'ai préféré la conserver comme espèce distincte. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , elc. 23 


Il est à désirer que l’on puisse rassembler un plus 
grand nombre d'échantillons que celui dont j'ai 
pu disposer , afin de déterminer les véritables 
caractères de cette espèce. 


6.  — PLANATA, Phillips, Geol. of Yorks., vol. II, pl. X, fig. 3, 
1856, Dav. pl. VII, fig. 25-56. Parait être une 
bonne espèce et facile à distinguer. 


? 1. —  Fusirormis, Phillips, pl. IX, fig. 10 et 41 ; Dav. pl. XIII, fig. 15. 
Un seul échantillon imparfait de cette espèce 
semble avoir été rencontré jusqu'ici; il se trouve 
dans la collection du British Muséum ; ses carac- 
tères et sa valeur spécifiques ne peuvent done pas 
être considérés comme définitivement établis ë 
il est à désirer qu’on en obtienne d’autres exem- 


plaires. 

8. — TRIANGULARIS, Martin, sp. Petrif, Derbiens., pl. XXXVI, fig. 2, 
1809; Dav. pl. V, fig. 16-24. — Ornythoryncha , 
M'Coy. 

9. — TRIGONALIS, Martin, sp. Petrif. Derb. , pl. XXXVI, fig. {, 1809 : 
Dav. pl. V. fig. 25-54, 

10. —  BISULCATA, Sow. Min. Conch. pl. CCCOXCIV, fig. 4, 2, 1825; 


Dav. pl. V, fig. 1; pl. VI, fig, 1-19 et pl. VII, 
flg. 4 ; — semi - circularis , Phillips; — calcarata, 
M’Coy ; — iransiens M'Coy. 


11. —  GCONVOLUTA , Phillips. Geol, cf Yorks. t. II, pl. IX, fig. 7, 1856 - 
Dav. pl. V, fig. 2-15 — (?) rhomboïdea, Phillips. 
J'ai quelques doutes relativement à cette espèce 
et celle que j’y rapporte comme synonyme: je 
vai pu étudier que trois ou quatre échantillons 
de l’espèce type et il est à désirer que l’on 
puisse vérifier si l'espèce de Phillips n’est pas 
une variété très-transverse, produite par des con- 
ditions exceptionnelles du Sp. bisulcata Sow. (1). 
42. — GRANDICOSTATA. M’'Coy, Brit. pal. foss., pl. III, D, fig. 29, 1855 ; 
Dav. pl. V, fig. 58, 39 et pl. VII, fig. 7-16. 
N. B. Toutes ces formes se rapprochent les unes 
des autres. 


(4) Je crois à cet égard pouvoir donner pleine satisfaction à mon savant 


ami et lui prouver par les figures de la pl. II de ce Mémoire , que ie Sp. ecn- 
volutus est une des meilleures espèces du genre et qu'il n’a aucun rapport 
avec le Sp. bisulcatus. 


L, DE KOon, 


24 L.oeKoniwcr. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


f 43, — LAMINOSA, M'Coy, Syn. Carb. foss. of Ireland , Pl. XXI, fig. 4, 


1844; Dav. pl. VII, fig. 17-22 — tricornis, 
de Koninck. Cette espèce paraît être très-bonne, 
mais on la trouve rarement en bon état en 
Angleterre et en Irlande (1). 

14, —_ GUSPIDATA, Martin, sp. Trans. Linn. soc. , pl. LIL, fig. 1-6, 
1796 : Dav. pl. VIII, fig. 19-24 et pl. IX, fig. 

À 1 et 2; — simplex, M'Coy, non Phillips. 

M 15 —  misraxs, Sow. M. C. pl. 494, fig. 3, 1825: Dav. pl. VIII, 

fig. 1-17. Je n’ai jamais rencontré un échantillon 

sur lequel le pseudodeltidium était parfaitement 
conservé , mais il résulte de l'inspection d’un 
moule interne provenant de la dolomie carbonifère 
de Breedon , que le pseudodeltidium du S. cus- 
pridata a été creusé d’une ouverture circulaire, 
semblable à celle que l'on observe chez les 

Cyrtia de Dalman; il est donc probable que cette 

espèce et la précédente appartiennent à la division 

de cet auteur (2). 

D 16. — MESOGONIA, M'Coy. Synopsis, pl. XXIL, fig. 13, 1844; Dav. 
pl. VIT, fig. 24. M. de Koninuk assure que c’est 
une bonne espèce, mais je n’ai jamais eu l’occasion 
de l’étudier en nature. 

N, B.—Les Sp. bicarinata, M’Coy, Synopsis pl. XXII, 
fig. 10; decemcostaia, M'Coy, ibid., fig. 9, et 
sub-conica, Martin, Petrif. Derb. pl. XLVII, 
fig. 6-8, 1809, sont des espèces très-douteuses 
et qui exigent des nouvelles recherches pour être 
admises (3). 

47. — Reenii, Dav. pl. V, fig: 40 - 47, 1857. 

48. —  TrirADIALIS, Phill. Geol. of Yorks., vol. II, pl. 10 , fig. 7, 1856 ; 
Dav. pl. IX, fig. 4 - 12 — trisulcosa et sexradialis, 
Phillips. 

19. — rINGUIS , Sow., Min. Conch., pl. CCLXXI, 1820 ; Dav. pl. X; 
fig, 1-12, — rotundata , Sow. (non Martin ) — 
subrotundata, M’Coy. J'aurais préféré adopter le 
nom de ro{undaia que Sowerby a donné à cette 


(4) C’est cette circonstance qui ne m’a pas permis de reconnaître dans 
une mauvaise figure qu’en a donnée M’Coy , l'espèce parfaitement intacte de 


Tournay et qui me l’a fait décrire sous un nouveau nom. 
L. p. Kon. 


(2) Voir ma note à la fin du mémoire. L. ». Ko. 

(5) L’inspection de l'échantillon figuré par l’auteur m'a prouvé que le Sp. 
bicarinatus est identique avec mon Sp. Roemerianus , dont il devient synonyme 
et le Sp. sub-conicus, me paraît être le jeune âge du Sp. cuspidatus. Je ne 


possède aucune dennée relativement au Sp. decemcosialus, 
L, p. Kow. 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux , etc. 95 


espèce, mais comme il a été appliqué à une 
autre, j'ai été obligé de conserver celui de ypin- 
guis. La forme désignée sous le nom de rolun- 
datus est la forme normale de l'espèce; celle 
plus particulièrement connue sous le nom de pin- 
guis, est composée de coquilles qui ont été arrêtées 
dans leur développement ou qui ne sont que des 
monstruosités. 

20. — ovazis, Phillips. Geol. of Yorks., vol. IL, pl. X, fig. 5, 
1836 ; Dav. pl. IX, fig. 20-26, — exarala, Fle- 
ming (?) — hemisphærica, M'Coy. 

21. — inrecriCosrA, Phillips. {Geol. of Yorks., vol. II, pl. X, fig. 2, 1856 : 
Dav. pl. IX, fig. 45-19? — rotundata, Martin ? — 
paucicostata ? M’Coy. 

N. B. Les espèces qui composent ce petit groupe, 
ont toutes beaucoup de rapports entre elles, et 
il est quelquefois fort difficile de distinguer les 
unes des autres, certaines variétés des trois der- 
nières , bien que la généralité des échantillons 
semblent différer passablement entre eux. 

—  RHOMBOÏDALIS, M'Coy, Synopsis, pl. XXII, fig. F1, 1844, Dav. 

pl. XII, fig. 6 et 7. 

‘&LABRA, Martin, Peirif. Derb., pl. XLVIIT, fig. 9 et 10, 1809 ; 
Dav. pl. XI, fig. 4 -9 et pl. XII, fig. 1-5; — obtusa 
et oblata, Sow. — linguifera, symmetrica et 
decora, Phillips. Le nombre des variétés de cette 
espèce vont à l'infini, de sorte que l’on peut à 
peine trouver un seul caractère distinctif per- 
manent. 

Uri, Fleming. Brit. animals , p. 576, 1828 ; Dav. pl. XIL, 
fig. 13, 14. 

—  CARLUKIENSIS, Dav., pl. XIII, fig. 14, 1857. 

— LINEATA , Martin. Petrif. Derb., pl. XXXVI, fig. 3, 1809 ; 

Dav. pl. XIIL, fig. 4-13. — imbricata, Sow. — 

reticulata, MCoy ; — elliptica et mesoloba, Phillips. 

Certains auteurs admettent les Sp. eliptica et 

lincata comme espèces distinctes. 

7. SPIRIFERINA CRISTATA, Schlotheim, sp. var. ocfoplicata , Sow. Min. Conch., 


19 
19 


ko 19 
(er 


ES 


= A, ne — 
© 6 
| | 


| pl. CCCCCLXIT, fig. 2-4, 1827: Dav. pl. VII, 
fig. 57-47 (1). 

| 28. ? iNSCULPTA, Phillips: Geol. of Yorks. ; vol. II, pl. IX, fig 2 

| et 3, 4836; Dav., pl. VII, fig. 48-55: — 


——_—_———— 


(1) En comparant avec soin l'espèce permienne , créée par Schlotheim sous 
le nom de Terebratuliles cristatus , avec les nombreux échantillons du Spirifer 
octoplicatus recueillis à Visé, je suis arrivé à me convaincre, que, con- 

À 


26 L. ne KoniNck. — Mémoire sur les genres eë les sous-genres 


\ crispa, de Koninck, non Linrœus ; — quin- 
queloba, M'Coy (2). 
2029; ? MINIMA, Sow. Min. Conch., pl. CCCLXXVIT, fig. 1, 1822; 


Dav. pl. VII, fig. 56-59, Je n'ai jamais vu 
d’autres échantillons de cette espèce, que les 
deux que possède M. Sowerby et je la con- 
sidère comme douteuse, aussi bien que le Sp. 
parlita de Portlock. Celte dernière devra pro- 
bablement être reléguée parmi les synonymes 
de l’une ou de l’autre des espèces précédentes. 

30. CyrTINA SEProsA, Phillips sp., Geol. of Yorks., vol. II, pl. XI, fig. 7, 
4836 ; Dav,. pl. XIV, fig. 1-10 et pl. XV fig. 1 
et 2, C’est une espèce très - intéressante, mais 
qui se trouve rarement avec Iles deux valves 
réunies. Parmi un grand nombre de fragments 
de cette espèce que j’ai reçus de M. Burrow, 
de Settle, en Yorkshire, j'ai été charmé de ren- 
contrer le moule interne de la valve dorsale, 
dont la structure n’était encore qu'imparfaite- 
ment connue jusqu'ici. Ce moule m'a démontré 
que les impressions musculaires de cette valve 
sont exactement semblables à celles des Spiri- 
fera, et qu’elle est dépourvue de cloisons. Il 
en résulte que le C. septosa ne peut pas être 
classé parmi les Pentamerus. Néanmoins je n'ai 
trouvé dans aucun des fragements la moindre 
race de spire , ce qui n'implique pas nécessaire- 
ment qu'il en fut dépourvu. 


EEE tm neo — _ 


« 


irairement à l'opinion émise par moi en 1842, et partagée encore aujour- 
d'hui par l’auteur de ce Mémoire, ces fossiles appartiennent à deux espèces 
bien distinctes. Ainsi, le Sp. crislala n’atteint jamais la taille du Sp. octoplicata 
et sa fore est toujours plus globuleuse que celle de ce dernier ; en outre, son 
sinus est simple et le fond est terminé par une surface plane, tandis que celui 
de l'espèce carbonifère est anguleux et souvent plissé, comme lindiquent 
fort bien les figures de Sowerby; il en est de même du bourrelet correspon- 
dant. Enfin, les plis latéraux sont toujours simples chez le premier, et 
leur nombre ne s’éleve jamais audelà de 5 pour chaque côté, tandis qu’ils 
sont souvent bifurqués chez le second et au nombre de 6 ou 7 chez les 
individus adultes. 
L. DE Kon. 


(2) IL résulte de l'examen d'échantillons bien conservés de Tournay , que 
le test de celte espèce est perforé et qu’elle appartient réellement au genre 
Spiriferina, quoique par la forme de son pseudeltidium elle se rapproche de 
la Cyrtina heteroclyla , avec laquelle je l’ai confondue à tort en 1851. 


L. pe Kon. 


tt 


TT ne ee PE ee CE EE 


D CR 


93. 


34. 


O1 
Qt 


40. 


= 
19 


SPA 


des Brachiopodes muni: d'appendices spiraux, etc. 27 


— DORSATA , M'Coy.” Synopsis , pl. XXIL, fig. 14. 1844; Dav. 
pl. XV, fig. 5 et 4. Je place cette espèce parmi 
les incertaines ; il n’en a encore été trouvé 
que deux ou trois échantillons imparfaits. 

© —  carBonaria, M'Coy Brit. palæozoïc fossils, pl. IIL, D , fig. 
12-18, 1855; Dav. pl. XV, fig. 5 - 14. 

ATHYRIS PLANOSULCATA, Phillips. Geoli. of Yorks., vol. II, pl. X, fig. 15; 
Dav., pl: XVI, fig. 2-15 et fig. 15..— oblorga, 
Sow, — paradoxa et oblusa , M'Coy. 

— LAMELLOSA , Leveillé. Mém. de la Soc. Géol. de France, 
vol. IT, pl. IT, fig. 21-23, 1855; Dav. pl. XVI, 
fg. 1 et pl. XVIL, fig. 5 er 6. — squamosa, 
Phillips. 

— EXPANSA , Phillips. Geol. of Yorks., vol. II, p. 220, pl.X, 
fig. 18; Dav. pl. XVI, fig. 14, 16 et 18 et 
pl XVII, fig. 1 —5. 

— Royssi , Leveillé. Mém. de la Soc. Géol. de France, vol. II, 
pl. IE, fig. 18-20, 1835; — fimbriaia et 
glabristria, Phill. — depressa, M’Coy. 

— GLOBULARIS, Phillips. Geol. of Yorks., vol. IL, pl. X, fig. 
22 , 1836. 

= SUBTILITA, J. Hall, dans Howard Stansburys exploration 
and survey of the valley of the great salt Lake 
of Utah, pl. IV. fig. 1a6 etfig.2a,b,1852; 
Dav. pl. XV, fig. 21 et 22. 

— AMBIGUA,  Sow. Min. Conch. , pl. CCCLXXVI, 1822; — 
sublobata , Portlock ; — pentaëdra, Phillips. 

—  sQuAMIGERA, De Koninck, Descr. des an. foss. carb. de Belg., 
Suppl. pl. LVI, fig. 9 «& et 9 b. 1851. 


. ArTuyris? GREGARIA, M'Coy, Synopsis, pl. XXII, fig. 18 ; Dav. pl. XV, 


fig. 27 et 28. Je n'ai jamais eu l’occasion 
d'étudier un échantillon parfait de cette coquille, 
et j'ai des doutes sur le genre auquel il faut 
la rapporter. 


. RETZIA RADIALIS, Phillips, sp., Geol. of Yorksh,, vol. IT, pl. XII, 


fig. 40 et 41, 1856. — Mantiæ, de Kon. 
non SOw. 

ea uLorRIx , De Koninck, Descr. des anim. foss. carb. de 
Belg., pl. XIX, fig. 5. 1845 ; Dav. pl. XVII, 
fig. 18 et 19, 


28 L. De Konincx. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


On trouvera dans les diverses parties de mon ouvrage sur 
les Brachiopodes earboniféres , qui ont été publiées par la 
Société Paléontographique en 1856, 1857 et 1858 , la des- 
cription et les figures de toutes ces espèces et de leurs variétés ; 
mais comme il me faudra encore deux ou trois ans pour com- 
plèter cette monographie, à cause du grand nombre de planches 
qu’elle exige, je serai très-reconnaissant envers toutes les 
personnes qui voudront bien m'aider dans mon travail, soit en 
me communiquant les observations qu’elles auront pu faire, 
soit en me prêtant les matériaux qu'elles auront à leur disposition. 
Je désire en outre, qu'il soit bien entendu que je ne puis 
pas recommander l'emploi des termes Athyris et Atrypa dont 
j'ai fait usage dans ce Mémoire. Je m'en suis servi comme de 
simples noms sans signification , à cause de leur priorité. 
Néanmoins comme la généralité des naturalistes du continent 
et quelques auteurs anglais ont depuis quelque temps manifesté 
leur intention d'abandonner les noms impropres de MCoy et 
de Dalman, à cause de la contradiction zoologique qu'ils ex- 
priment, mes lecteurs peuvent leur substituer ceux de Spirigera 
au lieu d’Athyris et de Spirigerina au lieu d’Atrypa, ainsi que 
Va proposé d'Orbigny, quoique d’autres dénominations eussent 
été préférables. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. 29 


Liste des Brachiopodes carbonifères de Belgique, munis d’une 
spire , et des localités dans lesquelles ils se trouvent, 


Par L. pe Koninck. 


1. SPIRIFER STRIATUS , Martin, 1809, Petrif. Derb., pl. XXIIL, fig. 1 
et 2 ; de Kon. pl. XVbis fis. 4, a, b, (1). — 
Condor. d’Orb. — triplicatus , Hall. Pauquys près 
Dinant (2), Chokier. Très-rare dans cette der- 
nière localité. 

2. —  MOSQUENSIS. G. Fischer. 1825. Programme sur la Choristite ; 
— Sowerbyi Fischer et de Kon., non Defr. ; — 
crassus. Davidson, non de Kon., pl. VII, fig. 
1,2,5; de Kon. pl. XVI, fig. 1, a, b, c. 
Tournay , Soignies, Feluy, les Ecaussinnes, Ath, 
Chanxe, Comblain-au-Pont, Pauquys (35), 
Wève, etc. Très -abondant. 


3. —  HUMEROSUS, Phillips. 1836. Geol. of Yorks, , vol. II, pl. XI, 
fig. 8. Visé. Très-rare, 

4, —  pupuicicosTA , Phill. Loc. cit., pl. X, fig. 1; de Kon. pl. XVI, 
fig. 2, a, b, c, d,e, f; — recurvatus, de 
Kon, Ibid. pl. XVI, fig. 5, Visé. 

5: — PECTINOÏDES, De Kon. 1845. Descr. des anim. foss. pl. XVI, 

\ fig. 4, Visé. 
GE CRASQUS, De Kon. 14845. PI. XVbis, fig. 5; Dav. pl. VI, 


fig. 20-22, non pl. VII, fig. 1-3. Visé, Il ne 
serait pas impossible , comme l’a fait remar- 
quer M. Davidson, que cette espèce fut à 
supprimer et que ce ne fut qu’une variété assez 
constante du Sp. bisulcatus , Sow.; mais je ne 
crois pas qu’elle puisse jamais être confondue 
avec le Sp. duplicicosta , Phill., dont elle ne 
possède jamais les côtes tranchantes et bifur- 
quées. 


(4) Pour la synonymie détaillée des espèces, voir la Monographie de 
M. Davidson et mon ouvrage intitulé : Description des animaux fossiles du 
terrain carbonifère de Belgique. 


(2) C’est par erreur que j'ai indiqué cette espèce dans le calcaire de Visé, 
où elle n’a pas encore été trouvée. 

(3) Je crois devoir remarquer que toutes les espèces du calcaire carbonifère 
des environs de Dinant, y ont été trouvées par M, l'avocat Dupont, qui 
par des recherches assidues , est parvenu à réunir une collection de plus de 
trois cents espèces de ce calcaire. 


JO  L. pe Konincx. — Wémotresur les genres et les sous-genres 


Nm 0 0 urcarus | Son 18280 Min. (Gonch pl oE fe 1 et 0). 
de Kon. pl. XIV, fig. 4 et pl. XVI, fig. 3. Visé, 
Très - abondant. 

— GRANDICOSTATUS , M’Coy. 1855, Brit. pal. foss. , pl. LIL, D, fig. 29. 
Ce n’est très -probablement qu'une variété à 
gros plis de l’espèce précédente, qui offre un 
grand nombre de modifications. Visé. 

— ORNATUS , De Kon., 1851. Descr. des anim. foss. Suppl. 
pl. LVI, fig. 3. Visé. Très-rare. 

—  TRIGONALIS, Martin. 1809. Petrif, Derb., pl. XXXVI, fg. 1 ; 
de Kon., pl. XVII, fig. 1. Visé. Je doute fort 
que l’échantilion figuré par M. Davidson, pl. V, 
fig. 29-52 appartienne à cette espèce. 


—  Wiscaerranus , De Kon. 48453. Anim. foss. pl. XIV, fig. 5. Visé. 

—  CONVOLUTUS , Phill. 1856, Geol. of Vorks., vol. Il, pl. IX, fig. 
7-9; de Kon. pl. XVII, fig. 2. Visé, Pauquys, 
près Dinant. C’est une excellente espèce et 
facile à distingner. ( Voir pl. II de cette notice ). 


15. — ACUTICOSTATUS, De Kon. 1843. Desc. des anim. foss. pl. XVII, 
fig. 6. Visé. Rare. 
14. -— TRIANGULARIS , Martin. 4809. Petrif. Derb. pl. XXXVI, fig. 25 


de Kon. pl. XV, fig. 4. Visé. Rare. 


—  Rorumerranus, De Kon. 1845. Descrip. des anim. foss. pl. XV, 
fig. 2. — bicarinatus , M'Coy. Tournay , Pauquys. 

—  MESOGONIUS, M'Coy. 1844. Syn. of the carb. foss. of Irel., pl. 
XXII, fig. 10. Chokier. Rare. 


—  LaMINosus,  M’'Coy, 1844. Loc. cit. pl. XXI , fig. 4, — hyste- 
ricus , de Kon. 14845. Descr. des an, foss. pl. XV, 
fig, 5, non Schloth. — éricornis, Ibid. Suppl. 
p. 657. 1851. Feluy, Ecaussinnes, Comblain- 
au-Pont, Pauquys, Ath, etc. Assez abon- 


dant, 

—  SscaNuRiANUS, De Kon. 1851. Descr. des anim. foss. Suppl. pl. 
LVI, fig. 6. Visé. Rare. 

—  DISTANS, Sow. 1825. Min. Conch, pl. COCCXCIV,, fig. 5. — 
cuspidatus, de Kon. Descr. des anim. foss. 
pl. XIV, fig. 1. non Martin. Tournay, Feluy, 
Comblain -au-Pont, Pauquys près Dinant. Rare. 


20: — Cuspiparus, Martin. 1796. Trans. of the Linn. Soc. pl. IIT, 
fig. 1-6. Pauquys, près Dinant. Le Sp. sub- 
conicus , Martin, n’est probablement que le jeune 
âge de cette espèce, Rare, 


Re 2 


TS T2 


24. 


26. 


27. 


28, 


30. 


O1 
QU 


34. 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux, ete. si! 


— 


— 


PINGUIS , Sow. 4820. Min. Conch. pl. CCLXXI, de Kon. 
Descr. des anim. foss. Suppl, pl. LVI, fig. 5. 
Tournay , Pauquys près Dinant. 

OVALIS Phill. 1836. Geol. of Yorksh., vol. IL, pl. X, 
fig. 2 ; — rotundatus , de Kon., pl. XV, fig. 4, 
non Sow. Visé. 

PLANATUS , Phill. 1836. Geol. of Yorks., vol. IT, pl. X, fig. 5, 
de Kon. Descr. des anim. foss. carb. pl. XVIX, 
fig. 4 (fig. 5 excl.). Visé. Assez rare. 

INTEGRICOSTA, Phill. 1856. Geol, of Yorks., vol. IT. pl. X, fig. 2 
— rotundatus, de Kon. Desc. des anim, foss. 
carb., pl. XIV, fig. 2. Visé. 

VENTRICOSUS , De Kon. 1859. — rotundatus, var. non Sow. Descr, 
des anim. foss. pl. XVII, fig. 5. Visé. Rare. 

TRIRADIALIS,  Phill. 1856. Geol. of Yorks., vol. IT, pl. X, fig. 7; 
de Kon. Descript. des anim. foss., pl. XVIT, 
fig. 5 et T7. Visé. Rare. 


RHOMBOiDAuS, M'Coy. 1844. Syn. of the carb. foss. of Irel., pl. 
XII, fig. 11. Pauquys près Dinant. Très-rare. 

LINEATUS , Martin. 1809. Petrif. Derb., pl. XXXVI, fig. 5. 
— sublamellosus. De Kon. Descr. des anim. 
Carb pl MD 5.05, pl'XVIT; fe: Sletvple 
XVIIT, fig. 2, Visé, Tournay, Pauquys, etc, 
Très-abondant. 

Uri , Flem. 1828. Brit. anim, , p. 376 , — Goldfussia- 
nus, de Kon. 1851. Desc. des anim, carb., 
Suppl. pl. LVI. fig. 7. Tournay et Pauquys. 
Rare. 

GLABER , Martin. 1809. Petrif. Derb,, pl. XLVIIL, fig. 9 et 
10; de Kon. Descr. des foss. carb., pl. XVIIL, 
fig. 1. Visé. Très - abondant. 


GLABERRIMUS, De Kon. 1859. Tournay. Très - rare. 


— » CaeiroPtTERyX, De Vern. et d’Arch. 1842. Geol. Trans. vol. VI, 


part. IL, pl. XXV , fig. 6. De Kon. Descr. des 
anim. foss. pl. XV, fig. 9. Visé. Rare. 


. SPIRIFERINA BRONNIANA, De Kon, 1843, Desc. d. anim. foss, pl. XV, fig. 6. 


Visé. Cette espèce est remarquable par le 
tube calcaire qui traverse l’ouverture delioïde 
de l’area et qui probablement à servi d’en- 
veloppe au pedoncule de l'animal. 

OGTOPLICATA, Sow. 4827. Min, Conch., pl. CCCCCLXIT , fig. 
2-4.— cristala, de Kon. et Dav., non Schloth. 
de Kon. Descript, des anim. foss. , pl. XV, 
fig. D, Visé. 


«<} 


| 33. Le INSCULPTA , 


| 


92 


L. pe KoniNex. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


36. CYRTINA SEPTOSA, 


37. ATHYRIS PLANOSULCATA , 


40. 


41. 


A6. 


LAMELLOSA , 


Royssu, 


SQUAMIGERA ; 


GLOBULARIS , 


SUBTILITA , 


AMBIGUA , 


, RETZIA SERPENTINA , 


RADIALIS , 


ULOTRIX , 


Phill. 1836. Geol. of Yorks., vol. II, pl. IX, 
fig. 2, 5. crispa, de Kon. non Linn. et 
heteroclyta , id., non Defr. — Koninckiana 
d'Orb.; de Kon., Desc. des anim. foss. pl. 
XV, fig. 7. PI. XVbis fig. 2, et pl. XVII, 
fig. 5. Visé, Tournay, Pauquys. Assez rare. 


Phill. 1836, Geol. of Yorks., vol. IT, pl. XI, 
fig. 7: — subconica, de Kon. non Martin. 
de Kon. Descr. des anim. foss. pl. XIIbis fig. 5. 
Visé. Très-rare. 


Phill. 1836. Geol. of Yorks., vol. II, pl X, 
fig. 15; de Kon. Descr. d. anim. foss., pl. 
XXI, fig. 1,e, f, à et fig. 2. Visé, commun 
et Tournay, rare. 

Leveillé. 1855. Mém. de la Soc. Géol. de France » 
vol, II, pl. II, fig. 21-23; de Kon. Descr. 
d. anim. foss. , pl. XX , fig. 5. Visé et Tournay. 
Très - rare. 

Leveillé. 4855. Mém. de la Soc. Géoi. de France, 
vol. IT, pl. IL, fig. 18-20; de Kon. Descr. 
des anim. foss., pl. XXI, fig. 1, a, D, c, 
d, g,h. Tournay. Pauquys , etc. Commun. 


De Kon. 1851. Descript. d. anim. foss. Suppl. , 
pl. LVI, fig. 9. Tournay. Rare. 

Phill. 1836. Geol. of Yorks., vol. II, pl. X, 
fig. 22, Visé. 

Hall. 1852. Howard Siansburys Explor. and 
survey on the valley of the great salt Lake 
of Utah, pl. IV, fig. 1 et 2. — Royssü, 
var. de Kon., non Leveillé, de Kon. Descr: 
d. foss. carb. pl. XX, fig. 1. Tournay. 

Sow. 1823. Min. Conch., pl. CCCLV ; de Kon, 
Descr. des anim. foss., pl, XX, fig. 2. Visé, 


De Kon. 1845. Descr. des anim. foss., pl. XIX, 
fig. 8, Tournay. Très- rare. 

Phill. 18356. Geol. of Yorks., vol. IE, pl. XII, 
fig. 40 et 41; de Kon. Descrip. des anim. 
foss. , pl. XIX, fig. 4. Visé et Tournay. Rare. 

De Kon. 1845. Descript. des anim, foss, , pl. 
XIX , fig. 5. Tournay. Très -rare, 


En comparant cette liste, à celle des espèces britanniques 
fournie par M. Davidson , on remarquera que les espèces 
suivantes y font défaut, à savoir : Spirifer fusiformis, Reedü, 


«des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. 39 


et Carlukiensis; Spiriferina minima; Cyrtina dorsata et carbonaria 
ct Athyris expansa et gregaria , en tout 8 espèces ; que les 
5 Spirifer qui manquent en Belgique y sont remplacés par 
8 espèces qui n'ont pas encore été trouvées en Angleterre et 
qui sont les Sp. pectinoïdes, ornatus, Fischerianus ,  acuti- 
_costatus , Schnurianus , ventricosus , glaberrimus et Cheiropteryx ; 
que la Spiriferina Bronniana remplace en Belgique l& Sp. mi- 
nima; qu'il ne s’est pas encore trouvé de trace de Cyrtina dor- 
sata et carbonaria, ni d’Athyris gregaria et expansa dans le 
terrain carbonifère belge , mais qu’en revanche, on y a rencontré 
la Retzia serpentina, qui n’a pas encore été signalée dans les 
Iles britanniques. 

En résumé, au lieu de 44 espèces connues dans les Iles bri- 
tanniques (1) , la Belgique en possède 46, e. a. d. 2 de plus. De 
ces 44 espèces, 36 sont communes à la Belgique et 8, dont la 
plupart sont douteuses selon M. Davidson, n’y ont pas encore 
été indiquées , mais y sont remplacées par 10 espèces inconnues 
jusqu’à ce jour en Angleterre. 

En pour suivant cette comparaison plus loin, on s’apercevra 
que je n'ai pas conservé le groupement fait par M. Davidson, 
parcequ'il m'a paru que celui que jai suivi, était plus naturel, 
rassemblait davantage les espèces dont les caractères ont le plus 
de rapports et conservait mieux les gradations qui existent dans 
leurs caractères particuliers. 

Je regrette que mon savant ami n'ait donné aucune indication 
sur la distribution des espèces qu'if a si bien décrites et figurées. 
Je crois néanmoins que des recherches bien faites, relative- 
ment à cet objet, offriraient de l'intérêt, et mériteraient qu’on 
S'y arrêtat. 

Je vais exposer celles qui me sont particulières et qui sont 
le résultat d'observations faites non-seulement en Belgique , 
mais encore en France , en Allemagne , en Angleterre , en 
Ecosse et en Irlande, tous pays que j'ai visités pour la plupart 
à plusieurs reprises. 

Dès mes premiers travaux relatifs à l'étude des animaux 
fossiles du terrain carbonifère, j'ai été frappé de la différence 


(1) J'y comprends le Sp. bicarinatus , M'Coy, qui n’est autre que mon 
Sp. Roemerianus et que M."Davidson a relégué parmi les espèces douteuses. 


5 


34 L.ne Konixex. — Mémoire sur les genres et les sous-qjenres 


qui existe entre la faune de certaines formations appartenant 
à ce terrain. - 

C'est ainsi que la faune du calcaire de Visé, qui est pro- 
bablement la plus nombreuse qui soit connue , est loin d'être 
identique à celle du cälcaire de Tournay , également très- 
riche en espèces , mais cependant inférieure en nombre à celle 
de Visé. 

Afin de rechercher la cause de cette grande différence qui 
existait dans le dépôt d'êtres appartenant à la même époque 
géologique, je me suis livré à de nombreuses observations stra- 
tigraphiques ; ces observations avaient pour but de constater la 
relation de ces deux calcaires. J'ai voulu savoir si Fun était 
inférieur ou supérieur à l’autre, ou si tous deux étaient parallèles 
et pouvaient être considérés comme appartenant au prolonge- 
ment d’une seule et même bande, disloquée par les phénomènes 
géologiques qui ont succédé à son dépôt. J'ai bientôt été convaincu 
que les recherches à cet égard offriraient de grandes difficultés 
et ne me conduiraient à aueun résultat positif, parce que le calcaire 
de Visé repose sur des assises appartenant aux couches moyennes 
du terrain dévonién , correspondant à celles du calcaire de 
Paffrath (1), et par conséquent en stratification discordante avec 
celles-ci, (ce qui n’a pu être constaté par des observations directes), 
tandis que la majeure partie du calcaire que je considère 
comme identique à celui de Tournay, se succède régulièrement 
aux assises dévoniennes supérieures à Spirifer disjunctus ou 
Verneuilii. Toutefois , une partie de ce dernier calcaire se 
trouve dans une position en tout point semblable à celle qu'oc- 
cupe le calcaire de Visé (P. E. à Soignies ). L’un comme l’autre 
est recouvert dans certains endroits, en stratification directe , de 
phtanite ou autre roches siliceuses (probablement les analogues 
du milstone-grit des géologues anglais ) formant les assises in- 
férieures du terrain houiller , dans d’autres , de roches crétacées 
dont les couches se prolongent sur celles de ce dernier 
terrain. 

Rien done, comme l’on voit, ne prouve que le calcaire de 
Visé est d’un àge différent de celui de Tournay, ainsi que je 
l'ai supposé pendant longtemps. Néanmoins je suis porté à 


= ——— 
——— 


(1) La présence des fossiles ne laisse aucun doute à cet égard. 


des Prachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. 53 


croire que le premier n’a et n’a jamais eu aucune communi- 
cation directe avec le second et qu'il constitue en quelque sorte 
une ile parfaitement distincte du reste du continent carbonifère 
qui Pavoisine, mais déposée à la même époque que lui (1). 

Les observations que j'ai faites en Ecosse , en Angleterre et en 
Irlande , tendent à confirmer cette opinion , que je compte 
développer dans un travail ultérieur. En effet, dans le premier 
de ces pays, ainsi que dans l’Yorkshire, le calcaire dont la 
faune est identique à celle de Visé, possède les mêmes allures , 
repose sur les mêmes roches que celui du Glocestershire et de 
l’Irlande, considéré par moi comme l’analogue du calcaire de 
Tournay , dont ïil renferme les principales espèces fossiles. 
Dans la plupart de ces contrées, les calcaires ont pour base 
directe et concordante , des couches siliceuses d’une couleur variant 
du gris jaunâtre au rouge foncé et que la plupart des géologues 
Anglais et Irlandais rapportent au vieux grès rouge. Quelle que 
soit la valeur de cette opinion , il est de toute évidence pour 
moi, que ces grès font partie du terrain carbonifère, parce que 
rien n'indique qu'il est survenu entre leur dépôt et celui du 
calcaire à Productus etc., un de ces grands bouleversements 
qui caractérisent , soit la fin , soit le commencement d’une époque 
géologique bien définie. 

La difficulté provient de ce que ces grès renferment rare- 
ment des fossiles et de ce que sur le continent ces roches ne 
se trouvent pour ainsi dire pas représentées. Ainsi , les calcaires 
carbonifères du bord de la Meuse, en amont de Namur et de 
Dinant , dont la puissance s’élève à plusieurs centaines de mètres, 
reposent sur des assises de silex presque pur, d’une couleur blan- 
châtre, grisätre, ou noirâtre , exempt de fossiles et bien certaine- 
ment l’analogue des grès de la pointe méridionale de l'Irlande 
et de la lisière méridionale de l'Ecosse. Une seule roche représente 
exactement au centre de lEurope le grès rouge carbonifère 
britannique. Cette roche a fait le sujet de bien de discussions 
et d'observations de la part des géologues Belges, Français et 
Allemands. Ælle est située sur nos frontières et connue sous le 
nom de poudingue ou grès de Malmédy. C’est un de ces exemples 


({) Cette opinion que j'ai communiqué depuis un certain temps déjà à Sir 
Roderick Murchison , a été insérée par cet éminent géologue , dans la 3°° 
édition de son Siluria , p. 427. 


36 L. ne Konincx. — Mémoire sur les genres ei les sous-genres 


servant à confondre les géologues exelusivement stratigraphes , 
qui tout en rejetant à priori la valeur des fossiles, seraient 
bien heureux d'en rencontrer quelques uns pour se mettre d'accord 
sur l’âge relatif de ce grès. Les uns l’ont rapporté au terrain 
permien , les autres au terrain triasique. J’en fais pour ma part 
du earbonifère inférieur. 

Les principaux motifs qui m'ont déterminé à adopter cette 
opinion , consistent d’abord , dans l’analogie parfaite entre la 
composition, la couleur et la conformation de ce grès , avec 
celui de l'Ile d’Arran, et des autres parties de FPEcosse méri- 
dionale ; ensuite, dans la position de ce grès, qui, de même 
que celui de certaines localités Anglaises et surtout celui de 
Baggy-point, où il repose en stratification discordante sur 
des roches siluriennes , a pour assise, aux environs de 
Malmédy , ces mêmes roches, dont Dumont a fait son terrain 
Ardennais. 

Ceci posé, je dirai qu'il résulte de mes observations, pour- 
suivies pendant plusieurs années, que le calcaire de Visé n’a 
pas d’analogue en Belgique, que tous les autres massifs de 
calcaire de même âge, appartiennent à celui de Tournay. Tels 
sont ceux des environs de Namur, de Dinant, de Comblain- 
au— Pont, de Chokier, de Theux, de Feluy, des Ecaussinnes, 
d'Ath, de Soignies, etc. (1). En Allemagne, les roches car- 
bonifères siliceuses de la Carinthie et de Ja Silésie sont les 
seules que je puisse considérer comme représentant le caleaire 
de Visé; les calcaires de Ratingen près Dusseldorf et de Hof, 
en Bavière , se rapportent à celui de Tournayÿ , auquel j'assi- 
mile encore les massifs carbonifères de la France et de l’Es- 
pagne ; tels que ceux de Sablé , de Juigné , de Pola de Lena 
(Asturies), etc. Il en est de même de la majeure partie du 
carbonifère de la Russie. Les calcaires qui se trouvent aux 
environs de Moscou , de Tula, de Kalouga et d’Archangel , ete., 
ainsi que celui de l’Altaï, sont identiques au calcaire de Tournay ; 
le seul petit massif de Cosatchi - Datchi, situé au revers Oriental 
de l'Oural, représente le calcaire de Visé. 

Tout le ealcaire carbonifère de lirlande , surtout celui de 


(1) J'ai cru pendant quelque temps que le massif calcaire de Chokier était 
identique à celui de Visé, mais des recherches plus précises faites sur de 
bons échantillons de fossiles , m'ont convaincu du contraire, 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. 57 


Hook-point, des environs de Dublin , d'Enniskillen , d'Armagh, 
si remarquabies par le grand nombre de fossiles qu'ils ren- 
ferment, appartient par sa faune au calcaire de Tournay , lequel 
a encore en Angleterre pour représentants , le calcaire des en- 
virons de Bristol , du Glocestershire et d’une partie de l'Yorkshire 
(Richmond), tandis que celui d’une autre partie de ee dernier 
Comté (Bolland ), ainsi que celui de lEcosse, des pays de 
Galles, des environs de Manchester et de Newcastle sont sem- 
blables au calcaire de Visé. Ce coup d'œil jeté sur la dis- 
tribution géographique des deux calcaires , fera mieux comprendre 
celle des principaux Brachiopodes faisant le sujet de ce Mémoire, 
qui y sont contenus et facilitera en même temps les recherches 
relatives à la faune générale de l’un et de l’autre de ces deux 
dépôts. 

Ainsi , le Spirifer striatus se trouve en grande abondance en 
Irlande et principalement dans le calcaire de Millecent et de 
Ratheline, mais à l'extrémité méridionale et dans la partie 
septentrionale de lile , ce Spirifer est remplacé par le Sp. Mos- 
quensis; en Angleterre il est beaucoup plus rare et M. Davidson 
ne cite que quelques localités du Yorkshire (1) et du Derby- 
shire , tandis qu'il constate qu'on ne l'a pas encore rencontré 
en Ecosse, ainsi que j'ai eu occasion de l’observer de mon 
côté. 

En Allemagne, je ne connais que le calcaire de Ratingen 
qui ait fourni cette espèce, encore inconnue en France et en 
Russie, où le Sp. Mosquensis est presque généralement pré- 
dominant. M. de Verneuil le cite dans une seule localité d’Es- 
pagne ( Pas-en-Cavales ); en Belgique, il n’est connu qu'aux 
environs de Dinant et principalement à Pauquys, d’où il m'a 
été communiqué par M. Dupont. 

Partout où l’existence de ce Spirifer a pu être bien constatée, 
on a pu remarquer celle du Sp. cuspidatus. Le Spirifer Mos- 
quensis est de toutes les espèces de ce genre , celle qui occupe 
la distribution géographique la plus étendue. C’est en quelque 
sorte l’espèce caractéristique du calcaire de Tournay et de ses 
analogues ; c'est une véritable Leifmuschel , qui sert à nous 
guider avec sûreté, dans la distinction de ces calcaires. Per- 


(1) Je doute fort qu’il ait été trouvé à Bolland, ainsi que le pense M. Davidson, 
(V, Monogr. of Brit, carb. Brach. part. V, p. 21), 


358 L.ne Koninox. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


sonne n'ignore l'horizon immense que ce Spirifer occupe aux 
environs de Moscou et dans d’autres parties de la Russie. Elle 
se trouve également abondamment en Espagne et en Irlande, 
ainsi qu'en Belgique. Partout sa présence, semble exclure , non 
seulement celle des Sp. striatus (1) et bisulcatus , mais encore 
celle du Sp. cuspidatus, qui alors est remplacé par son analogue 
le Sp. distans. Le Sp. humerosus est une espèce encore rate 
et qui n'a élé trouvée que dans deux localités en Angleterre 
( Greenhow-Hill et Wensleydale) dont le calcaire est identique 
à celui de Visé, d’où je lai également obtenue. 

Les Sp. crassus, bisulcatus et grandicostatus sont des espèces 
très-voisines l’une de l’autre et appartiennent au calcaire de 
Visé; aussi ne les rencontre-t-on que dans quelques parties 
du centre de l'Angleterre, en Ecosse, à Cosatchi-Datchi (Oural). 
en Silésie et en Carinthie. La seconde est très-abondante et 
remplace dans ces diverses localités, le Sp. Mosquensis du calcaire 
de Tournay. 

Les Spirifer trigonalis, triangularis , ovalis , planatus , inte- 
gricosta , triradialis et glaber , qui sont des espèces propres au 
calcaire de Visé, n’ont encore été signalés que dans quelques 
localités d'Angleterre , d’Ecosse et d'Allemagne; tandis que les 
Spirifer Roemerianus , laminosus , pinguis, rhomboïdalis et Uri 
du calcaire de Tournay , ne sont connues que dans les Iles 
Britanniques et en Belgique. 

Les Sp. duplicicosta , convolutus , et lineatus , sont les seules 
espèces dont j'ai pu constater positivement l'existence simultanée 
dans les deux calcaires ; néanmoins les deux premiers sont 
assez rares et n’ont été indiqués qu'à Visé et à Pauquys, en 
Belgique, à Bolland et à Clitheroe, en Angleterre , et à Kildare, 
en Irlande ; le dernier au contraire, est répandu dans le terrain 
carbonifère de tous les pays et forme l’une des espèces les plus 
abondantes de ce terrain ; elle occupe certainement l'horizon 
géologique le plus étendu. 

Les espèces de Spirifer non mentionnées ici, ne sont encore 
connues que dans une ou deux localités et par un petit nombre 
d'échantillons, en sorte qu'il n’y a aucune conclusion à tirer 


(1) Cette exclusion n'est pas absolue; rien n'empêche que quelques féchan- 
tillons de cette espèce ou d’autres se rencontrent avec le Sp. mosquensis. 
Mes observations ne portent que sur ce que j'ai pu constater le plus souvent. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , cte. 39 


de leur présence ou de leur absence dans l’un ou l'autre des 
deux calcaires. 

Il est cependant utile de faire remarquer que le Spirifer 
Cheiropterix est jusqu’à présent le seul de ce genre dont la 
présence ait été constatée simultanément dans le calcaire car- 
bonifère et dans le calcaire dévonien moyen. 

Des quatre espèces de Spiriferina carbonifères connues , une 
est spéciale à l’Angleterre ( Sp. minima), une autre à la 
Belgique ( Sp. Bronniana ) ; la troisième du calcaire de Visé 
( Sp. octoplicata ) est commune à l'Angleterre et à la Belgique 
et la quatrième, (Sp. insculpta ) qui se trouve simultanément 
dans les deux calcaires , est assez répandue, puisque sa présence 
a été constatée en Russie, en Allemagne, en Espagne , en 
Irlande, en Angleterre, en Ecosse et en Belgique. 

La Cyrtina septosa est une espèce du calcaire de Visé; elle 
se trouve aussi dans le Derbyshire. Les deux autres espèces 
de ce genre ne sont connues qu’en Angleterre. 

La distribution des Athyris est assez remarquable : les À. plano- 
sulcata et lamellosa sont les seules dont j'aie pu constater la présence 
simultanée dans les calcaires de Visé et de Tournay; la première est 
assez répandue ; elle est indiquée en Irlande, en Ecosse, en Angle- 
terre, en Russie et en Belgique ; la seconde n’est connue qu’à Bolland 
dans l’Yoskshire, à Hook-Point, en Irlande, à Visé et à Tournay, 
où elle n’est pas rare. Les A. Royssi, squamigera et subtilita 
ne se trouvent que dans le calcaire de Tournay et ses analogues. 
La première surtout, est très-répandue dans ces calcaires. 
C’est une des espèces les plus constantes et les plus répandues ; 
elle a souvent été confondue avec d’autres et surtout avec l'A. 
planosulcata. Les deux dernières sont plus rares, mais j'ai la 
conviction qu’on les rencontrera partout ou les recherches seront 
dirigées avec soin, dans les assises du calcaire auquel elles sont 
propres. 

Les À. globularis et ambigua sont du calcaire de Visé, et se 
trouvent principalement en Ecosse et dans le centre de lAngle- 
terre. Elles ne sont guère connues que dans ces pays et en 
Belgique. 

La Retzia radialis est répandue dans les deux calcaires , 
mais je ne l’ai encore observée que dans les [les britanniques 
et en Belgique. Les R. serpentina et ulotrix sont du calcaire 
de Tournay. Je les ai trouvés en Irlande et en Belgique. Elles 
sont rares et peu connues. 


40  L. pe KoniNex. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


J'ai groupé dans le tableau suivant, les espèces d'aprés le 
dépôt auquel elles appartiennent. La première colonne com- 
prend les espèces du calcaire de Visé , la seconde celles du 
calcaire de Tournay ou de leurs analogues et la troisième celles 
qui sont communes aux deux calcaires, 


ESPÈCES DU ESPÈCES DU ESPÈCES COMMUNES 
CALCAIRE DE VISÉ. CALCAIRE DE TOURNAY, AUX DEUX CALCAIRES. 
1. Sp. humerosus. 1. Sp. siriatus. 4. Sp. duplicicosta. 
2, — pectinoïdes. 2. —  mosquensis. 2, — convolutus. 
D. — Crassus. 3. — ni Cons 3. — lineatus. 
4, — bisulcatus. 4. —  mesogonius. 4. Spiriferina insculpta, 
D. — grandicostatus. 5. —  laminosus. 5. Athyris planosulcata, 
6, —  ornatus. 6. — distans. GAME lamellosa, 
7. — trigonalis 7. —  cuspidatus. 7. Retzia radialis. 
8. — icherianus. 8. — pinguis. 
9. — acuticostatus, 9. — rhomboïdalis. 
10. — triangularis. 10. — Urii. 
41. — Schnurianus, 11. — glaberrimuc. 
12. — ovalis. 12. Spiriferina octoplicata. 
43. — planatus. 453. Athyris Royssii. 
14, —  integricosta. 44 — squamigera. 
45. —  ventricosus. 15. —  subtilita. 
16. — triradialis. 16. Retzia serpentina. 
47. —  glaber. 47. —  ulotrix. 
18. — cheiropteryx. 


19, Spiriferina Bronniana. 
20. Cyrtina septosa. 
21, Athyris globularis. 


22. — ambigu. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux, etc, 41 


Ainsi , sur 46 espèces connues en Belgique , 22, ou environ 
la moitié ne se trouvent que dans le calcaire de Visé ; 17 
espèces, ou un peu plus du tiers, sont propres au calcaire de 
Tournay ou à ses analogues, tandis que 7 seulement , ou les 
2,3 sont communes aux deux calcaires. Or, en constatant, 
ainsi que j'ai pu le faire, qu'une proportion semblable existe 
dans la distribution générale de la faune carbonifère, il me 
semble que ce fait mérite quelque attention , surtout parce qu'il 
n'est pas le résultat d’un phénomène local , mais bien d’une 
action qui a dû s’étendre par tout le globe pendant la période 
carbonifère , puisqu'il se représente en Angleterre, en Russie 
et en Allemagne, exactement sous les mêmes formes, sous 
lesquelles il s’est produit en Belgique. 

Je terminerai ces notes par la description d'une nouvelle 
espèce de Spirifer, remarquable par la ponctuation de son test, 
et très-voisine du Spirifer glaber de Martin. Je lui donne le. 
nom de 


SPIRIFER GLABERRIMUS. 


PI. II, fig. 9-15. 


Ce Spirifer est d'une taille médiocre, d’une forme transverse- 
ovale, déprimée, à surface lisse, d’un aspect velouté et mat, 
produit par la présence d’une quantité innombrable de petites 
granulations serrées, invisibles à l'œil nu , mais, qui à la loupe, 
se distinguent facilement. Elles sont d’une forme légèrement 
allongée ( PI. H, fig. 9, a). La coquille porte sur ses bords 
quelques stries concentriques d’accroissement. 

La grande valve (fig. 10 et 12) est munie d’un sinus assez 
profond , à bords arrondis, se reliant insensiblement aux 
côtés de la coquille. Son area est bien prononcée (fig. 11), 
forme un triangle très-surbaissé, dont la base occupe à peu 
près les ?/; de la largeur totale de la coquille ; son ouverture 
deltoïde a la forme d’un triangle presque équilatéral ; le crochet 
n'est que faiblement recourbé. 

La petite valve est beaucoup moins bombée que la grande ; 
son lobe médian est large, arrondi et peu prononcé (fig. 9.); 


42 L.ne KoniNok.— Mémoire sur les genres et les sous-genres 


ses côlés ne sont que légèrement relevés ; son crochet est très- 
peu sensible. 

Je ne connais pas la structure interne de ces valves. 

Rapports et différences. Par tous ses caractères extérieurs , 
le Sp. glaberrimus à une si grande ressemblance avec cer- 
taines variétés de Sp. giaber du calcaire carbonifére d’Angle- 
terre et d'Irlande, que je n'aurais pas hésité à lidentifier 
avec celles-ci, s'il n'avait pas eu le’test ponctué , ce qui le 
distingue immédiatement de toutes ces variétés. 

Il ne serait pas impossible que le Spir. glaber qui se trouve 
en si grande abondance dans les calcaires que je considère 
comme les analogues du calcaire de Visé, fût une espèce dis- 
tincte de celle des calcaires de Tournay, dans lequel j'ai trouvé 
le Sp. glaberrimus, et que le caractère distinctif résidät dans 
la ponctuation du test. Ce point ne pourra être décidé que par 
des recherches ultérieures. 

Si cette supposition se vérifiait, le Sp. glaberrimus devien- 
drait peut-être le type d'un sous-genre ayant beaucoup de 
rapports avec les Spiriferina , dont il aurait le test perforé, 
mais dont il se distinguerait par l’absence de la lame médiane 
de la grande valve et peut-être aussi par le faible développement 
de ses spires. 

Dans ce cas , on devrait désigner ce sous-genre sous le nom 

de Martinia , proposé déjà par M. M'Coy, sans que cet auteur 
ait pu indiquer aucun bon caractère pour le disuinguer des 
genres VOISINS. 
_ Si ma supposition <e vérifiait, il devrait recevoir comme 
seconde espèce le Sp. speciosus, Schl., provenant du calcaire 
dévonien moyen de lEifel, dont j'ai parfaitement observé la 
perforation du test, sur plusieurs échantillons. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux, etc. 43 


NOTE ADDITIONNELLE 


Par M. DAVIDSON (1). 


ER 


= 


J'ai oublié de mentionner, à la suite de ce que j'ai exposé à la page 4 
de ce Mémoire, que diverses opinions avaient été émises relativement aux 
fonctions des bras, mais que celle qui est la plus généralement reçue et 
qui est la mieux fondée sur des dissections anatomiques faites avec soin, 
consiste à admettre, que ces appendices remarquables servaient à la fois à 
la respiration, en fonctionnant comme branchies, et à l'alimentation de l’a- 
nimal. 

Ainsi que l’a fait observer le Docteur Gratiolet, Pallas considérait les franges 
comme des branchies ; cette opinion fondée sur les apparences extérieures , 
fut partagée par Lamanon et par Walsch et en partie acceptée par de 
Blainville. 

M. Bouchard, en parlant des bras dans son Mémoire sur le genre Davwid- 
sonia, dit, que ces organes, dont la base tubuleuse consiste dans un canal 
veineux aboutissant dans la cavité péritonéale, sont à son avis, les auxi- 
liaires les plus importants de l’acte de la respiration, et M. Hancock, qui 
est sans contredit la première autorité en ce qui concerne l'anatomie des 
Brachiopodes , fait observer, que pour se convaincre de la nature des fonctions 
des bras, il suffit de savoir que le sang est porté non seulement dans les cirrhes, 
après avoir passé dans les premiers, et que de là il revient directement au 
cœur. 

M. le D: Gratiolet est arrivé au même résultat, puisqu'il fait remarquer 
dans ses Etudes anatomiques sur la Terebratula australis , qu’il avait d’abord 
rejeté la manière de voir de Pallas, et donné la préférence à celle de Cuvier 
et de M. Owen , mais qu'il avait fini par l’adopter. Cette préférence est basée 
sur la communication bien certaine qui existe entre les tubes des franges 
et leurs canaux basilaires et entre ceux-ci et les lacunes du corps, faits qui 
l'ont conduit à penser que ces franges pourraient bien jouer un certain rôle 
dans la respiration. D'ailleurs leur organisation, à certains égards semblable 
à celle des branchies de quelques crustacés, l’a confirmé dans cette opinion, 
sans pour cela le pousser à déshériter des mêmes fonctions, les grands lobes 
du manteau. 

M. Hancock ajoute encore, qu’un grand développement des bras semble 
être nécessaire à l’économie de l’animal et que les divers modes d’enroule- 


(1) La dernière feuille de ce Mémoire était composée, lorsque j'ai reçu la 
note de M. Davidson. Elle m’a parue trop importante pour l’omettre. Elle 
complète l'historique des données que l’on possède sur l’organisation des 
Brachiopodes munis d’une spire. 


L, pe Kon. 


4% L. DE KoniNCx. — Mémoire sur les genres et les sous-genres 


s 


ment dans la chambre palléale, n’ont pour but que de fournir à cet organe, 
renfermé dans un espace très-limité , l'étendue qui lui était nécessaire. 

Il existe, dit-il, assez de preuves dans plusieurs genres de Brachiopodes 
fossiles, que les fonctions des bras pouvaient s'exercer sans qu’il fût néces- 
saire qu'ils se déroulassent. Ainsi, dans le genre Atrypa, dans lequel les 
bras sont enroulés, exactement comme ceux du genre Rhynchonella, le sup- 
port calcaire empéchait non seulement le déroulement du bras, mais encore 
s’opposait à toute espèce de mouvement quelconque de celui-ci. 

Il paraît donc de plus en plus évident, que, soit que les bras fussent libres 
ou soutenus par des apophyses calcareuses , ils ne pouvaient pas changer de 
place, ni servir d’auxiliaire dans l'ouverture des valves, ainsi que cela a été 
supposé par quelques auteurs, 


(24 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , ec. 4 


EXPLICATION DE LA PLANCHE 1, 


Par M. DAVIDSON. 


>  — — 


Fig, 4. Spimirera srriaTa, Martin. Une partie du test de la petite valve 

a été enlevée, afin de montrer la partie postérieure 
des cônes spiraux et leur point d'aitache. 

Fig. 2. — Scarewxir, Keyserling. Intérieur de la valve dorsale, avec 
un de ses cônes spiraux, l’autre ayant été sup- 
primé, afin de montrer les impressions mus- 
culaires. À, À, muscle adducteur ou muscle oc- 
cluseur antérieur et postérieur de Hancock; JT, 
apophyse cardinale servant d'attache au muscle 
cardinal ou divaricateur de Hancock ; #, fos- 
settés destinées à recevoir les dents de la valve 
opposée. 

Fig. 3, —  ScnreNkrr, Keyserling. Intérieur de la valve ventrale. D, 
pseudodeltidium ; é, dents cardinales ; A, impres- 
sions du muscle adducteur, ou occluseur ; R, 
impressions du muscle cardinal ou divaricateur. 
Plüsieurs fragments instructifs de la partie interne 
de cetté espèce ont été figurés et décrits par 
M. le Comte de Keyserling , dans l'ouvrage du 
Docteur Schrenck, intitulé : die Tundren der 


Samojeden. 
Fig. 4, —  CvyrrÆNA, Dalman. Intérieur de la valve ventrale. 
Fig. 5. Anossort, De Verneuil. Idem. 
Fig. 6. —  MOSQUENSIS , Fischer. Idem. 


Jai fait dessiner ces trois dernières figures, 
afin de montrer les modifications que peuvent 
éprouver les Spirifera, dans le développement 
et là direction de leurs plaques dentales ou 
rostrales. 

Fig. 7. CyrTIA TRAPEzOÏDALIS , Dalman, Intérieur de la valve ventrale, destiné 
à montrer que ses plaques dentales divergeantes 
sont semblables à celles des Spirifera , mais 
essentiellement différentes de celles des Cyrtina. 
D, pseudodeltidinm ; F, ouverture. 

Fig. 8  —  çuspwara, Martin. Echantillon vu de profil; une partie des 
deux valves a été enlevée, afin de faire voir les 
deux plaques dentaies ou rostrales divergeantes , 
M, M et N; À, parlie de l’area; L, tour de 
spire, 


4,6 L. De Komncx. — 


Fig. 9. 


Fig. 10. 


Fig. 


AE, 


A4 


lémoëre sur les genres et les sous-genres 


SPIRIFERINA ROSTRATA, Schlotheim. Une partie de la petite valve a été 


SUESSIA 


enlevée, afin de montrer la partie postérieure 
des cônes spiraux, ainsi que la position de l’arête 
médiane de la valve ventrale. 


ROSTRATA, Schlotheim. Intérieur de la valve ventrale, mon- 


trant la grande arête médiane ou septum A, qui 
a servi d’attache au muscle adducteur ou occlu- 
seur ; R, impression du muscle ajusteur ventral ; 
D , pseudodeltidium montrant parfaitement les: 
deux petites plaques dont il est formé. 


PLICATA , E. Deslongchamps. Intérieur de la valve dor- 


sale, sur laquelle on observe parfaitement l’apo- 
physe J et les plaques cardinales fortement dé- 
veloppées; cependant on ne connaît pas encore 
d'intérieur parfait de ce genre, de sorte qu'il 
a été impossible d’en représenter les appendices 
Spiraux. Il serait à désirer en outre, que l’on pût 
avoir une bonne représentation de la grande valve, 
bien que plusieurs de ses caractères aient été 
décrits et figurés par M. E. Deslongchamps. 


Wig. 12. CYRTINA HETEROCLYTA, Defrance. Intérieur de la valve ventrale, afin 


de montrer le grand et unique septum médian, 
à la surface supérieure duquel s’attachent les 
plaques dentales ou rostrales ; une petite partie 
du pseudodeltidium a été enlevée ; celui-ci est 
très - bombé. 


« 


DemarLn , Bouchard. Valve ventrale destinée à montrer 


que dans cette espèce le septum médian s'étend 
jusque contre la surface interne du pseudodel- 
tidium , et que les plaques dentales sont soudées 
aux côtés de celui-ci, au lieu de l’être à son 
bord supérieur, comme chez les C. Acteroclyta 
et seplosa. On ne connaît pas encore d'intérieur 
parfait de la valve dorsale d'aucune espèce de 
Cyrtina. 


Fig. 14. Arayris ( M’Coy) — SriricerA (d'Orb.) PEcrinirerA , J. de C. Sowerhy. 


Fig. 15. 


Intérieur de la valve dorsale et une partie de la 
valve ventrale, grossis. La plaque cardinale et 
une petite ouverture circulaire, ainsi que les 
spires avec leurs appendices compliqués, se 
trouvent représentés dans cette figure ; seule- 
ment, le cône spiral de droite a été légèrement 
déplacé de sa position naturelle , afin de mieux 
faire apercevoir la relation des lamelles. La 
charnière des deux valves est également visible, 
de même que les plaques rostrales et ouverture 
de la valve ventrale. 


CONCENTRICA , V. Buch. Intérieur de la valve ventrale ; les im- 


pressions des muscles adducteur A et divaricateur 
R, sont très-visibles dans cet échantillon; F, 
ouverture. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , ete. AT 


Fig. 16. MerisrA HercuLeA, Barrande, Intérieur de la valve ventrale, 
montrant l'appendice en forme de chausse -pied 
H, décrit en premier lieu par M. King. 

Fig. 17. — TunDA, Dalman. Intérieur de la valve dorsale. Malgré 
toutes les peines que s’est données M. Suess pour 
parvenir à se procurer l’intérieur du genre qu'il 
a créé, une figure parfaite reste encore à en 
obtenir. Celle que je donne ici n’est pas sufl- 
samment exacte, ni détaillée. 


Fig. 18. — TuMiDA, Dalman. Intérieur de la valve ventrale; A, im- 
pression du muscle adducieur; R, celle du muscle 
divaricateur. 

Fig. 19. — SCALPRUM , F. Roemer. Extérieur de la valve ventrale , sur 


lequel on remarque les deux lignes divergeantes 
dues aux plaques dentales, ainsi que le creux 
qui se trouve sous l’appendice en forme de chausse- 
pied, H, 

Fig. 20. Retzra SsERPENTINA, De Koninck, D’après un dessin fait par M. S. P. 
Woodward ; jusqu'ici on ne connaît aucune figure 
parfaite de l’intérieur de l’une ni de l’autre valve 
de cette espèce et tout ce que l’on saït, c'est 
que les échantillons de ce sous-genre sont munis 
d’appendices spiraux. 

Fig. 21, Tremarospira ? Hall.) Je ne possède pas les matériaux nécessaires 

Fig. 22. Nuczeospira ? Hall.) pour représenter ces genres; mais il est à 

présumer que M. Hall y suppléera sous peu. 

Fig, 53. Unaires ervraus, Defrance. Figure imparfaite d’une partie des 
deux valves, montrant la position des expansions 
en forme de poche, g, et le point d'attache 
des lamelles qui est supposée avoir donné naissance 
aux cônes spiraux. J'y ai ajouté un fragmeut d’un 
autre échantillon sur lequel on remarque des traces 
de spire L ; une figure parfaite de ces appen- 
dices et des impressions musculaires des deux valves 
resle encore à obtenir. 

Fig. 24, — Gryraus, Defrance. Le même échantillon vu de profil ; une 
partie du test a été enlevée , abn de prouver que les 
poches n’ont aucune communication avec l’intérieur 
de la coquille. 

Fig. 25, — Grypaus, Defrance. Echantillon destiné à montrer que dans 
le jeune âge la coquille s’attachait aux objets 
sous- marins, à l’aide d’un pédoncule sortant de 
l'ouverture F, dont le crochet de la grande valve 
était percé. 

Fig. 26. Arrypa (Dalman) SririGERINA (d’Orb) RETICULARIS. Linnœus. Intérieur 
de la valve dorsale, montrant la position naturelle 
des cônes spiraux, verticaux. 

Fig. 27. — rericuaris, Linnœus. Intérieur de la valve ventrale; F, 
ouverture: D, deltidium ; T, dents cardinales; A, 
impression du muscle adducteur ; R, P, celles 


48 


Fig. 


Fig. 


Fig. 


L. pe Koxixck. — Mémoire sur les genres el les sous-genres 


34. 


du muscle ventral ajusteur; V, celles des vaisseaux 
circulatoires. 


. 28. ArRYPA RETICULARIS, Linnœus, Echantillon dont la majeure partie de 


la valve dorsale a été enlevée , afin de montrer 
la partie postérieure des cônes spiraux. 

— Intérieur de la valve dorsale, dont on a en- 
levé les lamelles spirales , afin de montrer les 
impressions du muscle adducteur ou occluseur 
antérieur et postérieur A. 


. 50. ANOPLOTHECA EAMELLOSA, G. Sandberger. Fragment laissant voir les 


cônes spiraux verticaux. 

— Moule interne de la valve dorsale, À im- 
pressions du muscle adducteur ; J, appendice 
cardinal. 

— Moule interne de la valve ventrale. Les 
figures 30, 31 et 52 ont été copiées du Mémoire 
de M. G. Sandberger, publié en 1855, par 
l’Académie de Vienne. Il est à regretter que l’in- 
suffisance des matériaux découverts jusqu'ici, 
n'aient pas permis à l’auteur du genre de nous 
donner une meilleure représentation des appen- 
dices spiraux (1). 


. 53. DavipsoniA VErNeuILn, Bouchard. Intérieur grossi de la valve dor- 


sale ; J, apophyse cardinale; £, fossettes; À , im- 
pressions du muscle adducteur. Une figure res- 
taurée des lamelles spirales récemment décou- 
vertes par M. de Koninck a été ajoutée à lun 
des côtés, 


— Intérieur grossi de la valve ventrale, mon- 


trant les dents cardinales , le pseudodeltidium , 
les impressions des muscies adducteur A et di- 
varicateur R, ainsi que celles des vaisseaux cir- 
culatoires V et enfin, les cônes calcaires massifs 
qui occupent le fond de la valve. 


35. KonincriNA LEoNHaRDI, Wissman, Echantillon transparent, aminci au 


moyen d’un acide, vu du côté de Ia valve ven- 
trale, ce qui permet d’apercevoir la position des 
lamelles spirales. 

— Intérieur de ila valve dorsale, ayant conservé 
upe partie des lamelles spirales. Ces deux figures 
m'ont été communiquées par M. Suess. 


(4) Les regrets de M. Davidson sont d'autant plus fondés que rien ne prouve 
que les appendices spiraux représentés psr M. G. Sandberger, appartiennent 
réellement au genre et à l'espèce auxquels il les rapporte. 


L. DE KOoN, 


des Brachiopodes munis d’appendices spiraux , elc. 49 


EXPLICATION DE LA PLANCHE II. 


Par M. DE KONINCK. 


Fig. 4. Section longitudinale de Cyrtina heteroclyta. Defr. d’après Davidson 
a. Moitié de l’area. 


d. Pseudodeltidium. 
v et x. Plaques dentales. 
s. Septum médian. 
Fig. 2. Valve ventrale de Cyrtina seplosa, Phill. vue à l'intérieur ; d’après 
Davidson. 
s. Septum médian, composé de deux lamelles. 


Fig. 3. Moule interne de la valve dorsale du même ; d’après Davidson. 
a. Impression du muscle adducteur ou occluseur postérieur. 
a! Impression du muscle adducteur ou occluseur antérieur (1). 
Fig. 4 Valve dorsale du même, vue à l’intérieur , d’après un échantillon du 
calcaire de Visé, de ma collection. Cet échantillon n'offre aucune 
trace des impressions musculaires. 
pp. Plaques dentales, dont les extrémités étaient destinées à soutenir 
les spires calcaires. 
Fig. 5. Spirifer distans, Sow., vue du côté de l’area, d’après un échantillon 
du calcaire de Tournay, de ma collection. 


(1) Afin d'éviter tout malentendu, je ferai observer encore une fois que 
les muscles ayant pour fonctions d'ouvrir les valves ont été désignés récem- 
ment par M. Hancock sous le nom de divaricateurs et divaricateurs acces- 
soires ; que ceux destinés à fermer les valves ont été nommés occluseurs an- 
térieur et postérieur par ce même savant. Les divaricateurs sont ceux qui 
sont généralement connus sous le nom de muscles cardinaux (adductor brevis 
de Owen; muscles diducteurs de Gratiolet ); tandis que les divaricateurs 
accessoires sont mieux connus sous la désignation de cardinaux accessoires ou 
cardinalis de Owen. 

L’occluseur égale le muscle adducteur de la plupart des auteurs; l’occluseur 
antérieur équivaut à l’adduclor longus anticus de Owen; l’occluseur postérieur 
à l’adductor longus posticus du même. 

Les muscles pédiculaires ont reçu de M. Hancock le nom de muscles ajus- 
teurs, parce qu'ils ont pour destination , de mouvoir la coquille sur son 
pédoncule et de la fixer; le capsularis de Owen a été désigné par M. Hancock 
sous le nom de muscle pédonculaire. 


(Note de M. Davinson. } 
7 


59 L.ne Konincx. — Mémoire sur les genres el les sous-genres 


Fig. G. 


Fig. 9. 


Fig, 9 a, 


Fig. 40, 
Fig. 11. 
Fig, 42. 
Fig. 13. 
Fig. 14 


d. Ouverture deltoïdale. 

d!'. Pseudodeltidium. d/” Pseudodeltidium complémentaire. J'ai fait 
figurer cet échantillon , afin de montrer la structure du pseu- 
dodeltidium , qui est formé de couches calcareuses légèrement 
imbriquées, servant à fermer plus de la moitié de l’ouverture 
deltoïdale de l’area; ce pseudodeltidium ne porte aucune trace d'ou 
verture. On remarquera en outre sur cette area en d/! l’existence 
d’une sorte de cicatrice triangulaire , comme si une ouverture 
triangulaire plus grande que la fente deltoïdale y avait d’abord 
existé et avait été oblitéree ensuite. C’est à cette partie que 
j'ai donné le nom de pseudodeltidium supplémentaire. On ne 
peut donc pas se servir de ce caractère pour établir une divi- 
sion dans les Orthis ainsi que l’ont proposé quelques paléon- 
tologistes, 


Fragment de valve ventrale du même, vue du côté interne, d’après 
un échantillon du calcaire de Visé, de ma collection. 

d' Pseudodeltidium. 

8,Ss. Septum divergeant. 

t. Tube appliqué contre la paroi interne du pseudodeltidium, mais 
dont on n'aperçoit aucune trace à l’extérieur. Le côté interne 
de ce tube est fendu sur toute sa longueur. L'absence d’ouver- 
ture dans le pseudodeltidium , malgré la présence de ce tube, 
prouve que le Sp. distans ne peut pas faire partie du genre 
Cyrtia. 

Spririfer convolutus. Phill., vu du côté de la valve dorsale, pro- 
venant du calcaire de Pauquys ; de ma collection. 

Moule interne du même, vu du côté de la valve ventrale et mon- 
trant l'impression des vaisseaux cCirculatoires, provenant de la 

même localité ; de ma collection. Comme cette impression est 
toute différente de celle du S. bisulcatus , il en résulte que ces 
deux espèces sont bien distinctes. 

r. Impression du musele cardinal ou divaricateur. &. Celle de l’adduc- 


teur ou occluseur. 
Spirifer lævissimus , de Kon. 

Echantillon provenant du calcaire de Tournay, vu du côté de la 

petite valve ; de ma collection. 

Fragment grossi du test, montrant les granulations dont sa surface 
est garnie, 

Le même, vu du côté opposé. 

Le même , vu du côté de larea. 

Le même , vu du côté frontal. 


Le même, vu de profil. 

Moule interne grossi de l’Athyris ambigua, Sow., vu du côté de 
la valve dorsale, Échantillon silicifié de Bakewell, de la col- 
lection du Âluseum of practical Geology de Londres, d’après 
Davidson. 


des Brachiopodes munis d'appendices spiraux , etc. Ji 


a. Impression de l'occluseur postérieur. 
æ. Celle de l’occluseur antérieur. 


Fig. 15. Le même vu du côté opposé. 
æ. Impression de l’occluseur. 
r. Celle du divaricateur. 
Fig. 146. Intérieur grossi de la valve dorsale de l’Athyris ambigual restaur 
d’après des échantillons du Museum of pratical Geology ; d'apres 
Davidson. 


Tho$ Davidson del.& th 


: à 0) 1 à 


IL. — Des combinaisons avec répétition. 


PAR 


J. MARTYNOWSKI, 


AGRÉGÉ À L’UNIVERSITÉ DE LIÉCE. 


2 CES SI — 


1. Les combinaisons avec répétition, ou simplement les répétitions 
de r lettres a, b, c, d, ... prises m à m, se présentent dans le 
développement de la puissance m° dù polynome a+-bc+d+.…., 
dans lequel , aprés avoir effectué le développement , on aurait 
soin de remplacer par lunité chaque coéfficient numérique 
m m m—] 
16 Ne 

En désignant par 

À R=a+b+ic+<d+... 

un polynome composé de r lettres a, b, c, d, ...et par (R,), la 
répétition de l’ordre # qui en provient, nous aurons 


(Rihn = (a+b+c+d+...)n 

l'indice m marquant qu'il faut, après avoir effectué le déve- 
loppement de la puissance #° du polynome R; remplacer par 
m mMm m—I 
D mt 

2. De cette définition de répétitions, on déduit plusieurs 
conséquences. 

1° Pour un nombre quelconque de lettres, on a toujours 

(HU 

C'est là la seule propriété commune aux répéutions et aux 
puissances. 

2° Si on partage le polynome R, en deux autres, tels que R, 
et R;_, de manière à avoir 

R; = R: + BR; 


l'unité chaque coéfficient numérique 


D4 J. Marryxowskt. — Des combinaisons 
il viendra 
(Ron = (Run * (Rru)o + (Ram: © Ru + + + + 
sf (Ra): (PE) + (Ru), ñ (RAR) “ 
Ainsi, par exemple, 
a+bed)i = (tb) + (ab), » (e+-d) + (ab): - (Hd): 
L (a+0), « (bd) + (cd) 
= Qi + ab + ab? + ab? L bé + 
(as + ab + ab°+ b5) (c4d) + 
+ (a? + ab + b?) (+ cd + à) + 
+ (a+46) + (°° + cd+ cd+d5) He cd + cd + 
+ cd? + di. 
8° En désignant par a, a, a3,... a les lettres du poly- 
nome R,, on a, d’après 2 
Rr)m = (Br) + (Re-1)ms Gt eee  (Rehear +0 
= (Bin + 0% { CR =)mt + + + (Ris a +} 
Gr, la première de ces égalités donne 
CRrmr = (Re)m1 + (Rome Arte ee LR ea ar 
donc , la seconde devient 
(Ru = (Rein + dr + (Rrm1- 
Cest la loi de récurrence des répétitions de r lettres et de 
l'ordre mn. 
4° Pour deux lettres a, et &, le corollaire précédent donne 
(Rr)m = (Rr—Gp)m Ar Gp ° (Rrjm1 ; 
(Rrjm = (Rr—@q)m + Gg * (Rr)m1 
Er retranchant, membre à membre, ces égalités , on trouve 
= (Riap)n— (Br—g)m + (Qp—@g) : (Rihmt 3 
d’où lon déduit ) 
CRe—plm — (Br = — (ap—@q) * (Rr)m1 
el par suite 
CR —ap)m = (Rr—AQy)m ; (O8 = ap— 3) 
congruence, dont la suivante 
an = 0", (mod = a —b) 


n'est qu'un cas particulier. 


avce réélilion. 55 


5. Une des propriétés remarquables des répétitions est que 
leur expression générale se compose d'autant de termes, qu'il y 
a de lettres ou d'éléments qui concourent à les former. Il est 
vrai que celte propriété est commune à toutes les fonctions 
symétriques en général; néanmoins , cette propriété est plus 
évidente pour les répétitions, que pour les autres, telles que 
sommes de combinaisons sans répétition, etc. 


1° S'il n’y a qu'une lettre, on a 
(a e=tan: 
2° Pour deux lettres on a 
(a-b)n = a + am1b HE qmaii L ... L apn1 Ep 


c'est-à-dire 


ar Du pa+1 an pui 
a+ = 


— bd er ba 

5° Pour trois lettres a, b el c, on a «d'abord 
(aH 040) = (a+ Da + (a Da 6e ee (ah EME em, 
et par suite 


(640 =" + D + en + fe ——)- cp 


a? b? b 
AE) Lé ha) : 


Or, le second membre de cette égalité peut s'écrire, comme 


il suit 

ee (EE ar + amtct HE see EL gr + en) + 

b 

AT (om + bic E pmtcr LE ... LL bot E cc”) ; 
donc 
a TER CNE) b bris cran 

== “ ma aus RMS 
DA Un ü —Ù (= F see ni ne +) 


nr (b—a)(b—c ne en (b-a)(c-b 


et finalement 


m-f-2 pu+2 en T? 
COR MONS 


(b—c)(a— a) h (6 —c)@ = a) (c—a)e—0; 


56 J. Marrywowski. — Des combinaisons 


% Pareillement, pour quatre lettres a, b, c et d, on aura 
art put? 
Ce a (a—b)(a—c)(a—d) = (b—c)(b—d)(b—a; “ 


c°H3 dn+5 


(c—a)(c—b)(c—d) 1 (d— a\d—b)(d—c) À 


Ainsi des autres sommes. 

Cette induction met sur la voie de la proposition énoncée. 
Il reste à prouver que si cette proposition est vraie pour une, 
deux, trois, etc. r lettres, elle est aussi vraie pour r+Æ14 let- 
tres, et par suite pour un nombre quelconque de lettres. 

Posons d’abord quelques principes. 

4. En disant qu’une expression de r lettres a, b, c, d, … 
est symétrique, lorsqu'elle ne change pas par la permutation, 
les unes dans les autres, de toutes les lettres, qui y sont em- 
ployées ; on énonce à la rigueur les » conditions, que cette ex- 
pression doit remplir, pour être symétrique. ï 

Ces r conditions peuvent être énoncées, comme ii suit : 

En écrivant Îles r lettres a, b, c, d,... dans un ordre 
cireulaire, de manière que chacune d'elles puisse être consi- 
dérée comme initiale de toutes les autres, qui la suivent ; 
toute expression symétrique de r lettres peut être répartie en r 
éléments, tels que si dans l’une d’eux, on échange chaque lettre 
en celle qui la suit immédiatement dans l’ordre circulaire, cet 
élément se change en un autre; ce dernier, en suivant la 
même marche, produit un troisième élément; et ainsi des 
autres. 


Corollaire. Si, dans une expression symétrique de r lettres, 
on trouve n'importe de quelle manière, les r—1 éléments, qui 
remplissent déjà les r—1 conditions de symétrie, le reste de 
cette expression nest autre chose que le r° élément, plus une 
fonction symétrique de toutes les lettres ; à moins que cette 
dernière ne soit nulle d'elle-même. 

5. cela posé, soit 


| R— 0, dat. 

un po/ynome composé de r lettres a, , & , 43 ,...a. Désignons 
par 7;(@i), 7r(@2) , T;(a3),... les produits des différences de 
chaque lettre à toutes celles qui la suivent dañs un ordre cir- 
eulaire, de manière qu'on ait 


avec répétition. 57 
ma) = (aa) + (aa) + (at) eee (ai) 
TL (A) = (tas) + (ai—as;) + (ai—û5s) + + + (a —u) 
EME 
et supposons qu'on ait 


MER am rt ant I 
PE TR RR ne Van PR net Pau à PERAMAnR 
RE EN sr 


je dis que, pour un polynome 
R+: = + ua T ee + a, + rx 


comprenant une lettre de plus, on aura 


) GNT GE ‘ HUE ane 
Rp) = + ee + 
der Zrbaldi) | Trpr(de) Trh(Qr) D) 


expression, dans laquelle on a 
rt(@i)= (i—G2) (ti 3) (ain) °° (ti — Gr) ° (4x — rx) 


D De Ga) Gus) &) =. au) Ja 2) 
etc., etc., 
Démonstration. On a 


(Rijin = (R:)m he (Ras °dr + DORE CR): Tr un (ESA 
En y substituant pour {R;)n, (Ri)m-1;, (Rr)m, . « . les valeurs 
que l'on suppose vraies , il viendra 


(FERMES Gt an tr—t 
R 1 == CCE à 
GR Ja Tr(@) Tr(@2) " an T(@r) A 
ATEN RTE S (Es sun 
——————— ——— 0: ee a, (41 
TA (Qi) Tr(Qa) # a ZT (Gr) EH 1 
(HUE ques HUE ù 
PE A PE a ct Non 
Fa) ra) F@) 
( Πae Es 


- . QE 
| Ti) Ti(@2) ie Ft Zr(Gr) ‘ 


Or, le second membre de cette égalité peut s’écrire comme 
il suit 


Cor 
. a? De 0 ee . QT m 
EE FC Gta ee a + QE + om je 


8 


58 J. Manrynowsxi. — Des combinaisons 


a! 


TE  T | 
T(Q>) 


° e ° 


A 4 
| AERRE 
TO) 44 Gé ar or al) AC 


c'est-à-dire 


nn Nas N a GE HR in ar | 
j x ————_—_—_—_—_—_— —— — ne e À a ——— 
Zir|(a)) le Ari y nue) et Grille 
gt Ca cp 
eco + —————— 56 jme ALT 5 
Tr(Qx) Det Gti —Ur 
donc 
aR+r our QRPE 
Rom =——— er 0 DC ei Le-vemarrapre 
Tr (41) TrbaQlo) Tr4i(de) 
ie a+! entr | 
ÿ 2 Tr 
Tr+a( Ua) Fr4i(@o) Tr (Gr) 


La première ligne du second membre contient déjà les r 
éléments de symétrie ; il faut donc que la seconde ligne soit 
le (r+1)°" élément plus une fonction symétrique de r+1 let- 


tres et que nous représenterons par — f4,, de sorte qu'on 
ait 
a a! a! 
1 1 1 2 
Tri(di)  Tr4a(@e) Tri(@r) 
HR 
fu 
Frp(Ar) : 
c’est-à-dire 
armes gro HE 
ù 1 1 2 
D de 
: Tr4(@s) Tri(@o) Trpi(Grq) 
Par suite de ces transformations, on a 
CE GEL at 


Ro) en eee Eu MEN 
ou Frpi(as) À rails) d lc ba 


Or, il est aisé de voir que, dans l'expression de fy1, la 
partie comprise entre les 1} est une fonction symétrique de 
r+1 lettres du polynome R,4,. En égalant cette partie à Æ, 


avec répélilion. 29 


on a: fix, = "ht. K; et en échangeant, dans cette dernière 
expression , Grpr EN Ar Any Bye 


fi = dy. K = &. K—a,.K=— etc.,etc.. 


puisque /,4, et À sont des fonctions invariables. Si cette fonc- 


tion f4, pouvait subsister, on en concluerait : & = 4: 
— 43 — etc. ; ce qui ne peut avoir lieu , puisque le polynome R;+: 
est censé ne contenir que des lettres différentes. Ainsi, la fonc- 
tion f., est du genre des fonctions identiquement nulles, cest- 
à-dire qu'elle ne peut subsister à moins qu'elle ne soit nulle 
d'elle-même. Donc. 


| 1 
(R:41) is + is Er un Sri 
4 1 == ———— ne een 
ie Tr+i(ts) Frgi(ue) Tr(r4i) 


et c'est ce qu'il fallait démontrer. 

6. De ce que la fonction f.4,, signalée dans le n° précé- 
dent, est nulle d'elle-même; en égalant son expression à zéro, 
après la suppression préalable du facteur a:4,, qui n’est pas 
nul, on conclut que 


a ar a 
| | PEN SR Er 
Fiat) Tale) Trti(@r) 
Or, cette dernière égalité’ n’est autre chose que (R;4:)m pour 
m— — 1 ; donc (R,4,)_, — 0. Néanmoins cette expression n'est 


vraie que lorsque le nombre des lettres employées dans une 
répétition est au moins deux. Car, si ce nombre était égal à 
un, la répétition dans ce cas devenant une puissance, on se- 
rait à conclure qu’une quantité , affectée de l’exposant —1, est 
égale à zéro, quelle que soit la valeur de cette quantité. On 
a donc, sous la réserve expresse, r 52, les égalités suivantes 


dd MR) 0 (00 Rd 


En changeant r en r—1 dans l'égalité 1), ou ce qui revient 
au même, en posant 


ne (ua ae 
DRE Ne DER RARES 
Æ, (4) ar Ær (ta) : 1 Te KE) 


Multiplions les deux termes de la première fraction du sce- 
cond membre par a;—,4,, ceux de la seconde par 49 —@x 1; 


60 J. ManTyNowski.— Des combinaisons 


et ainsi de suite jusqu'à la dernière, dont nous multiplierons 
les deux termes par a—@,+,; et nous aurons 


UE) te ee (ne (= Grpa) 


Fri (as) Tri a Tri (Ur) 


us (et Te ((T 


à cause de 


Trpi(tr) = rt) + (di @r4) , Trade) = Zita) à (to —0ryi) , etc. 


L'égalité qu’on vient de poser peut s’écrire comme il suit 


cn … … 
Tr (Qi) (te) Tr1(Qr) 
GARE Ge RE 


T 
SR 
“ Tr—1 (a) Tr (Uo) Tr4i(Ur) 
Or, le premier membre de cette égalité, en vertu de la re- 
lation 1) peut ètre remplacé par 


—1 
r+-l 


7) 
done, en substituant, réduisant tout à zéro, puis en suppri- 
mant le facteur a,4,, qui ne peut pas être nul, on aura 


a? 


9 


D eus 
Tri (&1) Trpi(uio) 7 pæ1 (&r4a) 


Cette dernière égalité n'est autre chose que l'expression de 
(Rrpihm, lorsqu'on y faitm— — 2; donc, (R:pr)—: = 0. Néan- 
moins , celte rélation n'est vraie que lorsque le nombre de 
lettres employées est au moins trois. On a donc, cette restric- 
tion admise 


he CR. 20 (A) 0000 Ce) 0 


En prenant, pour point de départ, l'égalité 3) et en opérant 
de la même manière, on trouvera 


Gin HT ani 
D) . «+ 0 ne 5 + CNP CR ETES + es — RER AT TIN 
Tr41(le) Tr4u(Ua) Ty41(Ur1) 


égalité qui n’est autre chose que (R;4:)-3 = 0. Néanmoins, 
cette égalité n’est vraie que lorsque le nombre de lettres em- 
ployées est au moins quatre, de sorte que ce n’est que sous 
cette réserve expresse, qu'on à 


avec répélilion. 61 
6) sic . (R;)_3 —0 : (R;)_3 —0, FAURE (R)_3 — (I EEE 


Ainsi des autres. 
Scholie. En ne de l'égalité (N° 2, … 


KR) = (Rein + a * Run, 


qui exprime la récurrence des pee de r lettres et de 
l'ordre m, on trouve en posant m = 0 


(Rr)o = CR MS Je Ce (R,)_., 
c'est-à-dire | 
1=1+a.(R)., 


et par suite (R;)_, — 0. Néanmoins, l'expression (R,), n’est pas 
nulle pour toutes les valeurs négatives de m. En général, et c’est 
ce que nous allons démontrer dans les deux numéros suivants, 
l'expression (R,) n’est nulle que pour m = —1,—92,— 3, 
.… —(r—1) c'est-à-dire pour autant de valeurs négatives de 
m, qu'ils y a de lettres moins un. 

7. D'abord, nous allons démontrer qu'il existe une rélation 
entre la répétition affectée d'un indice négatif et la répétition 
proprement dite des inverses de la même somme. 


L'expression 
R ) ail du D ETERe 1 M GARE 
sur Tr (&) : Tr (a) Tr(@r) 


en y changeant m en —m, donne 


ar 1 ü ROLL Peu ni 
2 r 


(R)-n = — Le + 


Tr (&a) Fr (fe) Tr (&r) 


Posons maintenant 
2 Leu EAN ! wi 
R,=at +at+a +... +at 


et nous aurons (R_,)., en changeant a, en al, a, en a5!..… 
dans (R;:hn, savoir 


em ) dy A (pe . | | en 
re —— NSP TE . Ie TAG ET EU 
10) NET Fr (4) ze (a5 1) 


Or, 


62 J. MarTynwowski. — Des combinaisons 


CE CS CS 


Eten 
MON ass 


r(ist) = ete., etc. 


donc 


1 
ré / r— a] 
(R_;hn — (—1)"T la an, … AP rernr + Hz (&,) +... + 


D'autre part, si dans l'expression de (R;)-», on remplace 
m par Mr, on a 


1 


er.) À er) À era) 


Hip an 


En divisant, membre à membre, les deux dernières égalités, 
on trouve 


(R LE 


SO 4 
Co ÉD) a, aa 0 a 


ou bien, en changeant #5 en m—r, 


(R)-n= LOT ae 


AU9U3 + Ex 


Telle est la relation demandée. 


Scholie. On conçoit aisément la répétion d’une somme et Îa 
répétition des inverses de cette somme; et il en résulte que si 
une répétition affectée d’un indice négatif ne peut être rattachée à 
la répétition proprement dite des inverses d’une somme , elles sont 
nécessairement nulles, l’une et l’autre. Dans la relation , qu'on 
vient de trouver, il existe r—1 valeurs de #, pour lesquelles, 
une expression, telle que (R;)_… ne peut être rattachée à (R_+)m-r; 
dont l'indice est positif. En posant œtoñs. .. «x = P et m—1, 
2,3,...(r—1), la relation trouvée donne 


avec répélilion. 63 


P. (R)i= (1) (R-)_0 
PR CA) (RE, 
Be (R)-K-0—= (—1 Ye © (Ron 


Cela posé, on voit qu'il y ar—1 expressions, telles que (R,)_:, 
(R;)_2,.... dont l'existence ne peut être rattachée à celle de là 
répétition proprement dite des inverses de la même somme; ces 
r—1 expressions sont nulles , ainsi que leurs correspondantes. 

8. En prenant successivement deux, trois, etc. lettres, on 
démontre aisément les restrictions auxquelles sont soumises, 
n° 6, les expressions de (R;:)_1, (R:)_2, (Rr)_s, etc. . 

Ainsi, pour une répétition de deux lettres a etb,ona 


(a+) =02 +0.(a4-0)n_1 


Si m—0, on trouve (a—b)_1=0; mais, en posant m——1, 
on ne trouve pas (a+b) 2 égale à zéro. Dès lors, la valeur 


de (ab) _: est précisément la mème que fournit la relation 
du n° 7, savoir 


B i 
(a+ )_a UN ab 
En prenant trois lettres a, 6 etc, on a 


(ab Da = (LB )n (ab On à 


En y posant m—0 et m——1, on trouve 


(a+bæ+c)1=0, (a+b-Ec) 2>—0, 


tandis que 


1 
(bte) =, (a+b+c)_,= etc. ,.. 


Ainsi des autres. 


9. La difficulté d’assigner les valeurs de »m qui rendent l'ex- 
pression (R;) nulle, tient à ce que cette expression est une 
fonction de deux arguments, dont l’un r exprime le nombre 
de lettres et qui ne peut être moindre que deux, et dont l’autre # 
porte sur les exposants des lettres et qui, comme tel, est 
susceptible de recevoir toutes les valeurs entières ou fraction- 
naires, positives ou négatives. En ayant égard à l’une et à 


6% J. Marrynowsi. — Des combinaisons 


Vautre de ces circonstances, la récurrence de (R,), affecte des 
formes différentes. Ainsi, en partant de la formule 


(Rr)m=ûre (R5)m_1 1 CREME 


on arrive successivement à 
Rim= de (Rom1+ (1m 
= re (Ro)n1 +0 1 (Br 1) 1 (Rr2)m 
= One (Ri)m1 #01 e (Rr-1)m 1 (Gr. (Rs 9) m1 + (Rr-3)m 
etc., etc. 
En poussant ces expressions jusqu'au terme (AR; = 
= 1 (R;)m_1 €t en renversant, on aura 


1). . (Rr)m=— Ge (R;)m1 #09. (Ro)m 14-05. (R3)m1 + .… + Are CREER 


Telle est la récurrence de (R;), non moins remarquable que 
la suivante 


2) 000 (Rr}m Le (Rs Ju + rx CR) 2e a. (1m 2 ce ar. (R_1)0 


et qui nous est déjà connue. 
10, La formule qui donne (R,), devient illusoire, lorsque deux 


ou plusieurs lettres deviennent égales. 
Commençons par la répétition de deux lettres. Si dans 
(Ron = (+0) = 07 + 80 Lam... EUR 
on fait b— «a, on trouve 
(2a)n=(m+1).a, 


Dans la répétition de trois lettres a, b et c, posons c—b, 
et nous aurons 


(a+ 20) = a +201 5an Em )pe 


Poursommer cette dernière série, multiplions les deux membres 
par a—Ù et nous aurons 


(a—b). (a+ 20) = +0 b Sa. (m4 Dabr 
— ab — Dam. —mabrL (on 1) pet 


= (4. ( 0 0)m— (mn + 1)be 


avec répétition. 65 


Dans la répétition de quatre lettres a, b, c et d, posons 
d=c—b, et nous aurons 


(a —b).(a4-30)m =. (44-26) n— Le pri 


et ainsi des autres. 
Généralement, 


Mol 1 m+92 me 
(ab). (ab) a (aie bu _… se + 


De ces expressions, on déduit les formules particulières 
suivantes : 


Om, 


a pH on +1 
55 ABC As LÉ RRE 
(a+2b)» (=). «+0. D bu 
À mi (m1 m+ 1 m4 
2e NT Ft ns MR + 
Su ( (Gba + pe nn à l 
Vo mi a Y m1 m+92 
Gt) CH so A ne 
=} m+2 m+45 
PT) DE PE A 


etc. , etc 
En posant a — 0, ces formules donnent 


m+1 m+1 m+12 m+Tm+2 m4 
1 .b PRE AC Qi 07 ETAT URDRU Cal e elc., etc, 


c’est-à-dire qu’elles expriment ce que devient la répétition de 
deux, trois, quatre ., etc. , égales. 

Dès lors, si la répétition (R:4,)h contient un système de & 
lettres égales à &, on posera d’abord 

(Repr}n= (Ram + (Rajmt «(RH (Ryn_2 « (R): +... (Ri)r ; 
puis 


A co _ =. mai 
m—i 
(Ryu)m1 = (KG)m-1 = ete. . 
Gela posé , la répétition, dont # lettres deviennent égales, 
s'exprime , comme il suit 


(RH 0)m = (0) + (40) 4 CR: Æ(HG)m2 (RH +R me 
9 


a” 


66 J. ManrTywowskr. — Des combinaisons 


Si le polynome R; contenait un système d’autres lettres 
égales à b, une nauvelle décomposition serait nécessaire, 

11. Les répétitions ont cela de commun avec toutes les fonc- 
tions symétriques , qu'elles peuvent exprimer à l’aide des fonctions 
symétriques des racines d’une équation. 

