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Full text of "Oeuvres complètes. Publiées par la Société hollandaise des sciences"

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ŒUVRES  COMPLETES 


DE 


CHRISTIAAN  HUYGENS. 


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Imprimerie  de  Joii.  ENSCHEDÉ  &  Fils,  Harlem. 


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ŒUVRES  COMPLETES 


DE 


CHRJSTIAAN  HUYGENS 


PUBLIEES    PAR    LA 


SOCIETE  HOLLANDAISE  DES  SCIENCES 

TOME  VINGTIÈME 

MUSIQUE  ET  MATHÉMATIQUE 

MUSIQUE 
MATHÉMATIQUES  DE  1666  À  1695 


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LA    HAYE 

MARTINUS  NIJHOFF 

1940 


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1080 


MUSIQUE  ET  MATHÉMATIQUE 

MUSIQUE 

MATHÉMATIQUES  DE   1666  A   1695 


HOMMAGE  DE  HUYGENS  A  THEOCRITE. 


La  f.  1 .  du  portefeuille  „Mu- 
lica"  ')  porte  outre  les  figures 
d'une  harpe  et  d'une  lyre  que 
nous  reproduirons  ici, les  cita- 
tions fuivantes  de 
Théocrite  ')  : 


Tavr'  èirèev  B'epeo?  jJixXx  tiovo?  ùirSe 

è'oTrupyiç  3). 

Çj  KaXni  à/JL/ze  touv  éXe^yi^si  fiwKog  xotèxi 
ûç  su  rav  ]êeav  raç  ixp,u.ovixç  Éjj.iTfYi<rev  +). 


V'^^vjXov  S'  'lepci}vt  kMoç  tpopsoisv  àoiSoi 

y.Xl  TTOVTOV  ^Kvd'lX.OlO  TSpCCV  KCCI  OTOV  TXXTV 

à(r(paÀTw  èvia-xiTix.  'Lsy-ipaiii;  sfJi(2tx(riXevev  '). 

•)(^acip£Te  S'xXKoi 
àtTTspei  eùayjXoio  kxt'  xvrvyx  Zijvo?  otxSoi  '). 


Les  abeilles  dorées  voltigeaient  autour  de  la 
fource.  De  toutes  parts  flottait  l'odeur  d'un 
riche  été,  l'odeur  de  l'automne. 

En  vérité,  nous  n'avons  pas  fuffifamment  re- 
marqué la  beauté  des  chants  du  berger  qui  ob- 
ferve  fi  bien  les  règles  de  l'harmonie. 

Chantons  hautement  la  gloire  de  Hiéron  depuis 
la  mer  fcy  thique  jufqu'à  la  ville  de  Sémiramis  *) 
qui  cimenta  Ion  large  mur  avec  de  l'afphalte. 


Salut  à  vous,  autres  aflres,  qui  parcourez  fidèle- 
ment vos  orbes  par  rapport  à  Zeus  l'immuable. 


^pyjfjiXTx  Se  ^uovreç  ocixxxèvvovri  ^xvovruv^^      Or,lesvivantscorrompentles  chofes  des  morts. 


')  Voyez  sur  sa  date  la  p.  88  qui  suit. 

^)  Nous  citons  les  nos  des  idylles  et  des  vers  d'après  l'édition  de  ipop  de  H.  L.  Ahrensdes„Buco- 

I 


HOMMAGE  DE  HUYGENS  X  THÉOCRITE. 


lies  graci".  Comparez  la  note  7  de  la  p.  88  du  T.  XIX.  Pour  les  variantes  il  faut  consulter  les 
différentes  éditions  de  Théocrite.  Nous  croyons  devoir  traduire  les  citations  sans  tenir  compte 
du  contexte:  chez  le  poète  /ito—s  â'a/.lot  ào-Tiosç  veut  dire  „adieu  les  autres  astres",  c.à.d.  autres 
que  la  lune;  pour  iW»  nous  écrivons  „nous"  au  lieu  de  „nous  deux";  nous  conservons  le  mot 
„asphalte"  quoiqu'en  français  „bitume"  soit  plus  correct. 

3)  Idylle  VII,  vs  141  — 142. 

t)  IdylleX,vs  38—40. 

5)IdylleXVI,vs  98—100. 

*)  Babylone. 

7)  Idyllell,  VS164— 165. 

8)  Idylle  XVI,  vs  59. 


MUSIQUE  ET  MATHÉMATIQUE. 


Avertiffement. 


Dans  le  T.  XIX  ')  nous  avons  dit  que  la  théorie  des  rapports  provient  de  la  con- 
lidération  des  accords  muficaux.  C'eft  ce  qu'on  voit  clairement  en  coinparant  la  défi- 
nition du  Xoyoç  mufical  donnée  par  Ariftoxène,  cité  par  Porphyre  -): 

èvo  <p^6yy(jôv  àvo/xoiuiv  >j  kutoc  TyiXmoTviTx  Taix  <r;^e<r/c,  o  ea-ri  Xoyoi  3) 

avec  celle,  également  vague,  du  Xôyoi  de  deux  grandeurs  de  même  nature  donnée  ou 
inférée  un  peu  plus  tard  par  Euclide  dans  fes  Eléments*): 

Xoyoi;  eTTt  èuo  //.eys^âiv  ôfjLoysvêv  vj  xxtx  T^XiKaryjTx  Tfbç  iAA>jA«  TOioc  (ry^iim. 

L'une  et  l'autre  définition  font  citées  par  Meibomius  dans  fon  „Dialogus"  de 
1655  5)  auquel  fe  rapporte  la  Pièce  I  qui  fuit. 


•)  P-  356. 

=)  nop*VPiov  E12  TA  APMOMKA  iiTOAEMAioY  YnoMXHMA,  Chap.  13;  p.  139  de  „Porphyrios' 
Kommentar  ziir  Harmonielehre  des  Ptolemaios"  éd.  I.  Dûring,  Gôteborg,  Wettergren  et  Ker- 
ber,  193:. 

3)  Il  ne  s'agit  apparemment  pas  ici  des  rapports  des  longueurs  des  cordes  d'un  instrument  de  musique, 
mais  des  rapports  quantitatifs  de  deux  sons  c.à.d.  de  leurs  hauteurs  respecîlives,  de  quelque  ma- 
nière qu'ils  soient  produits.  Le  mot  77>;),izot>;;  a  donc  en  ce  temps  un  sens  fort  général. 

Voyez,  encore  sur  ce  mot  grec  la  note  2  de  la  p.  1 1  qui  suit  :  Théo  Smyrnaeus,  plusieurs  siècles 
plus  tard,  considère  le  Tzr'i.W.m  comme  unegrandeurgéométrique continue.  Asklepios, commen- 
tant l'Arithmétique  de  Nicomaque,  avait  dit  également:  to  n-nXtzov  fuyêSôf  io-ri  <sTmyi%  (p.  83 
du  „Dialogus"  de  Meibomius). 

■♦)  Troisième  définition  du  livre  5. 

5)  P.  83  et  85. 


AVERTISSEMENT. 


On  a  fans  doute  compris  de  temps  immémorial  que  les  longueurs  des  cordes  vibran- 
tes des  inflruments  de  mufiquc  rendent  les  ■ïï-yjXix.oTVjTs?  des  fons,  pour  ainfi  dire, 
mefurables. 

„Nous  fommcs  aujourd'hui  habitués"  dit  P.  Tannery  dans  fon  article  de  1 902  „Du 
rôle  de  la  mufique  grecque  dans  le  développement  de  la  mathématique  pure"  —  il  y 
parle  brièvement  du  quadrivium  des  Univerfités  au  moyen  âge  —  „h  coniidércr  la 
notion  du  logarithme  comme  dérivant  directement  de  celle  des  progreflions  dcspuis- 
fances  entières"  ')  quoique  „la  forme  fous  laquelle  [Neper]  a  préfenté  fon  invention 
en  mafque  la  première  origine".  Nous  ne  favons  pas  en  vérité  ce  qui  fut  chez  Neper 
hi première  origine  de  l'invention  :  rien,  fi  ce  n'efl,  comme  l'obferve  Tannery,  le  mot 
logarithme  crééparlui'''),  n'indique  que  la  confidération  des  deux  progreffions,  arith- 
métique et  géométrique,  partant  aulTi  celle  de  l'échelle  muficale,  y  foit  pour  quelque 
chofe  ').  Mais  fi,  félon  toute  probabilité,  la  mufique  n'a  joué  ici  qu'un  rO>le  nul  ou  ex- 
trêmement effacé,  il  eût  certes  pu  en  avoir  été  autrement.  Meibomius,  lui,  penfe  en 
muficien;  il  femble  ne  pas  connaître  les  logarithmes  de  Neper,  de  Biirgi  ou  de  Briggs, 
mais  fa  „Tabula  rationis  fuperoétagefimœ  —  quam  commatis  rationem  •*)  recentiores 
faciunt  —  centiesduodecies  fibi  fuperaddita;:  quâ,  tanquam  communi  menfurâ,  cîete- 
rarum  rationum  magnitudinem  deinceps  explorabimus" ')  fait  voir  qu'il  confidère, 


')  L'article  de  Tannery  se  trouve  dans  le  ,,3.  Band,  3.  Folge"  de  1902  de  la  „Bibliotheca 
mathematica,  Zcitsehrift  fiir  Geschichte  der  matli.  Wissenschaften"  publié  par  G.  Enestrôin 
(Leipzig,  Teubner):  il  est  réimprimé  dans  „Paul  Tannery,  Mémoires  scientifiques",  publié  par 
J.  L.  Heiberg  et  H.  G.  Zeuthen  III,  1915  (Toulouse,  E.  Privât  et  Paris,  Gautliier-Villars). 

°)  La  Prop.  I  du  Cap.  II  de  la  „Descriptio  mirifici  logarithmorum  canonis"  de  161 4  est  la  suivan- 
te: „Proportionalium  numerorum  aut  quantitatiim  xquidifferentes  sunt  logarithmi". 

3)  Voyez  „The  law  of  exponents  in  the  works  of  the  sixteenth  century"  parD.E.  Smith,  et  d'au- 
tres articles  contenus  dans  le  „IVapier  Tercentenary  Mémorial  Volume"  publié  par  Cargill  Gil- 
ston  Knott  (Royal  Soc.  of  Edinburgh,  Longmans,  Green  &  Co.,  London  1915).  Le  lecteur 
hollandais  peut  consulter  aussi  N.  L.  W.  A.  Gravelaar  «John  Napier's  Werken"  (Verhandelin- 
gen  der  Kon.  Akademie  van  Wetenschappen,  Eerste  Seftie,  Deel  VI,  Amsterdam,  J.  Mûller, 
1899). 

■•)  Comparez  le  premier  alinéa  de  la  p.  45  qui  suit. 

81 
5)  „Dialogus",  p.  70 — 71.  Il  conclut  de  sa  table,  contenant  les  puissances  de  5- depuis  la  premié- 

oO 

re  jusqu'à  la  112''°":  „Ratio  -[  major  est  commatis  55, minor  commatis  56",  c.à.d.- est  com- 

/8i\  55      /8i\56  ^.•543  „.  .  ,         . 

pris  entre  1  tt-  1       et  (  -- 1      .De  même  -,  -  et  -  sont  respeftivement  compris  entre  les  puis- 
\8o/  \8o/  lia 

sances  88  et  89,  1 1 1  et  1 12,  32  et  33""".  Comparez  la  fin  de  la  note  1 1  de  la  p.  46  qui  fuit. 


AVERTISSEMENT. 


comme  Briggs,et  audl  comme  N.  Mercator  écrivant  en  1 66-j  (voyez  la  p.  1 1  ),  comme 
une  chofe  importante  d'exprimer  approximativement  les  nombres  comme  les  puifTances 
d'une  quantité  fort  peu  fupérieure  à  l'unité  *).  Or,  la  ledurc  du  „Dialogus"  peut  avoir 
fortement  contribué  à  amener  I  luygcns  à  confidérer  fimultanément  —  Pièce  II  qui  fuit, 
datant  de  1661  —  „la  divifion  du  monochorde"  et  „les  logarithmes ces  merveil- 
leux nombres".  Nous  fommes  d'autant  plus  autorifés  à  croire  à  l'influence  de  Meibo- 
mius,  que  la  critique  de  1 656  de  Huygens  de  la  penfée  de  cet  auteur  —  voyez  dans  la 
Pièce  I  fcs  remarques  fur  la  p.  1 27  de  M.  —  n'eft  pas  bien  fondée,  ce  qu'il  a  dû  recon- 
naître bientôt  après,  comme  notre  obfervation  en  cet  endroit  le  fait  voir. 

Voyez  cependant  aulTi  ce  que  nous  difons  aux  p.  203 — 204  qui  fuivent  fur  le 
„Cours  Mathématique"  de  P.  Hérigone,  connu  à  Huygens  au  moins  depuis  1652. 

R.  C.  Archibald")  remarque  dans  un  mémoire  de  1924  que,  même  en  1691  lors- 
que Huygens  publia  le  „Nouveau  cycle  hannonique"  **},  aucun  autre  que  lui,  femble- 
t-il,  n'avait  encore  calculé  des  intervalles  muficaux  en  fe  fervant  d'une  table  de  loga- 
rithmes (et  pourtant  en  1 66 1 ,  ainfi  que  dans  les  années  fuivantes  '),  Huygens  n'avait 
nullement  fait  un  myllère  de  fa  trouvaille).  F.J.Fétis,  ainfi  que  K.  W.J.H.Riemann, 
ne  connaiflant  apparemment  pas  l'écrit  de  Huygens,  émettaient  bien  à  tort  l'hypo- 
thèfe  que  l'application  des  logarithmes  à  la  mufique  n'aurait  eu  lieu  qu'au  dix-huitième 
fiècle;  ce  qu'on  lit  encore  dans  une  édition  du  „Mufik-Lexikon"  de  Riemann  polté- 
rieure  à  1924  '°). 

La  Pièce  III  de  1 662  fait  voir  que  Huygens,  d'accord  avec  Ariftoxène  et  Euclide, 
ne  partage  pas  la  „multorum  fententia",  en  particulier  celle  de  J.  Wallis,  d'après  la- 
quelle les  „quantitates  rationum"  ieraient  des  nombres. 


'')  Nous  mentionnons  cette  „Tabula"  de  Meibomius  aussi  dans  la  note  2  de  la  p.  155  qui  suit. 

■)  R.  C.  Archibald  „MatIiematicians  and  Music",  The  American  Math.  Monthly,  Vol.  XXXI, 
No.  I,  Jan.  1924.  C'est  un  „presidentialaddress"deliveredbeforethemathematical  association 
of  America,  Sept.  6,  1923. 

")  Notre  T.  X,  p.  169 — 174  et  p.  164  du  présent  Tome. 

5*)  On  peut  voir  à  la  p.  368  de  notre  T.  VII  qu'en  i673(?),  dans  une  Pièce  qui  n'a  pas  été  conser- 
vée, Huygens  donnait  au  musicologue  Cousin  le  conseil  de  se  servir  de  logarithmes. 
'°)  Voyez  la  note  12  de  la  p.  145  qui  suit.  Ailleurs  —  note  de  la  p.  359  de  sa  „Geschichte  der  Mu- 
siktheorie"  —  Riemann  fait  pourtant  preuve  de  connaître  le  „Nouveau  cycle  harmonique": 
consultez  la  note  14  de  la  p.  158  qui  suit  (où  l'on  voit  aussi  que  Riemann  y  découvre  une 
erreur  imaginaire). 


CRITIQUE  DU  LIVRE  DE  1655  DE  M.  MEIBOMIUS 
„DE  PROPORTIONIBUS  DIALOGUS"  =)• 

Huygeiis  avait  vu  le  „DiaIogus"  en  France  en  1655  •}.  En  avril  1656  Fr.  v.Schoocen  tkmanda 
(on  opinion  fur  ce  livre  ce  qui  l'amena  à  „pervolvere"  le  volume  de  nouveau  et  à  écrire: 
Homo  plane  ineptus  ell,  totaque  difputatio  contra  definitionem  ymam  libri  5  Elemen- 
tonim  (quce  Clavio  8^  eft)  huic  cnim  nititur  propofitio  S^  ejufdem  libri.  Quid  autem 
magis  frivoliini  qiiam  de  definitionibus  alcercari  ?  cum  liberum  fit  aut  certe  parum  ré- 
férât que  nomine  quidque  defignetur  3).  Comparez  toutefois  la  Pièce  fur  Euclide  à  la  p.  1 84 
qui  fuit,  ainfi  que  celle  de  la  p.  190,  où  Huygens  —  à  un  âge  plus  avancé  —  n'approuve  pas  éga- 
lement toutes  les  définitions  anciennes. 

Pag.  103.  V.  8.  +)  Rationem  squalitatis  nihili  rationem  feu  nullam  appellat. 

Voyez  à  propos  de  cette  première  propofition  de  Meibomius  une  fentence  analogue  de  Merfenne 
de  1644,  citée  dans  la  note  98  de  la  p.  214  qui  fuit. 

Pag.  104  in  fine.  Rationem  duplam  fubdupte  sqiialem  dicit  (licet  non  eadem  fit), 
quoniam  idem  eft  inter  iitriufque  tenninos  intervallum.  Attamen  rationem  fubduplam 
dupla  fijperat  ratione  quadrupla.  Pag.  1 24  in  med.  Eodem  modo  pag.  106  in  fine  a;- 
quales  dicit  rationes  6  ad  4  et  4  ad  6.  quia  una  tantum  excédât  quantum  altéra  déficit 
à  nihili  ratione. 

Pag.  1 1 8.  Quantitas  rationis  in  duanim  magnitudinum  inter  fe  diftantia  fpectatur. 
Ideo  ratio  jequalitatis  ratio  quidem  eit  fed  nullius  quantitatis. 

Ces  définitions  de  Meibomius,  éditeur  des  „AntiquîB  Muficîe  Auflores  feptem",  1652  ')  s'ex- 
pliquent par  le  fait  qu'il  confidère  les  rapports  en  muficien.  La  „quantitas  rationis"  étant  cenfée 
dépendre  de  la  „diftantia",  il  eft  évident  que  la  „ratio  6  ad  4"  eft  à  peu  près  identique  avec  la  „ratio 
4  ad  6".  Il  ne  fait  aucune  mention  de  logarithmes,  qu'il  femble  ne  pas  connaître.  Néanmoins,  on 
peut  dire  qu'il  confidère  les  rapports  à  un  point  de  vue  logarithmique:  le  logarithme  du  rapport 
des  longueurs  égales  de  deux  cordes  rendant  le  même  fon  ell  nul  et  les  logarithmes  des  rapports  „6 


')  Charta;  mathematica:,  f.  1 1.  Le  texte  qui  suit  fait  voir  que  cette  feuille  date  de  1656. 

'")  Nous  avons  mentionné  ce  livre  dans  la  note  5  de  la  p.  409  du  T.  I;  en  voici  le  titre  complet: 
M.  Meibomii,  Consiliarii  Regii,  De  Proportionibus  Dialogus.  Ad  Serenissimum  Principem, 
Fridericum  III,  Dani»,  Norvegiae,  Vandalorum,  Gotthorumque  Regem,  &c.  ZVN  m  ©Ka  A  El 
rKiiMETl'or.NTl  U.\Z  ^0*01  AKI  TEiiMETPEl.  Hafni»,  Typis  Melchioris  Martzani,  MDCLV. 

^)  T.  I,  p.  413.  Van  Schooten  approuve  cette  fentence  (T.  I,  p.  422). 

■♦)  Toutes  les  citations  se  trouvent  en  effet  aux  endroits  indiqués  par  Huygens. 


CRITIQUE  DU  LIVRE  DE  MEIBOMIUS  DE  PROPORTIONIBUS. 


ad  4"  et  „4  ad  6"  font  égaux  (aux  fignes  prés)  comme  il  convient,  puifque  les  cordes  de  longueurs 
6  et  4  produifent  le  môme  intervalle  foit  qu'on  frappe  premièrement  l'une  ou  l'autre. 

[Pag.  1 18].  Quœcumque  aiitem  alia  [ratio],  magna  aut  parva  unitatis  loco  accipi 
poteft. 

Si  l'on  voulait  eonfidérer  p.e.  le  rapport  j  comme  „unitas",  les  rapports  également  didants 

-  et  Tj^  pourraient  être  cenfés  égaux. 

Pag.  1 25  in  fine  gloriatio. 

Le  dialogue  a  lieu  dans  les  champs  Elyfées.  Les  ombres  d'Euclide,  d'Archimède,  d'Apollonius 
Pergsus,  de  Pappus,  d'Eutocius  et  de  Théo  (Alexandrinus?)  y  prennent  part.  Un  certain  Hermo- 
timus,  vifiteur  du  féjour  des  morts,  développe  devant  eux  le  nouveau  fyftéme  qu'il  attribue  à  fon 
ami  Euthymius.  A  la  p.  125  Hermotimus  dit:  „Atque  ex  his  principes  omnia  Euthymii  dogmata, 
tàm  quru  vefira,  illudres  Geometnr,  principla  convellunt,  &  falfitatisconvincunt,  quàmquserecen- 
tiorum  hallucinationes  ollendunt,  deducuntur".  En  parlant  des  „recentiores"  Meibomius  fonge 
furtout  à  Grégoire  de  Saint  Vin.-ent  dans  le  livre  duquel  —  r„Opus  geometricum"  de  1647,  où  il 
prétendait  avoir  trouvé  la  quadrature  du  cercle;  voyez  la  note  6  de  la  p.  53  du  T.  I,  et  confultez 
les  T.  XI  et  XII  —  il  eft  conftamment  fait  ufage  de  compofitions  ou  additions  de  rapports*). 

Pag.  feq.  falfa  igicur  eft  8^  propofitio  lib.  5  Elem.  et  10,  et  multse  aliœ  qus  ab  his 
pendent.  &c. 

Comme  Huygens  le  dit  fort  bien  —  début  et  fin  de  la  préfente  Pièce  —  il  ne  s'agit  en  fomme 
que  d'une  difpute  (pour  employer  ce  terme)  fur  les  définitions. 

D'après  la  prop.  8  du  livre  5  des  Eléments  d'Euclide  —  dont  la  prop.  i  o  eft  l'inverfe  —  on  doit 

dire,  lorfque  a>  b,  que  le  rapport  -  eft  toujours  fupérieur  au  rapport  -. 

Pag.  127.  dicit  16  ad  24  majorem  habere  rationem  quam  21  ad  31.  Quia  enim  eft 
ut  1 6  ad  24,  ita  2 1  ad  3 1  i  major  eft  diftantia  inter  21  et  3 1  ^  iioc  eft  1 6  ad  24  quam 
inter  2 1  et  3 1 .  Ego  vero  fie  dicam.  Quia  enim  eft  ut  16  ad  24  ita  8  ad  12,  minor  eft 
diftantia  inter  8  et  12,  hoc  eft  1 6  et  24  quam  inter  2 1  et  3 1 . 


S)  Nous  avons  fait  mention  dece  recueil  —  contenant  e.a.  „Euclidis  liber  de  CanonisSeftione"  — 
à  la  p.  362  du  T.  XÎX. 

Comme  la  note  4  de  la  p.  1 3  8  du  T.  I  ne  donne  que  peu  de  détails  biographiques  sur  Meibo- 
mius (1630 — 171 1),  nous  ajoutons,  sans  être  complets,  qu'il  avait  publié  déjà  en  1649  à  Am- 
sterdam ses  „Observationes  ad  loca  quidam  librorum  decem  M.  Vitruvii  Pollionisde  Architec- 
tura".  Son  „Dialogus"  ayant  été  attaqué  e.a.  par  W.  Lange  — •  „Epistola  ad  Meiboraium", 
Hafnis  1656  —  il  répliqua  en  1657  («Responsio  ad  Langii  epistolam",  HafniiE).  En  1671  il 
publia  à  Amsterdam  son  „De  fabrica  triremium". 

*)  Fr.  X.  Aynscom  dans  l'ouvrage  de  1656  („Expositio  et  deductiogeometrica")  cité  dans  la  note 
6  de  la  p.  210  du  T.  I,  et  dont  nous  avons  reproduit  une  partie  aux  p.  248 — 261  du  T.  XII, 
défend  Grégoire  de  Saint  Vincent  à  la  fois  contre  Meibomius  et  contre  Huygens. 

2 


lO  MUSIQUE  ET  MATHÉMATIQUE. 


Ici  la  critique  de  lluygens  efl  appnremment  fans  valeur.  Il  n'y  a  aucune  indctermination  ou 
contradiction  logique  puifque  chez  IMeibomius  le  mot  „diflantia"  dcfigne  un  rapport,  et  non  pas 
une  différence. 

Dans  le  T.  XVI  ')  nous  avons  relevé  que  dans  un  casfpécial  Iluygensdit,  probablement  en  cette 
même  année  1656,  qu'une  grandeur  Q,  „recedit"  autant  qu'une  autre  Q-  d'une  grandeur  donnée 

intermédiaire  Q  lorfqu'on  a  ^  =  ^.  En  cet  endroit  il  adopte,  peut-on  dire,  la  manière  de  parler 

de  Meibomius  foutenant  que  les  „rationes"  ou  „diftantia;"  de  Q,  à  Q  et  de  Q^  à  Q  font  égales.  Ob- 
fervons  en  paffhnt  que,  autrement  que  Meibomius,  Eratoflhéne  et  Théon  de  Smyrne  font  fous  ce 
rapport  une  dirtinction  entre  le  /070,-,  ratio,  d'une  part  et  le  AiaTK^ua,  intervallum  ou  diftan tia,  d'autre 
part  =). 

Pag.  1 29.  Faliuni  vero  [fuivant  Meibomius]  4  ad  5  majorem  rationem  habere  quam 
4  ad  7.  Falfuni  4  ad  6  majorem  rationem  habere  quam  3  ad  6. 

Falfum  4  ad  3  majorem  habere  rationem  quam  2  ad  3,  quod  diverfi  generis  rationes 
excefUva  et  defefliva  inter  fe  comparari  nequeant.  Quafi  dicas  falfum  eiïe  cubum  qua- 
drato  effe  majorem. 

Pag.  eadem  1 29  bene  Euclides  refpondet. 

Voici  la  réponfe  d'Euclide  laquelle  montre  que  Meibomius  comprend  fort  bien  la  manière  or- 
dinaire d'envifager  les  cliofes.  „Si  qus  unquam  ineptia;,  &  olim,  cum  inter  mortalesdegerem,&  ex 
quo  hac  beatà  quiète  mihi  frui  licuit,  fando  ad  aures  meas  pervenere,  inter  illas  certe  bas  Euthymii 
tui,  o  Hermotime,  primo  loco  cenfere  poflum.  Ut  enim  illud  nunc  pra;teream,  inconcudo  funda- 
mento,  feptima  nimirum  ejufdem  libri  definitione,  niti  hanc  noftram  propofitionem,  faciliori  adhuc 
via  eandem  vcritatem  hic  demonflratam  dabo.  Sint  enim  ea;dem  lineœ,  iidera  nuraeri,  quos  tu  ante 
proferebas.  Dico  (numéros  folos  adcommodans,  ut  brevius  me  expediam)  non  tantùm  7  ad  4  ma- 
jorem rationem  habere  quàm  5  ad  4;  quod  etiam  conceiïit  Euthymius;  fed  &  revertendo:  quod 
ejufdem  propolitionis  fecundo  membro  volo;  4  ad  5  majorem  rationem  habere  quàm  4  ad  7.  Quis 
enim  mortalium,  exceptis  Euthymio  &  Hermotimo,  dubitat,  vel  unquam  diihitavit,  aut  venientibus 
feculis  dubitaturus  eft,  quin,  uti  verum  eft,  feptem  partes  quartas  majores  efle  quinque  partibus 
quartis,  fie  immotœ  veritatis  fit,  quatuor  partes  quintas  majores  effe  quàm  quatuor  partes  feptimas?". 
Tandis  que  les  autres  ombres  approuvent  hautement  les  paroles  d'Euclide,  feul  Archimède  parle 
comme  fuit:  „Fateor  &  me  hac  fententià  olim  fuiffe  imbutum;  fed  ex  iis,  qua;  principiorum  loco 
ante  retulit  Hermotimus,  jam  aliter  video  hscelTe  concipienda". 

Pag.  1 43  in  fine.  Quid  enim  [fuivant  Meibomius]  clarius  docctur  quid  concinnius, 
quam  quod  rationum  omnium  quafi  centrum  fit  ratio  nihili.  Pag.  144.  rationem  fes- 
quialteram  excefilvam  fuperare  rationem  fefquialteram  defeftivam,  ratione  bis  fefqui- 
altera.  Pag.  148.  Propofitio  Meibomij  quam  pro  8^  5"  fubllituit  ridicula. 

La  nouvelle  propofition  eft  formulée  par  IMeibomius  comme  fuit  :  „Duarum  insqualium  magni- 
tudinum  illa,  ad  eandem,  utràque  aut  majorem  aut  minorem,  aut  alteruti  a:qualem,  majorem  ratio- 
nem habet,  qua;  longius  ab  hac  diftat:  &  viciflim". 

Gloriatio.  Jaftatio  pag.  204. 

')  P-  154^  note  2  et  p.  155,  note  5. 

*)  Le  cap.  30  du  livre  cité  dans  la  note  suivante  est  intitulé  TtvtAaysjOst  AâiTrî^axai  3iô'/o;(Quo- 

modo  différant  interuallum  &  ratio).  Il  y  est  dit  que  les  intervalles  |  et  |  sont  identiques,  mais 

que  les  'iJ.-jtA  j  et  I  sont  l'inverse  l'un  de  l'autre. 


CRITIQUE  DU  LIVRE  DE  MEIBOMIUS  DE  PROPORTIONIBUS.  I  I 

La  p.  204  eft  la  dernière  page  du  livre  où,  à  l'exemple  d'Archiméde,  tous  les  mathématiciens  fe 
déclarent  convaincus. 

Difputacio  toca  ell  contra  dcfinicionem  7  lib.  5.  Quid  autem  ftultius? 

Cette  définition  eft  la  fuivanto:  'Orav  Jj  t«v  itrixi;  no'Ùanl'X'jioiv  n  «jv  ToO  Tzpr'.iTO-j  770/).a7r>.à(7iov 
'jTTioiyn  "ovi  toO  dsi/Tî'oo-j  7ro/)a7r),aiT(OU,  to  S't  toû  toito'j  iroÀ/ar/iirtov  ^i)  iiTTspéyrt  toO  toû  TcTasTou 
7ro)./«7r).àiTio'j.  totî  to  Tr/jeJTov  roiç  To  cfî'JTîpov  aù'^o'JOL  ).oyov  É'^-iv  '>.î-/iTy.t..  f,Ttp  TO  to(Tov  ro'jç  tc.  zizapTov. 

Pour  éviter  tout  malentendu,  il  convient  d'ajouter  qu'en  rejetant  la  jiéme  définition  pour  les 
raisons  fufdites,  Meibomius  ne  délapprouve  aucunement  le  fentiment  d'EucIide  —  fentiment  qui 
donna  lieu  à  cette  définition  juftement  célèbre;  le  lecteur  hollandais  pourra  confulter  l'ouvrage 
d'un  de  nous  de  1930  „DeElementen  van  Euclides"*;  voyez  le  titre  complet  à  la  p.  5 84 qui  fuit  — 
favoir  qu'un  rapport  efl  tout  autre  chofe  qu'un  nombre.  Après  la  „réponre  d'EucIide"  citée  dans 
le  texte  Meibomius,  par  la  bouche  d'Hermotimus,  s'étend  longuement  fur  ce  fujet. 

Aux  p.  78  et  fuiv.  Meibomius  avait  déjà  difcuté  la  définition  5  du  livre  6  d'EucIide  qui  lui  fait 
évidemment  de  la  peine  ■'):  Aiyoç  ex  Xiywv  av/xilaâcu  M'/izou,  ozy.v  ai  Twv  Xoywv  nri).tx'jzr,zîi;  [_if'  iauràç, 

fuivant  Eutokios]  irol'Xa-n/.aataaâeiaai  Tzoïûai  Tiva.  Cette  définition  qui  ne  fe  trouve  pas  dans  tous 
les  manufcrits,  correfpond  apparemment  mal  avec  les  fentiments  du  véritable  Euclide;  on  peut  la 
confidérer  comme  apocryphe  („De  Elementen  van  Euclides"  II,  p.  102,  note  91). 


Les  confidérations  de  N.  Mercator  fur  les  intervalles  muficaux  dans  sa  „Logarithmo-technia" 
de  1667  (voyez  la  p.  214  qui  fuit)  font  conformes  à  celles  de  INTeibomius.  Mercator  écrit  (p.  175 
de  l'édition  de  Maferes;  voyez  la  p.  261  qui  suit):  „certe  eadem  eft  utrobique  quantitas  intervalli 
Mufici  (atque  idem  numerus  ratiuncularum  intercedentium),  licèt  ab  unisono  (vel  ab  Kqualitatis 
ratione,  tanquam  nihilo)  in  diverfas  plané  partes  abeat.  Unde  fi  moles  fola,  aut  quantitas  rationis 
jeftimetur,  diftîmulando  utram  in  partem  (majorifne,  an  minoris  inœqualitatis)  vergat  ab  a;qualitate; 
nihilo  major  eft  ratio  ternarii  ad  binarium,  quam  binarii  ad  ternarium".  Il  ajoute  que  ce  qui  eft 
vrai  „in  Muficis"  l'eft  auili  „in  hac  noftra  logarithmo-technia".  Avec  Euclide  (voyez  la  citation 
grecque  à  la  p.  5  qui  précède)  il  appelle  (p.  169)  la  „ratio"  non  pas  un  nombre  mais  une  „habitudo 
mutua".  Sa  définition  du  logarithme  (ibid.)  eft  :  „Eft  enim  logarithmus  nihil  aliud,  quàm  numerus 
ratiuncularum  contentarum  in  ratione  quam  abfolutus  quifque  [numerus]  ad  unitatem  obtinet". 
Les  „ratiuncula;"  de  Mercator,  de  même  que  celles  de  Briggs — Neper  confidérait  des  puiftances 
de  rapports  un  peu  inférieures  à  -j  — ,  ne  diffèrent  évidemment  pas  infiniment  peu  de  la  valeur 
\:  le  rapport  ^  (p.  189)  en  contient  dix  millions. 

*  p.  NoordhofT,  Groningen. 


3)  A  propos  du  mot  -nr.li-Mzr.ç  il  cite  (à  la  p.  83)  le  passage  suivant  de  Théo  Smyrnaeus  qui  fait 
voir  en  outre  que  celui-ci  donne  également  une  place  éminente  au  rapport  de  deux  grandeurs 

égales;  ToO  uèv  ttotoù  orot/eïov  r,  uovâ^'   zr/j  Sï   7ry;>.îZo'j,    ozc^ur,'  /ôyo'j  âî  zat   àva).o-/taî  ia"ÔTr,ç.  o-^tï 
yao  ^o'jâ&x  éVe  c^tcXetv  èrjzty  zl;  z'o  ttoctÔv*  o'jzs  t7ZtyuLr,v  ùç  xô  nriMxov  ovts  ((ToTriTa,  s't;  tt/ïeou;  xôyo'j^. 

On  trouve  ce  passage  à  la  p.  130  de  l'édition  de  1 644  de  Boulliau,  mentionnée  dans  la  note  19 
de  la  p.  180  qui  suit,  de  l'ouvrage  de  Théon  Twv  x<xzà  ux^r.uxzf/.r.-j  ypriiripiu-j  ù;  zr.-j  zoj  riAA- 

TftNOI  Aàyvwatv. 


II. 

MUSIQUE  ET  LOGARITHMES  CHEZ  HUYGENS. 

T.  III,  p.  307  et  308,  lettre  de  Chr.  Huygens  ï  R.  Moray  du  i  août  1661  : 

Je  me  fuis  occupé  pendant  quelques  jours  a  eftudier  la  mufique,  et  la  divifion  du 
monochorde  ')à  la  quelle  j'ay  appliqué  heureufement  l'algèbre.  J'ay  auflî  trouuè  que 
les  logarithmes  y  font  de  grand  ulage,  et  de  la  je  me  fuis  mis  a  confidcrer  ces  merveil- 
leux nombres  et  admirer  Tindurtrie  et  la  patience  de  ceux  qui  nous  les  ont  donnez. 
Que  fi  la  peine  n'en  cfloit  défia  prife,  j'ay  une  règle  pour  les  trouucr  avec  beaucoup 
de  facilite,  et  non  pas  la  vingtième  partie  du  trauail  qu'ils  ont  courte. 

Voyez  fur  cette  règle  la  note  5  de  la  p.  308  du  T.  III,  ainfi  que  les  p.  431 — 434  et  451 — 456  du 
T.  XIV  et  les  p.  204 — 206,225 — --"  ^^  -95 — ^97  "î"'  fuivent. 


')  Comparez  sur  la  Sectio  Canonis  ou  Kararoun  zxvotoç  la  note  5  de  la  p.  9  qui  précède.  La  ques- 
tion de  l'authenticité  du  traite d'Euclide  soulevée  e.a.  par  P.  Tannery  —  «Mémoires  Scientifi- 
ques" Vol.  III  de  1915,  p.  213  —  est  ici  sans  importance.  Comparez  la  note  2  de  la  p.  17-  qui 
suit. 


m. 

LA  COMPOSITION  OU  ADDITION  DES  RAPPORTS. 

1662.  Aug.  Cenfura  miïïa  ad  bibliopolam  ilobbij,  uti  ipfe  petierat .  . .  Nous  avons 
déjà  reproduit  dans  le  T.  IV  ')  cette  page  °)  qui  traite  en  majeure  partie  de  la  duplication  du  cube 
et  de  la  quadrature  du  cercle.  Ici  le  dernier  alinéa  feul  nous  intérelTe. 

Quod  Wallifius  fcripferit  3)  rationem  5  ad  1 2  fuperare  racionem  i  ad  3  rationc  i 
ad  1 2,  non  cft  credibilc  pcr  errorem  hoc  eum  feciiïe,  fed  quod  pro  additione  rationum 
cam  quoque  habueri:  quje  fit  addcndo  fraftioncs,  qure  quantitatem  rationum  fecundum 
ipfius  et  aliorum  multorum  fcntentiam  exprimunt.  Non  ignorât  enim  aliam  et  magis 
ufitatam  geometris  rationum  additionem  feu  compofitionem,  fecundum  quam  ratio  i 
ad  3  una  cum  ratione  5  ad  4  conftituunt  rationem  5  ad  1 2.  Et  pr^llaret  quidem  mea 
iententia  non  aliam  agnofcere  additionem  rationum.  Ne  res  dus  diverfiffimœ  eodem 
nomine  vocentur. 

On  voit  que  Huygens  en  1662  maintient  l'addition  „mu(lcale"  des  rapports  *y,et  que  de  plus  il  ne 
parle  pas  avec  fympathie  de  ceux  qui,  contrairement  au  fentimentd'Euclide  et  d'autres  géomètres, 
veulent  qu'on  confidére  les  „quantitates  rationum"  comme  des  «cw^rw  entiers  ou  fraâionnaires. 
Comparez  la  fin  de  la  Pièce  I  qui  précède. 


')  P.  203.  Plus  loin  (p.  380)  nous  donnons  les  titres  des  traités  de  Hobbes. 

^)  Manuscrit  B,  p.  107. 

3)  Dans  ses  „Dialogi  sex"  Hobbes  discute  e.a.  le  traité  de  J.  Wallis,  intitulé  „Adversus  Meibomii 

de  proportionibus  dialogum,  trattatus  Elencticus"  (1657).  Déjà  dans  le  premier  dialogue  entre 

les  personnages  A  et  B  on  lit  ce  qui  suit:  „A.  Eandemne  rem  esse  censet  [Wallisius]  Rationem 

et  Fraftionem  ? 

B.  Ita  plane,  &  id  pluribus  tum  hujus,  tum  aliorum  suorum  Librorum  locis,  disertis  verbis 

asserit. 

A.  Asserenti  tantum,  non  etiara  demonstranti,  non  est  necesse  ut  assentiamur".  Etc. 
*)  Comme  N.  Mercator  le  fait  auflî  en  1667. 


MUSIQUE. 


,n 


Avertiffemeiit  général. 


Non  audio  qui  allegant  authoritatem"). 

Dansfesconfic!érationsthéoriquesfiirlamufique,au(ribienqiiedanscellesfurd'aucres 
branches  du  fa  voir  humain,  Huygens,  tout  en  lifant  beaucoup  et  en  converfant  volon- 
tiers avec  les  gens  compétents  —  nous  longeons  à  fa  converlation  de  1662  avec  un 
des  frères  Hemony-)  —  n'entend  pourtant  nullement,  Fadage  ci-deflus  l'exprime 
clairement,  fe  foumettre  à  l'autorité  d'autrui:  c'eft,  fomme  toute,  à  fon  propre  juge- 
ment qu'il  fe  fie.  Quoi  de  plus  conforme  à  la  dernière  fentence  des  „Principia  Philo- 
Ibphia;"  de  Defcartes  —  également  intérelTé,  foit  dit  en  paflant,  h  la  théorie  de  la 
mulique  3)  —  où  le  philofophe,  après  avoir  vanté  fon  fyftème,  dit  en  terminant:  „At 
nihilominus ....  nihil .  .  . .  ab  ullo  credi  velim,  nifi  quod  ipli  cvidens  &  invida  ratio 
perfuadebit". 

Nous  n'entendons  pas  entrer  ici  dans  une  difcuffion  fur  la  queilion  de  favoir  jufqu'à 
quel  point  la  „ratio"  doit  s'appuyer  fur  r„experientia"+ ).  N'étant  pas  partifan  d'un 


')  Portefeuille  „Musica",  f.  18  v,  citée  aussi  à  la  p.  162  qui  suit  (note  26). 

-)  P.  28  qui  suit. 

3)  Voyez  ce  que  nous  disons  à  la  p.  33  qui  suit  sur  quelques  endroits  de  sa  correspondance  avec 
Mersenne  et  Constantijn  Huygens  père,  où  il  traite  e.a.  brièvement  de  Simon  Stevin,  inventeur 
ou  réinventeur  (par  hasard,  peut-on  dire;  voyez  la  suite  du  texte;  consultez  aussi  la  p.  27  et  la 
note  9  de  la  p.  32  qui  suit)  de  ce  qu'on  appelle  aujourd'  hui  la  gamme  tempérée. 

■♦)  Comparez  la  1.  10  de  la  p.  31  du  T.  XVIII. 

3 


1 8  AVERTISSEMENT  GÉNÉRAL. 


rationalifme  à  outrance  tel  qu'on  le  rencontre  parfois  chez  Platon  '),  Huygcns  recon- 
naît volontiers  que  les  règles  de  la  mufique  ont  été  primitivement  découvertes  par 
l'expérience*).  Ailleurs  il  dit  même  que  l'on  ne  „trouve  des  inventions  nouvelles... 
que  par  hazard"").  On  peut  ajouter  que  de  pareils  hafards  ne  fe  préfentcnt  guère 
qu'aux  chercheurs^);  et  auflî  que  c'eil  fouvent  en  grande  partie  des  idées  d'autrui 
que  ces  hafards  proviennent  >*):  comparez  ce  que  Huygens  dit  àlapagecitée'°)fur 
l'utilité  des  expofitions  "). 

Muficien  depuis  fon  enfance  "),  Huygens  fait  preuve  dans  plufieurs  de  fes  lettres, 
p.e.  dans  celles  qu'il  écrivit  à  Paris  pendant  fon  féjour  de  1655  '3)^  de  fon  intérêt  pour 
cet  art.  Depuis  1661,  date  de  la  „Divifio  Monochordi"  (p.  49  qui  luit),  un  mois 
après  qu'il  eut  jeté  les  yeux  fur  un  écrit  de  Hemony,  nous  le  voyons  s'occuper  aftive- 
ment  de  la  théorie  '+).  D'autre  part  quelques-unes  de  fes  notes  théoriques  ne  peuvent 
être  antérieures  à  1 69 1  :  en  cette  année  parut  le  livre  de  Werckmeifter  qu'il  difcute  '  '). 
C'eft  auifi  en  1691  que  fut  imprimée  fon  étude  fur  le  Cycle  Harmonique  "'),  entre- 
prife  beaucoup  plus  tôt.  Nous  rappelons  qu'elle  efl:  généralement  connue  fous  le  nom 


5)  Voyez  la  note  5  de  la  p.  355  du  T.  XIX. 

*)  Voyez  le  premier  alinéa  de  la  p.  116,  ainsi  que  les  1.  14 — 16  de  la  p.  154,  la  1.  4  d'en  bas  de  la 
p.  155  et  la  1. 1:  de  la  p.  168  qui  suit:  Trouvé  par  expérience,  puis  la  raifon.  En  ce  der- 
nier endroit  il  s'agit  de  l'invention  d'un  certain  tempérament  que,  dit  Huygens,  Zarlino  et  Salinas 
se  disputent.  Consultez  sur  cette  „dispute"  le  deuxième  alinéa  de  la  p.  115.  Voyez  aussi  sur 
r.,experience"  et  „la  raison"  le  dernier  alinéa  de  la  p.  i  -o. 

0  T.  XIX,  p.  265, 1.  9. 

*)  Comparez  la  note  2  de  la  p.  365  du  T.  XIX  (expérience  de  Galilée  sur  les  ratissements  dont 
l'invention  fut  „del  caso"). 

')„&...  regardant  par  hazard  ces  iours  passez  en  la  Statique  de  Steuin..."  (lettre  de  Descartes  à 
Mersenne  du  13  juillet  1638;  «Oeuvres",  éd.  Adam  et  Tannery,  II,  p.  247). 

'°)T.XIX,p.  265,1.  18— 20. 

")  Il  s'agit  en  cet  endroit  d'expositions  de  modèles  de  machines,  non  pas  de  cloches  (voyez  la  note 
2  de  la  page  précédente  et  la  note  i  de  la  p.  26  qui  suit),  d'archicymbales  (p.  113  et  157  qui 
suivent),  de  claviers  à  touches  fendues  (p.  154  note  2  et  160  note  21)  ou  d'autres  instruments 
de  musique. 

'=)  T.  I,  p.  541  et  543  (lettres  de  l'instituteur  Bruno).  Voyez  aussi  la  note  5  de  la  p.  356  du  T. 
XIX. 

'3)  T.  I,  p.  361,  372  etc. 

'*)  Comparez  le  passage  de  la  lettre  à  Moray  du  i  août  1661,  qui  constitue  notre  Pièce  II  à  la  p. 
12  qui  précède. 

'5)  Portef.  „Musica",  f.  20;  §  9  de  la  p.  133  qui  suit. 

'«)  Pièce  VI  F  à  la  p.  164  qui  suit,  où  nous  renvoyons  le  lefteur  au  T.  X. 


AVERTISSEMENT  GÉNÉRAL.  Ip 


„Novus  Cyclus  Hannonicus"  d'après  la  traduftion  latine  dans  Tédition  de  's  Grave- 
fande  de  1724.  Après  1691  Huygens  ne  voulut  plus  rien  publier  quoiqu'il  y  ait  fongc 
un  moment  et  qu'il  eût  eu  l'occafion  de  le  faire  c.a.  dans  les  „Ada  Eruditorum"  '"}. 
Pour  d'autres  particularités,  en  partie  chronologiques,  nous  renvoyons  le  leéteur 
aux  Avcrtiffements  des  diverfcs  Pièces  empruntées  en  majeure  partie  au  portefeuille 
„Mufica"  et  faifimt  enfin  connaître  avec  quelque  précifion,  près  de  250  ans  après  fa 
mort,  la  figure  de  Huygens  muficologue. 


'^)  T.  X,  p.  225,  229,  230,  285,  298.  Toutes  ces  pages  datent  de  i(Î92. 


MUSIQUE 


I.    THF.ORIE  DE  LA  CONSONANCE. 

Avertissement. 
.1.     Origine  du  chant.  Rapport  dks  longuf.irs  des  cordes  consonantes 
suivant  pvthagore  etc. 

B.  Autres  considérations  sur  la  gamme  diatonk^ue,  produit  d'interval- 
les consonants.  Les  demitons  chromatiques  modernes. 

H.    LA  DIVISION  DU  MONOCIIORDE. 

Avertissement. 
A.     Copie  d'une  partie  d'un  écrit  d'un  des  deux  frères  Hemonv  intitulé 

„Vanden  Beijaert"  (c.X.d.  du  Carillon). 
b.     divisio  monochordi  i. 

C.  DiVISIO  MoNOCHORDI  II. 

Appendice  à  la  Pièce  C  (Divisio  Monochordi  II). 

III.  PIÈCES  SUR  LE  CHANT  ANTIQUI-:  ET  MODERNE. 

Avertissement. 

A.  Le  tempo  giusto. 

B.  Les  divers  modes. 

C.  Différences  de  hauteur,  par  rapport  aux  tons  des  instruments,  ré- 
sultant de  la  justesse  du  ch.\nt. 

D.  Les  anciens  connaissaient-ils  le  chant  polvphone  ? 

E.  Mérite  des  „Belg.e'",  suivant  Guicciardini,  dans  l'établissement  ou 
rétablissement  du  chant  polyphone. 

IV.  NOTES  (précédées  d'un  Avertissement)  SE  RAPPORTANT  A  DES 
ÉCRITS  DE  MUSICOLOGUES  ANCIENS. 

Appendice  :  „Les  tons  de  ma  flûte".  La  sirène  ? 


22  MUSIQUE. 


V.    NOTES  (précédées  d'un  Avertissement)  SE  RAPPORTANT  À  DES 
ECRITS  DE  IVIUSICOLOGUES  MODERNES. 

\L    LE  (NOU\TEAU)  CYCLE  HARMONIQUE  ■)• 

Avertissement. 
^.     divisio  octave  in  31  intervalla  ^qualia  (per  logarithmos). 

B.  Table  intitulée  „Division  de  l'Octave  en  3 1  parties  égales". 

C.  Commentaire  sur  une  table. 

D.  Projet  d'une  lettre  à  Basnage  de  Beauval. 

E.  CvcLE  Harmonique  par  la  division  de  l'octave  en  3 1  dièses,  inter- 
valles ÉGAUX. 

F.  Lettre  à  Basnage  de  Beauval  touchant  le  Cycle  Harmonique 
(connue  sous  le  nom  Novus  Cvclus  Harmonicus). 

G.  Quelques  notes  se  rapportant  X  la  division  de  l'octave  en  3 1  inter- 
valles égal^x. 

Appentuce  I  :  l'idée  de  la  TspiKVK^^utrtg  etc.  (programme  de  la  Pièce  E). 
Appendice  II:  tableau  comparatif  de  i  i  ou  30  moyennes  proportion- 
nelles d'après  différents  calculateurs. 


')  Huygens,  dans  la  Pièce  F  (ainfi  que  dans  la  Pièce  E),  ne  parle  que  du  „Cycle  Harmonique", 
tandis  que  's  Gravesande  dans  la  même  Pièce  F,  traduite  en  latin  pour  l'édition  de  i724,ajoute 
au  titre  l'epithète  „ÎVovus";  comparez  sur  l'adjectif  «nouveau",  employé  aussi  par  Huygens 
lui-même,  la  p.  143  de  l'Avertissement  des  Pièces  sur  le  Cycle  Harmonique. 


I. 

THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE. 


Avertiffement. 


Dans  les  deux  Pièces  qui  fuivenc,  de  la  date  defquelles  nous  parlerons  tout  à  l'heure, 
Iluygens  traite  le  problème  claflique  des  intervalles  confonants  qui  n'avait  jamais 
ccffe  —  depuis  Pythagore  peut-on  dire,  en  admettant  comme  vrai  ce  que  Thilloire  ou 
plutôt  la  légende  lui  attribue  —  d'intéreffer  les  mulicologues. 

Acceptant  comme  exaft  que  les  confonances  des  intervalles  correfpondent  aux 
rapports  de  petits  nombres  entiers  (pouvant  être  interprétés  tant  comme  rapports  de 
longueurs  de  cordes  que  comme  les  rapports  inverfcs  des  fréquences  des  vibrations 
de  ces  mêmes  cordes),  il  cherche  la  caufe  du  plaifir  que  nous  donnent  les  intervalles 
confonants  dans  la  coïncidence  périodique  fort  fréquente  des  phafes  des  deux  mou- 
vements vibratoires  de  l'air  tranfmetteur  du  fon,  ce  dernier  pouvant  d'ailleurs  égale- 
ment provenir  d'autres  inllruments  de  mufique  que  de  ceux  à  cordes.  Plus  précifément 
la  théorie  de  la  confonance  (Pièce  I,  A')  revient  à  ce  qui  fuit. 

Pour  déterminer  le  degré  de  la  confonance  de  deux  tons  dont  les  fréquences  font 
dans  le  rapport  />  :  ^  (/>  <  ^),  il  faut  confidérer  la  (érie  des  rapports  de  fréquences 

2/»  :  ?  AP  ■■  Ç  8/)  :  ^     

c.à.d.  les  rapports  des  „répliques",  ou  oftaves  llipérieures,  du  ton  haut  de  l'intervalle 
confidéré  avec  fon  ton  bas;  la  confonance,  fuivant  Huygens,  dépend  de  la  préicnce 
dans  cette  férié  de  rapports  pouvant  être  exprimés  par  des  fraéHons  à  dénominateur 
1  ou  a.  La  tierce  majeure  doit  donc  être  conlidérée  comme  plus  confonante  que  la 
quarte,  puifque  dans  la  férié 

5:4  10:4  20  :  4     

4 


2.6  AVERTISSEMENT. 


le  deuxième  et  le  troificmc  rapport  peuvent  s'écrire  5  :  2  et  5  :  i ,  de  forte  qu'il  fe 

trouve  dans  cette  férié  des  dénominateurs  plus  petits  que  dans  la  férié  corrcfpondante 

de  la  quarte 

4:3  8:3  16  :3     

où  toutes  les  fradions  font  irréduftibles. 

Il  mérite  d'être  remarqué  que  dans  cette  Pièce  Huygens  fait  preuve  de  connaître 
l'exiftence  des  harmoniques  —  déjà  fignalées  par  Merfenne  ')  —  et  qu'il  établit  même 
un  certain  lien  entre  ce  phénomène  et  celui  de  la  confonance.  En  effet,  puifque  les 
harmoniques  qui  forment  avec  le  ton  fondamental  un  intervalle  d'un  ou  de  pluficurs 
odtaves,  conftitucnt  précifément  les  répliques  fatisfaifant  au  critère  de  réductibilité 
fus-énoncé  des  rapports  caradtériftiques,  elles  contribuent  à  produire  la  confonance. 

Huygens  croit  pouvoir  conftater  —  ici  comme  dans  plufieurs  autres  Pièces  —  que 
les  Anciens  („chofe  affez  eftrange")  n'ont  généraleiiictit  ")  reconnu  comme  interval- 
les confonants  que  l'oétave,  la  quinte  et  la  quarte,  ainfi  que  ceux  qui  en  réfukent  par 
l'addition  d'une  oélave;  mais  non  pas  les  tierces  et  les  fixtes  („lefquelles",  ajoute-t-il, 
„quoyquemefconnuesn'ont  pas laiiTed'eftreemploiecsdans  leur  chant  de  fonsconfecu- 
tifs,  auffi  bien  que  dans  celuy  d'aujourdhuy").  Merfenne  difait  environ  la  môme  chofe 
dans  le  „Liure  Premier  des  Confonances",  faifant  partie  de  r„Harmonie  Univerfelle"; 
il  écrit  ce  qui  fuit  (Prop.  XXIX)  :  „I1  femble  que  les  Grecs  n'ont  nullement  mis  ces  2 
Tierces,  ny  les  Sextes  au  rang  des  Confonances,  car  tous  depuis  Arifloxene  iufques  à 
Ptolomee,  Ariftide,  Bryennius*,  &  plufieurs  autres  tant  Grecs  que  Latins,  ont  feule- 

•  L*oeuvre  manuscrite  de  iManuel  Brj-cnniiu,  maricologuc  grec  du  I4ieii]e  siècle,  ne  fut  publiée  (par  J.  Wallis)  que  vers  la  fin  du  i^itme  siècle. 


")  Voyez,  aux  p.  59—60  de  notre  T.  I,  sa  lettre  à  Constantijn  Huygens  père  du  12  janvier  1647. 

Dans  les  «Traitez  de  la  Nature  des  Sons,  et  des  Mouuemens  de  toutes  Sortes  de  Corps"  (^fai- 
sant partie  de  r„Harmonie  Universelle")  p.  208,  Prop.  XI  :  «Déterminer  pourquoy  une  chorde 
touchée  à  vuide  fait  plusieurs  sons  en  mesme  temps"  Mersenne  dit  avoir  fait  beaucoup  d'expé- 
riences sur  ce  sujet.  Dans  le  Corollaire  I  il  prétend  „que  le  son  de  chaque  chorde  est  d'autant 
plus  harmonieux  &  agréable,  qu'elle  fait  entendre  un  plus  grand  nombre  de  sons  differens  en 
mesme  temps";  dans  le  Corollaire  II  il  dit  e.a.:  „i'ay  souuent  expérimenté  que  lecoulement  du 
doigt  sur  le  bord  du  verre  fait  deux  ou  trois  sons  en  mesme  temps  comme  ie  diray  dans  le  liure 
des  Cloches,  qui  font  semblablement  plusieurs  sons".  Comparez  la  note  13  delà  p.  36  qui  suit. 

jN'ous  ignorons  si  Huygens  a  réussi,  en  1675  ou  plus  tard,  à  voir  les  «tremblements  entre- 
meslez  des  chordes"  (T.  XIX,  p.  366). 
-)  Comparez  le  dernier  alinéa  de  la  p.  1 14  qui  suit  (avec  la  note  20),  où  il  apparaît  nettement 
que  Huygens  ne  fait  ici  aucune  différence  entre  les  musicologues  grecs  de  différentes  époques. 

En  cet  endroit  il  critique  Mersenne,  mais  sans  le  citer.  Voyez  encore  sur  ce  sujet  notre  cita- 
tion de  Mersenne  dans  la  note  suivante  21,  p.  114. 


AVERTISSEMENT.  2/ 


ment  reconnu  rOdtaue,  la  Quinte,  la  Quarte,  &  leurs  répliques  pour  Confonances, 
comme  l'on  void  dans  les  liures  qu'ils  nous  ont  laifTé". 

Apparemment  l'oppofition  entre  les  points  du  vue  des  anciens  grecs  d'une  part,  et 
ceux  de  notre  feizième  et  notre  dix-rcptièmc  (iècle  de  l'autre,  n'était  pas  fi  nette  qu'elle 
le  paraît  dans  les  énoncés  de  Iluygcns.  Il  cfl:  certain,  quoi  qu'il  dife,  que  dans  l'anti- 
quité Ton  n'était  pas  abfolument  d'accord  fi.ir  ce  fujet:  Ptolémée  reproche  aux  pytha- 
goriciens de  ne  pas  ranger  la  tierce  majeure  dans  la  férié  d'intervalles  (oétave  etc.) 
dont  il  a  été  queltion  au  début  de  l'alinéa  précédent. 

Il  ne  fuffit  pas  à  notre  avis,  pour  caraftérifer  la  penfée  grecque,  de  ne  confidérer 
que  les  concepts  conibnance  et  diffbnance.  Ptolémée  certes  didingue  plus  finement  3): 
il  oppofe  en  premier  lieu  les  intervalles  emmêles,  c.à.d.  ceux  dont  les  deux  tons,  en- 
tendus confécutivement,  plaifent  à  l'ouïe,  aux  ecmèles  qui  ne  jouifTcnt  pas  de  cette 
propriété;  en  fécond  lieu  les  intervalles  fymphones,  c.à.d.  ceux  dont  les  deux  tons 
femblent  fe  fondre,  aux  diaphones  où  ils  confervent  pour  l'ouïe  leur  individualité.  De 
ces  quatre  efpèces  les  intervalles  ecmèles  femblent  feuls  mériter  le  nom  de  difTonances; 
or,  chez  Ptolémée  les  tierces,  ainfi  que  le  ton  majeur  et  le  ton  mineur,  n'en  font  pas 
partie. 

Dans  une  lettre  à  Merfennc  de  mars  1 662  +)  J.  Titelouze  écrivait  :  „ceux  qui 
eiloicnt  muficiens  pithagoriciens,  n'avoient  et  n'ufoient  que  les  confonances  conte- 
nues dans  le  4,  et  les  difciples  de  Ptolomée  fe  fervoient  de  toutes  celles  qui  fe  pou- 
voient  trouver  dans  le  6  [voyez  fur  lefetiarius  la  p.  162  qui  fuit]". 

Dans  le  §  3  de  la  Pièce  A  Huygens  prend  partie  contre  Stevin  qui  dans  fes  „Hy- 
pomnematamathematica"de  1608  (pour  ne  mentionner  que  l'édition  latine  de  cette 
année)  avait  ofé  foutenir  que  les  grecs  s'étaient  trompés  en  confidérant  le  rapport  3 : 2 
comme  exprimant  avec  précifion  la  quinte  agréable  à  l'oreille;  ce  qui  s'explique  par 
le  fait  que  Stevin  voulait  que  tous  les  douze  demitons  de  la  gamme  fuffent  caraftérifés 
par  un  rapport  unique.  Il  efl:  connu  que /)r^//^f/^/WÉ'«/^  cette  „gamme  tempérée"  a 
triomphé  à  la  longue  dans  la  conftruétion  des  infi:ruments;  ce  qui  ne  veut  pas  dire  que 
Stevin  avait  théoriquement  raifon.  Nous  revenons  dans  la  note  9  de  la  p.  32  —  où 
il  efl:  queftion  e.a.  d'un  manufcrit  de  Stevin  —  fur  cette  queftion  déjà  effleurée  dans 


3)  „Harmonika",  I,  cap.  4 — 7. 

■*)  «Correspondance  du  P.  Marin  Mersenne"  II,  1933,  éd.  M.""  P.  Tannery  et  C.  de  Waard  Cp.73"). 


28  AVERTISSEMENT. 


la  note  3  de  la  p.  1  -  et  dont  s'occupe  e.a.  Mcrienne  dans  fes  „Que!lions  thcologi- 
ques,  phyfiques,  morales  et  mathématiques"  de  1 634,  ainfi  que  dans  fon  „Harmonie 
Univerfelle"  de  1636  et  ailleurs.  Voyez  aulTî  notre  Avcrtiffemcnt  fur  le  Cycle  Har- 
monique, où  nous  difcutons  de  nouveau  l'influence  que  l'exemple  donné  par  Stcvin 
peut  a\'oir  eue  fur  Huygens. 

D'ailleurs,  l'influence  du  manufcrit  mentionné  fe  révèle,  penfons-nous,  en  un  en- 
droit déjà  public  de  la  préfente  Pièce  I,  A  (qui  forme  un  tout  avec  la  Pièce  II  fur  le  fon 
publiée  en  1 937  laquelle  occupe  les  p.  36 1  — 365  du  T.  XIX);  ceci  (ou  plutôt  ce  que 
Huygens  dit  erronément,  que  cette  erreur  foit  due  à  l'influence  de  Stevin  ou  non) 
nous  rend  pollîblc  de  flxcr  avec  une  certaine  probabilité  la  date  de  la  Pièce.  Le  dernier 
alinéa  de  la  note  3  de  la  p.  362  du  'J'.  XIX  failait  déjà  voir  qu'elle  cft  fort  probable- 
ment antérieure  à  l'année  1672,  dans  laquelle  Huygens  parle  d'une  „règlc  des  fon- 
deurs" contraire  à  celle  qu'il  croyait  pouvoir  énoncer  dans  la  Pièce  en  parlant  de 
l'hifloire  des  marteaux  de  Pythagore.  Nous  avons  dit  dans  la  note  nommée  ne  pas 
comprendre  comment  dans  la  Pièce  Huygens,  malgré  Merfenne  '),  foutient  avec 
l'auteur  de  cette  hilloire,  „qu'il  efl:  vray  que  de  deux  pièces  de  métal  femblablcs  celle 
qui  eft  double  de  poids  de  l'autre  luy  confonne  de  l'oétave  plus  bas".  Nous  croyons 
le  comprendre  maintenant:  c'ert  que  Stevin  dans  fon  manufcrit  connu  à  Huygens 
raconte  l'hifloire  des  marteaux  fans  la  critiquer  '')  ;  il  dit,  ce  qui  femble  montrer  qu'il 
croit  en  effet  à  fa  réalité  ou  du  moins  à  fa  pofllbilité  :  „Dergelijcke  voorder  befoeckende 
op  fpceltuygens  gc(pannen  fnaren  bevant  daerin  het  felve  regel  te  houden",  c.  à.  d. 
„Examinant  enfuite  [c.à.d.  après  avoir  pefé  les  marteaux]  des  effets  femblablcs  fur  les 
cordes  tendues  des  inflruments  de  mufique,  il  [Pythagore]  conllata  qu'on  y  obi'erve 
la  même  règle  etc."  Or,  quels  font  les  „fondeurs"  qui  ont  détrompé  Huygens?  Sans 
doute  les  frères  Hemony,  ou  plutôt  l'un  deux,  avec  qui  Huygens  eut  une  longue 


')  Et  malgré  Fahcr  Stapulensis  ("Lefèvre  d'Rtaples)  que  Huygens  ne  mentionne  d'ailleurs  pas.  Il 
eft  vrai  que  les  ouvrages  musicaux  de  cet  auteur,  ainsi  que  ceux  d'autres  musicologues  dont  il 
ne  parle  pas,  se  trouvaient  dans  la  bibliothèque  de  son  père,  d'après  le  catalogue  de  la  vente  des 
livres  de  ce  dernier  qui  eut  lieu  bientôt  après  son  décès  en  1687. 

Notons  encore  que  nous  aurions  pu  citer  plusieurs  autres  endroits  où  Mersennc  dit  que 
l'histoire  des  marteaux  est  une  fable.  Voyez  p.c.  la  p.  1 46  (Tlieor.  XVIII)  du  „Traité  de  l'Har- 
monie Universelle"  de  1627. 

*)  „Byvough  der  Singconst"  I.  Ilooftstick. 

^)  Voyez  la  note  :  de  la  p.  17  qui  précède. 


AVERTISSEMENT.  2Ç 


converfation  déjà  en  1 662  ').  Par  conféquent,  la  Pièce  I,  A  nous  paraît  être  antérieure 
à  cette  converfation.  Elle  eft  peut-être  de  1661  comme  la  Divifion  du  Monochorde: 
voyez  l'AvertifTemcnt  fuivant  où  il  efl:  également  queftion  des  Hemony.  —  Nous  ne 
difons  rien  de  la  Pièce  1,  B  qui  peut  dater  de  plus  tard. 

En  terminant,  nous  relevons  exprelTément  ce  à  quoi  nous  avons  déjà  fait  allufion 
au  début  du  préfent  Avcrtidcmcnt,  favoirlapropofitiondc  Huygens^)  de  confidérer 
déformais  les  rapports  correipondant  aux  différents  intervalles  non  pas  comme  des 
rapports  de  longueurs  de  cordes  (de  même  nature  et  également  tendues),  mais  comme 
des  rapports  de  fréquences  de  vibrations,  attendu  qu'il  avait  été  établi  au  dix-fepticme 
fiècle  que  ces  rapports  font  Tinverfe  l'un  de  l'autre^).  11  efl  d'ailleurs  polfible  que 
cette  relation  ait  été  entrevue  longtemps  auparavant:  en  lifant  les  œuvres  des  théori- 
ciens grecs  on  eft  fouvent  porté  à  fe  demander  fi  dans  leur  penfée  c'efl:  le  plus  petit 
nombre  du  rapport  qui  correfpond  au  ton  le  plus  élevé  ou  bien  plutôt  (malgré  la 
confidération  des  longueurs  des  cordes)  le  plus  grand  des  deux  nombres. 


')  Note  1 1  de  la  p.  35.  Mersenne  disait  de  même  dans  le  „Traité  des  Instruments  a  chordes"  fai- 
sant partie  de  r„Harmonie  Universelle"  (Livre  III,  Prop.  18,  Corollaire  II):  „Si  Ton  veut  dé- 
terminer le  ton  de  la  voix,  auquel  l'on  veut  que  la  note,  ou  la  partie  proposée  se  chante,  il  n'y 
a  nul  moyen  plus  gênerai  &  plus  asseuré  que  de  donner  un  nom  propre  à  chaque  ton,  qui  soit 
pris  du  noinbre  des  battemens  d'air  [comparez  la  1.  8  de  la  p.  39  du  T.  XIX]  que  font  toutes 
sortes  de  tons,  ou  de  sons ...  il  faut  remarquer  que  les  nombres  des  trembiemenspeuuentseruir 
au  lieu  des  notes,  ou  de  la  Tablature  ordinaire  des  voix  &:  des  instrumens". 

»)  Voyez  aux  p.  364—365  du  T.  XIX,  le  §  2  (avec  la  note  i):  cette  Pièce  sur  le  son  du  T.  XIX 
forme  un  tout  avec  la  présente  Pièce  A,  comme  nous  l'avons  dit  dans  le  texte  et  que  nous  le 
répétons  encore  une  fois  dans  les  §§  3  et  4  de  la  présente  Pièce  où  nous  renvoyons  le  ledeurau 
T.  XIX.  Voyez  aussi  le  deuxième  alinéa  de  la  note  10  de  la  p.  35  qui  suit. 


J.  ORIGINE  DU  CMANT.  RAPPORT  DES  LONGUEURS  DES  CORDES 
CONSONANTES  SUIVANT  PYTI  lAGORE,  ETC. 

§  1  ').  I/originc  du  chant  vient  des  confonances,  je  dis  du  chant  d'une  feule  voLx 
ou  inftrument,  aulU  bien  que  de  celuy  à  plufieurs  voix  dont  on  ufe  aujourd'huy.  Car 
ce  plaifir  que  l'on  prend  d'entendre  les  confonances  n'ell  pas  feulement  à  l'égard  de 
deux  fons  confonants  en  raefme  temps,  mais  il  y  en  a  tout  de  mefme  a  entendre  ces 
tons  les  uns  après  les  autres.  Et  comme  roreille  cil  offenfée  par  la  diffbnance  de  deux 
fons  entendus  a  la  fois,  ainfi  l'efi:  elle  encore  par  ces  mefmes  fons  proferez  de  fuite, 
quoyque  la  rudeffe  ne  foit  pas  tout  a  fait  fi  grande. 

Ce  qui  donc  a  fait  que  les  hommes  par  toute  la  terre  chantent  par  les  mefmes  inter- 
valles ce  n'efl  pas  un  hazard,  ni  une  chofe  fort  eflrange,  mais  tous  ces  intervalles  ont 
elle  réglez  par  les  confonances,  et  la  mufique  devant  donner  du  plaifir  et  non  du  cha- 
grin elle  ne  pouvoit  fe  chanter  par  d'autres  intervalles  que  ceux  là. 

§  2.  Quand  on  chante  V  R  M  F  S  L  C  V=  ')  il  y  a  les  tons  de  V  M  F  S  L  V=  qui 
font  tous  des  confonances  contre  le  premier  V.  Et  plufieurs  encore  entre  eux.  Et  cela 
fait  premièrement  que  l'oreille  fe  plait  a  entendre  ceux  la  les  uns  après  les  autres  qui 
font  confonance  avec  ccluy  qui  a  immédiatement  précède  comme  V  M  S  V=  F  L  V* 
S  V.  Secondement  elle  aime  encore  a  entendre  les  uns  après  les  autres,  quand  bien 
elles  ne  confoncnt  pas  avec  les  précédentes  immédiatement,  mais  avec  les  pénultièmes 
ou  mefme  d'autres  antérieures  fur  tout  quand  elles  ont  fait  quelque  imprelTion.  Ainfi 
en  chantant  VSFMFSLSSVle  troifieme  ton  de  F  fait  un  bon  effeft  parce  qu'il 
fait  confonance  avec  le  premier  \.  et  le  4^  M  contre  S  et  V  précédents;  et  le  F  fui- 
vant  contre  le  F  précèdent  (car  l'unifon  tient  en  cecy  lieu  de  confonance)  et  contre 
le  V.  le  fécond  S  contre  les  précédents  ÎVISV.  et  le  L  contre  FIVIV. 

Or  les  premiers  fons  de  mufique  doivent  avoir  eftè  ceux  qui  faifoient  enfemble  les 


')  Portefeuille  „lVIusica",  f.  56  et  suiv.  Le  premier  alinéa  du  §  i  ainsi  que  plusieurs  autres  mor- 
ceaux de  la  Pièce  I, /^,  ont  déjà  été  publiés  dans  le  T.  XIX  (p.  361  et  suiv.) sous  le  titre:  «Rap- 
ports des  longueurs  des  cordes  consonantes  suivant  Pythagore,  et  rapports  des  nombres  de  leurs 
vibrations  suivant  Galilée  et  d'autres  savants". 
Nous  renvoyons  le  lefteur  au  T.  XIX  pour  la  majeure  partie  des  alinéas  déjà  imprimés. 

=)  Comparez  la  note  i  de  la  p.  362  du  T.  XIX.  Les  signes  de  l'échelle  diatonique  V,  R,  M,  F,  S, 
L,C,  V^  correspondent  donc  respeftiveraent  à  C,D,E,F,G,A,B,c  ou  DO,  RE,  MI,  FA,  SOL, 
LA,  SI,  do.  Par  conséquent  C'  =  Bes. 


THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE.  3  I 

plus  remarquables  confonances  comme  l'oétave  la  quinte  et  la  quarte,  ain fi  VFSV*  et 
cela  fc  voit  en  cfleét  de  ce  que  les  premières  Lyres  n'ont  eu  que  ces  quatre  chordes, 
et  que  toute  rantiquitè  n'a  reconnu  que  ces  premières  confonances ').  En  fuite  la 
quinte  du  S  au  R  vers  en  haut  ou  la  quarte  de  S  vers  en  bas  ont  montré  les  tons  du  R, 
et  la  5^1-'  de  R  L  le  L.  et  la  quarte  vers  en  bas  LM  le  M  et  depuis  M  la  quinte  vers  en 
haut  le  C. 

Et  voila  tous  les  tons  de  l'oftave  par  ou  la  voix  monte  en  chantant.  Ces  tons  ayant 
cette  origine  cela  a  elle  caufe  en  partie  que  les  anciens  n'ont  pas  confiderc  que  les 
tierces  majeure  et  mineure  et  les  6««  cftoient  des  confonances.  Lefquelles  quoyque 
mefconnues  n'ont  pas  laiffè  d'crtre  emploices  dans  leur  chant  de  fons  confecutifs,  aufli 
bien  que  dans  celuy  d'aujourdhuy.  Il  eil  vray  que  c'cil  une  chofe  afi'ez  ellrangc  de  ce 
qu'ils  ne  trouvoient  pas  que  les  chordes  disantes  par  ces  intervalles  de  tierces  et  fixtes 
faifoient  un  fon  agréable  aufli  bien  que  les  quintes  et  les  4tcs  et  que  la  ou  l'on  ne  fait 
point  d'accords  ou  il  n'entre  de  3  ou  de  6,  dans  leur  fiecle  on  ne  trou\'oit  pas  qu'elles 
meritaffcnt  le  nom  de  confonances.  Mais  nous  parlerons  après  de  la  caufe  dececy*). 
Quant  a  l'origine  des  femitonsc'efl:  a  dire  des  autres  tons  que  nous  chantons  quelque- 

fois  et  qui  font  differens  des  précédents,  il  eftoit  neceïïaire  que  le  C  '^fufl:  trouvé 
le  premier  a  caufe  qu'on  trouvoit  qu'en  montant  de  F  jufqu'au  C  cela  faifoit  mauvais 
efteft  lors  que  l'impreilîon  de  F  refloit  dans  l'oreille  qui  ne  confonne  point  avec  C,  et 
feulement  contre  le  S  *'),  qui  mefme  pouvoir  n'avoir  pas  précédé. 

Mais  de  monter  par  FSLC  eftoit  beaucoup  plus  agréable  parce  que  le  C  eft  con- 
fonante  au  S  et  au  F,  avec  lequel  il  fait  la  4e.  qui  eftoit  un  des  intervalles  les  premiers 

connus,  ce  qui  a  fait  trouver  aifement  ce  fon  deC  .Lesautresfonsqu'onappellechro- 
matiques  peuvent  avoir  eftè  trouvé  par  les  cadences  aux  endroits  ou  il  euft  fallu  des- 
cendre d'un  ton  entier  comme  SFS,  LSL,  RVR^"'),  car  la  voix  affefte  naturellement 
a  ne  s'éloigner  pas  tant  d'un  ton  ou  elle  doit  revenir  incontinent,  de  forte  que  l'on  di- 
minue ces  tons:  mais  d'en  avoir  fait  juftement  des  demitons  majeurs,  il  y  a  deux  rai- 
fons  pour  cela,  l'une  que  ces  fons  de  F*,  S*,  V*  ■')  font  de  ceux  qui  font  confonance 


3)  En  marge:  comment  ils  ne  prenoient  pas  VM  et  VL  pour  confonnantes.  RF.  RC . 

Les  intervalles  indiqués,  que  tous  les  anciens  sont  ici  censés  ne  pas  avoir  considérés  comme 
des  consonances,  sont,  comme  Huygens  le  dira  aussi  dans  le  premier  alinéa  de  la  p.  37  (note 
15  qui  suit)  la  tierce  majeure,  la  sixte  mineure,  la  tierce  mineure  et  la  sixte  majeure. 

■♦)  Nous  ne  voyons  pas  que  Huygens  ait  tenu  cette  promesse. 

5}  Voyez  la  note  2  qui  précède. 

")  En  d'autres  termes,  13  forme  un  intervalle  consonant  avec  S,  mais  non  pas  avec  F. 

fibis-)  Voyez  sur  les  accents  "^  et  ^  la  note  4  de  la  p.  ~j  qui  suit. 

7)  C.à.d.  Fis,  Gis,  Cis, 


3  a  MUSIQUE. 


a\  ec  pliifieurs  des  fons  naturels  de  l'ocbive,  comme  F*  contre  R,  L  et  C.  S*  contre 
IVI  et  C.  ce  qui  addoucit  et  accommode  le  chant  fuivi  auHi  bien  que  la  fymphonic 
comme  il  a  elK"  dit  cydevant.  L'autre  raifon  eft  que  Ton  eftoit  dciîa  accoulhimè  aux 
intervalles  des  demitons  majeurs  en  chantant  FMF,  et  VCV. 

Dans  la  fuite  on  a  encore  adjoutèleM  non  pas  tant  pour  avoir  le  femiton  majeur 
au  delTus  du  R  que  pour  avoir  la  tierce  mineure  defTus  le  V  et  la  majeure  deflbus  le  S 
ce  qui  donne  en  mefme  temps  la  6  majeure  contre  V=  et  la  fixte  mineure  contre  S  vers 
en  bas. 

L'on  adjoute  encore  d'autres  tons  quelquefois  et  avec  beaucoup  de  raifon  dont 
nous  parlerons  cy  après  *). 

§  3.  Puifque  les  intervalles  du  chant  ont  leur  origine  des  confonances,  il  eft  neces- 
faire 

Confultez  les  p.  362 — 364  du  T.  XIX  (Huygens  y  parle  e.a.  de  l'hiftoire  des  marteaux  de  Py- 
thagore;  voyez  là-deffiis  rAvertiflement  qui  prtcède)  jufqu'à  l'alinéa  fe  terminant  par:  et  la  pro- 
portion dans  les  autres  nombres  eft  de  5  à  2.  Dans  ces  pages  il  eft  queftion  des  «répliques" 
auxquelles  Huygens  fait  allufion  à  la  fin  du  §  précédent:  voyez  l'alinéa  fuivant. 

Ainfi  parce  que  les  chordcs  de  3  a  2  font  la  51*^,  ce  fera  auiil  une  confonancc  que 
de  6  a  2  ou  de  3  a  i,  que  l'on  appelle  la  1 2^,  et  c'eft  une  réplique  de  la  5^"^.  Et  la  rai- 
fon pourquoy  cela  arrive  efl:  la  mefme  qui  fait  la  douceur  des  autres  confonances  dont 
nous  allons  parler. 

Il  ell  conllant  par  l'expérience,  et  ceux  qui  ont  tant  foit  peu  d'oreille  pour  la  mu- 
fique  ne  peuvent  nier,  que  les  confonances  fuivant  les  proportions  fufdites  ne  foient 
très  parfliites  et  meilleures  que  quand  on  s'écarte  de  ces  véritables  proportions  numé- 
riques. Et  ceux  qui  ont  ofè  Ibuilenir  le  contraire  et  que  la  5  ne  confidail:  pas  dans  la 
raifon  de  3  a  2  ou  n'avoient  pas  l'oreille  capable  d'en  juger  ou  croioient  avoir  une 
raifon  pour  cela,  mais  ils  concluoi[en]t  mal.  En  marge:  Stevin  ').  dont  nous  parlerons 
cy  après '°). 


')  Il  s'agit  des  „répliques"  dont  il  est  question  dans  le  §  3  qui  suit. 

')  Huygens  fait  apparemment  allusion  à  la  théorie  des  intervalles  que  Stevin  dé\'eloppe  dans  son 
ouvrage  „Vande  Spiegeling  der  Singkonst",  imprimé  pour  la  première  fois  par  D.  Bierens  de 
Haan  —  voyez  sur  lui  la  p.  V  de  notre  T.  I  —  dans  les  „Verslagen  en  mededeclingen  der  Ko- 
ninklijkeAkademieAfd.Natuvirkunde",Amsterdam  1884  et  aussi  séparément(„Réimpression") 
en  cette  même  année  et  cette  même  ville  avec  le  traité  également  inédit:  „Vandc  molens". 

Stevin  divise  l'oftave  en  12  intervalles  égaux  caraftérisés  par  le  rapport  \/  2  :  i,  c"  d'autres 

termes  il  conçoit,  quoique  sans  songer  à  un  tempérament,  ce  qu'on  a  appelé  plus  tard  la  gamme 


THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE.  33 

§  4.  Quand  on  examine  les  tremblements  des  chordes  ce  que  je  pcn(e  que  Galilée 
a  fait  le  premier 

Confultez  les  p.  364—365  du  T.  XIX  jufqu'à  la  fin  de  la  PiCcc  de  ce  Tome, c.ù.d.jufqu'aux mots: 
lefquellc.s  on  tendra  toutes  perpendiculaires  avec  un  poids  au  bout. 


tempérée.  Dans  le  „Bijvough  der  Singkonst"  I.  Hooftstick  „Dat  deeveredenheijtdergeluijden 
met  haer  lichamen,  bij  de  Griekeii  niet  reclit  getrofFen  en  is"  il  dit  expressément  que  les  grecs 
se  sont  servis  à  tort,  pour  le  rapport  de  la  quinte,  de  la  valeur  3  :  2  proche  de  la  vraie  valeur 

'■y  i-' 

Nous  remarquons  que  le  manuscrit  du  traité  de  Stevin  publié  par  Bierens  de  Haan  fait  partie 
d'une  colledion  de  manuscrits  —  c'est  le  Vol.  47  mentionné  dans  la  note  i  de  la  p.  516  du  T. 
XVIII  —  provenant  de  Constantijn  Huygens  père.  Dans  une  lettre  à  Mersenne  du  r'août 
1640  (éd.  Worp  des  lettres  de  Const.  Huygens,  T.  III  de  1891,  p.  229)  ce  dernier  parle  „des 
pièces  de  sa  main  [c.à.d.  de  Stevin]  qui  n'ont  point  encoresveu  le  jour  et  sont  en  mon  pouvoir". 
Christiaan  Huygens  a  donc  fort  bien  pu  prendre  connaissance  de  cet  écrit  quoiqu'il  n'eOt  pas 
trouvé  de  place  dans  les  „Wisconstige  Gliedachtenissen"  de  Stevin,  ni  dans  la  traduction  latine 
de  la  même  année  1608,  les  „Hypomnemata  Mathematica",  auxquels  il  était  destiné  (étant 
mentionné  dans  le  sommaire). 

Cette  hypothèse,  quelque  plausible  qu'elle  soit  —  nous  l'avons  déjà  fait  ressortir  dans  notre 
Avertissement,  en  parlant  de  la  question  des  marteaux  de  Pythagore  - — ,  est  d'ailleurs  ici  plus 
ou  moins  superflue,  puisque  Stevin  avait  brièvement  indiqué  son  système  dans  son  „Eertcloot- 
schrift"  faisant  partie  tant  des  „'VVisconstigeGhedachtenissen"quedes„Hypomnemata"(I  Liber 
Geographia;,  p.  19).  <^n  trouve  ce  passage  aussi  dans  les  „Oeuvres  Mathématiques  de  Simon 
Stevin  augmentées  par  Albert  Girard"  de  1634  (P-  "^  ,,1'remier  Livre  de  la  Géographie"). 

Stevin  y  parle  de  „inveterato  tonorum  musicœ  symphonie  errore,  falsaque  opinione ubi 

termini  Aà  -Kh-i  ab  omnibus  assumuntur,  3  ad  2"  etde„verissemitonisquosnaturaduceusque 
squales  canimus".  Dès  lors  cette  opinion  de  Stevin  et  le  système  qu'il  en  déduisait  étaient  gé- 
néralement connus.  Mersenne  les  mentionne  dans  sa  „Preface,  &  Aduertissement  au  Lecteur" 
des  „Traitez  des  Consonances,  des  Dissonances,  des  Genres,  des  Modes  &  de  la  Composition" 
faisant  partie  de  r„Harmonie  Universelle"  de  1636;  il  dit:  „Chacun  est  libre  de  suiure  telle 
opinion  qu'il  voudra,  selon  les  raisons  les  plus  vraysemblables:  par  exemple,  ceux  qui  aymeront 

mieux  tenir  que  tous  les  tons  &  les  demitons  doiuent  estre  esgaux comme  fait  Stevin  au 

commencement  du  premier  Hure  de  sa  Géographie,  &  les  Aristoxeniens  d'Italie  auec  plusieurs 
autres  [ailleurs  Mersenne  relève  plus  expressément  la  pensée  d'Aristoxène  et  des  Aristoxeniens: 
consultez  le  dernier  alinéa  de  la  présente  note;  voyez  en  outre  sur  le  système  d'Aristoxène 
la  note  5  de  la  p.  78,  ainsi  que  la  note  16  de  la  p.  1 13  et  la  note  69  —  où  il  est  question  de  Vincent 
Galilée  —  de  la  p.  121  qui  suit],  &  non  inesgaux  comme  les  met  Ptolomée,  ne  manqueront  pas 
de  raison  :  &  il  sera  difficile  de  leur  demonstrer  que  la  Quinte  est  iustement  en  raison  sesquialtere, 
&  le  ton  en  raison  sesquioftaue,  ou  s'il  en  faut  une  milliesme  partie,  etc." 

En  1634  aussi,  donc  un  peu  plus  tôt,  dans  „Les  Questions  théologiques,  physiques,  morales 
et  mathématiques"  Mersenne  parlait  dans  sa  réponse  à  la  «Question  XXXIII.  Aquoyseruent  les 
raisons,  &  les  proportions  de  la  Géométrie,  etc."  de  „ceux  qui  suiuent  l'égalité  des  tons,  &  des 
demitons  dans  la  Musique"  lesquels  „sont  contraints  de  trouuer  1 1  lignes  moyennes  propor- 
tionnelles entre  les  2.  qui  font  l'octaue". 


34  MUSIQUE. 


§  5.  Quelles  confonances  font  eftiraees  plus  agréables  que  d'autres.  Et  s'il  n'y  a 
pas  encore  d'autres  confonances  outre  celles  qui  font  maintenant  réputées  dans  ce 
nombre. 

On  trouve  que  des  confonances  les  unes  font  plus  agréables  que  les  autres,  et  que 
ce  ibnt  celles  qui  plaifent  leplusdont  les  battementsferencontrentleplusfrequemment 
cnfemble,  excepte  pourtant  l'uniffon  dont  tous  les  battements  le  rencontrent  et  qui 


Descartes,  lui  aussi,  n'ignorait  pas  ce  système.  Dans  ses  lettres  à  Mersenne  de  i(Î34iI  parle 
trois  fois  de  „vos  musiciens,  qui  nient  les  proportions  des  consonances",  „qui  nient  qu'il  y  ait 
de  la  différence  entre  les  demitons"  („Oeuvres  de  Descartes",  éd.  Adam  et  Tannery,  T.  I,  p. 
286,  288,  295)  et  dans  une  lettre  du  i  novembre  1635  à  Constantyn  Huygensilparlede„tout 
de  mesme  de  bons  musiciens  qui  ne  veulent  pas  encore  croire  que  les  consonances  se  doiuent 
expliquer  par  des  nombres  rationanx,  ce  qui  a  esté,  si  ie  m'en  souuiens,  l'erreur  de  Steuin,  qui 
ne  laissoit  pas  d'estre  habile  en  autre  chose". 

C'est  peut-être  Isaac  Beeckman  qui  a  attiré  l'attention  de  Descartes  sur  ce  sujet  connu  à 
Deeckman  au  moins  depuis  1614.  Dans  une  lettre  à  Mersenne  du  i  oétobre  1629  Beeckman 
écrit:  „illam  Stevini  nostri  sententiam  de  sex  tonis  continue  proportionalibus,  olim  a  me  dili- 
gentissime  excultam,  ante  multos  annos  penitus  rejeci".  Beeckman  avait  d'ailleurs  eu  en  1624 
l'occasion  de  consulter  le  manuscrit  de  Stevin  mentionné  plus  haut.  Nous  empruntons  ces  in- 
formations aux  p.  2-4  et  286  du  T.  II  de  1936  de  la  „Correspondancedu  P.  Marin  Mersenne" 
publ.  par  M."'  Paul  Tannerj',  éditée  et  annotée  par  Cornelis  de  Waard. 

Autrement  que  Iluygens  qui  avait  peut-être  l'oreille  plus  fine,  Mersenne  ne  désapprouve  pas 
le  système  des  Aristoxéniens  et  de  Stevin  dans  la  pratique.  Il  écrit  («Harmonie  Universelle", 
p.  1 32  Livre  Second.  Des  Dissonances,  Prop.  XI  :  «Expliquer  les  intervalles  Harmoniques  con- 
sonans&  dissonans  qui  ne  peuuent  s'exprimer  par  nombres"):  „cette  division  de  l'octave  [savoir 
celle  représentée  par  une  table  contenant  13  nombres,  qui  sont  „en  continuelle  proportion 
Géométrique";  ce  sont  les  nombres  à  fort  peu  près  correfts  looooo,  105946,  112246,118921, 
•25993,  133481,  141422,  149830,  158741,  168179,  178172,  188771,  200000]  peut  suffire 
pour  toutes  sortes  de  Musiques,  tant  des  Voix  que  des  Instrumens:  car  si  l'on  veut  la  iustesse, 
on  la  void  en  la  2  colomne,  qui  diuise  le  diapason  en  7  demitons  majeurs,  en  3  moyens,  &  en  2 
mineurs  [nombres  looooo,  106666,  112500,  120000,  125000,  133333,  1409475  150000, 
160000, 166666, 177777, 187500,200000]. ..l'oreille  "'e"  peut  quasi  remarquer  ladiflTerence". 

Ailleurs  dans  r„Harmonie  Universelle"  („Liure  Premier  des  Instrumens"  Prop.  XIV)  Mer- 
senne nous  apprend  que  les  13  nombres  proportionnels  cités  ont  été  calculés  pour  lui  par 
«Monsieur  Beaugrand,  très  excellent  Géomètre".  Il  parle  en  cet  endroitdelapossibilitédes'en 
servir  «pour  diuiser  le  manche  du  Luth,  de  la  Viole,  du  Cistre  etc."  Plus  loin,  à  la  p.  21  des 
«Nouuelles  Obseruations  Physiques  &  Mathématiques", Mersenne donne(VIII.  Observation) 

les  «I I  nombres  qui  représentent  les  1 1  moyennes  proportionnelles que  le  sieur  Galle  a 

supputez",  savoir  100000000000,94387431 198,  89090418365  . . .  50000000000.  À  la  p.  384 
(Prop.  XXXVIII  du  Liuvre  Sixiesme  des  Orgues"  —  instruments  dont  il  s'agit  aussi,  Prop. 
XLV  de  la  p.  408,  de  «diuiser  le  diapason. ...  en  douze  demitons  esgaux"  — )  Mersenne  écri- 
vait: «M.  Boulliau  l'un  des  plus  excellens  Astronomes  de  nostre  siècle  . . .  m'a  donné  une  table 
Harmonique  qui  mérite  d'estre  insérée  dans  ce  traité  parce  qu'elle  contient  toute  la  Théorie  de 
la  Musique  ....  [elle]  contient  les  dites  racines  si  précisément,  que  les  fraftions  qui  suiuent  les 


THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE.  35 

pour  cela  ne  fait  autre  effedl  qu'un  fon  tout  feul;  et  encore  l'ocftave  et  Tes  répliques 
parce  qu'elle  rciïcmble  a  l'unKlbn  "). 

Hors  mis  celles  là  la  12  ou  la  5  par  dclTus  l'oftave  eft  trouiice  la  plus  at^rcablc,  dont 
la  proportion  eftdc  3  a  i,  de  forte  qu'a  chaque  battement  de  l'air  du  fon  grave,  l'aigu 
en  fait  3.  au  lieu  que  dans  la  5'-'  les  trois  battemens  du  ton  aigu  ne  fe  rcncontrc[nt] 
que  avec  les  2  battemens  du  ton  grave,  et  c'ell:  ce  qui  fait  que  la  1 2  cil:  plus  agréable 
que  la  5.  Apres  la  1 2«  la  prochaine  en  douceur  cil;  la  1 7c  ou  la  tierce  majeure  par  des- 


nombres entiers  vont  iusques  aux  premières  &  secondes  minutes".  De  fait,  la  précision  laisse 
quelque  peu  à  désirer.  Il  s'agit  de  1 1  moyennes  proportionnelles  géométriques  entre  les  nom- 
bres 2  et  4,  écrites  dans  le  système  sexagésimal,  savoir  2°7'i2",  2°I4'52",  2°22'33",  2°3ri2*', 
2°4o'5",  2°49'39",  2°59'32",  3°io'5"'.  3°2i'5o">  3°33'43">  3°4^'2o"-  Voyez  sur  les  nombres  de 
Beaugrand,  de  BouUiau,  et  de  GalIé  l'Appendice  II  h  la  p.  171  qui  suit. 

Quant  aux  Aristoxéniens,  Mersenne  en  parle  e.a.  aux  p.  6'j  et  70  du  „Liure  Second  des  In- 
strumens"  (Prop.  VII)  en  ces  termes:  „  . . .  puis  qu'Aristoxene  &  ses  disciples  ont  diuisé  le  ton 
en  2  demy-tons  esgaux,  &  que  plusieurs  usent  encore  de  cette  diuision  sur  le  manche  du  Luth 
&  de  la  Viole,  ie  veux  icy  montrer  la  pratique  de  cette  diuision. . .  Ceux  qui  désirent  d'aiures 
manières  pour  diuiser  l'Oftaue,  &  la  manche  du  Luth,  &  des  Violes  en  12  demy-tons  esgaux, 
peuuent  voir  Zarlin  au  4.  Mure  de  son  Supplément,  chapitre  30,  où  il  applique  cette  diuision  au 
manchedu  Luth,&  Sr.linas  son  contemporain  en  son  3.1iurechapitre3i,desortequ'ily  après 
de  60  ans  que  l'inuention  de  demy-tons  esgaux  d'Aristoxene  a  esté  renouuellée  par  ces  deux 
Musiciens".  Voyez  sur  Zarlino  et  Salinas  la  p.  45  qui  suit.  Consultez  aussi  la  note  i  de  la  p.  171. 
'°)  Iluygens  revient  brièvement  sur  cette  question  dans  la  Pièce  de  la  p.  i68.UnelettreàS.  Stevin 
de  Abraham  Verheijen,  organiste  à  Nymégue,  qui  était  jointe  au  manuscrit  mentionné  dans  la 
note  précédente  et  fut  publiée  en  1884  par  Bierens  de  Haan  avec  le  manuscrit,  fait  voir  que 
l'auteur  donne  son  adhésion  à  la  théorie  de  Stevin.  On  a  vu  dans  lanoteprécédentequeBeeck- 
man  avait  été  durant  plusieurs  années  du  même  avis. 

Nous  observons  que  Stevin  ne  savait  pas  encore,  comme  Huygens,  que  les  fréquences  des 
vibrations  sont  inversement  proportionnelles  aux  longueurs  des  cordes  (de  même  nature  et 
également  tendues).  Le  moment  où  Beeckman  cessa  d'ajouter  foi  à  la  doctrine  de  Stevin  doit 
avoir  été  celui  où  il  se  rendit  compte  de  l'existence  de  cette  proportionnalité  inverse  (voyez  la 
note  I  de  la  p.  364  du  T.  XIX). 
")  En  marge  les  remarques  suivantes: 

il  faut  diftinguer  entre  leur  beauté  eftant  entendues  feules  ou  accompagnées 
d'autres  ou  fuivies  ou  précédées  d'autres,  on  peut  faire  entendre  la  6  en  tel  lieu  ou 
après  tel  autre  accord  qu'elle  ne  paroiftra  nullement  confonante. 

pourquoy  pas  plus  de  confonances:  de  7  a  l .  Voyez  encore  sur  ce  sujet  le  dernier  ali- 
néa de  la  Pièce. 

renverfer  les  nombres  et  les  confiderer  par  le  nombre  des  battemens. 

Dans  cette  dernière  ligne,  sur  laquelle  nous  attirons  aussi  l'attention  du  lecteur  dans  notre 
Avertissement,  Huygens  propose  donc  de  caraftériser  les  intervalles  par  les  rapports  des  fréquen- 
ces des  tons  au  lieu  de  ceux  des  longueurs  des  cordes. 


36  MUSIQUE. 


fus  deux  odhvcs  dont  la  raifon  eft  de  5  a  i ,  et  partant  les  5  battements  du  ton  aigu  fe 
font  contre  chaque  battement  du  ton  grave.  Dans  la  i o^  qui  eft  la  3e  majeure  par 
dciïiis  une  odave  les  5  battemcns  du  ton  aigu  ne  fe  rencontrent  qu'avec  les  2  du  ton 
grave,  et  dans  la  3^  majeure  elle  mefme,  les  meimes  5  battements  ie  font  contre  4  du 
tongnwe,  ce  qui  la  rend  moins  belle  que  la  lo^,  et  celle  cy  moins  belle  que  la  17  ou 
féconde  réplique  de  la  tierce"). 

Quand  on  compare  félon  cette  maxime  la  4^^  avec  la  3^  majeure  on  diroit  que  celle 
cy  dcvroit  ellrc  moins  agréable  que  la  4'^,  car  a  tous  les  3  battemcns  le  rencontrent 
les  4  dans  la  quarte;  et  dans  la  tierce  a  tous  les  4  battements  fe  rencontrent  les  5.  Et 
cependant  la  4t«  fcmble  la  moins  bonne  des  deux.  L'on  voit  la  mefme  chofe  généra- 
lement par  tout,  que  de  deux  confonances  celle  dont  la  réplique  première  ou  leconde 
devient  en  raifon  multiple  paroit  meilleure  que  l'autre.  Et  il  femble  que  la  raifon  foit 
qu'en  entendant  quelque  ton  on  fuppofe  et  femble  entendre  en  quelque  façon  fon 
oftave  plus  haute  ou  mefme  la  double  oftave.  Et  on  l'entend  eft'eftivement  en  fonnant 
quelque  chorde,  ou  grande  cloche,  et  meime  la  1 2^  et  la  1 7^  '  ^).  De  forte  que  comme 
les  répliques  de  ces  confonances  font  en  raifon  multiple  dont  les  rencontres  de  batte- 
ments font  plus  fréquentes  que  des  autres,  on  eftime  la  confonance  mefme  par  la 
beauté  de  ces  répliques.  Ainfi  donc  puifque  les  répliques  de  la  tierce  Ibnt  la  lo^  et  la 
17,  dont  l'une  aux  2  battemcns  du  fon  grave  et  l'autre  a  chacun  en  a  5  du  fon  aigu, 
et  qui  pour  cela  font  meilleures  que  la  4^  en  qui  la  rencontre  ne  fe  fait  qu'a  tous  les  3 
coups  du  fon  grave  et  de  mefme  a  toutes  fes  répliques;  on  trouve  la  3  majeure  elle 
mefme  meilleure  que  la  ^^<^  '■*). 

On  peut  examiner  la  préférence  des  autres  confonances  fuivant  ces  mefmes  règles 
et  il  eft  utile  de  connoiftre  ces  degrez  de  bonté,  quoy  qu'il  foit  vray  que  tous  les  goûts 
ne  s'accordent  pas  tout  a  fait  en  ce  jugement.  Ce  qui  paroit  bien  manifcllement  de  ce 


")  En  marge:  le  fon  vient  beaucoup  plus  de  la  table  et  du  corps  de  l'inftrument  que 
des  chordes.  Comparez  la  p.  370  du  T.  XIX. 

'3)  En  cet  endroit  Hiiygens  fait  preuve  de  connaître  le  pliénoménedesliarmoniques.  Comparez  la 
note  I  de  la  p.  26  qui  précède.  Ses  observations  se  rapportent,  pour  un  ton  fondamental  de  la 
fréquence  «,  aux  harmoniques  des  fréquences  2»  (octave"),  3»  (12%  quinte  de  Tottave),  4;; 
(octave  double)  et  5;;  (17%  tierce  majeure  de  l'oftave  double). 

Voyez  encore  sur  Huygens  et  les  cloches  les  p.  265  et  339  du  T.  XVII. 

'■•)  Il  est  remarquable  que  Huygens,  tout  en  faisant  appel  pour  motiver  la  considération  des  répli- 
ques au  phénomène  des  harmoniques  dont  elles  font  partie,  ne  fait  entrer  en  ligne  de  compte, 
pour  expliquer  la  consonance,  que  les  harmoniques  formant  des  octaves,  simples  ou  supérieures, 
avec  le  ton  fondamental.  S'il  avait  pris  en  considération  toutes  les  harmoniques  comprises  dans 
la  série  ip    :     q  ZP    '•    1  £tc. 

ainsi  que  celles  du  ton  de  la  fréquence  q,  il  aurait  obtenu  une  théorie  se  rapprochant  de  celle 
beaucoup  plus  récente  de  Helmholtz  („Die  Lehre  von  den  Tonempfindungen",  Zweite  Ab- 
theilung,  Zehnter  Abschnitt.  Dritte  Auflage,  Braunschweig  1 870,  p.  284  et  suiv.). 


THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE. 


37 


que  les  anciens  ne  trc^uvoient  pas  feulement  que  les  y^^  ni  les  6ws  fuiTcnt  des  confo- 
nances  ''),  et  qu'ils  reconnoiiïbicnt  la  4'^  pamiy  les  premières. 

Il  cil  bon  a  ce  propos  d'examiner  s'il  n'y  a  pas  d'autres  confonances  que  celles  que 
nous  avons  dclinics  cy  dcllus  et  s'il  y  a  quelque  railbn  de  l'alTurer.  Car  peut  ellre  nous 
pourrions  faire  la  mefme  faute  que  les  anciens. 

Les  proportions  des  nombres  qui  conllitucnt  les  confonances  font  réputées  celles 
d'un  des  nombres  1,2,3,  4,  5,  6,  à  quelqu'autrc  de  ce  mefme  rang,  y  comprenant 
aufli  les  doubles  et  les  moitiez  de  ces  nombres  ou  mefme  leur  autres  multiples  et  fou- 
multiples  par  2,  ce  qui  ne  fait  qu'adjouter  la  confonance  a  une  ou  a  plulieurs  octaves 
ou  bien  l'en  ofler.  Lenombre  de  7  ni  autre  nombre  primitif  ou  compofè  de  premiers  "') 
n'y  l'ont  point  admis.  Et  il  y  en  a  '■')  qui  attribuent  cela  à  la  perfection  du  nombre  6, 
lequel  ils  appellent  harmonique  pour  cette  raifon.  Cependant  a  bien  examiner  la  chofe 
et  fans  préjuge  l'on  trouvera  que  le  nombre  de  7,  compare  a  d'autres,  n'efl:  pas  inca- 
pable de  produire  une  confonance  "*),  mais  que  celles  qu'il  produit  ne  font  pas  com- 
patibles avec  les  confonances  defia  ellablics,  ni  mefme  fi  bonnes  ''). 


'5)  Comparez  la  note  3  de  la  p.  31,  et  les  lignes  4 — 5  de  la  p.  "9,  ainsi  que  le  §  2  de  la  p.  1 14  qui 
suit,  les  lignes  8^ — 7  d'en  bas  de  la  p.  153  et  les  1.  3 — 5  de  la  p.  162. 
En  marge  les  observations  suivantes: 

les  unes  font  les  fupplements  des  autres  a  l'oétave  et  fe  prennent  en  quelque 
façon  pour  la  mefme. 
3ces  auprès  de  la  baffe  peu  agréables  auprès  de  ce  qu'elles  font  ailleurs. 
'*)  Il  faut  entendre:  de  premiers  supérieurs  à  6. 
''')  Voyez  la  note  30  de  la  p.  162. 
")  Comparez  le  dernier  alinéa  de  la  p.  161  qui  suit. 
'»)  En  marge:  argument  de  la  trompette  et  trompette  marine. 

Cette  remarque  s'applique  sans  doute  aux  tons  naturels  de  la  trompette  souvent  mentionnés 
par  Mersenne,  p.e.  dans  les  „Traitez  des  Consonances"  etc.  Livre  I  „Des  Consonances",  p.  3 
et  p.  87.  Il  n'est  pas  clair,  si  Huygens  veut  dire  qu'on  peut  tirer  un  argument  coiifre  l'admission 
du  nombre  7  dans  les  consonances  du  fait  que  le  septième  ton  de  la  série  n'est  pas  en  harmonie 
avec  le  ton  fondamental  de  la  trompette,  ou  bien  s'il  veut  dire  au  contraire  que  l'existence  de 
cette  harmonique  est  un  argument  en  faveur  de  sa  thèse. 

La  trompette  marine  est  un  instrument  à  une  corde  pouvant  imiter  les  tons  de  la  trompette. 
IVIersenne  en  parle  dans  son  „Traité  des  Instrumens"  faisant  également  partie  de  r„Harmonie 
Universelle"  (Livre  IV  „Traité  des  instrumens  à  chordes."  Prop.  XIV,  p.  217  et  suiv.). 


38  MUSIQUE. 


B.  AUTRES  CONSIDÉRATIONS  SUR  LA  GAMINIE  DIATONIQUE, 

PRODUIT  D'INTERVALLES  CONSONANTS.  LES  DEMITONS 

CHRO.AIATIQUES  MODERNES. 

Pamiy  ')  toutes  les  nations  on  chante  par  les  mefnics  intervalles  de  tons  et  demitons 
(je  parle  premièrement  des  tons  diatoniques)  et  entrcmeflcz  de  la  mcfme  façon.  Ce 
qui  n'arrive  pas  par  hazard  ni  par  une  raifon  qui  foit  dillicile  a  trouver.  \^oicy  comme 
je  l'explique.  Le  plaifir  du  chant  confii^e  principalement  dans  la  perception  des  con- 
fonances.  Je  dis  du  chant  qui  ("e  fait  a  une  feule  voix  ou  par  les  (impies  fons  d'un  in- 
ftrument,  auiîî  bien  que  de  celuy  qui  eft  compofè  de  plulieurs  voix  ou  fons  qu'on  en- 
tend h  la  fois.  Car  bien  qu'au  chant  d'une  voix  les  fons  fe  fuivent  et  n'arrivent  pas  a 
l'oreille  en  meime  temps,  le  fouvenir  fupplee  a  cela,  en  forte  qu'il  efl  également  plai- 
fant  d'entendre  deux  tons  qui  font  la  quinte,  par  ex.  chantez  l'un  après  l'autre  que  fi 
on  les  appcrcevoit  tous  deux  enlemble.  Et  cette  reprefentation  du  fouvenir  ne  va  pas 
feulement  juiqu'au  ton  pénultième,  mais  jufqu'aux  2  trois  ou  4  précédents  et  encore 
plus  avant  fi  quelqu'un  de  ces  tons  ont  eilè  fouvent  répétez  et  par  la  fortement  im- 
primez dans  la  mémoire.  C'ell  donc  par  cette  raifon  qu'en  montant  a  la  quinte,  com- 
me de  V  à  S,  on  pafle  par  les  tons  M  et  F.  Car  M  efi:  confonante  à  V,  eftant  VM  la 
tierce  majeure  de  5  a  4.  Et  de  mefme  le  F  cl^  confonant  a  V,  eflant  VF  la  quarte  de 
4  a  3.  Mais  le  M  elt  encore  plus  agréable  que  le  F  dans  ce  pafi'age,  a  caufe  que  le  M 
confone  au  S  ou  l'on  a  deffein  d'aller,  et  que  pour  cela  on  a  défia  dans  l'imagination. 
Car  la  reprelcntation  au  fait  des  confonances  a  lieu  non  feulement  pour  le  palTè,  mais 
aulli  en  quelque  façon  pour  l'avenir. 

De  la  il  vient  qu'on  pafle  aufii  de  \'  en  R  pour  premier  intervalle,  quand  on  va  a 
la  quinte  en  S  ou  feulement  a  la  quarte  en  F,  parce  que  RF  ell  une  confonance  fcavoir 
la  3=  mineure  de  6  a  5.  Car  l'on  auroit  répugnance  fi  au  lieu  de  chanter  VRjMF,  on 
vouloit  ilibftituer  un  autre  ton  au  lieu  de  11,  qui  ne  confonall  ni  a  F  ni  a  aucun  des 

autres  tons.  Je  dis  a  pas  un  des  autres,  parce  que  on  pourroit  luy  fubfKtuer  V^,  et 

chanter  \^  V  MF,  parce  que  V'  avec  M  fait  la  3<:  min.  Mais  l'on  ne  va  pas  a  ce  ton  chro- 

matique  tant  a  caufe  de  la  petitefle  de  l'intervalle  VV'  que  parce  que  le  V*'  ne  confonne 

pas  a  beaucoup  près  avec  tant  des  tons  fuivants  que  le  R.  car  cettuicy  fait  la  4  contre 

if 
S,  la  5"  contre  L,  et  la  6  contre  C.  Mais  V  feulement  la  6  contre  L. 

Il  eft  aifè  a  demonstrer  par  de  raifons  pareilles  a  celles  que  je  viens  de  dire  pourquoy 


')  Portefeuille  „Musica"  f.  62  et  63. 


THÉORIE  DE  LA  CONSONANCE.  39 


on  paiïe  au  L  depuis  le  S,  puifqu'il  fait  confonance  contre  F  contre  M  contre  II  et 

contre  V.  Apres  le  L  on  palTe  a  C  ou  a  C  dont  le  premier  audi  bien  que  l'autre  a  3 
confonantes  °)  parmi  les  tons  précédents;  car  CS  elt  la  3«  maj.  CM  la  quinte,  CR.  la 

6  maj.  Mais  C  S  cil:  la  3*=  min.  C  F  la  4^.  C  R  la  6  mineure.  Or  les  3  premières  con- 

lonanccs  du  C  font  meilleures  que  les  3  dernières  du  C  .  C'ert  pourquoy  l'on  pafTe 
plulloll  par  le  C.  Outre  qu'en  ce  iaiiant,  il  y  a  deux  quartes  de  fuite  dans  l'octave  et 
qui  Ibnt  divifces  femblablement  en  2  tons  et  un  demyton.  fcavoir  VRINIF  et  SLCV. 

Ce  font  icy  les  tons  diatoniques  en  y  comptant  auffi  le  C  comme  faifoient  aufli  les 
anciens,  comme  nous  dirons  ailleurs  3). 

Nos  demitons  adjoutez  qu'on  peut  appeller  chromatiques  +)  font  fondez  de  mefme 

par  les  confonances.  Car  V^M  fait  la  3c  min.  M  S  la  3<-"  maj.  M  C    la  quinte.  M  \'- 

la  6  maj.  de  mefme  RF*"  la  3  maj.  F^  L  la  3  min.  F'C  la  4e.  F'R  la  6  min.  PuisMS* 


la  3  maj.  S  C  la  3  min.  S^'M  la  6  min. 


=)  En  marge:  3  tons  rarement  de  fuite,  et  comment, 
il  n'y  peut  avoir  d'autre  chant, 
demitons  confonans. 

eftrangc  invention  que  le  chant  du  genre  enhannonique  et  du  chroma- 
tique ancien,  parlerons  ailleurs.  Deuxième  alinéa  de  la  p.  9-  qui  suit?  Voyez  aussi  le 
deuxième  alinéa  de  la  p.  102. 
3)  En  marge:  qu'il  n'y  a  que  deux  modes  [comparez  la  Pièce  B.  „Les  divers  modes"  à  la  p. 
69  qui  suit].  OU  le  3e  ;//,  /,  VI  pour  les  plaintes  graves,  w,  c,  ;;;  ne  pouvoir  pas  eftre 
avec/i  mais  bien  avec/:  [?].  mais  alors  le  mefme  que  r,  /,  /,  r.  finon  quelques 
faux  intervalles,  plagaux  que  c'eft  [voyez  sur  les  tons  plagaux  la  Pièce  B.  „Les  divers 
modes"  déjà  citée]. 
••)  Voyez  sur  la  différence  entre  les  anciens  et  les  modernes  sous  ce  rapport  le  deuxième  alinéa  de 
la  p.  102  qui  suit. 


IL 

LA  DIVISION  DU  MONOCHORDE. 


Avertiffement. 


Nous  publions  dans  les  pages  qui  fuivent  les  recherches  de  Huygens  fur  la  théorie 
mathématique  du  tempérament  mufical,  en  les  faifant  précéder  (Pièce  ^)  par  une 
copie,  d'une  main  inconnue,  d'un  écrit  (manufcrit?)  de  l'un  des  frères  Hemony  où 
Huygens  a  infcrit,  outre  la  date  —  1 6  juin  1661  ■ — ,  le  nom  de  la  ville  d'Antwerpen 
(Anvers).  A  la  date  indiquée  Huygens  ne  fe  trouvait  pas  dans  cette  ville.  Il  s'y  était 
trouvé  de  palfage  le  16  oétobre  1660  ')  et  avait  faifi  cette  occafion  pour  vifitcr  le 
carillonneur  et  l'entendre  jouer  du  célèbre  carillon  —  ou  plutôt  d'un  des  célèbres  caril- 
lons —  nouvellement  inftallés  par  les  frères  Hemony  ').  Ceci  peut  avoir  été  une  des 
caufes  qui  le  déterminèrent,  après  être  rentré  à  la  Haye  en  1661  à  la  fin  du  mois  de 
mai,  à  s'occuper  lui-même  de  la  théorie  de  la  mufique.  En  effet,  dans  la  copie  fufdite, 
l'auteur  de  l'écrit  donne  le  confeil  de  commencer  par  partager  la  ligne  muficale  en 
loooo  parties  3);  or,  dans  la  „Divifio  Monochordi"  (notre  Pièce  B.  Div.  Mon.  I) 


')  D'après  le  Journal  de  Voyage  à  Paris  et  à  Londres  publié  par  H.  L.  Brugmans  dans „Le séjour 
de  Christian  Huygens  à  Paris  etc."  1935. 

^)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  49  qui  suit,  où  nous  renvoyons  le  lefteur  aussi  au  futur  T.  XXII. 

3)  Ce  que  Mersenne,  à  l'influence  des  œuvres  duquel  on  pourrait  songer  aussi,  ne  fait  point.  Dans 
r„Harmonie  Universelle"  de  1636  Mersenne  traite  longuement  du  monochorde.  Il  écrit  p.  e. 
(„Traité  des  Instrumens  à  Chordes"  p.  15):  „I1  faut  donc  conclure  auec  Ptolomée  que  le  Mo- 
nochorde est  l'instrument  le  plus  propre  &  le  plus  exad  pour  régler  les  sons  &  l'harmonie". 


44 


AVERTISSEMENT. 


datée  du  8  juillet  1 66i,  Huygens  divife  en  effet  le  monochorde  en  ce  nombre  de  par- 
ties. Il  eft  vrai  que  Stevin  dans  fon  manufcrit  „Vande  Spiegeling  der  SingkoniV  divife 
également  le  monochorde  en  loooo  parties.  La  Pièce  C.  Divifio  Monochordi  II  em- 
pruntée au  petit  ÎNIanufcrit  13  où  Huygens  avait  l'habitude  de  noter  ics  principales 
découvertes  (jufqu'à  ±  1662)  e(l  fins  doute  à  peu  près  de  la  même  époque +).  Son 
intérêt  pour  les  cloches  eil  attefté  en  outre  par  le  fait  qu'en  août  1662  il  alla  vifitcr 
Hemony  (il  parle  au  fingulier;  s'agit-il  de  Pierre  Hemony  le  cadet  ?)  à  Amilerdam  et 
eut  avec  lui  une  „longue  conférence"  fur  les  „tons  de  la  mufique,  ou  il  cil  très  fcavant". 

D'autre  part  nous  attirons  l'attention  fur  la  note  11  de  la  p.  46.  Ne  connaiflant  ni 
M"",  de  INlontalent  ni  fon  manufcrit,  nous  ne  pouvons  toutefois  former  aucune  con- 
jeéhire  fur  la  grandeur  de  fon  influence  fur  Huygens.  Comme  la  note  nommée  le  fait 
voir,  cette  influence  fo  rapporte  probablement,  non  pas  aux  Pièces  ici  confidérécs, 
mais  à  la  divifion  de  Toétave  en  31  parties,  c.à.d.  au  „Cycle  Harmonique". 

Nous  ajoutons  encore  à  ces  Pièces  un  Appendice  qui  porte  la  date  1 6y6. 


On  connaît  le  grand  intérêt  pour  le  tempérament  mufical  dont  avaient  fait  preuve 
depuis  longtemps  les  conftruéleurs  et  accordeurs  d'inllruments  à  touches  ainfi  que 
les  muficologues.  Par  l'introduction  de  la  tierce  majeure  hannonique  ou  naturelle 
(5  :  4)  au  lieu  de  la  tierce  majeure  pythagoricienne  (8 1  :  64)  et  du  principe  harmo- 
nique de  l'accord  de  tonique,  l'impolfibilité  de  produire  exaftement  tous  les  interval- 
les dans  les  dits  inftruments  était  devenue  encore  plus  manifelle  qu'auparavant;  il 
fallait  donc  tacher  de  trouver  un  compromis  capable  d'écarter  au  moins  les  plus  rudes 
difl'onances. 

Le  nombre  des  fyftèmes  inventés  à  cet  effet,  eft  confîdérable.  Une  place  importante 


*)  Il  existe  en  outre  une  page  presque  pareille  à  la  Pièce  „Divisio  Monochordi  II":  c'est  la  f.  3  v 
du  portef.  „Musica",  publiée  (en  majeure  partie)  à  la  p.  200  du  „Tijdsclirift  der  Vcreeniging 
voor  Noord-Nederlands*)  Muziekgeschiedenis",  Deel  III,  Amsterdam,  F.  Muller,  1891  dans 
l'article  „Het  toonstelsel  van  Christiaan  Huygens"  de  J.  P.  N.  Land.  L'auteur,  ne  connaissant 
que  les  deux  feuilles  du  portefeuille  qui  lui  avaient  été  communiquées  par  D.  Bierensde  Ilaan, 
déclare  ignorer  ce  que  signifient  x  et  a  et  les  formules  qui  contiennent  ces  lettres.  Voyez  sur  la 
f.  3v  la  p.  58  qui  suit. 


*)  Cette  socitti;  s'appelle  aftuellcmcnt:  „\'creeniging  voor  Nederlandschc  Muziekgeschiedenis". 


AVERTISSEMENT.  45 


revient  à  celui  de  1511  de  Torganiftc  allemand  Amolt  Schlick  '}  qu'on  défigne  par 
le  nom  de  tempérament  du  ton  moyen.  Confidcranc  la  férié  des  quintes 

c  g  d  a  e 
dont  le  dernier  ton  forme  (à  des  différences  d'ochve  près)  un  intervalle  81  :  80,  dit 
comma  fyntoniquc'*),  avec  la  tierce  majeure  naturelle  de  c,  Schlick  eut  Fidée  de  di- 
minuer chacune  de  ces  quintes  d'un  quart  du  dit  intervalle.  Dans  la  gamme  conftruite 
luivant  ce  principe  la  tierce  majeure,  et  par  conféquent  auflî  la  fixte  mineure,  était 
naturelle,  tandis  que,  fimultanément  avec  la  quinte,  la  tierce  mineure  était  diminuée 
d'un  quart  de  comma.  Il  n'y  a  dans  cette  gamme  qu'un  fcul  ton  entier,  précifément 
moyen  entre  le  ton  majeur  (9  :  8)  et  le  ton  mineur  (10  :  9)  de  la  gamme  naturelle; 
c'efl  de  lui,  le  „mezzo  tuono  participato",  que  provient  le  nom  de  tempérament  du 
ton  moyen  (mean  tone  tempérament). 

Ce  fyftème  eil  amplement  traité  par  les  théoriciens  Francefco  Salinas  '")  et  Giofeffo 
Zarlino^)  qui  paraiffent  ne  pas  connaître  Schlick:  voyez  la  note  6  de  la  p.  18  qui 
précède,  où  Huygensdit  qu'ils  s'en  difputent  l'invention.  D'ailleurs  ces  deux  mufico- 
logues  difcutent  d'autres  fyflèmes  aufll,  les  comparant  avec  lui  '). 


5)  Arnolt  Schlick,  né  en  Bohême,  tut  „Pfalzgrauischer  Organise"  c.à.d.  organiste  à  la  cour  de  Heidel- 
berg,  au  commencement  du  i6ièmesiècle;ilmourutaprè.s  i5i7.En  1511  parut  son  „Spiegelder 
Orgelmacher  und  Organisten  etc."  (publié  de  nouveau  en  1869  par  R.Eitner  comme  „Beilage 
der  5'=  und  6"  Monatshefte  fiir  Musikgeschichte"  I  Jahrgang,  Berlin).  Nous  ne  voulons  pas 
dire  —  voyez  la  suite  du  texte  et  la  note  9  —  que  cet  ouvrage  de  Schlick  ait  été  fort  connu  en 
son  temps  ou  au  dix-septième  siècle. 

*)  Comparez  la  1.  16  de  la  p.  6  qui  précède. 

7)  Voyez  sur  Salinas  la  note  3  de  la  p.  4:3  du  T.  IX.  Le  titre  complet  de  son  livre  de  1577  est 
„De  Musica  libri  septem,  in  qiiibus  eius  dottrina;  veritas  tam  qus  ad  Harmoniam,quàmqua;ad 
Rhythmum  pertinet,  inxta  scnsus  ac  rationis  iudicium  ostenditur,  et  demonstratur",  Salmantic» 
MDLXXVII. 

8)  Voyez  sur  Gioseffo  Zarlino,  lui  aussi  théoricien  du  seizième  siècle,  la  note  2  de  la  p.  169  du 
T.X. 

Il  écrivit  trois  livres  sur  la  théorie  de  la  musiquequi  furent  réunis  en  1589  en  3  volumes*)  in- 
titulés „Tutte  l'opère  del  R.  M.  Giosefîo  Zarlino  da  Chioggia".  Nous  avons  pu  consulter  deux 
de  ses  ouvrages,  savoir  i.  „Istitutioni  Harmoniche  del  Rev.  Messere  Gioseffo  Zarlino  da 
Chioggia,  Maestro  di  Capella  délia  Screnissima  Signoria  di  Venetia:  di  nuovo  in  molti  luoghi 
raigliorate,  &  di  molti  belli  secreti  nelle  cose  délia  Prattica  ampliata.  Nelle  quali;  oltra  le  materie 
appartenenti  alla  Musica;  si  trouano  dichiarati  molti  luoghi  di  Poeti,  Historici,  &  di  Filosofi; 
si  come  nel  leggerle  si  potrà  chiaramente  vedere".  In  Venetia.  Appresso  Francesco  dei  Fran- 
ceschi  Senese.  1573.  —  C'est  la  troisième  édition:  l'ouvrage  avait  déjà  vu  le  jour  en  1558  et 
1562.  2.  „Dimostrazioni  Harmoniche  del  R.  M.  Gioseffo  Zarlino  da  Chioggia.  Maestro  di  Ca- 


*)  et  un  traité  sur  la  patience  et  quelques  autres  traités  formant  un  4ièitie  volume. 


^6  AVERTISSEMENT. 


Le  traité  de  Iluygens  intitule  „Divifio  Monochordi"  (notre  Pièce  II  B')  contient 
une  théorie  mathématique  de  ce  lyftcme.  La  méthode  appliquée  confifte  à  partir  d'une 
corde  de  loni^ucur  ^  et  à  calculer  fuccellivcmcnt  les  longueurs  des  cordes  donnant  les 
tons  de  la  gamme  chromatique  correCpondante,  d'après  le  principe  de  la  conftruction 
pythagoricienne,  c.à.d.  par  fomiation  de  quintes  et  d'oétaves,  complétées  par  des 
tierces  déterminées  elles  aufïï  à  l'aide  de  quintes  et  d'oftaves;  or,  la  longueur  x  de  la 
corde  donnant  la  quinte  avec  le  ton  fondamental  efl:  d'abord  confidérée  comme  in- 
connue: la  valeur  ell  déterminée,  et  avec  elle  celle  de  la  quinte  tempérée,  par  les  con- 
ditions impofées  à  certains  intervalles. 

