Skip to main content

Full text of "Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"

See other formats 


FOR.  THE  PEOPLE 

FOR  EDVCATION 

FOR  SCIENCE 

LIBRARY 

OF 

THEAMERICAN  MUSEUM 

OF 

NATURAL  HISTORY 

Bound  at 

A.M.N.H. 

1916 


NO  VI 

COMMENTARII 

ACADEMIAE  SCIENTIARVM 

IMPERIALIS 

PETROPOLITANAE 
TOM-    IX. 

pro  Anuis  MDCCLXII.  et  MDCCLXIII. 


PETROPOLI 

TYPIS    ACADEMIAE    SCIENTIARVM 
M  D  C  C  L  X 1 V. 


-IJq 


.'jojLjeafrU-  ^ 


SVMMARIVM 
DISSERTATIONVM 

QVAS   CONTINET 

NOVORVM  COMMENTARIORVM 

TOMVS    IX. 


MATHEMATICA. 


De  RefGlutione  Formularum  quadrati- 
carum  indeterminatarum  per  numeros 
integros. 

Auftore  Leon.  Eulero  pag.  3. 

Confideratio  numerorum ,  quamuis  plerisque  omni 
vfu  carere  videatur ,  tamen  per  fe  non  folum  ad- 
modum  eft  iucunda,  fed  etiam  animum  ad  veritatis  in. 
dagationem  non  mediocriter  acuit ,  eiusque  vires  quaG 
magis  intendit.  Maxime  enim  abundat  do&rina  nume- 
rorum  veritatibus  abftrufiiTimis ,  quarum  inueftigatio  et 
demonftratio  tantam  ingenii  penetrationem  poftulat,  vt 
nunquam  cun&a,  quae  inuoluit,  myfteria  erui  et  explicari 
pofie  videantur.  Quod  certe  eo  rnagis  mirum  videri 
debet ,  quod  numeri  nusquam  per  fe  re  vera  exiftant  , 
(ed  per  folam  abftra&ionem  in  mente  formentur  ,  qua 
primo  quidem  feries  numerorurn  naturalium  ab  vnitate 
in  infinitum  progredientium  conftituitur  ,  tum  vero  ad 
interualla  implenda  numeri  fradi  et  furdi ,  atque  adeo 
tranfcendentes,  introducuntur.  Quorum  generum  tra&atio 
etfi  ad  Arithmeticam  referri  folet  ,  tamen  in  hac 
fcientia  infignes  proprietates ,  quibus  raumeri  (unt  affedi, 

a  3  ""* 


*  ~KS  )  o  (  S*. 

vix  attinguntur,  quippe  quae  vulgo  tantum  ad  vfitatas 
numerorum  ^operationes  explicandas  reftringitur.  Accu- 
ratius  autem  numerorum  natura  inueftigatur  in  ea  Ana- 
lyfeos  parte  ,  quae  ab  antiquiflimo  auctore  methodus 
Diophantea  vocari  folet ,  vbi  eiusmodi  problemata  per- 
penduntur,quae  in  fe  funt  indeterminata,  atque  infinitas 
folutiones  admittunt ,  ex  quibus  autem  eas  elici  opor- 
tet ,  quae  numeris  vel  faltem  rationalibus ,  vel  integris 
tantum  contineantnr.  Cuius  methodi  vis  per  exem- 
plum  clariflime  perfpicietur :  Sumamus  eiusmodi  nu- 
nieros  quaeri  debere,  quorum  quadrata  duplicata  vni- 
tate  aucta  iterum  fiant  quadrata,feu  \t  forma  2  ##-11 
extra&ionem  radicis  quadratae  admittat.  Quodfi  fractio- 
nes  non  excludantur ,  huic  quaeftioni  faciilime  fatisfit , 
aequando  fbrmulam  2ji-n  huic  quadrato  (#y-i)« 
Quia  enim  aequatio  nx  x  - 1 1  ~x  xyy  -zxy-n,  vni- 
tate  vtrinque  deleta  ,  per  x  diuifionem  admittit,  prodit 
2xz^xyy-2y9hmcqut  xz=:-yy_-2i  vbi  quicunque  nu- 
meri  pro  y  accipiantur ,  fiue  integri ,  fiue  fra&i  ,  pro  x 
femper  eiusmodi  numeri  rationales  refultant ,  quibus 
formula  ixx  —  n  euadit  quadratum  ,  quippe  cuius  ra- 
dix  quadrata  futura  xy—i.  Qui  numeri ,  qno  facilius 
obtineantur,  loco  y  fcribi  poteft  fradio  -4- 1  f  vnde  pro- 
dit  vel  x——^f—y  vel  x  —  ~f^.  Hic  igitur 
fufficit,  pro  p  et  q  numeros  quoscunque  integros  accipi, 
veluti  fi  capiatur  psz$  ct  ^rr^jprodit  x-^z-  qui  eft 
buiusmodi  numerus ,  vt  eius  quadratum  ~  fi  duplice- 
tur  '77,  et  vnitas  adiiciatur  ~  ,  fumma  haec  fit  qua. 
dratum  radice  exiftente  7-.       Verum   fi  pro  x  tantnm 

nume- 


r*s  )  o  (  $&•  7 

numeri  integri  defiderentur,  qui  hac  proprietate  gaudeant, 
folutio  modo  data  nihil  vtilitatis  arTert,cum  pro  p  tt  q 
eiusmodi  numeri  affumi  deberent,  vt  2pq  diuifibile  fie- 
ret  per  pp-*qq,  quod  non  minus  eft  difficile  ,  quam 
ipfum  problema  ,  de  quo  agitur.  Interim  tamen  hac 
conditione  adiecta  problema  etiamnum  recipit  innume- 
ras  folutiones  ,  ct  numeri  pro  x  affumendi  hac  lege 
procedunt:  o,  2  ,  12,  70,  408,  2378,  13860,  efefc.  vbi 
continuo  fequens  aequatur  fextuplo  vltimi  demto  penul- 
timo ,  cuiusmodi  ferics  vocari  iolent  recurrentes ,  vnde 
euidens  eft  ,  harum  folutionum  multitudinem  effe  infi. 
nitam  ,  etiamfi  continuo  rarius  occurrant.  Ideoque  fe- 
cile  intclligitur ,  earum  inuentionem  multo  magis  efle 
arduam. 

Cel.  Auftor  huins  differtatioms  rnethodurn  pectr- 
liarem  exponit  huiusmodi  problemata  facile  refoluendi , 
quibus  in  genere  omnis  numeri  integri  pro  x  affumendi 
quaeruntur,  vt  haec  formula  axx^fix-y  euadat  nume- 
rus  quadratus ,  dum  a  ,  (3  ,  y  denotant  numeros  quos- 
cunque  datos.  Vbi  primo  quidem  obferuat,  folutionem 
non  fuccedere,  nifi  a  fit  numerus  pofitiuus  non  quadra- 
tus ,  tum  vero  neceffe  effe ,  vt  vna  faltem  folutio  iam 
aliunde  fit  cognita  ,  cuiusmodi  folutio  vnica  ftatim  ac 
fi  praefto  fuerit ,  quemadmodum  inde  omnes  reliquae 
in  infinitum  inueniri  queant  ,  perfpicue  docet.  Curn 
autem  hoc  problema  iam  alibi  fit  pertradlatum,  etfi  me- 
thodo  minus  commoda  ,  Auctor  hic  inprimis  naturam 
huiusmodi  problematum  accuratius  perfcrutatur  ,  et  cri- 
teria  elicit ,  quibus  problemata  huius  generis  impoflibi- 
lia  a  poffibilibus  diftingui  poffunt,     Denotante  fcilicet  et 

nume^ 


numerum  quemcunque  pofitiuum  non  qnadratum  ,  quia 
expreiTionem  fuperior^m  femper  ad  banc  fbrmam  axx-hy 
reuocare  licet,  oftendit,  quinim  numeri  pro  y  aiTumti 
problema  reddant  poftibile,  nec  ne.  Veluti  fi  fit  ot=:3» 
notum  eft,  has  formulas  $xx-\-2j  3XX-\-$,3XX-*-$  etc. 
nunquam  fieri  pofle  quadratas.  In  maionbus  autem 
numeris  pro  ct  fumtis  hoc  iudicium  multo  magis  fit 
arduum  ;  verum  tamen  Au&or  criteria  certilTima  indi- 
car ,  quibus  in  omnibns  cafibus  expedite  vti  licet,  vbi 
multa,  quibus  miranda  numerorum  natura  non  medio~ 
criter  illnftratur ,  occurrunt,  et  quae  in  aliis  quaeftioni- 
bus  vfum  infignem  habitura  videntur. 

II. 

De    progreflionibus     arcuum    circula- 

rium  ,    quorum    tangentes    iecundum 

certam  legem  procedunt. 

Auftore  L.  Eulero  pag.  40. 

P?'irimae  iam  palTim  traditae  funt  methodi  progrefrlo- 
*  num,  in  infinitnm  excurrentinm,  fummas  inueftigan- 
di ,  in  quo  Analyieos  genere  cum  ab  aliis  tum  a  Cel. 
Eulero  infignia  fpecimina  funt  edita.  Seriem  autem 
fradhonum  continuo  decrefcentium ,  etiamfi  in  infinitum 
continuentur  ,  fummam  habere  poffe  finitam  affignabi- 
lem  ,  aduerfus  difficultates  e  principiis  n  ethaphyficis 
perperam  intelle&is  petitas ,  nemo  nunc  quidem  amplius 

in 


"■§33  )  o  (  £'?§<-  9 

in  dubium  vocare  fuftinet  ,  veluti  ex  primis  adeo   ele- 
mentis  oftendi  poteft ,  huius  feriei  geometricae  :    i  *4-  5 
-+- 1  -+-  *  •+-  fs  -+-  /s  -+-  ctc«  in  infinitum  fummam  bina- 
rio  e(Te  aequalem.      Quanquam    autem  haud  diffkulter 
iudicare  licet ,  vtrum  huiusmodi  fericrum  ,  quarum  ter- 
mini   continuo    fiunt    minores ,    dummodo    certa    legc 
progrediantur  .  fummae  fint  finitae,  nec  ne  ?  tamen  faepe 
numero  accidit,  vt  fumma  ,  etiamfi  certo  fit  finita,  ni- 
hilo  minus  aflignari  nequeat ,  quemadmodum  vfu  venit 
in  hac  ferie  1  ■+- j  -+-  \  -+- 1  -+-  h  -+-  ?V  -+-  ctc-  cuius   dc- 
nominatores,  quia  vnitate  fuperant  praecedentes ,  fumma 
fine  omni  dubio  minor  eft  ,   quam  illius ,    neque    vero 
eius  verus  Yalor  vllo   modo   adhuc    inueftigari    potuit , 
ita  vt  is  non  folum  non  rationaliter ,  fed  etiam  non  per 
numeros  furdos ,  quin  ne  per  tranfcendentes  quidem  vfu 
fatis   tritas  ,  cuiusmodi   funt ,  quae  vel    a  quadratura  cir- 
culi  ,  vel  logarithmis  pendent  ,   exprimi   poffe    videatur. 
Simili    modo  haec   fra&ionum  feries  :    }-+-f-+-n"+isi 
-+-?IT-f-^-f-etc.  cuius  Jex  denominatorum  differentiis 
fumendis ,  quae  funt  4.6.  8.10. 12  etc.   per  fe  eft  per- 
fpicua  ,  etfi  certe  eft   finita  ,  nullo    tamen  quantitatum 
genere  cognito  exhiberi  poteft  :  ex  quo  eo    magis   mi- 
rum  videri  debet,quod  fi  in  circulo,  cuius  radius  -  1 ,  ar- 
cuscapiuntur,quorum  tangentes  fint  fuccefliue  i.£. ;,./,  etc. 
horum    omnium    arcuum     in     infinitum    continuatorum 
fumma  artignari  poflit ,   atque  adeo  quartae    peripheriae 
parti   fit  aequalis. 

In  hac  igitur  differtatione  Cel.  Audtor  plura   hu- 

iusmodi   ferierum    genera    perpendit ,    quarum    termini 

(inguli  funt  arcus    circulares ,    quorum    tangentes    certo 

Tom.IX.Nou.Comm.  b  mbdo 


modo  progrediuntur ,  et  quemadmodum  fummae  earum 
pariter  ad  arcus  circulares  deduci  queant,  oftendit.  Me* 
thodum  autem  perfacilem  proponit,  innumerabiles  huius- 
modi  feries  fummabiles  inueftigandi  ,  in  quo  negotio  ne 
calculus  formulis  nimis  intrkatis  perturbetur ,  in  fubfi- 
dium  vocat  algorithmum  quendam  nouum  ac  peculia- 
irem  ,  cuius  indoles  in  fequentibus  exponetur.  Tum  ve- 
ro  etiam  theoriam  fratlionum  continuarum  in  fuperio- 
ribus  voluminibus  prolixius  expofitam  ad  has  inueftlga- 
tiones  felici  fucceflu  accommodat,  ita  vt  iam  huius  ge- 
neris  feries  perinde  tradtari  pofllnt,  atque  eae,  quae  per 
fimplices  fradiones  progredmntur ,  dum  arcus  illius,  cui 
feriei  furr.ma  aequatur  ,  tangens  fatis  concinne  per  fra- 
&ionem  continuam  exprimi  poteft. 

w. 

Specimen  algorithmi  fingularis» 
Au£l.  L#  Eulero  pag,  53. 

Accuratius  inquirenti  cur  Analvfis-  mathematica  aliis 
fcientiis ,  quae  in  veritatis  inueftigatione  verfantur  , 
tantopere  antecellat,  mox  patebit  caufam  in  idoneo  et  fuc- 
cindto  fignorum  vfu  potiflimum  efle  quaerendam.  Cum 
enim  in  omni  ratiocinatione  fermo  atque  vlus  vocabulorum, 
quibus  ideae  plerumque  fatis  complicatae  defignari  folent , 
maximum  arfert  fubfidium  ,  vt  fermone  fublato  vix  vl- 
lus  rationis  vfus  nobis  relinqui  videatur ;  vtilitas  horum 

fjgno- 


\i     )     O     (     §>G>  II 

fignorum  manifefto  in  eo  eft  pofita  ,  quod  eorum  be* 
neficio  menti  ideae  valde  compofitae  vno  quafi  intuitu 
fimul  ita  repraefentantur  ,  vt  ,  fi  vim  cuiusque  figni  , 
quantumuis  eius  fignificatus  fuerit  complexus  ,  femel  in- 
tellexerit ,  id  deinceps  in  mente  vicem  omnium  idea- 
rum ,  quas  comprehendit ,  gerat.  Atque  hoc  idem 
per  vniuerfam  Analyfin  mathematicam  multo  clarius 
cernitur ,  vbi  omnes  formuke  in  calculo  receptae  nihil 
aliud  funt ,  nifi  figna  idonea  ,  quibus  ideae  et  opera- 
tiones  tantopere  compofitae  menti  vno  quafi  iftu  ofFe- 
runtur  ,  vt  earum  explicatio  plerumque  maximam  ver- 
borum  ambagem  requireret  \  vbi  hoc  imprimis  eft  ob- 
feruandum  ,  huiusmodi  fignum ,  cum  eius  \is  femel  fue- 
rit  percepta  ,  menti  deinceps  perpetuo  infigni  compen- 
dio  vniuerfam  rem  fjgnificatam  repraefentare.  Quem- 
admodum  ergo  in  commuiri  fermone  fingula  verba  ideas 
fimpliciores  in  animo  excitant ,  ita  in  Analyfi  mathe- 
matica  eiusmodi  figna  \firrpantur  ,  quae  ideas  multo 
magis  compofitas  animo  fimul  exhibent ,  eundemque 
efc&um  praeftant,  ac  fi  omnia  verba  eius  fignifkatum 
explicantia  ordine  recitarentur ;  quae  prolixitas ,  cum 
animum  maxime  effet  diftactura  ,  vires  etiam  ingenii 
in  comparatione  plurium  huiusmodi  repraefentationum 
plurimum  elfet  perturbatura.  Ex  quo  perfpicuum  eft  , 
praeftantiam  Analyfeos  vfui  potifiimum  idoneorum  fi- 
gnorum  ,  quibus  res  maxime  complicatae  defignantur  , 
acceptam  efle  referendam.  Veluti  quoties  in  calculo 
analytico  hanc  formulam  V  [aa-\-  bb)  confpicimus , 
hoc  fjgno  menti  oblato  intelligimus ,  litteris  a  et  b 
certas  quantitates  defignari  ,    quarum  quadrata  per  addi- 

b  &  tionem 


is  ">J?«g  )  o  ( 

tionem  coniungi ,  et  ex  fumma  radicem  quadratam  ex 
trahi  oportere  j  hancque  radicem  quadratam  ifta  fbrmu- 
la  indicari.  Statim  autem  arque  hunc  fignificatum  pro» 
be  percepimus ,  nobisque  ramiliarem  reddidimus ,  folus 
afiectus  huius  fdrmulae  V \aa-\-bb)  vno  quafi  i<fhi 
menti  totam  illam  defcriptionem  repraefentat ,  ita  vt 
ea  tanqnam  idea  fimpiici  iu  vlteriori  inueftigarione  vti 
polfic.  Similis  eft  ratio  omnium  reliquorum  fignorum 
in  Analyfi  receptorum  ,  quae  omuia  ita  funt  comparata, 
vt  iis  quantitares,  per  certas  faepiusque  repetitas  opera- 
tiones  natae  ,  vno  quafi  afpedu  menti  diftin&e  reprae- 
fententur.  Qiiodfi  ergo  eueniat  ,  vt  in  Analyfi  nouac 
quaedam  operationes  in  vfum  vocentur ,  nouoque  mo- 
do  inter  fe  combinentur  ,  ad  calculi  fubfidium  pluri- 
mum  interea  quantitates  inde  natas  nouis  iisque  idoneis 
fignis  defiguari ,  vt  iis  deinceps  fimili  fucceflu  in  calcu- 
lo  vti  liceat.  Cum  igltur  Cel.  Au&or  obleruaffet  ,  in 
euolutione  fradtionum  continuarum  ,  quarum  vfus  in 
.Analyfi  eft  ampliflimus ,  quantitates  certo  quodam  mo- 
do  pcr  varias  operationes  inter  fe  combinari  r  quantita- 
tes  hinc  ortas  fignis  peculiaribus  denotare  ftatuit ,  fimul- 
que  fpecimen  noui  algorithmi  circa  has  quantitates  ex- 
hibere  decreuit ,  cuius  vfum  infignem  adeo  iam  in 
praecedente  difTertatione  oftendit,  et  in  fequentibus  for- 
tafle  adhuc  vberius  eft  declaraturus.  Propofitis  nimirum 
quotcunqne  numeris  a  r  J  ,  c  ' ,  d> ,  e ,  fbrmula  hoc  fi- 
gno  expreffa  ( if,  b\  c  %  d'9  r,  )  numerum  denotat 
per  certas  quasdim  operationes  inde  oriundum ,  cuius 
valor  per  pauciores  continuo  procedendo  ita  fe  habet  f 
vt,  fi  nulla  littera  vncinulis  includatur,  veluti  ()  valor  fit 

perpe* 


perpctuo  vnitas  •,  deinde  fi  vnica  littera  fit  incfufa,  vt  (*), 
valor  fit  hic  ipfe  numerus  a.  Hinc  autem  fi  plures 
litterae  rndudantur ,  valores  per  praecedentes  fequenti 
modo  definiuntur : 

{a)-a 

(a,b)=b(a)  +  () 
(a,b,c)-=c(a,b)+-(a) 
(a,b,cyd)zzJ(a,b,c)-\-{a,b) 
(a^b.c.d.e^zziayb^c^d^-^ia.b.c) 
etCr 

circa  numeros  autcm  hoc  modo  natos  plures  eximias 
proprietates  demonftrat,  veluti  quod  indicum  ordine 
inuerlo  idem  valor  fernper  relultet,  fitque  (a-9  b,  c>dte) 
zz(e,d,c,  b,a)  vnde  plures  aliae  infignes  affectiones 
concluduntur^ 

IV. 

De    Refolutione  aequationum  cuiusuis 
gradus* 

Au£l.  L.  Eulero  pag.  yo. 

Qnaeftio  hic  verfatur  circa  aequationes  algebraicas, 
quorum  gradu3  aeftimatur  ex  poteftate  fumma 
quantitatis  incognitae  ,  cuius  valorem  inde  detemunari 
oportet ,  iu  poftquam  huiusmodi  aequationes   ad   debi- 

b  3  taroi 


tam  formam  fuerint  perductae  ,  fecundum  gradus  ita  in 
genere  repraefentari  poffunt : 

gradus  aequationes 

I.  n-Azo 

II.  x*-hAx  +B=ro 

III.  x'-t-Ax%-{-Bx  -4-C  —  o 

IV.  x*-\-Ax'-\-Bx9-i-Cx  +D-o 

V.  x5-^Ax4-h-Bx3-+-Cx*-+-Ux  +E=o 

VI.  x6  -\-  Ax5-^Bx4  -\-Cx*  -\-Dx*  -\-Ex  -\-¥  zo 

gstfc. 

lam  notum  eft,  harum  aequationum  refblutionem  in  ge- 
nere  non  vltia  quartum  gradtim  adhuc  effe  inueftiga- 
tam,  quod  eo  magis  mirandum  videtur ,  quod  cum  fe- 
cundus  gradus  iam  ab  antiquifhmis  Geometris  Graecis 
et  Arabibus.,  tertius  vero  et  quartus  iam  pridem  a 
Scipione  ferreo  et  Bombello  in  ipfa  quafi  .Analyfeos 
infantia  fint  expediti,  ab  illo  terrpore,  poftquam  Ana!yfis 
fummo  ftudio  eft  exculta  ,  nondum  vltra  hos  limites 
propredi  licuerit,  Cum  autem  conftet,  refolotionem  cuius- 
vque  gradus  ab  omnibus  gradibus  inferioribus  pendtre  , 
£r  quamitatem  incognitam  tot  valores  recipere ,  quoti 
gradys  fuerit  aequatio.  Cel.  Audtor  huius  differtationis  iam 
olim  coniifturam  propofuit  ,  quod*  pro  quouis  gradu  , 
ve'u:i  quinto  x  -4-  A  x4-\-Bxs  -\-  C  x1  -f-  D  x  -\-  E  =r  o, 
decur  aequaro  vno  gradu  inferior,  vti  y4-\~  clj*-\-  (Zy* 
-\-  yy-tr  $  —  o,  quam  vocat  illius  refoluentcm ,  ita  vt  fi 
ninus  radix    futnt    p  ,  q  ,  r ,  s  ,  illius  radix  ita  fe  fit 

habitura  xzzf-\-  irp~\-  4f>  q-\-  ~Vr-\-  f  s  ,  vbi    qui- 
dem  perfpicuum  cft,  fore  j  zz  —  JA,  quae  <oniedura  eo 

minus 


*§$$  )  o  (  |cf<.«  15 

minus  ratione  deftituta  videtur  ,  quod  non  folum  cum 
lefolutione  cognita  aequationnm  fecundi ,  tertii  et  quar- 
ti  gradus  egregie  confcntiat,  fed  etiam  cafus  illos  refolu- 
biles  particulares  altiorum  graduum  a  Moiuraeo  olim 
dete&os  in  fe  compledtatur.  Nunc  autem  Cel.  Au&or 
animaduertit  iftius  conie&urae  formam  ,  qna  verbi  gra- 
tia  aequationis  quinti  gradus  radix  ita  exprimitur  : 
X  zz  /-+-  t p  -f-  tq  -b  fr-\~f  s  ,  nondum  fatis  efle 
limitatam.  Cum  enim  fingulae  hae  formulae  radicales 
quinos  diuerfos  valores  natura  fua  inuoluant  r  ficile  in- 
telligitur,  non  omnes  combinationes  eorum  locum  ha- 
bere  pofle  ,  quia  alioquin  numerus  diuerforum  valorum 
ipfius  x  in  immenfum  excrefceret,  quem  tamen  quina- 
rium  fuperare  non  pofle  certum  eft,  Formam  igitur 
iliam  nimis  vagam  nunc  ita  reftringir,  vt  ftatuat  ae- 
quationis  quinti  gradus  radicem  ita  in  genere  exprimi : 

x=f+Uvt>-t-<&tp*-h<£vp*-t~®  t p\  fimili- 
que  modo  de  reliquis  gradibus;  vbi  iam  perfpicuum  eft, 
plures  r  quam  quinque  diuerfos  valores ,  pro  x  locum 
habere    non    pofle.    Statim    enim   ac    fignificatus  par- 

tis-  V  p  dcfiuitur,  quod  quinque  modis  fieri  poteft  ,  4t- 
mul  etiam  reliquae  partes  determinantur.  Deinde  etiam 
patet  y  expreflionem  pro  cafu  allato  non  plures ,  quam 
quinque  partes,  compleiti  pofle,  quoniam  formulae  vl- 

teriores  V  ps ,  t  p6ctc.  fponte  ad  praecedeates  redirent, 
neque  nouam  irrationalitatem  implicarent.  Hanc  igitur 
nouam  coniecturam  quam  pulcre  cum  refolutionibus  iam 
cognitis  confentiat ,  oftendit ,  et  quamuis  ex  hoc  fonte 
jpioime  adhue  aequationum  quartum    gradum    fuperan- 

tiura 


1$  »>&%    )    O     (    g$g*P 

tium  refolutionem  in  genere  perficere  liceat ,  tamen 
hinc  pro  fuperioribus  gradibus  alios  infuper  cafus  refo- 
lubiles  praeter  Moiureanos  deducit ,  vnde  non  parum 
luminis  in  hanc  maxime  abfconditam  Analyfeos  partem 
redundare  videtur. 


V. 

De  numeris  primis  valde  magnis. 
Au£tore  L.  Eulero  pag.  $9- 

Cum  primum  a  Pellio  ,  ac  deinceps  ab  aliis  ,  tabula 
numerorum  primorum  ad  centena  millia  \sque  fit 
conftru&a  ,  nunc  quidem  propofito  quocunque  numero 
hunc  limitem  non  fuperante  facillime  iudicare  licet , 
vtmm  is  fit  primus ,  nec  ne  ?  atque  adeo  ex  ifta  tabu- 
la  pro  lubitu  numeri  primi  excerpi  poflunt  ,  fi  forte 
vfus  exigat ,  qui  quidem  centena  millia  non  excedant. 
Verum  fi  quis  defideret  numeros  primos  hoc  termino 
maiores ,  nonnifi  exantlato  immenfo  fere  labore  ,  vpti 
fui  compos  reddi  poterit  ,  quandoquidem  alia  methodus 
numeros  primos  inueftigandi  vix  patet,  nifi  vt  fuccefliue 
omnes  numeri  per  alios  minores  diuifibiles  expungantur, 
quippe  quo  facto  numeri  primi  foli  relinquentur.  Qiiin 
etiam  propofito  numero  praegrandi  ,  vtrum  is  fit  pri- 
rnus  ,  nec  ne  ?  ante  pronunciare  non  licet  ,  quam  eius 
diuifio  per  omnes  numeros  primos,  eius  radice  quadra- 
ta  miaores ,  fuerit  tentata.     Ita  fi  quis  quaerat ,  vtrum 

hk 


■«fig  )  o  (  2S-  n 

!iic  numerus  2237791  primus  fit,  nec  ne  ?  diuifionem 
per  omnes  numeios  primos  vsque  ad  14.96  tentare 
cogitur ,  hocque  labore  maxime  taediofo  fufcepto  tan- 
dem  diuifionem  per  1481  fuccedere  deprehendet.  Ex 
quo  patet  problema  olim  inter  Fermatium  et  Wallifium 
traetatum  ,  quo  methodus  certa  requiritur,  numeros  pri- 
mos  dato  quouis  maiores  inueftigandi,  maxime  efle  ar- 
duum  ,  atque  adeo  vires  ingenii  humani  fuperare,  poft- 
quam  folutio  a  Fermatio  tradita  iam  olim  ab  Au&ore 
huius  differtationis  eft  profligata.  Qiiin  etiam  quaeftio 
iam  maxime  difficilis  eft  reputanda  ,  fi  numeri  primi 
centenis  millibus  vel  adeo  vno  millione  maiores  defide- 
rentur.  Interim  tamen  in  hac  d  flertatione  methodus 
fatis  expcdita  traditur  hoc  praeftandi  ,  dum  Au&or  alios 
numeros  non  contemplatur ,  nifi  ■  qui  vnitate  fuperent 
quadratos  ,  feu  in  hac  forma  aa-\-i  fint  contenti. 
Cum  enim  huiusmodi  numeri  alios  diuifores  non  reci- 
piant ,  nifi  qui  ipfi  fint  duorum  quadratorum  aggregita, 
atque  adeo  in  hac  forma  4»;+i  contineantur  ,  ex 
ferie  numerotum  formae  aa  -+- 1  qnamuis  longe  conti- 
nuata  ,  quae  qnidem  feries  mox  ad  maximos  numeros 
cxcrefcit ,  facili  negotio  numeri  compofiti  expunguntur, 
ita  vt  de  relietis  certi  fimus,  eos  cfle  primos.  Huius 
igitur  artificii  benericio  labore  non  nimis  operofo  omnes 
numeros  primos  formae  aa-\-i  vltra  binos  milliones 
eft  adeptus ,  quos  in  tabula  peculiari  complexus  eft  ; 
vnde  iam  certo  conftat ,  hunc  v.  gr.  numerum  prae- 
grandem  2232037  efle  primum,  quae  veritas  fi  more 
coniueto  eflet  exploranda  ,  diuifionem  per  omnes  nu- 
sneros  primos  vsque  ad  1494-  tentari  oporteret.  Quo 
Tom.IX.Nou.Comm.  c  autem 


iS  *g>§  )  o  (  |^ 

autem  multitudo  huius  modi  grandium  numcrorum  pri- 
morum  magis  augeatur  ,  etiam  eos  cafus  indicat  t  qui- 
bus  formulae  a-2-~  et  *—-'  praebent  numeros  primos. 


VI. 

De  Refolutione  aequationis 

dy  -f-  ay  y  d  x  zz  b  xm  d  x. 

Au£tore   L.   Eulero  pag.  154. 

A  equatio  haec  ,  iam  dudum  a  Comite  Rkcatl  Geo- 
jf  ■*■  metris  propofita,  tanto  (tudio  a  Cummis  ingeniis  eft 
pertra&ata  ,  vt  vix  quicquam  noui  circa  eius  refolutio- 
nem  proferri  poffe  videatur.  Statim  quidem  infiniti 
valores  pro  exponente  m  afflimendi  funt  obferuati,  qui- 
bus  integrale  exhibere  iiceat,  qui  valores  hac  (erie  pro- 
grediuntur  :  o-  4-f,—  |-'-  \%  —  lh  —  l?—li  etc»  ac 
methodus,  qua  hi  cafus  funt  euoJuti,  ita  erat  comparata^ 
vt  ex  cognito  cuiusque  cafus  integrali ,  integrale  fequentis 
deflniretur  ,  neque  adeo  cafunm  pofteriorum  integralia 
exhiberi  polfent  ,  nifi  iam  omnes  antecedentes  fuerinc 
expediti.  In  hac  autem  differtatione  id  praeftatur ,  vt 
vnica  operatione  omnium  illorum  cafuum  integralia  &• 
mul  eruantur  ,  indeque  ftatim  vel  centefimi  cafiis  inte- 
grale  aifignari  poflit.  Methodus ,  qua  hoc  corrmodi  eft 
aftecutus  ,  omnino  eft  fmgularis  7  dum  primo   aequatio- 

nem 


uem  propofitam,  ope  certae  fubftitutionis,  in  aliam,  quae 
adeo  difFerentialia  fecundi  gradus  inuoluit ,  transformat  5 
eamque  deinceps  per  feriem  infinitam  integrat ,  quae 
autem  feries  ita  eft  comparata  ,  vt  fupra  memoratis  ca- 
fibus  alicubi  abrumpatur  ,  expreflionemque  finitam  fup- 
peditet,  vnde  integrale  quae  itum  facillime  colligatur, 
Verum  tamen  omma  haec  integralia  non  nifi  funt  par- 
tkularia  ,  neque  totam  vim  aequationis  differentialis 
propofitae  exhauriunt ,  deinde  etiam,  quoties  quantitas  b 
eft  neguiua  ,  imaginariis  ita  inquinantur  ,  vt  omni  pla- 
ne  vfu  deftituantur.  Vtrique  incommodo  Cel.  Auctor  ita 
medetur,  vt  primo  methodum  exponat,  ex  cognito  hu- 
iusmodi  aequationum  integrali  quopiam  particulari  inte- 
grale  completum  eliciendi,  quod  fi  quantitas  b  fuerit  po- 
fniua  ,  quantitates  exponentiales  implicat  :  deinde  vero 
oftendit,  quomodo  iftae  quantitates  exponentiales ,  quae, 
exiftente  b  negatiuo  ,  fiunt  imaginariae  ,  per  tangcntes 
arcuum  circularium  realiter  exprimi  queant.  Denique 
cum  methodus  illa  ,  ex  inregrah  particulari  completum 
eliciendi  ,  certam  quandam  integrationem  cxigut  ,  quae 
moram  facefiere  queat,  etiam  huic  incommodo  occurrit, 
dum  obferua,  tpro  quouis  cafu  primam  euolutionem  non 
vnum  ,  fed  adeo  duo  integralia  particularia  ,  praebere  , 
quoniam  ibi  fbrmula  radicalis  V b  ingreditur,  quam  ae- 
que  negatiue  ,  ac  pofitiue,  accipere  licet.  Alia  igitur 
methodo  \titur ,  cuius  ope  ex  cognitis  duobus  integra- 
libus  particularibtis  integrale  completum  ,  fine  vlla  noua 
integratione ,  concludi  queat.  Quod  cum  ab  eo,  quod 
priori  methodo  erat  erutum  ,  difcrepare  nequeat  ,  ex 
wtriusque  collatiome  integrationem  priori  impiicatam  effi- 

c  2  cer« 


20  *fcg   )    0    (    §>c?<- 

cere  licet,  vnde  poftremo  hanc  integrationem  maxime 
memorabilem  deducit ,  quod  fit 

s  ac    n  *  ac  vn 

fe  \  x  dx  __, Cgn    *g-« 

J  ~ ~u~u  ~      ~Qu{*acx*-*uz  H-  ^i  -^  ) 
vbi  quantitates  z  et  w  per  x  ita.  definiuntur  ,  vt  fit  ; 

— n-f-i  — -3it-t-g  — sR-+-« 

,w_w  -f-  tnac    •»  T     jni6nalc» 

— n_M       (nn— 1)     — m-f-i     ,     («n — OCgTiB —  t)  „  —  sW-4-' 

»=_*— ; 7hJT&  TT~ri 7n7^a^-x~~2  etc- 

Cum  igitur  hae  formae  z  et  u  adeo  in  infinitum  ex- 
currere  queant  ?    eo    magis  eft    mirandum ,    quod    for- 

2  ac    n 

mula  e*  x  ~  integrale  ?  idque  per  expreflionem  fatis 
fimplicem ,  exhiberi  poflit,.  Tum  vero  etiam  hoc  con- 
fuetae  integralium  formae  aduerfari  videtur ,  quod  quan- 
titas  conftans  arbitraria  C  ,  per  integrationem  ingrelTa  , 
quae  alioquin  nude  adiicitur,  hic  ipfi  formae  integrali  fit 
implicata.  Quod.  fingulare  phaenomenon  fi  attentius 
perpendatur ,  mox  patebit ,  integrationem  illam  veritati 
confentaneam  elTe  non  poiTe,nifi  denominatoris  pars 

. .  ,    u  dz —  zdu 

nacx*     luz-\- j-x — 

fiierit  quantitas  conftans ,  puta  A;  tum  enim  iftud  inte- 
grale  in  formam  naturalem  abit ; 

«  a  c    n 

e  n    X    _ !_ 

Au        AC 

Num  autem  res  ita  fe  habeat  „  hoc  modo  explicari 
poteft  :  Quoniam  quantitates  z  et  u  per  feries  expri- 
muntur,  easque  ipfas,  quae  initio  ex  euolutione  aequatio- 

nii 


-83  )  o   (  £<£<•  2t 

nis  difTerentialis  fecundi  gradus  funt  eruta  ,  viciflim  pa- 

tet ,  eas  ita  pendere  ab  x  ,  vt  fit ; 

ddz-+-2actfl~~Idxdz-*-{n-i  )acxn  — 2zdx*  zzzo  et 

ddu  —  2acxn~~' dxdu  —  (w-i  ^acx*"  *udx* zzzo. 

Nunc  prior  aequatio  per  «,  pofterior  vero  per  s ,  mul- 

tiplicetur,  ac  productorum  dirTerentia  dabit 

uddz —zddu  -4-  2acxn-'dx{udz\zdu)-\-  2(«- 1  )acxn"zuzdx*z:o^ 

cuius  integrale  manifefto  eft 

«^s  ^.  jsia  +  zacx71  —  '  uzdxzzzk  dx. 

—  « -*vr 
Cum    autem  ,  fido  ^  ^  n:  c^  ,    fiat    «  — szr*     * 

et  ttszTAr"*"4*1,  euidens  eft,  ftatui  debere  Azzmac  f 

ficque  integratio  fuperior  abit  in  hanc  formam  : 


ac    n  z  ac     n 

X  d  x „  -=—  X 


f—xdxz-—x  _£_.__Conft. 

J  uu  2  a  c  u 

quae  non  folum    principiis    eft  conformis -,.   fed  etiam  v 
fa<fta  differenriatione ,  ob 

udz  —  zduzzz2acdx(i  —  xn"lux) 
eius  veritas  egregie  confirmatur.      Hinc  autem  iam  ae- 
quationis  dy-\-ayydxzzzaccxm  dx;  pofito  mzzz  2ti—  2, 
et  quantitatis  z  valore  per  fuperiorem  feriem  exprefib, 
integrale  multo  fuccinctius  ita  exhiberi  poterit,  vt  fit : 


—  2  ac    n 


dz 


2  Qce   *     x 


yzzzcxn-~J-\--±Z--\- *-    feu 

J  *    azdx    '  -20C    ji  w 

z{Qz-Qe  n  x  u) 
y~cx       -t-asid*-i — 


2  a   «-    n 


z{De~x  z-u) 
vbi  D  eft   illa  conftans  arbitraria  per  integrationem  in- 
ie&a  ad  integrale  completum  conftituendum. 

c  3  VII. 


V*  *&&  )  o  (  £g« 

VII. 

Inueftigatio  fun&ionum  ex  data  diffe- 
rentialium  conditione. 

Au&ore  L.  Eulero  pag.  no. 

In  fuperiori.  volumine  a  Cel.  Au&ore  huius  differta- 
tionis  iam  nouus  quafi  campus  Analyfeos  infinitorum 
eft  detectus ,  in  quo  colendo  Geometrae  vires  fuas  ad 
fummum  vniuerfae  mathefeos  fublimioris  incrementum 
exercere  queant.  Pofrquam  enim  obferuaffet  omnia 
praecepta  ,  quae  vulgo  circa  differentiationem  et  inte- 
grationem  tradi  folent,  ad  funcliones  tantum  vnicae  va« 
riabiiis  referri ,  ua  vt  etiamfi  plures  variabiles  in  cal- 
culo  occurrant  ,  tamen  femper  per  eliminationem  ne- 
gotium  eo  perduci  debeat  ,  vt  tandejm  ad  aequationem 
duas  tantum  variabiles  complectentem  perueniatur ,  ex 
qua  ,  qualis  akera  alterius  fit  fun&io ,  definiri  oporteat. 
Hinc  iftam  Anaiyfeos  partem  ,  quae  adhuc  fere  fbla  eft 
exculta  ,  ita  definiuit  Auctor ,  vt  fit  methodus  fun&io- 
nem  vnius  variabilis  ex  data  eius  differentialium  cuius- 
que  gradus  conditione  inueftigandi  ?  ex  quo  fecunda 
Analyfeos  pars  circa  funcliones  bfnarum  variabilium  ver- 
fari  eft  cenfenda  ,  ita  vt  ex  data  quapiam  relatione  in- 
ter  eius  differentialia  eius  vera  indoles  inueftigari  de- 
beat ,  quae  inueftigatio  denuo  in  partes  fubdiuidetur  , 
prout  in  relationem  illam  differentialia  ,  vel  tantum 
primi ,  vel  etiam  fecundi ,  altiorumue  onjinum    in  ;re-, 

diantur* 


diantur.  Iarn  in  hac  diflertatione  prima  iftius  fubdi- 
vifionis  elementa  ftabiliuntur  ,  atque  variae  methodi 
proferuntur ,  fun&iones  binarum  variabilium  indagandi  , 
ex  data  quacunque  difterentialium  primi  gradus  rela- 
tione.  Quodfi  nimirum  littera  V  denotet  fundtionem 
quamcunque  binarum  variabilium  x  et  y,  quas  a  fe  in- 
vicem  prorfus  independentes  intelligi  oportet,  ita  vt  vtram- 
que  feorfim  per  omues  valores  variare  liceat ,  geminas 
inde  fbrmulas  differentiales  nafci  ,  eft  manifeftum  ,  hoc 
modo  indicari  folitas  ( ^~x)  et  ( -^  )  ,  quarum  illa  ex 
Variatione  folius  x  ,  haec  vero  lolius  y  oritur,  vtraque 
autem  eft  quantitas  finita  ,  et  more  folito  ita  per 
difTerentiatioucm  reperitur,  vt,  fi  difFerentiatio  praebeat 
dV~Pdx~t~Qdy  ,  vbi  fine  dubio  litterae  P  et  Q 
iterum  ernnt  certae  funcliones  ipfarum  x  et  y  ,  futu- 
rum  fit  P=r(^|)  et  Q=(f-|).  Nunc  igitur  omnes 
quaeftiones  huc  pertinentes  ita  funt  comparatae  ,  vt 
data  quacunqne  relatione  inter  quantitates  x  ,  y ,  V  , 
et  P,  Q,  inde  litterae  P  et  Q  eliminentur,  et  aequa« 
tio  ab  iliis  libera  tantum  inter  x  et  y  et  V  indagetur, 
quippe  qua  indoles  fiinclionis  V  ,  quemadmodum  a  bi* 
nis  x  et  y  pendet ,  declarabitur.  Cum  autem,  quando 
de  funclionibus  vnicae  variabilis  agitur  ,  plurimae  quae- 
ftiones  adhuc  calculi  vires  fuperent ,  tum  hoc  idem 
multo  magis  in  his  quaeftionibus  circa  duas  variabiles 
vfu  venit ,  vt  numerus  earum  ,  quas  quidem  refbluere 
licet ,  admodum  fit  limitatus ,  praefertim  hoc  tempore, 
quo  ifta  noua  Analyfeos  pars  demum  traftari  efl 
coepta.  Interim  tamen  methodi ,  quas  Auctor  hunc 
in  finem  excogitauit  9  mox  vberiorem  traftationem  poU 
liceri  videntur.  .    PHYglCO- 


*4  •*&€  )  o  f 

PHYSICO  -  M athematica: 

I. 

De    motu    vibratorio  fili  flexilis  cor- 
pufculis  quotcunque  onuftu 

Au&ore    L.   Eulero  pag.    215. 

Problema  hoc,  iam  ab  aliis  folutum,  Cel.  Auctor  hic 
ita  tra&at ,  vt  id  ad  iolutionem  generalem  proble- 
matis  de  cordis  vibrantibus  accommoelet.  Poftquam 
enim  motus  omnes ,  cuius  corda  tenfa  et  aequaliter 
crafla  eft  capax  ,  facili  conftructione  determinaflet  , 
plures  obie&iones  contra  hanc  folutionem,  a  more  Ana- 
lyfeos  folito  recedentem  ,  eft  expertus  ,  quarum  vis  eo 
potiflimum  erat  directa  ,  vt  ,  nifi  eordae  initio  eerta 
quaedam  figura  fuerit  indn&a  ,  eins  motus  nullo  plane 
modo  per  Anaiyfin  definiri  poffe  aifeueraretur  ,  quam- 
vis  negari  non  poffet  ,  ad  quamcunque  flguram  corda 
initio  fuerit  detrufa ,  ea  demiffa  certum  quendam  motum 
neceflario  fubfequi  debere.  Controuerfia  igitur  non  tam 
in  hoc  agitabatur,  quod  Au&oris  folutio  fit ,  erronea ,  fed 
quod  problema  ipfum  ita  fit  comparatum  ,  vt  nullam 
plane  iblutionem  admktat,  atque  adeo  nefts  fit,  folutio- 
nem  a  quoquam  tentari.  Facile  quidem  Auctor  conce- 
debat  ,  folutionem  a  fe  datam  a  confueto  more  huius- 
modi  problernata  refoluendi  difcrepare  ,  atque  adeo  vi- 
jres  .Analyfeos  adhuc  plerumque  excultae  fuperare,  fcilicce 

ideo 


ideo  ifta  Analyfeos  psrs  huiusmodi  quaeftionibus  foluendis 
non  fufrlcit,  quia  in  functionum  tantum  vnicae  variabilis 
inueftigatione  yerfatur ;  indeqne  -enim  certe  nunquam 
eiusmodi  folutionem  obtinere  licet ,  quae  curuam  quam- 
cumque ,  pro  lubitu  dudtam ,  nullaque  certa  lege  conten- 
tam  ,  quaHs  forte  cordae  initio  fuerit  imprelTa  ,  in  (e 
comple&eretur.  Verum  vel  hoc  exemplo  alterius  illius 
Analyfeos  partis  fupra  laudatae  vis  maxime  eluceti  ,  ex 
qua  fola  huius  problematis  folutio  eft  petenda.  Durante 
enim  cordae  motu  ,  internallum  ,  quo  punctum  eius 
quoduis  a  fitu  naturali  diftat  ,  re  vera  ,  vt  fun&io  dua- 
rum  variabilinm,  debet  tractari ,  quoniam  id  non  folum 
a  loco  pun<fti  in  corda,  fed  etiam  a  tempore  iam  elapfo, 
pendet.  Docuit  vero  Cel.  Auftor,  quoties  per  integratio- 
nes  ad  huiusmodi  funcxiones  deducimur  ,  tum  non  ,  vti 
in  integrationibus  vnlgaribus ,  quantitatem  confhntem 
arbitrariam  in  calculnm  inuehi.,  fed  eius  loco  adeo 
fun&ionem  arbitrariam  cuiibpiam  variabilis ,  quam  dein- 
ceps  hoc  cafu  chordarum  ita  determinari  oporteat ,  vt 
ad  flguram  illam  prorfiis  arbitrariam  ,  qnae  cordae  ini- 
tio  fuerit  inducta ,  accomrrodetur.  Quam  infignem 
obferuationem  cum  Auctor  poftmodum  demum  clarifTi- 
me  illuftraffet  ,  in  hac  disquifitione,  loco  cordae,  filum 
perfecte  ftexile  pondufculis  quotcunque  onuflum  ,  data- 
que  vi  tenfum  ,  confiderat ,  et  poftquam  fingula  pon- 
dufcula  a  fitu  naturali  pro  lubitn  vtcunqne  fuerint  di- 
du&a,  fubitoque  dimifta,  rnotum  eomm  fecuturum  dcter- 
minat  ;  quod  cum  flne  fubfidio  fublimioris  illius  Ana- 
lyfeos  partis  praefta*  i  queat  ,  fiquidem  fingulorum  cor- 
pufculorum  motus  feorfim  indagare  licet ,  ex  ipfa  (o~ 
Tom.IX.  Nou.Comm.  d  lutio- 


lutione  luculenter  apparet ,  motum  huiusmodi  fili,  quot« 
cunque  pondufculis  onufti,  femper  analytice  affignari  pofife, 
qnomodocunque    fingula  pondufcula  initio  a  fitu  naturali 
fuerint  deducta    Nunc  igitur,  tam  pondufcula,  quam  eorum 
interualla,  in  infinitum  diminuantur ,  vt  hoc  modo  corda 
contmua  craflitie    praedita    exoriatur ,    quo    facfto    nulli 
quoque  dubio  relinquetur  locus,  quin  huiusmodi  cordae 
motus,  poftquam  ipfi  initio  figura  quaecunque  fuerit  in- 
du&a  ,   per  Analyfin  determinari  poflfit.     Ad  hoc  vero 
necelTirio  altera  illa  Analyfeos  pars,  circa  fun&iones  bi- 
narum  variabilium  occupata,  requiritur,  neque  iam  am- 
plius  de  folutione  generali ,    quam    Au&or    pro    motir 
cordarum  vibrantium   'nuenit ,   dubitare  Iicebir.     Cacte- 
rum  inter  infinitos  motus ,    quos  tale  rllum    pondulculis 
onuftum  recipere   poteft ,    et    qui    pierumque    maxime 
funt  irregulares  ,  imprirnis  notafie  iuuabit  ,  dari  quoque 
motus  fpecies  regularesr  aequalibus  vibrationum  interual- 
lis  diftinctas ,  quae  propterea  fonos  determinatos   edant. 
Si  tam  interualla,  quam  pondufcula,  fint  aequalia,  fi  um 
duobus  onuftum  duos  fonos  edere  poteft  \  qui   funt   in- 
ter  fe  ,  vt  finus  angulorum  300    et    60°,  hoc  eft  ,  vt 
3   ad  V3  ;    filum    autem    tnbus    onuftum    tres    fonos 
edere  poteft ,    qui    funt  inter   fe  ,    vt  feries  angulorum 
22^®  45*.  et  671°',  quatuor  vero  pondufculis  onuftum  qua- 
tuor  lonos,  qui  funt,  vt  finus  angulerum  i&°.36°  $^9mj2\ 
et  ita  porro  ,  qui  ergo  foni  plerumque  funt  irraiionales 
inter  fe,  ac  propterea  maxime  difloni. 


IL 


n. 

De  motu  cordarum  inaequaliter   cras- 
farum. 

Audore  L.  Eulero  pag.  246". 

Notum  eft  inter  muficos  ,  cordas ,  quibus  in  inftru- 
mentis  muficis  vti  folent ,  fonos  harmoniae  aptos 
non  edere  ,  nifi  eae  per  totam  longitudinem  eandem 
vbique  habeant  craflitiem  ,  atque  a  cordis  inaequaliter 
craiTis  fonos  rudes  et  maxime  ingratos  produci ,  ex 
quo  huiusmodi  cordae  fallae  appellantur.  Quod  autem 
cordae  aequaliter  craflae  fonos  ad  muficam  idoneos 
edant ,  id  non  folum  indc  \enit ,  quod  earum  vibratio- 
nes  aequalibus  temporis  interualhs  abfoluantur,  ficque  (b- 
num  certi  tenoris  exhibeant ,  fed  etiam  potiilimum  eam 
ob  caufam  ,  quod  eadem  corda  pulfata  ,  praeter  fonum 
principalem  ,  fimul  alios  fonos  acutiores  auditui  perci- 
piendo  ofFerat,  qui  cum  principali  gratilTimam  harmo- 
niam  conftituant.  Huiusmodi  fcilicet  corda  pulfa  ,  prae- 
ter  (onum  principalem,  alii  foni,  cum  octaua,  tum  duo- 
decima  ,  porro  duplici  oclaua  ,  feu  decima  quinta  ,  ac 
denique  decima  feptima  altiorcs,  debiliter  quidem  ,  fed 
(atis  diftin&e ,  percipiuntur ,  qui  foni,  cum  ad  principa- 
lem  nnt,  vt  numeri  2 ,  3 ,  4. ,  5 ,  ad  vnitatem ,  egre- 
gia  harmonia  fenfum  auditus  permulcent.  Quomodo 
autem  hi  foni  ab  eadem  corda  fimul  producantur,  quo 
phaenomeno  plerisque  vniuerfa  motus  vibratorii    theoria 

d  2  euerti 


ti  •..#>£  )  o  (  ftg». 

euerti  eft  vifa  ,  primum  ab  acutifTimo  Geometra  Da- 
niele  Bernoulli  feliciiiime  eft  explicatum.  Qui  autem 
hanc  rationem  minus  perfpexerunt',  mira  myfleria  in 
his  fonis  ab  eadem  corda  fimul  eaitis  quaefiuerunt ,  iti- 
ter  quos  adeo  peritiifimus  rei  muficae  artifex  Gallus 
de  Rameau  principium  vniuerfae  harmoniae  in  hoc 
phaenorreno  fe  felidter  detexiffe  gloriatur.  Non  ideo 
icilicet  plures  fonos  fuauem  harmoniam  auribus  cxhibere 
arbitratur  ,  quod  vibrationum  eodem  tempore  editarum 
numeri  fimpiicem  ac  perceptu  facilem  inter  fe  teneant 
rationem,  quemadmodum  omnes  fcriptores  mufici  adhuc 
ftatuerunt ,  led  potius ,  euerfo  hoc  principio  indoli  vi~ 
brationum  innixo  ,  ideo  plures  fonos  nobis  placere  ,  fi 
ab  eodem  corpore  fonoro  fimul  excitari  queant :  hoe 
niodo  pntat  verum  harmoniae  principium  nobis  ab  ipfa 
natura  deelarari,  neque  id  alibi  quaeri  oportere.  Verum 
praeterquam  quod  fementia  recepta  eirca  harmoniae 
pnncipium  folidiflTimis  rationibus  fit  confirmata  ,  nequc 
ea  tali  phaenomeno ,  quod  ab  eodem  corpore  plures 
foni  harmonici  fimul  edi  queant ,  infringatur  •,  haec 
noua  opinio,  omni  ratione  deftituta,  penitus  refelletur , 
ftatim  atque  eiusmodi  corpora  fonora  in  natura  exiftere 
ollendentur  ,  quae  fimul  plures  fonos  minime  harmoni- 
co!»  edant.  Huiusmodi  autem  exempla  iam  in  fuperiori 
difTertatione  funt  prolata  ,  vbi  a  filo  pluribus  corpufcu- 
lis  onufto  eiusmodi  foni  diuerfi  edi  pofiunt,  qui,  dum  ne 
rationalem  quidem  rationem  inter  fe  tenent ,  maxime 
ab  harmonia  abhorrent  ,  euiusmodi  plurima  alia  exem- 
pla  in  corporibus  fonoris ,  veluti  campanis ,  laminis 
elafticis  f  aliisque  ,  in  medium  proferri   poflent.     Idem 

quoque 


-*!S  )  o  (  £«&••  *$ 

qaoque  fti  cordis  inaequaliter  craftis  plerumque  vfii  ve~ 
nit ,  quarum  motum  vibratorium  Auctor  in  hac  difier  - 
tatione  definire  eft  agguffus.  Verum  haec  inueftigntio 
tantis  implicatur  difficultatibus ,  vt  non  nifi  pro  certis 
inaequalitatis  legibus  expediri-  poffit  ,  idque  euenit  ob 
defe&um  illius  alterius  Analyfeos  partis  iam  faepius  me- 
moratae,  qiiae  circa  integrationem  functionum  duas  va- 
riabiles  inuoluentium  occupatur,  et  quae  minime  adhuc 
eousque  eft  exculta  ,  vt  cordae  ,  vtcunque  inaequ.ilitec 
crafiTae  ,  motus  vibratorius  inde  definiri  poffit.  Duos  igi- 
tur  tintum  cafus  Auctor  expediuit ,  alterum  ,  quo  cor- 
dae  craffities  fecundum  certam  figuram  conicam  varia- 
tur  ,  alterum  vero  ,  quo  corda  ex  duabus  partibus  di- 
fparibus  eft  compofita,  cuiusmodi  oritur^fi  duae  cordae 
ordinariae  ,  altera  craftior ,  altera  tenuior  ,  conne&antur. 
Talium  cordarum  motum  femper  tbre  maxime  irregu^ 
larem  ,  neque  idcirco  vlli  fono  mufico  edendo  aptum, 
obferuat  Auctor,  nifi  partium  longituda  reciprocara  te- 
neat  rationem  diametri  craflkiei ,  quo  folo  cafu  corda 
perinde  fonabit ,  atque  corda  vbique  aequaliter  crafla* 
Praeterea  vero  quoque  fub  certis  tantum  conditionibus 
vibrationes  ifochronae  na(ci  pouunt ,  quas  Auctor  ac- 
curate  inueftigat ,  ad  quod  cum  calculus  fatis  prolixus 
requiratur ,  quem  in  genere  expedire  haud  licet ,  cafuna 
euoluit ,  quo  ambae  partes  paris  fint  longitudinis ,  pon- 
dus  autem  alterius  altero  quadruplo  fit  maius  ;  calculo* 
que  abfoluto  inuenit  ,  talem  cordam  plures  fonos  fimui 
edere,  qui  fint  inter  fe,  vt  hi  numeri  0,304.08;  0,69591* 
1,304.08;  1,69591 ;  2,30408  etc.  qui  cum  fint  in~ 
commenfurabiles  ?  maxime  quoque  eruat  diflbni,  etiam 

4a  fk 


fi  ab  codcm  corpore  fonoro  firaul  edantur.  Deaique 
Auctor  iterum  ad  cordas  vtcunque  inaequaliter  craffas 
reuertitur  ,  atque  in  eos  cafus  inquirit ,  quibus  faltem  vi- 
brationes  ifochronae  produci  queant ,  poftquam  fcilicet 
corda  initio  certo  quodam  modo  fuerit  impulfa,  hocque 
fimilibus  cafibus  euenire  obferuat ,  quibus  aequationem 
Rictatianam ,  de  qua  fupra  eft  adum  ,  refoluere  licet. 


IIL 

Thermometri  metallici  defcriptio. 
i 
Au&ore  I.  E.  Zeihero  p.  305. 

Omnium  thermometrorum  ratio  huic  innititur  phae- 
nomeno  vniuerfali ,  quod  omnia  corpora  calore 
in  maius  volumen  expanduntur ,  frigore  autem  in  mi- 
nus  contrahuntur.  Quodfi  ergo  cuiusque  corporis  ve- 
rum  volumen  quauis  tempeftate  exactiflime  dimetiri 
liceret ,  mutatio  in  caloris  gradu  facta  inde  commode 
diiudicari  poffet ,  nihilque  referret,  fiue  corpns  illud  fb- 
ret  folidum  ,  fiue  liquidum  ;  etiamfi  forte  vera  caloris 
quantitas  perperam  incremento  volurainis  proportionalis 
cenfeatur.  Quantumuis  autem  iftud  thermometrorum 
principinm  firmum  videatur,  et  ad  fcopum  egregie  ac- 
commodatnm  ,  id  tamen  in  fe  fpectatum  omni  plane 
vfu  deftitueretur  ,  nifi  fingularis  conditio  ei  enet  ad- 
iunfta  ,  qua  fit  ,  vt  ab  eodem  caloris  gradu  in  diuerfis 
corporum  generibus  omnino  difpares   voluminis   expan» 

fiones 


•»&§  )  o  (  $£■  $i 

fiones  producantur,  quam  circumftantiam  auftores  non 
femper  fatis  follicite  perpendifle  videntur.  Quodfi  enim 
omnia  corpora  pro  ratione  magnitudinis  ab  eodem  gra- 
du  caloris  aequalia  voiuminij»  incrementa  accipercnt , 
nullo  plane  modo ,  nobis  quidem ,  has  mutationes ,  quan- 
tumuis  fuerint  magnae,  obferuare  liceret,  quandoquidem 
etiam  menfurae ,  quibus  vti  confueuimus  ,  parem  muta- 
tionem  fubirent,  ficque  perpetuo  ad  corpora  menfuranda 
eandem  rationem  coufemarent.  Neque  ergo  thermo- 
metra  vulgaria ,  etiam  in  maxima  tempeftatis»  commuta- 
tione ,  vllam  variationem  eflent  indicatura  ,  fi  vitrum 
pari  expanfioni  a  calore  oriundae  efiet  obnoxium,  atquc 
liquor  in  eo  contentus.  Ex  quo  haec  thermometra 
eatenus  tantum  variationi  caloiis  ic  frigoris  indicandae 
funt  apta ,  quatenus  liquor  ,  quo  tubi  vitrei  cum  bulla 
fubnexa  implcri  folent  minorem  mutationem  a  calore 
patitur  ,  quam  ipfum  vitrum  r  qum  etiam  necefle  eff, 
vt  mutatio  vitri  muko  fit  minor  r  quam  liquoris ,  quia 
alioquin  effectus  pirum  eflet  fenfibilis.  Hoc  iderw  ergo 
quoqtie  de  corponbus  folidis,quae  ad  fimilem  efle&um 
producendum  fuerint  adhibenda ,  ent  tenendum ,  vt  fci- 
licet  parittes ,  vel  alius  generis  fuftentacula  ,  iuxta  quae 
menfura  inftitui  debet,  multo  minus  a  calore  afficiantur, 
quam  virgae  illae  ,  vel  bacilli ,  ex  quorum  expanfione 
gradum  caloris  diiudicari  oportet.  Plunbus  igitur  ex- 
perimentis  cdoclus  obferuauit  folertiflimus  Auctor,  in  hunc 
finem  optimo  fucceflii  bacillos,  feu  cylindros,  metallicos 
adhiberi  pofle,  inter  quos  argenteos,  feu  faltem  cupreos, 
cligendos  pouflimum  arbitratur,  quod  non  folum  a  ca- 
loris  mutatione  infignem  vaiiationem  accipiant,  ied  etiam 

prae- 


Pf  *%*§   )   O    (    Jfegc* 

praegrandern  caloris  gradum  fiae  fufione  fuftinere  queant. 
Tum  vero  modum  excogitauit ,  plures  huiusmod  cylin- 
dros  ita  inter  fe  adaptandi ,  vt  mutationes  ope  ve&ium 
indicandae  taudem  quantumuis  magnae  reddantur  ,  ne- 
que  vero  et  hunc  efTe&um  expecfari  pofTe  euidens  eft, 
nifi  paries,  vel  fulcrum,  in  quo,  tanquam  corpore  flxo,, 
hypomochlia  illorum  ve&ium  conftituuntur  ,  multo 
minorem  expanfione.ni  ab  au#o  calore  patiantur.  His 
circumftantiis  probe  perpenfis  nullum  eft  dubium  ,  quin 
huiusmodi  noua  thermometra  rnetallica  aeque  commode 
ad  tempeftatis  mutntiones  indicandas  vfurpari  queant , 
^tque  vuigaria ,  fiue  fpiritu  vini,  fiue  rnercurio,  impleri 
folita. 


IV. 

Thermometrorum  punftis  conftantibus 
gaudentium  emendatio. 

Au&ore  I.  E.  Zeihero  p#  314. 

Nimis  faepe  euenire  foJet  ,  vt  cum  thermometra 
omni  cura  fuerint  conftrucTa,  ac  praecipue  fcalae  di- 
•vifionum,  in  tabulis  metallicis  nitidilTime  elaboratae,  tum, 
difradto  forte  tubo  \itreo  ,  omnis  opera  pereat,  neque 
eadem  fcala  deinceps  iterum  ad  fimilem  (copum  adhi- 
ben  pc»lTit.  Graduum  tnim  in  fcala  exfcuiptorum  ma- 
gnitudo  ita  pendet  a  ratione,  quam  tubi  amplitudo  tenet, 
pd  bulbi  capacitatem  ;  vt  nifi  in  ducbus  huiusmodi  in- 

flru- 


«#l|  )  °  (  §*3~  3$ 

fkumentis  haec  ratio  exactiflime  fuerit  eadem  ,  quod 
certe  ranflime  contingit  ,  eadem  iis  inferuire  nequeat. 
Hinc  Cl.  Audor  remedium  ingeniofe  excogitatum  pro- 
ponit  ,  quod  in  hoc  confiftit  ,  vt  tubo  thermometrico 
loco  bulbi  vitrei  capfula  ferrea  adaptetur ,  quae  ope 
cochleae  ipfi  infertae  facile  ita  parari  poteft  ,  vt  eius 
cauitas  pro  lubitu  ampliari  et  coarftari  queat.  Sic  enim 
paucis  experimentis  inlhtutis  haud  difficulter  ea  capaci- 
tas  capfuke  definietur,  quae  ad  tubi  amplitudinem  rcla- 
ta  praecife  eandem  graduum  magnitudinem  exigit,quae 
defideratur  ,  eique  proinde  fcala  iam  confefta  optimo 
lucceflu  adiungi  queat  ,  fi  modo  tantum  liquoris  infim- 
datur  ,  vt  vnicus  temperiei  gradus  re&e  dcfignetur. 


Emendatio  Microfcopii  Solaris. 
Au£tore  F.  V.  T.   Aepino  pag.  316". 

OSie&orum  minimorum  per  microfcopia  folaria,  qua- 
lia  adhuc  ab  artificibus  funt  conftructa  ,  repraefcn- 
tationem  pluribus  vitiis  efle  inquinatam,  vel  inde  intel- 
ligitur  ,  quod  cum  radii  lucidi  per  ipfa  obiecta  trans- 
mittantur ,  horum  forma  eatenus  tantum  in  imagine 
exprimatur,  quatenus  ipfa  funt  pellucida,  ita  vt,  fi  hac 
proprietate  carerent ,  nulla  prorfus  repraefentatio  effice- 
Torru  IX.  Nou.  Comm.  e  retur. 


34-  -^l   )   O  (  Se#» 

retur.     D^inde  ob  eandem  rationem  ,  quod   radii   fola- 

re*  t  q.ii  ad  illuminationem  adhiberi  folent ,   per   ipfam 

quafi  tubftantiam    obieclorum    r.r.mfire    debent,    infignes 

rifradtiones  p.uiuntur ,  quibus  fit  ,   vt  irmgines  intolera- 

bilibus   iridis   coloribus    circumfufae    exhibeaotur.       Hoc 

fcilictt   vitio  microfcopia  ob  ingentem  fpeciei     multipli- 

cationem   multo  magis  premuntur,  quam  laternae  magi- 

cae  ,   quarum    conftructio    certam    rationem  fcqui  folet. 

Vtrumque    auttm    horum    inftrumentorum    genus    Cel. 

lulerus  ab  hoc    mgenti    vitio    feiiciter    liberauit ,    dum 

eiusmodi    ftrudturam    docuit  t  qua  obiectorum    maxime 

opacorum  imagines,  tam   per  microfcopia  folaria,quam 

per  latern-aS  magicas,fine  vlla  confufione  nitidiftime  re- 

praefentantur ,  dummodo  fufficicnti    luminis    copia   lllu- 

ftrenrur  ,  quod  egregium  inuentum  in  Tom.    III.    Nou. 

Comment.     Ac  demiae    noftrae   ita    accurate  extat  ex- 

plicatum  ,    vt   huitMrnodi     inftrumenta   a    folerti     artifice 

hiud   dirficuker  confici  poffint,       iVlaximum   autem    ad 

hunc     fcopum     adiumentum     Cel.     huius    differtationis 

Auctor  attulilTe  rrento    eft    cenfendus ,-  dum    vulgaria 

microfcopia  folaria,  ope  leuis  mutationis  in  eorum  ftru- 

<ftura  faciendae  ,  ad  hunc  nouum   vfum     transferre    do- 

cuit  ,  neque  vllum  eft  dubium  ,    quin    duabus  pluribusue 

lentibus     adhibcndis     repraefentatio     adhuc     praeftantior 

obtineri    polTit ,    quem    fummum    perfe&ioiris    gradurrm 

Auctor  pollicetur. 


VL 


VI. 

Difiertatio    de   Experimento    quodam 
magnetico. 

Au&ore  F.  V.  T.   Aepino  pag.   326". 

Additamentum  ad  praecedentem   Dis- 
fertationem  auftore  eodem  p.  340. 

Virtute  magnetica  impraegnatur  fllum  ferreum  non- 
folu;n,cum  ad  polos  magnetis  afFricatur ,  fed  etiam 
dum  quodam  interuallo  remotum  fuper  ambos  polos 
traducitur.  Quod  cum  olim  diligentidimus  naturae 
fcrutator  Gallus  Du  Fay  plurimis  experimentis  eflet 
prolecutus  ,  infigne  ac  maxime  mirandum  phaenome- 
num  obferuauit  ,  quod  poli  magnetici  ,  qui  filo  ferreo 
in  minori  dirtantia  (uper  polos  magnetis  traducto  im- 
primuntur ,  iidem  in  maiori  dirtantia  ita.  inter  fe  per- 
mutentur  ,  vt  qui  terminus  in  minori  diftantia  naturam 
poii  borealis  effet  nadfcus ,  idem  in  maiori  diftantia  ad 
polum  auftralem  dirigeretur.  Qiiod  phaenomenum  cum 
omni  Theoriae  ,  quae  quidem  ad  magneticos  effectus 
explicandos  excogitari  queat  ,  maxime  aduerfari  videa- 
tur  ,  Cel.  Auctor  in  eo  eft  occupatus ,  vt  eius  egre- 
gium  confenfum  cum  ea  Theoria  ,  quam  nuper  circa 
vires  magneticas  et  eltdtricas  protulit  ,  dilucide  de- 
monftret.  Qnem  in  finem  fupponic  ,  vires  attra- 
hentes  et  repellentes  amborum  cuiusque    magnetis    po- 

e  1  lorum 


3  6  «93  )  o   (  |ef~ 

lorum  in  vnicam  punetum  coadhs  efle  ,  et  rationem 
fequi  inuerfam  diftantiarum  ,  indeque  euenire  pofle 
per  calculum  omni  rigore  geometrico  inftitutum  often* 
dit ,  vt  ab  iflis  viribus  coniunctis  in  maiori  diftantia 
omnino  ei  contrarius  producafur  efledtus,  qui  alias  in  di- 
ilantia  minori  exeratur.  Deinde  animaduertit ,  quod  etfi 
adfumtae  hypothefes  natune  minus  (Tnt  confentaneae ,  et 
etiamfi  verae  vires  roagneticae  ab  hac  lege  difcrepent, 
fimilem  tamen  effe&nm  inde  refultare  debere  ,  in  quo 
haud  debile  Theoriae  fuae  firmamentum  fitum  efle  con- 
tendit.  Iungit  tum  huic  diflertationi  fupplementum  exi- 
mium  ,  in  quo  multa  alia  expcrimenta  noua  ,  Fqyano 
non  abfimilia  ,  a  priori  ex  theoria  fua  praeudfa,et  ex~ 
perientiae  penitus  confona  ,  recenfet  et  explicat. 

VIL 

Cogitationes  de  aggeribus  conftrnendis, 
Au&ore  L.  Eulero  pag.  352. 

Ti  prouinciis  maritimis  haec  quaeftio  maximi  eft  mo- 
*  menti  ,  vbi  littora  aduerfus  fluftuum  impetum  ag- 
geribus  muniri  oportet  ,  quorum  tam  exftru&io ,  quam 
conferuatio,  ingentes  fumtus  pcftulat.  Antequam  igitur 
huiusmodi  opus  fufcipiatur  ,  foliicite  eft  difquirendum  , 
vtrum  reditus  ex  terns  hoc  modo  munitis  percipiendi 
expenfus  ad  aggeres  requifitas  fuperent  ,  nec  ne  ?  Nifi 
enim  cultura  terrae  plus  fructuum  affexret,  de  aggerum 

ex,- 


-»¥.%  )  o  (  $?§-  37 

extniclione    cogitan^um  ne   qu'dem  fbret.     Tum  vero 
etiam  imprimis  eft  perpendendum  ,  fi  littorum  ora  fue- 
rit  valde  irregularis  et  finuofa,  minime  efle  confultum  , 
aggeres  iuxta  ipfam  littoris  figuram  duci,fed  potius  prae- 
ftare,  vt  aggeribus  a  littore  reductis   forma  commodior 
tribuatur.     Quanquam  enim   hoe    modo    minor    terrae 
tractus  inckuiitur  ,   vnde  pnpterea  minores  fructus  per- 
cipiantur  ,  tamen  fieri  pottft  ,    vt  hnec  iaftura    aggeris 
contra&ione  ob  multo  minores  iumtus  in  eius  extructio- 
nem  requifitos  largiter    compenfentur.       Semper    igitur 
haec  quaeftio  diiigentifllme  euolui  meretur ,  qua  quaeri- 
tur  :  quomodo  data  littoris  cuiuspiam  figura  aggeres   iif 
eo  fint    conftruendi  ,   vt    frudus    ex    terra    percipiendi 
maximo  lucro  excedant  fumtus  in    aggerum    tam    ex- 
tructionem ,  quam  conferuationem ,  impendendos ,  in  qua 
difquifitione  focile  intelligitur  faepius-   euenire    pofle  ,     vC 
maxime  expediat   minorem   terrae  portionem  hoc    mo- 
do  muniri  ,  lucrumque  inde   expectandum    ob    aggeris 
diminutionem  muko  maius  efle  aeftimandum.     Ad  hu- 
iusmodi  ergo  quaeftiones  enodandas  ante  omnia  expendt 
oportet :  primo,  quantas  expenfas  exftructio  aggeris  da- 
tae  longitudinis,  veluti  vnius  perticae,  poftulet;  fecundo3 
quantum  ad  conferuationem  talis  portionis  aggeris  quot- 
annis  requiratur  ,  quos  annuos  fumtus,  ranquam  vfuram, 
ad  fortem    fixam  reuocari  ccnuenit ,    quibus-    coniunctis 
totum  pretium  vnius  perticae  aggeris   habebitur ;  tertio 
vero    ad    fertilitatem    et    vfum    terrae    muniendae    eft 
ipectandum  ,  vt  pateat ,  quantos  frudus  a  quahbet  per- 
tica  quadrata  quotannis  expeclari    liceat,    quos    pariter 
ad  fortenK  fixam  reduci  conuenier.     His  rebus  accurate 

e  3,  de- 


38  ->ga>§  )  o  (  £&«■ 

determinatis  quaeftio  ad  meram  Geometriam  et  Aoa 
lyfin  reuocatur  ,  cuius  tamen  refblutio  ingentem  circum- 
fpectionem  poftulat  ,  ideo  necerTariam  ,  quod  aggeres 
qmdem  quantuiruis  intra  continentem  reduci ,  neutiquam 
vero  vltra  extremam  littoris-  oram  extendi  licet.  In 
proainciis  etiam  aggeribus  iam  mnnitis  haec  eadem 
quaeftio  faepius  occurrere  folet  ,  quando  fcilicet  flnctus 
marini  fenfim  tantum  terrae  vltra  aggeres  alluunt  ,  vt 
operae  pretium  vidtatur,  hanc  notiam  terram  nouo  ag- 
gere  cingi  ,  et  in  vfum  conuerti.  Qiiod  cum  non  ita 
pridem  in  prouincia  Germaniae  maritima  contigerit » 
atque  haud  leuis  controuerfia  circa  noui  aggeris  extru- 
dionem  fuerit  orta,  et  ad  Audorem  delata,  anfam  ei 
praebuit,  hoc  argumentum,  quod  faepius  fummum  vfum 
hdbere  poteft  ,  accurate  pertra&andi. 


PHYSICA. 


PHYSICA. 

i. 

Ad  Ob^eruationes  et  Experimenta  de 
Mercuno  ex  fcriptis  Rermanni  Boerhaue. 
Supplementum  I.  receniente   Carolo 
Friderico  Kruje  p.  381.. 

Si  quis  Chemicorum  naturam  mirabiiis  metalli  Mcp» 
curii  (  quidni  enim  metallum  dicamus ,  quod  no- 
ftra  aetate  a  frigore  ambiente  condenfari  ,  et  iterum  ab 
augmento  caloris  fluidum  fieri  experti  fumus  ?  )  intelli- 
genter  ac  indefeflb  ftudio  explorauit  ,  is  certe  eft  vir 
fummus  ,  in  arte  ialutari  et  hermetica  communis  Me- 
dicorum  praeceptor,  immortahs  Hermannus-  Bo.erhaue*. 
Fidem  faciunc  huius  aflerti  (cripta  eius  cum  Regia  Sci- 
entiarum  Academia  Paiifienfi  ,  et  cum  Societate  Regia 
Londinenfi  communicata.  Stupendo  labore  ,  conftantia 
Herculea,  per  XV..  annos,  vno  igne  ,  Mercurium  tor- 
fit ,  naturam  variis  artificiis  folliciuuit ,  immo  coegit  # 
vt  vei  lrnitta  fecreta  ipfi  fiu  reuelaret.  SuperaddMir 
praeterea  IV.  annorum  labores.  Perrexit  emm  m  hac 
opera  ,  qm>ad  vixit  ,  ita  vt  nil  dici  poflit,  qnod  lpnus 
experimentij>  et  obferuationibus  aequiparari  queat.  Felici 
Chemicae  artis  ,  imo  vniuerfae  talutaris  doctrinae  ,  fa- 
to  ,  fadum  eft,  vt  fcripta  viri  immortalis  T  typis  nqn- 
durn  exfcripta  ,  poflquam  ab  Hermanno'  et:  Abrahamo^ 
Kaau -,.  fratribusj  Boerhauiis,  iu  Rufliarrr  periata  cttent^ 

haer«> 


haereditaria  pofteiTione  cefiferint  Viro  Illuftri  Carolo  Fri- 
derico  Krufe  ,   AVGVSTAE    orrnium    RuiTiarum    1M- 
PERATRICIS  Archiatro  ac    Confiliario    Status  aftuali  , 
Academiae     Imperialis    Scientiarum     Socio ,    Hermanni 
Kaau  Boerhauii  genero  ,  qui ,  _quod  Abtahamus   animo 
conceperat ,  at  immatura   morte  facere    prohibitus    eft  , 
fcripta   "Boerhauiana  ,  publico  errolumento  frudens ,    fin- 
gillatim  edet.     Primum  hoc  *  quod   praedicamus ,   fpe- 
cimen    oftendit ,    quid    inpofterum  expeclare   debeamus. 
Academia  non  poteft  non  lubenter  recipere   et  in  publi- 
cum  vfum  emittere  fcripta  viri ,    quem  inter    Collegas 
quondam  fuos  numera.fle  honori  fibi  ducir.     Scopus  tan- 
torum  Mercurio  impenforum  labonim  hic  fuit,  vj  con- 
ftaret ,  quid    de  promiiTis  Alchemiftarum  ,   fixationem , 
folidationem  ,   transformationem  ,   Mercurii    iaetantium  , 
fperare  fas  fit.     Si  ,     qnod    nonnullis    placet ,    primum 
fauorabiliter  fenfit  de  via  ,    Mercuni  ope ,  ad  magnnm  , 
quod  \ocant ,  opus  ducente  .   procul  dubio  ad  mirabiles 
huius  metalli  qualitates  refpexir ,    quae  quo    diificiliores 
ef&nt  explicatu  ,  eo  magis  inducere  debuerunt  fincerum 
atque  yeritatis  amantem  virum  ,  vt  non   omnem   pror- 
fus  fidem  denegaret  exemplis ,    de    metallo    hermetica 
arte  parato  afferri  folitis.    Philofophi  eft  in  dubium  vo- 
care  ,  quae  non  intelligit  ,   aut  quae    explicare    nefcit ; 
negare  non  item.      Ad  hoc  requiritur  ,  vt  impoflibili- 
tatem  demonftrare  valear.     Id  autem  eft  ,  quod  millies 
et   nouies  repetita  experimenta  Philofophum  docuerunt. 
Obferuauit  namque,  Mercurium,   varias  licet  induentem 
perfonas ,  aft  re  ipfa  immutabilem  ,    vehementiorc   ni- 
jpirum  ignis  actione,  in  priftinam  femper  formam  redire. 

Er&o 


«R3    )   O   (   fgKh  41 

Ergo  non  inntiliter  operam  fuam  colfocaffe  eft  cenfendas 
magnus  Boerhauius  \  in  periculofo  mari  fyrtes ,  ad  quas 
multi  bonorum  fiiorum  naufragia  fecerunt  ,  euitare  do« 
cuit :  vtilius  fane,  quam  fi  podibilitatem  transmutationis 
Mercurii  in  aurum  oftendifiet  ,  aut  fi  ipfum  aurum,  in 
perniciem  aliorum  et  fui ,  conficere  docuiffet. 

II.  et  III. 

Obferuationes     meteorologicae 

annis  1757    et  1758.  Petropoli  fa&ae, 

cum  animaduerfionibus  et  con- 

ie&ariis. 

Auftore  T.  A.  Braun  p.  392.  et  440. 

De  ipfis  obferuationibus ,  Tt  quae  eadem  methodo , 
iisdemque  ac  praecederrtes  inftrumentis ,  funt  infti- 
tutae  ,  nil  dicere  attinet.  Operae  autem  pretium  eft , 
fingularia  quaedam  notatu  digna  huc  transferre. 

Anno    1757. 
Altitudo  Barometrica,  maxima  ex  omnibus,  quae 
Petropoli  obferuatae  fuerunt ,  hoc  anno  fuit, 

29.  ii  poll.  Parif. 

30.  35    —  Lond. 

Calor  maximus  97  grad.  therm.  Delisliani  hoc    aeque 

ac  fequente  anno  obferuatus  cfi; ,    qui  aequalis  eft  calori 

Tom,  IX.  Nou.Comm.  f  hominis 


4*  «>¥.%  )  °  (  §£t"» 

hominis  narurali  et  fanguinis  in  homine  fano.  Calor 
fere  perpetuus  per  totam  aertatem  ac  intolerabilis.  Se- 
renitas  dierum  per  totum  annum  extraordinaria. 

Anno  1758. 
Calor  maximus  f  etiamfi  calori  praecedentis  anni 
aequalis  fuit  ,  minus  tamen  frequenter  accidit.  Menfe 
Iulio  nullum  tonitru  ,  quod  latis  infolitum.  Copia  plu- 
•viae  per  omnem  aeftatem  16  poll.  Parif.  quod  etiam 
infolitum  ,  quare  a  nimia  humiditate  annona  multa  et 
fo^num  periere.  Declinatio  magnetis ,  vt  fere  femper 
folet  4^°  W.     Macuiae  in  ioie  copiofilTimae. 

Tempus  medium  ,  quo  glaeies  Neuae  fluuii  folui 
folet ,  eft  circa  d  8  Aprilis ,  congelationis  termmus 
medius  circa  20  Nouembris ,  monftrante  thermometro 
Dclisliano  166  gradus,  fi  quidem  hoc  fngus  per  aliquod 
dies  durat. 

IV. 

Defcriptionis  Pifcium  rariorum  e  Mi*- 

feo    Petropolitano    exceptorum  conti- 

nuatio. 

Auftore  L  T.  Koelreuter  p.  420. 

Sex  pifces  funt ,   eadem  methodo  ,    ac  ifti  in  praece- 
dente  volumme  ,  defcripti ,  nempe  : 

Cyprinus  pinna  caudae  horizontali  9.  fiibtriflda  * 
dorfuali  faftigata  ,  paruula. 

Gobio 


»♦>!  )  o  (  &§«*  43 

Gobio  pinna  ventrali  fubrotunda  ,  acetabuliformi  , 
«  duobus  pedunculis,  odoque  radiis ,  vaide  ramofis, 
compofita. 

Gobio  pinna  dorfuali  vnica ,  longa  ;  pectoralibus 
ktiflimis,  acetabulum  planiufculum  includentibus. 

Sparus  duabus  vtrinque  maculis  notatus  ;  primo 
pinnarum  ventralium  radio  longiflimo  ,  aftaci  antennam 
referente. 

Labrus  valde  oblongus ,  taeniis  tribus  candidis , 
diuerfae  longitudinis ,  infignitus ,  cauda   integra. 

Scomber  dorfi  anique  pinna  continua  ,  aculeis  ad 
vtriusque  initium  accefiforiis. 


f  a  ASTRO^ 


ASTRONOMICA. 


Obferuationes  aliquot  a^ronomicae  et 
meteorologicae ,,  Lipfiae  habitae 

a  Godofh   Heinfio  p.  473. 

arias    continet  hoc   a  CL  Heinfio    ad    nos   traas* 
mifTum  fcriptum  Obferuationes,.  (eparatim  hic  ia- 
dicandaso. 

D.  24.  Ian.  ftyl.  nou.  An.  1758.  Eclipfin  Lu- 
nae  totalem  obfbruabat  CL  Vir  ,  quae  vero  Obferuatio 
per  intercurrentes  nubes  ,  et  male  terminatam  ,  prac- 
fertim  fub  initium  ,  vmbram  telluris ,  turbata  quodam- 
modo  fuit.. 

D.  z6.  Ian.  eiusd.  anni  poft  merid.  hora  circ.  a| 
occupatus  erat  in  capiendis  altitudinibus  Solis  correfpon- 
dentibus  ,  atque  direxerat  quadrantem  ita  ,  vt  linea 
fiduciae  n°.40|/'.  refponderet..  Pronus  ad.  contadrum 
iam  erat  cum  filo  tubi  horizontali  Solis  nubi  denfiori 
inuoluti  fuperior  limbus ,.  cuius  admodum  exigua  portio 
infia  filum  horizontale  adhuc  perfiftere  videbatur ,  fru- 
ftra  vero  per  aliquod.  tempus  ipfius  conta&us  celebra- 
tionem  exfpe&abat.  Per.  20  enim  minuta  fecunda 
nulla  fenfibilis  huius  portionis  imminutio  ,  nullus  fenfi- 
bilis  accefiiis  limbi  ad  filum  ,  obferuari  poterat  ,  vsque 
dum.  tandem  17"  ferius,  quam  fieri  debuifiet,  contactus 

confc- 


confequeretur.  Inufitata  haec  a  nube  interpofita  pro- 
ducta  irregularis  refraclio  (  pro  huius  enim  efTedtu  fine 
dubio  hoc  phaenomenon  habendum  eft )  cautos  reddere 
debet  Aftronomos ,  ne  per  nubes  captis  altitudinibus 
affrorum.   coecam    habeant  fidem. 

Cum  Anno  1753.  d.  17.  Apr.  ft.  nou.  Lunae 
partialis  obfcuratio  contingeret  ,  ob  varia  incommoda 
non  nifi  finerrr  Eclipfeos  annotare  potuit  Cl.  Auclor  v 
quem  confequutum  effe  8*  35I'.  fufficiente^  cum  certi- 
tudinc    ftatuere.  fe-  pofle  putat.. 

D.  21  Iun.  Annos  1757.  Z^S^.ss".  emer« 
gentem  poft  Lunae  difcum  ftellam  ,  primae  magnitudi- 
nis  ,  Cor  Leonis  vocatam ,  vidit  Cl.  Heinfius ',  et 
d  10  Iulii  eiusdem  anni  9*".  31'  2.0",  fecundi  Satel- 
litis  Iouis  emerfionenr  totalem  annotauit. 

Tndicauit  etiam  Cl.  AucHor,  vifam  a  fe  An.  1*756* 
vltimis  Septembr.  primisque  O&obr.  diebus  Venerem 
inrerdiu  ocuiis  nudis,  per  duas  tres  ve  horas,  poft  Solis 
ortum,  vt  anno  1748.  in  Obferuationibus  ad  Academi- 
am  miflls,  et  in  Tom.  III.  Comm.  noftrorum  euulga- 
tis,  praedixerat  ,  ac  denique  obferuitiones  quasdam  me- 
teorologicas  communicauit,  ex  quibus  patet  ,  maximum 
calorem  aeftiuum  ,  barometrique  altitudinem  mediam 
Lipfienfem  ,  Petropolitanis  fere  aequari ,  Petropoli  ve- 
ro  barometrum  ab  hoc  termino  vtrinque  notabiliter  lon- 
gtus  excurrere  ,  quam  Lipfiae  fieri  folct. 


r$  ie 


**  «£18  )  o  (  |g«. 

II. 

Obferuatio  Eclipfeos  Solaris.,  quae  con- 

tigit  Anno  1758.  d.  j|.    Decemb.    ha- 

bita    Petropoli 

ab 

A.  N.  Grifchow  pag.  486. 

Doft  indicatas  obferuationes ,  pro  examinando  motu 
■*-  horologii  penduli  inftitutas ,  finem  huius  Eclipfeos 
contigifle  9*.  36'.  45"  -  -  -  -  pb.  $i(.  o".  (htuit 
CJ.  Auctor.  In  limite  i^'.  dubiam  reddiierunt  hanc 
obferuationem ,  fumus  focorum  atque  vapores  vndantes, 
qui  aerem  inquinabant. 

III. 

Inftrumentorum  Aflronomicorum,  Re- 

ticulo,  aut  Micrometro,  inftru&orum  s 

noua  emendatia 

Au&ore  F.  V.  T.  Aepino  pag.  428. 

/^V>mmoditati  obferuatoris ,  vt  in  imaginanda  inftru- 
\&  mentorum  aftronomicorum  conftrtictione ,  profpi- 
ciatur  ,  res  eft  maioris  momenti  ,  quam  ad  primum 
intuitum  videri  poflit  ,  cum  obieruationum    fides    atque 

acumen 


*»Hf  )  °  (  %&*  4-7 

acumen  manifefto  inde  patiantur ,  fi  atTumere  aut  diu 
feruare  incommodum  corporis  fitum  cogitur  Aftrono- 
mus. 

Laborant  incommodo  tali  inftrumenta  aftronomica 
micrometro  praedita  ,  confueto  more  conrtructa  ,  quocl 
obferuator  ipfis  vtens ,  fi  ad  obiectum  fuper  horizon- 
tem  valde  eleuatum  ipfa  dirigit  ,  reclinare  caput  atque 
corpus,  immo  fupinum  interdum  fitum  aflumere  debeat. 
Conatur  ipfa  ab  hoc  defe&u  liberare  Q.  Au&or ,  ope 
fpeculi  metallici  plani  ,  quod  tubo  non  longe  a  foco 
vitri  obie&iui  inclinato  ad  axem  vifionis  fitu,  ita  infe« 
rendum  ert  ,  vt  radii  per  axm  tubi  mcecentes ,  in  di- 
rectione  horizonti  parallela  ab  ipfo  refiliant.  Imponit 
autem  prouti  auctor  monet ,  nouum  hoc  inftrumento- 
rum  additamentum  ,  nouae  verificationis  necemtatem 
Aftronomo,  quae,  qua  ratione  commode  perfici  queat^ 
fub  finem  expomt* 

IV. 

Obferuatio  Eclipfeos  Lunae  d.  18.  Maii 
ft.  v.  Anno  1760.  Petropoli  habita. 

Au&ore  N.  Popow^  Andr.  Krafilnikow 
et  Nie.   Kurganow  pag.  492. 

OS^eEuatum  eft  initium  huius  Eclipfeos  i  i^.iS^.477^ 
circiter ,  finis  vero  i2&.  4/.  ^i/y.  cum  alfquibas 
momentis  aliis ,  quorum  tamen  nullum  praeter  finem  ? 
fotis  fecurum  eft ,,  vti  obferuatores  declarant, 

Ad- 


Adiunxerunt  Cl.  Pfl/ww  et  Krafilmkow  obferua- 
.tionem  initii  Edipfeos  Solaris  eod.  anno  d.  *.  Iunii 
,ft.  v.  vifae,quod  9&.  i'.  44/V  accidiffe  CUtuitur. 

*V. 

Eclipfis  Solis    Lipfiae    vifa   hor.   rnat. 
d.  13.  Iunii  ftil.  riou.  Anno  1760. 

Au&ore  G.  Heinfio  pag.  494. 

Eiusdem  huius  Eclipfeos  fimiliter  non  nifi  initium  vidit 
Clar.  HeinfmS)  quod  ftatuit  cecidifle  in  7*-25y  S4-"* 
tam  exa&e  ,  vt  ingrefius  Solis  in  difcum  Lunae  ad  in- 
jtans  quafi ,  in  oculos  incurreret. 

VL 

Obferuatio  Eclipfeos  Lunaris  d.  ~.  Maii 

1761.  habita  in  Obferuatorio  Imper. 

Petropolitano. 

Au&ore  F.  V.  T.  Aepino  pag.  495. 

Praeter  -initium  et  finem  Eclipfeos ,  difcique  Lunae 
immerfionem  totalem  ,  atque  emerfionis  initium  , 
praecipuarum  quoque  macularum  immerfionem  et  emer- 
iionem  ex  vmbra,  annotauit  CL  Au&or ,  qui  monet , 

ob 


**»  )  *  (  %&«»  49 

ob  vapores  denfos,  ac  forte  crepufculum,  de  immerfionc 
et  emerfione  macularum  fe  ipfum  per  minutum  di- 
midium  immo  vlterius  inter  obferuandum  dubium  hae- 
filfe ,  reliquis  vero  momentis  maiorem  fidem  adfcribit. 
Tam  denfa  erat  vmbra  terreftris  ,  vt  per  fa£ 
longum  tempus  penitus  quafi  Luna  ex  coelo  euanefce* 
ret  ,    neque    vllum  ipfius  veftigium  fupereffet. 


Ad   Noua  A&a   Petropolitana  Acad, 

Scient.  Tom.   ]II.   Additamentum  ex 

Sinis  P.  Antonii  Gaubil  S.  I.  p.  499. 

Ohferuationes  fatellitum  Iouis  pro  determinanda  Io» 
corum  pofitione  Geographica  (edulo  ac  follerter 
inftituere  ,  fuprema  Obleruatoribus  Aftronomis ,  qui  S'u 
biriam  et  Kamtfchatkam  peragrarunt ,  lex  fuit.  Dolen- 
dum  autem  ,  non  valde  multas  obferuationes  huius  ge~ 
neris ,  et  publica  luce  dignas ,  ad  Academiam  perue- 
niffe  ,  quod  vtrum  praematurae  morti  Viri  Cl.  Ludouici 
De  Tlsle  de  la  Croyere  d.  x.  OcTrobris  1741  in  Kam- 
tfchatka  extincti  ,  an  aliis  caufis ,  adfcribendum  fit ,  non 
inquirimus.  Palmam  reliquis  praeripere  vifae  funt  ob- 
feruationes  a  follertilfimo  obferuatore  Krafilnikouio  ha- 
bitae  ,  quare  in  Vol.  III.  Nou.  Comment.  typis  ex- 
fcriptae  funt ,  addita  collatione  cum  fimilibus  in  fpecu- 
la  Aflronomica  Petropolitana  inftitutis  obferuationibus , 
Tom.IX.Nou.Comm.  g  vncte 


vnde  differentia  temporis  Petropolin  inter  et   vark    Si"« 
biriae.  et  Kamtfchatkae  loca  patefcit. 

Affc  dices ,  ipfius  Petropoleos  Longitudo  adhuc 
quidem  dubia  videri  poteft  ,  quia  tnfariam  notata  re- 
pentur ,  et  vtra  determinatio  reliquis  praeferenda  fit  , 
non  Jiquet.  Tom.  I.  Comment.  pag.  48°-  habetur 
47°.  57'.  3G/X.  in  Syllabo  Long  et  Latit,  Atlanti 
Ruftko  praefixo  extat  47*-  497-  et  ex  Ephemeridibus 
Aftronomicis  Parifienfibus  colligitur  ?  effe  tf.S^-iS"- 
Hic  occafioue  notare  iuuabit,  vltimam  determinatio- 
nem  ,  fecundum  obferuationes  b.  Grijcbouii  fa<fhm  efife 
videri ,  quia  in  differtatione  Tom.  VIII.  Nou.  Comm. 
inferta  p.  434..  differentiam  temporis  Petropolin  inter 
et  Parifios  eandem  ,  quam  Ephemerides  Pirifienfes  no* 
bis  exhibent  ,  affumfit ,  nimirum  :  ih.  52'.  Dum  au- 
tem  Grifchouium  nominamus ,  cuius  obferuationes  quantst 
accuratione  fe  commendare  foleant  ,  nemo  ignorat, 
maximam  fimul  conciliamus  huic  determinationi  au&o- 
ritatem.  Ideoque  ,  interea  dum  Obfcruatores  noftri 
Aftronomi  certius  quid  hac  de  re  ftatuent  ,  non  dubi* 
tamus ,  longitudines  locorum  ex  obferuationibus  Krafil' 
nikouii  pofita  long.  Petrop.  47°.53/-45//-  iequentem  ia 
snodum  ftabilire  : 

Kirenskoi  oftrog     -     -     -■     i2  5*-3<J/.30//.. 

L«kuzk    ------     147.  14.  45. 

Portus  Petri  Pauli  -     -     -      176".     8.  45. 

BoKcherez^oi  oftrog     -     -     *74-  52«    0° 

Ochozkoi  oftrog     -     -     -     160.47.15.. 

ludomskoi  kreft      •  •-     -     157.27.15. 

Tomsk  ----»-     102.  33,  150, 

Addi* 


«4*3  )  o  (  &•<-  fi 

Addimus  longitndinem  Caftelli  Iamyfchewskaia  ,  quae  , 
cum  differentia  meridianorum  eiusdem  et  Petropoleos  , 
fecundum  obferuationes  Krafilnikouii  ^a  b.  Grijcbouw 
quondam  ftatuta  fit  4-3°- 47'-  erit  9^-  4°'-  45" 

His  praemonitis,  difpiciamus  nouas  locorum    de- 
terminationes ,  quas  R.  P.  Gaubil  in   hoc   additamento 
siobis    offert.       Comparauit    obferuationes    Krafilnikouii 
cum  aliis  eodem  tempore  Pekini  et  in  ftatione  Galiica 
Chandernagor  ,    quae  ad  Gangetis  fluuii  oftium  in    In- 
dia  orientali  exftat ,  inftitutis ,   difTerentiamque  temporis 
annotauit  ,    quae  quidem  opera  iuperuacanea  videri  ne- 
quit ,  tum  quod  confirmantur  inde  politiones  fupra   dc- 
terminatae  ,  tum  quod  duorum    locorum    determinatio- 
nes  adduntur,    quorum    obferuationibus   correfpondente 
ante  non  extabant.     Sciendum  autem  ,  quod  ex  Ephe- 
meridibus  Parifienfibus  conftat ,  Pekinum  et  Parifios  dif- 
ferentiam  temporis    76-  36;.  io/;.    intercedere  ,    Chatt- 
dernagor  Parifiis  $b.  ++'.  37".  diftare.     Iam  pofita  lon- 
gitudine  obferuatorii  Parifienfis  ,   vt  ex    nouiffimis    ob- 
feruationibus  ftabilita  eft  iq'.  53'-  45"    emergunt  inde 
longitudines  pro 

Ilginskoi  oftrog     -     -     122*. 30'.  o". 

Olecminskoi  oftrog     -     137-  4  45« 

Iakuzk        -     -     -     -     14.6".  x 3.    7- 

Portus  Petri  Pauli 

cx  obf.  Pekin.        «     *7&    4.15. 
ex  obf.  Chandern.-     176.28.31. 

Bolfcherezkoi  oftrog  -     i74-12-    °- 
Vbi  obferuationes ,  fi  illas,  quae  vrbem  Iakuzk  concer- 
«urtt ,  excipias ,  fic  fatis  cum    fuperioribus    confentiunt. 

g  2  Lati- 


54° 

4^ 

57- 

47. 

6o. 

22. 

62. 

2» 

60. 

5. 3;". 

59- 

20. 10. 

52. 

54-30. 

53* 

.   1.  20. 

$6 

29.  58. 

51. 

53.  10. 

.  P. 

Gaubil  Pekini  in 

i    eft    3  9°.  5  5 '.  2 1 ''. 

5*  *•« )  o  (  §-€§<• 

Latitudines  recenfitorum  ha&enus  locorum  fecun« 
dum  eiusdem  Krafdnihuii  obferuationes  hae  funt  : 

llginskoi  oftrog       -     - 

Kirenskoi  oftrog      -     - 

Olecminskoi  oftrog 

Iakuzk  -     -     -     - 

ludomskoi  kreft       -     • 

Ochozkoi  oftrog      -     - 

Bolfcherezkoi  oftrog 

Portus  Petri  Pauli 

Tormk         -     -     -     - 

Iamyfchewskaia  Caftellum 
Notari  meretur  aititudo  Poli  a  R. 
Collegio  Gallico  obferuata  ^  quae 
Ephemerides  Parilienfes  habent  39*.  54'-0''  quae  qui- 
dem  latitudo  competit  Collegio  lefuitarum  Lufitanorum 
et  Germanorum  ,  vt  infra  adparebit. 

Finit  R.  P.  Gaubil  additamentum  fuum  obfer- 
vatione  de  fitu  vrbis  Aigun  ,  qua  error  circa  pofitio- 
nem  huius  vrbis  in  Atiante  RulTico  commiflus  cor» 
rigitur.  Ex  re  fane.  Attamen  difritendum  non  eft , 
eundem  errorem  nos  quoque  animaduertifle ,  et  in  Tabula 
accefliones  Geographicas  in  vltima  Expeditione  Kam» 
tfchatkienfi  detectas  repraefentante  ,  ratione  habita  At- 
lantis  Sinici  a  Celeb.  DanviJ/e  euulgati ;  correxifTe. 
Eft  autem  Aigun  ,  vel  Aiiunchun  ,  vetus  nomen  caftri 
cuiusdam  deferti ,  vallo  ex  terra  congefto  muniti  ,  et 
dimidio  fere  milliari  a  Seiae  ,  vel  Dfiae  ,  fluuii  in 
&murem  oftio ,  fecuudis  aquis ,  diiiiti.      Hoc  cum  Si- 

nenles 


nenfes  faeculi  fuperioris  octogefimo  tertio  anno ,  feruente 
cum  Rutfis  bello  ,  infederint ,  duobus  annis  poftea  ex 
oppofito  illius ,  aut  paullo  infra  ,  ad  ripam  Amuris  me- 
ridionalem  .  vrbem  Sagalin  -  Ula  -  Choton  ,  Tti  in  Cel. 
Danvi/H  Tabula  Geographica  videre  eft  t  exaediflca- 
runt.  In  noftra  Tabula  nomen  Aigun  adfcriptum  eft  , 
quia  ita  quoque  vrbs  Sinica  communiter  adpellari  folet. 
Ipfe  quoque  R.  P.  Qaubil  non  vetus  caftrum  defertum, 
ied  vrbem  a  Sinis  inhabitatam  *  iub  nomine  Aigun  ia- 
-tellexifle  videtur. 

VIII. 

MercLirius    in    Sole   obferuatus  Pekini 

Sinarum  Anno  1755.    d.    y.  Nouemb. 

a  P.  Augujlino  Hallerftein  S.  L  p.  503. 

Nm  haec  prima  eft,  quam  ex  Sinis  habemus,  Mer- 
curii  in  Sole  vifi  obferuatio ;  namque  iam  annis 
fuperioris  (heculi  90  et  97  eundem  tranfitum  Cantoni 
et  m  \rbe  Tfchaotfcheu  contemplatus  eft  P.  Fontenay  S.  I, 
cnius  obferuata  in  Memoriis  Academiae  Panfienfis  ex« 
tant  \  aft  prima  eft  atque  palmaria  haec  obferuatio  y  U 
indefeflum  Auctoris  ftudium  ,  fi  inftrumentorum  apti- 
tudinem  ,  fi  laborum  fuccefius  fpcctes  ^  prima  ,  quam 
doctiflimus  Auctor  ex  ditiflima  penu  obferuationum  ftia* 
rum  aflronomicarum  ,  quam  praelo  parat  ,  excerpfit , 
et  cum  Academia  communicauit.  Pergunt  nimirurn 
eodem  femper  ftudio  lefuitae  in  Sinis  aftrorum  icientiam 

g  3  *• 


9*  *#§  0  »  (  &?<• 

Dbferuationibus  fuis  locnpletare  ,  cognitionem  fyftematis 
noftri  Solaris  ,  terreftrisque  glcbi ,  amplificare  ,  et  per- 
fediorem  reddere.  Quod  nifi  effet  ,  multa  fatie  in- 
cognita  nobis  manfiffent ,  quae  illorum  ope  comperta 
habemus  atque  explorata.  Vnum  dicam  ,  quod  vtilita- 
tem  obferuationum  Sinenfium  ctere  oftendit.  Innumera 
phaenomena  coeleftia  contingunt ,  dum  atra  nox  tegit 
Europam,  eadem  autem  in  extremitate  Afiae,  in  Sinis, 
expertnm  ac  fedulum  obferuatorem  non  efFugiunt.  Huc 
quoque  pertinet  obferuatus  in  Sinis  Mercurii  fub  Sole 
tranfitus  ,  qui  7.  Nouembris  1756.  accidit.  Hunc  irt 
Europa  totum  confpicere  non  licuit,  quoniam,cum  inci- 
peret  ,  Sol  adhuc  fub  horizonte  morabatur.  Perfedho- 
rem  autem ,  quam ,  <]uae  hoc  loco  exhibetur ,  obfer- 
Tationem  ,  vix  Aftronomi  defiderabunt.  Praeter  initium 
atque  finem  huins  phaenomeni  exadle  notata  ,  Mercu- 
rii  fub  Sole  incedentis  58  loca  determinauit  R.  Au- 
£tor  ,  capiendo  Micrometri  ope  differentias  declinatto- 
num  ,  et  ex  appulfibus  ad  horarium  differentias  afcen- 
fionum  redarum  deducendo.  Eft  autem  R.  Pater  Au~ 
guftinus  Eallerftein  Tribunalis  mathematici  in  Sinis  Prae- 
les  ,  PP.  Adami  Schall  ,  Ferdinandi  Ferbieftii  et  Igna* 
iii  Koegleri  dignus  fucceffor ,  vir  ,  cuius  fingnlarem 
eruditiorem  ,  humanitatem  et  ardorem  in  bonas  artes , 
ex  commercio  epiftolico  ,  quod  nobis  cum  ipfo  inter- 
cedit ,  hac  occafione  data  ,  encomio  celebrare  ,  ofiicii 
x&tio  poftulat 


INDEX 


INDEX 

COMMENTARIORVM. 


Mathematica. 

L  Euleri ,  De  Relolutione  Formularum  quadraticarum  in- 

determinatarum  per  numeros   integros  p.   3. 
Eittsdem  ,  De  progreflionibus  arcunm  circularium  ,  quo- 

rum  tangentes  fecundum   certam   legem   proce- 

dunt  p    40. 
Eiusdem,  Specimen  Algorithmi  fmgularis  p.  53« 
EiusdemDe  Refolutione  aequationum  cuiusuis  gradusp.70. 
Eiusdem  ,   De  numeris  primis  valde   magnis  p.  99 
Eiusdem  ,  De  Refolutione  aequationis  dy+ayydx-bx^dx 

pag.   i54- 
Eiusdem  ,  Inueftigatio  funttionum  ex  data  difFerentialiura 

conditione  p.  170»- 

Phyfico  -  Mathematka. 

X.  Euleri  ,  De  motu  vibratorio  fili  flexilis ,  corpufculis 

quotcunque  onufti  p.  215» 
Eiusdem^t  motu  vibratorio  cordarum  inaequaliter  crauV 

rum  p.  246« 
Xeiheri,  Thermometri  metallici  defcriptio  p.  305. 
Eiusdem,  Thermometrorum  puntfis  conftantibus    gauden- 

tium  emendatio  p.  3X4« 
Aepini  ,     Fmendatio  Mkrofcopii  Solaris  p.   31^ 
Eiusdem  ,  Diflfertatio  de    Experimento   quodam    magne- 

tico  p.   325.     Additamentum  ad  praeccdentem 

Diflertationem  auctore  eodem  p.   34° 
IL.Lukri,  Ccgitationes  de  aggeubus  conftruendis  p.  352. 

fhyfwa* 


Pbyfica. 

Ad  Obferuationes  ct  Experimenta  de  Mercurio  ex  mano 

fcriptis  Hermanni    Boerhaue    Supplementum  I. 

recenfente  Caroio  tYidenco  Krufe  p.   3S1. 
Braunii,  Obferuationes    meteorologicae    annis    1757  et 

1758    Petropoli   factae ,  cum  animaduerfionibus 

et  confcdtariis  p.   392.  et  400. 
Koelreuttri,  Defcriptionis  Pifcium  rariorum  e  Mufeo  Pe- 

tropolitaao  exceptoium  continuatio  p.  420. 

AJi r  onomi c  a. 

Heinfii  ,  Obferuationes  aliquot  aftronomicae  et  metcoro- 

logicae  ,  Lipfiae  habitae  p.  4-73. 
Crifcbouii,  Obferuatio    Eciipfeos    Solaris ,    quae    contigit 

Anno  1758.  d.  J§.  Decemb.   habita   Petropoli 

pag-  480". 
Aepini  ,  Inftrumentorum    Aftronomicorum  ,    Reticulo  , 

aut  Micrometro ,  inftructorum  ,   noua   emenda- 

tio  p.  488. 
Obferuatio  Eclipieos  Lunae  d.   18.  Maii    ft    v.    Anno 

1760.  Petropoli  habita  a  N.  Popow,  Andr.  KrafiU 

nikow  et  Nic.  Kurganow  p.  492. 
Heinfii)  Eclipfis  Solis  Lipfiae  \ifa  hor.  mat.  d.  13.  Iunii 

ftil.  nou.  Anno  17^0.  p.  494. 
Aepini ,  Obferuatio  Eclipfecs  Lunaris  d.   /„.  Maii  176*1. 

habita  in  Obferuatorio  Imper.  Petropolit.  p.  49C*". 
A*  Gaubily  Ad  Noua  Ac*ta  Petropolitana    Acad.    Scient. 

Tom.  III.   Additamentnm   ex  Sinis  p.    499. 
Hallerjlein,  Mercmius  m  Sole  obferuatus  Pekini   Sinarum 

Anno  1756.  d.  7.  Nouemb.  p.  503. 


*** 


MATHE- 


MATHEMATICA. 


Tom.  IX.  Nou.  Comm.  A  DE 


DE 

KESOLVTIONE    FORMVLARVM 

QVADRATICARVM    INDETERMINATARVM 
PER  NVMEROS  INTEGROS. 

Au&ore 
L.     EVLERO, 

Problema    L 


p 


ropofita  formula  irrationali  V  {axx-\- $x-\-y*) 
inuenire  numeros  pro  x  fubftituendos ,  qui  eani 
rationalem  reddant. 

Solutio. 


Ante  omnia  notantum  eft ,  hanc  inueftigationern 
fruftra  fufcipi  ,  nifi  vnus  faltem  cafus  conftet ,  quo  ea 
fiat  raiionalis.  Ponamus  crgo  hoc  euenire  cafu  x=za» 
coque  efie  : 

l/{a.aa~\-$a-\-y)~b 
ita  vt  b  fit  numerus  rationalis.     Huinsmodi  autem  cafas, 
vnico  cognito,  innumerabiles  alios  ex  eo  deriuare  licet. 
Ponatur  in  hunc  finem 

x=za-±-mz  et  V(axx-\-fix-\-y)?-:b~\-tiz 
A  1  et 


+  DE    RESO  LFTIONE 

et  hac  aequatione  quadrata  fit : 

-\-a.aa-\-  ia.maz-\-a.mmzz  zr-bb-\- 2nbz-{-  nnzz 

-+    [2a-\-   $mz 

4-  y. 

Cum  iam  per    hypothefin    fit    ££=r  a 0*7-4- (3tf+-y  , 

reliqua  aequatio  per  z  diuifa  dabit : 

2ama-i-pm-\-ammz  —  !inb-t-nnz 
ex  qua  elicitur  : 

2gTTta  —  ?n6-+-  p  m 

nit — «mm 

Quo  valore  fubftituto  concludimus : 

fi  ponatur  x~{nn+*mm^r™^mm 

fore  y<«pjr+pi+.V)=  ■pMVi!SSg=tt=tf^ 

Quicunque  ergo  numeri  pro  m  tt  n  accipiantur  ,  ex 
cafu  cognito  :  "/(atftf-r-ptf-r-Y)—^»  infinitis  aliis 
modis  formula  V(a.*.r-+-  (3a"-t-  y)  rationalis  effici 
poteft,  et  quia  numerum  b  tam  negatiue,  quam  afrirma- 
tiue,  aflumere  licet,  exploratis  numeris  a  et  b,  ac  pro 
ubitu  affumtis  numeris  m  et  ny  capiatur 

m (nn~j-cimm)a j^  imnb-\-$m,Tn 

x —  7i«  —  xmm 

eritque  : 

V(g^+px+Y)=i£!!^«":)M'',> 

Scholion. 

2.  Ad  hoc  ergo  problema  foluendum  necefle  eft> 
vt  aliunde  vnus  faltem  cafus  fit  cognitus,  quo  fbrmula 
propofita  fiat  rationalis.  Neque  vero,  pro  huiusmodi 
cafii  explorando  vlla  certa  regula  praefcribi  poteft ,  cum 

etiam 


FORMVLARVM.  5 

etlam  dentur  ciusmodi  formulae  ,  quas  nullo  plane  cafu 
rationales  fieri  poffe  demonftratum  eft.  Si  enim  verbi 
gratia  haec  formula  V (  $xx-\-  2  )  proponeretur  ,  cer- 
tum  eft  ,  nullum  nnmerum  rationalem  pro  x  inuenki 
poflfe,  quo  ea  fieret  rationalis.  Quanquam  autem  fatis 
noti  funt  caius ,  quibus  formula  axx-\r$x-\-y  talis 
reduclionis  eft  capax  ,  quippe  quod  euenit  ,  quoties  in 
hac  formula  generali  {px  -\-  q  f  -\-{r  x  -\~  s)(tx-\-u) 
continetur:  tamen  hic  non  curo ,  vnde  cafus  ille  ,  quem 
cognitum  aflumo  ,  fit  hauftus ,  fiue  certa  quadam  ra 
tione  ,  (iue  diuinatione  innotuerit.  Verum  cum  cogni- 
to  vno  cafu  inuentio  infinitorum  aliorum  nulla  laboret 
difficultate  ,  hic  potiftimum  ad  folutiones ,  quae  nume- 
ris  integris  abfoluuntur ,  refpicio.  Cum  enim  valores 
pro  x  inucnti  per  fractionem  exprimantur  ,  noua  iam 
oritur  quaeftio  ,  quomodo  numeros  m  et  n  afliimi  opor- 
teat  ,  vt  inde  numeri  integri  pro  x  obtineantur. 

Problema     II. 

3 .  Si  a  ,  (3  ,  y  fint  numeri  integri  dati ,  inue- 
nire  numeros  integro*  pro  x  fumendos ,  qui  formulam 
axx-\-fix-\-y  quadratam  reddant. 

Solutio. 

Iterum  aflumo  vnum  numerum  integrum  a  con- 
ftare  ,   qui  qiuefito  fhtisfaciat ,  ita  vt  fit : 

V  (aaa-{-fia-\-y)~b 
ac  modo  vidimus , 

&  fumatur  x^ -^=^«5 *— ! 

A  3  fore 


6  t)E    RESQLFTIONE 

forey(a.ra'  +  p^  +  y)-5-^^^^)^to 

Supereft  ergo  tantum  ,  vt  videamus  ,  cuiusmodi  numeros 
pro  m  et  n  affumi  oporteat ,  vt  hae  formulae  inte- 
gne  euadant.  •  Quod  quidem  llatim  fieri  perfpicuum 
cft  ,  fi  vtriusque  denominntor  nn  -amm  ftatuatur  vnitati 
aequalis.     Sit  igitur  nn  —  ammzzi ,   feu 

nnzzzamm-\-  i  >  ideoque  nzzV (amm-\-  i ) 
-nifi  autem  fit  a  vel  numerus  quadratus  ,  vel  negatiuus  , 
huic  formulae  femper  fatisfieri  poteft  \  fin  autem  fit 
vel  quadratus,  vel  ncgatiuus  ,  ne  problema  quidem  pro- 
pofitum  refoluere  iicet.  Etfi  enim  quandoque  duo  plu- 
resue  cafus  aflignari  queant  ,  tamen  infiniti  non  dantur, 
cuiusmodt  tamen  hic  euolui  conuenit.  Sit  ergo  a  nu- 
merus  integer  pofitiuus  non  quadratus ,  ac  femper  nu- 
meri  ;;/  et  n  affignari  pollunt  ,  vt  fi.it  nzzV[amm-\-i) , 
jquod  etfi  infinitis  modis  fieri  poteft  ,  tamen  furlicit 
minimos  folos  nolTe.     Erit  ergo 

x zz ( nn -\- amm)a  -\-  2 mn^ ~+"  Pf"M  et 
V(zxx-\-  p^-|-  y  )zz  2  amna  4-  [nn  -\-  amm)b-\-  $mm , 
ficque  habetur  nouus  cafus  qnaeftioni  fatisfaciens.  Ex 
hoc  vero  fimili  modo  ,  quo  is  ex  a  et  b  prodiit ,  no- 
vus  deriuabitur ,  hincque  porro  continuo  alii  in  infini- 
tum.  Ponantur  enim  valores  hoc  modo  pro  x  oriundi 
fuccefliue  :  #,  alt  al\  ain,  etc.  refpondentes  vero  valores 
formulae  V  (axx-\-^x-{-y)  fint  by  b\  bl\  Fl  etc. 
ac  fequenti  modo  bini  quiquc  pofteriores  ex  biois  an- 
tecedentibus  definientnr , 


a> 


F  0  R  M  V  L  A  R  V  M.  7 

a%  ~z(rtft-\~amm)a  ^imnb  -\-$mm\  bx  ~iamnd 

-h  ( n n -h  <x mm ) b  -\-  fim n 
&u  z=z{nn*\-*mm)ax  3^2  mnbl-\-  ^mnt^  bll~i  amna1 

-h  (nn-\-amm  )bl  -\-  (3  m  n 
a^zzz^nn-^-amm^a^^zmnb^-^-^mm^  bmzziamnaxl 

^h  (nn-\-amm)bll-\- (3 m n 

etc. 

Hac    igirur    fatione    continuo    vkerius    progtedi    licef  ^ 

ficque  ex  Vna  folutione,  in  numeris  integns  cognita,  in« 

fiumerabiies  aliae  in  mrmeris  integrte   quoque   elicientur» 

Coroll.     t. 

4.  Vt  igitur  formula  axx~\-$x-\-y  infinitfc 
modis  in  numeris  integris  quadratum  effici  poffit ,  rte* 
teflfe  efi,  vt  a  neque  fit  numerus  quadratus ,  neque  ne- 
gatiuus,  ac  praeterea,  vt  vnus  cafus,  quo  ea  flt  quadra- 
tum,  vndecunque  fit  cognitu?. 

CorolL     2. 

£.  At  fi  a  fuerit  rtumerus  pofitiuus  non  quadra-. 
tps,  tum  primum  quacrantur  duo  numeri  m  et  ft.  vt  fic 
nzzzV('amm-\-i  ),  id  quod  femper  fieri  poteft.  Qiri- 
feus  inuentis ,  fi  ponanrr  : 

V  ( ax x  H-  p>  -f-  y )  ~y 
atque  iam  cognitus  fuerit    cafus>   quaeftioni    fatisfaciens^ 
qui  fit  x—  a  tt  yzzzb  r  ex  eo  per  primam    operatio- 
nem  non  forum  vnus  ,.    fed  duo    noui  y  inuenientur  ob 
figni  ambiguitatem.    Erit  quipper 

xzz:{nn-\~  amm)a  ■+_  zmnb-\-fimm'  et 
jzzzzamna ^(nn-\r  ctmm)b-\-  $mn* 

ComVL  3* 


S  BE    RESOLVTIONE 

Coroll.     5. 

6.  Si  fumantur  tantum  fignorum  nmbiguorum  fupe- 
riora  ,  vt  continuo  ad  maiores  numeros  fatisfacientes 
perueniamus ,  atque  yalores  pro  x  hoc  modo  fuccefiiue 
prodeuntes  defignentur  per  a,  a\  a11,  am,  alv  etc  va- 
lores  autem  pro  y  refpondentes  per  b,  ft,  bllt  bm,  £ivetc. 
erit : 

a1  zz.(nn-\-amm)a~\-2.mnb-\-$mm\  bl  ~iamna 

-\-(nn-\-amm)b-\-  fimn 

a11  -zz(nn-\~amm)al-\-2.mnb1-\-$mm\  bu  zzz  lamna1 

-\-(nn-\~  amm)fi-\-$mn 

e^zzz^nn -\-amm)all~\-2 tnnbll-\-$mm\  bm—  iamna11 

-f-  (n  n-\-  a  m  m)  b11  -\-  fimn 
erc. 

Coroll.     4. 

7.  Dupliccm  ergo  hinc  progteflionem  numerorum 
4,  a\  «",  am,  a™  etc.  et  b  b\  b11,  bu\  blv  etc.  adipifci- 
mur ,  quarum  vtriusque  continuatio  ab  vtraque  pendet, 
vtraque  tamen  ab  altera  ifta  feiungi  poteft  ,  vt  termini 
vtriusque  fenfim  fine  adminiculo  alterius  ccntinuari 
queant ;  formabitur  autem  tutn  in  vtraque  ferie  quili- 
bet  terminus  ex  binis  praecedentibus. 

Coroll.     5. 

8.  Si  enim  in  Yalore  an  pro  bl  efus  valor    fub- 
(lituatur ,  habebitur : 

a^zzz  (nn-\-amm)  a1\-^aminya-\-o.mn(nn-\-amm)b 

-\-  2$mmnn-\-$mm 
Verum 


FORMVLARVM.  9 

Verum  ex  valore  ipfius  al  eft  : 

2mnbzz  al—  (nn-{~amm)a-fimm 
quo  valore  ipfius  2 mnb  ibi  fublV.tuto  prodibit: 
allzz  (n  n-\-amm)  a1-}-^  a  m  m  n  n  a 
-\-(nn~\-amm)al  —  (»  n-\-am  m)  za—$mm'.n  n-\-  a  mm) 

H-2 fimmnn 
-\-$mm. 
At  ob  nnzzamm-\-i  ,  eft  ^.ammnn  —  {nn-\- amrnf 
zz--(nn-ammy—-i,  et  2$mmnn-§mm[nn+amm) 
zz^mm(nn  —  amm)zz^mm^  vnde  fit : 
allzz2(nn-\-amm)al—  a-\-  nfimm. 

Coroll.    6. 

9.  Cum  igitur  fimili    modo  fit  : 
am  zz  2  (n  n  •+  a  m  m  )aJI  -  al-\-2  (3  m  m  etc. 

Statim  atque  in  ferie  a,  a\  an,  am  etc.  duo  primi    ter* 
mini   habentur  ,    primus  (cilicet  a  vndecunque  ,    et  fe- 
cundus  ex  fbrmula  alzz[nn-\-amm)a  -\-2 mnb-\-$mmy 
ex  his  fequentes  omnes  per  has  formulas   definientur : 
a11  zz  2  (nn-\-amm)al  ~a    \-2$mm 
alllzz2(nn-\-amm)all  —  al  -\-  2$mm 
/-2(««  +  a/^«)tfni-«M-  2$mm. 

Coroll.     7. 

10.  Pari  autem  modo  progreflio  numerorum 
b,  V-y  Z>",  bm  etc.  eft  comparata.  Primo  enim  eius  ter- 
mino    aliunde    cognito  ,    et    (ecundo    per     formulam 

Tom.IX.Nou.Comm.  B  bl 


lo  DE   RESOLFTIOUE 

blzz2amna-\-(nn-\-amm)b-\-fimn9  fi  in  b11  pro,  a1 
valor  fubftituatur  ,  erit : 
bllzzL2.amn{nn-\-amm)a-\-^ammnnb-\-^a^mzn 

-\-{nn-\-am  m)bl  -\-fimn 
at  ex  valore  ipfius  bl  eft  2.amnazzbl-(nn-\ot.mm)b-$mn 
quo  fubftituto  fit  ob  nn  —  ammzz.i 

bn  zz  2  (n  n- f-  amm)bl  —b  fimiliterque 

P11  =:a(»»  +  aw m)  b11  —  bl 

biyzz.  z(nn-\-amm)blw-$l 
etc 

CorolL     S. 

xi.  Cum  igitur  vtraque  feries  ita  fit  comparatav 
tft  quilibet  teiminus  ex  birris  praecedentibus  fccundnm. 
eertam  legem  definiatur  ;  vtraque  feries  erit  recurrens  , 
fcala  relationis  exiftente  2.(nn-\-  amm)9  —  i.  Hinc 
ergo ,  formata  aequatione  zzzza(nn-\-amm)z—i^  eiu6 
radices  erunt  : 

zzlz 2 nn—  i  -h  -nV(n n—  i)~(» 4^ mVa)% 

CorolL    9. 

12.  Hinc  ergo  ex  doctrina  ferierum  recurren- 
tium  progreftlonis  a,  a\  an,  am9  alw  etc.  terminus  qui- 
cunque  indefinite  per  fequentem  formulam  exprimetur  : 
(5  -4r  h + &  (n+mVay  4(5+  £  -  zjr^n-mV*)"-  *-* 
alterius  \ero  feriei  £,  Z»1,  tf*j  £IH  etc.  terminus  quicunque 
per  hanc : 

fiimto  pro  v  numero  quocunque  integro. 

Scholion. 


FORMFIARVM.  rs 

Scholion. 

13.  Si  hic  pro  2v  fubftituamus  fuccefliuc  omncs 
flumeros  integros  o,  1,  2,  3>  4»  5  etc.  vtraque  pro* 
greffio  prodibit  interpolata  ,  cuius  termini  medii  quae- 
fito  aeque  fatisfacient ,  dummodo  fuerint  integri.  At 
reperiemus :  pofito 

av=l;  x  —  na-^-mh-^-^—^^ 

2vzz2-  xz=z(nn  -\-  am7n)a  ~t-  2mmb-{-'fimmo7 

y-h 

yzznb-\-a.ma-\- •  -~ 

y~(nn-\-a?nm)b-\-2.a.mna-\-$mn. 

Quae  vtraque  feries  eft  recurrens  ,  (calam  relationis  ha- 
bens  2  n ,  —  1 ;  ac  pro  priori  quidem  valorum  ipfiu* 
X,  fi  terni  termini  confecutiui  fint  P,   Q. ,  R ,  erit 

R  =  2»(i-P-f-^--,; 

at  fi  in  progreflione  valorum  ipfius  y  terni  termini    fe 
ordine  fequentes  fint  P,  Q  et  R ,  erit 
R=:2.nQr-?: 

Quodfi  ergo  fuerit  ^f~  numerus  infeger ,  omnes  hi 
termini  problema  aeque  refoluent ,  ficque  duplo  plures 
obtinebimus  folutiones ,  quam  methodus  adhibita  fuppe- 
ditauerat.  Quod  autem  plures  locum  habere  polfint 
(blutiones,  quam  inuenimus,  inde  ficile  colligitur,  quod 
praeter  neceflitatem  primum  erutarum  formularum 
nn—amm  vnitati  aequalem  pofuimus ,  cum  tamen  fine 
dubio  iaepe  etiam  numerator  per  denominatorem   diui- 

B  2.  di 


12  DE    RESOLVTIONE 

di  pofiit,  etiamfi  hic  vnitate  fit  maior-  Qnemadmo- 
dum  igitur  omnes  plane  folntiones  in  numeris  integris 
inueniri  queanc  ,  fequenti  problemate  accuratius  exa- 
niinemus. 

Problema     j; 

14.  Si  a  fit  numerus  integer  pofitiuus  non   qun 
dratus  ,  dato  vno  nnmero  integro  a>  qui  pro  x  pofitus 
reddat  formulam  axx-h^x-\-y  quadratam  ,  inuenire 
inflnitos  alios  numeros  integros ,  qui  pro  x  (umti  idem 
fint  praeftituru 

Solutio. 

Ponatur  in  genere  V  (cmw -h  (3  .v -+-  y)=yr  cafa 
autem  cognito,  quo  x  —  a,  eiTe  Viaaa+fia  +  y)—^ 
ntque  hinc  in  genere  fradionibus  non  exclufis  fbre  vi~ 
dimus : 


X 

=? 

(Ti  n  •+■  «  m  m)  a  -f- 

jm?iJ  +  [3 

m  m 

(«  n-j-  a 

nn  —  amm 
m  m)b  -+-  2  a.mna  ■+■ 

(3  m  71 

nn 

amm 

Iam  quidem  ,  vt  hi  numeri  fiant  integri ,  non  abfolute 
necefle  ell,  vt  denominator  nn—cimm  ad  vnitatem  re- 
yocetur,  verum  fufEcit,  vt  fratfiones  *SS  et  ^ 
in  numeros  integros  abeant.     Ponamus  ergo  e(Te 


n  n  —  amm 


—  Pt  et    nn  —  amm  —  4 


Wkfitp-i  =,-££-;-«  ;ideoque 

771  771  —    »P^ 

Deiude 


fimm J3    ,  P  tti % t 

ia— «TTi"»  —  aa'r"~I/    ^   n  n  —  a  rz»  771 —  »p£» 


FORMVLARVM.  13 

Deinde  antem  ex  formulis  aflumtis  fiet 

.  .  («  n  -\-  x  m  m)z  —  +  a  m*  n2 

pp-aqqzz lnT=Zm~W~~  =?  x 

ita  vt  fit  ppzzaqq-\-\   et  />=z  V(a^^-f-  i). 
Iterum    igitur    vt    ante  ex  numero  a  binos  numeros  p 
et  ^  aflignari  oportet  ,    vt  fit  p  —  y(a£#-H  i)  ,    qui- 
bm  inuentis   habebitur  : 

xzzpa-hqb-t-^ip-i)  et  yzzzpb-\-aqa-\-\$q. 
Dummodo  ergo  fuerit  3^(/>-i)  numerus  integer  ,  hi 
valores  fatisfaciunt.  Quia  autem  numeros  p  et  q  tam 
negatiue,  quam  pofitiue,  fumere  licet ,  hae  formulae  in- 
fiiper  tres  alias  foJutiones  fuppeditant: 

^—  P*-9fc'££pr**)i  etyzzpb-aqa-ipq 
xzz-pa-\-qb-z\(p-^i)^  ttyzzz-pb  +  aqa+\$q 
xzzi-pa-qb-^(p-\-i)r  ety=z-pb-aqa-\$q 

Quod  fi  porro  horum  bini  quicunque  pro  a  et  b  aflii- 

mantur ,  ex  quolibet  quatuor  nouae  folutiones  orientur. 

Hinc  tarr.en  non  6iy  fed  tantum  fex  diuerfae  oriuntur, 

inter  quas  adeo  prima  cognita  xzz. a  et  yzzb ,  et  quae 

huic  efl:  affinis  xzzz—a— %t  et  yzzb  continentur  r  reli» 

quae  vero  quatuor  funt 

x=z(pp-+-aqq)a:h2pq&-\-pqq; 

fz=(pp-\-aqq)b-\z  zapqa-^fipq 

x=-(pp-\-  aqq^a+ipqb-^pp',. 

yzz.(pp-\-aqq)b  ^-zapqa  +  fipq 

ex    quibus    deinceps    nouae    aliae  ia  iotlniturn  inuenirl 

poflunr.. 

B  $  CoxoU, 


**  DE    RESOLFTIONE 

Coroll.     i. 

15.  Quodfi  ergo  fuerit  vel  (3~o,  vel  eiusmodi 
numerus  ,  vt  f3(p~i),  vel  etiam  (3(/>-f- x) -per  2ct 
diuifibile  exiftat ,  tum  hoc  modo  plures  folutiones  ia 
integ^ris  obtinentur ,  quam  modo  ante  expofito. 

Coroll.     2. 

16.  In  genere  autem  obferuandum  e(t ,  fi  latis- 
fecerit  cafus  quicunque  xznw,  tum  etiam  fatisfa&urum 
erTe  cafum  x -<*&-%-,  ex  vtroque  enim  y  eundem  va- 
lorem  nancifcitur.  Quare  cum  hi  cafus  ex  illis  tara 
facile  eliciantur ,  his  omiffis  inueftigatio  folutionura  con* 
venientium  ad  dimidium  reducitur. 

Coroll.    5, 

n 

17.  Reiec"tis  ergo  cafibus  ffzz-tf-J-,  quippe  qul 
tponte  fe  produnt  inuentis  caftbus  xzzv,  excafuar— a 
etyzzb  ftatim  bini  reperiuntur : 

hincqne  porro  per  operationem  fecundam  bini : 

x-  (pp+aqq)a±_  zpqbf  fiqq  •  yzL2.apqa±L[pp+aqq)b+$pb 

quae  duplicitas  ex  figno  ambiguo  numeri  b  nafcitur. 

Coroll.     4. 

18.  Si  Tiaec  cum  §.  §.  12  et  13  conferantur , 
patebit  omnes  has  fbrmulas  in  fequentibus  expreftioni- 
bus  generalibus  contineri  ,  fiquidem  pro  jji  fuccefliuc 
omnes  numeri  integri  fubiiituantur. 

I. 


T  O  Ki/lVl  AKV  M.  *? 

1  b^{2M+^2bVaip+^af  -^a«+p-»*V*)  (p-qVaf 


et  ft 


.  fif 

u. 


Coroll.     5. 

ip.  Hinc  igitur  duplices  feries  pro  valoribus  nu- 
merorum  tf  et  jr  reperiuntur ,  quae  eandcm  progteflio* 
nis  legem  tenebunt.    Si  enim  ponamus : 

>=*;.*». ^i^i^l*^  etc-  S>  T»  V 
crit  proaltera:  ^i=/to+^+^(p-0€tfc^+^+.W- 
et  pro  altera:  a^—pa-qb+^p-i)  et  fczqa-pb+tfq 
pro  vtraque  vero  haec  communis  progreflionis  iex   va* 
lebit  ,   vt  fit  : 

R  =  2>q-P+|(p-i)  ct  V=2j^T-S, 

Cor.oll.     6- 

20.  Cum  fit  pp-*qq—*  ,  erit  tf-¥-qV  *f 
—  (p-qVa)-»  et  (p-tfV  «)*=(/>  +  ^a)"% 
hincque,  fi  alterae  feries  retrorfum  continuentur ,  prodi- 
bunt  alterae.  Sufficit  ergo  pro  altero  cafu  has  feries 
inftruxhfe  ,  quae  tam  antrorfum,  quam  retrorfuro,  conti- 
nuatae  omnes  folutiones,  ex  ambiguitate  numeri  b  oriun? 

das ,  in  fe  continebunc. 

Schonon^ 


16  DE     RESOLVTIONE 

Scholion. 

ai.  Si  ergo  fuerit  (3=ro  ,  vt  habeatur  haec 
formula  :  V (axx-t-y)zzy  ,  rationalis  reddenda  ,  ca- 
fusque  conftet,  quo  fit  V(  aaa  +  y)-b>  fumtis  numeris 
p  ct  q  ita  ,  vt  fit  p~V (aq q-h  i)  ,  innnmerabiles 
alii  valores  fatisfacientes  continebuntur  in  his  (eriebus ; 
x-a,a\a^\am,a^,  .  .  .  •  P ,  Q.,  R 
y=b7b\»\lF\#\  .  .  .  .  S,  T,  V 
vbi  fecundi  termini  ita  debent  accipi  ,  vt  fit 

alzzpa~{-  qb\  blzzaqa-\-pb 
deinde  vtraque  feries  eft   recurrens ,   fcala  relationis  ex« 
iftente  2^,-1.  Erit  fcilicet : 

allzr.zpax—a\  et  in  genere  RzzipQ—V 
bu=^2pbl-b', V—  zpT-S 

ambae  vero  feries  etiam  retrorfiim  continuari  debent, 
ficque  duplo  plures  prodibunt  folutiones ,  nifi  fit  vel 
azzo,  vel  bzz :o.  Neque  autem  hic  in  cenfum  veniunt 
folutiones  negatiuae ,  quibus  fi  iatisfecerit  xzzv  ,  etiam 
fatisfacit  xzz:  —  v.  Omncs  porro  iftae  folutiones  conti* 
nentur  in  his  formulis  generalibus , 

x=^*y*  +  b)(p+qVa)*  +  zya(aVa-b)(p~qVaf 
j-\{aV  a->rb)(p-+-qV  u\~\[aV  a~b)(p-qV  af 
Fro  variis  igitur  numeris  ,  qui  coeffkientem  a  confti- 
tuunt ,  (eqnentia  exempla  euoluamus ,  et  quidem  gene- 
ralius  ,  vt  etiam  coefftcientis  (3  ratio  habeatur ,  pro  ca- 
fibus  fcilicet,  quibus  forte  jz(p  —  1)  fuerit  numerus 
integer. 

Exem- 


FORMVLARVM. 


«7 


Exemplum     1 

2 2 .  Tropofita  formula  V(2xx-f-(3x-f-y)ry, 
inuenire  infinitos  valores  integros  ipfius  x  ,  quibus  haec 
formula  rationalis  euadit ,  fiquidem   ma  jolutio    conjlet. 

Sit  folutio  cognita  xzzia  etjmb,  et  ob  «~2, 
habebimus  p~V(  zqq-t-  1 ),  ideoque  #~2  etpz=3. 
Hinc  (ecundi  valores  erunt  : 

Cum  igitur  in  §.   19,  fit  R~6Q-P-j-(3  et  V  =  tf  T-S, 

habebimus     fequentes    feries    valorum    fatisfacientium  et 
quidem  integrorum  ,  fi  (3  fuerit  numerus  par : 


Valores  ipfius  y 

±b 
4*±3^-+-(3 

140^-4-99^-1-35  (3 
8itftf±  577^+204p 

475^^±33<>3^4-ii89j3 
etc. 

Tum  vero  cum  y  eosdem  retineat  valores ,    fi    pro    x 
fcribatur  —  x  —  ?,  etiam  hae  folutiones  locum    habebunt: 


Valores  ipfius  x 
a 

99«±7c^-t-r(3; 

5  7  7  #  ±  4°  8  b  -f- 1 4 4  (3 , 

33^3^^-378^-r-^rPi 
etc. 


Valores   ipfius  x 
-a-\$ 
—  3^-j-2^-(3 
-i7*4-i2£~i(3 
—  9Qtf-f-7°6^—  25(3 
-, 77^408^-^(3 
-33^3«-i-a37S^84.ip 
etc. 
Tom.  IX.  Nou.  Comm, 


Valores  ipfius  y 

±b 
4^±3^-f-(3 
340+  i7£-f-tf(3 
i40<7±99^-r-35(3 
8 1 5  a  ±  5  7  7  b  -f-  2  o  4  (3 

475<5*±3363£-r-ii89(3 
etc. 

C  Etiamfi 


IS 


DE    RESOLVT I  ON  E 


Etiamfi  ergo  (3  non  fuerit  numerus  pir ,  tamen  irf 
-vtroque  ordine  femiffis  valorum  ipfius  x  fuerit  numeri 
integri. 

Exemplum    a 

2  3 .  Propofita  formula  V  ( 3.  x  x  -I-  (3 '  x  -4-  y )  m  y , 
inuenire  infinitos  valores  integros  ipfius  x  ,  40/Zw.f  Zw^ 
formula  raiionalis  euadit,  fiquidem  vnus  cajus  conjiet. 

Praebeat  cafus  cognitus  x  r=  a  et  yzzb  ,  tum  vero  ob 
a  rr  3  capiatur  p  —  V  (  3  #  #  -f- 1 ) ,  eritque  #  —  1  et 
p^zi.     Hinc  pro  (ecundo  eafu  habebimus : 

cx  quibus  formentur  binae  feries  recurrentes ,  fecundu&as 
has  fcalas  relationis  : 

vnde  obtinentur : 

Valores  ipfius  %         \ 


2.a±b-\-l$ 
ta  +  t-b-p 

i6a±  ifb-\-j$ 

91  a±  56^-hi<5(3 

Z6za±209b-\-z-~-fi 


Valores  ipfius  f 

3  *+»£+■££ 
i2.g-\r-  yb-hzfi 

45  *±.  &**'*-;;  0 

i6&a±9ib-\-2%$ 
62^a±s62b^2-f^ 


135*  * ±780 £-4-22 5  (3  [234.0*+  I35i^+35?cp 
etc,  etc. 


Praete- 


FORMVIARVM. 


t9 


Praererea  vero  fcribendo  —  x— §  pro  x  prodibunt 
valores  ipfius  x 

-2tf-j-0-I(3 

—  362  a  +  209  £ — '-f-  (3 

-1351* +  780*-^  p 
etc. 


valores  ipfius,/ 

±* 

3^-4-2^^-1(3 

1 2  <7  -f-  7  £  -f-  2  (3 
45  #-4- 26  £-4- ^-(3 
168^+97^^-28(3 
627^-4-362^-+-^  (3 
23404-4-  i35i^-H39o(3 
etc. 


Prout  ergo  numerus  (3  diuifibilis  fuerit  per  2,  vel  3  , 
vel  vtrumque  ,  hinc  eo  plures  folutiooes  in  integris  eli- 
ciuntur. 

Exemplum    3. 

24.  Propojita  formula  VCsxx-hpx  +  y)—^ 
tnuenire  infinitos  valores  integros  ipftus  x ,  quibus  haec 
formula  rationalis  euadat ,  Jiquidem  vnus  cafus  fuerit 
cognitus. 

Pro  ca(u  cognito  fit  xzza  et  ^rr^,  et  ob  «r  5  ,  quaeran- 
tur  numeri  p  et  q ,  vt  fit  p~  V  (  5  ##  +  1 ).  Fiet  ergo 
4  ~  4  et  /)  zz  9  ;  et  hinc  fecunda  iolutio    prodibit : 
alz=z ga  +  4^  +  1(3;  ^iz:  204 -4- 9^-4- 2  (3. 
Cum  ergo  fit  au~  iSa1  -*z  +  §(3    et    ^"—iS^- b% 
fequentes  folutiones  habebuntur  : 


Valores  ipfius  x 
a 
r9<z-4-4£-4-f  (3 
l6i  g-f-  73 -^  1.6"  0 
28890  +  1292^+^p 
etc. 

