OEuvres completes de Niels Henrik Abel

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s

5'

OEV¥RES COfflPLETES

BE

ABEL

f

HATHEfflATICIEN,

AVEC DES NOTES ET D^VELOPPEMENTS,

REDI«EES PAR OBDBE DU llOI,

PAR

B. HOLIBOE,

profeggeur de math^matiqaes k TuniTersit^ de Christiania, membre de la soci^t^ phyaio-
^aphique k Christiania et de I'acad^mie rojale des sciences de guerre k Stockholm.

• • •

• . • •

tom£ premier

contenant les oeuvres de I'auteur qui out ^l^ puLliees auparavant

CHRISTIANIA.

Chbx Cbm. GudifBABL, Impbimbvb-Libbaibb.

1839.

^

0^

724132

0
■ •

AVERTISSEMENT.

xj'est a M liberalite generalement reconnue du gauvemement de Nervege et
a ractivUe quU met h la propagation des lumieres^ des sciences et des artSy
qiiest due la publication de cette edition des ouvrages de notre illustre
compatriote. La proposition que je fis de redder et de faire publier une
edition des oeuvres completes de notre auteur^ en recueillant ce qu'U avait
deja fait publier j et ce qui restait encore inedU parmi les papiers qu'il
avait laisseSy ay ant ete appuyee par le senat academiquCj le Roi donna
ordre pour que tous les frais resultant de la publication de cet ouvrage,
fussent payes sur les fonds du bureau de Vinstruction publique. Ce pre-
mier volume contient les ouvrages de Vauteur qui ont deja ete publics aupa-
ravant. lis se trouvent inseres dans les quatre premiers volumes du jour-
nal de M. CreUe (Journal fur die reine und angewandte Mathematik. Berlin
1826 — 1829)^ except e les memoir es XIII et XIV ^ qui ont ete consignes
dans les numeros 158 et £47 du journal d^astronomie de M. Schumacher
(Astronomische Nachrichten. Altona 1828). L'auteur les a originairement
ecrits en franfais^ mats les neuf premiers memoires ont ete traduits par M.
Crelle en allemand^ d'ok on les a de nouveau traduits en frangais. Quant
aux originaux des oeuvres publiees de notre auteur^ on rien a point trouve
dans ses papiers. Dans Va revision de ces memoires il m'a ete necessaire
de faire plusieurs adculs et developpements dont j'ai fait un extrait, que
fax ajoute la fin du volume. JTespere que ces developpements jetteront du
jour sur les endroits les phis difficUs de Vauteur, de sorte qnHs fa^iliteront
la lecture de Vouvrage^ et quits le rendront accessible a un grand nombre
de lecteurs qui^ sans ces developpements ^ le trouveraient trop abstrait. Le
temps et les soins que j^a dU mettre a la redaction de cet ouvrage^ je les
regarderai toujours comme le loisir le mieux employe de ma vie^ sHl peut
contribuer a repandre cet ouvrage^ la plus importante production de nos

JQUTS en son genre. Par ^immense etendue de ses problemes et par Vex-
treme rigueur de sa methode suivant Vexemple de VUlustre M. Cauchy^ Van-
teur a donne aux mathematiques un accraissement que sans ltd cette science
n'aurait peut-itre eu dan^ un Steele, et ffoyedes rmites avant hit inconnues,
qui daivent danner une nouvelle face au calcul infinitesimal et a V analyse
en general. Cest paurquoi les oeuvres de notre auteur appartierment au
premier rang de celles que mil mathematicien, pour pen quU desire se mettre
au fait de sa science, ne pourra se dispenser de lire. Le tome second,
qui contiendra les oeuvres inedites de tauteur, est sous la presse, et pa^
raitrd le plus tdt possible.

Christiania le 3/ de'cembre i838.

B. HOLMBOE.

NOTICES SUR LA VIE DE L'AUTEUR

(PAR L'KDITEUR.)

N1BL8 Hbitmik (Nicolas Henri) jissL, Norv^gien naquit le 5 aotif^) 1802 an presbyt^re
de Findoe, paroisse situ^e dans le diocese de Christiansand oh son p^re Soren Creorg Abel
^tait cur^ (ministre protestant). Son p^re ayant ^t^ nomm^ cur^ de Gjerrestad en 180S,
le jenne Nicolas Py snivit avec nn fr^re ain^, avec lequel il oommen^a dans la suite ses
premieres etudes sous les auspices de son p^re* En 1815 son p^re le fit entrer dans
r^cole cath^drale de Christiania oh^ pendant les premieres ann^es de son cours ^Umen-
taire, il ne s*attira aucune attention particuli^re, jusqu'i^ ce qu*en 1818, ^poque d*oik date
ma nomination de professeur de math^matiques i ladite ^cole, on accorda aux disciples
quelques heures eipr^s pour les exercer k r^soudre des probl&ities alg^riques ou g^omd-
triques. Ce fut alors que le talent i'Abel se d^veloppa d*une mani^re ^clatante. 11 fallut
bient6t lui rdserrer des probl^mes tout-expr^s. Depuis ce temps il se voua aux math^-
matiques avec ardeur, et y fit des progr^s ^normes, et sTec une rapidity qui n'appartient
qu*au g^nie. Ayant rapidement pass^ le cours d^mentaire, je lui donnai, sur sa d^mande,
des le90U8 en particulier sur le calcul infinitesimal. Apr^s Tavoir initio dans les elements
de cette science, je parcourus avec lui Tintroduction et les institutions dn calcul diff. et
int^. d'Euler, D^s-lors 11 commen9a k marcher seul. 11 ^tudia lesouvrages ieLacrois,
Francoeur, Poisson, Gauss et surtout ceux de Lagrange, et fit A^jk lui m^me quelques
essais. En juiUet 1821 ayant quitt^ T^cole cathddrale, il fut re9u k TuniTersitd de Chri-
stiania, aprfcs SToir subi Texamen dit d*artium. A Tdcole cath^drale il avait d6jk obtenn
un gratis, et son p^re ^tant mort, sans laisser k la Teuve les moyens d'entretenir son fils
k runiversit^, quelques-uns des professeurs, frapp^s des talents extraordinaires qu'il annon-
fait pour les math^matiques, se cotis^rent pour lui procurer les moyens d'une existence
ind^pendante et conforme k ses talents sup^rieurs. Aprfcs avoir joui de ce soutien pen-
dant 2 ans, le gouvernement, sur la proposition du s^nat acad^mique, lui accorda sur le
tr^sor 200 Sp. par any pour continuer ses etudes pendant 2 ans k Tuniversit^. Ces gra-

^) Dans le n^crologe de N. Abel par M. Crelle, ins^^ dans le 4"' volame de son Jonrnal, le 25 aoilt es
cit£ comme le jour de naissance de notre anteur. Cette fante, qne je prends id la liberty de corriger,
derive d'ane inadvertance de ma part dans les renseignements commoniqa^s k M. Crelle. Par one fante
d'impression le lien de sa naissance y est appe!6 Frindoe. Dans le Journal anglais ^he AthenseQni''y
Abel est appel^ SaMois (*'the celebrated young Swedish philosopher, AbeP).

VI

tlflcationi tant privtfei que publiques qu'oii lul dtfcr^ta pendant son a^jour fc PuniTersit^,
il lea employa consciencieuaement k se perfectionner dana aa acience. A cette ^poque
il ^criTit plusleara trait<Sa dont quelquea-nna aont ina^r^a dana le journal /'Jlfa^aam /or
Naturvidenakaheme*'. Le probl^me qni Toccupait alora plna particuliferementy fut de
tronver la r^aolution g^n^rale dea ^qnationa du 5"** de^^, probl^me qui depuia long tempa
a occnp^ preaqne tona lea math^maticiena d*un rang diatingn^. Abel ae flatta nne foia
d^avoir tronv^ cette r^aolution, maia malheurensement il y avait commia une erreur dont
il a*aper9nt lul mdme le premier* Cependant cela ne le rebuta point; au contraire il ae
propoaa de tronver cette rdaolution, ou d*en d^montrer rimpoaaibilitd. Pour cette der-
nifcre tlcbe elle lui rdnaait, et il en ^crivit la ddmonatratiou en fran9aia, langue dont il
ae aervit dana la aulte pour dcrire aea m^moirea ou trait^a, et qu'il fit ptiblier k Chri-
atianla en 1824 aona titre *'M^oire 9ur lea Equations algMriques od on d^antre Vhn-
poMsibilii^ de la resolution de I'^quation g^^rale du dnquihne degr4*\ Ainai ce fut Abel
qui le premier panrint k d^brouiller cette partie importante de la th^orie dea ^quationa
alg^riquea, d^couverte qui, comme Pa dit Legendre^ doit ^tre regard^e comme la plua
grande qui restait k faire dana Tanalyae.

En juillet 1825 il aollicita auprfca du gouyernement un b^ndfice de GOOSp. par an
pour continuer aea recherchea dana T^tranger, et notamment fc Paria, pendant deux ana.
On lui accorda auaait6t aa demande, et le m^me iti il partit pour Berlin, auivi de quel-
quea Jeunea litt<Srateura et aavanta Norvi^ens. Son premier plan avait ^t^ d*aller d'abord
k Paria, maia il Tabandonna dana la auite pour profiter de la compagnie de aea amia et
compatriotea. Dana la premilbre lettre qu*il m'adreasa de Berlin, il ae fdlicite d'avoir pria
la route de Berlin avant celle de Paria, ayant eu la aatiafaction de faire k Berlin la con-
naiaaance de Mr. CreUe^ dont il ne aait paa aaaei vanter Taccueil pr^yenant et la bienveil-
lance. II devint bient6t Tami intime de JIfr. CreUe, et la correapondance qui a*^tabllt
entre eux, dura juaqu*^ aa mort. Ce qui contribua d'abord k aa cd^ritd litt^raire, c*eat
le Journal de JMr. Crelle dont le premier cahier parut pendant le a^jour d'Abel k Berlin
au commencement de 1826, et dont Abel devint un dea collaborateura lea plua actifa, cba-
que cahier contenant un ou deux de aea trait^a, leaquela k leur tour ne contribu^rent paa
pen k ^tablir la n!putation bien m^ritde de ce journal.

Vera la fin de furrier il quitta Berlin et apr^a a*£tre arr^td par interrallea k Ldpaic,
Friberg, Dreade et Prague, il arriya vera la mi-arril k Yienne. II apporta de Mr. Crelle
dea lettrea de recommandation pour Mrs* Littrow et Burg^ Vera la fin du moia de mai
il quitta Vienne, trareraa une partie de litalie et de la Suiaae, et arriya au moia de juillet
k Paria> muni de lettrea de recommandation de Mrs. Littrow et Crelle pour Ifra. Bouvard
et Hadkette. II y fit en m^me tempa la connaiaaance de pluaieura math^maticiena^ parmi
leaquela ae trouyait Tilluatre Mr. Cauekg.

En janyier 1827 il quitta Paria pour ae rendre k Berlin^ toh il alia fc Copenhague, et
de tt il arriya k Chriatiania an moia de mai.

VII

II d^Ssirait alon obtenir nne chaire de maih^matiquet k runirenittf; maia comme
rnniTerait^ avait d^j^ deux professeurs en liiath^matiques et que le gOQvernement ne le
tronrait pas convenable d*en nommer an troisi^me, il resta sans place josqu'en 1828, Ion-
qa*on lui confera les fonctions de Mr, Hansteen pendant son absence dans nn voyage en
Sib^rie. En septembre 1827 on le nomma membre de la soci^t^ royale des sciences fc
Throndhjem.

Depuis son retonr en Norvdge il poursuiyit infatigableraent ses recherebes scientifi-
qnes, et peut-^tre que, surtout la derni^re annde de sa Tie, il y mit trop d*actiyit^ et
d'efforts, ^tant naturellement souffrant et d*une constitution faible et sensible. En ii-
cembre 1828 au fort de Thiver il entreprit un voyage pour les fonderies de fer de Fro-
land pr^s d'Arendal, oil se trouvait alors sa future Mad*^^^ Kemp ( k present ilf''"'' KeU-
hau). Vers la mi-janvier 1829 il y tomba malade, et malgrd les soins prodigu^s par sa
fiancee et par la famille de la maison (ilfr. & Smith €UM alors propridtaire desdites
fonderies de fer), il mourut d*une pbtisie le 6 avril alit^ depuis trois mois*).

Les travaux A' Mel qui commenc^rent k fixer Tattention 4e8 savants furent d'abord
son m^moire sur rimpossibilit^ de la resolution g^ndrale des Equations alg^briques qui
passent le quatri^me degrd mentionn^ plus liaut, et dont le m^maire No. IL de cette
Edition n*est qu*une nouvelle redaction avec des ddveloppements ulterieurs, et ensuite
aea recherebes sur les fonctions elliptiques. En mdme temps que notre Abel^ et sans
connattre les ouvrages de ce dernier, Mr. Jacobi de Koenigsberg conimen9a k traitor la
the'orie des fonctions dliptiques. Ainsi une rivalit<S s*^tablit entre ces deux g^nies sup^-
rieuTS dans leurs trait^s sur lesdites fonctions. Abel me dit que lors de son sdjour fc
Paris en 1826, il avait A€}k achevd la partie essentielle des principes qu*il avan9ait dans
la suite sur ces fonctions, et qu'il aurait bien voulu remettre la publication de ses d^con-
vertes jusqu^li ce qu*il en efit pu composer une thdorie complete, si en attendant Mr. Ja-
cobi ne s'dtait mis sur les rangs.

Mr. CreUe dans une lettre, adress^e k M. Abel en date du 18 mai 1828, s*exprime
comme suit:

*'Depuis qnelque temps on commence k apprdcier vos ouvrages de plus en plus.
Mr. Fuss m'^crit de St. Petersbourg. qu'il en a dtd ravi. Yoici ce que m*dcrit Mr.
Gauss de Goettingue que j'avais ^galement pri^ de m'envoyer quelque chose sur les
fonctions elliptiques dont il s'occupe, comme j*ai appris, plus de 30 ans. ""D'autrea
occupations m^empdchent pour le moment de r^diger ces recherebes. Mr. Abel m'a
pr^venu au moins d'tin tiers. II vient d'enfiler pr^cisement la mdme route dont je suls
sorti en 1798. Ainsi je ne m'dtonne nullement de ce que, pour la majeure partie, il
en soit venn aux n^mes r^sultats. Comme d'ailleurs dans sa deduction 11 a mis tant

^) Un jonrnal fran9ais dont Je ne me rappelle pas le titre, m'est vena sons les yeux, oik Ton a rapports
qn* Abel estmort dans la mis^re. On voit par les details ci-dessus que ce rapport n'est pas
conforme k la v^rit^.

vra

>

de sagacity de penetration et d^ei^gance, je me crois par cda mtme dispense de la
redaction de mea proprea redierchea.'"* Cet avia de Mr. Gaua» m'a fait un grand
plai8ir'\
Dana nne lettre dn 10 septembre 1828 Mr* Crelle communique fc ^bel la declaration
auivante de Legendrei

"Ce que yous me ditea du jeune Mr. jibel est absolument conforme k Tidee que
je m'etaia formee de sea grands talens en parcourant le cahier de votre journal oh.
est insere son charmant traite sur les fonctions elliptiques. Mr.PaisMon m*a fait par-
Tenir Tannee passee le cahier que yous lui aYiei euYoye pen de temps apres que
j*eus re9U . communication de la belle decouverte de Jlfr. Jaeohi par le journal de ilfr.
Schumacher et par une lettre de I'auteur. Cea productions de deux jeunes ssYans

qui m'etaient inconnus jusqu^alors, m^ont donne autant d*admiration que de satisfaction.

«

Je Yis par 1^ que sous differens rapporta ils araient chacun de son c6te perfectionne
cette theorie dont je m'occupais presque exclusivement depuis plusieurs anneea, et
que les mathematiciens de mon paya avaient regardee avec indifference,'*
Lea deux lettres suivantes de Legendre font encore Yoir la haute opinion que eel

illuatre mathematicien aYait adoptee de notre jibel,

Paris le 25 octobra 1828.
"Monsieur, j'ai recu et lu aYCC beaucoup de plaisir la lettre fort interessante que
YOUS m*aYez adressee en date du 3 de ce mois. Je yous feiioite bien cordialemeni
des grands succ^s que yous SYei obtenus dans yos trsYaux sur la theorie des fonc-
tions elliptiques. J'avais dej^ connaissance des beaux memoirea que yous syci pub-
lies dans les journaux de M.M. Crelle et Schumacher; les nouYcaux details que yous
Youlez bien me donner sur la suite de yos recherches, augmentent encore, 8*il eat
possible, les titres que yous aYez acquis k restime des ssYans et surtont fc la
mienne. En rendant justice, comme je le dois, au q[ierite de yos decouYcrtes, je ne
puis me defendre du sentiment d*orgueil qui m'associe en quelque sorte fc yos tri-
omphes et k ceux de Yotre digne emule, Af. Jacobi^ puisque c*est en grande partie
par retude de mes ouYrages que yous avei eu occasion Tun et I'autre de deYclopper
lea grands talens que la nature yous a departis. Dans une de ses derniferes lettres,
ilf. Jacobi s'exprime en ces termes sur Yotre memoire imprime dana le n^ 138 du
journal de M. Schumacher i

"*'Ce n^ contient une deduction rigoureuse des theorfemes de transformation

dont le defaut s*etait fait sentir dans mes annonces sur le mdme objet EUe est

aU'dessus de mes ^loges, comme elle est au-deeaua de mee travaus"

Un pareil aYcu, exprime aYcc taut de candeur, est aussi honorable pour M. Jacobi

que pour yous. Vous serei sans doute digues Tun de Tautre par la noblease de yos

sentimens et par la justice que yous yous rendrez reciproquement.

Je Youdrais bien Monsieur, pouYoir yous offrir un exemplaire de mon traitd des
fonctions elliptiques en deux Yolumes in 4^ qui a paru en jauYier 1827 et qui con-

IX

tient un bon nombre de choses qui ne son! pu dtns les Exerc. d. Calc. int. Main
la difficult^ est de tous faire passer cet exemplaire avec sikret^. ' Je ne yous appren-
drai rien dans cet ouvrage; c'est an contraire sur Tons deux, Messieurs, qnejecompte
ponr renrichir de beauconp de d^conyertes pr^cieuses auxqnelles je ne serait jamais
parrenn par mes propres travaux ; car j'ai atteint nn Age oil le travail devient bien
difficile on m^nie impossible.

La fin de votre lettre me confond par la g^a^ralitd que yous avez sn donner k vos
recherches sur les fonctions elliptiques, et m^me sur des fonctions plus compliqudes.
U me tarde beaucoup de voir les m^tbodes qui yous ont conduit k de si beaux r^sul-
tats; je ne sais 6i je pOurrais les comprendre, mais ce qu*il y a de sikr, c*est que je
n'ai ancnne id^e des mojens que vous avez pu employer ponr vaiucre de pareilles
difficult^s. Quelle tdte que celle d*un jeune Norv^en!

Une partie de ce que vous dites sur les transformations m'est i4jk connue, et
se trouve ddveloppde dans mon premier supplement; mais dans le reste la sphere
de vos connaissances est beaucoup plus ^tendue que la mienne, et il me resterait
surtout k eclaircir ce qui concerne les transformations imaginaires, sur quoi j'attends
nn ouvrage de 200 pag. in 4^ que doit publier Af. Jacobi et dont Timpression est ddji
commencde. Peut-dtre n'dtes vous pas k portde maintenant de publier un semblable
ouvrage qui contienne Tensemble de vos ddcouvertes; il nous intdresserait beaucoup,
Monsieur. J'dsp^re que vous nous en dddomagerez par de nouvelles publications dans
les journaux de Mrs. Crelle et Schumacher^ en donnant la demonstration de vos
thdor^mes.

II y a un point tr^s intdressant k mes yeux oik vous ne semblez pas vous accor-
der enti^rement avec M, Jacobi. Dans le cas oik n est un nombre premier, M. Jacobi
dit que I'dquation modnlaire entre ce que vous appelez c^ et c est du degrd n+l, et
il donne pag. 193 du 3 Vol de M. Crelle, Texpression en sdrie des n+l racines dont
deux sent rdelles et les n — 1 autres imaginaires. Cela semble s*accorder avec les rd-
snltats connus pour les cas de n = 3 et n =: 5, oil Tdquation dont il s'agit est du
4P^ et du 6*^ degrd. Vous, Monsieur, Vous annoncez que le nombre des modules
est six fois plus grand. II y aurait done 36 modules c^ dans le cas de n =: 5, et ce-
pendant Tdquation modnlaire n^est que du 6"^ degrd. C'est une difficulty que je vous
soumets et sur laquelle je vous demandrais deux mots d'dclaircissemens, quand vous
aurez occasion de m*dcrire, ou que vous pourriez insurer dans le prochain mdmoire
que vous destinez au journal de M, Crelle,

Agrdez, Monsieur, Texpression de mes sentimens les plus distinguds".

Le Gendre.

Paris le 16 Janvier 1829.
"Monsieur, j*ai remis k la maison Schubart, que vous m*avei indiqnde^ un exem-
plaire de mon traits qu'elle s'est chargde de vous transmettre avec le premier suppld-

2

s.

1-i cf

J

XII

moires d4jk pr^par^ par Mr. Abel<^ qui coMeatit k leur pubUcatton, et ceiie des
onTrages de Mr. Steiner^ depuis z^l^ et irh% distingu^ coUaborateur ponr ies premiers
tomes qui out paru de ce journal. C'eist ainsi en- partie k Mr. Ahel qu*il doit sou
eustence. II en est rest^ jusqu'li sa fin un des coliaborateurs Ies plus assidus et Ies
plus fiddles. >

Les m^moires dont ii a enrichi ce journal, et quelques autres tr^s importans,
insdrds dans le journal d'astronomie de Mr. Schumacher^ ainsi que ceux qu*il a prd-
sentds k I'acad^mie rojale de Paris, prouvent que ce jeune gdom^tre ^tait doud d'un
talent vraiment sup^rieur, et que la perte, que les math^matiques yiennent d'dprou-
▼er par sa mort, est tr^s ^ande et d'autant plus deplorable qu'il commen9ait k peine
sa carri^re.

Tons les travaux de Mr. Abel portent Tempreinte d'une sagacitd et d'ane force
de t^te extraordinaire et souvent vraiment t^tonnante, m^me sans consid^rer la jeu-
nesse de Tauteur. 11 pt^n^trait, pour ainsi dire, souveut jusqu'au fond des choses,
avec une force qui semblait irresistible, les saisissait avec une dnergie si extraordinaire,
il les preuait de si haut et s'^levait teliement au dessus de leur t^tat actuel, que les
difficultds semblaient 8*^?^nouir devant la puissance Tictorieuse de son gdnie. Si Ton
se rappMe le m^moire • insdr^ dans le premier tome de ce journal sur rimpossibiiit^
de r^soudre algdbriquement les Equations de degr^s sup^rieurs au quatri^me, ses tra-
Taux sur les fonctions elliptiques, son mdmoire sur quelques propridt^s gdn^rales d'une
certaine sorte de fonctions transcendautes (tome III.) etc. tous outrages par lesquels
il a effectivement reculd les bornes de Tanaljse: on trouvera que noas n*en avonspas
trop dit. Aussi ies talens extraordinaires de Mr. Abel out ils ^t^ reconnus g^nc^rale-
ment dans les derniers temps, et certes, s'il eiit ^td contemparain de Newton^ celui-ci
aurait dit de lui ce qu'il disait de Cote$: *'s*il avait t^cu plus long-temps, nous aurions
pu apprendre encore beaucoup de lui.*' Les g^om^tres les plus distingu^s de notre
temps, pafmi lesquels ii suffit de nommer Mr. Legendre^ ce digne T^t<!rau, auteur de
la thdorie des fonctions elliptiques, ont apprdcid ^galement Mr. Abel, en s*honorant
par \k autant eux m^mes que leur jeune prot^g^.

II est remarquable que Mr. Abel et Mr. Jacobi de Konigaberg^ cet autre jeune
g^omMre d'un talent extraordinaire, ont toujours march^ ^galement et comme de front
dans leurs recherches sur les fonctions elliptiques, sans cependant se connaitre I'an
I'autre non plus que leurs travaux, etsans se rencontrer ni se toucher dans leur route.

M. Abelj de retour dans sa patrie, n'y trouva pas d'abord un emploi couTcnable:
ce ne fut que pen de temps avant sa mort qu'il jouit d'appointemens fixes. Mais aussit6t
que la reputation de son talent et de ses mdrites dans les math^matiques eurent perc^,
on Tit les hommes qui aiinent ies sciences et qui sont k m^me de les protdger, s'in-
t^resser k son sort. Le gouvernement prussien, attentif a tout ce qui peut faire
prospdrer connaissances utiles, et avancer les sciences, songeait k attirer Mr. Abel
k son sernce, dans le cas oh celui-ci I'aurait d^sird. En m^me temps plusieurs

XIII

membres de racaddmie royale dea scieiu^es de Parig a'adreaaireht an Rot de So^de,
pour Ten^jager k appeier k Stockholm, pr^a de I'acadcSmie, cet homme diatingu^. Le
gouTernement de Pmsse ex^cuta le premier le projet d'am^liorer le abrt de Mr. Abel.
J'avais 4i€ chargd de mMnatmire d*avance si Mr. Abel accepterait nne place k Berlin,
dans le cas oil elle lui serait offerte; et sur sa rdponse aflfirmative, Monseignenr le
ministre dn cnlte et de rinstruction publique k Berlin avait r^solu de lui euvoyer nne
invitation honorable. J'avais Tordre dVcrire an jenne g^om^tre prdalablement, que
cette invitation ^tait pr^te k partir. J*ex^cuta cet ordre k Thenre m^me. Mais mal-
henrenaement 11 ^tait d^jlk trop tard. La lettre arriva pen de jonrs apris sa mort.
Un travail infktigable, joint anx soncis que lui avait long-temps donnds I'incertitude
deson avenir, avaient mind sa santd ddlicate; il dtait tombd malade k lacampagne oil il
se trouvait aiors; son indisposition touma en nne pulmonic, qui ddgdndra en phtisie
etIuieoAta la vie. J'en recus la nouveile presque le m^mejour oik I'invitation faite k
Mr. Abel Tenait d'etre expddide. J*en fis mon rapport. Le digne ministre, qui pro-
tege et fait prospdrer les sciences dans notre pays avec un z^le et une ardeur au
dessus de tout dloge, exprima ses vifs regrets de cette perte prdmaturde, en m'dcri-
vant "qu*il avait en effectivement le dessein d'appeler Mr. Abel k Beriin, pour lui
ouvrir nne carri^re honorable pr^s de Tuniversitd, en lui accordant des appointemens
convenables et ses frais de voyage; qu'll regrettait d*autant plus de voir son dessein
dchoud, qu'il avait vivement ddsird Tadmission de Mr. Abel au service de Prusse, k
cause des grandes espdrances que ses rares talens avaient ddjik donndes."

Mais ce ne sont pas les grands talens seuls de Mr. Abel qui le rendaient si re-
spectable et qui feront toujours regretter sa perte. II dtait dgalement distingud par
la puretd et la noblesse de son caract^re, et par une rare modes tie qui le rendait
aussi aimablcy que son gdnie dtait extraordinaire. La jalousie du mdrite d'autrui lui
dtait tout k fait dtrang^re. II dtait bien dloignd de cette aviditd d*argent on de titres,
ou m^me de renommde, qui porte souvent k abuser de la science en en faisant un
moyen de parvenir. 11 apprdciait trop bien la valeur des vdritds sublimes qu'il cher-
chait, pour les mettre Ik un prix si bas. II trouvait la recompense de ses efforts dans
leur rdsultat m^me. 11 se rdjouissait presque dgalement d*une nouveile ddcouverte,
soit quelle ei^t ^i€ faite par lui ou par un autre. Les moyens de se faire valoir lui
dtaient inconnus: il ne faisait rien pour lui-m^me, mais tout pour sa science chdrie.
Tout ce qui k dtd fait pour lui, provient uniquement de ses amis, sans la moindre
cooperation de sa part. Peut-^tre une telle insouciance est-elle un peu d^plac^e dans
le monde. II a sacrifid sa vie pour la science, sans songer k sa propre conservation.
Mais personne ne dira qu'un tel sacrifice soit moins digne et moins gdn^reux que ce-
lui qu'on fait pour tout autre grand et noble objet, et auquel on n'h^site pas d'accor-
der les plus grands honnenrs. Gloire done k la m^moire de cet homme ^galement
distingue par les talens les plus extraordinaires et par la purete de son caract^re,
d'un de ces 6tres rares, que la nature produit k peine une fois dans un si^cle'*!
Berlin le 20 jain 1829. Crelle.

XIV

I

Abel tat enterr^ prts de T^lise 4e Froland. Pluaieiirs de set tniis et de ses admi-
rateurs Ini flrent driger un monument en fer de fonte. Apr^s ta mort la fiimille dn dd-
fuDt rdcnt nne lettre de I'lnatitnt de Franee qne Toiei:

"Institnt de France
Acaddmie Royale de acienees.

Paris le 94 juillet 1830.
Le secretaire perp^tuel de TAcad^mie.

A la famiile reprcSsentant Mr. Abel^ savant mathdmaticien de Christlanla.

Messieurs, je m'empresse de tous annoneer que Tacaddmie royale des sciences,
dans sa stance publique du 36 du courant, ddcemera solennellement son grand prix
de math^matiques. Ce prix de la Taleur de 8000 francs a ii/i partag^ entre feu Af.
Abel et M. Jaeobij professeur de math^matiques k Koenigsberg.

Je saisis avec empressement cette occasion de tous tdmoigner, Messieurs, ies
rifs regrets qne la perte de Totre illustre parent a fait ^prouTer k I'acad&nie.

J*ai rhonneur de tous prdvenir que tous pourrei faire reccToir la somme de
quinie cents francs an secretariat de I'lnstitut; elle sera remise k la personne munie
de Tos pouToirs, et autorisde suflFisamment k signer la quittance.

Agr^ez, Messieurs, I'assurance de ma consideration la plus distinguee.

Lesdits 1500 francs fbrent acceptes aTec reconnaissance de sa funiUe c*est*4-dire de
sa m^re, d'une soeur et de plusieurs frires.

Table des mati^res

contenues dans ce Tolnme.

I. Recherche det fonctioiis de deux quantity ?ariablea ind^iendantes z et y tellet qae i(x,y),

qui ont la propriM qne f[iyf(Zyy)] est nne fonction sym^triqae de a, x, et y . . • • Pag* 1.
n. Dtoonstradon de Pimpoaiibilit^ de la relation alg^briqae des ^nations gto^rales qui

passent le qaatiitoe degr6 • — 6.

S I. Sur la forme gto^rale des fonctions alg^briqaes — 5.

S II. Propri^t^ dea foactions alg^briqaes qoi satisfoat k oae Equation donn^ .... — 10.
S HI. Sor le nombre des valeon diffirentes qa'uae fonction de plnsiean qnantlt^ pent

acqa^riry lonMfn'on y ^change entre elles les quantity qn'elle renferme — 19.

S IV. Demonstration de I'lropossibilite de la r^lntion g^n^rale de I'^oation dn dnqnitoe

degr^ — 21.

III. Remarque snr le m^moire No. 4 du premier cahier dn journal de Bfr. Crelle .... — 85.

IV. Resolution d'un problime mecanique — 27.

V. Demonstration d'une expression de laquelle la formule binome est un cas particuUer . . — 81.

VI. Snr rintegration de la formule differentielle -^77, R et p etant des fonctions entieres ... — 88.

VU. Recherche «,T\^UHel+^x+ J!^x« + °'('°-y°'-») ,, ^ _ ^

1 1 .2 1.8 .9

VIII. Snr qnelques integrates definiea • . — 98.

DC. Sur lea fonctions qui satisfont k requation 9X + (py = 4>(zfy + y^) — 103.

X. Note snr le memoire No. 4 du second tome dn journal de Mr. Crelle, ayant pour titre

"remarques sur les series infinies et leur conyergence" — m.

XI. Memoire sur une dasse particntiere d'equations r!^lubles algebriquement — 114.

XII. Recherches snr les fonctions elliptiqnes — 141.

S I. Proprietes fondamentales des fonctions epa, fa, Foi — 148.

S II. Formules qui donnent les valenrs de 9(noi}, f(noi), F(Da) exprimees en fonctions

rationnelles de 90, foe, Foi . — 154.

P P' P*

S in. Resolution des equations 9(nW = 7r^, f(np)=^, F(nP)=--l .... — 157.

i|* %*m %Xm

S IV. Resolution'algebrique des equations 9a sr-^r-^, fot = -— -^, Fas-—- ^ . . — 165.

Qtv^.! ^m^l Qt»4.i

S V. Snr requation P,,^ =0 —177.

S rV. Expressions diyerses des fonctions 9(0^), ((n^), F(dP) ^ 186.

S VII. Developpementi des fonctions 90, fa, Foi en series et en produiti infinis .... — 194.

S VIII. Expression algebrique de la fonction 9 ( — ) dans le cas ot e:^cs=l. Application k

la iemniscate — .221.

S IX. Usage des fonctions 9, f, F dans la transformation des fonctions elUptiques ... — 280.

S X. S«r Ptatigmtlon de Piqairtioo .*p«^ V [(l-y'XH. w»)]='' V [(.l-^'Tn+V^')} ~ ***•

Addition an memoire precedent — 249.

XIII. Solution d'un probieme general concern ant la transformation des fonctions elliptiquea . . — 253.

XIV. Addition an memoire precedent — 275.

I

XVI

XV. R«marqaes sur qaelqoes propri^t^ g^n^rales d'une certaine sorte de fonctionB tmucendantes Pag. 288.

XVI. Note sur qaelques formiiles elliptiqoes — 299.

XVn. Sur le nombre des trantformatioiis diff(&reiite8 qu'on peat faire rabir k ane fonction elliptiqae

par la substitatioii d'une fonction rationnelle'dont le degr^ est nn nombre premier donn^ — 309.
XVIII. Th^or^me g^n^ral sur la transformation des fonctions elliptiques de la seeonde et de ]a

troisi^me esp^ce — 317.

XIX. Th^orimes sur les fonctions elliptiques — 31f9.

XX. Demonstration d'une propriety g^n^rale d'une certaine classe de fonctions trancendantes . — 324.

XXI. Precis d'une th^orie des fonctions elliptiques. Introduction — 326.

Premiere partie. . Des fonctions elliptiques en g^n^ral.
Chapitre I. Propriety g^n^rales des fonctions elliptiques.

$ 1. Demonstration d'un theor^me fondamental — 335.

$ 2. Propriety fondamentale des fonctions elliptiques tir^e des formules pr^cedentes . — 338

S 3. Application au cas oh deux fonctions sont donn^es — 344.

S 4. Application an cas oii tontes les fonctions donn^es sont ^gales — 346.

Chapitre II. Sur la relation la plus generate qui existe entre un nombre qnelconqne de
fonctions elliptiques.

S 1. Sur la forme dont I'integrale d'une differentielle quelconque alg^brique est suscep-
tible, en supposant cette integrate exprimable par des fonctions alg^briques loga-

rithmiques et elliptiques ^- 350. i

S 2. Application du th^or^me du paragraphe precedent k la relation g^nerale qui ]

existe entre des fonctions alg^briquesy logarithmiques et elliptiques — 355. I

S 3. Reduction du problime general ' . . . — 357. 14^

Chapitre III. Relation la plus generale entre nn nombre quelconque de fonctions ellipti- ^*

ques de la mime variable et du m^me inodule — 361 ^

Chapitre IV. De r^quaUon (l-y«)(l-c'«y«) = r3(l-xa)(l-cax«).

S 1. Reduction du probieme k celui de satisfaire kl'equation ^^ ^ssse.-r; r- — 3^-

A(y,c) A(x, c)

S 2. Solution du probieme dans le cas y = — ^^^-^ —

■ ^ -^ flt' + P'x

S 3. Propriety generale de la fonction rationneUe y, qui satisf&it k one equation de

— 371

J
1

la forme -t-^=c.--5- — 372. .j

A'y Ax ^^

S 4. Recherche dea radnes de I'equation y^sif^x -r- 373.

S 5. Tronver toutes les valeurs de y qui pourront repondre aux valeun des racines,

lorsqn'on en connait une seule — 379. ^ *Jl

$ 6. Solution compute du probieine dans le cas |i=n — 380. *<

$ 7. Reduction du probieme general au cas oil le degre de la fonction rationneUe y

est un nombre premier — 390.

I

S 8. Sur la forme de la fonction y — 394.

S 9. De la fonction X|a+.i — 3^^-

S 10. De requation x^^^j =0 — 400.

S 11. Des transformations differentes qui repondent k un meme degre de la fonction y — 403.

$ 12. Resolution de requation y==\|>x — 404.

Chapitre V. Theorie generale de la transformation des fonctions elliptiques par rapport

au. module.

$ 1. Condition generale pour la transformation — 406.

Notes et d^veloppements de rediteur — 409.

I.

Recherche des fonctians de deux quantUes variables independentes x et y^
telles que f{Xy y) , qui ont la propriete que f(zj f{x, y)) est une fanctian

symetrique de z, x^ et y.

\j\ Ton designe p. ex. les fonctions x -{- y eX xy par f{x^ y\ on a pour la

premiere f{zj f{x, y)) = 2; + fi^j v) = -2; + ^ 4" y ^* P^^"^ ^^ seconde
f{z^ f{Xj y)) = z . f{x^ y) = zxy. La fooction f{x^ y) a done dans Tun et I'antre
cas la propriety remarqnable que f{z^ f{x, y)) est une fonction sym^trj
trois variables independeates z^ x et y. Je vais chercher daas ce memoir
forme generate des fonctions, qui jouissent de cette propriety.

L'equation fondamentale est celle-ci:

1. f{z, f{xy y)) = une fonction symetrique de x^ y ^i z.

Une fonctioQ symetrique reste la m^me lorsqu'on y echange entre elles
d'une maniere quelconque les quantites variables dont elle depend. On a done
les equations suivantes:

/*(i^ A^^ y)) — f{^^ 1\y^ ^))>

/*(^3 f{x, y)) = f(x, f\z, y)),

f{^^ /l^. y)) = /*(^> Ay^ ^)\
f{^» A^^ yi) = f{y^ A^^ ^))>
f{^^ A^^ y)) — f(y^ A^^ ^)) •

La premiere equation ne pent avoir lieu k moin qu'on n'ait

f{x, y) = fiy, x)
c'cst-k-dire f{x^ y) doit 6tre une tpnction symetrique de x et y. Par cette
raison les Equations (2.) se r^duisent aux deux suivantes: ,

5 { f{z^ A^> y)) == A^. Ay^ ^))

\f{z.A^^y))=f{y^A^^^))^

Soit poor abr^ger f\xj y) = r ; /(y, z)-^v; f{z, x)-=.s; on aara

\. f[z, r) = f{x, V) = /(y, *)

1

2

En diff(6reiitiant successivement par rapport a x, y, z, on aura

/>W.(*)=/.„).(^),
/.W.(*)=,.M.(^),

Si Ton multiplie ces equations membre par membre et divise les produits par
f{^)*f{^)'f{^)9 on obtiendra cette equation

K (dr\ (dv\ (ds\ (dr\ ( dv\ fds\

^' \luJ ' \d^) • Vdi) — \d^) ' \di) • \di)

ou bien

(dr\ \dyJ (dr\ \dsJ

O^n fait z invariable, C-j^j : (-j--) se reduira a une fonction de y seule.
>oit q>(y) cette fonction, on aura done en m^nie temps C--^) : (-7-) == 9(^)9
car s est la m^me fonction de z et or que v Ae z et y.
Done

On en tirera, en integrant, la valeur gen^rale de 7*^

1/; ^tant une fonction arbitraire. En ecrivant potir abreger (fx pour fq>xdx et
q>y pour fqyydy^ on aura

7. r = v;(()pj; + (jf)y), ou f{x,y)=^r\) {^x + tfy).

Voila done la forme, que doit avoir la fonction cherchee. Mais elle ne pent

pas dans toute sa generalite satisfaire k 1' equation (4.). En effet 1' Equation

(S.), qui donne la forme de la fonction f{x^ y\ est beaucoup plus g^nerale que

r equation (4.)^ k laquelle elle doit satisfaijre. II s'agit done des restrictions

auxquelles 1' equation g^n^rale est assujettie.

On a f{Zj r)=z\p {tpz -j- ^>t) •

Or r = yp{ifx -f- ^>y)j done f{z^ r)=i\p (^cpz -j- W (qp^ + vy)) •

Cette expression doit £tre symetrique par rapport k Xj y et z. Done ipz -f-

(p\p(q>x + (py) = yar 4" 9^P (vy + 9^)* Soft (pz = 0 et (py = 0, on aura

3

(pxj) ((px) z= tpx -{- (p^ (0) = q)X -\- c ^
done en faisant q,x=pf

(pxp{p)=p^c.
En designant done par ^^ la fonction inverse de eelle exprimee par 9 de sorte que

Wi (*) = a? ,
on tronvera

W (P) = (f>i{P+ f:)'

I

La forme generale de la fonction chercbee f{x^y) sera done

et cette fonction a en effet la propriete demandee.
On tire de la

ou en mettant i^-^r — c a la place de (fx et par consequent t/^y — c a la place
de <py et V^{f{^jy)) — c k la place de (p{f(Xjy))j

V f{^^ y) = v^i^) + V'(y) •

Cela donne le theoreme suivant:

Lorsqu' une fonction f{Xj y) de deux quantit^s variables independentes x
et y a la propriete que f{Zy f{x^ y)) est une fonction symetrique de x^ y et z^
il y aura toujours une. fonction t/; pour laquelle on a

La fonction f{Xj y) etant donnee on trouvera aisement la fonction v^or. En effet
on aura en differantiant 1' equation ci-dessus suivant x et suivant y^ et faisant
pour abreger f{x^ y)=zr:

done en eliminant tp'{r)j

\dy

(£-)*'W = (^)^'*

d' oil

Multipliant done par dx et integrant, on aara

*

\f)X

Soit par exemple

rz=Lf{x,y)'=:xy^
il se trouvera done nne fonction i/;, pour laquelle

Or r = xy^ done -7— = y, -^ = ar^

^ as ^ ay

done ipx^Yy/— dx^rzyxp'y log (car),

on puisqne la quantite y est suppos^e eonstante,

^px = a log (ex) .
Gela donne %fy:=ia log (cy), 1^ (ary) = a log (cary) ;
on doit done avoir : a log {cxy) = a log {ex) -f- ^ log (^) ;
ce qui a effeetivement lieu poor c = 1.

Par nn proe^de semblable an preeedent on pent aussi trourcr des fonetions
de denx quantit^s valuables, qui satisfont a des Equations donn^es a trois varia-
bles. Savoir on peat par des differentiations suecessives par rapport aux dif^
ferentes qnaniit^s variables trouver des equations, desquelles on pent eliminer
autant de fonctions inconnues qu'on voudra, jusqu' k ce qu'on est parvenu a une
equation qui ne contient qu'une seule fonction inconnue. Cette Equation sera
nne Equation diff^rentielle partielle k deux variables ind^pendentes. L' expres-
sion, que donne cette equation, contiendra done un certain nombre de fonctions
arbitraires d'une seule quantite variable. Lorsque les fonctions inconnues
trouv6es de cette mani^re seront substituees dans 1' Equation donnee, on trou-
vera une Equation entre plusieurs fonctions d'une seule quantite variable. Pour
trouver ces fonctions on doit differentier de nouveau et on parviendra par la a
des Equations diff^rentielles ordinaires, desquelles on trouvera les fonctions^
qui ne sont plus arbitraires. De cette mani^re on trouvera la forme de toutes
les fonctions inconnues, k moins qu'il ne soit impossible de satisfaire a F equa-
tion donnee.

n.

DSmanstration de t impassUnlite de la resolution algebrique des equations

generales qm passent le quatrieme degre

\9n peut, comme on sait, resoadre les equations generales jnsqu^an qoatri^me
degr^, mais les equations d'un degre plus eleve seulement dans des cas parti-
euliers, et, si je ne me trompe, on n'a pas encore r^pondu d'une mani^re
satisfaisante k la question:

'"Est-il possible de resoudre en general les equations algebriques, qm

"passent le quatrieme degre?**
Ce m^moire a pour but de repondre k cette question.

Resoudre alg^briquement une equation ne vent dire autre ebose, que d'ex-
primer ses raciaes par des fonctions algebriques des coefficiens. D'abord il
faut done consid^rer la forme generale des fonctions algebriques, et cbercher
ensuite, s'il est possible de satisfaire a I' equation donn^e en mettant T expres-
sion d'une fonction algebrique au lieu de I'inconnu.

§. I.

Sur la forme g^n^rale des fonctions algibriques.

Soient afyOf^af' . .. un nombre fini de quantit^s quelconques. On dit que
V est une fonction algebrique de ces quantit^s, s'il est possible d'^xprimer v
en or^, :r% :r^ . . . k I'aide des operations suivantes. 1. par 1' addition; 2. par
la multiplication soit des quantites dependentes de x^af^x^ . .. soit des quan-
tit^s, qui n' en dependent pas ; 3. par la division ; 4* par 1' extraction des raci-
nes avec des exposans premiers. Parmi ces operations nous n'avons pas compte
la soustraction, F elevation k des puissances entieres et 1' extraction des racines
avec des exposants composes, car elles sont evidemment comprises dans les
quatre operations mentionnees.

Lorsq^e la fonction v pent se former par les trois premieres des opera-
tions ci-dessus, elle est dite ratwnnelle; et si les deux premieres operations.

soDt seules necessaires , elle est dite mtionnelle et entih^e^ ou seulement
entibre

Soit f{x\ x^jX*^ . . .) une fonctioo quelconqae, qui peut s' exprimer par une
somme d'on nombre fini de termes dc la forme

Ax*^\ , x^^^t

oil A est one quantity independente de x\ x^ etc. et m,, m^ etc. signifient des
nombres entiers positifs; il est clair, qae T operation designee par f{x'jX^^x^..,)
est un cas particulier des deux premieres operations ci-dessus. On peut done
eonsid^rer les fonctions entieres suivant leur definition comme resultantes d'un
nombre limite de repetitions de cette operation. Done en designant par v\ t;% if
etc. plnsieurs fonctions des quantites x\ x^j x^ . . . . ^ de la m^me forme que
/^ar*, :r*, , . .), la fonction /(«;', ^, . . .) sera evidemment de la mSme forme que
f{x\ x" . . .). Or /\v', v" ...) est Y expression generale des fonctions resultantes
par r operation f(x'y x*, . . .) deux fois repetee. On trouvera done toujours le
mSme r^sultat en repetant cette operation autant de fois qu'on voudra. 11

suit de 1^, que toute fonction entiere de plnsieurs quantites x*j x* peut

dtre exprimee par une somme de plnsieurs termes de la forme Ax'^^i . x^^^t

Considerons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque f{x'y x" . . .) et
(p{x\ X* .. .) sont deux, fonctions entieres, il est evident, que le quotient

^(j:', X* . . . .)

est un cas particulier du resultat des trois premieres operations, qui donnent
des fonctions rationnelles. On peut done considerer une fonction rationnelle
comme le resultat de la repetition de cette operation. Si Ton designe par

v*, 2f , v*^ etc. plnsieurs fonctions de la forme '^y' ^''"'^ , on voit aisement, que

la fonction ^^y' ^ ' * *^ pent 6tre r6duite a la m^me forme. II suit de la, que

9(1;', u^...) ^

toute fonction rationnelle de plnsieurs quantites x'^x^ peut toujours cHre

r^duite k la forme

(p (jf'j j?^ . . . .)

OU le num^rateur et le d^nominateur sont des fonctions entieres.

Nous aliens ensuite chercber la forme generale des fonctions alg^briques.

D^signons par f{x\ x^ . . .) une fonction rationnelle quelcompie, il est

clair que toute fonction algebrique peut etre composee a Taide de 1' operation

m

designee par f(x\ of . . .) combinee avec V operation Yr, oil m est un nombre
premier. Done, si p\ /i* . . . sont des fonctions rationnelles de x\af ...

n'

sera la forme generate des fonctions algebriques de x\Jc^... dans lesquelles

m

r operation exprimee par j/^r affecte seulement des fonctions rationnelles. Les
fonctions de la forme p^ seront dites fonctions algebriques du premier ordre.
En designant par p^j p^ plusieurs qnantites de la forme p^^ Y expression,

Pt==fl^'y ^ . . • Vp\ V>' . . • }^Pi\ VPi' • • .)
sera la forme generale des fonctions algebriques de x'j of ...^ dans lesquelles

m

r operation ]/r affecte seulement des fonctions rationnelles et des fonctions
algebriques du premier ordre. Les fonctions de la forme p^ seront dites fonc-
tions algebriques d?i detixieme ordre. De la m^me mani^re 1' expression

n' n" n/ n," iia' n^"

P, = /\^\ o:-. . . VP'. Vp" . . . V>i', V>A • . . Vp^'^Yp^" . . .)
dans laquelle p^'y p^ sont des fonctions du deuxi^me ordre, sera la forme

m

generale des fonctions algebriques de x\ x" . . . dans lesquelles I' operation y/^r
n' affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algebriques du premier
et du deuxi^me ordre.

En continuant de cettc maniere, on obtiendra des fonctions algebriques du
troisi^me, du quatri^me . . . du ^i^^"^^ ordre, et fl est clair, que 1' expression
des fonctions du ili^^""^ ordre sera 1' expression generale des fonctions algebriques.

Done en designant par /t F ordre d'une fonction algei^rique quelconque et
par V la fonction m^me, on aura

n' n"

t? = /|[r', r' ... Yp\ Vp" • • •)

oh p\ p" sont des fonctions de I'ordre /i — 1; r'^r"... des fonctions de Tordre

fi — 1 ou des ordres moins Aleves, et n', n" ... des nombres premiers, f signi-

fie toujours une fonction rationnelle des quantit^s comprises entre les parentheses.

On pent evidemment supposer, qu'il est impossible d'exprimer une des

n' w

quantites ]//i', y^p*' . . . par une fonction rationnelle des autres et des quantit^s
r'y r* . . . ; car dans le cas contraire la fonction v aui*ait cette forme plus simple,

D' n"

8

n'

oil le nombre des quantit^s Yv^ Yp^ * • • serait diminu^ au moins d' one unit^.
En redolsant de Cette mahi^re 1' expression de v autant que possible, on parvi-
endrait ensuite ou i one expression irr^ductible, ou k one expression de la forme

mats cette fonction serait seulement du (^ — 1)** ordre, tandis que v doit
6tre du ^^^™® ordre, ce qui est une contradiction.

n' n"

Si dans X expression de /z? le nombre des quantit^s Yf^ Yp" • • • ^st ^gal
k m^ nous dirons, que la fonction v est du fi^^^^ ordre et du wt**"** degre. On
voit done, qu'une fonction de 1' ordre fi et du degr^ 0 est la mdme cbose qu'une
fonction de 1' ordre /i — 1, et qu'une fonction de 1' ordre 0 est la m^me cbose
qu'une fonction rationnelle.

II suit de la, qu'on pent poser

n

V = /(r', r* • . . Yp)
ou p e6t une fonction du {fi — I)"** ordre, mais r\7* . .. des fonctions du ^**
ordre et tout au plus du (m — 1)"^ degr^, et on pent toujours supposer qu'il

n

est impossible d'exprimer Yp P^ ^^^ fonction rationnelle de ces quantit^s.

Dans ce qui pr^c^de nous avons vu, qu'une fonction rationnelle de plusieurs
quantit^s pent toujours dtre r^'duite h la forme

V

ou s et ^ sont des fonctions entieres des m^mes quantit^s variables. On con-
clut de la, que v pent toujours £tre^ exprimee comme il suit,

n
_ 9(r% r" ... y/p)

T(r', r'...Vp)

n

ou 9 et T signifient des fonctions entieres des quantit^s r', r*' . . . et Yp- ^^
vertu de ce, que nous avons trouv^ plus baut, toute fonction euti^re de plusieurs
quantit^s ^^ r^ r" . . . pent s'exprimer par la forme

/o9 'i • ••'» ^tant des fonctions entiferes de r'^r^jT^... sans s. On pent done poser

IS m

n

V

1 2 m'

^0-^^lP^ +*'«?'* »m'/)»*

on *o> '!•••'» et Vqj Vi . . . Vmt sont des fonctions entieres de /•', /^, r^ etc.

I

•V,

Soient V^^ V^... V^r-x les n — ; 1 valeurs de Vy qu' on troave en mettanit

JL J^ JL JL 1

snccessivement op*, «V"^ «•/?*• • • a*"V* ^^ ^^^ ^^ P*^ ^ ^*^^* '"^^ racine
diffi^rente de F unite de F Equation a^ — 1=0; on trouvera en moltipliant la

fraction — en haut et en bas par V^. V^. V^... Fj^^

-j; — — . * * ^

Le prodoit F . F^ . . . F..^ pent, comme on sait, s' exprimer par nne fonction
enti6re de p et des quantit^s r', r* . . . , et le produit T.V^... V^r-x est, comme

n

on voit, une fonction enti^re de ]//» et de r\r^... En posant ce prodnit ^gal h

^0 + ?*jP* + ^tP* • • • ^*/^* >
on tronvera

JL ^ A.

«o + *i/""+ *«P" • • • V"

m

on en ^crivant 0^9 Qxy 9^« • • . au lieu de -^, -^, -i^ etc.

1- *- JL

on 9^, 9i • • • 9ik sont des fonctions rationnelles des quantit^s p^ r', r" etc.
Soit fi un nombre entier quelconque, on peut toujours poser

fi == an ~\^ a
a et a etant deux nombres entiers et a < n. II suit de 1&, que

p^=ip * :=ip* .p^ .

En mettant done cette expression au lieu Ae p"^ dans F expression de v^ on
obtiendra ,

7o9 9^19 9^s ^^^^^ encore des fonctions rationnelles de /?, r', r" . . . et par conse-
quent des fonctions du /i"* ordre et au plus du {m — 1)"^ degr^ et liees entre

elles de mani^re qu'il soit impossible d' exprimer p"^ rationnellement par ces
quantit^s.

Dans F expression de v ci-dessus, on peut toujours faire q^ = 1* Car si
q^ n'est pas nul, on obtiendra en faisant p^=:p . q^

10

p

Pi

L et p"

Pi

i_

9i

, done

V

9n~t

1i

expression de la m^me forme que la pr^c^dente, seulement qne q^=iU Si
q^ = Oj soit q une des quantites q^y 9a * ** 9n-i 9 V^^ ^'^^^ P^^ nulle, et soit

aui a

u 0, — ^ — •

q :p^=ip^. On conclnt de te, 9it^P^ =JPi* Done en prenant deux nom-

bres entiers a et /?» qui satisfont k \ equation aii^^fin = fi'^ fi' etant -on nom>
bre entier, on aura

a (Ji

p^ et j9 *

V^^V^ Pi

En vertu de cela et en remarquant que y„ jp* =/>i% ^ ^^^^ ^^ forme

De tout ce qui precede on conclut:
Si V est une fonction alg^brique de Tordre fi et du degre m^ on pent toujour^
poser:

2

f»-i

oil n est un nombre premier, ^o? 9a * * • 9^»-i ^^^^ ^^^ fonctions algebriqnes de
Tordre fi et du degr6 m — 1 au plus, p est une fonction algebriqne de Tordre

/i — 1, et />* ne pent s'exprimer rationnellement en y^, ^i • • • y^-i-

Propri^t^M dei fonctions alg^riqueM, qui satisfont & une Equation donntfs.
Soit

une Equation quelconque du degre r, ou c^ , c^ . . . sont des fonctions rationnel-
les de ap\ or? ... , x*j of ... etant des quantites independantes quelconques. Sup-
posons, qu'on pent satisfaire k cette Equation en mettant an lieu de y une fonc-
tion algebriqne de x\ of . .. Soit

1. «. "-^

• •!

11

cette fonction. En substituant cette expression de y dans I'equation proposee,

on obtiendra, en vertu de ce qui precede, one expression de la forme

1 «

^D + ^li^* + ^«P" • • • + ^-iiP * = 0 3.

^ ^09 ^19 ^%9*'9^»--i ^^^^ d^^ fonctions rationnelles des quantit^s /?, q^, g^^q^i*
Or je dis, qne I'eqnation (3) ne pent avoir lieu k moins gu'on n'ait separ^ment

^0 = 0, /•i = 0...r^i = 0.
En effet dans le cas contraire, on aurait en posant p^'=LZ^ les deux equations

:r* — /? = 0, et

qui auraient une on plusieurs mdnes communes. Soit k le nombre de ces
racines, on pent, comme on sait, trouyer une Equation, qui a pour racines les k
racines mentionnees, et dont les coefiiciens sont des fonctions rationnelles de
P^ r^, r^...r^i. Soit

s^ + *i^ + V* • • • + ^fc-i^~* -f. ^ = 0
cette equation, et

*o + M + *«^ • • • + *|t-i^**^' + ^'^

un facteur de son premier membre, oil t^^ t^ etc. sont des fonctions rationnelles
de p^ r^, r^ . • • r^^y on aura de meme

et il est elair, qu'on pent supposer, qu'il est impossible de trouver une equation
de la m^me forme d'un degre moins eleve. Cette equation a ses fi racines
communes avec T equation z^ — p=zO. Or toutes les racines de F equation
2:^ — ji = 0, sont de la forme az^ oii a est une racine quelconque de I'unite.
Done en remarquant, que ii ne pent pas ^tre moindre que % parce qu'il est
impossible d' exprimer z en fonction rationnelle des quantites p^ r^y r ^ . . . r^^ ,
il s'ensuit^ que deux equations de la forme

to + t^z + t^^^*' + t^iZ^^ + z^=^0 et

. t^ + at^z+ a%z^ ...-{- c^H^^z^^ + aH^=^^
doivent avoir lieu. De ces equations on tire en eliminant z^

t^{i — aV-) + t^{a — aV')z . . . + t^^{aVr-^— aV-)^! = Q.
Mais cette equation etant du degre /i — 1, et Tequation zv- + ^^i^ . . . = 0
etant irr^ductible et que par consequent t^ ne pent dtre 6gal a z^ro, on doit
avoir a^ — 1=0, ce qui ne pent pas avoir lien. On doit done avoir

12

Maintenant, ces Equations ayant lien^ il est dair qu'on satisfera k Teqaation pro-

pos^e en attribaant k />* tontes les valeurs op*, a^* . . . a^^p\ Oo voit ais6-
ment, qne toutes ces valeurs de y seront diff(§rentes entre elles; car dans le
cas contraire on aorait one equation de la mdme forme que (3), mais nne telle
equation conduit, comme on vient de voir, k des contradictions.

En d^signant done par y^, y%-*-yn. les n racines de I'^quation (1), on aura

y> = y© + «P" + "VsP" + *"'*y«-i/» "

i -5. ^zL

y« = ^o + «"""?»" + «""*9'ftP" . . . + aq^iP "

De ces n Agnations on tirera sans peine

9o=— (2/i + y»+ + y«)

1-1

p*——(2fi + «""Vi + «""'^t • • • + «y«)

9n~iP " =4" (yj + «y« + «V« + «""V-)

On Toit par I&, que tontes les quantit^s p*, q^, 9t • • • 9'^^ ^^^^ ^^^ func-
tions rationnelies des racines de f^qnation propos^e.
En effet on a

(yi + a"'y«+ a"* ys • • • + ^"^"^'^ y»)'^

Considerons maintenant I'^quation g^n^rale du degr£ m
et supposons qu'elle soit resoluble algebriquement. Soit

q^=zn^

I ft "-1

En vertu de ce qui precede les quantites v, s^y s^ etc. peuvent s'exprimer

13

«

\

ratioiuiellement en x^^ x^...x^^ en d^signant par x^^ x^...x^ les racines de
P Equation propos^e.

Consid^rons une de ces quantit^s quelconque v^ s^, s^ etc. par exemple
V. Soient t;^, v^...v^t les valeurs diffi^rentes de Vj qu'on trouve lorsqu'on
echange enfire elle les racines x^j x^.. .x^ de toutes les mani^res possibles,
on pent done former une equation du degr^ n', dont les coeflficiens, sont des
fonctions rationnelles de a^ a^ . . . a^-i et dont les racines sont les qnantit^s
v^j v^.. .v^ qui sont des fontions rationnelles des quantit^s x^^ x^...x^.

Done si Ton pose

t? = ^0 + «^^ + *^^ • • • + 'v-i^v

toutes les quantit^s f«v, t^^ t^....t^i seront des fonctions rationnelles de
^19 ^s • • • • ^nm et par consequent de x^^ x^....x^. En traitant les quantites
Uy ^0' ^9 ^t^' d^ ^^ m^me mani^re on en conclut:

Si une equation est resoluble alg^briquement, on pent toujours donner a
la racine une telle forme, que toutes les fonctions algebriques, dont elle
est compos^e peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines
de r equation proposee.

§. ra.

Sur le nomhre de$ valeun diff^rente$, qu'une fondion de plusieurs quantites peut acqu^rir^

lorsqu' on y Change entre elles let quantites qu'elle renferme,

Soit V une fonction rationnelle de plusieurs quantites independantes ar^ x^
...Xn. Le nombre des valeurs diffi^rentes, dont cette fonction est susceptible
par la permutation des quantites, dont elle depende, ne peut pas surpasser le
produit 1 . 2 .3 ... 71. Soit fi ce produit

Soil maintenant

^/ap^5....\

la valeur^ qu'une fonction quelconque v revolt lorsqu' on y substitue Xa^x^^Xc, x^
etc. au lieu de Xay xf^^ xy^ x^ etc. il est clair qu'en d^signant par Ai9A^...A^i

les diverses permutations au nombre de fi que Ton peut former avec les indices

«

1, 2, 3, ... 71, les valeurs differentes de v pourront dtre exprim^es par

14

SuppoSQB^ qae le nombre des valeurs differentes de v soit moindre qne /ji, il
fant qae plusieors valears de v soient egales entre elles eo sorte qii!on ait par
exemple

Si Ton fait sobir a ces quantites la permutation designee par f^^ V on aura
cette nouvelle serie de valeurs egales

valeurs qui sont differentes des premieres mais en m^me nombre. En chan-
geant de nouveau ces quantites par la permutation designee par (^^ \ on

aura un nouveau systeme de quantites egales mais differentes des prec^dentes.
En continuant ce procede jusqu'a ce qu'on ait acheve toutes les permutations
possibles, les valeurs de v au n6mbre de fi seront partag^es en plusieurs grou-
pes, dont chacun contiendra un nombre de m valeurs ^quivalentes. 11 suit de
\k que si Ton repr^sente le nombre des valeurs differentes de v par q^ nombre
^gal k celui des groupes, on aura

Qm =z 1 .2 . 3 ... n
c' est-^-dire :

Le nombre des valeurs differentes, qu'une fonction de n quantites pent
acqu^rir par toutes les permutations possibles de ces quantites est necessaire-
ment un diviseur du produit 1 . 2 . 3 . . . n. Cela est connu.

Soit maintenant (^^^ une permutation quelconque. Supposons qu'en ap-
plicant celle-ci plusieurs fois de suite a la fonction v on obtient la suite des
valeurs

il est clair que v sera necessairement repute plusieurs fois. Lorsque v revient
apr^s un nombre p de changements^ nous dirons que v est une permutation
recurrente de Vordre p. On a done cette serie periodique

ou bien, si Ton represente par "^(^^X la valeur de v qui r^sulte apres avoir
repete r fois de suite la permutation designee par (^M on a la serie

^(±y. -(ly- ^(±y ■■■ -(±f- "(ly-

.^

15

I] sait ie\k

Or, soit p le pins grand nombre premier contenu dans n^ et le nombre 'des
valenrs differentes de v soit moindre que p^ il faut que d'un nombre p de va-
leurs qnel9onqnes de v deux soient necessairement egales ^ntre elles.
II fant done que deux des p valenrs

- (i'j' " i±y- ^ (±y ■■■" i±r'

soient egales entre elles. Soit par exemple

- {±y = " i±r

on en conclut

Ecrivant r an lieu ie r'-^p — r et remarqnant que v f^^y=:Vj on en tire

ou r evidemmenf n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est done pas
changee par la substitution (^) ni par consequent non plus par la repetition
de la mSme substitution. On a done

a etant un nombre entier. Maintenant si p est un nombre premier, on pourra
evidemment toujours trouver un nombre entier p de la sorte que

ra=:pli -|- 1

done

et puisque v = v f^i V?

on aura v =^ v f^i \ .

La valeur de v ne sera done pas changee par la permutation recurrente (^M
du degre p.

Or, il est clair que

VPy5» • • • iQ*/ \T*§i • • • Z'n/

1.6

sont des permutations recurrentes du degr6 p^ lorsque p est le nombre des
indices a, p, y . . . ti. La valeor de v ne sera done cliangee non pins par la
combinaison de ces deux permutations. Ces deux permutations sont ^videm-
ment eqnivalentes a cettc unique

et celle-ci aux deux suivantes appliquees successivement

as •' o ■

La valeur de v ne sera done pas cliang^e par la combinaison de ces deux per-
mutations.

Done v = v(f^Qy^

de mdme v = vQ'^^ (j*)

d'ou Ton tire i, = «,(«P) (j^).

On voit par 1^ que la fonction v n'est pas chang^e par deux permutations
successives de la forme T? ^ ) ^ a et /? etant deux indices quelconques. Si

Ton designe une telle permutation sous le nom de transposition^ on pent con-
clure qu'une valeur quelconque de v ne sera pas chang^e par un nombre pair
de transpositions, et que par consequent toutes les valours de v qui resultent
d'un nombre impair de transpositions sont egales.' Toute permutation des ele-
mens d'une fonction pent s'operer a Taide d'un certain nombre de transpositions ;
done la fonction fv ne pent avoir plus que deux valours differentes. De 1^ on
tire le theor^me suivant:

Le nombre des valours diffl^rentes que pent obtenir une fonction de n quah-
tites ou ne pent ^tre abaiss6 an dessous du plus grand nombre premier
compris entre les facteurs de n, ou seulement ^ 2 ou a 1.
II est done impossible de trouver une fonction de 5 quantit^s qui ait 3 ou
4 valeurs differentes.

La demonstration de ce theoreme est prise d'un memoire de M. Cauchy
insere dans le 17"^ cahier du Journal de I'ecole poly technique pag. 1 etc.

Solent V et v^ deux fonctions, dont chacune aura deux valeurs differentes,
il suit de ce qui precede qu'en designant par v^^ v^ et t;/, v^* ces doubles va-
leurs, les deux expressions

^i + ^« et v^Vj^ -\- v^v^^

17

seront des fonctions sym^triqfues. Soit

on en tire 1;^ = -!^ "" '

^2-^1

Soit maintenant le nombre des quantit^s ar^, x^,...x^ ^gal a cinq, le produJt

(>=(^i-^2) K-^b) (^1-^4) (^1-^5) (^2-^8) K-^4) K-^5) (^3-^4) (^8-^5) (^4-^6)
sera ^videmment une fonction qui a deux valeurs difierentes; la seconde valeur

^tant la m^me fonction avec le signe oppose. Done en posant v^^ = (>, on

aura vjz= — q. L' expression Ae v^ sera done

V. =z ^1^^ ^ 9 ou bien
^?

ou ^t^ est une fonction sym^trique; ^ a deux valeurs qui ne different que par
rapport au signe de sorte que -^^ soit ^galement une fonction sym^trique.

Done en posant ^t^=zp et — i^ = gr il s'ensuit

que toute fonction de cinq quantites, qui a deux valeurs difierentes, pourra
£tre mise sous la forme, P'\- q * Qy oh p et q sont deux fonctions sym^-
triques et 9 == (ar^ — x^ {x^ — x^) . . . (x^ — ^r^).

Pour notre but nous avons encore besoin de la forme g^n^rale des fonc*
tions de cinq quantites, qui out cinq valeurs difierentes. On pent la tronver
comme il suit

Soit V une fonction rationnelle des quantit^s x^^ x^^ x^y x^, ^r^ qui a la

propri^t^ d'etre invariable l6rsqu'on ^change entre elles quatre des cinq quan-

tit^s quelconques par exemple x^^ x^, x^^ x^. Sous cette condition v sera

^videmment symetrique par rapport k x^, or,, x^, x^. On pent done exprimer

V par une fonction rationnelle deor^ et par des fonctions sym^triques de x^j x^y

x^j x^. Mais toute fonption symetrique de ces quantit^s pent s' exprimer par

une fonction rationnelle des coefiiciens d'une Equation du quatrieme degr^, dont

les racines sont x^^ x^j x^, x^. Done en posant

{x-^-x^ {x* — OTj) {x — orj {x — x^) = or* — px^ -|- qa^ — rx-^-s

la fonction v pent s'exprimer rationnellement en x^^p^ q, r^ s. Mais si Ton pose

{x — x^) {x — x^ {x — x^) {x — arj (x — x^)=ix^ — aa?*+ ba^ — cx^-j-^dx — e,

on aura

3

18

d'o& Ton tire

•

iP =

= «-

^ X

1

s^=

= 6-

^ or^ -f. x^

\

r =

= c —

- 6:p^ + or^' -

-X »

* =

= rf-

- c:Pj + 6:p^* -

-€LX^

ax^ + ^1*,
. la fonction v peat done s'exprimer rationnellement en x^^ a^ b, c^ d et e.

n suit de l^, que la fonction v pent £tre mise sous la forme

V

oh t et q> (x^) sont deux fonctions enti^res de x^ , a^ 6^ c^ d et e. En multi-
pliant cette fonction en haut et en bas par (p(x^ . (p{x^) • (p(^J • ^{^5)9 ^^ ^^^

y_ ^'9(^2)-9('y8)i9K)'9K)
9('^i)-9('^«)-9('^8)- 9(^4) -9(^5) V

Or, 9)(r2) • 9>(^8) * Vi^J • V'C^a) ^^^9 comme on voit, une fonction enti^re et syme-

trique de ^29^89^49^5* On pent done exprimer ce produit en fonction entiere

de Pj qy r» s et par suite en fonction entiere de x^ y ay by Cy dy e Le nume-

rateur de la fraction ci-dessus est done une fonction entiere des m^mes quan-

tites; le denominateur est une fonction symetrique de x^y x^^ x^j x^^ x^ et

par consequent il pent s' exprimer en fonction rationnelle de Uy by Cy dy e. On

peat done poser

En multipliant T equation

x^^ = ax^^ — bx^ + cx^ — dx^ -|" ^
successivement par a?^, x^. . . x^^ il est clair qu'on obtiendra un nombre de
m — 4 equations, desquelles on tirera les valours de x^^ x^^ . . . x^ en des
fonctions de la forme

oil a, /?, Yj dj € sont des fonctions rationnelles de Uy by Cy dy e.
On pent done r^duire t; ^ la forme

oil 7*0, r^, r, etc. sont des fonctions rationnelles de Uy by c, dy Sy c'est-i-dire
des fonctions symitriques de x^j x^^ or,, x^^ x^.

Voila la forme g^n^rale des fonctions qui ne sont pas alt^rees lorsqu'on

X9

y ^change entre elles les q[aantit^s x^^ x^^ x^^ x^. Ou elles out cinq valeurs
differentes entre elles ou elles sont syin^triques. *

Soit maintenant v une fonction rationnelle de x^j x^^ x^, x^, x^, qui a
les cinq valeurs snivantes t?^, v^^ i;,, v^^ v^. Considerons la fonction x^^v^
En y echangeant entre elles de toutes les mani^res possibles les quatre quan-
tit^s x^y x^j x^j x^ la fMction x^ aura toujours une des valeurs suivantes

^l"^l^ ^l"^«^ ^1*^8^ ^r«^4^ •»?l"'«^5-

Or je dis, que le nombre des valeurs differentes de x^v r^sultantes par
ces cbangements sera moindre que cinq. En effet, si toutes les cinq valeurs
avaient lieu^ on tirerait de ces valeurs en echangeant x^ successivement avec
^S9 ^89 ^49 ^5 9 ^ valeurs nouvelles, qui seraient necessairement differentes
entre elles et des pr^cedentes. La fonction aurait done en tout 2S valeurs
differentes, ce qui est impossible, car 25 n'est pas diviseur du produit 1.2.3.4.5.
En d^signant done par fi le nombre des valdurs que pent prendre v lorsqu'on
y ^change entre elles les quantites x^j x^y x^^ x^ de toutes les manieres pos-
sibles, jti doit avoir Tune des quatre valeurs suivantes 1, 2, 3, 4.

1. Soit /i = 1, d'apr^s ce qui pr^c^de v sera de la forme (a)

2. Soit /i = 4, la somme v^-\'V^-\-v^-\- v^ sera une fonction de la
forme (a). Or on a

riou^ syra^trique moins (^i+^t+^s+t;^; done v^ est de la forme (a)'.

3. Soit /i =? 2, done i;^ -f- v^ sera une fonction de la forme (a). Soit

done ^i + «^a = ^0+^1^1 +^a^i* + ^s^i*+^4^i* = 9{^i) •

En echangeant successivement x^ avec x^j x^^ x^y x^ on aura

v^ + ^« = <]P(^i)

«^« + «^8 = <]P(^ft)

«^~ + ^1 = 9{^m)

oil m est un des nombres 2, 3, 4, 5. Pour w = 2, on aura q){x^) = (p(x^y
ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de (p{Xj) doit £tre cinq. Pour
m = 3 on aura

»i + «'« = 9 (*»)» »« + »» = 9 (^a). v^^^v^=z(p (a:,) d'oii Ton tire

Mais le second membre de cette Equation a plas de 5 valeurs, savoir elle en

20

a 30. On pronvera de la mdme mani^re que m ne peut ^tre ^gal & 4 ni a S.
II suit de la que ^ n'est pas egal k 2.

4. Soit /i = 3. Dans ce cas ^^ + «^t + v^ et par consequent i)^ + v^

= (t^j + ^« + ^8 + ^4 + ^5) — (^1 + ^2 + ^s) ^^^ c***? valeurs. Mais on
vient de voir que cette supposition n'a pas lieu. Done fi ne peut pas non plus
6tre egal a 5. *'

De tout cela on conclut le Theoreme:
Toute fonction rationnelle de.cinq quantit^s, qui a cinq valeurs differentes,
aura n^cessairement la forme

oil 7*0, 7*^, 7*2 etc. sont des fonctions symetriques, et x une descinq quan-
tites quelconque.

De r equation

T^ + T^x + r^ + T^x? + r^a?* = t?
on trouvera aisement, en faisant usage de 1' equation proposee, pour la valeur
de a: la forme suivante

ou ^09 ^i> ^a etc. de m^me que r^, r^, r, etc. sont des fonctions symetriques.

Soit V une fonction rationnelle qui a m valeurs differ entes v^^ v^^ v^. . .v».
En posant

{v — vj {v — v^) {v — v^) . . . {v — v^)

= 9o + 9i^ + 9^3^ .. . + qn^^v"^^ + z;- = 0
on sait que q^, q^j 9^a • • • >sont des fonctions symetriques, et les m racines de
r equation sont v^j v^, v^. ..v^. Or je dis, qu'il est impossible d'exprimer la
valeur de v en racine d'une equation de la m^me forme mais d'un degre moins
eleve. En effet soit

*o + ti^ + 'a^* • • • + t^iv^"^ +v^ = 0
une telle Equation ou t^^ t^ etc. sont des fonctions symetriques, et soit v^ une
valeur de v qui satisfait k cette equation, on aura

vV- + *jj^it?l^"' . . . = (v — v^)P^ .
En echangeant entre eux les Clemens de la fonction, on trouvera la serie sui« *
vante d' Equations:

21

vV- + t^^^v^^ ... = (v—v^ )P^,

v^ — t^iv^"^ ... — {v—v^) P^.
On en conclnt qpe v — v^j v — v^^ v — v^.:.v — v^ scront toates ensemble

des facteurs de v^ + t^iv^^ . . . et que par consequent ^ doit necessaire-

nient ^tre egal a m. On en tire le th^or^me suivant:

Lorsqu' one fonction de plusieurs quantites a m valeurs diff^rentes, on pent
tonjours trouver une Equation du degre m^ dont les coefiiciens sont des
fonctions symetriques, et qui ont ces valeurs pour racines; mais il est
impossible de trouver une equation de la miSme^ forme d'un degre moins
eleve qui ait une ou plusieurs de ces valeurs pour racines.

§. IV.

Demonstration de I' impossibility de la resolution g^n^rale de i' Equation du

cinquidme degr^.

En vertu des propositions trouvees plus baut on pent ^noncer le theoreme :

'11 est impossible de resoudre en general les equations du cinquieme

"degr6."

D'aprfes §. n toutes les fonctions algebriques desquelles une expression

algebrique des racines est compos^e peuvent s'exprimer par des fonctions

rationnelles des racines de T equation proposee.

Comme il est impossible en general d'exprimer la racine d'une Equation
par une fonction rationnelle des coefiiciens, on doit avoir

oil m est un nombre premier et R une fonction rationnelle des coefiiciens de

r Equation proposee, c' est-^-dire une fonction sym^trique des racines ; v est une

*

fonction rationnelle des racines. On en conclut

t;"* — i? = 0 .
En vertu du §. 11 il est impossible d'abaisser le degre de cette Equation, la
fonction v doit done, d'apres le dernier theoreme du paragraphe precedent,
avoir m valeurs difierentes. Le nombre m devant 6tre diviseur du produit
1.2.3.4.5 ce nombre pent dtre egal a 2 ou ^ 3 ou & 5. Or suivant (§. Ill)
il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut done

22

qu'on ait m=z5 ou m=z2. Soit m=z59 on aura en vertu du . paragraphe
pr^c^dent,

5

et par la

Suivant (§. II) on en tire

oil a^=l. Cette Equation est impossible, attendu qae le second membre ait

120 valeurs et que pourtant 11 doit £tre racine d'une Equation du cinqui^me

degr6 2^ — s^^R=iO.

On doit done avoir m = 2.

On aura done d'apr^s (§. 11)

"|/"jB=p+ qs

oil p et q sont des fonctions sym^triqnes et

s = (x^. x^) . . • (o?^ X^f .

On en tire en echangeant x et x^ entre eux

— }/^R=p — qs
d*ou Ton trouve p=iO et }/^R:=: qs. On volt par Ik^ que toute fonction alg^-
brique du premier degr^, qui se trouve dans T expression de la racine, doit ne-
cessairement avoir la forme a-}-/9'|/^^=a-f-/^<f9 ou a et/9 sont des fonctions
sym^triques. Or il est impossible d'exprimer les racines par une fonction de
la forme a^fi}/^Ry il doit done y avoir une equation de la forme

oil a et fi ne sont pas nul, m est un nombre premier, a etfi sont des fonctions
syraetriques et v une fonction 'rationnelle des racines. Cela donne

m m

K(a-f /?*) = »! et V^(a ^ /?*) = t>^,

oil Vi et v^ sont des fonctions rationnelles. On aura en oraltipliant v^ par v^^

m

Or a* — /S*^ est une fonction syra^trique. Si maintenant |/(a* — /5 V)
n'est pas une fonction symetrique le nombre m^ d'apr^s ce qui precede, doit £tre
6gal k deux. Mais dans ce cas v sera = V^(a+/?]/"tf*); v aura done quatre
valours diff^rentes, ce qui est impossible.

23

in

^1

II faut done que y^{a* — /$V) soit nne fonction sym^triqoe. Soit y cette
fonction, on aora

Soit

Designons par Pit P^9 P^-^-Pm les valeurs diff^rentes de p qni r^snltent de la
substitution successive de aR^j «*i?*, a^Rr . . . a^^Rr k la place de Rr ou

et faisons le prbduit

iP—Pi) (P—P^ • • • {P—P^) = P'^— ^P"^' + A^p^^ . . . = 0,
on voit sans peine que A^ A^ etc. sont des fonctions rationnelles des coefficiens
de I'equation propos6e ct par conseifuent des fonctions symetriqnes des racines.
Cette Equation est ^videmment irr^ductible. II faut done d'apr^s le dernier
theor^me du paragraphe precedent que p^ etant fonction des racines, ait m va-
leurs difierentes. On en conclut que m = 5. Mais dans ce cas p sera de la
forme (a.) du paragraphe precedent Done on aura

6 Y

yR + 1 — = ^0 "t" ^1^ "h ^t^ + ^»^ + r^a^=zp ,

et par \k

^ = ^o + ^xP + \P^ + ^y + ^4P*

c'est-i-dire en mettant R^ + — t k la place de p ,

x = t^ + t^R^ + t^R' -f t^R^ + t^R'
oil t^y t^j t^ etc. sont des fonctions rationnelles de R et des coeflficiens de
r Equation propos^e. On en tire en vertu de (§. II)

oil a* + a» + a* + a+ 1=0.

De r Equation p^=ztjft)^ on trouve p'^=itj^R. Or i^^fi 6tant de la forme
te-j-tt']/^ on aura /!'• = tt + m' j/^^, ce qui donne

Cette Equation donne /»' par une Equation du dixi^me degr£ dont tons les coef-

24

ficiens sont des fonctions sym^triqaes, mais d'apres le dernier th^oreme du

I

paragraphe pr6c^dent cela est impossible; car

p' 6tant = ^(a:^ + a!^x^ + a^x^ -f- a^x^ + ax^)
aurait 120 valears differentes, ce qui est une contradiction.
Noas conclaons done:

"II est impossible de r^soudre algebriqaement T equation gen^rale da
"cmqai^me degre."
U salt immediatement de ce th^or^me, qa'il est de mdme impossible de
r^soudre alg6briqaement les Equations generales des degr^ sup^rieurs au cin-
qnii^me.

Remarque sur le memoire Nr. 4j du premier cahier du jatimal de M. CreUe

Mj objet de ce m^moire est de trouver Teffet d'une force sur trois points don-
nes. L'es resultats de Fauteur sont tres justes, qaand les trois points ne
sont pas places dans une m^me ligne droite; mais dans ce cas ils ne le sont
pas* Les trois eqaations, par lesqaelles les trois inconnus Q^ Q', Q' se deter-
minent, sont les suivantes

1

Q'bsina = Q'c sin /?

Qa sin a = — Q'c sin (a + /?)•

Celles-ci ont lieu pour des valeurs quelconqaes de P^ a^ b^ c, ct et p. EUes
donnent en general comme Fauteur Ta trouve,

Q he gin (g + fi) .p

r

Qt ^^ ^i" P p

r

/>• ^— ^h sin oc jrj

od

r =:zab sin a -^ ac ^in /? — be sin (a + Z')*
Or les equations (2) cessent d^dtre d^tenninees, lorsqae I'une ou T autre des
qaantit^s Qj Q, Q' prend la forme $, ce qui a lieu, comme on voit aisement
pour la valeur.

a = /?=180^
Dais ce cas il faut recourir aux Equations fondamentales (1.), qui donnent alors

P=i9 + (9' + e-,

; Qb%\n\%{f=LQ'csuil%(f,

Qa sin 180^ = — jp"c sin 360^.

4

\

(

26

Or les deux derni^res equations sont identiqaes paisqae

sin ISO"* = sin 360<^— 0.
Done dans le cas oil

a = /» = 180^
il n'existe qu'une seule ^qaation, savofr

P = Q-\-Q' + Q',

et par suite les valeurs de Q^ Q*^ Q^ ne peuvent pas alors se tirer des eqaa-
tions ^tablies par I'auteur.

i

i

s

1

i

IV.

Resolution d'un probleme mecanique.

c

E
P

l^oit BDMA une courbe quelconque. La ligne BC soit horizon- ^
tale et CA verticale. Supposons qa'an point mis en moavement m
par Taction de la gravity se meuve snr cette courbe, un point qnel-
conqae D etant son point de depart. Soit t le temps qui s'est ^

ecoule quand le mobile est parvenu a un point donne.^^ et soit a la hauteur
EA. La quantite t sera done une certaine fonction de a qui d^pendra de la
forme de la courbe. R^ciproquement la forme de la courbe d^pendra de cette
fonction. Nous allons examiner comment k I'aide d'une integrale d^finie on
pent trouver I'equation de la courbe pour laquelle t est une fonction continue
donn^e de a.

Soit AM'=iSy AP=ztJc^ et t le temps que le mobile emploie a parcourir
Fare DM.

D'apres les regies de la m^canique on a — -^=V"(«--^)> done dt—^— v •

11 suit de 1^ lorsqu' on prend \ integrale depuis ^ = a jusqu'a a: = 0 ;

/»• d8 /»« da

/ designant que les limites de F integrale sont X'=ia et 2: = /?. Soit maintenant

-r = 9 (a)
la fonction donn^e, et on aura

/»« da

equation par laquelle s doit ^tre trouve en x. Au lieu de cette equation nous
allons consid^rer cette autre plus g^nerale

/»« da

de laquelle nous chercherons ^ en ;r.

28
Desiguons par /(«) la fonction

on a comme on sait

/>-"<i-.)'-.<^=^^^

00 a et /? doivent ^tre sup^rieurs k z6to.
Soit /S = 1 — n, on trouvera

/>^ y°-'«^y — r(a) . r(i - «)
J\{\-yY r(a+i— «) »

d' oil r on tire en faisant Z'=.ay

C ««-»& ^ r(a) . r(i - 1.) -^

J ,{a — »Y r(a + l — «)

En multipliant par '- ^- — et prenant T integrale depuis a = 0 jasqu'a

a=^Xy on trouvera :

da /»« »a-i</» r(a) . r(l — n) /»* a*"* . </a

^ (ar-a)^- -7, («-»)" ~ r(a + l-ii) ' J ^17= ay--

En faisant a = ory^ on aura

p'a^-^.da ^ />^ y^-^rfy __ a r(tt - n + 1) . r(yi)

y^(jr-a)^- — ^y^ (1-yV- — ^ • r(a + l)

done

/: (.^ ./;^r = A«) • /Ti - n) . fIfcL . X. .

Or d'apr^s one propriete connne de la fonction /", on a

/'(a + l) = ar(a);
on aura done en snbstitoant:

En mnltipliant par a . g)(a) .da,et integraint par rapport a a, on troave :
r ^ . f (/9(<^) <^-'da)dz _ J... jr(i ^n)/wa .x'^.da.

Soit f(f{a) . a:*da = f{x)y

on tire de la en differentiant

/y(a) . a . x^^daz=:f{x)y
done /y (a) . o • «*~*rfa =/*(«);

V

I

29

I

par consequent:
on, pnisqtte

r(»).r(i_n) = -JL_,

A I'aide de cette Equation il sera facije de tirer la valeur de s de I'eqaation

Qtf on multiplie cette equation par — — . r^ , et qu' on prenne 1' inte-

grale depuis a=:0 jusqu'^ a = ar, on aura

Binnrc P' ^a.da ginnTC P' da /** ds

done en vertu de T Equation (1)

gJniiTC P* 9(a) . da

Soit main tenant n = ^, on obtiendra
et

j_ 1 P'9(a).da

Cette equation doune Tare ^ par Tabscisse x, et par suite la courbe est entie-
remeut detehnin^e.

Nous allons appliquer F expression trouv^e k quelques exemples.
I. Soit

9 (a) = a^at** + a^al^i + . . . + a^al^ = ^(afll^) ,
et la valeur de s sera

1 /*' dfl ^, Mv 1 _,/ P* aV-da \

Si Ton fait a=ixy, on aura

r^v^ —^+hry^9 ^^+1 r(ix -f 1) , r(i)
t/ 0 •(*-«) ~ J o 1/a-y) ~ ' r(iJL+t)

done

ou paisque /'(^) = V^yr

30

Si Ton suppose p. ex. que m^=iOy /io=0, c'est-i-dire que la courbe chercbee
soit isochrone, on trouve

- K(i) • «.^ = :^Ka) = ^^-

or s=z^^Y^ ®st r equation connue de la cycloide.

II. Soit

(pa depuis a = 0 jusqu'^ 0^=1%^ egal k ip^a

(fa depuis a^za^ jusqu'i a=:a^, £gal k (p^a

(pa depuis a = aj^ jusqu'i az=za^j 6gal k q>^a

(pa depuis a=: a».| jusqu'i a=:a«, ^gal k (p^a.

on aura

^s—f -Jfc^^ depuis x — Q, jusqu'i x—a^.

ns

f^V^ +fj^' ""-"^ " = '^' '"^'' "="■

ns=: i JiSL ^ 4. / JLL -j- / Jll— — - depuis ar=:ii., jusqua ar— ff-,

Z**' 9og . rfg I /**' 9^g . <to I I /***"' 9— ig . da I /** 9«g . </a

""•/o V^(fl-*) "*"t/^ v/(fl-x) "^"••""*"t/^^, t/(fl-^) "*"t/ ,_.•(«- ^) '

depuis or = 0,^1, jusqu'4 ar = a,»,

oil il faut remarquer que les fonctions (p^a^ (p^a^ (p^a (p^^ja doivent £tre

telles que

9o(«o) = Vi(«o)^ 9i(ai) = V«(«i)> y«(«a) = Vi(«.)> e^c.
car la fonction 9a doit necessairement 6tre continue.

\

V

\

V.

Demonstration ^tme expression de laquelle la formule binome

est un cas particulier.

^ette expression est la suivante:

X • ^ • • • U»

. . . + " a(a—(n— l)/?)-»'(a:+(w— 1) /?) + «(«— n/S)-*.

x^ a et /? sont des quantit^s qaelconqaes, n est un nombre entier positif.
Lorsque n =s: 0, V expression donne

comme il faat Or on peat, comme il suit, d^montrer que si T expression sob-
siste poor n = m, elle doit anssi snbsister poor n = m-|- 1, c' est-ii-dire elle
est vraie en gdn^ral.

Soit (ar+a)«=a:-+ ^ „(ar+/?)--»+ !^^i^ a (a - 2fi) (ar+2^)—

. . . + y a (a— (m— I)/?)-* (x+ (m— 1)^)+ «(« —»!/?)-»
En mnltipliant par (m -f- l){£r et integrant, on trouvera :

. . . + ^ a (a—an/?)— » (ar+mi?) +, C;
C ^tant la constante arbitraire. Poor tronver sa valeor soit

et les deox demi^res Equations donneront:

(o — (m + 1)/?)-= (— 1)- Urn + 1)-/S- —«"«/?—» + ^ (»i — 1)— »« (a — £/?)/?—'

^«(«-3/?)*(m-2)— /S-^ ..]

"2.8

32

(a_(TO+ !)/?)-+»=(— l)-+i r(m+l)-+^/J-+^— (m+l)m-a/S-

+ i!L^ (m-l)-^«(«-2/?)/J-» . . ] + C.

Maltipiiant la premiere de ces equations par {m -)- l)fi et ajoutant le produit a
la seconde, on trouve:

C=(a— (m+l)/j)-+t + (m+l)/?(« — (m+l)/?)-, -
ou bien C=a(a — (m-f-l)/?)"*.

U suit de Ik qae T equation propos^e subsiste de m^me pour ^=:m-f- 1*
Or eile a lieu pour ^ = 0; done elle mxft lien pour n=:0, 1, 2, 3 ete. e'est-
2^-dire pour toute valeur enti^re et positive de n.

Si Ton fait /? = 0, on obtient la formule binome.

Si Ton fait a = — or, on trouve

OU en divisant par x

ce qui est d'ailleurs connu; ear le second membre de cette Equation n'est autre
chose que

en faisant la difference constante ^gale a /9.

t

i

\

\

V

VI.

Sur Vintegration de la formule diferentielle ^j^j R et q etant des

fanctums entieres.

1.

i9H Ton diff^rentie par rapport a x 1' expression

oti p, q tit R sont des fonctions entires d'une quantity variable x, on obtiendra

j^ ^ <» + rf(g/.g) _ dp - djq^X)
p + q\/B p-q^R

_ {p-qVm {dp^-d{qs/R))-{p^qV^R) {dp,-d{f,VS))

/»« — q*R

e' est-ii-dire

./ 2p.d{q^B) - idpq^R

;>« — q*R

Or diqVR)-=dq.VR + y.^

done par substitution

jj. pq.dR + 2{pdq-qdp).R

par consequent en faisant

\etp^—q\R=zN

, on anra 3) ^^ — W5'

on, comme on voit aisement, M et N sont des fonctions entieres de x.
Or z etant = log v^y^h on aura en integrant.

Vjn-jf Y It/

*) /^='»«("*^

5

34

II suit de I^ que dans la differentielle -^-^ on pent trouver une infinite

y R

de formes differentes pour la fonction rationnelle (> qui rendent cette differen-
tielle integrable par des logarithmes,^t m^rne par une expression de la forme

log rP'^y^ j . La fonction p contient, comme on voit par les Equations (2)

outre K encore deux fonctions indetermin^es ii et or et , c' est par pes fonctions
qu'elle sera determinee.

On pent renverser la question et demander, s'i| est possible de supposer

les fonctions p et q telles, que q ou prenne une forme determinee donnee.

La solution de ce probl^me conduit k une foule de resultats int^rressants, que
Ton doit consid^rer comme autant d^ propri^b^ des fonctioas de la foirme

/-^7-=r. Dans ce memoire je me bomerai aa cas oh-r-;; est une fonction en-
ti^e.de Xy en essayant de r^soudre ce probl^me geperal:

"Trouver toutes les diff^rentielles de la forme -^—^ oh q et R sont des

"fonctions enti^res de x, dont les integrates puissent s'exprimer par une
"fonction de la forme log (> + ^ Vf ) .

2.

£n differentiant T equation

N=p^—q*R,
on obtient

dN = 2pdp — Zqd^R — q^dR,
done en multipliant par p

pdN=i %pHp — %pqdq . R — pq^ . dR^
c'est-i-dire, lorsqu'on remet ^ la place de /?* sa valeur iV-f* q^R^

pdN=i 2Ndp + 2q*dp . R — 2pqdq . R — pq^ . dRy
ou

pdN = 2Ndp — q {i{pdq — qdp)R + pqdR)^
done, puisque

2 (pdq —qdp)R + pqdR = Mdx (2),
pdN = ZNdp — qSfdx

ou bien qM= tN.^~-p.~

* as '^ da

35

• • • • • ; ::r. « i.M

done

Maintenant — doit ^tre une fonction enti^re de x; done en d^signant eette fone-

tion par q on aura

^dp dN

, ^"^ dx ^ Nds

dN

11 suit de la . que p . —-r- doit ^tre une fonction enti^re de x. En faisant
on anra

dN m j^ nil I m^

done

doit de m^me dtre une fonction enti^re, ce qui ne pent pas avoir lieu a moins
que le produit (x -\- a) . ..(x-\- a^) ne soit facteur de p. 11 faut done que

/> == (a: + fl) . . . (a: + «^) ./ii
oil p^ est une fonction entiere.
Or N=p^ — q*R,

done

(a: + a)* . . . (ar + a^r- = JPi* (^ + «)* (^ + «i)* . . . (a: + a»)* — ^*^ .
Comme ^ n*a pas de facteur de la forme (ar + «)* ©t comme on pent toujours
supposer que p et q n'ont pas de facteur commun, il est clair que

7n = m^ =: • ♦ • = m^ = 1

et jR = (a: + ^) (^ 4" ^i) • • • (^ 4" ^) • ^1

oil R^ est une fonction entiere.

On a done iV= {x + «) (^ + flj . • . (ar -f- «*) et jR = N . R^,
c'est-i-dire N doit 6tre facteur de iff. On a de m^me p=zNp^. En substi-
tuant ces valeurs de A et de p dans les equations (2.) on trouvera lea deux
Rations suivantes ' '

La premiere de ces .^q[aations determine la forme des fonctions pjf q^ NfCtR^,

5 *'

36

et celles-ci ^tant d^termin^es, la seconde ^qaation donnera eosuite la fonction q.
On peat aussi trouver cette derni^re fonction par V 6^tion (5).

3.

Maintenant tout depend de T equation

7) p^.N—q^.R^ — 1

Cette equation peat bien dtre r^solae par la m^thode ordinaire des coefficiens
indetermin^s, mais Tapplication de cette methode serait ici extr^mement pro-
lixe et ne conduirait gu^re k an resaltat general. Je vais done prendre ane
antre roate semblable k celle qa'on emploie poar la r^solation des Equations
ind^terminees da second degr^ k deax inconnas. La scale difference est, qa'aa
liea de nombres entiers, on aara a traiter des fonctions enti^res. Comme
dans la saite nons aarons soavent besoin de parler da degre d'ane fonction, je
me servirai de la lettre 8 poar designer ce degr£, en sorte qae dP signifiera
le degre de la fonction P. p. ex.

D'aillears il est clair que les Equations suivantes auront lien:

8(PQ) = dP-\-dQ,
= dP-dQ,

'(S

Q
6 (P~) = mdP;

de pins d{P. + P^) — SP

si dP^ est moindre qae dP.

De m^me je d^signerai, poar abreger, la partie entiire d'nne fonction rationnelle

tt par Em^

ensorte qae u = Eu -{- u\

on du} est n^gatif.

II est clair qii^e

E{s+s^) = E{s) + E{s^)

done E{S'\-s^):=E{s) lorsqae ds^ est negatif.

Relatlvement k ce signe, on aora le th^orime saivant:

37

liorsque les trois fonctionft rationnelles u^ v et z ont la proprf^te que

"on aura E{u) = ± E{v) si dz <dv.

En effet on a par la definition,

w = jB(m) + m'

oil ^' et dt?' sont n^gatifs; done en snbstitaant ces valenrs dans T Equation

(jBm)* + 2w' Eu + u^=i{Evf + iv' Ev + v^ + z.

II snit de \k

{Euf — (£«>)• =iz + v^'^u^ + 2VEv--Su'Eu = tj
ou bien (jBm + Ev) (Eu — Ev)=zt.

On voit ais^ment que dt <,dv; an eontraire

i{Eu + ^«^) (£w — Ev) est an moins igal k 8v^ si (^m + Ev) {Eu — Ev)
n'est igal i ziro, 11 fant done n^cessairement que {Eu-^-Ev) (Eu-^Ev) soit
== 0, ce qui donne Eur^-^Ev c. q. £ d.

U est elair que T Equation (7) ne sanrait subsister k moins qu'on n'ait
d{Np^^ = d{R^q^), c'est-i-dire,

d' oil rf(iVR^) = 2(dq — dp, + dft ,) .

Le plus grand exposant de la fonction R doit done dtre un nombre pair. Soit
dN=zn — wi, djR,=:» + wi.

4.

Cela pos£, an lieu de T Equation,

p^ .N — q^ .R^:=l1^ je vais proposer
la suivante ^

8) p*N—q*R, = v,
oil V est une fonction entiere dont le degre est moindre que ^ — ^ .

Cette equation, eomme on voit, est plus g^nerale; elle pent £tre r^solue
par le m^me precede.

Soit t la partie entiere de la fonction fractionnaire ^ et soit f le reste;

cela pose on aura:

38:

. 9) : Bi^Nt + t',

et il est clair que t doit 6tre du 2m~* degre lorsqae dN—n—m et dR^—n^^m.
En snbstituant cette expression de R^ dans T Equation (8), on en tirera

«

10) (p^^—q^.t)N—q^.V=:v:

Soit maintenant

11) t = t,^ + t,\

on peut toujonrs determiner tj^ de mani^re qae le degre de f^^ soit molndr^

que m. *

Pour cet effet faisons

t = «^ -)- tt^x •\- a^ «a»J?*"

h — h-VK^'- +/?-*"

^' = yo + ^1^ + y.-i^«^'

cela pose, T Equation (11) donnera:

+ y— 1*""* + y-^-*^* • • • n^ + yo-

De cette ^qaation on d^duira en comparant les coefiiciens entre eux: .

aaii.-l = ^?m • Pm~x

«,-, = 2i?« . ?^ + §l-x
«a»^ = 2/?« . /?^ + 2/?»-i . /?«^

etc.
y«-i = «»-i — 2/?».i . /?o — 2/?i»_a . /?! — . . .

• • *

y* = «a — 2/?« • /*o — /^i*

yi = «i — 2/?i . /?o

Les m -f- 1 premieres de ces equations donnent, comme il est aise de voir
dans tons lesi cas, les valeurs des m -|- 1 quantites /?«», /^^.^^ • • • /?o9 ^^ "^^ ^
demi^res equations donnent les valeurs Ae y^j y^^ Y%^ • * Ym^i

L^ Equation suppos^e (11) est done toujours possible.