Dans  cette  Pièce  5,  la  condition  unique  eil  la  fuivante:  les  quintes  font  rendues 
inférieures  à  leur  valeur  naturelle  (3  :  2)  d'autant  que  les  fixtes  majeures  font  rendues 
fupérieures  à  la  leur  (5  :  3).  Cette  condition  paraît  conduire  à  des  tierces  majeures 
naturelles  ainll  qu'aux  autres  intervalles  du  tempérament  du  ton  moyen. 


pella  délia  Illustris.  Signoria  di  Venetia.  Nelle  quali  realmente  si  trattano  le  cose  délia  Musica: 
e  si  risolvono  molti  duhij  d'iinportanza.  Opéra  molto  necessaria  à  tutti  quelli,  che  desiderano 
di  far  buon  profitto  in  qucsta  iiohile  Scienza".  In  Venetia.  Per  Francesco  dei  Franceschi  Senesc. 
1571.  Une  deuxième  édition  parut  en  1573.  Voyez  sur  le  troisième  ouvrage  sur  la  musique  (de 
1 588)  la  note  1 2  de  la  p.  65  qui  suit. 

Nous  connaissons  d'ailleurs  aussi  l'édition  mentionnée  de  1589  (Utrecht,  Muziekhistorisch 
Instituât)  que  Huygens  possédait  (voir  la  p.  1 16  qui  suit);  c'est  elle  que  nous  citerons  dans  la 
suite. 

Zarlino  parle  à  plusieurs  reprises  des  différents  tempéraments,  p.e.  Istit.  Harm.  Parte  II  caput 
42  seq.  Dimostraz.  Ilarm.  Ragionamento  IV,  Proposta  I  et  Ragionamento  V,  Proposta  I. 

9)  Le  catalogue  de  la  vente  des  livres  de  Constantyn  Huygens  père  ne  contient  le  titre  d'aucune 
publication  de  Schlick,  pas  plus  que  celui  de  la  vente  des  livres  de  Christiaan. 

'°)  „Istitutioni  Harmoniche",  Parte  II,  caput  42.  „Quel  clie  si  dee  osservare  nel  temperare  overo 
accordare  gli  Instrumenii  arteficiali  moderni". 

Salinas  traite  du  système  considéré  dans  le  cap.  18  du  Lib.  III  de  „De  Musica". 

")  La  feuille  54  v  porte  les  mots  (nous  avons  déjà  parlé  de  ce  sujet  à  la  page  44):  pour  la 
divifion  du  monochorde  félon  le  manufcript  que  m'a  preftè  M.r  de  Montaient 
l'organifle.  La  double  feuille  53 — 54  contient  des  calculs  sur  toutes  ses  pages.  Les  p.  54  r  et 
54  V  ne  contiennent  en  outre  que  les  paroles  citées  respectivement  dans  le  texte  et  dans  la  pré- 
sente note.  La  p.  53  v  porte  en  outre  les  énoncés:  VS  ex  3 1  proportione  major  et  melior 
efl  5 ta  ex  fyftemate  temperatOyig  commatis  fchîers  [c.à.d.  à  peine].  VM  tertia  major 
excedit  temperatum  ^=  commatis  fchœrs.  ténia  minor  déficit  a  temperato  jj  com- 
matis.  Tonus  a  tono  temperato  differt  -^^  commatis.  comma  efl:  minus  quam  ^  toni 
temperati.  l'oétave  contient  554  comma  fchîers.  Comparez  la  note  5  de  la  p.  6  qui 
précède. 


AVERTISSEMENT.  47 


Dans  la  même  Pièce  un  deuxième  fyftème  eft  obtenu  en  poftulant  que  les  tierces 
majeure  et  mineure,  ainfi  que  les  fixtes  majeure  et  mineure,  feront  également  diflantes 
les  unes  et  les  autres  de  leurs  valeurs  naturelles.  II  êft  connu  fous  le  nom  de  tempéra- 
ment de  Zarlino  '°). 

Dans  la  Pièce  indiquée  ici  par  la  lettre  C  Huygens  déduit  de  nouveau  le  tempéra- 
ment du  ton  moyen,  en  polant  cette  fois  direélement  la  condition  de  la  jufleffe  de  la 
tierce  majeure. 

À  la  p.  54r  du  portefeuille  „Mufica"  Huygens  parle  de  „mon  monochorde  de  120 
demipouces  ou  5  pieds"  "). 


A  ').     COPIE  D'UNE  PARTIE  D'UN  ÉCRIT  D'UN  DES  DEUX  FRERES 
IIEMONY  INTITULÉ  „VANDEN  BEIJAERT"  (C.À.D.  DU  CARILLON). 

1661. 

Copie  van  Hemonij  Lorrainfis  van  ')  Beijaert.  Antwerpen.  16.  Jun.  1661  '). 

Regel  van  het  Accord,  hoe  het  felue  door  proportie  van  getal  geuonde  werde. 

Ecnheid  neemt  een  getal  van  entrent  loooo.  deelen  in  een  linie  verdeelt.  ende 
genomen  het  beginfel  zij  in  T.  de  odtaue  van  vvcderumb  T.  moet  nootfakel[yck] 
hebben  5000.  derfelue  gedeelten. 

Nu  de  Tertia  maj.r  vaii  voorfz.  T  is  E  moet  hebben  8000.  derfelue  gedeelten  : 
Zijnde  defe  3.  voorfz.  fpecies  tegens  malkander  fuyuer. 

Nu  tuiïchen  T  eiï  E  moet  gefocht  zijn  D.  moet  derhaluen  het  getal  van  T.  en  +) 
E.  met  malkander  gemultipliceert  werden,  efi  radix  quadrat  daervan  is  de  begeerde  D. 

Van  de  gem.«  ')  D.  neemtmen  de  oftaue,  deweicke  oock  de  halue  moet  zijn,  als 

boven  ftaet  van  T.  eiï  T. 

I  t        2 

Voortnecmptoock  g.  tufTchen  T  efî  D.  oock  medio  proportionaliter,  efi  vaert  daer- 

mede  met  aile  quinten,  tertien  eiï  oétauen,  voort  volgens  gefeide  proportie  "). 


')  Portef.  „Musica",  f.  50. 

')  C.à.d.  vanden. 

î)  Cette  première  ligne  seule  est  écrite  de  la  main  de  Huygens. 

•♦)  C.à.d.  ende. 

5)  C.à.d.  gemelte. 

*)  Traduction:  Règle  de  l'accord,  comment  celui-ci  est  trouvé  par  la  proportion  numérique. 

Prenez  pour  unité  un  nombre  d'environ  loooo  parties  distribuées  sur  une  ligne.  Et  soit  par 

hypothèse  l'origine  prise  en  T.  L'oftave  correspondante  T  doit  nécessairement  avoir  5000  des 
mêmes  parties. 

Il 
Ensuite  la  tierce  majeure  de  la  prédite  T  est  E  qui  doit  avoir  8000  des  mêmes  parties.  Ces 

trois  tons  étant  purs  l'un  par  rapport  à  l'autre. 

Ensuite  Ddoit  être  cherchée  entre  T  et  E.  A  cet  effet  il  faut  multiplier  l'un  par  l'autre  les 


DIVISION  DU  MONOCHORDE. 


49 


B  ').  DIVISIO  MONOCHORDI I. 
1661. 


V 

a 

L 

2X3 

vif 

I  6a-'" 

^^/ 

yTi 

rt« 

t^ 

^3 

0 

2  XX 

4XX 

IV 

/7 

c 

4X5 

m'' 

^  + 

^+ 

iVl 

4x3 

v= 

é^ 

M 

4X4 

8x7 

^3 

a^ 

aa 

XX 

F 

R^ 

2X 

a 

F# 

Sx"^ 

R2# 

rt+ 

a^ 

8x3 

S 

X 

M= 

2X''- 

sS 

i6x^ 

^3 

a' 

<?d! 

F= 

^5 

0 

4x 

8x+ 

8Jul.  ifî6i. 
§  i .  vSit  toca  chorda  VP  parcium  a  ■').  SP  putccur  (bnarc 
diapcntc  ad  \'P,  et  cffc  SP  partiuin  .v.  huic  alia  (hnilis 


,  XX 


diapente  putetur  SR-.  Ergo  ut  a  ad  .v  ica  x  ad — co  R- 

hoc  cfl:  R-P.  Ergo  R  diapafon  R=  crit  ' — .  huic  rurfus 

^  XX       ^x^ 
fiât  fimilis  diapente  RL,  ergo  ut  a  ad  x  ita  ^^-^  ad  — 

XI  L.  huic  rurfus  fimilis  diapente  fit  LM\  Ergo  ut  (3  ad 

2X3      ^  2X+ 

aa        ^3 


X,  ita  ^;^  ad  ~  00  M".  Unde  M  diapafon  M^"  erit 


^3 


,  huic  rurfus  diapente  fit  MC.  Ergo  ut  a  ad  x  ita 


a^ 


\x 


ad  ^-^  00  C.  lam  quia  SV-  efl:  diatcilaron  fumatur  ei 


<7+ 


aa 

IX 


fimilis  diatefiaron  VF.  Nempe  ut  x  ad  \a  ita  fit  a  ad 
00  F.  ab  F  ad  ''  fumatur  fimiUs  item  diatefiaron,  fit 

^3 


^ 


00  .  Porro  tertiîe  maiori  VTVl  fumatur  fimilis  tertia 

4XX  •* 


nombres  de  T  et  de  E,  la  D  demandée  en  est  la  racine  carrée. 

De  cette  D  on  prend  l'oftave  qui  doit  de  nouveau  être  la  moitié,  comme  il  est  écrit  ci-dessus 
à  propos  de  T  et  T. 

Prenez  ensuite  g  entre  T  et  D,  également  moyenne  proportionnelle,  et  continuez  l'opération 
pour  toutes  les  quintes,  tierces,  et  octaves  d'après  la  proportion  susdite. 

Le  leifteur  hollandais  peut  consulter  sur  les  cloches  des  frères  Hemony  le  livre  de  1909  de 
A.Vas  Nunes  „Experimenteel  onderzoek  van  klolcken  van  F.  Hemony"  (Kramer,  Amsterdam). 

Dans  le  Journal  de  Voyage,  cité  dans  la  note  i  de  la  p.  43  qui  précède,  Hiiygens  écrit  à  la 
date  du  16  odobre  1660:  Hoorde  op  de  klocken  fpelen ....  Den  Bayer  Sr.  Cramers 
befocht,  etc.  Nous  parlerons  plus  amplement,  savoir  en  publiant  le  Journal  dans  le  T.  XXII, 
des  carillons  d'Anvers  et  de  cette  visite  de  Huygens  au  carillonneur.  M.  Gyselynck,  secrétaire 
de  la  ville  d'Anvers,  nous  écrit  que  le  véritable  nom  n'est  pas  Cramers,  mais  Crama. 


50  MUSIQUE. 


RF-.  fit  F  30  -"C.  item  fimilis  iftisMS^fitS^i^'.  item  LV'^.  fit  V=^  do  ^-unde 
diapafon  ejus  nempe  V^  30  ^-^.  Rurfus  ab  R"-  fumatur  tertia  major  deorfum  R'  , 

fit  u  30  ^—.  Similiter  tertia  major  SM  ;  fit  M  oo  —..  atque  ita  omnes  toni  ac  femi- 

4.r.T  ^  4^^ 

toni  reperti  funt  +). 


•)  Portefeuille  „Miisica",  f.  7—8.  Huygens  intitule  cette  Pièce  „Divisio  Monochordi". 
^)  Partant  d'une  corde  de  longueur  a  Huygens  calcule  les  longueurs  des  cordes  dont  les  tons  for- 
ment avec  le  ton  fondamental  les  intervalles  du  système  pythagoricien.  Il  pose  x  pour  la  lon- 


X 


gueur  de  la  corde  correspondant  à  la  quinte  du  ton  fondamental,  de  sorte  que  le  rapport  -de 

l'intervalle  fondamental  de  la  construction  pythagoricienne  reste  momentanément  indéterminé. 
Soit  en  notations  modernes  V  (c)  le  ton  de  la  corde  fondamentale.  Comme  nous  l'avons  dit, 

Huygens  prend  pour  le  ton  S  (g)  une  corde  de  longueur  x.  Pour  R=  (d)  il  en  déduit  '--  en 

montant  d'une  quinte  (diapente),  et  pour  R(d)  1 —  en  descendant  ensuite  d'une  oftave  (dia- 
pason). De  la  même  manière  L  (a)  et  M'  (e)  se  dérivent  de  ce  dernier  ton  en  montant  chaque 
fois  d'une  quinte,  ensuite  M  (e)  en  descendant  d'une  oftave.  La  quinte  de  M  donne  C  (b). 
Puisque  l'intervalle  SV-  (g — c)  est  une  quarte,  le  rapport  des  longueurs  des  cordes  correspon- 
dantes est  apparemment  — .  Ensuite  F  (f  )  se  tire  de  V  (c);  en  montant  de  nouveau  d'une  quarte 
on  trouve  t'  (.bes).  L'intervalle  VM  (c — e)  est  une  tierce  majeure  pythagoricienne,  à  laquelle 
correspond  le  rapport  des  longueurs  4JÎ  j  .  Le  même  intervalle  sépare  R  (d)  de  F^  (fis),  M 

(e)  de  S^  (gis),  L  (a)  de  V^*^  (cis),  d'où  suit  V*^  (cis).  ^  (bes)  est  calculé  une  deuxième  fois 
en  descendant  d'une  tierce  majeure  à  partir  de  R'  (d).  M  (es)  provient  de  S  (g)  de  la  même 
manière. 

Tous  les  tons  du  système  ont  donc  été  déduits  du  ton  fondamental  par  des  sauts  de  quintes 
et  de  tierces  avec  réduftions  d'oftaves;  la  relation  de  chacun  d'eux  avec  la  tonique  est  donnée 
dans  le  tableau  suivant,  où  T  indique  un  saut  de  tierce,  Q  un  saut  de  quinte  et  O  un  saut  d'oc- 
tave, chaque  symbole  placé  dans  le  numérateur  désignant  une  ascension,  dansle  dénominateur, 
une  descente. 


2Q 


V*^ 

R 

r^(m'') 

M                 F 

F^            S          '  S#             L 

3QT 
2O 

2Q 

0 

Q 

T 

4Q_T       0 
2O                Q 

0^0 

c^ 

c 

v= 

V>tt                     R2 

R»f'(M"  )         M^             F^ 

2Q 

T 

TQ 

0 

'V    ^Q 

QO              4Q           2O 
T                0             Q 

DIVISION  DU  MONOCHORDE.  5  I 


Erunt  autem  ex  conftru(ftione  diapente  fimiles  VS,  SR%  RL,  LM%  MC.  Ced  et 
fimilis  illis  V^S^.  item  m'^c''  O^CF'^,  item  7F\  Item  FV%  F^V'^.  omnes  enim  uti  a 
ad  X.  fiint  ergo  1 1;  quare  dilîïmilis  i,  S^VI  ''). 

Diatefraron  fimiles  funt  ex  conrtruftione  SV%  VF,  F  ;  fiunt  autem  fimiles  et  iflas 

V^F*,  RS,  ML,  F^  C,  S*V^#,  LR%  C^M^'s  CM.  omnes  enim  ut  xzd  ^a,  five  2xad 

a.  Sunt  ergo  ii;  et  difiîmilis  i  •'').  Tertise  majores  fimiles  ex  conftruftione  VM,RF^, 

M$^,  LV'\  t'RS  R^S  '*).  fiunt  autem  et  ids  FL,SC.  omnes  enim  ut  «+  ad  ^x\  Sunt 
ergo  8,  et  diffimiles  4.  '). 

Tertiœ  minores  fimiles  fiunt  VR^,  V^M,  RF,  MS,  F^L,S^  S^  C,  LV  \  CR^  Sunt 
ergo  9  et  diiUmiles  3  '°). 

Sextœ  majores  fimiles  funt  VL,RC,rW'  ")'  MV^^,FR%SM%LF^^,bS%  C^\ 
Nempe  funt  complementa  terriarum  minorum.  Ergo  9  fimiles,  et  3  diffimiles  '°). 

Sextfe  minores  fimiles  funt  V^L,R1^,MV%F^R%  SR'^,  S^M%LF%CS%nempe8, 
complementa  tertiarum  majorum.  Reliqua;  diffimiles  4  '3^. 

$  2.  Horum  omnium  intervallorum  indeterminata  eft  haftenus  magnitudo,  nam 


3)  Ici  as  est  déterminé  comme  le  ton  formant  une  tierce  avec  le  ton  plus  haut  c. 

■*)  Nous  remarquons  que  Huygens,  pour  obtenir  une  gamme  chromatique  pythagoricienne  juste 
de  12  intervalles,  emprunte  les  tons  destinés  à  compléter  la  gamme  diatonique  en  partie 
(savoir  cis,  fis  et  gis)  à  la  partie  ascendante,  en  partie  (savoir  es  et  bes)  à  la  partie  descendante 

de  la  série  des  quintes.  En  poursuivant  la  marche  ascensionnelle,  il  aurait  trouvé  ^—^  pour  dis 

et  - — p—  pour  ais.  Dans  l'oftave  qui  commence  par  V,  M  'a  été  remplacé  par  R'^  (lisez  R"^). 

5)  Appelé  plus  haut  ^  [besH. 

it  >  -  —  • 

")  Il  faut  entendre  S'^M  '  ;  permutation  enharmonique  de  es  et  de  dis. 

'')  Savoir  M  S'",  de  nouveau  en  vertu  d'une  substitution  enharmonique. 

H 
8)  Ou  plutôt  M'  S. 

s»)  Savoir  V+^F,  vh,  S^V»,  Cm''^  (chez  Huygens  CR*'»). 

■°)  Savoir  mM,  FS^  bv=^ 

")  Lisez  M  V=. 

'=)  Savoir  V*>,  F+'m-  ,  S*F=. 

'3)  Savoir  VS^  M  C,  FV=*et7F=^ 


5  a  MUSIQUE. 


qualiscunquc  adfiimatur  .v,  fimilitudo  difta  ubiqiie  locum  habebit.  (En  marge:  omnes 
toni  a^qualcs  VR;RIM;FS;SL;  LC.  icem  MF^fV;CV'*).  Videamusergo  quanta 
convcnicntiflîmc  pofllt  Ihtiii  x.  Saiie  fi  ponatur  x  oo  f  ^,  conilat  quintas  omnes  ac 


2.V^ 


proinde  et  quartas  pcrfeftas  fore.  Verum  tune  fit  VL  oo  "^^-  co  ^^«.Sedutfit  pcr- 

fccta  lexta major  VL, dcbcrct  elTe  L  oo  ia,  quod  majus  cil  quam  iUi-  Ergo  ratio  LP 
ad  \'P  minor  cil  vcra  ad  etlicicndam  fextam  niajorcm,  quamobrcm  fexta  htec  major  crit 
juflo.  atquc  ita  omnes  rcliqux  fextte  majores  fiipra  cnumcratœ,  quia  omnes  inter  fe  fi.nit 
fimUes.  Hinc  vero  ettertiîe  minores  omnes  fiipradicla;,  qua^  fi.nit  complemcnta  fexta- 
nim  majorum  erunt  minores  jullo  '■♦).  Diffcrentia  autem  erit  ^'5  ")  id  quod  comma 
vocant,  nam  It  ell  ad  î  ut  80  ad  81.  qua;  valde  eft  notabilis,  ita  ut  facile  imperfeftio 
ejufmodi  tertiarum  ac  lextarum  aurc  pcrcipiatur.  Efl  cnim  comma  i  toni  proxime  '"). 
Sed  et  tertia  major  VM  exillapofitione,nempefiA-fit  00  |<?,  major  veracontingit, 
.  -1-4 
efl  enim  M  00  ^^-  00  Ha,  cum  debeat  effe  4^;  ad  faciendam  confonantiam  tertia; 

majoris.  Eftque  jf-  ad  |  ut  80  ad  8 1 .  qua;  rurfus  notabilis  efl  commatis  differentia,  qua 
etiam  fexta;  minores  à  veris  déficient,  quippe  tertiarum  majorum  complemcnta.  Prx- 
llat  igitur  quintam  VS  paulo  minorera  vero  lumere,  hoc  ell  .v  paulo  majorera  quara 
|<7.  hinc  enim  video  fextam  majorera  VL  et  oranes  firailes  minorera  faélura  iri  quam 


2X 


prius,  crefcente  nerapc  L  quae  erat  - — .  videoque  firaul  tertiam  majorera  VM  decre- 

j.  v+ 
fcere  ficut  requiritur,  nam  etiam  ^^i^  major  cfficitur  dura  raajor  ponitur  .v.  quanto 

igitur  majorera  furaimus .v  quam  |(7?  Optimura  videtur  ut  ita  coraparetur  fi  fieri  poflît, 
ut  quinta;  tanto  minores  évadant  perfeélis  quanto  fextse  majores  veras  excédent. 


'■»)  Il  appert  donc  ici  qu'on  ne  peut  faire  accorder  la  construction  de  lagamme  par  sauts  de  quintes 
et  rcduclions  d'octaves  avec  les  rapports  des  intervalles  consonants  suivant  le  tempérament 
harmonique  naturel. 

"5)  C'est  à  dire  pour  obtenir  la  vraie  sixte  majeure,  la  corde  LP  devrait  être  allongée  de  5-  (ou 


80^ 


bien  la  corde  VP  raccourcie  de  — \ 

81^ 


'*)  Le  ton  entier  VR(c — d)acquiertlavaleur  8:9.  Pour  monter  d'un  ton  entier,il  faut  donc  dimi- 
nuer la  longueur  de  la  corde  de  -,  c.à.d.  9  fois  d'avantage  que  pour  passer  de  la  vraie  sixte 
majeure  à  celle  figurant  dans  la  construction  pythagoricienne.  C'est  ce  qu'on  peut  exprimer  en 
disant  qu'un  comma  (savoir  un  comma  syr 

de  1  approximation  I  —  1    =  (  i  —  — -  j  ~ 


disant  qu'un  comma  (savoir  un  comma  syntonique)est  environ    -  d'un  ton.  Il  s'agit  en  somme 

I 
I . 

9 


DIVISION  DU  MONOCHORDE.  53 


SP     qiiinta  pcrf.     fexta  ma.  pcrf.     I> 
§3.  Sit  igitur  x  ad  |r/  ita  4^     ad 


2X+ 

aa 


'-  00  rx  ce      eric  hinc  MP  quas  erat  ^—^r  20 
ta  hoc  cft  tertia  major  perfecla. 


jf+  00  |-«+ 


.V  00  l^l/la* 

Undc  fi  ponatur  ^;  oo  100000,  invenietur  x  oo  66874  ^'j 

at  fi  foret  x  00  |^,  hoc  eft  quinta  VS  perfeda  efl'ec     x  oo  66666  | 

difF.  208 

differentia  crgo  c(l  ^^Iq  proximè  cocius  chorda:  '■)  qua  x  five  SP  débet  major  fumi 
quam  ia.  qua*  differentia  efi  valde  cxigua. 

Omnes  igitur  tertia;  majores  et  fexta:  minores  fimiles,  funt  perfeftîe  in  hoc  fyfte- 
mate.  Quintse  vero  et  tertia;  minores  pauxillo  minores  funt  veris,  jequali  defeéhi  ''). 
nam  chorda;  partes  qua;  fonant  quintas  vel  tertias  minores  contra  tonum  aliquem 
graviorem  excedunt  veras  proximè  ji^  fui  parte '^);  accurate  autem  quartà  parte 
commatis.  Quartîe  autem,  et  fextœ  majores  tantundem  veras  fuperant  -°'). 

En  marge:  dico  id  quo  S  noflirum  temperatum  difliat  ab  S  vero  five  |<?  eiïe  accurate 

I  commatis,  nam  ratio  k  ]/  i^+five  x  ad  ia  quadruplicata  facit  rationem  i«+  ad 
If  ^+  hoc  eil  ut  8 1  ad  80,  qu£e  eft  commatis. 

Notandum  etiam  tonos  omnes  iftos  tequales  elTe  VR,RM,M  F,  INIF^, FS,  F^S^, 

SL,LC,C^V%CV='*.  Diffimiles  tantum  V^R*,S^C^=0-Semitonia majora  limUiaV^R, 

RM',ÎVIF,P'S,S*'L,LC  ,CV\  ReHqua  quinque  minora  etiam  inter  le  iimilia  VV*^, 


'g  En  effet, ~  -=-. 

^  looooo      480 

")  La  longueur  de  la  corde  devient  pour  la  tierce  mineure  i—  «  =  ^    ,    .  7  a.    Son    intervalle 

avec  la  véritable  tierce  mineure  est  donc  égal  à  celui  de  la  quinte  tempérée  avec  la  quinte  véri- 


table:  en  effet,  \  /  -a*  =  — 5^.  -a. 
5  2.5'/4    3 


■>)  En  effet,  -i-  «  =  _L  .  ?«. 
480         320    3 


54  MUSIQUE. 


§  4.  Si  velimus  ut  tertia;  minores  majore(que,  et  fextœ  majores  minorerque  œque 
multum  a  veris  diftent 

tert.  maj.  perf.         (exta  major  pert. 
Sit  ii-  ad         ^a  ficut  ^a  ad  ^ 


8*7 

a' 

DO 

i2aa 

25 

x^ 

30 

7'^^' 

xzo 


\/J'^  ^' 


Hinc  invenitur     x  co  66904,  qualium  a  eft  1 00000  vel  accuratius  66903!. 
quinta  perfe(fla     x  00  66666 

diff.3.  238  hocefl:  jl^ô  cotiuschordse,  qus  facit  ^|g  chordîE  SP. 
At  ex  priori  fyftemate  erat  ^-^g.  Ergo  hic  perexigua  differcntia  eft,  fed  tamen  quintae 
paulo  adhuc  minores,  et  quarts  majores. 

Porro  fit  LP  five  ^^  00  59393  to  1"3e  fubdudta  a  vera  lextje  majoris  longitudine 

quîe  eft  60000,  relinquit  tantum  105  "),  hoc  eft  yg'gg  fere  tantum  totius  chordae, 
quœ  facit  j^j  chordœ  LP.  at  ex  priori  fyftemate  erat  3  ig,  quantum  nempe  quints 
longitude  veram  fuperabat.  Ergo  hic  jam  fexta;  majores,  fimulque  tertis  minores  me- 
liores  fiunt  quam  in  fyftemate  prscedenti  '3).  Tertia;  autem  majores  et  (extœ  minores 
jam  a  veris  recedunt  tantundem  prscife  quantum  tertis  majores  et  fexta;  minores  ^■*). 
fit  enim  MP  oo  80142  quae  debebat  efte  80000,  differentia  eft  142,  quœ  etiam  eft 
jIj  chords  MP  =0- 


(7°  rV<  2.ÇV4      î 

'°)  D'après  l'hypothèse  initiale  pour  la  sixte;  pour  la  quarte  on  trouve  —  ^a.^—  =  —i —  -a. 

'')  Comme  plus  haut,  ceci  résulte  d'une  substitution  enharmonique.  On  trouve  les  mêmes  inter- 

valles  que  dans  les  cas  énumérés,  lorsqu'on  prend  '^~-  pour  R'et  qu'on  remplace  C  (bes)  par 

ais 


^m- 


"^  Lisez  106. 

=3)  Le  système  trouvé  dans  ce  §  est  connu  sous  le  nom  de  tempérament  de  Zarlino;  voyez  l'Aver- 
tissement (p.  46). 
^■♦)  Lisez:  quantum  sexta:  majores  et  tertiîe  minores. 
'5)  Ceci  résulte  de  la  condition  imposée  aux  tierces  et  sixtes  majeures.  La  validité  de  la  thèse  pour 


DIVISION  DU  MONOCHORDE.  55 


Hic  igicur  certia;  majores  et  tertiœ  minores  œqualitcr  à  veris  dcficiunt,  nempe  ac- 
curate  ^  commatis  '*),  quse  différencia  auribus  nefcio  an  pcrcipi  poflît.  Sextje  vero 
majores  c:  minores  cantundem  vcras  fiiperant.  Quintjc  deficiiinc  a  veris  duplo  tanco 
nempe  ^  commatis  '■'),  accuratè,  ac  tantundem  qiiartx'  veras  iuperant. 

§5.  Ortendit  autcm  experientia  meliiis  gratiufque  auribus  elTe  prius  fyflcma,  necmirum 
cum  in  illo  nulla  confonantia  tantum  a  vera  recédât  quam  hîc.  nam  hicjamfcnfibilius 
fit,  etfi  exiguo  quintarum  et  quartarum  vitium.  deinde  et  tertia?  majores,  licet  tantum 
^  commatis  dcficiant,  minus  gratum  fonum  edunt  quam  cum  perfecta;  funt,  ut  in 
priori  illo  iyflemate,  frequentiiîîme  autcm  occurrunt.  Sed  et  facilius  harum  adjumento 
chordiv  oranes  clavicymbali  vel  fiilulxHirgani  ad  fuum  qua;quc  tonum  componuntur. 
Omnino  igitur  priori  fyftemate  uti  pra.'ftat. 

Modus  autcm  quo  fecundùm  illud  chorda;  in  ordinem  rediguntur  five  accordandi 
ut  vocant  clavecymbali  vel  organi  efl:  ifle  '").  Primo  iiat 

VM  tertia  major  perfcfta.  et  deinde  MM-,  diapafon  perfefta  ut  omnes. 
Quo  autemcertiusaccipi  poflît  3^  major  perfeda,  fiât  primum  diapafon  VV^.  deinde 
inter  bas  S  quod  fonet  5  tam  pcrfcctam  ad  V:  et  4tam  ad  V-.  tune  intcr  V  et  S  ponatur 
M  utrique  perfeétè  confonans,  alteri  per  3^'"  majorcm,  alteri  per  minorem.  Poftea 
relido  M  perfefto,  parum  remittatur  S,  ut  fit 

VS  quinta  exiguo  minor  vera. 

SR^  quinta  fimilis.  et  R-R  diapafon. 

RL  quinta  fimilis.  Si  jam  LM-  inveniatur  eflTe  quinta  prioribus  fimilis  redte  fe  habent 


les  tierces  et  sixtes  mineures  résulte  de  ce  que  la  condition 

«''s  5        «' 

;  ^  a  =  -a  : 

4jr3     6  8       8.V» 

(voyez  la  note  3  de  la  p.  51)  conduit  elle  aussi  précisément  à  la  valeur  de  .v  dont  il  vient  d'être 
question  dans  le  texte. 

(.4  ,     > 4 

-^-j    /7,  c.à.d.  5|  — j   . -/7.  Lorsque 

—  )    =  — -,  c.  à.  d.  le 
50/         80 

comma  syntonique. 

^^)  En  effet,  la  longueur  de  corde  de  la  quinte  devient 

"y    s^^vW  '2 ■3'^'°"  1(50/  'sj   ^%i' 

'*)  Le  Manuscrit  13  contient  (f.  52)  une  note  sur  le  même  sujet  sous  le  titre:  Chordas  Clavi- 
cymbali in  ordinem  redigemus  hoc  modo.  Cette  Pièce  se  distingue  de  notre  texte  par  le 

remplacement  de  M'  par  R  ■  et  par  quelques  changements  et  compléments  que  nous  indiquons 
dans  les  notes  qui  suivent. 


^6  MUSIQUE. 


haaenus  omnia,  fin  minus  très  tantum  illse  S,  R%  Lcorrigendsfunc,ufquedum  LM' 
inveniatur,  ut  diflum  clt,  quinta  deficicns  lîmilis.  Hinc  rcliqua;  per  tertias  majores 

perfeétas  dcducuntur  LF,  SC,LV=^  MS',  RF^  R"-I/;  SM'\ltaomncshabcntur,un- 
dc  reliquat  per  diapafon  furluni  ac  deorfum  -'^). 

Si  ad  fcmitonos  S^,  V*',  M  alij  femitoni  fupcraddantur,  poterit  quiique  tonus  dia- 
tonicus  infra  ac  fupra  habcrc  confonantcs  fecundum  omnes  confonantias.  Poncndo 

V'S*  tcrtiara  majorem  perfeftam,  ut  et  CR=*,  FV*.  fit  crgo  S*  oo  g^.  R-*  xi 


a^  ' 


a' 


V*  30  ——30^ 

Falfa:  quartx  five  critoni  fimiles  >')  funt  VF^  RS^,  I\T'L,FC,SV=^C^M\funtque 
paulo  minores  quam  -  ad  5,  nempc  ^f  y  '-),  hoc  ert  minus  quam  f  coramatis.  ac  for- 
tafTc  et  ha.'c  conibnantia  cenienda  eft.  quinta.^  falfo  five  quinta;  minores  fimiles  funt 

V'^S,  M?.  F^^-,S^R,LR"-*^,  CF=;  tantundcm  fupcrant  rationem  10  ad  7.  vocentur 
haï  tritoni  majores  "). 


C.  DIVISIO  MONOCI  lORDI  II  ')• 

[1661] 

Longitudo  chorda.^  totius  \T,  qua;  fonat  Ut,  vocatur  û.  Pars  SP  vero,  quje  fonat  Sol, 
dicitur  .v. 

La  corde  eft  repréfentée  par  Huygens  par  une  droite  verticale.  Pour  trouver  dans  notre  tableau 

if         i» 
la  pofition  du  point  P  il  faut  doubler  la  longueur  VV^,  toutes  les  diftances,  de  V  à  V'',  de  V^  à  R 

etc.  étant  fuppofées  égales. 


'')  Manuscrit  13:  ncc  nili  per  oftavos  furlum  ac  dcorliim  procedere  eft  opus. 

3°)  Cet  alinéa  fait  défaut  dans  le  Manuscrit  13. 

^')  Dans  le  Manuscrit  13  seulement:  Tritoni  minores  iimiles. 

3-)  Pour  A  =  rt   1/     -  on  obtient  I"  =  8— ^  8( -  )   .  ^.Pour«=  iooooocecidevient7i554, 

ce  qui  surpasse  -.  1 00000  ou  71429  de  125,  c.à.d.  de .  "1429. 

5^)  Dans  le  Manuscrit  13  la  phrase  „Quintœ  falsîc. .  .tritoni  majores"  à  été  remplacée  par  Horum 

complemenca  live  tritoni  majores  fimiles  luntF^,  \'-  :  S",  R'  :  L,R'*^  :  C,F=  :  V^, 

S  :  M,L*^  :  quaï  tantundem  fuperant  rationem  10  ad  7.  ideoque  omnino  majores 
iunt  tritonis  minoribus  cum  jam  ratio  10  ad  7  fit  major  quam  7  ad  5.  FortaiTe  au- 
tem  et  horum  uterque  confonantijs  accenfcndus  eft. 


DIVISION  DU  MONOCHORDE. 


57 


V 

v# 

R 
R# 
M 
F 

F# 
S 


c 


R' 


a 
I  6a:" 


«7 
aa 


a 
\6aa 


a^ 

25^ 

2XX 

a 

2ArA- 
a 

4^-3 

^x 

4A-4 

«3 

f^ 

aa 

«<2 

IX 

sa: 

8a-« 

8xA- 

^5 

5^ 

A- 

X 

\6x^ 

>«/7 

.  XX 

^x 


ia 


aa 


a" 

8  a;- 

a^        ''  X 

a  a 

a* 
8x3 

2X+ 

'a^ 
aa 
^x 

Syftema  inde- 
terminatiim 


8 


%x 

la 

o 

4X 


1 00000     1  )cmonfl;ratiir  per  tcrniinos  Algebraicos  fyftcmatis 
indetcrminati,  Qiiintas  fimiles  effe  V,S:S,R=:R, 


957°- 
89443 
83592 
80000 

747^7 
71554 


L:L,M^:M,C:V^,S^R*,C^C,F-^L^F^ 


F, 


V^:F%V='^.  omnes  cnini  ut  a  ad  x  ').  dillimilis  cr- 

go  cantum  iina  S^,R''^3^.  Hinc  et  omncsquartas 

(imiles  eiïc  confiât  pra;ter  unam  R*,S*.omnesau- 
tem  fimiles  ut  2.v  ad  a.  Tcrtia;  majores  fimiles  ac 

perfeftaj  funt  V,M:R,l^:M,S':L,V=^C\  R^  : 

R  ,  S  :  F,  L  :  S,  C  :  omnes  enim  ut  «+  ad  4.r+.  Harum 
complementa  fi.mt  tocidem  fcxta'  minores  fimiles 

ac  perfeifts.  Tertiœ  minores  fimiles  funt  V,  R*" :  V  , 

M:R,  F:M,S:F^,L:S,C^S*,  C  :  L,  V=  :  C,  R% 

66874     Quarura  complementa  funt  totidem  fextoe  majores 

fimiles. 
64000 

59814 

55902 

53499 

50000 

47851 
44721 
41796 

40000 

^      n        *-  Proportiones  longitudinum  chordœ   ejufdem 
"'■  ^  qua;  tonis  fingulis  conveniunt  5). 

XX 

Syftema  idem  detenninatum  per  ^  oo  ia''^.  hoc  eft  in  quo  tcrtiîe 


')  La  Pièce  est  empruntée  à  la  p.  51  du  Manuscrit  13.  Elle  contient  une  nouvelle  déduétion  du 

8 


58  MUSIQUE. 


majores  perfeftœ  funt,  quintœ  vero  a  perfeftis  tantundem  deficiunt 
atque  fextœ  majores  excediinc,  nempe  ^  commatis.  Dico  S  noftrum 

abSperfcélofive|<7diftarcicommatis. Ratio enim.rfive  K   )/  j^^ 
ad  1^,  quadruplicata  facit  racionem  ir/+  ad  jf  (2+,  hoc  eft,  rationcm 

aa . 


8 1  ad  80,  quse  eil  commatis.  fimiliter  ratio  L  five  |  — ;-  hoc  efl: 

aa 
Il  y-—r=^  ad  ^a  quadruplicata  facit  rationem  80  ad  81. 
^l^yia*      ' 


I/article  de  Land  de  1891  que  nous  avons  mentionné  dans  la  note  4  de  la  p.  44  qui  précède 
contient,  nous  l'avons  dit,  la  reproduction  d'une  partie  de  la  f.  3V  du  portefeuille  „Murica"  dont 
le  contenu  diffère  peu  de  celle  de  la  page  ici  publiée  du  Manuscrit  13.  Seulement  cette  f.  3v  con- 
tient en  plus  que  la  page  du  Manufcrit  13  les  notes 

V*  .  .  .    -—    ...    i-    ...  93459  V*  .  .  .    -—    .  .  .   ^—   .  .  .  46730 

8jf5  x>x  lojr»  10  X 

R*  .  .  .    i-5-    ...    f_-.v    ...  85599  R*  .  .  .    — ^    •  •  •   —  -^     •  •  •  42.-99 

F*   . 

S*    . 

les  nombres  faifant  voir  où  ces  notes  doivent  être  intercalées  dans  la  table  publiée  dans  le  texte.  En 
outre  la  table  de  la  f.  3V  va  jufqu'à  \^  .  .  .  \  a  .  .  .  \  a  .  .  .  25000.  Comparez  ce  que  nous 
difons  à  la  p.  56  fur  la  longueur  VP  (c.à.d.  la  diftance  de  V  à  V^). 


«« 

'      Sa:      ■ 

•  •  93459 

V*  .  . 

a<^ 

5  aa 

8x5     •  ■ 

■    i6;c5    ■ 

'  '    i6x 

32  j:» 
«8      ■  ■ 

25 

•  •  85599 

R*  .  . 

\6x9 

'      a»      ' 

16 

.    .     -V 

25 

à! 
i6.v<5    *  ■ 

\^xx 
i6a 

.  .  699-9 

«5 

8^+     ■  ■ 

■  \'  ■ 

.  .  62500 

système  du  ton  moyen.  La  colonne  i  contient  les  longueurs  des  cordes  suivant  le  tempérament 
pythagoricien,  où  la  longueur  de  la  C(,rde  de  la  quinte  du  ton  fondamental  est  de  nouveau  lais- 
sée provisoirement  indéterminée  (systema  indcterminatum).  Dans  la  colonne  2  xest  unegran- 
deur  déterminée,  dont  la  valeur  est  fixée  par  la  condition  de  la  justesse  de  la  tierce  majeure, 

c.à.d.  par  1  équation  -î-j-  ^-  a. 

")  Cette  remarque,  ainsi  que  celles  qui  suivent,  ne  s'applique  qu'à  la  première  colonne. 

')  Voyez  l'Appendice  qui  suit. 

•♦)  La  déduction  suit  donc  une  marche  inverse  par  rapport  à  la  Pièce  I  de  juillet  1661  (p.  49).  Là 
il  fut  postulé  que  les  quintes  seraient  inférieures  d'autant  que  les  sixtes  majeures  seraient  supé- 
rieures à  leurs  vraies  valeurs,  d'où  suivait  la  justesse  des  tierces.  Ici  Huygens  demande  que  l'in- 
tervalle VN  (c — e)  soit  une  tierce  majeure  naturelle  ^5  :  4):  ce  postulat  conduit  à  l'équation 

^^  =  ~a,  d'où  encore  une  fois x  =  a  \/     -. 
ai        5  V      5 

Pour  cette  valeur  de  x  toutes  les  valeurs  de  la  colonne  i  se  changent  dans  les  valeurs  corres- 
pondantes de  la  colonne  2. 

S)  Les  nombres  de  la  quatrième  colonne  se  tirent  des  colonnes  i  ou  2  en  y  substituant  -  = 


V^ 


a 


APPENDICE 

À  LA  PIÈCE  C  (DIVISIO  MONOCHORDI II)  -)• 

1676. 

Tonus  meus  U,R,  minor  eft  tono  majore  vetcri  qui  ell  9  ad  8,  dimidio  commate. 
Nam  U  eft  /?,  R  eR  '— .  fed  x  00  X^YJa^ 


a 


Ergo  00  [/  faa  00  R.  Sed  ratio  ^a  ad  \/  faa  duplicata,  facit  rationem 


a 


80  ad  8 1 .  qus  efl:  commatis.  Ergo  ratio  ^a  ad  \/^aa  efl  i  comma. 

Quod  R  fit  ]/^  4(7^  facilius  etiam  hinc  conftare  poterat,  quod  inter  U  oo  <?  et  M 

00  f  <7,  médium  proportionale  efl:  R.  nam  in  fyfliemate  indetenninato efl:  rae- 

dium  proportionale  inter  a  et  ^-j- 

Semitonium  majus  meum  M, F,  femitonio  majore  veteri  nempe  16  ad  15  majuseft 

^  commatis.  Efl  enim  M  oo  f  ^;  F  oo  — ,  quorum  ratio  eadem  quœ  8x  ad  5<?.  fed 

fi  effet  ut  16  ad  15,  eïïet  ut  8.r  ad  y  a\  Ergo  ofliendendum  quod  y.r  major  efl  quam 
5^  quarta  parte  commatis,  hoc  efl,  rationem  y  x  ad  5^,  hoc  eil:  3  a:  ad  2^-,  quadru- 

plicatam  efficere  rationem  81  ad  80.  .r  efl  00  \y\/\a*  fed  ratio  3  X^^^la"^  ad 
ia  quadruplicata  facit  rationem  \'<7+  ad  16/Y+  fiveSi  ad8o,quoderatofl:endendum. 

Dia pente  S*R"^  fola  major  efl  cjeteris,  quas  fuperat  parte  toni  quam  conftituit  ratio 

1 28  ad  1 25.  Nam  S^  efl:  ^ta  à  quo  ad  R'^,  %x  non  efl  diapente,  fed  ad  R=*  co  ifx. 

Efl  autem  ^|.r  ad  f  a-  ut  1 28  ad  1 25.  quod  proxime  facit  duo  commata.  Ergo S'R"*' 
duobus  commatis  fuperat  circiter  diapente  qus  efl  ex  temperamento.  Veram  vero  dia- 
pente (uperabit  J  commatis. 

Quarta  diminuta  quales  S^U,F*i',  efl:  exafte  ut  32  ad  25,  hoc  efl:  fere  ut  9  ad  7  à 
qua  proportione  déficit  paulo  plus  quam  |  commatis. 


•)  Portefeuille  „Miisica",  f.  48.  Dans  cette  Pièce  Huygens  calcule  la  grandeur  de  différents  inter- 
valles dans  le  système  du  ton  moyen.  En  marge  la  date  1 6j6. 


6o  MUSIQUE, 


Ergo  quinta  exuperans  Uy ,  et  reliqua;,  cxadc  ut  25  ad  16.  et  fere  ut  14  ad  9, 
quam  proportionem  fupcrant  paulo  plus  quam  ^  commatis. 

Sexta  exuperans  C  S",  ell  proxime  ut  7  ad  4  (pauxillo  minor)  in  fyftemate  tem- 
perato,  et  videtur  confonantia.  nani  et  gratum  auribus  ibnura  edit,  et  non  treniulum, 

ut  fexta  diminuta  S'M  .  différencia  logarithmorum  C  etS^  efl:  24228.  Et  differentia 

logarithmorum  -  et  4  eft  24304.  Ita  autem  ratio  C  ad  S*  ad  rationem  7  ad  4  ut  ha; 
diffcrencise  inter  fe. 


m. 

PIÈCES  SUR  LE  CHANT  ANTIQUE  ET 

MODERNE. 


Avertiffement. 


Le  portefeuille  „Mufica"  renferme  e.a.  une  férié  de  feuilles  d'un  même  format 
différent  de  celui  des  autres,  numérotées  i — 45  par  Huygens;  elle  contiennent  des 
notes  ou  pièces  apparemment  écrites  plus  ou  moins  d'un  trait.  C'eft  à  ce  groupe  de 
feuilles  que  nous  empruntons  e.a.  les  cinq  Pièces  A — E  qui  fuivent;  feule  la  deuxième 
partie  de  la  Pièce  B  (le  morceau  B  II),  ainfi  que  le  morceau  D  II,  proviennent  d'au- 
tres feuilles.  Comme  le  groupe  mentionné  1—45  ')  contient  e.a.  des  remarques  fur 
un  livre  de  Th.  Salmon  paru  en  1672  ^)  il  ne  peut  être  antérieur  à  cette  date.  Quant 
au  morceau  D  II,  il  ne  peut  être  antérieur  à  1682,  puifqu'il  traite  de  l'édition  des 
„HaiTnonika"  de  Ptolémée  par  Wallis  de  cette  année. 

Dans  la  Pièce  A^  à  laquelle  nous  avons  donné  le  titre  „Le  tempo  giufto"  3),  Huy- 
gens  obferve  que,  puifqu 'anciennement  on  ne  fe  fervait  que  de  deux  notes  (longa  et 
brevis),  il  eft  croyable  que  celles-ci  correfpondaient  à  des  temps  plus  courts  que  chez 


')  Que  nous  désignons  par  f.  ad — 44. 

-)  P.  1 36  qui  suit. 

3)  Le  mot  „giusto"  étant  pris  dans  le  sens  littéral  (juste).  Nous  faisons  cette  remarque  parce  que 
le  sens  n'est  pas  toujours  le  même.  Percy  A.  Scholes  „The  Oxford  Companion  to  Music",  Ox- 
ford Univ.  Press  1938.  écrits.v.giusto:„Tempogiustopuzzlingly  meanseither  «stria  time"  or 
„suitable  time". 


64  AVERTISSEMENT. 


les  modernes.  Sa  propofition  de  fixer  les  durées  des  notes  ♦)  à  l'aide  du  pendule  — 
voyez  fur  une  propofition  analogue  de  Merfenne  la  note  5  de  la  p.  68  qui  fuit  — 
rappelle  celle  de  fc  fervir  du  pendule  pour  établir  l'unité  de  longueur  '). 

La  Pièce  B  traite  afiez  amplement  des  modes  du  chant  d'églife;  Huygens  défend 
fa  manière  de  voir  d'après  laquelle  il  n'y  a  au  fond  que  deux  modes,  le  majeur  et  le 
mineur,  lefquels  on  peut  répéter  à  différentes  hauteurs,  tous  les  tons  authentiques 
étant  par  conféquent  des  tranfpofitions  de  ces  modes. 

Dans  la  Pièce  C  Huygens  combat  ceux  „qui  croient  que  le  chant  de  la  voix  eft  plus 
parfait  que  celuy  de  tout  autre  inftrument  et  que  la  voix  chante  tous  les  intervalles 
des  tons  et  tous  les  accords  jufl:es"  ").  Il  eft  au  contraire  d'avis  qu'  „il  y  a  des  voix  qui 
penchent  naturellement  a  baiflTer  et  d'autres  a  hauffer".  Il  calcule  en  outre  les  diffé- 
rences commatiques  qui  réfulteraient  d'un  chmiparfûitewefnjt//Ie\TQycmnz  au  ton 
de  départ. 

Huygens  —  on  l'a  déjà  vu  plus  haut  ')  —  ne  partage  nullement  l'opinion  de  Ste- 
vin  d'après  laquelle  le  chant  parfaitement  jufte  eft  celui  d'où  ne  réfulte,  dans  le  cas  con- 
fidéré,  aucune  différence  commatique.  Stevin  paraît  en  outre  être  d'avis  que  ce  chant 
parfaitement  jufte  ")  eft  fort  poflîble  fans  aucun  accompagnement.  Eft-ce  e.a.  à  lui  que 
Huygens  fait  allufion  dans  fa  première  phrafe  citée  ci-defflis  ?  Stevin  parlait  (pour  citer 
cette  fois  la  traduétion  françaife)  des  „vrais  femitons,  que  nous  entonnons  de  nature 
tous  égaux"**).  Voyez  aulfi  la  1. 5  d'en  bas  de  la  p.  82  qui  fuit  où  Guicciardini  affirme  que 


^)  Dans  son  traité  de  i66o„Ghebruik,en  Onghebruik  van't  Orghelin  de  Kerken  der  Vereenighde 
Nederlanden"  (Amsterdam,  A.  G.  vanden  Heuvel)  Constantyn  Huygens  père  dit  que  sans  or- 
gue on  chante  souvent  trop  vite  ou  trop  lentement.  Il  parle  (p.  1 16)  de  „  —  een'  on verhaeste 
ende  onvertraeghdc  maet,  waerin  mede  veeltijds  groffclick  werd  gefcilt". 

Sur  ce  traité  on  peut  consulter  p.e.  les  p.  27 — 28  de  „Het  muzickleven  in  Nederland  in  de 
I7de  en  i8de  eeuw"  par  Dirk  J.  Balfoort  (Amsterdam,  P.  N.  van  Kampen,  1938). 

5)  Voyez  les  p.  354  et  suiv.  du  T.  XVI. 

*)  Ce  qui  n'est,  certes,  pas  l'opinion  de  son  père  qui  se  plaint  dans  le  traité  nommé  (note  4)  du 
chant  sans  orgue  fort  peu  satisfaisant,  du  moins  dans  les  Pays-Bas  septentrionaux.  En  Angle- 
terre, dit-il,  ce  chant  est  meilleur. 

0  P-  32- 

*)  L.  24 — 26  de  la  p.  33  qui  précède. 

')  Premier  Livre  de  la  Géographie,  dans  „les  Oeuvres  mathématiques  de  S.  Stevin  augm.  par  A. 
Girard"  (C.  et  B.  Elsevier,  Leyde  1634)  ?•  '  i  -• 


AVERTISSEMENT.  65 


les  Belgîe  „cancan'  naturalmente  a  mifura".  Quoi  qu'il  en  foit,  il  femble  afTez  proba- 
ble que  ce  foie  auffi  et  furtouc  à  Zarlino  que  Muygens  penfe  '°).  Merfenne  ")  parle 
du  durèrent  que  Vincent  Galilée  eut  en  1588  fur  ce  fujct  avec  Zarlino;  „Galil6e", 
dit-il,  „conclud  que  les  voix  apprennent  les  vrayes  interuallcs  de  la  Mufique  des  In- 
Itruniens,  &  non  au  contraire  ...  on  ne  peut  demonftrer  li  les  voix  chantent  iuftement 
qu'en  faifant  voir  qu'elles  font  conformes  au  parfait  Inftrument:  ce  que  Zarlin  eufl 
auoué  s'il  l'eurt  confiderè  attentiuemcnt"  '^).  Quelques  pages  du  traité  „Vande  Spie- 
geling  der  Singkonft"  font  voir  que  Stevin  connaifTait  les  ouvrages  de  Zarlino. 


La  quatrième  Pièce  (Z))  traite  la  célèbre  queftion  fi  les  Anciens  ont,  oui  ou  non, 
connu  la  polyphonie  à  laquelle  Huygens  répond  par  la  négative  ''),  admettant  tout 
au  plus  qu'ils  aient  fait  ufage  d'un  „faux  bourdon".  Il  s'agit  apparemment  de  ce  qu'il 
appelle  ailleurs,  en  difcutant  la  même  queftion,  „un  faux  bourdon  d'odlave,  quinte  et 
quarte"  '*). 


'°)  Comparez  la  note  73  de  la  p.  loi  qui  suit. 

")  «Harmonie  Universelle"  de  1636,  „Traité  des  Instrumens  à  chordes"  p.  7,  Prop.  III:  „Deter- 
miner  si  l'on  a  fait  des  Instrumens  de  Musique  à  l'imitation  des  voix,  ou  si  l'on  a  réglé  les  in  ter- 
ualles  des  voix  par  ceux  des  Instrumens,  etc." 

'  -)  Mersenne  cite  le  Cap.  IV  du  Libre  Primo  („Della  Differentia  che  si  troua  tra  la  Natura  &  l'Arte, 
&  tra  il  Naturale  &  lo  Arteficiale,  &  che  l'Artefice  é  solamente  imitatore  délia  Natura")  des 
„Sopplementi  musicali  del  rev.  M.  Gioseifo  Zarlino  da  Chioggia,  Maestro  di  Cappella  délia  Sere- 
niss.  Signoria  di  Venetia,  Ne  i  quali  si  dichiarano  moite  cose  contenute  ne  i  Due  primi  Volumi, 
délie  Istitutioni  &  Dimostrationi;  per  essere  state  mal'  intese  da  molti;  &  si  risponde  insieme 
aile  loro  Calonnie",  Terzo  Volume,  Venetia,  Francesco  de' Franceschi,  1588.  En  15 89  (la  pré- 
face est  datée  août  1588)  parut  le  „Discorso  di  VincentioGalilei  nobile  Fiorentino,intornoair 
opère  di  messer  GiosefFo  Zarlino  di  Chioggia  et  altri  important!  particolari  attenenti  alla  musica" 
(Fiorenza,  G.  Marescotti).  La  Bibl.  Naz.  de  Firenze  possède  en  outre  des  remarques  manuscrites 
de  V.  Galilei  sur  le  même  sujet  (Vol.  V.  „Critica  ...  ai  Sopplimenti  musicali"). 

■5)  Comparez  les  deux  premières  lignes  de  la  p.  30  qui  précède. 

■•*)  P.  1 17  qui  suit.  On  peut  consulter  sur  le  faux-bourdon  le  chapitre  „Der  Diskantus  und  Faux- 
bourdon",  p.  309 — 359  du  deuxième  livre  („Die  Entwicklung  des  geregelten  raehrstimmigen 
Gesanges")  de  la  „Geschichte  der  Musik"  par  A.  W.  Ambros  (Band  II,  Breslau,  F.  E.  C.  Leu- 
ckart,  1864). 

9 


66  AVERTISSEMENT. 


La  cinquième  Partie  enfin  proclame,  bien  brièvement,  la  gloire  des  Pays-Bas  dans 
le  domaine  de  la  mufique.  Ambros,  qui  lui  auili  cite  Guicciardini  ''),  nous  apprend, 
ce  dont  il  n'cft  pas  queftion  dans  les  éloges  du  florentin,  que  la  plus  grande  tlorailbn 
de  la  mulique  dans  les  Pays-Bas  ne  datait  pas  du  temps  où  écrivait  Guicciardini, 
mais  d'un  peu  plus  tôt:  „Das  Jahrhundert  von  1450  bis  1550  verdient  in  derMufik- 
gefchichte  recht  eigentlich  den  Namen  des  Jahrhunderts  der  Niederlander.  Demnie- 
dcrlândilchen  iNIufiker  war,  vvie  fpâter  dem  italicnifchen,  fchon  reine  Heimat  eine 
Enipfehlung,  denn  die  Niederlande  galten  fiir  die  Ilochfchule  der  Mufiic  ;  fclbst  dann 

noch  als  Italiens  nnifikalifcher  Ruhm  fchon  in  voUem  Glanze  flrahlte So  noch 

bis  in  den  Antang  des  17.  Jahrhunderts  hinein"  '"^). 

Nous  ajoutons  que  dans  fes  compofitions  Conftantijn  Huygens  père  (  1 596 — 1687) 
s'infpire  de  la  mufique  italienne,  ce  qui  s'accorde  bien  avec  les  paroles  d'Ambros  ''). 

Quant  à  Chridiaan,  nous  ne  connaifTons  aucune  compofition  de  fa  main.  Nous  ne 
voyons  pas  non  plus  qu'il  ait  difcouru,  ce  qu'il  fe  propofait  un  inftant  de  faire,  fur  la 
„Methode  pour  faire  des  beaux  chants"  '^),  et  nous  croyons  qu'il  a  fort  bien  fait  de 
s'en  abilenir:  qui  panni  nos  lecteurs  voudrait  foutenir  que  pour  faire  „des  beaux 
chants"  il  fuffit  d'être  en  poireffion  d'une  technique  fort  parfaite?  Non  omnia  pofiu- 
mus  omnes. 

Il  faut  noter  que  Chriftiaan  Huygens  efl  fans  doute  ici  fous  l'influence  de  Merfenne 
qui,  déjà  dans  „La  Vérité  des  Sciences"  de  1625,  traite  longuement  '')  la  queftion 
de  favoir  „s'il  ell  polTible  de  faire  un  chant  fur  un  fujet  donné  qui  foit  le  plus  beau  de 
tous  ceux  qui  puifTent  eflre  faits  fur  le  mefme  fujet".  Merfenne  croit  à  cette  poRlbi- 
lité  tant  „abfo]ument"  que  „eu  égard  à  l'auditeur".  Il  s'exprime  comme  fuit  '°)  :  „I1 
efl;  necelTaire  d'entendre  parfaitement  la  mufique  fpeculatiue,  &  la  rhytmique,  &  de 
fçauoir  quel  tempérament  efi  le  plus  parfait  de  tous  les  temperamens  pofllbles  pour 
treuuer,  ou  cognoitlre  le  chant  le  plus  excellent  de  tous  abfolument  parlant:  &  pour 


'  5)  Ambros  „Geschichte  der  Musik",  Band  III  1 868,  premier  livre  („Die  Zeit  der  Niederlander"), 
p.  362.  Le  livre  de  Guicciardini  parut  en  1567  (note  3  de  la  p.  82  qui  suit). 

•«)  L.c.  p.  3. 

'")  Il  est  vrai  que  fort  peu  des  nombreuses  compositions  de  Constantijn  Huygens  ont  été  conservées. 
Voyez  sur  ce  sujet  les  Additions  et  Correftions  à  la  fin  du  présent  Tome. 

'*)  L.  5  de  la  p.  170  qui  suit. 

•>)  P.  544-580. 

")P.564. 


AVERTISSEMENT.  6j 


fçauoir  le  chant  le  plus  parfait  eu  égard  au  fubiét,  il  faut  fçauoir  parfaicftcment  la  na- 
ture du  fubiect,  &  la  plus  excellente  manière  par  la  quelle  il  peut  eftre  exprime:  en 
fin  pour  cognoiftre  le  plus  beau  chant  de  tous  eu  égard  à  l'auditeur,  &  a  fon  tempé- 
rament, il  faut  fçauoir  [ce  qu'il  juge  théoriquement  pofTible  et  par  conféqucnt  prati- 
quement réalilable  dans  les  âges  futurs]  le  degré  du  tempérament,  ou  ridiofyncrallc 
de  l'auditeur,  outre  tout  ce  que  nous  auons  dit  iufques  à  prefent". 

Il  importe  toutefois  de  remarquer  que  Iluygens  ne  parle  que  d'une  méthode  pour 
faire  „des  beaux  chants"  et  non  pas,  avec  l'auteur  de  „La  Vérité  des  Sciences,  contre 
les  Scptiques'')  ou  Pyrrhoniens"  de  faire  \es plus  beaux  chants").  Defcartes  lui 
aufll,  quoique  nullement  fufpeft  de  pyrrhonifmc,  était  d'avis  que  Merfenne  exagérait; 
dans  la  lettre  à  Mcrfcnne  du  i8  mars  1630  ^5)  il  écrit:  „generalement  ny  le  bcau,ny 
l'agréable,  ne  lignifie  rien  qu'un  rapport  de  nollre  jugement  à  l'objet;  et  pourcc  que 
les  jugemens  des  hommes  font  u  differens,  on  ne  peut  dire  que  le  beau,  ny  l'agréable, 
ayent  aucune  mefure  déterminée  ...  ce  qui  plaira  à  plus  de  gens,  pourra  élire  nommé 
fimplcment  le  plus  beau,  ce  qui  ne  fçauroit  élire  déterminé".  Voyez  encore  fur  ce 
fujet  le  dernier  alinéa  de  la  note  2  de  la  p.  82  qui  fuit. 


^')  Lisez  plutôt:  Sceptiques. 

=^)  Voyez  aussi  la  p.  1 26  qui  suit  où  Chr.  Huygens  écrit  à  propos  des  compositeurs:  nec  prjecep- 

tis  ita  confidere  debent  ac  si  geometria;  axiomata  effent,  fed  multas  exceptiones 

dari  exilliment. 
^3)  „Oeuvres",  éd.  Adam  et  Tannery,  I,  p.  82;  et  «Correspondance  du  P.  Marin  Mersenne"  éd. 

M.°"  P.  Tannery  et  C.  de  Waard,  II,  p.  417. 


.^.  LE  TEMPO  GIUSTO. 

Il  cil  croiable  ')  que  ancienenient  on  chantoit  incomparablement  plus  vifte  les 
notes  qu'ils  appellent  longa  brevis    d    g    qu'on  ne  fait  a  prefent.  Car  ils  n'avoient 

apparemment  que  celles  la,  et  le  chant  ne  pouvoit  pas  eftre  fi  lent,  jufqu'a  conti- 
nuer le  Ion  de  la  longa  pendant  1 6  battements  de  pouls,  comme  l'on  la  fait  durer  au- 
jourdhuy.  et  la  brevis  pendant  8  battements.  Le  chant  d'Eglilen'ell  nullement  fi  lent 
et  fi  on  l'efcrivoit  félon  qu'il  cft  ufitc,  ce  feroit  par  notes  blanches  a  queue  et  par 
noires,  qui  a  l'anciene  manière  s'appellent  minima  et  femiminima,  quoyque  pour  cette 
dernière  ils  n'en  euffent  point. 

max.     long.     brev.     femib.     min.     femimin.  ^) 
En  marge:  CD  d  H  ^  ^  | 

Je  vois  que  certains  compofiteurs  en  ordonnant  de  jouer  mefure  lente,  efcrivent 
par  des  noces  noires  crochues,  ce  qu'autrement  on  efcrivoit  par  des  fimples  noires  3). 
Et  par  la  il  pourra  arriver  a  la  fin  que  les  croches  tiendront  le  lieu  des  noires,  et  que 
pour  avoir  les  8<=s  de  ces  croches  auflî  bien  qu'on  a  maintenant  les  S^s  des  noires,  on 
adjoutera  encore  une  efpece  de  quadruples  crochues +).  Et  c'efl:  de  la  mefme  façon 
que  peu  a  peu  l'on  a  ralenti  les  temps  des  notes  ancienes,  en  y  adjoutant  d'autres  pour 
des  mouuements  plus  viftes. 

Il  eft  necefiaire  pour  fe  faire  entendre  a  la  pofteritè  et  pour  arrefter  une  fois 
les  temps  des  notes  de  les  déterminer  par  des  mefures  fixes,  comme  ibnt  les  pen- 
dules &c  5). 


')  Portefeuille  Musica,  f.  i6. 

')  C.à.d.  raaxima,  longa,  brevis,  seraibrevis,  minima,  semiminima. 

La  „blanche  à  queue"  ou  „rainiraa"  (notre  «blanche")  s'écrivait  aussi  ^  ;  et  la  „nc 
„semiminima"  (notre  „noire")  ♦  ou  i . 
3)  Donc,  au  lieu  de  la  semiminima  i,  la  „crocheta"  ou„fusa"  ▼. 


^)  La  huitième  partie  d'une  „fusa"  s'écrivait  ♦.  Huygens  observe  que  le  remplacement  de  la 
„noire"  par  la  „fusa"  rendra  nécessaire  l'introduftion  d'un  signe  à  quatre  crochets. 

S)  Mersenneparlecommesuit  dans  le  Corollaire  III  à  la  Prop.  i8  du  Liure  III  des  Instriimens: 
„I1  faut  encore  expliquer  comment  l'on  peut  garder  la  mesme  mesure  suiuant  l'intention  du 
mesme  compositeur,  quoy  qu'il  soit  mort  on  absent.  Ce  qui  est  tres-aysé  par  le  moyen  d'une 
chorde  suspendue,  dont  i'ay  donné  les  usages  ailleurs,  car  il  suffit  que  le  Compositeur  ou  le 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  69 


Qiiirinus  van  Blankenburg  *),  organifte  de  l'églife  wallonne  à  la  Haye  7),  qui  connailTait  Huy- 
gens  fort  bien  8),  nous  apprend  dans  une  publication  de  1732  !*)  avoir  vu  chez  lui  qu'il  réglait  ef- 
fe(fti\emcnt  le  chant  avec  un  pendule  et  avoir  adopté  lui-même  ce  réglage  '°).  Van  Blankenburg 
connaît  auHi  le  chronomètre,  précurfcur  du  métronome,  de  Loulié  écrivant  peu  après  la  mort  de 
Huygcns").  Ce  chronomètre  n'est  lui  aussi  qu'un  simple  pendule;  il  se  meut  devant  une  règle 
verticale  divisée  qui  mesure  la  longueur,  variable,  de  son  fil. 

Nous  rappelons  que,  suivant  Viviani,  Galilée  avait  inversement  constaté  l'isochronisme  des 
oscillations  du  pendule  en  ayant  égard  au  „tcmpo  délia  musica"  (T.  XVII,  p.  3,  note  3). 


B.  LES  DIVERS  MODES. 


B.  I  ').  Qu'il  y  en  a  qui  font  d'opinion  qu'il  n'y  a  que  deux  modes  l'un  par  b  mol 
l'autre  par  b  quadre  ').  mais  il  [Merfenne]  protefte  pourtant  de  ne  vouloir  ofler  les 
1 2  modes.  Je  crois  que  c'efl:  a  caufe  du  chant  d'eglife  3). 


Maistre  de  Musique  marque  la  longueur  de  la  chorde  à  la  marge  de  sa  composition,  dontchaque 
retour  monstre  le  temps  de  la  mesure,  etc." 

")  I654--I739- 

7)  Depuis  1731  de  la  Kieuwe  Kerk  dans  la  même  ville. 

**)  T.  IX,  p.  567,  lettre  de  Huygens  de  1690. 

9)  „Clavecimbel-  en  Orgelboek  der  Gereformeerde  Psalmen  en  Kerkzangen.  IVIet  de  zelfde  Noten 
die  de  Gemeinte  zingt  tôt  vloeijende  maatzangen  gemaakt.  In  StijI  en  Hoogte  bepaaid.  Met 
Cieraden  verzien.  En  met  Kunst  vcrrijkt",  L.  Berkoske,  la  Haye,  1732.  Voyez  la  préface 
(„Bericht"),  p.  3  (non  numérotée).  A  la  p.  5  l'auteur  mentionne  Huygens  de  nouveau;  voyez 
la  p.  129  qui  suit. 
'°)  „zo  stel  ik  daar  op  alhier  cen  règlement,  't  welk  is,  datmen  zal  de  tijd  meten  door  een  Slinger 
(zo  als  ik  bij  den  geleerden  Huygens  heb  gezien)  gemaakt  van  een  fijne  draad  van  32  duimen, 
waar  aan  men  zal  hangen  een  pistool  kogeltje  wegende  een  Loot,  't  welk  eens  aangestooten 
zijnde  zo  lang  zal  heen  en  weergaan  datmen  drieofvierPsalmveerzen  daar opuitzingenkan". 
Ce  «règlement"  est  déjà  mentionné  à  la  première  page  du  livre,  dans  le  «Privilégie"  des  États 
de  Hollande  et  de  Westfrise. 
")  E.  Loulié  «Éléments  ou  principes  de  musique",  Amsterdam,  E.  Roger,  1698  (prem.  éd.  Paris, 
1696}.  V.  Blankenburg  mentionne  ce  chronomètre  aux  p.  133  et  199  de  ses  «Elementa  Musica 
etc."  de  1739.  Comparez  «Quirinus  Gideon  van  Blankenburg"  par  Dirk  J.  Balfoort  („Die 
Haghe",  Jaarboek  1938  onder  redaftie  van  Dr.  W.  Moll,  's  Gravenhage,  INIouton,  1938). 

')  Portefeuille  ,,Musica",  f.  28—30. 

-)  b  mol  correspond  à  notre  signe  K  b  quadre  ànotresigneS.b  mol  désigne  la  division  de  la  quinte 
en  une  tierce  mineure  et  une  tierce  majeure  (mode  mineur);  b  quadre  celle  en  une  tierce  majeure 
et  une  tierce  mineure  (mode  majeur). 

3)  Il  est  vrai  que  Mersenne  exprime,  lui  aussi,  l'opinion  qu'il  suffit  de  distinguer  deux  modes; 
voyez  ses  considérations  dans  les  „Traitez"  cités  dans  la  note  63  de  la  p.  120  qui  suit:  Livre  III, 
Des  Genres  de  la  Musique  etc.,  Prop.  1 8  p.  187:  «Par  où  l'on  peut  conclure  qu'il  n'y  a  que  deux 
Modes  qui  soient  ditferens  en  leurs  cadences,  ou  chordes  principales,  et  que  ceux  qui  réduisent 
tous  les  tons,  et  les  Modes  à  deux  sortes  de  modulations,  ou  de  deduftions,  à  scavoir  au  tjquarre. 


70  MUSIQUE. 


Ces  gens  avoient  raifon,  et  je  fuis  du  mefme  avis,  à  fcavoir  qu'il  n'y  a  que  deux- 
modes  qui  varient  l'air  et  la  nature  du  chant  ;  l'un  qui  a  la  quinte  bafîe  divifec  en  forte 
que  la  3  majeure  foit  en  bas,  et  l'autre  dans  le  quel  la  quinte  a  la  3  mineure  en  bas.  le 
premier  cft  exprimé  par  le  ton  de  VMSV,  et  l'autre  par  le  ton  de  RFLR  *). 

Tous  les  autres  tons  authentiques  ')  qu'ils  appellent  ne  sont  que  des  tranfpofitions 
de  l'un  de  ces  deux,  et  pour  ce  qui  ell  des  plagaux  ils  ne  différent  point  de  modulation 
d'avec  leur  authentiques,  ayants  les  mcfmes  finales  dominantes  et  mediantes. 


et  au  \'  mol,  ne  parlent  pas  sans  raison".  Prop.  1 9,  p.  190:  «Déterminer  si  l'on  peut  réduire  tous 
les  Tons  et  les  Slodesde  la  Musique  au  i  et  au  :' mol,  et  monstrer  comme  l'on  peut  chanter  sans 
autre  nuance,  ou  mutation,  que  celle  de  l'une  de  ces  deux  Clefs".  La  remarque  de  Huygens: 

„il  proteste "  se  rapporte  ou  Corollarium  II  de  la  Prop.  19  (p.  194):  „I1  ne  faut  pas  que 

l'on  s'imagine  que  ie  vûeille  oster  les  12  Modes".  Comparez  sur  les  12  modes  la  note  3  de  la  p. 
1 1 1  qui  suit. 
♦)  Ailleurs  (Portef.  „Musica"  f.  i6v)  Huygens  dit  moins  clairement:  Qu'il  n'y  a  que  2  tons 
a  les  confiderer  feuls,  mais  plufieurs  par  raport  de  l'un  a  l'autre.  Les  2  font  celuy 
ou  la  5^'^  d'en  bas  a  la  tierce  majeure  en  bas,  et  l'autre  qui  dans  cette  quinte  a  la 
tierce  mineure  en  bas.  U,  M,  S,  U;  R,  F,  L,  R.  Mais  les  tons  qui  font  différents  par 

raport  font  comme  U,  M,  S,  U.  R,  F*,  L,  R.  qui  confiderez  a  part  font  tout  a  fait 
les  mefmes.  Nous  imprimons  ce  passage  avec  le  contexte  à  la  p.  170  qui  suit. 

5)  La  répartition  des  modes  sacrés  en  modes  authentiques  et  modes  plagaux  (dont  nous  ne  ferons 
pas  l'histoire)  avait  été  systématisée  par  Glareanus  dans  son  „Dodekachordon"  (Bàle,  1547). 
Il  distingue  douze  modes  en  tout,  les  identifiant,  généralement  à  tort,  avec  les  modes  classiques 
grecs. 

Son  premier  mode  authentique  est  le  soi-disant  mode  dorique  (d,  e,  f,  g,  a,  b,  c,  d).  Les 
modes  authentiques  suivants,  portant  les  nos  3,  5,  7  etc.  sont  le  mode  phrj'gien  (e,  f,  g,  a,  b,  c 
d,  e),  le  mode  lydien  (f,  g,  a,  b,  c,  d,  e,  f)  etc.  A  chaque  mode  authentique  correspond  un  mode 
plagal  qui  commence  plus  bas  d'une  quarte,  tout  en  ayant  le  même  ton  final  (finalis).  Les  modes 
plagaux  ont  les  nos  2,  4,  6  etc.  Le  mode  2  p.e.  est  donc  suivant  lui  le  modehypodorique 
(A,  B,  c,  d,  e,  f,  g,  a)  avec  le  finalis  d;  de  même  le  mode  4  est  hypophrygique,  etc. 

")  Huygens  adopte  apparemment  un  ordre  différent  de  celui  de  Glareanus.  Avec  Zarlino  il  choisit 
comme  premier  mode  authentique  le  mode  sacré  ionien  (c,  d,  e,  f,  g,  a,  b,  c)  auquel  succèdent 
les  autres  modes  authentiques  numérotés  3, 5,  7  etc.  (Zarlino  leur  donne  les  nos  i,  2,  etc.).  La 
table  qui  suit  donne  la  correspondance  avec  l'ordre  traditionnel. 

Nom  Numéro  chez  Glareanus  Finalis  Numéro  chez  Huygens 

d  III 

e  V 

f  VII 

g  IX 

c  I 

a  XI 


dorique 

I 

phrygique 

III 

lydique 

V 

myxolydique 

VII 

ionien 

IX 

éolique 

XI 

CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  7 1 


Je  dis  que  des  authentiques  le  mode  premier  VMSV*),  le  7e  FLVF,  9*  SCRS,ne 

difTcrent  en  rien  \]  non  en  hauteur,  ce  qui  ne  change  rien  en  la  nature  de  la  modulation. 
Et  de  mcfmc  que  le  3<-'  RFLR,  le  5^  MSCM,  le  1 1^  LVML  ne  dirterent  rien  entre 
eux  qu'en  hauteur  pareillement. 

Mais  il  faut  examiner  premièrement  comment  ils  elhblident  la  diverfitè  des  modes. 
C'eft  par  les  ditrcrcntcs  efpcces  d'octaves  qu'ils  differentient  les  6  modes  authentiques, 
voiants  que  les  dcmitons  l()nt  fituez  diverfcment  dans  l'eikndue  de  ces  octaves,  car 
en  prenant  pour  première  oétave  celle  qui  commence  par  V,  le  troifieme  intervalle  et 
le  7'-"  font  les  dcmitons.  En  l'oétave  de  R  le  2  et  le  6  intervalle  ont  les  demitons.  En 
l'oétavc  de  M,  le  premier  et  le  5^.  En  celle  de  F  le  4^  et  le  7.  En  celle  de  S  le  3  et  le 
6%  en  celle  de  L  le  2=  et  le  5. 

Voila  6  variations  d'oftaves  en  effetl.  Mais  il  faut  voir  fi  on  fe  fert  ou  fe  peut  fervir 
convenablement  de  tous  ces  tons,  en  s'afujettifTant  aux  degrez  dans  lefquels  l'oftave 
ell  dillribuée.  Ce  qui  ne  fe  trouuera  point.  Par  exemple  dans  le  ton  de  FLVF  on  ne 
doit  pas  chanter  ,    ^  {^         mais  mettre  le  b  mol  ou  ci,  par  ce  que  autrement 

on  n'a  pas  de  ^- —  î-^—étJL  quarte  au  deffus  de  la  principale  ou  finale  note 
du  Ton.  Il  eft  U^ — »  .  r~T  ^ray  que  certains  autheurs  de  Mufique  ont  don- 
né desExemples  i^  ""  de  tous  ces  tons  et  de  celuy  de  FVF  entre  autres, 
maisouilsevitent  *  ces  pafi'ages,  ou  quand  ils  le  mettent  ils  font  un 
fort  mauvais  effed:. 

Une  preuve  de  ce  que  ce  ton  n'eft  pas  ufitè  c'eft  qu'efiant  compté  le  5^  ton  par 
ceux  qui  en  mettoient  1 2  ■")  en  commençant  par  celuy  de  DLD,  on  y  a  mis  le  C  *) 
au  lieu  du  ^  et  alors  comme  il  ne  differoit  pas  de  celuy  de  VSV  qui  elloit  le  1 1  fi  non 
du  haut  au  bas  '),  il  cfi:  arrive  que  ce  mefmc  1 1«  a  eftè  réputé  en  fuite  pour  le  5^  ton 
d'eglife  ■°). 

J'ay  connu  un  excellent  organise  qui  difoit  que  le  ton  de  RF'LR  avoit  quelque 
chofe  de  divin,  et  qu'il  efl:oit  bien  différent  de  celuy  de  VMSV.  Et  cependant  fi  on 

tranlpofe  un  air  de  ce  ton  icy  en  celuy  de  RF^'LR,  il  n'y  icauroit  avoir  aucune  diffé- 
rence, par  ce  que  tous  les  intervalles  et  accords  font  de  mefme  fi  ce  n'elt  feulement 

au  .S*^  du  ton  VSV  qui  deviendra  le  C  dans  la  tranfpofition  et  ainfi  la  tierce  MS'^  fera 


7)  Voyez  la  numération  de  Glareanus. 

^)  Ceci  est  donc  notre  note  Bes  ou  Si  Bé  moi. 


)? 


IO>vî 


72  MUSIQUE. 


F*C ,  mais  ce  n'ed  que  le  défaut  du  clavier  qui  manque  du  feraiton  mineur  au  deffiis 

du  L  ").  Ce  mefmc  défaut  fait  aullî  que  le  ton  de  RF^'LR  a  un  avantage  fur  celuy  de 
VS\'  en  ce  que  cettuicy  n'a  point  de  femiton  majeur  au  dciïiis  de  fa  note  dominante 

S,  ou  l'autre  l'a  fort  bien  car  il  chante  LC  L,  ce  que  dans  le  ton  de  VSX  on  ne  fcauroit 
faire,  li  non  quand  ce  femiton  ell  adjoutè  ").  Mais  ces  additions  de  chordes  ne  ren- 
dent pas  les  tons  autres  '  5)  et  ne  regardent  que  les  initruments  qui  ont  les  tons  fixes,  et 
non  pas  les  voix  ni  plulieurs  autres  initruments  qui  ilippleent  aufli  bien  que  la  voix 
toutes  ces  chordes  adjoutees. 

Comme  nous  avons  montré  des  inconvénients  au  prétendu  ton  de  FVF  ainfi  il  y 
en  a  encore  a  d'autres  comme  en  celuy  de  MCM,  ou  l'on  feroit  obligé  de  palTer  par 
le  F  qui  ne  vaut  rien,  faifant  le  triton  contre  la  note  dominante  '+).  C'ell  pourquoy 

ce  ton  de  MCM  ne  peut  eflre  bien  pratiqué  qu'en  paffant  par  P*  au  lieu  de  F.  Et  alors 
il  cit  de  mefme  nature  que  celuy  de  RFLR.  Ou  il  faut  fcavoir  pourtant  que  fur  les 
orgues  et  clavecins  il  y  a  de  certains  femitons  qui  ne  font  pas  juftes  dans  le  ton  de 

MSCM.  Car  il  n'y  a  point  de  chordequireprefenteleS^  du  ton  RFLR.  Ni  aufli  qui 

en  reprefcnte  le  V  ;  les  intervalles  de  CC  et  MM  eilant  de  femitons  mineurs  qui 
devroient  eftre majeurs'').  Cela  fait  que  fur  ces  inftruments  ce  ton  de  MSCM  et 


")  Dans  le  système  du  ton  moyen  suivant  lequel,  ici  comme  dans  tout  ce  qui  suit,  les  instruments 
sont  censés  être  accordés,  il  y  a  deux  semitonsdiiférents.  En  efTet, /étant  le  rapport  caractéristi- 

que  des  longueurs  des  cordes  donnant  la  quinte,  donc  f  =  \  /    -,  on  obtient  dans  la  gam- 

*■'       5 
me  chromatique  telle  qu'elle  a  été  déduite  dans  la  „Divisio  Monochordi"  (p.  52  qui  précède, 
note  4),  les  intervalles  suivants,  donnés  ici  comme  rapports  des  fréquences  des  vibrations: 

Tons  C      Cis      D      Es      li      F      Fis       G       Gis      A      Bes      B      c 

Intervalles  des  tons  avec  C       i       "4/  -  P  4  f'   -     2/    ^  f- ^  P    ^      ^-f  Ap    —  f^s 


Intervalles  des  tons  entre  eu.\ 


TÂf    If   If    =5f  If^f    8  .    25^     8^    8  .    25^    8^ 


"S  8 

Ici  l'intervalle  ^/est  un  semiton  mineur,  et  -/un  semiton  majeur. 

On  voit  que  E-Gis  est  une  tierce  majeure  juste,  composée  de  deux  semitons  majeurs  et  de 
deux  semitons  mineurs,  tandis  que  Fis-Bes  consiste  en  trois  semitons  majeurs  et  un  semiton 
mineur. 

")  En  effet,  dans  l'échelle  de  D  la  note  Bes  surpasse  la  dominante  A  d'un  semiton  majeur,  tandis 
que  dans  l'éclielle  de  C  la  note  Gis  surpasse  la  dominante  G  d'un  semiton  mineur. 

•3)  La  portée  de  cette  remarque  nous  échappe. 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  73 

RFLR  paroifTcnt  aucunement  différents  et  que  le  premier  a  quelque  chofe  de  plus 
plaintif  et  de  plus  tendre,  a  caufe  des  cadences  que  fe  font  par  ces  demitons  mineurs, 
et  aufli  quelque  chofe  de  triste  a  caufe  de  quelques  confonances  qui  en  deviencnt  un 
peu  liuilles  "■),  et  de  ce  qu'on  y  emploie  le  triton  au  lieu  de  la  faulTe  quinte  "'''). 

Mais  la  voix  ajufte  tout  cela,  au  moins  quand  on  chante  fans  élire  accompagné  de 
quelqu'un  de  ces  inflruments  a  tons  fixes,  et  dans  ceux  cy  il  ne  tient  qu'a  nous  d'y  ad- 
jouter  les  chordes  nccellaires  en  coupant  les  feintes. 

Quoyquc  pour  ce  qui  ert  des  cadences,  celles  par  les  femitons  mineurs  foient  plus 
agréables  que  par  les  majeurs,  à  mon  oreille.  Et  de  mefme  j'aime  à  emploier  le  triton 

de  M'  L  au  lieu  delà  faulVe  quinte  R  L  '"),  en  le  fauvant  comme  la  fauffe  quinte,  fca- 
voir  de  la  tierce  MS. 

B.  II  '9)  Les  tons  tranfpofez  ont  souvent  quelque  chofe  de  plus  grave  que  les  naturels 

comme  celuy  de  C  mol  plus  que  celuy  de  D;  ou  de  plus  tendre  comme  celuy  de  E  plus 
que  celuy  de  D,  ce  qui  n'  arrive  pas  parce  que  l'un  efl:  plus  bas  d'un  ton  et  l'autre  plus 
haut  que  celuy  de  D  mais  plulloft  par  de  certains  (emitons  mineurs  au  lieu  de  majeurs 


'4)  F — B  est  un  triton  (rapport   ,,  /°)  ou  quarte  augmentée,  composée  de  trois  semitons majeurs 

et  de  trois  semitons  mineurs. 
'5)  En  effet.  Gis  est  située  ici  à  la  distance  d'un  semiton  majeur  au-dessous  de  la  dominante,  tandis 

que  Cis  est  située  à  la  même  distance  au-dessous  de  la  tonique.  Mais  dans  l'échelle  de  E,  Bes  et 

Es  sont  situées,  respectivement  au-dessous  de  la  dominante  et  de  la  tonique,  à  la  distance  d'un 

semiton  mineur. 
'*)  Lorsque  F  est  remplacée  par  Fis,  la  tierce  majeure  E — Gis  de  l'échelle  de  D  est  transposée  en 

Fis — Bes,  ce  qui  n'est  pas  une  tierce  majeure  juste,  et  la  quinte  E — B  en  Fis-Dis,  ce  qui  n'est 

pas  une  quinte  juste. 
'")  On  entend  par  fausse  quinte  la  quinte  diminuée  qui  constitue  le  complément  du  triton  par 

rapport  à  l'odave;  c'est  donc  un  intervalle  — /^,  composé  de  quatre  semitons  majeurs  et  de 

deux  semitons  mineurs. 

La  remarque  de  Huygens  ne  doit  apparemment  pas  être  entendue  comme  désignant  une 
vérité  générale.  Dans  l'échelle  de  D  on  a  les  intervalles-tritons  D-Gis,  F — B,  G — Cis  lesquels, 
transposés  en  E,  deviennent  les  intervalles  E — Bes,  G — Cis  et  A — Dis,  dont  le  premier  et  le 
dernier  sont  des  fausses  quintes,  tandis  que  l'intervalle  E — Bes,  une  fausse  quinte,  est  transfor- 
mé en  Fis — C,  également  fausse  quinte.  Huygens  n'entend  sans  doute  parler  que  de  quelques 
intervalles  fort  usités  tels  que  la  fausse  quinte  Cis — G  qui  est  transformée  par  la  transposition 
dans  le  triton  Es — A. 

'*)  Es  est  inférieur  à  E  d'un  semiton  mineur,  tandis  que  Dis  est  supérieur  à  D  d'un  semiton  mineur 
et  par  conséquent  inférieur  à  E  d'un  semiton  majeur.  Il  en  résulte  que  Es — A  est  un  triton  et 
Dis — A  une  fausse  quinte. 

»»)  Portef.  „Musica",  f.  6y. 

10 


74  MUSIQUE. 


dans  les  cadences  et  dans  de  certains  intervalles  et  accords.  Quoy  que  dans  les  accords 
cela  faiïe  le  plus  fouvent  un  mauvais  effeft;  et  pour  y  remédier  on  adjoute  d'autres 

feintes  au  clavier  comme  dans  le  ton  qu'on  appelle  de  C  mol,  la  feinte  de  L  fur  celle 

de  S".  iNIais  il  cil  certain  que  fi  l'on  fc  veut  alors  fervir  touf jours  de  cette  feinte  ou 
elle  devroit  etlre  félon  le  ton  naturel,  le  ton  tranfpofc  ne  différera  en  rien  du  naturel 

en  D  fi  non  qu'il  fera  plus  bas  d'un  ton.  et  que  le  V^  fera  trop  bas  d'une  cinquième  de 

ton  pour  faire  la  3e  majeure  avec  le  F,  comme  il  devroit,  ainfi  que  M  avec  S,  dans 
le  ton  de  D,  font  cette  3«  majeure. 

En  jouant  en  E*'  il  eft  bon  de  faire  les  cadences  de  MM'  M,  qui  ont  quelque  chofe 

de  plus  tendre  et  plus  plaintif,  que  de  MKHSI  quand  la  feinte  R'*  eit  adjoutee  au  cla- 
vier. Mais  dans  des  accords,  fur  tout  à  la  dernière  note  d'une  cadence  ou  la  baffe  eil 

C,  le  R^  vaut  mieux. 

Les  tons  tranfpofez  fervent  encore  aux  compofiteurs  pour  faire  plus  de  variété, 
parce  qu'en  le  promenant  en  fuite  dans  des  modes  empruntez,  ils  en  trouvent  tels  qui 
fontaifczct  naturels,  qui  autrement  feroicnt  rudes  ou  impratiquables  du  moins  fur  le 
clavier  ordinaire,  fi  la  compofition  eufl  elle  dans  le  ton  naturel. 

B.  III  ').  1586.  Artufi.  PrcEcepta  quidam  in  compofitione  fymphonije  cetera  ex . . .  ') 
In  definiendis  modis  Zarlinum  fequitur,  cum  apud  vetuftiores  primus  tonus  dice- 

retur  RLR  '). 

Si  de  génère  diatonico  folo  agatur  pofTet  locum  habere  modorum  numerus  quem 
dicunt,  etfi  coacla  omnino  melopœa  fit  futura,  ne  quidem  adhibito  B  fa+)  (fie  enim 
diateflaron  fpecies  conflituunt)  ut  non  poifmt  in  tono  \'S\'^  ')  defcendere  fepe  per 

C,  L  propter  propinquitatem  antecedentis  F,  fine  aurium  injuria,  adjunfto  autem  B 
fa  jam  non  erunt  6  authentici,  idem  crit  enim  VS\'  quod  FVF.  Et  RLR  quod  SRS  &c. 
nam  plagios  non  puto  in  hanc  divifionem  recipiendos  etfi  aliquiddifferentiîeadferant. 


')  Portef.  „IVIusica",  f.  32—33.  Les  remarques  de  Huygens  se  rattachent  à  celles  de  la  Pièce  B,  I 

qui  précède. 
')  La  Pièce  se  rapporte  à  l'ouvrage  d'Arcusi:  „L'arte  del  contrapunto,  ridotta  in  tavola"  (2  vol. 

1586 — 1589,  réimpr.  en  1598).  Giovanni  Maria  Artusi  (né  vers  1545,  chanoine  de  l'église 

S.  Salvatore  à  Bologna,  mort  le  18  août  1613)  publia  encore  e.a.  en  2  vol.  (1600 — 1603) 

„L'Artusi,  ovvero  délie  imperfettioni  délia  moderna  musica". 
3)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  70  qui  précède. 
^)  Par  B  fa  il  faut  entendre  la  note  Bes  dans  l'échelle  de  F:  B  signifie  mol,  fa  le  quart  de  la  tonique 

(ici  F),  donc  notre  note  B. 
5)  Les  demitons  chromatiques  ont  déjà  été  mentionnés  à  la  p.  39  qui  précède. 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  75 

Atnunccantusnollernoneftdiatonicusfimplex  fed  chromaticis  femitonijs  alijfque 
infupcr  auftus  ').  Horumque  ope  quilibcc  modus  a  qualibet  chorda  diatonica  fere  in- 
ciperc  poceft,  id  c\\  infimum  fomim  inde  ordiri. 

Scd  nielius  ex  divilîone  gemina  diapentes  modorum  diffcrentia  fumitur,  quarum  in 
altéra  tertia  major  imum  locum  obtinet,  altéra  tertia  minor,  quam  ex  divifione  diapa- 
fon  ut  fieri  folet  '').  Suntque  etiam  illx"  diapentes  divifioncs  altéra  harmonica' propor- 
tionis  altéra  arithmetica:  '').  Adeo  ut  rêvera  duo  tantum  fmt  modi  ex  illa  divifione 
originem  habentes. 

Ad  demondrationcm  fumo  fonis  omnibus  acutioribus  faftis,  dummodoeadem  quîe 
prius  maneant  intervalla  modum  non  mutari,  quod  nemo  negaverit,  cum  naturam 
cantus  nihil  immutet;  nam  alioqui  puer  ac  vir  eandem  oden  cancntes  diverfos  modos 
tenere  dicendi  efTent,  quod  alter  altius  altero  omnes  tonos  efferret.  Hoc  etiam  Ptole- 
mseus  et  alij  viderunt.  Licet  aliqui  modos  antiquorum  bac  fola  in  re  inter  fe  difcrepafle 
exiftiment  quod  non  eft  credibile. 

lidem  ergo  funt  modi  VMSV,  FLVF,  SCRS,  R  Ar,  MS^M,  LV^L.    Item 

ijdem  RFLR,MSCM,SC'Vs,LVML,VM''sV,quibus  et  Fl'^VF  annumerabitur  fi 
modo  chorda;  quîedam  quas  enarhomias  [lifez:  enharmonias]  vocant  inftrumentis 
adjunétse  fint. 

Numquid  enim  ob  defedtum  chordarum  diverfos  modos  dicent,  quod  alij  tali  femi- 

tonio  careant,  alij  alio.  Velut  fi  tonum  VMSV  diverfum  ponant  ab  iflio  RF'LR  quod 
hic  pofl:  dominantem  L  habeat  femitonium  majus  furfum,  alter  non  habeat  hoc  fed 
feraitonium  minus.  Atqui  vox  hominis  et  inftrumenta  quîedam  fidibus  inflrufta,  le 
violon,  omnia  fcmitonia  majora  minoraque  pro  lubicu  exprimunt.  I\Iale  igitur  ex 
paupertate  Organorum  fuorum  et  Cythararum  (Clavecins)  modis  multiplicitatem 
inducunt. 


En  marge:  Nec  ulla  ode  cantilenia  fere  nunc  extat  quœ  faltem  non  B  fa  utatur  et 
femitonijs  in  claufulis.  nifi  Bar.  Le  sens  de  cette  remarque  ne  nous  est  pas  parfaitement  clair. 
Apparemment  Huygens  veut  dire  que  par  suite  de  l'extension  donnée  au  système  diatonique 
par  rintroduftion  des  tons  chromatiques  il  n'existe  pour  ainsi  dire  plus  aucun  chant  ne  faisant 
pas  usage  de  l'abaissement  B — Bes  et  de  demitons  dans  les  clausules;  mais  nous  ne  pouvons  pas 
dire  avec  certitude  ce  qu'il  désigne  par  „Bar".  Nous  devons  à  M.  Jos.  Smits  van  Waesberghe 
l'hypothèse  qu'il  entend  parler  de  „barytonantes  toni",  c.à.d.  de  tons  de  la  basse,  parce  que 
ceux-ci  sont  rarement  sujets  à  des  élévations  ou  abaissements  accidentels. 

*)  En  marge:  Maie  confiituunt  fpecies  diapafôn,  ablque  B  fa,  cum  femper  apud  anti- 
ques pertinuerit  ad  genus  diatonicum  quando  tetrachordo  lynem.  utebantur. 
On  trouve  en  effet  le  ton  mentionné  comme  trite  de  la  tétrachorde  des  conjointes. 

■')  Comparez  les  notes  7  et  8  de  la  p.  79. 


76  MUSIQUE. 


Quod  fi  inftrumcntis  hifce  fides  quœ  défunt  fiipcraddantur,  ut  in  quibufdam  faftum 
vidcmus.  jam  nulla  cantilcna  non  multimodis  tranfponi  poterit,  cum  omncs  chorda.^ 
diatonica;  iiirfuni  ac  deorfum  habcant  conlbnantias  omncs.  adeo  ut  manifcfto  appari- 
turum  fit,  omnem  modoruni  differentiam  ad  geminam  divifionem  diapen  te  reduci.  quod 
vocant  B  quadratum  ac  B  molle  **).  Et  hoc  ita  fe  habere  non  nulli  Praftici  fentiunt 
etfi  ncmo  adhuc  quod  fciam  fcripto  prodiderit. 

Ert  autem  differentia  ingens  quîeque  aures  omnium  maxime  afficit,  iftoram  quos 
diximus  duorum  modorum.  quorum  prior  alacrior  incitatior  multb,  alter  gravior 
modeflior  '). 

Differentia  authenticorum  et  plagiorum  ut  vocant  '°),  exigua  eft,  cum  quilibetho- 
rum  eafdem  finales,  dominantes,  mediantes  habeat,  quas  authent.  ut  nihil  aliud  fit 
plagias  quam  authent.  in  grave  produftus  vel  quandoque  in  acumen  quo  quidemnon 
mirum  elt  non  multum  variari  melodiam. 


C.     DIFFERENCES  DE  HAUTEUR,  PAR  RAPPORT  AUX  TONS  DES 
INSTRUMENTS,  RESULTANT  DE  LA  JUSTESSE  DU  CHANT. 

D  y  en  a  ')  qui  croient  que  le  chant  de  la  voix  eft  plus  parfait  que  celuy  de  tout 
autre  infiniment  et  que  la  voix  chante  tous  les  intervalles  des  tons  et  tous  les  accords 
jufies  en  quoy  je  ne  fiais  pas  de  leur  avis  ').  Il  efi:  vray  qu'elle  efi:  de  nature  a  fe  pou- 


')  Voyez  la  note  2  de  la  p.  69  qui  précède. 

»)  Ici  suit  dans  le  manuscrit  l'alinéa  biffé  suivant: 

Sed  fi  duos  tantum  hos  admittamus  modes  quomodo  illud  fignificabimus  quod 
dicunt  tranlgrefiionem  in  modum  alium  feu  mutationem,  qua;  in  eadem  ode  ele- 
ganter  fepe  ufurpatur.  1  hijus  gratia,  Tonos  sane  1 1  vel  1 2  fi  velint  rctineamusut 
respeftu  cujuflibet  qui  cantilena;  propriam  diapafon  terminât  alium  defignare  pofli- 
mus,  hofque  diftinftionis  gratia  Tonos  non  vero  modos  appellemus.  Ita  nonnun- 
quam  mutatum  Tonum  dicemus  non  autem  modum  ut  cum  ex  RFLR  in  MSCM 

tranfimus  vel  contra,  aliquando  vero  Modum,  ut  cum  ex  VMS  abimus  ad  VM'  SV, 
aliquando  vero  et  Tonum  et  modum,  ut  cum  ex  VMSV  mutamus  in  RFLR. 

On  lit  en  outre  en  marge: 
Quis  in  tono  SRS  incedit  per  F.  Ergo  non  facit  alium  modum  ifta  pofitio  lemitonij. 

Quis  in  tono  RFL  incedit  per  M  .  Ergo  nec  reéte  per  F  in  MCM. 
'°)  Voyez  la  note  5  de  la  p.  70. 
•)  La  Pièce  est  empruntée  au  portef.  „AIusica",  f.  30  v. 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  JJ 

voir  accommoder  un  peu  au  befoin,  mais  quand  cela  arriveroit  quelque  fois  il  eft  bien 
rare  d'en  trouver  qui  le  plus  fouvent  ne  s'éloignent  bien  d'avantage  de  l'intonation 
véritable  que  les  orgues  et  clavecins  ne  manquent  des  véritables  confonances,  qui 
n'ell  qu'un  quart  de  comma  3). 

D'ailleurs  quand  bien  la  voix  chantcroit  les  intervalles  de  quintes  et  quartes  très 
juftes,  elle  s'écartera  neceffairement  en  ce  faifant  du  véritable  ton.  Car  par  exemple 

en  chantant  VSRLiMV+),  ce  M  eil  un  comma  entier  plus  haut  qu'il  ne  devoit  eflre 

pour  faire  la  tierce  MV  juile  fuppofè  qu'on  ait  chante  jufle  la  quinte  VS,  la  quarte  SR, 
la  5e  RL  et  la  4^6  LM.  de  forte  qu'il  arrivera  que  pour  rendre  la  tierce  jufle  l'on  chan- 
tera le  dernier  V  un  comma  plus  haut  que  le  premier,  ou  bien  il  faut  que  la  voix  ne 
chante  pas  les  intervalles  des  confonances  dans  la  juftelTè  ').  Et  fi  on  chante  encore  en 
fuite  par  les  mefmes  intervalles,  on  hauffera  encore  d'un  comma,  et  ainfi  toufjours, 
de  forte  que  les  voix  ians  eftre  réglées  par  quelque  inflrument  s'égareront  necelTaire- 
ment  et  feront  quelques  intervalles  et  accords  faux  et  cela  fe  voit  auiîî  par  l'expérience. 
Puifque  l'on  trouve  bien  fouvent  que  les  voix  ont  hauiTc  ou  baiffè  d'un  demiton  ou 
d'avantage,  au  bout  d'une  pièce  qu'on  a  chantée  fans  accompagnement  d'inftruments. 
La  caufe  du  bailTement  eft  quand  on  monte  fouvent  par  quartes  et  qu'on  defcend  par 
quintes  ou  par  tierces  mineures.  Ainfi  quand  on  chante  par  des  notes  lentes 

.  y  \     XN     ^\     /\     / 

VFRSMLRSSV 

et  qu'on  le  répète  quelquefois  de  fuite  la  voix  devra  avoir  notablement  bailTee  en 
l'efprouvant  contre  quelque  inftrument  *).  mais  fi  on  chante  ville,  je  trouve  que  le 
fouvenir  de  ce  premier  V  retient  la  voix  dans  le  ton,  et  par  confequent  luy  fait  dire 
un  peu  fauffement  les  intervalles  des  confonances.  Et  il  y  a  des  voix  qui  penchent 
naturellement  a  bailTer  et  d'autres  a  haulTer. 


^)  Nous  avons  parlé  de  ce  début  dans  notre  Avertissement. 
3)  Voyez  sur  cet  écart  la  „Divisio  Monochordi"  qui  précède. 
•♦)  L'accent  ^  désigne  une  montée,  l'accent  "^  une  descente. 
5)  Les  notes  chantées  sont     C     G     D     A     E     C, 

les  intervalles  justes  3      3      3      3      4  fl-giftions  dont  le  produit  Csomme  des  interval- 

J  24245'  t-  ^ 

les)  est  7^. 

En  revenant  à  C  on  est  donc  monté  d'un  comma. 
")  Voir  la  note  6  de  la  page  suivante. 


•78  MUSIQUE. 


D.  LES  ANCIENS  CONT^JAISSAIENT-ILS  LE  CHANT  POLYPHONE? 

D.  I  ')  \''eteres  concentii  pcr  confonantias  ufos  non  prorfus  rejicic  [Salinas]  '). 
Beda;  tcftimoniuni  adfert  qui  antc  700  annos  et  amplius  vixerit  3).  Art^imentum  etiani 
affert  hoc  quod  de  confonantijs  tam  multa  fcriprerint.  Sed  ego  ad  fummam  uiltatum 
illis  exiftimo  quod  faux  bourdon  +)  appellanc.  Argumenta  funt  h^c :  quod  nullam  ejus 
mentionem  auftores  veceres  mufici  faciunt,  cum  debuerint  plurimura  in  hac  re  pofuifle 
operœ.  quod  non  centenis  locis  apud  alios  audlores  antiques  de  fymphonise  ufu  appa- 
reat.  quod  diapafon  in  1 2  intervalla  diviferint  ')  ut  ad  concentum  plane  inepta  elTent. 


*)  Les  notes  chantées  sont    GFDGEADGGC 

et  les  intervalles  justes  -|^l!?f^     ^,  dont  la  somme  est  (3^). 

'  3<53633323  \»i/ 

Il  y  a  donc  eu  une  descente  de  2  commas. 

Huygens  revient  sur  ce  sujet  dans  ses  notes  sur  les  „Harmonika"  de  Ptolémée  dans  l'édition 

de  Wallis;  voyez  la  p.  loi  qui  suit;  ce  n'est  pas  cependant  d'une  remarque  de  Wallis  qu'il  s'agit 

en  ce  dernier  endroit,  mais  d'une  observation  de  Zarlino. 

')  Portef.  „Musica",  f.  27—28.  La  Pièce  D  I  fait  partie  des  notes  de  Huygens  sur  le  „DeMusica" 
de  Salinas  (voyez  la  note  7  de  la  p.  45  qui  précède). 

=)  C'est  dans  le  Cap.  XXV  du  Lib,  V  (p.  284)  que  Salinas  traite  la  célèbre  question  „fueritne  apud 

veteres cantus  plurium  vocum".  Il  n'ignore  pas  qu'on  doute  généralement  de  l'existence 

du  cliant  polyphone  chez  les  anciens,  puisqu'aucun  auteur  classique  n'en  fait  mention:  lorsque 
plusieurs  personnes  chantaient  ensemble  le  chant  aurait  été  ou  homophone  ou  alternatif.  Pour  sa 
part  il  regarde  comme  un  argument  remarquable  pour  l'existence  du  chant  polyphone  la  grande 
application  des  auteurs  classiques  à  la  théorie  des  consonances;  en  outre  il  fait  appel  à  un  en- 
droit d'AristOte  (Politica,  VIII,  5):  rr.v  3ï  fiOJaiziiv  TràvTE?  stvai  yauEv  TÙv  r,Si(j-r,i-j,  xai  Tpù.r,v  o'jffav 
zzi  fiiTi  osÀ'jio'ta;. 

3)  Salinas  cite  Bédé  disant  que  dans  son  temps  la  musique  sacrée  polyphone  était  en  usage.  Nous 
ne  voyons  pas  qu'il  le  cite  comme  partisan  de  l'existence  du  chant  polyphone  dans  l'antiquité, 
comme  Huygens  semble  vouloir  le  dire,  ni  que  Bède  ait  été  de  cet  avis. 

Beda  Venerabilis,  moine  bénédictin,  né  en  673  en  ou  auprès  de  Yarrow  dans  le  diocèse  de 
Durham,  mort  à  Yarrow  le  26  mai  735,  est  l'auteur  d'ouvrages  sur  l'histoire,  l'arithmétique,  la 
chronologie  etc.  Le  plus  connu  de  ses  œuvres  est  la  „Historia  ecclesiastica  gentis  Anglorum", 
dans  lequel  il  parle  en  plusieurs  endroits  du  chant  d'église. 

'')  Nous  avons  parlé  du  faux-bourdon  dans  l'Avertissement  qui  précède  (p.  65).  Nous  y  ren- 
voyons à  la  p.  117. 

5)  L'école  d'Aristoxène  —  comparez  la  note  9  de  la  p.  32  qui  précède  —  connaît  une  division  de 
l'oâave  en  six  tons  entiers  égaux,  lesquels  consistent  chacun  en  deux  semitons  également  égaux 
entr'eux.  Ptolémée  combat  cette  division  dans  les  Cap.  10  et  11  du  Lib.  I  des  „Harmonika". 
Voyez  aussi  R.  Westphal  „Aristoxenus  von  Tarent,  Melik  und  Rhy tmik  des  classischen  Helle- 
nentums",  Leipzig  1883,  p.  251  et  suiv.  Suivant  la  théorie  d'Aristoxène  un  ton  entier  est  le 
double  d'un  demiton,  une  quarte  vaut  2^  tons  et  une  quinte  3^  tons.  Comparez  encore  sur 
Aristoxène  et  ses  seftateurs  la  note  16  de  la  p.  113  qui  suit. 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  79 


Sed  dicet  aliquis  fyntonum  Ftolemaei '')  convenire  cum  nollra  diatonica  divifione. 
Rcfp.  atqiii  cum  cx'tcrx  oniiies  iplius  divilioncs^)  non  poilenc  ad  concentum  aptari, 
dixiilcc  utique  difparcni  elle  rationemharumatqueilliusdivi(ionis,niultuquepra;flarc 
imo  Iblam  lequendam  illain  l'yinoni  '^).  Jani  illud  quod  ditoniim  utnimque  et  hexachor- 
don  non  elîen:  conlbnantiariim  loco,  cum  eorum  iifus  adeo  fit  necefiarius,  ut  nullo 
momcnto  a  conccntibus  ditonus  abfit.  Etfi  enim  in  Ptolemxi  iyntonohabeacurdito- 
num  et  femiditonum  cum  hexachordo  utroque  '^),  ac  videri  poilit  dubitaffe  an  non  et 
ha;c  confonantia  eflent  intervalla  nufquam  tamen  id  pronunciafTe  reperitur,  nec 
alias  quara  Pythagorici  recenfuit  diapafon  diapente  diatedaron  cum  illorum  repetitio- 
nibus'°). 


")  Dnns  le  nxài-jfoftim  Aarovixiv  o-wTovov  (tétrachorde  diatonique  synton  ou  tendu)  l'intervalle  de 
la  quarte  est  divisé  en  un  ton  mineur,  un  ton  majeur  et  un  semiton  majeur  d'après  la  formule 

-  =  — Â. —  (Ptolémée,  Harmonika  I,  Cap.  15,  éd.  Wallis,  Oxford  1682,  p.  76;  éd.  Dûring, 

Gôteborg  1930,  p.  37).  Ceci  conduit  à  une  division  de  l'oftave 

CDEFGABc 

,     .  ,,  10     0      i5     9     lo     9     16 

avec  les  intervalles  —     J     —     S     —     ^     — 

9      8      15     8      9      8     15 


quarte 


quarte 


ton  disjonftif 

qui  ne  se  distingue  de  l'oftave  du  système  harmonique  naturel  que  par  l'interversion  des  deux 
premiers  intervalles. 

7)  Les  autres  tétrachordes  envisagés  par  Ptolémée  sont 

enharmonium  -  —  -  —    - 

chroma  molle 
chroma  intensum 
.   molle  diatonum 
médium  molle  diatonum 

8)  En  marge:  Enarhomij  [sic]  chordje  quîedam  etiam  ineptîe  ad  fymphonias. 

ON  r>  iT     1°  9        s  r  ■  ■        N   9    i<5        6  ,  .  .  >    10  9    16  9    10      5 

*)  On  a  en  eftet  — -t,  ■=  -  Ctierce  maieurej;  ?. —  =  -  C tierce  mineure j;  — .?.  —  .5.  —  =  - 

^  984^  ■'-''815       5^  ^98    15   893 

,- .  .        N    16  9   10  9   16       8  , .  .  X 

f  sixte  majeurej;  — .%.  —  .J. —  =  -  (sixte  mineure). 
^  ^       ^'  15   8    9    8    15       5^  ■' 

'°)  Dans  l'Avertissement  aux  Pièces  I  (Théorie  de  la  consonance)  nous  avons  exposé  (p.  26 — 27) 


3 

4 

23 

45 

4 

28 

15 

6 

3 

27 

14 

5 

4 

22 

12 

7 

3 

21 

11 

6 

4 

8 

10 

21 

3 

7' 

9 

20 

4 

9 

8 

28 

3 

8" 

7 

27 

8o  MUSIQUE. 


Quod  de  confonantijs  fcripfere  adeo  mulca  id  vel  ob  ufum  iftius  faux  bourdon  ") 
fcciilc  dici  polTunt,  vel  eo  quod  confonantium  intervallorum  ratio  vcl  maxime  fit  ha- 
bcnda,  etiam  abfque  concentus  ufu;  quia  ncque  monodicus  cantus  nifi  per  intervalla 
confona  lîeri  potcll.  nam  fi  inter  duos  fonos  confonos  difTonus  uniis  intcrjicitur  is  ad 
conlbnum  gradus  efîe  débet. 

Etiam  hoc  quod  divilione  tcmporum  carebant  fymphonia*  ufum  impedicbat,  non 
cnim  nili  lîmul  omncs  eafdem  fyllabas  proferre  poterant,  vel  inffrumentis  canentes 
fonos  ejufdem  temporis,  quod  fi  nunc  fiat  quantum  gratis  peribit  fymphonijs. 

In  monumentis  qux*  cxtant  monodici  cantus  inveniuntur,  polyphoni  vero  diverfa- 
rum  partium  nulli.  nam  illa  ry;?  y.fova-eiiùç  o-f^viJi  jam  fatis  confiât  non  fignificaffe  di- 
verfos  fonos  citharse  ac  vocis  '  °). 

D.  II '5)  Refte  exiflimat  [Wallifius]  monodicam  fuiffe  muflcam  antiquam  omnem, 
fed  rationem  nuUam  adfcrt,'cum  tamen  fint  plurimœ.  i°  Nempe  ipfa  fyilemata  tam 
varia,  atque  omnia  ijs  intervallis  difpofita,  ut  confonantias  non  multas  contineant, 
certè  quamplurimis  ad^polyodiam  necefTarijs  deftituantur,  quod  ex  numeris,  quos  in- 


les  raisons  qui  nous  portent  à  admettre  que  Ptolémée  n'a  pas  seulement  douté  „an  non  et  ha;c 
consonantia  essent  intervalla",  mais  que  même  „id  proniinciasse  reperitur",  ou  du  moins,  pour 
être  plus  exacts,  „id  non  negasse  reperitur".  Voyez  toutefois  l'opinion  de  Mersenne  exprimée 
aux  pages  citées  et  plus  clairement  encore  dans  le  passage  que  nous  citons  dans  la  note  2 1  de  la 
p.  1 14  qui  suit. 

")  Voyez  la  note  4  de  la  p.  78. 

•')  Archiloque  de  Paros  (7''""^  siècle  av.  J.  Chr.)  passe  pour  l'inventeur  d'une  nouvelle  façon  de 
xoo-jii;  (accompagnement  du  chant).  Plutarque  p.  e.  écrit  au  Cap.  28  de  son  „De  Musica": 

7ÛV  iatiSticov  TÔ  ri  u}-j  J.c'yïO'Ôat  rapà  TJ-.v  zooOaiv  rà  S'iSsaicu,  '\pyù.u'/^m  fufji  zstraoslçat.  D'autre 
part  Plutarque  écrit  au  Cap.  14  du  même  traité:  a-^uvr,  oiv  xari  Trivra  r,  u.vj<ii./.r,,  isâ-j  EÙor.aa.  OJO-a. 

Si  nous  réussissons  à  déceler  l'auteur  de  l'expression  t^j  zpoOtrswç  o-£,uvà,  nous  en  ferons  mention 
dans  les  Additions  et  Correcflions. 

Alfred  et  Maurice  Croiset  dans  leur  „Histoire  de  la  Littérature  grecque"  Vol.  II,  Paris,  For- 
temoingetC'%  I9i4s'expriment  à  ce  propos  comme  suit  (Cliap.  IV  „Poésieiambique",  p.  179}: 
„I1  est  probable  que  l'ancienne  musique  accompagnait  le  chant  note  pour  note;  la  réforme  dut 
consister  à  laisser  au  jeu  des  instruments  une  certaine  indépendance  d'allure  à  côté  du  chant  ;  il 
y  eut  désormais  deux  mélodies  simultanées  au  lieu  d'une;  ces  mélodies  tour  à  tour  se  séparaient 
et  se  rejoignaient. ...  11  reste  à  vrai  dire  beaucoup  d'obscurité  sur  la  nature  exafte  de  cette  ré- 
forme musicale  attribuée  par  l'auteur  du  De  Musica  à  Archiloque".  On  voit  que  l'opinion  de 
Iluygens  n'est  pas  généralement  acceptée.  Voyez  encore  ce  qu'il  dit  sur  ce  sujet  aux  p.  99  et 
100  qui  suivent. 
'3)  Portef.  „Musica",  f.  22.  La  Pièce  Z)  II  fait  partie  d'unesérie  de  notes  de  Huygens  se  rapportant 
à  r„Appendix,  De  Veterum  Harmonica  ad  Hodiernam  comparata"  ajouté  par  Wallis  à  son 
édition  des  Harmonika  de  Ptolémée  (Claudii  Ptolemxi  Harmonicorum  Libri  Très.  Ex  Codd. 
ISIss.  undecira,  nunc  primum  Grajce  editus,  Oxonii,  E  Theatro  Sheldoniano,  An.  Dom.  1682) 
A  la  p.  316  Wallis  discute  la  question  de  la  musique  classique  polyphone. 


CHANT  ANTIQUE  ET  MODERNE.  8 1 

figiii  labore  refticuit  '+),  facile  evincitur.  i°  Quod  ditonum  et  fcmiditonum  pro  con- 
fonantijs  non  habucrint,  qua;  mine  in  polyodijs  fcre  fcmper  unam  partem  e  tribus 
ilipplcnt  abfqiic  qiio  harmonia  compléta  non  ccnfociir.  3°Quod  de  fervanda  tcmporum 
menfura,  ut  nunc  lit,  nihil  pr^fcriplerint,  led  tantum  rythmum  pcdibus  raetricis  elH- 
marint.  Nam  abfqiie  illa  temporis  vidbili  notatione  non  poterat  partium  divcrfarum 
concentiis  régi,  pra-'lertim  fi  liante  aliquo  tono  pliires  toni  refpondcrent.  4°  Quod 
nihil  prorfiis  apud  tôt  veteres  authores  de  cjufmodi  compofito  concentu  memoriîe 
proditum  reperiatur,  nec  nomina  diverlarum  partium,  quas  nunc  BafTum,  Tenorem, 
Altum,  Superius  vocant.  5°  nuUum  compofitionis  talis  praïccptum  tradiderint,  vclut 
nunc  habemus  quod  dua;  diapente  confequentur  poni  non  debent  "')  et  alia  plurima 
de  vetitis  proceflibus.  6"  quod  nihil  de  dilTonantiarum  ufu  Icripferint  qus  plurimum 
elegantia;  concentibus  adferunt. 

Quod  autcm  nonnulli  veterum  admiratores,  fed  muficse  fere  ignari  cum  alicubi 
mentionem  faiftam  invcniunt  vocum  divcrfarum  concinentium  aliquid  inde  fe  confi- 
ccrc  arbitrantur,  id  cjufmodi  fere  ell:,  qualc  illud  de  pyxide  nautica  quam,  ex  Plauti 
quodam  loco  ubi  de  verforia  capienda  legitur,  jam  ab  illo  tcmpore  cognitum  fuiffe 
fufpicantur  "^).  quale  etiara  de  Telefcopij  inventione  quam  a  300  annis  extitiffe  pro- 
bant, ex  piftura  fcilicet  in  veteri  MS.  reperta,  ubi  quidam  per  tubum  in  ca;lumintue- 
tur'").  Non  cogitant  fcilicet  nec  hi,  nec  qui  concentibus  iltis  antiquis  favent,  mille 
locis  apud  fcriptores  veteres  earum  rerum  commemorationemextituram,fiquidemin 
ufu  fuilfent  illorum  setate. 


'■♦)  Ceci  se  rapporte  évidemment  aux  tables  d'intervalles  du  Lib.  II  des  Harraonika. 

■5)  Voyez  sur  ce  sujet  la  note  1 19  de  la  p.  129  qui  suit. 

"5)  Plaute,  Mercator,  vs.  875:  „Huc  secundus  uentus  nunc  est:  cape  modo  uorsoriam".  De  même 
dans  la  comédie  Trinummus,  vs.  1026:  „cape  uorsoriam".  Nous  citons  d'après  letextede„Titi 
Macci  Plauti  Comœdis",  éd.  G.  Goetz,  Fr.  Schoell,  Lipsite,  Teubner,  IV,  1906  et  VII,  1907. 
La  „versoria"  est  apparemment  une  voile,  ou  plutôt  une  corde  attachée  à  la  voile,  dont  le  ren- 
versement change  le  sens  du  parcours  du  vaisseau.  Tandis  que  le  „vers(jrium"  (comparez  la  1. 6 
delap.  349duT.  XVII),  motquisetrouvedansle„Tra(ftatusde  INIagnete"  de  1600  de  Gilbert, 
désigne  la  boussole  telle  qu'elle  se  trouve  dans  la  „pyxis  nautica". 

'7)  D'après  J.  B.  Cysatus  dans  son  ouvrage  „De  loco,  motu,  magnitudineetcausiscometaî,quisub 
finem  anni  1618.  et  initium  anni  1619.  in  cœlo  fulsit",  Ingolstadii,  ex  typogr.  Rderiano,  1619. 
L'auteur  dit  à  la  p.  j6  (Cap.  VII):  „  ...  fuisse  euimvsumTubiOptici  antiquis  etiam  Astrono- 
mis  familiarem  testatur  liber  vetustissimus  in  Bibliotheca  celeberrimi  Monasterii  Scheurensis 
scriptus  ante  400.  annos,  quo  in  libro  inter  estera  schemata  etiam  Astronomus  per  Tubum  Op- 
ticum  in  cœlum  intentum  sidéra  contemplans  visitur". 

1 1 


82  MUSIQUE. 


E.    MÉRITE  DES  „BELG/E",  SUIVANT  GUICCIARDINI,  DANS  L'ÉTA- 
BLISSEMENT OU   RÉTABLISSEMENT  DU  CHANT  POLYPHON^  ■)• 

Bannij  Zangbericht  ^). 

Omncs  illos  qui  primi  concentuura  doctrine  operam  dcdere,  atque  e  tenebris  eru- 
erunt,  fuiiïc  Belgas  fcribit  Guicciardinus  in  dcfcriptione  Belgij  3). 

Voyez  aiilîi  fur  l'invention  du  cliant  polyphone  la  note  89  de  la  p.  124  qui  fuit. 


')  La  Pièce  est  empruntée  à  la  f.  2-r  du  portefeuille  „Musica". 

')  Joannes  Albertus  Bannius,  ni  à  Haarlem  en  ou  vers  1598,  mort  dans  la  même  ville  vers  la  fin 
de  juillet  ou  au  commencement  d'aôut  1644,  fut  prêtre  catholique  et  grand  ami  de  Constantyn 
Huygens  père.  Consultez  aussi  sur  lui  la  note  6  de  la  p.  54-  du  T.  II,  ainsi  que  les, .Correspon- 
dance et  Oeuvre  musicales  de  Constantin  Huygens"  publ.  par  W.  J.  A.  Jonckbloet  et  J.  P.  N. 
Land,  Leiden,  Brill,  1882,  p.  XXXVI  et  suiv.,  et  l'article  de  J.  P.  N.  Land  „Joan  Albert  Ban 
en  de  théorie  der  Toonkunst"  dans  le  „Tijdschrift  der  Vereeniging  voor  Noord-Nederlands 
Muziekgcschiedenis"  I  et  III  de  1891. 

Le  „Nae-Rcden  ofte  Kort  Zangh-bericht"  fait  partie  de  l'ouvrage  dédié  à  Const.  Hnygens 
„Zangh-Bloemzel  van  loan  Albert  Ban,  Haerlemmer;  dat  is,  Staeltjes  van  den  zinroerenden 
zangh;  met  dry  stemmen,  en  den  Gemeene-Grondt-stem.  Neffens  een  kort  Zangh-bericht,  ten 
dienste  van  aile  Vaderlandtsche  Zangh-lievers",  t'Amsterdam,  bij  Paulus  Jlatthijsz.  Voor  Louis 
EIzevier  op  't  Water,  inden  Olm-boom.  1642.  Cité  par  Jonckbloet  et  Land  l.c.  p.  XLIX  et 
suiv.  (Zangh-Bloemzel)  et  CXXXV  et  suiv.  (Zangh-bericht). 

Dans  le  „Zangh-bericht"  Bannius  parle  e.a. (fort  brièvement)  du  „zamenzangh  van  meerder 
stemmen". 

L'article  de  Land  de  1891  fait  voir  que  Constantyn  Huygens  considérait  son  ami  comme 
trop  doctrinaire,  que,  tout  en  appréciant  ses  connaissances  théoriques,  il  ne  l'estimait  pas  fort 
comme  compositeur. 

3)  „Descrittior:e  di  M.  Lodovico  Guicciardini  Gentilhuomo  Florentino,  Di  Tutti  i  Paesi  Bassi, 
Altrimenti  Detti  Germania  Inferiore.  Con  tutte  le  carte  di  Geographia  del  paese,  &colritratto 
al  naturaledi  moite  terre  principali;  Riveduta  di  nuouo,  &ampliatapertuttolaterzavoltadel 
medesimo  autore.  Al  Gran'  Re  Cattolico  Don  Filippo  d'  Austria.  Con  amplissimo  Indice  di 
tutte  le  cose  piu  memorabili".  In  Anversa,  Apresso  Christofano  Plantino  Stampatore  Regio, 
MDLXXXVIII  (la  première  édition  est  de  1567,  la  deuxième,  amplifiée,  de  158 1).  Plus  tard  il 
y  eut  encore  de  nombreuses  éditions. 

A  la  p.  3  l'auteur  dit:  „Attribuiscesi  gloria  particulare  alla  Belgia,d'esserestata  inventrice  di 
piu  cose  memorabili ....  la  Belgia  cssere  stata  restauratrice  délia  Musica,  &  inuentrice  di  di- 
uersi  strumenti  musicali".  A  la  p.  42  il  écrit:  „Questi  sono  i  veri  maestri  della  Musica,&  quelli 
che  rhannorestaurata&  ridotta  a  perfettione,  perche  l'hanno  tanto  propria  &  naturale,  che 
huomini,&  donne  cantan'  naturalmente  a  misura,  con  grandissima  gratia  &  melodia,  onde 
havendo  poi  congiunte  Parte  alla  natura,  fanno  &  di  voce,  &  di  tutti  gli  strumenti  quella 
pruoue  &  harmonia,  che  si  vede  &  ode,  talche  se  ne  truoua  sempre  per  tutte  le  Corti  di  Principi 
Christiani".  Il  donne  les  noms  de  28  „musici  eccellenti"  en  ajoutant  qu'il  y  a  encore  „molti 
altri  tutti  maestri  di  Musica  celeberrimi,  &  sparsi  con  honore  &  gradi  per  il  mondo". 


IV. 

NOTES  SE  RAPPORTANT  À  DES  ÉCRITS 
DE  MUSICOLOGUES  ANCIENS. 


■i-iA-;-'  r 


Avertiffement. 


La  dillindtion  que  nous  failbns  entre  les  notes  fc  rapportant  à  des  écrits  de  mufico- 
logues  anciens  d'une  part,  modernes  de  l'autre,  ell:  parfois  plus  ou  moins  arbitraire, 
puifque  les  musicologues  modernes  traitent  fouvent  des  écrits  des  muficologues  an- 
ciens et  que  leurs  remarques  appartiennent  donc  aux  deux  catégories  à  la  fois. 

C'eft  ainfi  que  l'ode  de  Pindare,  rapportée  par  Kircher,  figure  au  §  i  de  la  préfente 
Pièce  et  qu'il  en  efl  de  nouveau  queflion  dans  le  §  5  de  la  Pièce  fuivante.  Voyez  donc 
aufll  fur  ce  fujet  rAvertiffement  fuivant. 