Soit une série récurrente 

1 
En chassant le dénominateur et en égalant à zéro les coefficients 
de diverses puissances de x, on trouvera 
A; — Ci 
A,— CA, 
A3 — ©, À, + ©: A: — c; 
A4 — C1 A3 C À; — c3 Ai + c 
— A5 —0c, A; + c A3 — c3 À, + C; Ar — C5 
ele ele ur 
Le calcul de À,, 4,, 43, .,, donne 
Ie 
A, =— €, + c 
A3 —= C3 — 2cc, + 
A, =—0, + Dis + cè—5cic, + 
As — C5 — ic, — Dc,c3 + 3cica 1 50Èco — cc, ci 
etc etc Ne Ce 


—1+ 4,01 A ,2° + 43x33... 


| 


Ï 


U | 


es ee 


Or , si l'on a une équation , telle que 
Q = 2 — cn Le a GE HA Nr 


Cr» Co» C3 + « . Seront les sommes des combinaisons des racines 
une à une, deux à deux, trois à trois, etc. , etc. . . Cela posé, 
il sera aisé de démontrer que A:, À:, 43, . . . ne sont autre 
chose que les répétitions proprement dites des racines de la 
proposée , prises une à une , deux à deux, trois à trois, etc., etc. 
En effet, si l’on désigne par a et b les racines d’une équation, 
on aura 
1 | ! 
D rates à 0 AE + A: + CLIQUE 

et 

A;,=a+b, ÀA,—a<+ab+b, A3=a+ab+ab+b, etc. 

Cette propriété étant reconnue comme vraie, lorsqu'il y a 


UT un JTE 7, 


avec répéliion. 67 


deux lettres , sera également vraie, lorsqu'on aura trois lettres. 
Ainsi, en posant 

1 
1—(a+b+c)x+(ab+ac+be)x?—4bcxs 


on aura 
B;,= (a+b+c),, B:— (a+b+c):, Bi (a+bÆc)s,... 


Ainsi des autres. Il est donc permis de conclure, sur cette 
voie d’induction , que si la série récurrente est un divisé par 
un polynome algébrique du degré r en x; les coefficients de 
cette série récurrente sont les répétitions des racines que four- 
nit le polynome en question égale à zéro. 


— 1+ Br LB, Bars +... 


12. Venons en maintenant à la construction immédiate des 
répétitions à laide des fonctions invariables des racines d’une 
équation. 

En distribuant chaque expression de À en groupes de ter- 
mes comprenant chacun un facteur de plus, on voit aisément 
(N° 11) que les signes de ces groupes sont alternes. De plus, 
si on désigne par Cu l’agrégat des termes, comprenant 
facteurs , de manière que la somme des numéros, des lettres 
employées, soit partout égale à m, et que chaque puissance à 
d'une lettre soit divisée par la factorielle correspondante 1/1, 
l'expression générale de À, N°11, sera 


An = AT Gr — 1m C2 AMOR CS — MGR CE +22 4 


On peut aussi ordonner cette expression suivant les puissan- 
ces descendantes de la lettre C,, de sorte que 


Am=cr—cp2. (m—1). ce + 


(A, 
+7.) (m—2) ces + (m—2) 7! : 9 + 


&-e, + 


RE Co 
Ce ON ER = t+ 


1.2.0 


c2 


A AA TES Ca 
+ (n—4) 1, c a Cat Gr 


elc., éte. 


68 J. MarTyNowski, — Des combinaisons 


jusqu'aux termes qui contiennent des puissances négatives de 
C,, termes qui tous doivent être négligés (Philosophie de la 
Technie algorithmique , pages 457 et 458 ). 


13. On peut aussi exprimer les répétitions à l’aide des som- 
mes des puissances semblables des racines d’une équation, dont 
les racines sont les éléments d’une répétition. 


Soient 5, S:, S3,... les sommes des puissances 1”, 2”, 3" 
... des racines de l'équation 


2 


OO = at — caen... H(—D'e. 
En posant 
€ 


Êr S9 S3 


— ht, 2 =, —— = ts, 


1 2 2 
les coefficients c', c,, c3, . . . de l'équation peuvent s'expri- 


mer , comme il suit , à l’aide des sommes des puissances sem- 
blables des racines 


Brest RO 

=D ED 00 

ca = 01 — 09 LE CS 

c, = — O1 + 402 — 1,05 + 1,04 
etc. , etc. 


En substituant ces expressions dans celles de À, N° 11, on 
trouve 


AN 01 

A: = Ci + 1,02 

A3 = BC + C2 L hCS 

À, = GO + 402 + 1,05 LE Ch 
etc., etc. 


Les formules qui expriment C;, C;, C3, . « . et À;, 4, 
A3, ... sont remarquables en ce sens, qu’elles se composent 
de mêmes termes. Ainsi, lorsque m est impair, on a 


Am + € = 2 (02 + Ok + 06 + m8 + « « +) 

Âm — Cm = 2 (fnO1 + bn0S + In D + fmO7 +.) ; 
et lorsque mn est pair, 

An — Em = 2 (4102 + ImC4 + (C6 + (mC8 + + - +) 

Am + Cm = 2 (O1 L Im0S + CD À fmO7 He. +) à 


avec répétition. 69 

14. Reprenons les formules du N° 11 et nous aurons pour la 

répétition générale, c’est-à-dire, pour la répétition du degré 
m , l'expression suivante 

1) .. (R;)m = Cr Ü (DE Fe Ca ° M)nenes C3 (R,)m—3 MUGL eNtere + 

= (—1)"—" "ul Cr ® (RSA: 

tout en ayant soin de rejeter, pour une valeur particulière de 


m , les termes affectés des répétitions à exposants négalils, 
savoir 


(R). —0, (R)=0,(R):=—0, . . . (R)_y 0. 


Cela posé, remplaçons m par —» dans la formule 1) et 
nous aurons 


COM (RD) te. CR) mn +. (AN ce (Re) mr 
d'où l’on tire 
en — ( (R) mr — Cr—2 (R;) RU EP +(— j en (OLA EAS 


Posons m+r—n, et nous aurons 
D (me (RL. O1 (R.e 


Telle est la récurrence des répétitions à indices négatifs. 
Nous avons vu, N° 7, que ces expressions n’ont pas d'exis- 
tence qu’en tant qu'elles peuvent être rattachées aux répétitions 
proprement dites des inverses de la même somme. 


15. Il nous reste à parler de la forme particulière, que 
prend la répétition , lorsque les lettres qui la composent pren- 
nent des valeurs équidifférentes. 


Soit 
ant a+ ar 
1 2 | pi 
Ron = EE ++ —+ 
Tr-4a(G) Tri( Gr) Ærpr(lrg) 


expression, dans laquelle nous ferons 
D Na Na NO NS Er = Ti: 
Comme on a, dans cette hypothèse 
ana) (=) 12.94 ar = (1% 1%# 
Tag (a)= (11 .1,2.5...(r—1) 1 = Cp. PL. 
Zrgn (as)=(—IYE, 12,5... (r—2) + 1.2 (1). 17/1 1,2 
etc., etc. 


70 J. Marrynowaki. — Des combinaisons 


en désignant par E(r+1) ce que devient (Ra, il vient 


—1|Y 
E,(r+1) = | A — 702, 9m E 7C2. Snk LL... Lt 


+. CH). 
Or, si on prend la suite, telle que 
Po, ARR GER NE STE 


on à 
AF. ARR (AP, Ame — PC. One LE 702, SR — 
+ (AIT. (HDPE} 
Donc, 


e 
É] 


EYE e En(r—1) —= INE e qu 
Telle est, dans l'hypothèse établie, la forme particulière de 
(Rein et qu'il s'agissait de faire connaître ici. 
16. La nature de la fonction EA(r+1) nous étant connue, 
on peut s’en servir pour déterminer Ar.A%#. On a 
E(r+1) = 1; 
et par suite 
AE ee {7/1 
Pour m—1, on a 


+ r 1 r-1-2 
EI) 24 He à 
et par suite 
r +92 

2 

Pour avoir E,(r+4-1) employons la formule 1) du N°9 et il 
viendra 


AE = PA, _ 


r+1 r+42 
E,(r41) = 1-22. 545.6 +4. 10-25. 15 +. os re es 


c’est-à-dire 


E, (+1) = Z(r+1). _ : _. 


Or, le second membre de cette dernière égalité revient à 


Z{r+41). r+90C2 = — 2. 374909 +5. 314505; 


avec répétilion. 71 
donc 
E, (1-1) = — 92.574909 +53. = r15C5. 
Pour obtenir les sommes indiquées au second membre, ob- 
servons que 
_mCn = m=1Cn + mA Cn=1i 
et par suite, lorsqu'on prend la différence dans l’ordre des- 
cendant 
AumCn = m=iCr=T ; 
d'où 
E.m—1Cn—1 = mn, 
sans y ajouter de constante, puisque ces sortes de fonctions 
s'évanouissent avee m=—0Q. Cela posé, on aura 
E.(r41) = — 2. 505 + 5. r+4C4. 
Partant 
E3 (r+ 0) = E (+41). E, (741) 
——22©(r+1).r41C5+4 5. Z(r+-1). r +A4C4 
—6.2r+5 C5 — 90. SrLACLHAS. Sr E5CS 
6.74 C4— 90.750 5115. 1-26 C6. 
En procédant toujours de la même manière, on aura le tableau 
suivant 


1)...E,(r41)= 772 C2 
E, (r#1)=— 2.75 C54-3. r F4 CA 
Ea(r+1)=6.7-4C4—90.7E5C5-L1 57 06C6 
E,(r41)=— 24.75 C5 1150.76 C6 — 210. r-E7 CT 
105.78 C8, etc. , etc. . . . 


On voit que, dans la construction de ces expressions, le tout 
dépend des coefficients numériques suivants 


1 
D MAMIE AUS 
0e 20):2519 


24 . 1430 . 210  . 105 
120 . 924 , 2580 . 2520 . 945 
720 . 7508 . 26452 . 44100 . 54650 . 10395 
(EU CANMAN ENRAENES 
Ces nombres jouissent de la propriété suivante. En désignant 


7 J. Marrvsowski. — Des combinaisons 


les termes de la n° ligne par &, d, c, d,. . . ceux de la (n11}° 
seront 
na, (ni) (tb), (n+2) (be), (nh5) (c+d), … 
On peut aussi mettre les fonctions Æ sous la forme suivante : 


9)... E, tr) = 7120 
E, (r41) = #3 C5 +5 .r15 C4 
E; (r44) = +4 C4 + 40. r +4 C5 15. r F4 C6 
Es pt)= 75 C5 95. r+5 C6 + 105. r-È5 CT-+ 108. 
r+4 C8 
ÉtCA AEIC- eue 
Les coefficients numériques de ces expressions présentent Île 
tableau suivant : 


C4 


10) = 15 
20 1 0560405 
2150 4807 2 4926042045 
EE 0 0 0 
Ces nombres jouissent de la propriété suivante. En désignant 
par a, b, c, d , etc., ete. . . . les termes de la n° ligne; 
eeux de la (n+1)=s’obtiendront en employant les deux lignes 
suivantes 2 
a, 260! 30 , 4d , is 
(n+2a, (n+5)b, (n+hc,. . . 
et en ajoutant par colonnes. Ainsi, les nombres de deux lignes 
successives mises en regard, sont 
1,06, c; d, ete. Mie 
4 , n+2 (140), nb+S (bc), nc+4 (cd), etc. , . 


> D pu En = 


—— ie -— 


IN, — Méthode infinitésimale en Géométrie , 
PAR 


J—Ne NOËL , 


PROFESSEUR ÉMÉRITE DE LUNIVERSITÉ DE LIÉGE. 


Ce Mémoire a pour but de prouver directement , par l'étude 
approfondie des notions premières , que le choix de bonnes 
définitions et l'emploi explicite des grandeurs infinitésimales 
sont les seuls moyens de donner, aux théories de la Géométrie 
élémentaire, toute la clarté, la simplicité et la complète exactitude 
logique dont elles sont susceptibles. 

Les définitions et les théories modifiées sont ici développées 
telles qu’elles devraient figurer désormais dans les éléments de 
Géométrie. On a d’ailleurs résolu toutes les difficultés dont ces 
définitions et ces théories ont été l’objet. 


De la Ligne droite et des Angles. 


Liexe Droite. — Parmi les définitions de la ligne droite, 
je pense toujours qu’on doit préférer la suivante : 

On appelle ligne droite, ou simplement droite, le plus court 
chemin pour aller d’un point à un autre, c’est-à-dire la plus 
courte de toutes les lignes joignant le premier point au 
second. 

Il est clair d’abord que pour décrire le plus court chemin 
du point À au point B, le point mobile partant de A, doit 
tendre et se mouvoir constamment , C'est-à-dire sans aucun de- 
tour, vers le point fixe B et finir par coïncider avec ce der- 
nier. Or, de là résulte cette définition descriptive, due à 
M. Lamarle : 


10 


74 J.-N. Noëz. — Méthode infinitésimale 


La droite est la trace d’un point qui tend et se meut cons- 
lamiment vers un même point fixe (soit que le point mobile 
atteigne ou n'atteigne pas ce dernier ). Cette tendance constante 
s'appelle la direction du point mobile ; et c’est aussi la direction 
de la droite décrite. De sorte que la droite est une ligne de 
direction constante. 


Un fil tendu donne l’idée exacte d’une ligne droite; car ïl 
est évidemment plus court que le fil non tendu , ayant les mêmes 
extrémités. 


PROPRIÉTÉS DE LA DROITE. — 1° Puisque Îla propriété ca- 
ractéristique de la droite AB est d’être le plus court che- 
min pour aller du point À au point B, on voit que cette 
droite exprime la vraie distance entre Îes deux points ex- 
trêmes À et B, d’ailleurs aussi éloignés l’un de l’autre qu’on 
veut le supposer. Il existe donc une infinité de droites de 
longueurs différentes. 


9 Du point À au point B, ü n'y a qu'une seule ligne droite. 
Car sil pouvait y en avoir deux , le point qui décrirait la 
seconde , devant partir du point À et se mouvoir constamment 
vers le point fixe B, jusqu'à coïncider avec celui-ci , passerait 
nécessairement par toutes les positions du point générateur de 
la première droite. Les deux droites auraient done tous leurs 
points communs et se confondraient en une seule. Ainsi deux 
droites coïncident, aussi bien que leurs milieux , dès qu'elles ont 
les mêmes extrémités; et l’une n'est ni plus ni moins droite 
que l'autre. 

3° Lorsque deux droites ont deux points communs, elles 
coïncident dans toute leur étendue indéfinie et n’en font qu'une 
seule. — D'abord, entre les deux points communs A et B les 
deux droites n’en font qu’une (2°). Ensuite , supposons qu'étant 
prolongées elles puissent se séparer en un point G, l’une 
devenant ACD et l’autre ACE. Dans cette hypothèse, il est 
clair que la seconde droite restant fixe, on peut faire tourner 
la première autour du point fixe À et amener le point D sur 
un point F de la seconde droite. Il y aurait done alors, du 
point A au point F, deux droites différentes ; chose impossible 
(2°). Donc les deux droites proposées ne peuvent se séparer 
en aucun point de leurs prolongements et coïncident dans tous 
leurs points. 


en Géométrie. 75 


4° Une droite peut se prolonger autant qu'on veut dans Îles 
deux sens, mais dans chaque sens elle ne peut avoir qu'un 
seul prolongement éndéfini, s’il n’est pas donné. 

5° Deux points suffisent pour déterminer la direction ou la 
position d'une droite dans l’espace ; c’est-à-dire que, par deux 
points donnés, on ne peut faire passer qu'une seule ligne 
droite. 

6° Enfin, deux droites ne peuvent se couper qu'en un seul 
point; lequel est dit leur point de rencontre , d’intersection ou 
de concours. 

DE L'ANGLE. — J'appelle angle la portion plane indéfinie dont 
deux droites, issues d’un même point, sont écarlées l'une de 
l'autre , quant à leur position sur le plan. Ce point est le sommet 
de l'angle et les deux droites en sont les côtés. 


L'angle formé par les deux droites AB et AC, se désigne 
par la lettre À du sommet quand il est seul, et dans le cas 
où il n’est pas le seul qui ait le sommet A, on emploie les 
trois lettres, celle du sommet étant au milieu, et l’on dit : 
l'angle BAC ou l'angle CAB. 


L'angle est done une figure plane rectiligne de deux côtés, 
ouverte et indéfinie dans le sens de l'ouverture. On voit de plus 
que lécartement des deux côtés en produit l'ouverture, et ré- 
ciproquement. 

GÉNÉRATION DE L'ANGLE. — L’angle est nul quand ses deux 
côtés coïneident ; car alors ils ne sont ni écartés l’un de l’autre, 
ni ouverts. — Supposons que le côté AB restant fixe, le côté 
AC, d’abord sur AB, s’en écarte ensuite en tournant sur le 
plan autour du sommet fixe A. Dans ce mouvement, le côté 
AC décrit successivement une infinité d’angles plans , lesquels 
croissent ou augmentent par angles ou écarts invisibles, exces- 
sivement petits, jusqu’à ce que AC, s’arrêtant dans une position, 
ait décrit l'angle cherché BAC. Celui-ci est donc bien l'angle 
tel qu'il est défini plus haut. 


Si le côté AC. continuant à tourner autour du point fixe A, 
revient sur la position AB qu’il a d’abord quittée, ce côté AC 
a fait une révolution autour du point À et a décrit l'espace 
angulaire plan , lequel est évidemment le même autour de chaque 
point du plan proposé. 

GRANDEUR DE L'ANGLE. — Puisque l'angle est une figure plane 


76 J.-N. Norz. — Methode infinitésimale 


indéfinie de deux côtés, sa grandeur ne dépend aucunement 
des longueurs arbitraires données aux deux côtés pour désigner 
cette figure ; car on peut prolonger chacun de ces côtés autant 
qu’on le veut sans que l'angle cesse d’être la même portion 
plane indéfinie, Donc l'angle est déterminé complètement dès que 
le sommet et un point sur chaque coté sont donnés; car alors 
les deux côtés sont déterminés de position et peuvent se 
tracer. | 

La grandeur de l'angle dépend uniquement de l'ouverture ou 
de lécartement de ses deux côtés : l'angle augmente ou diminue 
avec chacune de ces deux choses; etil est toujours une fraction, 
exprimable ou inexprimable en chiffres, de l’espace angulaire 
plan autour du sommet. 

On voit d’ailleurs qu’un angle peut être la somme ou la 
différence de deux autres; être le double, le triple, le quadruple ,.… 
d’un autre, ou en être la moité, le tiers, le quart, les trois 
cinquièmes , etc. 

Enfin, le seul aspect de l’angle tracé sur le plan met à la 
portée de tous les élèves , et rend complètement évidente, la 
double propriété caractéristique de cet angle, savoir : d’être une 
portion plane indéfinie ou sans limite , sans Jin, dans le sens 
de l'ouverture, et d'être d'autant plus grand que cette ouver- 
ture est plus grande elle-même, c’est-à-dire que ses deux côtés 
sont plus écartés l’un de l’autre sur le plan. 

ANGLES OPPOSÉS AU SOMMET. — Deux angles sont dits opposés 
au sommet lorsque les côtés de l’un sont les prolongements des 
côtés de l’autre. 

Lorsque deux droites AB et CD se coupent en un point O, 
les angles opposés au sommet O sont égaux entre eux (fig. 1). 

D'abord les deux espaces ACB et CBD sont égaux, comme 
moitié chacun du même espace angulaire plan autour du point O. 
Retranchant de part et d’autre la partie commune COB , il reste 
langle AOC — BOD. On verra de même que l'angle AOD est 
égal à son opposé BOC. 

Des AnGLes Droits. — On appelle angle droit chacun des deux 
angles adjacents égaux AOC et COB, formés par la droite CO 
avec la droite AB (fig. 2). 

Prolongeant CO en D, il est clair que l'angle AOD est égal 
à langle droit BOC, comme opposé au sommet O, Par la 


en Géometrie. 77 


mème raison, l'angle BOD est égal à l'angle droit AOC. Donc 
les quatre angles en O sont égaux et droits; chacun d'eux est 
donc le quart de l’espace angulaire plan autour du point O. 
Donc tous les angles droits séparés sont égaux entre eux , comme 
quarts respectifs d'espaces angulaires plans égaux. 


CoroLLares. — Tous les angles consécutifs , formés sur le 
plan autour du point O , composent l’espace angulaire autour de 
ce point ef valent ensemble quatre angles droits. — De plus, 
puisque chaque espace angulaire plan vaut quatre droits, sa 
moitié vaut deux angles droits. Donc, si d’un point O de la 
droite AB, on mène, d’un même côté de celle-ci, tant de 
droites qu’on voudra, la somme de tous les angles résultants, 
formant le demi -espace angulaire plan , vaut deux angles droits. 
— En particulier, sû une droite CO S'arrête au point O de la 
droite AB (fig. 1), elle forme avec celle-ci les deux angles 
adjacents COA et COB dont la somme est égale à deux droits. 
— Réciproquement, etc. 


Remarque. — Je n'ai pas à établir ici toutes les proportions con- 
nues, relatives aux droites se coupant en un même point, ni 
à rappeler les dénominations des angles comparés à l’angle droit 
ou deux à deux. — Quant aux intersections de trois droites situées 
dans le même plan , elles donnent lieu aux deux théorèmes fon- 
damentaux que nous allons considérer. 


THÉORÈME [. — Si dans le même plan , les deux droites AB 
et CD, se coupant en O, rencontrent une même troisième EF 
aux deux points G et I, l’angle extérieur ou externe EGB est 
toujours plus grand que l’angle interne correspondant EID 
(fig. 5). 

17° Démonstration. — D'abord les deux surfaces indéfinies DOB 
et AOC sont égales entre elles, comme opposées au sommet O; 
done la première surface est plus grande que GIO, partie 
limitée de la seconde. Or , les deux surfaces indéfinies EGB 
et EID ont la partie commune EGOD ; mais la seconde partie 
DOB de la première est plus grande que la seconde partie GIO 
de la seconde. Donc la première surface EGB est plus grande 
que la seconde EID ; c’est-à-dire que l'angle externe EGB est 
plus grand que l'angle interne correspondant EID, 


2°° Démonstration. — L’angle EGB restant fixe, supposons 


78 J.-N. No. — Méthode infinitésimale ; 


que l'angle EID glisse sur le plan, de telle sorte que le côté IE 
glisse sur FE et que le sommet I s’'avance vers le sommet G. 
Dans ce mouvement , comme la droite ID ne peut jamais avoir 
qu’un seul point sur la droite GB, ce point O s’avance vers 
le point G et y parvient en même temps que le point I. L'angle 
mobile EID occupe donc alors la position EGH, et il est une 
partie de l'angle EGB. Donc l'angle EGB > EiD. 


Taéorèue Il. — Réciproquement , si l'angle externe EGB est 
plus grand que l'angle interne correspondant EID, les deux côtés 
non communs GB et ID se rencontreront toujours étant sujit- 
samment prolongés (fig. 4). 


1° Démonstration. — D'abord les deux angles ne changent pas 
quand on prolonge leurs côtés autant qu'on le veut. Ensuite, 
bien que la surface indéfinie EGB ne soit encore qu'en partie 
tracée dans la surface indéfinie plus petite EID , elle ne peut 
évidemment rester contenue dans cette dernière; et, en pro- 
longeant leurs côtés, elle en sortira nécessairement. Or, l'angle 
EGB ne peut sortir de l'angle plus petit EID ni par EF, 
limite commune, ni dans le sens indéfini des ouvertures ; done 
il en sortira par les deux côtés non communs GB et ID, lesquels 
se couperont toujours étant suffisamment prolongés. 


9e Démonstration. — L’angle EGB étant plus grand que l'angle 
EID, celui-ci n’en est qu’une partie EGH. De plus, l’angle 
EGB restant fixe, supposons que l’angle EGH glisse sur le 
plan, de telle sorte que le côté EG glissant sur la droite fixe EF, 
le sommet G s’avance vers le sommet I. Dans ce mouvement, 
la droite indéfinie GH ne pouvant jamais avoir qu’un seul 
point sur la droite indéfinie GB, ce point X, d’abord en G, 
s'en éloigne de plus en plus jusqu’à ce que le sommet G soit 
arrivé en [. Et comme alors l'angle EGH coïncide avec son 
égal EID et GH avec ID, on voit que les deux droites GB 
et ID , suffisamment prolongées se coupent au point X ci-dessus. 
C'est ce qu'il fallait démontrer. 


CoroLLame. — Si l'angle externe AGE était plus petit que 
l'angle interne CIE, il est clair que comme les angles opposés 
au sommet sont égaux, l'angle externe FID serait plus grand 
que l'angle interne correspondant FGB, et qu'ainsi les pro- 
Jongements de ID et de GB finiraient toujours par se couper. 
On voit que dans le même plan, si deux droîles font avec une 


en Géométrie. 79 


même troisième deux angles correspondants inégaux entre eux, 
ces deux droiles finissent foujours par Se rencontrer, d’un côlé 
vu de l’autre étant suffisamment prolongées. 


Remarque. — Nous donnons, de chacun des deux théorèmes 
fondamentaux , deux démonstrations également très- simples , 
fort claires et complètement exactes. Le premier théorème sert 
à démontrer toutes les propositions relatives au parallélisme de 
deux droites situées dans un même plan ; tandis que le second 
théorème, postulatum d’Euclide, ou plutôt le corollaire ci-dessus 
démontre toutes les propriétés des parallèles. Enfin, pour ces 
deux théorèmes , la thécrie des parallèles, Yune des plus 
importantes de la Géométrie, devient rigoureuse et la plus 
simple possible, 


Considérations sur le Postulatum d’ÆEuclide. 


Dans une brochure publiée en 4856, M. Lamarie démontre le 
théorème postulatum d’Euclide, mais ramené aux postulats de Lacroix 
et de M. Gergonne. Dans cette brochure , on lit, p. 6 et 7 : « La 
démonstration que je viens d'analyser n’est pas rapide et brève 
comme tant d’autres : elle est exacte... La condition essentielle 
est l’exactitude. C’est en cela que pèchent les démonstrations 
antérieures. Leur simplicité ne remédie point à ce vice capital. 
En vain voudrait-on les justifier , sous prétexte qu’elles con- 
duisent au but sans retard et sans peine. Si simples qu’elles 
soient, le postulatum d'Euclide, admis sans démonstration, est 
plus simple encore. Mieux vaut d’ailleurs , se tenir à ce pos- 
tulatum que de prétendre y suppléer par des semblants de 
démonstration , d'autant plus dangereux qu'ils se présentent avec 
plus de simplicité. » 

Les démonstrations plus haut des deux théorèmes fondamen- 
taux (dont le second est celui d’Euclide) sont très-simples et 
complètement exactes , comme reposant sur des notions claires 
et bien établies. Ce ne sont donc pas des semblants de dé- 
monstration , car aucune démonstration géométrique ne produit 
une certitude plus complète. En quoi, d’ailleurs , leur simplicité 
serait-elle dangereuse ? 

Si la démonstration obscure et fort compliquée de M. Lamarle 
était la seule exacte, il faudrait bien admettre le postulatum 


80 J.-N. No. —— Méthode infinitésimale 


d'Euclide comme une vérité évidente, et encore faudrait-il 
quelques explications aux élèves pour leur faire comprendre cette 
vérité. Mais supprimer toute démonstration ou toute preuve , 
ce n’est pas simplifier , au contraire, ear c’est laisser ‘ignorer 
les éléments de conviction par lesquels ce postulatum devient 
une vérité certaine ; et c’est faire douter de l’existence de cette 
vérité. 

D'ailleurs, l'exactitude complète d’un postulat peut toujours 
être contestée, parce que ce postulat n’a pas tous les degrés 
d'évidence d’un véritable axiôme. On voit donc pourquoi les 
auteurs, qui tiennent à faire de la Géométrie une science de 
définitions et de pures déductions logiques, ont cherché une 
démonstration à la fois simple et rigoureuse du théorème d'Euclide, 
base de la théorie des parallèles la plus claire et la plus com- 
plètement exacte. 

Cette démonstration, placée au commencement de la Géomé- 
trie, doit être très-élémentaire; et comme elle dépend essen- 
tiellement de l'angle de deux droites qui se rencontrent, elle 
n'a pu se donner tant que cet angle n’a pas été clairement 
défini. 

L’angle de deux droites est, en effet, resté absolument in- 
connu, même en l'appelant inclinaison, écartement ou ouverture 
des deux droites, tant qu'on l’a regardé comme une quantité 
sui generis, n'étant ni une ligne, ni une surface, ni un 
volume, c'est-à-dire ne pouvant se trouver parmi les grandeurs 
géométriques. On conçoit que cette notion obscure et même 
absurde de l'angle n'ait pu servir à démontrer le théorème 
d'Euclide, malgré les tentatives nombreuses qui en ont été faites ; 
vu que ce théorème dépend essentiellement de grandeurs que 
la Géométrie considère. 


Mais si, avec Bertrand de Genève, Lacroix , Legendre, 
Francœur , M. Vincent, etc., on considère l'angle tel qu'il est 
en effet, savoir : la portion plane indéfinie écartement de deux 
droites issues d’un même point, on peut démontrer, comme 
on l'a vu plus haut, avec clarté, simplicité et complète exac- 
titude, le théorème d’Euclide. 

Cette démonstration est développée, à l’aide d'un mouvement 
de glissement d’un certain angle, dans les éléments de Géométrie 
de d, Schwab , dont la première partie, imprimée à Nancy, 


en Géométrie. 81 


en 1815. C'est au fond la seconde démonstration donnée plus 
haut du théorème IT; et M. Terquem la regarde comme la plus 
simple et la plus exacte. 

Dans les éditions successives du Traité de Géométrie, dont 
la première en 1850, Jai donné une autre démonstration, 
non moins simple ni moins rigoureuse que la précédente, mais 
en y rendant plus explicite l'emploi des propriétés de l'angle. 
C’est à quelques développements près, la première démonstration 
du théorème IE plus haut. 

La même démonstration , très-peu modifiée, se trouve aussi 
dans les traités de géométrie de MM. Wezel et Catalan , publiés 
depuis 1835 , ainsi que dans la 5°° édition du Cours de Géométrie 
de M. Bobillier, Châlons, 1859. Je n’ai pas connu les deux 
premières éditions. 

Quant au premier théorème fondamental ci-dessus, je l'ai 
énoncé et démontré en 1855, 2°° édit. de la Géométrie, pour 
simplifier la théorie des parallèles. 

Enfin, Legendre dans la Note II de ses Éléments de Géomé- 
trie, 12*° édition , démontre complètement le postulatum d’Euelide, 
ramené à celui de Lacroix, 

Toutes ces démonstrations sont fondées sur la véritable dé- 
finition , celle qui fait le mieux connaitre l’angle plan. Cette 
définition, énoncéé plus haut, est simple, claire, précise ‘et 
évidente comme un axiôme; par suite elle est la base exacte 
de l’enseignement le plus simple et le plus clair de la Géo- 
métrie. 

M. Lamarle nie que le théorème d'Euclide soit démontré par 
le procédé que j'ai employé plus haut; et voici comment il le 
prouve ( p. 541 des Annales de l'enseignement public, 1857 ) : 
« Le procédé de M. Noël n'est pas nouveau, mais il est simple, 
trop simple même et surtout trop fécond. Pour s’assurer de 
sa fécondité trop grande , il suffit de l'appliquer littéralement 
au cas de deux droites qui en coupent une troisième sous des 
angles égaux. Il conduit, comme tout à l'heure, à la même 
conséquence et prouve ainsi que les parallèles se rencontrent. 
C'est aller trop loin. » 

M. Lamarle ne donnant pas d'autre développement à l’objection 
précédente, on ignore comment il applique Zttéralement le 
procédé. Mais cette application ne saurait prouver qu’il y a ren- 
contre. — Si en effet les deux droites se coupaient, l’angle 

11 


82 J.-N. Norr. — Méthode infinitésimale 


externe serait plus grand que l'angle interne correspondant; ce 
qui est contre l'hypothèse. 

M: A.-L. M. est beaucoup plus explicite dans ses objections. 
Mais les raisonnements erronés par lesquels il croit démontrer 
les deux théorèmes absurdes de la page 578 des Annales de 
l'enseignement, ne sont pas lütéralement les mêmes, ni fondés 
sur les mêmes notions, que ceux démontrant les deux théorèmes 
fondamentaux ; ils ne peuvent donc infirmer aucunement la 
rigoureuse exactitude de ces derniers théorèmes, et ils la con- 
firment, au contraire, ainsi que je vais l'établir. 

40, — Puisque dans le même plan les deux parallèles AB et CD 
(fig. 5), coupées en G et I par la sécante EF, ne peuvent 
jamais se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge, il 
S’ensuit que la surface indéfinie DIGB , comprise entre les deux 
droites illimitées ID et GB, n’est pas un angle ; car ce n'est 
pas la surface indéfinie comprise entre deux droites issues d’un 
même point. Or, la surface indéfinie DIGB n'étant pas un angle, 
ne peut aucunement faire partie de l'angle DIE. Il est donc 
absurde d’en conclure que l'angle DIE est plus grand que 
l'angle BGE. 

D'ailleurs, en retranchant DIGB de l’angle DIE, on n'en 
soustrait pas un angle; donc alors l'angle DIE ne diminue pas 
pour devenir BGF, c'est-à-dire que les deux angles correspon- 
dants DIE et BGE sont égaux entre eux. En un mot, l’angle 


BGE est l’une des positions de l’angle DIE glissant sur le plan 
suivant IE. 

Enfin, si l'angle DIE était plus grand que l'angle BGE, 

l'angle opposé CIF serait aussi plus grand que l'angle AGF ; 
donc en vertu du secord théorème fondamental, les deux droites 
IC et GA finiraient par se rencontrer; ce qui est contre l’hy- 
pothèse. 
_ 2. — Si les deux angles DIE et BGE sont égaux, c'est-à-dire 
si les deux surfaces indéfinies DIE et BGE sont égales, comme 
pouvant coïncider, la seconde surface BGE n’est donc pas une 
partie de la première, vu qu’elle lui est égale. Il n’y a donc 
aucune compensation à établir , et il est absurde d'en con- 
elure que les deux droites GB et 1D prolongées se rencon- 
treront. 

D'ailleurs , si ces deux droites se coupaient, il résulte du 
premier théorème fondamental que l'angle externe EGB serait 


en Géomélrie. 83 
plus grand que l'angle interne correspondant ED, contrairement 
à l'hypothèse d'où l’on est parti. 

Si dans le tome XVI des Annales de Mathématiques , M. Ger- 
gonne trouve des inconvénients à regarder l'angle comme la 
portion plane indéfinie dont les deux côtés sont écartés l’un de 
l'autre , c’est qu'il suppose que la surface indéfinie DIGB fait 
partie de l'angle DIE ; süpposition absurde , comme on vient 
de le voir, et qui rend absuürdes les raisonnenients fondés sut 
cette supposition. 

Observons de plus que l'angle étant déterminé complète- 
ment dès que le sommet et un point sur chaque côté sont 
donnés , il s'ensuit que dans tout polygone rectiligne plan 
fermé, la Surface appartient à la fois à la portion limitée de 
chacun de ses angles. Ce qui résout je ne sais trop quelle 
difficulté opposée à l’emploi de l'angle comme surface plane 
indéfinie. 

Enfin, il est certain que l'angle est toujours emploÿé, dans 
les éléments de Géométrie, tel qu’il est en effet, une portion 
plane indéfinie, laquelle exprime l’écartement de ses deux côtés 
ou leur ouverture. Car deux droites qui se coupent soût toujours 
dans un même plan et comprennent entre elles quatre angles ou 
quatre portions illimitées de ce plan. 

Observons d’ailleurs que si, par le point O de la droite AB, 
on mène l’oblique OE à cette droite, de telle sorte que langle 
BOE soit aigu ; l’oblique étant alors plus rapprochée du poiñt B 
que du point À, elle est inclinée vers B sur AB. De sorte 
que l'angle aigu BOË exprime l'inclinaison de OE sur AB. 
Mais l'inclinaison est d'autant plus grande que l'angle &d'incli- 
naison est plus petit : s'il est nul, l'inclinaison est à son 
maximum ; tandis que sil est droit l'inclinaison est nulle, 
c'est-à-dire qu'alors OE n'incline ou ne penche sur AB ni vers 
À ni vers B. 


Des grandeurs infinitésimales. 


Ces grandeurs sont regardées comme purement chimériques 
par M. Lamarlé ; et, page 541 des Annales de l'enseignement , 
il affirme que : 

« 1°. L'existence de grandeurs autres que les grandeurs finies 
est purement chimérique. » 


84 J.-N. Norz. — Methode infinitésimale 


« 2°. Si pour définir l'angle, si pour démontrer le postulatum 
d'Euclide , on a recours à des grandeurs dites infiniment grandes 
et supposées non finies, on sort du domaine de la réalité et 
lon fait de la Géométrie fantastique. » 

« 3°. La croyance aux infiniment petits est purement il- 
lusoire. » 

« En l’insinuant aux élèves, on allère chez eux ce bon sens 
droit et sur qui ne vit que de choses communes, celle raison 
sage et modérée qui répugne aux chimères. » 

Tant que M. Lamarle n'aura pas démontré les trois pro- 
positions précédentes, qu’il pose comme des vérités généralement 
admises par fous les géomètres , on en pourra contester l’exac- 
titude. Ces propositions ne sont nullement prouvées par la Note 
de M. Lamarle sur l'emploi de l'infini dans les Mathématiques 
élémentaires, à laquelle il renvoie pour cet effet. D'ailleurs ces 
preuves sont impossibles , car les grandeurs infinitésimales ont une 
existence certaine, ainsi que nous l'avons établi ailleurs et dont 
voici plusieurs preuves. 

I. — D'abord une quantité, continue ou non, est dite infiniment 
grande ou simplement infinie lorsqu'elle surpasse toute quantité 
de même nature, donnée ou simplement imaginée, quelque 
grande que soit cette dernière. 

Par exemple, on peut concevoir que la droite, dont on n’a 
qu'une seule extrémité, soit prolongée sans cesse et toujours. 
Donc cette droite n'est jamais /inie, dans son état le plus 
général , n'ayant qu'une seule extrémité : elle est alors infinie, 
car sa longueur surpasse toute longueur assignée, si grande que 
soit cette dernière. 

De même, on ne’peut jamais compter toutes les fractions 
possibles plus grandes que l’unité, depuis 1 exclu jusqu'à 2 
inclus, car ce nombre surpasse tout nombre imaginé, si grand 
que soit ce dernier. Ce nombre de fractions est donc infini et 
toujours inconnu. — Dans le calcul, on le désigne par une 
lettre, et plus spécialement par un huit renversé : æ, qu’on 
énonce infini ou nombre infini. 

Cela posé, il est clair que les nombres de toutes les fractions 
possibles, plus grandes que l'unité, depuis 1 exelu jusqu’à 2, 
3,4, 5, 6,..., n inclus, sont nécessairement 


0 , 20 , 3%, 4 , 5x ,..., (n—1) co. 


en (méometrie. 8) 


On voit qu'un nombre infini peut êlre un mullip le quelconque 
fini d'un autre nombre infini ou en être une fraction quelconque 
assignée. Par exemple, il est clair que 50 = les © de 5. 

IE. — Un infiniment petit est la grandeur moindre que toute gran- 
deur de même nature , donnée où assignée , si petite que soit cette 
dernière , sans être nulle ; car le néant n’est pas une grandeur. 
Un infiniment petit est donc une fraction dont le numérateur, 
nombre , ligne ou angle, est donné et dont le dénominateur 
est un nombre entier infini. 

Cette fraction, en effet, toujours inconnue et jamais nulle, 
est évidemment moindre que toute fraction assignée, ayant le 
même numérateur, et dont le dénominateur est un nombre 
donné ou fini, si grand qu'il soit. — On voit d’ailleurs qu'en 
prenant le dénominateur donné de plus en plus grand, la fraction 
assignée devient de plus en plus petite et approche de plus en 
plus de la fraction infiniment petite proposée. Donc cette dernière 
fraction existe nécessairement, car on ne saurait approcher de 
ce qui n'existe pas. 

Si donc on concoit la droite donnée AB divisée en un nombre 
infini de parties égales, chaque partie est infiniment petite, sans 
être nulle, et de plus elle est absolument invisible, Car elle 
est beaucoup plus petite que la billionième partie du mètre, 
par exemple ; et déjà cette dernière partie échappe à l'œil armé 
du plus fort instrument d'optique. 

Observons encore que toutes les fractions possibles, plus grandes 
que l'unité, depuis 1 exelu jusqu’à 2 inclus, croissent successive- 
ment d'une même différence d , telle qu'on a dXæ=1 et 


d=—©. Cette différence est donc infiniment petite. 


De là résulte que tous les termes de ces fractions sont infinis. 
Mais l’une d'elles se réduit à ?; il faut donc que ses deux 
termes aient un facteur infini commun, contenu 5 fois et 2 
fois au numérateur et au dénominateur. 

III, — Maintenant , pour que la démonstration plus haut du 
théorème d’Euclide soit complètement générale, il faut qu'elle 
s’applique encore lorsque l'angle externe surpasse infiniment peu 
l'angle interne correspondant. Mais alors les deux côtés non com- 
muns se rencontrent à l'infini. — D'abord ils se rencontrent 
nécessairement, Ensuite, il est facile de voir , par une parallèle 
menée du sommet de l'angle interne, que les deux côtés 
non communs font entre eux un angle infiniment petit égal 


86 J.-N. No. — Méthode infinitesimale 


à l'excès de l'angle externe sur son correspondant. Il faut 
done que le sommet de cet angle infiniment petit soit infiniment 
éloigné. 

Ainsi, on ne sort pas de la réalité et l’on ne fait pas de la 
Géométrie fantastique, comme M. Lamarle le prétend, en 
employant la véritable définition de l'angle plan, énoncée plus 
haut. 

IV. — Ïl est certain qu’on ne pourra jamais compter ni calculer 
toutes les fractions possibles, plus grandes que l'unité, depuis 
4 exclu jusqu’à 2 inclus. Mais s'ensuit-il que le nombre ënfini 
de ces fractions et leur différence constante infiniment petite 
n'existent pas? On pourrait donc ainsi nier l'existence de la 
racine carrée du nombre 5 , que Fon démontre être une fraction 
irréductible fénie, comme étant comprise entre 1 et 2, mais 
à termes tnfinis et qui sera toujours inconnue, 

Soient À et B deux grandeurs finies de même nature, telles 
que deux droites ou deux ares circulaires de même rayon. 
Supposons que la fraction à termes infinis précédente soit Île 
rapport de À à B : on démontre alors que les deux grandeurs 
finies À et B n'ont pas d’autre commun diviseur, d'autre com- 
mune mesure, qu'une longueur énfiniment pelite, et sont alors 
dites incommensurables entre elles. — Ce qui prouve d'ailleurs 
que le rapport et le commun diviseur ci-dessus existent, 
c’est qu'on peut approcher de Fun et de lautre autant qu'on 
le veut. 

L'emploi des infiniment petits est done inévitable et parfaite- 
ment logique pour démontrer directement , et par ün seul rai- 
sonnement très-simple, l'égalité de deux rapports quelconques 
entre quantités continues : c'est la méthode des parties égales. 
Cet emploi ne peut donc « altérer chez les élèves ce bon sens 
droit et sûr qui ne vit que des choses communes ,.…. » Au con- 
traire , il évite le non-sens qui aurait lieu si l’on disait, avec 
M. Lamarle, que Les grandeurs incommensurablés n'ont point 
de commune mesure. 

V. — la distinction des deux cas commensurable et incom- 
mensurable est un non-sens ou une pétition de principe, que 
la méthode des parties égales évite complétement , en rendant 
la démonstration rigoureuse la plus simple possible. Maïs laxiôme 
de mesurage, pour établir la proportion , est plus simple encore 
en ce qu'on ne s'y préoccupe d'aucune commune mesure, nc- 


* 


en Gécméirie. 87 


cessairement sous-entendue , absolument comme dans le troisième 
procédé moins simple que voici : 

Soient À et B deux angles aux centres de deux cercles égaux, 
a et b les arcs interceptés par leurs côtés : il faut démontrer 
qu'on aura toujours A :B=a : bd. 

Pour cet effet, concevons l'arc b divisé en un grand nombre 
entier p de parties égales à x : il est clair que cette partie x 
sera contenue le nombre entier n de fois dans a, avec un reste 
plus petit que x, lequel sera désigné par kx, le nombre k étant 
moindre que l'unité. On aura done en même temps 


b=px et a=nx+kzx; 
d'où en supprimant le facteur x, il vient 
n k 
(EN MESSE ASE 
P ni p 
Les rayons menés aux points de division des arcs b et a divisent 
les angles B et À en pet n parties égales à y, comme ayant 
leurs ares égaux à æ. De sorte que l'angle y, contenu p fois 


dans B, est contenu n fois dans A, avec un reste vy, le 
nombre » étant plus petit que l'unité. On à done 


B=py et A=ny+vy; 


[1] 


OU AUS pal tuU es 
pue 


Cette égalité et la précédente donnent évidemment 


AO PE nt 
P 
Ceite dernière égalité est vraie pour des nombres p de plus 
en plus grands, ce qui à cause de v—k<1, rend le second 
membre de plus en plus petit. Or, le premier membre est 
constant ; il doit donc en être de même du second, cependant 


toujours variable avec p, à moins que ce second membre ne 
soit nul. Il faut done que v—k—0; d'où v=k et 


A — 0e 
Ce troisième procédé est rigoureux et général; il est fondé 
sur la méthode des variables, mais il est beaucoup moins simple 


que les méthodes des parties égales , pour démontrer la pro- 
portion en Géométrie et en Mécanique , la commune mesure 


88 J.-N. Norz. — Méthode infinitésimale 


étant toujours assignable ou inassignabie, finie ou infiniment 
petite. De sorte qu'il y a toujours un commun diviseur aux 
deux termes du rapport le plus facile à déterminer et auquel 
est comparé l'autre rapport pour démontrer qu'ils sont égaux. 

VI. — Revenons encore à la notion des infiniment petits. 
M. Lamarle prétend que « si l'élève à qui on en parle, objectait 
qu'il ne les comprend pas, le professeur serait obligé de con- 
venir qu'il ne les entend pas davantage. » 

Cela arriverait sans doute , si le professeur ne connaissait 
pas la définition des infiniment petits et les preuves de leur 
existence, données plus haut. Dans le cas contraire, il lui suflira 
de répéter la définition et les preuves pour que les élèves com- 
prennent ce que c’est qu'un infiniment petit, et pour qu'ils 
sachent que cet infiniment petit est toujours invisible et de 
grandeur inconnue, comme étant moindre que toute quantité 
de même nature, donnée ou assignée, si petite que soit cette 
dernière. 

Il ne peut donc s’agir ici que de l'existence des infiniment 
petits. — «Or, on est conduit nécessairement à l’idée des infini- 
ment petits, lorsque l’on considère les variations successives 
d’une quantité soumise à la loi de conunuité. Ainsi le temps 
croit par degrés moindres qu'aucun intervalle qu’on puisse assi- 
gner , quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les 
différents points d’un corps eroissent aussi par infiniment petits. » 
( Mécanique de Poisson, 2m° édit., Tome I, page 14) 

En général, le point générateur de la droite AB part de la 
position À pour se rendre à la position B en passant par toutes 
les positions intermédiaires. Et puisque le mouvement du point 
est continu , la seconde position est immédiatement consécutive 
à la première , la troisième à la seconde, et ainsi à l'infini. Or, 
l'intervalle, qui sépare deux positions immédiatement consécutives 
n'est pas rigoureusement nul; car, si cela était, comme le 
point n'a pas d’étendue , les deux positions se confondraient 
en une seule, et il n’y aurait pas eu de mouvement. Get in- 
tervalle existe done ; mais , provenant du plus petit mouve- 
ment possible, on doit le considérer comme le plus petit de tous 
les infiniment petits. 

En objectant que cet infiniment petit serait un éndivisible , 
on à sans doute voulu nier , contrairement à des faits certains , 
l'existence des couples de positions immédiatement consécutives. 


en Géométrie. 89 


Cette objection ne prouve done rien contre l'existence de l'in- 
finiment petit ci-dessus. D'ailleurs , il est évident que le point 
générateur d’une ligne décrit successivement toutes les longueurs 
infiniment petites croissantes , à partir de la plus petite possible, 
avant d’avoir décrit la longueur finie proposée. 

Enfin, si À et B sont deux droites données ou deux arcs 
circulaires de même rayon ; l'intervalle entre deux positions 
immédiatement consécutives du point générateur de chaque ligne 
est nécessairement le même pour chacune ; cet intervalle est done 
commun diviseur de À et B. On conçoit que ces deux lignes 
peuvent avoir un commun diviseur infiniment petit, multiple 
du précédent ; elles ont done toujours un commun diviseur 
fini ou infiniment petit, ainsi qu'on l’a déjà prouvé plus haut. 


Des lignes courbes et Théorèmes résultants. 


Dérinirion. — Le caractère essentiel de toute courbe tracés 
est que : aucune de ses parties visibles et appréciables n’est une 
ligne droite. Cette courbe peut donc avoir des parties recti- 
lignes infiniment petites, toujours invisibles. C’est précisément 
ce qui résulte de la définition descriptive, due à M. Lamarle 
et que voici : 
© « La courbe est la trace d’un point qui se meut suivant une 
direction incessamment variable. » | 

D'abord la continuité exige que la direction varie par degrés 
insensibles ou par angles infiniment petits, appelés angles de 
courbure. Car, si l’un des angles successifs avait une valeur 
finie et visible, le sommet de cet angle serait un point de 
rebroussement , et la continuité cesserait en ce point. — Ensuite, 
il est certain que le point se meut et ne peut se mouvoir 
qu'infiniment peu suivant chacune des directions successives ; 
il décrit donc une infinité de droites infiniment petites et in- 
visibles , appelées éléments de la courbe résultante. 

On voit done que : Toute ligne courbe n’est qu'une ligne 
brisée ayant une infinité de côtés, chacun infiniment petit et 
invisible aussi bien que chaque angle extérieur de courbure. 

On voit aussi que : Toute figure plane curviligne fermée n’est 
en réalité qu'un polygone plan rectiligne d'une infinité de côtés 
infiniment petits. 


12 


90 J.-N. Noëz. — Méthode infinuésimale 


Remarque. — Ces corollaires sont rigoureusemert déduits de 
la définition descriptive de la courbe ; l’auteur de cette dé- 
finition emploie donc toujours, du moins implicitement , les 
grandeurs infinitésimales en Géométrie. Mais ses déductions se- 
raient nécessairement plus claires et plus simples par Pemploi 
explicite de ces grandeurs , lequel emploi fait passer immédiate- 
ment du connu à l'inconnu. 

D'ailleurs , comme on ne saurait réfuter les conséquences 
ci-dessus, on est bien forcé de reconnaitre que les infinis et 
les infiniment petits , ayant une existence certaine , ne sont 
point des quantités chimériques , mais sont des réalités géomé- 
triques aussi bien que les quantités finies. 

Enfin , ne pas mentionner les infiniment petits , éléments 
logiques indispensables dans les théories des courbes et des rap- 
ports, c’est compliquer et obscurcir volontairement les raison- 


nements , et cest même souvent les rendre complètement 
erronés. 


THÉORÈME DES VARIABLES. — Si dans l’égalilé exacte 
a+x—=b+y, d'où a—b=y—x, 


a et b sont deux grandeurs constantes, tandis que x et y sont 
deux variables , pouvant diminuer ensemble indéfiniment sans 
que l'égalité des deux membres cesse d'exister ; je dis que les 
deux constantes sont égales entre elles aussi bien que les deux 
variables. 

Soit d la différence constante des deux grandeurs a et b : 
on aura donc toujours a—b—=d et d—y—x. Or, si la 
différence constante d n’est pas nulle , l'égalité d = y — x sera 
détruite quand on supposera moindre que d chacune des va- 
riables x et y; ces deux variables ne pourront donc point 
diminuer ensemble indéfiniment, contrairement à l'hypothèse. 
Donc il faut que d=—0; d'où a—b et x=y. 

Si l'égalité proposée était a — x = b — y, on verrait de même 
que a—0 et x = y. Le théorème est donc ainsi démontré com- 
plètement. 


REMARQUE. — Si une grandeur varie seule dans une égalité, 
celle-ci restant néanmoins toujours exacte, c’est que ceite égalité 
est absolument indépendante de la variable proposée, Cette va- 
riable n’a donc pu y entrer que comme auxiliaire, devant par 


en Géométrie. p1 


suite disparaitre du résultat final. C'est ce qui arrive dans le 
théorème de Lacroix, dont voici l'énoncé : 

« Si deux grandeurs invariables A et B sont telles qu'on 
puisse prouver que leur différence X soit moindre qu’une troisième 
grandeur à, quelque petite que puisse être cette dernière, ces 
deux grandeurs A et B sont égales entre elles. » 

On a A—B=X ou A—B—+X. La différence X n’est pas 
supposée nulle, puisqu'on peut prouver qu’elle est moindre 
que la grandeur à , si petite que soit cette dernière. On voit 
que X peut diminuer indéfiniment sans que l’égalité proposée 
A = B + X soit détruite. Donc cette égalité est absolument 
indépendante de la variable X ; car autrement la grandeur cons- 
tante A serait toujours égale à la grandeur variable B + X ; 
chose absurde. On a donc rigoureusement A —B. Ce qu'il 
fallait démontrer. 


PRINCIPE INFINITÉSIMAL, — Toute grandeur doit se négliger ou 
être regardée comme nulle à l'égard de celle qui la contient une 
infinité de fois et qu'elle doit augmenter ou diminuer : c’est un 
zéro relatif à cette dernière. 

1° D’après l'hypothèse de Lacroix, la différence X est in- 
finiment petite dans l’égalité toujours exacte A = B+X ; et l'on 
sait qu'on a rigoureusement À —B. La variable X infiniment 
petite est donc nulle à l'égard de la constante B finie qui la 
contient une infinité de fois. — D'ailleurs , puisqu'on cherche 
une grandeur finie À , le nombre infiniment petit X ne saurait 
en faire partie ; donc X doit disparaître de l'égalité A—B+X, 
absolument comme si cet infiniment petit était rigoureusement 
nul ; d'où encore A = B. 

9° Puisque 4 est contenu une infinité de fois dans æ , il 
s'en suit que © — 4 est la même chose que oo. — Il est en 
effet évident qu'un nombre infiniment grand n'est ni plus ni 
moins infini lorsqu'on lui ajoute ou qu’on en retranche un 
nombre fini donné. D'ailleurs, co —4—c (1—5)—, 
d’après (1°). 

CorouLaire. — Soient Sn et Sn° les sommes des n premiers 
nombres entiers et de leurs carrés : on sait que 


1 
Sn © n (n+ l)et Sn= n(n+ 1) (An). 


92 J.-N. Norc. — Méthode infinitésimale 


Si donc n est infini, 1 est nul à l'égard de n, et l'on a 


1 1 fl 
Se n° et Sn — — n. De même Sn — ad 


De lemploi des Hnfinis, 


TuÉORÈME. — Pour montrer combien l'emploi explicite des 
grandeurs infinitésimales simplifie les recherches géométriques, 
en faisant passer directement du connu à l'inconnu, proposons- 
nous de démontrer ce théorème : La surface latérale de tout 
cylindre droit a pour mesure le produit des mesures de sa hauteur 
et du contour de sa base. 

Soit S la surface latérale du cylindre droit proposé, k sa 
hauteur et c la longueur de la courbe | convexe ou concave, 
qui termine sa base plane. On sait, par la définition des- 
criptive , que la courbe c est composée d’une infinité d'éléments 
rectilignes infiniment petits et invisibles ; donc la surface laté- 
rale S est la somme du même nombre infini de rectangles 
plans infiniment étroits et invisibles eux-mêmes, ayant tous À 
pour hauteur et pour bases les éléments rectilignes de c. 
Or , les unités Hnéaire et superficielle étant toujours sous-en- 
tendues comme diviseurs ou conséquents des rapports numéri- 
ques , ceux-ci appelés alors mesures des antécédents , chaque 
rectangle partiel a pour mesure sa base multipliée par sa hau- 
teur ; donc la surface S a pour mesure la somme des bases ou 
la longueur c multipliée par la hauteur À commune ; e’est-à- 
dire qu'on aura toujours S = Ac; ce qu’il fallait démontrer. 


MÉTHODE DES VARIABLES. — Soit inscrit dans le cylindre droit 
proposé un prisme droit de même hauteur k et la base ayant 
un nombre quelconque n de côtés. Soit S/ la surface latérale 
de ce prisme et c’ le contour de sa base : d’après ce qu'on 
vient de voir, il est clair qu’on a S'= Ac". 

Or, il est évident que c > c!' et que S > S’. 

Posant done S'=S—x et c'—c—7y, puis substituant 
dans l'égalité précédente, elle devient 


S—x=h(c—y) où S—x— he — hy. 


Cette égalité est vraie quel que soit le nombre # de faces 
latérales du prisme inscrit. Si donc le nombre n devient de 


en Géométrie. 95 


deux en deux fois plus grand, la ligne c’ a de deux en deux 
fois plus de points communs avec la courbe c; done c’ ap- 
proche de plus en plus de coïncider avec c, aussi bien que 
S' avec S ; les différences x et hk y diminuent done de plus 
en plus. 

On voit que les grandeurs S et hc restent constantes pendant 
que les variables x et y diminuent ensemble indéfiniment, 
sans que l'égalité proposée cesse d’exister. Done en vertu du 
théorème des variables, on a comme plus haut S—Ahc, et en 
outre æ— h y. 


Méruope Des rites. — Si pour # infini, les différences 
x et }y ne sont pas rigoureusement nulles , elles sont du moins 
infiniment petites, et les variables c et S' ne coïncident pas 
avec leurs limites c et S. Donc, en supposant ces coïncidences 
parfaites, on commet deux erreurs infiniment peties. Mais & 
n'y a aucune erreur finale; d'abord parce que toute grandeur 
infiniment petite est nulle à l'égard d’une grandeur finie, comme 
ne pouvant en faire partie ; et ensuite parce qu'ayant x—hy 
ou æ—hy— 0, les deux erreurs se compensent ou se dé- 
truisent toujours. D'ailleurs , l'égalité x hy —0 est vraie 
encore pour x—0 et y—0; ce qui fait coïncider S’ et c/ avec 
leurs limites S et c'. On peut donc toujours, sans qu'il en ré- 
sulle aucune erreur finale, regarder les variables comme coïn- 
cidant à l'infini avec leurs limites. Cest le théorème résultant 
des définitions descriptives. 

Puisqu’il y a coïncidence à l'infini, on voit que : La limite 
constante et la variable limitée jouissent des mêmes propriétés gé- 
nérales. Et tel est le principe fondamental de la méthode des 
limites ; laquelle est identique, comme on voit, avec la mé- 
thode infinitésimale. Mais celle-ci est plus claire , plus simple 
que l’autre, comme étant plus explicite dans l'expression des 
faits à étudier. 


PROPOSITIONS FONDAMENTALES. — Maintenant , il est bien établi 
que pour les rapports et le mesurage, on peut toujours, sans 
aucune erreur finale : 1° Traiter toute figure plane curviligne 
fermée comme un polygone plan rectiligne d’une infinité de 
côtés infiniment petits et invisibles ; 2 Considérer le cercle 
comme un polygone régulier dont le rayon et l’apothème sont 
égaux entre eux; 3° Enfin, traiter tout secteur circulaire comme 


24 J.-N. No. — Xéthode infinitésimale 


un secteur de polygone régulier composé d’une infinité de 
triangles isocèles égaux, le centre, les éléments rectilignes de 
l'arc et le rayon étant le sommet commun, les bases et la 
hauteur de chacun. 

Ces trois propositions constituent la méthode infinitésimale en 
Géométrie pour passer directement du connu à l'inconnu : elles 
conduisent immédiatement , c'est-à-dire par la voie la plus simple 
et la plus claire, à tous les théorèmes relatifs aux proportions 
et au mesurage dans le cercle et les corps ronds; et cette voie 
est en même temps d’une exactitude parfaite. Aussi l’avons- 
nous suivie dans les différentes éditions du traité de Géométrie, 
où nous l'avons parfois remplacée par l’axiôme de généralisation ; 
lequel au fond n’en est qu’un corollaire où les grandeurs in- 
finitésimales ne sont pas mentionnées. 


Héflexions sur l'emploi des Enfnis. 


I. — Non-seulement les grandeurs infinitésimales ont une 
existence certaine, mais elles sont toujours employées en 
Géométrie, du moins implicitement , soit comme éléments logi- 
ques nécessaires aux démonstrations rigoureuses les plus sim- 
ples des proportions , soit comme éléments auxiliaires indis- 
pensables pour passer directement du connu à linconnu , par 
la voie la plus sûre et la plus simple lorsque ces éléments 
auxiliaires sont employés explicitement. Donc l'analyse infinité- 
simale n'est pas une doctrine fausse qu'il faille renverser. Dans 
tous les cas, pour cet effet, il faut autre chose que des non- 
sens, des pétitions de principe et des raisonnements erronés. 

Avant done de condamner l’emploi explicite des grandeurs 
infinitésimales en Géométrie, il est d’abord nécessaire de citer 
au moins un exemple où cet emploi, à l’aide de déductions 
logiques rigoureuses , fondées sur des notions exactes et bien 
établies, induirait en erreur et ferait prendre le faux pour le 
vrai. 

Comme je n’ai pas encore rencontré de tels exemples , j'ai 
demandé quels sont les abus et les inconvénients reconnus qui 
feraient proscrire, s'il était possible , la méthode infinitésimale 
de l’enseignement …. Elle reçoit, a-t-on dit, des résultats 
positifs de la science une confiance dont elle n'est pas digne : 
quels sont donc ces résultats positifs ? Ne sont-ils pas fondés 


en Géomelrie. 95 


sur l'emploi implicite des infiniment petits? Et si cela est en 
effet, a-t-on le droit alors de dire qu’on ne fait aucun usage 
des infinis ?_ 

En attendant les réponses à ces questions, je dis qu'il ne 
suffit pas, pour renverser une doctrine établie, de déclarer 
qu’elle est fausse, mais qu’il faut nécessairement le prouver. 
Or, cette preuve n’a pas encore été donnée, que je sache, 
pour la théorie infinitésimale. 


II, — D'Alembert regardait comme un préjugé nuisible Île 
non-emploi des infiniment petits, dans l'étude des sections 
coniques. — Laplace (séances de l’école normale) dit : « La 


méthode des limites sert de base au calcul infinitésimal. Pour 
faciliter l'intelligence de ce calcul, il est utile d’en faire remarquer 
les premiers germes dans les vérités élémentaires , qu'il convient 
toujours de démontrer suivant des méthodes générales... » — 
Enfin , le programme d’études dans les Lycées de France, en 
1852, et l'instruction ministérielle relative à ce programme, 
en 1854, prescrivent l'emploi de la méthode infinitésimale ou 
dés limites dans la Géométrie élémentaire. 

Dans l'instruction ci-dessus on lit : « On devra laisser de côté, 
d’une manière absolue, toute démonstration fondée sur ce qu'on 
appelle la réduction à l'absurde. » 

Par cette forme de raisonnement, en effet, on commet un 
non-sens ou une pétition de principe pour éviter l’emploi des 
grandeurs infinitésimales , sans qu'on puisse néanmoins y par- 
venir ; comme dans les théorèmes relatifs aux rapports et au 
mesurage du cercle et des corps ronds. Dans ces théorèmes 
la réduction à l’absurde est effectivement « une méthode vicieuse. » 
Mais elle est exacte, parfois nécessaire et souvent utile pour 
faciliter les démonstrations lorsque chaque proposition à établir 
a déjà une certaine évidence, comme beaucoup de propositions 
réciproques. 

La même instruction dit encore : « À l’occasion de la mesure 
des angles au moyen des arcs, le programme recommande 
expressément que la proposition étant cGémontrée pour le cas 
où il y à une commune mesure entre les arcs et les angles, 
quelque petite qu’elle soit, cette proposition soit par cela con- 
sidérée comme générale. Lorsqu'on réfléchit en effet attentive- 
ment aux démonstrations relatives aux quantités incommen- 
surables, on comprend bientôt qu’on ne se fait une idée d'un 


96 J.-N. Noez. — Méthode infiniésimale 

rapport incommensurable qu'en le considérant comme la limite 
du rapport de deux quantités commensurables et dont la com- 
mune mesure est aussi petite qu'on le veut. » 

Donc il est ainsi admis que les deux arcs incommensurables 
proposés ont toujours une commune mesure infiniment petile ; 
ce qu'on à démontré précédemment. Et comme la notion des 
infiniment petits est clairement établie, je pense que pour plus 
de précision dans l'instruction ci-dessus , il aurait fallu dire : 
commune mesure énféniment pelile au lieu de commune mesure 
aussi petite qu’on le veut, 

III. — On prouve que le cercle est la limite des polygones 
réguliers , soit inscrits, soit circonscrüts, en disant : Le nombre 
de côtés devenant de deux en deux fois plus grand, il est 
évident que le polygone approche de plus en plus de coïneider 
avec le cercle, sans jamais y parvenir, si ce n'est à l'infini 
en vertu de la définition descriptive de la courbe. Car à l'in- 
fini la différence, si elle existe, étant infiniment petite, on 
ne saurait en tenir compte et elle n’a pas plus d'influence sur 
la grandeur finie cherchée que si elle était rigoureusement nulie. 
C'est d’ailleurs ce qu’on a établi plus haut. 

La coïncidence à l'infini du cercle et du polygone régulier 
est admise dans le programme cité ; car on y trouve la pres- 
criplion suivante : « Mesure de l’aire du cercle, envisagé comme 
un polygone régulier d'une infinité de côtés. » 

Ce programme admet donc, comme proposition évidente , 
que : Le cercle et les polygones réguliers dont il est la limite 
jouissent des mémes propriélés générales, c'est-à-dire indépen- 
dantes du nombre de côtés. Ce qui le prouve d’ailleurs, c’est 
que d’après l'instruction ministérielle , la proportion entre deux 
circonférences et leurs rayons doit se déduire immédiatement 
de la proportion entre les périmètres et les rayons de deux 
polygones réguliers semblables. 

J'ai fait voir le premier en Géométrie que : Le rapport appro- 
ché d’une circonférence à son diamètre est le même pour deux 
circonférences quelconques, 

Pareillement , dans l’instruction ci-dessus , il est prescrit de 
passer immédiatement de l'expression de l’aire d'un polygone 
régulier à l’expression de l'aire du cercle , et de même pour 
les théorèmes relatifs au mesurage dans les corps ronds. 

IV. — On traite le cercle comme un polygone régulier d’un 


en Géométrie. 97 


nombre infiniment grand de côtés infiniment petits, dans le 
Cours de Géométrie de M. Bobillier, cité plus haut. Mais on 
démontre d’abord que la circonférence ne surpasse le périmètre 
du polygone régulier inscrit d’une infinité de côtés que d’un 
infiniment petit du second ordre , nul à l'égard de toute lon- 
gueur finie. 

V. — Dans la troisième édition de son Traité de Géométrie, 
simplifiant beaucoup celui de Legendre , Paris 1854, M. Blanchet 
a cherché à mettre autant que possible les théories en har- 
monie. avec les programmes de l'enseignement universitaire et 
des écoles du Gouvernement en France. Cependant, pour dé- 
montrer que : Dans deux cercles égaux le rapport de deux 
angles aux centres est le même que celui des arcs interceptés par 
leurs côtés, M. Blanchet, page 42, considère encore le cas 
où les deux arcs sont incommensurables , et commet ainsi une 
pétilion de principe ou un non-sens. Il fait voir ensuite que 
les deux rapports proposés sont compris entre deux nombres 
dont la différence est aussi petite qu’on voudra, et il en con- 
clut que ces deux rapports sont égaux. 

Mais cette conclusion est trop précipitée ; car la différence 
ci-dessus n'étant jamais nulle, il y a une infinité de rapports 
inégaux compris entre les deux nombres proposés. Il ne s’ensuit 
donc pas nécessairement que les deux rapports cherchés soient 
égaux entre eux : c'est ce qui reste toujours à démontrer. 
Seulement il en résulte que ces deux rapports sont égaux par 
approximation. Mais leur égalité est absolue, ainsi qu’on le dé- 
montre très-simplement par la méthode des parties égales. 

M. Blanchet n’employant pas explicitement les grandeurs in- 
finitésimales , ne saurait justifier la proposition plus haut , savoir : 
Le cercle jouit des mêmes propriétés générales que les polygones 
réguliers dont il est la limite; il ne démontre done pas la 
proportion entre les circonférences et leurs rayons, page 114 
de sa Géométrie. 

Dans la détermination de l'aire du cercle, page 417, il 
‘suppose que : Si deux variables sont constamment égales entre 
elles , il en est de même de leurs limites. Or, c'est ce qu'il doit 
encore démontrer; vu que ne voulant faire aucun usage des 
grandeurs infinitésimales , il ne saurait admettre que : la variable 
el sa limite coëncident à l'infini. 

Les simplifications introduites par M. Blanchet seraient plus 

15 


98 J.-N. Norc. — Methode infinitésimale 


grandes , s'il avait donné plusieurs démonstrations nécessaires 
à la clarté et à une certitude complète. Or, ces démonstrations 
rigoureuses sont fondées sur le théorème des variables auxi- 
liaires quand on ne veut faire aucune mention des infinis, alors 
employés implicitement. 

VI. — Non-seulement l'emploi explicite des grandeurs in- 
finitésimales est inévitable en Géométrie, pour simplifier le plus 
possible cette science importante; mais cet emploi est la base 
de la Mécanique rationnelle. C'est ce que nous avons prouvé 
complètement dans la recherche des lois de tout mouvement 
uniformément accéléré. 

Ici le temps infiniment petit æ qu'il faut évidemment pour 
que le point matériel libre reçoive complètement, par son 
inertie , chacune des impulsions égales et infiniment petites de 
la force accélératrice constante, exige que le temps T soit divisé 
en un nombre infini n de parties égales à x. De sorte que # 
et x sont constants, aussi bien que le temps T, la force 
accélératrice et le point matériel. Le mouvement uniformément 
accéléré n’admet donc aucun élément variable, pas même les 
éléments auxiliaires # et x. Par conséquent la méthode des 
variables auxiliaires ne peut servir aucunement à la détermina- 
tion des lois de ce mouvement , quand même cette méthode 
serait abrégée par le calcul différentiel , lequel n’est ici que le 
calcul infinitésimal où dE et d7T sont infiniment petits et 
constants. 

Nous avons fait voir ailleurs que si, partant d’une hypothèse 
contraire à-la vérité, les nombres variables n et x sont finis, 
on est conduit à une équation finale renfermant trois termes 
variables et un seul terme constant; d’où l’on ne peut rien 
conclure relativement à la loi cherchée, IL faut donc le caleul 
infinitésimal pour démontrer cette loi, 

Maintenant , que le terme infiniment petit soit constant ou 
variable , il doit nécessairement disparaitre du résultat final, 
d'abord comme auxiliaire et ensuite comme ne pouvant faire 
partie de la grandeur finie cherchée. La méthode infinitésimale 
est done plus générale que la méthode des variables : elle 
est plus simple que celle-ci et tout aussi rigoureusement exacte ; 
vu qu'en supprimant d’abord les termes devenant infiniment 
petits dans le résultat final, on ne commet aucune erreur sur 
la grandeur finie. 


en Üréomeétrie, 99 


Mais la méthode des variables auxiliaires , quand elle est 
applicable, fait voir que les erreurs relatives se compensent et 
se détruisent toujours dans le résultat final, lequel par suite 
est rigoureusement exact et le même que celui obtenu par Îa 
suppression immédiate des termes devenant infiniment petits à 
la fin du calcul. 

C'est ainsi que le théorème des variables démontrerait la 
méthode infinitésimale , si elle n’était démontrée plus générale- 
ment par le seul fait qu'un nombre infiniment petit ne peut faire 
partie du nombre fini cherché; c’est-à-dire ne peut l’augmenter 
ni le diminuer, absolument comme s’il était rigoureusement nul 
à l'égard de ce nombre fini. 


VII. — « On ne saurait assimiler le mouvement varié au 
mouvement uniforme en imaginant des intervalles de temps 
infiniment petits qui se succèdent de manière à reproduire la 
durée totale, et pendant chacun desquels il y a par hypothèse 
uniformité. » 

Voici comment cette proposition au moins singulière est prouvée, 
page 250 des Annales de l’enseignement public, 1857. 

« 1°. Si ces quantités infiniment petites sont des quantités 
très-petites, il est absolument faux qu’un mouvement varié 
puisse se composer d’une suite de petits mouvements unifor. 
mes, se succédant sans intervalles et de vitesses différentes , 
puisqu'il faudrait que la vitesse changeât brusquement partout 
où l’un des petits mouvements succéderait à un autre. » 

a 2°. Si ces quantités infiniment petites ne sont pas telles 
( très-petites ) , alors ce sont des quantités reconnues aujourd'hui 
chimériques , et qui dépourvues de sens, ne peuvent faire partie 
d'un enseignement quelque peu régulier. » 

Il faudrait donc conclure de ces raisonnements , s'ils étaient 
exacts , que les intervalles ci-dessus ne peuvent être ni très- 
petits ni infiniment petits. 


Cependant, « si la vitesse est la limite vers laquelle con- 
verge le rapport de l’espace décrit au temps employé à le 
décrire, lorsqu'on fait décroitre ce temps indéfiniment , » il est 
clair que cette quantité décroissante indéfiniment, ne pouvant 
jamais devenir nulle, finit par être moindre que toute quantité 
assignée , si petite qu'elle soit, aussi bien que l’espace décrit ; 
celui-ci et le temps employé à le décrire sont done infiniment 


100 J.-N. Noez. — Méthode infinitesimale 


petits à la limite et ne sont point alors des quantités chimériques, 
dépourvues de sens. 

On voit que les infiniment petits se trouvent implicitement 
dans la définition précédente, et que cette définition est moins 
claire , moins précise que celle-ci, dont il faut nécessairement 
faire usage pour rester dans le vrai et le simple : La vwilesse 
est le rapport de deux nombres infiniment petits, exprimant 
l’espace décrit et le temps employé à le décrire. 

Ainsi en Mécanique comme en Géométrie, les grandeurs in- 
finitésimales se présentent inévitablement pour faciliter et sim- 
plifier les déductions logiques du caleul. 

Dans l'avertissement mis en tête d’une nouvelle édition de sa 
Mécanique analytique, Lagrange lui-même dit : « On a con- 
servé la notation ordinaire du Caleul différentiel, parce qu'elle 
répond au système des infiniment petits adopté dans ce Traité. 
Lorsqu'on a bien conçu l'esprit de ce système, et qu'on s'est 
convaincu de l'exactitude de ses résultats... on peut employer 
les infiniment petits comme un instrument sûr et commode pour 
abréger et simplifier les démonstrations. » ( Carnot, Réflexions 
sur la Métaphysique, etc. ) 

Lagrange reconnaît ainsi que l'analyse infinitésimale l'emporte 
en simplicité (et je dirai même en exactitude rigoureuse) sur 
la Théorie des fonctions analytiques, qu'il a voulu rendre in- 
dépendante des nombres infinis et infiniment petits, et où 
cependant ces nombres sont employés implicitement ; car ils se 
trouvent dans les rapports inexprimables en chiffres, faisant 
nécessairement partie des nombres variables soumis au calcul 
et ces derniers nombres devant passer chacun par tous les 
états de grandeur, pour la généralité complète de la théorie 
ci- dessus. 

VIII. — La méthode infinitésimale est en usage depuis près 
d’un siècle pour simplificr certaines propositions de mesurage 
dans les éléments de Géométrie. Mais les notions des infinis et 
des infiniment petits n'étaient pas d'abord développées suffisam- 
ment ni assez approfondies pour en déduire le principe in- 
finitésimal, employé alors implicitement. Et de là vient le 
manque de rigueur reproché aux démonstrations des propositions 
ci - dessus. 

Dans les éléments de Géométrie de Lacroix et de Francœur, 
le principe infinitésimal n'est pas évité ; 1l est déguisé et rem- 


en Geéomelrie. 101 


placé par des théorèmes sur les variables auxiliaires ; tandis 
que dans ceux de Legendre, de longues et obscures réductions 
à l’absurde ne parviennent même pas à cacher entièrement les 
infinis qu'on a voulu éviter, lesquels se trouvent au fond des 
raisonnements comme éléments logiques auxiliaires et qui sont 
indispensables pour rendre ces raisonnements intelligibles. 

IX. — L'existence des nombres infinis et infiniment petits 
est bien établie; les définitions de ces deux genres de nombre, 
toujours inconnus , sont claires, précises et n’ont rien de plus 
abstrait , de plus difficile à concevoir , que les notions des 
lignes et des surfaces. La méthode infinitésimale est donc com- 
plètement élémentaire ; et aucune autre méthode ne peut comm 
elle rendre clair, simple et rigoureusement exact Ve 
ment des Éléments de Géométrie, ainsi qu’il est prouvé dans 
ce qui précède. 

On voit que l'emploi explicite des infinis dans les Mathé- 
matiques élémentaires est loin d'être « un grave et dangereux 
abus » et d'avoir fait déjà beaucoup de mal à l’enseignement ; 
on l'a dit. C’est en effet le contraire qui est vrai; cet enseigne- 
ment n'étant simple, clair et rigoureux que par les infinis, 
employés explicitement pour passer de l'étude des figures rec- 
tilignes et des polyèdres à l'étude des figures curvilignes et des 
corps ronds. 

Il n’est dore pas seulement très-utile, mais il est absolument 
nécessaire d'employer franchement et exclusivement la méthode 
infinitésimale dans l’enseignement de la Géométrie élémentaire, 
pour passer #mmédiatement du connu à l'inconnu et donner en 
même temps aux déductions toute la clarté, la simplicité et 
la complète exactitude dont elles sont susceptibles. Car la rigueur 
logique n'est certainement pas dans les non-sens, les pétitions 
de principe, les longs et obscurs détours employés pour déguiser 
les infinis. 

Enfin , l'analyse infinitésimale se présente inévitablement pour 
simplifier et rendre possible l'étude logique complète des Mathé- 
matiques pures et appliquées. Son emploi, dans l’enseignement 
élémentaire, « donne à la fois aux élèves des connaissances et 
la méthode pour en acquérir de nouvelles. En continuant de 
s'instruire , ils ne font que suivre la route qui leur a été tracée 
et dans laquelle ils ont contracté l'habitude de marcher ; de 
sorte que la carrière des sciences leur devient beaucoup moins 


102 J.-N. Nor. — Méthode infinitésimale 


pénible. D'ailleurs le système de connaissances, liées entre 
elles par une méthode uniforme , pent mieux se conserver et 
s'étendre. » — Telles sont les considérations par lesquelles 
Laplace recommande l'emploi, nécessaire d’ailleurs, de la mé- 
thode infinitésimale dans l’enseignement élémentaire. Aussi 
désirait-il le perfectionnement de cette méthode , qu'il regar- 
dait comme un puissant instrument de l’esprit humain. 


Des symboles mumériques. 


La discussion complète des problèmes généraux d’algébre et 
de géométrie numérique exige le calcul des différents symboles 
de nombres que nous allons considérer : 

I. — Lorsque la racine r ième d'un nombre entier N n'est 
pas elle-même un nombre entier , c’est toujours une fraction trré- 
ductible finie dont les termes sont infinis. 

D'abord la racine r ième de N est un nombre fini, car 
elle est comprise entre deux nombres entiers immédiatement 
consécutifs el ce n’est pas un nombre entier. Si donc cette 
racine r ième de N peut s'exprimer exactement par la fraction 
dont les termes a et c soient deux nombres entiers finis, 
premiers entre eux, il faudra que la puissance r ième de cette 
fraction a sur c, savoir a° sur c', se réduise au nombre entier N. 
Or, cela est absolument impossible ; car c étant premier avec a 
et par suite avec a, il en résulte que c° est aussi premier 
avec a’. Le quotient de a° par c' ne peut done se réduire au 
nombre entier N. Ainsi les deux termes de la racine r ième 
de N ne peuvent être des nombres entiers finis ; donc ils 
sont nécessairement énfinis et n’ont point de diviseur infini 
commun. 

La racine r ième de N étant done une fraction irréductible 
finie, mais à termes infinis, on voit que cette fraction sera 
toujours inexprimable en chiffres et par suite inconnue. Mais on 
sait la calculer aussi approchée qu’on la veut; et cela suffit 
dans tous les cas. 

On indique la raeine r ième de N en écrivant y” N et en 
énonçant racine x ième de N. Cette indication est un radical 
du r ième degré dont r est l'indice; et c’est aussi le symbole 
d’un nombre inexprimable , appelé nombre érrationnel ou nombre 
incommensurable, — De même, æ et 1 sur œ sont les symboles 


en Géometrie. 103 


de deux nombres inexprimables et toujours inconnus , l’un in- 
finiment grand et l’autre infiniment petit. 

I. — On sait que si la longueur finie a est supposée divisée 
en un nombre infini n de parties égales , chaque partie p est 
infiniment petite et jamais nulle. De sorte qu'on a 


a ia (LA 
——=p}; d'où pXn—a nn 
n | 


Dans ces égalités, n et p sont infini et infiniment petit du 
premier ordre. 

Pareillement , si l'on suppose la longueur infiniment petite p 
divisée en un nombre infini n de parties égales, chaque 
parte p' est une longueur infiniment petite du second ordre, 
laquelle n’est jamais nulle. Et comme alors on a 


Dee Pop Ps at gi à _ 
a d'où p'X n?= a et FR n° ; 
le nombre n° est un infini du second ordre. 

En général, le produit de 2, 5, 4,... facteurs infinis ou 
infiniment petits est un infini ou un infiniment petit du second 
ordre, du troisième, du quatrième, etc. 

Puisque n désigne le nombre infini de toutes les fractions 
possibles, plus grandes que lunité et à termes infinis, depuis 
1 exclu jusqu'à 2 inclus, il en résulte que #° est le nombre 
infini de fractions possibles, à termes infinis du second ordre, 
Donc les nombres infinis du second ordre de toutes les fractions 
possibles, à termes infinis de cet ordre et chacune plus grande 
que l'unité, depuis 1 exclu jusqu'à 2, 3, 4, 5, 6...., m in- 
clus , sont : 


n?, 2n?, 8n°, An’, Dr... , (m—1)n?. 


On a des suites semblables de nombres infinis du troisième 
ordre, du 4", etc. 

II. — Dans presque tous les Traités d'Algèbre, on ne fait 
aucune mention des nombres infiniment petits, et l’on regarde 
même comme exactes les égalités 

6 6 


re el Ten ot à (0) 


Cependant, pour la clarté et la précision du langage, il est 


104 J.-N. Norz. — Méthode infinilésimale 


nécessaire d’avertir qu'ici le zéro est relatif et désigne un nombre 
infiniment petit. Sans cette précaution , le zéro sera naturelle- 
ment regardé comme le rien, le néant et l'absence de toute 
grandeur. D'où l’on concluera alors forcément que les deux 
égalités précédentes sont absurdes. 

Ces deux égalités, en effet, supposent celle-ci : 0 X © = 6. 
Or, cette dernière égalité est absolument impossible; car le zéro 
absolu répété , même une infinité de fois, ne peut produire que 
zéro et jamais 6. Donc aussi chacune des égalités (1) est im- 
possible. 

On voit que le quotient de 6 par le zéro absolu n'existe pas; 
c'est-à-dire que & est le symbole de la non-existence du nombre 
de fois que 6 contient rien. D'ailleurs , la grandeur 6 et Île 
néant sont deux choses de natures différentes ; la première ne 
saurait donc contenir la seconde. 

Puisque £ est un symbole de non-existence , tandis que 
est le symbole d’un nombre infini, dont l'existence est certaine, 
on voit que ces deux symboles ne sont pas identiques et quil 
est absurde de prendre l’un pour l'autre. 

IV. — Un terme soustractif isolé tel que —7, par exemple, 
indique une soustraction actuellement impossible, parce que Île 
plus grand nombre de cette soustraction n'existe pas ou bien est 
sous=— entendu comme n'étant pas l’objet du calcul actuel. Donc 
— 7 n’est pas un nombre : c'est un symbole de nombre appelé 
quantité négative; c'est le reste algébrique de la soustraction 
impossible de 11 hors de 4, par exemple. On a, en effet, 
k—11=4—4—7—0—7—=—7. — Cette réduction de 
plusieurs termes en un seul se présente d'abord en algèbre, 
pour simplifier les expressions numériques. 

Soustrayant 8 de chacun des membres des deux inégalités 
de même sens 5<8 et 24, les deux nouvelles inégalités 
subsistent évidemment dans le sens des deux proposées. De 
sorte qu’en réduisant, on aura — 5 < 0 et — 6 << —#4. Ainsi, 
toute quantité négative est plus petite que zéro ; et plus une quantité 
négative a d'unités , plus elle est petite. 

Par cette extension d'idées importante, les termes vont en 
diminuant dans la progression par différence, où — 1 est la 
raison 


4,5,2,1,0,—1,—2,—5, —4, —5,— etc. 


en Géomelrie. 105 


Dans le sens relatif de deux soustractions hors d’un même 
nombre sous-entendu , le reste — 2 est plus grand que le reste 
— 6 ; vu que moëns on retranche plus il reste , et réciproquement. 
Mais la comparaison des deux symboles de même nature — 9 
et — 6, considérés en eux-mêmes, fait voir au contraire que 
le second — 6 est trois fois plus grand que le premier — 9 ; 
car — 6—=—9 X5. 

V. — Puisque le rapport est le nombre abstrait , exprimable 
ou non, par lequel il faut multiplier le conséquent pour avoir 
l'antécédent , il s'ensuit nécessairement que les deux termes du 
rapport sont toujours deux grandeurs ou deux symboles de gran- 
deurs absolument de mnème nature. Ainsi 3 est le rapport de 
— 6 à — 2. 

De même , le rapport des deux symboles imaginaires y/ 9 
et p/—5 est 5; car VI = 3x5 

Si les deux nombres 9 et 4 sont divisés en un même nombre 
infini » de parties égales infiniment petites x et y, d'où nx = 9 
et ny — 4, on aura x: y — 9: 4. Le rapport des deux in- 
finiment petits x et y est done ici le nombre fini et déter- 
miné ?. 

En général , le rapport de deux nombres infinis ou infiniment 
petits du même ordre est toujours un nombre fini, mais in- 
connu ou indéterminé comme ses deux termes. Toutefois le rap- 
port de 6%©2 à 3%? se réduit au nombre 2. Mais cela vient 
de ce que les deux termes sont les multiples donnés 6 et 5 du 
même nombre infini æ ?. 

Le quotient de — 6. par + 3 est — 2. Mais comme — 2 
n'est pas un nombre abstrait , le rapport de — 6 à + 3 n'existe 
pas. Ces deux symboles , en effet, ne sont pas de mème nature, 
et il n’existe aucun nombre abstrait par lequel multipliant + 8 
le produit soit — 6. 

Dans la proportion exacte + 12: L4 = — G:— 92, le rap- 
port commun est 5. Mais on ne saurait y mettre les moyens 
l'un à la place de l'autre , sans la détruire ; car ayant alors 
+12: —6— +4 :— 2, on exprime l'égalité des deux quo- 
tients — 2, et non l'égalité de deux rapports, puisque — 2 n’est 
pas un nombre abstrait. L'égalité ci-dessus n’est donc pas une 
proportion. 

De même, 12:—6 —— 4: 2 n'est pas une proportion ; 

14 


106 . J.-N. No:z. — Méthode infinitésimale 
et l'on ne saurait en conclure qu'il est faux que — 4 soit plus 
petit que 2. 

Enfin, si dans la proportion A: B—C:D, A et B sont 
deux surfaces planes limitées en tous sens, tandis que Cet D 
sont deux lignes droites tracées , on ne saurait, sans absur- 
dités, mettre les moyens ou les extrêmes l’un à la place de 
l'autre, ni égaler les produits des extrêmes et des inoyens. Voilà 
pourquoi il faut toujours rendre numérique la proportion entre 
quantités continues, en divisant les deux termes de chaque rap- 
port par l'unité de même nature; ce qui ne change pas la valeur 
du rapport et ne détruit point la proportion. — Pour les dé- 
monstrations, il suffit de supposer les divisions faites, les di- 
viseurs étant alors sous-entendus et censés écrits sous les termes 
qu'ils doivent diviser. 


VI. — Maintenant, la discussion complète d’une formule gé- 
nérale exige que dans la différence positive 8—x, par exemple, 
la variable x croisse continuement ou par degrés insensibles , 
c'est-à-dire eroisse par nombres infiniment petits. Alors cette 
différence diminue de plus en plus et passe successivement par 
l'infiniment petit positif, le zéro absolu et l’infiniment petit ne- 
gatif, avant de recevoir une valeur soustractive finie. 

Done au contraire, le quotient de 6 par 8 — x passe suc- 
cessivement par l'infini positif, la non-existence et l'infini négatif, 
avant de recevoir une valeur finie soustractive. 

Les auteurs d’Algèbre, pour la plupart, dans la seconde 
solution du problème des Lumières, confondent les trois sym- 
boles + oo , à et —- © en un seul impossible. Le second in- 
dique une impossibilité absolue, tandis que les deux autres 
désignent deux impossibilités relatives à nos moyens d’appré- 
ciation. Îci, + æ et — sont “eux distances infinies, dirigées 
l’une en sens directement contraire à celui de l’autre. Ces deux 
distances existent ; mais nous ne pourrons jamais les tracer ni 
les mesurer , et elles nous seront toujours inconnues. 

On sait que la discussion d’un problème général d'Algèbre 
ou de Géométrie numérique a pour but de savoir dans quels 
cas ce problème est possible, indéterminé ou absurde. Si la 


discussion fournit l’un des symboles : — a, — et W— a, le 


problème est absolument impossible, ou du moins l'hypothèse 
qui à servi à le mettre en équation. 


en Géotnéirie. 107 


Dans chacun de ces cas, pour utiliser les raisonnements et 
les calculs effectués , il faut interpréter le symbole, c’est-à-dire 
trouver les modifications que l'énoncé doit subir pour que le 
problème devienne possible avec les mêmes nombres donnés. 
Or cela revient, pour chacun des trois symboles précédents, 
à changer la soustraction qui le produit en une addition ; etc. 

VII. — Lorsque dans le même plan les deux droites AB 
et CD rencontrent, en G et H, la même troisième EF et font 
avec celle-ci l'angle externe EGB plus grand que l'angle interne 
correspondant EHD , on sait que ces deux droites se rencontrent 
nécessairement en un point X. Or, s’agit de calculer la dis- 
tance GX du point X au point G. ( figure à tracer ). 

Pour cet effet, on prend sur GB la longueur GI égale à 
l'unité linéaire w ; on mène ensuite, par le point I, la parallèle 
à DH rencontrant GH au point N : il en résulte l'angle GNI—GHX , 
et par suite les deux triangles GHX , GNI sont équiangles. 
Comparant donc leurs côtés homologues, on aura 


GX : « — GH : GN. 
Posant GX =x, GH=a et GN—v, il vient 
MENU aie: 


Cette proportion n’est pas détruite lorsque, pour avoir des 
nombres abstraits, on divise les quatre termes par l'unité li- 
néaire w#. Si done on suppose ce diviseur écrit sous les termes 
æ, a € U, on aura 

x: 1—=a:v; d'où vx=a et x — =. 
De sorte que pour calculer la valeur numérique de x ou GX; 
il suffit de mesurer les droites a et v avec l'unité linéaire w et 
de diviser le premier nombre résultant par le second. 

Maintenant, pour discuter la formule ci-dessus, on observe 
que la longueur a reste constante pendant que l'angle EGB 
diminue ; mais qu’en même temps v diminue aussi et æ augmente 
de plus en plus. Si l'angle EGB surpasse infiniment peu l'angle 
EHD , la longueur v est infiniment petite et la longueur x én- 
finiment grande. De sorte qu’alors les deux droites AB et CD 
se rencontrent en un point X, situé à l'infini. 

Si l'angle EGB devient égal à l'angle EHD, le point N 
tombe en G; vu qu’alors IN et GB sont parallèles à CD. La 


108 J.-N. Noëz. — Méthode infinitésimale 


longueur v est donc rigoureusement nulle , et la distance x ou « 
sur Ü cesse d'exister , aussi bien que le point X de rencontre ; 
comme cela doit être , puisque AB et CD sont alors parallèles. 

L’angle EGB continuant à diminuer , il en est de mème de 
la longueur v, laquelle par suite devient négative. Pour le 
démontrer, d’ailleurs , on observe que dans ce cas l’angle EGB 
étant plus petit que l'angle EHD, le point N tombe sur EG 
et non sur son prolongement GH ; la droite v ou GN est donc 
mesurée en sens directement opposé et diminue la longueur EG 
qu'elle augmentait d'abord pour avoir EN : donc enfin v devient 
— dans la formule proposée. 

Il est donc ainsi clairement démontré que : Toute distance 
mesurée en sens directement opposé doit recevoir partout le signe—, 
ei devenir négative dans les équations employées. Et l'on voit 
que ce théorème n’est par une simple convention , ainsi que 
plusieurs Géomètres le supposent. 


Changeant donc en — v dans la formule proposée , elle 
a ; ee 
devient x — — me La longueur x devient donc aussi négative 


et diminue la longueur AG qu’elle augmentait d’abord pour 
avoir AX : la longueur négative est done alors mesurée en sens 
directement opposé sur la droite AB, celle-ci ayant tourné autour 
du point fixe G. 

Il est donc aussi démontré que: Toute distance négative doit 
se mesurer en sens directement contraire, ou plulôt sa valeur 
numérique. De sorte que ce théorème ne résulte pas d’une 
simple convention. 

Portant donc la valeur numérique actuelle 1 GX en sens 
directement opposé et à partir du même poirt G, sur la droite 
indéfinie BGA dans sa nouvelle position autour du point fixe G , 
on aura le point X où les deux droites GA et HC prolongées 
vont nécessairement se couper; car ici l'angle externe CHE est 
plus grand que l'angle interne correspondant AGF. 

VIII. — Observons maintenant que dans les problèmes de 
Géométrie numérique, les formules ne contiennent que Îles 
nombres abstraits , rapports de droites limitées à la même unité 
linéaire , toujours sous-entendue comme conséquent de chaque 
rapport. D’après cela , les deux précédents théorèmes fournis- 
sent, pour l'usage des symboles négatifs dans la Géométrie 
numérique, les deux propositions que voici : 


eh Géometrie. 109 


4°. Pour passer de la formule où une longueur a est mesurée 
sur une droite indéfinie et à partir de l’un deses points fixes , 
à la formule où cette longueur «a serait mesurée en sens con- 
traire, à partir du même point et la droite étant mobile ou 
non autour de ce point fixe, 4 suffit de changer simplement 
aen — a dans la première formule. 

Par la substitution de — a à a, on est dispensé, pour avoir 
la seconde formule , de recommencer les constructions , les 
raisonnements et les calculs qui ont fourni la première. Or, 
cela simplifie beaucoup et généralise certaines recherches de 
Géométrie numérique. 

2. Réciproquement, lorsque la formule donne une valeur 
négative à la longueur inconnue x, l suffit, pour avoir le 
problème résolu avec les mêmes données , de mesurer cette valeur , 
où l’on a supprüné le signe — , dans le sens directement opposé, 
Sur la même droite et à partir du même point fixe, même 
quand la droite lournerait autour de ce point pour la nouvelle 
formule. Cela revient à changer simplementæen—x dans la 
formule et les équations proposées et à enterpréter les nouvelles 
équations. 