39

t

Sobstituant dans I'^quation (10) au lieil de t sa valenr de re^[aation (11),
on aura:

de li on toe (^y=:#,'+A'+ 1^+-^.
En remar^aant que

on aura par ce qui pr^cfede, * "

done Pi=±t^.q-\- fi^ oil dfi<dq;

et comme on pent prendre f^ avee le signe qu'on voudra,

En substituant cette expression an lieu Ae p^ dans i'equation(12), elle 8e
changera en,

13) {fi^+2fit^q)N^q\s = v,

oil, pour abr^ger, on a fait Nt^' -|r *'=*.
De cette Equation il est facile d^ tirer

U ' ) ~ ** *P»

ou, puisque ^i'iV+ s = «j (car flj ^ tN+t', *==iVf\ + «', et <=*,»+<',),

Soit maintenant

ou dr' < dr
on aura:

Or on voit ais^ment que

et par suite e(j^=zE (^~^) i

40

done en iaisant

E {Z±hS.) = ^,

on aura

q = 2^/9 +/?,, oil (J/J, <8§.
En substitoant cette expression de q dans 1' equation (13) on anra,

/S* . iV^+ 2/?*,iV^ {ifxp + ^,)-s (4mV + 4/1/?,/? + /?,«) = t^,
c'est-a-dire

/J«(iV+ Afit^N— Asfi") + 2 (*,iV^— 2iu^)/?/j, — */?,• = V,
on en faisant poor abr^ger

14)
on obtient

Pnisqne

JS?(.!L±^) = 2iu, ona

r + t^N=z 2s/i + *, oil ^£ < dSj
par suite la demi^re des Equations (14) donnera

€.

De plus en multipliant 1' expression de s^ par s^ on obtiendra,

ss, = Ns + Af4t^Ns^^fi*=Ns+t^^N* — {2sfi — t^N)\

Or 2^iu— *^i\r=r,,doncM,=iVi+^,«iV*— y,*, et r/+M,=iV(^+«,*iV);

de m^ine s + f ,* N=:i R^ ,

done 16) r,*+M, =^B, = i^

D' aprte ce qui pr^c^de on a J? = r * + r'

done r* — ^i* = **i — ^'> ^^ (^ + ^i) (T — ^i) =

Or ir^ £tant <^, il suit de cette Equation que

iJ(^^J = (y(r+r,)(r — rj
c' est-a-dire, puisque r — ^^ =^, oil de< dr^

ss^ — r\

Or

done

On ^ de plus,

done

ds>8t
ds^ < ir.

S=:NtjJ + t', ou it'KdN et it^'<dt^.

41

Mais R = N(s + t^N) , par consequent,

et puisqiie dR = 2dr = Zdr^ ,

on aura dt^ + dN = ^r^*

On en conclut df < ^r^.

L' equation ^i^iV — 5^*^^ = !; est done par ce proc6d6 chang^e en celle-ci,

oil dr^ == ^dR = 7J, */?! < */* et di < 7J, d*^ < w.
On obtient cette Equation, comme on vient de voir, en faisant

t^ etant determine par I'equation,

* = C + V. oudV<**i etf = JS? (^),
et (i etant determine par T equation,

oil r* + r' = /?iiV; * = iW/ + /2j — iVif.
De plus

II yagit maintenant de 1' Equation (15).

5.

Resolution de T equation:

*i ^ — 2r^§fi^ — s.^* = v,
oil Ss < dr^, d* J < dr^, ^ <.^rj, d/?, < dp.

Divisant T equation,

19) s^^-2r^pp^—s,9*=zv,

par Sifi*t on obtiendra,

PV_ g ^1 P * _ »

Pi* *1 Pi •! ~ *,Pl» '

done (i._rxy = (iLy . J. 4._^.

On tire de 14 en remarquant que d(— -] ^ j < d (■—)>

4'i

done i5(A) = ^(Zi.).(i±i),

oil Ton doit prendre le signe 4~9 ^^^ 1' autre signe ferait E ^^^ = 0, done

done en faisant E (^j=:fi^f

/? = 2/?, . ^^ + /?» oil d/?,<«J/?i
Sobstituant cette valeor de /? dans T Equation proposes, on aara,

on bien

L' Equation E (^^=(1^ donne,

On obtient par 1&,

^. = ^1 — 2*1,

done il est faeile de voir que

L' equation (19) a par consequent la m^me forme que T equation (20); on
pent done appliquer k celle-ci la m^me operation, c'est-a-dire en faisant

on aura s^ . §^ — Zr^fi^^ — ^^ ./?,«== + Vy

oil r^=z2fi^s^ — r^=ir^ — 2e^y

En continuant ce proc^d^, on obtiendra, apr^s n — 2 transformations, cette
equation :

21) *j.. /SVl — 2r». /?«-! . fin— S^^ . fin^=(— 1)"^' - V,

oil dp^ < dfi^i .
Les quantit^s s^^ r^^ §^ sont d^termin^es par les equations suivantes:

^••-1 = 2/l„ . fin + fit^l J

48

^(v)'

A ces equations on pent ajouter ceU^fi^i:

I

Or les nombres ^/?, d/?^, */?„ . . . ^/?h, etc.
formant une serie decroissante, on doit necessairement apres an certain nombre
de transformations troaver an p^ ^gal k z^ro. Soit done

r equation (21) donnera en posaht n=zmi

22) ^« . /S*«^i = (— l)*^'i^.

Voil^ r equation generate de condition pour la r^solubilite de T equation (19)-
s^ depend des fonctions s^ s^, r^; et/9«^i doit £tre pris de mani^re a satis-
faire a la condition,

(fs^ + 2(JiS^i < dr.

L' Equation (22) fait voir que pour tons les s^ s^j et r^ on pent trouver
une infinite de valeurs de Vy qui satisfont a I'equation (19).

En substituant dans I'equation proposee au lieu de v sa valeur
(~ 1)*^^ . s^ . /S*»-i, on obtiendra,

equation toujours resoluble/

On voit aisement que /? et /?^ ont le facteur commun /?».i. Done si i'on
suppose que /? et fi^ n'ont pas de facteur conimun, /?«.! sera ind^pendant
de X. On pent done faire /?«^i = 1 , d'oii r^sulte cette Equation,

Les fonctions /9, /9^, /?29 • • • sont determinees par T^quation,

en posant successivement n= 1, 2, 3, . . .m — 1 et en remarquant que ^»s=0.
Cest-i-dire:

6 *

. 44

Ces equations donnent: •

Pi

P

a

(I:)

P"-'^2ai^+ *

P

Pw»— a

2ai^i.
On en tire par des substitutions successives:

On aora done les valeors de /? et de fi en transfonnant cette fraction con-
tinue en fraction ordinaire.

6.

En substituant dans 1' equation,

p*.N—q*.R^ = v,
pour V sa valenr ( — 1)"~^ , j„, on aura,

/!,» .N-q^.R^ = (- 1)-* . *«,
on q =2^./? + /?,,

done £1=^ + !=/+_!_

46

par consequent,

* •

2|JLiii-l

L' equation p^^N — q^ .R^=iVy
donne i -^ i = — - — I — «

done en supposant m infini:

y — ^ JV '
done l^4r = *i+ ^1

*^ 2^ +^ 1

2|x, + etc.

On trouve done les valeurs de j9^ et de ^ par la transformation de la fone-
tion ^/^ -^ en fraetion eontinne. *)

7.
Soit maintenant i;==a, et Ton aura,

Done si T equation,

p^^N-q\.R^ = a,
est resoluble, il faut qu'au moins une des quantit^s, ^

soit independante de x.

De r autre part, lorsqu'une de ces quantit^s est independante de x^ il est
toujours possible de trouver deux fonctions enti^res p^ et q qui satisfont k eette
equation. En effet lorsque s^=ia, on aura les valeurs Ae p^ et de q en chan-
geant la fraction continue.

*) L'dqu&tion ci-dessus n'exprime pas une dgalitd mbsolne. Elle indique senlement
d'une mani^re abrade comment on pent trouver les qnantitds f^, H'*) H'*!) (A's • • •
Si toutefois la fraction continue a une valeur, celle-ci sera toujours dgale h

y^^

N'

46

Pi —t 4- — 1

2|^i +

2|^a+.

2|Ui-i
en fraction ordinaire. Les fonctions s^ s^y s^ etc. sont en g^n^ral, comme il
est ais^ de voir, da degre (n — 1), lorsqae NR^ est da degre in. L'eqaation
de condition,

^« = a,
donnera done n — 1 ^qnations entre les coefBciens des fonctions N et R^', il
n'y a done qae n-f-1 de ces coefBciens qu'on peat prendre arbitrairement,
les antres sont determines par les iqaations.de condition.

8.
Dt^ ce qai pric^de il salt qa'on troave toates les valears de R^ et de iVqai

rendent la diffirentielle ^ • int6grable par ane expression de la forme

loe (P±n^^^i^\

en faisant snccessivement les qaantitis Sj s^, s^.. .s^ independantes de x.
Paisque p=zp^Nj on a de mime,

log Civ/^^+i^^V

ou bien

N) ^\piy^N-q\/Si

r ^ ==iog (WNWRT)

OU

^ ^ 2i^i +

• . ^ 1

2|Xfii-i

en sapposant s^ egal k ane constante.

Les qaantites iZ^, N, p^ et q itant diterminies comme on vient de voir,
on troave ^ par I'eqaation (5). Cette iqaation donne, en mettant p^N an liea

AC

de p et Q aa liea de -^^

^=(p.^+*^^>»-

47

II suit de Ik que

dQ^^fy^ + dN—l — dq=iSp — dq—l.
Or on a va que dp — iqz=,nj done .

dQ=:n — 1.
Done si la fonetion R on R^N est da degr^ 2n, la fonction q sera n^-
cessairement da degr^ n — 1.

9.
Nous avons va plus haut que

R = R^N,
mats on pent toujours supposer que la fonetion N est constante. En effet
on a,

r 9^ —log (Pry^[±9yK^
et par consequent,

r 9ds _ 1 , (v^y/N^qVR^ Y_ ^ . ( Pt^N^q^R^+2p,qy/{R,N) k
J VR^N ~» ^\pxVN-qy/R, ) ~ ^ ^\ p^^N^q^R^ ' ^^qV(RxN) )'

c' est-i-dire, en faisant jp^*iV+ 9*^i =jP' ct gp^gr = y',

J y/R ~^ Vp'-jV* /

II est clair que/i' et 9^' n'ont pas de facteur common; on peut done tou-
jours poser

Au lieu de 1' equation p\N — q^R^=^ly on a done celle-ci,

p^—q^.R=ii,
dont on obfient la solution en faisant 2^= 1 et mettant R au lieu de R^.
Ay ant N=zly on voit ais^ment que

t=zR; t^=iri R^zr^-^-s;

48

done

= r + -i- 1

R = r» + *
A* =

1

'•i

fin =E (~y, »'i. = iM«*»4-*«>

»*«H-i= »•«. — 2e»; *»fi = *»-i + 4e,/i„
Ayaat determine les quantites R, r, /t, ^^. ../Im_i par ces Equations on

\

aura:

25) J J \^B ~ ^Kf-qo/S J'

dp'
f * ds

ce qui r^salte de 1' Equation (5) en y posant N=il.

10.

On pent donner a Y expression log y^/i^^^n^ J ^^® forme plus simple,
savoir la forme,

ce qu'on pent d^montrer comme il suit:

4^

All I

• . 1

on a par la th^orie des fractions coniinoes,

• ■ ■ ■ '1 ■ - ,

• • ■ ■ '

De ces Equations on tire par T Elimination Ae^fim^i:

•■•' •

done «« . /?^i — /?. . an^i = ( — = 1)"*"* , ce qui est connu.
Les denx Equations (a) et (b) donnent encore:

II suit de la
Or on a

««„ . iV— /J»„ . /?, = (- 1)-».*«,

done en sobstituant,

*- = *«-, 4- 4(— 1)-* . ft^ (ce»_i . cc^N— /?^, . /SL-,/20 — V^-i . *-i . ;;
Or, d'apres ce qui prdc^de, on a

done

r^, = (— 1)-» . («^, . a^N— /?«_, . /?^ /2 J.
Soit ^

2« = a^YN+ /?»V^/?„ et z'. = a^VN— /?« V^/?i,
on aora en multipliant,

2« . z-™.! = a. . a^, . iV — /?, ■ /?„_j /?, — (a, /?„_i — ««_, /?,) V^iVBi ,
or on lient de voir que

«• /*«-i — a«_i ./?« = (— 1)— V et que ««««-! i\r— /?« /?»_, /?!= (— 1)" »•«;
on tire de 1:^

«, «•«., = (— 1)- . (r, + K/?).

60

et de la mdme mani^re,

on en tire en divisant:

I

c'est-i-dire en multipliant par -^^y

En faisant suceessivement m=zly 2, 3, . . . m, on aura,

»i ^^^ r^ + v^JI ato
»2 r, + \/J? »,

a

/^a - •« »'i

d'oii Ton ttre.

• • • •

Or

done

I

En differentiant 1' expression 2 = log ( °" ^^"^ ^" ^^' ) on anra apr^s les
r^dactioiis n^cessaires:

j^ «(«. dp. - p, rfg, ).y.gi - tt. fi>. (Jttrfjy- jvrfjgi)

Or

51

done en faisant

27) (_ir'.^ = *(..^ -/».^)iVB.-..?.(i^^55».),

on aura

dz

ds

M.'V)

.,.,

et
done

/Pi.

ds

V/A«i

/P» ds , /«m/^ + fi«.V'^l\

on bien

28) /^

ds

VS.

Dans cette expression s^ est tout an plus da degr6 {n — 1) et q^ est
n^cessairement da degre {n — 1 -|- d^^X dont on pent se convaincre de la ma-
ni^re suivante.

En diff^rentiant 1' Equation

29) al.N- fil .R,=i- ir^ .^«,

on tronvera la saivante:

on en mnltipliant par Rmi^>

alNi2Ndu„ + u^dN) — Za„p„diS„NR^ — fi%a^mR^= (— l)-».«,iVife«.
. Mettant ici a la place de a^N sa valenr tir^e de T equation (29), on aura,
(~iy^'s^(2Nda^+a^d]V)+^„{2NR^fi„da„-^tt„fi„R^dN-2a^d^„NR^—fi,a„NdR,)

= (— 1)— V^iVifo^ , c' est-^-dire ,
fi»{i(»n.d(i^—M«J)NR^—a^,(R^dN—NdR^)) ,
= (— l)-» (*« (2iVi/«. + a,rfiV) — a.iVa»,).
En vertu de 1' Equation (27) le premier membre de cette Equation est 6gal
a fim ( — !)"*"* (>i»«^; done on aura,

50) /?,o, = j, /^^'"'"-i_«»°^^^

^ rir ^ *ir /

Puisque df. < n^ le second membre de cette Ration sera necessairement

du degre (d*« -\-8N-\-da^ — i).

7*

d2

Or de r^qoation (29) il salt qae

done dQ^ = ds^+ hN^^hR^ _^^

or Ay+ dfij = 2w,

done ^p« = d^« + w — 1,

c'est-a-dire, q^ est n^eessairement da de^gre {Ss^ -^n — 1).

n salt de \k que la fonction — est da degr^ {n — 1).

Faisant dans la fonnole (28) iV^= 1^ on aura t^ = r, et par eons^qaent

oil, saivant T Equation (30),

L' Equation (28) donne, en faisant ^^ = 0,

oa

^'am . dN\

et lorsqne iV= 1 ,

«) /-^ = '»i^ C4^) + -^ C-t?^) +•••+"'« Ct^)

2 ^*m

oa

?«

D'apr^s ee qai precede, ceiie^ formale a la mSme gen^ralit^ qae la for-
mate (32) et donne tontes les integrates de la forme I ^-tr^ ^^? eti?sontdes
fonctions enti^res, qui sont exprimables par ane fonction logarithmiqne de la
forme log f^^^^fj .

12.

Dans I'eqaation (28) la fonction — est donn^e par Teqaation (30). Mais

m

on peat exprimer cette fonction d'ane maniere plas commode a I'aide des qaan-
tites t^^ r^, r,, etc. /i, ^^, /^j*.. etc.

63

En effet soit

'•« (^)-

on anra en difKrehtiant,

on en r^duisanl^

35') &.

r . dR -Vtdr^

n iQ

■ I •

rl'R VR '

Or nous avous va plus haat,
done en multipliant par ^^^^
e' est-i-dire,

Or y«==2^^, ^^, — y^,,

done en substituant eette quantity,

d'ou Ton trouve par transposition,

II sait de eette Equation que ^m + ^» • ^^^i ^ ^ m^me valenr pour tons
les m et par consequent que

or nous avous vu plus haut que, r^ -|- ^^i = ^ ^^ P^ suite,
34) R=.rl, + s^.s^^.

Substituant eette expression pour R dans 1' Equation (33') on aura apr^s
les reductions convenables:

2drm dSm Tm dSm^V Tm

dz^

y/R «« ' y/R *— I * y/R '

^Bm^v r»

mais puisque r^ = 2^,^i /i»„i — r,^i, le terme ^ • --^ se transforme

en — 2fi^^. -^^ + -^?^ . ^ . On obtiendra done,

yR *«i»-i V jR

et par F integration.

64

1

Cette expression est, comma on voit, une formule de reduction pour les

integrales de la forme /yl~. Car elle donne I'iiit^grale /^- -^

par une autre integrate de ia m^me forme et par une integrale de ia forme

-— _-, oil t est une fonction enti^re.

Mettant dans cette formule a la place dem successivementm — Im — ^,...
3, % 1, on obtiendra m — 1 equations semblables, dont la somme produira la
formule suivante (en remarquant que r^=2^^ — r^'=.t^N en vertu de F Equa-
tion r^ -}" ^1-^ = 2^i")'

+j2{dri'\-dr^'\-dr^'\-...'\-drrn—fids~fij^dSi'---fi^ds^... — f^

On pent encore reduire 1' integrale /— • -7-» • Differentiant 1' expression

on aura apres quelque redactions,

Or on a

sobstitaant done cette valear de i3j dans Y Equation ci-dessas, on trouvera

done en integrant

/* • 7? = - ' +/<^*. + '.''^ • ;i ■

L' expression pour /—^ • -^^ se transfonnera par la en celle-ci,
c'est-a-dire, en mettant a la place des quantites Zy z^^ z^y . . . leurs valeuts,

66

^f^^{N^U^-\-^t^dN•\^dr^-\-dr^-\-...^\^dr^—t^d^t—^^^ds^ ft^ids^x)

- '•» C-i^5^) - '»« G;^ - '«» C^) - — '»* (^^) •

Cette formule est enti^rement la m^me qoe la formule (28) ; elle donne :

57) l^.dx = =-^

+ i{Ndt^ + ^t^dN + rfri + . • • + rfr« — Ai* — fi^ds^^ — ... — fim-ids^^i).
Mais Fexpression ci-dessus dispense du calcul des fonction a^ et fim-

Si maintenant Sm est ind^pendant de x, I'int^grale / — ?•
on obtient la formule snivante:

Lorsque dans 1' expression (36) iV= 1, on aura ^^ =r et par suite:

'9)/^ -7^

— —{dr + dr^ -|- dr^ + • • • + ^^«i — l^^ — f^i^i — • ^ • — Mm^i^^m^i)

et lorsqu' on fait «. = a :

f-^idr-\-dr^+dr^-\-...-\-dr^—nds—ti^ds^—...—H^^ds\^;)

En vertu de ce qui precfede^ cette formule a la m^me g^neraiite que (38),
et donne par consequent toutes les integrales de la forme f -j^ 9 oh t est
une fonction enti^re, qui peuvent dtre exprim^es par une fonction de la forme

66

t

13.

Nous avons vu ci-dessus qae

2|t3i +

2|is etc.
done, lorsqne N=:if

^ * 2|JL +

21^1 +

2,x.+

«l^i

En g^n^ral les qaantites /i, /i^, //^, i^t*** ^<>^^' diffi6rentes entre eiles. Mais
lorsqu'une des quantit^s s, s^, s^. . .s^ est ind^pendante de x^ la fraetion con-
tinue devient periodiqoe. Cela on pent d^montrer eomme il suit

On a ^i+i+^m-^iii+i=^ = ^ + ^,

done, lorsqne ^^i = a,

Or dr„+^ = dry ds < dr, d^,^^ < dr. Cette equation ne pent done subsister a

moins qu'on n'ait en m^me temps,

s

Orpuisqne fi^ ^E(-f^),

on a de m^me fl^^.^ ^ a . E (—j ', msaa E(—j=zfi,

done /im+i=«/*-

On a de plus

done ayant ^m = ^> ^m+i = ^> i^m+i = «i^>

on en conelut ^^+4 = a (1 -}- 4/ir — 4^*^) ;

or ^^ = 1 -f- 4/ir — 4/i*^,

done s^^ = cw^

On a de m6me r^+^ = 2/i„+j^m+i — ^m+i = ^iu^ — ^^
et . r^ =2/1^ — r,

done r^+4 = r^ ,

d'oii Ton tire

IIIT2

67

done u^j^ = J^

a

En continuant ce proc^d^ on voit sans peine qa'on aura en general :

Le signe -]- doit 6tre pris lorsque n est pair et le signe — dans le cas con-
traire.

Mettant dans T Equation

a a la place de s^, on aura,

U suit de \k

s

^m = ^J

*„-!— ^ .

Or

f*m

=£(.:), .

lone fi^ = -^.Eir]

c'est-^-dire

-

f^m

^ .r.

a

On a de plus

\

»•» + r^

I = 2*B,_i/*n-i >

c'e8t-4-dire,

puisque

•

r^ — r,'

« — *

r + r^-t

2«

Or

r-f 7-^ =

= 2j^ , done

»-m-i ^i =

= —{/*m-i — afi).

On a

'•i-i+*m-

.1 . *B-a = »•• + *«i ,

c' est-a-dire, puisque ^^^i = -^,

a

Or nous avons vu que

done en substitnant,

Cette Equation donne, en remarquant qae d {r^i-i "^ '*i) > ^ (^i "" '■-«)*

8

S8

et par consequent r^^x = '*i •

Par on proc^d^ semblable on trouvera ais^ment,

m-* **«* *m-»

^«> /<■.•«'

t^i

et en g^n^ral:

42) (''•

a^ . S^\

14.

A) Soit m un nombre pair = ik.
Dans ce cas on voit ais^ment, en vertu des equations (41) et (42), que
les quantit^s r, r^y r^ r^.. .s, s^^^ s^. . . /m^ fM^j /^a • • • forment les series sui-
vantes :
0 12.-. Zk'2 2*-l 2k 2k+l Zk+2 . . . 4A-1 Ak Ak+1 4&+2 4A+3 4A:+4

s s^ *2 • • • ^^i

1

s

/^ A*l ^2

V-l

afi

r
a

r

r

s
a

afi

izs

>i

. . • y*2 T^ T

• . ^j S

. fi^ fi r

r
s

r^ r^ etc

s.

s^ etc* —

fi^ (4^ etc

B) Soit tn un nombre impair
Dans ce cas les Equations

2k— 1.

a . ^,^,1

donnent pour n=zkj

Sk.i = cr^* . ^*.i J done a = 1.
Les quantites r, r^^ etc ^^^^etc. ^, fi^ etc. forment les series suivantes:
0 1 2 . . . k—2 k—i k k+1 . . . 2k— 2 2k— 1 2k 2A:+1 2^+2 etc.

?• ^j r^ . .

^*^

^*-i ^*-i

rk.1t

... 7*1

r

r

^x

'•a

etc.

S S # a ...

^*-2

^*-i **.«

^*.s

... o

1

s

*x

*«

etc.

t^ /^ A*2 • ' •

/Wft.a

/^k.l t^k^2,

iW*.8

... fl

r

H

/^l

A*«

etc.

On voit par i^ que, lorsqu'une des quantites s^ s^^ ^^ * * * ^^^ independante
de Xy la fraction continue resultant de Y^R^ est toujours p^riodique et de la
forme suivante, lorsque Sja^=a:

69

^V-1 + .

^^^-^ 1

2a|ji+— -

?^+ 1

a + etc. + -i- 1

*»^+-^+ 1

Lorsque m est impair, on a de plus a = 1 , et par suite :

^1+ . .

" 2|t +

2»- + — - 1
2[i +

2(Lj -f etc.

Le reciproque a egalement lieu; c' est-^-dire, lorsque la fraction continue
resultant de |/iR a la forme ci-dessus, ^^ sera ind^pendant de x. En effet soit

on tire de V equation 7-^ = *« . /im + ^m >

^m ~ • ^m "t" ^m*

Or >'a, = »'„-i — 2fm-i> oh *f„_i<^>", il est clair que r„=r+y„,oiidy„<dr.
On tire de \k

'•(l~-T-) = ^--^-
et par consequent ^^ = a, ce qu' il fallut demontrer.

En combinant cela avec ce qui precede, on trouve la proposition suivanta :
"Lorsqu'il est possible de trouver pour ^ une fonction enti^re telle, que

"la fraction continue resultant de V^A sera p^riodique, et aora la forme snivante :

' ^ 1

2ix+

2|i.i + etc.

"et reciproquement, lorsque la fraction continue resultant de YR ^ cette forme,

8*

60

''il est toujours possible de trouver poor q une fonctioii entiire qui satisfait a
r^qoation,

"La fonctioii y est donnee par 1' expression suivante:

Dans cette proposition est contenue la solution complete du probl^me pro-
pose an commencement de ce m^moire.

15.

Nous venous de voir que, lorsque s ^_ est ind^pendant de .r, on aura toujours
s^ =^ , et lorsque s est ind^pendant de ar, on aura s^ = cs^ , on c est
constant. Le r^ciproque a ^galement lieu, ce qu'on pent d^montrer comme il
suit:

I. Soit d'abord s^=zs ,

or **=**^» doncr^ = r^^.

done r,-r^^ = *^(^^-,«^_j4.e^-*^.

Mais '•* = V., '•*^ = '•*-. + 2f,^'

done en sobstitnant,

Cette Equation donne, en remarqnant que de^^KZds ; ^*ji^<^*j^»
Or r = »*j — 2e^, done, en vertu de la derni^re equation,

et puisqae r^^j := r^^ — 2e on en conclut,

itf 1 "~ ' *-B "*+l ('^M-l ~ '^-8^ ■+■ ^1 ~ **-S

61

done ^u.^t =^n •

En combinant cette Equation avec celles-ci,

on obtiendra,

Or on a, r^^ = r^^, et r^ ^ = r^^ — 2,^^,

par consequent, 0 = ^^, (/j^^, — /i, ^) + e^^ + .^^ .
n suit de la, /i,_^^ = fi^^, e^^^ = — e^^ .

En continuant de cette mani^re, on voit aisement qu'on aura en general

En posant dans la demi^re Equation n=zk — 1, on trouvera,
Or il est clair que s^^ est la m^me chose que 1; car on a en geni^ral,
done en faisant m = 0,

maiSjR = r*+^> ^^^^ ^.i = l, et par consequent,

tf = 1.

n. Soit en second lieu s^ z=:cs^ ^.
On a, ^ = A^it-^ + ^*^ ^t^.i=^*.i-^*-i+Vi'

Or, ,.^_r^^=_2,^^, done,

Cette equation donne,

1

Done des equations,
on obtient en ajoutant.

On a de plus.

^k+i — ^»-i-

.2

^M-i + ^k • ^*+i — ^»-i + Vi • "^t-a

62

et puisque, ^M.i = ^*-i ^* ^*~*-i

on en conclut s^, = — . ^

En continuant de cette mani^re, on aura,

c'est-i-dire, s^^ est independant de x.

Cette propri^te des quantites *, s^^ s^ etc fait voir que I'equation s^j^=za
est identique avec I'equation ^^= o^^.^^^ et que T Equation ^^^^^ = 1 est
identique avec i'equation ^^= s^^^. II suit de la que, lorsqu'on cherche la forme
de R qui convient a 1' Equation s^j^=z a, on pent au lieu de cette Equation poser
s^=za^.s^^, et lorsqu'on cherche la forme de R qui convient a I'equation
.v^^_j= 1, il suffit de faire ^^=j^_^, ce qui abr^ge beaucoup le calcul.

16.

En vertu des equations (41) et (42) on pent donner k F expression (40)
une forme plus simple.

a) Lorsque m est pair =£Ar, on a:

''^ ^-»«C^)+..s(^)+...+...C^+i..sQ^-

b) Lorsque m est iinpair = 2A: — 1, on a :

17.

Pour appliquer ce qui precede a un exemple, prenons I'integrale

V (jr* + oix^ + p^^ + yjT + 5) '
On a ici (5^ = 4, done les fonctions ^, s^y s^, s^... sont du premier degre, et
par suite I'equation ^m = const ne donne qu'une seule Equation de condition
entre les quantites a, /?, y, (J, e.
Faisant

a?*+aa:» + /?a:*+ya:+d=(a:*+aa:+6)* + c+^a:,
on aura.

68

Poor abr^ger le calcol, nous ferons c = 0 ; done s = ex, et par consequent,

c' est-a-dire

X I a

/* = f- , 6 = 6.

e ' e

De plus

rj = r — 2« = a:*-j-€M:-}-6 — 2ft = a:* + a:p — 6,

w w C

/ \ i s'^ + ax—b ) 2

e e

ae ^^ e*

,, = r^ — ^^^^=^ + _^ — A,

Soit maintenant en premier lieu

Alors r equation,

s^ = constant

4b 1 4ab . .

donne A = 0,

par consequent, r = a^-{- ax,

c'est-a-dire, puisque u = -^^^ , s=iex,

e

r (3jr + a)dx _. j^ /j«-hgjr-hv/ig\

Cette integrate se trouve aussi facilement en multipliant la differentielle en liaut
et en bas par x.

Soit en second lieu s^ = constant.

Dans ce cas la formule (43.) donne, k etant = 1 ,

Or r equation s^ = const donne * ^ = w, dune,

4i^ , 4ab ,, 4 ^^^
e ' e

64

L' equation de condition sera done ^1 = 0, c' est-a-dire,

e=: — 4aA,
done Rz=:{x^-^ ax-f- bf — ^abx.

De plus, ^ etant = ^^ , r =, a^ -^ tix '\-h^ r^'=za^'\-ax — 6, on aura
ia fonnuie,

Soit en troisieme lieu «, = const
Cette equation donne « = ^ , > c' est-a-dire,

On tire de 1^,

c = — 26 (a±K(«* + 4*)).

La formule (44) donne par eonsequent, puisque A: = 2,

y ((jr« + fljT + i^)« - Mjt (a± y/a^ + j))

Si par exemple a = 0, '6= 1, on aura eette integrale:

•/ l/((^a+l)« - 4x) V2+1 - v/((j^* + l)*-4r)>' ^ jr«-l - v^((x2+ l)«-4r)/

Soit en quatri^me lieu ^4 = eonst.
Cela donne s^=zcs^j e' est-a-dire :

On en tire, en comparant Ics coefBciens et ensuite en eliminant c,

. (g -J. 4a6)« = 166" — c (« + 4a6),
e* + 6a6 . c = 86» — 8a*6»,

e = — 3a6 =F K(8** + «'*') = — 6 ((3a ± V'Ca' + 8*))- .
En vertu de cette expression la formule (43) donne,

p (fer + ia-^v/(a» + 8d))rfj __ ^^ / ja + gjr + & + y/jt \

, |^„/ja + aj:-&+^jt\ ^ x;ra + a J + ^g (g - v/(a« + 8ft)) + /^N

"•" » V*» + gx-i- v/il/"^^ '*^\r» + aj: + Ja(g- v'Cga + M)) - /«/'

65

Si FoD fait p. ex. 0 = 0, 6 = ^, on obtiendra:

De cette mani^re on pent continuer et trouver un plus grand nombre
d'int^grales. Ainsi p. ex. 1' integrate

peat s'exprimer par des logarithmes.

Nous avons ici cherch6 les integrates de la forme /-^ qui peuvent s'ex-

primer par une fonction logarithmique de la forme log \^^ /J) • ^^ pour-
rait rendre le probl^me encore plus general et chercher en general toutes les
integrates de la forme ci-dessus qui pourraient s'exprimer d'une mani^re quel-
conque par des logarithmes; mais on ne trouverait pas d' integrates nouvettes;
car le theor^me suivant tr^s remarquabte a lieu:

"Lorsqu'une integrate de la forme / -^~, ovl q et R sont des fonc-

"tions enti^res de x^ est exprimable par des logarithmes, on pent tou-
"jours I'exprimer de ia mani^re suivante:

"ou A est constant, eip et q des fonctions enti^res de x!'
Je me reserve de demontrer ce theor^me dans une autre occassion.

vn.

Recherche sur la serie

^_^m^_^m^^_^m.{m-l)(m-i) . ^ _,_... etc.
1 1«2 1*2*3

1.

iSN I'on fait subir au raisonnemeiit dont on se sert en general oil il s'agit des
series infinies, nu examen plus exact, on trouvera qu'il est en entier pen satis-
faisant, et que par consequent le nombre des theoremes, concernant les series
ittfinies, qui peuvent ^tre consider^ <^mme rigoureusement fondes, est tr^s
liffiite. On applique k 1' ordinaire les operations de T analyse aux series infi-
nies de la m^rne maniere que si les series etaieut finies, ce qui ne me semble
pas p^rmis sans demonstration particuliere. Si par exemple on doit multfplielr
deux series infinies I'une par T autre, on pose
K + ««i + ««2 + ««« + etc.) {v^ + v^ + t;^+t;3 + etc.)=Mo«^o+K «^i+^^«^o)

Cette Equation est tr^s juste lorsque les series «/o4" ^^i 4" • • • ^^ ^o + *^i4"*"
sont finies. Mais si eiles sonf infinies il est d'abord necessaire qu'elles con-
vergent, car une serie divergente n' a pas de somme, et ensuite la • serie du
second membre doit de m6me converger. C'est settlement avec cette restric-
tion que r expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu' ^
present on n' y a pas eu ^gard. C est ce qu'on se propose de faire dans ce
traite. Il-y-a encore plusieurs operations semblables k prouver, p. ex. le pro-
cede ordinaire de la division d'une quantite-par une serie infinie, celui de 1' Ele-
vation d'une s^rie infinie a une puissance, celui de la determination de son lo-
garithme, de son sinus, de son cosinus, etc.

Un autre procede qu'on trouve frequemment dans 1' analyse, et qui assez
souvant conduit aux contradictions, c'est qu'on se sert des series divergentes
pour revaluation des valeurs numeriques des series. Une serie divergente ne

67

peut jamais dtre ^gale a une quantity determinee ; elle est seulement une ex-
pression jomssant de certaines propri^tes, qui se rapportent aiix operations aux-
quelles la serie est sujette.

Les series diyergentes peuyent quelquefois servir avec succ^s de S3rniboles
pour exprimer Tune on 1' autre proposition d'une mani^re abr^gee; mais on ne
saurait jamais les mettre a la place des quantites determin^es. Par on tel pro-
cede en peut demontrer tout ce qu-on vent, 1' impossible aussi bien quiB le
possible.

Une des series les plus remarquables dans Tanalysealgebrique est celle-ci:

Lorsque m est un nombre entier positif, on salt que la somme de cette serie,
qui dans ce cas est finie, peut s' exprimer par (l-f-^)"*- Lorsque m n'est pas
un nombre entier, la serie ira a I'infini, et elle sera convergente on divergente,
selon les differentes valenrs qu'on attribue ^ m et ^ :r. Dans ce cas on pose
de mdme T Equation

(l + xr=lH-^.:r + -^^.;r« + etc.
mais alors T^galite exprime seulement que les deux expressions

ont certaines proprietes communes desquelles, pour certaines valours de m et de
X, depend I'egalite des valeurs numeriques des expressions. On suppose que
I'egalite numerique aura toujours lieu, lorsque la serie est convergente; mais
c'est ce qui jusqu'a present n'est pas encore demontr^. On n'a pas m^me
examine tons les cas oil la serie est convergente. Lors m^me qu'on stq^pose
r existence de 1' equation ci-dessus, il reste pourtant k chercher la valeur de
(1+^)% car cette expression a en general une infinite de valeurs differentes,
tandis que la s^rie 1 -j- mx -|- etc. n' en a qu' une seule.

Le but de ce memoire est d'essayer de remplir une lacune par la reso-
lution complete du probleme SHivant:
"Trouver la somme de la serie

+ -J- • ^ + lT2 • ^ + 1.2.3 • ^ + ®*^*
"pour toutes les valeurs r^elles on imaginaires de x et de m pour les-
"quelles la serie est convergente."

*

68

II.

Nous allons d' abord etabHr qaelques th^r^mes n^cessaires stir les series.
L'exellent ouvrage de M. Cauchy "Cours d' analyse.de V ecole polytechnique^^
iqin doit £tre la par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches ma-
tiiematiques, nous servira de guide.

Deftnition. Une serie quelconque

^0 + ^1 + ^a + • • • + ^~ etc.

sera dite cmtvergente^ si pour des valeurs toujours croissantes de m^ la somp
t?^ 4" t;^ -f- . . • -f- 1;^, s'approche indefiniment d'une certaine limite. Cette limitc
s'appellera la somme de la serie. Dans le cas contraire la s^rie sera dite
divergente, et elle n'a pas de somme. D'apr^s cette definition, pour qu'une
86rie soit convergente, il est neccessaire et il sufiit que pour des valeurs tou*
jours croissantes de m, la somme i;^ + ^m+i "}"•••"!" ^m+n s' approche inde-
finiment de z^ro, quelle que soit la valeur de n.

DonCy dans une s^rie convergente quelconque le terme general i^^ s'ap-
prochera indefiniment de zero"^).

Theareme L Si en d^signant par q^^ q^^ Q^...une serie de quantity

positives, le quotient -^^ pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approche
indefiniment d'une limite a^ qui est plus grande que 1, la serie

«0 Po + «i Pi + «ai P2 + • • • + *ni pm + • • •

oil €^ est une quantity qui pour des valeurs toujours croissantes de m ne s' ap-
proche pas indefiniment de z^ro, sera neccessairement divergente.

Theorhne II. Si dans une s^rie de quantites positives Po + Pi + P^ • • •

-f- Pa 'e quotient -^^ pour des valeurs toujours croissantes de m s' approche

P-

]nd6finilnent d'une limite, qui est plus petite que 1, la s^rie

^oPo+ ^ Pi + *« Pa + • ' • + ^m PmJ

ou ^09 ^i9 ^a ete* ^^^^ ^^^ quantites, qui ne surpassent pas Funit^, sera neces-

sairement convergente*

*

En eflbt d'apr^s la supposition on pent toujours prendre m assez grand
pour que q^^^ < ap^, Pm+«< «Pm+i> • • • Pm+n < «Pm+M- ^ suit de \k que
Pm+k < a* • pm «t par suite

*) Pour abr^ger, «n sfgnifiera dans ce m^moire par o une quantity qui pent ^tre plus
petite que toute quantity donnde.

69

Qm + (>m+i + • • • + Pm+n < Qm+n (1 + « + «* + .. .4- a") < ^,

done a plus forte raison

*m 9m + ^m+i 9m+v + ^m+B ?m+n < yj^ •

Or Qjg^^ etant < a'' . ()jq et a < 1, il est elair que ()m et par cops^ent la
somme

*m Pm 'T' ^m+i • Pm+i 'T ' ' ' r ^m+n Pm+n

aura z^ro pour limite. La s^rie ei-dessus est done convergente.

Thiareme III. En d^signant par t^^ t^, ^2''*'^m ^^^ ^^^^^ ^^ quantlt^s
queleonques, si Pm = 'o + 'i + '2 "^" * • • "f" 'm • • • ^st toujours moindre qu'une
quantite d^termin^e d, on aura

oil ^0, «^, f 2 • . . sont des quantites positives decroissantes.
En effet on a

*o=Poy *t=Pi—Po^ *2=P^—Pi ^*^-
done r == f^^^ + e^ {p^ — p^ + e^ {p^ —p^) + . . . + £„0?„ —Pm-dy
ou bien

Or les differences f^ — 6^, e^ — fa?'-- ^^^^^^ positives, la quantite r sera ^vi-
demment moindre que S^q*

Definition. Une fonction f{x) sera dite fonction continue de x entre les
limites x=ia et a:=&, si pour une vaieur quelconque dear interm^diaire entre
ces limites, la quantite f\x — §\ pour des valeurs toujours decroissantes de /?,
s'approche indefiniment de la limite f{x).

Theoreme IV. Si la s6rie

f(a) = i?o + «^i« + ^2«*+ • • • + ^ma"+ • • •
est convergente pour une certaine vaieur d de a, elle sera aussi convergente

pour toute vaieur moindre de o, et, pour des valeurs toujours decroissantes

de /?, la fonction f{a — /?) s'approche indefiniment de la limite /*(«), suppose que

a soit egal ou inferieur k d.

Soit ^o + «^i« + ---+^m.i«^"^* = 9(«)>

^ni«" + ^m+l«"^*+ etc. . . . = t//(«), ; i.

on aura i^<«) = (|-)" . t,^^ + (^J^^ . v^^,3^' + etc.

done, d'apr^s le th^or^me (IE), ^(a) <(—-)"./> j J» designanf la plus grande

70

des qaantites 1;^^^* i?bi^*+ i^m+i^"^*, '^'m^* + «^b»+i^"*^* + t;n,+ad~+* etc. On
paurra done pour toute valeur de a, egale ou infi^rieure k 6^ prendre m assez
grand pour qu'on ait

Or f{a) = 9(«) -f- V^(«)> done f[a) — f{a — ^) = 9)(«) — q){a — /?) + (».

De plus q){a) etant une fonction enti^re de a, on peut prendre /? assez
petit pour que

9(a) — 9)(a— /9) = a);
done de mdme f{a) — /{a* — ^=zio,

ce qu'il fallut d^montrer.

Theareme V, Soit

^o + ^i* + ^a^*+--- etc.

une serie convergente, dans laquelle v^, v^, v^... sont des fonctions continues
d'une m^me quantity variable x entre les limites x = a et x=zb^ la s^rie

f{x) = VQ + v^a + v^a*+...
0(1 a<d^ sera convergente et fonction continue de x entre les mdmes limites.

II est deja demontre que la serie f{x) est convergente. Que la fonction
f{x) est continue pourra se d^montrer conime il suit
Soit

% + «^i« + • • • + ^m-ia""" = 9(^X

on aura

f{x) = (f{x) + %i){x).
Or

^(:r) =(-f )••. r^^cJ- + (^)"^^^.„^^cJ«^i + (^)"^^^„^^*«-.^+ etc.

done en d^signant par 6{x) la plus grande des quantit^s t?md*, t?m***"}"^m+i^*^N
/?„(J'"+«?„+jd*+^ 4" ^m+a*"^* etc. on aura en vertu du th^oreme (III):

v(^)<(-|-)".fl(^)

II suit de la qu' on peut prendre m assez grand pour qu' on ait t/; (x) = c», et
que par consequent aussi

oil 0) est moindre que toute quantity assignable.
On a de mdine

71

done f{x) — f{x — /?) = (p{x) — ^(ar ^- |J) + w .

Or par la forme de (f{x) il est clair ^'on peut prendre /? assez petit pour

qa'on ait

tp{x) — fp{x—§)=i,a,
d' oil r on tire f{x) — f(x — /?) = ».

Done la fonction f{x) est continue'^).

Theoreme VI. Lorsqu'on designe par (>o, (>^, q^ etc. q'^^ q\^ ^\ etc
les valeurs nameriqiies des membres respectifs des deux series coAvergentes

et »'o+ »\ + «j'j^+ . . . =/!',
si les series

Po + (>i +(>« + •••
C'o+ (>'i +(>« + •• •

sent de m^me convergentes,
la serie,

r^ + r^ + r^ -f- . . . , dont le terme general est,

sera une noavelle serie convergente, qui aura pour somme,

K + «», + »a + • • •) K + ^'i +«'', + • • •)•

En faisant,

f 'm= ^'oH- ^''x + • • • + »'m>

on Toit ais^ment que

+i»'o«'aB H-;*'! ».»-! + • • • +/»'m-x «'m+j(= «'))

^)!'"*

'^) Dans Toavrage cit^ de M. Cauchy on troure (page 131) le tht^or^me suiTant: "Lors-
"que les diflTt^rens termes de la sdrie, Uq + t^i + 1«2 + • * * ^^c* "^^^ ^^^ fonctions d'nne
'*mdme variable s^ continues par rapport h. cette variable dans le voisinage d'une va-
'*leur particuli^re pour laquelle la st^rie est convergente, la somme 8 de la sdrie est
"aussi, dans le voisinage de cette valeur particuli^re, fonction continue de s'^ Mais
il me semble que ce thdor^me admet des exceptions. Par exemple la s^rie,

tiin 9"^^ sin 29 4--} sin 89 — ...etc.
est discontinue pour toute valeur (2irt+l)ic de s^ oti m est un nombre entier.. II y a,
comine bn sail, plusieurs series de cette esp^ce.

72

Soit

et C'o+e'i +(>', + ••• = «'»
il est Clair qae sans ^gard au signe on aura,

' < « (C am + C am-l + • • • + C'm+l)
t' < tt' (p,m + Pam-l + • • • 4* Pm+l)

Or les series c© H* d + C, + • • • > ct (»'„ + P'l + c'a + • • ^t*"^* convergentes,
les qaantit^ f et /', pour des valeurs toajuurs croissantes de m, s'approche-
ront ind^finiment de la limite z^ro. Done faisant dans F^qaation (a) m infini,
on aura,

»*o + »•! + »*a + »•» + etc- = K + «', + «', + *^^) (^0 + ^1 + ^'i + e*c-)
Solent ^0, ti,t^, etc., f'g, f'^, ^'^ etc. deux series de qnantit^s positives

et negatives, dont les termes. gen^raux s'approchent ind^finiment de z^ro, il

suit du theor^me (II) que les series,

'o + 'i"H"'a«* + **c., et t'„-{-t'^a-{-f'^tt*-^etc.f oil a signifie one quantity

inferieure a ¥ unite, doivent ^tre convergentes. II en sera de ni^me en attriboant

a chaque terme sa valeur numerique, done en yertu du theor^me pr^c^dent:

h t'o + (^ <'o + <o f,)«^ + (^ ''o +t,f^ + t^ t'^)a* + etc.

••• + (<« t'o + «m-l t\ + «n.-« <'* + •••+ ^0 fm) «* + ©tC.

Maintenant si Ton suppose que les trois series,

''o+«',+ ^ + etc

'o t'o + Ci ''« + to t\) + (<a <'o + *x <'i + 'o ''a) + et<^-

soient convergentes, on trouvera en vertu du theor^me (TV), en faisant dans 1' e^
quation (6) a converger vers 1' unite:

(<<, + ^ + 'a + -")(^+^ + ^ + --.) =
'o t'o + (^ *'« 4 'o t\) + (<a/'o + tr t\ + *o ''») + «*«•

in.

Examinons maintenant la serie propos^e,

En la d^signant par 9)(»t), et faisant pour abr^ger, 1 = 7Ro, — - = mj,
'"^'"'^^ = m„ et en general *" ' ^"''^>: ' ' ^'^^^^ = w^, on aura:

f •

73

1. fp (m) = m^j + m^x + ni^ix^ + • • • 4" fn^j^xi* + ®t^*
II s'agit d'abord de trouver les vaieurs de m et de or pour lesqiielles la

serie est convergente.

Les quantites m ei x pouvant en general aossi £tre imaginaires, soit

x-^ia + bY — 1, m=zk+k'y—i,

oil Oy by kj k sent des quantites r^elles. Substituant ces vaieurs dans T^qoa-

tion (1), elle prendra la forme

ohp et q sent des series dont les termes ont des vaieurs r^elles.
On pent trouver ces series de la mani^re suivante:

Soit («•-}-&•)* = «, — = coS9), — = sin9),

OL a

et Ton aura

^ = a (cos (p + y^ — 1 . sin y),
oil a et 7 sont des quantites r^elles, et en outre a est positive* Si Ton fait
de plus

— ^ — = d^(cos r^ + y—i . sin Yf,) = y-— C ,

on trouvera

,, = [(i^)-+.(^)-]Ve.,,= l-^; sta,, = ^.

Si dans F expression

!ll^±L — d^(cos r^ + V—l . sin y^),

on fait success! vement ^ ^gal i 1, 2, 3, . . • jci, on obtiendra /t^ Equations qui
6tant multipliees terme k terme donneront

^ _ m(m-l)(m-2)...(in-tx + l) __
^ 1.2.3 |i.

i^.d^.d^ ...df, (cos(yj+y^4. ...^ y^)^y^i . sin(;'i+y^+ . . . +y^))
On tire de 1^, en multipliant par

a/* = a^(cosg)+T^ — 1 • sinfqp)^ = a^(cos^9)+T^— 1 • sinw)>

m^a/*===(/.di.d^.*3...*^(cos(^(p+yj+y^+...+y^)+V^— l.sm
ou bien en faisant pour abr^ger

m^ . a/* = A^ . a^(cos e^+ T^ — 1 • Sitt Ofi)'
L'expression (1) se cbange par Ik en celle-ci,

iO

74

9)(m)=l+Aj«(cosfl,-f K— 1 • sine,) + i^^a^icosO^ + y—l . sinflj + • . .

+ X^af^ (cos Of4+V — 1 . sin ©^) + . . .
ott en celle-ci,

(p{m) = 1 4" ^1^ • cos©,4' ^a^* • cosfl^-f" • • • + ^f^^^ • cosfl^+ • • ®^^-
+}/" — 1 (A^a . sin e^ + Aj^a* . sin d^^ + . . . + A^a'* . sin fl^ + . . etc.)
On a done

^=1 + A,a . COS0,+ ^a^*- cosfl^+ • • • + ^f*^^ • cosfl^ + • • •

q=z X^a . sin e, + ^a«a . sin 6^ + • • • + ^u^^ . sin fl^ + • • •

2. _

Or je dis que ces series seront divergentes on convergentes selon que a est
sup^rieur ou infi^rieur k T unite.

De Texpression pour A^ on tire A^u4.i=^^u+i • ^/*j ^^^'^c
et

mais

'-=[(^)*+(i^)7.

done pour des valours toujours croissantes de fi, d^ s'approchera de la limite
i, et par suite -^i de la limite a.

Done en vertu des theor^mes (I) et (D) du paragraphe precedent les
series p et q seront divergentes ou convergentes suivant que a est sup^rieur
ou inferieur k T unite. 11 est done de m^me de la s^rie proposee q){m).

Le cas ou a=:l, sera traits plus bas.

Comme la s6rie 9>(m) est convergente pour toute valeur de a inf(§rieure a
r unite, sa somme sera une certaine fonctiou dem et de^r. On pent, comme il
suit, etablir une propriete de cette fonction k Taide de laquelle on peut la trouver:
On a

(p(n) = w^j+ w,ar+ ^^^ "I" • • • 4" ^/^^ 4" ^*^
oil n^ d^signe la valeur de m^ pour m=n. On en conclut suivant le th^o-
reme VI:

76

+ (W+ *!*'/"-> + 's**/^ + • • • + </«''o) + etc.
oil tf,=mf,xf, t'u=nftxff suppose que la s^rie da second membre soft conver-
gente. En snbstitnant les valeurs de t^ et t'ft on aura:
ip{m) * (p(n) = m^no + {m„ n^ + m^ n^-\- (m^ «, + wij w^ + wi,no) x, + . . .

-f- (»lo »«/*+ »*i »/<-i +»»a»(U-« + + »W/«Wo) afl"+ . . .

Or d'apr^s une propri^te connue de la fonction m^ on a

(m + n)^=zm^n^+mj^ w^_. + wi,^-i+ • • • + ^/^ ^o>
(m -f- 9i)a designant la valeur de m^ lorsqu' on y substitue m -}- ^ ponr m. On
aura done par substitution:

(p(m) . 9(») = (m + n)o + (»t + ^)i ^ + (^ +^)a ^ + • • • "f" (»w+ w)^^+ etc.
Or d' apr^s ce qui precede, le second membre de cette equation est une
serie convergente et precicement la m^me chose que (p(m -f- n); done
3) q){m) . q){n) = (p(m-\-n).

Cette Equation exprime une propriete fondamentale de la fonction (p{m).
De cette propriety nous deduirons une expression de la fonction sous forme
finie a Faide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.

Comme on a vu plus haut, la fonction q){m) est de la forme /i-j" 9^^ — ^'
p et q etant toujours reels et fonctions des quantit^s A:, A:', a et ^, et m = A:
-|- k'Y^ — 1 , a: = a (cos fp + V — 1 • sin qp). Soit

p -{- q Y — 1 = ^ (c^s s + Y — 1 •sin ^),
et Ton trouvera

(p* + 9^*)*= r, -^ = cos ^, -^ = sin ^,

r etant toujours positif et s une quantity r^elle. Soit

r ^==^f{k, k% s = i/;(Ar, A:'), et Ton aura,
3')/i+y|/"—l=9(;t+*']/^— !)==/](*, ArO(cost/;(Ar,A:')+K^

On tire de la en mettant successivement l^ V eik-^-l^ h* -^-V k \^ place

de A: et A:':

y(^+^'K-l)=/l'.^')(cosi/;(/,Z') + K— 1 sin i/;(/,f)),
^p(^+Z4.(;ti+f )|/-.l )=/][^+Z, *'+Z')(cos if^(A:+/, A:'+Z')+K-l • sin i/;(Ar+/, A:'+Z')>

Or en vertu de T Equation <p(m) . (pip) = qp(m+w), on a,

9)(A+Z+(A:'+Z')K— 1) = g)(A:+*'V- 1) • 9('+^'K— 1).
en faisant w = A: -f- A:' V^ — 1, » = Z 4- ?>/" — 1. Done en substituant, on obtient,

10*

• _ t

76

flk^l, k'-{-f) [cos Vi^+h *»+/') 4- V— 1 . sin V(*+^ *'+^)]=

/TAr,^). A?, /') [cos (tp(A,*')+v(4/')+ 1^-1 . 8iii(v(A:, A')+v(/,/')].
Cette Equation donne, lorsqa' on separe les termes r^els des tennes ima-

ginatres :

f{k+l,k>-\-l') . sin v(*+/.Ar'+f)=/(A:,A') .f(l,l') . sin (ti)(k,k') -i-ipm')).
En carrant et ajoutant ces Equations membre 4 membre on aura:

(/•(*+4 k'+i'))* = {fik, k') . f{U V))\

et de \k

4) f{k+l . k'+C) =f{k, k') . /(^ I').

En verta de cette equation les prec^dentes se transforment en celles-ci:

cos t^(*+/; A' +/') = cos (rp{k, k') + V'(^ I'))
sin i;;(A:+ «, A' -f /') = sin (v;(*, *») + ^{l, I'))
d'ou Ton tire,

5) ^{k-\- Z; A' 4- ?) = 2»i7r 4- ^(k, k) + v(4 ^') ,
m ^tant un nombre entier positif ou n^gatif.

Maintenant il s' agit de trouver les fonctions f[k, k') et ^(A, k) des equations
(4) et (5).

D'abord je dis qa'elles sont des fonctions continues de k et tc entre des
limites quelconques de ces variables. En effet d'apres le tb^oreme (Y) p et q
sont ^videmment des fonctions continues.

Or on a,

f{k.k') = (p^+q^)'i COS ^p{k, If) =y^; sini/;(A:,A:0 = -^;

done f(kf k^) de mdme que cos \p{kf A:') et sin tf;(A:, k') est une fonction continue.
On pent done supposer que "^(k^k') est aussiune fonction continue. Nous aliens
d'abord examiner F Equation (5). Or "^(k^k') ^tant une fonction continue^ il faut
que m pour toutes les valours de A:, k'^ Ij I' ait la m^me valeur. Faisant done
successivement / = 0, A: = 0, on obtient^

^p{k, k + /') == Zmn 4- '^{ky k*) + i/;(0,/%
i/;(/, A:' + /') = 2»i;r + 1/^(0, A:') + t/;(/, /').
En ^liminant de ces Equations et F Equation (S) les deux quantit^s ^(A:, k)
et i{;(Z, Z'), on trouvera,

Soit pour abr^ger

77

OB aura,

7) «(*) + «(0 = ff -f fi(* + 0

Faisant ioi successivement l=kf iky ...(jky on aora,

%e{k) = a -f e{ik) ,

e(*) + fl(2*) = a + «(3A:),
«(*) 4- 6(3i!:) = a + 0(4*) ,

e(it) + %-!)*= c -f %*).
Ed ajoatanit ces Equations on tronve,

7') 9B{k) = {q—l) a + e{Qk).

On en tire en faisant A: = 1 ,

%) = 9{6{1) — fl) + «,
on bien en faisant 0(1) — a ^ c, ,

8) B{q) = c . (> + a.

Voilk done la valeur de ]a fonction B{k)y lorsqae k est un nombre entier.
Mais la fonction 0{^) aura la m^me forme pour toute valeor de ky ce qa'on
peat d^montrer ais^ment comme il suit:

Si r on pose dans I'^quation (7') k = -^, oil (i est on liombre entier,

0{iJi) = Cjt* 4" ^

Done en snbstituant et divisant par q on trouve,

* (f ) = - (-f-) + r ■

L'^qaation (8) a done lien pour toute valeur positive et rationnelle de^.
Soit /= — ky r Equation (7) deviendra,

e{k) + <?(— A:) = a+ e{0).
II suit de \k en posant Ar= 0,

0{0) = a, et par eons^quent 0{ — k) = 2a — 6{k).
Or k 6tant rationnel et positif on a 6{k) = cA: -f- ^ » donc^

e(^*) = — cifc + a.
L' equation,

9) . fl(*) = c* + a,'

78

a done lieu poor toate valeor rationnelle de k et par cons^ent^ poisqae 6Qc)
est one fonction continue, pour tonte valeur reelle de k.

Or e{k) = ^^{k, *'+/'), et a = 2mit + v(0, k) -\ i/;(0, I'); faisant done
cz=id{k, V\ on obtient

10) if»(*, ^+ /')= <? (**. ^') • *+ 2»»«+ V (0, *•) + V(0, /')•
On tire de \k en faisant A ^ 0',

Cette Equation ^tant de la in^me forme que 1' Equation (7), elle donnera de la
m^me mani^re:

i/;(0, k)=ifi' .k— 2m7ty
oil /?' est une quantite ind^pendante de k.

Mettant /' a la place de k', on obtient t^(0, ?) = — Smn + /?'''•

Substituant ces valeurs de ^(0, k) et de i/;(0, /') dans Tequation (iO) on
en tirera

On voit par Ik que 6 {k, /') est une fonction de k -|- i'- ^^ ^^ d^signant par

^p{k, k'+l')=iF(k'+f) .k + fi'ik+l') — imn,
et par consequent en faisant /' ==: 0 ,

^(Ar, k') = F(A:') . k + /5'A:' — 2mn .
En remarquant que

^p{k, A:' 4- /') = 2wt;r -f tp(*, k) + i/;(0, /')>

r Equation pr^c^dente donn«,

F{k' + /') k +./?'(A:' + /') — 2mn = 2w;f+ ^A:*) . k+fi'k — imn+ fi'l'—^n.
'Cest-a-dire:

/\^ + /') = l^A:*).
Done faisant k'=0, on obtient F{1') = F{0) =: fi =i Fik). Par suite la valeur
de 'tp{ky k) prend la forme,

H) t;;(Ar, A') = /? . A: + /J^A:* — 2m7r,

(} et /5' etant deux constantes. Cette valeur de ^{k^ k) satisfera a T Equation
(5) dans toute sa g^n^ralite eomme il est ais^ de voir.
Maintenant nous allons examiner F equation,

f{k + l,k'^l')=::flk,k).f\l,t).

79

f[kf k) itant toajoors niie qoantit^ positive, on peat poser :

od F{k, k*) signifie one fonction r^elle continue de k et k.

En substitnant et prenant les logaritbmes des deux membres, ontrouvera,

Fik-\'l,kf-\-f) = F(k,k')-\-F\l,l>).

Comine cette equation coincide avec Y equation (5) en mettant F k]a place
de % et 0 k la place de ^ elle donnera en vertu de F Equation (11):

12) F{k, k') =1 dk -{• d^ky

on d et d^ de m^me qne /9 et /J^ sent deux quantit6s ind^pendantes de Aetde^'.
La fonction f[ky k') prendra done la forme,

Les fonctions %p{ky k^) et /{k, k') etant trouvees de cette mani^re, on anra
d'apr^ r equation (3^,

13) 9)(A:+A:'K— l)=c'^^'^''''(cos(/J*+/J'*0+T^-l-sm(/?*^

on il reste Encore k trouver les quantit^s 6^ d"^ fiy ^y qui ne penvent £tre qae

des fonctions de » et de g).

On a

^{k + kV—i)^P + qV-i.
ou p et q sont donnes par les. Equations (2). En separant les qnantites r^elles

des imaginaires/ on aura :

. ( e^^ ■*■ ^'!^' cos (/?A:+/S'A:')=14- Ai a . cos flj+Aaa* cos 6, + • • • + V^^' ^^® ^^+^te-
^\/^^^}'^m{§k+^k') = Aja.sinfii4.;.3a*sinea+...-f A^ce^.sine^+etc.

IS

Nous aliens d' abord considerer le cas ou m est r^el, c'est-i-dire ou
Alors les expressions (14) prennent la forme,

/.''cos/S*=l-}-lacoS9+^^:^ a*c50s2(p + -^!^:?^^

e^ sin ^k = ^a sin y+M^ a»sin2(p+ K^'^W^'^) «» sin Sy + etc.=6!(«),

Pour trouver d et /?, soit A: = 1, et T on aura :

e^.cos /? = 1 4" « • cos y ; e^.sin /? = a . sin g).
On tire de la,-

e^= (1 + 2a cos g) + a*)*,

^^^ ^ 1 + a cos o «• i^ a . sin o

COS p s= ^ i — -, sin p =: ^ r- 9

(1+2 a cos 9 + a*)* (1 + a cos 9 + a*)*

tang/J

asm 9

1 + a cos 9

80

Cette derni^re 6^ation donne, en d^ignant par s la plus petite de tontes
les valeurs Ae fi qai y satisfait, et qui est toujours renferm^e entre les limites

IL et —,

fi etant nn nombre entier positif ou negatif.

Par Ik les ^qaations (15) se cbangent en celles-ei:

f(a)=ie. cosk{S'^/in)=ze . cos ks. cos k/irr — e. sin ^<f . sin Ar/ijr,

#rk #rk «fk

0(a)=ze^ sin^(^-f'i^^)=^^- sin A::^.cos Ar/i^r-f-^- cosA:^. sin A:/i7v.
De ces Equations on tire,

cos kfin = e~ (f{a) . cos ks + 0{a) . sin A::^),

sin kfin == e (0(a) • cos ks — f\a) . sin ks) .
Or, d'apr^s le th^or^.me (IV), 0(a) et f{a) sent des fonctions continues de
a; il fant douc.qne cos k/in et sin k/in conservent les m^mes valenrs pour
toate valeur de a. li soffit done pour les trouver, d'attribuer une valeur qnel^
conque k a. Soit a=:0, et Ton aura, en remarquant qu' alors e^ = l,/(a)=:l,
0(a) ==0,^ = 0,

cos kfin = 1, sin k/in = 0.
Substituant ces valeurs dans les expressions de f[a) et 0{a) et se rappe-
lant que e^'nz (1 + 2a cos V + «*)* > ^^ obtiendra:

f{a) = (1-J- Zacostp -{-0^)2. COB ks, 0(a) = (1 + 2a cos 9 + a*)asin ks.
Done enfin les expressions (15) deviendront:

k

1+ ^ a cos 9 + -i^ a* cos £9) + ^^I^^^ a* cos Sop + etc.==(l + 2o cos 9 1- a*)i". cos A»,
16){ *•* *•'•• k

4-a Sin 9) + 4^«*8iii2y +^^=5^a» sin Sy + etc.=(l + £a cos 9 + «*)« . sin A*.

^ £tant renferm^ entre les limites ^ et t|- -^ et satisfaisant k T^quation

tang s

2 • 2

a • sin 9

l+a.cos9

Les expressions (16) sont Stabiles les premieres par M. Caudiy dans Touvrage
cit^ plus baut

La quantity a est ici siqiposee moindre que I'unit^. On verra plus bas
que a pent aussi dtre ^gal k I'unit^, lorsqu'on donne k la quantity k une valeur
convenable.

81

Dans ce qui pr^de nous avans trouv^ les quantity d et /?• Maintenant
nous allons montrer comment on pent trouver les deox autres quantites incon-
nnes d' et /T. Faisant pour cet effet dans les Equations (14) A:=:0 eik'=zn^
on obtiendra:

e'^"cos(/rw)=l +A,a cos 0^ + h^^ cosd, + • • • ®*c-
/"sin {^n)=i l^a sin fl^ + V* sin d^ + • • • «t^-
oil A^=*i.^a.d,...*^, ^/i=iW9+n + y«+- •+//"> */* ®* y^ ^t^* d^tennines
par les 6piations

''•=[('^)'+(f)*]' «'*^'-=-^> '^"'=^-

De ces Equations on d^duit les suivantes:

^^^-^^ — = -^iL . a cos OM — ^ a* cos 0- + . . .

« It * * ft ' '

e^?«in(M ^^.^^tng,+ .^a>sing, + ..>
Or en supposant 7t positif on a, A^=^^z=7t, done -^=^'3.^3...^^, et par suite

e ."cosCM-l _ ^ cos <?! + (J^a* COS 6^ + *o(^,a' COS 0, + . . .

.cf'n

"^ ' "^(ft^^) =asine^ + (J^a* sin fl^ + d/.a' sin ^3+ ...

Ces series sont convergentes pour toute valeur de n, zero y compris, ce qu'on
voit aisement par le theoreme (IT). En faisant done n converger vers la limite
zero, et remarquant que les series d'apres le theoreme (V) sont des fonctions
continues, on obtiendra:

d' = a cos 0\ + d\u^ cos 0\ + f^\6\a^ cos e'j + . . . ,
pr = a sin e\ + (T^ec* sin B\ + <J'.(J's«' sin 6', + ... ,

2

oil d' et ^ sont les limUes des quantites ' "c«K^'«)-^ et '^ ' ""^^'"^ ; d

II n ' ^

est la limite de fl^ et d'^ celle de 8^* Or d'apres Texpression de d^ on

a d'^ = ^~ ; done cos y^ = — 1 ; sin y^ = 0 (iorsque ^ > 1), done

co8(0'^) =: cosCuy + /i + y, + . . . + y^) = 4. sin (uy) . (— 1>«,

sin (<?'^) = sin C«<p + /i + ya + . . . 4- y^) = — cos {fi(f) . (— 1>«,

oil il faut se rappeler qu'en vertu de 1' equation

nV— 1 = dj (cos y, + Y— 1 sin yj ,

on a 008^1^=0, sinyj=l. Done les valeors de /9' et d' seront celles-ci:

11

82

^ z=za . cosy — ^a* . CQs2f> -f- \a^ . cosS^ -r-r . . .

De cette maniere on a trouv^ les qaantites ^ et d' par des series infinies. On
peut aussi les exprimer en forme finie. Car on tire, de I'^^ation (IS):

7-i = a . sm 9 -]- -T-iT- a'" . sin^y + ^ , i o »■. smSy + • • •

II suit de la en faisant k converger vers z6ro :

jyN {dz=za C0S9) — ^a*. cos 29) ^--ytt'cosSy — etc.

(/?= a sin 9) — ^a*. sin 2(/) + -j^* sin Sy — etc.

done ^ = i, d' = — /?.

»

Done les expressions (14) prennent la forme

lg\ (l+Ajacos(?j^4-V*c^s0j-4-.-.4-V«^cosfl;^+---==^*^"^^'^^^
^ ( Vsin^i+V''sin02+--- + 'LA^«^s»n0^ + ...=e^»^'''^'sin(/?A:^

oil d=z= ^ log (1 + 2a cos 9 + ^% fi = *rc tang C ^""^ j ; or la somme de
la s6rie proposee etant=^ 4" yV^"^ !> ^^ ^^^

i , m , mj(m--l) -B 1 m (m — 1) . . ■ (m — [i.H-1) ^,, j^
l-hy^i 172-'^ + 1.2. . . fx "^ ^"•

_ ^./?k' (cos (/?;t + (5A') + >/"— 1 . sin (^& + (5^)),
oil Ton a m=ik'{-k'y^ — l,x=za (cosy+V^ — lsiny)=a+6V^ — 1; done
a==K(«*+&*)jacos9===a,asin9===6,d==^lQg(l + 2a + a*+6*)==

^ = arc tang C- j . Substituant et ecrivant 7n pour k et w pour k\ Texpres-

sion ci-dessus prend la forme:

, (m+n V/-1) (»+n yZ-l-l) (OT-2+nt/-1) , , ^ }/ — 'l)' + . . •
1.2.3

y\ i.^.o..«|A>

= ((l+a)«+6«)T^c""''*'*"^(M^)[cos(m.arctang(A-) +l«log((l + fl)«+6*))

+ ]/ — 1 .%\a(m. arc tang (t-^) + | » log ((1+ff)* + ^))j •

Cette expression, comme nous avons vu, de m^me que I'expression (18) a lieu
pour toute valeur de a==]/(a'-{-^), inferieure a I'uoit^

88

£a (aisant {k ex. (=^0, naatOi ob a Text^i^ssiOtt

de laquelle noas tirerons parti ci-apr^s.

IV.

Dans ce qui precede on a trouve la somme de la s^rie proposi^e toutes
les^fois que a=|/^(tf*+ft*) est inferi^ur k I'unite. Il reste encore k examiner
le cas oil cette quantity est egale k 1.

Nous avons vu par le th^oreme (IV) que lorsque a s'approche indefint-
meiit de I'unite, la sMe

s'approchera en m^rne temps de la limite ^oH~^i'~h^2"f~ « - * suppose que cette
demi^re serie soit convergente. En faisant done dans les expressions (18)
a converger vers I'unit^, on aura

0|\ (l + AiCOSfli+>2COS0jj+.., + A^COS0^ + ,..===:6^'M'»t'COS(/?^+*^^^

^ I AjSinfli+;2Sinea+--- + >l/^sin«^ + ,..===:^M'^'6in(/?,Ar+^^^^
oil d, et fi, sont les limites des quantites d et /?, suppose que les series, contenues
dans ces Equations, soient convergentes. Or il est clair que ^ log (24-2 cos qp)
est la limite de d; et que

arc tang (^^^^ = arc tang 2'Co«^9;«^M9 = arc tang (tang ^a>)

est celle de /9; on a done

22) d, = ^ log (2+2 cos (p) , /?, = arc tang (tang ^ (p) .

II reste done seulement a examiner les cas oil les series sotit convergen*
tes. Pour cet effet il faut distinguer trois cas: lorsque k= — 1, ou compris
entre — 1 et — oo; lorsque k est compris entre 0 et -}- oo, et lorsque k
est compris entre 0 et — !•

Premier cas, lorsque k est igal a — 1 ou compris entre *-^ 1 et -^^ oo.

.,=[(i=Mi)v(f)7.

Faisant done ^= — 1 — n^ on aura

^.=[(W+(f)7. ' ,

d'oii Ton voit que d^ est toujours sup^rieur k Yuniti.

Or on a ^^=^1.^2.^3...^]^, done pour des valours toujours croissantes de

11 *

84

fly Xf, ne convergera pas vers is^ro, done en verta da ft^orime (1) les series
(21) sont divergentes.

Deuxihne cos, lorsqae k est positlf.

Supposons qu6 c soit une quantite positive Inf^rieure h. k^ od attra
{^—k—l-\-cf—{ii—k—\)*+2c{ti—k—i)+c\
done

Cu— Ar— .1)*+A:"=0"— A— l + c)*H-A«— c*— 2c(^— A— 1).
Si r on fait yt>;t+ i_^c-}-^

il en suit que k'^ — c^ — 2c {fi — k — 1) est n^gatif, et par consequent

(^_/:_ l)*^. ^'« <(^ _/:_ 1 -[. c)\ c'est-i-dire

Si dans Feqaation (20) on fait a = — , m= — n, on aura

V ■ |t / |t ■ 1.2 (JL* JJL ' 1.2 pL« V 8jJL / '

Done en faisant n=:l-f-A: — c, on voit ais^ment que
11 suit de la qae.

En posant successivement /i = 0, 1, 2, 3 . . • /19 et faisant le produit des
r^sultats^ on obtiendra:

A A A ^ /" Pli_Y+*^''

^e+l • ^e+« • • • ^QH* ^ Vp + 11, + 1/ ,

or A^,^ = ^j . d; . ^, . . . d^^^, done A^^^ < *i . ^^ • • • *? • (p-fa-fi) ,
par consequent lorsqu'on fait /i == 0, 1, 2 • • • /i,

Si maintenant dans F expression (20) on fait a = =, m = — *+cr,

on aura

fl 1 ^=H !^ , jk-c) (t>c+i) , ^^^ ^^^^ ^^ g^ rappelant

V p+jt+l/ — ' P + JI. + 1 ~ 1.2(p+ji.+l)« •

que k>c:

85

p + H- Y^ > 1 4- *^^

p + jji + iy *^ p + jji + l'

II suit de la, en divisant par (k — r) (() + jti -f- 1)*^:

1

(

{k—c)\ (p + |jl)i^-c (p + jt + 1 )k-c /

Cela donne, en faisant /i = 0, 1, 2 . • . ju, et ajoutant:
11 1 -L/'J 1 \. 1 1

(p+l)i+k-c + (p+2)l+k-c +•••+ (p + j|.4.1)i+k-c < k-cXpy^-c (p+ji.+ l)W<ft-c ' pk-c •

n soit de Ik qne

ponr tonte valenr de /i. Done la sirie 1 + ^o 4" ^i "h ^« 4" • • • > d^"** tons les
termes sont positifs, est convergente, et par consequent d'apr^s le th^or^me

■

(D) les series

1+^1 cos 0^ -f- Aj cos ^a 4" • • • "h ^i" c^s 6^ + • . .

Aj sin 6^ + \ sin ©a + • • • + A^ sin 6^ + . • .
seront de m^me convergentes.

Traisihne caSj lorsqne k est egal a z^ro on compris entre zero et — 1.

Dans ce cas les series ci-dessns seront convergentes pour toute valenr de
Ar, pourvu que (p ne soit ^gal a {2n -f- 1)^*

Cela pent se d^montrer comme suit:
Soit
m=A:+A:'V^ — l>ar=:cosqp4"l^ — lsinqp,etl+»ii:r+»i,:i:*+wijar'^....+»tnar"=/in

En multipliant par 1 -f- ^ on obtienf^

Or on salt que »ii + l===(m+l)i,(wia+mj===:(m+ l)a...(mn4-mn_j)===(^
done en substituant:

Maintenant si T on fait n = oo, le premier membre de cette Equation sera
d'apr^s le cas precedent une serie convergente. En la designant par Sy on aura,

s = p^{l + a:) — m^ (cos (w+ l)<p + j/"— 1 . sin (w+ l)<p),
on n est infini. Or on pent d^montrer comme dans le deuxi^me cas que
iHq =z= 0 pour n = oo. On a done,

s=zp{i-\~x)^ oil /!= 1+^1 ^ + ^^4- ^te, in inf.
Cette equation donne, sinon X'^i:=iO:

9
-^ 1 + X

86

La serie p QSt done alors coovergente, et par consequent les series ci-dessns
le sent de mdme.

Si ^-[-1 = 0, on a 1 -j- cos 9+V^ — l.sinysziO, doncsin9 = 0, l-f-cos9=0,
c' est-&-dire q> =^ (2n -j- 1)^9 n ^tant un nombre entier positif ou negatif. Done
les series en question sont convergentes pour toute valeur de k comprise entre
0 et — 1, sinon (p = (2^+ 1) ^*

Lorsque y =:(2n-f-l)n', les series sont n^cessairement divergentes, car
si alors elles etaient convergentes, elles auraient pour somme les limites des
fonctions,

^kcLk'cf, (cos (kd^+k'd) + y—1 . sin (kd, + k'6)),
en y faisant a converger vers T unite, et faisant /*= {2n-\-i)n*

Or (J = 1 log (1 + 2a cos 9 + a«), d^ == arc, tang (-A!1!L?_) , done pour

qp = (2?i«}-l)^j ^=log(l — a), ^1 = 0. La fonction en question prendra
done la forme (1 — a)^ [cos (k' log (1 — a)) + V—i . sin (k' log (1 — a))].

Or k etant egal k zero ou negatif^ il est clair que cette fonction en y
faisant a converger vers F unite, n'aura pas de limite finie et determinee.
Done les series sont divergentes.

De ce qui precede il suit done, que les series (21) out lieu pour toute
valeur de qp, lorsque k est positif, et pour toute valeur de (p pour laquelle sin q>
n'est pas z^ro^ lorsque k est compris entre — 1 et 0, quelle que soit d'ail-
leurs la valeur de k\ Dans tout autre cas les series sont divergentes. Dans
le cas que nous examiuons la serie generate (19), lorsqu'on y fait 6' 4"^^=^= 1'
ou ft = |/^(l — a*), prend la forme:

1 + "'•^"/-^ (a-|-|/(a«-i))+("'+"V^-t)('"-l+"V^-^) («4-V-(««-l))«

, (m+«/-l)(m-l+B/-l)(m-2+Bv/-l) ^^^-^i^t^i^y _^ gtC
1 • 2 • 3 ^ f

=(2+2a)? e "^ * + *[cos^m.arc-tang|/^ ^4.^wlog(2+2«)j

+ V— 1 sin (m. arc* tangj/^i^ + ^ wlog(2+2«))].

Voici un resum^ des resultats precedents:
L Lorsque la serie,

1+ ^i±!L^(a+6|/-_l)+ (m-Hiv/-l)(m-l.f>»v/-l)^^_^^^_^^,^^^^

1 X • ^

52)

87

X • m •••• Ut

est convergente, elle a pour somme,

-— -n.arc.tang( — V-) r- / • z \ \

((14.a)«4.A«)*. !> '''■^'^[cos(m. arc. tang (jA^)+.^log((l+a)»+A*))

+}/'— l-sin (wi.arctaHg (^)+|log((l+a)*+6*))].

D. La serie est convergente pour toute valeur de m et Tt, lorsque la cpiantite
KC^* + V) est inferieure k X unite. Si K(a* + A*) est egal k F unite la serie est
convergente pour toute valeur dc m comprise entre — 1 et -(- oo, sinon en m^nie
temps a = — 1. Si a = — 1, m doit 6tre positif. Dans tout autre cas la
serie proposee est divergente.

Comme cas particuliers on doit considerer les suivants:

A. Lorsque n == 0.
On a alors;

= ((l+«r+**) *. [cos {m . arc. tang . (j^)) +V- 1 • sin (»» • arctang (j^))]-

Cette expression donne, en faisant a = a . cos <p, 6 = a . sin qp et en se-
parant les termes reels des imaginaires:

il-\'^a'eoH(p-^ "*! 1 ^ a'.cos2y+etc.=r(l + 2«cosy+tt^)Tcosrm.arc.tang °^^'"^ j>

I ^.asin9+-^?|^^ sin (^ -arc. tang ^^|^).

B. Lorsque 6 = 0.

Dans ce cas T expression generale prend la forme suivante:

i=(l + «)? [cos(wlog(l+a))+K— l.sin(n.log(l-ha))].

C. Lorsque »=0, 6 = 0.
Alors on a:

27) l + -^.a+-^ll).a^+ m(m>l)(m>2) ,^»^, , ,^(i,|,^)m

Cette expression a lieu pour toute valeur de m lorsque la valeur nume-
rique de a est inferieure a 1' unite, de plus pour toute valeur de m comprise
entre — 1 et + oo* lorsque a = l, et pour toute valeur positive de w, lorsque

88

a'=z — 1. Pour toute autre valeur de |e et de m le premier membre est one
serie divergente.

Faisant p. ex. a = 1, a = — 1, on a,

l + -^+*-^^^ + etc.... = 2-,

l_J^+J!!?i^_etc....==0.

La premiere Equation a lieu pour toute valeur de m comprise entre — ^1
et -f- oo, et la seconde pour toute valeur positive de m.

D. Lorsque >^(a* + **) = ^ (a = cos y, 6 = sin q).
Alors on a,

1+ "'^"^"V«+K(gM))+ ('"+"^^;>^'"-^-^"^-^> (a4-K(«'-l))'+etc.

J» -n. arc. tang -1/" I— a _ , •■ /"I « n \

=(2H-2a) ? c '^ « + » I COS f »i . arctang |/ i^ + J log (2 + 2a) j >

+1^— 1 . sin (m. arctang |/^i^ + J log(2+ 2«f))] •
Si Ton fait ici a = cos m on obtient:
l+^?:^(cosy+T/-.lsiny)+ iP^V-])("l'^'^>/-^) (cos2y+V-l.sia2ff)+.-

»';<=(2+2cosy)? 6 lcosf»i(^9-(>;r)H-^log(2+2cos9)j,

+ K— 1 . sin (m{\(p-i/n)-\- J log (2 +2 cosy))]
marquant que arc.tangl/^— ^ = arc* tang y^ " ^^^ ^ = arc. tang(tang ^ (p\

:^9) — pyr, suppose que ^g) soit compris entre qn — et qn-^—-.

E. Lorsqne y{a* + ft") = 1, a = cos (p, b = sin 9^ n = 0.
Dans ce cas T expression pr^cedente donne.

1 + ^ (cos 9+ 1^. 1 . sin y) +.^Ji^^ (cos 2<p +]/- 1 . sin 2<p) + etc. ] depuis ^(jp = PT - ^

30X - '

(2+2COS9) ? (coswt (^qp — QTi) -^y — 1 . smm(^9) — gn)) Ijusqu'a^y =:()7r+-^

on en s^parant la partie reelle de rimaginaire:

/ ^ \ III • \

l+^cosy+^p^cos29+e

^ sin9+-^^^sin2y+etc.=(2+2coS9))? sinwi(^9)-(>7r)ljusqu'a^9)=()7r+-^.

89

32)

F. Lorsqae a = 0, 6 = tang <p.
Elans ce cas on obtient lorsqae 7 est compris entre -f- -4- ct ^ :

1+ "^"""/-^ .tangy.K-H-<"'-^"^-jn";-^-^"^-^>(tangy.K-l)Vetc
== COS 9>-" e -">^ (cos (mq) — n log cos q>) + Y — 1 • sin {mq> — n log cos 9)).

V.

Od peut par des transformations convenables des expressions prec6dentes
d^doire encore plusieurs autres, entre lesqueUes il se trouve de tr^s remar-
q[aables. Nons aliens en expliquer quelques ones. Pour plos de detail on peut
coiAulter Fouvrage cit^ de M. Cauchy.

A.

Sommation des series

a . cos <p — ^ a* cos 2?) + ^ a* cos Stp — . . .,
ct . sin qp — ^ a* sin 2q> -{' ^ a* sin S(p — ....
Lorsque a est sup^rieur k Tunit^ on voit aisement que ces series sent
divergentes. Si a est inferieur k T unite nous avonsvu plus haut qu'ellessont
convergentes, et leurs sommes sent les quautites /? et <^ du § III, c' est-i-dire en
niettant pour ^ et d leurs valeurs donnees par les Equations (18).

^log(l+2a cosg)-\-a^)^=iacoS(p — ^a^co&2(p'^^a^cos Sq> — eta

^ arc. tang ^ °^^"^ — )=" ^^^ — i "* singy+^a* sin Stp — etc.

Pour avoir les sommes de ces series lorsque a == 4- 1 ou — 1, U faut
seulement faire a converger vers cette limite.

La premiere expression donne de cette mani^re:

i log (2 + 2 cos^) = cosqp — ^cos 29) + ^ cos 3q> — etc.

^ log (2 — 2 cos^) = — cos (p — ^cos 2(p — ^ cos Sep — etc
suppose que les secondes membres de ces equations soient des series conver-
gentes, ce qui d'apr^s le th^oreme (U) a lieu pour toute valeur de (p excepte
pour (p=i (2/i4"l)^ dans la premiere- expression, et pour q>z=:2tJn dans la
seconde, fi etant un nombre entier quelconque positif ou n^gatif.

La seconde formule donne, en supposant q> compris entre n et — n et se
rappelant qu'on a alors

. . arc. tang (^ "°J )=arc. tang (tang ^ 9) = ^ qp :

12

34) 1^

90

35) ^q>=:siaq) — ^sinSqp-f"^^^? — ...{depui8^p=4-^jusqti*a9=-r-7r),
Lorsqu^ 9) = tt ou ;= — n la serie se r^dait h zero, comme on voit aise*
ment U suit de la, qne la fonction:

sin 9 — ^ sin 2(p -^ ^ sin Sq> — etc.
a la propriety remarq[aable pour les valeurs q>z=zn et 9=7 — ;r, d' £tre discon*
tinne. En effet lorsque 7 = Hb ^9 1^ fonction se r^duit k z^ro, si au contraire
9 = db (^ — ^)> ^ ^i^i^t positif et moindre qfue tt, la valeor de la fonction est

± (-f --!-)•

L' expression (33) oontient comme cas particnlier celle-ci:

36) arc tang a = a — ^«' + ya* — ••• ct<^- •

expression qu' on tronve en faisant 9 == -^ .

B.

Developpement de cos mq> et de sin mtp suivant les puissances de tang 9.
On pent deduire ces d^veloppemeuts de T expression (32). En effet en faisant
92 = 0/ et s^parant les parties r^elles des imaginaires, on obtient apr^s avoir
multipli^ par (cos 9)° :

depuis 9= -^ jus({u'a 9 == ^, et ces equations ont lieu pour toute valeur

de m lorsque tang 9 est moindre que 1. Si tang 9)=:±1, elles ont lieu pour
tout m compris entre — 1 et + 00.
Elles sont alors:

III

^^«"(-^)=(4)"o-^+ -Try — )

c.

Developpement de (cos xf et (sin^)" en s^rie^ ordonnees suivant les cosi-
nuB et les sinus des arcs multiples.

Depuis quelque temps plusieurs analystes se soni occup^ du d^veloppe-

91

meat de (cos^r)*^ et (siii;p)? Mais jasqa*& present, si je ne me trompe, tous ces
efforts n'ont pas enti^rement reussis. On est bi^n parvenu k des expressions
jnstes sous eertaines restrictions, mais ces expressions n'ont pas et^ rigou-
reusement fondles. On peut les deduire assez simplement des expressions
d^montr^es ci-dessus. En effet si Ton ajoute les deux Equations (51) aprte
avoir multipli^ la premiere par cos a et la seconde par sin a on obtient:

cos a + ^ cos (a-y) + ^i"^'J) cos {cc-icp) + . . . = (2+2 cos (p)J cos (a- ^ + mgn)

(depuis ^<p=iQit— y- jusqu'i ^9) = gn + -|-).
Or 2-}-2cos9) ^taint = 4 (cos ^9>)*, on oara en faisant q) = 2x:

m 7n(m-V\ Uepuisar=2(w-|.

cos a+rr- cos (a-2ir)+-^i-^ cos (a-4a?)+...= (2 cos a?)"? cos(«-»iar+2»ip»)<

* *•* fjnsqu'i«=2(>«+^

m mim-Vi ( dep.a:^pjn-|

.C08«+-^COS(o--2ar)+-4-5^COS(a-4ar)+...=(-2cosar)?cos(a-»w?+wt(2^+l)w)< „

Si Ton fait ici 1. a^=^mx', 2. a = »u:-}- -=-; 3. tt^=^inyiX=y 1-;

4. a = my — , ar=y ~-, on obtiendra :

!• (2cosar)?cos2JW(>^=:COS»Mr+-^cos(m-2)ar+^^^cos(m-4)ar a:=2(wr — -^

•1- Ik. m m J m

2.(2cosa:)? sin2m();r;=sinmar+-^sin(m-2):r+^J^li sin (m-4)a:+..,fjusqu'aa;=2p^ +"1^

1 1 • 2 \ m

3. (2sinar)? cosiii(2(>+^)7K=eos mx-^ cos (m-2)ar+-^^^^^ cos (»t-4)a;+..( depuis a^

4. (2 sinar)? sin iii(2()+^)7r=: sin mx^ ^ sin(m -2)a?+ ^^^'^) sin (m-4)ar+.. jjusqu'ia?t=(2(>+l);i

5. (-2cosj?)?cosm(2()+l);r=cosiiia;+~ cos (m-2):r+ ^^-^ cos (m-4):r+..| depuis a?t=(2()+^)^

6. (-2cosar)? sinm(2()+l)7rz:sin ma: + ^ sin(m-2)a;+ ^|^" ^ sin(m-4)a;+.. /jnsqu'&a:t=(2(>+|);7

7. (-2 sin xy? CHS m(2(j'^ f );r = cos mx- ^ cos (wi-2):r + ^^^" ^ cos (m-4)a: - . . l depuis x=(2q + l);r

8. (-2sin^)? sinm(2()+f);7=: sinmo;- -^ sin(m-2):r+ ^^I sin(»i-4)a;-../jusqu'iar=(2()+2)7r

Ces formules ont lieu pour toute valeur de x, lorsque m et positif.
Lorsque m est compris entre — 1 et 0 il faut excepter des valours de x:

12-

92

1) dans les formules (1), (2), (S), (6), les valeurs x=i2gn 1-, etx-2Qn+^^

2) dans les formules (3), (4), (7), (8), les valeurs ar=2()7r, et ar = (2p+l)^-
Dans toute autre cas les series en question sont convergentes. Comma cas
particuliers on pent considerer les deux suivants :

(cosar)"=cos nix-\- ^ cos {m - 2)ar -f- ^,1 cos (m — 4)ar4- • • -

1 1 • 2

0 = sin mx-\- -^ sin (m-2)a;-f- ^V^\ sin (m— 4)ar + . . .
Tdepuis X =1 — ^- jusqu' a ar = -^J .

vra

Sur quelques integrates definies.

Mjorsqne one int^grale definie contient une (juantite constante indetermin^e, on
peat souvent par la differentiation en dednire une equation differentielle par
laqnelle I'int^grale definie pent se determiner en fonction de la quantity con-
stante. Cette Equation differentielle est en general lin^aire; done si elle est
en m6me temps du premier degr^, elle pent, comme on salt, s'integrer. Quoi-
que cela n'ait pas lieu en general lorsque Tequation est du second degr^ ou
d'un degre plus eleve, on pent pourtant par ces equations quelquefois trouver
plusieurs relations interessantes entre les integrales definies. Montrer cela
c'est ce qui sera I'objet de ce memoire.

Soit -^-|- + p • -JL. -^ q .y=iO une Equation differentielle lineaire du

second degre entre y* et a, p et q etant deux fonctions de a. Supposons
qu' on connaisse deux integrales particuli^res de cette Equation, savoir y = y^
et y=ztf^^ et Ton aura:

De ces equations on tire en eliminant q ,
Done en integrant

0. 3,.. % _ J,. . % = ,-/,^,

e etant la base des logarithmes Neperiens.

Supposons que les deux fonctions y^ et y^ spient expriuiees en integrales
definies de sorte que y^ =fvdxj y^-=. fudx ^ v et ti etant des fonctions de x
et de a ; cette relation entre y^ et y^ donne en substituant,

94

Cette Equation exprime, cumme on voit, une relation entre les qnatre integrales
J udxy I vdx^ I \Tj^^ I \Tj^' ^ s'agit maintenant de trouver des

integrales qui puissent satisfaire k une Equation diff^rentielle du second degr^.
Il-y-a plusieurs integrales qui jouissent de cette propriety, et que nous allons
consid^rer successivement

I. Sou v = ±±^ et y= p\f±ar^^

le sig^e / denotant que 1' integrale est prise depois or = 0 jusqu' k x=i.

En differentiant la quantity {x-\-ay .x" (1 — xy=r par rapport a ;r, on obtient
dr=dx (a:«.-'(l — ar)^»(ar+a)J'-'(ya:(l — ar) + a(ar-f a) {i — x) — fi{x-^a)x)).
Or

yx{l — x) -\- a (x -\- a) (l — x) — fi(x-\-a)x

=- y («*+«)4-(«(/?+y)+(«+i) («+y)) (^+«)— («+/^+y) (^+«)%

done en integrant entre les limites ;r=0, ar^l, on obtient

De cette equation on tire en divisant par — %- et substituant k la place des
integrales leuf valours en y,

Si Ton met & la place de «, /?, y respectivement 1 — /?, 1 — a, a+Z^+y — *>
on aura ia m^me Equation, done

sont deux integrales particuli^res de cette Equation.

Or j»== — iLtL _ |±I, et par consequent c-/Ri«C.a«+y(14-«)/*fy,

done r equation (0) donne

Pour determiner la quantity constante Csoit a =00, et Ton trouvera facilement

95

c'est-jt-dire

C = — 31 (cot (ajr) -\- cot (/?»)).
Par suite I'^qaation (4) donne

= ff (cot (ajr) + cot (/?»)) . a'H-y (l + af^y.
Le cas ou ;/= — a — /J, m^rite d'etre remarque. On a alors conime on voit
ais^ment:

ox'-f(l-x)'-'»(x+o)*«'~" o/»(H.a)« Vo *'-"(! -*)'-^'

t/ o x>-«(i -*)•-/» r(a+p) ' ^ ' y^

done /"^ ^ =wj:(»..__i

Soit p. exi /? = 1 — a, et Ton aura

ds r(tt)r(l-a) 1

«/«(l-')'

or 7Tl)==l/l«).^l-«)=;n^, done

Sin aTC

/>* ds

„.(jr+a)x'-«(l-*r

«

•mare a'^(l+a)«

n. Soit y=^ I % . En difierentiant on obtient

«/o (i+xy?(*+«y

'Lorsqo' on differentie la fonction j:'"" (1 -f- *) • (* + «)~^ r on obtient,

done pnisqne.

96

9'=(y+i)(i-«)«-((«+y)(i-«)— (y+/?)«)(a^+«)H-(i-«-/J-y)(^+«)»,

dr = (y+ l)a(l-«) . ^^ --((«+y)(l.a).(|?+y)/.). ^'/^

+ (l^a— i?— y) ^II^?

^^ / '' (l + x/(x + oF

On tire de 1^ en integrant

/ do» T^V a 1-a y da ~ a(l-o) ^f

En mettant respectivement 1 — /?, 1 — «, y+«+/^ — 1 a la place dea,/?,y,
il en r^sulte la m^me equation, done

sont deux integrales particuli^res de cette Equation,

Or p 6tant = .?^±I _ 1±X et par suite 6-^^^= ^— ^,

on a en vertu de 1' equation (0)

y %^ — y j^_ 9. .

da » ^^ rfa a"^(l-fl/+^

En faisant a == 1, on trouve C = 0^ et par consequent

c'est-a-dire y^ = Cy^, . C etant une constante. Pour la trouver on fera «= 1,
et on aura

'** .-a

r s-f

»^ o (1 + J

r)^'' «^ o (l+*y^:

y

dx ^ p'" sh'ds

'^ 0

Or /•" ^«fe ^ r(l-a)jr(a+p+T-l) ^^

•^ 0 (1+

,yj+y r(a+p)

r ^-'^ =r(g)jXir)^ done
'^o (i+xy^y r(p+Y)

/>_ r(i-a).r(tt+p+T-i)

r(P).r(T) • ,

par suite \ equation y^ = C^, donne

P" ar^dx _r(l-tt).r(aH-p+T-l) /'°° j^' «/j.

*^ o (l+x)^ (j+a))' r(p).r(Y) 't/o (l+x)'-"(x+a)"+^+''-' *

Si dans I' equation (6.) on met (1 — a) k la place de a et /9 et ce a la place
de a et /?, elle ne change pas de forme. .. ,

97

II siii^ de la qae

est de iu6me nne' int^grale particuli^re de la mdme Equation. On ,a done

9t ♦ -JT If I '

da ^'- da o"+y(l-a/+*'

En mettant xa k la place de x dans T expression de y^, on obtient:

On tronve de mdme, en mettant (1 — d)x a la place de x:

■^ ^ ./«(l+x)y(l + (l-a)x)« '

da

En substitnant ces valeurs, multipliant par fl«+y(l — a),^+y et ^crivant C

au lieu de , on trouve :

T

>oo _rt « y^®*

'-/<&

+ ( —'^)'J^ (l+jr)y (l+(l-a)x)« ' «/ 0 (l+*)y+'(l+o*y

Pour trouver 67 soit a = 0, et on aura :
C— r ''•'^ r ^"^^ _r(l-a).r(l-P) TY« 4- iJ 4- y — 1)

Si Ton fait p. ex. /?== 1 — a, on aura en remarquant que

r(i - «) . r(«) = -j^ , rcy + i)=yr(y):

8in aic

^ o (1+*F (l+ox)--" * ♦^ 0 (1

T.8iii(a7c) »/ „ (1+*)?' (l+o^r)"-" »/ o (l+*)y^=• (l+(l-o»"

^ ^ ' »/ 0 (l+:ry+>(l+ox)L^ «^ 0 (l + JfF (l+(l-o)«)«

Lorsque u-=-'^'=-\ on a:

2;r

^ ^(x(l+x)(l + fl*)) J^ v^(*(l+x)3(l+(l-a»

^y„ v/(*(l+x)(l+(l-a>r) V„ •(*(l+»)»(l+««))

13

98

Toutes ces int^grales peuvent s'exprimer par des fpnctions elliptiques.
En effet, soit x = (tang y)*, et on aura aprfes quelques transformations 16geres

2 ~ t/o v/.(l-(l-fl)8in«<p) '^0 V^(l-fl.8in«9)
"^^ ;^Vo 1/(1 — a8in«9) J . V{l'{l-a)^iji^ffy

c'est-a-dire, lorsqu'on fait a = c*, ^•= 1 — c*,
oil, d'apr^s la notation de M. Legendre,

*'W=/,^V(r^sr^ ' ^'> =/.^'^ . i/-(i - <^ . si. V).

La formule ci-dessos se trouve dans les exereices du calad integral
par M. Legendrcj Tom 1, pag 61.

Dans la formule generate (7) les integrales peuvent s' exprimer par d'autres
dont les limites sont 0 et 1. Soit pour cet effet ar = — ^, et on aura:

. r(Y+l) Vo y«(l-(i-a)y)/» *t/o /(!-«»)"

Nous avons tu plus haut que

/•» ds r(tt).r(p) 1

On pent, comme 11 suit, trouver une expression plus generate de laquelle
celle-ci est un cas particulier. En differentiant I'integrale

par rapport A a on obtient

II suit de la que

da t^M + a^ a J^ a (I + o) (;p + o)"+'»

En multipliant cette Equation par a?{\.-\-iif, le premier membre devient

99

one differentielle complete, savoir ^gale k d(jfiaP{(i -f- a)^)? on aura done en
integrant :

Pour trouver Cy qui pent £tre one fonction de or, nou8 feroiis asssoo.
(hi aura done:

yafi (1 + «)" = y *ctr . a:"^' (1 — x) , et par eons^cpient,

e= rdx.x'-\i-xt' +x\i^xf r^^'^'"^l:;^""' .

Si Ton fait a =i JLlfS^^ et par suite v = ^'^^^ , on trouvera

y-s * *^ ^ a + jp

En substituant cette valear, on obtient

C =f^ '<te . a;"-' (1 — ^r)*^ ^uo^I^ » «* P*' consequent

Si p. ex. a -j" /^ = 1> OB aura

■in (aic) ^«t-i ^0 x + o (1- *)""' *^ " « + a

Si de plus a = ^, on obtient

ce qui est juste, car

/'^ ^f?: = _?_ .are.tangl/'r^±^V

et arc. tang {z) + arc. tang ( — j = -^ •

m. Soit y= p er^^x'^' (1— ^)''"' dx, oh a>0, p>0.
En differentiant par rapport a a on obtient:

kO-l

13

*

100

da Jo

Lorsqa'on differentie la fonction r^=e^x^ (1 — xf p^ rapport, i ;r on
bbtient:

done en integrant depois ;r = 0, jasqa'& a;=l, et sobstituant poor les uit6-
grales lews valear en y, —M- et -^JL :

*» ^' da da^

^+ fJi+i+ 1 V _^+ JL .«=o.

da*~\a~/da^a^
On satisfait aussi a cette equation en faisant

^ex (1 — a?) . cte
a itant positif. Or on a pz=:.^^ — ^-l,donce"'^ ^^ . Done I'^quation
(0) donne:

e*a«+/»

Vi-tr—y

da ^ da ^a ^f^-fi

Si dans ['expression de y^ on met ;r-f-l ^ in place de Xy on tronve

-a /»«> -ax /J_i , ff-i ,

y^-==:e I e ' X (1 -f- ^) • »^>

on bien en mettant ici — a la place de or:

a

_a n. />.n /»«» _x /3Li . , a_i ,

y^z=:e' a r I e-x (a 4-^)- »ir,
-^ = — e"' a ' I e-x ~* (a + a?) . rfir.

Substitnant ces valeurs de y^ -J^ de mdme que celles de y, -^, multi-
pliant par e* a«+^, et faisant a = 0, on trouvera :

C = / e^ dx .X ^^"^ I dx . a;""* (1 — x) *,
c' est-4-dire

c = r(«+/S) . -S|^ = /-(«) . n/S).