La  queflion  de  favoir  fi  la  mufique  ancienne  —  il  s'agit  évidemment  furtout  de  la 
mufique  grecque  —  avait,  oui  ou  non,  une  grande  valeur  paraît  avoir  donné  lieu  à 
des  réponfes  fort  différentes.  Si  d'une  part  le  philologue  Ifaac  Vofllus  l'exalte  '),  de 
l'autre  Claude  Perrault,  auteur  futur  du  „Parallèle  des  Anciens  et  des  Modernes"  qui 
eft  tout  à  l'avantage  de  ces  derniers,  l'affimile  à  celle  des  iroquois  ou  d'une  autre  na- 
tion quelconque  encore  barbare  ').  Huygens,  lui,  dit  tantôt  „que  cette  ancienne 


')  §  8  de  la  Pièce  V,  à  la  p.  131  qui  suit.  Le  père  d'Isaac  Vossius,  GerardusJoannesV.,  traite  briè- 
vement de  la  musique  antique  dans  le  Cap.  XVI,  intitulé  „De  choro  tragico:  item  de  melodia, 
et  apparatu  scenico",  du  Lib.  II  de  ses  „Poeticarum  Institutionum  iibri  très"  (Amsterdam,  L. 
Elzevier,  J  647),  mais  il  n'exprime  pas  d'opinion  sur  la  valeur  de  cette  musique. 


86  AVERTISSEMENT. 


miliiquc  cftoit  trcs  peu  de  chofc"  '),  tantôt  —  dans  le  §  i  de  la  préfcntc  Pièce  — 
qu'elle  n'était  pourtant  pas  à  fon  avis  fi  mauvaife  que  les  quelques  échantillons  con- 
fervés  la  font  paraître;  ce  qui  d'ailleurs  eft  à  peine  en  contradidtion  avec  l'opinion 
précitée.  Nous  indiquons  dans  la  note  2  de  la  p.  89  quels  font,  (1ms  doute,  les  échan- 
tillons dont  il  entend  parler. 

Merlenne  appréciait  la  niufique  grecque  bien  plus  que  Cl.  Perrault  ").  Nous  croyons 
utile  de  citer  audl  l'opinion  exprimée  en  1 875  par  F.  Gevaert,  s'efforçant  d'exagérer 
ni  d'un  côté  ni  de  l'autre  ^). 

Mais  fi  la  vwfiqiie  antique  paraît  médiocre  à  Huygens,  les  théories  des  muficologues 
grecs  au  contraire  l'intéreflent  vivement.  Ses  notes  fe  rapportent  à  Ariftoxène,  Eu- 
clide,  Nicomaque  de  Gerala,  Ariilide  Quintilien,  Pcolémée,  Alypius,  Gaudence  ou 
Gaudcntius  et  Bacchius  Scncx  qu'il  lilait  tous  dans  l'édition  de  Meibomius+).  Parmi 
les  quelHons  qui  attirent  fpécialement  fon  attention,  nous  mentionnons  celle  de  la 
polyphonie  dans  l'antiquité  (à  laquelle  fe  rapporte  auffi  la  Pièce  III  D  qui  précède), 
la  fignification  des  divers  modes  (comparez  la  Pièce  III  ^),  les  particularités  des  divers 
genres,  les  fyflèmcs  de  notes,  la  divifion  du  tétrachorde  en  différents  intervalles  et  la 
réunion  de  tétrachordes  en  fvftèmes. 


")  Mersenne,  p.  558 — 559  de  „La  Vérité  des  Sciences":  „respere  auec  l'aide  de  Dieu  que  nous 
arriuerons  à  cette  perfeftion  [comparez  la  p.  66  qui  précède],  lors  que  nous  traiterons  de  la 
Musique,  ou  du  moins  que  nous  en  approcherons  de  fort  près,  particulièrement  si  ie  peux  ré- 
tablir ce  que  pratiquoient  les  anciens  en  leurs  chants".  Voyez  cependant  aussi  la  note  71  de  la 
p.  i:i. 

3)  «Histoire  et  Théorie  de  la  Musique  de  l'Antiquité"  par  Fr.  Aug,  Gevaert  I,  Gand,  Annoot- 
Braeckman,  1 875,  p.  38  («Caractère  de  la  Musique  grecque"):  „Le  jugen;ent  définitif  dont  la 
musique  grecque  doit  être  l'objet  ressort  suffisamment  des  observations  qui  viennent  d'être 
présentées.  En  toute  chose,  elle  nous  apparaît  comme  un  art  simple,  incomplet  par  sa  simplicité 
même.  Elle  manque  de  cette  variété,  de  cette  profondeur,  de  cette  surabondance  de  vie,  qui 
sont  les  conditions  essentielles  d'un  art  dont  le  but  est  précisément  de  réaliser  ce  qu'il  est  de 
plus  mobile,  de  plus  intime  et  de  plus  vital  en  nous.  Sans  tomber  dans  les  exagérations  de  quel- 
ques critiques  modernes,  il  est  donc  permis  de  lui  assigner  une  place  inférieure  à  celle  qu'occupe 
notre  musique  dans  l'échelle  des  manifestations  du  sentiment  humain.  N'oublions  pas  toutefois 
que  l'art  ancien,  s'il  n'a  pas  connu  les  grandeurs,  les  sublimes  harmonies  de  la  musique  moderne, 
n'en  a  pas  connu  davantage  les  aberrations,  les  faiblesses.  En  donnant  une  part  très  restreinte  à 
la  sensation  nerveuse,  à  la  recherche  de  l'imprévu,  il  n'a  pas  développé  en  lui-même  le  germe 
de  sa  propre  décadence". 

Voyez  encore  sur  ce  sujet,  outre  la  note  2  de  la  p.  89,  la  fin  de  la  note  2  de  la  p.  78  qui  pré- 
cède (citation  d'Aristote)  et  la  note  4  de  la  p.  177 — 178  qui  suit. 


AVERTISSEMENT.  87 


Il  convient  en  outre  de  relever  le  deuxième  alinéa  du  §  4  propofant  de  définir  un 
ton  normal  à  l'aide  d'une  filhile  de  dimenfions  données.  Il  feî'nble  au  moins  fort  podible, 
vu  la  tendance  de  Huygens  à  établir  des  étalons,  qu'il  s'agiflTc  ici  d'une  propofition 
partant  de  kii-mcme  et  non  pas  d'un  auteur  antique.  Nous  nous  demandons  pourtant 
pourquoi,  dans  cette  hypothèle,  il  intercale  un  pareil  alinéa  en  cet  endroit-ci.  A-t-il 
longé  il  quelque  padagc  d'Arillote  fur  les  (TVfiyysi;  et  les  «i^Ao/'),  ou  peut-être  à 
l'endroit  de  Boèce  où  celui-ci  dit  que  Pythagore  détermina  les  tons  „longitudine  cala- 
morum"  '')  ?  Il  eft  vrai  que  chez  ces  auteurs  il  ne  s'agit  que  de  hauteurs  relatives.  Il  a 
pu  fonger  aufli,  à  la  propofition  de  Merfenne  d'établir  des  tons-étalons,  non  pas  par 
des  inftruments  à  vent,  mais  à  l'aide  de  cylindres  creux  ou  maflifs  frappés  par  des 
„marches" '"). 

Nous  publions  comme  Appendice  les  obfervations  de  Huygens  fur  les  tons  de  fli 
flûte**)  en  y  joignant  une  figure  indiquant  qu'il  a  peut-être  conçu  l'idée  de  la  sirène. 


■*)  Nous  mentionnons  cette  édition  e.a.  à  la  p.  362  du  T.  XIX. 

^)  AristOte,  Probl.  XIX,  23:  lî  .  .  .  .  Sià  toO  ^s'aou  Tjjç  a^joi-f/uz  Totï^uaroç  yuv/,  t^  Si'  Ô/jî;  t:^j  rj'joi'/yo^ 
a^jufuvcl  iià.  jracfûv.  STi  ht  Toîç  aO^oZç  tw  SiTz'j.ctum  AxTTviftaTt  '/,ay.^mzrxi  to  Ai  TraTÛv  CtC.  D'après 

le  catalogue  de  la  vente  de  ses  livres  en  1695  Huygens  possédait  les  ouvrages  d'Aristote. 

*)  Boèce,  dans  le  Chap.  1 1,  cité  aussi  à  la  p.  362  du  T.  XIX,  du  Livre  I  „de  Institutione  Musica" 
écrit:  „Hinc  [après  avoir  entendu  les  accords  produits  par  les  marteaux  du  forgeron]  igitur 
domum  reversus  [Pythagoras]  varia  examinatione  perpendit,  an  in  his  proportionibus  ratio 
symphoniarum  tota  consisteret.  Nunc  quidem  «qua  pondéra  nervis  aptans  eorumque  conso- 
nantias  aure  diiudicans,  nunc  vero  in  lotigimdiiie  calamonim  [nous  soulignons]  duplicitatem 
medietatemque  restituens  ceterasque  proportiones  aptans  integerrimam  fidem  diversa  experien- 
tia  capiebat". 

")  Dans  son  Corollaire  à  la  Prop.  IX  du  Liv.  III  des  „Traitez  de  la  Nature  des  Sons,  et  des  ÎNIou- 
uemens  de  toutes  Sortes  de  Corps"  faisant  partie  de  r„Harmonie  Universelle"  Mersenne  disait 
„que  l'on  ne  peut  rien  establir  do  certain  dans  la  Musique  par  la  longueur  des  cylindres  [il  s'agit 
ici  d'„instrumens  à  vent"],  comme  il  est  aysé  de  conclure  par  toutes  nos  expériences".  Dans  la 
„Premicre  Préface  générale  au  lertenr"  (p.  8  non  numérotée)  de  r„Harmonie  Universelle",  où 
il  renvoie  d'ailleurs  au  ,,3.  Liure  des  Mouuemens",  Mersenne  parle  d'abord  de  „cy lindres  creux" 
disant:  „les  marches  frapperont  ces  Cylindres,  &  les  feront  sonner  tant  doucement  que  l'on 
voudra  ...  Or  l'instrument  fait  de  ces  corps  pourroit  seruir  de  règle,  de  canon  &  de  diapason 
immobile,  &  infiillible  pour  régler,  &  pour  accorder  toutes  les  autres  sortes  d'instrumens,  & 
chaque  Cylindre  creux,  ou  plain  &  massif,  estant  porté  ou  envoyé  par  tout  le  monde  seroit 
propre  pour  communiquer  le  ton  de  l'orgue,  de  la  voix,  et  des  autres  Instrumens  &  pour  faire 
chanter  vne  mesme  pièce  de  Musique  en  mesme  ton  par  tous  les  Musiciens  de  la  terre . . ." 
Voyez  aussi  ce  qui  est  dit  sur  les  tuyaux  d'orgue  au  §  4^  (avec  la  note  75)  à  la  p.  122  qui  suit. 
Le  diapason  en  formede„tuning-fork"est  attribué  à  John  Shore,  qui  l'aurait  inventé  en  171 1. 

^)  P.  104.  Comparez  la  p.  377  du  T.  XIX. 


88  AVERTISSEMENT. 


La  plupart  des  notes  font  empruntées  au  groupe  de  feuilles  (i — 45)  donc  il  a  été 
queftion  dans  rAvertiiïement  des  Pièces  fur  le  chant  antique  et  moderne;  elles  datent 
donc  de  1672  ou,  fort  probablement,  de  plus  tard.  vSeuls  les  §§  i,  1 1  et  1 2  font  em- 
pruntés à  d'autres  feuilles  du  portef.  „]Mufica";  aucune  de  celles-ci  ne  peut  être  anté- 
rieure à  1672:  dans  celle  du  §  i  Huygcns  cite  un  endroit  du  groupe  i — 45,  et  les 
§11  — 12  fe  rapportent  à  l'édition  de  i682des„Harnionika"dePcoléméepar  Wallis. 
Notons  encore  que  la  f.  20  porte  à  fon  revers  la  noce  fur  Werckmeirter  déjà  men- 
tionnée h  la  p.  18  qui  précède,  de  forte  que  les  remarques  de  cette  feuille-là  fur  l'édition 
de  Wallis  datent  probablement  elles  aufli  de  1691  au  plus  tôt. 

Nous  ajoutons  un  mot  fur  la  date  des  citations  de  Théocrite  (comparez  la  note  i 
de  la  p.  1}  par  lefquelles  le  préfent  Tome  débute.  Elles  font  fans  doute  de  1684 
puifque  la  f.  i  fur  laquelle  elles  fe  trouvent  porte  une  férié  de  noms  qui  font  apparem- 
ment ceux  des  perfonnes  à  qui  Huygens  envoya  fon  „Afl:rofcopia  compendiaria"  de 
cette  année;  ceci  reffbrt  e.a.  du  fait  que  les  noms  Leeuwenhoeck  et  van  Durven  y 
paraidenc  à  part:  comparez  la  p.  502  du  T.  VIII  où  il  cû  dit  que  Leeuwenhoeck  et 
les  van  Durven  fe  rendirent  chez  Huygens  en  juin  1684  pour  voir  le  nouveau  télef- 
cope  fans  tuyau. 


NOTES  SE  RAPPORTANT  À  DES  ÉCRITS  DE  MUSICOLOGUES 

ANCIENS. 

§  I  ').  Il  paroic  aiïez  que  les  autheurs  que  nous  avons  de  la  mufique  anciene  ont 
eftè  ou  de  philofophes  peu  entendus  dans  la  pratique  de  cet  art;  ou  de  praticiens  qui 
manquoit  [fie]  des  fciences  neceffaircs  et  d'intelligence  pour  la  rédiger  par  efcrit. 
Outre  cela  leur  elcrits  l'ont  fi  fort  corrumpus  par  l'ignorance  des  copiiles  et  tradudleurs, 
qu'une  grande  partie  ne  Icauroit  eftre  entendue. 

Il  y  en  a  qui  ont  voulu  rellituer  quelques  uns  de  leur  airs,  dont  les  notes,  à  leur 
manière,  fe  font  trouvées  dans  des  vieux  manufcrits  ^);  mais  il  eft  affcz  évident  par  la 
méchante  fuite  du  chant  en  plufieurs  endroits  que  les  charafteres  ont  eftè  dépravez 
et  changez  par  les  copiftes  ignorants.  Leur  mufique  ne  fcauroit  avoir  eftè  fi  mauvaife 
que  ces  échantillons  la  font  paroiftre,  quoyque  je  ne  croye  pas  qu'elle  fuft  fort  bonne 
ni  régulière  ^).  L'ode  de  Pindare  que  Kircher  raporte  +}  eft  le  fragment  le  mieux  con- 
fervè  de  cette  mufique  anciene. 

§  2  ').  Tuniov  *)  fpilTum  interpretantur,  forte  melius  confertum. 


')  Portef.  „Musica",  f.  63V.  Comparez  sur  ce  premier  §  le  deuxième  alinéa  de  la  p.  93  qui  suit. 

')  Evidemment  Huygens  entend  parler  —  outre  de  l'ode  de  Pindare;  voyez  la  suite  du  texte  — 
des  trois  hymnes  à  la  muse  Calliopc,  à  Pliébus  et  à  Nt'mesis  dc'couverts  par  „un  Gentilhuomo 
Fiortntino,  nella  libreria  del  Cardinale  Sant'  Angiolo,  in  alcune  carte  che  erano  dopo  a  une 
libro  antichissimo  in  penna  délia  iNIusica  d'  Aristide  Quintiliano  &  di  Briennio"  et  publiés  par 
Vincentio  Galilei,  père  de  Galileo  G.,  dans  son  „Dialogo  délia  Musica  Antica  et  délia  Moderna" 
(Firenze,  1581  et  1602),  dont  nous  venons  de  citer  la  p.  96.  Il  existe  de  nombreuses  éditions 
de  ces  hymnes,  e.a.  une  de  Jolm  Fell  de  1672  —  dans  son  édition  d'Aratos  et  de  fragments 
d'Ératosthène  —  avec  des  commentaires  de  Edm.  Chilmead.  Fell  croit  pouvoir  dire  (p.  48) 
„nostra  veteribus  longe  esse  potiora;  si  artificium  &  cultus,  numeri  &  opes,  vis  denique  &  Ma- 
jestas  speftentur". 

Il  a  été  établi  plus  tard  que  ces  hymnes  sont  de  Mésomède  de  Crète,  du  deuxième  siècle  de 
notre  ère,  ce  dont  on  peut  se  convaincre  en  consultant  l'édition  de  1895  de  Carolus  Janus  ou 
von  Jan  des  „Musici  scriptores  grœci  Aristoteles,  Euclides,  Kicomaclms,  Bacchius,  Gaudentius, 
Alypius,  et  melodiarium  veterum  quidquid  exstat",  ainsi  que  le  „Supplementum.  Melodiarum 
reliquiœ"  de  1899  (l'un  et  l'autre  Lipsia?,  Teubner).  L'ode  de  Pindare  ne  s'y  trouve  point:  v. 
Jan  doute  de  son  authenticité,  v.  Jan  donne  les  dates  etc.  des  éditions  antérieures  des  hymnes 
de  Mésomède. 

5)  Comparez  la  note  135  de  la  p.  131  qui  suit. 

*^  Comparez  la  p.  126  qui  suit. 

5)  Les  notes  qui  suivent  (§  2 — 10)  sont  empruntées  aux  f.  38V,  39r,  39V,  4or,40V,43r,43V,46r, 

12 


ço 


MUSIQUE. 


Eft  autem  compofitum  ex  duobus  tetrachordi  intcrvallis  reliquo  tertio  minoribus. 
unde  in  diatonico  génère  locum  non  habct  "). 

Barypycni  foni  funt  qui  primas  feu  infimas  pycni  regiones  tenent.  Mefopycni  qui 
médias,  oxypycni  qui  ultimas  ^). 

Ariftid.  1.  i .  pag.  1 2  '). 


§  3.  Eratofthenis  feétio  Canonis  Pythagorici  '°). 


Enann.  ") 

6oI\ll 

76  \^T  rem. 
78 

80  CI 
90  LA 

1 1 4  FA  rem. 

117 
120  MI 


Chrom.  ") 

60  MI 

72  VP  rem. 
76  VT 
80  CI 

00  LA 

il 

108  FA*^  rem. 
1 1 4  F" A  rem. 
120  MI 


Diat. '3) 

60  MI 

67  RE 
75  VT 
80  CI 
90  LA 

101  SOL 
113  FA 
120  MI 


Nicomachus  Manualis  1.  i .  p.  24  ait 
Eratoflhenemmaleintellexiflefefti- 
onem  canonis  Pythagorici  '•*}. 


46V,  47r  et  47  v  du  portef.  „Musica".  Voyez  pour  les  §§  1 1  et  1 2  les  notes  69  de  la  p.  100  et 
-6  de  la  p.  102  qui  suivent. 

*)  Dans  les  genres  chromatique  et  enharmonique  l'intervalle  le  plus  haut  du  tétrachorde  est  plus 
grand  que  la  somme  des  deux  autres.  Ces  deux  derniers  forment  ensemble  un  groupe  de  trois 
tons  appelé  ttvzvov.  Huygens  propose  de  remplacer  par  „confertum"  la  traduftion  usuelle  „spis- 
sum",  peut-être  parce  que  „confertum"  évoque,  plus  que  „spissum",  l'idée  d'une  grandeur 
discontinue. 

7)  Dans  tous  les  genres  diatoniques  aucun  intervalle  d'un  tétrachorde  n'est  supérieur  à  la  somme 
des  deux  autres,  de  sorte  que  dans  ces  genres  il  n'y  a  jamais  de  „spissum". 

*)  Chaque  „spissum"  est  composé  de  trois  tons  nommés  par  ordre  de  hauteur  „barypycnum", 
„mesopycnum"  et  „oxypycnum". 

')  Aristides  Quintilianus  est  un  musicologue  du  i"  ou  2''°"  siècle  de  notre  ère.  Huygens  lisait  son 
ouvrage  „De  Musica  Libri  IIl"  dans  l'édition  de  Marcus  Meibomius„Antiqua;  Musica;  Auftores 
Septem.  Gra:ce  et  Latine",  Tome  II.  Amstelodami  apud  Ludovicum  Elzevirium,  1652;  nous 
citerons  plus  loin  ce  volume  comme  Meibom.  II. 

'°}  La  „seclio  canonis"  d'Eratosthène  nous  est  communiquée  par  Ptolémée,  Harmonicorum  Libri 
III,  p.  170  et  suiv.  de  l'édition  de  Wallis  (Oxonii,  1682),  p.  70  et  suiv.  de  celle  de  Dûring 
(Gûteborg,  1930). 

")  Suivant  Eratosthène  le  tétrachorde  enharmonique  est  divisé  dans  les  intervalles:  19: 15,39:38, 
40: 39.  Lorsque  le  ton  Mi  correspond  à  une  corde  de  longueur  120,  le  ton  de  la  corde  de  lon- 
gueur 114  est  inférieur  à  Fa  puisque  ^^  = —  < — .  Ceci  explique  l'annotation  „rem.", 
c.à.d.  remissum,  abaissé.  La  même  remarque  s'applique  aux  autres  tons  désignés  par  „rem." 


MUSICOLOGUES  ANCIENS.  Çl 


§  4.  Tonum  défini vcrunt  '  ')  dilTercntiam  inter  diatciraron  et  diapcnte,  contcntum 
fcilicet  ratione  y  ad  H.  Reccntiorcs  hune  majorcm  vocant  conum,altcrumqiicdefinie- 
riinc  quem  appcllant  minoi-cm  qui  crt  10  ad  9  ut  nempe  hi  junfti  faciant  tertiam  ma- 
jorcm. at  iecundum  divilionem  Temperamenti  intervallum  tertio;:  majorisquodeft  10 
ad  8  feu  5  ad  4,  dividitur  in  duos  tonos  a^qualesquifunt  rationis  5  ad  ],  '20  '").  quœ 
ratio  quanquam  non  fit  numéro  explicabilis  hoc  nihil  refcrt,  quia  de  intervalle  confono 
non  agitur. 


Definitio  toni  ccrta  ac  confians  ex  longitudinc  fidula?  feucylindricavi,cujusfonus 
femper  idem  quahcunque  fit  cralîltudine,  fthcm  fi  non  major  ea  fucrit  quam  pars  dé- 
cima vel  circiter  longitudinis  ''"}. 


Cumveteribusnonnifidiateffarondiapenteetdiapafonconfonantiseccnferentur'^), 
vel  hinc  apparet  concentu  vocum  caruifiTe  quem  nunc  parties  '^)  appellamus. 

De  modis  nemo  vcterum  quos  habemus  cxplicuit,  qua  in  re  diicreparcnt  nifi  acu- 
minc  et  gravitate.  de  finali  dominante  et  mediante  tono  nihil  prsceperunt,  cum  tamen 
ab  his  modormn  confliitutio  pendeat  -°).  Itaque  apparet  tantum  ad  chordas  cytharse 
et  reliquorura  inftrumentorum  refpexiffe. 


"')  Les  nombres  des  rapports  du  tétrachorde  chromatique  sont  d'après  Eratosthène  (I.c.)  6  :  5, 
19  :  18  et  20  :  19. 

'2)  Les  nombres  des  rapports  du  tétrachorde  diatonique  —  il  s'agit  du  genre  diatonique  ditonié  — • 
sont  9  :  8,  9  :  8, 1256  :  243.  Les  nombres  donnés  par  Huygens  sont  arrondis.  Ptolémée  donne 
des  valeurs  plus  exaftes;  en  notation  sexagésimale  elles  sont  60;  67  1 30;  75  j  56;  80;  90;  loi  15; 

113J54;  120.  Le  nombre 67 1 30 signifie  67^.  Voyez  Ptolémée,  Harmonica;  éd.  Wallisp.  172; 

éd.  Dûring  p.  73  (en  fractions  ordinaires). 

''')  Nicomachi  Geraseni  Pythagorici  „Harmonices  Manuale"  dans  le  Tome  I  de  l'ouvrage  cité  dans 
la  note  s*);  tome  qui  sera  cité  plus  loin  comme  Meibom.  L 

■5)  Voyez  p.e.  Aristoxéne  „Harmonicorum  Elementorum  Liber  I",  Meibom.  I,  p.  21,  où  l'inter- 
valle d'un  ton  (to  Tontajov  rhy.T-r,y.oL)  cst  défini  comme  la  différence  des  premières  consonances 

'«)  Puisque   (^)^  =  f. 

■7)  Nous  avons  parlé  de  cet  alinéa  dans  notre  Avertissement. 

'*)  Comme  Huygens  le  dit  aussi  dans  le  dernier  alinéa  de  la  p.  36.  Voyez  cependant  la  note  10  de 

la  p.  79. 
'*)  Le  mot  français  „parties"  est  employé  pour  indiquer  le  chant  polyphone. 


Ç2  MUSIQUE. 


De  claufulis  quas  nunc  cadentias  vocamus  nihil  etiam  dixenint  ").  has  in  diatonico 

ë   ^  JJ 
non  potucrc  habere  cum  hemiconijs,  nifi  fa  mi  fa,  er  ut  ci  ut.  cum  tonos  ut   f**  s*^  non 

habercnt.  Sed  ex  reliquijs  cantionum  quœ  luperfunt  vidcntur  claufulîe  plerunque  fuiile 

fine  rcvcrfione,  velut  fol,  fa,  mi,  f,  m,  r  &c. 

Si  fymphonia  ufi  fuilTent,  obfervaffent  très  fonos  fcmpcr  confonare  non  annume- 
rata  diapafon.  vclut  u,m,.s  vel  u,m,l,  vel  u,f,l.  Scd  nec  divifiones  canonis  fympho- 
niam  ferunt,  prêter  diatonicamunamPtolem^i  vel  Eratollhcnis  "). 

Prsecepta  tradidiflTent  de  ufu  confonantiarum  et  dilTonantiarum.  qus  prîecepta  nunc 
potidimam  artis  partem  faciunt. 

Ergo  nullam  apud  illos  muficam  fuifle  nifi  camus  fimplicis  aut  homophoni  fi  organa 
accédèrent  ■^^. 

At  paulatim  rcpcrtje  fymphonic^;  primum  in  claufulis  ubi  balTus  quartîe  intervallo 
afcendit  vel  quintœ  intervallo  defcendit  '+).  Hinc  autem  necefTarie  tantum  diatonicum 
genus  vel  cum  chromate  ut  nunc  habemus  mixtum  u(ui  eiTe  potuit,  ac  diatonicum  al- 
téra folum  fpecies  qu£  fyntonon  [?],  chroma  vero  unius  fpeciei  è  tribus,  nempe 
tonisum  ^^'). 

§  5.  Diagrammatanotarum  quïe  ex  Alypio  '*)  reftituit  Meibomius  ita  funt  ordinata 
ut  prodambanomeni  fingulorum  1 3  ^')  tonorum  femitonio  in  acumen  fefe  excédant, 
utque  eafdcm  habcant  notas  quas  fonus  ipfis  conveniens  in  Hypodorio  et  alijspra;ce- 
dentibus  modis '^).  Ex.gr.  dorij  proflamb.  notam  habet  eandem  ac  hypaton  diatonos"-') 
hypodorij. 


°°)  Un  mode  ecclésiastique  n'est  pas  encore  déterminé  par  sa  note  finale  puisque  celle-ci  est  la  même 
pour  un  mode  authentique  et  pour  le  mode  plagal  correspondant.  L'indication  de  la  note  do- 
minante permet  ensuite  de  distinguer  ces  deux  derniers  l'un  de  l'autre. 

=■)  Huygens  fait  allusion  au  „subsemitonium  modi"  (note  sensible),  inférieur  d'un  demi-ton  à  la 
tonique. 

==)  Savoir  le  genre  diatonique  tendu  (JiaTovixôv  ctùvtovov)  de  Ptolémée  et  le  genre  diatonique  d'Era- 
tosthéne  identique  avec  le  genre  diatonique  ditonié  de  Ptolémée.  Voyez  Ptolémée,  Harmonica, 
éd.  Wallis,  p.  172,  éd.  Dùring,  p.  73. 

En  effet,  dans  ces  genres  non  seulement  les  sons  fixes  des  tétrachordes  successifs  forment  des 
intervalles  consonants,  mais  il  en  efl  de  même  de  tous  les  tons  mobiles  ou  de  quelques-uns 
d'entre  eux. 

'3)  Consultez  sur  d'autres  considérations  sur  la  question  de  savoir  si  l'antiquité  a  connu  la  musique 
polyphone  (question  qui  intéresse  Huygens  tout  spécialement)  les  Pièces  III,  Dlet  D  II,  aux 
p.  78  et  80  qui  précédent. 

^*)  Ceci  se  rapporte  à  la  soi-disante  Clausula  Bassizans,  cadence  stéréotype  de  la  basse,  consistant 
en  un  saut  ascendant  d'une  quarte  ou  bien  descendant  d'une  quinte. 

-5)  En  effet,  ce  n'est  que  dans  ces  genres  que  chacun  des  tons  les  plus  bas  de  l'oftave  a  une  quinte 
supérieure. 


MUSICOLOGUES  ANCIENS.  93 


Unde  videtur  hic  auétor  itemque  Ariftidcs  Quint.  3°)  diverfitatcm  modorum  tan- 
tum in acumine et  gravitatc  pofitam ccnfuifTc;  imo  vero antiqui  omncs, quandoquidem 
U\x  fucriint  ipforum  notce  iingulis  modis  gencribiifquc  convenientes  quas  Alypiiis 
defcribit.  Ptolema'us^'}  vero  aliter  eorum  cxplicat  difîercntiam,  fecundum  quem  do- 
rius  tonus  fiiiflc  videtur  qui  nobishodic  USU.  Phrygius  RLR.  Lydius  MLM;  nempe 
plagius  liic,  et  non  MCM,  qui  non  nill  acumine  differret  a  RFL.  Idem  exceiTus  mo- 
dorum per  hcmitonia  improbat  3^). 

Puco  autem  (criptores  illos  muficos  excepto  Ptolemeo,  parum  intellexiiïe  quaenam 
vera  effet  modorum  differentia,  quod  inde  quoque  confirmatur  quod  nemo  illorum 
dilTerentiam  cantionum  qu£e  modi  Dorij,  Plirygij,  Lydij,  etc.  effcnt  explicuit,  qua: 
nempe  in  ufu  finalis  mediantis  ac  dominantis  ibni  fita  effe  debuit  "^.  At  mufici  praétici 
proculdubio  eam  noverant.  fed  hi  explicare  non  poterant  3+). 

Gaudentius  pag.  21  ^s).  nonnunquam  fonum  mefe  pro  proflambanomeno  fumtum 


"')  Alypius  est  un  musicologue  grec  florissant  vers  300  après  J.  Chr.,  dont  r„Introduftio  musica" 
se  trouve  dans  Mcibom.  I.  Il  donne  une  table  des  notes  grecques. 

''')  Alypius  (p.  ç6  qui  suit)  en  donne  quinze,  conformément  à  la  tradition  post-aristoxénique. 

-*)  Ceci  doit  s'entendre  comme  suit:  le  proslambanomenos  de  chaque  ton  du  groupe  moyen  est 
désigné  par  le  même  signe  que  le  ton  de  même  hauteur  (savoir  le  hypaton  diatonos)  du  ton 
correspondant  du  groupe  grave,  caraftérisé  par  la  particule  iypo. 

"')  Hypaton  diatonos  est  un  autre  nom  pour  lickanos  hypaton.  Voyez  p.e.  Gaudentius  „Harmonica 
Introduftio",  Meibom.  I,  p.  7. 

■^°)  Aristides  Quintilianus  „De  Musica"  I,  Meibom.  I,  p.  23 — 24. 

3')  Ptolémée  parle  des  différents  modes  dans  le  Cap.  9  du  Lib.  II  des  „Harmonica",  éd.  Wallis  p. 
128,  éd.  During  p.  60.  Nous  ne  voyons  pas  comment  Huygens  a  pu  conclure  de  ces  considéra- 
tions ou  du  traitement'ultérieur  du  sujet  que  le  mode  dorien  serait  le  même  que  VSV  et  le  mode 
lydique  le  même  que  MLM.  A  cette  identification  s'oppose  déjà  la  description  des  différents 
modes  dans  le  Cap.  1 1  du  Lib.  II  (éd.  Wallis  p.  136,  éd.  Diiring,  p.  64)  dont  on  trouve  un  ré- 
sumé dans  I.  Diiring,  „Ptolemaios  und  Porphyrios  uber  die  Musik",  Gôteborg,  1934,  p.  79;  le 
mode  dorique  y  est  caradérisé  par  la  suite  de  tons  et  de  demitons  ^,  i,  1,  i,  ^,  i,  i,  tandis  que 
pour  VSV  cette  suite  est  i,  i,  5,  i,  i,  i,  \. 

3=)  PtoléméeJ„Harmonica",  Lib.  I,  cap.  1 1,  éd.  Wallis  p.  136,  éd.  Diiring  p.  64. 

33)  Voyez  la  note  20  de  la  p.  92. 

3'*)  Comparez  le  §  i  qui  précède. 

■'')  Gaudentius,  „Harmonica  Introduflio",  Meibom.  I,  p.  21. 

3*)  Alypius,  „Introdu(5tio  Musica",  Meibom.  I,  p.  2. 

On  trouve  en  marge  la  liste  suivante  contenant  les  noms  bien  connus  des  tons  du  grand 
système  parfait  : 

L  nete  hyp.  V  trit.  diez.  par.  syn.  M  hyp.  mes. 

S  paran.  hyp.  C  paran.  i?  trite  syn.  R  lich.  hyp. 

F  trit.  hyp.  L  mese  V  paryp.  hyp. 

M  nete  diez.  S  licha.  mes.  Cjiyp.  hyp. 

R  paranet.  diez.  nete  syn.  F  paryp.  mes.  L  proslamb. 


94  MUSIQUE. 


ait,  intcrdum  alium  foniim  ex  ijs  qui  inter  proflamb.  et  mefen  funt,  nempc  fccundum 
Inmc  aut  illuiii  niddum,  rcliquos  vero  fonos  ad  proflambanonicnon  fuam  eadem  pro- 
portionc  uhiqiie  rcferri.  1  linc  vero  concludit  lingulis  modis  divcrfas  notas  habiiere 
debuifle;  quod  non  video. 

Hoc  aiitem  conlîderandum,  an  non  chordas  quafdam  intendere  aut  remittere  ne- 
cefl'c  habuerint  cuni  modum  mutare  vclient,  quod  fane  videtur  ita  fuillc,  nam  fi  pros- 
lanibanomcnos  hypophrygij  L  ex.  gr.  idem  fonabat  quod  hypate  hypaton  hypodorij  C, 
(ut  apparet  ex  diagrammate  Generis  diatoni  quod  fecundum  Alypium  Meibom.  refti- 
tuit  5")  jam  hypophrygij  hypate  hypaton  C  non  potcrit  referri  fono  parypates  V  hypa- 
ton hypodorij.  quoniam  ab  hujus  hypate  ad  parypaten  efl:  4^tonium  CI,  VT;  at  a 
proflamb.  L  ad  hypaten  C  hypaton  hypophrygij.  et  ah\is  cujuflibet  modi,  débet  efTe 
tonus  LA  CI.  Ergo  necefTc  fuit  remittere  chordamhypatesChyp.  hypodorij,  quando 
lyramhypophrygiomodo  accommodare  volebant.  eademque  rationc  parypate  mefon 
hypodorij  intendenda  fuit  hemitonio  minore.  Sed  hœc  mutatio  tenfionum  in  chordis 
quibufdam  hoc  quidem  cfliciebat  ut  eandem  cantilenam  tono  altius  (bnare  poïïent,  fed 
ea  non  erat  mutatio  fecundum  tj^oc,  cujufmodi  nollri  temporis  habct  raulica.  qualilque 
proculdubio  etiam  apud  veteres  fuit. 

Ad  hanc  autem  nihil  opus  erat  mutare  ullius  chordîe  tenfionem,  uti  nec  apud  nos. 
Ergo  vel  nos  fcriptores  illos  non  intelligimus,  vel  illi  rem  ipfam  quid  eflet  toni  mu- 
tatio non  intellexerunt. 

§  6.  In  modorum  feu  tonorum  definitione  diiïerebant  muficorum  pofitiones  quod 
et  Arifloxenus  indicat  inllit.  harm.  pag.  37,  fimilem  hic  difcrepantiam  effe  dicens  atque 
in  horarum  numeratione  apud  diverfos  populos  s').  Ipfe  nihil  définit.  Sed  Euclides^^) 
pag.  19  ipfius  fententiam  de  13  tonis  refert,  quorum  ordo  et  excelTus  ijdem  ac  apud 
Bacchium'")  et  Ptolcmanim+°).  Euclides  p.  16  fpeciem  diapafôn  quas  efl:  ab  hypat. 
hyp.  ad  paramefcn  (a  ci  ad  ci)  mixolydiam  vocari  ait.  cum  tamen  hic  modus  dicatur 
omnibus  acutiffunus  è  feptem^'}.  Euclidem  fequitur  Gaudentius*-). 


On  ne  doit  apparemment  pas  regarder  les  notes  ajoutées  ici  par  Huygens  comme  désignant  les 
hauteurs  des  tons  en  valeurs  absolues;  il  ne  s'agit  que  de  hauteurs  relatives:  les  tons  mentionnés 
différent  autant  entre  eux  que  les  tons  grecs  indiqués.  P.e.  prosiambanomenos  hypophrygii  et 
hypate  hypaton  hypodorii  diffèrent  autant  que  La  et  Ci,  donc  un  ton  entier;  de  même  hypate 
hypaton  hypophrygii  et  parhypate  hypaton  hypodorii  différent  d'un  demi-ton,  comme  C  et  V. 

37)  Iluygens  fait  sans  doute  allusion  à  un  passage  des  „HarmonicorumElementa",Lib.I,  Meibom. 
I,  p.  27.  Toutefois  en  cet  endroit  Aristoxène  excuse  la  confusion  dans  la  définition  des  modes 
en  la  comparant  non  pas  avec  celle  qui  règne  dans  la  numération  des  Ai7/;«,  mais  avec  celle  qui 
se  rapporte  zux  Jours. 

38)  Euclide,  „Introductio  Harmonica",  Meibom.  I,p.  i9  =  „EuclidisScriptaMusica",éd.  Menge, 


MUSICOLOGUES  ANCIENS.  95 


Bacchius  et  Pcolemaeus  non  definiunc  niodos  nominibus  chordarum,  fed  gravidimum 
ponunt  hypodorium;  indc  reliques  hoc  ordine,  et  exceflu  qui  ex  adfcriptis  noftrorum 
Ibnorum  nominibus  cognolcitur  +'). 


Mixolydius 

F 

Hypolydius 

C 

Lydius 

M 

Hypophrygius 

L 

Phrygius 

R 

Hypodorius 

S 

Dorius 

V 

HaîC  autem  difcrepant  multum  ab  Euclidis  et  Gaudentij  numeratione.  in  qua  dorius 
acutior  effet  phrygio  et  hic  lydio.  Notandum  tamen  Euclidem  et  Gaudentium  non 
loqui  de  tonis  fed  de  diapafon  fpeciebus,  fi  forte  ha;c  diverfa  inter  ie  fuere-*+). 

§  7.  Ariftox.  lib.  2  pag.  46.  multos  deceptos  fuiffe  ait  quod  putarent  ipfum  dicere 
tonum  in  4  œqualia  divifum  cani  +5^. 

§  8.  Ariffides  Quintilianus  1.  i  pag.  23  +'^).  Singulis  Tonis  feu  modis  fuas  attribuit 
proflambanoraenos,  dicitque  omnium  1 3  tonorum  proflambanomenos  contineri  inter- 
vallo  diapafon  quia  nimirum  finguli  Toni  hemitonio  luper  précédentes  afccndunt,  ut 
hypodorius  fit  omnium  gravilîimus  nec  quicquam  addit  unde  colligatur  Tonos  feu 
modos  Veterum  aliter  quam  gravitate  et  acumine  dilcretos  fuifle;  quod  vix  crcdibile 
videtur;  Certe  Ptolemseus  aliam  modorum  differentiam  ffatuere  videtur,  lib.  2  Har- 
monie, cap.  7.  Etfi  non  diftinftè  expiicet  qua  in  re  fita  fit.  Sed  forfan  in  caufa  ei^  inter- 


Lipsis  1916,  p.  218.  Chez  Meibomius  il  faut  lire  à  la  p.  :o,  I.  10  SaoOTaToç  au  lieu  de  (î?->raT</î. 

39)  Bacchius  Senex  est  un  musicologue  grec  du  quatrième  siècle  de  notre  ère. 

*°)  Ptolémée,  «Harmonica",  Lib.  Il,  cap.  15,  éd.  Wallis  p.  173  sq.  éd.  Diiring,  p.  74  sq. 

••')  Cette  contradiction  apparente  résulte  d'une  confusion  entre  le  ton  (Tivo,-)et  lemode(âoMvta). 
Lorsqu'on  écrit  pour  le  grand  système  parfait  La-La-La  le  mode  myxolydien  est  rendu  par 
l'oftave  B — B.  Mais  dans  le  système  des  tons  le  ton  myxolydien  ou  hyperdorien  est  le  plus  haut 
des  sept  distingués  par  Ptolémée. 

••-)  Gaudentius.  «Harmonica  introductio",  Meibom.  I,  p.  19  dans  une  discussion  des  sept  modes. 

■t^)  Ici  de  nouveau  (comparez  la  note  36  de  la  p.  93)  les  notes  ajoutées  ne  servent  qu'à  indiquer 
les  intervalles  successifs. 

*'*)  Il  existe  en  effet  une  différence  entre  le  ton  (T'W)et  le  mode  (ipucvta,  species,  diapason).  C'est 
à  cette  différence  qu'il  faut  avoir  égard  pour  expliquer  la  contradiction  signalée  par  Huygens; 
voyez  la  note  41  qui  précède. 

*5)  Aristoxène  observe  à  l'endroit  cité  qu'on  chante  les  intervalles  d'un  demiton  (r.MTnim'),  d'un 
tiers  de  ton  Çiàat;  youiJLxzixr,)  et  d'un  quart  de  ton  (AWi?  fjaor/ovtoç)-  !•  parait  qu'on  a  donné 
de  cette  observation  l'interprétation  erronée  qu'un  ton  serait  chanté  en  quatre  étapes  succes- 
sives d'un  quart  de  ton. 

''«)  Aristides  Quintilianus,  „De  Musica",  Meibom.  II. 


96  MUSIQUE. 


pretis  Gogavini  +■')  imperitia  qui  ira  hune  auftorem  vertit  ut  non  fit  intelligibilis.  Ap- 
parat tamen  dificrcrc  Ptolemxum  in  eam  fententiam  ut  non  fuerit  diverfitas  modorum 
ex  gravitatc  aut  acuminc,  icd  qiiod  diverfi  moris  imagines  auribus  ingérèrent,  ficut 
Dorium  dixere  virilem,  Fhrygium  molliorem,  Lydiiim  lugubrem  •*^). 

Cum  ex  fpeciebus  diapafôn  Ptolem^eus  modos  conftituat,  non  alienum  eft  credere 
cxtremos  feu  infimos  fonos  cujufque  diapaibn  quo  modus  dcfignatur  definivifie  1.  2. 
cap.  1  [■?].  Quod  fi  verum  efl;,  lequitur-*^^  dorium  modum  fuifie  VSV  qui  primus 
nofirorum,  Phrygium  RLR,  Lydium  MCM  vel  potius  MLM. 

Alypius  '°)  1 5  modos  ftatuit  pag.  2.  horum  primum  Lydium.  Reliquos  non  enume- 
rat  ied  credibile  efl:  talem  corum  ordinem  agnofcere  qualem  in  notarum  defcriptione 
iequutus  efl. 

§  9.  Epigomum  cithars  genus  ab  Epigono  inventum,  40  chordas  habebat.  aliud 
(imicum  vocatum,  35.  Notis  in  Ariftox.  p.  79  '').  Epigonus  ifle  digitis  fine  pleétro 
fides  pulfiivit  primus. 

TVKviv^  fpiiFum,  efl  quod  ex  duobus  conflat  intervallis  qus  fimul  addita  minus  in- 
tervallum  continent  co,  quod  in  diateffaron  relinquitur.  Ariflox.  pag.  24  '"). 

Pars  toni  dimidia  canitur  quas  dicitur  hemitonium.  Item  toni  pars  tertia,  quœ  voca- 
tur  diefis  chromatica  minima.  Item  toni  pars  quarta  quce  vocatur  diefis  enarmonia 
minima.  qua  nuUum  canitur  minus  intervallum.  Ariflox.  pag.  46. 1.  2. 

Genus  diatonum  duplex  erat,  molle,  et  fyntonum,  quod  vertit  contentum"^. 


*')  En  écrivant  ce  paragraphe,  Huygens  se  servait  donc  encore  de  l'édition  de  Gogavinus,  Venise, 
1562.  Ces  remarques  ne  sont  donc,  pensons-nous,  pas  postérieures  à  1682,  date  de  l'édition  de 
Wallis.  C'est  cette  dernière  que  nous  verrons  Huygens  citer  dans  des  notes  ultérieures,  dont 
l'uneau  moinssemble,  il  est  vrai,  être  de  beaucoup  postérieureà  1682  (voyez  l'Avertissement). 

■**)  Les  caractères  éthiques  des  différents  modes  ne  sont  pas  mentionnés  par  Ptolémée.  On  en  trouve 
un  bon  aperçu  chez  Reinach  „La  Musique  grecque",  Paris  1926,  p.  46. 

**)  Voyez  la  note  31  de  la  p.  93  qui  précède. 

5°)  Comparez  la  note  27  de  la  p.  93. 

5  ')  Aristo.xéne  „Harmonicorum  Elemen ta  Lib.  I",  Meibora.  I,  p.  3  parle  de  „Epigoniorum  quidam" 
ce  qui,  suivant  Meibomius„Nota;  in  Aristoxenum"p.  78,  se  rapporte  aux  disciples  d'un  célèbre 
musicien  du  nom  d'Epigonus,  natif  d'Ambracia,  et  créé  plus  tard  citoyen  deSicyon.  Un  instru- 
ment à  quarante  cordes  de  son  invention,  nommé  „epigonium",  est  mentionné  par  Iulius  Pol- 
lux  Lib.  IV,  Cap.  59  („Pollucis  Onomasticum"  éd.  E.  Bethe,  Vol.  I,  Leipzig  1900)  qui  parle 
aussi  d'un  autre  instrument  à  35  cordes,  le  „simicum".  Lui  et  Athena;us  (Lib.  IV)  racontent 
qu'Epigonus  fut  le  premier  à  toucher  les  cordes  avec  les  doigts,  sans  pledrum. 

Dans  le  „Dialogo  délia  Musica  antica  et  délia  moderna"  de  1581  de  Vincentio  Galilei  on 
trouve  aux  p.  40  et  41  deux  grandes  figures  représentant  r„epigonio"  e  le  „simico". 

5^)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  90. 

53)  Aristoxène,  „Harmonicorum  Elementa  Lib.  H",  Meibom.  I,  p.  51  distingue  deux  genres  dia- 
toniques, le  genre  diatonique  amolli  (ota/oziv)  et  le  genre  diatonique  tendu  (dOvrovov),  ce  que 


MUSICOLOGUES  ANCIENS. 


97 


Molle,  in  qiio  diatelTaron  ab  hypate  ad  mefen  dividitur  in  hemiconium  et  intervallum 
trium  dielîum  cnarmoniarum  et  aliiid  qiiinque  ejufmodi  diefium.  tota  nempe  diatelTaron 
ell  lo  dielîum  cnarnioniaruni  quarum  diia;  ccdunt  hemitonio.  Contentiim  live  fynto- 
num  diatoniciim  confiât  intervallis  hcniitonij  et  toni  et  toni. 

Hœ  Ipecies  diatoni  etiam  x^ôai  colores  '*)  vocantur.  Introd.  Harm.  Euclidis  pag. 
I  o,  1 1 .  ubi  et  Chromatici  gcncris  colores  3  recenfentiir  ' ').  Secundiim  horum  primura, 
vocatur  Chroma  molle,  quod  canitur  per  diefin  chromaticam,  qu£  efi:  \  toni  et  diefin 
illi  a^qualcm  et  per  intervallum  incompofitum  quod  a:quale  eft  tono  et  ^  tono  et  \ 
ejufdem.  Secundum  altcrum  vocatur  chroma  felquialterum,  quod  canitur  per  diefin 
et  diefin  quarumque  utraque  1  ef  quialtera  diefeos  enaraionix  et  per  intervallum  incom- 
pofitum fcpcem  dielibus  enarmonijs  confkns.  Tertia  fpecies  chromatis  denique  eft 
quod  Toniaîum  dicitur  quod  eadem  qua  genus  divifione  utitur,  quippe  quod  canitur 
per  hemitonium  et  hemitonium  et  trihemitonium. 


IVIeibomius  traduit  par  „contentiim". 

Dans  ces  deux  genres  le  tétrachorde  des  moyennes  comprend  les  parties  suivantes 
Diatonique  amolli 
Mése 

5  dièses  enharmoniques 
Lichanos 

3  dièses  enharmoniques 
Parhypate 

demitons  =  2  dièses  enharm. 
Hypate 

où  I  dièse  enharmonique  =  -  ton. 


Diatonique  tendu 
ton  =  4  dièses  enharm. 
ton  =  4  dièses  enharm. 
demiton  =  2  dièses  enharm. 


^■*)  =  nuances.  ;(ooa  Si  ia-ci  yivouî  ùSiKt\  ât<xipe(7tç. 

55)  Euclide  „Introdu(5tio  Harmonica".  Meilîom.  I,  p.  10  („Euclidis  Scripta  Musica",  éd.  Menge, 

p.  200).  Les  trois  modes  du  genre  chromatique  sont  déterminés  par  les  divisions  suivantes  du 

tétrachorde  des  moyennes 


iromatique  amolli 

Mèse 

Chromatique  sesquialtére 

Chromatique  tonié 

(■+i+-;)- 

7  dièses  enharm. 

3  demitons 

Lichanos 

dièse  chrom. 
Parhypate 

dièse  chrom. 
Hypate 

-  dièses  enharm. 
2 

-  dièses  enharm. 

2 

demiton 
demiton 

où  1  dièse  chromatique  =  -  ton  et  i  dièse  enharmonique  =  -  ton. 


13 


98  MUSIQUE. 


Syftemata  in  immutabili  fyrtemace  non  tantum  funt  diateffaron,  fed  et  diapentc 
diapalbn  et  compofitoruni  ex  diapafon  et  diatciraron,  et  ex  diapafon  et  diapente,  et 
difdiapaCon  ''^}. 

§  10.  Pag.  15.  Introd.  Euclid.  Per  diverfas  fpecies  diapafon  quse  funt  7,  définit 
totidem,  ut  videtur,  modos.  Prima  fpecies  inquit  efl:  cujus  primus  tonus  ert  ///  acumine 
hoc  cil  parte  fupcra.  clique  ab  liypatc  liypaton  ad  paramefen  lioc  ell  a  cï  ad  cï.  cur 
autem  h  cl  ad  la  tonum  vocet  quafi  alij  non  eflent  toni  in  diaftantia  diapalbn,  hinc  eft; 
quod  in  diapafon  illo  non  invcniatur  aliud  toni  intervallum  inter  fonos  immobiles 
prœter  ilhid  a  mefe  L  ad  paramefen  C.  immobiles  autem  adhibere  non  debebat  quia 
in  univerfum  diapalbn  omnium  generum  difterentias  explicare  voluit  5"). 

Pag.  17  et  18  '^)  explicat  fyftemata  perfeéta  minus  et  majus  et  ex  his  compofitum 
quod  immutabile  vocatur.  Minus  efl  trium  diateffaron  fimilium  et  conjunftarum  a  ci 
ad  re.  una  cum  tono  inter  proflamb.  et  hypat.  hypaton.  Majus  fyftema  ell  bis  diapafon 
a  proflamb.  ad  neten  hyperbol.  la^  la^  la. 

Sed  ditficultas  hœc  eil  quod  necelTe  fit  tertiam  diateffaron  minoris  fyllematis  elle 
//7,  ça^  ut.,  re.,  ut  fit  fimilis  rcliquarum  duarum  inferiorum,  adeoque  a  mefe  ad  triten 
fynneramenon  efie  hemitonium.  at  in  majori  fyflemate  oportet  inferiorem  diateffaron 
elfe  c/,  ut.,  re,  mi. 

Gaudentius  ")  de  his  fyfiematibus  fcribens  videtur  fignificare  nunc  hoc  nunc  illo 


5*)  Euclide  „Introduftio  Harmonica".  Meibom.  I,  p.  12 — 13  („EucIîdis  Scripta  Musica",  éd. 
Menge,  p.  210). 

'•'')  Il  nous  semble  que  les  mots  „cujus  primus  tonus  est  in  acumine"  doivent  être  interprétés  autre- 
ment que  chez  Huygcns.  Le  texte  grec  est  le  suivant:  roO  Sï  (Jtà  TTao-Mv  sto"»!  eo-Ttv  ir.-i.  npÙTov 
uh  To  v-0  ixo-j7:-jy.'j',)-j  T.toi-/itj.rjvj.  o-J  -o'iro.:  o  rovoj  kvï  ro  iz-'j.  Le  sens  du  dernier  bout  de  phrase 
esc  apparemment:  dont  le  ton  fondamental  est  le  premier  ton  (après  le  proslambanomenos) 
vers  le  haut.  Cette  interprétation  écarte  la  difficulté  signalée  par  Huygens. 

58)  Euclide  „Introdu(5tio  Harmonica".  IVIeibom.  I,  p.  17 — 18  („Euclidis  Scripta  Musica",  éd. 
Menge,  p.  214).  Les  systèmes  en  question  sont  1°  le  grand  système  parfait 


bcdefga|bcdefga 

I ! ! [ ! 


comprenant  deux  oftaves  et  consistant  en  deux  paires  de  tétrachordes  conjoints,  séparés  par 
l'intervalle  de  la  mèse  à  la  paramèse  (a — b)  et  précédés  par  l'ntervalle  du  proslambanomenos 
à  la  hypate  hypaton  (a— h); 

2°  le  petit  système  parfait  consistant  en  trois  tétrachordes  conjoints,  comprenant  ensemble 
l'intervalle  d'un  odave  et  quart 


g    a     bes 

I 


Pour  bes  Huygens  écrit  ici  ça. 


MUSICOLOGUES  ANCIENS. 


99 


veteres  ufos  fiiille.  ait  vero  mefen  a  tritc  fynncmmenon  ''°)  dillarc  hcmitonio,  eandcm 
vero  mcfcn  a  paramcfc  tono.  nunquam  vcro  compofito  ex  utrifque  ryftcmatc  utcban- 
tur,  quod  inutiles  fuiiTcnt  fynemmenôn  tctracliordi  duœ  fuperiorcs;  fortafTe  folam 

tritcn  ryncmmenon  adjungebant  fupcmumcrariam  ut  habcrcnt  C^.  Ptolcma^us  lib.  2. 
cap.  7  '^')  (upcrikuim  dicit  tctrachordum  rynemmenon,  ac  ubiquc  in  receniione  tono- 
rum  id  omittit. 

Ilcmitoniumquod  vocabant  non  ignorabant  non  eiïe  toni  dimidium.  Nicomachus 
Manualelib.  i.  pag.  27"'),  ctli  diateilaron  elt  si  tonorum,  diapcnte  vero  3I,  non 
ideo  diapafon  quod  ex  utrifque  coniponitur  eil  tonorum  6,  fed  5  tonorum  et  2  hemi- 
toniorum  qua?  dicuntur.  quîe  fi  eiïcnt  rêvera  tonorum  dimidia,  fieret  diapafon  tono- 
rum 6.  VA\  autcm  major,  quod  et  Philolaus  notavit  *'). 

Dupliccs  notas  veteres  vcrfibus  appofuifTe  fcribit  Gaudentius  Harmon.  Introd. 
p.  23.  quarum  luperiores  tîjv  Àe^iv,  inferiores  rijv  KpoîJcriv  oftenderint  ''*'). 

Quorfum  hoc  fi  idem  cantabant  ac  fonabant.  Itaquehincaliqui  putant  fymphoniam 
cantus ac  cithara^  non  fuiffe homophoniam  '^').  Sed  cumalia  multa contrarium fuadcnt, 
tuin  hoc  quoque  quod  etedem  femper  duplices  nots  recurrant,  adeo  ut  ad  cundcm 
fonum  vocis  femper  idem  tonus  confonans  apponi  debuerit,  quod  abfurdum  efl:  cum 
plane  ineptus  ingratufque  auribus  concentus  hinc  nafcatur.  Quid  tamcn  fignificant  illa, 
Às^iv  nempc  et  y.powa-tv  duplicibus  notis  defignatas  fuifle.  FortaiTe  alijs  notiscantores 
mufici,  alijs  cytharedi,  vel  qui  lyram  pulfabant,  affueverant;  utque  cantoribus  fuperio- 
rcs notas  fufrccifîe  fciraus  (quod  veteres  cantilcnre  fimplicibus  hujufmodi  fcripta;  in- 
veniantur)  ita  organa  pulfantibus  inferiores  fulîecerint;  qui  vero  cancre  et  pulfare 


S')  Gaudentius  „Harmonica  Introdudio".  Meibom.  I,  p.  7  et  8. 

''°)  La  trite  syiicmmcnon  est  le  ton  qui  suit  la  mêse  du  troisième  tétracliorde  du  petit  système  par- 
fait (tètradiorde  des  conjointes),  la  paramèse  est  le  premier  ton  du  troisième  tétrachorde  du 
grand  système  parfait  (tétrachorde  des  disjointes). 

*')  Ptolèmèe  „lIarmonica".  Lih.  II,  Cap.  7,  éd.  Wallis  p.  122,  éd.  Diiring,  p.  ^j. 

*')  Nicomaque  „Harmonices  Manuale",  Lih.  I,  Meibom.  I,  p.  27. 

*5)  Le  texte  de  Pliilolaos  cité  par  Nicomaque  eft,  d'après  Diels  „Fragmente  der  Vorsokratiker", 
Berlin  1 922,  I,  p.  3 1 2  :  ovtw;  ioamix  (c.à.d.  octave)  -i-j-rt  iiziySooL  /.ai  à-jrj  âUasi;.  âi  oz-ii-j  (c.à.d. 
quinte)  (?i  -pî.x  ir-'v/Sti^  zai  Sii'jii.  nxi^ly-pà.  (c.à.d.  quarte)  dï  ôl/'  i;Toydoa  xai  Sizat;. 

Par  3U:m  il  faut  ici  entendre  hemitonium.  Philolaos  savait  donc  que  deux  hemitonia  n'équi- 
valent pas  à  un  ton  I  Jjroy&ov  =  |);  sinon  il  aurait  égalé  l'oftave  à  6  i-iySoot.. 

*•*)  Gaudentius  „Harmonica  Introductio".  Meibom.  I,  p.  23.  La  note  marginale  de  Huygens 
percufiionem  interpr.^  indique  la  traduftion  „percussio"  donnée  par  Gaudentius  de  zooirrc;. 
Voyez  sur  les  „duplices  notœ"  la  p.  80  (note  12)  qui  précède. 

''5)  Voyez  sur  la  question  de  l'existence  de  la  musique  polyphone  dans  l'Antiquité  la  Pièce  III  D. 
à  la  p.  78  qui  précède. 


I OO  MUSIQUE. 


fides  fimul  vellent  ijs  utneque  notœ  adfcribendîe  fuerint.  quamquam  infignis  fuerit 
hsc  iltorum  hominum  Tsptspyix.  fed  hanc  inirari  non  debcmus  cum  totum  hoc  har- 
moniccs  ncgotiiim  miris  adeo  tricis  qiiibufquc  carcrc  potuiffet,  involuciim  fuerit.  qiiid 
cnim  aliud  divcrfitas  illa  notarum  uniufcujufque  modi,  qiiarum  ab  Alypio  recenfcn- 
tur*^*)  ....  atque  ita  ut  chorda  cadera  fa^pe  alio  charaétere  in  fingulis  modis  defigna- 
retur.  Sane  ccnfioncm  chordarum  non  fuilTe  mutatam  in  modis  (quomodo  cnim  inter 
fonandum  potuidenc  mutarc  modum,  ut  faciebant  icpe)  fed  tantum  in  generibus 
fcimus*"),  et  in  his  quoque  non  omnium,  ut  proinde  facile  potuerint  ijl'dem  notis 
omnium  tonorum  odas  perfcribere.  Quod  tamen  aliter  plane  fe  habet,  ncc  ulla  ratio 
reddi  poffe  videtur,  nifi  ut  apud  diverfos  populos  diverfa;  notœ  primum  adhibita;  fuiiïe 
dicantur,  Lydios,  Dores,  Phryges.  Quo  exemple  cfeteri  quoque  deinceps  rcperti  modi 
dillimiles  notas  tum  prioribus  tum  inter  fe  accepcrint. 

Si  quis  ergo  interroget  cur  divcrfœ  notae  fuerint  in  cantu  ac  pulfu  cum  idem  utro- 
biquc  fonus  dcfignandus  elTet;  quœram  et  ego  cur  ijdem  fonidiverfas  notas  habuerint 
in  divcHîs  modis.  Eadem  hic  et  illic  refponfio,  fuperfluis  nimirum  quampluribus  onera- 
tam  fuifle  hannonicam  veterum  difciplinam,  uti  adhuc  hodie  non  paucis laborat,  quale 
eft  ida  clavium  quas  vocant  tanta  varietas,  qua:  feptem  funt,  cum  dus  aut  très  l'uffi- 
ciant  ac  fortalTc  nullis  opus  fit,  fi  aliam  fcribendi  rationcm  fequi  placeat.  Quia  vero 
non  nifi  difiicile  admodum  à  reccpta  femel  confuetudine  difceditur,  notarum  icriptio 
lincis  quinque  diilinfta  ut  retineatur  cenfeo  cum  non  infcite  alioqui  excogitata  fit. 
Quippe  quod  cadem  nota  et  tonum  et  tono  conveniens  tempus  ollendat  '^^}. 


§  1 1.  pag.  172  Ptol.  Harm.  Wallifij*!'). 
Diatonicum  fyntonon  Ptolemei  "°). 


**)  Alypius  „Introdiii5Ho  Musica".  Meibom.  I.  Voyez  la  p.  93  (note  26). 

"")  V^oyez  cependant  ce  que  Huygens  dit  à  la  p.  94  (I.  5  et  siiiv.).  Il  s'agit  ici  d'une  distinftion  des 
genres  en  genres  diatonique,  chromatique,  enharmonique. 

*8)  Il  est  assez  connu  que  c'est  seulement  au  douzième  siècle  qu'on  a  eu  l'idée  d'introduire  un 
système  de  notes  mesurantes,  c.à.d.  de  notes  indiquant  par  leurs  formes  la  durée  de  chaque  ton. 

*')  Portef.  „Musica"  f.  2ov.  Huygens  cite  ici  —  apparemment  en  1691  ou  plus  tard,  puisque  la  f. 
20  r.  se  rapporte  à  un  ouvrage  de  Werckmeister  de  1691  (p.  88  qui  précède)  —  l'édition 
„Claudii  Ptolema;i  HarmonicorumLibri  Très.  Ex  Codd.  RISS  Undecim  primum  Grsceeditus. 

Johannes  Wallis recensuit,  edidit.  Versione  &  Notis  illustravit,  &  Auduarium  adjecit. 

Oxonii,  E  Theatro  Sheldoniano,  An.  Dora.  1682. 

^°)  Cette  table  se  rapporte  au  genre  diatonique  tendu  décrit,  avec  d'autres  genres,  aux  p.  167  et 
suiv.  de  l'éd.  Wallis,  p.  70  et  suiv.  de  l'éd.  Dûring.  Les  valeurs  numériques  des  longueurs  suc- 
cessives des  cordes  sont  données  en  notation  sexagésimale,  éd.  Wallis,  p.  172  (en  fractions  or- 
dinaires dans  l'éd.  Dùring,  p.  73).  Les  intervalles  du  tétrachorde  sont  10  :  9, 9  :  8  et  16  :  15. 

(  ]"p  1^0  20 

Les  lignes  |  '^    ont  été  ajoutées  par  Huygens  à  la  liste  de  Ptolémée. 


MUSICOLOGUES  ANCIENS.  ICI 


Hxc  divifio  proxime  ad  noflram  hodic  ulîtatam  accedic, 
reliquat  tum  Pcolemsi  tum  alioriim  quas  rcccnfct  longius 
rcccdunt.  Scd  ne  hîec  qiiidcm  cjufmodi  elt  lu  in  Inllrumen- 
tis  Muiîcis  ca  iiti  poffimus  fi  pliiriLim  parcium  conccntu 
utendum  fit  uti  apud  nos  fieri  folet.  Erunt  enim  ut,  fol;  ci, 
mi;  la,  mi;  qiiinta;  ut  et  fa,  ut  et  ff)l,  re.  at  ncquuquam  rc, 
la;  fed  multo  minor'').  Item  re,  fa  mincjr  quam  tertia 
minor''').  Si  igitur  ad  concentus  ejufmodi  tonis  inftruxis- 
fent  initrumenta,  inveniffent  defeétum  hune,  dixiffentque 
fupplendum  altcro  fuperaddito  re  vcl  aliter.  Quod  cum  non 
fecerint  apparet  concentum  qualis  nobis  in  ufu  eit  non  cog- 
novifle.  Idque  ctiam  ex  varictate  illa  reliquarum  diviiionum 
clarius  liquet,  quîe  multo  pauciores  conibnantias  pra;bent. 

Vult  Zarlinus  "3)  cantum  vocalem  per  iilos  tonos  incedere  idque  ita  ut  quœ  inter- 
valla  imperfefta  funt  fupplent  fponte  fua  velut  re,  la.  quod  non  potcft  fieri.  fi  enim 
cantet  diapente  perfeftam  U,  S,  itemque  S,  r;  tum  defcendendo  diapafon  perfecftam 
r,  r:  tum  diapente  perfeftam  r,  1:  ac  porro  deorfum  tertiam majorem  perfeftam  1, f;  et 
hinc  diapente  perfeétam  iurfum  f,  u.  lam  hoc  tit  non  erit  diapafon  ad  illud  primum  ta 
unde  incepit  cancre,  fed  altius  commate  integro  ■'+).  Sic  etiam  W  canat  perfeétis  inter- 
vallis  deorfum  tertiam  minorem  f,  r;  ac  rurius  furfum  diateff.  r,  s;  ac  rurfus  deorfum 
s,  m;  et  furfum  m,  1:  et  deorfum  tertiam  majorem  1,  f;  hoc  fa  non  erit  idem  fa  unde 
incepit  cantus  fed  Commate  gravius-'s).  unde  repetito  novieshoccantucircitertono 
integro  defcendilTet  vox.  Hoc  veronequaquamcontingereexperientiadocet;ejufque 


'''■)  L'ntervalle  —  re — la  est  en  effet  inférieur  à  -. 

^27  2 

■-")  L'intervalle  =2_  re — fa  est  en  effet  inférieur  à  -. 
^27  5 

''')  Probablement  Huygens  fait  ici  allusion  aux  remarques  de  Zarlino  dans  le  cap.  45  de  la  Parte  II 
des  „Istitutioni  Harmoniche":  „Se  nelle  Canzoni  seguitiamo  cantando  gli  Intervalli  produtti 
da  i  veri  e  sonori  Numeri;  overo  li  temperati:  e délia risolutionedialcunidubij".  Zarlino  pense 
que  la  voix  produit  toujours  des  intervalles  justes.  Comparez  la  p.  65  qui  précède. 

7-t)  Cette  observation  s'accorde  avec  le  contenu  de  la  Pièce  III  C,  de  la  p.  76  qui  précède.  Sont 

successivement  parcourus  les  intervalles  -,  -,  -,  -,  ^,  |qui,dansleur ensemble, neconstitiient 

pas  un  intervalle  -,  mais  un  intervalle  —  =  ~-.-,  c.à.d.  un  comma  de  plus  qu'une  oftave. 
'  r  40       80   I 

75)  Dans  cet  exemple  les  intervalles  considérés  |,  ^  |  4  ^forment  ensemble  l'intervalle  g-,  c.a.d. 
^  03635  °' 

un  comma. 


1 02  MUSIQUE. 


ratio  cfl  quod  niniis  inhœret  memoriie  primus  tonus  fa,  ut  ab  eo  tantum  deprimatur 
vox.  Qiiid  igitur  fit?  Nempe  vcl  ipfo  temperamcnto,  quod  adhiberi  folet,  vox  utitur 
vel  paulum  diverfo,  fed  quod  idem  etliciat  tamen.  Itaque  non  canuntur  intervalla 
confonantia  pcrfetla. 


§  1 2  ^'').  Putat  Wallifius,  in  Appendice  ad  Ptolemœi  Harmonica  •'■'),  Muiîcam 
noftri  a;vi  ibluni  genus  diatonicum  complcfti,  cum  tamen  chromaticum  admifccat  non 
eo  modo  quo  vcteres  (non  enim  rcctè  illi)  fed  quomodo  tantum  ratio  patitur.  Imo 
cum  et  enarmonij  quoque  chordas  ufurpemus,  quas  vcteres  illi  abfurda  quadam  ratione 
adhibebant  fi  unquam  mère  enarraonico  génère  cecinerunt. 

Putat  ■'^)  rationem  9  ad  8,  et  10  ad  9  quœ  tonos  majorera  et  minorera  conftituunt 
aliquo  modo  concinniores  effe  quam  e  majoribus  nuraeris  compofitos  (quid  vero  de 
plane  afymmetris  diceret  ?)  quod  verum  non  eft.  Nam  nec  iite  proportiones  quid- 
quam  auribus  gratum  confonant. 


■*)  Portef.  «IMusica"  f.  22T.  Comparez  la  note  i  de  la  p.  3-5  du  T.  XIX.  La  f.  22 — 23  peu:  fort 

bien  être  antérieure  à  la  f.  20  (note  6ç  de  la  p.  100  qui  précède\ 
■"")  Appendix.  „De  Veterura  Harmonica  ad  Hodiernam  comparata",  p.  281  et  suiv.  La  remarque 

de  Wallis  (p.  300)  est  formulée  comme  suit  :  „Nostra  vero  xtate,  vix  aut  ne  vix  aliud  quam 

Diatonum  intensum  [in  usu  est];  aut  quod  huic  suppar  sit". 
"')  Huygens  fait  probablement  allusion  à  la  p.  322  oi^i  Wallis  combat  la  division  du  tétrachorde 

dans  les  inter%'alles  |,  |,  ^—^  (genre  diatonique  d'Euclide  et  d'Eratosthène  et  genre  diatonique 
ditonié  de  Ptolémée)  en  alléguant  qu'il  s'ensuivrait  pour  la  tierce  mineure  le  rapport  j^  bien 

que  la  tierce  mineure  soit  plus  consonante  que  le  ton  entier  1^1  „adeoque  rationem  exigere 

minoribus  numeris  exponendam". 
"5'')  Pour  autant  que  nous  voyons  les  exemples  donnés  par  Huygens  ne  se  trouvent  pas  dans  le 
traité  de  Wallis.  Mais  il  applique  (p.  324  et  suiv.)  le  principe  sur  lequel  reposent  les  énoncés 
de  Huygens,  principe  qui  consiste  dans  l'introduction  dans  l'intervalle  mi — la  d'un  ton,  situé 

Q 

entre  fa  et  sol,  appelé  „fa  acuta"  ou  „sol  mollis"  et  formant  avec  mi  l'intervalle  -,  avec  la  l'in- 
tervalle -;  il  intercale  de  même  dans  l'intervalle  de  la  tierce  mineure  (  -  )  un  ton  qui  forme  res- 

peélivement  les  intervalles  —  et  —  avec  les  tons  le  plus  bas  et  le  plus  haut  de  cette  tierce.  Huy- 
gens a  appliqué  cette  méthode  à  d'autres  cas,  application  justifiée  par  la  remarque  suivante  de 
Wallis  (p.  325):  „Atque  ha:  quidem  . . .  adhibenda;  forent  divisiones,  pluresque  interponendœ 
voces,  si  resumenda  essent  Veterum  Gênera  Enarmonica,  Chromatica,  variaque  Diatonica". 


MUSICOLOGUES  ANCIENS.  I03 


Ad  intcrjicienda  hemitonia  chromatica  putat  "'-')  rc(flè  fafturos  fi  duplicentur  9  et 
8,  et  intcr  i  H  et  16  ponatur  17  pro  hcmitonio  inter  fa,  fol.  fimilitcrque  duplicatis  10 
et  9,  inter  20  et  18  llatuatiir  19  pro  hemitonio  inter  fol,  la,  abfurdè  prorfiis,  ncc  at- 
tendit talia  ponenda  hemitonia  qiia;  quampluriniis  cliordis  diatonicis  cunfonent.  In 
enannonicis  chordis  eadem  methodo  iitendum  putat  quod  adhuc  magis  alienuin  eft. 


APPENDICE 

AUX  „NOTES  SE  RAPPORTANT  À  DES  ÉCRITS  DE 
MUSICOLOGUES  ANCIENS". 

[i686]0 

TONS  DE  MA  FLUTE  [Fig.  i] 


[Fig.i]'-) 

O  » 

o  ^ 

o  1 

0  4 

0  i' 

0  C 


u 

g . .(?)  open 

0 

u  ^  8  open 

r 

8  open 

r  ><  87  open 

m 

87  open 

f 

86  open 

f  '^  5  open 

f 

8765  open 

f  '^  48  open 

1 

123  toc  ■♦) 

c 

12  toe 

b 

1245  toe 

u 

13  toe 

u><  23  toe 

r 

3  coe 

r  >"  1 8  open 
m  34567106 

m 

I 87  open 

f 

1 6j  open.  Soufflez 

un  peu  fort 

f '^  12346  toe 

f 

1234  toe 

fxr234 

1 

1234678  toe 

of 

145  open 
£2357  toe 

c 

12356  toe 

c     1236  toe,  met    de   5 

daer  bij  beg[in]nen  ') 

b 

£23567  toe 

u     125 

u 

1 25  toe 

r     12347 

y 

I  est  le  trou  du  pouce  8  celuy  du  petit  doigt, 
la  ligne  —  delTous  les  chiffres  i  3)  signifie  que  ce 
O    o     trou  doit  eftre  ouvert  en  partie. 


')  La  Pièce  „Tons  de  ma  flûte"  mentionnée  à  la  p.  87  de  l'Avertissement,  est  empruntée  à  la 
p.  23 1  du  Manuscrit  E.  La  p.  227  porte  la  date  du  5  mai  1686  et  la  p.  239  se  rapporte  à  une 
publication  de  septembre  1686. 

^)  Comparez  la  Fig.  124  de  la  p.  377  du  T.  XIX. 

5)  Et  apparemment  aussi  sous  d'autres  chiffres. 


MUSICOLOGUES  ANCIENS. 


105 


[Fig.  2] 


LA  SIRENE  (?) 

On  trouve  l'ur  les  feuilles  du  portef.  „Mufica"  quelques  figures 
fans  texte,  qui  ne  fe  rapportent  pas  toutes  à  des  inftruments  de 
mufiquc.  Nous  les  publierons  parmi  les  Varia;  mais  nous  faifons 
une  exception  pour  la  Fig.  2  indiquant  que,  pour  mefurer  les 
nombres  des  vibrations  correspondant  à  des  tons  déterminés  (com- 
parez fur  ce  fujet  la  p.  375  du  T.  XIX),  Huygens  a  peut-être 
conçu  ridée  de  la  (irène. 


*)  open  ^  ouvert;  toe  =  fermé. 

5)  Huygens  die  ici  que  pour  obtenir  le  ton  c  de  la  manière  indiquée  il  faut  au  commencement 
tenir  aussi  le  trou  5  fermé. 

14 


V. 

NOTES  SE  RAPPORTANT  À  DES  ÉCRITS 
DE  MUSICOLOGUES  MODERNES. 


Avertiffement. 


Ces  notes  datent  d'après  1671  *  puifqu'elles  font  empruntées  en  majeure  partie  au 
groupe  de  feuilles  i  — 45  déjà  mentionné  deux  fois  dans  les  Avertiffements  précédents. 
D'autre  part  le  §  4b,  emprunté  au  Manufcrit  E,  efl:  de  1674.  Le  §  8,  emprunté  au 
portefeuille  „Phyfica  varia",  ne  peut  être  antérieur  à  1 680  puifqu'il  traite  d'une  œuvre 
de  Cl.  Perrault  qui  parut  en  cette  année  ').  Le  §  ic,  emprunté  au  Manufcrit  G,  date 
de  1 69 1 ,  et  le  §  6,  emprunté  au  mcmc  Manufcrit,  doit  être  environ  de  la  même  date. 
Le  §  9  (^fur  Werckmeirter)  efl:  de  1 69 1  au  plus  tôt. 

J^es  remarques  de  Huygens  fe  rapportent  à  Zarlino,  Salinas,  Maillard,  Merfenne 
(et  Vincentio  Galilei),  Kircher  (parlant  e.a.  de  Guido  Aretinus),  van  der  Elft,  Simp- 
fon,  Perrault,  Werckmeifter  et  Salmon,  ce  qui  ne  veut  pas  dire  qu'on  ne  rencontrera 
le  nom  d'aucun  autre  muficologue  moderne  dans  cette  Pièce-ci  ou  —  nous  fongeons 
à  Artufi  -)  —  dans  les  Pièces  antérieures.  D'autre  part  Merfenne  a  déjà  été  cité  bien 
des  fois  dans  les  Pièces  précédentes.  Il  en  efl:  de  même  pour  Zarlino  et  Salinas.  Nous 
avons  rangé  les  auteurs  nommés  dans  l'ordre  indiqué  d'après  leurs  dates  de  naiffance. 

•  Voyez  aussi  la  note  83  de  la  p.  laj. 


')  D'autre  part  le  §  8  ne  peut  être  postérieur  à  1689  puisque  Isaac  Vossius  qui  décéda  en  février 

1689  y  2st  mentionné  comme  une  personne  encore  vivante. 
')  Voyez  la  p.  74  qui  précède. 


I  I  o  AVERTISSEMENT. 


n  nous  eft  iniponible  d'énumcrer  ici  tous  les  fujets  traités. 

Les  notes  fur  Salinas  et  Zarlino  fe  rapportent  furtout  à  la  queftion  du  tempérament 
traitée  aufll  dans  la  Divilio  Monochordi  et  dans  le  Cycle  Harmonique.  Puifque  ce 
dernier  écrit  n'a  reçu  fa  tonne  définitive  qu'en  1 69 1  on  peut  confidércr  les  remarques 
fur  ces  deux  auteurs  comme  des  notes  préparatoires. 

Huygens  a  voué  beaucoup  d'attention  à  Kircher  dont  il  paraît  avoir  étudié  foig- 
neufement  l'impofante  Mufurgia.  Il  critique  les  recherches  expérimentales  dujéfuite 
polymathe  fur  la  queftion  de  l'exiftence  ou  la  non-exiftence  du  fon  dans  le  vide  et  fes 
confidérations  fur  les  expériences  de  Merfenne  fervant  à  détenniner  les  fréquences 
des  vibrations  des  cordes.  Il  ell  quefHon  en  outre  du  célèbre  fragment  que  Kircher 
prétend  avoir  découvert  de  la  mufique  d'une  ode  de  Pindare  fur  l'authenticité  duquel 
les  muficologues  difputent  encore  aujourd'hui  3). 

En  lifant  van  der  Elll;  Huygens  fait  furtout  attention  à  fon  effai  de  judification 
théorique  de  la  défenfe  des  quintes,  oétaves,  etc.  fucceflives,  queftion  brûlante  à  la- 
quelle il  a  audi  réfléchi  lui-même.  On  l'a  toujours  fu  puifqu'il  en  dit  un  mot  dans  fon 
livre  poflhume,  le  Cofmotheoros  +). 

Obfervons  en  dernier  Heu  qu'il  n'approuve  guère  les  remarques  de  Werckmeifler 
fur  la  repréfentation  géométrique  des  différents  intervalles  ni  auffi  le  nouveau  tempé- 
rament que  cet  auteur  propofe,  tempérament  qui,  ibit  dit  en  pafTant,  n'eft  nullement 
identique  avec  la  gamme  uniforaiément  tempérée  dont  on  a  parfois  voulu  lui  attribuer 
la  paternité 


J)  Voyez  la  note  106  de  la  p.  126  qui  suit. 

^)  Voir  pour  quelques  remarques  historiques  sur  cette  question  la  note  119  de  la  p.  129  qui  suit,  où 
l'on  trouve  aussi  un  passage  de  Huygens  sur  ce  sujet  dans  lequel  il  ne  désapprouve  pas  absolu- 
ment une  suite  de  deux  oftaves.  Quant  au  Cosmotheoros,  il  sera  publié  dans  le  T.  XXI. 


NOTES  SE  RAPPORTANT  À  DES  ÉCRITS  DE  MUSICOLOGUES 

MODERNES. 

§  1.^').  Salînas:  crrat  ciim  hexachordon  minus  item  diapafon  et  femiditonura 
multalque  alias  conibnantias  putat  Harmonicè  et  Arithmeticc  dividiaconfonisintcr- 
vallis.  ajque  ac  diapalbn,  diapente,  liexachordon  majus  et  alia;  confonantise  ■).Tonos 
1 2  cum  Zarlino  et  plerifque  alijs  llatuit  ^). 


')  Portef.  „Musica",  f.  27.  r.  Les  notes  du  §  i  se  rapportent  à  rouvrage  de  Salinas  „De  Musica" 
de  15-7  citié  dans  la  note  7  de  la  p.  45. 

')  Nous  n'avons  pas  réussi  à  attacher  un  sens  raisonnable  à  cette  observation.  Dans  le  Cap.  16  du 
Lib.  Il,  intitulé  „De  consonantijs  perfeiftis,  &  imperfedis.  &  quid  sit  Arithmeticé,  &  Harmo- 
nicè diuidi  in  consonantijs"  Salinas  parle  de  la  division  arithmétique  et  harmonique  des  inter- 
valles. Un  intervalle  déterminé  par  le  rapport  />  :  ^  des  longueurs  des  cordes  (où  nous  supposons 
/>  <  17)  est  dit  être  divisé  arithmétiquement  dans  les  intervalles  p  :  r  et  r  :  q,  lorsque  ;■  est  la 
moyenne  arithmétique  de/i  et  de  c/;  harmoniquement,  lorsque  /-est  leur  moyenne  harmonique. 
L'oftave  (i  :  2)  se  divise  arithmétiquement  en  une  quarte  inférieure  (3  :  4)  et  une  quinte  su- 
périeure (2  :  3),  puisque  les  nombres  2,  3,  4  forment  une  suite  arithmétique  (nous  rappelons 
que  dans  l'intervalle  considéré  p  correspond  au  ton  le  plus  haut  et  tj  au  ton  le  plus  bas),  har- 
moniquement en  une  quinte  inférieure  et  une  quarte  supérieure,  puisque  les  nombres  3,  4,  6 
forment  une  suite  harmonique.  Ces  deux  divisions  sont  également  possibles  dans  les  cas  de  la 
quinte,  de  la  tierce  majeure,  et  de  la  sixte  majeure:  la  quinte  se  divise  de  deux  manières  diffé- 
rentes en  une  tierce  majeure  et  une  tierce  mineure,  suivant  les  séries  4,5,6  et  10, 12, 15;  la 
tierce  majeure  en  un  ton  majeur  et  un  ton  mineur,  suivant  les  séries  8,9, 10  et  36,40,45;  la 
sixte  majeure  en  une  quarte  et  une  tierce  majeure,  suivant  les  séries  3,4,5  et  12,15,20.  Mais 
ces  divisions  ne  sont  pas  possibles  dans  les  cas  de  la  quarte,  de  la  tierce  mineure,  et  de  la  sixte 
mineure,  à  moins  qu'on  ne  voulût  introduire  des  intervalles  dissonants. 

En  admettant  que  dans  la  première  ligne  du  texte  il  faille  lire  d/rj/essaroiizw  lieu  àt  diapason 
(«diapason"  étant  sans  doute  une  faute  d'écriture  puisque  l'oftave  ne  peut  guère  être  mention- 
née entre  la  sixte  mineure  et  la  tierce  mineure;  d'ailleurs  le  „diapason"  est  mentionné  de  nou- 
veau dans  la  troisième  ligne,  cette  fois  avec  la  quinte  et  la  tierce  majeure)  on  peut  conjefturer 
que  Huygens  veut  faire  ressortir  cette  différence  entre  les  deux  groupes  d'intervalles.  Mais  il 
n'est  pas  clair  quelle  est  l'erreur  qu'il  croit  devoir  imputer  à  Salinas:  dans  le  chapitre  mentionné 
(16  du  Lib.  Il)  celui-ci  dit  lui-même  que  la  quarte  et  la  tierce  mineure  ne  se  divisent  pas  arith- 
métiquement et  harmoniquement,  comme  il  en  est  pour  l'oftave.  En  cet  endroit  il  ne  parle  pas, 
il  est  vrai,  de  la  sixte  mineure.  INTais  dans  le  Cap.  XXV  du  Lib.  II  il  traite  de  nouveau  la  question 
des  divisions  harmonique  et  arithmétique,  et  cette  fois  il  dit  expressément  que  la  sixte  mineure, 
ainsi  que  la  quarte  et  la  tierce  mineure,  n'admettent  pas  ces  divisions. 

3)  Huygens  entend  sans  doute  parler  ici  des  12  modes  de  la  musique  grecque  et  de  la  musique 
d'église  (comparez  les  p.  6<)  et  70  qui  précèdent)  traitée  par  Salinas  dans  le  Cap.  XI  du  Lib.IV 
intitulé  «(^ut^d  nomina,  quibus  harmonias  Gricci,  &  antiqui  Latini  modos  appellabant,  mirifîcè 
quadrent  duodecira  raodis,  eo  quo  positi  sunt  ordine  coUocatis,  neque  aliter  dispositis  conue- 
nire  possint". 


112  MUSIQUE. 


§  I .  ^  ■*).  1 577  editus.  Salinas  lib.  3  cap.  27  de  prava  conftitutionc  cujufdam  inllru- 
menti  fcribit  in  Icalia  ab  annis  40  inftrumentum  fuilTc  flibricatum,  incerto  audorc,  in 
quo  tonus  omnis  in  5  partes  a?qiiales  divifuserat, diapafon  in  3i,(eniit()niummajus  3, 
minus  2  partes  iiabebat.  Idque  a  niagni  nominis  muficis  in  pretio  habituin.  Deindedocct 
quomodo  tonum  illi  in  5  partes  a^quales  divifcrint,  ncmpc  lumendo  ab  utroquc  tcrmino 
femitonium  niajus,  et  ab  horum  terminis  rurlus  femitonium  minus,  quani  divilionem 
meritoearpit  quia  non  hoc  modo  in  5  a'qualia  tonus  lecatur '}.  Sed  quod  Icnlui  ingra- 
tam  efl'c  hanc  pofitionera  afTerit,  fallitur.  Ileftc  cnim  fe  habet  ad  lenfum,  et  a  vera 
nihil  penc  diff'ert  ut  dcmonilrabo.  Dieit  non  eredere  fe  quartum  tcmperamcnti  genus 
inveniri  po(îc.  dieit  illos  femiditono  tribucre  diefes  ejufmodi  8,diton()  i o, diatciTaron 
1 3,  diapente  1 8,  diapafon  3 1 .  quod  rcde.  Sa;pe  le  expertum  ait  hoc  modo  difponere 
inilrumentum  fed  ingratum  auribus  omnium  fonum  prodijfTe,  eoque  hoc  tempcramen- 
tum  ab  omni  harmonica  ratione  tam  perfefti  quam  participati  inftrumenti  ")  abhorrera 
conclulit.  Toto  capitc  de  lioc  agit.  Proculdubio  non  bene  experimentum  inllituit. 

§  1 .  c  ').  Francifcus  Salinas  De  Mufica  Hb.  3  cap.  1 5  "),  tria  gênera  Temperamcnti 


■♦)  Porter.  jjMusiea"  f.  32  r.  Le  sujet  du  §  i  h  est  aussi  considéré  dans  le  (nouveau)  Cycle  Harmo- 
nique; voyez  la  p.  157  qui  suit.  Mais  en  cet  endroit  il  n'est  pas  question,  comme  ici,  de  la  ma- 
nière dont,  dans  la  construction  de  l'instrument  considéré, s'effeftuait  la  division  du  ton  en  cinq 
intervalles. 

5)  La  construftion  se  fait  comme  suit  (Salinas,  l.c.  p.  165).  Considérons  un  ton  mineur  (intervalle 
10  :  9)  appelé  C — D  (ce  qui  est  en  effet  C — D  dans  le  syntonon  de  Ptolémée).  Ce  ton  mineur 

est  la  somme  d'un  demi-ton  majeur  et  d'un  demi-ton  mineur  (puisque  —  =  — .— ).En  mon- 

^  9        15  24^ 

tant  à  partir  de  C  d'un  demi-ton  majeur  on  parvient  à  Des  (D  molle  enarmonium).  En  descen- 
dant d'autre  part  à  partir  de  D  d'un  demi-ton  majeur  on  parvient  à  Cis  (C  chromaticum).  Il 
faut  ensuite  descendre  à  partir  de  Des  d'un  demi-ton  mineur  et  monter  à  partir  de  Cis  du  môme 
intervalle.  Les  intervalles  obtenus  sont  alors 


C 

C.  chrom.     D  molle  enarm. 

D 

128 

25                      16 

625 

10 

dièse 

24                      15 
dièse 

dièse 

9 

Quant  au  deuxième  et  au  quatrième  intervalle,  ce  ne  sont  pas  des  dièses,  de  sorte  que  le  ton 
n'est  pas  divisé  en  cinq  intervalles  égaux. 

")  Le  terme  „harmonica  ratio  perfefti  instrumenti"  s'applique  apparemment  au  système  harmo- 
nique naturel,  tandis  que  la  „harmonica  ratio  participati  instrumenti"  désigne  le  tempérament 
du  ton  moyen  (voyez  pour  le  terme  „mezzo  tuono  participato"  l'Avertissement  de  la  „Divisio 
Monochordi"  à  la  p.  45  qui  précède). 

'')  Manuscrit  G,  f.  92  r.  Les  f.  79et  93  partent  respedivement  les  dates  du  i  janvier  et  du  28  mars 
1691. 

*)  P.  143  du  livre  de  Salinas. 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  1 3 


inventa  ait,  quorum  primum  fit  "),  ut  Comma,  cujus  ratio  cfl  8 1  ad  80,  dividatur  in 
partes  œquales  très;  quarum  una  augeatur  Tonus  minor,  (cujus  ratio  10  ad  9)  et 
duabus  diminuatur  Tonus  major  (cujus  ratio  9  ad  8}. 

Secundum  'l'umpcramcntum  llatuit  '°)  in  quo  Comma  in  7  partes  squales  diftri- 
buitur,  quarum  partibus  4  diminuatur  tonus  major;  minor  ver6  augeatur  tribus. 

Denique  et  Tcmpcramcntum  Tcrtium  idque  optimum,  exponit  cap.  22  "). 

Caput  27  eodcm  lib.  3°  "),  hanc  habct  infcriptioncm: 

De  prava  conilitutionc  cujufdam  inllrumenti  quodin  Italia  citra  quadraginta  annos 
fabricari  cœptum  eft,  in  quo  repcritur  omnis  Tonus  in  partes  quinque  divifus. 

Ait  ignoti  authoris  cfle,  et  archicymbalum  vocatum.  In  eo  femitonium  majus  ha- 
bere  i  toni.  Semitonium minus  |-.  A  quibufdam  magni  nominismuficisinpretiohabi- 
tum  dicit  et  ufu  receptum,  eo  quod  omnis  in  eo  fonus  habeat  omnia  intervalla  et  om- 
nes  confonantias  (ut  illis  inquit  vidctur)  infcrne  et  luperne,  et  poil  ccrtam  periodum 
ad  eundcm  aut  squivalentem  libi  Ibnum  poil:  31  intervalla  reditur  &c. 

Diapaibn  in  partes  3 1  a.'qualcs  ipfis  diviia  ell,  quarum  partes  5  habct  tonus,  femi- 
ditonmn  leu  tertia  minor  8:  ditonuraieutcrtia major  io;diatcnaron  i3;diapente  18. 

Ex  ijs  quœ  de  modo  dividcndi  toni  in  partes  5  exponit  quo  illi  utebantur,  apparct 
ipfos  ignoraffe  qua  ratione  id  perfici  poflet.  Hinc  contra  illosargumentatur,  non  divi- 
dere  eos  tonum  in  quinque  dicfes  ut  putabant.  Deinde  fafto  expcrimento  tantum  fe 
ait  invenijfe  confonantianim  imperfe&ionem  ut  eam  aiires pat'i  non pojferit. 

Hanc  tamendivifioncm,atquc  hoc  temperamentum  optimum  '-')  elle  ncc  fenfibiliter 
ab  illo  tertio  quod  in  ufu  eft,  differre,  ortendimus  inventa  per  Logarithmos  vera  divi- 
fione  oftavs  in  31  partes  squales;  fiuntenim  diapente  j-tô  commatis  majores  quam 
in  vulgari  illo  Temperamento,  adco  ut  paulo  meliores  efficiantur. 

Cap.  28  '+}  vult  in  violis  '5}  iemitonia  omnia  elTe  îequalia,  ut  olim  puto  Ariftoxe- 


')  Ce  tempérament  est  traité  dans  les  cap.  15 — 17  du  Lib.  III. 

'°)  C'est  le  tempérament  dit  de  Zarlino;  voyez  l'Avertissement  de  la  „Divisio  Monochordi"  ainsi 
que  la  p.  168.  Salinas  le  considère  dans  les  cap.  18 — 20  et  le  compare  avec  le  précédent  dans 
le  cap.  21. 

")  C'est  le  système  du  ton  moyen  ;  consultez  l'Avertissement  de  la  „Divisio  Monochordi".  Salinas 
en  traite  dans  le  cap.  22  et  le  compare  avec  le  précédent  dans  le  cap.  23.  Il  s'agit  toujours  du 
Lib.  IIL 

'")  L.c.  p.  164.  Voyez  la  p.  157  qui  suit. 

'3)  Voyez  la  p.  153  et  suiv.  (Pièces  se  rapportant  au  „Cycle  Harmonique"). 

''•)  Cap.  28  „De  alio  instrumentorum  génère,  qua:  Lyrœ,  et  vulgo  Viote  vocantur,  in  quibus  alio 
modo,  quam  in  Organis,  ac  Cymbalis  imperfedtio  Participata  reperitur"  (p.  166 — 168). 

'5)  On  entend  par  „Viol«"  un  „gcnus  cythararum,  quarum  chorda;  digitis,  aut  pedinepulsantur". 

'")  Aristoxéne  considère  en  effet  le  demi-ton  comme  la  moitié  du  ton,  ce  dernier  étant  défini  com- 
me la  différence  d'une  quinte  et  d'une  quarte.  C'est  pourquoi  sa  division  de  l'oftave  est  souvent 

15 


1 1 4  MUSIQUE. 


nus'*).  Sed  nihil  vetac  quin  efficiantur  insqualia  ut  in  cymbalis  noftris  et  organis, 
quoniam  non  opus  cfl:  chordas  omncs  ijfdcm  divifionibiis  fccari,  a  tranfvcrfarijs  illis 
collo  illigatis,  qux  ijs  locis  ubi  opus  cft,  uni  chorda^  attribui  pofTunt,  ac  leparatimde- 
figi,  ut  vera  icmitonia  cfiiciant. 

Cap.  31  ■').  ParalogiCmus  e(l,  quod  lineam  extrcma  et  média  ratione  continué  di- 
vifani  putat  cxhiberc  divifioncs  fcmitoniorum  in  violis. 

§  2  '^).  Zarlino  lib.  3  cap.  6  '').  Etfi  Didymus  ac  Ptolemîeus  tertiam  majorem 
perfcctani  intcr  iccundam  quartamquc  chordam  collocaverint,  neuter  tamen  eam 
confonantijs  adnunieravit  '°).  Mericnnus  et  alij  contrarium  dixerunt  ").  unde  puta- 
bam  illos  alia  Ptolema.M  Icripta  legifTc,  quorum  ego  copiam  non  habuilTem. 


jugée  identique  avec  celle  du  système  de  la  gamme  uniformément  tempérée;  voyez  p.  e.  Tl. 
Westphal  „Aristoxenus  von  Tarent.  Melik  und  Rhytmikdesclassischcn  Hellenentums",  Leip- 
zig 1883,  p.  251  et  suiv.;  ou  Th.  Reinacli  „La  musique  grecque",  Paris  1926,  p.  22.  On  peut 
toutefois  douter  de  la  justesse  de  cette  identification,  puisqu'  Aristoxène  ne  parle  pas  d'un 
tempérament,  mais  exprime  la  conviction  que  p.  e.  la  quinte  juste  vaut  sept  demi-tons  dont 
l'octave  en  contient  douze.  Zarlino  dans  ses  „Sopplementi"  de  1588  traite  d'Aristoxène  à  la  p. 
161  et  dans  sa  „Tauola"  à  la  fin  du  livre  résume  ce  passage  comme  suit:  „non  è  da  credere, 
c'hauesse  detto  seraplicemente  [Aristosseno],  che'l  Tuono  si  potesse  diuidere  in  due  parti  eguali 
&  proportionali,  nel  modo  cli'ei  lo  diuide".  Comparez  sur  ce  sujet  les  notes  69  et  70  de  la  p. 
121  qui  suit. 

'")  Cap.  31  „Quôd  propterdiversam  trium  temperamentorumin  Organis  inventamconstitutionem 
non  varietur  in  Violis  temperamentum  superius  positum,  sed  idem  semper,  immotumque  ma- 
nere  contingat:  et  qualiter  data  qusvis  linea  refta  in  quotcunque segmenta invicemproportio- 
nalia  dividenda  est"  (p.  172 — 174). 

En  cet  endroit  Salinas  veut  indiquer  sur  une  corde  les  points  01^  il  faut  successivement  la 
presser  pour  faire  monter  chaque  fois  le  son  d'un  demi-ton.  A  cet  effet  il  divise  la  corde  (7 Z»  en  e 
en  moyenne  et  extrême  raison,  ae  désignant  la  plus  grande  partie;  ensuite  de  la  même  manière 
eb  en  /,  f/étant  la  plus  grande  partie  etc.  jusqu'à  ce  qu'il  a  obtenu  douze  points  de  division  e, 
f,g,  /;,  /etc.  Il  pense  que  lorsque,  en  partant  de  è,  l'on  presse  successivement  la  corde  en  ces 
douze  points,  le  son  montera  chaque  fois  d'un  demi-ton  et  qu'on  obtiendra  l'oftave  du  ton  de 
la  corde  entière  en  la  pressant  au  point  e.  C'est  ce  que  Huygens  appelle  à  bon  droit  un  paralo- 
gisme. 

")  Portef.  „Musica",  f.  41 — 42.  Voyez  sur  Zarlino  la  note  2  de  la  p.  1 69  du  T.  X,  sur  ses  ouvrages 
la  note  8  de  la  p.  45  qui  précède. 

"')  „Istitutioni  Harmoniche"  Parte  III,  cap.  6  intitulé  „Diuisione  délie  Consonanze  nelle  Perfette 
&  nelle  Imperfette"  (p.  188). 

"°)  Voyez  sur  ce  sujet  notre  Avertissement  sur  „la  Théorie  de  la  Consonance".  Huygens  ne  fait, 
comme  on  voit,  aucune  différence  entre  Ptolémée  et  les  musicologues  antérieurs. 

-')  Huygens  peut  avoir  raison  pour  les  „alii"  (voyez,  à  la  p.  27quiprécéde,  notre  citation  de  Tite- 
louze);  mais  il  se  trompe  en  affirmant  que  „IVIersennus  contrarium  dixit".  Nous  n'avons  du 
moins  pu  trouver  aucun  passage  de  Mersenne  où  celui-ci  «contrarium  dicit".  Il  s'exprime  fort 


MUSICOLOGLES  MODERNES.  I  I  5 

Zarlin.  Ragionamento  4.  proposa  1.  dicit  Tempcramcntum  ab  alio  —  quem  qui 
fiierit  ncfcit  —  et  cafu  fuinc  invencum --).  Item  lib.  4.  cap.  12.  Siipplcincntorum 
Muncalium  multum  laudat  hoc  invcntum  -').  Inftitiit,  lib.  2.  cap.  42  -+}.  Tempcra- 
mcntum non  optimum  docct  in  quo  3''"  majores  et  minores  xque  multum  a  perfedtione 
abiunt,  et  quintx  quartxque  ^  commatis.  Et  cap.  43.  demonllrarc  contendit  aliud 
teraperamcntum  tolerabile  non  dari,  et  improbat  illud  quod  tono  majori  adimit  i 
comma  ac  tantundem  tono  minori  addit.  quod  tamcn  vcrum  atquc  optimum  cft  tem- 
pcramcntum-').  i'ed  ab  illo  tune  non  adhuc  bcne  pcrlpcftum.  ita  enim  proponit  ut 
5"s  et  4tas  relinquat  perfeftas  "'). 

Salinas  -")  idem  explicat  et  prétend  l'avoir  trouve  audl  bien  que  Zarlin,  c'cfl:  a  dire 
l'explication  ou  demonftration.  il  parle  Iculcment  des  Inllit.""»  de  Zarlin  et  non  pas 
des  dcmonilrations  ou  le  vray  tempérament  docetur  "^),  et  que  Zarlin  dit  avoir  eftè 
imprimées  auparavant  le  livre  de  Salinas  '»). 


clairement  en  1633  à  la  p.  257  de  ses  „Questions  harmoniques  dans  lesquelles  sont  contenues 
plusieurs  choses  remarquables  pour  la  Physique,  pour  la  Morale,  &  pour  les  autres  sciences" 
(Paris,  laques  Villery);  on  y  lie:  „Cercainement  les  Anciens  ne  connoissoient  pas  si  bien  les 
degrez  de  la  Musique  que  ceux  de  maintenant;  cas  ils  ne  mettoient  que  le  ton  majeur,  &  le 
demy  ton  Pythagoricien,  &  n'usoient  point  des  deux  tierces  que  nous  auons,  &  qui  font  quasi 
toute  la  variété  de  la  Musique,  qui  seroit  tres-imparfaite  sans  elles.  Et  bien  que  Ptolomée  ayt 
mis  le  ton  majeur,  &  le  mineur,  &  par  conséquent  le  demy  ton  majeur,  &  les  2  tierces, auec  les 
2  sextes,  dans  l'une  de  ses  espèces  de  la  Diatonique,  neantmoins  il  ne  les  a  pas  admises  pour 
consonances;  Ce  qui  fait  voir  tres-clairement  qu'il  n'en  a  point  reconnu  l'excellence,  la  douceur, 
&  l'utilité". 

=')  „Dimostrazioni  Harmoniche."  Ragionamento  IV.  Proposta  I  „Potiamo  dimostrarnel Génère 
diatonico  la  Compositione  del  Monochordo  rcgolare".  Zarlino  ne  dit  pas  nettement  qu'à  son 
avis  le  tempérament  a  été  trouvé  par  hasard:  il  observe  (p.  200)  que  l'inventeur,  qu'ill'ait 
trouvé  par  hasard  ou  bien  par  réflexion  („à  càso,  ouero  studiosamente"),  a  découvert  quelque 
chose  de  bien  remarquable. 

'3)  Dans  le  Cap.  XII  du  Libro  Quarto  des  „Sopplementi"  Zarlino  dit  e.a.:  „PartecipationeôTem- 

peramento laquai  in  uerità  è  stata  di  non  poco  giouamento  alla  Musica,  &  di  non  poco 

commodo  à  quelli  che  trattano  cotali  Istrumenti;  ail'  Autor  delquale,  sia  stato  che  si  uoglia,  si 
dee  hauer  molto  obligo;  del  che,  per  quanto  fin'  hora  si  uede,  non  è  alcuno,  che  n'habbia  reso 
la  vera  cagione;  ne  io  anco  uoglio  prometter  di  far  questo;  ma  solamente  diro  quel  che  sento, 
&  ch'  io  tengo  per  fermo,  fin  che  si  troui  r.iiglior  ragione". 

='t)„Istituzioni  Harmoniche"  Parte  H,  Cap.  42  „Quel  che  si  dee  osservare  nel  temperare  overo 
accordaregli  Istrumenti  arteficiali  moderni"  etc.  Il  y  est  question  du  système  dit  de  Zarlino. 
Voyez  l'Avertissement  de  la  „Divisio  Monochordi". 

*5)  C'est  le  système  du  ton  moyen.  Voyez  l'Avertissement  de  la  „Divisio  Monochordi". 

'*)  „Istituzioni  Harmoniche",  Parte  II,  cap.  43.  Zarlino  y  critique  en  effet  le  système  du  ton  moyen 
en  disant  à  tort  que  seuls  les  tons  entiers  sont  rendus  égaux  l'un  à  l'autre,  tandis  que  les  autres 
intervalles  garderaient  leurs  valeurs  naturelles. 

'^)„De  Musica",  Lib.  III,  cap.  14  (p.  i4o):„Quodnonsitnovaconsonantiarumimperfeftarumin 


Il6  MUSIQUE. 


Mon  opinion  el\  que  le  Tempérament  véritable  3°)  a  eftè  longtemps  auparavant 
pratique  par  les  organiftes  &c.  feulement  a  fouie  en  diminuant  un  peu  les  quintes, 
fans  examiner  aucunement  la  proportion  de  cette  diminution  qui  n'appartenoit  qu' 
aux  géomètres.  Et  la  plulpart  des  organises  l'ignorent  encore  et  j'en  aj'  trouvé  qui 
nioient  que  les  tierces  majeures  et  6t«s  mineures  fuffent  juftes. 

Zarlini  Instit."  et  Demonftr.  eodem  anno  1589  éditas  habco.Supplemcntisadfcri- 
bitur  annus  1588  '").  Ncfcio  an  non  Inftitutiones  ante  edits  fuerint  3').  At  in  infti- 
tutionum  editione  hac  allegat  demonftracionum  opus,  de  participatione  feu  tempera- 
mento  loquens  parte  2^^  cap.  41 .  ubi  crium  tempcramentorum  meminit  '''),  sed  unum 
tantum  explicat  et  admittit  ubi  |  commatis  diminuuntur  5^^'""*).  At  in  dcmonftratio- 
nibus  prefert  omnibus  illud  ubi  |  commatis  aufertur  5^'^  3').  Hinc  plane  opinor  Infti- 
tutionum  fecundœ  editioni  aliquid  luiffe  adjectum  3*). 

Cap.  47.  Parte  2  Inflit.  '•')  Clavicymbalum  fuœ  inventionis  defcribit  ubi  adjunftse 
funt  chordœ  Enarmonics  pra;ter  Chromaticas.  Tonum  ibi  ait  divifum  in  4  partes.  Ego 
in  5  partes  eum  divido.  Palraulas  bcne  ordinat,  fed  tamen  difficultas  erit  in  fonando 
quod  enarmonicarum  et  chromaticarum  vicinia  facict  ut  fîepe  dus  fimul  pro  una  de- 
primantur. 

D  fait  fort  valoir  ce  qu'il  fcait  de  la  géométrie,  ce  qui  ne  regarde  que  les  proportions 
comme  tousles  autres  qui  ont  fait  les  doftcurs  en  raufique  Boethius,  Glarcanus,  Salinas. 

Il  a  brouillé  tout  par  le  meflange  de  la  mufique  anciene  et  de  fes  termes  parmi  la 
moderne  3*).  comme  en  nommant  les  tons  par  les  noms  des  Grecs  hypate  hypaton 
trite  diezeugmenon  &c.  et  parlant  toufjours  des  tetrachordes. 


Musicis instrumen tis posi tio,sed  eas semper  usus obtinuerit  :  et  omnino  necessario  ponendas  esse". 
*')  „Dimostrazioni  Harmoniche",  Ragionamento  IV,  Prop.  I,  p.  198  et  Rag.  V,  Prop.  I,  p.  259. 
'9)0601  est  en  effet  parfaitement  juste.  Les  „Diraostrazioni  Harmoniche"  parurent  en  157 1  et 

'SrS'  l'ouvrage  de  Salinas  en  1577. 
^°)  Le  tempérament  du  ton  moyen. 
3')  Les  „Sopplimenti  Musicali"  mentionnés  plus  haut  (note  23).  Le  Catalogue  de  la  vente  de  1695 

des  livres  de  Chr.  Huygens  (p.  389  du  T.  XIX)  mentionne  en  effet  (Libri  Mathematici  in 

Folio  N°.  48)  „Tutte  le  Opère  di  Giuseffo  Zarlino  con  i  Supplément!  Musicali,  Ven.  1588". 
3*)  Elles  avaient  en  effet  été  publiées  en  1558,156261  1573. 
33)  Dans  le  chapitre  mentionné  („che  ne  gli  Istrumenti  artiliciali  moderni  non  si  adopera  alcuna  délie 

mostrate  specie  Diatoniche")  on  lit  à  la  p.  152:  „in  tre  manière  (lasciandoalcunialtrimodida 

un  canto  per  breuità),  si  puà  fare  il  Tempérament©  di  quai  si  uoglia  de  i  norainati  Istrumenti, 

&  la  Distributione  del  nominato  Coma,  etc." 
3*)  Savoir  dans  le  Cap.  42  do  la  Parte  II  des  „Istitutioni  Harmoniche". 
35)  Ce  système  est  annoncé  comme  une  nouvelle  découverte  à  la  p.  241  dans  le  Ragionamento  V 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  I  7 

Il  fe  glorifie  beaucoup  d'avoir  trouvé  qu'on  chante  aujourdhuy  l'efpece  de  diato- 
nique que  Ptolomcc  nomme  fyntonon  3').  ce  qui  eft  vray  ;  s'entend  meflee  des  chordes 
chromatiques.  Dans  fes  demonflrations  harmoniques  ou  il  enfeigne  le  bon  et  véritable 

tempérament  ■*°)  il  n'adjoiite  pas  les  dcmitons  ou  tons  chromatiques,  ni  mefmele  C  . 
Et  ainfi  il  n'a  pu  remarquer  deux  quintes  et  2  quartes  que  Ton  gagne  par  ce  tempé- 
rament, qui  font  C  F  et  CP'  quintes  et  FC  ,  F*^C  quartes. 

Ces  confonances  eftoient  imparfaites  dans  le  monochorde  diatonique  ou  les  quintes 
et  tierces  font  parfaites.  Et  le  remède  du  double  D  ou  RE  ne  failbit  rien  a  cellefcy, 
quoyque  il  donnad  la  quinte  parfaite  RL,  et  par  confequent  la  quarte  parfaite  LR, 
comme  il  a  remarque"*');  mais  il  ne  devoit  pas  dire  que  c'elV)it  gagner  2  quintes  et  2 
quartes  car  ce  n'eit  qu'en  confiderant  le  fylteme  de  2  oftaves  de  fuite  depuis  L  a  L' 
ou  il  a  deux  fois  RL  et  LR. 

En  adjoutant  les  tons  chromatiques  aux  diatoniques  on  n'avoit  pas  le  S*^,  ni  le  M  . 
Sur  les  inllrimiens  qui  n'avoient  que  les  fons  diatoniques  ils  ne  pouvoient  pas  faire 

les  cadences  RV*fR,SF^S,  LS^L. 

Cap.  LXXIX  tertis  partis  inftit.  •*-)  exirtimat  antiquos  muficos  cantum  ita  junxifle 
lirœ  citharse  alijfque  organis  ut  fuerit  quod  nunc  appellatur  un  faux  bourdon  d'odlave 
quinte  et  quarte.  Vel  etiam  abfque  cantu,  putat  altéra  manu  eafdem  chordas  iftius 
faux  bourdon  fonare  folitos,  dum  altéra  cantilenam  ifti  confonantia;  accommodatam 
exprimebant  fimplicibus  tonis.  Et  haec  fententia  vero  non  eft  abfimilis  •''}. 


des  „Dimostrazioni  Harmoniche".  Il  est  expliqué  aux  p.  259  et  suiv. 
5*)  En  effet,  le  passage  considéré  (note  33)  ne  se  trouve  pas  encore  dans  la  troisième  édition  des 

„Ist.  Harm."  Hiiygens  appelle  deuxième  édition  celle  de  1589  qui  est  en  réalité  la  quatrième. 
5'')  „Ist.  Harm."  Parte  II,  Cap.  47  „In  che  maniera  possiamo  inspessare  il  detto  Monochordo  con 

le  chorde  Enarmoniche". 
3')  „Diniostrazioni  Harmoniche",  Rag.  IV,  passim. 
3»)  Zarlino  parle  de  ce  sujet  dans  les  „Ist.  Harm."  Parte  II,  cap.  16  „Quel  che  sia  Génère,  e  di  tre 

generi  di  Melodia,  o  Cantilena  appresso  gli  Antichi,  e  délie  loro  specie".  Nous  ignorons  à  quel 

passage  Huygens  fait  allusion  en  disant  „I1  se  glorifie  beaucoup". 
^°)  Voyez  la  note  35. 
■*')  „Dimostr.  Harm."  Rag.  V,  p.  263. 
''°)  „Ist.  Harm."  Parte  III,  cap.  -j^  „Delie  cose  che  concorreuano  nella  compositione  de  i  Generi" 

(P-  372).  Zarlino  ne  se  sert  pas  de  l'expression  „faux  bourdon";  il  parle  comme  suit:  „Et  io 

tengo  per  fermo,  ch'  alcune  délie  chorde  de  i  loro  Istrumenti  erano  accordate. . . .  per  Ottaua, 

per  Quinta,  &  per  Quarta;  &  l'Harmonia  che  usciua  da  queste  chorde,  sempre  si  udiua  conti- 

nuata  &  senz'  alcuna  quiète,  mentre  sonauano:  &  dopoi  sopra  di  esse  faceuano  vna  parte  al 

modo  loro  con  1'  altre  chorde  più  acute". 


I  I  8  MUSIQUE. 


Cap.  r5  parte  tercia  Inftit.  Zarl.  ■*+)  incompofitum  intcrvallum  vocatur  ex.  gr.  fe- 
midiconus  in  Gciicre  chroinatico,  ditonus  in  Enarmonio  quod  illic  abfque  ullo  fono 

medio  accipiantur.  Eft  enim  MFF^L  tetrachordura  chromaticum.  MM  FL  tetra- 
chordum  enarmonium.  Idem  ditonus  et  femiditonus  in  génère  diatonico  vocantur  in- 
tervalla  compofita.  Non  bene  mihi  videntur  uti  figno  ^  ad  notandos  fonos  cnarmonios. 

melius  enini  fignis^'ct  '  omnia  perficiiintur,  quorum  illud  indicat  appoficioncm  Icmi- 
tonij  minoris  l'urfum  feu  in  partem  acutiorem;  alterum  vero  rcmillionem  fimilis  fcmi- 
tonij  deoriiim  feu  in  partem  graviorem. 

Cap. -4  ibid.+5).  Si  ad  veterum  normam  cantum  componere  libeat,  nihil  vetat 
generibus  quibufque  fimpliciter  uti;  (i  vero  concentum  deliderenius  qualis  hodie  viget, 
frullra  conabimur  uti  chromatico  vel  enarmonio  folis. 

Cap.  19.  Rag.  I  -*").  Maie  fupponit  teraiinos  datos  quibus  médius  prop.  harmonicè 
invenienduseftdiffcrreinter  fe  unitatc.  dcinde  in  demondratione  plane  Tizfx?.oyi^et. 

Duodccima,  oclava,  fexta  major,  quinta  a  tono  intennedio  confono  harmonicè  di- 
viduntur  non  autem  6^  minor  licet  ipfa  quoque  tonum  intermedium  confonum  bifa- 
riam  recipiat. 

S  3  ^^0-  Maillard +'^)  efcrit  que  l'oftave  contient  moins  de  6  tons. 

Salinas  croid  ■•'}  que  la  fixte  mineure  fe  divife  authentiquement  et  harmoniquemenc 
par  la  tierce  mineure  en  bas  et  par  la  majeure,  ce  qui  cil  faux.  Et  il  alTure  la  mefmc 
chofe  de  pluficurs  autres  confonances  ou  cela  n'ert  pas  vray  non  plus. 

§  3  ^'°)-  P-Maillarddesmodesimprimèi6io5').Chap.  io5-).Ilparlederaddition 


*3)  Comparez  sur  le  faux-bourdon  ici  considère  la  p.  65  qui  précède. 

*■*)  „Ist.  Harm."  Parte  III,  cap.  75  „Che  '1  Diatonico  puô  procédera  nelle  sue  raodulationi  per  gli 
Intervalli  di  Terza  maggiore,  &  di  minore;  &  clie  ciù  non  faccia  variationeaicunadi  Génère". 

*5)„Ist.  Harm."  Parte  III,  cap.  74  „Clie  la  Musicasi  puo  usare  in  duemaniere;&clielecantilene, 
che  compongono  alcuni  de  i  Moderni,  non  sono  d'alcuno  de  i  due  nominati  Generi". 

'**)>,Dimostr.  Harm."  Rag.  I,  Prop.  19  „Tra  due  dati  termini  di  quai  si  voglia  proportioni,  si  puô 
ritrouar'  il  mezano:  il  qiiale  constituisca  la  Pruportionalità  harmonica;  ouer  quello  che  faccia 
la  Contr'harmonica,  ne  i  suoi  termini  radicali". 

■»')Portef.„Musica",f.  31  v. 

•♦8)  Pierre  Maillart,  né  vers  1550  à  Valenciennes,  devint  en  1583  chanoine  et  chantre  de  la  cathé- 
drale de  Doornik  (Tournay).  Il  décéda  en  16 10.  Voyez  sur  son  ouvrage  la  note  51  ;  la  remar- 
que citée  s'y  trouve  à  la  p.  1 1  du  Ch.  III. 

^9)  Comparez  la  note  2  de  la  m  qui  précède.  Nous  y  avons  déjà  dit  ne  pas  savoir  à  quel  endroit 
de  Salinas  Iluygens  fait  allusion.  Xous  n'avons  pas  réussi  non  plus  à  trouver  chez  lui  un  terme 
qui  pourrait  être  rendu  par  le  mot  „authentiquement". 

5°)  Portef.  „Musica",  f.  34.  r. 

5')  Voici  le  titre  complet  de  cet  ouvrage:  «Les  Tons,  ou  discours,  sur  les  modes  de  musique,  et  les 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  1 9 

du  Sy  aux  6  notes  de  Guide,  et  mcfme  de  o  pour  huiftieme  qui  fait  l'oftave  du  Vt  "). 
Et  dit  que  l'an  1 574  qu'il  demeuroit  a  Anvers  on  ne  parloit  entre  les  muficiens  que  de 
ces  nouvelles  notes.  11  nicprifc  '■*)  cette  invention,  diiant  qu'après  le  LA  on  fait  fui- 
vre  tantolt  un  ton  entier  et  tantoll  un  demi-ton,  et  que  partant  on  ne  fcauroit  donner 
un  certain  nom  a  la  note  après  le  LA:  voila  une  bonne  rai/on! 

Il  loue  55)  extrêmement  l'invention  des  6  notes  de  Guido  et  croit  qu'il  ait  voulu 
indiquer  par  la  les  6  modes  authentiques  '").  Et  comme  le  Sy  ou  Ci  ne  peut  conflituer 
un  mode  pour  n'avoir  de  5  en  haut  ni  4  en  bas,  c'efl  pour  cela  '")  qu'il  croit  ce  ton 
indigne  d'avoir  un  nom. 

Il  dit  5")  que  Eric  Puteanus  dans  Ton  traite  Mufiuhcnum  adjoute  aux  6  notes  de 
Guido  le  131  ''^).  Il  avoue  *°)  que  par  cette  méthode  on  apprend  tacilement  a  chanter 


tons  de  l'église,  et  la  distiniftion  entre  iceiix,  de  Pierre  Maillart  Valencenois,  chantre  et  chanoine 
de  rOglise  cathédrale  de  Toiirnay  :  Divisez  en  deux  parties:  ansqnelles  a  esté  adioustée  la  trois- 
iesme,parledift  Anthenr,  en  laquelle  se  traifte  des  premiers  éléments  et  fondements  de  la  Mu- 
sique". A  Tournay.  Chez  Charles  Martin  Imprimeur  luré,  au  S.  Esprit.  16 10. 

5-)  L.c.  p.  61.  Chap.  X  „0ù  est  respondu  à  aucunes  obicctions". 

53)  En  marge:  Il  met  l'invention  de  Guido  a  l'an  1024  félon  Genebrardus.  Buttler  met 
l'an  960.  Maillart  cite  Genebrardus  à  la  p.  49. 

Gilbert  Genebrard,  érudit  et  prélat  français,  né  à  Riom  en  1537,  mort  a  Semur  en  1597, 
publia  un  grand  nombre  d'ouvrages  dont  beaucoup  sont  des  traductions. 

Charles  Buttler  naquit  en  1599  à  Wycombe  et  décéda  le  29  mars  1647  à  Wootton.  Il  écrivit 
„The  Principles  of  musick,  in  singing  and  setting;  with  the  twofold  use  thereof,  ecclesiastical 
and  civil",  London  1636. 

5-»)  L.c.  p.  64. 

55)  Maillart  parle  de  l'invention  de  Guido  aux  Chap.  IX  (p.  49  et  suiv.)  et  X  (p.  65). 

5«)  L.c.  p.  50,  57  et  suiv. 

5?)  L.c.  p.  52. 

5*~)  Maillart  cite  (p.  66  et  suiv.)  la  „Musathena"  d'Ericius  Puteanus.  Puteanus  (van  de  Putte, 
Dupuy)  naquit  le  4  novembre  1574  à  Venlo  et  décéda  le  17  septembre  1646  à  Louvain  où  il 
était  professeur  à  l'Université  depuis  i6c6.  Outre  de  nombreux  autres  livres,  il  publia  en  1599 
à  Milan  un  ouvrage  intitulé  „lModulata  Pallas  sive  septem  discrimina  vocum  ad  harmonies 
ledionis  usum  aptata  philologo  quodam  filo",  dont  la  deuxième  édition  porte  le  titre  „Musa- 
thena  sive  notarum  heptas  ad  harmonica;  lectionis  novum  et  facilem  usum",  Hanovia?,  Typis 
Wechelianis,  apud  Claudium  Marnium  et  heredes  loan.  Aubrii.  1602". 

59)  En  marge:  Il  cite  le  palTage  de  Puteanus  ou  il  parle  de  la  difficulté  et  embaras  des 
nuances. 

Cette  remarque  s'applique  à  la  p.  6-  de  l'ouvrage  de  Maillart  où  l'auteur  cite  le  passage  sui- 
vant de  la  „Musathena"  (Cap.  IX,  p.  35):  „Sena;  hx  nota;  sic  inventa;  usum  sui  apud  Musicam 
passim  gregem,  sed  tardum  admodum  difficilemque  pntbent.  Quîe  enim  mora  Mutationum; 
coiifusio  Clavium;  substitutio  Vocum"?  Videas  plerosque  atqne  indigneris  bonam  a;tatem  im- 
pendissehuic  Arti  :  et  exiguum  tamen  profecisse,  perfeftos  annis  priùs,quam  istiusmodi  Leftione. 


1 20  MUSIQUE. 


toute  forte  de  mufique,  mais  pour  parvenir  a  la  connoifTance  des  modes  il  foufticnt 
qu'il  faut  fuivrc  celle  de  Guide.  Et  il  a  tort  *'). 

§  4.  rt  *=).  Mersenne  liv.  5  prop.  34  "')•  nomme  le  Maire  "+)  qui  avoit  divifè  le  ton 
en  4  parties  fur  fon  luth.  Et  Titelouze'^Q  qui  favoit  divifè  en  3  parties  égales  fur  une 
fpinette  particulière,  l'un  et  l'autre  ne  valoit  rien  ^^). 

U  dit  que  S.  AugulHn  parle  de  la  mefure  qu'on  bat  qu'il  nomme  Plaufus  ""). 


Diflîcultas  scilicet  ohstat,  remoramquc  plerisque  facit.  Ego  toUam:  cursumqueuniversumfaci- 
lem  et  expeditum  reddam".  Et  un  peu  plus  loin:  „Ego  adiungo,  et  molestias  istas  fugiens  No- 
tariim  numerum  augeo:  et  senis  receptis,  ut  Musathena  constituatur  comitem  unamadiicio,ex 
eodem  illo  Hymno  (Solve  polluti  laBIi  reatum):  BI.  Ordinem  eundcm  serve:  UT,  RE,  MI, 
FA,  SOL,  LA,  BI". 
La  dernière  partie  de  la  citation  n'est  pas  tout  à-fait  correcte  chez  Maillart. 
«°)  L.C.  p.  68. 

*')  Huygens  a  noté  ici  en  marge  l'hymne  bien  connu  de  S.  Jean  (comparez  la  fin  de  la  note  59) 
auquel  sont  empruntés  les  syllabes  ut,  re,  mi,  etc. 

Ut  queant  Iaxis 
Resonare  fibris 
Mira  gestorum 
Famuli  tuorum 
Solve  polluti 
Labij  reatum 
Sancte  loannes. 
«=)  Portet.  „:Musica",  f.  28  r. 