C  2 


Valores  ipfius  j 

±* 
200  +  9^+2  (3 

3604  +  161^-4-36(3 

6460  #  +  2830^+646(3 

etc. 

vbi 


20  DE    RES0LFT10N  E 

vbi  pro  quolibct    valore    ipfius    x    etiam    poni    poteft 

Scholion     i. 

25.  Cum  hoc  modo  ex  vna  folutione  in  inte- 
gris  cognita  ,  infinitae  aliae  folutiones  etiam  in  integris 
eliciantur  ,  quaeftio  nafcitur ,  an  hoc  modo  omnes  pla- 
ne  folutiones  integrae  obtineantur,  nec  ne?  Acinexem- 
plis  quidem  primo  et  fecundo  nullum  erit  dubium , 
quin  hac  methodo  omnes  folutiones  mtegrae  obtinean* 
tur.  Verum  in  exemplo  tertio  vtique  dantur  cafus  t 
quibus  multo  plures  folutiones  in  integris  exhiberi  pos- 
funt ,  quam  quidem  hac  methodo  reperiuntur.  Veluti 
fi  propofita  fuerit  formula  V  ($  xx-\-  +  )zzy ,  quac 
pro  cafu  cognito  praebet  azzo  et  bzzi  ,  noftra  fo>* 
iutio  dat: 


Valores  ipfius  x 

Valores  ipfius  y 

0 

2 

S 

18 

144. 

322. 

2584 

5778 

etc. 

etc. 

Verum  hanc  formulam  diligentius  fcrutanti  patebit,  non 
fblum  his  cafibus  V(sxx-\-+)  fieri  rationalem,  fed 
etiam  iftis  numeris  pro  x  fubftituendis 

xzzo,   r,  3,  8,  2r,   55,   14.4,  377,  987,  etc. 
vnde  folutionum  numerus  triplicatur.       Cuius  rei    ratio 
eft  ,  quod   ad  fbrmulam  pzzV($  qq-\-*i)  reloluendam 
poluimus  qzz\\  vnde  fit  pzzg^  quae  quidem  eft  fim- 
pliciflima  lolutio  in  numeris  integris»      At  quoniam   in 

fcaia 


FORM.VLARVM. 


%t 


icala  relationis  ineft  2p,  ea  numeris  integris  conftabit  , 
etiamfi  p  fit  fractio  aenominatorem  habens  2.  Hanc  ob 
rem  iltas  fimpliciores  folutiones  nancifcemur  ,  fi  pona- 
mus  #  —  §,  vnde  fic  p~l;  ficque,  ob  a~$  ,  fecuudi 
valores  erunt : 


,1  —  3 


ac    tertii    cum    fequentibus    per  hanc  legem  fuppedita*- 
buntur : 

an=3al-a-h^p,     l>u--3P-&, 

vnde  nancilcimur  hos  valores  : 


Valores  ipfius  x 
a 
I  a   ±_  lb+l*$ 
S  *  ±  i  *  H-  ?  (3 
9  a  ±  4^-f-  f  (3 
V  *±  i'*-H!P 
"V  *±V*-i-U,f3 
x6i  tf±  72£-4-i6*p 
etc. 


Valores  ipfiusjf 

j*±   |  j  +    «p 

y  a  ±   |^-HI(2 

20  0  ±  9  ^  h-  2  (3 

»f^  ±  v*-t-  VP 

Ta±'V  *H-  5J  (3 

3^o^±  161^+36(3 

etc. 


Atque  hinc  illac  trfplo  plures  folutiones  oriuntur  ,  quo- 
ties  fuerit  a  ±  b  numerus  par,  ac  (3  vel  =o,  vel  pcr 
20  diuifibile. 

Scholion     2. 

26.  Quandoque  ergo  plures  folutiones  in  numc- 
ris  integris  reperiuntur  ,  fi  pro  p  et  q  fradiones  curo 
denominatore  2  aiTumuntur ,  quod  quando  in  genere 
eueniat,  operae  pretium  erit  inueftigavTe.  Plerumque 
autem  hi  cafus  locum  non  habent,  nifi  fit  vel  £r=o, 

C  3  veS 


2i 


DE   R  ESOLFTWNE 


vel  formula  ad  talem  formam  reduci  polfit.  Sit  ergo 
propofita  formula  V(a.xx-\-y)zz:y  ,  cui  fatisfaciat  ca. 
fus  xzza  et  yzzb\  tum  ftatuatur  pzz™  et  $,  feu 
quaerantur  numeri  m  et  «,  vt  fit  mmzza.nn-\-  4.  et 
wz=:V(a««-f-  4).  Tum  vero  folutio  prima  ftatim  dat 
fecundam  : 

t  ma-x-nb  .     ,t_ «na+ffli 

*l:=:  — . —     et  ^1— , 

vbi  quidern  numeri  m  et  n  tam  negatiue  ,  qunm  affir- 
matiue  ,  accipi  pofiiint.  Denique  his  binis  primis  in* 
ventis,  fequentes  per  hanc  regulam  reperientur: 

auzzmal-a     et  bllzzmfi  —  b. 
In    genere    autem    quilibet    numerus   pro  x  fatisfacien* 
continetur  hac  formula  : 

«x  qua  fit : 

y^{aVa^b)C^n^f-\(aVa^b)^n^)\ 

Quoties  igitur  ma-A-nb  prodierit  numerus  par  ,    nequo 
tamen  m  et  n  fint  pares  ,    toties  triplo   plutes    folutio* 
fles    in  integris  prodeunt  ,   quam  methodo  praecedente, 
Hae  vero  folutiones  ita  fe  habebunt : 
=  a  b  -  b 

I   __m  a  -j-nb  y[  ^mb-t-g.  na 

2  2 

j|  _  (mm  —  s)  a  -+-  m  nb  j  jj  _  (n  m  —  2)  b  -+-  awna 

r\\ _ (mr —  >m)a-4-(mm — Q nb  ,  jn  _  (m?— ■;  m)b-j-ct(mm —  i)na 

IV _  (m» — »mm-4-i)a.4-(m'— *m)n&      ^jy __. (m*-^m*-\-z)h+.g(mi    ?m)na 

etc. 

Obfer* 


F  O  R  M  V  L  A  R  F  M.. 


23 


demum    plures 


Obferuatio     1, 

27.  Haec  altera  mcthodus  tum 
folutiones  in  numeris  integris  fuppeditat,  quam  prior, 
cum  m  et  n  fuerint  numeri  impares  ,  fimulque  a  et  b 
ambo  vel  pares ,  vel  impares.  Si  enim  m  et  n  fint 
numeri  pares ,  p  et  q  erunt  integri  ,  et  formuk 
mzzzV(ann-\-  +  \  easdem  folutiones  praebebit,  ac  for- 
mula  pzzz  V(aqq-{-  1).  Deinde  fi  ma-V^nb  noti 
fuerit  numerus  par  ,  vDlores  a\  a11  non  euadent  integri , 
neque  propterea  plures  folutiones  reperiuntur,  quam 
priore  methodo  ,  dum  adhibetur  ibrmula  pzV{aqq-\-i). 
Diltingui  ergo  oportet  eos  cafus ,  quibus  formulae 
mz~V(ann-\-^)y  numeris  imparibus  pro  m  et  n  ac- 
cipiendis  ,  iatisfieri  poteft ,  id  quod  ftatim  patet  fieri 
non  pofie  ,  fi  a  fuerit  numerus  formae  42-1  ,  vel 
etiam  huius  8  z  -+- *  •  Quare  pro  a  alii  numeri  im- 
pares  non  relinquuntur  ,  nifi  qui  fint  formae  43 -j~  5. 
Pro  his  ergo  cafibus  minimos  valores,  formulae 
mzzzV  (ann-\-^.)  fatisfacientes,  fequens  tabella  exhibet; 

Si  fuerit'  capiatur  eritque 
azz6inzzzig$mzzi$i^ 
zzn  azz6$nzzz  •jsmzzz  623 
azz^jnzz  imzzz  9 
azz%$nzzz  amzzz  83 
azzo^pzzz  5l\mzz  839 
quaeritur  hic  ratio,  cur  cafus 
£.  —  37  non  recipiat  valores 
impares  pro  mttnl 


Si  fuerit 

capiatn? 

eritque 

azzz    5 

nzzzi 

mzz    3 

azzi^ 

»=3 

mzz  11 

azzz  21 

nzzz  1 

mzz    5 

azzzzo 

nzzz  5 

mzzz  27 

«~37 

nzz  - 

mzzz  — 

ctzz^s 

nzz*  1 

mzzz,  7 

«=53 

»~7 

m±5x 

Hk 


*4  DE    RESOLVTIONE 

Hic  igitur  patet ,  fi  fit  «=137,  non  dari  numeros  im- 
parcs  pro  m  et  n  ,  pro  reliquis  autem  cnfibus  refolutio 
(ucccdit.  Ita  fi  proponatur  haec  formula  V(53#;t'+2  8) 
mj,  habetur  ftatim  tf~i  et  ^^9.  Dejnde  ob  «1:7 
et  »~5i,  erit  ^=«i^=^  ct  jffe^^,^ 
feu  etiam  al-zz—6\  et  ^1  —  — 44;  et  feries  recurren- 
tcs  pro  x  et  y ,  quarum  fcala  relationis  eft  51,  —  1, 
erunt  •. 

xzr  ctc.  —   307;—   6",   1 ;    57 7     2906";  etc. 

j=  etc.  +2235 -  +  44-  9; 4*5}  »"'5<i  etc- 

Obferuatio     2. 

28.  Sufficit  autem  cafus  euoluifle ,  quibus  in 
fbrmula  geneiali  axx-\- fix-\-y  fecundus  terminus 
deeft  ,  quoniam  haec  ad  talcm  iormam  ialua  numero- 
rum  integritate  reuocari  poteft  Vulgaris  quidem  mo- 
dus,  quo  ex  aequationibus  fecundus  terminus  tolli  folet, 
ponendo  xzzy—f-^  hic  locum  habere  nequit ,  nifi  (3 
iit  numerus  per  iol  diuifibilis.  Vemrn  fi  axx\$x-\y 
debeat  efle  quadratum  ,  ponatur  a; x-\-$x-\-  y—  yy7 
ac  multiplicando  per  4a  prodibit  qazxx-tr^afix-Y+ay 

ideoque  4aj7-+-f3{3  — 4a*y:z:(2-ajH-f3)2 
Quaerantur  ergo  calus ,  quibus  formula  4ayy+fi(l  4<%Y 
fit  quadratum  ,  indeque  habebuntur  \alores  pro  x  (ub* 
ftituendi  ,  qui  formulam  axx-+-px-t-y  reddant  qua- 
dratam  ,  fcilicet  fi  fuerit  V(4 ayy -\-%%  —  4.ay)zz27 
crit  iax-\-%-=zz,  hincque  x~.^~. 

Qoodfi 


F  O  R  M  VL  A  R  V  M.  25 

Quodfi  E  fuevk  numerus  par ,  puta  2  £ ,  pofito  ; 

axx  -4-  2  £  .v  -4-  y~~yjt  erit  (a.v-4-£)*.=:cyj'-4-££-ay 
ficque  formula  ayj-f-^J  — ay  ad  quadrarum  eft  re- 
vocanda  ;  ac  fi  inuenimus  V(ayy-±~$$  —  ay)— ^,  erit 
a,v-4-^-s,  et  ATffir-p';,  vnde  .  plerumquc  pro  x 
nmneri  integri  xeperiuntur  •,  etfi  enim  forte  %-~-  non 
fucrit  integer ,  tamen  ex  vno  valore  z  cognito  ,  fi 
modo  fupra  tradito  alii  eliciantur  in  infinitum  ,  alterni 
faitem  erunt  numeri  integri.  Ex  quo  perfpicuum 
eft  ,  rdohnionem  formularum  quadraticarum  radicalium 
V(axx-\-$x~\-y)  nulla  limitatione  affici,  etiamfi  ter- 
rninus  px  plane  omittatur ,  Ccque  totum  negotium  huc 
redit ,  vt  formulae  huiusmodi  Viaxx-h-y)  rationales , 
et  quidem  in  numeris  integris  rcddantur. 

Obferuatio     3. 

29.  Iam  nnnotaui ,  fornmlam  a.vv-4-y  in  nu- 
meris  integris  faltera  pluribus  ac  infimtis  modis  qua- 
dratum  ciHci  non  pofle ,  niii  a,  fit  numerus  pofitiuus 
non  quadratus.  Exiftente  autem  a  tali  numero  ,  pro- 
blema  non  ifa  refolni  poteft,  vt  pro  qudcunque  numero 
pro  y  aflumto  ,  folutio  fuccedat:  pofTcnt  enim  vtique 
eiusmodi  numeri  pro  y  davi  ,  vt  problema  nullam 
plane  fokitionern  admitteret,  atque  hanc  ob  rem  poftu» 
lari  vnam  faltem  folutionem  cognitam  efle  debere,  quo 
ipfo  cafus  infolubiles  exclufi.  Verum  dato  a  charafte- 
res  exhiberi  poflunt ,  ex  quibus  dignofci  liceat,  vtrum 
numerus  y  fit  eiusmodi  ,  qui  folutionem  admittat ,  nec 
ne  ?  Ac  primo  quidem  perfpicuum  eft  ,  nuliam  folu- 
Tom.  IX.Nou.Comm.  D  tionem 


±6  DE   RESOLFTIONE 

tionem  locum  habere  potTe,  nifi  y  fit  numerus  in  talt 
formula  bb  —  aaa  contentus,       Dato  ergo  numero    a, 
formetur    feries  omnium  numetorum,  tam  pofitiuorum, 
quam    negatiuorum  ,    qui    quidem  in  formula  bb~aaa 
fint  contenti  ;    ac  nifi  y  in  hac  ferie  reperiatur,  certo 
pronunciare  licet  ,  formulam  V(axx-\-y)  nullo  modo 
rationalem    reddi  pofle  :    \iciliim    autem,  quoties  y  in 
hac  ferie  comprehenditur,  quia  tum  eft  yzzzbb  —  aaaf 
formula  axx-\-y  fit  quadratum,  ponendo  xzzza,  erit- 
que  V(axx-\-y)zzzb*.    Haec  igitur  feries ,   cuius  qua- 
fi  terminus  generalis  eft   bb  —  aaat    primo  continebit, 
fumto  azzzo^  omnes  numeros  quadratos  i,  4,  9, 16, 25, 
etc.    tum.  vero  omnes  quadratos  per  —  a  multiplicatos 
nempe  :  —  ay  -  4«:,  —  a^  ,,  —  a  16" ,  etc.     Praeterea  fi  p 
et  q  fuerint  numeri  in  hac  ferie  contentir  in  ea  quoque 
reperietur  eorum  produe3:um  p q  \  nam  cum  fit  pzz-bb 
-aaa  et  qzdd \- a cc>  erit p qz(bd -f-  aac)-a{bc-\-act), 
et  ob  ambiguitatem  figni  hoc  produ&nm    duplici  modo 
eft  numerus  formae  bb  —  aaa,  ideoque  ftatim  habentur 
duae  folutiones  xzz:bc~\-ad^  et  xzzzbc  —  ad. 

Obferuatio    4. 

30.  Hinc  ergo  confecuti    fumns    hoc    Theorema 
eximium  ,  quod  fundamentum  fuperiorum  folutionum  in* 
fe  comple&itur: 

„  Si  fuerit  axx-\-pzzzyy  cafu  xzzza    et    yzzzb    tum 
„  vero  etiam  axx-\-qzzzyy  cafu  xzzzc  et  yzzd\  haec 
,,  formula  axx -\-pqzzzyy  adimplebitur  capiendo 
xzzzbc-had  et  yzzzbd^  aac 

Si 


F  0  R  M  VI  A  R  V  M.  Vi 

Si  enim  fit  qzzi  et  'ddzzacc -\~i  ,  praeterea  vero 
formnlae  axx  t-pzzyy  fatisliat  cafu  x~  a  ttyzzb\ 
qui  eft  eafus  fupra  pro  cognito  afllimtus  ;  tum  eidem 
fbrmulae  fatisfacient  valores: 

xzzbc-had  et  yzzbd-\-  aac 
\nde  eadem  omnino  folutio  conficitur ,  quam  fupra  ex- 
hibuimus  ,  atque  cx  longe  diuerfis  principiis  elicuimus  : 
quocirca  haec  poftrema  inueltigationis  ratio  ob    concin- 
nitatem  et  perlpicuitatem  eo  magis    eft    notatu    digna. 
Hic  vero  accedit  ,  quod  haec  ratio  multo  latius  pateat , 
quam  praecedens ,  quippe  quae  ad   cafum    q  zz  i  fuerat 
adftri&a.     Demonfiratio  autem  iftius    Theorematis    ele- 
gantifljmi  ita  breuifiimc  fe  habebit : 
„  Cum  fit  aaa-\-pzzbb}  erit  pzzbb  —aaa 
„  et  ob  acc-\-qzzdd ,  erit  qzzdd—acc 

„  hinc  erit  pqzz(bb—aa a)(dd-  acc)  y  quae  expres- 
„  fio  reducitur  ad  hanc  : 

pq  —  tbd+aacY-a^bc-hady 

i^Quodfi  ergo  fuerit  xzzbc^had  et  yzzbd-h  ctac  , 

,, erit  pqzzyy  —  axx,  ideoque  axx-\-pqzzyy. 

q.    E.     D. 

Obferuatio.     5. 

31.  Cum  igitur  pro  quolibet  numero  a  fbrma- 
lae  axx-\- yzzyy  numerus  y  debeat  efle  formae 
bb—aaa,  numeri  in  hac  forma  contenti  diligentius 
examinari  merentur  ;  et  qnoniam,  fi  inter  eos  occurrunt 
numeri  p  et  q}    fimul  quoque    eorum    productum   pq 

D  2  occur- 


aS  DE    RESOLFTIONE 

occurrit  ,  praeter  numeros  quadratos  i ■  ,  4  ,  9  »  *&  r 
25  ete.  eorumque  multipla  negjftraa  —  a,  —  43,  —  9a> 
—  i<5a,  —  25  a  etc.  imprimis  numcrt  prirni  rtr  ft&t 
forma  conrenti  funt  fpectandr  ,  qtiippe  ex  qnibus  dein- 
ceps  per  multiplicationem  eompofiti   nafatntur. 

I.  Sit  332  ct  numeri   primi  fbrmac  bb  —  naaCurrt: 

pofitiui:  -1-  1 ,  4-  2  ,  +  7,  4-  1 7,  4-  23 ,  4  31,  +  4^,+  47? 

+  7i ,  +  73  ,  +  79  \  +  39,  +  97  etc. 

negatiui:~x,  —  2,.  — 7,.-i7>— aa>  -iv-^1)  -47> 
-71,  -73,  ~79>~  $9,-97  etc. 

qui  praeter  -+2  et  —  2  omncs  in  forma  ;+(&*;+;  1}- 
continentur. 

II.  Sit  az^3  et  numeri  primi  formae  bb- $aa  timt  >. 
pofitiui;     -4-x  ,  -4-*3  >  ~r-373  -4-tfi  j.H-73,  -4-  97, 

-j^  1 09 ,  etCc 

negatiui:    —2,-3  ,  —  1 1 ,  —  23  . ,  —  47 >  —  5 9 >  -  7 .  1 » 

—  83,  -  107,  ecc. 
qni  praeter  —2  et  —3  omncs  continentur  in  forma 
32  0-4-!  ?  fiquidem  pro  n  tam  numeri  pofitiui,  quain 
negatiui,  capiantur. 

III.  Sitazzs  et  numeri  primi  foimae  bb-$aa  funt :: 
pofitiui:  +  i>  +  5,  +  n,  4-i9>  -4*9,  +3x,  +41  , 

+  5 9 ,  +  °*x  ,.  +  71 ,  +  79  ,  +  89  ,  + 101 ,  et^ 

negatiui:  -1,-5,  —11,  -19,  -29,  -3i  ,  -41  • 

-59,-61  ,-71,-79,  -89 5-xoi    etr. 

qui  praeter  4-5  et  —5,  omnes  in  forma  iofl-1-  1 
coiuiiieutur. 


IV. 


FORMVLARVM.  29 

IV.  Sit  arr<5  et  numeri  primi  formae  bb  —  6aaCant: 
pofuiui  :    -4-  1  ,  ~h  3  >  H~  *9  >  -h  43  ,  ~h  6"7  ,  H-  73  > 

negatiui  :  '-  2  ,  -23 >  -  *9  >  -  47  •   -  53  ,  -  7*  , 

— 10 1  ,etc. 

qui  ,  praeter  —  2  et  -t~  3  >  omncs  in.  alterutra  harum 
formarum  :  24/24-1  et  24«  — 5  continentur,  fumendo 
pro  n  numeros  tam  negatiuos  ,  quam  pofitiuos. 

V.  Sit  0LZZ7  et  numeri  primi  formae  bb  —  ^aa   funt: 
pofitiui  3  -f  1, +2,4-29, -f  37,  + 53,  + X09  etc. 
negatiui:  -7,  -3  ,-  *9,  -31 ,  -47,  — 5P>  —  $3etc. 
qui  praeter  4-2  et  —  7  omnes  in  vna  harum    fbrma* 

rum  continentur  :   28«-f-  1  ,   2&«-r-9  j  28»~t-25 

| 

Obferuatio     <5. 

32.  Hinc  colligimus ,  omnes  numeros  primos  in 
formula  bb—aaa  contentos  fimul  in  quibusdam  huius- 
modi  formulis  -~4a»H-A  comineri  ,  dum  pro  A  cer- 
ti  quidam  numeri  (ubftituuntur  Quod  idem  etiam  hoc 
modo  oftendi  poteft :  ponatur  b-zap+rtta-zq-t-f 
ac  formulu  bb—aaa  tranfit  in  hanc  : 

4.aapp-±-4.apr-\~rr—  ^aqq—  +  aas— as$ 
ftatuatur  app-\- pr-qq-qs  —  n  et  habebimus : 
bb—  aa  a  zp  ^an  -4-  rr  —  as  s 

omnes  ergo  numtri  primi  fonrae  bb~aaa  quoque  m 
hac  lormJ  +an<-\~rr—ass  cnntinentur  ,  atque  vt  hi 
aumtri  fint  primi ,    r  et  s  ita  accipi  oportet,    vt  nu- 

D  3  merut 


3o  DE   RESOLVTIONE 

merus  rr—ass  fit  vel  ipfe  primus,  vel  faltem  ad  4.  « 
primus.  Primo  ergo  fumto  sz^o  ,  pro  r  fuccerlnie 
accipi  poflunt  numeri  impares  ad  a  primi  ,  ac  fi  rr 
fuerit  maius  quam  4 a,  inde  4^  toties  fubtrahatur,  quo- 
ties  fieri  poteft  ,  vt  refiduum  fit  minus  quam  4«,  et 
quot  hoc  modo  diuerfi  numeii  refultant,  ii  in  formula 
4a«-f-A  loco  A  collocentur.  Deinde  etiam  fimili 
modo  colligantur  numeri  ex  formulis  rr — a,  qui  qiu- 
tenus  funt  diuerfi ,  ad  illos  infuper  adiiciantur.  Non  au- 
tem  opus  eft  ,  pro  s  alios  numeros  praeter  vnitatem 
auumere  ;  fi  enim  s  elfet  numerus  par,,  numerus  -ass 
iam  in  ibrrna  4«»  contineretur ,  et  fi  s  effet  impar , 
nnmerus  -&ss  haberet  formam  —  4-aN  —  a,  cuius  pars 
— 4aN  iam  in  40.71  continetur ,  ficque  fufficit  pro 
formulis  ^.an-\-A  ,  quouis  cafu  has  ^.an-\-rr  ec 
^.an-\-rr  —  a  euoluere  ,  eaeque  iam  omnes  numeros 
primos ,  qui  quidem  in  formula  bb  —  aaa  comprehen- 
duntur,  in  fe  complectentur.  Num  autem  viciilim 
omnes  rmmeri  primi ,  in  his  formulis  j\an-\-rr  et 
4ct«+rr-  a  contenti  ,  fimul  fint  numeri  formae 
bb-aaal  quaeftio  eft  altioris  indaginis ,  quae  tamen 
affirmanda  videtur. 

Obferuatio    7. 


33.  Q110  haec  exemplo  illuftremus,  iit  a=zi3  , 
et  ex  +  an-\-rr  et  +  an-\-rr-a  orientur  hae  for* 
mulae  pro  numeris  primis ; 


FORMVLARF  M. 


I* 


ex  ^.an-t-rr 

C2«4-        I 

52«-+-      9 

52 «4-    25 

52«-f-    49  =  52«-  3 

52»-!-    811:52«— 23 

52«-f-i2i-:52«+i7 


ex  4<x-|-rr  — * 


9 

3 
23 
51  =  52« 


r 


87=52»— *7 
131  =5,2«  —  25. 


52«  — 
52«  + 
52«  + 
52«  + 
52«-}- 

$*»•-+- 
quae  formulae  reducuntur  ad  has  :. 

5;2«-hi*,  $2n±:3,,$2n±9r52-n:±17:>  5*»±23; 

52«-+-  25. 

ac  numeri  primi  in  his  contenti  funt  : 

±LXJ  ±3i   ±J7;±23i  ±29;  ±43;  ±53  V 
-4- (Ji;.  -4-79;  -4-  101  ;  -4-  103  *, 

quibus  addi  debet:  ^  *  3  r  tum  ver0  omnes  numer* 
qnadrati  •,.  atque  fi  infiipet  adiiciantur  producla;  ex  binis 
plunbusque  horum  numerorum ,  obtinebuntur  hoc  quidem 
cafu  omnes  numeri ,  qui  pro  y  fubftituti  producunt 
formulam  izxx-h  y  —yy  in  numeris  intcgris  refolu- 
bilem  ;  feu  quicunque  illorum  numerorum  pro  y  ac- 
cipiatur,  vnns  primo  deinde  infiniti  numeri  integri  pro 
x  inueniri  poflunt, .  quibus  fbrmula  i$xx-\-y  qua- 
dratum  reddatur.  Omnes  enim  ifti  numeri  fimul  in 
forma  bb— 13  aa  continentur ;  qui  cnim  huc  difficilio* 
res  reductu  videntur,  funt  :  -i~i  8*  — 13-  5* 
4  iS—Cs^-i^itf^-z—^-iZ^*',  I7^i5£-i3.4^, 

-17—10*— 13.3* 

~4& 


3*  DE   RESOLFTIONE 

+6izzzzz  — 13.6' 

-tfx=24/-x3y;+79=i+--X3.3V79==  1^-135^ 

ctc. 

Cum  crgo  fit  — in8*-i3.5*,  fi  fuerit +y=££-i3*tf, 
cnt  —  ydCiS^+^ 6$a)%— 13(18^+5^)* ,  'ivude 
cafus  difficiliores  refoluuntur. 

Propofita  ergo  refoluenda  hac  aequatione  13^+43.79-^, 
cum  fit  ym+3.79rz:  — 43.  — 79.  habebitur  per  com- 
pofitionem : 

I.  y  —(14.76-:+ 13.63)*-  13  (i4.2i±3.7^)* 

ergo  xzzz  294  -f-  228  ct  yzzz  1064  +-  819 

II.  y  =  (  3.  16+13  io)*~  13  (  2.  16  +-3.   5)' 

ergo  arzz:    32+-    i5etjiz   130+:    48 
vnde  ftatim  4  folutioncs  obtinentur. 

Obferuatio     8. 

34.  Verum  non  femper  ex  his  numeris  primis , 
quos  modo  inueftigare  docuimus ,  cum  quadratis  omnes 
pkne  numeri ,  qui  pro  y  afiumi  pcifunt ,  reperiuntur, 
cuius  rei  exemplum  eft  cafus  azzzio  ,  pro  quo  valo- 
res  ipfius  y  in  bac  forma  bb—ioaa  continentur ; 
iique  funt ,  tam  negatiue,  quam  pofitiue ,  fumti  : 
*>4>*,9j*0,  x5,i5, 24,25,26,31,36,39,40, 
4Xj  49,  54,  60,  64,  65,  71,  74,79,  81,  86,89, 
90, 96,  100,  104, 106,  iii ,  121, 124,  129,  134, 
X35,  i44>  150,  151,  156,  i59i  160,  164,  166, 
169,  185,  x86,  191,  196,  199,  201,  etc. 

intec 


FORMVLARVM-  33 

inter  quos  numcros  occurrunt  primo  omnes  quadrati: 
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,  etc. 

deinde  numeri  priroi  ^1^1,11  H9^9^  5  ^i1^1)1 99-,  etc- 

qui  in  his  formulis  continentur  40«+  1   et  4.0^  +  9. 

infuperque  accedunt  produ&a  ex  binis  pluribusue  horum 

numerorum.       Tertio  vero  praeter  hos  adfunt    numeri 

ex  binis  numeris  primis  compofiti  ,  qui   funt  : 

2. 3;  2.5  ',  2.13;  2.37,  2.  43;  2.53;  2.67-,  2.83- etc* 

3.  5',  3-13}  3.37;  3-4-3  i  3-  53  i  3^7j   etc. 

5-13  ,5-37  ,  etc. 

At  hi  numeri  primi3  quorum  femper  bini  funt    in    fe 

multiplicandi  ,  funt  primo  2   et  5  ,  reliqui  vero  in  his 

fbrmulis    continentur  40«+  3   et  40«+!  3-     Deni- 

que  etiam  fecundum  regulam   generalem     adiici    debent 

producta  ex  binis  pluribusue  numeris,  qni  per  fe  fatisfaciunt. 

Ita  refolui  poterit  haec  aequatio*  ioxx-+~i$.  53'  lS  l  ~yy 

nam   eft   13.  53  zzz  bb  —  10  aa  exiftente  bzzx  27  et  azz.  2 

et   15  1  zzzdd  —  \occ\  exiftente  dzzz^i  et  czz..  9.  hinc- 

qne 

13.53- 151  zzz(bd_h  10  a c)  —  \o{ad-\-bc)% 

et  xzzz  ad-^bc  et  yzzzbd^  10 ac. 

Deinde    cum    etiam    fit    - 13.  53  r=BB-io  A  A    et 

—  151  zzzDD-  10 CC  ,    hinc  duae  aliae  folutiones  re- 

periuntur.     Cum  autem  fit  —  1  —  3*  — io.i*,  fi  fuerit 

yzzzbb-  \oaa  y  erit  - yzzz\ /3a~j-jb  *  -  10  (  3  a-j-_b)  • 

Solutiones  autem  hinc  oriundae  funt  : 

xzzz  181;  xzzz    305  ,  xzzz    307; 

yzzz6$*i;yzzzio\~i;yzzz  1023; 
duae  enim  inter  fe  conueniunt,  ita  vt  liinc  tres  tantum 
reperiantur. 

Tom.IX.Nou.Comm.  E  0b" 


34.  DE   RESOLVTIONE 

Obferuatio     9. 

3  5 .    Hoc    ergo  cafu  a  zz  i  o  pro  y  triplicis  ge^ 
neris  numeros  primitiuos  inuenimus  ,  primo  icilicet  nu- 
meros  quidratos  omnes ,  deinde  certos  numeros  primos 
in  formuUs  40«+!   et    40/2+9    contento*  ,    tertio 
autem  produda  ex  binis  certis  numeris  primis,  qui  funt 
2,   5    et  reliqui  ex  his  formulis  40«-+- 3   etlon^i^ 
petendi  ,    atque  ex  hoc  demum  rriplici  ordine    omnes 
numeri  pro  y  idonei  formantur ,    vt    huic    aequationi 
zoxx-hy—jy  fatisfleri  poflit.        Ipfi  autem   numeri 
pnmi  In    formuhs    40/1+3    c*  40»+ 13  contenti 
non    conueniunt ,    qnia    non    funt  formae  bb— 10 aay 
fed  tarr.en  hi-  numeri  orrne»  funt  formae    zbb  —  $aa\ 
vti  etiam  duo  iis  iungendi  2  et    5.      Manifeftum    au- 
tem  eft,  fi  habeantur  duo  numtri  huiusmodi  s.bb-$aa 
et  idd-$cc,  eorum  productum  fbre  -(2W+J  acf 
—  io(bc-\-  ad*,  ideoque  pro  y  adhiberi   pofle.      Hu- 
iusmodi    igitnr    producta    binorum    numerorum  primo- 
rum  ,    qui  ipfi  non  fatisfaciunt  ,  occurrere  nequeunt  ,  fl 
a  fuerit  numerus    primus ,    fed    tantum ,    vti    hic    vfu 
venit ,  •  fi  ct  fuerit  numerus  compofitus ;     quod    tamen 
etiam    non    femper    locum    habet ,    vti    vidimus    cafo 
ct  —  6~  2    3,  quo  numeri  formae  %bb—i.aa    conue- 
niunt  cum  numeris  formac    bb  —  6aa~       Quodfi    ergo 
in  genere  fuerit  azzpq,    et  aequatio  pqxx-hy  —yy 
refolui    dvbeat ,    numerus    y    vel    effe  debet  numerus 
quadratus  ,  vel  primus  formae  bb—pqaa,    vel  produ- 
clum    cx    duobus    numeris  primis  formae  pbb  —  qaa  y 
pro,  terea  quod  huiusmodi  produ&um   eft  : 

{pbb-qaajipdU-qc^  —  i^pbd+qacy-pqibc+ad)* 

NiG 


F  0  R  M  V  L  A  RV  M.  3$ 

Nifi  ergo  tales  nufneri  piirri  iam  ipfi  pbb  —  qaa  in 
forma  bb—pqaa  comraeannur  ,  terrius  ille  ordo  nume- 
rorum  ex  bini*  numeris  prirnis  conflatorum  accedit. 
Quemadmodum  deinde  numeri  primi  iolitarii  continen- 
tur  in  formulis 

^pqn-^rr     et     \pqn-\-rr  —  pq 
ita  numeri  primi  alteri  combinandi  ex  formula  hac : 

\pqn-\-prr  —  qss 
4eriuari  debent. 

Exemplnm     1. 

3^.  Inuefligentur  omncs  valores  idonei  ipilus  y, 
yt  haec  aequatio  $o\\x-\-y —yy  reiolutionem  ad- 
mittat. 

Primo  quidem  pro  y  afliimi  poflimt  omnes  numeri 
quadrati  ,  deinde  cmnes  nurreri  piimi  in  his  formis 
i2o«-f-rr  et  12  n-\-  «—  30  contenti,  quae  reducun- 
feur  ad  has^ 

*ion-\-i  \  i2C«4-49;  i2C«+i9;  1208-29,  cum  -S 
•vnde  oriuntur  hi  numeri  pnmi  infra  200 

pofitiui:  -f-  19,-4-139 

et  negatiui:   -5,  -29,  —  71,  ~roi,—  X49,  -  *9* 

Tertio  ob  a~ 2    3.  5,  fnmi  pofllint  produdta  trinorum 

primorum  ,    qui  contineantur  vel  ambo  in  vna  harum 

formularum: 

I.  i2on-\-*irr— i$ss,  II.    i2on-\~5rr~iossi 

III.  120«-+-  $rr—6ss 
harum  autem    binae    priores    eosdem    numeros    primos 
tdant,    qui  funt  4-2.^-3,  et  reliqui    in  his  formulis 

E  2  conti» 


3*  DE   RESOLrTIONE 

continentur : 

i20«-7;   i20«-iv,   i2o«4-i7;   12071-37 
vnde  nafcuntur  hi  numeri  primi  infra  200 
pofipui  .  -4-2;  -4-3;  +17; +83;  +107; +1 13;  +137 
negjtiui  :  -7;  — 13;  -37^103;  -  127 
quorum  binorum  producta  pro  y  capienda  fiint  t 

4-  6~,  4-  34-v  -4-5i,  +91*  -4-  itftf 
-14,  -2i,  -25,  -39,  -74>  -111,-119 
Tertia  aatem  formula  continet  numerum  primum    +5. 
cum   his  formis : 

120«— 1;   120« -19;   120W-+-29;    120»— 49 
vnde  nafcuatur  hi  numeri  primi  infra    200 
pofitiui:  5,  +29,-4-71,  4-101,  4-149,  -f-ipi 
negatiui;  -1,  -19;— *39 

At  ex  horum  combinatione  iidem  nafcuntur  numeri  9 
qui  iam  ex  numeris  primis  primitiuis  onuntur.  Quo- 
circa  omnes  numeri ,  qui  pro  y  fubftitui  potTunt,  erunt 
infra   200  : 

+  1, H~4> +9  ~M<5, 4-25,4-36, 4-49,4-64,4-81, 
-4-100,  -f-121,  -4-144,  -J-169,  -f-19^» 

~5,  -4-19,  -29,  -71,  -ior,  +139,  -149,  -191 
4-6,  -14,  -21,  -26,  -34,  -39,  4-5  i?  -74,  -j-pr, 

-lii,-i  19,  4~i<56 
-20,   424,-30,-45,  4-54,-56,  470,4-7^,-80,-84, 

-95?  4-9^, -104,  4-105 
4-1 14?-1  ^,-125,  -126,4-130, 4- 13(5,4-145,4-1  50, 

-155,  -170,  4-I7I, -1S9,  4-195 

reliqui 


FORMVLARVM. 


37 


reliqui    autem    numeri    omnes  pro  y  afiumti  reddent 
problema  impoflibilev 

Exemplum     2. 

37.  Rejoluere  in  numeris  integris  aequationem 
5xx-\-xi.  19.  2$zzyy 
Quia  eft  az=z$   et  y  =r  n.  ip.  29  ,  fa<ftores  hi  cum 
forma  bb—$aa  conueniunt ,  et  finguli  in  ea  contineri 
deprthenduntur  :  nam 

pro  11  eft  bzzz^,  azzzi     vnde  etiam  produ&a  ex 
19  --  bzzzS,  azzz.3     binis  in  eadem  forma 
29  --  bzzzy,  azzzo.     continentur 

pro  11.  19  eft  ^bzzzii;  azzz   4?   ergo  tertium  adiun- 

Cbzr  47  •  azzizo  y         gendo 

[bzzz   79;  azzz      6f 

A  j  ^-159;  azzzz  6i\ 
pro  11.  19.  29  eft  ^  ,  ^'  ___  > 
r  *  |  bzzz  129;  *:=:    46  [ 

Uz=529-   0  —  234] 
Cum  iam  fit   ipz^Vs-**»^  £  —  9  ettf=3  4pro  if 
hae  formnlae  infuper  per   1   multiplicatae  duplicabuntur, 
fietque  pro   11.  19.  29 


bzzz  591  \  azzz  262 
bzzz  831  \  azzzz  370 
bzzz  191  ?  «—  78 
&:zr26"7i  \   azzz  1194 


bzzz  241;  #:=:  102 
£=T208i,  azzz  930 
£:=  81  ;  azzz  10 
£3^9441  ;  tf  —  4222 


Hinc  ergo  iam  duodecim  folutiones  probltmatis    fumus 
na&i ,  quae  funt : 


E  3 


38 


DE     KESOLVTIONE 


I.  xzzz     6;yzz   79 

II.  xzz.    10;  yzz    81 
III  a~  46  ;  yzzi  29 

IV.  a*zz  62;  ^^1159 

V.  A'zr  78;j=i9i 

VI.  #—102  ;  ^—241 


VII.  a~  234;  jr=  $29 

VIII.  a.~   262;^—   591 

IX.  .v—   37o;jK=   831 

X.  XZZZ    930;  JZZ208I 

XI.  x=zxi9+'i  J~ 267* 

XII.  xzr 4  2  2  2  ;  jrtr  944 1 


ex  quibus  porro  cum  formula  1—9*  —  5«  4*  coniun- 
gendis  infinitc  nouae  caeque  omnes  elicientur:  ex  fc 
cunda  fcilicet  prodit 

«3^414;  ^^3929;  et  ex  fexta  *:=:i882;  ^=14209 
cx  quinta  xzz.14.66-,  JZH3279;  ex  oclaua  #—4.722; 
JZZ10559  ;  ficque  iam  fedecim  folutiones  fumus  adepti. 

Conclufio. 

38.  His  expofitis  non  amplius  coacli  fumus ,' 
propofita  huiusmodi  aequatione  axx-i-yzz. yy  ,  pri- 
mum  quafi  diuinando  vnum  cafum  fatisfacientem  an- 
quirere ,  fed  numerum  y  examinando  fecundum  for- 
mulas  modo  traditas  ftatim  pronunciare  pctTumus , 
vtrum  aequatio  refolutionem  admittat ,  nec  ne  ?  ac  fi 
admittit  ,  per  eadem  principia  vnam  faltem  folutionem 
elicere  licebit  ,  quod  quidem  promte  fieri  poterit ,  fi 
numerus  y  fuerit  refolubilis  in  factores  non  nimis  ma- 
gnos.  Verum  fi  numerus  y  fit  primus  ac  praegrandis, 
iudicium  quidem  folubilitatis  aeque  eft  facile,  at  inuen- 
tio  vnius  folutionis  maiorem  laborem  requirit.  Veluti 
i\  proponatur  30**4-  1459==:^,  quia  1459  eft  nu- 
merus  primus  formae  120«-+- 19,  aeqnatio  eft  refo- 
lubilis  j  verum  ei  fatibfieri  fumendo  xzz^9  et^~2i7 

non 


FORMVLAR  V  M.  3<> 

non  tam  facile  inueftigatur.  Inueftigatio  fcamen  fubleua- 
tur  ,  fi  ftatuamus  y—  30S-J-7  ,  vnde  fit  xxzn^ozz 
-4- 142-4.7,  et  iam  citius  reperiemus  z  — 7,  et  £:z39 
vnde  proditj—  217.  At  (i  ponamus  ^  —  302-1-13, 
fit  xx  —  zozz  +  2.6  z  — 43  ,  promtiusque  inuenitur 
xzzz$  et^— 47.  Verum  in  numeris  multo  maiori- 
bus  labor  euadit  infuperabilis ,  methodusque  certa  adhuc 
defideratur  negotium  conficiendi :  deinde  etiam  quod 
omnes  numeri  primi,  in  fupra  allatis  formulis  4*«-i-A 
contenti,  fimul  fint1  numeri  huius  formae  bb  —  aaa^  ad 
eas  propofitiones  pertinet,  quas  veras  credimus,  etiam- 
fi  demonftrare  non  valeamus.  In  quo  cum  eximia 
pars  Theoriae  numerorum  verfetur  ,  qui  huius  generis 
problemata  diligentius  perlcrutari  voluerit  ,  nullum  efi: 
dubium  ,  quin  non  contemnendas  veritates  fit  eruturus; 
ob  eandemque  caufam  confido  haec  ipfi,  quae  hic  at- 
tuli ,  vfu  non  effe  carkura  :  ea  ipfa  enim  quae  adhuc 
funt  incognita  accuratius  expofiufle  non  parum  iuuabiu 


DE 


4°  •»   (  o  )  ^fft 

DE 

PROGRESSIONIBVS    ARCVVM 

CIRCVLARIVM     QVORVM     TANGENTES    SE- 

CVNDVM     CERTAM     LEGEM 

PROCEDVNT. 

A  u  c t  or e 

L.     E  VL  E  R  0. 

i. 

Infinitas  huinsmodi  progrefllones  exhiberi  pofle  vel  ex 
his  exemplis  liquet,  quae  olim  propofni  ,  fcilicet  deno- 
tante  7r  arcum  dnos  angulos  recftos  metientem  inueni,  efle 
J-Atang  i+Atang  I+Atang.^+Atang.^+A  tang.^+etc. 
quae  (eries  artuum  in  infinitum  progreditur  ,  tangente 
cuiusque  indefinite  exiflente  zz  jj^  ,  fjmiii  modo  eft 
J-  A  tang  i+A  tang  .|+-A  tang.Tf+  A  tang  /T+ A  tang  fVf  etc. 
hac  arcuum  ferie  pariter  in  inflnitum  continuata  ,  cuius 
qui-que  terminus  indefinite  eft  Atang.  xx+y+t.  Ta- 
les  antem  feries  co  magis  vidtntur  omni  attentione 
dignae  ,  qund  nulla  adhuc  conftet  methodus  carnm 
fammam  a  priori  inueniendi  ,  atque  etiam  ipfi  arcus 
ornnes  intcr  le  fint  incommenfurabiles.  Qiiin  etiam 
ne  expeclare  quidem  licet  methodum ,  cuius  ope  in 
gencre  huiusmodi  feriemm  ,  quamcunque  legem  tangen- 
tes  (equantur,  iumma  inuefligari  queat  •  fed  potius ,  nifi 

haec 


DE  PROGRESSIONIB.  AKC.  CIRCFL.     41 

haec  lex  certis  conditionibus  fit  adftri&a  ,  nullo  modo 
eae  ad  fummam  reuocari  pofle  videntur ,  quae  quidem 
arcu  circulari  exprimatur.  Quam  ob  rem  in  hoc  ne- 
gotio  alia  via  non  patet ,  nifi  vt  a  pofteriori  huiusmo- 
di  leries  inueftigemus ,  quarum  deinccps  contemplatio 
ibrtafle  viam  quandam  directam  patefaciet ;  hincqua 
modum  exponam  facilem  ad  quotcunque  huiusmodi  fe- 
ries  perueniendi ,  qui  cum,  fimpliciflimis  principiis  in- 
nixus ,  ad  tam  ardua  perducat ,  omnino  mereri  vide- 
>tur,  vt  diligentius  euoluatur. 

-2.  Non  folum  autem  hoc  modo  ad  feries  infini- 
tas  deducimur ,  fed  pro  lubitu  progrefliones  dato  ter- 
minorum  numero  conftantes  confequi  pofllimus.  Fua- 
damentum  enim  totius  inueftigationis  in  eo  confiftit  , 
vt  pro  lubitu  numeros  quotcunque  afllimamus ,  qui 
fint: 

«,     P,     V,     *,     e, 
tpi  vt  tangentes  angulorum  fpe&entur.  Cum  enim  ma- 
nifefto  fit 

+Atang.a+Atang.(3+Atang.V+Atang.(D  . 

-  A  tang.p  -A  tang.  y  -  A  tang.«  -  Atang.6  "        g  §'£ 

binis  arcubus  fubfcriptis  colligendis  ob  Atang.p-Atang^.^ 
rzAtang.^~7  habebimus 

A  tang.  ct-A  tang.  e  ■=  A tang.  |^  H-  A  tang.  |=£; 
-+-  A  tang.  }^-t  +-  A  tang.  \~  -  A  tang.  ggj* 

En  ergo  formam    maxime    generalem  ,    vnde    omnes 

huiusmodi  feries  arcuum  originem  ducunt ,    fiue  in  in- 

Tom.lX.Nou.Comm.  F  finitum 


4*        DE    PROGRESSION  IBFS 

finitum    excurrant,     fiue    finito    terminorum    numero 
conftent  : 

Ata*S-^+ Atang.j^-j-  A  tang  ^+A  tang.JiEp+ .  .*.  ^ 
• +  Atang.^~~Atang.<~^7. 

3.  Caiiii ,  quo  numerus  terminorum  eft  finitus  ^ 
hic  non  immorans ,  ftatim  in  feries  infiaitas  inquiram. 
Primo  ergo  pro  a,  (3,  y  ctc.  feriem  harmonicam  aflu> 
marn  in  genere  : 

Hypothefit        '_     _I_       _J __ _l__      __£ etr 

j  a    >    a-+-b  j    a-+-2&>    a-+-s&>    a-*-4&>    c-*-so    ^^9 

rnde  cum  fit  w  — o  habebimus : 

A tang. a == A tang. aa  +  ab+t -+- A tang  a-g+3ai  +  ;^; 

■+- A  &*&  ka^iirfaS  -+- A  tang.  fl-^7aW^^  -H  etc. 
in  infinitum. 

Ac  fi  fingulis  illis  fraclionibus  coramunem  tribuamus.  nu- 
meratorem  c,  erit    fimili  modo 

6c 


Atang.~Atang.B(a^6c)  +  cc^Atang.^-p«aV»6j-i-M- 

-*- A  tang.  (gH^a^H^c  +  A  tang.  t^fc&%+z.  H-  etc- 

n  infinitum. 

Hinc  praecipue  notari  merentur  cafus ,   quibus  numera- 

tor  horum  tangentium  fit  vnitas  ,  quod  euenit,  fi  fuerit 

vel  k-i,.  vel  fi  denominatores  finguli    per  be    fiaut 

diuifibiles. 

4..  Vtroque  cafu  capi  oportet  velvn,  vcl  c~x\ 
ac  fi  pro  priori  fumatur  6—1,  prodibit 

A  tang.  j  -  A  tang.  ^;^  *%  A  tang.  77^*^7 
+ A  tang.  flir^r7«— r  +  A  tang.  iz+Ta+n 

cuius 


ARCVVM    CIRCVLARIVM.     4S 

cuius  terminus  in  genere  eft  A  tang.  -^-^__~ 
Tnde  pro  fimplicioribus  valoribus  ipfius  a  nafcuntur  hae 
feries  : 

A  tang.  I  —  A  tang.  i  -+-  A  tang.  |  -+-  A  tang  J  -+-  A  tang.  ^ 

-+-  A  tang.  £  •+-  A  tang.  \-x  -+-  etc. 

A -tang.  i  r=  A  tang. i  -+-  A  tang.  \  -+-  A  tang.  7?  +  A  tang.  ,', 

-4-  A  tang.  ^  4-  etc. 
A  tang.  |  s:  A  tang.  \  -+-  A  tang  f*s  4-  A  tang.  5f  4- Atang.^ 

H-Atang  £-4*  etc. 
A  tang  \  rz  A  tang.  £  -+-  A  tang.  i  -+-  A  tang.  |f+Atang.^ 

-+-Atang.5V  -4-eto 
A  tang.  i  =  A  tang.  &  -4-  A  tang.  i,  -+-  A  tang.  ,\+Atang.£ 

-+-Atang.y'f-f-  etc 
ete. 

5.  Pro  b  alios  numeros  capere  non  licet ,  nifi 
tjui  fint  diuifores  ipfius  aa-hi  ,  vnde  fi  bzzi  ,  ne- 
ceffe  eft  fit  #  numerus  impar  :  hincque  fequentes  na- 
icuntur  feries : 

A  tang.  1  r=  A  tang.  5  -4-  A  tang.  f  -+-  A  tang.  Z,  +  A  tang.  ,*, 

-+•  A  tang  /5  4-  A  tang.  ^  etc. 

A  tang.  J zz  A  tang.  i  •+-  A  tang  £  -4-  A  tang.  f'5  +  A  tang  i 

-+-  A  tang  7\  -+-  A  tang  £  etc 
Atang.|~Atang.fV-T-Atang.I,i-i-Atang  5,04-Atang.;i 

-4-Atang  5r3  etc. 

A  tang.  £  s=  A  tang.  ~s  -+-  A  tang.  /,  4-  A  tang.  /s  +  A  tang.  j, 

etc, 

etc. 

F  ft  ^.  Si 


44-       DE   PROGRES  SIONIBFS 

6.  Si  ftatuatur  £z=5,  fumi  dtbet  «1=15  «+2; 
binc  fit : 

A  tang.  \  zr  A  tang.  1  -+-  A  tang.  ?V  ~h  A  tang.  |,  +  A  tang.£. 

-+-  A  tang.  eis  -f-  A  tang.  ^  -+-  etc 

A  tang.  1  =  A  tang. J  -f-  A  tang.  5'f  -+-  A  tang.  {7  +  A  tang.  £ 

-+-  A  tang.  1SV-+-  Atang.  T/f  -+-  etc 

A  tang.  i  zz  A  tang.  4  4-  A  tang.  ,V+-  A  tang,  £  +  A  tang;T& 

-+-Atang.  ?V?;  etc. 
A  tang.  J  r=  A  tang.  ,V  -fc-  A  tang..4v  -+-  A  tang.  ,',+■  A  tang,  £, 

-f-Atang.^etc. 
Primae  terminus  generalis  eft  Atang.  jxxZ£H>  fecun- 
dae  A  tang.  ^qrx—  fequentes  autem  ex  prioribus  faci- 
le  deducuitur,  quas  ideo  pofthac  omittemus. 

7.  S\  £=rio,  fumii  debet:  <g:nio«;+  3  „  Ynde 
oriuntur  hae  duae  feries .% 

A  tang.  I  ==  A  tang.  j  -j-  A  tang.  $  -+-  A  tang.  fi  +  A  tang.  T*5, 

-+-Atang ..,1,,-h  etc. 
termino  generali  exiftente  A  tang.  tf^~x"T« 
Atang.irrAtang.^-T-Atang.^+Atang.^+Atang.^ 

-f-Atang.5^-T-  etc. 
termino  generali  exiftente  A  tang.  77^—-^^ 

8.  Simili  modo  pofito£=ri3,  et  0:1:13«+$, 
prodibunt 

A  tang,  }  r=  A  tang.  J  -+-  A  tang.  4V  -f-  A  tang.  TJ? 

-i-  A  tang.  4Jf  -+-  etc. 
termi- 


ARCVVM   CIRCVLARIVM.     +$ 

termino  generali  exiftente  Atang.  I3  xx2_3X__~t 
Atang  i  =  A  tang.  U  +* A  tang.  ,V+ A  tang.  *W  ■+•  A  tang  ^ 

-+-  etc. 
termino  generali  exiftente  Atang.  \lXXm^.Xmmtt. 

9.  Sit  irzn i7r capiaturque  a~  17 r-f-  4,ac  prodi-- 
bont 

A  tang.  % — A  tang,  f  -f-  A  tang,  5 +  A  tang.  T*  ?  +  A  tang  .^ 

-+Atang  j^etc. 
termino  generali  exiftente   Atang;  ,'yXXJ'  x_y- 
A tang,  n  ==  A  tang.  fc  -+-  A  tang.  &+  A tang,  ^  Atang.?§, 

-+■  A  tang.  ^  etc. 

termino  generalr  exiftente   Atang, ■l?>^»,^ 

10;  Sit  £=25,  captoque  cz=tf$ir+7'<i  erit 
Atang  l  zzz  A  tang.  |,-+  A  tang.  ^  -+•  A  tang.  tmf  +  A  tang.?!f 

-j-Atang.!fJ-+etc. 
termino1  generali  exiftente  A  tang  2SXXmMl;tXmm,s. 
Atang.  5  =r  Atang.  /i+  A  tang,  ST7  +  A  tang.  3IV+Atang.^f 

-f-Atang.jij  etc. 
termino  generali  exiftentc  A  tang.  igg^  sz^T 

lr.  Hinc  iam  in  genere  cofligere  poterimus ,  fi 
fiierit  0  numerus  quicunque  ,  fitque  aa-\-i~mn , 
fore 

Atang.^Atang.^w+Atang.f-^^+Atang.  ttr-^-T, 

-+Aung.  7—^77^  ecc- 
F  3  termi- 


4*       T>E   VROGRESSWNIBFS 

termino  generali  exiftente  Atang.  nxx^(2aJn)x~.a^ 
fen  hoc  rnodo :  A  tang.  ^,^,,,,^ 

Si  ergo    fummam    huius    feriei    inhnitac  per  /A  tang. 

nXx^2aJn^a^m  indicemus  ,    confequemur    hoc   Theo- 

rema : 

/A  tang.^uJn)x,~-  =  Atang.J,exiftente  aa+izm*. 

12.  Videamus  ergo ,  quibus  eafibus  feries,  cuius 
terminus  generalis  eft  A  tang.L3;jc.4_lM;c.+.N  .  fnmmari 
queat  •  et  comparatione  inftituta  deprehendemus ,  hoc 
fieri  poffe  7)  quoties  fuerit  MM  +  4z:LL  +  4LN; 
ideoque 
vel  Lr-2N+V(MM-f  4NN4-4).  vel  M^V^L-4-4LN-4) 

-     .,  MM  — LL+4 

vel  N  == -L . 

Atque  fi  haec   relatio    inter  coefrlcientes   L  ,    M     N 
locum  habuerit,  erit  /Atang.f^^^^Atang.-i^rM 
fiue  erit 

At{mg-f^M  =Atang.  i^rkrFi  -+-  A  tang.  4L_+./M.HM 
-+- Atan§-  ,L+a-fN  -4-Atang.  ^tt^m^n  -+-  *tc. 

Hvpotber  *^'  ^um  ^aec  ex  progreftione  harmonica  fequan- 

//#       tur  ,  pro  a  ,  (3  ,  y  ,  £  etc.  fumamus   hanc  feriem  : 
-.  £r+-<*.  Lzt2d.  c-*-zd    c-\-id 

<*  •)  a-*-b\  a^-2b\  o+j&ia+i6    »    CtC* 

vnde  cum  fit  a—  c-  et  o)*=:|,   hanc  adipifcemur  fum* 
mationem  : 

Atang.  J^nAtang.  ^^Vi5j+AtanS'Ca+fc)(a+^+(c+^c+^)+  ctc" 

cuius 


ARCVVM    CIRCVLARIVM.      47 

eaius  terminus  generalis  efl  ^^mdmm^mmm 

14.  Vt  iam  numerator  huius  tangentis  vnitati 
fiat  aequalis,  vel  efie  debet  bc—adzzzzi  ,  yel  deno- 
minator  per  numeratorem  bc  —  ad  diuifibilis ,  quod  po- 
fterius  euenit  fumendo  ; 

a  —pr-^qs7  c=:ps-qr\  bzzzzpt-\-qu,  dzzzzpu-qt 

dum  fit  st—ruzzzzt. 
rum  enim  fiet  r 

A  tang.  fJliTTu  —  J  A  tang-  f  r-f.ss-H(rf-f-six)(2x— , )+  (f  f-+.uu)x(x_I  j* 

Verum  haec  formula  cum  praecedente.  ita  conuenit ,  vt 
hinc  nullae  nouae  feries  eliciantur* 

X5.  Fra&iones  autem   continuae    admodum    ido*     ^     *» 
ueos    praebent    valores  pro    numeris  <xr  (3,  y,  t3L  etc,        *$& 
aflumendos.    Si  enim  fuerit  ; 
xzza-\-i_^ 

c-\-  r 


/+£ 

^-t-etc 

Mnc 

fequens  feries  fradionum  conftituitur,  pro  a 

■'&Y>* 

etc. 

capiendarum : 

•> 

(3      Y             * 

a      ah-\~i      a&c-4-c-f-a 

8 
a5cd^-c  d -+- ad-f-o& -H-t 

'5  etc. 

qua^ 


48        DE    PROGRESSIONIBVS 

quarum  vltiroa  ipfi  valori  ipfius  z  eft  aequalis. 

itf.  Quodfi  hic  eam  notandi  formam  ,  quam  in 
Algorithmi  fiogularis  fpecimine  tradidi ,  introducamus  t 
hae  fractiones  ita  exprimentur : 

a      (3        y       S  t  % 

■i  .      (a).      (°'b)       '(«>&»*)       Xe,b,c,  rf^     ia,b,cyd,e) 

vti  notari  oportet ,  <efle 

(*,  £)  — :  *  (&)  4-  i  ~J  (* )  4-  * 

(*.*,  0  =4  &*)  •+-  (O  =s*  (*,  b)  -4-  (a) 

(a>  b,c,  d)  z=:a  {byc,  d)  -+-  (ct  d)  zc  /(«|  £,  r)  -4-  (* ,  fr) 

<etc.. 

17.  Cum  igitur  Gt  ar=J,  et  w=r:«,  erit 
Atang.i=rAtang.jH-A  tang.  py^  -+-  A  tang.  ^=^ 

•4-  Atang.  $-f~  -+-  etc. 
vbi  eft  p  rr:  *  ;    et  p~~-t  cr  ftgj~»)-Mft)  i  tum  vero 

7~S rh_L 

7  5  -+-  1  (<*>  6)  ( a,  b,  c)  .-+-  (6)  (6,c) 


*«-»-»  —  (a,6,c)(a,6,  c,  d)H- (&><=)(&,  c,d) 

«  —  ? zzj_ 

i  £•#■!»  —  K&j  c>  d)  (c,  6,  c,  <J,  e)^-(&,cJ<i)(6,c^,  e  ) 

etc. 
ita  vt  omnes  numeratores  iamfint,vel  -4~i,  vel  -1. 

18.    Quodfi    breuitatis    gratia    loco    illius    feriei 
fcribamus 

a    b      c      d      e       f     g 

,.       o.        ?  .        C#        D  E.        P 

'•)     M      »)      £>      2)?      C?      3  )   €tc 

Tt 


ARCVVM    CI RCVLARIVM.      49 

Tt  fit; 

B=z<7£-t-i  33  =  * 

C  =  cB  +  a  e  =  fSB-4-« 

E=^D-HC  <£  =  *©-+-£ 

F=/E-t-D  g  =  /€-*-© 

etc.  ctc. 
erit 

Atang-irAtang.J-Atang.^^^fAtang.^a+o^BB+^ 

—  A  taDg.B-f.fc(afl^7)^:5(BBHl® 35)  -M (CC  4^) 

4-  A  taOg.  a-+-&(ac-4-  i).+-c  (Bf4-$$)-f^lCCW-££)4*(DD-HD01 

etc. 

X9.  Confideremus  fractionem    continuam    defini- 
tam  hanc ; 

,^_x  cuius  valor  eft  =Va 

£  etc. 
▼nde  fraftiones,  quarum  \ltima  eft  ^Vs',  funt 
x       x       2       «2.       2       2        2        2 


».     7.     12-     sis     II:     ?3^  etc. 


V,         a,         j)         fM        W1         '5>         m 


Cum  iam  fit  ^~,  ec  u^V*,  ent 
Atang.^^Atang.i-Atang.^Atang.^-Atang.Tii 

+  A  tang.  ^5  -  etc. 

lom.  IX.  Nou.  Coram.  G  cuius 


5o         DK    rROGRESSlONIBJS 

cuius  feriei  lcx  non  fttis  eft  pcrfpicua  ,  proptcrca  quod 
in  fra&ione  cominua  ordo  indicum  clt  intcrruptus  ,  qui 
ii  obferuacur ,   vt  fit 

14-1  zz  z  ^h  V2  vnde  oiiuntnr  hae  fractiones 

2  -f-  etc. 
3222222  2 

s  i,  •«  r«  !6c  *0«     e».c 

J,  t,  ||  5  >  «I  Wl  73  >  i*5     ctl" 

A  tang.  7^7,  =  A  tang.i -  A  tang.^-f- A  tang  7*3  -  A  ting  ^ 

-4-Atang.3TV>r-etc. 
\bi  eft  70r=:6.ia-2j   408=16.70-12;   2378=6". 

40  8  -  70  etc. 

ct  A  tang. 


- — j    •  -+-  v  2  —  » •  t 

20.  Hoc  modo  quaccunque  alia  fra&io  contiuua 

Jractari  poteft;  velutt  cum  fic 

•  -»-! 

2-4-^ 

2  etc. 
hinc  orinntur  feqvientes  ex  indicibus  fractiones: 

X  1  2  I  2  I  2  12 

O  >  T)  7  |  5  »  5  »  TT  »  Ts  |  *f  >        J5     CtC. 

▼bi  ob  a=r<Nj,  et  wzzVs  ,  erit 
A  ung.  £  z=  A  tang.  1  -A  tang.f  4- A  tang.  ^- A  tang.Jf 
4- A  ung.f;f  -  A  tang.^,4-  ctc. 

fii 


AKCVVM    CIRCVLARIVM,       $i 

fin  autem  tantum  fractiones  alternae  fumantui 
»        2        7        **        w*       *£i     etc. 

obtinebimu!: : 

Atang  .y-3zAtang.H  A  tang.TYf+-A  tang.3^+A  tang.T7V,+  etc. 
cuius  aenominatores  omnes  funt  duplicata  quadrata  j  fci- 
licet 

A  tang.  ^  —  A  tang.  ^  -+■  A  tang.  £■*  -|-A  tang.^i 
-+-  A  tang.  r77»  -+-  A  tang.  ^— %  -+-  etc. 
Sumtis  autem  alteris  alternh,  prodit  ob  A  tang.  y^  ~  * 
et  A  ung.  i  =  ~y ;2  =  A  tang.  j  4-  A  tang.  *  «f-A  tang.  s5, 
-+-Atang.„}ii-+-  ctc* 

qui  denominatores  funt  quadrata  ,  quorum  radices  hanc 
progreffionem  conftituunt  : 

12345  * 

2,    8,    30,    112.    418, \g±4jg±£dbf 

ai.  Cum  autem   fractiones    continuae    ad    huius- 
modi  feries  arcuum    deduxerint ,     vicifilm    fumma    talis 
feriei  ope  fractionis  coatinuae    exhiberi    poterit ,    quod 
commodiffime  fequenti  modo  praeftabitur, 
Sit  A  tang  ^zz A  tang.^-A  tang.|-+-A  tang.*-A  tang  J 

-+•  Atang.^-A  tang./  etc. 
ac  ponatur 

Atang.izAtang.J-Atang.lcritsrz^V^:  tf+zgi 
Atang.jzA  tang.J-Atang.J  erit  £  n  -ccJty  =r  £ 


fc& 


H-C 


Atang.izAtang.^Atangf.eritC-^Tzrc  +  ^ 
A  tang.  I  =  A  tang.  j-Atang.  |  erit  D =  £±jf  =  d -gfg 
etc  etc. 

G  a  hinc 


fz  DE  PROGR.  AKQVVM  CIRCVL. 

hinc    ergo    colligendo    habebitur    per    fra&ionem  con- 
tinuam  : 
zzza-\-aa-\-i 

—a-\-b-\-bb-\-i 


—b-\-c-\-cc~\-\ 


—c-\-d-\-dd-\-i 


d-\-e~\-ee-\-i 


— tf-Hf-hetc 
vnde  valor  ipfius  z  definitur. 


SPECI 


*&•(©)  •»§?#  53 


S  P  E   C   I   M  E   N 

ALGORITHMI     SINGVLARIS. 

Au&ore 
L.     E  V  L  E  R  O. 

i. 

tanfideratio  fra&ionum  continunrnm  ,  quarum  \fum 
yberrimum  per  toiam  Analyfin  iam  aliquoties 
oftendi  ,  deduxit  me  ad  quantitutes  certo  quodam 
modo  ex  indicibus  formatas ,  quaium  natura  ita  eft 
comparata  ,  vt  fingularem  algorithmum  requirat.  Cum 
igitur  fumma  Analyfeos  inuenta  maximam  partem  ai- 
gorithmo  ad  certas  quasdam  quantitates  accommodato 
innitantur  ,  non  immerito  iuipicari  licet  ,  et  hunc  al- 
gorithmum  fingularem  non  exigui  vfus  in  Analyfi  efle 
foturum  ,  fi  quidem  diligentius  excolatur  :  etiamfi  ei 
tantum  non  tribuendum  cenfeam  ,  vt  cum  receptis  al» 
gorithmis  comparari  mereatur. 

2.  Sequenti  autem  modo  ad  eas  quantitates ,  de 
quibus  hic  agere  conflitui ,  fum  deductus :  fi  habeatur 
fia&io  continua  a  -f-  i  cuius  valor  fit    in- 

M-r 

f-f-i 
1 
veftigandus,  ex  numeris  ay  b,  c,  d,  tanquam  indidbu* 
aflumtis ,  fequenti  modo  fractiones  formantur  : 


a   b 

C 

d 

t      a . 
•  >    I? 

b     : 

abc-i-c-+-a      abc  d-+-c  d-t-cr  d-+-c*-+-  i 

G  3                           Pri- 

54  S  P  E  C  I  M  E  N 

Primnm  fcilicet  locum  obtinet  femper  fraclio  J,  fecun- 
dum  °,  cuius  numerator  eft  primus  indicum  a>  deno- 
minator  vero  vnitas.  Sequcntis  cuiusque  fradtioni» 
tam  numerator,  quam  denominator,  inuenitur,  fi  prae- 
cedentium  vltimus  per  indicem  fupra  fcriptum  multi- 
plicetur  ,  et  ad  produ&um  penultimus  addatur. 

3.  Conftat  autem  harum  fradrionum  poftremam 
ipfi  fradlioni  continuae  propofitae  effe  aequalem,  prae- 
cedcntes  autem  tam  prope  ad  hunc  ipfom  valorem  ac- 
cedere  ,  vt  nulla  fradtio  numeris  non  maioribus  con- 
tenta  exhiberi  queat ,  quae  ad  illum  propius  accedat. 
Atque  ex  hoc  fonte  problema  illud  a  Wallifio  olim 
tra&atum  facile  refoluitur  ,  quo  propofita  quacunque 
fra&ione  ex  ingentibus  numeris  conftante  ,  aliae  quae- 
runtur  fractiones  ex  minoribus  numeris  conftantes ,  quae 
tam  parum  a  propofita  difcrepent  \  vt  minus  difcre- 
pantes  exhiberi  plane  nequeant ,  nifi  maiores  numeros 
adhibere  velimus. 

4.  Hoc  autem  aliisque  vfibus ,  quos  fractiones 
continuae  fuppeditant ,  praetermiflis ,  hic  inprimis  ob- 
feruo,  in  ferie  illa  fra&ionum  ex  indicibus  formatarum, 
tam  numeratorcs ,  quam  denominatores ,  eandem ,  pro- 
greftionis  legem  fequi ,  et  feorfim  effbrmari  pofle.  In 
vtraque  enim  ferie,  fiue  numeratorum,  fiue  denominato- 
rum,  quilibet  terminus  per  indicem  fupra  fcriptum  mul* 
tiplicatus,  et  termino  antecedente  au&us,  praebet  termi- 
num  fequentem.  Vltimus  autem  numerus  fupenoris 
feriei  componitur  ex  omnibus  quatuor  indicibus  a->b,c.dy 
peaukimus    tamum    ex  tribus  a}  b>  c,  aniepenukimus 

tantum 


ALGORITHMI   SINGVLARIS.        ** 

tantum  ex  duobus  a,  et  b.  Inferiores  autem  numeri 
primum  indicem  a  plane  non  inuoluunt ,  fed  ex  reli- 
quis  by  c,  d  aequali  lege  formantur. 

5.  Qiioniam  igitur  ratio  formationis  ex  iru 
dicibus ,  tam  pro  numeratonbus ,  quam  pro  denomi- 
natoribus  ,  eft  eadem  ,  ac  datis  indicibus  numerus  indc 
formatus  innotefcit ,  hos  ipfos  numeros,  quatenus  ex  in- 
dicibus  funt  formati  ,  hic  fum  contemplaturus  ,  eorum- 
que  algorithmum  traditurus.  Propolltis  autem  indicibus 
quibuscunque  et  quotcunque  a>  b,  c,  d,  numerum  ex 
iis  formatum  hoc  modo  (a,  b7  c}  d)  denotabo,  eritque 
ergo  euolutione  inftituta : 

(a,  by  c,  d)  —  abcd-+-cd-\-ad-\-ab-\-i 
fimilique  modo  pro  denominatoribus    indicem    primum 
a  omittendo 

(b,  c,  d)~bcd-\-d-\-b. 

6.  Haec  ergo  teneatur  definitio  fignorum  (  ),  in- 
ter  quae  indices  ordine  a  finiftra  ad  dextram  fcribere 
conftitui  ;  atque  indices  hoc  modo  claufulis  inclufi  in- 
pofterum  denotabunt  numerum  ex  iftis  indicibus  for- 
matum.  Ita  a  fimplicillimis  cafibus  inchoando ,  habe* 
bimus : 

(a)  =za 

(a,b)        zzab-\-i 

(ayb,c)      ^zabc-\-c-\-a 

(at  b,  c,d)  —abcd-\-  cd-\-ad-\-ab-\- 1 

(a}b,c}d}e)—akde-±-cde-+-ade-i-abe-i-ab<;-t-e-i-t-i-a 
etc. 


$6  S  P  E  C  I  M  E  N 

«x  qua  progrefiione  patet ,  vnitatem  tenere  locum  hu» 
ius  figni  (  )  ii   (cilicet  nuilus  adfit  index. 

7.  Quemadmodum  hae  exprefliones  crefcente 
indicum  numero  vlterius  fint  continnandae  ex  formatio- 
nib  le^e ,  qua  quilibet  ex  duobus  antecedentibus  compo» 
nitur  ,  fponte  liquet.     E(l  fcilicet  : 

(a,  b)  zzb(a)  -±-  1  zzb(a)-h( ) 

(a,b,c)         zzc(a,b)-\-(a) 

(a,b,e,d)     zzd(a,b,c)-Vda,V) 

(a,  b,  c,  d,  e)  zze(a,  b.t  cy  d)  -\-  (a,  b,  c) 
In  genere  ergo  habebitur : 

(aib)c....p,qyr)zzr(a,b,c....p,q)-\-(atb,c....p) 
quae  connexio,  tanquam  corollarium  definitionis  nume- 
rorum  ,  quos  hic  conremplamur  ,    fpe&ari  debet. 

8.  In  euolutione  horum  valorum  ,  vti  ante  §.  6" 
funt  exhibiti  ,  difficuiter  ratio  compofitionis  cernitur. 
Poflunt  autem  ii  quoque  hoc   modo  repraefentari ; 

(a)  za(i) 

(a,b)         zab(i+~) 

(ayb,c)       =***(i4-X+ra) 

(a,b,cj)    zabcd(i-\-j-b-\-~-\-i-d-\-zhd) 

(a.b.c.d^zabcde^i^-^^^ie^^d^^^he^ 

In  his  autem  denominatoribus  occurrunt  primo  fa&a 
ex  binis  indicibus  contiguis,  tum  vero  produ&a  ex  bi- 
nis  illorum  fa&orum  ,  qui  nullum  indicem  communem 
inuoluunt ,    tum  lcquentur  produ&a  ex  ternis ,    quater- 

m 


ALGORITHMl    SINGVLARIS.      57 

riis  etc.  combinationibus  ,  quae  nullum  implicant  indi- 
cem  communem  j  vnde  ratio  coropofitionis  iam  fit 
perfpicua. 

9.  Ex  hac  euolutione  iam  manifeftum  eft ,  fi 
indices  ordine  retrogrado  difponantur  ,  eosdem  plane 
prodire  numeros  inde  formatos.    Erir  fcilicet 

(*,  b)  =r  (b,  a) 

(a,  b,  c)  —fe  b,  a) 

(«,  b,  c,  d)       =  (</,  c,  b,  a) 

(a,  b}  c,  d,  e)  =  (e,  d,  c\  b,  a). 
Dummodo  ergo  ordo  indicum  detur ,  fiue  fit  direclus , 
fiue  retrogradus,  perinde  eft-  vtroque   cnim  modo  idem 
numerus  inde  formatus  obtinetur. 

10.  Hinc  ergo  fequitur  ,  fore  formulas  §.  7  hoc 
modo  inuertendo  : 

(a,  b)  z=  a  (b)  -H  1 

(a,  b,  c)  =  a  (b,  c)  -f-  (c) 

(a,b,cfd)      =  a(b,c,  d)-±-(c%d) 
(a,  b  c,d  e)  —  a  (b,  c,  4,  e)  -+-  (c7  d>  e) 
atque  in  genere  eiit  pro  quotcunque  indicibus  : 
(a,  b,  c\  d,  etc.)  —  a  (b,  c,  d,  etc  )  -+-  (c,  ds  etc.) 

11.  Si  ergo  ponatur  : 
(a%  b,  c,  d,  e,  etc)  zzz  A 
(£,  c,  d,  ey  etc.)  =:  B 
(c\  d,  e,  etc.)  zz  C 
(dy  e,  etc.)  zz  D 
(e,  etc.)  =  E 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  H  habe- 


58  SPECIMEN 

habebimus  has  aequalitates  : 

A=zaB-+C  feu  |rr*-+£ 

Bzz£C  +  D  fcu  §=z£+-| 

C=z<-D-4-E  feu  I^Wg 
etc,  etc. 

12.  Cum  igitur  fit 
C  i  D         i        E 


B—M-jP  C—^«   D-rf+| 
erit  his  valoribus  fubftituendis : 
|z«+£z*-f-i     ztf+i     ztf+r 


etc* 


ir*Tj 


^+?        £+i     _*+i 


e+§        f-H 

Vnde  fi  £  fit  indicum   vltimus ,    ita    vt    fit    Ez=£  @>fc 
Fzi  ,  erit 


A  —  {ct;b,c,d,e) 


b^rt 


£-+-*•  : 
d-\-  i 
e 

ficque  patet,  quemadmodum  per  huiusmodi  nuracros  va« 
lores  fractionum  continuarum  commode  exprimi  queant. 
13.  Si  ergo  indicum  numerus  fuerit  infinitus , 
etiam  ftadtio  continua  in  infinitum  excurret  f  eiusque 
valor  erit  zz.{^~j~^.  Viciflim  autem  fractionum 
continuarum  proprietates  cognitae  nobis  infignes  affeciio- 
nes  huiusmodi  numerorum  ex  indicibus  formatorum  ma- 

nifefta* 


ALGORTTHMI   SINGFLARIS.        $9 

nifeftabunt ,  quas  diligentius  cuoluere  operae  erit  preti- 
um.    Sit  igitur  fradho  continua  ,   fiue  in   infinitum  ex- 
currens ,  fiue  fecus  propofita  : 
^  _j-  i  cuius  valor  indicetur  littera  V 

e-j-i 
/etc. 

et  fumendis  omnibus  indicibus  a  ,  b  ,  c ,  d ,  e ,  /  etc» 
«rit ,  vti  demonftrauimus : 

«r  , (a,b,c,d,e,  fetc) 

V  —  "{b,ctd't,  ?>f>  rt*  * 

14.  Si  quispiam  horum  indicum  rlat  infinitc 
tnagnus ,  is  in  hac  cxpreftione  cnm  omnibus  fequenti- 
bus  poterit  omitti ,  et  valor  fradhonis  continuae  tantum 
per  indices ,  qui  infinitum  praecedunt ,  exprimetur» 

Ita  fi  fit  £=rco  erit  ?=& 

fi  fit  czzc*  erit  V-(fif 

fi  fit  dzzco  erit  V^-jETif1 

fi  fit  e=™  erit  Vzz^f*. 

Vti  ergo  his  cafibus  fradlio  continua  abrumpitur ,  ita 
etiam  valor  V  alios  indices  non  implicat ,  nifi  qui  in- 
dicem  infinitum  antecedunt. 

15.  Sin  autem  nullus  indicum  in  infinitum  ex- 
crefcit ,  hi  ipfi  valores  continuo  propius  ad  verum    va  • 

H  £  lorem 


60  SPECIMEK 

lorem  V  accedunt.  Sciiicet  fi  fuerit  V-^^^> 
fracliones  in  ftquenti  ferie  expofitae  : 

(___)  .    (a,  b)       (a,b,c)  t    (a,.6,<r>rfl  .    (a,b,  c,d,e)   . 
i     »       (6)     )      (6,e)      >       (6,c,d)      >        (6,c,d,e)      i    etC- 

continuo  proprius  ad  valorem  V  accedunt ,  earumque 
vitima  demum  eius  valorem  verum  exhibebit  ;  fiqui- 
dem  indices  a  ,  b  ,  f  ,  d  etc.  fuerint  numeri  vnitate 
maiores.  Prima  quidem  '  notabiliter  ab  V  difcrepare 
poterit  ;  fecunda  autem  propius  accedet  ,  tertia  adhuc 
propius,  et  ita  porro,  donec  tandem  vltima  verum  va* 
lorem  V   fit  pracbitura. 

i-5.  NecefTe  ergo  eft  ,  vt  difTerentiae  inter  binas 
huiusmodi  fractiones  contiguas  continuo  fiant  minores  \ 
quod  quo  clarius  perfpiciatur  ,  has  differentias  inueftige- 
mus ,   quae  erunt: 

{_)  __  Qa,V) (a}(b)  —  :(a,b) 

(b)     —  ,(&) 

(g>&)  __  la_______)^.(a,b)(bfc)-.(b)(a,bic) 

(b)  ~(b,c)   —  (b)(b,c) 

(a,b,c)        (a,b,c,  d)  _(a  ,b ,  c)(b ,  c  ,  d)—{b  ,c)(a  ,b ,  c ,  d) 

(b,c)            (t,c,i)     —  (b,c){b,c:d)  " 

(a,b,c,d)  __  (  a,b,c,d__el  (a,b.c,d)(b,  c,  d,  e)  —  (b,  c,  d)  (a,  b,  c,  d,  e) 

(lKc>  a)  ( b,  c,  d,  e)      U),  c,  J)  [b,  c,  d,  e) 

17.  De  harum  differentiarum  denominatoribus  , 
qui  ex  binis  fadoribus  funt  conflati  ,  primum  ob- 
feruo  ,  hos  fa&ores  inter  fe  effe  nnmeros  primos  , 
quod  quidem  ex  antecedentibus  eft  fatis  manifeftum.' 
Cum  enim  pro  denominatore  (b ,  c ,  d(b ,  c ,  d \e) 
fit  {b,c,d^e)-e{b,c,d)^(b,c)  erit  &&?# 
—  ^-+-(iT77dl  >  vnde  factores  (b,c,d)  et  (b,c,d,e) 
communem  diuiforem  non  habebunt,  nifi  qui  fimul  fit 
communis  diuifor  numerorum  (b,c)  et  (b,c7d)  ;  ve, 
rum  ob  eandcm  rationem  horum  numerorum   commu* 

nis 


:r::  :i  si  :        *x 

1.17?'.  '.  '      '- 

:.-.    ?:~    ?....-    ziitLi:    :?•_-- r  ;::-:■  r    ;  .      -;r  .  : 

Ok  bkfaBt,  — i— ^tt  pnaptaci  Banrcn  prjra. 
Tcro  cdrai  iaccll^:ssr  5  onznsxas     *,  £-  *r  tf  ,  ec. 
(*,<»,  4,ckO  cte  ioecr  fc  prar 

£>ifibicsKi>e  er~5  3be  wammei  -:  Sc  lajjtLaa^ 

:-;.:..-       i:e:i:      ._    .  .    ;    :;     t:    :;::    :  ;i-:  -:.:_:  - 
.      :    .  ...  "  :  r  r_;r :  • 

.  : :       -     . 

-    axz 

-:  =  --_-.«    :"-:  =r  -  I 

Tnsi    ▼«©    pre  Secoooo ,   c4>    > ,  *"    — .        —  i    r* 

(#,#   .    =z  —         eric 

:..::    ::•:;:::    :.:r.:._      .:.;-    .    .    -   .    ."  -;-      ■=:;..;.- 

WH;      =  —        a  n  fit  feanJas  anacncor 

(«  =  —  i- 

.-  :    -.-:-:•:    '=:   :::■$     :: 
cft    icdoShs  ,    ki    tttis 
:  "::-;.    _:•:..    .;:_-;      :.;:_:    .r~::    ;.7;    ;::_..... 
Xam  qni  (*,f,  .-■..-.      ct 
<«,*,*,  .'    ZZd    I    :    .    —    : 

-   -   .         •   •  -         [*•*} 
B    3 


6i  S  P  E  C  I  M  E  N 

H.iec  ergo  expreflio  tranfit  in  -(a)b)(b9c)-\-(b)(a9b,c)~-iy 
quia  cfl:  denominator  fecundus  negatiue  fumtus.  Eodem. 
autem  modo  numerator  quartus  aequabitur  tertio  ncga- 
tiue  fumto  ,  et  in  genere  quilibet  fequens  praecedenti 
negatiue  fumto. 

20.  Hinc  ergo  confequimur  fequentes  redu&iones 
non  parum  notatu  dignas  : 

(a9b)(b9c)  ~(b){a9b9c)~-\-z 

(a9  b,  c)(b9  c9  d)         —(b>c)(a9  b9  c,  d)~z—i 
(a9b9c9d(b9t9d9  e)-(b9  c9  d)(a>b9c9  d9  *)=  +  * 
et  in  genere 

(a9b9c9d m)(b9  c9  d9 m9n)-(b9  c9d m) 

(a9b  9c,d m9  «)rr-4-  i 

vbi  -f- 1  valet ,  fi  in  primis  vinculis  numerus  indicum 
fuerit  par,  contra  vero  —  i. 

21.  Ipfae  ergo  dirTerentiae  fupra  expofitae  erunt: 

(o)       (a,M ^i 

t            (b)     —i(6) 
(a,b)        (a,b,c) .+.  r 

(b)     ~~  (  b,c)    —  (b)(b,c) 

(a,  b,c)      (£  ,b,c  , d) ^_  — T 

(b,c)         (b,c,d     (b,c)\b,  c,d) 

(a,  b,c,d)       (a,b,c ,d;e) i 


(b,c,d)  (b,c,d,e)    — ~~t-  [b,c,d)(b,c,d,e) 

(  a  ,  b,  c,  d,  e  )      (a,b,c,d,e  ,f)_ i 

\b}c}d}e)  (b}c,d,e}j)     (b>  c  ,  d,  e)(b}  c,  d,  e,f) 

etc. 
vnde,cum  hae  difFerentiae  minores  efle  nequeant,  ipfae 
fractiones    tam   prope  ad  fe  inuicem    accedunt ,    quam 
fieri  poteft. 

&%, 


JLOORITHMl    SmGrLARIS.  6$ 

22.  Cum  fit  ex  §.  7-  (M)-1.—^}*  fy&A 

~(b)=:d(b,  c);(b,c,d,e)-(b,c)z=:e(b,c,d)    etc. 
erk  binis  illarum  differentiarum  addendis 

(a )      (a,b,c  ) t c      _ 

i.  ~"   (6,c)     ~~   1(6, c) 

(a,b)      (g,b,c,d) ,     d_ 

(b)  (b,  c,d)  — ^^  (b)[b,c,d) 

(*,b,  c)      (a.b,  c,  d_,J ^ . tr 

(b,c)     ~~  Xb,c,d,e)   —       (b,c)(b,c,d,e) 
(a,b,  c,d)        (a,b,c,d,e,f) f_ 


(b}c,d)  —  (b,c,d,ej)     -T~(b,c,d)(b,c,d,e,f) 

etc 

eritque  hic^-r*,  et  ^jzzza-hl)    vnde  reliquae  for^ 
roulae  concinne  poterunt  exhiberi. 

23.  Ex  fbrmulis  ergo  §.  21.  habebimus  feqiien*. 
tes  fradionum  continuarum  valores : 

«_*>  —  „  1      r 

(6)  — »"t"i  (6) 
(£_>>c) -  ____L       L 

(b,c)    -  —  «-+-1(6)"    (6)(6,c) 
(g,6,c,d) -_, r_  _____ i^  r 

(b,c,d)  —  "~T~i(6)~(6)(6,  c)~t-(6-,c)(6,  c,d) 

etc. 
vnde  in  genere  erit ,  fi  etiam  indices  in  infinitum  ex- 
currant, 

fe  c,   d,  e3  etc.)_    —   &  -T~  ,  { 6  )  ~"  (6  ) (  6,  c)  "+"  (b,  c)  (b,c,  d) 

r*  Qb,c,dXb,c,de)  -H  etQ. 

24.  Ex  formulis  autem  §.  22.  obtinebimus : 

to  ^  c) _.  t    _c 

(M)    *  ""•""   '  (6,  c) 

(0;  6,  c,  d,  e)  ^^      c e 

~(b,c,d,e)   &  -_-  7(6>_cj  -f-  (fc,C)  (6,c,d,e  ) 

rnde 


tf4  S  P  E  C  I  M  E  N 

vnde  generaliter  : 

(-'hc,A,?,etc.)-"1r  ,(6,C)  "T-  (&,c)(&,c,d,<>)^(&,c,d,<?J  (&,c,  d,*,/,g)  CtC* 

Tum   vero  etiam  : 

«_&_£_*)  „     il 1_ 

(6,6-,^)    — *    ^b       (  &)(&,c,d) 

M,c,d,e,f) '__*  d  _.  / 

'(b,c,d}ej)    «  -+"  /b  —  (&)(&,  c,d)  —  (&,c,d)(&,c,d,*,/) 

ideoque  generaliter  : 

(a,  &,  c,  d,  p,  etc,) f  d 

"l&7c7d,e  etc.        *  -+-  b  —  (b  )(&,c,  d)         (  &,  c,d  )(&,c,  d,e,/) 

h 

{&,  c,  d,e,/)  (&,  c;d,e,/,g,  &)  ""  etC* 

25.  Sed  miflis  his  ,  qnae  ad  feries  fpectant , 
quoniam  ea  iam  fufius  fum  perfecutus ,  perpendamus 
ea,quae  ad  fingularem  harum  quantitatum  algorithmum 
pertinent.  Et  formulas  quidem  iis  fimiles ,  quae  in 
§.  20.  funt  inuentae  ,  fuppeditabit  nobis  §.  22.  ex  quo 
patet  eife  : 

(a)(b}c)  -i(a,b,c)  —  -c 

(„,  b)  (b>  c%  d)  -(*).(*,  b>  f ,  d)  =  ~\-d 

(<*,£,  c)(b,c,  d,e)  ~(b,c)(a,byc,d,  e)zz-e 

(tf,  b%  c,d)  (b,  c,  d,  ejy~(bic:d)(a,b)c)d)e)f)zz-+'i 
ideoque  geneialiter  ; 

(a>b I)(b /,;;/,w)-^..  A)(a,b y>/,  k)  __ -{- « 

vbi  fignum  -f-   valet ,   fi  in    primo    vinculo    numerus 
indicum  fit  par  ;  contra  fignum  — . 

25.  Per  fimiles  autem  reduftiones  inteiligitur  fore, 
(a)(b,c,d)  -i{a,b,c,i)z=L-(vtti) 

(a,b)(b,c,d^     -(J)(*,^,4O=_:-r-(40 
(«^(b.s^e^-^s^a^c^ej)^-^}) 

et 


JLGORITHMI  SINGVLARIS.      6$ 
et  generaliter : 

(*,*....*)(*. ...*,/>*»>»)-  (*••  .£)(#,*•  •  •*,/,»,») 

zz  -4-  0$  ») 
vbi  fignorum,  vel  fuperias,  vel  inferius,  valet,  prout  in 
primo  •vinculo  numerus  indicum  fuerit,  vel  par,  vel 
impar. 

27.  Ratio  autem  huius  formulae  ex  fupra  reper- 
tis  flicile   deriuatur.      Si  enim  ponatur  : 
(a.b....k,l>m)[b..kiltm,n)-(b..k>I,m)(aib..k,l.mjt)zA. 

{a,b kj)(b..kll,m,n)~(b...  k  I)(atb.. fe,7,*»,»)-B 

(atb k)(b..kj1m,n)~(b k)(a,b  .kJ,m,n)zC 

jnanifemim  eft,  elTe  A zz m B -f- C.  At  eft  Azz+i: 
et  B  —  -f-  n  j  ldeoque  C  —  ±  1  -4-  m  n  zr  H^  (w.«)  , 
vbi  de  ambiguitate  fignorum  tenenda  funt  praecepta 
fuperiora. 

28    Si  ordo  indicum  in  his  formulis  inuertaturs 
cae  fient : 

(* y)(a,b..,.ytz)-(a,b...y,z)(a,b...y)zzo 

(a,b....y)  (b,  c. . .  .yy  Z)-(a,b..  .y.  z)  'b,c . .  j)zz±  1 
(a,b.c...y)(c,d  ..  ytz)-(atb...ytz)(c,d  .  y)~±(a) 
{a,b,cd.  y)(dte.  .  y,z)-(ayb...y%z)(d,e. .  .y)z=±(a,b) 
(atbJc\de.y)(etf..,.y,z)-(aJ...ytz)(eJ...y)z±(a,bc) 
(a1b....y)(j,g...  .y>z)-(a,b...y,z){f.g  .y)~±(ajtcj) 
vbi  figna  valent  fuperiora,  fi  numerus  indicum  in  fecun- 
do  vinculo  futrit  par,  contra  autem  valent  infenora. 

TonUX.Nou.Comm.  I  aj>.  Si 


66  S  P  E  C  I  M  E  N 

29  Si  haec  inJicum  feries  in  fine  duobus  trun« 
cetur  ,  orietur  fimili  modo  : 

(a  . . .  x)(a  .  .  .  z)-(a  .  . .  z)(a  .  .  *)  =  o 
(a  .  ..x(b  .  ..z)-(a...z)(b  .  .x)zzz-{-(z) 
(a  .  .  .x)(c .  .  .  z)-(a  . .  .z)(c  .  .  x)  zz  ±  (a)(z) 
(a  .  .  .  x)(d.  .  .z)-(a  ..  .  z)(d .  .  x)zzz'-h[a,b,)(z) 
(a  ...x)(e.  ..z)-(a  .  .  .  *)(*  .  .*).=  +  (a9b9  C)(z) 
atque  hinc  tandem  colligitur  fore  gcneraliter  ; 

[a /,  w,  »  .  .  .  .p)  (n p,q,r z) 

-(a  .  .  ,I9m,n p,  q,  r z)  (n p) 

-±(« l)(r...  .z). 

30.  Quo  ratio  ambiguitatis  fignorum  pateat,  no- 
tandum  eft,  fi  fit  mzza,  fore  (a  .  .  .  .l)zzit  et  fi  fit 
q zz z%  fore  (r  .  .  .  .  z)zzit  vnde  cafus  fpeciales  ,  iti 
quibus  ratio  fignorum  eft  cognita,  erunt 

(*)(*)-   (a,b)  i=-i 
(a)(b,c)-(atbtc)izzz-(c) 
(a,b)(c)-(a,btc)izzz-(a) 
(a,b)<btc3d)-(a,b,c,d)(b)zz7.-h(d) 

(a)(btc,d)-(atb3c,d)(i)zzz-(c3d) 

vnde  conchiditur ,  valorem  fore  affirmatiuum  ,  C\  in 
extremo  quaternorum  \inculorum  numerus  indicum  fit 
impar  ,  fin  autem  fuerit  par,  valor  erit  negatiuus.  Ita 
in  exemplis  iubiundtis  erit 

(atb,c3d '>(e,fg,b)-{a,b,c,d,etf^b)  1  =-(atb,c)[f,g,b) 
(a3b,c,d,e)  [c,d3e,f,g3  b)-(a,b,  c,d,e3fg3  b)(ct  d,  e) 

=-*-W  («**}- 
31.  Hu- 


JLGORITHMI   SINGFLARIS.       6j 

31.  Huinsmodi  autem  formulae  ,  quot  lubucrit, 
facile  fequenti  modo  exhiberi  potTunt ;  fumatur  tertium 
vinculum,  quod  eft  completum,  et  omnes  indices  con- 
tinet  ,  abfcindantur  ab  initio  fuperne  ii  indices  ,  qui 
primum  vincubm  conftituant ,  tum  inferne  a  fine  ii, 
qui  vinculum  fecundum  conftituant  ;  ita  tamen,  vt  in 
duobus  primis  vinculis  omnes  indices  occurrant.  Tum 
qui  locis  abfciflis  vtrinque  funt  vicini  puncto  notentur, 
indcque  facile  huiusmodi  formulae  exhibentur: 

vt  \a%  b,  f,  d)  e,  fA     dabit 

vt  \a}  b,  c)  \d%  e,  /,(     dat 

vt  W,  b,  c}  |^,l  e,  /*(     dat 

32.  Quodfi  ergo  in  duobus  vinculis  nulla  littera 
bis  occurrat ,  quartum  vinculum  erit  vnitas ,  vnde  fe« 
quentes  formulae  nafcuryur  : 

^(a,bc)~(azb)(c)-h  (a) 
t(a,b,c)—(a)(b,c)^(c) 
\  (a>  b,c,d)—(a,b,c)  d)-+-(a,b) 
-J  (a,b,c  d)  =  (a,b)(cj)  +  (a)(d) 
lia,b,  c< d)  '±l  (a)(b, c,  d)  -+-  (c,  d) 
f  (*,  b,c,d,e)  —  (a,b,c,d)(e)-\-(aXc) 
J  [a,  b,cJ,e)zz(a,b,c)(d,e)^(a,b)(e) 
"1  {a\  b,ctd,e)zz.(a,b)(c,d,e)^(a)(d,e) 
l  (*}b}c%d}e)zz(a)(b}c}d}e)-)r[ftdlc) 

I  2  (a,b}e, 


63  SPECIMEM 

^(a7b^d,eJ)—(a,b^d,e)(f)^{aMc,d) 
I  (a,bicj,e,f)  —  {a9blc1d)(etf)-+~(a,btcy  f) 

-I  (aMJsJ  )=(*,^(4*,/)H-(*,*>>/) 
I  a,b,c,d,e,i)  —  (a,b){cj}ej)-^{a)^de,f) 

l  [atb&dStf^aHbiCid.eJ^-jr^ds,  /  ) 

etc. 

33.  Si  ordo  indicurn  inuertatur ,    fequentes  fbr» 
mulae  hinc  fhcile  elicientur: 

(a){a,b,c,d .  ..)^i.(a,a,blcyd...)—{byc,d..  .) 
(*, (3) (*,£,<£ d...)  —  (a  $ta,b,c>d..)-{*)(b.c,d...) 
(*,&>y)(«Ac>d...)~(a  $>y>a,b,c,d..)-{a${bf4 .) 

eta 
\nde    produclo    ex    duobus    huius    generis  numeris  ad 
eiusmodi  numeros  fimptices  reuocari  poterunt  : 
(a)(a,b,c,d . . ..)  z=  {ct, a  b^Cjd . . .) -~{b,c, d . . .) 
(a,P)[*,*,f,rf.  ...)  =  (a,p,">^,<*.  )-{*M-  .)+M») 

l-(* ) 

\-\-{a,fi,y,$,a,b,c,d,e....'} 
|-(a,[3  y^  cxd,e....) 
(afayiS)(a,b)c)d>e...)-'{  +  {a  frc,d,e.  ..) 

-(ttX^....) 

U(*....) 

etc. 
quia  ergo  in  Ttroque  fadlore  ordo  indicum  inuerti  pot- 
e(t,  hae  formae  pluribus  modis  variari  poterunt. 

3*-  Rc~ 


ALGORITHMI    SINGVLARIS.        f? 

34-  Reuertamur  autem  ad  fiacliones  continuas,  vnde 
haec  func  nata,  ficque  valor  huius  a  -f  i  _:  S 

*+i_ 

_/  +  etc. 
atque  fupra  iam   inuenimus  hos  valores 

A      (__J     .         T>    (<*>&)      ■         p     (g>   &>?>      .     TTV    (___  1  __f_____T. 

A —    _    ,    15  —     c6)     ,    v (-6jCj     ,  __    (5;Cjd)  r 

T7 _fl,  5,  c,  d,  e ) 

&  (b,c,d.,e)       etC» 

continuo  propius     ad    valorem    S    accedere.       Horum 
terminorum  igicur  fingulas  difLrentias  perpendamus : 


.(6)  l^" —  (6>(&,c) 

(c)  |n     t.        ,  (-0 


C-D-~(&,c)(_.,c, 


to 


<*} 


A— V ~i{b,c)      |B- __+(£,)(  _.,_,_•)      (_-__-  (&,c,j(&,c,V> 

A      Ty_    _£j_    »     c-   ._____'-     F ^ 

A-l^ -,  (_,,«.,„)  l"-J1-"T-(6)(^c,J,0  h-         -'(^Jli.c.dyf^) 


a    T7 _^_i__r  tt _a_     {d'e,t)    \r  r-  L___ 

**-.__-  "i(&,c,d,e)j:>-r-"T"(6)(6,c,4Ai)^"^r-""^,c)(6,c,ci,e,/,6r 

35.  Quoniam  igitur  m  doctrina  de  fractionibus 
continuis  ,  cuius  mm  aliquot  fpecimina  edidi  ,  huius 
genens  numeri  per  indices  formati  totum  negotium 
conficiunt  :  algorithmi  eorum  fpeci.es ,  quam  hic  ex- 
pofui  ,  nec  non  infignes  comparationes  inuentae  ,  nort 
exiguum  praeftabunt  vfum  in  hoc  argumento  vberius 
cxcolendo ,  vnde  has  animaduerfiones  vfu  non  caritu- 
jas  efle  confido. 


1  a  i>E 


70 

DE 

RESOLVTIONE 

AEQVATIONVM     CVIVSVIS     GRADVS. 

A  u  £1  o  r  e 

L.     EV  L  E  RO. 


Quae  in  Algebra  adhuc  de  refolutione  aequatio- 
num  funt  tradita  ,  ea  ,  fi  ad  regulas  generales 
fpedtemus  ,  tantum  ad  aequationes ,  quae  quartum  gra- 
dum  non  fuperant  ,  patent  ,  neque  etiamnum  regulae 
funt  inuentae  ,  quarum  ope  aequationes  quinti  altiorisue 
cuiuspiam  gradus  refblui  queant  :  ita  vt  vniuerfa  Algc- 
bra  ad  aequationes  quatuor  primorum  ordinum  reftrin- 
gntur.  Hoc  autem  de  regulis  generalibus  eft  tenendum, 
quae  ad  omnes  aequationes  eiusdem  gradus  fint  accom- 
modatae  *,  nam  in  quouis  gradu  dantur  infinitae  aequa- 
tiones  ,  quae  per  diuifionem  in  duas  pluresue  aequatio- 
nes  graduum  inferiornm  refolui  polTunt  ,  quarum  id- 
circo  radices  iunctim  fumtae  praebent  omnes  radices 
iiiarum  aequationum  altiorum  graduum.  Tum  vero  a 
Cel.  Moiuraeo  obferuatae  funt  in  qutuis  grndu  quaedam 
aequationes  fpeciales  ,  quae  etfi  per  diuifionem  in  facta- 
res  refolui  nequeunt ,  tamen  earum  radices  affignare 
liceat. 

2.  Ex   cognita   autem    refolutione    generali    ae- 
(^ujtionum  primi,  fecundi,  tertii  et  quarti  gradus,  con- 

fUt 


DE  RESOLVT.  AEQVAT.  CVlV$v.  GKAD.  71 

ftat  quidem ,  aequationes  primi  gradu^  fine  vlla  radicis 
extractione  refolui  poffe:  at  aequationum  fecuntii  gradus 
refolutio  iam  extractionem  radicis  quadratae  poltulat. 
Refolutio  autem  aequationum  tertii  gradus  tam  extra- 
dionem  radicis  quadratae ,  quam  cubicae ,  implicat  ,  et 
quarti  gradus  refolutio  infuper  extractionem  radicis  bi« 
quadratae  exigit.  Ex  his  autem  tuto  concludere  licet, 
refolutionem  aequationis  quinti  gradus  generalem  ex- 
traclionem  radicis  furdtfolidae  praerer  omnes  radices  in- 
feriores  poftulare  ,  atque  in  genere  radix  aequationis 
cuiusuis  gradus  n  exprimetur  per  formam  ,  quae  ex 
omnibus  fignis  radicalibus,  tam  gradus «,  quam  graduum 
inferiorum,  erit  compofira. 

3.  Haec  perpendens  olim  in  Comment.  Acad, 
Imper.  Petrop  Tomi  VI  conie&uram  anfus  fum  pro- 
ferre  circa  fbrmas  radicum  cuinscunque  aequationis. 
Propofita  namque  aequatione  gridus  cuiusuis 

xn  +  A  xn"z  ~f-  B  xn-5  -h  C  x  "-*  -H  etc.  zz  o , 

in  qua  fecundum  terminum  deefiTe  affumfi ,  quod  qui- 
dem  femper  ponere  licet ,  fufpicatus  fum ,  femper  dari 
aequationem  vno  gradu  inferioris  ,  veluti 

f~l  -f-  91  >'n—  -f-  <£/—'  *h  35 i|W  -H  etc.  m  o 

quam  illius  refoluentem  appellaui ,  ita  vt,  fihuiuscon* 
ftent  omnes  radices,  quae  fmt  a  ,  (3  ,  y  ,  $  ,  e  etc. 
quarum  numerus  eft  »—  1  ;  ex  iis  radix  ilhus  aequa- 
tionis  ita  exprimatur,  vt  fit : 

A'^Vfli4-l/(3-i->/Y+-V^-r-etc. 

Quam 


7*  DE     RESOLVTIONE 

Quam  conieciuram  confirmaui,  oftendens,  refolutionem 
aequationum  inferiorum  reuera  ex  hac  frrma  generali 
deduci :  neque  etiam  nunc  dubito ,  quin  haec  conie<ftu« 
ra  veritati  iit   confentanea. 

4.  Praeterquam  autem  quod  inuentto  aequationis 
refoluentis  ,  fi  propofita  quartum  gradum  tranfcendit  , 
fit  difficiJlima  ,  atque  adeo  in  genere  vires  noftras  ae- 
que  fuperare  videtur,  atque  ipfa  propofitae  aequationis 
refjlutio  ;  ita  vt  praeter  formas  fpeciales  cafibus  Moi- 
vreanis  fimiles  nobis  nihii    admodum    fuppeditet  :    alia 

nfuper  incommoda  in  illa  forma  obferuaui  ,  quae  me 
eo  induxerunt  ,  vt  arbitrarer ,  aliam  forte  dari  fnrmam 
illi  non  admodum  diffimilem  ,  quae  iftis  incommodis 
non  cflet  fubiecta  ,  ideoque  maiorem  fpem  nobis  face- 
ret,  in  hoc  arduo  Algebrae  opere  tandem  vlterius  pe- 
netrandi  Non  parum  autem  in  hoc  negotio  proderit, 
veram  formam  radicum  cuiusque  aequationis  accuratius 
perfpexiffe. 

5.  Tn  forma  autem  ■  per  fuperiorem  coniecluram 
eruta  hoc  imprimis  defidero  ,  quod  omnes  aequationis 
propofitae    radices   non  fatis  diftincte  exprimantur.    Etfi 

71 

enim  quoduis  fignum  radicale  Va  tot  valores  diuerfos 
complectitur ,    quot  numerus  n  continet    vnitates  ,    ita 

TI 

Tt,  fi  (X,  6,  C,  i,  C  ^tc.  omnes  valores  formulae  V  1 

n 

denotent,  pm  V  a  (cribere  liceat  quamlibet  harum  fo-r- 

n  n  n  n 

jnularum  QV a^V a^V ol}$V a  etc.  tamen    manife- 

ftum 


AEQVATiONVM  CVIVSVIS  GRADVS.    73 

ftum,  hanc  variationem  in  fingulis  terminis  V  a ,  V(3, 

Vy,  V£  etc.  non  pro  lubitu  conftitui  pofle.  Si  enim 
combinatio  horum  terminorum  cum  litteris  fl  ,  b  ,  C  , 
fc  f  i  etc.  arbitrio  noftro  relinqueretur ,  tum  multo 
plures  combinationes  refultarent ,  quam  aequatio  conti- 
uet  radices ,  quarum  numerus  eft  zz  ». 

6.  Quo  igitur    forma    radicis    x    fupra    exhibita 
tsmnes  aequationis  radices   fimul    compledtatur ,    necefle 

eft,  vt  combinationes  terminorum  Va,  V;p,Vy,yl'  etc. 
cum  littens  (1,6,  C  ,  fc  etc.  certo  quodam  modo 
circumfcribantur  ,  atque  combinationes ,  quae  ad  aequa- 
tiones  radices  repraefentandas  funt  ineptae,  excludantur. 
Ex  refolutione  quidem  aequationum  tertii  et  quarti  gra- 
dus  vidimus  inter  radices  vnitatis  eiusdem  nominis  Q  , 
6  /  C  /  &  ,  certum  quendam  ordinem  conftitui  debere , 
fecundum  qnem  etiam  combinationes  fint  perficiendae. 
Hunc  in  finem  antem  fimiiis  ordo  in  ipfis  radicis  mem- 

bris  Ta  ,  V  (3  ,  v  y  ,  V  £  etc.  erit  tenendus ,  quo 
combinatio  dirigatur.  Verum  quia  non  conftat  quem- 
admodum  in  radicibus  fuperiorum  graduum  talis  ordo 
fit  conftituendus,  hoc  fine  dubio  infigne  eft  incommo* 
dum  ,  quo  forma  coniefturae  meae  innixa  laborat , 
quod  igitur  remouere  in  hac  dificrtatione  mihi  eft  pro» 
pofitum. 

7»  Primnm  autem  conueniet,  ordinem  certum  in 

rad^cibus  cuiusuis  poteftatis  ex  vnitate  conftituere  ,   quo 

fumma  plerumque  varietas  combinationum    reihingatur. 

Tom.IX.Nou.Comm.  K  Quem 


74        DE    RESOLVTIONE 

Quem  in  finem  obferuo  ,  fi  praeter  vnitatem  alius  qui- 
cunque  valor  ipfius  Vi  fit  zrd,  tum  etiam  a*,  (T, 
0  /  etc  idoneos  valores  ipfius  T  i  exhibere  :  nam  fi 
fit  (f-i,  erit  quoque  ((*')*:=  i,(aS)n-  i,(aV=i,etc. 
Hinc  fi  reliquae  radices  ponantur  6  ,  C  ,  t>  ,  etc.  quo- 
niam  in  iis  repenuntur  (C  ,  a%  (X\  ©tc.  iam  certus  qui- 
dam  ordo  perfpicitur  ,  quo  hae  litterae  inter  fe  difponi 
debent.  Ita  fi  poft  vnitatem  ,  quae  femper  primum 
locum  tenere  cenfenda  eft ,  a  littera  a  incipiamus ,  va- 

lores  fbrmulae  y  i   erunt   i ,  a,  CC  /  a*,  tt* a71-"1 

quorum  numerus  eft  n  ;  plures  enim  occurrere  neque- 
vnt,  cum  fit  an=i,  a71"*"1^^/  a7"*"2  —  <X  etc.  fimili- 
que  modo  res  (e  habebit  ,  fi  poft  vnitatem  a  quauis 
aJia  Jittera  5  ,  vel  C  >  vel  t>  etc.   incipiamus. 

8.  Hinc  crgo  merito  fufpicor,  talem  quoque  or- 
dinem  in  ipfis  terminis  radicem  aequationis  x  expri- 
mentibus  inefle  ;  feu  fingula  mcmbra  radicalia  ita  elfe 
comparata  ,  vt  refpectu  vniuscuiusque  reliquae  fiut  eius 
poteftatcs  :  ftngulis  autem  membris  nunc  necefle  erit, 
coefficientes  indefinitos  tribuere.  Quare  fi  aequatio,  ter- 
mino  fecundo  deftituta,  fuerit : 

xn-\-Axn-2-\-Bxn-z-±-Cxn-*-\-Dxn-s  .  .  .  .zro 
maxime  probabile  videtur  radicem  quamlibet  liuius  ae- 
quationis  ita  exprimi,  vt  (it  : 

x=%Vv  +  &Vv+<£Vv'+&W+ +0*V" 

"vbi  5t  /  5B  /  (E  ,  2)  etc.  fint  quantitates,  vel  rationa- 

ks,  vel  ialtem  non  fignum  radicale  V  inuoluant,  quip- 

pc 


AFQVATIONVM  CVIVSVIS   GRALVS.     75 

pc  quod  tantum  quantitatem  v  eiusque  poteftates  afficiat , 
multo  minus  ipfa  quantitas  v  tale  fignam  inuoluat. 

9  Ex  hac  forma  primum  patet ,  eam  non  plu- 
ra  membra,  quam  quornm  numerus  fit  n  —  1,  continere 
pofle  :  nam  etiam  fi  feriem  illam  ex  fua  indolc  vlterius 
continuemus ,    termini  fequentes    iam  in    praecedentibus 

contenti  deprehendentur  :     erit   enim  V^"+I-^yv; 

y^zi^y  v*  etc.  ita  vt  irrationalitas  fignum  radicale  V 
inuoluens,  plures  diuerfas  fpecies  non  admittat ,  quam 
quarum  numerus  ert  z»-i.  Etiamfi  ergo  illa  feries  in 
infinitum  continuetur ,  tamen  terminos  eiusdem  fpeciei 
ratione  irrationalitatis  addendo  omnes  ad  terminos  nu* 
mero  «— 1  redigentur.  Cum  igitur  iam  ante  videri- 
mus,  plures  termin<  s  in  radicis  exprefiionem  non  ingre- 
di  j  hinc  non  leue  argumentum  habetur  ,  hanc  nouam 
fbrmam  veritati  plane  effe  confentaneam  :  eius  autcm 
veritas  per  fequentia  argumenta  multo  magis  confirma- 
bitur. 

10.  Haec  expreffio  quoque  fponte  fe  extendit  ad 
tequationes  ,  in  quibus  fecundus  terminus  non  deeft  , 
dum  (uperior  remotionem  fecundi  termini  exigebat ,  ex 
quo  ipfo  haec  noua  magis  n.ituralis  eft  aeftimanda.  Con- 
tinuatio  enim  terminorum  irrationalium  yv,  Yv*A  Vv  etc, 

etiam  terminos  rationales  Vv° ,  vvn   inuoluit ,    qui    ob 
aequationis  terminum  fecundum  adiici  debent.    Hinc  ge- 
neralius  pronunciare  poterimus,  fi  aequatio  completa  or- 
dinis  cuiusque  n  fuerit  propofita  : 
**.+-  A  xn~l  -+-  A  x*-2  -f-  B  xn~z  HM-  C  xn~\  4-  etc.  =  o 

K  2  eius 


7o         D  E     R  E  S  O  L  V  T  1  0  N  E 

eius  radicem  exprimi  huiutrnodi   iorma 

ara^n      »*     8       r '  '  • 

ih  nftat 

nic  A      R( nioi   cooooeoi    ; 

JKtoooatei  i    ■  iawafeieoiei ,    qpaiam<a 

quatconi  limt  dtaeriac ,    nunv    i  □ (  -   i . -x 

ao  ftj  pcr  faanaxn  uipcriorem  im 

ii.    Efiot    pocfo    \iJcmu> ,    fi  •  naodi 

ajMOtka»,    vt  tx  ta  tadix  |  teftatb    ■    a&n    exttabi, 

feu   ;   .    w atfiter  *  vd  pei   figni  radkatta  iofi 

nim  potdhtum  cxpnmi  queac ,  tnm  tmttonaiitattn  gra- 
du>  n  prorin  ex  fhtma  ra<  H  ■*- 

cclVirio    vlu   vemrc  debct  ,    QJUI  l    ......   pofiDJ   io 

Bceorca  cfl  rtfoJubihs  ,   tum  anan    onUa    i 

radicalc   v   contincbit.     Quare  cum  natura  rei  poftuler  t 

vt  his  eafiboi  omuia  figoa  dkj  eotoetcanr,  et  ad 

figoa  fimpuciora  reducantu      ei  fbrrna  antem  fopei 
ooa  p.ncut  ,  qpon    .     i  locfocnte  \no  huutmodi   figooi 

\  a  rtiqna  V  ^3  V  y ,  erc.    euanefcant ,  ifta  exprefno  ob> 
hiiK  ranonem   inulio  Dttgil  ad  aeouationum  naturam  ac- 
nodata  eit   ctnltnda. 

la.  Praerrrea  vero  haec  forma,  in  qno  cardo  to- 
tius  negotii  vertatur ,  etiam  omnes  aiquationis  radices 
fine    flla    ambiguitate    oitendit :     teqne    enim    amphns 

haeremus  ,    quomodo   cum   omnibus   ilgnis  radicalibus  V 

coiideaa    talures  odkti  >  i  coiribinanai  Iihl      Si   emm 

aaooetj 


AEDVAnoWM  crirsns  CRAnrs.    rr 

omnes  radiccs  potellnis  1  ex  vniute  fmc  1,0,  6/Cr 
t»  CtC.  IC  1  v  cu;n  earum  qaaaraqoe  fl  combinauerin.uj, 
pcopteica  quod  V  u  vtiq.ie  elt  &V«i  tum  pro  P  D  , 
>  v1,  >   v4    etc.     fcribere    oportcbit     fc  rff  »  0  V  €    , 

a*  V:\etc.       Termmus  autem  conftans    B» ,    cruia  for- 

num  u  V  v"  repracfenrat,  abifaft  in  d  H  v •  -  x  ob  Q  ::  i, 
ideoque  ia  oronibas  ndicibai  nulhm  muutiouem  lubit , 
quemidmodum  reliqua  mcmbra.  Quod  cum  ex  refo- 
.:  omnium  acquationum  per  fe  Gt  maniteltum  , 
hinc  nouum  ac  ntis  bcokatam  lnbcmus  criterium  ve« 
ius  noaac  foraae,  qnae  omaium  aequauonuia 
r^^;.ei  m  Le  complecu  fideuK 

13      H!nc   aucem   porro  manifeltum    eft  ,  quomo> 
io  vi    cuias  radicc    cegoita  ,    rchquac 

ndicea  oanncs  extvberi  qneant  :  ad  hoc  tantum  no(Te 
op  >rtet    omues  ladicci   ensdeaa    potcihtis    ex    vnitate , 

feu  omnes  vulores  ipfius  V I,  quorum  numerus  —n. 
Ac  G  iftae  vn;u:is  ndices  fuer:nt  i,  Qy  b/-  C,  ^,  ctc. 
aequacion.sque   fOJ   r.uix    ifloiata   lit 

*  =  M-+-3l  "'  v  +  5&  V  «*•*  €  VV-H  •  •  .ov^ 
radiccj   rrKquc  crunt  : 

*=c*-+-3flr>  v^-g3&,v,^C6'^v'-r  . .  &r~t&~~ 

K  3  >** 


p         t>  E    R  E  S  0  L  VTl  0  N  E 

ficque  femper  tot  obtinenttir  radices ,  quot  exponens  % 
qui  aequationis  gradum  defignat,  continet  vnicates. 

14.  His  igitur  argumentis  noua  haec  radicum 
forma  iam  ad  fummum  probabihtatis  eft  euecta  \  atque 
ad  plenam  certitudinem  oftendendam  nihil  aliud  requi- 
ritur  ,  nifi  vt  regula  inueniatur ,  cuius  ope  pro  quauis 
aequatione  prdpofita  ifta  forma  definiri ,  et  coefficien- 
tes  31,  33/  C/  ®  etc-  cum  quanutate  v  aflignari 
queant ,  quod  fi  praeftare  poffemus ,  haberemus  fine 
dubio  generalem  omnium  acquationum  refolutionem  , 
irrito  adhuc  omnium  Geometrarum  labore  requifitam. 
Neque  igitur  equidem  tantum  mihi  tribuo  ,  vt  hanc  re- 
gulam  me  inuenire  poffe  credam  ;  fed  contentus  ero 
plcne  demonftraffe,  omnium  aequationum  radices  ccrto 
in  hac  forma  effe  contentas.  Hoc  autcrn  fine  dubio 
plurimum  luminis  foenerabitur  ad  rtfolutionem  aequatio- 
num  ,  cum  cogmta  radicum  vera  forma  via  inueftiga- 
tionis  non  mediocriter  facilior  reddatur  ,  .quam  ne  in- 
gredi  quidem  licet ,  quam  diu  forma  radicum  fuerit 
incognica. 

15.  Quanquam  autem  ex  ipfa  aequatione  propo- 
tfta  nobis  adhuc  non  licet  radicem  eios,  feu  coeffkientes 
21/  35,  (E/  2)  etc«  cum  quantitate  v  affignare ,  tamen 
demonltratio  veritatis  aeque  fuccedet ,  fi  viciflim  ex 
affumta  radice  illam  aequationem  ,  cuius  eft  radix  ,  eli- 
■ciamus.     Haec  autem  aequatio  libera  efie  debct  a  flgnis 

radicalibus   Y,  quoniam  aequationes,  quarum  radices  in- 
veftigantor,  ex  terminis  rationalibus  conftare  alTumi  fo- 

lent. 


JEQVATIONVM  CVIVSVIS  GRADVS.     79 

lent.     Quaeftio  ergo  huc  reducitur,  vt  huiusmodi  aequatio 

x=u+0v+0  /+i^f +  0>V^ 

ab  irrationalitate,  feu  fignis  radicalibus  V  ,  liberetur  ,  at- 
que  aequatio  rationalis  inde  deducatur,  de  qua  deinceps 
certo  affirmare  poterimus ,  eius  radicem  efle  ipfam  ex- 
preflionem  afTumtam  ;  fimulque  inde  reliquas  radices  , 
quae  eidem  aequationi  aeque  conueniunt ,  aflignare  va- 
lebimus.  Hoc  ergo  modo  faltem  infinitas  aequationes 
exhibere  poterimus ,  quarum  radices  nobis  erunt  cognU 
tae  ,  atque  fi  hae  aequationes  in  fe  complectantur 
omnium  graduum  aequationes  generales,  etiam  harum 
refblutio  in  noftra  erit  poteftate. 

io\  Parum  quidem  a  nobis  praeftitum  iri  vide- 
bitur  ,  fi  tantum  plures  aequationes ,  quarum  radices  as- 
fignari  queant ,  exhibuerimus  ;  cum  ex  primis  elemen- 
tis  conftet  ,  quomodo  cuiusuis  gradus  aequatio  formari 
debeat ,  quae  datas  habeat  radices :  fi  enim  quotcun* 
que  huiusmodi  fbrmulae  x—a,  x  —  b,  x  —  (,\  etc.  in  fc 
inuicem  multiplicentur  ,  obtinebitur  vtique  aequatio,  cu- 
ius  radices  futurae  funt  xzz a>  x~b,  x~c>  etc.  fed 
talis  aequationis  formatio  parum  lucri  arTert  ad  refolu- 
tionem  aequationum.  Primum  autem  obferuo,  hoc  mo- 
do  alias  aequationes  non  nafci  ,  nifi  quae  fint  habiturae 
factores ;  aequationum  autem  ,  quae  in  factores  relolui 
poflunt,  refolutio,  nulia  laborat  diffkultate.  Haud  maio- 
ris  quoque  momenti  funt  in  hoc  negotio  aequationes, 
quae  ex  multiplicatione  duarum  pluriumue  inferiorum 
aequationum  producuntur  ,  quarum  refolutio  niiiil  planc 
prodeft  ad  reiblutionera  generalem  periiciendam. 

*7- 


$0       D  E    RE  S  0  L  PT  I  0  N  E 

17.  Quodfi  autcm  cx  noftra  forma  #=rw4-$lW 

•4-  23  "^*>*-f-  etc.  ad  aequationem  rationalem  peruenia- 
mus  ,  ea  certo  factores  rationales  non  habebit :  fi  euim 
haberet ,    eius  radices ,  quae  fimnl  efifent  radices  aequa* 

tionum  inferiorum  graduum  ,  fignum  radicale  v  non 
implicarent.  Plurimum  is  praeftare  cenfendus  eft  ,  qui 
aequationis  cuiuspiam  altioris  gradus ,  quae  in  factores 
refolui  nequeat  ,  radices  aflignauerit :  quam  ob  rem 
etiam  Cel.  Moivreo  ingentes  debentur  gratiae,  quod  ex 
fingulis  aequationum  gradibus  vnam  exhibuerit  in  facto- 
res  irrefolubilem  ,  cuius  radices  aflignari  poflunt ;  atquc 
fi  eius  fbrmulae  latius  paterent ,  multo  maiorem  fine 
dubio  eflfent  habiturae  vtilitatem  ,  dum  contra  aequatio- 
nibus  in  fa&ores  refolubilibus  in  hoc  negotio  nihil  plane 
emolumenti  attribui  poteft» 

18.  Verum  reuertamur  ad  illam  formam   ab   ir- 

rationalitate  figni  V  liberandam ,  ac  fi  confuetas  me- 
thodos  figna  radicalia  eliminandi  confulamus ,  aequatio 
refultans  ad  plurimas  dimenfiones  plerumque  afcendere 
\ideatur.    Si  enim  vnicum  adetTet  fignum  radicale,  puta 

x—to-\-$lvVy  aequatio  rationalis  ad  n  dimenfiones 
jpfius  x  afcenderet ,  vnde  ea  ad  multo  plures  dimen- 
fiones  afcenfura  videtur  ,  fi  plura  eiusmodi  adfint  figna 
radicalia  *,  id  quod  fine  dubio  euenire  deberet ,  fi  illa 
figna.  radicalia  a  fe  inuicem  prorfus  non  penderent.  Sed 
quia  omnia  funt  poteftates  primi ,  oftendam,  perfectam 
jationalitatem  obtineri  pofle ,  non  vltra  poteftatem  ex- 
ponentis   n   afcemdendo,      Ita    fcilicet  docebo  formam 

x~ 


AEOVATIONVM  CVIVSVIS  GRADVs.     81 

x=u  4-2Iv"«?+95^'h-  (£Vvs+-  ....  h-O^"' 

ita  ab  lrrationalitate  liberan  poffe  ,  vt  aequatio  rationa- 
lis  inde  refultans  poteftatem  xn  non  fuperet.  Prodibit 
ergo  aequatio  huius  formae  : 

xn  -*-  A  xn-x  -+-  A  xn~  2  H-  B  xn~z  -f-  etc.  3£  o 
cuius  radix  erit  illa  forma    affumia  :    et    quia    radicum 
huius  aequationis  numerus  eft   —  n  ,     ex    eadem    fbrma 
omnes  huius  aequationis  radices  affignare  poterimus. 

19.  Cum  hoc  iam  fit  eximium  criterium  verita- 
tis  huius  formae,  tnm  etiam  annotaffe  iuuabit,  quoniam 
forma  radicis  n  —  1  quantitates  arbitrarias  continet ,  to- 
tidem  quoque  quantitates  arbitrarias  in  aequationem  ra- 
tionalem  ingredi,  vnde  perfpicuum  eft,  iftas  quantitates 
ita  determinari  poffe  ,  vt  aequatio  rationalis  inde  dato* 
coefficientes  A,  A,  B,  C  etc  obtineat ,  hoc  eft ;  vC 
aequatio  gcneralis  huius  gradus»  obtineatur.  Quae  deter- 
minatio  fi  a&u  inftitui  queat  ,  nancilcemur  inue  refolu- 
tiotem  generalem  aequationum  cuiibcunque  gradus  ,  ex 
quo  faltem  poffibilitas  refolutionis  hoc  modo  ptrficien- 
dae  elucet.  Difficultateb  quidem  infignes  in  hoc  nego- 
tio  occurrent ,  quas  eo  clarius  ngnolcemus  ,  fi  noftram 
fbrmam  ad  quemuis  gradum  a  fimpliciflimis  mcipiendo, 
accommodemus.  Simplicitati  autem  et  concinnitati  cal- 
culi  confulentes ,  partem  radicis  rationalem  oj  omitta- 
mus ,  vt  in  quouis  gradu  ad  eiusmodi  aequationes  ra- 
tionales  pertingamus ,  in  quibus  fecundus  terminus  de- 
fit  ,  quo  iplb  amplitudo  reioiutionis  non  reftringi  eft 
cenfenda. 

Tom,IX.Nou.Comm.  L  I. 


*» ,      DERESOLFTIONE 

I.    Refolutio  aequationum  fecundi 
gradus. 

20.  Vc  igitur  ab  aequationibus  fecundi  gradus 
incipiarims,  fit  «z=  2,  et  pofito  (azzo}  forma  noftra 
radicis  erit : 

Xzzty  Vv 
quae  rationalis  fidta  dat  xxzi%%v.  Comparetur 
h  ec  aequatio  cum  forma  generali  lenindi  gradus  at=:A, 
deficiente  fecundo  termino ,  fitque  2121^  =  ^:  cui  vt 
(ati&fiac,  (tituiitur  2|  —  1  ,  critque  vzz.  A,  vnde  propofita 
aequatione  xxzzA,  fi  fumatur  2(  — 1,  et  vzzA,  eius 
radix  vna  ent  xzztyVvzzVA,  et  quia  Vi  duos  ha^ 
bet  valores  1  et  -i,altera  radix  errt  xzz-^tVvzs-VAi 
quod  quidem  per  fe  eft  perfpicuum. 

II.  Refolutio  aequationum  lertii 
gradus. 

2i.  Pofito  iam  »^3,  forma  radicis  pio  hoc 
cafu  erit : 

vnde  vt    aequatio    rationalis    eruatur ,    fumatur    primo 
cubus  : 

Fingatur  iam  haec  aequatio  cubica  : 
x"  zzAx-t~B 

vnde 


AEQVATIONVM  CVIVSVIS  CRADVS.     83 

vnde,  pro  x  valorem  aflumtum  fubrtituendo,  orietur  quo- 
que 

x°  =:A%fv-h  A33>V  4-B 
quae  fbrma  illi  aequalis  eft   reddenda  ,    aequandis    inter 
fe  tam  partibus  rationalibus,  quam  irrationalibus,  vtrius- 

que  fpeciei    vv  et    vv%. 

22.  Comparatio  autem   terminorum    rationalium 
praebet  : 

B=9'«-t-8&V 

•t  ex  collatione  irrationalium  fit : 

Aa  =  3SC9t©«  «  a  35=3213$  35" 

quarum  vtraquc  dat  A  =  33t35-z;. 

Hinc  fi  ifta  aequatio  cubica  fuerit  propofita  ; 

jtt=aSI»*i*+SJV-*-»V 

eius  radix  vna  erit : 

X—%Vv+%>fv% 

et  fi  1 ,  fl,  6  ^nc  tres  radices  cubicae   vnitatis ,    duac 
reliquae  radkes  erunt : 

eft  autem  a-b^  — ~  et  J  —  flVs  =!=*=! 

23.  Poffunt  autem  vicitfim,    fi    aequatio    cubica 
proponatur 

x9  —  A  x  +  B 
ex  coefticientibus  A  et  B  quantitates  §(,   35    et  0  de- 
terminari,  vt    inde    omnes    tres    huius    aequationis    ra- 
dices  obtineantur.      Hunc  autem  in  finem,  quia  tantum 
duae  aeqirationes  adimplendae   habentur,    \na  litterarum 

L*  2f 


54.        DE    RESOLVTIONE 

31   et   33  pro  lubitu  afluml  poteft.    Sit  igitur  2f:rif 
et  aeqoatio  f 

A=  3  2l35*>-3  35*>  praebet  25- £»  rnde  fit  25'  =  ^ 
qui  valor  in  prima  aquatione  B~v  +  5£>%vr  fubftitutus  dat: 

B=v+-£  feu  vv^Bv  —  k' 
vnde  fit  v=5B+tf  (iBB-#A*):  perinde  autem  efl: 
\ter  horum  duorum  valorum  altumatur. 

24.  Lnuento  autem  valore  ipfius  v-^B-j-VdBB- 

A 

£A*)  erit  35  —  ^  et  35>V~  3y-u  hincque  tresaequa, 
tiones   propofitae: 

xT'=  A*-4-B 

erunt  radices : 

a  1A_  .        _**_ 

Cum  autem  fit   j^B  -+-  V  (jBB-By  A5)  erit 

*«a#lft«^V(iBR-fcAff)3  et. 

fv=y  (.BTV(iBB-,VAy)) 

hincque    naicuntur    fonnuiae.    vulgares    pra    rcfoluriont 
aequationum  cubicarum.. 

IIL  Refolutio  aequationum  quarti 
gradus. 

25.    Pofito    n  ==  4,    confideremus    hanc  radicis 
(brmam  : 

ct 


AEQVATIONVM.  CVWSVIS  GRADVS       85 

et  quaeramus   aequationem    quarti    gradus  ,    cuius    haec 
forma  fit  radix.     Atque  hoc  quidem  cafu  calculus  facile 

inftituitur,  quo  irrationalitates  tolluntur;  nam  ob  VvTz:Yv, 
fumatur  haec   aequatio  : 

x-^&V  v  —  %\  v  +  C^  v 
quae  quadrata  dat : 

quae    partibus    irrationalibus   ad  eandem  partem  transla- 
tis  fit  : 

xx+(&&-2%g)vz=*f&xVv+Ql%+%&v)Vv- 
et  fumtis  denuo  quadratis  prodibit  haec  aequatio  ra- 
tionalis: 

**+a(SB©--22l<E)^+(aSB-a2l£)w=4a595^- 
-f-4(2t2t+€^)95^H-(2{2l-i-^)^ 

quae  ordinara  abit  in  hanc  formam  ; 

-&vv+(£V^%®i8£vv-$i$i<ggvv 

2.6.  Huius    igitur    aequationis   biquadraticae  radix 
vna  eft  :. 

xzz  tyVv  -+-  95^  v  -+•  <£  f  v 
ac  fi  radices  biquadratae  vnitatis  ponan&ur   i,  a,  {),  tf 
ita  vt  fit : 

<*==-+■  V-i  3     &=.-x;.   ct    C=-V-i 
rit  a*  =  -i  =  fc;  a'  =  ->'-i=c; 

6'rr-f-i;  r  =  -i  =  b, 

c'=-i  =  6  i         c3=-r-v-i=a* 

L  3  vndc: 


86  D  E     RESOLFTIOKE 

vnde  tres  reliquae  radices  eiusdem  aequationis  erunt : 

x-mvv  +  ^^S-i-QbYv' 
xzzWt-fv-t-SQbVv-l-SaVv' 

27.  Hiac  nutem  viciflim  aequatio  biquadrat* 
quaecunque  ad  illam  formam  reduci,  eiiibque  radices  af- 
fignari  poterunt.   Sit  enim  propofita  haec  aequatio: 

x*zzAxx-hBx-\-C 
et  quaeri  opportet  valores  coefficientium  $1,  S5,  £  cum 
quantitate  v%  quibus  inuentis  fimul  huius  aequationis  ra- 
dices  innotcfcent.    Rrit  autem  : 

C=r.a**>  JB4w-^€V-t-4SCa5g5ff^-a8i8CffC-y«  fea 
C~  §m  4-  £©;)•«  -  (gsas  f- *m ,W  &a»95S^ 

Ilhnc    autem    eft     (  88®-+  2  ggj  v~\  A  ;    et    gj§( 

-+SS^-+^1.)  qiu  valores  hic  fubftituti  dant : 

c=w«5-iAA+8ag5»e«>tf 

Pri-ma  antem  formula  praebet  43l£0=:A— agjSS^» 
qui  valor   denuo  fubftitutus  dat  : 

C=I-fc-fAA^aA»JBi-4»4" 

ita  vt   iam  duae  litterae  21  et  £  fint  eliminatae. 

28-  Quia  hic  adhuc  duae  incognitae  95  et  v  fo« 
pcrfunt,  vilor  ipfius  gj  arbitrio  noftro  relinquitur.  Sit 
igitur  35  ■—  1 ,  et  quantitas  v  ex  fequenti  aequatione 
cubica  determinari  debebit: 

wf-JAvaH-J(C-j-iAA)v-/?BB=:o 

In- 


JEQVATIONVM  CVIVSVIS  GRADVS.     87 

Inuenta  antem  hinc  radice  v  ,   ex  prioribns  aequitioni- 
bus  quaeri  debent  Utterae  21  ec  £.     Cum  igitui  fit ; 

erir  tam  addenio,  quam  lubtrahendo,  et  radicem  quadra- 

tarn  extrahendo 
3l4-£^-V(^.^-Va;)et 

$l-(£V v-V (^  -  ^-V-^V 'v)  vnde  repenetur; 

%  =  ^V(K+2AVv-ivVv)  +  ^y(B-2XVv-t-*vYv)et 

£-^V(fi-^2AVv-4vVv)--V(3--z\Vv->t-4vVv). 

29.  Cum  fit  %Vv±(£Vv'  =  tii±£yi>)y*' 
erunt  aequationis  propofitae: 

**:=:A,a:*-r-B.v-t-C 
poftqmm  valor  v  inuentus  fuerit  ex  aequatione  : 

quatuor  radices : 

I.  xcz  Vv-\-^;V(BVv-\~2Av-4.vv) 

II.  x~Vv-~vV(BVv-t-*Av-4.vv) 

III.  x~-Vv-i-^V(<~'BYv-+-s.\v--+vv) 

IV.  #--Vv-:~>/(~BV<i;-V-2A<z;-4^) 
Hocque    modo ,    vt    conftat ,    refolutio   aequationis  bi- 
quadraticae    ad    refolutionem    aequationis   cubicae  redu- 
citur. 

IV.  Refolutio  aequationum  quinti 
gradus. 

30.  Pofito  nzz$  ,  erit  forma  noftra  radicis : 
x~%S/  v-\-%>y 'vv-\-gf V -\-®f V 


88         D  E     RESOLVTIONE 

ac  primo  qnaeri  debet  aequatio  quinti  gradus ,  cuius 
haeo  futura  fit  radix  ,  feu  quod  eodem  redit  ,  ex  hac 
forma  figna  radicalia  eliminari  oportet.  In  hoc  autem 
ipfo  fumma  occurrit  difficultas ,  cum  operatio  haec  eli- 
minationis  neutiquam  eo  modo  ,  quo  in  aeqnationibu* 
quarti  gradus  fum  vfus ,  iniitui  queat.  Manifefturri 
quidem  eft,  quia  omnes  poteftates  ipiius  x  eadem  figna 
radicalia  inuoluunt  ,    fi  aequatio  quaefita  flngatur : 

xs  =z  A  **-f-  By-4-CjcH-  D 
tum  fubitituendo  pro    x    valorem    aiTumtum  ,    quatuor 
obtineri  aequationes ,    quarum  ope  quaterna  figna  radi- 
calia  eliminari  liceat  ;    fed    tum    litterae    hae    afiumtac 
A,  B,  C,  et  D  fmgulae  difficillime  determinabuntur. 

31.  His  difficultatibus  perpenfis  in  alium  incidi 
modum  hanc  operationem  inftituendi ,  qui  ita  eft  conv 
paratus ,  vt  ad  omnes  radicum  fbrmas,  cuiuscunque  fint 
gradus ,  aeque  pateat  ,  et  ex  quo  fimul  perfpicietur , 
aequationem  rati  malem  nunquam  vltra  gradum  ,  qui  ex- 
ponente  11  indicatur,  efle  atcenfuram.  Hic  autem  mo- 
dus  innititur  ipfi  naturae  aequationum  ,  qua  fingulorum 
terminorum  coefficientes  ex  omnibus  radicibus  definiun- 
tur.  Cum  igitur  omnes  quinque  radices  aequationis  , 
qnam  quaerimus ,  confient  ,  ex  iis  quoque  coefficientes 
fingulorum  terminorum  eius  formari  poffunt  per  regulas 
cognita*.  Sint  igitur  i,  fl,  b,  t,  fc,  quinque  radices 
furde(olidae  vnitatis ,  (eu  radices  huius  aequationis  z5-i 
rzo,  ac  ponendo  a,  (3,  y,  £3  e  pro  radicibus  aequa- 
tionis,  quam  quaerimus,  erit : 

«=2f 


AEQVATIONVM  CVIVSVIS  GRABVS.    $9 

p  =  ^a^H-&a'^M-<£a,^'^©a4^*>4 

32.  His  quinque  radicibus  expofitis  ,    fi   aequatio 
quinti  gradus  has>  radices  habens  ftatuatur : 

hi    coefficientes    ex    radicibus  a,  (3,  y,  £,  s  ita  defx- 

niuntur ,  \t  fit 

a  —  fummae  radicum 
A  —  fummae  produdorum  ex  binis 
B  zzz  fummae  productorum  ex  termis 
C  zz  fummae  produclorum  ex  quaternis 
Dzzprodudo  ex  omnibus  quinis. 

Quo  autem  hos  valores  facilius  colligere  queamus ,   eos 
ex  fummis  poteftatum  radicum  concludamus.  Sit  igitur: 

Q=a2  +  (3a+v2.H-cT-f-£a 

S  =£  a4H-(34H-Y4-f-^4  +  e4 
T  z=  <x5  4- (3S  M- Y5 -i- <$ 5 -i~  g5. 

Tom.IX.Nou.Comm.  M  His 


9o  DE     RESOLFTIONE 

His  enim  valoribus  definitis  erit ,  vti  nouimus : 
a  —  P 

A-A^Q. 

■n ap  -Aa+R 

£i  B  P  —  A  q-+-  AR-5 

CP~-BQ.-t-A.R~  AS-+-T 

—  i 

33.  Iam  ad  valores  P,  Q,  R,  S,  T  iflneftigan* 
dos ,  debemus  piius  radicum  vnitatis  i,  ^/  6/  C/  J> 
omnes  poteftates  in  vnam  fummam  redigere;  quae  cum 
fint  radices  aequationis  s$  —  1  sz  o,  erit 

n-a-H&-i-c-f-b— o 
i-r-as-H6s-hcs+-l>s--5* 

Summae  poteftatum  fextarum  ,  feptimarum  ,  etc.  vsquc 
ad  decimas,  iterum  euanefcunt ,  at  decimarum  fumma 
iterum  fit  zz  5  ,  cum  fit  fl5— 1,  65— ^C5—  *  etfos-i. 
Breuitatis  gratia  in  hoc  calculo  poterimus  figna  radica- 
lia  plane  orr.ittere,  dummodo  deinceps  recordemur,  cum 

literis  g|,  $Q)  (£,  ©  coniungenda  eiTe  vv ,  f  ^  V  i>*,  y«A 

34..  Nunc  igitur  addendis  radieibus  a,  (3,  y,  £,  e 
habebimus : 

P-S((i  +  a+b  +  c+&Kg5(i+aV68+c*+l),)+etc.i:o. 
reliquis  autem  poteltatibus  fumendis ,  eliciemus  infuper 

P=0 


JEQVATIONVM  CVIVSVIS  GRADVS.      oi 

Pro 

Q  =  xo(8l  2)4-95© 

R=i5(siste-4-s(g52-4-25©^e?®) 

S  =20(^95  +  ^+ 3532)+e2)*)  +  so(S{S(2>© 

-+-s5S5ee  ).-t  laoaasss) 
+ss  €J2)+ si  gs  ©*)+ 1 5  o(ste2©2+  sf»  el 

Hic  alia  produeta  non  occiiTmnt ,  nifi  qnae  adinngendis 
fignis  radicalibus  potefiatem  ipfius  v  rationalem  produ- 
cunt :  feu  fi  litterae  S(  vnam  dimenfionem  tribuamus , 
litterae  95  duas,  litterae  (£  tres  et  litterae  <7)  quatuor, 
in  omnibus  his  produclis  numerus  dimenfionum  eft  per 
5  diuifibilis  ,  coefEciens  autem  cuiusuis  produdli  efl: 
quintuplum  eius  coefricientis ,  qui  eidem  producto  ex 
lege   conbinationum  eompetit. 