On sait que l'interprétation des symboles négatifs conduit à 
interpréter plusieurs autres symboles , et notamment les sym- 
boles imaginaires. Mais je n'ai pas ici à insister sur ce sujet : 
il me suffit de rappeler combien les deux propositions précé- 
dentes sont utiles pour simplifier le plus possible la Trigono- 
métriez et , en général, l'application de l’Algèbre à la Géo- 
métrie. 

Remarque. — 1] ne faut pas croire, a-t-on dit , que l’on puisse 
soumettre l’infini au calcul. Cependant, puisque les infinis et les 
infiniment ‘petits sont des nombres inconnus, il est clair qu'ils 
peuvent être soumis à toutes les opérations du calcul, et que 
même leur emploi explicite, comme nombres auxiliaires , sim- 
plifie toujours certaines recherches numériques , telles que les 
propositions de mesurage dans les cercles et les corps ronds. 

On sait, en effet, que le principe essentiel du Calcul in- 
finitésimal fait trouver , le plus clairement et le plus simplement 
possible , des grandeurs finies à l’aide de nombres auxiliaires 
infinis et infiniment petits. Il est donc à regretter que la très- 
simple Théorie infinitésimale précédente, ne figure pas dans les 
Traités élémentaires d'Algèbre où elle peut recevoir d’utiles ap- 


110 J.-N. Nour. — Fféthode infinitésimale 


plications, aussi bien qu’en Géométrie où elle est indispensable. 
Dailleurs cette théorie est fort élémentaire elle-même : aussi 
plusieurs Géomètres, à commencer par Bernoulli, n'ont-ils 
rien trouvé de plus simple ni de plus clair pour calculer le 
nombre e, base du système des logarithmes Népériens, que le 
développement de la puissance n ième du binôme dos ; 
n désignant un nombre entier infini et où le principe infini- 
tésimal est employé, du moins implicitement. (Voyez entre 
autres la Géométrie analytique par Lefébure ). 

C'est en effet, par l'emploi explicite de nombres infinis et in- 
finiment petits que la: formule du binôme, démontrée seulement 
pour l’exposant entier positif, conduit directement et avec facilité, 
aux séries exponentielles et logarithmiques, lesquelles sont né- 
cessaires à la construction la plus simple des Tables de loga- 
rithmes et à l'appréciation des erreurs dues à la proportion 
tabulaire, 

Enfin, c’est en généralisant les définitions des opérations que 
l'on démontre clairement et complètement le calcul des symboles 
négatifs et imaginaires. C’est aussi par un choix de bonnes dé- 
finitions que l’on simplifie l'étude de la Géométrie élémentaire, 
ainsi qu'on l’a déjà vu pour la Géométrie plane. 


Comparaison des Angles trièdres. 


REMARQUES SUR LES DÉFINITIONS. — J’observerai d’abord que 
Legendre, dans ses Notes, propose d'appeler angle coin ce que 
Lacroix nomme angle dièdre : c’est l’espace indéfini dont deux 
plans, issus une droite commune, sont écartés l’un de l’autre, 
quant à leur position dans l’espace. La droite commune est 
l'aréte de l'angle et les deux plans en sont les faces ; d'où résulte 
la dénomination d'angle dièdre. 

Si l’on convenait de sous-entendre le mot angle, l’espace in- 
défint ci-dessus se désignerait plus simplement en le nommant 
dièdre ou coin. Ici le mot coin n’a pas la même acception qu'en 
Mécanique , où le tranchant du coin est un angle coin, un 
angle dièdre. De même, le mot angle étant sous-entendu , au 
lieu d'angle trièdre, on dit simplement trièdre. 

Des deux locutions : les dièdres d’un trièdre et les coins d’un 
trièdre , nous avons préféré la seconde. Mais la dénomination 


en Gécmeéirie. 111 


de dièdre est généralement admise et le mot coin ne se trouve 
dans aucun auteur moderne de Géométrie. 


Je pense quon peut employer les dénominations d’angle 
solide et d'angle polyèdre pour désigner le même espace indéfini 
compris sous plus de trois faces ou angles plans, et qu’au lieu 
de : les angles polyèdres d'un polyèdre, il est préférable de 
dire : les angles solides d'un polyèdre. — On sait d’ailleurs 
qu’au lieu d'angle trièdre, angle tétraèdre ,.… Legendre propose 
de dire angle triple, angle quadruple, etc. 

Si lon coupe un dièdre par un plan incliné sur son arète, 
il en résulte deux trièdres complétant le dièdre proposé et que 
pour cette raison j'appelle trièdres complémentaires. — Pour 
construire le trièdre complémentaire d’un trièdre donné, il suffit 
de prolonger au-delà du sommet une arêe de ce dernier. — 
On voit que deux trièdres complémentaires ont un dièdre égal, 
la face opposée égale , tandis que les deux autres dièdres et les 
deux autres faces du premier sont les suppléments respectifs 
des deux autres dièdres et des deux autres faces du second, — 
Enfin, deux trièdres séparés sont complémentaires dans tous 


« 


les cas analogues à ceux où ils sont égaux. 


Nous avons fait voir en Géométrie quelles sont les conditions 
nécessaires pour que deux angles solides soient égaux ou symé- 
triques et nous avons prouvé qu’un angle solide convexe ne 
peut avoir qu’un seul symétrique cuincidant avec l'angle solide 
opposé au sommet du premier. — Nous avons aussi démontré 
l'équivalence de deux trièdres symétriques ; mais voici une dé- 
monstration plus directe. 


Théorème. — Deux angles trièdres symétriques ne sont pas 
égaux , mais sont équivalents entre eux (fig. 6). 


Soit le trièdre SABC et son opposé au sommet Sabc : ces 

deux trièdres symétriques ne sont pas égaux , vu qu'il est im- 
] Ü 

possible de les faire coïncider l'un avec Pautre s'ils ne sont pas 


isoèdres. Mais je ais qu’ils sont équivalents entre eux. 


Prenons les six longueurs SA, Sa, SB, Sb, SC, Sc toutes 
égales entre elles, et joignons leurs extrémités par des droites : 
nous formerons six triangles isocèles égaux deux à deux et 
opposés au sommet S commun; car ils auront deux à deux un 
angle égal compris entre côtés égaux. D'où il suit que les deux 
côtés AB et ab sont égaux et parallèles, aussi bien que les 


112 J.-N. Noez. — Methode infinitésimale 


deux côtés AC, ac et les deux BC, bc. Donc les deux triangles 
ABC , abc , sont égaux et leurs plans parallèles. 

Par le point $ menons Dd perpendiculaire au plan ABC et 
par conséquent à son plan parallèle abc : comme les intersec- 
tions AD et ad de ces deux plans par le même troisième ADSda 
sont parallèles, il est clair que les deux triangles rectangles SAD 
et Sud sont égaux , comme ayant les hypothénuses SA, Sa égales 
et adjacentes à deux angles égaux chacun à chacun ; done SD— Sd. 
Mais de là résulte que les six triangles rectangles SAD, SBD, 
SCD , Sad, Sbd, Scd sont égaux entre eux; donc les six 
droites DA, DB , DC, da, db, de sont égales entre elles. 
Donc les pieds D et d sont les centres des deux cercles égaux 
circonserits aux deux triangles égaux ABC, abc ; et cela serait 
encore évidemment si les pieds D et d tombaient dans les in- 
térieurs de ces triangles. 

Maintenant, les deux triangles isocèles DAB et dab sont égaux 
comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. Mais pour 
faire coïncider ces deux triangles , il faut d'abord que dab fasse 
une demi-révolution autour de ab. Plaçant alors le point d sur 
le point D et le côté da sur son égal DB, il est clair que le 
côté db suivra son égal DA, et qu’ainsi les deux triangles 
coïncideront. Mais alors dS , perpendieulaire en d sur le plan 
dab ,le sera en D sur le plan DAB , et coïncidera avec son 
égale DS, aussi perpendiculaire en D sur ce plan. Donc le 
trièdre isoèdre Sdab coïncide avec le trièdre isoèdre SDAB et 
lui est égal. On verra de même que les deux trièdres Sdbc 
et SDBC sont égaux, aussi bien que les deux Sdac et SDAC 
On a donc 


Sdab + Sdbc — Sdac = SDAB + SDBC — SDAC. 


Or ,le premier membre de cetteégalité fournit le trièdre Sabc, 
tandis que le second membre donne le trièdre SABC. Donc 
enfin les deux trièdres symétriques SABC et Sabc sont équiva- 
lents entre eux. 
_ Conozzaire I. — Deux angles polyèdres symétriques sont 
équivalents entre eux ; car ils sont composés du même nombre 
de trièdres symétriques et équivalents chacun à chacun. 

II. — Soient I, H, K les milieux des côtés AB, BC, AC, 
bases communes à trois couples de triangles isocèles : il est. 


en @Géometrie. 4 113 


facile de voir que : La droite SD est l'intersection commune 
aux trois plans SID , SHD et SKD respectivement perpendi- 
culaires aux trois faces du trièdre SABC et menés par les bi- 
sectrices de ces faces. De plus, comme SD fait avec les trois 
arètes des angles égaux, tout point D de cette droite est égale- 
ment distant de ces trois arêtes. 


ÉGarTé ET symèTRIE DES TRIÈDRES. — Pour que deux angles 
trièdres soient égaux ou symétriques, il faut que les six parties 
homologues, dièdres et faces angulaires , soient égales chacune à 
chacune et disposées dans le mème ordre ou dans l’ordre in- 
verse en passant d’un trièdre à l’autre : telles sont les six con- 
ditions nécessaires ; mais trois de ces conditions sont suffisantes, 
savoir les égalités de trois parties homologues. 


Taéorème. — Deux angles trièdres sont égaux ow symétriques 
lorsqu'ils ont, 1° un dièdre égal compris entre deux faces égales 
chacune & chacune ; 2° une face égale adjacente à deux dièdres 


à) 


égaux chacun à chacun. 


Chaque fois, en effet, on peut aisément faire coïncider lun 
des deux angles trièdres proposés avec l'autre ou avec son 
opposé au sommet, en procédant comme pour deux triangles 
rectilignes. 


CoroLLAIRE. — Aux faces égales sont opposés des dièdres 
égaux, et réciproquement. 


THÉORÈME. — Deux angles trièdres sont égaux ou symétriques 
lorsqu'ils ont les trois faces angulaires égales chacune à chacune. 
( fig. 6 et une autre à tracer). 


Soient SABC et S'A'B’C' les deux trièdres dans lesquels l’angle 
ASB = A'S'B', l'angle ASC — A'S'C' et l'angle BSC — B'S'C/. 
— Prenons les six longueurs SA, SB, SC, S'A’, S'B' et S'C’ 
toutes égales entre elles ; puis menons sur les plans ABC, 
A'B'C les perpendiculaires SD, S'D' : on verra, comme plus 
haut, que les deux triangles ABC, A’B’C sont égaux, que les 
pieds D, D’ sont les centres des deux cercles égaux circonscrits 
à ces deux triangles, et qu'enfin SD— S'D’. 

Cela posé , 1° si les faces égales sont disposées dans le même 
ordre d'un trièdre à l’autre, on fera coïncider directement les 
deux triangles égaux ABC et A'B’C'; les deux cercles circons- 
crits et leurs centres D, D'; les deux perpendiculaires égales 


15 


114 J.-N. Noez. — Méthode infinitésimale 


DS, D'S’, et par suite les deux trièdres proposés SABC , S'A’B'C’. 
Donc ces deux trièdres sont égaux. 

90 Si les faces égales sont inversement disposées , il est clair 
qu'après une demi-révolution autour de A'B', par exemple, le 
trièdre S’'A'‘B'C/ peut coïncider directement avec le trièdre Sabc, 
symétrique de SABC. Done les deux trièdres SABC et 
S'A'B'C' sont symétriques ; et dans ce cas comme dans le cas 
précédent, aux faces angulaires égales sont opposés les dièdres 
ÉgaUx. 


CoRoLLAIRE. — Deux trièdres sont égaux ou symétriques lors- 
qu'ils ont les arêtes parallèles chacune à chacune, et dirigées 
à la fois dans le même sens ou à la fois en sens contraires. 
— Alors en effet, les faces angulaires des deux trièdres sont 


égales chacune à chacune et disposées dans le même ordre 
ou dans l’ordre inverse en passant d’un trièdre à l’autre. 


Remarque I. — Si deux couples d'arêtes parallèles sont dirigées 
dans les mêmes sens et les deux autres arêtes parallèles en 
sens contraires, les deux trièdres sont complémentaires ( facile 
à démontrer ). 

II. — Si l’on ne voulait établir l’équivalence de deux trièdres 
symétriques que dans la Géométrie sphérique, ce qui n’est pas à 
préférer, on démontrerait aussi très-simplement le théorème ei- 
dessus comme nous lavons fait en 1822 dans les Mélanges de 
mathématiques. Après avoir pris alors les six arêtes des deux 
trièdres toutes égales entre elles, les trois faces étant égales cha- 
cune à chacune, on prouvera l'égalité des deux dièdres homologues 
SA et S’A’ en plaçant sur leurs arêtes les sommets M et M! des 
angles qui mesurent ces deux dièdres de telle sorte qu'on ait 
AM=A'M', etc. Cest le procédé aussi employé dans la Géométrie 
de M. Blanchet , édition de 1854. 


PROBLÈME. — Un angletrièdre quelconque étant donné, construire 
le trièdre supplémentaire, (fig. 7.) 

Deuxangles trièdres sont dits supplémentaires lorsque les faces 
de l’un sont les suppléments des angles qui mesurent les dièdres 
opposés de l’autre. 

Soit SABC le trièdre proposé et soit M un point quelconque de 
Y'intersection commune des plans perpendiculaires aux trois faces, 
menés par les bissectrices de ces dernières. Du point M menons les 
perpendiculaires MN, MP et MO aux trois faces ASC, ASB et BSC : 


en Géométrie. 113 


les pieds N. P, O tombent nécessairement sur les bissectrices de 
ces faces. Or, je dis que le trièdre MNPO, ainsi construit , est 
supplémentaire du trièdre SABC. 

D'abord le plan PMN passe par les perpendiculaires MN, MP 
aux plans ASC, ASB ; il est donc perpendiculaire à ces deux 
plans et à leur intersection SA, qu'il rencontre au point I. De 
sorte que angle NIP mesure le dièdre SA. Mais dans le quadrila- 
ière MNIP , les angles N et P sont droits; done les deux angles 
restants NMP et NIP sont supplémentaires ; c’est-à-dire que 
chaque face du trièdre M, telle que NMP, est le supplément de 
l'angle NIP qui mesure le dièdre opposé SA du trièdre S. 

Réciproquement, il est clair que l’angle IPH mesure le dièdre 
MP. Mais dans le quadrilatère SIPH, les angles I et H. sont 
droits ; done les deux angles restants ASB et IPH sont supplémen- 
{aires ; c’est-à-dire que chaque face ASB du trièdre S est le 
supplément de l'angle IPH qui mesure le dièdre opposé MP du 
trièdre M. Donc enfin, les deux angles trièdres S et M, sont sup- 
plémentaires. 


Remarque. — On a donné différentes solutions de ce problème : 
toutes supposent que dans l'intérieur du trièdre S, il existe un 
point M, d'où menant des perpendiculaires aux trois faces , les 
pieds tombent sur ces faces elles-mêmes, et de plus que les per- 
pendiculaires menées de chaque pied sur les côtés de la face 
dont il est un point, rencontrent ces côtés et non leurs prolonge- 
ments, lorsque cette face est un angle obtus. Or, plusieurs Pro- 
fesseurs pensent que ces deux propositions doivent être démontrées; 
et c'est ce qu'on vient de faire dans la précédente solution , laquelle 
est ainsi complète. 

CorozLaIRE. — flrésulte de la propriété des trièdres supplé- 
mentaires que : dans tout trièdre , la somme des argles plans 
mesurant Îles trois dièdres est toujours plus grande que deux et 
plus petite que six angles plans droits. 

TuéorÈèmE. — Deux angles trièdres sont égaux ou symétriques 
dorsqu’ils ont les trois dièdres égaux chacun à chacun. 

La construction des deux trièdres supplémentaires démontre 
aisément ce quatrième et dernier cas de l'égalité ou de la symétrie 
des deux angles trièdres proposés. Voyez la Géométrie 4° édition. 


PROPRIÉTÉS DES TRIÈDRES. — Les propriétés des angles triples 


116 J.-N. Norr.— Méthode infinitésimale 


se déduisent très-simplement des propriétés correspondantes des 
triangles sphériques. Mais il est préférable, pour compléter Ia 
théorie des angles solides, d’y établir leurs propriétés, lesquelles 
dailleurs sont les sujets d’utiles exercices. 

I. — Dans tout trièdre isoèdre, 1° la bissectrice de la base et 
l'arète opposée sont dans un plan perpendicuiaire à cette base ; 
2° ce plan cest bissecteur du dièdre opposé à celle-ci; 5° enfin, les 
dièdres opposés aux deux faces angulaires égales sont égaux entre 
eux. — Cela résulte de ce que le plan divise le trièdre proposé en 
deux trièdres symétriques, comme ayant les trois faces égales 
chacune à chacune. On voit d’ailleurs que si les deux angles plans 
égaux sont aigus, droits ou obtus, les deux trièdres égaux opposés 
sont aussi aigus, droits ou obtus. 

IL — Réciproquement, un trièdre est isoèdre, 1° lorsque le 
plan de la bissectrice de la base et de l'arète opposée est perpendicu- 
laire à cette base ; 2° lorsque le plan bissecteur du dièdre opposé à 
la base est perpendiculaire à celle-ci ; 5° enfin, lorsque deux angles 
dièdres sont égaux entre eux. — Dans 1° et 2, le plan divise 
le trièdre proposé en deux trièdres symétriques rectangles ; et 
pour démontrer 5°, les deux dièdres égaux SA et SB étant aigus 
dans le trièdre proposé ; d’un point € de l’arête SC, on mène CO 
perpendiculaire au plan ASB, puis du pied O les perpendiculaires 
OI et OH sur SA et SB ; etc. Mais si les deux dièdres égaux sont 
obtus, leurs suppléments sont aigus, etc. 

TITI. — Un trièdre est dit régulier lorsque ses trois faces sont 
égales entre elles et les trois dièdres égaux entre eux. Or, l'égalité 
des faces entraine celles des dièdres, et réciproquement. — Suivant 
que les trois faces sont des angles aigus, droits ou obtus, le trièdre 
proposé est lui-même aigu, droit ou obtus. 

IV.— Dans tout trièdre SABC, au plus grand des deux tue 
est opposée la plus grande des deux faces ; et réciproquement. — 
Si le dièdre SA est plus grand que le dièdre SB, celui-ci en est 
done une partie. Soit donc BSAE cette partie égale au dièdre SB : 
il est clair que la droite SE est située dans l’angle BSC, etc. 

V. — Si deux angles triples ont un dièdre inégal compris entre 
deux faces égales chacune à chacune, au plus grand des deux 
dièdres est opposée la plus grande des deux troisièmes faces. La 
réciproque est vraîe, — On prend les six arêtes toutes êgales entre 
elles ; on place les angles mesurant les dièdres proposés de telle 
sorte que leurs sommets soient également éloignés des sommets 
des deux trièdres, etc, 


en (réomelrie. 417 


VI. Dans tout trièdre il existe quatre droites intérieures issues 
du sommet et intersections communes à quatre systèmes de trois 
plans, savoir : 1° ces plans sont perpendiculaires aux trois faces 
et menés par les bissectrices de celles-ci; 2° ils sont bissecteurs 
des trois dièdres ; 5° chacun joint une arête et la bissectrice de la 
face opposée ; 4° enfin, ils sont perpendiculaires aux trois faces et 
menés par les arêtes opposées. 

Si les trois faces sont égales entre elles, les quatre droites se 
confondent en une seule dont chaque point est également éloigné, 
soit des trois faces, soit des trois arêtes. 

VII. — Tout trièdre équivaut à l'excès de la demi-somme de 
ses trois dièdres sur un dièdre droit. 

Considérons le trièdre SABC et prolongeons ses trois arêtes 
en À’,B/,C/. Désignons par a, b, c, les angles dièdres SA, SB, SC 
et par d le dièdre droit : il est évident que : SABC + SA'BC — a, 
SABC+SAB'C= b et SABC+SABC'= c. 

Ajoutant ces égalités membres à membres, en observant que 
les deux trièdres symétriques SABC/ et SA'‘B'C sont équivalents, 
et que les trièdres SABC, SA'BC, SAB'C, SA'B'C remplissent 
exactement la moitié de l’espace ou deux dièdres droits, c'est-à-dire 
2 d, on aura 


2 SABC + 9 d— & +b 2e ; d'où SABC = + (a+b +6) —d. 


VIII. — Dans tout angle solide régulier, c’est-à-dire ayant 
toutes ses faces angulaires égales et tous ses dièdres égaux, les 
plans bissecteurs de ces dièdres se coupent suivant une même 
droite issue du sommet et faisant des angles plans égaux, soit 
avec les arêtes, soit avec les faces. Cette droite intérieure est appe- 
lée axe de l’angle solide, De plus, tout plan perpendiculaire à 
cet axe coupe l’angle polyèdre proposé suivant un polygone régu- 
lier ; etc. 


De la comparaison des Polyédres. 


SYMÉTRIE ET SIMILITUDE DE DEUX POLYÈDRES. — On compare 
deux polyèdres pour savoir s'ils sont ou égaux, ou équivalents, 
ou syméiriques l’un de l’autre. On les compare encore pour s’as- 
surer qu'ils sont directement ou inversement semblables. Or, bien 
que la théorie du mesurage des polyèdres puisse se passer de la 


118 J.-N. Norz. — Méthode infinitésimale 


théorie de leur symétrie , je pense néanmoins que la symétrie et 
la similitude inverse de deux polyèdres doivent figurer dans les 
éléments de Géométrie, tout aussi bien que leur égalité et leur 
similitude directe. Dailleurs ces différentes théories deviennent 
les plus simples possibles par les définitions que voici : 

On appelle symétriques l’un de l’autre, ou simplement symé- 
triques, deux polyèdres ayant les faces correspondantes ou homo- 
dogues égales et les angles dièdres homologues égaux, les parties 
égales étant inversement disposées en passant d'un polyèdre à 
l'autre. De sorte que les angies solides homologues sont symé- 
triques. 

On nomme directement semblables, ou simplement semblables, 
deux polyèdres dont les angles dièdres homologues sont égaux et 
les faces homologues. semblables, les parties homologues étant 
disposées dans le même ordre en passant de l’un des deux polyèdres 
à l’autre. Donc les angles solides homologues sont égaux ; et de 
plus, si deux côtés homologues étaient égaux , il en serait de 
même des deux polyèdres. — On voit que l'égalité n’est qu’une 
particularité de la similitude. 

Enfin, j'appelle inversement semblables deux polyèdres ayant 
les faces homologues semblables et les angles dièdres homologues 
égaux, les parties homologues étant inversement disposées quand 
on passe de l’un des deux polyèdres à l’autre. Donc leurs angles 
solides homologues sont symétriques ; et il en serait de même 
des deux polyèdres, si deux côtés homologues étaient égaux. 

Remarque I. — Chacune des définitions précédentes énonce les 
conditions nécessaires à l’existence des deux polyèdres définis et 
en donne l'idée complète. Quant à la théorie des deux polyèdres, 
elle a pour but de faire connaître les conditions suffisantes à leur 
existence et d'en déduire les propriétés descriptives et autres. 
Il en résulte différents théorèmes, les uns nécessaires et les autres 
utiles comme exercices pour une étude plus complète et plus ap- 
profondie. 

IT. Dans le Complément de trigonométrie j'ai démontré la con- 
struction et par conséquent l'existence des couples de polyèdres 
définis ci-dessus, en n’employant que les données ou les conditions 
suffisantes ; et chaque construction n’exigeant le tracé effectif 
d'aucune figure est en même temps la plus générale et la plus 
simple. — Cependant pour mieux fixer les idées en mettant les 
figures sous les yeux, j'ai tracé dans le traité de Géométrie chaque 


en Géométrie. 119 
couple de polyèdres d'après les procédés théoriques les plus fa- 
ciles. 

III. -— La définition des polyèdres semblables montre claire- 
ment que ces deux polyèdres ne différent que par leurs grandeurs 
et que l’un est exactement en petit ce que l’autre est en grand. 
Le premier ou la copie représente done le second ou le modèle et 
en tient absolument lieu pour l'étude des propriétés et pour les 
opérations graphiques et numériques. — Il en est de même des 
deux polyèdres inversement semblables , l’un étant inversement en 
petit ce que l’autre est directement en grand. La copie représente 
encore le modèle pour l'étude et les opérations; mais celles-ci 
doivent s'effectuer dans l’ordre inverse quand on veut déterminer 
l’un des deux polyèdres au moyen de l’autre. 

IV. — Les théories des polyèdres égaux et semblables condui- 
sent aisément à celles des polyèdres symétriques l’un de l’autre et 
inversement semblables. Voilà sans doute pourquoi ces deux 
dernières théories ne sont pas exigées dans le programme d'études 
des lycées de France, publié en 1852. Cela simplifie d’autant le 
cours de Géométrie élémentaire ; mais il importe que du moins ces 
deux théories soient indiquées dans l’enseignement et données aux 
élèves comme exercices utiles. 

Le même programme, répétant la définition de Lacroix, ap- 
pelle polyèdres semblables deux polyèdres compris sous un même 
nombre de faces semblables chacune à chacune et dont les angles 
polyèdres homologues sont égaux. Cette définition rentre dans 
celle énoncée plus haut, la seule qui fasse bien connaître la 
similitude, c’est-à-dire l'identité de formes des deux polyèdres iné- 
gaux proposés, 

Le programme ci-dessus ne fait pas mention des figures symé- 
triques en elles-mêmes, c'est-à-dire ayant chacune un centre, un ou 
plusieurs axes et un ou plusieurs plans de symétrie. Mais rien 
n'empêche le Professeur de faire connaître aux élèves les pro- 
priétés de ces figures, lesquelles reçoivent d’utiles applications. 

V.— Enfin, j'observe que la théorie du mesurage des prismes 
devient plus simple en démontrant, comme je l’ai fait en Géomé- 
trie, le théorème sur l’équivalence des parallélipipèdes. Voici ce 
théorème et sa démonstration faite sur une figure mieux appropriée 
à ce sujet. é 

Tuéorème. — Tout parallélipipède oblique est équivalent au pa- 
rallélipipède rectangle de même hauteur et debase équivalente (ig.8). 


120 J.-N. No. — Methode infinitésimale 


Soit AG ou P, le parallélipipède oblique proposé. Prolongeons 
les cotés BA, CD, FE et GH. Sur le prolongement de BA prenons 
IK = BA, puis par les points I et K menons à la droite BK et à ses 
parallèles les plans perpendiculaires IMNQ et KLOP. Ces deux 
plans sont évidemment deux parallélogrammes égaux et paral- 
lèles ; le volume résultant est done un parallélipipède P, dont 
les deux bases IKLM et QPON sont deux rectangles. 

A cause de KE — AB, il est clair qu'en ajoutant IA de part 
et d'autre on aura KA — IB. De même on aura LD = MC, PE — 
QF et OH — NG. Faisant donc coïincider la face KLOP avee 
son égale IMNQ, il est clair que les droites égales KA et IB, 
perpendiculaires en K et I sur ces deux faces, coïncideront aussi. 
De même LD coïncidera avec MC,PE avec QF et OH avec NG. 
Donc les deux polyèdres KLOPAEHD et IMNQBCGF sont égaux. 
Et comme ils ont une partie commune AIMDEQNEH, les deux 
parallélipipèdes restants P, et P, sont équivalents. Ils ont évi- 
demment hauteurs égales et bases équivalentes IKLM, ABCD. 

Par les parallèles KI et LM menons les plans KITU et LMSR 
perpendiculaires au rectangle KLMI : nous formerons ainsi le 
parallélipipède rectangle KS ou P:. Or, les deux triangles rec- 
tangles, KPU et LOR étant égaux, il en est de même des deux 
prismes triangulaires droits KPUIQT et LORMNS, lesquels peu- 
vent coïncider en un seul. Si donc du polyèdre KN on retranche 
successivement ces deux prismes droits, les deux restes successifs 
sont P; et P,; donc ces deux parallélipipèdes P3 et P, sont 
équivalents. Mais déjà P, est équivalent à P, ; done aussi le 
parallélipipède oblique P, est équivalent au parallélipipède rec- 
tangle P; de même hauteur et de base équivalente. 


CorozLaIRE. — Puisque les deux polyèdres KLPEAD,IMQFBC 
peuvent coïncider entièrement, il est clair qu'en retranchant de 
chacun la partie commune IMQEAD, il reste le prisme triangu- 
laire droit KLPQIM équivalent au prisme triangulaire oblique 
ADEFBC. De même le prisme triangulaire droit LOPQMN est 
équivalent au prisme triangulaire oblique DHEFCG. Or, les deux 
prismes triangulaires droits, ayant bases égales et les arêtes 
latérales d’égales longueurs , peuvent coïneider et sont égaux ; 
par suite les deux prismes triangulaires obliques, qu’on ne sau- 
rait faire coïncider l’un avec l’autre, sont équivalents. Ainsi 
le plan diagonal DCFE de tout parallélipipède oblique le divise en 
deux prismes triangulaires obliques équivalents entre eux. 


en Géométrie. 121 


De plus, ADHE et ADE étant les bases du parallélipipède AG 
et du prisme triangulaire ADEFBC, on voit que : Tout prisme 
triangulaire oblique est la moitié du parallélipipède construit sur les 


trois mêmes arêtes contiguës, c’est-à-dire ayant la méme hauteur 
et une base double. 


Remarque [. — Il est facile de voir que la surface de P; est 
moindre que la surface de P,, tandis que la somme des douze 
arêtes de P; est plus petite que la somme des douze arêtes de P.. 

IL. — La méthode des parties égales démontre trés-simplement 
que : Deux parallélipipèdes rectangles de même base sont entre eux 
comme leurs hauteurs. 

Il en résulte ensuite, comme on sait, les expressions des vo- 
lumes de tout parallélipipède rectangle, de tout parallélipipède 
oblique et de tout prisme triangulaire ou polygonal. 

IL. — Quant à l'expression du volume de toute pyramide, on 
sait que le théorème des variables y conduit directement par la 
voie logique la plus simple et à l'aide de calculs algébriques fort 
élémentaires. — Le calcul fournit aussi très-simplement l’expres- 
sion du volume de toute pyramide tronquée, à bases parallèles ; 
et ce procédé me paraît préférable à celui qu'on emploie ordinai- 
rement. 

IV. — Si les trois côtés de la base de tout tétraèdre T sont 
égaux à a, tandis que les trois arêtes du sommet sont égales à b, 
l'expression du volume T est 


T af” 90? — «?. 


is 
149 

Ce théorème conduit à exprimer le volume du Rhomboëdre 
obtus et du Rhomboëdre aigu en fonction des deux diagonales de 
lun des six losanges égaux qui le terminent.— De plus, si b= a, 
le tétraèdre est régulier et il vient T = + a V2. 

V. — Le mesurage des prismes et des pyramides conduit au 
mesurage des polyèdres et donne quatre formules pour exprimer 
le volume, soit de tout prisme triangulaire tronqué, soit du tronc 
de tout parallélipipède. Le volume de ce tronc a même une cin- 
quième expression, savoir : La demi-somme des aires de deux 
trapèzes opposés multipliée par leur distance numérique. De plus 
si la base hexagonale de tout prisme a un centre de symétrie, 


il en est de mème de la section non parallèle, base supérieure du 
16 


129 J.-N. Noez. — Methode infinitésimale 


prisme tronqué résultant. Or, le volume de ce tronc a pour mesure, 
4° le produit des mesures de la base inférieure et de la distance 
de cette base au centre de la base supérieure ; 2° l’aire de la 
section perpendiculaire aux arêtes latérales multupliée par la 
longueur de la droite d joignant les centres des deux bases. — 
Dans ce dernier cas, si la section est perpendiculaire au milieu de 
d, elle divise le prisme tronqué et sa surface latérale chacun en 
deux portions équivalentes. 

VI. — Pour compléter l’analogie entre le triangle rectangle et 
le tétraèdre ayant un triédre droit, il est bon d'exercer les éièves 
à démontrer les théorèmes que voici : 

Dans tout tétraèdre rectangle, si les quatre faces sont expri- 
mées en nombres de la même unité superficielle, le carré numé- 
rique de la face hypoténuse, ou opposée au trièdre droit, est égal à 
la somme des carrés numériques des trois autres faces. 

Dans tout tétraèdre rectangle , si les quatre faces numériques 
sont les bases de quatre prismes dont les hauteurs numériques 
sont proportionnelles à ces bases, le prisme construit sur l'hypo- 
ténuse vaut la somme des trois autres prismes. — Théorème 
analogue pour quatre tétraëdres. 

VII. — Deux tétraèdres ayant un trièdre égal, symétrique ou 
complémentaire, sont entre eux comme les produits des trois arêtes 
numériques de ce trièdre dans l'un et dans l’autre. 

Ce théorème général doit se démontrer dans les éléments de 
Géométrie, car il en résulte d’abord que : Deux tétraèdres sem- 
blables directement ou inversement sont entre eux comme les cubes 
des côtés homologues. Il en résulte ensuite que dans le tétraèdre 
SABC, si l’on prolonge au-delà du sommet S chacune des arètes 
latérales de telle sorte qu'on ait AS — SM,BS — SN et CS — SP, 
les quatre tétraèdres SMBC,SNAC,SPAB et SMNP, ainsi obtenus, 
sont équivalents entre eux et au proposé. 

On sait d’ailleurs que deux tétraèdres et par suite deux polyèdres 
symétriques l’un de l’autre sont équivalents entre eux. 

VIII. — Où démontre aisément que : Dans deux polyèdres 
semblables directement ou inversement, les surfaces sont entre elles 
comme les carrés de deux cô'és homologues, et les volumes entre 
eux comme les cubes des mêmes côtes. 

On a donc ainsi deux proportions pour caleuler la surface et le 
volume de l’un des deux polyèdres à l'aide de la surface et du 
volume de l’autre, mais donnés numériquement aussi bien que les 
deux côtés homologues. 


en Géométrie. 125 

Le précédent théorème sert à démontrer celui-ci : Lorsque 
deux polyèdres semblables sont construits d’après une certaine 
cchelle, 1° deux côtés homologues quelconques sont exprimés par 
le nême nombre d'unités linéaires relatives au modèle et à sa 
copie réduite ; 2 Les surfaces semblables des deux polyèdres sont 
exprimées par le même nombre d'unités superficielles relatives. 
carrés faits sur les unités linéaires ; 5° enfin, les volumes des deux 
polyédres sont aussi exprimées par le même nombre d'unités 
relatives, cubes faits sur les unités linéaires. Donc pour mesurer 
te modèle, il suffit de mesurer la copie directe. Et c’est ainsi que 
les valeurs numériques de deux figures semblables, construites 
d’après une échelle donnée, se déduisent iminédiatement l'une de 
l'autre. 

De là on voit que /a ccpie directe représente complétement le 
modèle en forme et en étendue. — On verrait de même que /a copie 
inverse représente complètement le modèle en étendue et en forme 
symetrique. 

Ces deux propositions doivent figurer dans les éléments de 
Géométrie pour y faire bien connaître l’inportance de la simili- 
tude, soit directe soit inverse. 


Nesurage des aires et des volumes de révolution. 


On a vu plus haut comment la méthode infinitésimale fait passer- 
immédiatement du connu à l'inconnu et conduit, par la voie 
logique la plus claire et la plus simple, à tous les théorèmes 
relatifs aux proportions et au mesurage dans ie cercle et les 
corps ronds. Mais on peut encore généraliser la théorie du mesu- 
rage des aires et des volumes de révolution, à l’aide des expressions 
de la surface latérale et du volume de tout cône droit cireulaire 
tronqué dont les bases sont parallèles ; et à cet effet , il faut 
d'abord résoudre les deux problèmes que voici : 

PROBLÈME 1. — Calculer la surface engendrée par la révolution 
de la base d'un triangle isocèle aulour d'un axe extérieur et dans 
le méme plan (big. 9 et 10). 

Soil le triangle isocèle ABC=T, dont la base AB—b et la hau- 
teur CI=A. Soit p la projection orthogonale GF de la base b sur 
l'axe extérieur UM, les droites projetantes étant AG=met BEF =n. 
Menant CN et BO parallèles à UM, puis les perpendiculaires CE= 
detIR au même axe, on aura BO = PQ =FG=p et AO = m—n. 
Où sait d'ailleurs que surf. b—=b.27IR. 


124 J.-N. Noëz.— Methode infinitésinale 


Or, suivant que le sommet G est entre d et UM ou & entre UM 
etC, ona 


IR = dÆHIH ; d’où surf. b = be27d Æ b-27iH. 


Les deux triangles semblables ABO et CIH donnent &.1H = hp. 
On a donc 


Surf. b = b-2#d Æ p.9xh;…. (1) 


le signe —- du double signe a lieu pour C entre l’axe et b, tandis 
que le signe — répond à b entre C et l'axe MU. 


ProBLÈME II. — Calculer le volume engendré par la révolution 
de l'aire T du triangle isocèle ABC autour de l'axe extérieur UM 
et dans le même plan. 

Conservant les constructions et les dénominations du précédent 
problème, N étant le point où le prolongement de AB va ren- 
contrer la parallèle CN à UM et la perpendiculaire NM étant égale 
à la distance CE = d. Supposons d’abord le triangle T quelconque : 
il est clair que vol. T est la différence des volumes engendrés par 
les révolutions autour de MU des deux pentagones CANME et 
CBNME , ces derniers volumes étant chacun la somme de deux 
cônes droits tronqués à bases circulaires parallèles. Par suite on 
trouve 


Vol. T — Lr. ON (m—n)(m + n + d). 


Ici le pied I de la hauteur CT ou À du triangle CAB = T n'est 
pas le milieu de la base b ; mais les deux triangles ABO et CIN 
ne sont pas moins semblables et donnent CN .(m — = M, 
Substituant on a 


2 
Vol, T =Te—z (in +n + d)\=T.27k. 
s 


k désignant la distance du centre de gravité de T à l'axe MU. Ainsi 
le volume engendré par la révolution de tout triangle autour d'un 
axe extérieur et dans le même plan, a pour mesure l'aire de ce 
triangle multipliée par la circonférence numérique que décrit son 
centre de gravité. 

Maintenant, si le triangle T est isocèle, le pied Fest le milieu 
debet l'onalR= ;(m+n)= dÆ IH, Donc 


en Géométrie. 195 
Vol. T =T.97d + ne rl. 


D'ailleurs T — :b À ctles deux triangles semblables ABO.CIH 
donnent b-IH — À p ; donc enfin 


Vol. T = T.2rd + piste : (2 


le signe +- du double signe ayant lieu pour C entre b et l'axe, tandis 
que lesigne — répond à b entre l’axe et le sommet C, 

Observez d’ailleurs que les doubles formules (1) et (2) sont 
vraies encore lorsque la base b est paralièle à l'axe MU. 


Tuéoréme. — Soit S le secteur circulaire dont T fait partie ; 
soit r son rayon, a son arc et p la projection de celui-ci sur l'axe 
MU, d désignant toujours la distance de cet axe au centre C. 
Si a et S font une révolution autour de l'axe proposé , je dis qu'on 
aura È 


Surf. a= a.2rd E pe2rr, … (5) 


2 
Vol. S = S.2rd Æ Sp-rr* ; …. (4) 


le signe + du double signe répondant à l’are a concave et le signe 
— à l’are a convexe vers l’axe proposé. 

Ce théorème est conséquence immédiate des doubles formules 
(1) et (2). Car le secteur S est la somme d’une infinité de trian- 
gles isocèles égaux, ayant chacun r pour hauteur et pour bases 
respectives les éléments rectilignes de l’are a, la projection p étant 
la sonime des projections de ces éléments. 

D'ailleurs, il est évident que surf, a s'exprime avec a, d,petr 
absolument comme surf. b avec b, d, p et h. De même, vol. $ se 
détermine avec S, d, p et r absolument comme vol. T avec T, 
d, pet h.— Tels sont deux usages de l'axiome de généralisation 
en Géométrie. 


CorozLaime, — Soit S' le segment cireulaire , égal à S — T'; 
soit € sa corde donnant + & — r? — h?. À cause de vol. S' = vol. 
S —- vol, T, il est clair qu'on a 


Vol. S' = S'.27rd + : CEE) 


126 J.-N. Noez. — Méthode infinitésimale 

REMARQUE IL. — Lorsque d = 0, l'arc a est concave vers l'axe 
proposé, diamètre extérieur ; et alors les formules précédentes 
expriment l'aire de toute zône, le volume de tout secteur sphérique 
et le volume engendré par la révolution de tont segment circulaire 
S’ autour d’un diamètre extérieur. De sorte que vol, S' est le plus 
grand possible lorsque la corde donnée ce est parallèle à l'axe dia- 
mètre. Dans ce cas, la zône à deux bases est aussi un maximum 
absolu. 

IT. — On sait que l'expression de l'aire de toute zône en fournit 
deux pour l'aire de la surface sphérique, et que l'expression du 
volume de tout secteur sphérique en fournit aussi deux pour le. 
volume de la Sphère. D'ailleurs , ces doubles expressions sont 
données par les formules (3)et (4) en y posant d=— 0 etp — 2r. 

IT. — Lorsque l’are a est en partie concave et en partie 
convexe Vers l’axe de rotation, ee qui a lieu lorsque la corde c du 
segment circulaire S’ est perpendiculaire à cet axe extérieur, il 
faut considérer séprement ces deux parties. Et comme dans ce 
Cas Surf. a = Surf. à à + surf. = a; tandis que vol. S’ = vol. à S' 
+ vol. 5 S, il est du qu'on aura, réductions faites : 


Surf. a = a. xd vul. S = S!. 2rd. … (6) 


IV. — Si dans les deux formules A on ap — 2r, d'où 
a= 27r et S' = #r°, il est clair qu’on aura 


Surf Tn = 27n. TE ridn, (1) 
Vol. rr° = rr'-27d = 2r1dr2. ... (8) 


Telles sont les expressions de la surface et du volume de l’anneas 
rond engendré par la révoiution de tout cercle autour d'un axe 
extérieur et dans le même plan. Mais il faut bien observer que d 
ne saurait être moindre que r. 

V.— Les formules (4) servent à démontrer le théorème que 
voici : Soit L l'aire de ja lunule ayant pour côtés, 1° le quadran 
AB du cercle dont O est le centre et OA=O0B=a le rayon ; 2° la 
demi-circonférence extérieure décrite sur la corde AB comme dis- 
mètre ; d’où L = + a’. Si la figure fait une révolution autour de 
OA, on aura vol. L = 17 «5. — On peut aussi calculer la surface 
décrite par le périmètre de L. 

VE. — Dans le cercle de rayon r donné (fig. 11), soit L l'aire 
de la Zlunule différence des deux segments A' et A dont la 
corde c prolongée est perpendiculaire à l'axe de rotation, celui-ci 


en Géométrie, 1927 


à la distance d du centre proposé : on démontre aisément que P 
désignant le périmètre 27r de L, on a, d n'étant pas moindre 
que r : 


Vol. L = L-27d et surf. P — kr?ar ….. (9) 


Tuéorème. — Soit À l'aire et P le périmètre de toute figure 
plane symétrique par rapport à un centre O, et soit d la distance 
de ce centre à un axe extérieur, dans le même plan. Si la figure 
fait une révolution autour de l'axe proposé, on aura 


Surf. P = P.27d et vol. A — A.97d. .… (10) 


Remarque. — Ce théorème, que j’ai démontré en Géométrie et 
qu'on démontre aisément, d’après ce qui précède, s'applique à 
tout parallélogranme, à tout polygone régulier d’un nombre pair de 
côtés, et par suite au cercle, au double segment circulaire et à 
différentes rosaces. 

Il s'applique encore à toute figure plane symétrique par rapport 
à un axe, laquelle est un triangle isocèle, un trapèze isocéle ou 
composée d'une ou de plusieurs de ces deux figures, comme tout 
polygonerégulier d’un nombre impair de côtés.Mais il faut chaque 
fois que l’axe de symétrie soit parallèle à l'axe extérieur de ro- 
tation. 

Dans le cas d’un centre les nombres A, P, d restant les mêmes 
respectivement , les deux formules ci-dessus ne changent point 
lorsque la figure A, avant ou pendant sa révolution autour de 
Paxe fixe extérieur, tourne elle-même sur son plan autour du 
centre O de symétrie. De sorte que la figure À peut ainsi décrire 
une multitude d'anneaux équivalents en volume et en surface, 
mais de formes très-différentes. 


Division EN TRANCHES. — La décomposition en tranches parallèles, 
toutes de la mème épaisseur infiniment petite, conduit avec faci- 
lité à l'expression du volume cherché où de l'aire de la figure 
proposée , à l’aide du calcul et du principe infinitésimal. Mais 
pour abréger et simplifier le plus possible, 4 faut d'abord négliger 
les termes infiniment petits du second ordre, du troisième, etc., 
lesquels devenant, à la fire du calcul, termes infiniment petits du 
premier ordre, du second, etc., doivent disparaître du résultat en 
vertu du principe infinitésimal. — C'est ainsi qu’on trouve clai- 
rement et très-simplement l'expression rigoureuse de toute py- 
ramide. Voici d’autres applications, 


128 J.-N. Noëz. — Méthode infinilésimale 


ProBLème. - Calculer le volume T de toute tranche sphérique, 
connaîssant sa hauteur h sur le diamètre 2r, celui-ciétant perpendi- 
culaire aux deux bases parallèles dont a et b sont les rayons donnés. 

A cet effet, b étant a, soit v la distance de b à l'extrémité 
voisine du diamètre ?r, ce qui donne b? = v(2r — v). Concevons 
la hauteur À divisée en un nombre infini n de parties égales à x, 
d’où k = nt ; puis imaginons par les points de division des petits 
cercles parallèles aux deux bases de T, les centres étant les points 
de division de k : il est clair que les plans de ces petits cercles di- 
visent T en n tranches parallèles. 

Soit £ la m ième de ces tranches à partir de b : à cause de 
l'épaisseur x infiniment petite, on peut, sans aucune erreur finale, 
regarder cette tranche comme un cylindre droit circulaire de 
hauteur æ et dont la base, ayant y pour rayon, intercepte sur le 
diamètre 2r le segment v + mx. On a done successivement 


t— Toy? ct y — (0 + mx) (2r — 0 — mx) ; 
d'où y = b? + 2 (r— v) mx —m? x? et 
t— r[b?x +2 (r— v) mx — m'a]. 
Prenant successivement m — 1, 2,5, 4,..., n, puis ajoutant 
entre elles les n égalités résultantes , en observant que T est la 


somme des 7 tranches partielles et que # infini donne Sn = inr, 
Sn? = ;n°, on trouve, à cause de À = nx, 


T=zh[b+ (r—v) h — EI (11) 


Telle est une première expression de T. Pour calculer la 
seconde, on a successivement 


= (vHh)(2r—v—h) = +2(r—v)h—k# ; 
d'où D + (r—®) h — | (a? + b?) + = het 
T— ICE b:) + xls. … (12) 
Telle est la seconde expression cherchée de la tranche sphérique ; 


et cette secondeexpression est la seule démontrée ordinairement. 


CorozLaIRE. — Si la tranche T devient le segment sphérique S, 


en Géométrie. 129 


ce qui suppose b = o et v — 0 dans les deux expressions ci-dessus, 
il vient 


1 
S= rh" (51) et SL rat D) 


Telles sont les deux expressions de tout segment sphérique, 
ayant À pour hauteur et a pour rayon de [a base. La première 
expression est plus simple que la seconde et doit être employée 
de préférence : elle est d’ailleurs calculable par logarithmes. 


IE. — Sir et h sont donnés, le maximum de là tranche sphé- 
rique T a lieu lorsque le milieu de À coïncide avec le centre de la 
sphère. — C'est ce qu'on démontre en substituant 2rv — v° à b° 


dans la première expression de T, puis en résolvant par rapport 
à v l'équation résultante du second degré en v. 

IT. — Le rayon r de la sphère et la hauteur À de la tranche 
sphérique T étant donnés, la surface totale de cette tranche est un 
maximum absolu lorsque le milieu de la hauteur À coïncide 
avec le centre de la sphère. 


Prosrème. — Calculer la surface que le périmètre de toute lu- 
nule circulaire engendre par sa révolution autour de la corde com- 
mune à ses deux côlés (fig. 14). 

Soit c la corde divisant le cercle, de rayon donné r, en deux 
segments À’ et À dont les ares sont q/ et a, en supposant A > A 
et a >> a. Soit 2d la longueur de chacune des deux cordes per- 
pendiculaires aux extrémités de c sur l'axe de la ‘rotation , d 
étant par suite la distance de cet axe au centre : les deux cordes 
24 interceptent, sur le diamètre 2r parallèle à c, la longueur L/ =c; 
sur l'arc a’ trois arcs dont deux égaux à a, et le troisième a, = a. 
Donc a‘ = 2a + a 

Cela posé, concevons la longueur ! ou c divisée en un nombre 
infini » de parties égales à x par des perpendiculaires : celles-ci 
divisent la tranche cireulaire dont A fait partie en n tranches pa- 
rallèles, et l'on a ! = c = næ. Soit { Ja m ième de ces tranches à 
partir d’une extrémité de L : il est clair que les deux bases parallèles 
de £ interceptent sur a, et a deux arcs égaux infiniment petits 
v' et v, que l’on peut considérer comme éléments rectilignes sans 
aucune erreur finale. Ainsi l'axe c divise {en deux trapèzes rec- 
tangles inégaux, ayant la hauteur + commune sur c, v! et vétant 
les deux autres côtés latéraux. De même, c divise en deux parties 


17 


150 J.-N. Noëz.— Méthode infinitésimale 
inégales y’ et y la droite joignant les milieux de v et v. D'ailleurs 
y' et y aboutissent au milieu de x; par conséquent on a 


Surf. v' — v. 2ry! et surf. v = v. 27y. 


Or, x est un côté de l'angle droit du triangle dont v’ est l’hypo- 
ténuse, tandis que y —. d et r sont les côtés homologues du trian- 
gle semblable, On a donc 


rsvV—=y—d:x; doùvy=rx+dv 
et surf. v' = x.27r + v.2rd. 


Mais comme c est la somme de tous les x et a, la somme de tous 
les v', il est clair qu'on a 


Surf. a; = c.2rr + a:.2rd. 


La première formule (6) donne surf. 2a, = 2a,.2rd. Ajoutant 
donc et observant que a = a, + 2a,, on aura 


Surf. à = c.2rr + a!.2rd. … (14) 
Procédant comme pour surf. a,, on trouvera 
Surf. a = c-.2rr — a-.27rd. … (15) 


Soit P le périmètre de la lunule, d'où P = a, + a = 277 ; 
il vient enfin 


Surf. P = hrcr + (a — a). 2rd. (16) 


Telle est la formule cherchée, laquelle exige la Trigonométrie 
pour calculer l'are a avec les’ nombres c et r, lorsque cet 
arc n’est pas connu immédiatement. Mais si l’are a est le tiers de 
la circonférence, par exemple, on trouve 


9 
Surf. P RE (GW 5 +7) 


PROBLÈME. — Calculer le volume engendré par la révolution de 
l’'uire L de toute lunule circulaire autour de la corde commune à 
ses deux côtés. (fig. 11). 

Conservant les constructions et les dénominations du précé- 
dent problème, on aura d’abord L = A’ — A. De plus, les deux 
cordes 24 divisent À’ en trois parties dont deux segments égaux 
chacun à S’ et la troisième désignée par B. De sorte que b dési- 


en (éometrie, Ai 


gnant la flèche de chacun des ares a,, on aura A = B+925S'et 
©=—= 2 (r — b), 

La m ième tranche t{ de B HA est divisée par l’axe c de rotation 
en deux autres inégales f, et f,, lesquelles ayant la même hauteur 
‘æ infiniment petite sur €, on peut les regarder comme deux rec- 
tangles sans aucune erreur finale, les bases inégales de ces deux 
rectangles étant désignées par z’ et z; d’où 4 = xz!ett, = x. 
De sorte qu’on a 


Vol. i, = T xz°et vol. t, = x x 2°. 


Les perpendiculaires z! — d et z + d au diamètre 2r sont à la 
même distance db mx de l’une de ses extrémités, et ainsi l’on a 


(2° — d) = (0 + mx) (@r — b — max) — (z + dÿ. 


Effectuant la multiplication au second membre , on réduira 
d'après 2 (r — b) = cet d: — 2br — b?, Posant d’ailleurs 
k = cmx — m° x’, 
on aura (—d) = d+ke (z + d} = d+k. 
De là 7° = 4 + 2dz'et 2? = k — Qdz, puis 
vol. t=Tkx + t,-2rd et vol. t, = zkx — t,°2rd. 
Or, vol. (4, — t,) — vol. 1, — vol. 1, ; donc 
vol, (it) = (à + 0).27d. 
Puisque B est la somme de tous les #, et À la somme de tous 
les £., il est clair qu'on a 
Vol. (B — À) = (B + A). 2zd. 


La seconde formule (6) donne vo/. 9$' = 92$'-27d. Ajoutant 
donc et observant que A = B + 2$', L = A’ — A et À —7r?, 
il vient enfin 


Vol. L = 7r°. 2rd —27°dr2. ... (17) 


Telle est l'expression cherchée du volume engendré par la ré- 
volution de l'aire L de toute junule circulaire autour de la corde 
commune à ses deux côtés. — On sait donc calculer vol. L 
lorsque c soutend le tiers de la circonférence. 


Remarque I. — L'expression de vol. L est la même que celle de 


132 J.-N. Noez. — Méthode infinitésimale 


l'anneau rond. Mais pour celui-ci, d ne saurait être moindre 
que 7, tandis que pour vol. L,d ne saurait surpasser r. Si d = r 
les deux volumes se confondent en un seul, et c’est alors l’anneau 
rond sans vide intérieur. 

IT. On peut aussi calculer vol. A, vide intérieur de vol. L. 
Pour cet effet, substituant la valeur de k trouvée plus haut, on a 


Vol. t: — x (cmx? — m°x°) — t,°9rd, 


Prenant successivement m = 1, 2, 3, 4, ..., n ; ajoutant entre 
elles les n égalités résultantes, en observant que c == n% el que À 
est la somme de tous les £, tandis que n infini donne Sn =: n° 
etSn? — in, il viendra 


Vol. À = arc — À:2rd. … (18). 


Par des calculs analogues on trouve vol. B, et par suite 
1 
Vol. A’ —= ra + A! «274. °…o (19) 


III. — Enfin, ce qui précède prouve que l'analyse infinitési- 
male seule peut rendre claire, simple, rigoureuse et complètement 
générale la théorie du mesurage des aires et des volumes de 
révolution qu’engendrent des figures planes, mixtes ou eurvilignes, 
terminées ici par différentes combinaisons de lignes circulaires, 
soit entre elles soit avec des lignes droites. Et quant à l’importance 
des formules trouvées, elle est mise hors de doute par leur emploi 
pour calculer les surfaces et les volumes de différents autres corps 
de révolution. 


Propositions relatives aux Aires et aux Wolumes. 


La théorie des aires et des volumes permet de traiter, sans diffi- 
culté, les propositions ci-dessous, que nous indiquons comme 
exercices utiles d'Analyse géométrique : 

4. — Soit a l'hypoténuse et c chacun des côtés égaux du trian- 
gle isocèle inscrit dans le demi-cerele dont « est le diamètre: il 
en résulte deux segments circulaires formant une figure. Or, si 
cetie figure fait une révolution autour de l’une des cordes c, dé- 
montrer que la surface et le volume engendré valent respectivement 
le cercle dont a est le rayon et la sphère ayant c pour diamètre. 


en Géométrie. 155 

9, — Dans le triangle isocèle rectangle ABC on connait les 
valeurs numériques 2a et 2c des deux côtés égaux et de l'hypo- 
ténuse AC. Les demi-circonférences intérieures, ayant les côtés 2a 
pour diamètres, se coupent mutuellement en deux quadrans au 
milieu de AC. De plus, le quadran AMC a B pour centre et 2a 
pour rayon. On a donc ainsi la figure F composée du double seg- 
ment circulaire 2 S et du triangle curviligne T. Or, on démontre 
que si la figure F fait une révolution autour de AC, le volume 
engendré a pour mesure Ta2c(k — x). — Caleuler l'expression de 
la surface décrite. 

5.— L'arc AMC étant le tiers de la circonférence du rayon r 
donné, les tangentes en À et € vont se couper en un point D et 
déterminent le triangle mixte AMCD : quelle est l'expression du 
volume engendré par la révolution de ce triangle autour de la 
tangente AD? — Réponse: elle est 7r5 (9 5-— Ar.) 

4. — L’arc AMC citant le tiers de la circonférence de rayon r 
donné, la tangente en G rencontre en P le prolongement du dia- 
mêtre AB, et détermine la figure mixte AMCD : quelle est l'ex- 
pression du volume engendré par la révolution de cette figure 
autour de la tangente en À ? — Réponse : 1zr° (9 W° 5 + 47). 

5. — L'are AMC étant plus petit que La demi-circonférence de 
rayon r donné, les tangentes en À et C se coupent en un point 
Det ont la même longueur donnée a. Or, si le triangle mixte 
AMCD fait une révolution autour du diamètre AB, démontrer 
que le volume v engendré se calcule par la relation : 


(9 


à 7 
(a? ro = a raÂr. 


Dans ce problème et les deux précédents , il est facile de 
calculer l'expression de la surface engendrée. 

6. — Deux cercles de même rayon a donné, dont À et B 
sont les centres, se touchent extérieurement en O. Soient Cet D 
les contacts d’une tangente extérieure commune : il en résulte le 
triangle mixte OCD. Or, si ce triangle fait une révolution autour 
du rayon AC, quelles sont les expressions de la surface et du 


volume engendrés ? 

7. — Deux sommets opposés d’un carré sont les centres et son 
côté donné a le rayon de deux quadrans, hypoténuses de deux 
triangles rectangles mixtes. Or, si le système fait une révolution 


154 J.-N. Nozz. — Méthode infinitésimaie 


autour d’un côté du carré, quelles sont les expressions de fa 
surface et du volume engendrés par chacun des deux triangles 
et par le double segment circulaire résultant ? 

8. — Soient À et B les centres, a& et za les rayons donnés de 
deux cercles se touchant extérieurement au point 0. Si C et D 
sont les contacts d’une tangente commune et que le triangle mixte 
OCD fasse une révolution autour de AC, autour de CD, ou enfin 
autour de AB, quelles sont chaque fois les expressions de la sur- 
face et du volume engendrés ? 

9. — Soit #2: le rapport du volume de l'anneau rond à 27?,xle 
rayon du cercle générateur et y la distance de son centre à l'axe 
de rotation. Si & étant une droite donnée , x doit être moyen 
proportionnel entre a et a—y, démontrer que le maximum de m 
donne l'anneau engendré par la révolution de la lunule circulaire 
autour de la corde commune à ses deux côtés, cette corde a étant 
le côté du carré inscrit dans le cercle dont le rayon est la va- 
leur trouvée pour x. — Calculer la surface de cet anneau. 

10.— La base b et la hauteur À d’un triangle t étant données, 
soit æ la parallèle à b comprise entre les deux côtés latéraux du 
triangle ou entre leurs prolongements : b et x sont les bases d’un 
trapèze T de hauteur y inconnue. Or, si le système fait une ré- 
volution autour de b et qu’on désigne par m# le rapport de vol. T 
à vol, £, on propose de caleuler les nombres inconnus x, y et m. 

On n’a pour cela que les deux équations simultanées : 


hx =b(h—y) et (bH2x)y° = bh?m. 


® 
Eliminent x, on trouve l'équation finale préparée 
noel 
hy° + 9 h5m =0. 


Cette équation ayant deux inconnues y et #, le problème est 
indéterminé. Prenant donc à volonté y—1h, par exemple, il en 
résulte m—;. Substituant cette valeur de m et observant que ! 
étant racine de l'équation finale résultante du 5° degré en y, 
son premier membre est divisible par y—+h. De sorte que le 
quotient du second degré en y étant égalé à zéro, il en résulte Les 
deux autres racines. Ainsi pour m —+À, on a trois systèmes de 
valeurs réelles de x et de y ; d’où l'interprétation de ces valeurs 
donne trois vol. T équivalents entre eux et à 4 oz. t, 


en (réométrie. 135 


Si l'on veut que le terme en » soit un cube parfait, on posera 
y = la racine cubique de ce terme : il en résultera 5m = 27, y— °} 
et trois systèmes de valeurs réelles de x et de y. Cela donne en- 
core trois vol. T équivalents entre eux. 

Enfin, si l’on applique la méthode des dérivés pour calculer le 
maximum ou le minimum de la fonction d'une seule variable, 
méthode que nous avons développée en Algèbre, 5° édition, on 
verra que le maximum de m est l'unité et répond à trois systèmes 
de valeurs réelles de x et de y. Comme deux de ces systèmes sont 
identiques et que chacun fait coïncider T avee le triangle £ proposé, 
il en résulte un seul trapèze T décrivant le volume maximum équi- 
valent à vol. t. 

11. — Le rayon r de la sphère et le volume 7m du segment 
sphérique sont inconnus, aussi bien que sa hauteur x et le rayon 
y de sa base ; tandis que la calotte est équivalente à la surface 
sphérique dont le rayon a est donné. Or, la méthode des dérivées 
démontre que le maximum de m et les valeurs correspondantes 
de x,r,y sont : 


2 
m— 3 (2) te 2 


On voitque : De tous les segments sphériques de rayons diffé. 
rents, mais terminés par des calotles équivalentes, le plus grand 
est une demi-sphère. — La réciproque est vraie. 

12. — La base b et la hauteur k d’un cône droit circulaire 
étant données, il existe plusieurs systèmes de trois cylindres droits 
inscrits équivalents entre eux ; maisil n'existe qu’un seul système 
de deux cylindres inscrits de même volume maximum. — Théo- 
rème analogue pour toute pyramide et le prisme inserit. 

15, — Un cylindre cireulaire droit étant donné, il existe plusieurs 
Systèmes de deux cônes droits circonscrits équivalents entre eux ; 
mais 1l n'existe qu’un seul cône circonserit de volume minimum. 
Théorème analogue pour tout prisme et la pyramide circonscrite. 

14. — Un cône circulaire droit C étant donné, toute section 
circulaire faite dans ce cône ou dans son opposé au sommet est 
. la base d’un autre cône dont le sommet est au centre de la base 
de GC; et ce second cône est dit inscrit dans le premier C. Cela 
posé, il existe plusieurs systèmes de trois cônes inscrits équiva- 
lents entre eux; mais il n’existe que deux cônes inscrits de même 
volume maximum 5C: 


136 J.-N. No. — Methode infinitésimale 


15. — Le bassin d'un jet d'eau doit être un prisme droit, 
ayant pour base un hexagone régulier, et dont la capacité soit 
de 12 mètres cubes. Par mèêtre carré de surface intérieure on 
paiera 8 francs pour daller le fond et 12 francs pour le mur latéral. 
Quelles doivent ètre en mètres les longueurs x et y du côté de 
la base ét de la profondeur pour que le prix total # de la construc- 
tion du bassin soit le moindre possible? -- Par les dérivées 
le prix minimum est m —144ÿ/5 — 249 fr. 41, et répond à 
x = 2M,y=V5—1",158. 

Réciproquement, les prix particuliers et le prix total ci-dessus 
étant donnés, on trouve 12 mètres cubes pour le maximum de la 
capacité du bassin à construire. 

16. — Le bassin d’un jet d’eau sera un cylindre eireulaire droit 
ayant 57 mètres cubes de capacité. Pour mètre carré de surface 
intérieure on paiera @ francs pour daller le fond, 2a pour le mur 
latéral et en outre 5« par mètre de longueur pour tailler les 
pierres qui en garniront le contour supérieur. Quelles doivent 
être en mètres les longueurs x et y du rayon du fond et de Îa 
profondeur pour que Île prix total de construction soit le moindre 
possible ? — Réponse : x=2* et y = 1", 25 ; d'où le prix total 
minimum est 167a. 

47. — La base b et la hauteur h d’un triangle T étant données, 
soit x la base et y la hauteur d’un rectangle KR inserit. Si le 
système fait une révolution autour de b et que m soit le rapport 
inconnu de vol. R à vol. T : 1° :1l existe plusieurs systèmes de 
trois vol. R équivalents entre eux , et même dans l'un de ces 
systèmes l’un des volumes répond au maximum de KR; 2 :il 
existe deux vol, R répondant au maximum de m, savoir £.— 
Dans chacun de ces cas, quelle est la surface totale de chaque 
vol. R engendré ? 

18. — Soit a la distance donnée du point P à chacun des côtés 
de l'angle droit A. Par le point P menant la droite rencontrant en 
Bet C les côtés de l'angle, il en résulte le triangle ABC = T de 
base AC = x et de hauteur AB — y, toutes les deux inconnues. 
Or. soit rm le volume inconnu que T engendre par une révolution 
autour de AC : 4° il existe trois vol. T équivalents entre eux et 
pour l’un desquels T est un minimum ; 2° il existe deux vol. T 
de même valeur minimum, produit de la sphère de rayon a 
par + 

19. — La diagonale a d’un rectangle R est donnée, mais ses 


en (Géométrie. 437 


deux côtés x et y sont inconnus. Par les sommets de R on mène 
à ses diagonales des perpendiculaires extérieures, se coupant 
deux à deux aux sommets d’un losange L circonscrit. Si rm dé- 
signe le volume inconnu engendré par la révolution du losange L 
autour de l’axe perpendiculaire à l'extrémité de l’une de ses diago- 
nales : 4° il n’y a qu'un seul système de valeurs de x et de y 
donnant le minimum de vol. L. ; 2° il existe deux volumes équi- 
valents entre eux, répondant l’un au minimum de L et l’autre au 
maximum de R. — Il existe des propriétés analogues pour la 
surface engendrée par la révolution du contour du losange, 

20. — Deux carrés extérieurs sont construits sur les côtés de 
l'angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse a est donnée, 
l’un des angles aigus étant de 50 degrés. Si le système fait une 
révolution autour de a, calculer le volume et la surface engen- 
drés, F 

21. — Sur les côtés AB — AC = 2a d'un quart de cercle 
donné on décrit deux demi-circonférences intérieures : il en résulte 
le double segment circulaire 2$ et le triangle isocèle curviligne T. 
Or, si le système fait une révolution autour de AB, calculer les 
volumes et les surfaces engendrés par T et 9S. 

Si la demi-circonférence sur AC est extérieure, on a un second 
triangle curviligne isocèle : quelles sont les expressions en a du 
volume et de la surface engendrés par la révolution de ce triangle 
autour de AB ? | 

29. — Connaissant les longueurs a,b,c des arêtes du sommet 
et le volume T d’un tétraèdre, calculer le volume m T du tétraèdre 
dont le plan de la base rencontre les trois arêtes données, prolon- 
gées s'il est nécessaire, de telle sorte que les longueurs inconnues 
x,y,z des nouvelles arêtes sur @,b,c satisfassent aux équations 


ax = by=c (c — 2). 


Comme d’ailleurs on a l'équation æyz = abcm, on trouve 
qu'il existe trois tétraèdres équivalents entre eux, lorsque le terme 
en m est un cube parfait, et seulement deux de même volume 
maximum, répondant à celui de m. 

23. — Soit 2a la longueur donnée de chaque côté du carré 
ABCD. Du centre A et avec le rayon 2a on décrit le quadran BID. 
Sur les diamètres AB et AD on décrit deux demi-circonférences, 
la première intérieure et la seconde extérieure : il en résulte le 

18 


133 J.-N. Noez. — Methode infinitésimale 


triangle curviligne isocèle dont le quadran BID est la base. Calculer 
la surface et le volume engendrés par la révolution de ce triangle 
autour de BC. 

24. — On donne numériquement le côté 2a du carré ABCD. 
Sur les diamètres AB et CD on décrit deux demi-cercles inté- 
rieurs, se touchant au centre O du carré, et sur le diamètre AD 
on décrit le demi-cerele extérieur AID : il en résulte une 
figure composée de ce demi-cercle et des deux triangles cur- 
vilignes OAD , OBC égaux et opposés. Or, si cette figure fait 
une bou autour de BC, le volume door est équivalent à 
sept fois celui de la sphère de rayon a. 

95. — Les côtés donnés 2a d’un triangle équilatéral sont les 
diamètres de trois demi-circonférences intérieures , limitant une 
figure eurviligne extérieure. Or, si cette figure fait une révolution 
autour de la tangente à deux de ses six côtés égaux, quelle est 
l'expression du volume engendré ? 

96. — Soit 2a le côté numérique donné d’un carré. Des 
sommets de celui-ci comme centres et avec la demni-diagonale 
pour rayon décrivant quatre quacrans, il en résulte deux genres de 
croix mixtes concentriques , l’un ayant pour sommets ceux du 
carré proposé et l’autre terminée aux côtés de ce carré. Or, le 
système faisant une révolution autour d'un côté 2a, calculer le 
volume et la surface engendrés par l’aire et le périmètre de chaque 
croix. 

97. — Parmi tous les parallélipipédes rectangles dont a est la 
longueur donnée de chaque diagonale et dont l’une des dimen- 
sions moyenne proportionnelle entre les deux autres, celui de 
plus grand volume, de plus grande surface et de plus grande 
somme d’arètes est le cube construit sur le côté du triangle équi- 
latéral inscrit dans le cercle ayant ta pour rayon. — (Méthode 
symétrique chaque fois), 

28. — Calculer les côtés du triangle rectangle générateur du 
cône circulaire droit équivalent au demi-volume de la sphère de 
rayon » donné, sachant que zr°(2 + W/6) exprime la surface de ce 
cône. 

29. — Soitæm le volume inconnu du cylindre droit cireulaire 
dont la surface équivaut à celle de la sphère de rayon a donné. 
Il existe plusieurs systèmes de trois cylindres cherchés équiva- 
lents entre eux, mais seulement deux cylindres de même volume 
maximum . 


en Géométrie. 1359 


50 — Soit m le volume d'un parallélipipède rectangle, à base 
carrée, inscrit dans le cône droit circulaire dont la hauteur h et le 
rayon r de la base sont donnés. Il existe trois de ces parallélipi- 
pèdes ;inserits équivalents entre eux et seulement deux autres de: 
même volume maximum. — (Même théorème pour le prisme droit 
inscrit dont la base est un hexagone régulier). 

91. — Dans la sphère de rayon r donné, il existe plusieurs sys- 
tèmes de deux prismes draits inscrits équivalents entre cux et dont 
les bases sont des hexagones réguliers. Mais un seul de ces prismes 
est de volume maximum. 

92. — Dans la sphère de rayon r donné, il existe plusieurs 
systèmes de deux cônes circulaires droits inscrits équivalents 
entre eux. Mais un seul cône inscrit est de volume maximum. 
— (Théorèmes analogues pour les cylindres droits circulaires 
inscrits et pour les pyramides droites inscrites à bases carrées). 

93. — Lorsque la surface sphérique de rayon r donné équi- 
vaut à la surface totale plus la surface latérale du cône droit cir- 
culaire inscrit, la hauteur À de ce cône et le plus grand segment 
du diamètre 2r divisé en moyenne et extrême raison. 

54. Lorsque trois cercles égaux, a étant la longueur donnée de 
chaque rayon, se touchent extérieurement deux à deux, les points 
de contact sont les sommets d’un triangle curviligne T limité par 
trois ares égaux. Or, si le: système fait une révolution autour de 
l'axe tangent à deux de ces cercles, calculer la surface et le vo- 
lume engendrés par le contour et l'aire de T. 

De plus, quelles sont les expressions en «a du volume et de la 
surface de chacun des anneaux ronds que décrivent les cereles 
inscrits et circonscrits au triangle T proposé? — On sait d’ailleurs 
calculer le volume et la surface engendrés par le triangle isocèle 
mixte que les deux cercles font avec Paxe tangent. 

95.— Dans le cercle de rayon r donné on connait le eûté c 
du triangle équilatéral inscrit, ainsi que laire L de la lunule dif- 
férence entre le demi-cercle extérieur dont c est le diamètre 
et le segment dont c est la corde. Or, si L fait une révolution au- 
tour d'un second côté c, quelles sont les expressions enr de la 
surfoce et du volume engendrés ? 

De plus, si le grand segment fait une révolution autour de sa 
corde c, quelles sont les expressions en r de la surface et du vo- 
lume que décyit la figure composée des deux petits segments dé- 
terminés par les deux autres cordes c ? 


140 J.-N. Noëz. — Méthode infinitésimale 


96. — Soit 2a la longncur donnée de chacun des côtés égaux 
du triangle rectangle isocèle, dont 26 est la longueur de l'hypo- 
ténuse. Sur les deux côtés 2a comme diamètres on décrit deux 
demi-circonférences intérieures , se coupant en deux quadrans 
chacun au milieu de 2b. Il en résulte une figure composée de 
quatre segments égaux et dont deux sont réunis par la corde & 
commune. Si la figure fait une révolution autour de 2b ou autour 
d'un diamètre 24, quelles sont chaque fois les expressions en a de 
la surface et du volume engendrés ? — (Double problème ana- 
logue pour le triangle équilatéral de côté donné 2a). 

97. — Les parties inconnues 2b et 2c du diamètre donné 2a 
d'un demi-cercele sont les diamètres de deux demi-cercles intérieurs . 
Soit x le rayon du cercle tangent aux trois demi-circonférences et d 
la distance de son centre au diamètre 2a. Si ce cercle tangent fait 
une révolution autour de 2a , je dis que le maximum de l'anneau 
rond engendré a pour mesure + 

C'est ce qu'on démontre , à l’aide de la méthode symétrique, 
après avoir calculé les deux relations 


T°0®. 


(ai — bc}x = abcet d = 2x. 


Théorème analogue lorsque l’un des demi-cercles intérieurs se 
réduit à son diawêtre 2b. 

On peut aussi caleuler le maximum du volume engendré par 
la révolution autour de 2a du triangle curviligne ayant pour côtés 


les trois demi-circonférences. — Quel est le minimum de la 
surface décrite par le contour du triangle ? 
38. — Dans le tétraèdre SABC on connait en degrés les 


angles ASB— 90, ASC — 60 et CSB = 45. Soient a, b, c les 
longueurs inconnues des arêtes SA, SB, SC, dont l'une b est 
moyenne proportionnelle entre les deux autres. Sachant d'ail- 
leurs que la droite donnée p est la somme des trois a, b,c, 
on propose de calculer le maximum du volume T du tétraëdre 
propose. 

Pour cela on a dejà deux équations ; et quant à la troisième, 
prenant le triangle ABS pour base du tétraèdre, puis menant 
la hauteur CO = et du pied © les perpendiculaires OD, OE 
à SB, SA, on trouve aisément 42 T — abc. 

39. — Conservant les dénominations et les valeurs angulaires 
du précédent problème, calculer le volume T du tétraèdre, 
ainsi que les longueurs a, b, c, sachant que les nombres D, 


en (Géomelrie. 141 
sm et q expriment la somme de ces trois longueurs, leur produit 
et la somme de leurs produits deux à deux. 

D'après la composition des coefficients , les inconnues a, be 
sont les racines de la même équation finale 


ti — pu? + qu — m = UV. 


On sait résoudre cette équation dès qu'elle a une racine com- 
mensurable, diviseur du dernier terme — m ; comme pour p = 8, 
q=19 et m=14. 

Mais si p = 10 et m—924 ; il faut prendre pour v lun des 
diviseurs 2, 5, 4 de 24. Il en résulte la valeur de q et par 
suite les valeurs de a, b, c. 

Eufin, si p= 55 et qg = 550, on aura une solution en 
substituant à v la racine cubique de m. — (Chaque fois on a 
trois tétraèdres équivalents ). 

40. — Dans le tétraèdre SABC on connaît les valeurs en 
degrès savoir 60, 45 et 30 du dièdre SA, de l'angle ASB et 
de l'angle ASC. Calculer le maximum du volume T du tétraèdre 
et les longueurs a, b, c qui le fournissent, sachant que la 
somme des carrés de ces longueurs est égale au carré numérique 
de la droite donnée n. 

Pour avoir la seconde équation de ce problème, on prend 
le triangle ASB pour base du tétraèdre, puis on mène la 
hauteur CO = et du pied O la perpendiculaire OE à SA. 
On trouve alors 48T = abcy6. 

41. — Conservant les dénominations et les valeurs angulaires 
du précédent problème , calculer le volume T et les longueurs 
a, b, c dont 9 et 99 sont Ileur somme et celle de leurs 
cubes. 

{ci les coefficients q et m sont inconnus. Or, des éliminations 
convenables dans les deux équations données fournissent une 
relation entre q et m; tandis que v —5 dans l'équation finale 
fournit une seconde relation : il en résulte une solution en 
nombres entiers. et par suite trois tétraèdres équivalents. 

42. — Dans le tétraèdre SABC l'angle ASB et les deux 
dièdres SA, SB valent 60° chacun. Caiculer le volume T du 
iétraèdre, ainsi que les longueurs a , b, c dont 56, 288 et 
1568 sont les sommes respectives de leurs carrés, de leurs cubes 
et de leurs puissances quatrièmes. 

On trouve 98T = abcy/7. Mais il faut des éliminations 


142 J.-N. Norz. — Methode infinilésinale 


particulières , en ayant égard aux trois équations données, pour 
exprimer # et q en fonctions de l’auxiliaire p, celle-ci étant 
la seule racine entière 12 de l’équation en p du troisième 
degré. 

43. — Connaissant l'angle ASB — 90°, le dièdre SA = 60° 
et le dièdre SB = 45, calculer le volume T et les longueurs 
a, b, c, sachant que 21 et 275 sont les sommes respectives 
des carrés et des puissances quatrièmes de ces trois longueurs. 

On trouve 66 T—abey/ 66 et trois tétraèdres équivalents par 
D, Pet, EE 

4%, — Avec les données angulaires du précédent problème, 
calculer le volume T et les longueurs a, b, c, sachant que 0, 
— 57 et 2758 sont les sommes respectives de ces longueurs , 
de leurs produits deux à deux et de leurs puissances qua- 
trièmes. 

Éliminant c, la seconde des équations résultantes aura pour 
facteur la première 


a + ab + b2— 57 = 0. 


N'ayant donc que cette seule équation à deux inconnues a 
et b, le problème est indéterininé. Mais en posant b —5, on 
trouve a— #4 etc— — 7. On aurait pu poser b = 4 ou — 7. 
Interprétant la valeur négative, il en résulte trois tétraèdres 
équivalents. 

45. — Si le dièdre SA et Îles angles ASB, ASC valent 
chacun 50°, calculer le volume T et les longueurs a, b, c: 
dont — 1, 29 et 29 sont les sommes respectives de ces lon- 
gueurs, de leurs carrés et de leurs cubes. 

On trouve 48T— abc et trois tétraèdres équivalents. — 
Quel est le maximum de T lorsque la somme des cubes des 
iongueurs a, b, c est triple du cube dont n est le côté 
donné ? 

46.— Dans un parallélipipède rectangle , calculer le volume 
m et les trois dimensions x, y, z dont 9, 99 et 555 sont 
les sommes respectives de ces trois dimensions, de leurs cubes 
et de leurs puissances quatrièmes. 

Ici les inconnues auxiliaires sont m et la somme q des pro- 
duits deux à deux de x, y, z : il en résulte trois paralléli- 
pipèdes équivalents. 


en (réométrie. 145 


47. — Dans un parallélipipède rectangle, calculer le volume 
m el les trois dimensions æ, y, z dont — 19, — 90 et 722 
sont les sommes respectives de leurs produits deux à deux, de 
leurs cubes ct de leurs puissances quatrièmes. 

Les inconnues auxiliaires étant m et la somme p des trois 
dimensions, on trouve trois parallélipipèdes équivalents. 

48. — Soit p la somme des trois dimensions numériques 
æ, Y, z d'un parallélipipède rectangle ; soit 9 sa demi-surface 
et » son volume. Etant donné l’un quelconque des trois nom- 
bres p, q, m on peut toujours caleuler le maximum ou le 
minimum de chacun des deux autres, d’après la méthode soit 
symétrique soit du second degré. Il en résulte six problèmes 
différents dans chacun desquels le parallélipipède devient un cube 
pour le maximum et le minimum. 

49. — Soient A et C les centres, a et c les rayons donnés 
de deux cercles se touchant extérieurement ; soient B et D 
les contacts d’une tangente extérieure commune ; soient enfin 
M et N les points où les prolongements de AC rencontrent 
les deux circonférences. Si la figure mixte MNDB fait une 
révolution autour de MN, la surface S et le volume v engendrés 
sont déterminés par 


S=är(a +c) et 5 (a —c) v—4r(a—0c). 


50. — Construire le parallélipipède rectangle dans lequel 
— a — b?, Sa? + 26° et a° + Gab* sont les sommes respectives 
des produits deux à deux des trois dimensions , de leurs carrés 
et de leurs cubes, a et b étant deux droites données. — 
( Six parallélipipèdes équivalents ). 

51. — Soit a le rayon donné de trois cercles égaux se touchant 
extérieurement deux à deux ; soient A, B, C les points où ces 
trois cercles sont touchés par une circonférence extérieure, et 
soit L l'aire de la lunule différence des deux segments dont AB 
est la corde commune. Si le système fait une révolution autour 
de AB, quelles sont les expressions de la surface et du volume 
engendrés ? 

On peut aussi calculer la surface et le volume que décrivent 
le périmètre et l'aire du triangle ABC. 

92. — Soient À et C les centres, a et c les rayons donnés 
de deux cercles se touchant extérieurement ; soient B et D les 


144  J.-N. Nouz. — Méthode infinitésimale en Géoméirie. 


deux points où la demi-circonférence dont AC est le diamètre 
coupe les deux proposées ; soient enfin M et N les points où 
les prolongements de AC vont couper les deux premières cir- 
conférenees. Si la figure mixte MNDB nit une révolution autour 
de MN, calculer la surface et le volume engendrés. — (Réduc- 
tions analogues à celles du problème 49). 

35. — Des centres A, B, C, D, sommets d'un carré tracé 
et avee son côté donné 2a pour rayon, on décrit quatre cir- 
conférences se coupant deux à deux, d’abord sur les médianes 
du carré , aux sommets d’un carré curviligne , puis aux sommets 
du carré proposé et enfin sur les prolongements de ses mé- 
dianes en M, N, P, Q : il en résulte deux octogones curvi- 
lignes réguliers concentriques , divisés chacun en deux parties 
égales par la droite MP. Si done chaque première moitié fait une 
révolution autour de MP, calculer chaque fois la surface et le 
volume engendrés. 

5%. — (Calculer les rapports m et n du volume et de la 
surface d’une sphère , de rayon r inconnu, au volume et à 
la surface latérele, soit du cylindre inscrit , soit du cône ins- 
crit , ayant chacun une hauteur À donnée. 


ERRATA. 


p. 77, lig. 18, . . . au lieu de proportions, lisez propositions 
p.287, lig.15 en rem. , . + gb, a: 0 

p. 93, lig. 18 en rèm. .... ec, ..:... 0 

p. 416 ,lig. 12, . . ; . . . . . trièdres ; . . . dièdres 
pont, dissS envrem. | Ne Arr NAN 


Liége, novembre 1859. 


Méthode rrfirutésireale er géoretrie. Planche. 


Fig. 8. 


M 


2OM ET 


Zith : de I. Dessarn . 


a 


= 


IV. — Examen des diverses méthodes employées pour l’élablisse- 
ment et le développement des calculs transcendants. 


PAR 


A.-J.-N. PAQUE: 


INTRODUCTION. 


Depuis la découverte du calcul différentiel, des efforts nombreux 
partant de points de vue très-différents, ont été faits pour établir 
ce calcul d’une manière rigoureuse, susceptible d'application 
simple , immédiate et aussi facile que par la méthode infini- 
tésimale. 

Ces efforts étaient provoqués par la grande répugnance que 
les mathématiciens ont, de tout temps, éprouvé à admettre l’énfi- 
niment petit comme fondement de ce calcul. 

Depuis longtemps déjà la méthode infinitésimale était rejetée 
pour l’étude des mathématiques élémentaires ; mais en mathéma- 
tiques transcendantes, vis-à-vis de l’imperfection , de la stérilité 
ou de l'impuissance fon pratique des conceptions de Newton 
et de Lagrange, l'analyse infinitésimale conservait une grande su- 
périorité dans les applications. 

En 1842, une nouvelle conception apparut, et son auteur, 
M. Lamarle, professeur à l'Université de Gand, après en avoir 
alors ‘publié les principes fondamentaux , compléta cette œuvre 
en 1854 en l’établissant aussi analytiquement, de manière à passer 


immédiatement et sans solution de continuité, du concret à 
19 


146 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes, elc. 


Al 


l’abstrait, à saisir la continuité au point de vue algébrique, 
comme il l’avait au préalable établie au point de vue géo- 
métrique. D'une rigueur absolue dans tous ses principes, 
cette dernière conception offre toujours dans les applications, une 
promptitude et une facilité au moins égales à celles du calcul 
infinitésimal. 

Il m'a paru utile, j'oserais presque dire indispensable, de re- 
venir avec détails sur les conceptions déjà connues, d’en faire 
ressortir les vices, et par suite d’une comparaison approfondie 
avec la théorie de M. Lamarle, d'apprécier avec justesse toute 
la supériorité philosophique et pratique des procédés nouveaux. 

Ce travail est partagé en deux parties : la première examine les 
méthodes de recherche des géomèêtres anciens jusqu’à Barrow 
inclusivement, et la seconde, celles des mathématiciens modernes 
depuis Leibnitz. 

La seconde partie contient l’exposé succinct de la conception 
de M. Lamarle. 


PREMIÈRE PARTIE. 


ÉPOQUE ANCIENNE. 


CHAPITRE EL 


MÉTHODE D'EXHAUSTION. 


1. Les anciens, dans leurs recherches difficiles employaient là 
méthode d'Exhaustion , due, à ce qu'il parait, à Archimède ; 
ils ne purent jamais se résoudre à considérer les courbes comme 
des polygones d’un nombre illimité de côtés, ni les surfaces courbes 
comme des polyèdres d’un nombre illimité de faces. 

2. Esprit de la méthode d’Archimède. On regarde ,. par cette 
méthode, une courbe comme une limite dont s’approchent indé- 
finiment des périmètres polygonaux respectivement inscrits et 
circonscrits à cette courbe ; de cette manière on est amené à consi- 
dérer la différence existant entre la courbe et le périmètre brisé, 
comme convergeant continttment vers zéro, Comme S'ÉPUISANT ;. 
de là le mot exhaustion. 

La continuité indiquant alors la loi nouvelle pour le cas de la 
limite curviligne, les anciens appliquaient à cette loi, ainsi dé- 
noncée, (devinée, révélée si l’on peut s'exprimer de là sorte), 
la démonstration ad absurdum, ou à l'absurde. 

On sait que cette vériricATIoN, consiste à faire voir que toute 
hypothèse contraire à l'existence d’une vérité, conduit à une 
impossibilité, ou à une contradiction. 

Les anciens traitent d’une manière analogue les surfaces et les 
volumes. : 

Telle était la méthode d'invention ancienne, méthode d’ex- 
haustion suivie de la réduction à l'absurde : elle procède donc 
par Znduction et démontre ensuite l'exactitude de la loi par 
l'absurde. 


148  A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


95. Les anciens, on je voit par ces quelques mots, ne regardaient 
pas la méthode d’exhaustion comme énfatllible , etne voyaient 
en elle qu’un moyen de révélation de l'existence des propriétés. 

D'ailleurs ils n'avaient aucune méthode rationnelle et générale 
pour la détermination des limites. 

4. On a dit souvent que ies anciens avaient regardé les lignes 
courbes comme des polygones d’une infinité de côtés ; cette ivée, 
qui ne paraît jamais dans leurs écrits, serait du reste en flagrante 
opposition avec l'esprit de la méthode d’exhaustion. 

Les anciens n’admettaient, au contraire, que les démonstrations 
d'une rigueur absolue ; ils s’attachaient par-dessus tout à conserver 
à la science son entière évidence et exactitude et prenaient tou- 
jours à tâche d'éviter de telles suppositions comme énadmissibles 
en géométrie. 

On a souvent fait à la méthode d’exhaustion le reproche d'être 
embarrassée, et difficile à concevoir. Il est vrai qu’elle nécessite 
souvent des préliminaires assez longs, indispensables pour la re- 
cherche des limites ;. mais ces préliminaires sont toujours des 
propriétés importantes, souvent remarquables par leur originalité. 
Du reste, ces longueurs, ou espèces de prolégomènes, sont assez 
naturels, puisque la méthode d’Archimède n’est qu’une méthode 
particulière révélative. Un excellent géomètre (Peyrard), qui a 
fait la traduction des œuvres complètes d’Archimède, s'exprime 
ainsi dans la préface de cette traduction : 

Archimède n’est véritablement difficile que pour ceux à qué 
les méthodes des anciens ne sont pas familières ; il est clair et 
facile pour ceux qui les ont étudiées. 

Par des exemples traités à Ia manière d’Archimède, faisons 
comprendre l'esprit de la méthode d'Exhaustion. 

5. TuéoRÈME. Les surfaces des cercles sont entr'elles comme 
les carrés de leurs rayons. 

Inscrivons dans les deux circonférences des polygones sembla- 
bles ; leurs surfaces auront pour rapport le carré de celui des 
rayons ; subdivisant, suivant la même loi, les arcs qui sousten- 
dent les côtés de ces polygones , on construira par là deux nou- 
veaux polygones semblables dont les surfaces ont encore pour 
rapport le carré de celui des rayons. 

Or, à l'aide de ces inscriptions consécutives , les périmètres ainsi 
obtenus s’approchent indéfiniment et d’aussi près que l’on veut 
de leurs circonférences respectives ; il est done à prévoir que le 


employées pour l'établissement el le developpement, etc. 149 
rapport des carrés des rayons qui s'est maintenu pour chaque 
inscription , se maintiendra encore alors que par la pensée on 
se transportera à la limite de ces inscriptions, limite compléle- 
ment en dehors de la série polygonale inscrite. 

Telle est la partie inductive de cette question ; en voici la 
vérification ad absurdum. Soient R et R’ les rayons de deux 


circonférences données : on suppose tour à tour, si cela est 
possible, qu’au lieu de 


R° cercle R 
R'? cercle R! 


On ait : 


R° cerele R 
R2 cercler 


r étant en premier lieu moindre que R’, en second lieu, plus 
grand que R/. 


Soit d’abord r <<: R'. 
Dans les circonférences R et R/ inserivons des polygones 


semblables de surfaces respectives SA et SR dont les côtés du 
dernier ne rencontrent pas la eirconférence r ; on aura : 


et, par suite de l'hypothèse, 


CercleR Sr 


a — 


cercle 7 Sr 


égalité impossible puisque 


cercle R cercle 7 


Ba re 
Sd 


En second lieu soitr > R', et par suile, & étant une quantité posi- . 
tive : 


RE 8 cercle R 
R®  cercle(R La) 


1450 A.-J.-N, Paoue. — Examen des diverses méthodes 


Les anciens disaient que ce dernier rapport de deux cercles 
est évidemment égal au rapport d’un cercle de rayon plus petit 
que R à celui d’un cercle de rayon R’. Au premier abord cette 
assertion parait sans replique : cependant l’on pourrait remarquer 
que, s'il est toujours possible de déterminer numériquement la 
valeur de z par la condition 


cercle (R/ + x) cercle R' 
.cercle À Z 


il n'est pas du tout évident que cette même valeur de z puisse 
être l'expression de la surface d’un cercle ; il faudra AvANT Tour 
prouver qu’il y a des circonférences et des cercles de toutes gran- 
deurs. 

Telle est donc lobjection qui peut être faite à la méthode 
d'exhaustion dans cette application. Nous y reviendrons dans un 
instant. 

Les anciens avaient donc en désignant par 7 une quantité con- 
venable. 


R2 cercle (R’ L &) cercle R' 
k° cercle R cercle (R — 7) 


Or, il a été établi d'abord qu'il peut y avoir égalité entre le 
carré du rapport des rayons et celui des cercles correspondants 
au premier rayon et à un rayon moindre que le second. 


CONCLUSION, r ne pouvant être ni - R' est égal à R', d’où 


. cercle R  R? 


cercieR! R° 


6. Comment on peut éviter l'objection relative à z. 

En parlant de z nous venons de dire qu'il n’est pas du tout 
évident qu'il existe des cercles de toutes grandeurs. Si Fon veut 
éviter cette objection , on pourra modifier comme suit le raisonne- 
ment : 

Si légalité 

cercle R KR 
cercle R'  R* 


est fausse, cela ne peut provenir que de ce que R' est trop grand 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 151 


ou trop petit. — L’ad absurdum porte done maintenant sur le 
rayon, et non plus sur le cercle. 
4° Soit r < R’, et supposons que l’on puisse avoir 
cercle R  R: 


cercle R'  r? 

Circonscrivons aux circonférences de rayons R et r des poly- 
gones semblables, dont SR et $, sont les surfaces et supposons que 
le périmètre de S, ne rencontre pas la circonférence R'; on 
aura : 


S R° 
= 
D'où 
cercleR Sr 
cercleR S, ” 
et 


cercleR cercle R’ 


SR Sr 


Égalité impossible puisque 


cercle R une cercle R’ S1 
SR S, 


2° Soitr, > R', d’où 
cercleR R 


cercieR’ r,° 


Inscrivons aux circonférences R et r, des polygones semblables, 
dont les surfaces soient représentées par Sr et S,, , et tels que 
les côtés de S,, ne rencontrent pas la circonférence R’ on aura : 


d'où par combinaison : 


cercleR cercle R’ 


= 


SR S, 


1 


152 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Relation impossible puisque 


| cle mr 
nus S 1, QE £i 
LR a 


7. On pourrait ainsi dire en empruntant la méthode ancienne: 
puisque l'on a, 


cercle R R° cercle R' (RL 7) 
2 ————, OÙ —————Ù = ———— 
cercle R! (Rær cercle R R° 


Et que la valeur d’une fraction n'est pas altérée, si de ses 
termes on soustrait des quantités ayant le même rapport, 
On aura 


cercle R’ We R’° 
cercle R  R—0 


On se trouve ainsi ramené au premier cas, où le rapport de 
deux cercles serait égal au carré du rapport qui existe entre ie 
rayon du premier et un rayon moindre que celui du second. 

8. Défuut de la méthode d'Archimède. 

Comme on le voit par ce seul exemple, cette méthode laisse à 
désirer , puisqu'elle obligerait à donner les démonstrations de 
vérité aussi difficiles à établir que celles proposées. 

J'aiindiqué comment on pourrait cependant éluder cette diffi- 
culté. 

9. Donnons une application de la méthode d’exhaustion à des 
considérations d'ordre plus relevé, et choisissons la quadrature de 
la parabole. 

On sait que cette solution appartient à Archimède, qui traita 
cette question d’une manière très-remarquable , et digne de ne pas 
tomber dans l'oubli, tant par l'élégance que par la grande géné- 
ralité du procédé. 

Archimède considère l'aire du segment parabolique comprise 
entre l'arc de ce segment et sa corde. 