''3)  Ceci  s'applique  aux  „Traitez  des  Consonances  etc."  faisant  partie  de  1',,!  larmonie  Universelle". 
Mais  il  y  a  ici  une  faute  d'impression  au  haut  de  la  page.  On  y  lit  „Livre  cinquiesme",  tandis 
que  le  texte  de  la  page  fait  partie  du  Livre  VI  „De  l'art  de  bien  chanter".  C'est  dans  la  Prop. 
34  de  ce  livre,  à  la  p.  439,  qu'on  trouve  cette  citation  de  notre  §  4. 
*••")  Le  Maire,  musicien  français,  naquit  vers  1600.  Mersenne  le  cite  en  outre  à  la  p.  342  de  r„Har- 
monie  Universelle"  à  propos  de  la  syllabe  z/i  qu'il  proposait  d'introduire  dans  le  chant  et  pour 
ses  innovations  dans  la  notation  musicale. 
*5)  Jean  Titelouze,  célèbre  organiste  français,  naquit  en  1563  à  St.  Orner  et  décéda  le  25  odobre 
1633  à  Rouen,  où  il  était  organiste  de  la  cathédrale  depuis  1588.  Mersenne  parle  de  sa  division 
du  ton  en  trois  intervalles  égaux  non  seulement  dans  le  passage  cité  dans  le  texte,  mais  aussi 
dans  le  Livre  III  „Des  genres  de  la  Musique,  etc.",  Prop.  20,  p.  196;  il  est  vrai  qu'en  cet  en- 
droit on  ne  trouve  pas  son  nom,  mais  la  périphrase  „excellent  organiste"  indique  que  c'est  bien 
de  lui  qu'il  s'agit. 
**)  Pour  autant  que  nous  voyons,  le  jugement  de  Mersenne  lui-même  n'est  pas  si  nettement  défa- 
vorable. Il  dit  p.  e.  à  la  p.  196:  «l'ajoute  que  si  l'on  aime  mieux  diviser  chaque  ton  en  trois 
parties , . .  qu'il  est  libre  à  un  chacun  de  faire  ce  qu'il  luy  plaira". 
"")  «Traitez  des  Consonances  etc.".  Livre  V  „De  la  Composition"  (p.  324):  „Le  batement  de  la 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  2  I 

§  4.  Z;  ***).  De  la  divifion  du  monochorde  et  de  l'accord  des  inftruments. 

Ariftoxcne  divifoic  roétave  en  1 2  demicons  égaux,  ce  que  Vincent  Galilée  ^s*)  main- 
tient eftrc  la  meilleure  divifion.  IVIerfennc  s'en  fcrt  pour  le  luth  '°). 

Du  vray  tempérament  et  accord  des  inllruments. 

Merfenne  raporte  pag.  73  et  74  des  Inllruments  les  divers  genres  de  Diatonic, 
Chromatic  et  Enhannonic  de  plufieurs  anciens,  tous  peu  propres  a  la  mufique  "')  et 
qui  montrent  qu'ils  ne  chantoient  pas  a  plufieurs  parties  "=). 


mesure,  laquelle  saind^Augustin  et  les  autres  ancicnsLatinsappelleiuPlausus,  n'est  autre  chose 
que  le  baisser  et  le  lever  de  la  main,  qui  signifient  le  temps  qu'il  faut  donner  a  chaque  note". 
En  effet.  St.  Augustin  écrit:  „In  plaudendo  enim  quia  levatur  et  ponitur  manus,  partem 
pedis  sibi  levatio  vindicat,  partem  positio",  et  ailleurs:  „Iiuende  ergo  et  aurem  in  sonum  et  in 
plausum  oeulos.  Non  enim  audiri,  sed  videri  opus  est  plaudentem  manum,et  animadvertiacri- 
ter  quanta  temporis  mora  in  levatione,  quanta  in  positione  sit".  Le  premier  passage  se  trouve  à 
la  p.  334,  le  deuxième  à  la  p.  337  du  „Primus  Tomus  Rximii  Patris  D.  Aurelii  Augustin!  Hip- 
ponensis  Episcopi",  Basilea;  per  Ambrosium  et  Aurelium  Frobenios,  fratres,  Anne  Salutis  hu- 
manœ  MDLXIX.  On  les  trouve  aux  p.  1 1 10  et  1 1 13  de  l'édition  moderne  de  Migne(Patrolo- 
gia  Latina,  Tom.  XXXII,  Parisiis  apud  Garnier  fratres  et  J.  P.  Aligne  successores  1877  =  Sancti 
Aurelii  Augustini  opéra  omnia  Tom.  primus,  respectivement  Cap.  X,  18  et  Cap.  XIII,  24,  de 
„De  Rlusica"  liber  secundus).  Nous  aurions  pu  citer  plusieurs  autres  endroits. 

**)  Manuscrit  E,  p.  9 — 10,  datant  de  1674.  Nous  avons  déjà  publié  une  partie  de  ces  pages  aux  p. 
370-371  du  T.  XIX. 

*î')  „Dialogo  di  Vincentio  Galilei  nobile  Fiorentino  Délia  Musica  antica  Et  Délia  Moderna", 
Fiorenza,  G.  Marescotti,  1581.  Le  dialogue  a  été  réimprimé  en  1934  à  Rome,  avec  une  préface 
de  Fabio  Fano,  par  la  Realc  Accademia  d'Italia.  On  lit  p.  e.  à  la  p.  53  „. . .  molto  bene  sapeua 
Aristosseno,  d'hauere  à  distribuire  in  parti  vguali  la  qualita  del  suono  . . .". 

Voyez,  dans  la  note  16  de  la  p.  113  qui  précède,  l'opinion  exprimée  en  1588  par  Zarlino, 
laquelle  ne  s'accorde  pas  tout-à-fait  avec  celle  de  V.  Galilei. 

"°)  Voyez  les  trois  derniers  alinéas  de  la  note  9  de  la  p.  32  qui  précède.  Il  est  vrai  que  dans  ses 
«Questions  harmoniques"  de  1633  (citées  dans  la  note  21  de  la  p.  114  qui  précède)  Mersenne 
parle  (p.  259)  d'„Aristoxene,  qui  disoit  que  tous  les  tons,  &  les  demy-tons  sont  esgaux,  comme 
l'on  pratique  encore  maintenant  sur  le  Luth  &  sur  les  Violes,  ce  qui  répugne  neantmoins  aux 
loix  de  l'harmonie  &  de  la  raison".  A  propos  de  Vincent  Galilée  Mersenne  écrit  e.  a.  (Livre 
Second  des  Instrumens,  Prop.  V,  p.  60 — 61):  „I1  y  en  a  encore  plusieurs  qui  croyent  que  cette 
diuision  d'Aristoxene  doit  estre  préférée  à  toutes  les  autres,  ce  que  Vincent  Galilée  s'est  efforcé  de 
prouueren  faueur  deses  amis  Aristoxeniens,parceque  ce  Système  est  le  plus  aysé  de  tous,&  quele 
iugement  des  sons  dépend  entièrement  de  l'ouye".  Toutefois  V.  Galilée  „confesseen  faueur  de 
la  vérité,  que  la  Quinte  Pythagorique  eft  plus  agréable  que  l'Aristoxenique,  &  que  la  nature 
n'a  pas  esgard  à  nos  commoditez,  de  sorte  qu'il  ne  s'ensuit  pas  que  le  Système  d'Aristoxene, 
dans  lequel  la  quinte  contient  7  douziesmes  de  l'Oftaue,  soit  plus  parfait  que  celuy,  dans  lequel 
elle  est  iuste". 

^  ')  On  trouve  en  effet  une  „Table  des  Diatoniques  de  cinq  Musiciens"  etc.  etc.  aux  pages  indiquées; 
„on  peut  ce  semble  conclure"  dit  Mersenne  „que  nous  entendons  mieux  qu'eux  la  Théorie,  ou 
du  moins  la  Pratique". 

16 


122  MUSIQUE. 


rf  "1  u  rf  1  u  les  2  accords  nouveaux  du  luth  1  un  par  b  quart  1  autre  par  b  mol. 
C'ell  depuis  la  4'-"  chorde  jufqu'a  la  chanterelle. 

u  1  f  r  1  m  r  u  c  1  tout  l'accord  nouveau  par  b  mol  du  defcendant  de  la  chanterelle. 

Raifon  des  différents  fons  que  rend  une  mefme  chorde  "3);  et  des  fons  de  la  trom- 
pette marine,  et  de  la  trompette. 

Du  fon  des  anches,  qu'on  baiffe  leur  ton  en  mettant  des  morceaux  de  cire  fur  les 
lanp;uettes  "+). 

Que  les  tuyaux  ouverts  et  a  anches  ne  font  pas  plufieurs  tons  mais  feulement  les 
bouchez  ■'+). 

S'il  ert  vray  que  des  tuyaux  de  mefme  longueur  mais  plus  gros  les  uns  que  les  autres 
font  de  tons  différents  de  5  ou  6  intervalles  comme  l'affure  Merfenne.  Le  moindre 
avoit  3  lignes  de  diamètre,  tous  6  pouces  de  long,  les  autres  6,  1 2,  24,  48  lignes  de 
diamètre  "'). 

Pag.  342  des  Orgues.  Apres  avoir  bien  expliqué  le  tempérament,  il  dit  qu'on  n'en 
peut  ufer  qu'en  mettant  20  marches  a  l'oftave,  et  que  Salinas  le  prouve  au  livre  3. 
chap.  33.  Que  pour  cela  il  faut  faire  les  1 2  demitons  égaux  comme  au  luth  ^*).  Mal! 

Voyez  encore  fur  Merfenne  la  note  2 1  de  la  p.  1 1 4  et  le  §  5^  qui  fuit. 


7=)  Voyez  sur  cette  opinion,  qui  efc  aulTî  celle  de  Huygens,  la  Pièce  III D  qui  précède. 

"3)  Voyez  sur  ce  sujet  la  note  i  de  la  p.  26  qui  précède. 

"■*)  Voyez  dans  r„Harmonie  Universelle"  de  1636  le  „Livre  Sixiesme  des  Orgues".  A  la  p.  329 
(Prop.  XI)  Mersenne  dit  que  „les  Anches  montent  ou  baissent  de  ton  par  le  mouuement  de 
leurs  ressorts,  ou  rafettes:  mais  on  les  fait  encore  baisser  sans  remuer  le  ressort,  en  mettant  de 
petits  morceaux  de  cire  sur  différents  endroits  des  languettes  qui  se  meuuent  d'autant  plus 
lentement  qu'elles  sont  plus  chargées:  d'où  il  arriue  que  le  son  des  Anches  en  est  plus  doux  & 
plus  agréable". 

75)  Comparez  la  note/  de  la  p.  87  qui  précède.  La  Prop.  XII  (p.  331)  du  „Livre  Sixiesme  des 
Orgues"  est  ainsi  conçu:  «Déterminer  si  l'on  peut  faire  un  Orgue  qui  ayt  tous  ses  tuyaux  de 
mesme  hauteur,  c'est  à  dire  si  la  seule  différence  de  leurs  largeurs  peut  faire  l'estenduë  de  quatre 
Oélaues  qui  sont  ordinairement  sur  l'Orgue,  etc."  Mersenne  parle  „de  plusieurs  tuyaux  de 

mesme  hauteur  que  i'ay  fait  faire  exprez Quant  à  la  longueur  ils  ont  tous  demy  pied  de 

Roy,  &  le  diamètre  de  la  base  du  plus  délié  a  seulement  trois  lignes,  le  second  a  demy-pouce  etc." 

'■*)  Voyez  sur  le  luth  la  note  70  qui  précède.  A  la  p.  342  nommée  Mersenne  écrit  en  effet  ce  que 
Huygens  cite  sur  les  20  marches  et  sur  Salinas.  Mais  ensuite  Mersenne  ajoute  „  . . .  que  les  Or- 
gues n'ont  pour  l'ordinaire  que  treize  marches  sur  l'Ocfaue.  il  faut  user  d'une  autre  industrie, 
par  exemple  de  celle  que  i'ay  monstrée  dans  le  traité  du  Luth,  par  le  moyen  de  laquelle  tous  les 
demy-tonsde  l'Oftauesont  égaux".  Il  est  vrai  qu'il  conclut  comme  suit  :„Mais  tous  ces  tempe- 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  123 


§  5.  a'^'^.  Kircher  ]Miiriirf!;ia •"")  1.  i.  cap.  6.  digrcdionc.  an  in  vacuo  fieri  pofllc 
(onus79).  Expcrimontuin  indiligcnccr  factum  rcfert,  coque  acrcm  in  phiala  c.xpcri- 
mcnti  toricclliiini  relkrc  probat  quod  l'omis  canipanulœ  incliiCx  audirctur '*°).  aquam 
ad  lo  pcdcs  conllitiflc  ait.  undc  non  bcnc  rem  peractam  liquct  *').  in  vacuo  tamcn  fi 
daretur  pucat  Ibnum  non  ticri.  Mxpcrinicntum  Florentinuin  limiliter  fonum  fuifTe 
auditum  aflerit  "').  Meiim  vcro  contra  ^■'). 

L.  5.  c.  2  "■•).  inventum  Guidonis  Aret.  '''5)  valdc  laudat  quod  mihi  non  vidccur 


ramens  ne  seruent  de  rien  pour  la  fabrique  de  l'Orgue,  d'autant  que  les  tuyaux  que  l'on  fait 
selon  la  iuste  proportion,  approchent  si  près  dudit  tempérament,  que  les  mesmes  tuyaux  qui 
sont  faits  pour  l'Orgue  parfait,  peuuent  seruir  pour  l'imparfait,  ou  l'ordinaire,  parce  qu'ils  ne 
sont  pas  esloignez  de  plus  d'un  quart  de  comma  les  uns  des  autres". 

77)  Portef.  „Musica",  f.  36 r.  —  3fv. 

^S)  Athanasius  Kircher,  né  le  2  mai  1601  à  Geiss  près  de  Fulda,  devint  membre  en  16 18  de  la  Com- 
pagnie des  Jésuites.  Il  fut  professeur  à  W'iirzburg,  vécut  à  Avignon  après  1635  et  enseigna  en- 
suite h  Rome  au  Collegium  Romanum;  il  décéda  dans  cette  dernière  ville  le  30  oétobre  1680. 
Kircher  es:  un  polymathe;  il  a  publié  des  ouvrages  volumineux  sur  des  sujets  fort  divers.  Les 
remarques  de  Huygens  se  rapportent  à  la  „Musurgia"  dont  le  titre  complet  est:  „Athanasii 
Kircheri  Fuldensis  e  Soc.  Jesu  Presbyteri  Rlusurgia  Universalis  sive  Ars  Magna  Consoni  et  Dis- 
soni  in  X  libres  digesta.  Quà  Universa  Sonorum  doctrina,  et  Philosophia,  Musicsque  tam  Theo- 
ric:c,quampractica;scientia,summavarietate  traditur;admirand:eConsoni,  et  Dissoniinmundo, 
adeôque  Universa  Naturà  vires  effcclusque,  uti  nova,  ita  peregrina  variorum  speciminum  ex- 
hibitione  ad  singulares  usus,  tum  in  omni  poenè  facultate,  tum  potissimùm  in  Philologià, 
Mathematicà,  Physicà,  MechanicA,  Medicinà,  Politicà,  Metaphysicà,  Theologià,  aperiuntur 
et  demonstrantur".  Roma;.  Ex  Typographia  Hivredum  Francise!  Corbelletti.  Anno  Jubitei 
MDCL, 

"9)  „Musurgia",  Lib.  I,  cap.  VI,  p.  11.  „Digressio.  Utrum  in  vacuo  fieri  possit  sonus". 

8°")  L'expérience  décrite  par  Kircher  (l.c.  p.  1 2)  fut  exécutée  avec  un  tube  de  plomb  d'une  longueur 
de  100  pieds,  à  l'une  des  extrémités  duquel  un  globe  de  verre  était  attaché  hermétiquement. 
A  l'intérieur  de  ce  globe  se  trouvait  une  cloche  ainsi  qu'un  marteau  de  fer  pouvant  être  mis  en 
mouvement  du  dehors  au  moyen  d'un  aimant.  Le  tube  fut  rempli  d'eau  et  employé  pour  l'ex- 
périence de  Torricelli:  l'eau  resta  suspendue  à  une  hauteur  de  10  pieds.  Le  son  de  la  cloche 
frappée  par  le  marteau  resta  perceptible.  Convaincu  que  dans  le  vide  il  ne  pourrait  y  avoir  de 
son,  Kircher  en  déduit  (ce  qui  ne  cadre  pas  bien  avec  le  titre  de  la  Digressio)  que  le  vide  est 
impossible. 

8')  Le  fait  que  l'eau  resta  suspendue  à  la  hauteur  de  10  pieds  fait  bien  voir  que  l'espace  au-dessus 
d'elle  était  loin  d'être  vide. 

8^)  Voyez  sur  ces  expériences  de  r„Accademia  dei  Lincei"  la  p.  240  du  T.  XIX.  Kircher  ne  les 
mentionne  pas. 

*5)  Huygens  parle  apparemment  de  son  expérience  du  19  décembre  1674  (T.  XIX,  p.  239). 

*■*)  „Musurgia",  Lib.  V,  cap.  2  „Utrum  Antiquis  cognita  fuerit  Symphoniurgia  polyphona  sive 
Musica  ex  pluribus  composita  vocibus". 

'5)  Aret.  =  Aretini.  Guido  Aretinus  naquit  d'après  la  tradition  vers  995  à  Arezzo  près  de  Rome. 
Il  décéda  en  1050.  Il  appartenait  à  l'ordre  des  Bénédictins.  Ses  plus  grands  mérites  pour  la  mu- 


1  24  MUSIQUE. 


laude  dignum.  Ciim  jam  ante  lineis  uterentur  8  et  Elcmentis  literarum  fepcem  fonos 
0(5tavîe  lignificarcnt  **).  Guidonem  refcrt  ad  annum  1 024. 300  annis  poft  ait  loannem 
de  INIiiris  Parillniim  ultimam  maniim  impoluifTc  guidonians  muficje,  inventis  notis 
qua;  tcnipora  prolationis  fimul  notarcnt  ^"). 

Dicit  ibidem  *')  Guidonem  invenilTe  primum  fymphoniam  plurium  vocum.  Id 
conlhre  ex  pra^fationc  IMicrologi  ad  Theobaldum  Epilc.  Arctinum  '*').  Edidit  hune 
Microl.  fub  papa  loanne  a  9°).  Vellem  viderc.  dicit  et  auftorem  fuilTe  inltrumento- 
xumpohplecfroriim ut  clavicymb.  &c.  Sed  fallitur  puto  nam  organa  et  hydraulica  etiam 
polyple'dra  erant  jam  diu  ante  ejus  tempora,  nifi  tantum  quje  fidibus  tenduntur  hoc 
nomine  cenfenda  fint  ''). 

L.  6  c.  I .  theor.  9.  de  cognofcendo  numéro  diadromorum  chordje  9-).  Merfenni 
habct  cxperimentum  '3).  chorda  17  pedum  ex  12  inteftinis  tenfa  pondère  4  librœ, 
bis  currit  et  recurrit  in  minuto  fecundo.  duahus  libris  tenfa  quater  recurrit.  8  libris 
ofties.  Contradicit  huic  expérimente  ob  difficultatem  quod  ubi  primum  vibrationes 
numenibiles  fiunt  Ibnus  amplius  audiri  nequeat.  ftohdc.  fufficit  enim  cognita  proportio 
numeri  vibrationum  fubdupla  rationis  ponderum  quibus  tenditur. 

Guido  promittit  '+)  menftruo  fpatio  difcendum  quod  antea  vix  multis  annis  etiam 


musique  consistent  dans  l'amélioration  de  l'écriture  des  notes  et  l'introduftion  des  syllabes  du 
chant  ut,  re,  mi,  fa,  sol,  la,  par  où  il  devint  le  fondateur  du  système  de  la  solmisation. 

8*)  Kircher  lui-même  dit  (l.c.  p.  213)  avoir  vu  dans  le  couvent  de  S.  Salvator  à  Messine  un  livre 
d'hymnes  vieux  d'environ  700  ans  dans  lequel  un  système  de  huit  lignes  était  employé. 

8')  Johannes  de  Mûris  était  originaire  de  Normandie  où  il  doit  être  né  avant  1300.  En  1350  il 
devint  recteur  de  la  Sorbonne.  Son  décès  eut  lieu  après  1351.  Il  publia  une  „Musica  practica" 
en  1321  et  une  „Musica  speculativa"  en  1323.  Voyez  encore  sur  lui  la  note  1 19  de  la  p.  129 
qui  suit. 

8')  „Musurgia",  p.  2 1 5.  Guido  a  fait  connaître  ses  trouvailles  (note  85)  dans  un  ouvrage  appelé 
parfois  „Introduaorium"  et  parfois  „Micrologus"  (savoir:  de  disciplina  artis  musics).  Il  était 
dédié  à  Théobald,  évêque  d'Arezzo. 

8>)  Nous  ne  voyons  pas  que  Kircher  considère  l'invention  du  chant  polyphone  par  Guido  comme 
démontré  par  un  passage  de  la  préface  du  „3l!cro/ogt/s'\  Après  avoir  fait  mention  de  cette  pré- 
face il  ajoute:  „porrô  Guido  necdum  contentus  hac  nova  cantandi  methodo,  inauditam  ante 
hac  plurium  vocum  symphoniam  excogitavit  primus". 

9°)  Lisez:  sub  papa  loanne  XX. 

S")  Voyez  sur  ce  sujet  les  Additions  et  Correftions  à  la  fin  du  présent  Tome. 

s"3  «Musurgia",  Lih.  VI,  cap.  i,  theor.  9„Utrumin  notitiam  diadromorum, quos chorda  quspiam 
tensa  conficit,  certa  scientia  perveniri  possit?" 

93)  Il  est  question  de  l'expérience  décrite  par  Mersenne  dans  son  „Harmonie  Universelle"  (voyez 
la  note  9  de  la  p.  29  qui  précède),  plus  précisément  dans  les  „Traitez  de  la  Nature  des  Sons, 
et  des  Mouvemens  de  toutes  sortes  des  Corps"  Livre  III  „Des  mouvemens  et  du  son  des  chor- 
des".  La  longueur  des  cordes  dont  Mersenne  parle  ici  était  de  i/à  pieds. 

*■')  Cette  remarque  appartient  encore  à  l'alinéa  précédent.  La  promesse  dont  il  est  question  se 
trouve  dans  la  préface  mentionnée  dans  la  note  89  qui  précède. 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  25 


ingénie)  pollens  didiciiïct.  quanta  ergo  difficultas  illa  prifca  fuerit  cum  et  Guidonis 
niethodiis  tantum  tricariim  habcat. 

L.  7  c.  5.  ^5).  Improbat  conluetudincm  componiilarum  ad  clavicymb.  lua  cxami- 
nantiuni.  vultque  ablque  illo  per  icientiœ  régulas  lyniphoniam  eondi.  inepte. 

Refte  ibidem»")  reprehcndit  illos  qui  vocibus  (ingulis  cantum  accommodant  non 
vero  argumento,  contra  quod  fepe  peccant.  ut  qui  ad  verba  illa  fou  thcma  '-^7),  .Jhfler- 
get  Deiis  omneni  lachrymam  ah  ociilis  connu  ubitntlliis  lutins  clamor  autdolor^  pluri- 
mumludit  in  verbis  illis  lachrymam  lu&us  dolor^  hoc  agens  omnibus  modis  ut  triflcm 
cantum,  trilles  clauiulas,  ijs  acconimodaret.  Quid  autem  lachryma;,d()lor,  luétus  cum 
celefl:ibusgaudijscoinmunehalKMK.alterumcxcmplumrefcrt;//r>/\v///(-7//W(Y/>y?/w//''''''J); 
ubi  illud  feilinat  incitatis  notis  et  miré  dilcurrentibus  exprimit  contra  décorum. 

Lib.  7.  Exempla  affcrt  mœfti  cantus  '»). 

Mihivideturnonadeolentisryllabisdoloremexprimendum,utnonnunquam  ♦  '°°) 
fingulis  dentur;  fed  prorfus  imitandum  tenorem  fennonis  qui  non  multo  lentior  eft 
plangentibus  quam  loquentibus. 

Vellcm  ctiam  ut  non  quîe  artificiofiiïima  funt  et  inventu  diflîcilia  feftarentur  melo- 
pœi  noftri  fed  quœ  aures  maxime  afficerent.  Quid  enim  mihi  cum  imitationibus  accu- 
rate  fervatis,  quas  fugas  vocant,  quid  cum  duplicibus,  fi  abfque  his  ut  liberior  ita  et 
gratior  efficitur  mclopœia.  Artifices  iftis  fe  delecftari  dicunt,  non  tam  dulcedine  con- 
centus  affedlios  quam  confiderationc  artificiofe  compofitionis;  qui  non  rectchoc  pafto 
melopœam  aiftimant,  cujus  finis  ell  deleftare  sono  quemauribuspercipimus,  non  con- 
templatione  artis.  Hsc  enim  diverCa  funt. 

Illi  vero  artem  magis  ex  regulis  quibufdam  quas  fibi  finxere  et  quibus  fa?pe  nimis 
tenaciter  inhœrent,  quam  ad  effeftum  haraionia;  judicant.  Ars  autem  nifi  naturam 
moveat  ac  deleftet  nihil  fane  egiiTe  videatur,  ut  Cicero  inquit  '°').  Itaque  illam  fibi 


»5)  „Musurgia"  Lib.  VII,  Pars  I,  cap.  5  (p.  562)  „De  defeftibus  et  abusibus  modernorum  Melo- 

thetarum,  sive  quos  Componistas  vulgô  vocant". 
»«)  L.c.  p.  563—564. 
S"")  Apocalypse  de  Saint-Jean,  cap.  21,  vs.  4. 

^^')  Kirclier  écrit:  mors  festinat  lucttiosa,  disant:  „Non  ita  pridem  alius huiusmodi  clausulis 

ludit  etc". 
*')  „Musurgia",  Lib.  VII,  cap.  2  (p.  572  et  suiv.)  „ReguIarium  et  natiiralium  duodecim  Tonorum 

proprietas  exemplis  demonstrata". 
'°°)  La  semibrevis:  comparez  la  p.  68  qui  précède.  Actuellement  ce  signe  est  celui  de  la  note  en- 
tière, la  „blanche". 
'°')  Cicero  „De  Oratore"  III,  197:  „ars  cum  a  natura  profecla  sit,nisi  naturam  moveat  acdelectet, 
nihil  sane  egisse  videatur".  Toutefois,  les  éditions  modernes  adoptent,  au  lieu  de  „naturam". 
la  leçon  „natura". 


1 26  MUSIQUE. 

iinicè  arteni  proponant  quà  auditores  delicatas  aureshabentes  delectare'°')  poflint, 
fed  ita  ut  et  imperitioribus  voluptatem  pariant.  Undc  cnini  orifro  prsccptorum  nifi 
ab  ijs  rcbus  quas  probabant  fiiavcrquc  fentiebant  nondum  ullis  prîeccptis  imbuti. 
Quamobrem  nec  prîeceptis  ita  conlîdcrc  dcbcnt  ac  li  i^conictrix  axiomata  edcnt,  fed 
multas  exccptiones  dari  exilliment  Icmpcrque  iixum  illud  tencant,  propofitum  delcc- 
tationem  adferre  auribus  prius  quam  artis  examen  inftituatur. 

§  5  ^.  Apud  Merfennura  '°')  diiputatur  an  gratior  fit  conccntus  raonodijs  ncc 
rationes  défunt. 

§  5  c.  In  methodo  Guidonis  illud  operam  dédit  ut  l'emitonium  majus  fyllabis  mi  fa 
tvrones  femper  exprimèrent,  cum  tamen  tonum  quatuor  modis  canant  nempe  UT 
RE,  RE  MI,  FA  SOL,  SOL  LA  ■°+). 

§  5  i^.  Kirch.  tom.  i .  1.  7.  Erotemate  4  '°').Explicat  notas  muficas  odes  Pindaricœ 
yjxjirex  Cp6f[Jt,iyB  'AtoX^mvo?  '°'').  Strophe  notas  rjj?  Xé^eco?  habet  five  qua;  cantum 
dirigunt.  antiilrophe  notas  TJjçxfOL/iTfi'çinilrumentofequcndas,  fed  tamen  et  bis  verba 
fubjiciuntur.  ÎNIodus  elt  Lydius  quod  ex  figura  notarum  patet  '°").  Cantus  autem 
videri  poteft  efie  Toni  MLM  '°^)  nifi  quod  finit  in  R.  Kircherus  finit  eum  in  G,  fed 


'°')  Leçon  aUernative:  dclenire. 

'°j)  Mersenne  traite  cette  question  dans  le  Livre  IV  („De  la  Composition  de  Musique")  des 
„Traitez  des  Consonances  etc."  contenus  dans  l'„Harmonie  Universelle".  La  première  Pro- 
position est  intitulée:  „DetenTiiner  si  les  simples  récits  qui  se  font  d'une  seule  voix,  sont  plus 
agréables  que  lors  qu'on  chante  la  mesme  chanson  à  deux  ou  plusieurs  parties". 

'"■*)  Cette  remarque  ne  semble  pas  avoir  de  rapport  direct  avec  la  lecture  de  Kircher.  Elle  s'appli- 
que au  système  de  la  solmisation  dans  lequel  l'intervalle  d'un  demiton,  se  trouvant  dans  tout 
hexachorde,  était  toujours  chanté  comme  Mi-Fa. 

'°5)  Kircher  „Musurgia"  Lib.  VU,  Pars  I,  Erotema  IV  (p.  540  et  suiv.)  „Quibus  Veteres  Musici 
in  melothesia  exprimenda  notis  usi  sint". 

'°*)  Il  est  question  ici  du  célèbre  fragment  de  la  musique  de  la  première  ode  pythique  de  Pindare, 
fragment  que  Kircher  dit  avoir  découvert  dans  la  bibliothèque  du  couvent  San  Salvator  à 
Messine  et  sur  l'authenticité  duquel  on  dispute  encore  aujourd'hui.  On  peut  consulter  sur  ce 
sujet  Paul  Friedlânder  „Die  Mélodie  zu  Pindars  erstem  Pythischen  Gedicht"  dans  les  „Be- 
richte  ûber  die  Verhandlungen  der  Sâchsischen  .Akademie  der  Wisscnschaften  zu  Leipzig. 
Phil.  Hist.  Klasse  86  (1934),  Heft  4",  Hirzel,  Leipzig,  1934.  Comparez  sur  ce  fragment  la 
p.  85  qui  précède. 

'°')  Kircher  lii-mème  écrit  au-dessus  de  sa  reproduction  du  fragment:  „Musica  veterum  nostris 
notis  musicis  tono  Lydio  expressa":  il  observe  que  les  signes  employés  sont  identiques  avec 
ceux  du  ton  lydien  tels  qu'ils  sont  représentés  dans  la  table  des  notes  d'Alypius  qu'il  vient  de 
reproduire  vis-à-vis  de  la  p.  541. 

'°')  Une  explication  de  cette  remarque  nous  a  été  donnée  par  M.  A.  Rome,  professeur  à  l'Univer- 
sité de  Louvain.  M.  Rome  suppose  que  Huygens  ait  transposé  le  fragment  publié  par  Kircher 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  27 


hoc  nihil  rcfcrc  cum  idem  ipfi  ac  mihi  fiât  cantus  '°>).  In  fine  notas  quafdam  raale 
explicaverat  quas  correxi  "°). 

pag.  593  et  594  '").  Exeraplum  Capfpergeriana;  "')  raelopœs  récitât 

1 


ubi    ,___-i— ^^lUZll     "^"^        -    i'é    (f  -j^ 


^^^ 


^ 


§  5  ^.  Si  per  omnes  tonos  ita  diicurrere  licet  ut  diu  in  illis  maneant,  aut  faltem  ad 
primum  non  redcant,  quidni  et  in  alio  tono  finire  pcmiittant;  et  fane  vidiin  Italorum 
melilmatis  ubi  hoc  faditarunt,  incipiences  in  SVS,  iunc  qui  finiunt  in  MCM.  I  loc 
vero  ut  ineptum  cfl:  ita  etiam  vagatio  illa  pcr  tonos  alienos  ut  plane  ejus  in  quo  cœ- 
perant  obhvifcantur.  Hoc  énervât  vim  ac  decorem  cantus  nec  perinde  deledtat  audi- 
tores  ac  conilans  modulatio  qu£e  tonum  fervat  vcl  ita  certe  excurrit  ut  continuo 
revertatur. 

Necefle  ell  vocem  canentis  ope  inilrumenti  dirigi  et  in  ordinem  cogi  ne  a  tono 


de  telle  manière  «qu'il  n'y  ait  plus  ni  dièze  ni  bémol.  Il  obtient  ce  résultat  en  commençant  la 
mélodie  par  un  la  au  lieu  d'un  re,  comme  le  fait  Kircher.  Alors  la  première  phrase  de  la  py- 
tliique  devient  la,  la,  sol,  fa,  mi;  la,  sol,  fa,  mi;  la,  sol,  fa,  mi,  re,  mi  et  Huygens  remarque  que 
le  sentiment  de  cette  première  phrase,  surtout  des  8  premières  notes,  est  nettement  celui  du 
4'-'  mode  grégorien,  dont  le  tonique  est  ////et  la  dominante  la.  Donc:  cantus  videripotest  ton 
MLM.  Seulement  la  lîn  du  morceau  (fa,  sol,  sol,  re,  mi,  re)  est  dans  le  i"  mode  grégorien 
Huygens  reste  d'avis  que  c'est  du  4''  mode,  sauf  que  la  finale  du  morceau  est  un  re". 

'"S*)  M.  Rome  explique  cette  phrase  par  la  remarque  suivante:  „lastructure  modale  restant  la  même 
dans  tous  lestons,  Huygens  avertit  le  lecteur  non  prévenu,  que  dans  la  transcription  de  Rircher 
le  morceau  finit  par  un  sol,  sed  parum  refert,  cela  ne  fait  rien,  puisqu'en  transposant  dans  un 
autre  ton  Huygens  n'a  pas  changé  la  strufture  modale  ni  la  ligne  mélodique;  cum  idem  ipsi  ac 
mihi  fiât  cantus". 

"°)  Nous  ne  connaissons  pas  ces  correftions.  Elle  se  trouvaient  (ou  se  trouvent)  peut-être  dans 
l'exemplaire  de  la  „Musurgia"  mentionné  dans  le  Catalogue  de  la  vente  des  livres  de  Huygens 
en  1695;  nous  ignorons  ce  que  cet  exemplaire  est  devenu. 

'")  Kircher  „Musurgia",  Lib.  VII,  Pars  II,  Cap.  5  „De  vario  stylorum  harmonicorum  artificio". 
D'ailleurs  les  exemples  récitatifs  de  Kapsberger  commencent  déjà  à  la  p.  592. 

"-)  Johann  Hieronymus  von  Kapsberger,  virtuose  et  compositeur  d'origine  allemande,  demeurait 
à  Venise  vers  1604.  Plus  tard  il  habita  Rome,  où  il  décéda  en  1650  environ. 

Les  paroles  du  deuxième  exemple  („Musurgia"  p.  596)  sont  „miglior  stato  ma  se  pietà  gli 
porge". 


1 28  MUSIQUE. 

evagetur.  nam  fi  verbi  gr.  canat  VS  RLM,  hoc  ultimum  M  non  erit  tertia  major  ad 
y  fed  toto  commate  alcius  vero  "5). 

§  6  "*).  Ad  Jo.  van  der  EIst  "5).  Oudcn  en  nieuwen  grondt  vande  musycke.  Ge- 
druft  te  Gent.  1662  "^). 

Sex  fyllabas  Guidonis  Aretini  retinet"")  ideoque  rautaciones  quas  vocant,  dis- 
centibus  diffîcillimas,  cum  additoy?,  cuique  tono  fuum  nomen  tribuatur.  Semitonijs  '  '  ^) 


"3)  Ailleurs  aussi  Huygens  parle  des  différences,  évaluées  en  commas,  qui  peuvent  résulter  de  la 
justesse  d'un  certain  nombre  de  notes  chantées  consécutivement:  voyez  les  p.  64  en  -7  qui 
précèdent. 

"■•)  Manuscrit  G,  f.  47  r.  La  f.  44  porte  la  date  1692,  mais  plus  loin  on  trouve  dans  le  Manuscrit 
des  dates  de  1690. 

"5)  Joannes  van  der  Elst,  moine  augustin,  naquit  au  commencement  du  dix-septième  siècle  au 
château  Meulenakers  en  Brabant  d'une  famille  gantoise,  dit-on,  bien  connue.  Il  passa  une 
partie  de  sa  jeunesse  en  France.  Avant  l'ouvrage  cité  dans  la  note  suivante  il  avait  publié  en 
1657,  également  à  Gand,  ses  „Not!E  augustinianœ  sive  musices  figurœseu  not»  nov»  concin- 
nendis  modulis  facilioris,  tabulatis  organicis  exhibendis  aptiores". 

"*)  Le  titre  complet  de  cet  ouvrage  est  le  suivant: 

Den  Ouden  ende  nieuwen  Grondt  van  de  Musiicke.  Bevanghende 

De  vermeerderinghe  ende  verbeteringhe  van  den  Sangh. 

De  oude  ende  nieuwe  Sangh-woorden. 

De  oude  ende  nieuwe  Figuren. 

De  XIL  Toonen  van  den  Sangh. 

De  proportion  van  de  Consonantien  &c. 

De  bedeelinghe  van  't  Monochordum. 

Den  grondt  van  de  Chordosophie. 

De  Musicale  Instrumenten. 

Het  volmaeckt  Clauwier  Diatonicum  Syntonum. 

Dry  fondamentale  manieren  van  accorderen. 

De  Reghels  van  de  Compositie. 

De  Reghels  van  den  Bas-continuél. 

Het  ghebruyck  van  de  dry  Musicale  gheslachten. 
In  de  welcke  met  korte  ende  klare  Reghels  ende  redenen  wt-gheleydt 
vvordt  het  mergh  van  de  Musijcke,  soo  kerckelicke,  Figuréle,  als 
Instrumentéle,  soo  voor  de  Théorie  als  voor  de  Praftijcke,  door 
P.I.V.E.  A.  Te  Ghendt,  by  Maximiliaen  Graet  in  den  Enghel.  1662. 

L'„Epistola  Dedicatoria"  est  signée  F.  Joannes  van  der  Elst. 

"OL-c.p.3. 

"')  L.c.p.  io„DeNieuweChromatyckeSangh-woorden".Alap.  1 1  on  trouve  la  règle  („Reghel") 

suivante:  „Het  teecken  van  B-dure  (i  X)  ghestelt  wesende  voor  eenighe  besonder  Note  ver- 

heescht  in  de  Sangh-woorden  de  Vocale  I,  ende  het  teecken  van  B-moUe  (?)  de  Vocale  A". 

Nous  remarquons  qu'outre  les  „Sanghwoorden"  cités  par  Huygens  van  der  Elst  emploie 

aussi  les  syllabes  //  et  /ae. 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I  29 


\\\a  nomina  dac  fi,  fil,  it,  ri,  item  ac,  ra,  ma,  fal,  quod  fieri  poteft,  fcd  non  eft  tam  neces- 
larium  atque  vox  //. 

Diuv  perfefta?  conlonantise  non  dcbent  CeCc  confi.'qiii.  uc  qiiinta?,  octavs,  imifoni. 
Rationcin  abliirdam  reddic  "')  quod  audita  pcrfcéta  conlbnantia,  plane  acquiefi:ac 
fiînfus;  ideoque  ne  naufea  fequatur  fiibjungendam  imperfeéhm.  Nam  primo  divifio 
illa  in  pertedas  et  imperfi:(5tas  confonantias  inepta  e(L  Deinde  non  fcquitur  diilccdo 
aiit  fatietas  nimia  cum  àvix  quinta»  (ère  fcquuntur,  fi^d  contra  ofTenduntiir  aiires  rudi 
ac  dura  illa  confonantiarum  iliccelfione  quia  fubito  quafi  in  aliuni  Tonum  tranfitur; 
nam  etiam  tertiœ  intennedi^  vel  accedunt,  vel  fubaudiuntur.  Oftavse  vero  continuatJe 
improbantur,  quod  eadem  raodulatio  BaiTi  et  Cantus  nequaquam  fatiffaciat  expedtationi 
auditoris,  cui  grutiores  efient  alia.^  confonantia;  quintarum  et  tertiarum. 

Si  pluribus  Choris  canatur.  debent  BalTus  diverforum  vel  unifonis  vel  oétavis  vel 
interdum  tertijs  inter  fe  referri,  nunquam  vero  quintis. 

Dans  fon  „Bericht"  de  1732,  mentionné  à  la  p.  69  qui  précède,  Q.  van  Blankenbiirg,  qui  con- 
naît auiïî  les  ouvrages  de  van  der  Eift,  écrit:  „Wac  aangaat  de  namen  Si  en  Sa,  It  en  Ut,  dietieb  ik 
in  den  jare  1681  met  den  Ed.  Heere  Cliriftiaan  Huygens  vaftgeflelt,  en  zijne  zwariglicid,  dat  men 
de  naam  Ci  (die men  in  d'oude  mufiec  vind)  in  geen  Ca  mogt  vcranderen  door  't  verwilTelen  van 
die  C  in  een  S,  weggenomen;in  dezelfde  tijdlieeft  zijn  Ed.  zijn  Cycle  Harmonique  van  3i.klanken 
in  't  otlaaf  in  cyffer  geftelt,  en  bij  de  Mi  een  Ma  gevoegt",  etc.  Comparez  le  §  3  à  la  p.  167  qui  fuit. 

À  la  même  p.  du  Man.  G  Huygens  cite  auffi  Ludovicus  Viadana:  voyez  les  Additions  et 
Correftions. 


"*)  L.c.  p.  61.  Le  passage  de  van  der  Elst  dont  ils'agit  est  le  suivant  :„Dereden  van  desen  Reghel 
is,  dat  als  gehoort  wort  een  perfede  Consonantie  liet  ghehoor  ten  vollen  voldaen  is;endeom 
datter  geen  versaetheyt  oft  walgh  en  soude  wt-spruytcn,  moet  naer  de  perfeifte  ghestelt  wor- 
den  een  imperfefte,  die  wederom  verweckt  eenen  appecijt  ofte  begheerte  tôt  de  perfeftie". 

Sur  la  question  de  la  défense  de  la  succession  de  deux  quintes  etc.  —  déjà  mentionnée  aux 
p.  8 1  et  1 10  qui  précèdent  —  on  peut  consulter  p.e.  A.  W.  Ambros  „Zur  Lehre  vom  Quin- 
tenverbot",  Leipzig,  H.  Matthes,  sans  date;  où  l'on  voit  que  la  règle  „debemus  binas  conso- 
nantias  perfedtas  seriatim  conjunftas  ascendendo  vel  descendendo  prout  possumus  evitare" 
provient  de  Joh.  de  Mûris  („Qua;stiones  super  partes  musics",  vers  1300;  comparez  sur  lui 
la  note  87  de  la  p.  124  qui  précède).  „Die  alten  Niederliinder  des  15.  Jahrhunderts  nahmen 
vorerst  von  dcmglûcklichen  Funde  der Tl-.eorie\veiiigNotiz". Quelques compositeurscélcbres 
(J.  Seb.  Bach,  Handel)  n'observent  pas  non  plus  rigoureusement  cette  règle.  Elle  fut  cepen- 
dant de  plus  en  plus  respectée.  Zarlino  la  discute  dans  le  Chap.  29  de  la  Troisième  Partie  de 
ses  „Istituzioni  Harmoniche". 

À  la  f.  15  du  portef.  „Musica"  Huygens  écrit:  Quand  on  défend  2  odlaves  de  fiiite  a 
2,  3  ou  4  parties  fi  ce  n'efl:  pas  parce  que  cela  rend  l'accord  defetlueux  d'harmo- 
nie. Et  fi  peut  eftre  a  5,  6  ou  plufieurs  parties  ce  n'eft  pas  une  faute  en  effet,  eftant 
non  obi^ant  cela  l'harmonie  complette. 

ï7 


1 30  MISIQUE. 

§  7  '").  Simpson  '"-').  Compendium  Muficae  Angl.^  ""-). 

Varies  cffeftus  modorum  apud  veteres,  ortos  inde  exiftimat,  quod  prêter  diverfa 
intervalla  cantiis  etiam  diverfitatem  menfurce  feu  rythmi  contineant  "3). 

Qiiintas  perfeftas  et  imperfedlas  déganter  poni  deinceps  cenfet,  in  notis  non 
longis  '-+). 

En  b  mol  l'on  fait  des  cadences  fur  la  note  mcdiante  "5).  Mais  cela  n'eft  pas  aifè 
en  ï;  mais  alors  il  veut  la  cadence  mediante  à  la  féconde  ou  quarte  plus  haut  que  la 
finale.  Ainfi  dans  le  ton  de  VSV  les  cadences  mediantes  feront  en  R  ou  F.  J'y  adjoute 
encore  la  cadence  imparfaite  ou  le  defTus  finit  en  M  et  la  Baffe  en  L. 

Chriftoph.  Simpfon  efcrit  que  de  C  a  Ci  efl  le  demiton  majeur  et  de  Ci  a  V  lede- 
miton  mineur,  juilcmcnt  a  rebours,  et  de  mefme  dans  tous  les  autres  demitons  ""). 
Il  croit  aulli  que  le  triton  et  la  fauffe  quinte  font  des  intervalles  égaux  "■"). 


'-°')  Portef.  „Musica",  f.  34  et  f.  31. 

"')  Christopher  Simpson,  anglais,  dtait  un  virtuose  sur  la  Viola  da  Gamba.  Né  en  16 10,  il  décéda 
en  1669  à  Turnstile. 

'^-)  Clir.  Simpson  „A  Compendium,  or  Introduflion  to  praftical  musick",  London,  Playford  1655. 
Cet  ouvrage  fut  plusieurs  fois  réimprimé;  il  y  eut  même  encore  une  huitième  édition  en  1732. 
Nous  avons  pu  consulter  la  troisième  édition.  „A  Compendium  of  Practical  Musick  in  five 
Parts.  Teaching  by  a  New,  and  easie  Rlethod,  i.  The  Rudiments  of  Song.  2.  The  Principles 
of  Composition.  3.  The  Use  of  Discords.  4.  The  Form  of  Figurative  Descant.  5.  The  Contri- 
vance  of  Canon.  Together  with  Lessons  for  Viols  &c".  The  Third  Edition.  By  Christopher 
Simpson,  London  MDCLXXVIII. 

■=3)  L.c.  p.  69. 

"4)  L.c.  p.  100. 

"5)  L.C.  p.  36. 

"*)  A  la  p.  83  de  l'ouvrage  cité  Simpson  dit  que  l'intervalle  A — Bes  (ou  La  —  Si  bé  mol)  est  un 
demi-ton  mineur  et  Bes  —  B  (ou  Si  bémol  —  Si)  un  demi-ton  majeur. 

'-'')  Nous  rappelons  que  le  triton  est  la  quarte  augmentée,  composée  de  trois  demi-tons  majeurs  et 
de  trois  demi-tons  mineurs  du  système  du  ton  moyen,  tandis  qu'on  entend  par  fausse  quinte, 
ou  quinte  diminuée,  le  complément  du  triton  par  rapport  à  l'oftave. 

Simpson  (l.c. p. 67)  appelle  le  „tritonus"  un  „Greater  or  Excessive  4'''"  et  la  „semidiapente" 
un  „Lesser  or  Defective  5'''".  Son  assertion  de  l'égalité  des  deux  intervalles  est  moins  catégo- 
rique que  Huygens  nous  la  représente.  Il  dit  „. . . .  which,  according  to  the  Scale,  where  we 
hâve  no  other  divisions  or  distinctions  than  Semitoiies  or  Half-Notes,  seem  to  be  the  same 
Interval,  as  to  proportion  of  sound,  either  or  them  consisting  of  six  Semitones". 

"8)  Portef.  „Varia",  suite  f.  25. 

"')  Il  s'agit  de  l'article  „De  la  musique  des  anciens"  par  Claude  Perrault  (né  à  Paris  en  1613, 
médecin  et  architecte,  devenu  membre  de  l'Académie  des  Sciences  en  1666  et  mort  à  Paris  le 
9  oftobre  1688;  voyez  aussi  sur  lui  le  T.  XIX).  Il  fait  partie  de  ses  „Essais  de  Physique,  ou 
Recueil  de  plusieurs  Traitez  touchant  les  choses  naturelles",  Paris  1680 — 1688,  4  vol.  Nous 


MUSICOLOGUES  MODERNES. 


131 


§  8  '-^).  Sur  un  traicté  de  Muftque  de  M.  Perrault  le  médecin  '"^). 

6  '5°).  Que  les  fyrtcmcs  elloicnc  les  intervalles,  fi  cela  le  prouve  clairement.  Je 
crois  plustost  qu'on  le  prcnoit  pour  la  quarte  remplie  des  tons  d'entrcdcux  '3'). 

14.  Bonne  remarque  de  ce  que  leurs  chants  n'avoicnt  pas  la  douceur  des  noftres 
faute  des  demitons  aux  cadences  '^■^. 

19.  Comment  fcait  on  fi  le  Symphonia  de  Daniel  eftoit  lamefme  des  vielleurs  '33). 

21.  Iroquois  '5+).  dites  cette  comparailbn  a  Vodius  '^s^. 

28.  Comment  ils  ont  chante  à  la  tierce  qu'ils  prenoient  pour  diironance  '3*). 


l'avons  consulté  dans  l'édition  «Oeuvres  Diverses  de  Physique  et  de  Mechanique"  de  M".  C. 
et  P.  Perrault.  Volume  Premier.  Leiden,  P.  v.  d.  Aa.  1721. 

•3°)  Les  nombres  6,  14,  19  etc.  ne  s'appliquent  pas,  comme  cela  est  évident,auxpagesde  l'édition 
de  1721. 

'3')  L.c.  p.  297.  „Les  Systèmes  étoient  les  Intervalles,  qui  ne  sont  pas  entre  deux  sons  voisins,  que 
l'on  poiirroit  appeler  Intervallessimples,  mais  qui  sont  composez  d'autres  Intervalles,  qui  sont 
voisins".  Nous  ne  voyons  pas  ce  que  Huygens  trouve  à  objcfter  à  cet  énoncé.  Il  s'accorde  ab- 
solument avec  ceux  d'Aristoxène  „Harm.  Elem."  I,  éd.  Meibom.  p.  15 — \6  et  Euclide  „In- 
trod.  Harm.",  éd.  Meibom.  p.  i  =  éd.  INIenge  p.  186. 

'3=^  L.c.  p.  300.  „I1  est  évident  que  leur  modulation  ou  simple  chant  n'avoit  point  la  douceur  qui 
se  trouve  dans  la  nôtre,  faute  des  demi-tons  qui  servent  à  faire  les  cadences  avec  agrément". 

'33)  L.c.  p.  303.  Dans  le  Livre  de  Daniel,  Chap.  III,  vs.  5  et  7,  il  est  question  d'un  instrument  de 
musique  appelé  Symphonia;  voici  le  texte  latin  cité  par  Perrault:  „In  hora,  quà  audiericis 
sonitum  Tuba?,  et  Fistula;,  et  Cithara;,  et  Sambuc»,  et  Psalterii,  et  Symphoni»"  etc.  D'après 
Perrault  cet  instrument  était  encore  récemment  en  usage  chez  les  vielleurs  (la  vielle  est  un 
instrument  à  cordes  frottées  que  l'on  fait  agir  au  moyen  d'une  roue  mue  par  une  manivelle). 
Perrault  dit  qu'il  était  „en  forme  d'un  arc  sur  lequel  trois  cordes  étoient  tendues:  il  neservoit 
que  comme  de  bourdon  [le  mot  bourdon  signifie  une  basse  continue  et  uniforme  que  font 
entendre,  toujours  sur  la  même  note,  certains  instruments  tels  que  la  vielle]:  et  celui  qui  en 
sonnoit  n'avoit  rien  autre  chose  à  faire  qu'à  suivre  le  mouvement  et  la  cadence  du  Violon". 

'34)  L.c.  p.  304.  Perrault  compare  la  musique  des  Anciens  avec  „celui  qui  règne  encore  parmi  les 
Nations  barbares,  où  la  Symphonie  de  la  Musique  consiste  dans  un  bruit  confus  pour  ce  qui 
est  des  tons,  mais  fort  bien  réglé  à  l'égard  du  mouvement:  nous  en  avons  vu  un  échantillon 
il  n'y  a  pas  longtemps  dans  le  concert  des  Hiroquois,  qui  furent  amenez  en  cette  ville". 

„Iroquois"  est  le  nom  français  pour  la  confédération  des  six  nations  peaux-rouges  du  sud- 
est  des  lacs  Erié  et  Ontario. 

■35)  Isaac  Vossius  était  d'avis  que  la  musique  des  anciens  avait  une  grande  valeur:  en  1687  (p.  242 
du  T.  IX)  Huygens  dit  à  propos  d'un  ouvrage  sur  cette  musique  ne  pas  savoir  si  l'auteur  „est 
du  sentiment  de  Is.  Vossius  ou  du  contraire,  qui  est  aussi  le  mien,  c'est  a  dire  que  cette  anciene 
musique  estoit  très  peu  de  chose". 

'3*)  L.c.  p.  307.  Perrault  s'appuie  ici  sur  un  texte  d'Athenœus  d'après  lequel,  suivant  Perrault, 
Pindare,  écrivant  à  Héron  dit  que  la  Musique  chantée  par  un  enfant,  qui  joint  sa  voix  à  celle 
d'un  homme,  s'appelle  Magadis,  parce  qu'ils  chantent  ensemble  l'un  et  l'autre  un  même  chant 
selon  deux  modes.  Il  juge  que  „chanter  selon  deux  modes"  signifie  „chanter  à  la  tierce". 


iga  MUSIQUE. 


33.  Si  la  mandore'^O  ^^  femblablc  au  Pandoron  ancien  '^r)?  Barbitiis  ' 3»)  cft 
pris  pour  la  viole  par  les  modernes  a  ce  qui  me  femble  et  non  pas  pour  le  luth. 

38.0  Tcftudinis  aures  &c.  '39).  Il  me  femble  qu'Horace  dit  O  mufe  qui  jouez  du 
luth. 

44.  Qu'il  faut  quelque  chofe  de  plus  a  la  fculpture  que  d'imiter  fimplement  la 
nature  '+°).  Il  y  a  apparence  que  la  peinture  des  anciens  n'eftoit  pas  fi  peu  de  chofe, 
vu  les  raports  de  Pline  et  autres  '+'). 

49.  Je  ne  fcay  fi  on  peut  recevoir  cette  dilHnftion  entre  toucher  le  cœur  et  toucher 
l'esprit  '+=). 


ceci  d'après  une  remarque  d'Aristote  disant  que  les  consonances  oftave,  quinte  et  quarte  ne 
se  magadizent  point.  Il  est  évident  qu'il  ne  peut  être  question  d'une  lettre  à  Héron:  c'est 
d'une  ode  de  Pindare  dédiée  au  roi  Hiéron  de  Syracuse  (dont  un  fragment  a  été  conservé) 
qu'il  s'agit  („Pindari  Carmina",  éd.  W.  Christ,  Lipsia;  1896,  fragm.  1:5,  p.  40S).  Pindare  y 
parle  d'un  -^.aî.p;;  qu'il  appelle  m-ifhrjy/'.;.  D'après  Athénée  („Dipnosophistarum  Libri",  éd. 
Kaibel,  Leipzig.  1887,  Lib.  XIV,  635b;  éd.  citée  III,  401)  le  ■i.M.itk  est  identique  avec  la 

uxyiii;  laquelle  est  appelée  mzifâoyyo; Six  -0  (ftà  âiio  ys-jùiv  5.^3.  xai  Sik  rraawv  zytvj  rr.v 

Comparez  sur  la  remarque  de  Huygensau  sujet  de  la  tierce  dans  l'antiquité,  le  troifième  alinéa 
de  la  p.  1 14  qui  précède  où  nous  renvoyons  le  lecteur  à  un  Avertissement  antérieur. 

'j^)  L.c.  p.  309.  Perrault  parle  ici  du  „ieu  de  la  simple  Mandore,  dont  l'usage  est  aboli  depuis 
quelque  temps.  A  la  page  suivante  il  ajoute  que  la  Mandore  est  identique  avec  le  pandoron 
mentionné  par  Athénée.  Or,  Athénée  mentionne  un  instrument  -à-jDovoo;  (c'est  sans  doute  de 
celui-ci  que  Perrault  entend  parler)  au  liv.  IV,  i-6b  et  i83f  (éd.  citée,  395  et  401). 

'38)  L.c.  p.  306:  „Athenée  dit  que  le  Magadis  étoit  le  même  que  le  Barbiton  et  le  Pectis;  et  il  y  a 
apparence  que  c'est  pour  cette  raison  que  les  Modernes  appellent  notre  Luth  Barbiton".  La 
citation  n'est  pas  tout-à-fait  exafte:  Athénée  (IV,  1 82 f;  éd.  citée  I,  398)  applique  tant  au 
piopim  qu'à  la  uxyiii;  la  désignation  ip/a'ix,  mais  il  ne  dit  pas  que  ces  deux  instruments  sont 
identiques.  Ailleurs  (182  e,  éd.  citée  I,  398)  il  dit  que  la  ^xy-xii;  est,  comme  le  ,îà,o,îtTcv,  un 

'39)  L.c.  p.  312.  Horace,  Carmina  IV,  ode  3: 

O  testudinis  aurese 

Dulcem  qux  strepitum,  Pieri,  temperas. 

Traduction  de  Perrault:  „Ce  sont  vous  mes  Vers  qui  faites  que  le  son  de  ma  Lyre  a  quelque 

chose  d'agréable". 
'•'°)  L.c.  p.  314.  Perrault  dit  qu'il  n'est  pas  permis  de  conclure  de  l'excellence  de  la  sculpture  des 

anciens  à  celle  de  leur  peinture.  „La  raison  de  cela  est,  qu'un  Sculpteur  n'est  à  l'égard  de  la 

nature  qu'il  imite,  que  ce  qu'un  Peintre  copiste  est  à  l'égard  d'un  tableau  qu'il  copie". 
'■»')  Pline  parle  de  la  peinture  grecque  dans  le  Lib.  35  de  son  „Historia  Naturalis"  (Caji  Plinii 

Secundi  Historiœ  Naturalis  Libri  XXXVII  exrec.  J.  Harduini.  Biponti  1783). 
'■•*)  L.c.  p.  316:  „II  ne  faut  donc  pas  s'étonner  si  les  Musiciens  et  les  Peintres  de  l'Antiquité  fai- 

soient  de  si  grands  miracles  avec  si  peu  d'art,  puisqu'ils  ne  s'étudioient  qu'à  toucher  le  cœur 

et  à  contenter  les  sens;  ce  qui  est  bien  plus  aisé  que  de  satisfaire  l'esprit  ;  parce  que  le  cœur  peut 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  133 


Qu'il  eft  aflez  difputable  li  les  muficiens  modernes  avec  leur  contrepoint  figuré  ou 
l'on  prononce  des  paroles  différentes  en  mcfme  temps,  font  dans  le  bon  chemin. 

§  9  '+^).  Andr.  Werckmeister  '++)  (3rganifl:  zu  Quedlinburg  (en  marge:  author  ine- 
ruditus  ac  parvi  prctij)  improbat  Tempcramentum  optimum  quo  quinta;  diminuuntur 
^  commatis  '+').  Errât  autem  in  co  quod  ab  omnibus  chordis  tam  diatonicis  quam 
chromuticis  putat  diapentc  lurfum  polhiluri  in  hoc  Tempcramento  '■*").  Incipit  cnim 

ab  V,  S,  et  procedit  ad  S,  R;  R,L;  L,M;  M,Z;  Z,F^;  F^  U^;  U*^  S^  ac  porro  ponit 

etiam  S*  d*  seu  S*'  e  ;  malè,  hoc  enim  nemo  ut  puto  (ic  ftatuit;  hinc  redè  pergit  per 

E'B  (feu  ut  ille  D  li);  B,f;  F,c.  lam  dicit  2  commatis  inveniri  gravius  hoc  c  quam 
ut  ad  C  imum  diapason  efficiat. 


aimer  Légalement  tous  les  objets,  et  même  quelquefois  plus  fortement  les  moins  aimables;  ce 
qui  n'arrive  pas  à  l'esprit,  qui  n'est  point  sujet  aux  aveuglemens  dont  le  cœur  est  capable,  et 
qui  n'estime  ordinairement  les  choses  qu'à  proportion  qu'elles  sont  estimables". 

•*3)  Portef.  „Musica",  f.  20. 

■'♦'*)  Andréas  Werckmeister  naquit  à  Beneckenstein  le  30  novembre  1645;  il  décéda  le  26  oftobre 
1706  à  Halberstadt  où  il  était  organiste  après  avoir  exercé  la  même  fonction  à  Hasselfelde  et 
à  Quedlinburg.  C'est  dans  cette  dernière  ville  qu'il  publia  l'ouvrage  qui  donna  lieu  aux  ob- 
servations de  Huygens.  En  voici  le  titre  complet: 

Musicalische  Temperatur,  Oder  deutlicher  und  warer  IVTatliematisclier  Unterricht  /  Wie  man 
durch  Anweisung  des  Monocliordi  Ein  Klavier  /  sonderlich  dieOrgel-Wercke  /  Positive,  Re- 
gale, Spinetten  /  und  dergleicheu  wol  temperiert  stimmenkunne/damit  nacli  heutiger  manier 
aile  Modi  ficti  in  einer  angenehm=  und  ertriiglichen  Harraonia  mogen  genommen  werden/ 
Mit  vorliergehender  Abliandlung  Von  dem  Vorzuge  /  Vollkommen=  und  vveniger  Vollkom- 
menbeit  der  Musicalischen  Zahlen  /  Proportionen  /  und  Consonantien,  Welche  bey  Einricli- 
tung  der  Temperatur  wohi  in  Acht  zu  nehraensind:  Benebst  einem  darzugeliôrig=  in  Kupffer 
vorgebildeten  deutlichen  und  vôlligem  IMonochordo  beschrieben/und  an  das  Tages=Liclu 
gegeben  durch  Andréas  Werckmeistern  /  Stiffts=  Hof=  Organisten  zu  Quedlinburg.  Franck- 
furt  und  Leipzig /In  Verlegung  Theori  Philippi  Calvisii,  Buch  =  Hândler  in  Quedlinburg/ 
ANNO  1691. 

Outre  celui-ci  plusieurs  autres  ouvrages  sortirent  de  sa  plume. 

'■•S)  Kapitel  i;  pag.  i. 

"•«)  Ibidem. 

■■•0  Kap.  17;  pag.  32. 

'■t^)  Gibelius  =  Otto  Gibel  naquit  en  1612  à  Borg  sur  Fehmarn,  devint  Kantor  à  Stadthagen  en 
1634,  ensuite  Kantor  à  Minden  en  1642,  puis  Refteur  d'une  école  dans  la  même  ville,  où  il 
décéda  en  1682.  Il  écrivit  e.a.  une  „Introdudio  music»  didafticœ"  (1640)  et  „Proportiones 
mathematico-musics"  (1666). 

'■")  Baryphonus,  nom  grec  de  Ileinrich  Pipegrop,  né  le  i/septembre  1581  à Wernigerode, décédé 


1 34  MUSIQUE. 


Vidctur  '•>•■)  cum alijsauthoribus (e  quibus  Gibclium  '+^),Barypiionum '+5')allcgat) 
optimum  tempcramemum  Ihtuere  hujusmodi  '  '°). 


3600 
G 

3456 
Cis 

3375 
Cis 

dur 

3240 
Dmol 

3200  3072  3000  2880 
D         Dis     Èmol      E 

2700 
F 

2592 
Fis  m 

2560 
Fis 

2400 
G 

2304 
Gis 

2250 
Am 

2160 
A 

2133^  2040'")  2025 
A  dur        As              B  m 

2000 
B 

1920 
H 

1800 
c 

ubi  D  auxiliare  apponitur  '5=). 

Intervallum  vero  Gis,  Dis,  ponitur  diapence'53^.  Hanc  vocat  unferer  Tempera- 
tur'5+)  et  in  monochordi  figura  primum  collocat  et  huic  tantumac  6^°  Tempera- 
mento  numéros  adfcribit.  fed  hic  nihil  temperatum. 


le  3  (13)  janvier  1655  à  Quedlinburg.  En  1606  il  devint  Subconreftor  etStadtkantoràQued- 
liiiburg.  Il  écrivit  une  „Isagoge  musica",  Magdebourg  1609. 
•5°)  La  division  du  monochordc  qui  suit  dans  le  texte  a  été  obtenue  comme  suit:  la  longueur  de 
la  corde  entière,  correspondent  au  ton  C,  étant  par  hypothèse  de  3600  unités,  l'auteur  déter- 
mine celle  de  l'oftave  c  en  prenant  la  moitié  de  3600;  celle  de  la  quinte  G  est  déterminée  par 

la  fraction  -,  de  la  quarte  F  par  -,  de  la  tierce  majeure  E  par^,  de  la  tierce  mineure  (E  mol, 
3  4  5 

c.à.d.  E  molle  =  Mi  bémol)  par  L  Ensuite  A  est  déduite  de  F  et  H  de  G  en  réduisant  à  ^  la 
longueur  de  la  corde  (tierce  majeure).  Werckmeister  observe  qu'on  peut  aussi  déduire  A  de 
C  et  H  de  D  en  prenant  les  -  de  la  longueur  de  la  corde  (sixte  majeure).  Cependant  D  elle- 
même  n'est  pas  encore  déterminée.  C'est  sans  doute  à  cette  circonstance  que  Huygens  fait 
allusion  en  disant:  ubi  D  auxiliare  apponitur.  On  peut  cependant  remarquer  qu'à  la  p.  35 

o 

Werckmeister  donne  pourtant  une  détermination  directe  de  D  en  prenant  les  -  de  la  longueur 

de  la  corde  de  C.  Ensuite  Werckmeister  trouve  Fis,  Gis,  Cis,  Dis,  Ais  comme  tierces  majeures 
supérieures  respectivement  de  D,  E,  A,  H  et  Fis  (éventuellement  avec  réduction  d'octave). 
B  mol  étant  déterminée  comme  octave  de  la  quinte  inférieure  (ou  comme  quarte)  de  F,  Cis 
dur  (durum)  s'en  déduit  comme  étant  la  tierce  mineure  et  D  mol  comme  étant  la  tierce  ma- 
jeure de  B  mol,  tandis  que  Fis  mol  est  la  tierce  majeure  de  D  mol,  A  mol  la  tierce  mineure  de 
F,  A  dur  la  tierce  mineure  de  Fis  et  enfin  B  celle  de  G. 

'5')  Lisez  2048  et  Ais, 

'5^)  Voyez  la  note  150. 

'53)  D'après  la  méthode  de  Werckmeister  tel  est  en  effet  le  cas. 

'54)  Werckmeister  prend  „Temperatur"dans  le  sens  de  „Divisio  Monochordi",  donc  dans  celui  de 
détermination  de  rapports  mathématiques  correspondant  aux  intervalles.  Huygens  fait  pro- 
bablement allusion  ici  à  un  endroit  de  la  p.  51  :  „Dieses  ist  also  die  Vorst;llung  aller  Propor- 
tionen  und  Intervallurum,  so  weit  in  unserer  Temperatur  operiret  wird". 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  135 


Hoc  efl:  ipfius  temperamcntum  ''5)  1:132  ''*). 

4:3  4:3 

196      186      176      165       156      147      139      131  124      117      110      104 

C       Gis        D       Dis        E         F        Fis        G  Gis       A         B         H 

98        93        88        82i        78        731  ■5.-)        694  651 -58) 

c         cis         d          dis          e           f                  fis  g 


'55)  C'est  dans  les  Kapitels  26  et  27  que  Werckmeister  fait  connaître  ses  propositions  à  lui  sur  la 
Teniperntur:  (26)  „Nocli  eine  sonderliclic  Art  eincr  Temperatur  durch  den  Scptenarium,  so 
mit  dcr  WeitliiufFtigkeit  der  commatum  niclits  zu  thun  liât";  (27)  ,,1'rocess  dcr  Temperatur 
ex  Septenario  zweyerley  Arten".  ()n  voit  que  l'un  et  l'autre  système  reposent  sur  leSeptena- 
rius,  c.à.d.  sur  les  propriétés  du  nombre  7.  Suivant  celui  des  systèmes  dont  parle  Huygens  la 
longueur  de  la  corde  (monochorde)  est  divisée  en  7.  4196  parties  (p.  72  du  livre).  Werclc- 
nieister  n'indique  d'ailleurs  pas  comment  il  a  obtenu  les  diverses  longueurs  qu'il  donne  en  cet 
endroit.  Pour  faire  voir  dans  quelle  mesure  cette  Temperatur  se  rapproche  du  système  de  la 
gamme  tempérée  uniformément  (dite  „gamme  tempérée")  —  laquelle  est  souvent  attribuée 
à  Werckmeister  —  nous  calculons  ici  en  Cents  la  valeur  des  différents  intervalles  (voyez  sur 
les  Cents  la  note  16  de  la  p.  146  qui  suit,  faisant  partie  de  l'Avertissement  du  «(nouveau) 
Cycle  Harmonique"). 

Intervalles  de  la  corde  C  suivant  le  système 
de  Werckmeister  de  la  gamme  tempérée 

Cis  90,66  100 

D  186,33  200 

Dis  298,07  300 

E  395,17  400 

F  498,04  500 

Fis  594,92  600 

G  697,54  700 

Gis  792,62  800 

A  899,41  900 

B  1000,02  1000 

1 1  1 097, 12  1 1 00 

c  1200  1200 

'5")  Ce  nombre  indique  apparemment  que  l'intervalle  E — A  s'écarte  de de  la  quarte.  En 

a-    i"6       4   132 
effet  ^—  =  " .  -^—. 
131        3    131 
'5')  Huygens  a  mis  ici  le  nombre  juste  au  lieu  du  nombre  erroné  (72)  de  Werckmeister.  Mais  dans 

la  planche  vis-à-vis  de  la  p.  38  du  livre  on  trouve  la  vraie  valeur  73^. 
'5^)  Le  reste  de  la  page  de  Huygens  est  recouvert  par  des  calculs  brouillonnes  servant  à  vérifier 

les  grandeurs  des  intervalles.  Pour  l'intervalle  re  —  sa  (D  — Bes)il  trouve^;  pour   dis  —  sa 


136 


MUSIQUE. 


§  10  '").  Thomas  Salmon  '<'°)  (mag.  art.  in  Colleg.  Trin.  Oxon.  impr.  1 672)  An 
Effay  to  the  avancement  ofraufick  ""). 

l)i)cet  abfque  clavibus  vel  potius  iinica  mullcam  omnem  commode  fcribi,  in  quin- 
qiic  lincis  quariim  intima  femper  lit  locus  foni  G  l'eu  fol  "^').  Idemque  vult  ficri  in 
iingulis  partibiis  qiias  vocant  ut  BalTo  Tenorc  Superio  "'^). 

Singulis  oftavam  fuam  tribuendo  per  diapa- 
Ibn  a  proximadiffercntemquaslitcra  préfixa 
difcriminat.  li  Baffi  diapalbn  notât.  T  tenoris 
(apud  illum  T  efl:  Trebble  feu  fupcrius),  C 
Cantus.  Tum  fi  longe  ultra  lineas  excurrant 

notœ  ad  altiorem  inferiorerave  diapalbn  reteruntur  pra;pofita  litera   ejus  partis 

indice,  fie 


proB  /gl 


^^^ 


ent 


quae  mutatio  percommoda  eil  quod  diftantia  per  diapafon  mutetur.  Hsec  meo  judicio 
non  contemnenda  efl:  inventio,  atque  eo  facilius  in  ufum  recipienda,  quod,  Clavis 
BafTi  ordinaria,  ijfdem  locis  fonos  fignet  atque  hîec  methodus  :  nec  non  et  fupremas 
partis  clavis  una,  ut  nihil  novi  addifcere  fit  necefie.  utilitas  autem  et  difi:entibus  mufi- 
cam  et  componentibus  conccntus  non  exigua  hinc  oritur. 


(Dis — Bes)  -;  pour  sol  —  re  (G  —  d)  3.88  2. 131  2,  desorteque  l'écart  par  rapportàlaquinte 

juste  est  de -—;IIuygens  observe:  „plus  quam  |  commatis  ha;c  diapente  déficit"; 

c'est  ce  qu'il  calcule  à  l'aide  de  logarithmes.  IVous  nous  abstenons  d'une  reprodu(Jtion  inté- 
grale de  ces  calculs. 

'5»)  Portef.  „Musica",  f.  34  v. 

'*°)  Thomas  Salmon  naquit  le  24  juin  1648  à  Hackney  et  fut  enterré  le  16  août  i-oôàMepsaloù 
il  était  refteur. 


MUSICOLOGUES  MODERNES.  I37 


'«')  Voici  le  titre  complet:  „An  Essay  to  the  Advancement  of  Miisick  by  Casting  away  the  Per 
plexity  of  Différent  Cliffs  and  Uniting  ail  sorts  of  Musick. 

Liite    \       l  Organ 

Viol    V       '  Harpsechord 

Violin  ]       (  Voice  &c. 
in  one  Universal  Charader".  By  Thomas  Salmon,  Master  of  Arts  of  Trinity  Collège  in  Oxford. 
Frustra  fit  per  plura,  quod  fieri  potest  per  pauciora.  London.  Printed  by  J.  Macock  and  are  to 
besold  by  John  Car  at  the  Middle-Temple-Gate.  1672. 
'*^)  La  forme  dans  laquelle  cette  proposition  est  formulée  dans  le  „;Musik-Lexikon"deRiemann 
(-,  jiimc  édition  par  A.  Einstein,  Berlin,  1929)  peut  induire  en  erreur.  On  y  lit:  „er  schlug  in 

dem  Essay  in  the  Advancement  of  Musick  (1672) als  etwas  neues  vor,  statt  der  Noten 

die  Buchstabennamen  der  Tone  auf  die  Linien  zu  schreiben "  Or,  la  proposition  de  Sal- 
mon consiste  en  ceci  qu'à  chaque  endroit  situé  à  la  même  hauteur  par  rapport  aux  lignes  pa- 
rallèles il  veut  toujours  faire  correspondre  la  même  lettre. 
•*3)  Nous  observons  encore  que  Salmon  se  sert  des  trois  lettres  T  (Trebble),  M  (Meanne)  et  B 
(Base). 

18 


VI. 

LE  (NOUVEAU)  CYCLE  HARMONIQUE. 


Avertiffement. 


L'étude  fur  le  Cycle  Harmonique  a  déjà  été  imprimée  dans  le  T.  X  ')  dans  la  forme 
que  Huygens  lui  donna  en  1 69 1 ,  bien  longtemps  après  avoir  fait  les  calculs  -),  favoir 
celle  d'une  lettre  à  l'éditeur  3)  de  1'  „Hiftoire  des  Ouvrages  des  Sçavans"  *).  La 
tradu(5lion  latine  de  cette  publication  de  1691  dans  les  „Opera  Varia"  ')  de  1724 
porte  le  nom  „Novus  Cyclus  Hannonicus". 

Dans  la  1.  19  de  la  p.  168  de  la  Pièce  qui  conlHtue  notre  Appendice  I  Huygens 
parle  lui-même  des  „nombres  du  nouveau  [nous  foulignons]  tempérament,  l'oétave 
en  3 1  parties  égales".  En  effet,  plus  loin  dans  la  même  Pièce  il  écrit: 

„Que  fans  doute  les  divifions  de  3  a  2,  4  a  3,  5  a  4,  6  a  5  donnent  les  confonances 
les  meilleures  qu'elles  puiffent  eftre.  contre  Stevin  [nous  confidérons  cette  première 
fentence  plus  loin].  L'oélave  en  31  parties  que  donne  Merfenne  prop.  10  des  Genres 


•)  P.  169-174- 

°)  La  Pièce  A  qui  suit  doit  dater  de  1661;  en  effet,  Huygens  écrivait  le  i  août  1661  (p.  12  qui 

précède)  avoir  trouvé  que  dans  la  musique  „les  logarithmes  sont  de  grand  usage",  ce  qui  ne 

s'applique  pas  aux  Pièces  de  1661  sur  la  Division  du  Monochorde  dans  lesquelles  il  n'est  pas 

fait  usage  de  logarithmes. 
5)  Basnage  de  Beauval. 
*)  Voyez  sur  ce  périodique  la  note  11  de  la  p.  83  du  T.X  qui  mentionne  aussi  une  nouvelle 

édition  de  1721. 
5)P.-47--54. 


'4- 


AVERTISSKIMENT. 


de  mufiqiie  n'cft  pas  la  noftre.  et  ne  foni [es parties  auctmement  égales  [nous  foulig- 
nons]".  Il  pouvait  donc  fore  bien,  en  écrivant  cette  page,  programme  de  la  Pièce  £, 
confidcrer  comme  nouvelle  la  divifion  en  3 1  parties  égales. 

Tl  parle  autrement  fur  Merfennc  dans  la  fuite.  Dans  le  §  2  de  la  Pièce  E  il  écrit: 
„je  veux  icy  aller  au  devant  de  ce  que  me  pourroient  objefter  ceux  qui  ont  lu  les 
livres  de  Salinas  ou  du  Pcrc  Merfenne,  a  fcavoir  qu'il  y  cil:  parle  bien  exprelTeraent 
de  cette  mefme  di\'ifion  de  Toftave  en  3 1  parties  égales.  Ce  qui  ejl  vray  et  je  l'avoue 
volontiers  [nous  ibulignons]". 

Or,  les  nombres  donnés  par  Merfenne  au  lieu  cité  de  1'  „Harmonie  Univerfelle"  de 
1 636,  après  les  paroles  énigmatiques  „Ie  donne  néanmoins  [c.  à.  d.  fans  l'approuver] 
le  fysteme  qui  fupplee  les  défauts  de  celuy  de  Salinas,  afin  que  l'on  ayt  tout  ce  qui 
fe  peut  defirer  fur  ce  fujct:  or  il  y  a  32  notes,  ou  31  intervalles,  dont  on  voit  les  rai- 
fons  exprimées  par  les  nombres  qui  font  à  cofté  vis  a  vis  de  chaque  note,  mais  il  cftfi 
aifè  de  remarquer  ce  qu'il  a  de  plus  que  les  autres  qu'il  n'efl  pas  befoin  de  l'expliquer, 
joint  que  nous  en  parlons  plus  amplement  dans  le  liure  des  Orgues",  ces  nombres, 
difons-nous,  sont  les  suivants: 

i40oo[o] 
138240 

135000         f     32  nombres,  voyez  fur  eux 

129600  )     l'Appendice  II  à  la  p.  171 

qui  suit. 


72000  j 

Le  rapport  des  deux  premiers  nombres  eft  i  ,0 1 27;  celui  du  deuxième  et  du  troifième 
1,0240;  celui  du  troifième  et  du  quatrième  1,0417  etc.  Iluygens  avait  donc  pleine- 
ment raifon  en  écrivant  que  les  intervalles  de  Merfenne  ne  font  nullement  égaux  et 
il  a  eu  tort  d'avouer  un  peu  plus  tard  le  contraire.  Nous  ajoutons  que  les  différences 
des  rapports  paraiffcnt  beaucoup  trop  grandes  pour  que  nous  puifllons  croire  que 
Merfenne  ait  eu  au  moins  Vintention  de  les  rendre  égaux.  Quant  à  Salinas  (dont  Mer- 
fenne dit  corriger  les  défauts)  il  écrit  e.  a.  *):  „non  inficiamur,  Tonum  atque  omne 


*)  „Musica",  Live  III,  chap  27. 


AVERTISSEMENT.  1 4  3 


inccrualluni  in  quinquc  partes,  &plurcs£equèproportionalesdiuidipo(reGeometricè, 
fed  eas  elTc  Diefes,  prorfus  neganius".  Voyez  la  p.  112  qui  précède,  avec  la  note  5. 
Chez  Salinas  il  eft  donc  nianifeftcment  queilion  de  fériés  d'intervalles  égaux,  mais, 
comme  robfcrvc  Hiiygcns,  iculenicnt  pour  les  défapprouver. 

Or,  dans  la  Pièce  F,  c.  à.  d.  dans  le  „Cyclc  Harmonique"  de  1 69 1 , 1  luygens  écrit, 
comme  auparavant  dans  la  Pièce  A":  „Salinas  fait  mention  de  cette  invention  de 
divifer  l'Oétave  en  31  parties  égales,  mais  ce  n'efi:  que  pour  la  condammer;  &  le  P. 
Merfenne  après  luy  la  rejette  de  même,  d'où  l'on  pourra  bien  me  croire,  fi  je  dis  que 
ce  n'eft  pas  de  ces  Autheurs  que  je  l'ay  prife".  Dans  l'une  et  l'autre  Pièce  Huygens 
parle  de  fon  „fiotiveûii  fyllème". 

La  raifon  donnée  par  I  luygens  pour  nous  faire  croire  „quc  ce  n'efl  pas  de  ces 
Autheurs"  qu'il  a  pris  la  divifion  en  31  intervalles  nous  parait  faible.  Ce  qui  ell  par- 
faitement croyable  à  notre  avis  —  et  tel  peut  être  le  véritable  fens  de  la  phrafe  — 
c'efl:  que  ce  ne  foient  pas  ces  auteurs  feuls  qui  lui  aient  donné  l'idée  de  fa  -EpizLcJ.wa-iç-. 
En  effet,  dans  la  Pièce  qui  conllitue  notre  Appendice  I  il  mentionne  aufli  Stevin; 
nous  avons  cité  plus  haut  l'alinéa  qui  contient  ce  nom,  lequel  eil  immédiatement  fuivi 
par  celui  où  Huygens  dit  que  les  3 1  intervalles  de  Merfenne  ne  font  nullement  égaux. 
D'autre  part,  nous  l'avons  cxpofé  dans  la  note  9  de  la  p.  32,  Merfenne  favait  tout 
auHi  bien  que  Huygens  que  chez  Stevin  il  eft  queftion  de  douze  intervalles  égaux,  et 
les  rapports  des  treize  nombres  de  Beaugrand  donnés  par  Merfenne  pour  les  expri- 
mer font  en  effet  (à  fort  peu  près)  égaux;  cette  circonitance  met  encore  plus  en  relief 
l'inégalité  des  3 1  rapports  dont  il  efl:  queftion  plus  haut.  Nous  avons  vu  (p.  2-)  que 
Huygens  défapprouve,  tout  aufll  bien  que  Defcartes,  la  divifion  en  1 2  de  Stevin,  qui 
d'ailleurs  chez  cet  auteur  n'eil:  pas  un  tempérament^  mais  eft  cenféecorrefpondre  à  la 
nature  des  chofes.  N'y  a-t-il  donc  pas  lieu,  tout  bien  confidéré,  de  foupçonner  que  le 
tempérament  de  Huygens,  son  nouveau  [mot  de  Huygens]  cycle  harmonique,  pro- 
vient de  l'ancien  cycle  de  Stevin,  qu'il  connaiffait  fans  doute  depuis  fa  jeunefTe,  cor- 
rigé par  l'augmentation  du  nombre  des  intervalles?  De  cette  façon  l'avantage  de  la 
■Kzrjv/.ii-KiMtsiç  était  confervé,  ians  que  les  écarts  des  tons  avec  ceux  du  tempérament 
ordinaire  (le  tempérament  du  ton  moyen,  que  Huygens  appelle  le  tempérament  véri- 
table '')  fufl'ent  trop  grands. 


^)  Voyez  la  1.  i  de  la  p.  1 16  qui  précède. 


144  AVERTISSEMENT. 


Tout-le-monde  fait,  et  nous  l'avons  déjà  dit  plus  haut,  que  c'eft  le  fyftème  de 
Stcvin  (ou  d'Arirtoxène)  qui  a  triomphé,  du  moins  jufqu'aujourd'hui  ').  Mais  celui 
de  Huygens  ell  fans  doute  plus  exaét. 


Nous  ajoutons  encore  la  remarque  hiftorique  qu'on  trouve  déjà  chez  Vicen- 
tino  ^},  que  Huygens  ne  mentionne  pas,  la  propofition  de  divifer  l'oftave  en  31 
intervalles  égaux,  dont  cinq  formeraient  un  ton  entier  et  trois  un  demiton  majeur. 
D'autre  part  la  divifion  d'un  ton  en  cinq  „dièfes"  fe  trouve  déjà  chez  Marchetto  de 
Padoue  •°). 

Confultez  fur  un  manufcrit  qui  nous  eft  reflé  inconnu  et  qui  a  pu  avoir  une  cer- 
taine influence  fur  Muygens  la  note  1 1  de  la  p.  46  qui  précède. 

Voyez  aufTi  la  fin  de  la  note  2 1  de  la  p.  1 60  qui  suit. 


Chez  Huygens  le  (yftème  prend  un  nouvel  afpedt  à  deux  égards.  D'abord  il  efl:  en 
état  d'indiquer  fort  exactement  les  longueurs  des  cordes  correfpondant  aux  différents 


')  Ici  nous  exagérons  légèrement.  „Tout-le-monde"  sait  que  le  système  de  la  gamme  tempérée,  à 
12  intervalles  égaux,  a  triomphé;  mais  il  n'est  pas  généralement  connu  que  Stevin  a  préconisé 
le  système  des  1 2  intervalles  égaux  au  début  du  dix-septième  siècle  et  que  c'est  à  lui  que  Mersenne, 
dans  r  „IIarmonie  Universelle",  l'attribue  en  premier  lieu  (p.  33  qui  précède).  James  Jeans 
(„Science  and  iMusic",Cambridge,  Univ.  Press,  i938,p.i75)écrit:„Allsemitonesarenowequal 
and  . . .  each  represents  precisely  the  samc  frequency  ratio  1,0587  .  . .  thèse  frequency  ratios 
had  been  corrcctly  calculated  by  the  French  mathematician  ÏMcrsenne  [voyez  cependant  ce 
que  nous  disons  à  la  p.  34  qui  précède  sur  Beaugrand,  Boulliau  et  Galle],  and  published  in  his 
Harmonie  Universelle  as  far  back  as  1636".  J.  P.  N.  Land  écrit  („Het  toonstelsel  van  Chr. 
Huygens",  i89i,p.  i98):„î\Tetname\vilde  de  praktijk,  dat  men  de  toonladder,  zonder  op  een 
instrument  met  vaste  tonen  (klavier  of  orgcl)alteveel  toetsenin  te  voegen,opelkharereigene 
trappen  zou  kunnen  transponeren.  Sedert  J.  Seb.  Bach  is  dit,  naar  men  weet,  bereikt  door  de 
verdeeling  der  octaaf  in  twaalf  gelijke  halve  tonen,  waarvoor  men  de  berekening  heeft 
gemaakt". 
')  Nicola  Vicentino,  né  en  151 1  à  Vicenza,  décédé  à  Rome  en  1572,  compositeur  et  théoricien, 
tâcha  de  faire  revivre  les  systèmes  chromatique  et  enharmonique  des  Anciens.  Il  traite  ce  sujet 
dans  son  ouvrage  „L'antica  musica  ridotta  alla  moderna  prattica",  Rome  1 555.  Comparez 
K.W.J.H.Riemann,„Geschichteder  Musiktheoric  im  IX— XIX  Jahrhundert",  Leipzig,  i8p8, 
P.35H- 

'°)  Marchetto  de  Padoue,  théoricien,  florissait  vers  1300.  Comparez  Riemann,  1.  c.  p.  136. 

")  Voyez  les  notes  4,  5  et  6  des  p.  171  et  172  qui  suivent. 


AVERTISSEMENT.  I45 


tons,  puisqu'il  fe  fert,  lui  le  premier,  paraît-il,  du  calcul  des  logarithmes  ");  défor- 
mais, la  vraie  mefure  d'un  intervalle  devient  le  logarithme  du  rapport  correfpondant  : 
comparez  le  premier  Avertiflcment  du  préfent  Tome  et  la  lettre  de  Huygcns  à  Moray 
de  1661  '-).  En  iccond  lieu  il  démontre  que  le  fyftcme  des  31  tons  ainli  définis 
diffère  (i  peu  de  celui  du  ton  moyen  que  les  deux  peuvent  être  confiderés  comme 
pallublemcnt  identiques:  partant  le  lyllcmc  du  ton  moyen  acquiert  pour  ainfi  dire 
un  nouveau  fondement  mathématique. 

Nous  publions  ici  (Pièce  Z))  un  fragment  inédit  d'un  projet  de  lettreàBafnagede 
Beauval'^);  (Pièce  E)  une  rédadion  française  du  Cycle  Hannoniquc  —  d'ailleurs 
fragmentaire  elle  aufiî:  elle  fe  temiine  par  une  phrafe  inachevée  —  antérieure  à  celle 
(Pièce  F^  qui  parut  en  oétobre  1691  ;  (Pièce  A')  la  „Divifio  oétavœ  in  3 1  intervalla 
aequalia"  datant  fans  doute  déjà  de  1 66 1  puifque  le  revers  de  la  feuille  contient  la  nou- 
velle méthode '+)  de  cette  année  du  calcul  des  logarithmes  (dont  Huygcns  fit  part  à 
l'Académie  des  Sciences  de  Paris  en  1 666  ou  1 667,  voir  plus  loin  dans  le  préfent 
Tome);  enfin  une  table  (Pièce  B')  mentionnée  et  partiellement  reproduite  dans 
l'article  de  1891  „Het  toonstelsel  van  Christiaan  Huygens"  de  Land  "');  un  com- 
mentaire fur  une  autre  table  (Pièce  C),  quelques  notes  (Pièce  G)  et  l'important 
Appendice  I  mentionné  plus  haut.  Voyez  sur  l'Appendice  II  la  p.  1 42. 

Notons  encore  que  les  claviers  mobiles  que  Huygcns  fit  conllruirc  à  Paris  paraif- 
fent  être  de  1669:  voyez  la  note  2  2  de  la  p.  1 6  i.Confultcz  fur  un  clavier  mobile  dont 
Huygens  entendit  parler  en  1663  le  deuxième  alinéa  de  la  note  2  de  la  p.  154. 

Pour  teraiiner  nous  donnons  ici  une  table  des  intervalles  que  fonnent  avec  la 
tonique  C  les  différents  tons  de  la  gamme  chromatique  refpeéHvement  fuivant  le 
fyftème  de  Huygens,  fui\'ant  celui  du  ton  moyen  et  fuivant  celui  du  tempérament 
uniforme  ou  divifion  de  la  gamme  en  1 2  intervalles  égaux.  Nous  exprimons  les  inter- 


'-)P.  7  et  12  qui  prticèdent.  F.  J.  Fc-tis,  „Biographie  universelle  des  musiciens"  (2''"'  édition, 
Paris  1864,  T,  VI  s.  v.  Neidliardt),  émetwit  l'iiypothèse  quej.  G.  Neidliardt  dans  son  ouvrage 
„Sectio  canonis  harmonici,  zur  voelligen  Riclitigkeit  der  Generum  modulandi",  Kônigsberg, 
1724,  aurait  été  le  premier  à  appliquer  les  logarithmes  dans  la  théorie  de  la  musique.  Riemann, 
„Musik-Lexikon",  9''""=  éd.  Leipzig,  1919  (de  même  Riemann — Einstein  „Musik-Le.\ikon", 
iiiême  (:j_  Berlin,  1929  s.v.  Logarithmen).  ne  connaît  pas  d'application  de  logarithmes  à  la 
musique  avant  L.  Euler.  Comparez  la  p.  7  qui  précède  (note  10). 

'3)  Comparez  la  note  3  de  la  p.  141. 

'•*)  Comparez  la  fin  de  la  Pièce  II  à  la  p.  12  qui  précède. 

'5)  Mentionné  dans  la  note  4  de  la  p.  44  qui  précède. 

19 


146  AVERTISSEMENT. 


valles  en  Cents  '*)  et  en  outre  en  dièfes  dans  le  cas  du  fyftème  de  Huygens.  Les  dif- 
férences de  grandeur  des  intervalles  du  fyllcme  de  Huygens  et  de  ceux  du  fyftèrae  du 
ton  moyen  font  indiquées  en  Cents  et  audl  en  fractions  du  comma  fyntonique. 


\ 


100 


I 


300 


Intervalles  avec  C.  d'après  le  fyi^ème 

de  Huygens  du  ton  moyen''')  différence  ^mcntélal 

,.,  /-,  r^  ^          en  fraftions 

en  dièses  en  Cents  en  Cents  en  Cents 

de  comma 

Cis                  2  77,42  76,06  1,36           1/16 

Des                 3  116,13 

U                   5  193.55  i93'i5  0.40          1/54            -00 

Dis                 7  270,97 

Es                  8  309,68  310,28  — 0,60      — 1/36 

E                  10  387,10  386,31  0,79          1/27            400 

F                  13  503.23  503.44  —0,21      — 1/102          500 

Fis                15  580,65  579,48  1,17           1/18             600 

G                  18  6<)6^-j^  696,58  0,20          1/108           700 

Gis               20  774.20  772,63  1,57           ï/i4     ( 

As                 21  802,91  \ 

A                  23  890,33  889,73  0,60           1/36            900 

Ais       25  967,74  { 

Bes      26  1006,45  1006,80  — 0,35   — 1/61  S 

B       28  1083,87  1082,90  0,97    1/22    1100 

C       31  1200.  1200.  1200 


800 


1000 


'*)  Le  nombre  de  Centscorrepondant  âl'intervalle  de  deux  tons  donnés  par  des  cordes  de  longueurs 
respectives  ;;;  et  «  (où  nous  supposons  m  <[  h),  en  d'autres  termes,  celui  de  deux  tons  dont  les 


n 


fréquences  des  vibrations  sont  dans  le  rapport  n:w,  est  le  logarithme  de  la  fraftion  —  pour  la 

"°^—  1200  log." 

base  V  2.  On  calcule  donc  le  nombre  de  Cents  d'après  la  formule -.  L'octave  vaut 

log.  2 

évidemment  1200  Cents;  la  dièse  de  Huygens  en  comprend =  38,71  ;  et  le  comma  syn- 

toniquc  21,5. 
'7)  Le  calcul  a  été  exécuté  par  l'application  de  la  formule  de  la  note  16  aux  valeurs  de  la  table  du 
„(IS'ouveau)  Cycle  Harmonique"  dressée  par  Huygens. 


A.     DIVISIO  OCTAVAE  IN  31  INTERVALLA  AEQUALIA') 

[  1 66 1  ]  (pcr  logarichmos) 


1676.  bon.  Public  dans  les  Ouvrages  des  Scavants  ^)  de  Mr.  Beauval,  au  mois  de 
Dec.  1691  3). 

Diffcrencia  logarithniorum  1 00000  et  50000  dividitur  per  31  quia  inter  chordas 
partium  1 00000  et  50000  quœrimus  médias  proportionalcs  30  ut  fiant  intcrvalla 
31  squalia. 

Quotiens  97106450  additus  continué  ad  logarithmum  numeri  50000,  dabit  loga- 
rithmes omnium  chordarum  intermediarum  inter  eam  qux'  partium  50000  et  maxi- 
mam  partium  1 00000. 

diff.'  log.'  1 00000  et  log.'  50000.  quinta  minor  est  verâ  j — 7^  com- 

5,0000000000  matis.  tantundcm  quarta  exupcrat. 

4,6989700043  tertia  major  excedit  veram^^  com- 


0,3010299957  matis.  tertia  minor  déficit  7  +  ^ 

qui  eft  log.  2,  qucm  ex  cap.  7  log.""""  commatis*). 

Vlacquiiaccerfivi+).  5,0000000000  log. 

31/30102999566/971064502')  97106450 

4,9902893550  0 


I 00000 


')  Portefeuille  „Musica",  f.  1 1.  Les  remarques  initiales,  datées  de  1676  et  de  1 691,  ont  évidem- 
ment été  ajoutées  plus  tard.  Comparez  la  note  3. 

-)  Ou  plutôt  «Histoire  des  Ouvrages  des  Sçavans". 

3)  D'après  la  note  i  de  la  p.  169  du  T.  X  ce  fut  dans  le  fascicule  d'octobre;  celui-ci  parut  deux 
mois  plus  tard. 

■t)  Voyez  sur  cet  ouvrage  la  note  i  de  la  p.  478  du  T.  XIV. 

5)  Nous  indiquons  ainsi  la  division  de  Huygens  de  30102999566  par  31. 

*)  Comparez  le  §  3  de  la  Pièce  E  sur  le  „Cycle  Harmonique"  qui  suit  (p.  158),  où  sont  indiquées 

les  différences  suivantes  par  rapport  aux  intervalles  du  système  usuel;  pour  la  quinte  — —  comma 

(excès),  pour  la  tierce  mineure  —  comma  (défaut),  pour  la  tierce  majeure  -^  comma  (excès). 

^)  La  tablequi  suit  contient  les  colonnes  I,  II,  III,  V  et  IV  de  celle  de  la  «Lettre  touchant  le  Cycle 
Harmonique"  (Pièce  F.  qui  suit  ou  plutôt  T.  X,  p.  173).  Seulement  dans  la  table  du  texte 
toutes  les  unités  de  la  dixième  décimale  des  logaritVimes  qui  forment  la  colonne  I  sont  plus 

grandes  de  six  unités.  Dans  celle  de  la  „Lettre"  Huygens  prendra  —  log  2  =  0,0097106450 


148 


MUSIQUE. 


971064502 

N 

fcripfi  9  pro  3'),  ad- 

4,6989700049  ")  log.  50000 

V 

50000 

C 

dito  6  quod  proventu- 

4,7086806499 

51131 

rum  erat  ex  2  fibiaddito 

r\ 

0 

31". 

4,7183912949 

52287 

B^ 

4,7281019399 

53469 

C 

53499 

4,7378125849 

54678 

4,7475232299 

55914 

559017 

B 

4.757^-32^749 

57179 

à 

57243 

A'') 

4,7669445199 

58471 

4,7766551649 

59794 

L 

59814 

A 

4,7863658099 

61 146 

L- 

4,7960764549 

62528 

^ 

62500 

A^) 

4,8057870999 

63942 

64000 

G^ 

4,8154977449 

65388 

4,8252083899 

66S66 

S 

66874 

G 

4,8349190349 

68378 

4,8446296799 

69924 

^ 

69879 

^ 

4,8543403249 

71506 

71554 

FI 

4,8640509699 

73122 

4,8737616149 

74776 

F 

74767 

F 

4,8834722599 

76467 

4,8931329049 

78196 

4,9028935499 

79964 

M 

80000 

E 

4,9126041949 

81772 

M^ 

E^ 

4,9223148399 

83621 

83592 

4,9320254849 

85512 

* 

85599 

4,9417361299 

87445 

en  négligeant  les  ;  unités  de  la  ii'""'  décimale.  Puisque  le  nombre  trouvé  doit  être  ajouté  31 
fois  à  log.  50000,  la  somme  des  fautes  s'élève  alors  à  6  unités  de  la  10'""'  décimale.  C'est  pour- 
quoi dans  la  présente  table  Huygens  ajoute  ces  6  unités  au  premier  terme  de  la  série. 

*)  La  présente  Ais  n'a  dans  la  „Lettre"  d'autre  nom  que  celui  de  corde  enharmonique. 

5*)  Note  dépourvue  de  nom  dans  la  «Lettre". 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE 


149 


4,9514467749 

89422 

R 

89443 

D 

4,9611574199 

91444 

4,9708680649 

935  •  2 

> 

63459 

D^ 

4,9805787099 

95627 

V^ 

95702 

C^ 

4,9902893549 

977'^9 

^^9999999999 

1 00000 

V 

I 00000 

C 

En  marge  au  crayon  :  V[oyez]  Merfcnni  traite  des  Confonances  et  DilTonances 
p.  117'°). 


B.     TABLE  INTITULEE 
,DIVISION  DE  L'OCTAVE  EN  31   PARTIES  EGALES"') 


Divifion  en  parties  égales 

50000 

51131 

52287 

53469 
54678 
55914 
57179 
58471 
59794 
61 146 
62528 


Divifion  fuivant  le  tempérament  ordinaire 
V*)  50000 


<-  53499 

L  59814 

*  62500 


")  Ceci  se  rapporteaux„Traitez"citése.a.dansla  noteds  delap.  120  qui  précède.  Livre  II.  Des  Dis- 
sonances. Prop.  II.  «Expliquer  tous  les  Demitons,  et  les  Dièses  dont  on  se  sert  dans  la  Musique 
considérée  en  sa  plus  grande  perfection".  Mersenne  y  traite  des  observations  de  Salinas  („De 
Musica",  Lib.  III,  cap.  27)  sur  rArcliicymbalum  dont  il  sera  question  à  la  p.  157  qui  suit. 

'•)  Portefeuille  „I\Iusica",  f.  4.  La  table  a  été  mentionnée,  et  les  dernières  lignes  ont  été  publiées 
en  1891  par  J.  P.  N.  Land,  comme  nous  l'avons  indiqué  dans  l'Avertissement.  Comme  cette 
table  est  à  fort  peu  près  identique  avec  celle  de  la  Pièce  A  qui  précède  nous  l'aurions  omise 
si  nous  n'avions  voulu  tenir  compte  de  l'article  de  Land. 


l^O 


MLSIQUE. 


Divifion  en  parties  égales 

Divifion  fuivar 

S* 

S 

63942 
65388 
66S66 

68378 
69924 
71506 

^ 

73122 

74776 
76467 
78196 

."9964 

F 
M 

81772 
83621 

M> 

85512 

87445 
89422 

* 
R 

91444 

93512 
95627 
9778? 

c# 

1 00000 

V 

64000 


66874 


71554 


7^7<^7 


80000 

83592 
85599 

89443 

93459 

95702 

I 00000 


Dans  la  divifion  égale  les  quintes  font  moindres  que  les  parfaites  d'un  5-  —  yyô  de 
comma;  et  partant  un  peu  meilleures  que  dans  le  tempérament  ordinaire  ou  il  y  a  |- 
de  comma  entier.  Les  quartes  font  donc  plus  grandes  que  les  parfaites  d' ^  —  yig  de 
comma.  La  tierce  majeure  excède  la  parfaite  d'  ^^  de  comma.  La  tierce  mineure  eft 
trop  petite  à'  1  +  j-  de  comma. 


NOUVEAU  CYCLK  HARMONIQUE  1 5  I 

C.     COMMENTAIRE  SUR  UNE  TABLE')- 

La  2''"  colomnc  de  cette  table  ')  contient  les  nombres  qui  expriment  les  longueurs 
des  3 1  chordes  qui  t'ont  les  3 1  intervalles  égaux  fuivant  la  nouvelle  divilion,  la  chorde 
entière  elhmt  llippofee  de  100000  parties  et  par  eonlequent  sa  moitié,  qui  fait  l'oc- 
tave contre  elle  de  50000.  Ec  a  coftè  font  les  noms  des  tons,  qui  font  emploiez 
d'ordinaire  et  des  *  pour  quelques  chordes  enarmoniques,  dont  celle  auprès  du  sol^; 
ell  la  pJLis  necedaire. 

Ces  nombres  ont  edè  trouvez  par  ceux  de  la  1  "  colomne  qui  font  leur  logarithmes 
refpcctifs.  Et  pour  avoir  ceux  cy,j'ai  divifè  le  logarithme  de  2  qui  est  0,30102999566 
par  31,  d'où  elt  venu  le  nombre  N  97106450,  que  j'ay  adjoutè  continuellement  au 
logarithme  de  5oooo,qui  ell  4,6989700049.  D'où  font  procédez  tous  ces  logarithmes 
juiqu'au  plus  grand  4,9999999993,  qui  manquant  si  peu  de  5,0000000000,  fait  voir 
que  le  calcul  a  cile  bien  fait.  Ceux  qui  entendent  les  Logaritimies  scavent  qu'ilafalu 
faire  ainli  pour  avoir  les  30  nombres  proportionaux  entre  1 00000  et  50000. 

La  3'  colomne  comprend  les  longueurs  des  chordes  fuivant  le  Tempérament  ordi- 
naire"'), et  dans  la  4'  colomne  font  leurs  logarithmes;  qui  ont  eftè  trouvez  parles 
nombres  Algébriques  de  la  5"  et  6""  colomne.  Et  ceux  cy  par  lamethodequi  f'enfuit  +), 
et  qui  tait  voir  comment  ce  Tempérament  pourroit  avoir  eilè  trouvé  lors  qu'il  estoit 
encore  inconnu. 

J'ay  nomme  a  la  longueur  de  toute  la  chorde  dont  le  ton  foit  V't  d'où  la  moitié 
eiloit  ^û,  dont  le  ton  elt  marqué  Vt-.  Pour  la  longueur  de  la  chorde  sol  j'ay  mis  .v, 
m'imaginant  que  ce  fut  la  quinte  au  defTus  de  ut.  Et,  failànt  l'intervalle  de  sol  Re= 


')  Portefeuille  „l\Iusica",  f.  pr  et  v. 

-)  IVous  ne  possédons  pas  la  table  en  question.  Le  texte  fait  voir  qu'elle  doit  avoir  été  partielle- 
ment identique  avec  celle  du  „Cycle  Harmonique"  (la  présente  Pièce  F)  publiée  à  la  p.  173 
du  T.X:  les  colonnes  I  et  II  doivent  avoir  été  les  mêmes  à  cette  différence  prés  que  dans  la  table 
du  texte  les  noms  des  notes  formant  les  colonnes  III  et  IV  de  l'autre  table  faisaient  partie  de  la 
colonne  II.  Les  colonnes  III  et  IV  de  la  table  du  texte  correspondaient  donc  aux  colonnes  V 
et  VI  (voyez  sur  cette  dernière  les  corrections  de  Huygens  de  la  p.  240  du  T.X.)  de  l'autre. 
Quant  aux  colonnes  V  et  VI,  elles  étaient  apparemment  identiques  avec  les  deux  premières 
colonnes  de  la  Pièce  C.  „Divisio  Monocliordi  II"  (p.  57  qui  précède),  du  moins  en  ce  qui  se 
rapporte  à  l'intervalle  Ut-Ut^,  et  à  cette  différence  près  que  la  table  du  texte  ne  donnait  pas 

i  ^5 

les  longueurs  des  cordes  enharmoniques  entre  C^et  D,  entre  D  et  E',  entre  G    et  A  et  entre 

A  et  B  (c.  à.  d.  Bes). 
3)  C'est  du  système  du  ton  moyen  que  Huygens  entend  parler.  Comparez  la  note  14  de  la  p.  158. 
♦)  Consultez  la  Pièce  B.  Divisio  Monochordi  I. 


I  5  2  MUSIQl-E. 

XX 

derechef  d'une  quinte  il  faloit  que  comme  a  à  x  ainii  fut  .r  à  —  longueur  de  la  chorde 
Re*.  Et  de  cellccy  roccavc  en  bas,  scavoîr  Re  dévoie  estre ;cc  d'icy  montant 

O.X^ 

derechef  d'une  quinte  en  La,  sa  longueur  devoit  estre ,  parce  que  comme  ^  à  .r 

ainfi  ^^^^  a  ^^^.  Et  montant  encore  d  une  quinte  en  Mi%  elle  eiloit^^et  fonoftave 

en  bas  Mi,  ^^ 

Or  je  fcavois  que  l'intervalle  de  Ut,  La  devoit  faire  la  Texte  majeure,  et  qu'on 
rcmploioit  pour  tel.  ÎNIais  en  pofant  les  quintes  juilics  félon  la  proportion  de  la  3  à  2, 

c'eft  a  dire  en  faifant  .v  do  4^,  on  a  voit  ^^^—  zo  — a.  Donc  la  proportion  àc  a  k  — a 

3  '  aa      17  27 

devoit  eftre  comme  de  5  a  3  qui  est  celle  de  la  fexte  majeure,  ce  qui  n'est  point,  car 

la  raison  de  ^  à  — a^  ou  bien  la  raison  de  27  a  1 6,  excède  celle  de  5  à  3  de  la  raifon 

de  81  à  80,  qu'on  appelle  le  Comma,  donc  en  voulant  que  les  quintes  foient  juftes, 
la  fexte  majeure  surpaflbit  la  vraye  d'un  comma  entier,  ce  que  Toreille  ne  peut  pas 
ibufFrir  elbnt  près  de  1/9  de  ton.  Mais  outre  cela  l'intervalle  de  Ut,Mi,  qu'on  veut 
que  ce  foit  une  tierce  majeure,  devient  plus  grand  que  le  véritable,  car  Mi  a  elle 

trouvé  ^-^  qui  devient  77^^  fi  on  fuppofe  x  oo  -«y.  Or  la  raifon  de  <«  a  rr^f?,  ou  de 
a'  ^  81  ^^  3  81    ' 

8 1  a  64,  eft  plus  grande  que  celle  de  5  à  4  (qui  donne  la  tierce  majeure  jufte),  de  la 
raifon  de  8 1  à  80,  qui  efl;  encore  juflcment  celle  du  Comma.  Et  les  tierces  mineures 
feront  moindres  que  les  véritables  de  ce  raefme  Comma  parce  qu'elles  font  le  com- 
plément a  la  quinte  des  tierces  majeures.  J'ay  donc  \'u  qu'il  efloit  bon  de  diminuer  les 

quintes  de  quelque  chofc  en  pofant  .v  plus  grand  que  -a^  parce  que  de  là  les  fextes 

majeures  decroiflToient  citant  trop  grandes;  et  qu'en  mefme  temps  la  tierce  majeure 

Ut  Mi  fe  diminuoit  aulTi  parce  que  ^—j  devient  plus  grand  lors  qu'on  augmente  la 

quantité  de  x.  Mais  de  combien  plus  grande  faloit  il  prendre  x  que  ^  a.  La  voie  du 

3 
milieu  parut  eftre  la  meilleure  qui  eftoit  de  faire  que  les  quintes  et  les  fextes  majeures 

difTcrafient  également  des  vraies,  les  unes  en  perdant  les  autres  en  excédant.  J'ay  donc 
fait  que  la  longueur  de  x  fijt  à  -a  comme  -a  à ,  c'ell  a  dire  comme  la  longueur 

de  La  parfaite  à  celle  qui  a  eftè  trouvée  cv  delTus.  d'où  vient  l'équation  " —  co  — aa 

^  ^  •  ^  /7i7  15 


et  X  30 


Vki^. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  153 


Par  là  la  chordc  Mi  qui  a  eftè  trouvée  "^  devient  -tf,5f  eftanc  donc  fuppofée  telle 
les  quintes  feront  diminuées  de  la  mefme  quantité  que  les  Textes  majeures  ').  Or  la 

raison  de  y  \/  ^^'^  a  ^a  efl:  la  incCme  que  celle  qui  conilitue  le  quart  du  comma, 
puifquc  cette  raifon  eftant  quadruplcc  fuit  la  raifon  de  81  à  80  ou  du  comma  entier, 
comme  il  ed  aile  de  vt)ir  en  prenant  le  quarre  quarrè  de  chacun  des  deux  te^mc^. 

Diminuant  donc  la  quinte  Ut,  fol,  et  par  confequent  auffî  les  autres  de  ^  de  Comma, 
les  fextcs  majeures  furpa (feront  d'autant  les  véritables;  et  pour  les  quartes  et  les 
tierces  mineures  qui  font  les  compléments  a  l'octave  de  ces  confonances,  les  premières 
furpafferont  les  vraies  du  mefme  ^  de  comma  et  les  autres  defaudront  d'autant. 


D.  PROJET  D'UNE  LETTRE  A  BASNAGE  DE  BEAUVAL  ')• 

Je  vous  envoie  comme  j'avois  promis,  ma  remarque  en  matière  de  Mufique.  Elle 
regarde  le  premier  fondement  de  cette  fcience,  icavoir  la  détermination  des  Tons  que 
Ton  obferve  dans  le  Chant  et  dans  la  fabrique  des  Inllrumcns  qui  iervent  a  l'hamionie. 
Ceux  qui  ont  un  peu  efludiè  en  cecy  la  Théorie,  fcavent  que  l'Oftave  efl:  divifee  en 
tons  et  femitons,  qui  ne  font  pas  formez  par  hazard  ni  par  caprice,  mais  qui  font 
comme  des  fuites  necelfaires  des  confonances;  ce  qui  efl:  cause  que  par  tout  le  monde 
ces  Tons  ou  degrez  du  chant  ne  fcauroient  eftre  que  les  mefmes,  c'eft  adireduchant 
le  plus  naturel,  qu'on  appelle  diatonic.  Ils  fcavent  aufll  que  depuis  qu'on  a  commencé 
a  vouloir  définir  ces  mefmes  Tons  félon  l'exactitude  mathématique,  l'on  a  trouvé 
quelque  diverfitè  dans  la  divifion  de  l'oftave  faite  en  divers  temps  et  par  diverfes 
perfonnes.  Car  les  anciens  qui  ne  comptoient  pour  confonances  que  l'oftave,  la  quinte 
et  la  quarte,  et  qui  ne  pratiquoient  point  la  compofltion  a  plufieurs  parties,  prenoicnt 
feulement  garde  en  diviiant  leur  oftave  ou  double  ottave,  que  les  intervalles  des  tons 
leur  rendiflent  en  certains  endroits  ces  confonances  dans  toute  leur  perfeftion.  Mais 
dans  la  Mufique  moderne  ou  l'on  a  trouvé  que  la  pluralité  des  confonances  efl  necef- 
faire  et  que  toute  l'hamionie  des  concerts  en  dépend;  on  a  reconnu  que  fur  nos  in- 
ftrumens  les  plus  parfaits  comme  les  Orgues  et  les  Clavecins,  on  ne  pouvoit  fuivre 
aucune  des  conllitutions  des  Tons  des  Anciens,  ou  bien  qu'il  faloit  adjouter  a  ces 


')  Lisez:  de  la  quantité  dont  les  sextes  majeures  seront  augmentées. 

')  F.  10  r  et  V  du  portefeuille  „Musica".  Comparez,  aux  p.  169  et  suiv.  du  T.  X,  le  texte  définitif 
de  la  „Lettre  touchant  le  Cycle  Harmonique". 

ao 


154 


MUSIQUE. 


inftriimens  des  chordes  et  des  touches  extraordinaires,  outre  les  feintes  ou  tons  chro- 
matiques qu'on  y  avoit  défia  adaptées  avec  beaucoup  de  raifon  ^).  parce  que  (ans  ces 
chordes  adjoutees  on  manquait  de  pkifieurs  confonances  necefTaires,  ou  on  les  avoit 
li  imparfaites  que  rorcille  ne  pouvoit  les  Ibuifrir.  mais  ce  nombre  des  touches  fuper- 
numeraires  apportant  trop  de  confufion  et  de  difficulté,  on  a  a  la  fin  trouvé  heureu- 
fement  ce  qu'on  appelle  le  Tempérament,  a  l'aide  duquel,  en  oftant  quelque  peu  à  de 
certaines  confonances  et  adjoutant  à  d'autres  fans  que  pourtant  cela  choque  l'oreille, 
on  a  formé  le  fyllème  dont  on  fe  fert  aujourdhuy  qui  ell  abondant  en  accords;  et 
fournit  tout  ce  qu'il  faut  pour  l'Hannonie  de  plufieurs  Parties.  Apres  cette  invention, 
dont  les  meilleurs  autheurs  comme  Zarlin  et  Salinas  parlent  comme  d'une  des  plus 
belles  et  des  plus  utiles  qui  le  puiilent  trouver  en  fait  de  INIufique,  l'on  a  laiflè  la  tous 
les  Syllcmes  des  Anciens,  et  les  fupplemens  des  chordes  des  modernes;  fur  tout  depuis 
que  ces  autheurs  que  je  viens  de  nommer,  ont  examine  et  défini  le  meilleur  tempéra- 
ment par  règle  et  par  raifon,  dont  ils  fe  difputent  entre  eux  la  gloire;  car  l'expérience 
et  la  neceffitè  l'avoient  défia  introduit  en  quelque  manière  auparavant,  fans  qu'on 
fçuft  pourtant  la  vraie  raefure  ni  méthode. 

On  apprend  au  reflie  chez  ces  mefmes  autheurs,  que  pour  pratiquer  ce  Tempérament 
dans  l'accord  des  inilrumens  il  faut  diminuer  la  confonance  de  quinte  d'une  petite 
quantité  qui  fait  le  quart  de  ce  qu'on  appelle  Comma;  ce  qui  ell  fi  peu  que  cette  dimi- 
nution à  peine  est  perceptible  a  l'oreille  et  ne  l'offense  nullement;  le  comma  entier 
ellant  le  raport  entre  les  tons  de  la  chorde  entière  contre  elle  mefinc  racourcie  d'une 
55  partie.  Toutes  les  quintes  efiant  ainli  diminuées,  il  fen  enfuit  que  les  quartes  font 


-)  On  connaît  l'existence  d'instruments  à  touches  scindées  (p.e.  pour  dis  et  as)  déjà  dans  la  deux- 
ième moitié  du  15''""  siècle.  Ils  s'appelaient:  instruments  enharmoniques.  D'autre  part  il  y  avait 
des  construftions  permettant  de  modifier  par  voie  mécanique  les  tons  des  touches  supérieures. 
Pour  les  particularités  on  peut  consulter  la  dissertation  de  1935  de  W,  Dupont  (comparez  la 
note  9  de  la  p.  157  et  la  note  14  de  la  p.  158). 


[Fig-  3] 


En  1663  Huygens  visita  à  Londres  un  nommé  Senti  qui  demandait 
une  certaine  somme  „voor  een  clavecingel  die  2  halve  toonen  gesneden 
soude  hebben,  en  met  het  uyttrecken  van  't  clavier  een  toon  hoogher 
gaen"  (Journal  de  voyage  à  Londres,  p.  176  de  H.  L.  Brugmans„Le 
séjour  de  Christian  Huygens  à  Paris  etc."  1935). 


La  Fig.  3  de  Huygens,  empruntée  à  la  f.  i  du  portef.  „Musica", 
représente  une  touche  scindée. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  1 55 


augmentées  de  cette  mefme  quantité  de  quart  de  comma,  que  les  tierces  mineures 

font  encore  diminuées,  et  les  Textes  majeures  augmentées,  de  cette  me(mc  quantité. 
Et  qu'enfin  les  Tierces  majeures  demeurent  parfaites  ce  qui  eft  fort  confidcrable. 
Enfin  tous  ces  petits  changements  aux  confonances  dont  il  n'y  a  que  ces  tierces  ma- 
jeures et  les  oétaves  d'exceptées,  n'empcfchent  pas  que  toute  l'harmonie  ne  foit 
écoutée  comme  fi  rien  ne  manquoit  3). 


A\')  CYCLE  HARMONIQUE  PAR  LA  DIVISION  DE  L'OCTAVE 
EN  31   DIESES^),  INTERVALLES  EGAUX. 

Cette  étude  eft  précédée  (également  f.  16  du  portef.  „Mufica")  par  la  Pièce,  le  programme 
peut-on  dire,  que  nous  publions  comme  Appendice  à  la  p.  168  qui  fuit. 

§  I.  Ceux  qui  ont  un  peu  eiludiè  la  Théorie  de  la  Mufique  (et  ce  n'est  que  d'eux 
que  je  pourray  estrc  entendu)  fcavent  ce  que  c'est  que  le  Tempérament  qui  sert  a 
bien  accorder  les  inllruments  a  clavier  qui  font  les  plus  parfaits  que  nous  ayons.  Zarlin 
et  Salinas  en  parlent  comme  d'une  des  belles  chofes  et  des  plus  necefiaires,  qu'on  pufl: 
trouver  dans  la  mulique  et  fe  difputcnt  l'honneur  de  l'avoir  examine  et  réglé  par  railbn 
car  l'expérience  et  la  neceilitè  avoicnt  délia  auparavant  introduit  rafibiblidement  des 
5"'  qui  eft  le  point  principal,  mais  fans  precife  mefure,  fans  fcavoir  de  combien.  C'eft 
aufll  ce  Tempérament  qui  a  fait  négliger  avec  raifon  tous  les  divers  fyftemcs  et  divi- 
fions  du  monochorde  des  anciens,  la  plufpart  abfurdes  et  inpraticables;  et  qui  rend 


3)  En  marge:  vocem  temperamentum sequi.  —  Salinas parledeladivision 3 1 .Comparez 
la  p.  112  qui  précède. 

')  Portefeuille  „Musica"  f.  16 — 19. 

')  Huygens  donne  à  l'intervalle  31  fois  répété  le  nom  dièse  (SUui;'),  lequel  dans  le  système  har- 
monique naturel  désigne  l'intervalle  dont  une  octave  surpasse  la  somme  de  trois  tierces  majeures 
(grand  dièse)  ou  bien  celui  dont  la  somme  de  4  tierces  mineures  surpasse  l'octave  (petit  dièse). 
Dans  le  système  pythagoricien  le  même  mot  est  parfois  employé  pour  indiquer  le  'j.;iu;j.x  (256: 
243).  Chacun  de  ces  dièses  a  sa  propre  valeur:  celle  du  grand  dièse  est  de  62,6  Cents,  du  petit 
40,1  Cents,  du  hïtiux  ou  limma  90,23  Cents,  de  celui  de  Huygens  3^,71  Cents. 

Généralement,  chez  les  musicologues,  le  mot  s'iscriç  est  employé  pour  désigner  un  petit  inter- 
valle. La  manière  dont  Huygens  applique  ce  terme  s'accorde  en  principe  avec  celui  d'Aristoxène, 
qui  appelle  son  plus  petit  intervalle  (|-  ton)  iitat;  hcuoiinto;  èixyj^jzr,  („Harm.  Elem".  éd.  ÎNIei- 
bomius,  p.  21).  On  pourrait  parler  d'un  intervalle-atome. 

Comparez  r„intervalle-atome"  de  la  1  abula  de  IMeibomius  mentionnée  à  la  p.  6  qui  précède. 


156  MUSIQUE. 


nollre  fylleme  plus  abondant  en  accords  et  plus  lelon  la  nature  du  chant,  que  n'elloicnt 
ceux  la  3). 

On  apprend  au  reflc  chez  ces  autheurs  +)  que  pour  le  pratiquer  les  quintes  et  les 
6  mineures  l'ont  diminuées  d'un  quart  de  comma,  qui  ell  un  petit  intervalle  a  peine 
perceptible  a  Toreille,  le  comma  entier  eflant  le  rapport  entre  le  fon  delachordcentiere 
contre  elle  mefme  racourcie  d'une  partie  81""%  et  que  les  4'"  et  les  lîxtes  majeures  par 
confequent  s'y  trouvent  auc;mentees  de  ce  mefme  quart  de  comma  et  qu'ainfi  outre 
les  octaves  et  les  tierces  majeures  qui  demeurent  parfaites,  tous  les  accords  l'ont  mo- 
difiez 5)  en  forte  que  l'oreille  n'en  efl:  aucunement  offenfée,  mais  f'en  contente  comme 
Tils  efloient  parfaits,  que  je  fuppofe  que  l'on  connoit,  fcavoir  que  la  quinte  parfaite 
{"entend  entre  le  Ion  de  la  chorde  entière  et  ccluy  de  fes  |.  ou  bien  que  la  proportion 
qui  produit  cette  confonance  efl  de  3  a  2,  celle  de  la  quarte  de  4  a  3;  de  la  tierce  ma- 
jeure de  5  à  4,  de  la  tierce  mineure  de  6  a  5.  de  la  sixte  majeure  de  5  à  3,  de  la  fixtc 
mineure  de  8  a  5. 

Or  la  remarque  que  j'ay  faite,  c'est  que  fi  on  divife  l'Oftave  en  3 1  parties  égales, 
ce  que  fe  fait  en  trouvant  30  longeurs  moienes  proportionelles  entre  toute  la  chorde 
qu'on  prend  pour  règle  Harmonique,  et  sa  moitié;  on  trouvera  dans  les  tons  qui 
provienent  en  faifiint  fonner  apart  toutes  ces  longeurs,  un  l'yllème  fi  approchant  de 
celuy  qui  provient  du  dit  Tempérament,  tant  pour  les  tons  diatoniques  que  chroma- 
tiques et  enannoniques  qu'on  y  voudra  joindre,  qu'il  fera  entièrement  impoflible  que 
l'oreille  la  plus  délicate  y  trouve  de  la  différence.  Et  que  pourtant  ce  mefme  nouveau 
fyfleme  fera  d'une  nature  bien  diffcrentederautre,et  apportera  de  nouveaux  avantages 
tant  pour  la  théorie  que  pour  la  pratique. 

Le  fon  contiendra  5  de  ces  parties  égales,  qu'on  peut  nommer  dièses,  le  grand 
demiton  3,  le  petit  demiton  2,  la  tierce  mineure  8,  la  tierce  majeure  10,  la  quarte  13, 
la  quinte  18;  la  fixte  mineure  21  ;  la  fixte  majeure  23;  le  triton  15  et  la  faufTe  quinte 
par  confequent  16^). 

§  2.  Mais  devant  que  de  faire  voir  la  proximité  de  cette  divifion  avec  celle  qui  nait 
du  Tempérament  fufdit,  je  veux  icy  aller  au  devant  de  ce  que  me  pourroient  objecter 
ceux  qui  ont  lu  les  livres  de  Salinas  ou  du  Père  Merfenne,  a  fcavoir  qu'il  y  ell  parlé 
bien  exprelTement  de  cette  mefme  divifion  de  l'oftave  en  31  parties  égales.  Ce  qui 


3)  Leçon  alternative  :  les  leurs. 

*)  Voyez,  à  la  p.  49  qui  précède,  la  Pièce  B.  „Divisio  Monochordi  I". 

5)  Leçon  alternative:  ordonnez. 

*)  Voyez  l'Avertissement.  Le  triton  ou  quarte  augmentée  esc  un  intervalle  composé  d'un  ton 

majeur,  d'un  ton  mineur  et  d'un  deuxième  ton  majeur,  p.e.  c  —  fis  .Le  rapport  corres- 
pondant est  45:32  ou  approximativement  7:5.  La  „fausse  quinte"  est  le  complément  du 
triton  par  rapport  à  l'octave. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  I57 


eft  vray  et  je  l'avoue  volontiers.  Mais  comme  Salinas  ne  fait  mention  de  cetteinvcntion 
que  pour  la  condamner  abfolument,  et  que  le  P.  Merfcnne  la  rejette  de  mefme,  on 
pourra  bien  me  croire  il  je  dis  que  ce  n'ed  pas  de  la  que  je  l'ay  pris").  Mais  quand 
cela  ibroit,  je  croirois  avoir  fait  allez  d'avoir  examiné  cette  divilion  par  la  voye  de  la 
géométrie  et  de  l'avoir  ibutenuë  contre  l'injufle  fentencc  prononcée  par  ces  2  célèbres 
autheurs.  je  crois  qu'on  me  feroit  oblige. 