'35.  Cum  igitur  fit  P  =  o,  erit  quoque  A=o? 
et  pro  reliquis  coefficientibus  habebimus  : 
A=-JQ.;  Bt?R;  Czi-iA^-iS;  et  Dz-JBQ.+JAR+JT. 
Hinc  ergo  erit^ 

A=-5(«<D  +  »0 

B = 5  (Sl  S(  <T -+  Si  S5*-f-  S5  2>*-r-  e5©) 

C=-5(S(IS5  +  S532)-+-S{SJ^6:3J)  +  5(S(,2)t 

-KS52e2)-5S(23£® 
B=sis+-»s+e5+®s)-5(S(I6:2)-+-s(S5s6: 

+  S5£s2)+SlS52)3)+5(S(r5)2-T-S(2S5S2 
-r-5S2e£)2-r-Sl2^2)) 

M  a  cum 


p*  DE   RESOLFTIONE 

cum  quibus  terminis  iam  debitae  poteftutes  ipfius  v  con- 
iungi  debent ,  vt  obtincantur  eorum  iufti  valores. 

35.   Quodfi  ergo  mutatis  fignis   coefficientium    A 
et  C  proponatur  lr.iec  aequatio : 

x5  -  A  *s-4-  B  x*-fr  C  x-h  D 
cuius  coefficientes  hos  teneant  valores : 

X==5(si3>-t-95€)*' 

^»1S>tf+5»9£C2)*>a 
D=r.a^4  ®V+  Sv+  2>V~  5  iSfCS)  +  8(555S 

+g5C,®iH»»©vy+5(»,»92)+8('»ff" 

erunt  eius  quinque  radices : 

I.  *-»T^^»^2  +  £iV-i-2)-vV 

II.  ^z7Sla^-f-a5as^^-f-6:asv-i;J-i-2)aW 
in.x-m^v  +  ®bivv+gtftvs-\-<£b*vv* 

IV.  A:-S(c^^-+-a5C2^^-f-gc5^5-r-®C^^ 

v.  *=»&^+&&^H-e&W+2)i>*i5V 

exiltentibus  (i/  fy  C/  D  praeter  vnitatem  reliquis  quituor 
radicibus  turdclohms  vnitatis ,  quarum  valores  imaginarii 
conliant. 

37.  Si  nunc  vicifTirn  ex  datis  coefficientibus  A, 
B,  C,  D  definiri  poflent  quantitates  %  >g,  (£,  2)  Clim 
littera  x1,  haberetur  refolutio  generaiis    omnium    aequa- 

tionum 


JEQVATlOWM  CVIVSVIS  GRADVS.      93 

tiontim  quinti  gradus.  Verum  in  hoc  ipfo  fumma  dif- 
ficultis  confiltit ,  cum  nulla  via  pateat,  litteras  %  $Qe 
(g,  2),  quarum  quidem  vnam  pro  lubitu  affumere  iicet, 
fticcelliue  ita  eliminandi  ,  vt  aequatio  folum  incognitam 
v  cum  datis  A,  B,  C,  D  inuoluens  refultec ,  quae 
quidem  nullas  radices  fuperfluas  comple&atur.  Satis  tu- 
to  autem  fufpicari  licet  ,  fi  haec  eliminatio  rite  admi- 
niftretur ,  tandem  ad  aequationem  quarti  gradus  perue- 
niri  poffe  ,  qua  valor  ipfius  v  definiatur.  Si  enim  ae- 
quatio  aitioris  gradus  prodiret ,  tum  quoque  valor  ipfius 
v  figna  radicalia  eiusdem  gradus  implicaret ,  quod  ab- 
furdum  videtur.  Quoniam  autem  multitudo  termico- 
rum  hunc  laborem  tam  difficilem  reddit,  vt  ne  tentari 
quidem  cum  aliquo  fueceffu  queat  ,  haud  abs  re  erit, 
cafus  quosdam  minus  generales  euoluere  ,  qui  nou  ad 
formulas  tantopere  complicatas  deducant. 

38.  Ad  cafus  ergo  particulares  defcenfuri ,  tribua- 
mus  litteris  $(,  f$t  (T,  <7)  eiusmodi  valores  ,  quibus 
calculus  in  compendium  reducatur  ;  ac  primo  quidem 
fint  gjzzo,  £  — o,  et  2)~o,  vnde   nancifcemur  ; 

A~o,  B-o,  Czzo  et  D-tfv. 

H>nc  igitur  fit  gj  i^y  ~  V  #.     Quare  fi  haec    propofita 
fuerit  aequatio  : 

xszzD 
erunt  huius  aequationis  quinque  radices : 

I.  xzzfD-  II.  xzz^D,  III.  x-btD;  IV.  jr-C^D; 

M  3  <lui 


5H  DE    RESOLVTIONE 

qui  cafus  cum  per  fe  Gt  manifeftus  ,  ab  eo  exordium 
capere  vifum  eft  ,  vt  pateat  quomodo  noftra  methodus 
cafus  cognitos  in  fe  complectatur. 

39.  Euanefcant  iam  duae  litterarum  §(,  95,  £ 
et  ©,  fi  enim  tres  euanefcentes  ponantur ,  quaecunque 
eae  fumantur  ,  femper  ad  cafum  praecedentem  deduci- 
mur.  Sint  igitur  (£  et  g)  nihilo  aequales,  feu  aequatio 

quaeratur,  cuius  radix  fit  futura  xzz$ltv-\-SQV' v%  at- 
que  obtinebimus : 

A=cr,  B-m&v,  C-sseas^;  DzisiWSBV 

vnde  propofita  radix  conueniet  huic  aequationi : 

x5=  5  §(95  W-h  5  WS&vx  ■+-  Sl5^  +  9$V 

Quae  aequatio  fi  comparetur  cum  hac  forma  : 

afc:  5  P x a;  -4-  5  Q*  H-K 
erit  gisj52^  =  P-  Sl^BrcnQj  vadc  deducitnr  $fvz=®f 
et  »'*"=£,  ita  nA^f  +  ^. 

40.  Hinc  ergo  deducimur  ad  refolutionem    huius 
aequationis  fpecialis  quinti  gradus : 

jc5-?  V-xx+  5  Qje-t-^-H  ~ 

cuius  ob  1$Yvzl  f  ^r*  et  33  VW:^:?'^  quinque  radi- 
ces    erunt  : 

1.  »=t%^fg. 

11.  »=af^+tt'^ 

m.  *=&*>-+ &=t£ 

IV.  x=tf^-H-c^ 

V.  *  =  ^^+Hc-. 

Aeqiu- 


AEQVATIONVM  CVIVSVIS  GRADVS.      9$ 

Aeqnatio  autem  haec  non  multum  abfimilis  eft  formu- 
Jae  Moivreanae ,  et  quia  fe  in  factoreb  relblui  non  pati- 
tur,  eius  refolutio  hic  tradita  eo  magis  notari  meretur. 

41.  Hanc  aequationem  a  frac"lionibus  liberare 
poterimus ,  fi  ponamus  PznMN  et  Q=zM2N,  tum 
enim  habcbitur  : 

xszz:sM N*ff-f-  $  MJNr+  MrN-f-  MN* 

cuius  radix  erit  x=zf  M*N-f-  T^MN»,  ct  fi  <X  quam- 
libet  aliam  radicem  furdefolidam  vnitatis  denotet ,  erit 
huius    aequationis    quaeiibet    alia    radix: 

tfz^CJi/M^N-f-a2^  MN\ 
Ita  fi  exempli   gratia  ftatuatur  Mr  r  y  et  Nm„,  h«- 
ius  aequationis  v. 

x&zz:  io^x-f-  ro,v-f-6" 

radix  quaecunque  eft  x~  QV  2  +  g*  "^4.  ;  haecque* 
aequatio  ita  cft  comparata,  vt  per  nullam  methodum 
cognitam  refoiui  pofle  videatur. 

42.  Si  35  et  ©■  (intr  nihilo  aequales  r  ad  eun- 
dem  cafum  reuoluimur.     Fiet  enJm 

A:rzo  ;  B=sSt*&  5  C=5Sl£rw  et  P=SIV+€V 
\nde   fi  ftatuatur  haec  aequatio  :. 

xs—  5  P^Hh  5  Qr-f-  R 
vt  fit  ?-$C<£v  et  QzrSJg;5^*;,  erit  ^rr  gVet 
^  —  tfv:  hincque  fit,  vt  ante,  Rrr^-j--^,  atque 
etiam  eaedem  reperitintur  radices.  Eadem  porro  etiam 
aequatio  reperitur  ,  fiue  ponatur  §(  rr  o  et  33  rr  o  ;  llue 
?irr:o  et  £  —  0.    Sin  autem  vel  §J  et  £),  vel  3$  et  £ 

euanelcere 


96  DE     R  ESOLVTIONE 

euanefcere  avTumantur,  vtrinque  quidem  eadem  prodit 
aequatio  ,  fed  diuerfa  a  praecedentibus  cafibus  ,  quam 
ideo  euoluere  conueniet. 

43.  Sit  igitur  et  93  =  0  et  (£zro  ,  atque  hinc 
confequcmur  fequentes  valores  : 

A=5SI©u;  B=o,  C=-5a2l©S)w;  ct  Dr2Tv+©V 
Vnde  C\  itatuamus  2JS)^  =  P;  erit  A-5P  et  C~-5PP 
tum  vero   erit  ■. 

DD  4P'==($(VS)y)"  et  ^V©V-V(DD-4PS), 

ideoque 

2i5^-iD  +  iV(DD-4F5)  et 
$DV=  jD-iV  (DD-4P5) 

Hinc  fi  propofita  fit  haec  aequatio  : 

a;5=^5P^-5PP^  +  D 
quaelibct  eius  radicum  eft  : 

^=zav(^D-+-iy(DD-4P5j)-+-a4^ar.)— ;V(DD-4Fsj) 

atque  haec  eft  ipfa  illa  aequatio  cuius  refolutionem  Cel. 
Moivraeus  docuit. 

44.  Pofllmt  autem  ex  forma  generali  innnmera- 
biles  deduci  aequationes  quinti  ordinis  ,  quarum  radices 
aflignare  licet  ,  etiamfi  ipfae  ilJae  aequationes  in  facto- 
res  refolui  nequeant.  Propofita  enim  aequatione  quinti 
gradns  : 

x5  =  AA"!  +  B^  +  C.r  +  D 
cuius  coefficientes  habeant  fequentes  valores : 


AEQFATIONFM  CVWSVIS  GRABVS.      97 

£—i^grr(gXm'g-nk)'-(m{m+ny-(m+mn-n*)g'k' 

-+•»(»- »)ik')rr— fcV) 

^^^((«••/-««^W-^X^+raW^ 
+^(*V'W-»YHa«y+»V)rV) 

,     5(m-Tz)(gg  —  fe3)(m«g^  —  n»fc»)  __  5(ru-4-rt)(g*fe3) 
-"*""  zmngkrr  jmngi 

tius  radices  femper  aflignari  poffunt. 

45.   Ponatur  enim  breuitatis  gratia: 

fitque  : 

P  ?  -fm2g5_Tt2/,51?_(m2gS_n2;;3i(nt2^g+a^fei)rr-ni/;?r4^((7nagy_w»fey^_n«ferrr^T 
CL>  ^"  'zmnnr 

R  ?  .  (7nag^-n^?)mggs-(27n2g^-f-7i^?)rr^-r4±:(m?g^.rr)VT 

s  5 *~"  2mn.tr 

\bi  figna  fuperiora  pro  valoribus  P  et  R,  inferiora  pro 

Q  et  S   valent ,   ac  quaelibet  radix  aequationis  erit : 

4(5.  Vt  rem  exemplis  illuftremus,  ex  his  formis 
fequentia  formari  paffunt : 

I.  Aequationis  x^-^ox^-hl oxx-$  o#— 98    radix  efl: 

^V(-3i-3>/-7)+V(-iS+ioy--7)+V(--i8->/-7) 

-f-V(-3i~3y-7) 

Tom,  IX.  Nou.  Comm.  N  II. 


98      VE  RESOLVT.  AEQVAT.  CVIVSV.  etc~ 

II.  Aequationis  x5zzz6«$x-\- 16600  radix  eft 

xzzVi$($++Vio)+Vz2$(z$-^iiVio)-i-Vz2${z$ 

-nyio)-f-V75(5~-4"^io) 

quae  eo  magis  funt  notatu  digna,  quod  h:ie  aequationes. 
nullo  alio  modo  refolui  poflunt.  Simili  autem  modo 
Tiuiusmodi  inueftigationes  ad  aequationes  altiorum  gra- 
duum  extendi  poffunt  :  facileque  erit,  ex  quouis  gradu 
innumerabiles  aequationes  per  alias  methodos  irrefolubi- 
les  exhibere,  quarum  huius  methodi  ope  non  folum 
vna,  ied  omncs  planc  radices  exhiberi  queant. 


DE 


%Wk  ( ° )  *&  s>* 

D  E 

NVMERIS    PRIMIS 

VALDE     MAGNIS 
Audore 
L.     E  VL  E  R  O. 

Vix  vllus  reperietur  Georaetra,  qui  non,  ordinem 
numerorum  primorum  inueftigando,  haud  parum 
temporis  inutiliter  confun  fent  :  videtur  enim 
lex ,  qua  numeri  primi  progrediunrur ,  in  Arithmetica 
aeque  abftrufae  efle  indaginis  ,  atque  in  Geometria  cir- 
culi  quadratura:  ac  fi  huius  indagatio  pro  defperata  e(l 
habenda,  non  leuiores  adfunt  rationes ,  quae  et  ordinis , 
quo  numeri  primi  fe  inuicem  fequuntur  ,  cognkionem 
nos  in  perperuum  fugere  perfuadent.  Cum  deinde 
etiam  circuli  quadratura ,  quamuis  innotefceret  ,  vix 
qnicquam  vtilitatis  allatura  perhibeatur,  eodem  iure  ne- 
gare  licebit ,  ex  ordine  numerorum  prirnorum  perfpe&o 
vllum  vfum  elTe  redundaturum.  Vernm  tamen  nemo 
faciie  dubitabit ,  quin  methodus  ipfa  ,  quae  nos  vel  ad 
rirculi  quadraturam  ,  vel  ad  legem  progreflionis  nume- 
rorum  primorum  manuduceret ,  quoniam  hae  res  tam 
diu  ftuftra  funt  anquifitae  ,  eximium  vfum  fit  praefta- 
tura  ,  propterea  quod  maxima  impedimenta  ,  quibus  hae 
inueftigationes  adhuc  fuerunt  implicatae  ,  feliciter  fiipe* 
rauerit ;  ita  vt  inde  omni  iure  fumma  fubfidia  per 
totam  Mathefin  nobis    poiliceri   pofTemus.      Hacc   ideo 

N  s  rnonenda 


io6  DE    NVMERIS    PRIMIS 

monenda  duxi ,  ne  quis  eos ,  qui  forte  in    hoc    ftudio 
defudauerint ,  eti.imfi  operam  perdiderint ,    rcprehenden- 
dos   cenfeat.      Ac  profe&o  natura    numerorum    primo- 
rum  ,  cnti  ex  iis  modo  tain  admirabili  omnes  numerl 
componantur  ,  pcr  fe  praeclarifiima  vidctur  ,  et  quo  ma« 
gis  adhuc  in  propnetates,  quibus-  funt  praeduae  ,   pene. 
trare  licuit  ,  eo  magis  haec  doctrina  digna  ceoferi    de? 
bt,  cui  cxcolendiie  plus  orerae  tribuatur  ,  quam   nunc 
quidem  plerumque  rleri  folet.    In  hoc  autem  ftudii  ger 
nere  iuprims  excelluit   acuti(Timus   quondam  Fermatius9 
cui  plunmae  infignes  numerorum    proprietates    acceptae 
funt  referendae  ;  neque  parumr  eft  dolendum,  quod  eius 
icripta  poft  mortem  ita    interciderint ,    vt    piurimorum; 
theorematum  demonrtrationes ,    quas  fe  adinueniiTe  aiTe^ 
verauerat  ,  adhuc  nobis.  fint   jgnotae,       Hic    perfpicacis- 
fimus  vir  in  do&rina  numerorum  primorum  etiam  non 
mediocriter  laborauit,  atque    problema    fe    digniftimum. 
olim  WalVtfio  propoluerat ,  quo  modum  requirebat,  nu- 
merum  primum  dato  quouis  numero  maiorem  aflignan^ 
dL     Credebat  quidem  Fermatius,  ie  huius    problematis. 
folutionem  in  poteftate  habere,  dum  amrmauerat,  omnes 
numeros  in  hac  forma  ±n *-+- 1   contentos ,    fi    quidenv 
exponens  n  ipfe    fuerit  potefLs   binarii  ,    effe    numeros 
primos.    Verum  tamen  eo  erat  candore ,  vt  negaret,  fe : 
huius  afTerti  demonftrationem  habere  ,    etiarofi   de    eius- 
\eritate   minime    dubitaret.       Perfpicuum  autem   eft,   (1 
haec  forma   2B  -f-  i ,  fumendo  pro  n  quasvis  binarii  po- 
teftates,  femper  numeros  primos  exhiberet,  problerm  pro* 
pofitum  perfecle  fore  folutum.     Qaocunque  enim  nume- 
ro  propofito,  nonfolum  vna,  fed  inuumerabiles  poteftates 

bina- 


VALDE    MAGNIS,  iox 

biiwrir  aflignari  poterunt,  quae  loco  exponends  n  pofitae 
praebiturae  finr  poteftates  2*  dato  illo  numero  maiores, 
ad  quas  fi  vnitas  adiiceretur  ,  haberentur  Ytique  totidem 
nurreri  primi  dato  ilio  numero  maiores.  Hanc  autem 
regulim  a  Fermatio  prolatam  veritati  non  efle  conlen- 
taneam  ,  iam  3nte  plures  annos  animaduerti.  Cum  enim 
pro  omnibus  cafibus  inter  centena  millia  fubfiftentibus 
fatis&ceret  ,  qui  funt  : 

a-r-l-i=3.;  23-f-i  =  5-  24-i-i=i7;  2*^1=257;, 

»,6-H  1=65537 
ftatim  (esjnemem    cafum    2 32 -J- 1  —  4294967297  non 
efle  primum  inueni,  fed  diuifibilem  per  numerum  641. 
Qtnre  cum  etiam  de  fequentibus  maioribus  numeris,  ex 
hac  formula  natis,  incerti  fimus,  vtrum  fintprimi,  nec 
nec?  hinc  nihil  plane  adiumenti  confequimur  ad  probiema- 
memoratum  fohiendum.     Ac  primo  quidem  nullum  eft 
dubium ,  quin  propofito  numero    quantumuis    magno  r 
infiniti  adeo  exiftant  nnmen  primi  illo  maiores  ;    ponV 
quam  iam  ab  Euclicie  eft  uemonftratum,    omnium  nu* 
merorum  primorum   multitudinem    efie   infinitam  ,   eti- 
amfi,  vt  ego  oftendr,  haec  ntjmerorum  primorum  multi- 
tudo  fe  habeat  ad  multitudinem  cmnium  prorfus  nume- 
rorum,  vt  vnitas  ad  infinitum ,  feu  potius,  vt  logarithmus 
numeri  infiniti  ad  ipfum  hunc  numerum  infinitum,  quod 
pofterius  infinitum  marus  eft,   quam    poteftas  quantumuis 
magna  illius  infinki       Solutionis  quidem  huius  proble- 
matis  compotes  fiererrius ,  fi  loco  formulae  in :-f- 1  ali- 
am  formularn  indefinrtain  detegere  liceret,  quae  nonnifi 
numeros  primos  compkcteretur ;  fed  etiamfi  fbrtaife  ta* 
te  reperiatur ,  quae  vel  centum  numeros  primos    fup- 
N  3  &-■ 


io*  DE    NFMERIS    PRIMIS 

peditaret ,  tamen  ei  aeque  parum  confidere  poflemus 
pro  (equentibus  ,  nifi  forte  ,  quod  autem  vix  eft  ex- 
pe&andum  ,  firma  demonftratio  exhiberi  queat.  Nulla 
certe  progrerTio  algebraica  datur  ,  euius  omnes  plane 
termini  in  infinitum  crefcentes  futuri  fiat  numeri  primi. 
Sumto  cnim  rcrmino  quocunque  ,  inter  fequentes  fem- 
per  infiniti  termini  eiusdem  feriei  affignari  poterunt , 
quae  omnes  per  illum  diuidi  queant,  quod  Theorema 
ita  demonllro  : 

Theorema. 

Nulla  datur  progreffio    algebraica ,   cuius    omnes 
termini  fint  numeri  primi. 

Demonftratio. 

Cum  progretlio  fit  algebraica  ,  pofito  eius  termi- 
no  indici  x  refpondente    — .X >  erit : 

Pofito  ergo  termino  indici  a  refpondente  zr  A  ,  vt  fit 
A  ~  a  ■+•  (3  a  •+  y  a2  -+  $  az  -+  e  a*  +-  £  a5  -+  y\  a6-\-  etc. 
fi  capiatur  a'~?jA+^  ,  fiet  terminus  ifti  indici  re- 
fpondens  X  vti(]ue  per  A  diuifibiiis.  Omnes  ergo  pro- 
greffionis  propofitae  termini,  qui  indicibus  in  hac  forma 
nh-\-a  contentis  refpondent  ,  non  erunt  numeri  pri- 
mi  ,  neque  ergo  vlla  huiusmodi  progrtffio  meros  nu* 
meros  primos  complectetur.     Q.   E    D. 

Verum  etiamfi  non  omnes  termini  huiusmodi 
progreffionis  fint  numeri  primi,  problemati  tamen  fatis- 
fieri  poffit  ,  fi  modo  inter  eos  infiniti  dentur  numeri 
primi,   quorum  indices  certo  quodam  modo  dignofcere 

lice- 


FALDE.     MAGNIS.  103, 

liceret ;  veluti  fi  einsmodi  daretur  progreflio ,  cuius 
omnts  termini  ,  quorum  indicej»  funt  numeri  primi  , 
ipfi  eilent  numeri  primL  Sed  hoc  modo  quaerenda, 
eflet  eiusmodi  functio  ipfiusj?,  quae,  quoties  x  fuerit  nu- 
merus  primus,  ipfa  quoque  foret  numerus  primus  ,  vel, 
quod  eodem  redit ,  regula  defideraretur ,  cuius  ope  ex 
quouis  numero  pnmo  propofito  inueniri  poffet  nouus 
cumerus  primus.  At  huius  modi  regulam  profundifii- 
mae  efle  indaginis,  quilibet  in  huius  modi  inueftigationi- 
bus  vel  leuiter  verfitus  facile  agnofcet ,  ita  \t  hmc  nui- 
la  plane  ipes  affulgeat,  vnquam  ad  folutionem  aliati  pro- 
blematis   Fermatiani  perueniendu 

Certum  igitur  eft,  in  hoc  problemate  nihil  adhuc 
effe  praeftitum  ,  poftqnam.  ipfius  Fermatii  conatus  fuc- 
ceflu  fint  deftituth  Atque  adeo  :  cum  tabula  numero- 
rum  primorum  nondum  vkra  cenrena.  millia  habeatur 
extenfl ,  problema  fane  iam  non  parum  foret  difficile , 
fi  modo  numeri  primi  quaerantur  ,  qui  fint  centenis 
millibus  maiores ;  vel  cum  nuper  prodierit  tabula  nu~ 
merorum  primorum  vsque  ad  ioiooo  excurrens ,  fi 
numeri  primi  quaerantur  hunc  terminum  fuperantes. 
Neque  enim  ad  hoc  faltem  problema  foluendum  alia 
via  patere  videtur  ,  nifi  vt  more  folito  ex  numeris  vl- 
tra  ioiooo  notatis  omnes  compofiti  expungantur,  hoc 
eft:  omnes  ,  qui  per  vllum  numerum  primum,  radicc 
quadrata  minorem,  diuifibiies  deprehendentur;  qui  numeti 
enim  his  expunctis  relinquentur,  erunt  numeri  primi.  Haec 
autem  operatio  inftituenda  plane  forei  eadem  ratione,  ac 
fi  ipfam  tabulam  numerorum  primorum  ad  vlteriores 
limites  continuare  vellemus  j  quod  opus  propterea.  effet 

in> 


*o+  £E  NVMERIS  PRIMIS 

immenfi  laboris.  Quodfi  nutem  quis  forte  hunc  labo- 
rem  fulciperet  ,  certe  non  effet  expe&andum  ,  vt  \ltra 
miilionem  a  quoquam  produceretur ,  eoque  exantlato 
omnino  impollibiJe  videretur,  vllum  numerum  primum 
exhibere  ,  qui  elTet  millione  maior. 

Occurrit  autem  mihi  methodus  peculiaris ,  ex  qua 
per  calculum  non  admodum  taediofum  plures  fum 
adeptus  numeros,  non  folum  centies  miliibus,  fed  etiam 
millione  maiores  ,  qnos  e(Te  primos  certo  affeuerare 
poffum.  Quoniam  igitur  in  tam  ardua  inueftigatione 
leuiores  fucctfliis  non  funt  contemnendi  ,  haud  inutile 
fore  fpero ,  fi  ifthanc  methodum  meam  expofuero  , 
praeiertim  cum  ipia  ex  proprietatibus  numerorum  non 
fpernendis  fit  deriuata  ,  quae  etiam  in  aliis  inueftigatio- 
nibus  vfiim  infignem  habere  pofle  videntur. 

Dedudtus  autem  fum  ad  hanc  methodum  pet 
confiderationem  numerorum  quadratorum  vnitate  audto- 
rum,feu  in  hac  formula  aa-hi  contentorum,  iu  qui- 
bus  ,  fiquidem  a  fit  numerus  par ,  plures  numeros 
primos  occurrere  manifeftum  eft ,  fin  autem  a  fit  nu- 
merus  impar,  femiflis  illius  fbrmulae  Kaa-^-i)  pluri- 
mos  quoque  fuppeditat  numeros  primos.  Quaefiui  er- 
go  omnes  diuifbres  numerorum  in  hac  forrra  aa-\-i 
contentorum  ,  qui  labor  non  adeo  erat  taediofus ,  cum 
non  opus  efiet  diuifionem  per  omnes  numeros  primos 
radice  a  minore?  tentare  ,  propterea  quod  demonftraui, 
atque  id  quidem  poft  Fermatium,  cuius  autem  demon- 
ftratio  pro  deperdita  eft  habenda  ,  huiusmodi  numeros 
4a-\-i    alios    diuifores    non  admittere ,    nifi  qui  ipfi 

fint 


VJLBE    MAGNIS.  xo* 

fint  fummae  duorum  quadratorum.  Quare  fi  numerus 
in  ha:  forma  aa-±~i  contentus  habeat  diuifores ,  cer- 
to  fcio,  hos  diuifores  fingulos  in  forma  pp-+-qq  effe 
contentos.  Cum  deinde  omnes  numeri  primi  formae 
4«+i  fint  fummae  duorum  quadratorum,  numerorum 
autem  primorum  formae  4^-1  nullus  fit  duorum  quadrato- 
rum  fumma,  nullus  certe  numerus  formae  4/j  -i  erit  diuifor 
formae  ##-1- 1  ;  fed  fi  ea  habeat  diuifores  primos,  eos 
in  hac  forma  4»-|-i  contineri  neceffe  eft.  Confide- 
raui  itaque  omnes  numeros  primos  fbrmae  4/j-f-i  > 
et  ea  qnadrata  primum  inueftigaui ,  quae  vnitate  aucta 
effent  per  quemuis  horum  numerorum  primorum  ditiifi- 
bilia  ,  quo  pacto  omnes  numeros  formae  aa~{-i  fum 
adeptus ,  qui  non  funt  numeri  primi  ,  reliquos  ergo 
neceflario  primos  effe  oportet.  Primum  autem  mani- 
feftum  eft,  per  binarium,  qui  eft  etiam  fumma  duorurn 
quadratorum  ,  formam  aa-$-i  effe  diuifibilem  ,  quo- 
ties  a  fuerit  numerns  impar.  Supereft  ergo,  vt  ii  ip- 
fius  a  valores  indagentur  ,  qui  reildant  formam  aa-\-i 
^iuifibilem  per  quemquam  horum  numerorum  primo- 
rum  5  ,  13  ,  17,  29  ,  37  ,  41  ,  etc.  qui  ipfi  funt 
duorum  quadratorum  fummae  \  quem  in  finem  prae» 
mitto  fequens  problema  : 

Problema     i. 

Propofito  numero  primo  formae  4«+i,  inuenire 
omnia  quadrata,quae  vnitate  au&a  per  illum  funt  diuifibilia. 

Solutio. 

Cum    ifte    numerus    primus    fit    fumma  duorum 

quadratorum  ,    fit   4«+  1  zzp^-^-q1 ,  quadratum  vero 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  O  vnita- 


io6  DE    KVMERIS    FRIMIS 

vnitate  au&um  per  illum  diuifibile  fit  aa-\-i.  De- 
monftraui  autem  ,  quanjo  fumma  duorum  quadratorum, 
veluti  aa-\-bb,  diuifibilis  eft  per  numerum  primum 
pp-\-qqt  iemper  dari  duos  huiusmodi  numeros  r  et  j, 
vt  fit  azzpr-\-  qs  et  bzzzps  —  qr.  Noftro  cafu  ergo 
cum  fit  bbzzi  ,  necefTe  eft  ,  vt  fit  ps  —  qr~A^i  : 
vnde  perfpicitur  fra&iones  |  et  j  proxime  inter  fe  con- 
venire ,  ita  vt  earum  dinvrentia  ps~?r-  minorem  nume. 
ratorem  ,  vnitati  quippe  aequalem,  habere  nequeat.  Quare 
cum  numeri  p  et  q  ex  aequalitate  4»-H  i  —  pp~\-qq 
fint  cogniti,  formetur  fradio  *;,  quaeraturque  in  numeris 
minoribus  fraftio  ~  illi  proxime  aequalis,  vt  partibus 
pcr  crucem  multiplicatis  productorum  ps  et  qr  diffe- 
rentia  fit  z=  i  ,  id  qtiod  methodo  a  me  alibi  expofita 
ficile  fiet  \  tum  ad  fradtionem  ~  inuenta  hac  fraclione  7, 
erit  quadrati  vnius  quaefiti  radix  az-pr-t-qs,  vel  etiam 
a~—pr  —  qs.  Tum  vero  fi  multiplum  quodcunque 
diuiforis  4  «4-1  addatur ,  habebitur  quoque  valor  ido- 
neus  pro  a.  Generatim  ergo  erit  a  zzzm  (4«-|-i ) 
-^.(pr  +  qs),  in  qua  forma  continentur  radices  omnium 
quadratorum ,  quae  vnitate  au&a  per  numerum  primum 
propofitum  4« -4-1   funt  diuifibilia.     Q.  E.  I. 

Scholion. 

Quemadmodum  autem  data  ftadtione  £  aliam 
fraclionem  7  inueniri  conueniat,  quae  ab  illa  tam  parum 
difcrepet,  vt  produ&a  per  crucem  orta  ps  et  qr  vni- 
tate  tantum  difFerant ,  alio  loco  oftendi  Scilicet  pro 
numeris  p    et   q  eadem  operatio  inftitui  debet,    quae 

vulgo 


FALDE    MAGNIS.  107 

vulgo  ad  eorum  maximum  communem  diuiforem  inue- 
niendnm  inftitui  (blet ,  tum  ex  quotis  ordine  fcriptis 
formentur  fradiones ,  quales  ex  fradtionibus  continuis 
prodeunt ,  earumque  vltima  erit  ipfa  fractio  | ,  penulti- 
ma  autem  pro  7  aflumi  poterit  ,  eritque  difFerentia  in- 
ter  producta  ps  et  qr  vnitati  aequalis  \  propterea  quod 
numeri  p  et  q  erunt  inter  fe  primi ,  quoniam  alias 
numerus  4»-h  1  ^pp-hqq  non  foret  primus.  ln- 
yenta  autem  fractione  7,  manifeftum  eft,  eius  loco 
quoque  aiTumi  polTe  has  fra&iones  |^ ,  ^~£  et  jn. 
genere  ^^ ;  nam  et  haec  fractio  cum  fraftione  £■  com- 
parata  dat  producta  per  crucem  mpq-\-qr  et  mpq-hps 
vnitate  dirTerentia.  Quod  fi  autem  fradtioni  f  haec 
~™  adiungatur ,  ex  iis  pro  radice  quadrati  quaefiti 
obunetur  a—mpp-\-pr-\~mqq-\-qrzzm  (4»  +  i) 
-\-pr-\-qs  ob  pp-\-qq  —  ^n-\-\.  Seu  cum  nu- 
meri  r  et  s  quoque  negatiue  accipi  queant,  a~m{o,n-\-\) 
^r{pr-\-qs) ,  quae  eft  ipfa  forma  generalis  in  folu- 
tione  inuenta.  Verum  haec  operatio  commodiftime 
per  exempla  docebitur. 

Exemplum     1. 

Inuenire  omnia  quadrata,  quae  vnitate  autta  fint 
per  numerum  primum  29  diuifibilia. 

Sit  a  radix  quadrata  ex  qmdratis  quaefitis  ,  et 
cum  29  fit  numerus  primus  fbrmae  4«H-  1  ,  erit 
certe  fumma  duorum  quadratorum,  quae  funt  25  et  4, 
ita  tc  ob  2^-~pp-\-qqzr  52-t-2a  ,  fit  p~$  et  #-2, 

O  a  \nde 


io8  DE    NFMERIS   TRIMIS 

vnde  formatur  ifta  fra&io  |-=z|.  Nunc  inter  numerc» 
5  et  2  inftituatur  operatio  ad  maximum  communem 
diuiforem  inuettigandum  ,  quae  ita  fe  habebit ; 

2)5  (2 

I>2(2 

2. 
O 

Sunt  ergo  quoti  2  et  2,  ex   quibus  formantur    fradtb* 
neb  fequenti  modo ; 


2  S 

7)     * 


eritqae  penuitima  |~7,  ex  his  autem  duabus  vltimif 
fra&ionibus  ?  et  |  valor  idoneus  pro  a  erit  produ&urn 
numeratorum  «.5  —  10  aucla  produ&o  deflominara- 
rum  1.2^2;  vnde  erit  ^rrio  -f-  2  —  1 2,  et  in  genere 
tf~2Q7»4- 12  ;  omniumque  horum  numerorum  qua- 
drata  vnitate  aucta  per  29  erunt  diuifibilhr.  Quare 
omnes  valores  ipfms  a  \n  his  duabus  progrefTionibus 
arithmeticis  continebuntur : 

32,41,70,    £9>i28,i57>  285,  215,  24.4,  273,  e£C 
17, 46,75,  104^133,1^2,191,220,  249,278,  et& 

Exemplum    2* 

Inuenire   omnia    quadrata  t    quae    vnitate    aufta 
fiant  per  numerum  primum  617  diuifwilia. 

Cuna 


FALDEMAGNIS  io9 

Cum  fit  <Ji7n:i52-4-i92,  ftatuatur  p rr  1 9  et 
^trritf,  fiatque  inter  numeros  16  et  19  haec  ope- 
catio : 

x<5)i9(r 
16 

ii 

3_ 
o 
Ex  quotis  1,5,3  fequentes  fbrmentur  fra&iones: 
1-      5-      3 

*  *  6  19 

3>  T,  5   ,  T5 

quarum  binae   poftremae   dant  numeratorum  produ&um 

zrii^ 
.  »  ,  -  .  at  denominatorum  produdtum  z=  80 
\nde  idoneus  isque  minimus  valor  ipfius  a  erit  =-194. 
et  generatim  azzCiymA;- 194.  Omnes  ergo  ipfius 
a  valores  in  duabus  (equentibus  progteflfionibus  arithmc- 
ticis  comprehenduntur: 

194,  8n  ,  1428  ,  2045  ,  2662  ,  3279  etc. 

423,  1040,  1657,  2274,  ^891  j  3508  etc. 

Exemplum    5. 

Inuenire  omnia  quadrata^  quae  vnitaU  autta  fmt 
per  numerum  primum  1709  diuifibilia. 

O  3  Cnm 


*ie  DE   NVMERIS   FRlMlS 

Cum  fit  I709m2'-H35' ,  intcr  numeros  22 
<*t  35  fequens  inftituatur  operatio : 

22)35  (i 

X3)  22  (i 

9)  I3(i 
_9 
4)  9(* 

1)4(4 

4_ 

o 

ct    cx   quotis    i ,    i ,    x ,    2 ,    4  formentur  fequentcs 

ftaftiones. 

z.     1.     1.     2.    4 
*       »      3       3       #      »5 

Bl  T>  *  J         5»  j)         15 

quarum  duae  vltimae  dabunt  pro  vno  ipfius  a  valore : 

az=.S.  35  -f.5,  22^390 
ita  vt  omnes  ipfius  a  valores  fatisfacientes  fmt; 

azz.  1709*»  ^4-  39° 

Coroll.     1. 

Si  numerus  primus  4«~f-  1  fuerit  ipfe  quadra- 
tum  vnitate  au&um  ,  veluti  4»-f- 1  rr/>a-i-i  ,  tum 
©b  $—1,  fequens  operatio  erit  inftituenda: 

*)  P(p 
t 

vn*« 


VALDE    MAGNIS.  m 

vnicus  ergo  habetur  quotus  p,  ex  quo  nafcentur  fra&iones 

P 
§,     t 

vnde  fit  a~i  />4-o.  17P,  etgeneratim  a-zm{^n-\*i)A^p. 

Coroll.     2. 

Si  amborum  quadratorum,  quorum  fummae  nu« 
merus  primus  4«-t-i  aequatur  ,  radices  vnitate  diffe- 
rant,  vt  fit  4«-+-  x  —  pp-h(p  —  i )%  tum  ob^-^-x 
fequens  habebitur  operatio : 

p-i)p       (1 

I)  |>-X    (/>-! 

PZJL 

O 

Quoti  ergo  x  et  />—  1  has  dabunt  fractiones: 
x     p-i 

3»  i)       f>-i 

vnde  fit  dn.p-f- 1.  (p- 1)32^-1,  et  in  genere 
«-(^w  +  iJw  +  C  2^-1). 

Coroll.     3. 

Si  quaerantur  omnia  quadrata,  quae  vnitate  au&a 
fint  per  numerum  primum  2  - 1  +  1  diuifibilia ,  etfi  a 
non  eft  formae  4«+  i,  tamen ,  quia  p~  1 ,  et  q~  1 ,  erit 
primo  a f  1  per  coroll.  1 ,  hincque  in  genere  *-  2j»-f-  x. 
Vnde    fequitur  f    quod    per    fe    ejl  manifeftum,  omnia 

qua* 


1T2 


DE    NFMERIS    FRIMIS 


quadrati   numerorum  imparium,    fi  vnitas  addatur,  fore 
per  2  diuifibilia. 

Scholion      2. 

Secundum  hanc  ergo  regulam  omnes  numeros 
primos  formae  4  «4-1  tra&aui ,  et  poftquam  fingulos 
in  fummam  duorum  quadratorum  conuerti  ,  quod  iem* 
per  et  quidem  vnico  modo  fieri  poteft,  cuique  formam 
gencralem  ipfius  a}  in  qua  radices  omnium  quadratorum, 
quae  vnitate  aucla  per  quemque  numerum  primum  fint 
diuifibilia  ,  adfcripfi,  vnde  fequens  nata  eft  tabula  : 


Tabula  omnium  numerorum  a 

<|Uorum  quadrata  vnitate  audfca  aa-\-i   funt  per  quem- 
Jibet  numerum  primum  formae  43-4-1  diuifibiiia* 

Numeri  primi  Valor  ipfius  a 


2                  1    ' 
2i:i     -\~     2 

a  =    2  w  db 

1 

5  =  **  •+-  * 

#  zz    5W  + 

2 

s&=Vrf-   3* 

*z  zr  13  w  4- 

5 

17  =V-f-  42 

0  zz  17  *»  -+- 

4 

&9  =  ^  -+-  5S 

a  zr  29  m  -4- 

12 

37  =  i'-4-  6S 

#  zr  37  w  + 

6 

4i  =  4*  -+•   5S 

^1:41  ?»4- 

9 

53  —  2'-+-  72 

/sf  zz  5  3  w/  -4- 

23 

6i=S9-t-  & 

a  zn  6 1  m  -4- 

1  1 

73  =3'-f-   83 

a~  73  w?  -4- 

^7 

*9  =  5aH-   8a 

tfz:89w4- 

34 

£7  =  4a  4-  9 

<?  zz  97  w  -4- 

22 

Numeri 


VALDE    MJGNIS. 


n$ 


Numeri  primi 


101  i='i--f-io 
109  2=  32-H  10* 

*37  =  43-4-  "" 
149=;  72-r-  10* 
157  ==  62~f-  ii* 

173  zzz  22  -4-  *3* 
181  r  9'+  iq2 
193  r=  7^-4-  12* 
197  rr  ia-k  14* 
229  rr  2    -V-  15 
233=  8*  -+"  l\ 
241  1=:  4*2-+~  J5 
257  i=    i2-H  l6* 
269  zzz  102-4-  13 
277  =#%*■+■  x4 
281  ==   5*-+"  l6* 
293  zzz    2i  -4-  17 
313  zr  12,-f-  13] 
317  r=  1  i,-l-  14 
3  37  =    9,"+-  r6' 
349-    5J-+"  l8*, 
353  =    8a-h  i7f 

373  =    72-+"  l8, 
389  =io2 

397  =   65 

401  =    1 

409=    3; 

421  =14  -f-  x5 

Tom.IX.Nou.Cocran 


17 

19 

2o' 
20 


Valor  ipfuis  a 


a  zz  101  w  -j-_ 
tf  =  109  w  -4- 


10 
33 


a  =  1 1 3  *n  f£  1 5 

*  =  137  '*»  zb  37 

*  =  1 49  -w  ifc  44- 

*  =  157  '«  ±  28 
<z  =  173  w  ±  So 
a  =  18.1  //*  :t  19 
a  =  193  w  ib  8l 
g=M'97'«  -41  14 
g  =  229?/?  4-  107 

*  =  233  ;#  +  89 
a  zz  241  0;  4^  64" 
«=:  257  *»  ±  l6 
a  zzz  269  /»  fh  8fi 
an  277///  +  <fo 

#  =  281  ?/;  Hh  5*3 
.#  =  293  ;//  ±  *3& 

<7  =  313  «  ±       25 

fl  =  3*7  m  ±  ll  + 
a  zz  337  «  ±:  *48 
0  =  349  wHh  x3^ 
«  =  353«:+:  42 
*  =  373  '»  :+  I04- 
«  =  389  «  :+  1I5 
0  =  397  m  -±i  63 
«  =  401  f»+  20 
«  =  409  «  +  143 
a  =  421  w  ±     29 

p .  Numeri 


114 


JDE    NFMERIS    PRIMIS 


Numeri  primi 


Vulor  ipfuis  a 


43  3 
4*9 

457 
461 
509 
521 
54-1 
557 
569 

577 

593 
601 
6\  3 

6n 

6+1 

$53 
661 

$73 
$77 
701 
709 
733 
757 
761 
7*9 
773 

797 
809 

821 


12 

i 

4 

10 

5 
1 1 

10 
14 
13 

1 

8 

5 

17 

16 

4 

13 

6 

12 

I 

5 
15 

2 

9 

'9 
12 

17 
1 1 

5 
14 


-h  17 
4-  20 

4-  21 

4-  19 
-i-   22 
4-  20 
4-  21 
4-  i^ 
-1-  201 
1+-  24* 
-4-  23* 

+  24* 

4-  182 
4-  19 

s 

H-25 

-f-25 
-H23 
-4-26 

4-26 

4-  22 

4-27 
4-  26 

-4-  20 

-r-*5 
4-  22 
-f-26 

4-28 
-r-25 


#  — -  433  *»  -H 

tf  ZZ  44y  w  Hb 
rt  zz  457  m  4- 

#  —  4<5i  »;  4- 
a  zz  509  w  Hh 

#  ~  5  2  1  y?;  4- 

#  zz  54.1  /»  4- 
<z  —  5  5  7  /»  4- 
tf  zr  569  w  -4- 
fln  577/»  + 
<a  —  593  /»  4- 
a  zz  601  m  -Jr 
a \zz  613  m  -4- 
a  z=z  617  m  -h 
a  —  641  wz  4- 
rf  —  653 
a  —  66? 
a  zz  673  /0  4- 
tf  =1  677  m  -4^ 

#  zz  701  /»  4k 
tf  m  709  /#  4r 
tf  —  733  *»  zfe 
tf  zr  75  7  >«  zt 
tf  ~  7<5i  /0  4- 
a  zz  769  /0  4- 
a  —  773  70  4- 
a  zz  797  *»  -h 
a  ~  809  /0  4- 
a  zz  821  /«  4- 


'79 

67 
109 

4-8 
208 
235 

5-2 
118 

86 

2  4 

77 

125 

35 
194 

'59 
i«4 
106 

58 

26 

135 
96 

353 
87 
39 
62 

3*7 
215 

3i8 
295 

Numeri 


VALTtU    MAGNIS. 


«S 


Nutneris  primi 

Valor  ipfius  a 

i*9  =  joi  -*-:«*■  1  "f  8iOM±2+° 

853  =  18'  -»-  23*          «  =     »53  «±333 

857=     4-W           «==     8""x!« 

877=     6'-+- ^9*           «==     877  m±  '51 

88!  =  ^-+-^;           «  =     881«;:  387 

929  3:  20*  4-  23* 
937  =3  19*  4-  24* 

a  3^     929  m  rjr  324 
a  3:     937  m  ±  x^ 

941  3=  io3  -4-  29^ 
953  2=  i32  +  28* 
977  -r    4*  -+"  3\ 
997^3    6^-4-  3it 
1009  3:  1  5    -+"  28 

/7  3:     941  w  ±     97 

a  3:     95  3  W  ±  44* 
0  3:     977'»  db  a52- 

*  3~     997  *  ±  1<Sl 

#  3:  1009  w  ±  4^9 

IOI3  =  aft*  -f-  a3* 

1021  3:  11*  4-  3o^ 

a  3:  io2i  m  -H  255 

1043  £=   3;  -+-  s2* 

1039  =:     5    'H  32 

#  3:  1033  m  ±  347 

#  3:  1049  w  -+  425 

1061  3=  10'  -4-  3*2 

a  3:  1061  /«  -4-  103 

1069  te  13*  -4-  30* 

a  3;  1069  w  ±  249 

1093  23     2*  -4-  33s 

#  3:  1093  w  ±  53^ 

1097  35  l62a  -4-  29, 

<?  3:  1097  m  ±  341 

1X09   33    22^  -4"   25^ 
III7  33    21*   4-   26^ 

I  120  31    20     -4-27 

tf  3-  1 IC9  «  ±  35  + 
a  3:  1117  w  ±  214 

^—  1129W    f    168 

1153=  8;-*-33; 

1181  3:     5,  -4-  34t 

a  3  1 1 8 1  w  4-_  243 

1193  3i  13    •+"  S2 

#  3:  1193  m  ±  *86 

1201  3:  24  -4-  25^ 

^c:  1201  w+     49 

1213     3:   22*  4-   27^ 

*  3:  1223  m  -4-  4^5 

1217  ==  l6*  "H3* 

1     a  3:  1217  »1  ±    78 
p  2                     ~  Numeri 

116 


DE    NVMERIS    PRIMIS 


Nmneri  primi 

Valor  ipfins  a 

1229  —     22-f-  352 

a  zz 

1 229 

m  ffcr  597 

1237  rr:     9    4-  34.* 

a  22: 

i*37 

wi  -4-  546 

1249  rr  152  -4-  32* 

#  zz 

1249 

»/  -K  585 

1277  zr  112  4-  34-* 

#  2= 

1277 

/; i  -h  113 

1289=     82-4-35* 

a  32 

1289 

;»  -I-  479 

1297  rr     i*  -4-  362 

#  zz 

1297 

m  -jr-     36 

1301  s:  2  52  -f~  2<52 

a  =2 

1301 

w  7**     51 

1321   —     5*  -+-  36* 

tf  ZZ 

1321 

w  Hh  257 

136 1  Z2-  202  -f-  312 

tf  rr 

1361 

w  -f-  614 

1373  22     2*-f-  37* 

a  rr 

13^3 

m  -h  668 

13  8-i  2r  15*-+-  33-] 

tf  ZZ 

13  81 

m  -f-  365 

14.09  —  25'  -f-  28* 

a  zz 

1409 

z/z  -4-  45& 

14.29  rz  232-h  302 

a  zr 

1429 

w  -4-  620 

1433   —     82-f-  37* 

#  zz 

1-4-33 

;#  -f-  542 

1453  rr     32-H  3  8] 

a  zr 

14-53 

m  -f-  497 

145  1   rr  i62-f-  35* 

#  ~ 

1481 

m  -f-  46^ 

1489  rr  2  >*-f-  33* 

a  22 

1389 

W    -+-     2?5" 

1493  ~     72-i-  38* 

#.  zr 

1+93 

m  -4-_  432 

15+9  =   i8*-t~  35* 

#  rr 

1-S49 

w  -4-      8  8 

1553   2Z  232-h  32' 

#  — 

15  53 

w  -4-  3  39 

1597  —  2i2  -h  342 

tf  Z2 

1 5  n 

?»  -f-  6 1  0 

1601  zz     i2  -f-  402 

a  rr 

160 1 

OT  Hh      40 

1609  tp    3*  -H  40* 

tf  rr 

1609 

m  -4-  523 

1613  tz  132  -b  SS3 

#  rr 

1613 

w  -+-  127 

1621  is  io2  -f-  39* 

tf  rr 

162 1 

w  -f-   i65 

1637 -  —  262  -f-  31* 

#  rz 

1637 

w  -+-  316 

1657  zz  i92-f-  362 

a  rr 

1657 

w  -4-  783 

1669  rz  1  5*  H—  3  8* 

tf  rr 

1669 

m  -4-  220 

*$93  zr  182  -f  3-7* 

tf  22 

1693 

«g  -+-     92 

Numeri 


VALDE     MAGNIS^ 


1.17 


Numeri  primi 

Vafor  ipfius  # 

l691  =    4*  4-  41* 

a  zz.  1097  #/  --t-  4.14 

1709  :z:  22*  -|-  35* 

*  zz  1709  7//  -4-  390 

1721  —  ns  -f-  40* 

a  xz  172*1  01  -4-  473 

1733  ==  17*  -+-  3sz 

*'  =  *73  3  »  ±  4*° 

1741    =   2p|'-i-   30* 

0  zs  1741  ?»  4-     59 

1753  =  27]  4-  3  2* 

#  —  1753 m  +2  7*3 

1777  =  itf|  -H  39* 

*zz  1777  m  4-  775 

1789  =     5*  4-  422 

#  —  1789  m  4-  724 

1801  =  24*  -4-  35* 

^  —  1801  7/T  -f-  824, 

i86"i  rz  30*  -f-  21* 

a  zz  1B61  m  -4-     6r 

1873 •=  28*  4-  33* 

<r  =  1873  w  ±  737 

1877  =  J4*  4-  4** 

a  =  1877  w  ±  *37" 

1889  =  172  4-  4°* 

^  zz  1S89  W  ^h  33  r 

1901  —  26*  -f-  35* 

<r  zz  1901  m  -h   21  8 

1913=     S|  "*"  +3[ 

a  —  1913  w  4-  712 

»■933  =  x3*  -t-  42* 

a  zz  1933  7//  -4-  598 

1949  =  io2  -4-  43" 

#  zz  1949  ^  4-  589 

1973  —  23*  _j-  382 

#  zr  1973  m  4-  259 

199I  -i2:  +  43* 

#  —  1993  w  4-  834 

1997  —  292  -+-  34* 

#  zz  1997  m  4-  412 

Tabula  ergo  haec  in  fe  complectitur  omnes  numcros 
primos  formae  4«  4-1  infra  2000  exiftentes ,  eiusque. 
ergo  ope  omnes  numeri  inueniri  poiTunt ,  quorum  qua* 
druta  vnitate  au&a  per  vllum  horum  numerorum  pri- 
morum  finc  diuifibilia.  Eius  ergo  beneficio  fequem 
folui  poterit  problenia  : 


Ps 


Problema 


ii8  DE    NPMERIS   PRIMIS 

Problema. 

Omnium  numerorum  ,  qui  vnitajtc  cxcedunt  nu- 
meros  quadratos ,  allignare  omnes  diuifores  radicibus 
ipforum  quadratis  minores. 

Solutio. 

Scribantur  ordine  omnes   numeri    ab    vnitate    ad 

2000 ,  quandoquidem  praecedens  tabula  ad  hunc  termi- 

num  e(l  producta  ,    qui  littera  a  defignentur  ,    ita    pro 

quouis  numeri  mde  nati  aa-±-i   diuifores  ilnt  aflignan- 

di.     Conflat   autem,  hos  numeros  alios  non  effe  habi- 

turos  diuifores  primos,  nifi  formae  4 »+1,  praecedens 

vero  tabula  omnes  numeros  a  exhibet ,    quorum    qua- 

drata    vnitate    aucta    fiut    per  quemque  numerum  pri- 

mum  huius  formae    diuifibilia.       Verum    pro    quolibet 

numero  aa-\-i  fufficit  notafle  diuifores  primos    radice 

a  minores :    quoniam  his  cognitis  etiam    diuifores    radi- 

ce  a  maiores  fponte  innotefcunt.      Quam  ob  rem  fin- 

gulis    numeris    a   fbrmae  2;»+r  adllribatur  binarius  : 

quia  eorum  quadrata  vnitate  aucta  funt  per  2    diuifibi- 

lia  ;    tum    numeris  azz$m-{-2.  adfcribatur  5,  numeris 

a~i$m^r$  adfcribatur  13,   numeris   az^i-jm^h^ 

adfcribatur  17,  et  ita  porro  ;  vbi  quidem  valores  ipfius 

a  minorcs  ipfo  numero  primo  propofito  omittuntur,  quia 

tantum  de  diuiforibus  ipfo  numero  a  minoribus    quaeri- 

tur.     Hoc  ergo  modo  fi  ope  tabulae  praecedentis  cuique 

numero  a  diuifores    conuenientes    adfcribantur ,    obtine- 

buntur  omnes  diuifores  numeri  aa-{-i    ipfa    rudice    a 

minores.     Q.  E.  I. 

Coroll. 


FALDE    MAGHIS.  n9 

Coroll.    I. 

Si  ergo  hoc  modo  numcri  a  relinqucntur  ,  qui- 
bus  nullus  diuifbr  fuerit  adfcriptus ,  hoc  indicio  erit,  nu- 
meros  aa-\-i  inde  natos  tfle  primos  y  nullos  quippe 
diiuforts  admittentes  praeter  vnitatem  et  fe  ipfos.  Qui- 
bus  tgitur  numeris  a  in  tabula  hoc  modo  condita  nul- 
lus  diuifor  fuerit  adfcriptus  ,  de  iis  certo  affirmare  po- 
terimus ,  eorum  quadrata*  vnitate  au&a  efle  numeroi 
primos* 

CorolL     2. 

Qiioniam  igitur  haec  tabula  pro  numers  a  taci- 
le  ad  2000  extenditur,  numeri  inde  nati  aa-^-i 
ad  4000000  exfurgent;  vnde  ilta  tabula  omnes  nume- 
ros  pnmos  foimae  aa-\-\  exhibebit ,  nui  4.  milliones 
non  ftrperant  ,  ficque  ex  ea  n^meri  primi  non  folum 
centenis  millibus  fcd  etiam  vno  miilione  maiores  depro- 
mi  poterunt». 

CorolL    3.. 

Quibns  autem  numeris  a  vnicus  diuifof  <x  fuerit 
adfcripius ,  nurrcri  inde  nati  aa-±  1  praeter  vnitatem 
vnicum  habebunt  hunc  diuiforem  a,  radice  a  minorem; 
ideoque  — £~—  erit  njmerus  primus  Ita  quibus  nume- 
ris  a  foles  binarius  fuerit  adfcriptus ,  ex  iis  ceito  hos 
obtinemus  numeros  primos  -2~I;  atque  adeo  ex  ifla 
tabula  omnes  numeri  primi  formae  ^v11  limite  2000000 
non  maiores  affignari  poterunt. 

Coroll. 


i2o  DE    NFMERIS   PRIMIS 

Coroll.     4. 

Simili  modo  omncs  numeri  a,  qiribus  foius  qm- 
mrius  eft  adfcriptus ,  praebebunt  omnes  numcros  pri- 
mos  formae  ~H-  ,  qui  infra  limitem  800000  conti- 
nentur.  Atque  omnes  numeri  a%  qui  tantum  diuifo- 
rem  13  habebunt  adfcriptum  ,  praebebunt  omnes  nn- 
meros  primos  formae  a-^- ■  ,  infra  limitem  307692 
contentos. 

Coroll.     5- 

Qui  autem  numeri  a  duos  tantum  diuifores  a  et  |3 
liabebunt  adfcriptos ,  id  indicio  erit,  numeros  -fjr  forc 
primos.  Hinc  quibus  numeris  a  tantum  duo  diuifores 
2  ct  5  fuerint  adfcripti  ,  ex  iis  repericntur  omnes  nu- 
meri  primi  formae  —^' 9  ^ui  quidem  limitem  40000® 
non  fuptrabunt. 

Scholion     i. 

"Verum  vt  hae  conclufiones  fint  certae,  probe  no« 
tandum  eft,  inter  numeros  aa-\~i7  qui  funt  per  nume- 
mm  primum  4» -4-1  diuifibiles,  etiam  eiusmodi  nume- 
ros  contineri ,  qui  fint  per  quadratum  (4»-r-i)%  vel 
etiam  per  cubum  (4-^-1-1)',  aUioresue  poteftates 
(4«4-i(*,  (4«-4-i)5  etc.  diuifibiles.  Qnod  quoties 
accidit,  numero  a  non  folum  diuifor  48-1-1,  fed  eius 
fumma  potefhs ,  per  quam  numerus  aa-\-i  fuerit  di- 
vifibiHs,  adfcribi  debebk  ,  vt  hoc  modo  omneb  diuifores 
primi  numerorum  aa-\-i  ipfa  ndice  a  minores  ob- 
JTipeantur. .     Si  quidem   diuilbr  fucrit  zz  2. ,    nulia    eius 

-altior 


PJLBE    MAGNIS.  m 

altior  poteftas ,  velmi  4,  S,  16"  etc.  vnquam  numeri 
aa-t-i  diuifor  eiTe  poterit ,  id  quod  per  fe  eft  ma- 
nifeftum  ,  cum  exiftente  a  numero  impari,  forma  aa-\-t 
fit  numerus  impanter  par.  At  de  numeris  primis  for- 
mae  4  «-4-1  dantur  vtique  eiusmodi  quadrata  ,  quae 
vnitate  au.&a  fint  per  quamuis  eorum  poteftatem  diuift- 
bilia  ,  quos   idcirco    inueftigari  conueniet. 

Scholion     2. 

Cum  autem  fit  4^-f- 1  zr pp-\~q  </,  erunt  omnes 
quoque  ipfius  472-4-1  poteftates  fummae  daorum  qua- 
dratorum  ,  et  quidem  pluribus  modis ,  ex  quibus  vero 
id  quadratorum  par  fumi  conueniet  ,  quorum  radi- 
ces  funt  numeri  primi  inter  fe.  Sic  cum  fit  in  genere 
(PP '-+" qqYrr '4- s s)  =  {pr -f- qs)2 -\-{p s ■  — qr)% ,  erit 
Un-\-iy  =  (pp-^qqy  =  ^.ppqq-^(pp-qqy 
{  +  n+iy=:(pp  +  qqy  =  {p*-zpqq)*-)r{$ppq-q*)% 
(+n+iy  =  (pp-\-4q?=  (p*-*ppqq-t-f)9 

-+-Up34~iPfY 

Si  fimili  modo,  quo  ante,  valores  ipfius  a  inueftigenturj 
conftcietnr  pro  poteftatibus  numerorum  primorum  ,  quae 
infra  terminum  2000  continentur ,  fequens  tabula  ; 


TomJX.Nou.Comm,  Q  Tabula 


n%        JDE    NVMERIS    PRIMIS 


Tabula  omnium  numerorum  a, 


guorum   quadrata  vnitate  auda  aa~\ 
ftates  numerorum   primorum  4« 


1  fint    per   pote- 
- 1    diuifioilia. 


Poteft.   num.  primor. 

52~ 

324-      4* 

55  = 

2 2  -4-    ii2 

54^ 

7J-4-    *+* 

55  = 

38' 4-   4.r? 

I32^ 

52-i-     12* 

I3J  = 

92-t-    4<>2 

i3+  = 

I  I9a  — l—  J2o2 

iV~ 

8*+-     152 

*r  == 

472-+-    522 

z92  == 

202-H      21* 

372~ 

I22-+-    353 

4i2=: 

9*  -+     4°2 

532  = 

a82-f-    45* 

61'^: 

n*H-   5o2 

732~ 

4&2-f-    55x 

S9*  - 

392~h    8oa 

9T~ 

<>52-f-    7*2 

IOI2  cs 

2024-    99* 

109*  _: 

5o2-j~    9i2 

113-  — 

1  $"'  -4-  II  2* 

I372  — 

8S2H-  1052 

1492  == 

5i2-{-i4.o2 

197«  = 

282-f-    95* 

2572  = 

322~f-2552 

Valor  ipfius  0 

azz 

25?«+        7 

azz 

125  m-j-       57 

azz 

625  7/7 -h     182 

<7~  3125  777-1-    i.o58 

azz 

169  77/ -h       70 

azz  i 

1197  mA-     239 

a  zz 

i3+/«-4-     239 

azz 

289  m-±_      38 

azz 

x73*»_+  1985 

azz 

841  7//_+_      41 

a  zz 

13^9  *»  +    117 

a  zz : 

l58i  777 -I-    378, 

#-zr 

5  3  *'*«:+_    500 

tfZZ 

6izm-\-    582 

a  zzz 

732tf*_+_    77<* 

#  ~ 

89';«  H-  385i 

#  zzz. 

9Tm'-±^^05% 

azz 

ioi2m-±    515. 

a  tz 

iop2/»-!-  5744 

a  ~ 

1  i32w-4-  1710 

a  zz\ 

I372w-l-65i3 

a  zz 

i499»+  x744 

a  zz 

I97,w-_l__i393 

a  ~ 

2^-j2m±_  2072 

Hic 


V  JLDE     M  AGNIS. 


123 


His  itaque  fubfidiis  hic  fubiunclnm  conftruxi  ta- 
bubm  ,  ex  qua  ftatim  pro  fingulis  numeris  a  omnes 
diuifores  formae  aa-\~i  habentur.  Banc  quidein  ta- 
bulam  non  vltra  1500  in  radicibus  continuaui  ,  fed  rpe 
harum  formularum  facile  ad  2000  vsque  progredi  li- 
cebit. 

Ex  hac  autem  tabula  iam  plures  numeri  pnmi 
formae  aa-\-i  defumi  poterunt  ,  qui  non  folum  cen- 
tenis  millibus ,  fed  etiam  vno  millinne  (int  maiores : 
deinde  etiam  numeri  primi  formae  ^—^  et  -aa^~' 
«em   - a  f-f  I;  quos  in  fequentibus  tabellis  exhibebo. 


^Numeri  primi  formae  a 


tf-r-T 


Hadi- 

Numeri  pri- 

Radi- 

ces  a 

mitf  tf-fi 

ces  a 

1 

•2 

66 

2 

5 

74 

4 

17 

84 

6 

37 

90 

IO 

101 

94 

14 

197 

110 

16 

257 

116 

20 

401 

120 

*4 

577 

124. 

26 

*77 

126 

3* 

1297 

130 

40 

1601 

134 

54 

2917 

145 

5* 

3137 

150 

4357 
5477 
7057 
8101 

S837 
12101 

*3457 
14401 

X5377 
15877 
16901 

17957 
21317 
22501 


Radi- 

Numeripri- 

ce«  a 

mi  aa  ±1 

156 

24337 

160 

25601 

170 

28901 

i7* 

30977 

180 

32401 

.  184 

33857 

204 

41617 

206 

42437 

210 

44101 

224 

50177 

230 

529,1 

236 

55*97 

240 

57601 

250 

62501 

Radi- 


124        BE    NVMERIS    PRIMIS 


Radi- 

Numeri  pri  | 

Radi 

Numeripri- 1 

Radi- 

Numeripri. 

ces  # 

mi  a  a  -f-  1 

ces  # 

mtaa^- 1  | 

ces  a 

rc\\aa-Y  f 

256 

<^537 

536   2S7297 

82~6  682277 

260 

67601 

5+4  .  »95937 

860 

739601 

264 

69697 

556  309137 

864. 

746497 

270 

72901 

570  324901 

890 

79210 1 

280 

7S4^ 

576  33H77 

906 

820837 

284 

80657  1 

584.  34[o57 

910 

828101 

300 

93001  ! 

5  94  352837 

920 

846401 

306 

93637 

634 

4^957 

930 

86+901 

314 

93597 

636 

4°4497 

936 

87609.7. 

326 

106277 

644-  4*4737 

946 

894917 

340 

11 5601 

6^6 

4*73*7 

950 

902501 

350 

122501  ! 

654r      4^77*7 

960 

921601 

3H 

147457 

674J  454277 

966 

933157 

386 

148997 

680  462401 

986 

972197 

396 

156817 

686  470597 

1004 

1008017 

400 

160001 

690 

476101 

IOIO  I020I0I 

406 

164837 

696 

484+17 

IO36  IC73297 

420 

176401  ; 

700 

490001 

IO54'  II  IO917 

430 

1 84901 

704 

4956^7 

I060  II236or 

43  ^ 

190097 

714 

509797  ! 

IO66  I  136357 

440 

193601 

716 

512657 

IO7OI I449OI 

444 

197 137 

740 

547601 

IO94  H96837 

464 

215297 

750 

562501 

IO96  1201217 

466 

2 171 57 

760 

577601 

I 106  1223237 

470 

220901 

764 

583697 

H24  I263377 

474 

224677 

780  60S401 

1 I4O  I 29960I 

490 

240101 

784  614657 

H44Jl308737 

49<S 

246017 

8i6j  665857  1 

H46iI3I33i7 

Radi- 

VALDE    MAGNIS. 


125 


Radi-'Numen-pn 

t 

ccs# :  mi  aa\- 1 
TT^  1322501 

H5<V336337 

1174.  1378277 

117611382977 
1184.J  140  1857 
1210  1464.101 
l234Ji5-»757 
1244  U547537 


124.6 
1274 
1276 
1200 


1552517 
1623077 
1628177 
1664.101 


Radi 
ce^a 

1294 
1306 

1316 

1320 

1324- 

1340 

1350 

1354- 
1366 

1374- 


Numeri  pri 
m\aa-{-  1 


167++37 
1735637 
1726597 

1731857 
1  74.2401 

1752977 
1795601 
182,2501 
i8333*7 
1865957 
1887877 
1376  1893377 


Radi-INumeripii- 
ve*a  '  mi  aa-\- 1 
139*1 x  94$  a  3-7 
14.06  1976837 
14.10  1988101- 
14.16  2005057 
1420:20164.0  r 
14.30  204.4901 
1434.  2056351 
1 4.4.0  1 207  3601 
14.56  2119937 
1460  213*601 
14.94.  2232037 


Habentur   crgo    bic    112   numeri    primi    maiores  quam 
1 00000  et  4.9  numeri  primi  millionem  fuperames. 

Praeterea  autem  plures  numeri  primi  formarum 
aa+r  00-^  «£±i  aflignari  poflunt ,  qui  etiam  cente- 
na^millutVuperantf  vt  ex  fequentibus  perfpicere  ficef: 

Valores  numeri  a,  quibus  fjrma  ^-c 
fit  numerus  prim  is. 

i,  3,  5,  9,  *  *>  *5>  *9,  25,  29,  35>39   45,  49,  5*>  59, 

61,65.69,  7i>79>85,95 
101,121,131,139,141,145,159,165,169,171.^5, 

181,  195.199 

9     J)  289,  299 

<i  3  ^9 


u6      DE    NFMERIS    PRIMIS 

309,3 15, 3  2 1,325j3  293  335, 345,349,371,375, 379» 

39i,399 
405,409,415,425, 435»44J,  445, 449,45 1>45  9, 46i> 

47i 
5i9,52i,5  29,5  35,545,5  59,5tf9,57i,575,579,58i, 

5  95 
609,63  1,  (539,641,549, 661   669,685,689,695,699 

7n,7i5,739,745,"7  5i,779,78i,79i,799 
815,819^821,841,855,861,860,875,881,885 

901,909,921,925,929,935,949,951,955,959,979, 

98i,985,989,99i 
1001,1011,1025,1029,1031,1039,105  1,1055,1069 

108 1,  1091, 1095, 1099 
1111,1125,1129, 11  5  1,1 155, 1161,1171,  H79, XI  81 

1185,1199 
1205,1219,1225,1241,1251,1255,1265,1281,1285 

1299 

1311,1315,1329,1345,1349,1359,1361,1389,1391 
14.05,141 1,1419,1421,1439,1459,1465, 1469,1489 

1495,  1499 

Valores  numeri  a>   quibus  forma  flJy^ 
fit   numerus  primus. 

*,  8,  12,22,  28,42,48,52,  58,62,78,  88,92 

102,  I0  8,  15  2,  I58,  178,  188,  I98 

202,  222,  238,  248,  258,  262,  272,  292,  298 

308,  312,  328,  352,  358,  362,  388 

402,  422,  428,  458,  462,  478,  488,  492 
508,522,558,572,588 

602 


FALDE    MAGNIS.  127 

602,  ($22,  6l  8,  638,  tf5  2,  652,  692,  69$ 

702,728,  738-  758,  79* 
828  838,  84-2,  848,  862,  872,  898 
908,912  942,962,972,978,988 
1008,  1062,  1072,  1078,  1088 
1108,  11 12,  1138,  1 192 
1208,  1238,  1272,  1278,  1298 
1312,  1342,  1358,  1372,  1378 
1402,  1442,  1452,  1472,  1488,  1498 

Valores  numeri  a,   quibus  fbrma  fl-~^ 
fit   numerus  primus. 

3,7, 13, 17**3, 27,33,37, 53,63,67,  77, 87,97 
103, 113, 127,  137, 147, 153, 163, 167, 197 
223, 227, 247, 263  267, 277, 283, 287, 297 

3°3>  323,  347,  3<>3,  3^7,  373»  383,  39^ 

4*7,427,  433,45  3- 

503,  513,  5i7,  527,  533,  537,  547',  55*3,  573,587 

617,627,637,653   673,677,683, 

753,763,773,777,797  . 

817,  823,  833,  847,  867,  873',  877,  883 

9J3,9*7,  923    927,933,  937,947,953,963.997 

1047,  1053,  *°63,  1073 

1103,1117,1137,1147,1163,1167,1173,1187,1197' 
1213,  1233,  1247,  1273 

1337,  1367,  13-77,  1387,  1397 
1413,  1417,  1423,  1447,  1473.  J497 
Hinc    autem   iterum    9    nurr  eri    primi   fupra   1000000 
obrinentur ,  ex  forma  fcilicet  ^~-,  quando  #>>i4i4. 

a 


I2S 


DE    NVMERIS    PRIMIS 


a 

Diuifores  ipfius  a  a  ~f- 

Diuifores  ipfius 

^tf+i 

i 

r» 

30) 

17.  53 

o 

5 

B' 

2.  13.  37 

3 

2-  5 

32 

52-  4-1 

4 

17 

3  3 

2.  5.  109 

5 

2    13 

34 

13-89 

* 

6 

37 

35 

2.  613 

7 

2.  5* 

36 

1297 

8 

5-  13 

37 

2.  5-  137 

9 

2.  4r 

3» 

5-  i72 

IO 

IOI 

39 

2.  761 

I  T 

2.  <5i 

40 

1601 

12 

5-  29 

4i 

2.  29* 

J3 

2.  5.  17 

42 

5-353 

1  + 

197. 

43 

2.  52-  37 

*5 

2.  113 

44 

*3    149 

16 

257 

45 

2.  1013 

17 

2.    5.    2C» 

4^ 

29-    73 

18 

5=.  13 

47 

2-  5    13  17 

19 

2.  181 

48 

5.451 

20 

401 

49 

2.  1201 

2J 

2.  13.  17 

50 

41    61 

22 

5    97 

5i 

2.  1301 

23 

2    5    53 

52 

5    541 

24 

577 

5  3 

2.5    281 

25 

2.  3i3 

54 

2917 

26 

*77 

55 

2.  17    89 

27 

2    5-  73 

5<> 

3137 

28 

5    157 

57 

2.  5S-  13 

29 

2.421 

58 

5-^73 

59 


FitLDE   MAONtS. 


X29 


Diuiforesipfiustftf 

59  2.  I74-I 

60  13/277 
61 J  2.  1861 
62    5.769 

<53J  2.  5-  397 
64.    17.  24.1 


65 
6(5 

67 
68 

69 

70 

7i 

72 

73 

7+ 

75 

76 

77 


2.  2113 
4-357 
2.  5.449 
51- 37 
2.  2381 
132.  29 
2.  2521 
5.  i7.  61 
2.  5-  ^3- 41 

2.  29-  97 
53.  109 

2.5    593 


7815 


79 

80 

81 
82 

83 
84 
85 
86 

87 


2 

37.  «73 
2.  17 

5\  193    269 
2.  5.  13.  53 

2 

13.  569 

2.  5 


i     IDiuiforesipfiusad+i 
8SU 

89  2.  17-  233 
90 


104  29 

105  2.  37 


101 


Tom.IX.Nou.Comm. 


xx8 


130 


DE    NVMERIS    FRIMIS 


1 

Diuifores  ipfiustf  a  -\-  * 

Diuitores  lpiius 

IX7I  2.   5.  37* 

146 

Il8 

5* 

147 

2.  5 

II9| 

2.73.  97 

148 

5.  i3 

I20 

S49 

2.  17 

121 

2 

150 

122 

5.  13 

151 

2.  13; 

123 

2.  5.  17.  89 

152 

5 

I24 

153 

2.  5 

125 

2.  1? 

154 

37 

32<S 

155 

2.  41 

127 

2.. 5.. 

356 

12S 

5.  29.  113 

157 

2.  5*.  17,  29 

129 

2.  53. 

158 

5 

130 

359 

2 

131 

2 

160 

132 

52-  *7-  4? 

161 

2.  r$ 

233 

2 ,  5 .  29.  6-n 

162 

5.  29, 

134 

163 

2   5 

135 

2.  23 

164 

13 

136 

53 

365 

2 

137 

2.  5 

166 

iT 

I38 

5-  J3 

167 

2.  $ 

139 

2 

168 

S% 

140 

17 

169 

2. 

141 

2 

170 

142 

5.  37-  *^9 

171 

2 

5.61.  97 

143 

2    5* 

172 

144 

89 

373  |  2.  5.  41.  73- 

**S 

2. 

*7<1 

•1  13.  17.  *37 

*75 


VALBE    MAGNIS, 


131 


|Diui(bres  ipfiustf<c-f  x 

|  Diuifores  iptii 

175 

2 

203 

2.  5.  13 

376 

204 

177 

2.  5.  i3 

■205 

2 

178 

5 

2C<5 

179 

2.37 

-207 

2.  5S 

180 

208 

5.  17 

181 

2 

209 

i^ 

182 

5+.  53 

2IO 

183 

2.  5.  17 

211 

2.  113.  197 

184 

.212 

5.  89.  101 

185 

2.  109.  157 

213 

2.  5-  13 

186 

29 

£14 

4-1 

187 

2.  5. 13 

XI5 

2.  29 

188 

5 

21(5 

13.  37-  97 

189 

2.  53 

217 

2.  5.  17 

19? 

13 

218 

5* 

191 

2.  17.  29.  37 

219 

2 

192 

5-  73.  101 

2  20 

29 

193 

2.  5*.  149 

221 

2 

394. 

61 

222 

5 

195; 
196' 

3  97 
198 

2 

2.5 
5 

£23 
224 
225 
22<S 

227 

2.  5 

2.  17 
13 

2.5 

199 

2 

228 

5-  37 

200 

13.  17.  181 

229 

2.  13 

aoi  .2 

23O 

£02  j 

5 

231 

R  2 

2 

232 


» 

DE   NVMERIS    PRIMIS 

Diuifores  ipfius  aa\  1 

Diuifores  ipfius  aa-\-\ 

232 

52 

261 

2 

233 

2.  5.  61.  89 

262 

5 

234 

'7 

263 

2.  5 

^35 

2.  53 

264 

236 

265 

2    *3.  37.  73 

237 

2.  5.41.  137 

266 

173 

238 

5 

267 

:*    5 

239 

2.  134 

268 

52    13'.  17 

24.0 

269 

2.  97 

241 

2.  113 

270 

24.2 

5.  13.  17.53 

271 

2 

243 

2.  52 

272 

5 

244 

29 

273 

2.   5.    29.   257 

245 

2 

274 

193 

246 

73 

275 

2 

247 

2.5 

276 

1? 

248 

5 

277 

2-  5 

249 

2.  29 

278 

5.  13.  29.  41 

250 

. 

279 

2, 

251 

2.  178.  109 

280 

252 

5    13 

281 

2-    13 

253 

2-  5-  37.  173 

282 

52 

254 

149 

283 

2.   5 

255 

2.  13.  41.  61 

284 

2^6 

285 

2.  17 

257 

2.  5' 

286 

157 

258 

5 

287 

2.    5 

259 

2.  17 

288 

5.53 

260 

289 

2 

2pG 


VAIDE   MAGNIS. 


*33 


1 

Diuifores  ipfius 

rfr+i 

Diuifores  ipfius  t 

290(37 

319I2    17.  4-I-73 

291     2.  i3 

320I  13 

292   5 

32.1 

2 

293    2.  52. 17   101 

322 

5.  89.  233 

294 

13    61.  109 

323 

2.  5 

295 

2    53 

324 

113 

296 

4-1 

325 

2 

297 

2.  5 

326 

298 

5 

327 

2.  5.  17«.  37 

299 

2 

32S 

5 

300 

3   9 

2 

301 

2.   89 

33o 

13 

302 

5    17    37-  29 

331 

2    29 

303 

2    5 

332 

5* 

304 

*3 

33^ 

2.5.  13 

305 

2.  193.  241 

334 

281 

306 

335 

2 

307 

2.  5T.  13.  29 

336 

j7    229.  29 

308 

5 

337 

2    5   41   *77 

309 

2 

338 

5    73- 3*3 

310 

17 

339 

2.  37 

3ii 

2.  137 

340 

312 

5 

34i 

2.  53 

3*3 

2.  5.  97.  IOI 

342 

5149   '57 

3i4 

343 

2.  5*.  13.  181 

3i5 

2 

344 

i7 

316 

6l 

345 

2 

3i7 

2.   5.   13 

346 

13 

318 

5* 

$47 

2.  5 

R  3 


34« 


H 

DE    HVMERIS    FRIMIS 

Diuifores 

ipfius 

aa\-t 

Diuifores  ipfius  aa\% 

348 

5-  53 

377 

2.  5.  o"i.  233 

349 

2 

378 

5-  17.  4i2 

350 

379 

2 

35i 

2.  2.29.  t 

i<5p 

380 

197 

352 

5- 

38i 

2.  181 

353 

2.  5.  17 

382 

52.  13 

354 

"3 

383 

2.  5 

355 

2.  61 

384 

356 

*3 

385 

2.  13 

357 

2.r 

386 

358 

5 

387 

2    5.  17 

359 

2. 13 

388 

5 

360 

4.1.  109, 

29 

389 

2.  29 

3<5i 

2.   17 

390 

89 

362 

5 

39i 

2 

3<>3 

2.  5 

392 

5-73 

3<>* 

37 

393 

2.  5* 

3<*5 

2.  29 

39* 

53    101.  29 

3^<5 

97 

395 

2.  13.  17.  353 

3<>7 

2.  5 

396 

3^8 

52 

397 

2.  5 

3^9 

2.  13 

398 

5-  i3 

37o 

17 

399 

2 

37* 

2 

400 

372 

5.  13 

401 12.  37.  41.  53 

373 

2.  5 

402    5 

374    '37 

403 '2.  5.  109.  149 

375 

■ 

404 

ll 

37<5 

37 

405 

2 

400 


FALDE 

MAGNtS. 

Diuifores  ipfius  aa+i 

1        |  Diuifores  ipfius  aa» 

4°  6 

435 

2 

4°7 

2.  59 

43  6 

408 

5.  132.  19? 

437 

2.  5.13*.  ir? 

4°9 

r> 

43  8 

5.,  17.  37-  6* 

410 

97 

439 

2.  173 

411 

2.  13.  73-  89 

440 

412 

5-  17 

441 

2 

4*3 

2.  5-  37, 

442 

5.41 

414 

IOI 

443 

2.  54<  *57 

4*5 

2 

444 1 

416 

tfl 

445 

2' 

417 

2-   5 

446 

17 

418 

52.  29.  241 

447 

2.  5.  13.  53.  *9 

4J9 

£.  41 

448 

5>  *37-  293 

420 

449, 

2 

421 

2.  13.  17.  40S 

450 

13.  37.  42 r 

422 

5 

45i 

2 

42  3 

2.  5.29 

45  2 

5.29 

424 

13 

453 

2:  s 

425 

2 

454 

53 

426 

173 

45  5 

2.  17 

427 

2.  5 

456 

269, 

428 

5 

457 

3-59 

429 

2.  17- 

45  8 

5 

43° 

459 

2 

43i 

2-  293.317 

460 

13.41.  397 

43  2 

5S 

461 

2 

433 

2.  5 

462 

5 

434 

13 

4<*3 

2.  5.  13.  17.  p7 

*35 


4^4 


i$6      DE    NFMERIS   VRIMIS 


Diuifore&ipfiusdw+i 

E 

Diuifores  iptmaa+t 

4<*4 

493 

2.  52 

465 

2.73 

494 

277 

466 

495 

2.  iar 

457 

2.  5.  113.  193 

495 

468 

52 

497 

2.  5.  17 

469 

2.  109 

498 

5.  193.  *57 

470 

499    2.  13.^1,  157 

47i 

2 

5oot  532.  89 

472 

5-   17 

501    2.41 

473 

2.  5.  13 

502I 5. 13 

474 

503 

2.5 

475 

2.  37 

504 

389 

47* 

M«29 

505 

2.  29 

477 

2.  5.  tfi.373 

506 

17 

478 

5 

507 

2.  5*.  97 

479 

2.  89 

508 

5. 

480 

17 

509 

2.  281.  46"! 

481 

2.  29 

510 

29 

482 

5* 

5ii 

2«  137 

483)2.  5.41 

512 

5-  13.  37.  109 

484 

73 

513 

2.  5 

485 

2.  337   349 

5i4 

17 

48* 

13 

515 

2.  13.  101* 

4»7 

2-  5.37 

%i6 

449 

488 

5 

517 

2.  5 

489 

2.  13.  17 

518 

s2 

490 

5*9 

2 

491    2.  149 

520 

3i7 

492 

[5 

521 

|2 

5" 


VALDE 

MAGNIS.              rs7 

Diuifores  ipfius 

aa+ 

1 

Diuifores  ipfiustfd-fi 

5« 

55* 

2.  13 

2.  5.17 

552 

5.  149.  409 

37.  41.  l8l 

553 

2.  5 

2.   13 

554- 

13 

3.37 

555 

2.233 

2.  5 

556 

5.  13 

557 

2  51.  i7«73  " 

2 

558 

5 

2  57 

559 

2 

2.   17 

5<So 

61.  97 

5* 

561 

2-37 

2.5 

552 

5.  181   349 

2<> 

5<*3 

2.  5.29 

2 

$64. 

13 

i 

5<*5 

2.  17.4I.  229 

2.  $ 

$66 

457 

5.  13-  <*i.  73 

S57 

2.  5.  13 

2.  29 

568 

51.  89.  29 

i7l 

569 

2 

2.  13 

570 

5.41 

57i 

2 

2.5« 

572 

5 

573 

2.5 

2 

574 

17 

241 

575 

2 

*-5 

576 

• 

5.  17 

577 

2.  5.  13*.  197 

2.37 

578 

5-  109      • 

113 

579 

2 

om.IX.Nou.Comm. 

S                     sSo 

13» 

DE   NVMBRIS 

PRIMIS 

Diuifores  ipfius  aa-t- 

X 

Diuifores  ipfius 

5&o 

13.  113  229 

609 

2 

58i 

2 

<5io 

233 

582 

5M7 

611 

2.73 

5*3 

2.5.41 

<Jl2 

5.173.43* 

584 

613 

2.  5.  53 

585 

*•   137 

614 

277 

5  86 

37 

<5i5 

2.  281 

587 

2.5 

<5i6 

*3.  17*.  IOI 

588 

5 

6n 

2.  5 

5*9 

2.  89 

6lS 

5* 

590 

13 

619 

2.  13 

59i 

2.  1? 

620 

269 

592 

5.  29 

$2  1 

2.  6"I.  IO9.  2£ 

593 

2.  5*.  13- 54*. 

<J22 

5 

594 

<523 

2.  537 

595 

2 

62+ 

4» 

59<* 

101 

62$ 

2.  17 

597 

2.  5.  29 

626 

29 

598 

5.37 

627 

2.5 

399 

2.  17.  <5i.  173 

62  s 

5 

600 

157 

<520. 

2.  13 

601 

2.3I3-  577 

630 

73 

602 

5 

631 

2 

603 

2.  5.  13 

632 

5M3 

604. 

97 

*33 

2.5.  17 

605 

2.197 

<*34 

606 

13*  41.53 

*35 

2.37 

607 

£   5X    • 

636 

60  S 

5.17 

*37 

2.  5 

*3$ 


VALDE  MAGNIS. 


*39 


1 

Diuifores  ipfius  aa-\ 

1        1 

Diuifores  ipfius  aa  +  i 

638 

5 

667 

2.5.17 

639 

2 

668 

S*.*3 

6+o 

149 

669 

2 

6+i 

2 

670 

593 

642 

5.  13.  »7.  373 

671 

2.  13 

6+3 

*.5a 

67215.37 

6++ 

^73  U-  5 

645 

2.  13 

674' 

6+6 

675 

2.409.  557 

64712.  5.41 

676 

17 

tf48|5-  I37.tfi3 

677 

2.5 

649 1  2 

678 

5-  89 

650 

17.  29 

679 

2.  29 

651 

2.  313 

680 

652 

5 

681 

2.  13 

653 

2.  5 

682 

5s.6ie 

654 

683 

2.  5 

^55 

2.  13.  569.  29 

684 

/3.17.73.29 

6$6 

157 

685 

2 

651 

2.  5*.  89.  97 

686 

658 

5.  13 

687 

2.5.  109.  433 

659 

2.  17.  53-  24* 

688 

541 

660 

37.61'  193 

689 

2 

661 

2 

690 

661 

5 

691 

2.  193 

663 

2.5.  II3389 

692 

5 

66+ 

353 

^93 

2.  5».  12.  113 

66$ 

2.41 

6941 13 

666 

53 

695)2 

s 

2                              6p< 

140 

DE 

NTiW  E  K  I  5 

B  RIMIS 

Diuifores  ipfius  aa  + 

I 

Diuifores  ipfuis  aa-\-z 

6$6 

725 

2.  269 

$91 

2.  5.  13. 

37.101 

726 

601 

<Sp8 

5 

727 

2.  5- 17 

699 

2 

728 

5 

700 

729 

2,4* 

701 

2,  17.97 

.149 

730 

109 

702 

5 

731 

2.  397-<S7a 

703 

2.  5-  73. 

S77 

732 

5' 

704 

733 

2.  5.  29. 

705 

2.  181 

734 

37 

706 

4i 

73  5 

2.  17 

707 

2.5'.  13 

736 

^3 

708 

5.  29 

737 

2.5.  13 

709 

2.  37 

738 

5 

710 

13.  17 

739 

2 

7ii 

2 

740 

712 

5-  53 

•     ! 

74i 

2.  29J 

7*3 

2.  5.  29 

742 

&  29 

714 

743 

2.  52.  6l.  I&& 

715 

2 

744 

17 

716 

745 

2 

7*7 

2.  5.  101  509 

74<* 

I32.  37.   89 

718I52.  17 

747 

2.5.4I 

71912.  53 

748 

5-  317.  353?. 

720   13 

' 

749 

2.  13 

721  j  2. 6t 

750 

- 

722 

5,-137 

75i 

2 

723 

2.  5,  13 

752 

5-  17 

7*4 

293 

753 

2.5 

75* 


VALDE   MAGNIS. 


14  9 


IDiuifbres  ipfius 
91 
tJJ   2.  257 

"757|2.5«.73.i5T 

758   5 

75912.  is 

7^o| 

7^1 

752 

7<*3 
7<J4 

7*5 
7<*tf 

7^7 
7^8 

770 
77i 
772 
773 
774 
775 
77* 
777 
778 

779 

78o 
781 
782 


2.  17 

5.  13 
2.  1 

29 

2.  5.  89.tf<T£ 

52 
2.17 

4* 

2.  37.   277.   2<* 

5-  13.53.  175 

25 

197 

2.  13» 

73*.  1-13. 

2.5 

5.17 

2 

2. 

5*.  fo.  40 f 


783 
784 
785 
78(5 

787 
788 
78o 
790 
79r 
792 

793 
794 
795 
79* 
797 
798 

799 

800 

801 

802 

803 

804 

805 

8o<5 

807 

808 

809 

810 

Sn{ 

S  a 


Diuifores  iplius  aa-\-?> 
2-  5.  37 

2.  13.137  173 

17 

2.  5.  241.  257 

5-  13.  41.  23& 
2.  149 

281 
2 

5 

2.  5* 

229 

2.  17.  29.  64^ 

109 

2.  5 

5.  13.  9%  rox 

2 

29*.  7<5r 

2.    13 

5.   197.  6$% 

2.  5.  17 

61 

2.  457.  709 

ii3 

2.  $\  521 

5.37 
2.  229 

509 

*•  13.  41.  tfxT 


142- 

D  E    NVMEKIS 

PRIMIS 

Diuifores  ipfius  aa  + 

1 

Diuifores  ipfius  #tf-f  1 

812 

5-  17 

8+1 

2 

8*3 

2.  5.  157.  42* 

842 

5 

8i4 

13 

843 

2.  5«.  61.  235 

8i5 

2 

844 

757 

8i<5 

845 

2.  37 

8i7 

2-5 

846 

i7 

8i8 

5*.  53-  101 

847 

2.5 

819 

2 

848 

5 

820 

17.  37 

849 

2.73 

821 

2 

850 

13.  M9-373 

§22 

5.337.40* 

851 

2.  97 

823 

2.  5 

852 

5.4i 

824 

13    29 

853 

2.  5.  13.  29.  x93 

8  25 

2.53 

854 

17 

826 

855 

2 

827 

2.  5.  13 

856 

89 

828 

5 

857 

2.  52.  37-397 

829 

2.  17*.  29.  41 

858 

V*9 

830I73 

859 

2.  137 

831 

2.449.769 

8<5o 

832 

5* 

861 

2 

833 

2.  5 

862 

5 

834- 

349 

863 

2.  5«  13- ^7-  337 

835 

2.  89 

864 

836 

701 

865 

2.  61 

837 

2   5.  13.  »7-  3i7 

86(5 

13 

838 

5 

867 

2.  5 

839 

2.  109 

868 

5* 

84.0 

i*3 

869 

2 

«70 


FALDE    MAGNIS. 


**3 


Diuifores 

ipfius  aa  + 

I 

Diuiibres  ipfius  aa+i 

870 

<H 

899 

2.  IOI 

871 

2.17-  53 

.  421 

900 

241 

872 

5 

^OI 

2 

873 

2.5 

902 

5.  13 

87+ 

4<Jl 

903 

2.5.73 

875 

2 

904 

61 

%16 

*3 

905 

2.  13.  17«.  107 

877 

2.5 

905 

878 

5.  53 

907 

2.  S8 

879 

1.  13 

908 

5 

88c 

n 

909 

% 

88i|2 

910 

882 

5'-  29*.  37 

911 

2.41.  34-9.  *? 

883 

2. 5 

912 

5 

884 

193 

9*3 

2.  5 

885 

2 

914 

17.  i57.  33* 

885 

181 

9*5 

2.  13' 

887 

2. 5.29 

916 

29 

888 

5. 17 

917 

2.  5 

889 

2. 13. n 

3.  2tfp 

pi8 

5*.  J3. 

890 

919 

2.  37.  101.  11$ 

891 

2.277 

920 

892 

513 

921 

2 

893 

2.  5'.  41 

.389     . 

922 

5.17.73.  137 

89+ 

37 

923 

2.  5 

895 

2.  97 

924 

53«  89-  181 

89<5 

281 

925 

2 

897 

2.5.17 
5 

926 
927 

61 
2.5 

928 


*44 

DE    NFMERIS 

PRIMIS 

[Diuifores  ipfius  aa\ 

1        IDiuifores  ipfius  aa\% 

928 

5.  13 

957(2.  52-  13 

929 

2 

958 

5.  173 

93o 

959 

2 

931 

2.  13-  17.37.53 

960 

932 

5* 

961 

2.  409 

933 

2.5 

962 

5 

934 

41 

963 

2.5 

935 

2 

9*4 

3X3 

93* 

9<S5 

2.  17.  <5i.  449 

937 

2.  5 

966 

93  8 

5.  149 

9*7 

2.5.13 

939 

2.  17 

9<S8 

5*-  37 

940 

29 

9*9 

2.  29 

94-1 

2.  13 

970 

13.  157.  4<5i 

942 

5 

971 

2.  197 

943 

2.5* 

972 

j5 

944 

13* 

973 

2.5.17 

945 

2.  89.  173. 19 

974 

29 

945 

975 

2.41 

947 

2.5 

97* 

73 

948 

5.  17.  97.  109 

977 

2.5.53 

949 

2 

978 

5 

950 

979 

2 

95^ 

2 

980 

13 

952 

5- 41 

981 

2 

953 

2.  5 

982 

5M7 

954 

13 

983 

2.  5.  13 

955 

2 

984 

53 

95*1 

17.37 

9S5 

2 

98* 


VALBE 

MAGNIS.              145 

|  Diuifores  ipfius  a  a  -f 

■  1          |  Diuifores  ipfius  a  a + 1 

986 

1015 

2.373 

98- 

2.  5.  o~i 

1016 

17.41 

988  5 

1017 

2.5.293.353 

989  2 

1018 

r 

990 

n 

1019 

2. 13 

991 

2 

1020 

IOI 

992 

5.97 

1021 

2.  233 

993 

2.  52.  13.  37.41 

1022 

5.13 

994- 

269 

3023 

2.5.229.457 

995 

2.73 

1024 

1*7 

996 

i3   137. 557 

1025 

2 

997 

2.  5 

1026 

6~i 

998 

5.  29 

1027 

2.  5.  29 

999 

2.  17.  149.197 

1028 

5   241.  877 

1000' 

101 

1029 

2 

1001 

2 

1030 

37.  53.541 

1002 

5    113 

1031 

2 

1003 

2.5.29 

1032 

52.  13   29.  113 

1004. 

1033 

2.  5.  17 

1005 

2.  37 

1034 

41.  89.293 

1006 

T3 

1035; 

2.  13 

1007 

2-52.  17 

1036 

1008 

5 

1037 

2   5    53 

1009 

2.  13 

1038 

5.  229.  941 

1010 

1039 

2 

1011 

2 

1040 

617 

IOI2 

5.257.797 

1041 

2.  17 

IOI3 

2.  S,   89 

1042 

537 

1014 

IO9 

1043 

2.  5a 

Tom.  IX.  Nou.  Comm. 


1044 


31*      DE    NFMERIS    PRIM  I  S 


Diuifores  ipfius  aa  + 

'          | 

Diuiforesipfiiis-tftf-t 

104.4 

257 

1073    2.  5 

1045 

2.  13.  97.  433 

1074 

13 

1046. 

193. 

1075 

2.  17.  4x.  829- 

1047 

2.  5 

1076 

233 

1048 

5.  13.  61.  277' 

1077 

2.  5.  193.  601 

10*9 

2-  73 

1078 

5 

1050 

17 

1079 

2.  37 

1051 

2 

1080 

773 

1052 

5.  3  89-  $69 

1081 

2 

1053 

*.  5 

1082 

52 

1054 

1083 

'2.  5.  53- 

1055 

2 

1084 

135.  17.  409- 

3056 

29 

1085 

2.  29 

1057 

2.  5S.  41.  109, 

1086 

733^ 

1058 

5.  .13.  17.  1013 

1087 

2.  5.  13.61.  x+p 

1059 

2.  137 

1088 

5 

1060 

1089 

2.97 

1061 

^2.    13.  29 

1090 

29.  53 

1062 

5 

1091 

2 

1063 

2.  5 

1092 

5    17 

3064 

SS7 

1093 

2.  51 

1065 

2.  3i7 

1094 

10661 

1095 

r» 

1067' 

2.  5    17.  37*  *8i 

1096 

1068 

5S-  73 

1097- 

2.  5.  *33 

1069 

2 

1098 

5-4*a 

1070 

1099 

2 

1071 

2.  13.  I57.   2$X 

IIOO 

13 

507* 

5 

XI 01 

2.  17,  101.  353 

H02_ 


^iLDE 

H!  ^  ff  » 1 S.             147 

1 

Diuifores  ipfius-^^-f 

c          [  Diuifores  ipfms  aa\\ 

1102  | 

5    §9 

113    1 

2.  173 

3 

2-  5 

32 

52 

4 

37 

33 

2.  5.  137.  937 

5 

2.  181 

34 

541 

6 

35 

2.  17 

7 

2.5* 

36 

13.  53 

8 

5 

S7 

2.5 

9 

2.  17.  61.  593 

38 

5 

IIIO 

13 

39 

2.  13-41 

ii 

2 

II 40 

12 

5 

41 

2.  37  73- 241 

13 

2.  5.  i35- 733 

4* 

5.97 

14 

29 

43 

2.  52-  17.  a9*  53 

15 

2.  113 

44 

x<5 

37.  41..  821 

45 

2. 113 

*7 

2.5 

46 

18 

52-  i72.  173 

47 

2.  5 

19 

2,  29 

4-8' 

5.29.61.  149 

II  20 

433 

49 

2.  13 

21 

2.  101 

2150 

22 

5.73 

5i 

2 

23 

2.  5.  13.  89.  109 

52 

5.   13.  17 

*4 

53 

2.  5-  37 

^5 

2 

54 

317 

2<5j 13. 17 

55 

2 

27^2.  5.  157   809 

56 

a»i5.  397.  $+1 

57 

2.  5*.  41  .'tf$3 

29J* 

58 

5.  269   99? 

«3°l577 

59 

*   337 

T 

2                           xitf 

1*8 

DE   * 

IVMERIS    1 

PRI2J/IS 

jDiuiforesipfias  *rf+ 

I 

Diuiforesipfiustftf+i 

xitfo 

17 

89 

2.  53 

61 

2 

IIpO 

37 

62 

5-  13 

£1     2.   13.   89.  613 

63 

2.  5 

5)2     5 

64 

1061 

93  1  '»•  5* 

65 

2.  13 

94*  7* 

9  5 1 2.  7  3 

66 

109 

67 

2.  5 

96 

53.  i37-  I9T 

68 

52-  197. 

*77 

97 

2.  5 

69 

2.  17 

98 

5.  41 

X17o 

61 

99 

2. 

71 

2 

1200 

337 

72 

5-  29 

X: 

2.  13.  sp 

73 

2.5 

2 

5.  IOI 

74 

3 

2.    5-    17 

75 

«;  13 

4 

13 

76 

5 

2 

77 

2.5.  17 

29.  2  8  E 

6 

29 

78 

5.  13.37 

•  577 

7 

2.5S 

79 

2. 

8 

(5 

1180 

4* 

9 

2.  61; 

81 

2 

I2IO|i 

82 

5S* 

II      2.    I7' 

83 

2.  5.  349« 

40  Ii 

12   5    89 

84 

13 

2.  5 

85 

2 

14 

'3.  73 

86 

*7-97-  853 

15 

2.  37 

87 

2.5 

16 

661 

88 

5-*3 

x7 

*>  5-  13 

18 


^LDE 

MAGNIS.              149 

a\  Diuifores  ipfiustf a + 

1       * 

DiuiforesipGuStftf+i 

iS    5* 

47 

2.  5 

19 

2 

48 

5-  *8i 

1220 

,w 

49 

2.  53 

21 

Pflp.41 

1250 

I2oI 

22 

5.  101 

5i 

2 

*3 

2.  5.373.40^ 

52 

5.  372-  229 

24 

559 

53 

2.  5.  13*  929 

25 

2 

54 

M>  233.  397 

25 

509' 

55 

J£ 

27 

2.  5-  13.  37-  3I3- 

56 

13 

28 

5.  17.  113.  157 

51 

2.  5« 

29 

2.  773.  977 

58 

5.  113 

1230 

13.  29 

59 

2.  29 

31 

2.  61 

1260 

349 

32 

5MC9.  557 

61 

2.613 

33 

2.  5. 

62 

5.  17.41.457- 

34- 

. 

63 

2.5.  269.  593, 

3* 

2.  29 

*4 

29.  37 

3-6 

149 

65 

2' 

37 

2.  5-  17 

66 

13 

3b 

5 

*1 

2.   5.  229.    70X 

39 

2.  41-97-  193' 

68 

5*.  73-  881 

1240 

13 

69 

2.  13.  241.  257 

4J 

2 

1270 

61,  137.  193 

4-2 

5-  53 

7i 

2.  17 

43 

2.  52.  13 

72 

5 

44- 

73 

2-5' 

45 

2.17 

n\ 

4* 

751  2.  109 

T  3 

1276 

iio 


DE    NVMERIS    PRIMIS 


Diuifores  ipfius  aa\\ 

Diuifores  ipfius  aa-\-i 

T276 

5 

2.  13.  17 

77 

2.  5-  313  521 

6 

78 

5 

7 

2.5* 

79 

2.  13.  i7 

8 

5-  13 

1280 

41.  89.  449 

9 

2.  233 

81 

2, 

13*0 

293 

82 

52.  i32.  389 

11 

0 

83 

2.5.97 

1  2 

5 

84 

157 

13 

2.  5-  17 

85 

2 

14 

86 

181 

15 

2 

87 

*•  5.73 

16 

«8 

5. 17.29.673.1033 

17 

2.  5. 29 

8p 

2.  37 

S8 

53-  13 

1290 

19 

2.509 

9* 

2.  173 

1320 

9* 

5.  13-  tfi 

21 

2.  13.  4i 

93 

2.5».  29.  1153 

22 

5.  17    29.  709 

94 

*3 

2.  5.  101 

95 

2.  13.  53.  1217 

24 

96 

i7 

25 

2.  277 

97 

2.5.  149.  1129 

26 

37 

98 

5 

27 

2-  5-  293-  601 

99 

2 

28 

5.  5^1.^77 

S300 

809 

29 

0 

1 

2.  37    89.  257 

1330 

17 

« 

5    53 

31 

2    13  61.  1117. 

3 

2.  5   4.1*.  101 

32 

3 
5 

4 

173 

33 

[2.5.  137.  1297 

34 


FALDE 

MAGWIS:                H* 

Diuifores  ipfms 

W+ 

1 

Diuifores  ipfius  aa  +  b 

34 

13 

63 

2.  5-  37 

35 

2.  46  X: 

64 

17 

3^ 

97 

65 

2.  197 

37 

i&.  J 

(56 

38 

5.37 

67 

2.  5; 

39 

2.  17 

68 

52 

1.3+0  j 

69 

2.  89 

41 1  2.  73.  109.  1 

te 

1.370 

13    353  409 

42 

5 

7- 

2.  113 

43 

2.  52 

72 

5 

44 

13.  41. 

73 

2.  5.  13.  17.  853.; 

45 

2 

74 

46 

29  > 

75 

2;  29.  37;  881 

47 

2,  5.  13-  *7- 

8*1; 

76 

48 

5.  53 

77 

2>5 

49 

2. 

78 

r 

3350 

79 

2.  797  1  r93 

51 

2.  29 

1380 

29.  97;  677 

52 

5.  281.  1302 

81 

2.  17 

53 

2.  5.  <5i 

82 

52-  241.  3«7' 

54 

83 

2.  5.13 

55    2-  53 

84 

109 

5^1  *7 

85 

2  41.  149.  157 

57 

|2.52.  13 

86 

13 

58 

|5 

87 

2.  5 

59 

2 

88 

5-  373 

3360 

13-73 

89 

2 

6\ 

2 

3390 

17.  89.  1277' 

9l 

&  4?  i 

& 

2: 

*5* 


DE    NVMERIS    PRIMIS 


Diuifores  ipfius  tftf-H 

c 

Diuifores  ipfius  aa+i 

1392 

5.61 

142 1 

2 

93 

2.  5'.  197* 

22 

5-I31 

94 

23 

2.5 

95 

2«  953 

24 

17.  101.  1181 

96 

13 

25 

2.  13 

91 

»•   5 

26 

41 

98 

5-  17 

27 

2.  5.  269.757 

99 

2.  13 

28 

5.517.  tftfi 

14.00 

37 

29 

2.  181 

1 

2.  53 

1430 

2 

5 

31 

2.  461 

3 

2.  5.41 

32 

5*.  17.  193 

4 

29.  101.  673 

33 

2.5.29.  73.  97 

5 

2 

34' 

6 

35 

2.  13 

7 

2.  5\  17*.  137 

36 

641 

S 

5-  53 

37 

2.  5.37 

9 

2.  13.  29 

38 

5«  13-  29.  1097 

1410 

29 

2 

11 

2 

1440 

12 

5.  13.37.   829 

4* 

2.  17.  157.  389 

13 

2.  5 

42 

5 

»4 

6x*  73.449 

43    2.  5* 

15 

2.17 

44  41 

16 

45    2.  277 

17 

2.  5 

46-   149 

18 

5a 

47 

2.  5 

*9 

2, 

48 

5-  13 

1420 

49 

2.  17.37 

1450 


FALDE 

MAGKIS.             "153 

iDiuifores  ipfius  aa-\- 

x          j  Diuifbres  ipfius  #4  4- 1 

14.50 J  109 

61 
1 

769 

3 
1    2.  13 

7 

2    5-  13-  97-  173 

J.5 

8 

5-433-  I009 

3 

2.  5.  61 

9 

2  .  89 

4 

53-  JI3.  353 

1480 

457 

M55 

2.653 

1 

2.  229 

6 

2 

5* 

7 

*.  52 

3 

2.  5.  173.  761 

8 

5.  17.  89.  281 

4 

113 

9 

2 

1485 

2.41 

1560 

6 

37* 

1 

2.  13.  53 

7 

2.  5.  13.73.  233 

0  ■ 

5-  29 

8 

5 

3 

2.  5.  193.  1109 

9 

2 

4 

13-  J73-  953- 

1490 

13.  313 

1455 

2, 

1 

2.  29 

6 

i7 

n 

1  5.  17 

7 

2.  5.  29.  41.  181 

3 

2.  5*.  109.  409 

8 

5* 

4 

9 

2 

1495 

2 

1470 

137 

6 

29-  229.  337 

1 

2.   317 

7 

2.  5 

2 

5 

8 

5 

3 

2.  5 

9 

2 

4 

13.37 

1500 

13.  17 

^475 

2.  17.  6s.  1049 

Tom.IX.Nou.Comm. 


RESOLV- 


DE 

RESOLVTIONE  AEQVATIONIS 

dy  -\-  ayy  dx~bxm  dx. 

Au&ore 
L.    EVLERO. 

Problema     i. 

z. 

Inuenire  numcros  loco  exponentis  indefiniti  m  fubfti- 
tuendos ,  vt  valor  ipfius  y  algebraice  per  x  derimri 
queat. 

Solutio. 

Ponatur  y^cx^^-h-^ih  ,  ac  pofito  dx  con. 
flante,    erit  £/s=  (»-x)  cxn~2  dx  -+•  ^fj  -ro»- 

Cum  vero  (i.^=^.-+-^-+^ 
fa&a  fubftitutione  tranfibit  aequatio  propofita  in  hanc  : 

ddz  v  „      ,  zcxn~Jdz 

— 1-+tn—i)cx*r*4x-i-e£tx'*'m'dx-\ — 

azdx      v         '  * 

zzbxmdx. 
Fiat  iw=2»  — 2  et  bzzacc>  habebiturque : 

ddz-b-(n-i)acxn-%zdx*-\-zacx*-ldxdz~o 

quae 


DE  RESOLPTIONE  AEQVATlOmS.     155 

quae  ergo  refultat  ex  hac  aequatione   propofitae  aequi- 
Yalente 

dy  -4-  ay  y  dx  =r  a  c  c  #,n"~8  dx 

facla   fubftitntione/rrr^—^-^*        Fingatur    iam 
haec  aequatio: 
_ 

eritque  difTerentiando 


—i,4_»  — zn-j-t  -514.1  -?n«M 

grAa,'   *     +Bx~  *      +Cv  «   +D^  «.  «+-  etc. 


— sn— .1 


-n-i  -___r  — in-j 

Cum   vem  ex  fuperiori   aequationp    per  dx%  diuifa  fit : 

i? + ~i — -*-<*- x  >«*~«=^ 

fi  feries  afliimta  (ubmtuatur ,   prodibit  fequens  aequatio : 

-n-j  -_n-x  ___-§ 

*_s  — n— t  -f  n-i 

i-(«—  x)tfrAA:  t— (3»—  iVtpBx    e  ~-(5«-i>7<rGt;~~r 

-5?!-?  7n—3 

-(7«-i)tftfD.r   *  ~(ow-i)tffE#     *    —  erc, 
-f («—  1  )^Aa-  ^  -f-  («- 1  )*? B#  ^  -h  («  - 1  )acCx     l 

-____  "____! 

+{n-i)acDx   *    -$-(«  i}«cLx    »  -  etc, 
V  a  Ponau- 


N 


i$6        DE     RESOLVTIONE 

Ponantur  termini  homogenei  iun&im  fumti  nihilo  ae- 
quales,  vt  determinentur  coeflicientes  A,  B  ,  C,  D  , 
E  ,  etc.  eritque 

■n (nn  —  i)A {nn~t)      A_ 

■*^— *  '  2rz.4ac    2        \nac 

p [gnn  —  i  )  _B    {nn —  i  )(gnn  —  r  )  A_ 

(  25  nn —  Q     C    fnn —  i  )(0nn —  i)  (?;nn—i)  A 

— '         6n         *+ac —         _.  4.  6  *4*..3aJc$ 

t? (  49nn —  Q     D    (m — i)(gnn— iKzsnn — t)(4p  nn—-Q  A_ 

^ —        ^  4~Tc —        __  *.  6.  .         Vn-4-*-* 

etc. 
Determinabitur    ergo    s  per    a?    fequentJL  modo  :  z  zn 

—w-f-i  -;n-hi  —  sn-Hj. 

Avl  .    (>m—  n    A    _    "_  ,    (m.*-i)(  ___ ;)_. A       y         _ 

(nn— i)(g?nz— Q(25nn — i)      A  2      *  ^^ 

H £ TTT      n'a*c'x  -f-etc. 

Valore  hoc  fubftituto  refultabit  valor  quaefitus:  y-cx*'1 

r  -n-r  ______  -5»i-i  / 

\  (71--)  A  v~ 7"    «  (_5__J_-_     A   „~T~  ,  (___]  Cni__9_n-i)  _  A_    ,,  "7"    ,  ,» 

Ij—  A*    2     +— ~  nTc*  +-T-'~7. xT-'HZ&c*X  +etC-  L 

*"■ "     "^        -n-f-i  »___-t  __!_____  i 

tfiAv",M    Ar^ '  ,  (nn-i)  (snn-i)    _A_  r      .  ,     _fr  l 

^AA    -     ^-— ■•— A  +-~v    --77-   n*^c*X  -T-  etC.  _ 


n— i 


fiue  numeratore  ac    denominatore    per  A.v    2      diuifo  : 

yz=zcxn~l 

f*  -n  —  _n  — zn  *) 

l(n-i)   ,   (5___(_i~i)2      ,  (sn-i  -(m-iXgnn— Qx ,  (rn-i)  (nn-i)fwn~iXgnn-iXisnn_.i)s ,  ( 

__  j  "+    a  >~  ___L~i___  ■_____*«      n»a»c9"r     2  _^18_       8 .     16         24  —  ~.asc.j-CtC.  \ 

_.,")  -n  — 2n  — sn  _" 

1  1  (""-')  x      ,  (m-O(onn-i)  ac_ -  1  (nn-i)(9nB-i..2jnn-.)  x      ___,     pfr 

_    !    T  "  ,    '  *ac"t~    «.        l6    V^c2"»        1.       16.     2*       'n*alc3  T~  ei<-'  J 

Haec 


AEQVATIOKIS.  i57 

Haec  crgo  expreflio  generaliter  in  infinitum  excurrens 
fit  finita ,  fi  fuerit  ( _  i  -i- 1  )a »«  —  i  =_:  o ,  denotante  i 
numerum  quemcunque  integrum  ,  hoc  e(t  ,  fi  fuerit 
*—_!§__  J  et  w:_:_»--__:^^=^-2.  Huius  ergo 
aequationis ,  quoties  i  fuerit  numerus   integer  : 

—  *i 2  ±2 

dy-\-ayydxzz:accx     *'-*-<     dx 
integrale    (emper    in    terminis  finitis  poterit  exhiberi  , 
feu  valor  ipfius  y  per  x  algebraice  exponi. 

Sit    primo  nzz-j~t,  vt  fit  m—zn- 2  =  ^  erit 
huius  aequationis  : 


dy-hay  ydxzzzzaccx21-^1  dx 
integrale  iri  terminis  algebraicis  expreiTum  : 


ayxzzzzacx2  l~*~l 

v2  Z-f-  _  v2  Z-f-  r  „2  i_f_  1 

-  _j _____:_•  _ •  __rj  _?-•>»* _i_____:____sk£ ___. 

V2M-i  Y2i-+-i  ..Iwk 

t  _  ______  __    _____ ^C_____)C ?-*-__)  _ __!rl__i-__(ii_ )•____.    _____  At/. 

1       a(zi-t-j)'     ac      "t~_.4(_H-i.*"  -*-2        -.4..(2Z-f-')5         e*c»       "T"    ClC« 

(eu    ftcl:a    ad    communem    denominatorem    redu&ione 
erit  :   ay  x~ 


2 /-f-i  V2i-r-i  r2Z-f-l 

acx       --_-di).____X___)C ._____________!•_ _»_   etc 

_l__-4_. "T    .._f_z___k_"      -ac  _._.rf_i-*-i)*  «*c*      "T"     crc« 


v_z-f-i                            V2.-f-x  v.z-f-' 

i{i+__).*    T      ,*___J__HA  _____*____!___ l     Pfr 

*"  sl-i+i.      ec~~  T_.4(2Z4-J)2,-^i  _T7(2/-t-05    *  fl3c*       "T    ctc' 

V  3  Sit 


15S  DE     RESOLVTION  E 

Sit    deinde  nzz:f~+rl  ,    vt    fit  m-z^~~  ,  erit  huitis 

aequationis 

integrale  in  terminis  al&ebraicis  exprefium: 

ajx  —  acx^1^^- 
t  »  _«__ 

__  .  *4,iX«+__-_; _j_____4_]___j).^        _______-^XM**lW-iJ  * ,    M 

l-i^  _(,_-»-  5*       ac        T  ;.«f_i-*_,)»         q*c*    T"         j.L.^fH-if4  '      *    *        »     ClC# 


-  _i_  'ii± o. a m*-.,)(i+t)  x  _  ,  ___-_>^___£M-  i_ .    -fr 

"^^(_;-f-i)     ac         -T-    2.+.(2,_4_.1)«      _»c«   "T-      _.*.6(2.-+-0"    ~     -;«."       "*^ 

fcu    fadla    ad    communem  denominatorem  redudionc^ 
erit  ayxzz. 

-—•'  _____  ___«_ 

_?_• #'     '  4_j^)f/-hi)_Lf(/-4-0(f-4-2)(/-+-o.:y^"  "  .  _____gMg_»>_____1 **"*_.'  __  _.fr 

^ __J__+^___ =.^2/-+-*)"  <77"T  _.♦._(_._+..  )»  "  ___________! 

—  *                                    *                                           S  ■- 
,    .   *__+_)  _ ,   g___ .y._+,_)  x  ____!_**_-  ____*)._. .    Af/. 

'Tilji+irac        -T-    2.4(2._+.7j>~  •"_*_•»      H ~~~~>_f-~"~~  c*c*       -+-«". 

QiKTtiescunque    igitur    fiierit  i  numerus  integer  _    toties 

huius  aequationis : 

-______.__* 

dy*\-  ayydx—accx  »«-*-1     -a"_»r 

imegrale     in     terminis     algebraicis     poteft    exprimi. 
Q.    E.    I. 


CoroU.  f. 


AEQVATIORIS.  159 

Coroll.     1. 

2.  Aequatio  ergo  propofita  dy-\-ayydx~accxmdx 
integrationem  algebraicam  admittit,  C\  fuerit  exponens  m% 
Tel  terminus  huius  feriei: 

0.     _. .  4   .      I.     _»2.     _ .1«  •     — »2"   •     _, .  *♦  •       pf/« 

y»    ■    fj         s»         7   )         9»         11»        u)    tlA" 

\el  fi  fuerit  7»  terminus  ex  hac  fra&ionum  ferie: 

_, _  4  .  __  a  .   12  •    __  f6  .   __  20  .         »4  .   __  a»  •     ««■/• 

•  J         »)         S    >         7    J  5  j  ~*  1??         Tj  >    CIW» 

Coroll.     2. 

3.  Subftituamus  in  priori  integrabilitatis  claCe 
loco  i  fuccefiiue  numeros  0,1,2,3,  4  ,  etc.  at- 
que  reperietur ,  vt  lequituiv 

Si  i_~o  ;   huius   aequationis: 

I.  dy-\-ayydx~accdx9  integralc  erit*: 
cyxzz acx\  fiue  yzrc. 

Si  i=i  ;  huius  aequationis : 

— -* 

II.  dy-\-ayydx~accx-  *dx  9  integrale  crit: 

acx1       _  _•#    ¥  3*<^ 

ayxzz. r_  ieuj^_=: 


!_*_-*  1-1— 5      3^T-*f 

*    «..ac  *      foc  ° 


Si  i=2  *,  huius  aequationis : 

III.  dy-\-ayydxzzaccx  *dx,  integrale  cxit: 

acx5—  H  tfrA:?-f 

<?y:v:_: ^z 


2.  3     *       S _.      2___*   * $  3_ I       .       3  JC ? 


S) 


i6o         BE    RESOLFTIONE 

Si  i  zz  3  huius  aequationis : 

— L* 

IV.  dy-\- ajydxzzaccx    7  dxy  integrale  erit 


ayxzz: *-?T"+-7    qc fme 

—2  — *  3 

2.7'ac        '  '"  2. «.  72  °asc*    "—  2.4.6.?»    "a5c5 


X         7'flC       ~T"    7*   "a2^  7s     ■flj*C* 


Si  /ZZ4,  huius  aequationis: 
V.  dy-\-ayydxzzaccx   5 dxy  integrale  erit: 


ayx 


4.?.  ".5     X 9 4.?.  v  1.  t.J     X £ 

2.P  ""*""  j.  +  .«,2  'ac      ^.f.y*     '  o2c2 


-4 


X 


_         4>S     * 9  4»5«6.  s   JC 9  __  4.5.6.7.  T.^3C_9     I    ^l^lU''-'7"  ."     v 

1  ~  J.p     OC       "I     2.4.9*    'fl«C*     "*2.,.6.5«  *fl5C*T         a.,.6#8.p*        ^*C* 


Si  izz  $  •   huius  aequationis 
VI.  </y  -f-  # j>7 dxzzaccx    lt  dx,  integnle  erit : 

t  -T  -2  -T 

aCX11       S'^       I      5»*»3'6        OJJ         5_»'.;.'.f.7    ^_lT   .     5.«.;.M/.".8    «  '  ' 
ayV~~ ~  g.U     '      2-4.il2    'flC I>4.f.l  l?       Q2l2  T     i.4Y.8.ll"*      -o3c3" 


-3  -*  -5 

5^      JC     "fi. 6.7.4.   X     Tl  5.^.-^.4.-;    JC_H  5.f.7.g.f.4.3-'2   X     '1  5^V728.e.J_^4^.2.       X    »  »• 

2. tl    OC  '     2.4.11*   C*C2    "~    2.4.0.1  1*       fl3C3  T        2.4.C».»»4       'a4C*~         2.4.6.».I0.1i5~~  '  fl5C* 

Coroll.     2- 

3.  In  pofleridri  integrabilitatis  ordine  fubflirnamus 
pariter  loco  i  numeios  o,  1,  2,  3,  4,  etc.  ac  reperietur, 
vt  fequitur. 

Si 


A  E  QV  ATl  0  NI  S.  itfi 

5i  i  rr  o  ;  huins  aequationis : 

I.  dy-\-ayydx~accX~4dx,  integrate  erit: 

CICX — *  -1    li2 

S\  ici;  huius  aequationis : 

II.  dy-\-ayydx~accx    *dx?  integrale  erit : 

—  T  J  —j  I 

*cx   M-^i-.-^^-1.  *l~acx  3+i-+-frc 
.HyX  Z=.  « m^-LJ^-^L  ■ 3-^ 

^  i  -f- _;  v  ^c  l  "+-  ~Tc 

$t  izzz  huius  aequationis : 

III.  dy-\-ayydxzzaccx    s  dx  >  integrale  erfc 

W-ii, ^"*        I       |       3.4       |    .  g'3.   ♦.   S      X?       ,    _    t.2.^4.  5.6      f££ 


1  "T-    2.  s*   oc  "T"    ,.  4.s*      _*  c» 


Si  J  zz  3  ;  huius  aequanofris  : 


— H 


IV.  dy-\-ayydxzzaccx  Jdx>  integrale  erit  • 


*yx 


gCX   7     |     4.5     i      3.4.7.6      X7     l      3.3.4.5.6.7       *7       l     _l»2*?;4.y.6.7.»     «7 

" 3.7  2.  4.72"    OC  J.*.'.7*        a2CJ'         2.4.6.8-  7*    '  Q*  C? 


12  3 

.        5'   4       X7        ■        3.    3.  4.  ?       07 }  I.  2.    ?.  4.  5>  -5      X7_ 

1  "T"  3,  j    ac  ""*      a .+.  r2  *  «2  c*  "T"      2. 4,  6. ~7-~"  «*  c 


Atquc  ex  his  cafibus  analogia  patet,  cuius  ope  omnium 
cafuum  ,  qui  quidem  integrationem  admittunt ,  integra- 
lia  algebraica  expedite  formari  poterunt, 

Scholion. 

5.  De  his  integralibus  autem  probe  notaridum  eft, 

*a  xion  effe  completa  ,    neque  ideo  aeque  Jate   patere  9 

Tom.IX.JMou.Comi».  X  ac 


x6z  BE    KESOLVTIO  N  E 

ac  aequationem  differentialem  ;  id  quod  vel  ex  primo 
cafu  dy-\-ayydx  ~accdx  patec ,  cui  etfi  fatisfacit 
y^c^  tamen  flicile  intelligitur,  logarithmos  infuper  in 
ea  comprehendi.  Manifeftum  autem  hoc  eft  quoque 
hinc ,  quod  in  his  integrahbus  non  contineatur  noua 
conftans  arbitraria ,  quac  in  difTerentiali  non  inerat ; 
in  quo  criterium  integrationis  completae  verfatur.  Cae- 
terum  vero  hinc  duplicia  integralia  cuiusuis  cafus  obti- 
nentur,  eo  quod  c  tam  anirmatiue,  quam  negatiue,ac- 
cipere  licet ,  aequarione  differentiali  %  quae  tanturri  ce 
continet  non  mutata.. 

Froblema     & 

6.  Inuento  ope  praecedentis  methodi  integral! 
particulari  pro  cafibus  ailigHatis  zQ^mtioms  dy-\-ayydx 
~accxmdx7  inuenire  integrale  completum  pro  iisdem 
cafibus. 

Solutio. 

Pofito  m~2ft-2y    integrale    particulare  aequa* 
tionis  propofitae  inuentum  eft  effe  ayxzzacx71- 

(gr. '  )_(i«— ' )("*-_■  x  .   .  JsTt-T)(nn-t)(9«n-i)  x ,    (7n-i)[nn-\  )(9nn--i)[2snn-})  x 

_t a        $  n  '  ac         2        a  n       \6n    'a%c*~'    z        »n        i6n 2  +  n    *art*   """  etC, 

"        "     ^n  —2n  -zn 

_  i  ("n-0  x      ,  fnn-,)(gnn-i)  x ,   (nn-i^gnn-iXzsnn-i)  x 

*t"  sn    ' ac  T   lH      l6n    ■  az  cz  -T     tn     i6n       2+n     'a*cS~T~  ctC. 

cuius  loco  fcribamus  breuitatis  gratia  yzzr?.  Cum  igi- 
tur  P  fit  einsmodi  valor,  per  variabilem  x  datus  ,  qui 
fatisfaciat  aeqnationi  dy+ayydxzaccX^^^dx^rk  vtique 
dV^-aY^dxzzaccx^^^^dx.  Ponamus  iam,  integra- 
le    completum    aequationis    propofitae    dy l-ft  ay  ydx 


AEQVATIONIS.  j<T3 

zzzaccx2n~~~2dx  efife  yzzz?-\-v,  quo  valore  loco  y 
fubftituto  habebimus  hanc  aequationem  d?  +  dv-\a¥dx 
-+-  2a?vdx-\-avvdxzz:accx2n~~~2dx.  Cum  vero 
fit  ^P-4-*PV#  — tf^.v271-"2;/*,  erit  dv-\-ia?vdx 
•\-avvdxzzzo.  Sit  tfrjL,  erit  du-za^udxzz  +  adx, 
quae  inultiplicata  per  e~~ zai?dx  denotante  e  numcrum, 
cuius  logarithmus  hyperbolicus  eft  rr  i  ,  fit  integrabi- 
lis ;  erit  fcilicet  aequationis  e—~aJJ>dx(du—  za?udx) 
zzze-'af?dxadx,  integrale  e---af?dxuzzzfe-2af?dxadx: 
ideoque  uzzze2  afpdxfe—2afpdxadx.  Quo  valore  cum 
fit  vzzr.  j  fubftituto,  erit  integrale   completum  aequatio- 

e—  2aJ?  dx 

nis  propofitae^-P^j^j^jp^— .      At  ex  pro- 

blemate  primo  eft  valor  ipfius  y  particularis,  quem  hic 
ponimus  P \zzz, c xn~~ '* -+- *^fe~  exiftente 

_n-fri  —  zn-t-3  -sw-f-*  -?n+j 

.     2       i  (nn-Q  y      a         .  fnn-i)(Pnn-,)  s      »  (nn-t)($nn-i  X^nn-Q  rc  _2 . 

*     e  n    '  ac  ~*      an      kr    '  o1  c3  •"  «n.     isn.     24"      'a~c*       -r  etCt 

n 
n  —  2  acx 

Hmceritf?dxzzzc^~\-aIz,  et  e~-2aJPdxzzze*  n  :  3,3. 
Quo    valore    fubftituto    habebitur  integrale  completum: 

n 

j  — i  acx 

j=cx—'  +  — yx-+  — 1 0:  E>  L 

u  ^UX  —  -,acx 


zzje    n    adx-.zz 

Aliter. 

Quemadmodum  hac  ratione  ex  vno  integrali  par- 
ticulari  inuenitur  integrale  completum  ,  ita  ex  duobus 
integraiibus  particdaribus   expeditius    integrale    comple- 

X  a  tum 


i€+  DE    RESOLFTIOKE 

tum    indagabitur ,    nequc    in   hoc  modo  p:ruenitur   a<f 


n 

;OCX 


formulam  integralem,  cuiusmodi  eft  ca  fe~t~~~adx:zz> 
quae  integrali  completo  ,  quod  inuen;mus  ,  inuoiuitur. 
Cum  enim  aequatio  dy-\-ayydxzzzaccx7n-"dx  ma- 
neat  inuariata,  (ine  c  affirmatiue  ,  fiue  negatiue,  accipiatur, 
babemus  vtique    duo    integralia    particularia ,    quorum 


prius  eft  yzzz?zzzcxn — IH~a~f"Jx>  exiftente  zzzzx    * 

—  yn-fr-i  —  S*-4~\ 

+  (**  —  ')     *         *             ,    (nfi— 'Vpnn— i)    x •        '    _.  # 

«  n       .    al P"  ~ ~ TT~-  a*c*  ~      CCC* 

Pofterius  vero  fimih  rnodo    inueitigandum    erit  yzzzQ 

-»n+« 

n  — .     .       <*"         /-  -n-t-t      (nn— i)   *     * 

zz~cxn  —  '4-aTd^;  fietque  a=.r-- ^-.ac — ' 

4-**5r^^  fcsr1 etc.    qui  duo  vabres  » 

ct  a  tantum  fignis  inter  fe  differunt.  Erit  ergo  tam 
d?-\  a  ?~dxzzz accx'n  —  2dxy  quam  dQ-t-aQdx- 
~zaccx'n  ~~*dx.  Ponamus  iam  R^Zq^^,  quae  ae^ 
quatio  fit  integralis  completa  propofitae  difrlreatialis  ^ 
quam  formam  ideo  aflumimus,  quia  in  ea  vtraque  par- 
ticularium  yzzz? et  J—Q  continetur ,  ilk  ntmpe  f$ 
fiat  R  zr o,  haec  fi  R  zzz oo.      Fiet  ergo  Q R    Kyz?  y^ 

...  Q.R-P  j L*     J        RRiQ.  QctR-R  JQ.-RdP-KJP-+-Pcte 

hmcque  jrR— ,  quae  dat  <//_ — uT_-7)* 

fubftituantur  hic  valores  fiipn  inuenti  dYzzz  —  aV-dx 
-\-accx'n"~~dx  et  d^zzz-aQQdx -\-accx-n-~ 7dxt 

j  »n— ,j         .     aP~dx         QQ?Rdx    ,     (P  — Q.)dR; 

entque  </>  == * 6V tf  n ~ ~dx-h j--;  -  -]-rr  4-  <fT-7F 
_r  —  a  — jj^L — — -  -4-  tf  f  £  x2  n  2d  r.  fc.x  hac  aequatione 
refultat  iiaec  (P-QJ</R=r-tf  R</.r(P-Q)%  quae  di- 
viia  per  R(P-Qj  dat  d^zza[i^r?)dxzz-2acxn"-,dx 


JEQrATlONIS.  16$ 

•4-  ■?  —  v«       Haec    iam    aequatio  integrabilis  exiftit  > 

2  #  c  xn 
eritque  integrale  /R-/C^:-- \-lu-lz.     Cum 

P—J'     .  P""J      (acxn~zzdx+dz-ayzdx)  1  z 
vero  fit  R=^ZJ,  ^qZ^T  l^riudx+du  ayudx)  :  « 

n 

~Cg"7~«.     Hinc  ita,  quia  valores  ipfa-rum  «  et  z 


per  #  conftant ,    habebitur  aequatio  integralis   completa 

—  *  acx 

Ce     n      — 
Q.     E.     I. 


-  —•••■*''"'.    dz-\-acxn-xzdx-  ay  z  dx  _(P  -j)z 
*~e  ~*~  du  -  acxn-ludx-  aj  ud  x~~~[Q-y)  u 


Coroll.     1. 

7.  Valor  particularis ,  quem  fupra  pro  t  inuen?- 
mus,  ita  erat  comparatus ,  vt  effet  j  —  cxn~l  -  o^o^n]» 
exiftente 

V  -**->)  1   O-iKnn-Q  (__«-_  *.       ,   (_«-_)  (n»-iX9n*-iX»sn«-i)Ugn»-.0  se 

*^— ~7~T ;      sn    '     i6«   Vc»T       *     '    <»n     !6n        2»n        32  n     'a*c*  ~  W"T 

_n  —5« 

L(jn-«)(nn-i)    *        ,    (yn-iXOT-iXonn-tVaswn-i)    * 
--  ~ 1 — ,n~  •  c~T  +  ~_ — S      ~6~n      *♦ «    -fl-cr  €rc. 

-a«  v     -♦» 

M-       1   <I>B"1 1  Q"-'>  * 1  (ntt-0(pW-i)(«sOT-i)(*g»__j  _ 
-IT     gn      ,6n    •c*c*"T""r?r      ^n.       2+n.         32«     'a*c«Teic» 
— n                                                        — 1« 

N_(nn—  1)    a (nn—Q(ynn— Q(»5Tin— Q    x      __"     ,  '  __; 
—     gn     'ce    "+""7^         i6n.         24-n      •  a*c*       *T~  crc- 

Fadto    autem    c    negatiuo,    erit  alter  valor  particularis 

(K-L)  acx*(?A+  N)  K-L 

^-™^UVT-N)-    EritergoPr     -^^p* 
-„v**(M-N)-K-f-L 

*=? i^N) *  ***==M+N:M-N. 

X  3  Ex 


166  DE    R  ESOLVTION  E 

Ex  quibus  colligitur,  aequationis  propofitae:  dy-+-ayydx 
*zzaccx2n~~2dx  integrale  completum  fore  : 

-a«c«B    (acxn-axytM+WyK-L  r       "l      '     '        _, 

Qe    »      zz— — -- y-.  :  fiue-CpofitolocoC 

Zz.  -{acxn-raxy)M-NyK+L  r 

-~Ia^n_**fc*n-,-j')(MH-N)--K-L 

€     n       ~  ax{cxn~~l+y){M-^)^C^L' 

Coroll.      2. 

8.  Si  cc  eft  numerus  negatiuus ,     flet  c  hincque 
L  et  N  quantitates  imaginariae  ,  at  cV—  i;  LV-i; 
et  N  V  —  i   quantitates  reales  :     Tum    autem    integrale 
completum  realiter  exprefium  erit : 
_       acxn  acxnN  —  axybl  —  K 

Coroll.     3. 

9    Sit  rzr^V— 1,  vt    habeatur    haec    aequatio 
integranda  : 

dy  rj-  ayydx  -{-abbx2a~~  2dx  —  o. 
Huius  ergo  aequationis  integrale  completum  erit: 
#  £*n  # £xn  N  -  a xy  M  —  K 


A  tang.  — : — 5= —  -— ,-  -7-  iiue 

&  -d£;i*"M  —  axy^-L 

l.     abxn  K-abxnN-+-axyM 

C-^=AtangLT7^M^^N'  exiftente 

V___j     (sw-iXaw^Xgnn-Q  ac (gn-iXnn-Qfpng-jfonn-OUgnn-O  ;c~4n 

rW""    *     "     2-      sn-      ien  *a*6*T     _       8n.     l6n.     24n.       3*  n~~  a7~4  *  etC 


-n 


—  jt 


t   _(.n-iXnn^Q    «_  _  (jn-Qjnn-Qfgnw-QUsnn-i)    x 

j.        «B     '«i    "        a.      «n.      16n.        24n   ~'o*lM     -f-  etC. 


M  = 


AEQVATIONIS  167 

fut  _  r     (wt-Of^-i)    * ~(n>i- )foni-i)(tTTt-i)f»pm~i)     x 

M— '""-«n.    ,0«    •  o1  o*   T"   8tt.     16«.      2-/1.         :in     •  a*b*       etC' 

—  n                                                        — sn 
VT  — 1*P — ')    * (nn—)(on-'i  —  ■  Y-jnn — 0    x . 

w—  „»   •  06     — rs:     «6«-.      t««   •a*6«-  -r- «C. 
His  Uitur  cafibus    iutegrjha    particulana ,    quae    fimul 
fint  algebraica  ,  non  dantur. 

Coroll.     4.^ 

10.  Quoties  ergo  fuerit  n  —  ^fqn  >  denotante  I 
nnmerum  quemcunque  integrum  ,  expretliones  finitae 
algebraicae  pro  litteris  K,  L,  M  et  N  reperiuntur.  His 
igitur  cafibus  integratio  aequationi*  huius  dy  -\-ayydx 
~accxin  —  2dx  ope  logarithmorum  ,  huius  vero  ae- 
quationis  dy-t-ayydx-t-abbx1  n~~2dxzz:o  ope  qua- 
draturae  circuli  abfoluitur. 

Scholion. 

i%.  Quoniam  aequationis  diflferentialis  propofitae 
jy-\-ayydx~accx2"--'tdx  integrale  completum  du- 
plici  modo  expreffimus ,    poterimus  formulae   integralis 

n 

— —  7  Q  C  X 

Je — n —  dx ,  quae  in  priori  ineft,  valorem  ex  pofte- 

zz 
riori  affignare ,  huiusque  adeo  integrationem,  quae  faepc 
numero    maximopere     dinicilis     videatur  ,     exhibere. 

r,  «        •  QR~P       P~Q^ 

Poiterion  modo  autem  inuenimus  yzz  — zz  ■ — ~ 

J       R-i  i-R 

(P-Q)R  „-^*n 

=  P-i- ~— 1    at  efl;  KzzCe^rur  ?=zcx*~* 

* 


i*5  DE    RESOLFTIONE 

dz  ^  du 


■20CX 


heh\\\\rjr-ty*~*+—.x\*?X       ZL azdx      audx)  - 

azdx  __  aacx» 

Per  priorem  vero  integrationem  eft  4—cx*-*  -+-  --— 

azdx 


zzje~n~adx''zz 


ex  quorum  comparatione  ori- 


-I«C«* 


tur  *~Cg     ; u__ —  jf~V  adx_ 

Czzu(2cxn—1S^l^-^.JjL^'  zz 

v  ■      azdx         audx  )  *"* 

Quae     transmuratur     in     hanc     aequationem  : 

zdx—Ce     H       udx                              r  — -n —   , 
. -jr  I  e———— d  x* 

Qz{zacx%  —  1uzdx-\-udz~-zdu)~~  zz 

Quodfi  ergo  fuerit : 

-_n-f-i  -ln-fcl  __S?"i_I 

ZZZX    %     _-L_  (wn-i)  *   ~*         ,    (gn~Oknii-~0    *     '  .     -^. 

"  '        «n     'ac  "•         in.        16»     '  a*c5  ■"  ccc* 

-n-f-i  — ^w-4-i  — s«-f-f 

fl-_~.V    a      _(nn-Q    a      »  ,      (nn- iKjmi-O    *      *         —.  rfr 

•  n    •  ac  "+"      8n        i6n    •  a*ca  c"" 

n 

haec  formula  difFerentialis  e~'n~X  dx  integrari  poterit 


critquc  integrale  zz. 


z  z 

__.    —,*cxn      ' 

zdx—Ce     »     udx 


i~z{zacx*~-luzdx-+-udz—zdu)' 

Simiii 


A  E  Q  V  A  T  l  0  N  I  S.  *e>j> 

Simili  Tero  modo  fa<3o  c  negatiuo  ,  quo  z  et  u  inter 

-+-  2  acx 

fe  permutantur  ,  erit  formulae  differentialis  e      * dx 


uu 


i  r*    -4-  z  ac  x       j 

udx—Qe      « — zdx 


antegrale  =:  c  -  j  _  -  -  -  ^_ x%%  dx-\-zdu-udz  ) 

O    «    zdx-udx  .        .,        *_■ 

—  _— . -— •  m  quibus    mte- 

Qu(zacxn—luzdx-\-udz-zdu)        ^ 

grationibus  C  denotat  eam  conftantem  arbitrariamf  quae 

^per  intcgrationem  more  folito  ingreditur. 


Tom.IX.Nou.Comm:  Y  INVESTX- 


INVESTIGATIO     FVNCTIONVM 

EX    DATA   DIFFERE  NTIALIVM 
CONDITIONE. 

A  u  £1  o  r  e 

L.    EVLERO. 

Si  V  denotet  fnncYionem  quamcunque  binarum  varia- 
bilium  x  et  y ,  eaque    diffcrentietur  y  vt    prodeat 
cius  differentiale  : 

dVzzYdx-hQdy 
tum  vero  hae  duae  quantitates    P  et  Q  denuo    diffe- 
rentientur ,  flcque  proueniat : 

d?z=Lpdx-^rdy  et  dq=sd'x--\-qdy 
notum  eft,  femper  fore  rzzs-  Quam  proprietatem  quo- 
que  ita  exprimere  foleo ,.  vt  dicam ,  effe  : 
(  -  ^  —  (  d-Q-  > 

V  djy  y    —  Wxj» 

Huiusmodi  fcilicet  exprefllone  { f~  )  indico,  functionem 
P  ita  differentiari ,  vt  fola  quantitas  y  pro  variabili 
habeatur  ,  et  differentiale  refultans  per  dy  diuidi  ,  quo 
paclo ,  quantitas  finita  a  differentialibus  libera  proueniat, 
neceffe  eft. 