Soit APBFC (fig. 1) un are parabolique et AG sa corde ; soit 
menée par le milieu D de AC, la parallèle BD à l'axe de la para- 
bole ; subdivisons en un nombre pair chacune des moitiés de la 
corde segmentaire AC ; sachant que 1° tous les diamètres de la 
parabole sont parallèles à Paxe ; 2° toute droite parallèle à l'axe 
peut ètre considérée comme diamètre de la parabole’; 5° les cordes 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 155 


qu'un diamètre divise en deux parties égales sont parallèles à la 
tangente menée à l'extrémité du diamètre, il est clair que les 
tangentes en B,H,F, P, M, N, V seront respectivement parallèles 
aux cordes AC, AB, BC, AH, BH, BF, CF. 

Archimède considère le triangle ABC, dont la base AC est la 
corde segmentaire ct dont le sommet B (point de contact de la tan- 
gente parallèle à cette corde)est appelé le sowmel du segment para- 
bolique. Il a d’abord prouvé que ce segment est les + du triangle 
ABC et cette question se trouve ainsi traitée d’une manière tellement 
générale que l’on peut ensuite passer immédiatement à un segment 
parabolique quelconque. 


Par C menons Ca parallèle à BD , et soit 


Ca = + BD 


Tirons Aa qui coupe BD en bet PR en d, et démontrons ce : 

10. Leuue. Le segment polygonal parabolique inscrit APHMBN- 
FVCDA est équivalent au trapèze CRda. 

Pour cela démontrons que 


4° ABC— CD «b. 
On a 
ÂCa ne Ca 4 
ABC BD 5 
D'ailleurs 
D'où ACa = 4AbD. 
ABC 
AUDE 
3 
On a aussi 


n ABC 
CDba — ACa — AbD — 3 ACB HA 
D'où enfin 


CDba = ABC. 
20 


154 A.-d-.N Paoue. — Exanen des diverses méthodes 
Do AHB + BFC = DG cb. 


En effet puisque L et F’ sont respectivement les milieux de AB 
et BC, 
AHB + BFC  2BHL + 2BFF' 
ABC. VW ABC 


Abaissant des points À et H des perpendiculaires AG et Hz 
sur BD, cette relation deviendra 


AHB BFC  HL.He+ FF.He 


ABC BD AC 
ou 
AHB BFC He HL + FF 


DNPARCU A6 BD 
Les droites HQF et AC sont parallèles, donc HG = EF ; 
d’ailleurs LG — EF’, et par suite 
HL = FF 
Et puisque le point G est le milieu de AD : 
AHB + BFC _HL 
ABC BD 
On sait que dans la parabole les carrés des ordonnées sont 


entr'eux comme les abscisses ; donc ici si l’on conçoit les arcs 
passant par B et dirigés suivant BD et la tangente en B, on aura 


DO BD = 250 
HQ BQ 
Ainsi | 
D ÿ 
BQ=— nu d’où DQ ne BD 
or 
HL — HG — LG. 
Les triangles semblables ALG et ABD montrent que 
| BD 
ne 
BD 


done : HE POS 


empicyées pour l'établissement el le développement , etc. 


Remplaçant DQ par 5 BD, il vient : 


BD 
H Ii = 
l L. 
Donc 
BQ = HE 


Et par suite la dernière proportion devient : 


AHB+BFC  BQ 
ABC ” BD 
Donc 
AHB + BFC 1 
ABC 4 


Or, les trapèzes semblables GDcb et CDba donnent 


GDcb 1 
© CDba % 
Mais 
CDba — ABC 
Donc 
GDcb 1 
ABC 4 


Et à cause du rapport commun il viendra :. 
ABB + BFC = GDcb 
3° Appliquant le résultat 


AHB + BFC =. 


155 


aux triangles APH et HMB par rapport à l'axe HG, et aux trian- 


gles BNF et FVC par rapport à l'axe EF, il viendra : 


APH + HMB 


S F 
BNE + FVC — 


D'où par addition 


150 A,J.-N, Paques. — Examen des diverses méthodes 


APH LHMB + BNF + FVC — 
Or, (2°) 


AHB + BFC 
n 


AHB BFC — DGcb 


Douce 
DGcb 


APH — EMB -H BNEF + FVC — 


Mais les trajèzes DGcb et RGdc sont sen:blables et donnent 
DGcb — 4RGcd 
D'où en multipliant ces deux dernières égalités : 


APH + HMB + BNF + FVC = GRcd. {e. q. f. d.) 


Conczusion : Dans La bissection consécutive de la base, la somme 
des triangles intérieurs au segment parabolique, mais extérieurs 
au polygone précédent, est équivalente au trapèze le plus voisin du 
dernier point de division de la base. 

Ou en d’autres termes 

Le polygone inscrit dans le segment parabolique est toujours 
équivalent au trapèze ayant pour bases, 1° la droite Ca égale aux 
+ de la longueur du diamètre compris entre le sommet parabolique 
et celte base ; 2° la parallèle à celte première base menée par le 
dernier point de division. 

41. TnéonÈue. Un segment parabolique quelconque est équiva- 
lent aux + du triangle ayant pour base la corde du segment et pour 
sommet le point de contact de la tangente parallèle à la corde..= 

Par suite d’une bissection continue de la base segmentaire, le 
segment polygonal qui s'approche indéfiniment, d'aussi près 
qu'on le veut , et sans jamais pouvoir l'atteindre, de son cir- 
conscrit le segment parabolique proposé , est toujours équivalent 
au trapèze ayant pour bases la droite Ca, et la dernière parallèle 
deR ; d’ailleurs le point R par cette continuelle bissection s’ap- 
prochant sans cesse de plus en plus de sa limite le point A, le 
trapèze CRda s'approche indéfiniment de sa limite (le trian- 
gle ACa). 

Ici encore cesse la méthode proprement dite d'exhaustion, e’est- 
à-dire, la partie inductive de la recherche, et l'on est donc porté 
à dire : 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 157 
Le segment parabolique est équivalent au triangle AUa. 
12. En effet (ad absurdum) supposons que l'on puisse avoir, 
en représentant par S le segment parabolique : 


AU SEA 


ou 


CRda + ARd = À +$. 


En continuant suffisamment la subdivision paire de la base du 
segment, et quelle que soit la valeur de À; il arrivera un instant 
où la différence ARd du trapèze CRda au triangle ACa sera moin- 


dre que À: 
On aurait done alors 
À > ARd 
Et comme 
A — ARd = CRda —S$S 


Il faudrait que 


S << CRda 


Conséquence évidemment impossible, puisque le segment poly- 
gonal inserit est équivalent au trapèze CRda 


pi S = AaC + 7 


Par la bissection la différence du segment polygonal inserit au 
segment parabolique circonserit peut être rendue moindre que 7; 
donc on aura 


S — polygone € 7 


Remplaçant le segment parabolique par son expression, ül 
viendra : 
Aa C << polygone 


Relation impossible puisque le segment polygonal inscrit est 
équivalent au trapèze CRda (partie du triangle CaA). 
ConeLusion : Le segment parabolique est équivalent au triangle 


ACa, ou aux + du TRIANGLE SOMMET. 


158 A-J.-N. Paoue. — Æxumen des diverses méthodes 


15. Réflexions générales sur la méthode d'Archimède. 

La méthode d’exhaustion, employée par les anciens dans leurs 
recherches difficiles, leur permettait d'étendre aux quantités in- 
commensurables les rapports existant ou découvert entre quanti- 
tés commensurables. 

En résumé cette méthode se caractérise par l'introduetion de 
quantités auxiliaires dont celles que l’on étudie sont les limites : 
la loi de continuité qui préside aux changements de ces quantités 
auxiliaires variables, fait connaître par induction les relations 
existant entre ces limites. 

La méthode d’exhaustion comme moyen de démonstration, re- 
pose sur une idée générale ; mais elle ne renferme aucun moyen 
général d'application, et exige préalablement dans chaque cas, la 
connaissance intime des quantités auxiliaires introduites. 

Telle est la raison de l'impuissance de cette méthode. 


CHAPITRE HI. 
KÉPLER. 


4%. Vers la fin du XV° siècle, la renaissance scientifique s’an- 
nonce ; les spéculations géométriques portent un cachet pro- 
noncé de généralité et d’abstraction dogmatique. 

En 1615, Képler dans sa Nova stéréométrica doliorum, 
introduit l’idée et l'usage de l'infini. Il y considère le cercle comme 
une infinité de triangles, dont le sommet est au centre, el dont les 
bases forment la circonférence , il émet des vues analogues 
quant aux autres figures dont il traite. 

Ce serait cependant une erreur de croire que Képler soit le 
premier qui ait parlé de l'infini en mathématiques : Eutocius, 
géomètre du cinquième siècle, introduisit l'infini et eut l'idée de 
considérer le cercle comme un polygone d’une infinité de côtés : 
cette idée reçue alors comme une excentricilé, ne fut l’objet d'au- 
cune application. 

Il parait incontestable que les idées des anciens s'étaient arrêtées 
sur la tendance que les quantités auxiliaires de leur méthode 
d’exhaustion ont à s'identifier avec les quantités qui y ont fait 
recourir , et ils n’osèrent prononcer une identification qu'ils 
ne voulurent jamais installer en principe , parce qu'ils la regar- 
daient à juste raison, comme logiquement impossible. 


employées pour l'établissement et Le développement, etc. 159 


Képler s'adonnait, comme on le sait, à l'astronomie, et c'est 
lui qui créa l'astronomie moderne : il ne eultivait donc que se- 
condairement les mathématiques , et c’est là sans doute ce qui 
explique pourquoi Képler ne développa pas en corps de doctrine 
une idée fondamentale dont il sut, du reste, dans un fort grand 
nombre de cas, tirer un parti très-avantageux. 

15. Képler fit le premier la remarque suivante : 

Dans le voisinage d’un point maxImu» où miNIMUM, la variation de 
l'ordonnée est nulle. 

C'est de cette notion si profonde que l’illustre Fermat sut déduire 
sa théorie des maxima et minima, 

Képler traita avec grande simplicité les problèmes d’Archimède 
sur les Conoides et les Sphéroïdes ; ses solutions étaient tirées de 
celte question, alors de haute importance, qu'il se posa : 

Chercher le volume engendré par la révolution d’une conique au- 
tour d’une droite située dans son plan. 

Il résolvait ainsi généralement les questions dont Archimède 
m'avait traité que le cas particulier où l’axe de révolution est un 
axe de la conique; signalons cependant qu’Archimède n’a pas 
parlé du volume engendré par l'hyperbole tournant autour de son 
axe conjugué. 

16. Les travaux mathématiques de Képler indiquent, cela est 
incontestable, une voie nouvelle, fausse toutefois ; mais la méthode 
qui les domine n’a aucun caractère de généralité en ce sens que 
chèque question exige des artifices ou des moyens différents de 


démonstration ; elle a done ce défaut de commun avec la méthode 
d’exhaustion. 


160 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthorles 


CHAPITRE IL 


BoNAYENTURE CAVALLERI. 


INDIVISIBLES « 


47. En 1655 à l'apparition de la géomèétrie des indivisibles, qui à 
eu beaucoup de retentissement, s'ouvre une nouvelle ère scienti— 
fique ; Bonaventure Cavalleri, inventeur de cette méthode, dont 
il était en possession depuis 1629 est né à Milan en 1598. Il fut 
l'élève de Galilée, et devint en 1629 professeur à l'Université de 
Bologne ; la mort lefrappa dans ces fonctions, le 5 décembre 1647. 

18. Donnons une idée de la méthode des indivisibles. 

Cavalleri considère l'étendue continue comme composée d'un 
nombre irini de parties qu'il appelle srs DERNIERS ÉLÉMENTS ; ces 
éléments sont déterminés par des subdivisions en tranches paral- 
lèles, et dans les derniers termes de cette division ils sont appelés 
INDIVISIBLES. 

Il considère les lignes comme composées d'une infinité de 
points ; les surfaces, d’une infinité de lignes ; les volumes, d'une 
infinité de surfaces, et l’idée d’infini ainsi introduite l’est à la fois au 
premier, au deuxième et au troisième ordre. 

Cette nouvelle idée introduite ici si hardiment, doit être consi- 
dérée comme le germe bien prononcé de l'analyse infinitésimale. 

49. Dans toute question traitée à la Cavalleri, on distingue deux 
parties : 

La première s'occupe d'établir le rapport des figures à laide du 
rapport constant qui existe entre leurs éléments. 

La seconde se propose la détermination du rapport de l'infinité 
de lignes,ou de plans croissants ou décroissants, avec la somme d’un 
même nombre d'éléments de même espèce que les premiers, mais 
égaux entr'eux. 

20. Cavalleri, dans la défense qu'il présents de sa théorie en 
réponse à la critique sérieuse du géomètre Guldin, considérait sa 
méthode comme une simplification de la méthode d’exhaustion : 
ces surfaces et ces lignes élémentaires n'étaient autre chose pour 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 161 


lui que les petits solides ou les parallélogrammes auxiliaires ins- 
crits et circonscrits de la méthode ancienne ; seulement la difé- 
rence de la somme de ces auxiliaires à la figure totale était supposée 
nulle ; il admettait ainsi l'identité des courbes et des périmètres 
polygonaux d’un immense nombre de côtés, et celle des surfaces 
courbes avec des polyèdres. 

C’est en ce dernier point que se trouve le contact des méthodes 
de Cavallerie et de Képler. 

La proposition fondamentale et générale de Cavalleri est celle- 
ei. 

Toutes les figures dont les éléments croissent ou décroïssent sem- 
blablement de la base au sommet, sont à la figure uniforme de 
méme base et de mênte hauteur , en même raison. 

21. Donnons par un exemple, une idée de la méthode des 
Indivisibles. 

ProBième. — Trouver le volume du cône à base circulaire, en 
fonction de celui du cylindre de mème base et de mème hauteur. 

Considérons (fig. 2) le cône comme formé d’un nombre infini de 
cereles décroissant de la base au sommet, et le cylindre, d’une infi- 
nité de cercles égaux à cette base. 

Le rapport du cône au cylindre est donc aussi celui de la somme 
des sections parallèles variables du cône à la somme des sections 
parallèles constantes du cylindre. 

Comme ces sections sont circulaires, leurs sommes sont entr’elles 
comme les sommes des carrés des diamètres de ces sections ; 
reste done à trouver le rapport des sommes des carrés des paral- 
lèles à AB, d’une part dans le triangle ABC , d'autre part dans le 
parallélogramme. 

Concevons la hauteur du cône divisée en n parties égales (n 
pouvant croître indéfiniment). 

La somme S’ des carrés des parallèles à AB dans le cylindre, 
sera évidemment : 


—— 


Si rt). AB = (PO 
LD 


Les parallèles à AB dans lé cône, ont pour longueurs r'espec- 
tives en allant du sommet vers la base : 


AB , AB AB AB 
be Joe eee Mn 


162 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


La somme de leurs carrés sera donc : 


A 


n2 


[+4 +04 HR 4m T4 | 


Déterminons la somme entre crochets, et pour cela considérons 
la suite des carrés des n premiers nombres, comme décomposée 
ainsi qu’il suit : 

1LI+S+H4 . . . . +(n—2)+<in—1l)+n 

24344 . . . . +<n—2D+n—1)+n 

3+44+ . . . Ln—2+(n—1)+n 
4 + (n—2)+n—-1l)+n 

di C2) (DE 

+ (a —1) +n 

+ n 


Chaque ligne est la somme d'une progression par différence dont 
la raison est 1, et les sommes de ces diverses progressions ont doné 


pour expressions respectives : 
n 
1 
S,—ÿ(n— 1)(n +2) 
S3 = @ 79) (n +5) 
S; == - (n — 3)(n + ) 
1 à 0 
Se 0m + 1) (n +) 
sl 
St => (n—n + 2)(nLu—1) 
DD . (n—n + 1)(n +n) 


Si N représente la somme des carrés des n premiers nombres, 
il viendra par l’addition de ces diverses égalités, 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 163 


DIN Cr DS (n — JS à (n—-1) 


ou 
A n—! _n-—i WA 
2N=M4+DX m—D+ ZX OX À 
0 4 4 
ou 
à n—1 En Di 
2N—(n +1) [ZE |+n Ca Ce 
4 4 4 
ou 


2N—n (nr + 1) — nS à — ne on ie D 
4 4 4 4 


Faisant des réductions évidentes etsommantles n — 1 premiers 
nombres entiers, il vient : 


2N— n° (n —1) a (N—n') 


D'où 
TRICERNELET 


2.9 


Et par suite: 


sut (n+1)(2n-L1) AB. 
un RE 1 


D'où : 
Dan un 9 pu 
SONO SE TNA CS in Moses = CU 


L , S h SA 
Le rapport cherché se compose de deux parties dont l’une 


ï p + 1 Pont e , Q 
est constante, et dont l’autre TH variable, s'approche indéfini- 
n 


ment de zéro ( qui est sa limite), à mesure que n eroit. Or, ici, » 
étant illimité en grandeur, on devra considérer la limite constante 


vers laquelle converge le rapport ce qui donne : 


1? 


164 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


On a donc ce théorème : 

Le cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. 

22. On traiterait d'une manière analogue toutes les figures dont 
les sections conjuguées de même espèce sont dans le rapport des 
carrés de certaines lignes. 

25. Cherchons, d’après Cavalleri, le volume de la sphère. 

Soit (fig. 8), une demie circonférence XY tournantautour de son 
axe OR perpendiculaire à XY. Circonserivons à XRY un rectangle 
ABXY, et proposons - nous de trouver le rapport des volumes 
de la demie sphère et du cylindre engendré par le carré OXRA 
tournant avec XR autour de l'axe OR. 

Cavalleri considère ces deux corps comme composés de cercles 
parallèles à celui des rayons OX (et de plan normal à OR); ces 
cercles sont variables pour la sphère, constants pour le cylindre. 
Soit CDFGKPH l'un de ces plans sécants, et cercles DG, et CG les 
sections produites dans la sphère et le cylindre. 

Ces sections sont entr'elles comme les carrés de leurs rayons 
DG et CG. Tirons AO et BO ; par suite du mouvement de rota- 
tion, AO décrit un eône droit dont le rayon de la base circulaire 
est AR ; le cerele de rayon FG est l'élément de ce cône. 

On a 


cercle CG CG” : cercle EG ji FC 
cercle DG  DG?  cerceDG  DG’ 


D'où 


cercle CG + cercle FG_ CG + KG 


cercle DG DG° 
D'ailleurs FG = OG, done : 


cercle CG + cercle FG __DO° 
cercle DG Se 

Mais DO = CG, et 
cercle DG cercle CG 


DG’ (QG 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 165 


Donc 


cercle DG cercle FG CG DG- 
cercle CG DG cc 


et 
cercle DG + cercle FG = cerele CG 


Cette relation existant pour une section élémentaire quel- 
conque perpendiculaire à l'axe, il s’en suit que 


Vol. Cylindre = VOLS mie + vol. cône. 
Mais 
Vol. cône — vol. PANUE 
Donc 


Levolume de la sphère est les deux tiers du volume du cylindre 
circonscrit. 


2%, APPRÉCIATION CRITIQUE DU CONCEPS DE CAVALLERI. 


4 


La seule manière de définir géométriquement mais d’une ma- 
nière rigoureuse le point, la ligne, la surface et le volume, est la 
suivante : 

Le volume est la portion de l’espace occupée par un corps, dont 
l'enveloppe extéricure (ou ce qui le termine) est nommée SURFACE. 

Ce qui limite une portion de surface est appelé ligne. 

La ligne enfin est terminée par le point, élément géométrique 
inéAL, sans dimensions. Et ce sont précisément ces abstractions 
successives et élémentaires de l’espace que l'on doit bien établir au 
début de la science. 

On ne peut donc pas dire en mathématiques que la ligne est un 
composé de points ; car ce qui n’a pas d’étendue ne peut, par 
collection , former un tout qui en ait : pour le même motif, il est 
irrationnel de supposer que la surface est composée de lignes, 
que le volume est composé de surfaces. 

On voit donc que les hypothèses fondamentales de Cavalleri sont 
tout simplement absurdes, et que par suite son calcul ne peut-être 


166 A.-J.-N. Paque. —- Examen des diverses méthodes 


regardé que comme un moyen abréviatif, essentiellement faux 
dans sa nature intime, et nécessitant toujours le contrôle des 
méthodes rigoureuses. 

Il n’est donc pas surprenant que, ni Cavalleri ni ses illustres disci- 
ples Pascal et Roberval, n'aient pu installer d'une manière irrépro- 
chable les bases de leur doctrine. 

Cavalleri dans son dernier ouvrage 


Exercitationes mathématicæ, 


fait du reste l’aveu très-explicite de son impuissance à démontrer 
les principes fondamentaux de sa théorie ; il déclare même, qu’il 
faudra toujours recourir à la méthode d’exhaustion , et à la dé- 
monstration à l’absurde pour la justification complète et logique de 
ses résultats. 

Képler et surtout après lui Cavalleri ont cru pouvoir, pour 
donner plus d’étendue à la méthode d’exhaustion , abandonner les 
fondements de cette ancienne méthode et pour être plus hardis, 
asseoir leurs théories sur des hypothèses : ils ont ainsi cru qu'il 
pouvait être permis de concevoir l'inseription et la circonscription 
polygonale dans les figures courbes comme n'étant plus du domaine 
fini et déterminable ; de là sont venus les indivisibles , de là par 
une nouvelle extension nous verrons plus tard sortir les infiniments 
petits, et l'on est arrivé en imaginant ces indivisibles en nombre 
indéfini, à s'appuyer sur ce principe faux et dangereux en appli- 
eation, que leur somme constituait la figure proposée. 

La méthode des anciens se trouvant toujours contrôler les résul- 
tats de la théorie nouvelle des indivisibles , cette dernière concep- 
tion fut en grande faveur ; toutefois elle fut sérieusement com- 
battue, surtout par le père Guldin, autour d'un théorème célèbre 
sur les centres de gravité, et dont voici l'énoncé : 

Toute figure engendrée par la révolution d’une ligne ou d'une 
surface aulour d'un axe de rotation est le produit de la quantité 
génératrice par le chemin décrit par le centre de gravité. — 

Abstraction faite de l’impossibilité d’asseoir rationnellement la 
théorie de Cavalleri, on doit cependant reconnaitre que le prin- 
cipe métaphysique de la théorie des Indivisibles a une grande gé- 
néralité, qui disparait toutefois dans les applications. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 167 


CHAPITRE IV. 


PersoniEeR ROBERVAL, né en 1602, à Roberval près de Beauvais, mort en 1675: 


26. Anciennement on regardait la tangente à une courbe en un 
point donné comme une droite telle qu’entr’elle et la courbe, on 
ne peut mener aucune autre droite. 

Cette définition qui , dans bien des cas , offrait très-peu de res- 
sources fut abandonnée par Roberval qui médita sur les idées et 
la théorie mécanique nouvelle des courbes émises par Gallilée, dans 
son ouvrage intitulé : 

Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen 
de trouver les touchantes aux lignes courbes. 

Roberval y pose l’axiôme suivant (page 24). 

La direction du mouvement d'un point qui décrit une ligne 
courbe est la touchänte pour chaque position de ce point. 

Ce principe est assez intelligible dit Roberval, pour être facile- 
ment accordé après avoir été considéré attentivement. 

Cet auteur ajoute (page 25). 

Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui vous seront 
données), examinez les divers mouvements qu’a le point qui la 
décrit à l'endroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces 
mouvements composés en un seul, tirez la ligne de direction du 
mouvement composé et vous aurez la touchante à la ligne courbe. 

La méthode de Roberval consiste done à concevoir le mouve- 
ment du point qui décrit {a courbe comme sans cesse décomposa- 
ble en deux autres, dont les directions et les vitesses soient toujours 
assignables ; la tangente est alors dirigée suivant la diagonale du 
parallélogramme construit avec des dimensions proportionnelles à 
ces vitesses. 

27. Pour permettre d'apprécier la fécondité de ce nouveau prin— 
cipe, cherchons par son aide les touchantes à la parabole, à l'hy- 
perbole à l'elhipse, et au limaçon de Pascal. 

En traitant les tangentes aux coniques, nous aurons l’occasion 


168 À.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


de tirer de l'oubli une génération remarquable de ces courbes, que 
l’on n’a conservée que pour l’une d’elles. 

La génération de la parabole à l'aide de la belle propriété si 
connue de l'égalité de distance de chacun de ses points au foyer 
et à la directrice venait d’être inventée en 1651 par le célèbre 
Claude Mydorge, qui, dans un nouveau traité des sections coniques, 
simplifia les démonstrations anciennes, et fit faire à cette théorie 
des progrès marqués. 

Roberval s'empara de cette construction et en tira le parti sui- 
vant : 

Puisqu'un point quelconque de la courbe est également distant 
du foyer et de la directrice, c’est que sur ce point, et suivant ces 
directions, agissent des forces égales dont la résultante est dirigée 
suivant la bissectrice de l'angle de ces droiïtes , et ainsi se trouve 
déterminée dans cette bissectrice, la touchante à la parabole au 
point considéré. 

28. Faisons actuellement voir que la touchante à la parabole 
selon Roberval est bien celle déterminée par l’ancienne défi- 
nition. 

Apollonius disait (fig. 4) : 

Soit la parabole BAC, AX son axe, F son foyer, M le point par 
lequel il faut mener la tangente. Du point M menez MP perpendi- 
culaire sur AX, et soit P le pied de cette perpendiculaire. 

En sens contraire de AX portez AG = AP, la tangente sera MG : 
par M menons MY parallèle à AX, et démontrons que MG est la 
bissectrice de l’angle PMY. 


On a, si D, DD, est la directrice, 


AD = AF 
Mais par construction. 

AP = AG 
D'où par addition 

DP = FG 


D'ailleurs par suite de la construction de la parabole on a 


DP = MF 
D'où 
ME = FG 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 169 


D'où 


TK ZT SATRSS D 
EGM = FMG, et enfin FMG = GMY (e. q. f. d.) 


29. Touchante à l'HyPERBOLE 
Selon Claude Mydorge voici la description de l’hyperbole dont AA 
est l'axe et (F,F”) les foyers. 

Soient (fig. 5) P et P’, choisies entre À et A’ de manière que 


AP = A'P/= A'F'=AF 


Soit K un point quelconque de XX’; de F’ avec F/K pour rayon 
décrivons un are de cercle KMM!, et de F avec PK décrivons un 
autre arc de cercle ; ces arcs détermineront par leurs intersections 
deux points M et M’ de la courbe. 


En effet 
MF! = F'K 
ME = PK 


D'où par soustraction 
ME'—MF = F'K — PK=— AP + A’F'= AA 


ce qui est bien la loi de génération ordinaire. 

Soit en M à mener la tangente. 

Tirons MF et MF’ : ces lignes, dans la génération de l'hyper- 
bole, tournent respectivement autour de leurs points F et F’ et ont 
toujours entr’elles une différence constante 


PF’ — AA 


D'où l’on voit que le point générateur qui se meut sur les droites 
MF et MF" est, suivant ces droites, sollicité à s’éloigner des points 
Fet F' par des forces égales, puisque la différence des chemins 
parcourus est constante. 

On obtiendra done la touchante à la courbe, en divisant langle 
FMF' de ces droites en deux parties égales, 

50. Quant à l’ellipse, voici comment Claude Mydorge la décrit 
par points : soit (fig. 6), AA’ l'axe, F et F' les foyers ; prenons 
sur l'axe 

AQ = AF = A’F'= A/Q' ns 


170 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Soit P un point quelconque situé entre Fet F’ ; avec un rayon 


v > ÀF 
PR Apr 


décrivons un are de cercle, et du point F avec PQ pour rayon, dé- 
erivons un autre arc de cercle ; on détermine ainsi par intersec- 
tions deux points de l’ellipse. En effet 


MF/-LMF — FP + PQ — F'P + AP + AQ = A4 


Soit en M à mener la tangente à l'ellipse. Tirons MF et MF ; 
quand l’une de ces droites augmente, l’autre diminue d’une égale 
quantité, puisque la somme des chemius parcourus 


MF + MF 


est constante ; il s’en suit qu'à chaque instant le point M se trouve 
soumis, suivant les droites qui le joignent aux foyers, à des forces 
qui l'éloignent de l’un des foyers pour le rapprocher d'autant 
de l’autre ; donc ces forces sont d’égale intensité, et la bissectrice 
de leur angle, représentant en direction la résultante de ces forces, 
sera la tangente en M à l’ellipse. 

91. Apollonius construisait cette tangente de manière que 


LAS TS 
FMT = FMT' 


ce qui est la conséquence immédiate de notre construction. 

32. Limacon de Pascal. 

Donnons d’abord la description de cette courbe. 

Par un pointS d’une circonférence OS (üg. 7), menons la ligne 
diamétrale SOX sur laquelle nous prenons un point quelconque 
P, tel cependant que 


Par S menons diverses sécantes sur lesquelles à partir de leurs 
seconds points de rencontre avec la circonférence, nous portons 
des longueurs égales à PQ ; le lieu géométrique des points ainsi 
obtenus estle limacon de Pascal. 

Soit en C à mener la tangente. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 471 


Le point T, conjugué de € , est animé d’un mouvement qui , par 
la rotation de ST autour de S, tend à le précipiter vers Q, puisque 
l'angle QPS est droit ; d'où l’on conclut que tout point de SP, et en 
particulier le point G du limaçon, est doué d'un mouvement dans 
la direction perpendiculaire à ST ; de plus l'espace .parcouru par 
un point C de ST est évidemment en raison directe de sa distance 
CS au point S, centre de rotation ; si donc TV est supposé re- 
présenter l’espace parcouru par T en vertu du mouvement 
rotatif, CV’ parallèle à TV et limité à SV prolongé sera l'espace 
parcouru par GC dans la direction perpendiculaire à CS. 

Mais en même temps que ST tourne autour de $S. les points C 
et T s’éloignent de S, c’est-à-dire obéissent à une force de transla- 
tion dirigée suivant CS ; les espaces parcourus, en vertu de ce 
mouvement, sont égaux ; car pour uneligne quelconque CS, l’on a 
en vertu de la génération du limacon : 


CS — PS = ST —SQ 
Pour une autre ligne C: S, l’on aurait : 
CS — PS = ST, —5Q 
D'où 
CS —C,;S = ST — ST, 


Égalité qui exprime évidemment que l'espace parcouru par C 
est ÉGAL &@ l’espace parcouru par son conjugué T pour passer d'une 
position à une autre de la sécante. 

Cherchons donc l’espace parcouru par T en supposant que le 
mouvement rotatif de T soit TV : le mouvement effectif de T a 
lieu suivant la tangente en T à la circonférence , c’est-à-dire sui- 
vant TZ; par V menons la parallèle VZ à CS; VZ est la quantité 
de translation de T, et par suite aussi celle de G ; on portera done 
celte distance VZ de V'en a sur la parallèle à CS menée par V!', 

La droite Cx sera la touchante cherchée. 

39. Insuffisance de la méthode de Roberval. — 

Cette méthode, si élégante et si ingénieuse, frappe l'esprit qui 
y trouve une analogie mélaphysique ent avec la concep- 
tion Newionnienne des fluxions. 

Roberval considérait la géométrie à un point de vue plus élevé 


172 A.-J.-N. Paoue. —Examen des diverses méthodes 


que celui sous lequel on l’envisageait avant lui : il faisait interve- 
nir les mouvements qui avaient dù engendrer les grandeurs dont 
il s’occupait. 

Comme méthode, la conception de Roberval était entièrement 
nouvelle ; il n’est toutefois peut-être pas inutile de faire connaitre 
qu'Archimède et Pappus firent usage de la composition des mou- 
vements , (déjà connue d'Aristote), dans leurs travaux sur les 
spirales. 

Roberval, en déduisant ainsi un mode général de génération 
curviligne, devança de beaucoup Newton ; mais il ne sut pas, 
privé du secours si puissant de l'analyse, tirer de sa théorie tout 
le parti possible, 

La détermination des mouvements élémentaires dont est doué le 
point générateur est souvent difficile, indépendamment de l’ana— 
lyse comme auxiliaire ; mais il est incontestable que la méthode 
de Roberval restera un mouvement de l’émancipation logique et 
rationnelle de l'esprit mathématique. 


CHAPITRE V. 


FERMAT, 


94. Pierre Fermat, conseiller au Parlement de Toulouse, est 
né en 1608 à Baumont de Lomagne, près de Toulouse ; il est mort 
en 1665. 

La Grange, La Place et Fourrier regardent à juste titre, Fermat 
comme l'inventeur du calcul ‘infinitésimal, dont les principes sont 
installés dans sa méthode, 


De Maximis et Minimis 


dans son traité des tangentes et dans celui des quadratures. 

Voici du reste le principe fondamental de la méthode de Fermat 
pour chercher la plus grande et la plus petite valeur d’une quan- 
tité et pour résoudre le problème général des tangentes. 

Si une quantité est fonction d’une variable dont une valeur par- 
ticulière donne le maximum ou le minimum de la fonction , la varia- 
tion de la fonction est nulle pour un accroissement INFINIMENT PETIT 
attribué à cette valeur particulière. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 173 

Il augmente done l’inconnue d’une indéterminée g, dépouille 
de radicaux et de fractions l’équation résultante, fait des réductions 
évidentes, dégage ce facteur # commun, divise toute l'équation 
par &, et résoud l'équation finale résultante par rapport à l’incon- 
nue proposée. 

Quant à la recherche des tangentes, Fermat , dans l'équation 
qui lie l’abscisse et l’ordonnée, équation qu’il appelle la proprié- 
té spécifique de la courbe , donne à l’abscisse une variation quel- 
conque , et détermine la tangente par cette considération que 
l'ordonnée nouvelle de la courbe est éyale à celle de la tangente 
(pour un accroissement infiniment petit) ; il a alors une équa- 
tion qu'il traite à l'instar des questions de maximis et minimis, et 
au moyen de laquelle il obtient l'expression de la sous-tangente. 

Soit donc en général, x et y les coordonnées du point de con- 
taet , et y la sous-tangente. Soit de plus (e étant infiniment petit), 
æ +e l’abscisse d’un autre point de la tangente ; l’ordonnée du 
même point sera : 


= gt 
/ 


Cette ordonnée doit être égale à celle de la courbe pour la 
même abseisse x — : ; on remplacera done dans l'équation 


y = [ (x) 


x par æ Hs, ety par y + “2 ;on simplifie l'équation résultante, 
7 


on divise par < puis l’on pose s— 0 dans la nouvelle équation 
obtenue. On aura ainsi la sous-tangente. 
Appliquant cette méthode à la parabole, dont l’équation est 


DE 2e 
on aura , après substitutions et réductions : 
1 2 
9 7 _ ee — 9p = 0 
AT 


Posant s = 0, il vient : 


y° ue y 
Don pire es 


47%  A.-J..N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


Chacun saisit le rapprochement de cette méthode avec celle du 
calcul différentiel : en effet l’indéterminée infiniment petite & est 


A £ : J ; 
la différentielle dx,et ou l'augmentation correspondante de l’or- 


donnée est la différentielle dy. 

55. Nous avons déjà dit que Képler a, le premier, fait la remar- 
que fondamentale dont le génie de Fermat sut déduire ses maximis 
et minimis, et ses langentes. 

96. Le véritable esprit de la méthode des tangentes de Fermat est 
donc : 

Lorsqu'une ordonnée de courbe est parvenue à son maximum , 
où à son minimum, la langente correspondante est parallèle à l'axe, 
et c'est pour cela qu'alors la différence de deux ordonnées consé- 
cutives est nulle, 

57. On peut reprocher à la méthode de Fermat la difficulté sou- 
vent très-grande de faire disparaitre les irrationnelles d'une équation; 
de plus, dans la recherche des tangentes, à ce défaut se joint 
l'incertitude dans laquelle on se trouve sur la forme de la courbe 
autour du point de contact, forme qui, lorsque la tangente est pa- 
rallèle à l’axe, peut être telie que le point de contact soit un 
point singulier, d’inflexion ou de rebroussement. 

Une étude de la courbe aux environs du point de contact, de- 
vient dès lors indispensable , pour déterminer comment croit ou 
décroït l'ordonnée de chaque côté du point de contact, 


CHAPITRE VI. 


BARRUW. 
38. Barrow, né en 1630, modifia en 1669 dans ses 


Lectiones Geometrice. 


la méthode tangentielle de Fermat ; ainsi fut fait le dernier pas 
vers le calcul différentiel. 
Soit à mener en M, la tangente à la circonférence (fig, 8). 
Proposons-nous de déterminer la sous-tangente PT. A cet effet 
soit l’ordonnée CD, infiniment voisine de MP, et menons MF 
parallèle à AB ; vu sa petitesse le triangle MCF est semblable à 
PMT. 


empécyées pour l'établissement et le développement , etc. 175 


Posons 
MF=0,CF=0a 


8 et A sont deux quantités infiniment petites introduites, au lieu 
que Fermat n’en introduit qu’une seule. 
Nous aurons done 


GAY 
BUURTE 
L'équation de la circonférence donne 
_ys= rx —» 


Au moyen de cette équation passons au point C, il viendra : 


GQ+ a) = 2r (x + 0 = (x + 


D'où 
2ay + a = 2ro — 2x0 — 6? 
Mais puisque a et 6 sont infiniment petits, on aura : 


HAN O 0 


Donc 
2ay = 2ro — 2x8 

D'où 

a _T—x 

NUS 
Donc enfin 

ND NUE 
y PT ? UE ae 


en PNA EI ù ; 
Et remarquons en passant que ou—mest rien d'autre 
y 


dy 
ue le —Z 
q e e ie 


Combien n’est-on pas près du calcul différentiel par la méthode 
de Barrow, qui pourrait peut-être n'être regardée que comme un 
perfectionnement de celle de Fermat. 


176  A-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


Déterminer immédiatement et sans substitutions pour une fonc- 
tion quelconque, le rapport 


(0 
— 
de Barrow, et lui appliquer un symbole convenable, telles sont 


les tendances des recherches et théories diverses sur lesquelles 
nous allons jeter un coup d'œil général et rapide. 


SECONDE PARTIE. 


ÉPOQUE MODERNE. 


SECTION [L. 


EXAMEN CRITIQUE DES CONCEPTS. CONNUS. 


39. Fermat eut en même temps que Descartes l’idée d'appliquer 
l'algèbre à la géométrie , c’est-à-dire de transformer les considéra- 
tions géométriques en considérations analytiques équivalentes ; 
il ne parvint toutefois pas à en faire sortir une doctrine régulière- 
ment organisée : cet honneur était réservé à son heureux émule 
qui, considérant les idées géométriques sous le double point de 
vue dela grandeur et de la position des éléments, créa en 1637 
le système si général et si vaste de la géométrie analytique. 

Cette grande conception permettant la généralisation spontanée 
des spéculations géométriques, s’empara des aspirations toutes 
récentes de Fermat, des idées plus simples de Barrow, et bientôt 
apparurent presqu'en même temps, comme complément indispen- 
sable de la conception CARTÉSIENNE, les nouveaux calculs transcen— 
dants de Leibnitz et de Newton. 

Leibnitz, né le 5 juillet 1646, publia en octobre 1684, dans les 
actes des savants de Leipsick, son premier essai sur le calcul diffé- 
rentiel, sous le titre : 

Nova méthodus pro maximis et minimis ilemque tangentibus, 
que nec fractas, nec irrationales quantilatis moratur et singqulare 
pro illis calculi genus. 

Cetouvrage fut suivi, peu après, d'un autre contenant les prin- 
eipes fondamentaux du calcul intégral, et ayant pour titre : 

De Géometria recondita et analysi indivisibilium a'que infinito- 
rum. 

Isaac Newton est né le 25 décembre 1642 à Woolstrop en 
Angleterre. 

En 1686, Newton ublie ses 


178 A.-d-.N Paoue. — Examen des diverses méthodes 


Principes mathématiques de la philosophie naturelle. 

Dans cet ouvrage sont exposés les principes du calcul des 
fluxions. 

Il est prouvé, par la nombreuse correspondance de Newton, 


que ce savant était depuis 1666 en possession de sa méthode des 
fluxions. 


40. Destination générale de l'analyse transcendante. 


Les méthodes anciennes principales, d'Archimède de Képler, 
de Cavalleri, de Roberval, de Fermat, de Barrow, sont le plus 
souvent impuissantes pour la mise en équation des questions 
soient concrètes, soient abstraites ; cette impuissance doit, en 
grande partie, être attribuée au très-petit nombre d'éléments ana- 
lytiques dontelles font usage, dans l'étude du passage du con- 
cret à l'abstrait | 

L'introduction d'un nouvel élément analytique suppose, exige 
nécessairement la création d’une nouvelle branche ou calcul ma- 
thématique correspondant. Or, on ne peut s'empêcher de recon- 
naître qu'il serait fort difficile, sinon impossible , de considérer 
quelque nouvel élément, quelque nouvelle opération arithmétique, 
et qu'ainsi la recherche des équations d’une question est souvent 
un but que l’on ne peut atteindre qu'indirectement. 

I] ne reste plus alors qu’à introduire dans le calcul des quantités 
auxiliaires , entre lesquelles on puisse avec facilité établir des 
équations secondaires, dont la loi analytique de déduction de leurs 
primitives est connue et établie rigoureusement : on peut ainsi, 
à l’aide de cette loi, remonter à ces équations primitives dont la 
détermination est l’objet des recherches de l'analyse transcendante 
qui a pour but général de : 

Procéder avec le secours de certains auxiliaires à l'établissement 
des équations , ct déduire de la liaison existant entre ces auxiliaires 
ei les données primilives de la question,par des procédés analytiques 
ÉTABLIS EN TOUTE RIGUEUR, les équations que l’on se proposat «de 
rechercher entre ces quantités primitives. 

41. Nécessité indispensable de l'étude des diverse; conceptions. 

La nature plus ou moins diverse des liaisons fondamentales qui 
existent entre ces quantités auxiliaires auxquelles on a recours, et 
les éléments primitifs de la question, constitue le caractère dis- 


tinctif des diverses conceptions transcendantes que lon a vu surgir 
depuis 1666. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 179 


Les systèmes ainsi imaginés facilitent plus ou moins la 
mise en équation, reposent sur des principes ou sur des hypo- 
thèses plus ou moins contestables. 

Cette diversité de conceptions dont aucune ne satisfait pleine- 
ment à la science, soit au point de vue logique, soit au point de 
vue des ressources qu’elle fournit aux applications, accuse, il 
faut le reconnaître, un état provisoire de l'analyse supérieure , 
dont il paraît urgent de sortir. 

Une étude approfondie, et quelque peu détaillée de chaque con- 
cept peut seule mettre sur la voie du système régulier, simple et 
complet que l’on doit adopter pour l'installation de lanalyse trans- 
cendante. 

Nous allons successivement , 

Établir les principes fondamentaux de chacun d'eux , apprécier 
et discuter l'exactitude philosophique et logique de ces principes,et dé. 
terminer le degré de fécondité pratique de l'algorithme qui leur est 
propre. 

42. Principaux concepts. | 

Les diverses conceptions qui jusqu'ici ont régi les calculs su- 
périeurs sont des modifications plus ou moins immédiates des 
trois suivantes : 

4° Calcul Infinitésimal. 

2 Calcul fluxionnel, et la méthode des limites ou des premières 
et dernières raisons. 

3° Calcul des dérivées. 


CHAPITRE I. 
ANALYSE INFINITÉSIMALE, 


43. L'analyse infinitésimale appartient à deux grandes écoles, 
dont la première est celle de l'inventeur , de Leibnitz ; la seconde 
est celle des géomêtres successeurs ou disciples de Leibnitz , et 
en tête desquels il faut citer les frères Bernouülli et le Marquis de 
l'Hospital. 

4%. CALCUL DE LEIBNITZ. 

Ce mathématicien concevait son calcul de la manière suivante : 

Il suppose que des grandeurs qui sont excessivement petites, 
INFINIMENT petites par rapport à d’autres , peuvent vis-à-vis de 
celles-ci, être négligées sans ERREUR SENSIBLE. 


180 A,-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


En installant au début ce principe purement hypothétique, 
Leibnitz ne faisait qu'une chose frès-ordinaire et dont les calculs 
d’approximation fournissaient alors déjà tant d'exemples. 

Pour donner toute l'extension possible à ce principe, Leibnitz 
considéra comme nulle toute quantité qui par rapport à une autre 
(du reste de valeur appréciable ou de petitesse quelconque), est 
excessivement petite. 

Il admet donc ainsi des infiniments d'infiniments petits, ou 
des infiniments petits du second ordre, négligeables devant ceux 
du premier ; de même il y a des infiniments petits du 3° ordre,ete. 

Faisons bien saisir ce principe fondamental : 

Dans une courbe quelconque, si l’on considère trois ordonnées 
excessivement rapprochées, les différences de ces ordonnées avec 
chacune de ses voisines sont des infiniments petits du premier or- 
dre; et la différence de ces infiniments petits est un infiniment 
petit du second ordre, etc. 


45. Imperfection du calcul de Leibnitz. 


Leibnitz, en négligeant certaines quantités, ne prétendait nul- 
lement que ces quantités avaient ou pouvaient avoir une existence 
réelle, certaine. 

Il ditau contraire dans son Essai de Théodicée (Discours préli- 
minaire $ 79): 

L’infini et l’infiniment petit ne sontque des fictions ; tout nom- 
bre est fini et assignable et toute ligne l'est de même. 

Il affirma et démontra encore en d’autres circonstances , et no— 
tamment à l’occasion de certaine dispute qu’il eut avec Jean Ber- 
nouilli (dispute dont nous dirons plus loin quelques mots), il 
affirma et démontra, dis-je, que : d 

Les infiniments petits n'avaient pas d'existence réelle. Alors 
s’élevèrent des objections sérieuses contre la nouvelle analyse, dont 
on contesta la rigueur des principes fondamentaux, et bientôt 
Leibnitz fut forcé de répondre à des accusations qui ne tendaient à 
rien moins qu'à faire de son calcul , sans fondement réel, un 
véritable calcul d’approximation. 


Voici quelle fut sa réponse : 


Les infiniments petits sont des incomparables négligeables de- 


vant les quantités finies, comme des grains de sable, pu rapport à 
la mer. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 181 


Cette réponse, portant atteinte à la certitude du nouveau caleul, 
semble, il faut l'avouer , ôter toute valeur (au point de vue ra- 
tionnel) à la plus belle conquête scientifique, et paraît donner gain 
de cause à l'accusation. 

Aussi Leibnitz crut-il ne pouvoir mieux faire qu’en étonnant 
les géomètres par la puissance de son calcul appliqué aux ques- 
uons réputées alors les plus difficiles : toujours ses résultats fu- 
rent confirmés par les méthodes rigoureuses employées par ses 
adversaires. 

Il est donc permis de conclure que de l'impossibilité où Leibnitz 
a été d'établir d’une manière rigoureuse les points fondamen- 
taux de son analyse, et du caractère essentiellement approximatif 
que revêt son hypothèse principale, le calcul infinitésimal, tel que 
l’a présenté ce grand homme, est une conception HARDIE, mais 
INSUFFISANTE au point de vue de la rigueur philosophique qui de- 
vrait avant tout en être le cachet. 


46. Calcul des Bernouilli, l’Hcspital, etc. 


ou 


Calcul Infinitésimal des successeurs de Leibnitz. 


Définition fondamentale. 

Les adeptes du nouveau calcul de Leibnitz voulurent être plus 
hardis, plus novateurs que leur maître, et posèrent la définition 
suivante : 


On appelle INFINIMENT PETIT une quantité moindre que toute 
grandeur ASSIGNABLE quelque petite qu'on la suppose, et qui par 
conséquent est négligeable devant une grandeur finie. 

Un nombre est 1NFINI OW INFINIMENT GRAND quand il surpasse le 
plus grand nombre imaginable. 


Selon Carnot : 


Les quantités infiniment petites sont considérées comme con- 
tinuellement décroissantes, et telles qu’on puisse les rendre aussi 
petites que l’on voudra sans que l’on soit obligé de faire varier celles 
dont on cherche la relation. 

Selon Cauchy et Poinsot. 

Une quantité variable est INrINIMENT Perite lorsque sa valeur 
numérique décroit indéfiniment sans s'arrêter à une valeur ap- 


182 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


préciable, de manière à converger vers la limite zéro; el de plus 
lorsque considérée isolément, elle peut être conçue plus pelite que 
loule quantité donnée. 

C'est à cette dernière définition que l'on pourrait, je crois 
rattacher celle de Leibnitz. Les Bernouülli et l'Hospital continuaient 
leur définition nouvelle en disant : 

Une quantité est infiniment petite relativement à une autre quand 
le quotient de la première par la seconde est un infiniment pelit ; 
la seconde est alors dite infiniment grande ou infinie relativement 
à la plus grande. 

D'après ces mathématiciens , toute quantité, même infiniment 
petite peut être infiniment grande relativement à telle autre quan- 
tité; de même une quantité infiniment grande peut être infiniment 
petite relativement à une autre. 

Ainsi doncles grandeurs infinitésimales se partagent en plusieurs 


ordres, el deux quantités sont de même ordre, lorsque leur rapport 
est fini. 


PRINCIPE FONDAMEMTAL. 


Tout nombre infiniment petit d’un certain ordre est nNuL et 
DOIT SE NÉGLIGER à l'égard de tous ceux des ordres inférieurs et des 
nombres fines. 


ou encore 


Deux quantités d’un ordre quelconque sont RIGOUREUSEMENT ÉGALES 
lorsque leur différence est infiniment petite d'un ordre supé- 
rieur. 

IL est à remarquer que ce principe n’était chez Leibnitz, qu’une 
véritable supposition, à titre d’approximation. 

Une variable x étant donnée on représente son accroissement 
infintnent petit, ou sa différentielle par dx. Traitant cette différen- 
uelle comme une nouvelle variable primitive, on obtient la diffé- 
rentielle seconde ddx, ou 


d.dx 
représentée si simplement par Leibnitz , à l'aide de la notation 


d°x 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 183 
ŸOn aurait de même les différentielles 3°, 4°, 5°, ete. n° dx 
déc: dit ee 0". NE AN die 


47. Apütude nécessaire du calcul infinitésimal quant à la re- 
‘cherche des équations. 

Dans le concept infinitésimal tout l’avantage résulte de ce que 
l'on peut : 

Considérer comme nulles les quantités infiniment petiles eu 

égard aux quantilés finies, et en général les quaniités infiniment 
petites d’un ordre eu égard à celle d'ordre inférieur. 
_ On se rend aisément compte de la grande puissance d’un pareil 
principe, si l'on fait attention que lorsqu'une équation entre diffé- 
rentielles d'un certain ordre offrira trop de difficultés d’établis- 
sement, on pourra choisir tel autre ordre que l’on voudra, et 
dont la loi des relations soit manifeste et plus simple. Il faut, bien 
entendu, que les nouveaux éléments différentiels soient d'ordres 
supérieurs à ceux déjà étudiés sans résullat, pour qu'ayant avec 
ceux-ci des différences infiniment petites, d'ordres encore supé- 
rieurs, on puisse négliger ces différences. 

48. Généralité des équations différenticlles. 

Les quantités infinitésimales, qui entrent dans la composition 
des équations, restant les mêmes pour toutes les questions d’un 
même genre , les équations différentielles revêtent un caractère 
remarquable de généralité, en ce qu’elles appartiennent à certaines 
propriétés communes aux variétés d’une même question ; et pour 
varticulariser une variété donnée il suffira de joindre à la formule 
différentielle du genre, certaines conditions propres à cette variété. 

Ainsi pour ne citer qu'un exemple très-simple, soit à trouver une 
courbe telle que l'arc, compté à partir d'un point fixe, suit moyen 
proportionnel entre l'ordonnée et la double abscisse. 

_ On sera conduit, en représentant l'arc variable par s, et par 
{æ,y) les coordonnées d’un point de la courbe, à l'équation : 


s =} Dry 
qui donne par différenüation 
sds = xdy + ydx 


Mais ds — p/ dx?  dy°, done: 
V'cy de + dj = xdy + yux 


184 A.-J.-N. Paque. — Éxumen des diverses méthodes 


Telle est l’équation infinitésimale de la solution ; la disparition 
des différentielles est du ressort du caleul intégral. 


Dans cette solution ds = y” da” + dy? est la formule diffé- 
rentielle propre à toutes les questions traitant de la longueur d’are 
de courbes, et l'équation 


om 


s—Y 2xy 
est la condition qui particularise la courbe cherchée 


49. Imperfection LoGique de l’analyse infinitésinale. 

Quelques géomêtres saisis d’admiration par la puissance du 
caleul de Leibnitz, et avides de se lancer dans la voie nouvelle, 
adoptèrent sans restriction les principes hypothétiques sur lesquels 
était installée cette analyse. De ce nombre sont, avons-nous déjà 
dit, les frères Bernoulli et l'Hospital. 

Ces savants, plus hardis que Leibnitz, admirent dans le calcul, 
ces prétendues quantités infiniment petites, dont ils essayèrent 
par des moyens divers de démontrer L’exisTENcE. Tous ces efforts, 
joints à ceux tentés depuis, prouvent une seule chose, c’est que l’on 
ne peut établir rigoureusement les principes de l'analyse infinitési- 
male, vu l'impossibilité logique des éléments auxiliaires de ce 
calcul. 

50. Voici en quelques mots la raison a priori de cette impos- 
sibilité : 

La quantilé EST où N'EST PAS. 

Et il est de toute évidence que dans le premier cas, le seul où 
son étude mathématique puisse et doive être faite, sa diminution 
est toujours possible, concevable , IMAGINABLE ; ou en d'autres 
termes , que la quantité dans ce décroissement illimité, reste 
toujours FINIE. 

Si du reste on mettait en doute cette dernière conséquence, 
que la plus grande partie des géomètres regarde aujourd'hui 
comme axiome, et si l’on essayait de prétendre que la quantité peut 
cesser d'être finie, convenable, imaginable, sans disparaitre, sans 
cesser d'exister , il deviendrait indispensable d'indiquer le point 
où dans la période décroissante, la quantité cesse d’être finie. 

Posé ainsi, tel qu'il l'est et dans de pareils termes, le principe 
philosophique infinitésimal est évidemment raux ; l'on est donc en 
droit de repousser de l’ensemble mathématique des auxiliaires qui 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 185 


n’ont et ne peuvent avoir d'existence, de vraies quantités purement 
chimériques. 

Malgré toute la légitimité de cette exclusion, les partisans de la 
science de l’infini ont essayé depuis Leibnitz, et par des voies très- 
différentes de cacher le vice radical de cette conception : nous 
allons examiner les moyens employés à cet effet. 

51. L'infiniment petit ne peut exister. 

Observons d’abord que la définition de linfiniment petit n’en 
établit pas à priori l'existence. Mais voyons : 

N'est-il pasévident qu’ane quantité supposée moindre que toute 
autre, quel que soit du reste le degré de petitesse de celle-ci, 
n’est plus une quantité ; et Je nie que jamais on puisse se figurer 
une quantité qui, sans éfre NULLE , n'est supérieure à aucune 
autre. 

Cette seule observation suffirait à la rigueur pour détruire 
Téchaffaudage des infinis : mais comme on a beaucoup argwé en 
faveur de l’existence de ces prétendues quantités, il nous parait 
indispensable de signaler les principaux points de vue auxquels 
on s’est placé. 

52. On a essayé de définir d'abord une longueur infinie, en 
disant que la droite infinie est la plus grande possible, lorsqu'elle 
surpasse la plus grande longueur imaginable. 

C'est un principe non contestable que la ligne droite peut tou- 
jours être prolongée et ses parties subdivisées à volonté, et notre 
intelligence se refusera toujours, d’une part à admettre que cette 
augmentation d'une grandeur finie ait un terme ou limite, d’autre 
part à concevoir une grandeur si petite que nous n’en puissions 
concevoir une autre plus petite ; l'existence ‘d’une ligne infiniment 
petite est done inacceptable, impossible, 

55. On a aussi tenté de définir l'infiniment grand par la consi- 
dération de l’espace. 

Disons, avant tout, que de tout temps la philosophie a disserté 
sur la nature de l'espace, et cela sans avoir produit le triomphe 
d'une opinion quelconque, 

Pour nous, nous considérons cette question au point de vue 
mathématique, laissant avec soin le côté métaphysique. 

Admetions même l’infinité de l’espace, c’est-à-dire que eu égard 
à l’état général de grandeur , il soit impossible de concevoir 
combien il faudrait réunir de parties pour former l’espace. 

Je me permettrai de dire que si je comprends, sous cette 


24 


186 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


restriction , l'expression espace illimité, mon intelligence se re- 
fuse absolument à admettre qu'une telle grandeur, non suscep- 
tible de génération par voie d'addition de ses parties (quelles que 
soient du reste celles-ci), puisse donner lieu à une évaluation 
quelconque dont les partisans de l'Ecole Enfinitésimale déduisent 
si hardiment le nombre infini. 

En disant et répétant que l'Espace illimité ne peut être concu 
par augmentation continue, on est arrivé peu à peu à croire que 
l'on parlait ainsi d'une espèce d'ordre réel de grandeur , alors 
cependant que cet ordre est complètement inintelligible. 

54. Des définitions de Cauchy et Poinsot. 

Lorsque l'on emploie avec prudence les définitions de ces sa- 
vants, l'établissement des prinéipes fondamentaux du calcul 
différentiel est moins irrationnel ; mais la promptitude, principal 
avantage du caleul infinitésimal, disparait en même temps. 

Le traité d'analyse de M. Cauchy démontre la vérité de cette 
observation ; plus récemment M. Duhamel a cherché aussi à 
rendre l'analyse infinitésimale plus rigoureuse. 

En lisant ces ouvrages , on s’apperçoit à chaque pas, par les 
soins que leurs auteurs mettent à faire usage des précautions les 
plus minutieuses de la théorie des limites, combien ils étaient con- 
vaincus de l'insuffisance logique de la méthode des infinis. Dès que 
la méthode infinitésimale cherche à devenir plus rigoureuse elle 
cesse d’être expéditive. 

Prenons au hasard un exemple très-simple à l'appui de cette 
dernière remarque. Lorsque cette méthode demande la différen- 
telle d’un are de courbe, on ne peut, comme le dit très-bien 
M. Cauchy, se contenter de dire que l'accroissement différentiel 
de l'are s étant sensiblement égal à sa corde, on a 


de =y dx + dy 


car il est INDISPENSABLE de démontrer que l'unité est la LIMITE du 
rapport d'un arc infiniment petit à sa corde. 

De telles entraves font perdre au calcul infinitésimal son extrême 
promptitude, et ne lui laissent sous ce rapport, aucun avan- 
tage sur les autres calculs. 

Et ne serait-il pas permis de conclure que de la part de 
MM. Cauchy et Poinsot, une telle défiance est la condamnation 
bien exvuicite du principe infinitésimal. 


employées pour l’établissement et le développement, etc. 187 


55. Les séries prouvent-elles l'existence des infinis ? 
On a prétendu, Jean Bernouilli le premier, que la série 


ravir 44 4 
not CE RE Au Ta Tr ete. 


a un dernier terme qui est infiniment petit. 

S'il en est ainsi, la somme des termes de cette progression est 
une quantité constante , et l’on se demande alors ce qu'est ce 
dernier terme qui, sans pouvoir diminuer, n'est pas nul. 

Leibnitz, lui-même, nia à Jean Bernouilli l'existence de ce der- 
nierterme, 

I! est aisé du reste d'établir que ce dernier terme n'existe pas. 
En effet la série proposée est équivalente à 1 ; on ne peut certes 
pas avoir la prétention de sommer le second membre (c'est-à- 
dire la série) qui obus la loi de génération de l’un des mem- 
bres de l'égalité : 


1 
dns le CANNES T2 ga ot EC: 


Le second membre s'approche indéfiniment du premier , qui 
est sa limite, sans qu’ainsi cette limite puisse jamais être atteinte. 

Leibnitz avec raison rejetait l'existence d’un dernier terme dans 
cette série décroissante, et cependant introduisait les infiniments 
petits dans le calcul : singulier exemple d’un haut génie, condam- 
nant lui-même les principes fondamentaux de son admirable dé- 
couverte, et démontrant même l'impossibilité des éléments hypo- 
thétiques dont il se sert. 


36. Le principe de continuilé iNriRME le point de vue  infinitési- 
mal. 

On entend par loi de continuité celle qui s'observe dans la généra- 
tion des lieux géométriques par Mouvemenr, et d’après laquelle par 
exemple, les points consécutifs d'une même ligne se succèdent sans 
aucun intervalle. 

Poisson, dans son traité de mécanique, s'exprime ainsi : 

« On est conduit à l’idée des infiniments petits lorsqu'on con- 
» sidère les variations successives d’une grandeur soumise à la loi 
» de continuité. Ainsi le temps croit par degrés moindre qu'au- 
» cun intervalle que lon puisse assigner, quelque petit qu'il 


188 À.-J.-N. Pique. — Examen des diverses méthodes 


* soit. Les espaces parcourus par les différents points d’un corps 
» croissent aussi par des infiniments petits, car chaque point ne 
peut aller d’un point à un autre, sans passer par toutes les positions 
intermédiaires ; et l’on ne saurait assigner aucune distance, 
aussi petite que l’on voudra, entre deux positions consécutives. 
» Les infiniments petits ont donc une existence réelle et ne sont 
» pas uniquement un moyen d'investigation imaginée par les 
» géomètre » 

Des idées si fausses existent encore, dans l'esprit de tant de 
personnes qui s'occupent de mathématiques, sur la continuité, 
qu'il faut bien que nous donnions à ce point quelque détail. 

AU POINT DE VUE MÉTAPHYSIQUE ; Voici la réponse péremptoire à ce 


passage de Poisson, si souvent cité et reproduit par les partisans 
de l'infini : 


» 


» 


Puisqu’entre deux positions consécutives, on ne peut assigner 
aucune distance, quelque degré de petitesse que conçoive du reste 
l'esprit , il estévident que ces deux points se touchent, et que par 
suite leur distance est nulle : le mouvement a lieu sans qu'il soit 
possible de concevoir aucun intervalle de temps ni de lieu. 

57. Au point de vue de la génération mécanique, considérons 
explicitement l'hypothèse si fausse de lexistence d'une distance 
infiniment petite entre deux positions successives d’un point dé- 
crivant une ligne courbe en vertu de forces déterminées et défi- 
nies. 

Personne ne contestera que le point décrit sa trajectoire sous 
l'action des mêmes forces et d’un mouvement continu, c’est-à-dire 
sans interruption ni changement dans sa loi, et que les circon- 
stances de ce mouvement sont identiques à quelqu’instant qu'on 
le considère. 

Suivant le principe, ci-dessus rappelé de Poisson, la trajectoire 
dégénère en un périmètre polygonal, suivant chacun des côtés du- 
quel la direction se conserve ; mais à l'extrémité d’un de ces 
éléments rectilignes du mouvement , il faudrait qu’une force qui 
était restée sans action pendant le temps nécessaire au parcours de 
cet élément, agit sur le point à l'instant précis de son passage par 
un sommet de la trajectoire, et qu'IMMÉDIATEMENT après celte force 
vint à CESSER D'AGIR. 

Ce n’est certes pas ainsi qu’il peut être permis, au point de vue 
d'une sAINE logique , de considérer l’action tnce: ante el GonNTINUE 
des forces qui produisent le mouvement ; par suite, aucune consé- 


u 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 189 
quence, tirée d'une pareille hypothèse, ne peut être RATIONNELLEMENT 
maintenue. 


On voit aussi par ces réflexions , que le calcul différentiel n'a 
pas pour vertu propre , comme le dit M. Cournot (Tome 1, 
page 422 de son Essai sur les principes fondamentaux de nos 
connaissances ei sur les caractères de la critique philosophique), 
DE SAISIR DIRECTEMENT LE FAIT DE LA CONTINUITÉ DANS LA VARIATION DES 
GRANDEURS. 


58. Au point de vue géométrique pur , voici la démonstration 
de l'impossibilité de l'infiniment petit. 
Soit (fig. 9), un triangle ABC, et, 


m,n 


deux points consécurirs de la base BC ; soient menées les diverses 
parallèles 


PQ, P'Q!, P'Q". 


à BC, ainsi que les droites Am et Am’. 


Puisque, d’après Poisson, la distance de deux points consécu- 
tifs de BC existe et est infiniment petite, il est incontestable que 
celte distance ne comporte entre ses extrémités aucune position du 
point générateur et que par suite mm’ est un éndivisible. 


On devrait donc avoir 


MM = Mae = MaM3) = MM 


ou 


MM: = MM, = MaM3 = 0 
Conséquences évidemment absurdes. 


99. Doctrine de Carnot sur la compensation nécessaire des 
erreurs infinitésimales. 


Carnot, géomètre célèbre du commencement de .ce siècle, a 
essayé d'établir le calcul des infinis sur des principes prétendue- 
ment plus solides. 

Résumons la théorie de Carnot. 


190 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Il appelle Équation imparfaite toute équation dont l'exactitude : 
rigoureuse n'est pas démontrée, mais dont on sait cependant que 
l'erreur, s’il en existe une, peut être supposée aussi petite que l’on 
veut, c’est-à-dire , telle que pour rendre cette équation exacte, 
il suffit de substituer aux quantités qui y entrent, ou seulement à 
quelques unes d’entr’elles, d’autres quantités qui en diffèrent in- 
finiment peu : ces substitutions étant faites, on peur négliger les 
quantités infiniment petites relativement aux quantités finies, et 
généralement les infiniments petits d'un ordre vis-à-vis des 
infiniments petits d'ordre inférieur ; ces équations ne cessent pas 
pour cela d’être imparfaites, et PEUVENT enfin devenir exactes par 
compensation d’erreurs. 

Carnot admet comme symptôme certain et invariable de cette 
compensation , l'élimination complète des diverses quantités 
infiniment petites : il est conduit à ce symptôme en remarquant 
que des erreurs infiniment petites pouvant seules, par le procédé 
suivi, s'introduire dans les équations, l'élimination de ces quantités 
infinitésimales rend exacte l'équation trouvée. 

60. Voici ce que nous répondrons à cette singulière manière de 
VOIr. 

Les divers procédés analytiques par lesquels on retourne des 
équations différentielles aux équations finies , conduisent à des 
équations que l’on peut démontrer exactes à l’aide d’autres con- 
ceplions ; il est par suite à présumer que la disparition des erreurs 
sans cesse produites, s'accomplit pendant le travail analytique ; 
mais on n’est nullement en droit pour cela de supposer que cette 
disparition se fait par COMPENSATION. 

De ce que l'élimination rend l’équation obtenue indépendante de 
toutes les quantités auxiliaires introduites, on ne peut pas conclure 
en thèse générale, que si les quantités infiniment petites intro- 
duites par chaque opération soit de différentiation, soit d’inté- 
gration, n'avaient pasété négligées, le résultat de l'élimination des 
auxiliaires serait encore le même ; il faut en un mot pour que l’on 
puisse affirmer que le résultat est bien l'équation finie cherchée, 
que l’élimination ait porlé sur TouTES ces quantités élrangères , 
dont une hypothèse toute gratuite ne peut annuler sans danger 
un certain nombre. 

A notre sens, nous osons même avouer, que la prétendue 
compensation d'erreurs de Carnot, donnerait l'erreur pour base 
au calcul différentiel, contrairement à la pensée de ce géomètre, 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 191 


D'ailleurs si l'équation imparfaite de Carnot est 


+ 


Ata— B+5 


æ et B étant des infiniment petits, et qu’elle ait dù fournir l'équa- 
tion 


A= B 


el faudrait savoir ce qu'elle deviendrait si L'ON NE NÉGLIGEAT RIEN 
Ne : s k ° N? 
ce qui exigerait que l’on eut, au préalable, démontré que 


A = B, ouquex — 8 


De tout ce qui précède, il nous est permis de conclure 1° que 
si, avec Leibnitz, on attribue à l'infini certaine valeur, on ruine 
l'exactitude des calculs transcendants qui deviennent ainsi des 
calculs d'approximation. 


2 Que si, en dehors de toute conception mathématique, on 
crée avec ces infinis, un nouvel ordre de grandeurs, on tombe 


dans les conséquences les plus absurdes et dans des paradoxes 
continuels. 


192 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


CHAPITRE IL. 


MÉTHODE DES PREMIÈRES ET DERNIÈRES RAISONS, 
ou 
MÉTHODE DES LIMITES. 


61. Newton fait reposer sa théorie des premières et dernières 
raisons (ou des limites) sur les considérations suivantes : 

Deux quantités variables quelconques qui peuvent se rapprocher 
continuellement l’une de l’autre, de manière que leur rapport 
diffère si peu que l’on veut de l'unité, sont dites avoir 


l'égalité pour dernière raison. 


Et la limite d’une quantité variant d’une manière continue 
est la valeur dont peuvent s'approcher indéfiniment et d'aussi 
près que l'on veut, les diverses valeurs particulières de cette 
variable. 

Ces dernières valeurs ou dernières raisons sont aussi appelées 
premières valeurs ou premières raisons des quantités primitives 
qui y correspondent , suivant que les variables sont regardées 
comme s'approchant ou s'éloignant des quantités fixes qui en sont 
les limites. 

Pour découvrir cette première ou dernière raison, Newton 
détermine d’abord le rapport d’accroissements quelconques ; il 
réduit ce rapport aux termes les plus simples, de manière qu'une 
partie au moins de chaque terme du rapport puisse être indépen- 
dante des valeurs des accroissements ; enfin supposant que ces 
accroissements diminuent jusqu’à disparaître; il découvre aisé- 
ment la limite. 

62. Avantage de ce concept. La facilité avec laquelle cette con- 
ception procède à l’établissement des équations, provient de ce 
que l’on n’opère pas directement sur les quantités auxiliaires intro- 
duites, mais bien sur les limites de leurs rapports, et qu'ainsi 


employées pour l'élablissement et le développement, etc. 193 


deux accroissements conjugués pourront toujours, pour plus de 
facilité, être remplacés par d’autres ayant avec eux des rapports 
ou des raisons convergentes vers l’unité. 

C'est cet emploi des limites des accroissements effectifs qui 
constitue l'avantage le plus précieux du caleul des limites. 

63. Défaut et insuffisance de la conception des limites. 

Si Ayet Ax sont les accroissements simultanés d’une fonction 
et de sa variable, le calcul des premières ou dernières raisons 
cherche la valeur du rapport 


Ây 
Az 
dont les deux termes convergent à la fois vers zéro , et deviennent 
simultanément nuls à la limite. 


Q , ? U , CP O 
Ce rapport des différences évanouissantes se réduit à — , et les 
0 


accroissements étant anéantis , il reste à comparer des quantités 
nulles : on conçoit toujours très-bien ce qu'est le rapport de deux 
quantités finies, mais on peut se demander si l'on comprend éga- 
lement bien un rapport dont les deux termes sont nuls à la fois, 
et n'est-il pas incontestable que s’astreindre à annuler les diffé- 
rentielles, c’est se résoudre à ne rien considérere — Une seule 
explication s’offre à l'esprit, e’est que tout rapport qui se présente 


(0) . [2 - La 
sous la forme Fe PEUT avoir une valeur déterminée. 


On a reproché à la théorie des limites de Newton, d'introduire 
d'abord des accroissements pour en déduire une relation qui est la 
partie constante de leur rapport , et pour détruire ensuite tout 
l'échafaudage , en supposant que ces accroissements  disparais- 
sent. 

L'analyse transcendante, considérée au point de vue actuel, 
donne l'équation : 


Ay_fG&@+Ax) —fz 
AVS x 


Désignant par f:x la partie évidemment constante de ce rapport, 
quelque soit Âx, et par fx la partie fonction de Ax, et facteur 
du même accroissement , il viendra : 


25 


194% A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Cette équation est vraie quel que soit Âx, mais il faut au moins 
que Âx existe, quelque peut qu'il soit d'ailleurs supposé. Il est 
certain que f, x est une limite dont s'approche indéfiniment 
Ay , A A A La 
ae à mesure que Âx décrit, limite qui ne peut jamais être 


atteinte, puisque pour cela Âx devrait disparaitre. 

On voit donc qu’en suivant les errements de Newton, l'on arrive 
à cette conséquence que les premières ou dernières raisons de ces 
accroissements n'existent pas. 

Or comme la disparition des accroissements , ou le passage à la 
limite, conduit à l’importante théorie des tangentes, nous pou- 
vons conclure que la théorie des limites est incapable d'expliquer ra- 
tionnellement ce qu'est la tangente en un point d'une courbe. 

64. On regarde, comme on sait la tangente en un point donné 
d’une courbe, comme la limite vers laquelle tend une sécante qui 
tournerait autour du point donné, de façon que son second point 
d'intersection avec la courbe se rapproche indéfiniment du pre- 
mier ; la tangente est donc la ligne de démarcation entre les di- 
rections qui coupent là courbe d’un côté du point de contact, et 
celles qui coupent la courbe de l'autre. 

Soient À yet À xles accroissements coordonnés pour un point 
de la courbe 


y = f(x) 
Ja sécante qui passe par les points 
(x, y) et (x + Ax,y + Ay) 
fait avec l'axe des X, un angle dont la tangente est 


_Ay 
Ax 


Passant à la limite, ou au cas de À x = 0% et À y = 0, on aura 
pour coefficient angulaire de la tangente , 


pen 


“h 


Mais pour le cas de la tangente les accroissements sont nuls, ou 
plutôt n'existent plus. 


employées pour l'étublissement et le développement, elc, 195 


Que signifie donc le rapport entre deux quantités qui n'existent 
pas ? Et l’insuffissance de la conception des limites n'est-elle pas 
manifeste, rien que par ce seul exemple ! 

Remarquons en passant qu’en faisant Ay—oet Ax = 0, il 
est impropre de se servir du mot limite pour désigner ce que de- 
vient l’expression générale du rapport de ces accroissements, 
qui pouvant avoir lieu en sens contraire seraient ainsi ne- 
gatfs. 

65. Ici se présente naturellement la question : 

Dans la méthode des limites qu’esi-ce qu'une différentielle. 

Nous avons posé plus haut : 


Ay= Auf, x + Dr f, (x +) 


Le second membre se compose de deux parties, dont la se- 
conde décroit indéfiniment par rapport à la première, à mesure 
que Àx s'approche de zéro. 

Appelons donc différentielle la partie isolée. 


fx + Ax 


La notation de Leibnitz pourra même être appliquée à cette 
quantité, et satisfaire au point de vue de la rigueur. 

66. Mais au point de vue des applications, la méthode des li- 
mites est surtout insuffisante en ce qu’elle ne peut expliquer certains 
faits dont la connaissance est cependant indispensable ; nous 
venons de voir entr’autres que la notion de Ja continuation du mou- 
vement du point générateur d’une courbe suivant la tangente (notion 
fondamendale cependant), ne peut être acquise par le concept 
des premières ou dernières raisons. 

Eu égard à la rapidité de la mise en équation, la méthode des 
limites n’a pas les mêmes avantages que la méthode infinitésimale. 
La cause de cette infériorité est l'impossibilité où se trouve cette 
théorie de séparer, comme se le permet le calcul des infinis, les 
quantités infiniment petites l’une de FPautre; la liaison de ces 
quantités entrave singulièrement l'élimination de ces auxiliaires. 


196 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses methodes 


\ 


CHAPITRE IIT. 


THÉORIE DES FLUXIONS. 


67. Newton exposa aussi son analyse sous une forme beaucoup 
plus philosophique, et toute différente du système des premières 
et des dernières raisons. 

Cette conception encore adoptée aujourd’hui , en Angleterre, 
pour l'exposition de l'analyse transcendante , doit être examinée 
ici avec soin au point de vue de sa correspondance philosophique 
avec la méthode de M. Lamarle. 

Newton partant de l’idée générale de vitesse, considère : 

Une courbe comme produite par un point donné d’un mouvement 
qui varie d'après une loi quelconque et donnée ; de même il conçoit 
les surfaces engendrées par le mouvement des lignes, les solides 
par le mouvement des surfaces, et les angles par la rotation de 
leurs côtés. 

Les diverses quantités ayant avec la courbe une liaison intime, 
l'abscisse, l’ordonné, l’are, la soustangente , la normale, le rayon 
de courbure, et en général les diverses grandeurs inhérentes à celle 
produite par le mouvement sont considérées comme engendrées 
continument, par degrés successifs , pendant le mouvement. 

Les grandeurs ainsi engendrées prennent le nom de variable 
ou de fluente, et l’on appelle fuxion la vitesse avec laquelle chacune 
d’elles est décrite. 

La fluxion en un instant donné du mouvement est donc tou- 
jours mesurée par la quantité dont s’accroitrait la fluente, dans un 
temps donné, si la vitesse de génération conservait la valeur 
acquise à l'instant considéré, c’est-à-dire si le mouvement imprimé 
était supposé permanent à parür du point donné. 

On doit donc, dans le nouveau système de Newton, procéder 
d’abord à la miseen équation entre les fluxions des quantités de 
la question, pour remonter par un calcul convenable aux équa- 
tions cherchées entre les fluentes elles-mêmes. 

68. La conception fluxionnelle n’introduit dans le calcul que des 


employees pour l'établissement et le developpement , etc. 197 


quantités finies, qui sont les vitesses du point générateur aux 
différentes époques de son mouvement. 

On peut regarder à leur tour les fluxions des coordonnées 
comme les coorponnéEs d’une nouvelle courbe, dont les coordon- 
nées FLUENTES ont aussi leurs fluxions qui sont du second ordre par 
rapport aux premières. 

De mème il y a des fluxions du 5°et 4° ordre, et ainsi de 
suite..….; et dans ces divers ordres , les fluxions sont toujours des 
quantités finies. 

69. Identité générale du concept fluxionnel et de celui des 
limites. 

Si dans une courbe on suppose, comme cela est évidemment 
permis , que le mouvement est uniforme suivant l’abscisse, il 
est clair que la fluxion de l’abscisse sera constante, et que celles 
des autres éléments de la courbe seront variables, puisque le point 
décrivant les fluentes rectilignes ne pourrait donner lieu à des 
fluxions constantes, qu’autant que le lieu définitif décrit fut une 
ligne droite. 

D'après cela, de toutes les fluentes autres que l’abscisse. le 
mouvement devra être considéré pendant un temps variable, 
décroissant indéfiniment et tendant vers zéro, pour que ce mou- 
vement puisse être considéré comme uniforme ; or la vitesse ayant 
pour mesure le rapport de l’espace décrit au temps affecté à cette 
description (temps proportionnel à l'accroissement de l’abscisse), 
on est ramené à chercher la limite des rapports des accroissements 
des diverses fluentes à celui de l’abscisse. 

70. Insuffisance du principe des fluxions. 

On a souvent rapproché à cette conception de faire intervenir la 
notion du mouvement. Îl est vrai que l’idée de vitesse, quoique 
très-simple , devrait rester étrangère à l'exposition de l'analyse 
transcendante : lorsqu'il s'agit de grandeurs qui varient avec le 
temps , la théorie ces fluxions donne Ja signification réelle des 
fonctions dérivées, dont l'importance et l’usage sont mis par cela 
même en évidence ; mais lorsqu'il s’agit de recherches purement 
analytiques celte seconde théorie de Newton est loin de venir en 
aide : elle est au contraire un obstacle sérieux. 

D'ailleurs on doit reconnaître que jusqu’aujourd'hui l’on n'avait 
pas une idée bien satisfaisante et complète de ce que l’on entend 
par vitesse d’un point , lorsque cette vitesse est variable. Selon 
nous, M. Lamarle a donné, le premier, la vraie définition générale 
et rationnelle de cet élément ; nous reviendrons sur ce point. 


198 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


71. Notation fluxionnelle. 

La notation des fluxions consiste à surmonter d'un point (+) la 
fluente dont on veut indiquer la fluxion. Ainsi si l’on veut indi- 
quer les fluxions des quantités x, y, on écrira 


x ety 
De même 
z et y ; x et y, etc. 
sont les fluxions du 2°, 5°, ete, ordre, 
Il faut bien avouer que cette notation est absolument arbitraire, 
insignifiante et qu’elle ne peut être comparée au d LEIBNITZEN. 


CHAPITRE IV. 


ConcePT pe LAGRANGE. 


72. Newton, dans le second livre de ses Principes, cherchant la 
loi de la résistance nécessaire pour qu'un corps pesant, lancé dans 
un milieu, décrive une courbe donnée, eut recours à la considération 
des séries ; il abandonna du reste cette solution, infirmée par 
Jean Bernouilli à l’aide de l'analyse infinitésimale, et démontrée 
fausse par Nicolas Bernouilli (neveu). 

Newton, délaissant la méthode des séries, reprit ce problème, 
et en présenta une solution différente en suivant une marche ana- 
logue à celle du calcul différentiel. 

Lagrange, revenant à l’idée des séries, crut que l’on pouvait en 
déduire une exposition purement algébrique de l'analyse transcen- 
dante. Il reprit la première solution de Newton, en fit ressorur 
l'erreur , discuta et anéantit la réfutation de Nicolas Bernouilli , et, 
corrigeant cette erreur qui n'est pas dans l'esprit de la méthode, 
il parvint à donner la rigueur désirable au procédé employé une 
seule fois par Newton. 

73. Donnant à cette première idée toute l'extension possible, à 
Paide d’un grand génie et d’une puissance analytique extraordinaire, 
Lagrange considère, d'une manière générale le développement d'une 
fonction d'une variable à laquelle est attribué un accroissement. 


/ 


employées pour l'établissement el le développement, elc. 199 


Soit f (x) une fonction de la variable x ; donnant à x l’accrois- 
sement # quelconque elle devient 


f@&+i 
peut se développer en une série procédant suivant les puissances 
croissantes entières et positives de £, et dont les coefficients des 
diverses puissances de l'accroissement sont des fonctions de x, 
ayant avec la fonction primitive une loi de déduction facile à 
distinguer et à établir, 

Ces coeflicients sont les dérivées successives de f (x), et leur 
ordre est égal au degré de la puissance de : à laquelle ils appar- 
tiennent dans f (x + à). 

Lagrange emploie ainsi dans la démonstration du théorème 
fondamental de sa nouvelle théorie, la méthode des coefficients à 
déterminer : il apporte toutefois et avec raison un soin minutieux à 
établir à priori la possibilité d’un tel développement, dont la 
forme cesse dés lors d’être! une hypothèse. Il démontre pour cela 
que 

1° La fonction algébrique , EN LAISSANT À % TOUTE SA GÉNÉRALITÉ , 
ne peut renfermer de puissances FRACTIONNAIRES de 1; et voici à cet 
égard et en peu de mots son raisonnement : 

Supposons que f (x + i) puisse contenir un terme de la forme 


m D 


u-i2 , OU, w im 


IL est incontestable que les radicaux qui sont dans f (x), se 
présentent tous avec les mêmes indices dans f(x + i) et que par 
suite f (x + ti) doivent avoir le même nombre n de valeurs 
différentes ; mais / (x + :) devant, pour à — 0, se réduire à fx) 
qui est ainsi Île premier terme du développement def (x + à), 
chaque valeur de f (x) pourrait se combiner avec chacune des n 


valeurs de 
n 
Vin 


Il s'en suivrait que f (x) et f (x + t) n'auraient plus le même 
nombre de valeurs différentes. 

2° f (x+-1) ne peut contenir de puissances négatives de à. 

En effet si le terme 


r 


gm 


pouvait exister dans ce développement, f(x+i) deviendrait 


— 


200 A-J.-N. Paque. — Examen des diverses methodes 


œ pour à — 0, et commef (x Li) se réduirait alors à fx, il 
faudrait aussi que f (x) devint œ ce qui ne pourrait se présenter 
que par suite d’une valeur particulière attribuée à x. 

Lagrange établit alors la loi de formation des coeficients des 
diverses puissances entières et positives de à, et démontre la 
formule 


a 


L@+D= fe Hife + fat 


0 


1-2.5 


FORCES NRC 


7%. Cette propriété analytique fondamentale suppose que les 
radicaux de f(x) se présentent dans f (x +1) avec les mêmes 
indices, ce qui exige, aVons-nous vu, que x et à soient quelconques 
pour conserver ainsi la généralité la plus complète; sil n’en 
était pas ainsi, le théorème fondamental pourrait être en défaut, 
puisque des radicaux présents dans f(x) pourraient ne pas exister 
dans f(x + ti), ou inversement. 

75. Dans le développement de f(x <- à) les dérivées successives 
sont déduites l’une de l’autre par un procédé uniforme, et de la 
même manière que fx l’est de fx. 

On peut done choisir ces dérivées successives comme des auxi- 
liaires de calcul, dont la dérivation est le puissant arüfice. 

76. Insuffisance dela conception des dérivations. 

La théorie des dérivées de Lagrange laisse à désirer au point de 
vue trop absolu qui domine l’exposition de son théorème principal, 
qui semble ne pas tenir compte de l’état possible de non conver- 
gence du développement général en série : du reste cette obser- 
vation n’accuse pas un vice radical de la méthode et n’est pas de 
nature à détruire la théorie des dérivations dont un exposé plus 
complet et plus abstrait pourrait, pensons - nous , satisfaire à 
cette exigence théorique. 

La conception purement analytique de Lagrange, s'applique 
avec élégance et rigueur à toutes les questions analytiques ; mais 
elle est complètement insuflisante pour les applications dont le 
cachet n’est pas spécialement abstrait ; et l’on ne s’étonnera pas de 
l'impuissance pratique de cette méthode si l’on fait bien attention 
qu'il ne suffit pas de saisir la dépendance mutuelle analytique de 
fx etfx et des diverses dérivées en général, mais qu'il faut encore 
pouvoir découvrir la signification de cette correspondance, afin 
que, dans chaque cas où le caractère analytique ne domine plus, 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 201 


l’on ait un instrument d'exploration certain et rapide, s'appliquant 
sans difficulté à chaque espèce de question. 

En un mot Lagrange considère les propriétés des termes de 
f(x +i); mais il ne recherche pas la raison d’être de chacune 
de ces propriétés, et c’est ce qui à fait dire à un esprit supérieur 
(Bordas-Dumoulin | CARTÉSIANISME) : 

« Lagrange prétend avoir dégagé le calcul différentiel de la 
» considération de l'infini, maïs il serait plus juste de dire qu’il a 
» détruit celte admirable analyse. On ne peut connaître les pro- 
» priétés des fonctions dérivées qu'autant que l’on considère lin- 
» fini; Cest seulement ainsi qu’on peut savoir ce que représente 
» la fonction prime dans une courbe, ou dans le mouvement accé— 
léré. — Lagrange réduisait ainsi les principes du ealeul différen- 
tiel à un grossier mécanisme algébrique ou numérique. » 
Toutefois ce critique ajoute : 

« Les dérivées ont conduit Lagrange à étudier les fonctions 
» en elles-mêmes, indépendamment de toute application, ce qui 
» n'avait point été fait avant lui comme théorie expresse, » 

77. De ce rapide et succint examen il nous paraît ressortir que la 
conception des dérivations ne s’approprie pas à la destination gé- 
nérale de l'analyse transcendante, et que par ses nouvelles quan- 
tités auxiliaires elle entrave singulièrement le passage du concret 
à l’abstrait, et ne facilite pas la mise en équation des lois ma- 
thématiques des phénomènes. 


y 


LL 


26 


202 A.-J.-N. Pique. — Examen dis diverses méthodes 


CHAPITRE V 


COMPARAISON ET RAPPROCHEMENT DES TROIS GRANDES CONCEPTIONS. 


78. Connexion générale de ces concepts. 


Après avoir indiqué très-sommairement quels sont les principes 
fondamentaux de chacune des trois grandes conceptions bien dis- 
tinctes examinées précédemment, jetons un coup d'œil général sur 
les rapports qu’elles ont entr'elles, cherchons à apprécier leurs 
degrés respectifs de fécondité pratique , pour décider ensuite eelle 
qui réunit le plus d'avantages au point de vue de son apütude 
générale à l’établissement des équations. 

79. L'étude mathématique des phénomènes d'un ordre ou de 
l'autre, ne pouvant en général être faite d'une manière directe et 
immédiate , on a recours, pour l'expression de la loi de continuité 
dans la variation des grandeurs, à certains auxiliaires ou quan- 
tités secondaires ; c’est ainsi que l’on a des équations différentielles, 
des équations limiles, et des équations dérivées. | 

Un point très important à établir ici c'est que si les di- 
verses conceptions considérent ces auxiliaires sous des points de 
vues très-différents, il y a identité absolue entre ces quantités secon- 
daires de l'un et de l'autre système. 

Dans la méthode des limites les grandeurs dont on étudie la 
continuité sont supposées passer immédiatement d’une valeur à 
une autre ; on resserre ensuite l'intervalle de ces deux états ar- 
bitraires et auxiliaires, et puis, considérant dans ces variations les 
limites vers lesquelles tendent continüment ces grandeurs lorsque 
cet intervalle tend par décroissement continu à s'anéantir, on 
parvient le plus souvent après un long détour, au résultat que le 
calcul infinitésimal donne directement par l’évanouissement des 
infiniments petits d'ordre supérieur. 

Cette seule réflexion fait prévoir quelle doit être la supério- 
rité, quant à la rapidité des applications, de la méthode infinitési- 
male. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 203 


Relativement aux fonctions dérivées (celle du premier ordre 
par exemple), du développement taylorien 


[ + = fr + res 3 l'a + ct. 


on déduit quelque soit z : 


f'x = pat ÉtAL UE f (x + i) x 
( 

Et à tendant vers 0, ilest clair que f’ (x) devient la limite vers 
laquelle converge le rapport de l'accroissement d’une fonction à 
celui de sa variable. ; 

f'æ, au point de vue différentiel n’est même que le rapport de la 
différentielle de la fonction à celle de la variable, et l’on sait que 
le calcul infinitésimal, pour former la différentielle première d’une 
fonction, ne prend de l'expression générale de l'accroissement de 
la fonction, que le terme qui ne renferme que la première puis - 
sance de l’accroissement infiniment petit de la variable. 


dy ch 
Concluons donc que le leibnitzien, le L pre newionnien , et le 


f(x) analytique de Lagrange, sont une seule et même chose, une 
seule et même fonction auxiliaire, dont l’appréciation spéciale et 
fondamentale caractérise les trois grandes conceptions qui se 
partagent l'exposition de l'analyse transcendante. 

80. Inconvénients essentiels des trois méthodes. 

Quant à la méthode infinitésimale nous avons établi suffisam- 
ment croyons-nous, lirrationalité de son princique fondamental, 
ainsi que l’absurdité de l’équation 


Lo fa + dr Kaf'o 
dx 


dans laquelle dx n’est pas seul, bien qu'étant infiniment petit. 

81. Quant à la méthode fuxionnelle ; il y a d’abord à remar- 
quer que Newton doit poser dr = 0, pour faire disparaître le 
terme K-dx de l'équation 


dy y à ! 
Fou = fx + K dx —f'x 


obtenue à l’aide de considérations de mouvement. 


204 À.-J.-N. Paoure. — Exumen des diverses méthodes 


Or malgré tout ce que l’on pourra dire, toujours est-il que 
Newton cherche ce qui se passe entre dy et dx alors que ces 
quantités cessent d'exister. 

De plus la définition de la vitesse ne permet pas de comprendre 
le mouvement continüment accéléré ou retardé, sans concevoir le 
temps et l’espace décomposés en une suite d'éléments indivisibles ; 
ce qui est logiquement impossible. 

On comprend donc que la théorie fluxionnelle péche par sa 
base en cet endroit, et qu’au fond des choses cette idée de mou- 
vement basée sur la fausse définition de la vitesse , fait retomber 
Maclaurin et Newton dans le principe infinitésimal. 

Du reste et indépendamment de ce reproche , la génération 
par mouvement des grandeurs quelconques présente souvent des: 
difficultés très-grandes , et le passage du concret à l'abstrait est 
rendu par cela même ou impossible, ou trop difficile et presque: 
toujours très-long. 

Newton et Maclaurin eussent sans doute saisi la clef de ce 
passage , s'ils n'avaient été sous l'influence encore persistante 
aujourd'hui d’une fausse notion et définition de la vitesse. 
Newton avait cependant compris que dans le mouvement varié la 
vitesse est MESURÉE en un instant donné par l'espace qui serait 
décrit pendant l’unité de temps, si le mouvement PERSISTAIT 
dans l’état qui le caractérise à cet instant ; mais n’établissant pas de 
celte notion précise la correspondance analytique, Newton laissa 
sa méthode impuissante ; et c'est en saisissant , en maintenant et 
en coordonnant cette correspondance, que monsieur Lamarle fut 
conduit à sa nouvelle conception. 

Comme théorie, la méthode fluxionnelle doit donc être rejetée, 
et la pratique souffre beaucoup des longueurs qu’entraine son 
adoption. 

82. Quant à la méthode des dérivées, dont nous avons ex- 
posé le raisonnement qui en établit la base, elle est rigoureuse ; 
elle fait connaître le lien analytique des diverses dérivées, mais 
sans découvrir le sens de cette dépendance : en un mot elle 
recueille l’effet, et sans s'inquiéter de la cause qui l'a produit, 
elle ne considère que des aceroissements effectifs. 

D'ailleurs, il est à remarquer qu’en considérant ainsi 
ces accroissements effectifs, Lagrange réalise une suite dis- 
continue d'états, variables brusquement de l’un à l’autre, ce 
qui permettrait même en toute rigueur d'affirmer que la théorie 
de Lagrange est la négalion du principe de continuité. 


employées pour l'établissement et le développement, ete. 205 


Qu'on ne s'étonne pas dès lors de l'impuissance pratique de 
celte conception, qui est du reste d’une exposition assez difficile 
et longue, comprenant des développements compliqués et sub- 
tils. 

85. Nous avons vu les avantages et les défauts principaux de 
chacune des trois grandes conceptions de Leibnitz, de Newton, 
de Lagrange ; et c’est précisément leur insuffisance au point de 
vue rationnel , ou la difficulté plus ou moins grande de leur 
appropriation pratique, qui laissent tantôt à l’une tantôt à l’autre, 
la supériorité dans un ordre déterminé de spéculations. 

Cette espèce d'incertitude, dans le choix à faire parmi ces mé- 
thodes, est la conséquence forcée des vices de chacune, et con- 
duit à employer celle de ces méthodes qui se prête avec le plus 
de rigueur et de facilité à l'exposition de chaque question en 
particulier. Il en résulte dans l’état actuel de la science un étrange 
amalgame des trois méthodes, et l'absence complète de toute 
doctrine ; et c'est sans doute, quant à l'exposition des calculs supé- 
rieurs, à cette fusion bizarre illogique et irrationnelle, que l’on 
doit attribuer cette espèce de complaisance avec laquelle certains 
esprits ont accueilli des théories aussi monstrueuses que celle 
des infinis. 


SECONDE PARTIE. 


SECTION IT. 


ConcEePTION DE M, Lamarze. 


Nous croyons avoir suffisamment établi . par ce qui précède, 
la nécessité, aux points de vue scientifique et pratique, d’une 
conceplion rigoureuse, inatlaquable dans ses principes fondamen- 
taux, établissant À prior les circonstances diverses et générales 
qui peuvent se présenter dans la variation d’une fonction, et pos- 
sédant AU MoINs au même degré la promptilude et la facilité qui 
caractérisent dans les applications, le calcul infinitésimal. 

Cette conception est celle de M. Lamarle, et nous allons 
essayer d'en résumer les points prineipaux, de manière toutefois 
à permettre d’en saisir complètement l'esprit et le mode général 
et uniforme des applications. 


CHAPITRE L. 