Salinas  lait  un  Chapitre  entier  dont  rinfcription  cil:  De prava  confîitiitione  cujus- 
dam  injlrunictiti  qitocl  in  Italia  citra  quadragmta  antios  fabricari  coeptum  efl^  in  qiio 
reperitur  omnis  tonus  in  partes  quinque  divifus  ").  Il  dit  que  cet  inftrunient  eftoit 
nommé  archicymbalum  '-')  qu'il  efloit  incerti  ûiithoris  ''^),  que  certains  muficiens 
célèbres  en  failijient  grand  ellime,  et  particulièrement  de  ce  qu'il  avoit  tous  les  inter- 
valles et  toutes  les  confonances  (comme  ils  croient  dit  il}  en  dclTus  et  en  deiïbus,  et 
qu'après  certaine  période  on  y  revenoit  au  mefme  fon,  ou  équivalent,  d'où  on  efloit 
parti,  marquant  aulli  combien  de  ces  31  parties  égales  de  l'octave,  chaque  confonance 
en  contenoit,  de  mei'mc  que  je  viens  de  faire.  Mais  il  adjoute  qu'il  a  edaiè  d'accorder 
un  inftrument  de  cette  manière,  mais  qu'il  a  rendu  un  fon  defagreable  et  qui  bleffbit  fi 
fort  les  oreilles  de  tous  ceux  qui  l'entendoient;  qu'il  en  conclud  qu'un  tel  accord 
f'eloigne  de  toute  raifon  liannonique,  (bit  qu'on  conlidcre  les  accords  jufles  ou  bien 
les  tempérez"). 

Outre  Ion  expérience  il  adjoute  encore  cette  raifon  prife  de  la  manière  dont  pour 
cet  archicymbalum  on  divifoit  l'intervale  du  ton  en  5  parties  égales,  qui  efloit  de 
prendre  fur  cet  intervalle  depuis  les  2  extremitez  deux  demitons  majeurs,  et  puis  d'où 
ceux  cy  finifTent  en  arrière  deux  demitons  mineurs.  Il  dit  que  par  ce  moien  le  ton 
n'efl  pas  divilc  en  5  parties  égales.  Mais  de  quel  ton  prétend  il  parler  puis  qu'il  s'agis- 
soit  de  leur  ton  de  j-  de  l'octave,  du  quel  il  n'a  point  sceu  la  grandeur,  ni  peut  estre 
ceux  la  mefme  qui  eftoient  inventeurs,  car  on  a  befoin  pour  cela  des  logarithmes 
inconnus  alors  '  -). 


'')  Voyez  sur  ce  passage  l'Avertissement  qui  précède. 

8)  Cap.  27  du  Lib.  III  de  „de  Musica". 

')  Nous  ignorons  le  constructeur  de  cet  instrument  que  Salinas  parait  avoir  vu  déjà  vers  1537 
(„citra  quadraginta  annos",  écrit-il  en  1577).  Il  est  bien  connu  que  plus  tard  dans  le  cours  du 
seizième  siècle  il  en  a  existé  plusieurs.  Vicentino  en  construisit  un  qu'il  décric  dans  „L'antica 
musica  ridotta  alla  moderna  prattica"  de  1555  (comparez  la  note  9  de  la  p.  144). 

Arnolt  Schlick  fait  également  mention  d'instruments  de  ce  genre:  voyez  N.  Dupont  „Ge- 
schichte  der  musikalischen  Temperatur",  Inaug.  Diss.  Erlangen  ipss.Nôrdlingen,  1935,  p.  51. 

'°)  „  . , .  ab  eius  autore,  quisquis  ille  fuit,  Archicymbalum  appellatum". 

")  L.  c.p.  166. 

")  En  marge:  comment  fcavoit  il  la  valeur  de  leur  ton.  fil  euil:  fu  les  logarithmes,  du 
ton  qui  fait  ^-^  d'odtave.  voir  Salinas  1.  3.  ch.  15  ou  27.  —  Le  cliap.  15  du  livre  3 
est  intitulé  „Quod  très  sunt  inventa;  tempérament!  constitutiones  in  Musicis,  quibus  utimur, 
instrumentis:  et  de  illarum  prima".  Voyez  sur  le  chap.  27  la  note  6  de  la  p.  142  qui  précède. 


158  IMCSIQUE. 


Sans  cela  il  n'eftoit  pas  podible  prelque  de  trouver  30  moienes  entre  2  nombres 
donnez,  de  forte  que  ni  Zarlin  '3)  a  pu  examiner  cette  divifion,  ni  les  inventeurs  de 
rarchicvmbale  connoitre  fil  elloit  accordé  luivant  ce  qu'ils  pretendoient.  Enfin  ce 
nouveau  tempérament  qu'il  rebute  fi  fort  fe  peut  dire  le  plus  excellent  de  tous,  ayant 
tous  les  avantages  qu'il  dit  qu'on  luy  attribuoit,  et  encore  d'autres  dont  je  parleray 
en  fuite,  et  fon  harmonie  ne  pouvant  eftre  diflinguce  avec  celle  que  donne  le  Tempé- 
rament ordinaire  dont  tous  fe  fervent. 

§  3.  Pour  le  faire  voir  je  dis  premièrement  que  les  quintes  de  cette  divifion  ne  fur- 
pafferont  celles  du  Tempérament  que  de  7^  de  Comma  '+),  différence  qui  ne  fcauroit 
aucunement  eftre  appercue  par  l'oreille,  puifque  celle  de  |  de  Comma  l'efl:  fi  peu 
qu'elle  ne  l'offenfe  pas.  Et  il  faut  noter  que  c'efl:  de  ce  -^  de  Comma,  que  les  quintes 
de  la  divifion  approchent  d'avantage  des  5'"  parfaites  que  ne  font  celles  du  Tempéra- 
ment, les  quartes  par  confequent  ne  font  excédées  que  de  j^-  de  Comma  de  celles  du 
Tempérament,  et  elles  tendent  d'autant  plus  vers  la  perfection  de  cette  Confonance. 

Les  tierces  mineures  font  excédées  de  celle  du  Tempérament  par  775  ou  environ 


'5)  Ceci  doit  probablement  s'entendre  de  Salinas. 

'■•)  Voyez  la  Table  de  l'Avertissement.  La  différence  est  de  0,20  Cents.  Le  comma  contient  21,5 

Cents. comma  =  0,106'Cents. 

iio  '  ^  ^ 

A  propos  des  endroits  du  „Cycle  harmonique"  ou  „Xovus  Cyclus  Harmonicus"  (Pi(}cc  F), 

où  se  trouve  la  même  affirmation,  Riemann  observe  dans  une  note  de  la  p.  359  de  sa  „Ge- 

scliichte  der  Musiktheorie"  (nous  l'avons  déjà  dit  dans  la  note  10  de  la  p.  7  qui  précède): 

„Huyghens wirft  Salinas  und  Mersenne  vor,  dass  sie  ans  Unkenntnis  der  Logarithmen,  die 

Vorzûglichkeit  der  •51-stufigen  Temperatur  nicht  hatten  erkennen  kônnen;  nicht  um  -  des 

4 

syntonischen  Kommas  zu  klein,  sondern  um  —  desselben  zu  gross  seien  die  Quinten  dieser 

Temperatur.  Nach  meiner  grossen  Tabelle  der  Tonwerte  in  Logaritlimen  auf  Basis  2  ...  sind 

aber  doch  die  Quinten  um  -  Komma  zu  klein  —  icli  ûberlasse  die  Naclipriifung  Mathemati- 

4 
kern  von  Fach  !"  Dupont  dans  sa  „Geschichte  der  musikalischen  Temperatur"  (note  9  qui 
précède)  aboutit  à  la  même  conclusion  par  un  raisonnement  analogue.  Or,  ces  remarques  sont 

le  résultat  d'un  malentendu.  Huygensdit  clairement  que  ses  quintes  surpassent  de  —  de  comma 

les  quintes  du  tempérament  usuel,  c.  à.  d.  du  système  du  ton  moyen.  En  effet,  tout  son  discours 
tend  à  faire  voir  que  son  système  ne  diffère  qu'  imperceptiblement  de  celui  du  ton  moyen. 

Mais  les  auteurs  cités  le  font  dire  bien  à  tort  que  sa  quinte  ne  diffère  que  de  —  de  comma 

de  la  quinte  naturelle  et  combattent  ensuite  cette  assertion  prétendue. 

Notons  en  passant  que  Huygens  se  rendait  parfaitement  compte  du  fait  que  Salinas,  mort  en 
1590,  ne  pouvait  pas  connaître  les  logarithmes:  voyez  les  dernières  lignes  de  la  p.  157. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  1 59 


-^  de  Comma  '  ').  Et  les  fixtes  majeures  excédent  d'autant  les  fixtes  majeures  du 
Tempérament,  toutes  deux  a  la  vérité  en  feloignant  de  la  proportion  parfaite.  Mais 
on  voit  que  cette  diderencc  ne  fcauroit  encore  cflrc  perceptible. 

Les  tierces  majeures  enlin  excédent  celles  du  tempérament,  qui  li^nt  parfaites,  de 
^  ou  ^  de  Comma  '*).  qui  cil  une  fi  petite  différence  qu'on  ne  les  pourra  prendre  que 
pour  parfaites  puifque  fur  une  chorde  de  5  pieds  elle  n'importe  pas  j  de  ligne.  Lesde- 
mitons  majeurs  comme  de  E,F  )'  approchent  un  peu  plus  de  leur  \'raie  proportion 
que  dans  le  tempérament,  car  cette  vraie  proportion  eftant  de  16  a  15,  fçavoir  la 
différence  d'entre  la  quarte  et  tierce  majeure  parfaite,  le  demiton  du  Tempérament  la 
lurpadc  de  ^  de  comma,  et  le  noftrc  de  ~  moins  }^  de  comma  '■')  ce  qui  ne  pourroit 
qu'adoucir  tant  foit  peu  ce  demiton  et  feroit  du  bien  dans  les  cadences  '*). 

On  peut  dire  au  relie  qu'il  n'est  qu'avantageux  de  gaigncr  quelque  perfeiflion  fur 
les  5"'  et  fur  les  4'"  en  perdant  un  peu  plus  fur  les  tierces,  parce  que  plus  les  confo- 
nances  font  parfaites,  c'ell  a  dire  plus  leur  tremblements  funifl'ent  fouvcnt,  et  moins 
l'oreille  leur  foullVc  d'altération,  ainfi  à  l'unilUon  et  a  l'oélavc  on  n'en  peut  fouffrir  la 
moindre.  Et  la  quinte  efl  plus  fenfible  en  cela  que  la  quarte  et  celle  cy  que  les  tierces 
et  les  fixtes.  Mais,  comme  j'ay  délia  montré,  toutes  les  différences  de  ces  2  Tempéra- 
ments !bnt  imperceptibles,  et  il  f'enfuit  que  lors  qu'un  jeu  d'Orgue  ou  un  clavecin 
fera  accordé  fuivant  le  Tempérament  ordinaire,  on  peut  dire  qu'il  le  ieraaufli  iuivant 
le  nouveau,  autant  que  l'oreille  peut  difcemer.  Mais  fi  pourtant  on  veut  fe  fatif faire 
entièrement  la  deffiîs,  et  avoir  en  mefine  temps  la  divifion  de  l'oclave  en  31  parties 
égales  on  n'aura  qu'a  divifer  un  monochorde  fuivant  les  nombres  que  l'on  verra  dans 
le  Table  que  je  donne  '^_),  et  en  mettant  fa  chorde  en  uniflx)n  avec  le  c  du  clavecin 
ou  orgue,  accorder  de  mefme  les  autres  chordes  ou  tuyaux  avec  les  fons  de  la  chorde 
fuccellivement  racourcie  du  Monochorde. 

Que  fi  l'on  demande,  quel  avantage  on  tire  donc  de  cette  Divifion  puis  qu'elle 
donne  des  tons  fi  femblables  a  ceux  du  Tempérament,  je  dis  qu'il  y  en  a  plus  d'un,  car 


'5")  La  différence  est  de  0,60  Cents.  —  comma  =  Oj^o  Cents, 
y  '110  '-^^ 

'*)  La  différence  est  de  0,79  Cents.  —  comma  =  0,-8  Cents. 

'')  Dans  le  système  harmonique  naturel  le  demi-ton  majeur  est  de  1 12  Cents,  dans  celui  du  ton 
moyen  il  est  de  1 17,13  et  chez  Huygens  de  1 16,13  Cents.  La  différence  des  écarts  est  '^°"'^  ^^ 

I  Cent  ou  environ  —  comma. 
22 

'*)  Savoir  dans  toutes  les  cadences  où  le  dessus  monte  d'un  demi-ton. 

'')  Voyez  la  Pièce  F  qui  suit,  c.  à.  d.  le  (Nouveau)  Cycle  Harmonique,  T.  X,  p.  173. 


1 6o  MUSIQUE. 


premièrement  elle  nous  apprend  que  fans  rien  faire  perdre  du  bon  effeft  du  Tempé- 
rament, mais  plufloft  en  y  adjoutant,  nous  avons  un  fyfteme  dans  lequel  chaque  chorde 
tant  des  tons  que  fcmitons  et  diefes  fe  trouve  avoir  toutes  les  confonances  et  inter- 
valles en  dcflus  et  en  defTous,  et  cela  partout  de  la  mclhie  façon. 

que  dans  ce  fyfteme  le  demiton  majeur  contient  trois  cinquièmes  parties  du  ton,  et 
le  demiton  mineur  les  autres  deux  cinquièmes. 

qu'enfin  il  conftitue  [comprend]  un  parfait  Cycle  Hannonique,  en  ce  qu'en  y 
montant  ou  dcfcendant  tout  de  fuite  par  l'intervalle  de  quinte  ou  quclqu'autre  que 
ce  foit,  on  revient  après  certaine  révolution  a  la  chorde  d'où  l'on  a  commencé  -°). 

§  4.  Je  dis  de  plus  que  fur  ces  fondemens  on  peut  conftruire  un  jeu  d'orgue  ou  un 
Clavecin,  qui  fcrvira  a  tranfpofer  en  hauflant  ou  en  baiCHint  de  tel  intervalle  qu'on 
voudra,  comme  de  4",  tierce,  ton,  demiton,  &c,  jufqu'a  une  diefe  ou  cinquième  de 
ton.  Ce  qui  fur  les  inftrumens  ordinaires  de  cette  forte  eft  impodïblc;  et  fe  fait  icy 
fans  peine  ni  fans  avoir  l'habileté  que  la  tranfpofition  demande.  Et  a  fin  que  ceux  qui 
voudront  faire  fabriquer  un  tel  inftrument  Icachcnt  comment  f'y  prendre  je  veux  icy 
donner  l'inftruftion. 

Il  faut  difpofer  les  tuyaux  ou  les  chordes  en  forte  qu'il  y  en  ait  31  dans  chaque 
odave  fans  comprendre  la  dernière  chorde,  ce  qui  eft  aifê  aux  orgues  et  encore  aux 
Clavecins,  puis  qu'on  y  met  défia  d'ordinaire  24  chordes  a  ceux  qui  ont  deux  regif- 
tres  à  l'unison  et  quelque  fois  encore  6  ou  8  autres  pour  3  ou  4  feintes  extraordi- 
naires -').  Les  bâtons  qui  font  partir  ces  tuyaux  ou  chordes  fe  feront  precifement 
d'égale  largeur,  qui  foit  d'une  cinquième  partie  de  la  largeur  d'une  touche  et  feront 
rangez  près  les  uns  des  autres  et  tous  a  mefme  hauteur,  fans  aucune  différence.  La 
deffus  on  pofera  un  clavier  mobile  ayant  les  touches  a  l'ordinaire  qui  feront  attachées 
par  un  bout  à  une  règle  platte  qui  puifiTe  couler  dans  une  autre  règle  fixe  et  arrefl:ée 
fans  en  pouvoir  fortir  ce  qui  eft  aifè.  De  la  règle  mobile  vers  chaque  bout  on  coupera 
3  ou  4  morceaux  chacun  de  la  largeur  d'une  touche,  ce  qui  fera  que  les  touches  atta- 


^°)  C'est  à  cette  propriété  qre  le  petit  traité  de  Huygens  doit  son  titre  ÇCyc/e  Harmonique).  Elle 
résulte  immédiatement  du  fait  que  chaque  intervalle  est  un  multiple  entier  du  dièse.  Lorsque 
l'intervalle  considéré  est  de  n  dièses,  une  ascension  par  une  série  de  31  de  ces  intervalles-là 
conduit  à  la  n'"-""  octave  du  ton  fondamental. 

-'}  Il  en  était  ainsi  p.  e.  pour  le  Gravicembalo  construit  en  1548  pour  Zarlino  par  Domenico  de 
Pasaro:  entre  b  et  c  et  de  même  entre  e  et  f  une  touche  blanche  avait  été  intercalée;  entre 
les  autres  touches  blanches  chaque  fois  deux  touches  supérieures  colorées.  Il  est  quelquefois 
fait  mention  d'une  scission  en  deux  de  la  touche  noire  entre  d  et  e  pour  distinguer  les  notes  dis 
et  es,  et  même  de  celle  entre  g  et  a  pour  distinguer  as  et  gis.  Comparez  Dupont  1.  c.  p.  50  et 
suiv.  Un  „clavemusicum  omnitonum"  de  1606,  possédant  31  touches  pour  chaque  oftave, 
a  été  conservé  jusqu'aujourd'hui  (Dupont,  p.  53). 

Le  lecteur  hollandais  pourra  consulter  aussi  l'ouvrage  de  M.""  Bertha  vanBeynum  von  Essen 
„Bou\v  en  Geschiedenis  van  het  Klavier"  (Rotterdam,  Brusse,  1932). 


nouvf.au  cycle  harmonique.  1 6 1 

chécs  a  ces  morceaux  fe  pourront  tranfporcer  d'un  bouc  de  la  règle  immobile  a  l'autre 
a  iin  que  la  mobile  puidc  avancer  ou  reculer  autant  qu'il  efl:  befoin  félon  les  marques 
qu'on  elcrira  dcfTus.  J'ay  fait  autrefois  ajultcr  de  tels  claviers  mobiles  a  des  clavecins 
eilant  a  Paris,  et  mefme  a  ceux  qui  avoienc  leur  clavier  ordinaire  où  il  faloit  que  celuy 
que  je  mettois  par  deflus  egalast  en  mefme  temps  les  hauteurs  des  touches  et  des 
feintes  a  lin  que  les  touches  puflent  glidcr  fans  empcfchement.  Et  cette  invention  fut 
approuvée  et  imitée  par  des  grands  maîtres  qui  y  trouvoient  de  la  commodité  et  du 
plaifir  "-). 

Il  relie  a  dire  pour  celle  dont  je  traite  icy  qu'il  faut  attacher  par  dedbus  à  chaque 
touche  et  feinte  du  clavier  mobile  de  petits  bouts,  difpofez  en  force  qu'ils  fe  rencon- 
trent placez  pour  preller  directement  fur  les  bâtons  qui  font  deflbus  et  qui  refpondent 
aux  tons  de  ces  touches,  à  quoy  il  faut  du  foin  et  de  l'exaftitudc.  mais  eilant  bien 
ajuftez  dans  une  fituacion  ils  icronc  bien  dans  toutes  les  autres  a  caufe  de  l'égale  lar- 
geur des  ballons. 

11  y  a  audi  cette  commodité  que  lans  adjouter  des  chordes  on  peut  avoir  des  feintes 
extraordinaires  lur  le  clavier  pour  les  tons  enarmoniques  qui  fervent  principalement 
à  ilippleer  des  accords  dont  on  a  a  faire  en  jouant  dans  certains  tons.  Car  ces  touches 
adjoutees  trouveront  aufli  bien  que  les  autres,  leur  vrayes  chordes  dans  toutes  les 
tranipofitions,  comme  il  paroitra  par  le  Table  iuivante  '3)  ou  les  plus  neceffaires  de 
ces  feintes  à  adjouter  feront  marquées. 

§  5.  Je  raporteray  encore  icy  une  remarque  a  l'avantage  de  ce  nouveau  tempéra- 
ment qui  efl  que  l'intervalle  du  triton  y  efl:  contenu  par  tout  de  la  proportion  de  7  à 

5  ne  manquant  qu'im  —  de  comma  et  celuy  delà  fauffe  quinte  par  confequent  n'excé- 
dant que  d'autant  la  proportion  de  i  o  a  7.  au  lieu  que  ces  différences  dans  le  tempé- 
rament ordinaire  font  de  -  de  corama=+).  Or  je  dis  que  ces  intervalles  de  7  a  5  et  de 

7 
10  a  7  ont  quelque  chose  de  hannonieux  eftant  examinez  avec  attention  (du  moins 


=-)  En  juillet  et  août  1669  (T.  YI,  p.  473  et  4R4)  Huygens  fait  mention  dans  des  lettres  à  son  frère 
Lodewijk  de  son  «invention  du  clavecin"  ou  «invention  [du]  clavier  mobile",  dont  il  dit  avoir 
envoyé  une  exacte  et  assez  longue  description  à  leur  père.  Nous  ne  la  possédons  pas,  car  les 
lettres  échangées  entre  Huygens  et  son  père  pendant  le  séjour  du  premier  en  France  nous  font 
défaut;  comparez  la  note  3  de  la  p.  -  du  T.  XVIII. 

-5)  Voyez  la  Table  par  laquelle  se  termine  notre  Avertissement  (p.  146  ). 

-••)  L'intervalle  -  :  5  vaut  582,52  Cents.  Pour  la  vraie  valeur  45:32  du  triton  on  trouve  590,22 

Cents.  15  dièses  diffèrent  en  effet  de  1,8-  Cents  ou  —  comma  du  nombre  de  Cents  men- 

12 

tionné  582,52. 

21 


1 6l  MUSIQUE. 


je  le  trouve  ainfi  a  mon  oreille)  et  qu'on  les  pourroit  compter  parmy  les  confonan- 
ces  "-5)  quelque  chofe  qu'en  puiiTent  dire  les  maitres  compofiteurs,  qui  les  rangent 
autrement  parmy  les  fauffes  relations  =*).  Il  en  peut  eflre  de  mefme  que  des  Tierces 
majeures  et  mineures  chez  les  anciens  qui  ne  les  voulurent  jamais  reconnoitre  comme 
conibnances,  comme  encore  aujourd'huy  on  veut  qu'elles  ne  soient  qu'imparfaites  et 
que  les  parfaites  font  l'octave,  quinte  et  quarte  qui  efl  une  diilinftion  très  mal 
fondée  '').  Mais  pour  prouver  ce  nouveau  paradoxe  que  je  viens  de  avancer  touchant 
le  triton  et  la  fauflc  quinte,  il  faudra  dire  quelque  chofe  touchant  l'origine  '^}  des 
Conibnances  en  gênerai. 

§  6.  On  fcait  que  ce  qui  fait  bien  fonner  enfemble  2  chordes  '')  ce  font  les  batte- 
ments ou  tremblements  qu'elles  caufent  dans  l'air,  qui  vienent  a  l"'unir  fouvent  et 
règlement,  et  que  d'autant  plus  fréquentes  que  ibnt  ces  unions,  d'autant  plus  lacon- 
fonance  e(t  cenfée  parfaite,  ou  du  moins  eminente  en  dignité,  ainii  dans  l'oftave  les 
battemcns  funiffcnt  a  chaque  fois  que  la  chorde  baffe  a  fait  i  vibration  et  l'autre  2. 
dans  la  quinte  a  chaque  2  vibrations  de  l'une  et  3  de  l'autre,  a  la  quarte  de  3  et  de  4, 
a  la  tierce  majeure  de  4  et  de  5,  a  la  tierce  mineure  de  5  et  de  6.  On  veut  que  dans  le 
nombre  de  6  fuient  bornées  toutes  les  conibnances  3°),  car  bien  que  dans  la  iixte 


'5)  Compnrez  le  dernier  alinéa  de  la  p.  37  qui  précède. 

*«)  En  marge:  Merfenne  trouue  point  de  raifon.  8  a  5  pourquoi  plait  a  l'oreille,  fert  a 
accorder,  orne  le  chant,  intervalle  fort  fréquente  et  qui  fert  plus  qu'on  ne  penfe 
a  faire  des  beaux  chants,  quelque  place  qu'on  leur  donne  n'en  ieront  pas  moins 
beaux.  La  Iixte  majeure  n'efl  elle  pas  fauvee  prefque  toujours  de  l'oftave.  on 
l'entonne  aifement.  celuy  de  7  a  4  ne  f'y  trouve  que  2  fois,  cela  le  rend  moins 
foufrable.  7  a  6  ni  7  a  3  ne  se  trouve  point  icy.  —  non  audio  qui  allegant  autho- 
ritatem. 

*7)  La  remarque  sur  Mersenne  se  rapporte  sans  doute  à  ses  considérations  sur  le  nombre  des  con- 
sonances dans  le  Livre  I  „des  Consonances".  Prop.  33  „Pourquoi  il  n'y  a  que  sept  ou  huit  simples 
consonances". 

Cette  distinction  est  faite  e.  a.  par  Zarlino„Istitutioni  Harmoniclie"ParteIlI  cap.6„Divisione 
délie  Consonanze  nelle  Perfette  e  nelle  Imperfette".  Elle  repose  sur  le  fait  que  les  nombres 
indiquant  les  rapports  de  toutes  les  «consonances  parfaites"  sont  compris  dans  la  série  i,  2,  3, 
4,  tandis  que  pour  exprimer  toutes  les  consonances  sans  exception  il  faut  la  série  i,  2,  3,  4,  5, 
6,  le  „senarius":  comparez  la  note  30  qui  suit. 

*^)  Leçon  alternative:  la  nature. 

=>)  En  marge:  et  il  en  eil  de  meime  des  tuyaux  d'orgue. 

3°)  Huygensfait  allusion  ici  à  la  théorie  du  „senarius"  développée  par  Zarlino  dans  ses  „Istitutioni 
Ilarmoniche",  Parte  I,  cap.  13 — 16,  et  par  Salinas  dans  son  „De  Musica",  Lib.  II,  cap.  12,  24, 
25.  D'après  cette  théorie  les  rapports  des  intervalles  consonants  seraient  tous  compris  dans  la 
suite  des  nombres  i,  2,  3,  4,  5, 6. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  163 


mineure  les  battcincns  ne  l^uniflcnc  qu'a  chaque  5  vibrations  de  la  chordc  bafle 
et  8  de  la  haute;  on  voit  que  ces  8  font  4  vibrations  doubles  contre  les  5  de  lautre 
chordc  3'),  et  qu'ainfi  cette  conConancc  peut  élire  ccnfée  en  dedans  du  nombre  de  6; 
et  qu'elle  ne  doit  guère  céder  en  douceur  a  celle  de  la  tierce  majeure;  et  il  en  cil  de 
mefme  de  3  contre  8,  et  de  3  contre  10.  qui  font  rUnzicmc  et  la  Treizième. 

Or  puis  que  les  5  battcmens  contre  6  font  confonancc,  pourquoy  veut  on  que  (^ 
contre  7  n'en  faiTent  point,  ni  5  ou  4  ou  3  ou  2  contre  7. 

Le  P.  Merfcnne  après  avoir  longtemps  cherché  quelque  raifon  a  cela,  advouc  '^) 
qu'il  n'en  fcauroit  trouver  qui  foit  bonne.  Et  je  crois  qu'en  eifect  il  n'y  en  a  point, 
parce  qu'on  luppolc  une  chofe  taud'e,  car  puilquc  l'union  fréquente  des  battcmens 
tait  la  confonance,  cette  union  revient  allez  Ibuvcnt  lors  que  contre  5  ou  4  ou  3  ou 
2  battcmens  de  la  chorde  bafle  il  fe  fait  7  battcmens  de  la  haute,  mais  ce  qui  rend 
quelques  unes  de  ces  confonances  delagreablcs,  c'efl:  que  quoyquc  l'intervalle  de 
chacune  fe  trouve  dans  les  tons  de  nollre  fylleme,  ces  intervalles  ne  Tufent  jamais  ou 
fort  rarement  dans  la  fuite  de  noftre  chant,  ce  qui  fait  en  mefme  temps  qu'après  avoir 
frappe  cette  confonance,  on  n'en  trouve  point  où  l'on  puiflc  pafler  en  fuite.  Ce  qui 
fans  doute  doit  rendre  cette  confonance  fort  méchante,  puifque  mclmc  la  plus  excel- 
lente de  toutes,  fi  on  la  frappe  fur  des  chordes  qui  foient  tout  a  fait  éloignées  du  Ton 
ou  Modes  ou  l'on  joue,  ne  parait  pas  confonance  d'abord,  et  ofFcnfe  extrememerit 

l'oreille,  comme  fi  après  avoir  fait  la  cadence  en  D,  l'on  frappe  la  quinte  CG  . 

Mais  les  confonances  de  5  battcmens  contre  7  fe  trouvant  en  pluficurs  endroits 
fur  nos  claviers  et  de  mefme  celle  de  10  ou  5  doubles  battcmens  contre  7  (puisque 
ce  font  comme  j'ay  dit  les  tritons  et  les  quintes  diminuées,  dont  il  y  en  a  6  de  chacun) 
et  faifant  de  fort  beaux  intervalles  dans  le  chant;  ayant  aufli  des  confonances  voisines 
qui  les  fuivent  agréablement,  il  ne  leur  manque  rien  de  ce  qu'ont  les  autres  confo- 
nances et  elles  doivent  avoir  leur  rang  après  les  autres,  qui  ont  l'avantage  de  confillcr 
en  des  proportions  plus  fimples. 

Que  fi  on  veut  argumenter  '^)  qu'elles  font  faufl'es  de  ce  qu'on  les  fauve  l'un  par 
les  fixiemes,  l'autre  par  les  tierces,  l'on  peut  refpondre  que  la  4  le  plus  fouvent  a  aulfi 
befoin  d'eftre  fauvee,  que  la  fixieme  majeure  fe  fauve  de  mefme  prefque  toufjours  par 
l'odave.  il  cil:  vray  que  ces  fixiemes  et  tierces  font  les  meilleurs  accords  pour  fucccdcr 
à  ces  tritons  et  quintes  diminuées,  mais  de  cela  on  ne  peut  pas  conclure  que  ce  foient 
des  intervalles  faux. 


3')  En  marge:  Et  que  cette  chorde  de  8  vibrations  n'efl  que  la  réplique  a  l'oftavc  de 

celle  qui  faifoit  la  tierce  majeure  avec  la  chordc  de  5  vibrations. 
3^)  Voyez  la  proposition  de  Mersenne  (p.  88  de  r„Hannonie  Universelle")  citée  dans  la  note  26. 
33)  Leçons  alternatives:  prouver,  inférer. 


164 


MUSIQUE. 


J'ay  dit  que  les  intervalles  de  6,  4,  3,  2,  contre  7,  fc  trouvent  auffi  dans  les  tons  de 

noftre  fyfleme.  car  en  effet  les  chordes  qui  font  les  fécondes  iuperflues  de  F  et  G*^,  de  B 

et  (y  et  de  M  et  F*  unifTcnt  leur  battemens  a  chaque  6  vibrations  de  l'une  contre  7 
vibrations  de  l'autre,  fi  près  qu'il  n'y  a  que  i  de  comma  a  dire  a  cette  proportion. 

Par  confequcnt  les  fepticmes  diminuées  de  CB,  de  CF  et  de  F^'M'  excédent  feu- 
lement de  ce  4-  de  comma  la  proportion  de  7  a  12. 

Outre  cela  l'intervalle  de  3  a  7  doit  fonner  aufll  bien  que  . .  . 


F.     LETTRE  A  BASNAGE  DE  BEAUVAL  TOUCHANT  LE  CYCLE 

HAMIONIQUE  (CONNUE  SOUS  LE  NOM  DE 

NOVUS  CYCLUS  HARMONICUS) 

169I 

C'eft  la  Pièce  publiée  en  octobre  1691  dans  r„Hi(loire  des  ouvrages  des  sçavans",  mieux  connue 
fous  le  titre  „l\'ovus  Cyclus  Harnionicus"  qui  eft  celui  de  la  traduction  figurant  dans  l'édition  de 
's  Gravesande,  les  „Opera  varia"  de  1724.  Voyez  les  p.  169 — 174  du  T.  X. 

Dans  la  figure  [Fig.4]de  la  p.  i64r  du  portef."Mufica"Huygens  indique  la  difpofitio  palmula- 
rum  mobilium  divilâ  octavâ  in  3 1  intervalla  œqualia. 


[Fig-  4] 


TT-i 


**^-]m, 


A\ 


TTT7'-î  TT^rrrm 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  165 


G.     QUELQUES  NOTES  SE  RAPPORTANT  A  LA  DIVISION  DE 
L'OCTAVE  EN  31   INTERVALLES  ÉGAUX') 

§  I .   le  femicon  mineur  je  l'appelleray  diefc. 

la  tierce  mineure  et  majeure;  la  fixtc  mineure  et  majeure,  la  7'  mineure  et  ma- 
jeure, différent  d'une  dièse. 

Item  tous  les  intervalles  diminuez  ou  (uperfius  différent  des  parfaits  d'une  diefe. 
le  triton  Ibnne  un  peu  plus  haut  que  la  quarte  rc  fol. 
la  faulfe  quinte  un  peu  plus  bas  que  la  quinte  re  la. 
la  quinte  fupcrflue  fonnc  un  peu  plus  bas  que  la  fixte  mineure  r  >. 
la  7'  mineure  diifcre  d'un  ton  de  l'oftavc. 
la  j'  majeure  diffère  d'un  femiton  -)  de  l'octave, 
la  -'  diminuée  fonnc  un  peu  plus  fort  que  la  6  majeure  re  ci. 
la  6  diminuée  ed  plus  petite  que  la  quinte  fupcrflue.  Elle  fonnc  entre  re  la  et  r  ?'). 
la  quinte  fupcrflue  ibnne  prcfque  comme  la  6  mineure  c'eit  a  dire  r  p. 
la  4'  diminuée  un  peu  plus  fort  que  la  tierce  majeure  ut  mi. 

il  n'y  a  qu'une  tierce  fupcrflue  de  m  s  .  Elle  fonnc  entre  ut  mi  et  ut  fa.  Elle 


')  Portef.  „Musica",  f.  44  r  —  45  v.  Dans  les  présences  notes  Huygens  ne  désigne  plus,  comme 
précédemment,  par  le  mot  dièse  chacun  des  31  intervalles  égaux.  Ce  qu'il  appelle  ici  dièse  c'est 

le  demiton  mineur,  c.  à.  d.  l'intervalle  correspondant  au  rapport  ^  /dans  le  système  du 

ton  moyen:  voyez  la  p.  72.  La  gamme  diatonique  présente  maintenant  les  intervalles  suivants 

exprimés  en  (/=  —  d'oftave: 

31 

C          Cis         D         Es         E  F  Fis         G         Gis         A         lies         B         c 

2cl           3rt'          3(/         2d         3(/  2(/  3(/         2d          2'^        2'^        -^        3*^ 
Voici  une  table  des  différents  intervalles: 

Prime  superflue  =  semiton  majeur   .  2d     Quarte  superflue  =  Triton l'^d 

Semiton  majeur 3^'  Fausse  quinte  =  Quarte  diminuée     .     .     \6d 

Ton 5(/      Quinte iSrf 

Tierce  diminuée 6d     Sixte  diminuée i9</ 

Seconde  superflue ~d     Quinte  superflue lod 

Tierce  mineure    .     • %d     Sixte  mineure ixd 

Tierce  majeure \Qd     Sixte  majeure 2<id 

Quarte  diminuée \\d     Septime  mineure 26d 

Tierce  superflue iid     Septime  majeure iZd 

Quarte i^d     Octave 2^d 

-)  C.  h.  d.  d'un  semiton  majeur  =  3(7'. 

3)  Il  ne  faut  pas  perdre  de  vue  que  !?  désigne  notre  ton  bes. 


i66 


MUSIQUE. 


fait  connoiflre  l'unique  fixte  diminuée.  Il  n'y  a  que  2  tierces  diminuées  qui  font 
les  intervalles  des  tons  faux  u  m  et  s  [?.  Elles  font  connoiftre  les  2  fixtes  fuper- 
flues  qui  font  leur  compléments  m'  u^  et  t»  s* 

§  2.  Il  faut  obferver  que  tout  intervalle  jufte  ou  faux,avec  fon  complément  a  Toftave, 
doit  faire  9.  ainfi  la  4'  ert  le  complément  de  la  5' .  la  flxte  majeure  de  la  tierce 
mineure,  la  tierce  majeure  de  la  6'  mineure,  la  feptiemc  majeure  de  la  féconde 
mineure,  la  ieptieme  mineure  de  la  féconde  majeure.  Et  cette  règle  fert  princi- 
palement a  connoiilre  les  intervalles  faux,  parce  que  fcachant  l'une  moitié  l'on 
connoiflra  aufli  l'autre  qui  confillc  en  compléments. 


5  unifTons  fuperflus 
intervalle  du  femiton 
mineur  ou  diefe 


3  fécondes  fuperflues 
ton  et  diefe 


u  u"" 

m  m 

f  fx 

s  s'^ 

c  c 


(  m^x 
f  s^ 

c  u** 


leur  compléments 
oélaves  diminuées 


\ 


u'"  u 

m  m 

f^     f 

s^    s 

c    i. 


(    fx 

leur  compléments      \ 

feptiemes  diminuées  ) 

(  u^ 


m 


il  faut  noter  que  les  fécondes  fuperflues  ont  l'intervalle  plus  grand  que  les  tierces 
diminuées,  celles  la  ayant  t  d'un  ton,  et  les  tierces  diminuées  j. 

2  tierces  dimin.  inter- 
valle du  faux  ton. 


deux  femitons  maj. 
I  tierce  fuperflue 


I  s'*  c> 


\  u^m^  ) 


leur  compléments 
fixtes  fuperflues 


\  m   u*'^ 

(    >   s^^ 


m  s' 


\ 


j  fon  complément         ( 

S  fixte  diminuée  ) 


s^  m 


de  meime  la  tierce  fuperflue  eft  plus  grande  que  la  4'  diminuée,  l'une  ayant 
"  de  ton  et  l'autre  -  de  ton. 

i  s 


4  quartes  diminuées 


u 

s"  u 


b 


J  s''   u    k 
1   c  m^'  I 


leur  compléments 
quintes  fuperflues 


f  u** 

bfx 
u    S*< 

m'   c 


NOU VEA  U  CYCLE  H AR  MONIQUE.  l6j 


U    f " 


6  quartes  fuperHues 

ou  tritons  )    f 


r   s> 
m!?  1    I  leur  compléments 

quintes  diminuées 

ou  fauffes  quintes 


s  u'^    1 

c    m  / 

Mais  la  quarte  fuperflue  ou  triton  clt  moindre  que  la  quinte  diminuée,  celle  la 
edant  de  3  tons  et  l'autre  de  3}  de  ton. 

Pour  connoistre  le  triton  d'avec  la  faufTe  quinte,  il  faut  prendre  garde  que 
quand  c'ell  le  triton,  le  dclTus  ell;  une  touche  de  celles  qui  peuvent  faire  avec 
leur  touche  luivante  le  femiton  de  mi  fa  ^),  lefquelles  font  u'^,m,f',  s'^  ,l,c. 

Mais  que  le  deffiis  tombe  fur  une  des  autres  touches,  qui  font  u,  r,  m  ,  f,  s,  b, 
lorfque  c'ell  la  fausse  quinte.  On  les  connoift  encore  par  la  dilVance  des  notes 
extrêmes,  contant  les  feintes  de  mefme  que  les  tons  diatoniques  et  ma  comme  mi, 

ça  comme  ci.  Ainfi  VF^en;  une  4  fuperflue  ou  triton  parce  que  \T  e(^  une  quarte 

et  S'^  R  eu  une  fauffe  5  ou  diminuée,  parce  que  SR  e(l  la  5. 

le  triton  demande  avec  luy  la  2'  et  la  6'  majeure. 

la  fauflTe  quinte  demande  la  3°  mineure  et  la  6'  mineure. 

§  3.  Il  ell  bon  de  donner  un  nom  particulier  a  chacun  des  1 2  tons  de  l'oftave  ainfi 

Ut  it  re  ma  mi  fa  fe  sol  sel  la  ça  ci  ut. 
Cela  fert  non  feulement  pour  nommer  facilement  toutes  les  intervalles  tant 
juiles  que  faulles,  mais  auffi  pour  les  diftinguer  les  unes  d'avec  les  autres.  Car 
raportant  chaque  feinte  au  ton  prochain  dont  elle  a  la  mefme  lettre  confone 
comme  ma  à  mi,  ça  à  ci,  fe  à  fa,  it  à  ut  &c.  l'on  fcaura  par  exemple  que  ut,  fe 
efl:  une  efpece  de  4%  fcavoir  la  fuperflue  ou  triton,  parce  que  ut,  fa  efl:  une  quarte; 
et  que  f,  it  '),  efl;  une  quinte  diminuée  parce  que  fa,  ut,  cil  la  quinte,  que  lel, 
ma,  efl  une  efpece  de  fixte,  fcavoir  la  fixte  diminuée,  parce  que  fol,  mi,  efl:  une 
fixte.  que  fel,  ut  cil  une  4"  diminuée  parce  que  sol,  ut  efl:  une  4'.  que  fe,  ma  efl: 
une  efpece  de  7%  fcavoir  la  7'  diminuée  parce  que  fa,  mi,  efl  une  -'.  Et  ainfi  du 
refle.  Mais  pour  dire  quel  intervalle  c'eft  de  fon  genre,  il  faut  la  connoiftre  fur 
le  clavier  en  regardant  l'intervalle  prochain  d'un  cofl:è  ou  d'autre  dont  celuy 
qu'on  propofe  ne  diffère  que  d'une  dieie.  Ou  bien  par  d'autres  remarques,  comme 
efl  celle  que  j'ay  mile  cy  deflus  pour  diflinguer  le  triton  d'avec  la  fauflfe  quinte. 


*)  Donc  le  semiton  majeur  =  3^'. 
S)  Pour  f,  it  lisez:  fe,  ut. 


APPENDICE  I 

AUX  PIÈCES  SUR  LE  CYCLE  HARMONIQUE: 
L'IDÉE  DE  LA  TspiK6K?.c.'(r,ç,  ETC.  (PROGRAMME  DE  LA  PIÈCE  E)  '). 

Que  les  anciens  n'on:  point  connu  le  tempérament. 

Comparez  notre  note  16  de  la  p.  1 13  fur  Ariftoxène. 

En  marge:  Apres  cete  invention  toutes  les  divifions  du  monochorde  ceffent,  et  les 
différences  de  ton  majeur  et  mineur. 

Il  Tagit  évidemment  de  l'invention  du  tempérament  par  excellence,  celui  que  Huygens  défigne 
par  le  nom  de  «tempérament  véritable"  (1.  i  delà  p.  1 16)  et  qu'on  a  appelé  plus  tard  celui  du  ton 
moyen  (p.  45;. 

Zarlin  et  Salinas  fen  difputent  l'invention. 

Trouvé  par  expérience,  puis  la  raifon  =). 

Zarlin  premièrement  celuy  qui  diminue  la  5"  de  |  de  comma.  C.  à.  d.  Zarlino  trouva 
d'abord  (voyez  les  p.  46  et  55  qui  précèdent)  un  autre  tempérament  que  le  „veritahle",  savoir  le 
«tempérament  de  Zarlino".  dit  que  c'a  eilè  une  importante  invention  de  mufique.  une  des 
plus  belles  inventions  en  mufique  p.  241  ragionamento  3^.  En  cet  endroit  il  Tagit  du 
«tempérament  véritable". 

Les  nombres  du  monochorde  tempère.  Voyez  les  Pièces  «Divifio  Monochordi",  p.  49  et  suiv. 

Nombres  du  nouveau  tempérament.  l'oftave  en  31  parties  égales. 
iNIerienne  et  Salinas  le  condamnent,  ce  qu'ils  en  racontent  *). 
Revient  quand  a  l'effet  au  tempérament  du  |  de  comma  '). 

En  marge:  que  la  voix  chante  félon  le  Tempérament  ou  a  peu  près,  point  par  des 
intervalles  parfaits  '^). 

Mais  cette  connaifTancc  de  la  TSfiy.vy.XunTi?  donne  moyen  de  faire  un  clavecin  ou 
orgue  avec  le  clavier  mobile  fur  les  bâtons  d'égale  largeur  et  3 1  dans  l'odave,  lequel 


■)  Portef.  „Musica",  f.  \6  v.  Voyez  sur  cet  Appendice  l'Avertissement  qui  précède. 

")  Nous  avons  cité  ces  deux  lignes  dans  la  note  6  de  la  p.  18. 

2)  Voyez  la  note  35  de  la  p.  116. 

'')  Voyez  l'Avertissement  qui  précède. 

5)  Voyez  le  deuxième  alinéa  de  la  Pièce  E  qui  précède. 

*)  Voyez  la  Pièce  III  C  à  la  p.  j6  qui  précède. 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  169 

clavier  fert  a  tranfpofer  avec  facilité  par  cinquièmes  de  ton,  et  en  forte  que  toutes  les 

feintes  ou  dicfcs  adjoutccs,  trouvent  leur  chordcs  également  jultcs. 

Qu'il  ne  fiiut  au  plus  que  3  ou  4  feintes  entre  les  ordinaires,  parce  qu'il  y  auroit 
trop  de  diBîcultè  [remarque  ajoutée  après  coup]. 

Qu'il  n'importe  pas  qu'on  faffe  les  tons  égaux,  parce  que  l'intervalle  d'un  ton 
majeur  ou  mineur  aufli  bien  n'ertoient  pas  confonants.  vide  diatonicum  diatonon 
Ptolemei  •'). 

I7  m  s*^  ^  1 

En  marge  :  accord  -    .  ,      j  bonne  fuite. 

Ks^  et  M  V'^  (ont  des  confonances  de  7  a  4.  VF*^  confonance  de  7  a  5  ^). 

La  5'"  devient  tant  foit  peu  meilleure  [dans  le  „nouveau  tempérament"]  que  dans  l'autre 
tempérament  [le  „temperament  véritable", autrement  dit  celui  „du  ton  inoyen"].  Cela  femble 
eftre  bien,  parce  que  tant  que  les  confonances  font  plus  parfaites,  tant  moins  elles 
peuvent  souffrir  d'altération.  Ainfi  l'oftave  ne  fouffre  rien,  la  5"  moins  que  la  tierce 
majeure. 


Commo4itè  des  logarithmes  et  neceffitè  ^). 


Cyclus  Harmonicus.  TspiKVKXcoTiç. 

Que  fans  doute  les  divifions  de  3  a  2,  4  a  3,  5  a  4,  6  a  5  donnent  les 
confonances  les  meilleures  qu'elles  puiffent  eftre.  contre  Stevin. 

L'octave  en  3  i  parties  que  donne  Merfenne  prop.  i  o  des  Genres  de 
mufique  n'eft  pas  la  nostrc.  et  ne  font  fes  parties  aucunement  égales  '•^). 


7)  Voyez  la  note  22  de  la  p.  92  qui  précède. 

8)  Les  f.  24  et  25  du  portef.  „Musica"  que  nous  ne  reproduisons  pas  sont  remplies  de  calculs  et 

contiennent  en  outre  plusieurs  conclusions  qu'on  en  peut  tirer.  On  y  lit  e.  a.  :  Ratio  VF^  à 

ratione  ad  5  déficit  j^  commatis  circiter  .  . .  Ratio  tritoni  VF^  vulgaris  tempera- 

menti  déficit  à  ratione  7  ad  5,  f  commatis.  Ergo  VF'  nostri  tempérament!  multo 
melior,  et  potefl:  pro  confonantia  haberi.  Comparez  le  §  5  de  la  Pièce  E  qui  précède. 

»)  Voyez  e.  a.  la  Partie  «Musique  et  mathématique"  par  laquelle  le  présent  Tome  débute. 

■°)  Nous  avons  cité  ces  deux  alinéas  aux  p.  141— 142  qui  précèdent.  Voyez  sur  les  «parties  aucu- 
nement égales"  de  Mersenne  l'Appendice  II  qui  suit. 


22 


I^O  MUSIQUE. 


La  quinte  peu  agréable  parce  qu'elle  n'a  pas  de  tierce  entredeux,  ni  ne  permet  pas 
de  fuppleer  la  3e  contre  la  baflTe. 

Chofes  a  rechercher,  pourquoy  1  quintes  de  l'uite  font  defagreables.  et  fi  elles  le 
font  touljours  '  '). 


Méthode  pour  faire  des  beaux  chants  "). 


Qu'il  n'y  a  que  2  tons  a  les  confiderer  feuls,  mais  plufieurs  par  raport  de  l'un  a 
l'autre,  les  2  font  celuy  ou  la  5"  d'en  bas  a  la  tierce  majeure  en  bas,  et  l'autre  qui 
dans  cette  quinte  a  la  tierce  mineure  en  bas.  U,  M,  S,  U,  R.  F.  L.  R.  mais  les  tons 

qui  font  différents  par  raport  font  comme  U,  M,  S,  U.  R,  F  ,  L,  R.  qui  confiderez  a 
part  font  tout  a  fait  les  mefmes  '  ^). 

De  la  caufe  des  tons  [ajouté  dans  l'interligne:  chordes]  des  tuyaux  d'orgue  '+),  flûtes, 
trompettes  &c. 

Voyez  fur  les  tons  de  la  flûte  la  p.  104  qui  précède.  Il  eft  vrai  qu'il  n'y  eft  encore  queftion  que 
de  l'enregirtrement  de  données  expérimentales,  non  pas  d'un  effort  pour  „fcire  per  causas".  Com- 
parez fur  la  valeur  attribuée  par  Chr.  Huygens  à  l'empirie  les  premières  lignes  de  la  p.  18  qui 
précède;  et  voyez  fur  le  défir  de  la  famille  Huygens  de  „fcire  per  caufas"  le  dernier  alinéa  de  la 
p.  565  du  T.  II  (lettre  de  Conftantyn  Huygens  père  à  Merfenne). 


")  Voyez  les  p.  110  et  129  (note  119)  qui  précèdent. 

")  Voyez  sur  cet  alinéa  les  p.  66 — 67  qui  précèdent. 

'3)  Nous  avons  déjà  cité  cet  alinéa  dans  la  note  4  de  la  p.  70  qui  précède. 

'■')  Voyez  fur  les  tuyaux  d'orgue  la  p.  374  du  T.  XIX. 


APPENDICE  II 

AUX  PIÈCES  SUR  LE  CYCLE  HARMONIQUE:  TABLEAU 

COMPARATIF  DE  1 1  ■)  OU  30  MOYENNES  PROPORTIONNELLES 

D'APRÈS  DIFFÉRENTS  CALCULATEURS. 


A.  1 1  moyennes  proportionnelles  (divifion  de  l'oftave  en  12  intervalles  égaux). 


Nombres 

D'après 

D'après 

D'après 

D'après 

D'après 

Nombres 

véritables 

Stevin  ^) 

Merfenne 
1000 

Beaugrand 

lOOOO 

Bouliiau 

lOOOO 

Galle  «) 

véritables 

I 

lOOOO 

loooo 

lOOOO 

lOOOO 

0 

9439 

9440 

941 

9438,55 

9431 

9438,7431198 

9438,74 

8909 

891 1 

891 

8908,6 

8905 

8909,1418365 

8908,99 

4 

8409 

8408 

842 

8408,95 

8410 

8408,9641454 

8408,96 

5 

7937 

7937 

794 

7937,05 

7922 

79371O052622 

7937.01 

6 

7492 

7493 

750 

7491,5 

7481 

749^53538i8 

7491,54 

7 

7071 

7071 

708 

7071,1 

7069 

7071,0678109 

7071,07 

8 

6674 

6675 

668 

6674,05 

6670 

6674,1992715 

6674,20 

9 

6300 

6301 

630 

6299,65 

6300 

6299,6052457 

6299,61 

10 

5946 

5945 

599 

5946,05 

5940 

5946,0355690 

5946,04 

1 1 

5612 

5612 

562 

5612,3 

5620 

5612,3102370 

5612,31 

\i 

5297 

5298 

532 

5297.3 

5300 

5297.3154575 

5297.32 

'3 

5000 

5000 

500 

5000 

5000 

5000 

5000 

')  Zarlino,  dniis  le  Cap.  XXX  du  Livre  IV  de  ses  „Sopplimeiui  Musicali"  de  1588  („Come  si 
possa  dirittamente  diuidere  la  Diapason  in  Dodici  parti  ô  Semituoni  equali  &  proportionali") 
parle  de  la  construftion  de  „Dodici  parti  proportionali,  assegnando  ô  ritrouando  Vndeci  linee 
mezane  proportionali";  il  renvoyé  aussi  à  ses  „Istituzioni"  II,Cap.  25etàses„Dimostrazioni" 
III,  Prop.  II  ;  mais  il  ne  donne  pas  de  table  numérique. 

-)  „Vande  Spiegeling  der  Singconst",  éd.  D.  Bierens  de  Haan,  1 884,  p.  29. 

^)  «Harmonie  Universelle",  Première  Préface  générale  au  lecteur. 

*)  Cité  par  Mersenne;  voyez  la  p.  34  qui  précède  (note).  Nous  avons  divisé  les  nombres  de 
Beaugrand  par  20.  On  voit  que  ces  nombres,  encore  meilleurs  que  ceux  de  Stevin,  présentent 
cependant  (voyez  le  2'""%  le  s'""'  et  le  8'*"")  de  petits  écarts,  qui  font  penser  qu'ils  n'ont  pas 
été  calculés  à  l'aide  de  logarithmes. 
Voyez  encore  sur  Mersenne  et  les  logarithmes  les  p.  199  etc.  qui  suivent. 

5)  Cité  par  Mersenne;  voyez  la  p.  34  qui  précède  (note).  Nous  avons  réduit  au  système  décimal 


172 


MUSIQUE. 


5. 30  moyennes  proportionnelles  (divifion  de  l'oétave  en  3 1  intervalles  égaux)  d'après  Huygens; 
et  30  moyennes  non  proportionnelles  (divifion  de  l'espace  14000 — 7200  en  31  intervalles)  d'après 
Merfenne. 

4000 — 7200      Divifion  de  l'efpace  14000—7200  en 
s  égaux  31  intervalles  d'après  Merfenne'') 

14000 
13824 


Nombres  correfts 

Divifion  de  l'efp 

de  Huygens 

en  31  in  ter 

I 

I 00000 

14000 

0 

97789 

13703 

Ô 

Etc. 

13412 

4 

13127 

5 

12849 

6 

< 

12576 

7 

12309 

8 

N 

12048 

9 

» 

11792 

10 

SI 

II542 

1 1 

o* 

II  297 

12 

II057 

13 

-^ 

10823 

14 

00 

1 

10593 

15 

•-n 

10368 

16 

0 

10148 

17 

JZ' 

9933 

18 

-1 

0 

9722 

•9 

0- 

0 

95i<5 

20 

r 

9314 

21 

91 16 

22 

8932 

^3 

8733 

24 

8548 

25 

8367 

16 

8189 

27 

8015 

28 

7845 

29 

7679 

30 

7516 

31 

7356 

3^ 

50000 

7200 

133 


00 


12960 

12300  ^) 

12288 '0 
I2I50 

12000 
1 1664 

11520 

11059,2 

10930 

10800 
10368 
10240 
10125 
10000 

9710 

9600 
9216 

9110,5 

9000 

8793 
8640 

8294,4 

8192 
8100 
8000 

7776 
7680 

737-^2 
7200 


les  nombres  du  système  sexagésimal  de  Boiilliau  ;  ils  se  sont  montrés  moins  exacts  que  Mersenne 
ne  les  croyait.  Boulliau  ne  s'est  certainement  pas  servi  de  logarithmes. 
«)  Cité  par  Mersenne  (même  endroit).  D'après  C.  Lepaige  „Notes  pour  servir  à  l'histoire  des 


NOUVEAU  CYCLE  HARMONIQUE.  I73 

mathématiques  dans  l'ancien  pays  de  Liège"  (Bulletin  de  l'Institut  archéologique  liégeois,  T. 
XXI,  1889),  p.  502  et  siiiv.Jean  Galle  publia  en  1616  à  Liège  son  «Nouveau  Epitome  d'arith- 
métique", où,  sans  décrire  sa  méthode,  il  se  vante  de  „revoquer  l'Arithmétique  en  sa  première 
simplicité ....  par  dix  petits  bastons  etc."  Ce  sont,  peut-on  dire,  les  baguettes  de  Neper. 
„I)'autres",  dit  l'auteur  (sans  nommer  Neper)  „en  ont  voulu  faire  le  coup  d'essai ...  le  l'ay 
seul  mis  en  sa  dernière  perfection".  Un  deuxième  livre,  intitulé  «Nouvelle  invention  d'appren- 
dre l'arithmétique  par  le  moyen  de  dix  petits  bâtons,  avec  l'unzième  servant  à  l'extraftion  des 
racines  quarrées  et  cubes,  par  le  seif,nieur  J.  (îallé,  mathématicien  Liégeois"  parut  à  Paris  en 
1(5.35.  Il  parait  donc  que  Galle  (architecte  ou  ingénieur,  que  INlersenne  cite  sous  le  nom  de 
Galeus  dans  sa  „Ballistica"  de  1644)  ne  s'est  pas  servi  de  logarithmes,  mais  a  trouvé  la  dou- 
zième racine  de  2  par  l'extraction  de  racines  carrées  et  cubiques.  Il  a  certainement  pris  trop  de 
décimales:  tandis  que  le  quotient  de  ses  deux  premiers  nombres  est  0,94387431 198,  celui  des 
deux  derniers  est  0,9438743 1523.  Dans  le  troisième  nombre  il  a  apparemment  fait  une  faute  de 
calcul. 

7)  Voyez  la  p.  142  qui  précède. 

')  Nous  avons  corrigé  le  nombre  1 1300  en  12300. 

S")  Nous  avons  corrigé  le  nombre  10288  en  i2288.Ils'agitévidemmenticidefautesd'impression. 
Il  peut  y  en  avoir  d'autres  moins  apparentes;  mais  il  nous  semble  néanmoins  abondamment 
prouvé  que  Mersenne  —  nous  l'avons  déjà  dit  à  la  p.  142  —  n'a  pas  voulu  donner  une  table  de 
30  moyennes  correspondant  à  des  intervalles  égaux.  Il  mérite  aussi  d'être  remarqué  qu'il  ne 
divise  pas  r„0(îtave"  14000 — 7000,  mais  l'intervalle  14000 — 7200. 


HUYGENS  ET  EUCLIDE. 


Avertiffement. 


Les  vers  de  Théocrite  par  lefquels  débute  ce  Tome  montrent  Tintcrct  de  Huygens 
non  feulement  pour  les  règles  de  l'art  mufical  —  lefquelles  formèrent,  de  même  que 
celles  de  l'optique  '),  un  fujet  d'études  pour  Euclide  -)  —  mais  plus  généralement 
pour  la  confidération  objeétive,  tant  artiftique  que  icientifique,  de  la  nature.  Nous  ne 
croyons  pas  méfaire  en  rcproduifant  ici  à  ce  propos  un  de  fcs  dellins  repréfcntant 
une  ferme,  non  pas  ficilienne  fans  doute,  mais  néerlandaife  3). 

Ce  qui  domine  chez  Théocrite,  tel  que  le  font  connaître  les  endroits  cités,  c'eft 
aifurément  la  ]êécc  tî^ç  âpixovîocç  laquelle  dil^ingue  les  grecs  des  barbares  +). 


')  Voyez  la  1.  9  de  la  p.  791  du  T.  XIII. 

=)  Voyez  cependant  la  note  i  de  la  p.  12  qui  précède.  L'observation  de  Tannery  se  rapporte  tant 
à  la  Ei(Txyr,y/h  ip'^o-nw  qu'à  la  KaraTo/x^  zavivoç  (cette  dernière  étant  jugée  authentique  par  J.  L. 
Heiberg,  p.  53  de  ses  „Litterargeschichtliche  Studien  ûber  Euklid",  Leipzig,  Teubner,  1882; 
et  aussi  par  R.  C.  Archibald,  article  cité  à  la  p.  7  qui  précède).  C'est  depuis  longtemps  qu'on  a 
douté  de  l'authenticité  des  deux  traités:  voyez  la  „Praefatio"  des  „Euclidis  quae  supersunt 
omnia",  ex  recensione  Davidis  Gregorii,  Oxoniae,  E  Theatro  Sheldoniano,  1703.  Le  début 
de  notre  Avertissement  de  la  p.  5  met  du  moins  hors  de  doute  qu'  Euclide  s'intéressait  aux 
écrits  des  musicologues.  En  somme  ce  problème  historique  —  on  a  également  émis  des  doutes 
sur  l'authenticité  des  écrits  optiques  —  nous  importe  fort  peu  pour  le  moment,  puisque  Huygens 
ne  paraît  pas  s'y  intéresser. 

3)  Le  dessin  est  emprunté  au  Manuscrit  14  comme  celui  de  Schéveningue  (datant  de  la  même 
année  1658)  publié  dans  le  T.  XVII.  Il  doit  s'agir  d'une  ferme  située  près  de  la  Haye.  Les  mots 
buy  ten  't  bosch  peuvent  signifier  „hors  du  bois"  (sens  probable)  ou  „hors  de  la  ville;  le  bois". 

'i)  Théon  de  Smyrne  s'exprime  comme  suit  (p.  73  de  l'ouvrage  cité  dans  la  note  19  qui  suit): 

£v  /.v/w  arv  à^riSîta,  Èv  S(w  Si  rJt?!(iuov(a,  iv  Sï  ■:f,  œùffii  âoaovia. 

03 


I  7  8  AVERTISSEMENT. 


L'hellénifme  qui  a  eu  fur  Huygens  l'influence  la  plus  directe  eft,  nous  femble-t-il, 
celui  de  l'époque  claflîque  à  laquelle  appartiennent  Euclide,  Théocrite  et  fon  compa- 
triote et  contemporain  cadet  Archimède.  Nous  n'entendons  évidemment  nullement 
affinner  que  la  conception  du  monde  —  fil  eft  pennis  d'employer  le  fingulier  —  des 
grands  hommes  de  cette  époque  claffique  foit  abfolument  confonne  à  celle  de  Huygens. 
N'oublions  pas  qu'ils  étaient  partifans  du  fyftème  géoccntrique  et  que  (malgré  Arif- 
tote  qui  nie  expredement  la  mufique  des  fphères  ')  le  poète,  géographe,  astronome 
et  mathématicien  Ératofthcne,  à  qui  Archimède  dédia  fa  Méthode,  „motu  ftellarum 
fonos  muficos  edi  confentit"  ").  Le  fcntiment  d'Euclide  fur  ce  fujet  nous  eft  inconnu. 
Nous  ne  croyons  cependant  pas  nous  tromper  ")  en  difant  que  c'eft  furtout  à  une 
époque  postérieure  que  les  favants  —  Ptolémée  était  du  nombre  —  s'inipirant  d'idées 
anciennes,  en  Ibnt  venus  à  préciler  d'une  manière  fantaififte  les  rapports  entre  la  mu- 
fique, le  monde  des  aftres,  et  la  vie  humaine.  Muygens,  cherchant  en  géomètre,  aftro- 
nome  et  phyficien  les  lois  générales  qui  régilTent  les  phénomènes  —  en  laiftant  de  côté 
un  phénomène  périodique  étrange:  il  n'a  jamais  parlé  de  l'influence  prépondérante, 
anciennement  découverte  '),  de  la  lune  fur  les  marées  9)  —  n'a  nullement  fubi  comme 


On  peut  en  outre  consulter  p.e.  le  Chap.  XI  du  T.  I  —  „La  musique  et  les  philosophes  anti- 
ques [chinois  et  grecs]"  —  de  l'ouvrage  de  J.  Combarieu  „Histoire  de  la  Musique  des  origines 
au  début  du  XX'  siècle"  (Paris,  A.  Colin,  1920).  Voyez  aussi  la  note  3  de  la  p.  86  qui  précède. 

5)  De  COelo  (-est  oOoavoO),  lib.  II. 

*)  D'après  Chalcidius  et  d'autres.  Voyez  la  p.  39  de„Eratostheniscarniinumreliquiae",disposuit 
et  explicavit  Ed.  Hiller,  Lipsiae,  Teubner,  1872. 

'')  Chez  Archimède,  comme  chez  Euclide  et  Apollonios,  on  ne  trouve  aucune  trace  d'astrologie. 
Aucun  des  trois  mathématiciens  nommés  ne  se  prononce  sur  la  question  de  la  relation  entre  la 
musique  et  le  cours  des  astres, 

*)  On  peut  consulter  le  Chap.  XXXV  („le  problème  et  la  théorie  des  marées  dans  l'antiquité") 
de  r  „Histoire  des  Sciences.  Antiquité"  de  1935  de  P.  Brunet  et  A.  Mieli.  Dans  la  Méditerranée 
le  niveau  de  l'eau  varie  fort  peu,  il  est  donc  possible  que  certains  peuples  antiques,  tels  que  les 
Phéniciens,  n'aient  pas  remarqué  l'influence  de  la  lune  (ni  à  plus  forte  raison  celle  du  soleil); 
d'autre  part  il  parait  presqu'  impossible  d'admettre  que  cette  influence  n'aurait  pas  été  con- 
statée ailleurs  depuis  les  temps  les  plus  reculés. 

»)  Dans  un  de  ses  programmes  pour  l'Académie  (T.  XIX,  p,  271)  Huygens  mentionne  les  „aestus 
maris"  sans  avoir,  paraît-il,  l'intention  de  s'occuper  lui-même  de  ce  problème.  Voyez  les 
p.  190  du  T.  IX  et  58  du  T.  X;  en  ce  dernier  endroit  il  est  question  de  l'explication  donnée 
par  Descartes.  A  la  p.  538  du  T.  IX  (en  1690)  Huygens  désapprouve  l'explication  par  attrac- 
tion. Mais  on  ne  trouve  rien  sur  les  marées  dans  le  «Discours  de  la  Pesanteur"  ni  dans  le 
„Cosmotheoros".  Voyez  encore  sur  ce  sujet  la  note  4  de  la  p.  55  du  T.  XVII  où  il  est  question 
(en  1655)  d'un  manuscrit  de  Galilée.  Suivant  Galilée  les  marées  proviennent  de  la  rotation  de 


AVERTISSEMENT.  1 79 


Plutarque  '"),  Kepler  ")  et  plufieurs  de  fcs  propres  contemporains  "')  le  charme  de 
ces  vues  femi-orientales. 

Sur  l'influence  dircde  ou  indirc(5te  '3)  de  Dcmocrite  —  pour  qui,  foit  dit  en  pafTant, 
la  terre  était  plate  —  et  d'Epicurc  on  peut  confulter  le  T.XIX  '+).  Nous  rappelons 
que  Démocrite  (comme  Ari(lotc)  efl  antérieur  à  Euclide,  tandis  qu'Epicure  efl:  fon 
contemporain. 

Pour  Huygens  ce  qui  conilitue  l'univers  matériel  ce  font  en  premier  lieu  les  corps, 
entités  bien  définies '').  La  géométrie  efl:  la  fcience  qui  traite  des  „corps,  furfaces  et 
lignes"  '*)  de  fomies  déterminées,  ainfi  que  des  rayons  de  lumière  '"),ponedant  tous 


la  terre  dont  leur  existence  fournirait  une  preuve  remarquable  („DiaIogo  intorno  ai  due 
massimi  sistemi  del  mondo",  quatrième  journée).  Il  est  certain  que  Huygens  n'a  pas  été  de  cet 
avis  puisqu'il  considère  la  diminution  de  la  longueur  du  pendule  à  secondes  lorsqu'on  se  rap- 
proche de  l'éqiiateur  comme  le  seul  effet  observable  de  la  rotation  du  globe  terrestre.  En  effet, 
il  écrit  à  la  p.  316  du  Manuscrit  F,  à  propos  de  l'expédition  de  1686-1687  —  voyez  le 
troisième  alinéa  de  la  p.  514  du  T.  XVIII  — :  Te  gelyck  de  Lengdcn  gcvonden  en  een 
bewijs  van  't  draeyen  der  aerde.  'T  eenigh  waernemelijk  effect  van  dit  draeijen. 
En  somme,  Huygens  ne  se  prononce  en  aucune  façon  sur  les  marées,  si  ce  n'est  pour  désap- 
prouver les  explications  d'autres  savants.  Il  y  voit  une  „summa  diflicultas"  (T.  IX,  p.  124). 

'°)  Voyez  le  dernier  chapitre  de  la  „Musica"  (_-:pi  uo-jrji.y.r,;')  de  Plutarque. 

'■)  Voyez  la  p.  356  du  T.  XIX. 

'-)  Boulliau,  auteur  de  l'ouvrage  astronomique  comprenant  e.a.  les  Tables  Philolaiques  (1645; 
T.  XIX,  p.  261),  était  astrologue  tout  en  admettant  (de  même  que  Kepler)  le  système  coper- 
nicain.  Voyez  sur  Boulliau  et  les  horoscopes  les  p.  524  (lettre  de  Huygens  de  1659)  et  530  du 
T.  II.  Cassini  abandonna  l'astrologie  déjà  dans  sa  jeunesse. 

Mersenne,  dans  ses  «Questions  harmoniques  etc."  de  1633,  écrivait  (p.  46):  „Pour  la 
proportion  des  Cieux,  il  suffit  qu'il  s'y  rencontre  quelque  raison  harmonique,  soit  dans  leurs 
grandeurs,  &  distances,  ou  dans  leurs  mouuemens,  afin  d'establir  une  espèce  d'harmonie  raison- 
nable... Et  si  [les  Pythagoriciens  et  les  Platoniciens]  n'ont  pas  eu  un  fondement  assez  ferme 
pour  establir  leurs  pensées,  nous  pouuons  l'asseurer,  &  l'affermir  dauantage,  carilestaysé 
d'ajouter  à  leurs  inuentions".  Notons  aussi,  pour  compléter  la  note  9  qui  précède,  que  dans 
ses  «Questions  inouyes  ou  récréation  des  scauans"  de  la  même  année  Mersenne  parle  (p.  36) 
de  la  difficulté  „de  trouuer  la  vraye  cause  des  mouuemens  de  la  mer",  disant  qu'on  doit  peut- 
être  attribuer  une  „vertu  de  l'aymant"  à  la  lune;  mais  conformément  à  son  habitude  de  ne 
rejeter  aucune  explication  avec  légèreté,  il  admet  aussi  [avec  Galilée]  qu'on  „establisse  le 
mouuement  de  la  terre  pour  donner  le  bransle  à  la  mer". 

'^)  S'exerçant  à  travers  les  oeuvres  de  Lucrèce,  de  Gassendi,  de  Descartes  etc. 

"•)  Dans  les  1. 9—12  de  la  p.  791  du  T.  XI II,  et  ailleurs,  Huygens  contredit  Démocrite  et  Epicure. 

■5)  Voyez  p.  e.  la  p.  325  du  T.  XIX  et  la  1.  15  de  la  p.  230  du  T.  XVI. 

'*)  Voyez  la  première  ligne  de  la  Pièce  I  qui  suit. 

'0  T.  XIII. 


1 8o  AVERTISSEMENT. 


une  exiitence  objeftive  '^).  Pas  plus  qu'EucIide  ou  Archimède  il  n'a  cru  devoir,  ou 
pouvoir,  formuler  une  théorie  de  la  connaifTance.  Nous  ne  voyons  pas  qu'il  le  foie 
intérelTé  à  la  publication  par  Boulliau  en  1 663  '»)  du  „Tractatus  de  judicandi  facultatc 
et  animi  principatu"  de  Ptolémée  "),  auquel  Boulliau  avait  ajouté  un  long  commen- 
taire et  une  „nota  brevis  ad  fubtiliflimi  philofophi  Renati  Cartefii  de  anims  fpecie 
intelledui  impreffa  opinioncni".  Nous  ne  voulons  pas  dire  que  pour  Huygens  le  degré 
d'objeftivité  de  toutes  les  entités  qui  fe  préfentent  h  notre  efprit  ibit  le  même.  Les 
forces,  ainfi  que  les  rayons  de  lumière,  ne  font  pas  exiiîantes  pour  lui  au  même  titre 
que  les  figures  et  les  mouvements  ").  La  nature  des  mouvements  eux-mêmes  dépend 
du  point  de  vue  des  fpeftateurs :  il  n'y  a  pas  d'efpace  abfolu  ").  Mais  il  ne  faut  pas 
chercher  chez  lui  de  difcuffion  générale  fur  la  nature  réelle  ou  idéclledes  entités  qu'il 
confidère.  Il  croit  avoir  une  certitude  entière  de  l'infinité  de  l'espace  '^);  c'eft  aufll 
intuitivement  (comparez  la  note  9  qui  précède)  qu'il  exclut  de  la  nature  les  „qualitez 
attraftives  et  expulfives"  "+).  Ce  font  bien  les  corps  ^5),  particules  ou  aflTemblages  -") 
de  particules  indéformables,  féparées  les  unes  des  autres  par  le  vide  (à  moins  qu'elles 
ne  fe  touchent),  qui  fuivant  lui  méritent  en  premier  lieu  notre  attention  :  ils  conftituent 
la  bafe  ferme  et  inébranlable  de  toute  théorie  phyfique  et  géométrique.  La  géométrie 
euclidienne  a  une  valeur  abfolue.  Notons  encore  qu'il  n'y  a  pas  d'ambiguité  dans 


")  Comparez  la  p.  31  du  T.  XVIII.  Voyez  aussi  sur  les  rayons  de  lumière  la  1.  9  d'en  bas  de  la 
p.  163  du  T.  VI. 

'9)  D'après  un  manuscrit  (ou  plutôt  deux  manuscrits)  de  la  Bibliothèque  Royale  à  Paris.  Huygens 
possédait  ce  livre  suivant  le  catalogue  mentionné  à  la  p.  389  du  T.  XIX  ainsi  qu'à  la  p.  46  qui 
précède.  Notons  que  Boulliau  avait  publié  en  1644,  également  d'après  un  manuscrit  et  en  y 
ajoutant  un  commentaire,  les  remarques  de  Tliéon  de  Smyrne  sur  l'arithmétique  et  la  musique 
(Théo  Smyrnaeus  Platonicus,  „Eorum  quae  in  mathematicis  ad  Platonis  lectionem  utiiia  sunt 
expositio".  Nous  avons  donné  le  titre  grec  plus  haut  dans  la  note  3  de  la  p.  11). 

'°)  K.AAVAIOV  IITOAEMAIOV  HEPI  KPITHPIOV  KAI  HrEMOMAS.  On  peut  Comparer  avec  ce 
traité  les  opinions  générales  exprimées  par  Ptolémée  dans  ses  „IIarmonika".  Voyez  la  p.  355 
du  T.  XIX. 

=')  Voyez  sur  les  forces  les  p.  6 — 7  du  T.  XIX,  ainsi  que  les  premières  lignes  de  la  p.  247  du  T. 
XVI;  pour  la  théorie  de  la  lumière  on  peut  également  consulter  le  T.  XIX. 

")  Voyez  la  p.  659  du  T.  XVIII. 

-•^)  Voyez  la  1.  6  de  la  p.  230  du  T.  XVI.  Comparez  aussi  la  note  8  de  la  p.  191  du  même  Tome 
(opinion  d'Epicure  et  de  Lucrèce). 

^'*)  Voyez  le  dernier  alinéa  de  la  p.  642  du  T.  XIX. 

-5)  C'est  aux  corps  qu'il  applique  le  terme  „substantiae"  dans  la  I.  17  de  la  p.  230  du  T.  XVI. 
Comparez  la  fin  de  la  note  4  de  la  p.  341  du  T.  XVI  et  le  dernieralinéadelap.  3i6duT.  XIX. 

^*)  Voyez  le  T.  XIX  sur  la  question  de  la  cohésion. 


AVERTISSEMENT.  1 8  I 


le  concept  du  temps;  I  luygcns  fen  fert  fans  le  difcuter  '•'):  le  temps,  qu'il  confidèrc 
apparemment  (tout  aufli  bien  que  l'efpace)  comme  une  grandeur  continue,  cft  le 
même  pour  nous  tous  '"). 

Or,  puifque  pour  toute  férié  de  dcmonflrations  il  faut  partir  de  certaines  définitions 
et  de  certains  axiomes  -»),  il  s'agit  de  les  bien  choilîr.  Ce  choix,  en  effet,  eft  équivoque, 
et  c'efl:  ici  que  fe  manifeflent  le  bon  fens  et  l'art  du  phyficien  géomètre.  Voyez  la 
p.  1  o  du  T.  XVI  fur  le  choix  des  axiomes  dans  le  cas  de  la  coUifion  centrale  de  fphères 
dures  homogènes;  fujet  bien  important  puifque  toute  la  phyfique  d'après  I  luygens 
doit  finalement  repofer  fur  la  collifion  des  corps  durs  ^^').  Quant  à  la  géométrie  pure, 
c'efl  dans  la  Pièce  I  fur  Euclide  qui  fuit,  datant  fansdoutede  16720U  1673,  qu'il  nous 
donne  fon  opinion  fur  la  manière  de  parvenir  au  meilleur  choix  des  axiomes,  fans 
toutefois  tâcher  d'exécuter  lui-même  le  programme  qu'il  ébauche.  Perfonnellement 
—  quoique  partifan  d'une  certaine  rigueur  3")  —  il  n'a  donc  pas  éprouvé  lanéceffîté 
de  ferrer  toutes  fes  penfées  dans  un  étau  rigide.  Cette  Pièce  fait  voir  que  pour  Huygens 
nos  connaifiTances  géométriques  font  empiriques;  les  propofitions  d'Euclide  expriment 
des  vérités  de  fait. 


^7)  Huygens  ne  dira  donc  pas  avec  Aristote  (Physica ,  IV)  :  6  ;^povo;  àpi5;xoç  xmaet,!;  /.ara  tô  TzpoTspov 
xou  uo-Tspov.  La  continuité  du  temps  chez  Aristote  ressort  e.a.,  outre  du  livre  cité  et  du  liv.  VI 
de  la  Physique ,  des  paroles  suivantes  (Meteorologica  I)  :  ô  tj  /jvjoç  oj/^  ■jîzohÎTzsi  zai  zo  l\n  iîoiov. 
Comparez  la  note  2  de  la  p.  188. 

'8)  Voyez  sur  la  question  de  la  continuité  du  temps  la  1.  8  d'en  bas  de  la  p.  82  du  T.  XIX. 

^9)T.  XIX,p.  81. 

5°)  Comparez  les  notes  2  et  3  de  la  p.  8  du  T.  XIX.  Provisoirement  il  fallait  sans  doute  laisser 
délibérément  de  côté  les  phénomènes  inabordables:  voyez  la  note  9  de  la  p.  178  qui  précède 
(question  des  marées)  et  ce  que  nous  avons  dit  à  la  p.  334  du  T.  XIX  sur  les  phénomènes 
capillaires. 

3")  Comparez  la  fin  de  la  note  2  de  la  p.  185  et  la  note  104  de  la  p.  215.  Nous  avons  publié  à 
la  p.  338  du  T.  XIV  sa  «description  schématique  de  la  méthode  de  démonstration  archimé- 
dienne"  qui  date  d'avant  1666,  plus  précisément  de  1659.  Au  „Lemma"  des  p.  283 — 284  du 
même  Tome,  ayant  pour  but  d'éviter  la  considération  de  l'infiniment  petit  dans  certaines 
figures  géométriques,  nous  avons  donné  par  hypothèse  la  date  1657.  Le  rédafteur  de  la  présente 
page  croit  toutefois  devoir  lui  donner  la  date  1667  :  voyez  la  p.  256  qui  suit. 

Consultez  sur  l'adoption  par  Huygens  des  postulats  d'Archiméde  les  p.  237  (note  5)  et  255 
(note  5)  du  T.  XIV,  se  rapportant  à  un  écrit  de  1657.  Ailleurs  (p.  337  et  note  14  de  la  p.  191 
du  même  Tome)  Huygens  admet  (en  1659)  que,  pour  éviter  les  longueurs,  il  est  généralement 
préférable  de  ne  pas  donner  une  «démonstration  formelle",  mais  seulement  „le  fondement 


l82  AVERTISSEMENT. 


Quant  aux  axiomes  additionnels  de  la  géométrie,  également  euclidienne,  d'Archi- 
mède,  Iluygens  fen  fert  fans  les  critiquer.  A  Tindar  du  prince  des  géomètres  grecs 
il  efl;  d'avis  que  l'infiniment  grand  et  l'infiniment  petit  ne  doivent  pas  entrer  dans 
une  démonflration  formelle  ''). 


d'une  telle  démonstration",  „ceiix  qui  s'y  connaissent"  ne  pouvant  alors  „douter  de  la  possi- 
bilité d'une  démonstration  rigoureuse".  Il  est  question  de  démonstrations  suivant  la  méthode 
d'Archimède. 


HUYGENS  ET  EUCLIDE. 


I.  A  PROPOS  DE  L'OUVRAGE  PROJETE  D'UN  MATHEMATICIEN 
INCONNU  SE  PROPOSANT  DE  CORRIGER  LES  ÉLÉMENTS 
D'EUCLIDE. 

IL  L'INCOMMENSURABLE. 

III.  LE  CORPS,  LA  SURFACE,  LA  LIGNE,  LE  POINT. 


I. 

A  PROPOS  DR  L'OUVRAGE  PROJETÉ  D'UN  MATHÉMATICIEN 

INCONNU  SE  PROPOSANT  DE  CORRIGER  LES 

ÉLÉMENTS  D'EUCLIDE  ■)• 

[1672] 

Il  a  de  bonnes  choses,  comme  l'ordre  de  confiderer  les  corps  furfaces  et  lignes. 

Mais  ces  choses  fe  pourraient  mettre  fous  forme  de  commentaire. 

Sur  les  Règles.  Ce  qui  cil  dit  dans  la  5  de  ces  règles  doit  eflre  examiné  car  c'eft  la 
deflus  qu'il  fonde  la  necelTitè  de  toutes  ces  propofitions  du  premier  livre  qui  ennuie- 
roient  fort  le  lefteur. 

1  définition.  Point  necefTaire  car  on  scait  auffi  bien  ce  que  c'cfl:  qu'eftre  égal  que 
ce  que  fignifie  plus  ou  moins. 

2  defin.  De  mefme  fuperflue. 

5  defin.  Superflue,  la  6  de  mefme. 

7  defin.  Cen'eflpasla  fignification  vulgaire,maisonlapeuticyei1ablirpardefinition. 

8  defin.  Le  nombre  2  n'efl:  il  pas  partie  de  8? 

9  et  10  defin.  Superflues.  De  mefme  la  12,  13,  14. 
15  defin.  Bien  longue. 

19.20  defin.  Superflue. 

2 1  defin.  Quand  la  propofition  eft  un  problème  eft  ce  alors  pour  examiner? 

24  defin.  Ne  femble  pas  convenir  au  problème. 

I  Remarque.  Problème  et  propofition  ne  fe  difent  pas  d'une  haleine.  Je  ne  voudrois 
pas  méfier  les  définitions  avec  les  axiomes  et  pofl:ulats.  au  moins  pas  fi  dii'perfez. 

II  allègue  d'autres  premiers  Eléments,  s'ils  font  neceflîaires  il  faudroit  les  mettre 
avec  ceux  cy. 

Je  corrigerois  s'il  y  a  quelque  chose  a  corriger  dans  Euclide,  la  demonftration 
des  proportionnelles  par  les  multiples,  et  la  ferois  par  les  parties  aliquotes  comme 
Tacquet  ^).  [Ailleurs  —  „Phy(lca  varia"  f.  34;  voyez  fur  la  date  de  cette  feuille  la  note  i  de  la 


')  La  pièce  est  empruntée  au  revers  de  la  feuille  qui  nous  a  fourni  l'Appendice  II  à  la  Pars  Quinta 
de  r  „Horologium  oscillatorium"  (T.  XVIII,  p.  438).  Or,  cet  ouvrage  parut  en  avril  1673, 
et  le  texte  de  l'Appendice  doit  être  antérieur  à  cette  date.  Il  paraît  donc  probable  que  la  pré- 
sente Pièce  date  elle  aussi  de  1672  ou  peut-être  de  1673. 

24 


1 86  HUYGENS  ET  EUCLIDE 


p.  333  du  T.  XIX  —  lluygens  écrit:  „E  quatuor  raagnicudinibus  prima  efl:  ad  fecundam 
ficut  tertia  ad  quarcam,  quando  prima  auc  quxlilicc  ejus  pars  aliquoca  tocies  auferri 
potell:  a  fccunda,  quoties  tertia  aut  ejus  pars  fimilis  aliquota  auferri  poteil  a  quarta".] 
J'adjoutcrois  la  propofition  2  d'Archimede  des  Conoides  3). 


Il  y  a  quantité  de  chofes  dans  ces  Elemens  qu'on  n'y  trouveroit  pas  a  dire  fi  elles 
n'y  eftoient  point,  et  qu'on  cenfurera  quand  on  les  y  trouuera. 

S'il  faut  que  cela  paroiflc  comme  l'ouvrage  de  l'Académie,  il  faudroit  ou  que  la 
compagnie  y  travaillai,  ou  que  du  moins  il  deferaft  a  leur  jugemens. 


^)  Andréas  Tacquet,  Societatis  lesu  sacerdos  &  matheseos  professer  —  voyez  sur  lui  les  p.  155 
et  185  du  T.  I  — ,  avait  publié  en  1665  (editio  secunda  correiftior,  Antverpia;,  apud  lacobum 
Meursium)  les  „Elementa  Géométrie  plana;  ac  solide,  quibus  accedunt  selecta  ex  Archimede 
theoremata".  Il  s'agit  d'une  édition  des  Eléments  d'EucIide  „ad  usum  studiosœ  iuuentutis"  (la 
première  édition  est  de  1654.  Voyez  la  note  3  de  la  p.  2  du  T.  III,  se  rapportant  à  une  lettre 
de  1660  de  lluygens  à  Tacquet).  Dans  la  Préface  Tacquet  dit  e.a.:  „In  quinto  libro  propor- 
tionum  doftrinam,  ut  quidem  ab  Euclide  traditur,  satis  spinosam,  efficere  planiorcm  conatus 
sum.  Itaque  primùm  proportionum  elcmenta,  faciliori  quadam  methodo,  multiplicibus  able- 
gatis,  traduntur".  Au  début  du  Liber  V  il  écrit  e.a.:  „Difficultas  tota  in  definitione  5.  libri 
5.  vertitur:  ubi  tradit  Euclides,  quid  sit  quatuor  magnitudines  esse  proportionales,  sine  duas 
rationes,  easdem,  similes,  a;quales  esse.  Définit  igitur  duas  rationes  tum  a;quales  dici  seu 
sirailes,  quando  antecedentia  quocumque  numéro  œqualiter  multiplicata,  consequentibus 
etiam  quocunque  numéro  aequaliter  multiplicatis,  semper  vel  simul  squalia  sunt,  vel  simul 
maiora,  vel  simul  minora.  Atque  ex  ea  definitione  omnes  deinde  5.  &  6.  libri  demonstrationes 
médiate  vel  immédiate  deducit.  Haec  doétrinœ  Euclideae  summa:  quœ  multiplicem,  utdixi, 
difficultatem  habet.  Nam  imprimis  certum  est  eà  definitione  non  naturama.'qualium  rationum, 
sed  affeftionem  solummodo  aliquam  explicari.  Deinde  illa  multiplicium  proprietas  adducitur, 
vel  tanquam  signum  infallibile  rationum  œqualium,  ut  quandocumque  ea  demonstrata  fuerit 
de  quibusuis  rationibus,  inferre  certô  liceat  îequales  eas  esse:  vel  is  sensus  illius  est,  ut  per 
magnitudines  eandem  rationem  habentes  nihil  aliud  intelligi  velit,  quàm  earum  multipliées 
modo  iam  dicto  excedere,  vel  excedi.  Si  primum;  demonstrare  debuerat,  eam  affeftionem 
omnibus  &  solis  rationibus  squalibus  inesse,  ut  ex  eà  rationum  œqualitas  certô  possit  inferri. 
Id  verù  minime  vulgare  theorema  est,  quod  neque  Euclides,  neque  alius  post  Euclidem  ullus 
demonstrauit.  Si  secundum;  securi  quidem  erimusde  veritatetheorematuminsensudefinitionis 
acceptorum ,  minime  tamen  ex  vi  demonstrationum  nobis constare  poterit  de  absolutà  rationum 
squalitatc". 

La  première  définition  du  livre  V  chez  Tacquet  (s'accordant,  quant  au  sens,  avec  celle 
d'Euclide),  est  la  suivante:  „Pars  aliquota  magnitudinis  est,  quir  aliquoties  repetita  magnitu- 
dinera  metitur,  siue  adaequat.  Pars  aliquanta,  qua;  non  metitur". 

Dans  un  exposé  de  la  p.  133  intitulé  „Proportionum  a;qualitas  &  inœqualitas  explicatur"  il 
nous  apprend  ce  qui  suit:  „Quid  porro  sit  unum  antecedens  a:qué  vel  magis  continere  suum 
consequens,  quàm  antecedens  alterum  contineat  suum,  si  proportiones  sint  rationales,  definiri 
&  explicari  ulterius  potest  per  numéros,  ut  si  A  sit  triplum  B,  &  C  triplum  F,  perspicuum 
erit,  quid  sit,  A  a;què  seu  eodem  modo  continere  B,  quo  C  continet  F:  vel  si  I  sit  triplum  L, 
O  verù  duplum  Q;  constabit  rursum,  quid  sit  I  magis  continere  L,  quam  O  contineat  Q.  At  si 


A  PROPOS  DE  l'ouvrage,  ETC.  1  87 

Les  3  fins  des  Elemcncs.  i°  Eftablir  des  principes  certains  de  la  fcience.  2°  Servir 
d'enfeignement  a  ceux  qui  veulent  l'apprendre.  3"^  Et  contenir  un  recueil  des  propo- 
lltions  qui  s'emploient  le  plus  trequcninicnt  dans  les  ouvrages  et  denionftrations  de 
Géométrie  afin  qu'on  ne  (bit  pas  obligé  d'eftendre  a  chaque  fois  les  demonftrations 
jusqu'aux  premières  propofitions  et  principes. 

Pour  effectuer  ces  3  chofes,  en  Ibrte  qu'il  n'y  manque  rien  ni  qu'il  n'y  ait  rien  de 
l'uperflu,  je  crois  qu'il  faudroit  en  premier  lieu  choifir  les  Propofitions  principales  et 
plus  ufitees  dont  on  conviendroit  qu'elles  (croient  necclTaires  ou  qu'elles  meriteroient 
d'entrer  dans  ce  Recueil.  Et  voir  en  Cuite  celles  qui  devn  lient  leur  fi.icccdcr  par  ordre 
pour  parvenir  a  leur  demonfliration.  Et  cela  juCqu'au  premiers  principes  et  axiomes, 
dont  par  cette  rétrogradation  on  trouveroit  tous  ceux  qui  fiant  necefiTaires,  fans  eflre 
en  danger  d'en  pofer  de  fupcrflus.  Et  de  mefme  en  ce  qui  regarde  les  définitions, 
dont  la  fuperfluitè  ne  doit  pas  moins  eltre  évitée. 


proportiones  fueriiu  irrationales,  ea  res  explicari  ultcrius  nec  potest, nec  débet.  Denturmagni- 
tiidines  incommensnrabiles  A,  B,  perspicuutn  est  A  non  solùm  maius  esse  B,  sed  etiam  certo 
qiiodam  modo  esse  mains  (A  quippe  aliter  continet  B,  quàm  alia  qua?libet  maior  minorue 
quam  A:)  neque  tamen  ulteriùs  qiiaeri,  aut  explicari  débet,  quis  sic  certus  ille  modus,  que  A 
continet  B;  quia  per  niillos  nnmeros  explicabilis  est.  Itaque  qiiemadmodiim  datis  binis  incom- 
mensiirabilibus  quantitatibus  non  débet  ulteriùs  quœri,  quid  sit  unam  certo  modo  continere 
alteram,  ita  neque  cnm  dantur  quatuor  proportionales  incommensurabilcs,  quaeri  débet 
ulteriùs,  quid  sit  C  eodeni  modo  continere  D,  quo  A  continet  B.  Sicuti  enim  modusquoA 
continet  B,  ulteriùs  est  inexplicabilis,  ita  plané  etiam  identitas  modi,  quo  A  continet  B,  cum 
modo,  quo  C  continet  D,  ulteriùs  inexplicabilis  est.  Etc." 

Rien  n'indique  que  Huygens  approuve  cette  critique  de  Tacquet  de  la  définition  d'Euclide, 
sur  la  finesse  de  laquelle  on  peut  consulter  l'édition  de  1930  des  Eléments  citée  à  la  p.  11  qui 
précède.  Heureusement  la  définition  de  Huygens  que  nous  insérons  entre  parenthèses  dans  le 
texte  et  qui,  comme  il  le  dit,  n'est  autre  que  celle  proposée  par  Tacquet  à  la  p.  136  de  son 
livre  (savoir:  „Rationes  œquales  sunt  quando  &  conséquentes  ipsi,  &  consequentium  similes 
partes  aliquotœ  quœcunque  in  antecedentibus  îequali  semper  numéro  continentur")  se  rap- 
proche en  somme  beaucoup  de  celle  d'Euclide. 

Nous  ajoutons  encore  que  dans  sa  letcre  à  Tacquet  de  1660,  citée  au  début  de  la  présente 
note,  Huygens  fait  voir  à  son  correspondant  qu'  Euclide  raisonne  parfois  mieux  que  lui. 
■')  Huygens  avait  fait  usage  de  cette  proposition  d'Archimède  dans  la  Pièce  de  165-  que  nous 
avons  intitulée:  „Rédu(ftion  suivant  la  méthode  des  anciens,  de  la  reftification  de  la  parabole 
à  la  quadrature  de  l'hyperbole"  (T.  XIV,  p.  237  et  suiv.)  II  s'en  sert  aussi  dans  la  Pars  Secunda 
de  r„Horologium  oscillatorium"  (T.  XVIII,  p.  179).  Voyez  aussi  la  p.  377  du  T.  XVIII. 
Nous  avons  cité  la  proposition  dans  la  note  5  de  la  p.  251  du  T.  XIV  en  remarquant  qu'elle 
porte  le  numéro  4  dans  l'édition  moderne  de  Heiberg  des  Oeuvres  d'Archimède. 


II.) 


L'INCOMMENSURABLE. 


7Jan.  1675. 


DiAMETER  QUADRATI  INCOIMMENSURABILIS  EST  EJUSDEM  LATERI. 


[Fig.5] 


Sit  quadratum  cujus  latus  AC,  diameter  AB  [Fig.  5].  Dico  AB,  AC  incommen- 

furabiles  efTe.  Si  enim  non,  sunto  fi  polTunc  commen- 
furabilcs.  Erunt  ergo  ut  numerus  ad  numerum. 

Sit  AB  ad  AC  ut  numerus  FG  ad  FH  [Fig.  6] 
integer  uterque. 

Les  deux  derniers  mots  ont  été  ajoutés  dans  l'interligne. 
Dans  le  premier  alinéa  Huygens  prenait  le  mot  „numerus" 
dans  le  fens  du  grec  àoiSuoc,  nombre  entier  ').  Ses  „numeri 
integri"  font  oppofés  aux  nombres  fractionnaires  ^).  Nous 
n'avons  pas  trouvé  que  Huygens  parle  de  nombres  incom- 
menfurables  3).  Le  „nombre  n"  date  de  plus  tard  *).  Il  est 
vrai  qu'il  parle  parfois  de  nombres  fourds  5)  ou  irrationnels*) 
—  comme  on  faifait  alTez  généralement  longtemps  avant 
lui  '')  —  et  que  déjà  en  1661  (voyez  la  p.  la  qui  précède)  il  accorde  le  nom  de  „nombres"  aux 
logarithmes.  Voyez  encore  fur  les  nombres  fourds  etc.  la  p.  370  qui  fuit. 

Porro  centre  A  radio  AC  defcripta  circumferentia  fecet  diametrum  in  D,  unde 


')  Portef.  „Physica  varia",  f.  1 1  v. 

^)  Cad.  dans  le  sens  que  les  mathématiciens  grecs  (antérieurs  à  Diophante  qui  admet  les  nombres 

fractionnaires)  donnent  à  ce  mot;  chez  Aristote  —  voyez  la  note  27  de  la  p.  181  qui  précède  — 

le  mot  àpt5-/zôç  est  appliqué  aussi  à  une  quantité  qui  varie  d'une  manière  continue,  le  temps. 
3)  Comme  on  pourrait  le  croire  d'après  la  1.  2  d'en  bas  de  la  p.  245  du  T.  XII.  Voyez  les  I.  4 — 5 

de  la  p.  126  du  T.  XIV  (datant  de  1675),  avec  la  note  6. 
*)  Comparez  la  note  3  de  la  p.  372  du  T.  XVI. 
5)  L.  12  de  la  p.  273  du  T.  VI  (dispute  avec  Gregory  sur  la  question  de  la  quadrature  du 

cercle,  1668). 
*)  Voyez  la  p.  244  du  T.  VIII  (correspondance  avec  Leibniz,  1679). 
7)  Ludolf  van  Ceulen  p.  e.  parle  de  „irrationale  ghetallen"  dans  son  ouvrage  „De  Arithmetische 

en  Geometrische  fondamenten"  de  1615:  voyez  la  note  3  de  la  p.  93  du  T.  XII. 


l'incommensurable.  1 89 


dufta  DE  perpendicularis  AB  occurrat  lateri  CB  in  E.  Sunt  ergo  ED,  EC  squales 
quia  ab  codcin  punfto  E  cgrcdicntcs  circuinfcrcntiani  CD  tangiint.  Quia  autem  AB 
ponitur  ad  AC  iivc  ad  AD  ut  inimcrus  GF  ad  numeruni  FI  I.  [Fig.  6]  erit  et  AD  ad 

reliquam  DB  ut  numerus  FM  ad  numcrum  HG.  Sed 
[Fig.  6]  DB  cft  œqualis  DE  fivc  EC,  et  AD  xqualis  AC  five 

BC.  Ergo  et  lîC  ad  CE  ut  numerus  Fil  ad  HG. 
r           I         H        G  AuferaturabFH  numerus  111  xqualisHG.  Ergo  BC 

' '" ad  CE  ut  numerus  FH  ad  1 II.  Et  BE  ad  EC  ut  nu- 

merus FI  ad  IM.  Efl;  autem  quadratum  BE  duplum 
quadrati  BD,  propter  fimiles  triangulos  ABC,  EBD  '^).  Ergo  quadratum  BE  duplum 
quoque  quadrati  EC.  Et  quadratum  numcri  FI  duplum  quadrati  ab  II  I.  Apparet  ergo, 
pofitis  numeris  integris  GF,  FH,  quorum  illius  quadratum  fit  hujus  quadrati  duplum, 
dari  necessario  duos  alios  minores  numéros  integros  FI,  Il  1  quorum  unius  quadratum 
fit  alterius  duplum.  Itaque  pofitis  FI,  IH,  alij  duo  his  minores  numeri  integri  dabuntur 
quorum  quadrata  fimiliter  duplam  proportionem  fervent.  Atque  ita  in  infinitum. 
Quod  eft  absurdum  quia  numeri  integri  descendendo  infiniti  non  funt.  Non  sunt  ergo 
AB,  AC  commenfiarabiles. 

Poteil:  et  aliter  perfici  demonrtratio:  fi  FG  et  FH  ponantur  numeri  minimiinterfe 
rationem  AB  ad  AC  habentes.  Oftcndetur  enim  uti  prius  numéros  exiitere  FI,  IH 
minores  quam  GF,  FH,  quorumque  eadcm  inter  fe  ratio  quam  AB  ad  AC;  quod  ab- 
furdum,  cum  pofiti  fint  GF,  FH  minimi  corum  qui  iflam  rationem  inter  fe  obtinent. 


")  Le  théorème  de  Pythagore  est  donc  supposé  connu,  du  moins  pour  le  triangle  rectangle 
équilatére. 


III. 

LE  CORPS,  LA  SURFACE,  LA  LIGNE,  LE  POINT. 

Dans  le  Mainifcrit  G,  fans  doute  en  1690  '),  Huygens  donne  plufieurs  définitions  du  point,  de 
la  ligne,  de  la  furface  et  du  corps.  Contrairement  à  notre  habitude  nous  publions  ici  les  énoncés 
de  Ihiygens  comme  ils  fe  fuivent  dans  le  Manufcrit  fans  mettre  en  avant  ceux  qu'il  défigna  après 
coup  par  les  chiffres  1,2,  3,  4. 

B.  4      Punftum  eft  quod  omni  extenfione  caret,  et  cujus  non  nifi  pofitus  intelligitur. 
B. [biffé]  Punftum  ell:  cujus  pofitus  intelligitur,  magnitude  nulla  intelligitur. 

Linea  eil  quod  extenfum  intelligitur,  magnitude  nulla  intelligitur. 

Superficies  eft  quod  extenfura  undique  intelligitur  in  latitudineni,  abfque 

profunditate. 

Corpus  efl:  quod  extenfum  intelligitur  in  omnem  partem,  acfuperficie  ter- 

minatur. 

B.  3      Linea  efl  quod  tantum  in  longitudinem  extenfum  intelligitur. 

Linea  efl:  quod  nonnifiinlongitudinemextenlumintclligitur[phrase  biffée]. Sen- 
fu  percipi  nequit. 

fpharicœ  conoe  ...$')  dele 
Superficies  elHn  qua  et  longitude  et     [les  deux  premiers  mots,  ainfi  que 
latitudointelligitur.    bonum [mot  biffé],      le  dernier,  font  en  effet  biffés] 

nihil  habens  corporel. 

Superficies  efl:  in  qua  ex  punftononplureslinejeexcurrere  poffiint  [alinéa  biffé]. 
Linese  terminat£E  [mot  biffé]  neque  in  fe  redeuntis  termini  funt  punda. 
Q        Superficies  finita  et  qua  corpus  non  compleftitur,  linea  terminatur. 

B.   I      Corpus  quatenus  in  geometria  confideratur  efi:  magnitude  finita,  in  qua  ex- 

tenfio  in  omnem  partem  intelligitur. 
B.  a      Superficies  eft:  id  que  corpus  exterius  circumdatur  [en  marge:  quo  corpus  ex- 

trinfecus  circumdatur]  ita  ut  nihil  quicquam  intercédât  [leçon  primitive :inter- 

ponatur]. 


')  Manuscrit  C,  f.  4-  v.  La  date  1 692  se  trouve  sur  la  f.  44,  mais  plus  loin  on  rencontre  des  dates 
de  1690. 

Voyez  encore  sur  ce  sujet  les  Additions  et  Correftions. 


LE  CORPS,  LA  SURFACE,  LA  LIGNE,  LE  POINT.  1 9 1 

Huygens  avait  commencé  par  écrire:  Superficies  eft  quod  extremum  in  curpore 
intelligitur;  ce  qu'il  corrigea  d'abord  en  :  Superficies  eft  quo  corpus  exteriusam- 
pleditur  idque  immédiate  l'eu  ut  nihil  quicquam  intercédât. 

Superficies  nulla  eft  nifi  in  corpore  [leB.  2  s'applique  peut-être  aufli  à  cette 
phrase]. 

Linea  eft  quod  extremum  in  fuperficie  intelligitur  [alinéa  biffe], 
Pundtum  eft  quod  extremum  in  linea  intelligitur  [alinéa  biff"é]. 

Les  nombreufes  ratures  font  voir  de  quelle  manière  héfitante  Iluygens  procédait.  Il  choifit  en  lin 
de  compte,  pour  chacune  des  quatre  entités,  une  feule  définition,  qu'il  marqua  d'un  B,  probable- 
ment une  abréviation  de  „bon"  on  „bonum". 

Comme  il  apparaît  par  le  numérotage  des  définitions  finalement  choifies,  Huygens  efl  d'avis  qu'il 
faut  commencer  par  la  définition  du  corps.  Il  femble  préférer  cet  ordre  à  l'ordre  invcrfe  (point, 
ligne,  furface,  corps)  et  y  attacher  de  l'importance;  cela  reflbrt  de  la  première  phrafe  de  la  Pièce  I 
qui  précède.  Toutefois,  il  n'y  a  chez  lui  une  relation  logique  qu'entre  les  définitions  du  corps  et  de 
la  furface,  tandis  que  —  fait  curieux  —  après  cela  font  définis  la  ligne  et  le  point,  indépendam- 
ment et  fans  rapport  logique  avec  les  définitions  précédentes.  L'ordre  dans  lequel  font  rangées  les 
définitions  n'a  pas  de  fignification  réelle,  abftraftion  faite  de  celui  des  deux  premières.  Il  en  eft 
autrement  lorfque,  comme  Barrow  -),  après  les  définitions  d'un  corps  et  d'une  furface  comme 
délimitation  d'un  corps,  on  continue  fyflématiquement  à  définir  la  ligne  comme  la  délimitation 
d'une  partie  d'une  furface  et  le  point  comme  celle  d'une  partie  d'une  ligne.  Mais  une  fois  qu'on  a 
accepté  la  définition  de  la  ligne  choifie  par  Huygens,  on  ne  peut  guère,  à  notre  avis,  faire  une 
objec'lion  fondamentale  contre  la  définition  de  la  furface  comme  quelque  chofe  ayant  longueur 
et  largeur  mais  non  pas  épaifleur  („profunditas",  comme  Huygens,  de  même  que  Barrow,  appelle 
ici  la  troifième  dimenfion),  quelque  peu  fatisfaifantes  que  foient  pareilles  définitions  au  point  de 
vue  des  mathématiques  rigoureufes  d'aujourd'hui. 

Du  temps  de  Huygens  il  paraît  qu'on  avait  beaucoup  d'intérêt  pour  de  femblables  queftions  et 
aufiî  pour  d'autres  qui  s'y  rattachent,  comme  celle  de  favoir  fi  un  point  efl:  un  „ens  rêvera  exi- 
l^ens"  3).  En  1660  eut  lieu  à  Paris,  à  l'Académie  de  Montmort,  une  réunion  3)oùDefargues,auteur 
du  „broiiillon-projeft"  fur  la  coupe  des  pierres  en  l'architefture.foutenait  qu'un  point  géométrique 


")  I.  Barrow,  „Leaiones  mathematica;"  de  1664,  Leftio  IX,  p.  135  de  l'édition  Whewell  citée  à 
la  p.  372  qui  suit:  „Corpus  vel  solida  magnitudo  prœsupponi  potest ..  Hinc  datur  solida;  mag- 
nitudinis  Terminus  aliquis  secundum  profunditatem  indivisibilis,  is  vocetur  Superficies  . .  Pars 
difta  superficies  non  est  usquam  interminata,  sed  aliquo  ambitu  seu  extremo  clauditur  . .  Ter- 
minus . .  dicatur  Linea  . .  supponatur  dari  lines  Terminus  indivisibilis,  et  hic  appelletur  Punc- 
tum".  P.  137:  „Non  existimo  superficies,  lineas  aut  purnfta  separatam  quandam  existentiam, 
aut  propriam  ex  seipsis  efficaciam  possidere". 

3)  Voyez  la  p.  182  du  T.  III.  Il  semble  ressortir  de  cette  page  que  Lodewijk  Huygens  connais- 
sait Desargues  personnellement.  Il  se  peut  donc  que  Christiaan  et  Lodewijk  aient  fait  sa  con- 
naissance lorsque  les  deux  frères  se  trouvaient  à  Paris  en  1655.  Mais  il  est  également  fort  pos- 
sible que  Christiaan  ne  l'ait  vu  qu'une  seule  fois  de  sa  vie.  On  peut  aussi  consulter  sur  la  soirée 
chez  de  Montmort  qui  eut  lieu  le  9  novembre  1660,  le  Journal  de  voyage  1660 — 1661. 


192  HUYGENS  ET  EUCLIDE 


aurait  une  exiftence  réelle  '♦).  Il  fut  attaqué  fur  cette  thèfe  par  de  la  Poterie.  Une  expredion  de 
Huygens  montre  que  la  quclHoii  provoqua  ce  foir  des  réactions  païïîonnées:  il  parle  de  la  véhé- 
mence merveilleiife  et  ridicule  de  de  la  Poterie. 

Voyez  la  p.  504  qui  fuit  fur  un  fac-fimilé,  publié  en  cette  même  année  1940,  des  définitions  de 
i6po  de  Huygens. 


•♦)  Il  est  possible  que  dans  sa  conférence  Desargues  soit  parti  de  la  notion  du  corps:  M.  Poudra 
dans  les  «Oeuvres  de  Desargues,  réunies  et  analysées  par  [lui]"  (Paris,  Leiber,  1864)  cite  (T. 
II,  p.  176)  l'élève  et  ami  de  Desargues  Abr.  Bosse  disant:  „Desargues  démontrait  universelle- 
ment par  les  solides,  ce  qui  n'est  pas  l'usage  ordinaire  de  tous  ceux  qui  se  disent  géomètres  ou 
mathématiciens". 

On  pourrait  penser  devoir  constater  ici  une  certaine  ressemblance  entre  la  pensée  de  Desar- 
gues et  celle  de  Huygens.  En  réalité  Desargues  a  eu  bien  peu  d'influence  sur  lui;  voyez  toute- 
fois le  nom  Desargues  aux  p.  220,  221  et  402  qui  suivent.  Il  nous  semble  d'ailleurs,  malgré 
Bosse,  que  Desargues  ne  partait  pas  toujours  exclusivement  de  la  notion  du  corps.  M.  Zacharias 
dans  lapréface  de  sa  traduction  de  1922  danslasérie  „0st\valds  Klassiker  der  exakten  Wissen- 
schaften"  (N°.  197)  du  «Broûillon-projeft  d'une  atteinte  aux  évenemens  du  rencontre  du  cône 
avec  le  plan" s'exprime  comme  suit:  „Sind  bei  den  Alten  aile  Figuren  starr  und  unbeweglicli, 
sosetzt  die  neuere  Géométrie  die  Bestandteile  ilirerGebildegernin  Bewegung;Punktedurcli- 
laufen  Linien  [il  en  était  ainsi  déjà  chez  Héron  d'Alexandrie;  Aristote,  lui,  disait  (Physica,  VI) 
que  le  mouvement  continu  d'un  point  mathématique  est  inconcevableet  inexistant;  voyez  encore 
sur  ce  sujet  la  note  13  de  la  p.  372  qui  suit],  gerade  Linien  drehen  sich  umfestePunkteoder  wâl- 
zen  sich  als  bewegliche  Tangente  um  krumme  I^inien  herum,  Ebenen  drehen  sich  um  feste 
Achsen  . . .  [Es]  erweist  sich  Desargues  in  seinemBroiJillon-project  als  Wegbereiter  der  neueren 
Géométrie  . . .  hinsichtlich  der  Beweglichkeit  der  Figuren  zeigt  sich  Desargues  als  Bahnbrecher 
der  neuen  Richtung.  So  erzeugt  er  den  Kreis  und  die  andern  Kegelschnitte  durch  Bewegung 
eines  Punktes,  den  Kegel  durch  Bewegung  einer  geraden  Linie  etc".  Nous  ne  nous  écartons 
certes  pas  de  notre  sujet  en  observant  en  passant  que  si  cette  géométrie  du  mouvement  est  en 
général  étrangère  aux  Eléments  euclidiens,  il  est  pourtant  vrai  que  dans  le  livre  IX  Euclide,  se 
conformant  à  des  prédécesseurs,  définit  la  sphère  (Def.  XIV)  comme  le  solide  contenu  dans  la 
surface  obtenue  par  la  rotation  d'une  demi-circonférence  de  cercle  et  que  dans  la  Def.  XVIII 
il  obtient  le  cône  par  la  révolution  d'un  triangle  rectangle;  ni  aussi  en  remarquant  que,  prati- 
quement au  moins,  Huygens  n'a  aucune  objection  contre  de  pareilles  définitions:  voyez  p. e. 
les  dernières  lignes  de  la  p.  309  du  T.  X.  Mais  dans  ceci  il  n'est  certainement  pas  question  de 
la  moindre  influence  de  Desargues  sur  Huygens  dont  les  figures  —  nous  ne  parlons  pas  ici 
des  développantes  ou  d'autres  courbes  dans  la  genèse  desquelles  sont  considérés  des  fils  flexi- 
bles —  sont  en  général,  comme  celles  d'Euclide,  „starr  und  unbeweglich". 


MATHEMATICA  VARIA  : 
LES  MANUSCRITS. 


-3 


MATHEMATICA  VARIA:  LES  MANUSCRITS. 

Le  portefeuille  „Varia"  contient  une  douzaine  de  feuilles,  de  la  main  de  I  luygcns, 
failant  mention  de  certaines  lettres  et  donnant  une  férié  de  titres  d'ouvrages  qui 
n'avaient  pas  vu  le  jour  de  fon  vivant  '),  Ces  feuilles  fc  trouvaient  fans  doute  au  mo- 
ment de  fa  mort  dans  les  tiroirs  d'un  bureau,  puifque  fur  l'une  d'elles  on  lit:  „Corres- 
pondence  avec  le  Marquis  de  l'I  loi'pital  dans  lui  tiroir  a  part"  et  que  fon  teftament 
mentionne  certains  tiroirs  et  les  papiers  y  contenus.  Dans  ces  feuilles  il  eft  en  outre 
queftion  de  la  correfpondance  de  Iluygens  avec  Merfenne,  Iludde,  Romer,  Olden- 
burg  et  de  Carcavy.  Il  y  en  a\ait  lans  doute  d'autres  qui  ne  nous  font  pas  parvenues: 
le  tertament,  mais  non  pas  les  feuilles  confervces, mentionne  la  correfpondance  avec 
Leibniz. 

La  correfpondance  avec  Iludde  p.e.  cil  mentionnée  deux  fois  dans  les  feuilles: 
„Litcr;e  Iluddenij.  cum  nonnullis  meis  refponfis",  ceci  avec  plufieurs  autres  fujets, 
puis  fur  une  feuille  à  part:  „Liter£e  Huddenij.  cum  aliquibus  refponfis  meis.  ca?tera 
funt  in  libro  adverfariorum". 

Cette  dernière  remarque  s'applique,  peut-on  dire,  aux  „mathematica"  (voir  la  fuite 
du  texte)  en  général  :  les  conllruétions  géométriques  et  les  calculs  exécutés  par  I  luy- 
gens  dans  le  cours  de  fa  vie  ne  fe  trouvent  pas  tous  dans  des  lettres  ou  fur  des  feuilles 
féparées,  mais  auill,  et  pour  une  très  grande  partie,  dans  les  „libri  adverfariorum", 
c.à.d.  dans  les  Manuicrits  reliés  A-K  ^)  et  quelques  autres  moins  volumineux. 

Beaucoup  de  ces  „mathematica"  (nous  prenons  ici  le  mot  —  avec  Huygens,nous 
femble-t-il  —  dans  fon  fens  reflreint;  voyez  fur  le  fens  plus  large  la  p.  264  du  T.  XIX) 
ont  déjà  été  publiés,  non  feulement  dans  les  T.  XI,  XII  et  XI\^,  mais  auflî  dans  les 
autres  Tomes,  p.e.  dans  ceux  (X  et  précéd.)  qui  contiennent  la  correspondance.  En 
effet,  les  lettres  échangées  avec  Leibniz,  avec  le  Marquis  de  l'Hofpital  et  d'autres 
étant  de  nature  mathématique,  il  était  tout  naturel,  et  prefqu'inévitable,  d'y  joindre 
fous  foniie  d'appendices  ou  de  notes  les  calculs  et  conftruifHons,  ou  du  moins  la  partie 
la  plus  importante  de  ceux-ci,  auxquels  cette  correfpondance  donna  lieu. 

Une  feuille  h  part  porte  le  titre  :  „Mathematica  varia  niea.  pauca  alicujus  momenti". 
Sur  une  autre  feuille,  portant  plufieurs  titres,  Huygens  s'exprime  plus  fortement 


')  Comparez  la  Pièce  „Anecdota"  à  la  fin  du  T.  XVIII. 
')  Voyez  sur  ces  Manuscrits  la  p.  4  du  T.  XV. 


ip6  MATHEMATICA  VARIA  :  LES  MANUSCRITS. 

encore:  „Macheraatica  varia  mea.  in  quibus  nihil  fcre  alicujus  momenti".  Nous  igno- 
rons —  puifquc  Tarrangement  des  papiers  nous  efl;  inconnu  —  quelle  eil  la  partie  des 
„mathcniatica"  que  Huygens  frappait  ainfi  de  fon  verdift.  Il  paraît  bien  qu'il  n'cft 
qucllion  ici  que  de  feuilles  féparées  3);  et  de  celles-ci  plufieurs  peuvent  ne  pas  avoir 
été  confervées.  D'autre  part  il  eft  certain  que  la  remarque  ne  s'applique  pas  à  toutes 
les  feuilles  mathématiques  fans  exception,  puiique  la  même  feuille  du  portef  „Varia" 
qui  parle  des  „Mathematica  . .  .  nihil  fere  alicujus  momenti"  contient  auiïi  féparé- 
ment  le  titre:  „De  Problematc  Alhazeni  de  puncto  Rcflexionis  in  fpeculo  fphœrico. 
Conllruftiones  Slufij  et  noftrîe,  cum  literis  Oldenburgij".  Il  faut  fansdouteaufli  tenir 
compte  de  la  modeftie  de  Fauteur:  voyez  ce  que  nous  avons  dit  h  la  p.  92  du  T.  XI 
fur  la  note  „vulcano  tradenda".  Toutefois,  nous  penfons  agir  dans  fon  eiprit  en  ne 
publiant  pas  intégralement  fes  calculs. 

Un  des  tiroirs  contenait,  outre  divers  autres  papiers,  les  „Efcrits  de  Mathématique 
dont  j'ay  donné  Copie  a  l'Académie  des  Sciences  a  Paris".  Ce  font  ceux-ci  que  nous 
croyons  devoir  publier  en  premier  lieu  ''•).  Plufieurs  autres  Pièces  pourront  y  être 
ajoutées  en  guife  d'Appendices. 

Vu  que  les  deux  Appendices  à  la  Pièce  I  de  1 666  ou  1 66y  („Règle  pour  trouver 
les  logarithmes")  datent  '}  de  1661  (la  Règle  elle-même  efl  d'ailleurs  en  réalité  de 
la  môme  année)  c'eft  de  ces  Appendices  que  nous  traitons  en  premier  lieu  dans  notre 
Avertiffement  aux  Communications  de  Huygens  à  l'Académie  Royale  des  Sciences 
fur  des  fujets  de  mathématique. 


3)  Les  Manuscrits  A-K  etc.  sont  mentionnés  à  part  dans  le  testament. 

*')  Nous  suivons  en  général  le  texte  des  Registres  de  l'Académie.  Comparez  e.a,  la  note  i  de  la 

p.  243  qui  suit.  Nous  ignorons  si  les  papiers  de  Huygens  sur  ces  sujets  qui  se  trouvaient  dans  le 

tiroir  ont  tous  été  conservés.  Notons  que  nous  ne  possédons  pas  de  feuilles  séparées  sur  les 

équations  solides  (Pièce  XII  de  la  p.  286  qui  suit). 
5)  Ceci  est  certain  pour  le  deuxième  Appendice.  Nous  supposons  que  le  premier  date  également 

de  1661.  Voyez  les  p.  203 — 204  qui  suivent. 


HUYGENS  A  L'ACADEMIE  ROYALE 
DES  SCIENCES. 

COMMUNICATIONS  SUR  DES  SUJETS 
DE  MATHÉMATIQUE. 


AvertilTcment 


Dans  fon  „Haniionic  Univcrfelle"dc  1636  Merfennc  ne  s'ccait  pas  fcrvi  de  loga- 
rithmes; il  cil  permis  de  croire  que,  malgré  l'étendue  de  fes  connailTances"),  cette 
branche  des  mathématiques  —  n'en  fut-il  pas  de  même  pour  Defcartes?  -)  —  lui 
était  refiée  étrangère  5).  Toutefois  il  ne  mourut  pas  avant  d'avoir  fait  leur  connaii- 
fance,  d'ailleurs  apparemment  fort  fuperlicielle.  Dans  un  „Monitum"  de  r„Univcrfe 
Geometria?  mixtfeque  Mathcmatica;  Synopfis"  faifant  partie  des  „Cogitata  phylico- 
mathematica"  de  1644+)  il  mentionne  „Gellibrandus,  polt  Neperum  &  Briggium" 
diiant:  „Qui  ferio  Trigonometrise  fuam  operam  dare  voluerit,  adeat  Gellibrandi 
Britannicam  Trigonometriam '),  etc";  et  dans  une  lettre  du  1  mai  1648  h  Chr. 


')  Voyez  la  1.  2  d'en  bas  de  la  p.  352  du  T.  XVI  (remarque  de  Constantyn  Huygens  père  sur 

Mersenne). 
-)  Voyez  cependant  ce  que  Paul  Tannery  écrivit  en  1900  dans  le  T.  VII  de  r„Intermédiaire  des 

Mathématiciens"  („IVIémoires  Scientifiques",  éd.  HeibergetZeutlien,  Toulouse — Paris,  1930, 

T.  X,  p.  370— 3-2)- 
3)  Si  Mersenne  avait  connu  les  logarithmes  lorsqu'il  écrivit  r„Harmonie  Universelle", il  n'aurait 

pas  eu  besoin  du  secours  de  Beaugrand  (voyez  sur  lui  la  note  4  de  la  p.  171  qui  précède)  pour 

calculer  onze  moyennes  proportionnelles. 
■•)  Le  „Monitum"  se  trouve  à  la  p.  255  h  la  fin  de  la  Partie  „Euclidis  ex  traditione  Maurolyci 

Phicnomena". 
')  La  „Trigonometria  Britannica"  (où  est  adopté  pour  le  degré  la  division  centigrade)  contient 

des  logarithmes  de  Briggs  et  une  préface  de  Henry  Gellibrand  (Gouda,  Rammaseyn,  1633). 

Cet  ouvrage  est  mentionné  aussi,  après  ceux  de  Neper  et  de  Briggs,  à  la  p.  243  du  sixième  tome 

de  la  même  année  1644  du  „CoHrs  mathématique"  d'Hérigone  que  Mersenne  a  peut-être  pu 

consulter. 


200  AVERTISSEMENT. 


Huygens")  il  parle,  à  propos  de  Grégoire  de  St.  Vincent"),  d'„un  problème  [que 
celui-ci  „fupofe"]  plus  difficile  que  celuy  de  la  quadrature  lequel  il  ne  refoût  point, 
afcauoir  Ellant  données  trois  grandeurs  rationellcs,  ou  irrationelles  et  deux  de  leurs 
logarithmes  citant  aufli  donnez,  trouucr  Géométriquement  le  logarithme  de  la 
troifiefme". 

Il  n'eft  évidemment  pas  queftion  ici  —  INIerlenne  ne  donne  aucune  définition  du 
logarithme  —  de  ce  que  nous  entendons  aujourd'hui  par  ce  mot.  Si  l'on  appelle  loga- 
rithme du  nombre  «lenombre /définiparréquationZ''=;;,  il  eflmanifefte  que  lorfqu'on 
donne  un  feul  nombre  et  fon  logarithme,  la  bafe  b  ")  efl:  déterminée;  de  forte  qu'on 
peut  alors  calculer  le  logarithme  correfpondant  d'un  nombre  quelconque.  Mais  fi 
l'on  donne  arbitrairement  encore  un  deuxième  nombre  et  fon  logarithme,  ces  données 
correfpondront  en  général  à  une  deuxième  bafe,  et  l'on  ne  peut  alors  raifonnablement 
demander  quel  fera,  d'après  les  données  du  problème,  le  logarithme  d'un  troifième 
nombre.  Cette  objeélion  fubfille  lorfqu'on  définit  le  logarithme  d'un  rapport  A 
—  voyez  la  définition  de  Briggs  et  de  Mercator  ')  —  comme  le  nombre  A'',  c.à.d., 
par  oppofition  h  l'cxpofant  de  la  première  définition,  le  nombre  entier  A^des  „ratiun- 
culœ"  (la  „ratiuncula"  étant  un  rapport  fort  peu  fupérieur  à  |)  comprifes  dans  ce 
rapport  A:  un  premier  nombre  donné  (ou  plutôt  le  rapport  A  de  ce  nombre  à  l'unité) 
et  fon  logarithme  définiflent  (à  une  petite  incertitude  près)  la  grandeur  de  la  „ra- 
tiuncula",  et  fi  l'on  donne  arbitrairement  encore  un  deuxième  nombre  et  fon  loga- 
rithme, il  en  réfultera  en  général  une  „ratiuncula"  fort  différente,  de  forte  qu'on  ne 
pourra  conclure  logiquement  au  nombre  des  „ratiuncula;"  correfpondant  à  un  troi- 
fième nombre.  Dans  le  cas  du  problème  de  Merfenne  il  faut  apparemment  fe  figurer 
(comparezl'écritdede  Sarasa,cité  plus  loin)  deux  fériés  de  grandeurs  repréfentées  par 
des  lignes  droites  (Euclide,  Grégoire  de  St.  Vincent),  dont  l'une  conflitue  une  férié 
géométrique,  l'autre  une  férié  arithmétique.  Qu'on  établifTe  enfuite  une  correfpon- 
dance  entre  le  n-ième  terme  de  la  première  et  le  m-ième  terme  de  la  deuxième  férié. 