On aura done

r(«) . r{0) ^fl e^ dx . x"-' (1 — xfr'fy~'' dx . J"" (o + xf

101

— a I e* dx.x (1 — x)~f ^" dx\^ ir^\\a'^ x)
Lorsqiie /? = 1 — a, on a

• • • ••

%

A'^'^ii^y/?-''^ ■(}+-)'■

sin aic

»/ 0 \l-s / t/ o jr + a \ « / •

IV. Soit

-e • a? itej ou «> 0.
En diffi^rentiant on aura

— ^ = / e . x^ax, -^-^ = / e . X' ax.

da t/ 0 oa* «/ o

Or rf(^r*V) = «fcr . ^V*'a;«->(a+ oar — 2a:«),

done en integrant depuis x=:0, jusqu'^ ;r=cx), substituant les valenrs des

int^grales en y, ^ et --^ et divisant par — 2 on aura :

Cette equation conserve la m^me forme lorsqu' on remplace a par — a, done

yz=y^=i /• V«?-^V7' dx
est de m^me une int^grale particuli^re de cette equation, p etant == — ^o,

on a «"•'= C e*, et par consequent,

^* <fa ^ da

Si, pour trouver la quantite constante C, on fait a==0, on trouvera:

A=y:.^V.^=ir(^),
^=-y:e--x".^=-ir(^),

done en substituant:
et par suite

102

ir(^>/(l)..^=y7«"^di.x-.'y7^',&..'

Si Ton met aj/^ — 1 k la place de ff, on obtient la formule suivante:

a*

+ ldx.e^{^uiax).x^^ f doc. e^ (sin ax). x".

Note. Les qnantit^s constantes (exposants), qui se trourent dans lea int^alea de ce
m^moire, doivent avoir de teilea valears que lea int^ales ne derienneiit paa
infiniea. Cea valeura aont facilea k trouver.

XI.

Sur les fonctions qui saHsfont it V equation
(px -\- (py = rp {xfy +yfx)

L

I

Equation

est satisfaite lorsque

car cela donne

9^ + 9>y = V {^fy + y/a?),

log ar + logy = log ay;
de m^me lorsque

» fy = 1^(1 — y*) et q>x=:ipx=. arc sin ar,
ce qui donne

arc sin a: + arc siny = arc sin (^1^(1 — y*) + y V^(l — ^))*
n serait possible qn'on ponrrait encore satisfaire k la m£me Equation
d'antres mani^res. C'est ce que nous aliens examiner.
Soit pour abr^ger

r equation de condition devient

1) q)X -j- yy = V^.

En diff^rentiant cette Equation par rapport ^ or et a y, on aura en faisant
usage de la notation de Lagrange:

fp'x = i/^'r (-^) et 9'y = ip'r (-^) .
De ces equations on tire en ^liminant la fonction ^f'r.

Or I'expression de r donne

104

done en snbstitaant,

En donnant maintenant a la quantity variable y la valeor particnli^re zero,
ce qui est permis, parce que x et t/ sont des quantites independantes entre
elles, et en faisant pour abr^ger,

V Equation (3) prendra la forme,

aa — tp'x {fx -f- a'ar) = 0,
d' oil r on tire en ecrivant y an lieu de x,

«a — 9'y {fy + «'y) = 0.

Ces deux Equations donnent,

done en integrant,

5) q>x=taa I -— .

De cette mani^re la fonction fpx est detenmn^e par fx. II s' agit done
de trouver la fonction fx. En substituant dans 1' equation (3) les expressions
(4) des fonctions tp^x et (p^y^ et reduisant, on trouvera:

6) (f:t + a^x)(fy + yfx)={fy + a^y){fx + xfy)
d'ou Ton tire en developpant

7) f^fy-V^'^fy+yf^fx+fx^^yf^ — f^fy—^'yfx—^fyfy—^'^yfy=^Oj

ou bien

. • #

8) x{a'fy—fyfy — a'yfy) — y {a'fx—fxfx—u'xf'x) =0,
on en divisant par xy

9) ^{a'fy—fyfy'-a'yfy)-±ia'fx—fxfx—a'xfx) = 0,

Les quantites x et y etant independantes entre elles, cette equation ne
pent avoir lieu k moins qu'on n'ait

4- («'/3^ —fyfy — ^'yfy) = 4- {<^'f^—f^f'^ — <^'^M = Const.
Soit done

10) — (a'fx — fxf'x — a'xf'x) = m^

et on aura:

H) fx {fx + a'x) + {mx — afx) = 0.

Par cette equation la fonction fx est determinee. On pent I'integrer en faisant

105

fx=ixz\
car alors on a f^x . dx == zdx -|- ^dz^
d'ou Ton tire en snbstituant,

{zdx + arife) {xz -|- a'o:) + (p^ — a^xz)dx = Oj
ce qni donne en divisant par x,

{zdx + xd£) {z + a!) + (»t — a'z)dx=i 0,
ou (z{z + «0 + m — a'z) dx + arrfz (^+ «') = 0,

on bien (z* + 'w) ^ + ^^ (^+ ^0 == 0^

on en divisant par ^ (2^ -f* ^)>

lir d%{%'\' a')

done en integrant,

J s J %^ + m t/ «•+»!

Soit m = — n*, on aura

/f = ,.g .,/^. = i ,.g (.. _ „^/^. = ^ i.g

done en sobstituant et ajontant une eonstante c.

2-91

of

\ogc—logx=:^\oe{z* — n^+'sr 'og

s-»

2i» 2+n

a'

on

et de la

i.g^=..g|(^_«v.(^)=}

lis

-^ = (z« — n*)». f i^liL)'.'
Mais on avait fx = xz', done z =s -^ , et par suite en snbstitaant,

c ((/*)«- n«*>)»

^- = -. 1-, r

on bien

V/r+iur/

1^ *' "'

I? = {fx — nx) '° (/ar+w^i?) " 9
ou en el^vant a la 2n™^ puissance,

12) c^" = (/a:— wa:)»+?' (/ar+ n^)«-«'

ar = 0 donne c = a, i cause de /D =: a.
Voila ¥ equation de laquelle depend la fonction fx. EUe n' est pas en g^-
niral resoluble, parce que n et a' sont deux quantites inditermin^es, qui peuv^nt

14

106

— ' *

Illume ^e imaginaires. L'eqaation (12) eontient la forme la plus generate de
la fonction fx^ et on pent d^montrer qu'elle satisfait a I'^quation de condition
donnee dans toute sa g^nerallte. En effet la fonction fx satisfait k 1' equation
(11), et on voit par la forme de F Equation (9) qu'elle satis£ut aussi k cette
equation. Or F Equation (6) est F^quation (9) sous une forme diff^rente. Done
la fonction fx satisfait aussi a Fequation (6). De F Equation (6) on tire F^qua-
tion (3) en faisant q>'x=z ^— - et Fequation (3) donne en faisant xfy-\^

jS + (X wT "

yfx=iri

En integrant cette Equation diflerentielle partielle par les regies connues
on trouvera:

r:=F((fx+(py\
et de \k tpx -^ (pt/ z==l 'ipr ,

ou 9^+9^ = V(a?^y+yA)>

ce qui est Fequation de condition donnee.

II reste encore a trouver la fonction ^p. Pour cet effet soit y =:r (^ on

aura en remarquant que fO=ia^

(pX'=L%p {(ix) — <pO,

ou en mettant ~ hu lieu de x^

a ,

On trouve done, en r^sumant, que les formes les plus gen^rales des fonc-
tions, satisfaisant k Fequation de condition,

q^x+qytzi^^ixfy + yfx)
sont les suivantes:

wx = aa I -p —

oil fx depend de Fequation

a*» =z(fx — nxy-^ (fx+ Ttxfr
Soit par exemple

am aura

» = tt^ = ^,

107

a = /i? — ^;
done ^=:a + y^;

et par suite ^x:=zaaf - — =aa log (a4"^)+*>

ou i^x ^=1 ik '\- aa log(a*+ar)*

L' equation de condition devient done
A:-faalog(a+;r)+A:+aalog(a-fy)=2A:+ aalog(a*+a?(a+^y)+y(a+ia?));
ce qui a effeetivement lieu, car les deux membres de cette equation se redui-
sent h

ik-^-aa log (a*+a^+ay+^).
La fonction (fx est trouv^e ci-dessus en forme d'une int^grale. On pent aussi
trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes en supposant
la fonction fx connue. Savoir soit

fx'^nx'=iv et fx — im?=<,
r Equation (12) donne

done ^n+«' = «*» . t^'\

et de la < = „"t«'t,«'+» •

Or fx=!i^{v+t) et iMf=^»—<),

»n cc-n

/ »" ip-n

done A = ijv+a"^'t?^^^

In €f'-ii

d'oii Ton tire en diiferentiant

to '2VL

\ 2n 2iz(a'+it) )

On trouve de m£me

done '^ =z *' i

fx + a'* («+a')i»

14*

108

ce qui donne en integrant,

y* ds 1 1 . ^^^ ffs ^
fs + ol's «+a' ^ ooT '

oil c est une constante arbitraire. En mettant done pear v sa valeur/ar-|-nar,

on aura

ad

13) <px = ^^^, log {cnx + cfx).

Dans les deux cas, a' = oo, et n = 0, la fonction /"or prend une valeur
particulifere. Pour la trouver, il faut recourir a F Equation differentielle (11).

Soit d'abord »=:0,
r equation (11) donne, a cause de m = — n*:

fx{fx -j- a'x) — a^fx = 0.

Soit fx-=,zx^

on trouvera — = ^^- — - = -— ,

et en integrant

log d + log ar = — log z + — , ou \o%{&xz) = — ,

ou, puisque

log (c/;r) = -— - , ou a^x = /i: log (c/or).

Pour ;r = 0, on a 0 = a log r'a, done r'a = 1 et c' = — ,
done 14) «'ar = fx log {^-S >

ou ««? = {i!Ly.

C^e Equation determine done la fonction fx dans le cas ou » = 0»
L' Equation (13) donne dans ce cas:

<p;r = -?^log(^;r) = -^logca + -^log(4-);
en vertu de (14) on a log (— ) = ^ ;

aa 1 I aox

done 15) ifx^=z -?^ log ca +

De plus

as

16) i;;;r==(pO + 9)(-^)=?^ log ca +

^(f)'

109

L' Equation de coudition devient done:
aoL

ooL ■ I flour . acL i^_ ^ • flow 2aa i _ i «(^ + yA)

c'est-a-dire on aura

17) af{j^&^)^fxfy.

Poar examiner cette Equation nous mettrons an lieu de x ei Ae y leurs
valeurs de Tequation (14) savoir ^log \^—) et ~ log (— ); c® ^ domie:

en faisant pour abr^ger

19)

/r/3rlof(^)

r.

aa'
n suit de la:

2 log a + log ^ = log ifxfy).

fr

Or en vertu de T equation (14) on a log-^^ =

done en substituant

20) 2log« + 5L = log(/-;r/y). '

Mais puisque fr = £.J£. (18), on a en vertu de (19) . — - = r,

done -^ = log \f^\ et par consequent: 2loga + logr^:^^)=log {fxfy),

ce qui a, comme on voit ais^ment, effectivement lieu.
* Soit ensuite a' == oo.

En mettant dans ce cas T Equation (11) sous la forme:

it est clair qu'on doit avoir xfx — fx=iOy lorsque m est finL II faut done que

^^— r — = — , on fx ^=.cx.

Si m = — pa^

on a xfx — px — /';r = 0.

no

Soit fx = xz^

wP aura x{xdz + zdx) — (/> + ^^) dx=zQ^

oa xdz^=Lpdx\

done z^=:p log co: = ^^, et par suite

s

fxzmpxXogcXn
Pour trouver (p;r, on substituera la valeur de la fonction fx dans F^qua-
tion (3), et Ton aura a cause de /^ar=/?logi?ar+/i:
9'y {py log cy + yp log ex + ;?y) — y'ar {px log ca: + 071 log cy + />ar) = 0;
done en divisant par p (log (^xy -f- 1)

yy'y — ary'ar = 0,
done xtp^x = A: et rf^ar= ,

et de 14 9);r =: A: log ?n;r.

L' equation de condition donnde deviendra done:

k log mx + ^log my = 1/; (arpy log cy + ypa: log cx\

ou A: log w*a?y = if (pxy log c*a?y),

ou en faisant pxy log c^xy z=.rti xyzznVj

ipr = A: log mh).

Par le mdme proe^d^, qui a donn^ ci-dessus les fonctions qui satisfont a

r equation^ ,

(px -{- (py =z tp (xfy + yfx),

on pent trouver les fonctions inconnues dans toute autre equation k deux quan-
tit^s variables. En effet, on pent par des differentiations suecessives par rap-
port aux deux quantit^s variables trouver autant d' Equations qui sont necessaires,
pour ^liminef des fonctions queleonques, de sorte qu' on parviendra k une Equa-
tion qui ne contient qu'une seule de ces fonctions, et qui sera en g^n^ral une
Equation diffErentielle d'un certain ordre. On pent done en gEuEral trouver
chacune de ces fonctions par une seule Equation. II suit de Ik qu'une telle
Equation n' est que tr^s rarement possible. Car, comme la forme d' une fonction
queleonque contenue dans T Equation de condition donnEe, en vertu de T Equa-
tion mEme, doit Etre indEpendante des formes des autres fonctions, il est Evident
qu'en gEuEral on ne pent considErer aucune de ces fonctions comme donuEe.
Ainsi par exemple F Equation ci-dessus ne pourrait plus Etre satisfaite, si la
fonction fx eftt eu une forme diffErente de celle qu'on vient de trouver.

X.

Note suT le memaire No. 4 du second tome da journal de M. CrellSy ayant
pour titre ^*remarques sur Us series infinies et leur convergence.'^

l^n troave pag. 34 dans ce m£moire le th^or^me suivant pour reconnattre si
une s^rie est convergente ou divergente:

"Si r on trouve que dans une serie ittJSuiie le produit du n"' tenne on da
"n"* des groupes de termes tjui conservent le mcime signe, par rty est z6ro ponlr
^it=oo, on pent regarder cette seule circonstance comme une marque^ que la
"serie est convergente; et reciproquement, la serie ne pent pas dtre conver-
"gente si le produit n.a^ n' est pas nul pour n = oo."

La demi^re partie de ce th6or^me est tr^s juste , mais la premiere ne
semble pas T^tre. Par exemple la s^rie

21og2 ^^ SlogS "^ 4iog4 * * " niogn ,

est divergente quoique na^^=i'z soit z6ro pour n=:oo. En effet les loga-

log n

rithmes hyperboliques dont il est question sont toujours moindre que leurs
nombres moins 1, c' est-&-dire, on a toujours log(l-}-^)<^* Si ;p>1 cela
est Evident Si^:r<l on a

log(l + ;r) = a:— ;r»(i-^ar)-.;^(i.-iar)...
done aussi dans ce dernier cas log(l-f-^)<^9 puisque \ — ^, \ — ^ sont

tons positifs. En faisant ar=: — > cela donne

log(l + i) < 1 ou bien logl±^ < K

on

log(l + n)<l. -f- iog7i<(l+ .^i— )logw:

done

log log(l +»)<l0g l0g» + l0g(l + -jj~—

112

*

Mais puisque log(l-|-^)<^, on a log(l-| — )<-i > done cnverta de

V n log It / n log n

Y expression pr6cedente,

loglog(l+w)<loglog»+ -^i^-
En faisant suceesslvement n=2, 3, 49... on trouve

l[oglog3<!oglog£ + .^i^,

loglog4<loglog3 + j^^

loglog5<loglog4 + .^.j— ^,

loglog(l+n)<loglog» + -^^jj^,
done, en prenant la somme,

loglog(l+»)<loglog£ + —1— + -i— + -pi-p . . . + -^ .

o o\ I /-- & © ^ 21og2 * SlogS ' 41og4 * nlogn

Mais loglog(l-f-^)=oo poor n=;=:cx>, done la somme de la s6rie propos^e

-51 — s- +' •=-; — 5- + -n — r • • • H r" — ©St infiniment grande et par eonse-

21og2 81og3 ' 41og4 ' itlogn ^ '^

qnent eette s6rie est divergente. Le th^or^me enone^ dans I'endroit cit6 est
done en d^faut dans ee eas.

En g6n6ral on pent d^montrer quMl est impossible de trouver one fonetion

(pn telle, qu'une serie qneleonqne flr,,+ flrj+ aj+ a, . . . + «„? dont nous sup-

posons tons les termes positifs, soit eonvergente, si q^n.Oj^ est z^ro pour n=:oo

'et divergente dans le cas contraire. C'est ee (ju'on pent faire voir a Taide

du theor^me suivant

Si la s6rie «^4" ^1+ ^» • • • + ^n • • • ®st divergente, la suivante

^+^-^^— + ?i ....+

«n

• • • •

le sera aussi. En effet, en remarcpiant que les quantit^s a^, a^, a,, . . . sont
positives, on a en vertu du theor^ine log(l-f-^)<^9 demontr^ ci-dessus,

c' est-^-dire

log(l + "^ ) < !b

done, en faisant sueeessivement n=l, 2, 3, . . .:

113

a

>og(ao+«i) — >ogao< -L,

"0

l0gK+«l + ««) — >OgK + «l)<-T^^»

logK+«i- —+«^o) — log(ao+«i.--+ai».i)<

et en prenant la somme.

l^gK+«i— +«n)— logao< ^+ r~V- • • • +

An

Mais si la s^rie iio4*^i4*^*- *"h^n ^^^ divergente, sa somme est infinie et
le logarithme de cette somme Test ^galement; done la somme de la s^ie

— ^ -4 ^ — ...-A ^—^ est aussi infiniment grande, et cette sirie est

par consequent divergente, si la serie «o+^i+^- • • + ^'^1 Yest Cela pose,
supposons que ^nsoitune fonction de n telle, que la serie %'^a^'\-a^...'^aj^...
soit convergente ou divergente selon que tpn.aj^ est zero ou non pour n^=oo,
Alors la s^rie

9I "^ 92 "^ 98 "^ 94 '^911
sera divergente et la serie

+ _i

/ 1 , 1 , I l^\-*

'^V'^"^"^"^'^'-* 9(11-1)/
convergente; car dans la premise on a ajfpn=zl et dans la seconde an9)n=0
pour n=ioo. Or selon le theor^me etabli plus haut, la seconde serie est
necessairement divergente, en m^me temps que la premiere; done une fonction
(pn telle qu'on I'a suppos6e n'existe pas. En faisant (pn=znj les deux series
en question deviendront

\ If -1 /

qui par consequent sont divergentes toutes deux.

15

XL

Memoir e sur une classe particulidre ef equations resolubles alffebriquement.

Ml est vrai que les equations algebriques ne sont pas r^solubles generalement;
mais il y en a une classe particuliere de tons les degr^s dont la resolution al-
g^brique est possible. Telles sont p. ex. les equations de la forme a:^ — 1=0.
La resolution de ces equations est fondle sur certaines relations qui existent
entre les racines. «rai essay^ k gen^raliser cette remarque en supposant
que deux racines d'une Equation donnee soient tellement liees entre elles,
qu'on puisse exprimer rationnellement Tune par T autre, et j'ai trouve, qu'une
telle equation pent toujours etre r^solue a Taide d'un certain nombre d' Equa-
tions mains elevees. II y a m^me des cas oil Ton pent resoudre algehrique-
ment V equation donn6e elle mSme. Cela arrive p. ex. toutes les fois que, I'equa-
tion donnee Etant irr^ductible, son degre est un nombre premier. La m^me chose
a lieu encore si toutes les racines d'une Equation peuvent Etre exprimEes par

x^ dXy ti^Xj (jl^Xj . . . d^^Xj ou 6^x-=Xy
6x Etant une fonction rationnelle de x^ et ti^x^ 6'ar, . . . des fonctions de la mEme
forme de Oxy prise deux fois, trois fois, etc. . . *

L' Equation = 0, si 7t est un nombre premier, est dans ce cas ; car

en designant par a une (acine primitive pour le module n, on peut, eonotme on
salt, exprimer les 9t — 1 racines par:

c' est-i-dire en faisant x^ = ftr, par :

ar, OXy b^Xy e^x, 6"-*a?, ou O^-^x = x.

La mEme propriete convient h une certaine classe d' equations qu'offre la
thEorie des fonctions elliptiques.

En gEuEral je suis parvenu k dEmontrer le thEorEme suivant :
"Si les racines d'une equation d'un degrE quelconque sont liEes entre-elles de
sorte, que toutes ces racines peuvent Etre exprimEes rationnellement aumoyen

115

de r one d' elles, que nous designerons par or ; si de plus, en d^signant par 6x,
O^x deux autres quelconques des racines en question^ on a

ee^x=zd^ex,

r equation dont il s'agit sera toujours resoluble alg^briquement. De mdme si
Ton suppose inequation irreductible et son degr^ exprim6»par

oil a^, a29--*-^a) ^^^^ d^^ nombres premiers diff^rents, on pourra reduire la
resolution de cette equation a celle de v^ equations du degre a^, de v^ Equa-
tions du degre a^ de r, equations du degr6 a, etc."*

Apr^s avoir pr^sente generalement cette theorie, je Tappliquerai aux
fonctions circulaires et elliptiques. '

§. 1-

Nous aliens d'abord considerer le cas oil Ton suppose que deux racines

d'une equation lirr^ductible"^') soient liees telleinent entre-elles, que Tune puisse

^e exprim^e rationneilement par i'autre.

Soit

1) 'q>x=zO

une Equation du degre //, et x^ et x^ les deux racines qui sent li^es entre-elles

par r Equation

2) X' = OX^y

oil 6x designe une fonction ratio nnelle de x et de quantites connues. La quan-
tite X* etant une des racines de i' equation, on aura 9(0:') =0 et en vertu de (2).
3) (f{px^=zO.

Je dis maintenant que cette equation aura encore lieu, si an lieu de x^ on
met une autre racine quelconque de T^quation propos^e. On aura effective-
ment le theoreme suivant**^).

*) Une Equation ^s = 0, dont les coefficiens sont des fonctions rationneUes d*un certain
nombre de quantitds connues a, ft, c, . • . s'appelle irrMuclible, lorsqu*il est impossible
d'exprimer ses racines par une liquation moins dlev^e, dont les coefficiens soient ^a-
lement des fonctions rationneUes de a, ft, c, • . .

**) Ce thdor&me se d^montrera aisi^ment comme il suit:

QueUe que soit la fonction rationnelle /r, on peut toujours faire /r:=: -r^, oil Met JV

sont des fonctions cnti^res de s^ qui n^'ont pas de facteur commun; mais une fonction
euti^re de s peut toujours dtre mise sous la forme P+Q.<fs, oil P et Q sont des

15*

116

Theorhne I. ''Si line des racines d'une Equation irr^dnctible 907=0 satte-
fait k une autre Equation /*a:=0, oil fx designe une fonction rationnelle de x et
des quantit^s connues qu'on suppose conteuues dans tpx*^ cette derni^re Equa-
tion se trouvera encore satisfaite en mettant au lieu de x une racine quelconque
de 1' equation q>x=.0'^ mais le premier membre de I'Equatioia (3) est une fonc-
tion rationnelle de x^ done on aura

4) (p(6x)'=0^ si 9:r=0,

c' est-^-dire, si x est une racine de T equation (px^=zO^ la quantite 6x le sera
Egalementl

Maintenant, en vertu de ce qui precede, 6x^ est une racine de F Equation
(pxzzznOy done 00 x^ le sera aussi; egalement OOOx^j etc. le seront encore en
repEtant T operation designee par 0 un nombre quelconque de fois.

Soit pour abreger

00x^=z6*x^l 00^x^=1 O^x^] 00^x^=1 O^x^ etc.
on aura la sErie

5) OTj, Ox^y 0*X^, O^Xj^y fl^OTj,...

et toutes ces quantitEs seront des racines de 1' equation q>x=z09 La serie (5)
aura une infinite de termes, mais 1' equation q>x=:0 n'ayant qu'un nombre fini
de racines difi'Erentes, il faut que plusieurs quantitEs de la sErie (5) soient
egales entre-elles.

Supposons done p. ex

ou bien

6) d»(0"a:J — d»:p, = 0,

en observant que O^^^x^ = 0^0^ x^.

Le premier membre de V Equation (6) est une fonction rationnelle de O^x^^ ;
or cette quantitE est une racine de Y Equation (px=zOy done en vertu du theo-
rEme EnoncE plus haut, on pourra mettre x^ au lieu de O^Xy Cela donne

fonctions enti^res, telles, que le degrd de P soit moindre que celui de la fonction fjr.
Done, en faisant Mz=iP-^Q.^Sy on aura/jr=: '^ . Cela poa^, soit s^ la ra-
cine de 9jr=0, qui satisfait en mdme temps k /r=:0; jr^ sera Egalement une racine
de r Equation P=0. Or si P n*est pas s^ro pour une valeur quelconque de s^
cette Equation donnera jr, comme racine d*une Equation d*un de^^ moindre que celui

de 9jr=0; ce qui est centre Thypoth^se*; done P=:0 et par suite /r=:9Jr ^, d'oik
Ton Toit que fs sera dgal k z^ro en m^me terns que ^s q. e. d.

117

7) e^x^^x^,

on Ton peat supposer que n ait la plos petite valeur qui existe, en sorte que
toates les quantit^s

8) ^Tj, Bx^^ 6^x^^ . . . ff^^x^

soient diff^rentes entre-elles.

L' equation (7) donnera

b^6''x^=z6^x^, c'est-a-dire: e'''^^x^=i 6^x^.

Cette fonnule fait voir qu'a partir du terme O^^x^^ les termes de la suite
(8) se reproduiront dans le mdme ordre. Les n quantites (8) seront done les
settles de la s6rie (5) differentes entre-elies.

Cela pos^ si /i>n, soit x^ one autre racine de T equation propos^e, qui
n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du theoreme I., que toutes les
quantites

.seront egalement des racines de T equation propos^e. Or je dis que cette suite
ne ^contiendra que n quantites differentes entre-elles et des quantites (8). En
effet, ayant d^x^ — x^=zOy on aura en vertu du th^or^me I: 6"a:^=ar^ et par
suite :

ff'-^x^Tz^e^x^.

Done les seules quantites de la s^rie (9) qui pourront dtre diff§rentes entfe-
elles, seront les n premieres

10) x^y^ex^, 6^x^, .... O'^^x^.

Or celles-ci seront neccessairement differentes entre-elles et des quantites (8).
En effet, si Ton avait

ff^x^^e'x^,

oil m et V sont moindre que w, il eft r^sulterait O^x^ = fl^o?, , ce qui est im-
possible, .car toutes les quantites (8) sont differentes entre-elles. Si an con-
traire on avait:

e^x^=i6'x^y

il en r^suiterait
done

c'est-^-dire la racine x^ serait contenue dans la serie (8), ce qui est centre
Fhypothese.

118

Le nombre des racines contenues dans (8) et (10) est 2n, done /a sera on
egal k Zfij ou plus grand que ce nombre.

Soit dans le dernier cas x^ une racine differente des racines (8) et (10),
on aura une nouvelle serie de racines

et on demontrera pr^cisement de la m^me maniere, que les n premieres de ces
racines sont differentes entre-elles et des racines (8) et (10).

En continuant ce proc^de jusqu'a ce que toutes les racines de F Equation
90? =0 soient epuisees, on verra que les fi racines de cette equation seront
divisees en plusieurs groupes, composes de n termes; done ^ sera divisible
par 71, et en nommant m le nombre des groupes, on aura:
11) fjiz=zm.n.

Les racines elles m^mes seront:

^1 9 U*^\ > Cr ^i > • • • 0 *^x y

J^a> (/^%9 (f *^%9 • • • vf •^Jf

^ \ *^Z 9 U^% 9 tf ^8 9 • • • tf ^8 9

,^ni 9 v^m 9 tf •^m > • • • v ^m •

Si m= 1, on aura n=zfi, et les (i racines de T equation g)or = 0 seront ex-
primees par

13) x^, d^i> O^^v ... e^-'^r

Dans ce cas comme on verra dans la suite, T Equation (px=iO est resoluble
alg^briquement Mais la m^me chose n'aura pas toujours lieu lorsque m est
plus grand que 1' unite. On pourra seulement reduire la resolution de I'^qua-
tion q)x=zO k celle d' une equation du w**"* degre, dont les coeflficiens depen-
dront d'une equation du m^^^^ degr£; c'est ce que nons aliens demontrer dans
le paragrapbe suivant.

§. 2.
Considerons un quelconque des groupes (12), p. ex. le premier, et
faisons

14) j (^~^i) {^—0:t,){x — e^^,) . . • (a?— 0°-^J:,)

^ (= x^+A'^.x^-^ + A'l .a:"-* . . . + A[^'\ x+A[^^ = 0,
les racines de cette equation seront

*^\9 tf'^19 0 *^\9 • • • • 0 ^1

et les coefiiciens A\^ A[, -4^^"^ seront des fonctions rationnelles et syme-

119

triqaes de ces qaantit^s. Nous yerrons qa'on peat faire dependre le developpe-
ment de ces coefllciens de ia resolution d'une seule equation du degr^ m.

Pour le montrer, considerons en general une fonction quelconque ration-
nelle et symetrique de ^r^ , 0x^ , 0^x^ , . . . ©""^^r^ , et soit

15) y, =: fix, , 0x, y0^x,,... O^'-'^v^
cette fonction.

En mettant an lieu de x^ successivement x^y ^39* ••^m9 ^^ fonction y,
prendra difTerentes valeuM^, que nous d^signerons par y^ y^^ yz9 * -- Vm- ^'^
pos^, si Ton forme une Equation du degre 912:

16) y^+p,y^'' + p^y'^'^ + • • • + Pm^^ +Pm = 0,

dont les racings sont y^, y,' ys9'"2/m9 j^ ^^^ V^^ ^^^ coefiiciens de cette
Equation pourront ^tre exprim^s rationneliement par les quantites connues, qu'on
suppose denudes par Tequation proposee.

Les quantites Ox^, 0*x{y . . . O^'^^i ^tant des fonctions rationnelles de x^j-
la fonction y^ le sera egalement Soit

17) < nous aurons aussi

(ya= ^^t; y% = ^-^^s; • • • ym = ^^m-

Mettant dans (15) successivement fla?^, 6**^1 > ©'^u^, . .. ©"""^^r^ au lieu de
aTj, et remarquant que 0^x^z=x^\ Q^-^^x ^=26^19 d'''^*^i= <?*^ij etc. il est
clair que la fonction y^ ne changera pas de valeur; on aura done

y^ = Fx^ = FiOx^i = F((?«a;,) = . . . = F(e"-^:r J
et egalement

y^^Fx^=iF{dx^ = F{e'x^=z...=zF(d^^x^,

y„= F:r„= F(ear„)= Fid'xJ^ . . . = FiO^'^xJ.
Elevant chaque membre de ces Equations k la v^^^^ puissance, on en tire:

y- = 1 . [iFx,Y + {F0x,Y + ... + (Fe'-^^r,)"],
y; = i . [(/brj" + (Fdx^" +....+ (FjJ'-^^rJ"] ,

n '
' 9

*

En ajoutant ces demieres Equations on aura la valeur de

V^+K + lTz + ^' + Vl

m

120

exprimee en fonction ratiannette et symetrique de toutes les racines de Tequa-
tion ifx=iOy savoir:

Le second membre de cette Equation pent ^tre exprim^ rationnellement
par les coefficiens de (fx et dx^ c'est-^-dire par des quantit^s connues. Done
en faisant

20) r, = 3^+y; + 3r, + ... + y;,

on aura la valeur de r^y poor une valeur quelconque enti^re de v. Or con-
naissant r^, r^y...r^y on en pourra tlrer rationnellement la valeur de toute
fonction symetrique des quantites ^i* ^s? • • •^m* ^^ pourra done trouver de
cette mani^re tons les coeflficiens de F equation (16) et par consequent deter-
miner toute fonction rationnelle et symetrique de ar^, Ox^y 6^x^y , . .B^^x^ k
I'aide d'une Equation du m^^^^ degr^. Done on aura de cette maniere les coef-
ficiens de Tequation (14), dont la resolution donnera ensnite la valeur de x^ etc.

On voit par \k qu'on pent ramener la resolution de Fequation q>x=zOy
qui est du degr^ fiz=im.nj k celle d'nn certain nombre d' Equations du degre
m et n. U sufiit mdme, comme nous aliens voir, de resoudre une senie Equa-
tion du degre m et m equations du degrE n.

Soit if^o:^ un quelconque des coefllciens A'^y A'^y...A^^^ et faisons

21) t^=^y\.^\)X^+y^^.^fx^+y''^.^\>x^'\' . . . -{-y^.'^x^.

Puisque y^.'^x^ est une fonction symetrique des quantites x^j Ox^y.^.d^'^x^y
on aura, en remarquant que 0^x^=:x^'y 0^'^^x^=i6x^ etc.

y^'^^px^ =:{Fx-^y. tpx^ = {Fdx^y. \pexj^ = . . . (Fe'^^x^y. tpe'^'^x^ ,

done :

y^^tpx^ = J- . [{Fx^y. }px^+ {FOx^"". ^pdx^ + . . . (Fe«-*a:J^. tpO'^^Xj,].

On trouvera de semblables expressions pour y^-^^a* y^z''^^^^'''^/^'^^^^
en mettant x^, :r„...:r^ k la place de x^. En substituant ces valeurs, on
voit que t^ deviendra nne fonction rationnelle et symetrique de toutes les
racines de Fequation (px^=iO. En effet on aura

22) ty^-S{Fxy.'^x.

Done on pent exprimer ty^ rationnellement par des quantites connues.

Cela pose, en faisant y = 0, 1, 2, 3, ...m — 1, la formule (21) donnera:

121

yr>^i +yr>^2 + • • • + yr^^m = *m-l •

On tirera aisement de ces equations, lineaires par rapport h ^0?^, V'ar^,

« • • "V^^m^ l^s valeurs de ces quantites en fonctions rationnelles de y^j y^^ y^^

• • • y m •

En effet, en faisant

23) (y— y«) (y — ys) • • • (y— ym)

=y"-^+/?m^y"-»+/?m-,y™-'+ . . . +/?,.y+/2o,

on aura

^ ^ 1 i?o+^iyi+^i^t+'--"**^"-<^"**^r''

Les quantites R^, R^, . . . Rj^,^ sont des fonctions rationnelles de y^,
y^9 y^9 • • •ym9 i^^>^ o^ P^ut les exprimer par y^ seul. En effet, en multipliant
(23) par y — y^, on aura:

(y— yj (y—y^) • • • (y— ym) =y™+;'iy""'+/^2y™"*+ • • • +^m-iy+/^m
=y"+ («m-.-yJy™-^+ (/2m-8-yx^m-^y"-'+ • • •

d'oii Ton tirera, en comparant les puissances egales de y:

^m-»= 5^,^m-«+ /»« = y! + /'.y , +/»a»
23) {K-*-=yiRwi-z+Pz =y\ +Piy\+Ptyt+Piy

En substituant ces valeurs, 1' expression de \px^ diviendra une fonction
rationnelle de y^ et de quantites conniies, et on voit qu'il est toujours possible
de trouver tpx^ de cette sorte, sous condition que le denominateur

Bo+ii,yr+Ji.yl + • • . + K^yT'^+yT'

ne soit pas z6ro. Or on pent donner a la fonction y^ une infinite de formes
qui rendront impossible cette equation, p. ex. en faisant

26) y^=i{u—x^) {ci — ex^) {^ — O^x^) . . . (a— d"-^a:J,
oil a est indetermine, le denominateur dont il s'agit ne pent pas s'evanouir.
En effet ce denominateur etant la m^me chose que

(y, — y^) (y, — ys) • • • (y, — ym).

Ui

122

on aurait

s'il 6tait mil, ^c' est-i-dire

(a — x^ («— 0^1) ...(«— 0°""*^i) = (a — :r J (a — (J^rJ ... (a — ©""^^Jj
ce qui est impossible, car toutes les racines x^ , 0^^ , ©^^^ j • • • &^'^^^ sont
diffi^rentes de celle-ci: x^^ 0^^^ fi*^k? • • • ^'^"^^k-

Les coefiiciens -4|, -4 ^ , . . . .4^^"^ peuvent done s*exprimer rationnellement
par une mdme fonetion y^, dont ['expression depend d'une equation du degr^m.

Les racines de T Equation (14) sont

En rempla^ant dans les coefiiciens A[j A[ etc. y^ par y^j y^y'Hm^ ^^
obtiendra m — 1 autres equations, dont les racines seront respectivement :

x^, 0^2^ ... ©""'^2,

^m> 0^jn9 • • • Cf ^m*

Thiorhne II. L' Equation proposee 9ar==0 pent done 6tre decomposee
en un nombre de m equaticftis du degre n^ dont les coefficiens sont respective-
ment des fonctions rationnelles d'une m^me racine d'une seule equation du
degre m.

Cette demi^re equation n'est pas g^neralement resoluble alg^briquement
quand elle passe le quatri^me degre, mais Fequation (14) et les autres sem-
blables le sont toujours en supposant connus les coefiiciens A'^, A[ etc., comme
nous le verrons dans le paragraphe suivant.

§. 3.
Dans le paragraphe precedent nous avons considere le cas ou m est plus
grand que I'unit^. Maintenant nous allons nous occuper du cas oil m=l.

Dans ce cas on aura iu=7t, et les racines de Fequation q)x=zO seront

27) ar^, 0^^, ^^^r^ , . . . 6»"'-'ar^ ;

or je dis que toute equation dont les racines peuvent £tre exprimees de cette
sorte est resoluble algebriquement.

Soit a une racine quelconque de Fequation a^" — 1=0, et faisous

28) n^x = (:r + «^.r + a^O^x + a^6^x + . . . + aM''^d'''^xy ,

123

rpx sera une fonction rationnelle de x. Or cette fonction pent s'exprimer
rationnellement par les coefliciens de (px et 0^-

En inettant 0^^ au lieu de :r, on aura

maintenant on a
done:

Or a/^ = l, done:

done,

ai«CiU-m) etaut=l,

on voit que

En faisant m=0, 1, £, 3, . . . /t — 1, et ajoutant ensuite, on trouvera:

29) \fx=:L{xfx-\-y])dx-\- xpd^x + . . . + ifidf^^x) .

\px sera done une fonetion rationnelle et sym^trique de toutes les raeines de
r Equation (px=zO, et par consequent on pourra Texprimer rationnellement en
quantites connues.

Soit i/;;r=t;, on tire de I' equation (28):

30) Vv=ix'\-aex'\-a^0^x+ . . • + af'-^O^-^a:.
Cela pose, designons les /i raeines de T Equation

af* — 1=0
par

31) 1, a^, a^, «8>---«i"-i
et les valeurs eorrespondantes de v^ par

32) v^, v^, vi, v^, . . . Vf,^^,

r equation (30) donnera, en mettant a la place de a successiyement 1, a^,

•

^«> ^3? • • • ^jU—l'

16

*

124

£n ajoutant ces equations on aura :

oil — A exprime la quantity rationnelle yv^.

On connait par la la racine x. Generalement on trouve la racine ff^x en
multipliant la premiere des Equations (33) par I, la seconde par a^™, la troi-
si^me par a-™ etc., et ajoutant; 11 viendra alors:

55) ff-x=l-[—A + a-^.l/v^ + a^.\rv^+ ... + «„":.. f«'^_.].

En donnant a m les* valeurs 0, 1, 2, ... /i — 1, on aura la valeur de toutes les
racines de F Equation.

L' expression precedente des racines contient generalement un noinbre^

fi — 1 de radicaux differents, de la forme yv. EUe aura done un nombre fxf*-^
de valeurs, tandis que la racine de I'equation (fX'=zO n'en a que //. Mais on
pent donner k T expression des racines nne autre forme, qui n'est pas exposee

k cette difficulte. En effet, lorsque la valeur de yv^ est fix^e, celle des autres
radicaux la sera egalement, comme nous aliens le voir.

Quel que soit le hombre //, premier on non, on pent toujours trouver une
racine a de I'equation a^ — 1=0, telle que les racines

puissent etre representees ptir

36) cf, a*, a', . . . «^"*.

Cela pose on aura

X JKt^k = :r -f aK d:r + a^H^x + . . . + a^^-'>^ Qf'-'x,
d'od Ton tire:

125

X {x^a .Ox-^- a"" .e^x + . . . -\- ccM'^.ef*''xy-K
Le second inembre de cette equation est une fonction rationnelle de x^ qui ne
changera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quelconque
O^Xy comme on le verra aisement, en faisant cette substitution et ayant ^gard
k r Equation Of*'^x=0^x. En designant done la fonction dont il s'agit par
"^x, on aura:

yV)^.{y^V^y-^=: \pX=i\p0x=z\p6^X = . . . =,A^Of^-'Xy

et de la:

Le second membre de cette equation est une fonction rationnelle et sj/m^trique
des racines, done on pent Texprimer en quantites connues. En la designant
par a^y on aura:

et de la:

41) %^=^{\rvj^.

A Taide de cette formule F expression de la racine x deviendra:

•42) x=l(-A+{'v,+^O^vJ'+^ip-v,)'+...+^{\rv^r-\
Cette expression de x n'a que ^ valeurs differentes, qu'on obtiendra en jnettant

au lieu de yv^ les fi valeurs:

u u u u

yv^, ayv^, (x^yv^y . . . a^-'yv^.

La methode que nous avons suivie precedemment pour la resolution de
r equation (px=0 s'accorde au fond avec celle, dont Mr. Gauss a fait usage
dans ses '^Disquisitiones arithmeticae pag. 64S et seqf' pour resoudre une
certaine classe d' Equations, auxquelles il etait parvenu dans ses recherches sur
r equation ar" — 1=0. Ces equations ont la m^me propriete que notre Equa-
tion (px'=0\ savoir que toutes ses racines peuvent Etre representees sous la
forme :

Xy Ox, 6^Xy . . . d^'^Xy
Ox etant une fonction rationnelle.

126

En verta de ce qui precede nous pourrons enoncer le theor^me suivant:
Theoreme III. Si les racines d'une equation alg^brique peuvent etre
representees par:

ou Qf^x z=zx et 0^ designe une fonction rationnelle de a: et de quantites con-
nues, cette Equation sera toujours resoluble alg^briquement.

Ou en tire le suivant, comme corollaire:

Theoreme IV. Si deux racines d'une equation irreductible, dont le de-
gr^ est un nombre premier, sont dans un tel rapport, qu'on puisse exprinier
Tune ratUmnellement par 1' autre, cette Equation sera resoluble algebriquement.

En effet cela suit imm^diatement de 1' equation (11)

ou Ton doit avoir m=l, si fi est un nombre premier, et par consequent les
racines s'expriment par x, 0x^ (fx^ • . . Qi^-^x.

Dans le cas, ou toutes les quantites. connues de ^ix et Qx sont reelles,
les racines de 1' Equation q>xz=0 jouiront d'une propriete remarquable, que
nous allons demontrer.

Par ce qui precede on voit que a^.^ vpeut 6tre exprimee rationnellement
par les coefliciens de q>x et 0ar, et par a. Si done ces coefliciens sont reels,
a^-i doit avoir la forme

oil y^ — 1 n'entre qu'i cause de la quantite a, qui en general est imaginaire,
et qui generalement pent avoir la valeur

a = cos — ^ + 1/^ — 1 . sin — .

En cbangeant done dans a le signe de Y — 1 ^^ designant par a'^^.^ la
valeur correspondente de a^^i, on aura

Or suivant (40) il est evident, que a'^_i=a^«i, done 6=0 et
43) a^_j = a.

Done a^^ a toujours une valeur reelle. On demontrera de la m^me
maniere que

oil r et rf sont' reels.

127

Done:

De la on tire

44) v^=ic-\-Y—iy{a^—c'),

et par suite |/^(a/* — c*)=rf; d'oii i'on voit que '[/^{a^ — c*) a toujours una
valeur reelle.

Cela pose, on pent faire

45) c==(K()>'*coS(y, K(flfA*— c*)=(Ke)^sin(y,
oil Q est une quantite positive.

On en tire

c' est-^-dire

46) a^=(;i";

par consequent q sera egal a la valeur numerique de a. D'ailleurs on voit
que a est toujours positif, si fi est un nombre impair.
Connaissant q et d, on aura

i;, = (V^^y^. (cos (^+ K— 1 . sin d)
et par suite

i/^.=I/<..[cos(^)+K-l.sto(»±^)].

En substituant cette valeur de yv^ dans F. expression de x (42), elle
prendra la forme:

47) ^=l[_^4.K^(cosi±^+l/-1.8ini±^)

+ etc* J

ou Qy Ay fy g, Fy G etc., sont des fonctions rationnelles de cos — , sin —

et des coefificiens de (fx et 0^* On ^ouvera toutes les racines, en donnant a
m les valeurs 0, 1, 2, 3, . . . ii — 1.'

L' expression precedente de x fait voir:

128

Theorhne V. que pour r^soudre Tequation (fX'=.0, il sufiit:

1) de diviser la drconference entiere da circle en f,i parties ^gales,

2) de diviser un angle d, qu'on pent construire ensuite, en [x parties egales,

3) d'extraire la racine carree d'une seule quantite q. \

Ce th^or^me n'est que 1' extension d'nn theoreme semblable, que Mr.
Gauss donne sans demonstration dans I'ouvrage cit^ plus haut pag. 6SI.

II y a encore a remarquer que les racines de F Equation 9:^=0 sont on
toutes r^elles on toutes imaginaires. En effet si une racine x est r^elle, les
autres le sont egalement, comme les expressions

ex, b^Xj . . . Of'-^x,
qui ne contiennent que des quantites reelles, le font voir. Si au contraire x
est imaginaire, les autres racines le sont aussi, car si p. ex. O^x etait reelle,
6f*-^(d^x) =z 0f^x = a? , le serait egalement^ centre 1' hypothese. Dans le pre-
mier cas a sera positif et dans le second negatif.

Si /A est un nombre impair, toutes les racines seront reelles.

La methode que nous avons donne dans ce paragraphe, pour resoudre

r Equation q)x=Oj est appliquable dans tons les cas, le nombre fi etant premier

on non; mais si /x est un nombre compose, il existe encore une autre methode

qui offre quelques simplifications et que nous allons exposer en pen de mots.

Soit ^=m.n, les racines

X, Oxy e^Xy . . . Of^-^x
pourront £tre groupies de la mani^re suivante:

X, 0"^, O^'^x, . . . e(°-^>":r,

ex, d"»+^ar, e^'^+^x, . . . d('»-^)'«+\r,

e^x, 0"^+*a:, e^^'+^^r, . . . e(«-i)'^+*ar,

e™-iar, fi*"-*a;, 6»"-*:r, . . . d°*"-^^.
• En faisant pour abr^ger:

48) e'^x^ze.x,

49) X=:Xi, ex=Xg^, e*X=:zX^, . . . O^'^X

on pent ecrire les racines comme il suit:

*^m9

50)

^^ ) ^m^ ^\*^m^ ^ I •**«!?' • . - w, •*^ni?

129

Done en verta de ee qn'on a vn dans le §. 2 on pent decomposer T^qua-
Hon (px=zOy qui est da degr£ m.ny en m Equations da degre n, dont les coef-
ficiens d^pendront d'nne Equation du degr^ m. Les racines de ees m equations
seront respectivement les racines 1', 2', . . . m^

Si 91 est un autre nombre compost m^.n^^ on pent decomposer de la
m£me mani^re chacune des Equations da degre n^ en m^ Equations da degr^ n^^
dont les coefficiens d^pendront d'ane Equation da degre m^. Si n^ est encore
on nombre compost, on pent continuer la decomposition de la m^me mahiere.

Theoreme YL En g^n^ral, si Ton suppose

51) /i=:m^.m^.m^

% •

• m

a 9

la resolution de Tequation proposee (px^izO sera ramenee a celle de n equations
des degris:

U sufiit m^me de connaitre une seule racine de ces Equations, car si on
connait une racine de 1' Equation proposee, on aura toutes les autres racines,
exprim^es en fonctions rationnelles de celle-ci.

La metbode pr^cedenle est au fond la m^me que celle, que Mr. Gauss
donne pour la reduction de F Equation k deux termes x!^ — 1==0.

Pour faire voir plus clairement la decomposition prec^dente de T equation
q>X'=.0 en d'autres de degres moins elev^s, supposons p. ex. ^=30=5.3.2.

Dans ce cas les racines seront:

X • "X • (/ X • • • • 1/ X •

D'abord nous formerons une equation du 6'^™^ degre, dont les racines
seront:

X, 6^x, e^^Xy e^% e^x, e^x.

Soit R=:0 cette Equation, on pent determiner ses coefficiens, rationnellement,
par une m^me quantity ^, qui sera la racine d'une Equation du cinquieme de-
gre: P=0.

Le degre de T equation R=:0 etant lui m^me un nombre compose, nous
formerons une equation du 3'^™^ degre: /{^ = 0, dont les racines seront:

et dont les coefiiciens sont des fonctions rationnelles de y, et d'une mdme
quantite Zj qui est racine d'une equation du second degre P^=0, dans laquelle
les coefficiens sont exprimes rationnellement par y.

17

u) {;;

lao

«

Void le tableau des operations :

On pent anssi commencer par une equation dii 2'^'°® degre en Xy on bien
par une equation du 5**^™® degre.

I(eprenons F^quation generate q>x::=0.
En supposant /i=:m.nj on pent faire

52) a:-+fy.x--' + fj,.x-'^+ . . . =0,
ou y est determine par une Equation du w'^™® degre:

53) y™+J.y™-^+... = 0,

dont tons les coefiiciens sont exprimes rationnellement en quantit^s connues.
Cela pos^, soient:

:zm^*tn^,M^ • , ntfifa et /x=:m^.n^y

= m^.n^\ fiz=im(a. Utoy

plusienrs mani^res de decomposer le nombre ft en deux facteurs, on pourra
decomposer I'^quation propos^e (px=0 en deux autres des o) manieres sui-
vantes:

!Fj(ar,yJ=0, dont les racines seront or, 0™»;r, 6*"iar, . . . e^°r*)"iar
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une quantite y^ racine
d'une equation f^y^=Oy du degre m^.

!F^(;r,yJ=0, dont les racines seront x^ d^^x^ b^^x, . . . e^^^'^^^tx
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une mdme quantities'
racine 'd'une equation f^y^=zO, du degr6 m^.

iFJp^y yio)=^Oj dont les racines seront Xj ff^^Xj 6*™cu;r, . . . 0^»w-i)™ftiar
et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une m^me quantite y^j
racine d'une Equation /t^(.j=0, du degre m^.
Supposons maintenant que m^^ m^^...mfo pris deux a deux, soient pre-
miers entre eux, je dis qn'on pourra exprimer la valeur de x rationnellement
par les quantit^s y^, y,, yg, . . . ya,. En effet, si wi^, Wj, . . . wio, sont premiers
entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine, qui satisfera a la fois a
toutes les equations

savoir la racine x. Done, suivant un th^oreme connu, on peut exprimer x

181

ratioimellemeiit par les coefficiens de ces i^qnations et consequemment par les
quantites y^, tf^,...j/a,'

Voila done ramenee la resolution ie I'^quation propos^e k celle de co
Equations: f^y^=zO\ f^y^7=iO; .... /ft,yft, = 0, qui sent respeetivement des
degres: m^, m^y ... . m^^ et dont les coefficiens sent des fonctions rationnelies
des coefficiens de (px et dx.

Si Ton veut que les Equations

soient les moins devees possibles, il faut choisir m^^ m^^ . . .ma, tels, que ces
nombres soient des puissances de nonibres premiers. P. ex si I'equation pro-
pos^e q>xs=iO est du degr6:

57) ^==d^ . fja ... ^^*

oil f J, e 9 . ..((a sont des nombres premiers differents, on aura

•'oi

2

i' ' ""a ■"" ^^' J • • • ""to — ^(o

58) m^ = «!'>: w^ = f !'«;.. . w^ = e^^

L' Equation proposee 6tant resoluble alg^briquement, les equations (56) Ie
seront aussi; car les racines de ces equations sont des fonctions rationnelies
de X. On pent aisement les resoudre de la maniere suivante.

La quantite y est une fonction rationnelle et symetrique des racines de
r Equation (52), c'est-a-dire de:

59) X, o'^x, O^^x, . . . 0(»-»)'»x. ,
Soit

«

60) j/=Fx=f\x, e^Xy 6*'»a:, . . . fi^"-*)"'^:),
les racines de I'equation (S3) seront

61) Fx; F(Ox), F{0*x);...F{e'^-^x);

or je dis, que Ton pent exprimer ces racines de la maniere suivante:

62) y, >y, >*y, . . . A--V,

Qii.?y est une fonction rationnelle de y et de quantites connues.

On aura •

63) F{ex)=f[ex, fl(fi°ar), 6(0«°>a:),...fl(fl(°-^^"a:)],

done F{Ox) sera, autant que JRr, une fonction rationnelle et symetrique des
racines Xy O^x^ . . . 6^"-^>™;r, done on pent, par Ie precede, trouv6 (24) exprimer
ip{Ox) rationnellement par ipx. Soit done'

tpdx =1 ).xpx = Xy y
on aura, en rempla^ant (en vertu du 1. theoreme) x par Ox^ fP'Xy . . . ff^'^x',

17 *

]3S

^6^x = Ai/;6*a: == A'y,

c. ^. f. d.

Maintenant les racines de F Equation (55) poayant £tre representees par

on pent resondre atgebriqaement cette e<{uation de la m^me mani^re qae I'eqaa-
tion (px = 0. (Voyez le theor^me III).

Si m est une puissance d'un nombre premier = ^y on pent encore deter-
miner y k Faide de v equations du degr^ e. (Voyez le, th6or^me VI).

Si dans le theoreme III, Ton suppose, que /i soit une puissance de 2, on
aura, comme corollaire, le theoreme suivant

Thearhne VII. Si les racines d'une eipiation du degre 2" peuvent dtre
representees par

Xy Oxy 6*0;, . . . 6^'^Xy oil ff^x-=.Xy
cette equation ponrra etre resolue & Faide de Fextraction de co racines quarrees*

Ce theoreme, applique a Fequation — = 0, oil 14-2*' est on

nombre premier, donne le theoreme de Mr. Gauss pour le cercle*

§. 4.

Bes Equations dont toutes les racines peuvent 4tre esprim^s rationneilement

par I' une d'entre elles.

Nous avons vtt precedemment (theoreme III) qu'nne equation de degre
quelconque, dont les racines peuvent etre exprimees par

Xy Oxy SFxy . . . di^'^x
est toujours resoluble algebriquement

Dans ce cas toutes les racines sent exprimees rationneilement par Fune
d'entre elles; mais une equation, dont les racines ont cette propriete, n'est pas
toujours resoluble algebriquement; neanmoins, hors le cas considere precedem-
ment, il y a encore un autre, dans lequel cela a lieu. On aura le theoreme
suivant:

Theoreme VIII. Soit xa:=:0 une equation algebrique quelconque, dont
toutes les racines peuvent etre exprimees rationneilement par Fune d'entre
elles, que nous designerons par x. Soient Ox et O^x deux autres racines

133

qaelconqnes, T Equation proposee 6era resoluble alg^briqaement, si l^on a

La demonstration de ce di^orinie pent £tre r^dnite sur le champ k la
tli^orie exposee §* % comme nous allons le voir.

Si Fon connait la racine Xy on en aora en m^e temps toutes les antres ;
i1 snffit done de ehercher la valenr de x.

Si r Equation

64) X^ = 0
n'est pas irr^dnctible, soit

65) (px = 0

r Equation la moins 61ev6e, k laquelle puisse satisfaire la racine x^ les coeffi-
ciens de cette ^qnation ne contenant que des quantites connues. Dans ce cas
les racines de I'^qnation (pxzzO se trouveront parmi celles de I'^quation x^=0
(voyez le premier theor^me), et par consequent elles pourront s'exprimer ration-
nellement par Tune d'entre elles.

Cela pos6 soit Ox une racine diff^rente de x^ en vertu de ce qu'on a vn
dans le premier paragraphe, les racines de Tequation q>xzz=zO pourront dtre ex-
primees comme il suit:

Xj UX m U Xj » • • O Xy

Xm y OXm y 0 X^ y • • • tr^ Xm y

et en formant 1' equation

66) >"-f J'.a:°-*+ J»ar»-*+ J-^ar»-»+ . . • + J(»-^):ir+ J«=0,
dont les racines sent x, 6Xy O^x, . . . d^''^Xy les coefiiciens A'y A% . . . A^*^ pour-
ront etre exprimees rationnellement par une m^me quantity y, qui sera racine
d'une Equation irreductible"^):

dont les coefficiens sont des quantites connues (voyez §. 2).

*) On d^montrera ais^ment, que cette Equation ne ponrra 6tre rdductible. Soit Jt=:0
Tdquation irrddnctible en y^ et v son degr^. En ^liminant y^ on anra nne Equation
en s du degrd nv; done fiv^pi. Mala on a

done

v^m,

ce qui est impossible, car v est moindre qne m.

134

La determination de x peat s'effectuer k I'aide des deux ^qaatioDS (6fi)
et (67). La premiere de ces Equations est resoluble algebriquemeut, en
^upposast les^ coefficieas eonnus^ c'est-&-dire la qoantite y (voyez le tbtereme
III). Quant k 1' equation en yy nous.allons demontrer que sesraanes ont la
m^qie.pr^rieite que celles de I'^quatioB prc^os^e 9;ar=:0, «a¥oJr d'etre expri-
mables rationnellement par Tune d'entre elles. . < ■ .11

La quantite y est (voy. 15) une certaine fonction ratioBiielle et t$yme-
trique des racines ar, d^j ff^^j • • . d""*^. En faisant:

y = f{x^ dx, d^x^ d""^^), ; •

les autres racines de I'equation (67) seront:

Maint^nant, d^s le cas en question x^^.^.x^^^ seront des . ikmcftions rationnel-
les de la racine x. Faisons en consequence .

les racktes de I'equation (67) auront la forme:

Suivant I'bypotb^se les fonctions d- et ^^ out la propriete que:

Equation qui, en vertu du tbeor^me I, aura lieu en substituant a la place de x
une autre racine quelconque de I'equation 90:= 0. 0^ en tire successivenient

• i • • •>.-. . ••»•• . • .. •

L' expression de y^ deviendra par la:

y, = f{drx:, dxdx, di^ar, .... ^,0"'^,

et on voit que y^, comme y, est une fonction rationrieUe et symetrique des

racines

• ' ' X, 0x, (9V, .... (9°-*ar.

Done en vertu du tbeor^me 11 on pent exprimer y^ rationnellement par y et
des quantit^s connues. Le m^me raisonnement s'appliquera a toute autre
racine de I'equation (67). Soient maintenant )y, A^y deux racines quelcon-
ques, je dis qu'on aura

135

En effet ayant p. ex.

si

on aura, en mettant d^ au lieu de x:

;y, = fie^e^i^y 66 A^^ • • • 6''-%6r>^)

1'

ou

done

et egalement '

done, pnisque OxO%x=id%OiXy

Les raeines de I'equation (67) auront done precis6ment la m^me propriiti^
que eelles de T equation (fx=iO.

Ceta pos^, on peut appliquer a 1' equation (67) le m^me procede, qu'i

• ■

r Equation 910: = 0; c'est-a-dire, la determination de y peut s'effectuer k I'aide
de deux equations, dont Tune 6era resoluble alg^briquement et 1' autre aura la
propri6t6 de r^quatiOB 9)a:=r0.

Done le m^me precede peut encore ^tre appliqu^ k cette demi^re ^quatidn.
En continuant, il est clair que la determination de sr pourra s'effectuer k I'aide
d'un certain nombre d' equations, qui seront toutes r^solubles alg^riquement
Done enfin I'equation 9:1: = 0 sera resoluble a I'aide d' operations algebriquei^
en supposant conuues les quantit^s qui avec x composent les fonctions:

q>x, Oxj O^x, 0^9 . • > ^m-i^-

II est clair que le degre de diaoine des Equations auxquelles se r6duit la
determination tie ^, sera un facteur de 11 qui marque le degre de F Equation

K

9);r = 0; et:

Theareme IX. Si Ton d^signe les degr^s de ces Equations respective-
ment par

on aura:

136

En rapprochant ce qui precede de ee qui a ete expos6 dans le §• S, on
anra le th^oreme suivant:

TMorbme X. Supposant le degr6 /i de F Equation 9^=0 d6compos£
comme il sait:

69) /^ = «p • *? • *8' *«''^

ou e^, f,, f,, • • . £« sont des nombres premiers, la determination de x ponrra

s'effectuer k Taide de la r^otation de*^^ Equations da degre f^, de v^ equa-
tions da degr^ f^^ ^^^*> ^^ tontes ces Equations seront resolubles algebfiquement
Dans le cas oil /i=:£*', on^peut tronver la valeor de a; a I'aide de rex-
traction de V racines carries.

§• 5.

Amplication aus fonctions drculaireM.

En d^signant par a la quantity — , on sait qu'on peat tronver one 4qaa-

tion alg^briqae dn degre /i, dont les racines seront les /i quantites:

cos a, cos 2a, cos 3a, . • . cos/ia,
^t dont les coefficiens seront des nombres rationnels. Cette equation sera

Nous aliens voir qne cette equation a la mdme forme que 1- equation xx=zO
consid^r^e dans le paragraphe precedent

Soit cosa=:^, on aura d'apr^s une formule connue, quel que soit a:
71) cosma = 0(cosa),

ou 0 d^signe une fonction enti^re. Done cos ma, qui exprime une racine quel-
conque de 1' Equation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x. Soit
O^x une autre racine, je dis qu'on aura

ee^x = d^ox.

En effety soit 0iar=cosm'a, la formule (71) donnera, en mettant rri^a au lieu de a:

cos (m^it'a) = fl(coswi'a) = dd^x.
Da la m^me maniere on aura

cos(iii'ma) = fli(cos»ia) = Q^Bx^
done :

eej^x=ie^6x. .

137

Done saivant ce qn'on a vu dans le paragraphe pr^c^dent,

X ou cosa=cos —

pourra dtre determine algebriquement. Cela est connu.

Supposons maintenant qne ii soit un nombre premier =2n-[-l» les raci-
nes de Teqaation (70) seront:

cos ^ ^, , cos -r-Ar> ... cos ^jr^, cos2;r

La demi^re racine cos2;r est ^gale a Funit^ done I'equation (70) est divisible
par X — 1. Les autres racines seront toujours 6gales entre-elles par couples,

car on a cos^r — ^=cos ^ ^\ ~^^ ^ > done on pent trouver nne equation dont

2»+l 2ii+l 9 r. 1

les racines seront,

2tc ^ 47C 2n%

#

.72) C08-f^, cos,^^, ... cos-^.

^ 2»+l ' 2« + l ' 2»+l

Cette eqaation sera:

73) a^+iar^»— ]:(»— l)x-*— |(w— 2)x-» '

, , (w-2)(n-8)^. , (n-8)(«-4) ;^^ _-., _q

t

Cela pos6, soit

COS -- — - = or == COSH,
2»+l ^

on aura d'apr^s ce qui precede:

2mic A

COS --« — — = 9ar = cos ma.
2/i+l

L'equatiou (73) sera done salisfaite par les racines

#41 Xy ^X^ V •ir, V X^ • • •

On a, quelle que soit la valeur de a:

6(cos (i) = cos ma.
De la on tire successivement:

6* (cos «) = 6 (cos md) = cosTTi'a,

6' (cos a) = e(cosmV) = cosmV,

e."(cosa) =e(cosm""*<7)=:coswi*"a.

Les racines (74) deviendront done

75) cos a, cos 9^0, cosm^o, cosni'o, . . . cosnti^o, . . .

Cela pose, si m est une racine primitive pour le module Zn-^l (voyez

Goiiss Disquis. arithm. pag. 53), je dis que toutes les racines

18

138

76) cos a, cos mo, cosm^o, . . • cosm*~^a

seront diff^rentes entre elles. En effet si I'oa avait

cos m/^a = cos w^'o,
oil ^ et ^^ sont moindres que n^ on en tirerait:

oil k est entier. Cela donne en remettant poor a sa valear

2ii+l '
»!.« = -t m*' + A:(2»+ 1),

done »t^=Fw»^=»»*'(w«^*^HFl)=*(2»+l)

et par consequent

serait divisible par 2n-\'\^ ce qui est impossible, car 2(/i — v) est moindre que

2», et nous avons suppose que m est une racine primitive.

On aura encore:

cos ne'a = cos «r,

car m** — l=(m" — l)(m"+l) est divisible par 2w+l; done:

et par suite :

cosm"a = cos(^a-j-A:.27r) = cos«.

De la on voit que les n racines de I'equation (73.) pourront s'exprimer
par (76.); c'est-^-dire par:

x^ 6ar, e*ar, e'or, . . . 0*"*a;, oil V'x = x.
Done, en vertu du theor^me (HI), cette Equation sera resoluble alg6briquement

En faisant n=zm^.m^. . . m^^ on peut diviser la circonference entiere du
cercle en 2w + 1 parties 6gales, ^ Faide de o) Equations des degr^s wi^, m^ »i „
. . • Wft,. Si les nombres m^, wi^, . . . Wa, sont premiers entre eux, les coefficiens
de ces equations seront des mombres rationnels.

En supposant n == 2^, on aura le th^or^me connu sur les polygenes regu-
liers, qui peuvent ^tre construits g^ometriquement.

En vertu du theor^me V. on voit que pour diviser la circonference entiere
du cercle en 2»-f- 1 parties egales, il sufBt

1) de diviser la circonference entiere du cercle en 2 n parties egales,

2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 27^ parties ^gales,

3) et d'extraire la racine carr^e d'une seule quantite p.

M. Gauss a enonc^ ce tb^or^me dans ses Disquis.^ et il ajoute que la
quantity dont il faut extraire la racine, sera ^gale a 2n-f- 1. C'est ce qu'on
peut d^montrer aisement comme il suit.

139

On a vu (40, 38, 46) ^e q est la valeur nameriqae de la tjuantite

oil a == cos — +T^ — l.sin— . En substituant poor ar, Oar, . . . leurs valeurs

n n

COS o, COS moj COS Tit^o, ... on aura :

-J- p =(cos a + a COS a«« -}- a' cos mV + • • • + (***"*• cosm*"*a)
X (cos a -}-a""'*cosm«-}-a"-*cos?n*a+ ..•-}-«. cos wi*"*a).
En d^veloppant et mettant ^t (> sous la forme

± (> = ^0 + <!« + ^»a* + • • • + '«^i-a'*"S
on trouvera facilement.

^^ = cos a. cos m^ a -}- cos wia. cos ?ni"+*a -|- . . . -}- cos m""^""^a . cos !»••"*«
+ cos»i*"^«.cosa + cosm*"i"+*a.cos»m+ • • • + cos m*~*6r . cos mi""*a.
Maintenant on a

cosm^'a.cosm/'+^a = ^cos(w/"+»'cf + m^a) + ^cos(»iA'+*'a — m^a),
done:

tfM=^ (cos(»ii"-j-l)a+cos(mi"+l)^wa-4-cos(m."-j-l)m*a +...-}- cos(mi^+l)^*"^®)
+ ^ (co8(»ii" — l)tf +cos(»i^ — l)»i«+cos(m.'' — l)m*a -{-.•.-}- cos(mA' — l)m*"*a).

Si Ton fait (»»"+ 1) a = cr', (m/* — 1) a=a% on aura

*^=^(cosa' + 6(cosa') -j- e*(cosa') -!-•••• + 6"^*(costf'))
+ ^ (cos a* 4" ^(^^s a") -|- e*(cos <?•) + ... + O'*"*(cos a")).

Cel^ pos6, 11 y a deux cas, savoir: ^ est different de zero ou non.
Dans le premier cas il est clair que cos a' et cos a*^ sont des racines de
r^quation (73), done cos a' = e^ar, cos a" = 6^ x. En substituant, il viendra, en
remarquant que e"ar = ar:

t^=z ^(e^a: + e^+^o: + . . . + e^-'o: + ar+ Oa: + . . . + e^'^ar)
+ i (0' ^ + e* +*a; + . . . + e*-^ar + or + Oa; + . . . + 0*-*ar),
done

fi^ !S!^ ar "-p" yar •+• y ar "4^ • • • ■+■ y a^,
c'est-i-dire ^^ est egal a la somme des racines; par suite en vertn de I'^a-
tion (73):

/ — 1

V — ¥•

Dans le cas oii ^ = 0, la valeur de t^ deviendra :

*o == 5^ (cos 2a + cos2ma + . . . + cos itnT-^a) + y •»;
or C4>s 2 a est une racine de I'^quation (73), done en faisant

cos 2a = 6^a;,

18*

140

dn aura

cos 2a + cos 2ma + • • • + cos 2m"^*a

= i^a: + e^+'o; + . . . + e"-'a: + ^p + e^ + • . . + O^-'^r = _ ^ ,
par consequent:

En vertu de ces vateurs de t^ et t^^ la valeur de ± (> deviendra .

±9 = 1^ — i: — ^.(a + a' + «* + ••• + a'^')*
mais

a + a* + a* + . • . + a'^* = — 1,
done

et puisque q est essentiellement positif,

Cette valeur de q donne

done la racine carree qu'il y a ^ extraire est celle da nombre 2n -f- 1, comme
le dit M. Gauss *).

Christiania, 29. Mars 1828.

*) L'auteur donnera dans one autre occasion des applicationa aux fonctions eliiptiques.

(Note de Mr. Crelle.)

xn

Recherches sur les fonctions elliptiques.

Arepais longtemps les fonctions logarithmiques, et les fonctions exponentielles

et circulaires ont 6t6 les seoles fonctions transcendantes, qui ont attire I'atten-

tion des g^om&tres. Ce n'est que dans les derniers temps, qu'on a commence

a en considerer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions,

nommees elliptiques, tant pour leur belles propri6t6s analytiques, que pour leur

application dans les diverses branches des mathematiques. La premiere idee

de ces fonctions k ^te donn^e par Fimmortel Euler^ en d^inontrant, que I'equa-

tion separee

1) ^ I ^ ^y_ _o

est integrable algebriquement Apres Euler^ Lagrange y a ajoute quelque
chose, en donnant son d^gante theorie de la transformation de I'integrale

-7=7- — , ' ^, — -— r= , ou R est une fonction rationnelle de x. Mais le pre-

mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonc-
tions, est M. Legendre^ qui, d'abord dans un m^moire sur les fonctions ellip-
tiques, et ensuite dans ses excellents exercices de mathematiques, a d^velopp^
nombre de proprietes 616gantes de ces fonctions, et a montr^ leur application.
Depuis la publication de cet ouvrage, rien n'a et6 ajoute k la theorie de M. Le-
gendre. Je crois qu'on ne verra pas ici sans plaisir des recherches ult^rieures
sur ces fonctions.

En general on comprend sous la denomination de fonctions elliptiques,

toute fonction, comprise dans I'integrale

Rds

fz

oil R est une fonction rationnelle et a, /?, fy ^9 ^ sont des quantit^s constantes
et reelles. M. Legendre a d^montre, que par des substitutions convenables on
pent toujours ramener cette integrate k la forme

142

Pdy

f Pd

oil P est une fonction rationnelle de y*. Par les redactions convenables, cetle
integrate peut dtre ensaite ramen^e k .la forme

/A+By* dy

C+Dy* ' y^a+by*+cy*) '

et celle-ci a:

/;

'^+j?8iii* 0 i/e

C+ J>8in« 0 v^ (1— c« gin* 0) '

oil c est r^el, et moindre que I'unit^.

De \k suit, que toate fonction elliptiqne peut £tre r^duite a Tune des trois
formes:

auxquelles M. Legendre donne les noms de fonctions elliptiques de la pre-
miere, seconde et troisi^me espfece. Ce sont ces trois fonctions, ({ue M. Le-
gendre a consid6rees, surtout la premiere, qui a les propri^t^s les plus remar-
quables et les plus simples.

Je me propose, dans ce m^moire, de consid^rer la fonction inverse, c'est-a-
dire la fonction q%j determin^e par les equations

8inO = 9)(a) = ar*
La demise equation donne

<rt.V^(l — sin •6) = d.q)a = dxj

done

y* dx
0 i/[(l— jr«)(l— c«xa)] •

M. Legendre suppose c^ positi^ mais j'ai remarqu6, que les fonnules devien-
nent plus simples, en supposant c^ negatif^ = — e^. De mSme j'^cris pour
plus de sym^trie 1 — c^x^ au lieu de 1 — x^. En sorte que la fonction q>a=x
sera donn^e par Tequation

y* ds
0 /[(I— c«jr«)(l + e«x2)3'

ou bien

tp'a = K((l — c> V) (1 + e\^a))
Pour abr^ger, j'introduis deux autres fonctions de a, savoir:

/•« = Y{1 — c\^a) ; Fa == ^{l + e >*«).

143

Pldsieurs propriet6s de ces fonctions se deduisent imm^diatement des
propri^tes connaes de la fonction etliptique de la premiere espece, mais d'au-
tres sont plas cachees. Par ex. on d^montre, qae les equations (pa = 0,
fa=iOy Fa=zO ont un nombre infini de racines, (^'on pent trouver tontes.
Une des proprietes les plus remarquables est, qu'on pent exprimer rationnelle-
ment (p(ma)j f{ma)y F\ma) {m etant un nombre entier) en q>a, fa^ Fa. Aussi
rien n'est plus, facile, que de trouver q){ma)j f(ma) F(ma\ lorsqu'on connait
ya, fa, Fa; mais le probleme inverse, savoir de determiner ya, /a, Fa en
q>(fna)y f(nia), F{ma) est plus difficile, parcequ'il depend d'une equation d'un
degre plus eleve (savoir du degre rn^).

La solution de cette Equation estl'objet principal de cememoire. D'abord
on fera voir, comment on pent trouver toutes les racines, an moyen des fonc-
tions 9, fy F. On traitera ensuite de la solution algebrique de I'^quation en

question, et on parviendra a ceresultat remarquable, que <p (— ); /*(—); ^\—J

peuvent etre exprimes en (pa, fa, Fa, an moyen d'une fonction, qui, par rapport
k a, ne contient d'autres irrationnalit^s que des radicaux. *Cela produit une
classe tr&s gen^rale d'equations, qui sont resolubles algebriquement. II est k
remarquer, que les expressions des racines contiennent des quantites constan-
tes, qui, en general, ne sont pas exprimables par des quantites alg^briques. Cen
quantites constantes dependent d'une Equation du degre m^ — 1. On fera voir
comment, an moyen de fonctions algebriques, on pent en ramener la solution k
celle d'une Equation du degr^ m 4- 1- On donnera plusieurs expressions des
fonctions q){2n -^^ l)a ; /|[2/i + l)"; F{2n'^l)a en fonctions de q>a, fa. Fa. On
en d^duira ensuite les valours de q)a, fa. Fa en fonctions de a. On demon-
trera, que ces fonctions peuvent dtre d^composees en un nombre infini de fac-
teurs, et m^me en une infinite de fractions partielles.

§.1.

PropH^e9 fandameniale9 des fimetH^ns 9a; /a; ^a.

En supposant, que q)a-=:x (1), on aura en vertu de ce qui precede

^ **~J0 •[(l-<!»X«)(l + ff«*«)]*

144

Par \k on voit, que a, consid^r^ comme fonction de x, est positif depuisar=:0,
jusqu'i or = — . En faisant done

c

1

^ T=/

c

ds

0 •[(!— c*:r*)(l+e*jp*)]

il est Evident, que (pa et positif et va en augmentant depuis ^ = 0 jusqu'a
a = -^ , et qu'on aura

4) y(0)=0, 9,(1)=!.

Parceque a change de signe, lorsqu'on ecrit — x k la place de a;; il en est de
m£me de la fonction (pa par rapport a a, et par consequent on aura r^quation

5) (p{—a) = — (p{a).

En mettant dans (1) xi au lieu de x (oh i, pour abr^ger, represente la quantity
imaginaire j/^ — 1) et d^signant la valeur de a par fii, il viendra

/? est reel et positif depuis x=zO jusqu'a x=^—y done en faisant ^

7\ o /"T ds

. ^ 2 ~V« •[(!— e»x«)(l+c«j«)] '

ar sera positif, depuis /9 = z^ro jusqu'a /J = ^, c'est-a-dire, la fonction — 9) (/?t)
sera positive entre les mdmes limites. En faisant /? = a et y = ?i?!i , on a

a-r—^—u

~Jo v/[(i-^v)a+^v)] '

done on voit, qu'en supposant c au lieu de ^ et ^ au lieu de r,

?^^ se changera en q)a.

Et parceque fa = 1/^(1 — ^*9*a),

on voit, que par le changemant de c en c et c en r, f{ai) et -Fl[ai) rentreront
respectivement en Fa et fa. Enfin les Equations (3) et (7) font voir, que par
la m£me transformation, (o et xs rentreront respectivement en ts et co.

Suivant (7) on aura x=i— pour /? = -|^ , done en vertu de I'equation

xi=i 9)(/?i), il viendra

8) Hf)=*4

145

2.
En verta de ce qai precede, on aura les valenrs de ^xx pour toute valeur
r^elle de «, comprise entre ^ ct -(- ^ > ^^ pour toute valeur imaginaire

m m

de la forme /? i de cette quantity, si /? est une quantity contenue entre les limi-
tes — ^ et -(- v • n s'agit maintenant de trouver la valeur de cette fonction

pour une valeur quelconque, reelle ou iu^aginaire, de la variable. Pour y par-
venir, nous aliens d'abord etablir les propriet^s fondamentales des fonctions
9, f et F.

Parce qu'on a

jP*a = 1 + ^yV
on aura, en diff^rentiant:

fa.f'a = — c^q>a.(p'a.
Fa . F'a == e^q>a . q>'a.
Or d'apr^s (2) on a

(p^a = V({^—c\^cc) (1 + 6V*«)) = fa. fa,

donc,^ en substituant cette valeur de (p'a dans les deux Equations pr^cedentes,
on trouvera, que les fonctions (pa, fa. Fa sent li^es entre elles par les equations

!q)'a =zfa.Fa,
f'a=z — c\a.Fa,
^F'a=ze\a.fa.

Cela pose, je dis, qu'en d^signant par a et /? deux indeterminees, on aura

•

10) \ fia+P)= '^"i^.jyj.;.^ ^>

Ces formules peuvent dtre deduites sur le champ des proprietes connues
des fonctions elliptiques ; mais on pent aussi les verifier ais^ment de la maniere
suivante.

En designant par r le second membre de la premiere des Equations (10),

on aura, en differentiant par rapport k a:

19

Kda)

146

l+e«c«92a.9*p
(9a ./P . FP + 9P ./a . Fa) . 2e2c29a . 9*P . 9'a

(l+e«cVa.9*P)*

Ed substitoant pour q)'a^ f'a^ F'a leurs valeurs doun^es par les Equations (9),
il viendra

/dr\ fa.FoL.f^.F^ __ 2ggcVa.9«p./a,/p.Fflc.i?'P

Vrfa/ l-Hr2c«9-^a.9*P (l+c«cVa-<P*P)^

, 9a.9P.(l+e»c^9^a9^P)(— c^Fgtt+eygg)— 2ggc«9tt9P.9«p./«tt.J'«tt
"* (l+e2c29«a9«P)a

d'oii, en substituant pour f^a et J^*a leurs valeurs: 1 — c^tf^a^ , l+^*9*«>^*
en reduisant, on tire

/ dr\_^ (1— e^c^9ga.9^p)[(gg— c«)9a,9P+/tt./p.Fa./p]— 2g*c^9«.9P(9«a+9gp)
Vrfa / (l+c*^c*92a. 92p)2

Maintenant a et /? entrent symetriquement dans I'expression de r; done on
aura la valeur de (-^J? en permutant a et fi dans la valeur de \j-r--\ Or par

cela Texpression de (-^j ne change pas de valeur, done on aura (-r^) = (;^\

Cette equation aux diff6rentielles partielles fait voir que r est fonction
de (^-{-fi; done on aura

La forme de la fonction t/; se trouvera, en donnant a /J une valeur particuli^re.
En supposant par ex. /S = 0, et remarquant que (p(0) = 0^ /*(0)=1, F(0)=1,
les deux valeurs de r deviendront

r = q>{a) et r = i/^(a),
done

et de \k

La premiere des formules (10) a done lieu effectivement.

De la mdme mani^re on verifiera les deux autres formuIeSr
Des formules (10) on pent deduire une foule d'autres. Je vaisrappor*
ter quelques-unes des plus remarquables. Pour abr^ger je fais

11) i+«*cVa.9V = ^

147

En changeant d'abord le signe de /?, oa obtiendra

^a + /?)-V(«-/?)=^-^,

12)

/(«+/?)+ /I"—/?)

je

En formant le prodait de f{a-\-§>) et 9(0 — ^, on troavera

on, en sobstitaant les valeurs de /"'/?, F*/?, /"'«, F*a en y/? et (pa:

or jB = 1 + e^c^^a.q)^^^ done

15) ^(a + ^).y(a_^) = ^!?^.

On trouvera de m^me ,

I Xw Xw

1 + e*9»a + e»9»ft — g»c*9»a. 9«p F*a.F*(i—e^c^+e*)<f^a..<f*^

» S

En faisant dans lesfonnules (10) /?=:±:-^> /^ = d: -2~^ ^'^ remarqoant

queV(±-|) = 0, i!'(±^i) = 0, onanra

19 *

148

9 (« ± -|) =± 9 -f- • ^5 /■ (« ± y) — T — ;;p • l^i

9-2

15)

F(«±|)

F^
Fa.

t3 -

/ , t3 A , o . Fa. , i,^ , ts .\ -r 2 9* .

/^(«±fO

f — »

ou bien:

16)

,«\ 9*

Fa •

9a

' V -■- 2 / e /a '

De la on tire sar le champ:

K^+«)=»a-«)!/'(-i+«)=-/(T-«>

17) < '■(t + «)='^(t-«)-

18.) ,(.± j).,(. + |r)=±l;F(.±^y«=i^.±|.<V«=i.
En faisant a ::^=: ^ et — 1 on trouve de la

2 2

Ensuite les equations (17), en y mettant dans les trois premieres a-{- — an lien
de a, et dans les trois derni^res a-^^i au lieu de cr, donnent les suivantes

^ H(a

149

qp(a + a)) = — (jpa; /|[a-[-co) = — fa\ F(a-|-(o) = Fa\

et en mettant a -(- co et a -|~ tsi au lieu de a :

!9)(2a> -{-«)= ya ; y (Stsi-f- a) = ya ; (p{(0 -|-oi+ a) = 9>a ;
/|;2a> + a)= /•«; f{2m+a)= fa,

Ces Equations font voir que les fonctions fpct^ fa^ Fa sent des fonctions peri-
odiques. On en deduira sans peine les suivantes, ovl m et n sunt deux nom-
bres entiers positifs ou negatifs:

iy((wi+»)a>+(wi — w)i3«+a)=y a ; (jp((w+w)a)+(^— w+l)ai+a)= — ya ;
/][2mG)+woi+a) =/a ; /((2iw+ l)(i)+?iat+a)= — /a ;
JF\wa)+2wi3i+a)=+Fa ; F(wa}+(2?i+l)ai+a)= —Fa.
Ces formules peuvent aussi s'ecrire comme i1 suit:

iq>{pim -j- msi ± «) = i ( — 1)"^. ya?
/i;wa) + mi± a) = (—!)-./«,

On pent remarquer comme cas particuliers :

!(p{m(o -ji2 «)=± ( — 1)* SP« ; (p{ntsi±: cf)=it ( — !)*• 9^ ;
f(m(o±a)=z{—l)-^.fai f{nuii±a)=:fa;
'F(m(o±a)=Fai F(nxsi±cc)=z{—l)\Fa.

5.

Les fonnnles qu'on vient d'etablir, font voir qu'on aura les valours des
fonctiona q>ay fa^ Fa pour toutes les valours reelles ou imaginaires de la vari-
able, lorsqu'on les connait pour les valours reelles de cette quantite, comprises

entre ^ et et pour les valours imaginaires de la forme /?i, ou /? est com-

pris entre -^ et - — — .

En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions 9)(c(-(~/^0>
/|[a + /?i), F(a + /?i), oil a et /? sont des quantites reelles quelconques. En
mettant dans les formules (10) /9i ^ la place de /?, il est clair, qu'on aura les
trois jpnctions dont il s'agit, exprim^es par les fonctions (pay fa, Fa^ q>{fii)y
f{§i)y Fil^i). II ne reste done, qu'i determiner ces demi^res. Or, quelles que
soient les valours de a et /?, on pout toujours trouver deux nombres entiers
»i et », tels que a = wi . w ^ a', /9 = no ± /?', ou a' est une quantite comprise

150

entre 0 et -\- -^ y et fi' entre 0 et-|- ^- Done on aura, en vertu des equa-

m m

tions (22'), en substitaant les valeurs precedentes de a et /?:

g)(a) = 9(^0) -£• a') = Jt: ( — !)"*• SP«'>

/][«) = Vl[i«a> ± a') = (— l)~./a',
JF\a) =F(W(» + a') = Fa',
(]p(/?i) =(p(wai ±/?'i)=±(-ir.9)(/?'i).

F(/?e) =fl[mDi±/*'i)=(— 1)*. iFl(/?'t).
Done les fonctions 9)a, /a, Fa, 4]p(/?i), /(/^i)} F[/9i) seront exprimees comme on
vient de le dire, et par suite aussi les fonctions 9(a+/?i), /][a+/^0> -^("+/'^-

Nons avons vn prec^demment, que ya est r6el depuis a = — — jusqu'a

a

+ ~- , et que Jn^ est r6el depuis a = — -^ jusqu'& a = -|- ^.

Done en vertu des equations (22). il est clair:

\) que g)(a) et .M^ sont reels pour toute valeur reelle de a ; f^a est

compris entre et H , et ^^^P entre et A ;

c ' c t e e

2) que 9)(a) s'evanouit pour a = wco, et ^\' pour a = wicj, »i 6tant un

nombre entier positif ou n^gatif; niais 9)(a) n'est pas nul pour aucune autre
valeur reelle de a.

En remarquant, que fa = |/^(1. — ^*9*«)j ^a = T^(1+^*9*«)j *l suit de
ce que nous venous de dire:

\) que les fonctions /(a), jFl(a), /(ai), Jl(ai) sont reelles pour toute va-
leur de a ;

2) que /(a) est compris entre les limites — 1 et -j- 1 et jFl(a) entre les
litmites +1 c* + ]/ (l + -V) ' ®^sorte que Fa est positif pour toute valeur
r^lle de a;

5) que /][ai) est positif et compris entre les limites + 1 et 1/ T 1 + -^J

et -Fl(ai) entre les limites — 1 et + 1 pour toute valeur reelle de a;

4) que /][«) s'evanouit pour a=(m+^)w et F(ia) pour a=(m + ^)o;
mais pour nuUe autre valeur de a.

151

On remarquera ce qui ^ait, comme corroUaires qu'on tire des formales (22):
1) Soit a=0. Dans ce cas, en rcmarqoant que 9(0) = 0, /|[0) = 1,

F(P) = 1, on aora
25)

2) Soit a

on aura

24)

3) Soit a

on aura

25)

4) Soit a

26)

9;(mo) -|- not) = 0

f(m(o + «o*) = ( — l)"
F{mw + MO*) = V— 1)"

En vertu des equations:

H-f)=f'K-r)=<'- ^(1-)=T'

/((^+ ^) « -jrnmi) = 0,

1)*+". -

c

1)" -.

t5

i. En vertu des Equations

»(l^)=4'Kf-)=r.Kf')=»-

/(m(o+(n+^)oi)

m+M

(-1)

0.

o

o

2^2

En vertu des Equations ci-dessns on aura

7((m+^)«. + (»+^)oO
F((»i + ^)« + (»+^)oO

1

1

IF'

1
XT-

6.

_ •

Les Equations (23), (24), (25) font voir que la fonction q>{a) s'^vanouit
toutes les fois que a est de la forme a^rinKo-^-nQi; que fa s'^vanouit toutes
les fois que a est de la forme a=(9it4-^)^-|-'^^ etquel^a s'^vanouit toutes
les fois que a est de la forme a=ma>-|-(^*}~7)^^'' ^^ i^ ^^^ ^^ P^^ toute
autre valeur de a, les fonctions tpccj fa^ Fa auront n^cessairement une valeur
diffi^rente de z6ro.

152

Supposons en effet qu'on ait

a et /? £tant des quantites reelles. En vertu de la premiere des fonnnles (10),

cette equation pent s'ecrire eomme il suit:

9tt./(Pt). J'(Pi)+9(Pi)./a>JF'tt _.Q
l+c«c*9«a.92(pi)

Maintenant les quantites ya, f\§i)^ F{pi) sont reelles et q>(fii) est de la

forme i.Ay oh A est reel; done cette Equation ne pent pas subsister k moins

qu'on n'ait s^par^ment:

(p{a).f\^i).F{pi)=zO; (f {pi). fa. Fa — 0.

Ces Equations ne peuvent dtre satisfaites, que de deux mani^res, savoir en faisant

i3P(a) = 0, (]p(/?i) = 0,
ou

f[Pi).F{Pi) — 0, fa.Fa=zO.

Les deux premieres Equations donnent a =: mto ; fi = no.

Les deux demi^res, en remarquant que Fa et f(pi) ne peuvent jamais s'£-

vanouir, donnent

fa = 0, F(|Ji) = 0,
d'oii

a = (m+^)o), fi=i(n + ^)xs.

Mais pour ces vaieurs de a et /? la valeur de fp{a-\-fit) deviendra infinie; done

les seules valeur de a et /? sont a=ni(o et /?=:nc5, et par consequent toutes

les racines de I'equation

(p{x) = 0,
peuvent 6tre representees par

27) X == m(o -J- nm.

De la m^me mani^re on trouvera, que toutes les racines de I'equation

peuvent 6tre representees par

28) a; = (»i+|^)(o-j-m5i,
et celles de Fequation

F(x) = 0,
par

29) a; = mw + (w+^)oi.

7.
Les formules (26) font voir qu'on satisfait aux trois equations

153

en donnant k x nne des valeurs de la forme

50) ^= (^+i)«+(w+^)oi.

Or on pent d^montrer que les ^^ations en question n'ont pas d'autres
racines.

En effet, ayant

les equations en question entraineront celles-ci:

mais en vertu de ce qu'on vient de voir dans le num^ro precedent, ces Equa-
tions donnent respectivement :

x^ %^ — -^i = wi()o-|-wc3t; X ^i = (wi + l)w + »t5i,

c'est-i-dire, on aura pour les trois equations:

c q. f. d.

8.

Ayant trouve conune ci-dessus toutes les racines des ^nations

y(a:)==0, A^)==0. F{x)=:Q,

je Tais maintenant chercher les racines des equations plus g^n^rales.

ff{x) = qpo, f{x) = fa, F(a:) = Fa,
oil a est une quantity quelconque r^elle oil imaginaire.

Considerons d'abord I'equation

g)(ar) — ya = 0.
En faisant dans la seconde des formules (12)

on tronvera

20

164

Cette Equation ne pent sobsister que dans I'aa des cinq cas suivants

1, sig)(^^^) = 0, d'ou X = a -{- 2m(o •}- ineif

2. si /'(^^) = 0, d'ou ar = — a + (2ot + 1)© + 2mh
5. siF(i^)=0, d'ou ar = — a + am© + (2w+l)t3i,

N

4. si9)(:^^) = ^, d'ou ar = a + (2m+ l)c» + (2w+l)o^

5. 819^^—^) = ^, d'ou ar = — a + (2i»+l)» + (2»+ l)oi.

La resolution de ces cinq Equations est contenne dans les formules (27), (28),

(29).

Des valeurs trouv^es de x ii faut rejeter ceiies, que donne la fonnule

ar = — a + (2»i+ 1)(» + (2n + l)o£,

car une telle valeur de x donne en vertu de (22):

g)ar = — q>a,

tandis qu'on doit avoir (pxz=:iq)a; mais les autres valeurs de x, exprim^es par

les quatre premieres formules, petivent ^tre admises. Elies sont, comme on

voit, contenues dans la seule formule:

51) . X = ( — 1)"*+*. a + mto + woi.

Telle est done Fexpression g^n^rale de toutes les racines de I'equation

(px = (pa.

De la m^me maniere on trouvera, que toutes le racines de I'equation

fx'=.fa
sont repr^s^tees par la formule

^52) a: = J^ c -J- 2ma) -|- nci,

et toutjBS celles de I'equation

Fx=zFa,
par la formule

55) a: = ^ a -f- mto -|- 2no/.

§. n.

Formuka qui donnent lea valeurs de ^{na), f(na), F(na.) exprim^ea en foncUona ration-

nellea de 9a^ foL, Fcl,

9.
Reprenons les formules (12). En faisant dans la i% 5* et 5* a = n/?,
il viendra:

165

y (n + 1)/? = - y(n - 1)/? + ^^"^^f'^^ ,

F(» + 1)/? = -Px» - 1)/? + -?»i:^ ,

ou fi = 1 + c*e" . (p*{nfi) . (p*p.

Ces formnles donnent la valeur de (f){n-\-\)§ eii9>(n^ — 1)/9 et 9)(»|9) ; celle
de f{n+ 1)/? en /"(n— 1)/J et /"(»/?), et celle de F{n+ 1)/? en F(»-- 1)/? et F{n§).
Done en faisant snccessivement n = 1, 2, 3 . . , on trouvera snccessiTement
les Taleurs des fonctions:

qp(2/?), 9) (5/?), (;p(4/J)...9)(»/J),

A2/?), /(3/J), A4/S) . . . A«/J),
F(2/?), F(3/?), F(4/S) . . .F(»/?),

exprim^es en fonctions rationnelles des trois quantites

()P/?; /)?; F/?.

En faisant p. ex. n=l, on aura,

35) • //•(2^) = _1 +

yap

Ff2/S) = — 1-1 ?^^!^

Les fonctions 9)(»/?), /'(»/?), F(n^) etant des fonctions rationnelles de fp^^
ffi, F^t on pent tonjoors les reduire k la forme ~^, on P et Q sont des fonc-

tions enti^res de 9)/?, //?, F/?. De m^me il est clair, qjae le Aimommatenr^Q
aura la m£me valeur pour les trois fonctions que Ton consid^re. Soit^onc

55') y(»^) = J^, f{n§)=^, F(n^=: ^,
on aura dgalement

9(« _ l)/J = ^, /•(„_ 1)^= :^, F(n - l)fi - ^'-'

En substituant ces valears, la premiere des formules (34) deviendra:

20*

156

En egalant les nom^rateurs et les denominateurs de ces deux fractions,
on aura

37) (?H.i = !9^,(!9".+ «'^yV-/««).
La seconde et la troisi^me des ^qxiatiODS (34) donneront de la m^me mani^re:

59) P'^j = — P'^, . (Q^^ + c*c»9) V . /»«) + ^§ . /".. !p, . Q^^.
En faisant dans ces quatre formules n=l, 2, 3 . . .-, et remarqnant, qa'on aura:

(?„=1, (?, = 1, P„ = 0, P, =9)/?,

P'o=:l, /",= ^/?, P"o=l, P'y^F^,

on trouvera saccessivement les fonctions enti^res Q^, P^, P*., P*., poor
toates les valeurs de n.
Soient pour abr^ger:

40) <f?-=-Xy f^=iy, F^ = z et

41) /2. = !?•. + e«c»a:»/»„
les formules pr^cedentes donneront:

Q»+l = Qn-i • "w

42^ /^»fi = — ^-,/2« + 2y2-P».!?»-l9.-i»

-^ *^Wi= — ^'-1- «» + %• '*'.• IP- !9-i.

En posant n= 1, 2, on aura:

/?j = !9*i + e*c"a^/», = 1 + e«c»a^,

43) {P^=—PJt, + ^yzP,.Q,.Q^=ixyz,
P, = — P'„K, + 2yPi.ft.!9o = — 1 — ^c«^ + %%

/*'«= — nffi+a^/^-i-ftiPo^ — i—«*c*^+ 2^*

P, = — PJl^+^yzP^Q^Q, = - :r/?, + %«2*:r .^^

44) ^ =:r(4yV Qa-/?^,

167

En continaant de cette sorte, et.en remarquant quey*=:l — c*a;% 2;* = 1
-|- e^x^^ on verra aisement, que les quantites :

Jcn9 9 9 •» 2it> 9 •* awj — — •

sy% s y %

8ont des fonctions enti^res des trois quantites a;% y^, ^^ et par cons^ent
aussi de Tune de ces quantites quelconqne pour une valeur enti^re quelconque
de n.

Cela fait voir que les expressions de ^(n/?), fln^), P{n^) seront de la
forme suivante:

iq>{2nfi) = (pfi.fli.Pfi.T, qp(2w + 1)/J = y/J . 7^
f{2nfi) = T,, f{2n + l)p=f^.l^,

I\2n§) = T; , F(2n+ 1)/? = F^.T',

oil T etc. repr^sentent des fonctions rationnelles des quantites (y/?)*, (//?)*, (J^/?)*-

§. m.

R^Molution des Equations
9{n^) = I7, fm = ^9 I\n§) = ^.

10.

Suivant ce qu'on a vu, les fonctions q>{iip\ f{n^)9 I\^P) s'expriment ra-
tionnellement en Xy y, z. Le r^ciproque n'a pas lieu^ car les equations (35')
sont en general d'un degr6 tr^s eleve. Eiles ont par cette raison un certain
nombre de racines. Nous aliens voir, comment on pent ais^ment exprimer
toutes ces racines au moyen des fonctions 9), /*, F.

A. Consid^rons d'abord I'equation y(w^) = --JL, ou Q«.qp(w/?) = jP„, et

cherchons toutes les valeurs de x.

II faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair :
1) Si n est un nombre pair.

D'apres ce qu'on a vu dans le paragraphe precedent (45), on aura dans
ce cas

c'est-4-dire, en vertu des fonnales

y = K(l - c^x% 2 = K(l + e*x%

q,{2n^) = x^>{x^) . V ((1 — c*x^) (1 + «'^*)>
Done r^quation en x deviendra,

9«(2»/J) = x\ip(x^)y. (1 — c*x^) (1 + c*x").

138

En designant le second membre par 0(^*), on aura

9«(2»/J) = e(a;*).
9/? ^tant one des valenrs de x^ on aura

46) 9>^(2w/?) = 0(9)*/?),

Equation qui a lieu, quelle que soit la valeur de /?. Pour trouver les ^utres

valeurs de x^ soit x=(pa une racine quelconque, on doit avoir

Or, en mettant dans (46) a au lieu de /?, il viendra

9*(2na) =: 0(y*a), done:

47) g)*(2»/?) = 9)*(2im),
Equation qui revient k ces deux-ci:

(p{2na) =z q){2nli) et g)(2»a)j= — (p{Zn^).
La premiere donne en vertu de (31)

2»a = 2»/?.(— 1)"*+^ + ma> + jwoi,
ou m et /i sont deux nombres entiers quelconques, positifs ou negatifs, z^ro
y compris.

La seconde donne les mdmes valeurs de 2na, mais de signe contraire,
conune il est ais6 de voir, en I'^crivant comme suit:

g)(— 2na) = (p(2nfi).
Toute valeur de 2na, qui satisfait k I'equation (47), pent donc^tre representee par

2wa = ± (2n/?. (— 1)*+^^ + mco + /lai).
De Ik on tire la valeur de a, en divisant par 2^, savoir:

Ayant la valeur de a, on aura

48) 9'«=±9((-l)"^''./?+^« + ^ai) = *-

Done toutes les valeurs de x sont contenues dans cette expression, et on les
trouvera, en donnant aux nombres m et fi toutes les valeurs entieres depuis
— oo jnsqu'4 + oo- Or pour avoir toutes celles qui sont differentes entre
elles, il suffit de donner k m et fi des valeurs entieres moindres que 2n. En
effet, quels que soient ces nombres, on pent toujours les supposer reduits k la
forme :

oil k, k sont des nombres entiers, et m\ (i\ des nombres entiers moindres que
in. En substituant ces valeurs dans Texpression de x^ elle deviendra:

159

or en verto de (22) cette expression se reduit a

49) x=±9.((-l)'^'''/?+^«'H-^o»)
Cette valeur de x est de la in^me forme q[ue la pr^cedente (48), m ei fi seule-
ment sent remplaces par m' et fi\ qui, tous les deux, sont positifs et moin^s
que 2n; done on obtiendra toutes les valeurs diffi^rentes de or, en donnant seu-
lement kmei fi toutes les valeurs enti^res depuis z6ro jusqu'^ 9,n excl. Toutes
ces valeurs sont n^cessairement diff^rentes entre elles. En effet, supposons par
ex. qu'on ait

±g'((-ir'+'"/S+^«+^m)

il s'en saivrait, d'apres (31):

A: et At* 6tant des entiers.
Cette equation donne:

fi'=zk'.2n±fMy m'=zk.in±m, (— 1)*'+^'=±(— 1)"^/*.
Les deux premieres equations ne peuvent pas snbsister a moins que At* = 1,
*=!, |U'=2» — /El, m'=2n — wi, et alors la derni^re deviendra:

(- 1)"''^^ = — (— 1)"^^
d'oii Ton tire:

(— 1)*-^V = _1,

resultat absurde.