EXAMEN À PRIORI DES DIVERS ÉTATS QUE PEUT PRÉSENTER LE RAPPORT. 


fe D) fr 
h: 


84. Conditions préliminaires. 


Soit la fonction y —f(x), et désignons par x, et x, les va- 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 207 


leurs particulières de x dont l'intervalle est parcouru par x d’une 
manière CONTINUE. 

Parmi les diverses espèces de fonctions il y en a un grand 
nombre présentant, pour une même valeur de la variable, plusieurs 
valeurs différentes ; nous ne considérons que l’un des systèmes 
ainsi possibles, système supposé coNTINU pour toute valeur de x 
comprise entre æ et%, et dans toute l'étendue duquel y a 
toujours uNE valeur unique, réelle et déterminée, c’est-à-dire 
ATTEINTE par la fonction. 

Il est essentiel et tout à fait important de ne pas confondre ces 
valeurs réelles, effectives d’une fonction avec les limites vers 
lesquelles peuvent converger ces mêmes fonctions pour certaines 
valeurs particulières de la variable. 

85. Pour écarter toute complication prématurée, il est néces- 
saire de remarquer que y peut ne pas être constamment crois- 
sante ou constamment décroissante dans l'intervalle Xp — Lo ; (A 
fonction peut en effet passer par un certain nombre de valeurs 
maximum ou minimum ; mais si l’on considère l'intervalle 9 —% 
SUFFISAMMENT RESTREINT , (OR peut évidemment dire que y pen- 
dant cet intervalle croît ou décroil continüument. | 

Les circonstances que nous aurons à analyser impliquent des 
résultats identiques , que la fonctionisoit croissante , ou dé- 
croissante ; nous étudierons de préférence le cas de croissance. 

86. En donnant à x l'accroissement k, représentons par Ay 


et x les accroissements simultanés de la fonction et de sa va 
riable, 


AY Le 
Le rapport Fe est en général une fonction de x et de À ; quant 
x 


à sa nature, on peut faire et l’on doit examiner les trois hypothèses: 


LL == C Constante absolue (Indépendant de x et h) 
A 

mer p x (Indépendant de h) 
Ax 
Ay 


9° re = Y h (Indépendant de x 


208 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


87. Premier cas ÀAy C 
Âx 


 6 
TuéorÈne. LL. Le rapport u ne peut êlre constant pour un 
œ 


intervalle quelconque quels que soient x et h, que si y estune fonc- 
tion linéaire de la forme. 


y 0x + 0 
Démonstration. {n a par hypothèse 


Ay 


un C, où, f(x + h) — fx) = Ch 


Et 
flx+h) = fx + Ch 


Changeant x en À et inversement, ce qui est possible puisque 
nulle modification n’est ainsi introduite dans le premier membre, 
on aura : 


fx + Ch = fre + Cr 


ou 


Représentant par C’ la nouvelle constante fh — Ch, on aurait 
done 


fe — Cx =, 


fx = Cx + C' 
C'est-à-dire que fx est une fonction linéaire. 
88. Taéorème Il. Réciproquement, pour toute fonction 
linéaire, 


y = Cx + C 


, AY 
et pour un intervalle quelconque, le rapport NE est constant. 
x 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 209 


Démonstration. De y = Cx—+ C/, on déduit : 


y + Ay= Cx+C-Azx+C 


Et par suite : 


89. Tnéorëne HI. Lorsque les accroissements de deux fonctions 
d’une même variable x sont égaux, pour toute l'étendue d’un même 
intervalle quelconque Âx, la différence des fonctions est conNsranTE 
ou NULLE dans toute l'étendue de cet intervalle. 

Démonstration. fx et Fx étant ces fonctions, l’on donne 


fe + 0 — fe = F(x+ 4) —F (x) 
D'où 
f(x+h)—F(œ+h) = fe — Fx 


Ici encore le premier membre restant identique par le change- 
ment dex en k, et de h en x, on aura 


fx — Fx =fh —Fh 
Ce qui prouve qu'en effet la différence des fonctions est 


constante. 


à Ayis | 
G0. Deuxtème cas. ( Le est indépendant de h). 
x 


 
TuéorèmMe IV. Le rapport ne peut, pour tout intervalle, être 
x 


indépendant de h, à moins qu’il ne le soit aussi de x, où en d’au- 
tres termes & moins qu’il ne soit constant. 


Démonstration. Désignant par 
C—= px 
le rapport, on a 


JET EN LU PERS ANR 


210 A.-J. Paque. — Examen des diverses methodes 


Changeons æ en x + h, il viendra en remarquant que œ (x) 
change nécessairement 


f& + 2h)—f(œ+h) =Ch . . . 
Par addition de (1) et(2), on aura 
f@ + 2h) — fx = (G + Ch 


Or, si dans l'expression primitive du rapport on remplace h 
par 2, il viendra : 


fl + 2h) — f(x) = 2Ch 


D'où 


€ étant, ou pouvant par uyroTHèse, être fonction de x, fourni- 
rait, par le changement qui y a été fait de x en x + h, une fonc- 
tion de » ; C, dépend donc de k, et l'égalité C, = C montre clai- 
rement que 

C, ne peut d’une part dépendre de h, et d'autre part que Gne 
peut dépendre de x. 


Par suite C devrait être constant. 


AY 
91. Troisième cas = est indépendant dex). 


THÉORÈME V. . ne peut être indépendant de x, sans l'être 


x 
en même temps de h. 


C étant fonction de h seulement, on a toujours, 
f(œ+h) — fx = Ch 


Premièrement : Divisons l'accroissement À en un nombre 
entier m#m d'accroissements partiels représentés chacun par ,, 
et soit C, la valeur que prend CG lorsque À est remplacée par », ; 
en remarquant que C, est indépendant de x, et constant pen- 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 211 


dant tout l'intervalle À parcouru à l’aide de h , il viendra. suc- 
cessivement 


f@+h)—fx= Ch 


fx +2h)— fa +h)=cC, h 


N, 
f(x + 5h,) — f(x + 2h,) =, À, 
fG +4) —{((@+r 14) = C, k 
D'où par addition : 
fe + 4) — Ka) = mc, à, 
La combinaison de cette équation avec celle de départ 
fe + 1) — fx) = Ch 
donne 
mChk = Ch 
D'où 
CDI 
Secondement. Supposons que # = nh,, h' étant une valeur 


possible de h, c’est-à-dire soumise aux conditions générales aux- 
quelles obéit l’accroissement », et n un nombre entier, il est clai 
que de même que l’on vient de voir, l’on aura encore : 


{fx E nh) — fx = nCh, = Ch 


Et conme CC, = C. 


fe +") — fx) = Ch 


219 À.-J.-N. Paouz. — Examen des diverses méthodes 
Mais si dans 


Le + 7) — fe) = Ch 


l'on remplace À par h', on aura en désignant par C' la valeur que 
prend alors C (qui est une fonction de k) 


? 
fe + h) — fx = CR 
Cette équation combinée à la précédente donne : 


L = 0 


fe +) — fe _ fe 4h) — fr 
h h! 


C est donc une constante absolue pour tout accroissement 
commensurable avec k ; et comme la fonction est continue, cette 
même conséquence existe encore pour le cas de l'incommensura- 
bilité entre R et #’, 

92. Réserve étant faite du cas des fonctions linéaires , il est 
done permis de conclure sous forme de 


AY, 
TaéorÈèME GÉNÉRAL : Le rapport - est une fonction de x et 
x 
de R, 


93: La question qui fait l'objet de ce chapitre est la suivante : 
TA 
Que devient Fe 


lorsque Âx = h converge vers zéro ? 
X ; 


C'est l'étude de la variation de 2 qui donne lieu aux propfié- 


x 
tés suivantes : 


94. Leuue I. Pour des valeurs quelconques et particulières de x 


y ù 
et de h, le rapport pe affecte toujours une valeur unique, réelle 
65 


el déterminée. 


C'est là une conséquence immédiate des hypothèses, générales ct 
toujours possibles, faites au début sur la nature d'une fonction. 


employées pour l'établissement et le développement, elc. 215 


| A 
95. Leuue II. Le rapport _ est continu relativement à cha- 
œ 


cune des quantités x et h. 

Démonstration. Soit à < h, à tendant de même que h vers zero ; 
dans l'expression du rapport changeons x en æi, puis h en h+1, 
afin de traiter simultanément les quantités æ et h ; 1l viendra : 


CE a Pr A nm mn PC Dr 
NAME k 


Et de même : 


JeFRTI) Se) fat) pe hf) hf) (hf +2) + (4 (c) 
k+i NOTE R(R+i) 


ou encore 


A — —— 
— ——————————————————_— — 


(8) Fœ+h+i)—fx) Hz+h)—f(e+h(—fx) Jethki)—fla+h) à Je+hf(e) f(x) 
h+i k h+i hi DU 
Les seconds membres des relations (&) et (6) convergent évi- 
demment vers zéro, avec 1; done 
À 
_ est une fonction CONTINUE de x et de h. 
x 


96. Pour une valeur particulière de x (A tendant vers zéro), y à 


en Ay 
lieu de considérer le rapport -7 comine, pouvant dans ses va- 


Âx 
ation ; 
1° Croître indéfiniment. 
2° Converger vers une limite constante. 
9° Oscilier sans fin entre plusieurs limites constantes. 
4° Converger vers une limite dépendante de x et variable avec 
celte quantité. 


97. Tuéorème VI. I n'est aucun intervalle dans toute l'étendue du- 
Ayo ne 
quel le rapport —-puisse croitre indéfiniment, h convergeant vers 
Ax 
zéro. 


Démonstration. Désignons par x, et æ, les limites de lin- 
tervalle Âx, et par x, une valeur intermédiaire pour laquelle on 


214 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses methodes 


considère une valeur ». de À, assez petite pour que =} croissant 


Ax 
toujours à mesure que À diminue, on puisse avoir (K étant une 
quantité qui peut devenir aussi grande que l’on veut) 


f(æ. nr Lie }— fre 


he + 


2 Ây û ge 
D'ailleurs , le rapport —= correspondant à l'intervalle, — æ, 
Az 
étant réel et délerminé, on a eu soin de faire en sorte que 


Â(L» f(x.) 


Xp — Y%, 


K > 


Prenons successivement des quantités k,, k,, h,...... h,_4, ha, 
telles que 


*, an h, TT L, 
x, +h =, 
x, +h =x, 


Lin + hs = di 
ln Lh ds 
Ces quantités étant assez petites pour qu'à l’aide de ces ac- 


croissements successivement introduits dans les termes du rap- 
AN 


port ii on ait : 
x 
fæ, +7,) — fx) > Ke, 
fe, + h) —j@) > Ki, 


fe + nn) — fan) > Ki 
fem) — fl) > Ka 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 215 


D'où par addition 
(Enr) — fm)>KG,+h +h, Lo... LR) 


Mais on a aussi : 


Lui = h, + h Hh + cos. hs + x, 
Et si l’on suppose, ce qui est évidemment permis, 


On aura : 


nn LOU RD: D 


D'où, après substitution , 


Km) — fx) > Ka — x) 


el 


Moon X, 


Ce résultat et l'hypothèse étant contradictoires, l'hypothèse est 
inadmissible. 


. 98. THéorËÈmE VIT. I n'est aucun intervalle dans toule l'étendue 
duquel le rapport ee puisse converger toujours vers une même 
x 


limite G constante, pendant que h décroit indéfiniment. 

Démonstration. En laissant à (x,, æ,), (x, he), (x, h,), 
(&,, h;)-eeee (X%n, Mn )les mêmes définitions que dans le théo- 
rème précédent, représentons par y une quantité arbitraire que l’on 
peut prendre aussi petite que lon veut, et par x, , 4,:##.° °°, 
des quantités plus petites que 7 et qu'il faut ajouter respective- 


ment à C pour exprimer la convergence de —] vers C, à mesure 


XL 
que k tend vers zéro. 


916 A-J,.-N. Pique. — Examen des diverses méthodes 


On aura en général, 


Î(Te Pa he )— fre 


—) € + #4, 
ha 


ou 
fre +h)—f(&)= Ch, +ht 
On a de plus 


: nie 
AA Et 


s,+h,=r 


x, += ty 
D'où par addition 
uk =h +Hh He... LR, 
ou 
Xp —X=h +h +... + h 


Particulièrement, pour chacun de ces aceroissements succescifs, 
on aura : : 


(x, se h,) FT fx, Er Ch, 7 h, 4, 
fx +2) — f(x, +h,) =Ch, + k, s, 


La, +h)— fa, +4)= Ch, +, #, 


Î&n + An) GE [n ) ca Ch, +, Hn 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 217 
Additionnant membre à membre, il viendra : 
fran) fe = Ch, LA, He Mn) ER, 1, eee a 
ou 
fer — fx, = Cr — 2) + nl +es...,..,. Lhr 


On a supposé que chacune des quantités 4, #, °°... y est plus 
petite que x , donc 


fe CG x) LR + h, Hocceee Lin )4 


ou 
fÆ» Hu fx, << (® (Xp nr) a (CS TE) 5) 4 
D'où 
(Ty an 0) < € ee y 
Épre X, 


Et si l'on veut rétablir l'égalité à laide d’un coëfficient de 
réduction g < 1, il viendra : 


D'ailleurs comme Îes quantités 


LÉ nt Le ai et G 


There %, 


sont l’une et l'autre constantes, cette équation exige que l'on 
ait, 


7 = 0 
Et par suite 


TES voreossve = Y, — 


28 


218 A.-J.-N.Paque. — Æxamen des diverses méthodes 
Ce qui démontre la proposition. 
99. Corvllaire. On a donc toujours ici 


+1 _ 6 
h 


ce qui exige, d'après ce que nous avons vu précédemment , 
(C élant une constante), que l'on ait 


fx = Cx + C' 


Donc : 

Ay 
Âx 
de moins en moins et d'aussi peu que l’on veut d’une limite con- 
stante C, ce rapport est rigoureusement éqal à G. 

409. Pour une même valeur particulière de æ et quant aux li- 
mites entre lesquelles est supposé oscilier sans fin le rapport 
Ay 
Ar 

Ae Ces limites pourraient tendre sans cesse l’une vers l’autre, et 
donner ainsi lieu à ne considérer qu'une seule limite interme- 
diaire. 

Onrentre alors dans les considérations déjà exposées. 

Qo Mais ces limites pourraient aussi conserver entr'elles un écart 
déterminé. 

Suivons les conséquences qu'implique cette dernière hypo- 
thèse. 


Sien nême temps que h converge vers zéro le rapport diffère 


deux circonstances bien distinctes sont à remarquer : 


Pendant les changements qu'éprouve ce rapport passe al- 


ÂÀx 
ternativement et indéfiniment de l’état croissant à l’état décrois- 
sant , elinversement. 

De là résultent des maxima et des minima correspondant à des 
valeurs de À qui diffèrent sans cesse de moins en moins. 

101. Parmi ces divers maxima, il y en a donc un, constituant 
une vraie limite supérieure vers laquelle convergent tous les au- 
tres ; ou bien un de ces maxima est supérieur à tous ceux qui le 
‘suivent. : 

Considérons en particulier cette dernière hypothèse : 


employées pour l'établissement et le developpement, etc. 219 


Soit M ce maxèma plus grand que chacun des suivants, dont l’en- 
semble comprendra un plus petit maxima M, et constituera une 
série décroissante et convergeant vers une limile inférieure M. 
Dans le cas du plus petit maxima M, il y aura convergence vers 
une limite intermédiaire entre M et M”, ou oscillation continue et 
indéfinie entre ces quantités : dans le cas de la limite inférieure M’ 
par suite de décroissance continue des. maxima successifs, il y a 
oscillation incessante entre M' et M. 

402. Dans ces oscillations, les maxima peuvent être répartis 
en deux catégories, dont la première converge vers la limite su- 
périeure M, et la seconde vers la limite inférieure M’; à ces deux 
classes correspondent deux séries de valeurs de À indéfiniment dé- 
croissantes. 

Des déductions analogues s'appliquent aux plus petits minima 
qui constituent une suite qui tend en croissant ou en décroissant 
vers une limite inférieure 1, pendant que celle des plus grands 
maxima tend de Ja même manière vers une limite supérieure L. 

Ainsi en résumé les oscillations ont lieu entre deux limites dis- 
unctes L et !.. 


105. Taéonème VIII. Les limites L et 1 obéissent à la loi de 
continuité lorsque la veriable x croit avec conNTINUITÉ pendant un 
même intervalle quelconque. 


Démonstration. Occupons nous d'abord de L. 

Soient : 

T,L,T,e + + + + + + la suite des valeurs de x; 
L,L,L,. + + + la suite correspondante des valeurs de L 
()} (OMC SES » » & h 


Cette dernière suite est telle qu’à partir de chacun de ses accrois- 
sements, en représentant par y une quantité qui s'approche conti- 
nüment de zéro, l’on ait toujours : 


\ 


fc + h) — f(x) 


er 


h 


220 A.-I.-N. Paour. — Examen des diverses méthodes 
Désignons par A la plus petite des valeurs de k, et disposant 
de À prenons toujours 


k€ h, 


Pour x, et L,, on aura donc 


a L, + % 


Soit 
à < h, et à fortiori à € h, 

© % p Ï r indé ] de e 

i pouvant s'approcher indéfiniment de zéro : donnons dans 
cette dernière équation à x, l’accroissement 1; le changement £ 
éprouvé par le premier membre sera d’autant plus petitque à diffé- 
rera moins de zéro. 

On a ainsi 


nee; er pen. 


Posons 
Xn FT Lp 
Observons que l'on peut approcher autant que l'on veut de la 
valeur L, de L relative à x,; l’accroissement A, correspondant 
donne, à cause de l'hypothèse faite sur A, 
h > he 
D'ailleurs 
h>œh 


Donc 


huh 


employées pour l'établissement ei le développement, ec. 221 


Si directement l'on considérait le rapport relatif à L,, on 
aurait 


DES HAE NI N VAMPAOSME NE et CU) 


Puisque dans l'équation (a) on a donné à ou x, + à l’accrois- 
sement À moindre que h,, ce rapport (a) s'approchera plus 
de LE, que ne le fait le rapport (b). 

Donc premièrement : 


L'+y+LE<L + 


Cependant remarquons en dernier lieu que d'aprés la valeur 
de il pourrait se faire que 


L + +Éé>L, 


Mais alors la cifférence entre ces deux rapports ne pourra 
jamais excéder 7, qui exprime Île complément le plusgrand pos- 
sible de L, , c’est-à-dire le degré d'approximation. 

On aura donc : 


ou 


LT, mie ne 

Si l’on remarque actuellement que les diverses quantités 
#, » #p €t À convergent en même temps vers zéro, et qu'il en est 
de même de £ avec {, on en concelura que : 

S'il y a excès de L, sur L, , cet excès tend vers zéro, lorsque 
x, el x, se rapprochent indéfiniment. 

104. Dans ce qui vient d'être dit nous sommes passé de x, à x, ; 
si l'on voulait inversément passer de x, à x, , on raisonnerait 
d'une manière analogue à l'aide de &, — x, et lon ctablirait 
aisément que : 

S'il y a excès de L, surL,, cct excès tend vers zéro lorsque 
æ) el x se rapprochent indéfiniment. 


: 999 A.-J.-N. Pique. — Æxamen des diverses méthodes 


La simultanéité de ces deux conclusions démontre que : 

L ne subit aucun changement brusque lorsque x croit conti- 
nument. 

40%. Tout ce que l'on démontre ainsi pour L se maintient aussi 
pour {, 

106. Tuéorèue IX. 7 n'est aucun intervalle dans toute l'élen- 


Â É 
due duquel le rapport Fe puisse oscille” sans fin entre deux 
e 


dimiles distinctes, & mesure que h converge vers zéro. 

Démonstration. Dans lintervalle quelconque supposé, soient 
deux états particuliers x, etx, de æ assez rapprochés pour que 
les variations de L et ! soient individuellement excessivement 
petites ; soit de plus x. une valeur intermédiaire, et (L., L) 
les limites correspondantes. Il vient : 


be = L, À &, 
[A =}, + B, 


a, et B, ayant par convergence, zéro pour limite. 
Soit encore 


Te + h, Fe Toy 


hk, étant suflisamment petit, lon aura y, et y, étant aussi petits que 
l’on veut : 


Î(&e + he )— (Le } 


ï =L+y.=l,+at+yn=l + 


‘Ou 


EX nu h, DE ) Tan L, k, + h, %e 


Partageons l'intervalle >, à 2,, à l'aide de valeurs particulières 
Ts Ts + . . + . à chacune desquelles nous appliquerons 
ce qui vient d'être obtenu pour & ; nous aurons : 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 293 


7, e h, Ge X, 
T, + A, = Tr, 
x, + h,= x, 


En Ra æ Toy 


D'où 
np = LÀ, h,h + EN AU ANS EEE RE Cane NT 


et 
Ron) ER Dr 
fx + h,)— fix.) = L, L, +R 1, 
[@&, == h) FA 1) re L, k, 6 k, 4; 


= 
a 


[Ca + da )— fra) = Li he + ho a 
Par addition l'on obtient , 
fan ((&)= Gi + ho) LH 44h 4h Ro .(e,) 


Si Znys n'est pas égal à x, soit à la différence que l'on peut ren- 
dre aussi petite que l’on veut, c'est-à-dire soit 


La-p1 ne Lis 1 


L'équation {e) devient 
TL — î EL, = h, + Rh,+h,Hocois +h, 


D'où (@,) sera 
f, h, + 4, he, + elsislels s sieste +4 La 


a Re D 


nl, 


Ty —Üi—%, 


224 A .-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


Si y désigne la plus grande des valeurs #,, #2 -+-e.#, , On 
pourra écrire : 


4 hbyh He, LL HA, Hossseth;)# 
ou ue 
1, h, Ly,h+os de nn (x, —1—%x,)# 
On obtient alors 


1 — CG) pre 


© 4 
= 0, 


Et si g est un facteur convenable de réduction moindre que 
l'unité, on a 


an — à — fr, 
Mn) pe 0 


D'ailleurs évidemment £ convergeant avec à vers zéro, 


far )— fe) _ fn = 0 1e) _ 


LU L, D Er Ur A 


£ ()) 
L'addition des équations (o.) et (o.) donne : 


Hate) =L +uy4t£E (0) 


Xp — X, 


Raisonnant et opérant sur / identiquement comme nous ve- 
nons de le faire . L, on obtiendrait, en désignant par g', #, &! 
les quantités analogues à w,4,Ë, 


L( TP ) GR 162) 


Xp — X, 


DA EEE) 


La combinaison de (o,) et (0,) conduit à 


AT CE TS 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 295 


Et si nous nous rappelons que les limites L, et / ont entr’elles 
par hypothèse, un intervalle déterminé, il devient évident que 
cette dernière équation est impossible, puisque les diversés quan- 
tités y, #/, w, g, Ë, €! qui composent son second membre, con- 
vergent chacune vers zéro , c’est-à-dire peuvent décroitre cha- 
cune indéfiniment. 


Concluons de ce qui précède que les limites L, et l se con- 
fondent. 
107. D'après l'examen qui vient d’être fait de la possibilité 
A\ 
qu'il y aurait pour Fa dans ses variations (x parcourant un in- 
x 


tervalle quelconque déterminé) de 
4° Croitre sans limites. 
2° Converger vers une limite constante. 


3° Osciller sans fin entre deux limites distinctes ; 


nous sommes arrivés à démontrer que si de pareils états sont 
accidentellement possibles, lorsque À — Âx converge vers zéro, 
aucune de ces trois circonstances ne peut être permanente pour 
l’élendue entière d’une partie quelconque de l'intervalle assigné, 
parcouru continüment par la variable x. 
Delà on déduit évidemment que le quatrième état par suite 
Ay 


duquel Fa converge vers une limite variable avec x, est le seul 
æ 


possible d’une MANIÈRE PERMANENTE. 
108. Le rapport À lorsque} s'approche indéfiniment ce 


zéro, converge donc vers une limite variable (fonetion de x), 
que nous pouvons désigner par fx; et si #, ayant Zéro pour 
limite, renrésente l’approximation pour un état quelconque, on 
pourra écrire : 


Aria ne = f& +4 


et 


limite 


fCx = : Ha 1x) Ds je 


On donne à f(x) par rapport à f(x) le nom de fenction dé- 
rivée ; f(x) est alors la fonction primitive. 


29 


226 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 
409. Fixons bien nos idées par rapport à x, sur le sens à atta- 


- cher à l'équation 


\ h) — fx 
Fate 0 © 


A prend des valeurs différentes pour chacune des valeurs de x 
comprises dans lintervalle où l'on établit l'équation, et pour 
une de ces valeurs particulières, l'équation (a) signifie qu’à parur 
d’une certaine valeur, ou limite, h' de h, le rapport de l’accroisse- 
ment de la fonction à celui de la variable, diffère d’autant moins 
de f'x que cet accroissement s'approche plus de zéro ; il n'existe 
donc aucune valeur intermédiaire, prise dans cet intervalle, pour 
laqueile h' puisse être nulle. 


Deux hypothèses seulement peuvent ètre faites quant à la 
grandeur de cette limite ; on peut dire : 

4° Parmi les diverses valeurs de }”, il n’en est aucune qui soit 
moindre qu’une certaine valeur déterminée et assignable d'avance. 

9e Les diverses valeurs de k' décroissent indéfiniment , à me- 
sure que æ approche continüment de certaines valeurs particu- 
lières. 

L'examen comparatif de ces hypothèses n'est pas nécessaire ; 
l'exclusion de valeurs spéciales de x pour l'intervalle étudié est, 
comme nous allons le faire voir, suffisante. 


Soient, dars l’ordre où l'intervalle mème les présente 


Gi GR GR RE RAM NO EPS ANNE LL Ga NEA Le te 


les valeurs 1soLÉES de x pour lesquelles les limites k' correspon- 


dantes décroissent sans cesse et tendent vers zéro; puisque X/ 


diminue à mesure que l’on parcourt la série de ces valeurs isolées, 
on a toujours : 


DER CEA MARINE Le 


Cependant la plus petite de ces limites devant étre déterminable, 


emplcyées pour l'établissement et l: développemont , etc. 227 


pour rester dans la pleine application de la formule (a) il suffit 
de ne pas prendre les valeurs extrêmes. 


La 9e Xp , Le , ° ° . e e . ° e 


des divers intervalles partiels dans lesquels lintervalle pri- 
mitif de x, à x, avait élé partagé ; et c’est évidemment une chose 
toujours possible que de partager convenablement l'intervalle 
L'E 8 

110. Partant de là, effectuons le parcours de cet intervalle, 
à l’aide de la quantité 


EE ? 


dans laquelle à, recevant des valeurs aussi petites que le besoin 
l'exige, permet de faire passer x + à par toutes les valeurs 
comprises dans les intervalles partiels correspondant aux valeurs 
isolées de la variable x. 

Démontrons ce théorème si important : 

La fonction f'x est généralement continue. On a ici, d'après 
la formule (a) n° 26, en remplaçant x par x Æ i: 


fx + D) — fx 


a LÉ 


fe + i 4h) — fix & D 
k 


= fe E i + 
Soit £ la différence de ces deux rapports : 
E=f(@Ei +y—fax— 
ou 


HE = ED A (D) 


Or il n’est pas contestable que £ diminue et tend vers zéro, 
en même temps que’; de plus et indépendamment de cette dé- 


228 À.-d.-N. Paques. — Examen des diverses méthodes 


croissance indéfinie propre à &, les quantités x et y! tendent aussi 
vers o avec À donc 


E + — 4! 


peut être rendu, ou maintenu, aussi petit que l’on veut : fx ne 
peut donc varier brusquement , et est ainsi une fonction con- 
tinue. 

111. Nous avons considéré, jusqu'à ce moment, l'accroissement 
k comme positif, et il est à prévoir, par l’ensemble de la théorie 
précédente, que la continuité de fx existe encore pour 4 négatif. 

L'induction revêt ici un caractère d’évidence assez prononcé 
pour satisfaire ; cependant, pour éviter toute occasion de doute, 
élablissons directement celte continuité pour le cas de h négatif. 


Soient x' et x” deux valeurs de æ telles que, eu égard à 
l'intervalle x, — x,, l’on ait: 


! 


æ =, + X) — x” 


D'où 
fe nn) = fete (ah ER)) 0000200) 
x, et æ, étant des valeurs déterminées de x doivent dans 
Lx, +x, — (&” + h)] 
être regardées comme constantes ; le second membre de c est 
alors une fonction de x”, dans laquelle la variation de la variable 


x// est positive. 
IL est donc clair que si Pon considère les fonctions générales 


QE =) et {(x) 


lorsqu'elles ont une valeur commune, l'équation (c) exprime que 
les variations subies par la première, par suite d'un accroissc- 
ment donné à la variable, sont égales à celles subies par la se- 
conde, pour un décroissement, égal en grandeur, imposé à la 
variable. 


employées pour l'établissement et le développement, elc. 229 


Mais dansle cas d’une variation positive de x”, on a démontré 
(n° 110), que l’on a,  (x”) étant une fonction continue et 7 une 
quantité tendant avec À vers zéro, 


E 


Lis me = (+ IE Em 00 pots 


Mais 


et 


ou 


Sante signes des deux meribres, après avoir Suppri- 
mé l'accent de x : 


le 0) 
Re 


Du reste la continuité de g(x) entraine celle de — (x); re- 
présentant, pour plus de simplicité cette dernière fonction par Fx 
et — par Ë£, nous aurons 


een M 


230 A-J.-N. Paque. — Exumen des diverses méthodes 


419. On a donc, # et £ convergeant avec À vers zéro : 


f(x + à) — f(x) Dern 


h A 
et 
x — f(x — h) 
Rens — Fr + 


Examinons maintenant si les fonctions f'x et Fx sont ÉGALES, 
ou si celles sont pirrénenTEs ; et délerminons les cas où l'égalité, 
ou l'inégalité de ces fonctions se présente. 

115. Tuiorëme X. On a fx — Fx pour l'étendue des subdivi- 
sions marquées par les valeurs de x correspondantes aux limites 
qui tendent indéfiniment vers zéro. 

Démonstration. Soient x, et x, deux valeurs de x comprises 
dans un des intervalles partiels ; soit de plus 


h= ax, 
L’équation du rapport ascendant donne, en y faisant GA 
fe Ce 
ee à el AU 


Celle du rapport descendant, où l’on introduitx = x,, four- 
nil : 


1 C0) 


Li, 


— Fr, + E 
Donc 


fx, — Ex) = Ë — 7 


Mais £ ety convergent ou peuvent converger tous les deux 
en même’temps que h, vers zéro ; il est done clair que 


EEE 


a pour limite zéro, et qu'ainsi 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 251 
Fr.= fx 


114. Taéonèxe. XI Réciproquement. 


Toute valeur x, pour laquelle on a 
PA 
fx, = Fr, 


ne peut ètre l'une des valeurs isolées. 

Démonstration. Puisque f’x, et Fx, existent pour x, , c'est que 
la convergence existe avant et après cette valeur de x pour un 
h limite de grandeur déterminée ; soient x, et æ, les valeurs 
correspondantes au départ de cette convergence avant et après &, ; 
on aura ascendemment 


(x) — f(x.) 


— ! je #4 
pr, = f(x) + Ô 
Le rapport descendent est 
(x) — f(: 
Ur) 0 Fr, +E 


L, — X, 


D'où 
Ce Er ET EN) 


Muis par les données de la question, on sait que 


Donc 


Eee MON En 
X —Z 21, #1 
3 4 


D'ailleurs coinme 


etque £ et # sont des fonctions qui Convergent vers zéro, on 


252 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


peut écrire, en représentant par 0 une fraction qui tend vers À, 
à mesure que x se rapproche de x, , 


fr, — fa, 
7 ci fr, + os 

Le second membre converge vers f’x,, donc x croissant con- 
tinüment de x, à x, l'accrofssement h = x, X,, est toujours 
ainsi plus grand que x, — x,, et le rapport des accroissements de 
la fonction et de la variable converge vers f'x, = Fx ; et, puisqu'il 
y a convergence , les valeurs de x correspondantes ne peu- 
vent être des valeurs isolées, pour lesquelles la convergence 
n'a pas lieu. 

115. De ce que pour les valeurs de x autres que les valeurs 
isolées les rapports ascendant et descendant ont même limite, 
et de ce que cette égalité de limite ne peut appartenir à aucune des 
valeurs isolées de x, l’on déduit : 

Tuéorème XII. Les limites fx et Fx diffèrent lorsque x est une 
valeur singulière ; ily a donc changement brusque dans le passage 
de l’une à l’autre. 

116. Tuéorème XIII. Réciproquement s’il y achangement brusque 
de l'x a Fx, la valeur déterminé: de la variable produisant ce 
changement, est une valeur isolée. 

Démonstration. En effet, s’il n'eh était pas ainsi , la valeur de x 
correspondante serait comprise entre deux valeurs isolées consé- 
cutives, et comme telle donnerait 


fs Fax 


ce qui est contraire à l'énoncé, 

On peut donc dire encore sous une autre forme : 

Toute valeur de x pour laquelle les limites des rapports ascen- 
dant et descendant sont inégales, est une VALEUR ISOLÉE de la va- 
riable, dont x ne peut s'approcher indéfiniment sans que la li- 
mite h’ de h ne converge vers 1ÉRo. 

117. On déduit comme remarque faite sur la formule (n° 41%), 


fe, — fx, = (dir, Lyc, — 7) (Fr, FÉ) 


la propriété suivante : 


employées pour l'établissement et le développement, elc. 233 


Tuéorème XIV. En général et pour une valeur Non 1S0LÉE 
de x, ilest indifférent que l'accroissement de la variable soit con- 
sidéré comme situé tout entier d'un même côté de cette valeur, 
ou qu'il se compose de deux parties quelconques, portées l’une en 
deça, l'autre au-delà. Dans l'un et dans l'autre cas, la limite du 
rapport reste le n:ême. 


CHAPITRE IL 


DE L ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 


118. Dans ce qui précède nous avons démontré que pour y= fx, 
et lorsque y recoit une valeur réelle quelconque, l'on a tou- 
jours pour un certain intervalle de chaque côté de x, la relation 


SUN NE 
D a ec eo) 


Quel que soit donc cet accroissement Ax, en ne dépassant ja- 
mais cependant la limite h' de h, cette équation qui subsiste tou- 
jours , accuse une dépendance mutuelle, réciproque entre Ây 
et Âx, dépendance qui persiste jusqu’à l'origine même de ces ac- 
croissements. 

119. Pour les fonctions linéaires de fa forme 


y = ax + b 


le rapport, ou loë de proportionnalité qui lie Ayet Ax est évident, 
puisque l’on a : 


Ay 
Âx 

Ceile loi est, on le voit, toujours exprimée par à coëfficient 
CASE 


30 


234 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Pour une fonction continue non linéaire, puisque dès l'origine, 
la génération des accroissements Ayet Ax est assujétie à une loi 
fixe exprimée par 


Lim. 29 — fx 
Ax 
il est clair que cette génération a lieu comme si elle appartenait 
à une droite dont le coëfficient de x serait fx. 

Délerminons dans le cas des fonctions continues NON LINÉAIRES 
la loi générale de la génération simultanée Ay et Ax. | 

Supposons que ox, qui est une fouction continue arbitrairement 
choisie, exprime cette loi. 

æ étant quelconque , il y a un certain intervalle où gx est 
coutinüment croissant ou continüment décroissant : considé- 
rons seulement le cas de la croissance, dont les calculs et les 
raisonnements s’approprient en toute analogie à celui dela dé- 
croissance. 

Soit n un nontbre entier pouvant devenir aussi grand que l'on 
veut, et posons, (À étant l’une des n divisions de Ax), 


A 
Az = nh, d'où h = — 


Aux divisions h successives de Âx répondent des accroissements 
particuliers liés par l'équation 


Ay= Ay, + Ay, + Ày, Here L Ayn beeee + An 


Les limites de l'accroissement quelconque partiel Ày, (pour 
l'intervalle h) ; et entre lesquelles x est croissant, étant par 
hypothèse 


x + (rn — 1) h etx + mh 


Si la génération des accroissements Ay et Ax était constante 
entre ces limites, il est évident que le rapport 


AYm 
D 


qui l’exprime, serait plus grand que celui propre à la fonction 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 235 


continüment croissante pour la limite inférieure x + (m—1)h 
de À ; de même ce rapport serait moindre que celui eorrespon- 
dant à la limite supérieure æ + m#h du même intervalle; on aura 
donc 


Ym > hp (x +-m—1-.h) 
ÀYm <h (x + mh) 


Établissant de semblables relations d'inégalité pour chacun des 
intervalles partiels dans lesquels a été subdivisé l'accroissement 
total x, il s’en suit : 


Ay> hpx+q(x+h)+qp(x+2h)+e esse + p(xn—1.h)] 
et 
Ay < hipix + h)Hqix + 2h) + ces + pix + nh)] 
La dernière de ces inégalités conduit à : 
Ay < hgx + ge + h)+e.e + qix + nh)] —hpx 
ou encore 
Ay<hpc+p x+h)e... Lop(xkn—1.h)] +R [qix + nh)—pr] 


En représentant par y une fonetion pouvant devenir si petite 
que l’on veut, l’on aura donc : 


Ay=hpx+p(x+h)+.… plant h)}+mh[gx-Lnh) — px] 


INR 
Remplaçant k par sa valeur —, il vient : 
nt 


PAU Pr p(r+h)+...+q(xtn—1 .h) ni Pix + nh) — px 
AV: he ñn 


ñ pouvant croitre indéfiniment , le terme qui, dans cette rela- 
uon, contient g& s'approche de plus en plus de zéro, et puis- 


AY Age 
que À tend vers une limite constante, la fraction 
x 


256 A.-J.-N. Paque. — ÆExamen des diverses methodes 


px + q(x + hjss-.ee + px + n—1-h) 


#2 


pour la valeur générale et déterminée x de la variable , converge 


y , A 
vers — ; mais cette fraction qui est la moyenne arithmétique des 
x 
valeurs par lesquelles passe continüment gx lorsque la variable 


croit de x à x +/Âx, converge évidemment à mesure que n croët, 
vers une limite que l’on peut représenter d'une manière fort avan- 
tageuse par 


x + Ax 
M px 
BH 
On a ainsi 
æ—+-Ax j oi — à 
MU ls Gens os à 
2 n 


n étant illimité, cette équation donne avec exactitude la valeur de 
Ce mi Ve 


K}) px ; mais n n'étant pas regardé comme tel, l'erreur sera 
& 


d'autant plus faible que # sera plus grand ; cette erreur sera 
toujours moindre que 


p (x = Ax) — px 


Lo) 
On aura donc en toute rigueur : 


A 
ÂAy—=ArM ox 
a 


Nous démontrerons bientôt que si fx est la dérivée de fx, 
l'on a 


x+Ax 


Afx = Ac M fx 


Comme nous pouvons disposer , par hypothèse, de la fonction 


employées pour l'établissement et le déveloypement, etc. 237 


x, identifions-la avec f’x, et l’on aura, 


Ay= À.fx 


On voit aussi que : 

Les accroissements Ây et Âx naissent en même temps en ayant 
entr'eux une raison de proportionnalité continüment variable, et 
exprimée, pour chaque valeur de x par f'x. 

120. Considérons la fonction linéaire 


y = ax + b 


et celle quelconque y = fx 
De ce qui précède, l’on conclut ce principe important : 


x Ax 
Les accroissements ax et A\xM {x de ces fonctions pour 
Xx 


une même valeur de x et par suite de variations identiques de A 
ont même mode de génération simultanée : seulement l'élément a 
qui préside à la génération du premier est consranT, tandis qu'il 
est VARIABLE avec x dans l’intervalle Ax pour celle du second. 

Done si cette génération qui, pour fx et TRANSITOIREMENT à 
l'origine +, est identique avec celle relative à y = ax + b, 
devenait PERMANENTE, celte identité se maintiendrait pour l’accrois- 
sement entier. 

Il y a lieu, on le voit, de distinguer pour chaque valeur de x, 
le développement réel de la loi de génération exprimée par 
f'æ, de celui que la loi fournirait si le rapport, qui existe alors 
que commence la génération des accroissements simultanés Ây 
et Ax, devenait permanent. 

Nommons DIFFÉRENTIELLE, l'accroissement de la fonction , envi- 
sagée à ce point de vue permanent et purement hypothétique; 
appelons DIFFÉRENCE ORDINAIRE, ou simplement DiFFÉRENCE, l'ac- 
croissement effectif de la fonction. 

Représentons la différentielle par le signe 4, la différence , par 
le signe À. 

Une loi variée régit done le développement de Ay ; une boi 
UNIFORME, Celle de dy. 

121. Taéorëme. L'équalion. 


dy — Axef'x 


exprimant qu’une cerlaine considération, ou propriélé, existe 


258 A-J.-N. Paoue. — Æxamen des diverses méthodes 


d’une manière permanente pendant le Âx et pour chaque valeur 
de x, il est vrai aussi qu’elle existe TRANSITOIREMENT A L'ORIGINE DE 
L'ACCROISSEMENT EFFECTIF AY. 

Démonstration. En effet , dire que cette propriété de dy se 
maintient invariable pendant toute l'étendue de Ax, c’est dire 
qu'elle est telle à l’origine même de la variation, et comme à cette 
origine, il y a identité entre le Ây etle dy, il est visible que 
la propriété avancée a lieu transitoirement à cette même origine. 

Ce théorème ressort immédiatement de ce que le mode per- 
manent suivant lequel s’engendre la différentielle dy n'est autre 
que le mode transitoire suivant lequel commence la génération de 
la différence Ay. 

122. Taéorème. Lorsque l'accroissement continu et incessam- 
ment variable de Ây est exprimé par œx, et si au lieu de varier 


2 AY k 
avec x dans l'intervalle Àx, le rapport à conservait la méme va- 
x 


leur quelconque a, propre à l'origine de Âx; c'est-à-dire si l'on a 


Ây = ae Âx 
el 


dy = Ax-px 
Il est vrai que 


æ+Ax 
Ay = Ax: M œx 


a 


Ce théorème est la conséquence immédiate de l'exposition pré- 
cédente. 


125. Pour saisir toute la portée de l'équation différentielle 
d — f'xe Ar, 


il faut remarquer que le rapport de l'accroissement de la fonction 
à celui de la variable, comprend deux parties : 

La première, qui est constante et représentée par la dérivée, 
donne l'expression de cerapport, dans l'hypothèse où la loi de gé- 
nération deviendrait permanente. 

La seconde, qui est variable, tend vers zéro avec Ax. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 239 


CHAPITRE II. 


APPLICATIONS ANALYTIQUES DE L'ÉQUATION FONDAMENTALE. 


Lu LE vi 


fa 


124. Les règles particulières de différentiation des fonctions se 
déduisent avec une simplicité et une élégance remarquables d’une 
règle unique dont voici l'énoncé : 

u et v étant des fonctions de x, dont les dérivées respectives sont 
u/ et v/ soit 


y = F (u,v) 


De plus, représentons par F', (u,v) et F', (u,v) es dérivées de 
F(u,v), prises par rapport à U ou à v comme variable ; on a : 
RS Eu, 0) Cu RD) OUEN NN CAS) 
Démonstration. On a 


Au—FutAu,0+ Av) —F(u+ Au,v)+ F(uAu,v)—EF(u,v) 
Mais par définition 


F(u + Au,o + Av) — Flu + Au,v)= Av[F, (a + Awv) + à] 
FQu + Au.v) — F(u,v) = Au[Falu,v) + 8] 


æ el 8 sont des quantités convergeant vers zéro, avec Àx. 


Par addition des deux dernières équations, et en vertu de la 
première, il viendra : 


Aye= Au[e, (u + Au,t) + a] + Au[F" (0,0) + 6] 


240 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


D'où 
À LE’, (u + Âu,v) + x] + [FA (uv) + 8] 
Mais | 


F', (u + Auv)=Fl, (u,v) + K°Au 


Car si dans une fonction de w on donne à ia variable l’accrois- 
sement Au, le développement résultant contient d’abord la fonc- 
tion primitive, plus une série K de termes qui, devant disparaitre 
pour Au = 0, sont tous multipliés par Au. 

On aura ainsi, par substitution de F', uL Aw,v), et enre- 
marquant que 


u=u +7 
v'=v4+9 
Ay 


Ye =(0 +0)", (u,v)+K. Au+a]+(u+y)[Fa (u,v) +8] 
Et si l’on fait attention que les quantités &, 8, y, d, 0 con- 
vergent toutes vers zéro en même temps que A%, il viendra : 


y = dE", (u,0) L WF (u,v) 


Règles particulières de dérivation. à 

125. Coroccame [. La dérivée d'une fonction de fonction s’ob- 
tient en mullipliant la dérivée de la fonction principale, prise par 
rapport à la fonction secondaire jouant le role de variable , par 
la dérivée de la fonction secondaire. 

Cette règle devient évidente si dans (A) l'on pose v = 0 

126. Conouzaire [f. La dérivée d'une fonction complexe est la 
somme des dérivées de la fonction prises successivement par rap- 
port à chacun des éléments variables qui la composent , lorsque 
tous les autres sont considérés comine constants. 

Ce principe est une très simple extension de celui formulé 
par A. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 241 


127. Corozaime HIT. La dérivée d'une somme est la somine 
des dérivées de chaque terme. 

C'est un cas particulier du corollaire IT. 

198. Corozzaire IV. La dérivée d’un produit, est la somme des 
résuliats que lon obtient en substituant successivement à chaque 
facteur sa propre dérivée. 

C'est aussi un cas particulier du corollaire EF. 

129. CorozLaire V. La dérivée d’une puissance $'cbtient en di- 
minuant l'exposant d'une unité et en introduisant comme facteurs, 


d'une part l'exposant primitif, d'autre part la dérivée d la quan- 
tité soumise à l'exposant. 


4°) Soit : 


p et q étant entiers et positifs, la fonction peut être regardée 
1 
; : NES 
comme le produit de p, facteurs égaux à x, ce qui permet de 
dériver en employant le corollaire IV ; on aura ainsi, 
1 
sentant par z! la dérivée inconnue de x”: 


en repré— 


pi 
y =px ” . 2! 
Comme la valeur de z/ ne dépend pas de p, il est permis de 


supposer p—g ; el comme alors y = x, et que par suite y = À, 
il vient : 


La valeur de z’ étant ainsi déterminée, l’on obtient : 


249 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


2°) Soit la fonction 


Et considérons encore 


Par multiplication on à : 
EURE 

q q 
YU=X .x 


En dérivant (d’après la règle du n° 198), ce produit qui est 
égal à 4, il viendra (yet u' étant les dérivées de y et de w, 


2 ? 


= — 


q q 
ya eux 


Ainsi done, que l’exposant soit entier fractionnaire , positif ou 
négatif, on a toujours 


y = 2%, y =man 
150. Théorème important sur la valeur mnoyenne de la dé- 
rivée. 
L'accroissement de la fonction est égal au produit de l’accrois- 


sement de la variable par la valeur moyenne de la fonction dérivée. 
En général on a, 


Ay = Az [fx +] 
Soit m un nombre entier quelconque, et posons 


ji Âx 
Ax= meh, d'où k = DU 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 245 
L'équation générale, pour les divers aceroissements partiels 
AY, 2 AY, 3 AY, , : 2 . © o ÀY» 
de la fonction y, donne : 
Ay, = h {fx +4] 
Ay = han) »] 
Ay, = h [fe + 25 + 4] 


An = A æ-+m 140 + y] 


Additionnant membre à membre, il vient : 


A AA m—1 m 

= — (x 2h ! 

? AD LE. PR OS 2 ñ | 

m croissant indéfiniment les quantités #,, Apte Lie Ym 


convergent en même temps vers zéro ; d’ailleurs comme l’inter- 
valle Âx peut toujours être choisi tel que f’xr soit continu, il est 
clair que 


m 


À —1 
_Y Pe+ù) 


1e 


tend costinüment vers une limite déterminée que l’on nomme 
VALEUR MOYENNE de la dérivée, et que l’on peut représenter avec 
M. Lamarle, par la notation si simple et si avantageuse 


x+-Ax 
M JU 
x 


On à ainsi, en général, £ convergeant vers zéro lorsque m croit 
indéfiniment : 


: x+-Ax (| z m—1 À 
M fx + È — = » Pæ+ th) 
0 


0 


244 A.-J.-N. Paque. —- Examen des diverses méthodes 


Et de là on tire 
,  XHAX - {im 
Ay — Ax is fa = Ars + He | 


Le premier membre de cette équation étant constant , il doit 
en être de même du second qui est alors nul, puisque les termes 
qui le composent décroissent indéfiniment et ne peuvent donner 
une somme constante différente de zéro. 


Il vient done 


x—-AXx 


Ay = Ax-M en 
X 


151. Si par exemple 


et que l'on désire déterminer M, on remarquera que, pour ca- 
(e) 


ractériser l'origine de cet intervalle, il faut faire 
2 = 0, & Àx = x 


Il s'ensuivrait que 


n Li! An +1 x n 
Ay = x doux — XN] (n Æ Mix 
0 
ou 
n--1 x 
ee — (0 1) M x" 
Donc 
n x? 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 245 


152. Relations générales entre les valeurs moyennes des dé- 
rivées successives d'une même fonction ; et détermination de 7 

fx, l'x, fx, étant déduites les anes des autres par dé- 
rivations, supposons ces fonctions continues entre æet æ + Âx—z 

En supposant z quelconque maïs constant, soit la fontion 


CE Ce EN RAC lt D 


qui par dérivation, donne 


pa = (z — x) fx — f'x 


Le théorème (130) sur la moyenne de la fonction dérivée, 
nous apprend iei que 


Z 
Pz— px = (z —x) M x) f'e — f'x]. sens. (C2) 


Mais si dans l'équation (1), on change x en x + Ax, le se- 
cond membre devient nul, donc 


Pz = 0 
Remplaçant ensuite dans (2), gx par sa valeur (1), on ob- 
tient après réduction 


Z Z 
M fx =fæ+M(G—x)f'x DRE AE RO) 


Pour avoir la relation entre les moyennes relatives à deux 
dérivées successives quelconques, si au lieu de considérer léqua- 
tion (1) de condition déterminant x, l’on pose 


px =(c — x) fx 
f'x aurait évidemment pour valeur 


n—1{ 


for Ho) 


n—1 ni n—2 


Pak) fa DG—x fa 


246 À.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Et l'équation (5) devient alors : 


n—1 n—1 


Z Z —1 
M (ea) f'an(e—) f'atM (e—l(e—n) fre (u—t) 
x 


x n—2 
| (z—x) f'xl 
D'où 


n—1 


53 | n—1 
M (z—x) ffx—(z—7) 
x 


Z 
f°x+M (z—x) fx . . (4 
X 


Dans cette équation (4), faisant successivement n—1,2,5....n, 
et additionnant membre à membre les relations résultantes, on 
obtient : 


+ Zi : one À re) z--7 n—1 
GNU {x + ca ph dede ) 


DONS NE 


fre + 


Z 
1 om) 0 ‘o+1 
12747 MIE BARRE 


Cette formule est fondamentale. 
133. Détermination de la quantité 4 de l'équation 


Ay== As [fx + #] 


Nous avons trouvé 


x+-Ax 
Ay = Az M fx 
X 
x 4x 
Dans cette équation, si lon substitue la valeur de M Ja 
X 


fournie par l'équation (3) du n° 132, on aura : 


Ay= Àx [fx + M (z—2) bre] 
Mais 


Ay= Ar (fx + #) 
Donc 


Z 
#=—= N (z — x) fl'x 
x 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 247 
Cette relation si remarquable donne la composition de x, c'est- 
à-dire de la quantité qui converge vers zéro avec Ax, dans 
l'équation générale de la variation. 
154. Développement des fonctions. 
THÉORÈME fondamental. 


fx, fx, f'xe...efn, x étant continues entre les limites x et 


x Âx —7z,ona 


Pt pe D pre 


1.2 AE ARTE AE en PU 
(z—x)" ee 1H 
Moee an Le T3 = 1e x)" Î 


Démonstration, On a vu (130) que, 
Z 

= Az M fx 
X 


Z 
Remplaçant M fx par la valeur déduite de la formule (5) 
X 
n° 452, il vient : 


pet Ga) fat pe ED pe + 


(re 
EU} (2—2x 0f0Hr 
4. 2 ee oeij} x ) / 

Cette identité générale fournit d’une manière extrêmement 


simple , et comme cas particulier , les formules de Taylor et de 
Maclaurue. 


135. Différences supérieures. 
Taéorème. — £a différence de la valeur moyenne d’une fonc- 


tion est égale à la valeur moyenne de la différence de cette 
mène fonciion. 


Démonstration. On a 
= fx + An) 
D'où, en égalant les différences des deux membres, 


M'y= AU + Ar) — fa] = fe + As) -Afr 


248 A.J.-N. Paour. — Æxumen des diverses méthodes 


Afiz + Ax) = Ax M /(a LL Ax) 
— fr = -Ax M fe 
L'addition membre à membre des trois dernières ‘galités donne : 
A°y = Aa [f(@4-A 1) —f'x] | 
ou 


A'y = Ax Af'z. Ce (0) 


Mais 


LA 
Ay = Ax.M fx 


D'où, puisque Ax est constant pour toute l'étendue de la dé 
rivation, 


Z 
Ay = Ac. AM fa. IN) 

La combinaison des équations (v) ct (v') fournit : 

Z Z 

AMufix = M Afix 

X >< 
Cette relation établit le théorème à démontrer. 
136. Des moyennes multiples 


Taéonème. La différence de lurdre n d'une fonction est égale 
au produit de la puissance n°" de l'accroissement de la variable 


u 
par la moyenne multiple M de la dérivée du méme ordre. 
De même que 


fe Me 
SS 
l'on a , 


Z 
Aa = Âx M io , 
X 


employées pour l'établissement et le développement , etc. 249 


L'équation (v) n° 155 devient ainsi : 
à Z Z 
NON MOMU 0x 
2S x 
On aurait de la même manière 
! —— 3 Z Z Z Ù 
\y= Az MMM "x 
X > SALES 


Représentant ces moyennes multiples par la lettre M au- 
dessus de laquelle se trouve placé le degré de multiplicité, il viendra 


SP, 
NN EN EC 

X 

—3 3, 
Ay= Az Mf'x 

X 


ñ 
Ay = Ar M'/Ox 
X 
457. Corollaire. Si f() est une constante C on à 
4 2 6) n 
M fx = M/Ox = MfOx . , . . Mr = fr 


Donc 


Et plus généralement 


A'y= Âx [fÜx+Ëé] 


£ étant une quantité qui converge vers zéro, en même temps 


que Àx 


LR 
[C9 


250 A.-J.-N. Paour. — Examen des dèverses méthodes 


CHAPITRE IV. 


DE LA PUISSANCE QU'ACQUIERT L'ANALYSE TRANSCENDANTE PAR 
L'EXACTE DÉFINITION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 


158. Nous avons vu que le second membre de l'équation 
différentielle à 


Ay = Ax(fax+r] 


se compose de deux termes l'un Ax-.fx, l’autre qui décroit indé- 
finiment avec Ax. 

Le premier de ces deux termes, considéré en lui-même, peut 
être appelé différentielle, et se représente par la caractéristique d, 
de sorte que 


dy = Ax-f'x. 


L'un de ses facteurs est constant pour tout l'intervalle ÂÀx 
‘et pour une même valeur de x 

Envisagée et bien comprise sous ce point de vue, la différen- 
tielle est une quantité rINIE, susceptible d'accroissement et de dé- 
croîssement indéfini. 

Comme quantité rite la différentielle obéira done aux règles 
ordinaires du calcul des quantités finies. 

Pour les fonctions linéaires 4 est nul, avous-nous vu, quels que 
soient x et Âzx ; alors on a 


Ày—= dy 


Pour les fonctions non linéaires, # n'est nul que pour cer- 
taines valeurs de x que l’on appelle valeurs isolées ayant en- 
tr'elles des écarts déterminés ; et pour toute valeur particulière 


employées pour létablissement et le développement, etc. 25 


de la variable, différentes de ces valeurs isolées, la différence Ay 
et la différentielle dy sont toujours deux quantités bien distinctes. 

La différentielle considérée à ce point de vue purement et 
exclusivement algébrique est, quoique exacte, une notion in- 
suffisante par suite des difficultés que l’on rencontre dans les 
applications : il faut, pour s'affranchir de cet inconvénient, 
donner à l’équation différentielle la signification véritable et 
complète que nous avons: développée plus haut et que nous 
résumons comme suit : 

Pour une fonction continue , mais non linéaire, une loi dé- 
terminée régit les variations des accroissements Ây et Ax dé- 
pendant l’un de l’autre ; cette loi qui persiste, même à. l’origine 
de ces accroissements, et qui préside ainsi à leur génération si- 
multanée, reçoit, pour ce motif, le nom de loi de génération, 
eette loi change à: chaque instant, et l’on ne pourrait admettre que, 
pendant un certain intervalle Âx quelque petit qu'on voulut 


AU 
d’ailleurs le supposer ,. le rapport = soit constant, puisque nous 
C- 


avons démontré au commencement de ce travail, qu’il faudrait 
pour cela que la fonction füt linéaire. 

Cependant rien n’empêche de concevoir, hypothétiquement bien 
entendu, et pour la valeur choisie de x, une autre fonction de la 


Ay 
même variable, dont le rapport -— CONSTANT ET INVARIABLE, soit 


Âx 
précisément égal à celui qu’assigne pour la: fonction donnée con- 
tinue et non linéaire , la loi de génération appliquée à l’origine x 
des accroissements ; on a alors en représentant Àx, par dy. 
équation 


dy —= Azxfx 


Bien plus, ef sans créer EXPLICITEMENT celte seconde fonction, 
il est incontestable que l’on peut supposer que la loi de généra- 
tion qui, pour fx varie sans cesse , persiste dans la détermination 
particulière qu’elle affecte à origine même des accroissements. 

La différentielle dy est alors devenue une vraie différence Ây 
et elle se trouve avoir pour expression la limite vers laquelle: 
converge le second membre de l'équation générale. 


Ay au AMIE 1e 


lorsque Âx décroit indéfiniment. 


252 A-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


En un mot supposez que pour la valeur de x, la loi de géné- 
ration, au lieu de varier constamment, persiste dans sa valeur 
actuelle, et vous obtiendrez la différentielle. 

139. Ainsi définie la différentielle se prête avec une admirable 
simplicité à toutes les applications possibles : quelques exemples 
viendront bientôt établir sans contestation cette supériorité pra- 
tique du concept nouveau sur les conceptions anciennes. 

La raison de cette supériorité est du reste frappante : elle con- 
siste en ce que la méthode de M. Lamarle permet immédiatement 
sans hypothèses particulières,sans cesse renaissantes et nouvelles, 
le passage de l’abstrait au concret, et cela parce qu'elle a étudié 
les diverses phases sous lesquelles peut se présenter le rapport 


 


. et le Ay; parce qu'elle a établi et fait nettement saisir 
T 


quelles sont les deux parties bien distinctes , dont se compose 
le Ây, ainsi que le rôle de chacune de ces parties. 

Et c’est précisément à l’ignorance de la connaissance intime 
et réelle de Ay, que l’on doit attribuer les longueurs et l'insuffi- 
sance des anciennes conceptions. * 

140. La traduction en langage ordinaire de la condition ex- 
primée analytiquement par l’équation différentielle se fait toujours 
immédiatement. 

Dans l'étude des phénomènes soumis à la variation continue de 
certaines quantités , l’équation différentielle exprime ce qui se 
passe si l’on suppose que les grandeurs qui, jusqu'à ur moment 
donné, ont été variables, deviennent subitement permanentes ; 
et e’est là une hypothèse très-simple et qu’il est toujours permis de 
faire. 

141. Du reste pour apercevoir dans tout son jour la puissance 
qu’acquiert l'analyse transcendante, coordonnée par la conception 
de M. Lamarle, il suffit de se demander d’ow naissent les diffr- 
culiés auxquelles s'appliquent les calculs transcendants ? 

Ces difficultés proviennent de ce que certaines quantités ou 
grandeurs qui doivent ètre introduites dans le calcul varient 
incessamment ; et il n’est pas contestable que la question , dans 
la solution de laquelle elles entrent , deviendrait bien moins 
difficile si, pour une valeur donnée de la variable, les grandeurs 
considérées persistent dans l’état où elles se trouvent. 

Dès lors, si le problème ainsi simplifié, est résolu d’une ma- 
nière complète, où même convenable au but proposé, et si l'on 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 255 


veut passer au cas des mêmes grandeurs considérées comme 
variables continüment, (cas du problème donné), il suffira de 
changer les différences ordinaires en différentielles correspon- 
dantes. 

On chtient ainsi l'équation du problème général propose. 

Or, la conception de M. Lamarle a seuce le privilége de dis- 
tinguer les parties variables et constantes de léquation fonda- 
mentale. 


y = Ax [fx + 1] 


Elle seule done, à l'exclusion de toutes les autres, saisissant le 
fait hypothétique de la permanence, s'applique immédiatement et 
sans intermédiaire à la mise en équation de toute espèce de 
question. 

149. Mode d'application de la méthode de M. Lamarle aux 
questions géométriques. 

Voyons d'abord comment l'équation différentielle 


GE AO) ANNEE tant) 


caraelérise la nature intime et générale de la courbe. 


On peut toujours supposer que 
A eu AURA MR RE LERMARS MIS SU CR) 


est l'équation d'une certaine courbe, et quoique j*x est constant 
pendant tout l’intervalle Âx, le lieu géométrique de (x) est une 
ligne droite. 


D'ailleurs, ainsi que cela a été établi dans l'exposé général de la 

’ / . e a x 

méthode, comme le RApOe est transitoirement le même à 
de 


l'origine x pour la fonction continue, il est évident que le dé- 
placement initial du point générateur à lieu suivant la droite (x) : 
en tout point de la courbe, on pourra répéter la même chose. 

-C'est la droite (+) qui détermine la direction suivant laquelle 
commence le déplacement du point générateur ; cette droite est 
appelée tangente, et c'est suivant elle que s'établit ct se manifeste la 
continuité. 

Telle est donc la définition nouvelle de la tangente aux courbes, 


» 


25% A.-J.-N. Pique. — Examen des diverses méthodes 

et il est à remarquer que les méthodes des limites et des dériva- 
tions, qui sont incapables d'indiquer le lieu de dépendance entre 
une courbe et sa tangente, ne donnent que des définitions phy- 
siques (ou visibles s’il m'est permis de m'exprimer ainsi), défini- 
tions dont le premier inconvénient est d'établir un rapport exagéré 
et faux entre la génération de la courbe et celle de la tangente. 

145. Plan tangent. — Si l’on considère la surface 


U = 0: 


et le point quelconque 
To , Yo > Te. 


de cette surface, il est clair que le lieu géométrique des directions 
u 

suivant lesquelles la continuité s'établit dans tous les sens sur la 

surface autour de ce point, reste le même lorsque dansu—0, 

on se déplace autour du point (x,, Y,, z,), dans une direction 

quelconque du reste, d’une quantité moindre que l'intervalle pour 

lequel la convergence vers une limite déterminée quelconque a lieu. 
À 

Ce lieu sera done aussi celui que l'on aura pour le point 


(rés A Yo UD AU = Ay., 7, + Az.) 
On a ainsi pour équation 


du, du du 


AE — 47 
AA ar ton 
ou bien 


( 2) du ; du 
DEEE) = +- U—1 + LA, == (0) 
o Az, VUE LE _ :) Az, 


Cette équation, qui est celle d’un plan démontre ce théorème : 

Le lieu géométrique des tangentes aux diverses courbes que 
l'on peut tracer par un point sur une surface, est un PLAN qui 
pour ce molif est appelé PLAN TANGENT en ce point à celle sur- 
face. 

1%%. Estil besoin de faire ressortir la supériorité de la mé- 


employées pour l'élablissement et le développement, etc. 255 


thode nouvelle dans les questions de tangentes et de plans tan- 
gents. 

A la rigueur même, aucun développement n’est nécessaire 
pour arriver à l'équation de la tangente et à celle du plan tan- 
gent ; le principe de continuité, considéré dans sa vaste étendue, 
dit tour ; il ne s’agit que d'en saisir la signification, propre au 
cas qui se présente. 

La continuité régit toute la conception de M. Lamarle : il n’est 
done pas étonnant qu’elle soit un levier IMMÉDIAT si puissant et 
si prompt dans les applications ? 


CHAPITRE V. 


QueLqQuEs EXEMPLES TRAITÉS PAR CHACUNE DES MÉTHODES 
EXPOSÉES PRÉCÉDEMMENT. 


445. Nous venons de voir, par deux exemples bien sim- 
ples, avec quelle facilité et presque sans calculs, la conception de 
M. Lamarle résout les questions relatives à la tangente et au 
plan tangent. 

Choisissons quelques exemples principaux et généraux pour 
achever de mettre en évidence la puissante el avantageuse fa- 
culté pratique de la méthode nouvelle. 

Premier exemple. — Différentielle d'un arc de courbe. 

146. Méthode de M. Lamarle. Soit, pour plus de con- 
cision, la courbe plane 


y=fx. 


Le raisonnement ne serait ni plus ni moins simple pour une 
courbe quelconque. En supposant les axes rectangulaires con- 
sidérons un point (x,;y), ainsi que la tangente en ce point. 


« 


Si en (æx,7y) la loi de génération , à laquelle est sou- 


4 


256 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


mise la courbe, loi en vertu de laquelle ia direction tangen- 
tielle varie continüment, si cette loi est regardée comme per- 
manente, c'est-à-dire si l’on admet que cette loi persiste dans Ja 
détermination qu'elle affecte en (x,y), la génération linéaire tan- 
gentielle s'opère par le point décrivant de la même manière que 
pour le parcours curviligne réel, correspondant à la loi géné- 
ratrice proposée (toujours dans les limites de la convergence vers 
la fonction prime de la nouvelle grandeur étudiée). D'ailleurs, 
eten un mot, c’est suivant la tangente que s'opère à chaque in- 
stant le déplacement du point décrivant , et le changement de 
À en d considère ce qui se passe sur la tangente, au lieu de ce 
qui se passe sur la courbe. 
On aura done immédiatement et en toute rigueur, 


ds = V/ dx? + dy° 


447. Méthode infinitésimale. 

Cette conception donne aussi la même égalité, sans calculs 
intermédiaires, ni préparation ; seulement le dx et le dy appar- 
tiennent chez elle à la courbe, tandis que dans la conception de 
M. Lamarle, ces mêmes éléments sont comptés sur la tangente. 

De cette facon la méthode infinitésimale considère la courbe 
comme un polygone d’une infinité de côtés ; et ce point de vue 
complètement faux a été suffisamment réfuté dans ce qui pré- 
cède. 

148. Méthode des limites. 


Soit encore la courbe. 


En prenant (fig. 10), Az = DP assez petit, on peut toujours 
faire en sorte que l’arc Às soit convexe ou corcave däns toute son 
étendue. 

On aura done 


As > BM 
As < AM AB 


Les valeurs de BM, AM, et AB, sont évidemment les suivantes : 


pa Cod Cpera } 
BU? = Ax + Ay 


PO 
© 
“1 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 


CM 
ANS du ul TP 
ae 


AB = AC— BC = Axffx— Ay 
Il viendra donc 


As V'Ax + Ay° 


el 


Às < Aa 1 + fx + Axefx — Ây 


Vos pu 


À 
= <V TL 7e nl TE fo Ay 


D'où 


AA 

En passant à la limite, à converge vers f'x, et par suite 
v 

puisque les limites des seconds membres de ces expressions sont 

égales entr’elles, on aura : 


ds 


= VIT x 


Il est utile je pense de rien ont pour décider combien 
celte méthode est longue et pénible comparativement à celle de 
M. Lamarle. 

149. Méthode dérivée de Lagrange. 

Soit (fig. 11) un are de courbe AB dont À et B sont les ex- 
trémités ; en À et B menant les tangentes AS et BF, soit M le 
point d'intersection de ces tangentes. 

On aura évidemment. 


AB < AM + BM 
Cela posé, je dis que 


AB > BT 
AB < AS 


258 A.-J.-N. Paque. — Æxamen des diverses méthodes 


En effet, tirons la corde AB ; comme le Az — A'B/ est laissé 
quelconque, il peut toujours être choisi de telle manière que les 
angles SAT et BTA soient inégaux, et que des compléments iné- 
gaux de ces angles, Pun d'eux soit plus petit que le complément 
de l'angle que fait la corde avec l'axe des X. Dès lors la corde 
AB sera comprise entre les longueurs des tangentes BT et AS. 

Remarquons d’ailleurs que de l'hypothèse 


ÉTà > SAT 
il résulte immédiatement 
AM > MT 
et 
MS > BM 
D'où 
AM + MS > AM + BM 


Et à fortiori 


AS > ÀÂB 
Actuellement soit 
y = fx 
l’équation de la courbe, et (x,y) les coordonnées du point A; 
soit de plus A'B’ = i, et l'on aura : 
LAS 
tang. SAQ = fx 


LS 
tang. T BQ, = f'(x-1) 
et 
SQ = i-f'x 
TV =if{x + 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 259 


il viendra par conséquent 


AS=V È LE fx = ii +fx 
BT =y à + # f(x +2) = WA +f?(x+i) 
Pour abréger posons 


pau =y/1+fx 
et par suite 


AS = i.px 
BT = ip (x +5) 


Représentons par Fx, la fonction de x qui exprime la longueur 
de l’are, il faudra que simultanément Fx satisfasse aux deux con- 
ditions : 


Fc +5) — Fr >i-px 
F (x + i)— Fr <i-p(x +i) 


D'où en développant, et divisant par 2 les deux membres de 
chaque développement 


F'x + D Fa + et. > pr 


° 12 
F'x + 5 F'x+ etc... <px+ i°p'x + n px #+elc... 


Ces développements existant pour quelque degré de petitesse 
que l’on attribue à #, posons i = 0, et l’on aura : 


Fx > px 

F'x < px 
D'où 

F'x = px. 


On devra donc rechercher Fx, ou la fonction primitive de @x 
c'est-à-dire de p/1+ fx, 


266 A.-J.-N. Paque. — Examen ces diverses méthodes 
. ds , 340 , , . . 
Si représente la dérivée de Fx, ou F'x, il viendra 
œ 


re 


as dy\° 
So ER fl € 7 
dx V n \dx 


150. Cette longue démonstration, cette longue recherche de Ea- 
grange, est bien de nature à propos d’une question si simpleà faire 
ressortir la grande inaptitude pratique de la méthode des dérivées. 

Et encore à quoi aboutit ce calcul si long, si pénible, bien que 
très remarquable en lui-même? Il donne une relation numérique 
et n'indique rien quant à la génération de l'arc. 

Il devait du reste en être ainsi, et nous l’avons déjà dit ail- 
leurs : 

La conception de Lagrange est purement analytique, numé- 
rique ; elleest, dès son origine , frappée de stérilité puisqu'elle 
ne renferme rien qui! puisse permettre de passer directement 
de l’abstrait au concret. | 


151. Methode fluxionnelle. 


Soit un arc convexe par rapport à l’axe des X : les x fluant 
uniformément les coordonnées croitront d'un mouvement accéléré, 
puisque sans cela le lieu décrit serait une ligne droite. 

Considérons (fig. 12) le point M et la tangente DMC à la courbe 
en ce point. En vertu de l'accélération du mouvement des ordon- 
nées, il est clair que si l’abseisse de M aflué de M'A, et quesi 
l'ordonné eut obéi à un mouvement uriforme au lieu d’être sou- 
mise à son accélération, elle eut flué d’une quantité plus petite que 
AP, mais plus grande que BQ. 

Je dis que CP est la quantité dont se serait alors accru l’ordon- 
née MM. 

Pour établir ce point supposons que 

1° L’accroissement de MM’ soit PF dans le cas de l’uniformi- 
té du mouvement considéré hypothétiquement pour MW’. 


Traçons MF qui rencontre la courbe en un point G ayant 
H pour projection sur OK ; ona 


PF M'A’ 
GR MG 


employées pour l'établissement et le développement, elc. 26! 


Il résulte de là que si la génération de l’ordonnée était uni- 
forme, l’ordonnée MM’ s’accroîtrait de GR en même lemps que 
l'abscisse s'accroitrait de M'G!, c’est-à-dire que GR et M'G se- 
raient des accroissements simultanés relatifs à des mouvements 
uniformes ; et c'est précisément celte conséquence qui est impossible, 
puisque le point G appartenant à la courbe, l’ordonnée MM à la- 
quelle serait pour un instant attribué une génération uniforme 
devrait fluer d’une quantité plus petite que GR. 

L'hypothèse est donc inadmissible. 

9% L’accroissement de MM’ dans le cas de l’uniformité de Îa 
génération de l'ordonnée, est supposé, après avoir pris MB'= 
M'A, 


QK > BQ 
QK < CP 


Joignons les points M et K par une ligne droite qui rencontre 
la courbe en V, dont la projection sur l’axe de X est le point V'; 
on aura 


nes re 


K  B'M' 
VS VM 


Les parallèles VV et KK, à OX, donnent 


MK, BM 


4 


NV, NV 


C'est-à-dire que si la génération de l’ordonnée était uniforme, 
l'ordonnée VV’ s'accroitrait de MV, dans le même temps que 
labscisse fluerait de V'M, chose impossible puisque V étant un 
point de la courbe, la fluxion réelle de son ordonnée doit être 
plus grande que celle relative à cette grandeur douée, comme il 
vient d'être supposé, d’un mouvement uniforme. 

La seconde hypothèse est done aussi inadmissible, et Pon 
peut ainsi regarder comme démontré que la fluxion de l’ordonnée 
MM, pour l’accroissement M'A de l’abscisse , est CP dans le 
cas d'un mouvement uniforme attribué à cette ordonnée: de ma- 
nière que AC est, pour l'accroissement réel, la partie spéciane- 
MENT due à l'accélération du mouvement. 


262 A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Désignant par dx, dy et ds les accroissements de x, y et s, 
dans l'hypothèse de leur génération par mouvement uniforme, 
c'est-à-dire représentant par dx, dy et ds les quantités M'A!,CP 
et CM de la figure, on trouve 


“ds? = dx? + dy 


192. Remarque. Cette recherche par la méthode fluxionnelle 
est bien longue , il est vrai ; mais elle a le mérite d'indiquer 
le sens précis qui doit être attaché à l'équation que l'on vient 
d'obtenir, par suite de la détermination de La quantité qui, 
dans la fluxion de l’ordonnée est due à l'accélération du mouve- 
ment. 

On saisit immédiatement un lien de dépendance, une simi- 
litude d’origine pour ainsi dire, entre cette méthode de Newton, 
et celle de M. Lamarle. Newton avait compris la puissance et le 
mode général des applications du calcul différentiel ; mais ses 
conceptions abstraites n'avaient pas pour base l'étude de la perma- 
nence de la génération analytique : de là l'insuffisance et l’in- 
fériorité de la méthode des fluxions. 


2° Exemple, — Du Cercle Osculateur. 


453. Méthode de M. Lamarle. 


Nous avons vu que la tangente est le tvpe sensible de la cour- 
q 8 


bure, et que c’est suivant cette droite que la continuité se mani- 
feste. 


La courbure résulte de la variation incessante de la direction de 
la tangente. Si l'on désigne par «& l'angle qu'une tangente à la 
courbe y = fx fait avec l'axe des X, ona vu que 


(ana al fx 
D'où 


& = arc-lang, f/x 


employées pour l'établissement et le développement, cie. 263 


et 


fc 


TE 


SAN et Dies PONOE CA) 


Soit As l'élément de l’are décrit, et ds l'accroissement tangen- 
tiel correspondant, on a 


ds = NE LATEX 7. : à () 
Par division les relations (1) et (2) fournissent, 


ds fi 
ds [1+/fx} 


Telle est l'équation qui lie les variations dues à la conti- 
nuité et à la courbure. 
Actuellement supposons qu’à l'origine x des accroissements, 


da 1 k APRES ; 
le rapport À persiste dans la détermination acquise, c’est-à- 
s 


dire assujétissons ce rapport à conserver cette valeur qui devient 


ainsi permanente : alors les dæ et ds deviennent les Az et As, 
et l’on a : 


Ac “ fx 
A Us 


L’uniformité se manifeste dès cet instant dans la courbe, puisque 


AN CpRe oi | 
le rapport re (qui la détermine) est constant ; et remarquons 
S 


bien que l’hypothèse de permanence dans laquelle nous nous pla- 
cons ici n'apporte aucune modification à la courbure au point 
considéré comme origine, puisque, en vertu de cette hypothèse, 
cette courbure est maintenue dans la détermination qui lui était 
propre en ce point. 

Posons 


_U+fxE 
Er 


264 A.-J..N. Puous. —- Examen des diverses méthoies 


Et l'on aura : 


Or, puisque Aa désigne l'accroissement angulaire et qu'il est 
ainsi mesuré par un are de cerele dont le rayon est 1, cette der- 
nière égalité signifie que la courbe 


Âs = p-Aa 


est une circonférence dont p est le rayon. 
Le cercle, ainsi défini, est appelé CEercze OscuraTeur. 
Considéré sous ce point de vue, le cercle osculateur a une si- 
gnification bien nette, et forme un des caractères principaux de la 
courbe pour marquer que le changement de direction , saisi à 
l'origine même de la variation , se manifeste de la même façon 
qu’en un point quelconqne de ce cercle. 


Rappelons en passant que le rapport, ou Pinverse du rayon 


d’un cercle, sert de mesure à la courbure de ce cercle. 

Nous ne nous arrêterons pas à la détermination des coordon- 
nées du centre de courbure ; c’est là une simple question d'éli- 
mination. 

454. Il n’est pas sans importance, croyons nous, de remar- 
quer que le cercle osculateur déterminé comme nous venons de le 
présenter, reste indépendant de la théorie générale des courbes 
planes osculatrices ; quelques mots, qu'il serait complétement 
superflu d'introduire ici, raccorderaient à cette théorie l’exposi- 
tion nouvelle qui vient d’être faite. 

155. Méthode infinitésimale. 

Cette méthode suppose qu’à partir du point considéré M (fig.15), 
et avec d'autant plus d’exactitude que lon prend plus petit le 
dæ, (ou l'angle de deux normales infiniment voisines), l'on peut 
regarder le ds, complé sur la courbe comme perpendiculaire à la 
normale @ de M ; alors on aura : 


p — ds 
lang de 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 265 


D'où par approximation, en s'appuyant sur la petitesse de dæ, 


ds 
da 


On considère par ANALOGIE, et comme une espèce de limite qui 
ne serait jamais atteinte, au point de vue des considérations in- 


Re ds 
finitésimales , le rapport 7, comme mesurant la courbure de la 
& 


courbe au point M. 
Il reste à déterminer le point O. 
Pour cela désignons la courbe par 


y= fx 
par æ et S£ les coordonnées courantes de la normale au point quel- 
conque (x,y). L'équation de la normale en ce point est 
æ—x—+(B—yÿfx=0o . . . . . (1) 


Pour passer à la normale infiniment voisine, il suffit de chan- 
ger dans cette équation x en x <- dx, y en y + dy, et l’on ob- 
tient ainsi aprés les réductions que permet l'équation précédente, 


— du G—y de fl fat œ...]—dy[fl"x + dx.f’x+ a.]=0 


Divisant par — dx, et négligeant toutes les quantités infiniment 
petites, on obtient : 


da (2) 
Substitution faite dans (1), on tire : 


UT — ee (1 + 172) see (5) 


Ensuite comme @ estla distance des points (x,y) et (4,8), on 
aura pour valeur du rayon de courbure : 


34 


266 A-J,-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


19/6 


Mere 


Mic 


156. En représentant par & l'angle que la tangente en M fait 
avec l'axe des X, et observant que dæ& est l'angle compris entre 
les deux normales consécutives, on eut pu poser plus simplement 


ds = p.daæ 
-Ou 
7. (dy \? 
dx \/1 + (2) 1 =pl(are aug=®) 
À 
d'où 
«3y 1 
— 2 (2 
{1 l 
a Vis (CY n (2) - dx 
dx 7 dy )) 
Ve 
Et enfin 


+@1 


= 


157. En admettant même que la méthode infinitésimale s’ap- 
puie sur la théorie osculatrice pour dire que le centre de courbure 
est l'intersection de deux normales consécutives , il serait encore 
indispensable de prouver AUTREMENT que par des à peu prés, ou 
des avec d'autant plus d’exactitude , que l'arc appelé par elle, 
sans jamais pouvoir être établi comme iel, ÉLÉMENT du cercle oscu- 
lateur, se confond avec l’élément de la courbe au point M. 

Le calcul des infinis n’a qu’une seule raison à donner , et 
c’est que la courbe ou la cireonférence , choisie comme osculatrice, 
est telle qu’elle a même tangente que la courbe au point considéré,et 
c’est ce qui n'autorise nullement à dire que la courbure en ce 
point est la même pour la circonférence et la courbe ; car si en 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 267 


ee point, comme le dit ce calcul, il y a un élément arcuel com- 
mun, qu'est-ce que cet élément ? 
D'ailleurs pourquoi Îe triangle MM'O est-il rectangle en M? 
Au point de vue géométrique, le calcul infinitésimal est donc 
incapable de rendre compte de la nature du. cercle osculateur ; 
et ce n’est pas par suite d’approximations, que la formule 


ds 
dei 


se détermine ; c'est en toute rigueur. 

Au point de vue analytique, et quant à la détermination de p, 
nous n'avons rien à ajouter à ce que nous avons dit en général 
des principes du calcul infinitésimal ; et ce n’est pas non plus 
par approximation que l’on a 


per | 
LED 


x 


mais c'est encore avec la plus absolue rigueur. 

158. Il nous paraît indispensable d’avertir que l'exposé infi- 
nitésimal qui. vient d’être fait relativement à @; est une modifi- 
eation du caleul de Leibnitz. 

Présentons suceinctement cette théorie au début de notre ana- 
lyse transcendante. 

On sait que par trois points donnés dans un plan on peut tou- 
Jours faire passer une circonférence ; si l'on suppose en outre 
que ces trois points appartiennent à une courbe quelconque et 
qu'ils soient infiniment voisins les uns des autres , la courbe 
aura un are infiniment petit commun avec la circonférence et 
par conséquent sa courbure sera dans cet arc la même que 
celle de la circonférence. 

On considère alors un fil flexible, infiniment délié entourant 
la courbe, et s'en détachant à partir de l’une des extréinités en 
lui restant toujours tangent ; l'extrémité libre de ce fil décrira 
une courbe qui est appelée la développée de la courbe donnée 
(nommée alors par opposition la developpante). 

Les rayons des arcs de cercle ainsi décrits portent le nom de 
rayons de courbure, et le cercle lui-même, celui de cercle oscula- 
teur. 


268  A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Soit donc (fig. 14), VV! une courbe quelconque dont l'équa- 
tion est 


y = (x) 


Soit un point À (x.y) de cette courbe, et dont l’abscisse est OP ; 
supposons PQ — PR, et considérons PQ comme la différence 
de OP ; nous aurons pour les points correspondants B et C de la 
circonférence : 


AD = A.BQ 
CP — A.CR 
CS = A.CR — A.BQ = A’BQ 


Si les trois points A,B,C sont infiniment voisins, PQ est in- 
finiment petit et l’on a : 


AD = dy, PQ = dx, CS = d'y 


Et puisque , d’après la définition infinitésimale, le cercle oseu« 
lateur doit avoir les trois points A,B,C situés sur la courbe, nous 
aurons en désignant par æ et 8 les coordonnées inconnues du 
centre de courbure, et par @ le rayon osculateur 


Ta) LOE-6) te ot. No 


Dans cette équation x’ et y représentent les coordonnées cou- 
rantes du cercle. 


A cause de l'élément commun entre la courbe et le cercle os- 
culateur (au point x,y), il faudra que les valeurs de y’, dy’ et d'y 
soient respectivement égales à celles de y, dy et d’y relatives à 
y = fx, Ce qui exige que l'on déduise par deux différentiations 
SUCCESSIVES : 


(D — à) dx + (y—f) dy =0o .  .. . 
dx + dy* + (y — 8) dy —o . . . . (5) 


Supprimant Îles accents, l'on a les trois équations (1), (2), (5) 
pour déterminer les éléments cherchés du cercle osculateur. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 269 


Théorie fluxionnelle des cer cles de courbure. 


159. Leune. Lorsque d'un point situé sur un diamètre d'une 
parabole, on mène une corde conjuguée à ce diamètre, il y a 
équivalence entre les rectangles faits sur la sécante et sa partie 
extérieure (d'une part), et sur le paramètre diamétral de celle 
sécante el la partie extérieure du diamètre choisi (d'autre part). 

Soit P (fig. 15) le paramètre diamétral de direction BK ; on 
sait que 


AC —P.BC 
ND’ —P.BD. 


D'où par soustraction et décomposition 


AC — ND — P(BC—BD) 
(AG + ND)(AC — ND) = P (BC — BD) 


D'où 
CS-ON = P.OA. 


160. Corouzare. Si ONS en se mouvant parallèlement à 
elle-mème devient tangente en B, en vertu de la continuité du 
mode de génération curviligne , la propriété précédente existe 
encore , et l'ona 


BP: — P.A'P. 


Du reste on eut pu établir directement ce résultat, que nous 
avons préféré déduire d'une propriété plus générale relative à 
une sécante parabolique. 

En convenant d'appeler distance conjuguée ou tangentielle 
celle comptée parallèlement aux cordes conjuguées d’un dia- 
mètre, on a cet énoncé : 

Le carré de la distance conjrquée ou tangentielle d'un diamètre 
à un autre est équivalent au rectangle fait sur le paran:èlre de 
l'un de ces diamèlries, et sur la partie extéricure de l'autre. 


270 A.-J.-N. Paove. —- Exumen des diverses méthodes 


161. Tuiorèue. Soient {lig. 16) une courbe AMH ef un cerclé 
AFB, de centre C!, tangents en À à la même droite VV; soit 
une sécante quelconque DZ parallè'e à AB ; de plus considérons, 
une courbe BQR passant par B et déterminée de manière à sa- 
tisfaire pour toute position de DZ à la condition. 


AD? — DM-DQ. 


Il faut prouver que la courbure de AMHen À sera la méme: 


que celle du cercle AFB. 
DémonsrraTion. On a par une propriété connue 


*  DF.DG = AD 
D'ailleurs par les données de la question , 
ÀD — DM-DQ 


La muliplication membre à membre de ces deux relations con-- 
duit à 


DF.DG = DM-DQ 


(2101 
DF _ DQ 
DM  DG 


1° Supposons que la partie BQ de la courbe BR soit crtéricure. 
au cercle AC et que DZ se meuve parallèlement à elle-même 
vers AB. 

Il est clair qu’alors, pendant que Q décrit QB, DQ étant plus. 
grand que DG, on aura toujours : 


DF > DM 


D'où l’on voit que l'arc AM est compris entre le cercle et sa 
langente. 

Cela dit , il est évident qu'un cercle d'un rayon moindreque AC 
et tangent en A étant intérieur à celui AC, ne peut passer entre les 
arcs AM et AF. 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 271 


De plus si l’on considère un cercle d’un rayon 
AC'>> AC 


On pourra prendre AD de manière que le second point S d'in 
+tersection de cette circonférence avec DZ soit tel que 


DQ < DS 


Quelle que soit la position du premier point F° de rencontre, 
on aura 


DF'.DS — AD 
7 
AD° — DM.DQ 
D'où 
DF _ DQ 
DM DS 


Et comme DQ < DS, dans le mouvement imprimé à DZ 
vers AB, l'on aura constamment : 


DF' < DM 


Ce qui prouve que la circonférence AC? ne peut passer entre les 
arcs AM et AF° et que par suite : Aucune circonférence ne peut 
passer entre les arcs AM et AF, qui ont ainsi en À MÊME cour- 
 BURE. 

162. 2 Supposons en second lieu que l'arc BR (fig. 17) soit 
intérieur à la circonférence AG 


On a 
DF DQ 


—— = — 


DM DG 
Dans le mouvement de DZ, on aura donc toujours 


DF < DM 


PAT A.-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 


Donc l’are AF est situé entre l’are AM ct la tangente VV’. 

Une circonférence de rayon plus grand que AC, tangente en À, 
ayant pour intérieure celle AG, ne pourra donc pas passer entre 
les ares AF et AM. 


Si l’on considère une circonférence de rayon, 


AC' < AC 
en désignant par S son second point de rencontre avec DZ, quelle 


ue soit la position du premier désigné par F’, l’on aura en- 
q sue P ; 
core : 


DF.DS = DM-DQ 


D'où 
Dr _ DQ 
DM DS 

Mais 
DQ > DS 


Donc dans le mouvement de DZ, l’on a sans cesse, 


DF' > DM 


Ce qui montre que {a circonférence AC’ est, dans l'intervalle 
de AB à DZ, comprise entre la courbe AMH et la corde AB. 
Dans tous les cas on voit donc que : 


Des circonférences que l’on peut décrire , tangentes en A, au- 
cune ne passe ENTRE l'arc AM et l'arc de cercle AF déterminé par 
la relation 


DM.DQ — AD 


Ce qui signifie évidemment que la courbe AMH ef la circon- 
férence AC ont même courbure en A. 


empicyces pour d'établissement el le développement , ete. 975 

165. Tafonime. Soient (fig. 18) HAM la courbe donnée, € son 

centre de courbure, Am une parabole ayant avec cetle courbe la 

tangente VV" commune ; soient enfin une droite FQ donnée pa- 

rallèle à PP’ et DZ une parallèle à BK. Prenant QR de manière 
que 


Surf. FOR =Vm-BD . . . . (1) 


Il faut démontrer que le point R , ainsi déterminé, sera tou- 
jours situé sur une droite FR, connue de position. 

DémonsTRATION. On a, si AK est Îe paramètre diamctral pa- 
rabolique de A 


Vni. AK AV 0 | (2) 
D'où, par division de (1) et (2), 


Surf, FOR BD à 
Q ae Lait suis (0) 


At AK 


Mais AV est donné, ainsi que FQ, donc si l’on représente par À 
le rapport de ces quantités, l'on aura 


Un 


5 


Par multiplication les relations (5) et (4) fournissent 


Surf, FOR BD 
NT er À — 
FQ AK 


D'où, après simplification du premier membre, 
: BD he 
QR =— 2FQ.A': late (0) 


Le seconel membre de cette relation (5) étant complétement 
déterminé , il en est de même du premier, c’est-à-dire de la 
quantité QR. 


LS 


6) 


274% A.-J.-N. Paour. — Examen des diverses méthodes 


464. Définition de la seconde fluxion y 
Comme la ligne PP’ pourrait être celle sur laquelle est choisi 
FQ, en prenant AF = MS, on posera : 


QS=y 


En suivant DZ dans son mouvement vers BK, si l’on construit 
chaque fois le point S, on obtiendra une courbe qui sera la courbe 
fluxionnelle, tangente évidemment en F à la droite FR. 

Pour cette nouvelle courbe, on a 


QR = BF — y 


Donc QR est la seconde fluxion de l’ordonnée y de la courbe 
HAM. 


165. L'égalité (5), n° 165, fournit en remplaçant À par sa 
valeur 


AK AV. 
= = QR = FQ: BD. 
FO 
D'où 
AK No AV° 
2 GR 
Mais, 
OR = y, AV = 
Donc 
Ji 
AG = — 
y 


Et de ce résultat on pourrait déduire une construction très- 
simple du centre de courbure. 
166. Calcul du rayon de courbure. 


On sait que 
2 .2 .2 
SEEN) 


27 


CR 
> 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 


D'ou, puisque æ est constant, 
Se A ue NA) 


Substituant à y la valeur que l’on déduit de cette relation, dans 
l'expression de Aa du paragraphe précédent, on obtient : 


Le triangle ACœ donne : 


AC. cos. CAœ 


L) 


TRS 
ou comme CAa« est égal à l'angle fait par la tangente VV” avec 
la droite PP’ prise pour axe des X ,et que la tangente de cet 


angle est %, on aura en représentant par @ le rayon AC de cour- 


x 
bure : 
A a 1408 D 
@ = = 
Vars |: 
ou 
e EU 
$ S 
D'où à 
S L 
D ù ue ee (2) 
DULNS 
Mais de (1) l'on tire 
DRRt re e e e é e e (5) 
s y 


Et la multiplication, membre à membre, des relations (2) et 
(5) donne enfin 


276 A.-X.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 


467. Par la méthode des dérivations de Ligrange 
Soient 


2 


= fx 
= Fx 


S 


les équations de deux courbes que lon veut comparer. 
Pour que ces deux courbes aient un point commun d’abseisse x, 
il faut que 


Pour étudier comparativement le cours de ces courbes, on 
donne à x dans ces équations l'accroissement 4, et l’on aura pour 
différence des coordonnées correspondant à l’abscisse x + 6, 


Ce + Do vie me (fx — Ex) + 
e ue FEV )- ete. 


: 


Cette différence sera d'autant moindre qu'il y aura un plus 
grand nombre de termes qui disparaîtront au commencement 
de cette série, c’est-à-dire que les deux courbes se rapprocheront 
d'autant plus lune de l’autre (ou auront un contact plus intime) , 
qu'il y aura un plus grand nombre de dérivées égales dans les 
équations des deux courbes. 

Considérons ensuite une troisième courbe 


y = px 


Supposons que les trois courbes aient un point commun dont 
l'abseisse est x ; on démontre avec facilité que la courbe gx ne peut 
passer entre fx et Fx , à moins qu'entre les équations y — fx et 
y = gx il ny ait un plus grand nombre de dérivées égales de 
même ordre qu'entre y = fx ety — Fx. 

Telle est l’idée que l’on doit se faire de ces différents degrés de 
rapprochement, que l’on appelle communément contact, osculativn , 
etc. 

168. Partant de ces notions générales relatives aux courbes 
osculatrices, choisissons, pour le comparer avec la courbe pro- 


employées pour l'établissement et le développement, eic. 277 


posée, le cercle dont léquation, en coordonnées rectangles est 
a 8 
œ@—a +y—4 —0 


æ, B, @ étant les éléments du cercle, savoir « et B les cocrdonnées 
du centre et le rayon. 


Qn en tire 


NE A PC D Ce 


et 
F'x = — LE Sn eut 
Vestes a) 
Posant 
ie fe 
Fr — fix 
On aura 
{l 
X == à — oe 
\/1 L fPo 
VRP : = 
\/! + fx 
D'où 
= X — ii ; (D) 
V1 LE fx 
B=7Y +—— La) 


Les quantités æ et 8 sont des fonctions de la quantité @ restée jus- 
qu’à présent,dans ce calcul, entièrement arbitraire ; mais on pourra 
déterminer la valeur de @ en imposant, comme nous allons le 


faire, une nouvelle condition dérivatrice entre la courbe et la 
circonférence donnée. 


278 A.-J.-N. Paque. — Ëxamen des diverses méthodes 


Parmi les diverses circonférences satisfaisant aux équations (1) 
et (2) , cherchons celle qui donne. 


Ex = fx 
On aura alors 
2 
Po Q 
2 > 
L@* — (x — &)] 


On aura, en substituant dans F’”x, 


IA 


EUTIE RÈEE = M + fx 
Q 
D'où 
Dh 
OÙ m7 


et par suite 


f'æ (1 + fax) 
fo 


1 + fx 
B= y + Fe 0 


œ = À — 


Les trois constantes «, B, @, qui entrent dans l'équation géné- 
rale de la circonférence osculatrice, sont ainsi déterminées. 