*)  T.  I,  p.  89.  La  lettre  date  de  quatre  mois  avant  la  mort  de  Mersenne.  Elle  est  la  réponse  à  celle 
du  20  avril  1648  de  Iluygens  (T.  II,  p.  566)  où  il  dit  avoir  vu  le  livre  de  Grégoire.  Voyez  sur 
cette  lettre  de  Huygens  la  note  18  de  la  p.  276  du  T.  XI. 

'')  Dans  le  présent  Tome  nous  avons  mentionné  r„Opus  Geometricum,  Quadratura  Circuli  etc." 
de  1647  de  Gregorius  à  St.  Vincentio  à  la  p.  9. 

*)  Le  terme  „base"  est  de  L.  Euler  (di.x-huitiéme  siècle). 

')  A  la  p.  1 1  qui  précède. 


AVERTISSEMENT.  20I 


de  même  entre  le  p-ième  de  la  première  et  le  q-ièmc  de  la  deuxième  (on  peut  pendre 
p  —  n  =  q  —  m),  appelant  „nombres"  ou  „grandcurs"  les  termes  de  la  féric  géo- 
métrique et  „logarithmes"  les  tennes  correspondants  de  la  féric  arithmétique;  alors 
on  peut  railonnablement  demander  à  quoi  correlpond  (oit  le  r-ière  terme  de  la  férié 
géométrique,  Ibit  aulli  (Sara(a)  une  longueur  intermédiaireentrecetcrmeetlefuis'ant. 
La  Iblution  exige  en  général  une  interpolation:  l'on  n'obtiendra  en  général  qu'une 
folution  approchée.  Or,  pareille  folution  approchée  peut,  tout  aulli  bien  qu'une  qua- 
drature approchée,  être  conlîdérée  (c'ell  fur  cela,  nous  femble-t-il,  que  Merfenne 
veut -fixer  l'attention)  comme  n'en  étant  pas  une  '°). 

Pareil  problème  n'avait  d'ailleurs  pas  été  „fuppofé"  par  Grégoire.  Le  mot  „loga- 
rithme"  ne  fe  trouve  pas  dans  r„Opus  Geometricum"  ").  Merfenne  a  cru  pouvoir 
formuler  à  ia  manière  un  problème  équivalent  h  un  (?)  de  ceux  de  l'œuvre  de  Grégoire, 
mais  il  ne  dit  pas  lequel  et  fa  trop  brève  remarque  demeure  énigmatique  '-').  Il  avait 
d'ailleurs  déjà  formulé  dans  les  mêmes  termes  cette  remarque,  ou  plutôt  cette  critique, 
un  an  plus  tôt,  en  1647,  dans  une  page  de  fon  „Novarum  Obfervationum  Phyfico- 
mathcmaticorum  Tomus  III"  '').  En  septembre  1650  F.  van  Schootcn  attira 
l'attention  de  Iluygens  fur  cette  page  de  Merfenne  quoique  fans  mentionner  les 
logarithmes '+).  Une  lettre  de  Huygens  à  Grégoire  de  novembre  1651  ")  nous 
apprend  qu'il  avait  fait  connaifTance  avec  le  livre  de  A. A.  deSarasade  1649  intitulé: 


")  Il  est  quelque  peu  i-tonnant,  nous  semble-t-il,  qu'à  la  fin  de  sa  „Logarithmo-technia"  Mercator 
dit  simplement:  „Patet  quoque  ex  pra'cedentibus  quo  pacto  problema  Mersennianum,  si  non 
geometricè  saltem  in  numeris,  adquoîvisusquelocossolvipossit",  sans  indiquer  que  lorsqu'on 
adopte  sa  propre  définition  du  logarithme  ce  problème  n'a  pas  de  sens. 

")  Il  n'est  donc  pas  tout-à  fait  exaft  de  dire,  comme  cela  a  été  fait  à  la  p.  242  du  T.  XII,  que 
«Grégoire  n'avait  pas  donné  la  quadrature  proprement  dite  du  cercle  mais  seulement  la  réduc- 
tion de  cette  quadrature  à  celle  de  l'hyperbole  ou  aux  /o^^/-;>//w«  [nous  soulignons]", quoique 
de  Sarasa  (ouvrage  cité  dans  le  texte)  puisse  dire  (au  début  de  son  traité)  de  certaines  parties 
du  livre  de  Grégoire:  „fundamenta  doctrins  qu«  Logarithmos  complectitur  inibi  continen- 
tur".  Voyez  ce  que  Huygens  dit  sur  Grégoire  â  la  p.  264  qui  suit. 

'*)  Il  dit  que  la  recherche  de  Grégoire  „in  illud  abit  necdum  solutum  Problema". 

'3)  Deuxième  alinéa  de  la  p.  72,  dans  le  Cap.  I  „De  nouiter  llepertis  post  édita  Phœnomena". 
Mersenne  y  parle  du  „conatus  ingens  in  inuenienda  clrculi  quadratura",  sans  mentionner  le 
nom  de  l'auteur  et  sans  indiquer  le  titre  de  l'ouvrage  considéré.  Mais  c'est  indubitablement  du 
livre  de  Grégoire  qu'il  parle. 

'^)  T.  I,  p.  132.  Des  19  lignes  de  Mersenne  van  Schooten  en  cite  sept,  dont  celles  sur  les  logarith- 
mes (voyez  la  note  16)  ne  font  pas  partie.  Ce  qu'il  cite  se  rapporte  aux  indivisibles  de  Cavalieri. 

■5)  T.  I,  p.  156. 

26 


202  AVERTISSEMENT. 


„Soliitio  Problcmatis  a  II. P.  Marino  Merfenno  Minimo  propofiti  datis  tribus  quibuf- 
cunque  magnitudinibus,  rationalibiis  vcl  irrationalibus,  datifqiie  duarum  ex  illis  Loga- 
rithmis  tertite  Loganchmum  Geomctricc  inuenire  "'),  etc."  Huygcns  n'approuvait 
point  les  quadratures  de  Grégoire:  fon  ^E^éracTi^  de  décembre  de  la  même  année 
1651  "'■)  était  déjà  prête  en  septembre'^);  néanmoins  il  parle  dans  fa  lettre  de 
novembre  du  „[libcr]  Putris  A.  de  Sarafa,  qui  te  féliciter  à  Merfenni  ccnfura  vindi- 
cavit".  Comme  il  n'eft  aucunement  queftion  de  logarithmes  dans  1'  'E^fracr/ç  ni  par 
conféquent  d'une  interprétation  de  la  critique  fi  vague  de  Merfenne  il  ne  femble  pas 
permis  de  conclure  qu'en  ce  temps  Huygens  avait  déjà  confidéré  avecquelqu 'attention 
la  théorie  des  logarithmes.  D'ailleurs  • —  foit  dit  en  pafTant  —  nous  n'avons  pas  trouvé 
qu'il  en  ait  jamais  donné  une  définition  nette '9). 

La  lettre  de  Wallis  d'août  1 656  -°)  ne  paraît  pas  non  plus  l'avoir  amené  à  s'occuper 
de  la  théorie  ou  de  la  pratique  des  logarithmes;  dans  sa  réponfe  de  feptembre  °')  il 
dit  que  pour  des  raifons  de  fanté  „a  tempore  aliquo  prorfus  perfunftorie  in  ftudijs 
hifce  [les  études  des  fciences  mathématiques]  verfor". 

Rien,  nous  femble-t-il,  ne  nous  empêche  de  croire  que  1661  cft  bien  l'année  où 
il  commença  à  fe  fervir  du  calcul  des  logarithmes  --)  et  que  ce  fut,  ctMume  il  le  dit. 


'*)  De  Sarasa  cite  ici  littéralement  les  quatre  dernières  lignes  de  ralinéa  de  la  p.  72  de  Mersenne 
dont  il  est  question  dans  les  deux  notes  13  et  14.  Il  donne  d'ailleurs  aussi  au  début  de  sa 
brochure  la  remarque  de  Mersenne  en  entier  (disant  qu'à  son  avis  cette  „censura"  est  „paruni 
Geometricè  concepta  &  cxpressa"). 

'0  T.  XI,  p.  315. 

■8)  T.  I,  p.  145. 

'*')  Voyez  à  la  p.  8  qui  précède  ce  que  disait  Huygens,  et  aussi  ce  que  disait  van  Schooten  en  la 
même  année  1656,  sur  les  définitions  en  général. 

Citons  encore  la  définition  d'Hérigone  (Cours  III,  p.  14;  voyez  la  suite  du  texte  sur  son 
chapitre  sur  les  logarithmes):  „Les  logarithmes  sont  les  exposans  des  grandeurs  continuelle- 
ment proportionnelles". 

-°)  T.  I,  p.  476.  Wallis  y  mentionne  les  „tabula;  logarithmicaî"  de  Briggs.  Voyez  sur  r,,Arithmetica 
Logarithmica"  de  Briggs,  utilisée  par  Huygens  en  1 661,  la  note  7  de  la  p.  441  et  quelques  autres 
endroits  du  T.  XIV. 

-')  T.  I,  p.  495.  Il  est  vrai  que  la  réponse  conservée  est  fragmentaire. 

'•)  Nous  croyons  cependant  devoir  remarquer  que  si  la  note  a  de  la  p.  517  du  T.  I  date  de  1656, 
Huygens  connaissait  déjà  en  cette  année  le  „Directorium  Générale  Urauometricum"  de  Cava- 
lieri,  traitant  e.a.  des  „Trigonometris  Logarithmica;  Fundamenta  et  Régula;";  et  qu'il  est 
certain  qu'il  avait  reçu  en  1657  (voyez  la  p.  210  du  T.  II)  la  „Mathesis  universalis"  de  Wallis 
laquelle  contient  un  court  chapitre  sur  les  logarithmes.  Il  serait  d'ailleurs  assez  évident  même 
dans  l'absence  de  tout  document  rendant  la  chose  plausible,  que,  quoique  ne  se  servant  pas 
encore  lui-même  de  logarithmes,  Huygens  ne  pouvait  ignorer  leur  existence. 


AVERTISSEMENT. 


203 


une  qiicdion  de  imifiquc,  la  conlidcration  de  la  xefiKCKXuKriq  -3)  exigeant  riiucrpo- 
lation  d'mi  nombre  quelconque  de  termes  en  progrcdion  géométrique  entre  deux 
grandeurs  données,  qui  Py  amena.  C'efl:  donc  audi  de  1661,  penfons-nous,  que  date 
la  Pièce  qui  conltitue  le  §  7  de  notre  Appendice  I  à  la  p.  2(;4,  où  il  s'agit  de  la  même 
interpolation,  non  pas,  il  cft  vrai,  entre  deux  cordes  corrcCpondant  à  deux  tons  mull- 
caux,  mais  entre  deux  capitaux  dont  le  premier  doit  s'accroître  par  des  intérêts 
compoles  jufqu'à  atteindre  le  montant  du  deuxième. 

Il  ell:  vrai  que  cette  dernière  application  n'a  nullement,  commcla  précédente,  le 
mérite  de  l'originalité:  Iluygens  connaiflait  au  moins  depuis  1652--')  le  „Cours 
mathématique"  de  P.  llérigone  qui,  en  traitant  des  logarithmes  dans  Ton  troifieme 
volume,  confacre  huit  pages  à  la  conlidération  de  problèmes  concernant  l'accroiiïe- 
ment  de  capitaux  „auec  les  interefts  des  interefts"''). 

On  pourrait  objefter  que  nous  avons  dit  ailleurs-*)  qu'„on  trouve  dans  le  i\Ianu- 
fcrit  A  et  dans  les  Charta?  ailronomica?  plufieurs  calculs  logarithmiques  [fur  les  cou- 
ronnes et  parhélies,  traité  achevé  vers  la  fin  de  1662  -■")]";  que  les  feuilles  des  Charta.» 
allronomicœ,  il  ell  vrai,  ne  font  pas  datées;  mais  que,  dans  le  cas  du  Manufcrit  A, 
il  s'agit  de  feuillets  découpés  qui  y  f;^iftient,  félon  nous,  fuite  à  la  p.  242  -"}  et  que 
cette  page  et  les  fuivantes,  et  par  conféquent  auffi  les  feuillets  enlevés,  datent  pro- 
bablement d'avant  1661,  plus  précifément  de  1660  "'•').  Toutefois,  en  confultant  le 
T.  XVII  on  peut  constater  que  ce  que  nous  difions  n'efl:  pas  abfolument  correct  :  les 
feuillets  provenant  du  Manufcrit  A  font,  par  oppofition  aux  autres  feuilles  des  Charta: 
aftronomicîe  dont  il  eft  ici  quelHon,  des  feuillets  qui  ne  contiennent  pas  de  calculs 
logarithmiques  3°).  Par  conféquent,  ces  calculs  fur  les  couronnes  et  parhélies  corro- 
borent notre  thèfe,  bien  loin  de  l'infirmer. 

Ce  qui  rend  aufTi  plus  ou  moins  probable  que  les  calculs  de  I  luygens  fur  les  intérêts 


^3)  Voyez  sur  ce  mot  les  p.  143  et  168 — 169  qui  précédent. 

=■»)  T.  I,  p.  202. 

-5)  P.  91 — 98:  „de  l'usage  des  logarithmes  aux  iuterests,  etc."  Voyez  le  titre  complet  de  l'ouvrnge 
d'Hérigone  à  la  p.  202  du  T.  I. 

=«)  T.  XVII,  p.  360. 

=-)  T.  XVII,  p.  359. 

-')  T.  XVII,  p.  360,  note  3. 

*')  Comparez  la  note  i  de  la  p.  100  du  T.  XVII. 

3°)  D'après  la  note  mentionnée  dans  la  note  28  qui  précède,  les  feuillets  découpés  (c.à.d.  les  feuil- 
lets découpés  conservés)  sont  devenus  les  f.  67  et  66  des  Chartœ  astronomicsc.  On  les  trouve 
cités  dans  le  T.  XVII  aux  p.  490  (notes  2  et  3),  492  (notes  5  et  6)  et  494  (notes  17  et  21). 


204 


AVERTISSEMENT. 


compofcs  ne  ibient  pas  antérieurs  à  1 66i  '')  c'eft  que,  d'après  les  données  de  lanote  i 
de  la  p.  291  qui  fuit,  ces  calculs  ne  font  en  tout  cas  pas  antérieurs  à  octobre  1658, 
qu'ils  ne  datent  donc  pas  d'une  des  premières  années  après  l'acquifition  (?),  en  1652 
ou  plus  tôt  (?),  du  Cours  d'IIérigone^^). 

Autre  arî^imcnt  :  les  calculs  de  Huygens  fur  les  intérêts  compofés  font  rédigés  en 
flamand  (ou,  fi  Ton  veut,  en  néerlandais);  or,  il  en  ell:  de  même  pour  les  petites  Tables 
de  Vlacq,  contenant  des  problèmes  fur  ce  fujet  (note  5  de  la  p.  456  qui  fuit),  qui 
parurent  à  la  Haye  en  1 66 1 . 

On  pourrait  dire  auflî  que  déjà  en  1652  —  neuf  ans  avant  la  rédaftion  de  la  Pièce 
qui  occupe  les  p.  460—471  du  T.  XIV  —  Huygens  trace  une  courbe  qui  n'efl:  autre 
que  la  logarithmique  ^5).  Mais  ici  —  quoique  connaiffant  le  Cours  d'Hérigonc  —  il 
ne  parle  pas  encore  de  logarithmes.  Comme  dans  le  cas  de  la  Fig.  24  de  la  p.  29 1  qui 
fuit,  il  s'agit  apparemment  3+)  d'une  repréfentation  graphique  des  termes  d'une  férié 
géométrique  par  des  droites  ordonnées  éloignées  l'une  de  l'autre  à  des  dillances  a 
toujours  égales  entr'elles^');  or,  fuivant  Huygens,  les  „linearum  proportiones''^*) 
d'une  courbe  convenable  —  d'une  courbe,  peut-on  dire,  qui  exprime  une  loi;  com- 
parez la  Pièce  de  Huygens  de  1 646  „de  motu  naturaliter  accelerato",  où  il  critique 
Lobkowitz^")  —  doivent  jouir  des  mêmes  propriétés  quelle  que  foit  l'unité  des  dif- 
tances  a  (dans  fa  lettre  fuivante  du  7  janvier  1653  à  van  Schooten  Huygens  parle 
de  leur  „magnitudo  arbitraria")  ;  par  conféqucnt  parmi  les  courbes  pafTant  par  les  ex- 
trémitésdes  ordonnées  confidérées  une  feule,  félon  lui,  efl:  bonne  :  c'efl:  celle  qu'il  trace. 

À  la  p.  27  du  T.  XIV  nous  5**)  difions  déjà  —  mais  fans  difcuter  la  date  probable 
des  calculs  fur  les  capitaux  placés  à  intérêts  compofés  —  qu'avant  1 66 1  on  ne  trouve 
pas  de  calculs  logarithmiques  dans  les  manufcrits  de  Huygens. 


3")  Observons  aussi  qu'en  niars  1 661,  d'après  les  p.  256 — 258  du  T.  III  —  nous  citons  cette  Pièce 
de  nouveau  dans  la  note  69  de  la  p.  209  qui  suit  —  Huygens  copie  un  manuscrit  de  Fermât 
dans  lequel  il  est  question  d'insérer  par  des  procédés  géométriques  un  grand  nombre,  p.  e.  10 
ou  30,  moyennes  proportionnelles  entre  deux  quantités  données,  sans  qu'il  observe  que  cette 
interpolation  pourrait  être  faite  au  moyen  de  logari'thmes. 

3=)  Huygens  possédait  certainement  ce  Cours  plus  tard,  puisqu'il  est  mentionné  en  i659(Libri 
math,  in  oftavo,  18)  dans  le  Catalogue  de  vente  de  ses  livres. 

33)  T.  I,  p.  209.  Voyez  la  note  i  de  la  p.  210. 

3*)  Dans  le  texte  (lettre  de  Huygens  à  van  Schooten)  il  n'est  question  que  d'une  autre  courbe, 
savoir  une  courbe  de  Wallis.  Voyez  sur  cette  courbe  la  p.  373  qui  suit. 

35)  Comparez  la  p.  440  du  T.  XIV. 

3*)  T.  I,  p.  209, 1.  10;  les  „linea;"  sont  les  ordonnées. 

37)  T.  XI,  p.  68.  Voyez  la  note  i  de  cette  page. 


AVERTISSEMENT. 


205 


Nous''*)  ajoutions:  „tandis  qu'alors  ce  calcul  cil  approche  par  lui  du  côté  géomé- 
trique en  connedlion  avec  la  quadrature  de  l'hyperbole".  Voyez  toutefois  l'Addition 
à  la  p.  555  du  T.  XIV.  Malgré  la  remarque  de  1 647  de  Merfennc  dont  nous  parlions 
plus  haut,  et  qui  aurait  pu  amener  1  luygciis  déjà  en  cette  année  à  s'occuper  des 
logarithmes  en  connexion  avec  le  problème  des  quadratures,  il  n'y  a  pas  de  raifon 
pour  attribuer  la  priorité  à  ce  calcul-là  contrairement  à  ce  que  Huygens  dit  lui- 
même  3?).  On  pourrait  certes  être  en  doute  en  regardant  la  feuille  féparée  1 1  du 
portcf.  „Mufica":  un  côté  de  cette  feuille  —  non  numérotée  par  Huygens  —  fe 
rapporte  au  problème  mufical  de  l'interpolation +°),  l'autre  (Appendice  II  à  la  p.  295) 
à  la  règle  (Pièce  I  qui  fuit)  fur  le  calcul  des  logarithmes  bafé  fur  la  quadrature  ap- 
prochée de  l'hyperbole.  Impofiîblc  de  dire,  en  regardant  cette  feuille,  quel  ell  le  texte 
le  plus  ancien.  Mais  dans  le  Manulcrit  B+')  la  chofe  ell:  plus  chire:  fes  premières  pages 
contiennent  des  calculs  brouillonnes  fur  le  problème  mufical;  les  brouillons  fur  l'hyper- 
bole etc.  n'y  commencent  qu'à  la  p.  5.  C'ell:  par  ces  calculs  de  la  p.  5  et  fuiv.  que 
Huygens  trouva  fa  règle  qu'il  rédigea  enfuite  aux  p.  1 8  et  fuiv.  fous  le  titre  „Funda- 
mentum  régula;  noflra;  ad  inveniendos  logarithmos+^)". 

Sans  doute,  quoiqu'il  n'en  dife  rien  en  cet  endroit+3),  il  fefl:  Ibuvenu  en  entre- 
prenant les  calculs  des  p.  5  et  fuiv.  que  dès  1647  il  avait  été  quellion  de  logarithmes 
en  connexion  avec  r„Opus  Geometricum"  de  Grégoire  de  cette  année.  Mais  nous 
ne  pouvons  foufcrire  entièrement  à  ce  que  l'expofé  fuivant  de  Ch.  I  lutton  dans  la 
partie  „Conll:ru6lion  of  logarithms"  de  fon  „Introduâ:ion"  à  la  Collection  des  „Scrip- 
tores  logarithmici"  par  Fr.  Maferes++)  dit  à  propos  de  INIerfenne:  „As  to  the  first 
remarks  on  the  analogy  between  logarithms  and  the  hyperbolic  fpaces,  it  having 
been  fhewn  by  Gregory  St.  Vincent,  in  his  Qtiadraîura  Cira/H  &Se&iommi  Coni^^^, 
publifhed  at  Antwerp  in  1647,  that  if  one  afymptote  be  divided  into  parts  in  geo- 
metrical  progrelTion,  and  from  the  points  of  divifion  ordinates  be  drawn  parallel  to 


3^)  Ou  plutôt,  pour  parler  clairement,  le  rédacteur  du  T.  XIV,  par  opposition  à  celui  du  T.  XVII 

et  du  présent  Avertissement. 
39)  P.  12  qui  précède. 
*°)  Note  I  de  la  p.  147  qui  précède. 
*')  La  première  date  y  est  août  1661,  à  la  p.  18. 
■♦-)  Pièce  publiée  aux  p.  451 — 457  du  T.  XIV. 
*^)  Mais  voyez  son  hommage  à  Grégoire  de  St.  V.  à  la  p.  281  du  T.  VI  (année  1668)  et  la  réponse 

de  J.  Wallis  (p.  298  du  même  Tome). 
'*■'")  P.  LXXXVIduT.Idecet  ouvrage  publ. en  1791  chez  Davis,  London.  L'introduftionhistorique 

de  Hutton  parut  d'abord  en  1785  dans  sa  nouvelle  édition  de„Sher\vin's  Mathematical  Tables". 
"5)  C.  à.  d.  r„Opus  Geometricum". 


2o6  AVERTISSEMENT. 


the  other  afymptote,  thcy  vvill  divide  the  fpace  betwecn  thc  afymptotc  and  curve 
into  equal  portions+*);  from  hence  it  was  fhcwn  by  Mcrfennus,  that  by  taking  tlic 
continuai  fums  of  thofe  parts,  there  would  be  obtained  areas  in  arithmetical  pro- 
greflîon,  adapted  to  abfciffes  in  geometrical  progreflion,  and  which  thcrefore  wcrc 
analogous  to  a  fyftem  of  logarithms.  And  the  famé  analogy  was  reniarked  and  illus- 
tratcd  foon  aftcr  by  Huygens,  and  many  othcrs,  who  iTiew  hovv  to  fquarc  the  hyper- 
bolic  fpaces  by  mcans  of  logarithms".  Nous  ne  voyons  pas  que  les  paroles  de  1 647 
de  Merfenne,  qui  rapporte  des  propos  d'autrui  +"),  impliquent  la  connaiffancc  de  la 
propofition  que  Hutton  lui  attribue  et  qui  ert  en  réalité  la  Prop.  III  (ou  plutôt  le 
corollaire  de  cette  propofition)  de  1 649  de  de  Sarafa  +^). 

Pour  éviter  tout  malentendu  nous  ajoutons  que  le  paiïage  cité  de  Hutton  ne  fe 
rapporte  pas  à  la  règle  de  Huygens  pour  calculer  les  logarithmes,  bafée  c.a.  fur  la 
confidération  d'un  fegment  d'hyperbole  (comme  on  peut  le  voir  au  T.  XIV)  et  que 
ni  Hutton  ni  Maferes  n'ont  connue;  voyez  fur  les  confidérations  de  Huygens  qui  fy 
rattachent  fur  la  quadrature  de  l'hyperbole  par  les  logarithmes,  ce  qui  efl;  le  fujet  dont 
parle  Hutton,  les  p.  474  et  fuiv.  du  T.  XIV  (pages  manufcrites  également  inconnues 
à  Hutton  et  Maferes),  ou  plutôt  la  p.  221  du  T.  XVIII  appartenant  à  r„Horologium 
ofcillatorium"  univerfellement  connu  au  dix-huitième  comme  au  dix-feptième  fiècle. 

Nous  diibns  encore  quelques  mots  plus  loin +»)  fur  la  logarithmique,  qui  fut  con  fidérée 
de  nouveau  (nous  voulons  dire,  après  1 661)  par  Huygens  en  1 668, doncàParis,  comme 
on  l'a  vu  au  T.  XIX  5°).  

Le  texte  des  treize  Communications  de  Huygens  à  l'Académie  qui  fuivent,  dont  celle 
fur  la  règle  pour  trouver  les  logarithmes  ei\  la  première,  efl:  emprunté  en  majeure  partie 
aux  Regiflres  de  l'Académie  confervés  à  Paris  ''),  mais  en  tenant  compte,  lorfqu'il  y  a 
lieu,  despièces  de  la  collcftion-Huygensà  Leiden  '  -).  Ceci  ("applique  auxPièces  I,  II,  III, 
IV,  VII,  X  et  XIII.  Les  Pièces  V  et  VI  ne  confiftent  qu'en  quelques  lignes  indiquant  les 
fujets  traités  par  Huygens  d'après  les  Regiftres;  pour  la  Pièce  VI  ce  font  furtout  les 


•»«)  „Opus  Geometricum",  De  Hyperbola,  Prop,  CXXX. 

*'')  P.  Tannery  (lettre  à  H.  Bosmans  du  24  déc.  1902,  p.  198  du  T.  XIII  de  1934  des  Mémoires 

Scientifiques,  éd.  Ileiberg  et  Zeuthen)  suppose  que  „la  question  plus  ou  moins  bien  formulée 

par  Mersenne  contre  Saint  -  Vincent"  a  été  inspirée  par  Roberval. 
^*)  Nous  rappelons  que  Mersenne  décéda  en  1648. 
*»)  P.  413  et  414. 
5°)  Dans  la  „Dynamique". 
S')  Comparez  la  p.  680  du  T.  XIX. 
S'')  Voyez  les  p.  195 — 196  qui  précèdent. 


AVERTISSEMENT. 


207 


Appendices,  empruntés  aux  manufcrits  de  Leiden,  qu'il  faut  conlliltcr.  Il  en  ell  de 
même  pour  la  Pièce  XII;  fauf  que  nous  empruntons  ici  quelques  lignes  au  Manufcrit 
E,  non  pas  dans  un  Appendice,  mais  dans  la  Pièce  elle-même.  Exceptionnellement  nous 
avonsajoutéàccttePiècedc  1 68oun  Appendice  datant,  quoique  peu,  d'après  le  départ 
délînitif  en  1 68 1  de  I  luygens  de  Paris;  ccciàcauredelaliaifonétroiteexillant  apparem- 
ment entre  les  confidérations  géométriques  développées  dans  ces  pages  et  ce  que 
Huygens  a  dû  propofer  à  Tes  collègues  de  l'Académie.  La  Pièce  XI  ell  mentionnée  dans 
les  Regiftres  mais  ils  n'en  contiennent  pas  le  texte;  celui-ci  efl:  emprunté  aux  Charte 
mathcmatica.';  nous  l'avons  publiée  dans  le  T.  XVIII  auquel  nous  renvoyons  le  leéleur. 
La  Pièce  \'III  (problème  d'Alhazcn)  eil:  empruntée  en  partie  aux  Charta.*  mathcma- 
tica;  et  en  partie  aux  „Divers  ouvrages" '^^  de  1693.  D'après  une  lettre  de  I  luygens  à 
Oldenburg  de  juin  1 66ç  ^*)  „nos  Meilleurs  ont  jugé  affez  heureufe"  la  conrtruction  du 
problème  d'Alhazen  que  l'on  trouve,  imprimée  par  lui-même,  vis-à-vis  de  la  p.  462 
du  T.  VI.  Il  a  donc  dCi  la  prél'entcr  à  l'Académie  en  cette  année  quoique  les  Regillres 
de  1669  n'en  falTent  pas  mention.  Ailleurs")  Huygens  aflirme  cependant  qu'une 
conftruétion  provenant  de  lui  eil  dans  les  Regillres.  C'cil,  penibns-nous,  celle,  diffé- 
rente de  la  conllruclion  de  1 66i)^  qu'on  trouve  à  la  p.  336  des  „Divers  ouvrages"  ''^). 
La  Pièce  IX  enfin  (conilruétion  d'une  hyperbole}  ell  également  empruntée  aux 
„Divers  ouvrages":  il  ell  poffible  qu'elle  fe  trouvait  dans  un  des  tomes  perdus  des 
Regillres  (1670- 1674),  quoique  le  manufcrit  confervé  de  Huygens  dont  le  texte  ell 
le  même  porte  la  date  du  30  janvier  1669  et  qu'on  ne  voit  donc  pas  pourquoi  il  ne 
l'a  pas  pas  communiquée  à  l'Académie  en  cette  année'"). 


53)  „Divers  ouvrages  de  mathématique  et  de  physique"  par  Messieurs  de  l'Académie  Royale  des 
Sciences. 

st)  T.  VI,  p.  460. 

55)  T.  IX,  p.  96. 

5")  Huygens  n'a  pas  envoyé  cette  construdion  à  d'AIencé  en  1687  (T.  IX,  p.  167);  comparez  ce 
qu'il  en  dit  en  1693  à  la  p.  497  du  T.  X.  Nous  ne  la  trouvons  pas  dans  un  des  tomes  conservés 
des  Registres;  de  la  Hire  a  donc  dû,  pensons-nous,  la  tirer,  pour  les  „Divers  ouvrages",  d'un 
des  tomes  perdus. 

Voyez  sur  ces  tomes  perdus  la  p.  179  de  notre  T.  XIX.  Nous  y  parlons  de  «l'ancienne  Aca- 
démie, fondée  en  1666,  abolie  en  1693".  Le  ledeur  est  prié  de  corriger  1693  en  1793,  faute 
d'impression  que  nous  n'avons  pas  remarquée  en  temps  utile. 

5")  Huygens  envoya  la  Pièce  à  d'AIencé  en  1687.  Quoique  de  la  Hire  (lettre  de  septembre  1686) 
lui  eût  fait  savoir  pu'il  pouvait  aussi  envoyer  pour  les  „Divers  ouvrages"  des  pièces  autres  que 
celles  qui  avaient  été  présentées  à  l'Académie,  il  ne  parait  pas  l'avoir  fait.  C'est  seulement  pour 
cette  Pièce-ci  qu'on  pourrait  être  en  doute.  Voyez  sur  le  manuscrit  de  Huygens  la  note  1  de 
la  p.  273. 


208  AVERTISSEMENT. 


Pièce  I.  Après  tout  ce  qui  a  été  dit  plus  haut  et  au  T.  XIV  fur  la  règle  pour  trouver 
les  logarithmes  5^)  il  n'eft  plus  néccfTaire  d'y  revenir. 

Pièce  II  et  fuivantes.  La  „Demonftratio  régulée  de  maximis  et  minimis",  rédigée 
en  latin,  n'a  certainement  pas  été  lue  par  Huygens  fous  cette  fonne.  D'ailleurs  il  dit 
à  la  p.  264  du  T.  XIX  qu'il  vaut  mieux  que  les  sujets  de  „la  géométrie  pure  et  arith- 
métique" —  ceci  s'applique  aulli  à  la  Pièce  I  —  foicnt  traités  par  écrit,  ou,  pour  le 
citer  littéralement,  „quc  de  telles  fpeculations  ne  font  pas  une  affaire  d'aflemblee". 
11  y  eut  néanmoins  des  communications  orales,  puifque  les  Regiftres  difent  que  Huy- 
gens y^ontitjuera  fa  Méthode  de  Maximis  etc."  et  qu'il  note  fur  fon  manufcrit: 
„parler  de  Hudde"  ").  Nous  nous  abftenons  de  remarques  analogues  fur  les  autres 
Pièces  ''°). 

Toutes  les  communications  —  à  l'exception,  peut-on  dire,  de  la  première,  puifque 
Huygens  donne  la  règle  ians  aucune  démonftration;  et  auHl  en  partie  de  la  cinquième — 
fe  rapportent  à  des  fujets  de  géométrie.  Il  eft  queftion  p.e.  d'„invertiganda  maximaet 
minima  in  geometricis  quîeflionibus"  '''}.  C'efl:  de  géométrie  plane  qu'il  s'agit  en 
premier  lieu.  Ceci  eil  évident  pour  la  Pièce  III:  „Regulaadinveniendas  tangentes linea- 
rum  curvarum".  Mais  on  le  remarque  auflî  dans  la  Pièce  II.  Néanmoins  Huygens 
voit  fort  bien  que  la  méthode  fournit  des  maxima  et  des  minima  d'exprefllons  algébri- 
ques d'où  qu'elles  proviennent:  dans  l'Appendice  II  de  la  p.  300,  datant  de  1669,  il 
l'applique  à  deux  problèmes  fur  le  cône,  ce  qui  n'efl:  plus  de  la  géométrie  plane.  C'eft 
d'ailleurs  ce  que  tout-le-monde  voyait  depuis  longtemps:  dès  1 644  Hérigone applique 
la  méthode  de  Fennat  à  la  quellion  „Trouuer  le  plus  grand  des  cônes  droicts  contenus 
ibus  égales  fuperficies  coniques"  ""). 

Nous  avons  déjà  dit  dans  le  T.  XI  "3)  qu'on  trouve  dans  le  Manufcrit  1 2,  appa- 
remment dcfliné  en  premier  lieu  à  l'ufage  perfonnel  du  jeune  Huygens,  quelques  pages 
de  la  main  de  F.  van  Schooten  le  fils  intitulées:  „De  Maximis  et  Minimis  five  Ratio 
inveniendi  cafum  determinationis  in  Problemate  detenninato  juxta  Methodum  Dom"' 


58)  T.  XIV,  p.  431  et  suiv. 

55")  Voyez  sur  Hudde  la  note  3  de  la  p.  73  du  T.  XIX. 

*°)  On  peut  consulter  là-dessus  nos  notes  à  ces  Pièces. 

*')  Note  I  de  la  p.  229  qui  suit. 

*-)  P.  Hérigone,  Cours  Mathématique,  Tome  Sixiesme  et  dernier,  p.  63.  C'est  précisément  un  des 

deux  problèmes  considérés  par  Huygens  en  1669. 
")  P.  3,  7  et  13. 


AVERTISSEMENT. 


209 


de  Fennat",  ce  que  deux  des  quatre  problèmes  traités  se  trouvent  (à  l'endroit  cité) 
dans  le  Cours  d'Hérigone.  Faut-il  en  conclure  que  dès  Ton  séjour  à  Leiden  Huygens 
connaiflait  fort  bien  ce  Cours?  Dans  ce  cas  n'eft-il  pas  quelque  peu  étonnant  que  fes 
calculs  logarithmiques  fur  les  intérêts  compofés  datent  d'après  oftobre  1658?  Il  faut 
répondre  à  cette  queftion  que  ce  n'était  pas  uniquement  par  le  volume  de  1644 
d'Mérigone  que  van  Schooten  connaidait  la  théorie  de  Fermât  "+).  Il  lliffit  de  remar- 
quer que  le  nom  de  Fermât  ne  fe  trouve  pas  chez  Hérigone  qui  intitule  fon  chapitre 
limplement  „Propos.  XXVI.  De  maximis  &  minimis"  et  ne  mentionne  pas  non  plus 
Fermât  dans  son  „Introdu(îi:inn  en  la  Chronologie"  ni  dans  sa  „Tablc  . .  des  Autheurs 
Mathématiques".  Van  Schooten  avait  connu  Merfennc  à  Paris  en  1642  et  1643; 
c'eft  peut-être  celui-ci  qui  lui  a  fourni  en  ce  temps  les  Pièces  manufcrites  retrouvées 
par  de  Waard  à  Groningue  (qui  contiennent  le  premier  mais  non  pas  le  deuxième  des 
problèmes  cités)  *').  D'ailleurs  Huygens  écrit  en  1656  que  Merfenne  *")  lui  en- 
voyait -fouvent  à  lui-même  des  écrits  français  „et  principalement  de  Monfieur  de 
Fermât"  ''■■').  Il  faut  pourtant  ajouter,  nous  femble-t-il,  qu'il  eft  podible  que  Huygens 
confidère  ici,  brevitatis  causa,  les  écrits  envoyés  à  van  Schooten  comme  adressés  à 
lui-même.  Consultez  aulîî  le  T.  XF**)  fur  une  copie  d'un  manufcrit  de  Fennat  envoyée 
par  Merfenne  à  Conllantyn  Huygens  père  ''^). 


**)  Publiée  seulement  en  1679  dans  les  Oeuvres  de  Fermât.  Descartes  avait  reçu  un  petit  écrit  „De 
maximis  et  minimis"  de  Fermât  vers  le  commencement  de  1638,  par  l'intermédiaire  de  Mer- 
senne,  comme  il  résulte  de  la  lettre  de  Descartes  à  Mersenne  de  janvier  1638  („Oeuvres",  éd. 
Adam  et  Tannery,  i,  p.  486).  Dans  l'édition  moderne  des  Oeuvres  de  Fermât  par  Tannerj-  et 
Henry  —  titre  complet  dans  la  note  78  de  la  p.  2  u  —  avec  Supplément  par  C.  de  Waard,  on 
peut  voir  que  Mersenne  avait  communiqué  des  copies  d'écrits  de  Fermât  à  plusieurs  personnes 
en  Italie. 

"5)  Consultez  la  p.  XIX  de  la  préface  de  de  Waard  au  Supplément,  datant  de  1922,  que  nous  avons 
mentionné  dans  la  note  64,  ou  bien  la  biographie  de  F.  van  Schooten  par  de  Waard  dans  le 
„Nieu\v  Nederlandsch  Biographisch  Woordenboek"  de  1927.  Notre  T.  XI  est  de  1908. 

Voyez  aussi  la  p.  410  de  notre  T.  I  où  il  est  question  de  Carcavy  offrant  de  mettre  van 
Schooten  en  relation  avec  Fermât. 

**)  La  correspondance  commença  en  1646. 

*7)  Lettre  à  de  Carcavy,  T.  I,  p.  428. 

<8)P.2I4. 

*')  Notons  encore  qu'en  1659  (T.  II,  p.  458 — 462)  Huygens  copie  „un  escrit  de  M.  Fermât 
envoyé  par  M.  de  Carcavy",  qu'en  juin  1660  il  reçut  un  livre  de  Fermât  par  l'intermédiaire  de 
Carcavy  (T.  III,  p.  85),  et  que  dans  son  Journal  de  Voyage  1660 — 1661  il  écrit  à  Paris  le  9 
mars  1661:  „Copié  du  traité  de  Fermât  de  constr.  probl.",  traité  qu'il  tenait  également  de 
Carcavy:  voyez  ce  qu'il  annote  à  la  p.  258  du  T.  III  où  nous  avons  publié  cette  copie.  Dans  le 
T.  IV  on  trouve  encore  d'autres  écrits  de  Fermât  envoyés  par  de  Carcavy. 

27 


2  I O  AVERTISSEMENT. 


En  juin  1659  Hiiygens  peut  écrire  à  Wallis  avoir  réduit  depuis  longtemps  ■■°) 
la  méthode  de  Fermât  fur  les  maxima  et  les  niinima  „ad  idem  hoc  compendium  quo 
Huddenius  utitur  '')"  et  avoir  mis  cela  par  écrit  pour  J.  de  Witt.  Nous  ne  connaiilbns 
pas  cet  écrit  dont  Huygens  parle  auiîi  dans  le  Manufcrit  C  '').  Mais  on  peut  voir 
dans  le  T.  IV  ^^}  un  écrit  de  Huygens  de  1663  également  adreiTé  à  de  Witt  et  con- 
tenant, celui-ci,  la  réduftion  à  un  „compendium"  de  la  méthode  de  Feraiat  '+)  pour 
tracer  des  tangentes  aux  courbes  planes  données  par  des  équations  algébriques  entre 
les  deux  coordonnées  .r  et  y  (c.  à.  d.  des  équations  contenant  des  puifTances  entières 
de  .r  et  de  v),  ce  qui  eil  aufli  le  fujet  de  la  préfente  Pièce  III.  Notons  que  Huygens  ne 
défigne  pas  ces  courbes  par  l'expreffion  „courbes  algébriques",  comme  d'autres  l'ont 
fait,  mais  qu'il  parle,  avec  Defcartes,  de  courbes  ou  lignes  géométriques  :  voyez  p.  e. 
le  premier  alinéa  de  la  p.  403  du  T.  XVIII. 

En  comparant  la  Pièce  III  avec  l'écrit  adreffc  à  de  Witt  on  voit  qu'en  1667  de 
très  grandes  parties  ont  été  Amplement  copiées  par  Huygens.  En  1667  toutefois 
il  commence  par  énoncer  la  règle  et  en  donne  enfuitc  la  démonftration,  tandis  qu'en 
1663  la  règle  n'avait  été  énoncée  qu'après  la  déduétion. 

Dans  la  Pièce  II'Q  Huygens  a  interverti  l'ordre  primitif  exaélement  comme  dans 
la  Pièce  III.  Ou  plutôt:  il  l'a  fait  pour  la  Pièce  III  exaètement  comme  il  l'avait  fait 
pour  la  Pièce  II.  Seulement  dans  le  cas  de  la  Pièce  II  Tordre  primitif  ell  celui  d'un 
projet  de  1 66j  du  Manufcrit  C"*).  L'exiftence  de  ce  projet  nous  permet  de  conclure 
que  dans  ce  cas  Huygens  n'a  pas  copié  de  grandes  parties  de  l'écrit  adreffé  déjà  avant 
1 659  à  de  Witt.  Cet  écrit  fe  rattachait  fans  doute  aux  confidérations  de  Huygens 
de  1652  et  d'un  peu  plus  tard  qu'on  trouve  aux  p.  60  et  fuiv.  du  T.  XII^"). 


7°)  Voyez  la  note  1 1  de  la  p.  48  du  T.  XI. 

70T.II,p.4,-. 

'^j  Voyez  la  note  4  de  la  p.  233  qui  suit. 

73)P.  312— 317. 

^'*)  Voyez  aussi  la  p.  20  du  T.  XI. 

'5)  Note  4  de  la  p.  233  qui  suit. 

'■*)  Note  I  de  la  p.  229  qui  suit. 

"')  Voyez  aussi  la  p.  418  du  T.  XIV. 


AVERTISSEMENT.  2  l  I 


Vers  1864  J.  M.  C.  Duhamel^'*)  fell  livré  à  une  difciiflion  affez  étendue  fur  les 
méthodes  de  Fermât  pour  les  maxima  et  minima  et  pour  les  tangentes.  La  lefture 
de  fes  conclufions,  comprenant  douze  propofitiuns  liiltoriques,  fuffit  pour  montrer 
qu'il  feft  furtout  intérede  à  la  qucllion  des  mérites  rcipedifs  de  F'cmiat  et  de  Def- 
cartes.  lluygens  a  jugé  bon  de  taire  quelques  brèves  remarques  liilloriqucs  fur  la 
quellion  des  tangentes  au  début  de  la  Pièce  III,  remarques  que  Duhamel''^)  cite  fans 
les  approuver.  Duhamel  ne  fait  aucune  observation  fur  raflirmation  de  !  luygens 
—  on  a  vu  plus  haut  qu'elle  eil  exafte  —  d'avoir  compolé  ion  compendium  fur  le 
problème  des  tangentes  „multo  ante  iilas  litteras  vulgatas",  c.à.d.  avant  la  publication 
par  Clerfelier  en  iCiôr  du  Vol.  III  des  Lettres  de  Dcfcartes"°);  mais  il  déclare: 

1 .  „que  cette  méthode,  attribuée  à  Fennat  par  I  lughcns,  appartient  à  Dcfcartes  feul", 

2.  ne  pas  être  de  l'avis  de  I  luygens  lorfque  celui-ci  „reconnaît  [la  méthode  de  Des- 
cartes] comme  fatifFaifante  jufqu'a  un  certain  point,  mais  cependant  moins  claire  que 
celle  qu'il  donne  [lui-même]".  Après  avoir  parlé  de  l'édition  de  1679  des  „Varia 
Opéra"  de  Fermât  où  r„ufus"  de  la  règle  pour  les  tangentes  „nec  bene  expofitus 
cil,  nec  dcmonftrationcm  ullam  adjeélam  habct"  Huygens  avait  ajouté:  „Carte(lum 
ver5  in  his  qua;  dixi  litteris  rationem  cjus  aliquatenùs  affecutum  invenio,  ncc  tamen 
tam  perfpicue  eam  explicuiffc  quam  per  hsc  qu^e  nunc  trademus  fiet".  Nous  nous 
contentons  de  fignaler  la  différence  d'opinion  entre  Huygens  et  l^uhamel  au  fujec 
du  rôle  de  Defcartes,  non  fans  ajouter  que  Duhamel  peut  avoir  raifon.  Quant  à  la 
clarté  de  l'expofé  de  Huygens  on  voit  que  Duhamel  ne  la  nie  pas.  Ailleurs*')  il  avait 


'')  «Mémoire  sur  la  méthode  des  Maxima  et  Minima  de  Fermât,  et  sur  la  méthode  des  tangentes 
de  Fermât  et  de  Descartes",  p.  269 — 330  du  T.  30  de  1864  des  «Mémoires  de  l'Académie  des 
Sciences  de  l'Institut  de  France".  —  Dans  le  T.  IV  de  l'édition  moderne  des  «Oeuvres  de  Fer- 
mat",  publ.  par  les  soins  de  MM.  Paul  Tannery  et  Charles  Henn,' sous  les  auspices  du  Ministère 
de  l'Instruction  publique,  avec  supplément  aux  T.  I — IV,  documents  inédits  publ.  avec  notices 
sur  les  nouveaux  manuscrits  par  C.  de  Waard,  Paris,  Gauthier — Villars,  1912,  H.  Brocard  fait 
quelques  observations  critiques  sur  ce  mémoire,  dont  les  conclusions,  formulées  plus  briève- 
ment, s'y  trouvent  aux  p.  143 — 144. 

^î*)  P.  314.  Nous  parlons  des  remarques  dont  le  texte  latin  se  trouve  dans  la  note  i  de  la  p.  243 
qui  suit. 

'°)  Comparez  la  p.  448  du  T,  XIV,  où  —  soit  dit  en  passant  —  il  n'est  pas  tenu  compte,  nous 
semble-t-il,  du  passage  de  la  lettre  de  Huygens  à  de  Carcavy  que  nous  avons  cité  à  la  p.  209  qui 
précède  (note  6^}. 

8-)  P.  283. 


2 1  2  AVERTISSEMENT. 


dit  au  fujet  de  la  Pièce  II  (fur  les  maxima  et  minima):  „Tous  les  calculs  de  Huygens 
font  rigoureux:  tous  ceux  de  Fermât  ne  font  qu'approchés  jufqu'au  moment  où  il 
remplace  c  [petit  accroiflTement  de  la  variable]  par  zéro".  En  167a'')  Huygens  dit 
qu'  Hérigone  ne  montre  pas  „le  vray  fondement"  de  la  règle  „de  Monfieur  de 
Fermât . . .  pour  les  Tangentes  ..."  „que  j'ay  trouuè  tout  autre". 

Pièce  IV.  Huygens  indique  cette  Pièce  par  les  mots  „Dimenfio  Paraboloidum""''), 
nous  l'avons  intitulée  „De  curvis  paraboloidibus  et  hyperboloidibus". 

Pièce  V.  Le  nom  Wallis  figure  déjà  maintes  fois  dans  les  pages  précédentes  de  ce 
Tome.  En  1 66^  I  luygens  ne  pouvait  encore  en  aucune  façon  parler  à  l'Académie 
de  Wallis  muficologue:  l'édition  des  „Harmonica"  de  Ptolémée  efi:  de  1682'+). 
Mais  Wallis  mathématicien  lui  était  fort  connu  dès  1652;  dans  le  préfent  Avertiffe- 
ment  nous  avons  déjà  fait  allufion  à  fa  correfpondance  avec  van  Schooten  fur  Wallis 
de  cette  année  ^5).  Plufieurs  lettres  furent  échangées  entre  Huygens  et  Wallis  de  1 655 
à  lôsp"^"),  et  Wallis  lui  envoya  en  ce  temps  quelques-uns  des  ouvrages  que  nous 
citons  à  la  p.  258  qui  fuit;  une  partie  d'un  de  ces  ouvrages  lui  était  même  dédiée^'). 
En  1661  Huygens  fit  à  Londres  la  connaiiTance  perfonnelle  de  Wallis  ^^),  mais  la 
correfpondance  ne  fut  reprife  qu'en  1668,  après  la  communication  de  Huygens  fur 
Gregory  qui  conflitue  notre  Pièce  VP'}. 

On  peut  voir  dans  les  lettres  échangées  avant  1660  combien  l'impreffion  que 


8=)T.  VII,  p.  2:9. 

83)  T.  IX,  p.  95,  lettre  à  de  la  Hire  du  26  septembre  1686.  Huygens  ajoute  „ou  je  pourray  joindre 

celle  des  Hyperboloides"  Comparez  la  note  i  de  la  p.  256  qui  suit. 
^•♦)  Nous  ne  parlons  pas  de  quelques  petits  articles  de  Wallis  sur  des  sujets  de  musique  (d'ailleurs 

également  postérieurs  à  1667):  Huygens  ne  les  mentionne  pas. 
55)  Note  34  de  la  p.  204. 
8«)  Nos  f .  I  et  II. 
*'')  Voyez  sur  l'envoi  de  plusieurs  publications  de  Wallis  les  p.  192  et  210  du  T.  II;  une  partie  des 

„Tractatus  duo  etc."  est  dédiée  à  Huygens. 
88)  T.  III,  p.  295,  lettre  de  Huygens  du  14  juillet  1661.  D'après  son  Journal  de  Voyage  Huygens 

vit  Wallis  quatre  fois  au  mois  d'avril. 
8')  Il  est  vrai  que  cette  communication  à  l'Académie  eut  lieu  en  octobre  1668  et  que  Wallis  lui 

avait  écrit  déjà  en  septembre  (T.  VI,  p.  251),  mais  Huygens  ne  reçut  cette  lettre  que  le  31 

oaobre(T.  VI,  p.  278). 


AVERTISSEMENT. 


213 


Huygens  reçut  des  publications  de  Wallis  était  favorable'").  Il  critique  cependant 
les  dcmonilrations  où  il  cil:  fait  ufage  de  l'indudion»')  et  dont  Wallis  défend  ample- 
ment radmi(Iîbilité'=).  Comparez  fur  ce  fujet  la  remarque  de  1686  de  Huygens  à  la 
p.  390  qui  fuit  '^').  Le  fait  que  Huygens  —  autrement  que  Wallis  —  exprime  plufieurs 
fois  fa  préférence  pour  la  géométrie  par  rapport  à  Tarichmétique  et  l'algèbre  ne  con- 
ftitue  évidemment  pas  une  critique.  Dans  fa  lettre  du  i  janvier  1659'+)  Wallis 
montre  que  Huygens  fêtait  trompé  en  affinnant'')  que  r„arithmetica  infinitorum" 
ne  pourrait  probablement  pas  fervir  à  calculer  ce  qu'il  avait  lui-même  déterminé 
géométriquement,  favoir  les  aires  comprifes  entre  certaines  droites  et  la  ciffbide. 
Toutes  ces  chofes,  et  beaucoup  d'autres,  peuvent  avoir  été  expofées  par  Huygens  en 
détail  h  l'Académie. 

Pièce  VI  et  Appendices.  Pour  ne  pas  trop  allonger  le  préfent  Avertiflcment,nous 
ne  nous  étendons  pas  ici  fur  la  polémique  avec  J.  Gregory  fur  la  queftion  de  la  démon- 
ftrabilité  de  l'irapofllbilité  de  la  quadrature  du  cercle,  difpute  à  laquelle  Wallis  lui 
audi  prenait  part:  voyez  furtout  lalongiielettreàBrounckerdu  14 novembre  1668  '''''). 
Mieux  vaudra  revenir  fur  la  recherche  de  la  quadrature  du  cercle  dans  un  autre  Aver- 
tiffement  '''■■').  Il  a  d'ailleurs  déjà  été  queftion  de  ce  fujet  dans  cet  Avertiflement-ci, 
puifquenousavonscitér„Opus  Geometricum"  de  Grégoire  de  St.  Vincent  en  mettant 
en  lumière  l'influence  de  cet  ouvrage  fur  d'autres  chercheurs  et  en  particulier  fur 
Huygens. 

Pièce  VIL  Si  d'une  part  les  logarithmes  proviennent  de  la  nécefllté  d'abréger  les 
calculs  trigonométriques  des  aftronomes,  fi  d'autre  part  il  fut  remarqué  que  la  théorie 
des  capitaux  croiffants,  ainfi  que  celle  des  intervalles  muficaux,  préfentent  avec  celle 


9°)  Voyez  p.  e.  le  début  de  la  lettre  du  6  septembre  1658  à  la  p.  210  du  T.  II. 

")T.  I,p,44i,459. 

'*)  T.  I,  p.  477,  lettre  du  22  août  1656.  Wr.llis  ne  se  sert  pas  encore  de  „rindu(fbion  complète", 
consistant  à  démontrer  que  lorsque,  pour  une  série  de  formules,  la  n''°"  est  bonne,  la  (n  -f- 1)'*™ 
doit  rétre  également.  Voyez  encore  sur  ce  sujet  la  note  4  de  la  p.  390. 

'5)  A  la  p.  459  du  T.  I  il  appelle  les  démonstrations  algébriques  „compendiosas".  Voyez  aussi  la 
p.  211  du  T.  II. 

S"»)  T.  II,  p.  296. 

*'5)  Dernières  lignes  de  la  p.  212  du  T.  II. 

»«)T.VI,p.  282— 289. 

'")  P.  369  qui  suit. 


2  1 4  AVERTISSEMENT. 


des  logarithmes  des  analogies  frappantes  de  forte  que  les  tables  de  logarithmes  peu- 
vent fervir  dans  ces  deux  cas,  il  n'en  efl:  pas  moins  vrai  que  la  recherche  des  quadra- 
tures, telle  qu'elle  fe  trouve  chez  Grégoire  de  St.  Vincent,  était  propre,  elle  aufll,  à 
faire  réfléchir  les  mathématiciens  fur  des  problèmes  logarithmiques.  Merfenne,  tout 
mucilblogue  qu'il  était,  avait  été  amené  vers  la  fin  de  fa  vie  par  les  difputes  fur  l'œuvre 
de  Grégoire,  et  nullement  par  une  queflion  muficale,  à  pofer  un  problème  logarith- 
mique qui,  on  l'a  vu  plus  haut,  a  aflez  généralement  attiré  l'attention  des  favants. 

Remarquons  cependant  en  paflant  que  dans  les  „Cogitata  phyfico-mathematica" 
de  1 644  de  Merfenne  fe  trouve  l'aflertion  „muficale"  que  le  rapport  d'égalité  corres- 
pond à  zéro  '^);  ce  que  Wallis,  à  la  fin  de  fon  „Traélatus  Elendticus"  contre  Mei- 
bomius  ^9),  dit  confidérer  comme  pouvant  avoir  été  le  point  de  départ  de  la  théorie 
des  rapports  de  ce  dernier. 

Quoique  N.  Mercator  '°°)  connût  le  problème  logarithmique  de  Merfenne,  fa 
théorie  à  lui  des  logarithmes  a  un  caratlère  plutôt  mufical  '°');  mais  ils'eft  occupé 
aufll  d'une  quadrature,  celle  de  l'hyperbole,  et  c'eft  à  cette  quadrature  que  la  „Loga- 
rithmo-technia"  doit  fa  célébrité  puifqu'il  s'y  agit  d'une  fommation  de  ce  qu'on  a 
voulu  appeler  des  „indivifibles"  à  l'aide  du  développement  d'une  fraftion  en  une  férié 
convergente;  et,  comme  l'hyperbole  avait  déjà  été  mife  en  rapport  avec  les  logarith- 
mes, ceci  fe  trouva  conduire  au  développement  en  férié  d'un  logarithme. 

On  comprend  que  Huygens  ait  tenu  à  faire  immédiatement  connaître  à  Paris  la 
quadrature  de  l'hyperbole  par  Mercator,  la  difpute  avec  Gregory  fe  trouvant  ainfi 
reléguée  dans  le  paflTé  '°-).  Les  Regiflres  difent  que  Huygens,  après  que  Wallis  eut 
expliqué  et  réformé  cette  quadrature,  „y  a  adioufl:é  plufieurs  chofes  pour  en  faciliter 


5")  „Pra;fatio  generalis,  De  Rationibus  atque  Proportionibus".  On  lit  dans  le  n°  XIV:  „Proportio 
îcqualitatis  nihili  similitudinem  refert:  proportio  maioris  a;qualitatis  attollitur  supra  nihilum, 
&  enti  adsimilatur:  proportio  minoris  a:qualitatis  deprimitur  infra  nihilum,  &  antienti  compa- 
rari  potest". 
9')  Déjà  cité  dans  la  note  3  de  la  p.  13  qui  précède. 
'°°)  Note  10  de  la  p.  201. 

'°')  Voyez  la  p.  11  qui  précède.  Il  mérite  d'être  observé  que  chez  Mercator  il  n'est  nullement 
question,  à  propos  des  „ratiunculï",  de  la  théorie  des  capitaux  croissants,  mais  seulement  de 
musique. 
'°-)  Voyez  à  la  p.  276  du  T.  VI  la  fin  de  la  Pièce  de  Huygens  du  12  novembre  1668,  plusieurs  fois 
citée  dans  les  Appendices  à  la  Pièce  VI  (p.  303 — 327  qui  suivent). 


AVERTISSEMENT.  ai  5 


rintcUigcnce".  Lorfqu'on  compare  la  verfion  de  Huygens  avec  celle  de  Wallis  '"') 
on  voit  que  Huygens  a  en  effet  le  mérite  de  la  (implicite  et  de  la  clarté  qui  chez  Wallis 
art  déjà  plus  grande  que  chez  IVlercator.  Il  a  omis  tout  ce  qui  fe  rapporte  à  la  férié  de 
Mercator  et  de  Wallis  i  —  ^4  +  ^^  —  ^^  etc.  pour  ne  conferver  que  la  férié  de 
Wallis  1+^1  +  .'/*  +  yJ^  etc.  Mais  nous  ne  voyons  pas  qu'il  y  ait  rien  ajouté  (du 
moins  dans  la  Pièce  écrite;  il  peut  a  voir /)^r/^  plus  longuement). 

On  ne  peut  pas  en  effet  confidérer  comme  une  addition  qu'au  lieu  de  fe  fervir  de 
petites  „areol£e"  découpées,  devant  de  nouveau  être  ibmmécs  pour  obtenir  l'aire 
totale,  il  dit,  plus  correétement  que  Mercator,  prendre  de  petits  parallélogrammes 
qui  „furpaffent  de  quelque  chofe  l'efpace"  confidéré;  ce  qui  donne  évidemment, 
lorfque  les  parallélogrammes,  comme  les  „areola.'",  deviennent  infiniment  minces, 
la  même  fomme.  Ceci  efl  en  effet  entièrement  dans  l'eiprit  de  Wallis  quoiqu'en  cette 
occafion  celui-ci  n'indique  pas  les  parallélogrammes  dans  la  figure '°+).  Dans  la  Pièce 
tirée  des  Regiflres  (voyez  les  dernières  lignes  de  cette  Pièce)  Huygens  n'obferve 
pas,  bien  que  la  chofe  dût  être  évidente  pour  Mercator,  pour  Wallis  et  pour  lui-même, 
que  lorfque  les  tranches  ou  parallélogrammes  correfpondant  à  une  aire  limitée  de- 
viennent „innumer£e"  (Mercator),  les  „ratiuncula;"  —  le  nombre  dix  millions 
(dernière  ligne  de  la  p.  i  i)ell:  évidemment  arbitraire  —  fe  rapprochent  indéfiniment 
de  la  valeur  f  de  forte  que  les  expofants  des  puifTances  de  ces  „ratiunculœ",  c.à.d.  les 


'"3)  On  peut  consulter  la  note  3  de  la  p.  261  qui  suit. 

'°-t)  Dans  la  Dédicace  de  son  „De  Seftionihus  Conicis"  de  1655  (dédié  àSeth  Wardetà  L.  Rock) 
Wallis  écrit:  „Videbitis  me,  statim  ab  initio,  Cavallerii  Methodum  Indivisibilium  quasi  jam  à 
Geometris  passim  receptam,  tam  huic  quam  tractatui  sequenti . . .  substernerc;  ut  multiplici 
figurarum  inscriptioni  &  circumscriptioni,  quibus  in  àffœywyscî;  aliàs  utendum  saîpius  esset, 
supersedere  liceat;  sed  à  nobis  aliquatenus  sive  emcndatam  sive  saltem  immutatam:  pro  redis 
numéro  infinitis,  totidem  substitutis  parallelogrammis  (altitudinis  infinité  exigu»)  ut  &  pro 
planis,  totidem  vel  prismatis  vel  cylindrulis;  &  similiter  alibi". 

Ailleurs  Huygens  désigne,  conformément  à  la  terminologie  de  Cavalieri,  les  parties  élémen- 
taires d'une  figure  plane  par  les  mots  «linens"  ou  „refta;";  voyez  p.e.  la  1. 6  (datant  de  1664) 
de  la  p.  482  du  T.  XVI,  et  la  note  6,  se  rapportant  à  un  calcul  de  1693  ou  1694,  de  la  p.  379 
du  T.  XVIII.  Il  est  vrai  qu'en  ces  endroits  nous  avons  affaire,  autrement  que  dans  les  „Theore- 
matadequadratura  hyperboles  etc."  de  1651  (T.  XI),  à  des  pièces  qui  n'étaient  pas  destinées 
à  la  publicité;  il  ne  s'agit  donc  pas  dans  ces  pièces  de  démonstrations  formelles.  Voyez  encore 
sur  les  démonstrations  formelles,  outre  la  p.  182  qui  précède,  les  p.  348  du  T.  XVI  et  50  du 
T.  XVIII. 

Consultez  aussi  sur  Wallis,  Huygens  et  les  indivisibles  de  Cavalieri  la  note  1  de  la  p.  340 
du  T.  XVI. 


2  1 6  AVERTISSEMENT. 


logarithmes  (fi  l'on  veut  fan  tenir  à  la  définition  du  logarithme  de  la  p.  1 1  ),  tendent 
à  devenir  infiniment  grands,  ce  qui  à  fes  auditeurs  eût  pu  fembler  une  difficulté  l'éricufc. 
Probablement  —  il  cfi  vrai  que  nous  ne  connaiflbns  pas  fa  communication  orale  — 
il  a  cru  bien  faire  de  pafier  ce  fait  fous  filence. 

Pièce  XL  On  a  vu  dans  le  T.  XVIII  '°5)  que  les  théorèmes  de  Huygens  de  1678 
fur  Vév^vvtn?  '°*)  de  l'épicycloïde  et  la  quadrature  des  efpaces  épicycloïdaux  fe  rat- 
tachent tant  à  la  rcélification  de  la  cycloïde  —  trouvée  par  Huygens  en  1659,  après 
Wren,  fuivant  une  méthode  fort  différente  —  qu'aux  confidérations  de  Defcartes  et 
de  Vaumefle  fur  les  figures  roulantes.  Depuis  une  dizaine  d'années  le  problème  de  la 
reclification  des  courbes  —  que  Descartes  dans  fa  Géométrie  de  1637  avait  jugé 
infoluble  '^')  —  était  à  Tordre  du  jour  '°^). 

Quelques  mois  plus  tard  de  la  Hire,  devenu  membre  de  l'Académie  en  cette  année 
1678,  y  parla  fur  le  même  fujet  '°''). 

En  1 675  Romer  avait  déjà  traité  à  l'Académie  de  l'ufage  de  l'épicycloïde  dans  les 
engrenages,  fujet  auquel  de  la  Hire  et  Huygens  s'intércffèrcnt  également,  de  la  Hire 
peut-être  en  cette  même  année  1675  indépendamment  de  Rômer  "°). 

Pièces  IX  et  X.  Ces  Pièces  —  voyez  fur  la  Pièce  IX  ce  que  nous  difons  un  peu 
plus  loin  en  parlant  de  la  Pièce  VIII  —  fe  rapportent  aux  équations  de  l'hyperbole  et 
de  la  circonférence  de  cercle.  C'eft  donc  de  la  géométrie  analytique,  mais  d'une  tour- 
nure archaïque.  Conftruire  l'hyperbole  d'après  fon  équation  s'appelle  chez  Huygens 
„confl:rucHo  loci  ad  hyperbolam"  '  '  ').  L'on  voit  combien  le  problème  de  déterminer 


'°5)  P.  52  (A),  p.  40 — 41  (B),  p.  400 — 405.  Le  troisième  livre  de  r„Horologuim  oscillatorium" 

(T.  XVIII)  de  1673  traite  „de  linearum  curvarum  evolutione  et  dimensione". 
■°'5)  Expression  de  Wallis  pour  désigner  la  rectification;  voyez  la  p.  285  qui  suit. 
'°7)  Livre  Second:  „la  proportion  qui  est  entre  les  droites  et  les  courbes  n'étant  pas  connue,  et 

même,  je  crois,  ne  le  pouvant  être  par  les  hommes ..." 
'°*')  Voyez  encore  sur  le  problème  historique  de  la  rectitication  des  courbes  la  note  1  de  la  p.  2 10 

du  T.  XVIII. 
'°S')  T.  XVIII,  p.  603,  note  4  et  T.  XIX,  p.  180,  note  7. 
"°)  T.  XVIII,  p.  602—603  et  607—616. 
'")  De  Witt  (début  du  Lib.  II  de  l'ouvrage  cité  dans  la  note  1 14)  parlait  aussi  d'un  „locus  ad 

lineam  rectam"  ou  „ad  curvam".  De  la  Hire —  voyez  sur  lui  la  suite  du  présent  Avertissement 

—  s'exprime  de  la  même  manière. 


AVERTISSEMENT. 


217 


les  éléments  d'une  conique  d'après  fon  équation  —  notons  que  dans  l'Appendice  de 
1682  à  la  Pièce  XII  "=)  Huygens  parle  fhnplement  de  r„œquatio  parabola:"  "3)  — 
parailTait  encore  ardu  malgré  les  travaux  de  Wallis  et  de  Witt  "•»).  Les  fameux  livres 
d'Apollonios  "5)  — nommé  dans  le  titre  de  la  Pièce  X,  cité  aulli  dans  l'Appendice  II 
à  la  Pièce  VIII,  dans  celui  à  la  Pièce  XII  et  dans  la  Pièce  XIII  — ,  ne  pouvaient  être  incor- 
porés qu'avec  difficulté  dans  un  enfemble  logique  d'allure  moderne  "'').  On  voit  que 
la  conltruftion  de  l'hyperbole  de  la  Pièce  IX  ierattacheàuneconltruétion  de  Florimond 
de  Beaune,  et  que  la  Pièce  X  n'eft  guère  autre  chose  que  la  conftruction  d'une  circon- 
férence de  cercle  d'après  ion  équation  "").  Il  faut  remarquer  que  pour  I  luygens  dans 
fa  jeunede,  comme  pour  ApoUonios,  le  mathématicien  p^nr exceWancc qUIq géomètre. 
Il  n'a  jamais  abandonné  cette  préférence  pour  la  géométrie:  voyez  p.  e.  la  1.  5  de  la 
p.  208  où  il  efl:  queftion  de  „geometrie  pure  et  arithmétique"  et  les  1. 4 — 6  de  la  p.  2 1 3 
où  nous  citons  fes  obfervations  lir  les  écrits  de  Wallis.  Néanmoins  l'étude  d'autres 
auteurs  —  nous  pouvons  mentionner  Viète  (antérieur  à  Defcartes)  qu'il  connaiffait 
depuis  longtemps  "**)  et  dont  l'algèbre  ou,  comme  Viète  s'exprime,  r„Arithmetica 
fpeciofa  iive  fymbolica"  a  eu  auflî  tant  d'iniluence  fur  Wallis  "^)  —  l'ont  amené  peu  à 
peut  à  attacher  plus  d'importance  aux  équations  et  même  à  regarder  parfois,  comme 
Girard  '-°)  et  Defcartes,  certaines  équations  comme  intéreffantes  en  elles-mêmes  et 
capables  d'être  interprétées  par  des  figures  géométriques. 


'")  Dernière  ligne  de  la  p.  33^  qui  suit. 

"2)  Nous  n'avons  pas  trouvé-  que  de  la  Hire  se  serve  où  que  ce  soit  de  ce  génitif  qui  est  aujourd'hui 
d'un  usage  général:  là  où  il  s'exprime  le  plus  brièvement  il  parle  («Nouveaux  Eléments"  p. 
394)  d'„Equations  aux  Seftions  Coniques". 

"•♦)  Voir  pour  l'ouvrage  de  Wallis  la  note  104  qui  précède.  Le  Lib.  II  des  „EiementaCurvarum" 
de  Johan  de  Witt  (1625 — 1672),  grand-pensionnaire  depuis  1653  delà  province  de  Hollande, 
publiés  en  1659  par  F.  van  Schooten  dans  le  T.  II  de  la  Colleftion  „Renati  Descartes  Geo- 
metria"  —  dans  sa  préface  de  1658  de  Witt  parle  de  „ea  . . .  quœ  à  me  quondam  [nous  soulig- 
nons] conscripta  ac  pêne  in  ordinem  redafta  inveni"  —  contient  une  discussion  systématique 
des  équations  de  deux  variables  (jx  et  y)  du  premier  et  du  deuxième  degré. 

"5)  Dont  Wallis  en  1655  ne  connaissait  encore  que  les  quatre  premiers;  voyez  p.e.  la  note  8  delà 
p.  41  du  T.  XVIII  et  les  notes  2  et  3  de  la  p.  298  qui  suit. 

'"î)  Voyez  e.a.  sur  Huygens  et  ApoUonios  la  note  8  de  la  p.  41  du  T.  XVIII. 

"^')  Comparez  la  p.  231  du  T.  XIV  (pièce  de  1657). 

"8")  Voyez  à  la  p.  10  du  T.  I  le  titre  des  Oeuvres  de  Viète  (1540 — 1603)  telles  qu'elles  furent 
publiées  en  1646  par  F.  van  Schooten.  Huygens  les  cite  e.a.  en  1652  (T.  I,  p.  213). 

"»)  Voyez  r„Oratio  Inauguralis"  de  1649  par  laquelle  débute  le  T.  I  des  „Opera  Mathematica" 
de  1695. 

'-°)  „Qui  a  commenté  Stevin"  (T.  I,  p.  517).  Huygens  le  cite  seulement  en  1691  (T.  X,  p.  187, 
188);  mais  voyez  aussi  sur  lui  le  T.  XI,  et  consultez  la  p.  363  qui  suit. 

28 


2  1  8  AVERTISSEMENT. 


Pièce  FUI.  Le  célèbre  problème  d'Alhazen  avait  d'ailleurs  amené  Huygens  de 
bonne  heure  à  bien  faifir  l'utilité  de  l'algèbre  dans  la  réfolution  des  problèmes  géomé- 
triques: en  août  1657  '-')  il  écrit  à  de  Slule:  „rcmper  miratus  fum  illum  [Alhazen] 
abfque  Algebrs  auxilio  id  conitruere  potuifTe".  En  ce  moment  de  Slufe  ne  voulut  pas 
encore  s'occuper  de  ce  problème;  mais  lori'qu'  Oldenburg  lui  communiqua  en  1670 
la  folution  de  Huygens  de  1669  '"),  il  fe  mit  lui  auiTi  au  travail.  Les  diverfesfolutions, 
propofées  tour  à  tour  par  Huygens  et  par  lui  en  1671  et  1672,  et  qu'ils  fe  faifaicnt 
connaître  qar  l'entremife  d'Oldenburg  —  nous  avons  déjà  parlé  de  ces  lettres  à  la 
p.  196  qui  précède  —  font  preuve  d'une  concurrence  achamée  entre  les  deux  amis. 
Oldenburg  publia  des  „Excerpta  ex  Epiilolis  nonnullis,  ultrb  citrûque  ab  Illuftriilîmis 
Viris,  Slufio  &  Hugenio,  ad  Editorem  icriptis"  dans  les  „Philofophical  Tranfactions" 
de  1673  '-5).  En  excerpant  la  lettre  de  Huygens  du  1  juillet  1672  il  omet  l'endroit 
qui  caraftérife  bien  ce  combat  de  finefle:  Huygens  dit  que  fur  ce  problème  il  lui 
„femble  que  nous  rafinons  de  mefme  que  les  deux  peintres  Grecs  fur  la  diuifion  de  la 
ligne". 

Nous  ne  pouvons  ici  réimprimer  les  lettres  du  T.  VIL  Voyez  cependant  un  mor- 
ceau qui  s'y  rattache  dans  l'Appendice  I  à  la  Pièce  VIII.  Ce  qui  mérite  furtout  d'être 
noté,  c'eft  que,  déjà  en  1669,  une  folution  du  problème  d'Alhazen  amena  Huygens 
à  confidérer  avec  attention  la  forme  de  l'équation  du  deuxième  degré  dans  le  cas  où 
celle-ci  correfpond  à  une  hyperbole.  On  voit  dans  le  Manufcrit  D  que  c'efl;  cette  con- 
fidération  qui  l'a  amené  à  écrire  la  Pièce  IX  dont  nous  avons  déjà  parlé  plus  haut. 

Pièce  XII.  Conformément  à  ce  que  nous  avons  dit  à  propos  des  Pièces  X  et  XI, 
cette  Pièce  de  1 680  efl:  intitulée  :  „Sur  les  équations  folides".  Quoique  Huygens  débute 
par  le  problème  „des  2  moyenes  proportionelles",  pour  parler  enfuite  „dela  perpen- 
diculaire a  une  hyperbole  d'un  point  donné",  il  ne  défigne  le  calcul  conduifant  à  la 
conftmction  géométrique  de  ces  moyennes  ou  de  cette  perpendiculaire  que  comme 
„quelques  exemples"  de  „cette  méthode",  c.  à.  d.  de  la  méthode  confiftant,  on  le  voit 
aulïï  dans  l'Appendice  '-+),  dans  l'introduétion  d'une  nouvelle  variable  à  l'effet  de 


-)T.lI,p.45. 

123)  i\'o!.  p7  et  98, 6  octobre  et  17  novembre  16-3. 
'=•»)  P.  334  et  suiv. 


AVERTISSEMENT. 


219 


riibflitucr  à  réquation  donnée  qu'il  s'agit  de  rcfoudrc  un  cnfemble  équivalent  de  deux 
équations  plus  maniables. 

Or,  ce  long  Appendice  —  que  Huygens  eijt  pu  publier,  paraît-il,  dans  le  recueil 
„Divers  ouvrages  etc."  de  1693  '^s)  —  fait  voir  en  même  temps  que  la  nature 
„tamen  ufque  recurrit"  '"^):  c'eft  en  fin  de  compte  un  géomètre  plutôt  qu'un  ama- 
teur de  l'algèbre  qui  a  la  parole. 

Pièce  XIII.  La  dernière  Pièce  académique  fur  les  coniques,  datant  également  de 
1680,  cft  bien  de  nature  géométrique,  quoique  dans  la  démonflration  du  théorème, 
ou  plutôt  dans  la  première  des  deux  propofitions  faifant  office  de  lemmes,  il  foit  fait 
ufage  —  Huygens  (ou  du  moins  celui  qui  a  écrit  ces  pages  du  Regiftre)  ne  fait  qu'/V;- 
diquer  la  démon ftration,  mais  elle  fe  trouve  dans  le  brouillon  du  Manufcrit  E  (voyez 
l'Appendice)  —  de  certaine  propnété  d'une  équation  du  quatrième  degré  („équation 
quarré  quarrée"),  de  forte  que  cette  propofition  „fe  démontre  ....  par  Algèbre". 
Cette  propofition  fe  rattache  d'ailleurs  à  une  propofition  de  van  Schootcn,  également 
démontrée  par  algèbre  (voyez  l'Appendice).  Plus  tard  Huygens  réuflk  à  trouver 
une  preuve  purement  géométrique  (même  Appendice). 

Nous  avons  fignialé  à  propos  de  la  Pièce  VIII  —  et  nous  aurions  pu  le  faire  auffi  à 
propos  de  la  Pièce  III  fur  les  tangentes'"')  —  la  concurrence  de  Huygens  avec  René 
de  Slufe'^^).  A  propos  de  la  Pièce  XII  il  faut  fignaler  la  même  concurrence  et  aufil 
celle  de  Huygens  avec  Philippe  de  la  Hire.  Cette  dernière  concurrence  apparaît  encore 
bien  plus  clairement  dans  le  cas  de  la  Pièce  XIII.  Les  folutions  de  Slufius  du  problème 
déliaque  ont  fait  une  grande  imprefllon  fur  Huygens.  On  peut  confulter  là-deffus  la 
note  1  de  la  p.  334  .  Quant  à  de  la  Hire,  nous  avons  mentionné  plus  haut  à  propos 
de  la  Pièce  XI  de  1678- 1679  qu'il  difcourut  fur  le  même  fujet  que  Huygens  peu  de 
temps  après  lui.  Dans  l'Appendice  de  1682  de  la  Pièce  XII  de  1680  Huygens  nous 


'"5)  Voyez  sur  cet  Appendice  les  quatre  dernières  lignes  de  la  p.  284  du  T.  VIII  et  les  1.  3 — 6  de 
la  p.  ^j  du  T.  IX  (lettre  à  de  la  Hire  du  :6  septembre  1686). 

'■*)  Naturam  expellas  furca,  tamen  iisque  recurret.  (Horace,  Epist.  lib.  i,  ep.  X,  24). 

'•")  Voyez  sur  ce  sujet,  outre  le  recueil  cité  dans  la  note  suivante,  la  note  i  de  la  p.  243  qui  suit. 

'"')  On  peu:  consulter  le  livre  dont  nous  avons  déjà  parlé  brièvement  à  la  p.  III  de  notre  T.  I, 
savoir  la  „Correspondancc  de  René-François  de  Sluse  publiée  pour  la  première  fois  et  pré- 
cédée d'une  Introduiftion"  par  M.  C.  le  Paige,  Rome,  Impr.  d.  se.  math,  et  pliys.,  1885. 


220  AVERTISSEMENT. 


apprend  (en  le  délîgnant  par  les  mots  „gallus  quidam  geometra")  que  de  la  Hire 
f 'occupait  vers  le  même  temps  que  lui  (il  Tagit  d'un  livre  de  de  la  Hire  de  1679)  du 
problème  déliaque  (ou  plutôt  plus  généralement  de  l'équation  du  troifième  degré). 
Enfin  la  Pièce  XIII,  également  de  1680,  eft  immédiatement  fuivic  dans  les  Rcgiflres 
par  un  difcours  de  de  la  1  lire  fur  le  même  fujet,  favoir  les  coniques  à  axes  parallèles 
ou  perpendiculaires  fe  coupant  en  quatre  points  "!').  On  peut  voir  dans  notre  T.  VIII 
que  de  la  I  lire  prétendit  même  dans  la  féance  où  parla  Huygens  d'avoir  traité  avant 
lui  dans  l'Académie  du  fujet  de  fa  communication  ce  qui  toutefois  ne  fut  pas  confirmé 
par  les  Regifl:res'3°). 

Devenu  membre  de  l'Académie  en  1 678  de  la  I  lire  y  déployait  une  grande  activité. 
On  peut  confulter  la  lifte  —  d'ailleurs  incomplète  — de  fes  ouvrages  dans  r„Hifi:oire 
de  rAcadéraie  Royale  des  Sciences  depuis  1666  jufqu'à  fon  renouvellement  en 
1699" '3').  Nous  avons  cité  jadis  fes  „Nouveaux  élémens"  de  1679,  auxquels  nous 
feifions  allufion  dans  l'alinéa  précédent '3=),  lefquels  fe  rattachent  aux  „Elementa" 
de  1659  de  J.  de  Witt'33).  H  fêtait  occupé  de  coniques  déjà  depuis  longtemps 
—  comparez  fa  biographie  dans  le  T.  VIII '3+)  —  et  devait  publier  en  1685  in  folio 
fes  „Se(ftiones  conica;  in  novcm  libros  diilributîe"  '  ■").  C'eft  aufli,  et  peut-être  furtout, 
à  Defargues  qu'il  le  rattache,  lui  et  fon  maître  le  peintre  et  graveur  Abr.  Bofie. 
Notons  que  Huygens  connaifTait  BolTc  —  et  Defargues '3")  —  perfonnellement,  et 
probablement  aufii  leur  grand  livre  d'architeéhire  et  de  perfpeftive '3"),  longtemps 


'"')  Dans  ce  discours  (ou  plutôt  dans  cette  pièce,  car  nous  ignorons  s'il  y  eut  une  communication 

orale)  de  la  Hire  ne  se  sert  pas  d'équations  en  .v  et  v:  comparez  les  notes  135  et  138  qui  suivent. 
•3°)  T.  VIII,  p.  284. 
■3")  Publiée  en  1733. 
135^  T.  VIII,  p.  283:  «Nouveaux  Elemens  des  Seftions  Coniques.  Les  Lieux  Géométriques.  La 

Construction  ou  Effeftion  des  équations". 
'33)  „Elementa  curvarum  linearum",  ouvrage  cité  à  la  p.  217  qui  précède.  De  la  Hire  mentionne 

dans  sa  Préface  cet  ouvrage  de  de  Witt,  auteur  „qui  est  estimé  avec  justice  le  plus  excellent  de 

tous  ceux  qui  ont  pris  ce  mesme  chemin". 
•34)  T.  VIII,  p.  282,  note  I. 
'3S)  Cet  ouvrage  se  rattache  à  celui  de  1673  (fin  de  la  note  138  qui  suit).  11  n'y  est  pas  question 

d'„équations"  (note    132):  c'est  plutôt  de  'la  géométrie  synthétique  que  de  la  géométrie 

analytique. 
'3*)  Huygens  ne  rencontra  Desargues,  semble-t-il,  qu'une  seule  fois.  Voyez  sur  cette  rencontre  la 

p.  188  qui  précède. 
'3')  D'aprèsMa  p.  1 14  du  T.  VII,  Huygens  acheta  en  167 1  à  Paris  pour  son  frère  Constantyn  un 

grand  livre  de  perspective  qui  peut  fort  bien  avoir  été  la  «Manière  universelle  de  Desnrgues, 

pour  pratiquer  la  perspective  par  petit  pied,  comme  le  géométraI,par  M.  Bosse,  Paris,  1648". 


AVERTISSEMENT.  22 1 


avant  d'avoir  rencontré  de  la  Hire'3'*).  Les  mérites  de  de  la  Hire  en  ce  qui  concerne 
l'étude  fyftématique  des  coniques  font  évidemment  fiipéricurs  à  ceux  de  Huygens  '^i'). 
I  luygcns,  il  cft  vrai,  n'avait  pas  l'ambition  —  voyez  la  page  citée  dans  la  note  1 37  — 
de  compofcr  fur  la  pcrfpedive  ou  les  coniques  „dc  (1  grands  livres"  de  nature  didac- 
tique. Quant  aux  relations  pcrfonnelles  des  deux  favants,  en  1 683,  donc  après  le  départ 
de  Huygens  de  Paris,  de  la  Hire,  oppofé  en  général  aux  candidatures  à  l'Académie 


■38)  De  la  Hire  n'est  mentionnd  dans  la  Correspondance  qu'à  partir  de  1680.  Quant  à  Bosse,  la 
lettre  de  Mylon  de  1659  (T.  I,  p.  3.^4)  fait  voir  que  Ihiygens  avait  déjà  fait  sa  connaissance 
avant  cette  année,donc  probablement  lors  de  son  séjour  à  Paris  en  1655.  La  p.  4  du  T.  II  fait 
voir  que  van  Schooten  le  connaissait  également.  Dans  son  Journal  de  Voyagede  1660 — 1661 
—  nous  ne  faisons  pas  mention  d'autres  endroits  —  Huygens  parle  de  plusieurs  entretiens  avec 
Bosse,  et  une  fois  d'une  conversation  sur  un  sujet  de  mathématique:  il  écrit  le4Janvier  1661  : 
chez  Bosse,  problème  en  l'ovale  (ovale  est  le  nom  que  Desargues  donne  à  l'ellipse). 
Notons  que  c'est  grâce  aune  copie  de  1679  (retrouvée  en  1845)  par  de  la  Hire  de  l'oeuvre 
principale  de  Desargues,  son  „Brouillon  projet  d'une  atteinte  aux  évenemens  de  rencontres 
du  Cône  avec  un  plan",  que  cette  œuvre  a  été  conservée.  Dans  r„Avant-propos"  de  son 
ouvrage  de  1 673,  la  „Nou  velle  méthode  en  géométrie  pour  les  se(ftions  des  superficies  coniques, 
et  cylindriques,  qui  ont  pour  bases  des  cercles,  ou  des  paraboles,  des  elipses,  &  des  hyperbo- 
les", de  la  Hire  cite  le  „Broinllon  projet"  de  Desargues  „qui  n'a  point  esté  mis  en  sa  perfeâion". 
Outre  Desargues  il  mentionne  Apollonios  (première  ligne  de  r„Avant-propos")  et,  vers  la 
fin,  Grégoire  de  S.  Vincent.  Comparez  sur  l'ouvrage  de  1673  la  note  135  qui  précède.  De  la 
Hire  ne  dédaigne  point,  comme  Desargues,  la  forme  classique.  Cependant,  même  dans  son 
ouvrage  de  1 679  qui  se  rattache  à  celui  de  de  Witt,  il  désigne,  en  disciple  de  Desargues,  les  coor- 
données d'un  point  par  les  mots  „tige"  et,  „rameau".  Nous  avons  remarqué  dans  le  Manuscrit 
H,  à  la  p.  103,  un  endroit  où,  fort  exceptionnellement,  Huygens,  en  1692, donc  longtempsaprès 
avoir  quitté  Paris,  désigne  les  coordonnées  par  les  mots  „tige"  et  «branche". 

'5')  Le  lefteur  hollandais  peut  consulter  sur  de  la  Hire  et  Desargues  l'étude  „Desargues"  de  H.  de 
Vries  (dans  ses  „Historische  studiën",  NoordhofF,  Groningen — Batavia,  1934).  Il  faut  obser- 
ver qu'il  n'est  pas  tout-à-fait  exad  de  dire  avec  M.  de  Vries  que  Desargues  rentra  en  1650 
pour  tout  du  bon  dans  sa  ville  natale  de  Lyon,  puisque  Huygens  le  vit  à  Paris  en  1661,  un  an 
avant  sa  mort. 

Nous  saisissons  cette  occasion  pour  remarquer  (comparez  la  première  ligne  de  la  p.  4  du  T. 
XIV)  que,  si  Huygens  a  rencontré  Desargues  à  Paris  en  1661,  il  n'y  a  au  contraire  pas  vu  Fer- 
mat,  comme  le  dit  la  note  3  de  la  p.  177  du  T.  IIL  Ceci  a  été  signalé  par  P.  Tannery  comme 
une  impossibilité  —  comme  étant  en  contradidion  avec  le  n°  824,  lettre  de  Fermât  à  Huygens 
de  décembre  1660,  quelque  peu  postérieure  à  la  date  de  la  prétendue  rencontre  —  peu  après 
l'apparition  du  T.  III  (1890):  dans  sa  lettre  du  30  avril  1891  à  Moritz  Cantor  («Mémoires 
Scientifiques",  T.  XIII,  1934,  p.  340)  Tannery  dit  que  les  éditeurs  ont  dû  faire  une  erreur  de 
leifture  dans  le  déchiffrement  du  „Reys-verha;l";  et  en  eifet,  à  l'endroit  du  Journal  de  Voyage 
indiqué  dans  la  note  3  nommée,  on  ne  trouve  pas  le  nom  Fermât  mais  le  nom  Thevenot.  Loin 
de  l'avoir  beaucoup  fréquenté  comme  l'auteur  de  la  note  incriminée  l'assure,  Huygens  n'a 
jamais  rencontré  Fermât  (f  1665). 


222  AVERTISSEMENT. 


de  favants  étrangers,  fait  preuve  d'une  certaine  animofité  contre  Huygens  '+°);  mais 
ceci  ne  fut  qu'un  incident;  Huygens  refta  en  correfpondance  avec  lui  jufqu'à  la  fin 
de  fa  vie  et  dans  la  Préface  de  fon  Traité  de  la  Lumière  de  1 690  il  parle  du  célèbre 
Monfieur  de  la  Hire. 


'^°)  Voyez  les  p.  463 — 464  du  T.  VIII,  taisant  partie  d'une  lettre  du  30  août  1683  de  von 
Tschirnhaus  à  Huygens.  Ce  passage  est  aussi  cité  par  H.L.  Brugmans  h  la  p.  95  de  son  livre 
t'e  '935:  «Le  séjour  de  Chr.  Huygens  à  Paris  et  ses  relations  avec  les  milieux  scientifiques 
français  suivi  de  son  Journal  de  Voyage  à  Paris  et  à  Londres". 


HUYGENS  A  L'ACADJ-LMIE  ROYALE 
DES  SCIENCES. 

CX)MMUNICATIONS  SUR  DES  SUJETS  DE  MATIlÉiMATIQUE. 


I.     Règle  pour  trouver  les  logarithmes  (  1 666  ov  1 66j'). 

II.       DeMONSTRATIO  REGULiE  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS  (l  667). 

m.     Recula  ad  inveniendas  tangentes  linearum  curvaruim  (1667). 

IV.     De  curvis  paraboloidibus  et  hvperboloidibus  (  1 66^^. 

V.     Examen  DU  LIVRE  DE  Wallis„Arithmeticainfinitorum"  de  1655  (1667). 

VI.     Insuffisance  de  la  démonstration  de  Gregorv  de  l'impossibilité  de  la 
quadrature  du  cercle  (1668). 

VII.     Sur  la  quadrature  arithmétique  de  l'hyperbole  par  Mercator  et  sur 

LA  méthode  qui  en  RÉSULTE  pOUR  CALCULER  LES  LOGARITHMES  (1668). 

VIII.     Problema  Alhaseni  (1669.  1670'?). 

IX.       CONSTRUCTIO  LOCI  AD  HVPERBOLAM  PER  ASYMPTOTOS  (l  67O  ?). 

X.  Sur  les  lieux  plans  d'Apollonios  (  i  67 8). 

XI.  Rectification  et  quadrature  de  l'épicvcloide  (1678 — 1679). 

XII.     Sur  les  équations  solides  (1680). 

XIII.     Théorème  sur  les  points  d'intersection  des  coniques  dont  les  axes  sont 
parallèles  ou  à  angles  droits  (1680). 

Voyez  aulli  la  fin  de  la  note  4  de  la  p.  335  qui  suit. 


I. 

REGLE  POUR  TROUUER  LES  LOGARITHMES  ■). 

[1666  OU  1667] 


Registres  de  l'Académie  Royale  des  Sciences,  T.  II  -),  p.  40 — 42. 

(Voyez  fur  une  rédaction  antérieure  de  cette  règle,  datant  apparemment  de  1661,  comme  celle 
du  Manufcrit  B  mentionnée  dans  la  note  i,  l'Appendice  II  à  la  p,  295  qui  suit). 

Le  calcul  fuiuant  cette  règle  ;ft  beaucoup  plus  court  que  par  celle  dont  on  s'eft 
fervy  iufques  icy,  et  pour  faire  uoir  la  différence  il  faut  feulement  remarquer  que  pour 
trouuer  par  exemple  le  Logarithme  de  2  iufques  a  1  o.  chiffres  vrais,  il  falloit  extraire 
enuiron  quarante  fois  la  racine  quarrée  d'un  nombre  de  64.  chiffres,  la  ou  par  la  pre- 
fente  règle  pour  auoir  le  mcfme  Logarithme,  il  ne  faut  qu'extraire  6.  fois  la  racine 
quarrée  d'un  nombre  de  28.  chiffres,  et  faire  enfuitte  trois  divifions,  et  une  multi- 
plication. 

La  Règle  efl:  celle  cy. 

Il  faut  auoir  une  fois  pour  tout  les  racines  quarrées  du  nombre  i  o.  extraites  con- 
fecutiuemcnt  iufques  a  la  fixiefme,  et  chaque  racine  de  14.  chiffres,  li  ')  Ton  délire 
auoir  les  Logarithmes  iufqu'a  i  o.  charadteres  ueritables,  ou  iusque  la  feptieme  ou  8'. 


')  Voyez  sur  cette  Régie  les  p.  431 — 434  du  T.  XIV.  La  Pièce  correspondante  du  Manuscrit  C 
(p.  1 10 — 1 1 1)  —  que  nous  avons  déjà  mentionnée  dans  la  note  1  de  la  p.  452  du  T.  XIV  — 
porte  la  date  du  2  novembre  1666  [2  Nov.  1 666.  Ex  libro  B.  Le  Fundamentum  regulse 
nostraî  ad  inveniendos  logarithmos  du  Manuscrit  B  (p.  17—19)  date  déjà  d'août  1661. 
Voyez  la  p.  451  du  T.  XIV].  Les  quelques  différences  entre  cette  Pièce  et  celle  des  Registres 
sont  absolument  insignifiantes  (voyez  cependant  la  note  7  de  la  p.  227).  Huygens  l'a  sans  doute 
copiée,  et  ce  doit  être  une  copie  de  sa  copie  qui  a  été  insérée  dans  les  Registres.  D'après  la  place 
qu'elle  occupe  dans  les  Registres  cette  dernière  copie  doit  dater  du  commencement  de  1667 
(ou  peut-être  de  la  fin  de  1666). 

^)  Voyez  sur  le  T.  II,  intitulé  «Registres  de  Mathématiques  de  l'année  1667  et  d'une  partie  de 
l'année  1668  jusqu'au  mois  d'Auril,"  les  1.  4 — 5  de  la  p.  180  du  T.  XIX. 

5)  Le  copiste  avait  écrit  à  tort  „et  si".  Le  texte  du  Manuscrit  C  est  correct. 

29 


226  HUYGENS  X  l'aCADÉMIE  ROYALE  DES  SCIENCES. 

racine,  et  dauantage  (et  quand  et  quand  +)  de  plus  de  chiffres  si  l'on  les  ueut  encore 
plus  prccifcraent)  :  et  de  ces  racines  l'on  n'a  qu'a  coniiderer  les  deux  dernières.  Ainfy 

La  racine  5'.  extraittc  de  10  ')  el\  10746078283213.  qui  foit  appellée  a  [nous 
remplaçons  les  quelques  majufcules  du  texte  des  Regiftres  par  des  minufcules; 
Huygens  —  ou  bien  plutôt  le  copilte;  voyez  les  notes  i  et  3  —  fe  fert  indifféremment 
des  deux]. 

La  racine  6'.  ")  eil  10366329284377.  qui  foit  b. 

L'unité  1 0000000000000.  qui  foit  ^,  c'efi:  a  dire  eftant  multipliée  par  1(3),  comme 
le  font  auffy  les  dites  racines  pour  faire  en  aller  les  fraftions. 

Maintenant  il  faut  trouuer  un  nombre  égal  a  -j-^f — ^r^  +  4°^  —  2^  —  3^» 
lequel  nombre  efl:  icy  559661035 184532.  On  le  multipliera  par  «  —  ^dont  le  pro- 
duit fera  41755094431 16778  &c,  dont  il  fera  affes  de  prendre  ces  premiers  charac- 
teres;  et  il  faut  noter  que  ce  nombre  une  fois  trouué  feruiraenfuitteau  calcul  de  tous 
les  Logarithmes. 

Soit  proposé  de  trouuer  le  Logarithme  de  2.  Il  faut  auoir  femblablement  la  5'  et  6' 
racine  extraite  de  2.  en  14.  chiffres,  comme  auparauant  du  nombre  10. 
La  5'.  racine  de  2.  efl  1 021 8971 486541.  qui  foit  dite/. 
La  6°.  racine  de  2.  ell  10108892860517.  qui  foit  dite^. 
Et  l'unité  comme  deuant  1 0000000000000.  foit  d. 

Il  faut  après  trouuer  un  nombre  égal  a     ,  °°^j_ h  40g  —  3/ —  3^,  lequel 

nombre  eft  icy  545869542830178.  On  le  multipliera  par  a  —  ^,  et  le  produit  fera 

1 25'595 35 892606.  &c. 

Maintenant  comme  le  nombre  deffus  trouué  41755&C  a  cettuy  cy  12569&C, 
ainfy  fera  le  Logarithme  de  10.  a  fcavoir  looooo&c.  au  logarithme  de  2.  qui  fera 
0,30102999567;  ou  il  va  10.  characteres  vrais,  et  l'unziesme  qui  furpaffe  le  vray  de 
l'unité.  L'on  fcait  qu'il  faut  mettre  un  zéro  pour  charaéteriflique  a  caufe  que  le 
nombre  2.  efl:  au  deffbus  de  10. 

Or  pour  trouuer  le  Logarithme  d'un  nombre  au  deffus  de  10,  il  faut  tant  de  fois 
extraire  continuellement  la  racine  quarrée,  que  la  dernière  extraite  foit  moindre  que 


*')  Manucrit  C:  quant  et  quant. 

5)  C.  à.  d.  1/75: 

«4 

«)  C.  à.  d.  p.- 10, 


RliGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES. 


227 


la  racine  (Ixicfme  extraite  de  10.  c'efi:  a  dire  aux  nombres  depuis  10.  iufqua  100.  il 
faudra  extraire  7.  fois.  Depuis  100.  iufqua  10000. huitfois. Depuis  looooà  100000000 
neuf  fois.  Et  en  ie  feruant  des  deux  racines  dernières,  et  les  appelant /et  g  et  opérant 
comme  deflus,  l'on  aura  le  Logarithme  de  la  racine  qui  eft  la  7'  en  comptant  de  la 
dernière  en  arrière,  et  cela  aulTy  precifement  que  nous  auons  trouué  le  Logarithme 
de  2.  c'efl  a  dire  iufqua  10.  charafteres  vrais.  Doublant  après  ce  logarithme  trouué 
Ton  aura  celuy  du  nombre  propofé,  i\  Ton  n'a  fait  que  7.  extradions  ou  doublant 
encore  une  fois,  fi  l'on  a  fait  8.  extradions,  et  encore  une  fois  fi  l'on  en  a  fait  9  '). 

Regiftres,  T.  I  8),  p.  246.  le  26  Oftobre  1667  . . .  Mr.  Auzout  prendra  la  peine  dedifpofer  le 
trauail  de  Meflîeurs  Auoye  >),  Richer,  et  Niquet  pour  faire  des  Logarithmes  '°). 


7)  La  Pièce  du  Manuscrite  — voyez  la  note  i  de  la  p.  225  —  ajoute:  Par  exemple,  pour  trou- 
ver le  logarithme  du  nombre  premier  7859  il  faut  avoir  la  -'  et  8'  racine  de  ce 
nombre,  qui  foient  nommées  «,  0,/),  (7,  r,  s,f,  g,  et  le  logarithme  que  Ton  trou- 
vera fera  celuy  de  la  racine  0,  qui  eil  la  7°  en  commençant  par  la  dernière  g.  Et 
doublant  ce  logarithme  on  aura  celuy  de  la  racine  «.  Et  doublant  encore  ce  dernier 
logarithme  on  aura  celuy  du  nombre  propole  7859. 

')  Voyez  l'endroit  du  T,  XLX  cité  dans  la  note  2  de  la  p.  225.  Le  „T.  L"  est  intitulé  «Registre 
de  physique  1667  et  une  partie  de  j668".  Sur  le  dos  on  lit  en  outre  „i666,  1667.  1668". 

»)  Faut-il  lire  „de  la  Voye"  (voyez  sur  lui  le  T.  XVIII)?  Dans  la  brochure  de  1938  de  M.  Harcourt 
Brown  „rAcadémie  de  physique  de  Caen  (1666 — 1675)  d'après  les  lettres  d'André  de 
Graindorge"  (Caen,  Le  Tendre)  nous  trouvons  ù  la  p.  21  le  passage  suivant  d'une  lettre  de 
Graindorge  du  7  mai  1668:  „Notre  assemblée  physique  a  été  différée  à  aujourd'hui ...  A  la 
dernière,  où  assistèrent  Mr.  Vogel  [c.  à.  d.  Martin  Fogel,  médecin  d'Hambourg]  et  autres  Alle- 
mands avec  Mr.  Avoye,  nous  éprouvâmes,  etc."  M.  Brown  nous  écrit  ne  pas  savoir  qui  était 
ce  Mr.  Avoye. 

'")  Il  paraît  donc  qu'à  l'Académie  on  a  calculé  des  logarithmes  suivant  la  méthode  de  Huygens. 


DÉMONSTRATION  DE  LA  RÈGLE  DES  MAXIMA  ET  DES  MINIMA. 

[1667]'). 


Femiat  efl:  le  premier  homme  que  je  fâche  qui  ait  établi  une  règle  certaine  pour 
déterminer  les  valeurs  naximales  et  minimales  dans  les  queftions  géométriques.  En 
en  recherchant  le  fondement  qu'il  n'a  pas  communiqué,  j'ai  trouvé  en  même  temps 
de  quelle  manière  cette  règle  peut  être  réduite  à  une  brièveté  remarquable,  de  forte 
qu'elle  s'accorde  déformais  avec  celle  donnée  plus  tard  par  l'honorable  Joh.  Hudde 
comme  une  partie  de  fa  règle  plus  générale  et  fort  élégante  qui  s'appuie  fur  un  tout 
autre  principe.  Cette  demière  a  été  publiée  par  Fr.  van  Schooten  dans  le  recueil  qui 
contient  auÂi  les  Hvres  de  Defcartes  fur  la  Géométrie.  Or,  ma  méthode  d'examiner  la 
règle  de  Fermât  était  la  fuivante. 

Toutes  les  fois  que  dans  un  problème  quelconque  il  s'agit  de  déterminer  un  maxi- 
mum ou  un  minimum,  il  efl:  certain  qu'il  exiflie  des  valeurs  égales  de  part  et  d'autre. 

Par  exemple  lorfque  la  droite  ED  [Fig.  7]  efl  don- 
née en  pofition  ainfi  que  les  points  A  et  B,  et  qu'on 
demande  de  trouver  dans  ED  un  point  C  tel  qu'en 
tirant  CA  et  CB  on  obtienne  une  valeur  minimale 
de  CA*  +  CB-,  il  efl  néceflaire  que  de  part  et 
d'autre  du  point  C  il  fe  trouve  des  points  G  et  F  tels 
que,les  droites  GA,GB  et  FA,FB  avant  été  tirées, 
on  ait  GA=  +  GB'  =  FA*  +  FB*  >  CA*  +  CB*. 
Pour  trouver  C  de  telle  manière  que  CA*  + 
CB*  =  minimum,  je  me  figure  d'abord  que,  AE  et 
BD  ayant  été  menées  perpendiculairement  à  ED 
(je  pofe  AE  =  ^,  BD  =  b,  ED  =  c),  la  différence  des  deux  droites  EG  et  EF  foit 
égale  à  une  ligne  donnée  e;  et  je  demande  quelle  doit  être  la  valeur  de  EG,  que 
j'appelle  .r,  pour  qu'on  ait  GA*-)-GB*  =  FA*-|-FB*. 


[Fig.  7] 


IL 

DEMONSTRATIO  REGUL/E  DE  IMAXIMIS  ET  MINIINIIS. 

[1667]-). 

Regiftres,  T.  JI,  p.  162.  Le  27  Auril[i667]...  Mercredy  prochain  Mons'.  Hiigens  continuera 
fa  Méthode  de  Maxirais  et  minimis. 

Regiftres,  T.  II,  p.  1 13 — 123: 

Quoties  Maximum  aut  Minimum  in  probleinate  aliquo  determinandum  proponitur, 
certum  efl:  utrinque  œqualicatis  cafum  exiftere  :  ut  fi  data  fit  [Fig.  7]  pofitione  refta  ED 
&  pundta  A,B,  oporteatque  invcnire  in  ED  pundum  C,  undc  duélis  CA,  CB,  qua- 
drata  earum  fimul  fumpta,  fint  minima  qua?  efle  poffint;  neceirc  cil  ab  utraquc  parte 
punfti  C  efle  puncta  G  et  F  a  quibus  ducendo  reftas  GA,  GB;  FA,  FB,  oriatur  fijinma 
quadratorum  GA,  GB  a:qualis  funirnse  quadratorum  FA,  FB,  et  utraque  fi.imma  major 
quadratis  CA,CB,  fimul  fiamptis.  Ut  igitur  inueniam  pundum  C,  unde  dudis  CA, 
CB  fiât  l'umma  quadratorum  ab  ipfis  omnium  minima,  duftis  AE,  BD,  perpcndicu- 
laribus  in  ED,  quarum  AE  dicatur  a^  BD,  ^,  interuallum  vcro  ED,  f,  fingo  primum 
GF  differcntiam  duarum  EG,  EF  a;qualem  data?  lineae,  qua;  vocetur  f,  et  qua-roquanta 
futura  fit  EG,  quam  appello  a-,  ut  quadrata  GA,  GB  fimul  fumpta  aquentur  quadra- 
tis FA,  FB. 


')  Outre  la  copie  insérée  dans  les  Registres,  nous  possédons  le  manuscrit  original  de  Huygens 
(„Charta;  mathematicœ"  f.  2 1 3— 2 17).  Celui-ci  est  d'ailleurs  précédé  par  le  premier  projet,  por- 
tant le  même  titre,  qui  occupe  les  p.  162 — 168  du  Manuscrit  C  (les  p.  152  et  i/odeceManu- 
scrit  portent  respectivement  les  dates  du  17  mars  et  du  12  mai  1667).  La  Pièce  a  été  publiée 
en  1693  dans  les  „Divers  Ouvrages  de  Mathématique  et  de  Physique  par  Messieurs  de  T Aca- 
démie Royale  des  Sciences".  Sur  la  première  page  du  manuscrit  Huygens  a  noté  au  crayon: 
parler  de  Hudde.  Et  en  effet  dans  la  publication  de  1693  un  premier  alinéa  a  été  ajouté  qui 
ne  se  trouve  ni  dans  le  manuscrit  ni  dans  les  Registres.  Ici  aussi  nous  le  mettons  en  tête  de  notre 
traduftion  française  de  la  „Demonstratio".  Voici  cet  alinéa  : 

Ad  in  vefliganda  Maxima  &  Minima  in  Geometricis  quseftionibus,  regiilam  certam 
primus,  quod  fi:iam,  Fermatius  adhibuit:  cujus  originem  abipfonontraditamcùm 
exquirerem,  inveni  fimul  que  pafto  ea  ipfa  régula  ad  mirabilem  brevitatem  perduci 
poliet,  utque  inde  eadem  illa  exifleretquampoftea  virampliflïmusjoh.  Huddenius 
dederat,  tanquam  partem  regulœ  fuœ  generalioris  atque  elegantiflimse,  qu£  ab  alio 


230  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

Puifque  AE  =  a  et  EG  =  x,  on  aura  AG  =  a'  +  x'.  Et  puifqiie  GD  =  c  —  .r  et 
BD  =  b,  on  aura  GB=  =  b'  +  c'-  —  2cx  +  x\  de  forte  que  AG"-  +  GB"-  =  a'  +  b' 
•\-c-  —  1CX  +  2.r%  cxpreiTion  que  nous  défignerons  par  les  mots  „termes  antérieurs". 
Ceci  s'applique  également  à  tout  autre  problème  fe  rapportant  à  un  maximum  ou  un 
minimum.  D'autre  part,  lorfqu'on  fubftitue  partout  dans  l'équation  trouvécAr  +  eà.r, 
Çx  -\-  f)-  à  .r=  et  ainfi  de  fuite  s'il  s'y  trouve  quelque  puidance  plus  élevée  de  .y,  il  efl; 
certain  qu'on  obtiendra  la  fomme  FA-  +  FB'.  Celle-ci  fera  donc 
a-  +  b-  +  c-  —  ^cx  —  ice  +  ix"  +  \ex  +  ice. 
Cette  exprefllon  fera  appelée  „tennes  poftérieurs".  Il  faut  l'égaler  à  AG"  +  GB'. 
Nous  aurons  donc  l'équation  a-  -{■  b-  -\-  c-  —  2cx  +  ~x-  =  a-  -\-  b''  +  c'^ —  icx 
—  ice  +  ix""  -f  ^ex  +  iee^  d'où  fortira  la  valeur  EG  ou  x,  GF  ou  e  défignant  une 
ligne  de  longueur  donnée. 

Or,  en  prenant  e  infiniment  petite  la  môme  équation  donnera  la  valeur  de  EG 
lorfqu'elle  efl:  égale  à  EF.  De  cette  façon  nous  aurons  déterminé  le  point  cherché  C 
pour  lequel  CA-  +  CB"  =  minimum.  Après  avoir  ôté  d'abord  les  fraétions  s'il  y  en  a 
(mais  dans  l'exemple  confidéré  il  n'y  en  a  point),  il  faut  fupprimer  de  part  et  d'autre 
les  termes  égaux,  lefquels  font  nécelTairement  tous  ceux  qui  ne  contiennent  pas  la 
lettre  e:  on  le  comprend  aifément  puifque,  comme  nous  l'avons  dit,  les  termes pofté- 


prorfùs  principio  pendet.  Hsc  à  Fr.  Schotenio  édita  efl:  unà  cum  Cartefianis  de 
Geometria  libris.  Fermatianai  autem  regulse  examen  quod  inflitui  ed  hujufmodi. 

Comparez  sur  les  règles  de  Hudde  la  note  4  de  la  p.  233  qui  suit. 

Nous  imprimons  ici  le  texte  des  Registres.  Les  très  rares  différences  entre  les  trois  textes 
que  nous  possédons  sont  absolument  insignifiantes.  Celui  de  la  publication  de  1693  a  été  réim- 
primé dans  les  „Opera  Varia"  de  1724.  Comparez  la  note  7  de  la  p.  241. 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS, 


231 


Icaque  quia  AE  00  ^  et  AG  do  .r,  erit  quad.  AG  oo  aa  +  xx.  Et  quia  GD  00 
c  —  X  et  BD  ûo  h^  erit  quad.  GB  x>  Z'Z'  +  ce  —  icx  +  .r.v,  unde  quadrata  AG,  GB 
fimiil  iiimpta  fient  :a  aa  +  l/lf  +cc  —  2cx  +  2.rr,  qui dicantur  tcrmini  priorcs; idque 
liniiliter  in  quouis  alio  probleniate  intelligendum,  ubi  maximum  aut  minimum  inqui- 
ritur.  Rurilis  autem  quia  EF  oo  x  +  «■,  fi  ubique  in  fumma  quadratorum  inucnta  fub- 
(Htuam  .T  +  c  pro  .r,  et  quadratum  ab .v+  e  pro  xx,  atque  ita  dcinceps,  fi  altior  poteiks 
ipfius  x  reperiatur,  certum  cil:  exorituram  iumniam  quadratorum  FA,  FB  qua;  quidem 
erit  aa  +  bb  +  cc  —  2cx  —  2ce  +  2xx  +  ^ex  +  2ec  ïequanda  fijmmœ  quadratorum, 
AG,  GB;  dicantur  autem  hi  tcrmini  poderiores. 

Itaque  erit  aa  +  bb  +  ce  —  2cx  +  2xx  00  aa  +  ùl>  +  ce  —  2cx  —  2ce  +  2xx  + 
\ex  +  2(?eexquaîEquationeprodibit  valorEG  fine  .r,  quando  GF  fiue  e  certs  magnitu- 
dinis  lineam  refert. 

Ponendo  autem  e  infinité  paruam  -)  apparcbit  ex  eadem  squatione  quanta  futura 
fit  EG  cum  ipfi  EF  squalis  cltadeoquehabebiturdetemiinatioqua'fitapunctiCunde 
duto  CA,  CB  faciant  lummam  quadratorum  minimam,  nempe  fublatis  primum  frac- 
tionibus  (fi  quas  fint)  quœ  in  hoc  exemplo  nuUœ  fiant,  delentur  tcrmini  qui  utrinque 
ijdem  habentur,  quales  lunt  necessario  omnes  quibus  littera  e  admixta  non  efl:,  idque 


[Fig.  8] 


)  Dans  le  premier  projet  du  Manuscrit  C  (voyez  la  note  i  de  la  p.  229)  Huygens  avait  écrit: 
infinité  parvam  five  nihilo  cequalem. 

Nous  n'indiquons  les  variantes  du  premier  projet  que  là  où  elles  ont  quelqu'importance.  La 
copie  que  Huygens  en  a  faite  n'est  pas  tout  à  fait  littérale. 

Le  premier  projet,  où  il  y  a  beaucoup  de  ratures,  commençait  primitivement  par  la  consi- 
dération d'un  autre  cas:  comparez  avec  la  présente  Fig.  8  la  Fig.  a  de  1652  à  la  p.  62  du  T.  XII, 
où  Huygens  traitait  la  même  question.  Voici  le  commencement  de  ce  début  biffé: 

Certum  efl:  cum  maximum  vel  minimum  in  pro- 
blemate  quopiam  determinandum  efl,  utrinque 
squalitatis  cafura  exillere.  Velut,  fi  intra  angulum 
rectum  ABC  [Fig.  8]  dato  pundto  D,  oporteat  per 
iUud  ducere  reftam  lineam  AC  reétis  BA,  BC  ter- 
minatam  quîe  fit  omnium  brevifllma,  necefle  efl 
utrinque  conflitui  polie  reftas  HG,  KL  inter  le 
œquales  majorefque  ipfa  AC. 

Ad  inveniendum  itaque  maximum,  vel  (ut  in 
hoc  exemplo)  minimum,  ita  primo  inflituenda  efl 
operatio,  tanquam  non  maximum  aut  minimum, 
led  dato  jequale  qujeratur. 

Ita  hic  invelligabo  quomodo  per  datimi  punc- 
tum  D  ducenda  fit  HG  ut  data;  lineœ  d  a.'quetur. 


232  HUYGENS  X  l'académie  ROYALK  DES  SCIENCES. 

rieurs  fc  tirent  des  tennes  antérieurs  en  fubftituant  x  +  ek  x  dans  toutes  les  puis- 
fances  de  cette  dernière.  Enfuite  on  divile  tous  les  termes  par  e  et  on  détruit  ceux 
qui,  après  cette  divifion,  contiennent  encore  cette  lettre,  puifqu'ils  rcpréicntent  des 
quantités  infiniment  petites  par  rapport  à  ceux  qui  ne  renferment  plus  e.  C'cft  de  ces 
derniers  ieuls  qu'on  tire  enfin  la  quantité  .r  fatisfaifànt  au  problème  propol'é.  Telle  eft 
la  méthode  de  Fermât  ;  en  l'abrégeant,  j'ai  trouvé  la  méthode  fuivante  compoiée  de 
deux  parties. 

1°.  Lorfque  les  termes  dont  nous  fuppofons  qu'ils  doivent  poffeder  un  maximum 
ou  un  minimum,  ne  comprennent  aucune  fraftion  contenant  dans  fon  dénominateur 
la  quantité  inconnue  cherchée,  il  faut  multiplier  chaque  terme  par  le  nombre  des  di- 
menflons  que  la  quantité  inconnue  a  dans  ce  terme,  en  négligeant  les  tennes  qui  ne 
la  contiennent  point;  et  la  fomme  de  tous  ces  produits  doit  être  égalée  à  zéro. 

Dans  l'exemple  propofé,  où  les  termes  antérieurs  étaient  û'  +  b'  +  c'  —  2cx  +  '^x'', 
fomme  de  deux  carrés +'''')  que  je  veux  rendre  minimale,  il  fuffit  donc  d'effeéluer  la 
multiplication  fuivante 

a-  +  b"  +  c'  —  icx  +  2X- 
I        2 
d'où  réfultent  les  tenues  dont  la  fomme  doit  être  égalée  à  zéro 

—  2CX  +  ^x-  =  G,  et  par  conféquent  ^c  =  x. 

De  même,  lorfque  les  tennes  antérieurs  font 

,       ,    ,      <3.b-a-x  ,     ., 

la  multiplication  fera  la  fuivante  3  3  ^ 


d'où  réfultent  les  terme  égaux  à  zéro  ^ax^  —  "^bx^ 


ib'^a-x 


1    -       2^^^= 
^ax^  —  yjx- =  0. 


3^ 

Pour  comprendre  la  raifon  de  ce  procédé  abrégé,  il  faut  remarquer  en  premier  lieu 
que,  puifque  les  termes  poftérieurs  fe  tirent  des  termes  antérieurs  en  fubflituant  par- 
tout .%•  4-  ^  à  .r,  tous  les  termes  antérieurs  fe  retrouvent  néceffairement  parmi  les 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS.  233 


facile  efl:  intelligcre,  cuni  dixcrimiis  poftcriorcs  tenninos,  ex  prioribus  dcfcribi,  po- 
ncndo.r  +  i'  ^')  vel  pocelhtcm  cjus,  quocies  invcnitiir  .r  vcl  potcllas  cjus  aliqiia  in 
prioribus.  Deindc  omncs  tcrmini  pcr  c  dividiintur,  quibiiCquc  poil  cam  diviiioncm 
adhuc  umim  e  aut  plura  incflc  inucniiintur,  ii  dclcntiir,  qiiippe  ciim  qiiantitatcs  infi- 
nité pariias  contineant,  reipedtu  cœterorum  tcrminorum  quibus  nuUum  ampliiis  incfl 
€.  Ex  quibus  denique  iblis  inucnitur  quantitas  x  quxfita  in  caCu  dctcrminationis  pro- 
polito;  et  lix'c  ell:  ratio  metiiodi  Fennaciana.',  quà  in  compendiuui  rcdackd,  liane  aliam 
inueni,  cuius  partes  duîe  funt  ■•).  nam  primo 

Quando  tcrmini  quos  Maximum  aut  Minimum  defignare  volumus,  nullam  frac- 
tionemhabent,  in  cuius  dcnominatore  quantitas  incognita  quaMita  continctur;  multi- 
plicandus  cil  terminus  quisque  pcr  numcrum  dimenlionum  qucm  in  illo  habct  quan- 
titas incognita,  omidis  tenninis  ijs  in  quibus  incognita  quantitas  non  reperitur; 
omniaque  produfta  illa  ccquanda  nihilo. 

Ita  in  excmplo  propofito  ubi  tcrmini  priores  inuenti  ilint  aa  -{-hh-^-cc  —  icx  + 
2.TX,  ilimmam  quadratorum  duorum  +">")  continentes,  quam  volo  elfe  minimam, 
tantummodo  iftius  modi  conllituenda  erit  multiplicatio  aa  +  bù  +  cc  —  2cx  +  2xx 

1  2 

Ex  qua  orientur  termini  a;quandi  nihilo  —  acx  +  ^x  00  o 

Unde  fit  i  c  00  x. 

Ita  quoque  fi  priores  termini  fint  ^ax^  —  hx^  —  ibba-x  +  aab 
multiplicatio  erit  ejuimodi  3c 

3  3  I 


Unde  termini  œquandi  nihilo       (^ax'^  —  ^^x'^  —  ibba-x  oo  o 

3^ 


<)axx  —  'ifhxx  —  ibba""  oo  o. 


Hujus  compendii  ratio  ut  intelligatur,  fciendum  primb,  quoniam  termini  pofleriores 
ex  prioribus  deicribuntur,  ponendo  tantum  ubique  .r  +  e  pro  .v,  necefTario  omnes 


3)  Ici  les  mots  ,,in  poflerioribus"  du  premier  projet  —  qui  d'ailleurs  seraient  mieux  placés 

après  les  trois  mots  suivants  du  texte  —  ont  été  omis,  peut-être  par  mégarde,  dans  la  copie  de 

Huygens. 
*)  Dans  le  premier  projet  du  Manuscrit  C  Huygens  avait  écrit  après  le  mot  „redactà":  ea;dem 

duœ    régula;  oriuntur   quas   Huddenius  habet,  in  epillola  2'''  ad  Schotenium, 

qualque  antcquam  illa  ederetur  pridem  inveneram  demonllratafque  dederam  D. 

de  Wit.  Sunt  autem  régulai  ilte.  . . .  Etc. 

Dans  sa  copie  Huygens  a  changé  l'ordre  de  ce  qui  suivait  dans  le  Manuscrit  C  en  donnant 

d'abord  l'application  de  la  régie  (pars  prima)  dans  le  cas  de  l'exemple  proposé  et  seulement 

ensuite  la  „compendii  ratio". 
♦''")  Savoir  les  carrés  des  droites  AG  et  GB  [Fig.  7]. 

30 


ag^j,  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


ternies  poftéricurs,  de  (ortc  qu'il  eft  inutile  de  les  écrire  attendu  qu'il  faudrait  immé- 
diatement les  fupprimer,  et  que  par  confcquent  il  fuffit  d'écrire  ceux  qui  contiennent 
f  une  ou  pluileurs  fois,  comme  dans  le  cas  de  notre  exemple  — icc  +  i^ex  +  5^%  et 
d'égaler  leur  Ibmmc  à  zéro.  Mais  il  appert  en  outre  que  les  termes  contenant  e  plus 
d'une  feule  fois  feront  eux  auffi  écrits  inutilement,  puifqu'il  a  été  établi  qu'après  la 
divifion  par  e  ils  devront  être  iupprimés,  comme  nous  l'avons  dit  un  peu  plus  haut. 
Il  faut  donc  des  le  début  écrire  comme  termes  poflérieurs  ceux-là  feulement  qui  con- 
tiennent c  une  feule  fois. 

Or,  ces  termes-là  fe  déduifent  fiicileraent  des  termes  antérieurs  puilqu'il  paraît  que 
ce  font  les  deuxièmes  termes  des  puiffances  de  x  +  f,  tous  les  autres  termes  de  ces 
puiiîànces  contenant  e  ou  plus  d'une  fois  ou  pas  du  tout.  De  forte  que  partout  où  l'on 
trouve  X  dans  les  tennes  antérieurs  il  faut  écrire  .r  -f-  e  ')  dans  les  termes  poftérieurs, 
et  où  il  y  a  x'  dans  les  antérieurs,  2^'.v  dans  les  pollérieurs;  où  il  ya  .r%  3f.v-,  etc. 
Mais  Icfdits  deuxièmes  tenues  de  chaque  puifTance  de  .r  +  e  fe  tirent  facilement  de 
la  puifTance  correfpondante  de  x:  il  fufTit  de  changer  une  lettres  en  ^  et  démettre 
devant  chaque  tenue  le  nombre  des  dimenfîons  de  x^  de  forte  que  x^  ou  xx  devient 
zex  et  .v"*  fe  change  en  yx'  etc.  Par  conféquent  on  tire  aifément  les  termes  poflé- 
rieurs  dont  nous  avons  dit  que  la  fomme  doit  être  égalée  à  zéro  des  termes  antérieurs 
contenant  x  (les  feuls  qu'il  faille  confidérer,  comme  nous  l'avons  fait  voir)  en  multi- 
pliant chacun  d'eux  par  le  nombre  des  dimenfions  de  x.  Car  il  n'efl  pas  même  néces- 
faire  de  changer  une  lettre  x  en  e  puilqu'il  revient  au  même  de  divifer  enfuite  par  e 
ou  par  .r.  Par  ces  confidérations  la  raifon  de  la  méthode  abrégée  de  la  première  partie 
de  la  règle  efl:  devenue  évidente.  Paffons  maintenant  à  la  deuxième  qui  efl  la  fuix'ante''). 

2'^.  Lorfque  les  termes  dont  nous  voulons  établirlavaleurmaximalc ou minimalccom- 
prennent  des  fraftions,  dans  le  dénominateur  defquelles  fe  trouve  la  quantité  inconnue, 
il  faut  d'abord  fupprimer  les  quantités  connues,  s'il  y  en  a;  enfuite,  fi  les  autres  quan- 
tités n'ont  pas  le  même  dénominateur,  il  faut  les  y  réduire.  Après  cela  il  faut  multiplier 
chacun  des  tennes  qui  conflituent  le  numérateur  de  la  fraftion  par  chaque  terme  du 
dénominateuretmultiplier chaque  produit  ainfi  obtenu  par  la  différence  des  dimenfions 
de  la  quantité  inconnue  telle  qu'elle  fe  trouve  refpeftivement  dans  le  terme  du  numé- 
rateur et  dans  celui  du  dénominateur,  en  donnant  à  chaque  produit  le  figne  exigé  par 
la  règle  de  la  multiplication  lorfque  le  nombre  des  dimenfions  de  la  quantité  inconnue 
dans  le  terme  du  numérateur  furpaflTe  celui  du  terme  du  dénominateur,  et  le  figne 
contraire  lorfqu'il  en  eft  autrement;  enfin  il  faut  égaler  à  zéro  la  fomme  de  tous  les 
termes  obtenus. 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS. 


235 


terniinos  priorcs  etiam  in  pofterioribus  repcriri,  ideoquc  illos  nihil  opus  cffe  defcribi 
ciim  utrnbiquc  mox  delcndi  forent,  atque  adeè  illos  tantum  fcribcndos  in  qiiibus  unum 
e  vel  pliira  infant,  lit  in  excniplo  noih-o  —  ice  +  y^  +  ''-cc^  eofque  sqiiandos  nihilo. 
Sed  ctiam  illos  qiiibus  pliira  quam  unum  e  inerunt,  fcribi  frustra  apparct,  cum  divifionc 
lafta  per  e  dclcndos  podca  conftet,  ut  paulo  antc  diximus.  Itaque  nulli  praterea  ab 
initio  dcfcribcndi  intcr  terminos  polk-riorcs,  quam  quibus  incrit  e  limplex. 