Done toutes les valeurs de ^, contenues dans la formule (48) sont diff6-
rentes entre elles, si m et ^ sont positifs et moindres que in.

iLe nombre total des valeurs de x est, coinme il est aise de voir, egal a
2(2»)*z=8»*; or I'^quation 9*(2»/?)=e(^*) ne pent pas avoir des racines egales,

car dans ce^cas on aurait ' j ^ =0, ce qui donnerait pour x une valeur in-

dependante de fi. Done le degre de Tequation 9)*(2»/5) = 8(^*) est egal au
nombre des racines, c'est-a-dire k Sn^. Si par ex. 9i=l, on aura I'dquation

ou bien (1 + e^c^x^f . (p*(2/?) = 4ar»(l ~ c*a:*Xl + e*x%

160

et d'apres la formnle (48) les rdcines de cette ^qaation, au nombre de hnit,
seront :

'2) Si n est un nombre impair = 2n -}- 1-

Dans ce cas "^' est, comme nous Favons vu, une fonction rationnelle
de Xy et par consequent T^qaation en x sera:
50) (p{2n+l)p=z-^^.

Pr^cis^ment comme dans le cas pr6c6dent, on tronvera, que toutes les ra-
cines de cette equation peuvent toe representees par

oil il faut donner k m et fi toutes les valeurs enti^res depuis — n jusqu'a + n
incl. Done le nombre desracines differentes est (27t-f-l)^* C'est aussi le de-
gre de r^quation en question. On pent aussi exprimer les racines par

Si par ex. n=l, on aura nne equation du degr6 3^=9.
La formnle (51) donne pour x les 9 valenrs suivantes:

.(-^ + |)>

^C^ + y-fO'

161

B. Consid^rons mainteaant I'^qaatiou

52) A»i?)=-^

et cherchons les valeurs de y, qui satisfont a cette equation. La fonction
-^ ^tant, comme on a vu plus haut, rationnelle en y : I'^quation en y, en faisant

-^ — V(y), sera

Une des racines de cette ^qaation est y =//?, done, quelle que soit la valeur de fi:

55) f{n^)^W?h

Pour trouver les autres valeurs de y, soit a une nouvelle inconnue, telle que
y=ifaj on aura

or, en vertu de (S3) le second membre est egal k f\na)y done pour determiner
o, on aura I'^quation

f{na) = f{n^).
En vertu de (32) cette equation donne pour expression generale de na:

na = Jt: ^Z' "1" 2mo> + fitsiy
m et /A etant deux nombres entiers positifs ou n^gatifs, zero y compris.
De \k on tire

a = 4- /? -I- o)-f--^ erf

ft n

et par consequent:

C'est la valeur generale de y. Maintenant pour avoir les valeurs diffi^rentes
de yj je dis, qu'il suflfit de prendre /¥ avec le signe -|- et de donner k m et /i
toutes les valeurs enti^res, moindres que n. En effet, comme on a /(-f-^)
= /( — a), on aura d'abord:

Done on pent toujours dans Fexpression de y prendre fi avec le signe -f**
Ainsi toutes les valeurs de y sont contenues dans Fexpression

54) y = /'(/? + ^«,H-±-ai).

Maintenant quels que soient les nombres 7n et fx, on pent toujours supposer,

21

162

od kj k\ m\ 11^ sont des nombres entiers, les deux demiers 6taat en m^me temps
positifs et moindres que n.

En sobstituant il vieudra '

Or, en vertu de (22) le second membre de cette eqnation est egal k

quantity de la mdme forme que le second membre de (54) ; seulement m* et /x'
sont positifs et moindres que.n. Done etc.

En donnant k m et fi toutes les valeurs possibles, moindres que n^ on
trouvera un nombre n? de valeurs de y. Or, en general toutes ces quantites
sont differentes entre elles. En effet, supposons par ex.

on aura en vertu de (32), en designant par A:, k deux nombres entiers:

Puisque /? pent avoir une valeur irrationnelle quelconque, il est clair que cette
6(juation ne pent pas subsister a moins qu'on ne prefi^re dans le second membre
le signe sup^rieur. Alors il viendra

ft n n n

d'ou Ton tire en egalant les parties reelles et les parties imaginaires:

Equations absurdes, en remarquant que les nombres 9it, m\ /i, et fV sont tons
positifs et inf(6rieurs k n. Done en g^n^ral Tequation

f{np) = t/;(y)
a un nombre v? de racines differentes entre elles et non pas un plus grand nombre.
Or generalement toutes les racines de cette Equation sont differentes entre
elles. En effet, si deux d'entre elles 6taient egales, on aurait a la fois :

/•(n/J) = t^(y) etO = V"(y).
et cela est impossible, si Ton remarque que les coefficiens de y dans tf;(y) ne
contiennent pas /?. Done generalement r^quation (52) est necessairement du
degre n*.

C. L'eqoation

56) F{n^

163

etant traitee absolament de la m6me mani^re par rapport k z, qae T^quation
f(n^='~^ Ta ete par rapport k y, donne pour expression g^erale des va-

lewc^ de 2:'

57) z=F(fi + ^0 + ^m),

oh m et fi sont entiers, positifs et moindres que n. Le nombre des' valeurs
•de z est n% et elles sont en general toutes difi<§rentes entre elles.

Done gen^ralement T^quation (S6) est du degr6 n^

11.

Nous avons trouv^ ci-dessus toutes les racines des Equations

racines, qui sont exprim^es par les formules (48), (SI), (54), 57). Toutes ces
racines sont differentes entre elles, excepte les cas de valeurs particttli^res de
/?; mais pour ces valeurs, les racines differentes sont contenues dans les md-
mes formules. — Dans ce dernier cas un certain nombre des valeurs des quan*
tit^s or, jfy z seront Agates; mais il est clair que toutes les valeufs ^gales ou
in^gales seront neanmoins les racines des Equations dont il s'agit. Cela se
fait voir en faisant converger ^ vers une valeur particulidre, qui donne pour
x^ ou y, ou z des valeurs 6gales.

En faisant dans la formule (48) /?=:-—, on aura Tequation

^) '^*''='Sr' dontlesracinessont;r==±(p((-l)-^A'^+^(»+£oi^
et oil m et /i out toutes les valeurs enti^res et positives moindres que in.

En faisant de m£me dans la formule (50)/? = -:.^, on aura cp<:t= 7^',
dont les racines sont

• 59) x=(-l)-''.»(^+=^tf^>

m et /i ayant pour valeurs tons les nombres entiers depuis — n jusqu'i -f*^*
Enfin en faisant dans (52), (56) /9 = -^, on aura F^quation

fa = — ^ dont les racines sont

«o) ,=r(|+^»+£4

21

*

164

et r^qaation
Fa = ' , dont les racines sont

oil m et /i sont renfermes entre les limites 0 et n — 1 incL Si n est impair
= 2n4~l9 ^^ P^^t aussi sapposer

»=(-ir./'(^+5^<.+^4

m et |U ayant toutes les valeurs enti^res de — n k ^n.

Dans toates ces Equations la qaantite a peat avoir nne valeur q[uelconque.

Comme cas particaliers on doit remarquer les suivants:

1) En faisant dans (S8) et(S9) a=iO, on aura les equations

jP*a^ = 0, dont les racines sont a: == ^jh V (-^ « 4" -^ oij

^^x J (les limites de m et ^ etant 0 et 2»— 1),

]/^2iH-i«=0, dont les racines sont j; = qpf-- — ~co-f" o I'^V

(les limites de m et ^ ^tant —net -i-n).

2) En faisant dans (60) a = -^ et dans (61) a=i^i, et remarquant
que /(-^)=0, -PT-^ n = 0, on obtiendra les deux Equations :

65) P'« == 0, dont les racines sont y=i f ((2m + i) ii+ i ©i)) 0®» 1"">*^»
^ '^ ^ V^ ^ ^^ n ^ n / lie m et fs

64) /^»= 0, dont les racines sont z= f(^(o + {2fi+^) ^) j ^^\)^

3) En faisant dans (58) a = ^ -f- -f^ ^ ^^ ^^ remarquant, que
q) r Y H — 2 / ^^^ ^' ^'^ ^^^ Tequation

dont les racines seront:

Les valeurs de ;r doivent £tre ^gales par couples, et Ton verra aisement
que les valeurs in^gales peuvent £tre representees par

65) ^ = <p((m+i)-^ + (/*+i)^>

166

ea donnant km et fi toutes les valeurs enti^res depuis 0 a 2n — 1. Done ce
sont les racines de I'equation

(P2» = 0, par rapport a x.

En faisant de mdme dans (S9) a = -^ -|- ^ ^ on anra Tequation

mm

Q^t^i =7= 0,

dont les racines seront:

66) (3,= (-l)-./'((« + i)^ + 0<+4)^).

HI et ^ ayant pour valeurs tons les nombres entiers de — n k-^-n.

*

Parmi les valeurs de or, y, z, il faut remarquer celle, qui r^pond a m=9i,
lji=zn. Alors on a

y=(-i)-./(|-+|,)=

Ces valeurs infinies font voir que T^quation j^sin-i =^ 0 est d'un degre mo-
indre d'une unite que celui des Equations dont elle sort. En ^cartant ces va-
leurs, les restantes, au nombre de (2n-}-l)^ — 1? seront les racines de Tequa-
tion Q^^^=:0.

§. IV.

JUsokition alg^htique des Equations

1
IP

1

V«=4i^^,/«=4T^^,/^«

V>«+i ^s«-i-i Qi<H-*

12.

Nous avons vu dans le §. precedent, comment on pent exprimer ais^ment
les racines des equations en question au moyen des fonctions % fy F. Nous
aliens maintenant en d^duire la resolution de ces m^mes Equations, ou la de-
termination des fonctions q> (— )j fy—)^ ^\~)^ ^^ fonctions de ya, /a, F«.

166

Comme on a

ou peut supposer que n est an nombre premier. D'abord nous considererons
le cas oil n =: 2, et ensuite celui oil n est un nombre impair.

A. Expressions des fonctions q> \^\ f\^j^ ^\^'

13.
Les valours de q> [^ , fCw-J^ ^\y) P^^^^°' **^^ trouvees tres facile-
ment de la mani6re suivante. En supposant dans les formules (35) /? = ^,
et faisant

il viendra:

on bien, en substitaant les valeors de y' et ;^ en or*:

Ces eqaations donnent

i-\.f„— 2(i-«'^') !_/•„_ 3f!£!(i+!!f!I

J? 4 2g»J«(l— c'j«) g _i <_ 2(l+e»j:')

d'ou 4^ = e" . a:» J^^ = c»^* ,

et de I^, en remarqaant que y* = 1 — c";**, «* = 1 + e'a:*,

~ l+/a * "^ 1+^ '

De ces Equations on tire, en extrayant la racine carr^e, et reoiplafant

X, y, z par leurs valeurs q, (^) , /(y), f{^ :

^^ /(t)=41/(^)=^)/(^)>

Telles sont les formes les plus simples qu'on peut donner aux valeurs des
fonctions vT-y)' /^(y)» ^(y)' ^^ ^^^^ manifere on peut exprimer alge-

167

briquement ^'(■l-)? fyj^p ^Ct) ^^ ^^' ^"' ^^ *^ mAine mani^re vT-j),
/• (— \ -'^(t) s'exprimeront en /"(-l^)? ^(t)' ®* ^''^^* *® ^^**^* '*^'^^ ^^
general les fonctions <pC^\ f\-^\ -Fr-^Jpeuvent 6tre exprimiesaumoyen

d'extractions de racines carrees, en fonctions des trois quantit^s q>cc, fa^ Fa.

Pour appliquer les formules trouvees ci-dessus poor la bissection k un
exemple, supposons « = — .

Alors on aura fy-^:= 0, Py^\-=z ^^^ ^^ \ done en substituant:

f [ 1 + — /(eHe') )
on bien

1 _,i/[c/(eg+c^)— c^]

\/[c^+c/(e*+c«)] ec

*(t)=

K7)=n'+S)=]/Wf)}

B. Expressions des fonctions q> (--^X f( ^ \ pf-A-V en fonctions

idgebriques des quantitis (pa, fa^ Fa.

14.
Pour trouver les valeurs de v(^y). /*(^y)» ^(^t) ^"^^'^.A.^*.
il faut r^soudre les equations

qui toutes sont du degr6 (2n-^if. Nous allons voir, qu'il est toujours pos-
sible, d'effectuer algibriquement cette resolution.

168

Soieot

68) ^^p=^^j>(p^^)

et

-n

69) # = i,«'.».(-« + ^). '(■./»= ^.'^ ■,.(#- ^>

oa 0 est one racine imaginaire qaelconque de r^quation 0^^^ — 1=0. Cela
fosiy je dis que les deux quantites

pourront Hre exprim^es rationnellement en (p{2n'{-l)^.
D'abord en ^crivant g)^^ comme suit:

n

1

on voit que q>^fi pent s'exprimer rationnellement en q)fi. Soit done q)^p
%{fp^)j on a de mSme :

on bien, en faisant q>p=zx:

et en snbstitnant pour /)? et F§ leurs valeurs 1^(1 — c^a^) et K(l + ^^)*

or, X d6signant une fonction rationnelle, le second membre de cette equation
peut se mettre sous la forme

ou Rf^ et R'f^ sont des fonctions rationnelles de or.
Done on a

En substituant dans les expressions de ^fffi et i^^/?, il viendra:

169

-n ^ -n ^

Maintenant R^ et Rlf^ 6tant des fonctions rationnelles de Xy les quantites

£ ^.R^et 2 ^f^.R'^ le sont egalement En elevant done t///? et t/;^/? k la

(2» + 1)*^"^ puissance, les deux quantit^s (t/;/?)*"+^ et (V'l/S)*""^^ pourront se
mettre sous la forme :

(t/;/?)*"+i = t + t\ V{(1 — c^x^) (1 + e^x^)\

t et V etant des fonctions rationnelles de or. En prenantla somme des valeurs
de (t/;/J)*»+^ et {%PY'^\ on aura

Done la quantite (v^/9)*"+^ + (V'l/?)**^* P^^t ^tre exprimee rationnellemeat
en X. II en est de m^rne du produit V^/^.i/^i/?, comme on voit par les Equa-
tions (70).

Done on peut faire

A(a;) et X^{x) designant des fonctions rationnelles de x. Maintenant ces fonc-
tions out la propriete, de ne pas changer de valeur, lorsqu'on met a la place de
X uue autre racine quelconque de Tequation

Considerons d'abord la fonctioD X{x). En remettant la valenr de ;r=:7/?,
on aara

VA.Vi/» = %/*)»

d'ou I'on tire, en niettant /? 4- J^ + .|*l5i au lieu de /?:

' ' 2«+l ' 2«+l

I

Cela pose, en remarquant que

72) 5^v(m+*)== 5, V'W + i7^.(v(m4.»)-V/(m-.n— 1)),

-n -n 1

on aura, en faisant dans Texpression de 9)^/?, /? = /9 -|- ^-~- :

22

170

done

En mettant dans I'expression de %pp^ fi -f- Z^ ^ + «— j- au lieu de /9, on
tronvera

or en vertu de (73) on a
done

En verta de (72) on a

|, r . ,. (^ + !(|i^

done, en remarquant que O"^^"** = oa*-»-*-*' et

il viendra

De la m^nie maniere on tronvera anssi

I

Ces deux equations donneront

171

En verta de ces Equations oo obtiendra, en mettant dans les valenrs de k{q>^
et X,(ip(l), /y + ?*g;^'au lieu de /?,

Or, (p(fi -j ^ — ^ J exprime nne racine quelconque de Tequation

g)(2«+l)/S

a«4.i

Done comine nous avons dit, les fonetions A(^) et Xj{x) auront les monies
valeurs, ^elle que soit la racine qu'on met a la place de x.
Soient done or^ , x^, a;^ . . . or^s/ ces racines, on aura

Or le second membre de ces Equations est une fonction* ratianneUe et synie-
trique des racines de Tequation g)(2»+l)/'= -tt^j ^^^^ K^) ®* hi^) P®""

ront s'exprimer rationnellement en (p{2n-\-\)p. En faisant

X{x) = B, X,{x) = 2^,
les Equations ^71) donneront

d'od Ton tire

15.

Ayant trouve la valeur de t/;/9, on en deduira facilement celle de 9)^/?.

En effety en prenant pour 0 successivement toutes les racines imaginaires
de r^quation 0**+^ — 1=0, et designant les valours correspondantes de A et
B par Aj^ B^j A^, B^ etc., on obtiendra:

2n -|.i +n

i/(^,.+ K(^'«.- Bi^^))= z;o^,. 9, (^ + ^).

22

172

De mdme on connatt la somme des racines :

qui est ^gale k {2n'\'l)(p(2n-{'i)^y comme nous le verrons dans la suite.
En ajoutant ces equations membre a membre, apres avoir multipi6 la premiere
par e -*, la seconde par ft-*, la troisieme par 0^ . . . et la (2wy^™* par O"*^ il
viendra:

2D 211+1 •

= (2«+ 1) . g>(2n+ 1)/J + Z"^ O;;' . K( J^ + K(^» - iB^'^*)) ;
or la somme

se r^duit k zero pour tbutes les valeurs de Ar, except^ pour k^=fi. Dans ce
cas elle devient ^gale k 2n-j-l* Done le premier membre de I'equation prec6-
dente devient

done, en substituant et divisant par {2n-\-i)j on k:

. . . + nf /(^»- -I- K(^*- - ^'r )))

Pour Ar=0, on a:

1 x«n +r an +1

an+i ^

. . . 4- 1^(^.» + K(^5. - ^r '))).

16.

Ayant ainsi trouv^ la valeur de 9>,/?, il s'agit d'en tirer celle de g>li. Or
cela peat se faire ais^ment comme suit:
Sott

78) f^=|..-.»(/» + ^)i t^=|.r.»(,»-^)i

on a

"^p V ± -2^;= , ,, ,/-a»'M .a

173

De la suit qu*on peut faire : *^

^^ = r + f§.F§.S', ^^^^r — fp.Fp.s,
oa r et ^ sont des fonctions rationnelles de 9/?.
De la on tire

xiipP) et Xi (fp^) etant deux fonctions rationnelles de 9/?.

Cela pos^ je dis que x(v^ et XiiV^) pourront s'exprimer rationnellement
en tpifi.

On a vu que

80) 9'/=9/» + -27^.

• •

En faisant (p^i±ix^ oh aura une eqaation en :r da degrd (2n-|-l). Une racine
de cette Equation est x z=q>fi'^ or, en mettant /? + ^ — 7 ^^ ^^^^ ^^ ft 9i/^ ^^

change pas de valeur, Anc ;i; = 9) T/? 4* a^} ^^^ ^^^ racine, quel que soit

.J ■
le nombre entier Ar. Or, en donnant a k tontes les valeurs enti^res de — n

/S-f- - — -) prendra 2n+l valeurs differ entes, done ces 2»-f-l
quantit^s seront precis^ment les 2^ -|- 1 racines de I'^quation en x.

Cela pos^, en mettant fi -f~ n — t ^^ ^^^^ ^^ /^ ^^^^ Texpression de i//J?,

211+1

il viendra en vertu de (72):

I t

done en ayant attention, que e"'+~-*=e"^-*-* et 9 (/? -(- 2(m— w l) \
= V (/? + -?^^), il en rfeultera

8*) '^«('* + £ri)='^"^'^'

174

De mdme on aura

On voit en verta de ces relations, que les Equations qni donnent les valeurs
des fonctions xivP) et %i{q>p\ conduisent k ces deox 6galites:

''[»(''+^)] ='(»«■

De \k on tire

x.(»«=stt|..x.[»(a+^J]-

Or, ces valeurs de %((p^ et %^{q>?) sent des fonctions rationnelles et sy-
m6triques de toutes les racines de I'^quation (80). Done elles peuvent dtre
exprimees rationnellement par les coefficiens de la mdme 6q[uation, c'est-a-dire
rationnellement en q)^^.

Soit x(9/^ = A x,(y/S) = £C, •

les equations (79) donneront

20+1

d'oti, en remettant la valenr de yf^-.

82) Y{c+V{C^-i^')) = Sjr.^{?+^^.

-0

De la on tire, en mettant 0^ au lieu de 0, et designant les valeurs correspon-
dantes de 67 et jD par C^ et D^i

-n

En y joignant Fequation

on en tirera faeilement

83) (2»+l).^ (/? + ^) = ,,./? + l^o;;' "/{C^ + ^(CJi - 0%-^^)).
En supposant A- = 0, il viendra:

1 In 4-1 2D +1

84) V/?=^i[y ./?+|/(C,+K(Cf-/)t-+')) + . . .4-K(C,.+K(6« -/>*r))].

175

Oette eqaation donne (f§ en fonction alg^brique de tp^p^ or pr^c^demment
nous avons troav6 q>^ en fonction alg^briqfne de (f{^ -f- \)^. Done en mettant

-Ap an lieu de /?, on aura (p vj^rr) ^^ ^^^^^on algdbriqne de (pa.

Par une analyse toute semblable on tronvera f(^~—\ en fa et

'(isr) «" "'■

17.

Les valeurs, qne nous venons de trouver des qnantit^s q>^fi et 9/?, la pre-
miere en 9)(2n-|-l)/^ et la seconde en ip^p^ contiennent chacime la sonune de
in radicanx diff^rentes du (£»+ 1)^"** degre. U en r^sultera pour y/?, tp^p . . . nn
nombre {^n -}- 1)** de valours, tandisqne chacune de ees quantit^s est la racine
d'une equation du (Sn-j-l)^'"^ degr6. Or on pent donner aux expressions de
q>fi et 9^/? une telle forme, que le nombre des valours de ees quantity soit
precisement 6gal a Sn-f-l-

Pour cela soit

e = C08 J!L-+tsin **

on pent faire

Soient de m^me

85) ^ ;„

on aura en vertu de (74) '

Soit maintenant

86)

176

P.{(pfi) et Qivfi) seront des fonctions rationnelles de g)/?; or, en mettant
^^ 2mo+2^ ^^ j.^^ j^ p^ jl ^gj ^Ij^jj. gjj ^^j.j^ j^g formules pr^c^dentes,

que P et j^ ne changent pas de valeors ; done on anra

or, le second membre etant une fonction sym^trique et rationnelle des racines

p
de Fetation q}{2n + l)p = q 9 P{^P) pourra s'exprimer rationnellement en

ifH^n -f- 1)^. n * en €|St de mSmie de Qiff^* Connaissant ces deux quantit^s^
les e^ations (86) donneront

or

done

|M,.2v^(^._5;H-x)=e(9'/?)-(^-m-5:-+^)).i'(9'/?).

Done on aura

ou J^it et Hk sont des fonctions rationnelles de ffipi-^-i)^. En ^rempla^^ant
A^ et B^ par ^ et £ et substituant les valeurs de ^*(/?) et (t/^V)** *^ viendra:

done la valeur de q>^p deviendra:

Par on procede tout semblable on th>uvera

od A',, Z/„ ir„ £, . . .Kint i'tn sont des fonctions rationnelles de (fx^.

177

Ces expressions de q>^p et qp/9 n'ont que 2n-|-l valeors differentes, qu'on
obtiendra ea attribuant aux radicaux leurs 29i-|-l valears. U suit de notre
analyse, qu'on peut prendre YiA^ — jB*"+^) et V^(C^ — Z)**+^) avec tel signe
qu'on voudra.

18.

La valeur, que nous avons trouv^e pour (f{P) ou (p f^ J contient en-

core, outre la fonetion q>aj les suivantes:

Cj c, 0,

(mo \ / nrni \ /./ mo \
^ ( mm \ rr/ mo \ f^( mxai \

pour des valours qneleonques de m depuis 1 jusqu'a 2n. Maintenant quelle
que soit la valeur de m, on peut toujours exprimer alg^briquement 9>(«— t-}>
f(^^\ FC-^)ena.f-^\ et a, f^^Y f(J^\F(!!^^mJ[-^\

'V2»»+l/' V211+1/ ^V2«+l/' ^ V Jn+1 /' ' V2B+1/* \2n+l/ ^V2«+l/

.Tout est done connu dans Texpression de if f " \ except^ les deux quan-

tites independantes de a , g) f ^—rp ^ ("5~t} * — ^^® quantites dependent
seulement de c et e^ et elles peuvent £tre trouv^es par la r^olution d'une 6qua-
tion du degr^ {2n + 1)* — 1, savoir de T^ation "^' = 0. — Nous allons

voir dans le paragraphe suivant comment on peut en ramener la rteolution k
celle d'^quations moins ^levees

§. V.

C. Sur V Equation Pt^\^=^.

19.

L'expression que nous venous de trouver pour 9 f^.) contiendra, comme

nous avons vu, les deux quantites constantes ^p f^ j et tp f^* \ On
.trouvera ces quantites en r^solvant Tequation

dont les racines seront representees par

89) -=»(^^>

83

178

oil m et fi pourront dtre toas les nombres entiers depuis — n msqa'a 4* n.
Une de ces racines, qai repood a m=0, est ^gale a zero. Done P^n^i est
divisible par x. Ed ecart^nt ce factear, on aura une eq[uation

90) /2 = 0, du degre (2w+ 1)*— 1.

En faisant x^ = r, Fequation A = 0, en r, sera da degr6 -^ — ' ~

==2.72(/i4-l)9 ct les racines de cette equation seront

91) . , = ,p'(i!!^),

fi et m ayant toutes les valeurs positives, au dessous de Tt, en faisant abstrac-
tion de la racine zero.

Nous aliens voir maintenant, comment on peut ramener la resolution de
I'equation Rz=zO k celle de deux equations, Tune du degre n et Fautre du
degre 2»-|"2-

D'abord, je dis, qu'on peut representer toutes les valeurs de r par

en donnant a fi toutes les valeurs enti^res depuis z^ro jusqu'a 2n, et a m toutes
celles depuis 1 jusqu'^ n.

En effet q^^ ( J"^ J represente d'abord un nombre n de valeurs de r; or

les autres peuvent 6tre representees par tp^ (/i . .^^i^LY Soit, pour le de-

montrer, mfi=i{2n-{-l)k'^fn% oh m' est un nombre entier compris entre les
limites — n et -|- n. . En substituant, on aura

. 2/ mo+c«*\ 2/1. I m'o+iJicJiN

^ \ 2ii+l J ^ \ ^+1 A

V* (/* • ^^T J ^s* ^^^^ ^^^ valeur de r; maintenant a chaque valeur de m,

repond une valeur diff^rente de m'. Car si Ton avait

m^fi = (2/1 -[- l)Ar J 4- w',
il s'en suivrait

(m — m^)fji = (2w+ 1) . (A: — ArJ,
ce qui est impossible, en remarquant que Zn-^-i est un nombre premier. Done

ip^(jA. ^^^) combine avec y^^ /^^ ) represente toutes les valeurs de r.

179

Cela pose, soit

<«) [' - "' (^J] [' - *' (^.)] ■■ ■['-"' (^J\

Les quantit^s p^ Pi>*'*Pf^i9 seront des fonctions rationnelles et sym^triques
de 9^* (2^) ' ^^ v^^y * ' ' '^^(^"t)' ®^ ^^^ fonctions peuvent 6tre trouvees

an moyen d'une equation du degre 2^1 4*2.

Soit p une fonction rationnelle et symetrique quelconque de

''^ (^)' '^^ (^)' • ' ^^ (^)' ®^ ®' designe la quantity w© + /xm.

Par les formules que nous avons donnees plus haut pour exprimer (p(nfi)
en (pp, il est clair qu'on pent exprimer 9)* (^'*o~} ^^ fonction rationnelle
deg)*r^^V Done on pent faire

94) ^=..[,'G^)]=e[.-(^),,-(^>....-(^0]. .

0 d^signant une fonction symetrique et rationnelle. En mettant rco' an lieu
de G)', il viendra

or, en faisant:

a.r = (2w4- l)-^« + *«j
oil k^ est entier et compris entre — n et -f- ^9 ^^ serie

^1 > ^2 ^»

aura au signe pr^s les mdmes termes que celle-ci:

1, 2, 3 n;

done il est clair, que le second membre de Fequation (95) aura la nidme valeur
que p. Done:

equation, qui en faisant (o'=co et co' = mco -f- ci, donnera ces deux-ci:
ou bien, en faisant, pour abreger,

25*

100) I

180

il vieudra:

99) ip.Ty = \pr^; rpry^^ = iprj^^.

Cela pos£, soit

(p—ipr^) (p — ^r^J (p—rpr^J (p—^r^^^) . . . {p—,pr,^^^)

Je dis, qu'on peat exprimer les coefBciens q^^ q^ etc. rationnellement
en e et c.

D'abord en vertu des formules connues on pent exprimer rationnellement
ces coefficiens en f ^ , ^^ . . . t^^, si Ton fait, pour obr^ger,

101) <,=(v.r J*+{v,r„/+(v»r,,/+ . . . +{t^r,,,.)».

U s'agit done de trouver les quantites t^^t^j...^ or cela se pourra ais^ment
an moyen des relations (99). En effet, en y faisant snceessivement ^ = 1,
2 . . . it, apr^s avoir £lev£ les des deux membres a la ^™^ puissance, on en
tirera sur le champ:

102) { I

Done en mettant poor m tons les nombres entiers 0, 1, . . . 2ii, et ensnite sub-
stitnant dans Texpression de t^i il viendra:

+

+ (-/"•„ J'+C'^^, J' + • • • +(v»-.„J'-

Cette valeur de t^ est, comme on voit, une fonction rationnelle et S3^e-
trique des w(2w+2) quantites r^ r^, ...r„, r^^^, r^^^^^ • • -^^o • • •^^*"' ^V"
• ••^»,2»9 qui sont les n{2n-\'%) racines de Fequation R=0. Done comme on
salt, tk pourra s'exprimer rationnellement par les coefficiens de cette equation, et
par suite en fonction rationnelle de e et c. Ayant ainsi trouv^ les quatit^s tk,
on en tire les valeurs de q^. q ,..5^2it+i> qui seront egalement des fonctions
rationnelles de e et c.

20.

Cela pose, en supposant

104) 0=^0 +y, .p+y,./.'+ .••+5'«-+i-/'"^* +?'"+%
on aara ane Equation da (2n-)-^)^'°' degre, dont les racines seront

181

La fonction xpr^ , c'est-^-dire, une fonction quelconque rationnelle et symetrique
des racines r^, r^, r^^.^.r^ pourra done £tre trouvee au moyen d'une 6qaa-
tion da degre Zn-^Z.

Done on aura de cette mani^re les eoeffieiens p^^ Pi9* ' -Pm^i^ ^n r^sol-
vant un nombre n d'^quations, chaeune da (2ii-f-2)^™^ degre.

Ayant determine Po, p^* • •, on aura, en r^solvant Fequation

105) ' o = Po + Pi^ + --- + P--i-^~' + ^%
la valeur des quantites

^i> ^2> • • • ^i»5 ^i,o> ^3,o> • • • ^»,o5 ^iii 9 ^2,1 > • • • ^«,i Gtc etc.

dont la premiere est egale k q)^ ( " \ Done la determination de cette quan-

tite, on bleu la resolution de I'^uation Rz=0^ qui est du degre (2n-{-2).?i,
est r^duite^ celle d'equations du degr^ (2m-)-2) et n.

Mais on peut encore simplifiei: le precede precedent En effet, comme
nous le verrons, pour avoir les quantites p^^ p^. ..^ \\ suflit de connaitre Tune
quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres rationnellement
par celle-1^.

Soient g^n^ralement p^ q deux fonctions rationnelles et symetriques des
quantites r^^ t*^, . . . r», on peut faire, comme nous Favons vu,

/^ = ^^; 9^ = 6^1,
^fr^ et Or^ d^signant deux fonctions rationnelles de r ^ , qui out cette propriety
de rester les mdmes, si Ton change r^ en une autre quelconque des quantites

Supposons mai^tenant:.

je dis que Sk pourra dtre exprime rationnellement en ^ et c.

En effet, on a
(V;r J* . er^ = {rpvyf . 6r^ = 1 ((i/;r^)* . er^ + (i/;r/ . er^ + . . . + {^pr^f .Or,),

En faisant m==09 1, 2, ...2n, et substituant dans Texpression de Sk^ on
verra que Sj, sera une fonction rationnelle et symetrique des racines r^, r^,
. . . r etc., etc. de Fequation jR = 0 ; done ^^ pourra s'exprimer rationnelle-

IfO

ment en e et c.

Connaisant ^^, on obtiendra, en faisant A:=0. 1, 2,... 2^ 2n-|- liqua-
tions, desquelles on tirera ais^ment la valeur de Or^ en fonction rationnelle de

182

ip^r. Done, une fonction de la forme p etant donnee, un peut exprimer une
autre fonction qnelconque de la mdme fonne en fonction rationnelle de p. Done,
comme nous Tavons dit, on peut exprimer les coefficiens p^, p^^'^'Pn-i ra-
tionnellement par Tun quelconque d'entre eux. Done enfin, pour en avoir les
valours, il suflit de resoudre une seule equation du degre £n 4" 2, et par con*
sequent, pour avoir les racines de I'^quation jR =: 0, il suffit de resoudre une
equation du degre 27$-^ 2, et 2/i-)-2 equations du degre n.

21.

Maintenant, parmi les equations, dont depend la determination des quan-

tit6s (p (— ^ — \ g) ( ^' \ celles du * degr6 n peuvent 6tre r^solues algebri-

quement Le proc^d^ par lequel nous aliens effectuer cette resolution est

enti^rement semblable k celui, qui est du k M. Gauss pour la resolution de

r^quation

e*"+* — 1=0.

Soit propos^e r^quation

106) 0=Po+Pr^+P2r^+* • • +/^.-i-^' + r%
dont les racines sent:

oil CO' a une des valeurs (o, mco-f-oi. Designons par a une des racines pri-
mitives du nombre 2n-f-l, c'est-i-dire, un nombre entier tel, que /i=:2»-|-l
est le nombre le plus petit qui rende aM-^ — 1 divisible par 2n + 1, je dis,
que les racines de I'equation (106) peuvent aussi dtre representees ^ par

107) 9)«(6), 9)«(a6), v>H 9>'*) • • • V^"^'-*),
on e =

2ii+l
Soit

on k est entier et a^ entier, positif et moindre que w + 1, je dis, que les termes
de la serie

seront tons differents entre eux.
En effet, si Ton a

^m Oju ,

il en resulte,

183

ou a'^ — af'zir: (2« + 1) {K — k^,),

ou or + a." = (2n+ 1) {K + k^,).
11 faut done que Tune des quatites a* — a^, a* -j- ^ ^^*t divisible par 2n-|-l ;
or soit pose wi>jU, ce qui est permis, il faut que a^f* — 1 ou a"*"i"+l soit
divisible par 2n -}- 1 ; or eela est imposible, car i9t — fi est moindre que n.

Done les quantites 1, a^^ a^. . . a^i sont differentes entre elles, et par
consequent elles coincident, mais dans un ordre different, avec les nombres

1, ^, o, 4 • • • fl»

Done, en remarquant que

on voit que les quantites (107) sont les mdmes que celles-ci:

<p*(£), (p^{2i) . . . (p^{ne\
c'est-a-dire les racines de I'^quation (106) c. q. f. d.

11 y a encore a remarquer, qu'ayant

a~ = (2»+l)*^ — 1.
on aura

done

^n-H» ^^ "^ ^i»

et

y«(a"+~*) = 9*(a**).

Cela pose, soit 0 une racine imaginaire quelconque de T^quation

e* — 1 = 0
et ^

108) v;(6)=g)*(6)+ 9«(a^)e + 9)*(a^)e^ + • • • + 9)^(«*-'^)e--\

En vertu de ce que nous avons vu precedeniment, le second membre de cette
equation pent £tre transforiue en une fonction rationnelle de 9>^(^). Falsons

109) 1^(0 = xiv'i^)).

En mettant dans la premiere expression de V'('), u'^t au lien de t, il viendra :

. . . +9)*(a-»«).e"-^*+9'(a"*).e"""+....+9'*(a"+— ^*)e"-s

mais nous avons vn que 9)'(a*+"c) = 9i*(a'"*) ; done:

i^(a'"f)=:e"— .9*(e)+e"-*'-*.V''(«')H-6"~*^*.9)'(«'*)+ • • •
. . . + e-» . g)*(a— »f ) + 9.»(a-e) + 0 . (p^aT+h) -f . . . + 0"—* . 9»(o-**).

184

En multipliant par 0**, le second men^re deviendra ^gal a \p{E\ done:

110) xp{a'^i) = e— . t/;(6),
on bien:

d'oii, en ^levant les deux membres a la n^^^ puissanee, on tire en vertn de la
relation 0*"==: 1:

111) (t/;(.))- = [x(qp>~e))]".

Cette formule donne, en faisant successivement m=0, 1, 2, 3 ... m — 1,
n Equations, qui, ajoutees membres k membres donneront la suivante :

or, le second membre de cette equation est une fonction rationnelle et syme-
trique des quatites 9^0), ?)*(««) . . • ^P^Ca*""^^)? c'est-i-dire des racines de T^qua-
tion(106); done (i/;e)" peutdtre exprimeen fonction rationnelle dep^,/?,.../?^!,
par censequent en fonction rationnelle de I'une quelconque de ces quantit^s.
Soit V la valeur de (v^(0)% ^^ ^^^

Cela pose, soit O = cos |-isin — . Les racines imaginaites de I'^quation

6* — 1 peuvent 6tre representees par

01 a2 am— 1

Done en faisant successivement 0 ^gal k chacune de ces racines et d^signant
les valeurs correspondantes de v par v^y v^.. .v^i^ il viendra

En combinant ces Equations avec la suivante:
on en tire aisement:

114) (p^{a^^)=+-{—p^i+^-^yv^+i-^'^y^^

et pour m = 0:

115) iy*(*)= 1 (—p^,+yv^^Vv^+ . . . +Vv^^).

185

22.

Toutes les racines de I'equation (106) sont contenues dans la formole
(11% mais pnisqae lear nombre n'est que n, il reste encore k donner k q>\€)
nne forme qui ne contienne pas des racines etrang^res k la question. Or cela
se fait ais^ment, comme suit

n

Soit *»= ^"^

n

(v/t^iV

n n

En posant ici a"*« au lieu de ^, }/^Vk se changera en ^"^.y^Vk, et v^ en
0"^.!^,, done Sk se changera en

n n

La fonction ^j^, comme on voit, ne change pas de valeur, en mettant a^ii
au lieu de e. Or Si, est une fonction rationnelle de 9>*(«). Done, en designant
Sk par A(<p'(6)), on aura

«

quel que soit le nombre entier m. De ik on tirera de la m^me mani^re, et
comme nous avons trouve {tp^jT, la valeur de Sky en fonctidn rationnelle de
Tune des quatites /i^, J^^, . . .pn-i- Connaisant Sky on a

Done en mettant v au lieu de v^y Texpression de 9*(a"«) deviendra:

116) ?)*(«"«)= — (_^^i-|-e-*.tF+*,r"*.t^+ . . . +j»_ie-^"-*>~.»~^y»

pour 191 = 0:

Cette valeur n'a que n valours differentes, qui repondent aux n valours de v^.

Done en dernier lieu la resolution de l^^quation jPsm+i = 0 est reduite a celle

d'une seule equation du degre 29i -{- 2 ; mais cette equation ne parait pas en

general dtre resoluble algebriquement Neanmoins on pent la r^soudre com-

pl^tement dans plusieurs cas particuliers, p. ex., lorsque e = c, e = c j/^S,

^=c(2iV^3) etc. Dans le cours de ce m^moire je m'occuperai de ces cas,

dont le premier surtout est remarquable, tant par la simplicity de la solution,

que par sa belle application dans la geometric.

24

991

99.

186

En effet entre aatres je sais parvenu k ce th^orime :
'On pent diviser la circonfi§rence enti^re de la lemniseate par la r^le et
'le campas seidSj en m parties ^gales, si m est de la forme £" on 2**^,
le dernier nombre ^tant en mdme temps premier; ou Men si m est on
'prodnit de plusienrs nombres de ces deux formes.''

Ce theor^me est, comme on voit, pr^cis^ment le m£me que eelui de
i|f Gauss, relativement au cerele.

§• VL

Espre9sians Verses dea fonetians ^{n^), f{nf), F{n^).

25.

En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des coef-
ficiens d'une equation alg^brlque en fonction des racines, on pent tirer plusieurs
expressions des fonctions g){nfi)j f(jip\ F{np) des formules du paragraphe
precedent

Je vais consid^rer les plus remarquables.

Pour abr^ger les fonnules, je me servirai des notations suivantes. Je
dfeignerai:

k' k'

1) Par 2j^{fn) la somme, et par JI t^(m) le produit de toutes les quan-

k* k *

tit^s de la forme tf;(m), qu'on obtiendra, en donnant k m toutes les valeurs en-
ti^res, depuis k jusqu'^ kf^ les limites A: et A:* y comprises.

k' K* k' f^

2) Par 2! Sj}i^iphf^) la somme, et par J7 7Z Wi^/^) ^^ produit de tou-

tes les quantit^s de la forme '^{mj/i)^ qu'on obtiendra, en donnant a m toutes
les valeurs enti^res de k k k\ et k fi les valeurs enti^res de v k v^ eny com-
prenant toujours les limites.

D'apr^s cela il est clair, qu'on aura:

k

k'

120) njp(m)=:ip{k) . V(Ar-f 1) . . . t/;(A:'),

k*

121) sJ^Mnhf^) = 2Mk.fi) + £Mk-hi.fi)+ . . . -hi'„t(*',A*),

k y^ y^ y^ y

122) nJ[IMmyii)=nM1^ii) . TlMh+i>t^) IIMkfyii).

)l y'^ y^ y'^ y

187

Cela pose, considerons les eqaations

<p («» + 1)/? =

125) ^/•(£n+l)|j = -^',

•

Nous avons vn que P^^i est one fonction rationnelle de x du degri
(£»+!)■ et de la fonne ar.i/;(ar*). De mdme /*'a»+i et P'^n^i sont des fonc-
tions de cette rn^me forme, la premiere de y et la seconde de z. Enfin Q^n+i
est one fonction qni, exprimee indistinctement en x, y on Zj sera dn degr^
(27i-f-l)^ — 1> 6t contiendra seulement des puissances paires. Done on anra

P^^i —A. x^^^^' + . . , + ^ .or,
jp.^,=C.ar(*-^^>"-* + ... + />,

e.H.1 = ^ • y^**-^'^'-' + • • • + ^s

En substitaant ces valours dans (123), 11 viendra

{A .af^^^^' + . . • + ^ .;r) = g)(2»+l)/?.(C .a:^*»+^>'-* + ... + />),

(^•^ . 2(*-H^)' + . . . 4- ^•. ^) r= jP(2w+ 1)/? . {O . Z^«"+»)*-^ + .; • + ^").

Dans la premiere de ces Equations A est le coefficient du premier terme,
— 9)(29t-)*l)/9.C celui dn second et — g>{2n-^i)fi.D le dernier terme. Done

C D

-T.9)(2n-}-l)/9 est egal a la somme et ±-7 9^(^4*1)/^ ^S^^ ^^ produit des
lacines de I'equation dont il s'agit, equation qui est la m^me que celle-ci:
•124) y(2„+l)/?=|^.

Done en remarquant que Ay C et D (et en general tons les coefficiens)
sont ind^pendants de ^, on voit que q){2n'{'i)fi est (d'un coefficient constant
pr^s) egal a la somme et au produit de toutes les racines de Tequation (124).

De la m^me mani^re on voit que /"(2n+l)/? et F(2w+1)/? sont respec-
tivement egaux au produit on k la somme des racines des equations

f(U+lV = !^, F(2„ + W = ^,

24*

188

en ayant attention de mnltiplier le resultat par un coeiBicient constant, choisi
convenablement.

Maintenant les racines des equations (123) d'apris le No. 11. sent re-
spectivement :

,=(-ir./'(^+^»+^»i).

oil les limites de m et /i sent — n et -|-7t.

Done en verta de ce qu'on vient de voir, et en faisant usag6 des notations
adoptees, on aora les formules suivantes:

g> (2» + i)fi = A. S^ \i- 1)-+^.9 (/? H- "r.^" >

7f ' '^V'^ ' 2«+l

-n -n
+n +11

+■ +11

125)

F{2n + l)p = Ar2;^2;^{-ir:F{fi + !:^);

-n -n
+n +n

,,, (£« + 1)^ = 5 . 77^ 77„.^ (/J H- J!^^),

-n -n
+n +n

fi2n + 1);? = ^. u. n^. /•(/?+ ^^^>

+11 +11

F(2» + 1)^ = ^.77^ iI^.F(^H--^^>

-n -n

Pour determiner les quantites constantes A^ A\ A^j B, B% B", il fandra
donner k fi nne valenr particuli^re. Ainsi en faisant dans les trois premieres

formules /? = --—{-_*, apres avoir divis^ les deux membres par g)/J, ii viendra,

9P
F^

189

A

A

— --4- -— i -f- a, on a :
2 ' 2 '

9

Soit /? =

(2n+l)a-H>o+m3»f Y + "Y v

.+ Y+TV

„/ ^ « ^ o .\ <p(2«+l)a'

(aii+l)a+i»o+w3t'+-2- + -J- i)
^ ( « ^ .\

/ ( (2ivH)a+ V + "2 »y

/ i\« ^ f__5_i=/_

^ ' • / o o \ ^

/(a+Y + YO

(2ii+l)a+no+iiot'+-2 + -jf V

> 1 —

• / o o \

n*+T+2V

n*+2 + 20

/((2« + l)a + y)

1)".

J»'((2fi+l)o+|-f)

pour a=0.

Ces expressions de A^ A\ A^ deviendront de la fonne $, en faisant
done on trouvera d'apr^s les regies connues:

1

A

^»a

, ^' = J*

(-!)■
2n+l

D'apr^s cela les trois premieres fomrales deviendront:

-n -n

126) {A*»+w=^|J,(-ir/(?+^=^).

190

Pour avoir la valeur des constantes B^ B*^ B'j je remarqae, qu'on aura:
i27) njOLMnhlA)===^{0,0).nj^^

n n n B

X njOLMniyii) . \i)(—m,—ii) . njOLMnh—l^) • V'C— »^/*)-

En appliqaant cette transformation aux fommles (125), divisant la premiere
par q>p^ la seconde par //? et la troisi^me par F§j faisant ensuite dans la pre-
miere /9 = O9 dans la seconde §'=^ ^t dans la troisi^me j9 = ^ i, et remar-

qnant que 5^?^ = 2w + 1, pour /? =0, que ^^^?gl^ == (— 1)« (&t + 1),

pour /?= ^, et que £^^tlE = (_l)« (2» + 1), pour fi — ^i, on trouvera:

Wd =«ii.»'(^)-B.»*(^)

128)

l(«»+l)(-l)-=*.DJ'a+^J.H/*(f+^)

En tirant de ces Equations les valeurs de B^ B\ B% et les substitnant
ensuite dans les formules transform^es, il viendra:

191

>(2m + 1)/5 =

n n

F(2»+1)|J =

i(2n+l)(— 1)"F/J.7I_ 7- — — -^r ./I„ 7- — pr

n B

2IH-1/

On peut ddnner a ces fonnales des formes plas simples, en faisant usage
des fonnales soivantes:

<p(g+tt)-<P(P— «) -^ 9*«

9*5 1 5!?

„ / u IS A

1 —

/(&+tt)-/(g-«)

/•(!«)

1- ^»

^ / O 15 A

1—

ii'(^a)..P(fi-a)

^

(f«^«)

F*

192

qa'oii T^rifiera ais^ment an moyen des formoles (13), (16), (18).

En verta de ces fonnules il est clair qu'oa peot mettre les Rations (129)
sons la forme:

9(2»-|- 1)/?

1-r

4P«P

(2» -I- 1)9/? . n^

'* \ 2«+l /

1 —

<p«P

1 —

<p«P

n

..(J^^

'•^•^TT/

1^

(o o . mo \

1 —

9«p

9

9

9'

\2 2

^ 2«+l j

1 —

<P*P

9«P

/i«o+(uat-\
'^ V 2ii+l /

. / mu — |M3l\

9'?

' Va^ «^ 2n+l /

1 —

9*P

•(2n+l)/?

1 —

/•P

* V2^ 2*^ 2»i+l /

^^r

mo

(2»+l)(-l)Y/?./7^.

V2«+l

+

t)

1 —

/•p

1 —

/»p

ISO)

1—

„ / 1» o . mo \

n

* 1-

•' \2^2n+l/

•/•P

•^ V2^ 2* + 2in-l/

/»P

u u

1 1 ^

/•(I

llll>+(I.Gt\

2 2fi+l

;

/«p

u o . mu-<-(U3{\

1 +

F(2»+l)/J

1 —

2o+l

jwp

;

1 ;^-^^-*^ :r

.^(o mM-t«ai\

•^ V2 2n+l/

/'ft

/o o mo-tto^\

•' V2^ 2^ 2«+l /

i(2»+l)(-l)'F/?.I7

\2^2«+l/

1 —

jpap

1 —

jwp

il

^<r>^)

js-a^ «» 4. 2^-4. "»" ^

^'^i-

/cap

1 —

F«p

n

xnn.

1—

/o mo+tuaf\
V2 ^ 2n+l)/

1 —

V2^ 2 2«+l/

iW

(I'

mo-|Mai
2«+l

)

■pap ^;^ft

'■\j+y»+-^^X^; ^V2+2*+ 2«+l /

193

Ces formales donnent, comme on voit^ les valenrs de q){2n-\-i)Pf f(in-\-l)fi
et F{2n-{-l)fit exprimees respectivement en fonctions rationnelles de 9/?, f^
et F^ sous la forme de prodoits.

Nous donnerons encore les valeurs de f{2n -\- 1)/?, F{2n -{- 1)/$ sous one
aatre forme, qoi sera utile dans la suite.

On a /^/J = 1 — c*g)V» done
et

/«P

c»

[<p«p-9«(-|-i+a)]

or en.vertu de (16) on a:
done

e«+c« '

e* ' /^a '

1- •'^^

On tronvera de m£me:

J'^g Jl_ e^-hc^ 9^g ^ 9*g

Hh') ^" ' t'(T«)

En vertu de ces formales, et en faisant |9 = 0, pour determiner le facteur
constant, il est clair qu'on peat ^crire les expression de /][2ii -)- 1)/?, F(2n-|-l)/?>
comme sait:

23

/

1 —

A2«+i)/S=^/?.i7.

194

„ / o mo \

1—

9»P

1 —

«P*P

JI.

9

,«

V 2 2«+l/

1 —

«p«p

1 —

<p«p

T^ 2ii+l /

1 —

^2

9'P
^ VS^ Ztt+1 J

(Lot

2n+l

1)

9'P

*30'>

9

s

(t> t3 . mo+(Mt\
2 ■*" T*"*" 2«+l /

9»P

1 —

9«P

9

s

1 2-+ 2*

mo — |i.c5f\

n

[2»+l)/?==F/?./T,-

1 ZJl

* V2^2«+l/

1 —

2SR+1

9'P

;

1—

9*P

?.

^'Cf'-^)

1—

9*P

1 —

9«p

XJT,77

9

s

(f

mo+pifst
2ii+l

)

1 —

9»C2 + V

9«p

9'

(f'

mo — JI.C5I
2n+l

■)

^''i-

9«P

9nY+Y»+-^:nr>)

1—

9*P

9'

mo— juw
2n+l

'■)

Dans ce paragraphe nous n'avons consider^ les fonctions (p{nfl)y f{nfi)j
F{nfi)y que dans le cas des valeurs ioipaires de n. On pourrait trduver des
expressions analogues de ces fonctions pour des valeurs paires de n; mais
coinme il n'y a dans cela aucune difiicult^, et que d'ailleurs les formules aux-
quelles nous sonunes parvenu, sont celles qui nous seront les plus utiles dans
la snite^ je ne m'en occuperai pas.

§. vn.

D^eloppement des fonctions (fd, fa, Fol en series et en produits infinis.

24.

En faisant dans les formules du paragraphe pr^c^dent p

a

2ii+i

, on ob-

tiendra des expressions des fonctions (pa, fa, Fa, qui, a cause du nombre in-
d^termine n, peuvent ^tre varices d'une infinite de maniferes.

195

Parmi toutes les fonnales qa'on obtiendra ainsi, celies qui resultent de la sup-
position de n infini, sont les plus remarquables. Alors les fonctioiui q>y f^ F
disparaitront des valeurs de q>a, fa^ Fa^ et on obtiendra pour ces fonctions des
expressions alg^briques, mais composees d'nne infinite de termes. ' Pour avoir

ces expressions, il faut faire dans les formules (126), 130) §z=:l - — --, et en-
suite chercber la limite du second membre de ces equations pour des valeurs
toujours croissantes de n. Pour abreger, soit v une quantite dont la limite
est zero pour des valeurs toujours croissantes de at. Cela pose, consid^rons
successivement les trois formules (126).

En faisant dans la premiere des formules (126) § = - — j- , et remar-
quant que

i5i)!SS„e(OT,^)==o(o,o)+i;je(»n,o)+o(--m,o))+i're(o,M)+e(o,— A*))

n n

+i'«i'^(00n,/')+e(— »n,--i«)+0(m,— iu)+0(— »i,/i)),
il est clair qu'on peut mettre la formule dont il s'agit, sons la fonne:
152) ,„=^^.,Q-^J+_±_i^(_i).[,(--)+,(^)^

oa Ton a fait pour abr^ger,

Maintenant, en remarquant que

/a+mo"

2m+1

as*

196

oil ^M ef Bfji 8ont des qaantit^s finies, la partie de reqnation (132) jasqu'au
membre qui a le signe *--^, prendra la forme:

or la limite de cette quantite est ^videmment z^ro; done, en prenant la limite
4e la formale (132), on aura:

" • ' n n

q>a=z lim, 2 2 ( — l)*+'*.i^(» — m, n — (i)

ec 1 * 1 '^

+ ^ lim. 2 J:(—i)^f^.jp^{n—m, n—f^),
on bien:

134) 9>« = — i lim. £jsj—l)^^.xp(m,fi)

^^ 0 0^

11 suffit de connaitre Tune de ces limites, car on aora I'autre en changeant
settlement le signe de L
Cherchons la limite de

0 0^

Pour cel^ il faut essayer de mettre la quantity pr^cedente sous la forme

ou P est independant de ny et v une quantite qui a zero pOur limite; car alors
la quantity P sera pr^cis^ment la limite dont il s'agit

2S.

Consid^rons d'abord I'expression:

Soit

135) OK^) == ^,^^^^^^^^^^^. . .
et faisons

156) tp{m, fi)—^m, n)— ^— . 72^ ,

on aura

157) !j„(-lV..,;;(«,,A*)-2?^(— ly .e(m,^) = 2«.2?^(-iy. ^^.

Cela pos^, je dis que le second membre de cette Equation est une quan-

tite de la forme — - —

2ii+l

197

D'apr^s (12), (13) on aura

1,1 9(P+6)+9(P— «) 29P./S--W6

9(^6) ' 9(p^e) 9(P+s)-9(P-0 9«p-9«e

done en faisant § —^Ar et e = (^H)^+(^H)tg>^ J^ ^t fe.Fer^iis, on a:

"^ 2n+l 2ii+l 2ii+l ' '

* V2n+1/ * V2«+l/

Maintenant on a:

(a "\ tt I ^tt'
^+1/ ^+1 "'" (2«+l)» '

done i/'K ^) = -j-^ -77-7- • C^SF + ^^>

et par consequent:

I* \tn+lJ * \2b+1/ V2«+1/ \a»+l/

\2«+l/

. 8^tt» \2«+l

'' »-(^)-»*(^)

Done la valeur de R^ deviendra

158) i?„= ^^^^ (1 + ^^) ^

' \2«+l/ * V2«+l/ V2a+1/ V2«+l>/

Cela pose, il y a deux cas k considirer, savoir si -^^- a z6ro pour
limite ou non.

o) Si ^^ a zero pour limite, on aura:

ft B .6*

2«+l/ (2ii+l)« ~ (2it+l)* ^

^ V2II+1 / ftii+l)« ~

'^ V 211+1/ ~(2«+;)» ^ (2«+l)**
oil £^, r^, /> ODt des limites finies; done en snbstitoant:

198

'.-Si.

159) «^ = ^a«. «V_J^M^)

+

V «»^/ V 6»^/ \(2«+l)a.«»^ /^ (2n+J)« /

or soit que e^ soit fioi oa infini, il est clair qae cette qaantite convergera tOH-
joars vers une qaantite finie poor des valeurs toujours croissantes de n.
'Done on anra

140) i?^ = r^4.t;^,

on r^ est one quantity finie independante de n.

h) Si ^ a ponr limlte' nne qaantite finie, il est clair, qa'en nommant
cette limite dft, on aura:

n-1 R

Cela pose, considerons Fexpression 2 ( — 1)". . ^' - On a

142) |^(_lv...^=-^g^.[B._fl. + «.-B.+ ...

• •

Sapposons d'abord que ^ ail poor limite nne quantite finie, quelle que soit
la valeur de i*. Alors en remarquant que

on aura 72^ — R^j^^ = v^ — t;^+i,

"dose

ou A:=:9t ou n — 1, selon que n est pair ou impair. La quantite B a tou-
jours pour limite une quantity finie, savoir jB = 0, si » est pair, et B=zR^^j
si n est impair.

. Maintenimt on salt, qu'une somme telle ijue •

K—/^\ + K — '- + «^'i^-s — ^^'^-i ^

pent dtre mise sous la forme k.v^v ayant ^ero pour limite. Done en substituant:

I

199

kiV + B

or, A: etant egal a n ou an — 1, et B fim, la limite de —=-—■ — sera zero,
done: ^

143) 27 (—!>". *^ — '^

(S«+l)^ 2fi + l

m

Supposons mainteuant que - — p a zero pour limite. .^or^

a egalement zero pour limite, k moins qu'en m£me temps ^ n'ait pour limite

uue quautite finie. Soit daus ce cas v 1& nombre entier imm^diatement inferieuc
a Y^Uy et consideroQS la somme

En supposant que fi. est un des nombres 0, 1, ....r, il est elair, que

(2ii+l) 2ii+l '^ ^ -* A*

sera une quantite finie, et par consequent

72,— /?,+/?, — •.. + (- l)-'/?,., = r.ff,
oil R est egalement une quantite finie.
Considerons maintenant la somnie

(— iy(R, - R,^^+R,^— ... + i^iy-^KR^,).

Si ^ a pour limite une quantite differente de z^ro, on a, comme on a vu :

Rfi — ^^+1 — ^A* — ^/<+i 5

6.

si an contraire — (^ a pour limite z^ro, on a;

or, si en mdme tems /i»^n, il est clair qu'en vertu de la valeur de 72^,

T^ — -o.a ^^j

or il est clair que B^ et C^, tous deux, out pour limites des quantit^s inde-
pendantes de //, done en nommant ces limites B et C, on aura:

R^ = B—C+v^,
et par snite, aussi dans ce cas,

RfA — ^^+1 = tr^ — '*^^+i'

Done comme dans le cas ou ^ ^ ,■ aurait une limite differente de z^ro

pour toutes les valeurs de ^, on d^montrera que

(2»i+l)«^^ '*^* 1 •• 1 V -/ —1/ (2»^.i)

' »

200

Maintenant en combinant les Equations ci-dessus, on en tirera

or ^ a zero pour limite, done

2; (—1)^. ^ _ «^

Done eette Ibrmule a toujours lieu, et par consequent la formule (137) deviendra:
144) 2S—lY^{rn,iA)—l!l^iy.^{ni,^

0^ / 'v^«-/ 2fi+l

Cela pos6, il s'agit de mettre 2 ( — l>"0(»i, ^) sous la forme P -f- ^ — r*
Or c'est ce qu'on pent faire *comme il suit. On a;

145) {^^ 0^ o^

j;^(— l)/'.e(w,/i)===(— l)*(e(m,?i)— 0(m,»+l)+0(w,n+2) — • • . etc,).

Or, d'apr^s une formule connue on a:

e(»f,n) — 0(»i,w+l) + e(m5»+2) — . - .

ovi Ay B .. . sont des nombres ; or
done en snbstituant

De li il suit, que

e(m,?i)— e(^,«-|-l) + . . . = zAi+ ^

f3«.n« ' n« 2ii+l

Done en vertu des equations (145)

£^(-l>«e(m,iu) = i^(-iy'- 0(m,^) + ^
et par consequent

n-i oo

146) 2:jc-^Y^>{m,(i) = 2(-lY.^{m,fi) +

I?

26.

n-i

Ayant transforme de cette sorte la quantite 2 ( — l)^-^(^>i")> on. tire de

r^quation (146) :

/

201

147) 2;.Sj-l)-+''tp(»»,^0 = S-l)--('. + 2?.^,
en faisant

148) p^ = i'(— l)^.e(m,^);

0 ^
o 2^ 2^+1 ^«+r T'

V ayant zero pour limite. Done Nquation (147) doiinera, en faisant n inflni:

149) lim. J? S (— l)-+-".i|'(>«,iu) = 5(— 1)-.^^.

o o '^ o

De m^me, si Ton fait, poor abreger:

2a

,150)

ei(»i,A*)

a«_[(»Hi)o-(|JL+i)o«*]* '

on aura

n-i n-i oo

151) lira. Z.-ri— 1)-+''. ViK/») = z^c— ir.(»v

0 0^ O

Ayant trouve ces deux quantites dont I'expression de q>a est composee, on
aura en substituant:

• oe • oo • oo

on bien, en remettant les valenrs de ()'. et (>»,
152) 9>a =

Maintenant

2tt __ 1 I 1

a*— [(m+i)«±(jt+i)ai]» a— (m+i)o:f(n+i)oi "^ a+(m+i)u±Ot+i)©i '

done

2a 2a

a«— [(»«+i)c» — (ii+i)®*]* a«— [(fn-4)o+((fc+J)oi]«

I (2h.+1)ot' (2n+l)ot

~ "*■ [a-(m+i)oP+(iii+i)«o* [a+(m-4)op+(piH)«©a'

done I'expression de (pa deviendra sous une forme reelle:
153) <ftt ■=.

1 V r_n- T (—\y^ ( {^V-^:^ (2ji+l)o___\

c'est-&-dire, on aura:

26

ou

155)

202

154) ya=^(<r„— (fi + iT,— <y, + ... + (— i)-«j«-....)

> — 1 8 I 5

[a-(iiiH)o?+ ^ [a-(m+J)o]H^ [a-(m+i)o]«+^

^ ____! 8 I

[a+(m+i)o]«+ ^ [a+(m+i)o]« + -^ [a+(m+i)o]* + — -

Si Ton commence la recherche de la limite de la fonction
2^ { — 1)*+^, i|;(m,/i) par celle de 2{ — l)*i/;(wt,/it) an lieu de celle de

0 0*^ o

2{ — iy*ip{m,/jL), comme uous I'avons fait, on tronvera an lieu de la formule

0

(153) la suivante

156) (pa =

1 IJ f— IV* S r—l^« / (2ii-H)g (2ii+l)tg \

c'est-a-dire

157) ya = J (^0 - 3^, + 5.. - 7.3 -h . . . + (— iy*.(2jti+l).^— ...)

ec

oil

+

\ I •*• 1 I J.

27.

Cherchons maintenant I'expression de fa, au moyen de la deuxieme des

formules (126). En y faisant /?= °^ ■ et ayant egard a la formule (151),
on aura:

l+f -f ^(-1) [/(. 2«+i ;+/^i. 21,4-1 y+^V 2n-H >>+^V 2«+'l ^J

203

En suppposant maintenant n infini, et remaj^qaant qn'alors la limite de la
quantite

devient egale a z^ro, on aura:

159) fa = lim. ir-^rhj: (— 1)-. t/;(n— an, »— /i)

+ lim. {—\Y2:j:fj{—Vr^^^{n—m, n—/j)y

1 1

n n

1 ■" 1

on Ton a fait ponr abreger:
Maintenant on a:

/^0?+O+A<5--*)

9 H +

Soit

^ 211+1 '

on aura:

i=-«.c.^(^+|.i-,)=-*...,((f=±l^±fc=e±l!!5>

ci p ( («-w+|)o+(»— n.+i)oi\

\ 2n+l /

Done on aora, en snbstitoant et mettant m ei (i respectivement an lien de
» — m et » — iix

*""""- •• <^.„[,.(^)_,.((=i±i)«fci>-)]

On aura la valeor de Vi(^> f)^ en changeant* seulement le signe de t. En
faisant maintenant

ft^Mi ii\ — (2ff'+l)o+(2tt+l)oi

M »P;— a»-[(m+i)c»+(tJL+i)t3i]«
et .

26*

204

et cherchant ensuite la limite de la fonction

S,2;(-i)".vKi"),

0 0*^

de la m^ine mani^re qae precedemment, on troavera:

lim. ^^ (_1)«.^ {m, iu)=:l.i: (f^C-ir^eCm, fi))
et

lim. ±,±J-ir-V>x(rn,f,) = ^.2:X^J-^)'M»ht^)\,

done en substitnant dans (159), H remettant les valeors de ^{m,fi) et Oi(m,juX *^ ^'

160) fa =

La ^antit^ renferm^e entre les crochets pent aassi se mettre sons la forme :

2[a— (t»+^)(j] 2[tt+(OT+^)(j]

[a— (»H-i)«]«+(tJi+i)*a» [a-N(»»+i)o]*+(lJi+i)»o*'
done anssi:

161) fa =

L J] (S r— 1^» 2[tt— (m+j)o] ~ / _ i\« 2[tt+(m-fi)o3 \

• o'*Vo-^ ' *[a— (m+i)op+(pL+i)*o» o"^ ' [a.+{m+^)0]*+(v.+^)^o* J'

On aura de la mdme maniere:

162) F(a) =

JL T' /'j^ ^— IV* (2\s.+l)a , J, ._.v„ (2tn-l)g \

c * o^ff*^ '^' [a-('n+i)«]»+(ti+|)»ra*^ o /*^ ^ ' [a+(iit+i)«]«-Kl^+4)*o* ^ '

28.
Venons maintenant aox formules (130). Pour tronver la valenr du second

membre, apr^s avoir fait fi = - — -- , et suppose n infini, nous allons d'abord
chercher la limite de ]'expression suivante:

1 —

163) t=n^n^

• f ma + ^X3i + k \
" ' ' V 2n+l /

9«
1 —

^ /WI0+ 1X01+ / \

'H — 2^Ti — ;

oil & et 2 sont deux qaantites ind^pendantes de n, m, /i.

206

En prenant le logarithme, et faisant poor abreger:

1 —

164) i^(»i,^)=log

1 —

^ / m(i) + aGJi+ / \
9* I 2^Tl— /

on aura:

16S) log* = 2:^i . ^(m, fi).

1 1 '^

n

Considerons d'abord Texpression 2f^\p{m,fi). Soit

1 —

1

166) e(^^) = log; (mo^^^i^k^^

a«

(mO + |JL(3t+/)*

on aura:

1 —

'Kl^)

i;;(m,^)— eK^)=log

in+l / (mo + ji.©t + /)*

a*

I (»no + |iio«+t)* -_ ^ V2«+l

V2«+iy

/mm-tttai+/\
* V 2b+1 /

Cela pos^, je dis que le second membre de cette equation est pour toute valenr
de m et ^ de la forme

^{m,fj)—^{m,ti)

V

(2ii+l)*

Pour d^montrer cela, il faut distinguer deux cas, si la limite de ^^V-^^
est une quantite differente de z6ro, et si elle est ^gale h zero.

a) Dans le premier cas on aura, en nommant a, la limite dont il s'agit:

a/ g \ tt' . p»

^ Van+l / (2B+l)a "^ (2n+l)« '

206

done:

9

2

V2«+l/

^^mojji©/+£A (2ii+l)V« (2ii+l)*>

- ' \2n+l/ . a* , ©'

2ii+l

On a de mdme

' V 2ii+l /

a* ^ a* ^ a«

1— , "" 1-

En substituant ces valeurs, Texpression de '^(fn^fi) — i{ni,fi) prendra la forme:

V V

1— .^ ..^ 1 —

vK;,)-e(«,^) = log — ^i)!. -^^l

(2»+l)« (2ii+l)»

les qnantites «>, tJ', v^^ tf^ ayant toates z^ro poar limite.
On a done:

log ^^1 — (2„^.i)4J=-(2„+i)«
et par constant:

* ete.

done:

b) Si la limite de la quantite *""+t^°* est egale a zero, on aura:

'^ '("^ly^ (2»+i)« +'^'' (2«+i)* + • ' •'

a*

1 —

'•(^) , »"+^'-^Ti)i-+- •

'* V— 2^1— ; ('""+ 1^«'^*)'+-^> (2„H.i),

Si maintenant ma>-|-/iQi ne va pas indefiniment en angmentant avec n, on aara:

, '''''V2IH-1/ . a« , JJ

' V 2„+i ;

2

207

de mdme: •

'•(^)

done dans ce cas:

a^

/ mo+]iot+/ \ * (iito+|ix5f+/)«^ (2fi+l)« '

1- *

t;;(wt, |u) — e(»I, ^)= log I (?^+l)l

(^"" (2ii+l)*

jB' et O ayant des limites finies, on bkn:

la limite de D ^tant egalement une quantite finie.

Si an contraire la quantite 97ia)-|-/iGt augmente indefiniment avec n, on a:

<p2
1 —

^— ^

a«

(mo + (jLOi + it)*

(2ii + 1)* ) ^ . /^mo + ti.gt>ArY
r^^^V 2n + l /

1 —

a*

(mo + |i.c5t + Ar)*

or les quantit^s ^ mo-nioi-h ^^^ ^^^.^ ^^^^ limite; done la quantity

precedente sera de la forme:

r2

^ ^ (211+1)* '^ '

A" ayant une quantity finie ponr limite. En changeant k en /, et d^signant la

valeur correspoudante de A" par A^^^ la valeur de '^{fn^fi) — 0(m,/u) deviendra:

a*
/ X A/ X 1 /■*" (211+1)*^'' f a«(-^^— ^^0 .

(2fi+l)* \)

Maintenant la limite de A'^ est la m^me que celle de A; or il est elair que
cette derni^re limite est independante de k, my fi (elle est en effet egale au
eoefilcient de a^ dans le d^veloppement de (p^a). Done on aura:

A" =zM'^Vj y

et en ehangeant k en I

A\=iM'\'V\

20B

d'ou A* — A^^ =iv — v*=iv. Done A^ * — A'^ a zero pour limite, et par
consequent on a:

Done nous avons demontre, qu'en faisant

167) ^(m,ii)-^im,n)=z.j^t^,

la limite de A^^^^ sera egale k z6to toutes les fois que mm -f- fim augmente
indefiniment avee n, et qu'elle sera egale a une quantite finie dans le eas contraire.

29.

Cela pose, considerons la quantite

n

1 ^

En substituant la valeur de '^{fn,fi), il viendra:

168) i„i^(m,^) = i;^eKi«) + .^1^ .i;(A^)-

Soit V le plus grand nombre entier, contenu dans f/^n, on pent faire:

n
2fA^,f* = -^-,1 + -^«,a + • • • + -^-iv

Or, d'apr^s la nature des quantit^s ^»,^9 la somme contenue dans la premiere
ligne sera ^gale k v.A^^ et la seeonde egale k A'^{n — v)^ oil A^ est une
quantity finie et A'^ une quantite, qui a zero pour limite, done:

if
oil

n — V

2ii+l ' 2ii+l

Done la quantite B^ a z^ro pour limite, en remarquant que v ne surpasse
pas V^n.

n

Par la I'expression de 2J W(^m) ^^ change en:
169) i>(m,i«) = i;6(»,,/i) + ^.

n

Pour avoir la limite de 2J 0(m, ^m), j'ecris

n oo oo oo oo

SJintfi) = SMm,n)— ^^e(»i,/t) = 2 Mm, ft) — X e(m,/i+n).

209

Or on peut trouverla valeur de 27 0(»i,^-f-») comme suit.

I ^
On a:

1-

0(»i,l«+«) = log J — £!?ii±<l^±?>5^±S!

..a
1 —

De la on tire:

[mo +(|jL+n)cjf + /]*

= «« f 1 1 ^

([mo+(pi+n)T5i+(]« [mo+(|i+n)GJ+A:]*/

— u^( ^ L_l

^^ l[mo+(|jL+fi)i5i>q* [mo+(|i+fi)t5i+A:]^/

+ etc.

20(»,M+») = 5.^i.,(A)_^.JSi.,.(t.) + ...,

oa

e

a)

( +t3i+—xst ) I + ©•+ — CJt I

VII n / \ n n /

I + xs$'h—tst) I +OI+ — CJlJ

\ n n / \ n n /

etc.
Or on sait que la limite de

done

etc,
et par consequent, en substituant:

or *

ft/^\ 1 1

etc.
done on aura:

27

210

-i. ( I \ (

1 *— /

erf 11 fmo-\'l . A/'»»*>+*.^«. -A

J^ *-^ 1

Of

La limite de cette expression de f'^{x)dx est z6ro poar une valenr qael-
conque de x. De m^me on trouvera que la limite de / ^^{x)dx est z6ro, done:

done aussi, en faisant ^ = oo :

d'oii :

i^OKA*) = f^OK^t) — 2^, et

170) i^t;^(m,iti) = f^OC^iu) + ^ ,

v^ ayant z^ro poor limite. De ia on tire

nn n.M v n^

11^ 1^1^ ^ 1

2fi+l

En prenant la limite des deux membres et remarqaant que

^ 2fl + l 2» + l '

on aura:

171) lim. i:J:M^fi) = sJ^s^^^'^^i^y

En remetl^nt les valours de ^{m^fi) et e(m,iu), et passant des logarithmes aux
nombres, on en tire:

211

1 —

B II

»-(^)

1 . 1

* V 2n+l /
t

Par nne analyse toate semblable k la prec6dente» oiais plus simple, on
trouvera de m^me:

1 —

'* V2n+1 >^

175) lim. 77J

1 —

(mo+/)>

* V2»+l/

1 —

'•(-^)

30.

Maintenant rien n'est plus facile qae de trouver ies valeurs de qxtf /a, Fa.
Considdrons d'abord la premiere formole (130). On a:

jt^ , /mu+ti.oi\ 1

done:

27

*

212

1 —

9*P

n n

111*

9«

2nii-l /

2»y-

9«p

9

i

mcH-jxtJi— -ST

. « O A)
2n+l '

Cela pos^, si Ton fait /?

2n+l

et qa'on suppose n infini, il viendra, en

faisant asage des formules (172)» (173), (174), et remarqnant que la timite de
(£»+l)g)(^^) est ^gale ft a:

175)

9)a

eo

X17J/Z.

1 —

(mo+iiOJ)'

1 —

a'

[(m-4)6)+(Hi-4)oO«

•?«

l —

(mo — jioi)*

1 —

a'

[(m-i)«-(|ii-i)0i]«

Les deux formules (ISC') donneront de la mdme mani^re, en faisant

/?

8n+l

, et remarquant, que ^(0) = 1, F(0) = 1 :

00

176) fa=.nJn,

1—

a'

l —

[(m-r|)o + ti.tat']»

1 —

a>

1 —

177) Fa

?.0+

[(m -4)4, + (,1 _ J)oi]a; I" [(m-4)c»-(|fc-4)o.-]»

ra

(pi+i)»o'

) 00 I 00

1 —

a

s

[mo+(ti— Ijoija

1 —

a'

1 —

a'

[(m4)o+({ji^)©i]« ; V* [(m-i)o)+(ii.-i)0|-]«-

On peut aussi donner une forme reelle aux expressions pr^^dentes comme

suit:

213

178) <,„ = «.^/l + -^).S.(l~ji,)

180)

oo eo

1 +

xjz^n

(tt+ma)*

1 +

(a — too)*

SmS

(l»0

1 1 /^ 1 + [«+["'7i)<;]* 1 + C-x-Cw-iH*

(jt-i)«o»

(jfc-4)«o*

179) /•„ = 5.(l-(^i4;5Si)

[a+(m-4)6)]« [«-(w-^)o3«

xizn

1 +

X7Z.ff

(|JL-i)«0«

- (tt— mo)«
"" (|i-i)«o»

' ■ ^ 1 I [o+C"*--^)"]* . [tt— (m-4)o]«

(|t-i)»o« ^"^ (|fc-i)*o*

.1 +

(m— ^)«o«)«
(lt-i)«o«

1 +

1 +

(pi-i)«o«

1 , (m-^)'o)

9

(m-4)'o*]*

1 +

m«o*

(H-i)«o»,

Ces transformations s'op^rent ais^ment an moyen de la formnle:

(tt+a)«+&« (tt-a)H*'__A , (a+a)«^^ . («-a)'N

a+bt
1

0*0

a\a

31.

Dans ce qni precede nous sommes parvenus k deux esp^ces d'expressions
des fonctions g>a^ fa^ Fa: les unes donnent ces fonctions d^compos^es en
fractions partieUes, dont la totalite forme des series infinies doubles, les autres
donnent ces mdmes fonctions d^compos6es en un nombre infini de factenrs,
dont chacnn est k son tonr compose d'nne infinite de factenrs.

Or on pent beanconp simplifier les formnles pr^c^dentes an moyen des
fonctions exponentielles et circolaires. C'est ce que nous aliens voir par ce
qui suit

Consid^rons d'abord les Rations (178), (179), (180). En vertu des
formules connues, on a:

214

■injf

done

?.('-^)' «•'*=?. (*-(i^>

17 t^ '^ ^ — "*»* , yr y \r y/ '^ v ^ cms

En vertu de cette formule il est clair que les expressions de q>a^ fay Fa
penvent dtre mises sous la forme:

8in( a — t)

^ l8in(a+mo)— t.gm(a— mo) — i.coB^(m — i)o— t (mo— t) J

* I co8[a+(m— ^)o] — i.co8[a— (m— |)o]— t.sin^mo— t (a+mo) (a— mo) • ^ «* I

/•„=fl-.(i_^_^)

X fl. (t«if[»f(».-i)o]i iUiirf.-(«.-»o]^ *.c«t«(».-J)oi<. -^^^).

(«« I co8(a+mo) — t . co8(a — mo) — t . co8*(m^ — l)o — t
a — ij . 77^ < ^

* ico8[a+(m— 4)o] — t.co8[a — (m— ,J)o] — t.co8*mo. — /

V ' 15 ts ts

On tronvera des expressions r^elles, en substitaant an Hen des fonctions
circnlaires lenrs expressions en fonctions exponentielles.

On a:

sin (a — b) . sin (a -f" ^) = ^^^^ — sin'fe.
cos (a+ 5) . cos (a — ft) = cos*a — sin*6,

done:

8in(a + mo) — t.8in(a — mo) — t I 8in*a — i

ts ts ^___ __ 1 ts

sin • mo — t I sin'mo — t

^^ ^^ ^^

co8[a+(m — J)o] — t.co8[a — (m — J)o] — t 8in*a — •

IS ts ^ ts

1

co8^(m — l)o — • co8*(m — l)o — t

9

215

% • . / / i\ \ 1C • .•/ •v 1C •

tang (a+(m — i)«))^-t.tang(a — (m — ^)c»)-^i.cot*(m— |)ft) ^t

8in*a — *

1 ?

8iii«a— »
1 ?

C08^(m — i)G) — «

D'aprto cela et en remarqaant que

a*— m«o« a*

et

s«.«a

m»w

(m-^)aoa i

a«— (m— i)«o« a*

il est clair qu'on aura:

(m-J)«o«

8in'a — •

1- "

sin I — irf ) oo sin* mo — »

181) ^a^:^.^^.n^

sin* a ^t

1 ^

G08*(lfl — i)u »

C3

>

1 5-

oo 8in*(m + Do — I

182) A = 71..

8in*a-t
1 ^

co8*(m+i)o — t

f5

sin* — TCI

1 ?_

185) F« = cos (^ «<) . 5.

C08*m — TCI

(X

sin* — icf
0

C08*(m — 4)— TC»

0

216

E^ sobstituant au liea des cosinus et sinus d'arcs imaginaires leurs va-
leurs en qaantit^s cxponentielles, ces fonnules deviendront:

_— n n

h^ — h ^
1 —

09 01

1 o/ i, -i,\ T, (i • — A

IM) ,« = i.^(45''_^--).ff.

a a ^»»

1 +

A o — h *

— n _ w

Ao — A o

,(-+i)5-'' A-(-+i)5-''l

185) /-«=!?,. ;^ .; ""\ ,,

1 +

^(-H-i)^^_^K«+4)^-l

(tt ft V oe

A» " 4- A' o ").!?.

a a \s

A" —A «

1+;

M — n -m — n

A ° +^ °

;io _ A o

1+

A^-'^^'^-A"^"^^^'^'

oil /i est le nombre 2,718281 • . .

On pent encore transformer ces formules de la mani^re suivante:

Si Ton remplace a par aiy on anra les valeurs de <)p(ai), /*(at% ^(^^- ^^

changeant inaintenant c en e et ^ en c^ les quantit^s :

«, o, 9(ai)j A«0> ^(«0
se changeront respectivement en:

tSy 0), Ufa^ Fa^ fay

done les formales pr^cedentes donneront:

4.... {^)

» +

mOTT mfsn'v 2

h o» h iT)

J.OJJ 9)a = — .Sin — .ii .

^ 48in

'»'.(^)

((gm-i)a>r (am-i)a>rv»

A aw +A~ «" j

217

188) Fa=:n ^ ^ ^

4 8in I I

A \ o /

m(3;r m(57r\2

lOif; ;^«= cos ^—y.ii^. -rr^;^^-

32.
Considerons maintenant les formules (160), (161), (162).
On a:

? r—iv (2^+i)ic _ 8

done, en faisant

y = («±(m + ^)a,)^:

13

ij-iy-T,_..-^!:A.....-.=-^

o^^ [«±(m+4)"? + (lx+i)»a« « ^[«t(^)„]^ -[^(^)hJ

En verta de cette fomrale il est aise de voir que les expressions (153), (162)

de tpo. et Fa deviendront:

190) 9>a =

I 1 1

8 ic

•¥•■?-(-»>-• .W

n n n

n Ti * n jr'

191) Fo =

Les expressions pr^c^dentes de 9)a, jPo, jpeuvent £tre mises encore sous

beaucoap d'aatres formes; je vais rappeller les plus remarquables. D'abord

en r^unissant les termes du second membre, on trouvera:

28

218

1. « . 1 ,-.J(*-*-')a^-^'^+^-^-^'^))

192) 9.a = — .— . 27(— 1)'m /,

'A« +A o -}-A ^+A

185) Fa = — .:^.^.

Si, poor abr^ger, on suppose:

ait wn

194) ^ A^ = e et A«» =r»,

ces formules, en d6veloppant le second membre, deviendront:
195) tpa —

ec

•K'-t)- — T^-— ^ +

• •

196) Fa

1 .1 * 1

fH r'H — ^ ^*+^^

■f-04> — ^1^+-^^^+

r«+6^+^+^ ^6+gt+Jl+JL ^io+e2^.1+^

En mettant ai an ]iea de a dans les formules (192), (193), changeant
ensuite <r en e et ^ en r, et remarquant que les quantites

n n n n

ai — _-«< — ai — . —or* —

w, o, g){ai)y F(az), h "^ —h «, A © +*
se changeront respectivement en:

il viendra:

o, CO, tcp(a), /*«, 2i.sma— , 2 cos a— ,

OTT Cl^>

^ fun i0/fv

197) ». = l.i.2;.(-l)-.' " ^

fSn , OtT'"

198) /«==l.-!L.i.

cos-^.(a^-^»)^+A-<'^>-^)

A^ "^ «+£cos2«-^ + It "

En feisant poor abrdger

199) A 2"

219

et developpant, on obtiendra:
200) 9.(«-|^) =

P — r P'-r; P'~^

sinCa — j.( ^ 1 _J_

p* + 2co8(aic) + -5 ?• + 2co8(aic) + — j p * "+2cog(«ic)+ -^3

•••

SM) f(a^)

• •• / •

P + — P* + -T P' +-T

— -^-r+ g^-+ ' 1 +

p* + 2co8(a7c) + — p« + 2co8(aic) + — p * <>+2co8(aTC)+ -^

r r r

En snbstituant dans les formnles (190), (191) au lien de A ® et h^ lenrs
valenrs « et r, il viendra:

£n snpposant maintenant a < -^^ on aura:

2

g^y-am-l — ^^^^, ««-«»*-8 I_ .* .»*-10»fc-5

1*— 1 r^2m—l

done

9)a

Or

I. JL. (^J— 1)~((6— 6-*).7-«~-^— (6»~6-»).r-«'--»+(6»— ^-•)r-^^^^

J . ((e— e-») . i-J— 1 )-.r-«>-»_(*»-5-»).l J— 1)- r^»«-^+ . . .) .

-27J-ir.r-'-»=r-^-r-+r- - ...= ^ = -^,

O

oo

o~ 1 + r-* ^+1

etc., done:

204) <p«==*-.^.(?=!^_i;:i?^+*^_...).

De la m^me maniere on tronvera:

^ CO \r — r"* r* — r^ ' r* — r~* * ' /

28

•#•.

En mettant a~i ^n lieu de or, et changeant ensuite e en c et c en e,

(it, o, 9 (a ^i), F(a ^ij, r, «- + e"", «- — «-"
se changent en:

done

oft«x /^ o^ 4 :: i^K"!) «»°(««|) ri^Cs*-!)

•206) vC'^YJ^-'^i i rT-+— -i

• • •

p p' p*

( p-j p*--?- p*--?-

Ces quatre derni^res formules offrent d'expressions tr^s simples des fonc-
tions 9)a, /or, iPa. .Par las differentiations et integrations on peat en dedoire
une foule d'antres pins on moins remarqnables.

33.

Dans le cas, 6 = £r, les formnles precedentes prennent une forme pins
simple, k canse de la relation ca = g, qni a lieu dans ce cas. Soit pour phis
de simplicite 6 = c==l. On a:

tan n cstt n

r=ii^=§, (. = A«^ = A»,
done en snbstituant, et faisant dans (204), (205) a = ce -^ , il vient :

m

^n Zan bttn San

ep I a — I := 2 — ./ U

^(«t)

bn Sn

San San

g TC^JA* +A» *«+A*^A»+A»

h^—h^ h^^h~^ kJ—h"*

• • •

TT n

8- . V .6^-

9>(a|.)=l!^ 8U.(«J).-A^ 8in(34).±i-+sin(5«j).A

.5i7V

^ TT 5f

3^ X V ,5^

/•(« ^)=*^ co8(« 5).-*^ - cos(3«^). *:JL-+cos(5«5).X1-

' \ 2/ of \ 2/ f^n__i \ 2/ a3^-_x ' V 2/ A^_i

• • • f •

221

Les fonctions q>9 /*, F sont d^terminees p<nr les equations

ar = 9,(a|.);r(l-;r»)=/'(«|-); K(l+ar«) = F(«|-).
Si dans les deux demi^res formules on fait a = 0, et qu'on renuurque,

^V^VJ sinlmcL—j

qn'alors la valeur de — - — r^ est = — , et celle de — -- zzznu on trouvera:

•

.71 Stt Sti

2 "~ (a"-1 A'"-1 A57r_i •••| Jo\^{l-s*)

n Stt 57r

!7I 07I o/« *

*^ —3 *^ -4-5 _*!__. i — r Z*^ *^ V

§. VUI.

Espreaaion algibrique de la fonetion 9 ( — ) dans le le eas oit ez^eszzl.

Application d la lemniscate.

34.

Dans le cinqui^me paragraphe nous avons traite I'equation P^ = 0^ d'oii

d^end la determination des fonctions (p(—)et(p(—\ Cette equation, prise

dans toute sa generality ne parait gn^re resoluble alg^briquement pour des
valeurs quelconques de ^ et ^; mais n^anmoins il y a des eas particuliers, oil
on peut la resoudre compl^tement, et par suite obtenir des expressions alge-

briques des quantit^s flp(— jetyf— ) en fonctions de e et c. C'est ce qui
arrive toujours, si q> (— ) peut 6tre exprime rationnellement par q> (—j et des

quantit^s connues, ce qui a lieu pour une infinite de valeurS de — . Dans tons

ces eas I'equation P^=iO peut £tre resolue par une seuleet m^me m^thode
uniforme, qui est applicable a une infinite d'autres Equations de tons les degr^s*
X^xposerai cette methode dans un memoire s^pare, et je me contenterai pour
le moment a consid^rer le eas le plus simple, et qui resulte de la supposition
6 = c = 1 et w = 4y + 1. Dans ce eas on aura

^22

«=/oy7^«"^=''"'

208) { -^ « •(!-**)

Dc mdme

209) tp(tti) =si.g)a,

ce qui se fait voir, en mettant ad au lien de dr. Cette fomrale doime ensnite:

210) f{ai) = Fa ; F(ai) == fa.

Les deitt qoantites e et c etant ^gales entre elles, il est clair qa'il en sera
de mdme des deux qnantit^s que nous avons designees par to etc. En effet
on aura

55.

En posant dans les forraules (10) fii an lieu de /9, on en tirera, en ayant
egard aux equations (209) et (210):

9{a-tPV l_9«a.9«p '

212) ^/^:„+|Ji)=•^?LZ^^^li|l^^^

FXa 4- St) = •^♦/P+»-9«-9P-/«-P'P .

Done, poor trouver les fonetions (p^ /*, jP pour une valeur qneleonque ima-

ginaire de la variable, il suffira d'en connaitre les valeurs pour des valeors r^elles.

En snpposant « = mS, /? = ^^, on voit que q){m + i^O^, f{m + '/Ji)dj

F(iit-f-jtij)d pourront £tre exprimes rationnellement par les six fonetions 8aivantes:

(p{md), (p{fid% f{md\
filiid), F(md), F(ii8\
et par suite aussi par des fonetions rationnelles des trois fonetions q)d^ fdj Fd^
si m et ^ sent des nombres entiers.

En suivant ce developpement, on voit egalement et sans peine q[ue dans
le eas, ou m -|* /i est un nombre impair, on aura :

q){m -f- fjii)d = q){d) . J,
oil T est une fonrtion rationnelle de (yd)*, {fdf, {Fdf, c'est-a-dire de {(pSf.
Done en faisant q)d=zx^ on aura

En changeant d en di, qjd se changera en q>{di) = iq){d) == ix, et la fonc-
tion (f}{m -\- /ii)d en %(m-|-/^i)d; done:

Or (10) donne:

22Z

I

\

par consequent on doit avoir if ( — x^) = t/^(^) ; ce qui fait voir que la fonction
rp{a^) ne contient que des puissances de la forme a^. Done on aura

215) (p{m+/jii)d=:x.T,

oh T est une fonction rationnelle de o^.

Cherchons p. ex. I'expression de 9)(24-0^ ^^ ^*

On a d'apres les formules (212), en faisant a = 2() et /9 = (f :

^/g I ,V— 9gS-/S.J'8 4-198 ./2&.^j&
^^ "^^ l-[9(28)]*.9*5

'^^^^ l+(<p8)4 ' '^'^''^ M^^^ '

WaJ^— (i^)' + (9S)'v(/S)* .
^ '~~ l + (98)* '

c'est-a-dire, en remarqaant que q)d=zXy fd=.\^(X — aF) et Fd=V(l+a;*),

Substituant ces valours et reduisant, il viendra:

215) y(2+iy = ;r.^'"^^-^^'<^-ft^^-^"^)=:rf. ^-^'--f .

f ^^ ~^ 1— 2*4+5x» 1— (I— 2i>4

Expression algdbrique de 9 f — — — )•

36.

On pent, comme on sait, decomposer le nombre 41^ -{- 1 ^^ '^u^ carr^s.
Done on pent supposer

a* + /5* =:= 4i^ + 1 = {a+fit) (a— /?i).

Nous chercherons d'abord la valeur de cp ( " . ) : car cello-ci ^tant troiiv^,

on en tirera facilement la valeur de q> f ^. J .

La somme des deux carres a* et /S* etant impaire, Tun des nombres a et |9
sera pair et Fautre impair. Done la somme «-{*/? ^^^ impaire. Done em
vertu de (213), on aura

216) 9)(a + /?aV=^.^,

oil J et aS sont des fonctions enti^res de a?* = (?)rf)^

En supposant d = " , le premier membre de (216) se reduit k z^ro,

224

et par consequent x=:q) ( ^ J sera nne racine de F6qaation

217) 7=0.

Done on aura la valeur de (p ( ^ ) an moyen de la resolution de eette

Equation.

D'abord on pent trouver toutes les racihes de I'equation 7=0 a Taide
de la fonetion q) de la mani^re suivante.

Si 7=0, on doit avoir

d'oii Ton tire, envertu de (27):

(a -|- fit)d = mco -|- jtioi = (m + l^^^i
et de \h

^^m + jx,^

218) - = »(^»)-

Dans eette expression sent consequemment contenues toutes les racines de
r^quation 7=0. On les trouvera en donnant k m et fi toutes les valours
enti^res depuis — cxd jusqu'a + oo .

Or je dis que les valeurs de x qui sont diSerentes entre elles, peuvent
£tre representees par la formule

\

a«+T«_l .,^_,; , a« + p« — 1

ou () a toutes les valeurs enti^res depuis "^^ jusqu'a +

Pour d^montrer cela, soient k et A' deux nombres entiers qui satisfont k
r^quation indeterminee :

219) |9.A_a.A' = — 1;

spit de plus t un nombre entier indetermine, et faisons

220) k=zfik + ta, k=i — ii}j — t§y

on en d^duira sans peine

/i + /?* + a*' = 0,
et si Ton fait

(> = m -|~ ^^ — /'^'j
on v^rifiera aisement I'equation

"^—^. — k-kl

a + pt a+pt

225

De Ik on tire

» (^")=» (^ - *- - H

or suivant (22) le second membre se redait a
done

Maintenant I'expression de q devtendra, en y snbstituant les valeurs de ketk:

d'oii Ton voit qu'on pent prendre t tel que la valeur de q, positive on n£ga-
tive, soit inferieure k — —^ . Done etc.

2

Toutes les racines de Tequation 7=0 seront representees par la for-
niule (218'); or toutes ces racines sont differentes entre elles. En effet si
Ton avait p. ex.

on auntit selon (31), (en remarquant que a = cd)

po

-.=(— 1)"^- -^. + {ni + m>,

a+pt' ^ ^ a + pt
d'oii Ton tire: #.

an-f-/}m = 0; (>=( — l)"+".p'+am — fin.

La premiere it ces Equations donne n = — fit; m =z at^ ovl t est on entier

indetermine. En vertu de ces relations, I'expression de q deviendrait:

(> = (~l)-H-.^' + (a» + /S*).f,

d'ou i'on tire

a^ + P*"" '
ce qui est impossible, en remarqnant que Qj q' sont tons deux inferieurs a ^ T^ - •

Done les racines differentes entre elles de Fequation 7=0 sont aunom-

bre de ^ \^~ • U &ut voir encore, si T^quation en question a des racines

^gales. Eo diffi^rentiant (216) on en tirera, en remarqnant qae dq)te=da.fa.Fa:

x.^.fi.Fi+T.fd.Fi.

29

Si maintenant 7, a des facteurs ^gaux, il faut que T et -^- soient ^ganx k z^ro

en m^me temps ; done I'eqtiation prec^dente donnera

S.f{a + fii)d. F{a + /?i)d = 0 ;

or on a (p{a + fii)^ = 0, done /*(« + /?i)rf =z= ^ 1 = F{a -f- /Si)*, et par con-
sequent S=iOy

ce qui est impossible, car nous supposons, ce qui est permis, que T et S
n'aient point de facteurs communs. Par 1^ on voit que F^quation

7=0
est du degr£ a^ -|~ /^^ — ^ P^^* rapport & x, et aura pour racines les quantit^s :

En faisant x* = r, on aura one equation

219) R = 6

du degr6 1 = 2y, et dont les racines seront

220) ^*((5), 9)«(2d), 9)«(3iJ) • . . 9>*(2i'<^),

oil pour abreger on a suppose 6 = " .

ot + pt

Cel& pose, on pent ais^ment resoudre Tequation i?==0, ^ Taide de la
m^thode de M. Gauss.

Soit € une racine primitive de a^ -j* /$^ je dis qu'on pent exprimer les ra-
cines comme il suit: ^

221) q>\d\ q>\€d) q>\t^d), (p^e^d) . . . ipV"'-*)-
En effet, en faisant

'222) ,^^^a^ + t{a^+n

oil a^ est moindre que — --^, on aura:

q>i^d) = 9) (± a«(y + ''^^^^) = <P(± ««* + « («-/?i)«),
c'est-a-dire, en vertu de (22):

et par suite:

(p\e^d) = q>^iaj).
Je dis maintenant que tons les nombres

1, flj5 il^f <3fj5 . . . tt2y^l

sont inegaux entre eux. En effet soit p. ex. a^ = a^, on aura

227

•223) *'' = ±fl. + <'(«* -f A'

Des deux equations (222) et (223) on tire, en eliminant a^^

-- — -- = a un nombre entier.

Done en multipliant par *"" + «*; on trouve que — ^ — ^ est entier, et
par suite ~ — — — , ce qui est impossible, car e est la racme primitive de

a* + /S* et 2m — 2» est moindre que a* + /** — !•

Dons les 2i^ nombres 1, a, etc. sont diff^rents entre eux et par colise-
quent, pris dans un ordre different, ils sont les m^mes que les suivants:

1, £, 3, 4 ... 21/ — 1.

On voit par la formule ^'(a***) = q)*{aj)j que les quantites (220) et (221)
coincident, mais dans un ordre different

Maintenant on pourra resoudre I'equation R=.0 parfaitement de la mdme
maniere que I'equation (106).

On trouvera (116)

oil 0 est une rjacine ima^naire de I'equation 0*^ — 1 = 0, et i;, j,, s^. .. s^y^i
seront determines par les expressions:

V = ((p^{d) + 0.<p*(6d) 4- e*-7)*(6M) + • • • + e**^^ .g)*(6««^^<J)>%

^ _ <p^(8) + Q* . 9«(t8) -I- Q'^ .9«(6g8)+ . . . +q(^^-'> . <pg(g'^-' . 8)
[9*(5) + 0.9«(65) + ei9«(fi«S) f... + 0"''-' . <p*(6"''-*5)]*

A = 9)*((J) + (p*(6d) + g)*(«*(J) + . . . + 9)*(«*'^^^),
qui par le proc^de pag. 183, 184, 183 peuvent £tre exprim^s ratumnelle-
ment par les coefiiciens de I'equation jB = 0, qui seront de la forme A -j- Biy
WL A et B sont des ' nombres rationnels. Done la formule (224) donne I'ex-
pression alg^brique de toutes les racines de I'equation jR = 0, et par conse-
quent les valeurs des fonctions

37.

Ayant trouve par ce qui precede la valeur de qp (— ^^) > ^^ ^^ tirera

celle de la fonctiQU

29*

228

comme il suit

La valeur de q> f-^^^.) donnera celle de q> (-^^.) ^^ changeant seulement

t en — i. De \k on tire la valeur de 9 ( -?^ 4- -^.) par la formule (10), savoir

Vot + pi Ot''— pt^

mo , mo Smao 2mao\

done on aura la valeur de la fonetion

Maintenant pour avoir la valeur de (p (j^) ou n a une valeur d^termin^e

^elconque, il suffit de determiner m et ^ de la mani^re que

n = 2ma — (4v -^ l)f,
ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux flombres 2a et4i^4*l
sont premiers entre eux; car alors on obtiendra

En posant p. ex. n= 1, on aura la valeur de <p ( " 1.

Le cas, oil 4i^ -f* ^ ^ ^^ forme 1 -f- 2**, est le plus remarquable ; car alors
Texpression de q> (• ^ jne contient que des racines carries. En effet on a

dans ce cas Zp = 2*-% et par suite la formule (224) fait voir qu'on pent d^
duire g>{€^d) de 0 et t^ en extrayant seulement des racines carries. Or v est
une fonetion rationnelle de 0 et de }/^( — 1), et 0 est determin^e par T^quation

0* =l9 d'oii Ton tire 0 par des racines carries; done on trouve aussi v et
la fonetion

Connaissant de cette maniire v(—-a^9 ^^ ^^^ ^^ mdme 9 (~^Xv^^^^

o«:

1^ par la formule (226) la valeur de (p (^^^)==y(i^J » ^^ extrayant des
racines carrees.

59.