2=  Quodfi  ergo  formula  ?dx-\-Qdy  ita  fiierit 
comparata  ,  vt  fecundum  hanc  fcribendi  rationem  in  ea 
fit  (dj)  =  (4t),  hinc  viciffim  concludimus ,  iftam  for- 

mulam 


INVESTIGATIO  FVNCTlONVM.       tji 

nuilam  Vdx-\-Qdy  re  vera  oriri  ex  difTerentiatione 
cuiuspiam  funcTionis  V  ipfarum  x  tt  y.  Cum  autcm 
haec  proprietas  latifTime  pateat  ,  plus  inde  conclu^.cre 
non  licet,  quam  formulam  Vdx-±-Qdy  efTe  integra- 
bilem  ,  neque  quicquam  per  hanc  foiam  conditionem 
in  genere  definitur  ,  \nde  vlla  peculiaris  proprietas  eius 
funcTionis ,  ex  cuius  difrerentiatione  eft  nata  ,  colligi 
poffet. 

3.   Quando   autem  funclio  V   ad   certum   quod* 
dam  genus  refertur  ,  tum  pofito  dV  zz  ?dx-\-Qdy  , 
inter  quantitates  PetQ,  praeter  illam  generulem   arTe- 
cTionem,alia  quaedam  particulans  relatio  mtercedit    lta 
nouimus  ,  fi  V  fit  fundio  nulliub  dimenfionis    binarum 
Tariabilium  x  et  y ,  tum  praeter  illam  gentralem  pro- 
prietatem,  qua  eft  ( ^ )  =  ( ;nb>  in(uper  hanc  particula- 
*em  locum    femper    habere ,    vt  fit :    Pat-hQj^o. 
Deinde  fimili    modo    dtmonnratum    extat ,    fi    V    fit 
fwncTio  hoiLogenea  binarum   vanahilium  x  et  y  ,    cu:us 
dimenfionum    numcrus    fit    ~  n  ,      eius    difTerentiale 
//V  —  ?dx-\-Qd  y    femper    ita    effe   comparatum  , 
vt  fit 

nV~?x-{-Qy. 
Quo  ergo  calu  hoc    inpnmis  notatu   dignum    occurrit  , 
quod  formnlae  differentialis  ?dx-{-Qdy  integrale  ftatim 
aflignari  poflit ,  cum  fit  V  —  ^Vx-t-Qy). 

4.  Quae  cum  fint  demonftrata  ,  iam  pridcm  in 
mentem  mihi  \enit ,  huiusmodi  quaeftiones  im  erio  mo- 
do  traclare,  atque  in  methodum  inquirere,cuius  ope,  fi 

Y  z  P°^t0 


17*         IHVESTIGATIO 

pofito  dVzzzVdx-t-Qdy,  compertum  fit  ,  eflfe  vd 
PAT-hQ^  —  o  ,  vel  Ptf-t-Q^  —  tfV  ,  vicidim  inue- 
niri  poflk  ,  fun&ionem  V  vel  eflfe  nullius  dimenfionis, 
\el  eflfe  fun&ionem  homogeneam  ,  in  qua  binae  va- 
riabiles  x  et  y  vbique  n  dimenfiones  adimpleant.  Sci- 
licet  nullo  refpecfcu,  ad  illas  propnetates  iam  cognitas 
habito ,  ex  hoc  folo ,  quod  fit  vel  Pjc  +  Q^yno, 
vel  PAr-i-Q^ yzzznV  ,  per  legitima  analyleos  ratiocinia 
elici  oportet ,  functionem  finitam  V  hic  proprietate 
praeditam  eflfe  ,  vt  vei  fit  nuilius  dimcnfronis  ,  vel  ho- 
mogenea  n  dimenfionum.  Intelligendum  autem  eft,  pro~ 
prietatem  generalem  (^y)zz(^%)  femper  locum  habere 
debere,fine  qua  aequatio  dVzzzFdx-k-Qdy  adeo  efiet 
abfurda. 

5.  Hae  quaeftiones ,  quae  vix  adhuc  tactae  fi- 
dentur  ,  ampliflimum  aperiunt  campum,  fines  anaiy- 
feos  vlterius  extendendi.  Propofita  namque  aequatione 
dVzzz¥dx-\-Qd y,  quaeri  poteft  indoles  funclionis  V? 
fi  relatio  quaecunque  inter  binis  quantitates  P  et  Q_ 
\el  adeo  inter  ternas  P ,  Q  et  V  proponatur.  HuiuS- 
modi  autem  quaeftiones  etiamfi  pene  nouae  videantur, 
tamen  nullum  eft  dubium  ,  quin  methodus  eas  rite  re. 
foluendi  maximam  per  totam  mathefin  allatura  fit  vtr- 
litatem.  In  problemate  enim  de  cordis  vibrantibus  tota 
vis  folutionis  ad  hoc  genus  eft  referenda  ,  cum  certa 
quadam  relatione  inter  quantitates  P  et  Q  contineatur. 
Deinde  etiam  vniuerfam  motus  fluidorum  fcientiam  in 
huiu&modi  formulis  differentiaiibus  fum  complexus ,  vbi 
certa  quaedim  rclatio  inter  partes  differentialium  prae- 
fcnbitur ,  ex  qua  autem  ob  defe&um  talis  methodi  vix 
quicquam  concludere  licet«  6. 


FFNCTIONFM.  173 

6.  Huiusmodi  autem  quaeftiones  etiam  alio  modo 
proponi  poffunt ,  vt  folius  fundionis  V  ,  cuius  na- 
tura    quaeritur,    mentio  occurrat.     Cum    enim,  pofito 

iV-P^  +  q^,  fitP  =  (H)  et  Q.=  (H)'Prior 
quaeftio  ita  enunciari  poterit : 

Inuenire  indolem  fun&ionis  V  ,  vt  fit : 

poflerior  vero  hoc  modo  ; 

Inuenire  indolem  junttionis  V  ,  vt  fit : 

ac  priori  quidem  oftendi  debet  ,  V  effe  fundionern 
nullius  dimenfionis  ipfarum  x  etjr;  pofteriori  vero,  effe 
earumdem  fun&ionem  homogeneam  n  dimcnfionum. 
Hoc  fcribendi  autem  modo  in  genere  tenendum  eft,  effe: 

7.  Problema  igitur  latius  patens  ita  fe  habebit  , 
^t  propofita  quacunque  relatione  inter  quantitates  V  , 
(jTi)  et  (||)  definiri  debeat,  qualis  fun&io  fit  V  ipfa- 
rum  #  et  y.  Deinde  etiam  huiusmodi  quaeftiones  ad 
fun&iones  trium  pluriumue  variabiliurn  extendi  poffunt; 
quin  etiam  quantitates  ex  duplici  vel  triplici  differentia- 
tione  oriundae  iacroiuci  poffunt  ;  cuiusmodi  funt  (j^i); 
( ^h ) ;  gJ ) ;  (  U '  \inr,)  «c.  ^rum  fignifi- 
catus  ita  fe  habet ,  vt  verbi  gratia  (  j^jy )  oriatur ,  fi 
primo  V  differentietur  fbla  x  variabili  fumta  ,  et  diffe» 
xentiale  per  dx  diuidatur ,  vt  prodeat  (ji);  tum  vero 
haec   quantitas    denuo    differentietur ,    fola    x    variabili 

y  3  fumtar 


274  INVZ~-IGATIO 

fumra  ,  vt  eius  differentiale  per  dx  diuifum  pneVat 
(  y^- )  ,  qnod  denique  rmius  dirTerentiatnm,  fumta  fola/ 
variabili  ,  et  per  dy  diuifum,dalit  (  ar^  )• 

8    Dum  autcm  hunc  fignandi  modum  recipimus^ 
notandum  cft,  e(Te  ■: 

,ddv_  ,  2.  ,4±v    )  et 

V-  dxJy    ) C   dydx  )    Ct 

{  dx%dy  )  *  dxdydx  )  —  \  dydx*) 

Perinde  icilicet  elt  ,  quonam  ordine  quantitates  x  tty^ 
■quarum  alterutrj  in  .qualibet  difFerentiatione  fola  variabi- 
lis  afTumitur .,  difponantur  ,  jdummodo  praefcriptus  dirTe- 
rentiationum  numerus  inftituatur.  Quin  etiam  fi  V  fit 
funftio  tnum  variabiiium  x7j,  z7  fimilis  conuenientia 
locum  habet ;;  erit  «nim  : 
/     d'v         ,    d»v    s    .    d»v    w  .d'r   w  a«v-w  d'v 

\  dxdjdzf  —  Kdxdzdy  >  —  \  dydxdz)  — v  dydzdxf— ydzdxdyJ— Kd-cdydx  ) 

hic  autem  meas    inueft-gationes    tantum    ad    functiones 
duarum  variabilium  reftringam. 

9.  Hoc  modo  dedncimur  tion  folum  ad  infolitas 
ct  etiamnum  vix  tra&atas  quaeftiones,  fed  etiam  ad  no- 
va  figna ,  quibus  adhuc  parum  fumus  adfueti  j  vnde 
haec  methodus,  cuius  culturam  tantopere  expetere  de« 
bemus,  non  immerito  tanquam  noua  plane  Analyfeos 
pars  ert  fpectanda.  Non  parum  igitur  mihi  praefti- 
tifle  videbor  ,  fi  prima  tantum  iftius  methodi  funda- 
menta  conftituero,  neque  ob  rei  nouitatem  vix  mini- 
mam  aedificii  lis  fuperftruendi  partem  polliceri  audeo. 
Tempore  fine  dubio  haud  exiguo  et  indefeflb  labore 
opus    erit ,    antequam  iftam  Analyfeos  partem  ,  in  fe 

certe 


FVKCTIONVM.  175 

certe  difficillimam,  non  dicam  perficere,  fed  tantum  ad 
\beriorem  vfum  accommodare  liceat.  Quam  ob  rem 
ea  ,  quae  mihi  adhuc  in  hoc-  genere  funt  reperta  ,  or- 
dine  ac  dilucide  exponere  conltitui  ,  quo  aliis  ,  quos 
dignitas  argumenri  ad  eundem  laborem  fufcipiendum 
alliciet ,  prima  quafi  obftacula  de  via  remoueam  ,  ani- 
mosque  ad  nouum  hoc  inueftigationum  genus  prae- 
parem. 

1  o .  Antequam  autem  hoc"  munere  fungar  ,  prin- 
cipia  quaedam  per  fe  perfpicua  praemittenda  fentio. 
Primo  fcilicet,  fi  fuerit  (d-~)z=;o5  intelligitur,  fun&ionem 
V  prorfus  non  ab  x  pendere,  fed  ex  fola  altera  varia- 
biii  y  cum  conftantibus  effe  conflatam  r  ficque  etiam 
formam  (^)'  fore  functionem  ipfius  y  tantum.  Vicifljm 
autem  fi  (^3;)  fuerit  fun&io  ipfius  y  tantum  ,  ipfa 
quantitas  V  erit  aggregatum  ex  functione  ipfius  y 
tantum  ,.  et  ex  functione  ipfius  x~  tantum  ;  quo  ergo 
cafu  forma  (d~)  erit  functio  ipfius  x  tantum.  Ddnde 
fi  fuerit  dV~Rds>  necefie  eft,  vt  R  fit  functio  ipfius 
S,  vel  S  ipfius  R,  vnde  et  V  erit  fundio  ipfius  S, 
vel  ipfius  R,  quia  alioquin  integrale  /Rds  non  deter- 
minaretur.  His  igitur  pofitis  principiis  primum  binas 
quaeftiones  initio  memoratas ,  quae  huic  inueftigationi 
anfam  praebuerunt ,  refoluam ,  deinceps  ad  alias  pro- 
greflurus. 

Problema     1. 

11.  Exiftente  dVz=?dx-\-Qdy,  fi  fuerk 
Vx~hQy=zo,  inuenire,  qualis  V  fit  functio  ipfarurn 
x  Qty7  vt  huic  conditioni  fatisfiat. 

Solutio. 


*WS         INVESTIGATIO 
Solutio. 

Cnm  igitur  inter  quantitates  P  et  Q  haec  con~ 
ditio  praefcribatur ,  vt  fit  Por  +  Q^  —  o^erit  Qz=— P|", 
qui  valor  in  aequalitate  dV=z¥dx-hQdjr  fubftitiuus 
dabit  : 

^VzzP^-^)^^^— 
neceffe  igitnr  eft,  vt  formula  *<y*x  —  xdy>  flt    fotegra- 
bilis      Quae  vt  ad  formam  R  dS  perducatur  ,     ita   re- 
praefentetur  : 

</V~Pj.  ^j^ 

Sumto  enim  y-~f^  ~  dS  et  S  =  ~,  cum  fit 
dVzz;PjdS,  neceffe  eft,  vt  Py  fit  func"fro  ipfius  S, 
ideoque  et  V  erit  functio  ipfius  S,  hoc  eft,  ipfius  y-. 
Proprietas  igitur  praefcripta  ,  qua  eft  P^-j-Q/zro, 
huinsmodi  indolem  fanctionis  V  declarat  ,  vt  fit  V 
functio  quaecunque  ipfius  j-;  hinc  autem  manifeftum  eu\ 
pro  V  prodire  fun&ionem  nullius  dimenfioni*  ipfarum 
x  et  y. 

Coroll.    i. 

12.  Quodfi  ergo  ob  P~(j|)  et  Q^=(^)haec 
proprietas  fundtionis  V  proponitur,  vt  fit  x(^)-\-y(j^)z:o 
inde  certo  concludimus,  V  elfe  fun&ionem  formulaej- 
feu,  quod  eodem  redit ,  efle  functionem  nullius  dimen- 
fionis  ipfarum  x  etj'. 

Coroll.     2. 

13.  Viciffim  ergo  hinc  id,  qnod  quidem  iam 
iludum  conftat,  confirmatur ,  vt,  quoties  fuerit  V  fun- 

a;io 


FVNCTIONVM.  I7T 

€lio  millins  dimenfionis  ipfarum  x  et  y  ,  toties  quoque 

fore  *lj5)"t*Jf(|J)p °-  Verum  yti  hoc  facillime 
ofienditur ,  ita  eius  inuer(um  fingulari  demonlhatione 
indigebat. 

Scholion. 

14.  Vis  huius  folutionis  in  eo  e(t  pofita  ,  qnod 
differentiale  functionis  V  ad  iftam  formam  dMmtidS 
leduxerim  ,  ex  qua,  cum  vnicum  difterentiale  dS  con- 
tincat  ,  liquido  fequebatur,  V  efle  functionem  quantita» 
tis  S  tantum;  erat  autem  S~|-,  et  notum  efr,  omnes 
functiones  ipfius  ~  firrul  effe  functumts  uullius  dimen» 
fionis  et  viciflim.  Eodem  ergo  principio  in  folutionc 
fequcntium  problematum  vtendum  efle  intelligetur.  Cae- 
terum  fine  litteris  P  et  Q_  problema  tam  proponi,  quam 
refolui ,  potuiflet  :  fi  fcihcet  quaeri  debeat  indoles  fun- 
aionis  V,  vt  fit  x(&f+jix?)-£b\  eum  fit 
dV  =  dx{¥x)+.dy{*£)t  ob  (#)=-f(K>>  erit 

dv^idx-^A^j&yAF 

manifeftum  tft  ,  V  neceflario  effe  debere  huius  vnius 
quantitatis  *.  Quemadmodum  autem,li  fuerit  dV~Rdr9 
re&e  concluditur  ,  effe  V  fun&ionem  iplius  r  tantum  , 
ita  porro,  fi  fuerit  dNzizRdr -\-Sds,  concludere  debe- 
mus ,  V  efle  fim&ionem  binarum  \anabilium  r  et  j; 
quod  principium  vtilitatem  habebit ,  in  indaganda  in- 
dole  fun&ionum  tnum  variabilium  ,  dum  quaepiam  con- 
ditio  differentialium  ptoponitur. 

Tom  .IX.  Nou.  Comm.  2  Proble* 


*7S        INFESTIGATIO 
Problema     2. 

15.  Exiftente  dV  zzPdx-\~Qdy  ,  definire  in- 
dolem  fjndlio.iis,  V,  vt  fiat  Px-\-(JjzznV ,  deno- 
tante  n  numerum  quemcunque. 

Solutio. 

Ex    conditione    pratfcnpta  P#-}~Qv~wV  eli- 

ciatur  altera  quantitatum  P  et  Q. ,  puta  Q-  15 y  t 

qui   valor  in  aequahtate   differentiali   fubrtitutus  dabit : 

dV  =  ?dx-+-nV-fy-t-x^L 
cui  ftatim   ifta  forma  inducatur  : 

dV-n-^-y  =  ?y'^^fj^~?yd  § 
quae,  vt  prius  membrum  integrabile  reddatur  ,  per  y~m 
multiplicetnr  ,  ficque  prodibit  : 

d.y-nV—?yl-nd.j 

vnde  concludimus,  effe  y~ n  V  fundtionem  quantitatis  j  j 
feu  functionem  nullius  dimenfionis  binarum  variabilium 
X  et  y.  Denotet  ergo  Z  huiusmodi  fun&imiern  qnam- 
cunque  nullius  dimenfionis  ,  et  cum  fit  y~nV  —  Z? 
ent  Vzzj^Z;  tali^  autem  expreifio  contmet  omnes 
fcndtiones  homogeneas  ipfarum  x  et  jp,  quaium  diiiierx- 
fionum  numerus  eft  ~  n. 

Coroll.     r. 

16.  Qnando  ergo  nouerimus,  fundtionem  V  ehtf 
cfie  indolis  ,  vt  fit  nV —.x(~i)-\-y{-~y) ,  pro  certo 
amrmaxe  poterimus ,  V  efle  fuuctionem  homogeneam  , 


F  V  N  CT  I  0  N  V  M.  1^9 

in  qua  binae  variabiles  vbique    »    dimenfiones    adim* 
pleant. 

Coroll.     2. 

17.  Quodfi  ergo  ponatur  dVz=:¥dx-\-Qdy , 
crunt  etiam  P  et  Q  functiones  homogeneae  ipfarum  x 
tt  y9  fed  quarum  dimenfionum  numerus  eft  »  — 1,  fci* 
licet  vno  ordine  inferior. 

Coroll.     3. 

18.  Quare  fi  P  et  Q  fuerint  fundiones  homo- 
geneae  binarum  variabilium  x  et  y  ?  quarum  numerus 
dimenfionum  fit  idem  ,  puta  zz » —  1 ;  ac  fi  praeterea 
fuerit  (^):^(1|),  ita  vt  ?dx-+Qdy  fit  formula  dif- 
ferentiahs  completa  •,  tnm  eius  integrale  facillime  aifigna- 
tur.    Erit  quippe: 

Dnmmodo  ergo  n  non  euanefcat ,    integrale  huiusmodi 
formularum  fine  vlla  alia  operatione  exhiberi  poteft. 

Scholion. 

19.  En  ergo  (olutionem  ambarum  quaertionum  , 
quas  initio  corr.memoraui  •  quae  cum  iam  contineat 
fpecimen  methodi  ,  qua  in  hoc  genere  eft  vtendum  , 
eandem  ad  folutionem  aliorum  fimilium  problematum 
adhibere  licebit  Cum  igitur.  "hic  proponatur  certa  quae- 
dam  relatio  inter  functionem  V  et  quantitates  inde 
deriuatas  Pzr(d-|)  et  Q=r(g-^),  ex  qua  indolem  fun- 
ctionis  V  definiri  oportet ,  vt  ordinem  quendam  in 
huiusmodi  quaeitionibus  feruem ,  quoniam  tam  P  et  Q, 
quam  V,  funt  funcliones  ipfarum  x  et jj  primum  in- 

2  2  dolem 


x8o  INVE8TIGATIQ 

dolein  akerins  littenrum  P  et  Q  dari  affumam  ;  dein* 
de  ad  emsmodi  problemata  progrediar ,  in  quibus  re~ 
latio  quaedam  inter  P  et  Q_  pn'ae(cnbitur  \  tum  vero 
ad  talia  ,  vbi  vel  inter  P  et  V,  vel  inter  Q_  et  V,  re- 
latio  quaedam  intercedere  debet.  Denique  vero  rela- 
tionem  datam  ad  omnes  tres  quantitates  V,  P  et  Q 
extendi  aiTumam,  quemadmodum  in  problemate  fecun- 
do  eft  facTum.  Cum  autem  hic  rantum  ad  quantita- 
*es  V,  (j^),  (j^)  refpiciamus ,  cuidens  eft,  huiusmodi 
inueftigationes  multo  latius  extendi  polTe  t  dum  relatio 
piaefcnpta     alias    quantitates    ex    V    deriuatas,    veluti 

(  j£) ,  (i%) ',  «  (*$),  compkdlitut.  Verum  ofc 
tum  abeft  ,  vt  omnium  iitiusmodi  problematum  fblu- 
tiones  promittere  audeam  ,  vt  potius  ea  tantum ,  quae 
funt  faciliora,  fim  euoluturus.  Mox  en  m  patebit  ,  in- 
aumerabilia  eiusmodi  problemata  proponi  poflfe  ,  quo« 
rum  folutiones  primos  hos  conatus  longe  fuperent,  ne- 
que  antequam  haec  quafi  noua  Analyieos  pars  peni- 
tius  fuerit  excuita  ,;  fperari  queant 

Problema     3. 

20  Exiftente  d V  —  P dx -+-  QJy ,  fi  P  fuerit 
fun&io  ipfius  x  tantum  ,  definire  indoieoi  fun&ionis  V.. 

Solutio. 

Ex  pirte  dirTerentiaiis  ?dx  iam  fundtionem  V 
inuenire  pofle  noturn  eft  ,  dum  fpe&ata  y  vt  conftan- 
te  ,  dirTerenti  ile  Vdx  integratur,  conftans  arbitraria  au- 
lem  adiicienda  altexam  variabilem  y  vtcunoue  inuoluere 

affumi- 


F  V  N  C  T  I  O  N  V  M.-  iftt 

afllimitur.  Cum  igitur  P  fit  fun&io  ipfius  x  tantum  r 
erit  fVdx  etiam  eiusmodi  fimctio  ,  quae  fit  i:X,  ec 
conftans  addenda  per  Y  fun&ionem  quamcunque  ipfius 
y  tantum  repraefentctur  Hinc  ergo  prodibit  VzX-fY, 
fcu  indoles  quaefita  fuactionis  V  in  hoc  confiftet  ,  n 
fit  V  aggregatum  duarum  functionum,  alterius  ipfius  x 
tantum  ,  alterius  vero  ipfius  y  tanturru 

Corollarium. 

2i.  Cum  ergo  hinc  fiat  rfVzr^/X-f/Y,  ma- 

nifeftum  e-ft ,  fi  P  fuerit  functio  ipfuis  x  tantum  ,  tum 

Q_  fore  functionem  ipfms  y  tantum,  qmae  quidem  pro- 
pnecas  per  fe  eft  uotiflima. 

Problema     4. 

22.  Exiftentc  d V  rz  P  dx  +-  Qdy  ,  fi  P  flierit 
fun&io  ipfius  y  tantum  ,..  definire  indolem  functionis  V^ 

Solutio. 

Cum  P  fit  fundlio  ipfius  y  tantum,  ex  fola  par- 
te  dirferentialis  ?dx  ,  fpeftata  y  vt  conftante  ,  funftio 
V  ita  definitur ,  \t  fit  V:=PA;-t-Y,  dcnotante  Y 
fun&ionem  quamcunque  ipfiusj.  Qiiare  indolcs  quaefita 
functionis  V  in  hoc  confiftet,  vt  defignantibus  P  ec  Y 
funftiones  quascunque  ipfius  y%  forma  fun&ionis  V  iem?» 
ptr  fit  huiibmodi  V:=P.rH-Y. 

Coroll.     r. 

23.  Si  ergo  F~(*l)  fit  fun&io  ipfius  y  taiu 
tum,  cum  fatdV~Pdx+xd?+  </Y,  erit  Q=*^— ,< 

r  ,      d?         .ddVv       a        f^  ,  ddV  .     ,     dV 

feu.  ob  aj=tjsg)|  W  Q  =  x(dl<Tj)  ■+- d~y 

Z  3  CorolL. 


182  INVESTIGATIO. 

Coroll.     2. 

24.  Quoties  igitnr  fuerit  {j~)  fun&io  ipfius  j 
tantum,  toties  neceife  cft,  \t  fit  (d^)^x{jxJy+^ , 
\bi  4-j  denotare  poteft  fundionem    quamcunque    ipfius 

y  tantum.  Vnde  viciftim  colligere  licet,  fifuerit(a-  ) 
— xd^j^)-hf.j7foic  (j^.)  functionem  ipfius  y  tan- 
tum. 

Coroll.     3. 

25.  Simili  modo  oftendetur ,  fi  Qvz. (5-)  fiierit 
functio  lpfius  fc  tantum  >  fore  VznQ^-4-X,  denotan- 
te  X  fun&ionem  quamcunque   ipfius    x    tantum  j    tum 

r    c       v    /dVN  ,  dd  V  x     ,      .         c         .  d  V  , 

vero  etiam  ,  fi  fuent  (^)-J(  J^ )  +  /•*,  fore  (,<- J 
fundionem  ipfius  x  tantum. 

Problema     5. 

26.  Exiflente  dVzz. ¥dx-\-Qdy,  fi  fuerit  P 
fun&io  homogenea  ipfarum  x  et  y\  cuius  dimenfionuin 
riumerus  fit  zz /j,  definire  indolem  funclionis  V. 

Solutio. 

Cum  P  fit  fundio  homogenea  n  dimenfionum  9 
fi  pars  differentialis  ?dx  intcgretur ,  fpe&ata  y  vt  con- 
ftante ,  integrale  erit  functio  homogenea  «H-i  dimen- 
fionum  ,  fit  Z  talis  functio  homogenea  quaecunque  , 
eritque  Vz^Z-+-Y,  denotante  Y  funCtionem  quam- 
cunque  ipfius  y  tantum  ,  in  quo  confiftit  indoles  quae- 
fita  fun&ionis  V. 

Coroll. 


FrNCTIONPM.  1S3 

Coroll. 

27.  Simili  ergo  modo  oftendetur ,  fi  fuerit  Q^ 
Cun&io  homogenei  n  dimenfionum  ,  fbre  VrZ-hX, 
dcnoca.ite,  vc  ante,  Z  fuictionem homogeneam  qjuarti- 
eunque  n  -fr-  i  dimenfionum ,  et  X  ipfius  x  tantum. 

Problema     6. 

25.  Exiftente  dVzzPdx+Qdy,  fi  fuerit  QzflP, 
defiaire  indolem  fun&ionis  V. 

Solutio. 

Cum  fit  QzznP,  erit  dV  zzz?(dx-\-ndy):  qua- 
re,  pofito  x-\-nyzzzs,  fiet  dV^Pds.  Ex  V  valo- 
rem  certum  habere  nequit  ,  nifi  fit  P  functio  ipfius  s> 
ex  qaa  etiam  V  erir  fun&io  ipfius  s.  Conft^uenter 
fi  fuerit  Qjzz  «p,  indoles  quantitatis  V  in  h>c  con- 
fiftet,  vt  fit  V  fundtio  quaecunque  formulae  x-\-ny\ 
feu  fi  chandter  <2>  adhibeatur  ad  functionem  quam- 
cunqne  quantitatis ,  cui  praefi^itur ,  defignandam  ,  erit 
VzzzO:  (x-\-ny). 

Problema     y. 

20,  Exifttnte  dVzzzPd x  H-  Qdy ,  fi  fuerit 
Vjr -\r  Qx.  zz.  o  t  inuen're  indoieoi  fundhunis  V. 

Solutio. 

Cum  fir  ?y-\-Qx  —  o,  erit  Qzzz-~-  ,  atque 
hinc  dVzzzPdx  -  Pyj~y  zq  |  (xdx-ydy)      Pofito  ergo 

xx-yyzzzs,  ob xdx-ydyzzz ids,&idV zz.z\ds.    Qme 

forrnu* 


*8*  INFESTIGATIO 

formula  cnm  pcr  hypothefm  fit  integrabills  ,  recefle 
eft,  vt  fit  ~  fun&io  ipfius  j,  \nde  etiam  V  prodibit 
ftn&io  ipfius  s  zz  x  x  -yy.  Quociica  indoks  quaefita 
in  hoc  confiflet ,     vt  V  fit  ftn&io  quaecunque   quanti- 

tatis  xx—yy, 

Problema     8. 

30.  Exiftente  d  V  zz.  Fdx-l-Qdy  ,  fi  foerit 
Qj=r?pt  dum  p  exprimit  fcn&ionero  quamcunque  da- 
tam  ipfarum  x  et  y  ,   definire  indolem  fun&ionis  V. 

Solutio. 

Habebimus  ergo  dV-?dx  +  ?pdy-?(dx+pdy). 
lam  confideretur  formula  ax-i-pdy,  quae  fi  non  tue- 
rit  per  fe  integrabilis,  dabitur  multiplicator  #,  qui  eam 
reddat  integrabilem.  Sit  ergo  adx-\-  pqdyzzds, 
eritque  s  functio  quoque  datn  ipfarum  X  et  yy  et  ob 
dx-±-pdy  —  -~}  habibitur  dV  —  ^-ds.  Neceffe  igitur 
eft  ,  vt  haec  formula  (it  integrabilis  ,  ideoque  indoles 
quaefita  in  hoc  coniiilet  ,  \t  fit  V  ftnclio  quaecunque 
quantitatis  s,  quae  quomodo  ex  x  et  >•  fit  compoiita  t 
ex  conditione  quantitatis  datac  p  colligi  debet. 

Coroll     i. 

3 1 .  Problema  hoc  fatis  late  patet ,  cum  in  eo 
ratio  quaecunque  inter  qnantitates  P  et  Q,  feu  (j^)  et 
{  fy  proponatur.  Si  enim  fit  P  :  Qzz.i  :py  quaecun- 
qi  e  funtfio  ipfarnm  x  et  y  pro  p  fuerit  data  ,  qualis 
futura  fit  functio  V,  definiri  potcit, 

Coroll. 


FVNCTIONVM.  i$-$ 

Coroll.     2. 

32.  Quanquam  autem  femper  multiplicator  q 
exiftit ,  qui  forrrulam  dx-\-pdy  integrabilem  reddit , 
tamen  faepe  euenire  poteft,  vt  ob  defe&um  analyfeos 
hic  multipiicator  aflfignari  nequeat.  Atque  his  cafibus 
folutio  problematis  impeditur. 

Coroll.     5. 

33.  Alio  autem  loco  oftendi,  huiusmodi  multipli- 
catores  femper  exbiberi  pofle,  fi  aequatio  dx+pdy~& 
refolui  queat.  Quarc  nifi  p  eiusmodi  fuerit  functio 
ipfarum  x  ttyy  vt  aequatio  dx-hpdy  refolui  poflit , 
huic  analyfeos  defectui  tribui  debet ,  fi  problema  re* 
folui  nequeat. 

Problema    9. 

34-  Si  fint  X  et  Y  funetiu^  datae,  ilIa  W1* 
X  tantum  ,  haec  vero  ipfius>  tantum  ,  tum  vtS  * 
fit  funaio  etiam  data  ipfarum  x  cty:  definire  indo- 
lem  fetfionis  V,  Yt  pofito  dVzzPdx  +  Qdy  ,  fit 
Q=(P-HX»4-Y. 

Solbtio. 

Cum  igitur  fit  Q=(PH-X)p-f-Y,erit  aequatio 
differentialis  dVz=:Pdx-\-Ppdy-t-Xpdy-\- Y  dy}  quae 
ad  hanc  rcducitur  fbrmam  : 

dV  —  (?-{-X)(dx-hpdy)-Xdx-t-Ydy 

vbi  partes  Xdx  et  Ydy  per  fe  funt  integrabiles.  Quae- 

ratur  ergo  iterum  niultiplicator  q  formulam  dx-t-pdy 

Tom.IX.Nou.Comm.  Aa  inte* 


iS6  INVESTIGATIO 

integrabikra  reddens  %  fitque  q{dx-\-pdy)"z.ds^  atquc 
erit  : 

dVz^*=^ds-YLdx-\-Ydy 
qnie  forma  cum  per  hypothefin  fit  integrabilis ,  neces- 
feift,  vt  ^p    fit  fundto  ipfius    s    tantum  ,     quae    fi 
ponatur    zrS,    prodibit  V—  fSds—J Xdx-\-fYdr  \ 
quae  eft  indoles  defideratae  functionis  V. 

Coroll.     i. 

35.  Cum  igitur  ex  data  funclione  p  definiatur 
functio  sy  fi  pro  2  capiatur  fundlio  quaecunque  huius 
quantitatis  j,  fundlio  quacfita  V  ita  debet  efle  compa- 
rata  ?  vt  fit 

V=z2-fXdx-t-fYdy. 

Coroll.     2. 

36.  Haec  igitur  adie&io  fun&ionum  X  et  Y 
foWionem  problematis  non  reddidit  difliciliorem ;  dum- 
modo  X  fit  functio  ipfius  x  tantum  ,  et  Y  ipfius  y 
tantum.  Verurn  folutio,  vt  ante,  pendet  a  refolutione 
aequationis  differentialis  dx~\-pdyzzo  ,  quae  fi  vires 
noftras  fuperet ,  etiam  problema  refoluere  non  valemus. 

Coroll.     3. 

37.  Pofiimt  etiam  loco  X  et  Y  aliac  fundtio* 
nes  binarum  variabilium  x  et  y,  puta  M  etN,aflumi, 
dummodo  formula  Mdx~\-Ndy  mtegrationem  admit- 
tat.  Si  enim  haec  conditio  proponatur ,  vt  fit  Q-N 
zz(?  —  M)p,  fun&io  quaefita  V  ita  prodibit  expreflTa ; 

\Tzz.X+J{Mdx-hNdy). 

Problema 


FVNCTIONFM.  1&7 

Problema     10. 

38.  Exiftente  dV~?dx~{-Qdyf  inuenire,  qua- 
lis  fit  V  fun&io  ipfarum  x  et  j ,  vt  fiat  Qp^  +  nx. 

Solutio. 

Cum  fit  Q—  v  -f-  w  *  >  erit  d v  =  I  (Jflfr-hf  #0 

-}-«a:^'.  Statuatur  tfar-f-;'  yzz.ss,  vt  fit^zy(w-jy) , 
ac  liet 

dSzz  —  ds-^nxdyzL^ds^ndyV  (^ss^yy) 
vnde  patet,  V  efle  fun&ionem  ipfarum  y  et  ^,  et  qut-1 
dem  talem ,  vt  pofita  s  conftante  ea  differentiata  prae~ 
beat  n4yV(ss— yy).  Quare  viciflim  fundio  V  repe« 
rietur  ,  fi  formula  ndyV  { ss- yy)%  fpectato  s  vt  con- 
ftante,  integretur ,  et  infuper  fun&io  quaecunque  ipfiusj 
adiiciatur.  Cum  igitur  fit  Jn  dy  V  ( s  s  -y  y )  ~  |  ny  V  (ss  -yy) 
-t-lnssACin.f ,  erit  <D  pro  figno  fun&ionis  cuiuscun- 
que  afTumendo : 

V-Jw^^-i^Utf-h^Atang.  ^-f-O:  (xx+yy) 
in  qua  forma  fun&io  quaefita  V  femper  debet  conti- 
neri. 

Scholion. 

39.  Hoc  exemplum ,  vtut  valde  particulare  ,  ta* 
men  non  continetur  in  problemate  praecedente ,  ne- 
que  in  eius  amplificatione  ipfi  in  coroll.  poftremo  il- 
lata ,  quoniam  in  formula  redu&a  membrum  nxdy 
zzndyV{ss—yy)  non  eft  integrabile.  Quare  probe 
notetur  artificium  ,  quo  hic  fum  vfus ,  et  quod  in  hoc 

A  a  2  con- 


1S8  INVESTIGATlO 

confiftit ,  quod  valorem  difFerentialis  dV  ad  duas  alias 
variabiles  s  et  y  \  fcilicet  dVzzz Kds-\-Tdy7  reuocaui, 
cuius  alterum  membrum  Tdy  abfolute  datur,  vnde  pro- 
blema  ad  primum  genus  pertinet,  in  quo  binarum  quanti- 
tatum  P  et  Q  alterutra  eft  cognita.  Huiusque  artificii  ope 
problema  fequens  multo  latius  patens  refolui  poterir. 

Problema     n. 

40.  Si  fint  p  et  /  funftiones  datae  quaecunque 
binarum  variabilium  x  et  y  ,  definire  indolem  functio- 
iiis  V,  vt  pofito  dV  zzz?  dx-\-Qdy  fit  Qjzzz ?p-\-t. 

Solutio. 

Habebitur  ergo  ,  fubftituto  pro  Q  ifto  valore : 
dVzzz?(dx-\-pdy)-\-tdy 
vbi  pro  formula  difFcrentiali  dx-\-pdy  iterum  idoneus 
multiplicator  q  quaeratur  ,  qui  eam  integrabilem  red- 
dat.  Sit  ergo  q(dx-\-pdy)zzz  ds ,  et  iam  quantitas  s 
tanquam  noua  variabiJis  introducatur  ,  per  quam  et  y 
altera  variabilis  x  definiatur.  Hoc  modo  x  aequabitur 
cuipiam  fundtioni  datae  ipfarum  s  et  y  ,  quae  in  t  vbi- 
qne  loco  x  fcribatur,  ficque  fiet  /  funcTio  quoque  data 
ipfarum  s  tt  y  Cum  ergo  ob  d  x -\- p  dy  zzz^s  fit 
dVzzz~ds-\-tdy  ,  erit  V  eiusmodi  funcTio  ipfarum 
s  et  y ,  quae  fpecTata  s  vt  conftante  difFerentiata  prae- 
beat  tdy  ,  quare  viciftim  pro  funcTione  V  inuenienda 
integretur  formula  difFerentialis  tdy,  fpecTata  s  vt  con- 
ftante  ,  fit  integrale  hoc  modo  proueniens  ftdyzzzT  , 
quod  igitur  etiam   datur  ,    tum    quia   quantitas    P    non 

datur, 


FVNCTIONVM.  189 

datur,  crit  VzzzT-t-O.j.     Denique  hic  pro  s  et  in  T 

reftituatur  valor  ipfius  s   \i    x  et  y  ,    atque    patebit , 
quomodo  fun&io  V  ex  x  et  y  fit  compofita. 

Exemplum 

41.  Quaeratur    indolcs  funttionis    V  ,  vt  pofita 
yV~Pdx4-Q.dy,  Cit  Px-hQ_yzz:n(xx-{-yy) 

Cum  ergo  fit  (fcr:-»^»**?,  erit  ptzz-f 
et  /  =  =^*^,  vnde^+p^-^-^.  Capiatur 
#z=*,  erit^/jzzy  —  ^y  et  J^j  ;  hincque  afz=  sy 
et  fzzzflj^jj-l-i).  Quare  fpeciata  s  vt  conftame, 
habebitur  ftdyzz\nyy(ss-\-  1 )zzz±n[xx-\~yy)zzi  T  > 
ficque  tandem  prodit  : 

V  zr  l  n  ( #  #  -\-yy )  -+-  O  .j 
vbinotandum  eft,  O:^     exprimere    functionem    quam- 
cunque  nullius  dimenfionis  binarum  variabilium  x  et  y. 

Scholion. 

42.  Feliciter  igitur  expediuimus  cafum,  quo  re- 
latio  inter  P  et  Q_  per  aequationem  quamcunque  primi 
gradus  exprimitur  ,  in  qua  fcilicet  quantitates  P  et  Q 
non  vltra  primam  dimenfionem  aflfurgunt  Ex  tali 
enim  aequatione  Q_  femper  ita  definietur ,  vt  fit  QzzPp+f, 
exiftentibus  p  et  t  fun&ionibus  quibuscunque  datis  ipfa- 
rum  x  et  y,  Verum  hic  iterum  aqua  haeret ,  quoties 
acquationem  dx-hpdy  zzo  refolnere  non  licet ,  quia 
tum  quantitas  s  inueniri  nequit.  Tum  vero  etiamfi  haec 
quantitas  s  fit  inuenta  ,    cum  fuerit  imprimis   tranfcen- 

A  a  3  dens  j 


ipo  INVESTIGATIO 

dens,  ex  ea  plerumque  difficillimum  erit,  variabilem  x 
definire  ,  ita  vt  tantum  binae  s  et  y  in  calculo  fuper- 
fint.  Poterunt  quidem  fubfidia  excogitari ,  quibus  tam- 
etfi  ex  fundione  data  t  variabilis  x  non  eliminetur  ,  ta- 
men  formulae  tdy  id  integrale  T  erui  queat ,  quod 
prodire  debet ,  fpectata  quantitate  s  vt  conftante.  Vc- 
rum  quantaecunque  fint  iftae  dirlicultates ,  eae  non  huic 
methodo,  quam  adumbrare  coepi ,  funt  imputandae.  Vi- 
deamus  ergo  quousque  nobis  progredi  liceat ,  fi  relatio 
inter  P  et  Q  per  aequationem  vel  fecundi ,  vel  fuperio* 
rum  graduum  detur. 

Problema     12. 

43   Exiftente  dVzr Vdx-hQdy  ,  definire  indo' 
lem  funclionis  V  ,  vt  fiat  PQ^a. 

Solutio. 

Cum  fit   Qzzjt,    erit   dV=zVdx-\-~^ ,  quaeri- 
turque  ,  qualis  funclio    debeat  efle  P ,  \t  ifta    formula 

differentialis  Vdx-\~  ^r  fiat  integrabilis.  Adhibeamus 
hic  transformationem  integralinm  obuiam  ,  qua  eft 
fz  du  dz  z  u  —fu  dz  >  ac  reperietur  : 

ay       /**.  7D    i     fctyd? 


v=pi'+7-/^p+r- 


pp 


Quare  necefle  eft,  vt  haec  formula  dirTerentialis  dV^-x) 
integrabilis  exiftat  •,  id  quod  fieri  nequit,  nifi  *%  —  x  fit 
fun&io  ipfius  Pj  quo  cafu  etiam  integrale  fd?(fi~x) 
fiet  fundlio  ipfius  P.  Denotet  ergo  n  functionem 
quamcunque  ipfius  P,  ac  ponatur  fj-xz^ll,   ex  cu- 

ius 


FVKCTIOKVM.  191 

ius  aeqnationis  refolutione  quantitas  P  per  x  et  y  defi- 
niri  inielligltur.  Inuenta  autem  hac  funchone  P  habe- 
bimus : 

Coroll.     1. 

44.  Cafus  ergo  fimpliciflimus ,  quo  huic  proble- 
mati    farisfir,    eft    fi    Ilzro,    quo    fit  ?zzV*£ -,  et 

/n</P—  conft.      Hibebimus  ergo 

V-=z2Vaxy-i-Con(l. 
nam  ob  dV^^+^  erit  vtique  PQ.=  a. 

Coroll.     2. 

45.  Tum  fumto  n  =r  (3  ,  erit  P  =:  ~p  et 
/n^/PnrpP.  Hoc  ergo  cafu  confequemur  iequentem 
fan&ionem  fatisficientem  : 

Vz=xV^  +  Vay(x+p)  +  pV'i^zVaj(x+& 
ct  generalius  fati^facere  manifeftum   eft 

Coroll.     3. 

46*.  Si  velimus  funftiones  magis  compofitas  , 
quae  tamen  exhiberi  queant  ,  fit  Ilr^pPP,  ideoque 
JildVz^ipP*.  At  cum  habeamus  : 

^-x=(3PP  feu  r-.^^y  fiet 

yp,,-^!»^^    vnde    ob 

V~  P  -  "3P 

tt 


i*a        INVESTIOATIO 

et  fubftitutionc  abfoluta  : 

Scholion    i. 

47.  Eodem  modo  refolui  pofle  patet  problema, 
fi  Q  dcbeat  cfle  functio  quaecunque  ipfius  P-  Ponatuc 
cnim  </Q==RdT,et  fiet  V  zz:?x  +  Qj-f(x+Rj)d?* 
Oportet  crgo  efle  x-+~Ry  fun&ionem  ipfius  P  %  cuius 
etiam  R  eft  fun&io  data.  Quare  fi  ponatur,  vt  iTHte, 
X-t-RjrzziTl,  ex  hac  aequatione  P  per  x  ct  y  definie^ 
tur  ;  quo  valorc  deinccps  in  Q ,  R  et  II  fubftituto 
obtincbitur  fundio  Vzzz?x-\-Qj~ fUd?  per  folas 
binas  variabiles  x  et  y  exprefla. 

Excmplum. 

4$.£Quaeratur  funclio  V,vt  pofito  dVzzV  dx+Qdy, 
fit    VP-+-QQ=:aa,    feu    QjzzV(aa -PP):    hincque 

Rs=yCaV-r»>i  et  ^-yfa^b-Tp)  —  11»  ™dc  P  dc- 
bet  defmiii.  Sumatur  autcm  n  — o,  fiet  ?zzz^~~—)y 
ct  Q~wl+M*G  VzzaV(xx+jy). 

Scholion     2. 

49.  At  fi  Q  non  folum  pcr  P  detur,  fed  etiam 
variabilcs  x  ct  y  vtcunque  in  cius  dcterminationem  in- 
grcdiantur ,  tum  hoc  modo  ncgotium  non  cxpcdire  li- 
cet.  Vcrum  his  cafibus  pcrpcndcndum  cfl  ,  qutmad- 
modnm  P  ct  Q  \t  furcYioncs  ipfarum  x  ct  y  confi- 
dcrantur  ,    ita  quatcrnarum  P,  Q,  x  et  y  binas  quasque 

vt 


TVNCTIORVM.  xp3 

Tt  fun&iones  binarum  reliquarum  confiderari  pofle. 
Quare  quouis  cafu  oblato  non  ad  hanc  formulam 
Pdx-hQdy  fumus  adftridi ,  quam  integrabilem  reddi 
oporteat ,  fed  negotium  pariter  conficiemus  ,  fi  vel 
hanc  —xdP-t-Qdy,  vel  hanc  Pdx- ydQ,  vel  hanc 
— xd?— ydQ  integrabilem  reddamus ;  quin  etiam  per 
fubftitutiones  nouae  variabiles  introduci  poflunt ,  quo 
pacto  methodus  foluendi  vehementer  amplificabitur  -f 
cuius  rei  aliquot  fpecimina  attulilfe  iuuabit. 

Problema     13. 

50-  Exiftente  dVzz?dx-\-Qdy,  fi  Q  detur 
Ttcunque  per  x  et  P,  inuenire  indolem  functionis  V. 

Solutio. 

Cum  Q  ponatur  dari  per  x  et  P,  habebitur  ae- 
quatio  inter  ternas  quantitates  x,  P  et  Q ,  ex  quo  etiam 
P  definiri  poterit  per  x  et  Q,  ita  vt  P  aequetur  cer- 
tae  cuipiam  fnnclioni  ipfirum  x  et  Q.  Sumantur  ergo 
x  et  Q  pro  binis  variabilibus ,  ex  quibus  reliqua  omnia 
fint  determinanda,  et  cum  fit : 

V~Qy+f(?dx-ydQ) 
necefle  eft  ,  vt  formula  difFerentialis  Pdx—ydQ  fit  in- 
regrabilis ,  cuius  integrale  fpeftetur  tanquam  functio 
ipfarum  x  et  Q.  Cum  igitur  P  per  x  et  Q  detur , 
quarta  autem  variabilis  y  indefinita  relinquatur ,  hoc 
integrale  f(?dx— ydQ)  inuenietur  ,  fi  fpeclata  Q  vt 
conftante  formuk  Pdx  integretur,  et  ad  integrale  fun- 
cYio  quaecunque  ipfius  Q  adiiciatur.  Sit  igitnr  integra- 
Tom.IX.  Nou.Comm.  B  b  Je 


S94         I  N  V  E  S  T  I  G  ATl  O 

le  hoc  modo  fnmtum  JVdx rrR>  eritquc  R  flin&io 
data  ipiarum  x  ct  Q  ,  vnde  riat  ^Kz=P^a;H- S^Q_, 
vtraque  icihcet  quantitate  x  et  Q  pro  variabili  iumta. 
Quo  pofito  habebimus  J  \?dx  -/^J-R  +  O.^, 
et  VrL(^y-+-R-hO.  Q.  Dcfignetur  iam  differen- 
Jiale  ipfius  cj)  :  Q  per  ^Q^  Q'  :  Q.,  eritque 

P^r-j^/QzzP^  -f-S  </Q-WQ.  Q' :  Q, 
Tndc  fit  jp:rr  —  S  —  O7  :Q.  Deniquc  ex  hac  aequatio- 
ne  j— — S-cp7:  Q_  vna  cum  relationc  ,  quae  intcr  Q, 
P  et  *  interccdit  ,  definiantur  per  binas  variabiles  x 
ct  y  alterae  binae  P  et  Q,  earumque  valores  retlituti 
oitendcnt,  qualis  fun&io  V  dcbeat  eflfc  ipfarum  x  ctyf 
in  quo  id  ipfurn  ,  quod  quaeritur  ,  confiitit. 

Coroll.     i. 

51.  Simili  modo,  fi  Q  detur  pcr  y  et  P,  ita,  Tt 
x  non  ingrediatur  in  hanc  relationem  ,  vtcndum  erit 
hac  forma  Vzz?x-\- f(Qdv-xd?),  quae,  cum  Qcon- 
iiderari  dcbcat  tanquam  funclio  data  ipiarum  x  et  P, 
patibus  opcrationibus  ad  intcgrabilitatem   perducetur. 

Coroll.    2. 

52.  Qtiodfi  autem,  vel  P,  vel  Q,  per  x  ety  de- 
terminantur  ,  quaeftio  nihil  habet  difficultatis.  Si  enim 
fit  P  fun<ftio  data  ipfarum  x  et  y,  quaeratur  integrale 
J?dx,  fpeftata  y  vt  conftante  7  pofitoque  /  P  dx  zz  R  , 
etit  Vrr;RH~(f>;j/. 


Coroll. 


F  V  N  C  T  I  0  N  V  M.  19$ 

Coroll-     3. 

53.  Quoties  crgo  relatio  inter  quantitates  P,  Q_, 
x  et  y  per  huiusmodi  aequationem  datur  ,  in  quatn  tan- 
tum  ternae  harum  quantitatum  ingrediantur ,  indoles 
fundtionis  V  per  problemata  iam  tra&ata  defmin 
poteft. 

Scholion. 

54.  Ex  hoc  ergo  genere  fuperfunt  cafus ,  qui- 
i)us  relatio  data  omnes  quatuor  litteras  P,  Q,  x  et  y 
continet.  At  pro  hoc  iam  eum  cafum  euoluimus  , 
quo  erat  Qzz?p-{-ty  exiftentibus  p  et  t  ftmdtiombus 
quibuscunque  ipfarum  x  et  y,  cuius  folutio  in  Probl.  1 1 
eft  exhibita.  Quia  vero  loco  binarum  variabiiium  X 
et  y}  fequentia  paria  fimili  modo  tradtari  polTunt  : 

I.  Si  fit  Q=r*M-4-N, 

cxiftentibns  M  et  N  funtfionibus  quibuscunque  ipuirum 
P  et^. 

II.  Si  fit  P^M+N, 

exiftentibus  M  et  N  fundionibus  quibuscunque  ipfarum 
Q  tt  x. 

III.  Si  fit  j=r*M-f-N, 

exiftentibus  M  et  N  furdtionibus  quibuscunque  ipfarum 
P  et  Q.  His  fcilicet  quoque  cafibus  folutio  per  prae- 
cepta  §.  40  tradita  inueniri  poterit. 

Exemplum. 

55.  Exijtente  dV  =  PdxH-Qdy,  optrteat  defi- 
ttionem  V.   vt  fit  xvPOmct. 


5  5 .   nxyieme  u  v  =rax -7- y_ 
nire  funflionem  V,  vt  fit  xyPQrza. 
Rh  * 


Bb  2  Curn 


x*6        1NFESTIGJTI0. 

Cum  ergo  fit  Qrs^  ,  erit 

qui  cafus  m  nullo  tractatorum  continetur.  Verum  po- 
fito  />=*,  cum  fit  </Vm  P</#+^ *  .  fi  w  loco  ^ 
fpedemus,  hancque  formam  cnm  Vdx-^-Qdy  com- 
paremus ,  erit  iftud  Qj=z  ^  ,  ideoque  per  x  et  P  tan- 
tum  datur ;  ita  vt  hoc  exemplum  redu&um  fit  ad 
praefens  probiema.  Ne  igitur  hoc  Q  cum  principali 
confiiadatur,  cum  fit  P~^,  habebimus  fcribendo  u 
loco  j : 

V  =  <lS+ff£-jd<l) 

fumta  ergo  Q  conftante,  erit  /^R-f/^,  hinc- 
que  Ssirg^  :  vnde  fit  «^./yz:^-^:  Q, ,  et 

V-Q/y  +  ^H^O:^ 
exiftente    O  :  Qzr/VQO)' :  Q,    vbi    proQ^Qfumi 
poteft  fundio  quaecunque  ipfius  Q. 

Sit  ergo  pro  cafu  fimpliciffimo    <D':QpzOy  eritque 
QpzV^f^  et  V zr  2  Vak/y ~H  Conft. 
Ac  fi  fumatur  <P':  Q  =  »-££,  fiet  <£:Qzz:»Q+^? 
*C  et  ly+nz^i^,  hincque  ^Vajf^,  et 

V  =  2  V  a  (/#  -f-  wj  ((7  -+-  » )  4-  Conft. 

Problema     14. 

5^.  Exiftente    dV—Vdx-\-Qdy ,    definire  in- 
dolem  funftionis  V,  vc  fiat  PP-h <£<£=*# H-jj'- 


Solu- 


FVNCTIONFM.  197 

Solutio. 

Hoc  problema  in  nullo  cafuum  ha&enus  tradla- 
torum  continetur  ;  verumtamen  idonea  transformatione 
ad  cafum  facillimum  reduci  poteft.  Ponatur  enim 
P P -+  Q.Q.— x x -\-yy  —  tty  fitque  angulis  duobus  inde- 
finitis  <p  et  0  introducendis  : 

P~*fin.(J);  Qrrfcof (J>;  x~ttoJ  et  jyzzfcof.O 
ob  dxz^dtCm.  0  +  ?</ecof.O,  et  dy— dtcoM-tdMm.Q,  erit : 
^V-^/(fin.Cpfini+cof.(p)cofd)-^(cof.(t)fin.0-fin.Cf)cof.O) 
feu  dV~tdtco(.(9-<p)-ttdMm.{Q-<p). 
At  eftftdt  cof.  (0-$)=  £«  cof.  (O-(J>)+i/0  (</-0(J>)  fin.(0-(J>) 
vnde  fit  ; 

V=|**cof  (Q-$)~lftt{dt-{-d$)Cin-(&~<P). 
Cum  igitur  haec  formula  integrabilis  efle    debeat  ,    ne* 
ceffe  eft,  vt  fit  //Gn.(0-(p)=rfuna.  (0  +  $). 
Quare  cum  fit  ti-zz.xx-^yy  et  tang.  0  =  -,   hinc  an- 
gulus  $  per  x  ct  y  determinabitur  ,    cuius  valor   fub- 
ftitutus  dabit  fun&ionem  V,  per  .r  et  y  expreifam. 
Sit,  vt  functiones  algebraicas  fimpliciores  eliciamus , 

#fin.(0-(p)  =  afin.(0 +-(!>) -r-(3cof.(0-4-$)>    eiitclue 
\zz  kttcoi  (0  -  (p)  •+-  1  a  cof.(0  +  <J>)  »|  (3 fin.(0  +  (J>) 

vnde,fi  eliminetur  Jf,   prodit : 

2Vfin,(0-$)=afm.20  +  ^cof.2  0^^^y^. 

At  euolutis  illis  angulis,  fit : 

ttxcoi:<P-ttyC\n.(pZ(ixcoL<p+ayCm.<p\-§yco(.<p'PxCin.^ 

ideoque  tang.  (J) .-  t^"jE^t  et 

B  b  3  fec. 


i-98  INFASTIGATIO 

r         >k V  (i*—_a ctf  f(x  x  —  y>)  —  \  (?  [i  xy  -4-a.oitt  +  pptt) 

leC.    Qp —  rfjy-i-aj  — (3* 

fit  T-tV(t*~za(xx  -^J~4(3A7H-«a^-pp) 
erit  f,  l^^^gidte  et  cof  $  ~  ^--^-^ 
hincque  f,n.(0    $)~  '  «*y-W**-yy\  quo  vaiore  fur> 
ftituto ,  orietur  Vrift  ideoque 

V=ri/[(xx^J7Y-2a{xx-yy)~4.pxj>+ctct-i-pp) 
quae  functio  ctiarn  hoc  modo  repraefentari  poteft : 

VzziVi(a.-xx-hyyf-i-(p--2xy)*). 
Cafus  fimpliciffimus   prodit  fumendo  a~o,  et  (3~o, 
quo  fit  V  zz  5  (* .v  -f  yy) ,  et  dV~xdx  -\-y  dy. 

Scholion, 

57.  Ex  hoc  problemate  intelligitnr ,  quomodo 
huiusmodi  quaeftiones ,  quae  dum  omnes  quatuor  litte- 
rae  in  relationem  praeTcriftim  ingrediuntur  ,  folutu  dif- 
ficillimae  videtuur,  idonea  tamen  fubftitutione  interdum 
ad  cafus  iam  tractatos  reduci  queant.  Neque  veroad» 
huc  modum  perfpicio  ,  quo  in  genere  ,  vtcunque  re- 
latio  intcr  quatuor  quantitates  P,  Q,  x  et  y  fuerit  com- 
parata  ,  (olutio  obtineri  podit ;  plurima  autem  alia  liu- 
iusmodi  exempla  afferre  pofiem  ,  in,  quibus  redu&io 
ad  caliis  iam  tra&atos  perfici  queat  ;  fed  quia  hoc  ar- 
gumentum  minime  exhaurire  confido,  ad  fequentia  ca- 
pita  progredior,  quando  relatio  praefcripta  praeter  quan- 
titates  P,  Q,  x  et  y  etiam  ipfam  fun&ionem  quaefi- 
tam  V  compleclitur  :  vbi  quidem  per  fc  elt  perfpi- 
cuum  ,  fi  relatio  inter  V ,  x  et  y  tantum  proponere- 
tur ,  ne  quaeltkmem  quidem  fore  ,  cum  funftio  V  im- 

media- 


FFNGTlQKrM.  199 

mediate  per  x  et  y  daretur.  Quare  ab  eiusmodi  pro- 
blematibia  exordiar  ,  vbi  relatio  praefcripta  praeter 
fundtionem  V  alterutram  quantitatum  P  et  Q  vel  etiam 
ambas  implicat  •  dum  variabil.es  x  et  y  ipfte  vel  fi- 
mul  ingrediuntur,  vel  fecus.  Facile  autem  intelligitur> 
haec  problemata.  multo  effe  difficiliora  pnecedentibus. 

Problema     15. 

58.  Exiftente  dV  zzzY  d  x -{- Qdy ,  definire  indo- 
lem  fun&ionis  V,  vt  fiat  FzzznV. 

Solutio. 

Cum  fit  P  =  »V,  erit  dV  zzznV  dx-\-Qdy ,  feu 
dV  —  nVdxzzzQdy.  AJultiplicetur  prius  membrum 
per  e — nx,  vt  fiat  integrabile  ,  eiusque  integrale 
e— nxVzzzfe~~nxQdy  aequari  debebit  funftioni  cuicun* 
que  ipfius  y>  quac  fit  zzzY.  Vnde  funftip  quaefita 
erit  Vzzze^Y. 

Aliter. 

Cum  V  debeat  efle  eiusmodi  fun&io  ipfarum  x 
et  y,  vt  eius  differentiale  fit  dV  zzznV  dx-\-QJy  \ 
peripicuum  eft,  fi  fundio  V  differentietur  pofitaj' con- 
ftante,  prcditurum  effe  dVzzznVdx.  Quare  vicimm 
ex  iutegratione  formulae  dVzzznVdx  func~tio  V  inue- 
nietur ,  fi  y  vt  conftans  fpe&etur  ;  tum  vero  conftans 
per  integrarionem  ingreffa  quantitatem  y  vtcunque  in- 
voluere  poterir.  At  aequatio  dV zzznV dx  integrata 
praebet  IV  zzznx-\-lY>  feu  VzzzenxY  vt  ante. 

Coroll. 


*oo         INVESTIGATIO 
Coroll.     i. 

5p.  Eodem  modo  refolui  poterit  quaeftio  latius 
patens,  fi  P  debeat  efle  funttio  quaecunque  ipfius  V, 
Confideretur  enim,  fpe&ata  y  vt  conftante,  haec  aequatio 
dirTerentialis  dV~?dxy  quae  cum  duas  tantum  varia- 
biles  contineat  V  et  x  integretur ,  conftanti  autem  in- 
grefla  quantitasj/  vtcunque  inuoluatur. 

Coroll.     2. 

<5b.  Quia  binae  variabiles  x  et  y  funt  inter  fe 
permutabiles ,  eodem  modo  refoluitur  problema ,  fi  Q^ 
debeat  efle  fun&io  quaecunque  ipfius  V. 

Problema     16. 

61.  Exiftente  iV~P dx -+- Qdyt  definire  indo- 
lem  funftionis  V,  vt  P  fiat  functio  quaecunque  ipfo- 
tum  V  et  x. 

Solutio. 

Cum  igitur  P  detur  per  V  et  x\  fi  y  vt  con- 
ftantem  fpectemus ,  habebimus  hanc  aequationem  dV 
—  ?dx  inter  duas  variabiles  x  et  V.  lntegretur  ita- 
que  ea  ,  et  loco  conftantis  in  aequationem  integralem 
introducatnr  fundtio  quaecunque  ipfius  y ;  hoc  modo  ob- 
tinebitur  aequatio  inter  V,  x  et  yy  qua  mdoles  functio- 
nis  V  per  x  ety  definietur. 

Coroll.     1. 

62.  Qiiaecunque  igitur  relatio  inter  ternas  quan- 
titatcs  V,  P  et  x  proponatur ,    fiue  ex  ea   V    per    x 

et 


F  VN  CT  I  0  N  V  M.  aox 

ct  P,  fiue  P  per  V  et  x,  fiue  x  rer  V  et  P  definia- 
tur ,  folutio  problematis  iemper  erit  ia  promtu. 

Coroll.     2. 

<*3  Ob  permutabilitatem  variabilium  x  ety,  eo* 
dem  modo  problema  foluetur ,  fi  reiatio  quaecunque 
inter  Q,  V  et  y  proponatur  :  neque  opus  eft,  vt  hunc 
cafum  feorfim  euoluamus. 

Exemplum     i. 

*4.  Pofito  dV—?dx  +  Qdy  oporteat  efle  Pr^ 

*+-nx  \  fpectata  ergo  y  vt  conltante  ,  erit  dSzz — j — 

~\-nxdx  feu  dV -^-—^zznxdx,  cuius  integralis  eft 

V         w*2~m 

—  — _f.  Y 

exiftente  Y  fun&ione  quacunque  ipfius  y.     Quare  crit 

Vzzx^Y+^xx 
£1  eflet  mzzi  ,  foret  Vrr;i*A,Y--f-«#.tf/.v 

Exemplum     2. 

65.    Pfl/fro    dVrr  Pdx-f-Qdy    oporteat    ejfe 
aVnP(aa--xx). 
Cum  ergo  fit  Prr-aa7Aa   erit^  fumta  j?  conftante : 

cnius  taregrale  eft  /Vzr'/^/Y  ,  vnde  habebitur 
VirYV'^^!,  denotante  Y  fun&ioncm  quamcunquc 
ipfius  /• 

C  c  Problema 


202  INVESTIGATIQ. 

Problema     i/. 

6"5  Exiftente  dV  -jzVdx -hQdy,  definire  in~ 
dolem  fun&ionis  V  ,  fi  P  fiat  functio  quaecunque  data 
ipfarum  x7  y  ct  V. 

Solutio. 

Aflumo  hic,  rehtionem  propofitam  contineri  ae- 
quatione  quacunque  inter  quatuor  quanutates  x ,  y  ,  V 
et  P  ;  ex  qua  idcirco  P  per  x  ,  y  et  V  definire  li- 
ceat.  Spe&etur  igitur  y  vt  quantkas  conftans  ,  et  cum 
fit  dV~¥d\\  haec  aequatio  iam  duas  tantum  variabi- 
les  x  et  V  inuoluet.  Integretur  ignur  ea  ,  et  loco 
conftantis  introducatur  functio  quaecunque  ipfius  y  , 
hocque  modo  prodibit  aequatio  ,  naturam  fun&ionis  V 
oftendens. 

Corollarium. 

67.  Simili  ergo  modo  problema  foluetur,  G 
proponatur  relatio  quacunque  inter  quatuor  quantita- 
tes  X.  y,  Q^  et  V,  quo  cafu  hoc  tantum  difcrimen  ob« 
feruetur  ,  vt  primum  quantitas  x  tanquam  confhns 
fpetfletLir. 

Exemplum. 

68.  Tofsto  dV-Sdx  +  Qdy,  oporteat  effe  V~?-f. 
Cum  igitur  fit  P~~f,erit,  fumta  y  conftante  : 

lnr  =*$?£?,   ideoque  IV-y/x-i-lY 
^nde  prodit  functio  quaefita  \zzxyY. 

Scholioiu 


F  V  N  C  T  I  O  N  V  M,  203 

Scholion. 

69.  Quojfi  ergo  in  relationem  propofitam  alte- 
mtra  tantum  quantitatum  P  et  Q  ingrediatur ,  probie- 
mata  funt  folutu  facilia.  Verum  fi  vtraque  qnantitas 
P  et  Q  infit ,  maior  difficultas  occurrit,  quae  quando* 
que  taata  ell ,  vt  fuperari  nullo  modo  queat.  Quoniam 
igitur  hoc  cafu  folutionem  generakm  expe&are  non  li- 
cet ,  nonnulia  exempla,quae  quidem  fatis  late  pateant, 
percurramus. 

Problerna    18.  . 

70.  Exiftente  </V~P^  +  Q^,  inuenire  in- 
dolem  functionis  V,  vt  fiat  V zzm?x-\-nQy. 

Solutio. 

Cum  hinc  fit  Qzz   ~n™--  ,  erit : 

dV-f?  =  Vdx-^=±( nydx-mxdy) . 
Quaeratur  muitiplicator  ,    qui    formulam    nydx—mxdy 
reddat  integrabilem  ,  qui  cum  fit   ~  ,  ideoque 

Uy~~      ny      n        \      X  y        ) 

xn  -  T- 

ponatur  nlx~mly=zlz  feu  zzr.^  •,  vnde  fit  xzzfz*  , 

qui  valor  ioco  x  fubftitui  concipiatur.  Quare  cum  fit 
d\  zz.~~ +T~~  ^  quantitas  V  fpectari  poterit  tanquam 
funclio  binarum  quantitatum  y  et  z  :  quae  igitur  talis 
effe  deber  ,  vt  fumta  z  conliante  fiat  dWzzv~.  Hinc 
-ergo  integrando  prodibit : 

IVzzjly-^lZ  feu  VzfZ 

C  c  2,  fumta 


204         INVESTIGAT10 


fumta  pro  2  fun&ione  quacunque  Ipfius  zzz~  :  ficquc 

-      xn 
habebiturV=/0>:  •„. 

Coroll.     t. 

X1  X* 

71.  Cum  ilt  -7   fun&io  ipfius  —  ,    erit   etiam 

yn  y 

—    xn 

V=A*mO ,  — .     Tum  vero  etiam  ita  exhiberi  poteft : 

*  ,,X  n  i_         ^X « 

V~x™<J>.  t^._  vel  Vr/  O:'-^  >  fumto  pro  n  nume- 
ro  quocunque. 

Coroll.     2. 

72.  Si  fit  m~nt  cafus  habebitur  fun&ronum  ho* 
inogenearum  fupra  tractatus.  Sumto  enim  X  zz  J  ,,  de- 
notabit  <£:*-  functionem  quamcunque  nullius  dimenfio* 
nis  ipfarum  x  et  y  :  et  V  fiet  earundem  functio  ho* 
snogenea  ,  cuius  dimenfionum  numerus  eft  crj. 

Coroll.     3. 

r  r 

75.  Si  ponamus  m  genere  xm  — *?  et  yn  zr  »  j 
ttirn  vero  capiamus  Xzz^r r  Iiabebimus  V=r*0>.|, 
feu  V  erit  functio  homogcnea  vnius  dimenfionis  bina- 
rum  quantitatum  t  et  «. 

Scholion» 

74.  Si  defideretur,  \t  fit  V  zz  m  P -_-  « Q,  fofutio 
aeqne  parum  habtbit  difficultatis.     Nam  ob  Qj^  *  -  \ 

ctit 


FVncTlONVM.  20$ 

eritiV-^=P(  **-«?').  Statuatur  *-^-s, 
vt  fir  dVzzv-^--\-?dz:  iam  fpe&ata  z  vt  conftante* 
erit  /V=~-hQ:s,  ideoque 

AL 

V=  *n  <!>:(»*— wv). 

At  fi  debeat  eflTe  VrrOTP^H-»^,  ob  Q=^=^V 
crit  dVz=z?(dx--^)  -\-t£ .  Sumtm itxx-ti0z*s> 
vt  fit  x-V^^  ,  et  cum  fiat: 

(pectetur  quantitas  z  vt  conftans,  et  ob  jtv-  ^  v(nzz-^™ry>> 
erit  ;V  =  ^/(jfyiffff  +  VH(a*  +  »fv^))-+-/Z,idc^ 
que  ob  V»(5;s4-;/y7)rz:«A:>  prodibk  : 

r 

Vz=(j/yw-f-Ary«)V/nn  0:(«jca;-f»vv). 
Quare  fi  effe  debeat  V  =  P y  -+-  Q*  ,  eiit : 

V=(r^jO^  (**-.*>>• 

Problema  autem  fequens  omues.  buiusmodi  cafus  fn  fc 
complectetur* 

Problema     ig. 

J$.  Si  p  fit  funel:ia  quaecunque  data  ipfirum  x 

et  y  y   at  M  fimdtio  quaecunque  etnam  data  ipfaium  X, 

y  et  V,  definire  mdolem  functronis  V  ,  vt,  pofte 
dVzzFdx-h-QJy,  fiat  Q=Pp-t-M. 

Solutia 

Subdituto  hoc  loco  Q  valore ,  babemus  t 
dV  =  JSldy  -4-  P  ( dx-l-p  dy ), 

Cc  3,  Qiiao 


_o6  1NFEST1GAT10 

Quaeratnr  multiplicator  q,  formulam  dx-\-pdy  integu* 
bilem  rcddeas ,  (itque  Jq(dx-+- pdy)  = z  :  vnde  valor 
ipfius  x  definiatur  per  y  et  z  ,  isque  in  M  ,  quatenusA* 
ineft ,    loco  x  fubftituatur ,  quo  fa&o  erit : 

dVzzzMdy^f 
ficque  V  confidcrnri  poterit  vt  functio  ipfarum  y  et  z. 
Spectetur  nunc  z  vt  quantitas  conftans ,  et  cum  fit 
dV~IVW)',  \bi  duae  tantum  variabiles  y  et  V  ineiTe 
funt  intelligendae  ,  integretur  haec  aequatio  et  loco  con- 
ftantis  introducatur  fundio  quaecunque  ipfius  z  :  in  qua 
fi  loco  z  valor  in  x  et  y  ,  fcilicet  :  fq(dx~\~pdy)  re- 
ftituatur ,  illa  aequatio  aWzzzMdy  integrata  exhibebit 
naturam  functionis  V  ,  quemadmodum  ea  a  binis  varia- 
bilibus  .v  er  y  pendere  deber. 

Exemplum. 

7 6.  Pofito  dVzzz?dx  +  Qdy ,  oportet  effeVzz ?yy 
-4-Qx*.      Eft  ergo  Qj=&£££+.  U  ™de  fit 

Sumatur  q  —  x x ,  erit  / (x x dx -yy  dy) zzzzzz:\x* —  ±y* 

feu   xszzj-+-^z,    ideoque  xxzz(y3~\-^zf.     Sumto 
igitnr  z  conftante,  habetur 
.   d_V_  __ dy_ 

dy 
Sit  itaque  S  integrale  formulae ^,  dnm  z  con« 

ftans   allumitur ,  et  obtinebitur : 

V_= 


F  V  N  C  T  I  O  N  V  M.  207 

V~es$  :z  —  es®  :  (**-/) , 
lcilicet    in  S  loco  z  vbique  eius  valor  |/~ §/  fubfti- 
tui  debet. 

Problema     20. 

77.  Exiftente  «,V^P«\Y-f-Q</j',  definire  indo- 
lem  fundionis  V,  vt  fit  VznwPQ. 

Solutio. 

Ergo  ob  Q—j~p  erit 

Qiiq  iam  V  ex  polteriori  membro  poflit  feparari,  pa- 
natur  P  rz  R  V  V,  prodibitque  : 

vnde  conuertendo  obtinetur : 

Quare  necelTe  eft,  vt  x-^f^  fit  functio  ipfius  R  tan- 
tum  ;  ac  tali  functione  aflumta  definiri  poterit  R  per 
x  et  jy,  vnde  etiam  fun&io  quaefita  V  per  x  et  y  ex- 
prefia  reperietur. 

Aliter. 

Cum  (it  VrrwPQ,    eliminetur  V,  vt  habeatur 
haec  aeqnatio  : 

n?dQ_-\-nqj?z^?dx  i-Qdy 

cx  qua  fit  jj  =  -^?+**g2-+.nd?9 

hincque  y~n?~\-)  ~^(ndQ-dx). 

NecefTe  ergo  eft,  vt  ^  fit  functio  quantitatis  nQj-x. 

Ponat- 


nos  INFESTICJTIO 

Ponatur  nQ~xzz\  fitqne  f^dzzzQ>:z  erit  \p:Q>':% 
et^:rr»P+0-s:=»QO':3-MD:s.  At  eft  Vr/iQQ<D':s, 
vnde  Q— V^ry^;  ficque  habebuntur  hae  acquationcs: 

V^zzzx-+-z  etyzzz&z  +  VnV&iz, 
ex  quibus  ccnficitur  nV zz(x-±-z)(  y-®z) :  ac  fi  eli- 
minetur  quantitas  z}  orietur  functio  V  per  x  et  j'  ex« 
prefia. 

Coroll     i. 

*78  Capiatur  z  conftans,  feu  ndQ_-dxzzo  ,  fiet 
Qrr^-°  etjprr:»P-*,  feu  Pm^  ;  vnde  oritur 
f^  +  4iy.*n  qui  £ft  caru,  rin^phciffimxis. 

Coroll.     2. 

7p    Si  ftatuatur  <J>'i  zzzza^mt  ®zzzzaz-\-b , 

vnde  fit : 

Vn-~  =  .*+z  et  nV-{  v-az-fo V^  *&  VnaVzzy-b-az, 
ex  quibns  coniunc*tis  nancKcimur  :  2y««Vrr^j»:-+j'— ^ 
hincqne  V  rrr (a  *  ^f 0"~ fc)*  ;  qui  eft  alter  cafus  fimpH- 
cimmns. 

Coroll.     ^' 

$o.  Sit  ®':  zzztfi+rft  ;  vt  fit  0:*=-««^rs,+  * 
et  fiet: 

*(**-t-*)(y-rt:rr«V»V-i:  at  inde  eft  zz~^fi7  ideoque 
*3  ~t~  b  zz\  ff^y^  j  hocque  valore  fubftkuto  : 


F  V  N  C  T  I  O  N  V  M.  io9 

4(*x-b)(y—c)~{dVTN—i)*  ,  qnae  cuolutio  praebet  ; 

\7 i-j~a(ax  —  b)(y  —  c)-+- 2V a(ax  —  b)(y —  C) 

V  "~~*  na  a 

Problema     21. 

8r.  Exiftente  dVzz?dx+'Qdy  ,  fi  dctur  V 
vtcunque  per  P  et  Q ,  definire  indolcm  futxftionis  V  , 
fcu  quemadmodum  V  per  x  et  y  determinetur. 

Solutio. 

Cum  igitur  fit  V  fun&io  binarum  quantitatum 
P  ct  Q ,  ponatur  eius  differentiale  d V  zr  M  d?  -f-  N  dQ , 
eruntque  etiam  M  et  N  fun&iones  datae  ipfarum 
P  et  Q     Quare  cum  fit 

Md?H-NdQ—?dx-\-Qdyt  erit 

^-^+^-^ideoque 
y^-i^fixdl^+^). 
Ponatur  ?zzQS  ,  qui  valor  in  M  et  N  loco  P    fub- 
ftitui    intelligatur ,    ita  vt  iam  variabiles   Q_  et  S   con- 
fiderandae  occurrant ,  fietque  : 

j  =  ~S*-t-/(^S(*4-M)  +  ^(N  +  MS)). 
Cum  hic  M  et  N  fint  functiones  datae  ipfarum  Q_ct  S, 
fumatur  S  pro  conftante  ,  ac  ponatur  integrale  : 

/£(N  +  MS)-R-t-0;S 
crit  ergo  *-t-M  =  (j|)-l-<I>':S,  exiftente  QSzfdS<D':S 
et  ^=MS-S(H)-Sa>^S-4-R  +  0:S. 

Tom.IX.Nou.Coram.  Dd  Quii 


210        INVESTIGATIO 

Qiia  nnnc  R  et  M  dantur  per  Q  et  S,  et  ob  P=QS 
etiam  V  detur  per  Q  et  S.  Si  haec  relatio  cum  his 
binis  coniungatur  : 

A-zr-M  +  C^J  +  O^S,  etjK~ -S*-HR4-0:S 
poterunt  hinc  eliminari  binae  quantitates  S  et  Q,  quo 
fa<fto  prodibit  aeqiutio  ,  qua  V  determinabitur  per 
x  et  y. 

Exemplum     i. 

82.    Exiftente    dV  =  Pdx-f-Qdy,  oporteat  ejfe 
VrrmPP-t-nQQ. 

Cum  crgo  CrtdV-2m?d?-\-inQdQ_,  erit  M-  2 m?,tt 
N=i2«Q,  feu  M~zmQS  ob  P  —  QS,  ita  \t  fic 
VzzQQ(m$S-hn}. 

Habebimus  ergo  N-f-  MS~2Q(wSS  +  »)  ,  ideo- 
que  fpedhta  S  vt  conrtante  : 

R~/^(N-f-MS)~  2<£(»SS-f-»)„ 

ac  proinde  (ai)  — 4*wQ.S» 

Vnde  has  tres  aequationes  adipifcimur  : 

I.  V~QQfwSS-f-«) 
II   x  +  zmQS-imQS  +  O^.Skux-imQS  +  WS 

III.  y^Sx—2QjjnSS-^n)-hO:S 
feu  y  zz  2  n Q^  <D:  S  -S  O": S. 

Qiiodfi  ex  II  et  ili  eliminetur  Q_,  erit  : 

IV.  nx-mSy  —  («iSS-h» jO^S-wSOiS 

ex  iisdem  vero  coniun<5tis  fit  Q—ff^fiJf)*  qnaecum 
pnma    dac    V ;  2  V  \ {m$$-\r-n)  ~Sx-i-y-®'.  S. 

Quare 


F  V  K  C  T  I  0  N  V  M.  stit 

Qnare  fupereft,  vt  ex  IV  et  V  eliminetur  S  ,  Gcque  pro* 
dibit  fim&io  V  per  x  et  y  exprefla. 

Sit  $>':S=:a\  erit  Q>{S±zaS^rb\  et 

IV.  n x - m Sy zzz  na  —  mbS 

V.  2VV{mSS-i-?0zr.Sx-\-y-aS-b. 

Inde  eft  Srr^^j  ,  quo  valore  fubftituto ,  erit: 
~  V mn\7 zzzV {n{x - a  * ~{-m{y-b )) 
hmcque  \  r= r^r- • 

Exemplum     2. 

$3«  Exijknte    dV:=Pdx-t-Qdy  ,  oporteat  ejje 
V  —  - 

Erit  ergo  Mzr^;Nrr^=-|  ob  PrrQS 
et  VrzS  atque  N-4-MS==:oj  vnde  fit  R==o.  Quare 
prodit  : 

ar+^zrO^rS  et  j-\-Sx=z<b:S 

et  quia  ed  SnV,  ita  functio  V  per  x  et  /  deter- 
minatur ,  vt  fit  y  +-  V.vzzCj);  V. 

Ponatur  0:Vc  "^^r^  ,  vt  fial  : 

2  <$>-*-  2EVj+2^V.V-f2£VVjt~a-i-2(3V+YVV 

hincque  VV  =  aVfyx^l"^=^==g  et 

*  fit  y  «  •=o,c*  vJ^i  fcu  V=S- 


D  d  a  Scho« 


ziz        INVESTIGATlO  F^NCTIONFM. 
Scholion. 

84,.  Plures  aliae  huiusmodi  quaeftiones  proponi 
ac  refolui  poffent ,  fed  quia  earum  folutio  iisdem  prin- 
cipiis ,  quibus  hadlenus  fum  vfus ,  inni.titur ,  iis  multi- 
plicandis  non  immoror  ,  cum  allatae  iam  fufficere  vi- 
deantur ,  ad  elementa  huius  nouae  methodi  condenda. 
Nonnulla  adhuc  adiici  poffent  pro  cafibus ,  quibus  hu« 
iusmodi  etiam  fbrmulae  ( j^* )» ( d^-33 ) ,  ( 3^ )  in  relatio- 
nem  propofitam  ingrediuntur  ,  item  quando  functio 
quaerenda  per  tres  pluresue  variabiles  definire  de* 
bet ;  verum  ne  haec  tra&atio  nimis  fiat  longa  5  ea  ia 
aliam  occafionem   referuabo. 


PHYSICO. 


PHYSICO- 

MATHEMATICA. 


Dd  3  DB 


«  (   o   )   *fg*  *X* 

DE 

MOTV   VIBRATORIO 

FILI    FLEXILIS,    CORPVSCVLIS  QVOT- 
CVNQVE   ONVSTI, 

A  udo  re 
L*     E  V  L  E  R  a 

Confidero  hic  filum  perfe&e  flexile,  fimulque  omni  Tat>.  L 
inertia  deftitutum  ,  quod  in  datis  interuallis  fit  Fl&* Ic 
oneratum  pondusculis  quibuseunque  A  ,  B  ,  C,  D  ,  etc. 
concipio  autem  filum  hoc  in  terminis  I  et  O  firmi- 
ter  fixum  ,  et  extenfum  data  quadam  vi  -r  ita  vt  in 
ftatu  naturali  litum  teneat  ledilineum  IO,  in  quo  ac- 
quiefcat.  Quodfi  autem  a  caufa  quacunque  de  hoc  fitu 
deturbetur  ,  ita  vt  fingula.  pondufcula  A,B,  C,D  etc. 
ad  datas  dirtantias  a  recto  I  O  depellantur ,.  fubitoque 
dimktantur,  totum  filum  certo  quodam  motu  agitabi- 
tur ,  quem  hic  inueftigare  conftituL  Ne  autem  foJutio 
huius  quaeftionis  vires  analyfeos  penitus  fuperet  ,  tam 
pondufcula  y  quam  interualla  ,  ad  quae  a  recta  I O  fue* 
rint  depulfa ,  tanquam  infinite  parua  fpeftabo  ,  vnde  hoc 
commodum  fum  arTecuturus  t  vt  viae  ,  quas  fingula 
pondulcula  motu  fuo  percurrent ,  fint  reftae  ad  I  O 
normales  ,  ac  tenfio  in  omnibus  fili  partibus  manfura 
fit  perpetuo  eadcm» 

2« 


ai<f  D  E    M  0  T  V 

2.  Facta  hac  hypothefi,  interualla  pondufculorum 
etiam  durante  motu  nnltam  mutationem  recipient,  quae 
cum  fint  data  et  conftantia  vocentur  : 
IA=^;ABr=:^BC=^CD=:^DErr^EF=/etCc 
eritque  etiam 

maiusculae  autem  litterae  A  ,  B  ,  C  ,  D  ,  etc.  ipfas 
maiTas  fingulorum  corpufculorum  exprimant.  Deinde  fit 
vis,  qua  filum  tenditur  =  K  *,  et  graecae  litterae  ct  ,  (3  , 
y  ,  $  ,  etc.  denotent'  interualla  ,  ad  quae  initio  fin- 
gula  corpuscula  A  ,  B  ,  C  ,  D  ctc.  a  linea  refta  I  O 
fuerint  didu&a.  Quibus  pofitis,  quaeftio  huc  redit,  vt 
elapfo  ab  ifto  initio  tempore  quocunque  ,  quod  fit  w 
min.  fec.  ftatus  et  motus  fili  determinetur. 

3.  Ponamus  ergo,  hoc  tempore  filum  cum  cor- 
pufculis  in  eum  fitum  peruenifle,  quem  figura  oftendit , 
et  deiignemus  iam  fingulorum  corpufculorum  ab  axe  IO 
diftantias  :  # 

AP~p;  BQ=:q\  CR^r;  DS~j;  ETzzrf;  etfc. 
quas  prae  interuallis  a ,  b  ,  c  ,  d ,  ranquam  minimas 
fpectare  iicebit.  Cum  igitur  tenfio  in  fingulis  fili  par- 
tibus  fit  eadcm  =z  K  ,  quodlibet  corpuiculum  a  tanta 
vi  vtrinque  follicitabitur ,  et  quatenus  hae  vires  fibi 
non  iunt  e  diametro  oppofitae,  eatenus  inde  vis  na- 
fcetur  ,  qua  vnumquodque  corpufculum  recta  ad  axem 
pelletur ,  vel  ab  eo  repelletur.  In  has  ergo  fingulas 
vires  ante  omnia  erit  inquirendum  ,  quoniam  ab  iis 
corpufcula  motus  fui    determinationem  ,   hoc  eft  ,    fiue 

accele- 


Fl  B  R  AT  O  R  l  O. 


217 


accelerationem,  fiue  retardationem,  nancifcuntur,  quando- 
quidem  per  hypothefin  cermm  eft  ,  fmgula  corpufcula 
A  ,  B ,  C ,  D  etc.  perpetuo  per  rectas  AP,  B  Q, 
CR  etc.  ad  axem  normales  agitari. 

4.  Si  igitur  fecundum  regulas  cognitas  has  vires 
colligamus ,  deprehendemus : 


Corpufculum 

A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 


Vrgeri  in 
directione 
AP 
B<i 
CR 
DS 
ET 
FV 
GX 


Vi 


K( 


*T* 


K  ( "=* -l- ^) 

K(^  +  S-^-f) 

K(f~  +  ^) 

K(^4-f). 


Hic  fcilicet  pofui,  corpufculum  feptimum  G  elTe  vlti- 
mum ;  manifeitum  autem  eft  ,  quotcunque  fuerint  pon- 
dufcula  ,  quomodo  has  formulas  conftrui  oporteat. 

5.  Exprimunt  autem  hae  formulae  vires  motri* 
ces  ,  quibus  fingula  corpufcula  axem  I  O  verfus  inci- 
tantur  ;  carum  ergo  quaehbet  per  maflam  pondufculi 
diuifa  praebebit  accelerationem  eius.  Verum  ex  diftan- 
tia  cuiusque  corpufculi  ab  axe  ,  quae  in  genere  fit~s, 
cum  tempore  generatim  expretfo  t  collata,  oritur  quo- 
quc  per  regulas  mechanicas  acceleratio  zr—  ^fjr*,  fumto 
clemento  tcmporis  conftante.  Sed  haec  formula  non 
cft  ad  menfuram  temporis  in  minutis  fecundis  expri- 
Tom  IX.Nou.Corara.  Ee  mendi, 


118 


D  E     M  O  T  V 


mendi ,  quam  hic  afTumfimus  ,  accommodata  *,  fed  pe» 
tita  eft  ex  ea  ratione ,  qua  tempus  per  fpatium  ad  ce- 
leritatem  appiicatum  ,  celeritas  autem  per  radicem  qua. 
dratam  altitudinis  debitae  ,  exhiberi  folet.  Quare  fi  k 
denotet  altituduiem  ,  ex  qua  graue  vno  minuto  fecun* 
do  liberc  defcendit  ,  referet  expreflio  zVk  vnum  mi- 
nutum  fecundum  ,  eritque  propterea  t:  uzzzzVk:  i ,  fic- 
que  t~2(nVk  et  df  —  ^kduf,    vnde   acceleratio  ad 


C    \        C  •"      d     J   zkdbi* 

K       S  —  r  t  -t     —dd! 

D  V-   '  d  »  "     e    )   —    z  k  d  w2 

_s     (     t — V , -—  ddt 

f  —~        2   <i  J<*>2 

K    /  v  —  t  v-x    —  d  iv 

pl    7    "•"    _   ^  —  jWu1 

K  /  x  —  v  x         —  dd  x 

C\         g       "Tb      J      2   kdu2 


noftrum  fcopum  accommodata  prodit  ___  5e35?' 

«5.  Quodfi  iam  has  fingulas  accelerationes  cum  iis, 
quae  ex  f  iihcitationibus  funt  erutae,  confcramus,  obtine- 
bimus  (equentes  aequationes :  fiue 

t  ___,  __=_?  j.  .Addp  — -  o 

q £  _,     q  —  r     .       B  ddq_   

b      "T"       c     -t-  _„J.d_*  ° 

c      "T     _     T^jKwdu1  —    u 

<  —  r  t_t  _,      Ddds     

d       "T-     _      'T-2K*daP  ° 

_ —  y      ,     f— t?    t       ~Eddt      

e  "Tr  /  ~"r~_K6„_.2  —  ° 
v  — 1_     ,    ■_-__     t      Fddi>     _  _ 

/         r-     £      -HaK/eaw»     ' O 

x —  v  _____   _\      _i       Ct*dtX       _ 

g     -f-  b    -T-_K«dw*    — o* 

tf.  Totidem  igitur  quouis  cafu  impetramus  huius- 
modi  aequationes  difTerentio  -  differentiales,  quod  pon- 
dufculis  filum  intra  terminos  I  et  O  fuent  oneratum  , 
quarum  relblutio,  ob  vrariabilium  permixtionem,  fummo- 
pere  difficilis  primo  intuitu  videatur.  Quoniam  vero 
in  omuibus  his  aequationibus  variabiles  vnicam  tantum 
dimenfionem  obtinent  ,    aanifcftum  eft,   fingulas  ittas 

aequa- 


VI  BR  AT  0  R  I  0.  219 

ifcqnationes  per  eiusmodi  conftantes  multiplicari  potte  t 
Tt  fi  omnes  in  vnam  iummam  colligantur,  prodeat 
huiusmodi  aequatio: 

»  [%ddp  H-  Ibddq  -+-  cWr  -4-  S5^f  H-  g^l 

+  %ddv-+  ®ddx)=o; 
cuius  Integratio  iam  nulli  ampliub  difficultati  eit  obnoxia, 
cum  fit : 

?{/>•+- SJtf+SM  ©J  +  ©+g«;+®je=Conft  cofcutf. 

8.  At  fi  hos  multiplicatores ,  qui  ad  hirusmodf 
aequationem  integrabilem  perducant ,  inueftigemtte  ,  eos 
non  vno  modo  ,  fed  adeo  femptr  tot  mudis ,  quot 
uerint  coipuicula  ,  dcfinin  depithendcmub  ;  ficque  tan- 
fSem  etiam  totidem  aeqnationes  intcgrales  diuertas  adi- 
pifceimr.  Ex  tot  autem  aequationibus  deinceps  valo« 
res  fingularum  applicatarum  p  ,  q  ,  r  ,  s  etc.  elrcerc 
potcrimus ,  quorum  quilibet  huiusmodi  formam  fortie- 
tur : 

9{cof  a^-4-5Bcof  6wH-£a)fiCw-h®cof.i>wH--etc\ 
"vbi  31 ,  33,  £/  ©  €tc.  iunt  conftantes  arbitrariae,  ex 
ftatu  fili  initiali ,  quando  ponitur  tempus  w  dz  o ,  defi- 
nienoae,  et  pro  fmgulis  applicatis  p  ,  q  ,  r  etc.  peculia- 
res  obtinebunt  valores.  At  vtro  litterne  (J  /  l)  /  C  / 
ft  f  etc  ia  omnibus  erunt  eaedem  ,  ac  per  totidem  ra- 
dires  aequationis  cuiuspiam  tot  dimenfionum  ,  quot  fue- 
rkit  ponduicula  ,   exhibebuntur. 

9    Hinc    aliam    enmqne    multo  faciliorcm  nan- 
cucimur  methodum,  cunctas  fuperiores  aequationes  diffe- 

E  e  &  rentia* 


zio  D  E    M  O  T  V 

rentiales  fecundi  gradus  quafi  vno  aclu  refoluendi.  Cum 
enim,  fi  omnes  coefficientes  %  ,  35/  (£,  etc.  praeter 
vnum  in  vna  fbrma  integrali  euaneicant ,  iidem  in  re- 
liquis  omnibus  euanefcere  debeant ,  ftatuamus  ftatim 
mutati  harum  litterarum  fignificatione  : 

/>  :=:  21  cof.  n  o>  j  q  zz  35  coC  n  oj  ;   r  zz  (£  cof  n  oj  ; 

$  zz  ®  cof.  n  o>  ',  ete. 
quibns  valoribus  fubftitutis,  non  foium  relatio  inter  hos 
coefficientes  21  /  35  ,  (E  /  etc.  determinabitur  ,  fed 
etiam  valor  litterae  n  per  aequatinnem  tot  dimenfio- 
num  ,  quot  fuerint  corpufcula  ,  definietur ,  vnde  etiani 
totidem  vdores  diuerfos  recipiet,  H;s  autem  inuentis 
fing  <lac  exprefliones  completae  reddentur ,  et  huiusmo- 
di  formas  induent: 

p  —  2t  cof.  n  oj  -+-  21'  cof.  n'  oj  -+-  21"  cof.  n"  u 

-f-2i/'/cof«"/oj+-ecu 
0  =:  55  cof.  /i  a>  -+-  35'  cof.  »'  oj  -+-  35'  cpf  »"  as 

-+-S5//cof.H"/ai-i-etc. 
etc. 
io.  Pro  quouis  enim  alio  valore  Utterae  rt,alios 
qtioque  valores  litterae  %  t  35  /  £  /  ©/  etc.  fortien- 
tur ,  qui  fi  debito  modo  in  has  acqu<4tiones  introdu- 
ca  tir  ,  obtinebimus  vafores  integrales  cot  pletos  pro 
fingulis  applicatis  p ,  q ,  r ,  J,  etc.  qui  propterea  ad 
quoJuis  tcmpus  ftatum  fili  praebebunt ,  ex  cuius  varia- 
tione  inftantanca  fimul  eius  motus  innotef  et.  Praeter- 
ea  vero  totidem  adhuc  manebunt  cotfricientes  arbitra- 
ni ,  quot  faerint  corpufcula  ,  quos  denique  ita  defimrc 
hcebit ,  vt  initio  o>  — o  diftantiae  fingulorum  corpuicu- 

ioiurra 


VIBRATORIO.  22* 

3fomm  ab  axe  (Inr,  ftatui  fiJo  indudlo  confentaneae : 
tum  vero  hae  f>rmulae  iam  lta  funr  comparatae,  vt  ini- 
tio  jnotus  fingulnum  corpufculorum  eoanefcat  j  feu 
rnotus  tum  a  quiete  incbiar  t  alioqum  enim  etiam  fi- 
nus  anguloram  nta  n'<a  etc.  introduci  puuifTnt.  Ex- 
pofita  autem  methodo  lolutioms  in  genere  t  conueniet 
eam  pro  quolibet  corpufcuiorum  numero  accuratius 
cuoluu 

Problema     i. 

ii.  Si  filum  in  terminis  I  et  O  fixum,  et  a  data  Fig»  *# 
vi  rK  tenfum,  vnico  corpnfculo  A  fit  oneratum ,  deter- 
minarc  eius  motum,  poftquam  de  ftatu  naturali  vtcua» 
que  fueric  deturbatum, 

Solutio, 

Cum  igitur   fit    I  A—IPrr^;  AO=PO=:^; 

Ct  elapfo  tempore  01  min.  fec*  ponatur  diftmtia  PA-p, 
quae  initio  futrat  zz  a  ,  h  abebimus  haac  Tnicam  aequa- 
tionem  dirferentio  differenrialcm  ; 

Statuamu*  ergo  p-%col.n<a,  eritque  ££?::- ««2fcof.«p 

Tnde  fit  S-W-rr^  et  k±zV^H^h  Qua» 
aequatio  infc  gr ilis  quaefita  habtbitur  : 

^-3tcof.«V^(i-+-|) 
quae  vt  praebeat  ^:a,  pofito  w~o,  poni  oportet  31  r«, 
ficque  erit  pro  cafu  propofito  : 

£e  3  vnde 


22S  D  E    M  O  T  V 

vnde  ad  quoduis  tempus  w  min.    fec.    ab  initio   ela- 
pfum  locus  corpufculi  A  cognofcitur. 

Coroll.     i. 

12.  Hinc  ftatim  innotefcit  tempus ,  quo  corpus- 
culum  A  ab  initio  motus  primum  in  rectam  I  O  per- 
veniet  ,  quod  eueniet ,  quando  fit  p  zzz  o  zz  a  coC  lit , 
denotante  it  femiperipheriam  circuli ,  cuius  radius  eft  i , 
vt  \n  fit  menfura  anguli  re&i :  erit  ergo  hoc  tem- 
pus: 

quod  fimul  efl  tempus  dimidiae  vibrationis  fiti.         '  '"*• 

Coroll.      2. 

13.  Si  enim  tempus  capiatur  duplo  maius,  cor- 
pus  A  perueniet  ad  parem  diftantiam  a  ab  axe  in  al« 
tera  parte  ,  integramque  vibrationem  conrtciiTc  eft  cen- 
fendum.  Quare  tempus  fingularum  vibrationum,  quae 
inter   fc  erunt  ifbchronae  ,  erit : 

it  TtV  kab 

V(^i+T)=vrttt-T)  miQ*  fecund* 
CorolL    3. 

14.  Hoc  ergo  tcmpns  erit  maximum  ,  (i  cor- 
pufculum  A  medium  locum  in  filo  1  O  tenuerir.  S[ 
enim  ponamus  totam  longitudintm  \Ozza-Y  b  —  l  ^ 
et  a  —  —  ,0 — -7- ,  ent  tempus  \1brat10nib— ~i2^Rl    , 

vnde 


VltRAT  0  RI  O.  *33 

Tade  patet,  quo  magis  corpufculum  a  fili  pun&o  me- 
dio  remoueatur ,  eo  rapidiores  fore  \ibrationes  \  ipfum 
autem  tempus  maximum ,  quo  uzzo  fit  ^T^n^ 
min.  fecund, 

Problema     2. 

i$.  Si  filum  in  terminis  I  et  O  fixum,  et  data  _?ig  p 
ri  K  tenfum,  duobus  pondufculis  A  et  B  fuerit  onera- 
tum  ,  determinare  eius  motum  ,  poflquam  de  ftatu   fuo 
naturali  recto  10  vtcunque  fuerit  deturbatum. 

Solutio. 

Hic  igitur  habemus  I  Az^r^;  AB_i:&;  BOzr<?f 
ct  fi  elapfo  tempore  w  min.  fecund.  ponamus  diftantias 
PArrp,  et  QBzzq,  quae  initio  fuerant  «  et  (3,  fe- 
quentes  duae  aequationes  difFerentio  -  duTerentiak*  re- 
foiuendae  occurrunt : 

_>•  _  s     __^£ _t       a  ddp  ____ 

Z-ZJ>  xii.    *JAl - 

b      Te  T^jKWu*  —  ** 

Statuamus  ergo : 

p  ~  31  cof.  n  ca       et  ^zz  33  cof.  n  ca  ,  eritque 

^!--»»3Icof.»w  et  ^- -««gjcof.ww. 
Hi  valores  fubftituti  praebent \ 

g  ,**—*—  *n**_   *,    «_— »    ,     59       n*B* 


■~      to    —  »k*     «  — gr-  -r-r—  7k¥ 
ideoque 

Tnde 


224  D  E    M  0  T  V 

vnde  per  multiplicationem  oritur,  ponendo  jtr2: 
i=(i>-4-|-Afa){i-f-S— Bte)  feu 

or=J  +  H-^-A^)(H-F)-B^(i+^)+AB^ 
quae  reducitur  ad  hanc  formam  :• ) 

vnde  elicitur: 

'   (   4  A  A  )  a  ~+~  6  )    "4"  7Tb  (|"+"  c)  "^2"AB(60-^"Tc_rc  7> 

quo  valore  inuento ,  eft  wzzV^K^s.  Tum  vero  ha: 
bebitur 

A^V(^(-i+|)2  +  ;i-B(^|y-7b(^+rc+^-^))- 
Cum  igitur  hoc  modo  duo  inueniantur  valores  ipfius  ny 
qui  fint  #  et  n' ,  et  pro  vtroque  relatio  inter  2J  et  35 
definiatur  ,  vnde  prodeaot  valores  3J ,  33  et  %' ,  33', 
obtinebimus  hinc  fequentes  valores  completos  pro  ap- 
plicatis  p  et  q : 

/>=3lc0f.«W+2I'c0f.«/Gl 

4=  33  cof. »  u  -+-  gy  cof. »'  u 
ob  ftatum  autem  initialem  elTe  oportet : 

Sl+gj^^ct  SB+5B'=p 

alter  autem  tam  valorum  2(  ct  33,  quam  §('  et  *£>', 
erat  indefinitus ,  vnde  ii  hinc  determinabuntur. 

Coroll.  i. 


riBRiiTORia         225 
CorolL     r. 

16.  Si  ponamus  breuitatis  gratia  : 

n(V+"t)— ^i  7B(&-t~"c)=Q;  rB^ri+^c  +  iTc^-R 

vt  fit  zz  —  2(P-hQjs  -f-R  = o*,  et  geminus  ipfius  2 
valor : 

s  =  PH-Q_±V((P-4-Q)*-R), 

erk  33-2{A^(2P-^)  feu  2l  =  $BB£(2Q-s). 

Coroll.     2. 

17.  Verum  cum  fit  4PQ=Xb(;T6  *n+£+n) 
—  RH~a"bT6,  ideoque  R:=:4PQ-abT*  >  habebitur  : 

•e^q±V((P7^}'-4-nfo)l 

ex  qua  forma  patet,  ambos  valores  ipfius  s  femper  efle 
reales  ,  ex  priori  autem  effe  pofitiuos ;  vnde  vterquc 
vaior  ipfius  nzzV  iKkz  erit  realis. 

Coroll.    5. 

18.  Ponamus  porro  ad  abbreuiandum  V((P-Q/ 
-f-^)=zS,ac  diftinguendo  geminos  valores ,  obtine- 
bimus : 

z    =:P-+-Q-t-S;  *'   =P  +  Q_-S 

n  =zV2K/d(P  +  QH-S);  n'  =:V*Kifc(P-t-Q-S) 
33^2iA^(P-Q-S)  ,  SB'  =  »'A*(P-Q-t-S) 
ac  motus  fili  his  duabus  aequationibus  continebitur : 

p  =  2lcof.»w-H  21'cofi  »' w 

# =  93cof.«w  -+-  JJVcof.  «' w. 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  F  f  Coroll.  4. 


22(5  D  E     M  O  TF 

Coroll.     4. 

•   19.  Vt  antem  motus  ad  ftuum  initialem  datum 
accommodetur,  fieri  debet  St-f-SP  —  a  etaA£(P-Qj 

-f-Or-2I)AW=rp,vndccrita'-Sl=AVs-^- 
Quare  hinc  nancifcimur  vtriusque   conftantis    5t  et  W 

deterrninationem  : 

Coroll.     5. 

20.  Si  ftatus  initialis  ita  fuerit  comparatus,  vt 
vel  51  vel  5ix  fucrit  =  °  »  tum  etiam  "^1  2J  vel  3>' 
euanefcet  ,  motusque  continebitur 


vel  in  his  formulis 
p  rz  2t  cof. » 03 


vel  in    his  formulis: 


^z^5&cof.«o>  ^zzzSEVcof.  »'« 

vtroque  ergo  cafli  vibrationes  orientur  reguiares  ofcilla- 
tionibus  penduli  fimplicis  conformes  ,  ac  tempus  vnius 
vibrationis  erit 
Cafu    priori  ~*min.  fecund.  ;  pofteriori  zn^  min.  fec. 

Coroll.     6. 

21.  Sin  autem  ftatus  initialis  fnerit  eiusmodi , 
vt  neque  9{  neque  %'  euanefcat ,  vibrationes  orientur 
irrcgnlarcs ,  et  quafi  ex  vtroque  genere  fimplici  mix- 
tae  \  ncque  filum  vnquam  ad  eundem  fitum  reuerte- 
tur ,  nifi  numeri  n  et  n'  rationem  inter  le  teneant  ra« 

tiona- 


VIBRATORIO.  227 

tionatem.     Ponatur  huiusmodi  ratio  n : n'~  \x :  v ,  ac  fiet 

F^^s=^7i^u(^p.-vocP+Q:)=(FH-+^)s>ideoq«e 
Coroll.     7. 

22.  Vt  ergo  vibrationes  euadant  regulares  ,  ftatus 
initialis  ita  debtt  efTe  comparatus ,  vt   fit 

•3  |^0(^TCa)  =  --B^(S^P-Q.) 

vel  £=^5^—- -  +  _*(S  -  P  -QJ 

e(l  enim  SS-(P-QJ2:=ABir&,  ideoque  S>(P-Q> 

Coroll.     8. 

23.  Si    omnia    interualla  corpufculorum  fucrint 
inter  fe  aequalia,  feu  az=zh^zc  ;   erit  P^^Q— :  ^- > 

ct  R=drr*>  vnde  fit  S=s(i+i^s^-a+n)i 

feu  ^^±^A|-_Ald,BBi  ^  hincque  ■ 

n  =  V  gJ(A-HB+-nAA-AB+-BB));  f/z-Y^!  (A+B 

-V(AA-AB-+-BB)) 

7^  ^;  B— A— V(AA— AB-f-BB),    <_, K?y  B— A-t-V(AA—AB-t~BB 

85  —  •§!•• b  >  ?o  —  **  •         ;b 

et  pro  ftatu  initiali  adimplendo  t 

Of  —  1  H     .      tt(B  — A)-(3B      _/__-,  ...«(B--M-4-PB 
*l  —  3  « -T- ,V(AA— AB-J-BBJ  ?   *i    *a        aV(AA— AB-J-BB) 

Ctt  — xO  P(B— A)  — aA  .r_/_ir>         (3(B_-Aj___A 

?U  —  iP         2V(AA— AB+BB)  ,  &  — "»P       2V(AA— AB-+-BB)  • 

F  f  2  Motus 


228  D  E     M  O  T  V 

Motus  vero  his  aeqimionibns    exprimetur  ' 
p  —  $( cof. cx> -i- 2(y  cof.»'co 
qzz  g^cof.  co  -f-  2>'cof  n'  w 

Coroll.     9. 

24.  Vt  fiat  hoc  cafu  mnftzyLXf ,  oportet 
effe: 

4CM-4-4-v4)        /   r        ,       t  s (l*)i-f»»)?         r». 

AT 4fA-M.^CAA-HBl)—  AB I     ,eU 

?.  —  3M-4  —  ?H>M-vv-t-3V4±:  VUM-' —  ia)xtf  vv — 4.zM.4v4  —  1 2  M-frv* -4-9^*1 
A sHftv»   " 

irnde,  fi  fit  [xrr2,et  y=:i,.(eu  h;»'  —  2:1,  fiet 

15 4-3  ±  V  825   u±5Vn 

A 32         — "  3»         • 

Coroll.     10. 

25.  Si  praeterea  ambo  corpora  A  et  B  (Int  ae- 
qualia  ,  erit  3  zz  *-f^  ,  vude  fequentes  obtinentur  de> 
terminationes : 

«    =^"^7        >      W     — yAT 

«t  pro  motu  : 

^-^a~(3)cof.WV6A^  +  l(«  +  (3)cof.Wyt-^ 

^-icct-pjcof.wy^+u^+Pjcof^y^. 

Problema     3; 

Fig.  4.  26.  Si  fftum  in  terminis  I  et  O  fixum  et  data 

Yi  ^K  tenfurn  tribus  pondufculis  A>  B,   et    C    fueric 

onera- 


V  I  B  R  A  T  O  R  I  O.  sli9 

oneratum  ,  determinare  eius  motum  ,  poftquam  de  fta- 
tu  fuo  natnrali  re&o  IO  vtcunque  fuerit  deturbatum. 

Solutio. 

Hic  igitur  habemus  IArr^;  ABrr£;  BCrr^ 
et  COrr</,  ac  fi,  elapfb  tempore  03  myi.  fec,  poaa- 
mus  diftantias : 

PArr^    QBrz^    et    RCrrr 
quae    initio   fuerant  refpectiue  a,  (3,  y,  feqnentes  treft 
refoluendae  funt  aequationes : 

AlTi)-A.  &-T-,Kfedw« ° 

tflxt^^t.     t-t     *      r-JAl r. 

B\b^c)       B'i       B-cTjK^ui— O 

£-/l_t     l\_l     *  _r_     d  d  r     

C  \c  ~"     ^       C*  c"^- aK/edu^— °» 

Quodfi  ergo  ftatuamus,  ^rr^tcofww;  ^rrSgkof.flw  ^ 
rrr(£cof.»co;  habebimus,  ponendo  ^  r;  s,  has  ae- 
«juationes : 

B  V&     1    e  >>  "~  B  6         B  c  «O* 

•vnde  eruimus  : 

«r _J* ^,      ^_ J$ 

^~4(J-W)-A*s  '     ^  — ^-}-ij-CVs 
qui  irr  fecunda  fubftituti  praebent :• 

111  x 

—        1 1  ■   ■    ■- ! _.     iiryjf/l i *-  — -  T>  ,» 

*./>     bb^-^-Abbz    ccKi*\)-£Q<iZ 

F  f  £  qu* 


a3o  D  E    M  0  T  V 

qua  aequarione  ordinata  oritur  : 

**  -§(f-H)}-**  +_fc  (S+tW+ij  ^  -ss(5rc+-ffir+sa+ad=o 

-te+su    +-w*w«yi 

quae  aequatio  ,  fi   ponatur  breuitatis  gratia  : 

i'j-+-i.)=:P;  i«-W)=Q.; .  c(5-+-S)  =  R 

transmutatur  in  fequentem  formam  : 

fr-P)  (s-Q.)  (.*- R)  c=  2f)8  -+-  S@£ 

vnde  terni  eliciuntur  valores .  ipfius  z,  iique  femper  rea- 
les  et  pofitiu',  qui  fint  s,  %%  et  &",  ex  quibus  fequen- 
tes  terni  valores  porro  eruuntur : 

nzzVs>Kkz\j    ri^zVzKkz'    n"~ViKkz" 

S)f_ _5 .    5)f/ __1 Qf/y- — _^__ 

^"A^(P-s)  '  ^  ~A£(P~*0     ^    ~  A/<P-s") 

»^EW«)"  ^"0(R-~')     ^  -C*(R-s") 
quibus  valoribus  inuentis,  motns  his  formulis  definietur  : 
p  zz  S(  cof  n  u  -H-  21"  cof.V  w  r+r  2I"cof.  a"oj 
f  _r,  5B  cof  n  o)  -+-  33'cof.  n'u  -+-  55'  W.  »"  i_ 
r=-£cof.»&)-}-S,cof.«/b)-H£//cof  «^u 
quae ,  vt  ad  ftatum  propofitum  initialem  accommoden- 
tur ,  fiat  : 

3j+3i'+si"=«;  sHsv+sy^p  cts+c^+e^y 

ficque  motus  quaefitus  erit  determinatus, 

CorolL 


yiBRATORIO.  231 

Coroll.     1. 

27.  Tota  ergo  folntio  reducitur  ad  refblutionem 
huius  aequationis  cubicae  : 

"A^b^f     +abC2>+"«c+&c)      1 

Z   ~e{Hc)cZ   +AC^ic+6Ic+ai+^)h2-i^c^+^}+^+^)ZO 
_c(c+i)j       +EC,'fcc+^+ciJ         J 

dHm  cafu  problematis  praecedentis  ,  vbi  filum  duobus 
tantum  pondufculis  erat  onnftum  ,  haec  aequatio  qua- 
dratica  folutionem  continebat : 

s  s  ~~  A  (o  "+"  l)C   ~  __i_-    1   (*  __u  1  -4-,0 —  n 
~  B'5-r~cP 

Coroll.    2, 

28.  Tres  fcilicet  huius  aequationis  cubicae  radices9 
genenliter  modo  expofito  coniunclae  ,  generalem  pro- 
blematis  fuppeditant  folutionem  ,  quae  ad  omnes  cafus^ 
quicunque  flatus  filo  fuerit  inductus  initio,  pateat."  Vn- 
de  patet ,  fi  terni  numeri  »,  n\  n/f  fuerint  incommenfu* 
rabiles  inter  fe,  motum  fili  admodum  fore  irregularem» 
neque  certas  periodos  ene  habiturum- 

CorolL    3. 

29.  Tres  autem  dantnr  cafus,  quibus  filum  ad 
vibrationes  regulares  et  ifochronas  excitari  poteft  ,  qui 
conditionibus  his  locum  habebunt : 

Cafus  I 


*3: 


D  E    M  O  T  V 


Cafus  I 
fi  fit  a-% 

Y=£ 

tum  erit  />z=3lcof.«o) 

#~3$cof  wcd 

rcr^cof.wci) 

temp.vibrat.  z$  min  fec. 


Cafus  II 

p=aV 

Y=€' 

p  —  2pcof  n'u 

^rz^cof.^w 
rrr^cof.w^co 
zz  ~7  min.  fec. 


Cafus  III 
a  =  91" 
{3  =  2}" 

Y^£" 

pzz^cof^w 

f:=a3"cof.»"u 

r—  <£"cof.ii"w 

zr  ^  min.  fec. 


Coroll.     4. 

30.  Inuentis  autem  his  tribus  cafibus ,  quibus  vi- 
brationes  ifochronae  euadunt ,  ex  iis  omnes  reliqui  ca« 
fus  motuum  irregularium  per  compofitionem  definiri 
poterunt ;  vbi  notari  meretur ,  vtcunque  hi  motus  ap- 
pareant  irreguiares ,  eos  tamen  ex  combinatione  vibra- 
tionum  ifbchronarum  oriri. 

Coroll.    5. 

31.  Quando  autem  tria  corpora  A,  B,  C,  tam 
ratione  mafTae,  quam  diftantiarum ,  ita  fuerint  comparata, 
vt  numeri  »,  n'9  nn  inde  refultent  commenfurabiles  , 
irregularitas  motus  eatenus  euanefcit ,  quod  in  motu 
percipientur  periodi,  quibus  filum  in  eundem  ftatum 
reftituitur. 

Coroll.     6. 

32.  Si  corpufculorum  interualla  a,  b,  c,  d  inter 
fe  fuerint  aequalia ,  aequatio  cubica  refoluenda  abibit  in 
hanc  fbrmam  : 


*'-G  +  t+.->T-Hsr.4-rc-4-»y 


4  a       ABCa 


zzo 

quae 


V  I  B  R  A  T  0  R  I  0. 


*33 


quae  fi  corpufrula  infuper  fint  inter  fe  aequalia  ,  fit : 
cuius  tres  radices  funt : 


—  V2    .      TTT        ^//^?+V 


*•  *— -a?>  1L  *  —  ^r  >  111#  *   — 


Aa 


Coroll.    7. 

'33-  In  hoc  ergo  poftremo  cafu,  quo  A:_B__C 
et  a  —  b  —  c  —  d  erit  pro  motu  fili  generatim  deter- 
minando  ob  P_  A?a  —  Q  =  R  • 

_=*_&  «'_y^=_^;  <_v_g- 

<t=  -Ta  t   =    Vl  %-..    T-        V. 

feu35_:o         sy-srv*        &"= -"»"■»'* 

et  £--21        £'__3l'  €"=W5 

Ac  pro  ftatu  initiali  dato  habebitnr  : 

H-217  ^y 

^vnde  obtinetur : 

or  —  ____  •  91 ' r=  tt-t-P^J-^  .   3J'  /— 1 g  —  (3v-?--+-iy 
«v        *       etv — «-*-Pv  ?__j  t  srv/—  —  *  +  P  v  ?  —  > 

~        _a+-y         ~,„  a-f_j_V  j_______Y  .     (^/A____JL_/_±L_V 

Contequenter  motus  definietur  per  nas  tormulas : 

*=^cof.wvg4-^tvcouy^+^-cora.vi('V;- 

r=^WuV^+°-^tVcof.uy^l«+^^c0r.^^^. 
Tom.IX.Nou.Comm.  Gg  Proble- 


33+  D  E    M  O  T  V 

Problema     4. 

f     .  34.  Si  fllum,  in  terminis  I  et  O  fixum  et  data 

vi  _=  K  tenfum ,  quatuor  corpufculis  A,  B,  C,  D  fuerit 
oneratum  ,  determinare  eius  motum  ,  poftquam  de  tta- 
tu  iiio  naturali  recto  IO  vtcunque  fuerit  depullum. 

Solutio. 

Habemus  ergo  lAzza,  ABzzb,  BCzzc,  CD~:d 
et  DO_=  ?,  ac  fi  elapfo  tempore  w  min.    fec.    pona- 

mus  dillantias 

PA~ p;  QB~tf;  RC  —  r  et  SDzzs 
quae    initio    fuerant    refpe&iue    ct,  (3,  y,  £,  fequentes 
quatuor  refolui  debent  aequationes  : 

£{£-±-l\—  1   i    i    -  ddf>- — o 

tL/i    i    i\     £   i___L    «    ,  .     ddr — rt 

C  ^c  "T^dJ^C'  c       C*  3  "T"  8  K  fe  d  w*  • —  u 

sfi_ti\      r     i_i_ddL_. - 

SUt-J^B'  d"*-2Kfed_* °« 

Quodfi  iam  ftatuamus 

p-S(cof«w;  ^-sgcof.wto;  r-(£cof.»io;  jr^cof.ww 
ac  ad  abbreuiationem  ponamus  ~^kzzz  ,  nec  non 
Ki+i)=P$  _(i+i)=<i;  _<i+J)=R  «i(_+;)=S 

orientur  fequentes  aequationes : 

«p-ft_=ji« 

®Q.-ira-_Y=g5* 
C_K-_Vr-&  =  C-j 


2)S-^  =  25* 


ex 


V  I  B  R  A  T  0  R  I  O.  33S 

ex  quibus  elicitur  : 

© =«  ABCMP-«)(QrZ)(R-2)-^(R-2)-^M(P-2), 
qui  -valores  in  \ltima  aequatione  fubftituti  ptaebent : 

ABO,cd(P-z)(Q_-z)(R-z)(S-z)-^{R-z)(S-z) 

-*-f'(P-*XS-*)-±?r-e(P-*)(<i-*)  +  sb=0 
quae  per  ABCk</  diuifa  abit  in  hanc   fbrmam  : 

m  ry  /n  ,vr   ^vq  ~\    (R-*Ks-*j      (p-zXs— z)      (p-zXQr-s? 

"  t~  ABCD  fcTdl  -^  °  » 

cuius  indoles  clarius  perfpitietur  ex  hac  forma  : 

i i i_ 

1  "~AB6*(P  —  2)(a—  s)  ""    BCcc(a—  2)(R—  *)         CDdd(R  — »XS  — *) 
*+~   lEcDbbddiP^^y^zY^—  zXS— a)  "   °- 

Verum  fi  ilki  aequatio  ,  reftituendis  pro  P,  Q,  R,  S 
valoribus,  penitus  euoiuatur3  obtinebitur  fequens  aequatio 
biquadratica : 

]    ^-Mah^hS]       f  f ;     ,    ^_       ' 

"A^-TfcM  4    -L.riJ_f^flJ_l)  -ABC  5ftS-ra6a"Tacd"T"&cdi 

'    |         +&Q-H>GH*J)J         -BCDW+««+6ie+c*)\ 
j        +  cTD^Jd+ce+ai)J  J 

*+"  ABCD  (aTcd  "+"  abce  "+"  cTde "+"  ccdtf^"  fccieV 

Inuentis  autem  huius  aequationis   quaternis    radicibus    z, 

z\  z"  et  zf/\    ex  illis  totidem  valores  numeri  n  ha- 

Gg  2  bebun* 


S36  D  E     M  OT  V 

bebuntur  per  formulam  n~VzKkz',  ac  fumtis .  quo- 
que  quaternis  arbitrariis  %  $(',  W\  2tV/>  ex  vaoquo- 
que  reliqui  sg,  (£  et  £)  refpondentes  reperientur  ope 
formularum  :. 

^~^kb(?-z) 

ac  tandem  formulae  pro  motu  fili  erunt :. 
p n  3lcof.»u-t- a^on^u-ha^cof  «^w-f  SJ^cof ».'"«. 

^z=^cof.«w-f^W«/w4-S/W.«//co+S///c^«/'/'/w 
r  ==  g;cof.wo3-|-6:/cof.«'a3-i-g://cof.«//oj-+-g///cof.M///w 
^  rz;  ©cof.wa-f-gycof  «'w-i- ©'/cof.«"w4-S)"/cof.»/'/w 

quatuor  autem  conltantes  arbitrariae   51,  Sf',  §(",  Wf 
ex   ftatu  initiali  ita  definiri  debent ,  \t  fiat  : 

9l.+  Sl/-4-§r-4-Sl/":=a 

e  4-  e'  -4-  e"  -+-  cw = y 

CorolL.     is. 

35.  Iam  igitur  quatuor    exiftunt    cafus ,    quibus-, 
•fibrationes  erunt  ifochronae  ,  quarum  tempora  erunt. 

<*  m  n  *  •        r 

n "  ;       *'■>      n?\.      V1       min-    IeC' 

atqne  ex  his  cafibus ,  tanquam  motibus  fimplicibus,  re« 
liqui  omnes  per  compofitioaem  oriuatur.. 

CorolL 


r  I  B  R  A  T  0  R  I  O.  23T 

Coroll.     2. 

36.  Ex  his  iam  lex  iftarum  formularum  ,  fi  fi. 
liim  pluribus  corpufculis  fuerit  onultum  ,  non  difTiculter 
perfpicitur.  Si  enim  quinque  habeantur  corpufcula  , 
adie&o  valore  ^(}-\-})zzzY  y  aequatio  principalis  re- 
foluenda  ita  fe  habebit.: 
t  _ * _ ~I: 1 f . 

*      ABbb .(P— z](Qrz)     BCcc  (a~z)(R-z)  ~CDdd  (R~z){S~z) ""  DEee{S-z)[T-z) 


'rrr  abcd^2(p -z)  (a—  zxr~z)(s-s)  "+-  bcd^Ho^r^xs^xt^)  -  ° 
Ac  fi  fex  fuerint  corpufcula,  pofito  |  (j  -+- |)  ~  V,  erit 

'    :  ABbb         1  ;  BCce  ,:CDdd  ,  :  D  E  f  g  1  :  E  F// 

1  ~(P— z)(0-z)  ~  (0-z)(R-z)  ""  (R-z)(S-2i)  "~  (S-zj(T-z)  "™  (T«z)(V~z) 

1  :ABCD66dd  ■  :   BCDEccge  i  •  C  DE  F  dd// 

~T~  (P-zXO-z)(R~z)(s-z)  +*  (az)(R-zXS-z){T-z)-t-(R-z)(S-z)(T~z)(V-zk 

t  ._ABCDEF6  6dd// 

(P— zXQ.— »)(R— zXS— z)(T—  z)(V— z) °- 

Coroll.     3>. 

37.  Hae  autem  formulae  in  genere  nimis  funt~ 
eomplicatae,  quam  vt  quidquam  ad  cognitionem  motus 
inde  concludi  queat.  Concipiamus  ergo  interualla  ay  b^ 
c,  d,  etc.  inter  fe  aequalia ,  ac  pro  quouis  corpus- 
culorum  numero  aequationes ,  ex  quibus  valores  ipfius  z. 
elici  oportet ,  lta  fe  habebunt : 

Pro  vno  corpufculo 

*—  f,  =  o- 
Pro   duobus  corpufculis 

Pro  tribus  corpufculis 

2-aU+B+  CJ2«-H-«5  (ab  -f-  AC  +  Bc)  2'7"   ABC .—  ° 

G  g  3  Pro> 


i;3S 


D  E     M  O  T  V 

Pro  quatuor  corpufculis 


•*-+- fl  (a  +  I  +  h  +  b )  ~'+  ^  AB  +  AC  +  AD  "+*  BC  •+*"  BD  -^CD^ 
—  fli(A^4-ABD  + ACD"+"BCd)S"*"5"4*  ABCD  "=  ° 


Pro  quinque  corpufculis 

^ra^+A^+AD  +  TE+B^+B^+Bl+CD+Cl+Dl)  * 
"*  "MabC  +-ABD+ABE+ACD~T" ACE^ADE^BCD-rBCE-t-BDE-rCDE/^ 
""+"  «"♦(aJcB  •+-  AB%£  +"  ABD£  +*  ACD£  +  B~CDe) *  ~*  a"" •  ABCDE  "^*  °* 

Coroll.     4. 

38.  Si  non  folum  interualla  corpufculorum  tf,  b9 
,<r,  d  etc.  fed  etiam  ipfa  corpufcula  A,  B,  C,  D  etc. 
inter  fe  aequalia  affumamus,  aequationes  fequentes  pro~ 
dibunt : 

num. 


corp. 

1 

*  - h  =  ° 

11 

Z         Aa    ^      AAaa  U 

III 

3         6  Z    2       .        10  Z                     +          ___, 
2 A~a~  ~H  AA~~~~.  ~A^J   ° 

IV 

*  —  A~7  "+"  A2  a*  *""  A*  a*  -+-  A*  o*  O 

5          10  Z*      ^^    36Z*            Sfi  Z~      |,352,t             <5 

V 

8»  —     Aa        *"r~  A*a*          A1  oJ  "T    A+./*  ~  A5  u5   —   ° 

VI 

(J           I2ZS       ,J5  2*           IIOZ5              niSZ*          56    Z               ^ 

2  — *    Afl     *T~  Aaa* -~  A5as  -i"A*a«    """  Asa*  +  A~"a«  — 

vnde  pro  corpufculorum  numero  quocunque  m    conclu 
ditur,  fore  •: 


V  I  B  R  A  T  O  R  /  0.  a3? 


*  —   ——  t    —  ■  _j-    —  -  g  -- —  '  .  ~T~3      »• 

1     Atf  i.      2-         Atf  i.      2.      3  A  « 

tem-iYim  4)(2w-5)f2w-(jVm-+  (201-4X2;»-$)' 2*»-6) ,2w-7)(2W-8)  s2"1"3 

i.      2.     ^T  4         AV~        "~i.     2.      3.     4-      5  ^5^ 

-t-etc  _r:  o 

Coroll.     5. 

39  Hoc  autem  cafu  coefficientes  95  (£,  <"")>  etc. 
CX  prim'»  5(  arbitrario  pro  quouis  valore  lplius  z  ita 
deiinientur  ,  vt  fit : 

t^A^jj)-  2) 


2     A   *       a/     » 


I  -  A  «  (a.  ~z)-i 
fiue 

*  A 

^  ___  2— Arfz 

5t—  3-4Atf2-+-A  a  zz 

gy  ___  4-  10 Aaz~+-6 AVzz  —  A' a  z' 

f  —  5-2oAtfz-4~2i  A  Vi  2-8  A~tf  V-f-  A  Vs* 
etc. 
quarum  formularum  progreflio  ex  fuperioribus  facillime 
colligitur. 

Coroll.     6. 

40.  Ponamus  pro  eodem  cafu  breuitatis  gratia 
Aaz—y,  ac  pro  quouis  corpufculorum  numero  aequa- 
tiones  refoluendae  ita  fe  habebunt : 

Pro 


**o  D  E    M  O  T  V 

Pro  vno  corpufculo 
y  —  2~o,  cuius  radix  zftyzzz 

Pro  duobus  corpufculis 
yy~ty-\-$  —  °)  cinus  radices  funt yzzi  '^'rrs 

Pro  tribus  corpufculis 
y%  *~  6j y  -f- J  °y  —  4  —  °  >  cluus  radices  funt 

Pro  quatuor  corpufculis 
y*  —  8>* -4-  2 ij3  —  20^  ~{-  5  —  o ,  cuius  radices  funt 
i/—  sj±±s  •  v'-~*r:f?  .  «//.--. £±Vs  .    v///_  ii=Vj. 

Coroll.     7. 

41.  Si  has  formulas  bene  perpendamus ,  eas  per 
quadrata  finuum,  denotante  £  angulum  rectum,  fequenti 
modo  exhiberi  pofie  deprehendemus : 

Pro  vno  corpufculo 
^  =  4(fin.i|f 

Pro  duobus  corpufculis 

Pro  tribus  corpufculis 
yzzz  4(fin.^)%/zr4(fin.|e)2^~4(fin.|f)a 
Pro  quatuor  corpufculis 
y~4(  fin.  ^)2 ;  y  ~  4  (  fin.  *f  /  •  /'— 4(  fin.  |f)' ; 

y^4(fin.^)8 
quarum  formularum  progreflio  per  fe  eft  manifcfta. 

Coroll. 


VIBRATORIO.  a4x 

Coroll.     8. 

42.  Inuentis  autem  pro  quouis  cafu  valoribus  ip- 
iius  y ,  ob  z  =  f^,  erit  w =  V  ^/ ,  et  pro  reliquis 
eoefficientibus s 

25=2l(*-jO 

(£  =21(3-4.7  4-J7) 

€  =  21(5-^0^ -+-21^- 8/ -hr4) 

§  =21(^-35^^-5^-3^/^-10/-/) 
<etc. 

Cum  autem  y  habeat  liuiusmodi  fbrmara^ ^4 (fin.  $)% ; 
erit : 

:®=8.acor.a  $  =  «.£$ 

€  =Sl.(2cof.4$+i)  =  2(.fef| 

©  =  «.(  2  cof.  (5  (J>  -4-  2  cof.  2  $> ) =  !».$^§ 

■€=«.(acof.8CpH-acor4CpH-i)  =  a./^7|- 

.g  =S(.(2cofioC[)4-2Cof604-2cof.2Cp)zSi.;^| 

©  =  $(  (cof  i2(p4-2cof  8$+2cof.4(f>4-i)r:S(^—|> 
\nde  fequcns  problema  poterit  in  genere  refolui. 

Problema     5. 

43.  Si  filum  ,  terminis  I  et  O  fixum  et  data 
vi  K  tenfum  ,  onuftum  fit  quotcunque  corpufculis  A  , 
B  ,  C  etc  aequalibus  et  paribus  interuallis  a  fe  inui* 
cem  diftinctis ,  definire  motum  eius ,  poftquam  de  fta- 
tu  fuo  naturali  vtcunque  fuerit  depulfum. 

Tom.  IX.  Nou. Comm.  H  h  Solutio. 


*4*  D  E    M  0  T  V 

Solutio. 

Sit  numerus  corpulculorum  zzzm ;  mafla  vnius- 
cuiusque  zz.  A,  et  binorum  interuallum  zra,  erit  totius 
fili  maffa  zz:mA,  et  iongirudo  IO~(«j+i)^.  Ke- 
dueta  fint  initio  corpulcula  A  ,  B  ,  C  ttc.  ad  diftan- 
tias  ab  axe  a  ,  (3  ,  y  ,  etc.  elapfo  autem  tempore  o> 
min.  fecund.  peruenerint  ad  diftantias  VAzzp\{^bzq^ 
R  C  zr  r,  etc.  Hi»  pofitis,  fi  angulus  rectus  denotetur 
figno  ^,  et  /  fumatur  pro  numero  quocunque  integro 
pofitiuo  ;  valor  quilibet  ipFus  y  erit  yzzz  A  ( fm.^~  (f  , 

vnde    fit    n=zzCm.d+.J>VlXT',  et  ob  <pzz.ml+lif 
erit : 

g5-§frin.^^fi«-^r.r 

®~afin.i^?:fin.^^ 
etc. 

Ponatur  iam  ^l  zzz  ^Cm. ^t  1 9  ac  Pro  motn   habebusj* 
tur  hae  formulae  ; 

/>- afin.^?.  cof.(2wfin.  rrr!^tvfi)-^^ 
qzzz  afin.~:I?.  cof.(  ^ojfin.^^  V~)^-ttz. 

rzz<X fin. ^,  g.  cof.  ( 2  w  fin.  ~  t.  V  ^) -f-  etc. 
etc. 
Scilicet  ex  quouis  valore  ipfius  i  rormentur   talcs    ex- 
prefiiones ,  eaeque  coniunctae  praebebunt  valores   gene- 
rales  pro  applicatis  p  ,  q ,  r  etc.     At  pro  i  fucceiTiue 
fnmi  debent  numeri   1,  s,   3,4  ?&que  ad  m. 

CorolL 


V  I  B  R  A  T  O  R  I  O.  243 

CoroII.     i. 

44.  Si  breuitatis  gratia  ponatur  angulus  £~zi£-0 
*et  angulus  2  u>V  2-£^- zz:  \\j  }  habebuntur  ,  fubftituendo 
pro  i  fucceffiue  numeros  1,2,3,4  etc.  fequentes 
xxpreffiones  pro  applicatis  : 

p  zz  a  fin.  2  $>.  cof.  \|yfin.(p"i-6fm.4$).cof.  vjyfin.  2$ 

-+-  C  fin.  6  (p.  cof.  \p  fin.  3  Cf>  -4-  etc. 
q  zz  a  fm.  4  Cf>.  cof.  \p  fin.  <J)  +  6  fm.  8  Cf>.  cof.  vj/  fin  2  (p 

-+-  C  fm.  1 2  Cj).  cof.  \[/  fin.  3  Cf>  -4-  etc. 
r  Z=  a  Gn.tf  $>.  cof.\pfiri.Cp4-6fin.  12Cp.cof.vVfm.  2$ 

-+- C fm.  1 8 <$. cof.  vpfin. 3 $> -+-  etc. 
V  zzafm.8  Cp.cof.\]yfin.Cf>-4-6fm  i6(f>.cof.vp  fin.2$> 

-h  C  fm.  24 (p.coi. \p fin.  3  <£> 4-  etc. 
etc. 

Coroll.     2. 

45.  Ratio  autem  harum  formularum  clarius  ap» 
parebit ,  fi  eas  ad  quemuis  corpufculorum  numerum 
sccommodemus.  Maneat  ergo  breuitatis  gratia  angu- 
3us  2  oj "V  2A  a-  zz  \|y  ,  eritque  pro  cafu  vnius  corpufcu- 
li,  ob  $zzi?, 

|>zzafin.£.cof.\|/fin  |j?. 

Coroll.     3. 

46.  Pro  cafu  autern  duorum  corpufculornm ,  vbi 
$zz^,  habebimus; 

pz:afin.|^cof  \pfin.|^  4-  &fm.§£.cof.  \bfin.|^ 
#zz  a  fin. | £,  Cof.  \\j fm.  f ^  —  6 fin.  §  £.  cof  \J> fin  |g« . 
Hh  2  Coroli. 


24*  D  E     M  O  T  V 

Coroll.     4. 

47.  Pro  cafu  trium  corpufculorum ,  ob  $  —  Jj, 
fiabebimns  : 

p  zz  a  fin.  |  f.  cof.  vp  fin.  1  g  -f-  0  fin  ±  £.  cof.  vp  fin.  |£ 

-F  C  fin«  f • co*-  v|>  fm.  ? ^ 
^  —  d  fin.  |  g.  cof.  v[/  fin.  *  £  4-  b  fin  ?  fr  cof  v|y  fin  f£ 

—  Cfin  Jf.cof  vj/fin.{f 
rz:(t  fin.  |  g  cof.  vjy  fin.  I  g  —  6  fin.  ±  &  cof.  v|/  fin.  f  £ 

-i-  C  fin.  |  p  cof.  vjy  fin.  |  £. 

Coroll.     5. 

48.  Pro  cafu  quatuor  corpufculorum ?  ob  <p n  f^, 
habebimus  * 

p  zz  (X  fin.  f  £.  cof.  vp  fin.  |  g  -H  6  fin.  f  ^.  cof.  vj>  fin  f  f 

+  Cfin.^  cof  vjyfin.f^-hfcGn.f^cof  vjyfin  fg 

f  =  fl  fin.  f  £.  cof  v|y  fin   i  g  -f-  b  fm.  f  g  cof.  v|y  fin.  |  £ 

—  c  fin.  |  g.  cof  v|/  fin.  |  g-  ft  fin.  ±£  cof.  v|/fin.±  £ 
r  "  ==  (l  fin.  |  f.  cof  v|/  fin.  j  £•  —  fr  fm.  |  £-  cof.  v|>  fin   f  £ 

—  C  fin  |  £  cof.  vjy  fin-  |  £  +•  fo  fin.  *  gi  cof.  \p  fin  ±£ 
X  =  d  fm   |  g  cof  v|/  fin.  1  g;  —  6  fin  £  £.  cof.  v|y  fin.  f  ^ 

+  C  fm.  -  £.  cof.  v|/  fin  |  £  —  $  fin.  5a  £.  cof.  v|>  fin. Jg. 

CorolL    6. 

49.  Quod  (I  vero  numerus  corpufculorum  fuerit 
infinire  magnus  ,  ob  fin.CpzzCf)  — |,  nancifcemur  has 
fbrmulas : 

/,  =  ^cor.tf-+-^cof.^+  ^?cof.^-H  etc 

*=?«£*<  4-^cof.^+^cof  ^-H  etc. 
rs^cot*?-*-^ cof.^e  + j^d^  etc. 
etc. 

CorolL 


VIBRATORIO.  £45 

Coroll.     y. 

$0'  Verum  fi  huius  cordae  tota  longitudo  I  O 
ponatur  zz  /,  et  maffa  totius  cordae  =  2VI  ob  a  zr.  ^, 
et  A=S^erit%|/==2«c*V£r*,  vnde  £=2rayVf-* 
=  7i  ca  V  2mj-  ;  in  coefficientibus  autem  conftamibus  vt- 
pote  arbitrariis  omitti  poterunt  litterae  g  et  /»  r  lta  vt 

flt: 

pziacor.Trcoy^+^ofaTr^ff+ccof.STrcoy^lr+^- 
#=:2/>;  r=.3p\  .f=4p  etc. 

quae  formula  eundem  exhibet  motum  ,    qui   pro  corda 
mfaimiter  crafla  determinari  folet. 


Hh  3  BE 


D  E 

M  O  T  V     VIBRATORIO 

CORDARVM    INAEQ.VALITER 

CRASSARVM. 

Au&ore 
U     EV  L  E  RO. 


Quae  primum  a  Tayloro  circa  cafum  vibrationum 
fingularem,  tum  vero  generaliter  a  Cel.  Alem* 
berto  et  a  me  funt  inueitigata  ,  ad  cordas  per  totam 
longitudinem  aequaliter  cralTas  reftringuntur  ,  ex  quo 
etiam  regnlae  ,  pro  formatione  fbni  inde  petitae ,  vltra 
hoc  cordarum  genus  extendi  non  poflunt.  Ita  regula 
inuenta  ,  quod  tempus  cuiusque  vibrationis  cordae  ,  cu- 
ius  longitudo  ~as  pondus  rr  M  ,  et  vis  tendens  cor- 
dam  zz  F  ,  fit  zz  V  ^-  minutorum  fecundorum  ,  de- 
notante  g  altitudinem  ,  ex  qua  graue  vno  minuto  fe- 
cundo  libere  delabitur  ,  non  nifi  pro  cordis  vniformiter 
craflis  habet  locum  ;  quin  etiam  in  his  tantum  cordis 
vfu  venire  poteft  ,  vt  eadem  corda  vel  duplo,  vel  tri- 
plo,  vel  quadruplo,  plures  edat  vibrationes,  quam  haec 
regula  continet.  Denique  etiam  infigne  illud  phaeno- 
menon  ,  quo  eadem  corda  fubinde  plures  huiusmodi 
fonos,  rationem  numerorum  i  ,  2  ,  3,4  etc.  fequen- 
tes,  fimul  edere  obferuatur  >  cuius  caufam  Vir  Celeb. 
"Dariel  BernoulJi  fehciflirre  nuper  explicauit,  in  aliis 
cordis  ,  nifi  quae  fint  aequabiliter  craffae ,  haud  depre- 
fcenditur. 

2. 