169. Le rayon de courbure, traité à la méthode Newtonnienne, 
nous montre ce que l’on peut dans des questions d'ordre supé- 
rieur, avec les éléments de la géométrie ancienne; mais aussi 
avec quelle longucur procèdent de semblables recherches ! Et 
puis rien ne laisse apercevoir l'idée qui conduit à la détermina- 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 279 
tion du rayon @, qui n'est saisie qu'au passage et pour ainsi dire 
furtivement. 

Par la méthode de Lagrange, @ est la conséquence de la théorie 
oseulatrice, ce qui n’est certes pas un titre d'exclusion; mais ni 
Newton ni Lagrange n’expliquent la liaison intime de génération 
existant entre une courbe et son cercle de courbure en un point 
donné. 

La méthode de M. Lamarle rend seule compte de cette liaison, 
en Ja saisissant, en l'établissant & priori comme manifestation ex- 


plicite de la variation continuelle incessante de la direction tan- 
gentielle. 


5° Exemple. — De la force centrifuge. 


470. La théorie fondamentale du mouvement curviligne d'une 
molécule isolée repose sur la détermination de la mesure de la 
force centrifuge. 

Par la Méthode 1NFINITÉSIMALE. 

THÉoRÈME FONDAMENTAL. Lorsqu'un mobile décrit une tragecloire 
sous l'action combinée d’une force instantanée qui agit dans une 
direction quelconque à l'origine du mouvement, et d’une force 
accélératrice dirigée constamment vers un centre fixe, les aires 
décrites par le rayon recteur du mobile autour de ce centre, sont 
égales pendant des temps égaux. 

Soit M (fig. 19) un point sollicité suivant MP par une force ins- 
tantanée dont l’espace parcouru est Mn pendant un temps infini- 
ment peut ; ce point est simultanément soumis à une force accé- 
lératrice dont le centre d’action esten C, et dont la vitesse propre 
pendant ce temps infiniment petit est Mm ; M parcourra la diago- 
nale du parallélogramme Mn M'm ; arrivé en M’ les choses se 
passent comme en M, en donnant lieu à un nouvel élément M'M”, 
et ainsi de suite : il faut établir l’équivalence des surfaces CMM, 
CM'M", CM'’M'", etc. 

Cette proposition devient évidente si l'on tire les droites Cr’, 
C'n, C''n , etc. 

174. Considérons d’abord un point M assujéti à se mouvoir 
(Gg. 20) sur une circonférence de rayon CM ou r, et auquel est 
appliquée tangentiellement suivant MP une vitesse quelconque ; 


286 A.J.-N. Paque. — Exainen des diverses méthodes 


M tendra à s'échapper par la tangente en exerçant sur: le fil une 
tension qui dépend de la vitesse du mouvement et qui est appelée 
force centrifuge. La force qui maintiendrait M à la distance CM du 
point €, est appelée force centripèle. 

Comme l'are MM’ est infinunent petit il peut être confondu 
avec sa corde, ce qui donne 


MM 


MQ — TR Sin. verse MM 
& ‘h 


Si f représente l'intensité de la force centrifuge nous savons 
qu'une force accélératrice constante a pour mesure le doubie de 
l'espace parcouru pendant un temps quelconque, divisé par le 
carré de ce temps. On aura done ici : 


Le 0 


1 MW 


==— ee a 


or F di 


Mais si o désigne la vitesse du point, 


Il viendra 


[ = 


r 


172. Passons au cas de la force centrifuge pour une courbe 
quelconque. 

Il suflit pour cela de concevoir que Ja détermination de cette 
force exigeant seulement la considération simultanée de deux élé- 
ments consécutifs de la courbe proposée, le mouvement peut être 
continuellement envisagé comme ayant lieu sur la circonférence 
osculatrice correspondante qui a avec la courbe, au point d'oseu- 
lation deux éléments successifs communs. 

C’est aiusi que l'on applique à une courbe lexpression de la force 
centrifuge trouvée pour la circonférence ; r devient dès lors le 
rayon du cercle osculateur. 


einployées pour l'etablissement et le développement, etc. 281 


175. Nous ne dirons que peu de chose pour découvrir le dé- 
faut de cette théorie. 

D'abord pour la circonférence , la détermination est faite en 
considérant la corde MM’ comme parcourue dans le mouvement, 
ce qui, au point de vue philosophique , suffirait déjà pour re- 
jeter cette théorie. 

Ensuite c'est par suite d'une HYPOTHÈSE toute gratuite et toute 
illogique que l’on conçoit la circonférence osculatrice comme ayant 
deux éléments consécutifs communs avec la courbe ; l'extension 
donnée ici disparait done toute entière. 

Et nous ne pouvons nous empêcher de le redire encore : entre 
la courbe et la circonférence osculatrice en un point, il y a ce seul 
point commun, ainsi que la tangente; mais en général &l n’y a pas 
à partir du point de contact ou d'osculation d'arc de courbe, si petit 
d’ailleurs qu'on veuille bien le supposer, qui puisse étre considéré 
comme se confondant avec la circonférence osculatrice. 

El serait tout aussi absurde de prétendre qu’une courbe et son 
osculatrice ont des éléments communs que de dire, ou poser en 
principe, que la courbe peut se déduire de la forme polygonale : 
C'est le même ordre d'idées. 

174. Par la TnÉORIE FLUXIONNELLE. 

Newton avait dit aussi : 

La vitesse d'un mouvement variable se mesure par l'espace qui 
serait décrit dans un temps donné si le mouvement était continué 
uniformément,el non pas par celui qui est décrit réellement pendant 
ce temps. 

La force qui accélère ou retarde un mouvement curviligne se 
mesure done toujours par la f{uxion de la vitesse du mouvement, 
c’est-à-dire puisque la vitesse est la première fluxion de l’espace, 
par la seconde fluxion de l’espace décrit en vertu du mouvement. 

175. Supposons (fig. 21) que la droite Az, coupant en M 
la courbe MR, se meuve parallèlement à elle même et à OY d’un 
mouvement uNIFORME, le long d’une droite OX, et qu'une force 
agisse toujours dans la direction Az; le modèle M pareourra 
la génératrice Àz de la même manière que si Az était en repos 
et que la force eut agi dans sa direction, Cette force sera donc en 
chaque instant mesurée par la fluxion de la vitesse avec laquellele 
mobile se déplace sur OX ou par la seconde fluxion de AM , Ol— 
donnée de la trajectoire du point. 

176. Faisons voir actuellement que : 


282 A.-J.-N. Paoue. — Æxamen des diverses méthodes 


Lorsqu'une courbe es! décrite par une force qui agit suivant des 
lignes parallèles, cette force est directement proportionnelle au carré 
de la vitesse du mobile, et inversement proportionnelle à la corde 
du cercle de courbure de ce point. 

Démonstration. Soit AC la fluxion de Ao, ou la vitesse de À ; 
par C menons la génératrice Cu rencontrant la tangente en P,et 
la courbe en R ; lafluxion de la courbe satisfait, avons-nous établi 
(n° 460) à l'équation, 


° 4 ° 2 


MN EE San AE 
y? d'où y = MV 


Ce qui prouve que la force centrifuge, qui se mesure par Îa 
seconde fluxion de l’ordonnée, est directement proportionnelle au 
carré de la vitesse, et inversement, à la corde du cercle de cour- 
bure qui passe par le point considéré. 

4177. Tnéorëus. Soit (fig. 22) une courbe AB décrite par une 
force centripète dirigée vers S ; soit AP l'intensité de ceite force au 
point À, et soit PQ perpendiculaire & la tangente; AQ représentera 
l'intensité de la force avec laquelle le point À se meut sur la tan- 
gente de Aen A! , et PQ celle de la force avec laquelle le point géné- 
rateur s’infléchit sur la tangente. 

Démonstration. En effet soit Q le centre du cercle AC de cour. 
bure,et D la projection de Ô sur AS; les triangles semblables AOD 
et APR donnent 


AR _ AD oi PQ AD 
ÀP AO’ ?AP AO 


Mais puisque AP est, par hypothèse, l'intensité de la force 
centrifuge, On à 


PO 20 4 A nie 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 285 


D'où l'on voit que le rayon de courbure ne dépend que de la 
vitesse en À et de la force PQ. 


Donc AQ variant et PQ ne variant pas, la courbure reste 
CONSTANTE, 


178. Taéorème. Lorsqu'une courbe est décrite par une force cen- 
tripète dirigée vers un point donné S, la force centrifuge est pro- 
porlionnelle au carré de la vitesse , et est en raison inverse du dia- 
mètre du cercle de courbure. 

Démonstration. On vient de voir que la force tangentielle AQ 
n'exerce aucune influence sur l’inflexion PQ suivant la tangente 
en A ; il est par suite évident que l’on peut transformer la force 
centripète de centre S, en une autre agissant au point O, centre de 
courbure, mais dont l'intensité est 


Ho 
Représentant AO par 0, 
RO = 0 
(9 


D'où l'on voit enfin que pour une trajectoire quelconque 
décrite sous l’action d’une force centripète agissant vers un point 
quelconque donné, la force centrifuge est directement propor- 
tionnelle au carré de la vitesse, et inversement proportionnelle au 
rayon, ou au diamètre de courbure. 

179. Principe fondamental des applications dynamiques de la 
conception de Lagrange. 

La question de la force centrifuge se déduisant immédiate- 
ment des équations générales du mouvement d’un point matériel, 
c'est à ces équations qu'il faut remonter pour saisir le principe des 
applications dynamiques de la théorie des fonctions analytiques. 

THÉORÈME FONDAMENTAL. Ÿout mouvement rectiligne, représenté 
par l'équation. 


= f(1) 


peut dans un instant quelconque au bout du temps t, être regardé 
comme compose d'un mouvernent uniforme dû à une vilesse me- 


284 ÀA-J.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes 

surée par Ÿt, et d'un mouvement uniformément accéléré du à une 

force accéleralrice agissant avec une intensité proportionnelle à f”1. 
Démonstration. Donnons à t l'accroissement 0, il viendra : 


| w ? g 
fitofe + pet D PM 00) 


œ élant une quantilé comprise eutre 8 et À ; l'espace parcouru 
pendant le temps e sera done 


œ = 0 ft + SE 1 (Pc) NAN) 


Ce développement prouve que pour une même valeur quel- 
conque de £ , mais déterminée , l’espace of't est uniformément 
parcouru pour les diverses valeurs de 4, avec une vitesse ft; 
et de plus, qu'un second mouvement d'intensité 


se distingue; ce second mouvement , qui est évidemment uni- 
dr, 
formément varié est animé d’une vitesse proportionnelle à on 


Reste un troisième mouvement global 


ss" G+en. . . ue LME) 


5 


tenant lieu d’un nombre illimité d’autres petits mouvements ; 

mais nous allons démontrer qu’au commencement du temps 0 on 

PEUT NE PAS AVOIR ÉGARD A CE TROISIÈME MOUVEMENT. 
Considérons pour cela un autre mouvement formé d’un mou- 


vement uniforme à vitesse a et d’un mouvement varié d'intensité b; 
soit done 


ao + bo 


l'espace ainsi parcouru, supposé différent par ses deux composants 


employées pour l'établissement et le développement, ele. 285 


de celui dont (1) est l'expression, et dont la différence avec (1) 
qui est l’espace réellement déerit est 


Me ve) .. . 


Or, il est évident que tant que a et b différeront respectivement 
ur, 
de f'tet - = , On pourra prendre 9 assez petit pour que, (ense 


plaçant ainsi à la naissance de 8), l'on ait toujours et d'autant plus 
que 6 s’approche de o, 


Leaf — 0er > PH eo 


Et comme relativement à 


— [AG + ac) = Âx: Lane+s fre) 


le premier nombre converge vers o avec 6, il est clair que, 
A L'INSTANT OU Ü COMMENCE , of é exprime fout ce qu’il y a d'uni- 


; ô 
forme dans le mouvement proposé, et que le terme — Set exprime 


de même tout ce qu'il peut y avoir d'uniformément dans ce 
mouvement. 

480. Scholie. 4° Si les causes produisant Îa variation du 
mouvement viennent à cesser , ou à être suspendues , le mouve- 
ment se continue uniformément en vertu de la vitesse f?£. 

2° Pour tout mouvement rectiligne dans lequel l'espace par- 
couru est fonction du temps , la fonction prime représente la 
vitesse, et la fonction seconde , la force accélératrice dans un temps 
quelconque, 

181. Remarquons en passant que le principe des fluxions de 
Newton se trouve mis en évidence par le théorème qui vient d'être 
établi; mais notons bien aussi que analytiquement comme con- 
ception dynamique le fait du développement uniforme et tran- 
süotre d’une fonction vient d’être signalé : il est dès lors surpre- 
nant que Lagrange ait touché de si près à la vérité manifestée 
explicitement et complètement par la conception de M. Lamarle. 


285 A.-3.-N. Paqur. —-Æxumen des diverses méthodes 


182. En considérant le mouvement uniforme et le mouvement 
uniformément accéléré 


ct 
x = bd 
pour lesquels on a respectivement : 
F Sr we 
et 


va 
FE 


md = dt, x! = 2 —9 


On déduit ces lois relatives au mouvement uniformément 
varié : 

1° La vitesse est proportionnelle au ternps écoulé depuis l'origine 
du mouvement. 

2° La force accélératrice est mesurée par le double du rapport de 
l’espace parcouru au temps employé à le parcourir. 

185. Mouvement curviligne. 


Soit un mouvement quelconque engendrant la courbe aux coor- 
données générales x, y, z fonctions données du temps £. 

Le point générateur sera doué, suivant chacun des trois axes, 
de deux mouvements l’un uniforme, l'autre varié; sur ces axes 
représentons ces mouvements par 


x et x’ 


y et y 


z et z/ 


Des vitesses uniformes æ', y’, z! résulte la force totale 


EE RE RE en À 
u=V x" + y" + 7°. 


déterminée en direction par les relations 


employées pour l'établissement et le développement, etc. 2587 


6 HACOSIC 
y =u. COS P 
zu. COS y 


Et si l’on remarque que % affecte la forme de la dérivée de l'arc 
de la courbe parcourue, en considérant s comme fonction # on 


aura s’ pour vitesse PT de plus cette vitesse est dirigée suivant 


la tangente à la trajectoire, ce qui ressort des équations aux 
cosinus. 

Les forces accélératrices x’”, y”, z/!, donnent par leur composition 
une résultante P, faisant avec les axes les angles K, /, m ; cette 
résultante se trouve définie par les équations 


Pa Eye ET 


LL 


x" = P, cos k 
y —P. cos { 
x” = P. cos ». 


Si le mobile était soumis à l'action d’un nombre queleonque de 
forces accélératrices, les équations générales du mouvement cur- 
viligne seraient : 


x = ZX P, cos k 
— XP. cos / 
z" = XP. cos m. 


184. Mesure de la force accélératrice selon la conception de 
M. Lamarle. 


Soit 
e=f(0 


l'équation donnée ou connue qui lie le temps et l'espace parcou- 
ru par un mobile. Supposant qu'à l'instant donné f, la fonction 
fet le mouvement qu’elle représente se développent d’une ma- 
nière permanente, en persistant dans la détermination acquise à 
l'instant £, nous aurons (d’après ce que l'on à vu) 


258 ÀA.-J.-N. Paques. — Examen des diverses méthodes 
de = At.f't 


Et puisqu'il s’agit dans cette équation d’un mouvement uni- 
forme pour lequel on a nécessairement 


de 


U— —— 


Ât 
il viendra 
v— ft 
D'où par différentiation : 
do = At.f"y 


ce qui est léquation dun mouvement uniforme dont l'intensité 
(c’est-à-dire la mesure de la force accélératrice proposée), est re- 
présentée par 


fie 


185. Délermination de la force centrifuge par la méthode de 
M. Lamarle. 


Ici encore une fois se montre l'extrême promptitude de cette 
conception : parcourue d'un mouvement uniforme , la circonft- 
rence osculatrice offrant en un quelconque de ses points les cir- 
conslances qui, éransiltoirement seulement , s’étaient présentées 
sur la courbe au point d’oseulation, ilest évident que la question de 
la mesure de la force centrifuge sur une courbe en un point donné, 
est ramenée à celle de la même force sur la circonférence oscula- 
trice en ce point. 

186. Considérons done spécialement (fig. 20) le cas d'une 
circonférence de rayon 


OM = 


et dont M est le point d’osculation. Si à l'instant où le mobile est 
en M, la force centrale venait à cesser son action, la molécule 
s’échapperait suivant la tangente MX en persistant dans l'état 


N 
employées pour l'établissement et le développement, etc. 289 


du mouvement qui l'animait en M. Alors pendant le temps At 
l’espace MP eut été décrit sur la tangente, tandis qu’en vertu de 
la force centrale le point M eut, librement, et sous celte seule 
influence , parcouru MQ pendant le même temps Af. 

Représentons par f l'intensité de la force centrale : une force 
accélératrice, (et c'est ici le cas, puisqu’à partir du point M sur la 
circonférence on suppose le mouvement uniforme ou persistant 
dans l’état propre et transitoire à M), se mesure par le chemin 
qu'elle fait parcourir au mobile dans l'unité de temps; et cet 
espace est double de celui parcouru en vertu de cette force pen- 
dant un temps quelconque divisé par le carré de ce temps. 


Nous aurons donc ici 


M 
{ = 2 MQ Û 5 Ü ° (4). 
At 


En menant la corde MM réellement parcourue pendant A4, 
on à: 


20-MQ—MM . . . . . (2) 


QI 


Multipliant membre à membre ces deux relations, on obtient 
ef = EE OO) A PS (5). 
A 


Et comme l'équation (3) subsiste pour At quelconque, on aura 
encore à la limite : 


MM 1 
p-{—= lim. me [| 
At - 


4 SNA ds 
Ut Si © represente la vitesse di , On a 


© 
re 


290 A.-I.-N. Paouz. — Æxan:en des diverses méthodes 


Telle est la loi ou formule connue. 


1487. Aptitude de la conception de M. Lamarle ou Calcul 
Intégral. 

Examinons enfin comment la nouvelle définition se prête à la 
définition de l'intégrale. Nous avons vu que 

4° Dans tout intervalle où la fonetion 


y = (D 


est continue, (et pour une valeur quelconque de x), la génération 
des accroissements simultanés Ay et Âzx, commence d'après une 
certaine loi de proportionnalité exprimée pour ce point, origine de 
ces accroissements, par f(x) 

3. Cette loi, considérée dans tous les états successifs que com- 
portel’intervalle Âx constitue la loi variée à laquelle est dû le DÉVE- 
LOPPEMENT conTINU de Ây (la différence). 

5° Mais considérée hypothetiquement et TRANSITOIREMENT comme 
constante pendant l'intervalle Âx, et persistant pendant cet inter- 
valle dans la détermination qui la particularisait à l'origine même 
de cet accroissement, ou à la loi uniforme en vertu de laquelle se 
développe la différentielle dy; l'on a alors 


GR = AO 


etcomme Âx est constant , puisque l'on suppose que x se dé- 
veloppe d’une manière uniforme, il vient 


Ax = dx 


dy — dx fx. 


4° L'accroissement effectif, ou la différence Ay est la moyenne 
arithmétique des valeurs par lesquelles passe la dérivée f'x, c’est- 
à-dire que 


à 
AAC Das po 


x 


employees j our l'établissement et le déveloy;pement, etc. 291 


Actuellement on peut se proposer le problème inverse de celui 
résolu généralement par le caleul différentiel, savoir : 
Etant donnée l'Equation différentielle 


dy = dx.f'x 
Connaître la fonction primitive y = fx. 
L'opération nouvelle alors nécessitée prend le nom d'Entégration, 


eta pour but de retrouver le Ay, ne cherchant à former l'équa- 
tion 


x+-4x 
Ay = dx°M fx. 
x 
Seulement l’on empioice le signe / comme signe sommatoire ou 
d'intégration, et l'on écrit avec celte signification, 
dx 


x+ 
dy = f. Pride = f@+ di) — fix) 


Pour déduire de cette formule celle ordinaire et générale de 
l'intégration, posons (n étant un nombre entier quelconque) 


n dx = x‘ 


Et faisons, à l'aide de dx , passer x successivement par tous 
les états de grandeur de x à x’; on obtiendra, 


x-Edx 
fœ + dx) — fx [© f'x dx 


x-2dx 
fx + 2dx) —f(x+dx)= HIS 
x-dx 
.x-+-5dx 
f(x + 5dx— f(x4-2dx) — fe dx 
x—+-24x 
x—-ndx 


fc +ndx)—f(x+4n —1 d)= f f'xedx 
xn—{.dx 


292 A.-H.-N. Paque. — Examen des diverses méthodes, etc. 


D'où par addition 


x! 
fx — fx a. fx dx 
X 


Faisant æ = 0, puis changeant 2’ en x, il vient enfin, 


fæ — f(o) = f° f'x.dx. 


ce qui est la formule usuelle d'intégration. 


188. La signification rationnelle de l'intégrale se trouve ainsi 
naturellement déduite de la différentielle, et se prête avec promp- 
titude et facilité à toutes les applications. 

Il est inutile croyons-nous d'examiner l'appropriation des autres 
conceptions au calcul intégral ; e’est-là un sujet très-connu et qui 
a mis assez souvent à découvert l'insuffisance philosophique, 
rationnelle et pratique de chacune des conceptions antérieures à 
celle qui a été l’objet principal de ce travail. 


CONCLUSION. 


Dans la seconde partie de l’étude que nous présentons , nous 
avons établi, en suivant presque complètement le système de M. 
Lamarle, les vrais principes des calculs transcendants. 


Par une discussion approfondie, nous avons, croyons-nous , 
fait ressortir toute la supériorité de ce nouveau système, mis en 
évidence sa rigueur absolue ainsi que l'insuffisance ou l'irrationna- 
lité des autres conceptions. 

Prise dans la nature des idées, et non dans les principes de 
opérations mathémaliques , OU ELLE NE SE TROUVE Pas , la nouvelle 
méthode revêt un caractère qui la distingue immédiatement des 
autres systèmes, et qui semble , au premier abord seulement , la 
rendre plus difficile. 

Si l'examen que nous venons de terminer a quelque mérite, 
son auteur en reporte tout l'honneur au savant qui, dans 
l'interprétation de sa nouvellle doctrine , a soutenu de ses conseils 
et de ses lumières un de ses élèves , heureux de lui offrir , par ce 
modeste travail , un bien faible témoignage de son respectueux at- 
tachement. 


FIN. 


97* 


TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES, 


Pages. 
INTRODUCTION. 445. 


PREMIÈRE PARTIE. 


ÉPOQUE ANCIENNE. 


CHAPITRE L. Méthode d'Exhaustion (ARCHIMÈDE). — pce 


critique de cette méthode. . . . 147 
CHAPITRE IL KÉPLER. . . . 158 
CHAPITRE III. Bonaventure CAVALLERT. — “Réfutation de e sa does 

trine des indivisibles . . . . 160 


CuaPiTRE IV.  ROBERVAL. — Sa génération naine moe, 

et ses tangentes. Insuffisance de cette méthode. . 167 
CHAPITRE V. PERMANENTE A pet ns res NT 
CRAPITRE ML BARROW EE, En) eee Er RATE 


SECONDE PARTIE. 


EPOQUE MODERNE. 


SECTION PRE CU eee Cet en EE ST ET 


EXAMEN CRITIQUE DES CONCEPTS CONNUS. 


Distinction générale de l'analyse transcendante. — 
Nécessité indispensable de l'Etude des diverses 

conceptions. « + LS UE MERS 

CHAPITRE Î. Analyse infinitésimale. — au de Leibnitz dan AO 
Calcul des successeurs de Leibnitz (les Bernouilli, 

J'HOSDita]) LC M NC AS IE 


CHAPITRE Il. 


Chapitre HI. 


CHAPITRE IV. 


CHAPITRE V. 


CHAPITRE L, 


CHAPITRE IL. 


— 295 — 

Aptitude nécessaire du calcul infinitésimal quant à 
la mise en Equation : SU 

Imperfection logique de l'analyse nas, HE 

L'infiniment petit ne peut exister . . . . 

Des définitions de Cauchyet Poinsot. . . : 

Les séries prouvent-elles l'existence des infinis . 

Le principe de continuité infirme le point de vue in- 
HNlÉSIMAl He 00e 5 Une 

Doctrine de Carnot sur la nrponeeten nécessaire 
des erreurs infinitésimales . . . NUL NT 

Méthode des premières et dernières raisons ou 
Méthode des limites. — Exposé succinct du principe. 
Défaut et insuffisance de ce concept . 

Théorie des fluxions. — Principes fondamentaux. . 

Identité générale du concept fluxionnel et de celui 
des limites . . . RATER Ne its MAS 

Insuffisance de la ne soneepen de Newton. . 

Calcul des Dérivées de Lagrange , ou théorie des fone-— 
tions analytiques et du calcul des fonctions. — Ex- 
position et appréciation philosophique du principe 
GS ALARME BON DPI SEP OUT 


Insuffisance de la seconde RE des dériva= 
tions 


Comparaison séncrale e Rs de Hot 
grandes conceptions infinitésimale, fluxionnelle 
BR DÉPENSES MONNIER 


SECTION IL. 


CONCEPTION DE M. LAMARLE. 


Examen «a priori des affections diverses que peut 
présenter le rapport. 


fx + h) — f(x) 
D 


Continuité de la fonction f” (æ) + . . . , + . 
De l'équation différentielle; sa vraie définition. — 
Différence ou accroissement différentiel. — Signi- 
fication de Ay par rapport à f (x). — Théorème 
“AESIMOVÉNNES LR ele re» 


183 
184 
185 
186 
187 


ID. 
189 
192 
193 
196 


497 


— 296 — 


CHAPITRE HI. Exposé nouveau des principales applications analy- 
tiques de l'Equation fondamentale 


je eee 


Règles particulières de dérivation, déduite d’un prin- 
cipe unique. — Différences des ordres supérieu— 
res. — Moyennes multiples . ‘ : 

CHAPITRE IV. Puissance acquise par l'analyse ne à l'aide 
de l'exacte définition de l'Equation différentielle. 

Mode d'application de la conception nouvelle aux ques- 
tions géométriques. —- Tangente-plan tangent. 

CHAPITRE V. Quelques exemples traités par chacune des méthodes 

d'analyse transcendante exposées précédemment 
4er Exemple. — Différentielle d'un arc de courbe . 
2e Exemple. — Du cercle Osculateur , son exacte 
définition. — Rayon de courbure. . . . . 
3° Exemple. — De la force centrifuge 

Aptitude de la Conception de M.Lamarle au calcul 
Antéprale)te 00 ambre ee Nr 

Conclusion . . . , + +. 


239 


250 


295 


262 
219 


290 
293 


AT CRE 


@ "| DA 


AJ N-PAQUE Examen des diverses méthodes employées pour l'établissement et le développement des calculs tanscendants 


Planche I. 


DL/22 0 LI 2 


AJ N-PAQUE 


Examen des diverses méthodes employées pour l'établissement et le développement des calculs transcendants. 


Planche. If. 


— 


Ffabl tt de A Dessain à Liège 


V. — Notice sur l’action du fer et du zinc dans les dissolutions 
des métaux dont les oxydes sont solubles dans l'ammoniaque. 


PAR 


Is. KUPFFERSCBLAEGER, 


PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. 


—— 2 D iQ ne 


Les métaux dont les oxydes hydratés se dissolvent dans un 
excès d’ammoniaque, sont : le zine, le nickel, le cobalt, le 
cadmium , le cuivre et l'argent. 

Nous ne rangeons pas l’étain dans cetie catégorie, parce que 

lhydrate stannique est incomplétement soluble dans l'ammoniaque, 
même ajoutée en excès, quoi qu'en dise M. Régnault (T. 3° de 
son cours de chimie, aux caractères des composés stanniques ); 
aussi M. Rose a-t-il soin de dire (dans son Traité de chimie 
analytique de 1858, page 245, ) à propos des sels stanniques : 
« l’'ammoniaque y produit un volumineux précipité d'oxyde stan- 
nique qui n'est pas tout à fait insoluble dans un excès du 
précipitant. » 
_ Cet oxyde est donc plus insoluble que soluble dans l'am- 
moniaque, ainsi que nous l'avons vérifié; quoi qu'il en soit, 
nous consacrerons quelques lignes à l'étain et au mercure, 
parce qu'ils nous ont offert diverses particularités bonnes à 
signaler. 

Lorsqu'on veut décomposer les dissolutions métalliques dont 
il s’agit plus haut, par le moyen du fer ou du zine, il n’est 
pas indifférent , surtout au point de vue de l'analyse, d'employer 
lun ou l’autre de ces deux métaux et de ne tenir aucun compte 
de la présence de l’'ammoniaque ou de son chlorure dans la 
liqueur, parce que les réactions changent notablement dans diffc- 
rents cas que nous allons exposer. 


38 


9208 Is. Kurrrenscuzarcer. — Notice sur l'action du fer et du zinc 


On sait que le fer et le zinc ne se précipitent pas réciproque- 
ment ni leurs dissolutions respectives non plus ; qu’ils ne produisent 
également rien dans les dissolutions zinciques additionnées d’am- 
moniaque ou de chlorure ammonique, mais, au contraire, qu'ils y 
conservent leur éclat métallique, même en vase ouvert. 

C'est, — ainsi qu'on l’a expliqué — , parceque la polarité 
électro positive de ces deux métaux est relativement diminuée 
par le contact des alcalis ; mais il n'en est pas de même pour 
les dissolutions des autres métaux dont il va être question ; 
et pour mieux faire ressortir la différence qui existe entre 


l'aciton du fer et celle du zinc , nous les placons parallèlement. 


ACTION DU FER. 


Lorsque l’on plonge une lame de fer 
dans chacune des dissolutions neutres 
de nickel, de cobalt, de cadmium, 
d’étain, de cuivre, d'argent et de mer- 
cure , les quatre premières dissolutions 
ne sont point précipitées, tandis que 
les trois dernières le sont à l’état de 
métal réduit. 

Avant d'aller plus loin, nous ferons 
observer qne la manière de voir des 
chimistes varie à l'égard de l’action du 
fer sur les dissolutions d’étain. 

Ainsi , 4° MM. Thénard père, Ré- 
gnault, Barruel et Malaguti , ont rap- 
porté , dans leurs Traités de Chimie, 
que le fer précipite l’étain de ses sels; 
90 MM. Berzélius, Dumas , Rose, Bau- 
drimont, Frésénius, Will et Cahours, 
ne mentionnent pas cette réaction; par 
conséquent ils n’attribuent pas cette pro- 
priété au fer ; 3° M. Normandy, dans ses 
tableaux d'analyse chimique , dit : le fer 
précipite les dissolutions d'or, d’ar- 
gent , de cuivre , de tellure et d’anti- 
moine; 4° quant à nous, il nous a été 
impossible d'obtenir la moindre trace 
d’étain réduit par l’emploi du fer dans 
les différents essais que nous rapportons 
plus loin. 


ACTION DU ZINC. 


Le zinc placé dans les 
mêmes dissolutions ne 
précipite pas les deux 
premières, mais bien les 
cinq dernières à l’état de 
métal réduit. Toutefois , 
les dissolutions d’étain se 
comportent différemment 
selon qu’elles sont stan- 
neuses on stanniques ; il 
ensera question plusloin. 
On verra que nous ne 
sommes pas tout à fait 
d'accord avec ce que di- 
sent MM. Rose ( p. 247} 
et Frésénius ( Analyse 
qualitative , p. 118), 
de la précipitation des 
sels stanniques : nous 
admettons qu il se préci- 
pite toujours de l’oxyde 
stannique , que la dis- 
solution ait été faite avec 
de l'acide azotique ou 
sans. 

Bien que Berzélius ait 
rapporté ( Traité de chi- 
mie, dernière édition, 
T. 4, p. 148) que le zinc 


dans les dissolutions des métaux dont les oxydes sontsolubles, etc. 299 


a 


ACTION DU FER. 


C'est pourquoi nous pouvons con- 
clure de tout ce qui précède, que le 
fer ne précipite point l’étain à l’état 
métallique ; et ce qui nous porte à croire 
que les quatre chimistes cités en pre- 
mier, n’ont ni vu ni obtenu cette pré- 
cipitation, c'est qu'ils ont écrit : Une 
lame de fer ou :de zinc ; ou bien, le fer 
et le zinc; ou encore : le fer, le zinc 
et autres, etc., réduisent les sels d’étain, 
et qu'ils n’indiquent jamais le fer seul 
pour produire cette précipitation. Du 
reste , on sait que l’étain a plus d’affinité 
que le fer pour le chlore; par consé- 
quent ces chlorures ne doivent pas être 
réduits à l’état métallique par le fer. 

Pour ce qui est de la réduction de 
l'argent, M. Rose dit, dans l'ouvrage 
déjà cité , T. 1%, page 166 : « Le fer mé- 
tallique ne réduit pas la dissolution de 
nitrate d'argent. » C’est inexact el con- 
iraire à ce que rapportent Berzélius, 
Régnault , Normandy et Barruel. Cepen- 
dant, comme nous avons fait, à plu- 
sieurs reprises , toutes les expériences 
qui sont consignées dans cette Notice, 
nous dirons que M. Rose a pu fort bien 
ne pas obtenir la précipitation de l’ar- 
gent par le fer , parce qu’elle n’a pas lieu 
chaque fois : pour la réussir , il faut 
opérer avec une dissolution argentique 
non étendue, du fer bien décapé etun 
peu rugueux ; On est ainsi dans les meil- 
leures conditions pour réduire l’azotate 
argentique , qui laisse déposer au bout 
d’un certain temps de l'argent réduit et 
plus blanc que lorsqu'il a été précipité 
par le zinc ou le cuivre. C’est donc parce- 
que ces deux derniers métaux précipitent 
l'argent dans toutes les conditions et 
rapidement , alors qu’il n’en est pas de 
même pour le fer, qu'on a pu se mé- 
prendre, car le fer réduit lazotate ar- 
sentique en vase clos et en vase ouvert. 


ACTION DU ZINC. 


DEEE 


précipite, d'après Tup- 
puti, de l’hydrate niccoli- 
que vert, de la disso- 
lution de nickel, lors- 
qu’on opère au Contact 
de l'air, il nous à été 
impossible de reproduire 
cette réaction ; chaque 
fois nous avons obtenu 
loxydation du zinc , à la 
longue, et pas la moin- 
dre trace de celui-ci en 
dissolution dans la li- 
queur. 

Le sulfate niccolique 
employé était cristallisé 
et neutre; mais si l’on 
fait usage d’un sulfate de 
nickel acide, alors le zinc 
sera immédiatement atta- 
qué et son oxyde, ainsi 
formé, pourra déplacer de 
l'oxyde niccolique ; c’est 
ce dernier cas qui S est 
peut-être produit dansles 
expériences de Tuppult , 
car les chimistes n’indi- 
quent pas cette réaction. 


500 Es. KuprreuscuLascer. — Notice sur l'action du fer et du zinc 


Mais lorsque les dissolutions sont ammoniacalisées ou addi- 


AMMONIACALISÉES 


(PCUR REDISSOUDRE LES PRÉCIFITÉS D'ABORD FORMÉS.) 
DISSOLUTIONS. 


LE ZINC. 


4° En vase fermé. 
Niccoliques. N'a rien produit, mêmelAprès plusieurs jours, 
au bout de plusieurs jours;| formation d’un dépôt 
il y a conservé son éclat! blane, floconneux, inso- 
métallique. luble dans l’eau et so- 
luble dans le chloride 
hydrique. La dissolution 
n'a fourni que les réac- 
tions du zinc. La lame 
de zinc, débarrassée de 
ce dépôt, était recou- 
verte d’aspérités grises, 
qui enlevées et dissoutes 
dans le chloride hydri- 
que ont donné lieu à un 
dégagement d'hydrogène 
et à une dissolution re- 
connue zincique. 


2° En vase ouvert. 
À produit , après vingt-. À réagi presqu'aussitôt : 


quatre heures de contact, 
un léger dépôt paraissant 
bleuâtre dans la liqueur ; 
celle - ci sentait encore 
l'ammoniaque , avait con- 
servé sa transparence et sa 
teinte bleue; l'éclat du fer 
n’était point terni. 

Le dépôt bien lavé, puis 
redissous par le CIH et 
essayé , a donné les réac- 
tions de l’oxyde de nickel. 


il a produit aussi, à la 
longue , un précipité flo- 
conneux bleuâtre , qui 
devenait vert à mesure 
qu'il se dessèchait sur le 
filtre , et enfin gris par 
une dessiccation Com- 
plète. Sa dissolution dans 
le CIH a présenté les 
principaux caractères des 
composés niccoliques et 
un peu ceux des zinci- 
ques aussi. 


Cest évidemment à la volatilisation d’une partie de 
l’'ammoniaque et à l'acide carbonique de l’air que 
l’on doit attribuer la précipitation de l’oxyde nic- 
colique dans ces deux cas , puisque le fer avait con- 
servé son brillant, et qu’on sait que le carbonate 
ammonique précipite les dissolutions de nickel. Le 
même précipité se produit sans plonger aucun métal 
dans la dissolution ammoniacalisée exposée à l'air. 


EDS Le PAU TES 


dans les dissolutions des métaux dont les oxydes sont salubles, ete. 501 


tionnées de chlorure ammonique , voici ce qui <e passe : 


ADDITIONNÉES DE CHLORURE AMMONIQUE 


LE FER. 


LE ZINC. 


4° En vase fermé. 


À produit du jour au lendemain 
un dépôt des deux couleurs verte 
et jaune, et formé d’oxydes fer- 
rique et niccolique, car l’ammo- 
niaque versée dessus a dissous la 
partie verte. 


A donné lieu à un dépôt blanc- 

verdâtre sur la lame de zinc, 
insoluble dans leau , soluble 
dans le CIH, et la dissolution a 
fourni les caractères du zinc et 
très-peu ceux du nickel. 


Ce sont donc principalement les deux métaux qui ont été attaqués 
tant par le chlorure ammonique que par l’oxygène de l'air con- 
densé dans les liqueurs ; du reste le fer est attaqué en vase fermé, 
au bout de vingt quatre heures dans une solution de sel am- 
moniac, qui se colore en jaunâtre. 


Do En vase ouvert. 


Léger précipité floconneux, jau- 
nâtre et insoluble par l’ammo- 
niaque. Dissous au moyen du CIH, 
la dissolution a donné exclusi- 
vement les réactions de l’oxyde 
ferrique. 


Comme dans les liqueurs am- 
moniacalisées. 


Ces réactions confirment l'explication donnée un peu plus haut. 


992 Is. KupFrErccuLArGEn. — Notice sur l'action du fer ei du zinc 


a 


AMMONIACALISÉES. 


DISSOLUTIONS. 


LE ZINC. 


4° En vase fermé. 
Cobaltiques. |Na rien produit: après qua-[A produit aussitôt une 

rante huit heures il possé-| réaction, et après vingt 

dait encore son brillant) quatre heures, un pré- 

métallique. cipité blanc, qui dissous 
dans le CIH a fourni 
toutes les réactions du 
zinc ; C'était donc son 
oxyde. 


9 En vase ouvert. 


Après vingt quatre heures [Même réaction que ci- 
précipité bleu lavande ,| contre à gauche ; le pré- 
un peu verdätre par des-| cipité était plus abon- 
siccation. dant parce qu'il conte- 

Dissous dans le CIH, carac-| nait un peu d'oxyde zin- 
tères des dissolutions co-| cique. 
baltiques. 

Cette précipitation est due à la volatilisation partielle 
de l’ammoniaque et à l'influence de lair. 


3° En vase fermé. 


Y est resté brillant. À réagi immédiatement : 
aiguilles brillantes de 
cadmium réduit, et la 
dissolution séparée était 

| du sulfate zincique. 


Cadmiques. 


4° En vase ouvert. 


Après vingt quatre heures ,| A pris immédiatement une 
pres MSA 

précipité floconneux, blanc,| teinte noire et sest re- 
légèrement jaunâtre , d’o-| couvert aussitôt de pail- 


xyde cadmique hydraté , 
mêlé d’un peu d’oxyde fer- 
rique. Lavé et dissous , il 
a donné les caractères des 
composés cadmiques. Le 
fer était resté brillant,sauf 
dans quelques points de sa 
surface. 


lettes brillantes de ead- 
mium réduit. Le lende- 
main , abondant dépôt 
gris de cadmium qui ad- 
hérait au zinc. 


dans les dissolutions des métaux dont les oxydes sont solibles, etc, 505 


ADDITIONNÉES DE CHLORURE AMMONIQUE. 
RENE eq 2 Rent 1 LUN A 


LE FER. . LE ZINC. 


4° En vase fermé. 


À réagi de suite, mais lente- |A réagi de suite aussi, et après 
ment , et après vingt quatre heu- | vingt quatre heures , précipité 
res, dépôt floconneux, brun foncé | blanc qui a donné les réactions 
qui, dissous dans le cl et | de l’oxyde zincique. 
essayé , a donné les réactions des 
sels ferriques exclusivement. 


90 En vase ouvert. 


Après vingt quatre heures, pré- |Précipité blanc rosé , qui a mon- 
cipité floconneux , jaunâtre, qui | tré les réactions du cobalt. 
dissous dans le clH à fourni les 
réactions du cobalt et un peu 
celles du fer. 


5° En vase fermé. 


Rien ; il est resté brillant. |A produit une mousse grise, de 
cadmium réduit, et la liqueur 
séparée était du sulfate zincique. 


4° En vase ouvert. 


Comme à la 4° colonne de gau- [Comme en vase fermé. 
che. 

Les dissolutions cadmiques sont 
plus profondément attaquées 
dans ce cas que dans celui des 
dissolutions ammoniacalisées. 


594 Is. Kurrrenscuragen. — Notice sur l'ac'ion du fer et du zinc 


AMMONIACALISÉES. 


DISSOLUTIONS er — 


LE FER. LE ZINC. 


| CICR PETER DOTE STE TIR 
49 En vase fermé. 


Cuivriques. [Rien; il a conservé son|A réagi immédiatement, 
brillant. mais lentement : le cuivre 

s'est déposé sur les deux 

faces de la lame de zinc, 

et a formé, enfin, des den- 

drides fines, d’un brun rou- 

geâtre, et brillantes lors- 

qu’on les agitait dans la 

liqueur devenue incolore. 


90 En vase ouvert. 


A la longue : précipitélA produit immédiatement 
d'oxyde ferrique. un précipité de cuivre ré- 
duit, sous la forme de peti- 
tes paillettes rondes, bril- 
lantes, de couleur rouge 
clair; plus tard , un dépôt 
floconneux de cuivre bril- 
lant, de couleur rouge- 
brun. 


4° En vase fermé. 
HiAUtuts, Rien si l’'ammoniaque est|Précipite de l'argent réduit, 
en excès ; mais si on n’en! de couleur gris noirâtre. 
a mis que juste ce qu'il 
faut pour redissoudre 
l’oxyde argentique, alors 
le fer peut, au bout de 
plusieurs heures, préci- 
piter de l'argent réduit 
en mamelons adhérents 
au métal réducteur. 


Do En vase ouvert. 


De même. Idem. 


Le cuivre précipite immédiatement l'argent de ses 
dissolutions ammoniacalisées , en vase clos et en 
vase ouvert, sous forme de flocons gris. 


dens les dissolutions des métaux dont les oxydes sont solubles, etc. 505 


pm 


ADDITIONNÉES DE CHLORURE AMMONIQUE. 


"a 


L4 
LE FER. LE ZINC. 


EE G  Ÿ 


10 En vase fermé. 


A réagi immédiatement et s’est|A fait apparaître immédiatement 
recouvert d'un enduit rouge de un précipité brun, en mousse non 
cuivre. brillante, de cuivre réduit. 


2° En vase ouvert. 

Comme en vase fermé. | _ Idem. 

Comme le chlorure ammonique produit un précipité blanc de chlo- 
rure argentique, nous avons ajouté d’abord de l’ammoniaque pour 
redissoudre ce dernier,et puis les deux métaux fer et zinc. 

1° En vase fermé. 


À réagi lentement, et la réduction|Est devenu noir aussitôt, et l’ar- 
a été complète au bout de huit} gent s’est précipité en longs flo- 
heures : précipité d'argent en| cons noirs, qui agités dans de 
rameaux blancs. l'eau acidulée de clH. ont pris 

une teinte grise d'argent réduit. 


90 En vase ouvert. 


Même réaction, mais moins lente. Idem. 


Le cuivre précipite dans ce cas l’argent en gris noir. 


506 Is. KurrrenscuLazgen. — ÂNotice sur l'action du fer et du zinc 


SANS AMMONIAQUE, 
puisque celle-ci ne dissout pas complétement les oxydes 
d’étain. 
DISSOLUTIONS | ———“ûû nn 


LE FER. LŸE ZINC. 
Em 


40 En vase fermé. 


Stanneuses. |N'a rien produit, même au |A réagi immédiatement et 
bout de cinq heures de) adonné lieu à de l’étain ré- 
contact. duit. 


90 En vase ouvert. 


Rien après le même DROTR en vase fermé. 
de temps. 


4° En vase fermé. 


Stanniques. |Transforme les sels stan-[Si la dissolution stanni- 
niques en stanneux, et il] que a été faite avec de 
devient sel ferreux. l'eau Régale, et jusqu'à 

refus de dissoudre de l’é- 
tain, le zinc y plongé 
donne lieu d’abord à un 
précipité blane gélatineux 
d'oxyde stannique, et en- 
suite à un léger dépôtgris, 
d’étain pulvérulent, sur la 
lame de zinc; il est peu 
apparent. 

Si la dissolution stannique 
a été obtenue en dissol- 
vant de l’hydrate stanni- 
que (précipité par l’am- 
moniaque et bien lavé) 
dans de l'acide chlorhy- 
drique, à chaud et jusqu’à 
refus , pour qu'il n’y ait 
point un excès d'acide, le 
zinc en précipite d’abord 
de l’oxyde stanniquegéla- 
tineux, et à la longue, de 
l’étain réduit sous forme 
d’écailles minces adhéren- 
tes au zinc. 

Quand la dissolution est 
acide, la quantité d’étain 
réduit est plus forte; ce 
qui est dû à l’hydrogè ne. 


dans les dissolufions des métaux dont les oxydes sont solubles, ete. 507 


ADDITIONNÉES DE CHLORURE AMMONIQUE. 


EEE mm" 
| 
LE FER. | LE ZINC: 


1° En vase fermé. 


Rien, même après dix heures de[A réagi aussitôt : mousse grise, 
contact. non brillante, d’étain réduit. 
2e En vase ouvert. 
Rien. fre plus haut. 


4° En vase fermé. 


Ramène la dissolution stannique|Réagit immédiatement et produit 

à l'état stanneux, et est lui-| un précipité d'oxyde stannique 
même transformé en chlorure fer-| gélatineux, puis après, un peu 
reux. d’étain métallique. 


908 Is. KuprrenscnLAEGER. — Notice sur l'action du fer et du zinc 


oo, 


SANS AMMONIAQUE, 
puisque celle-ci ne dissout pas complétement les oxydes 
d’étain. 
TT 


DISSOLUTIONS. 


LE FER. LE ZINC. 


90 En vase ouvert. 


Stanniques. [La même réaction se pro-|La même chose qu’en vase 

duit d’abord, et à la lon-| fermé, 
gue, c’est-à-dire après 
vingt-quatre heures, il se 
forme un précipité blanc 
jaunâtre , d’oxydes fer- 
rique et stanneux ou 
sesquioxyde stannique . 
Cest par l'oxygène de 
l'air que le fer excédant 
s'oxydeet détermine cette 
dernière réaction, ainsi 
que nous l'avons déjà 
rapporté pour d’autres 
dissolutions. C'est aussi 
en traitant le chlorure 
stanneux par del’hydrate 
ferrique que M. Fuchs a 
obtenu le sesquioxyde 
stannique. 


dans les dissolutions des métaux dont les oxydes sont solubles, etc. 509 


0 


ADDITIONNÉES DE CHLORURE AMMONIQUE. 


Rem 2 NT Eee 


LE FER. LE ZINC. 


90 En vase ouvert. 


Comme en vase fermé. Comme en vase fermé. 


Dans les différents cas dont il est question dans ce tableau, le zinc 
enlève tout le chlore à l’étain et élimine complètement celui-ci de 


ses dissolutions ; les liqueurs examinées après les réactions étaient 
uniquement zinciques. 


510 Is. Kurrrenscurarcgr. — Notice sur l’action du fer et du zine 


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se ml inter 


dans les dissolutions des métaux dont les oxydes sont solubles, etc. 511 


Des expériences qui précèdent, nous concluons : 

4° que l’ammoniaque ne modifie l'action du fer et du zinc dans 
les dissolutions de Nickel, de Cobalt, de Cadmium, d'Argent et de 
Cuivre, que par rapport à ce dernier , dont elle empêche la préci- 
pitation par le fer et non par le zinc. Elle n'empêche pas, non plus, 
le cuivre de précipiter l’argent ; 

20 que le chlorure ammonique ne change pas la manière 
d’agir ordinaire des deux métaux dans les mêmes dissolutions ; seu- 
jement on peut remarquer qu'il active un peu Faction du fer et 
celle du zine, en les décapant probablement, ce qui détermine le 
commencement de la réaction par laquelle se forment les chlorures 
doubles. Il en est de même pour le cuivre dans les dissolutions 
argentiques ; 

3° que le fer peut réduire à l’état métallique les dissolutions 
d'argent, et qu’il ne peut le faire pour celles d’étain ; qu’en consé- 
quence, il faut, pour être certain de réussir dans ces deux cas, 
employer le zinc. 

Tels sont les résultats que nous avons obtenus : en les publiant, 
nousavons eu en vue de fixer des faits qui ne l’étaient point et sur 
lesquels on n’était pas d'accord. parce que l’on croyait, générale- 
ment, que l’ammoniaque et son chlorure empêchent certaines 
réactions qui, au contraire, se produisent très-évidemment : telles 
sont celles du zine et du cuivre dans les dissolutions cadmiques, 
cuivriques, argentiques et mercuriques, additionnées de l’un ou de 
l'autre de ces deux composés alealins ; et qu’en outre l'on poussait 
trop loin la similitude entre l’action du zine et celle du fer. 


Liège , le 10 mars 1860. 


VI. — Nouvelle Méthode pour déterminer le centre de 
gravité des corps 


PAR 


E. TERSSEN, 


MAJOR D'ARTILLERIE , OFTICIER DE L'ORDRE DE LÉOPOLD. 


SOMMAIRE : 


À. Application aux projectiles oblongs ou allongés. 
B. Application aux corps de révolution qui n'existent qu’en projet. Détermi- 


nation de l’aire de la section génératrice et du poids du solide engendré. 


€. Solution générale du problème. 


A. APPLICATION AUX PROJECTILES OBLONGS. 


Le Journal de l'artillerie Espagnole et la Revue de Technologie 
militaire , par le Colonel L. Delobel , ont fait connaitre l'Excen- 
trimétre que j'ai construit en 1846. Cet instrument n'était qu'un 
cas particulier d’une nouvelle espèce de balances que j'appelle 
Centroscopiques, parce qu'elles ont pour fonction de déterminer 
la position du centre de gravité des corps. 

L’Excentrimètre sert à mesurer la distance du centre de gravité 
au centre de figure des projectiles sphériques, c’est-à-dire leur 
excentricité. La nouvelle balance que j'ai construite en 1858, 
et qui est re; résentée Planche I , est destinée aux balles oblongues 
ou allongées. Rien ne serait, du reste, plus facile que 
d'en faire une balance pour boulets et obus ogivo-eylindri- 
ques , car il suffirait de proportionner ses dimensions à celles 
de ces projectiles, 

40 


914 1. Tenssen. — MVouvelle Méthode pour déterminer 


La balance centroscopique destinée aux balles allongées se 
compose d'un fléau, d’un bassin et d'un pied ou support. Fig, 1. La 
forme générale du fléau est celle d'une cuiller dont le cuilleron , 
trés-allongé , est divisé en deux parties de même longueur par 
une plaque de séperation. La projection horizontale du ceuil- 
leron est représentée Fig. 2 ; on y remarque deux plans inclinés, 
séparés par une gouttière, et taillés en lime pour empêcher 
les balles de glisser. Le bassin est suspendu à l'extrémité 
opposée au euilleron, et le couteau se trouve à égale dis- 
tance du milieu de la plaque de séparation du cuilleron et du 
point de suspension du bassin. La balance (fléau et bassin } est 
en équilibre à vide. 

Le pied ne diffère guère des pieds de balances ordinaires, 
si ce n'est que, sur le côté droit du montant, se trouve fixé 
un support coudé terminé par une chape de forme rectangulaire. 
Cette chape donne passage au fléau, et sert à plusieurs fins. 
D'abord elle permet d'arrêter le fléau au moyen d’une broche 
traversant le fléau et les deux côtés de la chape. En second lieu, 
elle limite les oscillations du fléau , ce qui est indispensible, 
car la balance n'ayant qu’un seul bassin, est exposée à se renverser 
complètement [lorsque son équilibre vient à être détruit. Enfin 
la position d'équilibre du fléau est indiquée par deux repères, 
un tracé sur le fléau, l’autre sur la chape , ce qui dispense de 
l'emploi d’une aiguille. 

Dans les premières balances qui ont été construites, il ar- 
rivait souvent que le fléau touchait l’un des côtés de la chape, 
et s'arrêtait court par suite de l’adhérence. On a remédié à 
cet inconvénient en arrêtant le couteau dans le sens de sa 
longueur , par deux petites plaques faisant ressort, et en cou- 
pant les deux extrémités du couteau en sifflet, de manière 
qu'elles ne touchent aux plaques que par un point. Ona , en 
même temps , beaucoup augmenté la longueur du couteau , afin 
de mieux assurer la position du fléau. La Fig. 5 représente la 
coupe de la fourche porte-fléau par un plan vertical pas- 
sant par l'arête du couteau. 

Une particularité digne de remarque, et qui est inhérente 
à toutes les balances centroscopiques , c’est que le corps placé 
sur le fléau agit comme s'il en faisait partie; de telle sorte 
que le centre de gravité du système sélève ou s’abaisse suivant 
que le centre de gravité du corps se trouve au-dessus où au-dessou 


le centre de gravité des corps. 319 


du centre de gravité du fléau à vide. Delà résultent plusieurs 
conséquences importantes au point de vue de la construction des. 
instruments de l'espèce. 

1° En ce qui concerne la balance pour balles allongées, premier 
objet de cette notice , il faut que le prolongement de l’axe de la 
balle du plus fort calibre, placée sur le cuilleron , ne passe 
pas au-dessus de Farête du couteau , afin que le centre de 
gravité du système ne puisse, en aucun cas, se irouver sur 
eelle arêle , ce qui aurait pour effet de rendre la balance 
paresseuse, ni au-dessus , ce qui la rendrait fulle, Il faut donc 
que le coude du fléau soit calculé d’après le diamètre de la 
plus grosse balle en usage. 

2° Le coude du fléau ayant été calculé pour la balle du plus fort 
cahibre , si on remplace celle-ei par la balle du plus petit calibre 
le centre de gravité du système descend , et si la différence 
entre ces deux balles est très-grande , la balance peut devenir 
sourde. [1 faut alors adapter au fléau , au-dessus du couteau 
et bien d'équerre, une vis fixe, sur laquelle se meut un éerou 
d'un poids suffisant pour faire monter le centre de gravité à 
Ja hauteur convenable. (*) Mais ce dispositif est généralement inutile 
pour des différences qui n’excèdent pas celles des calibres actuelle- 
ment en usage dans les armées Européennes. 

3° Il est bon que le poids du fléau soit notablement plus 
grand que le poids de la plus grosse balle , afin que ce dernier 
ait moins d'influence sur la position du centre de gravité du 
fléau chargé. 

La détermination du centre de gravité des balles allongées , 
au moyen de la balance centroscopique, est trés-simple , très- 
expéditive et aussi exacte qu'on peut le désirer. On commence 
par équilibrer le fléau à vide sil ne l'est déjà, puis on place 
la balle sur le cuilleron, sa pointe appuyée à la plaque de 
séparation, et l’on pèse. On place ensuite la balle sur l’autre 
partie du euilleron, sa pointe toujours appuyée à la plaque de 
séparation , et l’on pèse de nouveau. Il suffit alors de diviser 
la différenee des deux poids par leur somme, et de multiplie 
le quotient par la distance de l’arête du couteau au milieu 


(*) On pourrait aussi faire l'inverse ; c’est-à-dire calculer le coude pour une 
balle de petit calibre et placer la vis avec son écrou mobile au-dessous du fléau 
comme le moutre la Fig. 5, Planche 11. 


516 E. Tencsex. — Nouvelle Methode pour déterminer 


de la plaque de séparation du cuilleron, pour avoir la distance 
de ce dernier point au centre de gravité de la balle. Par consé- 
quent , si l’on retranche du produit la demi-épaisseur de la 


plaque , ona la distance du centre de gravité de la balle à sa 
pointe. 
Pour le prouver, soient : 


P le poids de la balle, Fig. 4 ; 


Q et Q/ les poids qui lui font successivement équilibre dans 
les deux positions inverses 1 et 2; 


a la distance de l’arête du couteau au milieu de fa plaque 
de séparation du cuilleron ; 


b la distance de la même arête au point de suspension du 
bassin ; 


c l'épaisseur de la plaque de séparation ; 


? 


d la distance du milieu de la plaque de séparation au centre 
de gravité de la balle ; 


e la distance du centre de gravité de la balle à sa pointe. 


Les deux pesées donnent les équations : 


P(a+d)=Q0 
P(a—d) = Qb 


Divisant la première équation par la seconde, on a : 


CO) 
a — (| O7 
D'où lon tire : 
d = Qi 9 @ 
Q+Q 


Co 
Remplaçant d par e + 5 , on trouve : 


ste ni SE 


le centre de gravité des corp*. o17 
0 (0e OU se 
Due ne 


Lorsque les constantes a et c sont exprimées en millimètres, 
la valeur de e est elle-même exprimée en milliniètres, Dans la 
balance représentée Planche I, a — b = 109 mill. et c = 2 mil. 
La valeur de e est donc simplement : 


! 
D Ca 
QQ 
De plus, si l'on ajoute les deux équations d'équilibre ; membre 
à membre, on en déduit : 


nr 
2 


C'est-à-dire que le poids de la balle est la moyenne arithmétique 
des deux poids obtenus par la double pesée, 

Un mot, avant de terminer, sur lutilité de ma balance. 
Lorsque les balles étaient sphériques , on pouvait, sans inconvé- 
niept, admeitre que leur centre de gravité était exactement au 
centre de figure , en sorte que la position du premier de ces points 
n'importait pas à la balistique (*). Mais ilen est tout autrenient 
du moment que les balles affectent des formes ailongées , poin- 
tues, évidées , etc. ; car alors la position du centre de gravité 
a une influence prépondérante sur la marche du mobile, Or, 
les formes des nouvelles balles, chez les diverses puissances 
de l'Europe, sont tellement variées, et la plupart s'éloignent 
tellement des formes géométriques élémentaires, que le caleul , 
mème approximatif, de leur centre &@e gravité est sinon im- 
possible du moins extrémement laborieux. Avec la balance 
centroscopique , celte opération se réduit, en définitive, à une 
double pesée , une addition , une soustraction et une division. 


(#) Ceci ne s’applique point , bien entendu, aux bombes et obus sphériques , 
dont l’excentricité est très-sensible et joue un rôle important. 


918 EE. Tenssen. — Nouvelle Méthode pour déterminer 


#B. APPLICATION AUX CORPS DE RÉVOLUTION QUI N'EXISTENT QU'EN PROJET. 
DÉTERMINATION DE L’AIRE DE LA SECTION GÉNÉRATRICE ET DU POIDS 
DU SOLIDE ENGENDRÉ. 


Ci) 


Depuis que le chapitre précélent a été écrit, j'ai eu besoin, à 
plusieurs reprises, de calculer la position du centre de gravité ct 
le poids de projectiles ogivo-cylindriques qui n’existaient encore 
que sur le papier. Malgré une longue habitude du caleul, et tout 
en me contentant d’une approximation assez grossière , j'ai trouvé 
parfois ce travail extrêmement pénible. L'idée m'est venue alors 
d'employer la balance centroscopique, et le résultat que j'ai ob- 
tenu est tel qu'il m'a paru digne d’être connu. 

Je donnerai d’abord le problème général ; puis j'en ferai l’appli- 
cation à un corps de révolution , en prenant pour exemple un 
obus ogivo-cylindrique d’un système particulier. 

On sait que les figures dont on peut déterminer exactement l'aire 
et le centre de gravité sont relativement peu nombreuses. L’in- 
dustrie et les arts d'application emploient souvent des figures variées 
qui s'écartent complètement des figures géométriques, etauxquelles, 
par conséquent , les méthodes exactes ne sont pas applicables. Pour 
caleuler l’aire de ces figures , les constructeurs n’ont d’autre res- 
source que la formule de Thomas Simpson. Mais l'application de 
cette formule exige une foule d'opérations graphiques, qui la 
rendent compliquée, lente et sujette à erreurs ; et c’est bien pis 
encore quand , voulant calculer le volume ou le poids du solide 
engendré par une de ces figures, on cherche à déterminer son 
centre de gravité. 

Or, la balance centroseopique peut nous donner, avec la plus 
grande facilité , dans un temps relativement court, et avec une ap- 
proximation très-suflisante : 

1° L’aire d'une figure plane quelconque ; 

2° La position de son centre de gravité. 

Si done la figure dont il s’agit est la section génératrice d’un 
solide , ct que l’on connaisse lelieu des diverses positions que son 
centre de gravité occupe pendant la génération, ou eu d’autres 
termes , le chemin parcouru par ce centre , rien ne sera plus facile 
que de calculer le volume ou le poids du solide engendré. De 


le centre de gravité des corps. 919 


sorte que le problème comprend non-seulement les corps de 
révolution, mais tous ceux auxquels la loi de Guldin est ap- 
plicable. 

Les Fig.5 et 6, Planche IT, font voir de quelle manière le fléau 
de la balance représentée Planche T doit être modifié. Le cuille- 
ron, qui est une forme particulière appropriée aux projectiles 
oblongs , est remplacé par un disque de 150 mill. de diamètre, 
fixé au fléau , et horizontal lorsque le fléau est en équilibre. Sur 
ce disque sont tracés deux diamètres à angle droit , dont l'un AB 
est perpendiculaire à la direction du fléau. L'arête du ceou- 
teau est à 100 mill. du point de suspension du bassin, comme 
dans le fléau à euilleron , et à 100 mill. du centre du disque. La 
balance (fléau et bassin) est toujours censée en équilibre à vide. 

Voiei comment on opère pour trouver le poids d’un solide de 
révolution qui n'existe qu’en projet 

Tracer la section génératrice du corps sur de bon papier à des- 
siner , serré et homogène, tel que le Bristol, en ayant soin d'y 
tracer deux axes, l’un ab parallèle à l’axe de révolution yz ou se 
confondant avec lui, l’autre cd perpendiculaire au premier, Fig. 7. 
— Découper exactement la section génératrice , et la placer sur le 
disque du fléau , de manière que les deux axes couvrent les deux 
diamètres, par exemple , ab sur AB, et peser. — Faire décrire un 
demi-tour à la section ( il n’est pas nécessaire de la retourner à 
l'envers , la symétrie n'étant pas de rigueur ); faire coïncider de 
nouveau les axes et les diamètres , ab sur AB , et peser. — Enfin 
recommencer la double pesée , en faisant coïvcider deux fois cd 
et AB. 

La première double pesée fait connaître la distance du centre de 
gravité de la section à l’axe ab , et la seconde à laxe cd, par la 
formule 


} 
dans laquelle E est la distance cherchée , Q et Q les poids obtenus 
par chaque doubie pesée. 

En outre , la comparaison des poids Q et Q montre de quel côté 
se trouve le centre de gravité de la section par rapport à l’axe qui, 
pendant chaque double pesée, coïncidait avec le diamètre AB ; 
car si, par exemple , Q@ est plus grand que Q", cela veut dire 
évidemment que le centre de gravité était à gauche de AB 


520 E. Tenssen. — Nouvelle Methode pour déterminer 


( du côté opposé au couteau ), quand Q lui a fait équilibre. On a 
donc tous les éléments pour déterminer la position o du centre de 
gravité de la section génératrice, et par suite sa distance 00! à 
l'axe de révolution. 

Désignant par S l'aire de la section génératrice, en décimètres 
carrés ; par R la distance de son centre de gravité à l’axe de révo- 
lution , en décimètres ; par P le poids du solide engendré , en kil. ; 
et par à sa densité, on a d’après Guldin : 


P=9%rRSO 


Pour trouver la valeur de S , il faut d’abord connaître le poids 
d'une portion du même papier dont la surface soit exactement dé- 
terminée ; par exemple, un cercle d’un décimètre de diamètre. 
C'est une pesée une fois à faire, pourvu qu’on se serve toujours 
du même papier. Soient S’ la surface de ce cercle, p’ son poids , 
et p celui de la surface S. L’épaisseur et la densité du papier étant 
les mêmes, de part et d'autre, on a la proportion 


S p 
ER 
? D TT ” _e « 4 
D'où, en observant que S! — —— décimètres carrés , 
q L 2 
TE 
dia 
4 p 


Comme p est égal à la moyenne (0 + Q') d'une double pe- 


sée, moyenne qui doit être la même pour les deux doubles pesées 
si l'opération a été bien faite , la valeur de S est entièrement déter- 
minée (*). Substituant cette “sans dans l'expression du poids du 
solide, cette dernière devient 


(*) On remarquera que si l’on veut simplement connaître l’aire d’une figure 
sans s’occuper de son centre de gravité, la balance ordinaire suflit, pourvu 
qu’elle soit assez sensible. 


le centre de gravité des corps. 921 


pu n° RO ne 
2 p 


P—4.953R0O 


Prenons maintenant pour exemple lobus ogivo-cylindrique dont 
la section génératrice est représentée Fig. 8, et choisissons pour 
axes , ab génératrice de la surface cylindrique du projectile et cd per- 
pendiculaire à l'axe de révolution yz. Le poids d’un cerele d’un dé- 
cimêtre de diamètre étant p' = 5-15 grammes, les deux doubles 
pesées donnent pour la section génératrice du projectile : 


— 1:79... (l'axe de l’obus à gauche de AB.) 

MAR res 1 ( l'axe de l’obus à gauche de AB.) 
Q—Q'— 0.45 
QHQ = 2-99 
p = 1.495 

È Q = 1.495... (la tête de l'obus à gauche de AB.) 
ca sur AB... Q'— 1.495 
Q — Q'— 0-00 
Q + Q'— 92.99 
p = 1-495 


La première double pesée fait voir que le centre de gravité de 
la section se trouve entre ab et yz, ce qui était du reste évident ;- 
la seconde qu'il est sur la ligne cd. Effectuant Îcs calculs, on 
trouve : 


mill 
E = 15-1 pour la première opération ; 
E/— 0-0 pour la seconde. 


Retranchant la première de ces valeurs du demi-diamètre de 
l'obus 47.5 mill., il reste 52.4 mill. ou 0.324 décimètres pour la 
valeur de KR. 

41 


4 


e 


22 


Le poicis de la section est p — 1 495 grammes, ct la densité de 
la fonte est d—6-95. On à par conséquent pour le poids de 
lohus : | | 


E. Tenssen. — Nouvelle Méthode pour déterminer 
| 


| é 1.495 
P — 4.955 X 0.524 X 6-95 X SAS 


pero 


La position du centre de gravité de la section par rapport 
à la ligne cd étant très-importante au point de vue du tracé 
du projectile que nous considérons , proposons-nous de la vérifier 
par une troisième double pesée ; et prenons pour axe ef parallèle 


4 


à cd. Cette nouvelle opération donne : 
“ 2. 
M Q — 2-25... (la tête de l'obus à gauche de AB.) 
Jun ue 
Q—Q'— 1-47 
| Q+0= 2:29 
| — 1.495 
| 
mill. 
E''— 49.16 


La distance entre les lignes ef et ed étant de 49 mill., on voit 


que, d’après 
trouve à 07 
il est sur cΠ
de Omil. O8 , 
encore plus 
milligrammes 

Mais, dira 
portion entre 
réponse est 


f: 
tion on 


l'inverse. 
pliant celui : 
renversée ; p 
l'échelle est 


la troisième double pesée, le centre de gravité se 
l 16 en avant de cd, tandis que d’après la deuxième , 
même. L'erreur probable n'est par conséquent que 
et peut être négligée. Du reste, la différence serait 
petite, si les poids Q et Q' étaient exprimés en 
-t-on , comment ferez-vous lorsqu'il y aura dispro- 
les dimensions du corps et celles de la balance ? La 
cile : si le corps est très-grand, on dessinera sa sec- 
ce à une échelle reduite ; sil est très-petit on fera 


On obtiendra alors le poids du solide en multi- 
du corps réduit ou amplifié par le cube de l'échelle 
ar exemple , par 8 si l'échelle est de %, par 


Fe 
$ °Ll 


de ©. Que si lon veut une approximation plus 


le centre de gravité des corps. 323 


grande, en ce qui concerne les corps de grande dimension , rien 
n’empêchera évidemment de faire une balance plus grande. 

Nota. J'ai essayé deux espèces de papier Bristal, l’une avait Oil, 3 
etl'autre Oil, 4 d'épaisseur. Le papier de 0 #5 est préférable, parce 
qu'il est plus facile à découper, tout en ayant une consistance suffi- 
sante. — Les pesées doivent être poussées jusqu’au milligramme ; 
ce qui est toujours possible lorsque le fléau est pourvu d’un écrou 
mobile, au moyen duquel on peut à volonté augmenter sa sensi- 
bilité. 


C. SOLUTION GÉNÉRALE DU PROBLÈME. 


Au point où nous en sommes , la solution générale du pro- 
blème de la détermination du centre de gravité des corps est claire- 
ment indiquée. En effet , le corps étant de forme quelconque , si 
on le place sur le disque du fléau dans deux positions inverses par 
rapport à AB, et qu’on établisse chaque fois l'équilibre, comme 
on l’a fait précédemment, on connaitra la distance du diamètre 
AB à un plan sécant perpendiculare au fléau et eontenant le 
centre de gravité. Une deuxième double pesée donnera [a distance 
de AB à un deuxième plan sécant contenant aussi le centre de. 
gravité. Enfin une troisième double pesée donnera un troisième 
plan sécant, et le centre de gravité du corps sera entièrement * 
déterminé, si l’on a eu soin de choisir le troisième plan de manière 
qu'il n'ait qu'un point de commun avec les deux premiers. L'opé- 
ration sera bien faite si les poids moyens obtenus par les trois 
doubles pesées sont égaux entre eux. 

C’est principalement en vue de cette opération , que le fléau re- 
présenté Fig. 5 est muni d’une vis fixe et d’un écrou mobile. Plus 
le corps placé sur le disque est pesant , ou son centre de gravité 
élevé, plus it faudra faire descendre l’éerou mobile , pour rame- 
ner le centre de gravité du système (corps et fléau) au-dessous des 
points d'appui du couteau , et donner au fléau une sensibilité con- 
venable. Au besoin, on se servira de plusieurs écrous, sauf à 
établir l'équilibre de la balance avant de placer le corps sur Île: 
disque. 


E, TERSSEN. 


Balance centroscopique. 


Pianche L 


Fig. 4, 


Lehelle Yo. 


Ltab. lith. de I Dessain À Zrége 


SAT en mo 


HAS 
SRE 


VII. — Histoire des métamorphoses de quelques Coléoptères 
exotiques. 


FAR 


M. E. CANDÈZE , 


DOCTEUR EN MÉDECINE MEMBRE CORRESPONDANT DE L'ACADÉMIE ROYALE 
DE BELGIQUE , ETC. 


Depuis l’époque où M. Chapuis et moi avons publié le 
Catalogue des larves de coléoptères connues jusque-là, beaucoup 
d'observations nouvelles ont été faites sur les métamorphoses 
de ces insectes. Plusieurs de leurs larves ont été décrites avec 
soins, et des faits nouveaux et non moins intéressants sont venus 
s’ajouter à ceux que l’on connaissait déjà sur leurs mœurs. 

Il est à remarquer cependant que , jusqu'ici , les études sur ce 
sujet ont porté presque exclusivement sur des espèces appartenant 
à l'Europe. Ceci s'explique facilement. Les naturalistes voyageurs , 
dans leurs pérégrinations à travers les forêts des pays tropicaux, 
se bornent à récolter le plus possible d'objets de collection géné- 
ralement recherchés , et négligent les observations purement 
scientifiques , qu’ils ne pourraient faire du reste, on doit le re- 
connaître, qu'à grandpeine, en y employant beaucoup de 
temps et aux dépens du but principal qu'ils poursuivent. Il faut 
ajouter que ce genre d'étude nécessite un bagage spécial et fort 
incommode. 

On est donc grandement redevable à ceux d'entre eux qui, 
placés dans de telles conditions , consacrent à ces observations un 
temps précieux, et surmontent des difficultés que connaissent seuls 
eeux qui se sont occupés de l'éducation des larves. 

Le nombre des larves de coléoptères provenant des pays inter- 

41 


926 M. E. Canpèze. — Histoire des métamorphoses 


tropicaux actuellement décrites ne s'élève pas à soixante (1). Quels 
vastes et riches champs, encore inconnus, restent à exploiter dans 
ces régions favorisées, si nous en jugeons par les faits curieux que 
la faune européenne nous a déjà révélés ! Combien il serait à 
désirer qu’un observateur établi sur les lieux et animé de l'esprit 
des Réaumur , des De Geer, des Ratzebourg et des Perris, 
dirigea ses études dans cette voie presque inexplorée et pourtant 
si intéressante. 

Grâce à l'obligeance de MM. Sallé et Nietner, j'offre aujourd’hui 
au public entomologique la description de quelques larves de ja 
Louisiane, du Mexique, des Antilles, du Venezuela et de 
Ceylan. Ces messieurs ont joint à chaque espèce des spécimens de 
l'insecte à l'état parfait, et souvent de la nymphe, ce qui permet 
d'établir avec certitude leur authenticité. M. Sallé a bien voulu 
rédiger en outre, pour moi, les observations qu'il a faites sur la 
manière de vivre et l'époque de la transformation de la plupart 
d’entre elles. Tout le mérite des remarques qui accompagnent les 
descriptions suivantes appartient donc à ce zélé naturaliste. Je le 
prie de recevoir iei l’expression de ma reconnaissance. Je remercie 
également M. Nietner qui m'a spontanément offert les larves qu'il 
a recueillies à Ceylan. Il est vivement à désirer que cet entomolo- 
giste , habitant ce pays et à même par conséquent de faire des 
observations du plus haut intérêt sur les habitudes des espèces 
qu'il à sous les yeux, nous permette d'ajouter quelques chapitres à 
l'histoire des métamorphoses des insectes. 

Je saisis l’occasion qui se présente par la publication de cette 
notice, pour prier les entomologistes, ceux surtout qui habitent 
les pays chauds, de recueillir des larves et de me les faire parvenir, 
ainsi que les remarques qu'ils seront à même de faire sur leurs 
mœurs. 


(1) J’apprend que M. Westwood va publier prochainement un travail sur des 
larves exotiques. 


de quelques Coléoptères exotiques. ne 


CARABIQUES. 


GALERITA NIGRA. 


Cnevr. Col. du Mexique; Cent. IT, fase. 8. 


LARVE. 
(PL I, Fig. 1.) 


Tête (fig.1) assez courte, curvilinéairement rétrécie en 
arrière, portant quelques poils disséminés, déprimée en dessus, 
biimpressionnée ; présentant en avant, vers la ligne médiane, un 
prolongement grèle, eylindrique, blanchâtre avec l'extrémité brune, 
bifurqué dans sa moitié antérieure , chargé de quelques poils 
hérissés, courts, sans soies terminales. Chaperon et lèvre supé- 
rieure nuls. 

Ocelles (fig. 16) placés latéralement derrière l'insertion des 
antennes sur une légère protubérance ; au nombre de six, disposés 
sur deux rangs, tous à peu près arrondis. 

Antennes insérées sur les angles antérieurs de la têle qui 
forment une légère avance, à peu près deux fois aussi longues que 
la tête, entièrement hérissées de soies raides , composées de 
quatre articles : le premier cylindrique, très-long ; les suivants de 
la longueur, ensemble du premier, le deuxième et le troisième 
presque égaux, le dernier petit, obconique. 

Mandibules grèles, arquées, munies d'une dent à la base. 

Mâchoires libres; la pièce cardinale membraneuse, peu dé- 
gagée ; la pièce basilaire aussi longue que le premier article des 
antennes, cylindrique , courbe, portent à l'extrémité deux appen- 
dices articulés ; l’externe , le paipe , est composé de quatre articles 
dont le premier et le troisième courts, de même longueur, le 
second et le terminal longs, également de même taille; lap- 
pendice interne, représentant le lobe, composé de deux articies 
dont le second très-grèle ; toutes ces différentes pièces hérissées 
de poils. 

Menton oblong , portant au sommet une pièce échanerée au 
milieu ; de chaque côté de l’'échancrure, un palpe de deux 


328 M. E. Canoèze. — Histoire des métamorphoses 


articles allongés ; au fond , sur la ligne médiane , un petit ap pen- 
dice charnu qui représente la languette. 

Thorax composé de trois segments nettement séparés , protégés 
en dessus par des plaques cornées , la pronotale  triangulaire- 
sent allongée, arrondie aux angles, la seconde de moitié plus 
courte et plus large, la troisième encore plus courte et plus large, 
toutes marquées d’un sillon longitudinal, et de quelques im- 
pressions irrégulières sur les côtés. 

Abdomen un peu élargi vers le milieu, composé de neuf 
segments, les huit premiers munis de Same cornées , trans- 
versales, aussi bien en dessous qu'en dessus, les inférieures 
débordant un peu les supérieures, celles-ci épineuses latérale- 
ment ,un peu rugueuses et impressionnées de chaque côté ; le 
segment terminal caché en dessus par le pénultième, muni de 
deux appendices filiformes de la longueur des deux tiers du 
corps et composés d’une douzaine d’artieles. 

Stigmates au nombre de neuf paires, ceux de la première à 
péritrème grand, ovale, oblique, visible en dessous, sur la 
membrane pro-mésothoracique, les autres sur les huit premiers 
segments de l'abdomen, visibles en dessus, petits, à péritrème 
arrondi. 

Pattes longues, assez robustes, hérissées de poils fins, leurs 
hanches très-allongées et libres, les cuisses de la longueur des 
hanches ou à peu près , les jambes plus courtes et plus grèles, les 
tarses terminés chacun par deux crochets. 


Cette larve, longue de dix-sept mill. , non compris les ap- 
pendices terminaux, est d'un brunâtre obseur , avec les pièces 
articulées de la tête et les pattes brun clair subtranslucide , les 
appendices terminaux flave blanchätre. Le dessous est muni de 
poils noirs , clair-semés , le dessus est presque glabre. 

Elle vit dans la terre. M. Sallé a trouvé l’excmplaire que j'ai 
sous les yeux, en juillet, à Cordova , au Mexique. 

Les différences qu’elle présente avec celle de la Galerita Lecontei 
Dej., décrite pour la première fois par M. Sallé, puis plus tard, 
avec plus de détails, par M. Chapuis et moi, sont de peu d’'im- 
portance et portent principalement sur la couleur. Je signalerai 
cependant la longueur moindre des appendices terminaux, qui 
sont en outre composés d’un moins grand nombre d'articles : ils 
sont au nombre de 25 à 26 chez la G&. Lecontei. 


de quelques Coléoptères exotiques. 329 


GALERITA SIMPLEX. 
Caaur. Bull. d, Mosc. 1852, N° 1, p. 56. 


Trouvée en juillet, dans ses mêmes lieux que la précédente , 
elle n'en diffère que par les diverses pièces de la tête chargées 
de poils hérissés , plus longs. Tout le corps, y compris ces pièces, 
les pattes et les appendices terminaux, est d'un noir brun 
uniforme, 

Les filets abdominaux sont cassés chez la seule larve que je 
possède , en sorte que je ne puis indiquer le nombre des articles 
qui les composent. 


CC 


STAPHYLINIENS. 


POEDERUS TEMPESTIVUS. 
Ericus. Gener. et Spec. Staphyl. p. 653. 


LARVE. 


(PI. I, fig. 2.) 


Tête (fig. 2%, 2%), cornée, un peu aplatie, en triangle curviligne, 
plus longue que large, a bouche dirigée en avant, la plaque 
supérieure s’'avançant sur la ligne médiane en un lobe forte- 
ment quadridenté et qui paraît séparé du front par une suture 
CHE 2"). 

Ocelles ( fig. 2° ) au nombre de six, placés sur deux rangs et 
formant une petite saillie rectangulaire , très-distincte par sa 
couleur noire , sur la partie antérieure du bord latéral de la tête, 
derrière l’articulation des mandibules. 

Antennes assez longues (fig. 2), de quatre articles , le pre- 
mier court , les suivants à peu près de taille égale, le troisième 
 subramifié, tous munis de quelques longs cils. 

Mandibules falciformes , simples. 

Mâchoires (fig. 2° ) insérées chacune latéralement sur une 
saillie oblongue du dessous de la tête, séparées de la lèvre in- 


férieure par un large sillon , formées d’une pièce cardinale courte, 


990 M. E. Canpèze. — Histoire des mélamorphoses. 


d'une pièce basilaire conique, charnue, dirigée obliquement en 
dedans et en avant, d'un palpe grèle, long, de quatre articles, 
dirigé en dehors; sans lobe distinct. 

Menton (fig. 2) en trapèze un peu allongé, portant au sommet 
une pièce palpigère très-courte, sur laquelle sont insérés une lan- 
guette sétiforme et deux palpes grèles, biarticulés. 

Thorax un peu plus large que la tête, le premier segment 
plus long que les deux suivants , tous trois protégés par des dis- 
ques subcornés en dessus. 

Abdomen atténué au sommet, composé de segments plus courts 
que ceux du thorax ; le neuvième terminé par deux longs appen- 
dices étranglés de distance en distance , de façon à paraître formés 
de quatre pièces, portant quelques longs cils noirs ( fig. 25 ). 

Pattes longues, grèles ; les hanches longues, dirigées oblique- 
ment en arrière et en dedans; les jambes cilées, terminées par un 
crochet simple. 

Stigmates normaux. 

Cette larve est de consistance assez molle , revêtue de cils épars 
et noirs, offrant un système de coloration assez singulier et qui 
rappelle celui des Pæderus à l'état parfait : elle est brune, avec 
les deux tiers postérieurs de la tête et le mésothorax d’un blanc 
jaunâtre subtranslucide , le dessous et les pattes ainsi que les arti- 
culations des anneaux de l'abdomen en dessus sont de cette der- 
nière couleur. 


Insecte parfait. 


Allongé , rouge avec la tête et les genoux noirs, les élytres 
bleues et les deux derniers segments de l'abdomen brunâtres , 
revêtu de poils épars, noirâtres. Tête forte, lisse, brillante, 
marquée en dessus de quelques points rares. Palpes et antennes 
rougeâtres , pubescents, ces dernières brunâtres dans leur partie 
moyenne. Prothorax bombé, rétréci en arrière, encore moins 
ponctué que la tête. Elytres en carré long , obliquement tron- 
quées au bout, rugueusement ponctuées. Abdomen fortement 
rebordé. Long. 14 mill. 

M. Sallé l’a trouvé , sous ces deux états, au bord d'une 
mare, à Cordova, en janvier. 

( Obs.) Les larves des Pœderus sont, comme on le voit, 
formées d’après le type de celles des Staphylinus , c'est-à-dire 
qu'elles ont comme celles-ci une tête subtrigone , l'insertion des 


de quelques Colécplères exoliques. 591 


antennes rapprochées , les mandibules simples, les mächoires 
grèles et bien séparées du menton. Elles en différent , entre 
autres, par le nombre des ocelles, l'absence de lobe aux 
mâchoires , etc., et peut-être par l'articulation du chaperon. 
Quant à ce dernier caractère je dois faire observer que l'exem- 
plaire unique que j'ai sous les yeux n’est pas adulte, en sorte 
que les différentes pièces de la boite céphalique peuvent ne 
pas avoir la connexion et l'immobilité définitives. 


OSORIUS INTERMEDIUS. 


Ericus. Gen. et Spec. Staphyl. p. 753. 
LARVE. 


(PL I, Fig. 3.) 


Tête (fig. 3°) cornée, orbiculaire, convexe en dessus, glabre, 
à bouche dirigée en avant, la partie antérieure distinctement 
artieulée et cachant l’espace intermandibulaire en dessus et 
même les mandibules lorsque celles-ci sont au repos ; le bord le 
plus avancé de cette pièce crénelé. 

Ocelles oblitérés, invisibles. 

Antennes insérées à nu sur le disque supérieur de la tête, 
courtes, de quatre articles : le premier court et large , le second un 
peu plus long et plus grèle, le troisième deux fois comme Îe pré- 
eédent , portant au sommet deux très-petits articles dont lexterne 
le plus long. 

Mandibules courbes, arquées, fortement dentées au milieu, 
bifides au bout , cachées au repos. 

Mâchoires libres , composées d’une pièce cardinale charnue , 
d’une pièce basilaire allongée, échancrée au milieu , extérieure- 
ment , pour recevoir un palpe de quatre articles et prolongée en 
un lobe falciforme denticulé en dedans. 

Menton épais , en cône tronqué ; la pièce palpigère presque 
confondue avec lui, portant de chaque côté un palpe de deux 
articles ; la languette oblitérée. 

Thorax plus étroit que la tête, composé de trois pièces presque 
égales, le prothorax seulement un peu plus long, de consistance 
à peine cornée en dessus. 

Abdomen un peu élargi en arrière, de neuf segments peu 


392 M. E. Canpèze. — Histoire des mélamorphoses 


allongés , de consistance molle, le neuvième muni de deux ap- 
pendices biarticulés , redressés , insérés à sa base (fig. 5° ). 

Stigmates normaux. 

Pattes très-courtes , leurs hanches coniques. 

Le corps de cette larve, qui est longue de dix millimètres , 
est subeylindrique, de consistance molle, de couleur brun ver- 
dâtre , subtranslucide , parsémé de poils longs et fins. 

L’exemplaire unique que j'ai sous les yeux a été trouvé, par 
M. Sallé, à Cordova , au mois de novembre , sous des buches 
décomposées et fortement enfoncées en terre. 


Insecte parfait. 

Cylindrique , d’un noir brillant, à peu près glabre. Tête 
oblongue , forte , bombée , aplatie , ponctuée en avant. Antennes 
ferrugineuses , courtes. Prothorax à peine plus large que long, 
régulièrement atténué d'avant en arrière, éparsément et finement 
ponctué , rebordé latéralement. Elytres aussi longues que larges , 
marquées de quelques points épars, la strie suturale fine. 
Abdomen élargi d'avant en arrière , brusquement terminé en cône 


au sommet ou il porte quelques poils dorés. Pattes ferrugineuses , 
les tarses élargis. — Long. 10 mill. 


Les larves d’Osorius sont déjà connues. M. Coquerel (1) a, 
le premier , figuré celle de l’O. incisicrurus Latr. de Madagascar ; 
mais la description qu’il en donne est un peu brève. Plus récem- 
ment M. Kraatz (2) a publié les caractères de celle de l'O. 
rugicollis Kr., de Ceylan. En comparant l'espèce mexicaine avec 
cette dernière, je trouve quelques différences , par exemple dans 
la structure des mandibules , la présence d’une languette , celle 
d’un ocelle de chaque côté. 

Pour ce qui est de la languette elle n'est, d'après le dessin de 
M. Kraatz, qu’une légère avance médiane non articulée de la 
pièce palpigère. La présence d’un ocelle n’a guère plus d’impor- 
tance ; nous verrons, à propos des larves de Leptochirus, que 
ces organes disparaissent chez la larve adulte. La seule diffé- 
rence notable consiste donc dans l'existence d'une dent médiane 
aux mandibules chez l'O. intermedius , dent qui est remplacée 
par des cils chez l’O. rugicollis. 


(1) Annal, d. 1. Soc. Entom. d. Fr. Ser. II, p. 180, pl. VIT, n°4, fig. 5. 
(2) Arch, d, Wiegm. 1859, p. 167. 


de quelques Coléoptères exotiques. 399 


LEPTOCHIRUS SECRIACEUS. 


Geru. Spec. Ins. nov. 35, 58, pl. I, fig. L 
LARVE. 


(PI I, Fig. 4.) 


Tête cornée (fig. 42), subarrondie , un peu convexe en dessus, 
à bouche dirigée directement en avant, portant quelques poils 
rares et longs , s'avançant sur la ligne médiane en un lobe visible- 
ment mobile et représentant le chaperon et le labre confondus. 

Ocelles petits mais très-distinets , au nombre de quatre de 
chaque côté , disposés obliquement sur une ligne droite derrière 
l'insertion des antennes, tous également espacés. 

Antennes insérées à découvert vers les angles antérieurs de la 
plaque suscéphalique , aussi longues que celle-ci , filiformes , 
composées de quatre articles : le premier court et épais, le 
suivant allongé, glabre, le troisième aussi long, poilu, le 
dernier très-petit; près de son insertion , en dedans, on observe 
un petit article supplémentaire. 

Mandibules courtes , arquées, bifides. 

Mâchoires libres (fig. 4? ), articulées à une certaine distance 
de la lèvre inférieure, formées d’une pièce cardinale épaisse , char- 
nue, d'une pièce basilaire échancrée au milieu de sa longueur 
pour recevoir un palpe de trois articles, et se prolongeant au-delà 
de l'insertion de ce palpe en un lobe corné, aplati , un peu courbe, 
acuminé, denticulé en dedans. 

Menton épais , charnu , tronqué au sommet , portant une pièce 
palpigère trilobée, le lobe médian représentant la languette , les 
deux latéraux portant chacun un palpe de deux articles. 

Thorax formé de trois segments à peu près égaux et de même 
forme , muni en dessus d’une plaque cornée en ovale transversal 
plus on moins régulier, sillonnée au milieu , à surface inégale, 
parsémée de quelques poils longs et rares. 

Abdomen de neuf segments ; les huit premiers semblabies entre 
eux et à ceux du thorax, seulement un peu plus courts, mais 
tous protégés par des plaques cornées ; le neuvième plus petit, 
portant à son extrémité deux appendices filiformes d’une seule 
pièce , lesquels ont chacun cinq ou six longs poils. (fig. 4°}. 


994 M. E. Canpèze — Histoire des mélamorphoses 


Stigmates au nombre de neuf paires , placés normalement ; les 
deux thoraciques grands , les seize abdominaux très-petits, visibles 
sur les côtés des plaques dorsales. 

Pattes courtes , espacées ; les hanches très-courtes, coniques , 
les cuisses et les jambes de même longueur, celles-ci terminées 
par un ongle unique. 

Corps linéaire, de 16 à 18 millimètres, entièrement brun 
avec les pattes d’une teinte plus claire, présentant quelques poils 
disséminés. 

Trouvée en nombre , à Cordova, en novembre, sous des 
écorces d'arbres presque en décomposition. 


Insecte parfait. 


Aplati, noir, brillant. Frontinerme, déprimé, marqué à la partie 
antérieure de deux fossettes transversales. Antennes de la lon- 
gueur de la tête ct du prothorax réunis , pubescentes. Prothorax 
subquadrangulaire , plus large que long , très-lisse, sillonné au 
milieu, largement échancré en avant. Elytres un peu plus lon- 
gues que le prothorax et plus étroites , carrées , très-lisses , la strie 
suturale seule marquée. Abdomen cylindrique , de la longueur de 
la tête et du prothorax mais de moitié plus étroit, muni de poils 
disséminés , noirs, sur les côtés. Tarses un peu rougetres. — 
Long. 16-18 mill. 


LEPTOCHIRUS MANDIBULARIS. 


KRAATz., Archiv d. Wiegm. 1859 , p. 189. 


La larve de cette espèce a été parfaitement décrite et figurée 
par M. Kraatz (1. c.). Je la tiens également de M. Nietner, et il 
m'est possible de la comparer avec celle de l'espèce mexicaine qui 
précède. 

Il n'y a aucune différence essentielle dans les parties de la 
bouche. Je remarque que tous les articles des antennes sont poilus 
tandis que dans la précédente tous, sauf le troisième, sont complè- 
tement glabres. Le corps de la larve est , du reste, généralement 
plus chargé de poils. 

Une particularité que j'ai pu observer est l'oblitération complète 
des ocelles chez les larves qui ont atteint tout leur développement. 
Ii m'a été impossible de les apercevoir chez plusieurs larves adultes, 


de quelques Coléoplères exotiques. 9935 


mais je les ai très-bien distingués sur des larves plus jeunes. 
On doit les chercher sur les côtés, immédiatement derrière l’in- 
sertion des antennes, où ils forment, comme chez le scoriaceus, 
une rangée oblique de quatre petits points noirs (1). 

(Obs.) Les larves des Leptochirus , comme on peut le voir par 
la description et encore mieux par la figure , ont beaucoup plus 
d’analogie avec celles des Oxitélides qu'avec celles des Staphyli- 
nides. Elles ont en effet, ainsi que les premiers, les mandibules 
dentées et bifides , la pièce cardinale des màchoires plus épaisse , 
plus charnue, les antennes plus écartées , la tête plus arron- 
die , ete., tandis que les larves des seconds ont une tournure 
plus dégagée, la tête mieux armée et, sous ce rapport, se rap- 
prochent davantage de celles des Carabiques. 


—— “#5 0.0 œ—————— 


HISTERIDES. 


M. Perris, dans son remarquable travail sur les insectes qui 
attaquent le pin maritime (2), à décrit , avec le talent qui carac- 
térise cet habile observateur, la larve d’un Platysoma de nos 
contrées , le P. oblongum. Cette larve est carnassière et vit 
dans les trones des pins, aux dépens des Bostriches qu’elle poursuit 
dans leurs galeries. Son développement a lieu pendant l'été, et, 
vers le mois de septembre , elle se forme, dans le détritus du bois 
et au moyen d’une matière mucilagineuse, une loge elliptique, 
où elle procède à sa métamorphose. 

Je possède, grâce à M. Nietner , plusieurs larves et une 
nymphe d’un grand Platisoma de Ceylan; je n'ai malheureuse- 
ment aucuns renseignements sur la manière de vivre de cette 
espèce, mais il est à supposer qu'elle est semblable à celle du 
P. oblongum. J'ai suivi attentivement sur elle les détails des- 
criptifs donnés par M. Perris pour la larve européenne, et j'ai 


(1) On sait depuis longtemps que plusieurs larves ont des ocelles dans leur 
jeune âge et que ces organes disparaissent après quelques changements de peau. 


(2) Ann. d. la Soc. entom. d. Fr. Sér. IIT , 1855-1856. Cette description avait 
déjà été donnée antérieurement par M. de Marseul , sur les notes manuscrites 
de M. Perris, dans l’excellente Monographie des Histérides dont la première 
partie a paru en 1855, 


936 M. E. Canpèze. — Histoire des métamorphoses 


trouvé une identité parfaite en ce qui concerne la conformation 
des différentes parties de la bouche, celle des antennes, des pattes, 
des appendices terminaux et enfin la forme générale. 