Un autre cas, oil la valeur de q> f — J peut dtre determin^e par des raci-
nes carries est celui ou n est une puissance de 2, comme nous I'avons vu
No. 13. Done on connait les fonctions:

ou dans la demi^re 1-^ Z* est un nombre premier.*

Soient maintenant 1 + 2*, 1 + 2***, 1 + 2**^, ... 1 + 2"^ plusieurs nom-
bres premiers^ on connait les fonctions:

et de la la fonction:

/m . nt. m^ ^n \

01

V2» 1+2"! l+2"«^'"^l + 2>/

^ \2"(l+2*0 (1+2"') • • • (1+2V)/ '

ou m' est un nombre entier, qui, k cause des ind^termin^s m, m^, m^^...m^
peut avoir une valeur quelconque. On peut done etablir le theorime suivant:

"La valeur de la fonction q>l — ) peut dtre exprim^e par des racines carrees

"toutes les fois que n est un nombre de la forme 2'' ou 1 -f- 2% le dernier
"nombre etant premier, ou m^me un produit de plusieurs nombres de ces deux
formes."

40.

En appliquant ce qui pr^c^de a la lemniscate, on parviendra an tb^or^me
^nonc6 No. 22.

Soit Fare Jilf=a, la corde AM=x et ^

rangle i!fJP = 0, on aura / ^N.-^

« ds

w =

- i/a-x*)-

En effet, I'^quation polaire de la lemniscate est

X = V^(cos 20),

230

d'ou

^0_. «ir.v/(coglO)

sinSO

et rfo» = «ia:*+j:*.«ft*, ^

done

V^^ (BinSfi)''/'
mais de x ==|/'(cos 20) on tire cos 20=af% cos?20 = a;*, 1 — cos'20=l— jj*
= (sin 20)% done

et par suite

et a: = ^^(a)-

Si Ton suppose or = 1, on aura a = ^l/lfB = ^ . Done la eireonf^renee

AMBN:=: CO. Supposons maintenant qu'il s'agit de diviser eette cireonference
en n parties ^gales, et soit Tare AM=i — AMBN=i — w, on aura

Done on aura la corde, et par suite le m™^ point de division, si Ton con-
nait la fonetion (p T— J ; or c'est ce qui a tonjours lieu lorsque n est decom-
posable en nombres premiers de la forme 2 et 1 -f- 2% eomme nous Tavons vu
dans le no. precedent Done dans ce cas on pent construire les points de di-
vision 1^ I'aide de la regie et du compas seulement, ou ce qui revient au m^me,
par Tintersection de lignes droites et de cercles.

§. IX.

Usage des fonetions f^,f, F dans la transformation des fonctions eUiptiquea.

ilf. Legendre a fait voir dans ses exercices de cale. int., comment I'inte-
grale i-T7\ ^ . , qui, en faisant sin 9) = or, se change en

^— - — —. — , ^ J pent dtre transformee en d'autres int^grales de la m6me

forme, avec un module different. ./Je suis parvenu k geik^raliser eette tbtoriie
par le thior^me suivant:

/

231

Si Ton designe par a la quantity ('" + t^)" + ('»— |t)«»' ^ ©^ an moios I'un
'des deux nooibres entiers m ei [i est premier avec 2n 4~ 1> on aura:

/\ dy , f ds

ou

I - (9«tt— x») (9'2tt— x«) . . . (9««tt~j«)

J^ '* * (l+««c»9«a.*») (l+ff«c«9a2a.**) . . . (l+e«ca9»«a.*«)'

f ^tant une indetermin^e, de sorte qu'il n'existe qu'une seule relation entre les
quantites c^^ e^^ c^ e.

Les quantites e^ et c* pourront ^tre positives ou negatives.

Par ce theoreme on pent trouver une infinite de transfonnations diffl^ren-
tes entre elles et de celles de M. Legendre.

42.

Soient m et fi deux nombres entiers, et faisons pour abr^ger:

228)

a

(nt+pi) o+(iif — jji)©t

2ii + l

Oil Ton suppose que Tun des deux nombres m^ fi soit premier avec 2n -f- 1*

En designant par 0 une qaantite quelconque, il viendra, en verta de (22) .

229) (p[e+(2M + l)a]=(pe.

En mettant 0 — no, an lieu de 0, on obtiendra:

230) 9 (e + (»+!)«) =9 («—»a).

Cel^ pos^, considerons I'expression suivante
23i) g)i(0)=qp(0)4-9)(e+a)+9(8+2a)+...+ 9'(8+»«)+---+9'(9+2»a).
En mettant O-j^a au lieu de 6, il viendra k cause de T^uation (229):

232) 9)i(0+a) = 9i(eX
done si m designe un nombre entier quelconque:

233) g)^(e+ma)=9)i(e).

En vertu de T^quation (230) on pent ecrire Texpression de 9)1(0), comme
il suit:

OQ*:

254) yi(e)=y(e)+9(0+a)+v(0 — «) + g)(e + 2a)4-(jp(0 — £«)+.. .
c'est-a-dire, en vertu de la formule

235) (jp,(e)

'^ ' l+c«c«9«a.<p«0 ' l + c«c'2922a.9«6 "*" * ' ' "'"l+e2c«9«na.9«o'

En faisant 9)6 = 0:, g)^(O) ^evient one fonction rationnelle de x. En la

d^signant par tf;(or), on aura:

AVON ./ \ /^ I S/bt.JPit I I %fnoL.FnoL \

236) t(^) = ^- (1 + 1^,4^,^.,. + > > ♦ + 1 J,e»<p'«a. X J •

43.

Maintenant soit e une quantity qnelconque, je dis qu'on aura

(1 ')(l ' Vl ' ^-Xl * ^

q^m\ A ^x \ 9s/ V 9(e + tt)/\ 9(s4-2a)/ V 9(s+2iitt)/

En effet il est elair que la fonction

258) R = {\ ^) (1 + e^cW .x')...{i+ e^c\^na . x^)

sera enti^re et du degr£ 2n -|- 1; ^'^^^ ^^ faisant or=g)f, ^x deviendra=9)j6,
et par suite R se reduira k z^ro pour cette valeur de x. De m^me en faisant
x^=iq>{B'\- ma\ oil m est entier, on aura ^px =^ q>^{a -|- ma) ; e'est k dire, en

vertu de (255), t/zarrrry^f. Done 1 ^^ = 0, et par consequent o;=g)(6-f-»i«)

9i6

sera une racine de I'equation Rz=zOy quel que soit le nombre entier m. Or
g^n^ralement toutes les quantit^s

259) (p€j 9(«+a), (p{e-\-2a), . . . 9)(6 + 2»a)
sont diffi^rentes entre elles. En effet si Ton avait

9(« + m'a) = (p{6 + /i'a),
il en suivrait en vertu de (51)

« + w'a = (— l)*^. (e + li'ci) + *a) + ^©i,

d'oii

A: + A* == 2&^,

k=ikf + l, k'^k' — l,

(m'— ^')a=:(A:»4-/)w +(*• — 0®^

233

De 1^ en substituant la valeur de a= (»" + 1^)" + (>" - t^)g* on tire

(m' -r ^0 (m + ^) = {tn + 1) (A* + /),

(W — /*') (aw — ^) = (2» + 1) (Af — 0
et '

m' — |i' = (2«+l).^=(2»+l)l,

fit (JL

equation contradictoire, parccquc nous avons suppose que Fun des deux nom-
bres m et ^ soit premier avec 2n -|- 1, et m' — /i' est toujours moindre que
2n-]-l. Maintenant les 2n^l quantit^s (239) etant diff^reutes entre elles,
elles sent precisement les Zn-^ 1 racines de I'equation R=lO. Done on a

J V "97/ V 9(e+a)/" \ 9(6+2jia)/'

oil A est un coefficient constant, qu'on trouvera en attribuant k x une valeur
particuli^re ; p. ex. en faisant ;r = 0, on a jR = ^ ; or I'equation (238) donne
pour or = 0: jR = 1, done ^ = 1, et par consequent I'equation (237) a lieu.
En multipliant cette Equation par q)e et faisant ensuite 6 = 0, il viendra :

241) xp(x) = gx ^ "^^^ ?2ay_V 921^

oil a est la valeur de ^ pour ^ = 0. En faisant 0 = 0, apr^s avoir divise

9s

par q)% on trouve I'expression suivante de cette constante :

242) g=i\^2fa.Fa + ifZa.F2ck'\-... + 2fna.Fna.
En faisant dans (SS30) 6 = wa — (»»' + !)«, on trouve

tf{2na — nVa) = 9)(— (m'-j- l)a) = — 7)(m'4" !)«.
Done on pent ecrire I'expression de tpx comme il suit:

^^ ^^ ^.^. (i^^2cVa-^*)(l+«*cV2a.J:^)---(l+e*c«9*«a.x«)*

44

Maintenant faisons dans I'expression de 1 -^,6= — . En supposant

pour abreger

244) q = (l+6*c>*a.a:*) (1 + 6V>»2a-a;») ... (1 +eVVna.a:»),
on aura

.5 i ^l^lr 9(^.)R 9(^««)iT 9(^H.2».)M'

9

30

234

or, en faisant dans (250.)

0 = y + (» — »«'— 1)«,
on a

done en vertu de la formule (voy. 17.):

9'(t-«)=9'(t+«)'

il Tiendra:

yd^+Caw— »«')«)=9'(y+('«'+i)«).

Cette ^qoatioD fait voir qu'on pent ecrire I'expression de 1 ^^ comme

il suit: <Pi 2

245) l — Jlf:

9,2

(1 — car){l—

9(|-+a)l ( <p(^S«)l"i* 9(^-)l ' ''

En mettant — or an lien de -j-or, on aura semblablement
246) 1 + -^

9x2

<'-^-»hKi^)rK#;5r-h,-(»t5rT-

Done si Ton fait

247) y=:k.ipx,c^= -,

*-9i2-

oii k est indetennine, et

248) { <P(|+*)^ ' 9(|+«'x))'

9(1 +a)) I 9(| + «»)

on aura:

249) 1— c,y=(l— cjt).^; l+c,y=(14- c;r)'|.

23d

De la mdme mani^re, en faisant

250)

9

(1^-)

et

251)

«i

on trouvera ces deux equations:

«? . . . .. .' . V «*

252) i+e^iy=i{i — eix).-^-^ l^Cjfy=(l + ciar) — .

Les equations (249) et (252) donneront:

(l-cy)=(l-eV)/-^; (l + cy)=(l+«'n^'
et par consequent:

253) K((l-fy)(l+<y'))=±'^K((l-e':r»)(l+<.»ar«)).

Maintenant Texpression de y donne dy = —. dxj oil P sera une fonction en-
tiere de x du degre An^ done:

±

Or je dis que la fonction se reduira a une cpiantite constante. Eneffetona

tt^88^

en differentiant, et mettant pour dy sa valeur , on aura

i.=i[o,,-(i-«)(24-'i)]-

On voit de l^ que P est divisible par t. De la m^me mani^re on prouvera
que P est divisible par les trois fonctions t^^ s^ s^. Done si deux quelcon-
ques des quatre fonctions t^ t^^ s^ s^ n'ont point de facteur commun, P sera
divisible par leur produit. Or c'est ce qu'on pent voir aisement k I'aide des

expressions de ces fonctions. Done est une fonction enti^re de x. Or

P est du degr6 An; et chacune des fonctions tj t^j Sj s^ est du degre w. Done

il est prouve, que est une quantite constante. En la designant par a^

30*

il viendra

dy , dx

'*^*/ ^/u^— ^a«a\ n ^ .»««2\i — i ^'

Poor determiner a il suffit d'attribuer a x uue valeur particuli^re. En faisant
p. ex. x^=Oj on aora

Or en diff^rentiant Texpression de t^or, et faisant ensnite x=zOj il viendra
^fx^=zffj done

255) a=zk.ff.

On pent donner d'antres formes plus simples anx expressions de c^, e^^ g^ a^ et
qui mettrotit en Evidence plusieurs propriet^s remafquables de ces quantites.
Par la formule (240) on voit que le coefficient de x^"^^ dans la fonction

R est — • -r^-^ 7 — - — r-.ord'apr^s (238.) et (243.) le m£me coefficient

96.9(e+a)...9(s+2na) r \ / \ /

sera

—till". ___L___

9i^ (9a. 92a . . . 9na)^'

done en remarqnant que ^ = 1 :

En faisant dans (236.), (243.) ^ = ^9 aprto avoir divis6 par x^ on obtien-
dra deux valeurs de ^^ savoir

(ec)*»(9a.92a . . . 911a)*'
done, en les ^galant:

256) 9=^{ — 1)* i^^Y" (9« • V2a . . . (pna)\
et par consequent:

257) y J («) = (ecY^{qiu . 9)2a . . . qmaf^pe . 9)(f + a) . 9)(6+2a) . . . ?)(€ + 2wa)

=vW4"V(^"f"")H"9(*+2a)+ . . . 4-9(« + 2'^")-
Cette 'Equation exprime une propriety remarquable de la fonction q>. En y po-

sant « = ^ et € = — I, on obtiendra

2 2' ,

oil Ton a fait pour abr^ger

259) d=:(pa. q>2a . q>3a . . . g>na.

287

En remarquant qoe

9 (y + (2» — »»•)«) =9 (y + (»!' + 1)«)
et

9 (f »•+ (2» — «»')«)=9(f «+ (»»' + 1)«).
en faisant

260) A(c»c»)-.d* = /;

on tire de ces equations

Moltipliant et remarquant qu'on a (18)

9(y + «)9'(|«H-«)=^;

on obtiendra q: J_=llll^,

ou

262) c,g, = q:<'^)"^;;(~^)".

De m£me en divisant on obliendra:

/F';7=(-Vt(«^)*"[''(t+«)»(t +««) •••»'(v +"•)]'.

Prec^demment nous avons trouve a = k.ff, et ff = { — l)".(«c)*"d*, done

264) a = f.d*.{—l)\

Egalement nous avons y = k.^(x), done en vertu de (243)

265\ « = r— l^-/' X (y*«— -g') (9'8«~^») (9'3a— J«) . . . (9««a— x«)
^ ^ ^ -" * (l+««c«9«a.*«) (I+eac»9»2a.«») . . . (l+e«c«9«»a.4r«) *

Done les valeurs pr^cddentes de c^, e^ , a et y donneront :
266) ''^ L ««^

•[(!-«?»») (l+«:»')] ^ •[(l-c»x«)(i+««*«)]*
et de I&

45.

Les formoles (261) donnent les valenrs des qoantit^s c^ et ^^, exprim^es
en c et 6 ^ Taide de la fonction q>. Or on pent aussi les determiner k I'aide
d'nne Equation alg^briqne. En effet on a

L^V2 ~ /J c^KFa./ c* l + eV»
et

r /'o- I M' * 1 rFa.y 1 1 + eVa

done il est elair que les valeurs de c^ et e^ poarront ^tre exprimees en fonc-
tions rationnelles et symetriqnes des quantites q)a, (p2a, . . , (pna. Done si
2w + 1 est un nombre premier, on pent, en vertu de ce qu'on a vu §. y., de-
terminer c^ et e^ a i'aide d'une equation algebrique du {2n + 2)™* degre. On
pent encore d^montrer que la mdme chose aura lieu dans le cas ou 2/2-^1 est
un nombre compose. Alors on pent m^me determiner c^ et ^^ Taide d'nne
Equation 4'un degre moindre que Zn-^- 2.

Done on aura un certain nombre de transformations correspondantes pour
chaqne'valeur de 2w + l-

4ft

On a suppose dans ce qui precede que e et c soient des quantites reel-
les et positives; mais ayant exprime c^ et e^ en ^ et c par des equations alg^-
briqnes, il est clair que la formule (266) aura lieu egalement en donnant k e
et c des valeurs reelles et imaginaires quelcouques. Dans le cas ou e*, c*
sont reelles, on pent m^me se servir des expressions (261), (26S). Mais alors
CD et 13 ne seront pas toujours des quantites reelles. Au reste I'une des quan-
tites Cj et Cj^, a cause de I'indeterminee /", peut £tre prise a volont^; seulement
il faut excepter les valeurs z^ro et Tinfini.

47.

Si Ton suppose c et e r^els et 2?! -f~ ^ premier, les valeurs de c^ et e^^
seront imaginaires, excepte deux d'entre elles, dont Tune r^pond a

2m. o

et Tautre a

2ULT3t

2ii+l
A. Supposons d'abord

+ 2m.o
2«+l

Dans ce cas on aura (261):

239

«

Soit jM.2m = (2w4-l)'i«mj oil t est entier et «« entier positif, et moindre
que — ^— J on aura

»(f+''•£^)=<f±£^+'") = (-'^*(T±^) .

^'^V 2w + l ' 2/
Or les nombres a^^ a^^ a^ . . . a^ serout les m^mes que les suivants 1, 2, S,.,.?!;

mais dans un ordre different; done I'expression de — pourra ^tre niise sous
la forme.

^ Ci c L^V2«+1 2/^\2n+l 2/ ^ V2«+l 2/J

De m^me I'^quation (263) dounera

269) U^T (-l)..l.(.o).-[.(^. -1),(J^. :^)...,^. ^)]\

Soit maintenant c=zl, c^ = 1, on aura, en posant ^^ ( — 1)* = 1 :
269.) e. = e-.[,(^.^),(^,.^)...,(^.^)]*.

271)3,=(-i)"/>.

/•

ou bien

Si Ton suppose ^ moindre que Funit^ ou egale a I'unit^, e^ sera toujours mo-
indre que e^ et lorsque 2?i -|- 1 est un tres grand nombre, e^ sera extreme-
ment petit

48.

Le signe du second membre de I'equation (270) depend de la gran-
deur de x.

240

U pourra 6tre jag6 ais^ment comme il suit On a par ce qui precede

V(ii -y')(i+«y))= ± '-^ K((i-4;')(i+c'^')).

En supposant x r^el, q^ sera tonjours fini et positif, de m£me que
y(i -|- c*y*) et 1/^(1 + «*ar*). Done le signe du second membre de F^quation
est le m£me que celui de la quantity

maintenant on a

ss^

9

«

£.>aV "i

(f>a)i ( 9«(|.>«.)r

done

•r»(f«+.)=f^'etc

done, en remarquant que a est r^el dans le cas que nous consid^rons, on voit
que ^,^1^ sera toujours une quantity positive; or t.t^ est reel, done la quantite

y(SIf--j sera positive egal^ment, et par consequent le signe, dont il s'agit,
sera le m^me, que celui de la quantite tt^ . II n'est pas difficile de voir qu'en

vertn de (248) et en mettant pour a sa valeur — -^ , on aura

.,r_J_.»M ,j>»(-»_.»M 9«(^=-'.-^^

quantity qui est positive depuis ar = 0 jusqu'^ ar = y T- — -- ^J, negative de-
puisa:=r<p (^^- y) jusqu'^ ar = 9 (^^- ^), positive depuis

x=z(p ( . -^J jusqu'^ x=z(p ( > -^J etc. Si a: est plus grand que

I'unit^, f^;i aura toujours le m^me signe, savoir ( — 1)^

Done, dans ce cas Tequation (270) donnera, en integrant et commen^ant
rint^grale par x=l:

^^*^ Ji v/[(sr»-l)(l+«?3f»)]~"'yi i/[(x*-l)(l+e«jr«)] •

Si la valeor de x est moindre que rnnite, on aura

241

entre les limites

et

entre les limites *=9'^j- t)«'^ = 9'(S^- t)'
Si p. ex. on suppose a: renferm^ entre les limites

on aura, en integrant et commengant I'lategrale par a: = 0,

^''^ Jo •[(!-»«) (!+«!»«)] ^ " '^0 •[(!-*») (I+««x»)] '

En faisant x=y ( "|-> o )> ®° *"''* y=^==( — ^)"» ** P**^ snite:

>•* ^r g-t-> / i\«
o •[(!-»«) (l+e?y«)]~2(2n+l) ^ ^'

d'ou

278) (-l)"-« = ^^/V[(l-^«)a+«!y«)]'

Cette expression de a est tres commode pour le calcul. En negligeant les
qnantites de I'oHlre e^, on obtiendra

279) (— l)"- « = (2« + 1) . J .

En snbstitaant et negligeant toujours el la formule (277) donnera

' f— $- -=/-^>''" . arc. sin (y),

Jo /[(l-x«) (!+«»*«)] (2«+l)7c ^^'

K-;fe}--{*-.Tfe}'-^

" [i«Vyh)"]-['«*»-^>']

i3. Dans le cas a = ^ ^^^ , on trouvera de la m^me maniere la formule
suivante

oil

1

e

L'V2«+1 2/*V2« + l 2/ 'V2«+l 2 /J

31

a'

2i'Z

(-i)»

y

La formule precedente a lieu pour toutes les valeurs de x moindres
que I'anit^.

40,

Pour avoir une theorie complete de la traosforaiation des fonctions ellip-
tiques, il faudrait connaitre toutes les transformations possibles; or je suis
parvenu k demontrer, qu'on les obtient toutes en combinant celle de M. Le-
gendre avee celles, contenues dans la formule oi-dessus, mdme en cherchant la
relation la plus generale entre un nomhre quelconque de fonctions elliptiques.

Ce theoreme dont les consequences embrassent presque toute la theorie
des fonctions eiliptiques, m'a conduit a un tres grand nombre de belles ^o-
prietes de ces fonctions.

§• X. ^

Sur I'int^gration de V^quation 8&par^e

dv dx

^ — '.a.

50.

On pent toujours comme on sait presenter Tintegrale complete de cette
equation sous une forme algebrique, lorsque la quantite constante a est uu
nombre rationnelj quelle que soit d'ailleurs la valeur reelle ou imaginaire de (i.
Mais si a n'est pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet egard je
suis parvenu aux theor^mes suivants:

Theoreme 1. £n supposant a reel, et Fequation integrable algebriquement,
il faut n^cessairement que a soit un nombre rationnel.

Theorhne II. En supposant a imaginaire^ et I'equation integrable alge-
briquementj il faut neeessairement que a soit de la forme m-^Y^ — 1-T^w,
oil m et n sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantite fi n'est pas
arbitraire ; il faut qu'elle satisfasse a une equation qui a une infinite de racines
reelles et imaginaires. Chaque valeur de /i satisfait a la question.

243

La Demonstration de ces theor^mes fait partie d'une theoricr trte ^tendne
des fonctions elliptiques, dont je m'occupe actuelleuient, et qui paraitra aussit6t
qu'il me sera possible. Je me borne ici a considerer un cas particulier, qu'oB
peat tirer des formules da paragraphe precedent.

Si dans la fonnale (270) on pose

et eyi a la place de y^ il viendra

^»=-.

rf» „^/- 4 ^

282) -7rrr-^j,-^=aV-i.

oil

e est determine par T^quation (269') qai deviendra

et a par

fl zzs < «- — • V • — •

/I o\ (in—1 o\l e

Done on connait ane integrate particaliere de I'^qoation (282) et par con-
s^qaent on en poarra troaver I'int^grale complete.

Dans le cas qae noas considerons, la valeur de a est |/^(2?i -f" 1) ? ^^
qa'on d^montrera ais^ment comme il sait:

En mettant dans I'^quation (282) y = zY — U ^^ integrant entre les limi-
tes zero et <jp ( ^ J , il viendra

^~Jo •[(l+»^) (l-^*«^)] "" '411 + 2'

en remarqaant qae les limites de z seront zero et — En faisant de m^me

x=zz}/^ — 1, et integrant entre les limites zero et — , on troavera qae les li-
mites de y seront z^ro et Fanite et par consequent

51*

244

Done on a

et

o _

o

2

_ a o
2^2+1 2

xs

•

d'oii Ton tire

•

285)

a =

= l/"(2w+l),

286)

o

G5

= K(2w+l).

Done r^qoation differentielle deviendra:

•

287) ^^ V-

-i.K(2»+i).

•[(1-

ds
-x«) (l+e«Jf«)]

51.

Poor donner an exemple, consid^rons le cas ou n = 1 et 9t = 2.
^. Si ?i = 1, on aura:

^\iX-9*) (1+«V)] ~^ V [(1— *«) (!+»•*«)] '

e est determine par I'^qoation:

On a

done

a

»<t) I

f*

a)

Maintenant on tronvera en combinant ces Equations et remettant poor a
sa valenr |/^3:

o

245

done ^'<t)=^*'

et par suite l = f!ilf»^

de la e* — 2]/3.e=l

et e=>^3 + 2.

Ayant troave e, on aura

Done on aura I'equation differentielle :

288) ..rn_..w.?^...,^....^.=K-3»

V^C(l-y*)(l+C2+l/8)V)] ~ "^ ^/[(l-j:«)(l-Ka+i/S)»;r«)3'

qui sera satisfaite par Fintegrale algebrique:

y:=iY—\.x

/8_(2+v/3);*«

l+v/8(2+v'S).j«

SiJ'on pose xY{^ — V^3) an lieu de ar, et tfV{2—VS).V — 1 au lieu
de y, on obtiendra I'equation:

^ V[(l— 2/8..v«-»*)] =y^- v/[(l+2/8.*«-*«)]'

qui sera satisfaite par

B. Si n=2, on aura I'equation diff(6rentielle

^y —1/- 5 ^*

V^[(l-»»)(l+eV)]~~*^ ''V[(l-**)a+e»**)]'

ou

y=y — \.fr.x

On a

»-fe) = »-(|-^)

/'2o\

/•u

291)

wP*

»'(w)=*'a-x)

(t)

jw

G)

246

/ (^ - t) _ / (^) _ / m ■ /(f) -^i¥h (i) K¥) HI)

K^-i) _. /(;-) _ /(l^) /© ^ ^ (^) ^ (t)K^) Kt)

Hi^-f) '(f) K^) Hi)-'<i^) Hf > /(^) /(^y

En multipliant ces valeurs de — et — —^ entre elles, et remarquant que

K^) = f (t)'

^(t)=^(^)'

— .»'a)..-(5i).„'

od I'on a fait pour abriger

/(^)/(t)

on obtiendra

Cela pos£, les equations (290, 291) donneront

1 = ^.i-, ,• (i).,.(^)

1/5

done, en substituant

e8 e* 1 1— ev/5

ev^e \/5 e« e-^/5

et de la

Ve

1— e\/5

c» — 1 — {5+2VS)e{e — 1) = 0.
Les racines de cette equation sont

c = l, e = 2 + 1/5 — 21/(2 4- KS), c = 2 + K5 + 2l/(2+l/5).
La derni^re de ces racines

e = 2 + l/5 + 2l/(2+l/5) = [^+|/(^)P

247

repond a la question, car Tequation

fait voir que e doit dtre plus grand que I'unite. Connaissant e^ on trouve la
valeur des quantites (p f^J et (p i-y^ comnie il suit.
Nous avons

1 = «■ . i» = «• . — i24_4*4 ;
or en faisant (p f^-J=« et?) r-^) = /J, on aura

done

(1+^V) (l + ^V*) = c« (I - ««)(! — /?«),

or nous avons trouve plus haut, a*/)* = ^ , done :

Done on eonnait tt*./5* et a*+j5* et par suite a* et /i* par la resolution d'une
equation du second degre. On a done aussi la valeur de y^ qui satisfait
21 I'equation:

292)

dy

• [(1— j:2)(l + (2+V^5+2/(2+v5))^.jr*)]

Si Ton pose — au lieu de x^ et ^ ~ au lieu de y, on obtiendra I'equation

y/e ye

Q93^ ^ I//; ^

oil

^ ^" 1 + v/ (10+10/5). jr« + v/5.x4

52.

Dans les deux cas que nous venous de considerer, il n'etait pas difficile
de trouver la valeur de la quantite e^ mais la valeur de n ^tant plus gr^nde, on

248

parviendra k des equations algebriques, qui peut ^tre ne seront pas resolubles
algebriquement.

Neanmoins on peut dans tons les cas exprimer la valeur de e par des
series, et comme leur forme est tr^s remarquable, je vais les rapporter ici.

En faisant dans la formule (206.) a^=iiy on aura, enreniarquantquec==l9

294) ca) = 4;rf-P- + ^+ -?!-+...),

on

En faisant de mdme dans la formule (204.): a = ^/, on aura v(—ij
= —;« = A«'* = cos — -|-i sin — = i, done '

£ 2^

e e

e'est-a-dire

"^ — ^''' t^ +;^+ rr^

ou

0) n

Maintenant dans le cas que nous consid^rons, on a

± = ]/-(2»+ 1),
et par consequent

Cette formule donne la valeur de

^ p^ ds

""" 7o v/[(l-^«)(l+e«x«)]*

Ensuite on aura la valeur de ^ par la formule (294) qui, en substituant pour
Q sa valeur A*^ ^ = h ^ ^^'^^> % donne

249

296)

A est le nombre 2,7182818 . . .

Addition au memoire precedent.

Ay ant termini le memoire precedent sur les fonctions elliptiques, une note
SOT les m^mes fonctions par Mr. C. G. T. Jacobin inser^e dans le No. 123.
annee 1827. da recueil de Mr. Schumacher^ qui a pour titre '^ Astronomische
Na4:hrichten/' m'est vena sous les yeux. Mr. Jacohi donne le th^orfeme suivant :

Soit p an nombre impair et 6' an angle tel qu'on ait, en designant I'int^grale

P
et en g^n^ral 0(*> nn angle tel, qu'on ait

soit determine encore Tangle -^ par r6qaation
tang (45^— It/,) = t«ngKO:-j) t.n6|(0>^ + O) t«ngK6»-')±0) tj^„ (45«T4e),

on aura:

F(*,e) — iU.F(A,i/^).

II fant admettre le signe sup^rienr si p est de la forme An-\- 1, et le signe

inf6riear, si p est de la forme 4» — 1. if doit dtre pris entre ^n et-^— jr,

m m

si 0 tombe entre O^*^ et 0(*+^). Les constantes /i et A se d^terminent de dif-

ferentes mani^res. On a p. ex.

1

2(co8ecO' — co8ecO'''+ . . . ^cosecO^^^^ti)
X = 2A:/t (sine— sine"* + ... ^ sin ^^^^^±\).

Ce theor^me ^Ugant que M. Jacohi donne sans demonstration est contenu

comme cas particulier dans la formule (227) da memoire precedent, et au

fond il est le m^me que celui de la formule (270).

32

2dO

Nous allons d^montrer cela:
En faisant dans I'int^grale

a

I

ds

0 •[(!-*«) (l-*«x«)]'
a: = sin 0,

on aura

y»9 de

i^ginse)]

mais

done:

a;

?>«?

a = F(Ar,0) donne sui6 = 9<k.
Si 0 = 90^ on a ;r = 1, done

Done en faisant 0 = 0^*\ on aora

= « » et8ine(-) = 9)C^.^).
Cela posd, faisoQS dans (269' et 270):

>.3

F(*,e(->)

A*, c«

.*., ^=(=:1).-,

1 ^ -a

:r = ( — l)*.sin0, y = sini/;, 2»-f-l=/'j

i1 viendra:

^ •/•(I— A^sin^e)^^ i'v 1/(1— X^.sin^^) "^ '

ou les quantites /i, A, if; sont d6termin^s par les Equations

X = A:«*+t. (sin 0' . sin 9*^ . . . sin e(*»-^))^

( sin 0' sin O'^ . • • sii
(sinO^sinO^"^. . • sii

I

8inO^*">

2\ sinii; = -^^ Sinft (gia^O^— sin^e) (sin^^^^— singQ) . , . (singQ^*"^— 8in«0)

^ 1/X ' (1— *28in«e^8in«0) (1— *2sin«0>^^8in«0) . . • (1— *«8in«0^**^8in«e)*

Nous supposons k moindre que I'unite, car dans le cas contraire to sera one
quantite imaginaire.

Cel& pos^, consid^rons les Equations (249). En remarquant que c^=>c
= 1, on en tire

251

oo

f <p(y+*)— * ^>(y+««)— * <p(y+'»«)— *

c'est-^-dire en faisant a = - — %- et »i = — 1 :

2»+l

'Ism- 2/-' n^Tia- sh' <-*>"-^feiT)+'

Maintenant on a

ar = (-l)-.siii9, et 9>(^. |-) = sin e(->,
done en substitaant:

t//1— giii4)\ W/l->(— l)".ginO\ 8inO^— gJnO gin 0^^+ gin 0 ginO^^'^^^ + C— l)»ginO

r Vl + gin\}>/ r Vl +(—!)». sin 0/ ginO' + ginO* sinO"^— ginO" *8in0(*»-i)_^_)tii8inO'

et de \k

tang (45^ — ^i/;)

tangi(0' + 0) • tangKO'^-O) tangi[0<*«-^>-(-l)««] ^ '^ V ^^ ^;-

Cest pr^cisement la formule de Mr. JacobL

Dans la fotmule (1), on peat toujours snpposer le second membre positif.
En effet, en diff^rentiant, on aura

En snpposant 0 toujours croissant, le second membre sera toujours positif.
Done en determinant la valeur ip de sorte quelle soft croissante et d^crois-
sante en mSme temps avec 0, on doit prendre le signe sup^rieur. On a done

oV^(l-**gin«e)"" ^Jo^/il-y^^^in^^y

on bien

F(Ar,e) = iti.F(A,t/;).
De la remarque que t/; doit 6tre croissant et decroissant en mdme temps avec %
et en ayant egard k la formule (2), on tirera ais^ment la consequence que t/;

doit tomber entre -^ tip et ^^ tt, si 6 tombe entre 6^*** et 0^"^*^.

52*

262

Quant aux qaantit^s A et fiy il est evident qn'elles ont necessairement les
lu^mes valeurs qae celles de Mr. Jacohi Mais les expressions que j'ai don-
nees seront plus commodes pour rappiication, et font voir clairement que A est
extremement petit, si n est un peu grand. Au reste on pent sans difficult^
demontrer leur identite a I'aide de la formule (257).

xm.

Solution d^un probleme g&neral cancernant la transformation des

fonctions eUiptiques.

AFans le Nr. 127 da journal d'astronqmie de Mr. Schumacher (Astronomische
Nachrichten) Mr. Jacohi d^montre un theor^me trfes elegant relatif k la trans-
formation des fonctions eUiptiques. Ce th^oreme est un cas particulier d'un
autre plus general auquel je suis parvenu depuis longtemps sans connaitre le
m^moire de Mr. Jacohi. On en trouve la demonstration dans le m^moire
precedent Mais on peat envisager cette theorie sous un point de vue
beaucoup plus general en se proposant comme un probleme d'analyse inde-
terminee de trouver toutes les transformations possibles d'une fonction ellip-
tique qui peuvent s'effectuer d'une certaine mani^re. Je suis parvenu k r^sou-
dre compl^tement un grand nombre de probl^mes de cette espfece. Parmi eux
est le suivant, qui est d'une grande importance dans la theorie des fonctions
eUiptiques :

'Trouver tons les cas possibles dans lesquels on pourra satisfaire a I'equa-

"tion difierentielle :

dy , dx ^

1) : "^ ^ + a.

''en mettant pour y un^ fonction alg^brique de x^ rationnelle ou irrationnelle."
Ce probleme vu la generality de la fonction y parait an premier coup d'oeil
bien difficil, mais on pent le ramenejr an cas oil Ton suppose y rationnelle. En
effet on pent d^montrer que si I'equation (1) a lieu pour une valeur irrationnelle de
y, on en pourra toujours deduire une autre de la m^mc forme dans laquelle^ est
rationnelle en changeant convenablement le coefficient a, les quantites r,, e^, c^ e
restant les m^mes. La methode qui s'offre d'abord pour r^soudre le probleme
dans le cas oii y est rationnelle est celle des coefficiens indetermines ; or on se-
rait bient6t fatigue k cause de I'extr^me complication des Equations k satisfaire.

254

Je crois done que le proeed6 suivant, qui eonduit de la mani^re la plus simple
a une solution complete, doit peut-dtre meriter I'attention des geom^rds. —

En faisant:

^^ ^ ~Jo l/[(l-c^Jr*)(l-e*x*)]

la quantity x sera une certaine fonction de 6; nous la d^signerons par AO. De
m^me nous designerons par -- et — les valeurs de 0 qui r^pondent respective-

ment aa:==— eta 07=—; et par A(0) la fonction V^((l — f^3i?){l — ^V)).

Cela pose on pourra demontrer les th^or^mes suivants:

TMorhne I. En d^signant par 0 et 6' deux quantit^s quelconques on
aura toujours

(Voy. Exercices de calcul int. T.I. pag.23)

Theorhne II. On satisfait de la mani^re la plus g^n^rale h I'equation

AO' = Ae

I

en prenant

0'=( — l)~+"*'.e+»itt)4-m'co'

ou m et m' sont 'des nombres entiers quelconques positifs ou negatifs. On
aura done

4) A((— 1)-+~' . e + mco + m'(o') = AO.

Ce theorime a lieu generalement quelles que soient les quantites e et r,
reelles on iuiaginaires. Je Tai d^montre pour le cas ou e^ est negatif et ^
positif dans le memoire precedent (voy. p. 154). Les quantites ca, co' sont
toujours dans un rapport imaginaire. EUes jouent d'ailleurs le m^me r6Ie dans
la th^orie des fonctions elliptiques que le nombre n dans celle des fonctions
circulaires. —

A I'aide de ces deux theoremes nous aliens voir comment on pourra de-
terminer facilement I'expression g(gnerale de y^ et les valeurs qui r^sulteront
pour q et By

Soit

5) y=z yp{x)

la fonction rationnelle cherch^e. — Si Ton consid^re x comme. fonction de y,
sa valeur sera d^termin^e par Tequation (S), qui aura un certain nombre de

265

racines. Or il existe entre ces raeines des relations qni nous conduiront k
Fexpression de '^(x).

Si I'eqaation (5) passe le premier degre par rapport k x^ d^siguons par
x^j une autre racine et par 0^ la valeur correspondante de 0 en sorte que
^i=^Oi; y=:i/;(a:)=i/;(a:i).

En vertu de (2) I'equation (1) deviendra en designant le radical du premier
membre par Y^R

du

-j^ad^^

En changeant x en x^ ou ce qui revient au m^me 0 en 0| , la valeur de y reste

la m^me et par consequent -y^ reste la meme ou ^e change en— -— ^. On
aura done

dy

-tarfOi

VR
et par suite: rfOj^=-{-rfO, d'ou Ton tire en integrant Oj=a-^0, « etant une

quantity ind^pendante .de 0. On aura par consequent or, = A (a ^f; 0). ' H suffit

de prendre 6 avec le signe -f- ^^ ^^ ^ d'apr^s la formule (4) en y faisant

m=l, m'=0, Ae=A(a) — 0) et par consequent A (a — e)=A(a) — a+5)> ^^

m — a est une nouvelle constante. On pourra done faire a:^=:A(0-f-<^)- On

a ainsi ^tabli ce theor^me.

Theoreme HI. Si une racine de I'equation ^ ==: t/; (^) est representee par
"AO, une autre racine quelconque sera de la forme A(O-f-a) ou a est une quan-
''titi constante."

Si Ton pouvait parvenir a trouver toutes les valeurs de a, rien ne serait
plus facile que de determiner ensuite celle de y. Or c'est cela que nous'allons
faire a Taide du Theoreme II. Les quahtites AO et A(0 -f- a) etant des racines
on aura a la fois:

y = i/;(AO) = t/;(A(e + a))

equation qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de 0. On en tire en
mettant au lieu de 0 successlvement 0 + a, 0+2aj...0+Ara:

i/;(AO)=t/;(A(e + a))=t/;(A(e + 2a))— . . . = t/;(A(0+ Ara))
done on aura

y = xp(X{^+ka))
k designant un nombre entier quelconque. On voit par \k que non seulement
A(0-f-<^) inais toute .quantite de la forme A(0-f-^<^) ^^^^ ^^^ racine de I'equ^-

266

tion y=iip{x). Or k pouvant avoir une infinite de valeors differentes il fant
n^cessairement que plusieors des quantites A(0-|-Ara) soient ^gales poor des
valeur difTi^rentes de Ar, car Tequation y=:\p{a:) n'a qn'un nombre limite de racines.
Soit done A(0-f-A:a)=A(9-|-:A:'a) ou nous supposons k plos grand que k'.
En mettant 0 — k'a au lieu de 0 il viendra: A(0-f-(^ — k')a)^=X^ ou bien en
faisant k — A:'=«:

6) A(e+wa)=Ae.

Cette Equation determine la valeur de a, car en vertu du Theor&me II on en tire :

ce qui donneen remarquant que 0 est variable : ( — 1)"'+*'=1 et »a=mco-f-wi'c»';
m'^M doit done £tre un nombre pair, et alors on aura:

7) a = — .»H w

^ n * n

fn ^^ m'

— et — ^ pouvant designer des quantites rationnelles quelconques ; on voit done

que pour que la quantity A(0-|-^) puisse £tre racine de T^quation y = if;(:r)en
mdme temps que AO il faut que la constante a ait la forme

8) a^=zfito -|- /t'co'

ou /I et /a' sent des quantites rationnelles {Positives on negatives. La quantity
a ayant une telle valeur, I'expression A(0-|-A:a) n'aura qu'un nombre limits de
valours differentes, car ayant A(0-[-wa)=AO on aura de mime A(e4-(^+l)«)
= A(e+a); A(9+(»+2)a) = A(e+2a) etc.

Cela posd si le degrd de I'dquation y=z\p(a:) surpasse le nombre des va-
lours inigales de A(0-f-^«) soit A(0+aJ une nouvelle racine differente des ra-
cines A(0-|-A:a); on doit avoir de la mime mani^re: a^ 2= /IjCd -f-'/t'iCo' et i>^(A6)
= V^(X^+k^aj)). En mettant 0+*» a^ H^^ ^^ ^ ^^ viendra en remarquant
que xp (A(0 -f- Ara)) = i/;(AO) = y

y = i>;(A(e+A:a+Vi)).
done A(0-|-A:a-f-Ar^<^i) sera une racine quels que soient les nombres enti^res k

et k^. Si maintenant le degri de Tiquation y = xf)(x) surpasse le nombre des

valeurs inigales de Texpression A(0-f-A:a-f-A:iai); soit A(0-|-aj)une nouvelle ra*

cine on doit avoir a^ = /u^w + i" '««>' ^t V'CAe) = t/;( A(0 + Ar^a^)) d'ou Ton tire en

mettant 0+Ara 4" ^x^i ^^ ^eu de 0

y = t/;(A(e+Aa+Ar,a,+Ara«a))

et par consequent toutes les quantites contenues dans I'expression A(6+*a

+*i«i+*2«a) seront des racines, quels que soient les nom})res entiers Ar, Ar^, k^.

267

Ed continuant ce raisonnement jusqu'i ce qu'on ait £puis£ toutes les racines de
Feqnation y = ^(;r), on anra done ie tli^or^me suivant:

Thearhne IV. Toutes les racines de I'equation ^ = t/;(^) pourront dtre
representees par les valours inegales de I'expression:

en donnant k k^,k^y...ky toutes les valours enti^res, et les quantit^s a^a^^..,
...Uy etant de la forme

/l(0 -f- fl'CO' ,

on /i et ^' sont des quantit^s rationnelles.

Cela pos6 designons ces valeurs de I'expression A(8-}-Ariai4-Ar,a^+ • • •

• ..-}- *^y) par i(0)j MO+^i)j '^(^+««)> • • • ^(8+ ^••-^ ®t faisons "^{pc) = ^, /i
et q etant des fonctions enti^res de x sans diviseur commun, on aura done:

Tp — qy=LA.{x — AO)(:r— A(0 + aJ)(ar — A(0 + a2)) • • • (^ — M^ + «~-i))
equation qui 4 lieu pour une valeur quelconque de x. A est le coefficient de
ai^ dans p — gry, il est done de la forme f — gy oil / et g sont des constantes.
On aura par consequent:

9) p — qy:={f—gy){x—X^){x—^{^ + a,)) . . . (a: — A(e + «_ J).

De Ik on deduira une expression Ae y en 0 en attribuant a x une valeur
particuUere, ou bien en comparant les coefficiens d'une m^me puissance de x
dans les deux membres. Une telle expression de y contiendra trois quantit^s
constantes inconnues, et le probleme se r^duit maintenant a trouver tons les
cas dans lesquels ces trois quantites pourront etre determinees de la sorte que
Fequation propos^e soit satisfaite. Or nous aliens voir tout-a-rheure que cela
sera toujours possible quelles que soient les quantites a^, ^^y^ot^l en deter-
minant convenablement deux des quantites a, e^, Cy Mais avant de considerer
le cas general nous aliens commencer par celui ovl p eX q sont du premier
degre, car un theoreme qui en resulte nous sera utile pour parvenir a la solu-
tion du probleme general.

Soit done

o>n en tire:

-*- "^ e'+g' -^ ^ g' + g'

dy = Y, \i ^' P^ 1^ r^quation (1) deviendra, en substituant:

33

258

fg'-f'g ^ ds ;

V LV ^g'+cj' A ^g'-ej' A g'+ej' A ^g-ej' J\

_, dx

-'-"' v'[(l— c«x«)(l— e»«a)]'

t

L'on trouve aisement que cette formule ne pent dtre satisfaite que de I'line 4^8
Hiani^res snivantes:

10) y—ax, €*=-, e*=-y

m \v/c — ye/ x ^

On peat prendre les qnantit^s r, ^, "j/^r, j/^^ avec quel signe qn'on vondra.

Cela pos6 reprenons F^quation (9). En designant par f^ et g^ les coef-
ficiens de ar"^* dans /i et ^ on aura:

d'oii Ton tire en faisant pour abr^ger

13) 9)e=Ae + A(e+ai) + A(e + aa) + ... + A(0 + «^,),

14) y

f-^f'9^

Equation qui poorra servir k determiner la fonction y exepte dans le cas on 99
se r^duit a une qnantite constante.

Selon rhypoth^se y doit 6tre une fonction rationnelle de x, done la fonc-
tion qpO le doit 6tre de m^me. II faut done d'abord examiner dans quels cas
cela ponrra avoir lieu.

Soit A(0-}-a) une qnelconque des quantit^s A(9-|-^i)9 ^(0 4*^2)9 * • ' ^^ ^^^ ^®
ce qui precede que A(9-|-A:a) sera de m^me egale a Tune d'entre elles. Or
soit A(9-}'^^)=A0 ^^ ^^ ^ toujours lieu en determinant .convenablement le
nombre entier w, .on aura en mettant 0 — a au lieu de 0: A(0-|-(w — l)a)
= A(9 — a) done >l(9 — a) sera encore contenue parmi les quantit^s dont il
s'agit De la suit que si A(9 — a) est diff^rente de A(e-f-aj), la qnantite A(0 — a.)
sera ^gale a I'une des quantites A^O-f-aJ, A(9-f"^s)9 • *< Cherchons done d'a-
bord les valeurs de a qui donneront A(0 — a)=A(94-«); c'est-i-dire A(e-}-2a)
=: A6. Or selon Fequation (7) on en tire

259

2 ■ 2

oa m-|-m' est nn nombre pair. En donnant k m et m' toutes les valenrs en-
dures depuis zero telles qae m-^-m' soit pair, A(d-f"^) pi'^ndra les valeurs

A«, A(d+„), A(fl+«'),A(fl+ y+y), a(«+ y + y),

mais, d'apr^s le th^r&me II, il est clair que les seules de ces valeurs qui soi-
ent diff^rentes entre elles sont celles-ci

done puisque A(d-|-a) doit ^e different de Ad; A(d-f-«) ne pourra avoir que
Tone de ces trois valeurs

En exceptant ces quantites, il repond done toujours k A(d-f-or) nne autre
X(0 — a). De \k il suit qu'on pourra ecrire I'expression de tpO coipme il suit;

15) y9=Ae+A.A(e4.o,)4.A'.A(e+|-+|:)+A«.A(e+^+|)

+ A(e+«J4.A(«— aj-f A(fl+aJ+A(fl— «^+...+A(fl+a.)4-A(<? — «.)
Oil k, kj if sont ^gaox k z^ro oa k I'unite.

Pour avoir maiatenant Texpression de ^O en a; il faut recoorir k la for-
mule (3), En y faisant d'abord B' = ~ on aura Afi' =— done A(fl')=0 «* P*^

m C

consequent:

K«±t)=±t/(i^)-

MXf »

De la mdme mani^re on aura en faisant d* = —

La l^^^ formule donne

16) a((?-|-)=-a(«+^)

done en mettant 0 4- ^ ^^ U^^ ^^ ^9

2

17) A(fl+a)) = — Ae = — jr.

33*

260

Ea mnltipliant A ^0 — ^^ par ;i ^0 -f. ^^ on aura

18) »(»-^).»(»+»-)=_i

3o

d'oii Ton tire en mettant 0 -f ^ et <9 + ^ on liea de d:

^ ^Ce + ?5 + ^)=:__l._J_= 1.1.
V ^ 2 ^ 2 / ee X(6+o) ec s

La fomrale (3) donne encore en faisant ff^a

20) »(9+„)+J(»_.) = j-^^_j.

Par li on voit done que Texpression de q>0 sera toujours une fonction
rationnelle de x savoir >

21) ,, = (,_»). + »!^.i+2j^^^

0

en employant pour abreger le signe de sommatiou 2.

Cela pos6 il faut considerer plusieurs cas selon les valeors diff^rentes
de Ar, A*, If.

Premier cas. Si i = ^^ = i:^ == 0.

Si les trois quantit^s Ar, k\ If^ sont egales a zero Texpression de ^B de-
viendra :

ct

25) 7)fl = ar + 2a?.2, ^^ ..

Done la premiere eondition que y soit rationnelle en a? est remplie. II faut
maintenant substituer son expression dans F^quation propos^e et voir si elle
pourra dtre satisfaite.

On tire d'abord de I'equation (14)

^^"^^^ ff'-Hg.90 '

Cela pos^ designons par 8^ d\ e, a' les valeurs de d qui r^pondent respee-
tivement d y = H — , y = , y==H — > y= ^^ ^^^' ^^^^^

Cj Cj ej^ e^

->l^

261

En verta de ces eqaations les valeors de 1 — c^y l*j~^iy> l~^^iy» l~l~^iy
deviendront en faisant pour abr^ger

25) ^'4-^.9)6 = r.

26)

i+..3,=i:±f^(i-a-

9&

En substitaant dans 1 — -^ Texpression de 9)6 en ^r, on obtiendra un r^snltat
de la forme:

98" (1 — e«c«X«aixa) (1 — e^c^X^OL^s^) ... (1 — e*c*X*a.x«)

En faisant 6 = ^ le second membre s'evanouira, mais il est clair par ce
qni precede que q)(^) ne change pas de valeur en mettant an lieu de 0 une
quelconque des quantit^s O+a^, O;^:^,* • •O^c^m- Done le nnmerateur du se-
cond membre doit s'evanouir toutes les fois oil x a une des valeurs kd, ^(<^±a^),
K^dt ^t) 9 • • • ^(^± ^»)* Done puisque le nombre de ces valeurs en g^n^ral
toutes differentes entre elles est 2n'\-l il s'ensuit que

done' en substitaant et faisant poor abr^ger,

27) ? = (1 — c*c»A*aia:»)(l — e Vn*«^«) ... (1 — c«c»A*a.a?«)

formule qni a lien poar des valeurs qaelconques de 8 et 0.

A Taide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels
on pourra satisfaire a I'^quation proposee. On pent ecrire cette equation conune
il suit:

29) K((l-^V)(l-«iV)) = |(^)K((l-c'^')(l-«'^'))

262

ce qui nous fait voir que I'une des quatre fonctions Irb^i^' ^db^i^ ^^^^ s'eva-
nouir en attribuaut a x une des quatre valeurs ± - 9 ± — c'est-^-dire k 0 une

des valeurs + -^j +-^.

Supposons d'abord 1 — ^1^=0 pour 0=-^, l+^iy=0 pour 0= 5-,

1 — e,y=0 pour 0 = ^, 1+^1^ = 0 pour 0 = — -^jOn pourra prendre J= -,
^= — ^, £ = J^, «'= — ^. En substituant ces valeurs dans les 6qua-

m m m

tions (24) et remarquant que <p ( — — ) = — 9 ^, yf — -y-J = — q> ("2"/'
on en tire:

On satisfait k ces Equations en prenant:

50) i, = r = 0,^=l, .,= -^, ., = 4,

oil A: est arbitraire.

La valeur de y deviendra done:

31) y = j<)p0

et ensuite: , .

W III

9-jj- 9-^

Cela pos6 faisons dans la formule (28) t^ = db -^'d:^ ^^ obtiendra:

' or A ^= — , et d'aprfes la formule (16) or aura A (^ + aj = x(^ — «) done
On aura des expressions analogues pour 1 + -^, 1 ± -^-r en faisant

9-2 ?-2

i' -1-2

263

En faisant done poor abreger

34)

t'

on trouvera:
et de la

36) K((i'-<^,V)a-Vy'))=±-^K((i—cV)(i-eV«)).

Maintenant les deux Equations (55) nous montrent que q^ ~ est une fonction
enti^re de or qui est divisible par les deux fonctioiis enti^res t et V\ done puisr
que ces fonctions n'ont point de diviseur commun il en r^sulte que o^ ^ sera

dx

divisible par leur produit, mais le degre de la fonction q^ -^ est pr^cisement

ds

le m£me que celui de la fonction tV savoir An. Done I'expression — ^— se
r^duit k une constante. En la d^signant par a on aura done

37) dyrr=za. — ^ . dxy

et par suite I'^quation (36) donnera

58^ iy —A- a —

^ v/C(l-«iV)(l-^iV)] ~^ y[(l-e2x*)(l-e2jr*)] '

c'est-a-dire I'equation proposee.

Pour determiner le coefficient a faisons dans (37) x infini, on obtiendra
d'apr^s les valeurs des fonctions (>, #, f

^ a_

*** (— e»c«)««.X*aiA*a2...X*a..)i«(~ai)...Xa(|— a.).X«(^— a,)...X»,(~a.)'

mais d'apres (18) on a : A« (|. — «) . A«(^ — a)=^ ,

done

39) -^= t L_;

^ dx X«ai.X*aa...X*a. (e^c*)"'

or en differentiant I'equation

264

40) , = l.,9=l(.+ 8..2-j_^_^)

et faisant ensoite ^=:--- on aura -^=— • En ^s^alant cette valeur k la
pr^c^dente on en tire:

On poorra donner k Texpression de y une autre forme plus simple k quel-
ques ^gards. En multipliant les deux membres de T^quation (28) par q>d et
faisant ensuit ^=0 il viendra

oil A est une quantite constante. En attribuant k x l^ valeur ^ apris avoir
divis^ par x on trouvera:

42) A=i (e*cy.X^a^ . A^ • • • A*«« = «*•

L'expression de y deviendra done:

45^ =« ''v~x^A^~j:a^/' -y"):^

II y a encore une autre mani^re d'exprimer y qui est tr^s simple. En
faisant dans (28) x=z^ apr^s avoir divise les deux membres par x on trouvera
^. (9)cJ===(cV)^A*a^.A*a,...AV.A(y.A(a^ + (}).A(«,— cJ)..•A(«,+ (J).A(a»—
formule qui a lieu pour une valeur quelconque de d.

En mettant done 0 au lieu de d et multipliant par — on aura y exprime

comme il suit:

35)y=l(c£?)**.6.Afl.A(a, + 0).A(a^ — fl)...A(«,+0).A(a,— 0)

ou Ton a fait pour abreger :

46) b = A*«^ .A*«3j. A^a, . . . A*a,.

En faisant d == -f- ^9 ^ = H~ -^ ^^^ valeurs correspondantes de y seront
— et — done :

" cT=l'-<^'[<T-«.)<T-«.)-<T-''")]*

266

Si done les qaantit^s r, , a^ , Oj y ont les valeurs exprini^ par les Ra-
tions (43, 45, 47), r^qoation (1) sera satisfaite en determinant convenablement
le signe dn second membre. H faut remarquer q[ue ce signe n'est pas le m6me
poor toutes les valeurs de x\ mais il sera toujoors le mdme poor des valeurs
de X entre certaines limites. On doit prendre le signe -f- si ^ ^^t tr^s petit;
et alors on doit conserver le m^me signe jusqu'i^ une certaine limite. Dans
to«s les cas le signe qu*il faut prendre se determine par req[uation (36).

Le theor^me de Mr. Jacobi est contenu comme cas particulier dans ce

qui pr^cMe. En effet on Tobtiendra en faisant a. =^ . €? = 1, r, == 1.
Alors on trouvera a^=i ^^ , a, = J^^ , . . . a^= ^^^^

y

dg _, ds

± « r77i— ^Swr-^iI5vi = ±«-«'^-

•[(!-**) (i-«?y*)] -^ V [(1 -*«) (1 -««*«)] -^

II faat prendre le signe superienr si x est compris entre les limites -{- a( .-^ J
et -f- ^ (-"*^, • ^) et le signe inf(§rieur si x est cumpris entre les limites

En faisant dans notre formule gen^rale a^ =— ^ — — oiim-f-m' est un

nombre pair et ou les trois noinbres m^ m\ 2n -f- 1 ne sont divislbles par le

m^me facteur on aura une formule plus g^nerale que celle de Mr Jacobi sa-

t^oir celle que j'ai demontre dans les "Recherches sur les fonctions elliptiques/'

On aura dans ce cas en faisant a = ^^ ^ ■ ; a^ = a, cr, = 2a, a, = 8a, . . .

. . . a, r= na.^ ce qui suffit pour determiner les quantites c^, e^, a et y.

34

266

Dans ce qui pr^c^de nons avons d^montr^ qu'on awa one valeor conve-
aable de la foiiction y en prenant dans Texpression g£n6rale de cette fonction

y ===^-JtiQL J /•' = ^ = 0. On pent aisement trouver tons les antres cas pos-
sibles h I'aide des formules (10, 11, 12). Soit

49) yt

,/'+/. 9O

et d^signons par r^, e^^ les valenrs correspondantes de c^ et e^ on doit avoir
50\ ^y\ I ^ ^f

mais en faisant y = — 9)6 le second membre sera d'apr^s ce qui pr^c^de ^gal

i^ H — ^» —7=7 ^? , done on doit avoir

5|\ %, I ^ ^y

on

Selon les Equations (10, 11, 12) on satisfait de la mani^re la plus geo^rale k
ces Equations en prenant

Ces trois formules en y foisant y = — .(pO contiendront done toates

les mani^res possibles de satisfaire k I'equation (SO).

On pent sans nnire k la gen6ralite faire A: = 1. La 1^*^ de ces formnles

est la m£me que celle qui r6sulte de y=:—.(pO. La seconde en r6sulte en

mettant • — au lieu de y. Les modules restent par cette substitution les

m£mes. La troisi^me est en general diffi^rente des deux premieres.

Deusidme cas. Si lcz=:0 et I'une de» quantMa k', k^ Sgale A I'unit^,

Si, k ^tant egal k zero/ Tune des quantites kj Af est 6gale a Funit^ il faut
n^cessairement que I'autre soit egale k z^ro. En effet si Ton avait A:'=ft'=l,

les racines ^(fi + fit^'), ;(«+ ^ + |!) donneraient celle-ci

267

il(d+ '2'"^T — ^^^)='^(*+^)> c*est-i-dire k ne serait pas ^gd k z6ro
Gomme noas Tavons sappos^. D^signons done par p rune des qaatifte ^^7^»
— 1^ Fexpression de 9)6 deviendra:

M exprim^e en jr.

Soit comme dans le premier cas 1 — c^g-^^O poor x^ — on anra:

l±^iy

c

»i

88) i_.y=«i=^.|i_^jiyj.

Maintenant enti^rement de la m6me maniere q[n'on a demontr^ prec^demment
la formule (28) on etablira la soivante:

• • ' V ~X(5+a.)/ V ~ X(5-a.y '
oil Ton a fait pour abr^ger:

57) p=±cca;.(l— 6*c*A%a^)(l — c*c*aV^) . . . (1 — c*c*AV»:r*).

En faisant *= ± ~ on aura les valours de 1 + — ©tl — ^^ mnltipli^

9^ 9j

entre elles donneront celle de 1 — \ ^ > . Cette valenr substitute dans Tex-
pression de 1 — c\y^ (55) donnera:

et par consequent si Ton fait

34

«

288

Cette valeur mise dans I'^quation (29) donne

69) y{i—e,Y)

1 r.p dy

a\/{g^—c^f'^) t ds

On voit done qpe >^(1 — e^^) doit ^tre nne fonction rationnelle de x.
II n'est pas difficile de demontrer qa'on satisfera k cette condition en snpposant

qne 1 — e^^ s'ivanouit ponr x^=-^x(^~^j et on anra alors:
Les Equation (24) donner^nt dans ce cas:

anxqnelles on satisfera en prenant /*=:^ = 0

e ^1 ^1

De Ik r^snlte:

62) c, = k.g>(^)', e, = k.v(^)

a

ec

Connaissant ainsi une solution de I'equation propos^e on aura toutes les antres
possibles a Faide des fonnnles (10), (11), (12). Le cas le plus simple est

celui ou »=0. Alors on aura en faisant ri = r=l, /?=-^4"-^-

9>e = ;.e + A(fl + ^) = :r + JL,

/[(l-ff^Xl-^iV)] ^ ^ ^* l/[(l-««)(l-e«Jr«)]'

Troisi^me cas. Si k:=z,l,

Dans ce cas I'expression (IS) de qiO deviendra,
y0=Afl -f A(fl+a)) + A(fl + a,) + A(fl— «J +• . . + A(d4.a^)4.A(d~a«).

269

Or cette q[aantite se r^dait a z6ro pour one valear quelconqae de 0 dout on
poorra se convaincre aisement en remarqoant que 9)0 doit rester le m£me en
changeant 0-|-^ ^^ ^ c'est-4-dire -j-0 en — 6,

La fonction (pi £tant egale k z6ro si Ton designe par ^(f' — g'y) le coeffi-
cient de ^r"^* dans le premier membre de I'^quation (9) on anra en faisant pour
abr^ger

F0= A*0 + A«(0+a) + . . . + A*(0+ a«),
p —ffy = — if—gy) . FO, d'oii Ton tire,

Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions qui r^sul-
tent de ce trois^me cas en se servant de Texpression (64). Je ne m'arr^terai
pas ici k developper les formules m£mes, je vais seulement faire connaitre un
th^pr^me plus general que celui exprime par les formules (48).

Theorhne. On aura :

dy , ads , ,^

Vt(l-*'Xi -•»*)] ~ * V[(l-»») (1 -'''')} — * '

n ^tant nn nombre entier qaelconqne, ^ = /

dx

v/[(l-*«)(l -«»*«)]•

En sapposant n impair la formule (65) est la inline que celle que nous avons
tronve (48).

Si Ton fait or = sin 9, y = sinif; on obtiendra

66)

# „ ^9

•(1— ei»8in««j») •(!— «»8in«9) '

oil Ton pourra exprimer la qnantite if; comme il suit:

67) ip = (p -\- Arct {tang<p.j/[l— e»A*(— )]}

+ Arct {tang 9. . "[/[l — «'^*(^)] }

+ Arct { tang «p . ]/[l — e*A*(— ©)] }.

270

Ea sopposant n=Z on aura

tf; = 9 -|- Arct (tangy •>^(1 — ^),
oa bien

(Voyes: Legendre Exerdces T. L p. 84.)

Si Ton suppose n trte grand on aora k pen prte e^ ^ 0, done

Soit 9)t=:-^ on aura t^ = ». ^, donc»^=:a.-^, done — = — . — . Dc la

2 2 2 2 a TC n

il r^sulte en faisant n infini

yr^d-l-H) =^ /"AretC^.g^.l^d-.-i-x)).*.
Nous avons vu preeedemment que le nombre des valours in^gales de Tex-

pression A(0-f-^i^i4~^s^a4~" *"f~^i'^*') ^^^ toujours fini. On pent dans
tons les cas trouver ees valeurs eomme il suit

Soient

68) {^(9+»s«s) =A(0+m^aj^+wi.«J,

ou n^j n^j n^y...ny sent les nombres eutiers les |)lus petits possibles qui
puissent satisfaire a des Equations de eette forme, m^, m^j. ..niy^x ^tant des
nombres entiers qui pourront dtre difi6rents dans les diff^rentes Equations.
Cela pose je dis qu'on aura toutes les valeurs in^gales de Fexpression A(0-{-A:^a^
"f~^i^s~h * • • 4* K^v) ^^ attribuant k A:^, k^^... ky toutes les valeurs enti^res
et positives respectivement moindres que n^, n^j..*7iy. En effet si Ton avait

A(04-A:Sai+Ar',of4+... + *Vaf^)==A(0+Ar^aj^+Ar^a,+...+A:^a^)
ou Ton n'a pas k la fois

^l ^^9 n ^^^^n^y • • • ny^^^iCyj

on en tirerait en mettant

6' — k^a^ — k^a^ — ... — A:«^ia,^i — k^mam — ^w+ia^+i— -••• — k^a^ au lieu de 6
K^ + (*«— A:g«^) = A(e + {k\ — k,)a^+ {k'^—k^a^ +...+{k'^i --k^^)a^^ ),
ou Ton a suppose que k^ — Ar'^ est la premiere des quantites ky — k^y^

271

K-i^^^t^i » • • • ^f soit diff^rente de z^ro. Or en sapposant ce qui est permis
qne Ar» — k'^m soit positif ce nombre sera en mdme temps moindre qae n^ ce
qoi est centre lliypoth^se. Le nombre total des valeurs inegales de I'expres-
sion A(d4~^i^i 4*^1^9 "f~ • • * "f K^p) sera done £gal k

car il est clair q[u*on n^aora pas des valeurs noavelles en attribnant h k^ , k^^
...ky des valeurs respectivement plus grandes qae n^, n^,. ..Uf,.

Le degr6 de YiqasUon p — qy=^0 est done

911= 91 . n^ • 9lg • • • Tly,

Si dene ce degr£ doit ^tre un nombre premier en doit avoir v=zi et m = ii^.
Les racines de I'equation p — qy=zO deviendront done dans ce cas :

A«, A(fl+a), A(fl+2a), . . . A(fl+(»— l)a),

et a = ,

n .

m et m' ^tant deux nombres entiers dent la semme est un nombre pair et qui
n^ont pas le mdme commun diviseur avec n.

On doit remarquer qu'^ la m^me valeur de m rependent toujeurs plusieurs
solutions differentes du prebleme general. Le nombre total de ces solutions
est en g6n^ral egal k 3m.

On pent de ce qui precede d6duire un grand nombre de tb^or^mes remarqua-
bles sur les fonctions elliptiques. Parmi ceux-ci on doit distinguer les suivants.

a. Si I'equatien (1) pourra £tre satisfaite en suppesant y = '^(x) = -^

on le degre des fonctions entieres j9 et q est^gal k un nombre compost m.Ti^
on pourra teujours treuver des fonctions rationnelles 9 et /* telles qu'en faisant:

X

1

(px= ^ on ait y = /*(a;J =|i,

dx^ ds

dy^ dxi

le degr^ des fonctions enti^res p' et q^ ^tant ^gal a Fun des facteurs m etn
et le degre de /i^ et q^ 4tant egal k Tautre.

b. Quel que soit le degre de Tequation p — qyz=Oy on en pourra teu-
jours tirer la valeur de a: en jf a I'aide d'op^ratiens algebriques. Voili done

272

one classe d'^quatfons ^i sont r^olables algebriqaement Les racines aoroot
la forme soivante:.

70) X = fonct ration. \yy r^iy r^*a, r^n . . . r^'^jy

n^y n^y...7iy etdot des nombres premiers entre eux dont le produit est ^gal
an degr^ de Fequation en question, et les r^, ^i9««»^f^ de la forme

71) c^tV({i-c\y^(i-ely^)
oil C et < sont des fonctions entieres de y.

a n y a nn cas remarquable da probl^me g^n^ral, c'est celui on Ton
demande toutes les solutions possibles de Tequation:

^» —a. ^

On aura k cet ^gard le tbeor^me suivant

Si Fequation pr^c^dente admet nne solution algebrique en xety, y 6tant
rationnelle en x ou non, la quantite constante a doit n^cessairement avoir la
forme ju' -j- y — ii

on /Ji' et ft designent deux nombres rationnels, le dernier etant essentiellement
pasitif. Si Ton attribue k a une telle valeur on pourra trouver une infinite de
valeurs diffi^rentes pour e et Cj qui rendent le probl&me possible. Toutes ces
valours sont exprimables par des radicaux.

Si done on suppose que a soit une quantity reelle il fant qu'elle soit en
m6me temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra satisfaire
a r^quation diff^rentielle dont il s'agit quelles que soient les valeurs des quan-
tit^s c et e.

d. Dn tbeoreme precedent, on pout par un simple changement de vari-
ables deduire ce-ci.

Si Fequation

du dx

^ — a .

ou 6* = 1 — ^ admet une solution algebrique entre x et y, le coefficient
a doit avoir la forme suivante:

K^u'+V-K— 1

/i' et (i ayant la mdme signification que pr^cedemment. Si done Fon veut que
a soit reelle il faut qu'elle soit ^gale a la racine carr£e d'une quantite ration-
nelle. Cette condition remplit le probleme k une infinite de solutions. Com-
me cas particulier on en deduit le tbeoreme:

278

Si en snpposant q> et rp reels et le module c moindre que Fanite^ requation

72)

d^ d(f

a.

a une integrale algebrique entre sin 9) et sin ij) il faut n^cessairement que a
soit egal a la racine carree d'une quantity rationnelle et positive.

Ainsi par exemple si Ton suppose e^ = l — c* on aura a = }/ » conune
nous aliens voir.

En faisant dans I'expression (65) de y, 0 = ^ on trouvera, en vertu de
la valeur de A:, y = 1 done

\2ll/

en remarquant qu'on doit dans le second membre de Feipiation (6S) prendre
le signe snp^rieur depuis x = 0 jusqu'a x == \^\ Cela pose en remarquant

que A (e + ^) = a(<^~^)" — eY il est Clair qu^on aura:

y = *.Ae.A(^-9).A(?^_e)..j{^-^:^

en multipliant cette valeur avec celle que donne (6S) on aura en faisant usage
de la formule

u^\ti\u L\ X«a — X^e X«a— jp*

\ -r^y V ^J 1 — e«X«aX*0 1— en^a.jr*'

qn'on obtiendra a I'aide du theor^me 1.

i-eK\^^.s^ 1 _ en^ (^i::!)^

n n

En faisant maintenant x=:zpy^ — 1, y-z^zy — 1 on aura en supposant p reel
pour toutes les valeurs de cette quantite:

>•» dz /•? dp

0 v'[Cl+s«)(l+et*«)] ~ Jo l/Kl +/»*)(!+«"/»»)]'

mais si Ton fait p = ^ on aura de mdme 2 = -^ done

y» «r ^1 /• h ^
0 •[(l+»')(l+<'?«*)]~" Jo 1/[(1+P«)(1 + «V)]'

Le premier membre de cette Equation est la mdme chose que ^ et le second

3S

274

la Illume chose qne af -rrj- ^r- — — -— ce qui est facile a pronver, done

* Jo V^[(l-*«)(l-«?

»«)]

Cette 4qaation combiB^ avec (75) donne

c'est-^-dire

u act

o = ]/^».

XIV.

Addition au memoire precedent

JLrans le memoire pr^c^dent j'ai fait voir comment on pourra trouver toutes
les transformations possibles, reelles ou imaginaires d'une fonction elliptique
propos^e. Les modules c, e^ c^^ e^ pourront dtre des quantites quelconques.
Le cas le plus remarquable est celui oil Ton suppose les modules reelles.
Dans ce cas le probl&me general pourra se resoudre par^ une m^thode parti-
culi^re, enti^rement diff^rente de celle que nous avons donnee dans le memoire
pr^c^dent Puisque cette nouvelle m^thode est remarquable par sa grande
simplicity je vais Findiquer ici en peu de mots.

Le probl^me general que nous aliens compl^tement resoudre est le
suivant:

"Trouver tons les cas possibles ou Ton pourra satisfaire k Tequation
'diff(6rentielle :

MJfJ

i)

dy ds

a

»_

w.

'par une equation algebrique entre les variables a: et y, en supposant les
'modules c et c^ moindres que Tunite et le coefficient a r^el ou imaginaire."

En designant par AO la fonction inverse de celle-ci

y* ds
— —- -— -r^ en sorte que x=k% on aura eh vertu de la for-
0 v/[(i — **)(i — c^s^y] ^

mule (4) du memoire precedent

A((— 1)"'+*' e + mw + m'o)') = M,
oil les quantites constantes o, to* sent d^terminees par les formules:

o\ ^—f ' ^

^ 2 Jo ^[(1— jr«)(l— c«jr«)]

o^ /•^ ds

« Jo ^/[{l-s^){l-e^s^)y

Dans le cas que nous considerons, la quantity to est r^elle mais co' est imagi-

naire. On aura en effet

3S*

276

v^Ki-x^Ki-c'**)]

c'est-a-dire :

2 2 ^ '^ J, ^[(*«-lXl-c«4f*)]

oil il est clair que le coefificient de V — 1 est une qnantit^ reelle. En faisant

ou

Le th^or^me 11 da m^moire precedent donnera done ce-ci:
"On satisfera de la maniere la plus generale a F^quation

"en prenant

4) e' = (— l)*e + mo)+w't5.}/"— 1

"ou m et m' sont des nombres entiers quelconques et a> et o deux quantity
"r^elles donnees par les fonnules (2) et (3)."

Cela pos6 soit

5) fiy,^) = o .

Fequation algebrique entre y et x qui doit satisfaire a Fequation differentielle
(1). Si Ton fait ar == AO et y = A^O' oh 0 et 0' sont deux nouvelles variables
et A^ la fonction elliptique qui repond au module c^^ en sorte que

6) ^ = rf6' pour v = A.e'

Fequation (1) deviendra

d'ou Fon tire en integrant : 0' = ^ -j- aO oil « est une constante. On a done

y = ^ J (« ± «6)
ou bien en mettant +« pour ^t:^-'

7) y=:Ai(£ + aO).

L'^quation (5) entre a: et y donnera done celle-ci
8) /"(Ai(^ + «6), Ae) = 0

qui ne contient que la seule variable 0 et qui aura lieu quelle que soit la va-
leur de cette quantity.

277

II ne serait pas difficile k i'aide de la formule (8) de trouver la fonction
f{y9^)\ i^^i^ P^^^ notre objet il snffit de connaitre le coefficient a et one cer-
taine relation entre les fonctions completes. Voici comment^ on y parviendra.
En mettant 0 -{- 2ma> an lien de 0 on obtiendra, en remarqnant qn'en vertn de (4)

A(0 +• 2IWW) = AO,
cette autre equation

9) /•(;,(« + 2maa) + aO), AO) = 0.

On aura de mdme en mettant 0 -|- vwi pour 0, ou i = ]/" — 1 :
*0) f{X^{e + mam + a9), AO) = 0.

. Dans ces deux Equations m pourra dtre un nombre entier quelconque.
En faisant a; = AO on voit done que Fequation alg^brique

/•(y,:r) = 0
est satisfaite en mettant pour y une quantity quelconque de Tune des deux
formes :

Aj(£ + 2»t«a} + «0), Ai(« + wiatsf -J- aO),
mais m pent avoir une infinite de valeurs tandis que I'equation dont il s'agit n'a
qu'un nombre limite de racines ; il faut done qu'on puisse trouver deux nombres
entiers k et k^ tels que

%i) Ai(€+2^a(» + aO) = P.i(«+2A:ao) + ae)

et deux autres v et v^ tels que

12) Ai(6 + v'am + aO) = A^(6 + vtmi + oe).

En vertu de la formule (4) ces deux equations donneront respectivement :
I X\ ( 2A:'aa} = ikata + imto^ -j- m'ta^ . }/" — 1

\v^am = yflci + 2/ia>i 4" l^'^i^V^ — 1
oil (D^ et 13^ designent les valeurs de co et js qui repondent an module c^
c'est-d-dire on a:

14) { * t/[(l-'*)(l-^i*^*)]

^^=f' ^? oil b,=:V(l — r«)

Cela pose les Equations (13) donneront en mettant v pour Ar' — k et i^' pour

V V.

ffl Cil| I HI tSj ,/■ 4
15) ^ V « iv o

278
et de la en comparant les parties r^elles et imaginaires :

Ces deux equations donneront ceHes-ci:

Maintenant — ^ est une fonction continue de r, done les equations (17) ne sau-

rout avoir lieu que pour des valeurs particuli^res des modules c et r^. Si done
on suppose c ind^termine il faut que Tune des Equations

18) !»' = |tt = 0,

19) wi = ju' = 0

ait lieu. Dans le premier cas les equations (15) et (16) se reduiront a

20)

©i vm xs

et dans le second cas a

Oi I mV 0

Mais si la valeur du module c est telle que la l^*"^ des equations (17) ait
lieu, on doit avoir en m^me temps:

et alors a est donne par Tune des equations (15).

Quant aux nombres m^ m\ /i, ii\ v^ v* il faut les prendre tels que co, o)^,
o, xSi soient selon leur nature des quantites positives. Si done on suppose, ce
qui est permis, v et v* positifs, il faut que m et /i' soient du m^me signe et
m' et fi du signe contraire. On pourra d'ailleurs sans diminuer la generalite
supposer m% m et /i* positifs et fi negatif.

Par ce qu'on vient de voir on a immediatement ce th^or^me:
I. Theorhne. Pour que I'equation (1) ait une integrate algebrique en a: et
y il faut necessairement que les modules c^ et c soient lies entre eux de la

maniere que Tune des deux quantites ^ et — soit dans un rapport ratiannel
avec -^ ; c'est-a-dire on doit avoir I'une des equations

279

25) ^ = *.^;^==A'.^

ou k et k' sont des nombres rationnels. Si la premiere de ces Equations a
lieu mais pas la seconde, on aura en mdme temps

24) a=:d.^

oil d est un nombre rationnel. Si la seconde equation a lieu mais pas la pre-
miere, on aura en m^me temps

25) a = i.^y—i.

Enfin si les deux Equations (23) out lieu en m^me temps, les modules c et r^
seront tons deux determines, savoir respectivement par les equations:

26) ^ = K(*.*-)i H_.=|/(^)
et alors le coefficient a doit avoir la forme :

oil ^ et d* sont des nombres rationnels.

Les conditions indiqu^es dans ce th^or^me doivent done n^cessairement
6txe remplies pour que Tequation (1) ait une int^grale algebrique. II reste en-
core le point le plus important, savoir de determiner si ces conditions sont
suffisantes. Or c'est ce que nous aliens faire voir k Taide de la formule (65)
du m^moire precedent Cette formule pent facilement £tre d^montree en fai-
sant eflfectivement la substitution de ^; mais il existe une autre demonstration,
tir^e des considerations entierement diflferentes et que nous aliens donner ici
en nous servant d'une formule demontree dans ^'les recherches sur les fonc^
Hans eUiptiques.'* 11 s'agit de la formule (185) de ce m^moire

/ p_p-i y

28) fa = n^. ^^'-^'^

o 1 + ( 9- 9-" Y

ou

an ta'n

29) Q = e^, r^ze^i

les qaantit^s «>' et q' etant donates par les eqaations

o' /•J- ds

290

On a de plus:

31) fa = y{i—x^

oa X est lie a ce par T^quation

52) a =y ^ /[(i_^2) (i+e2-p«)]

Si I'on fait 6= --—^ — 5^=4-; a: = l/'(l — y*) on trouvera:

— V[(i-y«)(i-cV)]

et de I&:

*=»(t-t).

maintenant I'^quation at =:]/'(! — ^*) donne

et de la en mettant b ^ — ba pour a

35) Aa = /-(6|.— 6a).

Cela po86 si Ton pose dans la formule (28) b — — ba au lieu de a on tron-

m

vera apr^ quelqnes reductions faciles:

,XX Xa — A (i-^») (1-^^ > r«) (l-^t-> .r«) (l-t> . H) (l-^^« .H) , , ,
Oil

35) * = c~ ® , 7- = e" o

et il une quantity independante de a.

Si Ton fait pour abreger

on aura done:

56) A« = ^.V/C«— \i|;(o»+a)— .V;(c9— a)— .Waw+a)-.

i;;(2a) — a) — . V;(3co -f- a) ^ . ^(3© — a) — . . .

0 G 0

«

Si Ton fait maintenant successivement

So ^ , n— 1

- — w

OZISO^ 8*1 "^J ^ l" "~"3 t • • w "p

0).

i» • fi n

on aura les valeurs de AO, A (o -f- — ). • . A^O + ^^—-^J qui multipliies ensem-
ble donneront sor le champ

37) Aea(o+|.). A(o+^)...A(e+^.«>)

\ X3i^ tSi ta-i XSi

on on a fait pour abr^ger

58) (J = ?^.0, 5^=1. i:!^,

^ xs xsi n xs

or si Ton pose dans la formule (36) le module c^ au lieu de c et d^signe les
valeurs correspondantes de

My Q), G, A respectivement par

A^O, c»^, Oj, -4j il viendra

Le second membre de la formule (57) est done la mdme chose que -j-- ^^d

A

- . XJ^ 0 y et par consequent on aura la suivante

59)».(^,)=|..».»(.+^).l(«+^)...»(. + !^»),

cette equation a done toujours lieu si le module c^ et tel que
40) ^=i.±,

quel que soit d'ailleurs le nombre entier n.

Si Ton fait AO = ar, Aj (^ 0 = y on aura

^ •[(l-y*)(l-^iV)] ~ V [(!-*») (l-c«*»)] — "^'"^

qui par consequent est satisfaite par r^quation algebrique

^2) y = ^.A0.i(0+-j)...A(0+^«).

La valeur de y est toujours une fonction algebrique de x. En effet si n est
un nombre impair on a

43) y = 4i.;r. ^"^ ^ ' ^^

x«

56

282

et si n est na nombre pair:

**) y=^-^-

^■

l_eaX»(^).,. l_c.X»(^.:^) V/(1-C«x»)

Consid^rons maintenant les trois cas die notre *probl^ine general.

Prender cas. Si a est reeL Dans ce cas on doit avoir comme nous

avons vaa==:^.^=i!^.^ou u et v sont des nombres entiers et T^qua-

tion propos6e deviendra:

A5^ ^ =:J!l ?i *L

On doit avoir de plus -^ = A:. — = — — oil m et n sont entiers. Si Ton

xa^ xs n fS

fait X = A(yt30) et y =: Aj(/it5ji0) od 0 est nne noavelle variable, Tequation (45)
sera satisfaite, car les deux membres se r^duiront a /ixs^d^. Pour avoir une
int^grale en a; et y il faut done ^liminer 0 des deux Equations:

46) a? = A(ycj8); y = Aj(/icjj8).

Nous allons voir que le r^sultat de F^limination sera une Equation algebrique
en X et y.

Soit & un nouveau module et d^signons
par X% (o\ js'y A' les valours correspondantes

de X% fOy G, A. Cela pos6 si Ton suppose le module r'tel que ^=-<r.—
on aura en vertu de latbrmule (39), en mettant fiv^is au lieu de 0

47). A'Ouy©'e) = ^ . A(^yi30) . A (jim^ + ^) . . . xQim^ + ^^ a>) ,

maintenant ayant ^=— . — et^=— . — on en tire ^=—- ^; donclamdme

fS n ts ts^ n xs xs m o^

formule donnera:

48) A^i^'e) =^. A,(^,.©,e). A,(^i.o,e+^) . . . a, (^i^,0+!!^ m,).

En egalant entre elles ces deux expressions de )J{jivm^%) il viendra en faisant
pour abreger

49) rt58 = d, ^©jO = *i

^^. A(^()).A(^d + ^)...A(iud+^.«>)

283

Le premier membre de cette ^qnation est one fonction algebrique de
A(/id) et le second une fonction algebrique de A^(i^^^); maisA(^^) est k £iOn tour
une fonction algebrique de Xd=zx et i^^ivd^) une fonction algebrique de k^d^=y.
Done enfin les deux membres de I'equation (50) sont respectivement des fonc-
tions alg^briques de x et de y. Done cette Equation exprime I'integrale cher*
ch^e en ar et y de Tequation differentielle (4S). Pour en avoir I'integrale com-
plete il suffit d'ajouter a d ou & d^ une quantity constante arbitraire. Quant
aux quantites A et A^ on doit remarquer qu'on a

51) ^=:-L A, ^

Pour donner un exemple supposons qu'on demande une int^grale algebrique de
Tequation,

dy ^^ xSi ds

Oi o O

dans le cas ou — i- = i . — On aura alors fi = v=:l, m = 2, » = 3.
L'equation (50) deviendra done:

c'est-&-dire :

•(i-y«) _ wc ^'y-^'

3

Second cas. Si a\^ — 1 est reel. Dans ce cas on doit avoir selon (15),
o = ^ • ^ l/^ — 1 oil u et y sont entiers. On doit avoir de m^me 5^ == — . —

L'equation proposee (1) deviendra

KQ^ JL !L V 1 ^ —

>^ II t5i ^ V[(i-»^)(l-CiV)] ~ •[(1-'»)(1-^^^*)]'

Pour reduire ce cas au precedent il suflfit de faire x = -ttt — sr- oil z est

V(l— »*)

unenouvelle variable, on aura alors ^ki-x'X1-c'x»)]=^-^ Vttl-.«Kl-ft'»')]'
oil b'=y^{l — c*) et par suite Tequation (52) deviendra en y et 2:

dy (1 ts^ d%

v/(i— y«)(i— c,v)] ~V'"^' •[(i-»*)(i-»»*«)]
dont Fintegrale algebrique est exprimee par la formule (50) en y faisant

2; = Ad = -— — — — - et mettant o au lieu de o).
v/(x«— 1)

56*

284

Sapposons par exemple qu'il s'agit de trouver une int^grale alg^briqae de
r^quation :

dans le cas oii — i- = 2. — . Ayant [i:=:zv'=.l et m=z% n=:l Tequation
(SO) deviendra

c'est-&-dire en remettant les valeurs de Xi et X^d^ i

•(1— 3f«) ci s

y

t/(l— c,V) ~ Ve V(s^-1)

Traisieme cas. Si —=l^kk'. ^ = IZ-t--

Dans ce cas on doit avoir en vertu du thiorfemel: a=ii . ^14- ii . ?1 1/" — 1
oil ^, r, /iS 1^ sont des nombres entiers. L'equation propos^e deviendra done :

et cette Equation sera toujours integrable algebriquement En eflfet comme on.
a tant

i^ = i-. ^que -^ = A.— ou *? et A

sont des nombres rationnels, on pourra en vertu de ce que nous venons de voir
dans les deux premiers cas satisfaire algebriquement aux equations

d% jjL xs^ ds

V/[(1~»*)(1 — Ci^ati)] — • V v/[(l— ^«)(1— c*J?*)3

dv jx/ Gj^ -^ J ds

•[(1 — r«)(l— Ci«r2)] V, o '^ \/[(l— JP«)(1— c«j:«)]

Par la I'^quation (55) deviendra:

dy d% j^ dv

v'[(i-^*)(i -^iV)] v/[(i-0(i-^i^**)] ' v/[(i-t;«)(i-^i*t'*)]
a laquelle on satisfera comme on sait en prenant:

En y substituant les valeurs de v et z en x on aura une integrale algebrique
en or et ^ de I'^quation.

Nous avons ainsi demontre que les conditions necessaires expos^es dans
le theor^me I sont en mdme temps sufiisantes.

285

En verta de ce qui a ^te expos^ dans le premier cas on a imm^diatement
ce th^oreme:

Poor que deux fonctions elliptiques reelles /\c',0% i^^^O) puissent £tre
r^dttites I'une k Fautre il est n^cessaire et i1 suffit qu'on ait entre les fonctions
completes

F^c), F\b), F\&\ F\b*) cette relation :

55) n.F\&).F\b) = m.F\h^).F\c),

ou m et y} sont des nombres entiers. Si cette condition est remplie on pourra
^tablir une relation algebrique entre sinO' et sinO telle que:

56) F(C, 0') = * • -5^ • ^(^' »)'

oil k est un nombre rationnel. On pourra ajouter que dans le cas oil A: = 1,
0' est lie k 0 par T^quation:

0' + Arct {a\ . tang 0') + Arct (a'^ tang 0') + • • • + ^^ (^'-*-i • *^S ^')
= 0 +Arct(ai -tangO) 4-Arct.(a^ tangO) +••• + Arct(a^j • tangO)

«

oil a^^ a^...a\^ a\j a\... sont des quantit^s constantes donn^es par les
fornuiles

57) I

^) i:;

^=1/'(1— c«.sin%)

apr^s avoir determine O^u et 0'^ tels que

En prenant 71 = 1 on aura la formule (67) du memoire pr^c^dent

11 y a un cas du probl^me general qui m^rite d'etre remarqu^; c'est celui
oil Ton suppose les deux modules £gaux entre eux, ou en d'autres termes quand
on demande tons les cas dans lesquels il sera possible d'int^grer algebrique-
ment I'equation differentielle :

60)

dy ds

a

•[(1 -»*)(! -^V)] •[(1-j:«)(1-c«j:«)]"

Dans ce cas on a co' = o, o' = c5 et par consequent les Equations (15)
deviendront :

286

et de Ik

^ —

« l^'

m' ts

2a o

V

"v'

2v' o

v' xs

tn

Si Ton veut que a soit r^el on a a=z—^ m' = ^ = 0; dans ce cas onn'aura

aucone conditiou pour la valeor de Cy qui peut £tre quelconque, mais on voit
que a doit £tre un nombre rationneL Si au contraire on admet des valeors

imaginaires de a le modul c doit 6tre tel que — • — = =-• — d'ou Ton tire

— = ^ . y( — ^!—j. En vertu de cette expression la yaleur de a deviendra :

a = Jt'-.Ji.j/(— =^).K-l.

Soit — = Y^k on aura
xs

oil ky dy ^ pourront designer des nombres rationnels quelconques. On voit
que pour que Tequation (60) soit integrable algebriquement en supposant a ima-
ginaire il est necessaire et il suffit que

ts
k est essentiellement positif.

On pourra exprimer le modul c en produits infinis comme il suit:

On tire cette expression de la formule (54) en y faisant a == — et reuiarquant

que — == yk et -4 == — . On aura en m^me temps le module b par cette
formule :

n tin Sn

*-^_l— e"^*^ 1—c Vk X— e Vk

n Stt 57f

11 suit encore de ce qui pr6c^de que si le modul c a la valeur ci-dessus,
Tequation

^ At'I/A: —

V/[(1-^«)(1-*V)] "" ^/[{l-x^)(l-c'^s^)y

287

sera toajoors integrable algebriquement quels que soient les nombres rationnels
k et At', pourvu que k soit positif.

II y a encore beaucoup de choses k dire sur la transformation des fonc-
tions elliptiques. On trouvera des developpements ult^rieurs sur cette mati^re
ainsi que sur \k th^orie des fonctions elliptiques en general dans un m^moire
qui va paraitre dans le Journal de Monsieur Crette.

XV.

Remarques sur quelques proprietes generates £une certaine sorte de font-

tions transcendantes.

s

i ifx d^signe la fonction elliptique la plus generale, c^est-a-dire si

/r.ds

oh r est one fonction rationnelle qnelconque de or, et R une fonction enti^re
de la m^me variable, qui ne passe pas le quatri^me degre, cette fonction a
comme on salt la propriete tr^s remarquabie, que la somme d^un nombre qnel-
conque de ces fonctions pent Hre exprimee par une seule fonction de la mdme
forme, en y ajoutant une certaine expression algebrique et logarithmique.

II semble que dans la theorie des fonctions trancendantes les geometres
se sont bomes aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore pour
une classe tr^s ^tendue d^autres fonctions une propriete analogue a celle des
fonctions elliptiques.

Je veux parler des fonctions qui peuvent £tre regardees comme integral
les de differentielles algehriques quelconques. Si Ton ne pent pas exprimer
la somme d^un noinbre quelconque de fonctions denudes, par une seule fonction
de la mdme esp^ce, comme dans le cas des fonctions eiliptiques, au moins on
pourra exprimer dans tons les cas une pareille somme par la somme d'un
nombre determine d'autres fonctions de la m^me nature que les premieres, en
y ajoutant une certaine expression algebrique et logarithmique"^'). Nous de-
montrerons une autre fois cette propriety. Pour le moment je vais considerer
un cas particulier, qui embrasse en m^me temps les fonctions elliptiques, savoir
les fonctions contenues dans la formule

*) J*ai prdsent^ un mdmoire sur ces fonctions k TacadtSmie royale des sciences de Paris
vers la fin de Tannde 1826. Note de i'auteur.

289

V

»

R etant une fonction rationnelle et entifere quelconque, et r one fonction
rationnelle.

2.

Nous allons d^abord etablir le th^or^me suivant:

Thearhne L Salt q>x tme fonction entibre de Xy decomposes d^une nutr
niere quelconque en deux facteurs q>jpi; et (p^x^ ensorte que <px = q)^x • 9^.
Soit fx une autre fonction entiere quelconque et

ou a est une quantitS constante quelconque. Designons par a^j a^j a^. .
^09 ^19 ^s9 • • • ^^ quantites quelconquss dont Vune au mains soit variable.
Cela pose J si Von fait

^ \^=iA.(x — x^{x — x^{x — x^ . . . {x — Xfi)s
ou A ne depend pas de Xy je dis qu^on aura

_. ^/b_^ J /(go+flitt-f...-ffl.tt")v/(9ia)+(Co+Citt+...-fc«tt"')\/(9att)\ 1 ^ 1 ^

oil C est une quantite constante et r le coefficient de — dans le developpe'
ment de la fonction

suivant les puissances descendantes de x. Les quantites e^y fa> • • • ^^ ^^^t
egales h '\-l ou a — ly et leurs valeurs dependent de ceUes des quantites

Designons le premier membre de I'^quation (3) par Fx et faisons poor
abreger :

(0^a?= c^ -f- c^ -f- c^xr -|- . . . -f- Cm,X^y

nous aorons

6) Fx = (Oar)*, (p^x — (8 ^x)\ q)^.

Cela pose, soit x une quelconque des quantites or^ , ^5^9 • • • ^^9 on aura Fequatioii

7) Fx = 0.
De la, en diif^rentiant, on tire

8) F'x.dx+dFx=,0,

57

290

*

eu d^signant par F^x la d6rivee de Fx par rapport a x^ et par iFx la differen-
tielle de la m^ine fonction par rapport aux quantites a^, a^, a^, • . . c^y c^^ c^...
Or en remarquant que (p^x et q^^x sont independants de ces demi^res variab-
les I'equation (6) donnera:

.9) dFx:=iZ^x.(p^x.8^x — 2^^x.ip^.d^^x^

done en vertu de (8)

10) F^x.dx^=i^^x.(p^x.d^^x — 2^x.(p^x.d^x.
Maintenant ayant Fx = 0 = (O^r)*. q>^x — (Oi^:)*. (pj^ar, on en tire :

11) ^x.y^(p^x = ^^^x.y^qi^Xy
oue=:±l. De li vient

(ix .q>^x=z6^^x.\/^{(f^x.(p^)=zefi^x.\^(q>x\

^^x.(p^ = e^x . y^(q)lx.q)j^x)=^ i^x . y^{(px)j

done I'expression de F'x.dx ponrra 6tre mise sous la forme

12) F'x.dx=i2£.(iix.d^^x —^^x.d^x).y{(px).

Cela donne, en multipliant par e . — :?— — —^ .

13)

€ .

^{<fx) F*s s — a
fs.ds fs. (20jf. &QiX— 20|J:. Us)

{x — a) v/ (9*) (jr — (x)F's

En faisant pour abr^ger ^

14') X{x) = 2fx{^x. d^^x — 0 ^ar: dOar),

il viendra:

14) € . f^'^ _. ^

* ' (s — a)v^(9Jr) {s — (i).F's^

ou Xx sera une fonction entire par rapport k x.
Designons par 2^^ la quantite

X^i + X^2 + X^z + "^ + X^fi^
et remarquons que I'equation (14) subsiste encore en mettant Tune quelconque

des quantites x^, x^^ . . .x^ an lieu de x^ cette equation donnera

15) 2^. ^^^ = 2 - =dv.

^ {s—a) v^(!fs) {s—ol)F's

Cela pos^, on pourra chasser sans difificulte les quantites x^y x^y...x^ du se-
cond membre.

En effet, quelle que soit la fonction entiere Ao;, on pent supposer

16) kx = (x — a) . Xj^x 4" Xaj

^_ \^

oil A,ar est une fonction entiere de x. savoir En substituant cette va-

^ S — OL

leur dans (Id), il viendra

29L

X|jr

16') dv = 2^ + ka.2-. '-^^^.

^ F s * {s — cf)F's

Maintenant d'apres atie formole connue on aura

ayant 6gard que

Fa^=zA(a — x^{a — x^ . . .{a — or^),

done

n reste k trouver 2 -c^* Or eela peut se faire a Taide de la formule (17).

F s

En effet en developpant selon les puissanees deseendantes de a, il viendra :

s^ 1

d'oii Ton voit que 2 --^ est egal au coefiicient de -rrr dans le developpement
de •=-, ou bien k celui de — dans le developpement de -=-. De \k on voit

FcL OL FOL

ais^ment que 2-^^, ou X^x est une fonction quelconque enti^re de Xy sera

^gal au coefiicient de — dans le developpement de la fonction -^— selon les

X Jb X

puissances ascendantes de — . Si pour abreger on designe ce coefiicient com-

X

pris dans une fonction quelconque r developpable de cette mani^re par /Zr,
on aura: ^

20) ^^£=n^.

Or la formule (16), en divisant par Fx.{x — a), donne

en remarquant que JJ r-=— est toujours egal a zero. Done Texpres-

\x — a) M*x

sion (16) de 6v de viendra >

22) di; = — ^+JI ^

Fa *^ (jT— a)Fjp'
Maintenant on a (14')

Ix-zri^fx.i^x.d^^x — ^^x.S^x\

done en mettant a au lieu de x^

la =: 2/a . (Oa . dO^a — 8 ^a . dOa).

37

*

2e f—^firi^^ =z V.
•f Is — a)

292

En vertu de cette expression et en substituant poor Fa sa valenr {iiaf^q>ia
— (Oja)*.g)^a, on obtiendra

On trouvera aisement Tint^grale de cette expression; car en remarqaant qae

fa9 <Pi(X9 V^^y f^9 ^ — ^9 7i^9 ^9^ sont des quantites constantes, on aura en
vertu de la formule

p^m — g^n 2\/{m.n) ^\p\^m—q^nJ'

23) v = C ^,.logr^'''^J^^''?'^'^^'''^i'^'''?)

^ V (9a) ^ Oa. /(9ia)— Ojtt. '/(9ia) /

+ n ^' |og/'»'^-V^(9i^)+^^V(9tt^)\

Or r^quation (15) donne

ds
(jp — a)"7(9Jf)

done en faisant

^ ^^ ' •/(x— a)/(<{wp)

et d^signant par a^, fa> • • • «^ des quantites de la forme ±1, on aura la fonriole

*i^^i + ^a^^a + ^s^^s + • • • + V^^iu =
1 ^_^ /«; 1^^ / 0a.\/(9ia) + 0itt> v/(92a) \
25)^ V'9a ^^ V0a.^(9,a)— Oia.v^(92a)/

I JJ A |Qp^/0'y'V'(9i'y) + MV(92'g)'\

"^ (jT — a)V(9x) ® \ Oar. v^ (9i') — Oi'- V^(9a*) ^^

qui s'accorde parfaitement avec la formule (4).

Les valours de f ^ , ^9, . . . 6^ ne sont pas arbitraires, elles dependent de
la grandeur de x^y x^y...x^ et celle-ci est determin^e par F^quation

^x . Yiffx^) == ^\^V (?Pa^)j
^quivalente aux Equations

26) ^x^Yiffr^^ = fx-K^xYi^^^ii^ ^x%y{^v^>i = fA^aK(9i^a); • • •

D'ailleur les quantites 6^, ^29 • • • ^^ conserveront les m^mes valours pour tontes
les valours de x^^ x^^...Xf^y comprises dans certaines limites. 11 en serade
mdme de la constante C.

5.
La demonstration precedente suppose toutes les quantites x^^ x^y...x^^
differentes entre elles, car dans 1e cas contraire F^x serait 6gal a zero pour

293

un certain nombre de valeurs de x^ et alors le second membre de la formule
(14) se presenterait sous la forme ^. Neanmoins il est Evident, que la for-
mule (25) subsistera encore dans le cas m^me, oil plusieurs des quantit^s x ,
x^y...Xf^ sont egales entre elles.

En faisant a;, = ar^, on aura (26)

et cela donne, en supposant que ^^xq>^ et ^x.tp^x n'aient pas de diviseur commun:

En vertu de cette remarque on aura le theoreme suivant:

Theoreme II. Si Von fait
27) {^xf.fp^x — {^^xY.q>^^=^A.{x — arj~» {x — x^^^ . . . {x — ar^)">,
ail les fanctioTis entibres ix.q>^x et i^x.tp^x n'tmt pas de diviseur conrnmUy
on aura:

e^m^ipx^ + fa^aV^a "I" ^b^bV^i + •••"!" ^/uW^V^^ =

oo\ ) C— ^^ loff (^^'^(9i^)-^^i<^'V^(92^)\
28)^ •(9a) ^\0a.v/(9ia)— Oia.t/(9aa)/

^ " (,_a)/(9j) "^V0jr.v/(9iJ^)-0,*.^(9,x)y'

4.