11!  autcm  tcrmini  ex  terminis  prioribus  facile  deducuntur  cum  conllet,  nihil  aliud 
cITe  quam  fecundos  terminos  poteflatum  "Hox  -\-  e  quia  cœceri  omnes  plura  quam  unum 
e^  vel  nullum  habent.  Adeo  ut  ubicumque  in  prioribus  terminis  habctur.vfcribcndum 
fit  in  polterioribus  .v  +  ^  '^  et  ubi  habetur  xx  in  prioribus,  ponendum  lex  in  polle- 
rioribus,  et  ubi  x'  in  prioribus,  in  pofterioribus  yxx  atque  ita  dcinceps.  Dicti  autem 
tcrmini  fccundi  cujufque  poteftatis  .v  +  e  ex  ipfa  poteflate  x  facile  defcribuntur,  mu- 
tando  unura  x  in  ^,  et  pra^ponendo  numerum  dimenfionum  ipfius  .r;  ita  cnim  ab  xx 
fit  lex  et  ab  a:^,  3f.v.v,  atque  in  ca'teris  pari  modo.  Itaque  ex  terminis  prioribus  in 
quibus  A',  quos  folos  confiderando.;  effe  patuit,  facile  etiam  tcrmini  polleriores  ii  quos 
nihilo  adacquandos  diximus,  defcribuntur,  multiplicando  tantum  fingulos  in  numerum 
dimenfionum  quas  in  ipfis  habet  x.  j\am  mutare  unum  x  in  e  ne  quidum  opus  ell,  cum 
codem  rcdeat,  fiue  omnes  poftea  per  e  aut  per  x  dividantur.  Ex  his  quidem  aperta  ell 
ratio  compcndii  ad  primam  partem  rcgulœ  pertinentis.  nunc  ad  aliam  veniamus  quœ 
elt  eiufmodi  '^). 

SI  terminis  quos  Maximum  aut  Minimum  defignare  volumus  fraCtiones  habeant, 
in  quarum  denominatore  occurrat  quantitas  incognita,  delendas  primum  funt  quanti- 
tates  cognita?,  fi  qua;  adfint;  deinde  fi  reliqua;  quantitates  non  habeant  eundemdeno- 
minatorem,  eo  rcduccndce  funt.  Tum  tennini  finguli  numeratorem  fractionis  confti- 
tuentes  ducendi  in  terminos  fingulos  denominatoris,  produftaque  fingula  multipla 
fumenda  fecundum  numerum  quo  dimenfiones  quantitatis  incognita;  in  teraiino 
numeratoris  diffcrunt  a  dimenfionibus  ejusdem  incognito  quantitatis  in  tennino 
denominatoris.  Signa  autem  affeftionis  produftis  fingiilis  prœponenda  qualia  lex  mul- 
tiplicationis  exigit,  quoties  dimenfiones  quantitatis  incognito  plures  funt  in  tennino 
numeratoris,  quam  in  tennino  denominatoris,atquotiescontraevenitcontrariaquoque 
figna  productis  prœponenda,  qus  denique  omnia  œquanda  nihilo. 


5)  Il  faut  lire  e  au  lieu  de  jf  +  ^'  L'erreur  se  trouve  tant  dans  le  premier  projet  que  dans  le  raanu- 
fcrit  et  les  publications  de  1693  et  de  1724. 

*)  Contrairement  à  l'interversion  dont  il  est  question  dans  la  note  4  de  la  p.  z^'s,  Huygens  com- 
mence, dans  le  cas  de  la  „pars  alla"  de  la  règle,  par  exposer  la  théorie,  et  l'applique  ensuite  à  un 
exemple;  tandis  que  dans  le  premier  projet  il  commençait  par  l'exemple.  Il  est  évident  que  ceci 
a  amené  ici  aussi  de  grands  changements  dans  le  texte. 


236  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


Suppofonsparcxemplequ'on  ait  trouve  comme  termes  antérieurs  que  nous  voulons 
faire  acquérir  une  valeur  maximale  les  fuivants 

bx^  —  c'x^  —  2bc''x  , 
"  bc'  +  x^ 
où  il  n'y  a  pas  de  quantité  connue.  Suivant  la  règle  je  multiplie  tous  les  termes  du 
numérateur  d'abord  par  bc-,  et  du  premier  produit  obtenu,  celui  de  bx^  par  bc-,  je 
prends  le  triple  parce  que  bx"^  a  trois  dimenfions  de  la  quantité  inconnue  .r  tandis  que 
bc-  n'en  a  aucune;  du  deuxième  produit,  celui  de  —  c-x'  par  Zr",  j'écris  le  double 
puifque  dans  —  c-x''  il  y  a  deux  dimenfions  de  x  et  aucune  dans  bc^  ;  quant  au  troificme 
produit,  celui  de  —  2bc-x  par  bc',  je  l'écris  fimplement  puisque  dans  —  2bc-x  et  bc' 
la  difl'ércnce  des  dimenfions  de  .v  cil:  l'unité.  Et  je  donne  à  ces  trois  produits  leurs 
vrais  figues  puifque  les  dimenfions  de  x  dans  les  termes  du  numérateur  furpafTent 
celles  du  terme  bc-  qui  font  nulles.  De  forte  que  ces  trois  produits  ibnt 

^b-c\v^  —  2bc-^x-  —  2b-c^x. 

Enfuite  je  multiplie  tous  les  mêmes  termes  du  numérateur  par  .v',  fécond  terme 
du  dénominateur.  Or,  je  néglige  le  premier  produit,  celui  de  bx^  par  at^,  en  d'autres 
tenues  je  le  multiplie  par  zéro,  parce  que  les  dimenfions  de  x  font  les  mêmes  de  part 
et  d'autre  et  que  leur  différence  ell  donc  nulle.  Quant  au  deuxième  produit  de  —  c'x- 
par  A"%  je  l'écris  fimplement  parce  que  pour  ces  tennes-là  la  différence  des  dimenfions 
de  X  efl  l'unité;  et  j'écris  doublement  le  troifième  produit,  celui  de  —  2bc-x  par  x% 
puifque  la  différence  des  dimenfions  de  x  y  efl:  2.  Je  donne  à  ces  deux  derniers  produits 
des  figues  contraires  à  ceux  qu'exigerait  la  loi  de  la  multiplication  parce  que  dans  les 
deux  cas  les  dimenfions  de  x  font  moindres  dans  les  termes  du  numérateur  que  celles 
de  .r',  terme  du  dénominateur. 

Les  deux  produits  feront  donc  +  c-x^  +  ^bc'x*.  En  les  ajoutant  aux 

trois  précédents  +  3^=c*x3  —  ibc^x-  —  2b-c*x  on  obtient  la  fomme  qu'il  faut 
égaler  à  zéro  : 

c-.r'  +  4^c'.v+  +  2b'C-x^  —  2bc*x'-  —  nb-c'^x     =  o. 
Divifant  cette  équation  par  c-bx  +  c-x-  on  trouve  x^  +  2^^''  — -^^'  =  o- 

Ici  aufll  nous  expliquerons  à  l'aide  d'un  feul  exemple  comment  la  règle  a  été  obtenue: 
on  comprendra  qu'il  en  efl  de  même  dans  tous  les  autres  cas.  Confidérons  donc  les 

JjX^ C'  X'  o  hc~  X 

termes  antérieurs  propofés  tantôt,  fa  voir  ~ ^ -^ — -.  Si  j'en  veux  tirer, 

^    "^  bc''  -\-x^  ' 

comme  cela  a  été  fait  précédemment,  en  fubflituant  .r  +  eà.r,  d'autres  termes  aux- 
quels je  pourrai  les  comparer,  je  conflate  d'abord  que  panni  les  tennes  poftérieurs  l'on 
peut  négliger  ceux  qui  contiennent  plus  d'une  feule  lettre  e  parce  qu'il  en  réfukera 
toujours  des  quantités  contenant  elles  aufii  plus  d'une  feule  e  et  devant  par  conféquent 
être  finalement  fupprimécs  pour  la  raifon  expofée  plus  haut.  L'égalité  des  termes 
antérieurs  et  poflérieurs  fera  donc  exprimée  par  l'équation  fuivante: 

bx'^  —  c'^x-  —  2bc-x bx^  — c'jf'  —  ibc^-x  +  'T^bex-  —  ic-ex  —  ibc-e 

bc'  +  X'  ~  bc'  +  3^:r^  +  A-3 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINliMIS. 


237 


Sint  excmpli  gracia  inventt  termini  priores  quos  maximum  defignarc  velimus  illi 

hx^  -  ce XX  ~  ^hccx 

j  ,^ ubi  nulla  eft  quanticas  cognita.  I  lie  ergo  fccundum  rcgulam  mulii- 

plico  tenninos  omncs  numcratoris  primum  pcr  bcL\  priorirque  produéti  ex  bx"^  in  bec 
fcribo  triplum,  quia  bx^  habct  trcs  dimenlîones  quantitatis  incngnita."  :r,  bec  vero 
nullam,  iccundi  produifti  ex  - — ccxx  in  bec,  fcribo  duplum,  proptcrca  quod  in  — ccxx 
duac  funt  dimcnliones  x  et  in  bec  nuUar;  tertium  vcro  produftum  ex  -  iheex  in  bec, 
fcribo  fimplcx  quia  in  — ibccx  et  bec  diUercntia  dimcnlionum  .v  e(l  unitas.  'IVibus 
autem  hifce  produftis  vera  figna  affeftionis  adfcribo,  quoniam  dimenfiones^  in  termi- 
nis  numcratoris  excedunt  eas  qua;  in  termino  bec,  quippe  quœ  nulla;  funt,  ita  ut  tria 
hsc  produfta  fine 

"^bbccx'^  -  ibc^xx  -  2bbe^x. 

lam  porro  temiinos  omncs  eofdem  numcratoris  duco  in  x^  tcraiinum  alterum  de- 
nominatoris  primumque  produclrm  ex  ^.r^  in  .r^  fcribere  omitto,  iîuc  pcr  o  multiplico, 
quoniam  ea'dcm  dimcnliones  utrobique  funt  ipfius  .%',  ideoquc  diifcrentia  nulla. 
Sccundum  autem  productum  ex  — ccxx  in  .v'  fcribo  fimplcx,  quia  in  his  terminis  dif- 
fcrcntia  dimcnfionum  .v  efl:  unitas;  at  tertium  produétum  ex  —  2bcex  in  x^  fcribo 
duplum  quia  difTcrcntia  dimcnfionum  .v  in  his  cil  2.  Signa  vcro  affcftionis  produdtis 
hifce  duobus  adfcribo  contraria  ijs  qua;  requireret  lex  multiplicationis,  eo  quod  di- 
menfioncs  .v  pauciores  funt  utrobique  in  terminis  numcratoris  quam  in  x^  termino 
denominatoris. 

Itaque  produéta  bina  erunt  ha;c  +t"'^-v'  +  J{.bccx*.  qua;  addita  tribus  pra;ccdcntibus 
+  ^bbccx^  —  2bc-^xx  —  ibbc^x  faciunt  fummam  a;quandam  nihilo 

ccx^  +  i^bccx^  +  ^bbecx^  —  ibc^xx  —  ibbe^x  00  o 
qua  œquatione  divifa  pcr  cebx  +  eexx  fit  .v'  +  ^^xx  —  2bcc  zo  o. 

Quomodo  autem  ad  ha;c  perventum  fit,  uno  excmplo  rurfus  cxplicabimus,  ex  quo 

eandem  in  omnibus  cîeteris  rationcm  effe  intelligetur.  Videamus  igitur  priores  temiinos 

bx^  '~—  ccxx  —  2,becx 
quos  modo  propofueram,  nempe ; ex  quibus  fi  alios  quibus- 

cum  eos  comparem,  ut  initio  faétum  eft,  defcribcre  velim,  ponendo  ubique  x  +  e  ubi 
eft  -V,  video  quidem  primo  omnes  illos  in  pofterioribus  terminis  poiïe  negligi  in  quibus 
plura  quam  unura  e  inerit,  quia  fempcr  ex  ijs  quantitates  oricntur,  in  quibus  plura  uno 
e  incrunt,  qua;que  proindcdclenda;  tandem  erunt,  obcaulam  in  fuperioribus  traditam. 
Itaque  erunt  termini  priores  œqiiandi  poderioribus 

^.r^'  —  ccxx  —  2bcex  bx^  —  ccxx  —  ibccx  +  2,bexx  —  iccex  —  ibcce 

bec  +  x'^  bec  +  3^-f.r  +  x'^ 

qui  nempe  ex  prioribus  hac  lege  defcripti  funt,  ut  ubicunque  eft  .r  vel  poteftas  eius 
in  prioribus  ibi  ponatur  x  +  e,  vel  poteftacis  .r  +  e  duo  priores  termini;  quoniam 
fcimus  in  cîeteris  plura  quam  unum  e  contineri. 


2-5  8  HUYGENS  X  l'aCADÉMIE  ROYALE  DES  SOENCES. 


Les  tenues  poftéricurs  y  font  tirés  des  termes  antérieurs  en  liibllicuant  partout  à  a- 
ou  fes  puifTances  x  +e  ou  les  deux  premiers  tenues  des  puifTanccs  de  x  +  <?,  puifque 
nous  favons  que  dans  les  termes  ultérieurs  il  y  a  plus  d'une  ieulc  lettre  e. 

Or,  comme  les  termes  tans  e  dans  les  numérateurs  des  ternies  antérieurs  et  porté- 
rieurs  font  abfolument  les  mêmes,  il  appert  que  de  part  et  d'autre  les  multiplications 
des  termes  (ans  e  des  dénominateurs  avec  les  termes  fans  e  des  numérateurs  peuvent 
être  omifes,  parce  qu'il  en  réfulterait  de  part  et  d'autre  des  quantités  égales  qui  fe 
détruiraient.  C'eft  pourquoi  il  fuflilait  d'écrire  dès  le  commencement  comme  tenues 
poftérieurs  ceux-là  feulement  qui  contiennent  une  feule  lettre  c  en  négligeant  tous 
les  autres;  de  forte  que  l'équation  devient 

bx-'  —  c-x-  —  2l>c-x  _  2^ex-  —  2C-  ex  —  2bc-e 
bc-  +  x^  ^ex- 

ÎNIaintcnant  il  faudrait  donc  faire  les  multiplications  croifées  pour  fe  débarradcr 
des  fractions.  Mais  en  examinant  avec  quelqu'attention  quels  feront  les  réfultats  de 
cesmultiplications,noustrouveronsencore  un  nouvel  abrègement  :  nous  découvrirons 
qu'il  n'eft  point  du  tout  néceffaire  d'écrire  les  tennes  poftérieurs.  En  effet,  comme 
ils  découlent  des  termes  antérieurs  par  le  changement  d'une  lettre  .r  en  e  et  l'addition 
d'un  fadeur  égal  au  nombre  des  dimenfions  de  x,  il  n'eft  pas  difficile  de  conclure  des 
termes  antérieurs  feulement  quels  feront  tous  ces  produits. 

Par  exemple  la  préfcnce  de  — rx-  dans  les  tennes  antérieurs  donnant  lieu  à  celle 
de  — zc-ex  dans  les  termes  poftérieurs,  et  celle  de  x^  dans  le  premier  dénominateur  à 
celle  de  ^ex'-  dans  le  fécond,  on  voit  aifément  que  les  deux  produits,  celui  de  — c-x- 
par  3^^%  et  celui  de  — 2c-ex  par  x\  qui  font  — 3c=e'A-+  et  — 2.c-ex^,  feront  compofés 
des  mêmes  lettres,  mais  que  les  fadeurs  3  et  2  feront  différents,  et  que  cette  dernière 
différence  réfulte  du  fait  que  .v  dans  le  tenne  rx-  a  une  dimenfion  de  moins  que  dans 
le  tenue  x'\  Supprimant  enfuite  — 2c-ex-^  dans  les  deux  membres  de  l'équation,  il 
appert  qu'il  reftera  — c-ex^  du  côté  des  termes  antérieurs.  C'eft  ce  qu'on  peut  donc 
obtenir  de  lliite  en  multipliant  limplement  dans  les  tennes  antérieurs  le  —rx-  du 
numérateur  avec  le  a-'  du  dénominateur,  en  changeant  dans  le  produit  une  lettre  x 
en  e,  et  en  écrivant  le  produit  fimplement  puisque  dans  ces  deux  termes  la  différence 
des  dimenfions  de  x  eft  l'unité. 

De  la  même  manière  les  produits  de  — 2brx  par  2^^''  et  de  — 2bc-e  par  x~\  les- 
quels ont  les  mêmes  lettres,  étant  — 6bc-ex^  et  — 2bc-ex'^,  auront  des  fafteurs 
numériques  différents  parce  que  dans  — 2bc-x  il  n'y  a  qu'une  feule  dimenfion  de  .r, 
tandis  qu'il  y  enatroisdans.T5;fouftrayant— 2^c=i?A:^de  part  et  d'autre  del'équation, 
je  conftate  qu'il  refte  —  j^bc-ex'^  du  côté  des  termes  antérieurs,  ce  qui  pouvait  de 
nouveau  être  aperçu  dès  le  début  puifque  la  même  quantité  provient  de  la  multipli- 
cation du  terme  —  2bc-x  du  premier  numérateur  par  le  terme  a-'  du  dénominateur 
lorfque  dans  le  produit  on  remplace  une  lettre  x  par  e  et  qu'on  y  ajoute  le  faéteur  2 
qui  exprime  la  différence  des  dimenfions  de  x  dans  les  termes  —  2bc-x  et  x-\ 

Mais  comme  dans  les  termes  bx=  et  a:'  la  dimenfion  de  x  eft  la  même,  il  s'enfuit  que 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS.  239 


lam  vcro  porro  quia  tcrmini  in  qiiibiis  nullmii  c  m  numcratorc  ac  dcnominatore 
priiirum  ac  poilcrioriim  tcnninoriim  ijdcm  plane  rcpcriiintur,  patct  multiplicacioncs 
alternas  eorum  terminoriim  dcnominatoris  in  tenninos  nunieratoris  partis  altcrius  e 
carentes  omitti  pode,  cum  quantitates  Inde  orta;,  ca'deni  iitrinqiie  cflent  futura-, 
ideoque  delenda.'.  Quare  in  terminis  pollcrioribus  tantiim  ij  ab  initio  fcribendi  erant, 
in  qiiibus  ununi  c\  omillis  omnibus  rcliquis;  ut  tequatio  hic  futura  fit  ilh 
hx'^  —  ccxx  —  ibccx  '^hexx  —  iccex  —  ibcce 
bec  +  x'^  3^.r.r 

Hic  jam  multiplicationcs  alternje  perdenominatoresinfUtucndactTcntad  tollcndas 
fraftioncs,  vcrum  cxaminando  diligentius  quienam  futura  fint  earum  niultiplicationum 
produOta,  aliud  adhuc  compcndiuni  inuenieraus,  et  nec  fcribendos  quidem  omnino 
ode  tenninos  polleriores;  quia  enim  defcribuntur  ex  prioribus  mutato  x  in  e,  prœpo- 
fitoque  numéro  dimenfionum  ipfius  .r,  non  difficile  cft  colligerc  ex  folis  tcnninis 
prioribus  quaniam  tutura  (int  omnia  iik  produe'ta. 

Ita  quoniam  propter  —  ccxx  in  prioribus  habetur  —  iccex  in  pofterioribus,  et 
propter  x^  in  dcnominatore  priorum,  in  pofteriorum  dcnominatore  efl:  3^.r.r,  facile 
perfpicitur  utraque  produfta  ex  —  ccxx  in  3(?.v.v  et  ex  —  icccx  in  .r'  qua?  funt 
—  3Cff.v+  et  —  iccex''^  eafdem  literas  habitura,  ied  dix'erfos  numéros  prajpofitos  3 
&  2;  idque  inde  fieri  quod  in  tennino  ccxx  unam  dimenfionem  minus  habeat  .r  quam 
in  termino  a\  Itaque  et  auferendo  poilea  ex  utraque  parte  œquationis  —  iccex^^ 
apparet  luperfuturum  — avu-^a  parte  tenninorum  priorum.  Quare  ab  initio  hoc  iciri 
potell,  multiplicando  tantum  in  terminis  prioribus  —  ccxx  numeratoris  in  .v^  deno- 
minatoris,  unumque  .v  in  e  mutando,  ac  produftum  fimplex  fcribendo  quia  differentia 
dimenfionum  .v  in  iftis  duobus  terminis  ell  uniras. 

Eadem  ratione  producta  ex  —  ibccx  in  3^.v.v  et  ex  — ihcce  in  .r^  quse  eafdem 
litteras  habent,  funt  enim  —  6hccex'  et  —  ibccex^^  habebunt  numéros  prjepofitos 
diverfos,  propterea  quod  in  —  ibccx  una  tantum  eil  dimcnfio.v,  at  in  .v'  très,  unde 
ablato  ex  utraque  parte  ^quationis  —  ibccex'^  fcio  luperfuturum  a  parte  terminorum 
priorum  —  ^bccex'^^  quod  rurfus  ab  initio  cognofci  potuit  quia  eadem  quantitas  oritur 
multiplicando  —  ibccx  numeratoris  terminorum  priorum  in  .v'  dcnominatoris,  mu- 
tandoque  unum  x  in  e  et  produftum  multiplicando  pcr  2  quœ  ell:  differentia  dimen- 
fionum .r  in  terminis  —  ibccx  et  .r'. 

At  quoniam  in  bx^  et  in  x"'  eadem  ell  diraenfio  .r,  fequetur  produda  ex  ^.v>  in 
y XX  et  ex  '^bcxx  in  .v  >  tum  literas  eafdem,  tum  eofdem  numéros  prspofitos  habitura, 
ideoque  fefe  mutuo  fublatura,  ut  proinde  multiplicatio  illa  pofiit  omitti. 

Atque  eiufmodi  animadverfionibus  inuentum  quod  in  régula  prcecipitur,  tenninos 
fingulos  numeratoris  in  fingulos  dcnominatoris  tenninos  elfe  ducendos,  produftaque 
quolibet  multipla  fumenda  fecundum  differentiam  dimenfionum  quantitatisincoçnit^, 
in  terminis  binis,  qui  in  fe  mutuo  ducuntur.  Nam  quod  non  pra;cipitur  unum  x  in  e 
mutandum,  id  hanc  rationcm  habet,  quod  non  référât  utrum  poilea  per  e  an  per  .v 
tennini  dividantur. 


240  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


les  produits  de  bx^  par  3^^'  et  de  r^bex-  par  .r''  auront  non  feulement  les  mêmes 
lettres,  mais  aiiflî  les  mêmes  fadeurs  numériques  et  que  par  conféquent  ils  fe  détrui- 
ront, de  forte  que  cette  multiplication  peut  être  omife. 

C'ert  par  des  remarques  de  cette  forte  qu'a  été  trouvé  ce  qui  elt  prelcrit  dans  la 
règle,  lavoir  que  les  différents  termes  du  numérateur  doivent  être  multipliés  par  ceux 
du  dénominateur,  et  que  chaque  produit  doit  être  multiplié  par  un  faétcur  réfultant 
de  la  différence  des  dimcnfions  de  l'inconnue  dans  les  deux  termes  qui  forment  le 
produit.  Il  n'y  efl  pas  dit  qu'il  faut  changer  une  lettre  .r  en  ^ ;  en  effet,  il  n'importe 
que  la  divifion  qui  doit  iiiivre  foit  faite  par  e  ou  bien  par  x. 

Quant  au  précepte  fuivant  lequel  il  faut  donner  à  chaque  produit  le  vrai  ligne 
toutes  les  fois  que  les  dimcnfions  de  .v  dans  le  numérateur  font  fupérieures  en  quantité 
à  celles  de  x  dans  le  dénominateur,  ceci  aufll  pourra  être  compris  d'après  ce  que  nous 
avons  dit;  et  par  conféquent  aufli  qu'il  faut  donner  les  lignes  contraires  lorfque  le 
contraire  elt  vrai  pour  les  nombres  des  dimcnfions.  Ici  par  exemple  le  produit  de  ^.r' 
par  bc-  doit  être  écrit  avec  le  fignc  —  et  le  fadeur  3,  de  forte  qu'il  vient 
—  ^b'c'x^',  en  effet,  à  caufe  de  ^.v^  nous  favons  que  nous  aurons  ^bcx'  dans  les  ter- 
mes poftéricurs,  ce  qui  multiplié  par  br  fera  +  r^b-c-ex-^  mais  tranfporté  dans  la  partie 
antérieure  de  l'équation,  ceci  deviendra  — •  r^b'C-ex",  ou  bien,  fi  l'on  ne  change  pas  x 
en  e,  —  ^b'c'x^  ^). 

Enfin,  l'exemple  fuivant  fera  voir  que  la  règle  enfeigne  à  bon  droit  que  toutes  les 
fois  qu'il  y  a  des  termes  connus  parmi  les  termes  antérieurs  avant  leur  réduction  à  im 
dénominateur  commun,  il  faut  commencer  par  les  fupprimer  ^).  Suppofons  qu'on  ait 
trouvé  les  tenues  antérieurs  fuivants  devant  avoir  une  valeur  maximale  ou  minimale 

ac'.v  -f  .r'  -f  V- , 

2a  —  .r 

où  -v-  défigne  une  quantité  connue.  Pour  qu'il  apparaiffe  que  v-  doit  être  fupprimé, 

voyons  ce  qui  fe  paffera  fi  l'on  ne  fupprimé  point  ce  tcnne,  auquel  cas,  pour  le  réduire 

au  dénominateur  commun,  il  faudra  le  multiplier  par  2a  —  .r,  de  forte  qu'il  viendra 

dans  les  tenues  antérieurs.  Pour  Icfquels  il  faudra,  fuivant  l'explication 

donnée  plus  haut,  écrire  dans  les  termes  poftérieurs ;  par  conféquent  dans  la 

multiplication  croifée  il  faudra  multiplier  2a  —  x  par  — ev-  d'un  côté,  et  de  l'autre  — e 
par  2wS- — XV-  ;  or,  les  mêmes  ternies  réfulteront  nécclTairemen t  des  deux  multiplicati- 
ons, puifquedesdeuxcôtéson  multiplie  continuellement  lesmêmesfatteurs  2*7 — .r, — f, 
et  V-.  Ces  termes  le  détruiraient  donc  et  feraient  par  conféquent  écrits  inutilement: 
il  en  réfulte  qu'on  peut  en  toute  fécurité  fupprimer  direétement  la  quantité  v-.  Et,  en 
examinant  diligemment  la  chofe,  on  apercevra  clairement  qu'il  doit  en  être  de  même 
dans  tous  les  autres  cas. 


REGULA  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS.  24 1 

Quod  vero  figna  Q  afteétionis  vera  prodiKÎlisfinguIisprœponcndadiciinturquoties 
dinicnllones  .v  plurcs  fiint  in  mimcratore  quani  in  dcnominacore;  id  qiioquc  ex  jain 
didis  intclligctur;  uti  conrcqiicnccr  ctiani  hoc,  quod  contraria  ligna  func  apponenda 
quoties  dimenfionum  numerus  contra  fe  habet.  Velut  hic  productum  ex  bx^  in  bec 
fcrihendiim  cil;  cum  ligno  —  propolito  numéro  3  ut  liât  —  ;^bbccx'^  ^),  quia  nempe 
propter  bx^  fcimus  in  pofterioribus  temiinis  fore  ^l^cxx,  quod  duélum  in  bec  faciet 
+  ^bbccc'xx  fed  tranflatum  in  parcem  priorem  x-quationis  fiet  —  ^^bcccxx,  liue,  non 
mutato  X  in  e,  —  ^^bccx^  ^). 

Quod  denique  in  Régula  habetur,  quoties  in  prioribus  terminis  priurquamad  eundem 
denominatorem  reducantur,  quantitates  cognitx"  occurrunt,  cas  primuni  omnium 
delendas;  id  ex  fequenti  exemplo  intelligetur  rede  prœcipi  '^^.  Sint  enim  reperti  ter- 

mini  priores,  quos  maximum  aut  minimum  defignarc  oporteat,  ifti ■ ivx 

+  .r.v  +  vz\  ubi  vv  quantitatem  cognitam  fignificet.  Id  igitur  delendum  elTe  ut  appa- 
reat,  videamus  quid  futurum  lit,  fi  non  deleatur,  nempe  ut  ad  eundem  denominatorem 

cum  cîetens  omnibus  reducatur,  ducendum  -:":'  m  la  —  x.  hetque  mde 

ia  —  X 

in  tenninis  prioribus.  Propter  quos  in  terminis  pofterioribus,  fecundum  fuperius  ex- 

plicata,  fcribetur  adeoque  multiplicatione,  alternatim  utrinque  per  denomina- 

tores  inflituta,  ducendum  erit  hinc  2a  —  x  in  — evv,  inde  — e  in  2avv  —  xvv,  ex  qui- 
bus  multiplicationibus  eofdem  utrinque  terminos  oriri  necelTe  eft,  cum  utrobique 
eadem  haec  tria  in  le  mutuo  ducantur  la  —  x  in  — e  in  vv,  qui  proinde  termini  fefe 
mutuo  fublaturi  eficnt,  eoque  frullra  icribercntur;  ac  proinde  liquet  tutodeleri  poffe 
ab  initio  quantitatem  vv.  Idcmque  quod  in  hoc  exemplo  accidit,  neceiïario  quoque 
in  quibuslibet  alijs  contingere  diligenter  intuenti  manifellum  erit. 


'')  La  publication  de  1693  (voyez  le  note  i  de  la  p.  229)  a  par  erreur:  „Quod  vero  si  signa  • . ." 
La  même  faute  d'impression  se  trouve  dans  les  „Opera  Varia"  où,  comme  nous  l'avons  dit 
plusieurs  fois  (voyez  p.e.  la  p.  II  du  T.  I),  il  n'est  tenu  aucun  compte  des  manuscrits  (ni,  ajou- 
tons-nous, des  Registres  de  l'Académie). 

")  Suivant  la  règle  générale  de  la  page  235  qui  suppose  qu'on  égale  à  zéro  la  somme  de  tous  les 
termes  trouvés,  il  faudrait  au  contraire  écrire  -f-  2,hbcx'^,  les  „dimensiones  .v  in  numeratore" 
étant  „plures . . .  quam  in  denominatore",  et  le  „signum  verum"  (première  ligne  du  présent 
alinéa)  étant  -[-.  Mais  dans  le  présent  alinéa  Huygens  suppose  tacitement  qu'une  partie  des 
termes  soit  égalée  à  une  autre  partie. 

Il  semble  avoir  remarqué  plus  tard  cette  incongruité  puisque  dans  le  premier  projet  il  a 
corrigé  le  mot  „plures"  du  présent  alinéa  en  „pauciore5";  mais  en  adoptant  cette  leçon  il  fau- 
drait aussi  changer  le  texte  de  la  règle  de  la  page  235. 

*)  N'eût-il  pas  été  plus  simple  d'établir  direftement  à  l'aide  d'une  figure  que  lorsque  la  fonction 
considérée  de  .v,  pour  employer  ce  terme,  a  une  valeur  maximale  ou  minimale,  il  en  est  néces- 
sairement de  même  pour  une  autre  fonction  dont  la  différence  avec  la  première  est  constante? 


RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  TANGENTES  DES  LIGNES  COURBES. 

1667. 


Le  même  Fennat  cherchait  les  tangentes  aux  lignes  courbes  par  une  règle  à  lui, 
dont  Defcartes  foupçonnait  qu'il  ne  comprenait  pas  iuffifamment  lui-même  les  fonde- 
ments, comme  cela  appert  par  les  lettres  de  Defcartes  fur  ce  l'ujct.  Il  cfl:  vrai  que  dans 
les  oeuvres  polthumes  de  Fermât  l'application  de  la  règle  n'ell  pas  bien  expofée  et  que 
toute  dcmonrtration  y  fait  défaut.  Or,  je  trouve  que  dans  les  lettres  mentionnées 
Defcartes  montre  avoir  plus  ou  moins  compris  la  raifon  de  cette  règle,  mais  qu'il  ne 
l'explique  pourtant  pas  au(!i  clairement  que  cela  fera  fait  dans  ce  que  nous  propo- 
ferons  ici;  il  fagit  d'ailleurs  ici  d'un  écrit  que  nous  avons  compofé  longtemps  avant 
que  les  lettres  de  Defcartes  aient  été  rendues  publiques. 

En  ce  temps  abréger  la  règledeFermat  étaitpourmoiunechose importante.  L'ayant 
rendue  audi  brève  que  je  pouvais,  je  conllatai  qu'elle  devient  identique  avec  les  belles 
règles  de  1  ludde  et  de  Sluse  dont  ces  deux  mellicurs  m'avaient  fait  part  prefque 
(imultanément.  J'ignore  encore  fils  y  font  parvenus  de  la  même  manière  que  moi 
ou  bien  d'une  autre. 


III. 

REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGEiNTES  LLNEARUM  CURVARUM. 

1667'). 


Regiftres,  T.  II,  p.  161  :  Ce  13  d'Auril  [1667]  M'.  Hiigens  a  prefenti-  a  la  Compagnie  iinereglc 
pour  troiiLicr  les  tangentes  des  lignes  conrbes. 

La  Pièce  elle-même  occupe,  avec  la  Pièce  IV  qui  fuit,  les  p.  123 — 14:  du  T.  II  des  Regiftres. 

Nous  obfcrvons  —  voyez  le  premier  alinéa  qui  fuit,  ou  bien  le  premier  alinéa  de  la  p.  — 
qu'il  n'eft  nullement  befoin  de  fuppofer  que  l'angle  des  coordonnées  (ou,  fi  l'on  veut,  celui  des 
axes)  foit  un  angle  droit. 

Sit  data  linea  curua  ut  BC  [Fig.  9]  quse  relationem  habcat  "-)  ad  rcclam  aliquam 
pofitione  datam  AF,  ac  proinde  applicata  è  punfto  qualibct  curua;,  ut  B,  rcfta  BF  in 
dato  angulo  BFA;  datoque  in  reda  punélo  A;  certa  a-quationc  rclatio  qux  clt  inter 
AF  et  FB  exprciïa  habeatur.  Exempli  gratia  appellando  AF,  a-,  FB,  3',  fit  œquatio 
x'^  X  xya  —  y^  ubi  a  lineam  quandam  fignificare  censenda  efl:. 


')  De  même  que  dans  le  cas  de  la  Pièce  précédente  (note  i  de  la  p.  225)  nous  imprimons  ici  le  texte 
des  Registres,  quoique  nous  possédions  également  le  manuscrit  original  de  Huygens  lequel 
porte  la  date  13  Apr.  1667  („Cliarta;  mathematicae",  f.  121  — 124).  Comme  la  Pièce  précé- 
dente la  présente  Pièce  aussi  a  été  publiée  en  1693  à  Paris  dans  les  „Divers  Ouvrages".  Sur  la 
première  page  du  manuscrit  Huygens  a  noté  au  crayon:  parler  de  Fermât,  de  Huddc  et 
Slufius.  Et  en  effet,  dans  la  publication  de  1693  —  et  par  conséquent  aussi  dans  les  „Opera 
Varia"  de  1724  —  on  trouve  au  début  les  deux  alinéas  suivants  (que  nous  mettons  en  tête  de 
notre  traduftion  française^: 

Idem  Fermatius  linearum  curvarum  Tangentes  régula  fibi  peculiari  inquirebat, 
quam  Cartefius  fuspicabatur  non  fatisipfumintelligerequo  fundamentoniteretur, 
ut  ex  epilîolis  ejus  hac  de  re  apparet.  Sanè  in  Fermatii  operibus  poil:  mortera  editis, 
nec  bene  expofitus  efl:  régula  ufus,  nec  demonftrationem  uUam  adjeftam  habet. 
Cartefium  verô  in  his  quas  dixi  literis,  rationem  ejus  aliquatcnus  aiTecutum  in  venio, 
nec  tamen  tam  perfpicuè  eam  explicuifle  quàm  per  hsc  quîe  nunc  trademus  fiet, 
quœ  jam  olim,  multb  ante  iftas  literas  vulgatas  confcripfimus. 

Pracipuum  verboperîepretium  tune  fuit  compendiosa  hujufce  regulse  contrac1:io, 
quam,  quoad  potui,  profecutus,  tandem  in  ipfas  ilias  infignes  Huddenii,  Sluiiique 
régulas  definere  inveni,  quas  mihi  Viri  hi  Clariifimi  uterque  fere  eodem  tempore 
exhibuerant  :  an  vero  hac  eadem  via  an  aliâ  in  illas  inciderint  nondum  mihi  com- 
pertum. 


244  HCTGENS  X  l'aCADÉMIF.  ROYALE  DES  SCIENCES. 


Soit  donnée  une  courbe  telle  que  BC  [Fig.  9]  ayant  une  relation  connue  avec  une 

droite  AF  donnée  également  en  pofition.  Par 
confcqucnt  l'ordunnce  partant  d'un  point  quel- 
conque B  de  la  courbe  eil  la  droite  BF  la  quelle 
rencontre  la  droite  AF  fous  un  angle  donné 
BFA,  et  un  point  A  dans  la  droite  AF  étant 
donné,  la  relation  entre  AF  et  FB  elt  exprimée 
par  une  certaine  équation.  vSuppofons  par 
"^        ~~~:t  exemple,  en  pofant  AF  =  x  et  FB  =  y,  que  ce 

„,.       -,  foit  l'équation 

où  a  défigne  une  certaine  longueur. 

S'il  faut  mener  au  point  B  une  tangente  BE  qui  rencontre  la  droite  AF  en  E  et 
qu'on  pofe  FE  =  z,  la  longueur  de  cette  dernière  d'après  cette  règle  —  la  règle  de 
Femiat  abrégée  —  fera  tirée  uniquement  de  l'équation  donnée. 

Transportons  tous  les  termes  de  l'équation  donnée  dans  le  premier  membre  qui 
devient  donc  alors  égal  h  zéro.  Multiplions  d'abord  chacun  des  termes  dans  lefquels 
fe  trouve  y  par  le  nombre  des  dimenfions  que  cette  lettre  a  dans  le  terme  conlîdéré: 
leur  fomme  fera  notre  numérateur.  Multiplions  enfuite  de  la  même  manière  chaque 
terme  contenant  .r  par  le  nombre  des  dimenfions  de  cette  dernière  et  divifons  chacun 
de  ces  tenues  par  x:  la  fomme  obtenue  fera  notre  dénominateur.  En  formant  la 
fraction  de  ce  dénominateur  avec  le  numérateur  trouvé  plus  haut  nous  aurons  la 
quantité  égale  à  2  ou  FE.  Quant  aux  figues  +  et  — ,  il  faut  les  garder  partout  comme 
ils  font.  INIcme  fi  par  hafard  la  quantité  du  dénominateur  ou  du  nimiérateur,  ou  l'une 
auffi  bien  que  l'autre,  eft  négative,  il  faut  pourtant  les  confidérer  comme  fi  elles  étaient 
pofitives,  en  obfervant  feulement  que  lorfque  l'une  des  deux  efl:  pofitive  et  l'autre 
négative,  FE  doit  être  prife  vers  le  point  A;  mais  qu'elle  doit  être  prife  en  fens  con- 
traire lorfque  les  deux  quantités  font  ou  bien  pofitives  ou  bien  négatives. 

Dans  le  cas  de  la  courbe  propofée  dont  l'équation  efl:  .v^  -j-  3»^  —  axy  =  o  le  numé- 
rateur deviendra  d'après  cette  règle  33'^  —  axy  et  le  dénominateur  3.r-  —  ay.  Partant 

z  =  — •     C'eft  une  longueur  connue,  x^y  et  a  étant  données. 

Confidérons  de  même  une  autre  courbe  ABH  [Fig.  10]  à  équation 

ax-  —  x^  —  ^-y  =  o, 
a  et  é/  étant  des  lignes  données,  tandis  que  AF  =  x  et  FB  =  y.  Soit  BE  la  tangente 
et  appelons  FE  z  comme  auparavant. 

Le  numérateur  deviendra  ici  — q-y  fuivant  la  règle.  Et  le  dénominateur  2ax — 3Jt:\ 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM.  245 


Quod  fi  jam  ad  punftum  B  tangens  diicenda  fit  BR,  quac  occurrac  rcéta;  AF  in  E 
voccturque  FE,  2,  ejus  longitudo  per  hanc  regiilam  3)  inueniecur  ex  fola  œquationc 
data. 

Tranflatis  omnibus  terminis  a."qiiationis  data.*  ad  unam  a-quationis  partcm,  qui 
proindc  xquales  fiunt  nihilo  +};  multipliccntur  primo  termini  linguli  in  quibus  rcpcri- 
tur  T,  pcrnumcrumdimcnfionumquasin  ip(ishabctv,atquccacntquantitasdividcnda. 
Deindc  fimilitcr  termini  finguli  in  quibus  .v,  multiplicentur  per  numerum  dimcniionum 
quas  in  ipfis  habet  a;,  et  è  iingulis  una  x  tollatur;  atque  ha.'c  quantitas  pro  diviforc 
erit,  iublcribenda  quantitati  dividenda;  jam  inuentœ,  quo  fado  habcbitur  quantitas 
squalis  z  fiuc  FE.  Signa  autem  +  &  -  eadem  ubiquc  retinenda  funt,  atque  ctiamfi 
forte  quantitas  diviforis,  vel  dividenda,  vcî  utraqueminor  nihilo  fiuenegata(it,tamen 
tanquam  adfirmatœ  funt  confideranda;:  hoc  tantum  obfervando,  ut  cum  altéra  adfir- 
mata  eil,  altéra  negata,  tune  FE  fumatur  verfus  punftum  A;  cum  vero  utraque  vel 
addrmata  ed,  vel  negata,  ut  tune  fumatur  FE  in  partem  contrariam. 

In  curua  propofita  cuius  aequatio  x^  +  v^  —  ^xy  oo  o  fiet  fecundum  hanc  regulam 

dividenda  quantitas  33^3^ —  axy^  divifor  vero  2xx  —  ay  ideoque  z  co  ^ qus 

eft  longitudo  cognita,  cum  dentur  x,  y  et  a. 

Efl:o  item  alia  curua  ABH  [Fig.  10],  cujus  squatio  axx  —  x'^  — çqy  00  o  pofito 
fcilicet  (7  et  (7  effe  lineas  datas,  AF  vero  oo  a:,  FB  oo  y.  Sit  BE  tangens  et  FE  dicatur 

[Fig.  10] 


e 

—J - — c 

ut  ante  z.  Hic  fiet,  fecundum  regulam,  dividenda  quantitas  —  qqy.  Divifor  autem 


Les  différences  entre  les  textes  —  nous  ne  mentionnons  pas  les  différences  minimes  —  ne 

sont  pas  toutes  insignifiantes:  Huygens  a  ajouté  quelques  bouts  de  phrases  au  texte  de  son 

manuscrit:  voyez  les  notes  fuivantes. 
=)  Le  manuscrit  de  Huygens  a:  quîe  cognitam  relationem  habeat;  il  en  eft  de  même  dans  les 

publications  de  1693  et'de  1724. 
3)  Le  manuscrit  de  Huygens  ajoute  en  marge:  Fennatianîe  regulse  compendiarium.  On 

trouve  ces  mots  aussi  dans  les  publications  de  1693  et  de  1724  (qui  écrivent  cependant  „com- 

pendiariam"). 
^)  Le  manuscrit  de  Huygens  ajoute  dans  l'interligne:  et  negledHs  ijs  in  quibus  nec  .v  nec  y 

ineft. 


246 


HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SOENCES. 


D'oÙ2=  ^-^ —  Or,  comme  le  numérateur  cft  négatif,  il  faudra,  lorfqu'il  en 

eft  de  même  du  dénominateur,  c.à.d.  lorfque  ia  <  2,x^  prendre  z  ou  FE  du  côté 
oppofé  à  celui  où  fe  trouve  A;  mais  lorfque  ia  >  3A-,  il  faudra  prendre  FE  du  côté 
de  A  fuivant  le  précepte  de  la  règle. 

Pour  expliquer  la  raifon  en  même  temps  que  l'origine  de  la  règle  fimplifiée  par 

•^  nous,  confidérons  de  nouveau  une  courbe  BC 
[Fig.  1 1]  à  laquelle  on  demande  de  mener  une 
tangente  au  point  B. 

Prenons  d'abord  une  droite  EBD  qui  ne  touche 
pas  la  courbe  en  B  mais  qui  la  coupe  tant  en  ce 
point  qu'en  un  autre  D  fort  proche  de  B.  Puide 
cette  fécante  rencontrer  la  droite  AG  en  E,  et 
menons  des  deux  points  B,  D  à  la  droite  AG  les 
deux  ordonnées  inclinées  sous  le  même  angle  BF 
et  DG.  Soit  AF  =  .%•  et  FB  =  y  comme  aupara- 
vant. Suppofons  en  outre  que  FG  foit  une  longueur  donnée  e  et  cherchons  FE  =  z. 

On  a  donc  EF  :  FB,  c.à.d.  :=  :  v  =  EG  (ou  2  +  0  :  GD,  d'où  GD  -  j  +  ^• 

z 

Il  eft  évident  que  ceci  cil  vrai  pour  une  courbe  quelconque. 

Confidérons  maintenant  l'équation  exprimant  la  nature  de  la  courbe;  que  ce  foit 

par  exemple  celle  propofée  plus  haut  x^  +  ^-y^  —  xya  =  o,  dans  laquelle  a  défignait 

une  longueur  connue  (AH).  Or,  il  eft  évident  que  lorfque  le  point  D  efl:  fitué  fur 

la  courbe,  les  deux  longueurs  AG  et  GD,  c.à.d.  x  +  e  Qt  y  +  -^    doivent  avoir 

entr'elles  la  môme  relation  que  AF  et  FB,  c.à.d.  .v  et  y.  En  d'autres  termes,  lorfque 

dans  l'équation  propofée  on  fubftitue  partout  .r  +  <?  à  x  et  3'  +  —  à  v,  l'équation 

réfultante  aura  de  nouveau  zéro  dans  le  fécond  membre.  On  aura  donc 

^33,3 


x^  +   2ex'   +  2e-x  +  e'  +  y^  + 


"^     2=     "^   2' 


axy 


aey 

— 

aeyx 
z 

ae\y 

—  0. 

11  eft  certain  que  cette  équation  doit  contenir  les  termes  de  l'équation  précédente 
qui  a  fervi  à  fa  formation,  favoir  X'  +  v'  —  axy.  Et  comme  l'cnfemble  de  ces  ternies 
eft  nul  d'après  la  propriété  de  la  courbe,  il  eft  par  conféquent  nécefTaire  que,  ces 
tennes  ayant  été  fupprimcs,  le  refte  audi  foit  égal  à  zéro.  Or,  il  eft  manifefte  que  dans 
tous  les  termes  qui  font  reftés  on  trouve  une  ou  plufieurs  lettres^  ,et  que  par  conféquent 
ils  peuvent  tous  être  divifés  par  cette  longueur;  et  je  fais  qu'il  faut  égaler  à  zéro,  en 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM.  24: 


zax  —  3XX,  unde  z  oo ïïZ_^  ^bi  cum  dividenda  quantitas  fit  negata,  fi  fuerit 

ctiam  divifor  minor  iiihilo,  hoc  efi  fi  2<7  niinor  qiiani  3.r;  crit  z  fine  l''E  fumcnda  in 
partem  ab  A  aveiiam,  li  \'ero  2a  major  qiiam  3.V  ilimcnda  cric  FEvcrfiis  Aex  pra;- 
cepco  regiihv. 

Horiim  vcro  rationcm,  ipiiiifqiic  régula.*  ')  originem  ut  cxpliccinus,  proponaturut 
antc  curua  lîC  [Fig.  1 1]  ad  cuius  punftum  B  tangcns  ducenda  fit. 

Incelligatur  prinium  refta  EBD,  qua;  non  tangat  curuam  in  B  ied  eam  fi^cet,  atquc 
item  in  alio  punfto  I),  ip(i  B  proximo.  reftîe  autem  AG  occurrat  in  E  et  ab  utrifquc 
pundtis  B,D,  ducantur  ad  rcdam  AG,  ijsdem  angulis  incHnatx-,  BF,  DG,  et  fit  AF  30 
.r,  FB  00  3^  ficut  antea;  ponatur  etiam  FG  data  efl!e  qux  fit  e  quîeraturque  FE  do  2. 

Eft  itaque  ficut  EF  ad  FB,  hoc  efl:  ficut  ::;  ad  3';  ita  EG,  hoc  cft  :2  +  <?  ad  GD  quas 

crit  y  +  ~,  et  hoc  quidem  in  quihbet  curua  ita  fc  habere  manifefium  eft. 

Nunc  porro  confideretur  a?quatio  naturam  curufe  continens,  exempH  gratia  illa 
fuperius  propofita  x^  +  5^  —  xya  co  o,  ubi  û  reftam  longitudine  datam,  velut  AH  fig- 
nificabat.  Et  patet  cum  punétum  D  in  curua  ponatur  debere  eodem  modo  duas  AG, 

GD,  hoc  efl;  x  +  e  et  y  +  ~  ad  femutuo  referri  atque  AF,  FB,hoc  eft  .vet  y.  Nempe  fi 

in  squatione  propofita  pro  .vfubilituaturubique.r  +  ^etproY,  ubiqueT  + ^,debe- 

bit  squatio  hinc  foniiata  terminos  omnes  habere  œquales  nihilo,  hoc  eft 

.t3  + 


2exx 


+  leex  +  ^3  +  3'3  4- 


3^.V^ 


aey  — 

aeyx 
z 

aeey 
•-  00 

0. 

In  hac  autem  îequatione  conft;at  necefiTario  terminos  prions  œquationis  ex  qua  ïov- 
mata  ell  contineri  debere,  nempe  x^  +  y^  —  axy^  qui  cum  fint  a;quales  nihilo  ex  pro- 
prietatecurua.%idcircohis  in  œquatione  delecis,  necefife  efi  etiam  reliquos  îequari  nihilo. 
In  quibus  fingulis  manifefium  quoque  eft  vel  unum  e  vel  plura  reperiri;  ideoque  omnes 
per  e  dividi  polie,  qui  autem  post  hanc  divifionem  non  amplius  habebunt  e,  eos, 
negleftis  reliquis,  fi:io  nihilo  œquari  debere,  quantitatemque  lines  z  fiue  FE  often- 
fiiros;  fi  nempe  BE  tanquam  tangens  confideretur,  ideoque  FG  feu  e  infinité  parua. 


5)  Le  Manuscrit  de  Huygens  intercale:  et  compendii  quo  redudVa  eft.  Ces  mots  ont  été  repro- 
duits dans  les  publications  de  1693  et  1724. 


248  HUYGENS  A  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


négligeant  les  autres,  tous  ceux  qui,  après  cette  divifion,  ne  contiendront  plus  e. 
L'équation  ainfi  obtenue  donnera  la  droite  z  ou  Fl'^,  bien  entendu  dans  le  cas  où  BE 
eft  confidérée  comme  une  tangente  de  forte  que  FE  ou  e  ell  infiniment  petite. 
Car  les  termes  dans  lefquels  c  ell  reliée  repréienteront  alors  des  quantités  infiniment 
petites  ou  entièrement  évanouilTantes. 

Juiqu'ici  nous  avons  expliqué  l'origine  et  la  raifon  de  la  règle  de  Femiat.  Voyons 
maintenant  de  quelle  manière  elle  a  été  amenée  à  une  li  grande  concilion. 
Je  conftate  que  de  la  dernière  équation  écrite  plus  haut  il  fuflit  de  conferver  les  tenues 

qLii  contiennent  e  une  feule  fois.  On  a  donc  ici  'i,ex'  +  ^-^ tf^_y  —  — ^-  =  o. 

Il  fagit  d'expliquer  comment  ces  ternies  fe  déduifent  avec  facilité  de  ceuxdel'équation 

donnée  x^  +  _r-'  —  ^^7  =  o.  Il  apparaît  d'abord  que  3^.v-  et  --~^—  ne  font  rien  d'autre 

que  les  deuxièmes  termes  des  cubes  de  a:  +  e  et  de  3»  +  -^  et  qu'ils  fe  trouvent  ici 

parce  que  dans  l'équation  donnée  il  y  avait  x'^  et  y^.  Quant  à  tous  les  autres  termes 
de  ces  cubes,  de  même  que  les  termes  correspondants  d'autres  puiffances  quelconques 

6  V 

de  X  +  f  et  de  y  H — -1  ils  contiennent  e  foit  plufieurs  fois  foit  point  du  tout;  comme 

nous  l'avons  déjà  dit,  on  les  écrirait  donc  inutilement.  Par  conféquent,  fil  y  avait 

d'autres  puiiïances  de  x  et  de  y  dans  l'équation  propofée,  il  faudrait  écrire  dans  la 

féconde  équation  feulement  les  deuxièmes  termes  des  mêmes  puiflances  de  x  -\-  e  tx. 

^  V 
de  3»  H — '-1  en  remarquant  que  ces  deuxièmes  termes  fe  déduifent  des  puilTanccs  don- 

nées  de  x  et  de  r  d'après  une  méthode  fixe,  lavoir,  pour  une  puifTance  quelconque 
de  .X",  en  changeant  une  lettre  x  en  e  et  en  ajoutant  un  fafteur  numérique  égal  au 
nombre  des  dimenfions  de  .r.  De  cette  façon  on  trouve  ici  3^.%'-.  D'autre  part  chaque 

puilTance  d'y  doit  être  multipliée  par  -•>  le  faéteur  numérique  égal  au  nombre  des  di- 

menfions  y  étant  de  plus  ajouté.  Ainfi  notre  terme  y'  donne  — —  l^a  raifon  reffort 

immédiatement  du  mode  de  formation  des  puifiances. 

Il  apparaît  en  outre  facilement  ce  qu'il  faut  écrire  dans  la  féconde  équation  à 
caufe  de  la  préfence  de  .r  v  dans  le  terme  —  axy  de  l'équation  donnée.  En  effet,  comme 

il  faut  fubftituer  h  .rv  le  produit  de  x  +  c  par  v  +  --  en  écrivant  feulement  les  tenues 

qui  contiennent  e  une  feule  fois,  nous  ne  multiplions  par  y  que  le  fécond  des  tenues 

.T  et  ^,  et  par  x  feulement  le  fécond  des  termes  y  et  —  •  Nous  obtiendrons  ainfi  ey  + 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARL'M.  249 

Nam  tcrmini  in  quibus  adhuc  e  fupereft  eciam  quantitates  infinité  paruasfiucomnino 
euancicentes  concinebunt  ")• 

V^ideo  icaqiie  ex  xquacionc  ")  cantiim  eos  terminos  icribi  nccelTc  ciTe  quibus  inell 

e  fimplex,  vclut  hic  st'.v.v  +  ^-^ ae'j -;^  oo  o,  qui  termini  quomodo  facili 

negotio  ex  datis  œquationis  tcrminis  x^  +  j'J  —  ax'j  do  odcfcribi  poflint  dcinceps 

explicandum.  Et  primo  quidem  apparec  '>,exx  -\-  ^-^  niliil  aliud  elTe  quam  fecundos 

terminos  cuborum  ab  x  +  é-  et  ab  -y  +  -^  ideo  fcriptos,  quia  in  aquatione  habentur 

cubi  ab  .v  et  y,  nam  rcliqui  omnes  termini  cuborum,  ut  et  quarumuis  aliarum  potefta- 

tum  ab  .V  +  ^et  ab  y  +  -.,  vel  plura  quam  unum  e  habent,  vel  nullum;  ideoque  uti 

jam  diximus  frullra  Icribcrentur.  Eadem  itaque  ratione,  (i  alia;  poteftates  ab  .r  vel  jr 
cffent  in  squatione  propoiitK  [lifez  plutôt:  propofit^  '*}],  Icribendi  forent  in  x'quatione 

altéra,  tennini  iecundi  tantum  iimilium  potei1;atum  ab  .v  +  ^  et  ab  jy  +  — notandumque 

fecundoshoice  tenninos  ex  ipfis  datis  poteftatibus  ab  .r  et  y  certarationeconfici,  ncmpe 
ex  potcltatc  quauis  .v,  velut  a-^,  mutando  unum  x  in  c  et  pra;ponendo  numcrum  di- 

meniionum  ipfius  .v.  Ita  hic  fit  3^.v.v.  Ex  poteftate  v  vero  ducendo  eam in  -prîeponen- 

doque  fimilitcr  numerum  dimenfionum  ipfius  y.  Ita  hic  ab  y'^  fit  ^^^  quorum  quidera 

rationem  ex  poteltacum  formatione  intelligere  facillimum. 

Porro  proptcr  xy  in  tcrmino  lequationis  —  axy^  facile  quoque  apparet  quid  in 
œquatione  fecunda  fcribendum  fit.  cum  enim  fubftituendum  fit  pro  xy  produftum  ab 

.Y  +  e  in  y  +  --^  fed  ea  tantum  fcribenda  in  quibus  unum  ^,  ideo  de  duobus  .v  +  e 

tantum  e  ducemus  in  y  et  tantum  x  in  -^  adeoque  fient  ey  +    --  quibus  in  a  duftis, 

prapofitoque  figno  — ,  quia  habetur  —  axy,  exiftet  —  aey '--  ficut  fupra. 


*)  Le  manuscrit  de  Huygens  intercale:  Et  his  quidem  hactenus  Feniiatianîe  Regulïe  origo 
ac  ratio  decluratur.  Nunc  porro  oftendemus  quo  padto  eadem  ad  tantam  brevitatem 
pcrduùla  fit.  Cette  phrase  se  trouve  aussi  (avec  „quomodo"  au  lieu  de  „quo  pado")  dans  les 
publications  de  1693  et  de  1724. 

')  Publications  de  1693  et  de  1724:  sequatione  totà  novissimà.  Le  manuscrit  avait  d'abord: 
îequatione  tota;  Huygens  y  ajouta  après  coup  le  mot  novifiima. 

*)  Conformément  au  texte  de  l'écrit  de  Huygens  de  1663  pour  J.  de  Witt  (1.  15  de  la  p.  316  du 
T.  IV). 

3a 


250  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

-^-  et  en  les  multipliant  par  — //,  puirqu'il  y  avait  — axy,  il  viendra  — aey  —  — ~ 

comme  ci-deiïiis. 

De  la  même  manière,  fil  y  avait  x'y^  dans  l'cquation  propofée,je  prendrais  à  caufe 
de  X'  les  deux  premiers  tenues  du  carré  de  x  +  e,  favoir  .r'  +  2ex-^  et  à  caufe  de  y^ 

les  deux  premiers  termes  du  cube  dey  +  —■>  favoir  3^3  -|-  A^i_;  leur  produit  doit  être 

fubftituc  à  x-y^.  Mais  ici  aulTi  il  fuffit  de  multiplier  feulement  le  premier  des  deux 

termes  :r'  et  2ex  par  '^-^-i  et  le  deuxième  feulement  par  y^,  car  les  autres  produits 

partiels  contiendraient  e  plufieurs  fois  ou  pas  du  tout.  Il  vient  donc  2 — -L  _|_  ^exy^. 

Il  appert  par  ces  conlîdérations  que  l'un  et  l'autre  des  deux  termes  requis  peut 
toujours  être  déduit  du  terme  donné,  qui  eft  ici  x'^y';  favoir  l'un  en  changeant  une 
lettre  x  en  e  et  en  y  ajoutant  comme  fafteur  numérique  le  nombre  des  dimcnfions 
de  x;  c'efl:  ainfi  en  effet  qu'on  trouve  2f.v\";  l'autre  en  multipliant  le  terme  donné 

par  -  et  en  y  ajoutant  de  même  comme  faéteur  le  nombre  des  dimenfions  d't;  c'ell 

ainfi  qu  on  obtient  le  terme  - — ^-  Or,  comme  il  a  été  montré  un  peu  plus  haut 

que  les  termes  de  la  féconde  équation  proviennent  des  deuxièmes  termes  despuiffances 

de  X  +  e  et  de  v  +  —  correfpondant  aux  puiflances  de  x  et  de  y  dans  l'équation 

donnée,  il  efl:  à  préfent  manifefte  que  les  différents  termes  de  l'équation  donnée  con- 
tenant X  ou  une  de  fes  puiOances,  donnent  lieu  dans  la  féconde  équation  à  un  nombre 
égal  de  tennes  ne  contenant  pas  2,  tandis  que  les  différents  termes  contenant  y  ou 
une  de  fes  puiffances  engendrent  de  la  manière  fusdite  un  nombre  égal  de  termes 
fractionnaires  ayant  z  pour  dénominateur,  fans  que  cette  lettre  apparaiffe  ailleurs. 
Ceci  étant  connu,  c.à.d.  fâchant  comment  de  l'équation  quelconque  propofée, 

.  .                                                                                                   'îey^ 
comme  ici  x^  -f  y^  —  axy  =  o,  on  en  tire  une  autre,  comme  ici  s^'x^  +  ^ aey 

—  =  o,  j'obferve  enfuite  que  lorsque  les  termes  ayant  z  pour  dénominateur 

font  tranfportés  dans  l'autre  membre  et  que  tous  les  termes  font  multipliés  par  ;;,  et 
qu'on  divifc  enfuite  par  la  ibmme  des  tenues  qui  primitivement  ne  contenaient  pas 
cette  lettre,  on  trouve  la  quantité  z  toute  feule  d'un  côté  de  l'équation.  De  cette 

façon  on  obtient  ici  z  =  — =2_Z ^,  T'e,-,  conclus  que  pour  calculer  la  quantité 

^  3f.r'  —  aey  ''  1     r  1 

z  il  fuffit  d'écrire  les  termes  de  la  féconde  équation  qui  proviennent  de  ceux  des 

termes  de  la  première  qui  contiennent  y,  en  fupprimant  le  dénominateur  ;:  et  en  inver- 

tiflant  les  lignes  +  et  — ,  et  de  divifer  enfuite  ces  tennes  par  ceux  provenant  des 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM.  25  I 

Sic  quoqiic  fi  in  œqiiationc  propofica  habcrctur  'xxy^  fumerem  proptcr  xx  duos 
priorcs  tcnninos  quadrati  ab  x  +  e,  nempe  xx  +  lex-^  et  propter  y'^  duos  priores 

tcnninos  cubi  ab  y  +  -;-  nempe  v'  +  ^-^—  quorum  produftum  pro  xxy^  furrogandum. 

icd  ctiam  iiic  de  duobus  xx  +  '^ex  tantum  xx  ducendum  in  ^^  tantumque  lex  in 

j^  (nam  estera  vel  plura  quam  unum  e  vel  nullum  haberent)  adeo  ut  fiât  ^^^^^  + 
lexy^.  ^ 

Atque  ex  his  animadvertere  licet,  femper  utrumque  eorum  terminorum  defcribi 
poflTe  ex  dato  termino,  qui  hic  xvv^  alterum  quideni  mutato  uno  x  in  e  et  prœponendo 
numernm  dimcnfionum  ipfius  .r:  ita  eniin  fit  2exy^:  alterum  vero  ducendo  datum 

tcrminumin  ^,  pra;ponendoque  fimiliter  numerum  dimenfionum  ipfius  j;  ita  enim  fit 

1^"^  •  cumque  hac  eadem  immutatione,  paulo  ante  etiam  fecundos  terminos  potes- 

tatum  ab  .v  +  <?  et  ab  3»  +  —  ex  poteftatibus  x  et  y  œquationis  dats  defcribi  oflenfum 

fit,  manifclhim  jam  eil  a  fingulis  tenninis  œquationis  dats,  in  quibus  x  vel  poteftas 
eius,  defcribi  prîedifta  méthode,  in  fecunda  squatione,  totidem  terminos  in  quibus 
non  eit  z,  a  fingulis  vero  in  quibus  v  vel  potefiias  eius,  defcribi  totidem  terminos,  dicta 
etiam  methodo,  quarum  fraftionis  denominator  fit  2,  nec  alibi  hanc  litteram  in  fecunda 
a^quatione  repertum  iri. 

Hoc  igitur  cognito  quo  pado  ex  a^quatione  quauis  propofita,  velut  hic  .v'  +  v^  — 

axy  30  G  alia  defcribenda  fit,  ut  hic  3e.x\r  +  — aey ~  zo  o,  animadverto 

porro  fi  terraini  divifi  per  2,  ad  alteram  partem  œquationis  transferantur,  duftisque 
omnibus  in  z,  divifio  deinde  fiât  per  terminos  in  quibus  initiononerat2,exifteretunc 

ipfam  quantitatem  z  ab  una  îequationis  parte,  uti  hic  fiet  z  zo  — ^-^ -.  Atque 

^  Tri  2f.r.r  —  aey       ^ 

hinc  intelligo  ad  confequendam  quantitatem  z  ponendos  tantum  eos  terminos  jequa- 

tionis  qui  delcripti  funt  ex  tenninis  a^quationis  primée  in  quibus  3',  fublato  tantum 

denominatore  z  mutatifque  fignis  +  &  — .  deinde  dividendes  iftos  terminos  per  eos 


252  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

termes  contenant  .v  de  la  première  équation,  il  parait  en  outre  que  tous  les  termes 
tant  du  numérateur  que  du  dénominateur  peuvent  être  divifés  par  e\  de  force  que 

dans  notre  exemple  on  trouve  .r  =  ~~^-^',_^-^'^.  On  iupprime  donc  -  dans  les  ternies 

provenant  de  ceux  qui  contiennent  y.  En  effet,  nous  avons  dit  plus  haut  qu'ils  fe 

dérivaient  des  termes  donnés  en  multipliant  ceux-ci  par  -^  et  en  y  ajoutant  le  fadeur 

numérique  indiquant  les  dimenfions  d'3'.  On  voit  donc  que  pour  obtenir  ces  termes 
néceflaires  pour  la  détennination  de  2  il  n'y  a  d'autre  changement  à  apporter  aux 
termes  contenant  v  de  l'équation  donnée,  que  celui  d'y  ajouter  comme  fadeur  le 
nombre  des  dimenlions  à" y  et  d'intervertir  les  lignes  +  et  — .  De  cette  façon  3'^  —  ^xy 
donne  —  3,^'  +  ^-vv.  Quant  aux  termes  provenant  de  ceux  de  la  première  équation 
qui  renfennent  ,r,  comme  il  s'efl:  montré  qu'il  faut  feulement  y  fupprimcr  la  lettre  c, 
et  comme  nous  avons  dit  antérieurement  qu'ils  l'ont  déduits  de  telle  manière  qu'une 
lettre  .V  a  été  changée  en  e  et  que  de  plus  on  y  a  ajouté  comme  facteur  le  nombre  des 
dimenlions  de  .v,  il  appert  que  déforaiais,  pour  conitituer  le  dénominateur  requis,  il 
fuffit  d'ajouter  comme  fadeur  à  chacun  des  termes  contenant  x  de  la  première  équation 
le  nombre  indiquant  les  dimenfions  de  x,  et  de  fupprimer  enfuitc  une  feule  lettre  .r 
dans  chaque  terme.  C'eft  ainfi  que  de  x^  —  axy  proviendra  3x2  — axy  et  enfuite,  en 
di vifant  par  .v,  3.r'  • —  ay.  Par  ces  raifonnements  la  règle  énoncée  au  début  efl  mainte- 
nant démontrée.  Il  ell:  vrai  que  nous  avons  dit  à  prélent  qu'il  faut  changer  les  fignes 
-f  et  —  dans  les  termes  qui  proviennent  de  ceux  contenant  5,  tandis  que  dans  la  règle 
nous  difions  qu'il  ne  faut  rien  changer  dans  les  fignes,  mais  il  efi:  évident  que  ceci 
revient  au  même  puifque  nous  difions  aufli  qu'il  faut  confidérer  chaque  quantité  néga- 
tive [numérateur  ou  dénominateur]  comme  fi  elle  était  pofitive.  Mais  pour  qu'on 
comprenne  la  raifon  de  la  remarque  ajoutée  à  la  règle  fur  lefens  de  la  ligne  FE,nous 
répéterons  ici  la  figure  confidérée  plus  haut  dans  laquelle  nous  avons  vu  que  AG  = 

x  +  eti  EG  =  2  +  ^,  d'où  fe  concluait  GD  =  31  +  — .  Si  toutefois  la  tangente  combe 

de  l'autre  côté  de  la  ligne  BF  [Fig.  1 2],  comme  ici  be,  et  qu'elle  ell  d'abord,  comme 
l'autre,  cenfée  couper  la  courbe,  lavoir  en  d,  ec  qu'on  cire  dg  parallèle  à  bf,  il  arrivera 
qu'en  pofanc  de  nouveau  fg  =  f  et  fe  =  2,  Ag  devient  égale  à  x  +  ^,  mais  eg  à  2  —  f , 

d'oùréfultegd='y' -.  Il  efl:  facile  d'en  conclure  que  la  féconde  équation  réfultanc  de 

l'équation  propofée  x'^  +  y^  —  axy  —  o  fera  dans  ce  cas  •^ex'-  —  ^ aey  + 

— ^^  =  o.  C.à.d.  les  termes  à  dénominateur  2  y  ont  des  fignes  contraires  à  ceux  qu'ils 

avaient  dans  l'équation  antérieurement  déduite  qui  était  3^^'  -j-  ^-^ aey — 

=  o.  Il  réfultc  de  cette  dernière  que  lorfque  la  quancicé  2^x-  —  aey  ou  plutôt  3.r-  — 
ay  (qui  conftituc  le  dénominateur  fuivant  la  règle)  efl  inférieure  à  zéro  ou  négative, 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM. 


^53 


qui  dcCcripti  llinc  ex  teniiinis  a;qiiationis  primtc,  in  quibus  x.  Porro  ex  oninibiis  tam 

divifis  quain  dividcntibus,  pacct  rejici  poflTe  e;  adco  ut  in  hoc  exemplo  fiât  a  zo 

—  3^3  _|_  ^y_v  ,  ..  .       e  .  .        .......        ...        .  ,   , 

r^   \   .  Itaquc  rcjicitur  -  ex  terniinis  qui  defcTipti  (unt  ab  ijs  qui  habent  v- 


3^^- 


av 


Sic  autem  defcriptos  eos  lliperius  diximus,  ut  duccrcncur  in  idem  -  ,pr£eponereturque 

numcrus  dimcnlionuiTi  t.  Itaque  nihil  rcquiri  apparct  ad  temiinoshoscc  (quatcnus  ad 

dciinicndam  quantitatem  z  hic  adhibentur)  ex  tcrminis  a;quationis  prima-  in  quibus  v 

delcribcndos,  quani  ut  pra-ponamus  tantum  ijs  numcrum  dimenlioiium  quas  in  iplis 

habet  v,  lignaquc  +  &  —  invertamus,  fie  ncmpe  ab  y^  —  axy,  defcribetur  —  33''  + 

^.vv.  A  temiinis  vcro  qui  dclcripti  funt  a  tcnninis  a:quationis  prima-  in  quibus  .r,  cum 

tantum  e,  hic  rejicicndum  patucrit;  cumque  eos  ita  prius  dcicriptos  dixcrimus,  ut 

unum  .V  mutaretur  in  e,  pra;ponereturque  numerus  dimenfionum  ipfius  .r;  apparet  eos 

quatcnus  hic  adhibentur  ad  conllitucndum  divilbrcm,  fie  tantum  defcribi  opus  ciïe  ex 

tcrminis  propoiita-  a-quationis  in  quibus  .r,  ut  prjeponatur  ijs  numerus  dimenfionum 

ipfius  X,  ac  deinde  unum  .r  auteratur;  fie  nempe  ah  .r'  —  ^.vv  defcribetur  3.V'  —  ^.rv 

&  dempto  ubique  .v  uno  fiet  3avv  —  (7v;  atque  ex  his  ratio  régula-  ab  initio  pofita; 

manifella  efl.  nam  quod  figna  +  &  —  in  tcrminis  qui  defcribuntur  ab  ijs  in  quibus  v, 

hic  immutanda  diximus,  in  régula  vero  nulla  omnino  immutanda,  id  eodem  redire 

liquet,  cum  quantitatem  negatam  fine  minorem  nihilo,  tanquam  affinnatam  conlide- 

randam  ibi  dixerimus.  Ut  autem  ratio  rc-         -\ 

r  lE.  1 2 
oblcrvationis  ibidem  adjeétîe,  in  utram  ° 

partem  linea  FE  accipienda  fi  t  in  telligatur, 

repetemus  figuram  in  principio  pofitam 

ubividimusAGeflea-  +  e.EG  vero  z+  c, 

unde  fiebat  GD  zo  y  +  —.  Si  autem  [Fig. 

1 2]  tangcns  ab  altéra  parte  linete  BF  ca- 
dere  intelligatur,  velut  be,  atque  haec 
primum  curuam  fecare  fingatur,  ut  ibi  fac- 
tum  efl:  in  d,  ducaturque  dg  parallela  bf,  fiet  ponendo  rurfus  fg  oo  e,  et  fe  oo  z. 

Ut  Ag  quidem  fiât  x  +  e,  fed  eg  erit  z  —  e,  unde  gd  20  y  —  -;- .  atque  hinc  porro 

facile  efl:  perfpicere,  jequationem  secundam  quœ  ex  propofita  aequatione  x'^  +  y^  — 

axy  zo  G  defcribitur,  hoc  cafu  fore  3(?^jc  —  ^ aey  -\ — ^  co  o.  ut  nempe  ter- 

mini  qui  per  z  dividuntur,  habeant  figna  contraria  ijs  quse  habebant  in  tequatione 


T^ff> 


deferipta  cafu  priori,  quœ  erat  2^xx  ■ 


3^3" 


■aex  ■ 


aeyx 


Ex  hac  vero  ')  fequitur. 


')  Corrigé  par  Huygens  en:  Ex  hac  vero  priori.  De  même  dans  les  publications  de  1693  ef 
de  i~24. 


254  HlTi'GENS  À  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

la  quantité  relknte  ^ ^,  ou  audî  la  quantité  3J'  —  ayx  (qui,  fuivant  la  règle, 

conllituc  le  numérateur)  clt  pofitive;  que  lorfqu'au  contraire  celle-là  eft  pofitive, 
celle-ci  eft  négative,  puisque  la  fomme  totale  de  tous  les  termes  efl:  nulle.  Mais  il  en 

cil  autrement  dans  le  cas  de  l'équation  3^^'  —  ^ aey  -\ ^^  =  o.  De  celle-ci 

il  refaite  que  lorfque  la  quantité  3fA-'  —  aey,  ou  plutôt  3.r=  —  ay,  eft  négative,  la 

partie  reftante — ^-^-\ — ^  ou  auffi  la  quantité  —  3v^  +  ayx,  eft  pofitive,  et  par 

conféquent  3J-'  —  ayx  négative;  tandis  que,  lorfque  3X*  —  ay  efl:  une  quantité  pofi- 
tive, —  2y^  +  ayx  doit  être  négative,  et  par  conféquent  l'expreffion  33''  —  ayx 
pofitive. 

Ceci  fait  voir  que  des  quantités  trouvées  par  la  règle  et  contenues  dans  l'équation 

3i ^—  =  z,  on  peut  inférer  auquel  des  deux  cas  appartient  la  conftruétion  de  la 

tangente:  d'une  différence  de  figne  entre  le  dénominateur  et  le  numérateur  on  peut 
conclure  qu'on  fe  trouve  dans  le  premier  cas,  c.à.d.  que  z  ou  FE  doit  être  prife  vers 
A,  tandis  que  dans  le  cas  de  l'égalité  des  fignes  c'efl  dans  la  diredion  oppofée  qu'il 
faut  la  prendre. 

Or,  la  quantité  z  ou  FE  trouvée  d'après  la  règle  peut  parfois  être  réduite  à  des 
termes  plus  fimples  au  moyen  de  l'équation  donnée  exprimant  la  nature  de  la  courbe. 
Il  en  efl  ainfi  par  exemple  dans  la  préfente  courbe  AC  [Fig.  13]  pofTédant  l'axe  AD 
et  le  fommet  A  et  dont  la  nature  efl  telle  que  fi  de  fon  point  C  on  mène  l'ordonnée 
CD  le  produit  de  BD'  (B  étant  un  point  donné  fur  l'axe  en  dehors  de  la  courbe)  par 
DA-  efl  égal  à  DC'.  En  d'autres  termes  pofant  BA  =  a,  BD  =  x, DC  =  t  l'équation 
exprimant  la  nature  de  la  courbe  deviendra  x^  —  2ax*  -f  a-x~'  — 3"'  =  o,CG  étant 
une  tangente  qui  rencontre  l'axe  en  G,  et  pofant  DG  =  z,  on  obtient  d'après  la  règle 

Z  =  -—^ — 8     rx — r^i-  Mais  comme  d'après  l'équation  donnée  3''  =  x^  —  2ax*  + 

«^r',  on  trouve,  en  fubflituant  à  5V'  fa  valeur, 

^  _  5.V'  —  loax*  +  5«'a;5 
"  "  5.V+  —    8^x3  -t-  ^a'x-       ' 

ou  bien,  en  divilant  par  x-,         z  =  ~ — 

5A--  —    Sax  +  3<2^ 

Etendivifantde  nouveau  par  .v  —  ^  on  aura  z  = — ,cequifignifiequelorl- 

qu'on  prend  le  rapport  BD:  DG  égal  à  5BD  ~3BA  (ou  2BA  4-  5 AD):  5 AD,  GC 
touchera  la  courbe  AC  en  C. 


REGULA  AD  INVENIENDAS  TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM. 


255 


quando  quantitas  r^exx  —  aey  (lue  quando  ^xx  —  ay  (qux  diviforcm  conftituit  fccun- 

dum  regulam)  fuerit  minor  nihilo,  iiuc  ncgata,  tune  qiiantitatcni  reliqiiam  ^-^ 

— ^  fuie  eciam  33'^  —  ayx  (qua;  qiiantitatem  dividendam  fecundiim  rcgulam  conlli- 

tuit)  elle  affirmatani;  aut  cum  illa  cft  affimiata,  hanc  effe  negatam;  quia  omnes  fimul 

œquationis  cermini  œquantur  nihilo.  At  contra  ex  illa  x'quationc  yxx  —  -^^^ 

aey  -\ — ^  zo  o  fequitur  quando  quantitas  ^exx  —  aey,  fiue  r^xx  —  ay,  fuerit  negaca 

tune  reliquam  —  ~ — 1 — ;^,  fiueetiam  —  37'  +  ayxefCe  aflinnatam,ac  proinde3v' 

—  ayx  effe  negatam:  aut  quando  3.r.v  —  ay  fuerit  aflirmata,  tune  — 3V'  +  ayxefCe 
negatam,  ac  proinde  3^3  —  ayx  eiïe  affirmatam. 

Per  hacc  itaque  apparet   ex  quantitatibus  per  regulam  inuentis,  quae  erant 


3y 


3 


ayx 


00  ï,judicari  pofle  ?d  utrum  cafum  conftrudtio  tangentis  pertineat,  nempe 

'«•XvV       '       Ci  y 

ex  comperta  diilimilitudinc  affeétionis  in  diviforc  et  dividendo,  fequi  ad  priorem  cafum 
eani  pertinere,  hoc  eil  z  (lue  FE  accipicndam  effe  verfus  A.  Ex  fimilitudine  veroeorum 
atfcftionis  lequi  ad  contrariam  partem  lumendam. 

Potefl;  autem  quantitas  z  fiue  FE,  perregulaminuenta, 
nonnunquara  ad  (impliciores  terminos  rcduci  ope  œqua- 
tionis  data.^  qua^  naturam  curuœ  continet,  velut  in  bac 
cuaia  AC  [Fig.  13]  axem  habente  AD  verticem  A,cu- 
jufque  ea  efl:  proprietas  ut  fi  a  punfto  C  in  ea  fumpto 
applicetur  ordinatim  CD,  fiât  produftum  ex  cubo  BD 
(eff  autem  B  punétum  in  axe  extra  curuam  datum)  in 
quadratum  D  A  a;quale  cubo  quadrato  DC.  Siueponendo 
BA  30  a,  BD  oo  .r,  DC  00  y,  fiât  œquatio  naturam 
curuœ  continens,  x'  —  lax''  +  aax'''  —  y^  00  o.  Hic 
ponendo  CG  effe  tangentem,  quœ  occurrat  axi  in  G, 


53'' 


quia  autem 


vocandoque  DG,  c.  fit  fecundum  regulam  :ï  30 

°  5A-+  —  ^ax^  +  '^aaxx 

ex  data  œquatione  eft  v'  30  .r'  —  lax''  +  aax'^  reftituendo  pro  53?  '  id  quod  ipfi  œquale  eff 

^  ixA-s — xoax'' -\- Kaax'^ ^     i-  -j     j  •         S-*^^ — \oaxx -\- i^aax 

net,î  30 ^ fiue  dividendo  per.v.vent  s  30 ^ 

5.V+  —  8^.t3  +  '^aaxx  """'>"  —  '*"''"  -"-  "/j/? 

Et  rurlus  dividendo  hanc  fraétionem  per  .r 


5.r.r  —  %ax  +  3^^ 


■  a  habebitur  z  oc 


5.T.V  —  s^A- 


quod 
^x  —  za 

fignificat  faciendum  ut  licut  BD  quinquies  fumpta,  minus  BA  ter,  fiue  ut  BA  bis, 

una  cum  AD  quinquies,  ad  AD  quinquies,  ita  BD  ad  DG,  atque  ita  GC  tafturam  in 

C  curuam  AC. 


IV. 

DE  CURVIS  PARABOLOIDIBUS  ET  HYPERBOLOIDIBUS. 

1667'). 

Dans  le  T.  II  des  Regiftres  le  texte  de  cette  Pièce  fuit  celui  de  la  Pièce  III. 

LEMMA. 

Si  difFerentia  linearum  FL,  KL,  quœ  el\  KF  dividatur  in  quotcunque  partes  œquales 
punftis  T,  S,  G,  ratio etc. 

C'eft  à  d'infignifiantes  différences  près  (p.e.  „quotcunque  partes"  au  lieu  de  „partes  quotcun- 
que"), le  Lemma  qui  occupe  les  p.  283 — 284  du  T.  XIV.  Ce  Lemma  nous  femble  dater  de  1667, 
et  non  pas  de  165-  comme  le  dit  le  T.  XIV  où  il  eft  emprunté  à  une  feuille  féparée  -).  En  effet, 
la  première  rédaction  du  Lemma  —  les  ratures  indiquent  que  c'eft  bien  la  première  —  le  trouve  à 
la  p.  1 88  du  Manufcrit  C,  laquelle  date  de  juillet  1667. 

Le  Lemma  dans  la  communication  eft  fuivi  par  le 

THEOREMA. 

Si  a  puncto  in  paraboloide  refta  ad  axem  ordinatim  applicetur  ....  etc.,  exaaement 
comme  dans  les  feuilles  détachées  qui  ont  fourni  le  texte  des  p.  284 — 28-  du  T.  XIV  auxquelles  nous 
renvoyons  le  lefteur.  La  remarque  de  Huygens  dans  la  note  finale  5  de  la  p.  287  „Convenit .... 
ad  BQ"  fait  aufli  partie  du  texte  des  Regiftres,  et  l'on  y  trouve  en  cet  endroit  la  „figure  entière- 
ment analogue  à  la  Fig.  6  de  la  p.  279"  dont  il  eu  queftion  dans  la  note  nommée. 

Ce  Theorema  date  apparemment  aufli  de  1667  puifque  dans  le  Manufcrit  C  il  fait  fuite  au 
Lemma.  Il  en  eft  de  même  du  Theorema  fuivant  (p.  285  du  T.  XIV)  qui  correfpond  à  celui  de  la 
page  antérieure  186  du  Manufcrit  C  3).  A  la  p.  185  du  Manufcrit  C  Huygens  commençait  fa 


')  Dans  les  Regifïres  la  Pièce  fait  corps  avec  la  précédente  et  n'a  donc  pas  de  titre.  Dans  fa  lettre 
de  feptembre  1 686  à  de  la  Ilire  —  citée  auflî  dans  la  note  83  de  la  p.  2 1 2  ainfi  que  dans  la  note  125 
de  la  p.  2 1 9  qui  précèdent  —  Huygens  l'appelle  „Dimenflo  Paraboloidum,  ou  je  pourray  joindre 
celle  des  Hyperboloides". 

')  Il  faut  lire  à  la  p.  283, 1.  3  du  T.  XIV  „RatioFL  ad  LK",  non  pas  „ad  LT",  et  à  la  p.  284, 1. 2 
„rationem  FL"  au  lieu  de  „ratione  FL".  Nous  avons  remarqué  dans  la  note  7  de  la  p.  283  que, 
par  suite  d'une  inadvertance,  Huygens  ne  s'est  pas  exprimé  correctement.  Ceci  s'applique  au 
texte  de  la  communication  à  l'Académie  comme  à  celui  du  T.  XIV. 

3)  La  démonstration  n'y  est  pas  achevée  et  s'arrête  au  milieu  d'une  phrase. 


DE  CURVIS  PARABOLOIDIBUS  ET  HYPERBOLOIDIBUS. 


257 


Pièce  par  les  mots:  Paraboloides  voco  curvas  in  quibus  ordinatim  applicata  adaxem  vel 
eanim  potciktes  qiia^dani  funt  intcr  fe  ut  intercepta  inter  eafdem  applicatas  et  ver- 
ticem,  vel  aliquiv  eanim  potellaccs.  Etc. 

D'après  la  note  5  déjà  mentionnée  de  la  p.  287  du  T.  XIV  Huygens  ajouta  encore  au  crayon  à 
la  feuille  séparée  confidérée  en  cet  endroit  la  remarque  Addenda  quadratura  Hyperboloidum 
ce  qui  correfpond  à  ce  qu'il  a  écrit  dans  la  lettre  de  1686  citée  dans  la  note  i.  Il  nous  femble  que 
le  texte  de  l'Appendice  II  (p.  288  et  fuiv.)du  T.  XIV,  emprunté  à  la  même  feuille  féparée,  doit 
dater  également  de  1667  et  non  pas  de  1657:  à  la  p.  190  du  ManufcritC,  datant  de  1667,  on  trouve 
des  remarques  analogues —  quoique  non  pas  identiques  —  fur  les„hyperboloides"  ou  hyperboles 
de  divers  degrés.  La  publication  du  texte  de  cette  page  du  Manufcrit  C  nous  femble  fuperflue. 

Outre  les  parties  déjà  publiées  la  communication  comprend  encore  un  théorème  final  que  voici. 
Il  correfpond  en  grande  partie  au  texte  de  la  p.  185  du  Manufcrit  C.  Le  fait  qu'il  s'agit  ici  delà 
conftrudion  d'une  tangente  d'après  la  méthode  de  la  Pièce  III  explique  que  dans  les  Regiftres  les 
Pièces  III  et  VI  aient  été  fondées  l'une  à  l'autre  de  manière  à  former  en  quelque  forte  une  feule 
Pièce. 


THEOREMA. 

Si  Paraboloidem  tangens  reéta  linea  cum  axe  conuenit,  et  a  punfto  contaétus  refta 
ad  axem  ordinatim  applicetur;  erit  pars  axis  intcr  applicatam  et  tangentem  intercepta, 
ad  partem  ejufdem  axis  inter  applicatam  et  verticem,ut  exponenspoceilatisquEin  ea 
paraboloide  conlideratur  in  ordinatim  applicatis,  ad  exponentem  poteftatis  quse  con- 
fideratur  in  partibus  axis,  abfciflls  ad  verticem. 

Ut  fi  fit  Paraboloides  AF  [Fig.  1 4]  cuius  axis 
AG  vertex  A,  reftaque  eam  tangens  in  punéto  B 
conueniat  cum  axe  in  D,  fit  autem  Paraboloides 
eius  nature  ut  applicatarum  ordinatim  BC,  FG, 
quadrato  cubi  fint  inter  fe  ficut  quadrata  CA,  GA, 
hic  quia  in  ordinatim  applicatis  confideratur  potes- 
tas  quinta,  in  abfciflîs  vero  ad  verticem  potefl:as 
fecunda,  dico  fore  DC  ad  CA,  ut  5  ad  2.  Hoc  facile 
oflenditur  ex  Méthode  tangcntium.  Quod  fi  vero 
alia  item  tangens  ducatur  FH  manifeflum  efl:  ut 
DA  ad  AC,  et  ut  AH  ad  AG,  ita  elTe  HD  ad  CG. 


[Fig-  H] 


33 


V. 


EXAMEN  DU  LIVRE  DE  WALLIS  „ARITMMETICA 
INFINITORUM"  DE  1655. 


1667. 


Regiftres,  T.  II,  p.  164:  Ce  24  d'Aouft[i667]  M.  Hugensa  continué  l'examen  du  livre  de 
Wallis. 

Il  doit  s'agir,  penfons  nous,  de  l'œuvre  principale  de  Wallis,  r„Arithmetica  infinitorum  five 
nova  methodus  inquirendi  in  curvilineorum  quadraturam  aliaque  difficiliora  matliefeos  proble- 
mata"  de  1655.  Huygens  a  évidemment  pu  parler  aufli  des  autres  ouvrages  du  même  auteur  dont 
les  principaux  étaient  r„Arithmetica  univerfalis"  et  le  „Tractatus  de  fettionibus  conicis  nova 
methodo  expofitis"  datant  l'un  et  l'autre  également  de  1655,  la  „Mathefis  univerfalis  fivearithme- 
ticum  opus  integrum"  de  1657  et  les  „Traftatus  duo . .  de  cycloide . .  de  ciiïbide . .  et  de  curvarum 
tum  linearum  rj»va:t  tum  fuperficierum  r).aTLi(ru.ii"  de  1659  ').  Peut-être  a-t-il  aufîî  fait  mention 
de  la  réfutation  de  la  prétendue  quadrature  géométrique  du  cercle  par  Hobbes,  la  „Hobbiani  Pundi 
Difpunétio"  de  1657  ^). 


')  Voyez  sur  le  dernier  ouvrage,  dédié  à  Huygens,  la  p.  5 1 8  de  notre  T.  II. 
')  Consultez  sur  Huygens,  Hobbes  et  Wallis  la  p.  380  qui  suit,  appartenant  à  la  Pièce  „Les  trois 
grands  problèmes  de  l'antiquité". 


VI. 

INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  DE 
L'IMPOSSIBILITÉ  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE. 

1(568. 


Regiftres,  T.  I.  p.  258 — 259:  Le  4.d'Auril[i668]...  M'.  Hiigens  a  lu  a  la  Compagnie  l'examen 
qu'il  a  fait  d'un  livre  nouveau  de  Gregorius ...  de  verà  circuli  et  hyperbotequadraturà. 

M'.  Hugens  fait  voir  qu'il  demonftre  mal  cette  impoflîbilité  [favoir  l'impofïïbilité  de  la  qua- 
drature]. 


Les  obfervations  de  Huygens  n'ayant  pas  été  publiées  dans  les  Regillres,  mais  (fous  la  forme 
d'une  lettre  à  l'éditeur  Gallois)  dans  le  Journal  des  Scavans  du  2  juillet  1668,  nous  renvoyons  le 
lefteur  au  T.  VI,  où  l'on  trouve  cette  lettre  (No.  1647)  ainfi  que  la  première  réponse  de  Gregory 
du  23  juillet  1668  tirée  des  Pliilofoph.  Tranfaclions  (No.  1653)6!  les  autres  Pièces  qui  s'y  rappor- 
tent parmi  lefquellcs  quelques-unes  de  Wallis  (No.  1659,  1669,  pièce  du  12  novembre  1668  de 
Huygensdans  le  Journal  des  Scavans,  No.  1670,  1671,  1672,  1675,  1676,  1682,  1683,  1684, 
1685,  1708,  1709,  1718,  1720,  1721,  1722).  'Voyez  auflî  les  Appendices  I — V  aux  p.  303 — 327 
qui  fuivent. 


Consultez  furtout  l'article  de  F.  Schuh  —  cité  (déjà  avant  fon  apparition)  à  la  p.  174  du  T. 
XII  de  1910,  et  auflî  à  la  p.  39  du  T.  XVIII  de  1934  —  qui  fut  compofé  „à  la  fuite  de  la  prépara- 
tion de  l'écrit  bien  connu  de  Huygens  De  circuli  magnitudine  inventa,  pour  les  Œuvres  complètes'''. 
Cet  article  eft  intitulé  „Sur  quelques  formules  approximatives  pour  la  circonférence  du  cercle  et 
fur  la  cyclométrie  de  Huygens";  il  occupe  les  p.  i — 177  et  229 — 323  du  T.  III  de  I9i4dela 
Série  IIIA  des  «Archives  Néerlandaifes  des  Sciences  exades  et  naturelles"  (NijhofF,  la  Haye). 
L'auteur  y  considère  e.a.  les  propofitions  de  Gregory  et  le  §  3 1  eft  intitulé  «Critique  de  Huygens  de 
la  démonftration  de  Gregory". 

Voyez  aufli  fur  cet  article  les  notes  2  de  la  p.  369  et  27  de  la  p.  374  qui  fuivent. 


VII. 

SUR  LA  QUADRATURE  ARITHMÉTIQUE  DE  L'HYPERBOLE  PAR 

MERCATOR  ET  SUR  LA  MÉTHODE  QUI  EN  RÉSULTE  POUR 

CALCULER  LES  LOGARITHMES. 

1668. 


Regillres,  T.  III  '),  p.  138 — 143:  Le  mercredy  17'  jour  du  mois  d'Oftobre  166%  la  compagnie 
eflant  alTemblée  M'.  Iliigens  a  parlé  de  la  quadrature  arithmétique  de  l'hyperbole  de  M'.  Mercator 
qui  eft  inférée  dans  un  Journal  d'Angleterre  -). 

M.  Mercator  a  efté  le  premier  qui  a  proposé  cette  quadrature.  M'.  Wallis  l'a  depuis  expliquée 
et  reformée  -);  et  M'.  Hugens  y  a  adioufté  plufieurs  chofes  pour  en  faciliter  l'intelligence.  Voicy 
la  manière  dont  il  l'a  propofée  3). 

Soit  l'hyperbole  MBF  [Fig.  14],  dont  les  afymptotes  AH,  AN  fafTenc  un  angle 
droitt  ou  autrement;  et  foit  AIBN  le  quarré  ou  le  rhombe  de  l'hyperbole  c'eft  a  dire 
dont  le  diamètre  AB  foit  la  moitié  de  Taxe  tranfuerfe. 


[Fig.  14] 


SUR  LA  QUADRATURE  ARITHMÉTIQUE  DE  l'hYPERBOLE  PAR  MERCATOR  ETC.    26 1 


Qu'il  y  ait  maintenant  quelque  efpace  hyperbolique  FVllI  I,  compris  d'une  portion 
de  la  courbe  FV,  des  deux  parallèles  a  l'afymptote  AN,  et  de  la  partie  qu'elles  enfer- 
ment de  l'autre  afymptote  (avoir  1 IR,  dont  on  veiiille  trouuer  le  contenu  c'cft  a  dire 
fa  proportion  au  quarrc  ou  rhonibe  AB;  et  il  n'importe  que  VR  tombe  entre  IM,  FI  I 
ou  entre  BI,  NA,  quoyquc  la  liipputation  ie  fera  d'autant  plus  facilement  que  HR 
fera  plus  petite  a  raifon  de  I  lA,  comme  il  paroillra  cy  après. 

La  méthode  pour  parucnir  a  la  mcfure  de  l'elpacc  Mil  IF,  confifte  premièrement 
a  concevoir  des  petits  redtangles  ou  parallélogrammes  circonfcrits  a  tout  cet  efpace 
comme  CM,  RD,  GK,  &c,  dont  les  collez  foient  parallèles  h  l'afymptote  AN,  et  leurs 
largeurs  fur  l'autre  afymptote  toutes  égales.  Et  quoyque  ces  parallélogrammes  fur- 
paiïent  de  quelque  chofe  l'efpace  VRllF,  toutes  fois  en  confiderant  comme  fait 
l'auteur  qu'il  y  en  a  un  nombre  infini  l'on  peut  dire  qu'ils  égalent  parfaitement  ledit 
efpace  et  il  ne  rerte  qu'a  trouuer  la  grandeur  de  tous  ces  parallélogrammes  mis  en  une 
fomme. 

On  fuppofe  pour  cela  AH  égale  a  l'unité  ou  i.  HR  égale  a  Â\  lA  égale  a  b.  et 
chafque  largeur  des  petits  parallélogrammes  comme  HD,  DK,  égale  a  a.  Il  cfl  con- 
fiant maintenant  par  la  propriété  cogneue  de  l'hyperbole  que  comme  AH  ou  i  eft  a 

bb 
AI  ou  b,  ainfy  AI  a  FH  qui  fera  —  ou  bb.  Et  par  la  mefme  raifon  parce  que  AD  efl: 

I  —  a,  DC  fera KE  -j ,  LG  -\ et  ainfy  des  autres  hauteurs 

I — ^,  I — ia  I— 3«  •' 

des  petits  parallélogrammes. 

Mais  en  faifant  la  diuifion  de  bb  par  i  — ,«,  on  trouuera  que c'eftadireCD 

efl:  égale  2ibb-{-  bba  -f  bbaa  -\-  bba""  +  bba''  &c.  a  l'infini,  c'eft  a  dire  à  bb  multiplié 
par  I  -\-  a  ■\-  a'^  -{■  a^  -\-  a''  &c.  Et  partant  en  multipliant  cette  hauteur  CD  par  a  le 
parallélogramme  CH  fera  égal  \  \  -\-  a -\-  a-  -{■  a"'  &c.  in  abb.  De  mefme  en  divifant 

bb  par  i  —  ia  oxi  trouvera  que c'efl  a  dire  EK  efl:  égale  z  bb  \x\  \  ■\- la  ■\- 


')  Le  T.  III  eft  intitulé:  „Regiftre  de  Mathématique.  1668", 

°)  La  „Logarithmo-Technia"  de  1667  de  Nie.  Mercator,  déjà  citée  à  la  p.  11  qui  précède  — 
voyez  sur  l'auteur  la  note  8  de  la  p.  300  du  T.  I  —  parut  d'abord  dans  les  „Philosophical 
Transaftions"  de  1668  (17  Août,  No.  38),  ensuite  avec  un  autre  traité  (voyez  la  note  2  de  la 
p.  302  qui  suit)  sous  forme  de  livre  (Londres  1668),  comme  l'indique  la  note  5  de  la  p.  276  du 
T.  VI.  Cette  note  parle  d'une  réimpression  en  1674.  La  „Logarithmo-Teehnia"  fe  trouve 
aufli  dans  les  „Scriptores  logarithmici"  de  Fr.  iNIaseres  de  1791.  Dans  le  même  n°  des  Philos. 
Transaftions  J.  Wallis  traite  de  cette  quadrature.  Immédiatement  après  Mercator  publia  un 
deuxième  article:  „Some  illustrations  of  the  Logarithmo-technia"  (Phil.  Trans.n.  38,  1668). 

^)  Le  brouillon  de  la  conférence  qui  occupe  les  p.  82 — 85  du  Manuscrit  D  commence  par  l'alinéa 
suivant:  Pour  expliquer  la  quadrature  de  l'hyperbole  de  Mercator,  reformée  par 
M.  Wallis,  je  n'auray  qu'a  repeter  l'abbregè  que  le  dernier  en  a  donné,  en  efclair- 
cilTant  les  difficultez  qui  y  pourroient  reft:er. 


262  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


4<7<ï+8tf5+  i6«-*&c.  Et  partant  le  parallélogramme  ED  fera  i  +  2a  +  i{aa+8a'^  + 

16/7+  &c.  in  ûbb.  Et  ainfy  en  examinant  tous  les  autres  petits  parallélogrammes  on 

verra  facilement  qu'ils  font  ainfy 

CU+i+a  +  a'  +  a^  +  a*&.c.  \ 

ED+ ï  +  2a  +  4a'  +  8a^^+i6a^&ic.         m  abb 
GK  +  I  +  3^  +  ça^  +  lya^  +  84^+  &c.  1 

et  ainfy  confecutivement  julqu'au  plus  grand  \'0  +  i  +  y^  -{-  yi-  +  yi^  +  y^*  &c. 

donc  la  fomme  de  tous  c'eft  a  dire  l'cfpace  VRHF  fera 

J  +  ^A'  +  1^5  4- 1^+  _|_  i.^5  &c.  in  bb. 

On  a  di(5t  que  le  plus  grand  des  parallélogrammes  VO  efl:  égal  a  i  +  ^^  +  y/^  +  ^3 

bb 
&c.  in  bb,  parce  qu'en  diuifant  bb  par  i  —  A,  l'on  trouue  que ^,  c'efl  a  dire  VR, 

e(l  égale  à  cette  progrefllon  multipliée  par  bb.  Et  par  conféquent  en  multipliant  de 
plus  par  RO  ou  a  le  parallélogramme  \0  doit  eflre  i  +  A  +  yp  +  ,7'  &c.  in  ûbb. 

Mais  pour  ce  qui  eft  de  la  confequence  par  laquelle  la  fomme  de  tous  les  paral- 
lélogrammes eft  egalle  a.  A  +  ^A-  +  4^^  &c  in  bb,  elle  efl  fondée  lur  des  Théorèmes 
affez  connus  des  progreffions  des  puiflances.  Car  en  coniîderant  les  colonnes  defcen- 
dantes  des  quantités  efcrites  cy  dclTus  on  void  que  la  première  colonne  efl:  faite 
d'unitez  multipliées  par  abb  qui  font  des  parallélogrammes  égaux  entre  eulx,  dont  la 
fomme  par  conféquent  fera  egalle  au  dernier  ûbb  pris  autant  de  fois  qu'il  y  a  des  par- 
ticules égales  en  la  ligne  HR  ou  yJ  faifant  les  largeurs  defdits  parallélogrammes.  C'efl 
a  dire  fi  on  met  «  pour  ce  nombre  infini  des  parties  la  fomme  de  tous  les  parallélo- 
grammes fera  nabb,  mais  hû,  c'efl;  a  dire  une  des  parties  multipliée  par  le  nombre  des 
parties  eft  égale  a  la  ligne  HR  ou  A,  donc  toute  la  première  colonne  continuée  a 
l'infiny  eft  égale  a  Abb,  comme  elle  a  eflé  mile. 

Pareillement  la  féconde  colonne  eflant  a  +  2a  -\-  2^  '^  4^  ^^-  multipliez  par  abb 
qui  efl  une  fuitte  de  parallélogrammes  qui  font  comme  les  nombres  depuis  l'unité,  il 
eft  certain  que  leur  fomme  eft  égale  a  la  moitié  du  plus  grand  A  in  ûbb,  multipliée 
par  «,  c'eft  a  dire  prife  autant  de  fois  qu'il  y  a  des  petites  parties  en  HR  ou  A.  Cette 
fomme  fera  donc  ^Aanbb,  ou  parce  que  na  eft  égale  a  ^  ce  leraiAAbb  comme  elle 
a  efté  mife. 

De  mefme  la  troifième  colonne  eftant  aa  +  â^aa  -\-  ^aa  &c.  multipliez  par  abb 
qui  eft  une  fuite  de  parallélogrammes  qui  font  entre  eux  comme  les  quarrez  des 
nombres  depuis  l'unité:  leur  fomme  fera  egalle  a  |  du  plus  grand  multiplié  par  A 
c'eft  a  dire  a  \AAnûbb  ou  parce  que  na  eft  égal  a  y7  ce  fera  \  A^'bb;  et  ainfy  du  refte. 

Suppofant  maintenant  quelque  nombre  pour  la  longueur  de  A  ou  HR  qui  foit 
moindre  que  l'unité  (car  HA  eft  fuppofé  +  i)  et  de  mefme  pour  b  ou  AI,  la  fomme 
fufdite  A  -f  ^A-  -\-  ^A^  +  iy/+  &c.  in  bb  exprimée  en  nombre  fera  le  contenu  de 
l'efpace  hyperbolique  HFVR.  Et  quoyqu'il  puifte  fembler  d'abord  qu'on  cherchera 
en  vain  cette  fomme,  parce  qu'il  y  a  une  multitude  infinie  de  quantitez  a  adiouter, 
cependant  puifque  A  eft  une  fraétion  moindre  que  l'unité,  il  s'enfuit  que  les  puis- 


f , 


SUR  LA  QUADRATURE  ARITHMÉTIQUE  DE  l'hYPERBOLE  PAR  MERCATOR  ETC.     263 


fances  de  A  deviennent  d'autant  moindres  que  l'unité  qu'elles  font  plus  hautes,  en 
force  que  les  dernières  pcuuent  eftrc  négligées  comme  il  paroiftra  par  cet  exemple.  Soit 

Ail  XI  I  ;  Z»  30  —  que  l'on  efcrira  ainsy  o,i  ;  ce  par  conféquent  bb  o:) ou  0,0 1  ; 

10  "^  '  1 00 

HR  ou  . /  X)  '■--  ou  0,2 1 . 
100 


'on  aura  donc 

ylcc 

0,21. 

2 

0,02205. 

3 

0,003087. 

4 

0,000486203 

5 

0,000081682 

Et  leur  fomme 
Qui  eilant  multipliée 


par  bb 


yA^  0,000014294 

-A'^  0,000002573 

^A^  0,000000473 

-A^  0,000000088 
9 

A^°  0,000000017 


10 


— A'^    0,000000003 

00  0,235722333. 
00  0.0 1 


faift  0,00235722333 

pour  le  contenu  de  l'efpace  hyperbolique  FHRV  en  parties  dont  le  quarré  ou  Rhombe 
AB  en  contient  0,01.  Cefl:  a  dire  que  l'efpace  FHRV  fera  au  quarré  ou  Rhombe  AB 

23572=^33 


comme 


I 00000000 


a  I  +). 


*)  Dans  le  brouillon  du  Manuscrit  D  (note  3  de  la  p.  261  )Huygens  fait  encore  un  calcul  du  même 
genre  pour  A  =  0,5. 


264  Hirv'GENS  X  l'académie  royale  des  sciences. 

Par  la  manière  de  cette  opération  il  ell:  facile  de  comprendre  la  raifon  de  ce  qui  a 
efté  dift  au  commencement  icavoir  que  le  calcul  fera  d'autant  plus  aifé  que  HR  aura 
moindre  raifon  a  HA  et  d'autant  plus  long  que  cette  raifon  fera  plus  grande,  car 
fuiuant  cela  les  puiilances  de .:/  ou  1 IR  diminueront  plus  ou  moins  ville  pour  pouuoir 
eftre  négligées  ainsy  que  dans  l'exemple  propofé  l'on  voit  que  les  Caraftères  fignifiant 
des  puilfanccs  de  J  fe  retirent  affez  \'ilk  vers  la  main  droite.  Ce  qui  n'arriveroit  pas 
de  mefme  fi  A  eiloit  o,-  ou  0,8,  mais  il  faudroit  continuer  l'opération  plus  auant 
pour  auoir  le  mefme  nombre  de  véritables  caraderes  pour  le  contenu  de  l'efpace 
hyperbolique. 

Or  cette  dimenfion  de  l'hyperbole  fert  aulTy  a  trouver  les  logarithmes  avec  facilité 
parce  que  ces  efpaccs  hyperboliques  comme  VRHF,  BII  IF  font  toufiours  entre  eulx 
commelaraifonde  VRaFH  '")eftalaraifondeBIaFH  ^)  ce  que  Gregorius  de  SanCto 
Vincentio  a  monrtrc  le  premier  ').  C'efl  a  dire  fi  l'on  pose  des  nombres  pour  BI,  VR, 
FH  alors  comme  l'efpace  VRHF  eft  a  BIHF  ainfy  fera  la  diilerencc  des  logarithmes 
des  nombres  VR,  FH  a  la  différence  des  logarithmes  de  BI,  FH.  La  proportion  des- 
quelles différences  efl;ant  connue  et  fuppofant  enfuitte  comme  dans  les  tables  o  pour 
logarithme  de  l'unité  et  1 ,0000000000  '^)  pour  celuy  de  i  o,  l'on  trouue  facilement 
les  logarithmes  de  chaque  nombre  tels  qu'ils  font  dans  les  mefmes  tables. 


S)  Voyez  sur  la  proposition  de  Grégoire  de  Saint-Vincent  la  note  3  de  la  p.  452  du  T.  XIV. 

Sous  l'expression  assez  étrange  dans  sa  brièveté  „raison  de  VR  à  FH"  il  faut  entendre  ici  le 
„numenis  ratiuncularum"  (Mercator)  qui  correspond  au  rapport  VR  :  FH;  même  remarque 
pour  la  „raison  de  BI  a  FH".  Gr.  de  S.  Vincent  qui  ne  connaît  pas  les  „ratiuncul£e"  ni  le  mot 
logarithme  —  voyez  la  note  citée  du  T.  XIV  —  s'exprimait  autrement  que  Huygens  le  fait 
ici;  pour  lui  un  rapport  de  deux  longueurs  «/f«w/)r/i  dans  un  autre  rapport,  ou  bien  en  ««//>«/ 
un  autre,  un  certain  nombre  de  fois  (ou  „nombre"  ne  désigne  pas  généralement,  comme  dans 
l'expression  „numerus  ratiuncularum"  un  nombre  entier).  Dans  le  brouillon  mentionné  dans 
la  note  3  de  la  p.  261  les  mots  „ce  que  Greg.  a  S'"  Vinc.  a  montré  le  premier"  ont  été  ajoutés 
</(?;» /'/H/i';-//'g-«i',  ce  qui  explique  que  Huygens  n'insiste  aucunement  sur  la  non-identité  des 
logarithmes  de  Mercator  et  des  logarithmes  —  pour  employer  ce  mot  —  de  Grégoire. 

*)  Apparemment  il  ne  s'agit  pas  ici  du  nombre  i,  mais  de  dix  mille  millions  (d'ailleurs  c'est  le 
copiste,  pensons-nous,  qui  a  ajoute  trois  zéros;  dans  le  brouillon  Huygens  n'en  écrit  que  sept): 
Mercator  lui  aussi  écrit  1,0000000  pour  désigner  10  millions  (Mercator  se  sert  ailleurs,  il  est 
vrai,  d'un  certain  signe  décimal,  mais  ce  signe  n'est  pas  la  virgule). 

Huygens  ne  parle  pas  ici,  comme  il  aurait  pu  et  peut-être  dû  le  faire,  de  „numeri  ratiuncu- 
larum" infiniment  grands;  un  „numerus  ratiuncularum"  fini  ne  correspondra  pas  exactement 
atout  rapport  VR:FH  ou  BI:FII;  voyez  ce  que  nous  disons  sur  ce  sujet  aux  p.  215 — 2 16  qui 
précédent.  Chez  Mercator  r„intervalle-atome"  dont  nous  avons  parlé  dans  la  note  2  de  la  p. 
155,  finit  par  céder  le  pas  à  l'intervalle  infiniment  petit  ou,  si  l'on  veut,  à  la  continuité. 


VIII. 

FROULEMA  ALHASENI. 
[1669.  1670?] 


1669 
y/').  Dato  fpeculo  fphserico  convexo  auc  cavo,  datisque  punfto  vifiis  et  punfto  rei 
vife,  invenire  in  fiiperficie  fpcculi  punctum  reflexionis. 


[Fig-15] 


Duéto  piano  per  fpeculi  centrura  A  [Fig.  1 5],  et  per  punéta  B,  C,  oculi  et  rei  vife, 
fiât  feélio  in  fpeculi  fphaera  circulus  DP.  Junflâque  BC  fit  in  eam  pcrpendicularis  AE. 
Et  pofito  punfto  reflexionis  D,  fit  etiam  DG  pcrpendicularis  in  BC,  et  DH  pcrpen- 
dicularis in  AE.  et  ducatur  redla  ADE,  quîe  fecabit  neceflario  angulum  BDC  bitariani, 
ideoque  erit  ut  BD  ad  DC  ita  BF  ad  FC.  quare  fumta  FQ  xi  FC  (quam  pono  mi- 
norem  duarum  BF  ,  FC)  faftoquc  ut  BQ  ad  BF  ita  FC  ad  FV,necenario  circum- 


')  „Cliart!E  Mathematica;"  f.  145.  Les  Fig.  15,  16  et  17  correspondent  exactement  à  des  figures 
des  p.  119  et  i24du  Manuscrit  D  qui  contient  en  cet  endroit  les  calculs  primitifs, datant  appa- 
remment de  janvier  1669,  puisque  la  p.  145  porte  la  date  i  Fevr.  1669.  La  Fig.  i6correspond 
aussi  à  celle  de  la  page,  imprimée  par  Huygens  lui-même  d'après  son  procédé  spécial,  qui  est 
reproduite  dans  notre  T.  VI  (planche  vis-à-vis  de  la  p.  462);  le  texte  de  cette  page  correspond 
—  à  quelques  variantes  près  —  avec  celui  de  la  „Construétio"  de  la  présente  Pièce  (et  aussi 
avec  le  texte  de  la  p.  124  du  Manuscrit  D).  La  première  partie  de  la  présente  Pièce  motive 
cette  construction  ou  du  moins  fournit  les  données  qui  permettent  do  la  vérifier. 

34 


266  HUYGENS  X  l'aCADÉMIE  ROYALE  DES  SCIENCES. 

ferentiadefcriptacentroV  radio  VF  tranfibitperpunftum  D,  ut  aliunde  conlkc  '). 
Sint  jam  AE  as  a.  EB  oo  b.  EC  co  c.  radius  AD  oo  d.  Al  I  oo  x.  HD  oo  v. 

Ergo  FE  30  — . 

AH      HE              AD/^^^ 
X  —) —  a  —  .r d    I        X 

,    ^    ^      X    five  HD-^DA FD  ,     ..       ,. 

s.  <                                                                 j      j     I  ^ud  —  ddx  ^^  ,^ 
t;,^       ,  ay  ,  ad  —  dx     FK^) 

.v  x 


yx 
add  —  ddx 


BQ  b  —  c  —  ^-^     Sic  ^  —  c  zo  e  Ergo  FV 

A'  lyx 

BQ  BF  FC  FV 

2ay  ,        ay  ,   ay  add  —  ddx 

e —i —  b  —  -^ c  ■\ — 

X  X  X  lyx 


ex  —  2a\  —1 —  bx  —  <7v cx  -}-  ay 


add  —  ddx 


c  00  e 


eaddx  —  eddxx  —  laaddy  +  laddxy        ,         ,    , 
^  00  bcxx  +  bayx  —  acyx  —  aayy 


IX 


VV  00 

eaddx  — •  eddxx  —  laaddy  +  laddxy  oo  'xbcxxy  +  leaxyy  —  laay'^      -y, 


dd  —  XX 


Div.  per  .%•       2eaxx  —  eadd  —  eddx  oo  2bcxy  +  2aaxy  —  laddy 

ibcyx  +  laayx  +  eddx  +  eadd  —  laddy 
lae 

Completo  igitur  reftangulo  AHDT,  pofitaque  AT  oo  y  erit  TD  oo  x,  punctumque 
D  erit  ad  hyperbolam  ut  confiât  ex  œquatione.  Sed  et  ad  circumfereiniam  DP  quia 


')  Il  s'agit,  d'après  la  construftion  de  Huygens,  de  la  circonférence  de  cercle  qui  constitue  le  lieu 
de  tous  les  points  du  pian  considéré  pour  lesquels  le  rapport  des  distances  aux  deux  points  fixes 
B  et  C  a  la  valeur  constante  DB:  DC. 

2)  Puisque  l'angle  FDK  est  droit. 


■  « 


PROBLEMA  ALHASENI 


267 


d(i  —  yy  00  xx.  Ergo  inventa  hypcrbola  quae  locus  eft  punfti  D  in  refta  TD,  ea 
circumfcrentiam  DP  fecabit  in  punéto  D  quîefito.  Invenietur  aucem  hoc  modo. 
Conltru(flio+). 

Per  cria  piinfta  A,  B,  C  [Fig.  16]  dcicribatur  circiili  circumferentiacujuscentrum 
fitZ.OccurracautcmeiprodiiftaAEinR.Etfic  diiabus  RA,OA  tertia  proportionalis 
NA,  eritque  NM  parallela  BC,  altéra  afymptocôn.  Rurfiis  (int  proportionales  EA, 

^  ^i\0,  AI,  fumtaque  lY  ao  IN,  du- 

catur  YM  parallela  AZ.  caque  erit 

altéra  afymptotos.  Dudtà  denique 

AP  in  circulo  parallela  BC,divi(àqiic 

[Fig.  1 6]       /  y    /  \     bifariam  in  Q,  erit  Q  punftum  per 

quod  altéra  oppofitarum  feftionura 
tranfibit  ').  Ad  inventas  arymptotos 
defcribcndis'),  quariim  interfeftio- 
nesciim  circumferentia  DO,  oflen- 
dent  punfta  reflexionis  qua.-fita,qii» 
ufque  ad  quatuor  vcra  effe  polTunt 
cum  punfta  B,C  intra  circulum  Dd 
data  funt. 

Conflruftio  hjec  ad  omnes  cafus, 
quibus  problema  folidum,  accom- 
modata  eft,  prêter  unura  que  non 
hypcrbola  fedparabola  defcribenda 
eft,  cum  nempc  circumferentia  per 
punda  A,  B,  C  defcripta  tangit  rcc- 
tam  AE  [Fig.  17]  *).  Invenietur 


/ 

\     /            M// 

"    \ 

/ 

/ 

/w/ 

\: 

^ 

/^ 

X- 
0 

ï 

^\ 

7^ 

"•)  Malgré  les  calculs  du  Manuscrit  D,  mentionnés  dans  la  note  i  de  la  p.  265,  il  n'est  pas  clair  com- 
ment Huygens  parvient  à  cette  construflion  ;  mais  il  n'est  pas  difficile  de  la  vérifier.  L'équation 
de  l'hyperbole  étant  laex^  —  2(«^  +  bc)xy  —  ed'^x  +  2ad-j  —  ead'^  =  o 

on  trouve,  en  posant  y  =  o,  .v=    ^       ,  :  c'est  l'équation  de  l'asymptote  horizontale. 

Comme  la  circonférence  de  cercle  passant  par  A,  B  et  C  a  pour  équation  <7(jr*+ y')  — 
(a=  +^c)v  —  K^  —  OJ'  =  °'  ^'^  trouve  AR  =  **  ;  et  comme  AO  =  </,  on  a  N A  =  -j^ 

=    j      ,^,  conformément  à  l'équation  trouvée  de  l'asymptote. 

Le  centre  Z  de  la  circonférence  a  pour  coordonnées  x  = ,  j'  =  —-—;  l'équation  de  la 

2<ï  2 


•  —^ ^jf.    Or,  l'équation  de  l'hyperbole  donne  effectivement,  en 


droite  AZ  est  donc  y—     2  ,    , 

"     '  V      /ï'  -4-  5'         a^  -{-b^  j       •  - 

divisant  par  f  et  en  posant  ensuite^  =  os ,  -  =  — ^ —  ou     ,_^,de  sorte  que  la  deuxième 

asymptote  est  parallèle  à  AZ.  Etc. 


268 


HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


autem  punftum  I  codera  modo  quo  prius,  per  quod  duftà  IK  paralleld  BC,  erit  ea 

axis  parabolce.  Latus  re(5hira  vero  tertia  proportionalis  diametro  AL  et  radio  AO, 

qiix"  lit  IV.  Deindc  in- 

ventis  uc  ante  punctis 

S,  X,  per  qiiœ  parabola 

tranfire  débet,  facile  jam 

vertcx    K    invenietur, 

funita  duabus  IV,  IX 

tertia  proportionali  IK. 

Notandum  eft  punda 
interfetfHonis  circuli  et 
hypcrbolavel  parabola.» 
ctli  non  omnia  fint  punc- 
ta  rcflexionis,  ita  tamen 
fita  efle  ut  angulum  à 
réélis  BD,  DC  compre-  [Yïe.  17] 
hcnfum,  vel  eum  qui 
deinccps  cft,  recta  AD 
ex  ccntro  duifta  bifariam  fecet. 

Planum  vero  erit  problema  cum  vcl  puncta  A,  B,  C  in  eadem  erunt  reda  vel  cum 
B  et  C  îequaliter  ab  A  diflabunt,  quorum  prius  ex  a;quatione  patet  pofito  nempe 

a  zo  o.  nam  tune  zhcy  00  T  e(fd,  hoc  eft  v  05  T  -7—  Pofterius  vero,  pofito  <?  co  o, 

20c 

tune  enim  vel  y  co  o,  vel  bcx  T  aax  co  add.  quo  cafu  interfeftio  circulorum  Dd, 
ABC  duo  alla  vera  reflexionis  punfta  monstrat  fi  B  et  C  fint  intra  circulum  Dd. 

Des  quatre  figures  de  la  Fig.  1 8  deux  fe  rapportent  à  des  cas  où  il  y  a  quatre  points  de  réflexion 
latisfaifant  à  la  demande,  tandis  que  dans  les  deux  autres  il  y  a  refpectivement  un  et  trois  points 
de  réflexion. 


5)  Cette  dernière  phrase,  écrite  en  marge  au  crayon,  remplace  les  lignes  biffées  que  voici  :  denique 
fi.imtis  IX,  IS  qus  fingulse  pofïïnt  ~  qu.  AO  una  cum  qu.  AI,  erunt  pun(fla  X  et  S 
in  hyperbola  aut  fefdonibus^oppoficis  Dd.  Ces  lignes  font  encore  partie  du  texte  de  la 
planche  du  T.  VI,  dont  il  est  question  dans  la  note  1  qui  précède. 

Dans  la  Fig.  16  la  droite  AQP,  avec  les  lettres  P  et  Q,  a  été  ajoutée  au  crayon. 
Le  bout  de  phrafe  „Ad  inventas  afymptotos  defcribendis",fe  rattache  aux  lignes  biffées;  le 
mot  „defcribendis"  fe  rapporte  donc  à  „hyperbola  aut  feftionibus  oppofitis  Dd". 

")  Ici  finit  le  texte  de  la  planche  du  T.  VI.  Lorsque  la  circonférence  touche  la  droite  AE,  on  a 
AR  =  o,  donc  a-  -{■  bc  =  o  (note  4  de  la  p.  26"),  de  sorte  que  l'équation  de  la  conique  repré- 
sente en  effet  une  parabole. 


PROBLEMA  ALHASENI. 


269 


Ajouté  au  crayon:  multo  mcliorem  conftru6tionem  poflea  invenimus  7). 


[Fig.18] 


7)  Il  s'agit  de  la  construftion  du  Manuscrit  1 1  qui  constitue  notre  Appendice  II  à  la  p.  330  qui  suit. 
Consultez  aussi  notre  remarque  sur  cet  Appendice  à  la  p.  271  qui  suit. 


270 


HUVGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


[Fig.  19] 


B^).  Conftru&ion  d'un  Problème  d  Optique,  qui  efî  la  XXXIX.  PropoCttion  du 
Livre  V.  dAlhazen,  &  la  XXII  du  Livre  FI.  de  Vitellion. 

Les  points  B  C  [Fig  1 9]  et  le  cercle 
RK  dont  le  centre  efl:  A  font  donnez 
liir  ini  mefme  plan;  il  faut  trouver  le 
point  K  fur  le  cercle,  en  forte  que  les 
lignes  BK,  CK  faffent  avec  la  ligne 
AK  des  angles  égaux  entr'cux. 

Ayantinené  AB,  ACfoit  fait  comme 
AC  à  AF,  ainfi  AF  à  AQ;  &  comme 
AB  à  AE,  ainfi  AE  à  AP.  Soit  auffi 
AR  &  AS,  chacune  la  moitié  de  AP 
&  de  AQ.Dansl'angle  BAC  foit  achevé 
les  parallélogrammes  PAQI I  &  ARZS. 
Sur  RZ  prolongée  foit  pris  ZY  &  ZX, 
chacune  égale  à  la  ligne  qui  peut  la 
différence  d'entre  les  quarrez  de  QS 
&  ZS  9).  Ayant  fait  XV  égale  à  XY 
et  parallèle  à  AB,  fur  les  deux  collez 
XV,  XY  foit  décrit  une  hyperbole  qui 
paffera  par  les  points  Q  &  H,  comme 
il  efl  évident  par  la  conllrucHon  :  cette  hyperbole  QXH  rencontrera  le  cercle  au  point 
K  qui  ell  celuy  que  l'on  cherche. 

Ayant  mené  KO,  &  Kl  parallèles  à  AC  &  à  AB,  dont  Kl  rencontre  YX  au  point 
D;  à  caufe  de  l'hyperbole  le  reflangle  YDX  efl:  égal  au  quarré  de  KD  ordonnée,  ou 
de  OR;  &  le  rectangle  YTX  efl  égal  au  quarré  de  HT  ou  de  PR;  &  ayant  oflé  du 
redlangle  YTX  le  reétangle  YDT  [lifez:  YDX'°)],  &  du  quarré  de  PR  le  quarré 
de  OR,  il  refiera  le  reétangle  RDT  ou  AIQ  qui  fera  égal  au  reftanglc  AOP:  donc 
PO  efl  à  AI  ou  OK  fon  égale,  comme  QI  efl  à  AO  ou  IK.  Et  ayant  mené  les  lignes 
KP,  KQ,  les  triangles  KOP,  KIQ  feront  femblables,  &  partant  équiangles;  c'efl 
pourquoy  les  angles  APK,  AQK  qui  font  les  mefmes  ou  les  fupplemens  des  angles 


XV  aurait  dû  être  une  ligne  droite. 