DE   MOTF   CORDJRrM.      247 

2.  Quando  autem  cordae  non  funt  aeqmbiliter 
craGTae  ,  atque  in  aliis  corporum  vibrantium  generibus 
etiamfi  fimili  modo  vfu  veoire  poteft  ,  vt  idem  cor- 
pus  plures  fonos  (imul  edat  ,  hi  tamen  (bni  vtcunquc 
a  ratione  numerorum  1,  2,  3  >  4-  etc.  difcreparc 
pofTunt.  Ex  quo  intelligere  licet ,  quam  infirmo  nita- 
tur  f  mdamento  prinupmm  illud  ,  cui  mmmus  in  arte 
mufica  artifex  de  Kameau  vniuerfam  harmomam  fil- 
perftruendam  arbitratur.  Ideo  (cilicet  diuerfos  fonos  ad 
harmoniam  compofitos  effe  putat  ,  quod  iidem  foni  ab 
eadem  corda  vibrante  fimul  producantur.  Verum  prae- 
terquam  iam  pridcm  firmiflimis  rationibus  eft  demon- 
flratum  ,  principium  harmoniae  in  firrplicitate  ratio- 
num,  quas  numeri  vibrationum  eodem  tempore  edita- 
rum  inter  fe  tenent  ,  vnice  efle  quaerendum  \  haec 
opinio  etiam  per  cordas  inaequaliter  craflas  ,  quae  fo- 
nos  vtcunque  difTonos  fimul  edere  poffunt  ,  funditus 
euertitur* 

3.  Ne  igitur  talibui  pnaenomenis  ,  quae  corclis 
vniformiter  crafffc»  funt  propria ,  nimmm  tnbuatur ,  haud 
abs  re  fore  arbitror ,.  fi  cordarum  etiam  maequaliter 
crafTarum  motum  ,  quantum  quidem  Anslyfeos  fines 
permittunt ,  examini  fubiecero  ,  eiusque  inuefhgationem 
latiffime  complexam  inftituero.  Maxime  autem  ardua  eft 
hiec  quaeftio  ,.  atque  grauiffimis  d  tHcultatibus  inuoiuta  ; 
hancque  ob  canfam  etiamfi  in  eius  enodatione  parum  pro- 
fecero ,  tamen  ampliffimus  nobis  aperictur  campus,  vires 
noftras  in  analyfi  exercendi,  hurusque  fcientiae  limites  vite- 
rius  dilatandi  Hic  igitur  non  tam  ipfius  qmefti<>nis,  quam 
traclandam  fuidpio,  vtilitas  eft  fpe&anda,  etiamfi  forte  non. 

parum 


a4*  D  E     M  OT  V 

parum  doclrinam  de  vibrationibus  cordnrnm  fit  illuftratura3 
quam  opportuna  occafio  nonnulla  infignia  momenta ,  per 
totam  Analyfin  vberrimum  fructum  pollicentia ,  accuratius 
perpendendi.  Huiusmodi  autem  inueftigationibus,  quae  per 
fe  leuis  momenti  videantur  ,  praeclariiTima  inucnta ,  qui- 
bus  Analvfis  adhuc  eft  ditata  ,  plerumque  debemus. 

4.  Q110  igitnr  facilius  maffam  feu  pondus  cordac 
ratione  inaequalis  craflitiei  in  calculum  introducere 
qneamus  ,  fumamus  cylindri ,  ex  pari  materia  confecti  , 
cuius  bafis  diameter  fit  zz.b^  et  altitudo  ~  h  ,  maflam 
feu  pondus  efle  znM  :  hinc  enim  cuiusque  cylindri 
ekmentaris  in  corda  coucipiendi ,  cuius  diameter  eft 
^s,  et  altitudo  ^zix,  pondus  erit  zzz^^bzb  x.  Cor- 
dam  enim  tanquam  rotundam,  leu  quafi  tornatam,  fpe- 
dare  licet ,  \t  fit  ex  infinitis  huinsmodi  cylindrulis  ele- 
mentaribus  eompofita.  Praeterea  vero  hic  cordam  per* 
fe&e  flexilem  pono^,  omnique  rigore,  fiue  elatere,  penitus 
deftitutam  ,  vt  iriflexioni  ,  quam  inter  vibrandum  pati- 
tur ,  nullo  modo  oblu&etur.  Denique  etiam  ,  vti  in 
cordis  aequabilis  craflitiei  eft  factum  ,  ipfas  vibrationes 
quafi  infinite  paruas  fpedtabo,  ita  vt  «xcuriiones  vtrin- 
que  a  fitu  naturali  recedentes  prae  longitudine  cordae 
pro  nihilo  haberi  queant.  Hoc  modo  longitudo  cordae 
manebit  inuariata  ,  calculoque  hoc  commodi  afleque- 
mur ,  vt  ekmenta  curuae  ab  ekmentis  axis  non  difcre- 
pent. 
Tab.  IL  5.  Sit  igitur  A  B   huiusmodi  corda    inaequabilis 

Fa£-  I#craflktei ,  in  pundhs  A  et  C  fixa ,  et  tenfa  a  vi  qua- 
cunque ,  quam   exponamus    pondere  ~F.      Statuamus 

totam 


totam  cordae  longitudinem  AB—a  ,  quae,  dum  eft  in 
quiete,  vtique  fitum  re&ilineum  A  P  B  tenebit  }  abfciffa 
autem  a  pun&o  A  portione  quacun^ue  AP-A*,  fit 
diameter  craffitiei  eius  in  pun&o  P ~  z ,  et ,  quia 
quaeftionem  generatim  comple&itur  ,  trit  z  functio 
quaecunque  ipfius  xy  et  quidem  fun&io  cognita,  fiqui- 
dem  variationem  craflitiei  tanquam  cognitam  fpe&e- 
mus.  Sumto  ergo  longitudinis  elemcnto  Ppzzdx  f 
erit  mafTa  feu  pondus  huius  elementi  cordae  Pp--^rx. 
In  genere  ergo  probleroa  ,  cuius  folutionem  aggredior  f 
ita  fe  habet ; 

Si  haec  corda  a  ftatu  naturali  retto  APB  in  figuram 
quamcunque  fuerit  depulfa ,  ita  tamen  vt  eius  elongatio- 
nes  a  re&a  A  B  pro  axe  affumtae  ftnt  quam  minimae  , 
atque  corda  de  hoc  fitu  violento  fubito  dimittatur  ,  d.fi- 
hire  motum  vibratorium  ,  qucm  efi  receptura : 

Proponitur  ergo  in  hoc  problemate  figura  quaecun- 
que  ,  quae  cordae  initio  fuerit  tributa  ,  qnaellioque  huc 
redit ,  \t  ad  quoduis  tempus ,  a  momento  relaxationis 
elapfum,  ftatus  cordae  definiatur. 

6.  Ponamus  ergo,  ab  ifto  momento  iam  elapfum 
cfTe  tempus  ~t,  atque  nunc  cordam  confecutam  efle 
figuram  A  M  B ,  cuius  termini  quidem  A  et  B  cum 
ftatu  naturali  conueniant ,  punctum  autem  P  cordae 
iam  in  M  effe  translatum  ,  vocemusque  hanc  applica- 
tam  BMznj',  quae  erit  quantitas  non  folum  ab  ab- 
fcifla  AP-jc,  fed  infuper  etiam  a  tempore  t  pen- 
dens ,  (eu  erit  fundho  quaedam  ipfius  x  et  ipfius  t  fi- 
tnul ,  in  cuius  funclionis  inueftigatione  tota  problematis 
Tom. IX.  Nou.  Comm.  I  i  folu- 


25o  D  E     M  0  T  V 

foiatio  verlabitur.  Iam  autem  quasdam  primarins  pro- 
prietates  huius  functionis  ip(a  quaeftionis  natura  fuppedl- 
tat ,  quarum  prima  elt ,  vt  ,  fi  ponatur  x~o  ,  ifta' 
functio  y  femper  euanefcat ,  quicunque  valor  tempori  t 
tribnatur  ;  deinde  vero  idem  euenire  debet  in  altero 
puncto  fixo  B  ,  fi  ponatur  xzzA.B~a.  Tertio,  ii 
tempus  t  ftatuarur  euanefcens ,  functio  y  ita  debet  efle 
comparata  ,  vt  figuram  cordae  primitus  impreffam  re 
ferat  Quarto  vero,  etiam  pofito  £  —  o,  motus  cordae 
omnino  euanefcere  debet ,  quod  eueniet ,  fi  ratio  difTe- 
rentialis  £7 ,  dum  abfcifia  x  vt  conftans  tra&atur ,  irr 
nihilum  abeat. 

7.  Dum  enim  in  his  excurfionibus  minimis  Ibnr- 
gitudo  cordae  non  mutari  aflumitur ,  longitudo  AM 
aequalis  cenfenda  eft  longitudini  AP~i  ,  vnde  du- 
rante  motu  pun&um  M  fecundum  ipfam  applicatam 
M  P  mouebitur ,  neque  extra  eam  vsquam  diuagabitur. 
Quare,  fi  ponamus  dyzz.pdx-\-qdt ,  puncltum  M  tem- 
pufculo  dt  per  fpatiolum  qdx  feretur,  cuius  motus  pro- 
pterea  celeritas,  a  reda  A  B  fecundum  dire&ionem  P  M 
recedens,  erit  ^q-jf  —  q.  Vtar  autem  hic  fignandi 
modo  iam  aliquoties  expofito  ,  et  pro  q  fcribam(^), 
vti  fimiliter  haec  fcriptio  (^~)  valorem  ipfius  p  ex- 
primit.  Vlterius  autem  iftum  fignandi  modum  hic 
extendi  conueniet ,  ita  vt ,  quia  p  —  (~~)  ttqzz(~~) 
pofuimus  ,  haec  formula  {-~r)  idem  fignificet  ,  quod 
(H)  »  et  (Uh^  idem,quod  (^);tum  vero  ffi)  idem, 
quod.  (£-■),  et(j^)  idem,quod  (^).     Cum  autem  ex 

naturai 


C  O  R  D  A  R  V  M.  251 

natura  difTerentiationis  fit  (||)^tf?)>  manifeftum  eft  ; 
hoc  fignandi  modo  fore  (^):n(^)  ,  quae  fcriptio- 
nis  (Imilitiido  valoris  vtriusque  acquaiitatem  comrnodis* 
fime  declarat. 

8-  Dum  autem  corda  in  fitu  A  MB  verfatnr,  fingula 
eius  elementa  in  motu  fuo  vel  accelerabuntur,  vel  retarda- 
buntur,  quae  motus  mutatio  a  vi  cordam  tendente  F  oritur, 
indeque  eft  definienda.  Hanc  vero  vim,  a  tenfione  re- 
fultantem-,  ex  figura  AMB,  qnam  corda  nunc  tenet  , 
determinari  oportet  ,  quo  in  negotio,  quamdiu  eandem 
cordae  figuram  A  M  B  contemplamur  ,  tcmpus  t  tan- 
quam  quantitatem  conftantem  tradtari  conneniet ,  vnde 
:in  calctilum  hic  tantum  formulae  (-g£)  et  (5^?)  ingre- 
dientur  ,  exclufis  reliqnis,  variabilitatem  temporis  t  in- 
voluentibus.  At  quia  corda  a  fitu  naturali  quam  mi- 
nime  diftat  ,  tenfio  cordae  in  fingulis,  elementis  immu- 
tata  manebit ,  eritque  adhuc  =z  E ,  vnde  pun&um  M, 
feu  potius  elementum  M  m,  tam  a  portione  antecedente 
M  A,  quam  a  fequente  /»B,  vim  =zF  fuftinebit ,  qua- 
rum  virium  direcfcio  tangentium  in  punctis  M  et  m  du- 
cendarum  directionem    fequetur. 

9.  Refoluantur  ergo  hae  vires  more  foiito ,  at* 
que  hinc,  ex  vi  F  fecundum  tangentem  in  M  antror- 
furn  vrgente ,  nafcetur  vis  fecundum  dire&ionem  MP 
follicitans  rF(d-J),  quia  elementum  curuae  ipfi  ele- 
memo  abfciffie  dx  aequale  reputatur.  Verum  ex  vi 
F  fecundum  tangentem  in  m  retrorfum  vrgente  nafce- 
tur    vis    fecundum    direclionem  contrariam  PM  follicr 

tans  =F(J^)  +  F^.(J2)  •  in  <\™  poftrema  differen- 

Ii  a  tU- 


25*  B  E    M  OTV 

tiatione  tempus  t  adhuc  vt  conftans  fpe&atur :    crit  cr- 

go  d.  (d£)~d.pzzdx{d&)  ideoque  d.  lfe:=rf*$fr 
£x  his  ergo  duabus  viribus  refultat  vis  elementum  cor- 
dae  M/w  ab  axe  AB  fecundum  directionem  PM  re- 
mouens  =:F <&(£**)>  fi  quidem  haec  expreflio  haberet 
valorem  pofitiuum ;  quia  autem  femper  valorem  negati- 
vum  fortitur %  haec  vis  perpetuo  cordam  ad  fitum  na- 
turalem  A  B  impellit ,  vti  ex  motus  natura  per  fe  eft 
manifeftum.  Vi  ergo  motrice,  cuius  actioni  fingula  cor- 
dae  ekmenta  funt  fubiecta,  inuenta  ,  facile  erit  ipfam 
motus  mutationem  elicere ,  vnde  totus  cordae  motus 
fubfecuturus  fponte  innotefcet. 

10.  Inuenta  ergo  vis  motrix  ¥dx(%&  )  diuida- 
tur  per  maffam  mouendam  Hb  x  ,  vt  obtincatur  ac* 
celeratio  =-$?£%  (*$)'  Cum  iam  celeritas  pundti  M. 
fit  —(^),  inde  acceleratio  fecundum  dire&ionem  PM 
quoque  definitur  per  2  ( /p ) ,  fecundum  eas  motus  le- 
ges ,  quas  alias  ftabiliui ,  vbi  celeritas  per  altitudinem 
ipfi  debitam  ,  tempus  vero  per  fpatium  ad  celeritatem 
applicatum  menfuratur.  Quod  fi  autem  tempus  potius 
in  minutis  fecundis  exprimere  velimus,  introducta  aiti- 
tudine  g,  ex  qua  graue  vno  minuto  lecundo  Iibere  de- 
fcendit ,  loco  litterae  t  poftremam  formulam  afficientis 
fcribi  oportet  2tVg,  ideoque  \gd£  loco  df,  ex  quo 
acceleratio  erit  —  2^(^r),  ac  littera  t  iam  numerum 
abfolutum  denotat ,  indicantcm ,  quot  minuta  fecunda  a 
motus  initio  iam  fint  praeterlapfa.  Gemina  ergo  ac- 
celerationis  formula  fequentem  praebebit  aequationem  : 


J-/4g\--™£*(4f»2\    fe       ,ddy  ,Fbbbg     ddy 


quae 


C  0  R  D  A  R  V  M.  253 

quac  totum  motum  ,  quo  corda  ciebitur ,    in  fe  com- 
ple&itur. 

1 1 .  Hic  primum  obferuandum  eft ,  quantitatem  z 
cfle  functionem  iplius  x  tantum,  atque  ex  data  cordae 
craffitie  inaequabiii  definiri ;  hac  ergo  functione  ,  tan- 
quam  cognita  fpe&ata  ,  quaeftio  mechanica  ad  hanc 
quaeftionem  mere  analyticam  eft  reuocata  ;  qua  quaeri- 
tur  ,  qualis  funftio  binarum  variabilium  x  et  t  pro  y 
fubititui  debeat ,  vt  conditiones  in  hac  aequatione  (  jpr  } 
e=  *a8a^  (^r)  contentae  adimpleantur  j  fiue  vt  haec 
analogia  locum  habeat: 

O  :  (Hfi  =  rtbhbg  :  Mzz. 
Facile  autem  pcrfpicitur,  huic  conditioni  infinitis  modis 
fatisfieri  pofle  ,  cx  quibus  deinceps  eos  eligi  oportet  7 
qui  fimul  proprietatibus  ante  commemoratis  fint  praedi- 
ti ;  fcilicet  vt  femper  prodeat  y  zz  o,  fiue  ponatur  xz.o , 
fiue  xzza  ,  quemcunque  valorem  tempus  t  obtinuerit. 
Deinde  vt  ,  pofito  tempore  tzzo,  aequatio  inter  x  et 
y  eam  ipfam  curuam  fit  exhibitura,  quae  primum  cor- 
dae  fuerit  inducl».  Tum  vero,  vt,  pofito  tzzo>  valos 
quantitatis  {j{)  euanefcat  pro  qualibet  ablcilfa  x* 

12.  Vt  igitur  foiutio  haa  cunftas  determinatio- 
nes  fufcipere  poiiit  ,  facile  imelligitur  ,  aequationem  in- 
ventam  (  ^)  zz-2-—^-  (^)  generaliifime  conitrui 
oportere  ,  lta  vt  pro  y  expreifio  generaliifima  elicia- 
tur  ,  in  qua  omnes  omnino  valore*,  huic  aequationi  fa- 
tbfkientes,  fint  contentae  ;  cuiusmodi  folutionem  dedi 
pro  cafu  cordarum  aequabiliter  craffarum  f    quo    cordae 

li  3  diame- 


454  D  E     M  O  T  V 

diameter  z  erit  conftans  zzzb,  totusque  ideo  coefficiens 
*~K*z^  quantitati  conftanti  aequalis.  Oftendi  enim  pro 
hoc  cafu,  fi  breuitatis  gratia  ponatur  2—  r-r^  tz  cc  , 
huic  aequationi  (d-£r)  zz  cc{d£j)  generaliffime  fatisfieri 
per  hanc  formam  y  zz®{x  ~\-ct)-+- \{/{x-ct)  ,  vbi 
$  et  \\s  funt  llgna  ,  funcliones  quascunque  quantitatum 
x-\-ct  et  x-ct  indicantia.  Pro  noftro  ergo  cafu 
cordarum  inaequaliter  craflarum  fimilis  fbrma  generalifli- 
ma  defideratur  ,  qnae  pari  modo  aequationem  differen- 
tio-dirTerentialem  (^f)— i^*(^}  exhauriat ;  hu- 
iusmodi  autem  folutionem  ob  defectum  analyfeos  vix 
fperare  licet. 

13«  Qiiodfi  tantum  fundionem  particularem  erue- 
rimus,  quae  loco  y  fubftituta,  aequationi  fatisfaciat  {ffiif 
zzz  "Mzzg  {d*i))  ea  fpeciem  quandam  vibrationum,  qua~ 
rum  corda  erit  capax  ,  definiet ,  fiquidtm  ea  fun&io 
ita  fuerit  comparata  ,  vt,  fiue  ponatur  xzzo,  fiue  xzz  a, 
valor  ipfius  y  prodeat  euanefcens ,  quantumcunque  tem- 
pus  /  iam  fuerit  elapfum.  Ac  fi  haec  conditio  locum 
habeat,  patebit,  cuiusmodi  figura  cordae  primitus  tribui 
debeat ,  vt  ad  hunc  motum  fit  accommodata.  Tales 
igitur  foJutiones  particulares  vfu  non  carebunt  ,  cum 
femper  certam  quandim  fpeciem  vibrationum  nobis  de- 
clarent ,  quae  fub  certis  conditionibus  in  motu  cordae 
locum  habere  queant ;  etiamfi  folutio  problematis  ,  irr 
genere  propofiti ,  quo  figura  cordae  initialis  eft  prae< 
fcripta  ,  adhuc  maneat  abfcondita.  Ob  defedum  ergo 
folutionis  generalis  in  huiusmodi  folutionibus  particulari- 
bus  acquiefcere  debebimus,    querrudmodum  etiam    pro 

cafu 


C  0  R  D  A  R  V  M.  255 

eafu  vniformiter  craflarum  folutio  Tayhri  ,  etfi  fuerat 
particularis ,  non  parum  motum  huiusmodi  cordarum 
iilultrauit >  ac  tandem  etiam  ad  folutionem  generalem 
perduxit. 

14.  Multo  minus  igitur  pro  cafu  cordarum  inae~ 
qualiter  vtcunque  crafllirum,  folutionem  completam  an- 
te  expectare  poterimus  ,  quam  plures  folutiones  partu 
culares  fedulo  euoluerimus.  Ac  primum  quidem  ani- 
maduerto  ,  ftatim  ac  duae  pluresue  folutiones  particula- 
res  fnerint  inuentae  ,  ex  iis  facillime  infinitas  alias  per 
compofitionem  erui  poffe.  Si  enim  P,  Q,  R  fint  eius- 
modi  functiones  quantitatum  x  et  t ,  quarum  quaelibet 
loco  j  fubftituta  aequationi  inuentae  fatisfaciat ,  tum 
qiiaeuis  hatum  aequationum  yzzV,  yzz.Q,  yzziK  cer- 
tam  quandam  fpeciem  vibrationum  exprimet  ,  quarum 
cuique  certus  quidam  fonus  conueniet.  Iam  vero  ma- 
nifeftum  eft  ,  fi  fingulae  aeqnationes  iftae  feorfim  quae- 
fito  fatisfaciant ,  tum  etiam  aequationem  ex  illis  vtcun- 
que  compofitam ■j/z=aP-f-  (3Q+Y  R  quaefito  aeque 
effe  fatisfaduram  •,.  vnde  hoc  nancifcimur  eximium 
Theorema  Phyfico-Muficum  ,  a  Celeb.  Bernoullio  pro- 
latum  ,  quod  quos  fonos  corda  feorfim  edere  valeat  , 
eosdem  quoque  fimui  edere  poflit. 

15.  Ponamus  breuitatis  gratia  ^-^-^zzzss,  vt  ss 
denotet  funftionem  datam  abfciffae  i,  et  cardo  quaeftio- 
nis  in  hac  aequatione  (j^)zzl  ss(j^)  refoluenda  ver- 
fabitur  ,  ctiius  quidem  conftructionem  generalem  ,  fi  ss 
effet  quantitas  conftans ,  iam  nouimus  contentam  fore 
in  hac  formula  : 

yzzi®(x-i-st)-\~\\;(x-st)  ve~ 


*$6  D  E    M  O  T  V 

verum  quia  /  eft  quantitas  varubilis,  haec  formula  non 
amplius  conditioni  praefcnptae  (atibfacit  Optrae  pre- 
tium  igitur  erit  ,  inudtigare  ,  quibu>nam  cafipus  fimiles 
formulae  generales  locum  habere  queaat  \  huuc  in  fi- 
uem  fingamus  huiusmodi    valorcm 

y  —  v  O  u  , 
vbi  v  et  u  fint  functiones  qnaecunqne  ipfarum  t  et  x% 
etiamfi    prior    v   fine  detrimento  amplituainis  tanquam 
fun&io   folius    x  fpectari  poiht.       Vtar  autem  in  difle- 
rentiatione  his  fignis : 

d.  Ouzzdu.  <&'u  et  d.  ®'uzzdu.  Q>"u. 

16.  Cum  igitur  differentiando  fit 

d?)  =  (£)<D«+-*(£)<l>'«  et 
(g3=<2i)0«+.«$)0'8,  erit 

(%  -  @h*  «+ .  (f?xft)  ®'« +i<£;©'»+*(?,),<i>''« 

(g)  =  (£)©«+  .  (£)&)<D'«+«(0  <D'»f«&)'0"« 
atque,  his  vaionbus  fubftitutis,  in  aequatione  (^)-Jj(lit ) 
membra  ,  quodlibet  functionis  genus  contincntia,  (eorlim 
aequentur,  vnde  fequentes  aequationes  obtinebuntur: 

II.  «(fe#)-f-*(#):=««(£)(n)+"*(i$) 

quarum  poftrema  ftatim  praebet  (zj~)  =  Hh  i  (*  £) ,  cui 
fatisfit  ponendo  uzzt-^J—.  Satisfaceret  quidem  etiam 
funclio  quaecunque  formulae  f-f-  /t  i  fed  hinc  am- 
plitudo  fbrmuhe  aifumtae  <DiV  non  extenderetur. 

17* 


C  O  R  D  A  RV  M.  *57 

17.  Ponamus  ergo  uzz-t^  j  -*  ,    quae  formula 
cft  determinata  ob  i  functionem  ipfius  x  tantum  ,  erit- 

que  (dT)— r?  et  (55)  =  ±f>  porroque  («n*  )  =  o, 
et  (j^r)  £St  <£  7^  ;  qui  valores  in  fecunda  aequa- 
tione  fubftituti  praebent : 

,dv,  ,  ,dv     ' —  vdt 


2 


dl)~A-  2S(dZ)  +    dx 


r        /dv.  ,        /dv.    — —  vds 

feu  (r?)  =  ±^(d^)  -h^c 

Hinc  vlterius  more  noftro  difterentiando  confequimur: 

ddv   _       .         .ddv  \    ■ ds      d  v 

\dt2) ±S{dxdt)   -+"   tdxUt)    et 

,dd  v  _,     d_s  ,d_V\     i^     1  ddv  v  — -   d±  /d_v    — —  vdd  t 

(dtdx) —  31  dx  UxJ  ±  S\dx*  )  ~T  2dx  \dx)  "7"  2  d** 

Tnde  fiet : 

^dd-o  s  d?  /du     ,       e/^iy\       svddt       s_d_s  ,dv\    ,    vds* 

\dir)~--T"7Ix  Ux)-r  J^dW^j  dx*  ~~  2dx  [dxjnr^t, 
qul  valor  ,  cum    per  primam  aequationem  aequalis  efle 

debeat  ipfi  ss{j^)  ,  orietur : 

s  v  d  d  s  v  d  s2  r  ,,  ,  % 

~  TcH^   ~r- +dx*~°->  feu   *sdds~ds  , 
cuius  integrale  primum  eft  ^  rr.j,    porroque  Acrp 
-\-zVas,    ficque  obtinebimus  j— -^y— . 

18.  En  ergo  cafum  eximium  ,  pro  quo  folutio* 
nem  generalem  exhibere  poterimus ,  qui  toties  locum 
habet ,  quoties  diameter  craftitiei  cordae  z  ita  pendeat 
ab  abfcifla  x,  vt  fit  s  n  (-fe  "^  *  x-  ;  feu  quando  fuerit 
'K^1  —  {^jj--  ,  ideoque  ipfe  diameter  craftitiei  cor- 
dae  sr,^  V  ^.  Cum  autem  iam  fit  iq  (^^-8 , 
erit  «=*T„ii^)+w;  et  ob  fe^^f^  pro 
valore  <y  habebimus : 

2ut)-±      7 (d^)-i 1 V 

Tom .  IX .  Nou.  Comm.  K  fc  Fona- 


a58  D  E    M  O  T  V 


,iv 


Ponamus  ergo,  v  tantum  ab  x  pendere,  vtfit^j  —  a, 
efieque  opoitet  {k-+-nx)dv  zz  uvdx,  feu  vzaKk+nx). 
Quare  cum  pro  u  dup'icem  valorem  elicuerimus,  et  vtrius- 
que  functioncm  quamcunque  capere  liceat ,  exinde  ob* 
tinebitur  pro  y  fequens  valor  generalis  ; 

jzi{k+ n  *)<D(f +a+  Mfel.x^  +(^^+g-«Sjfe) ) 

19.  Quo  hunc  cafum  facilius  applicare  queamus, 
ponamus,    diametrum    craffitiei  cordae  in  A  efle  zzb^ 

in  alio  autem  quocunque  loco  P  efle  z  zz    ■      ,*x\* 

zz  j££ Vs?  »  ita  vt  *n  aIter0  termino  B  diameter  cot- 
dae  futurus  fit  s~(— ^*>  vbi  n  vcl  numerum  pofiti- 
vurn  quemcunque  ,  vtl  fraftionern  quamcunque  vnitatc 
minorem  negatiuam  afiumere  licet.  Quodfi  iam  haec 
forma  comparetur  cum  praecedente  z  zz  ^jhdfi  V  £  , 
habebimus  hzza  et  fzz  %&  V  /y  ~  77^.  In  For- 
mula  autem  ante  inuenta  ponamus  azz  —  „^,  et  P^sii 
quod  fine  detrimento  vniuerfalitatis  fieri  potcft  ,  ficque 
obtinebimus  pro  motu  cordae  deterrninando  fequentenfc 
aequationem  generaJem  : 

y  z  {a+nx)  <D  (t  +  e^^Hf*H»frir  ('-raSSfifoJ 

quam  etiam  hoc  modo  expnmere  licetr 

ao.  ln  hac  cxpreffione  itaque  M  deaotat  pon- 
dus  cordae,  aequaliter  craflae  ,  longitudinis  zzb,  cuius 
craflities  aequnlis  eft  ei,  quam  noftra  corda  habet  ki  ter- 
mino  A  \  at  F  dcnotai  vim ,  qua  corda  'eft  tenfa  \  (J) 

autem 


CORDARVM.  s59 

autem  ct  ¥  funt  figna  ,  quibus  fun&iones  quaecunque 
indicantur.  Has  igitur  ita  comparatas  efle  oportet,  vt, 
fwe  ponatur  #~o,fiue  xzza  ,  valor  ipfius  j  fempec 
euanefcat -,  vnde  fit : 

XI.  O^  +  ^^  +  ^^-zV^^o 
Cum  deinde,  pofito  J~o,  effe  debeat  (^)zzo  ,  quid- 
quid  fit  x,  neceffe  eft  ,   vt  fit  : 

III.  *'(.^)-¥'(.:^x)  =  o 
vnde  patet,  figna  <p'  et  '¥"',  ideoque  et  (p  et"^,  fimi- 
les  functiones  denotare  debere. 

ai.  Cum  igitur  funftio    *P    fimilis    efte    debeat 
fun&ioni  $  >  haec  porro  eius  naturae  efie  debet,  vt    fit 
tam  $«+-$(— «)zzo,quam 

<!K^+tO+<K-^--«)-o  ; 

imde,  cum  omnis  fun&io  per  lineam  curuam  reprae(en« 
tari  pofiit ,  cuius  applicatae  exhibeant  iftas  func"tiones 
abfciflis  refpondentes  ,  manifeftum  eft  ,  pro  noftro  cafu 
eiusmodi  requiri  lineam  curuam  ,  quae  circa  initium 
abfciflarum  habeat  ramos  alternatim  aequales ,  ita  vt, 
pofita  abfcifia  negatiua  ,  applicata  quoque  prodeat  ne- 
gatiua  ;  tum  vero,  fumto  in  axe  interuallo  rr,-^,  vt 
circa  hoc  punclum  iterum  dentur  rami  vtrinque  alter- 
natim  aequales ,  ita  vt,  fi  alter  fupra  axem  extendatur, 
alter  infra  axem  iaceat.  Quoniam  igitur  huiusmodi 
puncla  ,  circa  quae  exiftunt  rami  alternatim  aequales  > 
centra  lineae  curuae  appellare  licet ,  patet,  tam  initium 

Kk  a  abfcifla* 


n6o  D  E    M  0  T  V 

abfcifiarum  ipfum  ,  quam  aliud  pun&um  in  axe  ,  inde 
interuallo  z^rn  remotum  ,  centri  natura  praedita  efTe 
oportere.  Hinc  autem  fequitur ,  infinita  alia  qtioque 
dari  centra  in  axe  fita,  quae  a  fe  inuicem  iateruallo  -—k 
fint  remota. 
Tab.  II.  22t  jjaec   igitur   curua  7    quam    determinatricem 

morus  vocabo  ,  ita  erit  formata ,  vri  in  figura  2.  re> 
praefentatur.  Erit  fciiicet  anguiformis  ,  infinitos  habens 
plexus  (3#,  ab,  ba  inter  fe  fimiles  et  aequales,.  ita  vt 
circa  punfta  (3,  a,  by  a  rami  alternatim  fint  aequaies , 
atque  horum  pundtorum  interualla  fint  abzz:pa  —  ba. 
~r^rn-  Si  iam  horum  pundorum  quodpiam  a  pro 
ablciffarum  initio  affumatur ,  capiaturque  abfcifla  quae- 
cunque  aq~u>  erit  applicata  qnz^^u,  feu  exhibe- 
bit  eiusmodi  fundionem  ipfius  ut  qualis  ad  motus  dc- 
terminationem  requiritur.  Quaecunque  ergo  curua  hu- 
ius  formae  fuerit  defcripta  ,  ea  femper  fpeciem  quan< 
dam  motus  vibratorii  ,  quem  corda  fufcipere  poteft , 
defiaiet,  et  cum  innumerabiles  curuae  huius  formae 
diuerfae  defcribi  queant ,  innumerabiles  quoque  rnotus 
vibratorii  lpecies  inde  determinabuntur ,  quae  ratione 
curuaturae  ,  quam  corda  fingulis  momentis  induet,  erunt 
quidem  inter  fe  diuerfae  ;  verum  fi  ipfe  motus  vibra- 
torius  eiusque  periodi  fpeclientiir,  omnes  admirabili  mo- 
do  inter  fe  confentient  ,  nifr  forte  certis  cafibus  eadem 
corda  eodem  tempore,  vel  duplo,  vel  triplo,  vel  quadru- 
plo  etc.  plures  vibrationes  fit  editura. 

23.  Ad  certam  autem  motus  fpeciem  conftituen- 
dam  non  opus  eft,    vt   ifta  curua  determinatrix  fecun* 

dum 


C  0  R  D  A  R  V  M.  26 £ 

dnm  legem  continuitatis  fit  defcripta  ,  vt  eius  natura 
aequatione  analytica  comprehendi  queat  ;  fed  ad  huuc 
vfum  aeque  erit  accommodata ,  etiamfi  vtcunqne  veluti 
libero  manus  tracftu  fuerit  delineata ,  neque  eius  partes 
per  legem  continuitatis  inter  fe  conneftantur  ,  dummo- 
do  figuram  habeat  praefcnptam.  Ita  pro  lubitu  fi  fu- 
per  axe  intra  pun&a  a  et  b  curua  qnaecunque,  fiue  con- 
tinua ,  fiue  non  continua,  fuerit  defcripta  ,  eiusdem  cur- 
vae  defcriptio  vtrinque  ad  eundem  axem  infinitum  repe- 
tatur  r  ita  vt  alternis  vicibus  fupra  et  infra  axem  deli- 
neetur,  et  in  fmgulis  pundlis  a>  b,  a,  (3  pares  curuae 
anb  termini  inuicem  iungantur.  Hoc  igitur  modo 
femper  curua  ad  motum  quendam  cordae  determinan- 
dum  apta  obtinebitur ,  vbi  notandum  eft  ,  etiamfi  pro 
curua  anb  linea  algebraica  ,  veluti  arcus  circuli ,  fuerit 
affumta  ,  quae  naturalem  habeat  continuationem  ,  hac 
tamen  penitus  reiecta  continuationem  modo  deieriptc* 
inftitui  oportere. 

•  24.    Interim    tamen    quoque    huiusmodi    curuae 

determinatrices  continuae  exhiberi  poffunt,  quae  fecun- 
dum  totam  extenfionem  vna  aequatione  comprehen- 
dantur.  Tales  autem  curuae  ,  vti  per  fe  eft  manife- 
ftum ,  inter  algebraicas  non  reperiuntur ,  fed  ex  ordine 
tranfcendentium  funt  petendae  ,  ex  quo  quidem  linea 
fmuurn ,  feu  trochois  elongata,  inprimis  eft  notanda  7 
quae  pro  noftro  inftituto  ,  fi  ponamus  aq  —  u  et  qn~vy 
hanc  praebet  aequationem  vznctCm.'*-  ■,^4"w)",  quin  etiam 
aequatio  magis  generalis  fequens  aeque  eft    idonea  : 

Kkj  fed 


26z  D  E    M  0  T  V 

fed  hae  curuae  etiamfi  continuae  prae  non  conrinuis 
in  hoc  negotio  nullam  habent  praerogatiuam  ,  atque  ia 
hoc  vis  noftrae  folutionis  generalis  potiflimum  confiftit: 
quod  eo  magis  eft  notatu  dignum  ,  quod  hoc  modo 
calculum  adeo  ad  curuas  non  -  continuas  et  per  calcu- 
Jum  non  explicabiles  accommodauerim  ,  quod  nefcio 
an  vlio  alio  cafu  adhuc  fit  praeftitum. 

25.  Defcripta  autem  huiusmodi  curua  quacunque, 

accuratius  inueftigemus ,  quomodo  ex  ea  motus   cordac 

Tab.  11.  definiri  queat.  Totum  autem  negotium  huc  redit,  vt  pro 

Fig.  i.et  corda  AMB  ad  datum   tempus  /,   cuius   expreflio   ad 

2*        minutum  fecundum  tanquam  vnitatem    refertur ,    appli- 

cata  PMzry,  datae  abfciffae  PlVzzzx  conueniens,  deter- 

minetur.      Hunc  in  finem  in  curua  determinatrice    ca- 

piantur  binae  abfcifiae 

*P  —  a-4-7i>c^f  y      M       >ec    aa —  o-+-n*       *r       Ji 

notatisque  applicatis  pm  et  #«,erit 

y  zzl  m  [a  -b-  n  x  ).p  m  -+-  m  ( a  -+-  »* ).  qn 
Vbi  coefficiens  w  tam  paruus  accipi  debet ,  vt  applica- , 
ta  ?  M  fiat  quam  minima.      Hinc    enim  orietur  ,    vt 
ante  inuenimus, 

jzmfc+nx)®  (~r^tV'^)  +m^nx)0(a-^rx-tV^). 
Cum  igitur  hinc  ad  quoduis  tempus  ftatus  et  figura 
cordae  determinetur ,  eius  quoque  motus  innotefcet ,  fi, 
pofita  x  conftante,  tantum  tempus  t  variabile  ftatuatur. 
2.6.  Si  ponamus  tempus  /mo,  inueniemus  cor« 
dae  figuram  initialem  ,  ex  qua  motus  hoc  modo  de- 
terminatus  oriatur.  Habebimus  ergo  pro  hac  figura  ini- 
tiali   iftam  aequationem  : 

f'±=*  «{«  +  &}&  j^s» 

vbi 


vbi  manifeftum  eft,  curuam  determinatricem  ita  aflfumi 
pofle  ,  vt  data  curua  initialis  obtineatur.  Si  enim  y 
denotet  appUcatam  curuae  initialis  cordae  tributae ,  quae 
a-bfciffae  x  refpondeat,  in  curua  determimtrice   abfciflae 

aozza-~z  refpondebit  applicata  o/zr^-^r^^^Tr 
Quo  hinc  conftru&io  curuae  determinatricis  fimplicior 
euadat ,  ponimus  a«/n|,  vt  pro  curua  initiali  cordae 
habeamus  ^=:(  i  -f-  v)$a"q£«»  ac  tum  procuruade^ 
terminatrice ,  fumta  abfcifla  <go— ff"<ie- ,  applicata  re- 
fponiens  effe  debet  o/rr—2^  ;  vnde,  data  cordae 
figura  mitiaH,  curua  determinatnx  fkile  conftruetur  ,  ex 
qua  deinceps  totus  cordae  motus  expedite  definietur. 

27.  Quoniam  igitur  hunc  cafum  cordae  inaequa- 
liter  craffae  aeque  generaliter  refolucre  licet  f  atque 
cafum  cordarum  vniformiter  craflarnm  ;  hicque  adeo 
cafus  in  illo  tanquam  fpecies  contineatur ,  ex  quo  quip- 
pe  oritur  ,  fi  numerus  n ,  qui  inaequalitarem  craffitiei 
continet ,  euanefcat  :  operae  certe  pretium  erit,  vt  iftum 
eafum  omni  diligentia  articulatim  exponamus.  Primum 
igitur  cordas  iftas  inaequahter  craffas ,  ad  quas  hic  ca- 
fus  eft  accommodatus ,  dilucidc  defcribam  ,  vt  intelli- 
gatur ,  quomodo  cordae  inaequaliter  craffae  exhibcri 
queant ,  quarum  motus  aeque  generaliter  definiri  poflit, 
atque  cordarum  vnitormiter  craffarum.  Deinde  vero 
poft^uam  huiusmodi  corda  ad  figiram  quamcunque  fue- 
rit  diduch  ,  indeque  fubito  dimirtatur,  motum,  quem 
dt  profecutura,  d.terminabo.  Atque  hic  quidem  ex  iam 
expofuis  perfpicitur  ,  motum  fore  femper  fatis  regula? 
rem ,  omninoque  firailem  ei ,  quo  cordae    vniformiter 

craflae 


264.  D  E     M  0  T  V 

crafTae  agitantur  ,  nifi  quod  tcmpora  vibrationum  aliam 
rationem  longitudinis  cordarum  fequantur. 

Delcriptio  cordarum ,  ad  hunc  cafum 
aptarum. 

28.  Ad  huiusmodi  igitur  motum  regularem  eden- 
dum  nonnifi  certa  fpecies  cordarum  inaequalitcr  cralTarum 
eft  idorea,  quam  idcirco  primum  aceurate  deicribi  con- 
veniet.  Cordam  ergo  primum  in  directum  extenfam 
Fig.  3-  APBO  contemplemur  ,  cuius  in  initio  A  craffitiei  dia- 
meter  fit  ka~b  ,  tum  vero  in  alio  loco  quocunque 
P,  pofito  interuallo  APzr*  ,    diameter    craflitiei  fupra 

b 

ita  eft  determinata,  vt  fit  VpTzzzzz- — —  — .i.   Neau- 

tem  craftities  a  longitudine  cordae  vibrantis  a  ,  quippe 
quae  pro  eadem  corda  vtcunque  variari  poteft  ,  pende- 
re  videatur,  ponamus  \~\  feu  «zf,  vt  fit  Vp~zz:{-qr%-* 
vbi  c  eft  quantitas  conftans  .,  non  a  longitudine  cordae 
vibrantis  pendens.  Sin  autem  alter  terminus  conftitua- 
tur  in  B,  vt  fit  ABzrd  ,  altero  termino  conftanter  in 
puncto  A  fumto,  erit  diameter  craflitiei  ibi  Bbz~^~-* 

29.  Linea  ergo  curua  apbo  ,  craftitiem  cordae 
rcferens ,  crit  hyperbola  fecundi  ordinis  ,  quae  autem , 
fi  variatio  craftitiei  fuerit  valde  parua  .,  a  linea  recta 
vix  difcrepabit.  Euenit  hoc,  quando  quantitas  conftans  c 
pne  longitudine  cordae  fuerit  vehementer  magna  ;  tum 
enim  erit  proxime  z~zb{i  -—)-,  ficque  huc  referri  po- 
terunt  cordae,  quarum  craflitics  vniformiter  decrefcit  dum- 

modo 


C  O  R  D  A  R  V  M.  26$ 

modo  decrementum  totum  fuerit  minimum.  Sin  ati- 
tem  id  fit  notabile,  curuatura  lineae  apbo  negligi  non 
poteft.  Ponamus  enim  in  B  diametrum  cralTitiei  Bbzd, 
erit  i+fnVj,  et  ^r-^^j    ,  vnde  pro  loco  quo 

cunque  P  fiet  ?p-«=[^^^\  feu  Pp=(:u^+5KvB&7- 
Hinc  ergo  ex  data  craflitie  cordae,  in  vtroque  termino 
A  et  B,  cognofcitur  crafTities  in  quouis  loco  medio  P, 
vt  corda  ad  praefentem  vibrationum  cnfum  fiat  ac- 
commodata.  In  hoc  enim  confifut  indoles  eius  corda- 
rum  inaequaliter  craflfarum  fpeciei  ,  cuins  motus  ex  fu- 
perioribus  formuiis  in  genere  definiri  potell. 

30.  Materia  vero,  ex  qua  corda  foerit  confecla ,  eius> 
pondus  cotfftituit,  quam  in  calculo  ita  aflumfi,  vt  cordae, 
ex  eadem  materia  confeetae  ,  vnttbrmiter  crafiae,  cuius 
craffitiei  diameter  vtique  foret  -Aazzb,  etlongitudo  z.  h9 
pondus  erTct  futurum  =r  M.  Facta  hac  hypothefi,  vi- 
-deamus,  quantum  futurum  fit  pondus  portionis  cuiuscun- 
que  noftrae  cordae  A  P.  Cum  igitur,  pofita  longitudi- 
nae  APrr^,  fit  Pp  —  s  ~  ,-3^^  ,  erit    pondus    partis 

vt  hoc  pondus  fit  ~M^^E~ ^.  Quodfi  ergo  c 
prae  x  fiierit  quantitas  maxima  ,  erit  hoc  pondus  proxi- 
me  zz.  -j*{\  -~).  Ha&enus  qnidem  aflumfi ,  cordam 
ex  materia  vniformi  efle  du&am  ,  fin  autem  materia 
non  fuerit  homogenea  ,  lex  craflmei  praefcripta  ita  de- 
!bet  immutari  ,  vt,  quo  leuior  fuerit  materia  ,  ibi  crafli- 
ties  ip(a,  feu  quadratum  eius  diametri,  in  eadem  ratione 
vkra  legem  datam  augeatur. 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  L 1  Proble- 


266  D  E     M  0  T  V 

Problema. 

Tab.  II.  31-  Si  i<tM  t*fy  corda  ,  quakm  ratione  crafjitiei 

Fig.  4.  drfcripftmus ,  primum  in  termino  A,  deinde  in  alio  quo- 
cunque  loco  B  figatur  ,  et  a  vi  quacunque,  quae  ponderi 
F  aequipolleat  ,  tendatur  :  tum  vero  de  Juo  fitu  naturali 
retlo  AB  ad  figuram  quamcunque  ALB  quam  minime 
a  rccla  A  B  recedentem  detorqueatur  ,  fubitoque  in  omni- 
bus  punctls  remittatur  ;  quaeritur  motus ,  quo  haec  cor- 
da  deinceps  agitabitur. 

Djtur  ergo  primo  longitudo  cordae  ABzr^,  de- 
inde  euis  craflities  in  A,  cuius  diameter  fit  :=:£,  tertio 
pro  quouis  loco  intermedio  P,  exiftente  APzzx,  cras- 
fitiei  diameter  z~j^^  ,  feu  datur  longitudo  c .  Quar- 
to  conftat ,  fi  corda  hjberetur  vnformiter  crafla  longi- 
tudinis  ~  h  ,  cuius  diameter  craflitiei  vbique  efifet  zz  bt 
eius  pondus  fore  zr.  M.  Quinto  denique  datur  linea 
ALB,  ideoque  pro  quauis  abfcifTi  APnx  applicati 
refpondens  PL  :  neque  vero  opus  eft,  vt  haec  linea 
A  L  B  per  aequationem  detur  ,  fed  lufficit ,  vt  fit  de- 
fcripta  ,    quocunque  demum  modo  hoc    fuerit    factum. 

Solutio. 

32.  Iam  ante  omnia  ex  data  cordae  figura  ini- 
tiali  ALB  conftrui  debet  linea  curna  determinutrix  mo- 
tus  vinratorii ,  cuius  conflrudio,  per  praecepta  fupra  (26) 
tradita  ,  ita  eft  inftituenda  :  Ob  »~  ~  ,  fuper  axe 
et  4.  ^^—  a^7  9  pro  abfcifla  APrr^,  capiatur  abfcifla 
apzz  jqp-jj-  ,  et  in  p  erigatur  applicata  plzzc~;  \  feu 

adiun- 


CORDARVM  267 

adiun&a  cordae  AB  u&a  AC  — r  ,  conftruantur    hae 
proportiones : 

CP:  CA~AP:*/> 
et  CP:CAzrPL:/>/ 
Cum  iam  hoc  triodo  fuerit  defcripta  curua  a!b  ,  eadem 
vtrinque  ad  axem  ab  productum  repetatur  ,  alternatim 
fupra  et  infra  axem  defcribenda  ,  vti  figura  oftendit , 
ita  vt  in  fingulis  iuncturis  a  ,  b  ,  a  ,  (3  cognomines 
curuae  alb  termini  inuicem  iungantur  Atque  hoc 
paclo  habebitur  curua  detcrminatrix ,  ex  qua  motus 
cordae  quaefitus  definiri  pottrit. 

33.  Conftru&a  autem  curua  determinatrice  ,  ex 
ca  motus  cordae  ira  definitur  ,  vt  ad  quoduis  tempus 
a  momento  dimiflionis  elapfum  cordae  figura  afiigne- 
tur.  Sit  enim  tempus  hoc  zzt  min.  fec  et  pro 
puncto  M  inueniendo  ,  in  quo  iam  punctum  L  verfa- 
bitur,  abfcifiae  APzta:  in  curua  determinatiice  capia- 
tur  abfcilTa  refpondens  ap^-~-xi  et  circa  pundlum  p 
vtrinque  capiantur  fpatia  aequalia  pq  et  pr  tempori 
proportionalia  ,  ita  vt  fit 

et  cum  in  punetis  q  et  r  applicatae  curuae  determina- 
tricis  fint : 

rn  -ox^-t-^y^) 

©b  mzz^  et  nz=.a~  in  §.  2.5  ,  habebitur 

VM=zl(i+x-)(qm-t~rn). 

Ll  2  Hoc- 


258  D  E     M  O  T  V 

Hfocque  modo  fitu* ,    quem    tota  corda  poft  tempus  £ 
habebit  ,  definietur. 

34..  Ponamus  iam  tantum  elaplum  efle  tempus  tt 
Vt  fit 

atque  interualla  pqf  et  pr'  vtrinque  a  puncto  p  capi- 
endn  erunt  aequalia  internallo  ab  ,  ficque  in  curuis  fi- 
milibus  adiacentibus  @m'a,  bn1  a  abfcilTae  $q'  et  br' 
aequales  erunt  ablcilTac  ap  ;  vnde  ob  applicatas  q*  rn' 
et.  rV  aequales ,  locus  pun&i  cordae  L  nunc  cadet 
infra  axem  AB  ad  diftantiam  zr^i-l-^^V-HrV) 
zti+j-)////.  Si  vlterius  tempus  infinite  paruum 
dt  fluat  ,  appiicatae  q'mf  et  ff%'  infinite  parum  vlte- 
rius  a  pundo  p  remoueri  debent  \  cum  igitnr ,  qnan* 
tum  illa  diminuitur ,  haec  tantundem  augeatur,  ob  tan- 
gentes  in  punctis  mf  et  nf  ad  axem  aequaliter  inclina- 
tas ,  diftantia  puncti  L  cordae  per  hoc  momentum  ab 
axe  non  mntatur ,  ficque  tota  corda  ad  ftatum  quietis 
erit  redadla  ,  ita  vt  iam  in  maxima  excurfione  infra 
axem,  reperiatur.  Interea  temporis  igitur  corda  vnam 
vibrationem  confeciflfe  eft  cenfenda  :  eritque  idcirco  tem* 
pus  vnius  vibrationis  cordae  tzz c-~rj  V ^jj|  min.  Cqc. 
vbi  g  denotat  altitudinem  fere  15  pedum  ,  per  quami 
graue  vno  minuto  fecundo  libere  defcendit. 

35;  Sin  autem  tempus  ab  initio  elapfum  t  tanturrv 
fttaamas,  vt  fiat  tV^-^Jeut^Vj^  .. 
ex.  conftru&ione  manifefto  liquet  cordae  pundum  L-ite- 

tom? 


CORDARVM.  sfp 

mm  in  locum  primitiuum  L  pcruenire  ,  ibique  quiete 
frui  momentanea  ;  vnde  corda  interea  duas  vibrationes 
abloluiue  eft  exiftimanda :  deinceps  vero  motus  cordae 
iterum  vti  ab  initio  fequetur  ,  ex  quo  fufTkiet,  mo- 
tum  cordae  ad  hoc  vsque  momentum  determinauiiTe. 
Hinc  igitur  perfpicuum  eft ,    tempus  vniuscuiusque    vi- 

brationis  effe  ~ ^Ta^ 7f¥l  >  qu°d  er§°  noQ  amplius, 
vti  in  cordis  vniformiter  craflis  vfu  venit  ,  longitudini 
cordae  a  eft  proportionale  ,  manente  fcilicet  eadem 
tenfione ;  fed  iam  rationem  fequitur  formulae  ~~. 
Vnde  fi  tempus  vibrationis  duplo  longius  fieri  debeat , 
cordae  longitudo  a  pun&o  A  tanta  fumi  debebit ,  vt 
fit  ■—  \?l .  ac  ft  tempus  vibrationis  n  vicibus  maius 
elfe  debeat,  cordae  longitudinem  eiTe  oportet  ~-c*°Ji)a. 
Patet  ergo,  fonum  huiusmodi  cordarum  non  vltra  datum 
gradum  deprimi  porTe  ,  nam  fi  longitudo  cordae  etiam 
jnfinita  ftatuatur  ,  tempjs  vnius  vibrationis  etiam  nunc 
erit  finitum  z^cVj^^ 

3<S.  Semper  autem  minuenda  cordae  AB  longi- 
tudine  effici  poteft,  vt  tempus  vibrationis  ad  medieta- 
tem  redueattir ,  fonusque  vno  interuallo  diapafon  ele- 
vetur :  eneniet  hoc,  fi  corda  praeter  A  etiam  in  E  fi- 
gatur ,  vt  fit  A  E-zz  ~~ra.  Sin  antem  tempus  vibra- 
tionis  ad  trientem  reduci  debeat ,  longitudo  cordae  erit 
^Vc^f-Ta »  f*n  ac*  quadrantem,  erit  m4C^ia,  et  ita  por- 
ro.  Si  igitur  cordae  ab  initio  taiis  fignra  fuerit  im- 
pretTa,  vt  pnndlum  E  in  fitu  naturali  relinquatur  ,  inde- 
qne    curua^  determinatrix    obtinea.t    interualla    pkxuum 

Ll3  ab^ 


270  D  E    M  0  T  V 

abyba,  /7(3,  vel  duplo,  vel  triplo ,  vel  quadruplo,  mino- 
ra  ,  tum  tota  corda  toties  rapidius  contremifcet.  Eo 
cnim  tempore  ,  quod  generatim  vni  vibrationi  afligna- 
vimus  ,  iam  duas ,  vel  tres  ,  vel  quatuor  abfoluet  vi- 
brationes.  Quin  etiam  euenire  poteft,  vt  corda  fimul 
duos  pluresue  huiusmodi  motus  recipiat ,  totidemque 
fonos  diuerfos  edat.  Omnino  igitur  huius  generis  cor- 
darum  motus  fimili  modo  erit  comparatus ,  quo  corda- 
rum  vniformiter  cralTarum  ,  hoc  folo  excepto  ,  quod 
pro  \aria  longitudine  tempus  "vibrationis,  non  longitudi- 
nis,  rationem  fequatur  :  hancque  ob  caulam  iftud  genus 
cordarum  maxime  dignum  eft  vifum,  cuius  motus  dili- 
gentius  euolueretur. 

37.  Verifimile  eft  ,  praeter  cordas  vniformiter 
eraffas ,  et  eas  ,  quas  haftenus  fum  contemplatus ,  alias 
prorfus  non  dari ,  quae  talis  motus  regularis  fint  capa- 
ces ,  fimulque  fonos  harmonicos  edere  valeant.  Tum 
etiam,  fi  variatio  craflitiei  aliam  legem  lequatur  ,  nulla 
patet  via  ad  motum  in  genere  detlniendum  ,  ita  vt 
figurae  cuicunque  ,  quae  cordae  initio  fuerit  tributa  ,  re- 
Jpondeat ;  interim  tamen  cafas  exhiberi  poflimt,  quibus, 
fi  figura  initialis  certis  conditionibus  iit  praedita,  rao« 
tum  fecutnrum  nflignare  liceat.  Haec  autem  inueftiga- 
tio  non  folum  tantopere  eft  reftridta  ,  vt  nullum  vn- 
quam  vfum  habere  videatur ,  fed  etiam  difquifitiones 
ampliflimas  exigit ,  qnae  cafus  aeqnationis  Rkcatianae 
conftruibiles  implicant.  Longe  autem  difficillima  vide- 
bitur  quaeftio  ,  fi  cordae  craflities  nullam  kgem  calcu- 
lo  fubiectam  fequatur :  veluti  fi  duae  cordac  vniformes 

qui- 


CORDARVM.  *t* 

quidem  ,  fed  diuerfae  craffitiei ,  iungantur.  Nihilo  vero 
minus  hunc  cafum  generatim  expediri  polTe  obferuaui , 
qui  ,  cum  non  parum  dodrinam  vibrationum  illuftrare 
videatur  ,  eum  data  opera  pertradabo  ;  quia  enim  du- 
plici  modo  a  lege  continuitatis  abhorret ,  fcilicet  ratio- 
ne  crafliiiei  et  figurae  initio  impreflae  ,  methodus  ta- 
lem  quaeftionem  ad  calculum  reuocandi,  irnprimis  ad 
fines  Analyfeos  promouendos,  \idetur  accommodata. 

Problema. 

3  3  Si  corda  ACB,  ex  duabus  partibus  AC  et  Tab.  II. 
B  C  conflata ,  quarum  vtraque  jeorfim  fit  vmformiter  FiS*  ^ 
crajfa ,  fed  crajfitiem  habeant  diuerjam  ;  haecque  corda, 
in  terminis  A  et  B  Jixat  a  vi  quacunque  fit  tenfa ;  tum 
vero  ad  figuram  quamcunque  A  D  B  detorqueatur ,  quam 
minime  a  figura  naturali  rettilinea  ALB  recedentem  : 
quaeritur  motus ,  quo  corda  ,  pojlquam  repents  fuerit 
dimijfa  ,  agitabitur, 

Ponamus  partis  AC  longitudinem  ACrr^,  alte- 
rius  partis  longitudinem  BCzr£  ;  diametrum  craiTmei 
illus  partis  AC~a,  huius  vero  rr  (3  :  tum  vero  fit 
cordae  AC  pondus  rrN  ,  eritque  cordae  BC  pondus» 
-7aa  rN.  Vis  autem  ,  qua  tota  corda  intra  fuos 
terminos  tenfa  tenetur  ,  aequiualeat  ponderi  F.  Initio 
porro  huic  cordae  indu&a  fuerit  cnrua  quaecunque 
A  D  B  ,  quae  fiue  fit  aequatione  quapiam  exprimibilis, 
fiue  fecus  ,  poft  dimilTionem  motum  determinari  opor- 
tet.  Sufficit  ergo,  ex  figura  noffe,  quanta  applicata 
PL  initio  motus  cuilibet  abfciflae  APrra;  reipondeat , 

neque 


Bfj»  D  E    M  0  T  V 

neque  hic  adhuc  refert ,  fiue  pun&um  P  ad  partem 
craffiorem  AC  pertineat,  fiue  ad  tenuiorem  BC,  veluti 
£\  in  n  capiatur. 

Solutio. 

39.  Ponamus  ergo,  elapfo  tempore  zzz  t  minut 
fecund.  cordam  iam  perueniffe  in  fitum  AMEMB, 
et  applicatam  abfciffae  XVzzzx  relpondentem  iam  effe 
PMrrj/,  quae  ergo  erit  ,  certa  qnaedam  fundtfo  tem- 
poris  t  et  abfciffae  x.  Hic  vero  imprfmis  eft  atten- 
dendum  ,  vtrum  pundlum  P  in  parte  A  C  affumatur, 
an  in  parte  BC  ,  hoc  eft  :  vtrum  fit  x^a,  an  vero 
X  J>  a.  Ponamus  primo,  effe  x  <^  a ,  atque  motus  puncli  M 
cortmebitur  in  hac  aequatione:  ( j^)zz  2 *n-8[  dx? )  1  &n 
autem  fit  x^>ay  feu  fi  abfcifla    capiatur   AH,    motus 

pun&i  M  hac  aequatione  continebitur:  (d,?)=^*-^-g(^3' 
Quamobrem  determinatio  motus  ad  rdolutionem  ha- 
rum  duarum  aequationum  ita  reducitur  ,  vt  prior  tan- 
tum  locum  habeat  ,  fi  fit  x  <£  a  ,  pofterior  vero ,  fi  (It 
Xr>a  ,  vnde  manifeftum  eft,  fi  fit  xzzza ,  ambas  ae- 
quationes  confentire  debere. 

40.  Ponamus  breuitatis  gratia,  ^zzmm  et  ^zznn 
tt  quamdiu  eft  x<^a ,  vt  fatisfaciendum  fit  aequationi 
(^i)zzzmm(^) ,  nouimus  in  genere,  fore 

'    jyzzzOtx-t-mty-ihVix-mt). 
Sin  autem  fit  x  J>  a  ,    vt  (atisfaciendum    fit    aeqnationi 
(5^)— »»(5^)  ,  erit  per   alias  quascunque   functiones 

Vel 


C  0  R  D  /R  'riti.  273 

Vel  cum  hic  abfcrftS  a  termino  B  compntare  liceat , 
etiamfi  ibi  a  termino  A  fint  captae ,  hae  duae  ae- 
quationes  diftin&ius  ita  exhibebuntur  : 

PM  =  C)(AP  +  w;/)H-^(AP-^/) 

vnde  ob  nexum  harum  partium  in  E  necelfe  eft ,  vt  fit: 
C&~Q>(a-\'mt)  +  -¥(a-mt)~§(b-\-nt)-Y^{b--nt) 
quo  iam  quaedam  relatio  inter  has  functiones  definitur., 

41.  Cum  iam  tota  quaeftio  ad  naturam  harum 
quaternarum  fun&ionum  inueftig  mdam  fit  traducta ;  pri- 
mum  perpendendum  eft,  applicatas  tum  in  A,  quam  in 
B,  femper  euanefcere  debere,  vnde  effe  oportet: 

orrd>f  wi/)i-^(-?»0  et  o  —  (p(nt)-i-\p(  —  ni). 
Deinde  -etiam  expendendum  eft.,  motus  initio  fingulo- 
rum  punctorum  celeritatem  per  (^)  expreffam  euane- 
fctre  dtbere  ;  hinc  vero  vtraque  aequatione  colligitur  : 
oziO^APj-^tAP)  et  on^BHJ-vly^Bn), 
\nde  concludimus  tam  "^izr.O'  et  v^—CjV,  quam 
*¥  =1 O  ct  \\j  zz  (p  ;  et  vtraque  fun&io  O  et  <$>  debet 
elfe  impar,  feu  eiusmodi  curuam  refert ,  cuius  abfcitfae, 
fi  negatiuae  fumantur  ,  applicatae  quoque  in  negatiuas 
abeant  ,  quantitate  autem  maneant  eaedem. 

42.  Hac  igitur  fundionum  (f)  et  (£>  indole  in- 
venta  habebimus  binas  fequentes  aequationes : 

PM~®(A?-t-mt)-t-®(A?-mt) 

nivi=:(j)(Bn+»o-+-$(Bn-»f)- 

Tom.IX.  Nou.Comm.  M  m  prae- 


27+  D  E    M  0  T  r 

praetereaque  effe  oportet : 
&(a+-mt)+-®(a-mt)-z<P(b+-nt)  +  <p(b-nt). 

Hinc  ergo  primum,  pofito  t^zo  ,  effc  debet  O  a  =  <Pb. 
Deinde  etiam  perpendere  debemns,  fi  effet  mzz:ntq\ii 
cafus  locum  haberet,  fi  tota  corda  effet  aequaliter  vbi- 
que  craffa  ,  abfciffam  a-+mty  a  puncto  A  fumtam,  m 
idem  axis  punctum  effe  cafuram,  atque  abfciffam  b—nt 
a  termino  B  computatam  ,  ideoque  fore  0{a+-mt) 
zzztp(b'—ni)9  fimilique  modo  0(a  —  mt  )-zz  <p[b-\-nt). 
At  fi  m  et  n  non  fint  aequales  ,  al:o  modo  functinncs 
Q>(a+-mt)  et  <P(b+-nt)  y  quae  adhuc  funt  incogni- 
tae,  ex  funclionibus  cognitis  O(a-mt)  et  <p(b  —  nt) 
definientur ,  atque  ab  hac  determinatione  folutio  proble* 
matis  potiffimum  pendebit.  Sunt  autem  fun&iones 
O(a-mt)  et  <P(b— nt)  ob  curuam  cordae  initialem 
datam  cognitae  ,  cum  fit  PL-aO.  AP  et  II  Az2$.MI, 
qui  valores  dantur,  quoties  fuent  AP<<«  et  Bn<^ 

43,  Verum  ad  plen-im  determinationem  non 
fufficit ,  vt  applicata  C  E  communis  fit  vtrique  cordae 
parti  ,  motus  indoles  infuper  poftulat  ,  vt  ambae  cur- 
vae  in  iundura  E  communem  habeant  tangentem. 
Hinc  autem  nafcitur  ifta  aequatio  differentialis : 

®'(a+-mt)-+<P'(a-mt)z:-<p'(b  +  nt)-<p'(b-nt) 
quae  aequipollet  huic  integrali : 
n®(a  +  mt)~n<l>(a-mt)z:-m<p(b+nt)  +  m<p(b'nt). 
Cum  hac  coniungatur  ante  inuenta  : 
<P(a+-mt)+  <&(a-mt)zz.(p(b+-nt)+-<P(b-nt) 

hinc- 


CORDARVM.  a*7f 

hincque  fun&iones  incognitae  ita  determinabuntur ,  vt 
iit : 

o(*h-»/)==^4>(*-ii0-£^(*-*0 
<P(*-h»0=^o(*-»o+££$ca--»0 

ficque  cx  fun&ionibus  <b(a—mt)  et  <p(£-  lifj,  quarum 
valor  ex  curua  cordae  initiali  datur  ,  fun&iones  inco* 
gnitae  &(a-hmt)  et  <&(b-\-nt)  inueniuntur ,  quae 
autem  ,  quomodo  ad  vfum  fint  accommodandae  ,  ium 
accuratius  perpendamus. 

44.  Reducamus  fun&iones  principalcs    ad    dimi- 
dium,  \t  fit : 

?M~l®(AV-\-mt)-t-ti<X>(AV-mt) 

nM=l$(Bn+^)+i$(Bn-«o 

(icque  ex  curua  cordae  primitus  imprefla  erit: 

<D(AP)rrPL  et  <J)(Bri)-IIA 
ynde ,  dum  fint    abfciffae  A  P  <  *  et  B  n  <£  £  ,  earum 
fcnctiones,  per  figna  <D  et  (J>  indicatae ,  ex  figura  cor- 
dae  initiali  cognofcuntur.     Tum   vero   etiam  nouimus  , 
fi  abfciffae  negatiuae  capiantur ,  fore 

<X>(-z)zz-<J>{-\-z)  et  <J)(-*)=r-(J>(-t-*). 
Fundtiones  autem  ,   maioribus  abfciffis  conuenientes,  ex 
minoribus,  et  generis  quidem  vtriusque,  ita  definiuntur , 
Tt  fit: 

Q>(a+mu)=^n$(b~nu)-l+nT®  *-»«) 

$(l>+fiu)  =  ±^n®(a-mu)  +  ^nn<p:b-nu)f 

qnarum  formularum  opc,  ex  \tra  curua  ALDet  BAD, 

duae  curuae  in    infinitum   extenfae    conftrui    poterunt , 

Mm  2  qua- 


27tf  D  E     M  O  T  F 

qunrum  alterius  applicatae  pro  fingulis    abfciflls    debitas* 
fijodiones  cj> ,  alterius  vero  fundiones  $)  exhibeant. 
pj  45.  Conftru&io  autem  harum  duarum   curuarum 

et  8.  ita  commodiflime  abfoluetur :  Ductis  duobus  axibus 
XY  et  xy  ,  fuper  illo  delcnbatur  figura  initialis  partis 
finiftrae  cordae  ALD,  fuper  hoc  vero  figura  initialis 
partis  dextrae  BAD,  fimulque  tam  illa  vltra  A  infra 
axem  in  Ad, 'haec  vero  vltra  B  in  Bd  transferatur , 
ficque  ex  figura  cordae  initiali  illius  curuae  ramus  DAd, 
huius  vero  ramus  DBd  iam  defcriptus  habetur.  Pro 
vtriusque  autem .  continuatione ,,  circa  punctum  C  in 
vtroque  axe  abfcindantur  vtrinque  interualla  aequalia 
CGz=CQ_et  Cg=zCqy  ita  vt  illa.  fint  adhaccfem- 
per  vt  m  et  n  , .  feu  fumta  quantitate  quacunque  u ,  ca- 
piatur  CGzz.CQj±mu7  et  CgzzCqzznu ,  atque  ap- 
piicatae  in  punctis  G  et  g  erunt  cognitae :  in  punctifc; 
vero  Q  et  q  applicatae  ftatuantur 

r^  D  jw.ji  -t-C  n  —  m  ).  G  H 

V£K  — ^Tn". 

'  -       +*■*■,»  — -  ».*-OH.--(n  — m).gft 
Cl    g(T  '   —  m  -+-  n 

Hoc    ergo    modo    vtraque    curua    ALD    et    BAD  ,, 
quousque  libuerit .,  continuari  poterit ,  prouti  vero  vtra- 
que  in.  vnam  plagam  continuatur ,    ita   ftaticn  ad    pla^ 
gam  oppofitam  fitu .  inuerlo  transferatur. 

Fue.  6:.  4^-  His    duabus    curuis,  praefcripto    modo  con* 

7,8.  ftruclis ,  prior  inferuiet  motui  partis  cordae  ALDde* 
terminando,  pofterior  vero  partis  BAD.  Scilicet 
pro  pundo  quocunque  L,  ad  partem  A  D  pertinente, 
fiquaeratur  pun&um  M,  vbi  poft  tempus  t  min.  fec. 
ftfiutururn,,vtendum  erit  curua  determinatrice  ALDRl  V 


C '  O  R  D  A  R  V  M.  a77 

( fig:  7.),  in  cuius  axe  capiatur  abfcifla  AP,  puncto 
L  relpondens ,  et  circa  P  vtrinque  abfcindantur  inter- 
valla  aequaha  PF^PG-«/,  tum  applicatarum  FK 
et  GH  femilumma  dabit  loci  quaefiti  M  diftantiam 
PM  ab  axe.  Simili  modo,  fi  quaeftio  fit  de  puncto  A, 
in  altera  parte  cordae  BC  fumto,  vbi  fit  futurum  poft 
tempus  t  min.  fec.  in  fig.  8.  a  puncto  B  capiatur  abfcis* 
fa  BIT,  puncto  A  conueniens  ,  et  circa  1~1  vtrinque  ab« 
(cindantur  aequaha  interualla  ng  —  T\f-=znt ;  quo  fa- 
&i  npplicatarum  g  h  et  /  k  femifumma  dabit  loci 
quaefiti  M  diftantiam  ab  axe  AB  fig.  6.  Hoc  igitur 
modo  totius  cord^e  propofitae  ADB  fitus  ad  quoduis 
tempns  determinari ,  eiusque  propterea  motus  aflignari 
poterit.-  Eacile  autem  perfpicitur  ,  hunc  motum  maxi- 
me  fbre  irregularem  ,  dum  neque  fmgula  eius  puncla 
fimul  ad  maximas  ab  axe  elongationes  peruenient  ,  ne- 
que  itus  reditusque  luos  temporibus  aequalibus  abfoluant, 
ex  quo  ne  quaeftio  quidem  de  numero  vibrationurrij 
dato  tempore  fact-arum  ,  neque  etiam  de  fono ,  quem 
huiusmodi  corda  fit  editura  ,  locum-  habere  poterit. 

47.  Neque  etiam  vllus  cafus  huiusmodi  cordarum  ex 
duabus  cordis  diuerfae  craflitiei  compofitarum  exhiberi 
poteft  ,  quo  vibrationcs  fiant  regulares.  Cafus  quidem 
talis  oriri  videtur ,  quando  fk  mzzn,  tum  enim  am- 
bae  curuae  determinatrices  inter  fe  fiunt  aequales,  inter- 
vallaque  nodorum  Al,.AO,  toti  cordae  longitudini 
aequalia  ,  prorfus  vti  pro  cordis  vniformiter  craftis  vfu 
venit.  Verum ,  ob  m  m  z=z  ^f1 ,  et  n  n  zz:  2-^~8,  pro 
toccafuhabebimusi~|,  feu  aF  -  %  ateftf .-■£*§  ••; 

Mm-3,  vncle 


278  D  E    M  OT  V 

vnde  neceflario  fit  a— (3,  qui  eft  cafus  cordae  per  to- 
tam  fuam  longitudinem  eiusdem  craflitiei.  Quam  ob 
rem  folutio  huius  probiematis  eo  magis  eft  notatu  digna, 
quod  non  (olum  in  inueftigatione  a  lcge  continuitatis 
maximc  abhorrente  verlatur ,  fed  etiam  vibrationes  a 
lege  ifochronismi  ,  cuiusmodi  adhuc  a  Geometris  folae 
tra&ari  funt  folitae ,  nobis  cognofcendas  orTerat. 

48.    Caeternm    cum  conftruclio  ac  determinatio 

"huiusmodi    motus  per  binas  curuas  determinatrices  per- 

ficiatur  ,    quarum   dcfcriptio  et  irregularitas  potitTimum 

a  ratione    inaequalitatis    inter  quantitates  m  et   n    pen- 

det  ,  notari  conuenict ,  efle  in  gencre  mm  :  nn  n  £- :  *j 

m(3(3  :  aa,  ideoque  w:»z:(3:a.     Tenent  ergo  quan- 

titates  m  et  «,  quatenus  ad    \tramqne    partem    cordae 

AC  ct  BC  referuntur ,  rationem  reciprocam  diametro- 

rum  craflitiei  vtriusque  partis.       Caeterum  etiam    circa 

hanc  folutionem  imprimis  notetur ,    quod  motum    hu- 

insmodi  cordarum  compofitarum  ,    vtcunque  ftierit  irre- 

gularis ,  femper  definire  liceat ,  quaecunque  etiam  figu- 

ra    curuae   primitus  fuerit  inducta,  fiue  aequatione  qua- 

piam  includi    queat ,    fiue    fecus  ;    quae    circumftantia 

adeo    pro    cordis    vniformiter    craflis  nonnullis  fummis 

Geometris  vires  Analyfeos  tranfcendere  eft   vifa       Pari 

autem  methodo  vis  foluendi  extendi  poterit  ad  cordas , 

quae    ex    tribus    pluribusue    partibus    diuerfae   cratTitiei 

fiierint  compofitae;  manifeftum  enim  eft,totidem  flm- 

per  curuis  determinatncibus  opus    efle ,    quarum    con« 

itru&io  ex  figura  initiali  cordae  fimili  fere    modo    ab- 

folui  quear. 

49- 


C  O  R  D  A  R  y  M.  a7<? 

49,  Datur  tamen  cafus,  quo  ambae  cordae  par- 
tes  ACzza  et  BCzzb  certam  quandam  inter  fe  te- 
nent  rationem ,  fi  figura  initialis  certo  modo  fuerit 
comparara,  \t  motus  vibratorius  fiat  regularis.  Obti- 
netur  autem  hic  cafus  ,  fi  primo  fit  a  :  bzzm  :  n,  (eu 
a  :  bzz  (3  :  «;  quo  etiam  fit  M  :  N  ==  b  :  a  ;  deinde  fi 
figura  initialis  fit  huiusmodi ,  vt  fit  <$(£-»  tfj-O  (#-*»«)> 
tum  enim  obtinebitur 

®(a-l-mu)zz&(a-mu)  et  (p(b  -]--  nu)zz(p(b-nu)9. 
Manifeftum  enimeft,  aequationem  <P(b~nu)zz<D(a-mu% 
locum  habere  non  poffe,  nifi  fit  b  :  a  ~  w  :  /»,  propter- 
ea  quod  eft,  tam  (porro,  quam  Qozro,  fimul  au- 
tem  quantitates  b—nu  et  a  —  mu  in  nihilum  abire  ne- 
queunt  ,  nifi  fit  a.bzzm.n.  Hoc  autem  cafu  vtraquc 
curua  determinatrix  per  fe  determinari  poterit,  fietquc 
fimilis  illi ,  quae  motui  cordae  vniformis  definiendo 
inferuit ,  ex  quo  etiam  hic  motus  aeque  rcgularis  eua- 
dit.     Hunc  igitur  cafum  diligentius  euoluamus. 

Caius  motus   regularis  in   cordis,    ex 

duabus  partibus   inaequalis  craffi- 

tiei  compofitis. 

50.  Sit  igitur  ACB  corda  cx  duabus  partibus  ACTa^  x' 
et  BC  compofita  ,  quarum  partes  ACzza  et  BCzzb 
rationem  teneant  reciprocam  diametrorum  crafiitiei  a 
ct  (3 ,  vt  fit  a  :  bzz  (3  :  a,  ideoque  ctiam  m  :  nzza  :  b 
ct  i\[  :Nzzb  :  a.  Haec  corda  fit  in  terminis  A  et  B 
fixa  et  tenfa  vi  ,  quae  aequalis  eft  ponderi  F.  Tum 
vero  in  eiusmodi  figuram  ADB  detorquatur,  vtfigura 

BAD 


28o  DE     M  0  T  V 

BAD  affinis  fit  figtlrae  A  L  D  ,  fcilicet  vt  fumtis 
vtrinque  abfciflis  AP  et  BIIJpus  AC  et  BC  propor- 
tionalibus ,  applicatae  PL  et  TIA  inter  fe  fiant  aequa- 
les.  Iam  corda  dimifla  qnaeritur  eius  motus ,  feu  fta- 
tus  ad  quoduis  tempus  t  minut.  fec.  a  momento  di- 
Fig.  2.  3.  mifuonis  elapfiim  Hunc  in  finem  conftruantur  amb.ie 
curuae  determinatriccs  ADada'  d'  (hg.  10)  et  BDW, 
(fig.  11)  quarum  portioues  primitiuae  ALD  et  BAD 
ex  figcira  cordae  initiali  defumuntur ,  fequens  autem 
vtriusque  portio  ita  conftruirur  ,  vt  fit  pro  fig.  10. 
<£>(a-\~mu)  —  ®(a-mu)  et  pro  fig.  11.  ty(b-\-nu) 
—  (p(b-mO. 

51.  In  axc  fcilicet  abfcindantnr  interualla  C^ 
ac^ca',  a'c'  etc.  aequalia  ipfi  interuallo  AC,  lis.iae 
applicentur,  vti  figura  indicat,  figurae  aD^ad  a' d  a' d' 
fimiles  et  aequales  figurae  ALD.  Simili  modo  pro 
fig.  11.  curuae  BAD  fimiles  et  aequales  ftatuantur  fi- 
gurae  bDybd,  b' d,  etc.  tum  vero  etiam  ad  alteram 
partem  punctorum  A  et  B  hae  figirae  fimiii  ordine 
Fig.  1.  repctantur  ;  hocque  modo  obtinebuntur  ambae  curuae 
determinatrices ,  ex  quibus  motus  cordac  promte  defi- 
nietur.  Scilicet  fi  diftantia  ab  axe  AB,  ad  qnam  pun- 
clum  L  poft  tempus  /  reperietur  *  ponatur  zry,  voca- 
ta  cbfcirTa  APzrtf,  definietur  ea  ex  determinatrice 
priori ,  ita  vt  fit 

yz=iO(x-mt)-\-lO(x-hmt\. 
fin  autem  poft  idem    tempus  / ,  diftantia  puncli  A  ab 
axe  AB  defideretur  ,  eaque  vocetur  =rs,  pofita  abfcis- 
fa  Bn  =  «,  erit  per  alteram    curuam    determinatricem 
zzzi§(u-nt)-±{$(u-\-nt). 

52. 


CORDJRFM.  2Ssl 

52.  Si  tempus  t  tantum  aflbmatur,  vt  flt  mtza 
feu  »*=:*,  ob  <prje-tf)=:-<D («-*)  =  - O(o:  +  tf) 
et  (p(  »-J)=:-(p(£H-0)  =  -<P(*-t-»)i  vtraque 
diftanria  euanefcit  ,  peruenientque  poft  hoc  tempus 
fingula  cordae  elementa  in  fitum  rectum  AB,  quod  eft 
tempus  dimidiae  vibrationis.  Sin  autem  fumatur 
mtzzza,  feu  ntzzib,  fiet 

€b{x-2a)z:-G>(a  +  (a-x))-~<p(a-(a-x))z:-$x 
$(^+2^)  =  cJ)(«-]-(^  +  aO)=:C{)(^-(^-|.A:))=:-$^ 
■ideoque  j  =  — cpjr,  ficque  corda  ad  'alteram  axis  par- 
tem  in  maxima  excurfione  veriabitur,  ibique  figuram  ? 
ipfi  initiali  omnino  aeqnalem,  habebit ;  vnde  poft  ela- 
pfum  aequale  tempus  iterum  in  figuram  initialem  re- 
veitetur  ;  atque  hoc  fimili  modo  locum  habet  pro  al~ 
tera  cordae  parte  BAD.  Motus  igitur  omnino  erit 
fimilis  motui  cordae  vniformiter  crafiae  ,  ac  vibratio* 
nes    per  iget    ilochronas ,    quarum    cuiusque  tempus  eft 

2  0    it        2  b 

■■— *    m    — '     n.  ' 

53.  Cum  igitur  fit  mmzz*-—--,  et  nn  zz2~^ , 
erit  vniuscuiusque  vibrationis  tempus  zz  2  a  V  rpVg 
:=  V^pj"  min.  fec.  fin  autem  cordae  huius  compofitae 
pars  ACzza  ,  cuius  pondus  zzNl,  praeter  A  in  C  fi- 
geretur,  eaque  ab  eadem  viz^F  tenderetur,  effet  tem- 
pus  vnius  vibrationis  zz.aV~-g\  ideoque  (uperioris 
dimidium.  Vnde,  manente  tenlione  F,  eadem  tota  cor- 
da  compofita  ACB  duplo  lentius  vibrabit  ,  quam  vtra- 
qne  pars  AC,  vel  BC,  (eorfim,  fi  in  ambobus  termi- 
nis    elTet    fixa  ,    ideoque  fonum  vna   octaua  grauiorem 

Tom.lX.Nou.  Comm.  Nn  ^ct. 


aSa  D  E    M  0  T  V 

edet.  Definiri  etiam  poteft  corda  vniformis  craiTitief 
et  Iopgitudinis  AB^^-j-^,  quae  ab  eadem  vi  tenfa 
eundem  eflet  editura  lonum  ;  ponatur  enim  pondus 
huius  cordae  —  P,  ae  tempus  vnius  vibrationis  erit 
zz. (a-\-  (?)V  T¥TTa-+bT  >  ^uod  tempori  pro  noftra 
cona  compofita  inuento  >'Vg^  aequale  pofitum  prae- 
btt    ?  —'~l  —  ^_l   j    eiusque    diametrum    craflitiei 

Exemplum   motus   Irregularis  in   cor~ 

dis.,   ex  duabus  partibus  diuerfae 

craftltiei  compoiltis, 

54.  Cum  indoles  motuum  irregularium  ,.  quos  u> 
pra  in  genere  determinaui  ,  luculentius  ex  exempio  de- 
terminato  percipi  queat  ,  ponamus  ambas  cordae  partes 
longitudine  aequales,  feu  b~a ,  deinde  fit  diameter 
craflitiei  partis  AC  duplo  maior  ,  quam  partisBC,  feu 
ct~  2  (3  ,  erit  illius  partis  pondus  M  huius  N  quadru- 
pliim  ,  vnde  fit  m:  n  zz  1 :  2  ,  feu  n  zz  2  m  zr  2.  V  ^— > 
jg.  4.  exiltente  F  pondere  ,  quo  corda  haec  tenditur.  Tri- 
buatur  autem  huic  cordae  flgura  initialis  fimpliciflima 
ADB  ,  fcilicet  ftylo  iundrurae  C  admoto  corda  rn  fi- 
tum  ADB  detrudatur  ,  vt  vtraque  pars  AD  et  BD 
liuearn  rectam  rtferat  ,  ac  triangnlum  ifofceles  ADB 
exhibeat.  Huius  igitur  cordae  ,  (i  fubito  dimittatur , 
motus  determinetur  ,  feu  regula  inuefligetur  ,  cuius  ope 
fitus  et  flgura  cordae  ad  quodcunque  tempus  aiTignari 
queaL 

5$- 


CORBARFM. 


ft83 


$$.  Conflrui  ergo  oportet  ambas  lineas  determi- 
natrices  fig.  13  et  14.  ,  quarum  partes  principales 
ACD  et  BC,!>  ex  ipfa  figura  cordae  iniriali  fumun- 
tur.  Sit  O  charader  prioris ,  (t>  vero  pofterioris ,  et 
cum  pofita  applicata  CDmi  ,  habeamus  ob  b~  a 

Oo~o;  Oazzi.  item   Cj)o~o  et  (pazzi. 
lineis    puncla     A,D    et    B,D    iungentibus   exittentibus 
re&is,  pro  maioribus  abfciffis  ob  m.nzzni  confequi- 
mur  has  formulas : 

$(«-4-  u)  rr§Cf>(<?-2tt)-f-iC|)(rf-tt) 
$(«+2«)^:^  (a-u)  -  |Cp(«-2tt) 
Statuamus  pro  tt  fuccefllue  valores  tf,  20,  3«,  4#,  etc* 
et,  quia  cfl  cj)(-o~-$(0,  et  CpC— ^)  —  -$(0  , 
noflrae  formulae  erunt: 

(f>;*-H  tt  )=-§(£(  2«-^)- !$»(«-«) 
$>(^-f-2tt)=:-;cf)  «-«O-l-jd^a»-*), 
ficque  ex  praecedentibus  vtiiusque    lineae    apphuuis    fe- 
quentes  definicntur,   pun&aque  hoc   modo  inuenta  lineis 
rectis  iungenda  effe  manifcflum  efl ,  vnde  appiicatis  in- 
termediis  non  erit   opus. 

56"    Facili  ergo  ncgotio  fequentes  applkatae  com- 
putabuntur  : 


Pro  linea  fig.    13 
$oz=o 

(J)2^--|0  a-\§  ozzz- 
cj)^— — §cj>3^— icj)  *-- 

<f)6*ttzi  -|(J>9^-:ct)4^3z-I|;- 
etc. 


Pro  linea  fig.    14 

(j)o~o 
<4>~i 

Cp.9.7— -|C^3^-f-iCp7^--|| 
etc. 


Nn2 


Sum> 


*$*  D  E    M  0  T  V 

Sumtis  ergo  in  -vtroque  axe   interuallis    aeaualibus    ipfi 
interuallo  AC=BC=  ay  applicatae  ita  fe    habebunt : 
CD.2.U3  IU4.IV   5.V   tf.Vl   7  VII 

Fip     1 1   o    1    —  5»  '— £ '•  -*-  *-  *  — i-  •  —  ---  •  -4-  ^59-  etCm 

Fig  14.0,  i,+j;+fi  -  tt.'-"?;-»;  ■+-» 

e  quibus   vjloribus  ambiie  rlgurae  deicriptae  confpiciuntur. 

57.  Ex  his  figuris  porro  ad  quoduis  tempus  t  min. 

fec.  locus  ilngulorum  ccrdae  punctorum  L  et  A  per  re- 

gulas  (upra  datas  aflignari  poterit :  Sit  enim  AP  =a\  et 

pundi  L  poft  tempub  t    ab    axe  AB    diftantia    =/ , 

tum  BII  =  <z>  et  puncti   A  ab  axe  difhintia  zzzz  erit  ; 

y—[<$(x^mt)-\-\${x-mt)zz-:^x-+-mt)  -  l®(mt  ~  x) 

zz^(v^2mt)  +  i(p{v.'2mt)zi<p(v-h-mt)-^2mt  v). 

Hinc,  poiito  v~a,  puncti  cordae  medii  D  tempore  t 

ab  axe  diftantia  erit  =  i(p(*-+-  2 mt\— |(p(2  wf  —  *) ;. 

Tnde  fequentem  tabulam  conftruxi  t 

Poft  tempus  Diftantia  puncti  D  ab  axe- 

*  =  f*.        - '       -        *  —    i(p2*-j(J>0  =  +  f 

r=S£    -   -    -    -  j(J>3*-i$*=~£ 

f=4^     .....  ;(p5«-i.<P3*=;-l 

f  =  f^a     ....  i(p(5^-«(p4^=:  +  9V 

^=^-a   -  -  -  -  ;$7*-i$5«=+* 

f=-g     ------  i.$8tf-L(l)6fl=.  +  » 

f  =  *5     -     -     -     -   .(p9*-i<p7*=  +  i£ 


2tn 

/=^a    ....  iQiitf— ;$>q*  =  -|*j 


*=;£     -     -     -     -  i<t>ia«-j(|)io«  =  -iS 


I(U 


C  O  R  DA  R  V  M  iS* 

Xfh  pun&i  D  agitatio  circa  pundtum  quietis  C  in  figu- 
ra  1 5  repraefentatur ,  vbi  pun&a  numeris  1,2,3, 
4  ,  5  etc.  loca  defignant  ,  vti  id  poft  tempus  ~  min. 
fec.  femel ,  bis.,  ter ,  quater  ,  quinquies  etc.  elapfum 
fit  futurum.  Hinc  patet,  primam  vibrationem  tali  tem- 
pore  circiter  quadruplo  ,  fecundam  duplo  ,  tertiam  qua- 
druplo,  quartam  fere  triplo  etc.  ab(olui,ita  vt  vibrationes 
alternatim  prodeant  lentiores  et  citiores ,  neque  tamen 
legem  regnlarem  conftituant  ?  ex  quo  fonus  erit  rudis 
neque  ad  harmoniam  aptus. 

De  cafu  vibrationum  ifochronarum  ia 

cordis  yj  ex  duabus  partibus  diueriae 

craffitiei    compafitis;. 

5  8.  Vtr  inc  omni  motu  vibraronb,  (i  quidem  e(l 
minimus,  datur  caftfc-  5  quo  ifochromsmus  et  fynchronis- 
mus  locum  habet  5  et  pro  quo  certus  ftatus  initialis  re- 
quiritur  ;  ita  eti.im  noftro  cafii  ,  vtcunque  longitudines 
AC~a  et  BC  —  b  ratione  craflitiei  ,  cuius  diametros 
poluimus  a  et  f3 ,  faerint  comparatae  ,  femper  cafus  Tab.  IX~ 
maxime  fpecialis  pro  ifochronismo  aflignari  poteft  ,  qui  ^S  ™ 
euenit ,  fi  acceleratio  cuiusuis  elementi  diftantiae  eius  a 
fltu  naturali  fuerit  proportionalis.  Hinc  autem  pro  mo- 
tu  elementorum  vtriusque  p.irtis  ,  fi  poft  tempus  t 
min  fec,  punda  L  et  A  in  loca  M  et  M  peruenifle 
ponamus ,  vocemusque  ; 

AP:=.r;  PM^ y  ;  et  BII  — <y;  nM=2 
sd  huiusmodi   formulas  perueniemus ; 

j— alin  j/.#cof.A/  et  z=z  pCm.vvco[.X$ 

Nn  5  tbl 


a$6  D  E     M  0  T  V 

vbi  litterac  incognitae  ita  iunt  definiendae  ,  vt  his  for- 
mulis  differcntio     differentialibus  fatistiat : 

[j^)zzzmm(j^)  et  l^)~»»(  jir). 

59    Primo  ergo    effe    debet    #XX=r a|x jjlwx»  , 

ideoque  jjl~|  ,    tnm     vero    J3XX  —  fivvnn  ,    ideoque 

xrz-.     Deiiuie  quia,  pofito  xzza  et  >vzz  £ ,  fieri    de- 

bet  j>  zz  z  ,    habebimus    a  fin.  p.  a  zz  j3  fin.  v  b  ;    (latuamus 

e  e  e  e 

ereo  a  zz  = rr  ; — r^  et  (3  ^  = ,  z- — y-b  erunt- 

fin  \xa       fin  A-      l         fin.  v  £    iin.  -- 

»  771  /1 

que  noftrae  aequationes  : 

j/fin.^-^fin.^fcof.X^  et  zCm.^zzeC\n.\vco(  M. 
Poftremo  ambas  cncuas  in  puncto  iun&urae  R  lemper 
communem  tangentem  habere  oportet  ,  ieu  Ufe  debet 
(^)H-(^J  — °  >    pofito  xzz-a    et  vzz\b:    vnde    fit 

XeXcrXp^Xfc  ^  X  a     ,  X£>_ 

r7p  cot.  —  -f-  —  cot  —  zzz  o  fiue  wz  tang.  ~  -f-  n  tang.  7p3 o. 
Quaeri  ergo  debet  huiusrnodi  nnmerUs  X,  vt  huic  con- 
ditioni  fatisfiat  ,  id  quod  infinitis  modis  fieri  pottfi  , 
ficque  innumerabflcs  obtinebuntur  vibrationum  liochro- 
narum  cafus ,  qui  ,  deinde  inuicem  combinati,  infinitas 
fuppeditabnnt   vibrationum    compofitarum  fpccies. 

6o.  Cum  nutem  fit  mzzV~f-  et  nzzzV~ibg, 
denotante  M  pondus  partjs  AC,  etN  ponduspartis  BC, 
huic  fonnulae  erit  fatisfaciendum  :  V^.tang  XV^ 
-f-V^  tang  XVjgr.o,  quod  quidem  in  genere  praeita- 
re  non  licct  ,  quouis  autem  cafu  determinato  vaiores 
idonei    pio    X  non  difficulter  eliciuntur.      Inuento   au- 

tem 


C  0  R  D  A  R  V  M.  ^87 

tem  quocnnque  vaiore  ipfius  X  ,  motus  cordae  vibrato- 

rius  ita  fe   habebit  ,   vt  fingulae    vibrati-ones    abfolaaatuB 

tempore  t,  exifonte  Xf— -tc,   denotante    tt    femiperU 

pheriam  circuli  radii  zz  i  ,   (eu  tempus  vuius  vibratio- 

nis  erit  zr  f   min.  (ec.     Quod  autem  ad  diuerfos  valo- 

res  ipfius  X  attiaet ,  uifi   Gnt     inter    fe    commenfurabi- 

les  ,   vibratione& ,  quae  ex  illarum  combinatione   oriun- 

tur  ,  nunquam  flent  reguiares  ,  quod    ex    aequatiombiia 

efl  manifeftum  : 

e  Gn  ^  cof  X  t      e'  Go . x-^  cof.  X'  /    *"fin .  *Lxco( .X"* 

+ ^ etc» 


fm  i2  fin.^2  fiu.*- 

A/i  m  m 

*Gn.^cofXf       *Tin.^cof.X'/    ^"fin.^cof.X"/ 


-' «_ + «r ete. 

iin.*-6  fin.^  fin.^ 


r* 


Eaolutio  exempli  fpecialis. 

6"i.   Pouamas  efle,  vti  io  exernplo  fuperiorf,  bzay 

ct  Nzz^M  ;  vnde  fit  mzz—^  er  nzzzzm:  debet  er- 
go  refokii  haec   aequatio  : 

tang.X^^H-Ptang  IXV^zzo 
Ponatur    breuitatis    gratia    angulus   sXV-^zz»",  Vt  fit 
X=2a)V^fi  quaerique    opoitet    angulum     w  ,  ita    vt 
fit 

tang.  2w+  2tang.a)rro,  feu  tang.  2  oj  =3  —  2  tang.  o^ 
cui  ae  juationi  primum  fatisfit  his  valoribus  : 

o)  —  o  ,   7T  ,   27T,   37T,  ^tt,   5  tt  etc. 

Deinde  ob  t.mg  *t*^*J!!££&>  prodit  tang  WZZ-J-V2; 
£  ergo  iit  0  minimus  anguliis  tangaitem  habens-  zVz^ 

qui 


388  D  E     M  0  T  V 

qui  eft  $4*,  44/,  8",  i2/y/  praeterea  qnoqne  hi 
anguli  (atisfacient : 

wzrj;   7T±^;    S7rzt^i    3  7T  -f-  0  ;    4-71-1-^; 

5  7r  -f-  0  etc. 
62.  Snmto  ergo  hornm  angulorum  pro  co  inuen- 
torum  quocunque,  ob  X~  2a)V'^-,  tempus  vnius  vi- 
brationis  cordae  erit  -^rs"^^  mm-  fec-  ac  pro  motu 
cordae  eiusque  partis  vtriusque  liabebuntur  hae  aequa- 
iiones  - 

vbi  euidens,  valores  prioris  ordinis  pro  oj  inuentos,  pu$a« 
ctum  cordae  medium  D  femper  in  C  immotum  pratbere. 
Cum  enim  fit  fm.o)~o,et  fin.  2w~o ,  necefXtrio  ca- 
pi  debet  eazo.  Qiiod  incommodum  quo  euitetur , 
ponamas  m  £*/fin._o)  ,   vt  habeatur  ; 

jz  —  ^fin.  -j—cof.aw/V-Mf 

«^a^fm.Ycof  zutV^f. 

63  Hic  autem  patet  ,  quod  quidem  ftatim  fu^ 
fpicari  licuerat  ,  valores  prioris  ordinis  plane  effe  inuti- 
les  ,  neque  ad  noftrum  inftitutum  accommodatps;  cum 
enim,  pofito  xzz vzna,  fieri  debeat  (^)-!-^)  — o* 
hinc  nancifcimur  : 

FoT^r  H-  2  c°f-  w  —  °  feu  cof  o)  nr  -4-  V  J 
vbi   fador  fuperior  inutilis  tang  w  eft  exclufus.     Deno- 
tante  ergo  0  angutum    54°  ,  44',    8"  ,   n^,  vaiores 
jrdonei  pro  w  fubftituendi  funt 


CORVARVM.  289 

et  in  genere  co  =r  /  tt -f- 0 ,  denotante  i   numerum  inte- 
grum  quemcunque.     Quocirca  tempus  vnius   vibrationis 

erit  =z~~^~dyf~-  mm-  fec-  et   Pofito    tzno  ,    pro 
figura  initiali  hae  obtinentur   aequationes  : 


:—? fin. HilZm  ct  Z-ZJ7&*  fin. 


y'—~Jm.iLiv_:«)  un*  a  et  ~ -— Jintiv +$) 

64.  Haec  ergo  corda  infinitis  modis  ad  vibra- 
torium  motum  ilbchronum  excitari  poteft;  vnde  innu- 
merabiies  fonos  edet.  Cum  autem  fbni  fe  habeant  re- 
ciproce  vt  tempus  vnius  vibrationis,  ob  ^0,3040868, 
hi  foni ,  ad  quos  edendos  eadem  corda  eft  apta ,  erunt 
vt   numeri : 

0,3040868;  0,6959132;  1,3040868;  1,6959132; 

2,3040868  etc. 
qui  cum  inter  fe    fmt    incommenfurabiles ,    foni    erunt 
jnaxime   diflbni,  ficque  eadem  corda  fimul  plures  fonos 
inter  fe  diflbnos  edere  poterit.      Dum  autem  corda  il- 
los  fonos  fimplices  edit ,    primo  excepto  ,   vnum  plu- 
resue  nodos  inter  vibrandum  fbrmabit  ,   feu  vnum  plti- 
raue  puncta  eius  in  re&a  AB  immota  manebunt;  ea- 
que    erunt    vel    in  parte  AC,  vbi  fumta  x<^a  fuerit 
iin  ^v^nio;  vel  in  parte  BC,  vbi,  fumta  i?<£o,  fue- 
rit  fin^zno.      Sic  pro  fono   fecundo    in    parte  AC 
dabitur  vnus  nodus  cirea  locum  fere  xzz:7y  in  parte  BC 
nullus :    pro    fono    tertio    dabuntur   in  parte  A  C  duo 
nodi  X-Z^  et  xzz\l,  in  parte  BC  vnus  v~\\\  pro 
fbno    quarto    dabuntur  in  parte  AC  tres  nodi  xz~  /7 , 
x-z~y    xzzz\7>   et   in  parte  BC  vnus  v~\7)  et  ita 
porro. 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  O  o  Aliud 


i9o  D  E     M  O  T  V 

Aliud   Exemplum    fpeciale. 

6<?.  In  praecedente  exemplo  foni  fimplices,  quo- 
rum  eadem  corda  eft  capax  ,  etfi  difTonantes  ,  tamea 
alternatim  progreftionem  arithmeticam  conltituebant  \ 
qui  ordo  inde  venieb.it  ,  quod  tam  quantitates  m  et  », 
quam  anguli  x~  et  — ,  rationem  tenebant  rationalem. 
Quando  autem  hoc  non  euenit ,  ne  ifte  quidem  ordo 
amplius  locum  habebit,  quod  exemplo  oftendiffe  iuua- 
bit.  Ponamus  igitur,  efte  quidem  b zr  a ,  fed  N  zr  \  M, 
eritque  n  zz  m  V  2 ,  exiftente  m  ~  V  z-^  :  quaeri  ergo 
oportct  numerum  X  vt  fit  tang  *~-f V  2.  tang  ^y;-0. 
Ad  quam  aequationem  refoiuendam  ponamus  ^-2zz.a), 
Tt  fit  \-2uvliSay  fierique  debet  tan^'~^ -ftang  w-o; 
quae  aequatio  quidem  iterum  infinitos  praebet  valores 
pro  angulo  w ,  qui  autem  non  ita  funt  comparati ,  xt 
vno  cognito  reliqui  aflignari  queant. 

66.  Videamus  ergo,  quomodo  aeqnatio  ^tang  uVz 
►l-tan^.a)  rro  commodiftlme  relolui  poftit  ,  ac  tenta- 
minibus  quibnsdam  mftitutis  minimus  angulus  cu  mtra. 
limites  72°,  z %'  et  720, 35'  cadere  repentur  :  hos  ergo 
Tatores  pro  u  fubftituamus ,  calculumque  lequenti  mo* 
do  inftimamus; 


Hypoth. 


C  O  RB  A  RV  M 

Hypoth.  I 


291 


feu 
hinc 
adde 


u  rz72°,  25  ' 
corr  260700''' 
/ojcz  5,4161410 
/V2~  0,1 505 150 


/oj"V/2//~  5,  5666560 
wV2~i  368685^' 
feu       oj  y  2  —    o  20, 2 4^,  45 '/'' 

tt-wV2=   77,  35,  i«4 
/tang  (7r-coV2)  ~  10, 6573  889 
adde    IV \  zzz   9,8494850 


10,5068739 
at  /tang  w  rr- 10,4990797 


Error 


779+a 
50466 


Hypoth.  II 

72°,  35' 

5,+i7*39+ 
o,  1505150 


5, 567J5++ 
3<*95  3+" 
102°,  38',  5+" 

77,  2*;   * 

10,  6489532 
9, 8094853 


10,  4984382 
10,  503+84.8 


—    50466 


128408  :   icrr 779+2 '-'6\ +" 
Tnde  concluditur  verus  angulus  00^72°,  31',  4". 

67.  Inuento  hoc  angulo  w,  erit  XziswV^  , 
et  tempus  vnius  vibrationis  cordae  :=:  — V^  min.  (ec. 
motus  autem  cordae  ex  lequentibus  aequationibus  inno» 
tefcet  j  ob  y  s=  —  et  ?  =z  r  : 

e  ~        uxVi        r  j  -1/?  Z 

3  ==  /T^vl  fin-    "5—  COf.  2  0i  ^  v^ 
3  rz:  j7^  fin.    ~  cof.  2  w  t  V  ^ 

VeriKTi  pro  angulo  w  infinitos  infuper  alios  valores 
idoneos  inueftigari  licet ,  quo  in  negotio  methodo  an- 
te   adhibita  vti  conueniet ,    vt  pnmum   per    tentamiua 

O  o  2  limites  f 


apa  DE     M.0  7  V 

limites ,  intra  quos  vcrus  quispiam  valor  continetur , 
colligantur ,  iique  deinceps  arctius  conftringantur,  donec 
valor  verus  ex  iis  fatis  accurate  concludi  queat.  Cum 
autem  ifti  valores  nullo  certo  ordine  inter  fe  cohae- 
reant ,  labor  vtique  non  parum  erit  moleftus  fufcipien- 
dus ,  fi  quis  plures  eruere  voluerir. 

Inuefligatio  vibrationum  regularium  in 
cordis  crajGltiei  vtcunque  variabilis 

68.  Reuertamur  iam  tandem  ad  problema  ge- 
nerale ,  quo  cordae  craftities  vtcunque  variabilis  eft  as- 
fumta ,  ac  fupra  (10)  inuenimus  omnium  motuum  , 
quos  quidera  corda  recipere  valeat,  inueftigationem  ad 
folutionem  huius  aequationis  difTerentio-difTerentialis  re- 
vocari:  (^)  =  ^?r*  (^)  ,  vbi  *  cft  diameter 
craflitiei  cordae  ablcifTae  x  refpondens ,  ideoque  functio 
cognita  ipfius  x.  Ponamns  ergo  ad  abbreuiandum 
*-~-*pzzuuy  vt  habeamus(^}  =  ««(H?),  in  qua 
nunc  u  erit  functio  cognita  ipfius  x:  quaeriturque ,  qua» 
lis  functio  ipfarum  x  et  t,  pro  y  fubftituta ,  ifti  aequa- 
tioni  fatisfaciat ,  atque  infuper  his  conditionibus  fit  con- 
fentanea  ,  vt,  fiue  ftatuatur  x=zo,  fiue  xzza^  prodeat 

yzzo,  tum  vero  vt,  pofito  tzzo,  fiat  i^)z:o.  Quar- 
tam  conditionem,  vt,  pofito  tzzo,  pro  y  prodeat  data 
functio  ipfuis  xt  datae  figurae  initiali  cordae  conueniens, 
hic  feponamus  ,  quandoquidem  problema  ifto  latiftimo 
fenfu  refolui  nequit. 

69.  Euoluamus  igitur  primum  cafum  illum  maxi- 
me  notabilem  ,    quo  corda  vibrationes  omncs  fynchro- 

nas 


C  0  R  D  A  R  V  M.  2$3 

nas  ct  ifochroms  producit  ,  pro  quo  vis  acceleratrix , 
vti  confht  ,  ipfi  applicatae  y  effe  debet  proportionalis. 
Statuatur  ergo  ea  zz.  n  ny  ,  et  obtinebimus  iftas  binas 
aequationes  refoluenda?  : 

in  quarum  illa  abfcifla  X,  in  hac  vero  tempus  /  eft  con- 
ftans  aiTumtum.  At  ex  priori  aequatione  oritur  j^Zp 
coC.nt,  vt  fiat  (^t)zzo,  poGto  tzzo^  vbi  p  denotat 
functionem  quamcunque  ipfius  x,  quae  ex  altera  aequa- 
tione  debet  definiri.  Obtinetur  autem :  uuddp+nnpdxzo, 
vnde  valor  ipfius  p  ita  debet  determinari,  vt  fiatpz^ 
fiue  ponatur  xzzo,  fiue  xzz:a.  Verum  alterutra  con- 
ditio  inferuit  numero  n  determinando,  ex  quo  deinceps 
tempus  cuiusque  vibrationis  innoteicet  zzz  *  min.  fec. 

70.  Verum  haec  aequatio,  in  genere  confiderata, 
uuddp-\-nnpdx2zz  o  iisdem  difficultatibus  fubiecta 
deprehenditur  ,  quae  in  formula  illa  famofa  Riccatlana 
occurrunt ;  pofito  enim  pzz:eSqdx  feu  ^fc—q,  illa 
aequatio  ad  hanc  formam  reducitur:  uudq-\-uuqqdx 
-\-nndxz.o ,  cuius  integratio  ita  cft  inftituenda  ,  vt,  pofito 
x~o,  fiat  jqdxz-co.     Cum  igitur  habeatur 

dq-^qqdx  +  ^zzo 
ex  cafibus  integrabilitatis  formuiae  Riccatianae  patet ,  hanc 
aequationem  ad  conftrudtionem  perduci  pofle,    fi  vaior 
ipfius  u  fit  huiusmodi  poteftas : 

(k-\-mx)s    ,L  .     J»,      (k-\-mxf     ,.  ,         ««. 

v ',  [k^rxyVa  >  v— L — L  •  (k+mxy  V  a  etc. 

a  y  a  ■ 

O  o  3  quomm 


»9+  D  E    M  0  T  F 

quorum  cafuum  primum  fnpra  iam  in  genere  expedi* 
vimus  ,  quem  fpeciminis  loco  euoluamus ,  ita  vt  haec 
aequatio  refoluenda  fit : 

dq^qqdx^-n^^^o. 

71.  Huic  autem  aequationi  primum  fequens  va- 
Jor  imagiuarius  fatisfkere  deprehenditur : 

na  V~*-i-t-mfe-f-m7na: 

#  —  (I+ffix)2 

vnde  fit  Jqd  x-  Z$&5sh  +/(^  +  «)  <* 
p:zza(&-4-w;t;)£™(k-+-™c).  Simili  vero  modo  quoque  Gt- 

tisfacit  />  =r  (3  ( k  -f- ;;/  * )  r»(*-+-m*) ,  quibus  valoribus  com- 
binandis  per  formulas  reales  obtinetur : 

p  —  A(k  +  mx)Cm.^:— ^B^k  +  mx^co^^j—^ 
qui   vt   euanefcat,  pofito  *zzo  ,  fiet 

p~A(k  +  mx)£m.Jxi^hr), 
et  proinde  y  ~  A  ( k -f-  m x )  fm .  fe  ( k+^  coOf. 
Cum  autem  hic  fit  ?/«— '-^--S  ent  33  —  H(>H.M>){ 
et  tempus  vnius  vibrationis  erit  :=:£  min.  fec.  Verum 
numerus  n  ita  debet  eife  comparatns,  vt  pofito  xz^a 
fit  fin.^j^— }=:o,feu  n~ — ^f —  ,  ideoque  tem- 
pus  vibrationis  ^xITT^pST)   m^n*  fec- 

72.  Ponamus  ergo  fecundo  w~(k-t-mxyva9 
vt  habcamus 

dq-\~qqdx-^ 

{k+mxyV  aa 

ciii 


C  O  R  D  J  R  VHl.  i$$ 

cui  aequationi  particulariter  fatisfacit 

x 

*= T% — 

{k-\-mxYV  a       mlk-VmxfVaa 

nV—i  "~3««  ' 

Sit  k~\-mx-~s*  i  vt  fiat  dxz=zz~~  ,  eritque 

Zsds                 zndsV-i              ds 
qdxzzz — ■ —  — + 

msV a      mmVaa  mVa  m^  a 

--1 i  — 


nV-t         3««  3«V—  i 

.  3nsV-i  m$a 

et  Jqdx  zz —  -+-  /( j- --   )  hmcque 

mV  a  3«V-i 

3«Y-i  3«y-i 

quae  expreflio ,  ad  valorcs  reales  reuocata ,  praebet : 

r$ns       ~   <*      *ns       amV  a  3  n  s 

pzz.ct.scof.  -7-4-pjfin.  ~ fitt.  — ; — 

mVa  my  a  3  n  mV  a 

Bmf  a     „  3«j 

-+? — co£— 7 

3 »  WKtf 

3ffj-+£        Amya    rfj»f-*-X 
r  02V  *  3  &  «V  <z 

73,.  Poaatur  iam  xrro  ?    quo    cafu   fieri  debei 
pzzzo  %  et  ob  szzzyh  erit ; 

ffc 


aptf  DlE     M  O  T  V 

?/I  >    3nfk-h$mfa    r3»^44 

V  jk.fin. ■ \ cof. zzo 

mV  a  3«  mYa 

feu  t^{V^±A)~Z^l\  ideoque 

fin.l!?^J±i— zHSt a 

mVa  Y(mmf  a a  ~\- ?nnf  kk) 

Beinde  ponatur    x~a,   et  ob  j—  f(k-\-ma)    fiet 
quoque 

tang.  (3"^^  +  »^-*"?) ?**— , 

«f«  .3ny"{k+ma) 

vnde  eliminando  angulo  £  elicitur 

3nV{k^ma)-^nf_k_2mnfa(f{k-[ma)-fk) 
tang.— — — - -*~  — 

m  f  a  mmVaa+gnnyk  (k-\-ma) 

ex  qua  aequatione  "valor  numeri    n   erui    debet ,    quod 
quidem  infinitis  modis  fieri  poffe  per  fe  patet.  Si  enim 
3  n  co 

ponatur   -3 — =-TT, T~,  quaeri  debet  angulus  w, 

r  mV  a     Y[k+ma)-yk 

\t  fit 

u(f(k-\-ma)-fk) 
tang.wzr ■ — s — - — : ^- '- 

(f  (k-hma)-YkY-\-  uufk(k-\-ma) 

,      _A.    ~  uf(k-\-ma)    A„               wV£ 
vel  ^oj—Atang ^ — ! i-Atang. — 

f(k\mayfk  f(k+ma)-fk 

Tum 


C  O  R  DA  R  V  M  297 

Jurn    inuento    angulo   w  ,  qnaerafur  angulus  0 ,  vt    fit 

tang.  0  zz  ___T_^-— ,  prodibitque  altera  confians 

uV(k-\-ma) 

6  sii     wH 


74-.  Artentionem  quoque  meretur  cafas  quafi  iti- 
finitefimus ,  quo  u  zz  k  4-  m  x  ,  ftu  3  =  oj^  V  ^-5  * 
itatim  enim  liquet  aequationi  (k  +  mx*ddp  t-nnpdx1-® 
latisfacere  poteltatem  quandam  pzz (k-\-  mxf,  fa&a 
cnim  fubftitutione  fit  a(a—  1  )mm-\-nnzz o  >  hunc- 
que  azzi-Jt-V(i-^a).  Sit  breuitatis  gratia  Vf^-.jJzX, 
habebiturque  p  z  ( Aufc-f  mx^~  ^Blk-k-mx)'^'1)  V(k+mp% 
quae  ad  reaiitatem  reuocata  praebet 

J  =  (Cfin.X/(  i  +  tt)+  •Dcof.X/{i  +  r))*' {■*  +  >»*) 
lam  quia,  pofito  xirro,  fieri  debet  pzz.o  ,  oportet  efle 
Dro  ,  et  fi&o  xzza  ,  necefTe  eft  fit  X/(  1  4-^)"/^ 
denotante  i  numerum  integrum    quemcunque.     Inuento 

igitur  X=j,  ^j  ,   erit    «zr  mV ({-+-  XX)  ,    \ndc 

tempus  vnius  vibrationis  erit  &^\  et  motus  definic- 
tur  per  hanc  aequationem  : 

|  /(14-^1  ;  /7  7r7T 

y~A(k+mx)  fN^^^csof^ 

75.  Sumendis  pro  *    diuerfis    nnmeris ,    oriuntur 

diuetfae  vibrationum  ifochronarum  Ipecies,  quarum  tem- 

Tom.lX.Nou.Comm.  P  p  pora 


19$  D  E     M  O  T  V 

pora  autem  plane  erunt  inter  fe  incommenfurabilia. 
Poterunt  autem  vibrationes  ex  pluribus  huiusmodi  fim- 
plicibus  componi  ,    in    qnibus  nulla  amplius    regulantas 

7T 

perfpicietur.  Si  enim  breuitatis  gratia  ponamus.7 — ma-W*\ 

fequens  aequatio  in  infinitum  adeo  continuata  proble- 
mati  fatisfaciet  : 

fafin. p./(  i  -f-x  )•  cof. mtV ( j -+-  fjLjx) 

j  +y  Gn.3|x/(i  +  p).  cof  mtV{\-\-9\k\k) 
L+Jfin.^i-h  v)-co(  w/VCJ-i-  io>p.) 
etc. 
Neque  tamen  haec  exprelfb,  etfi  in  infinitum  produ&a, 
eiu>modi  folutionem  generalem  fuppeditat  ,  quae  fe  ad 
omnes  cafus  ,  quibus  cordae  initio  figura  quaecunque 
fuetit  indu&a  ,  extendat  Verum  confideratio  huius- 
modi  folutionum  particularium  viam  ad  folutionem  ge- 
neralem  parare  debet. 

Integratio  generalis  et    completa   ae« 
quationis   differentio  -  differentialis 

x2Tn-*-2  ddy  -+-  c  cy  dx*  n:  o . 
76.  Ad  hanc  aequationem  peruenimus  ,  quoties 
in  noftra  aequatione  fuperiori  uuddp-{-nnpdx* zzo  f 
fun&io  u  fuerit  poteftas  ipfius  x  ,  vel  ipfius  a-f-(3#  f 
fcilicet  «z=(a-+-(3A;)7n"+"  ,  quibus  igitur  cafibus  haec 
aequatio  integrationem  admittit ,  iisdem  motus  vibrato- 
rius  cordae  ifochronus  determinari  poterk.     Mamfeltum 

autem 


CORDARVM  299 

autem  eft ,  hanc  aequationem  a  celebri  illa  Riccatlana 
non  difFerre.  Pofito  enim  j  —  eJzdx ,  vt  fit  z~*£ 
prodit  haec  ipfa  forma  : 

dz  -+  z  z  dx  -+  c  cx~~ im~~2  dx  t±  o 
quae  quibusnam  cafibus  exponentis  m  integrabilis  eua- 
dat  ,  a  celeberrimis  Geometris  olim  eft  inueftigatum. 
Verum  integralia  ab  illis  exhibita  non  folum  fnnt  par- 
ticularia  ,  fed  etiam  hoc  cafu  ,  ob  coefficientem  -\-cc 
neceffario  pofitiuum,  fiunt  imaginaria,  ita  vt  nobis  nul- 
lum  vfum  etTent  praeftitura. 

77.  Non  mediocriter  ergo  hoc  opus  circa  vi- 
brationes  promouebitur ,  fi  huius  aequationis  integrale 
completum  ,  quod  a  fbrmulis  imaginariis  fit  liberum  , 
exhibuero.  Hunc  in  finem  coefficientes  neceflarii  fequenti 
modo  definiantur  . 

—    smc     1  •" —    i<smc      ^  j  ^*  2+mc      **  ?  -^ —     32mc      ^- 

E8imm — t  t-v     -r> mmm — '  -p.       ^  i69mm— 1  ,-, 

~-^-D- F~  — —  E;  G rz ~^c- F  etc. 

quibus  inuentis  erit  integrale  completum  : 

+jb£  2  (i-B*2TO+D*+TO-F*6TO+etc.)fin.(—-=  +  0) 

-kx  3  (A*TO-C*3TO+E*5TO~G*7TO+etc)cof(  —  +0) 

vbi  angulus  $  cum  quantitare  k  funt  binae  iliae  con- 
ftantes  arbitrariae  ,  per  dnpiicem  integrarionem  intro- 
dncliae.  Pro  noftro  autem  cafu  vibrationum,  cum  an- 
gulus  0,  tum  conftans  c,  ita  definiri  debent  ,  vt,  fi  ab- 
fciflae  x  ,  quae  iam  non  ampiius  a  puncto  A  compu- 
P  p  2  tatur  , 


30Q  D  E     M  O  T  V 

tatur,  certr  duo  valores ,  veluti  x~d  et  x~d-\-av 
tnbuantur ,  applicata  y  vtroque  cafu  euanefcat. 

78.  In  genere  quidem  haec  exprefllo  in  iufini- 
tum  excurrit  \  fed  manifeflum  eft  ,  dari  mnnkos  eius- 
modi  valores  exponentis  m  ,  quibus  ea  fiat  finita. 
Hoc  (cilicet  cuenit,  fi  fumta  littera  i  ad  numerum  lm- 
parem  quemcunque  llgnificandum  ,  fuerit  iimm— irro 
feu  mzz-^  f  ,  quibus  cafibus  frt  nofter  exponens 
zm+zzzz-h-  Quare  aequatio  noftra  x^^^ddy+ccydx  ~o 
fequentibus  cafibus  integrationem  abfolutam  adrr.it  tir ,  fi 
fcilicet  exponens  27/2-1-2  fuerit  terminus  alterutrius  le~ 
quentium  duarum   progrcflionum  : 

r>  •    «i  •    i  •    ,2  •     L6  '    1°  •    *±  '    etc 
u  )    3  1    s  7     7    ?     9    ?    «   7    «3  ?    CLW 

-     .       8     .        12     .        1*     .        20    .        2+    .        28     .       pfp 

4  •>    3  j    ?   ?     7    r    9 1    ti  >    13  j    UL,i'* 

qui  numeri  negatiue  fumti  dant  notos  illos  integrabilita* 
tis  cafus  aequationis  dz-\-zzdx-\-ccx—2m-2dx  —  Qt 
pro  qua  eft  generatim  zzz^jx. 

79.  Quo  haec  integralia  fkiiius  afTignare  quea- 
pnus,  ponamus  in  genere  m~\  \  eruntque  nottri  coct- 
fccientes : 


**  8  1  C 

•r  _ (1  — ii)  (9  —  iJl 

& —  s.  16  licc 

r (  t  —  1  i){  9-'')(  2S  —  i  i ) 

* 8»  16.  24   i*C* 

j^ (  ,  —  i  i )  (  9  —  i  i )  (  25  —  H )  (  *p  —  %  i) 

■L' 8.   !<5.«4.   32.  i*  C* 

P (  i  —  i  i )(  p  —  1  i)(  2s  —  H)(  4?  —  /  i  _H  a  i  —  »  * ) 

*-—  8.16.  24.  32.40.Z5C5 

etc. 

Pr© 


C  0  R  D  A  R  V  M.  301 

Pro  quolibet  ergo  cafu   affignato    integrale    completum 

vtriusque  aequationis  xiTn~*-2ddy-\-  ccydx~zzzo  et  dz+zzdx 

~\-ccx~-m~~"tdxzzzo  non  difficulter  colligetur. 

Cafus    I   (mzzz  —  i) 

ddy-\-ccydx~  zzz o  et  dz-\-zzdx-{-ccdxzzz'QP 

erit  integrale  completum: 

7  r      /A  \  dy  — ccof.{)  —  cx) 

yzzzkiia.^-cx)  et  &zp^fzzz  -j^r^Z 
Cafus  II  (mzzz~t-i) 
ArV^H-^ry^AT^o   et  ^+ss^v  +  ^r^zo^ 
erit  integrale  completum: 

jr=fcrttf(M-=>2  et  s=:£fc=:j-£cot  (*M4) 

Cafus  III  («zb^ 
*  — * 

x~ddy*\-scydx~zzzo>\  et  dz-\-zzdx*\-ccx   'dxzzo  t 

erit  integrale  completum*. 
^=ife^(fin.(^~3^^j-/c^  ^cof.^-3^^)) 
feu  7  —  k(xkti.  tf  -  3  ***)  -  *f  cof.  (0-3  ***)) 
Qfus  IV  (»=«+;£) 

a?ddy-\-ccydx~zzzo  et  rifo-r-ss^tf-W^.*;  ^dxzzzo  ^ 
erit  integrale  completum: 

jr^t/(fiii.(*Hr,3fJ!;  ^)H-/cAof.  (0-4-3^""")) 
Caius  V  (mzzz-\) 

x'ddy-\-ccdx'zzzo  et  rf/s-i-tfSdto-i-^a;  %dxzzz\oy 
erit  integrale  comptetum: 

jp  =  £#((  1  - JJU  tf~f)  fin.  (6-5 c^) -^*"W(*-5^)) 
Pp  3  Caius 


30*  D  E     M  0T  V 

Cafus  VI  (wzr-M) 

x~* ddy-\-ccydx*zzzo9  et  dz-\-zzdx-\-ccx  5 dxzof 
erit   integrale  completum 

Cafus  VII  (mzzz~\) 

x7  ddy-\-ccydx*zzzo\  et  </s4-2s^lr-Hr*\r7<&:^o 
erit  integrale  completum  : 

Bn*?.^   "-^r*   7)cof.(0-7<*7) 
Cafus  VIII   («=-+-}) 

\6  —-16 

x7ddy-\-ccydx*zzc,   et    ^+ss^+^^Jt   7dxzot 
erit  integrale  completum  : 

^J  +  fe^^i-^r^fm.fe+^^"^) 
Cafus  IX  (totzi-%) 

V  .  — v6 

x9  ddy-Vccydx*zzo  et  <jte  +  2  2^.*;-f~^;r   9dx~o9 
erit  integrale  completum  : 

l-kx\^-^x~*)cof.((>-9cxh 
Cafus  X  (mzzz  -f-£) 

x9ddy-\-ccydx*zziQ\  et  ^  +  ag^-j-faV^o, 

erit 


r 


C  O  R  D  A  R  V  M .  303 

erit  integrale  completum: 


Caius  XI  (fe^-jf) 

--  "i* 

fV^  +  ^^^ro;  et  </-_  -\-zzdx-\~ccx  "dx~o9 

erit  integrale  completum  : 

r     -?_  — *  — *  *_. 

\i-kxxt 1  -  21^  x    Ti -+-sj-qiLix    TT)fm.(0-ii-*tfTr) 

1-kx'h'^-x^-^x'"^ '*0x  "  )cof.(0-i  ■«") 
Cafus  XII   (ra__:-Wr) 

xxxddy-\-ccydx*zzo\  et  dz-\-zz-dx-i-ccx  udxz.o7 
erit  integrale  completum: 

1  +.**"(  1  -  J ;;/.  /T  +  *pl?r je")  fin.  (j  -  1 1  c x   ") 

f    -1  6  I  _  S  -  f 

^+^^,Hr^A:"-i^.rTT4-^;;,;7^,,)cof.($4-ii^,T) 

'Cafu^XlII  («^Va 
.4  •  — »* 

xx*ddy  -\-ccydx*zz.o\  et  </ 3 -+- 2  s</.r -+-<**•.*;   xzdx-0% 

erit  mtegrale   compietnm  : 
_  5  +fa™(  1  - ££_*  T?f  +  cf3TT^  "4-  -^--*  ")fin  (0 - 1 3  f  *") 

^-^(^^-^^^^V^Oco^O-ia^^ 
Caiiis   XiV  (w=:4-tf) 

_»_  — «-  2  8 

xxrtd'dy-\*ccydx*~o\  et  _fe ^g yrfti'^^: jc  J1dxzo, 
erit  integrale  corrpletum  : 

V-f-  Jb  jt "( 1 — f  ;«—*-  **+  ^.F*"-  ^f/^^V13-  (H 13  ™TI) 

Ex 


304.  DE  MOTV  CORDARVM. 

Ex  his  autem  fmgulis  valoribus  ipfms  y    eruitur    valor 

ipiuis  zzzjfz. 

80.  Quod  ad  ordinem  coemnentium  in  his  ex- 
preffionibus  attinet ,  is  ficillime  perlpicitur ,  fi  numeri 
impares  pro  i  fubftituendi  diftinguantur ,  prout  fint  for- 
mae  vel  +n-\-  1 ,  vel  4«-i  ; 

I.  Ita  11  fit  w_r  ^~   feu  i:_=4H-i-x  ,  crit 

a  —  n    ('»-+-■) 
**  —  f       tc 


*(".-*- 0      (;n  —  t )  fan-t-t) 


(n—  i)n  (n-f-i)    (-n  —  ■)  (2n  -4-  tX?  »-4-^> 


(n~i)K(n  +  i);n+  2)    ( 2 n  —  3 )( ? n  —  0 (a  *  -t-_0(?«  -4-  ») 

,.    *.    j.    *  i*  c* 

^n — iln — .  )n(  r.  -j-iyn-+-2)    (zK-zfan—i  )(2n-+-  Q(-n-4-iX?n-f-s) 

I.      2.      3-      4.      S  *  X5  C» 

etc. 
II.  Si  fit  mzz^r,  feu  i  = 48-x,  erit 

n  t »  « —  «) 

—  T*       jc 

{n— -i)n    (an—Ortn-f-!  ) 

~  T*  i*c* 

(n__  i)R(n-4-<)    (»1 —  7)  Un — 0(an-f-Q 

—  ~ 17  a.  ,       •  j»c»  — 

(n  —  i)(n-—.)n(n -f-i)    (8n—   K^n  —  Q(2n-f-*)  hn-f-  ?1 

—  C7r,r;~":-  *♦<:♦ 

«j  _ («— -Q (n-- ; )B(n-4-i)(n-4-0    lzn-s)(tn-3)(in-')Un-i->X*-hi) 

&—  >    j.    5.    4.    s  '  «*«* 

etc. 


THERMO. 


(     O     )     £«2§C*  305 

THERMOMETRI  METALLICI 

DESCRIPTIO. 

A  u  c  t  or  e 
I.     E.     ZEMERO. 

Exrtat  in  machinarum  phyficarum  thefauro  Illuftri?- 
fimi  Comitis  de  Loefer>  Saxoniae  Marefchalli  hae- 
reditarii  ,  artium  mechanicarum  magni  promotoris  , 
thermometrum  metallicum  ,  quod  ipfe  quidem  nun- 
quam  vidi  ,  cuius  autem  egregia  ftrmftura  ex  amici 
cuiusdam  defcriptione  mihi  innotuit  :  praemittere  hanc 
non  incongruum  fore  iudicaui  ,  priusquam  ipfam  inucn- 
ti  mei  delcriptionem  aggrediar  ,  quum  pofterius  inftru- 
mentum  in  priori  fit  fundatum. 

Thermometrum   autem  Loeferianum  e  quatuor  pa- 
rallelepipedis ,    feu  prismatibus  quadrangularibus  ,     vel  e 
flanno  puro,  vel  plumbo  mixto  ,  confe&is ,  AB,  DE,  Tab.  IV. 
G  H  ,  K  L  compofitum    eit ,   quorum   quodlibet   longi-  Fig.  1. 
tudine  pedem   Parifinum  parum  fuperat,  fecundum  latitu- 
dinem  autem  et  cradkiem  quatuor  lineas  circiter  adaequat. 
PrUma  AB  extremitate  A  fundo  X  Y  verticali   fitu   ert 
affixum,  altera  antem  extremitate  B  cum  extremitate  fu* 
periore  D,alterius  prismatis  DE,  fitu  verticali  defcendentis, 
ve&e  mediante  aurichalceo  BC  D  ita  conne&itur,  vt  mo 
tuscirca  puncfta  HIK  fieri  polfit.  Axis  C  receptaculi  pa-  . 
rieti  eft  arrixus-      Alterius  prismatis  extremitas  E  cum 
tertii  prismatis  GH  extremitate  G,  pari  modo  ope  ve- 
ftis  EFG  ,  cuius  axis  F  alteri  parieti  eft  atHxus,  con- 
Tom.IX.Nou.Comm.  Qq  iun- 


30*  DES  C  Rl?  TIO 

iungitur,  aeqite  ac  extremitates  HK  cnm  ve&e  HIK  conne- 
ctuntur  Quarti  prismatis  KL  extremitas  L  mediante  clauo 
rotnndo  2,  in  furcae  ML  rimam  fe(e  infinuaute,  rotam 
vrget  dentatam  NOP,  quae  aliam  minorem  Q_,  cui 
applitiu  e(t  ,  circummouet  ;  quo  fit  ,  vt  mdex 
polleriori  affixus ,  diuifiones  in  lin  bo  STV  fa&as  de- 
notet.  E  ftrucTura  huius  inftrumenti  elucet ,  fenfibili- 
tatem  eius  a  brachiorum  vectium  inaequalitatis  ratione 
maxime  pendere.  Ponamus  enim  ,  prisma  primum  a 
calore  vel  frigore  qnantitate  q  mutari ,  et  rationem 
inter  vecTis  crura  elte  vt  i  ad  3  ,  tunc  cruris  maioris 
extremiuis  cum  priemate  fecundo  connexa,  fpatium  per- 
curret  —  3_",  per  confequens  pri«ma  fecundum  protru- 
detur  3  q  ,  quod  ,  quoninm  pari  modo  a  calore  vel 
fr>gore  mutabitur  quantitate  q  ,  vecTem  fecundum  ,  qui 
fecundum  et  tertium  prisma  coninngit,  vrgebit  /±q\  hic 
autem  tertium  prisma  +q.  fr_ri2#;  tertium  porro  pris- 
ma  tertium  ve&em  *iq  \~  39q  '.  confequenter  fpa- 
tium  ab  extremitate  L  pris,matis  quarti  percurfum,  erit 
39?  H-<?^=  4-°^.  Vt  autem  formulam  generaliorem 
cruamus  ,  rationem  inter  vtcaque  crura  fupponere  hcet, 
vti  m  ad  n  ,  vbi  m  cruris  maioris,  n  vero  minoris  loa- 
gitudinem  denotat :  obtinebimus  tunc 
proprism.  i.q 

.     qm _  /    n-4-m  . 

3-^-+"n  1  —  )  —  ^( n» ) 

_    _-     .     m  f --+-_na-H-?nn-»--™a  \_  ^nM-^nM-™»*-*-7"^ 
f?T^  n*  J_<^  —  „_  ) 

,n4-f-rons-+-v,r,«_f_7r.*rc-t-w4  v 

5-  •_< «4 ) 

O.  _; „5  ). 

Qutim 


THERMOM.    METALL.        307 

Quum  inuentum  hoc  aptiilimum  mihi  vifum  fit 
fld  inftituenda  experimenta  ,  qualia  th^rmometrorum 
hnc  vsqne  vfitatorum  auxilio  inftitui  plane  nequeunt : 
non  dubito ,  fore  vtile  ,  fi  peculiarem  et  nouam  cus- 
modi  inltrumenti  defcribam  conftru&ionem  a  me  exco- 
gitatam  ,  cuius  imperfecliones ,  quibus  adhuc  forfan  la- 
borat ,  reiterata  cxperimenta  ,  cum  hoc  ipfo  inftituta  f 
m  totum  tollent.  Thermometrum  vero  hoc  metalli- 
cum  eum  in  finem  componcre  conatus  fum  ,  vt  par 
tim  pun&a  duo  conftantia  in  eodem  determinare  ,  par- 
tira  caloris  gradus  ,  mercurii  ebullicntis  gradum  longe 
fuperantes ,  nec  non  frigus  illud  ,  quo  fluidum  iftud 
metallicum  ipfum  coit  ,  metiri  queamus ;  cui  fini  fe- 
quens  cnnftructio  fatisfjciet  Xtb.-  IV. 

Conficiatur  lamina  ferrea  ABCD,  ac  prismata  Fig.  2» 
quadrangularia  E  ,  F  ,  G  ,  H  ,  I ,  K  ,  ex  argento  , 
quorum  primum  £  ad  L  bis  incuruatum  ,  mediante 
cochlea  a ,  firmetur  ad  laminam  modo  nommatam 
ABCD.  Ad  xy  exfcindatur  crena ,  cuius  \fus  inferius 
patebit ;  eidem  cochlea  a  imponatur.  Altera  extre- 
mitas  b  cum  vecte  bc  articuli  ope  conneftatur ,  pa- 
ri  modo  ac  prismatum  F  ,  G  ,  H ,  I ,  K  ,  extremi- 
tates  cum  vectium  extremitatibus  c  ,  d  ,  e  ,  / ,  gy  h  , 
i ,  k ,  / ,  vi.  Vedtium  axes  0  ,  0,0...  etc.  laminae 
ferreae  infigantur  vna  extremitate  ,  altera  autem  ve&i- 
bus  inferantur ,  ita  quidem  ,  vt  circa  illos  commouerc 
fefe  qucant.  Vltimi  vcdtis  crus  maius  on  indicis  mu- 
nere  fungitur  cufpidis  opc  n  y  diuifiones  in  limbo  A  B 
faclas  denotantis.  Hunc  limbum  ex  aurichalco  compara- 
re  oportet ,    vt  diuifiones  eo  melius  ac  commodius  in 

Qq  2  eodeoi 


3o&  DESCRIPTIO 

eodem  defignari  pofTmt.  Ad  partem  hminae  ferreae 
inferiorem  CDPQ  operculuin  RS  affigatur  mediantibus 
cochleis,  eo  modo,  vt  fpatium,  in  quo  prismata  vna  cum 
vedtibus  fuis  funt  contenta,  accurate  claudatur ,  excepto 
loco  PQ,qui  apertus  remaneat,vt  indcx  commoueri  queat. 

Si  quis  inftrumentum  in  metallum  quoddam  li- 
quefactum  immergere  velit ,  capfula  CDPQ  ad  craffi- 
tiem  vnius  circiter  lineae  vsque  Iuto  obducatur ,  non 
tantum  ad  metalli  liquidi  introitum  impediendum  ,  ve- 
rum  etiam  ad  omne  ,  quod  capfula  alias  pati  poflet , 
detrimentum  auertendum.  Lutum  hoc ,  expenmentis 
faclis ,  pro  lubitu  iterum  tollitur.  Quodfi  vero  circa 
frigus  artifkiale  experimenta  flnt  inftituenda  ,  thermo» 
metri  capfula  vernice  calida,  ex  lini  oleo  et  pice  con* 
fe&a,  eft  obducenda  ,  ne  metallum  ab  acida  mixtione, 
in  quam  immergitur ,  corrodatur. 

Thermometrum  Loeferianum  prismatibus  conftat 
e  ftanno  confectis  •,  quod  metallum  ad  obferuationes 
meteorologicas  inftituendas  aptiflimum  eft  ,  quia  muta~ 
tionem  prae  reliquis  omnium  patitur  maximam.  Quia 
vero  idem  fub  leui  caloris  gradu  liquefcit ,  et  per  con- 
fequens  experimentis  pyrometricis  inftituendis  non  con- 
venit  ,  argentum  elegi  ,  quod  et  difncillime  liquefcit , 
et  ratione  mutationis,  quam  a  calore  vel  frigore  pati- 
tur ,  ad  ftannum  feu  plumbum  proxime  accedit  ;  vti 
ex  Cel.  Bougueri  experimentis ,  Quitoae  factis  (*),no- 

tum 

(*)  Vid.  Memoires  de  1'Acad.  de  Sc.  ad  an.  1743.  p.  230.  etc. 
Cum  ftanno  ipfo  quidem  Cel.  Vir  experimenta  non  fecit ;  in- 
terim  quum  Cel.  Mufcbenbroek  ( vid  Tent.  Acad  del  Cment» 
P.  II.  p.  22.)  nullum  notabile  difcrimen  inter  plumbum  et  ftan- 
num  deprehenderit,  ynum  pro  altero  fubftituere  nulius  dubita. 


THERMOM.    METALL.        309 

tum  eft.  Rxperimenta  enim  h.iec  rrmltoties  repe- 
tita  Cel.  Virum  docuere ,  hexapedam  Parifinam  a  ni- 
vis  frigore  feu  congelatione,  ad  ebullitionem  vsque,  in 
ferro  ad  fJ£,  in  auro  Tg,  in  argento  TJi,  in  plumbo  *&  lin. 
pedis  Parif.  increfcere. 