Je mentionnerai comme dissemblance spécifique , chez celle de 
Ceylan , d’abord une taille plus grande ( 17 mill.), puis la con- 
cavité très-prononcée de la tête en dessus , laquelle est plane chez 
loblonguin. M. Perris dit que la larve de cette dernière a trois 
replis transversaux sur chaque segment de l'abdomen ct des 
rangées de spinules dans les sillons formés par ces replis; je 
remarque la même disposition chez la mienne. Ces spinules sont 
assez saillantes pour être sensibles au toucher lorsqu'on passe 
le doigt sur le dos de la larve. De même que les replis, elles 
jouent sans doute ici le même rôle que les disques ventraux et 
dorsaux des larves de longicornes, c’est-à-dire qu’elles facilitent la 
progression de l'animal dans les canaux creusés par les Bostriches 
dont il fait sa proie. On comprend, du reste, que quand la larve 
a des galeries d’un très-petit calibre à parcourir , le jeu des pattes 
devient impossible ou tout au moins insuffisant , et que la marche 
doit alors s’accomplir comme chez les larves apodes placées dans 
les mêmes conditions, c’est-à-dire par des mouvements vermi- 
culaires. 

L'espèce dont cette larve est le premier état est un Platysoma 
de taille grande pour le genre. J'ai cherché en vain à le rapporter 
à l’une des espèces indiennes décrites et figurées par M. de Marseul. 
Je n’en ai pas non plus trouvé la diagnose dans les opuscules sur 
les insectes de Ceylan de MM. de Motschoulski (1) et Walker (2). 
En conséquence je crois pouvoir la décrire comme espèce nouvelle, 
en la dédiant au savant auteur de la Monographie de la 
famille. 


PLATYSOMA MARSEULII. 


(PL I, fig. 5.) 


En carré oblong, assez déprimé, noir luisant. Antennes à 
massue grisètre. Tête profondément excavée , l'épistome séparé 
du front par une fine ligne transversale sinuée à l'angle oculaire. 
Pronotum une demi fois plus large que long, un peu rétréci au 


(1) Etudes entomologiques, VII, 1858. 
(2) Ann, and Mag. of Nat. Histor, 1858. 


de quelques Coléoptères exotiques. 297 
sommet, Cchancré en avant avec ses angles antérieurs arrondis, 
la strie latérale bien marquée, non interrompue au bord anté- 
rieur. Écusson petit et triangulaire. Elytres plus longues que le 
pronotum , de même largeur à la base , curvilinéairement rétré- 
cies dans ieur moitié postérieure , tronquées transversalement au 
sommet, marquées en dessus d’une strie humérale très-fine , 
oblique , de six stries dorsales dont les trois externes entières, 
les trois internes oblitérées dans la moitié antérieure. Pygidium 
et propygidium inclinés, marqués densément de points ocellés , 
le premier rebordé. Pattes rouge obscur ; jambes antérieures 
armées de cinq épines, intermédiaires et postérieures de quatre. 
— Long. 7 mill., larg. 8}, mill. 

Les caractères distinctifs de cette espèce consistent surtout dans 
armature des jambes, l'intégrité du sillon du pronotum ct 
surtout la disposition des stries des élytres. C’est l’une des plus 
grandes du genre. 


NITIDULAIRES. 
AMPHICROSSUS DISCOLOR. 


Enicas, in GEerm Zeischr. IV, p. 348. 


LARVR 


(PL I, fig. 6.) 


Tête petite (fig. 6*), en ovale transversal, un peu avancée 
au milieu, aplatie en dessus, cornée, marquée de diverses im- 
pressions dont deux plus profondes et longitudinales , chargée de 
petites granulations plus serrées dans certaines places , les bords 
latéraux denticulés, son bord antérieur arrondi , séparé du 
labre par un léger repli ; sans chaperon distinct. 

Ocelles au nombre de deux de chaque côté (1), portés cha- 


(1) Ces deux ocelles portés sur des pédicules sont aisés à voir, mais il y 
en a peut-être d’autres, sessiles, qui sont alors perdus dans les granulations 
de la tête et difficiles à reconnaitre. 


43 


3938 M. E. Canpèze, — fisloire des métamorphoses 


cun sur une sorte de pédicule , placés en arrière de la fossette 
antennaire. 

Antennes courtes, de quatre articles ; le premier gros, le 
suivant de même longueur mais beaucoup plus étroit , le troisième 
deux fois plus long , le quatrième très-court et très-grèle. 

Labre court, transversal, bilobé, les lobes cornés, le reste 
membraneux et subtranslucide. 

Mandibules (fig. 6%) lamelleuses, munies extérieurement d’un 
rebord corné qui leur donne de la solidité , et, vers le milieu, d’une 
apophyse également cornée, leur pointe obliquement tronquée, 
leur bord interne d’abord concave , en partant de la pointe , puis 
formant une large expension translucide, dentée en scie sur 
les bords. 

Mâchoires charnues ; soudées en grande partie au menton, la 
pièce basilaire et la pièce cardinale à peine distinetement séparées 
par un fin sillon oblique, munies d'un lobe arrondi et forte- 
ment cilié en dedans, faisant corps avec elles ; les palpes maxil- 
laires dirigés en dehors , de quatre articles. 

Lèvre inférieure formée d’un menton allongé , portant une pièec 
palpigère profondément échancrée et des palpes de deux articles 
de même longueur. 

Segments thoraciques et abdominaux de mêmes forme et con- 
sistance , le prothorax un peu plus long et inerme, les autres 
munis latéralement de spinules formant un petit groupe de chaque 
côté et six courtes rangées longitudinales sur le disque ; le 
dernier segment eourt (fig. 6° ) constitué presque en entier par 
deux épines rugucuses et poilues, portant en dessous un anus 
tubuleux. 

Stigmates en nombre normal et placés comme d'habitude , mais 
offrant cette particularité que le péritrème , qui est extrêmement 
petit, est situé à l'extrémité d’une tige charnue et d'autant plus 
longue qu’elle est plus voisine de l'extrémité ( fig. 6%), 

Pattes courtes, formées d’une hanche épaisse, charnue, d’un 
trochanter très-pelit, d’une cuisse et d’une jambe de même lon- 
gueur, enfin d’un crochet simple. 

Corps long de huit millimètres, un peu élargi au milieu, 
brunâtre mat, avec la tête, les spinules et les épines terminales 
brun noir. 

Eu comparant cette description avec celle qu'Erichson a donnée 
de la larve de la Soronia grisea, je remarque d’abord une grande 


de quelques Coléoptères exotiques. 9299 
analogie dans la conformation toute particulière des mandibules , 
puis quelques différences notables. 

En premier lieu le nombre des articles des antennes est ici de 
quatre, bien distincts, que J'ai pu compter avec la plus grande 
facilité sur plusieurs individus , car Îa ligne de démarcation de 
chacun d’eux est très-nettement marquée. Chez la Soronia grisea 
il n’y a que deux articles avec une soie terminale qui figurerait 
un troisième. 

Une autre différence plus importante est la position des 
stigmates. Selon Erichson, ces ouvertures existeraient en arrière des 
prolongements charnus que porte la larve sur les côtés. J'ai observé 
ici les mêmes prolongements charnus , mais c’est en vain que j'ai 
cherché les stigmates dans leur voisinage. Après un examen très- 
attentif, sur plusieurs larves, et en employant les verres les 
plus grossissant , je suis resté convaincu que le petit enfoncement 
cerclé de noir que présentait l'extrémité de chaque appendice 
n’était autre que l'ouverture respiratoire elle-même. Ce qui m'a 
surtout décidé à adopter cette manière de voir , c’est que ces pro- 
longements sont au nombre et à la place habituels des stigmates , 
c'est-à-dire au nombre de neuf de chaque côté , huit sur les huit 
premiers segments de l'abdomen et le neuvième, sur un plan in- 
férieur, dans le pli qui sépare le prothorax du mésothorax ; 
ce dernier , exactement de la même nature que ceux de l’ab- 
domen. Il n’y en a aucune trace sur les trois segments tho- 
raciques, 

Les larves d’un genre de la même famille, les Rhizophagus , 
offrent au reste une disposition des stigmates qui se rapproche 
beaucoup de ceile-cr. 


Insecte parfait. 


 Arrondi, bombé, d’un noir brunâtre, couvert d’une ponctuation 

régulière , médiocrement dense et assez fine , revêtu d’une pubes- 
cence d’un brun cbseur, bordé tout autour , sauf la tête , de poils 
assez longs qui forment une frange ferrugineuse. Prothorax trans- 
versal, fortement échancré pour recevoir la tête, son bord pos- 
térieur faiblement sinueux. Elytres atténuées en arrière , tronquées 
au bout, laissant à découvert les deux derniers segments de 
l'abdomen. Pattes d’un brun ferrugineux. — Long. 5 mill., larg. 
X mill. 


Je l'ai recu de Ceylan. 


340 M. E. Cannèze. — Hisloire des métamorphoses 


LORDITES  GLABRICULA. 
Murray, in litt. 


On sait que M. Murray est à la veille de publier un gran& 
ouvrage sur les nitidulaires , et qu'il a réuni, dans ce but, de 
nombreux matériaux. 

Dans le nombre il possède une larve d’une espèce inédite de 
Lordites de Ceylan, qu’il a eu l'obligeance de me eonfier , avec 
l'insecte parfait, en m’autorisant à les déerire. 

Cette intéressante communication m'est parvenue au moment 
de livrer à l'impression les pages qui précèdent. ai saisi avec em- 
pressement l'occasion qui s’offrait à moi de reconnaitre la posi- 
tion des stigmates et de comparer , sous ce rapport , les deux 
espèces. Or je me suis assuré que, chez la ZLordites , les 
ouvertures respiratoires existent au sommet des prolongements 
charnus des côtés du corps, absolument comme chez l’Am- 
phicrossus discolor. 

N'ayant à ma disposition qu’un spécimen dont je devais respecter 
l'intégrité, je n'ai pu étudier , des parties de la bouche , que ce 
qui paraissait à l'extérieur ; la dent basilaire des mandibules m'est 
done restée inconnue. Quant aux mäâchoires, à la lèvre in- 
férieure , aux antennes , elles sont faites sur le même modèle que 
chez la précédente. 

La tête est lisse avec deux fortes impressions longitudinales sur 
le dessus. Les ocelles, au nombre de quatre de chaque côté, 
sont disposés en quadrilatère derrière le point d'insertion des 
antennes. Îls sont sessiles, assez gros , très-visibles. 

Le prothorax seul est protégé par un écusson corné, divisé 
longitudinalement au milieu et marqué de quatre impressions 
rugueuses, arrondies. Les autres segments ne présentent que deux 
points cornés, rapprochés sur le dos et surmontés de deux ou 
trois épines, très-courtes sur les premiers, de plus en plus 
fortes vers l'extrémité, ramifiées sur le huitième. Le neuvième 
segment porte un mamelon carré, dont les angles se prolongent 
( pl. IE, fig. 6) en quatre épines redressées ; les deux épines 
postérieures plus longues et à pointe un peu recourbée en avant. 
Les stigmates s'ouvrent, comme je viens de le dire, à l'extré- 


de quelques Coléoptères exotiques. 941 


milé de mamelons ou plutôt de tubes charnus, placés, les deux 
premiers sur la membrane qui unit le prothorax au méso- 
thorax , les seize autres sur les parties latérales des huit premiers 
segments abdominaux. Les tubes de plus en plus longs à me- 
sure qu'ils se rapprochent du segment terminal. Les péritrèmes 
arrondis et beaucoup plus grands que chez lAmphicrossus 
dascolor. 

Pattes et mamelon anal comme chez la précédente. 

Le corps de cette larve est Jong de huit millimètres sur un 
et demi de large. Il s’'élargit un peu vers le milieu de l'abdomen. 
Les téguments sont membraneux ; cependant on reconnait très- 
bien la limite de chaque segment. La couleur est d'un blanc 
Jaunätre pale avee l'extrémité des mandibules, les éeussons , 
points cornés ct épines du dos, ainsi que les péritrèmes des 
stigmales noirs ou brunäires. 


Insecie parfait. 


Peu convexe, ovale, brunâtre mat, les élytres d'un testacé 
obscur, plus clair vers le milieu, parsemées de petites taches 
noirûtres dont une plus grande vers le tiers postérieur ; revêtu 
de poils rigides, couchés, clair-semés , jaunâtres. Tête et pro- 
thorax densément et assez fortement ponetués. Elytres marquées 
de points moins denses, faiblement sillonnées avec les intervalles 
subeostiformes. Dessous et pattes brunâtres ; la seconde moitié des 
cuisses jaune. — Long. 6 mill., larg. 5 ‘/, mill. 

Ceylan. 


RER 


CUCUJIPES. ÿ 


BRONTES SERRICOLLIS. 


La larve du Brontes planatus a déjà été décrite par Erichson (1) 
d'abord , puis ensuite avee beaucoup de soin par M. Perris, 


(1) Naturg. d, Ins, Deutschl. 1846, p. 532. 


549 M. E. Canpèzr. — Histoire des métamorp hoses 


dans son grand travail sur les insectes qui attaquent le Pin 
maritime. Je possède un assez grand nombre de spécimens d'une 
espèce inédite de Geylan, sous ses différents états. 

En comparant les deux espèces, je ne trouve que des diffé- 
rences de détail peu importantes et qui méritent à peine d’être 
mentionnées. 


Les parties de la bouche sont les mêmes. Les ocelles sont au 
nombre de cinq de chaque côté et disposés de la manière sui- 
vante : quatre, trés-rapprochés, sur une ligne transversale, un 
en arrière ; ils forment un petit groupe derrière les antennes, 
sur les côtés de la tête , et comme ils sont de la couleur des 
téguments on ne les aperçoit que très-difficilement , par la saillie 
légère qu'ils font. 

Les antennes sont plus longues que chez le planatus; je n’ei 
pu apercevoir les deux petits articles appendiculatres qui sont 
logés dans une échanerure oblique du sommet du second article 
chez ce dernier. La lèvre supérieure est grande, semi-elliptique, 
bien limitée par un repli saillant. 


Le corps (pl. IH, fig. 1) est mou et blanchâtre ; les dis- 
ques dorsaux de {l’abdomen, à peine cornés, offrent de chaque 
côté une petite saillie qui se transforme peu à peu en épine 
aux derniers segments. Cette épine , longue au huitième arceau, 
est située à l’angle postérieur et dirigée en arrière. Le neuvième 
est armé de deux épines ( pl. IT, fig. 1 ) encore plus longues , qui 
ne paraissent pas articulées. 


Nymphe. 


(PI. IL, fig. 14) 


lanche, molle , déprimée, la tète longue, repliée sur Île 
siernum , portant trois cils de chaque côté sur autant de ma- 
melons , séparée du prothorax par une rangée de petites spinules 
qui forment une légère crète à la partie tout-à-fait supérieure. 
Antennes à premier article s'écarlant presque perpendiculaire- 


ps 


de quelques Coléoptères exotiques. J443 


ment de la tête, le reste de l'organe descendant obliquement 
le long du corps, passant entre les cuisses moyennes et pos- 


térieures pour venir s'appliquer contre la face inférieure de l’ab- 


domen où elles atteignent l'avant dernier segment. Prothorax 
carré, chaque bord latéral portant trois cils comme ceux de la 
tête. Ailes courtes, obliques, appuyées sur la face dorsale des 
cuisses qui les débordent. Abdomen grèle, subépineux de chaque 
côté , portant au bout la dépouille de la larve. Cuisses anté- 
rieures et moyennes portant au milieu de leur face externe un 
long cil. 


Insecte parfait, 
(PI. II, fig. de), 


Tout-à-fait plat en dessus, brun, pubescent, Front subgra- 
nuleux , échancré de chaque côté pour Pinsertion des antennes , 
impressionné au niveau de cette échancrure ; yeux globuleux, 
latéraux , leur base cachée par un rebord du front. Antennes 
aussi longues que le corps , finement velues , leur premier article 
très-long , le second court , le troisième égal aux suivants. Pro- 
thorax à peu près carré, crenelé sur les côtés, subgranuleux. 
Ecusson transversal. Elytres parallèles, trois fois et demie plus 
longues que le prothorax, granuleuses , faiblement striées , pré- 
sentant une carêne le long de leur bord externe. Pattes fer- 
rugineuses. — Long. 8 mill. 

Ceylan. 

Il est voisin du PB, spinicollis Guér. ; mais chez ce dernier 
les bords latéraux du prothorax n’ont que cinq épines de chaque 
côté, tandis qu'ici ils sont denticulés et les petites dents sont 
au nombre d'une douzaine. 


PECTINICORNES. 
PASSALIDES. 


On possède déjà la description de trois larves de Passalus. 
On sait que ces larves se reconnaissent de suite à un caractère 
fort remarquable et qui consiste dans l'atrophie à peu près com- 


344 M. E. Canoèze. — Histoire des métamorphoses 


plète de la troisième paire de pattes, laquelle n'est plus repré- 
sentée que par deux petits appendices tout-à-fait inutiles à l'animal. 
Elles se distinguent encore des Lamellicornes par leurs antennes 
de deux articles , les anneaux de l'abdomen non divisés en 
bourrelets, etc. 

J'ai sous les yeux les larves de quatre autres espèces de ce 
genre , dont trois américaines et une asiatique. Dans ce nombre 
il s'en trouve ure dont l’insecte pañfait appartient à la seconde 
division des Passalides décrits dans la Monographie de Percheron, 
c'est-à-dire qu'il a les antennes pentaphylles ; c’est la troisième 
espèce de celles dont les noms suivent : 


P. interruptus L. de Caracas. 
P. mucronatus Burm. id. 
P. Leachii M.L. de Nicaragua. 
P. bicolor KF. de Ceylan. 


Examinécs attentivement , elles m'ont paru parfaitement sem- 
blables entre elles sous le rapport de la structure des différentes 
pièecs du corps, et g’est en vain même que j'ai cherché quelque 
caractère secondaire qui put les distinguer spécifiquement. 

A part la taille je n'ai rien trouvé qui vaille la peine d’être 
mentionné. On peut done en conclure que la description d’une 
larve de Passalus convient à toutes. 

Je ne puis que confirmer la description que nous avons donnée, 
M. Chapuis et moi de la larve du P. distinctus (1), sauf en ce 
qui concerne les mandibules, indiquées comme Dbidentées à 
l'extrémité. Dans ies quatre espèces que je possède actuellement, 
ecs organes sont tridentés au bout. Cette rectification faite , la 
formule du distinctus leur convient parfaitement. 

Une particularité que nous avons oublié de mentionner est 
l'existence , sur les parties latérales du cou , en dessous, de deux 
mamelons charnus, termiués en pointe mousse. 

Je ferai encore observer que la position de la première paire 
de stigmates n’est pas absolument invariable : dans l'énterruptus 
elle est placée à la base des parties lotérales du prothorax , 
comme chez le distinctus. Dans le Leachüt elle se rapproche du 
pli qui sépare le prothorax du segment suivant ; enfin dans 
les deux autres espèces les stigmates sont sur le pli mème. 


(1) Mém. d. I. Soc, roy. des Sc, d, Liége, VIII, p. 467. 


de quelques Coléoptères exotiques. 545 


LAMELLICORNES. 
CANTHON VOLVENS. 


Fasr. Syst. Æleuth. I, p. 60. 


LARVE: 


(PL II, Fig. 2.) 


Tête de grandeur médiocre, aplatie en dessus, impressionnée 
sur le disque, tronquée en avant avec deux légères sinuosités 
latérales au niveau des fossettes antennaires , à bouche dirigée 
en bas. 

Antennes plus courtes que la tête (fig. 2e), insérées comme 
d'habitude en dehors des mandibules, composées de cinq arti- 
cles, le basilaire court et large, le second le plus long, les 
deux suivants à peu près égaux en longueur , le quatrième pyri- 
forme, inséré par son extrémité amincié .el portant un petit 
article sur la partie externe de son bout épaissi. 

Chaperon trapézoïidal, bien séparé du front par un sillon 
profond. 

Labre transversal (fig. 2°) , trilobé , cilié sur son bord libre ,aplati 
extérieurement , présentant sur sa face intérieure une sorte d’an- 
néau formé par une rangée cireulaire de cils dorés, très-serrés, 
implantés sur un repli des téguments. 

Mandibules assez longues , convexes extérieurement , tridentées 
obtusément au bout , excavées inférieurement en dedans ( fig. 2°), 
avec les bords de l’excavation festonnés. 

Mächoires de forme ordinaire quant à la base, muniés au 
sommet de deux lobes bien distinct, l’interne , invisible dans 
la position naturelle des organes, spiniforme, corné avec la base 
renflée, charnue et fortement ciliée ; l’externe entièrement charnu, 
obtus au sommet, chargé de cils raides et dorés (fig. 2). Palpes 
maxillaires de quatre articles. 

Lèvre inférieure formée d’un menton transversalement subrec- 
tangulaire , d’une pièce palpigère à deux lobes ciliés comme 

4h 


346 M. E. Cannèze. — Histoire des métamorphoses 


ceux des mâchoires , et portant des palpes de deux articles 
(is 02p) 

Thorax un peu plus étroit que l'abdomen; ses segments, 
quant au reste, semblables à ceux de ce dernier, c’est-à-dire 
séparés par un sillon fin. Chaque segment portant en outre 
quelques stries. Le dernier de grosseur médiocre , portant au bout 
la fente anale transversale. 

Stigmates normaux, 

Pattes assez courtes, de même longueur, la séparation de 
leurs articles indiquée seulement par des étranglements ; sans 
crochets. 

Le corps de cette larve est glabre , d’un blanchâtre säle sub- 
translucide, avec la tête et deux plaques à demi cornées sur 
le prothorax , d’un jaune ferrugineux , les mandibules et le 
labre noirs: 


Nymphe. 


CPL II, Fig. 20,f). 


Ovoide , un peu déprimée, blane jaunâtre, molle, La face 
dorsale présentant trois parties distinctes : le pronotum qui occupe 
tout le tiers antérieur, les ailes qui s’écartent obliquement pour 
se replier en dessous, enfin l’abdomen terminé en pointe, 
ses quatre premiers segments présentant chacun trois saillies 
acuminées , spiniformes , deux latérales , une médiane. Sur la 
face ventrale : le chaperon dirigé en avant, ainsi que les pattes 
antérieures, protégeant entre eux les antennes , une grande plaque 
lisse, médiane, qui est le métasternum ; le reste comme chez 
les autres nymphes de lamellicornes. 


L'insecte parfait est bien connu, 


Ce copride est commun aux environs de la Nouvelle-Orléans ; 
au printemps et en été les mäles et les femelles fabriquent 
ensemble de petites masses sphériques de matière stercorale, de 
la grosseur d’une noisette. À mesure qu’une de ces boules est 
formée, la femelle dépose un œuf sur sa surface, puis tous 
deux la roulent de façon à la revêtir d’une croute terreuse, Ils 
la conduisent ainsi jusqu’à ce qu'ils rencontrent une excavation 
dans le sol, une touffe d'herbes, un morceau de bois, en un 


de quelques Coléoptéres exotiques. 047 


mot un lieu quelconque où leur ouvrage soit à l'abri, puis 
ils vont procéder à une nouvelle fabrication. La jeune larve éclôt ; 
elle grandit grâce à la provision qui lui a été ménagée, et quand 
elle l'a épuisée elle se change en nymphe, protégée alors par 
la coque terreuse qui revétait son magasin de vivres, La trans- 
formation achevée , elle se dégage en brisant son enveloppe. 


ANCYLONYCHA FUSCA. 


Frôcicm, Naturf. 26. 99, (1792); pl, 3, fig. 3 (Lec.} 


(A. Quercina. Kxocn , Bu». ) 
EARVE. 


(PE II, Fig 3). 


Tête de grandeur moyenne, convexe en dessus , en demi cercle, 
à partie inférieure tronquée carrément pour recevoir l'insertion 
des différentes pièces de la bouche et les antennes. 

Antennes insérées sur les côtés de la tête, dépassant l'extrémité 
des mandibules , assez grèles , de cinq articles : le premier court 
et épais, le second plus long et plus mince , le troisième le 
plus long de tous, le quatrième de la longueur du second, 
muni à l'extrémité d’une petite dent en dedans de l'insertion üu 
cinquième ; ce dernier fusiforme. 

Chaperon grand , trapézoidal. 

Lèvre supérieure aussi haute que le chaperon, un peu moins 
large , en ovale transversal, sa surface snégale en dessus. 

Mandibules ( fig. 3° ) longues, légèrement arquées , coupécs 
obliquement au sommet , leur face externe longitudinalement 
bicarénée dans la partie moyenne et basilaire, faiblement bisillonnée 
au bout ; leur base munie en dedans d’une molaire très-saillante , 
excavée , festonnée sur les bords. 

Mâchoires ( fig. 5?) formées d’une pièce cardinale et d’une 
pièce basilaire charnues ; leur lobe se continuant avec cette der- 
pière, formé d’une seule pièce, muni d’épines au sommet et 
de poils sur la face interne. Palpes de quatre articles , le second 
plus long que les autres, 

Lèvre inférieure (fig. 5°) composée d’un menton large , en 


548 M. E, Cannëze. — Histoire des métamorphoses 


irapèze , portant une pièce palpigère grosse, charnue , trans- 
versalement sillonnée en dessous de l'insertion des palpes , poilue 
en avant el en dedans. Palpes labiaux biarticulés. 

Thorax , abdomen , stigmates et pattes comme ceux des 
Melolontha. 

Le corps de cette larve est d'un gris sàle, revêtu de poils 
fauves plus denses sur les segments antérieurs et l'extrémité 
du sac et offrant , sur les replis des six premiers segments ab- 
dominaux, des séries transversales de petits points noirs qui, 
examinés à la loupe , apparaissent sous la forme de spinules 
redressées. La tête et les pattes sont d’un jaune ferrugineux. 

Elle vit dans la terre. L’insecte vole le soir depuis mars jus- 
qu'en juillet. Pendant le jour il se tient caché sous les buches, 
les troncs d'arbres renversés , etc. 


SERICA NITIDA. 
(PL IL, Fig. 4). 


La larve de cette espèce ne diffère de la précédente que par les 
particularités suivantes : 

Le quatrième article des antennes porte à l’extrémité, en de- 
dans de l'insertion du cinquième , une petite saillie un peu plus 
prononcée. 

Le chaperon (fig. 4° ) est de mème forme avec son bord an- 
térieur déprimé ; le labre est grand, transversal , avec son bord 
antérieur avancé; il présente une carène qui le traverse dans 
toute sa largeur , et, en avant de cette carène , de chaque côté, 
une courte impression oblique. 

Les mandibules ( fig. 4° ) sont plus allongées et moins larges 
au sommet où elles présentent , sur la face externe, un seul 
sillon ; la molaire est moins épaisse et les festons du bord font 
moins de saillie. 

Quant aux mächoires et à la lèvre inférieure elles sont tout-à-fait 
semblables. Les premières ont également un seul lobe soudé, 
charnu , biépineux et cilié au sommet ; la seconde est aussi 
dépourvue de languette. 

Le corps est de méme couleur, un peu moins renflé à l'ex- 
trémrté. 


de quelques Coléoptères exotiques. 349 


Insecte parfait. 
(PL II, Fig. 4.) 


En ovale un peu élargi en arrière, très-lisse, d'un brun 
rougeâtre brillant, Front marqué de points inégaux médiocre- 
ment denses ; derrière le rebord antérieur on en remarque une 
rangée transversale de cinq ou six plus gros. Prothorax trans- 
versal, faiblement arqué et muni de quelques longs cils sur 
les côtés , sa surface convexe , finement et éparsément ponctuée. 
Ecusson triangulaire , marqué de quelques points. Elytres faible. 
ment sillonnées , avec une rangée de points serrés au fond des 
sillons, les intervalles à peine convexe et marqués de quelques 
points rares et fins. Dessous rougeàtre, mat. — Long. 11-12 
mill. , larg. 6-7 mill. 

Ceylan. 

Cette espèce appartient aux Serica de la seconde division de 
M. Burmeister ( Handb. IV, part. II, p.171). Les antennes 
ont neuf articles et la massue quatre feuillets ; le premier de 
ceux-ci de moitié plus court que les autres. 


[20 O--Q-66-me——— 


ÉLATÉRIDES. 


J'ai reçu , de M. Nietner, les larves de deux espèces d’Elatérides 
de grande taille , originaires de Ceylan. L'une, sans nom, a la 
plus grande analogie avec les larves d'Alaus et est peut-être 
celle de PA. speciosus. L'autre espèce , dont je possède trois 
exemplaires , est étiquetée : Campsosternus Templetonii. 

Ces larves sont extrêmement curieuses et s’éloignent, par les 
détails de leur conformation, des autres larves connues d’Ela- 
térides , bien que la forme générale et la structure caractéris- 
tique des mâchoires ne laissent aucun doute sur l'exactitude de 
la détermination. 

J'hésite d'autant moins à me fier à celle-ci que l'on possède 
un autre exemple de larves de la même famille qui s’écartent 


950 M. E. Canpëze. — Histoire des métamorphoses 
aussi, notablement, du type, par plusieurs particularités que 
je retrouve dans Îcs miennes : ce sont les larves de Crypto- 
hypnus , observées et soigneusemeut décrites (1) par M. Perris. 

Voici les caractères de cette espèce, j'indiquerai ensuite en 
quoi elle se sépare nettement de toutes celles que l’on connait 
jusqu'ici. 

LARVE. 
(PL IL, Fig. 5.) 


Tête petite, très-inclinée, cornée, bombée en dessus , ar- 
rondie sur les côtés, à demi enchassée dans le prothorax , forte- 
ment, éparsément et irréguliérement ponctuée avec quelques 
rides longitudinales vers la base, son bord antérieur largement 
et régulièrement concave , fdonnant attache, par un bourrelet sub- 
membraneux qui tient lieu de chaperon , à un labre transversal , 
corné, solide, fortement quadridenté en avant. 

Un ocelle assez grand, arrondi, bien limité , un peu bombé, 
tranchant par sa couleur blanchâtre translucide sur le noir 
des téguments, situé sur le rebord antérieur et latéral de la 
boite céphalique, tout près de l’antenne, 

Antennes courtes, coniques, rétractiles, de quatre articles, 
protégées par une excavation latérale des mandibules. 

Mandibules ( fig. 5°) assez robustes, solides, en forme de 
cuillère, fortement quadridertées sur les bords, présentant sur 
leur face externe une large excavation triangulaire où sont logées 
les antennes, leur face interne concave. 

Mâchoires (fig. 5°) et menton soudés ensemble, les pièces 
basilaires grandes , surmontées en dedans , chacune , d’un lobe 
court qui fait corps avec elle et se prolonge, vers la cavité 
buccale , en une lame fortement ciliée qui représente le lobe in- 
terne, et, en dehors, d'un palpe court, conique, de quatre 
articles. Lèvre inférieure triangulaire , enchassée entre les pièces 
basilaires des mächoires avec lesquelles elle fait corps , ne s’en 
distinguant que par un sillon; la pièce palpigère transversale , 
échancrée au milieu, portant deux palpes biarticulés cet une 
languette épaisse, cornée , très-dure , en forme de dent molaire 
triangulaire, à bord interne bisinué (fig. 5°) 


(1) Mém, d, !. Soc, d, Sc. d, Liége X, p. 256, 


de quelques Coléopières exotiques 551 


Thorax de trois pièces , la première un peu plus longue. 

Abdomen de neuf segments; les huit premiers à peu prés 
égaux entre eux, plus longs que larges , le neuvième en forme 
de disque un peu bombé, enchassé dans une ouverture circulaire 
du précédent et s'ouvrant ( fig. 5°?) comme le couvercle d’une 
tabatière pour montrer l'ouverture anale qui , autrement, est com- 
plètement cachée. 

Stigmates au nombre de six paires situés sur les segments 
2-7 de l'abdomen, la paire placée ordinairement vers le bord 
antérieur du mésothorax ou sur la membrane qui unit celui-ci 
au prothorax tout-à-fait nulle, ainsi que celle du huitième 
segment abdominal, le premier segment après le thorax ne pré- 
sentant à la place des stigmates que deux petites fossettes sans 
trace d'ouverture au fond ; péritrèmes de ceux qui existent grands , 
triangulaires. 

Pattes (fig. 55) extrêmement courtes, contiguës, insérées par 
paires sur une sorte de mamelon commun; composées , comme 
chez les autres, de cinq pièces. 

Le corps de cette larve est long de 55 à 60 millimètres, 
d'un noir brunâtre très-luisant , glabre, cylindrique , un peu 
étranglé aux articulations; tous les anneaux présentent dé petites 
stries transversales de points ; le prothorax et le huitième ab- 
dominal sont plus fortement ponctués ; l’opercule terminal est 
ponctué-rugueux. Les stigmates, très-grands, se voient sur la 
face dorsale. Les segments de l’abdomen, sauf le neuvième, 
offrent latéralement, en dessous des stigmates chez ceux qui 
en portent , une impression transversale au fond de laquelle 
on observe de petits replis longitudinaux. Les segments thora- 
ciques , sauf le premier, ont cette impression en double. On 
remarque en outre , sur les segments antérieurs de l'abdomen, 
plus bas encore que l'impression , une très-pelite fossette à 
fond lisse , rebordée. Ces fossettes vont en s’oblitérant à mrsure 
qu’elles se rapprochent de l’extrémité. 

Les Campsosternus- présentent , comme on vient de le voir, 
sous leur première forme, des particularités qui n’ont encore 
été observées chez aucune larve d'Elatéride. La plus importante 
est , sans contredit, la réduction , à six paires, des ouvertures 
respiratoires. S'il s'agissait d’une larve de petite taille on pourrait 
croire que les ouvertures en question m'ont échappé , mais cette 
objection tombe iei devant l'extrême facilité que l’on a d’aper- 


552 M. E. Canpèzr. — Histoire des métamorphoses 


cevoir, à l'œil nu, les stigmates existants. Je regrette de n'avoir 
aucun renseignement sur {es habitudes de cette larve où seule- 
ment le milieu dans lequel elle vit; on aurait peut-être l'ex= 
plication de cette anomalie. 

La forme du neuvième segment abdominal réduit à un simple 
disque sans la moindre épine, la façon dont il se meut, comme 
s'il était articulé par une charnière avec lé précédent dans 
lequel il s’enchasse , protégeant ainsi , en le dissimulant, l’orifice 
anal, font supposer un genre de vie à part. La grande brièveté 
et la rétractilité des antennes et des palpes, l’insignifiance des 
pattes qui doivent être à peu près inutiles à l'animal, la dureté 
et le poli des téguments qui n'offrent de prise nulle part, tout 
cela réuni ne semble -t-il pas indiquer que notre larve est, par 
son genre de vie, en contact fréquent avec des ennemis contre 
les injures desquels elle doit pouvoir passivement se pré- 
munir ? 

Le labre est libre et très-mobile , ce qui est une exception 
parmi les Elatérides , exception qui n'est pas unique , ear 
M. Perris a observé la même particularité chez les Crypto- 
hypnus. 

Ce qui est plus remarquable, c’est la présence des ocelles ; 
ces ocelles sont grands et leur existence ne peut donner lieu 
à aucune contestation; et cependant les larves que j'ai sous les 
yeux sont adultes, à en juger par leur taille. 

On voit que nous sommes encore loin d'arriver, par la 
connaissance des premiers états , à une classification systématique 
des insectes parfaits. Plus nous avançons dans l'étude des larves 
plus nous observons de ces faits considérés d’abord comme des 
exceptions, puis qui deviennent si nombreux qu’ils finissent par 
détruire les règles. 

La famille des Elatérides est, certes , une famille bien homogène ; 
d'autre part il est incontestable que les larves ont aussi, sans 
préjudice de ce que l'on découvrira plus tard, un caractère 
commun bien tranché , à savoir, la soudure des mächoires dans 
toute leur longueur avec le menton. Mais les Clythrides et les 
Peltides partagent ce caractère avec les Elatérides , et pourtant 
que devient plus tard ce lien de parenté ? En revanche qui 
pourrait dire, en examinant des larves d’Eucnémides et de Bup- 
restides, que les insectes qui en sortiront auront une organisation 
si voisine de celle des Elatérides ? 


de quelques Coléoptères Exotiques. 335 


Les généralités qu'on a pu écrire sur les larves de plusieurs 
familles, il y a quelques années, d’après un certain nombre de 
types, sont déjà à refaire aujourd'hui. Pour ne citer que les 
Élatérides , la connaissance des premiers états des Cryptohypnus 
et des Campsosternus est venue apporter de notables modifications 
à leur formule caractéristique , telle qu’elle avait été posée an- 
térieurement par Erichson (1), puis plus tard par M, Perris (2). 


GO ES 


LYCIiDES. 


On ne connait encore, sur les larves des Lycides, que les 
détails donnés par Erichson et M. Perris sur celle du Dictyopterus 
sanguineus Fabr. 

J'ai sous les yeux de nombreux spécimens de deux espèces 
exotiques sous leurs différents états ; l’une , de Ceylan, est un 
Lycus proprement dit, l’autre, du Mexique , une espèce encore 
inédite du genre Colapteron. 


LYCUS CINNABARINUS. 


LÂRVE. 


(PI III, Fig. 1.) 


Tête très - petite eu égard à la grandeur du corps (1 millim. 
de longueur sur */; de largeur), enchassée au sommet du pro- 
thorax et complètement rétractile dans ce dernier ( fig. 1° ), aplatie 
en dessus et en dessous , cornée , à bouche dirigée en avant. 

Un ocelle de chaque côté, très - visible. 

Antennes courtes, rétractiles (fig. 1°), placées aux angles 
antérieurs de la tête sur deux avances coniques , et séparées 
de la boite céphalique par un sillon en dessus , mais confondue 
avec elle en dessous, formées de deux articles dont le premier 
est annulaire, court, le second allongé, épaissi et tronqué 
obliquement au bout. 


(1) Archiv. de Wiegm. 1841, I p. 85, 
(2) Annal. d. la Soc, entom. d, Fr. 1854, p. 150. 


354 M. E. Canpèze. — Histoire des métamorphoses 


Chaperon et lèvre supérieure nuls, la plaque sus-céphalique 
s’'avançcant en angle entre les antennes, à la place de ces 
pièces. 

Mandibules très-courtes, gréles, contiguës à leur base et 
insérées sous le sommet de l’angle en question, presque droites, 
divergentes , acuminées au sommet , soudées en dessous à la 
pièce basilaire des mächoires. 

Mächoires ( fig. 1, ) contiguës au menton à la base mais non 
soudées avec lui, formées d’une pièce cardinale charnue , longi- 
tudinale , marquée vers le milieu d’un sillon oblique , d’une 
pièce basilaire courte, cylindrique, intimement soudée à la base 
avec la face inférieure des mandibules (qui, du reste , sont ici 
à l'état rudimentaire et semblent inutiles à l'animal }, terminée 
par un palpe de trois articles de même longueur et diminuant 
graduellement d'épaisseur. Pas de lobe distinct. 

Lèvre inférieure formée d’un menton charnu , faisant une 
assez forte saillie en avant , portant au sommet deux appendices 
très-distinctement triarticulés et dont le premier article me parait 
être la pièce palpigère terminée comme d'habitude par un palpe 
de deux articles. Languette nulle. 

Segments thoraciques protégés en dessus par des écussons 
cornés qui les débordent de chaque côté, le premier oblong, 
trapézoïdal , jaune avec une bande longitudinale et un point 
latéral noir , les deux suivants semblables , transversaux , arrondis 
aux angles, carénés au milieu , noirs avec Îles angles pos- 
térieurs jaunes , leur surface finement rugueuse et comme 
chagrinée. 

Segments abdominaux recouverts d'écussons de même nature 
mais plus courts, moins larges que le corps vers le milieu, 
en sorte qu'ils sont débordés par les flancs de chaque côté, 
noirs, avec leurs angles postérieurs saillants , tuberculeux et 
jaunes ; le premier écusson entièrement noir, le dernier en 
forme de croissant. Dessous jaunâtre avee cinq bandes longi- 
tudinales brun noir , une médiane et deux de chaque côté, 
celles -ci formées par autant de séries de tubercules. 

Stigmates disposés de Ia manière suivante : deux sur le 
mésothorax, près du bord antérieur et en avant de l'insertion 
des hanches moyennes ; deux aux points correspondants du mé- 
_tathorax ; seize sur les huit premiers segments de l'abdomen , 


9 KL - 


de quelques Colcoptères exotiques. 990 


situés en dessus et à la base des tubercules noirs latéraux les 
plus rapprochés des écusson. 

Pattes assez longues , noirâtres , formées d’une hanche courte, 
dirigée en dehors, d’un trochanter soudé à la euisse, d’une 
jambe grèle , ciliée , terminée par un ongle simple. 

Corps long , de 20 à 21 millimètres chez la larve adulte ,. 
aplati en dessus, bombé en dessous, atténué aux extrémités. 

Obs. Quelques particularités importantes à noter séparent celte 
larve de celle du D. sanguineus , pour la rapprocher manifeste- 
ment des larves de Lampyrides. En premier lieu la rétractilité 
de la tête ( fig. 1%) qui est aussi prononcée que chez ces derniers, 
avee celte différence que le prothorax ne faisant pas de saillie 
en avant , les appendices de la tète restent toujours visibles en 
dessus. En second lieu, la présence d’une paire de stigmates- 
sur le troisième segment du thorax. Ces sligmates métathora- 
ciques sont petits ct comme rudimentaires , peut-être même ne 
sont-ils pas perméables à l'air , ( c’est aux anatomistes à. trancher 
cette question), mais ils n’en sont pas moins visibles à l’ex- 
térieur et on doit en tenir compte au point de vue des caractères. 
zoologiques. 


Nymphe. 


(PL III, Fig. 1%), 


Molle, blanche, oblongue, aplatie en dessus , la tête et le 
rostre appliqué contre le sternum , avec les antennes , en demi 
cercle , appliquées contre les parties latérales du corps, leur ex- 
trémité recourbée en avant en dessous des pattes moyennes. 
Bord du prothorax libre, cilié. Abdomen conique , chaque segment 
muni aux angles postérieurs d’une petite saillie membraneuse, 
et de chaque côté , sur le dos, d’une carène longitudinale ; le 
dernier terminé par deux appendices filiformes. Pattes dans la 
position habituelle, l'extrémité des élytres et des ailes repliée 
et apparaissant , en dessous, entre les cuisses moyennes et pos- 
térieures. 


Insecte parfait. 
(PL II, Fig. 1e). 


Noir, opaque, les bords redressés du prothorax ct les élytres 
rouges. Front impressionné au milieu , au dessus de l'insertion 


556 M, E. Canoëze. — Histoire des métamorphoses 


des antennes ; rostre deux fois plus long que lui, un peu élargi 
au milieu. Prothorax concave, demi-circulaire , élevé et caréné 
longitudinalement en avant, sillonné transversalement vers le 
milieu, le sillon limité en arrière par un repli, les angles pos- 
térieurs prolongés un peu en dehors , les côtés foliacés et forte- 
ment redressés. Ecusson transversal. Elytres planes, très-élargies 
au milieu , arrondies sur les côtés et au bout, portant quatre 
côtes longitudinales élevées , les intervalles rugueux ; toute la 
surface couverte de petits poils rougeâtres , courts, couchés, 
dirigés en divers sens. — Long. 18 mill., larg. 10 mill. — 
Ceylan. 


COLAPTERON CORRUGATUR. 


LARVE. 


(PL IT, Fig. 2.) 


Tète eonformée comme celke de la précédente. 

Antennes également de deux articles, mais le terminal arrondi 
et non tronqué au bout. 

Mächoires et mandibules également soudées à la base, mais 
laissant voir , entre le palpe et l'extrémité de celles-ci, un lobe 
corné très-bien détaché de la mandibule au sommet et paraissant 
en être un dédoublement. 

Menton faisant très-peu de saillie et confondu dans la surface 
charnue du dessous de la tète. Les deux palpes insérés chacun 
sur leur pièce palpigère , lesquelles sont contiguës à la base. 

Segments abdominaux beaucoup plus larges que les segments 
thoraciques, ce qui tient à la plus grande saillie des tubercules 
latéraux. Les écussons cornés, carénés au milieu , et portant quatre 
tubercules sur leur bord postérieur, les externes gros, sur 
les angles, les internes de chaque côté de la carëne , petits ; 
jaunes , avee une bande médiane élargie en arrière et les angles 
antérieurs noirs ; la couleur jaune dominant sur les écussons 
thoraciques , réduite à deux points, seulement, sur les deux 
premiers de l'abdomen. 

Stigmates comme chez la précédente. 

On voit que cette larve présente quelque différence avec celle 
du Eycus cinnabarinus, notamment en ee qui concerne la con- 


de quelques Coléoptères exotiques. 307 


formation des mächoires, qui sont ici munies d’un lobe, tandis 
que ce lobe n'existe pas, ou est plutot soudé jusqu'au sommet 
avec la mandibule correspondante , chez ce dernier. 

En lisant la description donnée par M. Perris de la larve 
du Dictyopterus sanguineus , je remarque que les mächoires pré- 
sentent une sorte de lobe en forme de tubereule corné. Sous 
ce rapport , l'espèce européenne ressemblerait done davantage 
à celle-ci quà celle que j'ai décrite précédemment, 


Nymphe. 
(PL III, Fig. 22.) - 


On peut voir par la figure que je donne de ectte nymphe 
qu'elle diffère de la précédente sous plusieurs rapports. 

Lorsqu'on examine la face ventrale , le prothorax , qui est 
beaucoup plus petit, n'apparait pas sur les côtés ; en outre, 
au lieu de cils, il porte sur son bord libre six longs appen- 
dices filiformes , aplatis vers la base; on remarque des filaments 
semblables sur les bords latéraux de chaque segment de l'ab- 
domen ; enfin l'extrémité du corps présente deux longs filets 
de même nature. 


Insecte parfait. 
(PI. IT, Fig, 2b). 


Noir brunâtre, les côtés du prothorax et les élytres testacés, 
celles-ci noir bleuâtre dans leurs deux cinquièmes postérieurs. 
Antennes très-longues, foliacées, leur troisième article à peine 
aussi long que le suivant, le second extrêmement court. Rostre 
nul. Prothorax petit, concave, caréné au milieu, pubescent, 
arrondi en avant, ses angles postérieurs divergents, son bord 
postérieur ARTE un peu en arrière au milieu. Ecusson petit, 
oblong. Élytres triangulairement allongées , translucides, légère- 
ment pubescentes, portant quatre côtes ou nervures brie 
nales entières , très-saillantes et une cinquième courte , à lex- 
trémité, entre la quatrième et le bord externe ; ces nervures 
réunies par une multitude d’autres , transversales. Pattes noirâtres. 
— Long. 12-15 mill. , larg. . 9 mill. 

Mexique. br 


558 M.E. Canoëze. — Histoire des metamorphoses 


Je lui ai laissé le nom sous lequel il est mentionné dans le 
catalogue de M. Deyrolle. 

Cette espêce vit en société à l'état de larve. M. Sallé raconte 
qu'il l'a trouvée dans les circonstances suivantes : « En explorant 
un vallon situé au pied d'une montagne, à Toxpam près de 
Cordova , je fis la rencontre d'un gros arbre renversé et placé 
de telle manière que , soutenu par ses extrémités, le milieu 
était éloigné du sol et qu'il était possible de passer dessous. 
L'écorce était baillante et écartée du bois de plusieurs centi- 
mètres ; je la fis tomber, et , parmi les fongosités qui la tapis- 
saient à l'intérieur, je vis avec surprise un espace de près 
d’un mètre de circonférence couvert d’une multitude de larves 
de toute taille , de nymphes et d'insectes parfaits. Les nymphes 
étaient suspendues par lextrémité de l’abdomen à la façon des 
Coccinelles. Je ne découvris pas d’autres larves à l’entour , d’où 
je conclus que celles-ci se nourrissaient de blane de champi- 
gnon. » 


LAMPYRIDES. 


L'histoire des métamorphoses des insectes de cette famille est 
complète en ce qui concerne les espèces européennes, Quant aux 
exoliques , on a les descriptions de deux larves de Java, con- 
sidérées d’abord comme des larves de Silphales ou de Malacoder- 
mes par Perty (1), comme des Lycus par M. Westwood (2) et dé- 
finitivement comme des Lampyrides par Erichson (5). Maintenant 
que l’on connait les larves des Lycides le doute n’est plus pos- 
sible à cet égard. J'ai sous les yeux ces larves remarquables et j'ai 
pu constater aussi la présence des stigmates métathoraciques , 
qui sont, il est vrai, moins développés que les autres. On à 
vu plus haut que cette disposition des ouvertures respiratoires 
existe également chez des Lycides exotiques ; on la retrouve encore, 
mais à un degré moins prononcé, chez d’autres Lampyrides. 


(1) Obs. nonnul. in Col. End. or. p. 45, pl. I, fig. 8, 9. 
(2) Introd. to the mod, class. 254, , fig, 27, 4 et 28, 1, 
(3) Arch, d. Wiegm. 1841, I, p. 90. 


de quelques Coléoptères exotiques. 359 


M. Goureau a fait connaitre (1) la larve de l’Aspisoma can- 
delaria , du Brésil. Voici la description de celle du Photurts 
congrua Chevr. 


LARVE, 
(PL Il, Fig. 3). 


Tête médiocre, complétement rétractile dans le prothorax , 
aplatie en dessus , convexe en dessous , à bouche dirigée en 
avant. 

Un ocelle, assez grand, de chaque côté, placé sur la partie 
latérale de la tête, un peu en arrière de l'insertion des 
antennes. 

Antennes assez longues , molles, blanches , faisant saillie sur 
les côtés de la tête; le premier article long, cylindrique, le 
second un peu plus court, atténué de la base au sommet , le 
dernier de même longueur mais plus grèle , garni de quelques 
poils ; à son sommet on aperçoit comme une petite saillie in- 
distinctement limitée à la base, qui est peut-être le rudiment d’un 
quatrième article. 

Chaperon nul, lèvre supérieure rudimentaire | visible dans 
l'échancrure de la plaque sus-céphalique. 

Mandibules saillantes , dirigées d'abord en avant, puis recourbée 
en dedans ct se croisant au repos; celle de gauche portant 
en dedans une petite saillie dans sa partie moyenne. 

Mâchoires très-allongées (fig. 3b), soudées au menton , portant 
chacune, au sommet, un palpe de trois articles dont le pre- 
mier très-gros , cylindrique , le second fort court, en forme 
d’anneau , le troisième petit, conique, et en outre , en dedans 
du palpe, un petit lobe grêle, biarticulé. 

Menton très-long, enchassé entre les deux mâchoires avec 
lesquelles il fait corps et dont il n’est séparé que par un sillon, 
échancré au sommet, chaque lobe portant une pièce palpigère 
courte surmontée d’un petit palpe biarticulé ; languette nulle. 

Thorax composé de segments semblables à ceux de l'abdomen 
quant à la consistance et la couleur , mais un peu plus allongés ; 
tous, protégés en dessus par des écussons cornés. Les segments 


(4) Ann. d. la Soc, entom, de Fr. LIL, 2° Sér. 1845, 345, pl. VII, n° 2, 
be 1, 6. 


560 M. E. Canoèze. — Histoire des métamorphoses 


abdominaux présentant chacun, en dessous , sept tubercules dont 
le médian très-large, le neuvième segment petit, formant lui- 
même le pied anal. 

Stigmates disposés de la façon suivante : deux, petits, sur 
les tubercules de la face inférieure du mésothorax, deux plus 
petits encore sur les parties correspondantes du métathorax , 
sept, grands, sur les sept premiers segments de l'abdomen, placés 
entre les deux tubercules externes de la face inférieure. Tous 
ces stigmates sont largement aréolés de noir sur un fond jaune, 
ce qui les rend très-distincts à l'œil nu. Le huitième segment 
en est complètement dépourvu. 

Le corps est long de 30 millimètres sur une largeur de 
6 mill. ; entièrement glabre , aplati en dessus, bombé et muni 
de tubercules très-lisses en dessous. Les écussons sont finement 
chagrinés et, vus à la loupe, ils offrent l’aspect d'une mosaïque 
ou plutôt d'une peau écailleuse de serpent à fond brun clair, 
avec des dessins réguliers formés par des granulations d'un brun 
noir. Le dessous est jaune. 

Elle vit , comme les autres larves des Lampyrides, à la surface 
du sol ou elle fait la chasse aux mollusques. 


( Obs.) S'il s'agissait ici d’une larve apode on pourrait croire, 
d’après la position des stigmates , que j'ai pris le premier segment 
de l'abdomen pour le métathorax et le tubercule anal pour le 
neuvième. Si j'avais commis cette méprise, il en résulterait que 
les stigmates seraient , en réalité, placés normalement. Mais la 
larve est d'assez grande taille et les pattes sont trop bien dé- 
veloppées pour qu’une erreur aussi grossière soit possible. Quant 
au tubereule anal il est protégé en dessus par un véritable 
écusson corné , qui ne diffère des autres que par ses dimensions 
moindres. En examinant attentivement, on distingue un re- 
pli cutané circulaire qui limite très-nettement les bords de 
j’anus. 

Entre autres différences que cette larve présente avec celle 
des Lampyris , on remarque la présence d’une dent aux mandi- 
bules. Cette dent n'existe ici qu’à la mandibule de gauche; 
cest peut-être un cas accidentel et particulier au seul spécimen 
de l'espèce que j'ai à ma disposition. Chez d’autres espèces 
du même genre, les dents existent aussi, et des deux côtés. 


de quelques Coléoptères exotiques. 561 


PHOTURIS TRILINEATA. 


Say, Bost. Journ. of nat. Hist. 1 p. 157. 
LARVE, 


Plus petite que la précédente, d’une teinte générale plus foncée, 
les disques noirs au milieu desquels s'ouvrent les stigmates, encore 
plus grands. 


Ecussons dorsaux transversalement arqués , leurs angles pos- 
térieurs accusés (fig. 4), avee les deux échancrures du bord corres- 
pondant à peu près nulles. 

Les mandibules sont, chez cette larve, très-distinctement dentées 
de chaque côté (fig. 41) ; cette dent se présente sous la forme 
d'un petit tubercule arrondi. 


M. Sallé l’a trouvée sous des buches, en septembre, à Toxpam. 
PHOTURIS PENSYLVANICA. 


De Grer, Mém. IV, p. 53, pl. 17, fig. 8. 


(L. versicolor. Fas. Syst. Eleuth.) 


LARVE. 


Plus petite encore et proportionnément plus large, (15 mill. 
de longueur sur 5 de largeur) ; les écussons bombés seulement 
dans leur partie moyenne, avec les côtés aplatis, les premiers 
de l'abdomen au moins trois fois plus larges que longs, de 
couleur presque uniformément brune. 

Pas d’aréoles noires aux stigmates, 


Mandibules munies en dedans d’une dent aiguë située plus près 
de la base (fig. 5) que chez la P. trilineata. 


Elle vit dans le gazon ou sous les buches. L’insecte parfait 
vole le soir ; le jour il se tient caché sous les feuilles. On le 
trouve, à la Nouvelle-Orléans, depuis avril jusqu'en août. 

46 


3062 M. E. Cannèze. — Histoire des métamorphoses 


PTINIORES. 


CATORAMA PALMARUM. 
( Guér. in Sazré, Mss.). 


Les mœurs des Catorama , petits insectes très-voisins des 
Dorcatoma , ont été signalés pour la première fois par M. Gucrin- 
Méneville (1). Get auteur a fondé ce genre sur une espèce (C. tabaci), 
dont la larve a été trouvée , à Paris, dans des cigares provenant 
de la Havane. 

L'année suivante ce savant a encore mentionné (2), mais sans 
les décrire, deux autres espèces découvertes à Haïty par M. Sallé. 
L'une ( Sallei \ vit dans les gousses d’un arbre voisin du Caroubier; 
l'autre, qui est celle-ei, se nourrit aux dépens d’une graine 
que les habitants du pays nomment Guano manso , et qui pro- 
vient du Thrinax parwflora Sw. de la famille des Palmiers. 

La larve du C. palmarum ressemble , pour la forme générale, 
aux larves d'Anobium, que tout le monde connaît. Examinée 
dans ses détails elle ne m'a offert aucune particularité digne 
d'être mentionnée, Je me borne done à la figurer , sans la dé- 
crire. ( PI. LEE, fig. 7 ). 

Voici les caractères , encore inédits, de linsecte parfait : 

Ovoïde , un peu aplati en dessous, noir, revêtu d’une pubes- 
cence très-fine et très-courte, assez dense, couchée, soyeuse, 
cendrée , qui lui communique une teinte générale olivâtre. Tête 
fortement repliée en dessous , le front caréné au milieu en avant. 
Pronotum transversal, les angles antérieurs repliés en dessous , 
les postérieurs arrondis, faiblement sillonné a milieu. Elytres 
oblongues, finement et linéairement ponctuées. Dessous et pattes 
brunâtres. — Long. 4 mill., larg. 2 */; mill. 

Haiïty. 


(4) Rev. et Mag. d. Zool. 1850, p. 431. 
{2) Ann, d, la Soc, entom. 1851; Bullet. CXV. 


de quelques Coléoptères exotiques. 365 
CISSIDES. 


Les larves des insectes de cette petite famille, dont la vie 
entière se passe dans les bolets, sont bien connues , grâce à la 
facilité avec laquelle on peut se les procurer. On possède en 
effet la description de plusieurs d’entre elles, et l’on sait com- 
bien elles diffèrent peu de celles des Cryptophagides, ce qui 
a engagé plusieurs entomologistes à éloigner les C5 des Anobium , 
à côté desquels on les classe habituellement , pour les rapprocher 
des Cryptophagus. 

Je tiens, de M. Nictner, des larves et des insectes parfaits 
d'une curieuse espèce de Ceylan, qui existe déjà depuis plusieurs 
années dans les collections européennes , mais n'a pas encore 
été décrite, à ma connaissance. Elle doit former le type d'ua 
genre nouveau. 

Quant à la larve, elle est entièrement conforme à celles des 
Cis en ce qui concerne la structure des différentes pièces de 
la tête et la forme du corps, ainsi que l'on pourra s’en assurer 
par le dessin que j'en donne ( pl. IE, fig. 8). EI me suflira 
de mentionner, comme caractêére particulier, la structure des 
crochets terminaux qui se bifarquent chacun dès la base , et for- 
ment ainsi quatre épines redressées (fig. 8° ct 8°). 

Les auteurs n'étant pas d'aceord sur le nombre des ocelles 
chez les larves de Cis, j'ai spécialement dirigé mon attention 
sur ce point, en étudiant l'espèce actuelle, J'ai compté très- 
distinctement trois de ces organes de chaque côté, en arrière 
de l'insertion des antennes; c’est le nombre indiqué par MM. Perris 
et Coquerel pour les espèces qu'ils ont fait connaitre. 


Voici les caractères de l'insecte parfait. 
6. PTEROGENIUS. 


Tête grande, concave en dessus, présentant, chez les mâles, 
une large expansion de chaque côté , ce qui la rend tout-à-fait 
transversale et plus large que Île prothorax ; en demi cercle 
chez la femelle, — Menton en trapèze. — Languette en ovale 
twansversal. — Palpes labiaux terminés par un article oblongo- 


304 M. E. CanDèze. — Histoire des métamorphoses 


ovale. —- Mächoires à lobes courts fortement ciliés en dedans. 
— Palpes maxillaires longs, à premier et troisième articles courts, 
second allongé, dernier grand , triangulaire. — Mandibules bifides 
au sommet. — Labre très-apparent, vertical. — Yeux placés 
dans une échancrure du bord postérieur de l'expansion latérale. 
— Antennes presque aussi longues que le corps chez le mäle, 
un peu plus courtes chez la femelle, insérées en dessous, devant 
les yeux, de onze articles, le premier cylindrique , long , le 
second trois fois plus court, le troisième égal à la moitié du 
premier et plus long que les suivants, la massue terminale pre- 
nant insensiblement naissance vers le milieu et composée d'ar- 
ticles seulement un peu plus larges que ceux de la base. — 
Prothorax transversal. — Ecusson triangulaire , plus large que 
long. — Elytres courtes, hombées. — Prosternum caréné. — 
Abdomen à premier et deuxième segments beaucoup plus allongés 
que les trois derniers. — Pattes médiocres, les hanches des 
antérieures globuleuses , celles des postérieures transversales ; 
tarses de cinq articles à toutes les pattes au moins chez le mâle, 
les quatre premiers à peine aussi longs ensemble que le cin- 
quième , assez fortement villeux , terminés par deux crochets 
robustes. 


PTEROGENIUS NIETNERI. 


(PI. LI, Fig. 80.) 


(S) D'un noir brunätre , médiocrement luisant, la tête et 
les élytres , surtout l'extrémité de celles-ci, couvertes mais peu 
densément de poils brunätres , le prothorax avec quelques poils 
épars. Antennes allongées , pubescentes, de la couleur du corps. 
Front largement dilaté sur les côtés et débordant le prothorax, 
anguleux latéralement , concave et densément ponctué en dessus. 
Prothorax transversal, un peu plus long au milieu que sur les 
côtés , arqué dans le sens transversal , rebordé latéralement , 
densément et fortement ponctué. Elytres à peu près trois fois 
aussi longues que le prothorax et un peu plus larges, arrondies 
en arrière, bombées , ponctuées comme le prothorax , sans stries. 
— Long. 5'/, milk, larg. 1 3 mill. 


(2) La femelle est très-distincte du male par sa tête beaucoup 


de quelques Coléoptères exotiques. 365 


moins dilatée sur les côtés et de forme demi-cireulaire ; ses 
antennes sont un peu plus courtes. 


re 0 PS 0 E——— 


TÉNÉBRIONIDES. 
( BOLITOPHAGIDES. ) 


BOLITOTHERUS  CORAUTUS. 


Fage. Syst. Eleuth. I, 112. 
LARVE. 


(PI. III, fig. 9.) 


Tête cornée, arrondie, convexe en dessus , à bouche dirigée 
en bas, présentant, au-dessus de l’articulation du chaperon , deux 
petits tubercules durs , lisses au sommet ( fig. 92). 

Ocelles nuls. (1). 

Antennes plus courtes que les mandibules, placées contre la 
face externe de celles-ci, de quatre articles, le premier gros, 
cylindrique , aussi large que long, le second un peu plus court 
et beaucoup plus grèle, le troisième plus grèle encore et une 
demi fois plus long que le précédent , portant à son sommet, 
mais inséré un peu en dehors de son axe, le quatrième qui est 
extrêmement petit. 

Chaperon en trapèze, grand , bien séparé L la plaque sus- 
eéphaliue par un double sillon transversal. 

Lèvre supérieure arrondie, poilue. 

Mandibules saillantes , bifides au sommet avec la division in- 
férieure plus longue que l’autre , présentant, en dessus , une côte 
saillante qui se termine en arrière par un gros tubercule, leur 
face inférieure convexe, l’externe aplatie vers la base et con- 
tiguë aux antennes , l’interne munie à la base d’une forte dent 
molaire. 

Mâchoires (fig. 9° ) formant avec la lèvre inférieure une plaque 


(1) À moins que la surface lisse des tubercuies frontaux ne soient ces or- 
ganes, ce qui est peu probable. 


966 M. E. Caspèze. — faisloire des métamorphoses 


quadrangulaire saillante , leur pièce cardinale transversale , char- 
nue, la pièce basilaire longitudinale, terminée par un lobe 
charnu , arrondi, cilié, et un palpe de trois articles dont les 
 . et troisième à peu près de même longueur, le premier 
plus gros et plus court. 

Lèvre inférieure à menton allongé , pyriforme, à pièce pal- 
pigère charnue, transversale , échancrée au milieu pour recevoir 
une très-petite languette et portant de chaque côté un palpe 
biarticulé. 

Segments thoraciques semblables aux. segments abdominaux ; 
le prothorax un peu plus long que les autres, dépourvu de 
même de plaque cornée. 

Segments abdominaux au nombre de neuf, semblables entre 
eux, étranglés aux articulations , aplatis et sillonnés de chaque 
côté sur la face ventrale ; le neuvième court, bombé, muni 
de deux très-petits appendices (fig. 9°), portant une ouverture 
an ale à peine saillante et à lèvre circulaire et concentriquement 
sillonnée. 

Sligmates normaux. 

Pattes charnues ( fig. 9 } , épaisses, médiocrement longues; la 
hanche oblique en dedans et en avant, les trochanters presque 
aussi longs que la cuisse, coupés obliquement en dehors, les 
trois articles suivants de même longueur mais fnrausnt rapide- 
ment de grosseur. 

Corps long de 20 millimètres , large de trois, un peu arqué ; 
paraissant cylindrique , vu en dessus, aplati et bisillonné en des- 
sous ; blanchâtre , la tête jaune, les mandibules noires ; mou, 
charnu, glabre, dépourvu de pseudopode à l'extrémité. 

( Obs.) Lorsqu'on examine cette larve, on est frappé des rap- 
ports qu’elle présente avec celles des Lamellicornes : même forme 
de tête, mêrne grandeur du chaperon et du labre, disposition 
semblable des mandibules, des antennes, des mäâchoires , ete. ; 
mais lorsqu'on entre dans les détails on remarçue des différences 
notables , telles que la simplicité du lobe des mâchoires , le 
nombre moindre des articles des antennes , les pattes plus courtes, 
le dernier segment de l'abdomen autrement fait, ete. Il n'en 
est pas moins vrai qu'entre les larves des différentes tribus de 
la famille en question , il existe des dissemblances d’une valeur 
au moins aussi grande , et que si celles des Bolitophagus y 
étaient comprises elles n’y seraient pas trop déplacées. 


de quelques Coléoptères exotiques. 907 


Quant aux insectes à l'état parfait, on ne peut nier les rapports 
de forme qu'ils ont avec certains Lamellicornes , les Trogides 
par exemple, parmi lesquels lun d’entre eux avait été placé 
par Fabricius. 


Insecte parfait. 


En prenant pour type du genre Bolitophagus Vespèce européenne 
la plus anciennement connue, le B. reticulatus L., on remarque 
chez le cornutus des différences assez importantes pour justifier 
sa séparation générique d'avec ce dernier. Cette mesure a déjà 
été proposée par M. Lacordaire (1) en considération d’un caractère 
essentiel qu'il a reconnu Île premier , à savoir la composition des 
antennes, qui n'ont que dix articles , tandis qu’elles en ont onze 
chez les vrais Bolitophagqus. 

Je propose done pour le B. cornutus le nom générique de 
Bolitotherus avec les caractères suivants : 

Menton subtrapézoidai, bisinué en avant. — Languette dilatée 
et ciliée en avant ; les palpes labiaux insérés dans une échancrure 
des côtés, de trois articles, le second globuleux, le troisième 
allongé. — Dernier article des palpes maxillaires subeylindrique, 
tronqué au bout. — Labre court, transversal. — Tête dilatée 
au delà des yeux, son bord antérieur festonné , denté ou cornu 
chez les mâles. — Yeux transversaux, divisés par les joues seulc- 
ment dans leur moitié antérieure. — Antennes de la longueur 
du prothorax (fig. 91), de dix articles , le premier allongé, assez 
gros, le second globuleux, le troisième à peu près aussi long 
que les deux suivants réunis, 4-6 égaux, 7-9 s'élargissant gra- 
duellement pour former la massue, le dernier subarrondi, plus 
ou moins échancré sur les côtés, — Prothorax transversal , forte- 
ment rétréei à la base, foliacé et crenelé sur les côtés, très- 
échancré en avant, sa surface inégale , rugueuse, muni, chez 
les mâles , de deux longues cornes courbes. — Ecusson en triangle 
eurviligne. — Elytres courtes, parallèles, très-déclives et presque 
perpendiculaires sur les côtés et en arrière , leur surface couverte 
de rugosités et de tubercules. — Pattes assez longues ; cuisses 
comprimées ; jambes de la longueur des cuisses ; tarses hété- 
romères, villeux en dessous , les premiers articles très-courts , 
le dernier plus grand que les précédents réunis, arqué, cylin- 


(4) Genera, V, p. 295; note, 


368 M. E. Canpèze. — Histoire des métamorphoses 


drique; crochets robustes, simples, — Saillie posternale repliée 
en dedans et faisant face au mésosternum qui est vertical et en 
forme de v renversé. — Hanches transversales. 


L'espèce est bien connue. 


Au genre Bolitotherus se rattache encore une espèce de Ceylan 
dont je possède aussi la larve. Cette espèce ne peut entrer dans 
le genre Boletoxenus, créé récemment par M. de Motschoulski (1) 
sur un Bolitophagide de Birma, qui se distingue par ses antennes 
à dernier article obliquement tronqué. En revanche, la formule 
que je viens de rédiger pour lespèce américaine lui convient 
de tout point; je la nommerai donc : 


BOLITOTHERUS QUADRIDENTATUS. 


La larve est conformée comme celle du B. cornutus, sauf 
les particularités suivantes : 

Le corps est plus court, ce qui résulte naturellement de la 
taille moins grande de linsecte parfait. 

Les tubercules du front sont plus espacés, chacun d’eux 
étant plus éloigné de son correspondant que du bord latéral de 
la tête. 

Enfin , le dernier segment de l’abdomen est complètement 
dépourvu d’appendices. 


Insecie parfait. 


(æ) Entièrement noir, opaque, couvert de granulations et 
d’aspérités. Front présentant en avant quatre dents fortes , les 
deux externes sur le bord antérieur lui-même , au devant des 
yeux , les deux internes un peu en arrière de ce bord. Pro- 
thorax transversal, fortement échancré en demi cercle en avant, 
ses côtés arqués et à bord découpé en dents de scie, ces dents 
très-fortes et au nombre de six à sept; muni de deux longues 
cornes dirigées horizontalement , se recourbant l’une vers l’autre; 
son bord postérieur bisinué. Ecusson petit. Elytres plus larges 
que le prothorax , à peu près aussi larges que longues , pré- 
sentant neuf côtes formées par de nombreux tubereules d’inégale 
hauteur , les intervalles granuleux. 


(1) Etudes entomol, VIII. 


de quelques Coléoplères exoliques. 369 


(2) La femelle se distingue par le bord antérieur du front 
simple, complètement dépourvu de dentelures et son prothorax 
sans cornes, sillonné longitudinalement au milieu. 

Long. 5 mill., larg. 3 mill — Ceylan. 


( DIAPÉRIDES. ) 


CEROPRIA SUBOCELLATA. 


CasTEeLx. et BRULLÉ, nn. d. Sc. nat. XXIILI, p. 397. 


Et PLATYDEMA ELLIPTICA Fabr. 


M. Lacordaire, en parlant des larves des Diapérides vrais (1), 
dont plusieurs sont connues, dit qu'elles se divisent en deux 
calésories d’après leur genre de vie; les unes vivant dans l'ir- 
térieur des bolets où elles creusent de nombreuses galeries ; les 
autres cheminant sous les écorces et se nourrissant de la subs- 
tance fongueuse qui s'y rencontre. Les premières , représentées 
par celle du Düiaperis boleti, paraissent caractérisées par l’ab- 
sence des ocelles ; les secondes, parmi lesquelles on compte 
celles des Platydema , seraient au contraire pourvues d'organes 
visuels. 

Les premiers états de la Platydema europæa Lap. ont été 
soigneusement déerits par M. Perris (2). La formule descriptive 
et les figures très-détaillées qu'il en donne m'ont permis de leur 
comparer ia larve et la nymphe d'une Diapéride de Ceylan, 
la Ceropria subocellata , que je tiens de M. Nietner. 

La larse de lespèce indienne est plus grande (15 mill. ) que 
celle de la Platydema. La tête et ses différentes pièces sont iden- 
tiquement semblables; les ocelies sont également au nombre de 
quatre de chaque côté et disposés de la même façon ; la forme 
générale , la couleur , la consistance ne diffèrent pas’; les stigmates 
sont au nombre de neuf et placés de la même manière ; enfin, 
le pseudopode offre aussi cette particularité qu'il est bifurqué, 
ou plutôt dédoublé. 

La seule chose à mentionner est la simplicité du dernier 


(1) Genera, V, p. 300. 
(2) Ann. d. 1. Soc. entom. d. Fr. Sér. 3, V, p. 348, 
47 


370 M. E. Cannèze. — listoire des métamorphoses 


segment de l'abdomen. En effet, chez les larves des Platydema 
et Scaphidema connues jusqu'ici, l’éeusson de ce segment est 
muni de deux petites épines. Celles de Cervpria ne présentent 
au même endroit aucune espèce d’appendice ou d’aspérités. 

La larve de la Platydema elliptica Fab,, de la N° Orléans, 
m'a été communiquée par M. Sallé, qui l'a trouvée en mars 
dans les mèmes conditions que ses congénères d'Europe. Je n'ai 
rien à en dire, sinon que son segment terminal est muni, au 
bord postérieur, de cinq épines courtes, les trois internes rap- 
prochées , les externes un peu écartées. 


jus 
CURCULIONIDES. 


ANCHONUS CRISTATUS. 


On connait déjà la larve d’un Anchonus, l'A. cribricollis , 
des Antilles, décrite suecinctement et figurée par M. Coquerei 
dans le T. VIT, 2 série, des Annales de la Sociélè entom. de 
France. Voici la description plus détaillée de celle d’une espèce 
du Venezuela. 


LARVE. 


(PL IV, fig. 2.) 


Tête médiocre, ovale, cornée, à bouche dirigée en bas. 

Plaque sus-céphalique lisse, présentant plusieurs impressions 
longitudinales faibles et portant quelques longues soies jaunes 
redressées. 

Un petit ocelle de chaque côté, arrondi, bien visible. 

Antennes représentées par un très-petit mamelon charnu logé 
en dehors et en arrière du point d'insertion des mandibules, 
dans une légère excavation. 

Chaperon nettement séparé du front , enchassé dans une échan- 
crure et entre deux saillies de ce dernier, échancré en avant 
et un peu réniforme. 

Labre dur, corné, allongé, divisé longitudinalement en trois 
parties par deux forts sillons qui se changent en échancrures 
à la partie antérieure. Les trois dents qui en résultent en avant, 
arrondies. 


de quelques Coléoptères exotiques. 271 


Mandibules médiocrement longues , échanerées au bout , bis- 
sillonnées longitudinalement en dedans, sans dent molaire à la 
base, leurs faces externe et supérieure présentant quelques stries 
obliques , vers le milieu, et quelques inégalités près de l'in- 
sertion. 

Mâchoires (fig. 2°) très-écartées l’une de l’autre, la pièce 
cardinale peu distincte, la pièce basilaire dirigée obliquement 
en avant, se continuant en un lobe charnu et cilié, portant en 
dehors, dans une échancrure ménagée à cet effet , un petit palpe 
de deux articles. 

Lèvre inférieure formée d’un menton très-grand (fig. 2° ), plus 
large que long, marqué d’une impression transversale terminée 
à chaque bout par un sillon court, longitudinal; arrondi sur 
les côtés, échancré en v à branches très-ouvertes en avant, re- 
eevant dans cette échancrure une pièce palpigère charnue, tri- 
lobée, les lobes externes portant des palpes labiaux de deux 
articles , courts, le lobe médian ou la languette chargé de 
soies dorées. 

Segments thoraciques courts, séparés par de profonds sillons, 
surtout en dessous, mamelonés sur les côtés , marqués de sillons 
obliques supérieurement et inférieurement. 

Segments abdominaux moins nettement séparés que les pré- 
cédents , les plis de jonctions confondus avec d’autres également 
transversaux et qui leur sont parallèles sur la face ventrale, 
les côtés présentant un sillon longitudinal courant d’un bout à 
l’autre du corps et des mamelons de forme plus ou moins trian- 
gulaire ; le dernier segment en forme de sac, lisse; l’anus 
dirigé directement en arrière, paraissant sous la forme d’un point 
enfoncé entouré de quatre petits tubercules. 

Stigmates en nombre normal, la première paire placée dans 
un des replis de la partie latérale et antérieure du thorax sans 
qu’il soit possible de déterminer si ce repli sépare les deux pre- 
micrs segments ou fait partie de l’un d’eux; les autres sur les 
mamelons supérieurs des côtés des huit premiers segments de 
l'abdomen. 

Le corps de cette larve est long de 12 millimètres sur 4 de 
largeur. La tête seule est cornée et d’un jaune rougeûtre, Île 
reste est mou ct blanchâtre. Il est garni de quelques longs 
poils d’un jaune doré , hérissés ; sa forme est toute particulière : 
étroit en avant il s’épaissit peu à peu jusqu’au huitième segment 


> 


# 


972 M. E. CanDÈze. — Histoire des mélamorphoses 


abdominal , où ïl a sa plus grande largeur , pour se termi- 
ner brusquement par la surface lisse et convexe du dernier 
segment. 

M. Sallé à trouvé cette espèce, à Caracas, au mois de 


mars, en terre froide, dans des copeaux provenant de bois 
eoupés. 


Nymphe. 


Elle n'offre aucune particularité digne d'être mentionnée , elle 
présente les formes de l’insecte parfait sauf la position repliée 
et la brièveté des ailes; l’abdomenr porte, de chaque côté des 
segments , de petits appendices membraneux. 


Insecte parfait. 
(PI. IV, Fig. 2°.) 


Tout entier d’un noir opaque , revêtu de quelques poils squa- 
miformes courts, redressés, jaunâtres. Rostre de la longueur 
de la tête et du prothorax, arqué, marqué à la base de très- 
gros points serrés , à l'extrémité de points plus rares et plus 
petits. Antennes ferrugineuses , la massue chargée de poils jau- 
nâtres. Prothorax globuleux , portant une douzaine de gros 
tubercules entre lesquels il s’en trouve d’autres plus petits ainsi 
que des inégalités et quelques gros points, le milieu présentant 
un espace longitudinal lisse, Elytres tuberculeuses comme le 
prothorax , les tubercules petits et disposés en séries sur Îles 
parties latérales , plus gros , plus espacés et plus irrégulièremient 
placés sur le dos , la base offrant quatre crêtes élevées . courtes , 
à bords dentés. Pattes rugueuses , ciliées, noires avec les tarses 
ferrugineux. — Long. 8 mill., larg. 3 mill. — Caracas. 


BARIDIUS VESTITUS. 


Sonônx. Gener. et Spec. Curcul. 


On sait que les larves de Baridius vivent dans l'intérieur des 
végétaux herbacés dont elles rongent la moëlle, et que plusieurs 
d’entre elles sont très-nuisibles aux champs et aux potagers , en 
attaquant certaines plantes dont nous faisons usages. C’est ainsi 


de quelques Coléoptères exotiques. 319 
que Les 8. chlorizans Mull. , cuprirostris F. et picinus Germ. , 
vivent aux dépens des choux. Le B. chloris dévaste les plan- 
tations de colza et le B. trinotatus celles de pommes de 
icrre. 
L'espèce dont il est ici question est fort redoutée au Mexique, 
à cause des dégats qu’elle commet dans les plantations de tabacs. 
Voici ses caractères, j'exposerai ensuite sa manière de vivre , 
d’après les observations faites par M. Sallé. 


LARVE. 
(PL IV, Fig. 3.) 


Tête arrondie, convexe , cornée , à bouche dirigée en bas. 

Plaque sus-céphalique lisse, portant une ligne longitudinale 
enfoncée en arrière et deux petites impressions antérieurement , 
avec quelques poils redressés, semés ça et là. Son bord an- 
térieur coupé droit, ses angles correspondants couverts d’iné- 
galités. 

Ocelles invisibles. 

Antennes nulles. 

Chaperon séparé du front par un sillon, assez large el court, 
tronqué carrément en avant. 

Labre charnu , court, transversal, bisinué et revêtu de 
quelques poils dorés en avant. 

Mandibules courtes, coniques , arquées, concaves en dedans , 
bidentées au bout , sillonnées dans toute leur longueur en dessus, 
offrant une côte sur leur face externe et des inégalités à la base, 
sans dent molaire. 

Mächoires très-espacées à la base, dirigées obliquement en 
avant et en dedans, leur pièce cardinale vaguement triangulaire, 
Jeur pièce basilaire oblongue , terminée par un lobe soudé, cilié 
en dedans ( fig. 5°) et un petit palpe de deux articles. 

Lèvre inférieure composée d’un très-grand menton cordiforme , 
biimpressionné (fig. 5°), recevant, dans une large échancrure 
antérieure, la pièce palpigère portant deux palpes labiaux biar- 
ticulés ; la languette nulle. 

Segments thoraciques et abdominaux de mêmes consistance et 
couleur ; le prothorax seul présentant en dessus deux mamelons 
à téguments plus résistants. Les trois premiers portant en dessous, 
chacun, deux tu bercules représentant les pattes. Les segments 


574 M. ©, CanDèze. — Hisloire des métamorphoses 


abdominaux faiblement sillonnés en dessus , de façon à orésenter 
trois légers bourrelets, dont le postérieur porte cinq à six 
petits mamelons disposés sur une ligne transversale. Ces mamelons 
facilitent probablement la progression de la larve dans les galeries 
où elle vit. Le dernier segment porte, à son extrémité, un 
prolongement terminé par quatre tubereules rapprochés:, au centre: 
desquels s'ouvre Fanus. | 

Stigmates en nombre normal; la première paire située laté- 
ralement au dessus de la fente qui sépare les deux mamelons. 
ou fausses pattes antérieures. 

Le corps est long de 12 à 15 millimètres sur 3 à 4 de largeur, 
de consistance molle, blanchâtre , de forme arquée , cylindrique, 
atténuée aux extrémités , presque glabre. La tête est petite , 
relativement au corps, et de couleur jaune. 

Cette larve vit, ainsi que je l'ai dit plus haut , daps les tiges: 
des tabacs, bien qu’on la rencontre également dans d’autres 
solanées, telles que les Daturas. Les cultivateurs, au Mexique , 
la désignent sous le nom de Saratan. Ses ravages commencent 
aussitôt après la plantation des jeunes pieds de tabac, c'est-à- 
dire au mois de novembre, époque où la femelle pond ses œufs. 
Celle-ci, connue sous le nom de Mosquelæ , coupe au moyen 
de ses mandibules la côte principale de la feuille et y dépose: 
un œuf. Cette opération, comme on le comprend, fait périr 
toute la partie de la feuille qui est au dessus de la blessure 
et occasionne déjà un tort considérable au eultivateur. 

La jeune larve , éclose , chemine dans l’intérieur du pétiole et 
pénètre par là au cœur de la tige où elle s'établit dans la moëlle. 
La plante, encore faible, souffre beaucoup à cette époque ct 
périrait même , si le cultivateur , averti par l’étiolement des feuilles, 
n'intervenait en pratiquant, au moyen d’unel petite lame, une 
incision longitudinale à l'endroit où se trouve l’animal ; il se 
trompe rarement. La larve extraite, la blessure se cicatrise ra- 
pidement , et la plante ne tarde pas à recouvrer sa vigueur. 

Les pontes faites en mars, au moment de la récolte, sont 
moins fatales à la plante qui a acquis tout son développement. 
Rien ne trahit à l'extérieur la présence de l'ennemi, et presque 
tous Îles pieds de tabacs renferment alors un Saratan dans 
leur tige. 

Les tiges , ajoute M. Sallé auquel je dois ces détails, restant 
dans les champs après la récolte, jusqu'à la fin d'avril, époque 


de quelques Coléoptères exoliques. 575 


où on les arrache , servent de refuge aux larves et aux nymphes 
en sorte que l'insecte parfait est très-abondant en été, 

Quand le moment de la transformation est arrivé, la larve 
élargit sa galerie, et au moyen des débris qui proviennent de eette 
opération elle construit une coque ( fig. 5° et 5°) à parois assez 
résistantes , très-lisse et enduite d’un vernis mucilagineux en 
«dedans. 

La nymphe n’a rien qui mérite d’être mentionné. Quant à 
linsecte parfait il est bien connu. 


RHYNCHOPHORUS ZIMMERMANNI. 


Scnûxx. (ener. et Spec. Curcul. 
LARVE. 


(PI. IV, fig. 1). 


Tète oblongue, cornée, à bouche dirigée en bas. 

Plaque suscéphalique présentant en arrière un court sillon mé- 
dian à bords soulevés , se prolongeant en avant en une fine ligne 
qui se bifurque et dont les branches se dirigent vers les angles 
antérieurs du front. L'espace compris entre ces branches et le 
bord antérieur est marqué de quatre sillons profonds, larges, 
sinueux ; en arrière la surface est couverte de facettes un peu dé- 
primées et dont les bords sont lisses ct plus luisants, de sorte 
que leur ensemble forme comme un réseau brillant se détachant 
sur un fond mat. Le devant porte quelques longs poils re- 
dressés. 

Un ocelle de chaque côté. 

Antennes nulles ou pouvant être considérées comme telles ; 
la grande taille de la larve permet seulement d’apercevoir au 
devant |de l’ocelle, à la place occupée habituellement par ces 
organes, un très-petit tubercule charnu , logé dans une dé- 
pression de la substance cornée. Ge tubercule est probablement 
un vestige de l'antenne. 

Chaperon bien limité , en trapèze à angles arrondis , sillonné 
transversalement au milieu, enchassé entre deux avances du bord 
antérieur de la tête. 

Labre grand, transversal , trilobé , muni en avant de poils 
dorés. 


570 M, Cannèze. — listoire des métamorphoses 


_Mandibules robustes , coniques, un peu arquées au sommet ; 
leur face interne concave , sans dent basilaire ; leur face externe 
arrondie, présentant deux inamelons à la base et trois gros points 
enfoncés vers leur partie moyenne. 

Mâchoires (fig. 2°) très-écartées à la base, à pièce cardinale 
transversale, conique , à pièce basilaire oblongue , un peu ren- 
flée au sommet, portant un lobe charnu , soudé, cilié, et en 
dehors un petit palpe de deux articles. 

Lèvre inférieure formée d’un menton graud, quadrangulaire, 
profondément et largement bissillonné longitudinalement , sur- 
monté d’une pièce palpigère trilobée , les deux lobes externes 
portant chacun un palpe court de deux articles , le lobe moyen 
représentant la languette, cilié , renforcé en dedans de la cavité 
buccale par deux mamelons longitudinaux, charnus. 

Segments thoraciques semblables aux segments abdominaux 
pour la consistance, la couleur , etc. , tous parfaitement séparés 
entre eux par un sillon circulaire profond; le premier segment 
couvert en dessus par deux plaques subeornées et présentant en 
arrière un bourrelet ; les segments suivants offrant trois, puis 
quatre bourrelets d'autant plus courts et séparés par des sillons 
d'autant plus profonds qu'ils se rapprochent de l'extrémité. Les 
côtés marqués d’une multitude de rides longitudinales. Le dessous 
offrant une bande où les rides latérales s’effacent tout-à-coup et 
où reparaissent les bourrelets. Le neuvième segment petit, comme 
écrasé , protégé en dessus et en dessous par une plaque cornée 
concave , sans rides ni bourrelets , à bord postérieur arqué et 
sInueUx. 

Stigmates au nombre de neuf paires, la première sur les côtés 
du prothorax , les autres sur les côtés des huit premiers segments 
abdominaux , à péritrèmes très-petits malgré la grande taille 
de la larve et très-difficiles à découvrir , perdus qu'ils sont dans 
les nombreux replis de la peau et ne se distinguant de celle-ci 
par aucune différence de coloration. 

Pattes tout-à-fait nulles, représentées par de petites plaques 
arrondies, cornées , luisantes. 

Cette larve est fusiforme et contournée en S lorsqu'on la voit 
de profil, par la raison que sa tête se recourbe en dessous 
tandis que son extrémité postérieure est redressée. Elle est d’un 
beau jaune roux soyeux, avec la tête rouge. Sa longueur est, 
en moyenne, de 40 millimètres sur 18 de largeur. 


"à, :-cyrt Mis 


de quelques Coléoptères exotiques. 77 


O1 


Elle vit dans la moelle du Chamerops Palmetto Wild. qu’elle 
finit par faire mourir ; elle paraît au reste n’attaquer que les 
arbres déjà malades. À la Louisianne, les défricheurs ont l’ha- 
bitude, pour faire périr les lataniers , d’enfoncer un coin de bois 
jusqu'au cœur de l'arbre. L’insecte profite de la blessure pour 
y déposer ses œufs, et quelquefois on trouve une trentaine 
de larves dans l’intérieur d'un seul tronc. Quand la larve est 
sur le point de se métamorphoser en nymphe, elle se construit 
une sorte de coque (fig. 1°) épaisse et très-solide , au moyen 
de la fibre qui garnit la base des pétioles. Il n’est pas rare, 
dit M. Sallé, de trouver dans ces coques des insectes parfaits 
desséchés, qui n'ayant pu sans doute en sortir, y sont morts 
emprisonnés. 

Lorsqu'on extrait la larve des galeries où elle vit et qu’on la 
place sur le sol , elle rampe en s’aidant de ses mandibules. 


Nymphe. 
CHimeettié) 


Elle ne présente rien de particulier, et les deux figures que 
jen donne montreront suffisamment la position des antennes, 
du rostre, des ailes, des pattes, etc. 


Insecte parfait. 


Cet insecte, d'un beau noir brillant en dessous, recouvert 
en dessus d’une pulvérulence très-tenue et d'un noir mat à 
reflet azuré, est commun aux environs de la N'° Orléans. On 
le prend quelquefois au vol, le soir, en mars et pendant l'été ; 
mais cest dans l’intérieur des lataniers qu'il faut surtout le 
chercher. 


CS 
CD 


EF 


378 M. E. Canoèze. — Histoire des métamorphoses 


SCOLYTIDES. 


TOMICUS FERRUGINEUS. 


Far. System. ÆEleuth. 


La larve de cette espèce ne diffère en rien des autres du 
même genre , il est donc tout-à-fait inutile de la décrire , alors 
que MM. Ratzchurg (1) Nordlinger (2) et Perris (3) ont fait 
connaître tout ce qu'il était utile de savoir de l'histoire des espèces 
européennes. Je ne mentionne celle-ci que pour indiquer qu'elle 
vit, en Amérique, dans les feuilles à demi desséchées de l’Agave 
american«. 


GE Ce 


LONGICORNES. 
TRICHODERES PINI. 


CHevr. Mag. d. Zool. 1843. p. 36, pl. 118. 
LARVE» 


(PL V, fig. 1.) 


Tête médiocre, à demi enchassée dans le prothorax, assez 
épaisse , à bouche dirigée en avant. Le dessus lisse avec quelques 
petites stries longitudinales vers le milieu , le bord antérieur 
épaissi, échancré au niveau du chaperon , transversalement caréné 
un peu en arrière de l'échancrure , avee la carène interrompue 
sur la ligne médiane ; toujours en avant, entre cette carène et 
un tubercule latéral qui porte l'antenne, une excavation a bord 
irrégulièrement sculpté. 

Antennes très-visibles , portées sur une avance cornée de la 
boite céphalique , qui envoie au-dessus une courte saillie destinée 
à les protéger. Les deux derniers articles seulement sont distincts. 


(1) Die Forstinselk. 1, 1837. 
(2) Entom. Zeit. zu Stettin, 1848. 


(3) Hist. d. Ins. d. Pin, marit.. dans les Ann, d. l. Soc, ent. d. Fr. 
1856, p. 173 et suiv. 


pe 


de quelques Coléoptères exotiques. 579 


Ocelles au nombre de deux de chaque côté, globuleux, placés 
transversalement en dehors de l'insertion des antennes. 

Chaperon médiocre, transversal, largement échaneré en avant. 
Labre arrondi , bombé, cilié en avant. 

Mandibules courtes, coniques , robustes , coupées en biseau , 
à bord tranchant au sommet , concaves en dedans avec une ligne 
élevée, oblique, dans la concavité, convexes en dehors où leur 
surface est très-inégale. 

Mâchoires charnues ( fig. 1°), leur pièce basilaire divisée 
transversalement par un profond sillon, dans leur moitié externe, 
un peu en dessous de l'insertion des palpes. Ceux-ci composés 
normalement de trois articles. Pièce palpigère très-courte et se 
perdant dans la languette qui est très-large (fig. 1°) et ciliée 
au sommet. 

Prothorax grand , une demi fois plus large que long, rétréci 
et emboïitant la tête au sommet, muni en dessus et en dessous 
d’un écusson corné; l’éeusson supérieur en ovale transversal , 
marqué de rides concentriques , rugueux dans sa moitié pos- 
térieure , l’inférieur creusé d’un profond sillon en forme de v 
renversé. 

Mésothorax et métathorax plus courts ensemble que le pro- 
thorax , marqués en dessus de quelques rides transversales. 

Segments de l'abdomen au nombre de neuf avec les sept 
premiers portant en dessus et en dessous des mamelons très- 
saillants , charnus , sillonnés par des rides qui forment des dessins 
divers (fig. 1° et 1%). Les trois derniers munis de bourrelets 
latéraux, 

Dernier segment terminé par le mamelon anal divisé en trois 
tubercules, au centre desquels s'ouvre l'anus. 

Pattes courtes, à articles au nombre de quatre, décroissant 
graduellement d'épaisseur , très- distincts. 

Stigmates en nombre normal; la première paire située dans 
le pli qui sépare le premier segment du second. 

Le corps est glabre ( sauf quelques soies disséminées } , blan- 
châtre avee la partie antérieure de la tête brune et les mandibules 
noirâtres ; il est long de 30 à 55 millimètres , presque aussi 
épais que large , et décroissant graduellement du prothorax au 
septième segment où il regagne un peu plus de largeur à cause 
des bourrelets latéraux. 

Cette larve vit sous les écorces des pins, dans les régions 


980 M. E. Cannèze. — Histoire des mélamorphoses 


très-élevées et très-froides du Mexique. M. Satlé fa rencontrée , 
en mai, sur le volcan d'Orizaba, un peu en dessous de la 
limite inférieure des neiges perpétuelles. 


ACROCINUS LONGIMANUS. 


Far. Syst. Eleuth. 
LARVE. 


(HET fo 22)) 


Tête aplatie, de moitié plus étroite que le prothorax , a 
base enchassée dans ce dernier , à bouche dirigée en avant. Le 
dessus lisse, sauf deux légères impressions rapprochées , en 
arrière du bord antérieur lequel est à peu près droit sur toute 
la longueur de la base du echaperon, avec une avance de chaque 
côté de celui-ci; le dessous fortement échancré ; les parties laté- 
rales marquées de quelques inégalités. 

Antennes extrêmement petites et apparaissant , aux angles 
antérieurs de la tête, sous la forme d’un eûne microscopique 
a {rois étages formés par deux sillons circulaires (1). 

Un ocelle très-visible, en dessous de chaque antenne. 

Chaperon grand, lisse, trapézoïdal ; labre aussi long que le 
chaperon , demi-circulaire, cillé au sommet. 

Mandibules très-robustes (fig. 2b ), coniques , faiblement ar- 
quées , terminées par un bord tranchant coupé en biseau, concaves 
en dedans avec une arête traversant obliquement la concavité, 
un peu concaves également en dessous , convexes en dessus et 
en dehors avec la base marquée de stries transversales. 

Pièee cardinale des mäâchoires et menton formant ensemble 
une masse transversale charnue ( fig. 2°) où de simples plis re- 
présentent les articulations. 

Pièce basilaire courte, terminée en dehors par un lobe 
soudé mais cependant limité à la base par un pli cireulaire, 
cilié au bout. Palpes maxillaires de trois articles de même lon- 
gueur et diminuant graduellement d'épaisseur. 

Pièce palpigère subréniforme très-large , terminée par deux 


(1) Le nombre normal des articles est de quatre; l’un d'eux est sans doute 
rétracté, ici, par l'effet de l'alcool où sont plongées les larves. 


de quelques Coléopières exotiques. 58! 


palpes biarticulés et une languette échanerée au bout et sil- 
lonnée longitudinalement ; le sillon et l'extrémité chargés de 
poils. 