Si Ton suppose fx divisible par x — a, on aura fa == 0, done en mettant
{x — a).fx au lieu de fx^ il viendra:

Theoreme UI. Les chases etant suppasees les mdmes que dans le
Thiarhne 11^ si Von fait

ffx.ds

oil fx est una fonction entiere quelconque^ on aura

29) i^^^x^ + *a^V^« • • • + ^(i^fA^^fA

^ I TrJf—\(%Qr ( ^•^' ^(yi-^) + ^I'y v^(9a^) "s

— "^ "*" -^^ ^(9^^) "^•V0jr.v/(9,jr)-0iX/(9.x)>'-

5.

Si dans la formule (28) on suppose le degre de la fonction entiere f{pe)
moindre que la moitie de celui de ^^x^ il est clair que la partie du second
membre affect^e du signe /7, s'evanouira. Done on aura ce th^or^me:

Theoreme IV. Si le degre de la fonction entiere {fx)* est moindre que
celui de (fXj et qu*on fait

294

r fs-dx

wx = f :

on aura

30) ^i^iW^i + f^^2V^^% + • • • + «/*^A*V^A*

_. ^ fcL . /9aV(9^tt)+9itt.v/(9^a)Y

V^(9a)' ° \0a./(9ia) — Oia.V(9,a)/

6.

Eo faisant /a= 1 dans le theor^e prec^ent et differentiant k — 1 fois
de suite, on aora le theor&me suivant *

Theordme V. Si Vom. fait

yds

mi aura

1 ^ J /9flcV(9itt)+fti«-v(92«)\
V^(9a) ' ® \0a.t/(9ia)— Oia.v/(9aa)/

1.2... (*—l) (/a*-i

7.

t

Si dans le th^or^me ID. on suppose le degre dtf {fx^ moindre que celui
de 9):r, le second membre se reduit a une constante. Cela donne aisement ie
theor^me qui suit:

Thearhne •¥!. Si Von designe par ipx la fonctUm

(80 + 81^^+82^* + . . . + \.J^^dx

f-

V^(Po + ?i'+Pa'* + • • • + M*^

ow v' ==: ^^ — — \^ siv est impair^ et v' = -^ — 2 si v est pair^ on aura
toujour s :

31) ^1^1 V^(^i) + fa^a^C^a) + . . . + *^»^^V(^^) == « ^^^^ constante.
On voit que r' a la mdme valeur pour y = gm — 1 et pour v = 2»i, savoir

y' = m — 2.

8.
Soit maintenant

P rdx

ou r est une fonetion rationnelle quelconque de x. Quelle que soit la forme
de r, en pourra toujours faire

'*) ••=/--+5^+(i^+-+(j^

9

01

296

oil fx^ f^x^ f^Xy . . . ftaX sont des fonctions entieres. Ceia pos^, il est clair
qn'en vertu des theoremes III. et V. on aura le suivant :

Theoreme VIL QueUe que soit la fonction nttionnelle r^ exprimee par
la farmtde (52) j en faisant

55) ^ar=/-^et ;^V(9x^)+MV(9.^)^

on aura toujour s:

e,»»i V^x + 'd»»«V*« + • • • + ff^fiS'^fi = C + n-^^ log x{x)

en representant par r{k) le produit 1.2. 3... (A: — 1).

9.
Precedemment nous avons consid^re les qnantit^s or^, x^j...x^ eomme
des fonctions de a^ a^, ^29 * * * ^o' ^i' ^29 • • • Supposons maintenant qu'on cer-
tain nombre des quantit^s x^^ x^^ ...x^ soient donnees et regardees comuie
des variables independantes; et soient x^^ x^y ...x^^. ces quantit^s. Alors il
faut determiner a^, a^,...^?^, c^^... de mani^re que le premier membre de
I'equation (3) soit divisible par

\X — ^j)(^ — ^a) • • • (^"""^^V'

Cela se fera a I'aide des equations (26) Les /i' premieres equations

35)

donneront un nombre de fi' des quantites a^. a^^.^.c^y c^ , . . . exprimees en
fonctions rationnelles des autres et de or^ , x^,... x^,; V^Cqp^i)? V^iv^^^ • . . V^(?)^^0.
Le nombre des indeterminees a^, a^^.^.a^^ c^y c^y...c^ est egal a
m-\-n-\'\\ done, comme il est ais6 de voir par la forme des equations (3S), on
pourra faire ^' = m -f- w + 1. Cela pose, en substituant les valeurs de a^,
a^y...CQy c^y . . . Aslh^ les fonctions Oar, OjOr, . . ., la fonction enti^re {^x)*.(p^x
— (Oj^)*.ya^ deviendra divisible par

yX ^"^ X fyX^T^X^ • • • yX"^^ Xij^tf,

296

Designant le quotient par R, on anra

56) R=iA{x — Xfj^.^i){x — -ar^'+a) • • • (^ — ^^)*

Done les ix — fV qnantites a;^'+i, o:^.^, . • • :ir^, seront les racines d'une equa-
tion jR=0 du degr£ fi — ii\ donttous les coeffieiens sont exprimes rationnelle-
ment par les qnantites a?^, x^^ ^8> • • • ^iM'? V^iv^^y 1^(9^«)> • • • V^(v^^')*
Faisons

^j = f^ ^3 • • • *^, 1>

^/Mi+l==^^,+«=- • • = «^' = 1>

^^i+l ^^ ^ 1 > ^A*i+* ^^^ •'' a > • • • ^^' ^^a >

^^'+1 = y^ 9 ^^'+a = ya> • • • ^^ = yi^j

ou t; est une expression algebrique et logarithmique. Les quantit^s x^, x^j...Xf^^ ;
x\y x^^y ...x^^^ sont des qnantites variables quelconqnes, et y^, y^y^Vr'
seront d^terminables k I'aide d'une Equation du degr£ v\

Maintenant nous verrons qu'on pourra toujours rendre v^ independant du
nombre /^^-f-z^a ^^^ fonctions donnees. En effet ebercbons la plus petite valeur dof^.

En supposant ind^tennin^es toutes les qnantites a^y a^y...c^y c^y...y il
est elair que /^ sera ^gal k Fun des deux nombres Sn-f-i^^ et 2m -f-^,' ^^ ^i
et v^ repr^sentent les degr^s des fonctions q>^Xy q>^x. Soit p. ex.

on doit avoir en m£me temps :

/^ = ou > 2m + ^a»
d'ou, en ajoutant, on tire

fi=. ou > m + w + ^' ^^,

m

or

v^ :=z /I — ^' = |i — m — n — 1,
done

y = o«>^-l,
ou bien, d^sig^ant le degre de (px par v,

58) »'' = OU>y — 1.

» ,

297

De la on voit, que la plus petite valenr de v^ est ^~ ■ on -^ — 1, selon qae

m m

If est impair ou pair.

Done cette valenr est independante du nombre //i4~/is des fonctions don-
nees; elle est precicement la mSme que le nombre total des coefficiens 9^^
^19 ^^9*'* ^^^^ 1^ 6"^ th^oreme. On aura maintenant ce theor^me:

Thearhne VIII. Soit ^\)XT=zt— — -^ au r est une fancHon rationneUe

quelconque de Xj et q>x une fanctian entiere de degre 2v — 1 au 2r, et saient
x^j x^y^Xfi^ or'i, sf^y...x^^^ des variables donnees. Cela posSj quel que
sait le nombre /i^-j^i^s ^^ variables ^ on pourra toujour s trouver au moyen
ffune equation alffebrique, v — 1 quantites y^y y^, . ..y,A-i, teUes que:

V etant algebrique et logarUhmique^ et e^y f ^ > • • • ^i^-i egaux h-^-iouh — 1.

On pent ajouter que les fonctions y'^ , y^ , . . • y,,.^ restent les mSmes,

quelle que soit la forme de la fonction rationneUe r, et que la fonction v ne

change pas de valenr en ajontant a r une fonction entiere quelconque du degr6

la

Les Equations (35) qui determinent les quantites a,, a^y.^.e^y c y...
deviendront en vertu de la formule (39)

Poor determiner « , «,> . . . f^-i, on aura les ^nations:

Les fonctions y ^ , y, > . . • ^f-i sont les racines de T^quation

42) (9y)''9iy— (^y)''-9ay __o.

Le degre de la fonction 6y est n = -|i^i — ^' ^~ "''^ et celui de 0,y est

38

298

H.

La formule (59) a lieu si plusieurs des.quantit^s x^^ ar^, ... x^^ x^^j...

sont egales entre elles, mais dans ce cas les equatioDS (40) ne sufiisent plus
pour determiner les quantites a^y a^j...CQy c^,...; car si p. ex. x^^=ix^
= ...=;rjt, les k premieres des Equations (40) deviendront identiques. Pour
avoir les equations necessaires dans ce cas soit pour abreger

L'expression —doit avoir une valeur finie en faisant xz=ix^. De la on

tire d'apr^s les principes du calcul differentiel, les k Equations
43) }.x^ = 0, Ji'x^ = 0, l^x^ = 0, . . • A(*-^>:r^ = 0,
et ce sont elles, qu'il faut substituer a la place des equations

Xx = 0, Xx^ = 0, . . . Xxk = 0,
dans le cas ou ar^=: ar^ = . . . Xk.

XVI

Note sur quelques formules elUptiques.

fP ai presente plusieors formnles qui tiennent au d^veloppement d^s fonctions
elliptiques (pa^ fa^ Fa^ dans le cas oil les modules e %t c sont r^els. II sera
facile de tirer de ces formules d'autres formules analogues pour le cas ou ^
est une quantity negative. C'est ce que nous ferons voir.

Soit pour plus de simplicite c == 1. Cela pose, si Ton fait
on trouvera aisement, en vertu de la definition de la fonction fy que
en faisant

a; = Aa et c

e

Done le module c est plus petit que Funite, et comme on a 6 = |/'(1 — (?% b
sera son complement
On trouvera aussi

n

-. ; 2 Jo 1/(1— **)(! — c***) •/o 1/(1— c«tin*0) '

2 Jo \/{l—s^)(l—b^s^) Jo •(!— ««8in«0) '

Si I'on fait

4) A'a = V{1 — A«a), X^a = V{i — c^X'a),

on aura encore

.5) A'« = y(|-— ft«), A'a = 6f(|- — 6«),

et en faisant

n n

>' 2~Jo 1/(1— c^sin^O)' 2~Jo y/{l—b^%iskH) '

58

300

on a, -en verta de (5)

7) ^ = ^, w=zbw'y © = fti3^

Consid6rons maintenant d'abord la fonnule (18S) pag. 216, qui donne la
valeur de fa. Pourentirer ceile de la fonction Aa. il soffit demetlre— — b.a

k la place de a. Faisons a = -^ — b.d et pour abreger,

m

alors la formule (18S) donne sor le champ:

Xe — A TT (l-r«"H-i)2_(p^_p-i ,^i)«

oil

(I— r) (1— r») . . .

Or on a

(1 __ y««+i)« _ (pr»— p-i . 7-H-»)« = (1 — p* . r»~) (1 — p-« . r*^«)
et

(1+ r«»H)» + (py-_ p-i .r»+»)* = (1 + ()*.»*") (1 +r».r*-+«),

par consequent I'expression de XO deviendra en d^veloppant:

* ' l + p« " 1 + pV*' l+p-a.r* * 1 + pa.r* * l + p-*.r*

Avec la mdme facility on tirera des deux formules (184) et (186), en y faisant
a=|— A.d:

10^ X'e=A' -iP- (i-p''>-)(i-p-''-Xi-p^'-')(t-p-*-'-*)

^ • 1+pa' (l + p«.r«)(l + p-«.raXl + p'-''*)(l + ?-*•»■*) "*

JJ\ X»e=A' -^ (1 + p» . r) (1 + p-»v r) (1 + p« . r») (1 + p-« . r»)
^ 'l+p** (l + p«.r«)(l+p-a.r»)(l+pa.r«)(l + p-».r4)

oh ^', ^* sont donn^es par les formules

MQ\ .rj, — (1 + r^Xl + r*)(l + r«) . . .

/ »' (l_^)(l_rs)(l_r»)...»

13^ T^^» — (1 + ^')(1 + ^^)(t +»•«).>.

^ / (l + r)(l+r»)(l + r«)..."

On pourra trouver d'autres expressions pour A^ A\ A^ encore beaucoup plus
simples et qui donneront des formules tres remarquables.
Si Ton fait dans la formule (9):

2 ' 2 ^

• •

• • •

301

on aura:

Xd
et

Kl

')=

. 1/(1 +e«)

1

1

*•=

e

»'

■*'*=—

r.

done en sobstitnan^

c'est<4>dire, de verta de la formnle (8')

d'oa

A = ±

En faisant dans I'expression de A'<9:

on a

et

^•=:— -r,
done:

d'oa Ton tire en vertu de (12):

Enfin si Ton fait dans la formule (11) 0= — -, on trouvera.

m

done

h = 44'.Kr . (4111 . I±il. . .y = U»Yt.A\

\l+rl + r*/

et par suite

2/r

En comparant ces valours de A^ A\ A* k cellos plus haut, on en dedoira ces
formules :

jjx -V 1—^ 1—^* 1—^*

302

15) yl.^y2.y^r. \±^. |±4.. 4±4...

^ f c 1— r 1 — r" 1 — K

«- l + r« 1 + r* l + r«

-^ l+r l + r» l+r»

dont Tune est une suite des deux autres.

Si dans Texpression de A0, apres avoir divide les deux membres par

xs
on fait 6=0, et qu'on remarque que

-^ = 1, pour 6 = 0,
on obtiendra

17^ iVf l/°' — (l-r«)(l-r«)(l-r«)...
^ '^ 'r jc ~ (l + r«)(l + r*)(l + r«)...'

De Ik on tire, en sobstitaant la valeor de yc:

18^ l/^ — (t + r)(l-r»)(H-r»)(l-r^)...

'^ r ic ~ (I— r)(H-r«)(l— r»)(l+r*)...

= (l + r)*(l+r»)«(l+r»)»...X(l — r*)(l — r*)(l — r«) . . .
= ((14-r)(l+r»)...(l+r») ...)». (14-r)(l+r«)(14-r») ... X(l — r)(l — r»)(l — r») .. .
A I'aide des formnles (16, 14, 18) il est facile de tronver I'expression des
produits infinis

(l+r)(l + r*)(l+r»)..., (1— r)(l — r«)(l-r»)...

En effety si pour abreger on fait

P=(l+r)(l4.r»)(l+r»)...
= (l+r»)(l+r*)(l+r«)...
et quon ait egard a ia formule

(.-0(.-'.x.-,.)...="+'-)'^+'^'+'')---='P-P'-

les formules (14, 16) donneront sur le champ:
d'ou Ton tire:

-) {^

94. 6 94

Cela donne les produits P et P'. En les niiiltipliant entre enx, it viendra:
21) (14.r)(l + r«)(l+r»)(l + 7.*)... = ^^V-

303

De m^me la fonunle (18) donne, en substituant les valeurs de P, P's

= />».P'.(1— rXl— y«)(l — r») . . ,,
et de la:

vi

22) (l-r)(l-r«Kl-r«).,. = 4*l^.l/^,

formule d&e a ilf. Jacobi (Tome IIL pag. 193 da journal de M. Crelle^ oil
ce g^omStre en presente plusieurs autres tres remarquables et tres elegantes).

Des formules demontrees precedemnient on pent tirer aisement un grand
nombre d'autres. ^

En voici quelques nnes des plus remarqnabies.
Si Ton fait pour abreger

25) q^e^\

on aura

' \% / v^c ' 1 — Zq co8 2* + y" 1 — 2}* COS 2*+ J*

OK\ j/^'ar^ — 2l/* !>■« ros^ 1 +2y«cogZr + y« l+Vco»2r + ^

Qfi^ l"^"'.*-^ 1/A l + 2yco8ar+y« 1 +2y»cog2j + y«

•C^s formules ont et6 deduites respectivement des formules (10, 9, 11), en
changeant c en 6, et en faisant ensuite

En comparant ces valeurs avec celie que M. Jacobi a donnees pour les mo-
nies fonctions k Tendroit cit6, on parviendra a des resultats remarquables. Sa-
voir, en faisant dans la formule (3) de M. Jacobi^ k=iCy on aura :

1 + 2y C08 2jr -h 2q^ cos 4jr + 2y^ cos ftr + . . >
- 1 — 29C08 2jr + 29^ co8 4r — 25'*cos6jr+ . . .

^ ^ __(! -f 2y cos 2j + y^) (1 +2y» cos2jr + y^(l -f 2y^ co8 2jr-hy*Q). ■ .
"" (1—2^1 cos 2* + q^y{l—2q^ cos 2* + ^)\i—t^coH 2x + q^^) . . .

formule qui doit avoir lieu pour des valeurs quelconques r^elles de x et q^ ea
supposant q moindre que Tunit^.

En prenant les logarithmes des valeurs de X (— x\ etc., on trouvera apres
quelques reductions faciies:

304

28) log X (^a?) = Iog2—i logc— ». . -, jf + logsiii;r
'4- 2 (cos 2a?. j^ +^ cos 4ar . j^ + ^ cos6af . j?^ + . . .),

29) log X>f—x\ = log2 + ^ iogft — ^ logc — |. -^ ff + log cos a?
+ 2(cos 2a?. ^£_ + J cos4a?. j^ + ^ cos 6a?. jl^-f- . . .),

30) logA»(^'a?)=|log6+4.(cos 2ar. j-i-j+ ^ cos 6a?. ji^ + ...)•
En feisant a? = 0, on trouvera:

S2) I.g (i) = i. |,-21.g^ (ji _ 1 . ^ + J . jil _ . . .)

En posant dans les formales (206) et (207) pag. 220: a == 1 — ^^ on
tronvera les expressions suivantes :

34) A'(^a?) =^.Ky. (cosa:. ^^ + cosSa:.^ +cos5a?. ^+ . . .),

'Ces formales offrent peut-dtre les plus simples expressions des fonctions elHp-
tiques en quantit^s connnes.

Voici encore deux autres formales, qu'on deduira des equations (204) et
(205) pag, 219, en y faisant a = -^ — <»^:

35) A' (w'o?) = — — . ( — ...),

36) A-(cor^) = _. (-^^_ ___+-__ ...).

ou r signifie la mSme chose qae precedemment

II y a & remarqaer qae les qaantites r et ^ sont li^es entre elles par
I'equation:

37) logrJogy = 7r^

A Faide des expressions des modules r et 6 donn^es plus haut, on pourra
trouver une relation generale entre les modules de deux fonction elliptiques

305

qui sent r^ductibles Tune k Tautre. En eflet on ponrra d^montrer, comme je
i'ai fait (voyes pag. 28S) que si deux fonctions elliptiques reelles:

dont les modules c et & sont moindres que Funite, peuvent ^tre reduites I'une
k I'autre k I'aide d'une relation algebrique entre sin 6 et sin B\ on pent trouver
deux nombres entiers m et n, tels que I'^quation

n

n n

soft satisfaite. 6' est le complement de ^r', savoir h^ == |/^(1 — c^.

Si cette condition est satisfaite on ponrra toujours determiner sin 9* alge-
briquement en sind de mani^re que

40) F{c%e')=za.F{Cye),

oil a est un coefficient constant

Cela pose, designons par cd% is'', r\ q\ les valeurs de co', is', r, qj qui
r^pondent au module c\ on aura en vertu de la formule (14):

|V^_(^-^)(i-r-»)(l-r^»)>.,
'^ (l+r')(l+r'»)(l+r'»)...'

•

ou r' — e

•

Mais

Tequation •

(39) donne:

n
m

done

\

r' =

ii

ID'

c'est-4-dire :

>
>

r'

n

— r».

Done

on a

ce tWoreme:

(7?!^ fonctUm eUiptique reeUe etant praposee^ si son module c est donne
par la formule i

^ ^ (l+rXl + r'Xl + r*)

on aura /e module de toate etutre fonction ettipHque reeUe, riducHble a la

n

premiere f en mettant mi Ueu de r la puissance r^, ek n et m sont deux

59

306

nembres ejttiers et positifs quelconqueSy e'est-drdire^ on aura en designant
par & le module de la nouveUe fonction:

(l+r«)(l+r'«)(l + r m)*--

En faisant

^ ^ ^ ^ ^ l+q l+j» l + jf»

on anra encore la formule suivante:

• • •

, m am ._ 4" _ 6il

m ' ^ ^ M.. m jjj jn

• _ 3— 5-- •

1+j n 1 + jf n 1+jf ■

Dans le cas partiealier od le module c est V^^, on a i3'=3(o^ done:

r = e~^ = q.
De li a suit
que le module c de toute fonction elliptique reeUe, qiii est reductible a la

fonction f --rr^ — \ — r-^rc^ ^' «tow»e »ar la formule:

4o) l/c = . — . —

^ l+€r»^^ l-^e^^"" l+€r^>^^

2tc 4ic 62c

l+r»^ l+/>^ 1 + e"!^

oil /I est un nombre rationnel quelconque.

An reste c pourra toujours ^tre exprim^ dans ce cas en termes finis a
Faide de radicaux.

Si Ton suppose b' = r, on a r' = 6, ©■ = o', is* = w', mais :

o* « o' ts'

done:

De \k nous concluons:
Si deux fonctUms eUiptiques reettes^ dont les rnodules sont leurs com-

module

danne

807

' 1+r^^t^ l+e-^^*^t^ l+e-»«t^»^

et son compl&neiit 6. par celle-ci:

47) K*

TC 3tc 5u •

• •

l + e'^Vv- 1 + e Vi^ l + e"^»^

oil /i est' on nombre rationnel qnelconque.

Nous ajouterons qa'on a en mdme temps:
48) F{b, eO = kVfi . F{c, e),

oa k est un autre nombre rationnel.

Cela donne imm^diatement le theor^me suivant:

Si Vequation differentieUe

dy ^ ds

49) ^ = a. .

e^^ integrable algebriquement^ U faut necessairemenf que le coefficient a saU
egal a la racine carree d'un nombre rationnel et positifj en sup-
posant que les quantites Aj Bj Cj et a soient reelles; et si a a cette forme,
an pourra trouver une infinite de valeurs convenables pour A j Bj C.

Nous terminerons ces remarques par la demonstration d'une formule curieuse,
qu'on tire de Fequation (20) savoir de la formule

(l+r)(l + r»)(l+r»)... = 1^2.-A_.

V(hc)

Ed y changeant c en h, h se changera en c, et r en q^ done:

En comparant ces formnles, on voit que I'^qnation

50) i. (l + r)(l + r»)(l + r*)... = J-(l+y)(l+y«)(l+y«)...,

^ a lieu toutes les fois que les quantites r et ^ sont moindres que I'unit^ et

qu'elles sont liees entre elles par T^quation

log r . log q = TT*.

39*

308

U existe un grand nombre de relations semblables entre q et r, par
exemple la suivante:

qui est due k Mr. Chauchy {Exercices de mathematiqties). On ponrra la
deduire de la formule

donn^e par Mr. Jacobij en y changeant c en 6.

xvn.

Sur le nombre des transfarnuUions differ entes, qu^on pent faire suhir & une
fanctian elUpHque par la substUtdion d^une fonction rationneUe dont

le degre est un runnbre premier danne.

l9oit pour abreger

1) A = (l-0(l-^*^*)> A' = (l-y«)(l-c'V)
et sapposons qu'on satisfasse k Fequation diff^rentielle

/ A* A

en y sobstituant pour y one fonction rationneUe de or de la forme
^ ^ Bq+Bj^s + . . . + Bt^ . jr««+i

on 29»-f-l est on nombre premier et an moins un des coefficiens A^^i ^tB^^^
est different de z^ro. En supposant^ ce qui est permis, la fraction pr^c^dente

r^duite k sa plus simple expression, nous dirons que -^-se transformeena.—

A^ A

par la substitution d'une fonction du degr^ 2^-f-l.

n s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs differentes de y q[ui r£-
pondent k la m^me valeur Ae Zn-^l. Si Ton fait

et qu'on designe par AO une fonction de 0, telle que

5) ift = — - pour X == AO,

et en outre

m = 0,

11 suit imm^diatement de ce que j'ai dit sur le problime g^n^ral de la transfor-
mation des fonctions elliptiques dans le m^moire XIQ., qu'on satisfera de

la mani^re la plus g^nirale k I'iquation -^ = a. -^ dans le cas oil i7s,^.^=:0,
en prenant

310

^^ '(}-Si) 0->&)- -Q-x^)

' ' (1 — c«xaa.x*) [1— c«X«(2a). x»] ... [I — e«X«(»a).Jr«]

5) ^fe.^M.^[A(|. + «).A(|.+ 2«),..A(^+na^^^

a ==;~^. (Aa. i(2a) . . • A(»a))«,
oa a est one ^antit^ de la forme

6) «=— s — T— >

^ 2» + l

991 et m^ £tant deux entiers. Maintenant, ayant trouv^ cette solution, il suit
encore de la formule (51) du* memoire cit^ que toutes les autres valeurs de y

seront dc la forme \^ ^^^ oh y est donne par (5), et f\ fy g^ g^ sent des
quantites constantes qui doivent satisfaire a I'equktion

= (1^0:*) (l_c*V).

Cette equation donne vingt-quatre syst^mes de valeurs differentcs. On trouve
ainsi qu'& chaquc valeur de a repondent 24 valeurs de y et douze valeurs du
module c^. Mais comme les valeurs de y sont deux k deux egales, mais de
signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la mSme raison nous
reduirons le nombre des valeurs de €^ a six. Cela pose, si Ton fait pour
abr^gcr: '

]e — c-+4[a (|. + «)... a(|^ + Ma)]*; dz=z <*4(Ae. A(2«) . . . A(»«))»

on trouvera aisement ces valeurs c.orrespondante8 des trois qaantites <r^, o, y.

I. II. III. IV. V. VI.

^--^ h G^;y> (;^y> g^T' g^'.

9)

6 6 8 6 6

y

h p t V

e f> ' 8 /I 1+6 fjJ^S./i 1 — 6 «>i^!P 1 + 61 v±h.p.i 1 — 61 v^hp-i

J^ _o^ • p^* 1— e'o^./i' l + 6*r^.ii' 1 — 6iVf5.p.i' 1 + 61 f)+5.p.i'

56 /> ' o

(oil i = K— 1).

311

On voit qu'a chaque valeur de c^ correspondent deux valeurs diflerentes
de la fonction y. Maintenant si Ton attribue aox nombres m et m^ des va-
leurs entieres qnelconques, on aura toutes les solutions possibles de notre
probleme. Or parmi ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui seront
differentes entre elles. Cherchons d'abord les solutions diff^rentes qui repon-

dent an premier cas, savoir c^ :=zt^ et y =: — ^ • Pour les trouver soit

a^ une valeur de a et d^signons les valeurs correspondantes de ^, py Vy dy b
par y^y p\ v\ d\ «*. Cela pose il est Evident, que si y^ doitdtre 6gal iiy,
on doit avoir:

1 1 8* , 5

p^=p; V^=:Vy ,=±-.

Or en vertu de (8) on ne pourra avoir p^=zp, a moins que les quantit^s A*a,
X*{Za)y . . . },^{na) ne soient, quoique dans un ordre different, ^gales k celles-ci:

Soit done

k\^ = X\fia)y
oil fi est moindre que n. On en tire Xa^ = ± X{fia) et de \ky en vertu du
th^or^me 11. du memoire XIII:

a* = Arco -}- ^co* -^ fiUy
ou k et k^ designent des nombres entiers quelconques. Cela donnc

et puisque

;(e + (2n+l)a)==Ae,
et 2n 4- 1 est un nombre premier, il suit que

p^ =jP, v^ =^Vy d* = dy «* == €.
Done les solutions qui r^pondent a a et a^ sont pr^cis^ment ^gales en-
tre elles.

Soit d'abord m^ = 0 en sorte que a

mo

2n + l

Si Ton fait k^ = 0, et qu'on determine les nombres Ar et ^u de la mani-
ere k satisfaire a T^quation

on aura

" = s — i •

312

On voit par la qae la solution qui r^pond & a = ^ — - est la m£me que
celle qui r£pond a a = - — - , quel que soit m.

Supposons maintenant m^ different de zero, on aura

a^ = ^(o + ;fc^a)^ + ^»"-"^"''»"^\

Si Ton determine les deux nombres entiers fi et 1^ par F^quation '^

et * par celle-ci: k + -H:^= --1- ,

Oil «^ est positif et moindre que 29^ -}- I9 on aura

On Yoit de I^ que pour toutes les valeurs differentes de v et /?, il suffit
de donner k a les valeurs:

^ 211 + 1' 2« + l' 2ii + l' 2ii+l' ' ' • 2i» + l

Or toutes les solutions ainsi obtenues seront effectivement differentes entre
elles; car si Ton attribue k a ei k a^ deux valeurs differentes de la s£rie
(10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire k T^quation

a* = Arco -}- A:*©^ -^ fia,
qui exprime une condition n^cessaire de Fidentite des deux solutions qui r^pon-
dent k a et k a}.

Done le nombre des solutions differentes qui r^pondent a y=^ — • ^ est

271 4-^ Maintenant si Fon attribue k a toutes les valeurs (lO), les formules
(9) donneront 12. (2n 4- 2) solutions, et ilest evident que toutes les 12.(2^4-2)
valeurs correspondantes de y seront n^cessairement differentes entre elles.
Cependant il ne r^pond a ces 24.(n-}-l) solutions que 12. (n 4^1) valeurs du
module. II faut observer que la conclusion prec^dente n'a pas lien pour le
icas particulier ou n = 0. En effet, dans ce cas y n'aura que douze vaJ^eors
differentes, car les deux valeurs a =: co, a = o)^ auxquelles dans ce cas se
reduisent les quantit^s (10), donneront pour y une meme valeur, savoir y=zx.
II faut remarquer egaiement que le module c ne doit avoir les valeurs z^ro et

Funite. Dans ces cas la fonction / — n'est plus une fonction elliptique, mais
circulaire ou logarithmique.

313

On ponrra mettre les hoit derni^res valenrs de y (9) sous one autre for-
me qui est k quelque ^gard plus elegante. En effet on pourra d^montrer ([u'on i

•d.py^lz={l^xy—c){l—U\V—c.x—cx*){l—UlV—cjv—cx^^^

...(1 — ik\Y — c.x — cx^).
En changeant le signe de Xy on aara des expressions semblables pour v^d.p
ei V'\' d.p.y — L Ces ([uantites k^^ Ar^, Ar,, ...k^ sont denudes par la
formule

^ 1 — c.X*jia*

Pareillement on a

k

1

A(|ia)

oti A(0) designe la q[nantite

dXO_
lift "■

»'~l + c.X*(ii.a)'

±|/((1 — A»«) (1 — c*AH)>

Done le numerateur et le d6nominateur de la fraction (3) qui exprime la
valeur de y^ se trouvent decomposes en facteurs dans tous les cas.

Dans le cas oil le module c est moindre que Tunite, les equations (9)^
nous font voir, que g6n6ralement les modules *des transformees sont imaginat-
res, except^ ceux qui r^pondent k

o ^M. \ o* — o

a=z--- — r- et a a

et en mdme temps k Tune des solutions I., II., HI., IV. I! n'y a done que huit
modules r^els. Si Ton ne desire que ceux qui sont moindres que Funite, on
n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, c ayant des valours par-
ticuli^res, qu'un plus grand nombre des modules transform^s sont reels. Je
feral voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes ces va-
lours particulieres. Pour le moment je ferai connaitre une manidre d'expri-
mer toutes les valeurs du module c^ k Taide de produits infinis.

Si c est moindre qae 1 unite, €9 sera une quantity r^elle, m^ an contraire
sera imaginaire ; car on a

V« A ^**' Vi •[('*-l)(l- ««'•)]'

c'est-a-dire, si Ton fait

40

314

2 —Jo •[(l-**)(l-»>*«)]'

ou

on aura

CO^ = (0 -f* CI |/^ — ^ 1,

oil 13 est une qaantite reelle comme co. Cela pos^ les 29t-}-2 valeurs de a
deviendront:

O tSt + O f3t + (2l>+l)(i)

2;srH[' 2^Tr' ' ' • 2S+1 •

A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci:

o ai t3t+2o oi'+4t> tsi+4no

^a+T* ^+1' 2«+l ' 2f»+l * 2»+l *

on t = V^— 1.

En faisant €r=l^ ^.= 4- (formule 189. pag. 217), et mettant ensoite

6(0 et to au lieu de o et g, et enfin azu^bf^ — o\ on tronvera AOc=/a et
la formule donnera en vertn de quelques reductions faciles :

- — 1C

oft 9 = « **

Pour avoir la valeur de « (8), il sufiit de chercher les valeurs de X\^ -|- a\

A f ^ 4" 2a\ . . • A r^ + na\ . au moyen de la formule prec^dente, et de les

multiplier ensuite entre elles. D'abord si Ton fait a = ^^ , on tronvera ais^ment

2«+l

De m£me si Ton fait

t5f + 2ao
2if + l . '

et pour abr^ger

- d^ = cos-^ + K— l.sin^^,

on parviendra k cette formule:

14) e = 2. F U*'.fl'*^V' i :; i — ■ 7 T"^

315

Done on voit^ que pour avoir toutes les valeurs de f, il suffit de substituer
dans I'expression

J* 1 + J

1 1

au lieu de y, 2/*+2valqurs q^^\ q^^\ d^ q^^\ S\ q^^\...dY.q^^\ ou 1,
^\y ^19 • • • soi^t l^s raeines de T^qnation J*^^ = 1. Deux seulement des va-
leurs de € sent r^elles, savoir celles ([ui r^pondent k la substitution de 9*^^

et 5^*^*, c'est-i-dire a

U . Of

a -tis et a

2ft + l 2it + l

II suit encore des formules prec^dentes que toutes les 2n -|- 2 valeurs de
9 sent necessairement diflerentes entre elles, except^ peut-^tre pour les cas
de valeurs particuli^res du module c. Ayant trouv6 les valeurs de e^ on aura
ceiles du module ^ k Taide des equations (9). II y a 4 remarquer que I'ex-
pression (15) est precisement la valeur de V^c, comme on pent le voir en fai-

sant 0 = -^. Dans le cas ou Ton suppose y de la forme ^.Vj le module

r^y suivant'I. (9) sera egal k h\ done |/~r^ = f. Par consequent dans ce cas
le module c se changera successivement dans toutes les valeurs du module e^j
si Ton remplace dans la formule

16) K«=*.,^,.ejif.i±i-:...)-,

siH-l a»fl 3»fi 21H-1

q par q*^\ Vq. Wq* KVq* • • • ^I'Vq-

Ce theor^me s'accorde parfaitement avec le th^oreme enonce par Mr. Ja
cobi dans le tome III. pag. 193. du journal de Mr. CreUe. Seulement k I'en-
droit cite la fonction de 9, qui exprime la valeur de V^c, est pr^sent^e sous
une autre forme. Done on trouverait immediatement le th^or^me de ce g^o-
m^tre^ si Ton pouvait parvenir k d^montrer Fidentit^ des deux fonctions

On pourra encore demontrer qu'on aura les 27t 4* 2 valeurs de €^j en
mettant dans la formule

V 1 r 1 r» 1 r*

' l+rl+r*l + r»

40*

316

2»fl 2»fl S»fl <»fl

les qnantit^s r^^\ y^r^ bYty d*|/^r, . . . d**]/r, an lieu de r, la lettre r di-

ed

signant la qnantite e ^ . Done eette quantite est liie k q par r^qnatioii

'»s(t)'''s(t) = "'-

Poor avoir la valeor du eoefiicient a il fast eonnaitre eeUe de d (8). Or
on poiirra la deduire aiseinent de la formule (12), en y faisant 0=a, 2a . . . na.
On tronve de eette mani^re que les valours de d qui repondent respeetivement k

_ tt €51 xsi +2o tsi4-4no

'2n±i' ^+1' 2ii+l ' 211+1 ^

sont egales k la valour de I'expression

S»fl S»fl 3»fl S»fl

ea y snpposant an lieu de q les valours y**+S Ky, *iKy> ^J Ky> • • • dJ"Ky* •

a

xvra.

mr la transformation des fonction
seeonde et de la troisidme espbce.

+Alogp,

fin line integrale alg^briqae f{yyX)-=.Q satisfait k I'^qaation

^r ds

V^[(l-y*)(l-e'V)] ' t/ [(1 -*«)(! -«**«)] *

oo aura tonjoors:

/•A+B.s* ds fA^+B^s* ^
^ * i/[(i-*»xi-«''*)] ""/ ,_»! ' •Ea-y'xi-^'v)]

ou Ay By n sont des qaantites donn^es, A^ B^^ m^ k des quantit^s canstantes,
fonctioDS des premieres, et p une certaine fonction alg^brique de y et x. II
est tr^s remarquable que les parametres m et n sont lies entre eux par la
mdme Equation, que y et ;r; savoir /(m, n) = 0. Dans le cas ou n est infini,
le premier membre deviendra seulement une fonction de la seeonde espice et
dans ce cas on pourra demontrer que

(a) f{A+Bx^ -— ^^ -— = f{A'+B'y^ — -^ — -^ + v^

V ^ v^[(l— jr«)(l — c«jr«)] J^ ^ ^ •[(!— y*)(l— «V)]

oil V est une fonction algebrique des variables x et y.

Au reste il est ais6 de demontrer la formule (a). H n'y a qu'& diff(§rentier
I'equation

/ds /• dy

par rapport au module c. Je me reserve de donner dans un autre m^moire
des developpemens plus ^tendus sur le theoreme ci-dessus*

XDL

Theorbmes sur les fonctions elliptiques.

_ •

JLia formule donaec par Mr. Jacobi dans le tome UI. pag. 86. du journal de
M. Crelle pent £tre ^tablie facilement k Taide d'un theorime que nous allons
d^montrer dans ce qui suit

En faisant 90 =a?, on aura, en vertu de ce qu'on a vn dans le §. ID. da
m^moire XII. pag. 157,

1) 9(2n+l)e = /2,

ou R est une fonction rationnelle de x^ le num^rateur etant du degr£ (2it-}-l)^
et le denominateur du degre {pi -}- 1)* — 1. L'equation (1) est done du degr^
(2ii4~l)' et ses racines peuvent £tre ^xprimees par la formule:

en donnant km et ft toutes les valeurs enti^res depuis zero jusqu'4 9n incL
Soit pour abreger

I'expression des racines sera:

4) or = 9(0 -j- wa -|- ^/S).
Cela pos^ nous allons demontrer le th^oreme suivant:

Theorbme I. Soit tf;0 une fonction endure quelconque de la quantite
9(0 + ^« + /^fi) qui reste la mdme en changeant 0 en 0 + a et en 9 + i*.
Soit p le plus grand exposant de la quantity g)0 dans la fonction xp^ on aura
toujours

5) 1^0 = /I + y .f{in + l)e . F(Zn + 1)0

oh p et q sont deux fonctions CTUieres de (p{2n -|- 1)0, la premiere du degr^
p et la seconde du degre v — 2

DemanstratUm. En vertu de la formule (10) pag. 145. on a

^a)rt 4- »ta 4. ue\ — 9^'/(^« + |xP). J'(ma+ |xP) + 9(ma + txP)./0. J'O

819

Cela fait voir f|ae i/;0 pourra s'exprimer ratiaimeUement en 90 et f^.F^.
Or Ic carre de /O.FO est rationnel en (p% savoir

(fa . F0)» = (1 — c VO) (1 + ^9*0),
done on pourra faire en sorte qae Fexpression de i/;0 ne contienne la qnantite
fa. Fa qa'k la premiere puissance. On pourra done faire

7) ^pa = i/;i(9)0) + 1/^^(9)6) -A . FO,

oil '^i{q>a) et '^Jtpa) sont des fonctions rationnelles de q>a.

Si Ton met 10 — a' k la place de 0, on aura, en remarquant que q>(w — 0)

= 0, /^(co — 0) = — A F{(o — a) = Fa:

8) V;(a) — 9) = tf/,(9e) — ^^^(qpO) .fH . Fa.
Des Equations (7 et 8) on tire:

9) tp.C^e) = 1 . (tf/O + ip(a) — 0)),

Considerons d'abord la fonction V',(9)0). En y mettant 0 -|- c« au lieu de % il
viendra:

V'i(9(o+«)) = i-W+«) + ^(«— «—<>));

or on a ip{a -}-«)=: i^O, et par consequent aussi, en mettant o — a — 0 an

lieu de 0:

ip(a) — e) = i/;(oo — a — 6);
done

Vi(9(e + «)) = ! (VO + i^(co — 0)),
c'est-a-dire

On aura de la m^me mani&re:

La premiere de ces equations donne, en mettant successivemeht 0-}~^9 ^'4~^> * • *
...au lieu de 0:

oil m est un nombre^ entier quelconque.
La seconde Equation donne ^galement

d'ou, en mettant a-^ma an lieu de 0, et ayant £gard a I'equation (11) on tire:

12) ^^((p{a + ma +///?)) = ^p^((pa).

Done la fonction t/^^CtpO) reste la mdme, en y substituant au lieu de g>a une
autre racine quelconque de Fequation (1). En attribuant k m et fi toutes les
valeurs enti^res depuiszero jusqu'i 2n et puis ajoutant, la formule (12) donne:

320

2U 3n

1 vn '^n

15) V^^m = ^—^^^£^2^V^Avi^+^^
Le second membre de cette Equation est one fonction ratiannelle et syme-
trique des racines de r^quation (1), done on pourra Fexprimer rationnellement
par les coefficiens de cette equation, c^est-i-dire en (pipi-^-Vfi. Soit

la quantity p sera une fonction rationnelle de 9(2^-}" 1)^* ^^ J^ ^^^ ^^ P
sera toujours entier. En effet soit 9)(2924~1)^ = y et/i=^9 on p' et 9' sont

des fonctlons enti^res de y sans divisenr commun. Soit y = q>{^n -(- 1)^ ^ne
racine de I'eqnation ^' = 0: la quantite jp=:^(v;0 -f* V'(^"~*0)) ^^^^ ^^^^^^
en faisant 0 = ^9 done on aura '\pd -}- i/;(a) — ()) == ^ ; maintenant 11 est Evident
par la forme de la fonction i/;0, que cette equation ne pent subsister k moins
qu'une quantite de la forme

n'ait une valeur infinie. Soit done 9)((T-|-ma-|-^/?) = ^, on aura en vertu de
r^quation (30) pag. 153:

d = (m' + 2^)® + (^' "t" y)^ — ^^ — i"/^>
oil m' et »' sont des nomhres entiers; or cette valeur de d donne:

9(2w+l)&=9)(((2w+ IK + n— 2m)a) + ((2w+l)w'+w— 2iti)i3»+ ^ + |-i),
c'est-a-dire (26. pag. 131.):

(jp(2n+l)(J = ^.
Mais cela est impossible, car une racine quelconque de I'^quation q^ = 0 doit
dtre finie. On trouvera ^galement que 9(0) — ^ + ?«« -|- ^/J) = ^ donne
9(2n4- 1)^=-^ La quantity /i est done une fonction entire de q>{2n-\ 1)0.

Consid^rons maintenant Fequation (10). En divisant les deux membres
par/'(2»+l)^-^(2» + l)0j 00 aura:

/(2ii + l)0.i^C2» + l)0 ^V(2ii + l)«.i^(2ii+l)0 '

En vertu de ce qu'on a vu (45) pag. 157, on aura f{2n + 1)0 = /"O . k,
F{pi'\'iyi'=F^.Vy oil u etv sont des fonctions rationnelles de 9)0; done le
second membre de Fequation pr^c^dente sera une fonction rationnelle de q>^.
En la d^signant par ^(V'O), on aura:

v((pO) = i. ^^-^^"~^>

321

En mettant 0 -|- a au lieu de 0^ il viendra i/;(0 -|- a) = tf/O^ \p(^(o — (0-ha))
= tf;(a> — e),

f{in+ !)(«+«) = f{{2n+i) 0 + imto+Zfimi) = /•(2n+ 1)9,
F(2w+l)(0+«) =F((2ii+l)0+2mco +2^oi) =jF1[2»+1)9,
done on aura

x{q>{9 + «)) = xCqpO).
De la m£me mani^re on tronvera

z(9(o + /?)) = x(9e).

On en tire, comme plus hant, k regard de la fonetion V^xC^^O), que xiv^) P^^t

£tre exprim^ par une fonetion enti^re de q>{2n -}- 1)0- Soit done

X(90) = q,
on aura:

ViM)-/^-^ = y-A2»+l)e./'(2w+ 1)0,
et enfin:

14) tp^=p'\'q. f{Zn+ 1)0 . F(2w + 1)0,
oh p et q sont des fonctions entijires de q>{2n -}- 1)0.

Pour trouver les degr^s de ees fonetions, soit (^O)^.^^ 1® tenne de tf;0,
dans leqnel cp^ est ^leve k la plus haute puissance, on aura, en supposant ^0 infini :

oil A est une constante. De mdme on aura

^(a>— 0) = J'.(9)0)%
et par suite:

p = ^{A+AO.(q>^yi
mais pour ^0 infini, on a 9)(2n-f-l)0 = iS.<pO, oil B est une eonstante. II suit
de la que p sera du degre v par rapport k (p(2n -f- 1)0. On demontrera de la
mdme manifere que la fonetion q sera du degr^ v — 2, tout au plus.

Voila d^montre notre th^or^me.

Dans le cas oil la quantity 9)0 ne monte qu^& la premiere puissance dans
1/^0, on a r = 1; par consequent q sera du degr^ — 1, c'est-a-dire jr= 0. Done
on a dans ce cas

15) i/;0 = J + B.9)(2n + l)0,

oil ^ et i8 sont des quantit^s constantes, qu'on tronvera facilement en faisant
0 = 0 et 90 = ^.

Soit par exemple 71O le produit d'un nombre quelconque des racines de

I'equation (1), et faisons

41

822

0 0*^

il est clair qa'on aura \p{e) = rp{0 -^ a) =: \p{d -{- fi) en remarqaant que
Done

16) 27^27 yr(0+wa4-iti/?)=J+if.9)(2w+l)«.

II fant remarquer que Tune des qnantit^s A et B est toujoars ^gale k zero.
On a ^ = 0, si le nombre des facteurs de nO est un nombre impair, eti?=0,
si ce nombre c^st pair. Done la qnantit^ ^pO est ind^pendante de la valeur de 0.
Dans ce dernier cas, par consequent, en faisant, d = 0 on a :

17) 2:^2:n{e+ma +ft^) == 27 27^ n{ma+(i^.

0 0*^ 0 0*^

Done en faisant
on a

211 211

18)- -^

0 0 *^

2n 2n

0 0 '^

oil k et k' sont des nombres entiers qneiconques, moindres que Zn-^L Ce-
pendant on ne pent pas supposer a la fois A: = 0, A:' = 0. Car cela donne
nd = (yfl)* et par suite i' = 2, tandis qu'on doit avoir

V = 1.

De la mdme mani^re que nous avons d^montre le th^oreme precedent on
pourra encore ^tablir les deux suivants:

ThearUme II. Soit t/;0 une fonction quelconque enti^re des quantites de
la forme A^+^« + /^/^)? telle que

i/;fl=t/;(e4-a)=:V;(fl+^),

on aura:

oil p et q sont des fonctions enti^res de /*(2n-}- 1)^9 la premiere du degr^ v
et la seconde du degre v — 2, tout an plus, en d^signant par v le plus grand
exposant de fd dans ^pO.

Theoreme ID. Soit i/;d une fonction quelconque enti^re des quantites de
la forme F{d'\-ma'\*ii§)y telle que

323

on aura

oh p et q sont des fonctions enti^res de F(2^-}-l)d, la premiere da degr6 v
et la seconde da degr6 i' — £^*toat aa plas, en designant par v le plas grand
exposant de Fd dans ipO.

En verta da premier th^or^me on voit sans difficalte qae la valear de

y ( \ exprim^e en fonction de (pOy sera:

oil /Im ct q^ sont deax fonctions enti^res de (pOy la premiere impaire et da de-
gr^ 2n-}-l, la seconde paire et da degre 2n — 2. D'aillears ces fonctions
sont d^terminees par Feqaation

p\—q\{f(Sf.{Fef = (9)*d— a^)**+S
od Om est ane constante.

Christiania le 27. AoM 1828.

41

JlLJm.«

Denumstratien ^tme praprietS generale d'une certame classe de fanctions

transcendarttes.

£ hiwbme. Soit y une fonction de ^ qui satisfait k nne equation qaelcoiiqae
irr^ductible de la forme:

^^ Poy Piy P%y*P^i ^^^^ ^^^ fonctions enti^res de la variable x. Soit

une Agnation semblable, ^^^ q^^^ Q^a? • • * 9^i ^^^^^t ^galement des fonctions enti^res
de Xy et supposons variables les coefficiens des diverses puissances de x dans
ces fonctions. Nous d^signerons ces coeflficiens par a, a\ €pj... En vertu
des deux Equations (1) et (2) x sera fonction de a, a^ a%... et on en d^ter-
minera les valeurs en eliminant la quantity y. Designons par:

3) p = 0

le r^sultat de relimination, en sorte que q ne contiendra que les variables x^
a, a\ a% . • . Soit [i le degre de cette Equation par rapport a x^ et designons par

4)

^X9 ^2^ *^%9 • • • ^^

ses fi racines, qui seront autant de fonctions de a, a!j cf^... Cela pos^, si
Ton fait

5) '^x=ijf{x,y).dx

ou f(Xy y) d^signe une fonction ratiannelle quelconque de x et de y^ je dis,
que la fonction transcendante 'tpx jouira de la propriety g^n^rale exprim^e par
r^quation suivante:

6) ^x^+tpx^+...+^x^==u+k^logv^+k^logv^+...+kJogVnj

^9 ^19 ^19 • • • ^i» ^tant des fonctions rationnelles de a, a\ a% • • .» et A:^, k^y...kn
des constantes.

DemoMtratian. Pour prouver ce th^or^me il suffit d'exprimer la diffe-
rentielle du premier membre de I'^quation (6) en fonction de Oy a\ a*, • . .; car

325

il se ridoira par Ik k une differentieUe rationnelle, comme on le verra. D'abord
les deux ^qaations (1) et (2) donneront y en fonction rationnelle de x^ a,
a\ (fy... De mdme I'^qnation (3) : ^ = 0 donnera ponr dx nne expression
de la forme

dx=^a.da'\-a\daf'^a^ .da? + • • •>
oil ot, a\ a% • . . sont de's fonctions rationnelles Ae x^ Oj a^ (i^^ . . . De \k il
suit que la differentieUe f(x^y)^dx pourra ^tre mise sous la forme;

f{Xyy)dx'=. q>x.da'Y'q>j^x.daf-{-q)^x.da!' -^ .. .,
oil (pXj q>ypey . . • sont des fonctions rationnelles de Xy a^ a\ a*, . . . En inte-
grant, il viendra:

'\px ^=if{(px .da-^-tp^x .da! + . . .)
et de \k on tire, en remarqnant que cette equation aura lieu en mettant pour x
les lA valeurs de cette quantity :

7) tj;j:i+i/;ar.+ ,if;ar^

=/((T^i+9^« + • • • + T^»x)^+(Ti^i + Ti^« + • • • + q>iX^da + ...).
Dans cette Equation les coefficiens des diff^rentielles da^ da\ . . . sont des fonc-
tions rationnelles de a, a', a*, . . • et de o;^, ^,, . • .ar^, mais d'ailleurs ils sont
Sjrm^triques par rapport k x^^ x^y. .. x^; done, en vertu d'un th^or^me connu,
on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par a, a*y a% . . . et par les
coefficiens de T^quation Q = 0; mais ceux-ci sont eux-m^mes des fonctions
rationnelles des variables a, a', a*, . . . , done enfin les coefficiens de doy da',
defy . • . de r^quation (7) le seront ^galement Done, en integrant, on aura une
Equation de la forme (6).

Je me propose de d^velopper dans une autre occasion de nombreuses
applications de ce theor^me, qui jetteront un grand Jour sur la nature des fonc-
tions transcendantes dont il s'agit

Chrigtiania le 6. Janyier 1820.

XXI

PrScis d^une theorie des fonctions elliptiques.

Introduction.

JLia throne des fonctions elliptiques, cr^^e par Mr. Legendre^ forme une des
parties les plus int^ressantes de Fanalyse. Ayant essaye de donner de nou-
veaux d^veloppemens k cette theorie, je suis, si je ne me trompe, parvenu k
plusieurs r^sultats qui me paraissent m^riter quelque attention. Surtout j'ai
cheroM a donner de la g^neralit^ k mes recherches, en me proposant des pro-
blames d'une vaste ^tendue. Si je n'ai et^ assez heureux de les r^soudre
compl^tement, au moins j'ai propose les moyens pour y parvenir. L'ensemble
de mes recherches sur cet objet formera un ouvrage de quelque ^tendue, mais
que les circonstances ne me permettent pas encore de publier. Cest pourquoi
je vais donner ici un Precis de la methode que j'ai suivie, avec les resultats
gen^raux, auxquelles elle m'a conduit Ce memoire sera divis^ en deux parties.
Dans la prermkre je consid^re les fonctions elliptiques comme integrates
ind^finies, sans rien y ajouter sur la nature des quantit^s reelles on imaginai-
res, qui les composent. Je me servirai des notations suivantes:

A(;r,c> = ± K ((1 — j;») (1 — c»a;»)).

o(a;,c) =yi

ds

A(*,c) '

II{x,Cya)

/• ds

(i-^)a(,,c)'

en sorte que

I3(ar,c), o^(ar,c), II{x^c^a)
d^signent respectivement les fonctions de premiere, de seconde et de troi-
si^me esp^ce.

827

Puis je me suis propose ce problfeme g^n^ral : 'Trouver tons les cas pos-
sibles dans lesqaels on peat satisfaire k one Agnation de la forme:

= w + Ji log 1?! + ^ l^g «^« + • • • + ^v log «^v J

«)

on

^1 9 tt«t • • • ^i»5 ttis tt«, •••ft

sont des quantit^s constantes, ar^, ;r^, . . .^k? ^'u ^'a? • • • ^»5 ^i> ^a> • • • -^jx
des variables liees entre elles par des Equations (dgehriques^ et u^v^,v^y...v^
des fonctions alffSbriques de ces variables^"

J'^tabli# d'abord les propri^t^s fondamentales des fonctions elliptiqnes, on
ce qni concerne lenr sommation, en faisant nsage d'nne metbode particnli^re,
qui en m^me temps est applicable avec la m^me facility k nne infinite d'antres
transcendantes pins compliquees. En m'appniant snr ces propri^tes fondamen-
tales, je consid^re ensnite I'^qnation dans tonte sa gen^ralit^ et je fais le pre-
mier pas k mon bat en demontrant an th^or^me g^n^ral snr la forme, qn'on
ponrra donner k I'integrale d'nne fonction algebriqae quelconque, en snpposant
cette integrate exprimable par des fonctions alffebriquesj logarithmiques et
elUptiqueSj theor^me qni est d'un grand usage dans tout le calcnl integral, a
cause de sa graude gen^ralite^

tTen tire, comme coroUaire, le tbeoreme suivant:

"Si/— — --, ou r est une fonction rationnelle quelconque de Xy est expri-
mable par des fonctions alg^briques et logarithmiques et par les fonctions el-
liptiques t/;, 1/;^, t/;,, • . ., on pourra toujours supposer

oil toutes les quantites jp, q^y 9^a9 * * * 9'i' ^'s' • • • ^> Vu y%9 • • • ^ont des fane-
tions ratianneUes de x*y*

*) Ce th^orime a ^galement lieu, si A(jr,c) est la racine carr^e d'ane fonction entiire
d'un degrd quelconque.

328

De ce theor^e je tire ensaite celui-ci:

"Si one ^qaation qaelcoiiqae de la forme (a) a lien, et qjfon d^Bigne par
c an qaelconqae des modales qui y entreaty il y en aora p^urmi les antres an
moins un module & tel, qn'on pnisse satisfaire k I'^qnation diff^rentieUe :

dy dx

en mettant pour y one fonction ratUmneUe de x^ et vice versa."

Ce3 th^or^mes sent tr^s importants dans la th^orie des fonctions ellipti-
qnes. Us r^daisent la solution du probl^me general k celle de satisfaire de
la mani^re la plus g^n^rale k F^quation

dy dx

oil k la transformation des fonctions de premiere esp^ce. Je donne la solu-
tion complete de ce probl^me, et j'en tire ensuite la transformation g&i6rale
des fonctions de premiere isp^ce. Je fais voir que les modules doivent ne-
cessairement ^tre lies entre eux par une Equation algebrique. On peut se
contenter de considerer le cas, ou le degr^ de la fonction y est on nombre
premier, en y comprenant I'unit^. Si ce degr^ est de]sign6 par /i, d pourra
avoir GOtt-f-l) valeurs diffi^rentes, excepte pour /i=:l, ou ce nombre se r^duit k 6.

La seconds partie traite les fonctions k modules reels et moindres que
Tunit^. Au lieu des fonctions u{XyC\ uJ^XyC)^ n^x^c^n) j'en introduis trois an-
tres, savoir d'abord la fonction A(d)9 determinee par I'equation

y»X« dx

C'est la fonction inverse de la premiere espfece. En mettant j: = A9 dans les
expressions de ^Jl^x^c^ nix^c^tijy elles deviendront de la forme:

x&Jix,c)=if{Xef.de\

m

e

[a;,^,«)==y'_^.

Mises sous cette forme, les fonctions elliptiques oifrent des propri^tte trte
remarquables, et sont beaucoup plus traitables. C'est surtout la fonction A0,
qui m^te une attention particuli^re. Cette fonction a ^t^ Tobjet, du m^moire
XII. oil j^ai demontr^ le premier qnelques-unes de ses proprietes fondamen-
tales. On en trouvera d'avantage dans ce memoire. Je vais indiquer rapide-
ment quelques-uns des r^sultats auxquels je suis parvenu :

329

1. La fonction XO jouit de la propriete remarqaable d'etre p^riodiqae de
deux manieres differentes, savoir non senlement poor des valeurs r^Ues de la
variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En effet si Ton fait poor
abreger

ts z*^ ds o /»^ ds

oil ft = ]/(l — c*) et y^ — i=h on aora:

2. La fonction Ad devient ^gale a zero et a I'infini, poor one infinite de
valeurs reelles et imaginaires de 0, savoir

}.{mxs + ntot) = 0, )^(mxs -|- (w -f" 1)^0 = h
oh m et n sont des nombres entiers quelconques, positifs ou n^gatifs. De
m^me on a

'Xe'=zxe,

si 0'=z( — ly^O -^ m^ -{- ncai; mais cette relation est n^cessaire.

3. La propriete fondamentale de XO est exprimee par I'equation

ou 0' et 0 sont des variables quelconques, reelles ou imaginaires.

4. La fonction kd pourra se d^velopper en facteurs et en fractions de
beaucoup de manieres; par exemple si Ton fait pour abreger

CO o

TC - — ic

q = e "^ , p = e ,
on a:

X(fia\= IaTo v\xi{n^\ [»-V-co''(20ic)+y*][l-2y*.co8(267c)+y''][l-2y«.cog(2e7c)+y"] . ..
'■^^ ' y/e^ ^' ^ ''[1— 2j .cos(2$x)+j«][l— 2?».co8(20ic)+y«]|l— 29».C08(2eic)+?"]...

= ^' ¥* (A-sin(e;r)4.j^.sin(307r)+^..sin(5<?jr) + ...),

(!-..)

1 (1— ;».«-»'") (I— ;i.O (1— ;i» . e-*"*) (1 — f'.Q...

V'c (1 + ;i . e-"^0 (1 + p . O (1 + i>» . e-*'") (1 + /i» .«"").. .

On pourra exprimer d'une maniere analogue la' fonction de seconde et troi-
si^me esp^ce.

5. Une des propriet^s les plus fecondes de la fonction Ad est la suivante :
[On a fait pour abreger: A0 = ±l/((1— A*fl)(l— c»A«0))]

"Si r^quation

(Ad)«-+a^,(Ad)«— +...+a,(Ae)«+«o=(6oAe+6i(^e)'+-+*-.(^«)'^>^

42

330

est satisfaite, en mettant poor 9, 2n quantit^s Oi, 0,, ...9a»> telles, que (AO^)*,
(AOjJ*, . . . (AO,.)* soient diffi6reates entre elles, on aura tonjonrs :

A(0i + e,+...0a,) = o,

A^i • AV^ * " * Avia.1

les coefficiens a^, a^^^...^ h^^ ^i?--- pourront ^tre quelconqaes, et il est fa-
cile de voir qa'on pourra les determiner de sorte qae 0^, O^, • • • Osn-i ^^°*
donnes.'*

Voili one autre propriety plus g^n^rale:
'^Si Ton fait

on p et q sont des fonctions entiferes quelconques de la quantite indetermmee
Xj on pourra toujours supposer les quantites O^, O^^ • • • 0,i de la sorte que
I'expression

^(ei+o.+e, + ... + e^)

soit ^gale k zero ou k Tinfini."

Ainsi p. ex., si

p^ _ y«(i _ a?) (1 — c»a^ = A{x^— A•e)^

ou Tune des fonctions p et q est paire et Fautre impaire; on aura

1) si p est pair:

A(^0) = 0, si /t est pair et
A(/uO) = ^9 si i^ ^st impair;

2) si /I est impair:

A(/iO) = 0, si /t est impair et
;.(^0) = ^, si fi est pair.

De la il suit encore que, si Tequation ci-dessus a lieu, on aura toujours :

oil m et n sont entiers et moihdres que /i.

6. II existe entre les quantit^s a('^^ "^ ''^'''} et les racines {i/i + !)»••
de Funite des relations bien remarquables, savoir si Ton fait pour abr^ger:

2ji. + l~ ^

d=cos -4- 1/ — 1 .sin

2JI. + 1'

on aura, quels que soient les nombres entiers m et /i:

831

•••+»^->(rTr^)-

D'ailleors toutes les qaantites Xr^ "^ ^"^ j . . . sont les racines d'une m^me

equation da degr^ {2fi rj- 1)^ et dont les coefficiens sont des fonctions ration-

nelles de c*.

7. Si la fonction

P ds

dont le module c est r^el et moindre que Funit^, pent dtre transform^e dans
une autre:

f dy

Ut,{s,c'y

dont le module & est reel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction alg6- .
brique quelconque de or, il faut n^cessairemeut que le module & soit d^termin^
par Tune des deux Equations: ^

• • •

oil q>^^=zqV'^ fi etant rationnel; ou ce qui revient au m^me:

yi = «
fi et fi' etant des nombres rationnels quelconques.

8. La theorie de la transformation devient tr^s facile k I'aide des pro-

prietes les plus simples de la fonction AQ. Pour en donner un exemple, soit

propose le probleme: satisfaire de la maniere la plus gen^rale k I'equation

dy ds

en supposant c et & moindres que Tunife et y fonction rationnelle, reelle ou
imaginaire de x.

Soit or = AO, y=z k% en d^signant par A' la fonction qui repond au mo-
dule c'. L'equation differentielle se changera dans ce cas en dV = ed% d'ou

42*

332

a ^tant une constante. Cela pose, soit

OS

on aura A'(6e+«) = ^.

En mettant 0 -f" ^^9 ^ 4" ^^ ^^ '^^^ ^^ 0> ^^ '^^ change pas de valenr et par
consegaent on doit avoir:

A'Oe + 2«© + «) = A'(«e + a),

A'(60 + £(»i + a) = >t'(60 + a).
l)onc, si Ton designe par cs' et co' les valeurs de <3 et co qui repondent an
module c\ on aura en vertu de (2):

fcoi = 2m'©' -|- »'c»'i,

ce qui donne

•

«:

0 ' 2

xs

O

— 2m' ''^ i,

done :

•

t3' , O'

»i — = nf —

xs ' o

n

t5

2m' ^' ,

ou bien:

t3' n'

C5

II

o

o' ^ m

O

4m'

C5

Maintenant, si c est indetermine, cette equation ne pourra subsister k moins
qu'on n'ait ou n == 0, m' = 0, ou n' = 0, m = 0. Dans le premier cas e
est r^el et

xs' ... o

m -=!-=»'.

C5 O

et dans le second cas e est iroaginaire et

=:-?-.^i=— 2m':?li.

2 C5 o

Supposons € r^eL Alors on aura ce theoreme:

"Si deux fonctions r^elles peuvent ^tre transform^es Tune en I'autre il
faut qu'on ait entre les fonctions completes ts, o), xs\ co' cette relation.

xs' n' xs

o' m o '

oil n' et m sont des nombres entiers."

On pourra d^montrer que si cette condition est remplie, on pourra effec-

tivement satisfaire k T^quation

y"* dy xs' f ds
.y-.^=m. • f-77 r*
A(jr,c) xs J b\x^c)

333

n'est pins simple que de trouver I'expression de y. II suffit pour cela
de chercher les racines des deux Equations tpx = 0, /"^ = 0.

D^signons par Id et A^' one racine <[uelconqae de ces deux equations,
on aura, pour determiner d et ^, ces deux Equations:

ce qui donne:

c'est-i-dire :

k etk etant des nombres entiers. Pour trouver a, il sufSt de remarquer que
AO ne change pas de valeur en mettant is — 0 au lieu de 0. On aura done

A'(*o — 60 + a) = A'(60 + a),
ce qui donne

a = \{{i(i + 1 — m)©' + /I'co'i)
Dans le cas ou m est impair, on pourra toujours faire a = 0.

Connaissant les valeurs de d et d\ ou aura^ immediatement les racines
des deux Equations (px = 0, fxT=z 0, et par suite Fexpression des fonctions
q>x et fx en factorielles Les formules les plus simples repondent aux cas
de m = 1 ou /i' = 1, et elles sent les seules dont il s'agit, comme il est aise

de voir par Tequation —=.^.—. On pourra- aussi se* servir des ex-

' pressions de la fonction AO en produits infinis rapportees plus haut tTai fait
voir cela dans les memoires XID et XIV.

9. Le cas ou un des modules c pent ^tre transforme en son comple-
ment 1/^(1 — c*)= by merite une attention particuliere. En vertu de I'^quation

xs n ts

-, ua aura aans cc cas

ds

— — , on aura dans ce cas
o' mo

Le module c sera determine par une equation algebrique qui parait Stre reso-
luble par les radicaux ; au moins cela aura lieu effectivement si — est un carre
parfait Dans tons les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis.
En effet, si ^=]/(-^), on a:

334

ye = y2.e

:».K© G..--'^(t))G,.--^(t))...

'(u.-"'"(-))(...-'"'^<^))...

G..-^(-))G..-''^(-))...'

Si^ deax modules & et c peuvent ^tre transform^s Tan dans Tautre, ils auront
entre eox une relation alg^brique. Mais g^n^ralement il parait impossible d'en
tirer la valeur de c' en c k Faide de radicaux'^), mais il est remarquable, que
cela a toujours lieu si • c pent ^tre transform^ en son complement Par ex-
emple si c* = J.

Les equations modulaires jouissent d'ailleurs de la propriety remarquable,
que toutes leurs racines peuvent ^tre exprimees rationnellement par deux
entre elles. De m^me on pourra exprimer toutes les racines par Tune d'elles
k Faide de radicaux.

10. On pourra d^velopper la fonction AQ de la mani^re suivante:

ou le num^rateur et le d^nominateur sont des series toujours convergentes.

En faisant

yO = e + ae' + a'O* + . . .

ces deux fonctions auront la propriete exprimee par les deux equations:

9(6' + e) . y(e' — e) = (ye/eo* — (ye' ./•e)%
/■(«' + e)/(e' — 0) = (A ./•e'f — e^e-yO')*,

*) Dans ie cas par ex. oil y est de la forme:

v^

i*^quation eatre c' et c est du sixi^me degrd. Or je suis parvenu h. d^roontrer ri-
goureusement, que si une e'quation du sixi^me degrd est n^solubie a Taide de radicaus,
cette Equation sera decomposable ou en deux autres du troisi^me degr^, dont lea
coefficiens dependent d*une Equation du second degrd, ou eile sera decomposable en
trois equations du second degre, dont les coefficiens sont determines par une equa-
tion du troisiime degre. Liquation entre c' et c ne parait gu^re ^tre decomposable
de cette sorte.

.. 335

oil 0' et 0 sont deox variables ind^pendantes. Ainsi p. ex. si Ton fait 0'=0, on a

Ces fonctions jouissent de beauconp de propri^t^s remarquables.

11. Les formates presentees dans ce qui precede ont lieu avec quel-
ques restrictions, le module c ^tant quelconque, r^el ou imaginaire.

Premiere parti e.

Des fonctions elliptiques en general.

Chapitre I.
Propriet^s g^ndrales des fonctions elliptiques.

Les fonctions elliptiques jouissent comme oii salt de cette propriety re- .
marquable, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions pent ^tre
exprim^e par une seule fonction de la mdme esp^ce, en y ajoutant une certaine
expression (dgehrique et logarithvnque. La decouverte de cette propri^t^
est dike a M. Legendre. La demonstration que cet illustre g^om^tre en a
donn^y est fondee sur Tint^gration alg^brique de F^quation differentielle :

dy ds \

v/(a + Py + yy* + hy^ + ey*) ~ /(a + ^p + yjp* + Is^ + sjr*) *

L'objet de ce chapitre sera de d^montrer cette propri^te des fonctions' ellipti-
ques, mais en s'appuyant sur des considerations differentes de celles de Mr.
Legendre.

§.1.

Demonstration d'un th^ordme fondamantaL

Nous commencerons par ^tablir un theor^me general qui servira de fon-
dement de tout ce qui va Stre expos6 dans ce m^moire ctqui en m^me temps
exprime une propriety tr^s remarquable des fonctions elliptiques.

Theareme I. Soient fx et (px deux fonctions quelconques entih'es de x.
Tune paire, Fautre impaire, et dont les coefficiens soient supposes variables.
Cela pose, si Fon decompose la fonction entiere paire

{fxf — {(px)\^pcf
en facteurs de la forme x^ — x\j en sorte que

*) {M—{<fx)\t^f = A\x'—xXi{:d^—x^^^^ . . . {x^—x^^

oil A est ind^pendant de Findeterminee x^ je dis qu'on aura:

3S6

on a d^igne le param^tre de la fonction Hx, en sorte qae

La qaantit^ C est la constante d'int^gration.

Denumstratian. Sapposons d'abord qae tous les coefficiens des diverses
puissances de x dans fx et (px soient des quantit^s variables ind^pendantes.
Pans ce cas toutes les quantit^s Xj^, x^,...x^ seront ^videmment in^gales
entre elles et fonctions de ces variables. En d^signant par x I'one qaelconqae
entre elles, Tequation (1) donnera

4) {fx)^ — {(px)*.{^x)^ — 0,
et de Ik:

5) /a? + 9a?.Aa? = 0.
Cela pose, faisons poor abr^ger

ipx = ( fxf — (y a:)*(Aar)*,
et designons par \p'x la d^rivee de cette fonction par rapport k x seul. De
m^me designons par la caracleristique d la differentiation qai se rapporte anx
senles variables ind^pendantes. Puis en differentiant, on tire de I'^quation (4):

«

mais en vertu de (5) on a:

fxz=, — (px . Aar,
q>x{^xf = — /"a;. Aar,
done en substituant:

ip'x.dx — 2^x{(px.dfx — fx.dtpx) = 0.

De ia, en divisant par (l — ^).Aa:,* on tire:

ds 2(9J . ifs —fs. 8yj)

et en integrant:

77 ri(<fs.lfs—fx.h(fx)

Maintenant en faisant ar==;r^, x^^.^.x^^ ajoutant les resultats et faisantpour

abreger :

2(90? . 8fx — fx . d(px) = Oar,

on obtiendra:

337

A

Mais Oo; ^tant une fonction enti^re de x^ dont le degre est evidemment in-
fiferieor a celui de la fonction ^pXj le second membre, suivant an theoreme cotlinu
sur la decomposition des fonctions fractionnaires, se reduira k

aia

c'est-i-dire en snbstitnant la valeur de Oa et celle de t//a, a:

J (fa)^-{<^aY{^aY'

Cette integrale se trouvera facilement; en effet Ha etant constant, on aura en
integrant d'apr^s les regies connues:

24a ®V/a— 9a.Aa/'

on C est la constante d'integration. Cette fonction etant mise k la place dn
second membre de Tequation (6) donnera precis^ment la formule (2) qn'il s'agis-
sait de demon trer. * •

La propriete de la fonction n{x\ exprim^e par la formule (2), est d'au-
tant plus reiparquable, quelle aura lieu en supposant la fonction A^ racine
carr^e d'une fonction quelconque enti^re et paire de x. En eifet la demonstra-
tion prec^dente est fondee sur cette seule propriete de la fonction A:r. Done
on a de cette sorte une propriete generale d'une classe tres etendue de fonc-
tions transcendantes *).

La formule (2) ^tant d^montree pour le cas, ou les quantites x^^^ x^^ . ..x^
sont in^gales entre elles, il est evident qu'elle aura lieu encore en attribuant
aux variables ind^pendantes des relations quelconques qui pourront aussi
rendre plusieurs des quantites x^j x^,...x^ egales entre elles.

II y a a observer, que les signes des radicaux A^^, A^2'-^*^ix ^^ ^^^^
pas arbitraires. lis doivent dtre pris tels qu'ils satisfassent aux equations

^) /'^i+?'^i'^i=0, fx^'^(px^.Ax^z=zO, . . . fxy^'^-tpx^.AXy.^^Oy
qu'on tire de T^uation (5), en mettant pour x les valeurs a;, , x^^ . . . x^,.

'^) Voyez les m^moires XV et XX.

43

ass

La formule (2) exprime une propri^t6 de la fonction de la troisi^me
esp^ce n{x). Or rien n'est plas facile que d'en d^duire des propri^t^ sem-
blables des fonctions/

D'abord si Ton fait a infiai, on ^ nx=zvix\ mais il est'clair, qae la partie
logarithmiqae de la formule (2) s'evanoaira dans ce cas ; le second membre se
r^duira done k one constante, et par consequent on aura:

Egalement si Ton d^veloppe les deux membres de I'^quation (2) suivant les

puissances asceudantes de — , on aura, en compar^t les coeflficiens de — dans
les deux membres:

oil p est une fonction algehrique des variables, savoir le coefficient de — dans
le d6veloppement de la fonction

2Aa ®\/a— 9a.Aa/

1

suivant les puissances asceudantes de -^. *

En vertu des formules (2. 9. 10) il est clair, qu'en d^signant par ^x une
fonction quelconque de la forme:

I) 1—1-4 i-4( ^

MM\ / ^^ aura:

On Toit qae cette ^qaation a lieu quelle que soit la constante A.

§.2.

PropriM fandamentale des fonctiona elUptiques, tMe des formules prdc^dentes.

Dans ce qui pr^c^de les quantites x^^^ x^^ x^y . . . x^, sent regardees comme
fonctions des coefficiens variables dans fx et (px. Supposons maintenant qu'on
determine ces coefficiens de maniere qu'un certain nombre des quantites x^,
x^y...x^ pren4 des valours donnees mais variables.

•^

339

I

Soient a?^, or^, • • • ^m

des variables ind^pendantes. Alors les coefficiens dans fx^ (px deviendront des
fonctions de ces quantites. En les sobstitnant dans I'eqaation

le premier membre sera divisible par le produit

(;i;»-;r«)(:r»-*^)...^— ;r».),
et le quotient, egale a zero, donnera une Equation du degr^ /i — m par rapport
k x^j dont les racines seront les fi — m quantites:

•^»+lj ^^ m-|-2j • • • X^j

qui par suite sont des fonctions algebriques de x^j x^y. ..x^.

Le cas le plus simple et le plus important est celui, ou le nombre /a — m
a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut donner aux
fonctions fx et (px la forme la plus generale pour laquelle le degr^ de Tequa-
tion (fxy^ — (qp^)?(Aa:)*= 0 est egal a fi.

II est facile de voir que le plus grand nombre de coefliciens possible a
introduire dans fx et q>Xy est ^. Mais, puisqu'en vertu de. la forme des Equa-
tions (7) on pent supposer un de ces coefficiens Egal k I'tmite, sans diminuer
la gEneralite, on n'aura reellement qu'un nombre de /i — 1 indeterminees. On
pourra done faire m:=:fi — 1, en sorte que toutes les quantites x^y or^, . . . a?^,
excepte une seule, seront des variables independantes. Par 1^ on aura imme-
diatement la propriety fondamentalc des fonctions elliptiques dont il a etE
question au commencement du chapitre.

n y a deux cas difler^nts k considerer, savoir fi pair ou impair.

Cas I. fi etant pair et = 2w.

A. Si la fonction fx est paire et ifx impaire, il est clair qua fx doit
Etre du degre Sts, et q>x du degre 2n — 3. Faisons donc:

et

15) (fxf—{q>x)\l—x''){l—c^x'')=(x^—x';^{x''—x^^

ou nous avons mis y au lieu de x^^^ qui sera une fonction des variables or^,

X^y • • • X2n—x*

Les coefficiens a^, a^, a^j'»' flit-i> ^oj ^u--' ^"-a seront exprimes en
fonctions de x^^^ x^y... k Taide des fi — 1 Equations (7), savoir:
13') fx^-{-(px^.^^=Of /a:,+yar,.Ai:ii:i:0, .../a^^»_l4-¥*«»-l•^»|•-l=®•

Oo

«Sv • • «Sv a • • • Jbia-^\

340

Ces equations, ^tant lineaires par rapport aux inconiuies, dooneront celles-
ci en fonctions ratiannelles des quantit^s :

n est clair qu'on pourra donner aax radieaux Aa;^, Aa?^, • • . Aa?ai,.i des signes
arbitraires.

Pour avoir la valeur de y, faisons dans T^quation (13) x=0.
Cela donne

d'ou Ton tire:

14) y=-

La quantise y est done une fonction rationnelle des variables x^j or^, • . . et
des radieaux correspondants.

Si maintenant y a cette valeur et qu'on fait

A^2f» = — Ay,

les formuies (Si. 9. 10) donneront:

fsx^ -}• ®^« "h • • • + ®^«i^i = ®y "h C'j

15) ^®o^i+ao^a4----+®o^«"-i=®oy— *»-« + c;

/&. +-/7.. + . . . + /&^.= %- ^ l.g(^±K^) + C.

Quant aux fonctions xsy^ xs^j Tly^ il faut bien observer que . le signe dn ra-
dical by n'est pas toujours le m^me. II sera dans tons les cas determine par
la demi^re des Equations (7) qui, en mettant pour x%^ et A^,* l^iurs valours y^

et — Ay, deyiendra : .

fy — (fy.by=zO.
On en tire

16) Ay = ^,

et cela fait voir que le radical Ay , comme y, est une fonction roHonneUe des
quantit^s x^ , ar^, • • . A^t^^ , bx^ - * * .

La fonction y a la propri^te d'etre zero en m^me temps que les variables
^1 9 ^29 • • • ^211^1 • En effet si Ton fait

X I X^ ^^^^ • • • ■ ■■> M>2i»i-1 ' vf

r^quation (13) ne pourra subsister a moins que tons les coeflficiens o^, a^,...
^^1 ^09 ^i9 - * • ^i»-9 ^^ soient ^gaux ^ z^ro, done cette equation se r6dnit k:

a;*- = :i;*»-*(a:*— y%
done on aura y = 0. ^

341

On poarrait donner le signe contraire au second membre de I'equation
(14). Celai qae nous avons choisi est tel que le radical Ay se r^duit a -j" !»
en supposant a?^ = ;r^ = a?, = . • • x^m^i = 0, et en m^me temps Aar^ = Aar^
=: • . • Aa?a».i = -|- 1- Pour demontrer cela, supposons x^, ^2' * * * ^2n^i infi-
niment petits, on aura dans ce cas:

Aa?, = Aa?- ==: . . . ^^n^i = 1,
et les Equations (13') font voir que ar^, ^2' * ' ' ^2n^i satisfont k T^quation:

17) ai^+a^ix^^+b^^x^^ + . . . + 6^ar + ^o == 0-

Cette Equation etant du degr^ Sn, doit avoir encore une racine. En la desig-
nant par Zj on aura:

done en vertu de I'equation (14)):

L'^quation est done satisfaite en faisant x = — y. Or cela donne

y*-+a^iy^* + . . • + «y + «o = (*o+*y + ••.. + b^^y^-^)y,
done en vertu de (16):

18) Ay = +1.

On pourra encore remarquer que y se r^duit pour des valours infiniment petites

de ar^, ^a» • • ' ^«»-i ^ ^1 + ^a "i" • • • "I" ^2»-i" ^^^^ ^^* ^®''* Tdquation (17),
qui, n'ayant pas de second terme, donnera la somme des racines igale k z6ro,

c'est-&-dire :
done:

19) y = OTj + O:^ + • . . + OTa^i.

B. Si /^;r est impair et q>x pair, /"a; doit dtre du degr^ 2n — 1 et ifx
du degr^ in — 2. Done on aura dans ce cas un nombre de 9,n — 1 coefficiens
ind^termin^s, et on parviendra a des formules semblables aux (IS); mais la
fonction y aura une valeur differente. On demontrera ais^ment quelle sera

^gale & — la valeur de y ^tant d^termin^e par r^qaation (14).

Cas IL Si fi est tin nombre impair et =2»-)-l.
A. Si fx est impair et (fx pair, on aura:

21) (A)'— (q)ar)«(l~-ar«)(l— c»a;«)=(;r»— ar»)(ar«— a?:)...(ar»— a?L)(a?*— y*).

342

Les coefficiens o^, a^y...a^iy b^^ b^y...b^i sont d^termin^s par les 9n
Equations lin^aires:

La fonction y le sera par T^qnation:

qa'on obtiendra, en faisant d^ns (21) ar = 0.
Enfin de radical Ay ^^t determine par

24) Ay =— •

Cela pos6 on aura:

tsx -|- oar -j- . • • -|-* tsx^n = ®y "j" C',

25) (®o^i + ®o^2 + • • • + ®o^*» =®ay — ^-i + '^j

Les fonetions y et Ay sont, comme dans le cas precedent, des fonctions ration-
nelles des variables x^, ^2' * * * ^^^ ^^ ^^^ radicaux A^^, Aa?^) • • • A^2»» et on
d^montrera de la m^me mani^re, qu'on aura pour des valeurs infiniment petites
de x^ 9 * * * ^2fi>

26) y =^i + ^a + -. -H-^ai., Ay = + 1;

si Ton suppose en mdme temps que les radicaux Ao?^ , Aor^ , . . . Aat^. se redui-
sent k -^ ly y s'^vanouira simultan^ment avec les variables.

Les formules (25) pourront d'ailleurs £tre d^duites sur le champ de celles
du premier cas, en y faisant ^2»-i ==0, et changeant ensuite n en n-\'\.

B. Si fx est pair et q>x impair, on parviendra a des formules sembla-

bles. La valeur qui en r^sultera pour la fonction y, sera ^gale 4 — , ou y est

determine par la formule (23).

On voit done par les formules (15. 25), qu'on pourra tpujours exprimer
la somme d'un nombre donn6 de fonctions par une seule fonction de la mdme
esp^ce, en y ajoutant, pour les fonctions de la premiere esp^ce, une canstantej
pour celles de la seconde esp^ce une certaine fonction algebrique^ et pour
celles de la troisi^me espece une fonction logarithmique.

En faisant attention qu'une int^grale quelconque de la forme

Ai~'

/

348

p^nt toe r^duite anx fonctions 00? et 0^ et & un certain nombre de fonctions
de la ^oisi^me espece, en y ajontant une expression alg^brique et logarithmi-
qne, il est clair qu'en faisant

on anra

' 27) *V'ari-|-ipar,+ t/;ar3... = ipy-|-t)+C;

od V est exprimable par des fonctions alg^briques et*logaritbmiqaes.

En vertu des formnles (15. 25) il est clair que la fonction v ne change
pas de valeur, si Ton ajoute k la fonction rationnelle Oo? une quantite constante
qnelconque, de sorte qu'on pent supposer egalement

Je dis maintenant que la fonction \p est la seule qui puisse satisfaire k I'^ua-
tion (27). En effet si Ton diff^rentie cette equation par rapport a Tune des
variables independantes x^y x^^ .. .^ par exemple k x^y on aura:

Cela pos6, si Ton suppose toutes les quantites x^^ ^8'***y ^gales a des con-
stantes determin^es, on aura, en mettant x pour x^^ et faisant

ip'x . dx =1 A . qdx -^ pdxy
d'oh Ton tire:

%px ^=:J{Aq + p)dx.

La fonction tf;a; ne pourra done renfermer qu'une seule constante indeterminee

Ay et par consequent:

est son expression generale.

Les propriet^s exprimees par les formnles de ce paragraphe appartien-
nent done exclusivement aux fonctions elliptiques Cost pourquoi je les ai
npmm^es fondamentales.

Dans les formnles que nous avons denudes, y a une valeur unique, mais
on pourra satisfaire aux m^mes formnles, en mettant an lieu de y une expres-
sion algebrique contenant une constante arbitraire. En eSeij pour avoir une
telle expression, il suffit de supposer une des varibles x^y x^y x^y... ^gale k
une constante arbitraire, et la valeur de y qu'on obtiendra par 1^ sera la plus

344

generate possible, comme on salt par la th^orie de rint^gration des ^ationR
diff^rentielles da premier ordre, dont I'int^grale complete ne contient qa'iine
seoie constante arbitraire.

A I'aide des formnles (15. 25) on pourra exprimer la somme d'un nom-
bre qaelconcfue de fonctions par une seule fonction. II est facile d'en tirer
les formules soivantes:

ou fi^y 1^29 * * ' f^ny f^ designent des nombres entiers quelconcpies, et y est une
fonction algebrique des variables x^y x^,. . . x^, de m^me qne les coefficiens
dans fa et q>a. Pour avoir ces formules, il suffit. de supposer dans (13) et

«

(21) un certain nombre des quantit^s x , x^^ ...y egaies entre elles.
Pour determiner y^ fx, <px, on aura cette equation:
29) {fxf — {tpxf{i _ a^) (1 — c'x^

=(;r» — xy^x^ — xl^^ ...{x^— x\)i^{x* — y')^
qui doit avoir lieu poor une valeur quelconque de x.

§. 5.

^Application au eas, oH deus fonctions sont donn^es.

Poor rdduire deux fonctions k une seule, 11 suffit de supposer dans les

formules (25):

»== 1-
Cela donne

fx = a^ -j- a:*, ^iX =: h^j

et pour determiner les deux constantes a^ et h^^ on aura les deux equations:
qui donnent:

Connaisant ft^, on aura la valeur de y par la formule (23), savoir pour 9t = 1:

done:

30)

x\ X

a

2

^i^ft—'^a^i'

846

on bien en multlpliant en hant et en b^ par a?^Aar^ -f* ^2^1 *

5i) y

Si^S^+S^LTi

1 — e*s\s\

Si Ton exprime a^ et b^ en x^y or^, y, on aura ces expressions tr^s simples:

52) fto=^i-^«y» «o=j(^^!^y— ^!— ^J— y*)-

L'expression de a^ se tire de T^quation

(a^+ai')^ — bl{i — x^){l-^c^x')=:{x^^xl){x^^a;l^
en 6galant entre eax tes coefHciens de af^ dans les deux membres.

Les fonctions a^ et y ^tant d^termin^es comme on vient de voir, les for-
mul^s (2S) donneront, en faisant n=l:

iiax^ + o|ar, = oy + C,
o^j + o«a?,= o<^ — x^x^ + C,

Qnant k la valeur dn radical ^, elle est donate par I'^qaation (24):

c'est-i-dire :

54) Ay=^-

Pour r^duire la diffi6rence de deux fonctions k une seule, il snfiit de changer le
signe de x^ dans les formules prec^dentes. La valeur de y deviendra par \k:

55) y

jp^Ax^ — '2^1

.a

Si dans les formules (33) on fait x^ egal k une constante arbitraire, on aura la
condition qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions si elles doi-
vent ^tre r^ductibles Tune k Fautre. En faisant x^=ze, x^=zXy on aura:

En differentiant, il viendra

57) ^=^-

/ ^ Ay Ajt

L'integrale complHe de cette equation est done exprim^e par I'equation alg^
brique (36), e £tant la constante arbitraire. Parmi les int^grales particnli^res
il y a ^ remarquer les suivantes:

1) y = ar, qui repond k ^=0, Ay = A:rj

2) y — ±^, qui ripond a e = ^, Ay=T ^,

44

846

Application au cas, od toutes lea fonctions dannies $ont Agates.

Si Ton fait dans les formules (15. 25).

• • •

z itmt rindeterminee.

La fonction y est determin^e par les equations (14. 23) :

40) , = -^ ,= k.

La premiere a lieu si /i=2n — 1, la seconde si fi=zZ7i. Les equations (13'.
22) qui doivent determiner les coefficiens a^y a^j a^,..., h^j b^y ^,>*** 8^
r6duiront dauB le cas que nous consid^rons k une seule, savoir

mais en vertu des principes du calcul diffi^reiitiel, cette Equation dott avoir en-
core lieu, en la diSerentiant par rapport k x seule un nombre quelconque de
ibis moindre que fi. On aura done en totalite ^ Equations lin^aires entre les
[I inconnus, d'oii Ton tire ieurs vaieurs en fonctions rationnelies de la variable
X et du radical t^. Connaisant a^y a^y a^^, . . ., b^j 6^, b^y.. ., on aura la
valeur de Ay a Faide de F^quation:

On poorrait determiaer de cette sorte toutes les quantites n^cessaires, mais
pour mieox approfondir les propri^t^ de la fonction y, nous aliens entamer
le probl^me d'une autre maniere, qui conduira successivement aux vaieurs de yy
correspondentes aux valeur^ 1, 2, 3 etc. de /w.

Designons par x^ la valeur de y qui r^pond a fi. On aura

vix^ = C+ fifSXy

I

847

done : ©(^ji+m) = C -|- j&x^ 4" ®^»>

mais si Ton fait

on aora^ en vertu de (2S):

oar,, -j- oaTjjt = I3y,
done:

41) oa?|j^j^ = C-|- oy-

La valeor la plus generate de x^^^^ qui satisfera k eette equation est:

41 ) ^|i+«»

yAe + eA jf

1— c«eV'

oil e est une constante. Pour la determiner, soit x infiniment petit} on aura

x^:=mxj x^^=fiXy x^^=:{m-\-fA)x, ^x^=ziiXy^z=li
done:

y=(m+iM)a?, Ay = l
L'equation (41') donnera:

(i«+iw)^ = (»i+^)^.A^+^,
done ^=0, A«=l et par suite a:,^^=y, c'est-a-dire :

42)

:r,

"^^^ 1— c«jr!x«

On aura de la m^me maniere:

s Ajt — jf Ajt

La premiere de ces formales servira a troaver x^^^y lorsqa'on connait x^ et
;r^; on. poorra done former successivement les fooctions

^» > "^t > ^4 > ^* > • • • >

en remarquant que x^ = or, Aar^ = Aar.
Si m= 1, en trouvera:

En remarquant que

Xq • Vj •ITj I •Fj

eette formule fait voir que x^ est une fonction rationnelle de- Xj si /i est un

nombre impair, et que Xy, est de la forme p.Aar, oil p est rationnel, si /i est uii

Ar
nombre pair. Dans le premier cas '-— est rationnel, et Axy, Test dans le

second. On voit egalement que Xy, s'evanouira en mdme temps que Ar, si fi

est un nombre pair« Les quantites

44*

34S

sont done des fonctions rationnelles de x.

Si Foil multiplie entr^ elles les deux formules (42, 43) il viendra :

44')

Xn^it^»X^

JA+»*'*'I*^^ — J— ^

9 «.3'

>r..x

6^ation qui parait exprimer la plus simple relation qui puisse dtre Stabile entre
les fonctions x^.

En y faisant m=:fi — 1, on aura:

De m^me si Ton fait m=ifjiy on aura:'

46) X — .!V^.

Ces deux formules semblent £tre les plus commodes pour le calcul des fonc-
lions x^ y mTm j *^a f * * *

Pour trouver les expressions les plus simples de Xy^j supposons:

Pu. . *•

47) ;r^ = — t., Aar,

K-

,2 y

oil p2[ , qy, sont des fonctions entiires de Xy n'ayant pas de diviseur common.
En mettant ces valeurs dans I'equation (46), on aura:

P^^^ ^Mit'V

Or il est evident que la fraction du second membre est r^duite k sa plus simple
expression; done on aura s^parement:

En faisant les m^mes substitutions dans I'equation (45), on obtiendra
49) ^'J^,^-. _Pl'9lL-t-vl'Pl-i

Or je dis que la fraction du second membre est reduite k sa plus simple ex-
pression. . En effet si Ton avait pour une mdme valeur de x:

on aurait encore:
Mais on a en general

349

«K^»- l-c'xj,.,j^. - x^Ax^ -x^.Ax/
done aussi:

oa bien:

ce qui est impossible, car oa doit avoir:

1

Cela pose, Te^sation (49) donnera:

50) Ptt^.i= — 'ipl.'q^i—ql-pl-i), q*v.-i=^qlql-i — c*pl.p*.i.
Si done on determine successivement les fonetions

P^y Qt^Pzy 9zyP49 ^4^ • •
par les ^qaations (48. SO), — sera toujonrs reduit a sa plus simple expression*

On pourra faire p^ = ^9 9^i ^= ^* D'^pi^^^ 1^ forme des expressions (48.
SO), il est clair que

i) p%iL-i est une fonction enti^re et impaire de x du degri (2/i — 1)%

2) jp2|A=jP'.Aar, on p' est une fonction entifere et impaire du degr6 (2/t/)* — 3,

3) q^ est une fonction enti&re et paire du degre fi^ — 1 on fi^y selon que fi
est impair on pair.

Les fonetions x^^tr-i <^t X2p, auront done la forme suivante:

3 . 9

On aura par exemple:

II est facile de voir que les coefficiens A^, A^y. . .A^j A^y. ..B^j B^y
• • • jB^, B\y... seront des fonetions enti^res de r*. On a toujours

A^ = 2ti^UB^=zilieiAl=zB\ = 0.

La fonction x^^ est, comme on voit, irrationnelle ; or on pent facilement
trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse a I'^quation

-r — — %U . -T— •

3aO

Une fonction de cette sorte est la suivante:
car on a en vertu (37):

dy ds.

et y est rationnelle, puisque les fonctions iix^^ et x\^ le sont On verra aisi-
ment que cette fonction y aura la forme:

55) y == ^ , , ^, .

Poor /i= 1, on aura:

Nous verrons dans la suite, comment les fonctions x^ et y peuvent £tre de-
compos^es en facteurs et en fractions partielles.

Nous ferons voir aussi que les Equations precedentes sont toujours r^so-
lubles algebriquement par rapport k Xy en sorte qu'on puisse exprimer x en
x^ a I'aide de rtidicaux.

ChapitrelL
Sur la relation la plus generale qui existe entre un nomLre

quelconque de fonctioDs elliptiques.
Apres avoir ^tabli dans le cbapitre precedent les propri^t^s fondamentales
des fonctions elliptiques, nous aliens maintenant en faire d'applications an pro-
bleme g^n^ral, que nous nous sommes propose. Nous ferons voir qu'on
pourra en ramener la solution k celle de quelques autres plus simples.

§ 1.

Sur la forme dont Vmt^grale d'une diff^rentielle quelconque alg4brique est eueeeptiblep
en suppoeant cette intdgrale esprhnahle par des fcnctitme algAHques,

logarithmiquee et elliptiquee.

Soient x^y x^, x^y...x^ un nouibre quelconque de variables, liees entre
elles par des Equations alg^briques dont le nombre est moindre que celui des
variables. Soient y^, y^, .. .y^^ des fonctions algdbriques quelconques de ces
variables et supposons que la diffi6rentielle

y^.dx^ -f y^.dx^ H + y^.dx^

soit complete et que son integrale soit exprimable a Taide de fonctions alge-
briques, logarithmiques et elliptiques, en sorte que Ton ait:

361

oil A^y A^y . . . A^j a^j a^, . . . Wh sont des quantit^s constantes, m, v^j t?^,...t%,
^1 > t^9. ->tn des fonctions algehriques des variables ar^, a?^, . . . o:^, et t//^, i/; ,
'V^a? • • • V^M des fonctions elliptiques quelconques des trois esp^ces avec des
modules et des paramHres quelconques. Designons r^spectivement par c ,
e^y...c^'\eH modules de ces fonctions, et faisons ponr abreger:

58) ± K((l — ^*)(1 — c\x^)) = t^xy
en sorte qu'on ait en geperal :

59) ^-^=/l^»

oil 0' est nne fonction rationnelle de x^ de Tune des trois formes:

1 * 1

a*

selon qne \\)^x est une fonction de la premiere de la seconde on de la troisi^me
esp^ce. Nons ponrrons m^me supposer qne 0' soit une fonction rationnelle
quelconque de x.

On pourra regarder an certain nombre des quantites x^^ x^^.^.x^ comme
variables ind^pendantes. Supposons que les m premieres

OUJ X ^j X^y X^y m m • X^y

le soient: dans ce cas tontes les quantites:

t>i^ ^M+i > ^M+s > • • • ^jjL > 'i > 'j > • • • *»> ^ '^x > ^2 > • • • '^'v 5 y 1 > y^ ' - • • y^-

seront des fonctions alg^briques de x^j ^^9 * • * ^m-

Cela pose, imaginons one fonction algebrique 0 telle qu'on puisse expri*
mer tontes 'les fonctions:

62) UyV^yV^y...v^i t^y *^, . . . t^y A^(<^), A^(*J, . . . A»(^»)
rationnellement en

^~/ 8, X^y X^y X^y . • • X^y ^ ^ , Jf ^y ^ 3 , . • • J^jj^.

U existera une infinite de fonctions 0 qui joniront de cette propri6t6. Une
telle fonction sera p. ex. la somme de toutes les fonctions (62), multipliees
chacune par un coeflTicient indetermin^ et constant Cela est facile de d^montret*
par la th^orie des Equations alg^briques. La quantity 0, etant une fonction
algebrique des variables x^y or^,..., pourra done satisfoire k une Equation
algebrique, dans laquelle tons les coefiiciens sont des fonctions ratumneUes de

352

^i9 ^a9 • • * Or au liea Je sapposer ces coefiiciens ratioiinels en x^y ^,9 • • •»
noas les sapposerons rationnels en

^*/ ^i> ^2' •*^>' * • • ^j*' 3^1' ^a* y>» • ' • y^^*

Cette supposition admise, on simplifiera beaucoup ie raisonnement
Soit done

65) r=o •

r^quation en 0, designons son degr6 par d et snpposons, ce qvi est permis^
qu'il soit impossible, que la fonction 0 puisse dtre racine d'une autre Equation
de la rn^me forme, mais dont le degre est moindre que d.

Imaginons maintenant qu'on differentie I'^quation (57) par rapport aux va-
riables independ antes or^, ar^,... x^. II est facile de voir, que la diffdrentielle
qu'on trouve sera de la forme

66) p^'dx^'^p^.dx^ + ...'\-p^.dx^=:Oy

oil Vy> p^9***Pm seront des fonctions ratianneUes des quantit^s

X^ y X^ > • • • ^m 9 ^m+l > • • • ^|I > y 1 > y^ • • • y** ' ^ ^l * ^a * '^S > • • • ^^^ >

1' ^a> • • • ^8 J • • • ^»> ^iv 1/' ^a\'«/» • • • ^(^»/*

Done en introduisant la fonction. 0; jp^, P^y^P^ deviendront des fonctions
;rationne]les de

^^) ^9 •^i> ^2' • • • ^1*' yi ' ya' • • •yK'*

Cela pos^, r^quation (66) donnera s^parement

68) p^=zO,p^ = Oy p^=.0,:..p^ = 0,

et il est clair que si ces Equations sont satisfaites, I'^quation propos^e (57) le
sera ^galement Maintenant les Equations (68) sont autant d'equations en 0
de la m^me forme que V:=Oy ou pourront ais^ment dtre r^duites i cette forme ;

mais suivant rhjrpothtee V^=:Q est une Equation irreductible en 0, done il suit
d'un th^oreme connu, que toutes les equations (68) seront encore satisfaites,
en mettant au lieu de 0 une quelconque des racines de I'equation F=:0. Done
I'equation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de 0, pourvu qu'elle satisfasse

Ddsignons par

69) e^, e,,...e5

les racines de T^quation V=zO et par

70) u\ u%... M^^); t;',, 7f^, . . . vj^^-j f'«, ^^'.j • . . tj^^
les valours correspondantes des fonctions Uy t;„, ^m. L'equation (57), en sub-
stituant dans le second membre les expressions des quantites ti, v^^ v^j

• • • •

353

'i> ^s? • • M donnera A(fj), l^t^^ ...en fonctions rationnelles de 9, ^^^ ^^^ • • • ^iit
y^y ^2, . ..y^; substitoant ensuite au liea de 0 successivement les d valeurs O^,
Oa>-«-0$9 requation (57) donnera, dis-je, d Equations semblables quiy ajouties
ensemble, conduiront a celle-ci:

Le second membre de cette equation pourra encore £tre r^doit k nne forme
beauconp plus simple. Consid^rons d'abord sa partie algebriqae

72) te' + w'' + . • . + wW= K

Cette fonction est exprim^e rationneUement en

^i> ^ftj • • • ^H-' yi' y*' • • • yn-' m> ^a> • • • ^j?