Quodfi  igitur  affumamus  ,  longitudinem  prismatis 
inter  vtrumque  articulum  effe  iS  lin.  id  a  congelatio- 
ne  ad  ebullitionem  vsque  ad  ?|^,  lin.  extendetur  ;  po- 
namus  porro  ,  rationem  inter  vectis  crura  efie  vti  r 
ad  3,  habebimus  pro  fpatio  a  vectis  ol  crure  percur- 
fo,  fubftitutis  in  formuia  generali  (^^'"'^Wtn^.^ 
valoribus  in  cafu  hoc  fpeciali  affumtis  ^irtSgasiasaJ  x  8 1 
zr—^l ,  feu  diuilione  pera&a  ,  6J  fere  lineas.  Spatium 
hoc  quinti  ve&is  0  l  extremitas  /  percurrere  deberet  , 
nifi  lamina  ferrea  ,  cui  axes  vectium  funt  infixi  ,  ipfa 
volumine  fuo  increfceret.  Quum  vero  hoc  incremen- 
tum  in  ferri  fruftulo  t\  poll.  longo  ~  lin.  efficiat  , 
incrementum  relatiuum  -4~04y  ~  ~~  liri.  inuenitur  ; 
quod  pro  q  fubftitui  debet  ,  fi  fpatium  extrtmitate  / 
vere  percurfum  quaeramus :  calculo  autem  \ti  fupra 
pera&o  ,  2,  lin.  attinget.  Ad  vltimi  prismatis  incre* 
nientum  quod  attinet  ,  quum  5rai  lineae  non  excedat , 
negligi  poteft  Denique  fi  rationem  inter  indicis  crura 
fupponamus  vti  12  ad  1 ,  extremitas  n  (patium  per- 
curret  2 5  poll.  a  congelationis  pun&o  ad  gradum  vsque 
ebullitionis  aquae  :  id  quod  in  explorandis  infignibus 
caloris  vel  frigoris  gradibus  abunde  fufficiet ;  immo  in 
cafibus  quibusdam  e>g.  vbi  gradus  menfuiandi,  ipatium, 
Q^q  3  ebui- 


3io  DESCRIPT10 

ebullitionis  et  congelationis  pun&is  inclufum  ,  aliquotics 
excurrunt ,  i\  poll.  nimium  erunU 

Suppofuimus  in  formula  incrementorum  fuperius 
inuenta  ,  pnsmata  femper  vrgen  a  \e£tibus  fecundum 
dire&ionem  candem  ,  ac  inter  fe  manere  paraliela  ;  id 
quod  in  eo  tantum  cafu  locum  habet  ,  in  quo  \c<ftes 
fatis  funt  magni ,  ac  per  confequens  arcus  ab  lisdcm  de- 
fcriptus  ratione  radii  defcribentis  \alde  exiguus ,  vti  id 
ipfum  in  inftrumento  ad  obferuationes  meteorologicas 
adaptato  re  vera  obtinet.  Quum  autem  ih  inftrumcnto, 
gradibus  permagnis  caloris  vel  frigons  explorandis  in* 
feruituro ,  vetftes  neccflario  fatis  parui  euadant ,  ac  ve» 
clis  vltimi  extremitas  arcum  octauam  circuli  partem 
fuperantem  nonnunquam  percurrere  cogatur  ,  inaequali- 
tates  ab  hinc  ortas  fbre  vaJde  fenfibiles ,  hincque  non 
Tab.  IV.  negiigendas  effe  per  fe  patet.  Sit  enim  AD  ve&is  vl- 
ig*  3*  timi  crus  maius  ,  AK  prisma  cum  indicis  crure  mino- 
ri  I  L  coniunctum  ,  fintqne  ,  ne  res  nimis  complice- 
tur  ,  AD,  A  K  ,  K  L  ,  inter  fe  aequales  ;  moueatur 
porro  A  ad  B  ,  et  pun&um  K  transferatur  ad  H,  elu- 
cebit  tunc  ,  arcnm  A  B  maiorem  e(Te  arcu  K  H.  Cum 
cnim  finus  IHr=EG  —  FG,  EG  autem  zrCB,  fmus 
IH<£  erit  fin.  CB;  quo  fimul  confpicitur  ,  difTerentias 
(inuum  C  B  et  I H  eo  magis  crefcere  ,  quo  magis  cre- 
fcit  arcus  AB.  Qiiodfi  itaque  fpatium  ,  quod  punctis 
congelationis  atque  ebullitionis  aquae  includitur,  a  crure 
A  D  percurfum,  non  fit  arcus  ratione  radii  A  D  valde 
exiguns  e.  g.  circuli  pars  vigefima  ,  fpatia  aequalia  in- 
tcrmedia ,  punfto  A  defcripta  ,  tanquam  partes  sequa- 


THERMOM.    METALL.        31* 

les  in  fcala  afTumi  haud  poflfunt  ;  fed  fecundum  legem, 
qua  decrefcunt ,  in  eadem  defignanda  funt :  id  quod 
roethodo  lequenti  mechanica  optime  fieri  poffe  arbi- 
tror, 

Supinetur  in  niuern,  feu  glaciem  contufam,  ther- 
mometrum  ,  huicque  permaneat  immerfum  ,  donec  ad 
congelationis  pun&um  circiter  refrixerit  ;  quo  fa&o,  me- 
diante  cochlea  a.,  per  rimam  xy  inferta,  tam  prismata 
quam  vectes  coliocentur  in  fitum,  in  flgura  repraefenta- 
tum  ;  affigatur  dein  operculum  laminae  CDPQ,, 
omniaque  bene  claudantur ;  pundhim  denique  accuratius 
quaeratur  methodo  \ulgari  ,  nec  non  punctum  aquae 
ebuliientis.  Ducantur  in  charta  lineae  AD  ,  AK ,  KL,  jv  ^ 
et  quidem  ita ,  vt  L  K  ,  quae  crus  indicis  repraefentat 
minus  ,  aequalis  fit  cruri  indicis  maiori  mn  ,  reliquae 
autem  fint  proportionatae  eiJem  quod  rcpraeientant ; 
nempe  LK  crus  indicis  minus  mo  ,  AK  prisma  Im  , 
et  AD  vectis  crus  maius  ol.  Tunc  delcribatur  radio 
LK  arcus  K  H  ,  et  arcus  K  M  aequahs  fiat  arcui  np  , 
qui  fpatium  inter  congelationem  et  ebullitionem  deno- 
tat  ;  porro  AK  transfcratur  ad  MN,  fic  AN  erit  cir- 
culi  pars ,  quam  A  D  eodem  tempore  ,  quo  ;/  moue- 
batur  ad  p  ,  defcripfit.  Arcus  A  N  diuidatur  in  tot 
partes  aequales ,  quot  cuilibet  fcalae  congruunt  ;  fciiicet 
in  15  ,  fi  Delisliana  ifta  fit  :  non  enim  opus  eft  ,  \t 
mediante  hac  methodo  fingulatim  denctentur  gradus ; 
quippe  qui  poflea  interponi  coromode  qutunt.  Diui- 
fione  ad  A  N  focta  ,  fineulis  pundtis  circini  crus  impo- 
natur  ,  ct  altero  ,  fpatio  AK  a  pnori  diftante  ,  difiece- 
tur  arcus  K  M  in  tot  partes ,  quoc  diiufioaes  ad  A  N 


3ift  DESCRIPTIO 

fa&ae  funt ,  haeque  in  fcalae  arcum  transponantur.  Arcus 
autem  A  N  in  NB  transferatur,  ex  D  refecetur  H,  ac 
operatio  modo  defcripta  repetatur ,  et  (patium  a  Zero 
ad  gradum  vsque  150  Delislianum  (upra  pundum  ebul- 
litionis  diuifum  obtinebitur:  (ic  denuo  repeti  poteft  ope- 
ratio  infra  et  fupra  puncta  confueta  ,  prouti  res  illud 
poftulant. 

Supereft,  vt  difquiramus ,  an  contradtionis  vel  ex- 
tenfionis  inaequalitas  ,  quam  vtrumque  indicis  crus»  pati 
poteft ,  fi  thermometri  cap(ula  immergitur  v<*]ue  ad 
P  Q_,  quum  e  contrario  pars  AB  P  Q  relinquitur  li- 
bera  ,  fit  negligenda  ,  nec  ne  ?  Ponamus  itaque  ,  crus 
tno  efle  1  poll.  hexapedam  vero  parifinam  ferream  a 
niuis  frigore  ad  aquae  ebullitionem  vsquc  -~  lin.  incre- 
fcere  ,  vt  ex  praecedentibus  patet  *,  per  confequens  pol- 
licis  vnius  incrementum  aequale  erit  j~  lin.  quod  — 
longitudinis  cruris  integri  m  0  non  excedit  ;  differentia 
itaque  exorietur  in  fpatio  150  graduum  Delis/ianorum 
~  ,  pofito  effe&u  caloris  vel  frigoris  ad  0  penitus  eua- 
nefcente.  Quia  autem  fenfu  ftrictiori  hoc  locnm  non 
habet  ,  quoniam  efFe&us  in  ratione  diftantiarum  dupli- 
cata  tantum  euanefcit ,  variatio  inde  exoriunda  inluper 
etiam  minor  erit  ,  et  confcquenter  plane  negiigi  po- 
terit. 

Quum  taediofum  fit ,  immo  interdum  impoflibi- 
le  ,  in  ob(eruandis  caloris  gradibus  permagnis,  indicis 
apicem  oculis  perfequi ,  fummumque  denotare  gradum, 
ad  n  clauus  exacurns ,  ac  elatere  q  inftrudhis ,  cochlea- 
rum  /*,  /,  ope  affigatur,  limbusque  fuligine  obducatur; 
fic  ille ,  indice  Mq  mouente  ,  femitam  defcribet ,  cuius 

punctum 


TMERMOM.    METALL.        313 

pun&um  extremum  gradum  indicabit  fummum.  Hoc 
commodo  etiarn  vti  poffumus  abfentes  ,  in  obfer* 
vandis  fumrnis  atmofphaerae  noftrae  gradibus ,  tam  ca- 
loris,  quam  frigoris  ,  fi  loco  claui  chalybei  ftylum  e  ce- 
rflfB  confectum  infigamus ,  limbumque  papyro  obduca- 
mus  \  qua  praerogatiua  thermometra  vulgaria  plane  ca- 
rent :  quamuis  enim  in  hunc  finem  conftruftiones  eo- 
rum  variae  fint  excogitatae  ,  idem  tamen  longe  faci^ 
lius  thenxiornetr©  metallieo  obtinebkur* 


Tom.  IX.  Nou.  Comm.  R  r  THER- 


m  <&  ( ° )  4N* 

T  H  SR  MOMETRORV  M, 

PVNCTIS     CONSTANTIBVS     GAVDEN- 
TlVM,    EMENDATLQ. 


Q 


Auctore 
I.     E.     Z  E  I  H  E  R  O. 

uim  taediofrm  valde  fit,  tantos  labores  et  fumtu* 

ad  pernciendas  fcilas  metallicas ,  bulbo  vicreo 
fratfto  ,  fiiiilra  impendjfife  :  non  incongruum  fore  iudi- 
caui  ,  artificium  proponere,  malo  huic  auertendo  ido- 
neum  ,   fequens : 

Eiaboretur  buibus  ferreus  AB,  fundo  B  cochlea 
Tab  IV,  ca«a  inftru&us ,  et  ad  collum  A  perforatus.  Cochleae 
Fig.  4.  cauae  B  ad^ptetur  cochlea  fblida  F,  bulbo  AB  non 
modo  claudsndo  ,  fed  bulbi  fpatio  DE  etiam  augendo-, 
vel  diminuendo ,  wleruiens»  Colli  foramini  imponatur 
tubnlus  vitreus  DC,  ac  lithocolla  firrretur,  ita,  vt  prae 
fornice  D  non  promineat,  fed  extremitate  fua  inferiore 
luperficiem  fornicis  iufto  auingat. 

E.  defcriptione  liuius  bulbi,  feu  cylindri,  euidenter 
elucet ,  eum  ita  comparatum  eiTe  ,  vt  eiusdem  ope 
fpatium  inter  punctum  ebullitionis  et  congelationis ■,  de- 
terroinatae  magnitudinis  fcmpcr  obtineri  poffit.  Pona- 
mus  enim  ,  fpatium  inter  duos  terminos  confhntes  ma- 
iub  effe  fpatio  dato ,  ftatim  hoc  diminui  poterit  dimi* 
nuendo  bulbi  fpatium  DE^  fi  nimirum  cochlea  F  for- 
nicem  D  verfus  protrudatur ,  et  vice  verfa. 

Qiiodfi  nunc  cafu  fortuito  ditTra&um  fuerit  ther- 
naometrum ,  cylindro  modo  defcripto  ferreo ,  vel  etiarrn 

bulbo) 


THERMOMETROR.   EMENDATIO.      315 

bulbo  vitreo  communi  ,  inftru&um  ,  ac  defideretur  pro 
fcala  reiicta  ,  elegantiilrme  elaborata  ,  nouum  thermo- 
metrum  ,  cuius  nitio  bulbi  ad  tubulum  eadem  (it ,  ac 
in  priori,  cuiusque  puncla  fixa  cum  fcalae  punclis  coin- 
cidant  :  eligitur  tubulus  ,  cuius  diameter  diametro  prio- 
ris  circiter  aequalis  fit  \  infigatur  lithocollae  ope  in 
bulbi  ferrei  collum  A,  tuncque  cylindrus  AB  ac  aliqua 
tubuli  pars  repleatur  mercurio  ,  et  claudatur  me« 
diante  cochlea  F.  Notandum  autem  hic  eft  ,  fpatium 
a  duplicem  ob  finem  annulis  chartaceis  repleri  debere ; 
partim  vt  ,  cochlea  F  fortiuame  conftridta ,  penitus 
mercurio  praecludatur  exitus  ;  partim  vt ,  annulorum 
numero  pro  lubitu  aucto  ,  vel  diminuto  ,  fpatium  D  E 
vel  augeri  ,  vei  diminui  poflit. 

Thermometro  iam  repleto  ,  determinetur  vtrum- 
que  punctum  ,  ebullitionis  nempe  ac  congektionis ,  et 
comparetur  thermometri  noni  fpatium  cum  fpjtio  in 
fcala  relida  defignato.  Si  prius  e.  g.  maius  inuenitur 
pofteriore  ,  cochlea  F  foluta  ,  vnus ,  vel  duo  ,  tresuc 
annuli  chartacei  demantur  *,  quo  facto  ,  cochlea  F  ite- 
rum  immittatur  ,  firmiter  contorqueatur  ,  denuoque  fca- 
la  comparetur ,  donec  vnum  cum  altero  fpatio  coinci- 
d,\t.  Si  autem  fpatium  nouum  minus  fit  fpatio  in 
fcala  defignato  ,  finnuli  addantur ,   et  fic  porro. 

Spatio  modo  defcripto  priori  fado  aequali  , 
nihil  aliud  fupereft ,  quam  curare ,  vt  tubulus  iufta 
mercurii  quantitate  repleatur  ,  ne  pun&a  fixa,  aut  nimis 
aitum  ,  aut  nimis  profundum,  in  fcala  obtineant  fitum  : 
id  quod  ,  vnam  vei  alteram  mercurii  gtutulam,  vel  de- 
mendo ,  vel  addendo  ,   facillime  perfkitur. 

Rr  2  EAIEI::. 


EMENDATIO 

MICROSCOPII     SOLARIS. 

A  u  c"t  o  r  e 
F.    V.    T.     AEFINO. 

Qui  de  microfcopio  folari  ,  atqtie  laterna  magica , 
repraefentationi  obieetorum  non  diaphanorum 
feu  opacorum  apta  ,  cogitauit  ,  primus  fine  dubio  eft 
111.  Eulerus  ,  cuius  Diflertatio ,  fub  titulo  :  Emendatio 
Laternae  magicae  et  Microfcopii  folaris ,  inferta  no- 
vorum  Commentariorum  Academiae  noflrae  Tomo  III  , 
incommoda  et  vitia  vtriusque  mftrumenti  recenfet ,  at- 
que  commonftrat ,  pleraque  exinde  oriri  ,  quod  obiecTia, 
non  in  ea  parte  ,  quae  lenti  refringenti  eft  obuerfa, 
fed  m  altera  parte,  auerfa  nempe,  illuminantur,  vnde  hic 
praecipue  oritur  defectus ,  quod  vulgari  more  conftru- 
&a  microfcopia  folaria ,  aut  laternae  magicae,  exhibendis 
obieclis  non  pellucidis ,  omnino  fint  inepta 

Vir  ad  Opticam  excolendam  natus ,  Celeberrimus 
Lieberkuhn  ,  fuam  non  defiderari  pafifus  eft  diligentiam, 
an  perficiendo  inftrumento  ,  cuius  inuentor  eft.  Poft- 
quam  nempe  Eulerus  laternam  magicam  ,  opacis  ob- 
iecfrs  depingendis  idoneam  ,  felici  cum  fttcceflfa  conftrui 
fecerat ,  Lieberkuhnius  etiam  microfcopium  folare  imagina- 
tus  eft ,  atque  confecit  ,  quod  obiecta  non.  pellucida 
repraefentaret.  Teftis  fum  huius  rei  fide  dignus ,  qui 
non*  folum  ex  Viri  integerrimi  ore  hoc  accepi  ,  (td 
ipfum  quoque  inftrumentum  manibus  contrectauL     Mu 

rabun- 


EMENDATIO  MICROSC.  SOLAR.       317 

eabuntur  forte  Le&ores,  meam  aut  hebetudinem  ,  aut 
negligentiam  ,  quod  nihilominus ,  ignorare  me  penitus  , 
quaiis  fuerit  inftrumenti  eonftructio  ,  fatear  ,  nilque  am« 
plius  afiferere  valeam  ,  nifi ,  quantum  ex  adfpe&u  nudo 
iudicari  potuit ,  non  habuifle  ipfum  aliquid  ,  eum  con- 
iueti  microfcopii  folaris  ftructura  ,  commune.  Aft  (ci- 
ant  hi ,  vidiffe  me  inftrumentum  paucis  ante  Viri  de- 
fideratiftimi  praematuram  mortem  feptimanis ,  ingruente 
nocte  ,  ipfo  co  momento  ,  quo  relinquens  Lieberkub- 
nium  ,  domum  reuerti  volebam  ,  atque  diftulifle  me  , 
confulente  Ipfo  Celeberrimo  Viro ,  et  effectuum ,  et 
ftru&urae  inftrumenti  examen  ,  in  aliam  diem.  Q110 
minus  vero  humaniflimae  Lieberkuhnii  inuitationi  mo- 
rem  gerere  ,  meamque  fatiare  potuerim  auiditatem ,  im- 
pediuit  ,  in  quem  protinus  incidebat  Vir  Celeberrimus, 
morbus ,  qui  fatalis  ipfi  fuit.  Supereft  proinde  fine 
dubio ,  in  eo  ,  quem  reliquit  inftrumentorum  opticorum 
thefauro  ,  Lieberkubnius  ,  et  hocce  ,  cuius ,  cum  nulla , 
quod  fciam  ,  delcriptio  publice  haftenus  exftet ,  a  Viro 
autem  Celeberrimo  ,  qui  nil  moliebatur  inepte  ,  non 
nifi  egre^ia  fperanda  fint  ,  rogandi  omnino  funt  ipfius 
haeredes ,  vt  erudito  orbi  defcriptionem  microfcopii 
huius  impertiri  velint. 

Cum  proinde  in  rnicrofcopium  folare,  obie&is  opa- 
cis  aptum,  aequum  ius  habeant  Celeberrimi  Viri  Eulerus  et 
Ueberkuhnius  >  ac  pro  inuentoribus  procul  dubio  habendi 
fint,qtiam  hic  propono,  microfcopii  fblaris  emendationem, 
(etfi  et  haec,  ad  repraefentanda  obiecla  pelluciditate  caren- 
tia;  aptum  reddat  hoc  inftrumentum )  non  ea  mente  trado, 

Rr  3  quafi 


3iS     MICROSCOTII   SOLARIS 

quafi  microfcopii  folaris,  obieda  opaca  depingentis  ,  pri- 
mam  mihi  adfcribere  ideam  ,  velim. 

Sunt  plures  ,  qui  potTident  microtcopia  folaria  , 
vulgari  more  conftru&a  ,  hisque  gratiilimum  erit  fine 
dubio ,  fi  viam  ipfis  commonftrem  ,  quomodo  feruato 
toto  huius  inftrumenti  npparatu  ,  ita  adaptare  iftud  fa* 
cile  queant ,  vt  obie<5tis  opacis  depingendis  idoneum 
euadat  ,  iungcndo  folummodo  ipfi  machinulam  ,  hic  a 
me  defcribendam  ,  paucos  exigentem  fumtus ,  ac  ita 
fimplicem  ,  vt  a  rudiori  quouis  ,  inftrurnentis  mathe- 
maticis  parandis  modice  adfueto  opifice  ,  conftrui  facile 
queat. 

Cum  non  nifi,  quae  recenfui,  praeftare  animus  fit, 
neque  Eulerum  ,  neque  Ueherkuhmum  ,  neque  tandetn 
(  quod ,  ne  iniurius  fim  in  ClariiT.  Collegam  ,  reticere 
nequeo  )  Celeb.  Zeiherum  ,  laedere  mihi  videor.  Etfi 
nempe  quoqne  poftremus  hic,  iam  ex  aliquo  tempo- 
re  ,  de  conftruendo  microfcopio  folari  ,  obk&a  opaca 
depingcnte  ,  cogitauerit  ,  atque  dupliccm  eiusmodi  in- 
ftrumenti  conftru&ionem  imaginatus  fit ,  non  tamen 
neque  Iffe  ,  neque  Lieberhihmus  id  fibi  prcpofitum  ha- 
buerunt ,  quod  ego ,  vt  vulgare  microfcopium  folare 
ad  finem  huncce  adaptarent. 

Antequam  ipfam  inftrumenti  mei  defcriptionem 
aggrediar  ,  generales  quasdam  ,  microfcopiurn  folare  , 
opaca  obiecla  depingens ,  fpectantes  annotationes  afferre 
mihi  hceat.  Notabile  primum  accidit ,  quod  picturae, 
a  microfcopio  tali  formatae  ,  tanta  gaudeant  venuftate, 
quae  verbis  exprimi  difficulter  queat.  Obftupui  fcre 
ad  primum  adfpe&um  \  non  enim  pi&uram ,  non  ima- 

ginem 


EMENDATIQ  3x9 

ginem  ,    fed  rem  ipfam  conrpicerc  mihi    videbar  ,     in- 
cantatiouis  quafi  ope  in  prodigiolam   molem  adaucTranr. 

Quae  perft<ftionis  huius  caufa  fit  ,  non  ita  difB.- 
culter  concipitur ,  ac  a  duabus  potiffimum  circumftan- 
tiis  pendere  videtur ,  quarum  aitera  ab  111.  Eulera 
annotata  ,  altera  vero  negleeta  eft.  Eft  pofterior  haec, 
quod  mierofcopium  foiare ,  obiecta  opaca  depingens , 
depreftiones  ac  eleuationes  obiccli  partium  (  bas  relief 
▼ocare  foleut  Galli)  exprimat  ,  quod  quidem  microfco- 
pium  ,  non  niii  obiectis  diaphanis  aptum  ,  praefhre 
nunquam  pofle,  in  oculos  facile  incurrit.  Deinde  pictu- 
•rarum  pukhritudo  ,  prouti  annotauit  Eukrus  ,  nruignam 
quoque  partem  pendet  exinde ,  quod  a  microicopio 
obie&a  opaca  depingente  produclae  imagineu  ,  non 
prouti  iftae  T  quas  enormat  vulgari  modo  conftructurn 
microfcopium  r  prismaticis  coloribus  inquinatae  fint  , 
quod  quidem  in  pofteriori  hocce  ,  nullo  artificio  euita- 
li  pofte ,.  exinde  facile  patet ,  quoniam  radii  folis ,  ob- 
ieclim  tranfparens  depingendum  permeantes ,  necefiario 
in  colores  refoluuntur. 

Quamuis  autem  microfcopium  ,  opacis  obieetis 
depingendis  idoneum  ,  imagines  multo  elegantiores  ac 
▼ulgare  producat ,  cedit  tamen  huic  ,  quoad  augmen- 
fationem  ,  quam  imaginibus  conciliat.  Liquet  nempe 
£ne  negotio  ,  in  microfcopio  ,  transparentibus  obie&is 
apto  ,  omne  fere  lumen  ,  quo  illuftratur  obiectum ,  ad 
lentem  obie&iuam  pertingere  -f  aft  in  microfcopio ,  opa- 
ca  obie&a  depingente ,  incidens  m  obiectum  lumen 
quaqua  verfus  difpergitur  ,  neque  ,  nifi  minima  ipfius 
f  ars  j  in  lenticulam  incidit.     Si  ergo  ponas  ,  obieclum 

in 


3*0  EMEKDJT10 

in  vtroquc  microfcopio  aequaliter  illnminari ,  et  imagi- 
nem  ad  aequalem  vtrinque  gradum  amplificari ,  neces- 
fario  ,  quae  a  pofteriori  microfcopio  efTormatur  imago  f 
multo  obfcurior  erit ,  quam  quae  a  priori  producitur» 
Si  itaque  fatis  claras  ,  ope  microfcopii  pofterioris^ 
picturas  obtinere  \oluerimns ,  necefle  erit ,  vt  amplifi- 
catione  multo  minori  ,  quam  quidem  per  vulgare  mi- 
crofcopium  obtineri  poteft,  contenti  fimus. 

Videtur  quidem  facile  huic  defectui  remedium 
inueniri  pofle  \  nulla  enim  alia  re  opus  e(Te  videtur , 
nifi  vt  maior  lucis  copia  in  obie&um  coniiciatur,  quanl 
in  vulgari  microfcopio  fieri  folet ,  quod  quidem  ,  ope 
aut  fpeculorum  ,  aut  lentium  ,  efficere ,  in  poteftate 
noftra  fitum  eft  :  Aft  vereor  nihilo  minus  ,  ne  imti 
fint  conatus  ifti  \  vix  enim  fieri  poffe  puto  ,  vt  multo 
maiori  luce  obiectum  colluftretur  ,  ac  in  vulgari  mi- 
crofcopio  fieri  folet.  Defumuntur  namque  obiecta  pro 
microfcopiis  pleraque  ,  aut  ex  vegetabili ,  aut  ex  ani- 
mali  regno  ,  e;usmodi  vero  corpora  calorem  vehe- 
mentiorem  perpeti  nequeunt ,  absque  eo ,  vt  aut  com- 
burantur,  aut  corrumpantur.  Liquet-autem,  fohs  radios, 
pro  intendenda  lucis  vi ,  in  arctius  fpatium  cogi  non 
poffe  ,  absque  eo  ,  vt  calor  in  eadem  ratione  augea- 
tur  ,  ac  lucis  energi3.  Dantur  itaque  certi  limites ,  a 
natura  praefcripti ,  quos ,  fi  attingere  ,  nunquam  tamen 
tranfcendere,  nobis  licet. 

Ipfum  inftrumentum  a  me  inuentum  ,  cuius  ope 
microfcopium  vulgare,  depingendis  obiecti*  opacis  aptum 
reddo  ,  ex  binis  laminis  orichalceis  circularibus,  brachio 

prae- 


MICROSCOTII   SOLARIS.     321 

praeditis ,  ac  articulatlone  inter  fe  iundis ,  conftat. 
Exhibet  ipiarum  primam  ,  Fig.  1.  et  2,  ateram 
Fig.  3.  et  4.  Figura  autem  6  ipfas  fiftit,  et  inter  ie, 
ct  microfcopio  deblta  ratione  iundas. 

Partium  iftarum  prior  AB,  Fig  1.  et  2,  ex 
anteriori  parte  arTerruminatum  gerit  cyhndrum  cauum 
orichaiceum  ab,  lineam  eiieiter  altum  ,  cui  exterius 
incifa  eft  cochlea  mas ,  quae  quidem  cochlea  inferuit , 
iungendo  inftrumento  mco ,  microfcopio ,  loco  con* 
fuetae  lenticulae  obiectiuae.  Area  circularis,  ab  hoc  cy- 
lindro  ccmprehenfa  ,  duplici  foramine  pertufa  eft  \  in- 
flrius,  (emicirculari  c,  cuius  radius ,  radio  areae  aequa- 
lis>  \  fuperius ,  circulari  d  ,  cuius  diameter  diametri 
areae  dimidia  eft  (*  >.  Pofteriori  buic  toramini  inferitur 
Itns  1  bie&iua  d,  quae  io  inftrumento  ,  quod  nuper  pa- 
rari  f\ci ,  focum  h:iKt,  5  aut  6  circjter  linearum. 
Inftrius  anncditnr  hmc  paiti  arricuLrio  A,  cnius  ope 
alteri  purti  ,  mox  eidaibendae,  iungrtur,  iiiperius  vero 
braJiii.m  CB  annexi  ro  gtrit,  verlus  e  perforatum  , 
per  quod    fbrameo    cochleaj^,  Fig    6    transn  ittitur. 

Secunda  inftruroenti  par« ,  AB,  Fg.  3.  et  4.  t 
itidem  cucularis  eft  ,  (iroilen  que  ,  ac  prior  ,  artieulatio- 
jicm  et  bidchium  annexum  habet.  Antcriori  ipfius  fu- 
puficiei  afferruminatnm  cft  fpeculum  planum  ab  , 
aut  nietailicum  ,  aut  vitreum  ,  nihil  enim  refert ,  quale 

hoc 

(*)  Pro  arcendis  radiis,  lentem  iufto  obliquius  permeantibus ,  con- 
ducit,  vt  a  paite  poflica  afTerruminetur  huie  foramini  tubulus 
orichalceus ,  eiusdem  diametri  cum  foramine ,  \  aut  f  polh 
circiter  longus. 

Tom.  IX.  JNou.  Coram.  S  s 


322  EMENDATIO 

hoc  fit.  Speculum  hoc  in  femicircularem  elaboratum 
eft  fi^ur.im  ,  ac  tantae  eft  rragnitudinis ,  vt  foramen 
femicirculare  partis  prioris ,  £,  Fig.  i.  et  2.  exadc 
repleat  Eo  vero  in  fitu  iunctum  eft  fpeculum  ab , 
laminae  A  C  >  vt  fpeculi  atque  laminae  fuperficies  fupc- 
rius  couiergint  parumper,  atque  inferius  diuergant,  an- 
gulo  15  circiter  aut  20  graduum.  Supra  (peculum 
hoc  ,  foramine  elliptko  c,  quantum  fieri  poteft  ma- 
gno ,  pertunditur  lamina  AC  ,  cuius  ellipfeos  axis  ma- 
ior  verticalis ,  comugatus ,  horizontalis  eft. 

Iunguntur  hae  partes ,  Fig.  6,  AB,  AC,  opc 
articuli  A  ,  ita  vt  forcipis  inftar  bruhia  aut  iungi , 
aut  feparari  a  fe  inuicem  queant.  Per  foramina  nem- 
pe  /  et  i,  tranfit  cochlea  mas/>,  parumper  incurua, 
cui  aptata  eft  cochlea  foemina  bg  ,  alis  inftru&a ,  in- 
ter  brachia  vero  DB ,  EC ,  interferitur  elater  mny 
vnde,  prouti  cochlea  hg  aut  adducitur,  aut  relaxatur , 
pars  AB,  aut  ad  altcram  AC  accedit ,  aut  ab  ipfa 
rece'it,  fimul  vero  inclinatio  fpeculi,  parti  AB  iunc1:i, 
pro  lubitu  variatur. 

Q_a  ratione  hoc  inftrumentum  microfcopio  iun- 
gatur  ,  euidcnter  fuis  cx  Fig.  6".  intuitu  patet.  Eo 
cnim  loco  ,  cui  inferi  folet  in  microfcopio  vulgari  len- 
ticula  obie&iua  ,  iungitur  ,  cochleae  ab  ,  Fig.  1.  2. 
ope  ,  ita  vt  brachia  verticaliter  fint  erecla.  Quo  vero, 
qna  rati^ne  in  ipfo  inftrumenti  v(u  procedendum  flt , 
luculenter  pateat  ,  Fig.  7  contemplemur.  Dirig^nrur 
nempe  radii  folis  ,  a  lentd  collecliua  ,  anteriori  micro- 
fcopii  folaris  parti  inferta,  in  conum  colleclii  ,  ita,  vt 
conus  radiorum  folarium  cdba  incidat  in  medium  fpc- 

culi 


MICROSCOPII   SOLARIS.     323 

culi  mn.  Laxando  tum  ,  aut  adducendo,  cochleam gb, 
ea  concilietur  fpeculo  mn  inclinatio  ,  vt  repercuffi  ab 
ipfo  radii ,  incidant  in  obie&um  ,  ad  e  f  fitum ,  «tque 
ita  difponatur  microfcopium  ,  *vt,quantum  fieri  poteft, 
diftincta  folis  imago  formetur  ad  ef.  Ab  illuminato 
hac  ratione  obiefto  redeuntes  radii ,  ac  incidentes  in 
lenticulam  obiecTiuam  k  ,  tranfeuntes  per  foramen 
ellipticum  r s ,  in  aliquot  pedum  diftantia ,  fuper  tabu- 
h  alba  nitidiilimam  formant  obiecti  picturam. 

Binae  ad  manus  e(Te  debent  laminae,  tales,  qua- 
lem  exhibet  Fig.  5.  ABCD,  quibus  affigi  poiTunt 
obiecta  ,  altera  nigra ,  ex  ebeno,  altera  alba,  ex  ebo- 
re  conftans ,  pro  diuerfitate  coloris  obiecti  depingendi. 
Glutine  iungere  foleo  his  laminis  obiecta  ,  docuit  enim 
me  experientia  ,  pi&urae  elegantiam  valde  turbari ,  ll 
aut  lamina  vitrea  ,  aut  tenui  Talci  fblio  ,  prouti  alias 
fieri  fblet  ,  contegatur;  roultoque  nitidiores  haberi  ima- 
gines  ,  fi  nudum  exponatur  radiis  folaribus  obiectum. 
Lamina  ifta  ABCD  ita  introducitur  inter  laminas 
pr  ,  qs ,  Fig.  6.  pqrs  Fig.  5  ,  vt  inferius  fbraminis 
circularis  abcd  dimidium  abc  apertum  relinquatur , 
radiique  fblares  ab  ,  cd ,  Fig.  7  ,  hbere  ad  fpeculum 
mn  pertingere  queant.  Superius  vero  fbraminis  abcd 
dimidium  adb  ,  a  lamina  ABCD,  Fig  5.  contegi- 
cur ,  laminaque  affixum  gerit  obie&um  ad  m. 

Etfi  hoc  meo  additamento  infignem  me  ele- 
gantiffimo  inftrumento  conciliafTe  perfedionem  ,  aiTe- 
rere  audeam  ,  omnino  tamen  mereri  videtur  ,  vt 
pro  ipfius  perfectione  vlterius  adhuc  ftrenue  laboretur. 
Ex    aliquo    tempore    eapropter    in    mentem    induxi , 

S  s  %  vniuer- 


SH  EMENDATIO 

vniuerlam  ipfius  theoriam  ad  Optices  principia  data 
©pera  expendere,  quod,  an  a  quoquam  hactenus  factum 
fit ,  ignoro.  DifFerre  autem  iam  cogor  hoc  ne- 
gotium  ,  vsque  dum  alii  quidam  ,  quos  prae  manibus 
habeo,  labores  abfoluti  fint ,  quod  cum  fa&um  fuerit, 
non  folum  theoriae  roicrofcopii  folaris  elaborationem,  fed 
ct  artificii  cuiusdam,  quod,  prouti  auguror,  infigniter  ad« 
huc  perficere  poteft  inftrumentum  ,  exactiorem  defcrip* 
tionem  Academiae  polliceor.. 

Breuem  nihilo;  minus  artificii  huius  expofitionem 
adiungere  ftatim  placet ,  quo  in  anteceffum  ,  quid  ,  ex; 
Clariff.  Coileg  urum  iudicio,  de  ipfo  fperandum  fit ,  ex- 
plorem.  Adhibemus  hac"tenus>  microfcopio  folari  ,  len- 
ticulam  vnicam;  obiectiuam  ,,  aft  nonne  nouas  aliquas 
huic  inftrumenro  conciliare  poffumus  perfectiones ,  (i 
ad  fbrmarrdam  imaginem  plures  adhibeamus  lentesl- 
Aliquam  talem  ex  veftigio  indicare  valeo;.  No- 
tum  eft,  lentis  vnius  folitariae  campum  repraefentatio* 
nis  nullibi  terminari ,  nullisque  limitibus  definitis  effc 
circumlcriptum.  Euenit  hinc ,  vt,  quamdiu  in  microfco- 
pio  folari  non  nifi  vnicam  adhibemus  lenticulam  ,  prae- 
ter  aream  ,  obie&um  comprehendentem  ,.  ac  a  folari- 
bus  radiis  illuftratam  ,  quae  dire&e  oppofita.  eft  lenticu- 
lae  obieftiuae  ,  etiam  reliqua  puncla  ,  quaquauerfus  a 
latere  extra  aream  iHuminatam  fita  ,,  fimul  depin- 
gantur.  Sic  autem  non  folum  mtiltum  lucis  inutilis  in 
cameram  obfcuram  intromittitur  ,  fed  ctiam  inelegans , 
oculosque  fpectatoris  valde  offendens ,  oritur  fpe&acu* 
lum  ;  puncta  cnim  a  latere  fita  partim  obfcure  ,  cum 
non  fint  fatis  illuminata,  panim ,  ob  valdc  obliquam  ra- 

diorura 


MICROSCOPII   SOLARIS    325 

diorum  incidentiam  ,  admodum  confufe  depinguntur.  Si 
autem  duabus  vtamur  lentibus  ,  tuboque  ipfas  includenti 
inferamus ,  vbi  vtriusque  lentis  foci  concurrunt ,  annu- 
lum  circularcm  debitae  magnitudinis  ,  alia  longe  res  eft, 
tum  enim  campus  admodum  acute  terminatur,  nullique, 
nifi  qui  ad  imaginem  pingendam  requiruntur,  radii,  ca- 
meram  intrant.  Infigniter  hac  ratione  iuuari  pofTe  pi- 
cturarum  ,  quae  a  microfcopio  folari  formantur ,  elegan- 
tiam  ,  auguror ;  hanc  enim  fblam  ob  rationem  laternae 
magicae  ,  duplici  lente  obiectiua  praeditae  ,  longe  prae- 
ftantiores  inueniuntur  iis,  in  quibus  non  nifi  vnica  lens 
fola  adhibetur,  Certus  itaque  fum  ,  imaginum  a  mi- 
crofcopio  folari  produ&arum  elegantiam  augeri  infi- 
gniter  pofle  ,  fi  pluribus  vtamur  lentibus  obie&iuis  ;  an 
vero ,  quoad  diftin&ionem  quoque ,  aliquis  exinde  ipe- 
rari  queat  frnctus ,  altioris  aliquantum  eft  indaginis ,  at- 
que  nec  aflerere,  nec  negare,  ftatim  audeo  ,  nifi  poft- 
quam  inftrumenti  theoriam  penitus  explorauero ,  quod. 
alio  loco  ac  tempore  praeftiturus  fum. 


S  s  3  DIS- 


DISSERTATIO 

DE     EXPERIMENTO    QVODAM    MAGNETICO 

CELEBERR.  DOMINI  DU  FAT,  DESCRIPTO 

IN    COMMENTARIIS    ACAD.    SCIENT. 

PARIS.  A.  MDCCXXX. 

A  u  d  o  r  e 
F.  V.  T.  AEPINO. 

,  I  n  retta    interminata    D  E  ,    Fig.  i .    capiantur    duo 

X  puntta  A  ,  B  ,  quorum  dijlantia  AB  — a.  Fingan» 
tur  haec  pun&a  agere  Jecundum  rationem  dijiantiarum 
inuerfam    in   punfium    mobile    C    vtcunque    ajjumtum , 


ca  lege ,  vt  punBum  A  repellat  ,  B  vcro  attrahat 
punttum  C  ;  JintquQ  intenfitates  virium  punfforum  A  et  B 
aequales.  Quaeritur  vis  ,  #«#  Jollicitatur  punffum  C  , 
;«  dire&ione  reftae  D  E  paraUela ,  <s  C  <z;^j  dextram% 
aut  verjus  E. 

Demiffa  perpendiculari  CH  ex  puncto  C  in  re- 
&am  DE  ,  dictaque  HCzrj'  ,  AHrz*  ,  erit  ex  fta- 
tica  virium  refolutione ,  vis ,  quam  pundtum  A  direcle 
in  pundtum  C  exercet ,  ad  vim ,  qua  punctum  C  folli- 
citatur,  in  direftione,  rectae  DE  parallela  ,  vti  AC  ad 
AH.  Si  ergo  adio  pundi  A  in  punctum  C,  exhi- 
beatur  per  ^-  ,  erit  vis  ,  qua  pellitur  punc*tum  C  ver- 
fus  E~^r *&-£ -p.  Simili  ratione  inuenitur  vis , 
qua  pun&um  B  follicitat  pun&um  C ,  in  dire&io- 
ne  ub — -jci — —  j-^^^r— ,.     Binae  ltaque  vires, 

pim- 


DE  EXPERWENTO  MAGNETICO.     3*7 

pun&um  C,  in  direftione  DE  parallela,  \erfus  E  vr- 

gentes,    fimul  uimtae  ,  erunt   zz&~+y  -t-  "(a  — x)»-*-j« 
—  °2  ^ x  —  g  6  ««  h-  g  fr  >!_ 
— (*'-+-j,)(a  -*>*-*-  y*Y 

Vt  loca  inueniantur  ,  in  quibus  haec  \is  euane* 
fcit ,  ponendum  eft  abx  —  abx-^-aby^  —  O)  \nde 
obtinetur  y%±z x*— ax.  Defcripta  itaque  hyperbola  ae- 
quilatera  ,  habente  axin  transuerfum  ,  re&am  A  B ,  at- 
que  \ertices ,  puncta  A  et  B  ,  erit  \terque  huius  hy- 
perbolae  ramus  ,  AM,  BN  ,  ea  proprietate  praeditus, 
\t ,  fi  punctum  C  ponatur  \erfari  \bicunque  in  ipfius 
perimetro,  ducaturque  per  punctum  C  re&a  FG  , 
D  E  parallela  ,  pundlum  C  in  directione  redae  F  G 
non  magis  in  \nam  ,  quam  in  alteram  \rgeatur  partem. 
Euidens  porro  eft ,  quamdiu  punctum  C  in  fpa* 
tio  interminato  MABN  ,  a  recta  AB  ramisque  hy- 
perbolicis  A  M  ,  B  N  comprehenfo,  reperitur  ,  follicitari 
iftud  perpetuo  \erfus  E  ,  quam  diie&ionem  fupra  tan* 
quam  pofitiuam  aflumfimus  ;  quam  primum  autem  pun- 
ftum  C  in  fpatiorum  interminatorum  DAM,  EBN, 
alterutrum  intrat ,  \im,  qua  \rgetur,  in  negatiuam  tran- 
fire  ,  hincque  \erfus  D  dire&am    efle. 

Cogitetur,  pun&um  C  percurrere  rectam  intermi- 
natam  F  G  ,  rectae  D  E  parallelam  ,  atque  liquet , 
interea  dum  punctum  C  tranfit  per  re&ae  F  G 
partem  QP  ,  inter  binos  hyperbolae  ramos  inter- 
ceptam ,  \im  ,  qua  \rgetur  punctum  faepius  dictum 
\erfus  E  ,  a  o  increfcere  ,  tum  \ero  denuo  \s« 
que  ad  o  decrefcere  debere  ,  vnde  confequens  eft  ,  ca~ 
dere  inter  puncta  P  et  Q^  \num    aut    plura    puncta  , 

in 


3*s  BE    EX?ERIMENTO 

in  quibus  vis  corpufculum    C  follicitans   fit    maximum 
aut  minimum  quoddam. 

Si  porro  pundtum  C  a  purt&o  P  abeat  verfus 
G  in  inflnitum  ,  liquet  ,  dum  infinite  dillat  a  pun&is 
A  et  B  ,  adlionem  horum  pun&orum  in  punctum  C 
euadcre  nullam.  Vis  itaque,  qua  pundlum  C  follicita> 
tnr  verfus  F  ,  interea  dum  a  P  in  infinitum  abit ,  a  o 
increfcit  ,  et  decrefcendo  denuo  ad  o  reuertitur  ,  vnde 
rurfum  in  re&am  indefinitam  PG  cadere  debet  vnum 
aut  plura  puncta  ,  \bi  vis  ,'eorpufculum  C  follicitans  , 
eft  rraximum  ,  aut  minimum.  Omnino  fimile  ratioci- 
nium    valet    pro  recta  Q_F. 

Vt  loca  iftorum  maximorum,  aut  minimorum,  in- 
veniantur  ,  confideretur  y  tanquam  conftans,ec  corfuc- 
ta  methodus  adhibeatur.  Obtinetur  fic  diflferentiale  vis 
punctum  C  vrgentis  capiendo ,  atque  iftud  poncndo 
"zz  o  : 

x  —  \ax  —zy  x  -f-  3  ay  x  —  za y  x-\-\a  y  rr  O. 
+.«  ax  -  \a  x*  -  3  y*  x  -+-  \ay* 
cx  qua   aequatione  refoluta  dantur  x  ,   quae    pro    quo- 
\Y6  y  dato  ,  vi  maximae  ,  aut  minimae  ,  rtfpondent. 

Si  in  aequatione  ifta  y  fumatur  variabilis ,  de- 
finit  ipfa  liream  ea  proprietate  praeditam  ,  vt  ,  fi  in 
diftantia  quacunque  C  U  ~y  ngatur  rtcla  indcfinita 
FG,  rcclae  AB  parallela  ,  rc&a  haec  FG  fecet  li- 
neam  iftam  ,  iis  in  pundlis ,  in  quibus  fi  Verfetur  pun- 
tfum  C  ,  maximam  ,  aut  minimam  ,  ab  a&ione  pun- 

ctorum 


M  A  G  N  E  T  I  C  CX  329 

ctorum  A  €t  B ,  patiatur  follicitaxionem  ,    iti  directio- 
ne .,  rectae  AB  parallela. 

Vt  uaturam  huius  lineae  perfpiciamus ,  annotamus 
primum ,  aequauonem  pro  ip(a  inuentam  admittere 
diuiforem  iationalem  x-%zzo.  Linea  itaque  ,  quam 
confideramus ,  complexa  eit .,  ac  praeter  curuam  quan- 
dam  quarti  ordinis ,  re&am  1K  ,  ex  puncto  medio  re- 
clae  AB  perpendiculariter  ere&am,  comprehendit ,  qua- 
propter  dum  punctum  C  in  hac  linea  1K  deprehendi- 
tur ,  perpetuo  aut  maximam  aut  minimam  patitur  (ol« 
licitationem  ,  quod  quidem  etiam  ex  folo  problematts 
intuitu  ,  absque  calcnlo,  perfpici  potefl. 

Diuifo  aequatioiie  ftipra  fuppeditata  per  fa&orem 
x—  \azzzo  ,  prodit  aequatio  quarti  ordinis 

x  -4-  2  a  xz  -j~  2  y*  x*  —  2  ayz x  -4-  ay*  zz  o. 
~a  x  H-3.7 

quae  de-flnit  -cnruam  quarti  ordinis  ,   Nm  cum   recta  1K 
probiemati  noflro  fatisfacier-tcm. 

Cum  ex  intuitu  problematis  pateat  ,  partem 
huius  curuae  a  rec~ta  I  K  verfus  finiftram  fitam  , 
fimilem  et  aequalem  effe  debere  parti  ,  quae  ca- 
dit  \erfus  dextram  ^  facilis  et  expedita  eft  iiuius  aequa- 
tionis  refolutro.  Sequitur  nempe  hinc  ,  fi  n  et  m  fint 
radices  huius  aequationis  ,  reliquas  duas  fore  a  —  n  ec 
a—m.  Vnde  obtinentur  hae  quutuor  aequationis  Qo* 
ftrae  radices: 

Tom.  IX-  Nou.  Comm.  f  c  J -+- 


330  DE    EXPERIMENTO 


4-Vo; 

!-Ha* 

4 

■4-7  ^  4/ 

-+-«' 

-             0 

—  V*y 

4 

-Kr  ^+r* 

-t-«< 

^J^ 

-f-fV 

*-f-a* 

4 

'-+-a« 

4 

-yV+y' 

-+-*• 

±1^ 

_  yiy- 

-/V  +  / 

•w 

=*"' 

quarum  aequationum  quaeuis  aliquem  curuae  ramum  de« 
finit ,  quatuor  vero  ifti  rami  vniuerfam  curuam  con- 
ftituunt. 

Liquet  porro,  aequationes  pro  x°  et  x'  ,  et  fi- 
militer  aequationes  pro  x"  et  x/y/  ,  fuppeditare  ramos 
per  fecte  fimiles  et  aequales  ,  pofitione  folummodo  dif- 
ferentes  ,  vnde  opus  non  eft ,  nifi  vt  confideremus  ae- 
quationes  pro  xf  et  xf" ,  quae  quippe  fuppeditant  di- 
midium  curuae  ,  a  re&a  IK  verfus  finiftram  cadens. 

Ramus  in  aequatione  pro  x'  comprehenfus,  ad  x 
negatiua  pertinet ,  et  ex  pun&o  A  exeundo ,  femperque 
magis  magisque  ab  axe  recedendo  ,  in  infinitum  abit. 
Ponendo  nempe  jro  ,  fit  x* -±%- %~zo  ,  ac  prae- 
terea  quantitas  V t2l±._L2  _^ y  y  ^y2  ^.  az  quantitate  \ 
femper  maior  eft  ,  crefcenteque  y  continuo  fimul  in- 
crefcit. 

Alter  ramus ,  ex  aequatione  pro  xt/f  oriundus, 
itidem  exit  ex  pun&o  A  ,  aft  verfus  x  pofitiua  in- 
fL  ctitur ,  et  recedendo  ab  axe  ,  pertingit  ad  reclam 
I  K  ,  in  qna  terminatur  in  puncto  L  ,  tali ,  vt  fit  IL 
=  777-  Ponendo  nempe  primum  ;ro,  fit  x/hcz% 
-£~o.     Deinde  vero  ponendo  j ~  -$~ ,  erit  x'" -  f , 

augendo 


MAGKETICO.  33i 

augendo  autem  y    vltra    limitem   ~^-5  ,  fit  y//;  irragi. 
narium  ,  vnde  ramus  hic  in  pundto  L  terminatur. 

Curua  iuque  quaefita  ducturn  habet  RBLAS, 
(jmilisque  eius  pars ,  qualis  deorfum  ,  etiam  fupra  axin 
furfum  cadit,  quod  monuilTe  fufficit,  cum  fub  confide- 
rationem  noftram  hatc  pars  non  cadat. 

Ducta  iam  recta  indefinita  FG  ,  axi  AC  pa- 
rallela ,  duplex  accidere  poteft  cafus :  vel  enim  y  ,  re- 
dtae  FG  refpondeas  ,  minus  eft  7^1  >  vel  hac  quan- 
titate  maius.  Primo  cafu  quinque  dantur  punda ,  ia 
quibns  f  g  curuam  R  B  L  A  S  et  rectam  1  K  fecat , 
pun&a  nempe  t ,  s ,  v,  r  ,  w  ,  vnde  fi  pundlum  C 
percurrere  ponatur  redlam  fg  a  dextra  verfus  finiftram  , 
ad  t  erit  vis ,  qua  fbllicitatur  verfus  / ,  maxima  ,  ad  p 
nulla  ,  ad  s  maxima  verfus  g  ,  ad  v  minima  ,  ad  r 
rurfum  maxima  ,  ad  q  denuo  nulla  ,  tandemque  ad  w 
rurfus  maxima  ,  aft  iterum  verfus  /  directa. 

Si  iam  vlterius  crefcere  ponatur  y  ,  fiue  fi  recta 
j g  motu  fibi  parallelo  ab  axe  remoueatur  ,  punda  in- 
terlectionum  s  ,  v  ,  r  ,  continuo  ad  fe  inuicem  magis 
rragisque  accedunt  ,  fadoque  y  zr  ^  ,  fiue  tranleunte 
refta  fg  per  pnndum  L,  inter  fe  et  cum  pundto  L 
confunduntur.  Augendo  vero  y  adhuc  vltra  limitem 
~  ,  punda  lnterfeaionum  ,  r  et  s  ,  redtae  fg ,  cum 
parte  curuae  BLA  ,  fiunt  imaginaria.  A  ttrmino  ita- 
quej/  =3y3,  vsque  in  infinitum,  non  cadit  in  fpatium 
KBAM  ,  nifi  vnicum  maximum  ,  interfedione  rectae 
FG    cum    retfa  1  K ,  in  pundo  V,  deterrninatum. 

Tt  a  Vato- 


332        DE    EXPERIMENTO 

Valores  maximorum  et  minimorum,  de  quibus 
ha&enus  locuti  fumus,  fme  difficultate  reperiuntur;  nou 
enim  opus  eit  ,  nifi  vt  valores  ipfius  x  ,  maximis  aut 
minimis  relpondentes ,  introducantur  in  formuiam  fupra 
repertam  , 

o*  b  xg  —  a  b  x*  -<-  a  b  y* 
(  **-f-J2J  (*«*  —  *)l-HJl) 

vim  ,  qua •  pundhim  C  iolhcitatur  ,  exprimentera.     Re- 
peritur  hac  ratione 

1-  Si  y<rh 

ab' 
minimum  cadens  ad  t?  :z:  +  Q»    •-   i- 

*£ 
maximum  cadens.  ad  rz='-+ 


maximum  cadeas.ad  »137— — ' — ;     a  -- ~ r 

II.  Si/  vel=,vel>77-f. 


maximum  cadens  ad  V  — 


maximum  cadens  ad  W~  — 


y 

ab 


Ex  harum  formularum  intuitu  fine  negotio  patet  , 
maximum  pofitiuum  ,  maximo  negitiuo  ipfi  reipnn- 
dente  ,  femper  maius  eflfe.  Si  enim  primum  confide- 
remus  cafum  ,  vbi  y<^~t5  ,  maximum  pofitiuum  ca- 
dens  ad  r  fuperat  maximum  negatiuum  cadens  ad  w , 
quantitate  V»     Deinde  vero  ,  fi  fueritj'>l^,    dieo 

maxk 


MAGNETICO.  333 

maximum  pofitiuum  cadens  ad  V,  fore  itidem  femper  ma* 
ius,  maximo  negatiuo  cadente  ad  W.  Facili  nempe  calculo 
demoriftratur,quantitatem  ^TQt  quantitate  -^4^=^^ 
maiorem  efic  ,  modo  fit  /^^^^-^)  Ynde  a 
fortiori  ,  prior  quantitas  polleriorem  certe  fuperat,  6 
fuerit  />>!*- 

Corpufculum  C  inclufum  fingatur  tubo  <x(3, 
cuius  medium  pu-n&um  occupet  ,  fitque  pun&um  C  , 
mobile  quidem  in  tubo  a.j3  ,  fed  non  fine  difrkultate 
quadam  ,  fingaturque  Iiaec  dirHcultas  fimilis  efle  friftio- 
ni  ,  ita  ,  vt,  fi  ponatur  difficultas  haec  ma  ,  vis  par- 
ticulam.  C  vrgens  erTcctum  forciri  queat  nullum  ,  nifi 
ipfa  maior  fit  a.  Concipiatiir.  denique ,  percurrere-  tu- 
bum  a  (3  ,  cum  corpufculo  fibi  indufo  ~  reetam  FG, 
ea  feiuata  lege  ,  vt  tubus  a  (3  perpetuo  in  fitu  rectae 
AB  paralklo  detineatur. 

Dico  iam  i)  duci  femper  poffe.  rectam  aliquam 
GF  vel  gf,  re&ae  DE  parallelam  ,  ea  proprietate 
praeditam  ,  vt  fi  tubus  a  (3  vltra  hanc  re&am  remo- 
veatur  a  DE,  aclio  punct<mim  A.  et  B  in  pun&um 
C  impar  fit  refifteutiae  a.  fuperanjae  ,  hincque  effe- 
£um  fortiatur  nullum. 

Ponatur  nempe  maximum    pofitiuum    cadens    ad 

ab  

V>  fiue  TZ^J-a>*^entJ-Va-±-aly    vbi   *  ita 

aflumtum,   fingimus ,     vt   reddat     quantitatem   y    fiue 
^-7>r*T     FiatlV^V^,    ac    dudh   per 

Xt   1  jBBftf 


234         DE    EKPERIMENTO 

pun&um  V  redh  FG  ,  re&ae  DE  parallela ,  per  fe 
patet  ,  fi  tubus  a  (3  percurrat  rectam  quandam  ,  vltra 
FG  a  D£  diftantem  ,  erTectum  oriri  pofle  nullum  , 
fed  corpufculum  C,  tubo  a  (3  inclufum,  ex  loco  fuo  non 
dimoucri.  Si  vero  tubus  faepius  didus  percurrat  ali- 
quam  re&arum  ,  rcctae  D  E  propinquiorum ,  ac  FG, 
dari  punctorum  A  et  B  in  corpufculum  C  aliquam 
aftionem  ,  itidcm  per  fe  manifeftum  eft. 

Si  vero  calculus  commonftret ,  a  eiusmodi  ha- 
bere  valorem  ,  vt  reddat  formulam  V^  - a- <  777  > 
ponatur  maximum  cadens  ad  r,aut  s,  fiue  ayN ^r^t^yf-  a> 
quae  aequatio  fuppeditat  y~V — —^L— .  ,  lumtaque 
lvzzV — ~b2  b ,  ductaque  recta  fg  per  punctum  v, 
reclae  DE  parallela ,  pro  recta  Jg  iam  eadem  vale- 
bunt ,  quae  in  cafu  praecedente  pro  recta  FG  locum 
babebant. 

Sit  iam  2.)  in  Fig.  2.  rec*ta  FG  ea,  quae  fpa- 
tium,  vbi  adio  in  pundum  C  nulium  habet  efFedlum  , 
feparat  a  fpatio,  vbi  aliquem  producere  debu  effectum , 
(  quae  an  cis,  an  vltra,  pun&um  L  ,  Fig.  1.  cadat  , 
iam  pennde  eft  ,  )  et  euidens  quidem  eft ,  effedum 
folhcirationis ,  qua  vrgetur  corpufculum  C ,  interea  dum 
tubus  a  (3  percurrit  cuiusdam  rectarum  ,  quae  cadunt 
inter  F  G  et  D  E  ,  partem  ,  inter  binos  hyperbolae  ra- 
mos  APiVl  ,  BQN  interceptam  ,  in  eo  conliftere,  vt 
cor  ufculum  C  pfotrudatur  verfus  tuni  extremitaterr  (3; 
in  fpatio  enim  ifto  fuilicitatio  pofitiua  eft,  et  verfus  G 

dire- 


MAGNETICO.  335 

dire&a.  Si  vero  tubus  vlterius  promoueatur  ,  et  tran- 
feat  in  fpatium  iaterminatum  DAPF,  vbi  Ibllicitatio 
fit  negatiua  ,  mamfeftum  eft  ,  duplicem  accidere  pofle 
cafum.  Si  nempe  maximum  negatiuum  ,  in  quod  in 
fpatio  D  A  P  F  incidit  corpufculum  C,  maius  fit  a,  pri- 
or  effectus  deftruitur ,  et  corpulculum  C  verfus  tubi 
extremum  oppofitum  a  retrahitur ;  contrarium  vero  ao» 
cidit ,  fi  maximum  hoc  negatiuum  fuerit  minus  a. 

Ponamus  ea  proptcr  maximum  negatiuum,  in  quod 

incidit  corpufculum  C,  fiue         -~£ :  —  a,acerit 

ex  hac  formula  yzz  -==J==.     Fiat  Iv  — 


V4aJo  +  sa6'  V+a2a-+-«  a6  > 

quae  quantitas  femper  minor  eft  IV,  ductaque  reda 
fg  ,  re&ae  DE  parallela  ,  per  re&as  fg  ,  FG  ,  vni- 
verfum  fpatium  diftributum  erit  in  tres  partes  inter- 
minatas  DE/g,  fgbG  ,  et  FGMN,  ea  lege  , 
vt ,  fi  tubus  a  (3  percurrat  reclam  aliquam ,  reclae 
DE  parallelam,  in  quouis  modo  dictorum  fpatiorum 
diuerfus  producatur  efFectus.     Namque 

i)  Si  tubus  a  (3  pertranfeat  fpatium  DE/f  , 

a)  in    fpatio    EB#£    corpuicnlum    C    propellitur 

verfus  extremitatem  a7 
(3)  in  fpatio  BqpX  retrahitur  verfus  (3  ;    denique 

vero 
y)  in  fpatio  DApf  rurfum    verfus    a    rctrorfum 

propelhtur. 
a)  Si  tubus  a  (3  percurrat  fpatium  gf¥G, 

a)  quamdiu  reperitur    in   fpatio  gqQG  corpufcu- 

lum  C,  ex  loco  fuo  non  dimouetur, 


S3*  DE   EX  PERIMENTO 

(3)  in  fpatio  #/>PQ.  ptopellitur  verfus  (3, 
y)  in  fpatio  fpPF  a&io  in  punctum  C  nullum 
habet  efTe&um  ,    atque   corpufculum  C  a  pun~ 
cto  p  ,    verlus  quod  in  fpatio  qpFQ  propul- 
fum  erat ,  non  dimouetur. 
3)  S\  tubus  tranfeat  per    fpatium    FGMN,    a&io 
punctorum  A  et  B  in  corpufculucn  C  nullum  ha- 
bet  erTedum  ,  vnde  tubi  medium  perpetuo  occu- 
pat. 

Ex  confiderationibus  hactenus  profatis  ,  pure  analyticis  „' 
combinatis  cum  principiis ,  ad  quae  theoriam  magne- 
ticam  deduxi ,  in  lentamine  meo  7  heoriae  Ek&ricitatis 
et  Magnetismi  ,  profluit  fponte  quafi ,  explicatio  phae- 
nomeni  cuiusdam  magnetici  valde  mirabilis  ,  cuitis  in- 
ventor  eft  111.  aaturae  fcrutator ,  Celeb.  du  Fay , 
quodque  propriis  ipfms  vcrbis  defcribere  mihi  li- 
ceat.  HJe  rapporterai  a  cette  occafion  une  Exptrience, 
qui  ne  fe  trouve  dans  aucun  des  Auteurs ,  qui  Jont  venus 
a  ma  connoifjance  ;  ceft  que,  fi  Von  gliffe  une  aiguiJJe  a 
Ja  dijiance  d'environ  deux  Jignes  des  armures  ttune  Pier- 
re ,  fans  toucher  a  la  Pierre  ,  il  tfimporte  pour  cet 
effet  qtfon  la  glifje  du  Nord  au  Sud ,  ou  du  Sud  au 
hord ,  oit  meme  quon  la  tienne  immobile  pendant  un  in- 
Jlant  j  a  quelque  dijlance  des  armures  \  elle  acquiert 
dans  ces  trois  c  a  s  une  diretlion  JembJable  a  ceJJe^  qu'el/e 
auroit  ,fi  on  Ja  pojoit  fimplement  fur  les  armures  de  la 
Pierre,  et  qtfon  la  retirat  enjuite  paraJleJement  hVaxe> 
et  tout  oppofce  a  ceUe  ,  qiCelle  auroit  contra&ee  5  fi  on 
Vavoit  glijjce  dhtn  bcui  a  Fautre  jur  Jes   deux    armures 

de 


MJCNE7IC0.  337 

ie  la  Tierre.  „     Vid.  Memoires  de  FAcademie  Roiale 
des  Sciences  Tann6e  1730.  pag.   219.  Edit?  Amftelod. 

Repetens  hoc  experimentum ,  non  (olum  mira- 
bundus  phaenomeni  veritatem  deprehendi ,  fed  fimul 
quoque  obferuaui  circumftantias  aliquas ,  111  du  Fay  e- 
quidem  ,  vt  credere  fas  eft  ,  non  incognitas  \  non  tamen 
diftinfteab  ipfo  enunciatas ,  quas  adducere  operae  prae- 
tium  iudico. 

Sit  in  Fig.  3.  ABCD  magnes  armatus ,  cuius 
poli  artificiales  fint  A  et  B.  Aflumtis  aliquot  filis , 
ex  ferro  molli  conftantibus  ,  craftitie  ,  qualis  eft  cala- 
mi  anferini  ,  circiter  gaudentibus ,  longitudinis  4  aut  5 
pollicum  ,  quale  in  figura  exhibetur  per  a  (3  ,  bina  fe« 
quentia  inftituebam  tentamina; 

I.)  Fili  extremo  a  applicabam  polum  B  ,  atque 
magnetem  per  totam  fili  longitudinem  producebam ,  ita 
vt  polus  B  praecederet  ,  A  vero  fequeretur ,  vsque  dum 
polus  A  ad  extremum  (3  perueniflet ;  remotoque  tum 
magnete  ,  videbam  filum  a  (3  magneticum  factum  fuitfe 
ca  lege  ,  vt  extremum  a  polo  A ,  extremum  (3  polo 
B  homogeneum  acquifiuerit  magnetismum. 

II.  Repetebam  idem  experimentum  ,  vnica  hac 
intercedente  differentia  ,  quod  magnetem  ab  immediato 
cum  filo  a  (3  contadu  ,  interpofito  parallelipipedo  li- 
gneo  E  F ,  Fig.  4  ,  arcerem  ,  tumque  deprehendebam : 

a)  Si  diftantia  inter  magnetem  atque  filum  admo- 
dum  parua  erat  ,  eundem  oriri  effe&um  ,  ac  in  expe- 
rimento  praecedente  ,  vbi  magnes  filum  actu  continge- 
bat.     Si  vero 

Tom.IX.Nou.Comm.  V  v  (3) 


333  DE    EXFERIMENTO 

(3)  retentis  reliquis  experimenti  circumftantiis 
omnibus ,  magnetis  a  filo  diftantiam  magis  magisque 
achugebam  ,  perueniebatur  tandem  ad  locum  talem , 
vbi  tentamen  omnino  contrarium  fortiebatur  euentum. 
Fili  nempe  extremum  a  polo  B  ,  extremum  (3  po- 
lo  A  homogeneum  acquifiuerat  magnetismum. 

Diftantiae  ,  in  qua  admiranda  haec  effectus  ex- 
perimenti  commutatio  contingebat ,  dimenfionem  ex- 
actam  eapropter  non  addo  ,  quoniam  pro  circumftan- 
tiarum  varietate  ,  magnis  variationibus  ipfam  fubieclam 
efle  deprehendi. 

Difquifitiones,  antea  a  me  prolatae ,  ad  hocce 
tentamen  fine  negotio  adaptantur.  Sint  in  Fig.  i .  et  2, 
pun&a  A  et  B  magnetis  cuiusdam  poli ,  et  A  quidem 
pofitiuus ,  B  vero  negatiuus  ipfius  polns.  Tubi  a  |3 
vices  fuftineat  filum  ferreum  magnetifandum.  C  fiC 
fluidi  magnetici  quaedam  particula  ,  in  filo  ferreo  a  (3 
reperiunda  ,  quae  dum  ferri  poros  tranfit  ,  difficultatem 
quandam  experiatur ,  quae  ra,  tandemque  fingatur, 
actionem,  qna  poli  A  ec  B  follicitant  magnetici  fluidi 
particulam  C  ,  exerceri  ea  lege  y  vt  fecundum  inuer- 
(am  diftantiarum  rationem  decrefcat ,  atque  ftatim  pa- 
tet ,  fuperius  tradita  ratiocinia  omnia  huc  trahi  pofte. 
Si  itaque  filum  a  (3  percurrat  fpatium  DEg/,  fluidum 
magncticum  ,  poft  experimenti  inftitutionem  verfus  ct 
condenfatum ,  verfus  (3  rarefactum  deprehendi  debet. 
Si  vero  filum  a  (3,  vltra  rectam  fg,  a  magnete  remo- 
veatur ,  atque  tranfeat    per    fpatium   fgGF>    prorfus 

coa- 


MAGNETICO.  339 

contrarius  oriri  debet  euentus ,  atque  abfoluto  cxperi- 
mento  fili  extremurn  (3 ,  vltra  quantitatem  naturalem 
magnetico  fluicio  repletum ,  extremum  vero  a  infra 
hanc  quantitatem  euacuatum ,  obferuabitur. 

Non  ofFendere  poterit  lec"tores ,  rite  rem  confi* 
derantes ,  quod  fictas  hypothefes  hic  adfumferim  ,  qua- 
les  funt ,  quod  polorum  magnetis ,  qui  tentamini  ad- 
hibetur  ,  vim  in  punfta  A  et  B  coactam  fuppofuerim, 
quodque  exerceri  magneticam  attra&ionem  et  repulfio- 
nem  fecundum  diftantiarum  rationem  inuerfam  ,  admi- 
ferim.  Satis  enim  liquet ,  quomodocunque  haec  omnia 
immutentur  ,  prodituras  perpetuo  conclufiones ,  iis,  quas 
ex  fictis  hypothefibus  elicui ,  quoad  principaliores  cir- 
cumftantias ,  omnino  fimiles ,  quod  pro  fcopo ,  quem 
hic  intendimus ,  abunde  fufficit. 

Nouum  in  hac  differtatione  accipiunt  fpecimen 
naturae  fcrutatores ,  quantum  theoria  mea  magnetica  , 
jn  Tentamine  Theoriae  Elefiricitatis  et  Magnetismi , 
expofita  ,  cum  phaenomenis  difficilioribus  ,  naturae 
confuetudini  ad  primum  intuitum  contranis ,  3tque  val- 
de  paradoxis ,  confentiat.  An  itaque  vanitatis  reus 
agendus  ero  ,  fi  fatear ,  de  die  in  diem  me  magis 
magisque  perfuafum  euadere  ,  hypothefm  admodum 
probabilem  phaenomenorum  magneticorum  me  orbi 
erudito  propofuiffe  ? 


Vv  2  ADDL 


ADDITAMENTVM 

AD    DISSERTATIONEM    D£    EXPERIMENTO 

MAGNETICO,    CELEB.    DN.   DU  FAT,  CON- 

TINENS  NOVA  EXPERIMENTA  MAGNE- 

TICA    DETECTA  ET   EXPLICATA. 

Auctore 
F.     V.     T.     A  EPIN  O. 

Hoc  praecipue  fingulare  habent  vis  eledlrka  et 
magnetica  ,  quod  perfaepe ,  phaenomenorum  ab 
ipfis  pendentium  apparente  quadam  inconftantia ,  na- 
turae  fcrutatorem  confundant.  Dantur  nempe  cafus 
plurimi,  vbi  idem  experimenturo ,  aliquoties  repetitum, 
diuerfos ,  immo  interdum  omnino  contrarios  producit 
effc&us ,  etfi  vel  perfpicaciflimus  nullam  ,  in  ratione 
tentamen  inftituendi  ,  detegere  valeat  circumftantiarum 
varietatem  ,  quae  tanta  efTet  ,  vt  producendae  mirabili 
huic  in  fucceflu  varietati  ,  par  videri  pofTet. 

Ex  quo  methodo  Newtoniana  binas  fupra  nomi- 
natas  vires  examinare  incepi  ,  faepe  mihi  contigit  ,  vt 
experimentorum  ,  miranda  eiusmodi  inconftantia  Philo- 
fophis  crucem  figentium  ,  enodationem  reperirem  ,  cir- 
cumftantiasque  euoluerem  ,  quae  variabilitatis  effcdtuum 
caufae  exiftunt  ;  fique  fateri  licet ,  quod  fentio  ,  hoc 
inter  praecipua  theoiiae  meae  praefidia  numero  ,  quod 
plurimis  eiusmodi  phaenomenis  paradoxis  tam  apte 
confentiat,  vt,  fi  non  pro  ip(a  naturae  hypothefi,  pro 

taii 


EXPERIMENTA     MAGNETICA.        341 

tali  tamen  fme  dubio  habenda   fit  ,    quae   naturae     hy- 
pothefi  tuto  fubftitui  potcft. 

Praecedens  differtatio,  cuius  hiec  additamentum 
eft  i  tale  exemplum  fiftere  potuit  ;  aft  contigit  mihi 
nuper  ,  adhuc  vlterius  in  disquifitionibus  iftis  progredi , 
atque  theoriae  meae  magneticae  innixa  fynthefi ,  talu 
detegere  phaenomena  ,  quae  ,  nifi  caufam  ipforum  iam 
antea  cognitam  habuiffem  ,  in  ftuporem  coniicere  me 
debuiOcot. 

Recordari  poterunt  leclores  ex  dilTertatione  prae- 
cedenti  phaenomenorum  et  ratiociniorum  ,  quorum  ex- 
pofitionem  ipfa  continet,  ynde  absque  noua  rei  expli- 
catione  ,  filum  ratiociniornm  meorum  denuo  prehecde- 
r€ ,  et  vlterius  progredi    licebit. 

Sit  vniuerfum  fpatium  ,  cis  re&am  indefinitam  Tab.  Vll 
ED  (Fig.  2.  Differt.  praeced.)  fnum  ,  per  reclas/^, 
FG,  ita  diftributum  ,  vti  in  DifTertatione  praecedente 
expofitum  eft ,  atque  liquet  ,  C\  puncftorum  A  et  B 
diftantia  imminuatur  ,  reliquis  circumftantiis  omnibus 
non  mutatis ,  confequens  inde  efle  debere  ,  quod  recta 
fg  propius  propiusque  in  indefinitum  accedat  ad  re- 
ct.am  DE,  tranfeuntem  per  pun&a  A  et  B.  Cum 
nempe  redtae  fg  diftantia  Iv  ab   AB  fit  — j-~J^=  m 

*  J  °  v*a2<7-hsa&  ' 

haec  vero  quantitas .  modo  reliquarum  literarum  valor 
non  mutetur  ,  decrefcat ,  decrefcente  a  ,  de  propofiti 
veritate  faciie  conftar. 

Quodfi  haec  ad  magnetem  adpiicemus,  obfefuan- 
dum  eft  ,  puacta  ,   ia  quae  magneticorum  polorum  vis 

V  v  3  vniuer- 


3*2  EXVERIMENTA 

vniuerfa  coac*h  fingitur ,  non  in  ipfas  polorum  extre- 
mitates  cadere,  fed  ipfis  ad  aliquam  profimditatem  im- 
merfa  efle.  Quodfi  ergo  detur  magnes  M,  Fig.  i. 
cuius  poli  funt  valde  propinqui ,  fieri  poteft ,  vt  recta 
fg  reclae  AB  propinquior  fit ,  quam  polorum  ex- 
tremitates  mny  pq.  Quodfi  ergo  filum  ferreum  «(3  po- 
lis  vel  maxime  ad  ipfum  vsque  contactum  admoueatur, 
atque  more  du  Fayano  ftringatur,  nihilominus  is  efle 
debet  expenmenti  euentus  ,  vt  extremum  fili  a  polo 
B,  extremum  vero  (3  polo  A  ,  euadat  homogeneum  , 
qui  effectus  du  Fqyanis  experimentis  omnino  aduer- 
fatur. 

Anfam  praebuere  haec  ratiocinia  cxperimento 
fequenti  : 

Exper.     I. 

„Magnetes  artificiales ,  AC,  DB,  Fig.  2.  ae- 
33qualium  circiter  virium ,  tabulae  impofui,  vt  ad  C,  D, 
„fe  contingerent ,  verfus  A  et  B  vero  aliquantum 
„  diuaricarent ,  polique  A  et  B  eflent  heterogenei.  Plura 
„poftea  fila  a|3,  eiusdem  longitudinis ,  fex  circiter 
„pollicum  ,  ex  eodem  filo  ferreo  ,  modice  duro,  cras- 
^fitiei,  qualis  eft  calami  anfenni ,  abicidi ,   tumque 

i)  „diuaricare  feci  extrema  magnetum  A,  B,  tres 
„circiter  pollices  ,  filoque  a(3  ad  polos  admoto , 
„ftrictoque  more  du  Fayano ,  eundem  ac  Dn.  du 
^fay,  reperi  euentum  ;  abfoluta  nempe  operatione 
,,erat  extremum  a  polo  A,  (3  vero  polo  B  homoge- 
„neam. 

*) 


MAGNETICA.  343 

2)  ,,  Tum  fenfim  (enfimque  parallelipipedorum  di- 
„varicationem  imminuebam  ,  et  experimentum  ,  qua- 
,,vis  vice  nouum  adhibendo  filum  a(3,  repetebam  , 
„fubque  initium  efTe&us  idem  inde  refultare  pergebat, 
„vt  antea.  Aft  cum  eatenus  imminuta  eflet  diftantia, 
„  vt  poli  A  et  B  non  nifi  dimidium  circiter  pollicem 
,,a  fe  inuicem  diftarent ,  euentum  omnino  contranum 
„fortiebatur  tentamen.  Iam  enim  a  polo  B,  (3  vero 
„polo  A,  homogeneum  monftrabat  magnetismum. 

Quanta ,  quaefo ,  admiratione  percelli  debuiffet 
naturac  fcrutator  ,  qui  ,  per  innumera  tentamina  ,  de 
expenmenti  du  Fayani  veritate  conuictus ,  fortuito  in 
magnetem  incidilTet ,  qui  omnino  contrarium  dedirTet , 
euentum  ? 

Pergamus  vlterius.  Pendet  rectae  fg  ab  AB 
diftantia  (Fig.  2.  Differt.  praeced.)  itidem  ab  ct,  fic  vt 
reliquis  valoribus  non  mutatis ,  cum  a  decrefcente , 
diftantia  haec  adaugeatur.  Cum  nempe  fit  ipfa 
zz I v zzz -z — r^a  j  ex  ipfo  formulae  intuitu  de 
propofiti  veritate  conftat.  Quodfi  itaque  duo  diuerfa  fila 
ferrea  ,  alterum  mollius ,  alterum  durius  adhibeantur  , 
fic  ,  vt  pofteriori  maius  refpondeat  a,  ac  priori  ,  fieri 
poterit  ,  vt  pro  duriori  filo  recta  fg  vltra  polorum 
extremitates  mn.pq,  Fig.  1.  pro  molliori  vero  citra 
ipfas  cadat ,  tumque  mollius  filum  ,  polis  adirotum  ec 
more  du  Fqyano  ftrictum  ,  euentum  du  Fayanum  ,  du- 
rius  vero,  omnino  contrarium  monftrabit ,  fic  vt  idem 
magnes ,     fub    iisdem  apparenter  circumftantiis ,    mox 

hunc, 


34*    EXTERIMENTJ. 

hunc,  mox  oppofitnm  praeftet  effe&um.     Etiam  haec 
ratiocinia  per  experientiam  comprobata  funt. 

Exper.     IL 

„Aliqua  filorum  a(3 ,  qualia  in  experimento 
^,praecedente  adhibueram  ,  ignitionis  ope ,  admodum 
„mollia  reddebam.  Admotis  tum  virgarum  AC, BD, 
„extremis  AB,  Fig.  2.  ita  propinque  ad  fe  muicem, 
„vt  in  filo  duriori  ,  prouti  in  exper.  1.  accidebat , 
„effec1:um  du  Fayano  contrarium  producerent ,  feruata 
,,hac  diftantia  ,  filum  molie  tcntamini  adhibebam  , 
„tumque  euentus  ,  experimento  du  Fayano  penitus 
„  confentiens ,  deprehendebatur. 

Simile  quid  ,  quale  in  hoc  experimento  contin- 
git ,  alia  quoque  ratione  obtincri  poteft ,  vt  nempe 
idem  magnes  in  bina  ferramenta  diuerfa  prorfus  con- 
trarium  edat  effectum.  Commonftrat  hoc  ,  fequens 
experimentum  : 

Exper.    III. 

„FiJum  fcrreum  molle  a  |3  (  Fig.  2.  Differt. 
„  praeced. )  ftringatur  magnete,  more  du  Fayano  ,  eliga- 
„  tur  vero  talis  rectae ,  quam  percurrit  a  (3  ,  ab  A  B 
,,diftantia  ,  vt  haec  recta  fita  quidem  fit  in  fpatio 
vgf  DE  ,  aft  redae  fg  fit  fatis  propinqua  ,  et  filum 
„  a  (3  iam  ea  ratione  magnetificabitur ,  vt  extremum  a 
„polo  A  ,  extremum  0  polo  B  euadat  homogeneum. 
„Tum  filum  ,  ex  duriori  conftans  ferro ,  prioris  loco 
„adhibeatur,  et  percurrat  eandem    re&am  ,   ac    filum 

.,  mol- 


MAGNETICA.  345 

^  mollius ,  ct  modo  rite  electa  fit  diftantia  ,  quod  vno 
valteroque  vago  tentamine  facile  obtinetur ,  euentus 
„erit  omnino  contrarius  ,  extremum  nempe  a  durio- 
„ris  huius  fili  erit  polo  B ,  et  ipfius  extremum  (3 
„polo  A  homogeneum. 

Caufa  huius  phaenomeni  per  fe  in  oculos  incur- 
rit ,  ac  in  eo  fita  eit ,  quod  antea  monftraui ,  rectam 
fg  pro  a  minori  magis ,  pro  a  maiori  minus  ,  di- 
ftare  ab  AB. 

Erat  tandem  in  experimento  du  Fayano  perinde, 
fiue  filnm  apa  dextra  verfus  finiftram  ,  fiue  a  fimftra 
verliis  dextram  ducebatur.  Incidi  autem,  per  exadius 
theoriae  examen  ,  in  methodum  ,  qua  effici  poteft  ,  vt 
contrarius  exoriatur  cuentus  ,  fi  filum  contrariis  promo- 
veatur  direftionibus.  Vniuerfum  myfterium  huc  redit , 
vt  magnetem  nobis  paremus,  cuius  alter  polus  infigni- 
ter  fortior  fit  ,  quam  alter  ,  quod  magnetum  artificia- 
lium  ope  efficere  facillimum  eft. 

Pro  diftindliore  rei  comprehenfione  aliqua  in- 
digemus  analyfi.  Supponamus  puncta  A  et  B,  Fig.  3. 
prius  repellere  ,  pofterius  attrahere  punctum  C  ,  viri- 
bus,  quae  funt  ^ti  diftantiae  AB,  BC  ,  inuerfe  ,  afl: 
intenfitates  virium,  quas  vtrumque  punftum  exferit,  fmt 
diueriae  ,  ita  vt  prior  habeat  indiccm  intenfitatis  b , 
pofterior  c.  Sit  DAr:DB=:«,Dffi~^Cwrw. 
SJ  iam  quaeratur  vis ,  qua  pundtum  C  vrgetur  in  di- 
rectione  reclae  A  B  parallela  verfus  E  ,  fimili  ratioci- 
nio  ,  quo  in  DifTertatione  praecedente  vfus  fum  ,  per- 
venitur  ad  formulam 

(c—  b)  **  —  (c  -+-b)axi  —  (c —  b)(a* —  m*  )  x -+-(c-+-b)(a* -t-ain*) 
x*  -f-"i  (  m*  —  a2  )  **  -+.  (  m*  -+-  c*) 

Tom.JX.Nou.Comm.  X  x  Per- 


34-*         EXFERIMENTA 

Percnrrentc  punfto  C  rectam  G  F ,  A  B  paral- 
lelam  ,  cum  x  variato  fimul  variatiir  haec  folhcita- 
tio  ,  et  interdum  nulla  euadit.  Vt  puncta  ,  vbi  hoc 
contingit,  determinentur  ,  frac*tionis  humerator  euanefce- 
re  poncndus  eft  ,  vnde  obtinetur ,  pofito  breuitatis  cau- 
fa    Hri  —  ff »   haec  aequatio  trium  dimenfionum : 

x*— jji ax%  —  ( a  —tn)x-\-\x.[ a*  -\-a?n  ) 
quod  indicio  eft,  tria  dari  poffe  puncti  recftie  FG,  vbi 
fi   conltituitur  corpufculum  D  ,   follicitatio  in  directione 
re&ae  AB  parallela  verfus  E  fit  nulla. 

VJterius  haec  aequatio,  ex  noto  Theoremate  Har- 
rioti,  feu  Cartefii,  quamdiu  jji  eft  pofitiuum,  i.  e.  quam- 
diu  c  eft  maius  £,  binas  habet  radices  pofitiuas,  vnamque 
negatiuam  ;  (in  vero  jx  fit  negatiuum  ,  quod  accidit 
fi  c  fuerit  minus  b  ,  inuer(b  ordine  binas  poiTidet  radi- 
ces  negatiuas ,  atque  vnicam  pofitiuam. 

Qmcunque  horum  cafaum  a  nobis  cxamini  fub* 
iiciatnr  ,  perinde  eft  ;  nam  ratiocinia  omnia  vtrinque 
penitus  fimilia  funt ,  quapropter  eum  enodaffe  cafum, 
vbi  p.  eft  pofitiuum  ,  fufficit. 

Dico  iam  ,  cum  aequatio ,  quam  confideramus , 
necefiario  aliquam  habeat  radicem  realem ,  efle  hanc 
negatiuam  ipfius  radicem  ,  quam  quippe  afiero ,  modo 
|jl  fit  pofitiuum  ,  quoscunque  de  caetero  acquirant  va- 
lores  jjl,  #,  et  m ,  nunquam  fieri  pofie  imaginariam. 
Euanefcat  nempe  x ,  vt  pun&um  C    coniiftat   ad    Q , 

*•«.    .        .  •  .  (c-+-&)(a*-f-crTra) 

atquc    (olhcitauo,  quam  patitur  ,  ent  zz  — sr^r^ — -, 

hinc 


MAGNETICA.  347 

liinc  pofitiua  ;  flat  vero  xizl  —  oo  ,  atque  erit  follici- 
tatio  ~fl"^\  hinc  negatiua.  lnterea  itaque,  dum  x 
ab  o  in  —  oo  variatur ,  follicitatio  ex  pofitiuo  in  ne« 
gatiuum  tranfit ,  vnde  ad  x  negatiua  neceflario  ali- 
quando  fit  o  ,  cum  ,  prouti  ex  problematis  intuitu  fa- 
cile  patet ,  tranfitus  ex  pofitiuo  in  negatiuum  per  in- 
finitum  ,  locum    hic  habeat  nullum. 

Quod  ad  binas  reliquas  radices  pofitiuas ,  pro 
Yaria  literarum  p., <*,et  tn  determinatione  ,  mox  reales 
funt  ,  mox  vcro  imaginariae  euadunt.  Cum  nempe 
pro  a:=:-|-oo,  follicitatio  fiat  zzl{1^~^  ,  hinc  pofi- 
tiua,  nihil  inde  concludere  licet,  nifi  quod  inttrea,  dum 
x  a  o  ad  -+-  oo  variatur ,  follicitationem  aut  plane 
non  ,  aut  a  vicibus  euanefcere ,  vnde  disiunctiue  folum 
afiferere  licet ,  binas  radices  pofitiuas  ,  aut  vtramquc 
effe  realem ,    aut    vtramque  imaginariam. 

Tres   itaque    hic    diftinguendi    funt    cafus.    Sunt 
Siempe  hae  radices  pofitiuae  , 
i)  aut  imaginariae  , 

2)  aut  reales  et  aequales , 

3)  aut  reales  et  inaequaies. 

In  cafu  priori  liquet  ,  etfi  follicitatio ,  quam  patitur 
punctum  C  ,  verfus  x  negatiua,  fiat  aliquando  nega- 
tiua  ,  ita  \t  dirigatur  verfus  F  ,  non  tamen  idem  con 
tingere  verfus  x  pofitiua  ,  fed  ex  hac  parte  ipfam  per- 
petuo  in  infinitum  perfiftere  pofitiuam.  Quodfi  itaque 
A  et  B  fint  magnetis  cuiusdam  poli,  atque  filum  fer- 
reum  ,  per  quod  fluidum  magneticum  mouetur  difficul- 

Xx  2  tate 


34$  EX?ERIMENTA 

tate  ~«,    percurrat   rechm  GF,    a  finiftra    verfus  x 
neguina  ,    ficque    R  pun&um  itlud  vbi  follicitatio  eua- 
neicit ,  et  in   neg.uiuum   tranfit ;   euidens  eft ,   quamdiu 
fjium  reperitur  in  parte  interminata  red^e  GF,    verfus 
frmftram  pun&i  R  fita,  perpetuo  tendere  polosmagne- 
ticos    ad    magnetifandum  filum  ea   ratione ,   vt   extre- 
mum  a  polo  B  ,  extremum  (3  polo  A ,  fiat   homoge- 
neum.     Quam  primum  vero    pundlum    C    intrauit    in 
partem  interminatam  reclae  GF,  ad  dextram  puncli  R 
fitam  ,  penitus  contrarium  accidit ;  tendunt  nempe  tunc 
poli    ad    eum    producendum  ftatum ,    vt  extremum  a 
polo  A  ,  extremum  (3  polo  B,  fiat  homogeneum.    Mo- 
do  itaque  difficultas  ct    vtraque    follicitatione    maxima  , 
pofitiua  nempe  et  negatiua  ,    minor  fit  ,  is  inde  reful- 
tare  debet  effeclus ,  vt ,    poftquam    ductum    eft    filum 
a  finiftra   verfus  dextram  ,    ea  ratione    magnetificetur , 
vt  extremum    a  polo   A  ,  extremum  (3  polo  B  ,  fiat 
homogeneum.     Quodfi   vero  filum  contraria  directione, 
a  dextra  nempe  verfus  finiftram  ,    incedat    per    re&am 
GF  ,  oppofitum  oriri  debere  effeetum,  aeque  facile  pa- 
tet  ;  tum  enim    extremum  a  polo  B  ,    extremum    (3 
polo  A  ,  euadere  debet  homogeneum. 

Prorfus  fimilis  eft  ratio  cafus  fecundi ,  vbi  binae 
aequationis  radices  pofitiuae  funt  reales  quidem,  aft  ae- 
quales.  5i  nempe  ad  R  cadat  radix  negatiua  ,  ad  S 
vero  binae  pofitiuae  ,  etfi  follicitatio  ad  S  fiat  nulla  , 
non  tamen  in  negatiuum  tranfit ,  fed  ftatim  in  pofiti- 
vum  reuertitur.  Cum  itaque  ad  finiftram  pun&i  R 
in  iufinitum  ,  follicitatio  perpetuo  fit  pofitiua ,  (aut  vt 

ex- 


MAGNETICA.  349 

exactius  loquamur ,  nunquam  fit  negatiua  )  ad  dextram 
vero  pundti  R  perpetao  fit  negatiua  ,  pro  hocce  cafu 
intermedio  penitus  eadem  valent ,  ac  pro  cafu  ante- 
cedente. 

Tertius  denique  cafus ,  vbi  binae  aequationis  ra- 
dices  pofitiuae  funt  reales  et  inaequales  ,  peculiarem 
difquifitionem  requirit.  Sint  pun&a  ,  ad  quae  cadunt 
radices ,  negatina  ad  R ,  binae  vero  pofitiuae  ad  S .  et 
T.  Iam  ergo  follicitatio  ad  finiftram  pundti  R  non 
perpetuo  eft  pofitiua  ,  fed  aliquando  inter  S  et  T  ne« 
gatiua  euadit ,  vltra  punctum  T  vero  in  pofitiuum  re- 
vertitur. 

Hoc  iam  cafu  ,  dico 

1)  fi  capiatur  x  pofitiuum  rzzQy,  Fig.  3.  cui 
refpondet  iollicitatio  negatiua  ,  atqne  tum  capiatur  ex 
altera  parte  x  negatiuum  ,  Q£ ,  pofitiuo  Qy  aequale , 
fore  follicitationem  ,  quae  puncto  $  refpondet ,  et  ne- 
gatiuam  ,  et  maiorem  follicitatione,  quae  ad  punctum 
y   pertinet. 

Fingnur  nempe  primum  intenfitas  virium  pun- 
tl:orum  A  et  B  aequalis  e(Te  ,  fic  vt  tam  pun&o  A 
quam  B  refpondeat  idem  intenfitatis  index  b^  atque  fub 
liac  hypothefi ,    erit 

follicitatio 

in  punrto  y  =  ^V  -  *-&  =  M' 
m  panfto  S  ***■&-<*&*  fiue 

l  xBn         l  x  \n  -^y/ 

Quapropter,  fi  intenfitatis  index    vtrobique    fit    idem  , 
erunt  M'  ct  N'  vtrumque  negatiuum,  etM^—N'. 

Xx  3  Si 


350  EXPERIMEMTA 

Si    vero  iam  ipfius  B  index  intenfitatis  crefcat  f 
et  fiat  zz  c  —  b  ~\- \x. ,  erit 
follicitatio 

m  puncto  y  =  -B  y ,    4-    Fr Ty*  —  M  ; 

«.         *  bx\p  bx  Bp         fji  x  B  p j^f/ 

m  punfto    tf  ~    Aj/  -    bs*    ~    bJ'    —  N 
cx  quarum  formularum  comparati<  ne  patet  ,    effe    M/y 
minus  M',  aft  Ny/  maius  h',  vnde  de  aflerti  mei  ve- 
ritate  facile  conftat. 

Concludo  autem  hinc, 
2)    maximam    follicitationem    negntiuam ,    caden- 
tem  ad  x  pofitiua  ,  neceffario  minorem   effe  ,  maxima 
(bllicitatione  neguiua  ,  quae  cadit  ad  x  negatiua. 

Cadat  nempe  prius  maximum  ad  y,  et  faclo 
Q$~QjY,  erit  follicitatio  ad  $  maior  ,  maxima  fol- 
licitatione  negatiua,  quae  cadit  ad  x  pofitiua.  Vnde  id  quod 
demonftrandum  fumferam,  fi  ad  £  cadat  maximum,  imme- 
diate,  fi  non  ad  hoc  pundtum  cadat ,  a  fortiori  concluditur. 

Sit  maximum  negatiuum  cadens  ad  y=rP,  id 
vero ,  quod  cadit  ad  £,  z=  Q, ;  et  cum  fit  P  <  Q_ ,  rur- 
fus  manifeftum  eft  ,  fieri  poffe  ,  vt  a,  quod  exprimit 
difficultatem  ,  quacum  fluidum  magneticum  mouetur 
per  filum  mngnetificandum  ,  cadat  inter  P  et  Q,  fiN 
que  priori  maius ,  et  pofteriori  minus.  Tum  ltaque  , 
fi  filum  percurrat  redtam  GF,  circa  Q  quidem  ita 
magnetificabitur  ,  vt  extremum  a  polo  B,  extremum 
p  polo  A,  fiat  homogeneum  ;  aft  efTectus  hic  deftrue- 
tur  ,  fi  filum  incedat  a  finiftra  verfus  dextram  ,  et  ab- 
foluta  operatione  erit  extremum  fili  a  polo  A  ,  prouti 

extre- 


MAGNETICA.  351 

extremum  (3  polo  B,  homogeneum.  Deflrudio  vero 
eiusmodi ,  fi  filum  percurrat  re&am  G  F  a  dextra 
verfus  finiftram  ,  Iocum  nullatenus  habebit.  Subnatum 
eft  ex  hifce  ratiociniis  experimentum  fequens ,  quo  ve- 
ritas  ipforum  abunde  comprobatur. 

__         Exper.     IV. 

„Tres    magnetes  artificiales  AB,  CD,  EH,  int 

„tabula  ita  difpofiii  ,  vti  monftrat  Fig.  4.  ea  nempc 
v  ratione  ,  vt  virgae  C  D ,  E  H  fe  contingerent  per  to- 
„tam  fuam  longitudinem  polis  fuis  homologis  ,  tertia 
,,vero  virga  in  contrario  fitu  difpoflta  effet  ,  ita  vt 
,,polus  B,  polis  H  et  D,  effet  heterogeneus.  Diuari* 
„cabant  hae  virgae  ita  vt  diftantia  polorum  B  et  HD 
„aliquot  effet  pollicum.  Poftquam  per  aliquot  vaga 
„tentamina  omnes  circumftantias  rite  adaptaueram , 
,,dudto  filo  a(3  a  finiftra  verfus  dextram  ,  extremum 
„a  polo  B,  extremum  (3  polo  HD,  homogeneum 
„reddebatur.  Contraria  vcro  afilimta  directione,  con- 
„trarius  oriebatur  effe&us ,  et  extremum  a  polo  HD^ 
„extremum  (3  polo  B,  homologum  nancifcebatur  ma- 
^gnetismum* 


COGI* 


35*  mifa  c  ©  ).<fc 

COGITATIONES 

DE  AGGERIBVS  CONSTRVENDIS. 

A  u  d  o  r  c 
L.     E  VI  E  R  O. 


D 


|C  hoc  argumento  ,  quod  ampliflimam  rerum  ma- 
ritimarum  notitiam  poftulat  ,  commentari  nun- 
quam  mihi  in  mentem  veniflet  ,  nifi  nuper  mihi  quae- 
llio  eo  fpectans  cum  controuerfia  coniuncta  eflet  pro- 
pofita  ,  vt  tententiam  meam  aperirem  ,  quandoquidem 
totum  negotium  ad  Geometriam  et  Analyfin  reuolue- 
batur.  Res  autem  ita  fe  habebat :  In  prouincia  mari- 
tima  extra  aggerem  ,  quo  littora  funt  munita  ,  fludi- 
bus  tantum  terrae  erac  aggeftum  ,  vt  nouo  aggere  in- 
Tab  vm  cludendum  videretur.  Vetus  agger  fecundum  lineam 
Fig.  i.AGKE  erat  ductus,  et  terra  extrinfecus  adie&a  vsque 
ad  lineam  ABCDE  patebat ,  iecundum  quam  etiam 
nouus  agger  longitudine  1128  perticarum  erat  extructus: 
quo  pacto  totum  fpatium  inter  veterem  nouumque  ag- 
gerem  interiectum  in  lncrum  ceflit.  Conftitit  hoc 
opus  120000  Thal.  et  fingularum  linearum  menfurae 
in  perticis  in  figura  funt  adfcriptae. 

2.  Iam  iis,  qui  hunc  aggerem  extrui  curauerant, 
obie&um  eft ,  cnm  hic  agger  fecundum  lineam  in- 
fiexam  ABCDE  eflei  dudus,  a    punfto    A    ad    F, 

eum 


DE  AGGERIBVS  'CONSTBVEXDIS.      355 

eum  potius  fecundum  arcum  circularem  ,  qui  aequale 
ipatium  concluderet  ,  duci  oportuifte  ,  iiibdu&oque  cal- 
cillo  compertum  eft,  hunc  aggerem  76  perticis  bieuio^ 
rem  futurum  fuiffe  ,  ka  vt  idem  commodum  minori- 
bus  impenfls ,  quot  fcilicet  dxtrudio  aggeris  76  perti- 
cas  longi  requirit ,  obtineri  potuifFe.  Cuius  obkctionis 
ratio  huic  fundamento  inniti  videbatur  ,  quod  linea 
circularis  inter  omnes  alias  tantumdem  fpatii  iricluden- 
tes  llt  breuiflima  ,  ac  damnurn  quidcm  ,  ex  neglectu 
huius  prinCrpiir-uattrm  ,  ad  9500  Thal.  aeftimabatur. 
Controuerfra  igitur  in  hoc  verfabatur  ,  num  ab  Archt- 
tedo  ,  vel  iis ,  qui  hunc  aggerem  extrui  curauerunt  , 
reftitutio  huius  damni  iure  ex'gi  queat  ?  Atque  hic 
quiden  videndum  eft  ,  vtrum  Archite&us  ob  ignoran- 
t-iam  iftius  principii  geometrici  peccauerit  ,  an  ob  aiias 
-caufas  ab  eo  recedere  fit  coaelius^ 

"3.  Principium  autem  hoc  Geometricum  non  fo- 
lum  nunc  quidem  eft  notirTimum  ,  fed  etiam  naturae 
noftrae  quafi  ingenitum  ,  vt  mihi  nullo  modo  perfua« 
dere  queam  ,  eius  ignorationem  in  caufa  fuiffe ,  cur 
Archite&us  aggerem  fecundum  4ineam  inflexam  ABC 
DE  duxerit.  Si  haec  circuli  proprietas  ipfi  incognita 
fuiffet  ,  cur  aggerem  non  potius  iuxta  re&am  A  E 
duxit?  vel  fi  maius  fpatium  complecti  voluit,  cur  non 
latera  polygoni  cuiusdam  regularis  eft  fecutus  ?  Mihi 
quidem  extra  omne  dubium  pofitum  videtur,  fi  in  ag- 
gere  ducendo  quicquam  Architedi  srbitrio  efiet  reii- 
clum  ,  illum  certe  neutiquam  hunc  duclum  finuofum 
ABCDE  electurum  fuifTe.  Ei  quidem,  pbftquam  ab 
Tom .  IX.  Nou.  Comm.  Y  y  A 


354  DE     AGGERIBVS 

A  ad  B  peruenit,  non  in  mentem  incidere  non  potnit, 
aggerem  recta  ab  B  ad  E  pothis  ,  quam  per  partes 
intus  vergentes  BC,  CD,  DE  continuare  •  quippe  qno 
snodo  breuiori  aggere  adeo  maius  fpatium  inclufifiet. 
Quin  hoc  nouerit  Architectus  ,  quantumuis  caeterum 
fuiflet  Geomecriae  rudis ,  dubitari  nuilo  modo  potelt. 

4.  Caufa  igitur  fubeiTe  debet,  cur  potius  tractum 
hunc  infractum  ABCDE,  quam  alium  quemcunque, 
in  extruendo  aggere  fit  fecutus  ;  atque,  etfi  omnes  ra- 
tiones  Architeclurae  maritimae  mihi  non  funt  perfpe- 
ctae  ,  haec  tamen  caufa  mamfefto  in  figura  terrae  for- 
tuito  aggeftae  fita  videtur :  agger  enim  conftitui  ne- 
quit  ,  nifi  vbi  terra  fupra  fundum  maris  iam  fatis  fue- 
rit  eleuata  et  confirmata.  Loca  igitur  B,  C,  D  ita 
videntur  comparata  ,  vt  regio  exterior  ,  ob  defedlum 
fundi  fufficientis,  aggerem  recipere  non  potuerit.  Quod- 
fi  ergo  redas  lineas  AB,BC,  CD,  DE  vt  limites  fpe- 
demus  ,  vltra  quos  aggerem  remouere  non  Jiceat  , 
caufa  manifefta  eft  ,  ob  quam  Architectus  aggerem  iuxta 
has  ipfas  lineas  conftituerit ;  fimulque  perfpicuum  eft:  , 
arcum  illum  circularem  ,  qui  aequale  fpatium  include- 
ret  ,  hic  adhiberi  non  potuifle  ,  propterea  quod  alicubi 
vltra  hos  limites  extendi  debuilTet. 

5.  Si  enim  vspiam  hos  limites  transgredi  licuis- 
&t,  equidem  non  in  hoc  Archite&um  reprehenderem, 
quod  aggerem  non  fecundum  artr«m  circuiarem  ,  qui 
aequale  fpatium  includerct ,  duxerit ,  fed  potius  ideo  , 
quod  non  eiusmodi  arcum  fuper  corda  A  E   conftitue- 

rit, 


C  O  N  S  T  R  V  E  N  D  l  S.  355 

rit  ,  qui  etiarn  rmius  fpatium  efllt  complcxus.  Ecfi 
enim  hoc  modo  agger  maiorem  longitudmem  efTet  na- 
iftus,  tamen  fumtuum  incrementum  maiori  terrae  fpatio 
in  vfum  conuertendo  fortafTe  fuiffet  compenfatum  :  ad 
hoc  fcilicet  diiudicandum  fumtus  in  fingulas  perticas , 
quibus  agger  longior  redditur  ,  lmpendendi  vna  cum 
forte  pecuniae  ad  conferuationem  requifitae  cum  pretio 
fingularum  perticarum  quadratarum  ,  quibus  terra  \fui 
futura  augetur ,  comparari  debent  ,  vt  pateat ,  vtrum 
augmentum  impenfae  fuperet  lucri  augmentum  nec  ne? 
Haec  disquifitio  ibi  erit  necefTaria  ,  vbi  fatis  terrae  fir- 
mae  fuerit  aggefturn  ,  \t  quousque  libuerit  aggerem  ex« 
tendere  iiceat ,  qui  cafus,etfi  a  propofito  abhorrere  vi- 
deatur ,  eum  tamen  accuratius  euoluere  haud  erit  in- 
congrnum. 

Problema     r. 

Si  extra  aggerem  APQB  tantum  terrae  a    flu-  fw  t, 
c"tibns  maris  fit  curmihtum  ,    vt    a    terminis    A  et  B 
nouum  aggerem   ADB   quousque   libuerit ,    protendere 
liceat ,  definire  eum  aggerem  ,  qui    maximum    lucrum 
fit  ailaturus. 

Solutio. 

6*.  Primum  obferao,  huic  aggeri  nouo  ab  A  ad 
B  ducendo  figtiram  arcus  circularis  tribui  oportere : 
quamcunque  enim  aliam  figuram  haberet  ,  femper  ar- 
cus  circularis  dari  pofiet  aequale  fpatium  includens ,  qui, 
cum  fit  breuior,  minoresque  propterea  fumtus  poituiet  f 
illi  omnino  crit  anteferendus.  Sit  igitur  ADB  huius- 
modi    arcus  circularis  centrum  habens  in  O ,    ponatur- 

Yy  a  quc 


35*  D  E     A  G  G  E  R  I  B  V  S> 

que  cordac  femiflis  ACrBC^f,  ct  anguli  ad  O 
femiflis  AODrrBODru  ;  tum  vero  llt  fpatium  in- 
ter  aggerem  \eterem  APQ.B  ct  rcdam  AB  mclufum 
z=.hh  ,  quod  partem  conitituix  fpatii  extrucTione  noui 
aggeria  acquirenJi  Hinc  ergo  fit  radius  circuli  OA  ~j,^ 
ct  OCzi  Cfl^\  ideoque  arcus  A  D  Jkz:f££  ,  qni  dat  lon- 
gitudinem  aggcris.  Porro  erit  fe&or  A  OBzry^,,  in* 
deque  aufcrendo  uiangulum  AOB^^"'01 ,  relinqui- 
tur  area  fegmenti  ADBA-^~^;u),  ita  vt  fpa- 

»     t->.   r»  -r  r-  CC[b)-[i".'jiC0j  .Iti)    ,     7    7 

tium  terrae  aggcre.  ADB  acquifitum  fit  - — 77^* — -\-bb. 

7.  Ponamus ,  has  menfuras  in  perticis  dar:  , 
fintquc  fumius  ad  vnam  pcrticam  aggeris  exftrutndam  ~m 
Tlial.  comprchenfis  fimul  impenfis  ad  conferuationem  „ 
qjios  cafu  expofito  viijimus  exiurgere  ad  100.  Thal. 
Pretium  auttm  vmus  perticae  quadratae  terrae  ftatua- 
tur  z^n  Tfcral.  quod  vtique  ab  indole  terrae  et  fructi- 
bus  ir.de  percipiendis  pendet.  Hinc  lucrum  dedu&k 
jmpeufis  crii 

n  c  c  '  lo —  fin,  gj  #/«  u  )  ■>   j  -  rn  c  cj 

quod,  nifi  valorem  obtjqeat  gqfitiuum  ,  praeftabit  res  in 
prilhno  ftatu  relinquere  ,  neque  exftruehonem  noui  ag- 
geris  iiifcipere  ,  quoniam  iumtus  inpcrarent  fructlis  indc 
fperandos. 

8.  Incipiamus  a  cafii  ,  qtio  agger  re&a  ab  A 
ad  B  ducitur  •  et  quia  terrac  fpatium  fit  zzbbj  et 
longitudo  aggeris  —zc,  erit  lucrum  z=inhh-zmc* 
Ntfi  ergo  fit  bb^  —  ^fcu  c<<"^,  hic   nougs  aegc* 

danu 


CONSTRVENDIS.        357 

damnum  aflferret :  ex  quo  dno  cafus  cuoluendi  occnr- 
runt  ;  altcr,  quo  hh<^  *™c  ,  altcr  vero  quo  ££>---<;; 
illo  ca(u  non  fine  damno  aggcr  rcdhis  iuxta  cordarn 
AB  duceretur  ,  hoc  vcro  lucrum  quidem  pracberec  , 
fed •-. tidendtim  eft  ,  num  aggenm  fixundum  arcjim  ci> 
cularcm  incuruando  nou  maita  lucrum  obtmcri  queafe 
Priori  vero  cafu,  quo  agger  rcctus-cum  manifdto  darrr 
no  cft  coniunctus ,  inquiri  conucuit ,  an  aggcris  curua- 
tura  damnum  non  minuatur  ,  ac  tandcm  m  lucrura 
conuerti  queat  ? 

9:  Sit  igitur  hh<^l~c  ,  et  \idcamus ,  (i-  angu- 
lus  AOBzz  2b)  minimus  capiatur ,  Ytrum  dctrimentum 
minuatur  nec  m  ?  .Ponamus,  (i  co.zr^,  et  ob  co  =:.  s -f- £  s* 
ct  cof.  gkz:  1 .—  \%jz  ,  cnt  fin.cocol.  terzz  —  \z  ,  vud* 
aeftimatio  lucri  oritur: 

\nccz-\~nhh  —  imc{\  -\~\zz) 

quae  ergo  maior  cft  praeceiientc  nhh-  zmc,  quoniam 
\nccz^  \mczz  ob  z  minimum.  Ccrtum  crgo  cft,, 
incurua.ticme  aggcris  damntim  diminui  ;  an  antcm  con- 
tinuo  minuatur  ?  difrcrcntiatio  noftrac  formulaa  often» 
dct  ,  quae   pracbet : 

?  n  r.  r  d  ui  f  fin.b)  —  cu  rnf.  tu)  i  m  c  du  ( Jin.  Q)  -—  co  co/".  oi)        ^- 

/w.  u'  Jm:w*  —  leu 

ic  dto  f  fin.Cd  —  w  coif,  tu)  /  r  s 

'J^Z^ (nc-mtin.u) 

Cum  igitur  fit  fin.co>  cocof.  co ,  aeftimatio  Jucri  nggc- 
rem  mag.is  incuruando  continuo  crelcit  ,  quamdiu  cft 
nc^>mtin  w. 

Yy  r  'o. 


355  DEAGGERIBVS 


io.  Si  eflfet  nc  <///,  feu  <?<<*,  taum  eousque 
tantum  crefceret  ,  quoad  fieret  fin.  w:z:-,  tum  vero, 
vltra  augendo  angulum  oj ,  iterum  dtcrefceret ,  neque 
vero  perpetuo.  Nam  cum  anguli  w,  poftquam  vltra 
reclum  ,  quo  cafu  arcus  ADB  fit  femicirculus  ,  flierit 
acutus ,  iinus  iterum  decrefcat  ,  quando  infra  \alorem 
~  decrenerit  ,  lucri  aeftirnatio  iteru.m  crefcere  incipit , 
idque  deinceps  continuo  ac  tantopere  ,  vt  tandem  in 
infinitum  augeatur.  Quare  lucrum  dato  quouis  maim 
obtineri  poteft  ,  dummodo  angulus  co  maxime  obtufus 
capiatur,  et  arcus  ADB  ftgmentum  maius  maximi 
circuli  conftituat.  Atque  hoc  in  genere  valet,  fme 
fuerit  bb$>*-^  c,C\ue  bb<^2-^c,  ita  vt  neutro  cafu 
verum  maximum  locum  habeat  ,  fed  lucrum  continuo 
maius  confequi   liceat. 

n.  Sin  autem  aliae  circumftantiae  prohibeant , 
quo  minus  fegmentum  ADB  vltra  femicirculum  auge- 
ri  poffit  ,  tum  femper  ,  dummodo  fuerit  c)>~  ,  agge- 
rem  in  figuram  femicirculi  duci  conueniet ,  vt  maxi- 
mum  Incrum,  vel  certe  minimum  damnum,  obtineatur. 
Tnm  autem  pofito  tt  pro  femicircumferentia  ciiculi , 
cuius  radius  eft  zr i,  vt  \ii  angulum  re&um  denotet, 
ob  w  zz  5  7T,  fiet  lucri  aeftimatio  : 

{iincc-\-nbb  —  mmc 
quae  exprefiio,  nifi  fit  negatiua  ,  aggerem  maxime   lu- 
crofum  indicat  ,  contra  autem  praeftabit,  nullum  plane 
aggerem  extruere.    At  fi  fuerit  r<<™  ,   ftatuatur  f=~fin.£, 
ac  tum  fegmentumADB   minus  eflfe  oportet    femicir- 

culo, 


CONSTRVENDIS.         359 

culo  ,  fumendo  angulum  AOD^<^;  vt  lucrum  maxi. 
mum  vel  d^mnum  minimum  euadat.  Pofico  autem 
w  —  £  et  czz ^fin.^  fit  lucri  aemmatio  : 

feu  =  »/>£-^(<  +  fin.$cof.<). 

Nifi  ergo  fit  b b  >>  7^  (<£  -H  fin.  £ cof.  £)  nequidem  ag- 
gerem  iine  damno  extruerc  licet ;  nifi  arcua  femicircu- 
lo  maiores  admittantur. 

12.  Haec  igitnr  funt  fere  obferuanda  ,  quando  ' 
terra  aggelta  nullos  limites  ponit  ,  vltra  quos  aggerem 
extcndere  non  liceat ,  qui  calus,  cum  nunquarn  locum 
habere  pollit  ,  quandoquidem  nunquam  aggerem  quafi 
in  infmitum  extenderc  conceditur  ,  reuertor  ad  ipfam 
quaeftionem  propofitam  ,  vbi  ratio  terrae  extra  vete- 
rem  aggerem  adiectae  non  permittit  ,  vt  agger  vs- 
quam  vltra  limites  per  lineas  AB,  BC,  CD,  DE  defigna- 
tos  producatur.  Atque  hoc  quidem  cafu  manifeltumTab.VTIT. 
eft  ,  nouo  aggere  maiorem  terrae  quantitatem  ciugi  FlS-  lm 
non  pofle  ,  quam  quae  figura  elt  rcpraefentata  ;  hoc- 
que  fpatium  aliter  in  vfum  conuerti  non  pofie  ,  nifi 
agger  (ecundam  ipfos  illos  limites  extruatur  ;  vtcunque 
enim  ab  iis  recedatur ,  quoniam  non  extra  eos  vagari 
licet  ,  femper  minor  terrae  pjrtio  indudetur.  Qiiare 
fi  Archite&o  propofitum  fuerit ,  tantum  terrae  inclu- 
dere ,  quantum  fieri  licet  ,  neceffario  aggerem  iuxta 
ipios  limites  extruere  coachis  fuit  ,  neque  quicquam  in 
hoc  opere  ipfi  vitio  verti  poteft. 

13.  Hic 


36*0  D  E     A  G  G  E  R  I  B  V  S 

13.  Hic  antem  alia  qiueftio  meo  quidem  iadt* 
cio  ■grauiflima  oritur,  an  non  vtilius  fuilTet ,  aliquid  de 
campo  includendo  remittere  ,  et  aggerem  intra  limites 
praefcriptos  ita  duccre  ,  vt  dedu&is  impenfis  aggeris  a 
pretio  terrae  acquifvtae  iucrum  idque  maximum  obtine- 
retur.  Quaeritur  fcilicet  eiusmodi  aggeris  conftrudtio  , 
qui  fi  brtuior  fit ,  quam  linea  limitum  ABCDE,  p 
perticis,  fpatium  autem  includat  minus  quam  id,  quod 
intra  limites  illos  contineretur ,  .qq  perticis  quadratis , 
vt  iucrum  ex  diminutione  aggeris   natum  ,   quod    valet 

•  n:p  Thal.  ma-xime  fuperet  damnum  ob  drminutionem 
terrae  ortum,,  quod  aetfimatur  nqq  Thal.  feu  vt 
mp  —  nqqfat  maximum.  Quem  in  finem  ,  vt  res 
generaliter  ac  dilucidc  pertractetur ,  fequentia  problema- 
m  euoluamo 

P-roblema     2. 

Tig.  3.  Si  limites  ,   vltra  quos  aggerem  protendi  non  ft» 

ccat ,  fint  re&ae  AB  et  BC  ,  in  B  datum  angulum 
conthtuentes-,  determinare  redarn  PQ,  ita  vt ,  fi  ag- 
ger  iuxta  re&as  AP,  PQ,  QC  ducatur.,  quo  pa&o 
quidem  terrae  fpatium  P  B  Q  perit  ,  maximuiri  tamen 
luirurri  obtineatur* 

Solutio. 

14.  Qiiodfi  loco  aggeris  ABC  aggere  APQC 
'vtamur,  in  eius  longitudine  tot  perticas  hicramur  ,  quot 
^xceifus  laterurn  BP-}-BQ  iundim  fumtorum  fupra 
latus  PQ  cxhibet,  quod  ergo  in  expenfis  lucrum  prae- 
fct  ~w(BP-f-BQ-?Q)    Thal.      Contra    vero   in 

campo 


CONSTRtENDIS.        $6t 

campo  includendo  amittimus  tot  perticas  quadratas , 
quot  continet  area  trianguli  PBQ ,  cuius  pretium  ad 
n.  APBQ  Thal.  eft  conftituendum.  Lineam  re- 
c"tam  ergo  PQ  ita  duci  oportet ,  vt  haec  quantitas 
»(BP-t-BQ-PQ)-«.  aPBQ  maximum  valorem 
adipifcatur. 

1$.  Ponamus  angulum  ABC  =_:(.,  qui  datur  , 
fintque  lineae  quaefitae  BPzzx,  et  BQzrj',  erit 
FQzzV(xx~-2xycoi:.  $-\-yy)  quae  breuitatis  gratia 
dicatur  zz  z,  et  area  trianguli  PBQ  fit  zz±xyfin.  (3- 
irndc  his  longitudinibus  x  et  y  in  perticis  exprefiis , 
habetur  lucrum  ad  pecuniam  reductum  zzm[x-\-y-z) 
—  lnxyftn.fi  Thal.  quod  maximum  eft  reddendum. 
Vnde  ,  cum  fit 

A  v  —  xdx  — y  dxcof.p  —  x  dycof.fi  -+.y  dy 
«^—  z  ,-v 

prout  vel  x  vel  y  vt  variabilis  tra_tatur  ,  hae  duae 
aequationes  eliciuntur  : 

w(l__t^_2)_.„/fin.(3--0 

-(H_ss_|=7)  _•  „„fin.  p_r  0. 

16.  Quodfi  illa  per  *,  haec  vero  perj-,  multi- 
plieetur,  differentia  ad  hanc  perducit  aequationem  ; 

_(_-./-*&£"  _-_=='•(* -J#-*T*}. 
Cum  igitur  ficri  nequeat  1  irr^—^jfeu  zzzx-\-y,  nc- 
ceffe  eft,fit  xzzyt  feu  BPzrBQ,  quam  quidem  con- 
ditionem  ipfa  quaeftionis  natura  ftatim  fuppeditare  po- 
tuiflet ,  cum  nulla  Gt  ratio  ,  cur  linea  BP  et  BQ  in- 
aequales  capi  deberent.  Sit  evgoyzzx,  ct  quia  tum 
Tom.  IX.  Nou.  Comm.  Z  2  fit 


352  D  E     AGGERIBFB 

fit  *=;V(2**-a**cof.(3):==a*fui.;p,  alterutra  il- 
larum  aequationum  abit  in  hanc  formam  : 
cof.|3-iX      ,      „     „ 

feu    w(i  ~fm.ip)zr.i0xfm.p  , 

,     „           aw(i--fm.|£)       w(i-fin.i|3) 
vndc   fit  jt-zz: ~ — - zz  — : — rv; \^s? 

m i-  fin. ;  (3  __  ^tang;^450~'P) 

fiue  X"~ Kfii.jp      T+fin. | (3  —  «lm  \ (3 

17.  Problemati  crgo  ka  fatisfit  ,  *t  capiatur : 

2  rafi  —  fm.'5i3) 
BP  =  BQ=— ,  -^, 

fiqnidem  lineae  BA  et  BC  fuerint  maiores,  fin  autenft 
hae  lineae  fint  minores ,  tum  euidens  eft  y  re&arum 
BP  et  BQ^alteram  breuiori  aequalem  eapi  oportere,  vnde 
altera  per  eandem  methodum  definietur.  Atque  hoc 
modo  ,  fi  limites  habeant  plures  angulos  >  finguli  refe- 
cari  poterunt  y  fiquidem  extus  fint  verfi ,  qui  anguli 
cnim  intus  vergunt,  vt  C  et  D  in  fig.  i,iihancope- 
rationem  non  admittunt  ,  tpin  etiam  deinceps  nouos 
angulos  ad  P  et  Q  ortos  fimili  modo  fubtendcre  lice- 
bit  ,  quae  operatio  fi  continuetur  ,  tandem  agger  figu- 
ram  quafi  curuilineam  confequetur  ,  quae  omnium 
maximam  vttlitatem  apportabit.  Eam  autem  circuli 
arcum  fore  manifeftum  eft,  quem  (taum  fecmeuti  mo>* 
do  detenriinare  poterimus.. 


Pro- 


CONSTRVENDIS.         353 

Problema     3. 

18.  Si  limites,  vltra  quos  aggerem  protendi  bopT*bVTn- 
Ftcet,  fint  redae  AB  et  BC,in  B  datum  angulum  fa-    lgl  4* 
cientes ,    determinare    eam  aggens   figuram    APSQC, 
qua  maximum  lucrum   obtineatur. 

Solutio. 

Primo  patet ,  vt  ante,partes  a  limitibus  refcifias 
BP  et  BQ  aequales  efle  debere ,  durrrmodo  ipfae  li- 
neae  BA  et  BC  fatis  fmt  longae  ,  vt  huiusmodi  par- 
tes  mox  definiendas  contineant ,  quod  quidem  hic  as- 
fumo  ;  fi  enim  altera,vel  vtraque,  breuior  foerit ,  hic 
calus  peculiarcm  euolutionem  poftulat.  Tum  vero  etiam 
patet ,  lineam  curuam  PSQ  fore  circularem  ,  quam  to~ 
£am  intra  limites  contineri  neceffe  eft  ;  eius  ergo  ccn- 
trum  erit  in  recta  BO  ,  angulum  B   bifecante. 

Ponamus  itaque  angulum  ABC:rz2(3,  vt  fit 
femiiTis  ABO:=CBOzr(3  ;  tum  vero  ftatuatur 
BP=:BQ~ x>  crit  ?Rz=  QR~#fin. (3 et  BRnjicof (3, 
vnde  conrlcitur  area  trianguli  PBQ=r xxtin.ficoi.  (3. 
Ponatur  porro  anguli  POQ^  femilTis  BOP=zBOQ— cu, 
erit  radius  circuli  POrrrQO- f^  et  OR-x^^; 
hincque  ipfe  arcus  PSQ_~~^£,  et  fedor  PSQO 
^TgSr*.  Tnde,cum  fit  triangulum  ?OQp^0^i 
fit  area  fegmenri  PSQP—  fjsssr^  ^  —  Gn-  wcof.w)  et 
trilinei  BPSQ.B=r**fin.pcof.p-^|^-1(w-fin.wcof«). 

Quod  fi  iam  agger  non  iuxta  ipfos  limitesABC, 
fcd  lineam  mixtam  APSQC  ducatur ,    in    longitudine 

2  z  s  aggeris 


364  D  E    AGCERIBVS 

aggeris  lucramur  PB  +  Q^B-PSQ  =  2*-^^, 
quod  lucrum  valet  *mx(i -**£—)  ac  in  campo  per- 
dimus  trilineum  B  P  S  Q.B  ,  quod  damnum  valet 
»jt.r(rin.pcor.p-^f!(a)-rin.o}cof.w)).  Nunc  igitur 
excefliis  lucri  fupra  damnum  maximus  reddi  debec , 
vnde  ob  binas  variabilcs  x  et  w  binas  fequentes  nan- 
cifcimur  aequationes  : 

I.  m{  i-7&V™(fm.f3co^ 

feu  II.  -2^~r(fin.w-ojcof.aj)(wfin.ca-WA;fin.p)zo. 
Ex  hac  porteriori ,  quia  fieri  nequit  fin.ca-cocof.airo, 
fit  «fin.cazr»A:fin.(3,  feu  xz^^tf  ,  qui  valor ,  ira 
priori  fubftitutus ,  praebet 

feu  fin. w  -03 fin.(3  -cof.  pfin.oAfc») fin.(3-fin.(3 fin.cucof.o)zo, 
quae,  per  fin.o)  diuifa,  dat : 

1— cof  (3fin.o)— fin.(3cof  o)~o,  (eu  ifin.((3-f-o)) 

▼nde  concludimus,  fbre  (3  -+-  o)  zz  90° ,  feu  o>:=:900-(3, 
ita  vt  angulus  BPO  fit  rectus ,  ideoque  arcus  PSQ  a 
limitibus  A  B  et  B  C  tangatur  :  ex  quo  totus  arcus 
PSQintra  limites  cadit,  quemadmodum  natura  rei 
poftulat, 

Cum  fgitur  fit  01  =  90*- (3,  erit  BPrBQzA:=^| 
~7x£t$>  feu  *tang.(3rzPO=:£,  ita  vt  J  perticac 
femper  dent  radium  circuli  PSQ,  iuxta  quem  agge- 
xem  duci  oportet,    qui  arcus  cum  limites  tangere   de- 

beat, 


CONSTRrENDIS.         3*$ 

beat,  tota  conftru&io  eft  facilis.  In  re&a  enim  BO, 
angulum  ABC  bifecaate  ,  id  pun&um  O  capi  debet  , 
e  quo  perpendiculum  in  alterum  limitem  demiflum 
OP  fiat  zz^  ,  eritque  O  centrum  circ«li,  ct  OP  eius 
radius. 

Tum  autem  fumtis  B?—BQj=z^^-  ,  erit  ar- 
cus  PSQ.~^(7r-2(3)  denotante  n  femicircumferert- 
tiam  et  2(3  arcum  circuli,  angulum  ABC  metientis9 
finu  toto  exiftente  ~  x  ,  vnde ,  lucrum  ex  aggeris  di- 
minutione  ortum,  eft  ~  "  ( a  cot.  (3  —  iz  -+-  2  (3 )  Thal. 
Damnum  autem,  ob  diminutionem  (patii  inclufi  natum, 
eftzzr^Ccot.p-iTT-HP),  quod  lucri  femifli  aequatur, 
ita  vt  totum  lucrum   fit   =~r(p-r-cot.(3--!7r)  Thal. 

Coroll.     1. 

19.  Quo  maior  ergo  eft  angulus  ABCz^af?, 
co  minores  fiunt  partes  refcindendae  BPrzBQ^,  ec 
plane  euane(cunt ,  fi  ille  angulus  ad  duos  rectos  ex- 
crefcat.  Hinc  quo  obtufior  fuerit  angulus  ABC,  e^ 
minus  hac  corrcftionc  eft  opus. 

CoroII.     2. 

ao.  At  fi  angulus  ABC  fuerit  acutus,  ideoque  (£ 
femirecto  minor,  partes  refcindendae  BPrrBQ  maio» 
res  fiunt,  quam  ^,  hocque  cafu  imprimis  necefle  erit^ 
aggerem  intra  limites  contrahi ,  quia  aiias  ingentes  fum- 
tus  fruftra  impenderentur. 

Zz$  Corolk 


366  B  E    AGCERIBFS 

Coroll.     3. 

21.  Qiio  facilius  pro  quouis  angulo  ABC  con- 
ftrudrio  nggens  maxime  conueniens  perfpiciatur ,  hanc 
tabellam  lubiungo  : 


Angulus 
ABC 

e 
IO 

20 

30 

40 

50 

6O 
70 
8O 
90 

xoo 

XIO 

120 

13° 
140 
150 
160 
170 
180 


Partes  refcindendae  j   Diminutio 
BP~  BQ  aggeris 

11.430052  ? 
5,6-71282.- 

m 
3,7320$  ITJ 


71» 

2,747477  * 

771 

2,144507.7 
1,732051.? 

771 
1,4.28148.77 

771 
1,191754.« 

771 

1,000000.7 

0,839099.? 

0,700207.? 
0,577350? 
0,466308.? 

0,363970.? 

0,267949«? 

0,176327-? 
0,087488.? 


^9,89304-rT 

8,55004? 

4,8461 1.„- 

T7l 

3,05  149  n 
n 

2,02008  » 

77i 

1,36970  n 
0,93643  -» 

0,63817* 


Diminutio     i  Lucrum 
terrae  inclulae|  in  pecunia 


-      111 

9>9465  2-^- 

7717. 
4,27502.-^ 

J71T7I 
2,42305.7^ 

mrr 
1.52575  l^ 


T7I771 
1,01004    ^ 

,  m     „       mm 
0,68485    m 

.,  _  T»T» 

0,46  8  2 1.-^ 

mm 

o,3i9°9-inr 

—        771771 

0,42920^     0,21460.— 
"I  |  T71T71 

0,28193   u  ,0,14097.^ 

«  .-  «  m!  «  mm 

0,17868.»    0,08934.75 

771  T71771 

0,10750  n    0,05375-777? 

TTlTri 

0,02997  — 

771771 
0,01490.-^ 

,  T7I   771 

O,O06l5     ~ 

771771 


0.05995.71 

TW 

0,0  2  98l.71B 

m 
0,01230  n 

m 
0,0035  8.r    0,00179 

T71 
0,00044.«"     0,00022.— 

771   771 


771  771 


771 71» 

9>94652--rT 

Tnrti 
4,27502.- 

771T7» 

2,42305-  tT 

/71771 
1,52575-»- 

mm 

1,01004.7- 

^.  *v     —      mtit 

0,68485.^ 

*-«  mT» 

0,46821.— 

7717» 

o53i909'ir 

mtTi 
0,21460.7- 

m-m 
0,14097.— 

mm 
0,08934-  — 

mm 

0,05  37VV" 

mTTt 
0,02997.-7- 

mm 

0,01490.-7- 

-         mm 

0,00615   7- 

mm 
0,00179.7- 

mm 
0,00022.-7 


771  11*  :  "*    '«  TT17» 

OjOOOOOO.^  I        O^OOOOO.J     0,00000.77         0,00000.    7- 


Coroll. 


CONSTRVENDIS.  3*7 

Coroll.     4. 

22.  Tota  haec  determinatio  pcndet  a  pretio  ag- 
geris,  vnam  perticam  longi ,  quod  m  Thaleros  pofuimus, 
et  a  pretio  vnius  perticae  quadratae  agri ,  quod  n  Thal. 
fumfimus ,  quae  duo  pretia  prouti  variauerint ,  exftru- 
dio  aggeris  maxime  idonea  inde  determinationem 
confequitur* 

Scholion     1. 

23.  Cafu  ergo  propofito  ,  quo  angulus  B  eft  fe- 
fe  angulus  redhis,  ductum  aggeris  ita  intra  hunc  angu- 
lum  ftatui  conueniet ,  vt  refciilis  re&is  BP  r=  BQjzz  - 
pertic.  a  P  ad  Q  arcus  circuli  ducatur ,  quem  rectae 
B  P  et  B  Q.  tangunt :  haecque  conftructio  tanto  vtilior 
crit ,  quam  (i  agger  fecundum  ipibs  limites  duceretur  , 
?t  lucrum  futurum  fit  =7~£v-£r  Thal.  Cum  igitur, 
vti  vidimus,  vna  pertica  aggeris  conftet  100  Thal.  fi 
perticam  quadratam  agri  aeftimemus  ad  1  Thal.  vt 
fit  mjiioo  et  n~i  ,  abfcindi  oportet  BPriBQziioa 
pert.  aggerque  a  P  ad  Q_  per  arcum  circularem  PSQ 
extruatur  \  (icque  lucrum  obtinebitur  31:2146  Thal, 
Haec  lolicet  conftru&io  maxime  praeferenda  eft  ei  , 
qua  agger  fecundum  ipfos  iimites  P  B  et  Q_B  ad  ip- 
fum  angulum  B  vsque  producerctur ;  minor  quidem 
terrae  portio  hoc  modo  includitur  ,  deficiens  2146  per- 
ticis  quadratis,  quarum  pretium  2146  Thal  seftimatur: 
at  agger  hoc  modo  breuior  fit  42/4  perticis ,  quae 
fumtum  =14292  Thal.  requirent ,  vnde  iucrum  ob- 
tinetur  2140"  Thal.  Circa  reliquos  angulos  C  et 
D  ,  quoniam  ratqs .  vergunt  ,  nulla  emenditio  locum 
habet  a  vtcunquc  enim  agger  a  Q  et  E    intra    hos   li- 

mites 


3*8         DE    MJGGERIBVS 

mites  conftitueretur,  non  folum  minor  campus  eonclu» 
deretur,  fed  etiam  agger  longior  euaderet.  Vnde  Ar- 
chitedtus  ideo  tantum  cft  teprehendendus ,  quod  agge- 
rem  vsque  ad  angulum  extus  vergentem  B  extenderit, 
(icque  fumtus  inutiles  214.6  Thal.  erogarit,  quos  eui- 
tare  licuiffet  ;  verum  haec  folertia  ab  homine  Geome- 
triae  fublimioris  experte  non  eft  exigenda. 

Scholion     2. 

*+•  Comparemus  etiam  cafum  ,  quo  agger  (e- 
cundum  ipfam  rectam  A  E  duceretur ,  cum  cafu  ,  quo 
iuxta  limites  A  £  C  D  £  eft  dudus ,  vifuri ,  vtium  lu- 
crum,  an  damnum,  inde  fuiflet  expedtandum.  Hoc  au- 
tem  modo  agger  breuior  prodiiflet  86"  perticis ,  vndc 
iiimtuum  diminutio  fuiflet  8600  Thal.  Periiflet  autem 
omnis  terra  ,  intcr  limites  ABCDE  et  redtam  AE 
contenta  ,  quae  cum  fit  44.137  perticarum  quadratarum, 
damnum  totidem  Thalerorum  eflet  aeftimandum ,  vndc 
agger  iuxta  limites  du&us  praeftat  aggere  fecundum  re- 
&am  AE  du&o  ,  dhcrimine  exiftente  35637  Thal. 
Verum,vti  iam  vidimus ,  magis  expedit  arcus  PSQ_a 
limitibus  recedere ,  quam  ipfos  limites  fequi ,  lucro 
exiftente  2140'  Thal.  Hoc  modo  tota  aggeris  longi* 
tudo  foret  1085  perticarum  ,  cuius  extrudtio,  vti  po- 
fuimus,  poftulat  108500  Thal.  ac  nunc  quidem  viden- 
dum  eft  ,  an  agri  fic  acquifiti  quantitas ,  quae  eft  fpa- 
tium  inter  veterem  aggerem  AGKE  et  nouum 
APSQCDE  ,  fuperet  108500  perticas  quadratas  nec 
ne?  fi  enim  minor  eflet,  praeftitiflet  omnino  extrudio- 
ne  noui    aggeris    fuperfedere  -,    eatenus    enim    tantum 

hoc 


CONSTRVENDIS.        $69 

fioc  opus  fufcipere  operae  pretium  fuitTet ,  quatenus 
quantitas  terrae  acquifitae  fuperafiet  108500  perticas 
quadratas,  fiquidem  pretium  vnius  perticae  quadratae 
ad  vnum  Thalerum  conftrtuatur.  Praeterea  vero  etiam 
perpendendum  eft ,  extru&o  nouo  aggere ,  veterem 
aggerem  nvilios  amplius  fumtus  ad  conferuationem  re*- 
quirere  \  cuius  commodi  ratio  etiam  in  aeftimatione 
lucri  eft  habenda  :  impenfae  fcilicet  noui  aggeris  tanto 
jninores  funt  eeniendae.  Cum  igitur  agger  fecundum 
ipfos  limites  fit  extru&us ,  qui  ad  1128  perticas  por- 
riguntur  ,  dummodo  maior  terrae  quantitas  quam 
1 12800  pert,  quadratarum  fuerit  acquifita ,  lucrum 
inde  eft  comparatum  ,  quod  etfi  non  fuerit  maximum  f 
tamen  Architecto  vitio  verti  non  poteft  ,  atque  perpe- 
tuo  extru&io  nouorum  aggerum  fecundum  liaec  prin- 
cipia  diiudicanda  videtur ,  poftquam  tam  fumtus  in 
iingulas  aggeris  perticas ,  quam  pretium  cuiusque  perti- 
cae  quadratae  fuerit  conftitutum. 

Scholion.     3. 

25,  Reuertamur  ad  noftrum  problema ,  quo  fi« 
tnitcs  duabus  re&is  AB  et  BC  contineri  aiTurnfimus , 
ac  perpendamus  cafum,  quo  altera  harum  duarum  re&a- 
rum,  puta  BC,  minor  eft  quam  pars  abfcindenda,  quac 
fupra  eft  inuenta  =r~cot.p,  exi^^nte  altera  BA>>BC. 
Atque  hic  facile  perfpicitur  ,  arcum  circuli  per  ipfiim 
punclum  C  tranfire  debere ;  fecet  is  ergo  alteram  ia 
P,  ac  pariter  euidens  eft,  re&am  PB  huius  arcus  tangen- 
tem  efie  debere;  fi  enim  non  tangeret,  a  pun&o  quodam 
Tom.  IX.  Nou.  Comm.  A  a  a  reftae 


37<>  BEAGGERIBVS 

redhe  BA  a  B  remotiori  duci  poflet  ad  C  arcus  rc- 
Aim  BA  tangens  ,  aequale  fpatium  ab  angulo  refcin- 
dens ,  quae  cum  ag^erem  breuiorem  daret  ,  vtiqua 
eflet  praefereuJa.  Manenre  ergo  angulo  ABC  =  2(3  „, 
fit  retfi  BC  =  £,  et  quaefua  BP=#:  Duita  PO  id 
BP  normati,  fit  O  centrum  arcus  PSC,  vnde  OR 
cordam  CP  bifecans  fimul  angulum  COP  bifecabit  r 
ct  ad  CP  erit  normalis.  Statuatur  angulus  CORr  POR 
=w,  erit  CPB-oj,  et  PCB~i8o'-2  j3-w  ,  vnde 

...    .  -,  ,»  b  fin.  U  3 H-  u)    „.     r*Ti b fin.  -  3        _fc     r. 

colhgitur  RP-r-— „ !  et  CP=-p„— ,  vt  fit 

*  K—  2)*uua  »  et  ru — i /*«.-&>»  arque  ut\ —  j/;n.w*  • 
Hinc  prodjt  arcus  PSC=,£jS^,  et  fcdor  OPSC 
=  ^ljrSr"  >  vnde  >  abbt()  trrangnlo  OCP=  -77-^-— , 
relin auitur  fegmentum  C S  P C  =  4J;,'"m»-  f  w-fin.oacof.w). 
Cum  iam  fit  BC-f-BP-r  bd  +&iLl^) ,  diminu- 

...  ,,         .     jK(-3-f-w)  oj  fin.     (3  . 

tio  aggcns  eft   =  *(x  -i 77-^ ~~~~~~  1  ;    et    ob 

,.     n  -»  D ,;„/;„     _  /5  6  bfin.  ?  g  <ij.  ( ,  3  -+-  m) 

aream  trnnguh  C B P  =  \bx lin.  2  ~  i ^— ,, 

diminutio  campi  includendi  -  -/™.u4  (-^"  w>fin:(»(3-$  w)- 
— fia.  2  |3  w  -fm.wcuCw)).      Quare  lucrum   crit  : 

wi»  /H--~~~rJi *'*■-*  )~+nbfr\m  2pc      //r„ 

J  /?».  r  3  (a>  —  ^n.r^u) 

~~  /m.w*  )» 

cuins  differentiaie  nihilo  aequarum  et  per  (p  cof.  $  -  fin  (J> 
diuifum  praebet  n  h -fin.  2  (3 ■=  2  /»  fia. V  ,  ™de  fit 
P0=~r  et 

,/nH™.-3    _y7i677n.3:of.3  ft//Vf?3-+-Q 

fin.w=V— — -  — v         m      ,  tt  -  _.        jift.„      y 

*■,  cum  &*<^f,  «it  fin.«<;coI.pfcu*<{9o-p 

idto- 


CONSTRFEKDn.         37« 

ideoque  BP>BC  Hinc  feqnitur  ,  fi  effet  BA<BP 
tum  arcum  circuli  per  ambo  puncta  A  et  C  duci  con- 
venire,  vt  reftam  BA  tangat  j  tum  (cilicet  magis  lu- 
crum  obtinere  nou  licet. 

Problema     4. 

2.5.    Si    limites ,    quos    aggerem  transgredi  non  F&  & 
oportet,    tribus  lineis  re&is  AB,  BC,  CD  conftent  , 
deflnire  aggeris  conitructionem   maxirae  lucrofam. 

Solutla 

Sit,  vt  ante  ,  m  pretium  aggeris  vnam  perticani 
longi ,  et  n  pretium  vnius  perticae  quadratae  agri , 
ponatur  angulus  ABCzr2(3  et  angulus  BCD^sy, 
ac  fi  fuerit  B  C  >  £ (cot .  (3  4-  cot.  y)  folutionem  prae- 
cedens  problema  (uppeditat.  Primum  enim  circa  B 
abfcindantur  portiones  BPr=:BQ^~ fcot  (3,  et  circa  C 
portiones  CR  zzCSrz  ^cot.y  ;  delcribanturque  %  tam 
per  punda  P  et  Q,  quam  per  R  et  S ,  eodem  radio 
~£  pert.  bini  arcus  circulares  PQ  et  RS  limites  tan- 
gentes .;  quo  facto  aggerem  fecundum  lineam  mixtam 
APQ_RSD  -duci  conueniet.  Hoc  modo  maximum 
Jucrum  acquiretur ,  quod  maius  erit ,  quam  fi  agge* 
iuxta  ipfos  limites  duceretur  ,  exceffu  exiftente  : 

^r(P+  y  +  cot.  (3-f-  cot.  y  -  tt)  ; 
aggeris  enim  longitudo  diminuetur  quantitate : 

V^P  +  Y+cot.p-t-cot.y— tt)  pert 

Aaa  2  at 


3*7»         t>  E    A  G  G  ER  I  BVS 

at  agri  inclufi  fpatium  minuitur  quantitate: 

^((34-Y  +  cot.p-Hcot.Y-^)  Pert-n- 
Quodfi  lineae  BA  et  CD  vel  altemtra  earum    minor 

foerit   niwm    portio   inde  r^-.uvuua  ,     punctu    P     et     S 

ia  A  cc  u  capi  oportet ,  et  arcus  PQ  et  SR  fem- 
per  eodem  radio  zz:~  pert.  defcribendi  tantum  lineam 
BC  tangent.  Hoc  calu  non  opus  eft  ,  vt  fit  BC>£ 
(cot.  p -t- cot.  y)  fed  fufficit,  fi  BC  non  fuerit  minor 
quam  BQ  et  CR,  quippe  quae  partes  BQ^  ct  CR 
minores  erunt  quam  calu  praecedente.  Si  alteruter  an- 
gulorum  B  et  C  intus  vergat ,  in  eo  nulla  corre&io 
locum  habet ,  fed  tantum  angulus  extus  vergens  arcu 
crit  fubtendendus» 

Si  fuent  praecife  BC=^(cot.(?-|-cot.  y)  »  pna> 
££z  Q  et  R  conuenient ,  prodibitque  vnus  arcus  con- 
tinuus»  PQRS  limites  tangens ,  iuxta  quem  aggerem 
conftrui  oportet.  Sin  autem  recta  BC  minor  fuerit 
qnam  ^(cot.p-f-cot.Y)  neq"e  redhe  BA  et  CD  tam 
fint  paruae ,  vt  praecedens  folutio  locum  habere  potfet> 
(tqutnti  modo  iblutio  eruetur: 

fJS  -  Cum  euidens  fit,  aggerem  fntra  rectam  BCcade- 

re  ,  is  etiam  maximi  proprietate  gaudebit ,  fi  reftac 
AV  et  BV  ad  concurlum  V  produd/tae  limites  confti- 
tuerent.  Erit  autem  angulus  Vn  a(3~r-  2  y~  *8o°  ; 
vnde  pofita  rtcli  BC~  b>  vt  fit  £<^(cot.(3-Kot.Y)  peit. 

er\t  TW  —         hfin.ry         __       b  fin.  a  y  C\T  —      M*iiiL_ 

liiOi 


COliSTRrENDlS.         373 

Tum  capiatur  V?±V$-™  cot.('(3f  Y~9°*p-;?tang.((3-t-Y) 
ct  per  puncta  P  et  S  radio  ~  ~  pert.  ducatur  arcus 
circuJi  PQRS,  Jimites  AB  et  CD  in  P  et  S  tan- 
gens,  qui  dabit  dudtum  aggeris.  Quodfi  ponamus 
*=V(cot.p-t-cot.V)=^^  Tt  !«*<!, 
reperitur  : 

BP=?(X  cot.(3-(i  -X)tang.((3-4-y)) 

CS^  =  (X  cot.y-(i-X)tang.((34-y)). 