Prothorax très-grand et épais , protégé au-dessus par un vasle 
écusson subtrapézoïdal échaneré au milieu en avant, caréné 
longitudinatement en arrière et légèrement décelive de chaque côté, 
très-rugueux et granuleux. Le dessous membrancux et portant 
quelques granulations. 

Deuxième et troisième segments thoraciques moins longs en- 
semble que le premier, le métathorax présentant en dessus un 
sillon transversal bordé de granulations. 

Segments de l'abdomen s’allongeant graduellement, en di- 
minuant de largeur, du premier au sixième ( fig. 2 ) ; les sep- 
tième et huitième élargis par un bourrelet longitudinal , latéral ; 
le neuvième avec un bourrelet visible seulement en dessous, 
terminé par un très-gros mamelon simulant un dixième segment, 
lequel mamelon porte l’ouverture anale en forme d'Y, enfoncée 
entre trois forts replis. Les sept premiers segments portent en 
dessus et en dessous de larges mamelons aplatis, protégés par 
un tissu plus résistant, couverts de granulations noirâtres et 
divisés par des sillons (fig. 2° 4) disposés de la manière suivante : 
sur les dorsaux, un large sillon longitudinal peu profond, de 
l'extrémité postérieure duquel partent curvilinéairement, en di- 
vergeant et faisant un retour vers le bord antérieur, deux autres 
sillons plus étroits et plus profonds qui se ramifient à l’extré- 
mité (fig. 2); sur les ventraux , un sillon transversal aux 
extrémités duquel (fig. 21) un autre, figurant une sorte de v 
ou d'Y. 

Stigmates normaux. Ceux de la paire thoracique à péritrème 
en ovale transversal et très-grand , de trois millimètres au moins 
de largeur , situés latéralement entre le prothorax et le mé- 
sothorax. 

Pattes tout-à-fait nulles. 

Cette larve est longue de 80 mill. ; le prothorax est large 
de 16 à 18. L'abdomen de 10 à 12 mill. d'épaisseur est aussi 
haut que large et chacun de ses segments est élargi dans son 
milieu. Elle est blanche avec le dessous jaunâtre ; les écussons 
supérieurs ainsi que le dessus des trois divisions postérieures , 
d'un brun obseur; la partie antérieure de la tète et les mandibules 
soni moires. Les deux extrémités, surtout la postérieure, sont 


332 M.E. Canoèze. — ffistoire des métamorphoses 


revêtues de poils dorés, épars ; la portion moyenne du corps 
est presque glabre. 

M. Sallé l’a trouvée , à Cordova, au Mexique, sous l'écorce 
d'un grand arbre nommé Ceiba par les habitants, et qui ap- 
partient au genre Ficus. M. Rojas (1) a déjà donné, dans les 
termes suivants , quelques détails sur les habitudes de cette 
espèce, qu'il a observée à Caracas. 

« L'Acrocinus longimanus Fabr. vit toujours dans les climats 
froids et sur le Ficus glabrata, appelé vulgairement Higeron 
ou Higuerote , dont il suce le lait et où je l’ai pris. Sa larve 
vit toujours dans l’intérieur de cet arbre, et l’insecte parfait , qui 
l'habite également, en sort régulièrement le matin pour se fixer 
aux Ficus qui n’ont pas été coupés, et s’alimente de son lait, » 

« Je les ai pris ainsi et dans leur retraite en fendant à laide 
d’une hache des troncs déjà coupés, où je voyais l'entrée de 
leur demeure toujours large et ouverte à l'extérieur. J'y ai 
toujours trouvé assez de larves de ce coléoptère. » 


ASTYNOMUS  SALLET, 
LARVE, 


(PL IV, Fig. 4). 


Fête aplatie, à demi enchassée dans le prothorax, une demi 
fois plus étroite que ce dernier, à bouche dirigée en avant. 
Le dessus impressionné çà et là avec deux impressions plus fortes , 
rapprochées , transversales ; son bord antérieur largement ct 
régulièrement échaneré, muni de cils longs, dirigés en avant. 
Le dessous présentant deux impressions obliques, linéaires. Les 
côlés marqués de gros points profonds. 

Antennes invisibles (2). 

Ocelles nuls. 

Chaperon grand , subtrapézoïdal ; lèvre supérieure presque 
aussi grande que lui, la suture d'insertion droite, le bord libre 
arrondi et cilié. 


(4) Ann. de la Soc. entom. d. Fr. 1857, p. 334. 

(2) Les antennes étant très-courtes ct rétractiles chez les larves des lon- 
gicornes , il est possible et même probable qu'elles existent, attendu que 
les Astynomus européens en possèdent. 


de quelques Coléoptères exotiques. 389 

Mandibules allongées , assez grèles, arquées, échancrées au 
bout , sillonnées longitudinalement en dehors vers l'extrémité, 
concaves en dedans, bisillonnées longitudinalement à la base 
de leur face externe ( fig. e), paraissant rétrécies au milieu lors- 
qu'on les regarde de profil. 

Màchoires et lèvre inférieure ne présentant rien de particulier 
(fig. 4). 

Prothorax grand , aplati, arrondi sur les côtés et protégé sur 
les deux faces par un écusson, le supérieur trapézoïdal , l’in- 
férieur elliptique , tous deux lisses dans leur partie antérieure, 
recouvert d'un velours très-fin en arrière. Deuxième et troisième 
segments très-courts, un peu plus étroits que le premier, ridés 
transversalement en dessus et en dessous. 

Segments abdominaux diminuant graduellement de largeur et 
augmentant de longueur du premier au sixième , les derniers 
un peu élargis et munis latéralement d'un bourrelet mal limité, 
tous munis sur les côtés d’un mamelon surmonté d’un petit 
tubercule lisse, oblong, et sur les deux faces d’un mamelon 
rétréci au milieu en forme de 8 placé transversalement, aplati 
et marqué de sillons qui forment des dessins réguliers ( fig. 4°). 
Mamelon anal , simulant un sixième segment, situé à l'extrémité 
du neuvième ; l'ouverture anale dirigée en arrière, placée au 
centre de trois tubercules arrondis. 

Stigmates en nombre habituel , la première paire située dans 
le sillon qui sépare le prothorax du mésothorax 

Pattes nulles. 

M. Sallé a trouvé plusieurs de ces larves une première fois, 
dans le mois de janvier, sous l'écorce d’un arbre mort, aux 
environs de Caracas ; ces individus qu'il essaya d'élever , ne 
réussirent pas. Retourné en mars au même endroit , il en prit 
d’autres qu'il plaçät dans des conditions meilleures , et qui, 
celte fois, subirent leur transformation définitive et lui pro- 
eurèrent des spécimens parfaits. 


Nymphe. 


(PL IV, Fig. 2%.) 


L'exemplaire que j'ai figuré, le seul que je possède, est une 
femelle, ainsi qu'on peut le voir à la façon dont se termine 


584 M.HE. Canpèze. — ésloire des métamorphoses 


l'abdomen. Elle est relativement large et très-aplatie ; la face 
dorsale du prothorax et de l'abdomen est couverte d'aspérités et 
de spinules sensibles au toucher. Pour le reste, elle n'offre 
rien de particulier. 


Insecte parfait. 


CL en) 


Voici la description de cette jolie et rare espèce , encore 
inédite. 

Entièrement recouverte d’une courte pubescence serrée et 
satinée de diverses teintes, qui masque complètement la couleur 
noirâtre des téguments. Yeux noirs. Pubescence de la tête gris 
blanchâtre en avant , légèrement teintée de jaune ferrugineux 
derrière les yeux ; en avant du bord antérieur du prothorax 
et parallèlement à lui on remarque un collier étroit de poiis 
blancs , se détachant sur un fond dénudé. Antennes deux fois 
longues comme le corps chez le mâle, une demi fois plus courte 
chez la femelle, grèles , gris clair, chaque article à parür du 
troisième terminé par du noir, teinte qui envahit d'autant plus 
l'article qu'il est plus rapproché de l'extrémité. Prothorax trans- 
versal , sa pubescence d’un gris jaunâtre , portant cinq tubercules ; 
deux latéraux acuminés , deux dorsaux obtus, le cinquième mé- 
dian, plus en arrière, oblong ; parallèlement aux bords anté- 
rieur el postérieur une rangée de gros points noirs. Ecusson 
de la couleur du prothorax. Elytres larges aux épaules, rétrécies 
par une courbe régulière jusqu’au sommet où elles sont échan- 
crées, portant chacune deux côtes faibles plus saillantes à la 
base, revêtues d’une puhescence satinée d’un gris de perle, 
teintée de jaunâtre dans le quart antérieur, parsemées de gros 
points noirs irrégulièrement semés , ornées de trois fascies veloutées 
partant du bord externe et n’atteignant pas la suture, d’un olivâtre 
obscur, bordées de jaune orange dans leur portion interne: la 
première, oblique, formée de trois petites taches, placée au 
quart antérieur, la seconde, au milieu, grande, triangulaire, avec 
un trait en retour à l'extrémité de l'angle dirigé vers la suture, 
la troisième oblique mais en sens inverse de la première, constituée 
par deux taches dont lexterne marginale diffuse, l’interne oblon- 
sue, double, nettement bordée de jaune. Dessous et pattes 


de quelques Coléoptères cæotiques. 585 


revêlus de poils d'un gris blanchâtre, subolivâtres ; ( cette der- 
nière teinte est due à la couleur des téguments ); les jambes 


moins la base et les tarses, obscures, — Long. 16 mill., larg. 
6 mill, 

0 6-2 (5-0 a — 

CHRYSOMÉLINES. 


L'histoire des premiers états des Chrysomélines est à peu près 
complète en ce qui concerne les genres européens, grâce à la 
facilité avec laquelle on se procure et on amène à leur dernière 
métamorphose les larves de cette famille, qui, sous le rapport 
des habitudes , ont beaucoup d’analogie avec les chenilles. 

Vivant, pour la plupart, à découvert sur les végétaux, et 
exposées par cela même aux attaques de nombreux ennemis , 
elles ont reçu de la nature des moyens de défense très-variés 
et fort curieux à étudier. Les unes se recouvrent de leurs ex- 
créments qui tantôt restent sur leur dos à l'état pulpeux, tantôt 
se moulant dans de véritables filières, se dessèchent et forment 
des abris de structures diverses; d’autres, semblables à certains 
mollusques , habitent une coque solide qu'elles trainent après 
elles et où elles se retirent au moindre danger ; d’autres encore, 
privées de ces moyens de protection , ont la faculté de faire 
sortir de leur corps une humeur vénimeuse, à odeur fétide, 
qui repousse leurs ennemis. 

Celles qui se font un abri protecteur de leurs excréments sont, 
comme on sait, les Criocérides et les Cassidides, La matière 
exerémentitielle reste chez les premières à l'état pulpeux; chez 
les secondes elle se dessèche. 

Sauf cette habitude singulière qui les rapproche, les larves 
de ces deux tribus diffèrent notablement dans la forme générale 
de leur corps : tandis que les Criocérides ressemblent aux Chry- 
somélines proprement dites, les Gassidides , elles, ont une tour- 
nure toute spéciale qui les éloigne beaucoup des autres groupes 
de la famille. 

J'ai sous les yeux plusieurs de ces larves merdigères qui se 
rapportent à trois espèces : la Crioceris viridis du Mexique, 

49 


380 M. E. Canoëze. — Histoire des métamorphoses 


la Dolichotoma lanuginosa de l'Amérique méridionale et Ia Por- 
phyraspis palmarum des Antilles. 
Voici leur description : 


CRIOCERIS VIRIDIS. 


Curver. Col. d. Mex. 1'° Cent, n° 79. 


LARVE. 


(PL V, Fig. 2). 


Tète assez petite, arrondie , un peu aplatie en dessus , large- 
ment sillonnée de la base au sommet, avec quelques rides trans- 
versales ; à bouche dirigée tout-à-fait en bas et même un 
peu en arrière , c'est-à-dire que le vertex avance plus que le 
chaperon. 

Ocelles au nombre de six de chaque côté , très-espacés entre 
eux, quatre formant un quadrilatère sur les parties latérales 
de la tête, les deux autres disposés longitudinalement en avant 
des premiers, en dessous des antennes. 

Antennes extrêmement courtes , logées dans une petite excavation 
à bords taillés à pie et paraissant faits à l'emporte-pièce , vers les 
angles antérieurs de la boite céphalique , composées de trois 
anneaux emboités et ne faisant aucune saillie. 

Chaperon et labre distincts , larges et courts. 

Mandibules petites , peu visibles au repos , pluridentées au 
sommet. 

Mächoires et lèvre inférieure comme dans les autres larves de 
Crioceris, c’est-à-dire constituées , les premières par une masse 
charnue terminée en dedans par un lobe aplati et cilié et en 
dehors par un palpe quadriarticulé ; la seconde par une pièce 
charnue placée entre les mâchoires et terminée par trois petits 
lobes, un central la languette , deux latéraux représentant les 
palpes labiaux. 

Thorax beaucoup plus étroit que l'abdomen ; le prothorax 
protégé en dessus par un écusson corné, lisse, transversal, sil- 
lonné longitudinalement au milieu ; le mésothorax et le mé- 
tathorax mamelonnés en dessus. 

Segments abdominaux en nombre normal, grossissant rapi- 
dement du premier au quatrième , puis décroissant de mème , à 


de quelques Coléoptères exotiques. 587 


partir du cinquième , les deux derniers très-petits ; la fente 
anale , transversale , s’ouvrant au centre de plis concentriques. 

Stigmates et pattes normaux. 

Cette larve (fig. 5) fortement renflée en arrière , atténuée en 
avant, est glabre, d’un brun olivâtre avec une série de petits 
mamelons arrondis, d’un vert clair, sur les flancs , et d’autres 
mamelons de même couleur, plus larges, transversalement 
oblongs, formant deux rangées sur le dos. Elle est longue de 
410 millimètres. 

M. Sallé l’a trouvée en juin à Toxpam , au Mexique, sur une 
plante nommée par les indigènes Wala muger (?) et dont elle ronge 
les feuilles à la manière des chenilles. Elle ne porte qu’un peu 
de matière excrémentitielle molle sur l'extrémité de l'abdomen. 

L’insecte parfait se trouve sur la même plante jusqu'en. 
octobre. 


DOLICHOTOMA LANUGINOSA. 
Bonem. Monogr. Gassid. I, p. 190: 
LARVE. 

GEINVE Pig. 4 ). 


Tête de grosseur médiocre, arrondie en arrière, tronquée- 
carrément au sommet, assez épaisse, déprimée sur le front, 
à bouche dirigée directement en bas, débordée en dessus par 
le segment prothoracique. 

Ocelles très-saillants, au nombre de quatre de chaque côté, 
placés , sur une ligne transversale un peu arquée , derrière l’in- 
sertion des antennes. Un peu en dessous de l'ocelle inférieur 
il existe une saillie cornée, aplatie au sommet, portant de petits 
points élevés qui sont peut-être d’autres ocelles de moindre: 
dimension. 

Antennes courtes, de deux ou trois articles (1). 

Chaperon transversal , atténué aux extrémités , séparé du front ,. 
surtout latéralement , par un fort bourrelet. 


(1) I est difficile de décider si l'anneau qu’on observe à la base de l’article 
terminal doit être considéré comme un article très-court ou simplement comme 
un repli de la membrane connective, 


588 M. E. Cannèze. — Histoire des métamorphoses 


Labre grand, charnu , formant un angle assez prononcé avec 
le chaperon , paraissant échancré, mais simplement excavé, au 
milieu de sa moitié antérieure, cachant les mandibules au 
repos. 

Mandibules, màchoires et lèvre inférieure comme chez les 
Cassida européennes , à l'exception de la languette qui est nulle 
(lig. 4°). 

Segments thoraeiques formant la moitié antérieure du corps: 
le prothorax aussi grand que les deux suivants réunis, muni 
sur les bords de huit longues épines à demi cornées , les deux 
antérieures convergentes , un peu redressées , les autres transver- 
sales et plus ou moins horizontales ; mésothorax et métathorax 
portant chacun, de chaque côté , deux épines, dont l’antérieure 
est subramiliée, dirigées dans le même sens que les dernières 
du prothorax. 

Segments de l'abdomen semblables pour la forme , la con- 
sislance el la couleur , aux segments thoraciques , diminuant 
graduellement de largeur , présentant chacun , en dessus, un 
sillon transversal et , de chaque côté, une longue épine portée 
par un tubercule charnu ; les épines des septième et huitième 
sezments beaucoup plus longues que les autres ; le huitième 
segment portant en dessus une haute tige cornée , munie de 
six branches ( fig. 4° ) : le: quatre inférieures partant transversale- 
ment à angle droit, les deux supérieures contiguës ; en dessous 
de celles-ci le corps de la tige est perforé. 

Neuvième segment très-court, représenté par un bourrelet 
formant la base du mamelon anal, mais séparé de ce dernier 
par un sillon circulaire très-prononcé ; le mamelon, placé immé- 
diatement derrière l’appendice redressé du huitième segment. 

Sügmatés visibles en dessus, au nombre de huit paires : la 
première aux angles postérieurs du prothorax , au niveau de la 
quatrième épine latérale, les autres sur les sept premiers segments 
de l'abdomen, s’ouvrant en dessus à peu de distance des tubercules 
spinigères latéraux. 

Pattes robustes, très-espacées à l'insertion , à jambe courte 
( fig. 4°), formant avec la cuisse un angle ouvert en dedans, 
portant au sommet un petit ongle inséré, non dans l'axe de 
l’article, mais un peu au dessus. 

Dessous du corps présentant , depuis Ie mésothorax jusqu’au 
quatrième segment abdominal , sur la ligne médiane, une série 


de quelques Coléoptères exotiques. 989 


de six cavités arrondies, dont le fond peut se rapprocher et 
s'éloigner de la surface ( ce qui est démontré par de nombreux 
replis concentriques ) , faisant probablement l'office de ventouses 
pour assurer une plus grande fixité à la larve sur le plan de 
position. 

Cetie larve est longue de 20 millimètres depuis la tête jusqu’à 
l'extrémité de l’appendice corné du huitième segment abdominal. 
Elle est d'un verdâtre brun, avec les épines antérieures et pos- 
térieures noires et des taches noirâtres sur le dessus , disposées 
de la sorte : deux sur chacun des segments du thorax, les 
antérieures espacées , les postérieures rapprochées , deux égale- 
ment sur chacun des segments de l'abdomen, rapprochées comme 
celles du métathorax, sauf celles du premier segment qui sont 
siltées près des tubercules spinigères. 

De trois spécimens de cette espèce que j'ai sous les yeux, 
un est encore pourvu de l'abri protecteur formé par les excré- 
ments. Celui-ci se présente (fig. 4») sous la forme d’une masse 
lichéniforme à peu près de la grandeur de la larve, mais placée 
transversalement , de sorte qu’elle ne recouvre qu’à moitié le 
corps de l’animal. Elle se compose de ramifications noirâtres , 
parmi lesquelles on retrouve des débris d’épines et de pattes qui 
proviennent d’une mue antérieure , et est portée par l’appendice 
corné du huitième segment de l'abdomen. 

M. Sallé a trouvé ces larves aux environs de Caracas , dans une: 
localité élevée et froide, sur un arbre dont elles rongeaient 
les jeunes pousses. 


Insecte parfait. 
(PI V, Fig. 4). 


Cette espèce, ( qui est confondue dans quelques collections avec 
la miniata Boh.), est arrondie, d’un bronzé obscur quelquefois 
bleuatre , revètue d’une pubescence plus ou moins serrée et longue, 
jaunâtre clair ; son prothorax est subtriangulaire, plus de deux 
fois aussi large que long, échancré au niveau de la tête, arrondi 
latéralement , rebordé en avant , assez fortement quadrisinué en 
arrière, à surface inégale , trés-finement et peu densément ponc- 
tué, faiblement caréné au milieu en avant , subsillonné en arrière. 
Elytres rouges avec le pourtour et quelques taches discoïdales 


390 M. E. CanDèze. — Eisioire des métamorphoses 


de la couleur du prothorax, fortement gibbeuses at quart an- 
térieur , à côtés dilatés en une large expansion arrondie et un 
peu redressée , marquées de points peu serrés. — Long. 13-15 
mill., larg. 12-14 mill. 


PORPHYRASPIS PALMARUM. 


Bongm. in litt. 


LARVE. 


{ PI V, Fig. 5). 


Tête arrondie en arrière, un peu avancée à la bouche, per- 
pendiculaire ; la plaque suscéphalique largement sillonnée au 
milieu dans toute sa longueur. 

Chaperon grand, subrectangulaire. 

Ocelles au nombre de six de chaque côté, placés vers les angles 
antérieurs de la tête et en dessus : quatre sur une ligne oblique, 
deux plus en dehors, au niveau des deux plus avancés de la pre- 
mière rangée ( fig. 5P ). 

Antennes, mandibules, mâchoires et lèvre inférieure comme 
chez la précédente. 

Corps ovalaire , atténué en arrière , déprimé en dessus, plat 
en dessous | à thorax plus ample que l'abdomen, les segments 
de ce dernier portant de chaque côté un tubercule charnu sur- 
monté de deux poils courts. 

L'une des plus curieuses , sans contredit , des larves connues, 
par la manière dont ses excréments sont disposés, pour la pro- 
téger. Ceux-ci, en effet, arrangés en une petite masse arrondie, 
convexe en dessus, concave en dessous, apparaissent sous Ja 
forme de fibres verdâtres , enroulés concentriquement , ayant 
tout-à-fait l’aspect d’un nid d’oiseau en miniature ( fig. 5° ). 
La base de ces fibres adhère fortement à la surface du huitième 
segment abdominal ; je ne pense pas qu'il existe [à ur appendice 
faisant l'office de support , comme chez les autres larves de 
Cassidides. 

IL est probable qu'à mesure qu’un nombre plus ou moins con- 
sidérable de cylindres excrémentitiels, soudés bout à bout ct de 
façon à prendre une direction circulaire, ont formé un fil d'une 
longueur suffisante , l'animal redresse sa filière anale ct agslutine 


de quelques Culéoptères exotiques. 591 


celui-ci, par sa base encore molle, à la suite des précédents, 
Au moment de se transformer en nymphe, la larve rejette une 
plus grande quantité de matière demi-fluide , qu’elle étale sur 
la feuille choisie à cet effet (fig. 5°). Cette matière, en sèchant, 
fixe la nymphe et son abri jusqu’à la métamorphose finale. 

M. Sallé a trouvé l’espèce à ses différents états sur un palmier 
qu'il croit être un Thrinax, à S' Domingue , pendant les mois 
d'été. Je n'ai point vu l'insecte parfait. 


Les espèces suivantes rentrent dans la quatrième division des 
larves de Chrysomélines, division qui comprend celles dont le 
corps est nu et qui vivent à découvert sur les végétaux. 


LEPTINOTARSA CACICA. 
Sraz, Bullet. d. lAcad. d. Stockholm , 1858, p. 20. 


LARVE. 


(PL VI, fig. 1.) 


La tête n'offre rien de particulier à mentionner ; elle est con- 
formée comme celle des Chrysomela, en ce qui concerne les 
parties de la bouche, les antennes et les ocelles; sa couleur est 
d'un olive jaunâtre, clair et brillant. 

Le prothorax est aussi long que la tête et plus large, en 
ellipse transversale, arqué, de même couleur , également lisse 
et briliant. 

Le mésothorax, placé sur un plan beaucoup inférieur, est 
très-court et plus étroit que le segment précédent , en sorte que 
le corps parait étranglé en cet endroit ; il est de la même couleur, 
mais granuleux et mat ; un sillon le divise transversalement dans 
toute sa largeur. Le métathorax est plus large et un peu plus 
long ; il ressemble aux segments de l’abdomen; son bord an- 
térieur seul est de la couleur des précédents, le reste est noir. 

Les segments de labdomen vont en grandissant rapidement 
du premier au quatrième puis en diminuant graduellement depuis 
celui-ci jusqu’au dernier, Ils sont granuleux , ridés transversale- 
ment et d'un noir à peu près mat. Chacun d’eux porte latérale- 
ment uu long poil blanc. Le segment terminal présente en dessous 
un double pied anal (fig. 4* et 4°) ; au dessus de ceux-ci l'anus 


392 M. E. Canoèze. — Histoire des mélamorphoses 


s'ouvre par une fente transversale entourée de six mamelons , un 
supérieur , deux latéraux et trois inférieurs. 

Le dessus de l'abdomen est fortement bombé dans les deux 
sens ; le dessous est à peu près plat dans le sens transversal 
et concave longitudinalement. La séparation des segments est à 
peine indiquée par un faible sillon en dessus; en dessous ces 
sillons sont profonds. 

Les pattes sont grandes et de la couleur de la tête et du 
prothorax. 

Les stigmates sont en nombre et en position ordinaires ; sur 
les segments de l’abdomen ils s'ouvrent au-dessus d’un mamelon 
qui forme la limite latérale de chaque arceau dorsal. 

M. Sallé a trouvé cette larve, en nombre, sur une plante 
à larges feuilles dont il ignore le nom , dans la baranca de 
Rio-Seco , près de Cordova au Mexique , en novembre. 


Insecte parfait. 


Cette Chrysomèle est d’un vert métallique brillant , légèrement 
teinté de bleuâtre , avec les élytres testacées , bordées étroitement 
de vert noirâtre. La tête est à peine ponctuée. Le prothorax est 
assez fortement et éparsément ponctué sur les côtés. Les élytres 
sont très-bombées, marquées de trois nervures longitudinales, 
lisses, peu apparentes, et de points assez gros, inégalement 
et assez densément semés. — Long. 46 mill. ; larg. 10 mill. 


LEPTINOTARSA VITTATA. 


Bazy, Trans. of the entom. Soc. 1857. 
Zygogramma Schuppelü. Des. Cat. ed. 3, p. 422. 
LARVE. 


(PL VI, Fig. 2.) 


Mèmes formes générales que la précédente , mais plus luisante, 
entièrement glabre, d’un jaune clair avec les mandibules , les 
ocelles , les genoux ct les stigmates noirs. M. Sallé l’a rencontrée 
dans les mêmes conditions, aux environs de Véra-Cruz , en 
septembre. 


de quelques Coléoptères exotiques. 393 
Insecte parfait. 


Cette jolie espèce est plus petite que la cacica , d’un vert 
métallique brillant, avec la base des antennes, les palpes, la 
moilié inférieure des jambes et les tarses d’un rougeâtre clair. 
Les élytres sont testacées et ornées, chacune , de quatre bandes 
longitudinales étroites , raccourcies , noires. 


EROTYLIENS. 
DACNE FASCIATA. 


Far. Syst. ÆEleuth. II, p. 582. 


LARVE. 


(PL VI, Fig. 6.) 


Tête petite, presque verticale , à bouche dirigée, par consé- 
quent , en bas ; la plaque suscéphalique peu convexe , fortement 
biimpressionnée. 

Ocelles au nombre de six de chaque côté : quatre formant 
un groupe placé latéralement près de la cavité antennaire, les 
deux autres en dessous, entre celte même cavité et le cadre 
buccal. 

Antennes courtes, de trois articles à peu près de même 
longueur et diminuant graduellement d'épaisseur , le premier porté 
par une avance simulant un article basilaire, 

Chaperon et labre distincts, celui-ci sillonné longitudina- 
lement. | 

Mandibules courtes, arquées , cachées au repos ; dentées au 
sommet. 

Mächoires charnues, courtes , espacées, terminées , en dedans, 
par un lobe soudé et offrant au sommet des aspérités et quelques 
poils spiniformes, en dehors, par un palpe de trois articles 
décroissant graduellement en longueur et en épaisseur , porté 
sur une avance ou faux article basilaire. 

50 


504 M.E. Canoèze. — Histoire des métamorphoses 


Lèvre inférieure composée d'un menton aussi large que long, 
largement échancré en demi cercle en avant; d'une pièce 
palpigère à deux lobes, surmontés chacun d'un palpe court, 
biarticulé. 

Segments thoraciques et abdominaux seniblables , sauf le pro- 
thorax qui est un peu plus long et plus étroit que les suivants ; 
séparés par des sillons profonds , protégés en dessus par des 
écussons cornés moins larges qu'eux et couverts de granulations 
lisses , leurs côtés (fig. 6) et leur face ventrale divisé par des 
sillons en mamelons arrondis ou triangulaires ; le dernier armé 
en dessus de deux courtes saillies cornées , acuminées , gra- 
nuleuses. L’anus s’ouvrant par une fente étoilée au centre d'un 
mamelon arrondi. 

Stigmates en nombre et position habituels. 

Pattes courtes ; le sommet des hanches offrant une petite saillie 
en dedans. 

Le corps de cette larve, long de 20 millimètres, est eylin- 
drique , brusquement rétréci aux extrémités, d'un jaunâtre 
clair avec les écussons bruns. Son caractère le plus remarquable 
est l'étranglement très-prononcé qu'il offre à chaque articulation 
des segments et la quantité de mamelons que présentent ses 
faces ventrales et latérales : chaque segment présente neuf mame- 
lous , dont quatre arrondis ou ovales et cinq triangulaires. 

île vit, à la Nouvelle-Orléans , dans les souches de saules 
à demi décomposées et imprégnées de végétations fongueuses. 

L'inseete parfait est bien connu. 


ISCHYRUS FLAVITARSIS. 
Lacorp. Monogr. d. Eroë. p. 150. 


LARVE. 
(PL VI, Fig. 5.) 
‘On connaît déjà (1) la larve d’une espèce de ce genre, l'Z. 


quadripunctatus, de la N°° Orléans. J'aurai donc peu de chose 
à dire de sa congénère , que M. Sallé a trouvée en juillet, à ses 


(1) Crar. et Canp. Cat. des larves etc., in Mém. d. la Soc, d. Sciences 
de Liége VIII, p. 622. 


de quelques Coléopières exotiques. 395 
différents états, sous l'écorce d’une vieille souche tapissée de blanc 
de champignons , à S* Domingue. 

Elle est de même forme ; la tête et ses différents organes 
sont faconnés sur le même modèle ; les segments du corps sont 
également protégés en dessus par des écussons cornés, sur 
lesquels on remarque des séries transversiles de tubercules de 
même consistance, mais l’appendice du dernier segment est 
autrement fait : il consiste en une tige courte , charnue , se divisant 
à peu de distance de la base en deux épines rugueuses , qui 
s'écartent d’abord pour se recourber un peu l’une vers lautre 
au sommet. Get appendice rappelle , en raccourci , la forme d’une 
pince de Forficule. 

Le corps est long de 10 millimètres, brun en dessus, avec 
le prothorax et le dernier segment , y compris l’appendice , rou-. 
geätres ; le premier orné en outre de deux taches noires. Le 
dessous est uniformément d’un blanchâtre sâle. 


EPISCAPHA QUADRIMACULA: 


Wien. Zoo. Mag. Il, fase. I, p. 132 , 99. 


LARVE. 


(PL VI, Fig. 4.) 


Tête inclinée, assez grande, aplatie et longitudinalement: 
biimpressionnée en dessus, parsemée de quelques petites saillies. 
spiniformes, 

Ocelles au nombre de six de chaque côté, placés sur deux. 
lignes convergentes , les quatre supérieurs placés sur une tache 
noire (la tête est jaunâtre } qui les fait ressortir. 

Antennes dirigées en dehors, de trois articies, le moyen le. 
plus long, cylindrique , le dernier très-petit. 

Chaperon et lèvre supérieure bien limités, celle-ci divisée 
longitudinalement par plusieurs sillons. 

Mandibules courtes et cachées au repos , dertées au sommet. 

Mâchoires et lèvre inférieure ( fig. 4? ). comme chez les 
Tschyrus. 

Prothorax. deux fois plus large que long , arrondi sur les côtés, 
eorñé en dessus. divisé en trois bourrelets égaux par deux sillons 


9906 M. E. Canvèze. — Histoire des métamorphoses 


transversaux, son pourtour et le bourrelet moyen garnis d'une 
multitude de petites épines. 

Deuxième et troisième segments du thorax et segments 1 — 8 
de l'abdomen semblables entre eux, plus courts de moitié 
que le prothorax , armés en dessus d’une rangée transversale 
d'épines. 

Dernier segment portant en dessus deux appendiees { fig. 4°) 
charnus, terminés cn pointe , chargés de spinules , divergeant 
et formant un v ; la rangée transversale d'épines placée en arrière 
de ces aprendices, entre ceux-ci et le pied anal qui est divisé 
longitudinalement. 

Stigmates en nombre et position ordinaires , ceux de l'abdomen 
s'ouvrant en dessous du bord externe de l’écusson corné, et au 
dessus d’un tubercule spinigère qui sépare l’arceau inférieur du 
supérieur, à chaque segment. 

Pattes assez grandes. 

Corps long de 15 à 16 millimètres, en ovale allongé, mé- 
diocrement convexe en dessus, aplati en dessous, jaunâtre, 
le prothorex avec deux bandes longitudinales rapprochées et une 
tache de chaque côté sur le bord antérieur, noires, les écus- 
sons sujérieurs des autres segments brunâtres, avec les épines 
noires. 

M. Nietner a trouvé cette espèce, à différents degrés de dé- 
xeloppement , sous ces écorces tapissées de matière fongueuse , 
à Ceylan. 


Nymyphe. 


(PI. VI, Fig. 24.) 


Le corps de la rymphe, qui est d'un blane jaunâtre , est 
chargé en dessus Ce spinules comme la larve; ces spinules 
sont poites sur la ligie médiane , et disposées de la manière 
suivante : deux groupes de deux au bord antérieur du prothorax, 
un groupe de 6 à 8 en arrière du même segment ; deux groupes 
de deux sur les deux segments suivants et une rangée trans- 
versale sur chaque anneau de labdomen. Le dernier segment 
est, commie chez la larve, terminé par deux appendices spini- 
formes, mais ici ces aprendices sont lisses. 


de quelques Coléoptères exotiques. 997 
Insecte parfait. 


Ovale , allongé, bombé en dessus, aplati en dessous , d'un 
beau noir satiné, aspect qui est dù à une pubescence couchée, 
de même couleur; les élytres ornées chacune de deux taches 
rouges , transversales , n'atteignant pas la suture, la première 
rapprochée du bord antérieur auquel elle tient par une branche 
que lui envoie sa partie moyenne, la seconde sinuée sur les 
bords ; ces taches sont glabres ; tout le corps est également, 
finement et assez densément ponctué. — Long. 8 mill, 
larg. 5 mill. 


AMBLYOPUS CINCTIPENNIS. 


Lacorp. Monogr. des Erot. p. 199. 


M. Nietner m'a également communiqué des larves de cette 
espèce qu'il a trouvées dans les mêmes conditions que la pré- 
cédente. 

Sous le rapport de la forme et de laspect général elles se 
rapprochent davantage des Fschyrus que des ÆEpiscapha, c'est- 
à-üire qu'elles sont plus étroites que ces dernières et ne sont pas, 
comme elles, hérissées d’épines. 

La tête est marquée de deux profondes fossettes. 

Les écussons des segments sont impressionnés çà et là et 
parsemés de quelques petites spinules à peine visibles ; le dernier 
seament est terminé par deux appendices simples, courts. 

Pour le reste , cette larve, dont la taille est de 8 millimètres 
et la couleur d’un blanc säle, ne présente rien de particulier 
à mentionner. 


Insecte parfait. 


M. Lacordaire a fait connaitre cette espèce qui est de la 
grandeur de notre Triplax russica , glabre , brillante, rougeâtre 
avec trois taches placées transversalement sur le prothorax et 
les élytres , sauf le pourtour, noires. 


998 M. E. Canpize. — Histoire des metamorplioses 
ÆGITHUS  QUADRINOTATUS. 


Cueve. Col, d. Mex. 1° Centurie. 


Aegithus funerarius ( Des.) Lac. Monogr. d. Erot. p. 283. 


L'analogie qui existe entre les larves de la famille actuelle. 
et celles des Coccinellides a déjà été signalée à propos de 
l’'Zschyrus quadripunctaius. Chez l'espèce dont il est ici question, 
cette analogie devient tellement frappante, qu'au premier abord 
on prendrait sa larve pour celle d’une Coccinellide de la division 
des Chilocoriens , ainsi qu'on peut le voir par la figure. 


LARVE. 
(PL VI, Fig. 3.) 


Tête médiocre, verticale, subtriangulaire ; la plaque sus-cé- 
phalique creusée par deux profonds sillons longitudinaux. 

Ocelles au nombre de cinq de chaque côté ,. placés en un 
seul groupe derrière la cavité antennaire : trois Sur un rong ,. 
en avant, deux sur un rang parallèle, en arrière. 

Antennes longues , de trois articles, le premier court, im- 
planté sur une avance de la boite céphalique simulant un faux. 
article, le second cinq ou six fois plus long, le dernier de la. 
longueur du premier mais beaucoup plus grèle. 

Chayeron distinct, transversal , court ; labre deux fois plus. 
long, moins large, arrondi, bombé, fovéolé au milieu. 

Mandibules cachées au repos, de forme ordinaire. 

Mâchoires et lèvre inférieure comme chez les présédentes : le. 
menton , seulement, plus étroit et triangulaire. 

Segments du corps tous semblables, portant des tiges char- 
nues (üg. 5) garnies de longs poils et placées en séries trans- 
versales ; ses tiges au nombre de quatorze et disposées sur deux 
rangs sur le prothorax, de huit en un seul rang sur les neuf 
segn.ents suivants , de six sur l’avant dernier, enfin de quatre 
sur le neuvième; le pied anal tout-à-fait à l'extrémité. Les poils 
que portent ces tiges ne sont pas lisses, mais paraissent com- 
posés d'articles nombreux, ce qui, sous une forte louje , les fait 
paraitre moniliformes. 


Sonthit tés 


99 


EL 


de quelques Coléop'ères exotiques. 


Stigmates en nombre normal ; la première paire située latérale- 
ment près du bord antérieur du mésothorax ; les autres au dessus 
des tiges les plus externes des segments abdominaux. 

Paties longues, les hanches présentant sur leur face externe 
une fossette oblongue. 

Corps ovale, long de 12 millimètres , large de 5 /,, convexe 
et brunâtre en dessus , presque plat et blanc sale en dessous, 
les quatre tiges moyennes de chaque segment et les deux externes 
noires , les deux autres et tous les poils d’un jaunâtre clair, 


une tache sur la tête et les pattes brunes. 


Comme on «doit le supposer par la nature hérissée des téguments, 


ces larves ne vivent pas, comme celles des autres Erotyliens, 


sous les écorces , mais bien à découvert sur les souches couvertes 
de végétations fongueuses. Elles établissent encore ainsi un passage 
bien marqué entre les larves des vrais Erotyliens et celles des 
Coccinellides phytophages. 


Nymphe. 


(PI. VI, fig. 3h.) 


Elle est tout-à-fait semblable à ceile des Coccincllides ce qui 
résulte évidemment du genre de vie de l'animal. Elle reste en- 
veloppée en partie par la dépouille de la larve et se tient attachée 
par l'extrémité du corps, le prothorax seul est dégagé. 


Insecte parfait. 


Subrhomboïdal , bombé, lisse et brillant, glabre, noir, avec 
les élytres d’un jaune verdâtre très-clair et ornées de quatre 
taches noires, deux sur chacune : la première grande, oblique, 
ovale, la seconde arrondie, plus petite; la suture égalenient 
noire. — Long, 9 mill., larg. 6 /; müill. ( V. Chevr. L. c.) 

Du Mexique. 


400 M. ES. Caxpèze. — flistoire des métamorphoses 


COCCINELLIDES. 


BAULIS SANGUINEA. 


Lixx. Syst. nat. I, p. 579, 3. 
Var. Immaceulata Far, Æntom. Syst. Il, p. 267, 5. 
LARVE, 


(PI VI, fig. 7.) 


Elle a la forme générale et le système de coloration de nos 
Coccinelles aphidiphages , dont elle ne diffère pas non plus dans 
les détails de son organisation. Je me borne done à la figurer 
pour montrer la disposition des taches sur son corps. M. Sallé 
l'a trouvée, à la Nouvelle-Orléans , sur une plante chargée de 
pucerons. Il a observé que la larve ne fait pas seulement sa 
proie de ces derniers, mais qu’elle dévore aussi les œufs et les 
jeunes larves de son espèce. 


EPILACHNA PROTEUS. 


Murs. Monogr. d. Coccin. p: 75. 


LARVE. 


(PL VI, fig. 8.) 


Elle ressemble à la larve bien connue de l'E, argus, que 
l'on trouve sur la bryone. La plante dont se nourrit celle-ci 
est une solanée à feuilles grandes, velues et épineuses, qui 
croit dans les lieux élevés et froids, aux environs de Caracas. 

Son corps est long de 13 à 14 millimètres , hérissé d’épines 
ramifiées (fig. 8), disposées en rangées transversales de six 
sur chaque segment. Il est entièrement noir en dessus , y com- 
pris les épines, et blanchâtre en dessous. 

La nymphe n'offre aucune particularité qui la distingue de 
celle de VE. argus. 


de quelques Coléoptères exotiques. 401 


CHILOCORUS CIACUMDATUS. 


Gi. in Sonônx. Syn. Insect. II, p. 152. 
LARVE. 


CPL VI, fig. 9.) 


On connait les larves des Chilocorus de notre pays. Celle-ci 
ne réclame pas par conséquent une description minutieuse. Elle 
est longue de 7 à 8 millimètres , hérissée, comme les autres, 
d'épines garnies de quelques poils raides ( fig. 9%) et disposées 
six par six en autant de séries qu'il y a de segments , sauf 
le prothorax qui porte dix épines en deux rangées, le pénul- 
tième qui n'en a que quatre et le dernier qui en est dé- 
pourvu. 

Sa couleur est d'un blanc sale avec une tache noire à l'in- 
sertion de chaque épine ; les taches confondues sur le prothorax 
en une grande , divisée seulement par le milieu. 

Elle est de Ceylan ; j'ignore sur quelle plante elle vit. 


51 


402 M. E. Canpèzr. — Histoire des métamorphoses 


NOTE. 


J'ai mentionné, page 349, une larve d'Élatéride de grande 
taille, provenant de Ceylan et ayant de grands rapports avec 
celle de l’Alaus oculatus, ce qui me faisait soupçonner qu’elle 
pouvait appartenir à VA. speciosus L. 

Depuis, M. Nietner a confirmé cette opinion en m'assurant 
que cette larve cst très-probablement celle de l'espèce cn ques- 
tion , qu'il trouve, à Pétat parfait, dans les mêmes localités. 

Voici ses caractères : 


ALAUS SPECIOSUS ? 


Lixx. Syst. nat. II, 652, 2. 


LARVE. 


(PL VI, fig. 10.) 


Tête grande, bien dégagée du prothorax, quadrangulaire , 
aplatie en dessus el en dessous. 

Plaque suscéphalique très-inégale et marquée en outre de deux 
sillons longitudinaux rapprochés et de gros points épars, plus 
serrés à la base. 

Un ocelle, très-distinct, situé latéralement , en arrière de 
l'insertion des antennes, 

Chaperon et labre nuls. 

Autennes, mandibules, mâchoires et lèvre inférieure confor- 
mées comine celles de l’A. oculatus, 

Prothorax près de deux fois aussi long que le segment suivant, 
protégé en dessus et latéralement par une plaque cornée, lisse, 
merquée seulement de quelques gros points sur les parties 
latérale et antérieure et d'une ligne médiane fongitudinale en- 
foncée. 


Fr 


de quelques Coléop'ères exotiques. 405 


Segments suivants constitués de même à ceci près qu'ils sont 
plus courts , le dernier (fig. 10%), aplati et rugueux en dessus , 
terminé par deux fortes saillies coniques à épine terminale re- 
courbée en haut, et présentant , à leur base, quelques petits 
tubercules acuminés. 

Suügmates grands , en nombre et position ordinaires , leur 
péritrème conformé exactement comme chez l'A. oculalus. 

Pattes assez grandes, de forme normale, 

Dessous et côtés de l’abdomen présentant des mamelons de 
diverses formes et protégés par une plaque cornée , disposés 
ainsi qu'il suit sur chaque segment : un grand, médian, en 
forme de trapèze, marqué de deux sillons fongitudinaux ; un 
ovalaire de chaque côté de celui-ci, enfin un autre tout-à-fait 
latéral , également ovale , mais plus grand ; c’est entre ce dernier 
et le grand écusson dorsal que se trouve le stigmate. 

Pied anal saillant, en cône tronqué. 

Le corps est long de 60 millimètres, d'un noir très-brillant 
en dessus, blanchâtre dans l'intervalle des mamelons en des- 
sous, ceux-ci bruns, Chaque segment porte une série transver- 
sale de longs cils bruns, plus quelques uns disséminés , sur Îles 
parties latérales. Il est presque cylindrique considéré dans son 
ensemble , avec des rétrécissements aux points de jonction des 
segments. 


Cette larve vit en terre, 


Ea figure 11 de la pl. VI représente une larve dont jai. 
reçu deux <pécimens sans nom, de M. Nietner. Elle appartient. 
probablement à quelque Hétéromère. Je l'a dessinée pour mon- 
trer la structure singulière du dernier segment de l’abdomen 
(fig. 11%), qui est coupé obliquement et. profondément creusé 
en forme de cupule. Cette larve est glabre, d’un jaune brillant ,. 
avec la tête et les deux derniers segments d’un rougeâtre obscur. 
Elle est de Ceylan et vit sous le gazon. 

La larve figurée sous le numéro 12° est une larve de Lycide 
extrémement remarquable , du même pays. Chaque segment , 
sauf le dernier, est garni en arriére, sur son écusson , d’une 


404 M. E. Canpèze. — Histoire des métamorphoses 


série demi—cireulaire de tubercules très-saillants , arrondis, lisses ; 
le dernier segment est aplati, carré, avec les deux angles pos- 
térieurs prolongés en arrière. Tout le corps est glabre et d'un 
noir brillant, avec les tuberceules du premier segment de l’ah- 
domen , les appendices du dernier et les pattes d'un jaune 
clair. 

Il y a dix paires de stigmates. Outre les neuf normales, on 
en trouve une très-distincte entre le mésothorax et le mé- 
tathorax. 

Les différentes pièces de la tête sont conformées comme chez 
le Lycus cinnabarinus. Les mandibules sont seulement plus 
longues , et apparaissent sous la forme de deux épines di- 
vergentes. 


s 


—— ver Dee e—— — mm 


nn 
(en) 
a 
a 


de quelques Colcoptères exotiques. 


EXPLICATION DES PLANCHES. 


ST — 


Planche HE. 


Fig. 1. Galerita nigra ; larve de grandeur naturelle. 
12 Tête grossie vue en dessus ; — 4b ocelles. 


Fig. 2. Pœderus tempestivus ; larve grossie. 
2a Tête grossie vue en dessus; — 2b la même vue en dessous; — 2° 
ocelles ; — 24 antenne; — 2° palpe maxillaire ; — 2° lèvre iuférieure 
28 appendices terminaux de l’abdomen. 
Fig. 3. Osorius intermedius ; larve grossie, 
52 Tête vue en dessus; — 3b dernier segment de labdomen. 


Fig. 4. Leptochirus scoriaceus ; larve grossie. 
4a Tête grossie vue en dessus; — 4b la même en dessous ; — 4° dernier 
segment de l’abdomen. 


Fig. 5. Platysoma Marseulii; grossi. 
53 Mesure de la grandeur réelle ; — 5° jambe antérieure. 
Fig. 6 Amphicrossus discolor ; larve grossie. 
62 Tête grossie vue en dessus; — 6b la même en dessous; — 6° dernier 
segment de l’abdomen ; — 6 mandibule. 


Planche BE. 


Fig. 4. Brontes crenicollis ; larve grossie. 

12 Tête grossie vue en dessus; — 1b la même en dessous ; — {° dernier 
segment de l'abdomen ; — 4% nymphe, grossie ; — 4° insecte par- 
fait , grossi. 

Fig. 2. Canthon volvens ; larve grossie. 

23 Bouche vue en dessus ; — 2b la même vue en dessous; — 2° man- 
dibule ; — 2% antenne; — 2° nymphe, face dorsale ; — 2° nymphe 
face ventrale. 

Fig. 5. Ancylonycha fusca ; larve de grandeur naturelle. 
32 Tête grossie vue en dessus; — 3? la même vue en dessous ; — 3° 
mandibule. * 
Fig. 4 Serica nitida. 
42 Labre de la larve , grossi; 4? mandibule de la même. 
Fig. 5. Campsosternus Templetonii ; larve de grandeur naturelle. 


406 M, E. Canoëze. — Histoire des mélamorzhoses 


52 Parties de la bouche en dessus; — 5b tête, vue en dessous; — 5° 
mâchoires et lèvre inférieure; — 5% labre; — 5° mandibule , face 
externe ; — 5f un des segments thoraciques vu en dessous pour mon- 
trer la briéveté relative et la disposition des pattes ; — 55 dernier 
segment de l'abdomen vu de face; 5h le même vu de profil. 


Planche KEK. 


Fig. 4. Lycus cinnabarinus ; larve de grandeur naturelle. 
12 Tête grossie vue en dessus; — 1P la même, dégagée du prothorax, 
vue en dessous ; — 1° la même DRRset dans le prothorax ; — 11 
nymphe ; — 1° insecte parfait. 


Fig. 2. Colapicron corrugalum ; larve grossie. 

23 Nymphe:; — 2b insecte parfait. 

Fig. 5. Photuris congrua ; larve de grandeur naturelle. 

32 Tète grossie vue en dessus; — 3? la même vue en dessous et sortie 
du prothorax ; — 3° sommet de la lèvre inférieure; — 3% un des 
écussons grossi d’un segment abdominal. 

Fig. 4 Photuris tlrilincala; un écusson grossi d’un des segments de l’ab- 
domen, 

Photuris pensylvanica ; mandibule. 

. Lordites glabricula ; dernier segment de l'abdomen. 


. Calorama palmarum ; larve grossie. 


e 
ue 
œ© 1 © & 


. Plerogenius Nietneri ; larve grossie. 

82 Tête grossie vue en dessus ; — 8b Ja même en dessous ; — 8° dernier 
segment de l’abdomen vu de profil; — oil le même vu % demi-face; 
8e insecte parfait, grossi. 


Fig. 9. Bolitotherus cornulus ; larve grossie. 
91 Tête vue en dessus ; — 9P la même, en dessous, avec la première 
paire de pattes ; — 9° dernier segment de l’abdomen, en dessous; — 
9% antenne de l’insecte parfait, 


Planche EV. 


Fig. 1. RAaync'ophorus Zimmermann: ; larve de grandeur naturelle, vue de 


profil. 
12 Face ventrale de la même; — 1b tête grossie vue en dessus ; — 1° 
mâchoires et lèvre inférieure ; — 14 nymphe, face dorsale ; — 1° 


nymphe, face ventrale; — 1f nymphe dans sa coque. 
Fig. 2. Anchonus cristatus ; larve grossie. 
22 Tête grossie vue en dessus ; — 2b dessous de la tête et du thorax grossi ; 
— 24 insecte parfait grossi, 
Fig. 3. Baridius vestilus ; larve grossie. 
3e Tête grossie, en dessus; — 3b mâchoires et lèvre inférieure ; — 


de quelques Coléoptères exotiques. 107 


3° extrémité d'une des mâchoires; — 3% nymphe dans sa coque; 
— 3° section d'un fragment de tige de tabac, avec une coque fixée 
dans la moelle, 


Fig. 4. Astynomus Sallei ; larve de grandeur naturelle, 
42 Tèe grossie vue en dessus; — 4P la mème en dessous ; — 4° man- 
dibule de profil ; — &* un tubercule dorsal de l'abdomen ; — 4° nym- 
phe ; — 4f insecte parfait. 


Planche V. 


Fig. 4. Trichoderes pinis larve de grandeur naturelle. 
12 Tête grossie vue en dessus; — 1P parties de la bouche, en dessous ; 
4° un des écussons dorsaux de l'abdomen ; — 4% un des écussons 
ventraux. 


Fig. 2 Acrocinus longimanus ; larve de grandeur naturelle. 
23 Tête grossie vue en dessous; — 2? mandibule face supero-externe : 
— 2° un des écussons dorsaux de l’abdomen, grossi : — 24 un des 
écussons ventraux. 


. Fig. 5. Grioceris viridis ; larve grossie. 


Fig. 4, Dolichotoma lanuginosa ; larve grossie vue en dessus. 
4a La même vue de profil: — 4b la même recouverte de ses excré- 
ments ; — 4° tête grossie vue en dessous (a labre ; b antennes : 
c ocelles; d mandibules; e mâchoires:; f lèvre inférieure ); — 44 
deux des segments de l’abdomen vus en dessous pour montrer les 
ventouses qui les garnissent; — 4° dernier segment de l’abdomen 
et appendice du huitième ; — 4f une des paltes ; — 45 insecte par- 
fait ; — 4h profil du même. 
Fig. 5. Porphyraspis palmiarum ; larve grossie. - 
Sa La mème vue en dessous, avec son abri; — 5b tête grossie vue en 
dessus; — 5° nymphe avec son abri. 


Planche VI. 


Fig. 1. Leptinotars cacica ; larve grossie. 
41 Pied anal avec l’anus; — 4P le même vu de‘ profil. 
Fig. 2. Leptinotarsa vitlala ; larve grossie. 
Fig. 3. Aegithus quadrinotatus ; larve grossie. 
52 Une tige charnue avec ses poils, grossie;! — 5b nymphe grossie, 
Fig. 4. Episcapha’ quadrimacula ; larve grossie. 
42 Tête vue en dessus ; — 4b mâchoires et lèvre inférieure ; — 4° dernier 
segment de l’abdomen ; — 4% nymphe. 
Fig. 5. Ischyrus flavitarsis ; larve grossie. 
Fig. 6. Dacne fasciata ; larve de grandeur näturelle, face dorsale. 
62 La même vue de profil; — 6bitête grossie. 


408 à. E. Cannèze. — Hist. des mélam. de quel. Col 


Fig. 7. Dauris sanguinea ; larve grossie. 
72 Nymphe ; — 7b œufs. 

Fig. 8. Epilachna proteus ; larve grossie. 
ga Un des poils ramifiés du corps, 


Fig. 9. Chilocorus circumdatus ; larve grossie. 
92 Un des poils ramifié du corps. 


Fig. 40. Alaus spoeciosus ? ; larve de grandeur naturelle. 
102 Dernier segment de l’abdomen. 


Fig. 11. Larve d'un Hétéromère de Ceylan. 
412 Dernier segment de l’abdomen. 


Fig. 12. Larve d’un Lycide de Ceylan. 


———. — ee GE GS ee — —— ———— 


. EXO. 


= JAI 


Cundezz del. è é 3 Tith. de À Dessun. 
: 1 GALERITA NIGRA CAerr:_ 2 PŒDERUS TEMPESTINUS Zrichs_ 3 OSOPIUS.. INTERMEDIUS ÆrveAs . 
4 LEPTOCHIRUS SCORIACEUS Geste. 5 PLATYSOMA MARSEULI Cæz. 
6 AMPHICROSSUS DISCOLOR Zrrchs. 


P111. 


unète del Eitio de Hess 
1 BRONTES CRENICOLLIS Céz _ 2 CANTHON VOLVENS Babr: - 3 ANCYLONYCHA FUSCA A 74 
4 SERICA  NITIDA Caz __5 CAMPSOSTERNUS TEMPLETONIE Zope. 


= % Se Ex 
ee ; - ; ; : SRE à 2 
É L A 4 


$ 
£ 

D + 
4 


VOIR 


Candexe del. , Lath. de HDessare 
1IYCUS CINNABARINUS &z._9, COLAPTERON CORRUCATUMz:._5 PHOTURIS CONGRUA Cher: 
4 PH. TRILINE ATA S4y_5, PH.PENSYLVA NIC A ZegeerGLORDITES GLABRICULA Yurr_ 
ZCATORAMA PALMARUMGzer_8,PTEROGENIUS NIETNERI Czz. - 
9 BOLITOTHERUS CORNUTUS %%»_ 


1 RHYNCHOPHORUS  ZIMMERMANNI #év 22 ANCHONUS  CRISTATUS (22 


8 BARIDIUS VESTITUS Skork 4 ASTYNOMUS 


SALLEI Cdx 


PAPA 


Arsuin 


PT. V. 


Luüh.de A Dessan 


Candeze del, 


1 TRICHODERES PINI cewr_2 ACROCINUS LONGIMANUS Z47 
5 CRIOCERIS VIRIDIS CAewr 4 DOLICHOTOMA LANUGINOSA Fam. 
5 PORPHYRASPIS PALMARUM PA. 


PT. VI. 


Cardeze det Lith de HDessarn 
1 LEPTINOTARSA CACICA 5424. 2 L. VITTATA Z4/y- 3 AEGITHUS QUADRINOTATUS Cher: 
4 EPISCAPHA QUADRIMACULA Y%ed5 ISCHYRUS EL AVITARSIS Zæe _ 6 DACNE FASCTATA 747 
7 COCCINELLA IMMACULATA 447: 8 EPILACHNA PROTEUS Ge: 
9 CHILOCORUS CIRCUMDATUS Y74s_ 10 ALAUS SPECIOSUS Z%er. 
11 TENEBRION p_12 INCID Sy 


{ 
| 
| 
1! 


ne a 


a eue ee 


LISTE ALPHABÉTIQUE DES LARVES 


DÉCRITES. 


Acrocinus longimanus 

Aegithus quadrinotaius. : de 
PTS DECO DUT il eh en JOUA ia 
Ambliopus cinctipennis . 
Amphicrossus discolor . 
MNÉROMASR CHISIREUS Lt. 
Ancylonycha fusca une 
Astynomus Saller . . . . . 

Baridius vestitus . 

Bolitotherus cornutus. SA AD LA A D SET EE 
— quadridentatus. 
Brontes Serricollis. | |... ., 
Campsosternus Templetonit. 

Canthon volvens 

Catorama palmarum. 
Ceropria subocellata. . . . 
Chilocorus circumdatus. 
Coccinella immaculata . 
Colapteron corrugatum . 
Crioceris viridis 
Dacne fasciata. DE EE Sp DANS NEA 
Dolichotoma lanuginosa. 
Epilachna proteus. 
Episcapha quadrimacula . 
Galerita nigra. 


RS nlee NN 
Ischirus flavitarsis . 
Leptinotarsa cacica 


52 


Pages. 
580 
598 
409 
597 
557 
370 
347 
582 
572 
565 
368 
541 
550 
545 
362 
569 
40! 
400 
556 
386 
595 
587 
400 
595 
397 
599 
594 
591 


410 OM. E. Canneze. — Hit. 


Leptochirus scoriaceus . . 

on mandibularis . . 
Lordites glabricula. , . , . 
HyciGa Sp NEC 
Lycus cinnabarinus 
Osorius aintermedius. . . . 
Passalus interruptus. . 

nn "nucronatus . 

— Leachit. 

— bicolor. 
Photuris congrua. . 

—  trilineata . 

—  pensylvanica. . . 
Platydema elliptica . . , . 
Platysoma Marseuliüi. . . . 
Pæœderus tempestivus. 
Porphyraspis palmarum 


Pterogenius Mielneri. . . . 
Rhyncophorus Zimmermanmi. 
Serica  nilida = Le UN, 


Tenebrionida Sp. . . . 
Tomicus ferrugineus. . 
Trichoderes pini. . + . . 


des Mèt. de quel. 


Coë. 


EEE LC LT 


VII. — Notes sur l'Analyse infinitésimale , 


PAR 
J.-N. NOEL, 


PROFESSEUR ÉMÉRITE DE L'UNIVERSITÉ DE LIRGE. 


Dans une Dissertation sur les vrais principes des calculs 
transcendants , Liége octobre 1860, l’auteur M". P. prétend 
prouver l'imperfection logique de l’analyse infinitésimale. 

« Quelques géomètres, dit-il , saisis d’admiration pour la puis- 
sance du calcul de Leibnitz , et avides de se lancer dans la voie 
nouvelle , adoptèrent sans restriction les principes hypothétiques 
sur lesquels était installée cette analyse. De ce nombre sont... 
les frères Bernoulli et le Marquis de l’Hospital. » 

« Ces savants, plus hardis que Leibniz, admirent dans le 
calcul ces prétendues quantités infiniment petites, dont ils es- 
sayèrent par divers moyens de prouver l'existence. Tous ces 
efforts , joints à ceux tentés depuis , prouvent une seule chose, 
c'est qu'on ne peut établir rigoureusement les principes de l'analyse 
infinitésimale, vu l'impossibilité logique des éléments auxiliaires 
de ce calcul, » 

Cette double affirmation et plusieurs autres étaient déjà ré- 
futées en novembre 1859, dans le Mémoire : Méthode infini- 
tésimale en géométrie. Mais une réfutation directe devient ici 
nécessaire , et se trouve brièvement développée dans les Notes 
ei-dessous, 

I. 


Dire qu'une droite peut se prolonger torjours, ce n'est pas 
assigner « une limite ou un ferme à ce prolongement» ; c'est 
dire au contraire que la droite n'est jamais fénie dans son état 
le plus général , n’ayant qu'une seule extrémité. Donc elle est 


53 


419 J.-N. Noëz. — Notes sur l'Analyse 


alors infinie , c'est-à-dire que sa longueur surpasse toute longueur 
-imaginée , si grande que soit celte dernière. 

La droite infinie précédente a pour mesure nécessairement un 
nombre infini d'unités linéaires ; et ce nombre infini devient 
évidemment 2, 3, 4 ,... n fois plus grand ou plus petit lorsque 
l'unité linéaire devient au contraire 2, 3, 4 ,... n fois plus petite 
ou plus grande. 

L'existence des nombres infiniment grands est d’ailleurs dé- 
montrée par la racine carrée de 7, par exemple, Car on sait 
que celte racine carrée , comprise entre 2 et 5 , est une fraction 
irréductible fénie dont les deux termes n# et p ont chacun un 
nombre illimité de chiffres ; ils sont donc infinis tous les deux 
et toujours inconnus ou éndéterminables. 

Et comme d’ailleurs on a #°= 7p°, on voit qu'un nombre 
infini du second ordre peut être un multiple donné d’un infini 
du même ordre. Même conséquence pour deux iafinis du troisième 
ordre, d'après la racine cubique de 20, par exemple. 


IX. 


Si lon conçoit la longueur donnée a divisée en un nombre 
infini n de parties égales, chaque partie a sur n est évfiniment 
petite, c’est-à-dire moindre que toute quantité de mêine nature 
donnée ou simplement imaginée , si petite que soit cette derniére. 
Car le dénominateur infini nr de & étant plus grand toujours 
que le dénominateur fini d ,_si grand que soit ce dernier, la 
fraction a sur n sera toujours, au contraire, moindre que la 
fraction finie a sur d, si petite que soit cette dernière. 

Où voit que les nombres infiniment petits sont toujours in- 
connus ou indéterminables ; aussi bien que beaucoup de nombres 
finis, ainsi que les infiniment petits du second ordre, du 
troisième ; du quatrième , etc. 


HIT. 


M. P. croit infirmer le point de vue infinitésimal en énonçant 
comme il suit le principe de continuité : 

« On entend par loi de continuité celle qui s’observe dans 
la génération des Henx géométriques par mouvement, et d’après 
laquelle par exemple, les points successifs d'une même ligne 
se succèdent sans aucun intervalle. » 

S'il n’y a pas d'intervalle, il n’y a donc point de mouve- 


tnfinitésimale. 413 


ment : quelle conséquence alors peut-on déduire rationnellement 
de cette loi? 

Ensuite M. P. énonce la loi de Poisson où il est démontré 
que : Le lemps et chaque ligne croissent continüment par in- 
finiment petits. D'où il suit que les infiniment petits ont une 
existence réelle et ne sont pas uniquement un moyen d'inves- 
tigation imaginé par les géomètres : telle est la conclusion de 
Poisson. 

Pour ne pas laisser subsister « des idées si fausses » et prouver 
l’absurdité de la conclusion précédente, M. P. dit: «il est 
évident que Îles deux points successifs se touchent et qu’ainsi 
leur distance est nulle, » Or, cette conséquence est absurde elle- 
même ; car le point géométrique n'ayant pas d’étendue , deux 
points tmmédiatement consécutifs ne peuvent se toucher sans se 
confondre en un seul ; il n’y aurait donc pas cu de mouvement, 
contrairement à l'hypothèse, 

La distance ci-dessus n’est donc pas rigoureusement nulle. 
Mais, provenant du plus petit mouvement possible, pendant le 
moindre temps qu'il se puisse, on doit la considérer comme 
le plus petit possible de tous les infiniment petits, c'est-à-dire 
de toutes les quantités inassignables , échappant aux sens et à 
imagination par leurs petitesses : c’est un indivisible. — Il est 
donc absurde de dire : « Le mouvement à lieu sans aucun in- 
tervalle de temps ni de lieu. » 

D'ailleurs, il est évident que le point générateur de la ligne 
décrit toutes les longueurs infiniment petites crois:antes , à com- 
mencer par la plus petite possible, avant d'avoir décrit la lon- 
gueur finie proposée. 


IV. 


Maintenant , comme toutes les longueurs infiniment petites 
sont invisibles et insaisissables , aussi bien que beaucoup de 
longueurs finies , il sera toujours impossible « d'indiquer le point 
où , dans la période décroissante , la longueur cesse d’être fiuie. » 
Or, cette impossibilité suffit à M. P. pour nier l'existence des 
infiniment petits. Car, dit-il, « la quantité dans son décrois- 
sement illimité reste toujours finie, c’est-à-dire concevable et 
imaginable. » ( Concevable, oui ; mais imaginable, non ). Ilen 
conclut donc que : « Le principe philosophique infinitésimal est 
évidemment faux, et que par suite on est en droit de repousser 


ATX J.-N. Noec. — Noles sur l'Analyse 


ce l'ensemble mathématique des auxiliaires qui n’ont et ne peuvent 
avoir d'existence, de vraies quantités chimériques. » 

L'existence des infinis et des infiniment petits est certaine 
et démontrée plus haut. Mais, suivant les adversaires de l'analyse 
infinitésimale , pour qu’une quantité existe et ne soit pas chi- 
mérique , il faut qu’on puisse se la figurer, la saisir, l'imaginer , 
la calculer et en avoir des idées sensibles. 

D'après cela , non-seulement les infinis et les infiniment petits 
n'existeraient pas, mais aussi beaucoup de nombres finis 2nex- 
primables en chiffres, comme la racine quatrième de 48 et le 
produit d’un million de facteurs égaux à 3. Or , cette conséquence 
absurde n’est pas du tout philosophique. 


Vi 


Un adversaire des infiniment petits prétend que zéro seul est 
la plus petite quantité possible; oubliant ainsi que zéro ou le 
néant n'est pas une quantité. — De son côté, M. P. dit : «je 
pie que jamais on puisse se figurer une quantilé qui, sans être 
nulle, n’est supérieure à aucune autre. » On ne peut se la 
figurer ni l’imaginer , mais on la conçoit et elle existe conime étant 
un indivisible. 

Pour donner une preuve géométrique de la non-existence du 
plus petit possible des infiniment petits, M. P. considère un 
triangle dont la base soit un indivisible, et mène à celle-ei une 
parallèle terminée aux deux côtés latéraux. Par deux triangles 
semblables cette parallèle est moindre que la base proposée ; cette 
base n’est done pas le plus petit possible de tous les infiniment 
petits, contrairement à l'hypothèse. 

Ce raisonnement n'infirme pas l'existence , bien établie, du 
plus petit infiniment petit ci-dessus; mais il prouve indirecte- 
ment que & n'existe aucun triangle dont la base soit un n- 
divisible. — D'abord, si ce triangle existait, 1! n'aurait évidem- 
ment que deux médianes et pas trois ; chose absurde. 

Ensuite , considérons le triangle isocéle ABC dont l'angle A 
du sommet soit infiniment petit, les deux côtés latéraux AB, 
AC ayant la même longueur numérique donnée «a. Sur ces deux 
côtés et à partir du sommet À concevons deux longueurs égales 
à l'infiniment petit du premier ordre 4: si la base du triangle 
isocèle résultant était aussi égale à à, ce triangle serait équi- 
latéral et l'angle À de 60°; cct angle ne serait donc pas in- 


infinitésimale. 415 
fiñiiment petit, contrairement à l'hypothèse. Il faut donc que 
la base du triangle isocèle résultant soit un infiniment petit du 
second ordre év (ce qu’on démontre directement à l’aide de la 
Trigonométrie ). Dans ce cas, les deux triangles isocèles étant 
semblables, on a 


° e CC a 
i:a—iv: BC; d'où BC=av— ——. 


La base BC étant done un infiniment petit du premier ordre, 
n'est pas un indivisible, vu qu’elle a même une infinité de points 
entre ses deux extrémités. 

On voit aussi que quand a est infini du premier ordre, re- 
présenté par bX œ, on a BC—b, le nombre quelconqne b 
étant fini. 

VI. 

On démontre que deux grandeurs géométriques de même 
nature , ayant loujours un rapport numérique , rationnel ou irra- 
tionnel, c'est-à-dire exprimable ou inexprimable en chiffres , ont 
aussi toujours un commun diviseur , une commune mesure , assi- 
gnable ou inassignable, c’est-à-dire finie ou infiniment petite. 
Ces deux grandeurs sont alors dites commensurables où incom- 
mensurables entre elles. 

Réciproquement , si deux grandeurs de même nature ont un 
commun diviseur fini ou infiniment petit, leur rapport numé- 
rique est une fraction finie exprimable ou inexprimabie en 
chiffres et dont les deux termes sont deux nombres finis ou 
infinis. 

Cela posé, lorsque quatre grandeurs de même nature deux 
à deux, AetB, CetD, ces deux dernières ordinairement des 
lignes , sont telles que C et D étant divisées en n el p parties 
égales à leur commune mesure x, À et B «soient au:si divi- 
sées en n el p parlies égales ou équivalentes à V, on aura 
toujours 

A:B—C: D. 


En effet, par hypothèse on a C = nxet D = px; d'où C: D = 
nx:pxæ=n:p De même on a A—nv et B—pru; d'où 
A:B=nv:pu—n:p. Donc A:B—C:D. 

Ce théorème fondamental constitue la méthode des parties égales 
pour établir chaque proportion , en géométrie et en mécanique, 
par les déductions les plus claires, les plus simples et les plus 


416 J.-N. Noer. — Notes sur l’Analyse 


exactes. Car cet emploi des grandeurs infinitésimales, où l'on 
n'a pas à distinguer les deux cas commensurable et incommen- 
surable , évite les longues et obscures réductions à l'absurde, 
non-sens ou pétitions de principe suivant qu'on nomme incom- 
mensurables deux grandeurs n'ayant point de commune mesure 
cu n'ayant d'autre commun diviseur qu’un infiniment petit. 


VIE. 


Voici maintenant le Principe infinitésimal , base des applica- 
tions du calcul des infinis pour trouver, en nombres finis, des 
formules générales : 

Toute grandeur doit se négliger ou être regurdée comme nulle 
a l'égard de celle qui lu contient une injinilé de fois et qu’elle 
doit augmenter ou diminuer : c'est un zéro relalif à cette 
dernière. 

Il est évident, en effet, que le nombre infini de fois n’est 
ni plus ni moins infini quand on y ajoute ou qu’on en retranche 
une fois la première grandeur ; cette addition ou cette soustrac- 
tion est donc inutile et doit se négliger comme si la première 
grandeur était nulle , laquelle d’ailleurs n’est ici qu'une auxiliaire, 

Donc 1° tout nombre fini est nul relativement à un nombre 
infini, et chaque infini d’un certain ordre est nul à l'égard de 
l'infini de l’ordre supérieur. 2° Tout nombre infiniment petit 
est nul à l'égard d’un nombre fini, et chaque infiniment petit 
d’un certain ordre est nul relativement à infiniment petit d’uu 
ordre inférieur. 

De cette manière on élimine plusieurs termes auxiliaires et 
l'on simplifie beaucoup l’équation , sans altérer légalité des 
deux membres ; d’où résulte ensuite la formule cherchée en nom- 
bres finis. 

Souvent l'équation finale est de la forme 


Atx—=B+y ou A—x—=B—7; 


A et B étant deux nombres finis invariables , x et y deux nombres 
infiniment petits. Dans chacun de ces cas, comme on cherche 
des nombres finis À et B, les infiniment petits æ et y ne 
peuvent en faire partie , c’est-à-dire ne peuvent les augmenter 
pi les diminuer , et l’on doit supprimer x et y. On a done exacte- 
ment A — B. 

C'est d'ailleurs ce qu'on vérifie quand les infiniment petits x ct y 


tnfintlésimale. 417 
sont variables ; car alors le théorème des varicbles auxiliaires donne 
simultanément x=y et A = B. 


VIIT. 


La définition descriptive généralise la loi de continuité dans les 
courbes , car il en résulte nécessairement que : Toute ligne courbe 
n'est en réalité qu'une ligne brisée d'une infinité de côtés, égiux 
ou inégaux , mais chacun infiniment petit et invisible , aussi bien 
que chaque angle extérieur de courbure. 

Donc deux courbes semblables ne sont que deux lignes brisées 
semblables, ayant les angles homologues égaux chacun à chacun 
et les côtés homologues proportionnels et infiniment petits. Les 
angles homologues de courbures sont aussi infiniment petits et 
égaux chacun à chacun. 

Il suit de là que les longueurs de deux courbes semblables 
sont mesurées par le même nombre des deux unités linéaires 
relatives l’une au modèle et l’autre à la copie semblable. Cette 
copie représente donc exactement le modèle, non-seulement en 
ferme, mais aussi en longueur , et en tient absolument lieu pour 
étude et les opérations. 

Les conditions de la similitude de deux figures inégales donnent 
à ces figures des formes identiques. Le mot forme signifie dore 
plus que le mot figure. Pour s’en convaincre, il suffit d'ob- 
server que Île carré et un trapèze quelconque sont deux figures 
inégales de quatre côtés, n'ayant évidemment pas la même 
forme. 


IX: 


La circonférence et le cercle sont les limites constantes des 
périmètres et des aires variables de polygones réguliers, ayant 
de deux en deux fois plus de côtés, soit inscrits soit circonscrits. 
Or, la définition descripuive fait voir immédiatement que les pé- 
rimètres et les aires variables ci-dessus concident à l'infini avec 
leurs limites la circonférence et le cercle. 

Donc le cercle , où tout secteur circulaire, est un polygone 
régulier , où une portion de polygone régulier , d'une infinité de 
côtés infiniment petits et invisibles chacun , dont le rayon et l’apo- 
thème sont égaux entre eux. 

C'est cé qu'on démontre d’ailleurs par le théorème des variables 
auxiliaires. Par exemple, le polygone régulier circouserit d’une 
infinité de côtés doit coïncider avec ie cercle et son périmètre 


# 


418 J.-N. Norr. — Notes sur l'Analyse 


avee la circonférence. S'il en était autrement, les deux erreurs 
infiniment petites seraient variables auxiliaires dans léquation 
résultante , toujours exacte alors même que le nombre infini 
de côtés deviendrait de deux en deux fois plus grand. Donc, 
en vertu du théorème des variables, ces denx erreurs sont égales 
et se compensent ou disparaissent de l’équation. Il n’y a done 
aucune erreur finale à considérer le cercle comme un polygone 
régulier d’une infinité de côtés. 

Il n'y a donc pas non plus d'erreur finale à admettre que tout 
arc circulaire infiniment petit coïncide avec sa corde et qu'il 
s'applique sur la tangente à son milieu. De sorte que chaque 
arc infiniment petit est perpendiculaire au rayon mené à l'une de 
ses extrémités. 

Comme la méthode des variables procède par compensation 
d'erreurs, variables elles-mêmes , et supplée en certains cas au 
principe infinitésimal ; on voit si M. P. est fondé à dire que : 
« la prétendue compensation d'erreurs de (Carnot , donnerait 
l’erreur pour base au Calcul différentiel , contrairement à la pensée 
de ce géomètre. » 

Gbservons d’ailleurs que le Principe infinitésimal n’est pas 
nécessaire pour établir ceux du Calcul différentiel où l’accrois- 
sement de la variable est fini ou infiniment petit; maïs ce prin- 
cipe est indisyensable dans les applications du calcul intégral 
pour conduire sûrement et rapidement à la formule cherchée. 


X. 


Lorsque les termes d’une Série deviennent de deux en deux 
fois plus petits, le premier étant +, on peut toujours concevoir 
la série prolongée à l'infini. Car jamais aucun des termes ci- 
dessus ne deviendra nul, vu que la moitié d'un nombre est 
encore un nombre et non pas zéro, Le nombre de tous ces 
termes étant donc infiniment grand, la progression géométrique 
proposée se compose d’une série de termes finis suivie d'une 
série de termes infiniment petits , ces derniers ayant chacun 
pour dénominateur un nombre infini produit d’une infinité de 
facteurs 2. 

M. P. choisit la progression précédente pour répondre à la 
question qu’il pose, savoir : « Les séries illimitées prouvent- 
elles l'existence des infinis ? » 

La réponse est affirmative, comme on vient de le voir. Mais 


infinitésimale. 419 


celle de M. P. est négative, vu que pour lui un nombre n'existe 
que quand on peut l’imaginer et l’exprimer en chiffres. Ainsi, 
comme on l'a remarqué plus haut, il en résulterait la consé- 
quence absurde que non-seulement les’ nombres infinis et in- 
finiment petits n'existent pas, mais qu'il en est de même de 
tous les nombres finis qu'on ne saurait calculer ; comme par 
exemple la racine carrée de 7 et la fraction 1 divisée par le produit 
d'un million de facteurs 2. De plus, M. P. dit qu'on ne peut 
avoir la prétention de sommer la progression proposée. Mais alors 
comment sait-il que cette série est équivalente à l'unité ? 

Comme un nombre infini n’est pas moins infini quand on en 
retranche une unité ou plusieurs , on voit que la somme de tous 
les termes de certaine série illimitée se calcule en faisant com- 
mencer la série au second terme ou à la seconde période. Car 
la nouvelle série est identique avec la proposée. Mais pour la 
progression géométrique, la nouvelle série est le produit de la 
proposée par un facteur constant et donné. 

Dans la progression géométrique générale illimitée la somme 
de tous les termes, en nombre infini, est en même temps la 
fraction génératrice par division. De sorte que la progression, 
supposée continuée à l'infini , peut toujours être remplacée par cette 
fraction génératrice équivalente. 

La discussion apprend ensuite que les sommes des 2, 3,4, 
5, 6,... premiers termes ne donnent des valeurs de plus en 
plus approchantes de la véritable somme que quand la progre:- 
sion est décroissante. Dans ce cas, la fraction génératrice est 
donc la limite des sommes partielles croissantes. 


XI. 


Maintenant , cherchons comment peut se produire le mouve- 
ment curviligne continu de tout point matériel, 

D'abord le point se meut en vertu de la force d'inertie, 
acquise par une grande impulsion, et il est en même temps 
dévié de son mouvement rectiligne par une force accélératrice. 
Or, il ne faut évidemment qu'un temps infiniment petit pour 
que le point matériel reçoive et conserve complètement , par son 
inertie, l'action continue de cette dernière force. Donc à l'expiration 
de chacun des temps infiniment petits ci-dessus la force d'inertie 
du point, force due à celle accélératrice de déviation ,. est 
augmentée d'une force infiniment petite. De plus, les deux 

54 


426 J.-N. Nors. — Nofes sur l'Analyse 


forces d'inertie du point matériel, et par suite leur résultante , 
sont constantes pendant chacun des temps infiniment petits suc- 
cessifs. 

Ainsi la courbe trajectoire a pour côtés rectilignes infiniment 
petits et invisibles les diagonales des parallélogrammes, invisibles 
eux-mêmes, construits chacun sur les deux chemins rectilignes 
infiniment petits décrits pendant chaque instant æ, l’un sur 
le prolongement de la diagonale immédiatement précédente et 
l’autre sur la direction de la force de déviation au commence- 
ment de x. 

De plus, puisque le mouvement est continu, chacun des 
angles de courbure, égaux où inégaux, c’est-à-dire chacun des 
angles formés par un côté et le prolongement du côté qui précède 
immédiatement , est lui-même infiniment petit et invisible ; car 
il est l'angle du sommet d’un triangle dont les deux côtés laté- 
raux sont infiniment petits du premier ordre , tandis que la : 
base est un infiniment petit du second ordre, décrit en vertu 
de la force de déviation , accélératrice constante, et pendant le 
temps x infiniment petit. 

Ici les directions successives de la force accélératrice de dé- 
viation sont parallèles entre elles et par conséquent la trajectoire 
est une courbe plane. 

Enfin , la vitesse constante avec laquelle le point matériel décrit 
chaque côté infiniment petit de la courbe est acquise à la pre- 
mière extrémité de ce côté. Or, la vitesse v en ce point a pour 
mesure le quotient des deux nombres infiniment petits e et 1, ex- 
primant le côté décrit et le temps employé à le décrire. — En efet , 
puisque le point matériel décrit , d’un mouvement uniforme , 
la longueur rectiligne v pendant le temps 1, il est clair que 
pendant le temps 4 il décrira la longueur cæ vt; d'où v est 
le quotient de € par 


XI. 


Voyons comment, au point de vue de la mécanique , M. P. 
eroit pouvoir réfuter la loi de continuité précédente dans les lignes 
courbes. 

« Examinons, dit-il , l'hypothèse si fausse d’une distanee in- 
finiment petite entre deux positions successives du point dé- 
erivant une ligne courbe en vertu de forces déterminèes ct 
définies. » 


* 


tnfinitésimale. 4921 

« Suivaut le principe de Poisson, la trajcetoire dégénère en 
un périmètre polygonal , suivant chaque côté duquel la direction 
se conserve; mais à l’extrémité de l'un des éléments rectilignes 
du mouvement, il faudrait qu’une force qui était restée sans action 
{ pourquoi sans action ? } pendant le temps nécessaire au parcours 
de cet élément, agit sur le point à l'instant précis de son passage 
par un sommet de la trajectoire et qu'immédiatement après cette 
force vint à cesser d'agir. » 

On a vu plus haut que Ha force de déviation agit continüment 
et sans interruption sur le point matériel : pourquoi done M. P. 
veut-il ici que cette force soit inéermiltente ? C'est sans doute pour 
en conclure ( ce qu'il ne fait pas et ce qu'il ne peut faire logique- 
ment ) que la distance infiniment petite entre deux positions suc- 
cessives n'existe pas. 

Cette conséquence absurde n'a, en effet, aucun rapport avec 
l'hypothèse d’une force intermittente. D'ailleurs , cette hypothèse , 
absurde elle-même , vient d’une fausse appréciation du mouve- 
went curviligne du point et dans laquelle le rôle de l'inertie n’est 
pes indiqué. M. P. a done raison d’ajouter : « Ce n’est certes 
pas ainsi quil est permis, au point de vue d'une same logi- 
que , de considérer l’action continue et incessante des forces qui 
produisent Île mouvement ; par suite, aucune conséquence, 
tirée d'une pareille hypothèse, ne peut être rationnellement 
maintenue. » 

H semble qu'après cette critique, M. P. aurait dû nous ap- 
prendre comment il conçoit le mouvement curviligne continu 
du point matériel, sans faire aueun usage, explicite ou implieite, 
«des infiniment petits dont il veut nier l'existence. Car dire : 
«. Le mouvement a lieu sans aucun intervalle de temps ni de 
lieu , » cest nier ce mouvement et non pas en concevoir Ja 
continuité. 


XHIL. 


Ce qui précède met bien en évidence les erreurs d'appréciation 
de M. P. et prouve, contrairement à ses affirmations, que lon 
peut démontrer rigoureusement les principes de l'analyse infini- 
tésimale , ainsi que la possibilité logique des éléments auxiliaires 
de ce caleul. 

D'ailleurs , les infinis et les infiniment petits, ayant une exis- 
tence certaine, se présentent inévitablement en géométrie et en 


Le 


422 J.-N. Noëz. — Notes sur l'Analyse 


mécanique pour y faciliter les déductions logiques du calcul, 
à l'aide du principe infinitésimal. 11 est bien établi, en effet, 
que l'emploi rationvel de ce principe conduit toujours à la vérité 
par la voie la plus claire, la plus rapide; et, jusqu'à présent , 
on n'a pas cité un seul exemple où la Méthode infinitési- 
male , logiquement appliquée , ait fait prendre le faux pour 
le vrai. 

De plus, lorsqu'il s’agit de variables continüment croissantes 
ou décroissantes, aucune méthode de calcul ne peut ètre « d'une 
rigueur absolue » que par l'emploi des infiniment petits : ils sont 
inévitables ; et il y a nécessairement longueur , obscurité et erreur 
logique à ne pas en faire mention dans la théorie des rapports 
et des proportions , ainsi que dans la théorie des lignes courbes 
et des aires curvilignes. 

XEV. 

Enfin , M. P. se faisant illusion sur la valeur logique des 
objections qu'il reproduit contre l'existence des infinis et contre 
leur emploi dans les calculs transcendants , termine ainsi l'examen 
critique du concept infinitésimal ; 

« De tout ce qui précède, il nous est permis de conclure 
4° que si, avec Leibnitz on attribue à l'infini certaine valeur, 
on ruine l'exactitude des calculs transcendants qui deviennent 
ainsi des calculs d’approximation. » 

a 20 Que si, en dehors de toute conception mathématique, 
on crée avec les infinis, un nouvel ordre de grandeurs , on 
tombe dans les conséquences les plus absurdes et dans des para- 
doxes continuels. » 

Ces deux conclusions sont erronées. En effet, 1° La valeur, 
toujours inconnue , attribuée à l'infini est celle que sa définition 
lui donne, valeur dont l'existence est démontrée. De plus, les 
calculs transcendants sont rigoureusement exacts en vertu du 
principe infinitésimal. 

% On ne crée pas en dehors de toute eonception mathé- 
matique, mais on reconnait et l'on prouve l'existence de diffé- 
rents ordres de nombres infinis et de uombres infiniment petits. 
D'ailleurs, où sont les exemples et les preuves de ces conse- 
quences les plus absurdes et de ces continuels paradoxes ? Je ne 
les trouve ni dans l'examen eritique ci-dessus, n1 dans l'ensemble 
des objcetlons , si souvent renouvelées, contre l'analyse infini- 


À D "2 or 


infinitesiinale. 425 


tésimale. J'en conelus donc que cette analyse reste toujours in- 
dispensable à la science mathématique pour en faciliter l'étude 
approfondie et la rendre possible. 


XV. 


Les anciens géomètres, pour étendre aux lignes courbes les 
propriétés générales des lignes brisées inscrites et circonscrites, 
ne faisaient aucune mention des grandeurs infinitésimales , mais 
ils les employaient néanmoins implicitement; ainsi que M. P. 
lui-même le prouve, à son insu , en faisant usage de la méthode 
d'Exhaustion pour trouver le rapport des surfaces A et A' de 
deux cercles dont R et R’ sont les rayons donnés. Voici à peu 
près le procédé qu'il suit : 

Lorsque dans les deux cercles proposés on inscrit une suite 
de couples de polygones réguliers semblables , ayant de deux en 
deux fois plus de côtés, les surfaces croissantes des couples 
successifs approchent indéfiniment et d'aussi près qu'on veut des 
surfaces À et A’, lesquelles en sont les limites. Et puisque Île 
rapport des surfaces de chaque couple de polygones réguliers 
semblables inserits est égal au carré du rapport des rayons R et R', 
il est à prévoir que ce dernier rapport aura lieu encore lorsque 
par la pensée on se transportera aux limites À et A’; c’est-à-dire 
lorsqu'on regardera les deux cercles comme deux polygones ré- 
guliers semblables , ou ayant un même nombre infini de côtés infini- 
inent pelits et invisibles chacun. 

Tel est le résultat de l'induction. M. P. ne l'énonce pas, 
mais il l'admet cependant, ear il veut le démontrer par de longues 
et obscures réductions à l'absurde ; tandis que la méthode des 
variables , beaucoup plus simple et toujours exacte, donne à la 
fois l'induction et la démonstration directe. 

En résumé, la méthode des variables , iei la méthode des 
limites, étant basée sur le théorème des variables auxiliaires, 
démontre la méthode infinitésimale ; car il en résulte que {a 
variable coïncide à l’infini avec sa liinile constante. 

C’est d’ailleurs ce que les anciens géomèêtres admettaient 1m- 
plicitement ; car leur méthode d’exhaustion les amenait à « consi- 
dérer la différence entre la courbe et le périmètre brisé, inscrit 
ou circonscrit, comme convergeant continument vers Zéro , ComIne 
s'épuisant. » Mais n'ayant pas les véritables notions des lignes 


42% J.-N. Norz. — Notes sur l'Analyse 


courbes ni des grandeurs infinitésimales , ils ne pouvaient énoncer 
en principe que : La ligne courbe est une ligne brisée d'une 
infinité de côtés infiniment petits, chacun imvisible, ete. 


XVI. 


On sait que Ja théorie des fonctions dérivées de Lagrange 
nest générale et rigoureuse que par les infiniment petits qu'il 
voulait éviter. « D'ailleurs, il est à remarquer , dit M. P., qu'en 
considérant des accroissements effectifs (ou finis}, Eagrange 
réalise une suite discontinue d'états, variables brusquement de lun 
à l'autre, ce qui permettrait même en toute rigueur d’aflirmer 
que la théorie de Lagrange est la négation du principe de con- 
tinuité. Qu'on ne s'étonne pas dès lors de l'impuissance pratique 
de cette conception... » 

Done M. P. admet ainsi qu'une grandeur ne peut varier con- 
tinüwment que par infiniment petits. Et quant à l'impuissance 
pratique ci-dessus , elle vient uniquement de ce que Lagrange 
ne voulait faire usage d'aucune grandeur infinitésimale. C'est 
d'ailleurs ce que M. P. prouve lui-même en citant l'appréciation 
ci-dessous de Bordas- Dumoulin : 

« Lagrange prétend avoir dégagé le Calcul différentiel de la 
considération de Pinfini, mais il serait plus juste de dire qu'il 
a détruit cette admirable analyse. On ne peut conwaitre les 
propriétés des fonctions dérivées qu’autant que l’on considère l'in- 
fini; c’est seulement ainsi que l’on peut savoir ce que repré- 
sente la fonction prime dans une courbe, ou dans le mouvement 
uniformément accéléré. » 

On voit que la méthode des dérivés n'est rigoureuse , ni d'une 
application simple et rapide, que par les infiniment petits et le: 
principe infinitésimal : Or it en est de même évidemment de toutes 
les méthodes de caleéui, anciennes et nouvelles, que M. P. 
examine. 


XVIT. 


Voyons comment le principe infinitésimal fait passer immié- 
diatement dn connu à l'inconnu dans le mesurage des aires et 
des volumes. Il en résulte d'abord les principes élémentaires 
que voiri : 

4° Une aire plane mixie ou curviligne élant décompose en 
tranches par des cordes parallèles infiniment voisines , chaque 


infinitésimale. 495 
tranche peut être prise pour un parallélogramme de hauteur infi- 
niment pelite. Elle n’en diffère évidemment que d’un infiniment 
petit du second ordre, lequel devient un infiniment petit du 
premier et conséquemment nul à la fin du calcul. 

2° Le volume terminé par une surface mixte ou courbe étant 
divisé en tranche par des plans parallèles infiniment voisins, 
chaque tranche coïncide avec le prisme ou le cylindre de même 
base et de même hauteur infiniment petite. Car elle n’en diffère 
que d’une quantité nulle à la fin du calcul, en vertu du principe 
infinitésimal, 

3° Enfin, par la mème raison, les secteurs d’une aire plane 
curviligne , formés par des rayons infiniment voisins, peuvent 
être considérés comme des secteurs circulaires (ou des triangles 
isocèles) et chacun a pour mesure le demi-carré de son rayon 
numérique multiplié par l'arc infiniment petit qui mesure son 
angle. Gar ici cet arc infiniment petit , de rayon [ , coïncide avec 
son sinus , toujours en vertu du principe infinitésimal. 

La méthode des variables auxiliaires démontre aussi complète- 
ment les trois principes ci-dessus. Le premier conduit directe- 
ment à la quadrature de différentes courbes rapportées à des 
coordonnées , ordinairement rectangulaires. Le troisième, à la 
quadrature de certaines courbes dont on a les équations en 
coordonnées polaires. Et quant au second principe , il fait trouver, 
le plus simplement possible , l'expression numérique du volume 
de toute pyramide dont la base et la hauteur sont données 
numériquement. 

Le procédé à cet effet doit être remarqué , d'abord comme 
très-élémentaire et ensuite comme pouvant suppléer avec avan- 
tage au calcul intégral pour différents mesurages importants. 
Je citerai, par exemple, la cubature des voütes dépendantes 
chacune de segments d’un même genre de courbes du second 
degré. 

Désignant en effet par p l’aire du polygone , base de la voute, 
par À la hauteur de celle-ci et par v son volume , on trouve 
aisément v—?ph, si chaque segment est une demi-ellipse, 
k étant alors un demi-axe commun sur l'axe des x rectangu- 
laires. Cette vote, dite en arc de cloître, est surmontée ou 
surbaïssée suivant que À est le demi-grand axe ou la moitié 
du petit. 

La voûte serait en plein cintre si, ayant pour base un polygone 


496 J.-N. Noëz. — Notes sur l'Analyse infinitésimale. 


régulier p , elle avait pour hauteur k l'apothème de ce polygone. 
Alors chaque segment est le demi-cercle dont X est le rayon, 
et l'on aura toujours v—2ph. Mais la surface courbe totale S 
de la voûte est double de la base. 

Cette propriété remarquable se démontre par la méthode in- 
finitésimale ; laquelle fait voir que le volume de la voüte est aussi 
exprimé par u=?Sh : donc S— 2p. 

On peut donc calculer le volume et la surface courbe de la 
voûte en plein cintre, dont la base est le carré ou l'hexagone 
régulier ayant 12 mètres de côté, et trouver la dépense pour 
vernir la surface courbe à raison de 180 centimes par mètre 
carré. 

D'après la théorie des surfaces et des volumes de révolution, 
on peut aussi calculer l'aire courbe et le volume, du Dôme 
surbaissé engendré par la révolution , autour de la montée, 
d’une demi-Anse de panier à trois centres ; l'are moyen et les 
deux arcs extrêmes égaux étant le sixième chacun de la cir- 
conférence à laquelle il appartient. On connait les valeurs 8 et 20 
mètres de la montée » et du rayon r de l'arc moyen. 


Liége, juillet 1861. 


FIN. 


L. Dre Koxiex. 


| MARTYNOWSKI. 


TERSSEN. 


CANDEZE. 


_ NOEL. 


ÉUPYFERSCHLAEGER. 


Mémoire sur les (Genres et les Sous-Genres des 
Brachiopodes munis d'appendices spiraux el sur 
leurs espèces découvertes dans les couches car- 
bonifères des îles Brilanniques. . . . . . 1 


Des combinaisons avec répétition . . . . .  à3 
Méthode infinilésimale en Géométrie. 


Examen des diverses méthodes employées pour 
l'établissement et le développement des calculs 


transcendants . . + . . . 145 


Notice sur l'action du fer et du zinc dans les 
dissolutions des métaux dont les oxydes sont 


solubles dans l'ammoniaque . 297 


Nouvelle méthode pour déterminer le centre de 


RAUUCNUES CORPS MD Ne D OUAIS 


Histoire des métamorphoses de quelques Coléoptères 
exotiques ° e e e s e ° e e 


325 


Notes sur l'Analyse infinitésimale . . . 


FIN. 


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