.mats elle est en m^me temps symetrique par rapport ^ O^, 029>**0^> done en
vertu d'un theor^me connu des fonctions symetriques et rationnelles, on pourra
exprimer la fonction U rutionnellement en

et par les coefBciens de Fequation F = 0 ; mais ceux-ci sont eux-m^mes des
fonctions rationnelles des quantites (73), dope la fonction U le sera ^galement
Soit maintenant

74) log F« = log t?'« + log t?*«. + . . . + log t?«W ,
on aura

V^ = v'^. tf^ . • . vj^^ ,
done la fonction V^ est aussi une fonction rationnelle des quantites (73. 69)
et symetrique par rapport k 0,, Oaf-O^; done on demontrera de la m^me ma-
ni^re, que V^ pourra s'exprimer rationneUement par les quantites (73) seules.

U reste a considerer la partie elliptique de I'equation (71); or d'apr^s les
formules du chapitre precedent, on pourra toujours faire

^ (=tp4^«)+p + 5ilogyi + iB,logya+... + ^,logjr,
oil toutes les quantites

sont des fonctions rationnelles des fonctions

or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantites (69. 73), et il est

45 '

364

q1^. qu'eUes seront 83nEn^triques par rapport h Oi^ 9^9 •^•Os, done enfin on
paurra exprimer les fonctions (76) rationnellement par les quantites x^^ x^^

• • • ^|i5 y\9 y%9 • • • y\k*

En vertu de ce que nous venous de voir, on pourra done mettre le se-
cond membre de I'equatiou (71) sous la forme:

?• + ^' log p' + ^Mog ()• 4- . . . + ^^*> log e^.*>

Done nous sommes parvenus a ce theoreme general:

Theorhne H. Si une integrale quelconque de la forme

fiy 1^1 + y%^^ + • • • + yixrf^ii)>

oil yi, y^j ***y[L sent des fonctions algehriques de or^, ^^^•••^^^ Mes entre
elles par un nombre quelconque d'equations alyebriquesj pent ^tre es(prim6e
par des fonctions alg^briques, logarithmiques et elliptiques de sorte qu'on ait:

J\yi^i+ y%^% + • • • +yix^ix) = ^ + a^\o^v^^a^\^%v^ + . . . + ^^ logt;^

0

oil A^^ A^j • • • ai9 ^29 • • • sont des constantes ; i^ v^j v^j • • • ^i9 ^99 • • • des
fonctions Vi/^e6ri^i£^^ de or^, x^j... et t/;^, V^99--* des fonctions elliptiques
quelconques; on pourra toujours eiEpnmer cette integrate de la mani^re suivante:

<^/(yi-rf^i+y«-rf^«+---+yH^-«tr^)=^+^'iog()'+^Mogp^

+ «i-V'i(ei) + cc^'W2(Ky+ • • • + «»• v»(M»

^ etant un nombre entier; a^, o(^9-«-<^i. les mdmes que dans Tequation (S7);
A'^ 2^% • . . des constantes, et

e,, Aj(oj, 0^9 A,(o,), . . . Om, A«(e«), r, e', ?% . . . (><*>

des fonctions rationnelles des quantites:

•*^i 9 •'^j 9 • • • ^|ji 5 y 1 9 y 2 9 • • • yii« ^

Ce tbeorime a non seulement beaucoup d'importance dans la solution de notre
probl^me g^n^ral, mais il est encore le fondement de tout ce qui coneeme
I'application des fonctions alg^briques, logarithmiques et elliptiques a la theorie
de I'integration des formules differentielles algebriques. Jen ai tire un grand
nombre de resultats nouveaux et generaux que je sousmettrai au jugement des
g^om^tres dans une autre occasion.

Comme corollaire de ce theoreme il y a & remarquer le suivant:

Theorhne HI. Si nne integrale de la forme

356

i

pent etre exprim^ par mie fonction alg^brique et logarithmique de la forme

u + A^ log t;^ -^J^\ogv^ + ... + A^ log v^,
on pourra toujouns supposer que ?/, v^^ v^y . ..v^ soient des fonctloni^ ration"
nelles de x^^y x^^ . . . x^^ y^, y^, . . .y,i. Si done on a Tint^grale fydx^ oil y
est li^e k x par nne Equation algebrique quelconque, on pourra snpposer que
M, v^y v^ ete. soient des fonctions rationnelles de y et x*).

§.2.

AppUcatum du tMorhne du paragraphe pr^cMent d^a relation gindrale qui esiste entre

des fonctions algMriques, logarithmiyues et elliptiques.

On pent tirer immediatement du th^or^me general deinontre dans le para-
graphe pr^c^dent, plusieurs propositions importantes, relatives k la theorie ded
fonctions elliptiques.

Soit

nne relation quelconque entre les fonctions elliptiques

dont les modules sent res))ectivement c^^ c^y...c^. Si pour abreger on fait
i}/((l — ^)(1 — c*«^))=:A»ar, le premier membre sera la mdme chose que

OVL T^y^r^j. . .r^ seront respectivement des fonctions rationnelles de x^^ x^,
'. • • x^. Done en vertu du tb^or^me III. on pourra 6noncer le suivant:

Thearhne IV, Si Tequation (77) a Hen en supposant que m, v^^ v^y...v^
soient des fonctions algebriques des quantites x^y x^y...x^i on pourra tou-
jours, sans diminuer la generality, supposer, que tiy v^^ v^^.^.v^ soient ex-
prim^es rationnellement

en x^y x^y m . . x^y ^1^1 > ^a^2> • • • ^ii'^fi*
En ecrivani I'^quation g^nerale- (77) de cette maniere :

*) J'ai fondd sur ce thdor^me nne nouvelle thdorie de Tiiit^ation des formules diffd-
rentielles alg;dbr!que8, que je n*ai pu encore publier jusqn'k present. Cette thdorie
franchit beaucoup leg rdsultats connns, et son but est d*operer toutes les rMuctions
possible^' des integrates des formules algdbriques, k Taide des fonctions algebriques
et logaritbmiques. On parvient par \k k r^duire au plus petit nombre possible les
int^aleg qui repr^sentent sous one forme finie toutes les int^grale d'nne mttat classe.

45 *

-366

11 3 9

on aura en verta da theoreme II. le suivant :

Theareme V. Si Fequation (77) a lieu, on en pourra totijonrs tirer one
autre de la forme:

79) da^^^x^ + da^yp^x^ + • • • + *a«V«^«+ ««m-i V«h-i*i + • • • + «jiV|i*ji-«

=:?-+^'log()' + ^Mog()» + ...-|-^^*>log(>W,
d £tant un nombre entier et les^quantites

des fonctions rationnelles de

On aura encore comme corollaire:

Thearhne VI. Si une relation quelconque entre les fonctions elliptiques

^^1^1' ^a^s > • * - "V^H^^ii ^^^ ^^^^^ esp^ces a la forme exprim^e par T^quation
(77), on' en tirera une autre de la forme:

+ r+ J'logp'+ J*'log()» + . . . + ^(*>log(>W,
9 £tant un nombre entier et toutes les quantites

des fonctions rationnelles de la variable x et du radical correspondant A^ir.
Toutes ces fonctions pourront done se mettre sous la forme:

p-^-q.^^Xj
ou p et q sont des fonctions rationnelles de x seuK

Voil^ le th^or^e qui nous conduira, comme nous le verrons plus bas, k
la solution de notre probl^me.

Si Ton suppose toutes les variables x^j x^^...x^ ^gales entrc elles et
k Xj et les fonctions i/;^, V',, .. . V'lx ay ant le m6me module, que nous disigne-
rons par c^ le premier membre de I'^quation (77) sera la mSme chose que

/ , oil r est une fonction rationnelle de x\ done en vertu du th^or^me D.
on pourra enoncer le suivant.

367

Theareme YD. Si entre les fonctions vix^ vi^Xy U^x^ U^x^.^n^Xj ou
n^y 17^ y ... If ^ designent des fonctions de la troisi^me esp^ce, avec des pa-
ram^tres quelconques, mais avec le m^me module c qu'ont les deux fonctions
de la premiere et de la secotide esp^ce wx et w^Xy il existe une relation quel-
conque de la forme:

^ (= tc + ^1 log t?j + ^^ log ??, + ... + -4^ log V^y
on ponrra toujours supposer que les quantites

soient de la forme p -|- q^^ oil /i et ^ sont des fonctions rationnelles de x seul.
Ce theor^me est encore d'ane grande importance dans la th^orie des
fonctions elliptiques. Nous en developperons dans le chapitre IV. des conse-
quences importantes pour notre objet

§ 3.

Reduction du probldme g^n^ral.

Reprenons la formule du th^or^me VI. En la diflerentiant, le r^suUat
sera de la forme:

oh P etQ sont des fonctions rationnelles de :r; done on aura separement P=Oy
jP=:0, done encore P — !P.A«a7 = 0, c. k. d. la formule (80) aura lieu en
faisant varier le signe du radical A»^. Or en designant par 0\, 0',, 0', etc.
les valeurs correspondantes de 0^ , 0, » • • • » cela donne

— da^.\p^x = — 2a . i/;0' + v\
oh pour abreger nous avons mis le signe de sommation 2; v' ^tant la partie alg6-
brique et logarithmique. En retranchant cette Equation de (80), on trouvera

82) 2tfa» . ip^x = 2«(i/^e' — t/Je) + i; — t?'.

Cela pose, designons par c le module de la fouction \p et par A^ la fonction
iV^((l — x^){l — c*:c^)); on aura, selon ce qu'on a vu dans le cbapitre L(35):

en faisant

y 1 — c«o«o*«'

v^ etant une expression alg^brique et logarithmique.
Soient maintenant

e r=zp + qX^Xy AO = r + pA^ir,

S58

oil Vj 9y 7*9 if soot de8 fonctions rationnelies de x. En changeant le signe da
radical Am^, on aura les valears de V et AO', savoir

En Bubstitnant ces valours dans I'expression de y, il est clair que cette fonc-
tion prendra la forme:

83) y=zt.^^Xy

oil t est rationnel en a?. En vertn de la formnle (34) on volt que Ay sera
aussi rationnel en x.

Si maintenant on fait
ou e est constant, on aura encore :

'^y = i/;z '-j- Tfy

done:

'V^O' — V'^ = ^-2; + Vy
Or je dis qu'on pourra faire ensorte que z soit une fonction rationnelle de x.
En effet il suffit pour cela, d'attribuer a la constantea une valeur quifait Aez=0.
Soit par exemple ^=1, on aura

84) 2 = ^ et de li A2= ^^~^ .y,

mais y^ et Ay, comme nous venous de voir, sent des fonctions rationnelies de
Xy done z le sera ^galement

La fonnule (82) prendra done la forme suivante:

85) 2da^ . '\\)^x = 2at/;z + F,

oil V est une fonction alg^brique et logarithmique, qui en vertu du theoreme II.
pourra se mettre sous la forme:

w + Jji log Vj + ^a logt?a + • • •

toutes les quantites u^ v^^v^^... etant de la forme p -j- q.^x.

En d^veloppant le second membre de I'equation (85), on aura aussi la formule:

ou en vertu des deux Equations (84, 83) toutes les quantites

sont des fonctions rationnelies de la variables x. Cette formule est done une
suite n6cessaire de la formule gen^rale (77). II faut faire attention que d est

86) j2^«— 'V'«^ = ^i-^A +

859

an nombre entier et que les coeflfidens ce^, a^,-..a^ sont pricis^meat les
inSmes dans les deux formnles. C'est nne remarque essentiolle.

A Taide de la formule (86) on pourra maintenant r^duire la fonnnle g£-
n^rate (77) k nne autre plus simple; En effet, en ^liniinant la fonction xp^x entre
ces deux equations, on trouvera nne Equation de la mdme forme que la pro-
posee, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions elliptiques. Fai-
sons i» = jU. et mettons x^ pour x dans la 'formule (86). On aura :

En eliminant la fonction '^f^x^ entre les deux equations il viendra:
87) a^{2dy)^x^—xp^z^)^a^(2dxp^x^—xp^z^) + ... + a^^^{2di^^^^
Mais 2d etant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons vu
dans le chapitre precedent, trouver des fonctions algebriques x'^j x'^j .. . x'^^i
telles que

26rp^x^ — xp^z^ = ip^x\ + F^ ,

etc.
done la formule (87) donnera celle-ci:

^ U'r|-^\ logi^'^+^'^ logt;'^ + . . . + A'log VV
Cette equation a pr^cisement la mdme forme que Tequation proposee ; . seulement .
elle ne contient la fonction i/'j^.. On pourra la traiter de la mdme maniere et
en cbasser une des fonctions, par exemple t/^^t-i* ^^ continuant ainsi, on par-
viendra enfin k une equation qui ne contiendra que des fonctions algebriques et
logarithmiques, et qui ne presentera plus de difficulte. On voit done que le
probleme general pourra dtre reduit a celui-ci:

Satisfaire de la maniere la plus generate a V equation

89) I "^^ ~ ^^"^"^"^ "*■ ^^"^^^^ + • • • + /^«^-y

4- tt-f ^j log v^ + J Jog«>^ + . . . +^^logv^,
^^ ^> ^i> ^2? • • •'V'» designent des fonctions elliptiques des trais espeeeSj et
en supposant que

saient des fonctions rationnelles de x; et que A 3^ , ^J/^y * * * ^^^ soient de^
la forme p . ^x^ ok p est rationnelle enXj et £ix le radical dans la fonction xpx.
Soient

860

SoppoBons qae ces Equations soient satisfaites, et soit

oil 0;r, 0^^, • . . 0»a? seront tonjoors des fonctions rationnelles suivant la nature
des fonctions if;, ip^, • • • V^m) on aura:

d^^mtfm dVm ds

or "^^ « -J^ est one fonction rationnelle de Xj done Fintegrale du second

fm ds

membre ponrra ^tre r^duite k la forme:

'^^m = r + ^o^ + ^0^0^ + An\Xy a') -(- A'lI^Xj a*) -(- . . .,
oil r est une expression algebrique et iogaritbmique. En transformant toutes .
les fonctions i/;ar, V^iJ^it '^%y%^ •• . de cette manicure, T^quation (87) prendra
cette forme: *

En verta de ce qne nous venons de voir il est clair que la solution du problime
(89) pourra ^tre r^duite k celle des suivants:

Prohleme A. Trouver*tous les cas possibles oii Ton pent satisfaire a

r^quation :

91) (i_y«)(i_^Y)=|,«(i_:c2)(l— c*a^),

en supposant y et p fonctions rationnelles de I'indeterminee Xy et ^ et ^ etant
des constantes.

Problems B. L'equation (91) etant satisfaite, r^duire les trois fonctions:

®(y,<^)» «o(y> ^)y n{yy c\ a)
k la forme:

T 4- Amx + ^o®o^ + A'II{x, a!) + A''n{x, «•) + ...
ou r est une expression algebrique et logaritbmique.

Probleme C. Trouver la relation la plus generale entre les fonctions qui
ont le mdme module et la m^me variable, c'est-a-dire : trouver les conditions
n6cessaires et suffisantes pour exprimer une fonction de la forme:

par des fonctions alg^briques et des logarithmes.

La solution complete de ces trois problemes sera Tobjet principal de nos
recbercbes ulterieures. Nous aliens commencer par le dernier qui est le plus
simple.

361

Chapitre III.

Relation la plus gen^rale entre un nombre quelconque de fono

tions elliptiques de la m^me variable et da m^me

mudule; ou solutibn du problem^ C.

Soft comme prec^demment

Aa: = ± V({1 —0^(1 — c*a^)),
oar, G^ les fonctions elliptiques des deux premieres espfeces et n'a^^ 1^^^%
...n^a^ des fonctions de la troisi^me esp^ce, ayant poor paramfetres a^, a^,
. ..a^j ensorte que

ViX

=/£•. v=/^. ^■«-=/:

Cela pos£, il s'agit de satisfaire de la mani^e la plus g^nerale k Tdquation:

En vertu du th^orfeme VI. on pent supposer que Uj v^j v^^. ..v^ soient de la
forme p -|- ^Ao:, oil /i et ^ sent rationnels en x.

VTous supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver one
relation semblable, qui ne contenait toutes les fonctions:

Nous supposons encore qu'aucun des param^tres a^, a^'***^* ^^ ^^^^ ^^ ^
^J;^ 1 ou a -J- -^ ; car dans le cas contraire on pourrait, comme on sait, r^duire

la fonction correspondante de la troisieme espece aux fonctions vix et vi^.

Cela pos6, designons le premier membre de I'^quation (92) par %fx et le
second par u-|-2^1ogt;. On aura done

93) \^X:=iU'\- 2^ log V.

II est clair, que cette ^ Equation aura lieu encore si le radical A^ Cbange
de signe. Done en d^signaut par u^ et v' les valeurs correspondantes de u et
Vy on aura:

— i^a: = le' -|- 2-4 logi?'.

Cela donne

21^0: = le — M' + 2^ log (^).

46

362

Mettons ici — x hu lieu de -|-:r, on pourra sapposer qae Ao: reste invariable;
la fanction ipx changera de signe et par consequent on aura, en d^signant par
M*, M*^, tf^ tf les valeurs correspondantes de ?/, m', v^ v':

— '2'^x =zu*' — u!^'^ 2A log (—7) •
De I^ on tire:

ipar = |:(w — w'— w'+w-') + ;^2^ log (^).

Soft -

» = p + q^o? + (p' 4" 9'^)^9 *
06 py q, p\ q^ sont des fonctions paires, on aura :

V* z=p -^ qx — ' (p* 4" q'x)AXy

"if =ip — qx-^ijp' — q'x)^y

tF :=zp — qx — {p* — q'x)AXy
done

v.'if =zp^ — : yV — (p** — q^^a^)t^x + 2x{pq^ — qp')^Xj

v'.tf ;s=zp^ — q^x^ — (/I'* . — q^a?)t^x — ^{pq^ — qp')^9

par consequent on aura :

v'.v" fs — fx.Ax

oil fx et q)X seront des fonctions entires, dont I'une est poire et I'autre im-
paire. Nous supposerons, ce qui est permis, qu'elles n'ont pas de diviseur
eouimun.

La partie algebrique ^{u — m' -|- ^'^ — ^'') ^s* evidemment de la forme
r.AXy oil r est une fonction impaire de x. En ecrivant A au lieu de ^Ay
Fexpression de \px prendra la forme suivante:

9*) ^x=rAi + 2^1,g(|i^).

Quant aux coefliciens A^^ A^j...A^y nous pourrons supposer, qu'il soit im-
possible d'avoir entre eux une relation de cette forme:
95) m^A^+m^A^'\-... + m^A^ = 0,

oil m^, m^y...m^ sont des nombres entiers. En effet, si cette equation avait
lieu, on aurait:

c'est-i-diire :

363

oil le second membre contient an nombre moindre de logarithmes qne le pre-
mier. On pourra done r^peter cette reduction jusqn'a ce qu'une equation telle
que (93) est impossible. Cela pos£, il faut prendre la difierentielle des deux
membres et comparer entre elles les fonctions alg^briques qui en resultent

Consid^rons d'abord la partie logarithmique du second membre de la for-
mule (94). Soit pour abr6ger:

on aura, en diffi^rentiant, un r6sultat d6 la forme :

v.ds

97) dQ

[(/jr)«— (9jr)«A*j]Ajr'

oil V est une fonction paire et entiere de x^ savoir:

98) v:=2.(fx.<p'a: — q>x.fx)^^x—2fx.(p'x.({i'^c^)z—2c^a:^).
En faisant:

99) 9a; = (/a;)*— (9)ar)«(Aa;)%

on pourra aussi mettre v sous cette forme:

100)) vq)x = 2f'x. 9x — fx . O'ar,

Equation facile a verifier.

>

Cela pose, decomposons la fonction entiere ^x en facteurs de la forme
^ (x^ — a*)*, et faisons en consequence :

101) (A)*— (?)a^)^(Aa^)^ = (^«_a«)«. (^*_fl^)«. . . . (o^— «*)•,! = Oo:.
L'^quation (100) fait voir que si Oar a le facteur (x^ — a*)"*, v aura nicessaire-

mm

ment celui {x^ — a*)"*~*; done la fonction fractio^aire -— pourra 6tre decom-
posee de la maniere suivante:

ft ft' A' 3

oil t est la partie entiere, fi\y /?'2' * • • ^V ^^^ eonstantes. D'abord je dis que t
est une constante. En effet Texpression (98) de v fait voir que le degre de
cette fonction ne pourra jamais surpasser celui de ^x. Pour trouyer les coef-
ficiens fi\y /$',, . . ., soit fi' Tun quelconque entre eux, correspondant au facteur
(a* — x^Y" de Oar. On aura:

^. = £(?!^ pour a; ^ «,

inais si Ton fait

6a: = /?.(«'»— «*)»,

46*

864

on aura en vertn de (100):

done en faisai^t :r = a:

9«

Or on a

done:

et par suite:
On a done:

/S'= — Zma.^a^

V

2mi«iA«i ^m^a^tut^ ^ti^>i^|i

En multipliant par --— on aura la valeur de do. La formule (94) donnera done,
en differentiant:

^^^»'V*» a\ -s* a\ -xa -V

^ -^ • r « a>i-x« a',«_x» • • 7

«

En 'substituant one fonction rationnelle queleonqne de x an lieu, de r, on voit
sans peine qu'il sera impossible de satisfaire a cette Equation, k moins que r ne
soit ^gale k zero. En se rapellant que nous avons suppose qu'il soit impos-
sible de trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions //'ce^,
/7'a,, . . . /7'a« et ayant ^gard k I'impossibilit^ d'une equation de la forme (95),
on Terra ais^ment que tons les coefficiens:

doivent se reduire k z^ro excepts un seul. Soit done

^^ rz^ A^ ^^^ . • j%^ ::iii 0 et ^ J =^ ly

on aura:

1^

365

done :

2m|^j a im^^a

/^. = -^=T^' ^.

3

«l • ««

">

Cela pose, la formule geuerale (94) prendra la forme:

104) fi.xsa; — -^?il^ .U'a, — ^^^^^ /Z^« — . . . — ^' ^°^- /7>a,

oil les parametres a^^ a^, ... or,, doivent satis faire a Tequation

rune des fonctions fxj q>x etant paire et I'autre impaire.

Telle est done la relation la plus generale entre des fonctions rapport^es
an miSme module et a la mdme variable.

II est remarquable que la fouction de la seconde ^sp^ce n'entre point
dans cette relation.

Quant k la quantity constante /3 qui multiplie *Ia fonction de la premiere
espece xsxy elle pourra sous certaines conditions se reduire a z^ro.

L'equation (105) qui donne les relations necessaires entre les parametres
a^y ct^,. ..a. est pr^cisement de la m^me forme que celle que nous avons
consider^ dans le chapitre I. En regardant a^, a^^...a^ comme des varia-
bles, elle donnera en vertu du th^oreme I.:

, \mna + mna + . . .+m^na,=zC—^ log (f^Jl^l:^)
[m^zia^ + m^wa^ 4" • • • "f" ^fi®«» == C*
da

(-"?>»■

Les parametres a^, cc^^ . . . a^ satisfout done a T^quation difierentielle :

107) ?Li*Li+??A I _ I ^?!L*L- = o.

Pour avoir toutes les fonctions de la troisieme espece qui seront reductibles
iud^finiment a la premiere espece, il faut faire n =: 1. En posant a^ = a,
99t^ = 97t, on a :

108) /7*« = ^ 130:- --V. log (fjL±$fi^) .

^ 2m^(x 2inAa ® V/jt— ^x.Ajt/

Pour trouver dans ce cas le parametre a, on aura I'equation:
109 ifx)^ — ((pxfil—a^) (1 —c^a^) — (^«— ««)«

oil Ila := I

366

ce qui fait d^pendre a d'une equation qui generalement est du degre m\ Le
cas le plus simple est celui oil mz=z2. On aura dans ce cas :

(px=z — y^ — 1, /ir = ar,
c

done :

(^ - .V = ;r. _ (l±^-«.) ^ + ^=(:r.± i)'i

done a pourra avoir les deux valeurs — , -y — . Les. valeurs correspon-
dantes de a sont 1 ,1-1 . On aura:

DU I'on pourra varier le signe de c.

Si m=:3^ on aura dans le cas fx impair:

/ir = a?" -j- or, tpz = ft,
done :

{a^ + aaif -^ 6*(1 — x*) (1 — cV*) = (a;^ — a*)*.

De la on tire:

a»=:ft, «* + ««+ ftAa = 0, 2a — ^?^ft* = — 3a% a' + (1 + O** = 3a*,

done en ^liminant a et 6, on trouvera:

a = J (c^a* — 3a*),

Aa = ^(l — c*a^).

Si done a est une racine de cette equation, on aura:

Generalement la qaantite a sera pour nn m quelconque racine de Tune des
denx equations:

HO) x, = 0; ar. = ^,

oil AT. est la fonction de x que nons avons consider^ dans le §. 4. du clia-

%

J

pitre L, et qui est telle qu'on ait

et en mdme temps Xm = 0 pour x = 0.

n y a encore a remarquer, que si Ton d^signe par a une racine de ar,« = 0, —

en sera une de Tequatiou x^ = ^. Pour prouver que a satisfait a une des
equations (110), il suffit de remarquer qu'on a (39):

367

HI) ;»* — y«(Aa:)* = (a?' — a')-(ar' — a*..),

oil o(a d^si^e la m^me fonction de or, que x^ Test de x En multipliant les
deux equations (109. Ill) membre par membre, il viendra:

111') {pfx ± qffXt^xY — (p(fX ± qfxf(^xY — (ar* — a«)'"(a:* —«*«).

Or on tire des mdmes equations:

p'^ifxf — q\q>xf{t^Y = (x^ — ««)- . i?,
ou R est une fonction entiere. De \k on voit que Tune des deux fonctions

pfx 4- qq>x.^x^ pfx — q(px . Ax
sera divisible par {x^ — a*)*; done en divisant Tequation (111') par {x* — «')**,
le r^sultat sera de la forme:

r^ — Q^{Ax)^ = x^—a\,
od Tune des fonctions r et q sera paire et Tantre impaire. On doit done avoir
d'abord (> = 0, et ensuite r^ =:x^ — a\ , et de la a^ = 0, ou a^ = ^. Re-
ciproquement si Tune de ces equations a lieu, il est clair par la forme de (111)
qu'on pourra satisfaire a Tequation (109). II y a a remarquer que dans le cas
que nous considerons, fi ne pourra jamais 6tre zero. Done il n'existe pas de
fonction de la troisieme espece, exprimable par des fonctions alg^briques et
logarithmiques.

Le cas particulier le plus remarquable de la formule generale (104) est
celui, oil n=:3 et m^^ =:m^ = 9713= 1. Dans ce cas, en faisant a,
'A«, = — Aa, on aura :

oil

/i; = a:* -j- axy (px = 6, ensorte que

{x'+axf— b^l —x^){l — c^x^) = (x^ — a^){x^ — «;)(^^ — «^),
d'oii Ton tire, comme dans le paragraphe 5. du chapitre I.:

ttjAa^ + a^Aa^

a>

"') {[:

114) {b=a.a,.a^i « = ^.(^^a^«^«^ — a^ — «^ — «p,

Aa CL^ + a n ^2

Les deux parametres a^, a^ sent done arbitraires.

Comme cas particulier on remarquera celui oil ct^ est infini. On aura
dans ce cas

.=±j-.

368

On pourra done redaire I'une k Tautre deux fonctions, dont les parametres sont
respectivement a, — . La formnle correspoudante pour effectuer cette redac-

COL

tion est:

Pour trouver toutes les fonctions r6ductibles Tune a Tautre, il sufiit de faire
dans la formnle (104) nr=:Z. Cela donne

H6) «...^^/7.„.+»..^./r.„.=^.»«-Jl.g(^^±^),

on les parametres a^ 6ta^ sont lies entre eux par I'^quation:

117) (/o;)^ — (yorf .(1 —x^){l — c^x^) — (a:*— a^)-i (;r* — «*)-»
et cela donnera une seule equation entre c&^ et a^.

Chapitre IV.

De Pcquation (1— y«)(l— c'V) =^'(1— ^""Kl— ^*^*)-
Considerons maintenant le probl^me (A), savoir de satisfaire de la mani^re
la plus generate a I'equation:

118) (1 — y')(l — &Y) = r^ (1 — a;^)(l — c^x^),

y et r etant des fonctions rationnelles de x. La methode^qui s'offre d'abord
de r^soudre ce probleme est celle des coefiiciens indetermines, mais cette
methode ne parait gu^re applicable, si le degre de la fonction y est un peu
6\ev6; aumoins son application serait tres penible. Je vais presenter une autre
plus simple et qui est, ce me semble, importante dans la tbeprie «des fonctions
elliptiques.

§ *.

Reduction du probldme d celui de satisfaire d I'equation:

dy ds

A(y,c) A(j:,c)

On Toit d'abord que si Tequation dont il s'agit a lieu, on doit avoir
necessairement

oil B est constant

H est facile de voir que les deux facteurs 1 — y*, 1 — c'^y* ne peuvent
s'^vanouir en m^me temps, car dans ce cas on aurait c'^ = 1, et ce cas a ete
excepte. On doit done avoir separement:

369

119) l~y« = r».(», 1— cV = »-!.(»'

on r et r, sont des fonctions rationnelies dont le produit est 6gal a r. Egale-

raent on anra

(».(>' = (1— ;r»)(l — c*ar»).

Or, diff^rentiant les denx ^qnations (119), on en tirera:
120^ j — % • rfy = »•, • (''irfp + 2? dr^%

Mais il est clair qae y ue pourra avoir aucun factear commuD, ni avec r^ ni
avec r^j done ii faut que le numerateor de la fraeticta rationnelle -^ soit divi-

* * IMP

sible par r^ et par r^ ; mais ces deux fonctions ne pourront s'evanouir en m^me
temps, done on doit avoir:

on V est une fonction rationnelle de ar, qui ne devient pas infini en attribuant
a X une valeur qui donne 9* = 0. Soit y = ^, oh p et q sont deux fonctions

entiferes de a: sans diviseur commun, on aura evidemment:

122) /done:

^ \di) — ^'''— — dl—'

Cela fait voir que v est une fonction entifere. Or je dis que v se r^duira a
une constante. Designons par m et n lies degres des fonctions p et q^ et par
fi et V ceux de 0 et v. Cela pose, il y a trois cas.

Cas \. m>ru
Dans ce cas I'equation

123) (y* — j»*)(y^ — C^p^) = e» (1 —x^){i — c^x^)
fait voir que

mais comme on a

on trouve

done:

ft ., qdp—pdq

p <2m — /i — 1,

47

870

c^8t-&-direy puisque 2m — fi^=2:

done:

et par cons^qaent v constant

*

Cas II. n>m.

On aura de la m^me maniire:

4» = 2iti + 4, in — fi^=2y

v<2n—fi—ly v<U y = 0,

done aussi dans ee eas v sera egal k une eonstante.

Cas m. n = m.
Dans ee eas il pent arriver que le degr^ de Tune des fonetions

q—p, q + pj q—Cp, q + Cp
soit moindre que n = m. Soit done par exemple '

oil le degr^ de 9, que nous d^signerons par m — A:, ne pourra surpasser m.

On aura en vertu de (125):

Am — k=z2/i + 4,
d'ou

Zm — ^ = 2 + ^,

maintenant si Ton substitue la valeur de ^ =/? -|- 9, on aura:

ft ^, pdq — qdp pd^ — ffdp

^'"^ di~— di '

done :

iti + y = m + m — k — 1 = 2»i — k — 1, si A: > 0, et

/i + y = m + wi — k — 2 = 2»i — k — 2, si A:=0.

Dans le premier cas on a

v = 2m — fi — k — 1 =1 — ^=z=0,

et dans le second

v=z2m — fi—k — 2 = 0.

Le degr^ de la fonction entiere v est done dans tons ies cas egal a zero,
et par consequent v se r^duit k une eonstante. En la designant par ^, on aura :

124) '•^=S-

Cela pose, Tequation

(1 -y*)(l — c^Y) = (g)*- *"*• (1 — ^')(1 — ^*^')

871

donnera celle-ci.

dff t.ds

125)

V [(1 -»»)(!-«' V)] ~ v'[(l-dr«)(l _c«*«)] '

et le probi^me est rameue par 1& k celni de - satisfaire de la mani^re la plui^
gen^rale k cette ^qaation en supposant y ratiounel en x. En integrant, on aura:

126) a(y, C) = e . a(x, c) + C.

En comparant ce r^snltat k celui qae nous avons d^montre dans le chapitre II.
on aura ce theoreme:

Theoreme \TXL "Si Toil a one relation quelconqae entre un nombre quel-
conque . de fonctions elliptiqnes, et qu'on desire par c le module de I'une
d'elies prise k volonte, ii se trouvera parmi ies autres fonctions au moins une,
dont le module est &j et qui est telle, qu'on ait entre Ies fonctions de la pre-
miere especej correspondantes respectivement aux modules & et c, cette rela-
tion tres simple.

ou y est une fonction rationnelle de a: et e une quantity constante.''

Ce theoreme est de la plus grande importance dans la th^orie des fonc-
tions elliptiques.

II s'agit maintenant de trouver toutes Ies valeurs de y et des modules &
et c propres a satisfaire i requation (12S). Si la fonction y contient des puis-
sances de X superieures h la premiere, elle jouira d'une certaine propriete,
qui conduira k son expression g^n^rale, en supposant connue la solution com-
plete dans le cas oil y ne contient que la premiere puissance de or. C'est
pourquoi nous donnerons d'abord la solution dans ce cas.

§2.

Solution du probldme dan» le ca$ de mzrz ~-^ — •

^ En substituant cette valeur de y dans I'^quation:

*«(l-y«)(l— c^«) = (l-;r*Xl-c*a:*) . (^)',

rien n'est pins facile, qae de troaver toutes Ies solutions possibles. Je ne
ferai que Ies transcrires

I. C==±c, y = ±a?, y—±-y « = ±1,

n. c = ±— , y = ±cx, i/=±-y c = ±c.

47

372

On voit qae ie module c* a six valeurs differentes. La fonction y en aura
douze, €ar a chaqae valeor de & repondent deux valeurs differentes de y. Ces
formules nous seront utiles pour la solution du probleme general.

§ 5. ,

Propri^t^ g4n^rale de la fonction rationnelle y, qui $atisfait d. une Equation de la forme:

dy ds

Soit pour abreger:
V'CCl— y")(l — ^'V)) = A'y et K((l — ^')(l-cV«)) = A;r,
r^quation (125) qu'il s'agit de satisfaire, prendra la forme:

127) -^=*-^»

oil y est suppose fonction rationnelle de x.
Soit

128) y = ipa;

la fonction cherch^e. Si, en rednisant \px a sa plus simple expression, les
puissances de la variable x qui y entrent s'^levent jusqu'a la fi"^ inelusivement,
nous dirons que 'ipx est une fonction rationnelle de x du degre fi. Sa forme
g^n^rale sera done:

129) tf/a;

-r^0 + -^l* + -^2^*+ • •• + -^jjL-J?**

le numerateur n'ayant de diviseur commun avec le denominateur, et les deux
coefficiens A^ et B^ n'etant nuls a la fois.

Ceia pos^, si Ton consid^re x comme fonction de y, T^quation y=z%px
donnera fi valeurs differentes a x, necessairement inegales, en supposant y va-
riable. II est Evident que toutes ces valeurs de x satisferont egalement a
r^quation differentielle :

dy dx

A^ * Ax'

S78

En d^signant done par x %i of deox de ces valeurs, on aora en m£me temps :

rfy d^

Done, en ^galant ces deux valenrs de -7^9 on anra

ds* ___ ds

Cette relation aura toujonrs lien entre deux racines quelcouques de I'equation

y = t/;ar.
II est facile de tirer de \k une equation alg^briqne entre x* et x. En effet
I'integrale complete de cette Equation est en vertu de (36):

oil e est une constante. Maintenant x tix' etanttous deux racines dey=t^a:,
on aura: y z=i rpXj y = y;x'j

done :

151) ipx'=i'tpXy

et puisque y est variable, cette equation doit neeessairement avoir lieu pour

une valeur queleonque de x. On aura done imm^diatement ce th^or^me :

Theorhne IX. "Si une fonetion rationnelie y de x^ du degre ^, doit sa-
tisfaire a une equation diffi^rentielie de la forme

dy ds

E^ *' Ax'

il f^ut que cette fonetion reste la m£me, en mettent pour x^ fi valours diffi6ren-
tes de la forme : *

stke + elix

e etant constant"

Ce theoreme, nous conduira, comme nous verrons, de la maniere la plus
simple a I'expression g^nerale de y. II s'agit seulement de determiner les va-
lours convenables de la constante ^; car celles-ci etant trouvees, rien n'est plus
facile que de trouver ensuite toutes les autres conditions n^cessaires. Occu-
pons nous d'abord de la recherebe de cette constante.

§ 4.

Recherche dee racinee de V4quatian f = ^x.
Soit pour abr^ger:

874

nous aurons d'apres ce que nous venons de voir (131):

135) t^(0:r) = "ipx^

oh le signe du radical ^z est ^videmmeDt arbitraire. Je remarqne que cette
Ration, ayant lieu pour one valeur qudconqne de x^ snbsistera encore en
mettant Oo: an lieu de x. On aura done:

t/;(e(ea:)) = i^(ear) = tpx.

En mettant de nouveau ^x au lieu de x et ainsi de suite, on trouve

yc=%px=z ^i){iix) = t/;(e*a;) = ij;(e*:r) = . . . = i;;(0*a;) = etc,
ou Ton a ecrit pour abr6ger:

e*;r = WXy 0*^ = Oe*ar, . • . etc, 0"^ = 06*"*ar.
n suit de Ik que toutes les quantit^s de la serie

M.tMtj Xy v*2^, V Xj • • • V X^ • • •

seront des racines de I'^quation y = ypx. Maintenant cette Equation, n'ayant
qu'un nombre limits de racines, savoir ^, il faut necessairement que plusieurs
quantit^s de la s^rie (134) soient egales entre elles. 11 s'agit de savoir si
cela est possible. Pour cela il faut d'abord avoir Texpression gen^rale de 0"ar
en fonction de x et e. Supposons pour le moment e ind^pendamment variable.
On aura en vertu de I'equation (132)

' 1— c«e«(0»-^x)«

rf(Q»jr) rf(0»-^Jr) I de

A(0"x) A(0«-*x) ' Ae '

En mettant dans cette Equation successivement n — 1, n — 2,. ..2, 1 au lieu
de n, et supposant, ce qui est permis, que les raidicaux A(0"a;), A(0*~^ar) . . . A(Oar),
tix conservent leurs signes dans deux Equations cons^cutives, on aura sur le
champ :

rf(e"x) _ds i^ de^
A(0»x) Ax "^ ' Ae

Cela pose, cherchons suivant le paragraphe 4 du chapitre I. une fonction ra-
tionnelle e^ de e telle que

Ae. A9

on aura:

rf(0''x) ^J_ <fe«

A(0"x) Ax"* Ae. *

Mais si Ton fait

, xAg. +g«Ax

l—cVx* '

376

on a:

dsf ds t dem

done:

A(0"*) Ajp' *
Cette derniire Equation donne

A«^ x'Ae' + e'Ajp'

oil 6' est one constante.

Poor trouver cette constante, faisons e=:0; on aura ^» = 0 et A^»=:l.
Done la valeor de x* deviendra x' = Xy et par consequent celle de 0"ar ;

Mais puisqne 0;r = x^ on aura encore 0"ar = or, done :

jpAe' + cAr

Cette Equation, devant avoir lieu pour une valeur quelconque de Xy ne pourra

subsister k moins qu'on n'ait s^parement e' = 0, Ae* = 1 ; done on aura :

e"ar = x'j
c'est^i-dire :

155) e*a;

xAe.-fe«Ar

Telle sera Fexpression de O^jr pour une valeur quelconque du nombre entier
n. - Elle a en effet, comme *on voit, la forme d'une racine quelconque de I'equa-
tion y = \px.

Cela pose, soient V^x et 0"^";r deux quantit^s de la s6rie (134), egaies
entre elles, dontil existera toujours suivant la remarque plus haut. On aura done:

mais O'^+^o: est ^videmment la mdme chose que 0"(0*ar), done en mettant x pour
e*:r, il viendra:

136) e*ar = ar.

Une Equation de cette forme doit done toujours avoir lieu quel que soit x. Si
elle a lieu effectivement, il est clair que la serie (134) n'aura que n termes
difi^rents, car, 0"~^;ir, pass^, les termes se reproduiront dans le m^me ordre,
puisque 0"+^a: = Oa;, e"+*ar = 9^x etc. Si Ton suppose, ce qui est permis, que
fi, dans r^quation ^^x = Xy a la valeur la plus petite possible pour la mdme
valeur de ^, il est clair ^galement que les n quantit^s.

876

157) ar, ear, 0*ar, . • . 6*0?

seront n^cessairement differentes eiitre elles. Car si Ton avait par exemple

il en r^solterait 0^jr = dr, ce qui est contre llij^o these, attendu que /i est
moindre qae n.

II s'agit maintenant de satisfaire a I'equation

e"ar == X.
Ed y substitaant {'expression de O^ar, donnee par la formule (135), il viendra:

X

1— c^e^jp

3^3 «.3

Or il est impossible de satisfaire k cette Equation pour une valeur qaelconque
de a:, a moins qu'on n'ait separement les deux Equations:

158) ^H = 0, A^,.= l;

et r^ciproquement : si ces Equations subsistent, il en sera de mdme de I'^qua-
tion 0"a: = X. Or je dis qu'il sera toujoUrs possible de satisfaire a ces deux
equations a la fois.

D'abord si n est impair, les deux quantit^s e^ et — ^ seront des fonc-

tions rationnelles de e, comme nous Favons vu chapitre I. § 4. Si done on
designe par e une racine quelconque de I'equation

159) ^. = 0,

il sufiit, pour satisfaire k Tequation A^» = 1, de determiner le radical A^ de la
maniere que:

140)

Ac

Ae. '

aprds avoir mis le second membre sous la forme d'une fonction rationnelle en
e. Ce-ci se fait voir, en reroarquant, que si e^ = 0, la quantite Ac» =
ibK((l — ^**)1 — ^*^%)) ue pourra avoir que Tune des deux valours +1> — 1-

Si au contraire n est un nombre pair, on a vu que Ac» sera une fonction

Ae

rationnelle de c, de la m^me sorte que --
doit avoir en vertu des equations (158):

c=e^

En la designant par f,, on

141)

1.

Or je dis que si e est une racine quelconque de cette Equation, on aura k la
fois e^ = 0, Ac» = 1. En eflFet ayant

877

—^ 1.

on en tire en qoarrant,
et cela donne:

car €^ est different de ronit^. Or ayant e» = 0 et f» = 1, on aura ^idem*
ment A^» = 1 ; done etc

On pourra done satisfaire k la fois anx denx Equations :

et on aura toujours un nombre n* de valeurs diff^rentes et convenables de e^
, car en vertu des formules (51. S5) les Equations e^=:zOy «» = 1 seront du
degri n* en e.

n s'agit maintenant de choisir les valeurs de ^ qui rendent toutes les n
quantit^s x^ Oar, . . . O'^^ar differente$ entre elles, car cela est une seconde
condition k laquelle doit satisfaire e.

Or pour cela il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient

donner Ot^jr = or, oil /i est moindre que n. On pourra toujours supposer /i fac-

teur de n. En effet soit k le plus grand commun diviseur de fi et n^ on

pourra trouver deux nombres entiers fi' et n' tels que:

Iti'fi = n'n -f- k.
Or Tequation iv-x=^x donne:

done : 0"'*+*a: = ar = 0*6"'*ar ;

mais en vertu de O^o? = ;r on a encore

0*'":r = or,
done enfin:

0*4? = 4?;

done, si 0^^ = x^ on aura encore : ^^x := x^ oh k est diviseur de n. Done il
suflfit, de rejeter toutes les valeurs de e^ qui, pourraient satisfaire en m£me
temps k ces deux equations:

By, = 0, A^JJL =1,

ou fi est un facteur de n; et il faut n^cessairement les rejeter toutes, car si
Ton a O^^r = or, on a n^cessairement 0":r = x.

Ainsi on trouvera ais^ment une equation en e, dont toutes les racines don-
neront des valeurs convenables de cette constante. Si n est un nombre pre-

48

378

mier impair, on a /u = 1 ; done la senle racine qn'il fant rejeter de celles de
r^quation

est celle-ci:

On aura done on nombre 7i*— - 1 de valeurs eonvenables de e. Car I'^qnation
«^ = 0 est du degre n*.

II y a une remarque ess^ntielle k faire sur les quantity

Savoir, on aura toujours en m&me temps:

1*2) ,-.= e^J^ ."x_ ,_^^..
Ed effet, on a (43) :

g«Ae« — e.Aem

mais ^^ = 0, Ae„ = 1,

done:

On aura ^galement (42)

e^.

done a cause de

on aura:

^m

En substituant ces valeurs de ^,.^, A^,»^ dans T^quation

1— cV x^ '

a— M

on aura precis^ment la seconde des Equations (142).

Si Ton multiplie entre elles les valeurs de 0**^ et O^^ar, le produit sera
rationnel, et on trouvera

145) e«ar.O»-«ar= ^^~^^, .

On aura de la m£me sorte:

144) e-:r+e— ar = 3-^^.

Ces formules nous seront utiles dans la suite.
D'apr^s ce qui pr^Me, les n quantit^s

.r, Oar, e*ar, . . . 0*^*^

879

sont diff^rentes entre elles et racines de r^quation y = ^x. Le degr^ fi de

cette eqiiation est done ^gal a n, s'il ne surpasse ce nombre. Nous verrons plus

bas, qu'O soffira de consid6rer le cas, ou /i=zn. On poorra m^me supposer

n premier.

§ 5.

T^rauver toui€9 lea vakura de y qui pourront r^ondre aus valeure dee raein^e,

lor»qu'on en eonnait une eetde.

Poor simplifier la solution da probl^me general, voyons si plosieurs va-
leurs diff^rentes de la fonction y et du module c' pourront r^pondre aux m^mes
racines de I'^quation y = '^x. Rien n'est plus facile que de trouver les va-

leurs de y et d. En efiet soit if/z = ^ oil jp et q sont des fonctions entieres
de z sans diviseur commun. En d^signant par

Xj X^y X> • • • X^*" '

toutes les racines de I'^quation

y = i^ar,

on aura jp — qy'=z(a — hy){z — x){z — x%z — xf) . . . (z — aK»*^)),
ou a et 6 sont des constantes. Soit maintenant y^ une autre valeur de y qui
satisfait aux mdmes valeurs.de x^ x'f x* ...^ on aura en d^signant par p^ et q^
les valeurs correspondantes des fonctions p et q:

p' — y 'y ' = (^' — ^!y)(^ — ^)(^ — ^)(^ — x') . ..z — ar^i^o

done :

En attribuant a z une valeur constante, il est clair que cette Equation donnera
pour y' une expression de la forme:

ou a, /?, a', /?' sont des constantes. En d^signant maintenant par (f le module
qui repond k y\ on aura en m£me temps:

dff ^__ J dx ^M_^^^ ^

done :

jj^N ^ d^ «' d^ ^^

) •[(!— y'«)(i-c^y»)] ~ T' v/[(i-y*)(i-cv)3 *
En y substituant I'expression de y^ en ^, on aura les Equations n^cessaires

pour trouver y\ c*, h\ Ce probl^me est pr^cis^ment le m^me que celui du pa-

ragraphe 2. On voit done, qu'une seole solution de Fequation

48*

380

^ ■ ■ ^ ^

donnera sor le champ cinq autres qui, gen6ralemeiit, seront difR^rentes entre
elles. La fonction y aura toujours deux valeurs correspottdantes au mdme

module c*. savoir v ^t --- •

§ 6.

Solution complete du prohlhne dans le com ||. = n.

Supposons maiiitenant que F^quation y =r t/;jr n'ait d'autres racines que
celles-ci:

ce qui i lieu toujours si /t est un nombre premier, comme nous le verrons
plus has. On aura alors, si /i et q signifieut la mdme chose qu'au paragraphe
pr^c^dent:

147) p — qyz=i{a — by){z — x){z — ^x){z — 0*ar) . ..{z — fjT'^x).
En attribuant k z une valeur particuli^re, on aura une expression de y^ dans
laquelle tout est d£termin£, excepte trois quantity constantes. Nous aliens
voir qu'on pourra toujours trouver ces quantit^s de sorte que Fequation diffe-
rentielle propos^e soit satisfaite. Pour cela consid^rons deux cas: n impair
et n pair.

Cas L Si n est un nombre impair.
Soit dans ce cas n = 2/i -f" 1 Alors T^quation (147) donne, en attri-
buant k z \tk valeur particuli^re z^ro:

a' — b'y = — (a~- hy)x.%x.%^x . . . 9»i*ar,
et de li:

Remar quant maintenant qu^en vertu de (143):

^a ^

V^x . e* J^+*-~a; = 5-f-3-,

il est clair que Texpression pr^cedente de y sera une fonction rationnelle de x
du degre 2/i -f" 1 ; done, puisque cette fonction ne varie pas, en mettant pour x

ies 2/i + 1 valeurs

Xy Oar, e*ar . . • 9«i*ar,

ce qui est Evident k cause de O^i^+'a; = jt, on conclura que T^quatioii (147) a

lieu en mettant aiu lieu de y cette fonction et pour p et q Ies valeurs corres-

pondantes en z. Cette Equation pourra s'^rire comme 0 suit:

381

149) /»— 5y=(a— *y)(«— ar)(2H-$ar)(2^e«i*ar)(a}— «*arX2 — 0*»^-**) . . .

...(2 — ei»ar)(2 — Oi*+*ar),
Cel&' pos^ faisons : ,

c c

et d^signons les valeurs eorrespondantes de y par

a, /?, y, d.

Puisqu'on a pour ces valenrs de or, Aor = 0, il suit en verta des deux Rations
(142) du paragraphe 4:

«ir»e* '

d'oa ron voit que les factenrs du second membre de T^quation (149) seront
£gaux deux & deux, en faisant abstraction du premier facteur z — x. On a done:

fp — ya = (a — ba)(i — z) . q\

150) \p — 9fi = (^ — bm +^W*y

]p — qr = ia — br)ii —«:).(>••,

— qd=: (a — 6(J)(1 +cz). ()■**,

oil Q^ Q\ ()% Q^ seront des fonctions enti^res de 2; du degr6 /i. Mais puisque

151) (y«— ^•)(y»_c'V*) = ^(1 — ^•)(1 — ^^),

les Equations pr^c6dentes font voir que les quatre constantes a, /?, y^ d ^galent
celles-ci :

+ 1, -1, +^, -1,

et si cette condition a lieu, les quatre Equations (150) donneront 6videniment une
de la forme (151), et par suite on aura

152) ^=6.^,

/ A'y A**

en vertu de ce qu'on a vu dans le paragraphe 1 de ce chapitre.

Puisqu'il suffit de connaitre une seule valeur de y, nous pourrons faire
par exemple:

153) « = 1, /? = —!, y = l, «J = — ^-

C C

Cela posd, il reste k satisfaire k ces Equations. Or si I'on fait pour
nn moment:

I'expression de y deviendra:

882

d'oii Ton tire, en remarqaant qae <f{ — j?) == •— q>Xf et fidsant ;r = 1, — 1,
1 1

,,. ^v o'+o.o( — ) a' — o.ifl — )

done en verta des Rations (1S3), on aura:

ar _ 6» + (a— ft)y (1) == 0, C + ft* — (o + %(i) = 0,

D est impossible de satisfaire k ces Equations & moins que l^une des quan-
tit^s a' J b* Be soit'z^ro. Faisons done af^=:Oy on aura en m^e temps 6=0.
Done deux des Equation prec6dentes donneront:

^=y(i)=c.y(i),

d'oii Ton tire la valenr de &, savoir:

^-_ 9(1)

»(l)

La valeor de y deviendra:

a ox

Quant aux valeurs de 9(1) et ^ (— \ on aura en vertu de I'expression de^^:

vCi)

l_e« l—e\ 1— «?.

l_c«»» l_c«ff\ •••l_ete«'

I*

3

done:

/1\ 1 1— c*e« 1— e»e»4 1— «%

'(I)

4?«l^+i.9(l)

et

C = c«»^+i.(9)(l)/, 9)(1) = 4^

Enfin, pour avoir b valeur du coefficient £, il sufiit de (aire itr == 0, apres avoir
differentia I'expression de y. On auta:

Mais comme on a

883

il en r^salte, en faisant ar = 0.

done on pourra faire:

A 2 2 S Ic'*^"

En vertn de ee qui pr^c^de on. pourra ^noncer le theor^me suivant:

Theorhne X. ''Soil e one racine quelconque de r^cjuatiop e^^^^z=zO^
mais qui ne puisse £tre racine d'une autre equation de la m^me forme
^,,^1=0, ou 2m-f-l 6St diviseur de 2/i-f" 1. Cela pos4, si Ton determine
la fonction y^ le module c*, et le coefficient ty en vertu des formules :

y

•c' (1— c"»«*«)(l— c«eV')(l— «**V") • • • {l^—e*e'^s*y
.^^, ( (l-e')(l-e\)(l-e«.)...(l-ep y
• V(l— c«e«)(l— c«e\)(l— c«e»,) . . . (1— e*«y/ *

156) \ _^ ^ , ^

on aura toujpurs:

^^ ±,. "^

en determinant convenablement le signe du second membre.

Ayant trouv^ de cette sorte un^ syst^me de valeurs de y, a?^ e^ on en
aura, d'apr^s ce qu'on a vu dans le paragraphe precedent, cinq autres a I'aide
des formules du paragraphe 1. II r^pond six syst^mes de valeurs de y, &, e
k chaque valeur de e. On trouvera m£me douze valeurs de y, car k chaque
valeur de & r^pondent deux valeurs diff^rentes de cette fonction. Nous revien-
drons plus has an probl^me de trouver le nombre total des solutions qui re-
pondent k la m£me valeur de ^.

Pour donner un exemple des formules ci-dessu^j soit /i=zi. Puisque
dans ce cas 2/i 4- 1 = 3 est un nombre premier, on pourra, en vertu de ce
qu'on a vu plus haut, prendre pour e une racine quelconque de I'^quatipn
e^ = 0, except^ la racine z£ro. Cette equation, en vertu de la formule qui
donne I'expression de ar,, est du huitieme degre, savoir :

0 = 3 — 4 ( 1 + c*)6» + 6c*^ — £?*c*.
La quantite e ^tant une racine quelconque de cette Equation, on aura:

dy — «L- ^ ♦

•C(i-»*Ki-«'V)]~** V[(i-**)(i-e*«*)] ' ^

384

Poisque e* est exprim6 en c par une equation da quatri^me degr6, le module
(f le pourra dtre ^galement Cette Equation est:

L'expression g^n^rale de y^ donn^e plus haut, est exprim^ en forme des pro-
doits. On d^composera ais^ment cette fraction en fractions partielles. En
effet, puisque les racines de Fequation

sont les £/(-(- 1 quantit^s soivantes

la somme de ces quantites sera ^gale au coefficient de z'^^j divis6 par celui de
2*1*+* et pris avec le signe — 1, done:

.3

ar + ea: + e*a: + . . . .+ e«»*^ == ' — !i-y ;

done, en vertu de I'^quation

on aura Fexpression suivaute de y:

Co^ II. Si n est un nombre pair.
Faisons 9i=:2/i. Puisqu'on a

on aura, en faisant m:=z/i:

s^e + 6 Ax jpA9 •^- 6 AsT

Cette ^galite ne peut subsister k moins que e^^ n'ait une des deux valeurs : z^ro
on Tinfini. Cela donne lien k consid^rer s^parement ces deux cas:

Jul. ol ^UL ""^^ TT*

On aura: ^y-x = + — •

-*" ex

En y substituant 0*ar au lieu de Xj on aura:

i

886

Les racines de r^qnation y = ^d; deviendront done:

*> ± — , Oa?, 0*ar, . . . e»^-*ar, Oi*+*ar, 0»^^ar, . . t 0»<*-»a?,

par consequent on aora:

i58) f—qy ^a—1nf){z,—x)(z-^ JL)(«_ea:) (z— 0«i*-»a?). . . (z— Oi*-»ar) (a— e»^+»ar).

En designant par a' et 6* les coefficiens de z*^'^ dans les denx fonctions
enti^res p et q^ on aora:

a' — 6'y = — (o — fty).(a: j- i. + ear + e«i*-*ar + • . • + Ot*-»ar + ei*+*af)

L'expression qa'on en tire poor y sera ^videmment nne fonction rationnelle de
X da degr^ 2//, et paisqu'elle reste invariable, en mettant pour x les 2jCi quantity *)

X^ ^Xy V X^ • • • V '^ X^

Tequation (1S8) aura lien en mettant poor y cette valeur et poor p et ^ les
valeurs correspondantes en z.

Nous aliens voir qa'on aura une valeur convenable de y en faisant

Cela donne

expression qui est evidemment de la forme :

1S9) < ^.-^■.'x»-.-.';x.)...(i-.^^.^) _

Poor trouver la valeor de A^ remarquons que si Ton fait a: = 1, ^ doit
avoir ane des valeurs: -[^1, ± — . Soit par exemple y = 1, pour a;= 1, on

c

aura:

160 ^=4r-

9(1)
Cela pos6, faisons dans Teqaation (158) : ar = 1. En remarqnant que a = 0,

on aura

' y—y = (1 — i)(l q: ci) . 9*,

') Od a

«^ ^ r et %*^s^s.

49

386

oil Q est one fonction entiire de z^ car pour ar= 1 on aura:

t ff^x =: e«l*^a?

1— c«e!

En changeant le signe de z dans Tequation pr^c^dente, on anra, en remarquant

qne q est une fonction paire et p une fonction impaire:

y+/,= (l+z)(l±cz).(.'«
Ceia donne:

Maintenant, puisque

161) (q^ —P^){q^ — C^p^) = (1 — ^*)(1 — c^z^)r\
cela fait voir qne la fonction q^ — c'^p^ doit dtre nn carrd parfait Or on

]pourra tonjonrs d^enniner & de la mani^re qne cette condition soit remplie.

Faisons dans I'^ation (158)

on anra:

ft

done: • e*^+~^=6'*^-

Si done on d^signe par a la valenr de y qui r^ponde a a; = — ^3— , les
rac^es de I'eqnation

c'est-&-dire les facteurs de p — aq^ seront ^ganx entre eux deux a deux; done
p — aq sera un carr^ parfait En changeant le signe de z^ on aura p-^t^qy
qui par consequent sera ^galement un carr^; done en multipliant, on aura:

p^—a^q^ = t\
on t est une fonction enti^re de z* En faisant done

1

9

r^quation (161) aura lieu, et par suite on aura:

dv d% ,, p ^,

—- = «.—., on ^ = r,

A o As 9

c'est-4-dire, en changeant z en ;r:

dv dx

A'^ At

Pour determiner le coefficient f, on aura d'abord^ en vertu de la demi^re
Equation:

887

6 = -^, poor x=0.

is Texpression de y donnera:

ds 9(1) '

done:

1

Le num^rateor de la fraction qui exprime la valenr de y sera decompose
en factenrs; savoir si 1'on fait ^ = ^, on aora:*

p' = -ly . :r(l — €? V;p*)(l — c^elx^) . . (1 — c *^JUi^*).

On pourra facilement decomposer de la mdme mani^re le d^nominatenr q\
comme on va le voir.

En divisant ies membres de la fonnale (147) par y, il viendra k cause de
a = 0:

' ^ — q = — b{z — x){z-^ex){z—6^x) . . . {z — e^^'^x).

Cela pos6, soit 9 une valeur de Xy qui rend y infini, c'est-i-dire une des ra-
cines de I'^quation q' r=: 0. On aara

II suffit done de connaitre une valeur de d. Or une telle valenr est

En effet puisqn'on doit avoir y = ^, et remarqnant que

•(±e)

a' 1

on aura

r = ar + ear + fl*ar + . . . + e«»^-*a? = 0.

Soit pour une valeur quelconque de x :

p^=Le^x+ e^^-^x + ei^-^x + e»i^-*;r,

on aura ^videmment, en remarquant que O^v-x = x:
Or je dis que si Ton fait

on aura : p^=zOj

pour une valeur quelconque de m. En effet on a d'abord:

2jp.Ae,

49

388

done en mettant e^x an lieu de x^ et remarquant q[ae O^x = ^j^ — :

En faisant maintenant

X

V{+c) '

on aura:

done en effet: #f y — q

On ponrra done faire

En remarquant qae q^ = 1, pour ;r = 0^ on aora, en mettant daos Texpression
de qy X an lieu de z\

»■ = (1 - tX' - IX' --^s)- ■ • (* - ?p->

D'apr^s ee qui pr^e^de on pourra ^noneer ee th^or^me:

Thearhne XI. "Soit e une racine queleonque de I'equation e^ = ^, mais
qui ne . satisfait pas en m^me temps k deux Equations de la forme e^ = 0^
A^M = 1> oil m est faeteur de £//. Cela pose, si Ton determine les trois quan-
tit^s y^ c\ e en vertu des formules :

± c ' y -^ cj ~ I— c«c»Xa • 1— c«e«ax« ~ • • • • 1—

«*^,.-i**

on aura toujours:

dy e.itr

Le eas le plus simple de eette formule est eelui ou jCi = l. On aura:
165) ^s,=(l±.)^, c. = i^,

Apr^s avoir determine en vertu du th^or^me pree^dent un syst^me de va-
lours pour yj c\ ^y on aura cinq autres solutions k Taide des formules du pa-
ragraphe 2 de ce chapitre.

889

B. Si e^ = 0.

Si Cm = 0, le radical Ae,t ne pourra avoir que Time des deux valears -j- 1 on
— ^ 1 ; mais il faat ici supposer Ae^ = — 1, car si Ton ayait en m^me temps
e^ = 0, A^jjL == U il ^^ r^sulterait Bv-x =iXy ce qui n'a pas lieu. Mais

stie '^e ta

eV'X=^ ^ — ^ — ;

1— c«e^*« '

cela donne

et, en mettant ff^x an lieu de x:

e\^^x=i — e^x. .

Les racises de r^quation y=:ipx seront ^gales dans ce cas deux k deux,
mais de signe contraire, et par consequent rpx sera une fonction paire de x.
En faisant

on aura:

164) p-^qy={a—lnf){z^—x%z^—{exy)(z^^{^^xy) . . . (z^ — {e^''x)^).

Si I'on fait 2; = 0, et qu'on d^signe les valours correspondantes de p et
q par a' et b'y on aura:

a' — % = ± {a — by){x. Ox.O^x... O^'^x)*. *

Cela donne pour y une expression rationnelle du degr^ Z/n. Comme dans les
deux premiers cas on demontrera ais^ment qu'il sera toujours possible de de-
terminer les constantes Oy 6, a\ b' de la sorte que I'^quation:

dy ___^ ds %

Ji'y Ax

sera satisfaite, en attribuant au module c* et an coefficient e des valeurs con-
venables. Je vais consid^rer seulement le cas le plus simple, oil /^ = 1. On
aura dans ce cas

et par suite:

a' + as*

En mettant cette valeur dans Tequation:

dy ^_^ ds

on tronvera facilement une solution, savoir:

*65) y=i^> c=l=i,, = (i+cr-i.

390

m

Connaissant ainsi une solution, on en d^doira, en verta des formtiles da $ 2,
ies cinq autres, de sorte q[ae Fiquation

pourra 6tre satisfaite des six manieres suivantes:

166^ c^—^±^ l±^(l-c^) c±V{c^-l)

5 7.

R4duetUm du prohlhne g^iral au eaa oil, le degr^ de la fancHan ratimmdh jf

eat un nomhre premier.

Soit maintenant yzrztpx une fonction rationnelle quelconque qui satisfait
a Tequation differentielle :

dy ds

A^ Ar

Comme on a vu dans le paragraphe 3, F^quation

y = tpx
aura toujours n racines de la fonne:

167) Xj Oxy O^Xy . . . 6*"S oil 6rx == x.

Cela pose, d^signons par x' une nouvelie racine, differente de celles-ci, en
sorte que:

rpX' := ^pX ::= y.

On a

done aussi

\p{0^x') = ipx' == y.

II suit de 1^ que les n quantit^s

168) x'y Ox', ev, . . . e^v

qui sent diff^rentes entre elles, seront racines de I'^quation dont il sagit Or
toutes ces n racines seront differentes des racines (167). En effet si Ton avait
erx^z=iO\^Xy il en r^sulterait:

c'est-^-dire :

X' = e»-^i*ar,

ce qui est centre lliypothese. Le degr^ fi de Tequation y = ^px est done ^gal
k 2it, ou plus grand que ce non^re. Dans le dernier cas, si Ton d^signe par
x' une racine differente des 2n racines pr^cedentes, on aura en m(Sme temps
celles-ci: •

881

Of, Oaf, e^x'...ff^^afy
qui seront diff^rentes entre elles et des racines (167. 168). Done /i sera^gal
k 8n ou plas grand que ce nombre. En continuant jusqu'i ce qu'on ait epuise
toutes les racines, on voit que fi doit ^tre un multiple de n^ et si Ton fait ^n
consequence :

les fA racines se rangeront en m groupes, de n tennes chacun, savoir:

169) ^^' ^^' e^x' . . . e--^x%

Cela pose, soit

P

on p et q sont des foncdons enti^res de Zf sans diviseor common. On aura:
170) p'—qy={a—hy).{z — x){z — ex){z — 6"a?) . '. {z—6^^x)

X{z — X>){z — e«o(« — ^M ..-(«— 6"- V)

et d'apr^s ce qui a ete expose dans le paragraphe pr^c^dent, on ponrra trouver
une fonction rationnelle : y^ = ■^^{x), telle que les racines de Inequation

soient egales a ces n quantites:

et que y^ satisfasse a une equation differentielle de la forme :

Faisons

P'
V'i2 = ^,

ou p' et q' sont des fonctions enti^res du degre n. On aura :

172) p'—q't/i = {a'—b'j/j){z — x){z—ex) . . . {z — fl'^^a:),
on a' et 6' sont des constantes.

En y mettant an Ueu de x successivement les m valeurs:

jf, x\ of , . . . ar("*~*^

et puis multipliant entre elles les Equations qui en r^sultent, on trouvera, en
ay ant ^gard k I'equation (170):

892

*'*'^ e-.bg'~~ a'—b'Si o'-*'y, •; • a'— »>- '

oil

sont les valenrs de la fonction y^, qui r^pondent anx valenrs

de a?.

Puis, attribuant k x deux valenrs particuli^res a, /?, telles que

et d^signant par

^l> ^«> • • • ^m9 Pl9 P%9 • • • P«

les valeurs de y^, y^^ . . .^My respectivement correspondantes aux valenrs a et
/? de Xy r^quation ci-dessus donnera:

\p=A'{p^ — a^.q') {p'—ct^q') ***{p' — a^.q%
q^A'^ip'—P^.q') (p'— /?rf') . • . {p' — P^.q%
ou A' et A* sont denx constantes. En divisant p par q, on voit que

:^ =: \pz sera fonetion rationnelle de ^ = "W^z. En mettant a: au lien de z.
9 9

on aura . *

done:

J7K\ „ J (jfi — «i)(yi — «a)(yi — "s) • • • (yi ^«-)

^ ^^ *(»i-Pi)(yi-Pa)(»i-W-..(yi-W

on ^ == —r- est constant

On voit done que y pourra £tre exprime par une fonetion rationnelle de
y^ du degr6 m. ,

En combinant maintenant I'^quation (171) avec celle*ci:

dv da

174) [

qui doit avoir lieu, on aura:

^ •[(i-y^)(l-^V)] «i v/[(l-3fM(l-c«3fV]'
done la fonetion y, rationnelle en y^ et du degr6 m, doit satisfaire a cette
Equation. K^ciproquement, si cette Equation a lieu, I'^quation

dy __^ dx

893

e . — - , et il
As

subsistera egalement, car la fonction y, est d^termin^e en x de la mani^re k
satisfaire a la formnle (171). Ainsi le probl^me general est r^dnit k satisfaire
de la manriee la plus gen^rale k requation (176). Or ce probl^me est pre-
cisement le m^me que celui que nous traitons actuellement; seulement le degr^
de la fonction y en y^ sera m, an lieu que y, comme fonction de x^ est du de«
gre ra.n^ qui est plus grand que m. On pourra done appliquer k I'^quation

(176) le m^me proc6d6 dont on s'est servi pour F^quation -^

est evident qu'on parviendra ainsi a Fexpression g^n^rale de y, car les degres
des fonctions successives vont toujours en decroissant

Supposons maintenant que le degr^ (i de la fonction y en x est un non^re
premier. Puisque fi-zzzm.iij on a necessairement m = l, /i=:z7i. Par suite:

On connait Fexpression de y^ en ;r par les formules du paragraphe pr^c^dent.
En substituant Fexpression de y en y^ dans Fequation (176), on trouvera a
Faide des formules du paragraphe 2 toutes les solutions possibles. •

En vertu de ce qui pr6c^de on pourra done ^noncer le th^or^me suivant:

Theorbme XII. Soit y une fonction rationnelle de x Sxm degr6 quelcon-
que //, qui satisfait k Fequation diff6rentielle :

dy ^ ds

e •

• [(l-y*)(l-c'V)] t/[(l-;jr*)(l-c*Jr«)]

On pourra toujours decomposer ^ en deux facteurs n et ait, dont Fun n est un
nombre premier, tels qu'on ait:

i/^j ^ dx

et

V[{l-y\ni-c\y\)i

dy

a •

^[(l_j.«)(l— C«JP«)]

^1 V[{i-ii\){i-c\y\)V

/[(i-y*)(i-c'V)]

oil y est une fonction rationnelle de y^ du degre m, et y^ une fonction ration-
nelle de X du degr6 n.

Si done on d^sigoe par n^ n^y n^,.. .n^ des nonpros premiers dont le
produit est /i, et qu'on fait, pour abr^ger:

. £i{x,c)=V((l-x'){l^c'x^),
on pourra faire:

Ms, C)

'%„»^) *'"**A(yv-i»0

1*

^9i

e .

50

dx

I

V

394

oa y^ est one fonction rationnelle de x da degr6 ti,

- y. yi - - »».

- y. • - - - - - - y« - • n,.

I

>

• y^ yv-i- - ^Vi5

• y - - yv - - ^•

En verta de ce th^or^me la solation da probl^me general sera done ra-
menie au cas on le degre de la fonction y est nn nombre premier. On trou-
vera toutes les solntions qui r^pondent a ce cas par les formnles da paragra-
phe pr^c6dent, et le probl^me que nous nous sommes propose au conunence-
ment de ce chapitre poorra £tre regard^ comme r^solu.

$ 8.

8ur la forme de la fonction jf.

D^signons par x^ x^^ xf ... x^^'^^ les racines de F^qoation

Si Ton fait if;2: = ^, on jp et 9 sent des fonctions enti^res de z^ on aura:

9

177) p — qy={a—ln/)(z—x){z—x'){z—x^) . . . {z—x^^--^

on a et 6 sent des constantes. Cela pose, soit a ane racine de I'^quation
y r= 0, on aura en faisant x=ia:

178) p = a{z—a){z—a%z—ar) . ..(z — af<^-%

Soit ^galement § une racine de T^quation y==^« Cela donnera, en faisant
a: = /9, et apr^s avoir divis^ les deux membres de F^quation (177) par y:

179) q^b{z^§){z—§%z—^-) . . . (z—fi^^'^).
Ces valours Ae p et q donneront, en mettant x au lieu de z:

180) v = A (^—^)(^—^') ' ' ' {^—(xf^^'^

oil A est un coefficient constant, qu'on trouvera en remarquant que si Ton fait
a: == 1, y doit avoir une des valeurs ± 1, ± —

Mais il y a deux cas: savoir, il pourra arriver que Tune ou Tautre des
deux quantites a et 6 soit 6gale a z6ro, et dans ce cas Tune des racines des
Equations y = 0, y^=,^ sera zero ou infini.

Cas I. Si 6 = 0.
On aura dans ce cas

895

181) f — qy=za{z — x){z — of). . ^{z—x^''%

et p sera da degrd ^, et q sealement du degr^ fi — 1. En ^galant le coef-
ficient de Tji^"^ dans les deux men^res, on aora:

182) a/^h'y=i—a{x^af+af + . . • + a;^^'%
oil a* et ^ sont des constantes. Maintenant si

1 — C«C«JP*

est one racine de y = y^x^ la quantity

jrAe — eAjr
1— c«««jr«

le sera ^galement; done si ces deux quantit^s sont diffS6rentes entre elles pour
tontes les valenrs de e^ fi sera un non^re impair, et en faisant /Ei=:2n-}~1>
on aura:

Maintenant si Ton fait ar == ± 1, -j- — , on aura y = ± 1, ^ =3J^ — , d'on il

I

est facile de conclore qae a' sera ^gal k z^ro. Done y sera one fonction im-
paire de Xy et de la forme:

184) , = X,.(l + j^-, + ... + j^).

Cela fait voir que

q={l — c^e\z*) . . . (1 — c»6»^).
Pour avoir py il suffit de faire dans Fequation (181) ar == 0, et cela donne

p =iaz{:^—e\) . . . (z* — c*»),
done on aura:

) y ^ • (1— c«e«L:r«)(l — c«eV*) • • • (1— c«e«*«) *

Telle est done la forme de la fonction y dans le cas on le degr^ de son nu-
merateur est impair et plus grand que celui du denominateur.

Si pour quelque valeur de e les deux quantites

s^e + eta sLs — eUs

^talent ^gales, on aurait:

. ^==0, oil e = J.
•t
Soit d'abord e = ^, on aura x^tszl-^—^ et par suite le second membre de

50*

396

Tefaation (182) seratt nne fonction impaire de x^ dont le degr^ serait on iiombre
piair. On troore seulement qae cela donne a'r=:0; done en faisant jur^Sn:

.86) , = X (. ± i+ j^.+ . . . + ,^:L,),
et par suite y sera exprime en factorielle comme i1 suit:

^^ ^ ^(1 — c2e\x2) (1 — c»e«a**) ... (I — c«e« ^ jr»)'

Si au eontraire ^ = 0, on aura en m^me temps:

/ a;' = — ar.

»

Done dans ce eas y sera une fonction paire de x. Mais le degr^ dn numera-
teur doit dtre le m^me que celui du d^nominateur, comme il est facile de voir;
done I'expression (187) appartient a y toutes les fois que le degr^ du num^
rateur est un nombre pair et en mdme temps plus grand que celui du d6no-
minatetir.

CasJL Si a = 0. *

On aura:

/I — jy==Jt:^(^ — ^)(^' — ^) . . • (ar^i*~*> — z).

En raisonnant comme ci-dessus on trouvera aisement que dans le cas oil
fi est un nombre impair, y sera une fonction impaire de x de la forme:

_ (l-c«gV^)(l-c^gV«) . . . (I-c«e;jr«)

. _ ^ » . »

Si II ,est pair, y sera one fonction impaire de x de la forme :

189) y=^ (i-s»,,»)...(i-8;x«)

5 9.

. De la fonction s

Nous avons vu chapitre 1. paragraphe 4. qu'a F^quation diff6rentielie -

on pent satisfaire, en mettant au lieu de y une fonction impaire de x du degre
(2^ -)" 1)% qui s'evanouit avec x. En la d^signant comme nous Tavons fait a
Fendroit cit6 par ^2|jl+i> et faisant pourabreger (2/t-)- 1)* — l=2w, cette fonc-
tion, en vertu de ce que nous venous de voir dans le paragraphe pr^c^dent,
doit avoir ta forme suivante :

398

ft _ xAe' + e'Ajr

line autre racine, on aura encore les racines suivantes:

qm seront diff^rentes entre elles.
Cela pos^, faisons

on anra en g^n^ral:

quels que soient les nombres entiers m et Ar. En mettant 0*ar au lieu de ;r,
on aura:

done toute quantity de la forme

sera racine de T^quation y = ^px. Je dis maintenant que si Ton attribue k k
et m toutes les valours enti^res possibles, moindres que 2/t -}- I9 1^^ valeurs
qui en r^sultent pour la fonction O^O'^ar, seront toutes diffS6rentes entre elles.
En effet, si Ton avait

il en r^sulterait, en mettant e*»*+i-«»' j? au lieu de a?, et remarquant que 0«»*+*a?=:r:

oil ri' = 992 -|- ^/^ + 1 — ^'*
Cela donne:

oil A* = 2/1 -}- 1 — * + *', c'est-^-dire :

e»';r = ^\x,
et de li:

Maintenant, puisque Zfi-^l est un nombre premier, on pourra faire

done :

0 («^+i)p9^^P _. 0^ar = e*'i*'a?,

c'est-^-dire ^^x serait une des quantit^s:

Xy vXy • • • V '^Xy

et cela est centre llij^otb^se.

L'expression O^x^*^ ^ ^^^^ ^^ nombre {Zfi -f- 1)* ^^ valeurs diffi^rentes
et par consequent ces valeurs seront les racines de T^quation

399

Soit maintenant

of = 0*iar, af = 0*iO~ar, a?* = 0*ar.

On aura en regardant e ^i tf comme variables :

ds*" ds I de

I — = — — + tn* — •

«

En mettant dans la premiere formate 3s^ an lieu de or, x^ se changera en of,
done :

done:

et si Ton fait

dx» daf" xj^ de^ ,

Aj?^ Ajp ' Ae' * Ae'

* ife' d^\ ife dcm

Ae' Ae'ik ' Ae Ae. '

dlr^ ds , ifo'» . dem

Ax^ "A^T * Ae^^ ■ AiT*

Si done on* fait :

194) c.^ =._____,

on aura:

dlr^ ds^i ^^m^

Aj?^ Ajp Ae '

et de la, en snpposant que e^ et e\^ s'^vanonissent avee e:

s^e ^-¥6 . Ax

*»5) ^ = ^X,/';, = e\e«ar.

Tontes les racines de I'^qaation y = x^^x ponrront done dtre exprimees par
cette m^nie formule.

Done poor trouver toutes les racines, il suffit d^avoir la valeur des deux
quantites e et ^, qui sont deux racines de Tequation

Toutes les racines de cette equation

qui, par ce qui precede, sont les (£/i -|* ^T quWites suivantes

"> db ^1 > it ^%> • • • it ^»

400

sont done exprim^es par la formule

en donnant k m et k tontes les valeurs moindres que 2/i -|- 1* H est facile de
voir qn'on ponrra exprimer e^k en fdnction rationnelle des deux quantit^s By &y
'done on voit que tontes les racines de I'^quation :r,^i = 0^ ponrront s'expri-
mer rationnellement par deux entre elles et par le module c.

Si Ton vent exprimer x^y^i a I'aide des fonctions ^^x et iXj on pourra
faire cela d'nne mani^re fort simple. En effet, en remarquant que le dernier
terme d'une Equation est le produit de tontes ses racines, on aura sur le champ :

196) ara^i = c«i^^+?i*.ar . Oar . 0*ar 0*»^a?

X Oi^ . OiOar . OiO*ar . . . OiO*i*a;

On a aussi:

X ^^x. OJi^Oar, 05»^6*:r . . . ^IH^v-x.

*\L 2(1.

1
197) ^2|t+l = 2^+1 ' ^m ^n (^"*lO"^)-

§ io.

De ('Equation x,^^j = 0.

D'apres ce qui precede les racines de I'equation x^^x'=^0 sont exprimees
par e^i, en donnant k met k toutes les valeurs possibles moindres que 2^4"^-
Une de ces valeurs est z6ro, savoir e^^^.

En divisant le num^rateur de la fraction x^^^ par Xj on aura, en egalant
ie quotient k zero, une equation:

198) P = 0,

du degre 4^* -f" V- J^ dis que cette equation pent £tre r^solue a i'aide
d'^quations du degr6 2^ -f" £ et du degre 2/i.

Soit p une fonction quelconque sym^trique et rationnelle des quantites e^ ,

^2>-*«^2iA* ^n mettant an lieu de.^^' ^89**-^2)ji Icurs expressions en fonc-
tions rationnelles de ^^, /i deviendra une fonction rationnelle de cette racine.
Faisons :

199) p=z(fe^j
on aura ^videmment:

200) tpe^ = (pe^ = ipe^ = . . . = q^e^^j

401

Rations qui anront lieu qaelle que soit la racine e. Cela pos^ mettons e^i
au lieu de e^ il est clair que

se changeront respectivement en:

Done on aura:

201) . 9>^«,i = 9>^tm,«==-- • = 9^«ii«s«iJL-

Formons I'equation:

2Q2^ i(/^— 9^^i)(l^ — y^o,i)(/^— 9^i,i)(/^— V^t,i) • • • (/^— V^aix,i)

9o9 9i9 * • • ^^iji^-i seront des fonetions sym^triques et rationnelles de (pe^y ?^o>i>
] . . 9^21^, 1* Or on pourra les exprimer rationnellement en c.
En effet il suflFit d'avoir la valeur de:

205) {(pe^" + (9)1^0,1)* + . . • + ive^,, if = ?*•

En vertu des equations (200, 201) cette quantity pourra s'ecrire commeilsuit:

2iW . pfc = (9)^1)* + ((pe^'' + (9)^,)* + . . . + (iJP^a,,)*

+ (9^0,1)*+ (y^o,«)*+ (9^0,8)*+ • • • +(<iP^o,«^*
+ (9^1,1)*+ (<iP^.,2)*+(<iP^B,»)*+ • • • +{ve^^tv)^

Or le second membre de cette Equation est une fonction rationnelle et sjrm^-
trique des racines de I'equation P = 0 ; done on pourra exprimer Qk ration-
nellement par les coefificiens de cette Equation, c'est-4-dire par c.

Onvoit done que les coefliciens de I'equation (202), q^^ q^y 9%9"' ^®*
ront des fonetions rationnelles en c. Done une fonction sym^trique quelcon-
que des racines:

^19 ^%9 ^8> • • • ^tKL

pourra 6tre d^terminee par le module c, k I'aide d'une Equation du degr^ ifji-^i.
Cela pos^ faisons:

204) (e— e^){e—e^ . . . (e—e^^) =

e^^ +p^^.e^-^^ +p^.e'i''^ + . • • +^x-^ + Po = 0.

Les coefiiciens p^y P%9***P^i seront des fonetions rationnelles et sjrm^-

triques de e^y ^t9«*-^9|X9 done, comme nous venous de voir, on pourra les

determiner k I'aide d'equations du . degre ifi -f- 2. Ainsi pour avoir les racines

de I'equation P r= 0, il suffira de resoudre des Equations du degre £/i et ifi-^i.

51

402

Ce q[ai pr^de est susceptible d'dne application importante. Le module
^^ exprim^ par la formule (156), est comme on voit une fonction rationnelle
et S3rm6trique de e^ e^y ^89 9** ^a^ Done, en vertu de la propriety demontree
pr^c^demment, on pourra trouver le moduie & en c k I'aide d'une equation du
degr^ 2fi -f- 2« Cette equation ne parait guire resoluble alg^briquement, ex-
cept6 lorsque 2/i -f" 1 = 3. Dans ce cas elle sera du quatriime degr£.

En appliquant le th^or^me XII. a Tequation :

on aura en remarquant que le degre de la fonction x^^i est {2/i-\-i)\ et
2(1-^1 un nombre premier: •

oil y est une fonction de x du degr6 2/^-1*^9 ^^ ^a|i+i une fonction de y du
m£me degr^. On aura:

^ c»H^ s{e^ —s^)(e\ — 4P«) . . . (ej, — 4P«)

y

•c' (l—c^e^s^) (1 — c^eV*) • • • (I— «*^i**)

et

^*l*+* |/c ' (1— c'2tf' V)(l— <?'*«'\»*) • • • (I— <?'*«' Jy*)'

(X e* 1 c* I — ^u. \*

^' est determine de la m^rae maniere en (f que ^ Test en c. Done si i'on

«

chmige c en &*^ e se changera en e^. De la il suit que V^qbation entre ies
modules c' et ^ doit rester la m^me si Ton cbange sinfultan^ment c en & et
& en c.

Puisque & depend d'une Equation du degr^ 2(1 -^2y on pourra donner a la
fonction y^ 2/1-^2 valours diffgrentes.

404
$ 12.

R^Molution de V Equation y:^\|)«.

U^^ation alg^brique y = y\)Xy oil y^x est une fonction ratunrneUe quel-
con([ae de Xj satisfaisant k one e([aatioii diff^rentielle de la forme (205), jouira
de la propri^t^ remarquable d'etre resoluble par rapport k x k I'aide de radi-
caux. Cela est facile de d^montrer en ayant £gard k la forme des racines de
cette equation. D'abord si le degrc fi est nn nombre compost =^.^1.71^...^,
on ponrra faire comme nous venons de voir dans le § 7 :

y = Vv(yO> yv = V'v-i(yv-i), • • • y. = Vi(yi), Vi = ^(^),

oil yp^j V^^h-19 • ' 'V^iy V^ d^signent des fonctions rationnelles respectivement des
degr^s n^, n^^ • • • ^19 ^ ces derniers norabres ^t^nt premiers. On aura done
la valeur de :r en y k I'aide de la resolution Ae p-^i Equations des degr^s
71, nj^j...n^ respectivement Done il sufifit de r^soudre Tequatlon y=zii)x
dans le cas oil le degr^ /i est un nombrct premier. Si itt = 2, on aura Vex-
pression de x par les regies connues. Si /t est impair, les racines de T^qua-
tion yz=z\px seront les i/i-^i quantit^s suivantes :

x^ ^Xj 7 wir • • • V '^wl^•
Cela pose, soit d une racine imaginaire de I'^quation

et faisons

v'=zx+ d.^^i^x + d* 0«i^-*;r + . . . + d«>^ . Oar.
En substituant pour les quantites O'^or leurs valeurs:

et remarquant que

il est clair qu'on aura:

oil /^ et 9 sont des fonctions rationnelles de x. Cela ftiit voir que v .v' et
^ai*+i -|- t>^»t+* sont des fonctions rationnelles de ar ; or je dis qu'on pourra ex-
primer ces quantites en fonctions rationnelles de y. En effet il est clair en
vertn de la forme de v et tfy que si Ton fait

405

les deux fonctions (px et fx ne changeront pas de valeor en mettant poor x
\es 2fi -{-i qnantitte:

•

Done on aura: «

(fX = 5 — J- {(px + 9>ft^ "f" • • • "f" V0*»*:r) = v.7^^

fx = -J— (/i -f. /-ear + . . . + /•O^i^or) == «;«i^+i+v'«i*+\

Ces expressions des qnantit^s v.Tf^ t^^i^+i -[- ^7'*!*+^ sont des fonctions ration-
nelles et sytnetriques des racines de I'^quation yz=z'tpx; done on poorra les
exprimer rationneilement par les coefiiciens de cette Equation, c'est-^-dire en y.

Faisons done:

v.tf=rs

s et t seront des fonctions rationnelles de y. On en tire

— ?[t+]/(t— ■)]•

On connait done la fonction v. Maintenant si Ton designe par v^y v^^ ^s> • • •
v^^ les valeurs de ^; qni r^pondent respectivement aux racines 1, dy d\ d', . . .
S^^ de r^quation d*K+^ = 1, on anra sur le champ :

qni est I'expression g^nerale des racines.

On aura par la nne classe tr&s etendue d'eqnations algebriqnes de tons
les degr^s, resolnbles alg^briipiement Nons n'entrerons pas ici dans des de-
tails sur ce sujet, mais nons renvoyons nos lectenrs k la seeonde partie de ce
memoire, on nons en donneront des d^veloppements ^tendns et remarqnables a
cause des belles propri^tes des fonctions elliptiques qu'on en pent ttlrer.

On ponrra encore remarqaer eomme cas particulier Tequation:

^iiL=y>

on x^ designe la fonction rationnelTe de x du degre fi^j qui satisfera k I'equation :

.406

On en peurra tonjonrs tirer la valeor de se ea y k I'aide des radicanx.
Si ju est un nombre impair, on ponrra donner aox racines cette forme trto
simple :

1 « - - -

^^ Pi 9 P%9 Ps * * * ^^^^ ^^^ fonctions entih^es impaires de y du degr6 /i et
9 19 9%9 ^8 * • • d^^ fonctions paires de y du degr^ ^ — 3. p^ et j^^ seront d^-
terminus par I'^quation

oil 6» est une constante, savoir une racine de I'^quation x^ =: 0.

Chapitre Y.
Theorle gdnerale de la transformation des fonctions

elliptiques par rapport au module.

A I'aide des theor^mes qne nous avons ^tablis dans les chapitres pr6c^-
dents, nous poorrons maintenant donner la solution de ce probl^me:

^'Etant proposes une fonctwn elliptique avec un module quelconquej ex-
primer cette fonction de la mambre la phis genirale en d^auJtres fonctions f'

5 1

Condition g^nirale pour la transformation.

Soit propose une integrate de la forme:

/r.dx

on demande, s'il est possible d'exprimer cette int^grale par des fonctions al-
g^briques, logarithmiques et des fonctions elliptiques, dont les modules sont
^19 ^^^•••c^j en sorte qu'on ait:

/rdx

= A^ .rp^x^ + A^tp^^ + • • • + A^\p^^+ F,

oil A^^ A^... A^ sont des constantes, x^y x^.. . x^ des fonctions algebriques
de Xy et F une fonction alg^brique et logarithmique ; rp^y ^f««i^m d^signent
des fonctions elliptiques ayant respectivement c^y c^y. .c^ pour modules.
Cela pos6, cette equation donnera en vertu de (86):

/rds
Ax

Ax
oil

^i-^i^i + *a- V'ayt + • • • + *«.V;«J(«+ F',

Vi 9 y^9 yt9 • • •ifmj

407

et ^galement

^1^1 ^a^g A^3 A^

sont des fonctions rationnelles de x.

%

Si Ton suppose, ce qui est permis, qu'ii soit impossible d'exprimer

rdx

p

tiX

par un ndmbre moindre des fonctions t/;^, V^a^-** t/;», il est clair, qu'aucune
des quantit^s y ^ , ^ty • • • y» ne pourra ^tre constante.

On doit done avoir separement, en vertu du theor&me d^montre dans le
premier paragraphe du chapitr^ precedent:

dy^ ds dy^ ds dym ds

oil 6^ , ^t? * * * ^M ^^^^ ^^^ constantes. Cela donne en integrant,

sauf une constante qu'il faut ajouter a chacune de ces Equations. On pourra
done ^noncer ce th^or^me:

Theoreme XIII. Une relation quelconque entre des fonctions elliptiques,
ayant c^y ^99 . • • ^» pour modules, ne pourra subsister a moins qu'on n'ait entre
les fonctions correspondantes de la premiere esp^ce, cette relation:

206) o(ar, c) = —My I y ^a) = —Ml/^y ^t) = • • • = 7- • « (y«» ^«)»

oil e^, f,, ...f» sont des constantes et y^, y%9-**ym des fonctions ration-
nelles de la variable x.

On pourra done encore satisfaire aux Equations suivantes :

207)

oil :r^, or^, .. . ;r,» sont des fonctions rationnelles de x\ on bien, si Ton d^signe
par c et c^ les modules de deux quelconques des fonctions entre lesquelles on
a une relation, on pourra toujours satisfaire k I'equation:

208) Vi{x\&)=:zeM{XyC)

en supposant a^ fonction rationnelle de ;r, ou x fonction rationnelle en x\
Cette Equation donne

209) .J^ = ,. "^

A(jr',c') A(jr, c)

408

Soit maintenant of one fonction rationnelle de or; si r' designe one fonctioii
rationnelle qu^lconqne de x\ on poxmra transformer f en une fonction pareille
de X. En la d^signant par r, on aura done r = r. Done en multipliant Xk-
quation diff^rentielle ci-dessus par r\ on aura, en inti^grant:

210) fl^^^^.fj^.

Quelle que soit la fonction rationnelle r, on pourra toujours, comme on sait,
exprimer

rdx

A

A(j:, c)

par des fonctions elliptiques des trois esp^ces avec le module c. . On aura
done ce th^or^e:

Theorbme XIV. Si une fonction elliptique quelconque (px^ ayant & pour
module, pent ^tre exprim^e par d'autres fonctions avec les modules c^^ ^t? • • • c^y
on pourra toujours exprimer la mdme fonction (fx par des fonctions elliptiques
avec le m^me module c, c 6tant un quelconque des modules c^^ c^y^c^y et
cela de la mani^re suivante:

oil y et r sont des fonctions rationnelles de x.

NOTES ET DlSlYELOPPElENTS

SE L'EDITEUR.

Pag. U. Ml faut ici remarqaer la difference entre les Equations r^dactibles
et iiT^dactibles. Une equation algebrique est dite irreductible lorsqu'il est
impossible qu'une racine de cette equation puisse dtre racine d'une Equation
moins ^levee de la mdme forme, e'est-a-dire, dont les coefficiens ne eontien-
nent aucun radical qui ne se trouve dans les coefficiens de I'^quatioii donnee
Dans le cas contraire I'^quation est dite reductible. Ainsi par exemple Tequation

a^+yZ.a^—VZ.x + S^^O (a)
est reductible, car elle a deux racines communes avec Tequation

ar* — 2^2 . ar -f 3 = 0, (/?)
equation moins elevee que (a), mais de la mdme forme, car ses coefficiens ne
contiennent aucun radical qui ne se trouve dans les coefficiens de I'^quation (a).
L'cquation

a aussi deux racipies communes avec I'equation {^6)', mais I'equation {y) est irre-
ductible; car il n'existe pas d'equation moins elevee de la m^me forme qui ait
une racine commune avec cette equation. Done si I'equation

est reductible, son premier membre contiendra un facteur irreductible

da la mdme forme, c'est-^-dire oil t^, f^, • . . t^-i sont des fonctions rationnelles
de py r^y r^y ...^»-i et oil fi est moindre que k. Si elle est irreductible on
a fi = ky et I'expression {s) est identique avec le premier membre de I'equa-
tion (d).

L'equation av- — 1=:0 ne pent avoir lieu lorsque^ fi est moindre que »,

et n un nombre premier; car si cette equation avait lieu, I'equation — — -- = 0

serait reductible. Or cette Equation est irreductible. (voyez Legendre essai
sur la theorie des nombres p. 4f39). On doit remarquer que cela n'a pas lieu

52

410

lorsque n e^t un nombre compose; par exemple dans I'^quation a;^ — 1 = 0,
one des racines imaginaires est ^n > ^^ ^^ appelant cette racine a, on

a a» — 1 = 0.

Pag. i2. Les qtiantites r^, ^i9*--^ii^i ^tant des fonctions enti^res de

i J,

/?, il est clair qu'elles restent invariables par la substitution de av-.p'* pour /i'*

dans r^qnation (2); car on a p=i\p'') =\av-.p'') , fi 6tant un nombre entier
quelconque. L'equation (3) est done satisfaite par cette substitution, et par
suite l'equation (1) Test de m^me..
On a.

Ju -1 JLfL

1 2

n^l

Vh = 9^0+ tt'"-'-;^" + a^^'^^q^.p^ + • . • + a^^^^^^'^hq^^.p " ;

1

done siyjj. = y^, on aurait en faisant /?* = z,

z* — p==0,

Or en concluant de la mdme mani^re que pr^c^demment, on voit que l'equation
(^) est impossible; done les racines y^ et y^ sent differentes entre elles.

Pcig. iS. Les coefficiens de l'equation du degre n' dont les racines sont
les quantites v^^ v^y . . .v^' etant des fonctions symetriques de ^r^ , x^y x^, .. . x^y
on sait par la theorie des equations alg^briques qu'ils seront des fonctions ra-
tionnelles de a, a^y a^, . • . ^m-i*

Pag. iS. p est le plus grand nombre premier qui ne surpasse pas n.
Si p. ex. 71-=. 5 ou n = 6, on a dans les deux cas p=z5. Soit n = 5 =/?,
on a les indices a, /?, y^ d, e. Si Ton applique plusieurs fois de suite la per-
mutation (gY^g^) ^ Id combinaison cc/iydcy on aura les combinaisons suivantes

fiydeaj ydaa^y daa^y^ ha^yd \ a^ydcy etc.
En appliquant de la m^me maniere Ja permutation (^^35^) ^ la combinaison

fiydeay on. aura les combinaisons suivantes

yafidcy aeylid\ adayfiy dfieay \ ftydetXy etc.

d'oii Ton voit que les deux permutations (ftYjga) ®^ WaaSe) ^^^^ ^®^ permuta-
tions r^currentes du cinqui^me degr^.

411

Pag. i6. Voyez la table des fautes k corriger.

Pag. i9. Toute fonction de la forme {a) on est symetrique oa a 5 va-
leurs; done la fonction (p{x^y ^tant de la forme (a), doit avoir S valeurs.

Le nombre des combinaisons a 3 qu'on pent former de d quantit^s est
Y-^-^ = 10 ; done (px^ -}" V^t 4" V ^s ^ ^^ valeurs, et par suite q)X^ — q)X^
-)- q>x^ a un nombre de valeurs trois fois si grand.

Pag. 20. Pour. »i = 4 on aura i?^ -f- ^a = 9^^i> '^2"f"'*^8 = 9'^25

t^, 4" ^4 = 9^8> ^4 "f- ^1 = V^4 ^'^^ ^^^^ tlrC V'^ 1 9^2 "}" 9*^8 y^4 = ^9

done t;^ 4" ^2 = V^i = 9^^% — ?^8 + 9'^4' ^^ ^® second membre de cette
equation a 30 valeurs; mais v^ -}~ ^2 ^tant de la forme (a) n'en doit avoir que
5; done m ne peut dtre £gal a 4. Pour m = d on trouvera I'^quation
2v^ = 9?^:^ — q)x^ -f" 9^8 — V^^ "h V'^s ^^"*^ '® second membre a 10 valeurs;
done tn ne peut 6tre 6gal a 5. Pour /e = 3, ^^ + «^a 4" ^8 sera de la forme
(a), et aura par consequent 5 valeurs.

La forme generate que I'auteur a trouve pour les fonctions de 5^ quantit^s
qui out 5 valeurs differentes, peut dtre deduite d'une maniere abregee, comme suit

Soit u une fonction donnee des 5 quantites x^, x^, x^y x^y x^ qui' ait les
5 valeurs differentes u^y u^j u^y u^y u^y et soit v une fonction desm^mes quan-
tites qui ait les 5 valeurs v^y v^y v^y v^y Vy Une permutation quelconque qui
change u^ en u^ est supposee de changer v^, en v^. Cela pose, soit

^1 + ^2 + ^8 + ^4 + ^5
u^v^ + n^v^+ u^v^+ ^^^A- '^5«^4

^^^1 + ^>« + ^>3 + <^4+ «^>5
«^;^i + «^^^2+^8^8 + <^4 + «^X
^t^l +<^2+<^8+«^>4 + ^>5

K

1.

Les quantites k^y k^y k^y k^y k^ sent evidemment des fonctions sym^triques de

^i> ^2J ^8> ^4J ^y Soit de plus

«^2 + ^8 + «^4+ «^5= — '^l

^2^^8 + «^2^^4+«^2^^5+^8^^4+^V^4 + ^4^^5 = ^2
njU^U^ + ««2^/b^5 + ««2^V^6 + ^8^V^5 = -^8

2.