Quantum  autem  lucrum  Jioc  modo  obtineatur ,  ita  co* 
guofcetur :  Cum  fit 

VP+VS-P(iRS  =  ^((H-Y-tang.((3-l-Y)-7t)et 
VPQRSVz^((34-y-tang,((3-i-Y)  -»J 

tum   vero  BV-f-CV-BC^:- ferp^Pii*     

feu  BV+CV-BCir-^Ccot.p+cot.Y-r-tangKptY)) 

s=  -  M—cot.  (3  cot  y  tang.  ((3  -f-  y) 
qua  cxpreflione  inde  ablata ,    prodit  aggeris  diminutio : 
PB+BC4-CS-P(iRS=:^r:p-fY  +  Xcot.(3+Xcof.y 

-(i-X)tang.((3-t-Y)-7r) 
^«-pvp  ~|-y-~(i -Xcot.  (3  cot.  y)tang.((3  +  y) -7r) 

DeindeobABVC  =  -^^^-x4Fcot.(3 

cof.  y  tang  (£  -+-  y ) 
fit  campi  includendi  diminutio :  BPQRSC:= 

^?(P  +  Y-(I-"XXcot'PCQf«Y)tang-(P+Y)""w)=- 

^T  &f  Y+^cot-P"i-XXcot  Y~(x  -AX)tang.(Pfy)  ■  ir> 
Aaa  3  vnd& 


374  DE    AGGERIBVS 

vnde  totum  lucrum  aeftimandum  erit : 

m^(3+ Y-  tanS  (p+v)+X(2-^)  cot.  (3cof  Ytang/p+Y>w)= 

lr(P+Y+^(2^)(cot.p+cof.YHi-X)2tang.(ptY)^> 

Co.ro  11.     t 

57.  Si  rectae  AB  ct  DC  extus  conuergant , 
^ti  in  figura  exhibentur,  erit  2^+2 y^>  1800,  ideo- 
que  Sh-y>90°,  vnde  tang.(g-HY)  fit  negatiua  > 
hincque  BP>-^cot.e  et  CS>iFcot.Y-  Qui  etiam 
pofito    .g  +  Y~9O*-f-0,    vt    fit    V=2$    habebitur 

BP  =  fr(cot.g^-7I^.T-)  et  CS—  ^(cot.Y+jwvjlSf) 
adeoque  BP>?cot.-S  et  €S>£cot.Y. 

Coroll.     2. 

2$.  Hoc  ergo  cafu,  quo  €  -\-  y  rr  90*  -{-  0,  nl- 
hil  obftat ,  quo  minus  fblutio  inuenta  applicari  poflit  ^ 
dummodo  rectae  BA  et  CD  fuperent  \alorts  pro  BP 
et  CS  inuentos.  Sin  autem  altera  \el  vtraque  fuerit 
fcreuior ,  arcus  circuli  radio  jp  defcribendi  per  termi- 
num  breuioris  ita  duci  debet  ,  vt  longiorem  tangat  ; 
at  fi  ne  hoc  quidem  fieri  queat,  per  vtrumque  termi- 
num  A  et  D  ita  ducatur  ,  vt  longiorem  tangat. 

Coroll.     3. 

29,  Quodfi  autem  fuerit  §-f-  y=z  90^-4-0  ,  e* 
folutionem  inuentam  applicare  liceat ,  erit  aggeris  di- 
minutio: 

V  le  4-Y-*"  cot.S-hcof  Y-Tr-K^Xot.Scot.  ycol$) 

Campi 


CONSTRVENDIS.         37S 

Campi  autem  includendi  decrcmentum 

^(5-4-y+cot.e+cot.y-7r-f(i-XX)cot.gcot.ycot.d) 
ita  vt  verum  lucrum  fit 

^^+yf-cot.e-|-cot.Y-'7r+(i-^)icot.gcor.ycot0). 

CorolL     4. 

30.  At  fi  re&ae  BA  et  CD  intus  conuerganr, 
quo  caiii  angulus  0  fit  negatiuus  ,  partes  BP  et  CS 
nunores  euadunt ,  quam  cafu  X^i,,  ideoque  arcus 
circuii  vltra  re&am  BC  porrigeretur  ,  quod  cum  natir- 
rae  aduerfetur ,  hoc  cifu  verum  maximum  locum  nort, 
inuenit.  Quod  etiam  inde  patet ,  quod  intra  re&as 
BA  et  CD  conuergentes  circulum  radii  zz%,  qui 
vtramque  tangat ,  delcribece  non  licet. 

Scholion     rJ 

3*.  Antequam  cafum  rectarum  B  A  ef  C  D  in- Fig.  g» 
tns  conuergentium  perp.*nd-amus  ,  confideremus  cafum, 
quo  Uuit  paralielae  ,  ideoqne  (3+Y-  9°'  et  ^^10** 
itqtie  RCrAz^r^  ,  exiftente  X  <  1. 
Sir  autem  BA>£cot.(3  et  CD>^cot  y  ;  per  fo" 
lmionen/  iam  partes  BH  et  CD  capi  deberent  infini- 
tae  ;  quod  curr  fieri  nequeat,  arcum  circularem  ita  per 
terminum  breuiorem  D  uuci  conumiet  ,  vt  alteram  re* 
dam  BA  tangat,  radio  —  7,  ac  fi  effet  etiam  BA<BPr 
a4io  radio  circulus  per  A  ct  D  duci  deberet  ,  quia  re* 
clam  BA  in  A  tangeret.  Qnintum  igitur  hinc  lucrum 
oriatur  3  generaiiua  inueftigemus ;    Sx  CDzzc%  ac  oe- 

nuifo 


37*  BEAGGirBFS 

miflb  ex  D  in  B  A  perpendiculo  DM,  erit  DM:rr:£fin.2p 
zz^-~  ^  et  BMrrc-H^cof.2  (3  ;  ponatur  radius  cir- 
culi  DOrrMN  —  s,  erit  DN~ Kin.2p-3,  et  ON 
rry(2^2;{in.2(3— ^Z»fin.2pa)  ;  vocetur  autem  angu- 
lus  DON^Cj),  afcifetoijo.0  et  «=*&£ 
ideoque  ONrPMz:^^;   hinc  arcus  P^RD 

~(<t?j.y— ■  ©«  "<*  BP-^^cof.2p 

^bJ7^rj^i  refpedu  cafus  ,  quo  agger  fecundum 
ipfbs  limites  duceretur ,  in  longitudine   aggeris   lucrare- 

„      GCm  zQcoLCp    (ItH- (£>)/;  iln  2p 

Porro  eft  fetfor  DOP— -^Tf^T^—  >  *rea  *u- 
tem   BCDOPzzr^fin.  2p-H2#£fin.  apcof  afl 

.     I  b  fin.  5  P*  cof.CB     .     fr  &/"i  2  p*  fm.Cp  co/.&  , 

dine  campi  perdimus; 

b  b  (in.  2  G*  cof.  0 
i.e&n,  zp-hlbb fin.3pcoC2p  +    (1,i.lin,$f-r 

^fin.  2  p* fir.Qcof.Q     (^M-^^jin.  2  pa 
"*        2X1 4-fin.^*  2T(i^-fin  Cp)5       ' 

Hinc  igitur  pofito  (f>  conftante  ftatim  patet,  co  maius 
fore  lucrum  ,  q«o  maiorem  capere  liceat  lineam  CD~q 
ea  enim  elemento  dc  auclo  ,  lucri  augmentum  erit 
dc{*m  —  w£fin.2p)~  2.{\-X)mdc.  Cum  autem  c 
detur  ,  fumto  anguio  (J)  variabili ,  lucrum  erit  maxi- 
snum ,  fi 

mb 


C  ON  STHVEN  D  I  S.         377 

rv     i-f-fm  Cp  i-f-fin.cp.) 

cof.Cp  fin-Ocof$        ,ir-4-$ 

afrft fin.  a  p  (^ (7^o^?+i   FHTnW  ^0*5$?» 
'qnae  aequatio  cuokifa  commode  ad  hanc  redncitur : 

w=7^r/^  =  »«iita  vt  -iit  rr- 
vti  quidem  iam  ex  fuperioribus  liquet,     Erit  ergo 

i^-fin.Cp=:n-^-^-2X  et  fm^  -  aX-*. 
Quia  X<Ji  ,  ponatur   Xrzcof.^*,  erit  (ln.(p~  2co(  4* 
—  i  ~cof.  2  £  ,  et  (p  —  qo°-  2^— itt-2^  ;   hinc 
cof.(J):rfin  2<£, 

Diminutio    ergo    aggeris     fecundum    longitudinem    ob 

et  diminutio  agri  inclufi : 

'^£+  ^  ( fin.  gcof.  g  +  ^y^  ■**-»?)?• 

Scholion     2. 

32.  Quod  fi  lineae  BA  et  CD  intus  conuerganr, 
m  fit  e-^y=r9O°--0  ,  et  BQzzzb^—^1-  nuae- 
Itio  eit  magis  difficilis  ,  verumtamen  ex  principiis 
ha&enus  ftabilitis  expediri  poterit.  Huc  impnmis  per- 
tinet  cafus ,  quo  infula  quaedam  figurae  et  magnitudinis 
cuiuscunque  aggere  eflet  cingeuda  ,  cuius  figura  fi  fue- 
rit  polygonum  ,  cuius  fingula  latera  fuperent  quantita- 
tem  »(cot.^-t-cot^)  exiftentibus  ,  p  et  q  angulis 
cuique  Jateri  adiacentibus ,  quaeftio  nullam  habet  diffi- 
Tom.  IX.  Nou.  Comm.  B  b  b  culta- 


37*      DE  AGGERIBFS  CONSTRFENDIS. 

cultatem  ,  dum  finguli  anguli  arcubus  circnli  ,  cuius 
radius  eft  zz~  pert.  ita  fubtendi  debent  ,  vt  latera  fimt 
tangentes  At  fi  quaedam  latera,  vel  adeo  omnia,  fint 
minora ,  peculiari  folutione  eft  opus ,.  cui  autem  hic  non 
immoror ,  cum  quaeftio  digna  videatur  ,  quae  omni 
cura  euoluatur,  et  ad  vfum  communem  accommode- 
tur  \  quod  opus ,  vel  aliis  perficiendum  relioquo  ,  vel 
in  tempus  magis  opportunum  mihi  referuo. 


PHYSI- 


PHYSICA. 


Bbb  a  AD 


AD  OBSERVATIONES  ET   EXPERIMENTA 

D  E    M  E  R.CVRIO 

EX  MANVSCRIPTIS  HERMAKNI  BOERHAAFE 
SVPPLEMENTVM     I. 

recenfents 
CAROLO   FRIDERICO  KRFSE. 

Anno  1734.  obtulit  Collegio  Philolophorum  irt 
Brittannia  obfemationes  et  experimenta  de  ar* 
gento  viuo  («.).,  anno  \ero  infequenti  Academiaft 
Regiae  Scientiarum  in  Galliis  fuper  eadem  re  (b)  ex- 
hibuit  quaedam  fummus  Hermannm  Boerbaaue. 

Ex  vtrisque  cafti ,  vere  Phyfici  obferuatis  confti-» 
dt  immutabilis  j>rorfus  natura  Hydrargyri ,  dum  variata 
interim  fpecie ,  in  nouas  fbrmas  mutatus  appareret. 

Anno  1737;  data  ad  Senatum  Sapientum  in  Brit- 
ttnnia  dilfertatione  (c)  recitauit  et  alios ,  quos  illt 
Tfltro  explorando  labores ,  incredibili  fumtu  er  patienria 
adhibiiit.  Vnde,  detecta  eiusdem  conftantia,  auri  fimul 
mdoks  peifpecta  habetur. 

B  b  b  3;  Nado 


(<s,)  Philofophical  Transa&ions-- No.  430.  pag*  14.J.  . 

{£)  Memoires  de  f  Acad    Royale  des  Sdenc.   1730".  pag.  53.0.  efr 

Philoloph.  Transacl  No.->  +4.5.  pag    343. 
(cj  Philofoph,  Transaft.  No.  444..  pag.   30"  8. 


3S2  EXFERIMENTA 

Na&o  otio  plura  promiferat ;  promilTis  praeue- 
nere  cundlis  flebilia  bonis  fata  (</).  Moriens ,  tradi- 
derat  manufcripta  nepotibus  ,  Eermanno  {e)  et  Abra- 
hamo  (f)  Kaau  Boerbaaue ,  quibus  praematura  morte 
ereptis  ad  me  peruenere  fcripta  manu  viri  omni 
laude   maioris. 

Legens  interim  ,  perlegens ,  faftidiofa  ,  herculei 
laboris  taedia  ,  piaculum  duxi ,  acto  labore  adeo  iucun- 
da  vnice  in  mufeo  feruare.  Non  pauca  enim  docent 
atque  prioribus ,  iam  editis ,  collata  ,  lucem  afFundunt, 
dicta  firmant ,  veritatem  adferunt. 

In  prima  ,  ad  Illuftrem  Brittanniae  Eruditorum 
focietatem  ,  differtatione  lucide  afleruit  Boerhaauius  ,  per 
folos  motus  mechanicos  Mercurium  ex  mitiflimo  fieri 
acrem  ,  ex  infipidiflimo  acquirere  faporem  ,  ex  fplen- 
didiflimo  fieri  nigrum  ,  ex  fluido  confiftentem  ;  ex  ea- 
dem  vero  conftat ,    fola  ignis  acftione  redire  iterum  in 

prifti- 


(<*)  1738.  Septembr.   23.  die. 

(*)  Socero  meo  ,  quem  j.  Odobr.  175 3.  fato  funftum  lugeo. 
Hic  Tnuiaiflirrae  Elifakthae ,  Auguftac,  Piae ,  Felicis ,  Or- 
bis  Ruflici  Imperatricis ,  Confiliarii  intimi  ,  Archiatrorum  Co- 
mitis  et  fupremi  ,  per  vniuerfum  Imperiura  ,  rei  mcdicae 
Dire&ons  munece  fungens,  feliciffimi,  ejuem  vncpam  Kuflica  tej- 
lus  aluit  ,  Medici  nomen  meruit. 

(/)  Hermanm  frater  ,  iunior ,  cuius  fcripta  meritaque  vel  medio- 
criter  in  litteris  medicis  verfatis ,  non  latent.  Hic,  febre  acuta 
cum  delirio  perpetuo  correptus ,  vndccima  morbi  die  ,  6".  lulii 
17^,8.  effe  defiit.  Vita  eius  paucis  ,  aft  vcriflimis ,  lineis  de- 
lineata  efl  in  Summario  Nouor.  Commentar.  huius  Acadcmiae 
Tom.  IV. 


DEMERCVRIO.  383 

priftinam  f )rmam  ,  ludere  perfonas  mutatas ,  laruaque 
depofita  ,  alis  et  talaribus  volare  mercurium  ,  nec  tor- 
irhmtis  his  mutari. 

Ibidem  docuit  ,.  aetatem  qui  hermetica  in  arte 
confumpferat,  auftor,  neque  feces  ponere  iguis  tormen- 
tis  ,  neque  leuiorem  fieri  mercurium. ,  cuius  ad  aquae , 
aceti  ve  bullientis  calorem  lubortas  mutationcs  eodem  in 
fcripto  recenlet. 

Ex  iis  autem,  quae  ad  Regiam  in  Galliis  floren- 
tem  Academiam  dedir,  liquido  apparet,  nec  in  igne  diu- 
tiilime  digerendo ,  fiue  renouatus  ofcillet  aer ,  fiue  re- 
pagulis  arceatur ,  tranfire  folidum  in  metallum  ,  argen- 
tum  viuum. 

Docuit  porro  ,  ibidem  ,  ex  plumbo  per  fales 
fixos  haud  generari  mercurium,  quidquid  clamant  Chy- 
micorum  nobile  par ,  Pater  et  filius  Kelmontii :  quid- 
quid  offert  Becherus  (g).  Nec  illud  praeftare  ace- 
tum  ftillatitium  ,  vt  perhibet  fubtiliflimus  Ifaacus 
YLollandus  s  pri  tius  triurri  principiorum  chemicorum 
auctor  ,,  (h)  labore  fideliore  didicit ,    docuitque   cafte, 

fuosque 


(g  )  Neque  obefle  puto,  quae  hac  de  re  exhibuit  celeberrimus  GroJJe. 
Vid.  eius  Recherches  fur  le  Plomb.  Memoires  de  TAcad.  Royal. 
des  Scienc.   173$.  p.   313.  et  fequentibus 

f.'fc  )  ,,RecentiiTimi,  de  corporum  principiis  chemicis  tractantes,  per- 
„hibent:  Arabes  atque  Sarao-nos  faeculo  XII.  et  XIII.  inueniflc, 
,,metalla  nil  aliud  efle  ,  quam  argentum  viuum  per  fulphur 
„condentatum  hocque  ex  Gebri ,  Auicennae  atque  Rhafis  mo- 
,,numentis  patere.  Effifta  haec  per  Arabes  principia ,  ab  hoc 
^  tempore  vsque  ad  faeculi  XVI.  initium  ,  Chymici  interea  dari, 

„absque 


384  E  X  P  E  R  I  M  E  N  T  A 

faosque     errores    expurgantis    Chemiae    afiertor    Boer~ 
baavt  (/).     Poft    refiifcitantium    falium    impotentiam  , 

per 


jjabsque  vlla  retra&ione  adoptarunt  ,  veluti  Raymundus  -huUkts^ 
^Arnoldus  de  Villa  Noua  et  Ioannes  Ifaacus  ,  Hollandus  vulgo 
„di£tus.  Poftquam  vero  verfus  di£H  faeculi  initium  Baflius  Va- 
^lentbius,  et  Tbeophrajlus  Paraceljus  imprimis,  Chemiae  operam 
j,  dedere,  faclum  eft,  vt  ifte ,  praeter  haec  duo  ,  ab  Arabibus , 
3,effida  principia,  aliud  nouum  ,  quod  falis  nomine  infignicbat , 
,,prioribus  adiiciendum  exiftimauerit  etc.„ 

Doleo  au&orem  ,  ad  quein  fuperius  memorata  pertinent., 
■accuratius  non  euoluifle  Boerhaauium  ,  ctlebre  licet  illurr.  dicat 
nomen  effe  ,  in  re  tamen  neglexiflTe  videtur.  Maluit  nimirum 
citare  difTertatiunculam  ,  modo  hanc ,  modo  illa-m  ,  vnicum  in— 
terdum  fui  Au£toris  fruftum  ,  neceffitatis  faepe  lege ,  non  ra- 
ro  aiieno  arbore  natum ,  quam  ad  TrLombergium  ,  Boerhaauium^ 
Hofmamum ,  Stahlium  ve  crebnus  prouecare.j  vtut  foetus  eiusmo- 
:di  citati ,  ingentibus  :his  viris  ,  re  propitB  examioata  principium 
vitale  deberent.  Captus  hic  Au£tor  voluptate  enuJf-andi  Boer- 
baavii,  aliorumue  au£torum  grauifTimorum  ,  fato  iam  fui&orum, 
err^ribus  ,  illum  vix  citat  ,  quin  reprehendat.  Melius  egifTet, 
ex  puriflia-io  fonte  huius  Viri  hauriendo  ,  fi  nobis  accuratius , 
quae  ad  hetmeticae  artis  hiftoriam  pertinent ,  exhibuiflet.  Boer- 
haavio  enim  edcceri  potuiflfct  ,  Gebri  teftimonium  ad  VI I.  po- 
tius  quam  ad  XII  faeculum  pertinere.  Syftema  duorum  princi- 
piorum  chemicorum,  mercuri  <t  fulphuris ,  proinde  iam  illo  tem- 
pore  celtbrabatur.  Nihilominus  ipfo  Gebro  adhuc  edocemur  , 
ante  ipfum  iam  viguifle  ,  hanc  ,  antiquifTimam  certe  opinionem, 
•dum  in  principio  fummae  peifeclionis  metallorum  fcribit ,  fe  non 
nifi  libros  anriquorura  abbreuiafTe  ,  partem  forfan  librorum  ,  de 
hac  artc  ,  qu  s  Imperio  Diocletiani  combuftos  perhibet  buidas, 
Bajilius  vero  Valentinus  quem  Paracelfo  faeculo  p>iorem,  iurein- 
dicat  Boerhiauius ,  minus  te£te  ad  initium  XVI.  faeculi  cele- 
bratur.  ParaceJfum  vero  ex  Bafilio  dcttrinam  de  trifru*  ele- 
memis  illo  ternpore  haufiffe,  atque,  preffo  aucloris  nomine,  fuatn 

fecufe 


DEMERCVRIO.  385 

per  ipfum  argentum  viuum  ,  ex  plumbo  dum  mercu- 
rium  educere  conatur ,  eundemque  ex  fhnno  eodem 
adminiculo  extrahere  tentat  ,  fruftra  fuit  (&). 

In  tertia  denique  ad  fapientes  Brittannos  data 
dirTertatione,  mercurium  e  Yenis  edu&um  labe  quadam 
inquinatum  ,  ab  ipla  origine  illi  concreta  intimeque  in- 
olefcente  ,  ab  alchimiftis  credi  ,  perhibet  Boerhaavius, 
qui  ,  ad  mentem  illorum  ,  defaecationem  impuri  feli- 
ciftime  tum  demum  obtineri  crediderat,  quando  purifti- 
mis  corporibus,  fuae  naturae  fimilibus,  mifceretur,  at- 
que  ope  ignis  inde  iterum  fepareretur.  Mifcuit  ideoque 
auro    Mercurium  ,    toticsque    igne  illum  inde  auocans , 

conttan- 


fecifle  extra  omne  dubium  pofitum  eft  Bafilius  Valentinus  ve- 
ro  iuuenis  vidit  Belgium  et  Angliam.  appendic.  adXLL  claues. 
artem  cereuifiariam  optimam  ibi  reperit  :  Hac  autem  occafiOno 
Ifaaci  Hollandi  opera  vidifle  ,  atque  ex  illis  doclrinam  de  tri- 
bus  principiis  retinuifle ,  verofimile  eft ,  ait  enim  in  coenobio  fe 
ex  Hbris  didicifle  ,  nullum  licet  auctorem  citet ;  Hollandum  vero, 
Bafrfio  anticjuiorem ,  doctrinam  de  tribus  principiis  profitentem 
videre  licet ,  opera  fubtiliffimi  huius  auctoris  vel  fugitiuo  cculo 
perluftranti.  Neque  hoc  Paracelji  temporibus  ignorabatur :  Se- 
•verinus  Danus  ettnim  Epiftolam  ad  Paracelfum  dedit ,  quaeprae- 
fixa  exftat  operibus  Paracelfi ,  ibi  citat  ifaacum  Hollandum  pro 
auclore  difciplinae  Paracelficae  et  Jaudat. 

CO  Meretur  ab  omnibus  legi  oratio  quam  habuit  171 8.  de  Che- 
mia  errores  fuos  expurgante  ,  illuftris  auctor,  antequamad  egre- 
gium  ,  prae  caeteris ,  hoc  ftudium  animum   adiungant  tirones. 

C  ^  )  Miror  Cl.  Vogel  mercurium  ,  in  oleo  Vitrioli  currentem  ad- 
huc  ftatuere  ,  atque  exinde  pondus  infigne  huius  acidi  deriuare. 
In  inftit.  chemic,  $.  4.13.  et  417.  pulcherrime  alias  chemica 
traclantem. 

Tom.IX.  Nou.  Comm.  C  c  c 


386  EXPERIMENTA 

conftanthm  ct  fimplicitatem,  vtrorumque  admiratus  , 
fpem  figendi  cum  auro  argentum  vivum ,  iguis  actione, 
fepofuit. 

Neque  fubftetiiTe  hic  indefeffum  rerum  naturalium 
fcrutatorem  ,  ex  fequentibus  patebit  (  / ).  Selegi 
quippe  Experimenta  quaedam  ,  ex  diario  egregii  viri, 
nullis  proh  dolor  !  annotationibus  diuite,  quaeque  fim- 
pliciter  trado  ,  verbis  ipfiflimis  Auctoris ,  minns  licet 
fpeciofis ,  aft  magis  veris,  vtens.  Haec  ,  quoad  fermo* 
nem  ,  operationis  atque  eflectuum  ratione,  in  paragra- 
phos  difpefcui,  vt  labores  et  producta  melius  a  ie  in- 
vicem  diftingui  poflint.  Cacterum  ,  fimplex  veri  eft 
llgillum.     En  fummi  viri  verba  : 

§       x- 
172236"   Mercurii  Amftelodamenfis  optimi  vncias 

o 

XXXII.  deftillaui  ex  retorta  vitrea  ,  pura  ,  igne  are- 
riae  ,  ita  ,  vt  nihil  prcrfus  mercurii  fluidi  in  fundo  re- 
tortae  maneret. 

§.      2. 
Mercurium   egrefium  ,    ficcatum  ,    efTudi   femper 
in  retortam  eandem  ,  et  deilillaui  modo  §.   i. 

§.     3- 


(  l )  Experimenta  illa  ,  quae  ad  DifTertationes  de  Mercurio,  in  acYis 
Londinenfibus  atque  Farifienfibus  impreffas,  fpeftant,  praemittenda 
cenfco  ,  illij  quorum  nullam  neque  ipfe  audor  adhuc  mentio- 
ncm  fecit,  moncat  lkct  aliquo  in  loco,  fupereffe  ipfi  adhuctx- 
perimenta  ,  quibus  euertatur  fpes  alchymiftarum  primi  ordmii , 
quam  Caefaribus ,  Regibus  ,  Principibus  faftuofe  depraedicatam , 
caro  vendiderunt. 


D  E     M  E  R  C  VR  I  O.  387 

§•     3- 

Singulis  dcflillationibus  nafcebatur  rubri  [a)  quid 
in  rctorta. 

§.     4. 
Labore  fedulo  continuaui  deftillationes  vsque  17^37, 
iemper  accurate  fluidum  totum  eleuando. 

«.     5. 

Exiuerant  tunc  Mercurii  Vnc.  xxiv  ,  511  vi- 
cibns  iam  defHllati.  In  fundo  retortae  erant  genitae 
Vnc.  ijft  praecipitati  rubri  ,  icintillantis.  In  chaitulis  , 
quibns  fingulis  vicibus  mercurius  erat  exficcatus  ,  poft 
quamque  cleftillationcm  ,  mulrum  mcrcurii  forma  ni  • 
gra  rdtabat.  Ita  vt  perierint  511.  dcmllatiouibus  de 
mercurio  Vnc   vG.  ld  caueie  non  potui  omni  cura ,  id 

et  in  operatione  inchoata  i7"3~3'«  contigit  (b)\  fic 
fere  5I  grana  penerunt  fingula  deltillatione  ,  foiJicite 
licet  caueietur  {c ). 

C  c  c    1  §6. 

(d)  Vide  primae  ,  datae  ad  Birtannos,  de  mercurio  diilcrtationis 
§.  IV.  Ibidcm  cnim  dcfrnbit  autlor  operationem  huic  fimilli- 
mam  ,  riiil  tenpore  ac  Lbonbus  vlterioribus  protractis  diuer- 
fam  cerneres. 

(£)  Operatio     17^31.     eadem    tft  ,     quam    defcripfit    in    prima 

de  mercuio  ad   Brirtannos  difTertntione  §.  IV.     vsque     ad    XII. 

(*)  CWparari    vtique  dcbct  proce(Tu3  hic  cum    5  j  1.  dcftillationibus, 

quae  max'mam  partem  primae  dc  mercurio  dilTertationis    confti- 

tuunt  \   ibidem  enim   mercurtus   $ra    vicibus  dcftillatui 

1)  Ex  fluido   in  pu'uerem  rubrum   fplcndentem  pro  ^  fui  pon- 

d.  ris   vertcbatur. 
2)  5:    d«fti]l«itionibus  illis  perierunt   mercurii     drachmae  6\    er- 
go  7!  grana  ,  fingula  in  dcft.llatione. 

3^ 


38$ 


EXPERIMEKTA 


§.    6. 

17  —  37-  Praecipitati  rubri  (§.  5.)  nati  Vnc.  ijfi 

addito  pauco  mercurii  511.  \icibus  deftillati,  ex  char- 
tulis  in  quibus  exficcabatur  collecti ,  deftillaui  e  retorta 
luto  obdu&a  ,  igne  fummo  ,  vt  canderet  retorta  per 
horam. 

§.  7. 

Exiit    mercurius  reuificatus  ad  Vnc.  ij.  in  fiindo 
yero  retortae  gr.  xviu.  pulueris  rubri  (d). 

§    8. 


3)  Idem  mercurius  448.  vicibus  rurfus  dtftillatus  de  ponderc 
amifit  Vnc.  iv.  dr.  ij.  gr.  xxxviiij.  Ergo  4|  grana  fin- 
gula  in  deftiilatione  perierunt ,  dum  toties  deftillando  igne 
attus  pro  j\  fui  ponderis  in  puluerem  rubrum  vertebatur. 

4)  In  toto  vero  mercurius  500  vicibus  deftillatus ,  pro  /y 
fui  ponderis ,  ilio  igne  in  puluerem  rubrum  verfus  eft.  Mer- 
curil  vero  fluidi  ab  operatione  fuperfuere  Vnc.  ix.  dr.  v, 
quae  excedunt  parum  dimidiam  adhibiti  hydrargyri  quanti- 
tatem.  Perierunt  vero  Vnc.  v.  dr.  j.  gr.  xxxxviiij.  Ideo- 
que  grana  v.  fingula  in   deftillatione. 

5)  Conueniunt  proinde  pulcherrime  duae,  diuerfis  temporibus 
peractae,  operationes ,  ex  quibus  plura  mcditationi  opportuna 
ab  idoneis ,  vlterius  erui  pofTunt. 

Qd)  Drachmae  tres  ac  grana  quadraginta  duo  perierunt.  Quomo- 
do  ?  Vide  qure  de  infigniore  reuificandi  ex  praecipitato  mercu- 
rii  difpendio  monet  auclor  ,  in  prima  de  mercurio  diiTertatione 
§.  VIII  corol.  8.  Vix  enim  mihi  perfuadere  poffum  ,  erro- 
rem  autographi  e(Te  :  primus  enim  foret,  quem  in  fcripth  accu- 
ratiffimi  huius  viri  repeniiTem.  Crediderim  ,  multa  enu:leandae 
huic  cjuaeftioni  conferre  ,  experimenta ,  quie  Celtb.  Homkrgius 
cum  metallis  in  fbco  T '  fchrnhaufmno  olim  inftituit ,  quaeque  in 
aclis  fciemia  et  cxperientia  ditiifimis  acadcmiae  Parinnae  legi 
poffunt. 


D  £     MERCVRIO.  389 

§.     8. 
Has  (e)  mifcui  cum  Vnc,  xxiv.  mercurii  511. 
vicibus  deftillati  (§.   5-)- 

§.     9. 

His  (§.  8.)  admiicui  Vnc.  vin.  dr.  ij.  mercu- 
rii  511.  vicibus  deftillati,  cui  et  fuus  mercurius,  ex  prae- 
cipitato  regeneratus ,  iam  admiftus  erat  (/)• 

§.      10. 
Habui  ergo  mercurii  511.  vicibus   deftillati    per 
fe  et  reuificati  Vnc.  xxxiv.  et  dr.  ij. 

§.      11. 

Has  (§.  10.)  deftillaui  femper  accurate  modo 
§.  1.  hodie  incipiendo  17  £37.  vsque  ad  17^37.  44- $• 

vicibus. 

§.      12. 
Tum    habui  mercurii  mille  ct  nouies  per  fe  iam 
deftillati  Vnc.  xvii.     Et  praecipitati  rubri    in    rctorta 
Vnc.  j.  dr.  jft.  (g). 

Ccc  3  §.   13. 


(tf)  Scilicet  Vnc.  ij.   mercurii  ex  praecipitato    reuifkati  §.    7. 

(/)  Quas  hic  iudicat  auttor  Vnc.  viii.  dr.  ij.  mercurii  511.  vi- 
cibus  dcftillati  pars  nuxima  mercurii  eft ,  quem  obtinuit  aliquan- 
do  ab  operationibus ,  quas  defcripfit  in  prima  de  mtrcurio 
differtatione  §    4.    5-.   6\  7.    8. 

(g\  Perierunt  ergo  Vnc :  xvi.  gr.  xxx.  praecipitati  vero  rubri 
ionge  minus  natum  vltimis  his  4.4.8.  dtftillatioribus ,  quam  qui. 
dem  in  praecede tibus.  Cauram  huius  phaenomeni  in  prim» 
difiertatione  innuit  au&or  §.  5. 


390  E  X  P  E  R  I  M  E  N  T  A 

§.     13. 
Mercurium  (§.    12.)  per  chartam  calidam  ,    pu- 
ram,  ficcam ,   colarum  ,  vaie  \itreo  ,    puro  ,  ficto  ler- 
vaui  ,  tirulo  mercurii   1009.   per  fe  deltiUiti  (/?). 
§.      14.. 
Praecipitati    nati   (  §.    12.  )  dr.   jfl.  feruaui  titulo 
praecipitati  per  fe  mercurii    1009    deftiilati ;    reliquum 
vcro  deliillaui  ex  retorta  loricata  ,  igne   aperto. 

§•      15. 
Obtinui  mcrcnrii  puri  dr.  vij.   gr.   vni.  in  fundo 
retortae    lupererar  pulueris  rubri   fixioris  gr.  xv.  (i). 
§.      16. 
Mercurium   illum    (§.12.)    ponderaui    ope    bi- 
lancis    indultria    clariflimi    yGtauejdnde  ,    pendtbat    ad 
aquam  vt  13  j£g.  ad  1.   17^38. 

§       '7- 
Mercurius   regeneratus    ex    praecipitato    mercurii 
1009    per  fe  demiJati  crat  ad   aquara    vt  13/55  aJ   1. 

ponderante  eodem  celeberr.   viro   £7-38.   (k). 

Eous- 


( ib )  De  hoc  plura  impcfterum  ,  quando  ad  alia  lorge  operofiora 
B.ertaavh  experimenta  puuenero  ,  quibui  pcrfi>.icndis  hunc  ad- 
hibuit. 

(/')  Petrcre  itaque  gr.  xxxvi  i.  Vide  §.  7.  ^huius  fupplerrknti 
notam. 

(£)  Quibus  iam  imprcffas  Boerbaayji  de  Mercurio  Diflertaticnes 
actcunci  occafio  deficit  ,  hijbe-nt  hic  tabulam  ,  feriem  exp.niio- 
num  varii  roeriurii  compkct  num  ,  quas  vi  plurimum  vna  (iim 
celebernmo  sG>  anefandio  abfoluit,  illuftns  Bouhaave. 


EXPERIMENTA  DE  MERCfRlO.       391 

Eousque  Mercurium ,  igne  torilt  y  fblkarium  111. 
Boerhaave  ,  non  comentus  primis  datis  ad  Brittannos 
DiiTertuionibus  iam  mdicatis  ,  vt  difceret,  quid  tandem 
ignis  adtione  diuturnicre  eueniret.  Conllans  fimili  mo- 
do  fe  exhibuit  mirabile  hoc,  noftris  temponbirs  fri- 
gore  actum  ,  omnmo  malleabile,  metallum.  Nuiia 
luiic  fnpplemento  corollaria  appofui  :  deduxit  plu- 
ra  hac  in  arte  feuerus  quidem  ,  vberrimus  tamen 
auctor ,  quae  in  prima  eius  de  mercurio  differtatione 
legi  poiTunt  ,  nimia  fi  huc  transferri  debuiffent,  adieclo 
forcaflis  vnico  :  quod  mercurius  44.8.  vicibus,  fimili  ac 
antea  igne  adhuc  aftus  ,  idem  perfifleret ,  varias  vario 
igne  luderet  perlonas  ,  maiori  tamen  igne  vtcunque  in 
priftinam  formam  rediret. 

QBSER- 


G  ad  V  vt   *'H&  ad    '• 

^    \eralis  femel  deftillatus  ad  \J  vt  1 3  fg^.  ad    1. 

^511     v:dbu<  per  fe  deftillams  ad  y   vt    14^3,  ad    1. 

^    ioco     per  fe  dcftilhtus  ad   SJ   vt    1 3  jjSfe    ad    1. 

§  relufcitatus   ex    praecipitato    mercurii     1009.    deftillati    ad    /\    vt 

13  ^    ad    ,. 
^    aliquoties  ab   Q   deftillatus  ad  V    vt   13  T5a55.   ad   1. 
^   75:0.    vicibus   ab  Q   defti  latus  ad    ^7   vt    1 3  T53%  ad    1. 
*£    Sy.    vicibus  ab  Q  dtfttllatus  ad  SJ    vt    13^.  ad    1. 
*$  alic]uotie>  ab  ^)  deftillatus  ad    S?   vt   13.-/V  ad    t. 
^    217.   viCibus  ab  ^).  deftillatus  ad  y  vt   13.133.  ad  1. 


OBSERVATIONES 

METEOROLOGICAE 

POTISSIMVM  BAROMETRICAE   ET   THERMO. 
METRICAE  ANNI    17 57-  C.VM  CONSECTA- 
RIIS  INDE  DEDVCTIS. 

A  u  dl  o  r  c 
I.     A.     B  R  A  V  N. 

Methodus  fere  eadem  in  his  obferuationibus  eft  ad- 
hibita  ,  quae  in  antecedentibus ,  hinc  fuperfluum 
eflet  ,   pluribus  rurlus   hic  exponere  de    inftrumentis    et 
modo ,  quo  fint  confectae.  Repraefentant  fcilicet  obferua- 
tiones  barometncae  maximas  et  minimas  altitudines  cuius- 
libet  menfis  per  integrum  annum  cum  differentiis,  vti  ther- 
mometricae  maximum  et  minimum  caloris  gradum  cu- 
iuslibet  menfis  per  totum  annum  cum   differentiis.    Ba- 
rometrum  idem  fimplex  eft  adhibitum ,  in  quo  pollices 
funt  Parifienfes  notati  ,    qui  in  centum  partes  funt    di- 
vifi.    Numerus  igitur  ante  punctum  pollices  Parifienfes, 
poft  punctum  eorum  partes  centefimas  figniffCat.    Idem 
quoque  Thermometrum  eft  adhibitum  ,  in   quo  fcilicet 
(o)  fignificat  calorem  aquae  bullientis  ,  et   150»  aquae 
in  gliciem  abeuntis ,  quod    congelationis    pijnctum    ad- 
pellatur.     Haec    fcala    thermometrica    facile    cum    aliis 
comparari    poteft  ,    qnae    funt    vfitatae ,     fi  infpiciatur 
comparationis    fcalarum    thermometricarum    vfitatiorum 
tabula  ,    quam  iam   1755.    cum  obleruationibus  noftris 

ex- 


QESERFATIONES  METEOROLOXCAE  393 

cxhibuimus. '  Inferta  eft  Tom.  VIL  Comment.  Acad. 
Nihil  fupereft,  nifi  vt  obferuationes  ipfes  repraefentemus, 
ita  vt  primum  barometricae  adpareant ,  dein  thermo- 
metricae  et   Meteora. 

Obferuutionum  barometricarum  anni  17^7.    alti- 
tudines  maximae  et  minimae  cum    carum    .difHrentiis , 
per  fingulos  menfes  anni  integri. 
Menfes.  Dics.     Maxima.        Minima.  Differ. 

28  60.  -  27.47  d.i  5'h.r  i.p.m.    1.13- 

28.  +  3.   -  27.O5. d-2I         "        "        "     1.38. 

28  33.  -  -7.30  d.g.eti.5.  -  -  105. 

28.54.  -27.50.d27m.     -  -  1.04. 

2843.  -  27.4.5^  9. et  12.  -  0.98. 

28.45.  -  27,55.11.13.     -   -  -  0.80. 

rd.eti7  28.35.  -  27  90  U.6.2S.31.  -  o45- 

Auguft.  28.    -      2846.-27.33^.3            -  -  1.13« 

Sept.       10. et  1 1  28.75.  -  27.45. d  19          -  "  1-30. 

Oclob.      2.    -     28.55«  -  27.05.ci .17    -    .  -  -  1.49. 

Nou.       20.    -     2S.63    -27.^.5.^.3      -      -  -  1.18. 

Dec  19.I1. 1  ip.m.29.1  2.  -  27  85  d .5,     -  127. 

Max.2<M2.;viin.2y.o5.Diiier  rnax,2.7  pcrintegr.annum. 

Confeftaria. 

Si  liae  obferu  itiones  inter  fe  comparentur ,  pitet 
primum  ,  maximam  altitudinem  contigiffe  Dccembris 
19.  h  11  p  m.  Eft  haec  altitudo  29.12.  plane 
extr^ordinaria,  quae  nunquam  ivc  Petroburgi  eft  obkr- 
vata.  Maximae  enim  bic  obferuatarum  ad  hoc  v&que  tem- 
pus  fuere  primum  29.01.  fiue '  fecund^m  pollices  Lon- 
'TomJX.Nou.Comm.  Ddd  di- 


Ian. 

24. 

Febr. 

1. 

Mirt. 

26. 

April. 

JO. 

Maius 

3*. 

Iunius 

1 . 

I-ulius 

i6.( 

394      OBSERVATIONES 

dinenfes  praecife  30  95  ,  vti  ex  antecedentibus  ob- 
feru.uionibus  publicatis  iam  fitis  patet.  Deinde  29.10. 
anno  1750.  Eft  igitur  nunc  fpatium  variationum  ba- 
rometricarum  rurfus  mutandum  ;  amphfkari  fcilicet  de- 
bet  duabus  partibus  centefimis  ,  tanto  enim  haec  maior 
eft  ea  ,  quae  antea  huc  vsque  fuit  mnxima ,  fcilicet 
29  to.  Q_mm  igitur  huc  vsque  fpatium  ,  intra  quod 
alutudines  mercurii  in  tubo  Torrkelliano  variarint ,  fuc- 
rit  pnmum  260.  ab  altitudine  nimirum  26.41.  ati 
2901  :  deinde  ab  anno  1750.  269:  ent  nunc 
2.71.  ab  altitudine  fcilicet  miuima  26.4.1.  ad  maxi- 
mam,  quae  minc  eft  29.12.  Contt^it  haec  altitudo 
maximt  Decembris  19.  h.  11.  poft  meridiem,  Ther- 
momctro  monllrante  180.  Dies  fuit  ferenus ,  vti 
quoqiie  die>>  aliq  lot  antecedentes  et  fubfequentes.  Ven- 
ttis  ipfv  die  vix  fuir  (enfibtl  s ,  vti  quoque  diebus  an- 
teccJentibus  et  fubfequcntibus  debilis ,  ex  oriente  vfc 
plurinuTi  fpiraus.  Altitudo  minima  accidtt  Februarii  21. 
et  Osft  >bris  17.  Fcbr.  21.  ventus  flnt  N.  O:  dies 
nubilus  ,  quem  fequuta  eft  nox  ferena.  Dies  antece- 
dentes  et  fubfeuuentes  fuere  mixti.  Oitobris  autem  17. 
ventus  fait  vehementifrimiis  W.  ,  qui  iarn  die  praece- 
deiit^  incepit,  et  nocte  lequente  continuauit,  Dies  fiiit 
nubilus  cum  niue  exigua  ,  vti  dies  aliquot  antecedentes 
quoque  fuere  nubili  et  fequentes  mixtL  Aqua  fluuii 
Neuie  ad  notabilem  altitudinem  eodera  die  adfcendit, 
thermometrurn  monftrabat  149. 

In    obferuationibus    thermometricis    mote    noffro 
confueto  notauiraus  maximos  miniraobque    gradus   calo- 

m 


M  ETEOROLOGIC  A  E.        395 

ris  per  fingulos  menfes  totius  anni  cum  differentiis  co- 
rum  ;  obferuatienes  ipfae  autein  lequenti  modo    fe    ha- 
bent : 
Frigus  max.  f.  Calor  minimus.   Calor  max.     DifFerentia. 


Ianuar.  d.     8. 

182 

- 

i52.d.  i(5. et  17.- 

30. 

Febr.          24. 

175 

- 

145. d  14.  -    -  - 

30. 

Martii          3. 

173. 

- 

135-d.31.et18.  - 

38. 

Aprilis.          9. 

14.8. 

- 

120. d.  24.  -  -  - 

28. 

Maii              3. 

148. 

- 

99l.cl.a4.  -  -  - 

4Si- 

Itinii            13. 

i34. 

- 

103. d.  23. 

3i. 

Iulii        15.et.15.  - 

124. 

« 

97. d.  12.  -   — 

27. 

Auguft.          6. 

138. 

- 

107. d.  1.  et  21.  - 

3i. 

Septembris2  3. 

155. 

- 

119. d  2.     -   -    - 

3*. 

Oclobris     14. 

169. 

- 

147. d. 28.  -   -  - 

28. 

Nouembris  20. 

174- 

- 

141. d.  11.   -■  -  - 

33. 

Deccmbris  17. 

187. 

- 

149. d. 3.     -   -   - 

38. 

Frigus  maximum  187.  Calor  maximus  97.  Diff  max.  90. 
per  imegrum  annum. 

ConfecStaria. 

Ex  comparatione  diuerforum  horum  caloris  gra- 
dmim  manifeftum  eft  ,  maximum  frigtis  per  integrum 
annum  tiiifie  187.  Hk  frigoris  gradus  quum  non  fii- 
peret  gradum  200,  hic  1733  et  1739-  obferuatum: 
manet  hic  huc  vsque  maximus.  Incidit  maximus  hu- 
ius  anni  frigoris  gradus  in  Decembris  17.  vento  vix 
fenfibili  O,  tempeftate  ferena,  barometro  adfcendente  hoc 
die  a  28.75  ad  28  87.  Ventus  aliquot  diebus  an- 
tecedentibus  et  fequentibus  ex  oriente  debilis  fuit ,  vti 
D  d  d  2  quo- 


39*        OBSERFATIONES 

quoque  tempeftas  Ytplurimum  (erem  diebus  proxime 
antecedentibus  et  confequentibus.  Calor  maximus  fliit 
97.  Hic  gradus  nunquam  hic  Petroburgi  eft  obftrua- 
tus  ,  aequalis  eft  calori  hominis  mturali  ,  et  fenguinis 
hominis  iani. .  Maxirnus  caloris  gradus  ,  qui  huc  vs- 
que  hic  fuit  obleruatus  ,  quum  fuerit  104.,  erit  igitnr 
gradus  ealoris  huius  anni  7  gradibus  maior  eo7  qui  ad- 
huc  fuit  maximus  DifFerentia  et  variationum  ther- 
momerricarum  ipatium  maximum  quum  huc  vsque  fuerit 
96".  fcihcet  a  gradu  104.  ad  200.  amplificandum  nunc 
erit  7  gradibus,  ita  vt  nunc  fit  103.  fcilicet  a  97 
ad  20  >.  Incidit  hic  calor  maximus  in  Iulii  12  h  4 
poft  meridiem-.  H.  2  erat  99  et  h.  10  antc  mtridiem 
104..  Ventus  debilis  fuit  S  VV,  qui  quoque  dicbus  ali- 
quot  antecedentibus  et  fequentibus  flauit.  Eodem  die 
circa  h  4.  tomtru  eft  auditum-,  fed  tantum  dcbile,  bis 
enim  vel  ter  tantum  audiebarur ,  aliud  autem  tonitru 
h  11  p  m.  (equutum  eft  ,  quod  etiam  tantum  e 
longin  juo  audiebatur.  Barometrum  defcendens  erat  et 
attigcrat  28.02  Die  10  erat  28.15.  eontinuabat  de- 
fcendere  ad  diem    i^.. 

Qpodfi  non  folum  gradus  caloris  maximus  ,  qui 
hoc  anno  fuit  obferuatus  ,  fcd  etiam  reliqui  calorfs 
gradus  obferuati  expendantur ;  facile  confpkitur  hanc 
aeftatem  omnium,  ex  qno  quidem  tempore  obfcrnatio- 
nes  hic  inftituuntur  ,  fuifte  calidiflimam.  Qiium  alias 
magni  calrris  gradus  diu  durare  non  foleant ,  vti  frigo- 
ris  •,  e  contrario  hac  aeftate  ferc  perpctuus  calor  into- 
lerabilis  fuit.        Nam  poft  medium    Maium    iam    dies 

cali- 


METEOROLOGl C  AE  397 

caliditTmi    fuerunt.      M0nftrab.1t    enim    therrnometnrm 

d.    19.  iiOj  d    20»   116,  d     22.    103,  d     23.    105, 

in  fole   82.   d.   24.,  99-  d.   25     100.    d     26,   103.  d. 

27,   11 5.     Menfe  lnnio  d.    1.   1 12,  d.  3.  *o6,  d.  23. 

109,     d.   9.    107,    d.    11.  113,    d,  22.   104.,   d.   23. 

103,    d.   27     106,    d.   28     107.      Menfe  lulio  d.  1. 

113,    d.   2.    110,    d.   3.  iii,    d.4   109,  d.  5.  10 1, 

d.   6".   109,    d.  9.  109,    d.    10.   10.1,    d.   11.   102  , 

d.   12.    99,    d.    13.    io6~,    diebus    14,    15U16.  112, 

d.  17.  108,  d.  19.  101,  d.  20  et  21.  105,  d.  22.  107, 

d.  24  et  26".  105,    d,  28.    103,    d.   29.    '07,    d.   31. 

104..     Quin  ipfo  Augufto  rrinlti  dies  adhnc  fatis    calidi 

fiiere.       Monftrabat    enim  thermometrum    d.    1.    107, 

d.    11.   119,  d     ^3     ll$>   d    15.   iii.  d.    21.    107, 

d.   23.   108,  d.   2<S   et   27.  116,  d.  31.  113.     Hi  gra- 

dus  caloris  plerique  obfeniiiti  funt  inttr  h.   2.   et  3     p. 

m.    quo    tempore    Ytplnrimum  maximus  exiftere  calor 

folet  caeteris  paribus ,     vt   frigoris   gradus  maximus  fiue 

minimi    cjloris    gridus    circa    ortum   folis  vel  proxime, 

vefperi  quoque  circa  h     11,  quibus  temporibus  ad   mini- 

mos  caloris     graJus  cognofcendos  obferuationes  a  nobis 

funt  inftitutae. 

Primum  ton;tru  iam  eomigit  Aprilis  4.  cum 
mngn.i  p!au;a  Tonuit  porro  Maii  16.  20.  Iunii  18. 
27  et  28.  lulii  5.  6.  12.  13.  22.  et  28.  Au^ufti  1 
et  24.     Per  integrum  igitur  annurn  decies  quater  tonuit. 

Dies  hocanno  fereni  fuerunt  laaunrii  1,  i)  tf, 
%,  14.    Februarii  6",  7,   13,   17,   18,   19,  20,    23,24, 

Ddd  3  25, 


39S         OBSERFATIONES 

25,  28.  Martiii,  3,  4,  6,  8,  12,  18,20,26,31. 
Apriiis  1  nofte,  3,  6,  8,  9,  10,  11,  12,  13,  17, 
18,  19,  20,  21,  22,  23,  24.,  28  et  30.  Maii 
3>  4,  5,  6,  7,  10,  15,  17,  18,  19,  21,  22,  23, 
24,  25,  27,28.  Iun.  1,  2,  3,  4,  5>  <*,  7»  14»  i^» 
17,  £0,  21,  22,  23,  24,  27,  28,30.  Iulii  1,3,7, 
8,  9,  12,  15,  16,  17,  18,  22,  23,  26,27,29,30. 
Augufti  6,  11,  15,  17,  21,  22,  23,  27,  31.  Se- 
ptembris  i,  5,  6,9,  10,  n,  12,  13,  23,  24,  30.  Ofto- 
bris  1  no&e,  d.  2,  4,  10,  13,  14,  25.  Nouembris 
17,  18,  19,  20.  Decembris  7,  9,  17,  19,  22,  23, 
24c  *5>  *6,  27. 

Nemo ,  opinor,  fibi  perfuadebit ,  ferenitatem  per- 
fectam  femper  hic  effe  intelligendam  ,  diximus  quoque 
diem  ferenum  qui  maiorem  partem  fuit  ferenus  ,  licet 
quoque  hinc  inde  nubes  tenues  fe  confpiciendas  prae- 
buerint.  Forfitan  nullo  anno  plures  dies  fereni  nume- 
rati  fuerint,  quam  hoc  ;  ferenitas  enim  quoque  dierum 
hoc  anno  fuit  extraordinaria.  Reliqui  dies  fuerunt  vei 
mixti ,  vel  nubili  tantum  ,  vel  cum  pluuia  et  niue. 
Pluuii  et  niuofi  dies  cum  ventis  vchementioribus  prae- 
cipue  fiierunt  hi :  Ianuario  niuofi  4.6.9.  10.  13.  15. 
27.  Februarii  3.  11.  15.  Martii  2.  10.  11,  15.  17. 
d.  21  pluuius  vt  et  23.  24.  d.  25.  nebulofus  d.  27.  et 
2  8.pluuii.  Aprilis  pluuii  4.  6.  et  quidem  pluuia  cum  niue 
mixta,  porro  pluuius  d.  7.  13.  et  14.  Ventus  vehemen- 
tior  W2S  cum  pluuia  magna  et  quadam  aquae  Neuen- 
fis  altitudine  folito  maiore.  D.  25.  26.  27.  itidem 
pluuii.      Maii  8.    9.    magna   procella    cum    mediocri 

pluuia 


M  ETEQROLOGICAE.  3 99 

phnira ,  quae  p?r  interualla  toto  die  continuauk.  D.  9.  h.  1 
grando  quoque  per  aliquot  momenta  cecidit.  Pluuii 
porro  d.  11.  12.  16".  vltimo  die  cum  vento  vehe- 
mentiori  item  cL  20.  lunii  pluuius  is.  13.  i<& 
i&.  29,  Iulii  14.  20.  22.  28.  Augufti  3.  4  et  5 
cum  vento  vehementiore  W  et  altitudine  aquae  Ne- 
venfis  fat  magna  ,  porro  pluuii  d.  13.  16".  24..  Ss- 
ptembris  d  9.  nebuloujs  d.  14-  pluuius  d.  15.  niuofus  ec 
nocte  prima  glacies ,  d.  19  pluuius  et  28.  Oclobris 
6  niuofus  item  11.  12.  16.  cum  procella  ex  occi- 
dente.  D.  17  ventus  continuauit  ,  quem  comitata  elt 
akitudo  aquae  fluuii  Neuae.  D  20  pluuius,  d.  2:3  niuo- 
fiis,  d.  24.  pluuius,  vt  et  27.  D.  29  ventus  WsN  ve- 
hementior  cum  quadam  altitudine  aquac  folito  maiore. 
Nouembris*  pluuii  1.  3.  Nix  cum  pluuia  mixta  d.  io7 
11  et  12..  migia  pluuia,  d«.  13:.  exigua  nixr  d.  14.. 
niuofiis ,  d.  15,  pluuiofus ,,  d  22.  23.  25.  26*  niuofi. 
Decernbris  niuofi  2,  5  d.  n  nebula  denfa  dein  nix 
d.  1.  2  nebulofus,  d.  13  niuofusrd  2-1  niuofus,  thermo» 
metro  171.  figirae  niuis  %  nitidifli  nae  adparuerunt,  vti 
fere  (emper  r  (i  magno  frigoris  gradu  exiftente  ningat. 
d.  30   et   31   pauea   nix  ceridic» 

Aurorae  boreales  nullae  infigniores  fe  confpicien- 
das  hoc  anno  praebuerunt,  quamuis  nonnunquam  vefti- 
gia  adparuerint ,  quum  aliis  annis  fat  frequentes  fuerint, 
id  quod  etiam  emaordinar;um  videri  poteft* 


OBSER- 


OBSERVATIONVM 

METEOROLOGICARVM1 

A.  MDCCLVIII.  PETROBVRGI  FACTARVMIO 
TIORA  MOMFNTA  CVM  AMMADVERSIO- 
NIBVS  ET  CONSECTARlIi. 

Audore 
I.     A.     BRAVN. 

Obferuationes  hae  Meteorologicae ,  eodem  modo  f 
ac  prr.ecedentes ,  et  iisdcm  inftrumentis  ,  fimt 
confectae.  Complechintur  ■  nimirum  obfenutiones  ba- 
rometricas \  thermometricas  ,  et  potiorum  mereororum. 
Barometricae  fimplici  baromctro  in  altitudine  circiter 
fedccim  pedum  Parifienf.  fupra  planum  maris  Baltici 
funt  captae  vt  antecedentes.  Numeri  ante  punclum,vti 
niias  ,  notant  pnllices  pedis  Parifini  j  numeri  poft  pundlum 
partes  centefimas  eiusdem  pollicis.  Exhibentur  hic  , 
vti  in  antecedentibus  ,  ex  ahitudinibus  barometricis  \ 
maximae  et  minimae  cum  difFerentiis  cuiuslibet  menfis 
per  integrum  annum  in  tabula  quadam  ,  vt  vno  obtu- 
tu  infpici  queant  ,  et  maxima  altitudo  annua  cum 
inaxima  diflfercntia ,  fiue  variatione  ponderis  atmofphae- 
rici  per  intcgrum  annum  perfpici  poflk.  Additur  et  hic 
teropeftas  antecedens,  comitnns,  et  confequens ,  vt  re- 
latio  altitudinum  barometricarum,  minimum  fummarurn 
et  intoarum  ,  ad  teropcllates   patelcat. 

Ob- 


OBSERFATIONES  METEOROLOGICAE.  401 

Obferuationes  thermometricae  hic  notatae  varia- 
tionem  caloris  per  fingulos  menfes  totius  anni  indicant, 
fcilicet  gradus  maximos  et  minimos  caloris  cum  eo- 
rum  dirTerentiis ,  vnde  fummum  frigus  et  maximus  ca- 
lor  totius  anni  cum  variatione  annua  cognofcitur. 

Adnotatur  et  hic ,  cum  fummis  et  infimis  calo- 
ris  gradibus  annuis ,  ftatus  tempeftatis  cum  antecedento 
et  confequente  ,  et  cum  altitudinibus  barometricis ,  vt 
et  hic  relatio  obferuationum  thermometricarum  ad  ba« 
rometrkas  et  ftatum  tempeftatis  elucefcat. 

Obfcruationes  hafce  quoque  fecundum  fcalam  thermo» 
metri  Delilianam  eflfe  fa&as,  vti  antecedentes,  vix  opus 
efle  videtur  monere.  Indicat  nimirum  cifra  nuilitatis  nota, 
gradum  caloris  aquae  bullientis ,  et  numerus  150  pun- 
clum  congelatioais ,  quod  iam  fatis  notum. 

Denique  fcquuntur  meteora  infigniora,  fcilicet  ven- 
ti  vehementiores ,  nebulae  ,  pluuiae  ,  niues ,  grandines, 
tonitrua  cum  fulminibus  ,  fulgura  etc.  quae  omnia  a 
vaporibus  et  cxhalationibus  in  atmofphaeram  adfcen- 
dentibns  et  defcendentibus  originem  trahere  ,  et  diuer- 
fas  tempeftates  efficere  conftat.  Eiusmodi  obferuatio- 
nes  et  Metcorologiae  emendandae  et  perficiendae  infcr- 
vire,  notius  eft,  quam  vt  moneri  debeat. 

Progredimur  igitur  ad  ipfas  obferuationes  recen- 
fendas. 

Ad  obferuationes  barometrkas  huius  anni  quod 
attinet ,  illae  fequentem  in  modum  fe  habent : 

Tom.IX.Nou.Comm.  Eee  Meri- 


4o2        OBSERFATIOKES 

Menfes-  -  D.    Alt.  barom.  max.  Miu.  -  D.  -    DirTer, 
lanuarii        17    ■   -    28.50  -  -  27.05.    10 -1.4.5 
Februarii      27    -   -  28.47  -  -  27.60.       4-0.  87 
Martii  28    -   -    28.63  -  -  2715.     23  -  1.38 

Aprilis  3    -  "   28.80  -  -  27-68.     19 -1.  12 

Maii  2   -   -   28.57  *  -  27.35.     i&  -  *•  22 

lunii  14.  -   -  28.35   -  -  27.62.     25  -0.73 

Iulii  21    *   -   28.32  -  -  27.40.     11 -0.32 

Augufti  1    -  -   28.32  -  -   27.63.     18-0.69 

Septembris  16  et  23.28.20  -  -  26.63.  26  -  1.  84 
Oftobris  29  -  -  28.50  -  -  27.02.  15  -  1.  48 
Nouembris  17  -  -  28.90  -  -  27.13.  30  -  x.  77 
Decembris    12    -  -    28.85   '  *  26.42.     30-2.40 

Ergo  fuit  fumma  altitudo  barometrica  per  integrum 
hunc  annum  28.90,  et  infima  26.42,  adeoque  diife* 
rentia  maxima  annua  2.  48. 

Haec  fumma  altitudo  barometrica  28.  90,  fiue 
viginti  odto  pollices  panfmos ,  et  nonaginta  partes  eius^ 
dem  centefimas  feu  fere  vndecim  lineas  magna  obferuata 
mihi  eft  Nouembris  17.  h.  11.  p.  m.  Antecedens 
altitudo  erat  28.85.  et  fequens  die  18.  2&.6~8.  Dies 
praecedentes  a  die  14,  quo  barometrum  erat  28.20 
fuere  nubili ,  vento  ex  oriente  debili  vel  nullo,  ipfo 
obferuationis  tempore  SOi.  Thermometrum  variabat 
inter  gradus  149  et  152,  quem  gradum  monftrabat 
ipfo  obferuationis  tempore.  Sequentes  dies  tres  proximi 
erant  fere  fereni ,  et  barometrum  defcendebat  ad  28.44* 
vento  vix  fenfibili  ,  frigu9  vero  crefcebat  a  153 
ad    176.      Pondus  igitur  aeria  potius  copiae  vaporum 

m 


METEOROLOGICAE.  403 

€t  exhalationum  ,  quam  frigori  aerem  condenfanti,  tri- 
bucndum  videtur.  Caeterum  fi  fumma  barometri  alti- 
tudo  huius  anni  comparetur  cum  fumma  altitudine  an* 
ni  praecedentis,fcilicet  29^,  fiue  viginti  nouem  polli- 
cum  parifinorum  et  vnius  et  dimidiae  ferc  lineae,  quae 
nunc  omnium  obferuatarum  adhuc  maxima  eft  ;  adpa- 
ret ,  altitudinem  huius  anni  fummam  28.90.-  minorem 
efle  altitudine  fumma  anni  praecedentis  29.12.  parti- 
bus  centefimis  22.  fiue  amplius  21  linearum.  Ergo 
manet  altitudo  anni  praecedcntis  omnium  adhuc  obfer- 
vatarum  maxima. 

Minima  huius  anni  altitudo  barometrica  2.6. 42 
mihi  obferuata  eft  Decembris  30.  h.  9.  p.  m.  Ob- 
feruatio  proxime  antecedens  h.  2.  p.  m.  indicabat  al- 
titudinem  26.92.  et  proxima  fequens  diei  fequentis 
31.  h.  9.  a.  m.  27. 30.  Defcendit  a  tribus  diebus  proxi- 
me  antecedentibus  a  27.90  ad  hanc  notatam  altitudi- 
nem  minimam  ,  ct  diebus  proxime  fequcntibus  rurfus 
adfcendit  ad  27.90.  celerrime  ,  et  porro  ad  28.00. 
Ventus  obferuationis  tempore  fuit  vehementiffimus 
cx  S,  qui  iam  die  28.  flare  coepit ,  et  ad  diem  31 
continuauit ,  licet  non  femper  ex  eadem  fpirauerit  pla- 
ga,  fed  modo  S  modo  W  fuerit.  Procul  dubio  igitur 
haec  exigua  altitudo  vehementiae  venti  erit  praecipue 
adfcribenda.  Thermometrum  gradum  caloris  indicabat 
148  cadentc  pluuia  ,  quum  per  diem  copiofnTima  nix. 
cccidifTet.  Dies  antecedentes  et  fequentes  erant  fere 
nubili  et  niuofi.  Variatio  caloris  erat  intra  gradus  148 
ct  173,  qui  gradus  die  27  vefperi  mihi  notatus  eft  , 
quae  igitur  temperiei  mutatio  fatis  fubita  et  magna. 

E  e  e  2  Quod 


404.        0BSEKVATI0KES 

Quod  ft  porro  haec  akitudo  huius  anni  minima 
camparetur  cum  altitudine  minima  omnium  adhuc  ob- 
fenmarum  :  confpicitur  ,  hanc  eidem  eflc  aequalem. 
Nam  omnium  minima  adhuc  eft  28.18  pedis  Londin. 
fiue  2.6  et  fere  rV3  pedis  Parifini.  Haec  iam  ob- 
feruata*eft  1729.  Oclobris  12,  adeoque  ante  29.  an- 
nos ,  et  quod  excurrit.  Merito  igitur  mirandum  intra 
tantum  temporis  fpatium  nullam  efle  obferuatam  ,  nifi 
hoc  anno,  quae  illi  eflet  aequalis.  Caeterum  ex  obfer- 
vationibus  antecedentibus  conftat  T  altitudinem  fummam 
barometricam  ab  anno  1737  Decemb.  24.  ad  annum 
1750,  adeoque  tempore  13  annorum,  manfifTe  eandem, 
fcilicet  30.95  pedis  Lond.  fiue  ferc  29.01  pedis  Parif. 
fed  1750  creuifle  ad  29.10,  et  anno  praecedenti  ad 
29.12. 

In  fpatio  igitur  yariationis  altitudinum  barometri- 
carum  obleruationes  huius  anni  nihil  mutant  ,  fed  ma- 
net  adhuc  2.  70  ,  vel  71,  fiue  pollicum  duorum  et  linea- 
rum  85,  vti  altitudo  media  27.  77,  fiue  pollicum  Pa. 
rif.  viginti  feptem  et  linearum  fere  nouem. 

DifTerentiae  menflruae  altitudinum  harum  fi  in- 
fpiciantur  ,  patet,  eas  ,  vti  alias,  menfibus  mediis  ,  in- 
primis  lunio ,  Iulio  ,  Auguflo  ,  efle  minores  ,  quam 
menfibus  primis  et  vltimis ,  quae  lex  femper  obtinet, 
nifi  extraordinaria  tempeftas  faciat  exceptionem ,  vti 
hic  Februarius  ,  quum  tempeftas  folito  calidior  fuerit. 
DifTerentia  vero  annua  2.  48  admodum  magna  eft, 
ct  extraordinaria,  dum  a  maxima  2.70  tantum  £j&  dif- 
fert,  fiue  minus  quam  lineas  tres,  vti  menftrua  menfe 

Decem- 


METEOROLOGICAE.  405 

Decembri  2.  40  plane  extraorcinaria  quoque  t-eprehen- 
ditur.  Contra  minima  menltrua  occurrit  rfletife  Iu- 
lio  H3i  fiue  fere  quatuor  linearum,  quae  fatis  eft  exigua, 
et  variationem  ponderis  atmofphaetici  fatis  paruam 
indicat. 

Hactenus  de  variationibus  ponderis  atmofphaerae 
huius  '  anni  ,  quae  per  diuerfas  altiiudines  mercurii  in 
tubo  torricelliano  hic  obferuatas  innotucre.  Sequuntur 
yariationes  caloris  per  fmgulos  huius  anni  menfcs  ther- 
mometro  Deliliano  notatae  ,  quae  funt  fequentes; 

Menfes  -  -  -  Frig.  max.  Calor  max.  -  -  -  DirTer. 
Ian.  9.  h. n.p,  m.  197  -  152.  die  22.  h.  2.p.  m.  -  45 
Febr.  2$.h.  7.a.m.i77  -  J45-  8- h.  2- P  m.  -  -  32 
Mart.  I2.h.7.a.m.i77  -  140.  19.  h.  2.  p.  m.  -  37 
Apni.2.h  n.p.m.  164  -  120.  29.  h.  5.  p.  m.  -  -  44 
Maii  i7.h.n.p.m.  146  -  111.  27.  h.  3.  p.  m.  -  -  35 
Iuhii  ioeti^mane  135  -  97- infole  88.24.11. 2.p.m-3S 
Iulii  8-h.  n.p.m.  135  -  105.  20.  h.  4.  p.  m.  -  -  31 
Aug.  28.h.7.a.m.  141  -  107.  13.I1.3.  p.  m.  --34- 
Sept.  15  21.  23.  150  -  127.  3.  h.  2.  p.  m.  -  -  23 
OCt  29.  h.  7-a.m.  160  -  I39.die2,et26.h.  2.p.m.  21 
Nou.  20.  h.  8  a.m.  175  -  1^6.  26.  h.  2.  p.  m.  -  30 
Dec  2,  h.  ii.p.  m.  182  -  148.  itf  pertotum  diem.  34 

Ex  obferuationibus  hisce  thermometricis  inter  fe  com- 
paratis  varia  patefcunt.  Primum  adparet ,  hoc  anno  fri- 
gus  maximum  fuifTe  197.  et  maximum  calorem  97. 
adeoque  variationem  annuam  100.  graduum,  qualis  fere  vt 
plurimum  effe  folet.    Hic  frigoris  gradus  maximus,  fi  com- 

E  e  e  3  pare- 


4c<*        OBSERPATIONES 

paretur  cum  maximo  20o.vel2oi.  alias  hic  obferuato, 
1733.  1739-  et  1748,  patet,  gradum  frigoris  huius  anni 
maximum  proxime  ad  maximum  omnium  hic  obfer- 
vatorum  accedere ,  gradum  autem  caloris  maximum 
efle  aequalem  maximo  omnium  hic  obferuatorum ,  fcili- 
cet  97  ,  quem  ,  vti  ex  antecedentibus  obferuationibus 
patet,  notauimus  Iulii  12.  h.  4.  p.  m.  anni  fuperioris 
1757.  aeftate  calidiflima.  Quoniam  autcm  frigus 
maximum  huius  anni  197.  non  fuperat  frigus  maxi- 
mum  200:  manifeitum  cft,  hunc  gradum  omnium  ad- 
huc  hic  obferuatorum  manere  maximum  ,  et  fpatium 
variationum  caloris  anno  fuperiore  de  nouo  ftabilitum 
manere  103. 

Ex  comparatione  difFerentiarum  porro  confpici- 
tur  ,  maximam  menftruam  obferuatam  efle  45.  menfe 
Ianuario  ,  et  minimam  21.  rrenfe  Oftobri ,  qnae  (atis 
parua  eft ,  quum  haud  raro  difTerentiae  diurnae  non 
folum  huic  aequales ,  fed  ea  maiores  reperiantur  ,  dum 
ad  gradus  28.  et  30.  tempeftate  variabili  et  fubito 
infigniter  mutata  adfcendere  folent ,  vti  hoc  smno 
maxima  diurna  fuit  28.  Aprilis  12.  obferuata,  quamuis 
contra  ca  nonnunquam  differentia  diurna  vix  fit  etiam 
fenfibilis ,  quod  pofterips  tamen  rarius  accidere  hic 
folet. 

Gradus  frigoris  maximus  huius  anni  197.  rnini 
obferuatns  Ianuarii  9.  h.  11.  p.  m.  fnb  fequentibus 
circumflantiis  contigit.  Barometri  altitudo  erat  28.22. 
quum  mane  fuerit  28.28.  die  antecedenti  28.30.  et 
fequenti  mane  28.10.     Nox  erat  fereniflima,  vti  quo- 

que 


M  ETEOROLOGIC  A  E.         407 

quc  dies  ipfe ,  et  aliquot  aatecedentes  dies ,  fequen- 
tes  vero  erant  nubili  et  niuofi.  Ventus  erat  nullus, 
vti  quoque  per  diem  ,  quod  infignioribus  frigoris  gra- 
dibus  exiftentibus  fieri  vt  plurimum  folet.  Diebus 
duobus  antecedentibus  ventus  leniter  ex  oriente  fpi- 
rabat  ,  fequentibus  \ero  proximis  ex  S.  et  W. 
Gradus  frigoris  inter  horam  2.  et  3.  p.  m.  obferua- 
tus  erat  188  ,  adeoque  dirTerentia  diurna  tantum  9. 
Conftat  enim  ,  fi  caetera  fint  paria ,  duo  potiflimum 
interuailo  24.  horarnm  efle  tempora,  quibus  calor  maxU 
mus  et  minimus  contingere  folet.  Scihcet  calor  mi- 
nimus ,  feu  frigus  maximum ,  regulariter  fub  folis  ortum 
efle  folet ,  crefcit  dein  calor  non  folum  ad  meridiem 
vsque ,  quo  folis  altitudo  maxima  efle,  adeoque  maxime 
calefacere  (blet ,  fed  fere  ad  h.  3.  p.  m.  quo  rurfus 
decrefcit  regulariter ,  nifi  dinerfa  tempeftas  obftet ,  ad 
folis  ortum  diei  fequentis.  Haec  ratio  eit  ,  cur  obfer- 
vationes  thermometricae  noftrae  mane  fint  inftitutae  et 
poft  meridiem  inter  h.  2.  et  3.  Quodfi  vero  mane 
non  fint  factae ,  node  h.  n.  inftitui  eas,  quo  tempore 
plerumque  gradus  iam  obferuari  folet ,  qui  gradui  (ub  folis 
ortum  eft  faepe  aequalis ,  aut  proxime  ad  eum  accedit. 

Calor  maximus  97.  lunii  24.  inter  horam  fe- 
cundam  et  tertiam  p.  m.  obferuatus  fub  hifce  circum- 
ftantiis  accidit:  In  fole  thermometrum  monftrabat  88. 
vt  adeo  dirTerentia  inter  thermometrum  foli  expofitum, 
et  thermometrum  in  vmbra  collocatum  fiierit  nouem 
graduum.  De  hac  diflerentia  notandum  eft  ,  eam  ad» 
modum  variari ,  licet  totum  coelum  aequaliter  ferenum 

■videatur, 


4o8        OBSERFATIOKES 

videatur ,  ita  vt  non  nunquam  gradunm  2  5 .  et  amplius 
mihi  fit  hic  obferuata.  Barometri  altitudo  erat  27.75, 
quum  mane  fuerit  27.80.  et  ab  28.26,  quae  altitudo 
die  20.  fuit  ,  ad  hunc  terminum  lente  defcenderit ,  et 
fequenti  die  ad  27.62.  defcendere  perrexerit.  Coelum  ad- 
modum  fuit  vaporofum,  ita  vt  (ol  tanquam  difcus  ru- 
ber  adparuerit ,  quod,  aere  vaporibus ,  praecipue  exha- 
lationibus,  copiofis  repleto,  contingere  folet.  Ventns  de- 
bilis  ex  oriente  fpirabat  ,  vti  quoque  diebus  duobus  an- 
tecedentibus  et  confequentibus.  Circa  h.  4.  p.  m.  to- 
nitru  e  longinquo  eft  auditum,  et  pluuia  parua  cecidit, 
h.  10.  autcm  pluuia  fatis  larga ,  et  tonitru,  non  tamen 
vehemens,  fuit.  Quum  atmofphaera  inferior  vaporibus 
et  exhalationibus  fuerit  repleta  ,  et  barometrum  altitu- 
dinem  infignem  non  monftrauerit  ,  caiorque  infignis 
thcrmometro  fuerit  indicatus :  mirandum  non  eft  ,  ful- 
mineam  tempeftatem  hoc  die  contigiffe  ,  dum  omnes 
adfuerunt  conditiones ,  fub  quibus  tempeftates  fulmineae 
accidere  folent.  Vltra  altitudinem  28.08.  fiue  viginti 
oclo  pollicum  pedis  Parifini  et  lineae  vnius  tempeftas 
fulminea  mihi  hic  non  eft  obferuata  ,  quae  fcil.  pro- 
pius  acceffit. 

Sequuntur  meteora  infigniora  per  fingulos  huius 
anni  menfes ,  vt  venti ,  fed  tantum  vehementiores , 
fcilicet  gradus  tertii  et  quarti  ,  qui  pofteriores  procello- 
fos  notant ,  porro  nebulae  ,  nubes  ,  pluuia  ,  grando  , 
nix ,  tonitrua  cum  fulminibus ,  halones  circa  Solem  et 
Lunam ,  et  aurorae  boreales. 

Men- 


M  ETEOROLOGICAE.         40$ 
Menfis  Ianuarius. 

Ventiis  vehementior  nullus  eft  obfcruatus ,  ni£ 
quod  die  14.  p.  m.  paullo  vehementior  ex  occidente 
Sauerit ,  qui  vero  iam  circa  vefperam  ceffauit.  Cui- 
itat  generatim  tempeftate  frigidiore  ventos  vehementes 
jion  oriri. 

Refpe&u  plagarum  venti  hoc  menfe  vt  plurimum 
ex  oriente  et  occidente  fpkauere  ,  fcilicet  per  i3.dies 
ex  oriente ,  et  per  nouem  dies  ex  ociidente.  Dies 
fine  vento  fuerunt ,  vel  vix  fenfibiles  venti  d.  2.  4.  9. 
12.  13.  17.  adeoque  dies   fcx. 

Dies  nubili  et  niuofi  hoc  menfe  fuerunt  14,  re- 
liqui  17.  fereni ,  licet  pauci  perfecte  fereni ,  qui  hic 
funt  rariores ,  quum  coelum  vt  plurimnm  fit  vaporo* 
fum  ,  et  nubes  hinc  inde  fimul  deprehendantur. 

Februarius. 

Et  lioc  menfe  nullus  ventus  vehementior  eft  ob- 
feruatus  ,  nifi  quod  die  7.  ex  onente  paullo  vehemen- 
tior  fpirauerit ,  defcendente  quidem  barometro  ,  ncm  ta- 
men  infigniter.  Venti  debiliores  refpectu  plagarum  fucre 
hi  ',  ventus  ex  oiiente  fuit  per  10.  dies ,  ex  occidente 
5.  et  ex  mendie  quoque  per  5.  dies ,  venti  nulii  die  6". 
et  no&e  die  27.  Iam  adnotatum  eft  ,  et  vulgaris  ex- 
perimentia  docet,  ventos  per  diem  flantes  vtplurimum 
per  no&em  fieri  debiliores  et  faepius  quoque  uullos. 
Saepius  quoque  dies  fine  vento  fequi  ventos  vehemen- 
ticres  ,  vti  hoc  menfe  diem  fextnm  tranquillum  fequu- 
tus  eft  die  7.  ventus  vehementior.  Et  contra  ventos 
vehementiores  excipere  tranquillitas  folet. 

Tom.IX.Nou.Comm.  F  f  f  Dies 


*io        OBSERVATIONES 

Des  i>reni  hoc  menfe  tantum  fuere  4.  fciiicet 
dies  20.  23.  27.  et  29,  rtliqui  picriquc  fuere  nubili, 
pauci  niuofi. 

Martrus. 

Hoc  menfe  ventus    veherrieritior   gradunm    3.  et 

4.  fuit  die  17.  per  diem  et  nodtcm  ,  irre^uhris  ,  fere 
tamen  ex  W  ,  barometro  adf:endentc  durante  vento  , 
neque  ante  ventum  multnm  dekenderat.  Subitaneae 
temperiei  mutationi  hic  ventns  adfcnbendus  videtur  t 
dum  thermometrum  ab  173.  ad  151.  fpatio  24.  ho- 
rarum  fuit  variatum.  Venti  debiliores  refpecta  plaga- 
rum  fere  ftiere  ex  occidente  Nam  per  21.  dies  vcntus 
W  flauit.     Ventus  filuit  d.    12.   19.   20.  21.  22.  27. 

Dies  fereni  hoc  menfe  fuere  fere  dimidii  >  reli- 
qui  nubili  plerique  ,  pauci  niuofi. 

Aurora  borealis  confpe&a  fuit  die  15.  placida  , 
barometro  28.  12  ,  thermometro  168.  beqnenti  dio 
thtrmometrum  mouitrabat  mane  et  nocte  174..  p.  m. 
autem  152.  vento  ex  occidente  2,  qui  etiam  eiusdem 
gradus  anteccilit  aiiquot  diebus. 

Aprilis. 

Hoc  menfe  ventus  vehcmentior  W  3.  et  4.  dlc 
20.  21.  flauit.  Die  19.  baiometrum  ab  h.  2.adio. 
p,  m.  defcendit  a  27.90.  ad  27.66,  qui  defcenlus 
celer  ventum  vehementiorem  praenunciabat ,  duran- 
te  autem  procella  d.  21.  ad  28.  15.  rurfus  ad- 
fcendit ,    quod  vtplurimum  fieri  foiet.       Rehqui    venti 

foe- 


M  ETEOROLOGICAE  411 

fuere  debiliores  et  admodum  variabiles,  quod  hoc  men- 
fe  fieri  folet.  Scilicet  6.  W.  8.  O.  <5.  S.  6.  N.  2. 
fine  vento. 

Hic  menfis  fatis  fuit  ferenus,  quum  19  diesfne- 
rint  fereni  ,  reliqui  nubili ,  niuofi  et  pluuii  Fluuii 
nempe  10.  20.  et  22.  Sed  qranntas  pluuiae  oigua 
fuit.  Glacies  Neuae  die  9.  foluca  eft  ,  thermometro 
mane  147.  p.  m.  126,  vento  SW.  Aprilis  9  fere 
medius  eft  terminus  temporis,  quo  glacies  Ncuae  abire 
folet  ,  maximus  enim  terminus  ad  huc  eft  Apr.  26. 
qui  bis  occurrit  ab  a.  1718  ad  hoc  terrpus  ,  fcilicet 
1739.  et  1742  ;  minimus  Mart.  22.  qui  femel  occur- 
rit  1723.  Ergn  differentia  eft  35.  dierum  et  medius 
inter   dicm  8.  et  9.   Aprilis  incidit. 

Maius. 

Venti  vehementiores  fiiere  d,  19  20.  W.  3.  et  4. 
Die  17.  barometrum  erat  27.95.  et  defcendebat  ad 
diem  fequentem  ad  27.35  ?  durante  vero  vento  ad 
27.68.  rurfus  adfcendit.  Tempeftas  fuit  pluuia  cum 
grandine.     Venti  lenes  W.   21.  et  O.  4. 

Dies  fereni  huius  menfis  fuere  viginti ,  reliqui 
dies  nubili  et  pluuii  ,  piuuii  (cilicet  d.  18.  pluuia  4. 
lineas  alta  ,  die  19.  2.  iin.  d.  20.  lin.  2.  Tota  igi- 
lur  altitudo  pluuiae  hoc  menfe  lapfie  fuit  tantum  8. 
linearum  ,  fiue  pollicis  dimidii  pedis  Panfini  et  duarum 
linearum. 

Grando  pauca  d.  12.  inter  h.  10.  et  n.  ce- 
cidit ,  itemque  d.  20.  cum  pluuia  antea  indicata. 

Fff    a  Hal® 


4i2         OBSERFATIONES' 

Haio  circa  folem  coloribus  praedita  confpedh  mh- 
hi  fuit  die  25.  inter  h.  11.  et  12,  coclo  tenuillimfe 
nubibus  7  vt  alias,  obdudlo* 

lunius. 

Hoc  menfe  ventus  vehementior  nullus  eft  obfer- 
vatus ,  omnes  venti  fuere  debiies  fere  W.  et  O.  Scili- 
cet  per  13.  dies  ventus  ex  occidente,  per  10.  ex  oriente 
ipiraut..    Dies  finc  vento  3.   5.   17.  noctes  29.  et  30, 

Dimidius  fere  menfis  fuit  ferenus ,  fiue  praecife 
13.  dies,  reliqui  fuere  pluuii  cum  tempeftatibus  fulmineis. 
Pluuii  fuere  dies  6tui ,  quo  fimul  primum  tonitru  mihi 
eft  auditum.  Altitudo  pluuiae  4  linearum  fuit.  Ven- 
tus  durante  tempeftate  inter  h.  7.  et  8.  p.  m.  varia- 
bilis  fuit  modo  W  modo  O  modo  S.  Barometrum 
ij  82.  et  thermometrum  h.  2.  p.  m.  112,  porro 
dies  pluuii  fuere  ymns ,  vbi  altitudo  pluuiae  6.  Jin. 
dies  8.  vbi  pluuia  2.  lin..  dies  9.  pluuia  4.  lin. 
d.  10.  pluuia  cum  grandine  2.  lin.  d.  1  r.  pluuia  cum 
grandine  pifi  magnitudine  maioris  3.  lin.  d.  16.  pluuia 
6.  lin.  d.  21.  pluuia  cum  tonitru  et  exigua  grandine 
a.  lin  d.  24.  pluuia.  cum  tonitru  1.  lin  d  25.  to- 
nitru  cum  pluuia  4.  lin.  Die  26.  magna  pluuia  1. 
pollicis  et  7.  linearum,  cum  grandine,  tonitru  et  fulmini- 
bus  perpetuis.  Die  27.  tonitru  cum  pluuia  8.  Jin.. 
Die  29.  pluuia  exigua  lin.  1.  Barometrum  diebus  plu- 
\iis  et  turbidis  vltra  altitudinem  27.95.  non  adfcen- 
dit ,  plerumque  haerebat  circa  numeros  inferiores  niil 
quod  femel  d.  21.  fuit  28.12  ,  quo  pluuia  cum^  gran- 

dinc- 


METEOROLOGICAE  4*3 

djtie  cecidit  et  tonitrua  cum  fulminibus  fuere.  Ther- 
mometrum  diebus  ,  quibus  tonuit ,  gradum  23.  maio- 
rem  non  monftrauit. 

Ex  hifce  obferuationibus  adparet:   1)  dies  pluuios 
hoc  menfe  fuilfe  13  ,  et  quantitatem  pluuiae  5.  polii- 
cum  pedis  Parif.  et  2.  linearum    2)  tonirrua  cum    ful 
rainibus  fuiffe  6.  3.)  grandiaem  cecidilfe  quater. 

Fulius'.- 

Menfe  Iulio  ventus  vehcmentior  nullus  contigit , 
venti  debiles  plerique  cx  oriente  flauere  ,  fcilicet  per 
dies  21  ,  et  ex  occidente  per  dies  quatuor.  Sine 
vento  dies  22.  folus  fuit. 

Tonitnr  nullunr  toto*  lioc  men(e  contigit ,,  quod 
fatis  infolitum  eft;, 

Dies  fereni  i^r  reliqur  nubili,-  fed  plerique  pluuii, 
et  quidem  pluuii  dies  3.  4.  10.  11.  13.  14..  18.  23. 
24.  25.  adeoque  10.  Quantitas  pluuiae  fere  fuit  4. 
pollicum  Parifienfium- 

Auguflus. 

Neque^  lioc  menfe  ventus  vllus  vehementior  ob« 
feruatus  eft.  Venti  debiles  ex  oriente  et  occidente  vt 
plurimum  fpirauere,et  quidem  per  13  dies  ex  onento 
et  per  10  ex  occidente.  Sine  vento  d.  1.  16  ,  fae- 
pius  autem  no&ibus.  Tonitru  hoc  menfe  cft  obieruatum 
die    17.    cum    pluuia    inter  h.  2.  et  3.  p.  m.   ther- 

F  ff  3  nao-i 


4t+         OBSERFATIOKES 

mometro  115,  baromctro  27.  92.  Ventus  W  paul- 
lo  vehemens  durante  tempeftate  ,   n  folet ,    fuit. 

Nebula  confpecta  die  30.  vcnto  O  1  ,  quam 
noc"re  pluuia  fequuta  eft. 

Dies  fereni  fuere  1 5  ,  reliqui  nnbili  U  plnuii  , 
pluuii  fcilicet  6.  dies  8,  17.  18.21.23.30.  Quanti- 
tas  pluuiae  3^.  lin. 

September. 

Venti  vehementiores  hoc  menfe  flauere  tres,  die 
22.  W  3.  et  4..  d.  25.  S.  3.  et  4.  d.  27.  W  3.  ei  4. 
Barometro  flantibus  his  ventis  iniigniter  defcendente. 

Caeterum  venti  debiliores  ex  occidente  fpirarunt 
die  2.  11  16  22.  28.  30.  adeoque  per  fex  dies. 
Ex  oriente  diebus  z.  3.  8.  10.  12.  13  29.  adeo- 
que  feptem.  Ex  meridic  femel  die  25.  Ex  fepten- 
trione  d.  5.  20.  reliqui  ex  plagis  intermediis.  Sine 
vento  fuere  dies  9.  14.   15.    16.   21.  adeoque  quinque. 

Dies  iereni  6.  fcilicet  2.  8.  10.  21.  23.  28. 
reliqui  nubili  et  pluuii.  Pluuia  cecidit  die  1.  4,  7, 
j8.   22.  26".  27.  29.     Quantitas  pluuiae  3|.  poll. 

Grando  cecidit  bis  die  22. 

Nebulae  fuere  d.    n.   20. 

Pruina  die  11.  et  congelatio  prima  thermome- 
tro  150. 

Oaober. 

Venti  vehementiores  hoc  menfe  fuere  d.  1  , 
W  3.  d.  o.  node  N  3  et  4.  d.  12.  W  3.  et  4. 
Reliqui  venti  maiorem  partem  fuere  W  fcilicet  per 
dies  22. 

Sine 


METEOROLOGICAE.  415 

Sine  vento  dies  6".  fuerc  ,  nimirum  8.   21.  23. 

25.  *7-  31« 

Dies  fereni   12.  fulicet  5.  6.   10.   11.   13.    16. 

17.   19.   20.  21.  28.  29   reliqui  nubili,  pluuii  er  niuofu 

Pluuia  d.  3.   8.  22.27  30.et  31.  adeoque  per  fcx  dies. 

Niues  die  9.   12.   14..  itf. 

Grando  d.  3.  et  4. 

Nebulae  die  24.   27.  31. 

Nouember 

Hoc  menfe  duo  venti  vehementiores  fimt  nume- 
rati,  nimirum  die  26",  et  28.  W  3.  tantum  no&e. 
Reliqui  omnes  admodum  debiles  fuere  ct  quidem  W 
et  NW  4.  fcilicet  die  6.  26.  27.  29.  OetS.  O  10. 
fcil  7.  9.  12.  13.  17.  18.  21.  24.  25.  30.  N  d.  3 
et  5.  S  d.  4.  et  22. 

Sine  vento  dies  4.  10.  11.  15.  icT.  19.  20.  29. 
adeoque  oclo. 

Dies  fereni  5.  nimirum  4.   $.   19.  21.   29. 

Pluuia  cum  niue  d.  1.  Niues  d.  3  6".  7.  10. 
Pluuiad.  11.  Nixd.  12.  13.  22.  Piuuia  d.  25.  Nix 
d.  28.  et  30. 

Nebula  craiTior  die   20.  a    m. 

Glacies  in  flumine  Neua  adparere  coepit  die  2. 
nodle,  thermometro  166.  fequenti  die  3  h.  10.  p.  n% 
glacies  iam  ftetit,  thermometro  164.  Saepiiis^  quin  per- 
petuo,  obferuauimus  gradu  frigoris  ad  166.  pcruenientc 
et  aliquot  dies  durante  ,  glaciem  in  Neua  adparere  inci- 
pere,  et  mox  ftare,  nifi  lubito  tempeftas  mitior  incidat. 
Conftat  iam  ex  antecedentibus  et  aliunde  terminum  maxi- 

rnum  & 


4i*        OB  S  E  RVATIO  N  E  S 

mum  ,  quo  flnmcn  glacie  conftri&um  eft  ,  eflTe  No« 
vembris  30,  qui  ter  ab  171 8.  adhuc  fuit  obferuatus,  fci- 
licet  1719.  1727.  1729.  et  minimum  die23.  O&o- 
bris ,  qui  femel  eft  notatus  1750.  Dif&rentia  igitur 
ciaxima  eft  39.  dierum,hinc  medius  numerus  eft  fere 
Nouembris  20  ,  quo  «!ie  quoqne  intra  tempus  dictum 
qninquies  coiit  glacie  flumen.  Idem  huius  anni  ter- 
minus  fuit  quoque  .1748.  notatus. 

December. 

Menfe  Decembri  venti  vehementiores  obferuati 
funt  fequentibus  diebus,j5.  et  17.  W  4.  die  29.  30. 
et  31.  N  W.  3.  et  4. 

Venti  reliqui  leniores  primum  ex  occidente  ipi- 
rarunt  1 3  .  dies.  Ex  S  per  fex  dies ,  totidemque  dies 
ex  N.  et  femel  ex  O.  Sine  vento  jnullus  fuit  dies  hoc 
incnfe  nifi  3.  ex  parte. 

Dies  fereni  fuerunt  quinque  fcilicet  2.  3.  9.  J2. 
83.     Niuofi  vero  nouem  ,  reliqui  tantum  nubili. 

Quodfi  meteora  integri  huius  anni  hactenus  re- 
cenfita  confiderentur  et  conferantur ,  adparet 
l)  Ventos  vehementiores  per  totum  annum  fuifTe  18  , 
fcilicet  menfe  Martio  1.  Apr.  3.  Maio  2.  Sept. 
3.  Otfob.  3.  Nou.  2.  Dec.  4  ,  eosque  vt  pluri- 
mum  W.  Vnus  enim  tanium  menfe  Septembri 
fuit  S  ,  et  vnus  N.  Octob.  Dec.  duo  N  W ,  ec 
fiue  vento  vehementiori  fuere  Ian.  Febr.  lun.  Iulius, 
.Auguftus. 

*) 


METEOROLOGICAE.         417 

£.)  Ventos  potiffimum  fpinflfe  ex  W  fcilicet  134. 
dies  vt  hn.  9.  Febr.  5.  Martio  2r.  Apr.  6".  Maio2i. 
lun.  13.  Iul.  4.  Aug.  10,  Sept.  6.  Octobr.  22. 
Nou  4.  Dec.  13-  Praecipue  igitur  menfibus  Mar- 
lio  j   Maio  ,  O&obrh 

Ventos    ex    oriente  93.    fcilicet    13.    Ian.   10. 
Febr.   8.    Apr.   4.    Maio    10.    Iun.   2r.    Iul.    13. 
Aug.   7.  Sept.   10.  Nou.   1.  Dec.  Ergo  potiOimurn 
mtnfe  Ian.  Iul.  Augufto. 
,  Ex  meridie  18. 

Ex  Sept.  i(5.  Dies  autem  fine  vento  fuuTe  44. 
Hinc  intelhgitur,  ventum  ex  occidente  hoc  anno  fuifle 
frequentiflimum  ,  quod  et  alias"  ficri  folet ,  ventum 
ex  oriente  (atis  quoque  frequentem  ,  minus  autem 
frequentes  ex  meridie  et  feptentrione.  Per  60  au- 
tern  dies  ex  plagis  diuerfis  intermediis  flauit. 
3.)  Dies    lereni    inttgro    hoc   anno   fuere    144.    ergo 

tertia  pars  et  ampiius  fuit  ferena. 
4.)   Dies  pluuii  menfibus  aftiuis  Maio  ,    lulio  ,  Augu- 
fto  ,  Stptembri  fuere  40.  fcilicet  Maio  3.    lunio  13. 
lulio   10.  Augufto  6.  Septcmbri  8. 

Q<nntitas  pluuiae  fiiit  16"  poliicum  Parifmorum 
et  9  linearum  in  his  diebus :  nimirum  menfe  Maio 
odo  linearum  ,  Iunio  5.  pollicum  2.  lin.  Iulio  4. 
poll.  Augufto  poll.  3.  l»n.  6".  Stpt.  poll.  3.  lin.  5. 
Hinc  aettatem  (ofito  humiJiorern  fuifle  confp icitur , 
adeoque  minus  quoque  fertilem  ,  dum  propter  copio- 
fam  pluuiam*  et  fnenum  et  fiumentum  multum  cor- 
ruptum  eft  ,  fatis  laete  creuit  foenum  tamen  in  locis 
aridioribus. 
Tom.IX.  Nou.Comm.  Ggg  5 ) 


4*3         O  B  S  E  R  V  A  T  10  N  E  S 

5  )  Grandines  per  integrum  annnm  cecidere  per  o  dies 
fcilicet  Maii  12.  et  20.  Iun.  10.  11.  21.  2.6. 
Sept.    22.   Octobr.  3-  et  4« 

6.)  Nvbulae  fuere  mihi  feptem  obferuatae  ,,,  nimirum 
Augufti  30.  Sept.  11.  et  20.  Ottobr.  24..  27,  31. 
et  Nou.  20.  quae  thermometro.  175.  monftrante  ac- 
cidit ,  et  admodum  fpitTa  adparuit ,  flumine  iam  a 
die  3.  huius  menfis  glacie  obduclo  ,  quod  frequenter 
non  contingit. 

7.)  Tempeftates  fulmineae  fuere  feptem  ,  quae,excepta 
vna  ,  omnes   menfe  Iunio  fuere  ,  fcili.cet  die  6.  quo . 
primam.  obferuaui  ,  die   21.   24.  25.   26,  27.     Au- 
gufti   17.  fuit.  vltima.. 

$.).  Prima  pruina  et.  cpngelatio  mature  contigit  ,  fcilicec 
Sept.  11  ,  vti.  vlti.ma  hui.us  anni  fuit  Aprilis  24., 
adeoque  diffeientia.  e.ft  4..  menfium  17.  dierum,  quod 
tempus  4.5  menfium  circiter.,  menfes  aeftiuos  ,  fiue 
aeftatem  hic  fere_  con.ftituere.  folet, . 

9.)  Halo  vnica  eaque.  circa  Solem  cum  coloribus  eft 
obferuata .  Maii  25,  quae  alias  circa  Solem  praeci- 
pue  autem  Lunam  efle  frequentiores  folent. 

10)  Aurora  borealis  vnica  tantum-  infignis  fccundum . 
obferuationes  meas  contigit,  nofre  inter  diem.  15, 
et  16  menfis  Martii ,  licet  faepius  veftigia  lucis.  bo* 
realis   adparuerint. 

1.1.)  Si  quatuor  tempeftates  fixae  porro  comparentur  , 
adparet  ,  hiemem  fatis  gelidam  et  conftantcm  fuiflej 
ver  adhuc  fatis  frigidum  ,  contra-  acftatem  et  au« 
tumnum  humidiores ,  hinc  annum  in  his  locis  mi- 
njus  fertilem. 

Ad 


MKTEOROIOGICAE.         4*S 
Ad  haec  iequentia  addere  placet: 

Conflat  iam  alias,  declinationem  acas  magheticae 
hic  loci  parum  effe  variabilem  ,  hinc  nullam  difTeren- 
tiam  inter  declinationem  huius  et  anni  fuperioris  nota- 
re  mihi  licuit ;  manet  igitur  declinatio  4*  graduum  fere 
occidentem  vcrfus. 

Fuerunt,  qui  exiftimarent  maculas  folares  in- 
fluxum  quoque  in  tempeftates  habere.  Quamuis  haec 
fententia  probabilis  non  videatur  ,  quum  erTe&us  eius- 
modi  obfcurationum  Solis  per  maculas  vix  (enfibiles 
in  atmofphaera  noftra  videantur  :  adnotare  tamen  hic 
lubet  hoc  anno  maculas  in  Sole  fuifie  copiofiilimas  , 
nullo  enim  die  fereno  Solem  tnbo  5  pedum  conrem- 
platus  fum  ,  quin  maculas  confpexerim  plures ,  Decem- 
bris  21.  duodecim  fimul  mihi  obferuare  contigit  Quae- 
dam  multo  maiores  adparebant ,  quam  Mercurius  folet , 
Solem  tranfiens. 

Denique  quum  nulkim  fit  dubium  ,  quin  aer  at- 
mofphaericus,  et  tempeftates  anni  fuos  in  corpus  humanum, 
eiusque  fanitatem  exferant  efle&us ;  morbos  praeapue 
hoc  anno  humido  grafTatos  ,  addere  volui.  Fuere  au- 
tem  illi  praecipue  febres  inflammatoriae,  peripneumoniae, 
pleuritides  ,  petechiales ,  catarrhales  ,  quae  vlumae  fere 
omnibus  meafibus  fuere  obferuatae ,  variolae  ,  (corbutus, 
febres  intermittentes ,  acutae  ,  peracutae  cum  delirns , 
arthritides,  et  menle  Oclobri  quoque  anginae.  Diarrhoeae 
latis  frequentes ,  vt  alias ,  quoque  fuere. 


(S.gg  &  DE- 


DESCRIPTIONIS 

PISCIVM     RARIORVM 

E  MVSEO  PETROFOLITANO  EXCEPTORVM 
CONTINVATIO. 

A  u  £t  o  r  e 
l     T.     KOELREVTER. 

IV. 

Cyprinus  pinna  caudae  horizontali  >  liib- 
trifida;  dorluali  fafligata^  paruula. 

D  E  S  C  r  I  P  T I  o. 

Tab.  IX.  I  olorem  huius  Cyprini  ,  quem  propinqua  affinitate 
\**f  cum  Chinenfi  aurato  effe  coniuncium ,  pinna  cau~ 
dae  horizontalis  prodit  ,  olim  fuiffe  argenteum  ,  et 
branchiarum  operculi  laminae ,  et  fquamae  ,  hinc  et 
inde  argenteo  adhuc  nitentes  fpiendore,  probare  videntur. 

Corpus  ab  oris  extremo  retfius  primum  ,  nota- 
biliter  tamen  ftatim  adfcendit ,  et  arcuato  dein  fub 
flexu  pinnam  dorfi  petic  ;  abhinc  defcendit  fub  arcu 
leuiter  concauo  ad  eminentiam  quandam  vsque ,  fubacu- 
tam  ,  paruam  ,  a  qua  denuo  vlterius  ad  caudae  pirr* 
nam  ,  fub  arcu  Jeuiffime  conuexo  ,   defcendit. 

Idem  ab  oris  extremo  ,  fub  flexu  minus  arcuato, 
quam  quo  ad  dorfi  pinnam  adfcendebat ,  ad  pinnarum 
pe&oralium  regionem  defcendit ,    dein  rectiorem  fcqui- 

tur 


Et   2. 


DESCRIFTIO    PISCIVM.      4sx 

tur  curfum  ad  pinnas  vsque  ventrales ,  et  ab  his  deni- 
que  ad  caudae  pinnam  eodem  modo  fenfim  adlcendit , 
quo  ab  oris  extremo  antea  defcendebat.  DifTert  itaque 
a  vero  Chinenfium  Cyprino  ,,  pinna  ani  gemina,  caudae 
„  transuerfa  trifurca  Linn.  Syft.  Nat.  edit.  dec.  p.  322. 
,  ,n°.  8.  „  quem  pariter  ad  manus  habebam  ,  dnm  haec 
fcriberem  ,  quod  huius  corpus  ab  oris  extremo  vcrfus 
dorfiim  aequali  fere  fub  arcu  adfcendat  ,  quo  abdomen 
verfus  defcendit  ,  et  pari  quoque  modo  a  dorfi  pinna 
ad  caudam  defcendat ,  quo  a  pinnis  ventralibus  ad  ean- 
dem  adfcendit.  Sic  etiam  Cyprini  Chinenfis  caput 
multo  magis  obtufum  eft  ,  qnam  noftratis ,  quod  in  illo 
ab  oris  extremo  (latim  arcuato  fub  flexu  ad  dorfi  ini- 
tium  adfcendit ,  cum  in  hoc  rectiori  fub  du&u  idem 
attingat. 

Prona  capitis  fuperficies  anteriora  verfns  platihi- 
fcula  ,  pofkriora  verfus  fubconuexa  eft.  Dorfum  ab 
initio  conuexum  ,  fenfim  in  fubacutum  marginem  pin- 
nam  fuam  verfus  contrahitur  ,  pone  quam  ,  fi  eminen- 
tiam  iftam  fubacutam  ,  de  qua  fupra  dixi  ,  quaeque  pim 
nae  ani  principio  e  direclo  opponitnr ,  excipias ,  con- 
vexum  iterum  ambitum  ad  extremum  vsque  oftendit. 
Abdominis  e  contrario  fuperficies  ab  angulo  coniunctio- 
nis  vtriusque  membranae  branchioftegae  e  conuexa  fen- 
fim  planior  fit ,  inter  pinnas  ventrales  et  anum  in  fub« 
acutum  contrahitur  marginem  ,  e-t  pone  pinnae  ani  fi- 
nem  planitiem  denuo  acquirit  notabilem.  Latera  capi« 
tis  infra  et  ante  oculos  pJana,  circa  branchiarum  oper- 
cula  fubconuexa  ;  qualia  etiam  trunci  funt  latera,  ad 
anteriora  tamen  magis  ,  ad  pofteriora  minus. 

Ggg  3  Oris 


422  D  E  S  C  R  1  P  T  I  O 

Oris  edentuli  ,  leuicer  prominentis ,  labia  csrno* 
fa  ,  immo  camofiora  mihi  nha  ,  quam  in  Cyprino 
Chinenfi. 

Foramina  Narium  vtrinque  duo  ,  in  eadem  fere 
cum  fuperiore  orbitae  margine  pofita  altitudine,  eidem- 
que  ,  quam  oris  extremo  ,  propiora  :  anteriori  fubrotun- 
do,  minori  ;  pofteriori  maiori,  femilunari ,  membranu- 
la  retrorfum  fpe&ante  ,  velut    operculo  ,  obtecto. 

Oculi  fatis  magni  ,  limbo  fuperiore  magis  pro- 
minentes ,  quam  inferiore ,  maximam  partem  intra  or- 
bitam   recondito. 

Opercula  branchiarum  cijm  membrana  branchiofte* 
ga  eiusdem  plane  funt  conformationis  ,  ac  in  Cyprino 
Chinenfium.  Membrana  ,  qtia  illorum  margo  auctus 
deprehenditur ,  non  tantum  iuxta  pinnarum  pedoralium 
principium  ,  id  quod  manifefto  attingit  ,  fed  etiam  ad 
ipfius  cum  membrana  branchioftega  coniundlionem  , 
latior  multo  eft  ,  quam  verfus  angulum  operculorum 
fuperiorem. 

Squamae  cuti  arcte  inhaerentes ,  et  refpeclu  cor* 
poris  magnae  ;  quaedam  fc.  ex  maioribus  detractae  y 
i*  lin.  latae  ,  et  i|  lin.  longae  ,  margine  libero  ro* 
tundatae  ,  altero  truncatae  et  emarginatae  erant. 

Linea  longitudinalis  ex  anguio  operculi  bran- 
chiarum  fuperiore  prodiens  ,  ab  initio  fenfim  defcendit 
ad  regionem  vsque ,  principio  pinnarum  ventrahum  e 
directo  oppofitam  ,  fenfimque  ex  obltquo  in  re&um 
extenfa ,  immutata  directione ,  excurrit  fupra  extre- 
mam  et  horizontaliter  expanfam  corporis  partem  late- 
yalem  7    qua    exterior  pinnae  caudae  lobus  fuftentatur  , 

et 


PISCIFM.  4*3 

et  Itixta  radii  eiusdem  pinnae   medii    maiorisque    bafm 
finitur,  in  toto  decurfu  dorfo,  quam  ventri ,  propior. 

Anus  kuiter  prominens ,  ante  pinnae  ani  prirr- 
cipium  fitum  obtinec.  Iuxta  pinnae  huius  ftnem  ,  in 
finiftro  latere ,  ex  abdominis  margine  inferiore  papil/a 
quaedam  dependet  ,  pedunculo  craiTiusculo  fufTulta  ,  de 
qua  dubius  fum  ,  num  ex  ftatu  morbofo,  an  naturali , 
ortum  fuum  duxerit  ? 

Prnnae  pectorales  radiorum    quindecim    circiter  , 
.a  primo  ad  tertium  ,    qui  longifljmus  efl  ,    ex    ordine 
longiorum  ,    et    ab    hoc    ad    \ltimum   ex  ordine  bre- 
viorum. 

Pinna  dorfi  parua  ,  refpecftu  ventraiiinn  ,  paullo 
anterius  fita  ,  radiorum  fex :  primus  horum  breuis 
fetaceus  ,  fecundo  arcte  adprefTus ;  fecundus  omnium 
fortiffimus  ,  fimplex- .  leuiter  incuruatus  ,  rigidus  ,  pofti- 
co  margine  denticulis  oblique  deorfum  lpecftamibus  in- 
ftruclus ,  tertio  breuior  ;  tertius  omnium  longiiTimus  , 
tenuror  ;  reliqui  ex  ordine  breuiores  ac  tenuiores  ,  vl- 
timo  excepto ,  qui  penultimo  et  antepenukinio  for- 
tior  eft. 

Pinnae  ventrales  radiorum  octb  ,  quorum  primus 
fecnndo  paullo  breuior  ,  fecnndus  tertio  ,  longiilimo  9 
caeteri  ex  ordine  breuiores  funt. 

Pinna  ani  vnica,  radiorum  feptem  :  primus  feta- 
ceus ,  fecundo  dimidio  breuior  ,  eiqtie  arcle  adpreflus ; 
fecundus  omnium  fortuTimus ,  rigidus ,  fimpiex  ,  mar- 
gine  poftlco  denticulis ,  oblique  furfum  fpectantibus  , 
inftructus ,  rectus,  tertioque  paulio  breuiorj  tertius  lon- 

giffi- 


4i4  DESCRIPTIO 

giffimus ,  et  ab  hoc  incli  fiue  ad  vltinrum  onws  m 
extremhaiibus  ramofi ,  ac  ex  ordine  brtiuorcs;  vltimo 
bipartito. 

Pinna  cauche  horizontalis ,  magna  ,  vtrinque  le* 
viter  defiexa  ,  inaequaliter  trifurcata  ,  radiisque  circiter 
triginta  iex  componta  :  miub,  2dus  ac  3tius  ,  ab  \tro- 
que  latere  ,  radii  breuiffimi  ,  vix  confp.cui  \  4tus , 
5tus  et  6~tus ,  omnium  longiifimi  ;  caeteri  ex  ordioe 
iterum  breuiores  ad  iotimum.  vsque  pinnae  caudae  lo- 
bum  ,  quocum  vtcrque  lateralium  angulum  obtufum  m 
efficit  •  huius  denique  ,  intimi  nempe ,  radii  ,  ab  extU 
mis  ad  interiores ,  ex  ordine  longiores  funt ,  interio- 
rumque  vnus  reliquis  foitior  fa&us  eft  ,  magisque  ad 
bafin  fuam  prominulus.  Lobus  etiam  eiusdem  pinnae 
dexter  finiitro  paullo  maior  ,  medius  autcm  laterahbus 
longe  brcuior  eft  ;  et  ,  quoniam  modo  dictae  pinnac 
latera  modice  deflexa  funt ,  bfis  eius  iquamata  ,  fub 
cauda  ,  concaua  ex  parte  apparet.  Defuper  ,  me  cau- 
dae  pinnam  in  vero  Chinenfmm  Cypnno  paullo  aliter 
foimaram  deprehendifie  ,  quam  quidem  a  Cel.  Linnaeo 
in  Actis  Stockh.  1740.  p.  403,  T.  1.  f.  1—8.  verf. 
germ.  defcripta  exftat,  praetermittcre  nolui:  erat  nem- 
pe  in  tres  lacinias ,  aequalis  inter  fe  longitudmis ,  di- 
vifi  ,  quarum  rrvedia  partem  dimidiam  pinnae  caudae 
perpendicularis  ,  qualem  in  pifcium  plurimis  ordinarie 
videmus ,  eamque  fuperioiem  ,  repraefentabat ,  ilhusque 
inftar  radiata  quoque  erat ;  radii  enim,  1,  2,  3,  4 
et  5  omnium  minimi  et  fimplices ,  a  primo  ad  quin- 
tum  ex  ordine  longiores ;  fextus  et  feptimus ,  omnium 
longiffimi   ac    fortiffimi ;    oftauus ,    nonus    et    decimus 

prio- 


P  I  S  C  IV  M.  425 

prioribus  paullo  breuiores  ac  tenuiores ;  omnesque ,' 
exceptis*  quinque  vel  fex  fuperioribus ,  m  extremitati- 
bus  ramofi  erant.  Huius  laciniae  ,  decem  radiis  con- 
ftrudtae  ,  radio  infimo  intimus  vtriusque  hteralis  ac 
horizontalis  laciniae  radius ,  membranae  ope ,  radios 
pinnarum  folito  more  connectentis ,  iungebatur.  Sin- 
gula  harum  lacinia ,  fub  angulo  plus  minusue  redlo 
cum  media  ,  mediante  iam  didto  radio ,  connexa  ,  e 
quindecim  conflabat  radiis  :  extimis  quatuor  ,  omnium 
minimis  ;  quinto  ,  fexto  et  feptimo  ,  omnium  longifli- 
mis  ac  fortiifimis  ;  caeteris ,  ab  o&auo  ad  decimum 
quintum ,  qui  -intimus  erat ,  ex  ordine  brcuioribus ; 
omnibusque  ,  fi  quatuor  vel  quinque  exteriores  excepe* 
ris ,  in  extremitatibus  ramofis.  Bafis  huins  pinnae  fub 
cauda  erat  excauata  ,  prout  etiam  in  Linnaeana  de- 
fcriptione  monetur  ,  medium  autem  eiusmodi  in  inter- 
media  pinnae  lacinia  radium  ,  reliquis  fortiorem ,  ab 
ilsque  forma  maxime  diftin&um  ,  qualis  in  icone  pro- 
ftat ,  et  defcribitnr  ,  non  vidi.  Ea  propter  autem  de- 
fcriptionem  ,  a  Cel.  Viro  datarn  ,  mendo  laborare,  non 
contendam  ,  cum  in  fupra  defcripto  pifce  caudae  pin- 
nam  ei  per  omnia  fere  fimilem  elTe  ,  ipfe  viderim  , 
qualem  in  Cyprino  fuo  deprehendit  Au&or ,  fide  di- 
gnilTimus ,  fed  exponam  potius  hanc  ftru&urae  varieta- 
tem  ,  tanquam  maxime  fingularem  ,  in  dubio  haercns , 
vtrum  diuerfam  plane  fpeciera  ,  varietatemue  tantum  , 
an  lexus  diuerfitatem  potius  indicet ,  erat  autem  malcu- 
lus ,  caeterum  Chinenfi  fimillimus ,  fi  excipias,  quod 
<dorfi  pinna  in  nofirate  viginti ,  ventrales  o&o  tantum, 
fadiis  fuerint  inftruclae. 

Tom  IX,  Nou.  Com.  H  h  h  Menfura 


$i'€> 


DESCRIPTIO 


M  e  n  f  u  r  a. 


Pcd.  Poll. 
Parif. 


Longitudo  tota  ,  fcil.  ab  oris  cxtremo  ad  api- 
ces  radiorum  pinnae  caudae  longiorum    - 

—  ab    oris    extremo    ad   extremitatem 

corporis  fquamofam      ------ 

Ab  oris  extremo  ad  oculi  medium  -     -  - 

—  —  —  ad  angulum  operc.  br.  pofticum  - 

— —  principium  pinnarum  pectoralium  - 

—  —  pirmae  dorfi    -     -  •  -  - 

—  — pinnarum    ventralium  - 

pinnae  ani      -     -     -  - 

caudae  -     -     •  - 

ad  anum  -    -    -     -     -     —  - 

Longitudo  pinnarum  pectoralium  -     -     -  - 

pinnae  dorfi,  ad  bafin  -     -     -  - 

— —  — ■  —  radiorum  longiorum  -  - 

pinnarum    ventralium     -     -     -  - 

__  _  —  pinnae  ani ,  ad  bafin    -     -     -  - 

—  —  —  — radiorum  longiorum   -  - 

—  pinnae  caudae  ,  fcil.  a  primis  radiis, 

feu    ab    cius    principio  ad  longiorum  radio 

rum  apices  ----  _,-_. 
Extremitas  corporis  fquamofa ,  in  caudae  pin 

nam    extenfa    ad     ------- 

Diameter  oculi    ferc     ------- 

Uiftantia    inter    primi    pinn.    pe&.    primique 

|jnn.  ventr.  radii  bafm    •  >    -•  - 


9\ 

7 

61 
10 

|3l 

7 
3 
44 
ll 

& 

4 

3 


3-1 
Diftaa- 


p  i  s  civm 


4** 


Ped.  P61L 
Parii. 


Diftantia  inrer  vltimi  pinnae  dorfi  radii  bafin,' 
et  primum   pinnae    caudae   radium     -     -  | 

—  —  —  —  vltimi  pinnae  ani  radii  badn ,  et 
jprimum  jpinnac  xaudae  jradium     -     -     .  | 


"Latitudo  horizontalis  per  oculorum    axes     -     * 
—  —  —  —  —  ——  —  pomcum  operc  br.  mar 


91 


n 


ginem     -     - 


tudinem 
cadit 


quae 


m 


maximam  corporis  lati 
operculum     branchiarum 


Lra, 
31 

31 


—  — —  pfnnae    dorfi    principium 

— *  •  *- —  • .—  —  ani  principium  -    - 

—  — — caudae  principiurn  - 

Lntitudo  perpendicularis  per  oris  angulum     -     - 

—  —  —.—  —   —  —  —  -  oculi   medium     • 
— — dorfi    initium     -     • 

—  — —  —  — • principium     pinnarum 

pectaralium     -       ..---..... 

— vcntralium  -     - 

—  —  ------ pinnae  ani   -  •     - 

- pinnae  ani  finem     -     -     - 

~ principium  pinnae  caudac  - 


41 
31 
*\ 
21 
li 

6 

7 
6 

3t 


H  h  h  2. 


Vj 


&$  BESCRtFTlG 


Gobio  pinna  ventrali  fubrotimda ,  ace- 
tabulifbrmi  ,  e  duobus  pedunculis^ 
o&oque  radiis^  valde  ramofis^  conx- 
pofita- 

Tab.ix.  DESCRIPTIO. 

^  3-  Color  Pifcis ,  cuius  defcriptionem  nunc  aggredior^ 

*"    in  praefenti  pallide  brunus  ,  circa  os  fubfufcus ,  (ub-  gu*- 
la  et  abdomine  cinereus  erat. 

Corpus  forma  maxima  ex  parte  ,  eaque  anteriore^ 
fubteres,  pofteriore  cathetopiateum  ,  eiusdemque  fere 
vbique  latitudinis ,  crailitiei  autem  ab  anterioribus  po- 
fteriora  verfus  fenfim  decrefcentis-.  Idem  ab  oris  es> 
tremo  ad  capitis  verticem  adfcendit,  adfcenfuque  fuo , 
leuiflimo  quidem  r  ad  pinnae  dorfi  principium  vsqufc 
•  pergit  ,  inde  vero  fecundum  rectam  fere  lineam  adex» 
trtmum  vsque  vix  notabiliter  defcendit.  Sic  quoque 
ab  maxillae  inferioris  extremitate  acetabulum  verfus 
mediocriter  valde  adftendit  ab-  eiusque  dein  poflico- 
margine  anum  verfus  leuiter  defcendit  ftib  dudu  parum 
conuexo  ,  abhinc  vero  ad  extremum  vsque- ,  vt  fuprar 
curfum  fere  recTilineum  obferuat.  Hinc  caput  ipfa 
corpore  demiffius  ;  dorfum  ab  initio  r  ad-  pinnam  ip- 
fius  primam  ?  planiusculum  ,  in  medio  fecundum  longU 
tudinem  fulco  iuperficiali  diftincTum  ,  qui  ad  anteriora 
latior  ,  poftice  angnftior  eft  v  in  aliquali  a  pinnae  iftius 
principio  diftantia  plane  enanefcit ,  colore  ,  quam  late- 
m  i  intenfiore  tin&us  j  rehquum  dorfi  iuxta  pinnas  fub« 

con> 


P  I  S  C  I  VM.  4ip 

eorajexum  r  interque  pofterioris  finem  et  caudae  pinnae- 
initium  planiusculum  eft.  Inferior  corporis  fuperiicies 
ante  acetabulum  fubconuexa ,  pone  illud  vsque  ad  anum 
in  carinam  mediocriter  elauatam  contracta  ,  eiusdemque 
ad  latera  (inuata  ,  ab  ano  vero  ,  tam  iuxta  pinnam  , 
quam  pone  eam  ad  caudae  pinnam  vsque  planiuscula 
apparet.  Latera  corporis  ,  a  eapite  pinnae  doriualis  fe- 
cundae  regionem  verfus  ,  conuexa  primum  ,  inde  ,  mu~ 
Cata  fenfim  in  planitiem  conuexitate ,  ad  extremitateni» 
vsque  plana  funr.. 

Caput  latius  parum  ,  quim  altum  ,  hinc  quodam^ 
modo  plagioplateum  tam  inter  oculos ,  quam  infra  eos* 
dem ,  vbi  in  decliue  obliqtie  antrorfum  abit ,  e  pla- 
niusrulo  leuiter  impreffum  ,  eft.  Os ,  refpe&u  corpo» 
ris ,  amplum  ;  riclrus  enim  diameter  transuerfa  toti  ca* 
pitis  latitudini  aequalis  eft.  Labium  maxillae  fuperiori$; 
latum ,  craffum ,  hberum  ,  inque  oris  extremo,  iepo- 
rini  kbii  inftar ,  fiflum  ,  oblique  parum  retrorfum 
fiexum  :  rnqrgine  exteriore  longiore  ,  magisque  promi- 
nente  ,  interiore  breuiore  ,  denticulis  contiguo.  Ex  hu- 
ius  ,  interioris  nempe  ,  rnedio  ,  proxime  infra  labii  fif- 
furam  ,  papilla  quaedam  parua  prominet.  Labium  in- 
ferius ,  quod  pan  cum  fuperiore  fivTura  notatur ,  ipfim- 
que  maxillam  inueftit ,  prominet ,  ac  ab  antico  ipfius^ 
et  fubacuto  margine  obirque  furfum  introrfumque  verfus* 
dentes  ducitur,  vtrinque  appendice ,  qua  mediante  cum 
luperiori  ad  oris  angulos  coniungitur ,  auclum* 

Vnica  in  maxiila  fuperiore   denticulorum  ,    ruxts 

internum  labii  fuperioris  marginem   conipkiendorum  fe- 

Hhh  &  rie^ 


43°  DESCR1PTI0 

ries  eft  ,  qui  ,  quum  minutiflimi  fint ,  fetarumque  po- 
tius  breuium  ,  plurimarum  ,  ac  denfe  compofitarum 
formam  habeant ,  numerari  vix  poflunt.  Dentes  in 
maxillae  inferioris  fummo  margine  vtrinque  quatuor  tan« 
tum  ,  vel  quinque ,  aliquali  fpatio  a  fe  inuicem  diftan- 
tes ,  breues  quidem  ,  aft  e  latiori  bafi  in  acumen  in- 
tror(um  incuruatum  terminati,  immobiles.  Lingua  lata, 
palato  inferiori  vndique  adnata  ,  fuperficieque  inaequali 
praedita.  Maxilla  inferior ,  et  ore  claufo ,  fuperiore 
notabiliter  breuior,  extremo  fuo  et  acuto  margine  hu* 
ius  denticulorum  leriem  vix  attingit 

ForaminuJa ,    quae   a    tubulis    oblique    truncatis  9 
mucum  fecernentibus ,  vtplurimum  formantur ,    in    ca- 
pite  leptendecim  obferuaui ,  tria  ic.  inter  ,  quatuor   an- 
te  oculos ,  et  quinque  ex  vtroque  latere ,  inter  inrerio- 
rem  oculi  marginem  ac  fupcriorem  operculi    branchia- 
rum  angulum  obuia.     Quae  inter  oculos  funt ,    in  tri* 
angulum  difponuntnr  ,  duo  nempe  .anterjora ,  parallela  , 
et  vnicum  in  medio  ,    pofticum  ;     eorum  vero    vnum 
ab  altero  \\.  lineam  diftat.     In  dimidiae  lineas  jdjftan- 
tia  ab  oculi  margine  antico   aliud    occurrit ,    patulum  , 
absque  tubuJi  veftigio ,  quod  fetam  immilTam  in  profun- 
dum  ducit,  huicquc  in  vnius  ac  dimidiae  lincae  diftan- 
tia  directe  anteponitur  aliud  ,    tubulofum  ,    e    quo    ad 
praecedens  haud  datur  aditus.     An  haec  duo,  ante  fin* 
gulum  oculum  collocata  ,  narium  vices  gerunt?  an  ple- 
narius  harum  defe&us  ?    difcernant    ii  ,    quibus    Pifcem 
hunc  difiecandi  dabitur  occafio.       Sequuntur    ea  ,    quac 
pone  octflum  in  vtroque  latere  occurrunt;  vnum  horum 
dimidiam  ab  oculi  inferiore  ac  poftico  margine    Jineam 

remo- 


PISCIVM.  43, 

remotum  ,  dcin  alia  tria  videbis ,  in  triangulum  difpofita, 
et  vltimum  tandem  in  vnius  ac  dimidiae  lineae  diftan- 
tia  a  praecedentibus  ,  proxime  fupra  opercuii  branchia- 
rum  fuperiorem  angulum  fitum.  Praeter  haec  recenfita 
foramina  et  alia  adfunt  ,  longe  iis  minora  ,  de  quibus 
vero  nimis  prolixum  eiTet  dicere.  Hhc  etiam  fpeclant 
areolae  iftae  fcrobiculatae ,  quae  infra  inferiorem  orbitae 
marginem  in  confpe&um  veniunt ,  pro  muci  lacunis 
fbrte  habendae. 

Oculi ,  trium  fere  linearum  interuallo  inter  fe  di- 
ftantes ,  fitum  inter  perpendicularem  et  horizontalem 
medium  obtinent ,  nec  magni  funt  ,  nec  prominentes  , 
vt  in  prius  defcripta  fpecie  fub  n°.  III ,,  cute  tamen 
communi  pari  modo  obtecth- 

In  membrana  branchioftegav  absque  fecllone  tria 
tanturrf  detegere  potui  oflicula.  H.iec  ipfa  fub  ojiercuio 
libera  adfcendit  ,  eiusdemque  angulo  poftico  ,  fuperiori , 
demum  anneAltur",-  limbo*  fuo  ad  pofteriorem  operculi 
marginem  prominens.  Nec  ad  branchias  vlla  pntet 
apertura  ,  quae  ab  ifto  membranae  branchioftegae  lim- 
bo  ,  pinnarum  pe&orialium  bafin  lamberite  ,  formatur , 
quaeque  tam  ampla  eft  ,  vt  Jatae  harum  bafi  exacte 
refpondeat. 

Squamae  fubquadratae  in  circumferentia  ,  a  §  ad 
i .  lin.  longae  ,  pellucidae  ,  fecundum  longitudinem 
flriatae ,  limbo  libero  ,  quin  in  externo  latere  ftria 
transuerfa  ab  altero  ,  cuti  inhaerente  ,  diftinguitur  ,  ob- 
fcuriores ,  crafCores  ,  ftriisque  longitudinalibus ,  promi- 
nulis ,  quarum  exjtremitates ,  denticulorum    fub   forma  , 

a 


43*  DESCRIPTIO 

a  limbi  iftius  mnrgine  prominent ,  infignitae ,  liinc  a<J 
tafturn  lcuitcr  afperac  (unt.  Magnitudo  fquamarum  ab 
anttriori  Terrus  pofteriorem  corporis  partem  (enfim  in- 
crefcit  ,  diametro  longitudinali  transuerfam  fuperante. 
Squamae  omnium  minimae ,  quae  anteriora  corporis 
oicupant  ,  fubrotundae  ac  tenuiflimae  funt.  In  capite , 
operculo  branchiamm  ,  dorfi  et  abdominis  inkio  fqua» 
jnarum  ne  veftigium  cjuidem  apparet. 

Linea  longitudinalis  valde  obfcura  3  vel  potius 
nulla. 

Anns  orls ,  quam  pinnae  caudae  extremo  pro« 
pior  ,  poft  ie  gerit  papillam  latiusculam,  ex  finu  pn> 
deuntem  ac  retrorfum  fpe&antem  ,  extremoque  fuo  api* 
£e  pinnae  ani  primi  radii  bafi  fere   contiguam. 

Pinnae  pe&orales ,  ad  latera  corporis ,  bafi  fua 
carnofa  aperturae  ad  branchias  patenti  oppoiltae  ,  ex 
ouato  -  lanceolatae  ,  'n.adiisque  feptendecim  inftructae  : 
exterioribus  ab  vtroque  margine  ad  intimum  vsque  ex 
ordine  longionbus ,  plurimis  ramofis.  Pinnae  ventrales 
inter  (e  connatae ,  orbiculum  concauum ,  feu  acetabulum, 
repraefentant ,  in  aequali  cum  pinnis  peclorabbus  ab 
oris  extremo  diftantia  fitum.  Eft  autem  iljud  in  cir- 
cumferentia  fubrotundum ,  diametri  41.  linearum  ,  antice 
duobns  quafi  pedunculis  ,  craiTiusculis  ,  breuibus ,  impref* 
fis ,  ceu  fulcris ,  vei  columellis ,  firmatum  ,  radiisque 
praeterea  ocfto  ,  fub  angulo  acuto  ab  abdomine  reflexis, 
partimque  dein  wflexis  ,  valde  ramofis ,  compofitum. 
PednHCuli  ifti  ,  duarum  linearum  interuallo  inter  fe  di« 
fUiues ,  ad  bafin  an^ullioies ,  fuperne  iatiores ,  acetabn* 

lum 


P  I  S  C  I  V  M.  433 

lum  verfus  imprefTi ,  et  infracti  quafi  funt ,  ac  ,  licet 
ad  anticum  illius  latus  formandum  fuam  addant  fyrobo< 
lam  ,  ab  ipfo  tamen  acetabulo  et  proximis  eius  radiis 
prominent ;  hinc  finum  etiam  efformant  fatis  profun- 
dum  ,  inter  ipforum  bafes  ac  externam  acetabuli  latcris 
antici  faciem  relictum.  Idem  illud  anticum  acetabuli 
latus ,  quod  vtrumque  pedunculum  connectit  ,  radiis 
omnino  tieftitutum  ,  •membranaceurn  ac  pellucidum  eft, 
limbo  tamen  excepto  ,  qui  craflior ,  obfcurior  ,  extror- 
fum  flexus  ,  et  pedunculorum  propago  effe  videtur. 
Vtriusque  pedunculi  lareri  ,  "primum  atque  diftinctum 
maiorem  radium  refpicienti  ,  arcYiffime  iungitur  radiolus 
quidam  fpurius ,  qui  aeque  ac  fequentes  in  ramos  fin- 
ditur  ,  illorum  partialibus  'radiolis  tenuiores  quldem  , 
ar&iorique  vinculo  inter  fe  iunctos  ,  pro  pedunculi  ip- 
fius  parte  ,  ob  arctiorem  cum  eo  nexum  ,  facile 
habendus.  Inter  fpurii  huius  primique  bafes  iuierititium 
oblongum  ,  mere  membranofum  ac  peilucidum  eft ,  in- 
terftitio  ,  quod  inter  veros  occurrit  radios  ,  'membrano- 
fo  breuius  quidcm  ,  aft  multo  latius.  Radices  odo  in- 
fequentium  radiorum  ,  quorum  in  vtroque  corporis  late- 
re  ,  feu  in  dimidia  a&tabuli  parte,  quatuor  collocantur, 
offeae  ,  diftinCtae  ab  ipforum  radiato  flabello  ,  breues 
ac  latiusculae  funt,  retrorfumque  parum  inciinatae.  Ra- 
dii  ipfi  ,  valde  inter  fe  contigui ,  a  primo  ad  quartum, 
ex  orciine  ,  parum  quidem  ,  longiores  ,  in  ramos .  fiue 
radiolos  ,  ftatim  a  radice  finduntur  tenues,  fimplices  , 
eundoque  diuergentes.  Primum  dextri  lateris  radium  7, 
fecundum  10  ,  tertium  9,  quartum  pariter  9;  primurn 
vero  fmiitri  lateris  7  ,  fecundum  8,  tertium  pariter  8, 
Tom.  IX.  Nou.  Comm.  I  i  i  quar- 


434  DESCRIFTIO 

quartum  9  ,  minoribus  ciusmodi  radiolis  inftruclum  effe 
obferuaui  ;  adeoque  numeros  vnius  lateris  certas  inter  (e 
non  habere  rationes,per  fe  patet.  Licet  pofteriores  radiia|. 
circiter  lin.  longi,  anteriores  vero  pauilo  breuiores  fint,  ob 
illorum  tamen  maiorem  verfus  anum  inclinationem,  idem 
fere  vbique  habet  profundum  atque  altitudinem  acetabulum, 
fi  anticum  eius  latus  excipias,  quod  ob  ipfius  limbum  ex- 
trorfum  deorfumqne  flexum  poftico  parum  demiflius  eft. 
Latera  acetabuli  externam  fuperficiem  conuexam  ,  in- 
ternam  concauam  habent  \  fundus  autem  ,  qui  acetabuli 
partem  ,  corpori  adnatam  ,  conftituit ,  21  lin.  latus  ac 
planus  eft  ,  eiusdemque  ad  margincm  ,  latcribus  proxi* 
miim  ,  radiorum  cflicula  radicalia  cum  interftitiis  fub- 
concauis ,  quae  inter  fe  relinquunt ,  in  confpectum  ve* 
niunt.  Notandum  etiam  eft ,  o&o  iftorum  radiorum  , 
quibus  maxima  ex  parte  acetabulum  formatur  ,  inferio- 
rem  portionem  ,  eamque  potiorem  ,  fubflantiae  effe 
firmioris,  rigidioris  ae  minus  pellucidae  ,  quam  fuperio- 
rem  ,  fiue  acetabuli  limbum ,  qui  ab  ifla  diftinc"t-iflimusr 
tenuis  ,  fiexilis  ,  pcllucidus  ac  integerrimus  eft. 

Pinna  dorfl  prima  ,  principio  fuo  acetabuli  lateri 
poftico  fere  e  dire&o  oppofita  ,  Mex  radiorum  ,  rigi- 
diusculorum  ,  quorum  vhimus  a  penultimo  longius  difli- 
tus  eft  ,  quam  caeteri  inter  fe  inuicem  radii ,  radicibus 
fc.  eorum  i\.  lin.  interualio  inter  fe  difiantibus.  Quo- 
niam  omnes  hnius  pinnae  radii  ,  vltimo  ,  51.  lin.  lon- 
go  ,  excepto  ,  mutilati  fuerant  ,  veram  eorum  longitu- 
dinem  indicare  non  potui.  Membrana  ,  a  pofteriore 
imoque  vltimi  radii  margine  verlus  alterius  pinnae  ini- 
tium  expanfa ,  primam.  iecundac  pinnae  contiguam  efn> 
ciebat.  Piuna 


P  I  S  C  I  V  M.  43* 

Pinna  dorfi  fecunda  radiorum  n  ,  primus  fecun- 
do  parum  breuior  ,  (implex  ;  fequentes  ad  intermedios 
vsque  ex  ordine  parum  longiores;  reliqui  einsdem  cum 
intermediis  longitudinis ;  omnes  autem,  excepto  primo  , 
in  extremitatibus  ramofi  ;  vltimus  bifidus. 

Pinna  ani ,  initio  fuo  pinnae  dorfualis  lecundae 
initio  e  direcro  oppofita  ,  radiorum  1 1  ,  aequalis  fere 
inter  fe  longitudinis  ,  minoris  tamen  ,  qnam  pinnae 
dorfi  fecundae  radii.  Primus  horum  fimplex  ,  et  fe- 
cundo  parum  breuior  e(t  ;  a  fecundo  ad  vltimum  omnes 
ramofi  iunt  ;  penultimus  \ltimo  proximior ,  quam  cae- 
,teri  inter  fe  inuicem  radii. 

Pinna  caudae  radiorum  circitee  24  ,  in  extremo 
dliptica  ,  integerrima  ,  et  ,  fi  expanditur ,  circumfcrip- 
tione  ad  marginem  fubrotunda. 

Gobionem  nigrum  omnium  fere  Auctorum  ,  qui 
€0  vei  Goget  Venetis  ,  Sea  -  Gudgeon  vel  Rockfijb 
Anglis  dicitur  ,  eiusdem  ,  quam  modo  defcripfi  ,  eiTe 
fpeciei  ,  vix  crediderim  ,  et  leclores  mihi  afTenfuros 
perfuafum  habeo  ,  ft  fequentia  iis  libuerit  perpendere 
momenta  :  1)  enitn  Wilhughbeius  Gobinni  fuo  (a)  du« 
plicem  denticulorum  in  maxillis  ordinem  tribuit  ,  cum 
nofter  fimplici  tantum  fuerit  inftru&us.  2)  Idem  Au- 
ctor  ,  et  po(t  eum  alii  quoque  ,  in  pinna  dorfuali  fe- 
cunda  quatuordecim  nurrerauerunt  radios  ,  ego  vnde- 
cim  tantum  ;    fed  hanc  minoris    efTe    momenti    ratio- 

I  i  i  2  nem  , 


(a)   Hift.  Pifc.  Lib.  IV.  cap.  X.  pag.  206.  Tab.  N.  12.  fig.  1. 


43*  D  E  S  C  R  I  P  T  I  O 

nem  ,  lubcns  fttcor ,  quod  variare  non  raro    in    pinnis^ 
radiorum  numerum  certuTimum  fit.    3)  Pinnam  ventra* 
lem  ,    fi    extendatur  r    infudibuli    riguram    quadantenus 
imitari  ,    idem  afferit ,    cum  in  noftrate  eadem  ,    cum 
rigiditate  latc  patetfs  ,  non  tantum  fe  extendi   non   pa- 
tiatur ,    fed    infiwqibulum    etiam    nullo    modo    refcrat. 
4)  Qjantum    ex    icone  ,,  tam    a    Rondektio  ,  quam  a 
Wilfougbbefo    data ,    poteft  coniici ,    maxilla    Gobionfc 
nigri  inferior  fuperiore  longior  ,  in  noftrate  e  contrario 
breuior  tft.      5)  In  illo  pinnae    pecTorales    a    branchia- 
ruai  operculo  nimium  diftant  ,  fi    huius    in    compara- 
tibhe  habeatur  ratio.    6)  Pinna  illius  ventralis  in  icone 
WiUoughbeii     non    immediate    fub     pecloralibus  ,     ied 
paqllp  ,  poftcrius  fita  ,  efl  .,  neque  2  vt  in    pratfenti  ,    adco  . 
fingularis.  ftru&urae  fpecimen  ,    fed  verarum  potius  pin- 
narum  imaginem  referre  videturj  fiue  formam,  fiue  exi- 
miam     lopgitudinem    confideres  ,  qua   pectorales    adhuc : 
fuperat.     7).    In    eadem.    icone    latera    corporis   caudam , 
verfus    tanquam.  conuexa  expreflit  chalcographus ,    quae 
in    noftrate    cathetoplatea    et     plana    erant  ;     alias    vt 
taceam    rationes  ,    quas    afTcrre    non    dubitarem  ,    fi  in 
eruendis  charaderibus  effentialibus  ,  ct  in   dignofcendis  a* 
fe  inuicem   fpecicbus  fatis  elTent  comprobatae. . 


Menfura. 


P  I  S  C  I  V  M> 

Menfura. 


437 


Poll.  Lin« 
Parif. 
Longitudo  tota  ,  Cc.  ab  oris   extremo  ad   api- 
ces  radiorum  pinnae  caudae  longiorum  »     3 

--  ab    oris    extremo    ad  extremitatem 

corporis  fquamofam    -     -     -     »     -     - 
Ab  oris  extremo  ad  oculi  rredium    -     -     - 

angulum.   operc.    br„    po- 

fticum  .     -     -     -     =     .     _.    .     . 

-  - -  ad  principium  pinnarum  pe- 

doralium  -     *  -   -     — '   -     -     - 

---.-.- anticum  acetabuli marginem 

L_ _._.-_..  — principium  pinnae  dorfi  - 

- —  - .  -  anum-      -     ~-    ~     -     - 

principium  pinnae   ani    - 

-,.-.  »  _  - _-  ___  ___  _  caudae.- 

Longitudo  pinnarum  pecroralium  -  *  -  - 
r-  -*9-  -  pinnae  dorfs  primae  9 ,  ad  bafin  - 
j-j-  -----  -  -  -  -  fecimdae  >  ad  bafin  ,  - 


ani  ,    ad    b.ifin 


-------  radiorum  longiorum      -     - 

_._  _  _  -  -  caudae  ,    (cv    a    primis  radiis  . 
feu    ab     eius  principio  ad  longiorum  ra 
diorum    apices      -     -     -     -     -     -     - 

Extremitas  corporis  fqu&mofa  in    caudae    pin- 
nam  extenfa  ,   ad      ------ 

Diameter  oculi       -------- 

-  -  -  -  acetabuli       -----_. 

Ab  vno  oris  angulo  ( ore  aperto )  ad  alterum 

I  i  i  3 


I 

3 

1 

7i 

I 

8^ 

3 

- 

9 

- 

8 

- 

io^ 

- 

9\ 

- 

5 

ro 


4« 
6 

Diftar* 


438 


D  E  S  C  R  IV  T  I  0 


Poll.  Lin. 


Dittantia  intcr  primi  inferioris  pinnae  pe&o- 
ralis  radii  bafiri  et  primum  pinnae  ani 
radinm      „-------. 

------  vltimi  pinnae   dorfualis   primae 

radii   bafin   et   primum    pinn.    dorf.    fe 
cundae   radium     ------- 

-  _  _  vltimi  pinnae  dorfualis  fecundae 

radii    bafrn    et     primum    pinnae    caudae 
radium       -------- 

_  _  _  ^  -  -  vltimi  pinnae  ani    radii  bafm  ,j 
et  primum  pinnae  caudae  radium     -   - 

Latitudo  horizontalis  per   oculorum    axes 

--------  pofticum  operc.  br.  mar 

ginem       --------- 

_.  _ -  -  -  -    principium    pinnae    dorf 

prmae     - 

—  _  _ fecundae  - 

__--_---  pinnae  dorfi  fecundae  finer 
_»,.__?  -  1  -  -  -  -  principium  pinnae  cauda 
Latitudo  pcrpendicularis  per  oculi  medium 

—  —  —   — _____    principium    pinn 

pecT:. 

—  — dorfual.  fc 

cundae     - 

—  __  —  _- —  _  finem    pinn.  don 

fecundae     - 

— -_  —  —  ,.  principium   pinnac 

caudae     - 

*     *     # 


5- 

6\ 


6 

5- 

O 
I 

5 

6\ 

51 

5L, 

51 

VI. 


P  I  S  C  I  V  M.  43P 

VI. 

Gobio  pinna  dorfuali  vnica  3  longa  \ 
pe&oralibus  latiffimis  3  acetabulum 
planiusculum  includentibus.  Pifcis 
Smyrnenfis  ad  Muitelas  accedens. 
Catal.  Muf  Petrop.  n°.   oo. 

Tab.  IX. 

D  E  S  C  R  I  P  T  I  O.  %  if. 

et  <5". 

Color  corporis  vniuerfi  mutatus ,    fubalbidus   eft  , 
et  caudam  verfus  in  dikue  brunum  vergit. 

Corpus  ipfum  ,  quo  ad  Muftelas  quam  proxiine 
accedit ,  aritice  valde  craflum  ,  fubteres  ,  ventricofum  , 
poftice  tenuiflirnum ,  maxime  cathetoplateum ,  et,  fi  pin- 
narum  non  habeatur  ratio  ,  fatis  etiam  angultum  ,  ac  , 
pro  capitis  et  ventris  mole ,  folito  breuius.  Quod  ad 
circumferentiann  eius  attinet ,  ab  oris  extremo  ,  fub  con- 
vexo  ductu ,  (upra  narium  regionem  adfcendit  ,  circa 
quam  ,  inter  oculos ,  aliquantum  imprimitur  ,  fub  ini- 
tium  dorfi  denuo  fub  ductu  ,  parum  conuexo  ,  breui 
licet  ,  eieuatum  ;  defcendit  enim  abhinc  modice  verfus 
pinnae  dorfualis  initium  ,  defcenfuque  fuo  ,  eoque  ma- 
gis  notabiii ,  ad  extremitatem  vsque  pergit.  Idem  ab 
maxillae  inferioris  extremo  ,  fub  du&u  partim  concauo 
vsque  ad  fternum  prominulum  ,  fub  recfciori  vero  dein 
verfus  anticum  acetabuli  marginem  ,  defcendit  ftatim 
notabiliter  ;  ab  huius  vero  margine  poftico  ad  pinnae 
ani  prmcipium  ductum  ■  fequitur  lubconuexum  ,    vlterio? 

remque 


44*  DESCRIPTIO 

remque  dein  curfum  ad  extremitatem  vsque  manifefto 
fiib  afcenfu  abfoluit.  Pilce  erecto ,  feu  abdomini  in- 
cumbente  ,  etiam  apparet,  pronam  corporis  fupeificiem 
effe  conuexam  ante  oculos  et  circa  narium  regioaem  ,  ab 
vno  vero  ad  alterum  oculum  leuitcr  imprelTam,  a  dorfi  ini- 
tio  ad  dorfualem  pinnam  vsque  fubconuexam  denuo  ,  ful- 
coque  leuiori ,  per  meditim  dorfum  ad  pinnae  initium  ex- 
currente,  intedtinftam ;  latera  dorfi  vero  iuxta  pin- 
nam  anguftiiTima.,  conuexa  primum  ,  fenfim  ,dein  ien- 
fimque  quo  propius  ad  caudae  piunam  accedunt ,  de- 
cliuia  magis.  Inuerfo  pifce  ,  toitem  corporis  (upeifi- 
ciem  ,  inter  maxilJae  inferioris  -eatfremum  et  acetabu- 
lum  ,  conuexam  ,  leuiorique  infirnul  ad  nientum  im- 
preffione  ,  (krnique  prominentia  -erTe  notabilem  ;  ean- 
demque  pone  acetabulum  ipinnaeque  ani  principium  , 
absque  fulco  fmu  we,  ^paritei  xonuexam,  >tandemque  id 
abdominis  latera  ,  iuxta  arii  pinnam  ,  anguftHIimam  , 
ftatim  ab  huius  principio  decliuem  ,  et  ad  extremitatem 
vsque  decliuitate  continuo  maiori  au&am  ,  obferuaui. 
Latera  corporis  circa  branchiarum  operculum  fatis ,  cir- 
ca  pinnas  pecTorales  autem  modice,  conuexa,  pone  has 
planiuscula  funt.  Ex  modo  didtis  etiam  corporis  craf 
fities  quodammodo  intelligitur  ,  quae  in  vniuerfum  ,  in 
dimidia  ,  eademque  antica  ,  eius  parte  ,  maxima  ,  in 
altera  ,  eaque  poilica  ,  prioris  refpec"tu  ,  minima  eft  ■', 
fpeciatim  vero  mox  ab  oris  extremo  magna  ,  ad  me- 
diam  operculorum  branchialium  p.irtem  maxima  ,  et  ad 
pinnae  dorfi  principium  \entremque  turgidulum  \ix  mi- 
nor  ,  inde  contra  fubito  diminuta  ,  vsqiie  ad  extremum 
40jrn  decremento  valde  notabili  ,  fpedatur. 

Oris 


P  I  S  C  I  V  M .  44x 

Orls  obtufi  riclus ,  in  ratione  ad  corporis  magni- 
tudinem  habita  ,  amplus  ,  ab  vno  fc.  oris  angulo  ad 
alterum  feptern  lineas  latus,  eiusdem  conformarionis  eft, 
cjualem    in  Gadis  et    Muftelis    alias    deprehendimus. 

Labia  oris ,  nec  crafia  ,  nec  valde  prominula  f 
interiorem  marginem  liberum  ,  dentiumque  laminis 
folummodo  contiguum  habent:  fuperius  inferiore  craifius 
laciusque  ,  ab  lamina  dentium  fuperiore  ,  fi  os  apertum 
diredle  adfpicias ,  parum  prominet ,  eiusdemque  partem 
arsticam  obtegit  ;  inferius  ,  quod  tenuius  eft  anguftius- 
que  ,  eodem  ,  quo  fuperius  ,  modo  inferioris  laminae 
faciei  anticae  opponitur. 

Maxillae  fere  femicirculares :  fuperior  inferiore 
parum  longior  ,  vtraque  lamina  folida  ollea,  femicircu- 
lari  eft  inftru&a  ,  cuius  planiuscula  fuperficies  plurimis 
ciusmodi  fcrobiculis ,  quales  digitalibus  imprimerc  fo- 
lent  artifices ,  exarata  confpicitur.  His  ipfis,  non  fine 
concinno  ordine  diftributis,  et  aeqnali  femper  interuallo 
inter  fe  difhntibus  ,  fine  dubio  efficitur  ,  vt  fub  man* 
ducatione  v.  g.  cibi  in  fcabra  et  inaequali  fuperficie 
conterantur ,  et  ad  deglutitionem  praeparentur;  adeoque 
laminas  iftas  dentium  molarium  munere  fungi ,  ac  prae- 
ter  hoc  in  capiendis  firmiusque  retinendis  cibis  fuum 
pariter  vfum  habere  ,  probabile  eft.  Singulae  laminae 
medium  fulco  eft  diuifum  .  quo  duorum  crurum  ,  qui- 
bus  componitur ,  fymphyfis  dignofcitur.  luxta  hanc 
maxima  earum  latitudo  |,  Jineas  exaequat  ,  oris  angu- 
los   verfus  fenfim  decrefcens. 

Tom.  IX.  Nou.  Com  m.  K  k  k  Vtrius- 


44-*  DESCRIFTIO 

Vtriuscjne  harum  laminarum  raarginem  pofttairrv 
membrana  fuis  valida ,  crjfft ,  pluequam  dimidiarn  ii- 
neam  lata  \  papillisque  planiuSculls  refrrta  ,  coronat  • 
pronafcitur  nempe  e  poltici  laminae  marginis  radice  , 
limbo  lateiibusque  omnino  libera  \  harumque  ea  ,  quae 
ad  inferiorem  maxiilam  pertinet ,  furfum  fpe&at  ,  ore- 
que  aperto  ,  ftatim  in  oculos  cadit ,  cum  altera  ,  quod 
fauces  refpicit ,  minus  ,,  quam  ifta  ,  promineat.  Cutis, 
oris  interiora  inurftiens ,  aeque  ,  ac  membranae  modo 
dictae  ,   pnpillis  vndique  fcatet. 

Septem  ab  oris  extremo  lineas  in  palato  fuperiori 
confpiciuntur  puluilli  duo  offci ,  fcabri  ,  hemifphaerici  ,, 
pifi  magnirudine  ,  paralleli ,  vjginisque  membranaceis  , 
veluti  praeputio  ,  cincti ,  iisdemque  in  pabto  inferiori 
totidem  areae  planiusculae  ,  eiusdemque  indolis,  refpon* 
dent.. 

Narium    prominularum    vtrinque    duo  foramina  , 

margini  oculorum  fdperiori  et    antico  propiora  ,    quam 

oris  extremo  ,    ac  inter  fe  communicantia  ;  pofticum  , 

antico  dimidio  minus ,  ab  oculi  proximo  margine  i.  li- 

neam  diftat  ,   et  in  aequali  diftantia  ante  fe  habet    an- 

ticum  ,    maius ,    \\.    lin.    a    proximo  oculi  margine , 

et  3*.  lin.  ab  oris  extremo  ,  collocatum.     Interftitium 

vero    inter    dextri   ac  finiftri  lateris  nares  35.  linearum 

eft.     Notari  etiam  merentur  orificia    du&uum   mucife- 

corum  octo ,  in    vtroque    proni    capitis    latere    confpi- 

cienda  ,    quorum    primum    pone  oculum  ,   tubulofum  ;; 

fecundum  ,    tubulo  fatis  prominente    inftructum  ,    infra 

eundem  ;  tertium  ,  haud  procul  ab  oris  angulo,  pariter 

fiubuiofum  v  fed  anteccdcntibus-  minus  j  quartum  ,  quin* 

ttmv 


P  1  S  C  I  V  M.  443 

tum  et  fextum  ,  in  extremo  capitis  limbo  ,  fuperiori 
labio  'contigno  ,  difpofita,  nequalis  a  fe  inuicem  diftan- 
tiae  ;  caeteris  minora,  tubuloque  dillituta  \  haecque  fex 
in  femicirculo  fita  iunt  ;  teptimum  proxime  fupra  fex* 
tum  ,  prominulum  ;  tandem  oblique  introrfum  octauum 
a  priori  et  narium  foramine  antico  aequaliter  fere  di- 
fians ,  paruulum.  In  aliquali  ab  maxillae  inferioris 
limbo  diftantia  ocfto  iterum  occurrnnt  foraminula  ,  ra- 
tione  fitns ,  maxillae  ductum  fequentia.  Praeter  haecce 
tubulorum  oftia  ,  in  cute  etiam  circelli  minimi  ,  non 
tantum  in  prono  capite  ,  praefertim  inter  oculos ,  fed 
etiam  in  dorfo  et  lateribus  vndique  fparfim  occurrunt , 
numero  plurimi  ,  inaequali  fpatio  inter  fe  diftantes ,  vt- 
plurimum  disiuncti  ,  rarius  contigui.  Num  et  ex  his 
liquor  mucofus  fecernatur,  mihi- non  certo  contlat;  pro- 
bare  tamen  id  videtur  muci  coagulum  ,  quo  tota  fere 
corporis  fuperficies  erat  perfula  ,  et  fquamarum  in  vni- 
verfo  corpore  defectus ,  quarum  ad  vices  forfan  fnp- 
plendas  cutis  ,  alias  glaberrima  ,  iis  infiructa  eft.  Ho- 
rum  circellorum  nullum  in  fupino  corpore  comparuit 
veftigium. 

Oculi ,  ratione  corporis ,  haud  magni  ,  minime 
prominentes  ,  cutisque  communis  propagine  obducti  , 
fitum  inter  perpendicularem  et  horizontalem  medium 
habent ,  et  quinque  linearum  interuallo  a  fe  inuicem 
diftant. 

Operculum  branchiarum  variis  mufculis ,    per  cu- 

tem    translucentibus  ,    eft  inftructum  ,    quorum    vnus , 

•omnium  maximus ,  ac  dimidiam  fere  ,    eandemque  in- 

feriorem  ,    operculi    partem    occupans ,    buccae  inftar. 

Kkk  2  valde 


444  DESCRIPTIO 

valde  prominct.  Habet  autem  hic  mufcukis ,  ex  ouato* 
oblongus ,  feu  potius  amygdalaeformis  ,  ac  lecundum 
corporis  longitudinem  extenfus ,  fuum  duas  lineas  at> 
oris  angulo  principium  ,  quod  latiorem  et  anticam  eius 
extremitatem  conllituit ,  infertionem  vero  ad  pofticum 
operculi  marginem  ,  ad  eleuandum  operculum  et  in- 
fimul  membranam  branchioftegam  ,  fine  dubio  erToi'- 
matus. 

Membrana  branchioftega ,  ampla  valde  ,  a  fupre- 
mo  ac  poftico  operculi  angulo  ad  fterni  prominentiam 
vsque  late  extenfa  T  orTiculis  feptern ,  fitu  ae  forma  in* 
ter  fe  difcrepantibus ,  duobusque  praeterea  Mercurii  vir- 
gulae  non  abfimilibus  cruribus  orteis ,  ex  fupremo  ac 
poftico  ipfius  angulo  pronenientibus ,  fuftentatur.  Dc 
his  primo  dicemus ,  oftkulorum  ,  proprie  talium  r  ge* 
nera  ,  vnum  poft  alterum  ,  poftea  pertractaturi .  Prodit 
nempe  e  loco  modo  dicto  ofiiculum  tenue  ,  ftatim  a 
bafi  ,  verfatili ,  in  duo  crura  inaequalis  longitudinis  ac 
modice  recurua  diuifum  ,  quorum  exterius  ,  longius  ,  in 
partem  membranae  branchioftegae  trianguiarem  ,  fpinae 
inftar  ,  fupra  pinnae  pe&oralis  bafin  ,  prominentem  , 
abit  ,  eandemque  fulcit  ;  interius ,  breuius  ,  fub  angulo 
vaide  acuto  ,  prius  deferit ,  aliudque  ofticulum  ,  extre- 
mitate  inferiore  fecundo  membranae  branchioftegae  ofti- 
culo  laxe  incumbens  ,  tanquam  accefforium  ,  fub  angn- 
ln  obtufo  recipit ,  quod  vna  cum  cruribus  virgulam 
Mtrcurii  fat  bene  referre  mihi  vifum  eft.  Quod  ad 
ipdi  membranae  branchioftegae  oflicula  attinet ,  omnia 
tenuia  ,  gracilia ,  et  aequalis  fere  inter  fe  crafiitiei  funt: 
primum  ,  caeteris  longius  ,  reftum  ,  et  fupra  ipfius  me- 

dieta- 


P  I  S  C  IV  M.  445 

dietafcem   quafi    infra&um ,    partim    maxillae    inferioris 
marginem  preflfe  comitatur ,   partim  ab  eodem  ec  oper- 
culo    aliquantum    recedit  ,    extremitate    aotica    mulcuH 
cuiufedam  ,   de  quo  inferius   fermo  erit  ,     lateri    interno 
ct  maxillae  limbo ,  laxo  mediante  nexu  ,   interpofitum , 
poftica  ofiiculi ,  quod  acceflbrium  fupra  vocaui  ,    inter- 
no  margini  contiguum  ,  fecundum  ,    tertium  7    quartum 
et  quintum  ,  parallela  inter  fc  furfumque  recuruata  ,  fub 
anteriore  primi  parte  fuas  habent  radices ,  crafliusculas , 
inter    fe  conuergentes ,  firmoque  fatis  nexu  coniunclias  , 
apicibus  vero  fpinae   triangularis   parti  inferiori  ,    eidem^ 
que  marginali  ,  inferuntur ;  fextum  ac  feptimum    deni- 
que  ,  itidem  inter  fe  parallela  ,  et  notabili  a  prae:eden- 
tibus  interuallo  diftantia  ,    ad    fterni    prominentiae    iatus 
fuas  figunt  radices ,  ab  illorum  radicibus  longe  remotasp 
furfumque  leuiter  recuruata  ,  iisdem  propius  fenfim  acce- 
dunt ,  tandemque  ad  pinnae  peftoralis  bafin  in   apices  , 
praecedentium  apicibus  fatis  vicinos ,  abeunt.     Quamuis 
in  defcrib^ndis  partibus  externis  ad  mufculos ,    tanquam 
ad  internas ,   non  refpiciatur ,    fingularis  tamen  in    hoc 
pifce  ofliculorum  membranae  branchioftegae  compofitio^ 
mufculorumque ,  ad  ca"  mouenda  deftinatorum  ,  diftribu- 
tio  me  mouent ,  vt   hac    occafione    breuiflimis   eorum 
iniiciam  mentionera.      Quatuor  autem  obferuantur  mu* 
lculi  ,    fafciales :    vnus  eleuator  ,    tres ,   qui  deprimunt. 
Primus,  quem  pro  eleuatore  habeo,  ad  fummum  oper- 
culi  marginem  ortus  ,   oblique    defcendit ,    et    ofiiculi , 
duobus  cruribus  inftru&i ,  bafi  iaferitur ,  fecundus,  prae- 
cedenti  triplo  maior ,  ad  mentum  oritur ,  et ,    oblique 
transuerfo   fub    decurfu,    officulorum  ,  quarti  ct  quinti , 

K  k  k  3  ^te 


44*  DESCRIPTIO 

forte  et  plurimum  ,  radicibus  affigitur  \  tertius ,  fecundo 
duplo  minor ,  cum  eodemque  ,  bino  fc.  triangulum 
efformans ,  fub  fterni  prominentia.  confpiciendus,  ab  vno 
ad  alterum  latus  transuerlim  extenditur ,  anticam  ,  fexti 
ac  feptimi  ,  odiculorum  extremitatem  fubit  ,  ac  eadem 
cum  praecedenti  ,  infertione  gaudet  j  quartus  ,  tertio  ae- 
qualis ,  ac  parallelus  ,  ad  pinnarum  peftoralinm  **&*  , 
eiusdemque  inferiorem  parum  ,  proxime  ante  limbum 
acetabnli  anticum  fitus ,  a  duobus  infimis  ,  modo  ir.e- 
moratis ,  fexto  fc.  et  fcptimo  ,  vnius  lateris  aificulis  ad 
ifta  alterius ,  arcuato  parum  fub  fiexu  ,  in  transuerfum 
pariter  extenditur  ,  fulsque  tendinibus ,  qui  tenues  valde 
funt  ,  iis  inferitur.  Quamuis  membranae  branchioftegae 
late  pateat  ambitus,  aperturam  tamen  ad  branchias 
exiguam  valde  ,  fub  late  triangulari  (pina  ,  videmus , 
quatuor  fe.  tantum  lineas  latitudine  exaequantem. 

Squamae  in  toto  corpore  nullae  •,  id  quod  fupra 
iam  monui  j  neque  linea  longitndinalis  vera  ,  fed  fpu- 
ria  tantum  ,  in  pofteriore  corporis  parte ,  cuius  per 
mediucn  reda  excurrit ,  apparet. 

Anus  oris ,  quam  corporis  ,  exttemitati  propior  , 
anguftus ,  minimeque  prominulus  eft. 

Pinnae  omnes  radiis  fimplicibus  funt  inftru&ae  \ 
id  quod  alias  rariflime  obferuabitur. 

Pinnae  peclorales ,  magnae  ,  latifTimae  ,  obtnfae  , 
radiorum  33  circiter  ,  bafin  habent  largam  ,  ab  infe- 
riore  aperturae  angulo  ad  anticum  acetabuli  limbum 
fcfe  extendentem  ,  fiipeme  femiiunari  mufculo  obfirma- 

•  tam 


P  I  S  C  I  V  M.  w 

tam  ,  inferne  autem  plus  quam  vltra  dimidiam  partem 
fulcro  eiusmodi  mufculoft),  certe  haud  prominente ,  de- 
ftitutam.  Inferior  harum  pinnarum  ponio ,  fi  expan- 
(a  eft  ,  maxirnam  acetabuli  partem  obtegit.  Septem 
aut  octo  infimorum  radiorum  extremitates  pulpofae , 
vltra  pinnae  marginem  excurrentes ,  breuium  diuerlae- 
que  magnitudinis ,  barbularum  iub  forma  dependent". 
Quonhm  \  pinnae  huius  bafis  a  primo  ftatim  radio  ad 
Vltimum  vsque  ,  fub  ipfius  delcenlu  ,  fenfim  antrorfum 
flcctitur ',  primus  fi»um  multo  pofteriorem ,  quam  vlti- 
mus  C.  infimus  ,  obtinet.  Radiorum  longitudo  fic  fefe 
babet,  vt  ab  infimo  ad  vigefimum  lextum  circiter  vs- 
que  ,  fenfim  longiores  fiant ,  ab  hoc  vero  ad  primum 
pneccdentib  is ,  longifrimis ,  ex  ordine  parum  breuiores. 
Craflitiei  ,  quam  inter  fe  feruant  radii  ,  eadem  eft  ra- 
tio.  Infimi  vtriusque  pinnae  radii  fibi  tam  proxime 
adftant ,  vt  exiguum  rantum  inter  fe  relinquant  fpa- 
tium  ;  imrr.o ,  fi  quis  obiter  hasce  pinnas  adfpiciat , 
in  vnam  coalicae  ipfi  videbuntur. 

Acetabulum  ,  quod  ab  inferiore  pinnarum  peclo- 
ralium  portione  quafi  includitur  ,  fcutum  refert  rotun- 
dum  ,  planiufculum  ,  illi ,  quod  in  JLumpo  Anglorum 
videmus,  fimillimum.  Diuiditur  autem  (ulcis,  in  ipfius 
fuperficie  confpiciendis ,  in  varhs  variae  magnitudinis 
ac  formae  partes ,  quaium  omnitim  maxima  ea  eft , 
quae  ,  acetabuli  medium  occupans  ,  etusdemque  limbo 
fitu  paullo  profundior  ,  fub  cordis  figura  apparet ,  bafi 
os ,  apice  obtufo  anum  refpicientis.  Haec  j  quam  et 
ftndum  nuncupare  pofllimus ,  2f  lin.  diametri  ,  fecun- 
dum-  longitudinem  ftria  quadam  aibicante  y  veluti  ncr- 


44*  DESCRI?TIO 

vo  ,  in  duas  aequales  diuiditur  portiones,  ex  eademcfue, 
tanqtum  ex  fterno  ,  vtrinque  fub  angulo  acuto  emitcit 
oblique  antrorfum  coftas  quinque  ,  inferne  tenuiores , 
fuperne  latiores ,  quarum  fmgula  jn  fummitate  lobo 
obuerle  ouato,  rcflexoque  inftruitur.  Extremitates  ho- 
rum  loborum  latiores  ipfum  cordatae  partis  marginem 
terminant ,  quem  inter  et  acetabuli  iimbi  interiorem 
portionem  fmus  valde  anguftus  ,  aut  profuncior ,  quam 
alibi  ,  fulcus  obtinet.  Fundum  cingit  limbus ,  planus, 
latiusculus  ,  dimidio  plus  fuae  latitudinis  Jibcr  ,  interius 
vero  vna  cum  fundo  corpori  adnatus ,  fubftantiae  parte 
interiore  durioris ,  ligidae  ,  quafi  cartilagineae ,  foliaceae, 
exteriore  tenuioris  ,  membranaceae  ,  flexilis  ac  vnifbr- 
mis.  Foliaceam  iftam  dixi,  quod  ,  pratter  fcutulum  fb- 
litarium  ,  e  duodecim  foliolis ,  feu  lobis ,  contiguis, 
fulcisque  circumfcriptis ,  conftat. 

lllud ,  fcutnlum  nempe  ,  directe  furdo  cordato 
praepofitum  ,  fubquadrangulum  ,  lateribus  exafciatum  , 
antico  margine  conuexum  ,  poftico  vero  fterni  mino- 
ris  anticae  extremitati  continuum  eft,  foliolaque  mngni- 
tndine  multum  fuperat.  Duo  proxima  lcutulo  foliola , 
lateribus  eius  exafciatis  contigua  ,  fubrotunda  funt , 
coftisque  dcftituta ,  caetera  vero  ,  fubouata  ,  oblique  re- 
trorfum  fpectant,  extremitate  obtufiore  fundo ,  auitiore 
membranaceae  Jimbi  parti  obuerfa  ,  fingulumque  coftae 
lobatae  refpondet.  Vtriusque  etiam  lateris  intermedia 
anterioribus  ac  pofterioribus  perparum  maiora  funt.  De 
membranacea  limbi  parte  vix  habeo ,  quod  dicam  , 
nifi  ,  quod  ad  acetabuli  latera  paullo  Jatiorem  ,  quam 
in  reliquo  tractu  ,  cam  depiehenderim, 

Pinna 


P  I  S  C  I  V  M.  44? 

Pinna  dorfi  vnica ,  longa  ,  35  radiornm ,  ad  du 
midiam  fere  altitudinem  cutc  ,  communis  propagine  , 
incraffata  ,  in  caudae  pinnam  vsque  excurrit ,  vltimo  k, 
ipfius  radio  cum  primo  alterius ,  pari  modo  ,  vt  cae- 
teri  ,  membrana  connexo.  Radii ,  a  primo  ,  quem 
in  duobus  indiuiduis  a  fecundo  diftinctum  ,  et  fpinulae 
inftar  prominentem  vidi ,  ad  vigefimum  quartum  circi- 
ter  ,  ex  ordine  longiores  magisque  furrecti  ,  ab  his  ve- 
ro  ad  vltimum  vsque  fenfim  breuiores  fiunt ,  licet  pri- 
mis  adhuc  multo  longiores  fint. 

Pinna  ani  longa  ,  radiorum  29,  eiusdem  ,  ac 
prior  ,  fbrmae  et  fubftantiae ,  in  caudae  pinnam  ,  eo- 
dem  f  vt  ifta  ,  modo  ,  et  quidem  paullo  longins ,  ex- 
currit ,  quia  vltimus  ipfms  radius  vltimum  dorlualis  ra- 
dium  longitudine  excedit. 

Pinna  caudae ,  ratione  corporis ,  parua  ,  lingnlata, 
radiorum  12.  Pifcem  hunc  ,  non  tantum  pinnarum 
pectoralium  ,  fed  acetabuli  etiam  foima  ac  fitu  ,  ad 
Cyclopterum  ,  Luwp  Anglis  diftum  ,  mira  fimilitudi* 
ne  accedere  ,  ex  defcriptione  cuiuis  erit  clarum  ;  quan- 
tum  autem  corporis  potilTimum  fbrma ,  fumma  cutis 
laeuitate  ,  dorfuali  et  ani  pmna  etc.  ab  eodem  abludat, 
non  rrinus  euidens  eft.  Eum  itaque  ad  Genus  referre 
placuit ,  cum  quo  pluribus ,  quam  cum  alio ,  notis 
conuenit.  An  in  falfo  mari ,  an  dukibus  in  aquis  vi- 
tam  degat ,  et  vbi ;  quaeruur  ? 


Tom .  IX.  Nou.  Comm.  L  1 1  Menfura. 


*50      DESCRIPTIO 

M  e  n  f  u  r  a. 


Longitudo   tota  ,    fc.  ab  oris  extremo  ad  api 
ces  radiorum  pinnae  caudae  longiorum     - 

Ab  oris  extremo  ad  oculi  medium  -     -     - 

—  —  —  ad  angulum   operc.    br.  poiticum   - 

—  —  —  ad  fupremi  pinnae  pec"t.  radii  bafin  - 

—  —  —  ad  infimi  eiusdem  pinnae  radii  bafin  - 

—  —  —  ad  anticum    acetabuli  maiginem  -  - 

—  —  —  ad  dorfi  initium      ----- 

—  —  —  ad  pinnae  dorfi  principitim    -    -    - 
— ■  —  —  ad  eiusdem  finem     ----- 

—  —  —  ad  anum      -     -     ----- 

—  ad  pinnae  ani  principium     -     -     - 

— ad  eiusdem   pinnae  finem     -     -     - 

—  —  —  ad  pinnae  caudae  principium     -     - 

Longitudo  radiorum   pinnae   pecl:    Iongiorum  - 

—  —  —  pinnae  dorfi,  ad  bafin         -     -     * 

—  —  —  —  —   —  radiorum  longiorum  -     - 

—  ~  —  —  ani  ,  ad   bafin     -     -     -     -     * 

—  —  —  —  —  —  radiorum  longiorum    -     - 
— caudae      -      ------ 

Diameter  oculi      -      ------- 

—  —  —  acetabuli      -      -„---- 

Ab  vno  oris    angulo    (ore    fc.    aperto )    ad 
alterum      --.-.-.-*- 


Poll.    lifl. 
Parif 


9 
9 
6 

3 

71 
6 
1 1 

9 

7 

9 
4-i 

1 1 

Vi 
6 

5 


7 
Dutantia 


P  I  S  C  I  V  M. 


4*i 


Diftantia  inter  fingulum  oculum 

—  « infunorum  vtnusque  pinnae  p  & 

radiorucn  baks      -      _     - 
*— —  anticum  acetabuli    marginem    tcj 

anum      -      ...      ..... 

■—  — anum,et  primi  pinnae  ani  radii  bafin 

Membrana  vltimi  pinnae  dorfi  radii  in  cauda 

pinnam  excurrit  ad      -     -       -     -     -     - 

—  — pinnae    ani    radii   in  eandem  ex- 

currit  ad       --------- 

Latitudo  horizontalis  pet  oculorum  axes     -    - 

—  —  —  —  —  —    —  medium  operc  bronch 

— —  —   —    —    pinnarum   pect.    bafin 

£?<ll —    pinnae  dorfi  priucpium 

—  _----  —  --    —    anum     -     - 

—  — —  —    —    pinnae  ani  prncipium 

—  —  —  --  —  per    eiusdem     pin;;ae  mediun. 

—  — __  —  —   .-.    —    ______     fincrr 

Latitudo  perpendiculuris  per  ocnli  medium    -    - 
—  —  —   —   —    __    pinn>  pC^   5afin  _ 

—  —  — j- —  —  extrem.  marg 

—  —  —  —  —  —  —  —  ani  principium   -  ► 

—  —  —  —  —  —  —    —   —    medium     -     - 

—  __ _»  K cjrca  pinnae  ani  finem  - 


tq!      l'n, 


i\ 


»; 


?l 


*    *    * 


Lll    2 


VII. 


452  DESCRIVTIO 

VII. 

Sparus  a  duabus  vtrinque  maculis  no« 
tatus ;  primo  pinnarum  ventralium 
radio  longiffimo ,  aflaci  antennam 
referente. 

DESCRIPTIO. 

Tab.  X.  Color  Pifcis ,    in  fpiritu  vini   afTeruati ,    e    lute» 

%•  i-  in  fpadiceum  vergit ,  in  prono  capite  ,  dorib ,  pofte- 
rioreque  corporis  parte  intenfior  7  in  capitis  l.iteribus 
pinnisque  dilutior,  in  operculis  branchiarum  et  regione, 
pone  pinnas  pectorales  fita  ,  ac  circa  ventrales  dilutifli- 
mus  et  argenteo  fplendore  mixtus.  Intenfioris  e  luteo 
(padicei  coloris  obfcura  etiam  fedecim  circiter  zona- 
rum  ,  per  transuerfum  corporis  ductarum  ,  veftigia  ad- 
huc  fuperfunt  ;  redae  quidem  hae  funt ,  aft  non  item 
perpendiculares ,  fed  pofteriora  verfus  parum  incJinatae, 
ita  ,  vt  cuiusuis  extremitas  fuperior  ,  dorialis ,  refpectu 
ad  fitum  inferiore ,  ventrali ,  fit  poftenor.  Dorfi,  cau« 
daeque  ,  pinnarum  radii  colore  albicante  et  (padiceo 
alterno  variegati.  Duae  denique  in  vtroque  corporis 
latere  funt  obferuandae  maculae  ,  fubrotundae  ,  e  bruno 
fufcae  ,  quarum  vna  in  medio  fere  corpore  ,  diametri 
trium  linearum ,  proxime  infra  lineam  Iongitudinalem 
ac  pofteriore  fua  parte  pinnae  dorfalis  principio  directe 
fuppofita  ;  altera  minor ,  ad  extremitatem  corporis , 
fupra  pinnae  ani  finem  ,  huicque ,  quam  extremo  dor- 
fo  j  propior. 

Totiara 


P  I  S  C  1  V  M.  453 

Totum  corpus  cathetoplateum  ,  latiusculum  ,  et 
ab  anterioribus  pofteriora  verfus  craffitie  fenfim  decre* 
fcens.  A  prona  capitis  parte  ,  conuexa  ,  recla  et  de- 
cliui ,  dorfum  ftatim  modico  arcu  afcendit  vsque  ad 
pinnam  dorfalem ,  mox  circa  quintum  huius  radium 
ad  i  lineam  vsque  depreffum  ,  in  linea  fere  recta  ad 
caudae  pinnae  principium  vsque  defcendit ,  conuexam 
vbique  feruans  fuperficiem. 

Inferior  corporis  margo  a  maxiila  inferiore  ad 
caudae  pinnam  vsque  vnicum  modo  arcum  defcribit  , 
a  principio  ad  anum  vsque  conuexus,  a  pinnae  ani 
initio  vero  vsque  ad  eius  finem  fenfim  magis  magis* 
que  attenuatur. 

Capitis  latera  anterioraque  corporis  leuifEme  tan- 
tum  conuexa  ,  pofteriora  e  toto  fere  plana. 

Os  direcle  ante  oculos  locatum  ,  paruuluro  ,  ar- 
cuatum.  Labia  oris  carnofa  ,  dentes  tegentia.  Dentes 
in  vtrisque  maxillis  conferti ,  obtufi ,  minimi ,  fere 
aequales. 

Foramina  narium  vtrinque  duo ,  inter  fuperius 
oris  labium  et  orbitae  marginem  anteriorem  eumque 
fuperiorem  aequali  in  diftantia  difpofita  :  anteriore  roi- 
niino  ,  membranula  ,  antrorfum  fpectante ,  velut  oper- 
culo ,  obte&o  ;  pofleriore  ampliore ,  retrorfumque  pa- 
tente. 

Oculi  palpebris  deftituti ,  limbo  fuperiore  magis 
prominentes  ,  quam  inferiore ,  maximam  partem  intra 
orbitam  recepto.  Iris  ex  argenteo  in  pallide  brunum 
colorem  vergens.     Pupilla  fubrotunda. 

Lll  3  Oper- 


4.54  DESCRIPTIO 

Opercula  branchiarum  mernbrana  ,  mnrginem  in~ 
veftiente  ,  et  iupra  pjnnae  pectoralis  bafin  in  triangnla- 
rem  lobulum  exeunte  au&a  ,  inferioreque  marginis  par- 
te  ciliis  ofleis  exaiperata. 

Malae  os  (  quod  etiam  altera  alteri  fuperincum- 
bens  operculi  lamina  poflet  norrinari)  ad  anguli  poftici 
marginem  denticulis  eft  inftructiim.  Pariter  etiam 
margo  laminae  iftius  ofleae  ,  orbitam  inter  ac  oris  an- 
gulum  deflexae  ,  denticulis  armatus  eft. 

Oftium  ,  ad  branchias  patcns ,  longum  quidem  > 
aft  anguftum  valde. 

Membrana  branchioftega ,  fi  quae  forfan  adeft,  in 
confpectum  non  cadit ;  an  iub  denfo  ifto ,  quod  inter 
inalae  ofla  confpicitur ,  fquamarum  ftrato  recondita  ? 

Squamae  denfe  confertae  ac  molles,  totum  non 
folum  corpus ,  fed  et  omnes  capitis  partes ,  exceptis 
folum  labiis  oculisque  ,  totam  fere  ani  pinnam  ,  \t  et 
dorfi ,  caudae ,  pe&oraiiumque  pinnarum  bafin  obte- 
gunt  ;  maximae  fuper  caput  ,  branchiarum  opercula  , 
malae  ofla  ac  anteriorem  corporis  partem,  pofteriorem 
verfus  autem  fenfim  minores ,  quae  in  pinnis  funt ,  et 
praefertim  in  ani  pinna  ,  omnium  minimae.  Linea 
longitudinalis  ex  angulo  operculi  branchiarum  fuperiore 
prodiens ,  modicumque  defcribens  arcum  ,  pofticum  ac 
fupremum  maculae ,  in  medio  corpore  fitae  ,  marginem 
petit ,  inde  re&iore  via  ,  leuique  tamen  fub  afcenfu  , 
per  medium  corporis  decurrit  ,  fubitoque  ad  vnius  cir- 
citer  lineae  altitudinem  furfum  inflexa,  leui  fub  defcen- 


FISCIVM.  455 

fu ,  et,  poftquam  re&a  per  fupremum  aiterius  maculae 
ad  caudam  confpiciendae  marginem  tranfiic  ,  ad  medii 
pinnae  ani  caudae  radii  bafin  terminatur. 

Anus  in  foffulam  demerfus. 

Pinnae  pectorales  lineari  -  lanceolatae  ,  radiorum 
Tndecim  ;  extimis  breuiflimis ,  fimplicibus ,  interioribus 
ex  ordine  longioribus ,  ac  bifurcatis. 

Pinnae  ventrales ,  iuxta  abdominis  marginem  t 
refpectu  pectoralium  i\  lin.  fitu  anteriores ,  fibique 
valde  approximatae  ,  fetaceae  ,  longiifimae  ,  aftacorum- 
que  antennis  fimiles ,  radiorum  quatuor ,  quorum  tres 
inferiores  in  vtraque  pinna  tenuiflimi  ac  breuiffimij  in- 
fimo  (c.  (eu  quarto  i  lin.  tertio  2  lin.  fecundo  i\  lin. 
tantum  longo.  Primus  autem  ,  refpedu  illorum  valde 
craflus ,  teres ,  fetaceus ,  flexilis ,  omniumque  long:fTi« 
mus;  ac  bafi  (c.  verfus  apicem  fenfim  attenuatur,  innu- 
merisque  articulis ,  mngnitudme  fenfim  decrefcentibus , 
aftici  antennarum  inftar  ,  compoiitus  elt  ,  et  ,  in 
re&jm  extenhis  lineam ,  tenuiifima  fua  extremitate  pia~ 
nae  caudae  radiorum  apices  fere  attingit. 

Pinna  dorfalis  ,  in  fquamofa  bafi  faftigata  quafi  , 
citra  dorfi  medietatem  fita  ,  radiorum  tredecim ,  ex 
ord;ne  tenfim  longiorum.  Priorcs  quinque  ,  f  rrphces , 
ngidi ,  caeterisque  craifiores  ,  veri  ac  validi  funt  aculei ; 
fequentuim  ,  a  (exto  ad  duodecimum  ,  qui  Icngiflirrus 
eft  ,  plerique  infirmiores  ,  fkxiles  magis  ac  ramofi  y 
vltimus  ptnultimo  paulo  brenior. 

Pinna  ani  ,  ab  ano  ad  caudae  pinnae  initium 
extenfa  ,  radiorum  ciruter  quadiagmca  quatuor ,   maxi- 

mank 


45* 


DESCRIPTIO 


mam  partem  (implicium  ;  a  ptimo  ad  trigefimum  fex- 
tum  vsque  ex  ordine  fenfim  longiorum  ,  ab  hoc  ad 
vltimum  vero  ex  ordine  (enfim  breuiornm.  Decem 
vel  dtiodecim  priores  rigidi  ,  validi  et  aculeati ,  feque:i- 
tium  plurimi  molliores  ;  vltimorum  quidam  fubramofi. 
Caeterum  ,  fi  de  numero  et  longitudine  radiorum  cer- 
tus  e(Te  velis ,  pinna  ,  quae  denfo  fquamarum  ftrato 
obtefli  eft ,  defquimanJa  tibi  prius  ent ,  vt  radii 
denudati  in  confpe&um  veniant. 

Pinna  caudae  modice  bifurca ,  lobis  obtufis ,  t*~ 
diorum  o&odeum  ,  ramoforum  ;  vtriusque  lobi  inter- 
tnedii  ac  exteriores  caeteris,  quos  includunt,  longiores. 


Menfura. 


Poll    Lin. 

Parif. 


Longitudo  tota  ,  fc.  ab  oris   extremo  ad   api 
ces  radiorum  pinnae  caudae  longiorum 

-  -  -  -  ab    oris    extremo    ad  extremitatem 
corporis  fquamoftm    ------ 

Ab  oris  extremo  a<i  oculi  medium   -     -    - 

r ad  angulum  operc.  br.  pofticum 

p. pnncipium  pinn.  pe&oralium 

_  -  - ventralium 

»-  -    pinnae  dor(i  -  - 

--_..--- -  -   ani    -    - 

..  — — caudae  - 

ad  anum     -     ------ 


4 

3 

i 

- 

4- 

- 

9i 

- 

io§ 

- 

n 

i 

IO 

i 

li 

3 

i 

4 

Longi* 


P  I  S  C  I  V  M. 


PolL 


Longitudo  pinnarum  pe&oralium  -     •     -     - 

ventralium     -     -     -     - 

.-  .-  -    -  pinnae  dorfi ,  ad  bafiti     -     -     -  - 

radiorum  longiorum 

ani ,  ad  bafin    -     -     -     - 

— radiorum  longiorum  - 

-.  -   _    -  -   .  .  caudae  ,  (c.  -a  primis  radiis 

feu  ab  eius  principio  ad  longiorum  radio 
rum  apices     -------. 

Extremitas  corporis  fquamofa  in    caudae    pin 
nam  extenfa  ,   ad      --.--. 

Diameter  oculi      -     -    -     -     -     -     -     - 

Diftantia  inter  infimi  pinnae  pectoralis  primi- 

que  pinnae  ventralis  radii    bafin 
„  .  -  -   pinnae   ventralis  bafin  et  anum,  feu 

pinnae  ani  initium     ----- 
i. vltimi  pinnae  dorfi  radii   bafin  ,   et 

primum  pinnae  caudae  radium     -     - 
vltimi  pinnae    ani    radii    bafin  ,     et 

primum  pinnae  caudae  radium     -    -    - 

Latkudo  horizontalis  per   oculorum   axes 

i per  pofticum  operc.  br,  mar 

ginem       ----.--.- 

• ^--  pinnae  ani  principium   - 

-----------  dorfi      * 

—  —  • —  ;L  caudae     *     -     - 


Lio. 
i  ■ 

6 

I  l 

i 

IX 

i 
*l 

3 
3 
9! 

c 
5 


5 
3 

2  I 

3  I 


Tom.  IX.  Nou.  Comm« 


Mm  m 


Lati- 


4-5« 


D  E  S  C  R  1  P  T  I  0 


Latitudoj  perpendicuiaris  per  oculi  medium  - 
_____-_____..  .  dorfi  initium  - 
— ■; principium   pinna 

rum  pe&oralium     -     -     -     -     -     -  - 

— .  —  —  — '  — —  principiura  pinna 

rum  ventralium     ------ 

—  —  ■ — —  principium  pmnae 


Poll.  Liti; 

7 


doifi 


caudae 


—  — eiusdem  pinn.  finem 

— ~  principium   pinnae 


i-of- 


#  *   m 


VIIL 

Labrus  valde  oblongus,  taeniis  triBus 
candidis \?  diuerfae  longitudinis-  infi- 
gnitus^  catida  integra. 

DESCRIPTIO. 

Tab.  X.  Pifcis  in.  fpiritu  vini  afferuatus  ex  albido  liuidiis,, 

%  2-  taeniisque  tribus  candidis  vtrinque  piclus  eft,  quarum 
juprema  e  media  fronte  orta  ,  oblique  ad  orbitae  mar- 
ginem  anticum  ,  indequc  ,  ipfo  interrupta  oculo  ._  ab 
orbitae  margine  pomco  ad  fuperiorem  operculi  bran- 
chiarum  angulum  vsque  ducitur ,  intermtdk  ab    angulo 

'oris^ 


VI  S  C  I  VM.  459 

<oris  mitium  capiens,  orbitaeque  marginem  inferiorem 
tangens ,  redaque  via  per  branchiarum  operculum  , 
eique  appenfam  membranam  ,  du&a  perfiftit ,  fuique 
finem  mentitur ,  aft  directe  fub  hac ,  in  ipfo  corpore 
continuata  ,  per  lateris  medium  in  caudae  pinnam  vs- 
que  excurrit ,  wfima  vero  fub  maxilla  inferiore  orta  , 
arcuato  ftatim  du<ftu  imum  operculi  marginem  petit,  ab- 
hinc  ,  pariter  vt  intermedia ,  in  ipfo  corporis  margine, 
margini  operculi  branchiarum  contiguo  ,  fub  angulo  cum 
priore  fui  tractu  obtufo,  continuata,  pone  pinnae  pe&oralis 
.bafin  infledtitur  ,  indeque  leui  fub  defccnfu  paralkloque 
cum  intermedia  dudu  ad  extremitatem  corpcris  vsque 
ducitur.  Sic  quoque  margo  corporis  inter  mentum  ct 
angulum  vtriusque  operculi  branchiarum  inferiorem  can- 
dicat  ,  candoremque  fuum  cum  infirnae  vtriusque  lateris 
.taeniae  principio  mifcere  videtur. 

Corpus  cathetoplateum  ,  lanceolatum  ,  macrole- 
pidotum  ,  margine  fuperiore  paulo  rmgis  arcuato,  ma- 
;gisque  attenuato  ,  quam  inferiore  ;  lateribus  lubconuexis. 

Caput  cathetoplateum  ,  Iaeue.  Os  anguftum  ; 
denticulorum  in  vtraque  maxilla  elliptica  et  aequali 
gracilium  ,  oblique  antrorfum  porrectorum  ,  denfeque 
eonftipatorum ,  vnica  feries ,  labiis  carnohs ,  claufo  ore, 
obte&a.     Lingua  angufta  ,  carinata  ,  glabra. 

Narium  foramina  vtrinque  duo  ,  minima  ,  in 
taeniae  fupremae  tractu .,  qui  ante  oculum  eft  ,  difpofi- 
ta  ,  ipfi  oculo ,  quam  ori  ,  longe  propiora. 

Oculi  fubrotundi  ,  in  fupremis  fere  capitis  lateri- 
te,oreque  akius,fiti. 

M  m  m  2  Opet- 


$6o  DESCRIPTIO 

Opercuh  branchiarum  laeuia  ,  alepidota  ,  mem- 
branaque  terminata,  tam  ad  fuperiorem,  quam  ad  infe- 
riorem  finguli  opercuii  angulum,  in  lobulum  fatis  nota- 
bilem  excrefcente.  Membranae  branchioftegae ,  eiusque 
omculorum ,  nulla  veftigia.  Hiatus  ad  branchias  peran- 
guftus  ,  licet  praelongus  fit ,  et  ab  operculi  angulo  fu- 
periore  ,  oculo  altius  pofuo  ,  ad  abdominis  marginem 
vsque  ,  quem  inferior.  occupat ,  extenfus. 

Squamae  fatis  amplae  ,  magnitudine  inter  fe  in- 
vicem  haud  multum:  diuerfae  ,  flexiles ,  perbreues ,  lae- 
\es  ,  ad  oras  integerri/naec 

Linea  longttudinalis  ab  angulo  operculi  branchia- 
rum  vtriusque  lateris  fuperiore ,  ductu  leuiliime  conuexo, 
in  aequali  fere  ab  extremo  dorfi  margine  et  latere  cor- 
poris  medio  diftkntia  et  parallelismo  decurrit:  ad  regio- 
nem  vsque  ,  decimi  feptimi  pinnae  dorfi  radii  bafi  fup- 
pofitam  ,  ibi ,  mox  in  linea  recla  oblique  deorfum  ac 
retrorfum  ad  lateris  medium  deflexa ,  intermediam  fub- 
intrat  taeniam,  cum  eademque  dein  reclilineo  curfu  in 
caudae  pinnam  vsque  procedit.  Formatur  autem  ipfa 
haec  linea  longitudinalis  potiftimum  a  viginti  fex  feptem- 
ve  pundtis ,  quae  ipfa  nihil  aliud  funt,  quam  canalicu- 
lorum  muciferorum  ,  fquamas  ad  lineam  pertinentes  per- 
forantium  ,  oftiola. 

Anus  in  medio  fere  corpore. 

Pinnae  in  toto  pifce  feptem. 

Pinna  dorfi  vnica  ,  longa  ,  e  regione  pinn.  pedl. 
radii  primi  bafi  orta  ,  radiis  inftrutfa  viginti ,  fimplici- 
bus  r  anterioribus  nouem  aculeatis ,    ex   ordine    fenfim 

lon&i,^ 


P  I  S  C  IV  M.  4<Ji 

longioribus  ;  reliquis  ioermibus ,  aculeatorum  vltimos 
perparum  longitudine  primum  fuperantibus ,  dein  vero 
finem  pinnae  verfus  iisdem  breuioribus  fenfim  factis  ; 
vltimo  ,  vigefimo  fc.  ad  bafin  vsque  bipartito. 

Pinnae  pectorales  duae  ;  vtrinque  vnica ,  ftatim 
poft  operculum  ,  (ubtriangularis  ,  oblique  furfum  flexa  y 
radiisque  quindecim  circiter  inftru&a,  qnorum  longitudo 
et  craftities,  a  fuperioribus  ad  inferiores,  fenfim  decre- 
fcit ;.  horumque-  plurimi  bipartiti. 

Pinnae  ventrales  binae\  contiguae  ,  pe&oralibus 
paulo  pofteriores  fitu  ,  abdominis  margini  impofitae  ,  in 
aequali  fere  ab  operculorum  angulo  inferiore  et  ano  di- 
ftantia.  Figurae  eft  quaelibet  laneeolatae  ,  acutae  ,  ra« 
diisque  fex  fufFuIta  ,  quorum*  interiorcs'  exterioribus ,. 
fimplicibus ,  longiores  et  bipartiti; 

Pinna  ani ,  mox  poft  anum  et  e  regione  pinn: 
dorf.  radii  noni  bafi  orta,  vltimique  eiusdem  pinnae 
terminata  ,  radiis  conftat  tredecim  ,  fimplicibus ,  eiusdem 
fere  inter  fe  et  cum  dorfalibus  longitudinis  ;  primo  , 
et  fecundo  ,  aculeatis,  breuioribus ;  in  (equentibus  iisdem 
parum  longioribus  ,  inermibus ;  vltimo  ad  bafin  vsque 
bifido. 

Pinna  caudae  integra  ,  aequatos ,  circa  bafin  fqua- 
mis  veftita  ,  radiorum  duodecim  ;  extimo  vtriusque  la- 
teris  fimplici ,  breuiore  ;  caeteris  omnibus  ramofis ,  quo- 
rum  intermedii  proximis  lateralibus  perparum  longiores.* 


M  m  m  s";  Menfura; 


4* 


DESCRIPTIO 

Menfura. 


Poli.  Lin. 
Parif. 


Longitudo  tota  ,  (c.  ab  oris  cxtremo  ad  pin- 

nae  caudae  radiorum  apices  -     - 
-  ab    oris    extremo  ad    extremitatcm 

corporis  fquamofam  ------ 

Ab  oris  extremo  ad  octili  medium       -     - 
r.r,~  -  g.  _ _  angulum   operc.  br.  fupe 

riorem     »-     -------     * 

~  _  _  „ j. ' ._  principium  pinnae  dorfi  - 

----  — .---__.-    pinnarum    pc- 

ctoralium     -------- 

, —  __-_--.-..__.._  ventralium 
,-_-_.-_. , pinnae  ani ,  teii 

ad  anura      -.--.--_- 

.-  _  _  —  __-. _  _ caudae 

Lcngitudo  pinnae  dorfi ,  ad  baOn    -     -     - 

—  —  —  ——  —  —  —  —  radiorum  .Jongiorum 

— pinnarum  pcctoralium     -     -     - 

-~  —  —  —  — -  -    —  ventrahum      - 

—  —  —  -  pinnae  ani  ,  ad  bafin    -     -     - 

—  —  —  —  —  —  —  radiorum  longiornm  - 

—  —  —  —  ■ candae  ,  fc.  a  primis  radiis, 

feu  ab  eius  principio  ad  longiorum  radio 
.riim  apices    ^------^ 

Extremitas  corporis  fqnamofa  in  caudae  pin 
nam   extenfa  ad       -----. 

Diameter  oculi     ------     .    « 


i 
5 

10 


ii 

_ 

9 

10 

6\ 

31 
7 

41 
9l 

3 


2§ 

i: 


Diftan- 


p  i  s  c  i  v  m: 


Poll. 


Diftantia  inter  primi  pinn.  dorf.  primique  pin- 
nae  pe3.  radii  bafin      -     -     -     *     - 

-.  _  _  vltimi  pinn»  dorf.  primique  pin- 

nae  caudae  radii  bafin  ----- 

infimi  pinn.  pect.  primique  pin 

nae  ventralis  radii  bafin     -     -     -     - 

-  -  -    inter    pinnarum    ventralium    bafin  et 

anum,  fea  pinnae  ani  initium  -     -     - 
_______  vltimi  pinnae  ani  radii  bafin  et 

primum  pinnae  caudae  radium 
Latitudo  horizontalis  per  ocutorurn  axes     - 
_ -  _  pofticum    operc.  br. 

marginem     -------- 

_  . _■_•_.-_  pinnae  ani  principium 

-  _ ._  finem  - 

-  _- caudae   princi- 

pium      -     -     -     -  •    -     -     -    -     - 

-  -  -■  -<   perpendicularis   per   oculi  medium  - 
_  _  _  _  . _  _  _  _  _     dorfi  initium  - 

r —  _  —  „  —  principium  pinna- 

rum  pedtoralium      ------ 

—  ——  —  —  —  —  —  -,  —  —  vencralium 

—  —  —  —  —  —  —  —  —  —  —  pinnae  ani 

■ —  — —-.—-•  —  pinnae  ani  fiaeir 

—  — ■  — ._  _  —  —  principium  pinnae 

caudae    --------- 


463 
Lin. 

5 

4 

51 

7  ad 
7* 
4 
3i 

5 

31 

1« 


7 
S 

101 


9! 

5 


*  m  f 


IX, 


4*4  DESCRIPTIO 

IX. 

Scomber  dorfi  anique  pinna  continua; 
aculeis  ad  vtriusque  initium  ac- 
cefloriis. 

An?    Gafterofteus    fpinis    dorfalibus    quafcuor.  Jjm.    Syft.  .Nat 
edit.  dec.  p.  295.  n°.  2.  (Du&or. ). 
Hnffelqu.  iter.  366. 
A&.  Stockb.  1755.  p.  71- 

DESCRIPTIOU 

Tab.  X.  Colore  hic  pifcis ,  an  fpiritu  vini  afferuatus ,  ad- 

jj;  j3'  huc  gaudet  argeuteo ,  fplendente  in  femilunari  ifta,  quae 
infra  et  poft  vtrumque  oculum  fita  eft,  regione  mufcu- 
lari  ,  in  vtriusque  operculi  branchiarum  maxima,  eaque 
poftica  dimidiaque  ,  et  omni  totius  corporis ,  quae  in- 
fra  lineam  longitudinalem  ca.dit ,  parte ;  fordide  albicante 
in  prono  et  fupino  capite  ,  ore  ,  maxillis ,  palpebra  , 
anteriore  operculi  lamina  ,  pinnisque  omnibus  ;  dilute 
(padiceo  denique  in  omni  ,  quae  fupra  lineam  corporis 
longitudinalem  venit  obuiam  ,  regione. 

Corpus  teretiusculum  ,  rectum  ,  torofum  ,  micro- 
kpidotum  et  modice  cathetoplateum  eft ,  excepta  ipfius 
extremitate  ,  quae  vltimos  dorfi ,  vel  ani  ,  et  caudae , 
pinnarum  radios  interiacet ,  plagioplatea  ,  et ,  fi  latus 
refpicias ,  valde  contracta ,  ac  in  medio  vtrinque  in 
aciem  carnofo  -  membranaceam  attenuata.  Porro  ,  quod 
ad  conformationem  corporis  attinet ,    idem  a    maxillae 

fuperio- 


et  4. 


PISCIVM.  46$ 

foperioris  extremitate  fenfim  ac  leuiter  afcendit  ad  quar- 
tum  dorfi  aculeum ,  feu  primum  pinnae  dorfalis  radium 
vsque ,  et  ab  hoc  caudam  verfus  fimiliter  defcendit  \  a 
maxillae  inferioris  extremitate  vero  leui  fiib  defcenfu 
pinnas  petit  ventrales  ,  ab  his  rec"tius  progreditur  vsquc 
ad  anum  ,  ct  ab  hoc  caudam  verfus  fenfim  ac  leuiter 
afcendit.  Margo  dorfi  ab  occipite  primum  aculeum 
verfus  contra&us  ac  prominulus  eft.  Latera  corporis 
fatis  conuexa. 

Caput  vtrinque  compreiTum  ,  fuperne  planiusar 
lum ,  carina  longitudinali  ,  per  medium  verticem  du« 
cta  ,  fuperficiali  notatum  ,  alepidotum  ,  glabrum ,  oc- 
cipitis  tantum  vtnusque  lateris  angulo  et  fpatio  ifto  fe- 
milunari ,  mufculofo  ,  oculum  inter  et  operculum  bran- 
chiarum  fito  ,  exceptis ,  fquamulis  minutiffimis  inftructis. 

Os  obtufiusculum  ,  apertura  oblique  deorfam  fpe* 
ctante.  Maxiliae  ,  ore  claufo  ,  fatis  aequales  ,  aperto 
autem  inferior  fuperiore  paulo  longior  \  eaedemque  den- 
ticellis  acutis ,  minutiftimis  interius  exafperatae. 

Narium  foramina  ,  oris  extremo ,  quam  oculis , 
paulo  propiora  ,  vtrinque  duo  ,  fibi  inuicem  valde  pro* 
pinqua  ,  elliptica  et  verticaliter  pofita  ;  horum  pofte- 
rius  fitu  paulo  aitius  ,  quam  anterius  ,  eft. 

Oculi  magni  ,   in  laterum  fuprema  partc  pofiti  9 

oris  extremo  ,  quam   angulo  operculorum  poftico,  pro- 

piores ,  cute ,  quam  orbitae  margo  omnis  fuper  albugi* 

neam  emittit ,  ceu  palpebra  ,  in  ipforum   ambitu   inae- 

Tom,  IX,  Nou.  Comm.  N  n  n  qualitcr 


tf*  DESCRIPTIQ 

qualiter  obte&i  ,  ita  ,  vt  luminis,  quo  palpebra  ad  ocik 
lum  patet  ,  diameter  perpendicularis  horizontalem  noa- 
nihil  fuperet. 

Opercnla  branchiarum  falcata  ,  fubtus  et  in  tate- 
ribus  vrrinque  longo  hiatu  aperta  ,  inermia  ,  alepidota  ^ 
circa  marginem  membrana  terminata.  Margo  laminae 
anterioris ,  caeteris  inclufae ,  membranaceus  et  crenulis- 
minutiflimis  incifus. 

Membrana  branchioftega  ,  fub  operculis  tota  k* 
tens ,  ofliculis  videtur  fex  fuffulta. 

Supra  pinnarum  pec*toralium  bafin  fcapula  offea 
triangularis ,  poftico  ac  fupcriori  operculorum  marginl 
contigua  ,  prominet. 

Squamulae  innumerae ,  minutiflimae  ,  cuti  ard:^ 
inhaerentes  ?  fere  vt  in  Gadis. 

Linea  longitudinalis  ,  continua  ,  prominula  ,  ab 
angulo  operculorum  poftico  ad  4\.  lin.  recta  et  obli- 
que  furfum  ducta  ,  hinc  fub  angulo  valde  obtufo  de* 
flexa ,  leuique  et  modice  arcuato  fub  defcenfu  in  aciei 
fupra  memoratae  initium  incurrit ,  in  eodemque  fuum 
agnofcit  finem. 

Anus  in  corporis  medio  ,  fc.  ab  oris  extremo 
aeque  ac  longiorum  pinnae  caudae  radiorum  apicibus^ 
st  breui  interualio  ab  ani  pinna  ,  diftans. 

Finna» 


TISCIVM*  4*7 

Pinnae  in  toto  corpore  feptem  ;  fc.  duae  peclo- 
•rales ,  totidem  ventrales ,  vnica  dorfi  ani  et  caudae. 

Pinnae  pectorales  ,  poft  branchiarum  aperturas , 
ventri ,  quam  dorfo ;  propiores ,  oblongae  ,  radiis  fepten- 
decim  circiter  conftru&ae  ,  leuiter  arcuatis  et  fubra- 
mofis.  Hi ,  a  primo  ,  aut  fecundo  potius ,  foperiore  , 
ad  inflmum  vsque,fenfim  gracilefcunt,  et,  ratione  lon- 
gitudinis ,  a  primo  ad  quintum  vsque  ,  fenfim  increfcunt, 
ab  hoc  vero  ad  infimum  notabiliter  decrefcunt.  Com- 
munis  omnium  horum  radiorum  bafis ,  non  minus  vt 
jpfi  ,  arcuata. 

Pinnae  ventrales  contiguae  ,  dire&e  fub  inferiorum 
pinn.  pect.  radiorum  bafi ,  in  imo  ventre  fitae  ,  radiis- 
que  quinque  compofitae  fatis  robuftis,  quorum  primus 
ac  fecundus,  fitu  exteriores,  fimplices  ac  reliquis  lon- 
giores ,  tertius ,  quartus  et  quintus  vero,  interiores  fitu, 
ramofi  ,  illisque  ex  ordine  breuiores.  Intimus  pinna- 
rum  vterque  membrana  mediante  eidem  bafi   affixus. 

Pinna  dorfi ,  praecedentibus  vtriusque  generis  pin- 
nis  fitu  pofterior  ,  longa  ,  plurimam  dorfi  margmis  par- 
tem  occupans ,  radiis  -viginti  nouem  furTulta  ,  et  prae- 
terea  quatuor  ,  breuibus ,  aculeis  diftin&is ,  ad  ipfius  ini« 
tium,  audta.  Horum  anticus  et  pofticus,  minimi ,  inter- 
rricdii  duo  paulo  craftiores  ac  longiores  ,  omnes  autera 
mobiles,  et  poftica  ipforum  facie  membranula  triangu- 
lari  inftructi.  Illi  ,  fc.  ipfuis  pinnae  radii  omnes  m 
vnam  pinnam  ,  folito  more  ,  concreti  ac  molles ;  an- 
.1  JSI  n  n  2  terio- 


4d*  DESCRIPTIO 

teriores  craffiores  ac  longiores,  infequentes  tenuiores  ac 
breuiores  fenfim  ficli ,  fimplices ,  pofteriorum  quidam 
intermedios  longitudine  parum  fuperantes  ac    fubramofi. 

Pinna  ani ,  dorfali  breuior  longe ,  radiorum  no- 
vendecim  ,  quortim  anteriores  maiores  reliquis ,  ( fimili- 
bus  tamen  in  dorfali  pinna  minores )  intermedii  mino- 
les  pofteriores  mediae  magnitudinis ,  de  reliquo  autem 
ciusdem  cum  dorfalibus  confbrmationis.  Accedunt  ad 
initium  huius  pinnae  pariter  aculei  duo  diftin&i ,  per- 
breues  ,  dorfalibus  iftis  minores  ;  anterior  ob  paruitatem 
fuam  \ix  confpiciendus ,  pofterior  paulo  maior.  Cae- 
terum  pmnae  huius  finis  paulo  longius  a  pinnae  caudae 
inirio  diftat ,  quam  finis  pinnae  dorfi. 

Pinna  caudae  profunde  biftirca ,  caudae  plagiopla* 
teae  verticaliter  infiftit ,  eamque  ex  parte  excipit ,  ra* 
diis  circiter  triginta  quatuor  compofita  ,  quorum  exte- 
riores  vtriu?que  lateris  omnium  breuiffimi  ,  ex  ordine 
tamen  longiores ,  fimplices ,  fuperantur  a  proximis  (e- 
quentibus ,  omnium  longiftimis ,  fubramofis ,  hisque  ce- 
dunt  intermedii ,  ex  ordine ,  ad  medium  pinnae  vsque, 
ienfim  breuiores  fa&i ,  valde  ramofi. 


Menfura. 


F  I  S  C  I  P  M. 


4*9 


Menfura. 


Poll    Lhi. 
Parif. 


Long<tudo  tota ,  fc.  ab  oris  extremo  ad   lon 
giorum   pinnae  caudae  radiorum  apices   - 

— ab  oris  extremo  ad  extremitatem  cor- 

poris  fquarrofam     -.-.--- 

Ab  oris  extremo  ad  oculi  medium        -     - 

— angulum  operc.  br.  pofticum 

—  —   —  — principiumpinn.pecftoralium 

—  —    ventralium 

—  —  —  —  —  *~  primum  dorfi  aculeum  - 

— —  —  principium  pinnae  dortt  - 

_ —  anum       ....     - 

—  —  ——  —  —  aciei   caudae    initium     - 
—  —  —  primum   ani   aculeurn  ,  feu 

ad  pinnae  ani  principium      -     -     -     - 

—  — —  —  principium    pinnae  caudae 

—  —  —  —  —  —  aciei    caudae    finem 
Longitudo  pinnarum  pectoralium     -     -     - 

—  —  — ventralium       -     •     - 

— maiorum  dorfi  aculeorum       -     - 

— pinnae  dorfi  ,  ad  bafin     ~     -     - 

—  — — radiorum  longiorum  - 


—  ani  ,  ad  bafin 


—  — —  —  radiorum    longiorum 

caudae,  fc.  a  primis  radiis,  feu  ab 

eius  principio  ad  longiorum  radiorum  apices  I 
Extremitas  corporis  fquamofi  in  caudae  pinnam 

extenia  ad      -----.-- 
Nnn  3 


9 
5 

7 
1 1 

2L 

3 

9 
r  i 

(I 
5 
9 
8 

9 

I 
1 1 

<** 


6\ 

Diamc- 


470         DESCRIPTIO  VISCIVM. 


Poll.  Lm. 


Diameter  oculi  perpendicnlnris  -     -     -     - 
Diftantia  inter  infimi  pinn.  pect.  primique  pinn. 
vent.  radii  bafin    ---.--.- 

—  — quinti  pinn.  ventr.  radii  bafin   et 

anum     --------- 

—  —  —  — 3num  et  primum  aculeum  -     - 

—  — ■  —  —  vltimi  pinn.  dorf.  et  primi   pinn. 
caudae    radii   bafin      ----- 

—  —  —  —  \ltimi    pinn.    ani  primique  pinn. 
caudae    radii  bafin       -  -     -     -     - 

—  — .  —  —  longiorum    vtriusque    lateris   pinn. 
caudae  radiorum  apices     ----- 

Latitudo  horizontalis  per  ocnlorum  axes    - 

—  —  —  —  — pofticum    operc.    br. 

marginem  --     ------- 

— —  —    -  primum  dorfi  aculeum 

—  —  — —  —  -   principium  pinn.  dorfi 

—  ~   —   —  —  —  ~  —  _   —  —  ariei  cand. 

—  —  —  —  —  —  —  —   pinnae  dorfi  finem  - 

—  ——•  —  —  —  —  --  —   —    caud.inkium 

—  —  —  —  —  —  —  —  aciei  caudae  finem  - 

Latitudo  perpendicularis  per  oculi   medium  - 

, .   — —  — poftiaimoperc.br. 

marginern  --------- 

, — principium  pinnae 


dorfi 


■ —  an-um       -     - 

acieicaud.princip. 

: - —  pinnae  ani  finem 


^— _  —  pinn.caud.princip 


AS 


2. 

rao- 


ASTRONOMICA. 


OBSEJfc 


O  B  S  E  R  V  A  T  I  O  N  E  S 

^LIQVOT  ASTRONOMICAE  ET  METEOROLO- 
vGICAE  LLPSIAE  HABITAE 


G.     HEINSIO. 

TLclipfis    Lunae    totalis    d.    24.    lanuat 
anno  1758.  temp.  ciuil.  ftyl.  dioa, 

clipfis  haec  inftabat  Sioris  snatutinis  in  iricinia  Ii@- 
rizontis  occidui ,  et  calculus  roomenta  tantura 
ingreflus  Lunae  in  vmbram  iterreitrem  vifibilia  hic  loci 
promittebat.  JMix  copioia  ,  'quae  die  praecedente  ceci- 
dit ,  nullam  obferuationis  futurae  ipem  praebebat ,  quae 
tamen  vefperi  ,  cum  nubes  inciperent  hiatus  agere  , 
nonnihil  excitabatur.  Et  re  vera  ,  inftante  Eclipfis  ini- 
tio  ;  coeli  facies ,  nubes  plemmque  tcnues  et  hiatus  fe- 
renos  oflendens ,  fucceffurn  noniiullarum  faltem  obfer- 
vationum  fpondebat.  Inuigilaui  illis  ope  Tubi  Aftro- 
nomici ,  6  ped.  Parif.  Iongi ,  qui  obie&a  admodum 
diftmfte  repraefentat ,  eaque  fecundum  diametrum  24. 
vicibus  auget.  Tempns  ad  horologium  ofciilatorium  , 
hoc  et  fequentibus  diebus  per  altitudines  Solis  refpon- 
dentes  corredlum  ,  numeratnm  sft.  £n  obferiiatioiiiim 
circumftantias : 

Tom.  IX.  Nou.  Comm.  O  o  o  Anno 


474        O  BS  E  RFAT I  0  N  E  S 

Jn.1758.Jljl  nou. 
d   23.  lan.  temp. 
vero   Aftronomico. 

176.  i'.  o".  Penumbra  iam  ad  limbum  Lunae 
orientalem  in  regione  inter  Cardanum 
et  Seleucum  diftingui  potuit,  licet  Luna 
per  nubes  pallida  appareret. 

—  10.     o.  Penumbra  denfa  cernebatur  in  dicla 

lunaris  difci  regione.  Luna  nonnihil 
lucidior  erat 

—  12.  20.  Initium  Eclipfis  fieri  credidi  in  me- 

dia  inter  Cardanum  et  Seleucum  re^ 
gione.  Forfan  initium  nonnihil  citius 
contigit:  vmbra  enim  vera  cum  pen* 
vmbra  admodum  confundebatur.  Non 
mnltum  tamen  aberrari  puto  ,  fi  mo» 
mentum  notatum  pro  momento  initii 
habeatur.  Luna  fatis  lucida  per  nubes 
apparuit. 

—  xa.  45,  Certus  eram  ,    initium  Eclipfis  iam 

ante  contigiffe,  licet  terminus  fere  nul- 
lus  inter  vmbram  et  penumbram  di- 
ftingui  poffet. 

—  14.   15.         Credidi  appulfum  vmbrae   ad    GrL 

maldum ,    termino    inter    vmbram   et 
penumbram  valde  incerto. 
m»   14.,  45.         Certus  eram  de  appulfu  vmbrae  ad 
Grimaldunv,  vel  potius  peripheria  vm« 
brae  Grimaldum  iam    nonnihil    intra- 

Yerat. 


JSTRONOM.   ET   METFOROL,        475 

verat.     Statnere  licebit  appulfum  vm* 
brae  ad  Grimaldum   17*  14/  30". 

Nunc  \mbra  melius  terminari    in> 
cipiebat. 

—  15/23^.       Grimaldus  videbatur  totus  in  vmbra ; 

fed  incertns  adhuc  eram. 
""    J5«  53»         Gnmaldus    certe    totus    ab   vmbra 
tectus ;    quod    momentum   pro  totali 
immerfione  Grimaldi  retinere  licet. 

Luna  per  nubes  tenues  halone  cin- 
(fta  apparuit. 

—  20.  54.  Vmbra  tangit  Ariftarchum. 

—  21.  33.         Ariftarchus  totus  in  vmbra. 

Paulo    poft  coelum  faciem  nancifcc* 
batur  ferenam. 

—  31.     8.         Vmbra  tangit  Copernicum. 

—  32.    7.     .     -     -     per  medium  Copernici. 

-~    33.     o~.     -    -     •     totum   Copernicum  inuoluit. 

Has  circa  Copernicum   obferuationes 

omnium  certiflimas  habeo.      Luna  erat 

admodum  clara  ,  et  terminus  inter  vm- 

bram  et  penumbram  bene  diftin&us. 

—  37.     O.         Nubes  dcnuo  coelum  peruagnbantur, 

et  elapfo  minuto  omnis  confpedus  Lu- 
nae  erat  impeditus. 

—  47.    o.         Luna  quidem  per  nubes  denuo  trans- 

lucere  incipiebat  ,  afi:  maculas  lunares 
fufficienter  diftinguere  non  licuit ,  vt 
appulfus  vmbrae  ad  iftas  aliqua  certi- 
tudine  notari  potuiffent.  Sic  quoque 
Ooo  2  i&fe. 


41&       O  B  S  E  R  V  A  T  I  0  N  E  5' 

i&6..  *}f'»  o^0  coniectura  tantum  appulfum  vmbrae  adl 
Mare  Crifium  ,  quo  fcilicet  ifta  hoe 
tangere  incepit,  animaduertere  licuit.. 
Tandem  et  denfiores^  nubes  et  aedificia; 
interpofita  obferuationum  continuationemi 
impediebantb. 

Cum  die  scu  lanuar.  poft  meridiem  obferuatibnes* 
aitittidinum  Solis  pro  corre&ione  horologii  profequerer, 
Infignis  effcdtus-  refracrnoni&  per  nubes  fefe;  obtulit.    Sci- 
Ilcet  inuerreram  ope  Quadrantis ,  cuius,  mentio;  facta  eit: 
TL  I.  Comment;  non.  p.  4.64*- 

tempore  horologiii  altitudinem  limbi  fuperioris» 

©killatoriii  Solis(pro  apparentia  Tubi, 

inferioris)  absque  vlla  cor- 
rectione: 

&49r.$9".}  *7 \,7     *    "     I2 


t/  r     m-     -     --     —     I2°  «0/  J 


-  5<*.     3. 

cfc  tempore  intermedio  Qiiadrantem  quoque  difpofuerarro 
ad  altitudinenr  ia^.o'.  vt  momentum  appulfus  limbii 
Solis  (apparenter  in.  Tubor inferioris)  ad.  filum  horizon- 
tale.  annotarem„  Accedebat:  limbus  inferior  ad  filunv. 
horizontale  afcendendo^  lecundum  apparentiam  inTubo;; 
pauca  autem  fecunda  temporis-  ante ,  quam  contactus 
limbi  cum  filo  liorizontali  futuru*  effet ,  nubes  denfa 
difcum  Solis  intrabat  „  ita  quidem  ,  vt  pars  eius  appa* 
renter  fuperior  tota  e  confpe&u  eriperetur  ,  inferior 
autem  in  vicinia  fili  fufficienter  adhuc  cerni  pofifet. 
Portio  tunc  admodum  exigua  limbi  inferioris  infra  ft± 
liiim  horizontale.  adhuc  perfiltebat,  prona  ad  conta&um 

cumt 


ASTRONOM.  ET  METEOROL.  477- 

sum  filo  ;   aft  intra  20.  fecunda  temporis  nulla  fenfibi- 
Ms  eius   portionis    imminutio ,    nullus    fenfibilis    acceffus 
limbi  inferioris  ad  filum  ,.  obferuari  potuit ,    donec  tan- 
dem  contactus  limbi  cum  fiio  poft  pauca  (ecunda  con* 
fequeretur,    quem    ab.  $%{.  44''.    horologii    celebratum 
fuiflfe  aeftimaui ,  intra   3:.  vel  4;.  fecunda  temporis  cer- 
tus-,,   quia  nubes  nunc  limbum  quoqu&  inferiorem  (api 
parenter)  occuparet».     Hoc  phaenomermm  permanentiae- 
difci   folaris  in  eodem  loco  infigne  refracYionis  augmen- 
tum  per  nubem  vtique.  indieat  ,,  ct  retardatio     appulfus^ 
limbi  ad  filum  horizontale  fub  altitudine  12.^0'i  quaira 
fuperiores  obferuationes*  docent ,  idem  comprobat.     Sci«- 
licet  fi  variatio'  altitudinis  35.  minut.   vniformis-  ftatua* 
tur  per  intcruallum  temporis  6'  4"  j  limbus  Solis    al- 
titudinem  ir°.o^  attingere  debuiflet  ih.  53'.  27".,  quam- 
tamen  re  vera  demum  ih.  5  %' .  44— ,  ideoque   ifff':  fe- 
rius ,  confecutus^  eftv    Animaduertere  conuenit ,   altitudi- 
ni  u^.oC  ex:  diuifione^  Qiiadrantis-  ob  aberrationem 
lineae  fiduciae  refpondere  altitudinem  re  verarz  1  i*.40|'.  j; 
tliermometrum  autemt   mercuriale    intra^   conclaue  ,    in; 
quo  obferuatio  peracta  eft v  appenfum  ad  horologium  ,; 
proxime  indicaffe  160;  grad;  ex  diuifione  de  tlsle. 

Coronidis  loco  mentionem*  iniiciam;  obferuanonis ; 
Eclipfis  Lwiae  partialis  d.  17;  ApriL  ft;  nou :  175  3; 
Lipfiae  pera&ae  ,,  quamuis  non ,  nifi  vnicum  momen- 
tum,  Finenx  nempe  Eclipfis ,  hor»  8*  35|,  min,  temp.'. 
veri  aftron.  annotare  licuerit..  Circumftantiae-  quoque: 
omnero  rigorem  non  fpondent ;,  a  veritate  tamen  mo- 
mentum  notatum  non  multum  aberrare  credo.  Scilicet: 
Eclipfis  haec  accidit  in  vicinia  horizontis  ortiui ,,  quor-- 
CXoo  3;  furrn 


478        OBSERVATIONES 

fum  profpeftus  ex  meo  domicilio  non  patebat.  Ido- 
neum  itaque  locum  petens  horologiis  tantum  portatili- 
bus ,  tribus  quidem  ,  in  dimenfione  temporis  ,  vti  li- 
cuit ,  quorum  vnum  minuta  fecunda  monftrabat.  Ifto- 
rum  comparatio  fa&a  eft  tum  mutua  ,  tum  ad  horolo- 
gium  ofcillatorium  in  domicilio  meo  pofitum ,  cuius 
ftatus ,  ex  obferuatis  Solis  altitudinibus  innotuit.  .  Probe 
ifta  inter  fe  conueniebant  in  determinatione  momenti 
finis  Eclipfis ,  quem  folummodo  per  Tubum  Gregoria- 
num  fub  apparatu,  quo  obiefta  fecundum  diametrum  52. 
vicibus  ille  amplificat ,  obferuare  potui ;  pauca  enim 
minuta  prima  temporis  ante  finem  Edipfis  nubes  de- 
nnim,  tenues  adfpeclum  Lunae  fufTicientem  concedebant. 
Vmbra  terreftris  valde  dilnta  ,  et  confinium  vmbrae  et 
penumbrae  non  fatis  diftin&um  apparuit.  Momento 
8'ft.3  5£'.  fupra  notato  finem  iudicaui,  de  certitudine  fub 
eiusmodi  circumftantiis  fufficiente  perfuafus-  et  8*.  37^. 
de  finc  certc  iam  pera&o  conuiftus  eram. 


D«  21.  lunii  fl.  nou,  an.  1757  ,  quinto  poft 
nouilunium  die ,  vefperi  circa  occafum  Solis  inftabat 
occultatio  ftellae  primae  magnitudinis ,  Cordis  nempe 
Leonis  a  Luna.  Attcntus  ad  iftam  ope  Tubi  aftrom 
6.  ped.  fupra  in  obf.  Eclipf.  3).  d  24.  Iannar  1758. 
defcripti ,  quo  integer  Lunae  difcus  oculo  fubiiceretur , 
immerfionem  ftellae  ad  marginem  Lunae  obfcurum 
obferuare  non  licuit ,  absque  dubio  nimia  luce  an- 
te    Solis    occafum    obftante  ;  aft  circiter  §.  horac  poft 

Solis 


ASTRONOM.   ET  METEOROL.       479 

Solis  occafum  emerfionem  ftellae  ad  limbum  Lunae  lu- 
cidum  probe  annotare  potui  8b.  57'.  55".  temp.  vero 
aftron.  quo  momento  ftellu  ,  figuram  difculi  refercns , 
limbo  Lunae  lucido  ita  adhaerebat ,  vt  fecundum  ap- 
parentiam  in  Tubo  (  inuerfam  nempe  )  margo  ftellae 
occidentalis  Hmbnm  Lunae  orientalem  tangeret.  Tem- 
pus  horologii  ofciilatorii  per  altitudines  Solis ,  ex  partc 
refpondentes ,  rite  correctum  eft. 

D.  10.  luhi  jl.  nou  an.  1757.  per  Tubum  Gre- 
gorianum  fub  apparatu ,  quo  ifte  obie&a  52.  -vicibus 
fecundum  diametrum  auget ,  obferuaui  emerjionem  Sa> 
tellitis  fecundi  ex  vmbra  louis  ,  ad  diftantiam  a  proxi* 
mo  louis  limbo  orientem  \erfus  (fitu  erecto)  ^f.diam, 
Iouis  proxime  ,  coelo  bene  fauente.  Contigic  autem 
tempore  vero  aftron. 

hmerfio  idi  prima  9*.  28'.  45/y. 

Emerfio  totalis  ieu 

Satelles  lumine  ple- 

no  fulgebat  —31.  20. 

Altitudines  Solis  correctionem  horologii  ofcillatorii  fub- 
miniftrarunt. 

De  apparitione  Veneris  interdiu  egi  in  Tom-  III. 
Nou.  Commentar.  pag.  437.  fequ.  ibique  pag.  441. 
reditum  huius  phaenomeni  circa  finem  Septembns  vel 
menfe  Octobri  an.  1756.  futurum  praedixi.  Euentus 
praedi&ionem  optime  confirmauit.  Diebus  ferenis, 
fpeciatim  d.  29.  Septembris ,  d.  3.  et  10.  Octobr. 
an.  1756  ,  Venerem  per  integram  horam  poft  Solis 
ortum  oculo  nudo  cernere  licuit  ,  et  ii ,  qui  oculorum 
acie  polkbant >  Venerem  per  duas  tresue  horas  poft  So- 

lis 


48o        OBSERVATIONES 

lis  ortum  ,  diebus  aliis   per    menfem    .Oilobr.  ifercnlfig, 
profccuti  funt. 

Obferuationes  meteorologicae. 

Caloris  aeftiui  maxime  extraordinarii ,  quem  non- 
«unquam  hic  loci  experimur ,  aliquoties  mentionem 
inieci  in  Tomis  Commentar.  praec.  JLxempla  fequen- 
tia  addere  licebit.  Thermometrum  mercuriale  ex  di- 
vifione  de  Tlslc  Tom»  J.  .Nou.  Commentar.  pag.  469- 
defcriptum  ,  quod  I.  vocabo,  in  loco  vmbroio  boream 
verfus  libero  aeri  expoiitum ,   rem   patefecit. 

An.  115$.  flyL  nou. 
Poft  meridiem      Therm.  I 


D.J3.Xulii  ifo.34'. 

—  :24. 

—  42. 

aoi.grad. 
*99h       Coelo  fereno,  fpi- 
99*.         rante  vento  lera 
5)95.         ex  auftro. 

4.     O. 

i3CO. 

An. 

D.  I4.1ulii3'°.  <o'.  -• 

^757.  fiyl  mu. 
Therm  2 
~  -  ioi|  coelum  ferenum 

5.  15.    - 
d.  15.  Iulii  3.    0.  - 

-  -  102.  ventus  ex  auftro 

—  102.  ventus  ex  occidente ,  00- 

cte  infequenti  tonitrua. 
d.  19.  lulii  3.    o.  -  -  -  103.  ventus  SSO.coelum  fere- 

num 
■d.ax.  Iulii  a.  45.  -  -  -     ^f.  ventus  SW.  coelum  fc« 

renum. 
Iam  ante  d.   1 4.  Iulii  per  plures  dies  coelo  fereno 
ingentem  experti  eramus  calorem  ?  isque  ,  licet  per  vi- 

ces 


ASTROKOM.   ET  METEOROL.        48  x 

ces  plueret,  continuauit  vsque  ad  d.  28.  Iulii ,  quo 
hor.  3  p.  m.  thermometrum  adhuc  indicabat  106.  grad. 
Tam  diuturni  aeftus  ,  quem  nulla  fere  tonirrua  hic  loci 
couoitabantur ,  recordatio  non  extat.  Fertilitas  erat  fm- 
gularis,  et  meflis  admodum  larga.  In  his  obferuationi- 
fous  thermometrum  mercuriale  a  Cel.  D  Zeibero  con- 
ftructum  fecundum  diuifionem  de  tlsk  fub  circumfhn- 
tiis  fupra  notatis  adhibui ,  quod  per  Z  fignabo. 
Anno  1758.  ftyl.  nou.  d.  10.  luniL 
Per  quatuor  abhinc  hebdomades  tempeftate  plerum- 
cjue  ferena  et  ficca  fruiti  fumus ,  fpirante  vento  ,  ma* 
iori  ex  parte  ,  vel  boreali  ,  vel  orientali  ,  nec  nifi 
d.  2§,  Maii  pluuia  nonnihil  copiola  decidit.  Cum  ve- 
ro  ante  aliquot  dies  ventus  ex  occidente  fpirare  incipe- 
ret  ,  calor  atmofphaerae  infignia  cepit  incrementa  ,  qui 
hodie.  pomeridianis  horis ,  coelo  fereno  ,  maxime  ex- 
traordinarius  et  fenfui  vix  tolerabilis  cfeprehenfus  eft. 
Thermometris  I.  et  Z.  in  loco  vmbrofo  fupra  notato 
repofitis  fequentia  annotaui. 

Therm.  Z                                            Therm.I 
nb.5  8'.        98I  -  

3.  2.         99^  1  nubes  exiguae  per  tem-         

8.         99   y  pus  exiguum  interdum  100^ 

-14.         99   [$  occultabant  Solem  100I 

-  23.         98I  -  100; 

-  30-  9*1  $>9i 

-  45.  98.  -  .       .         .         .  99x 

4.  2.        98!  -  99<. 

Thermometrum  Z  ob  bulbum    minorem    varia- 

tiones    caloris    facilius    recipit  ,     quam    Thermom.    I. 

Tom  IX.  Nou.Comm.  P  p  p  Hor. 


482        OBSERFATIONES 

Hor.  4T3.  nubes  fulgure  praegnantes  furgebant,  et  paulo 
poft  to.iitrua ,  attameu  e  longinquo  tantum  ,  audiebari- 
tur.  Die  n.  Iunii  p.  m.  coelo  fereno  Therm.  Z, 
oft  nJebu  102.  gnd.  hor.  3|;  et  d.  12.  Iunii  vefpe- 
ri  poft  hor.  7.  copiofa  et  vicina  fulgura  et  tonitrua 
fequebantur. 

Frigons  hic  loci  extraordinarii  fequentia  innotue« 
runt  excmpla,  tefte  thermometro  in  loco  vmbrofo  bo- 
ream  verfus  libero  aeri  expofito. 

Anno  1755-  fiyl-  n°** 
Temp.  ciuil,     ante  merid,       Therm.  I,     ventus  fignatu- 

raevuigaris  et 
tempeftas. 
d.  9.  Februar0.       9*.  oA        179!-  grad»  SO.  ferenum. 
Anno  1757-  flyl>  nou. 
Ineunte  ,  frigida  quoque  tempeftas  ingrediebatnr. 

d.    5   lanuar.       8d.  9'.      1695       ; 

180        N.  ferenum 

17^1       N.  ferenum 

1721      NO.  ferenum 

i7ij       O MO  plerumque  fer0. 

1673      S.  ferenum. 

58.  ftyl  nou. 
178.       N.  ferenum 
I75i. ' 

Barometricas  obferuationes  per  aliquot  annos  in 
dies  inftitui ,  ex  quibus  eas  tantum  adducam  ,  quae 
fingulis  annis  maximam  minimamue  Mercurii  altitudi- 
nem  prodiderunt.      Elegans  ad  hoc  negotium    adhibui. 

barO/°- 


7. 

8,  30. 

8. 

—      ■■.    mm 

8    30° 

0. 

-      -      — 

8    30- 

10. 



8.  30«.. 

11. 

—      —     — . 

8.  3°- 

Anno 

D  21. 

Ianuar. 

8.30- 

22 

.  -  -  - 

9.   0. 

ASTRONOM.  ET   METEOROL.        483 

barometrum  phofporefcens ,  a  docliflimo  artiflce  con. 
fiuctum  ,  recuruum  in  parte  inferiori  cum  bulbo  an- 
nexo ,  in  quo  fuperficies  Mercurii  ftagnat  ,  et  conftan* 
tem  terminum  a  quo  computandi  altitudines  barometri 
cas  fubminiftrat ,  qui  tunc  conftitutus  fiiit ,  dum  ad 
mediam  altitudmem  Mercurius  in  barometro  haereret. 
Diameter  Juminis  bulbi  in  regione  fuperflciei  Mercurii 
ftagnantis  eft  10,  et  tubi  barometrici  in  regione  fcalae 
variationis  a|.  lin.  Parif.  duodecim  ;  vnde  fe&ionum 
areae  funt  in  ratione  16:1.  Scala  variationis  addita 
eft  orichalcea  cum  indice  mobili ,  diuifionem  Nonii  re- 
ferente,  cuius  ope  obferuationes  altitudinum  Mercurii 
commode  peragi  poffunt ,  ipfas  tamen  akitudines ,  ad 
diuifionem  fcalae  iftius  quidem  confignatas ,  in  menfura 
Parifienfi  duodecimali  exprefti  ,  pede  12.  digitos ,  di- 
gito  12.  lineas  ,  linea  autem  24  fcrupulos  capientibus* 
quem  in  finem  ope  menfurae  Parifienfis  exa&am  di- 
rrenfionem  a  termino  a  quo  (upra  notato  vsque  ad  di- 
vifiones  fcalae  perfeci.  Barometrum  hoc  fufpenfum  eft 
inrra  conclane  pro  anni  tempeftate  calefactnm  ,  ne  va- 
riationes  caloris  et  frigoris  ,  quas  aer  externus  alias  fu- 
bit  ,  altitndines  barometricas  fenfibiliter  tnrbent  ;  adie* 
clum  tamen  eft  thermometrum  ex  diuifione  de  Vlsh , 
vt  variationes  aeris  interni  etiam  innotelcerent  Locus 
ipfe,  quem  bulbus  barometri  occupat,  eleuatus  eft  4^ped. 
menfurae  Parifienfis  fuper  pauimentum  plateae  Heinenfis 
in  vicinia  antliae  publicae  prope  aedificia  exftruetae  , 
quorum  profpe&us  eft  in  orientalem  coeli  plagam.  Sub 
his  circumftantiis  fequens  Tabula  fummam  obferuationum 
exponit. 

P  p  p  2  Temporis 


484.        OBSERVATIONES 


Temporis\     ciuilis 
annus        merfis 


1750.     Mouembi     9- 


aie.s 


ftjl.  nou, 
hora. 


1751. 


1752 


Decembr 
Mart. 

Nouembi 
Mart. 


6. 

5- 
1. 

10. 
11. 


>b 


p.  m. 


Barometri  alti  j  Tber  \Ventus 
tudv  in  menfuramome-  Ifignatu 

Farif 
dig.  Hn.  fcrup, 


26,  11.     13 


*753 


575+. 


»755- 


X756. 


J757- 


|Decembr  (25 

Ianuar. 

Mart. 

April. 

Decembr. 

Iaauar. 

Fcbruar. 

Noucmbr 

Ijnuar. 

Februar. 

[anuar. 

Febnur. 

Mart. 


.6.  |ic^6.  vcfp 
7.a  m. 
9.  a  m. 


lanuar. 


1758.    (Ianuar. 
iFebruar. 


25. 

8 
5* 

27- 
20. 
15. 
16. 
6. 
1 1. 
30 
l9 
23- 


8.a.m, 

7.a.  m 


S.a.m. 

ioi.  vefp. 

7.a  m. 
5,-  p.m. 


28. 
26". 

28. 
48. 

28. 

26. 

26. 

26. 

28. 

28. 

26. 

25. 


25.  io.  vefp. 


29 

<7- 


iol.a.  m. 

S^a.m. 


26. 

18. 

2<5. 
2(5. 

^<5. 

'-8. 
2<5. 


4- 
10. 

3- 
5- 
<5. 

8. 

S. 
10, 

5. 

4. 
11. 
11. 

4- 

4- 

1. 

4« 
10. 

6. 
IO 

9- 


5- 

9- 


2. 

2. 
19. 
21. 
i<5. 
19. 
19. 
21. 

1. 

17- 
1. 

15. 
6. 

6. 

-23. 
10. 

17 
16. 

17- 
1 1 . 

1 1 

9 
19 


trum. 

12<5i 

1261 
H8i 
121. 
I24.. 

1*5* 

I24. 

I30. 
125. 
I  29. 

*25s 
126. 
120". 
12(5. 

1235' 
124* 

*33- 

'3i. 
1231 

I  2&. 
124-. 


rae  vul 

garis 

S. 


Tempeflatis 
conditiones. 


ONO. 

SSO. 

W. 

NNW 
NO 

wsw 
wsw. 

NW. 
W. 
NNO 
NO. 

NL 
N. 
W. 

wsw 

WNW 

s. 

sw. 

w. 

SSO. 

s. 


nubes  inter* 

ruptae. 
ferenum 
pluuiofum 
nubilum 
ferenum 
ferenum 
nubilum 
nubilum 
nubes  fparf. 
nubilum 
nubes  fparf, 
nubilum 
nubilum 
nubilum 
lubilum 
aubes 
erenum 
nubilum 
(erenum 
procella 
pluuia  ec 

procella 
pluuia  et 

procella 


SW. 


Vbi  hora  nuila  notatur  ,  meridies  intelligi  debet. 


'pluuia 
Sic 


ASTRONOM.    ET    METEOROL.       4$* 

Sic  erit  altitudo  omnium   maxima  -  z$di&- 6:in- i6fcru& 
— _ —    —    niinima  -  26".     8.     19. 

variatio  -  1.  9.  21. 
altitudo  media  -  27.  7.  17J. 
Notandum  autem  eft ,  omnes  hactenus  recenfitas 
altitudines  numeratas  efle  a  termino  ad  bulbum  conftan* 
ti  fupra  memorato.  Quodfi  ergo  ex  ratione  arearum 
in  fectionibus  bulbi  et  tubi  (16:1.)  aJ  variationem 
iftius  termini  relationis  attendere,  et  inde  altitudines  cor- 
rigere  velis ,  inuenies  variationem  termini  a  maxima 
ad  minimam  altitudinem  proxime  =33.  fcrup.,  varia- 
tionem  barometricam  zr  idzg*  nZm*  6^cru^  akitudinem 
maximam  zz  28d/s-  7Zm'  %trup\  minimam  ==  <i6d-&J-2lJcr> 
manente  media  ~27d*  -jh  ih7'/cr'  Alias  conclufiones 
tranleo. 


Ppp  3  OBSER- 


4S$ 


*SfK>  (  o  )  *» 


OBSERVATIO 

ECLIPSEOS    SOLARIS 

QVAE    CONTIGIT    Anno    1758.    d.    y.    Dec. 


HABITA    PETROPOLI 


ab 
^.     N.     GRlSCHOfF» 


Altitudines    Solis    correfpondentes    ad    Horologium 
aftronomicum    examinandum    captae    per    Qiu- 
drantem  bipedalis  radii  d.  y.  Dec. 


Dec.      lAltit.marg. 
Ante  merid.      O  bor. 
T.  Hor.  Aftr.  | 
p*54.'  io/A  *e  »^  - 


IO, 


55.  50|- 

57.52  - 

59-  37  - 

1.  47*  ~ 

3.  50  - 


44' 

49    - 

551  - 
of  - 
6\  - 

Ii|  - 


^7.  Dec. 

Alt.  marg. 

Poft  meridiem 

O  bor. 

T.Horol.Aftr 

i*.55W- 

3°.4^-; 

53.  31  -j 

3-  5o  - 

51.  56  -  ; 

3.   55i- 

49    5^ 

4.      1    • 

47.  27   - 

4-     8 

45.  15^- 

4.   13 

akitudinib.  dedu&us 
T.  Horol.  Aftr. 
n6. 54/.52/y,o 

50,    9 

..--    50,   5 
-  ...    49,    4 

53,    5 

•    •    -    50,    8 


II*.  54'.  51". 

-  -  -   -     4, 


Per  medium  igitur 
Aequat.  merid.  fubtr 

Meridies  verus  d.  g.  Dec.  -   n*.  5 4'. 46 
y.  Dec.  vefp.  1  x*. 7'.  35"  Horol.  Aftr.  appulfus  Sirii  ad 


//1 

i 


d.  g.  Dec.  vefp.  11.  7.  is^  -  - 


fil.  vert.  tubi  biped. 
appulfus  Sirii  ad 
idem  fil.  vert. 
Erit 


OBSERVAT.  ECLIPS.  SOLARIS.  487 

Erit  igitur  reuolutio  fixarum  23*.  59'.  4.3'*  Horol.  aftr. 

<L  4§.  Dec.  T.  Horol.  aftr.   T.  verum 
9b.   +'.$2/J 


53 
mane 


9b.    1  '.  5  8 ,J  Ortus  appar.  marg. 

O  iuper. 

8.  4.5    Ortusappar  marg. 

O  infenoris 

39.  25  36".  457FinisEclipfeos  per 

39-  4°  37/»     °l  Telefcop.  Gregor. 

J  2.  pedum. 

Fnmus  fbcorum  atque  vapores  ob  ventum  ex  auftrali 
plaga  vehementiflimum  vndantes  impediuerunt  ,  quo 
minus  Eclipfeos  huius  obferuatio  accuratius  inftitueretur.. 
In  Sole  variae  obferuabantur  macularum  numero  atquc: 
magnitudine  infignium  ,  ieries» 


INSTRV- 


INSTRVMENTORVM    ASTRONO- 

MICOKVM,  RETICVLO,  AVT    MICROMETRO, 
LNS  f  RVCTORVM  ,  NOVA  EMENDA 1 10. 

Audore 

F.    V.    T.    JEPINO. 

I  lMeruationum  aftronomicarum  exaditudo ,  quan- 
V-^  tum  pendeat  a  commodo  corporis  obferuaroris 
fitu ,  difficulter  imaginari  poterunt  intxperti ,  omnes 
autem  ii  conqueruntur ,  qui  inftituendis  obferuationibus 
ipfi  fe  vnquam  applicuerunt.  In  imaginanda  itaquc 
inftrumentorum  aftronomicorum  conftrudione ,  vtram- 
que  facere  paginam  cenfendum  eft ,  vt  commoditati 
obferuatoris ,  quantum  fieri  poteft  ,  piofpiciatur,  neque 
afiumere  vnquam  ,  aut  feruare  diu  ,  moleftum  corpo- 
ris  fitum,  ipfe  cogatur. 

Laborant  eiusmodi  imperfedlione,  reticulo,aut  micro- 
metro  ,  inftruda  inftrumenta  aftronomica  fere  omnia  , 
quales  funt  Quadrantes ,  aut  flxi  aut  ponatiles ,  Sedo- 
res  aftronomici ,  immo  et  fimplices  tubi ,  micrometro 
praediti.  Etfi  enim  horum  inftrumentorum  ope  ,  ob- 
feruationes  absque  magno  incommodo  peragantur,  quam- 
diu  altitudo  obiecli  ,  ad  quod  diriguntur  ,  fupra  hori- 
zontem,  45°  non  tranfcendit,  tamen  fi  in  regionibus  coeli 
eleuatioribus  ,  atque  vertici  propioribus,  aliquid  obfeiuan- 
dum  occurrit,  opus  eft,  vt  \alde  reclinet  eaput,  lrr  n  o  ct 
prrpe  Zenith  ipft  m  ,  fnpinum  afTumat  corporis  tarn  , 
tubum  introfpiciens  obleruator ;  quod    quam    n.oleftum 

fit  , 


INSTRVM.  ASTRONOMIC.  EMENDAT.  489 

fit  ,  et  quod  maius  eft  ,  quantum  obferuationum  fide- 
litati  atque  acumini  noceat  ,  vno  ore  conqueruntur,  qui 
ipfi  eiusmodi  obferuationibus  inftituendis    vacant. 

Commodiilimus  fine  dubio  obferuatori ,  corporis 
capitisque  fitus  ,  is  eft ,  qui  prae  reliquis  homini  natu- 
ralis  atque  confuetus  eft  ,  erectus  nempe  ,  atque  talis , 
vt  tubum  fecundum  rectam  horizontalem  introfpiciat. 
Qui  itaque  adaptare  poffet  inftrumenta  aftronomica ,  vt 
obferuator  ,  qualescunque ,  et  in  quacunque  regione  coeli, 
inftituat  obferuationes ,  nunquam  alium  ,  nifi  modo  di- 
ctum  ,  affumere  cogatur  corporis  fitum  ,  hic  omnino 
non  contemnendam  inftrumentis  conciliaffe  perfcctio- 
nem  habendns  foret. 

Diu  eft  ,  ex  quo  tale  fe  medium  mihi  obtulit , 
quod  cum  ,  in  aduerlaria  mea  relatum  ,  ac  fere  obli- 
tum  ,  paucos  antc  dies  fortuito  fe  rurfum  oculis  meis 
obtulerit ,  fatis  dignum  mihi  vifum  eft ,  cuius  in  Aca- 
demia  mentio.nem  iniicerem.  Etfi  enim  facile  quiuis 
imaginari  iftud  potuerit  ,  a  nemine  tamen  hactenus  ia 
vfum  vocatum  ert,  quod  tamen  omnino  mereri  videtur. 

Ad  fequentia  ,  hoc  quicquid  eft  inuenti  mei  ,  re 
ipfa  maioris  forfan  momenti ,  quam  ad  primum  intui- 
tum  videri  poteft  ,  reducitur.  Canalis  orichalceus 
ABMP  ,  Fig.  1.  infertum  gerens  a  parte  anferiori  vi-Tak-  XI 
trum  obie&iuum  AB  ,  aliquot  pollices  breuior  fit ,  di-  ^S*  l( 
ftantia  fbcali  lentis  A  B.  A  parte  pofteriori ,  ad  M  P, 
afferruminetur  ipfi  ad  angulos  rectos  canalis  alter 
HIGM,  eius  longitudinis ,  vt  vtriusque  canalis  longi- 
tudo  fimul  fumta  ,  fummam  diftantiarum  focalium  len- 
tis  obie&iuae  A  B  ,  et  ocularis  C  D,  efficiat.  Vbi  iun- 
Tom.IX.Nou.Comm.  0,9  9  gun- 


4po     INSTRVM.    ASTRONOM. 

guntui  fibi  inuicem  cylindri  haclenus  defcripti  ,  infera- 
tur  tubo  fpeculum  planum  ,  elliptica  figura  praeditum 
MN,  quod  ita  ad  axin  canalis  ABMP  inclinatum 
fit ,  vt  radios  a  vitro  obieftiuo  venientes  ,  in  tubum 
HIGM  ,  verfus  vitrum  oculare  CD,  refkctat.  Cadac 
itaque  focus  lentis  obiectiuae  A  B  ,  fiue  fuperficies,  in  quam 
cadit  imago,  a  lente  AB  formata,  in  planum  LK,  atque 
ad  LK  inferatnr  tubo  ,  aut  reticulum  fimplex,  aut  leticulum 
confuetum  micrometri ;  et  euidens  erit  cuiuis,  qui  aflro- 
nomicam  praxin  callet  ,  obferuationes  omnet  aeque  fe- 
liciter  peragi  pofie  ,  tubo  eiusmodi  incuruo  ,  ac  fi  tu- 
bus  omnino  redus  adhiberetur.  Cum  vero  in  pleris- 
que  obferuationibus  ,  planum  Quadrantis ,  aut  Sedloris-, 
eum  perpetuo  habere  foleat  fitum  t  vt  verticale  fit , 
cylinder  HGIM  horizontalem  fitum  femper  feruabit, 
neque  adftans  inftrumento,  aut  adfidens,  obleruator,  vn- 
quam  incornmodum  affumere  corporis  fitum  eoactus 
erit, 

Aliqua  addere  placet  breui  huic  defcriptioni  „ 
non  quod  viros  Aftronomiae  peritos  pluribus  indigere 
putem  ,  quo  in  vfus  haec  fuos  conuertere  queant ,  kd 
ne  ii ,  qui  forfitan  in  aftronomica  praxi  minus  cxer- 
citati  funt ,  aliquid  inueniant ,  quod  iure  defiderari  pofle, 
videri  ipfis  queat.  Moneo  ea  propter,  ipeculum ,  non 
vitreum  ,  fed  metallicum  ,  adhibendum  efle  ,  cuiusmodi 
fpeculorum  conftructionem  in  poteftate  cfle  ,  fatis  con- 
ftat ,  ex  quo  fcliciflime  in  Anglia  conftructi  funt  tu- 
bi  refleetentes  Newtoniani ,  ad  quorum  quippe  conftru- 
ctiontm  fpeculum  planum  metallicum  requiritur.  Deinde 
indicaadum  mihi  eil ,  nouum  hoc  inftrumentorum    ad- 

diuu 


EMENnATIO.  492 

ditamentum  ,  nouae  verificationis  Aftronomo   imponere 
neceflitatem.     Speclat ,  de  qua  loquor  ,  venficatio  ,  ipe- 
culi  M  N  fitum  ,   qui  talis  efTe  debet ,    vt  phnum  pi- 
c"frirae,  a  lente  obie&iua  formatae  ,  cum  platv   reticuli 
coincidat.     Facile  autem  ,    fi  in   (peculi  fitu    peccatum 
fuerit ,  et  vitium  deprehenditur  ,  et  corrigitur     Si  nem- 
pe  erroneum  habeat  fpeculum  fitum  ,  atque  ita  adapre- 
tur  tubus  ,  vt  in  campi   centro  ,    nulla    detur    rllorum 
reticuli  parallaxis ,   obferuabitur  ,   pun&a  imaginis ,    aut 
fupra  ct  infra ,    aut  ad  dextram    et    finiftram    centri , 
fita  ,  fenfibiiem  habere  parallaxin ,  quod  indicio  haben- 
dum  eft  ,  correctione   indigere    fpeculi    fitum       Facilc 
vero  iudicatur ,   quamnam  in    partem    inchnanJum    fit 
fpeculum  ,  vt  fitus  ipfius  emendetur.  Seclo  nempe  tubo 
H  G I  M  ,  Fig    1 .  per  axem  ,     fit  in  Fig.  2    M  N  fc  Tab  XI. 
&io  per  fpeculum  ;  LK  ,    feclio  per   planum  reticuli ;  Fig.  2. 
RS  vero  ,  fectio  per  planum  imaginis.     Punctum  iam 
imaginis  Q_,    poft  planum  reticuli  ,  atque  punclum   P, 
ante  iftud  dtum  ,  vtrumque    lenfibilem    habebit    paral- 
laxin  ,  aft  ,  prouti    notiftimum  aftronomis ,  prius    pun* 
d:um  ,  dum  commouetur  oculus ,    oculi  motum    fequi , 
pofterius  in  contrarias  partes  tran?ferri   videbitur  ,    quod 
indicio  eft  ,  pro  corrigendo  fpecnli   fitu ,  verfus  N   iftud 
adducendum ,   verfus    M  vero    parumper    retrahendum 
elTe  ,  quod  ope  trium  ,    a  tergo  fpeculi    reperiundarum 
cochlearum  ,    quarum  ope  in  quamuis  partem    inclinari 
poteft ,  facile  efficitur. 

.    Reliquae  verificationes  inftrumenti ,    hic  defcripta 
iratione  conftrucli  ,  a  confuetis  nihil  dirTerunt. 

Q.qq  2  OBSER- 


49  a 


«*   )(   o 


OBSERVATIO 

ECLIPSEOS    LVNAE 

d.  18  Maii   ft.   v.    1760.   PETROPOLI 
HABITA 


KICETJ  ?0?0W,  ANDREA  KRASILNIKOJV  tt 
NICOLAO  KVKGANOIV. 


V^oelo  tranquillo  et  fereno  ,    tenuiiTimis  tamen    vapo- 
ribus  a  fluuio  Neua  furgentibus. 

Tempore 

penduli 


Penumbra  adefle  videtur  in  difco  10*.  55' 

Lunae 
Penumbra  certo  adeft  10.  58 

Initium  Eclipfeos  adefle  creditur  n.     7 
Eclipfis  certe  adeft  11.  16 

Maximaobfcuratiocelebrarivifaeft  11.  31 
Cornu  Eclipfeos  in  Tubo  fupe- 
rius  in  eodem  verticali  cum 
Tychone  exiftit   -   -   ---   11.  45 
FinisEclipfeosfadtuseffeiudicatur.  12.     2 
Finis  totalis  Eclipfeos  excefius- 
que  penumbrae  e  difco  Lu- 
nae  fadus  efle  vifus  eft,  et 
Luna  priftino  fplendori  fuo  re- 
(Ututa  putabatur     -     -    -     12.  12 


Tempore 
vero 


11 
11. 
11 

1 1 


11, 
12. 


o.  49 

9-  48 
1$.  47 

32.  451 


47.44 
4.  42J 


12.  14.  41; 

Quan- 


OBSERVAT.  ECLIPSEOS  LVNAE.      493 

Quantitas  Eclipfeos  ad  decimam  fextam  circiter 
partem  diametri  Lunae  extendi  aeftirruibatur,  feu  aliquan- 
tum  maior,  quam  efl;  tertia  pars  diftantiae  Tychonis  a 
limbo  Lunae. 

In  vmbra  terreftri  limbus  Lunac  per  integram 
Eclipfin  femper  clanor,  quam  reliqua  eiusdem  pars  ob- 
fcurata  ,  eft  vifus 

Finis  Eclipfeos  bene  eft  obferuatus.  Initii  tamen 
et  maximae  obfcurationis  et  egreflus  penumbrae  e  difco 
Lunae  tempora  funt  dubia  intra  minutum  temporis  et 
amplius. 

*     *    * 

Anno  1760.  Iunii  2.  die   mane  ft.  v> 

Petropoli    in    obferuatorio  obler- 

vata  eft  Eclipfis  Solis 

a 

N.   VOVOJV  et  ANDREA  KRASILNIKOIP. 

Initium  Eciipfeos  accidit 

9b.  1 l.  ^J'  tempore  vero 
obferuatio  exa&a. 
Reliqua  nubes  interuenientes  impediuere. 
i\b.2.f     Eclipfis  non  amplius  iam 
apparuit. 


Qq  q  3  ECLIPSIS 


ECLIPSIS     SOLIS 

LIPSIAE  VISA  HORIS  MATVTINIS 
d.  13.   Iunii    ftyl.    nou.    temp.    ciuilis  an.    1760. 

a 
G.    H  E  I  N  S  I  O. 

Coelum  manc  nubibus  refertum  vix  fpem  Eclipfm 
obferuandi  relinquere  videbatur  ;  hiatus  tamen 
poitea  agebant  nubes ,  vt  Solem  verfus  initium  Ecli- 
phs  per  interualla  confpicere  liceret.  Hac  circumftan- 
tia  permotus  Tubum  minorem  praetuli  praeftantiori , 
qui  alias  pro  obferuando  initio  certius  adhiberi  folet , 
vt ,  retinendo  imaginem  Solis  in  largiori  repraefenta- 
tionis  campo  per  longius  temporis  fpatium  ,  momen- 
tum  initii  tutius  exfpedtare  poffem.  Vfus  itaque  fum 
Tubo  terreftri  longo  4.  pedes  Parifinos  cum  digito , 
qui  amplo  repraefentationis  campo  inftructus  obieda 
fecundum  diametrum  13.  vicibus  augebat.  Huius  ope 
cafu  felici  initium  Eclipfts  annotare  mihi  licuit  rr.ane 
hor.  7.  25'.  34".  tempons  veri ,  tam  exa&e  ,  vt 
ingreffus  Lunae  in  difcum  Solis  ad  infhns  quafi  in 
oculos  incurreret.  Paulo  poft  initium  fpiffae  nubes 
Solem  fubibant  ,  et  obferuationum  continuationem  per 
omne  reliquum  Eclipfis  tempus  impediebant ,  licet  Sol, 
per  pauca  tamen  momenta ,  nonnunquam  e  nubibus 
erumperet ,  et  phafin  oculo  nudo  per  nubcs  tenues 
oftenderct.       Correctio    temporis    in  duobus  horologiis 

ofcil- 


ECLITSIS    SOLIS.  495 

ofcilhtoriis  fac"ta  eft  ope  altitudinum  Solis  refponden* 
tium  diebus  ante  et  poft  diem  eclipticum  captarurru 
Hodie  circa  meridiem  altitudo  mercurii  in  barometro 
erat  2ydi^Slln'  menfurae  Parifienfis ,  et  thermometrum 
ex  diuifione  de  tlsle  oftendebat  120.  grad. ;  quod 
poftea  d  6.  Iulii  ft.  n.  hor.  3.  poft  meridiem  ,  libe- 
ro  aeri  in  loco  vmbrofo  verfus  orientem  expofitum  , 
calorem  infolitum  97^  grad.  eiusdem  diuifionis  patefe- 
cit.     Praecefferant  plures  dies  valde  cakdi. 


OBSER- 


49$  *£!  (  o  )  $jj&k 

OBSERVATIO 

ECLIPSEOS    LVNARIS, 

D.  iV  MAII  1761.  HABITA  IN  OBSERVATORIO 
IMPERIALI  TETROPOLITANO 

a 
F.  V.  T.  JEPIKO. 


D 


ie  TV  Maii  ,  An.  1761.  temporc   vero    Petropo- 
litano , 

Penumbrae  aduentum   fatis  diftincte   ob- 

feruare  poteram. 
Eclipfin  incipere  iudicabam. 
Vmbra  ad  marc  humorum. 
ad  Bullialdum. 
ad  Ariftarchurru 
ad  Tychonem. 
ad  Copernicum. 
ad  Heraclidem. 
ad  Manilium. 
ad  Menelaum, 
ad  Promontorium  acutum, 
ad  Promontorium  fomnii. 
ad  mare  Crifium. 
mare  Crifium  tedum. 
Immerfio  totalis. 
Initium  Emerfjonis. 
Ariftarchus  ia  limbo  vmbrae. 


10* 

*'• 

JO. 

22. 

8", 

JO. 

*7- 

45. 

10. 

3*. 

23. 

10. 

37: 

37. 

10. 

40. 

48. 

10. 

44. 

0. 

20. 

52. 

13. 

II. 

0. 

17. 

XI. 

4. 

3. 

II. 

9. 

28. 

II. 

14.. 

5*. 

II. 

20. 

15. 

II. 

24. 

15. 

II. 

30. 

0. 

I. 

5. 

20. 

X. 

13. 

19. 

OBSERFJT.  ECLIFSEOS  LFNARIS.    497 

ih.  19'.  n".  Vmbra  ad  mnre   hnmorum. 
1.  22.  37.     ad  montem  Helicon. 
1.  24.  47.     mare  huinorum  extra  vmbram. 
1.  27.  55.     Copernicus  totus  extra  vmbram. 


I. 

43- 

7. 

Manilius. 

I. 

46 

13. 

Menelaus. 

I . 

49 

38. 

Poffidonius. 

I. 

59- 

22. 

Vmbra    tranfit    per      apicem     Promont, 
acuti. 

2». 

1. 

59. 

mare    NecTiris  detcdhim. 

2. 

3. 

25. 

Vmbrae  margo  ad  mare  Crifium. 

2  . 

s. 

20. 

mare  Crifunn    totum  extra  vmbram. 

2. 

1 1. 

42. 

Finis  Eclipfeos. 

Vmbra  telluris  admodum  denfa  erat ,  ita  vt , 
poftquam  Lunae  diftum  intrauerat  ,  ab  ea  teftum 
fegmentum  penitus  euanefceret.  Cum  vero  ad  Hera- 
clidcm  circiter  progrcfla  eflet  vmbra  ,  obferuabam  ,  a 
fuperiori  fua  parte  ,  ipfam  rariortm  eife.  Parti  enim 
lunaris  difci  ab  vmbra  non  tecti ,  ABC ,  ab  hoc 
momento  ,  vsque  ad  immerfionem  totalem,  adnexa  vi- 
ckbarur  appendicula  ADE  ,  la&eo  colore  fplenden?,  qui^3^  ^» 
fpltndor  poft  immerfionem  toralem  adhuc  per  io7  fen-  &  3* 
fibilis  erat  ,  ac  falkre  potuiflet  rei  ignarum  ,  vt  crede- 
ret  ,  Lunam  nrndum  totam  obfcuratam  efie.  Pofl  ho- 
ram  11.  et  42'  aut  43'  penitus  euanefcebat  Luna , 
ita  \t  fere  vsque  ad  cmerfionis  initium  nullum  ipfius 
\eftigium  in  coelo  fupereflet. 

Momenta  immerfionis  et  emerfionis  macularum', 

minus  fecura  funt ,    quam  mcmenta    pnncipalm ,    initii 

Tom.  IX. Nou,  Comm.  R  r  r  et 


49  5      OBSERVAT.  ECLIPSEOS  LVNARIS. 

et  finis  Eclipfeos ,  atque  immerfjonis  totalis ,  et  mhn 
emerfionis  Lunae  ex  vmbra.  Luna  nempe  durante  hac 
obieruatione  parti/n  vaporibus  horizontem  cingentibus 
immerla  erat  ,  partim  forte  crepufculum  ,  quod  hifce 
menfibus  obferuationes  allronomicas  apud  nos  valde 
turbat  ,  tantum  Lunae  difco  conciliabat  pallorem  ,  vt 
quamprimum  macula  quaedam  penumbrae  inuoluta  eflet, 
cum  reliquo  Lunae  diico  quafi  confuderetur ,  ac  vix  ac 
ne  vix  quidcm  ab  ipfo  dittingui  poffet  ;  vnde  ipfe  ego 
vel  per  minutum  dimidium,  imnio  vlterius,  de  vrabiag 
ad  maculam  appultu  dubius   haefu 


AD 


AD     NOVA     ACTA 

PETROP.    ACADEMIAE    SCIENT.    TOM.   III. 
ADDITAMENTVM  EX  SINIS, 

P.     JKTONII     GAVBIL.    S.    t 

7  Maii  1735.  in  IlginskoiOftrog.  h.  14  44.^34-^Imm.  i^Sat.tt.r. 
Pekini      -      -      -     -     -     -      15.30.   15   differ.  45'.  \i" 

Septembr.  3.  inOlekminskoi Oftrog.  f*.  51'.  32"  Emerf.  imi  Sat.  % 

Pekini  ftylo  nouo  2 1 .  Sept.    9*.  36'.  12"  1™  Emerf.  imi  Satell.  % 

28.  Sept.  11.  32-  *6     ima  Emerf.  i^Satell.3 

Ab  obferuatione  21.   Sept.  ad  obfernationem  28.  Sept.  funt 
4.  reuolutiones  1=17  dies   ih.   $6;.  14" 

itaque  ad  obferuat.  in  Olekminskoi  adde  7  dies  ih.   $6'.  14." 
obf.  fuiflet  in  Olekminskoi Em.  ima 2 1  Sept.  n. ft.  9*.  48'. 46" 
fuit  obferuata  Pekini  -  -  9b.  36".  12. 
Ergo  Pekinum  occidentaliuus  Olekminskoi  arce       12.',  34"  temp* 
Anno  1738.  ft.  n.  Pekini  n.Sept.  16°.   o;.  $0"  Imm.  i,7W'Sat.^ 
in  vrbe  lakuzk     -    16.  54     odiff  53'.  10" 
Pekini         30.N0U,    9.  45.  25  Emerf.  i7"7  Satell. 
lakuzk    -    -  -  -  -    10.  37.  54  diff  si/2^^ 
Pekini  9.Dec.     6t    4.  40  Emerf.  imzSatelI. 

Iakuzk    -    - 6.  58.  52  diff.54  '12" 

Pekini  ep.Dec.     8.  56".  15  Imm.  377iSatell, 

Iakuzk    -----     p.  49.  43  diff.  5-3./28//' 

R  rr  2  1735. 


500  ADDIT  AM  ENTF  M. 

X738.Pekiaii£Nou.  -    Sh-  S^-S^'  Emerf.  imf  Satell. 

Iakuzk 6.  $2.     i    diff.  5*'.  3" 

Minima  differentia     52.     3 

Maxima  diffcr.     -     54.  1 2 
Media    differcntia      53-    7-    3°;//'  quibus  vrbs 
Iakuzk  e(t  Pekino  orientalior. 
Stylo  vet.  in  Kamtfchatka 
anno  1741.  ia  portu  SS.  Petri  et  Pauli. 

12.  Febr.  io6.  28'.  49^  Emerf.  imi  SateU,  2{ 
Pekini  -  -  -    -     7.  40.  45     diff.  2b.48/.4// 
30  Ian.  in  portu  illo  12.     5.  30     Imm.   tfn  Satell. 
Pekini  -  -  -    -     9.  i&.  30    differ.     2.6497/ 
media  differ.         a^s'. 32"  quibus     portus    eft 
Pekino  orientalior. 
inBolfcherezkoi  23-Mart.  io^.  55'.   2"  Emerf  idi  SatelL 

Pekini    -     -     8.  14.       differ.  2.^41/.  1" 
Tubus    adhibitus    in  obferuationibus  Pekinenfibus  efl;  14 
ped.    Parifin.   Obleruationes  funt  factie  in  Collegio  PP* 
Gallor.  S.  I.  Pekini 

Adiungoduasobferuationes  factis  in  flationcGallica  locidicti 
Chandernagor  in  India  onentali  a  Patre  Boudier  S.I. 
Lat.  bor.  Crundernagor  220.  51'*.  z6;/  obferuata. 
Anno  1741.  ft.  v.  in  portu  Kamtfchatkae  SS.  Petri  etPauli 
23.  Ian.  nfe.   77.  2  27/  Emerf.  3f" '  Sat. 
in  Chandernagor  —    6.  25.  40  diff  4*  +ifi+i" 

in  portu  SS.Petr.?         r  _  _       r     ,.  r     lf 

et    Pauli     S  25*         x3-  44*  2<S  Emerf.  2*  SatelL 

in  Chandernagor  —    9.     2.  42  diff.  +]*  ±i' .  4.+". 

Ex 


E  X    S  I  N  I  S.  5or 

Ex  akitudinibus  meridianis  Solis  obferuatis  ante 
ct  poft  follhtinm  hybernum  anni  1756  et  folltitium 
aeftiuum  amii  1757.  vidi  altitudinem  meridianam  ve- 
ram  Centn  O  foMfcrdafem  hyemalem  fuille  26*.  36'.  t$" 
akitudinem  folltltialem  aeltiuam  7i°- Zz'.  5Z".  31"'. 
initrum.  3  pcd  \  micrometro  inftructum.  Adhibita  eft 
refractio  notata  in  tabhlis  Halkyi ,  et  paraliaxis  notata 
in  Ephemeridibus  Parilienfibus.  Diameter  O  ailignata  i« 
illis  Ephemendibus  imminiua  eft  6/;.  hinc  itaque  obli- 
quitas  Eclipticae  2 £&£&.  *9'ti±$'/ty  vnde  concluditur 
akitudo  Poli  in  hac  noflra  EccIeGa  Pekincnfi  Gallici 
39°  55'.  ai/y. n//f. £q"",  Haec  altitudo  Poli  parum 
difFert  ab  ea,  quae  iam  concluia  fuerat  ex  altitudinibus 
fuperioribus  et  inferioribus  meridianis  ftellae  polaris  et 
ftelbe  antiquie  polaris  Sinicae.  Notaui  tertia ,  et  quar- 
ta  j  quia  attendi  ad  diuifiones  partium  micrometri. 

Anno  17 10.  PP  foc.  Iefu,  Regis  et  lartoux 
Galli  ,  et  Pater  Fredeli  Germanus  Aultriacus,  in  vrbe 
Aighoun  ad  rluuium  Amour  ,  4  O&obr.  obferuarunt  al- 
titudinem  meridianam  limbi  fuperioris  Solis  3 6°.  ic/  26/f 
quadrante  2  ped.  2  pollic.  Exhibebat  altitudines  ma- 
iores  quam  par  eflet  vno  minuto  primo.  PP.  conclu- 
fcrunt  loci  latit  bor.  50°  o'.  50/'. 

Ex  aliis  altitudinibus  merid.  limbi  fuperioris  O  in 
praedicts  loco  ,  et  aliis  vicinis,  PP.  eandem  ferme 
latitudmem  Aighoun  inuenere.  Latitudo  illa,  quae  videtur 
fat  certa  ,  diifert  a  latitudine  notata  in  nouo  Atlante 
Ruffico, 

R  r  r    3  Prae- 


$02        ADDITAMENTFM  EX  SINIS. 

Praedi&i  PP.  ex  locorum  diftantiis ,  ex  rhum- 
bis  f  obferuationibus  adhibitis  declinationis  acus  ,  faepe 
obferuatis  O  merid.  altitudinibus ,  in  itinere  Pekino  ad 
vrbem  Aighoun  ,  determinarunt  vrbem  Aighoun  Pekino 
orientaliorem  n°.  Certior  effet  illa  determinatio  (i 
erueretur  ex  aliqua  obferuatione  aftronomica,  vel  Eclipfeos 
Solis  et  Lunae,  vel  Satellitum  Iouiaiium*  Neicio  aa 
Geographi  Ruflj  determinarint  latitudinem  et  longitudU 
nem  Aighoun  vi  obleruationum  aliquot  aftronomicarum, 
feu  prope  Aighoun ,  feu  m  loco ,  cuius  diftantia  ab 
Aighoun  fit  cognita. 


MfcK* 


*¥£  (  °  )  SSS*  503 

MERCVRIVS    IN   SOLE 

OBSERVATVS     TEKINI     SINARVM 
ANNO   1755.   DIE  7.  NOVEMBRIS 

MANE 

a   P.   AVGVSTINO  HALLEKSTEIN  S.  L 

9&.  29'.  i5/7.^  primum  vifus   in   limbo    ortiuo 
Solis,,  Telefcopio  14.  pedum, 
30.  30.       Ihgreflus  totus 

1.  15. 

I.           9>  41»    7-  5   m  horario 

21 .  Olis  limbus  ortiuus   in  horario  ,  er 
tum   limbus  boreus  OHs  bore- 

14.  aliot  $w  23'.    9((.  16"'. 

IL          9.  *p.i4&  ? 

29.  O    ~     r    2'fc-  59-  aS* 

III.  9.  5<*-4tf.     5 

57-    4.     O      -     -     2S-  $9-       9- 


IV.       10 


V.       10 


18. 

.   2.30. 

$ 

50. 

O 

20, 

.      5.48. 

3 

6.    9. 

0 

21 


22.    2tf.       3. 

12.  i'$;      2. 

VI. 


5©4 


MERCVRIVS 


VI.  10*.  S'.5i".  3 

P-I5-  O      -       2  2X.    a^.30"'. 

24. 

VII.  10.115^.  $ 

12.20.  o 


22.      I.  XI 


24. 


VIII.  10,19.21.  $ 

48.  O      -       21.   43.  30. 

27. 

IX.  10.22.46".  £ 

23.14-  O     -     2i.3tf.  iS. 

28." 

X.  xo.  25.55.  ^ 

2<J  24.  o 

29. 

XI.  xo.  29. 10.  £ 

41.  O     -     21.  19.  1*7. 

XII.  10.35.30l.  $ 

33.    i,L.  O     -     21.    s.  xo. 

3i. 

XIII.  xo.  37  14.  $ 

47.  O     -     20.59.38, 

33. 


XIV. 


I  N    S  0  L  E.  5of 

XIV.  io*.$3'.47/'  3 

54.26.      o    •    *o'.i$//.±y". 

39- 

XV.  10.5722I.     ^ 

58.    3.      O     -     20.     5.  57. 

XVI.  n.   0.28.     $ 

i  10.     0     -     19.  58.    G. 

4.2. 

XVII.  11.    $.51.    ¥ 

6.35.     O     -     19.46-55. 

44. 

XVIII.  11.  9  21.    5 

10.  6.    O    -     ip.  41.    5. 

45- 

XIX.  11. 15. 11.     V 

58^.    O     *     19.  21.  26, 

•47^ 

XX.  11. 18. 44.     3 

19  33.     O     -     19*  13.  35* 

49- 

XXI.  11.22.  35,     $ 

23  25.     O     -     19.    5»  43. 

50. 
"Tom.lX.Nou.Comm.  Sss  XXIL 


\o6  MERCVRIVS 

XXII.    n*.*y.«p".  $ 


o.  12.      O     -    x^+S".**"'. 


53. 

XXIII.  11.32.26.  Vjr 

33-20.  O     -    i&.  42.    9, 

54- 

XXIV.  11.40.   3.  S 

59.  O     -    18.16.37. 

XXV.  n.43.  *.  s 

44-   3.  o 


57. 

XXVI.  11. 4*  40.  S 

47.39.  O     -    iS,    3.  32; 

59- 

XXVII.  11.49*43.  S 

50.44.  o    -    17-57.35. 


I.    I 


XXVIII.  11. 52.451.   B 

53.47.    O    -   18.   3.32. 


I.  I5. 

>      H©/       **// 


1 16. 5  8  '.  5  *   •  Olis  limb.  occ.7 

12.    o.     3.    5  >  inMeridiana 

12.    1.     7.    oiis  limb.  ort.  3 

XXIX. 


1  N     S  0  L  E.  S07 

XXIX.    m*xS'.$o".  g 

,20.     2.  O    -     itf'.  36".  ay^, 

I.    12. 

XXX.       12.    22.    II.  S 

23.  24.  O     -     rtf.  29.  54." 

I.  13. 

XXXI.  12.  24.  37.  $ 

25.  51.  O     -     16.  27.  17. 

I.  14. 

XXXII.  12.  31.     o\  $ 

32-  *7s  G     -     itf.    tf.  20. 


1.  17. 
XXXIII.  12.  34.  52.     2 

3#-     9.     O     -     itf.  10.  16. 


1.  18. 

XXXIV.  12.  44.    9.     2 

45-  30      O     -  et  limbus  auftralis  Olis 
auftralior  $i0  x6\ 5  8".43"\ 

I.     21.  J  T* 

XXXV.  12.  46.  48.     s 

48-    9.    G     -  17.    5.   15. 

1.  21. 

XXXVI.  12.  49.  29.    $ 

50.  51.     O     -  57. 10.  30. 

1.  22. 

Sss  a  XXXVII. 


j08  MERCVRIVS 

XXXVII.    i2*.$zr.+$".  5 


55.  13.     O     -    x7*.ao'  ao^ 


x.  24. 

XXXVIII.  12.  5<5.  30.  ? 

57.  55-  O     -     17. 27.  3*« 

1.  25. 

XXXIX.  1.     1.  3*.  S 

3.     3.  O     -    17.41.  55*. 

1.  27. 

XL.             1.     4-35-  $ 

6.     3.  O     -     17.  51»     5T- 


I.    2&. 

XLL  1.  23.  16.  % 

24   51.  O     ~     18. 34«  28. 

1.  35. 

XLIL  1.  27.  r5.  3- 

28    52.  O     -      18.48.   42.» 

x.  37. 

XLIII.  1.  30.  23.  ? 

32.     o.  O     4     18.  52.   38». 

i-  37'. 

XLIV,         x.  34   5  8.  S 

36.  37-  O    -    19.    5-  43. 

XLL 


I  N  S  0  L  E.                      $09 

XLV.  ifr.38'45".   $ 

40.  27.  O     -     19.  18.  49. 

1.  4». 

XLVI.         1.  48.  50.  t 

$0   35.  O     -     19.  4*-     ff. 

x.  45. 

XLVIL        1.  52.     1.  ? 

53.  46»  O     -     19.  50.   15. 

1.  45. 

XLVIII.     1.  5*.  *<r.  ? 

57.  44-  G*    -     19.  55.  47.. 

1.  48^ 

XLIX.         1.  $9.     4.  2 

ai    o.  53.  O    -     20.    5.  57,. 

1.  49. 

L.                z.     5".     7.  $ 

tf.  58.  O     -     20.  22.  20.. 


1.  5r. 

LI.  2.     <y.  5*2.    £' 

ix.  45.   O     -     20.  32.  481 

1.  53- 
LIL  2.  13.  30.    £ 

15.  25.   O     -     Sfeffv'  33- 

S£  55. 

Sss  3  LIIL 


5io 

M  E  R  C  P  R  l 

V  s 

LIIL 

2&.  20'      4X/.      £ 

22.        O.        O       ~ 

ao^.59^.38^.' 

LIV. 

i     $6. 

2.    23.    38.        $ 

25.    26         O        - 

21.  11.  25. 

I.    58. 

LV. 

2.    26.    45.       £ 

28.   45.        O       - 

21.  17.   58. 

LVL 

1.  $9. 

2.  30.      8.      $ 
32.     9.      O      - 

21.  25.  40.' 

2.     1. 

LVIL 

2.  33-    21.        $ 

35.    22.        0        - 

2.       I. 

■       21.  32.    fi2/' 

LVIIL 

2.  36-   3^'      3 

38.    39-        O       ' 

-       21.  3(J.    I8. 

2.      3 

2.  54   22.   2  coepit  egredi  ex  O 
$6.     6".     EgrefTus  totus 

1.  44. 

Noto :  Ingrefius  ^rii  in  Solem ,  et  EgrefTus  ex- 
codem  obferuati  funt  Telefcopio  14.  pedum  bono. 
Tranfitus  Olis  et  ^rii  per  meridianum   obferuati  inftru- 

mento 


I  K    S  0  L  E.  511 

mento,  qiiod  vocant,  Culminatorio,  pedum  trium.  Id  no« 
bis  ante  hos  annos  obuenit  dono  Ci.  Viri  Domirii 
Antonii  Rikiro  Sanchez ,  et  nos  illud  diligenter  ec 
accurate ,  firmiter  et  feliciter,  in  Meridiano  conftitui* 
rnus.  Reliquae  Phafes  obferuatae  funt  Telefeopio  8 .  pe  • 
dum  ,  cui  applicatum  Micrometrum  Anglicum  Graha- 
mianum,  tribus  filis  argenteis  inftructum  ,  vno  horario 
et  duobus  parallelis ,  altero  mobili  ,  fixo  akero  ,  cuius 
cum  horario  interfeclio  orthogona  eft  centrum  ,  circa 
quod  tota  machina  ope  cochleae  infinitae  vqlui ,  et  ad 
fitum  Aequatori  parallelum  conllitui  poteft. 

Tempora  Phafium  omnia  funt  vera ,  reducta 
fcilicet  ex  temporibus-  penduli  ,  quod  gerninum  habeo 
opere  Gallico  ,  vtrumque  optimae  notae.  Diffcrentiae 
declinationum  redu&ae  funt  ex-  reuolutionibus  Micro- 
metri  ,  pront  et  has  et  illa  inter  obferuandum  adno- 
taui  ,  fine  corredlione  vlla  errorum  quorundam  inter 
obferuandum  commivTorum.  Malui  numeros  obferuatio- 
num  ,  \t  fua  his  fides  conftet ,  candide  et  fideliter  re- 
ferre  ,  praefertim  cum  cuiuis  facile  fuerit,  eos  ex  calcuio 
vel  typo  emendare ,  fi  in  hoc  operationum  numero  opus^ 
aut  operae  pretium  putauerit. 

Cum  autem  totus  in  eo  eiTem  ,  vt  quam  pluri- 
ma  punda  viae  Mercurii  determinarem  ,  diametri  <So« 
lis  adeo  oblitus  fui ,  vt  ne  in  mentem  quidem  veniretf 
eius  Micrometro  metiendae  ,  vt  adeo  ifta  ex  Epheme- 
ridibus  vel  tabulis  Solaribus  petenda  fit.  Caeterum  quan- 
titatcs  reuolutionum  Micrometri,  alias  aliunde  determina- 
tae  fuerunt ,  tutius  etiam  muko,  quam  ex  diametro 
Solis. 

Forr^ 


$ia 


MERCVRIVS  IN  SOLK 


Porro  obferuatio  haec  fadta  eft  in  Collegio  m 
ftro  ,  quod  vocamus ,  auftrali ,  cuius  latitudo  recens  con 
ftituta  eft  390  54/.  o/x.  praecife,  et  difTerentia  a  Me 
ridiano  obferuatorii  Petropolitani  5*.  44/.  16' 
item  fatis  praecife ,  quae  fufius  videre  crit  11 
^bferuationum  Pekinenfium  ,  qui  lucem  expedat. 


,  puto 
in    libro 


ComAiienb.nov.^iccLd.  Sc  Smp.  Petrop.Tom.  JX.Tab.1 


@g 


@ig.  5. 

1                              ^f 

a                  ] 

S 

• 

Coratntnt.nov.Acad  Sc  3mp  Petrov.Tom.IKTdbJ: 


j.ha    2. 


(.I-U7  .  4. 


Lominent.XoiK  Ac  Sc.  Tefrop.  Tom.JX.Tab.R. 


&*■ 


-MJZL 


p  r 


o  p 


&• 


3. 


Cornmenl  2fov.  Ac  Sc.Pe£rop.Tom.m.TabJL 


&'■ 


'      09 


P  C  E 


*0i- s 


^irrK,^' 


"A.  FEG        C        Q  \ 


rZZftr^k«_^g^_ 

-r    n,'/    \^^       | 


(  'ommeni.  Nbv.  Ac.  Sc  .Telrop :Tom.TXJh6M 


$?.!.    (3) 


@J   "~       (10) 


Commmt.n>v^lcad.3mp  Sc   Tetmp  Tom. JL.Tah.fi 


Comment.  nov.Acad '•  Smp .  Sc  petrop.Torri .  m.  Ta6.  V. 


:  w. 


rwvAcad.ffmp    Sc.petrop.Tom  i\  Ta/> 


<r"'       J  & 


&■ 


J%\ 


V7 


<& 


^, ) 


Coimmrvt.  nov.  AcacL  Sc.  3mp.Bet?*op.  Tom.JXLTab.  W. 
T  H  ^ 


T 

0      0      )  G 


AU 


Q\        <c       C      (3 


fir 


(^ir. 


E 


3F 


3 


D                                     A      ] 

J 

-       ^' 

/r\ 

\^\\ 

\   \t 

:    (i 

V                      *\        \ 

I-                            \              ^* 

K 

K 


fcto.jr. 


Comnvnt.JSroir.AcSmp.  Sc.Pehop.Tom  .JX.Tab. 


m. 


-J 


m. 


3  p       x 


^        n    * 


C  ommwnL.Nov.Ac.&rup.  Sc.PeJrop.Tbm  .  TX  Tab.  1H. 


Conmunt.  nov.-Acad.  Smp .  Sc .  Pctrop.Tom.  JX.TabyW 


O 


B        •     Q,       R  C 


<?. 


&     * 


Comment.  rwv-dcad.  Jmp.  Sc.Fcbvp.Toni.JXJkb.YK 
04.2. 


Cbr?trH&it  tov,  AcacL  tfmp.  Sc  Pefcop  .Ton.  IK.  Ta6.  JX. 


$ 


X  . 


© 


tel 


;,'■  nmaU  lov.Acad.  Jmp  Sc  Vclrop  Tom  22 Tai  2X. 


mi  , 


® 


Comment.  nov.Jcac/.  ffmpsA  Tetrov .Tani.JX.Ta6.  X 


& 


(3&.ir. 


<sio  .  Jir 


&y 


(^tq   ir. 


k  ® 


Comment.  nov  AcaJ.  Jmp  ji  Tctrop  Tom  JX  Ta6  X 

CTi9   x. 


Commenb.  Ifou.Ac.Imj?,  $c.  TetropTomJXTabJjL. 


^ia  .1 


L  C=>  B 


N 


:m       p 


<g,:« 


4; 


u 


Corranenb.  ITov.Ac.Imv.  Sc.  Telrop.Tom  JXTabXT.. 


tfia  .1. 


ix  M       P 


,^.2. 


& 


iq  .  3. 


^