UJtlJU^l^

^i9 ^29 ^s> ^4 soi^t d^s fonctions symetriques de u^y u^y u^, 7/5, et on a iden-

tiquement

52*

«t + *i«S + *a«2 + *8«4'+ *4 = 0

Si I'oD ajoute membre k membre les Equations (1) apris avoir moltipli^ la 1"
par s^ la 2,'* par «„ ia 3"^ par s^ la 4*** par s^ et la demi^re par Timit^, on
obtiendra en vertu des Equations (3) la suivante

d'ou I'on tire

V

* M*i+»i«»i+»a«*i+»,»i+»4

Soit maintenant

«<1*» + *4 = «,«a**»"4 + • • • + «a«8«4«» = ^4

^i> ^a> ^' ^4' '» ^^"^ ^^^ fonctions symetriques de x , x y x^y x^y Xy De
ces Equations on tire

*a = »'i*i+^a=«!— ^i«iH-^a ) g

*4 =«!*, + '4 = < — ^«? + 'a«'i — V^ + '4

Ces valenrs de s^y «, , «, , «« ^tant substitutes dans I'eqaation (4), on aora ^vi-
demment pour la valeor de v^ la forme suivante

^^ /'o' Pi9 • * •/'49 9^09 9i9' ' * 94 ^^'^^ ^^^ foiictions symetriques de ^^, x^, x^^
Soit pour ^i^r&sev p^-\-pjU^+...+pjtil==f(u^)etq^+q^u^+...+q^u\

1 <P(«i)

En •multipliant le haut et le bas de cette fraction par qi{u^'^{fi%i*^>{fi^^q>{u^
on aura

413

^ — /("i)'yK)-9K)'9K)'y(«&) 7

1 9(mi).9K) •9(«'8)-9K)-9K)
Or 9)(M^).9(M,).9)(M4).9)(i/g) est une fonction enti^re et sym^triqne de u^y m,,

^49 ^6 ^^ P^ conse([aeii(^ en vertu des Equations (2), une foQCtion enti^re

de s^j s^y s^y s^; Inais ces quantit^s sont des fonctions enti^res de l^y l^j l^y

l^ et de u^. Done le num^rateur de I'expression de v^ (7) est one fonction

enti^re de ces monies quantites. Le d^nominateur est une fonction sym^tri-

que de x^y x^y x^y x^y Xy On aura done pour v^\vl forme suivante:

Les Equations (5) donnent identiquement

En multipliant cette equation suecessivement par ti^y m^, «J , . . . m^"~*, on
obtiendra n — 4 equations desquelles on tirera les valeurs des fonctions u\y
^\j u[y...u^^ exprimees par des quantites de la forme /?© + /^i^^i + /'2^i
"H ^z^\ 4" P^f^X^ Poy /*!••• /'4 6tant des fonctions sym6triques de x^y x^y or,,
^49 ^6* O^ P^^t do°^ ^^ Texpression de t?^ chasser toutes les puissances de
u^ superieures a la quatrieme. On aura done en ecrivant v pour v^ et u pour u^

v=t^Ji^t^u + ty + ty + ty.

Or u est une fonction. donnee de 5 quantites qui a 5 valeurs diff^rentes; une
telle fonction est par exemple 0 . a;, 0 ^tant une fonction symetrique et x une
quelconque des 5 quantites. Soit done ie= O.o;, et soit t^.^v-zizzr^y Vy^, ainsi
que t^ est une fonction symetrique, et Ton Tiura

qui est la forme generale que I'auteur a trouvce"^).
De I'equation

on trouvera

'^) De la m^me manifere on peat d^montrer que, si u signifie nne fonctioD donnee de n
quantites qui prend m valeurs diift^rentes lorsqn^on ^change ces n quantites entre elies
de toutes les mani^res possibles, la forme gdndrale de la fonction de n quantites qui
par leurs permutations mutuelles peut obtenir m valeurs diffdrentes sera

^0 -^r^u+r^u^ + . . . + r»-ifi"-\
r^f r^, ^2 • • • rm-i dtant des fonctions sjmdtriques des n quantitds. C'est ce que j'ai
ddmontrd dans un mdmoire insert dans le 12^^ volume du journal, Magazin for Na-
turvidenskabeme.

414

comme nous alloDS voir. H est clair que la fonctioo

mm ^

peat ^tre mise sous la forme

oil t^^ t^. . .t^ sont des fonctions symetri^es de x^y x^y x^^ x^^ Xy En effet
toate puissance de x sup^rieure a la quatri^me pent dtre chass6e a I'aide de
I'eqaation donn^e a^ — au^-^bx^ — ca^-^-dx — 6 = 0. On pent done former
les quatre Equations suivantes

^0"f"^l^ "f" ^2^ "f" ^8^ 4" ^4^

oil r'^y r'^.. . r*j>, r*^ . . . r^^^, r*j . . . ainsi que r^,, r^ . . . sont des fonctions
sym^triques. En multipliant la seconde de ces equations par m^y la troisi^me
par tn^ et la quatrienie par m , m^, m et m, itant d^termin^s par les Equations

r, + w,r'3 + m^r'^ + »i,r*, = 0 V 12.

on troavera

d'oii Ton tire pour la valeur de x la forme (KV) ci-dessus, en remarquant que
les Equations (12) etant lineaires par rapport aux quantit^s m^, m'^y m^y ces
quantit^s sont des fonctions rationnelles de r^, r,, r^, /^^ • • • ^4 et par suite
des fonctions sym^triques de x^y x^y x^y x^y Xy

m

Pag. 22. a^-^fj^s^ etant une fonction symetrique, V"(tt* — /9V) aura
necessairement m valeurs differentes et pas un plus grand nombre. Or

>^(a* — /SV) etant une fonction rationnelle de 5 quantites, ou doit 6tre syme-
trique, ou avoir deux valeurs, ou cinq valeurs, en remarquant que m est un
nombre premier. Done si cette fonction n'est pas symetrique, m sera ^gal h
2 ou ^ 5. Dans le dernier cas on aurait

i^(«*— /5V) = r, + r^x + r,^ + ^.^+^4^,
mais nous avons vu qu^une telle Equation conduit a des contradictions. Si
m==2, on aurait t? = |^(a + /? K(^))j fonction de 6 quantites qui aurait 4 va-

415

leurs; or nne telle fonetion n'existe pas. Done |/(a* — fi^s^) est necessaire-
inent une fonetion sym^tri^e.

Paff. 23. Les coeffieiens A, A^ etc. sont des fonctions sym^triques des
qnantites p^^ P^^'P^y l^squelles sont des fonctions rationnelles des racines
de Fequation propos^e. Done A, A^ etc. sont des fonctions sym^triques des
racines.

On a vn qne tonte fonetion non symetrique de 5 quantites ne pent avoir
qne 2 ou 5 vaieurs, si le nombre de ces valeurs est un nombre premier. On
a Yu de plus que m ne pent ^tre egal a 2, done on doit avoir m = 5.

Pag. 28. Si dans la {ovrnxA^f^^^ = ^^^^'^^^^""^^ (voyez pag. 131
dn Resume des legons donnees a I'ecole royale polytechnique slir le calcul
infinitesimal par Chauchy) on pose x == J^ , on trouvera

y;v-(i-y)-'.*=^^.

Pfig. 51. On verra dans le tome second comment I'auteur est parvenu
a Texpression demontree ici.

Pag. 39. d{t'^+l^+^)<dt, (a).

Ou a

8t=idR^—8N=:i2m (9), 8t^=i^dt=:m (H),

ih<n par hypoth. (8), dN=n — m, done 8v — 8N<m, done *(— 1^)<*»>

par Suite sC ^ J <<^'i > et de 1^ on tire I'expression (a).

Ou a dr=: M±^ = w, dv<?ty done dv < dr^ done <^'(^) < ^ (^) et de

Paff. 40. dt\<m{H), dN=n — wi, done d{Nt\)<n; dV <n — m
(9), done d{Nt\ + V)<n^ c'est-i-dire ds <n (13), dr=:n^ done ds<Sr,
de < dsj done de < dr.

Pag. 42. 6fi^ = dr^ — ds^ , done d{e^ii^ < 8r^ , ds < 8r^ , dr^ = dr^
done (5^„<(Jr_.

Pag. 43. tf^« + 2^/'«— i <<^^> ^ cause que *t?<w.
/9 et (i^ ont le facteui' commun /?»^i. (Voyez les deux demidres Equations pag.
43 et les suivantes).

416

Pag. 47. 8p — dq:=^n. On a (pag. 59) p^ = t^q + /?» oil dfi < dq^
done dp^ — dq=zdt^=zm; or p=:Np^y done dp^:=idp — dN=Sp — ii-j-nt;
done dp — w+wi — dq=zm; c'est-i-dire dp — dqz=n.

Pag. 6S. Le th^or^me mentionn^ iei que Fauteur se reserve de d6-
montrer dans une autre occassion, est un cas particulier du th6oi*6me III. pag.
354, qui est lui-mdme un cas particulier du th^or^me 11. de la m^me page.

Pag. 69. Ayant pm<d pour toute valeur de m on en conclut

Pm^i{en^i~eJi<S.€^i — d.B^
done en ajoutant

Pag. 75. (»!+??)», = m^n^ + m^n^^^ -f- . . . + rn^n^.
La demonstration de ce th^or^me se trouve dans I'ouvrage cite de M. Cauchy
pag. 98, 99 et 100.

Pag. 78. i/;(A:, A:' + Z') = 2m7i + i/;(A:, k) + i/;(0, /') en vertu de (5) en y
faisant / = 0.

Ptig. 81. Lorsque (i>\^ on a cos Y^^= — Ij sin yji=0 ; done yjjL=(2Ar-f-l)7r,
k etant un entier ; on tire de \k y^ + /j + ^4 4" • • • "f" ^k- ^^^ (^^ "H f^ — ^)^>
I 6tant un entier. Mais cos /^ =0 et sin/^ = 1, done j\ = 2wi7r + -s-> ^onc

/i + ^2 + ys + • • • /jiL = (2w+A^— Ih = -S/^;

done cos(iS'/jj^)=cos(/e — ^)7r=0, si^iS/jj^) = sin(/f — \)^'=^ — cos^7r= — ( — 1)^^,
et de \k cos(O'jjl) = — sin ix(p . sin (^ — ^)n = ( — 1)*^. sin ^qp,

sin(0'jx)= cos ^qp . sin (/i — 2^)^= — ( — 1)*^. cos /tiqp.

Pag. 8S. On pent demontrer comme dans le deuxieme cas que »i„=0
pour ?f == cx). En effet, ayant Ar=Oj ou compris entre 0 et — 1, si Ton fait
k=z — Z, / sera = 0 ou compris entre 0 et 1, et on aura

Or 1 — I etant une quantite positive, on pent prendre une quantite positive c
telle que c< 1 — I. Cela pos6, on a

417
done

done si Ton fait ^ > 1 — I — ^^ + -^— (= q)

on verra que

0 » < 1

Si dans I'^quation (20) on fait w = l — c — I et a = — , on trouvera

done

0+^)

1 \-l+H^ J 1 — l—c

V-

V-

c'est-a-dire

*.<(>+^r^.

done

. .. .l-l-e

done en faisant // = 1, 2, 3 . . . ^t

Vi- V« • • • W < (^TT^) 5
on tire de la, eomme dans le deuxieme eas,

Si I'on fait ici ^ -f" P = ^> ^'^ ^

done en faisant ?i infini et remarquant que 1 — / — c est une quantite positive,
on voit que ;„ se reduit h zero. Or (voyez pag. 73)

. ^n = ^.n(cos (/^ 4- y^ + . , . + jg + 1^_ 1 Sin (y ^ + y^ + . . . + y«)),
(lone w^ ^ 0 pour w = oo.

Pag. 91. II faut se rappeler que (2 + 2 cos 2a:)* r= 2 cos a: depuis a:=2()7r

'— ^ jusqu'i a:= 2(>7r -f- ^j mais (2+2 cos 2a:)* = — 2 cos a: depuis x=L2Qn

+ |-juscpi'a;r=2p,T-f-J.

Pa^* 5S. L'equation (f) donne

r—V^ da_y, da ^ pour a = OO.

a^+P+Y a^ oY+t a*+P+Y->

53

418
Or

;|fe=/oX^r^-^=/o -^-(^-^ )"-'^' »-«!»« —

-1:^ = (y+ 1) /* YiLtliy '^ -= (y+1) /* V"(l-x)P-'«£r,Ior8que «=oo.

De la mdme mani^re on trouve

En sobstituant ces valeurs dans I'expression de C ci-dessns, on tronve

C = — {a-\-^—i)f^ dx .x^\i — a;)3:' /''cir.arP(l— x)-«.

(Voyez la table des fantes a corriger.)
Or

J^ \^ -^J «^ r(a+P) '^ Jo ^ ' r(2-a-?) (l-a-p)r(l-a-K

P)

, ^ r(a).r(i— a).r(s).r(i^s) . t-/ -> r-/^ \ «

done en substituant et reduisant

C = 7i(cot(a7r) + cot(/?7i)).

L'equation / = . / s* ob-

tient en mettant dans l'equation (5) la valeur de C exprimee en integrales de-
finies; c'est-^-dire en mettant cette expression de C au lieu de 7r(cot(a7r)
+ cot (/?7r)).

Pag. 98. Si I'on differentie l'equation

on trouvera

done ^n integrant

r = a(l+a)(a4-/y)/ i — -I ( «« + (1 + aSn ) / i 1 — •

419

»

divisant cette Equation par a(l-f-a)> mettant pour les integrales lear valeurs
en y ^^ ^ ^t pour r sa valeur en or, on obtiendra

+ {^+TT7h

da \a l + oy a(l+o)(x+a)"+?

Pe^. 99. £a maltipliant I'^qaation

-^ » (x+o)«+P

par oP (!+«)*> on obtieat

aP(l+a)'

en remarquant qae — ^ i-poor cette valeur de a se rednit a I'unite.

Poff. 101. La definition de la fonetion /'(«) est, r{a)z=z j ^z^-^.e'^dz.

Faisant zr=zx^ on aura r{c()=z2 1 a^^'^er^dx*^ done enecrivant — an lien
de a et divisant par 2 on a

Po^. iii. Lorsque x est positif on a - — < dx ; done en integrant de-
puis ar = 0,

e'est-^-dire log(l+ar)<a: pour toute valeur positive de ar. '

Pag. 121. La valeur de ipx^ se trouve par le precede employ^ pag.
411 et suiv. pour trouver la valeur de v. Voyez Cauchy cours d' Analyse de
I'ecole royale poljrtechnique pag. 71.

Pfig. 124. On pent toujours trouver une racine a de F^quation a^ — 1 =0
telle que toutes les racines de cette Equation puissent dtre representees par
u, a\ a\ ... r/L^"^. Voyez Lagrange Traits de la resolution des Equations nu*
meriques, Note XIIL pag. 245.

Pag. 126. Ay ant a^ = cos — - -f- V — 1 -sin — , on a a^-i = af

-1

= cos^^-=^+K-l.sin^^5^=l>IL = cos ?!L_K— l.sin ^. Doncen

vertu des eqaations (33), si «Jj ::= c -j- dy^ — 1 , on aura »^i = c — d[/^ — 1.

Oh en conclut d'apris (40)

53*

420

«

«n-i = V^^n-1-1^^1 = V"i^+ ^— !)• P'{c—dY— 1),

et a'^.^ = f-(c— rfK— l).f"(^+rfK— 1),
done

Pa^. 156. L'equation (70) se trouve coDime il'suit
Lorsque n est un nombre entier positif, on a

2*-^(eos a:)"=eos wa:4-w.eos(w— 2)a:-f- ^\^ ' . eos(w—4)a:4- Ti o - cos(»— 6)a:+... («)

„(„_1)(„_2) . . . (-^)
oil le dernier terme est — — pr — .cos a:, lorsqne n est impair,

n(ii-l)(ii-2)...(|-+l)

et ^ — ^ — , lorsque 71 est pair.

1 • 2 • 3 • • .—

En mettant mx ^ lieu de x et designant par 2^co^{mzY la somme de toates

1

les valeurs de (cos(m^))" qu'on obtient en donnant a m toutes les valeurs en-
tieres depuis 1 jusqu^ //, on aura

™ ™ ™ n(n W ™

^"^^2^ (coswa:)"=2/ coswiwar+w^ cosw(n — 2)x-\ — ^^2J cosm(w— 4)ar4-...(6)
Or

^ COS mz = — ^ : ^ ^- •

Faisant ici z = , A: et li etant des entiers, on aura

[J. . .

^ COS m . = 0.

2ir

Done en vertu de l'equation {b) en y faisant x = — , lorsque n est un nombre
impair =2p+lj

l'.(co8«i.^)"^^ = 0; (c)
et lorsque n est un nombre pair = £;/,

1 ~ V pi/ 2*P 1.2.3...;i ^ ^^

421

Soit a

2k

et

(x — cos a) (x — cos 2a) (x — cos 3a) . .. (x — cosjua))

Cela pos6, on sait qu'eo designant la soiume des racines de cette equation par
S^ y la somme de leur carres par S^^ la somme de leur troisi^mes puissances
qar S^ etc. on a

S, + A^ = 0

0

(0

En vertu des equations (c) et (d) on a

A^^i — 0 et A^p—^ 1.2.8...;! ,

t^

done aSi = 0, ^^8 = 0, ^5 = 0 etc.

^^2 = h'^ ^4 = 1^5 ^6 = tV> ^8 = T A -^ etc.

Ces valeurs etant substituees dans les equations (f) donnent

J o /I — 1/1 /I — 0 /I — t^(t^— 3) J

^i — ^> ^a — — 5"'^' ^3 — ^' ^4 — ^ J ^6

32

0,

t ti.([i-4)(ti.— 5)
«^^ 1 .2.3 ®^^-

et en substituant ces valeurs dans I'equation (e), on obtient I'equation (70) de
Fauteur.

Piiff. 157. Si dans I'equation ^^cos mz

1 "*

2lnz

8in(yi-f j)g — BJn^g
28in^s

on pose

2n+l

, k etant un entier, on aura

2J (coswi.- — -)

1

En comparant cette equation a I'equation (b), apr^s y avoir fait a;

2z

2n+V

on

en conclut, lorsque p est impair

«"'f.(

cosm.

2tc Y
2fi+l/

422

c'est-a-dire

Sr-^:E (coam. *" ^

'■?.('

211+1/

1 *1

done

1 ~\ 2ii+l/

1

(g)

Lorsqne p est pair, on trouvera

0 .

cosm.

1.2.8...(|-l)) 1.2. 8. ..(1^)

2n+l/ "

et de 1^

^-^ *"+^^ 1.2.8...(|.):2Ha '

(t)

Si daas cette Equation on- fait snccessivement p = 2, 4, &, 8 etc., on aura

2ic

cosm.

cosm.

2n+
2tc

2ft+

_V — « _ 1

etc.

cos lit.

8

5
TV

27U Y

2fi+l/ ~16 ^*'

11

Soit maintenant

r^quation dont les racines sont cos

2tc

2ii+l'

c<>s -,

2»+l

0 (i)
2mz

•cos

291 + 1

, on trouvera

aisement par ce qui precede

-^- T> -^

(g:zg),^- 1 . (n-2)(n-^) etc.

1 — ff' —2

et en sobstituant ces valeurs dans T^quation (i), on obtiendra Tequation (73) de
I'auteur.

Pag. 148. b=:Y{e^+i^)

Pag. £49. Des equations (19) et (20) on voit aisement que

(p{m(o ± «) = ± (— !)"• V^y

(p{nmi ±a) = ± (— !)"• V« ;

423

done en mettant nm -f- « an Ucn de a dans la premiere Equation on a
(p(mca-^nm'^a)=ii^{ — i)r.(p{nm-\-a) = ^ ( — l)*+*.9a.
Pag. iS4. La valenr a? = — a -\- {%m-\-\.)(o -\- (2«-|- l)oi qwi satisfait

k r^quation tp (^) = i, rend /(^)= ^ et ^(^) = ^, done elle

repr^ente la valenr de tfx — if a sous la forme -^. Or la valenr de cette

fraction n'est pas ^gale k z^ro, mais k — ^eu

Pag. 164. En vertu de I'equation (22), f(ma-\-nm-\-a)=z{ — l)»./a,
on a

y=/-f-g- + ^!!^+ J^'j^r— iW-JL-f- ^+(2"^•')/' ^ ., ^L- ot)

^ ' \2n+l~2n+1^2«+l/ ^ ^'V2«+l~ 2n+l ~ 2«+l /

= (— 1)" K^Tr+ ^T'^+dri '^O ®° ^^"^ant "» PO^r 2»l + (2»+l)/».

-0

+v(-«+*)+v(— «+*+iH-...+'K— i)+v(0)+v(i)+...+v(-i+*)

+t^(*)+(*+l)+...+ v(«),

k

1
k

1 **

Or on voit imm^diateineiit que la somme de ccs trois equations est la mdme
chose que

-n

Pag. 171. L'expression y (/? H ^"*" '^M etant identique avee I'expres-

sion (51) y((— l)'>+K/y4- "^^n^f) lorsqu'on fait m—%k et // = 2*', il est
clair- que la premiere expression est une racine de I'equation (f{pt -f- !)/'>
= *"^^ quelle que soit la valeur entiftre de k et de ^'. Done pour, faire voir

que 9> f /* H ^^ y exprime une racine quelconque de cette Equation, il

suflfit de demontrer que toutes les valeurs de cette expression qu'on obtient en
donnant a ^ et a A:' toute valeur enti^re depuis — n jusqu'^ 4~n sont diff^ren-
tes entre elles. En effet dans le cas contraire on aurait

4U

d'oa

et de la

(— 1)~+J^ = 1

2A:' = 2/'4-(2w+l)^,
done 2(A — /) = (2w4"l)^; ^^"ic ^ ^oit 6tre un nombre pair. Or k et / £tant
coDipris eatre les limites — n et -f^^i, la plus grande valeur num^rique de
2{k — 2) est 4?2; mais m ^tant un nombre pair, la plus petite valeur num^rique
de »i(2n4"l)==2(^ — 0 ^^t 4n-f-2, ce qui est absurde. Done ejc.

Rag. 175. On voit par Teqaation (68) que I'eqaation (80) est dn degrd
2w + 1.

Pag. 174. Soit pour abreger'Ti/(C^-f ]/(CJ— Z)*-+^)) = P^ on aura

e- . P, = Sjr-" . <P (/^ + ^),

.i.p„=V.'.'-»(^+Sr).

+ 11

„^ = ^.,(<,+ ^);

done

2n ^.11

<P.^+^fiP» = ^^Jl+0.-*+ 9,-*+ ... 4- 9^-) V (i? + -^)

-n

2n 2n+l

Pag. 185. Si a« = «^, il faut que a"^»^ — 1 ou a~"»^ + 1 et par suite
que a*^"7K-) — 1 soit divisible par 2/j+l. Or m<,n, fi<ny done w — f^<n;
done 2(i» — fi)<,2n. On en conclut que a*^"*"*^) — 1 n'est pas divisible par
2n-\-ly en remarquant que a est une racine primitive du nombre 2n-f-l- Done
il est impossible que a. = a^. .

426

On a -^r — :— =ikj k ^tant ttn entier^ dofic

(a»-H)(tt»-l) _ ^
SJTl ^•

Or a etant one racine primitive da nombre 2^-{-l, a*^— 1 n'est pas divisible

par in-^-iy il fant done qae

a"-fl ,. .

-t; — — = un entier = Ar»;

done

a* = (2»4-l)Ar,— 1.

En mettant ici «"« au lien de. f, il yient

_j_ 0(»-«)ity *(j) ^ 9(»-«+i)* . (p*(as) -f- . . . = O""* . Vvia en remarqaant que 0" = 1
et (p^ttT^t) = 9'(a"f).

P<^. i88. On a en g^^ral '

-n 11

Faisant ;((m) = t/;(m,/i), on anra

n n n

Dofnc

Ai.^K i")=i^V(0,iu)+i i^(t^Kiti)+V;(— m,V)) (/?)
En posant snccessivement dans Tequation (a)

2. zO*) = J?. (Vi^ t*) + V>{—»h /")),

1

on anra

i t/;(0, A^) = i/;(0, 0) + £M0, fi) + xp{0, — ^u)),

-n '^ 1 1 1 *^ 1 s

1 "^ 1

Substituant dans T^quation (/?). on trouvera

U

i

426

n n

En mettant dans cette Equation log i/)(m, /u) ^ la plaee Ae !>p{m, /*), et rentrant
ensuite des logarithmes aux nombres, on aura

n a n n I ^ '

1 •^ 1 " 1 •*■ 1

Si €ans I'dquation (y) on fait i/;(»i,i«)=(— I)«+i*.y (^ , tn0+vxsi\ ^^ ^^.^ j^j_

s^ment que ^ = l^?^^pour /J==£-+-|.. /
iPt;^. f09. Voyez les Rations (22) et (16).

Pag. 191. L'iquation (13) donne 9(P^-«)-<p(P-«) _ ^ ^- ^ f ' ^ •
Si dans I'^quation (18) (pia — ^J. y fa -j- -^J = — -i-, on met « + ^
au lieu de o, on en tirera 1 + e*c\^a . op'/J =1 ^_p ^ .

done

• <p(P+a).<p(p— a) 9«a

9*a _ 9^^

Si dans I'^quation (16) b. -^ = — ffa + ^\ au lieu de ya et jPa on met
leur valeurs en /a, on en tirera

f*a = ^^ ^1_

'-S/-(«4)'

et de 1&

427

En mettant cette valeur de 9% et 1 — f*^ an lieu de c*9> V> dans F^qnation (14)

on troavera

/•(/?+«)./(/?—«)

i-|^./w(«+t).

Si dans la derni^re des ^qaations (18) on met a-^^ k \h place de a, on

m

aura / (« + -^H" "Y") • /^C" H" y) ^^ ~ * ^ ^*****® *** *®**'® Equation on pent

e*

chasser — de I'^qnation ci-dessus par on on obtiendra

/(P+tt)-/(P-«)

On troavera de pins

F*a

(p^a

En snbstitaant ces valenrs de F*a et y'a, et mettant — ^ — pour qpV dans

1

r^quation (14)

il viendra

F(^+a).F(fi^a)

En ^liminant -^ de cette equation et de celle-ci

b

S4

428

on obtieiidra la derni^re Ration de la page 191.

Pag. £94, Les fonnoles de la page 193 donnent

n2n+i)fi={2n+l){-ir.fm^

A«

t)

1—

<p*p

9

s

(mo o\

• '"^'(sa-T) " H%^h

mo \

2»4-l

J

1 —

9*P

xir

««

9'

V 2 2«+l/

1 —

9'P

^ V2^2«+l/

•' \2 2»+l/ *

* /g« o |<-gi \ - 9^P

V2 2 "^ 2«+l/ « ^^ ^ itcrfN

' V2"*' 2^2b+1/

xnn

««

/o mo+ttoA
^ \2 ^ 2n + l /

9»P

9

a

(I

mo+(>At
2»+l

D

<P*P

(O I3t
2+T"

2fs+l

D

xn.i7,

h*

/o mo-{toi\

* V2 2»+i y

1 —

9'P

-/o mo-noiV
^ V2^ 2n+l /

1 * 1 ^fA(^ , »»o-nqt'\ e« / o oi mo-noi\ . 9*^

•'V2"^2«+l/ '\2 2'^2«+l/ ,/o ot

mo-iM3t
2a+l

)

En fdisant /? == 0, on aura

1 = (2» ^ 1)(- IMT^

XH

1 j6« ^ V2b+1^ 2/

1 b* ^ \2^+l/

'' V2^2»+l/ * V2 2^2»+l/

430

*»

dou en integrant

en remarquant qne la constante arbitraire due a Tint^gration se r^dnit k z6ro,
puisqae « s'6vanonit en m^me temps qne x. On tire de \k

Done faisant x converger vers z6ro

— = — = 1 pour x=iO.

Cela pose^ en remarquant que (p{ — a) = — » (pa^ il est clair que . le d^eloppe-
ment de (poc snivant les puissances de a he pent contenir que les puissances
impaires da a. Done

et parceque -^ =r 1 pour a = 0, on a « = 1 ; done

ya == a -|- ba^ -|- ca^ H" • • •

done

(tt \ g I A(i?

oil A convergera vers une limite finie pour des valeurs toujours croissantes de n.
Pag. 198. Si ^^ n'a pas ziro pour limite, il s'en suit que ^^ =

^^ "*" ^^' aura pour limite une quantity differente de zero, quelle que soit la
valeur da /u.

Pag. 200. En posant
e(^)— 0(?2+l)+0(n + 2)— 0(/i+3) + ...==50(w)+5,0'(w) + 5^0''(w) + -^

oil 0'(w) = ^?^, e*(?i)= i^!^^ etc., on aura en mettant w+1 an lieu de w,

, ^ an '^ an*

e(w+i)—e(»+2)+o(n+3)— ...=== 5e(«+i)+5ie'(»+i)+iBae''(»+i)+

done en ajoutant membre a membre
Or

e(^+i)=e(w)+e'(n)+^e''(/i)+ ^3«''(^)+-^ e'(w+i)=e'(n)+o''(w)+lo-'(n)+...,etc.

On tire de 14 en substituant et reduisant

431

e(w) = 2^e(») 4- BV{n) + ^Bnn) + • • •

+2^ie'(w)+ B^i^'in) 4- . . .

4-2^,e''(w) + . . .

On en conclat ZB = 1, done £ = ^ ,

^+2^1 = 0, done 5i = — ^,

i5+^i+2^, = 0, done 5a=0> etc-
done e(») — 6(w-f-l)+e(w+2)— ...=^e(w)— ^6'(n)+5,e"(«) + . . .
Pe^. 205. L'aateor dit que la limite de la quantity

est ^gale a z6ro, et qu'on aura par suite*

n n

fa = Um(— 1)-27,27^(— iTM^ —^ «— i»)

1 i»^

+ lim(— l)'2:^2:(—lT'Vi{n—my n—/i).

i~ i"*

Or le premier enonc^ n'est pas juste, et par consequent ni le second non plus;
mais la faute resultant du premier, est detrnite par celle du seconde, de sorte
que le resultat, c'est-a-dire Fequation (160) se trouve juste. C'est ce que
nous allons voir.

Considerons d'abord la quantite

Soit pour abreger = i2«,

on a

Soit r le plus grand nouibre entier compris dans }/^n, on aura

^ H, + n^ — R^ + . . . + {—iyR, = vR,
oil iZ est une quantite finie.

Si m surpasse l/^w, il est clair que li^ — R,^j^ est de ia forme t?^, u?«
ayant pour limite zero. On tire de la

432

<:g!l:(/2^,-i2^+..._(~l)-v/2.>=± (^ (v^, +v^+- . .^-v.+BIK},

oil A: = ^~^ ou = ^^^~ selon que w — v est pair ou impair; dans le

premier cas on a jB = 0 et dans le second jB = 1.
Done

et de 1^

dont la limite est ^videmment zero.

Au contraire la limite de la quantlte

(— »)" v. r^/tt+itoA , f(a.—\fMi\\
2n+l '7hL'V2«+1 /~'V 2«+1 /J

n'est pas zero, mais une quantity finie independante de a, et comprise entre les
limites 1 et — •

e

En effet soit pour abr^ger f{S^)j^f{^^^)=.R^,

on a

^-. ''■S'?t?ll-y^)iK&)-^-^^-fe)-^-(^)-: '^'^

Or on voit ais6ment que cette Equation pent ^tre mise sous la forme

ou Pjx ^st une quantite finie pour toute vaieur de ^i ainsi que sa limite pour
des valeurs toujours croissantes de n. On aura done

Maintenant ffJi^J est compris entre les limites 1 et — , done JS ^fC^^J
est compris entre les limites 2n et 2n La quantity P^ 6tant finie, on a

n I n p

2 Pu. = nPy oil P est fini: done — — rr^ 2! ^u. = -7s — ttt dont la limite
est z^ro. On voit par la que

433

h

oil C est une qaantit^ moyenne entre les limites 1 et — . Done en faisant 7i
croitre k rinfini

quantite ind^pendante de a^ comme nous Favons dit pins haut

Venons maintenant k la determination de la limite de la fonction

(— iri'.i'j— 1)-. v(»— »!, »— i") = (—1)- S. 2; r— 1)-^. v(»«, ^)

11*^ 0 0*^

27S(-ir.i/;(»i,/i).

La derni^re des Equations (18) donne

0 **■ o

^ h 1

et I'equation (16), /"(« +|.) = — 6. g, en y mettant « — ^—^ 4 la
place de e^ devient

on tire de 1^

La premiere des equations (18). donne

done

9g \2 ' 2 /

Le produit de ces deux equations donne^ apres avoir divis6 les deux membres
par e»c*,

on troave de pljas ' ,,. ,.ii -:

55

434

done on aura

f^ + ^) + T\P — e) = — — . 7 ; r

Cette Equation donne la valeur de '^{piy fi).
»oit -^ — ^ — ^\ ^' — = ~ — - , on aura

—OK A*)

1^ \2ii+l/ .

^ ^V(2»+i)« (2ii+i)«y

done

-rWwi,^)- S(rf,,.)V ^ K2^'^lHa^+lV(2n+l) 2^^1

-^ip(»i,^; e ''^'^'*>; c<2„+l) /_a_>v _ /_5^>| «l^__i!=^

I * V2n+1/ *V2«+1/ (2ft+l)» (2i.+l)«

on bien en faisant pour abr^ger '* =X:

ip(»,,^, ^«(m,A.) e<2„+l) /_^X al_ -e(2»+l)

I' 'V2«+l/ (2«+l)>;

Maintenant en remarqoant qae

^(s^)=«+

^•a*

.211+1/ ' (2ii+l)«*

'^ Vlii+1/ (2ii+l)« "'" (Sn+iy

oil il et iB sont finis.

• »

*«—

4^

1 j^ (2»+l)'

1 , (Zw+1)'

(2n+I)«

il est clair que A. pevt 6tre mis sous la forme

R =— — La. "-

9* * ^ 2fi+l '

done, en remarqaant que '"^ == ^"'"" =A:-|- s;p-|> oo aura en faisantpoor

"^•^^s^'Wir

2n+l

"+» 9(*+/) * + / ~ 2«+l '

On tire de Ik

R, -R^,^ EL- little (1 L)+

Done

ifk <f{k+[) <fH+<fkfk.Fk.<fl ^»ii+l*

mais jPAr — e*9)*A:=l, done

_^ 1.

ifk 9(*+0 (fH4<fk.fk.Fk.^l * lii+l

Le seeond membre de eette Equation est de la forme

o fk , 9

en remarquant que (pl=(p (—j^) " 2^+ (£^' ^* ^ ^®* ^*'

lie plus -7-— -r — r =-7:; Tf =^T3;T" ^S T = ^Z ;? * ""TX- + "S^ 5*

On conclat de Ik

Cette Equation a lieu^ soit que la limite de k — >~ ** soitfinieoii s^ro. Dans
le dernier cas on a

9«* il« il«9«il '^ k^{k^^Bk^) 1+«H

55*

436

les cas la quantite R^ — jB^^^ est de la forme

ou -4,. est different de z6ro. .

Cela pos^, consid^rons Texpression

11^ i#-«- = f i^ <««-'«.+^-«' + • • ■ +<-»>t*^>

En vertu de ce qui precede, on a

^ oil ^ est egal k n — 2 on k n — 3 aelon que n est pair.^pu im|fair; dans le
premier cas on a ^8 = 0 et dans le second B=zR^^. Dans Tun et Faatre
cas on aura ,\^ . _ . . ^ •.. .;,

oil A^ est independant de a.

• • • •

V

\\ .

Done

e ^^ 2ii+l • ~ e ' (2«+l) ~ Sif+l '

!> ;

\ . ■

f » • • f V • '

et par suite

2 n-i n-i /_l^\m'- •■ "'* -^' "^'^ i>

done faisant n croitre k rinfini,,

• - e 0*^0* 211+1 •* '

oil A" est independant de a.

C'est-a-dire .rexpressipn .. '

1^^. (-1)- (vKi«)- 1 eK A*))

est independante de ce. -

En changeant le.signe de % on voit de m6me que la qiiantitd

«

• I

'.}•} ■{ I

s\

0 "^ a

est ind^peiidaiite de a.

I w

437

On conclat de \k que
lim S 3 (- l)-(v(ffli, fi) + V>x(m,fi)) = i- 2 J: J— l)-(0(»i,/»)+ h,im,fi))+K,

0 *^ 0 * O '^ 0

JE' ^tant ind^pendant de a.

Eu vertu de ce qui pr^c^de, la derni^re Equation de la page 202 donne

0*^0

En substituant idles valeurs de 6(m,^) et O^C^^) et en r^duisant, on aura

Faisant maintenant a = -. , on trouvera ± C -|- JST = 0, ce qui donne T^qua-

tion (161) de la page 204.

Pag. 204. L'^quation (162) peut aussi se d^duire de (16;t) en chan-
^ geant «, e, o, o, /'(at) respectivement en aif Cy ts, co, ^a.

1 —

Pfly. 207. On a en giniral -^ = 1 +

'^+» 1 \ P'—V 1

1_JL K'- + «) i_Z.*

done

a* A'OL*

+

1 —

(a«+i)* (2I.+1)*

(mo^^[^■q^'+i^)'' . (»lo^-[^■q»^+i^)*
(2»+l)> "^ ' (2W+1)*

1 —

^— ^'

a«

(mo + (icrf+A-)*

a«

1 +

« I {mo+^tsi^-ky

. \

(2«+l)« J (mo^^m+kY i a*

' ■*" (2»+l)« ) (mo+n.oi + *)«

Pay. ifOP. Ayant j;^e(^) = eQ) + e(l)+...+ o(-t),

on en tire

Soit -t = a?, on aura

n

438

on bien

\ «

done en faisant n infini

0

(-+i)'

et en integrant

lim — 20(ar) =/0(a;)dir,
c'est-4-dipe

D n #

Pay. SiS. n faut ici se rappeler que 77 tf;(« — m)z=zJI ^(»t — 1)> done

1 1

n n

Poff. 2i4. Voyez Cauchy Conrs d'analyse de I'^cole royale polytech-
niqae pag. S68 et S70. ,

Pff^. i?i^. tang (a -|- 6). tang (a — h),coi*h

— sin^ft — 8m*a\ %\n^h - «in*fl

/I— gjn^ft— gm^g\ 811

Pag. 2i7. On a (voyez pag. 574 de rouvrage cit^ ci-dessns de M.
Cauchy)

2

Par cette formule il est clair q[u'on aura

n(i+ ^' V

2 yi ''«fJ4-»

*»+*-• ■" o»^ j^

49S

(2|t + !)«««

oil ^aifcfi est d^termin^ par I'^qoation

489

or cette valeor de A^^i est de la forme ^; done

d'ou Ton tire en redoisant

done en sobstitaant cette valeor dans I'equation ci-dessos, on obtient

■K

*m — • oo

9

Poff. 2St, En remarquant que = 2^^ , on voifais^-

ment qu'on poorra aussi mettre la valeor de ~ sons la forme snivante

!n 3Tt Sic

A^ + 1 '^ i'^Vl 4*^+1 " '

Po;^. £i?5 Tout nombre premier de la forme Ap-{'1 est une somme de
deux carr^s. Voyez Legendre theorie des nombre pag. 60 ou pag. 178.

Pag. 228. On voit que v est une fonction rationnelle de 0 et ]/^ — 1,
en se rappelant que les coefficiens de I'equation Rz=zO sont de la forme
A-^- B Y — 1» ou ^ et ^ sont des nombres rationnels.

Pag. 229. II faut observer que les nombres ti^, n^^^^.n^ doivent £tre

m.. m. „.

diffi^rents entre eux, car si p. ex. 7^=171^. on aurait — ^ — I- =

Done la valeur de la fonction (p (^!!^j ne pent pas ^tre exprim^e par des raci-

nes carries, si n contient un facteur de la forme (l-f-S^T'y p ^tant plus grand
que I'unite.

Pag. 255. La valeur de -^ pour 6 = 0 se tire de I'^quafion (23S).
Pag. 253. On a «i=± ,. et y=zk\pXy donc^ify= — ^ .,

l-j-eii^=:l ^!^. Si maintenant dans I'eqoation (257) on fait e— ®*

2

on aura

440

en remarquaot qu'ea vertu de (250) on a (p(—-\-{2n — m')aj =qp(Y~J[^'+l)«)»
et que (p(^^j=i — J:^. Done

et en ehangeant le signe de t

Pag. 256. Les equations (238) et et 243) donnent

m

done en remarquant que () est seulement du degr6 2w, on voit que le coeflR-
cient de ^*^*^^ dans cette expression de R est

z±zl)l. g

• 9x(y)=ji-et9,,(^) = ±J^eiivertade(247)et(251).

Pflgr. 259. L'6quation (273) se tire de (272) et (268).

Pag. 240. L'auteur dit que l/ri— ^j estpositifparcequeft?, est reel,

mais il me semble que tt^ pourrait dtre reel quand m6me !& ^^ntite T/r^^^J
serait negative^ car en vertu de (249) on a «i = ±(> y\\I^^/^ ^^ raison
pourquoi yi ~'^^ j est toujours positif c'est que y est 6gal k z6ro «n m^ine

temps que a;, que |/^(1 — a:*) et ]/(l — y*) sont tons deux positifs lorsque x
et y sont tr^s petits, et enfin que y devient 6gal k Tunit^ en ni^me temps que
X. En effet Tequation (271) donne pour a? = 1

Or 1— 9)«a = /'»a et l4-eV« = ^'«> done

441

de plus ^ = cqp f a -f" ^) = 9 (« + -wX ^ ^t^**' = ^9 ^^^^

/•= ?!^J , done

^ V2«+l 2/^ V2B+1 2/ ' \2n+l 2^

y

* V2fl+1 2/ * V2fi+1 2/ * V 2n+l 2/

Or fl est facile de voir que cette fraction est ^gale k Fuoit^, en remar-

^^ ,.(±+^)=,.(»-^)=,.(i=^il. |> d-oi. r..

voit qu'en donnant a fi toutes les valeurs entieres depuis 1 jusqa'^ n, les fac-
teurs du numerateur seront les mdmes que ceux du denominateur, mais dans
I'ordre inverse. Done a; = 1 donne y = 1.

Pag. 241. En faisant dans Fequation (271) :r = qp (^—^-—j et ayant
egard k la valeur de /*, on voit que cette valeur de x donne y = ( — 1)*. En
effet, soit pour abr^ger ^ = a, on a

- 9'(l»-a)-<P*-|-
l+e«9«(Hia)(p* -|

9'((2/«4-1)|-)-9'((2a*-1)|), done

or 9(2n+l)|. = ,,| = l, etK«i = «-+*.(<Py.9^.-.9'(2«— 1)1)'

done y = ( — 1)*.

Suivant la definition de la fonction (pa on a

«=/ -7F7^ ^TT^ -— r- lorsque a? = 9)a; done

56

442

d^ P^T ds a ao

done

en remarqaant qae

y ^ '^{x)dx = — ^ ip{x)da:y lorsque t^ — x) = — ^{x).
L'expression de ^ (280) s'obtient en eliminant f de (271) et (272), et* en
mettant ensuHe pour «.( — ly sa valeor (Zn+1). — .

Dans le cas a = ^^' Fetation (263) donnera en y faisant c = #?j = 1
et±(— 1)-=:1:

Soit m,2/i = (2w-f-l)f ^ «« oil f est entier/et fl^, entier positif et moindre qne'

»(?+"'-^) = '(?± £^+'°')=(-»)v(f ±^)

~^^''\ 2«+l * 2/

On peat done ^rire la Valeor de — comme suit:
Pay. ^45. On a

en remarqoant qne ,, (m . ^) = 7 (<«« + ^) ==± 9 (^) »orsque
m.tft = {2n-\-i}t±tu. Or

done

'*'h{^' ■?)-'(alr* ■y)-*(^' f )•••'(&• T-)]'

443
Pag. 24S. La premiere des Rations (284) donne

e

— ; X = cp I — ^ — I donne

done en sobstituant la valeur de e*,

et par suite x=z(p ( -iL_ ) donne z = — .

Lorsqne ar:=::jV^ — 1, z = 0 donne :r = 0 et y =0, et z = — donne
X == ^~ et, en faisant poor abr^ger ^^ = a,

3^ 6»^i' (1 — (p«a)(l — (p«2a)...(l — 9aiia) '

" T^- = » (^ + «) •» (v -«) = »* (t + «) (y"^ <*'>> <*^)

done

__ _1_ 1 _.,

•^'* 9<^+a).9«(^+2a)...9<|-+«.) '

en snbstitnant la valeur de — pj et ayant 6gard k la fonnule

^ V2~ 2ii+l/ ^ V 2«+l 2/

Po^. ]?£?/. L'expression de — se tire de (248)^

T 2iito MA 2o

Lorsqne a = ^r — ^ et m = — 1, on a a

2ii+l * 2ii+l *

etc.
Pay. 2S2. Si Ton fait dans Fiquation (257) c = l et e* = — A^, on a

( — A:*)*.(g)a.g)2a...9wa)*.9)«.9)(«+^)'9(*+^)»'»y(*H"^8^^)l / \

=:g)e+qp(6 + a)+9)(€4-2a)-|- • • • + 9(€+2»a)J

56*

444

oa a = i — \^ \. — ^ — - Si Ion fait m = u=^ — 1, on aura a= — -gr — -
et par siiite

(9pa.V2«...9P»«)'=(9,^.y^...9,^)'. (b)

« • ' •

En faisant maintenant ^ = -^r — -- ^, on aura

2»+l 2 '

9 r^ + "^^ ^y ^^ — ^(^} ^^ — ^ lorsque n est impair
6 + — s — a 1 = 1 lorsqne w est pair. On tire de \k

Done si Ton fait y (y^ * y) ^^ sine<^»^), on tirera des equations (a), (b) et (c)
(— A:»)» • (sin 0" . sin O"" . . . sin e ^**^)*.(sin 0' . sin 0*^ . . . sin e^**"^^)*

= ± 2(^— sin O'+sine*^ _ ... j. sin e^*^^>)

Si Ton fait ensuite e =- — -- -^+^4-—, en se rappelant que

2ii+l 2 ' 2 » 2 '^'^ .

on aura A. ©(t+^a) = * . ip(~+ ~— 41?:=^ . ^"j == — ^v— ^ r-,

'V2f*+1 ■ 2/

A-.^r* + ""t a) = 1 lorsque n est impair

et Ar.yf € -J — a) = — 1 lorsque n est pair.

Done

L^'V 2«+l ■ 2 /■ 'V2«+l ■ 2 / " ■ 'V2n+1 ■ 2 /J

1 -r-

^'v^:;T'T/ v^+i'2/ 'V^+i"2/ '

446
Done on tirera des equations (a), (b), (e( et (f):

Done Fidentit^ des deux expressions de ft, eelle de Mr. JacoH et eelle de
Tauteur est demontree. Si Ton divise Tequation (d) membre k membre par I'e-
quation (g), il viendra

cosecO' — 008600"^ + . . .-f-cosecOC***""^) j^^

En multipliant eette equation de part et d'autre par h^ on aura T^galit^ des
deux expressions de A.

Pag. 2S8. Dans Fequation

r LV g'^cj' J\ g'-cj' /V e+ej' /V g'-e^f yj
— ± ^ V [(1— c2^«)(l~«^Jr*)] '

soit pour abr^ger —r. T. ^ =-?nrr = ^ et ies coeificiens de a: sous

le radieal du premier membre suivant leur ordre A:, k\ I, /', on aura
^(1 _ c*:t.«)(l _ e^x^) = fl*(l + A:a:)(l + k'x)il + te)(l + I'x).

. (1 + to) (1 + ?..) = 1 + y,zi:P • " + /' -y/'- ■'^-

Soit de plus pour abr^ger

gt _ #« /a

(«)

on aura
^»(l-(c»+c^:c*+c»«*a;*)t==«*(l+(i5+50^+(C+5fi'+C*)a^+(5'C4-J?C»)a:»+CC''a^^
On tire de eette equation

446

^ 4- 5' = 0,

C' + ^^ + O = — (c»+ c»), ) (/J)
B'C+BO — O,

En ^liminant B* des ^^piations B'\-B' =.Q et B'C-\-BO = 0, on obtient

5(0 — 0=0; (y)
done, on B=:0 = B'y ou O—C = 0.
Soit d'abord 5 = 0=5', on aara

ffSf—f^lf' = 0 et y^' — 6*f' = 0.
Ces denx Equations donnent, en remarquant que c^ ne doit pas dtre ^gal k e^,

ffg' = 0 etf = 0.
On en concint, ou ^ = 0 et /*' = 0

ou y' = 0 et / = 0,
car g et /* ne peuvent pas £tre 6gaux k z6to k la fois, ni g* et /"', puisque ces
valeurs rendraient y constant
a) ^=0 et/-'=Odonne C = -.^, 0 = — i^, «'=p,

done

c+c» = -M^>^=-(o*+^

^C»= JV£J^=: c»e»,

«'*

d'ou Ton tire

ou c* =

et c*

e«

ou c* =

et «;

y=

= ±

ax.

h) (^ = 0 et /^= 0 donne les mdmes valeors pour c\ et e\ qae dans le cas
pr^c^dent, ,et pour y celle-ci

Si B est different de z6ro, on aura C* = C et 5' = — 5, c'est-i-dire

g'^-c\f'* g'*—e\f'*

C (d)

447

En ilimiaant snccessivement c^ et e* de ces Equations et remarqaant que
fg* — f'ff ne peut pas dtre £gal ^ z6ro par ce que cela rendrait y constant
on obtiendra

ify+ify'+rff)B+2rff'c=o, (ri)

La somme de ces equations donne

fy+fy-c^o, (9)

et en retranchant (^ de (i;) et remarquant que B est different de z^ro, on aura
Les deux derni^res Equations donnent

Substitaant ces valeurs dans les equations (^) on aura

ll±fVi=:n:_?_'

g^'-e\f^ ^ 2/C'

d'oii Ton tire en ajoutant et reduisant

5^ = ^!^! A done ^* = ± e,r,/*. (^)
Maintenant les Equations (/9) donnent, lorsque B est different de zero:

ou-fl = i(r + e) et alors C= ce,i

ou i? = i (c — e) et alors C = — ce J
Supposons d'abord ^ j? = c + e, l/"C = ]/"ce, substituons ces valeurs dans
(A) et pour g^ la valeur e^t^f^y nous en tirerons

Faisant maintenant ( ^^^ y^V^i = — > on aura

* mVy'c+v'e/*

Des equations (») et (/«) on tire

a)

448

(/g'-/'g)' 4ce _ ,

Or les Equations (J) donnent ^^ — Cj^ = — . -i — ; done on troavera

* m c — e

my/ — 1 / V

fl = — !^ {c—e\

En substituant dans Tequation

y— -^ J

les valeors de /*', g' et ^, et reduisant . on aura

Les Equation (x), (A), (^) et (r) montrent qu'on pent prendre les quantites
c, e, y^c, y^e avec quel sigue qu'on voudra. En remarquant que les g quan-
tites f'j f^ g'j g, e^j c^ ne doivent satisfaire qu'a 6 Equations (/J), on pent les
faire dependre d'uue quantite indeterminee m. .

Pag 26L L'equation (28) a lieu non seulement pt3ur une valeur quel-
conque de 0, mais aussi pour une valeur quelconque de d. (Voyez Fequation
(237) pag. 232).

Pag. 265. En vertu de (32) on a 1 — ^ly = — , oil P est une fonetion

du degre Zn-^iy on aura done en differentiant

^ ' ds c^Kdx ^ ds J'

or (> etant du degr^ 2n, il est clair que q^ . -^ est dn degr^ An. Que cette
foDctioD est divisible par f'et ^', on en trouve la demonstration pag. 23S.

Pag. 26S. Lorsque a^^ == - — -, on aura ajj^==— ^-— ; car A(04-«) etant

une quelconque des quantites ^'(64-«i), ^(8+«2) ^*^' <>ttsait que A(84"i"^) sera
egale a Tune d'entre elles. Done si a^ = " , ^ (s + J^\ ) sera une de

ces fonctions pour toute valeur entiere de /i.

La valeur de k se deduit de la premiere des equations (47). La valeur
de Cj^ se trouve en divisant la l**' par la 2^ des equations (47) et remarquant

qu'en vertu de (18) et (16) on a ^ , = ecX*(^ — o).

449

L'eqnation (41) donne

e«"

a = — —- (Xa^.Xa^ . . . Xa^)\

S... poor .brtger »(^. ^).<^. ^)...<^- ^) = A; » •

k=:b.e^.N^j done

or 6 = (Attj . Aa, . . . Xa^)% done lorsque a^ =.^ — -,

a=j j^^

done en substitnant la valeur de N et remarquant qne X T— lJ!:.©j==W -^^

on aura Texpression de a.

L'expression de 1/ se trouve en substituant dans (45) la ^valeur de a^
et eelle de k.

Pag. 267. A(0-|-^) et ;.(04~s) ^tant deux quelconques des fonctions X
oh a et «! sont de la forme iiiw-\-fi'(o\ fi et /i' etant des nombres rationnels,
on salt (Theoreme IV) que ii^-^-k^a-^-k^ft^ oil Ar^ et k^ sont des nombres en-
tiers quelconques, sera de m^me Tune d'entre elles. Done a etant ^gal a

-^+ -^ et ofj egal a ^-|- -^, on en eonelut, en faisant A:j= 1 et A:,= — 1,

2 2 2 2

que A To 4" "^4" "^ — ^— -) = ^'(0+ ^^) s® trouvera neeessairement parmi

ees fonctions.

i(e+/?) = ± JL. l(voyez 19). L'eqnation (55) se tire de (24), (25), (26).

Pag. 268. On obtiendra I'^qaation (61) en faisant dans (24) et (26)
e = "~''^, t'= — ( "T ) ®* ®° concluant comme on I'a fait pour obtenir l'ex-
pression de 1 — <?,y'-

La valeur de a est

fe' -f'e

« = ±

V{g"'-e\f*)(s'''-c\f>*) '

or /*=flr'=0, done a=z=T— ^?-_=: •

mais (voyez (11)) 6jrj=-^, done a

_, done « = -j^-

57

4dO

Lorsqn'on fait n = 0, c, = c = l, /? = -^ -f- -^, on troovera

V(|^) = l+y, l=A:(l + i), done A: = ^; (voy. 62)

done

I

^(^)=:-2x{!^) = ±^. Eneffetona

A(29)

2X0. AO
1— e«X40

Faisant done e = -^^^, AO === A (-5^) = or, od aura

^ /^ o+o' \ 2j/[(1 — jrg)(l^e^j^)] ^

et par suite 1 — 6*a?* = 0, d'oii a: = ± JL=: A^i:^).
On aura par consequent ^^ = rp— •

Pag. 269. On a Ae=— A(e + w)etA(e + a)+ A(e — «)=— (A(— e+a)
-j-A( — 0 — a)); done (jp( — 8) = — yO = <p8, et par consequent qpO=0.

On salt qu'en nommant iS^ la somme des racines d'une equation al^ebrique
du wi** degri, S^ la somme de leurs carres, A^^ le coefficient de af^\ A^ le
coefficient de af^\ on aura

done lorsq[ae jS^ = 0,

^» = — ^'S^« = ^(/''-i^'y)-
La formule (65) est demontree dans le memoire suivant pag. 279.

Paq. 275. En faisant z = ^^,^ ^^ on aura
^ i/(i-^*)

en remarquant que c* = 1 — c'.

Pfl^. 276. Lorsque M' = AO on en tire

0' = ( — l)M-i^'. e + /WW 4- /i '(w + ol/" — 1), c'est-i-dire
0' = (— l)H-»^'. 0 + (/i + /*')<» +A*''aK — 1 ;
done en faisant p-\-fi'-=im, fi' = m',

9' = (— l)~.0+»iw+m'o>/ — 1.

451

Pag. 280. ar = l/'(l— y*) donDe

ds 1 </» 1

" •, done

v/[(l-x*)(l-c«*«)] b •[(!-»«) (I + eV)]
./•» dx /•<> rfy /•' ^

xi+«y)]

c'est-i-dire 6 . |- = ^

2 2

On a f — / " ^ [(,._ixi_c.,.)] —To •[(1-»«)(1-*V)] *" '^^^^
ar= _—____.. Si Ton fait ar = ]/(14-«*)> on troovera

JL _i_
» /• c dx^ /• e d% h P^ ^

J I V\.(s^-l){\-c*s^)1~J^ v[(l+»«)(l-e»»«)] "~ Jo \/[(l-*«)(l-^»*»)]'

c*est-i-dire -?1 = 6 . ^ .

2 2

En mettant 6 T^ — ^) ^^ ^'^^ ^^ ^ ^^^^^ Tequation (28) et r^daisant, il
viendra successivement:

0

^^ j^ r/ 1 + r^"^^ y/ 0 — r^"^0« — (r"f— r«^^^y \] .

" ^/•LVl— r^'H-i/ V (1 + r^m+i)2 + (r«"^_r'»+irl)« /J '

. ^ r/ 1 + r2«+l y / 1 ^ r»'"^« + y^"»+g — r^«H-g^tt \-[

^ ■'/•Lvi— r««+l/ V 1 + r ^»^* + r««+« + r«"H-«^a /J '

ce qui est Tequation (34) de I'auteur ea faisant

P«^. £/?/. L'equatiOD (36) peat s'^crire ainsi:

Aa =zA.\p (a^\ll^xp(m(a + a) —.\p{m(o — a)—.

En y metttnt 0 -I- -^ co k la place de a on anra

It

»(,+ i»)=^.^(.+i„)i.n.4(»+±>+.]^.4(„_i>-.]^;

57*

452

c'est-ik-dire

mm

On en conclut en faisant pour abreger — =:k

G5*

B-l , V n-i n-l

done en d^veloppant

ilA^+- w)=^^i7^t/^0ua),+(J)A:.v;((«+/l)«^+d)Ar.v;(^^^ . . .

0 1* \ n / 0 1*

n-i

X U^iiP' — iw)«i — <J)A:. V;((2» — ix)(a^ — d)A:,t/;((3w — /i)co^ — ii)k. :.

0 ^

mais

done

IT V'C"«i + <5)* • V((» +!")'»,+ <J)* • V((2m + iu)<» . + dU . . .

0

oo oo

B-I

on aura de m^me
S ipCCm+I)"*!-^)^' iz^ip((3w-/i)o),-*)*==iT^i/'((2»+A*+l)«,-<^)*=ir^V'((^+l)»i-^)* etc.

B**" o»* o»^ 2n*^

done

lla^((^— '')^ i~^)* • ^((2w— /i)co ,— (J)* . i/;((3»— iti)ft) ^ — d)* . . . = il V;(Ou+l)(o ^ — iT)* ;

0 ■* 0 "^

on en conelut

0 I* N II X 0 I*

ee qui est la formule (37).

En faisant AO = or on aura

453

Cette formule, en remarquant que ATo-f- ^~^ ft)J=A(-^ — O), et, si w
est un nombre pair, que le produit M.xfii -^ —\ . . . Afo -f- ^~ (^j contiendra le

facteur ;.(|.+e^ =]/(J^^^J^), donne les equations (43) et (44),

•♦
. Pag. 285. Si dans F^quation (34) on fait a = ^, qn aura Ace = 1 et

< =; r* , done

4 A ( ^—^ ^—^^ ^—^^ ^ i \

Vl+r l + r» 1 + r* J ^ '

En vertu de Tequation -^= ^+-|-V^ — ^^ ®^

o' p ^ rfr

"2" —Jo V/[(l-4^^)(l-c«^*)] ' .

on trouvera, en posant dans I'^quation (34) a = ~4-^l^ — 1>

Aa = — , < = — r* .}/^ — 1 ; done ^ =: — r, et par ia

c V 1— r 1— r» . 1— r* / ^ ^

Les equations (a) et (b) donnent — = A^y et par suite A = -? —

Pag. 286. Les Equations (a) et (b) ci-dessus donnent imm^diatement

4

de cette formnle on obtient la valeur de yb en ^changeant oo et 0 entre eux.

^' * -Pa j4{oL — 4ri)(a-^4r2) • •• (* — ^u)^

-i- = _£l_ + _£5_ + ft_, one, = 4-,

done

1—1.1+ I 1

J-a "" (a-xJiJ-'Xi ^ (a-x,)li"x, ^^ ' * * ~ (a— x^^'x^

c'est-a-dire

Ji-^T _1__ = — >7_JL_
^ 'fr (a— x,)F'xi. "^^ (x— a)i?'x

454

La fonctioa -, — . ^ ^tant de la forme

•I

le d^veloppement de cette fonctioa seloa les puissances asceindantes de — sera
de la forme

jr

done 17-7 ?^r-— - = 0, /li 6tant > 0.

\s — OL)rx

Pag. 293 Si Ton suppose fx = aaf^ -f- a^^"* + cc^'* + • • •> le degre
de cette fonction £tant moindre que la moiti6 de celui de q)Xj on doit avoir

77-^-=^ = 0.

{s — a) / 94:

Pa^. 294. L'anteur dit (7) que le second membre de I'equation (29) se
rednit a une constante, lorsque le degr^ de (fx)^ est moindre que celui de tpx;
mais cela ne suffit pas. Si le second membre de (29) doit se reduire a une
constante, le degre de (fx)^^ augmente de deux unites, doit ^tre moindre que
celui de (pXy car les relations entre v* et Vj Stabiles dans le theoreme VI, sont
n^cessaires.

Peig. 29S. Le nombre des indeterminees a^y ^|>**-^o9 ^i?*** ®^^ ^S^^
a m4-n-f-2, mais on pent diviser les deux membres de Tequation (3) par
Tune quelconque de ces quantites, de sorte qu^apr^s cette division le nombre
des indeterminees se r6duit k m^n-^\. -

Pag. 299. Les Equations (16) et (17) de la page 148 donnent
f(^ _ h^ — 9(^o^)V(^-H^^) _ «>V^(l-^^^) —la^x

en faisant pour abr^ger 9(6a) = v.
On tire de fa

dv ^_^ hds

•[(l-r«)(l + e«r«)] ~ •[(!— **Xl — c*^*)]'

done f^ * = h.f ^ = ha

•/o l/L(l-t^*)(l + e^t,*)] J ^ •[(l-Jr«)(l-c***)]

et

0 V[(l-r*)(l+e^«)] Jo V[(l-**Xl-c*J^*)] ~ •/o

d^ o

V^(l-c*«in«0) 2

456

On a en general

/ ipx.dx = / \p{mx)jmdxy

m

et par suite

1

y** ds /•« eds

or ear = ^;/ — ---(- = — . -— — — en faisunt ev = w.

v/(l + e«i?«) 6 /(l+a*)

On en tire

1 1

y*e eds 2./** ^**

et de la

1

d'oa

"2 •/o v^[(l— 4r«)(l— i2j.«)] ■

= 6]/[l + ^V* (I- - ba)] = 6F(|. - 6«).
P«r^. 500. L'equation (9) est ia m^me que I'^quation (34) de la page
280. En faisant dans l'equation (184) p. 216, a = ^ — 60, on aura

" lit. /^P'^*-p~^»^*V(

et de Ik ea r^doisant

j^W'- ^' '^^■«^^«LV l-r*- / V (1 + p V««-«)(l + p-V*") /J'

c'est-a-dire

V6 _ 1 ^ n /"ItlfrLV (or^-.-riri)( (l-p'0(l-p-V')(l-p'r»)(l-p-'r«)(l-p'r») . ♦ A
~' JC 1 «V1— r*"» / '^"^ ^ 'V(l+pa)(l+p-«/a)(i+p«r«)(l+p-«r*)(l+p«r4).../

ou bien

;i,fi _ 1 O n^ /H-ra-»\Ypr-*-p-»r*\ / (l-p»r)(l-p-«r)(l-pV»)(l-p-'r») . . • \
' ic 1 Al— r«»/A 1— p-«r / A (l+p»)(l+p*r«)(l+p-«r«)(l+?«r«)(l+?-V*).../;

456

or A--Zl£— L- =: or"*, done

1 — p-v ^

A'6 = 1 ° n- /l+r'-iyp./-* / (l-pV)(l-p-V)(l-p'r»)(1-p-«r») . . . \
^ 1C , •" V 1— r«"» / ' 1+pa V (l+p«r»)(l+ p-«r«)(l +p«r*)(l +p-»r*) . . . /

On pent done poser (10)

m = A> gp /^ (« -P V)(l-p-'r)(l -par»)(l -p-«r») . . . \
• l+p»V(l+p«r«Xl+p-*'-*)(l + p*#^*)(l + p-*»^*).../*

ou A' est eonstant Si Ton fait 0 = 0, on aura A'0 = 1 et (>=1, et par suite

1 = A' /^(«-00-r»)(l-r«)...y

V(l+r«)(l + r4)(l+r«).../ »

d'ou Ton tire T^quation (12) de I'auteur.

En faisant dans Tequation (186) p. 216 « = -^ — ^0, on tronvera

d'ou en r^duisant

oil B est constant Done en developpant

A»e = 5 ^£^^±£-1^ -J_ { ^' -^P'^^^^ +p-*on +pv»)(i+p-*>') • • • )

V l+p-V J[ l+p« ■ V(l+pV2)(I,+p-«r»)(l+p»r*)(l+p-*r*)...>'

Done en remarquant que ^ '*"P^*^ = Qr-i, on pent poser (1 1)

k'^—A- 2P A1 + P'0(« + p-'*-)(l + P'>-')(' + 9-^r») . . . \
• 1 + p« V (l+p«ra)(l+p-«r«)(I+p«r«)(l+p-»r*) . . . /'

oil A' est constant Faisant 0 = 0, on aura A»0:=ft.^^!ij=:i|/'(i-j-e«
et Q=^it done

V (I+r«)(l +r4)(l +r«) . . . / '

d'oii Ton tire I'^quation (13) de I'auteur.

Poff. SOL Ayant Aa = /(|- — 6a), on a en faisant « = -|--|-|!f,

<l+l')=/'(»-f ')=/'(f ')= ^^2Lt^

•■ -*

f* = e ®^ =r,e"^*=r.(coS7r — t8iii77)= — r.

467
On troavera

L'^qoation (12) donne

J, __ /(l + r«)(l+r«)...Y
~~V(1— r)(l— r»).../ »

done

4A'*Vr = 1, d'oii A' = -i- V-

2eic

p«y aroi?. p« = e" -^ =i-^ + t(«^y

done

?'

On a

20tc

1+r

• • •

1 — r 1— r*

1 1+r*

1— r* 1— r*

1 l + r»

1— r» 1— r«

done

1 (1 + r)(l + r«)(l + r») . . .

(l_r)(l_r«)(l— r»)... -" (l-r«)(l-r*)(l-r«) . . ,

I

et par consequent

TTT— ^TTi Tr— = {i + r){i+r*)(l+7^)...==PP'.

(1— r)(l — r»)(l — r*)... \ i /v i /v i /

Pfl^. JOJ. Les formulcs (24, 25, 26) que rauteur a d^doites des for-
mules (10, 9, 11) peuvent, ce me semble, se tirer plus ais^ment des formules (189,

187, 188) pag. 218, 217. Si dans I'^quation (189) on fait a = ^ — 6 • —x,
on aura /a = A ( — ar), — = -^ — x. done

4co8*jr

\1C / 1 ll 4C08*J^

(5r("»-i; -I- }«-*)*

sino; ^ /^r("^> + g'^*\Y (r;'+r)^-4co8*4r y

1 *^ sr«» + 5r» / \ (5f (w-*) + y"»-*)* —4 cos** / '

58

458

done

0& B est ind^pendant de ;r.

Si ron fait a;==^, on aura ^(|^)=/'(y— *|^) = /0 = 1, done

Si I'on fait a?=^ + ^. -?, on aura sinar= ^t^ = -^^ 2cos£»

2?*

1 '-Vl+?»-+j*"»-«+j^-«/ 2^ 1 ^ (1 + g'-Xl + g*--«) /'

or 5,(1 + q^^) — 4- nS^+q*''-^) et J7 Jl+^--«) =25jl+y*-), done

1 •■^"*"? Ill

En mnltipliant cette Equation membra ^ membre par T^quation (b) ei-dessns, on
obtient

— =— -j^, don j? = -lJL.

c 4j* V c

Cette valenr de B £tant substituee dans I'^qnatibn (a) donne la formule (24)
de Fauteur.

Si dans I*£qnation (187) on fait « = v — b — Xy on aura g)a=A'(— :r),

done

"" (r—f )^ ( on bien

4co8^j r

A'r^.;) = fi'eosa;i7 /^_l±^^-eo82xfy;»> J ^^j
oil B^ est independant de :r.

* = 0 donne l = fi'.jj (^^+f" V

1 "•VI— y««-*/

459
done

et de la en r^doisant

i=|^5 Q-Q'; done

1 J?'«

— ; done B> = 2]/- • J^q.

C w C

e 4j*

Cette valenr de B' £tant substituee dans T^quation (c) donne la formnle (25)
de Tauteur.

En faisant les m^mes substitutions dans I'^quation (188) on aura

+ (r<'"+*> - r^)^ \ — n»n /i + 2y'"^^ . cog 2j + g«-H^\

4 coa" J ? Y- Vl — 2?*-+' . C08 2* + }«»f»/ »

(y-(-H4j + y»rf*)a )

00 B* est constant

:p = 0 donne A» (—a?) = *-^(y) = *V^(1 + «^=1, done

x=z^ donne ;i»(|l:r)=A»(|^) = 6.F(|. — *.|l)=:ft.ifO = *;
done

b^^B'.n (!~^!"t!y, d'ou Ton tire

6 = ^-^ ou 5" = V^6.

Cette valeor de B* etant snbstitn^e dans Vexpression de X" C^ x) d-dessiis

donne la formnle (26) de I'antenr.
Poff. 504. On a

. ^ / i-2g»'>'.co8 2x+g*- \_^ log/' a-g'"g"0(t-y'"''"'*0 \

» i« V 1 — 2j«"»-i . COS ar + J*""-* / I » ® \(l— j«"-i.c«'<)(l — s-«"-i.e-»«*)/-

Or log(l — ^^^O = — {p^ + lp*e*'* + ^p^e^ +...),

lpg(l _ pe-««) = _ (/»6-*"H- |;»»<r*"+ ^i»V«^+ . . .) ;
done log(l — pc**') (1 — per**^ = log(l — Zp cos 2a? + p*)

= — 20? cos 2a: + iP* co** 4ar + -JiP* cos 6x -{-...).

58*

460
On tire Ae \k

— 2(y*^^ • to — 1) COS ix+ is'**-*. to* — 1) COS Ax+ ^q^^^. (?*— 1) cos 6jr + . . •).

Or en remarqnant que JJjf^'''^ = ^_ ^a >
et que par suite

2ji^^.{q--i) = -^^^ =- rl^. on aura

log J7 r ^r!C'''f^C J =^ (cos2a:.-L+ icos4ar.-?!^+icos6:r. -^

En changeant le signe de p on aura
log(l + 2p cos 2a; + />•) = 2(/i . cos 2^ — ^•. cos 4a? -f- -Jp* • cos 6^ — . • .).

On obtiendra par li et en remarqnant que i?^9'***^-to*4"i) = i^'

iogi l+y".co8!^+g«-' J =2 (cos 2a:.-i^+tcos4:r.-?!^ +icos6x.^ +. . .)

De la mdme mani^re on trouvera

et de \k

De ce qui pr^c^de on tirera immediatement les formnles (28), (SS9) et (30).
U faut observer que dans les formnles (204) et (20S) p. 219 la quantity r est
la mdme chose que r~i dans les formnles (3S) et (36) ici.

Pay. 508. Ayant

on aura

y^ = 1 + 2r + 2r* + 2r* + ...== iB ;

done — = ^ ,

W 15'

It TQ

or r = c ®' • o=e "'

• /

461

tone f»=I«8(i). ^'■='«(!(|).

et de \k

»" .0,(1) «*'

done iJ?flog (1) = ifil^log (1),

ce qui est la formole de Mr. Cauchy.

Pag. 5i0. L'expression de c^ se tire des deux Equations (47) p. 264
en4ivisant la premiere par la seconde, remarquant que x(^ "f" v'^vT — v^^^~>

a(|-H-o)=a(|- — o), ^(|^H-0=Kt--0' *'**^*°' c = c» = l et

^crivant ensuite c pour e.

L'expression de a se tire de Tequation (41) p. 264. Cette equation donne
en faisant c=:l, ecrivant c au lieu de e et substitnant les valours de a^, a^.^.a^

Les Equations (47) donnent apr^s les mdmes substitutions, en faisant leur pro-
duit et substituant la valour de b de (46),

k c«-*.c'*.X«(a).X*(2a).-X*(«a)'

done

a = -^ A>a . A*(2a) . . . A«(»«).

Poff. S15. €0* — (0 etant 6gal k xai on voit que A^ ( ^ ~ ^ j estr^el; done
6 et par suite c^ est r^el pour cette valour de a, en remarquant que

A f ^_ ^\ = ^ . . . est une quantity r6eUe.

V2»+l/
Po^. J/4. En vertu de F^quation A*0=A*(0-|--mod), oil m est un entier, on a

. a Y tg>+(2n.+l)o '\ . a / t5i+2(ii+fi.+l)o)\ ^s /^ tat — 2(ii--ti.)o ^^

done

^ ^^H /— '^ ^ 2«+i > * V aST>'— ^ i. 2fl+i >"^ V 2fl+i )—^ Kaam:)

462

L'^quation (12) est la mdme que I'^quation (24) pag. 303 en faisant daas
celle-ci a?= — 0.

En vertu du th^oreme de Moivre on a

En mnltipliant ces deux Equations membre k membre il viendra

Faisant dans cette equation o:^ = — 1. on aura

c'est-^-dire
2««(_l)^cos-^.cos-?^.cos-^..^

^ ^ 291+1 291+1 2it+l 2^1+1 2fi+l 2it+l

Or cos(^±gj^)=-cos( ^^-t^t^^M, done

V 2ii+l / \ 2ji + 1 /'

cos<|llJ?.cos(^...cos^==(--l)^cos -^.cos -*V-cos^

2«+l 2w+l 2«+l ^ ^ 2fi+l 2ii+l 2fi+l '

done en substituant

2«»Ycos-?L_.cos-?^...cos-5^y= 1,
V 2«+l 2»+l 2»tl J

et de U

cos-- — T-^^s— — -...cos-- — -- =-sr--* (y)
2ji+1 2«+1 2/1+1 2» ^^

En changeant le signe de x dans I'equation (/?) on aura

Cela pos^, si Ton fait dans Fequation (12) successivement 0 = ^-|-a,^^2a»
. . . TT + '*<* et •« = - — — . on aura

V2 ~ / yc "^ ''• "" 2»+l ), _ 2rc , , « , *« .

• • •

463

at i'+**'"'»W+'* i+2,*.co.-^+,.

'l + 2a.co8- — r+^ l+2o'.co8- — :r+^*
^ 2yi+l ^ ' 2«+l '

• •

^(y+»«)=^- V'S'cos

« n a 2ll7C - - . ^ A 2ll7C ' -

, l+2y«.C08- p +^* 1+8^4,C08-— — -+y*

fiK ) ^ 2/1+1 ^ ' 2ii+l '

• • •

Done en ay»t ^gard anx Rations (/) et (6) on obtiendra

2» V^g" / (y«^'"+i) + 1 )(y«(aH-i) + 1) . . . Y (1+ y)(t + y«) . . . \
Jl. ' 2" V (ya"+i + l)(j»(a»+i; + 1) . . . A (1+J«XI +?*) • • • ■'

Or (voyez Tequatioa (16) pag. 302 oa le changement Ae b en c «ntraine celui
de r en q)

/(H.y)(H.g»)(H.g.)...Y_ 2^

V(l+j«)(l+j*)(l+j«).../ ■" v^c ' ^'
Done on d^duit de I^

L,^..=^^..„a^

2/ l/c*^* Vo 2»+l T 2«+l/ *M, - „_, / -ts w . 4n.re ^

+j«-«

Done si l^on fait ponr abreger

5r*»+* . df = A:, on aura

' (t + «.)=^..f..i*-(.+*-)?x;?:-.r;:!'^-.:::p.

et de U

464

En remarquant maintenant que q == 1^^^ et faisant pour abr^ger 2v{in -f- 1)
t=a et (2v — 1)(292 -)- 1) = ^9 ^^ trouvera en substituant r^doisant et carrant

en verta de (a) ci-dessos on a

'=^-[?.(t!f)]"-

Mnltipliant les deox derni^res ^nations membre par membre il viendra

[?.<T+-)]=^-^-"-[?.('+*^4.?-(l^)]"- <0

Or on a

oo ■

n .1 +ia+»- V n,II. (l+i'+»-)

n,n.(i+r+*')

mais

1w ^^P ^^9 ^^ft

-n -n -n -n

n Sn+l

n 50+2

11,(1 + A-+^«-) = J7J1 H-^),

-n 3d+2

n 7n44)

JTJl +^«H*h*-) == 7JJ1 4.A:»«),

-n 504-3

done n n{i + **+*-) = j& (1 + A*"),

-n n-f-i

et par consequent

1 1 -n 1

De la m^me manidre on aura

1 -n -n

465

II 2114-1

n 40+3

77J1 +*«(-+»)+«•) == J7J1+A»-*),

-n 211+2

done JI,7I(l+*^'~)==iI(l+*^"') (0)

En verta des formules (i;) et {&) I'equation (^ deviendra

1-+I

Or y = A:«»+S done q~*~ = A-^-+i, et par suite q~*~.1r**^ = W.
On aura par consequent

— *[?. Kt + -)]• = ^^* [?.(t^)]' •

En substituant dans cette equation la valeur de A: on a la formole (14} de
Tauteur,

Pag. 516. Si dans Fequation (fi) on fait or = 1, on trouvera ais^ment

2n+l 2ii+l 2»+l 2fi+l ^ V^'*-r*;

et de la

11^ Sin - — - = "^ "^ ^ (#)
1 ~ 2»+l 2» ^ '

Cela pose, en faisant dans la formnle (12) 0 =: ** = a, on aura

A(ma) = 4..f y.sin J5^-J7 { P^——

Done ayant ^gard aux formules (/?) et (/)

A«.A(2a)...A(na) = -^. -V'^CV'^i-l V<«^.),1 "JVg^fiT-V- ^

Si dans I'equation (12) on divise les deux membres par 0 et qu'on fasse ensuite
0=0, on obtiendra en remarquant que — =1 pour 0 = 0:

v'c ' o \ 1 — ; 1 — j» J ^ '

59

466

X(ma

En multipliant cette Equation membre par membre par le carr6 de reqnation
(x), on trouvera

Lorsque a = ^' "^ ^^ , on aura

^ 2lH-l ....

Or en faisant pour abreger comme precedemment

on trouvera

V o 2»+l ' ^ 2»+l/ 2/— 1 2/— 1 ^ ^'

1 — 2^.cos(— a) + q^r = (qr — k^) (qr _ Ar*~) ;
done

c'est-^-dire
done

_n -n(n + 1)

1 c« (_l)a ^ » 1 ' .

Soit comme pr6c6demment 2v{2n -{• !)•=: a, i^v — 1)(2»+1)=t on aura

£. -B(n+i) i

a

V J « ^ V c» (-1)" ) i" ' i" lAr-*-— 1 r+»-— 1/)

on tire de \k en multipliant et remarquant que q * . Ar*("+^> = A:*,

467

En traitant cette ^qaation enti^rement de la mdme mani^re que Ti^cpiation
(f) ci-dessus, on trouvera

^(A.,(».))-=,=*,^*.i(i=^.i=|i.:.)-,

1

oil A: = ^«-+^(Jf.

Pag. 5i7. Le theor^me portant le num^ro XVIII est demontr^ dans le
m^moire XXI.

Pag. 521. Pour qpO infini on a 9)(2n-|- l)^ = B(p^j oil B est une con-
stante; car le numerateur de la fraction rationnelle en ijpO qui exprime la valeur
de la fonction 9)(27i-{- 1)0 est d'nn degr6 d'une unite plus ^lev^que le dino-
minateur.

Pag. 522. On a

20 in

o 0 **■

i;;(0 + «) = sj:^ jr(0 + (w + l)a + ii§).

0 o **

Le second membre de la premiere Equation eontient le terme ^(0*f^iEi/S) qui
repond ^ m = 0 et qui ne se trouve pas dans le second membre de la ^ dernf-
fere equation. Celui-ci an contraire eontient le terme n{^ -f- (2w + l)a + fJ^§)
repondant ^ m = 27t, et qui ne se trouve pas dans la premiere iquaticm. Ces
deux termes ^tant egaux, et tons les autres termes communs aux deux Equa-
tions, il est clair que ipO = t^(0 -f* ^)*

L'equation (1) i^(2/<-f-l)0=^ peutse mettre sous la forme (voyezp«187)
(Ja;^*«+i)^ 4- . . . + ^o;) — 9)(2w+l)0 . (Ca;^*-+^>'-^ + ... + />) = o,
On voit par 1^ que le coefficient de toute puissance impair de x est ind^pen-
dant de 0, et que le coefficient de toute puissance paire de x eontient le fao-
teur 9)(29i-f-l)0. Done la somme de toutes les racines est de la forme C9)(27i-j-i)0,
ou .C est constant ; la somme de tons les produits de deux racines est ind^pen-
dante de 0 etc., d'oii il est clair que 'dans l'equation (16) A^=0 si le nombre
des facteurs de ttO est impair, et JS=:0 si ce nombre est pair.

Pag. 529. Les expressions de A(Otsf) sent les mdmes que les expres-

* . i

sions (24) et (33) pag. 303 et 304, en remarquant que — = b.-— dans ces
demiferes formulas signifie la m^ine chose que i^ — ici^ et que-^ 3= 6. •— dans

Z mm

59*

468

tes fdfmules cities est la mdme chose que b.— icL En ayant 6gard a ces
significations inequation (9) pag. 300 deviendra:

lOlC tOTC t01C ifX 191C

A(0) =

1

1-e «*

!—;»«« «»

l-o«« •*

l_p4<, «

1 ;»♦« «*

y/c

tfit •

MT

1«1C

1«K

t*1C

■ ■ »

1+e •*

1 +;>'«« •*

1

1 +pH »

l+p*e «

tR>0

En mettant ici — Oa> i la place de 0 et remarquant que « » \ * /=jp^«»,

on aura Fexpression de k (~ — OwJ.

4

Po^. J5i. Pour les expressions de yc\ voyez les Equations (16) et
(14) pag. 302 et 301.

Poffj 555. L'^quation A'(^cr — *0 + ^)== ^•'(*0+^) donne
613 — *0 + a = (— ly^'^i + (— l)~'a + m'ts' + fi'(o%
ou m' et fi' sont des entiers; on en tire

a(l— (— 1)~') = ((— l)"*' + !)/$ + m'o' — f© -}. /u'co'i.
H faut done que m' soit un nombre impair 2/i-|-l; done en remarquant que
m==mi3'9 on aura

2a = (2^ + 1 — m)ti' + ^'w'i.

Pii^. 554. Les deux equations

?)(&' + e) . (p{v— e) = (spo ./^eo* — (yO' .ffi)%
AO'+e)./'(e'— e) = (/^ ./•e')^ — c»(ve. yoo*

se tirent imm^diatement de Tequation

c« y faisant Aft = -^, Ae' = -5^-

Pag. 5S7. Ayant t/;a=J(a*— ar^(a''— ar^.-Ca*— afj),
on peat faire

J^ — _^'^ I _g!_-L_g!L_ I - ^' i ... I ^'^1 ^^

ou /#& =2 • i^h =^ — : •

» 2'j>'(-'t)' * 2+''*

f

Or ^x et Y^ ^iznt des fonctions impaires, on a

0( — :r)=: — Oo? et i;;'( — ar)=!= — y^r, done on aura

On tire de U

469

Paiy. S58.

a*

done

done

• • •

ou p est le coefficient de — dans le developpement de la fonction
*logf V*^^^'^^ J soivant les puissances ascendantes de — .

2Aa

2Aa ^V/a— <paAa/ fa ' 3 V/a / ^ ^ ' 5 \fa/^ ' ^

Substituant ici les valeor de 9>a, /« et An, et d^veloppant saivant les puissan-
ces ascendantes de — , on verra que le coefllcient de — ^ da developpement sera

Pag. 54i. Si fx est impair, et tpx pair, on aura

fx = (a^ -f a^x* + Oja^ + . . . + o^iar*-*)*:,
g,x = b^-\-b^x^ + b^ + . . • + 6.-^*"-*+ ar>»-»,
{fx)*—i(px)*{l—x*Xi—c*a:'')=:—c\x*—x]){x*—xl) . . . (^r"— arJ^jXa?*— y«).
a? s= 0 donne 6' = c'ar'ar* . . . arj,^, .y', d'ou Ton tire

y^- '-^

Si Ton substitue dans cette Equation la valeor de b^ tiree des equations (13'),
on trouvera par exemple pour n = 2 :

470

En d^signant par y^ la valeur de y determin^e par Tequation (14) on tronvera
de la m^me maniere poor n = 2 :

{s\ —s\)x^tLX^-^{s\ —x\)s^t^^ + {x\ —x\)x^tis^ '
done y' == -i- .

Pag. 547. Les Equations (42) et (43) donnent

2x£ix,

y

done

Ar,

(^,^.-^^-.)a-«^'^'^p

Ob Toit par la que Lx^ est rationnel, lorsque [i est nn nombre pair.
Pay. J#P. -^o est la valeur de ^=^ pour ar = 0; done A„ r=:

ds

= «^[(a^-l)03 ^ (2m-l).A[X(2m-l)0]^g^_^ ^^^j qui donne 0=0.

On trouve de la mdme maniere 5^^ = g^tt = -^ ponr a: = 0.

Les Equations (42) et (45) donnent, eomme on le voit ais^ment,

V^aji. "T ^afx-2)(l — ^ ^ • ^2|jL-i) = 2^2|i-i • A^ ;

La premiere Equation est la mdme ehose qae

Reduisant les fraetions du premier membre an mdme denominatenr et remarqnant
qu'apr^s cette reduction les d^nominateurs des deux membres doivent dtre
^gaux s^parement, on aura

Soit maintenant

^'ajx-i ^= 1 "T -^'2,21^-1 -^ I • • •

En substituant ees valours dans (b), on en tirera

-^'2,2(1+1 "T" -^'2,2(1-1 "T -^'2,2(1 = 0. (C) »

La seconde des equations (a) donue de la mdme maniere

B'2,2K. + i»'2,2,^ + A,2H..l = 0. (d)

471

L'equation (d) fait voir que si A'^^^p^-i = 0 et B'^^^il-^ = 0> ^'t,^iL sera
aussi 6gal a z6ro; et requation (c) que si B'2,2[l^=0 et -4'a,i(i-i = 0, A'^^^^i
doit de inline 6tre egai k zero Or les equations (53) montrent que B\^z=rO
et ^'^3 = 0. Done il est clair que B*2,2y. = 0 et A't,2p.-^i = 0 pour toute va-
leur de /i.

iau 4- b^v^ + b^v^ + . . . + b^v^

Supposons qu'on demande p. ex. t^ exprim^ ratioDDeilemeDt en 0, x^^ x^^.^.x^^
Vi^ y2>---yfx; on fera

en designant pour abr^ger, par if; la somme des autres termes dont 0 est com-
pose. Done

b'J^=z^—^)=zx{x^, x^,...x^, y^, y„...y^),
oil X est une fonction algebrique des quantit^s comprises entre les parentheses
parce que t^ qui par rhypoth^se est une fonction algebrique de x^^ ^%9^**^my
pent s'exprimer en fonction algebrique de x^y jt^, . . . x^j yi> y«> • • • y^,* On
en deduit

AO— V)= fonc. rat de x^, x^,... x^, y^ , y^, . ..y^=zF.
En d^veloppant on aura

/•(e-v;) = p + (p.v;,

oil P et jP sont des fonctions rationnelles de 0, ar^, x^^ . . . x^^ y^^ y„ .. .y^.
Done P ^Q\\>=i F\

et de 1^

et par suite

F—P

b'J^z=:i = fonc rat de 0, x^y ar,, . . . a:^, y^, y%y *y^*

Pag. 5S2. Le th^oreme en vertu duquel les Equations (68) seront satis-
faites en mettant au lieu de 0 une racine quelconque de I'equation F=0,
lorsque cette Equation est irreductible, est demontri pag. 115, 116.

Pag. 565. Designons pour abreger le degr6 d'une fonction par la lettre
By et soit Bfx = »i,

B(px=:ny on aura
Bv = m + n + 3,

472

D^x^=iim^ si m>»-4"2,
et Z>ea? = 2w+4, si m<» + 2.

On ne pent pas avoir m = n -|- 2 en remarquant qne des nombres m et n i'un
doit dtre pair et Fautre impair.

Soit d'abord

m>w-}-2,

done

2m>m-|-»-4"2,

done

2m — ou>»i+»+3,

e'est-^-dire

D^x — o\i>Dv.

Soit ensnite

» -}- 2 > m,

done

2»-}-4>»i-}-w+2,

done

2/2 -f- 4 — ou>»i-f-w+3,

e'est-^-dire

/>Oar — ou >/>?;.

Pag. 566. Lorsque m = 2, I'^quation (109) devient

{fxf—{(fxf{X _ar')(l — c"**) = (a:*— a»)*.

En faisant fx-==.aXi q)X = bt od aura

done

et de la

» *«=: — «♦

Done

*«c« = — 1, **(l + 0 + «• = — 2a», 6

±ii/_i, ««=±i,«'=(iT|y.

^ ^, lorsque a* = — ,

et

2iiiAa 4(c— 1) ' ^ c

^ , lorsque a* —

2mAa 4(c+l) ' ^ c

Pay. 567. On a en general {r^—s^)(t^—u^)=z{rt±sti)*—{st±rH)\
En faisant ;r = l ouar=— dans I'equation (108), la partie logarithmique dis-
parait On voit par la que fi ne pent pas dtre z6ro; ear cela donnerait

/. O-V"""/*!^

0,

ce qui n'a pas lieu.

473

En diff^rentiant F^qaation (112) on troave P=^ k, k 6tant la partie enti^rede
— . Or -^ = ^'''•^''^•' , dont la partie entifere est 2ic* ; done /? = A*
= hc^ = c^att^a^.

Lorsque cfj = ^, oa a a = ± , /7'a2= o:r, -^ = ^t

La seconde des Equations (114) donne a sous la forme oo — cx^. Or on a

a

ct lorsque aj = cx),

a

on tire de \k

l — C^(t\Cf\

Aa, Attj

c^ttja^ c^a^itt, '

12 2

done on aura

ca

a«Aa

ca

Cette valeur de a etant substituee dans Tequation

Aa a^ + fl

Aa

fait voir que la supposition de a^ infini ne change pas ia valeur de

a

En substituant les valeurs trouv^es ci-dessus dans I'equation (112) on eh
deduira Tequation (113), oil il faut observer que le coefficient de tax deviendra

J2 c^aa^^of, ;f; — ^ qui est de la forme ^oo^oo. Or en prenant les signes

*2

Aw

convenables ce coefficient se r^duit a . En effet on a

a

_ a^Aa^ + a^Aa, Aa^ Aaj

a

done

et par \k

4 Aa» Aa*

1 * /v /• '

a^j aj

C*aa^a^ +

Aa^ Aai Aa

^2 ^1 ^

Pag. 569. Si ^ et r^ avaient un facteur commun, y et r I'auraient de

mdme ; mais la valeur de x qui ferait evanouir ce facteur, rendrait (1 — x^)

(1 — c^x^) infini, ce qui est impossible, r^ et r, ne peuvent s'^vanouir en

mdme temps, par ce que 1 — y^ et 1 — c'^y^ ne le peuvent pas.

60

474

M GAli- V*

Lorsque y = ^, soit r=— ^^ oil 9 et q^ sont des fonctions enti^res de
X sani§ diviseur commun, on aura

q^ q^ q'^

Or ces deux fractions etant irreductibles, on aura s^parement

et q^ = q^\

done 9' = 9 ^^ ^ = -T'

Le numerateur de la fraction rationnelle -J^ ^tant divisible par r, il est divi-

ds

sible par 0, done

^__ qdp-^pdq
%»ds

est une fonction enti^re.

P(ig. 570. Dans le cas de w = »i, si A: = 0, on aura

p = ax^ + «i^«^^ + a2^*^* + • • •> "lA = ^ci^^^^ + (^ — l)^!^:^* + • • •
' dx

q = /Jar" + /9ia?"*"* + • • •

+ {m-l)a^(^—a)x^'-^ + ...
d'oii Ton voit que le degre de ^ 9~9 /^ ^ gj k = Oy est egal ^ 2m — 2.

Po^. J7i. Les formules du paragraphe 2 sont les m<^mes que les for-
mules (10), (H) et (12) de la page 258 en y faisant €=€^^ = 1 et « = f.
La formule (10) donne alors « = ^t 1 = ^, y = ± ^> ^i = db ^5 ®* '^ formule
(11) donne a = -t-l = f, y = db — > c^ = ^ c. Mais il faut remarquer que
dans les formules (10) et (11) on pent aussi avoir (voyez les notes pag. 446)
c* = — r- et e: = — --, ce qui donne, en faisant c = e, == 1 :

1 02 A 02 A

a = ±c = (,c^ = ±-, y = ±cx, y = ± —

476

Les quatre derni^res formoles da paragraphe 2 sont compriees dans la formule
(12) pag. 2S8, oil la supposition de e = e^ == 1 donne

Pag. 582. Les equations qui determinent les yaleurs des quantites a\
b\ Oj h donnent

b' = a.(p{i) = ac'.(p (—J •

Les deux premieres Equations donnent — ==y(l)=— .9? ( — ),

et les deux dernieres — =(p{l)= c\(p y—j.

Done ou «' = 0 et 6 = 0, ou b' = 0 et « = 0.

On a V = ^ry done ^ = ^^l • En vertu de (134) on a
^ 9(1)' dx <p(l)

(f){x) ^ X . yf'(x), oil i};(x) est une fonction rationnelle de j?*, et V^(0) =
( — ly.e^.el.el... e^. Done

done pour j; = 0,

Pag. 584. En ^liniinant e^ des Equations

0 = 3 — 4(1 + c*)c* 4- 6c V — c*e»,

on obtiendra

d'oii

et de \k

e'est-a-dire

{\—cy{c^-\-c''' 4- 6cc'— 4(1 4-cC)l/cf') = 0,
c* — 2cc' 4- <?'* 4- 8cc' — 4>/'cc' — 4cc'|/'cc' = 0,

(c» _ c)* _ 4>/'<^<r'(l — iVcc' + cC) = 0,

(c>—c)^ = 4]/cc'.(l— l/<^c')*-
Po^. Jtftf. Lorsqu'on divise les deux Equations

(^« — ;,»)(9» — CV*) = (1 — ^')(1 — cV)r»,
q^ —p^ = (1 -^')(l-cVK??')*,

60

476

^-_c'V = (-^y;

iiiembre par membre, on obtient

done q^ — (f^p^ doit 6tre un carr6 parfait.

Pag. 388. L'expression de q donne en faisant 2 = 0:

1 = b{— l)«t^. d: id. e'd . . . 0«i*-*(^,
• q' = b(x—d){x — 9(J) . . . {x — 0*1*-^);

done en divisant membra par membre

Pag. 59S. Soit

/I = Jo + ^1^ + • • • + ^fi^^

q = B^+B^z + ... + B^z^,
on aora

p — qy=A,—B^^ (A-B^y)z+{A^ — B^)z' + . . . + (A^—B^)z^

= {a — bi/){z — x){z—x') . • . (z — x^^'^^).
On voit par la qne J^ = a, B^ = b; done si 6 = 0, q sera da degre fi — 1.

Si X* = -^ — — — est une raeine de y == vjx^ la quantity f ^Tf .. 1^

sera ^galement, en vertu des equations (142).
Soit I'equation (183) : a' — ^'y = (p^y

on aura a' — b' ==y(l)

et a.+ ftr=y(_l)^_qp(l)^

done a' = 0.

On tire de (142) en y faisant a:=0 et eerivant 2/1+1 pour n:

e"*(0) = ^«.,

done jp = a^(z^ — ^i) • • • (^^ — ^^»)-

Pag. 596. Si a = 0, /? sera du degre ^ — 1 et ^ du degre fi. En
egalant les coefifieiens de z^"^ dans Tequation

P—91/ = ± %(a;— ^)(;r' — z) . . . {x^^'-^^ — z)y (a)
on aura

a' — b'g = HF 6y(ar4-ar' + ir» + • • • + x^V--^^),
oh a' et bt sont des eonstantes. On trouvera sous la m^me condition que dans
le cas pr^c^dent, qu*en faisant /u = 2n+l, on aura

477

9 T Jf V, ' 1 — C**«,X» *^ ' 1— C»«««« /

1 ■

Or a? = ± 1, ± — donne y = ^ 1, ± — , d*ou Ton tire 6* = 0. y aura
done la forme

y

Cette Equation fait voir que or = 0 rend y infini. Si Ton divise les deux
membres de I'^quation (a) ci-dessus par y et qa'on fasse ensuite or = 0 ou y
infini, on aura

q=^^bz{e\—z'){el—z')...{e\—z^).

De ce qui pr^c^de on tire sur-le-champ Fequation (188).

Si fi est pair = 2w, on trouvera pour y la forme

' a^

d'oii I'on tire I'equation (189).

Pag. 597. Pour a:=^ les Equations (190) et (191) donnent

Pour ar=0 les m^mes Equations donnent

X

«IM-« ^^«^2 ^2

L'^quation dilSerentielle

a^^^^ . . . e\ = J(14-2A^, + 2Ae^ + • • • + 2A^..)

^y —(2^+1).^

donne pour ar = 09

•' ■|-=-^=o.e;eJ...e'.poiir;r = 0;

done a . e J ^^ . . . e\ == 2/,i + 1.

Lorsqu'on suppose x infini, on a ^2(ji+i ^^^ -^^ ^^ y> done

dy — (g,,-i 1) •(i-^^a'^)(i-c^^^^«) _.g^ , .V c.^«x» _ .^

done ^ = -r — -.. On aura done

2|i.+l

478

*".e«,ea,...e*

a

a

^2 ^a ^3

1

Le produit de ces deux equatious meinbre par membre donne

a* = c*", done a= t^.

Pag. 599. On a (voyez 135)

done

1 1— cV?x«

djr' r/jT ■ jL </g^

Ajp' Ax ' Ae'

Po^. >#00. Les Equations (196) et (197) se deduisent respeetivement ^

des equations (190) et (191) en remarquant que a=€^v-*+^v-^ que -^ = -5 »

et en ayant ^gard &ax. Equations (143) et (144).

Pay. 4W. On a

«. — = — ^ (1)
^ Ae Ae, ^ ^

« de' de'k /o\

Ae' Ae't ^ ^

dem.k dem %^ de'u /m\

^em,k Ae» Ae'ik

Si dans (1) on met ^..^i au lieu de e, on aura

dcmix dem I ^9'

^ Ae.,, ^ Ae. ' ^ Ae'

de,m _i_ rfe*, de,m,p ^

Ac,. Ae', Ae,>,,

done par cette substitation e^ se change en e^^^

Pag. 40S. On a

«>o == a: 4- 9a: 4- e'a? + . . . + 9"a: + . . . + e«»^ar
«>j = a: + (JOa: + d^'^x + . . . + S^^'^x + . . . + S^H'^v-x
«), = ar -I- dHx + <J*e*a: + . . . + (J«-e-a?+ . . . + d*t^*i*ar

iJau = ;p 4. <J«>^e:r + d*H)':r + . . . + <J^-i*0-a?+ . . . -f- (JVO'J^ar.

479

En ajoutant et divisant par 2/1-^1 on aura la valenr de x. En multipliant la
seconde Equation par &^j la troisieme par d^^* etc. ajoutant ensuite et divisant
par 2fM 4" 1> ^^ ^^^ ^^ valeur de 6"*ar, (Voyez pag, 124).

Pag. 408. M. Crelle remarque que c'est jusqu'ici que ce memoire lui
est parvenu, et que I'auteur est mort sans Tavoir fini.

PIN DU TOME PREMIER.

/

Fautes h carriger.

Page*.

Lignea.

1,1,S,4.

16.

23.

84.

19.

95.

*

09.

20.

106.

12.

119.

8.

182.

4.

205.

12.

221.

1.

308.

4.

821.

13.

837.

3.

865.

3.

—

24.

378.

1.

377.

1.

382.

2.

883.

18.

390.

15.

395.

26.

462.

7et9.

Fautes.

Corrections.

{Pltuieurs fois) iud^pendentes.
au dessus du plus grand nombre
premier compris dans lea fac-
tears de n.

|Ji = 0, 1, 2, 3. .. pi.

2

d%{% + a')

2n+l
Dans ie dinominateur du pre-
tnier tnemhre de i'^quation (1'72)

' V 2lm /

Chauchy
^1(90) ./0. 2?^
fonction enti^re de jr>,
_ 2m ^Ag^

tn^doL^

Ae,

m

1 1

T'T'

paragraphe 1.

jrAe+eAJT
l—c^e^£kS '

n..

ind^pendantes.

au-dessos du plus grand nombre premier

qui ne surpasse pas n.

|JL r=: 1, 2, S •*. , |ji.
Le second membre de la premiere ^qaa-
tion de cette page doit avoir lesigne — ,
celui de la seconde Equation le signe -f-,
et celui ^e la troisi^me, le signe — •

2
>/(x— :r«)'

^ d%(% + a)

r*

III-2

mo + (i.t5t
2fi+l

^ ^ mo+pLt«Jt+/ \

9%

2n+l

+2(9^) •/^•^*-
fonction enti^re de jr.

2mjAa|

Pi=-

paragraphe 2.

» —- — ^ «
Aa,

Ae.
1— c«««

1 1

jrAe+ eAe

1— c«eajr«

2a

n..