')  «Divers  ouvrages  de  mathématique  et  de  physique  par  MM.  de  l'AcadémieRoyaledesSciences", 

1693,  p.  336.  Comparez  la  note  56  de  la  p.  207  qui  précède. 
!*)  C.à.d.  ZY  =  ZX  =  j/  QS-  —  ZS*.  Z  est  le  centre  de  l'hyperbole  équilatére,  dont  l'équation 

par  rapport  à  deux  diamètres  conjugués  RT  et  SZ  est  TZ*  —  HT*  =  ZX*,  ou,  si  l'on  veut, 

X*  — ;y*  =  «'  ou  bien  ;y*  =(.v  +  /î)  {x  —  a)  ou  HT=  =  TY.  TX. 
'°)  L'erreur  a  été  corrigée  dans  la  traduction  latine  des  „Opera  Varia"  de  1724  (tome  IV,  p.  759). 


PaOBLEMA  ALHASENI. 


271 


égaux  OPK,  IQK  feront  égaux  entr'eux.  Mais  par  la  conftrudion  on  a  fait  comme 
AB  à  AE  ou  à  AK,  ainfi  AK  ou  AK  h  AP:  c'eft  pourquoy  les  deux  triangles  BAK, 
KAP  l'ont  femblahlcs;  &  pour  les  mefmcs  railbns  les  deux  triangles  CAK,  KAQ 
(ont  aulli  lenibhibles:  c'elt  pourquoy  l'angle  BKA  ell  égal  à  l'angle  APK;  &  l'angle 
CKA  eil  égal  h  l'angle  AQK.  Mais  nous  venons  de  démontrer  que  les  angles  APK, 
AQK  font  égaux;  les  angles  BKA,  CKA  feront  donc  aufli  égaux  entre  eux;  ce  qu'il 
fallait  démontrer. 

Si  le  point  H  tomboit  fur  la  circonférence  du  cercle,  ce  point  H  feroit  le  point  K 
que  l'on  cherche,  &  les  lignes  IIP,  KP,  KO  &  fcmblablemcnt  les  lignes  I IQ,  KO, 
Kl  ne  feroient  qu'une  mefme  ligne  IIP  &  HQ,  d'où  l'on  prouveroit  les  mefmes  chofes 
qu'on  a  fait  cy-devant,  fans  avoir  befoin  de  l'hyperbole. 

Dans  une  lettre  du  3  feptembre  1693  au  marquis  de  l'IIospital  (T.  X,  p.  497)  Huygens  fe  dit 
„fachè  de  voir  qu'on  ait  mis  dans  les  Traitez  de  l'Académie  des  Sciences"  la  préfente  fokition  du 
problème  d'Alhazen,  et  „non  pas  une  beaucoup  meilleure"  fur  laquelle  on  peut  confulter,  outre 
cette  page  du  T.X.,  ce  que  nous  obfervons  au  début  de  l'Appendice  II  à  la  Pièce  VIII  h  la  p.  330 
qui  fuit. 

A  notre  avis  Huygens  n'avait  pas  grande  raison  d'être  fâché.  L'hyperbole  de  la  Fig.  19  —  nous 
le  difons  aufli  dans  la  note  2  de  la  p.  331  qui  fuit  —  eft  la  même  que  celle  de  la  pièce  1891  de  1672 
du  T.  VII  et  aulli  que  celle  de  la  folution  et  de  la  démonflration  de  1673  de  l'Appendice  II  que 
nous  venons  de  mentionner  lefquelles  font  appelées  par  Huygens  sa  „plus  belle  folution  et  demon- 
llration". 

On  voit  dans  la  Fig.  19,  quoiqu'ici  cela  ne  Ibit  pas  dit,  que  pour  des  railbns  de  fymétrie  l'autre 
branche  de  l'hyperbole  doit  palfer  par  le  point  A,  ainfi  que  par  le  point  P.. 


CONSTRUCTION  DE  L'HYPERBOLE  D'APRES  SON  EQUATION  AU 
MOYEN  DE  SES  ASYMPTOTES. 


[1670?] 


Lorique,  dans  l'équation  qui  correfpond  à  une  hyperbole,  aucune  des  deux  lignes 
indétemiinées  (c.  à.  d.  des  variables)  n'efl  multipliée  par  elle-même,  p.  e.  lorfque 
l'équation  cft  xy  =  bb  ou  xy  =  c.v  db  ^^  —  où  les  lettres  .r  et  y  défignent  les  lignes 
droites  indéterminées  Ali  et  BC  [Fig.  19],  coordonnées  entre  elles  fous  un  angle 


IX. 

CONSTRUCTIO  LOCI  AD  MYPERBOLAM  PER  ASYMPTOTOS. 

[1670?] 0 


In  œquatione  loci  ad  hyperbolam,  ii  neutra  indccerminatarum  linearum  in  feipfam 
diifta  inveniatur,  velue  fi  fit  xy  =  bb-^  vel  xy  =  cx.bb  ');(litcris.vet  vlineasindeter- 
minatas  AB,  BC  [Fig.  1 9]  fignificancibus,  quae  in  dato  angulo  fibi  mutub  fine  applicat^e, 


[Fig  19] 


■)  Nous  empruntons  cette  Pièce  aux  „Divers  ouvrages"  de  1693.  Lemanufcrit  de  Huygens  qui 
porte  la  date  du  30  Jan.  1669,  fait  partie  des  Cliarta;  matliematica:  (  f.  161  — 162).  Les  deux 
textes,  ainsi  que  les  figures,  s'accordent  parfaitement.  Nous  avons  dit  dans  TAvertissement 
(p.  207,  note  57)  qu'il  nous  parait  fort  vraisemblable  que  cette  Pièce  ait  été  présentée  à  l'Aca- 

35 


274  HUYGENS  X  l'aCADÉMIE  ROYALE  DES  SCIENCES. 

donné,  dont  l'une,  p.e.  AB,  eft  donnée  en  pofition,  tandis  que  le  point  A  de  cette 
droite  eft  également  donné  —  la  conllruftion  le  fait  aifément  par  la  recherche  des 
afvmptotes,  comme  FI.  de  Beaune  l'a  fait  voir  dans  fes  Notes  fur  la  Géométrie  de 
Dcfcartes  3).  Nous  ferons  voir  ici  que  lorfque  x'  et  y"  fe  trouvent  dans  l'équation, 
la  conllruétion  peut  néanmoins  être  etfeéluéc  au  moyen  des  afvmptotes,  et  que  ceci 
eft  plus  court  que  de  rechercher  le  diamètre  ainfi  que  le  latus  re&um  et  le  latus  tranf- 
verftini. 

Suppofons  l'équation  réduite  à  la  forme  3'  =  ±  /  ±  --  ±  1/ ±  '«^  ±  ox  +^—^- 

En  effet,  elle  peut  toujours  être  réduite  à  ces  termes,  de  forte  que  d'un  côté  de  l'équa- 
tion il  n'y  ait  rien  que  _v,  l'une  des  deux  lignes  indétcnninées,  ordonnée  par  rapport 
à  l'autre  qui  cfl:  donnée  en  pofition,  et  de  l'autre  côté  un  nombre  de  termes  qui  n'eft  pas 
fupérieur  à  celui  de  ceux  écrits  ici;  il  eft  vrai  que  fouvent  il  peut  y  en  avoir  moins,  puif- 

que  feule  la  préfence  de  +  *--^-  et  de  l'un  des  deux  autres,  m"^  ou  ox,  eft  néceffaire. 

L'angle  ABC  étant  donné,  il  faut  mener  par  le  point  A  la  ligne  XY  parallèle  à  la 
droite  BC  et  y  prendre  AI  égale  à  /,  du  côté  BC  s'il  y  a  +  /  dans  l'équation,  du  côté 
oppofé  s'il  y  a  —  /.  Il  faut  après  cela  mener  IK  parallèlement  à  AB.  Mais  s'il  n'y  a 
pas  de  /  du  tout,  la  droite  IK  doit  être  cenfée  coïncider  avec  AB. 

Enfuite  comme  2  eft  à  «,  rapport  donné,  ainfi  foit  la  longueur  arbitraire  IK  à  KL; 
laquelle  doit  être  menée  parallèlement  à  AI  de  telle  manière  que  les  points  K  et  L 

foient  fitués  dans  le  même  ordre  que  A  et  I  s'il  y  a  +  ^  dans  l'équation,  mais  inver- 

sèment  s'il  y  a ^.11  faut  enfuite  tirer  la  droite  IL;  mais  fi  —  fait  défaut,  IL  eft 

identique  à  IK. 


CONSTRUCTIO  LOCI  AD  HYPERBOLAM  PER  ASYMPTOTOS.  275 


quarumque  altéra,  uc  AB,  pofitione  data  intelligitur,  &  in  ea  datum  punftum  A)  con- 
flriidio  pcr  arymptotoriiiii  inventionem  facile  abfolvitur,  ut  oftenfum  elt  à  FI.  de 
Beaiinc  in  Nocis  ad  Gcomctriam  Cartcfii  3).  Ciim  vcr6  habctur  xx  vel  yy  in  sequa- 
tione,  vcl  utrumquc,  nihilominus  ad  alymptotos  rem  dcduci  poiTe,  &  quidem  breviiis 
quàm  ad  diametri  laterumque  reéti  &  tranfverll  inventionem,  oftendcmus  hoc  modo. 

Sit  lequatio  ejusmodi  reduéta,  y  =./.-—  .    1/    .  mm .  ox  +  — — *);  femperenim 

ad  hos  terminos  reduci  poteft,  nempe  ut  y  altéra  linearum  indcterminatarum,  qua; 
applicata  cft  ad  pofitione  ')  datam,  fola  ab  una  parte  squationis  habeatur,  ab  altéra 
ver6  non  plures  tcrmini  quàm  hic  inveniantur;  nam  (îepe  pauciores  etiam  effe  poffunt, 

cùm  foli  necelTarii  fint  +  f-^t—^  cum  alterutro  horum  mm  vel  ox. 

gg 
Quum  angulus  ABC  datus  fit,  ducatur  per  A  punftum  linea  XY  quîe  fit  reftîe  BC 

parallcla,  &  in  ca  accipiatur  AI  cequalis  /,  idquead  partes  BC,  fi  habeatur  +  l'm  xqua- 
tione,  in  contrarias  ver6  fi  habeatur  —  /,  &  agatur  IK  parallela  AB.  Si  ver6  non  ha- 
beatur omnino  /,  redta  IK  in  AB  inciderc  intelligenda  eit. 

Deinde  ficut  z  ad  /;,  qua^  efi:  ratio  data,  ita  fit  IK  ad  libitum  fi.impta,  ad  KL;  quje 
ipfi  AI  parallela  duccnda  efi:,  fiamendaque  hoc  pafto,  ut  pundta  KL  fita  fint  quo  ordine 

AI,  fi  habeatur  +  -^y  at  contra  fi  habeatur -■>  Sa  ducatur  refta  per  IL;  fi  ver6 

défit  — 5  eadem  eft  IL  &  IK. 


dtmie,quoiquecela  ne  foit  pas  dit  expressément.  Quant  à  la  date  de  la  présentation  qui  doit  être 
1 670  au  plus  tôt  et  1 674  au  plus  tard,  noussupposons  qu'elle  est  plutôt  1 670.  Le  Manuscrit  D  ren- 
ferme déjà  une  page  (p.  135),  où  Huygensdésigne  soncalcul  comme  bon  qui  contient  les  princi- 
paleséquationsdelaPièceIX,tandisquelesp.  136 — 138  contiennent,  outre  des  calculs  du  même 
genre,  une  Pièce,  plus  courte  que  celle  du  texte,  intitulée  „Construftio  loci  ad  hyperbolam". 


commençant  par  les  mots:  „Propositasquationehujusmodi,j  CO  /•— •  l /.mm.  ox  ■}■'—- 


XX 


—  voyez  la  note  suivante  —  quœ  relationem  denotet  inter  se  reftarum  indcterminatarum  xet 
y  seu  AB.BC..."  et  se  terminant  par  la  phrase  „Unde  jam  liyperbola  data  erit,  ac  describi 
poterit".  Or,  les  p.  118  et  145  du  Manuscrit  D  portent  respeftivement  les  dates  1669  et  i 
Febr.  1669. 

^)  Le  .  doit  désigner  ici  notre  signe  ±.  Il  en  est  évidemment  de  même  dans  l'équation  de  Huy- 
gens  du  Manuscrit  D  reproduite  dans  la  note  précédente. 

5)  Voyez  r  „Observatio  Quinta"  des  „Nota;  brèves"  de  Florimond  de  Beaune,  se  trouvant  dans 
le  recueil  de  1659  de  F.  v.  Schooten  („Geometria  à  Renato  des  Cartes  etc.") 

^)  Nous  avons  restitué  les  .  (désignant  ±,  comme  plus  haut),  là  où  le  copiste,  ou  l'imprimeur, 
les  avait  omis. 

5)  Dans  les  „Opera  Varia"  de  1724,  où  la  Pièce  est  reproduite  d'après  le  texte  de  1693,  on  a  im- 
primé par  erreur  „positionem". 


iy6  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

INIaintenant  comme/»  eft  à  g,  ainfi  foit  io  à  chacune  des  longueurs  IX  et  I Y  lefquclles 
il  faut  prendre  dans  la  droite  AI.  Ainfi  foit  auiïi  IX  à  IV  laquelle  il  faut  prendre  fur 
IK  du  côté  AB  s'il  y  a  —  o.\\  mais  du  côté  oppofc  s'il  y  a  +  o.x.  Et  foit  \"S]  parallèle 
à  AI  et  puiiïe-t-elle  couper  la  droite  IL  en  I\I.  Ce  point  M  fera  le  centre  de  l'hyper- 
bole cherchée;  et  les  droites  MX  et  M  Y  feront  les  afymptotes. 

Mais  s'il  n'y  a  pas  de  ox  dans  l'équation,  I  fera  le  centre  de  l'hyperbole.  Il  faut  alors 
prendre  des  longueurs  quelconques,  égales  entr'elles,  IX  et  lY,  et  après  que  les  points 
V  et  M  ont  été  trouvés  comme  précédemment,  on  peut  mener  par  I,  parallèlement  à 
elles,  les  afymptotes  MX  et  MY. 

On  trouvera enfuite,s'ily  a  +  ;;;"-,les points  S  et  R  par  lefqucls  doivent  paiïer  ou  bien 
l'hyperbole  ou  bien  les  ferions  oppofées  :  ils  feront  déteraiinés  en  prenant  fur  la  droite 
AI,à  partir  du  point  I,  IS  et  IR,  l'une  et  l'autre  égale  à  ?w.  Alors  l'hyperbole  fera  donnée  et 

pourra  être  tracée.  BC  y  fera  l'ordonnée  correfpondant  au  diamètre  lorfque  ^  >  /?;; 

maislorfque  ^-^  <  ?«,BCleraparallèleaudiamètrederhyperbolefurlaquellefetrouve 

le  point  C  comme  ici  dans  le  deuxième  cas  [Fig.  19 II].  Siparhafard  le  point  S  tombe 
en  X,  le  lieu  du  point  C  fera  donné  par  les  afymptotes  elles-mêmes.  Et  s'il  n'y  a  pas 
de  tenne  m",  I  fera  lui-même  un  point  de  l'hyperbole  cherchée. 

Mais  s'il  y  a  —  tir  dans  l'équation,  il  faut  placer  dans  l'angle  XMI  la  droite  GN 
parallèle  à  IX,  telle  que  GN=  =  IX-  +  IS%  ou  bien  telle  que  GX  =  IS  s'il  n'y  a 
pas  de  —  ox;  N  fera  alors  un  point  de  l'hyperbole  cherchée  qui  fera  donc  de  nouveau 
donnée. 

Prenant  dans  le  premier  cas  AB  =  .v,longueurarbitraire,etluiappliquant l'ordonnée 
BC  fous  un  angle  donné,  laquelle  fe  termine  à  l'hyperbole  conftruite,  il  faut  démontrer 

que  Y  =  /  —  —  -f  iXwr  —  ox  +  ^^• 

■  z       y  g' 

Démonftration.  PuilTe  BC,  prolongée  de  part  et  d'autre  s'il  en  eft  befoin,  ren- 
contrer  les  afymptotes  en  O  et  Q.  D'après  la  conftruftion  IX  ou  lY  =  ^-^  et  IV  = 

2-2^.  Or,  le  rapport  IK:  KL  eft  égal  à  2:  :  «.  Et  l'angle  IKL  eft  également  donné. 
Donc  auiïi  le  rapport  IK  :  IL  qui  foit  égal  \z:  a.  Par  conféquent,  comme  IK  :  IL  = 

IV  :  IM,  on  aura  EM  =  - — s_.    Or,  comme  IM  eft  à  IX,  c.à.d.  comme  - — ^  ell  à 

zp'-  zp'- 

^,  ou  bien  comme  ag  eft  à  pz,  ainfi  eft  ML,  ou  MI  —  IL,  c.  à.  d.  ^— -^ à 

p  zp-         z 

LO  ou  LO:  cette  dernière  fera  donc  ^-^  —  -t— .  Enfuite,  puifque  BK  =  /  et  LK  = 


CONSTRUCTIO  LOCI  AD  HYPERBOLAM  PER  ASYMITOTOS. 


277 


l'oiTo  ut/>  ad  g,  ira  lie  ^  0  ad  fingiilas  IX,  lY  fiiniendas  in  rcéta  AI;  atqiic  ita  qiio- 
qiic  IX  ad  IV  (iimcndam  in  IK  ad  partes  AIÎ  (i  habcatiir  —  ox,  aiit  in  contrarias  (î 
liabcatur  +  o.v;  &  fit  VM  parallela  AI,  occnrratqiic  rc✠ IL  in  M:  crit  jani  M 
ccntriim  hypcrbola-  qutulitx;  afyniptoti  \'cro,  rcda.'  pcr  MX,  MV  ducta\ 

Si  vcrb  non  habeatur  ox  in  œqiiatione,  erit  I  centrum  hyperbola;;  fiimptirquc  IX, 
lY  ad  libitum  fcd  intcr  fc  îequalibus,  invcntifquc  indc  punctis  V  &  i\I,  ut  antc,  duccn- 
tur  alymptoti  pcr  I  parallelx"  ipfis  MX,  MY. 

Jam  porro  fi  habeatur  +  ?;////,  punfta  S  &  II,  per  quas  hyperbola  vcl  oppofitx» 
(eftioncs  tranfire  dcbcnt,  invenicntur  fumendo  in  rcfta  AI  à  punfto  I,  fingulas  IS, 
III  x'quales  m:  unde  jam  hyperbola  data  erit  ac  delcribi  poterit,  in  qua  BC  erit  ordi- 

natim  applicata  ad  diametrum,  fi  ^-^  major  quàm  w;  fin  ver6  ^^minor  quàm  ;//,  crit 

RC  parallela  diametro  hypcrbolx'  ad  quam  efl  C  punftum,  ut  hîc  cafu  fecundo.  Quôd 
li  forte  punctum  S  incidat  in  X,  locus  punéli  C,  erunt  ipliv  alymptoti.  Si  verô  non 
habeatur  «;;«,  erit  ipfum  1  pundum  in  hyperbola  quœfita. 

At  fi  habeatur  —  w/w,  accommodanda  cil  intra  angulum  XMl  refta  GN  parallela 
IX,  qua;que  podit  quadrata  ab  IX  et  IS  '^),  vel  tantumipli  ISxqualis,  fi  non  habeatur 
ox;  eritque  punttum  N  in  hyperbola  quœfita,  quœ  proinde  rurlus  data  erit. 

Sumpta  enim  in  cafi.i  primo  AB  =  x  ad  arbitrium,  eique  applicata  BC  =  y  in 
angulo  dato,  qua;  ad  hyperbolam  inventara  terminetur,  oftendendum  fit  quôd 

,      nx  ,    1   X  ,  ppxx 

y  =  l (-  1/     mm  —  ox  +  ^^ — . 

z       y  gg 


DEMOiNSTRATIO. 

Occurrat  BC  utrinque  lî  opus  fit  produdta,  alymptotis  in  O  &  Q.  Ex  conllruftione 

eft  IX  vcl  lY  =  ^,  IV  =  ^TT^.  Ratio  vero  data  IK  ad  KL,  eadem  nempe  qua.-  z  ad 

«.  Sed  &  angulus  IKL  datus  ell.  Ergo  &  ratio  IK  ad  IL,  quîe  fit  ea  quse  z  ad  a.  Ergo 

quia  ut  IK  ad  IL  ita  IV  ad  IM,  erit  IM  =  Î^Mi.  Ut  autum  IM  ad  IX,  hoc  cil  ut 

5^^^  ad  ^,  five  ut  ag  adpz,  ita  ML,  live  MI  minus  IL,  hoc  eft  ^^^  —  —   ad 
zpp         />  '  ,  ^PP      .    ~ 

LO  vel  LQ;  quœ  itaque  erit  ^  —  ^ ,  Porro  quia  BK  =  /,  &  LK  =  —,  erit  BL 

PS  ^ 


")  Le  copifte  avait  écrit  par  erreur:  IX  vel  IS. 


178  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCE5. 

-^,  on  aura  Bl^  =  / —'^  et  en  retrancliant  cette  dernière  de  BC  —  y,  on  trouve 

LC  =  y  —  /  +  -"-.  Mais  d'après  une  propriété  de  l'hyperbole  le  rcftangle  QCO  fera 

égal  au  rectangle  YSX.  D'autre  part  le  rectangle  QCO  efl  égalàLO'  —  LC-,c.à.d. 

au  carre  de  -^ -^—diminue  du  carré  de  v  —  /  +  -^:  la  différence  de  ces  carrés  cft 

P         g  -2' 

^. ox  +  ^  -  y-  +  dy  -  /-  +  — -^  +  — — . 

F  h  ^  ^  ^ 

C'eft  donc  cette  expreflion  qui  eft  égale  au  rcftangle  YSX,  c.  à.  d.  à  IX*  —  IS'  ou 

3s_ ,it\  puifque  IX  =  -^-  et  IS  =  ni.  En  fupprimant  ^^r^  de  part  et  d'autre 

dans  cette  équation,  on  trouvera 

V  =  /  —  —  +  y  m-  —  ox  +  f~, 

ce  qu'il  fallait  obtenir. 

Dans  le  deuxième  cas  le  rectangle  QCO  efl  égal  à  LC^  —  L0%  et  le  rectangle  YSX 
à  IS=^ — IX-.  D'où  l'on  calcule  la  même  valeur  pour  t  que  dans  le  premier  cas. 

Mais  le  troifième  cas  efl;  celui  où  l'on  a  —  w;%  l'équation  étant 

y  =  l~  —  +  y/—  m-  +  ox  ■\-'^--r- 

Puiffe  GN  prolongée  rencontrer  l'autre  afymptote  en  D.  Ici  il  apparaîtra  de  la  même 

manière  que  plus  haut,  que  LO  ou  LQ  efl:  égale  à  -'s-  +  —  et  LC  =  v  +  ^^^ /. 

Et  d'après  une  propriété  de  l'hyperbole  on  aura  :  reétangle  QCO  =  reàtangle  DNG 

ou  NG%  c.  à.d.  ^^; — \-  «;%  puisque  XI  =  ^  et  IS  =  w,  à  la  fomme  des  carrés 
p-  p 

dcfquelles  nous  avons  rendu  égal  le  carré  GN=  par  conftruction.  Or,  le  redangle  QCO 

efl:  égal  à  LO-  —  LC-,  c.  à.  d.  à 

p  g  K.  ^ 

La-Q-  Icro- 

Cette  exprefllon  efl  donc  égale  à  ■^'^      +  m\  En  fupprimant  ^^r-  de  part  et  d'autre 
dans  cette  équation  on  obtient 


.V  =  ^  —  Y  +  y—  w-  +  ox  + 


p'x'' 


z        r  g' 


Et  la  marche  de  la  démonflration  efl  la  même  dans  le  quatrième  cas  et  dans  tous 
les  autres,  en  tenant  toujours  compte  des  lignes  +  et  — . 


fJX 


S'il  n'y  a  pas  de  -^  dans  l'équation,  les  points  M  et  V  coïncident.  Si  dans  ce  cas  p 


CONSTRUCTIO  LOCI  AD  HYPERBOLAM  PER  ASYMPTOTOS.  279 


=  / ^-^  qiià  ablacà  à  liC  =  y\  fit  \,C  =  y  —  /  +  ---.  Propter  hypcrbolam  vcr5 

erit  redangulum  QCO  a^qualc  rcdlangulo  YSX.  Sed  redtangiilum  QCO  squale  cil 
quadrato  LO  minus  quadrato  LC,  hoc  cil  quadrato,ab  ^^ -^  minus  quadrato  ab 

-V  —  /  H — ^;  quorum  quadratorum  ditferentia  eft  ï^^ —  —  ox  +  ^— yv  +  2/v 

~  pp  gs  ■ 

,,  ,   2nxy  ,   2///.V      nnxx  ,;.        ,  xi        1    \rcv  u       /i 
—  /*  H ^  H ; ;;:7-.  l^rgo  hîec  a*quacur  recrangiilo  YSa,  hoc  c(t  qua- 
drato IX  minus  quadrato  IS,  hoc  cft  ^^^ ww:  quia  IX  =  ^^  &  IS  =  w.  In  qua 

PP  P 

i  1  k^goo  .        .  1       fx  ,   1  /^  ,  Ppxx 

x-quatione  dclcto  utrinquc  +*^^ — ,  mvenictur  v  =  / \-  1/  mtn  —  ox  +^-^ — , 

PP  '  z        V  gg  ' 

ut  oportebac. 

In  fccundo  cafu  reftangulum  QCO  xquatur  quadrato  LC  minus  quadrato  LO;  &. 
redangulum  YSX  quadrato  IS  minus  quadrato  IX.  Unde  rurfus  valorv  idem  qui  calii 
primo  invenietur. 

Sit  tertius  cafus  quo  habeatur  —  mm,  litquc  xquatio 


y'-'^  +  V- 


,  ppxx 

mm  +  ox  +  ^^ — , 

gg 


produfta  GN  occurrat  alteri  asymptoto  in  D.  Hic  jameademrationequaprius,appa- 
rebit  LO  vel  LQ  eïïe  ~^  +  *—,  &  LC  =  y  +  -^ /.  Et  propter  hypcrbolam  erit 

reftangulum  QCO  =  reftangulo  DNG  feu  quadrato  NG,  hoc  eft  ^^ h  mm,  quia 

XI  =  ^,  &  IS  =  w,  quorum  quadratis  œquale  fecimus  quadratum  GN.  Reftangu- 

lum  autem  QCO  a^quatur  quadrato  LO  minus  quadrato  LC,  hoc  eft  ^^ — f-  ox  + 

ppxx                inxy       nnxx    ,      ,     ,   inlx       ,,  ^       .  ,    îiîffco  , 
yy r^^ ~ — I"  -v  H ^^ "  •  Lrgo  hoc  squale  ±^t — h  ww. 

I  ■  J  1  •  \ggoo   . 

In  qua  squatione  deleto  utnnque  *^^ — ^  mvenitur 


=  / ^  +  1/     —  mm  +  ox  + 


ppxx 


Eademquc  eft  demonftrandi  ratio  in  casu  quarto,  &  aliis  quibufvis,  habita  ratione 
fignorum  +  &  — . 

Cura  non  habetur  —  in  squatione,  punéta  M  &  V  unum  lunt,  tune  ver6  i\p  =  g. 


aSo  HUYGENs  X  l'académie  royale  des  sciences. 


=  5^,  c.  h.  d.  fi  Ton  a  .v'  au  lieu  de  ■^— r-,  les  afymptotes  feront  toujours  à  angles  droits, 

t. 
puifquc  nous  a\'ons  fait  que  comme  p  ell  à  ^,  ainfi  cil  ^o  à  IX  et  à  lY,  et  aufiî  IX  h 
I\';  ici  on  aura  donc  IX  =  lY  =  IV  =  \o^  de  forte  que  le  point  V  le  trouve  fur  une 
demie  circonférence  de  cercle  conllruite  fur  XY  et  que  l'angle  XVY  efl:  donc  droit. 

Il  paraît  en  outre,  puifque  IM  =  '^  f  ,  que  lorfque  ag  =  zp,  c. h.d.  g:p  =  z:a, on 

aura  IM  =  ^^:  cette  longueur  fera  donc  égale  à  IX  et  lY  qui  avaient  auffi  la  valeur 

^-^.  Par  conféquent  dans  ce  cas  les  afymptotes  feront  à  angles  droits,  puifque  cette 
fois  le  point  M  fe  trouvera  fur  une  circonférence  de  cercle  décrite  fur  X  Y  du  centre  I. 


CONSTRUCTIO  LOCI  AD  HYPERBOLAM  PER  ASVMPTOTOS. 


281 


hoc  eft  fi  habeatur  +  xx  pro^^^,  erunt  fcinpcr  afymptoti  fibi  mutub  ad  angulos 

redos,  quia  ut/)  ad  g,  ita  Iccimus  4o  ad  IX  &  ad  lY,  &  ita  IX  ad  IV;  fiunt  enim  jam 
œquales  IX,  lY,  I\^  &  fingulas  =  io,  unde  pundhim  V  ell  in  fcmicirculo  fupcr  XY  & 

proinde  angulus  XV Y  reftiis.  Item  quia  IM  =  ^f^,  patet  quod  fi  <7g  =  2/),  hoc  eft 

zpp 

[Fig.  19]. 


—  0  0" 

fi  g  ad/)  ut ,::  ad  a,  tune  erit  IM  =  ^-^,  ae  proinde  œqualis  ipfi  IX  &  lY  quîe  etiam 

erant  ^.  Adeoque  hoc  casu  erunt  afymptoti  fibi  mutuo  ad  angulos  redos;  cum 
rurfijs  punftum  M  fit  futurum  in  circumferentia  circuli  defcripti  fuper  XY  centre  I. 


36 


X. 

SUR  LES  LIEUX  PLANS  D'APOLLONIOS. 
1678. 


Regiftres,  T.  VII,  f.  196  v  et  f.  251  v.  Samcdy  13'  d'Aourt  [1678]  M^  Hugens  a  donné  une 
demonftration  des  lieux  plans  d'Apollonius,  et  de  tous  ceux  ou  le  lieu  du  point  que  l'on  cherche 
eft  une  circonférence  de  cercle  dont  fuit  la  coppie. 

Conflru&ion  des  lieux  plans  d' Apollonius,  et  de  tous  ceux  où  le  lieu  dupoitit  que  F  on 
cherche  efî  une  Circonférence  de  cercle. 

A  [Fig.  20]  ertant  un  point  donné 


[Fig.  20]. 


dans  la  ligne  AB  donnée  de  polition; 
et  le  point  que  l'on  cherche  pour  la 
folution  du  problème  D.  Duquel  foit 
menée  fur  AB  la  perpendiculaire  DC. 
Si  Tindeterminec  longueur  AC  efl  ap- 
pellée  .r  et  CD  aulTy  indéterminée  y, 
et  que  l'on  trouue  une  équation  ')  dans 
laquelle  d'un  cofté  il  y  ait  yy  feul  et 
panny  les  termes  de  l'autre  cofté  — .v.v 
fans  qu'il  y  ait  xv,  coimiie  fi  de  l'autre 
codé  il  y  a  by .  ce .  ax  —  xx  (eilant  a, 
b,  c  des  lignes  données)  ou  feulement 
—  XX  avec  un  ou  deux  des  trois  autres 
termes.  Alors  le  lieu  du  point  D  fera 
toufjours  une  circonférence  de  cercle 
duquel  on  trouvera  le  centre,  et  le  dia- 
mètre de  cette  façon. 


")  Dans  l'équation  qui  suit  le  .  équivaut  apparemment  à  notre  signe  ±  (comme  dans  la  Pièce  IX 
qui  précède).  Il  en  est  de  même  dans  les  équations  suivantes.  Le  signe  S.  (vers  la  fin  de  la 
Pièce)  a  la  même  signification.  Nous  avons  dû  apporter  plusieurs  petites  corrections  aux  équa- 
tions, le  copiste  ayant  omis  le  .  ou  écrit  x  au  lieu  de  OO  etc. 
Comparez  sur  le  .  la  p.  230  du  T.  XIV. 


SUR  LES  LIEUX  PLANS  d'aPOLLONIOS.  283 

Si  le  tenue  by  fe  trouve  l'on  réduira  premièrement  l'cquation  a  la  manière  accou- 
tumée, ctTonauraj»  zc^Ly^ Ibb.cc.ax — xx.  mais  fi  le  terme ^3? n'y  eftoit  point 

on  auroit  fans  rcduflion^?  do.  \X cc.ax — xx  enfi.iitte  fi  le  terme  ax  Çq  trouue  on 
adjoutcra  aux  termes  de  ax  —  xx  un  autre  terme  en  forte  que  le  compofé  des  trois 
faiïc  un  quarré  lequel  autre  terme  fera  necefiairement  —  ^aa  foit  qu'il  y  ait  -j-  ax 
ou  —  ax.  mais  affin  de  confcrver  l'égalité  aux  deux  coftés  de  l'équation  on  adjoutera 
+  \aa  aux  termes  de  ^bb .  ce  de  forte  qu'il  y  aura 

yzo.^b.\X  \bb.cc  +  ^aa  —  ^aa.ax — xx 

ou  il  paroift  que  —  ^aa .  ax  —  xx  eft  un  quarré  fouflrait  des  quantités  connues  ayant 
la  racine  ^a .  x. 

Que  fi  au  lieu  de  ^bb .  ce  +  ^aa  l'on  efcrit  pp  l'on  aura 

yzo.^b.  \y pp  —  \aa.ax  —  xx 
et  la  confliruftion  fera  comme  s'enfuit. 

Du  point  A  dans  la  ligne  AC  l'on  prendra  AEefgale  a  \a  fçavoir  vers  le  mcfine 
cofté  ou  l'on  a  fuppofé  AC  fi  dans  l'équation  il  y  a  +  ^x,  mais  du  collé  contraire  s'il 
y  a  —  ax. 

Enfuitte  du  point  E  on  mènera  EF  perpendiculaire  fur  AB  et  efgale  a  \b.,  et  cela 
du  collé  ou  l'on  a  fuppofé  la  perpendiculaire  CD  s'il  y  a  +  è^,  ou  du  contraire  s'il  y 
a  —  ^b\  et  fi  \h  ne  s'y  trouve  point  le  point  F  iera  le  mefme  que  E.  Ce  point  F  fera 
le  centre  de  la  circonférence  dans  laquelle  le  point  D  que  l'on  cherche  fe  trouue  par- 
tout, et  le  demy  diamètre  fe  doit  prendre  égal  à  la  ligne/). 

Que  fi  dans  l'cquation  donnée  du  commencement  le  terme  ax  ne  fe  fut  point  trouue, 
l'efTcdion  du  quarré  en  adjoutant  \aa  n'eufl  point  eu  lieu,  et  l'équation  reduitte 

auroit  elle  3?  do  ii^  .  V  pp  —  xx  et  alors  le  point  C  eft  le  mefme  que  A. 

La  demonflration  de  la  conftruftion  efl:  facile  car  fi  par  exemple  l'équation  eft 
y  zo  ^r\b.\/ pp  —  \aa-\-ax  —  xx  et  que  l'on  ait  trouvé  la  circonférence  DG 
fuivant  ce  qui  vient  d'eftre  dit;  en  prenant  dans  elle  quelque  point  D  d'où  l'on  tire 
DC  perpendiculaire  ilir  AB,  et  DH  perpendiculaire  fur  FE,  alors  EC  ou  DH  fera 
X  —  \a  ou  i«  —  X  et  FH  iZ»  — y  owy  —  ^^  et  les  quarrés  de  FH  et  HD  enfemble 
\bb  —  by  -\-yy-\-  xx  —  ax  +  \aa  égaux  au  quarré  de  FD  oo  pp  et  par  confequent 
yy  zo  pp  -{■  by  —  ^bb  —  ^aa  -f-  ax  —  xx., 

laquelle  équation  eftant  reduitte  vient  y  O)  ^b .  V^ pp  —  \aa  +  ax  —  xx  qui  eft 
la  mefme  qui  a  efté  donnée.  Et  dans  tous  les  autres  cas  la  demonftration  eft  la  mefme, 
ou  plus  facile  quand  quelques  termes  manquent  dans  l'équation,  feulement  les  lignes 
+  et  —  fe  changent  en  différentes  manières. 

D'icy  l'on  peut  tirer  la  règle  générale  pour  ces  conftruftions  fçavoir  quand  l'équa- 
tion reduitte  eft  3»  oo  i^ .  v"  qq  •  ax  —  xx  fans  auoir  la  peine  de  former  le  quarré  auec 


284  HUYGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 

.ax  —  .r.r,  il  faut  feulement  trouver  les  points  C  et  F.  comme  a  efté  dit  en  prenant 
AE  co  ^a  et  EF  oo  ^i,  et  le  demi  diamètre  FD  fera  égal  ^qtj  +  ^aa. 

Cette  Règle  comprend  toutes  les  équations  par  les  quelles  le  lieu  du  point  qu'on 
cherche  eft  une  circonférence  d'un  cercle  hormis  une  dont  parle  Defcartes,  dans 
laquelle  aam  eft  égal  ^ipzz,  ou  le  lieu  en  un  certain  cas  peut  eftrc  une  circonférence 
de  cercle  mais  ce  cas  eft  tout  a  fait  iingulier  "). 


')  Il  s'agit  ici  du  problème  de  Pappos  difciitc  par  Descartes  dans  le  premier  et  dans  le  second  livre 
de  „La  Géométrie".  A  propos  du  lieu  géométriciue  cherché  Descartes  dit,  dans  le  second  livre, 
que  „c'est  [parfois]  une  ellipse,  excepté  seulement  si  la  quantité  ûam  est  égale  à  pzz  et  que 
l'angle  ILC  soit  droit,  auquel  cas  on  a  un  cercle  au  lieu  d'une  ellipse".  L'endroit  se  trouve  à 
la  p.  29  de  l'édition  de  F.  v.  Schooten  de  1683,  et  les  p.  188 — 189  contiennent  le  commentaire 
de  V.  Schooten  sur  ce  cas  particulier. 

Dans  la  Pièce  originale,  telle  qu'elle  se  trouve  au  Manuscrit  E  (p.  130 — 131),  cette  remarque 
finale  fait  défaut.  A-t-elIe  été  ajoutée  à  la  suite  d'une  discussion  à  l'Académie? 


XL 

RECTIFICATION  ET  QUADRATURE  DE  L'ÉPICYCLOÏDE. 

1678— 1679. 


Regiftres,  T.  VII,  f  22,-v:  Le  Samedy  3'  de  Décembre  1678  la  Compagnie eftantanemblée  M'. 
Iliiguens  a  leu  les  demonftratioiis  de  la  mefuredes  lignes  epicycloides  qu'il  donnera  au  premier  jour 
pour  mettre  dans  les  Regiftres. 

T.  VII,  f.  233V:  Le  Samedy  7'  dejanuier  1679  M'.  Huguens  a  continué  lademonftratioiideia 
mefure  des  epicycloides. 

Cette  Pièce  qui  (malgré  la  f.  227V  du  T.  VII)  ne  fe  trouve  pas  dans  les  Regiftres,  mais  dont  nous 
poITédons  le  manufcrit,  a  déjà  été  publiée  par  nous  §§  2  et  3  del'Appendice  III  à  la  Troifième  Partie 
lie  r„Horologium  ofcillatorium"  dans  le  T.  XVIII  (p.  400  et  fuiv.);  Iluygens  y  indique,  confor- 
mément aux  Regiftres,  qu'elle  a  été  lue  par  lui  à  l'Académie  le  3  décembre  1678. 


XII. 

SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES. 
1680. 


Regiftres,  T.  IX,  f.  17:  LeSamedy  2'  de  Mars  1680...  M'.  Hugens  a  aufïïpropofé  une  méthode 
pour  trouuer  les  équations  fotides. 

Nous  ne  pcffedons  pas  le  texte  de  cette  communication.  C'efl  pourquoi  nous  reproduifons  ici 
les  p.  227 — 228  du  Manufcrit  E  (les  p.  221  et  232  portent  refp.  les  dates  du  1 1  janvier  et  du  22 
mars  1680)  qui  en  contiennent  fans  doute  la  fubftance  ou  plutôt  le  début. 

Méthode  pour  con/îruire  les  équatiom  cubiques  et  quarréquarrées 
en  les  refolvant  en  deux  lieux. 

§  I .  Je  comiiienceray  par  le  problème  des  a  moienes  entre  deux  lignes  données. 
Soient  ces  lignes  a&tb\  l'une  des  moienes,  qui  fuit  après  tf,foit.r;doncrautrcmoiene 

eft  —,  et  le  reftangle  de  ces  1  fçavoir  —  efl:  égal  a  ^ ^.  Et  x^  oo  aab.  Je  divife  de  coftè 
et  d'autre  par  x.  Vient  xx  oo .  J'égale  enluite  chaque  coflè,  à  un  reftangle  bv^ 

fuppofant  V  inconnue.  J'ay  donc  bv  oo  xxtt co  bv  ou  aa  00  xv.  l'un  eflant  un 

lieu  a  une  parabole  dont  le  coftè  droit  eft  b.  l'autre  une  hyperbole  aux  afymptotes  de 
laquelle  le  reftangle  eft  égal  à  aa.  Je  fuppofc  que  l'inconnue  .r  foit  perpendiculaire 
fur  l'inconnue  f,  que  je  prens  dans  la  droite  AE  depuis  le  point  A. 

Soit  AD  [Fig.  21]  une  parabole 
dont  le  fommet  eft  A,  Taxe  AF2.  le 
cofté  droit  AB  égal  à  b.  Soit  aulli 
aux  afymptotes  AE,  AC  que  je  fup- 
pofe  faire  un  angle  droit,  l'hyper- 
bole DF,  dont  le  reftangle  foit  égal 
à  aa.  Et  qu'elle  coupe  la  parabole 
en  D  d'où  foit  menée  DE  perpen- 
diculaire fur  AE.  Je  dis  que  DE  eft 
.r,  fcavoir  l'une  des  moienes  qui  fuit 
a.  Car  il  paroit  [que]  xx  30  bv  a 
caufe  de  la  parabole.  Et  que  vx  co 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES. 


287 


aa  a  caiiCc  de  riiypcrbole,  ou  bvx  ao  aah^  ou  hv  00  - — .  Mais  xx  elloit  aulTi  cgal  à 
bv.  donc  XV  00 .  Et  .r'  do  aab. 

X 

§  2.  Soit  derechef  x3  00  aab.  va  x  xx  parabole  dont  le  paramètre  efl  a.  —  co  va. 

ab  X  XV.  hyperbole  dont  le  reftangle  eft  ab. 

§  3.  Cette  méthode  confifte  a  partager  l'équation  donnée  en  deux,  et  par  ce  moyen 
la  réduire  a  deux  lieux  dont  l'interlcftion  faiïe  connoillre  la  racine  que  l'on  cherche. 
Par  ou  l'on  trouve  les  conllruétions  les  plus  (Impies. 

Nous  omettons  le  reftc  où  Iluygens  répète  encore  une  fois  la  conftruftion  du  §  i. 

Huygens  n'ignore  point  —  comparez  la  p.  223  du  T.  XII  —  que  cette  méthode  n'eft  autre  que 
celle  de  Ménœchme;  à  la  p.  235  du  même  Manufcrit  on  trouve  ce  qui  fuit: 


x'-  00  aabx. 


')V  DO 


aa 


bxosvv 


V  00 


XX 

a 


deux  paraboles  de  Menechme  [Fig.  22]. 


<7t;oo  XX 


[Fig.  22] 


Ici  V  eft  précifément  la  deuxième  moyenne  propor- 
tionnelle: on  ia:x  =  x:v  =  v:b.  Il  en  eft  de  même 
dans  le  §  2  lequel  donne  une  deuxième  conllrudion  de 
Ménœchme  rapportée,  comme  la  première,  par  Euto- 
kios. 

Huygens  n'eft  plus  ou  moins  original  que  dans  Ie§  i 
où  V  ne  défigne  pas  la  deuxième  moyenne  propor- 
tionnelle. 

Dans  la  fuite  de  l'on  difcours  à  l'Académie  Huygens 
a  fans  doute  donné  d'autres  exemples.  En  effet,  à  la  p. 
227 du  Manufcrit  E  il  écrit  en  marge:  Cette  méthode 
eft  dans  le  livre  D  [antérieur  à  1680],  pratiquée 
fans  explication  dans  quelques  exemples,  comme 
des  2  moyenes  proportionelles  et  de  la  perpen- 
diculaire a  une  hyperbole  d'un  point  donné.  Voyez, aux  p.  334 — 360  qui  fuivent,  l'Appen- 
dice de  1682,  tiré  du  Manufcrit  1 1;  et  consultez  surtout  les  notes  4  et  5  de  la  p.  335  sur  les  relati 
ons  de  Huygens  avec  de  la  Hire.  Dans  la  f.  66  des  Chartxmathematica;,  qui  traite  aufli  des  normales 
abaiifées  d'un  point  donné  fur  une  conique,  Huygens  renvoie  également  au  Manuscrit  D.  Nous 
n'y  trouvons  cependant  pas  l'endroit  dont  il  entend  parler.  Il  s'agit  peut-être  d'un  feuillet  enlevé. 


XIII. 

THÉORÈME  SUR  LES  POINTS  D'INTERSECTION  DES  CONIQUES 
DONT  LES  AXES  SONT  PARALLÈLES  OU  A  ANGLES  DROITS. 

Le  tliéorcme  principal  ei\  précédé  par  deux  autres  propofitions  qu'on  peut 
conlidérer  comme  des  lemmes. 

1680'). 

Regiftrcs,T.  IX,  f.  32:  LeSamedy  23  de  Mars  1680...  M^  Hugens  a  donné  le  théorème  fui  vaut 
touchant  les  feclions  coniques. 

(Le  brouillon  du  Manuscrit  E  —  voyez  l'Appendice  —  porte  la  date  du  22  mars  1680.) 

Théorème.  Si  une  feftion  conique  coupe  une  autre  fection  conique  en  4.  points, 
et  que  leurs  axes  ibient  parallèles  ou  a  angles  droits  l'un  a  l'autre  ces  quatre  points 
feront  dans  la  circonférence  d'un  cercle.  Les  hyperboles  oppofees  font  comptées  pour 
une  fection. 

D'où  fenfuit  que  fi  une  feétion  conique  coupe  une  parabole  en  4  points  ayant  leur 
axes  parallèles  ou  a  angles  droits  l'un  a  l'autre,  la  fomme  des  perpendiculaires,  qui 
tombent  des  points  d'interfedion  fur  l'axe  de  la  parabole  d'un,  et  d'autre  collé  feront 
égales,  ou  l'une  perpendiculaire  d'un  cofté  aux  trois  de  l'autre. 

Regillres,  T.  IX,  f.  33 — 35:  Le  Samedy  30"  de  Mars  [1680]  M'  Hugens  a  donné  la  demon- 
rtration  du  Théorème  qu'il  auoit  propofé  des  feftions  coniques  qui  fe  coupent  en  4.  points  dont 
fuit  la  copie. 

I  '"  Propofition. 

Si  une  parabole  efl:  coupée  par  une  fection  conique  en  4  points,  et  que  leur  axes 
foient  parallèles  ou  a  angles  droits  l'un  a  l'autre  les  perpendiculaires  menées  des  4 
points  d'interfecHon  fur  l'axe  de  la  parabole  d'un  coflé  et  d'autre,  auront  leurs  fouî- 
mes égales,  ou  l'un  d'un  cofté  fera  efgale  aux  trois  de  l'autre  cofté. 

Cccy  fe  démontre  facilement  par  Algèbre,  parce  qu'en  mettant  pour  inconnue 
l'une  de  ces  perpendiculaires,  il  paroit  qu'on  parvient  ncccnairement  a  une  équation 
quarréquarrée,oumanquelefecond  terme  fçauoir  celuy  qui  eft  affefté  fous  le  cube,  d'où 
l'on  fçait  que  les  valeurs  affirmées  de  cette  inconnue  font  enfemble  égales  aux  valeurs 
ncgatiues  de  la  mefme,  c'eft  a  dire  les  perpendiculaires  d'un  cofté  enfemble  égales  a 
celles  de  l'autre  cofté,  ou  l'une  aux  trois  '). 


i)  Comparez  la  note  5  de  la  p.  284  du  T.  VIII. 

Voyez  sur  la  publication  de  la  Pièce  XIII  par  F.  Schuh  en  1921  le  début  de  la  partie  B  de 

l'Appendice. 
')  La  parabole  étant  représentée  par  l'équation  y-  =  2/>.v,  l'ellipse  ou  hyperbole  ayant  un  de  ses 


THÉORÈME  SUR  LES  POINTS  d'iNTERSECTION  DES  CONIQUES. 


289 


2'  Propofition, 

Par  trois  points  donnez  qui  ne  foient  pas  en  une  ligne  droite,  l'on  peut  décrire  une 
parabole  dont  Taxe  foie  parallèle  a  une  ligne  donnée,  pourveu  que  les  points  foient 
donnez  en  ibrce,  que  des  parallèles  qu'on  mènera  de  chacun  a  la  ligne  donnée,  il  n'y 
en  ait  point  de  coïncidentes. 

Ce  problème  le  conllruit  aifement  par  la  conuerle  de  la  49'  du  i.  Livre  des 
Coniques  ^). 

2'  Propofition. 

Si  deux  fedlions  coniques  fe 
coupent  en  4  points,  et  que 
leurs  axes  foient  parallèles  ou 
a  angles  droits  l'un  a  l'autre, 
les4  points  d'interfeftionfont 
dans  la  circonférence  d'un 
cercle. 

Les  hyperboles  oppofees 
"  font  comptées  pour  une  fec- 
tion. 

Soient  deux  ferions  coni- 
ques [Fig.  23]  dont  les  axes 
EF,  GH  foient  parallèles  ou 
a  angles  droits  et  les  4.  points 
de  leur  intcrfeélion  A,  B,  C, 
D,  je  dis  qu'ils  font  dans  la 
circonférence  d'un  cercle. 


axes  parallèle  à  celui  delà  parabole  s'écrira  (nous  nous  servons  d'équations  de  formes  modernes) 

(x xV      (y y  ')' 

2^^ — 1"^ — /  2        =  '•  En  éliminant  .r,  on  trouve  en  effet  une  équation  du  4'*""  degré 

en  y  où  manque  le  terme  en  t^.  Il  en  résulte  que  la  somme  algébrique  des  quatre  valeurs  d'jr 
qui  satisfont  à  cette  équation  efl  nulle;  or,  ce  sont  là  les  quatre  perpendiculaires  des  points 
d'intersection  des  deux  coniques  sur  l'axe  de  la  parabole.  Il  en  est  de  même  lorsque  la  deuxième 
conique  est  une  parabole  dont  l'axe  est  parallèle  à  celui  des  _v. 
3)  Apollonios,  Conica  I,  prop.  49  (d'après  le  texte  latin  de  l'édition  de  I.  L.  Heiberg,  Lipsia;, 
Teubner,  1891):  „Si  reftaparabolamcontingenscum  diametroconcurrit,perconta(ftumautem 
reéta  diametro  parallela  ducitur,  a  uertice  autem  recta  ordinate  ducta;  parallela,  et  fit,  ut  pars 
contingentis  inter  ordinate  dudam  punetumque  contactus  posita  ad  partem  parallela;  inter 
punftum  contaftus  et  ordinate  duttam  posiiam,  ita  rec'ta  aliqua  ad  duplam  contingentis,  qu:e- 
cunque  recta  a  sectione  [contingenti  parallela]  ad  rectam  per  punctum  contactus  diametro 


spo 


HL'YGENS  X  l'académie  ROYALE  DES  SCIENCES. 


DEMONSTRATION. 

Il  y  aura  tousjours  necelTairemenc  3.  de  ces  points  fituez  en  forte  qu'on  puilTc 
décrire  une  parabole  par  les  trois,  de  laquelle  l'axe  foit  parallèle  a  l'axe  de  l'une  des 
fettions  coniques  données;  ou  bien  les  quatre  points  conllitueront  un  reètangle,  et 
ainfi  ils  feront  manifeftement  dans  la  circonférence  d'un  cercle.  Soient  les  trois  points 
A,  B,  C  [Fig.  23  bis]  et  la  parabole  décrite  CAB  laquelle  coupera  neceffaircment 
chacune  des  ferions  données  dans  un  quatrième  point,  et  je  dis  que  ce  point  fera  D, 
ou  ces  deux  feftions  fe  coupent  entr'elles. 

Car  puifque  la  parabole  coupe  la  fcétion  GH,  les  perpendiculaires  menées  des  points 
A,  B,  C  et  du  4'-'  point  d'interfeftion  fur  l'axe  de  la  parabole  auront  leurs  fomraes 
égales  de  part  et  d'autre  par  la  i."  propofition.  Et  puifque  la  mefme  parabole  coupe 
la  fcétion  EF  les  mefmes  perpendiculaires  des  points  A,  B,  C  fur  l'axe  de  la  parabole, 
et  celle  du  4'  point  d'interfcdion  auront  encore  leurs  fommes  de  part  et  d'autre  égales, 
donc  cette  4"  perpendiculaire  efl:  necclfairement  la  mefme  pour  l'interfedion  de  la 
parabole  auec  les  deux  iections  GH  et  EF  puifqu'il  n'y  a  pas  deux  appliquées  de  mefme 

longueurs  fur  l'axe  de  la  parabole,  et 


[Fig.  23  bis] 


/ 

'\ 

t 

\ 

/ 

\ 

/ 

\ 

1 
• 

\B/ 

/ 

\^'/^~-^ 

V                       .        '  ^ 

X              '    ^  ^ 

^  *         ^  *       ^*"*'***^ 

\aJ;/^ 

•^-^ 

'                       \ 

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\                          \ 
1                            « 
1                              \ 

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1                                 t 

• 

1                                  » 

'^ 

1                                  ' 

'/ 

vk''    ^ 

1                              # 

r       1    \ 

N.      *           ' 

»         ^  Nv 

x     *            '       > 

1             ^\. 

\'  D   '    >/ 

s  \^ 

\'      ^  ^.ff^ 

X 

\ 

du  mefme  cofté,  donc  les  points  d'in- 
terfeétion  de  la  parabole  auec  les  deux 
feftions  coniques  outre  les  interfedtions 
A,  B,  C  conuicnnent  en  un  et  par  con- 
fequent  ce  point  ell  D  ou  les  deux 
feftions  s'entrecouppent. 

Mais  un  cercle  partant  par  les  points 
A,  B,  C  [Fig.  23  bis]  doit  auili  couper 
la  parabole  en  un  4'  point  en  forte  que 
les  appliquées  de  ce  point  et  des  points 
A,  B,  C  fur  l'axe  de  la  parabole  aient 
leurs  fommes  égales  de  part  et  d'autre, 
donc  ce  4'  point  ell  encore  le  meline 
ou  la  parabole  coupoit  les  deux  feftions 
fçauoir  le  point  D  et  ainfi  il  paroit  que 
les  4  points  A,  B,  C,  D  font  dans  la 
circonférence  d'un  cercle. 


parallclam  duflam  ducitur,quadrata£equalis est  reâangulocompreliensore<5laadsumpta reclaque 
ab  i!la  ad  punftura  comaftus  abscisa".  La  „recta  adsumpta"  est  le  double  paramétre  2/)  'de  l'équa- 
tion\'^  =  2/)'.v'dc  la  parabole  par  rapport  à  des  axes  obliques  conjugues  (diamètre  et  tangente). 
On  peut  en  effet  déduire  du  théorème  énoncé  que  lorsque  la  direction  du  diamètre  et  trois  points 
de  la  parabole  sont  donnés,  celle-ci  est  déterminée;  la  construction  du  paramètre  peut  être 
effectuée. 


APPENDICE  I') 

À  LA  PIÈCE  I  DE  LA  P.  225 
(RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  1666  OU  1667). 

[l(56l?] 


[Fig.24] 


Li 


§  I.    Data  miiltitiidine  proportionalium,  minore  tcrmino  ce  rationc 
proportionis,  invcnirc  proportionalium  fummam. 

Sint  proportionales  continué  [Fig.  24] -)«  iî»  —  —  — quarummi- 

nor  terminus  a.  Ratio  proportionis  a  ad  h.  Qujeritur  fumma  diftarum 
proportionalium  3). 


a 


a  -^  X     I    X    piet  ut  ^  —  a  zàak^  a  ad 


aa 


Tune 


X  03 


aa 


b  —  a 

crunt  continue  proportionales,  et  in  pro- 
portione  a  ad  ^,  iftse 


')  Manuscrit  14,  f.  146!  suiv.  Les  feuilles  antérieures  du  Manuscrit  contiennent  d'abord  quelques 
dessins  de  1658  (voyez  celui  d'oélobre  1658  en  tête  du  présent  Tome),  ensuite  quatre 
pages„deniotu  corporum  réflexe  sive  de  Percussione  Hypothèses" (voyez  les  p.  52 — 53  du  T. 
VII)  et  quatre  pages  de  calculs  sur  les  normales  à  la  parabole  etc.;  c'est  tout.  Après  les  calculs 
sur  les  capitaux  et  les  intérêts,  le  Manuscrit  contient  six  pages  sur  le  cours  du  Rhin  etc.;  ce  sont 
des  extraits  de  documents  allant  de  1636  à  1670.  Pour  être  complets  nous  mentionnons  aussi 
(beaucoup  plus  loin  dans  le  manuscrit  qui  contient  après  les  extraits  un  grand  nombre  de  pages 
vides)  deux  pages  consacrées  à  des  notes  payées  par  Huygens  en  1664,  1665  et  1666:  voyez  à 
la  p.  168  du  T.  XVII  la  note  de  1664  de  l'horloger  Oosterwijck.  Rien  certes  n'empêche  que 
les  calculs  qui  constituent  le  présent  Appendice  ne  datent  de  1661,  époque  à  laquelle  Huygens 
dit  (p.  12  qui  précède)  avoir  commencé  à  s'intéresser  aux  logarithmes.  Dans  les  calculs  des  §§ 
I — 6  les  logarithmes  ne  figurent  qu'au  §  i.  Mais  voyez  aussi  le  §  7. 

*)  Comparez  avec  cette  figure  celle  de  1652  de  la  p.  209  du  T.  I,  la  „logarithmique"  dont  nous 
parlons  aussi  à  la  p.  204  de  l'Avertissement  qui  précède. 

3)  Déjà  en  1646  (T.  XI,  p.  53  et  suiv.)  Huygens  s'était  intéressé  à  la  recherche  de  la  somme  des 
suites  géométriques,  mais  sans  se  servir  de  logarithmes. 


292      RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  1 666  OU  I  66j.  APP.  L 

au         aa      ,  aa      ,         ,    ,        aa      ,        ,   ,    ,    bb 


b~a''b  —  a         ""b  —  a  ""b  —  a  a 

aa      ^       ^   ,   ^   bb    .    b' 


b  —  a  a        aa 

qiiarum  ab  ultima  fi  auferatur patet  refiduum  œquari  fummte  proporcionalium 

qutefitîe. 

pcr  Logarithmes. 
A  duplo  logar^.  termini  minons  auferatur  log'.  differentiœ  inter  terminum  minorem 

et  fequentem,  et  habebitur  logar. .  Refiduo  addatur  logar.  proportionis  datîc, 

hoc  efl:  differentia  log."""  termini  minoris  et  fequentis  five  quorumlibet  duorum  con- 
tinue fequentium,  multiplicatus  per  numerum  multitudinis  terminorum.  Summa  erit 

logar.  numeri,  a  quo  numéro  fi  auferatur  numerus  logarithmi ante  inventi; 

relinquitur  fiamma  proportionalium  qusfita. 

§  1.     lil'dem  datis,  invenire  proportionaHum  fijmmam  triangularem  incipiendo 
a  minima. 

,         bb          b'          b"^        ^      ^                 .      .     .        .               aa 
<?«'—  —  —         Cum  fint  proportionales  fupra  mventae 

aa      ,        ,    ,      aa      ,         ,    ,    ,   bb 

b  —  a  b  —  a  a 

aa      ,        ^   .      hb    ^    b"= 
+  a  +  b-\ h 


b 

bb 

b'' 

b^ 

a 

aa 

^3 

b 

bb 

b^ 

a 

aa 

b 

bb 



a 

b 

b  —  a  a        aa 

idque  in  ratione  a  ad  b.  inveniatur  earum  fi.imma 

per  prcecedentem.abquafi  auferatur  y toties 

^  quot  funt  tennini,  facile  apparet  refiduum  fore 

— — 7~     fummam  triançularem  qujefitam. 

,3^2^^  bb 

5^  -}-  4    +     ^  aa        a^         §  3-  Aliter.  Proportionalium  ^,  b,  —  &c  fum- 

Cl 

ma  per  prjeced.  repcrta  vocetur  s.  Cum  itaque  in  eadem  proportione  ^  ad  ^  fint  quoque 

proportionales  cequc  multîe  -. 1-  a  :  ; \-  a  -\-  b\  &.c.  erunt  ut  a  ad  s  ita 

b  —  a  b  —  a 

+  «  ad  (ummam  omnium  pofteriorum.  five  pennutando  ut  a  ad +  ^, 


b  —  a ^  ^       b—a 

hoc  eft,  ut  ^  —  tf  ad  ^  ita  ^  ad  fummam  omnium  porteriorum,  a  qua  fi  auferatur 


b  —  a 


RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  1666  OU  1667.  Al'P.  I.      293 

diiftiim  in  numcriim  tcrminorum,  rclinquitiir  ut  antc  fumma  triaiigularis  proportio- 
naliiim  a,  h,  —  &c.  incipicndo  ab  a. 

§  4.  Prima  propofitio  aliter. 

^  _P_  fjj ^^      1    ^^    ..|     „  Sit  m  maxima  proportionaliuni  :  a  minima; 

i'  —  ^'  b  qus  proxime  pofl:  a  fcquitur.  s  fumma 

h  —  a  ~-\     h m  / DO  «     proportionalium  a.,  />,  —  &c.  «  maxima  pro- 

portionalium  ferici  ^ \-  a^ [-^  + ^&c.  Quumfint  inprimapropofitione 

proportionalcs h  a\  -, \-  a  +  Z»;  &c.  totidem  quot  a,  b,  —  &c.   et  in 

b—a  b — a  ^  a 

ratione  eadeni  a  ad  b  patet  effe  (icut  a  ad  maximam  proportionalium  «,  b,        &c. 

ita \-  aad  maximam  fui  ordinis  «.  A  qua  fi  auferatur  7 ,  fit  (m  ex  cadem 

b  —  a  b — a 

prima  propofitione  patet)  refiduum  «  — squale  fummîe  .f  proportionalium  a, 

,    bb  B      o  j            b'n     T-                b>n — ^^i 
p,  —  &c.  Sed  «  DO .  Ergo  s  00  —, . 

a  b  —  a  b  —  a 

§5.  Secunda  aliter. 
Erat  b  —  a  — 1 —  b s  —\ —  fummam  pofteriorum. 

t:,       ,         , ,  btn  —  aa  /  bbm  —  baa      \ 

Ergo  b  —  a  ~-r-  b , /  — ; J 

°  b  —  a  /    bb  —  2ba-\-aa  \  ,  ^n 

laa     ^ 


b  —  a 

Siimma  triangulorum  (t  numerus  terminorum) 

,    bb  o         bbm  —  ha  a  taa 

a^  b,  —  &c.  y-, ; -, 

a  bb  —  iba  +  aa       b  —  a 

§  6.'  Si  feries  proportionalium  ab  a  infinité  parva  incipere  ponatur  five,  ab  m  maxi- 
ma, deorfum  continuari  in  infinitum,  patet  ex  regulis  pr^eccdentibus,  cum  a  ad  m 
infinité  parvam  rationem  habeat,  fore  fummam  omnium  in  infinitum  proportionalium 

bm     1        ,.  .         ,  .  bbm 

00 .  Item  fummam  tnangularem  omnmm  do 

b—a  °  qu.b—a 


♦)  C.  à.  d.  suhtrahendo. 


294  RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  I  666  OU  1 66j.  APP.  \. 


§  7.  Tcgen  hoeveel  ten  hondcrt  in  't  jaer  foudcmcn  fijn  gelt  moeten  bclcggcn, 
mids  oock  intereft  van  intcrcrt  ontfangcndc,  cm  ten  eynde  van  41  jaer  3  capitalcn 

boven  het  fijne  te  winncn?  Antwoord:  tegen  3  en  -—  per  ccnto. 

Omdat  in  als  4  capitalcn  moetcn  fijn,  welcke  4  capitalcn  maeckcn  de  grootfle  van 
42  proportionalen,  dacr  de  cleynflc  van  is  1 00  en  de  grootilc  400,  foo  divideer  ick  de 
diffcrcntie  der  logarithmi  van  400  en  van  100,  te  wctcn  0,60206,  door  41,  en  de 
quotiens  1468  addcer  ick  tôt  de  logar.  van  100.  komt  2,01468,  fijnde  logar.  van 

103,44.  daerom  is  het  capitael  metten  intereft  ten  eynde  vant  eerile  jaer  103,^3^ 


100 


En  dienvolgens  den  intereft  van  100  in  een  jaer,  3-^. 

Ick  heb  gefegt  42  proportionalen  om  dat  die  41  differentien  maccken. 


I» 


;,.. 


[Fig.  25].  La  figure  donnée  par  Huygens  pour  illuftrer  le  texte  [Fig.  25]  fait  voir  que, 

tout  audi  bien  que  Zarlino  (note  i  de  la  p.  171  qui  précède)  et  Merfenne 
(p.  33  qui  précède,  I.  2  d'en  bas),  il  fe  figure  comme  des  //giics  les  moyen- 
nes proportionnelles  qu'il  s'agit  d'intercaler  entre  les  deux  quantités  données. 
Il  eft  évident  que  fi  la  figure  était  correétement  tracée  les  extrémités  des 
lignes  verticales  équidiftantes  ne  fe  trouveraient  pas  fur  une  ligne  droite 
mais  fur  une  logarithmique  comme  dans  la  Fig.  24  du  §  i.  La  même  remar- 
que s'applique  à  quelques  figures  du  même  genre  dans  la  „Chilias  Logarith 
morum"  de  1624  de  Kepler,  ouvrage  que  Huygens  ne  mentionne  d'ailleurs 
nulle  part. 
\ 

Les  pages  fuivantes  du  Manuscrit  contiennent  encore  plufieurs  autres 
calculs,  également  rédigés  en  flamand,  fur  des  capitaux  placés  à  intérêt;  il  y  eft  fait  ufage  de  loga- 

ritlimes  et  de  la  formule  s =^ du  §  4. 


APPENDICE  JIO 

À  LA  PIÈCE  I  DE  LA  P.  225 
(RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  1666  OU  1667). 

[1661] 


Radix')  quiiic5  extrada  ex  2  cil  10218971486541,  haec  ert:  f.  Radix  fexto  ex- 
trafta  ex  2  ell  1 01 088928605 17,  hîecell^. 

Hinc  invenitur  n  in  ^ -^00  232769183257893),  undc  logarichmiis  numeri 

2  fît  30102999567  in  quo  decem  notœ  vera;  funt  undecima  unitate  vcram  fupcrat. 

Cujuflibet  numeri  primidenariominorislogarithnuis  inveniri  potelH)  extrahendo 
fexies  radiccm  continué;  et  deinde  ternis  magnis  divifionibus  et  una  multiplicatione. 

.      ,.  .,,      „  loofd  ,        ad        .    n'ma ^ 

una  enim  divilio  eft  „    „  ,    ,,    ^ -— ,  altéra  -^,  tertia  f 

8i/+8i^+io8ff  f  -. ^ — j — • 

■'  *  ^  pma  —  d 

multiplicatio  eu  n'ma -:. 

Sunt  autemhs  extraftiones  radicum  multo  minus  operofe  quam  quibus  utebancur 
in  vulgari  logarithmorum  inventione,  ubi  ex  32'""  charafteribus  cum  totidem  zéro 
adjunètis  cxtrahebant,  idque  quadragies  circitcr  ut  habeantur  decem  charaderes  loga- 
rithmi  veri.  Si')  dati  numeri  qui  denario  major  fit,  invenireIogaritlimumlibeat;extra- 
hatur  ab  eo  toties  continue  radix  quadrata  donec  ultimo  extrada  minor  fit  radice  fexta 
ex  10,  nempe  10366  &c.  Voceturque  ultimo  extrada  g,  penultima/;omniaque  dein- 


')  Voyez  sur  cette  Pièce,  empruntée  à  la  f.  11  v  du  portef.  „Musica"  —  ce  qui  indique  que  la  date 

delaf.  1 1  est  1661;  comparez  la  p.  145  qui  précède  —  la  p.  205  de  l'Avertissement  qui  précède. 
°)  Voyez  sur  ces  calculs  la  p.  458  du  T.  XIV,  ainsi  que  la  „Regle  pour  trouver  les  logarithmes" 

—  communication  de  Huygens  à  l'Académie  de  1666  ou  1667 — ,  mentionnée  dans  la  note  i 

de  la  p.  452  du  T.  XIV  et  publiée  à  la  p.  225  qui  précède. 
3)  Ce  nombre  devrait  être,  semble-t-il,  la  54''-'"' partie  du  nombre  12569535892606  qu'on  trouve  à 

la  p.  226  qui  précède.  Toutefois  la  dite  partie,  savoir  232769183196,  esz  un  peu  ph\s  petite  que 

le  nombre  formé  par  les  douze  premiers  clii lires  de  celui  de  texte.  Les  neuf  premiers  chiffres 

sont  les  mêmes. 
■*)  Voyez  la  note  2  de  la  p.  451  du  T  XIV. 
5)  Cet  alinéa  (jusqu'à  „numeri  propositi  logarithmus")  s'accorde  presque  textuellement  avec  le 

deuxième  alinéa  de  la  p.  459  du  T.  XIV.  Comparez  la  note  7  qui  suit. 


296  RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  I  666  OU  1 66j.  APP.  IL 


ceps  eodcm  modo  pcragantiir  ut  priiis;  et  invenietur  hac  ratione  logarithnius  radicis 
qiix  fcptima  ab  ultiino  extrada  mimeratur,  five  quœ  fcx  locis  illam  pra;ccdit;  idquc 
a^qiic  accuratc  atqiic  nuido  logaritlimum  binarij  invcnimus,  nempc  ad  10  charatlcres 
veros.  Inventum  dcinde  logarithmuni  diiplicando  cxirtct  logarithmus  radicis  oétava; 
ab  ultima;  et  rurrusdiiplicando,nona%atqueitaporroduplicatiocontinuabitur  doncc 
exillat  ipiîus  mimcri  propoliti  logarithmus.  nullus  autem  numcrus  intra  loo  ooo  ooo 
opus  habebit  pluribus  quam  9  cxtraétionibus  radicum. 

Quia  logarithmus  denarij  ad  logarithmum  numcri  quœfiti  (nempe  hîc  ad  logarith- 
muni binarij)  compofitam  habet  rationem,  uti  jam  vidimus,  ex  a  —  ^  ad  ^ 7;  et  ex 

,  .  1      1        ,1  ïoo  ad  ,     10b  a  —  d      , 

p.  ad  n;  ratio  autem  p  ad  n,  hoc  eit    -- — ; -7    +    —   — -— -    ad 

^  "^         '  81//+  ^la  +  loU  ij  18 

- — ; ~— ^ — 1-  ^^ff  — ^—- —  eadem  eft  Œ  utrinquc  multiplicemus  per  ^4) 

8i</+8i/+io8g       27^         18  ^  M  F  F     3+^ 

quas  '   ,    r  +  ±ob  —  ria  —  'xd  ad  —z-^ — {. -f  ±02  —  q  f —  'id.  Id- 

circo  potius  has  utrafque  fummas  vocabimus  p  et  n.  Eritque  Régula  ad  invcniendos 

logarithmos  hujulmodi''). 

Habcantur ■)  radiées  primum  continue  è  denario  extraftse  ufque  ad  fextam  vel  fepti- 

mam  charafterum  1 4.  Et  radix  ultimo  extrac^a  vocetur  ^,  qus  vero  pcnultimo  live 

illam  prcecedcns  vocetur  a.  Et  unitas  vocetur  d.  Omnia  autem  dufta  intelligantur  in 

i®**)  "-'t  radicum  fraftio  evanefcat. 

Radix  quinta  ex  I G  cil  10746078283213     a 

Radix  fexta  ex  1 0  efi:  10366329284377     b 

Unitas  vero  1 0000000000000     d 

lam  inveniatur  numerus  asqualis  iflis  fimul 

200  da         ,        ,  , 

—. +  40*»  —  3«  —  3</ 


*)  Voyez  la  note  4  de  la  p.  459  du  T.  XIV. 

7)  Tout  ce  i-iui  suit  (excepte;  la  remarque  finale  en  marge)  s'accorde  presque  textuellement  avec  le 
début  de  la  Pièce  des  p.  458 — 459  du  T.  XIV. 

^')  C.  à.  d.  un  I  suivi  de  13  zéros. 

S')  En  1668  (T.  VI,  p.  276)  Iluygens  parle  également  avec  éloges  de  la  „Logaritlimo-Technia" 
de  N.  INIercator  qui  venait  de  paraître.  Il  est  évident  qu'il  a  ajouté  cette  remarque  à  la  présente 
Pièce  longtemps  après  la  composition.  —  Voyez  aussi  sur  l'ouvrage  de  Mercator  la  p.  431  du 
T.  XIV  ainsi  que  la  communication  de  Iluygens  du  17  octobre  1668  à  l'Académie  Royale  des 
Sciences  (p.  260  qui  précède),  dont  il  est  déjà  question  à  la  page  431  nommée. 


RÈGLE  POUR  TROUVER  LES  LOGARITHMES,  l666  OU  l66j.  AI'P.  IL      297 

qui  nunicrus  vocctur  p  (cft  auteni  559<56 103584532)  idcmquc  ducatur  in  a  —  ^/, 
uc  pix)diidus  inde  vocctur  v,  qui  ininicrus  ad  omncs  lo^arithmos  invcnicndos  adhi- 
bcbitur,  clique  4175509443116778.  Scd  hos  priorcs  charactcrcs  adhibcrc  Tufficic. 
Si  igitur  ex.  gr.  lit  invenicndus  log-ar.  binarij;  habcuntur  et  hujus  radiccs  quinto  icx- 
toque  cxtraéti  licut  de  dcnario  dixinius  et 

lladix  quinta  ex  2,  ncmpc       1 021 8971 486541,       vocctur    /. 
Radix  fexta       10108892860517,       vocctur     g. 
imitas  ut  ante       1 0000000000000,       vocetur     d. 
Similitcr  quoquc  invcniatiir  numerus  œqualis  iftis  fimul 

— ; —- H  40^  —  "if —  3//      qui  numerus  vocetur  n.  In  hoc  cxemplo  eft 

545869542830178. 

Hic  numerus  n  ducatur  in  a j  produftufque  inde  vocetur  i\  qui  eft 

1 2569535892606  &c.  Jamque  ficut  inventus  numerus  v  ad  s  ita logarithmus  denarij 
ad  logarithmum  qua^fitum  propofiti  numeri,  ncmpe  hîc  0,30102999567.  Pro  cha- 
rafterilHca  pra;ponitur  o,  idque  icimus  fàciendum  quando  datus  numerus  minor  cft 
dcnario. 

En  marge:  Régula  ad  inveniendos  logarithmes,  his  multo  meliora  iuppetunt  ex 
quadratura  hyperbolœ  N.  Mercatoris  ^). 


38 


APPENDICE  I 

À  LA  PIÈCE  II  DE  LA  P.  229 
(DEMONSTRATIO  REGULAE  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS,  1667). 

[1660]  ■). 

Ex  opère  Vincentij  Viviani  Magni  Ducis  Hetrurice  Mathematici  de  Maximis  et 
INIinimis  -).  Tcllatur  cum  ipfe  tum  Pr.  Leopoldus  non  fibi  vifos  Apollonij  libros  3 
polleriores  3). 

Problema.  (1.  2.  pr.  20   y^)   ■*)  —  in  hypcrbola  pr.  22  ').  —  in  ellipli  23  *). 

A  pundo  data  ad  feftionem  conicam  breviflimam  lineam  ducere,  ope  hyperbolse  folvit. 
Potcll  autem  per  circulum  fieri  '}.  lUud  tamen  in  toto  volumine  optimum,  et  dubito 
annon  alicunde  mutuatus  fit  ^). 


')  Manuscrit  A,  p.  233.  A  la  même  page  un  extrait  „ex  literis  Caroli  Dati  ad  Nie.  Heinsium  datis 
16  Mart.  1660".  Nous  l'ayons  publié  à  la  p.  42  du  T.  111. 

-)  „De  Maximis  et  Minimis  geometrica  divinatio  in  quintum  Conicorum  Apollonii  Pergx'i  adliuc 
desideratum".  Ad  Serenissimum  Ferdinandum  II  magnum  ducem  Etruria;,  auctore  Vincentio 
Viviani.  Florentis  MDCLIX.  Apud  losepli  Cocchini,  Typis  Nouis,  sub  signe  Stell». 

3)  La  Dédicace  est  datée  „0(5tauo  Calendas  lanuarij  1658"  et  la  „Pr!efatio"„()(ftauoIdusDecem- 
bris  1658".  Dans  cette  préface  Viviani  parle  de  l'édition  des  livres  5 — 7  d'ApoUonios  que  pré- 
pare Borelli:  comparez  la  note  8  qui  suit.  Outre  Viviani  et  le  grand  duc  Leopoldo  frère  de  Fer- 
dinando,  Borelli  lui-même  y  déclare  „che  [Viviani]  non  hà  havuto  minima  notizia  di  questi 
ultimi  libri  d'Apollonio". 

••)  La  figure  représente  évidemment  une  parabole.  En  effet  la  Prop.  20  est  la  suivante:  Probl.  I. 
Prop.  XX.  „A  dato  punfto  ad  datae  Parabols  peripheriam,  minimam  reftam  lineam  ducere". 

5)  Probl.  II.  Prob.  XXII  du  même  livre:  „A  dato  punfto,  ad  datœ  Hyperbola;  peripheriam,  mini- 
mam rectam  lineam  ducere". 

")  Probl.  III.  Prop.  XXIII  :  „A  dato  punclo,  ad  dat»  Ellipsis  peripheriam,  maximam,&  minimam 
reftam  lineam  ducere". 

")  Voyez,  à  la  p.  61  du  T.  III,  la  lettre  de  Huygens  à  N.  Heinsius  du  7  avril  1660  où  il  dit  avoir 
reçu  le  livre  de  Viviani  par  l'entremise  de  Car.  Datus,  et  où  il  mentionne  sa  construiftion  „per 


DEMONSTRATIO  REGULAE  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS,  I  66^ .  APP.  I.  299 


circuliim"  déjà  publiée  pour  le  cas  de  la  parabole.  Voyez  aussi  à  la  p.  335  qui  suit  la  Partie  A  de 
TAppendice  à  la  Pièce  XII  de  1680  sur  les  équations  solides. 
5)  Voici  le  reste  du  texte  de  la  p.  233  du  Manuscrit  A  se  rapportant  au  livre  de  Vivian!  (le  pre- 
mier alinéa  —  „Quantum  etc."  —  se  trouve  en  effet  à  la  troisième  page  de  la  „pra;fatio"): 

De  Galileo  in  prcefatione  ad  Leftorem.  Quantum  Ileroa  nomino?  quantum 
Florentiîe  decus,  lumen  feculi,  ingcniorum  phoenicem,  fydus,  folemque  univerfe 
Mathefeos?  quale  dixerim  numen  ac  genium  corrigendîe  Géographie,  aftronomiîe 
novis  pha'nomenis  ope  telefcopii  deteftis  illuftranda;,  vindicandsque  Philolbphiîe, 
in  orbis  admirationem,  ac  pofteritatis  regulam  natum. 

F^  difcipulis  Galilei  commendat  [également  dans  la  „pra;fatio"]  BracciumManettum 
jam  defundtum,  Andream  Arrighectum  Senatorem  ac  primée  nota:  muneribus  in 
Patria  [c.  à.  d.  à  Florence]  fungentem. 

Carolum  Datum  [T.  II,  p.  462]  mathefeos,  liberseque  et  indepravata:  Philofophiîe 
nobilem  amatorem.  hujus  amoeniflimas  dodiffimafque  lucubrationes  promittit. 

Johannes  Alphonfus  Borellus  [T.  II, p.  252],  Pifis  Mathematicas  profitetur,  editor 
3  librorum  pofteriorum  ApoUonij .  Ex  Arabico  vertit  Abraham  Ecchellenfis,  natione 
Arabs  linguarum  orientalium  peritiiïimus,  mathefeos  non  ignarus[voyezlanote  sde 
la  p.  393  du  T.  XVIII]. 

Laurentium  Magalottum  [T.  III,  p.  148]  adolefcentem  laudat,  fuumqueopuscum 
eo  communicaffe  fcribit. 


APPENDICE  ID 

A  LA  PIÈCE  II  DE  LA  P.  229 
(DEMONSTRATIO  REGULAE  DE  MAXIMIS  ET  IMINIMIS,  1667). 

[1669]. 


[Fig.  26] 


§  I .  Radius  dati  circuli  eft  a^ 
qua^ritur  conus  maximus  [Fig. 
26]  cujus  fuperficics  cum  bafi 
œqualis  fit  dato  circule.  Invenio 
radium  bafis  [.r]  fore  oo  itf, 
latus  coni  [v]  00  \a. 

XX  +  xy  30  aa 


3?co 


aa 


X 


')  Manuscrit  D,  p.  229  et  231.  On  trouve  les  dates  Juin  1669  et  21  Nov.  1669  respectivement 
aux  p.  217  et  235.  Dans  l'un  et  l'autre  paragraphe  Huygens  applique  la  règle  démontrée  par  lui 
dans  la  Pièce  II  (règle  de  Fermât  ou  de  Hudde).  Dans  le  §  2  il  multiple  respectivement  par  1 
et  3,  non  pas  par  2  et  6,  puisqu'ici  il  considère  apparemment  .v",  et  non  pas  .v,  comme  la  gran- 
deur inconnue. 

Il  est  évident  sans  aucun  calcul  qu'il  s'agit  dans  l'un  et  l'autre  cas  d'un  maximum,  non  pas 
d'un  minimum.  Toutefois  Huygens  vérifie  numériquement  le  résultat  obtenu,  du  moins  dans  le 
cas  du  §  I,  en  prenant  d'abord,  pour  AB  =  2000  [Fig.  26],  AC  =  1000,  donc  DC  =  3000; 
ensuite,  pour  AB  =  2000,  AC  =  1004  ou  AC  =  ^^6:  dans  ces  deux  derniers  cas  le  volume 
devient  en  effet  plus  petit  que  pour  AC  =  1000. 


DEMONSTRATIO  RKGULAE  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS,  I  66j .  APP.  II.  30 1 


a''  —  'i.aaxx-\-x^ 


XX 

XX 


—  a-aT=  ADO 


— ; 00  d^  [volume  du  cône  à  un  faé^cur  numérique  près] 


a*xx  —  zaax'^  oo  d^ 

a  4 

2a*  00  Saaxx 
2<2  00  :c 


ra'  —  x''  .   -1 

§  2.  Invenire  comim  maximum  cujus  fiipcrficies  fine  bafi  squalis  fit  circule  dato. 


Sic  radius  bascos  .r.  Ergo  latus  coni  erit  — .  Ergo  axis  oo  1/    — 

OC  '  IXiX 


XX. 


—  —  XX  XX  00  «3  [volume  du  cône  à  un  fadeur  numérique  prés] 


a^xx  —  x'^  co  d'^ 

1  ri 


a*  00  SX* 


H-ï 


a*  00  X 


atus  coni  =  —  =  J 


'^  =  1  VV'.aK 


APPENDICE) 

A  LA  PIÈCE  III  DE  LA  P.  243  (REGULA  AD  INVENIENDAS 
TANGENTES  LINEARUM  CURVARUM,  1667). 

[1666]. 


Hyperboloidcs  Riccij  ').  Quœritur  tangens. 

ProprietashjEcquodcubus  BD  in  quadr.  DA  œquale  cuboquadraco  DC  ordinatim 
applicatae  [Fig.  27]. 


Sic  jam  BD  oo  x 
[BAootf] 


[Fig.  27]. 


x^  cub.BD       l 

XX  —  2ax  +  aa  qu.  AD  \  '^  ^ 

x^  —  lax''  +  aax'^  —  7'  co  o 

-::i — 5^?-^ 30  DG  *). 

^x^  —  %ax^  +  "iyaaxx  ^ 


')  Manuscrit  C,  p.  127.  Les  p.  110  et  128  sont  respeiftivement  datées:  2  Nov.  1666  et  31  Dec. 
1666. 

^)  Huygens  reçut  en  novembre  1669  de  la  part  du  prince  Leopoldo  la  „Geoinetrica  Exercitatio 
de  Maximis  et  Minimis"  de  1666  de  M. A.  Ricci:  voyez  la  note  2  de  la  p.  88  du  T.  VI,  ainsi 
que  la  p.  i6i  du  même  Tome.  Ce  petit  traité  fut  réimprimé  en  1668  avec  la  „Logarithmo- 
technia"  de  N.  Mercator;  et  de  nouveau  en  1791  dansles„Scriptores  logarithmici"  (London, 
Davis)  de  Fr.  Maseres.  Dans  le  „Lemma  sextum"  par  lequel  le  traité  se  termine,  l'auteur  con- 
struit à  sa  façon  la  tangente  à  la  courbe  mentionnée  ici  par  Huygens. 

^)  C.  à.  d.  multiplicando. 

*•)  C'est  une  application  de  la  règle  (démontrée  par  Huygens  dans  la  Pièce  III)  qu'il  appelle  — 
note  3  de  la  p.  245  qui  précède  —  «Fermatians  régula;  compendiarium".  DG,  soustangente, 
s'appelle  z  dans  la  Pièce  III. 


APPENDICE  I') 

À  LA  PIÈCE  VI  DE  LA  P.  259 

(INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  DE 

L'IMPOSSIBILITÉ  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE,  1668). 

[1667  OU  1668.] 


La  préfente  Pièce  contient  les  premières  réflexions  qu'infpira  à  Huygens  le  livre  „Vera  Circuli 
et  Hyperbolœ  Qiiadratiira  etc."  de  1667  de  J.  Gregory,  dont  l'auteur  lui  avait  fait  don  en  ottobre 
1667  (T.  VI,  p.  154)  en  demandant  la  ,cen  l'ura";  réflexions  qui  donnèrent  lieu  à  l'article  „Examen 
etc."  publié  par  Iluygens  dans  le  No.  du  2  juillet  1668  du  «Journal  des  Sçavans"  (T.  VI,  p.  228). 
On  peut  conrtater  que  le  contenu  de  l'article  plus  bref  imprimé  en  i668  s'accorde  avec  celui  de  la 
préfente  Pièce. 

D'ailleurs  dans  le  Manufcrit  C  la  préfente  Pièce  eft  encore  précédée  par  4  pages  de  calculs  por- 
tant la  fufcription  :  In  Vcram  quadraturam  circuli  e:  hyperbole  Jac.  Gregorij  Abredo- 
nenfis  ^)  Schoti  animadverfiones. 

Ad  Prop.  1 1  Jacobi  Gregorij  pag.  25. 

„Sed  nulla  qiiantitas  potefl:  eodem  modo  analytice  componi  ex  terminis a"^  +  (iab\ 
abb  +  b^,  quo  componitur  ex  terminis  aab  +  bba\  ibba\ 

Negatur:  ecce  enim  quantitas  labbm  -f  bhn.  qu£B  fie  invenitur  per  methodum  ab 
auchore  traditam  prop.  7. 

Inveniatur  primum  quantitas,  quîe  multiplicata  in  a~^  +  aab  et  addita  abb  +  b'^ 
multiplicata  in  quantitatem  datam  ;//,  eandem  quantitatem  faciat  ac  fi  multiplicaretur 
in  aab  +  bba  et  adderetur  ibba  multiplicata  etiam  in  eandem  quantitatem  datam  vi. 
Sit  quantitas  illa  z^  et  proinde 

a^z  +  aabz  +  abbm  asquatur  aabz  +  bbaz  +  ibbam 


div.  per  a  —  b 


a^z- 

-  abbz  30 

abbm  - 

-b^m 

abbm  - 
a^  — 
bbm 

-b^m 
abb 

aa+  ab 


■)  Manuscrit  C,  p.  226 — 230.  Les  p.  203  et  231  sont  respedivement  datées  5  Sept.  1667  et  25 

Feb.  1668. 
')  C.  à.  d.  d'Aberdeen. 


304 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  I. 


Hœc  quantitas  five  multiplicetur  in  a^  +  aab  ce  -addatur  abb)n  +  b^ni  fivc  multi- 
plicctiir  in  aab  +  bba  et  addatur  ibbam^  efficit  eandem  in  utroque  calii  quantitatcm, 
nempc  zabbm  +  Z'Vw. 

\  linc  itaque  Icciindum  authorem  tenninatio  quœfita  porro  invcniri  poterit  adeoquc 

ipfa  Circuli  quadratura.  Dicct  enim  eandem  hanc  quantitatem  eodemmodocomponi 

ex  quibuslibet  feriei  tenuinis  convcrgentibus  que  componitur  ex  tenninis  a"^  +  ("^b 

et  ahb  +  b'^.  ac  proinde  etiam  ex  ukiniis,  qui  a^quales  funt.  Sit  ultinuis  terminus  .v, 

....  .       hhm        ,  ....        ,,      .         c   ■         bbinx 

qui  Itaque  multiplicatus  m  — — — i,  altcrquc  qui  itideni  elt  .y,  in  ;//,  tacient  —         , 

+  DIX  quae  squari  debent  labbm  +  h'^m.  Unde 

'^aab'^  +  ab''  +  za'^bb 
bb  +  ab  +  aa 
Hîecitaque  Tenninatio  feriei  convergentis  A',qu£e  reprsefentat  circuli  feftorem,cum 
inventa  lit,  dabitur  Circuli  quadratura.  i\t  non  ell;  vera  hsc  tenninatio.  Nam  polita 
b  00  2(7,  fiet,  in  primis  terminis,  a'^  +  aab  œqualis  quartte  parti  abb  +  b^.  Hoc  eft 

triangulum  BAP  [Fig.  28]  squale  i  trapezij 
ABFP.  Idcoque  arcus  BI  fextans  circumfe- 
rentis.  Porro  trapez.  ABIP  erit  aab  -\-  bba 
duplum    trianguli    ABP,    et    polygonum 
ABDLP,  ibba  00  f  trianguli  ABP,  deinde 
z  eric  i;//.  Et  Terrainatio  x  five 
'^aab'^  +  ab^  +  la^bb 
bb  +  ab  +  cm        ' 
hoc  eit  feftor  ABIP  ad  triangulum  ABP  five 
a'^  +  aab^  ut  1 6  ad  7,  quod  efi:  falium.  Nam 
dividendo  effet  fegmentum  BPI  ad  triangu- 
lum ABP,  five  ad  triangulum  BIP  ut  9  ad  - 
qu£e  ratio  minor  ell  quam  4  ad  3. 


Quid  vero  deceperit  authorem  hinc  intelligetur. 
in  fcrie  convergente  cujus  primi  tennini  ^,  b 

ca  +  bd  —  ad  bc 


lecundi 


be  +  ae 


c  c 

cujus  temiinatio  invertiganda  proponitur  prop.  7.  in  bac  igitur  quœrendo  quantita- 

.„    .         .  ,.  me  ,  .,,    ..  .  mae  —  mbc  , 

tem  2  illa  mvemtur  aqualis  -t-,  nam  quod  ille  dicit  z  oo  — -5 — j-^- ,  non  advertit 

divifionemfieripofiTeper  ^/-— ^,ethincforfanerrorisoccafioextitit.  Cumautemfumtis 

,              .,                  r   ■  •         ■  ■     r               r     ca  +  bd  —  ûd  bc  —  be  +  ae 
a,  b,  pro  quibuscunque  lenei  tennmis,  lequentes  fint , 

ex  hypothefi;  manifeftum  eft,  ad  quoicunque  termines  fefe  proximc  fequentes  inves- 

tigetur  2,  illam  eandem  quantitatem  l'emper  habituram,  cum  l'emper  fit  ;::  00  — T,qua; 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP. 


305 


tue 


ni,  c\  et  //,  llint  quaiuitaccs  dativ.  Proinde  ciiin  z  fivc     . ,  nuiltiplicata  in  //,  additaque 


ad  hoc  prodiidliim  b  multiplicata  in  ;//,  prodiicac  quantitatem 


mae  +  ntbd 


(quam 


,       ]•  •     rr  W(?<7e  —  macb  +  mabd  —  mbbd  ..        ..  .^  ^    .      „ 

autlior  dicit  elle  ^ZUTTA ,  non  videns  divilioncm  fien  poUe 

per  a  —  b')  eademque  quantitas  eodem  modo  prodiicatur  ex  tcnninis  feriei  fecundis, 
ut  fequitiir  ex  inventione  quantitatis  z-,  atque  eodem  quoque  modo  ex  tertijs  qiio  ex 

fecundis,  quoniam  ;:  x>  -,  eadem  femper  quantitas  ad  primos  et  fecundos,  et  ad  fe- 

cundos  et  tertios  cenninos  invenitur,  apparet  etiani  ex  primis  et  ex  tertijs  tenninis 

eodem  modo  candcm  quantitatem -5- — componi.  Atque  hinc  facile  perfpicitur 


[Fig- 

7  = 


'■9^ 


/f 


:U 


F.- 


f- 


eandem  ex  quibuslibet  alijs  feriei  ejufdem  tenninis  eodem  femper  modo 
compofitum  iri,  et  deniquc  etiam  ex  ultimis.  qui  cum  a^quales  lint,  li 
alter  ponatur  00  .r,  etiam  reliquus  crit  x,  unde 


m  ex   ,  ame   ,    , 

— - — \-  nix  00  — - — H  bm. 


ex  +  dx  XI  ae  +  1^^/  et  x  00 


ae  +  bd 


undc  ^.v    ,    ....  ^  ..^    ,    ,...  ^.  .V  ^  . 

a 

nam  author  rursus  hic  non  vidit  divilîonem  ficri  per  a  —  b. 

Eli  autem  hsec  feries  nihil  ahud  quam  quse  his  hncis  [Fig.  29]  reprîe- 
fentantur,  ubi  FG  ell  b\  LG  «;  LF  b  —  a.  Tum  ut  c  ad  d,  hoc  ert,  ut 
-  ad  2,  ita  fit  FL  ad  LP,  quje  addita  ad  LG  facit  minorera  fecundorum 
tcrminorum  PG.  Et  rurllis  ut  c  ad  e,  hoc  eil  ut  -  ad  3,  ita  fit  LF  ad 
FN,  qu£e  ablata  ab  FG,  facit  majorera  fecundorura  terrainorum  NG. 
Et  continuando  porro  ponitur  PS  ;  NP,  et  NQ  ?-  NP,  et  ita  porro  in 
infinitura.  Unde  tandem  terminationis  ultimum  quoddam  punctum 
concipitur,  et  redla  quœ  ab  eo  puncto  ad  G  extenditur  ell  hic  tenninatio 
qua;  quaîricur  quam  author  refte  dicit  elTe  334.  H^ec  autem  facile  quo- 
que aliunde  dcterminari  poteft.  Nara  cura  partes  hinc  et  inde  in  linea 
FL  accepta.',  ut  LP,  FN,  et  reliquse  porro  fint  femper  ut  2  ad  3,  apparet 
et  punftum  terminationis  qusfitîe  ita  dividere  debere  totam  FL  ut  pars 
verfus  L  fit  ad  reliquam  ut  2  ad  3,  tota  autem  FL  cft  partium  14  qua- 
lium  LG,  28.  Ergo  ab  L  ad  pundtum  terrainationis  funt  |  ex  14,  hoc 
eft  5|-,  quœ  additœ  ad  LG  28  faciunt  332-. 

Porro  author  cum  hanc  determinationera  refte  inveniri  methodo  fua 
animadvertiffet,  exilHmavit  cujuscunque  alterius  feriei  convergentis 
terminationem  inveniri  fimiliter  poflc,  fi  inventa  effet  quantitas  quœ 
eodem  modo  componeretur  ex  primis  terminis  feriei  convergentis  et  ex 
fecundis.  Quo  dato,  (non  autem  conceflb,  obrationespofteaadducen- 

39 


3o6  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  I. 

das)  non  fequitur  inde,  ut  vult  aiithor,  li  quantitas  ejusmodi  nulla  ciïc  poflit,  tune 
neque  terminationem  feriei  analyticam  fore  refpeftu  terminorum  feriei.  Nam  etli 
veruin  efiTet,  tali  quantitate  data  quiï  codem  modo  componitur  ex  priniis  atque  ex 
fecundis  feriei  tenninis,  tune  cjus  ope  invcntum  iri  terminationem  feriei,  et  illam  ter- 
minationem elle  repertam,  eodem  quoque  modo  eompofitam  fore  ex  primis,  feeundis, 
aut  alijs  quihuslibet  feriei  tenninis.  non  inde  lequetur  terminationem  feriei,  alià  forfan 
methodo  repertam,  etiam  dcberc  componi  eodem  modo  ex  primis  atque  ex  fecundis 
feriei  tenninis.  Itaque  maie  rationcm  coUigit  author. 

Dico  autem  porro,  non  eflTe  verum,  data  quantitate  quœ  eodem  modo  ex  primis  et 
ex  fecundis  feriei  terminis  componitur,  invcniri  inde  femper  pofTe  feriei  terminatio- 
nem. quod  jam  patuit  ante,  eum  quantitas  labbm  +  bhn^  eodem  modo  eomponatur 
ex  tenninis  feriei  primis  a^  -\-  aah  et  ahh  +  h^^  quo  ex  fecundis  aab  +  bba^  et  ibba^ 
nec  tamen  per  eam  vera  tenninatio  feriei  inveniatur. 

Quare  autem  non  reftè  fuccedat  tenninationis  inventio  in  hac  ferie,  cum  fccus 
eveniat  in  ferie  quam  ponit  author  prop.  7,  et  in  alijs  quibusdam,  ratio  dilferentia; 

hœc  eft,  quod  in  ferie  prop.  7  cum  invenitur  quantitas  :i  oo  -3-,  in  illa  non  oceurrat 

quantitas  a  née  Z»,  unde  fit  ut  iive  ad  primos  et  feeundos  terminos  inveniatur  z^  five 
ad  feeundos  et  tertios,  femper  eadem  quantitas  inveniatur.  Quod  cum  ira  contingic, 
fequitur  ope  ipfius  ::  inveniri  quantitatem  quje  eodem  atque  unieo  modo  ex  primis, 
fecundis,  tertijs  alijfque  quibuslibet  feriei  terminis  eomponatur,  ut  folio  pra^cedenti 
oflenfum  fit.  Sed  eum  quantitates  a  et  Z»,  vel  alterutra  habenturin  quantitate  z^  tune 
2  non  erit  eadem  quantitas  ad  primos  et  feeundos,  ac  ad  feeundos  et  tertios  terminos 
tepcrta.  Et  invenietur  quidem,  per  primam  ^,  quantitas  qus  eodem  modo  ex  primis 
et  ex  fecundis  feriei  terminis  componitur,  et  per  alteram  z^  invenietur  quantitas  eodem 
modo  compofita  ex  feeundis  et  ex  tertijs  terminis.  Sed  quantitas  hîee  pofterior  non 
erit  eadem  cum  priori,  ac  proinde  cum  non  fit  inventa  quantitas  quœ  eodem  modo  ex 
quibuslibet  duobus  feriei  terminis  componitur,  nec  poterit  inveniri  per  eam  feriei  ter- 
minatio. 

Quod  fi  veto  quantitas  aliqua  inveniri  poffit  eodem  modo  compofita  ex  primis  et 
ex  fecundis  feriei  terminis,  abfque  inventione  quantitatis  ;:;,  tune  illa  quantitas  iuffieit 
ad  inventionem  tenninationis.  ut  fi  detur  feries  eonvcrgens  cujus  primi  termini  ^,  /», 

fecundi  v  taab^  k  0  è^«,  femperque  fequentes  duo  ex  duobus  prjecedentibus 
eodem  hoc  modo  componantur,  hic  habebitur  quantitas  ab^  eodem  modo  ex  primis  et 
ex  fecundis  terminis  compofita,  nempe  ex  multiplicatione  tenninorum  fimplici.  Con- 
ilatqueeandem  eodem  modo  etiam  ex  tertijs  et  alijs  quibuflibet  feriei  tenninis  componi, 
quoniam  c/et  b  indifferenter  pro  quibuflibet  feriei  terminis  fumi  poffunt.  Itaque  et  ex 

ultimis  qui  squales  funt.  qui  fi  vocentur  x  finguli  erit  xx  00  ab  et  .r  oo  k  «Z»  ter- 
minatio  qusfita. 

Exemplum  autem  ab  authore  allatum  propofitione  . . .  abfurdum  eft,  nam  fi  primi 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  1.  307 

tcnnini  (Int  a  et  />,  fccundi  k    ah^ix.  F/Tl  fient  rurfus  tertij  termini  <7Ct  h.  Adeout 

haec  non  (k  (erics  con\'crgcns,  cujns  proinde  ncquc  tenninatio  iilla  ciïe  poteft,  etfi 
author  eam  invLMiillc  cxillimet. 

Aliud  initium  ').  Primo  malc  ratiocinatiir  prop.  1 1.  cuni  ita  colligit.  Si  tenmnath 
propojita  jeriei  ejj'ct  aiuilytica  ciiin  wrminis  fer  ici,  oporteret  cam  termtnationem 
codem  modo  componi  ex primis  et  ex  fectindis  termin'ts. 

Malc  inquam  fie  colligit.  Nam  licct  verum  fit  temiinationcm,  fi  inventa  fit  methodo 
authoris,  codem  modo  compofitam  fore  ex  primis  et  ex  fecundis,  alijTve  quibiifiibet 
Icriei  tcrminis,  non  fequitur,  fi  alio  forfan  modo  terminatio  feriei  inventa  fit,  etiam 
tune  eodem  modo  ex  primis  et  ex  fecundis  tenninis  compofitam  fore.  Oporteret 
cnim,  ut  hoc  fcquerctur,  ortcndiiïe  antca  authorem  nulla  alia  quam  fua  methodo  ter- 
minationem  feriei  poffe  inveniri.  Vel  falcemquotiefcunquealiqua  methodo  tenninatio 
reperiri  potell  ctiam  fua  methodo  eam  reperiri  poffe. 

Rurfus  hallucinatur  eum  paulo  poft  ait,  At  nulla  quantitas  poteft  eodem  modo 
componi  ex  tenninis  a^  +  aab  et  abb  +  b^^  quo  componitur  ex  terminis  aab  +  bba^ 
et  2bba. 


■)  Ce  nouveau  début  s'accorde  en  substance  avec  le  §  I  et  le  commencement  du  §  II  de  P„Exa- 
men  etc."  publié  en  1668.  On  trouve  l'anticritique  de  Gregorj',  du  23  juillet  1668,  à  la  p.  240 
du  T.  VI. 


APPENDICE  ir) 

À  LA  PIÈCE  VI  DE  LA  P.  259 

(INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  DE 

L'IMPOSSIBILITÉ  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE,  1668). 

[août  OU  septembre  1668] 


Cette  Pièce  eft  le  projet  d'une  réplique  à  la  réponfe  de  Grcgory  de  juillet  1668  mentionnée  dans 
la  dernière  note  de  l'Appendice  précédent.  On  peut  la  comparer  avec  le  début  de  l'article  de 
Huygens  publié  dans  le  journal  des  Sçavans  du  1 2  nov.  1668  (T.  VI,  p.  272).  Comme  les  Appen- 
dices fuivants  le  font  voir,  Huygens  exécuta  encore  bien  des  calculs-)  après  avoir  rédigé  le  prélent 
projet,  calculs  dont  il  fit  ufage  en  rédigeant  fa  réplique  pour  la  prelie. 

Quoy  que  M.  Gregorius  dans  la  refponfe  qu'il  a  faite  a  mes  objedions  ait  fupplee 
quelques  deiàuts  qu'il  y  avoit  dans  fes  demonftrations,  il  me  permettra  de  dire  qu'il  s'en 
faut  tant  qu'après  cela  l'impolTibilitè  de  la  quadrature  du  cercle  l'oit  bien  prouvée,  qu'il 
demeure  encore  incertain  il  le  cercle  et  le  quarrè  de  fon  diamètre  ne  font  pas  com- 
menfurables,  c'efl:  a  dire  s'il  ne  font  pas  entre  eux  en  railbn  de  nombre  a  nombre. 

Pour  le  faire  voir  il  faut  examiner  encore  fa  prop.  1 1  et  la  folution  qu'il  donne  a  la 
difficulté  que  j'y  avois  objectée.  J'avois  dit  que  quoyque  la  tenninailbn  d'une  suite 
convergente  eftant  trouvée  par  fa  méthode  devoit  necelfairement  eftre  compofee  de 
mefme  des  féconds  tenues  que  des  premiers,  il  ne  s'en  fuivoit  pas  que  cela  feroit  ne- 
ceiïaire,  quand  cette  tenninaifon  ieroit  peut  cflre  trouvée  par  quelque  autre  manière 
que  la  fiene.  Il  me  demande  un  exemple  de  cecy,  ou  une  jufle  railbn  de  douter  pour- 
quoy  la  mefme  chofe  ne  conviendroit  pas  a  toute  tenninaifon  de  quelque  manière 
qu'elle  fut  trouuce;  comme  s'il  ignoroit  qu'en  mathématique  l'on  a  jufte  raifon  de 
douter  de  ce  qu'un  autre  advance  jufqu'a  ce  qu'il  l'ait  demonllrè  [alinéa  biiTé]. 

Car  mefme  après  la  demonflration  qu'il  a  donnée  pour  fupplement  de  fa  propos.  1 1 . 
qu'efl:  ce  qu'il  en  peut  conclure,  fi  non  que  tout  fefteur  de  cercle  n'efl  pas  en  raifon 
analytique  a  la  figure  rcftiligne  infcrite  ou  circonfcrite  ^).  ce  qui  efl  tout  autre  chose 


')  Manuscrit  D,  p.  27 — 29.  On  trouve  aux  p.  3  et  37  respeftivement  les  dates  du  1 1  août  et  du  21 

septembre  1668. 
')  Les  pages  7 — 11  et  26  du  Manuscrit  D  contiennent  également  des  calculs  se  rapportant  à 

Gregory. 
3)  Dans  la  Pièce  du  12  nov.  1668  (T.  VI,  p.  273, 1.  19)  Huygens  ajoute  à  bon  droit:  quoyque 

cette  demonftration  ne  laifTe  pas  d'avoir  fa  beauté. 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  II.  309 

que  de  dire  que  nul  fcfteur  de  cercle  ne  l'cft.  Qui  dit  non  omnis  ne  dit  pas  nullus.  Et 
ainfi  il  ne  luflit  pas  de  dcmonflrcr  que  le  fcélcur  de  cercle  a  fa  figure  infcriten'eft  pas 
analytique  indelinitè,  mais  il  faut  demondrer  que  c'efl  la  mefme  chofc  in  cal'u  onini 
dcfmito.  comme  par  exemple  quand  on  prend  le  ietteur  qui  tait  le  tiers  du  cercle, 
luppoiant  a  égal  a  i,  ^  do  2:  les  premiers  termes  de  fa  fuite  convergente  feront  3  et 
1 2,  les  féconds  6  en  8.  Que  fi  je  difois  maintenant  que  la  tenninaifon  de  cette  fuite 

eft  .  .  .  .  ou  K     ,  je  ne  penfe  pas  que  par  fa  prop.  1 1  il  me  puiffe  prouver  le 

contraire.  Par  confequent  il  ne  s'en  fuit  pas  de  fesdemondrations  que  le  cercle  ne  foit 
au  triangle  equilateral  infcrit  comme  nombre  a  nombre.  La  melme  chofe  fera  vraie 
dans  tous  les  feCteurs  dont  la  foutendente  au  rayon  du  cercle  aura  quelque  raifon 
donnée  de  nombre  a  nombre  l'oit  rationel  (bit  fourd.  car  depuis  qu'entre  les  quantitcz 
^/ et  Z' dans  sa  prop.  1  1  il  y  aura  proportion  numérique,  l'on  ne  pourra  plus  dire  dcquelle 
façon  un  autre  nombre  proposé  ert  composé  des  premiers  ny  des  féconds  ternies  de 
la  fuite  convergente.  Et  par  confequent  en  tous  ces  cas  la  propos.  1 1  ne  demonflre 
point  qu'il  (bit  impofiible  de  trouuer  la  terminaiibn  par  quelque  autre  méthode  que 
celle  de  l'autheur.  Et  c'efl;  ce  qui  juftific  ma  première  remarque. 

Pour  les  autres  il  cil:  vray  qu'elles  font  toutes  fondées  fur  ce  que  l'autheur  n'avoit 
point  limite  l'ulage  de  la  méthode  dont  il  cherche  la  tenninaifon  dans  la  -  prop.  ny  fait 
la  déclaration  qu'il  fait  maintenant  en  ces  mots.  Dico  igitnr  et  dcchiro  me  intell'igere 
intllam  quantitatem  indefinitam  prêter  ipfos  tertnhios  couver gentes  compoftùonem 
piiffe  ingredi.  Et  fi  je  n'avois  eu  fujet  de  croire  qu'il  eut  ignoré  cette  rejedtion  des 
quantitez  indéfinies,  je  ne  me  ferois  point  arrellc  a  en  faire  veoir  la  neceflitè,  par  les 
faulTes  confequences  qui  naiffcnt  de  fon  omifiion.  Mais  puis  que  dans  fa  prop.  7'  il 

fiiûe  —  tube 
faifoit  entrer  dans  la  compofition  la  quantité  —  , — >-j~  ou  les  lettres  a  et  b  mar- 
quent des  quantitez  indéfinies,  j'ay  eu  raifon  d'en  conclure  qu'il  les  y  avoit  laiflces 
quoy  que  les  fcachant  eftre  telles.  Car  neceflliirement  l'un  des  deux  eft  vray,  ou  qu'il 
ait  efi^iié  d'oller  ^  et  ^  de  cette  quantité  ou  qu'il  ne  l'ait  point  effaié.  S'il  l'a  efi^ayé,  il 
faut  qu'il  n'aye  pas  veu  qu'il  les  pouvoit  oiler  en  divifant  pas  a  —  b  car  s'il  l'eut  veu, 
il  ne  pouvoit  plus  négliger  cette  divifion  par  inadvertance.  N'ayant  donc  point  veu 
que  ^  et  ^  fe  pouvoient  ofter  après  l'avoir  tenté,  il  a  creu  élire  obligé  d'admettre 
d'autres  quantitez  indéfinies  dans  la  compofition,  outre  les  tennes  convergents  eux 
mefmes.  Que  s'il  n'a  point  efiaié  d'ofter  a  et  ^,  qu'il  fcavoit  dénoter  des  quantitez 
indéfinies,  il  s'en  fuit  qu'en  les  laiffant  il  n'a  pas  feulement  penfé  que  de  telles  quan- 
titez ne  deuffcnt  point  entrer  dans  la  compofition.  Et  ainfi  je  penfe  avoir  afl^ez  prouvé 
que  ce  ne  font  pas  mes  feules  imaginations  comme  il  luy  plait  dire  qui  ont  donné  fujet 
a  mes  dernières  objections.  Mais  quoy  qu'il  en  foit  cela  ne  fait  plus  rien  a  la  quellion 
principale,  qui  eft  fi  M.  Gregorius  a  demonftré,  comme  il  prétend,  que  la  raifon  du 
cercle  au  quarrè  de  fon  diamètre  nejîpas  analytique. 


APPENDICE  Iir) 

À  LA  PIÈCE  VI  DE  LA  P.  259 

(INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  DE 

L'IMPOSSIBILITÉ  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE,  1668). 

[septembre  1668]. 


§  I .  Ex  meis  de  circuli  magnitudine  [Fig.  30]. 


V  +  a- 


i^- 


4c  +  a 


i-cc 


ac 


\aa 


2C+  3^ 
c 


''ce  +  2^f  —  \CKi 


a  + 


2C  +  ^a 
I  occ  —  I  oaa 
6c  +  ça 


ad.  [c.  à.  d.: 
addendo] 

arcus  AB  ter- 
minus major 

arcus  AB  ter- 
minus major 


Ceci  correspond  en  effet  à  l'approximation  donnée  par  Huygens  en  1654  dans  le  Tlieor.  XVI, 
Propos.  XIX,  de  fon  Traité  „De  circuli  magnitudine  inventa"  (T.  XIII,  p.  169).  Le  tliéoréme,qui 

eft  accompagné  d'une  démonftration,  donne  tant  une  limite  inférieure  de  l'arc  AB   f )  , 

qu'une  limite  fupérieure  du  même  arc,  celle  confidérée  ici.  Les  mots  „arcus  AB  terminus  major" 

lOl  C*  ~   ■  /7^  1 

fignifient  donc  que  la  quantité  a  -\ ï — -r- — é  eft  fupérieure  à  la  longueur  de  l'arc. 


')  Manuscrit  D,  p.  40 — 47.  Les  p.  37  et  50  portent  respectivement  les  dates  :i  sept,  et  30  sept. 
1668.  Les  calculs  de  Huygens  dans  le  Manuscrit  D  servent  à  préparer  son  article  de  novembre 
1668  fe  rapportant  à  la  polémique  avec  Gregory.  Comparez  les  deux  Appendices  précédents. 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  III. 


3»! 


[Fig.31] 


Area  polygoni  ABC  [Fig.  31]  e(l  BE  ao 

(l  in  AC.  l'our  trouver  l'aire  ilu polygone \\  fau- 

ilrait  cvideitiineiu  encore  multiplier  par  -,  n 

étant  le  nombre  des  cotes.) 

Area  polygoni  tocidcm  laterum  ABDC 

ce 
cil  BDC  00    -  in  AC  (même  remarque). 
a 

—  • — •  ^(cecimultipliépar  AC,et  par    ,  donne 

la  différence  des  aires  des  polygones  circonfcrit 
et  infcrit). 

Per  Prop.  6  meam  [du  Traité  nommé, 
favoir,  dans  la  traduction  françaife:  Tout  cercle 
eft  plus  petit  que  les  deux  tiers  du  polygone 
femblable  infcrit,  T.  XI,  p.  130]: 


3  ^        3 


major  terminus 


c  +  ^c  —  \a  minor  terminus 


s.  [c.  à.  d.:  fiibtrahendo] 


Cette  féconde  équation  correfpond  à  la  Prop.  V  (ou  5),  T.  XI,  p.  128:  Tout  cercle  eft  plus  grand 
qu'un  polygone  à  cotés  égaux,  qui  lui  eft  infcrit,  plus  le  tiers  de  la  quantité  dont  ce  polygone  fur- 
pafle  un  autre  polygone  infcrit  d'un  nombre  de  côtés  réduit  à  la  moitié. 


„  ce 
^  a 


^c 


différencia  Gregorij. 


Comme  Iluygens  le  dit  dans  la  Pièce  No.  1669  de  notre  T.  VI  (article  publié  dans  le  Journal 
des  Sçavans  du  12  nov.  1668)  Gregory  a  en  effet  deux  propofitions  équivalentes  ^)  aux  Prop.  V  et 
VI  de  Huygens,  de  forte  qu'il  trouve  les  mêmes  valeurs  fupérieure  et  inférieure  pour  la  furface  du 

cercle  (il  faut  toujours  fuppofer  les  expreflîons  | — |-  »  a  etc.  multipliées  par  le  rayon  ACet  le  nombre 

-;  ou  bien,  ce  qui  eft  plus  commode,  fuppofer  que  le  rayon  a  la  longueur  1  et  qu'il  n'eft  pasqueftion 

du  cercle  entier  mais  feulement  d'un  fec'teur).  La  différence  de  ces  limites  fupérieure  et  inférieure 
eft  donc  une  „differentia  Gregorij"  tout  auHi  bien  qu'une  „differentia  Hugenii". 


^)  Les  Prop.  XX  et  XXI  de  la  „Vera  circuli  et  hyperbols  quadratura". 
3)  Nous  avons  ajouté  la  lettre  M  dans  la  Fig.  31. 


3 1 2  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  III. 


«~  +  |^-i^f 


a 


3 


|c  —  j^  minor  ceraiinus    ) 


_8^  ^  +  ^,a  +  -rVf  feftor  ABM  Gregorij  '). 

D'après  Huygens  (voyez  auHi  la  p.  2-4  du  T.  VI)  Gregory  croit  obtenir  ■•)  une  nouvelle  fort 
bonne  approximation  (il  s'agit  apparemment  d'un  „terminus  major")  pour  le  fecleur  confidéréen 
ajoutant  à  l'ancien  „terrainus  minor"  feulement  les  i  de  la  difTérence  entre  l'ancien  „terminus  major" 
et  l'ancien  „terminus  minor".  Huygens  dit  à  la  page  citée  (c.  à.  d.  dans  l'article  du  12  novembre 
1668  dont  il  était  déjàqueftion  plus  haut)  „que  cette  approximation  n'ell  pas  vraye  dans  le  cercle"  '), 
c.  à.  d.  qu'elle  eft  beaucoup  moins  bonne  que  Gregory  le  penfe,  (à  la  p.  41  Huygens  écrit:  hanc 
approximationcm  Grcgorius  proponit  fed  inutilis  eft  cum  non  accédât  ad  verum), 
puifqu'on  obtient  déjà  un  „tcrminus  major"  en  ajoutant  non  pas  i  mais  i  de  la  dite  différence 
(voyez  aufîi  fur  ce  fujet  la  première  note  de  l'Appendice  V  qui  fuit),  ce  qui  donne 

1  ce       %      ,16 
15  a       15         15 

Le  rayon  ayant  par  hypothéfe  la  valeur  i,  ce  „terminus"  pour  le  „fe<rtor  ABIM"  peut  tout  aufti 
bien  être  appelé  un  „terminus"  pour  l'arc  BC  de  la  même  Fig.  31.  Huygens  peut  donc  le  comparer 

avec  fon  „terminus  major"  à  lui  (le  „terminus  major"  de  la  Prop.  XIX,  plusexact  que  -  — \-  ~n) 

pour  le  même  arc.  Ce  faifant  il  conftate  que 

10      ,               I 
— ce  +  lac aa 

_2_££  —  j_^       2°^  I   _3 3 —  Qg  fignell équivaut  à  notre  >> 

15  /»        15  15    I  2f +  3« 

lin  effet,  en  multipliant  par  ic  +  3",  puis  par  —a,  il  obtient 

4 


2acc  +  ^aac  —  a^ 


c.  à.  d.  cubus  c  —  a  major  nihilo 


■*)  Dernier  alinéa  de  la  Prop.  XXV  de  la  „Vera  circuli  et  liyperbolse  quadratura":  „Est  etiam  alla 
approximatio  omnium  brevissima  &  maxime  admiranda,  etiamsi  mihi  noncontingatillamde- 
monstratione  geometrica  munire,  etc". 

5)  Voyez  l'Appendice  V  qui  suit  pour  le  cas  de  l'hyperbole,  à  laquelle  la  nouvelle  approximation 
de  Gregory  se  rapporte  aussi. 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  III.  3  1  3 

ce  qui  eft  évidemment  cxaft  (première  ligne  de  la  p.  275  du  T.  VI).  Il  conclut:  Et  cum  mea  fit 
major  vcro  et  minor  qiiam  ipfius,  eric  et  ipfius  major  vcro  *). 

Notons  que  Grcgory  dans  fa  lettre  à  Oldenlnirg  du  25  décembre  1668,  publiée  dans  les  Philo- 
Ibpliical  Tranlactions  du  15  février  fiiivant  (notre  No.  1682,  T.  VI),  nie  (p.  309)  que  Iluygens, 
en  faifant  cette  obfervation  fur  la  valeur  de  l'approximation  obtenue  par  l'addition  des  4  de  la 
différence  fufdite,ait  bien  compris  ce  qu'il  voulait  dire. 

§  2.  Parlant  de  l'approximation  exprimée  par  l'expreffion  — —a  -\ c,  Huygens  dit  dans 

le  4''""  alinéa  de  la  p.  274  du  T.  VI  pouvoir  démontrer  que  les  polygones  [infcrit  et  circon- 
scrit] s'accordant  jufqu'au  tiers  de  leurs  chiffres,  [l'expredion  confidérée]  ne  peut  différer 
au  plus  de  la  véritable  grandeur  du  cercle  7)  que  dans  les  deux  derniers  chiffres;  et 
que  le  plus  fouvcnt  il  doit  avoir  tous  les  mcihies  et  au  delà.  Ceci  n'eft  guère  compréhen- 
fible  pour  le  lecteur  qui  ne  connaît  pas  le  raifonnement  de  Huygens  *).  Cette  demi-obfcurité  eft 
peut-être  voulue.  Quoi  qu'il  en  foit,  il  ne  femble  pas  inopportun  de  faire  connaître  le  dit  raifon- 
nement. 

A  la  page  44  du  Manufcrit  D  Huygens  commence  par  établir  les  fix  théorèmes  fuivants,  tous 
bien  fimples  et  dont  il  ne  formule  donc  pas  la  démonftration. 

Theor.  i. 

Si  numerus  in  numerum  ducatur,  habcbit  produdum  nonplures  cifras  quam  iutnma 
cifrarum  eorum  qui  dufti  funt.  Idem  vero  produftum  non  pauciores  habebit  cifras 
quam  fumma  cifrarum  duftorum  minus  unâ. 

Theor.  2. 

Si  numerus  per  numerum  minorem  dividatur,  habebit  quotiens  non  pauciores  cifras 
quam  differentia  cifrarum  eorundem  numerorum,  non  plures  vero  quam  eadcm  diffe- 
rentia  cifrarum  plus  unâ. 

Theor.  3. 

Si  duo  numeri  asquali  numéro  cifrarum  priores  aliquot  cifras  eafdem  habuerint  et 
proxima  ab  illis  cifra  majoris  excédât  binario  vel  amplius  cifram  fuppofitam  minoris. 


*)  Observons  en  passant  qu'on  n'a  pas  (1. 3  de  la  p.  275  du  T.  VI)  </  =  —  mais  d=~. 

7)  Ou  plutôt  du  sedeur  de  cercle  considéré,  puisque  l'expression  considérée  (voyez  le  §  i)  ne 

correspond  pas  au  cercle  entier,  mais  à  un  sefteur. 
')  Comparez  le  début  du  dernier  alinéa  de  la  note  15  de  la  p.  142  du  T.  XII,  se  rapportant  au 

Traité  de  1654  n^^  circuli  magnitudine  inventa". 

40 


314  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  III. 

auferaturque  minor  numenis  à  majore,  habebit  refiduiim  cotidcm  cifras  quot  erant 
in  alterutro  numéro  difllmiles. 

Theor.  4. 

Si  duo  numeri  tequalem  multitudinem  cifranim  habuerint  et  priores  aliquot  cifras 
eafdem  alcer  altcri.  ablato  minore  a  majori,  reliquus  non  habebit  plures  cifras  qiiam 
quot  erant  cifrœ  diflîmiles  in  ijfdem  numcris. 

Theor.  5. 

Si  duo  numeri  altcralteri  addantur,  fumma  non  habebit  plures  cifras  quam  major 
numerorum  plus  unâ.  quod  autem  non  pauciores  habebit  quam  major  numerus, 
cercum  eft. 

Theor.  6. 

Si  numeri  alicujus  cifra  initialis  fit  i  vel  2,  ejus  quadratum "cifras  habebit  bis  tôt 
quot  latus  cifras  habebat  minus  una. 

Enfuite,  à  la  p.  47  du  même  Manufcrit,  Huygens  raifonne  comme  fuit. 

Differentia  terminorum  majorum  Gregorij  correfti,  et  mei  (voyez  le§  i  qui  précède) 

_=  ££—  3^^  ^6^_^cc—  2ac  +  \aa 

11^ 1: 1: ^^  +  3^ mult.  p.  or  +  3^ 


C3 

(voyez  fur  .r  et  s  le  texte  qui  fuit) 


^ \icc  +  jiûc  —  ^^ûa     non  pauciores  cifras  habebit  quam  .v  +  3^  —  1 


mult.  p.  ^ 


4 
3fc  +  3^c  —  ûa      non  pauciores  quam  :v  +  3^  —  i 


c3  —  3<7cr  +  3<7^f  —  aa  cubus  exe  —  a  non  pauciores  quam  x  +  6s  —  2. 

Dico  autem  quod  fi  numeri  c  et  ^  habeant  priorem  tertiam  partem  cifrarum  eandem, 
ficut  elTent  104.67 191 2  do  r  et  104.528463  xi  û  quod  tune  terminus  ifiorum  alter 
alterum  non  fuperabit  numéro  ultra  quam  ex  duabus  cifris  confiante. 

Ponatur  enim  differentia  eorum  habere  cifras  x,  et  numerus  cifrarum  fimilium  in 
numeris  c  et  a,  vocetur  s.  Ergo  tam  c  quam  a  habent  finguli  cifras  2^-. 

Quia  ergo  2c  +  3^  non  habet  pauciores  cifras  quam  y,  fequitur  ducendo  ut  fecimus 
2C  +  3^  in  differentiam  propofitam,  produCtum  non  habiturum  pauciores  quam  x  + 
35  —  I  per  theorema  i  folii  antepenultirai.  Quod  produftum  rurfus  ducendo  in  ^, 
jam  illud  quod  oritur  quoque  non  pauciores  habebit  quam  .r  +  3^  —  1  quia  mulcipli- 
catio  per  '_^  non  poteft  minuere  numerum  cifrarum.  Rurfus  multiplicando  per  û  qui 


INSUFFISANCE  DE  LA  DEMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  III.  315 

liabec  35  cifras.  prodiiftum  non  habebic  pauciores  quam.r  +  6s  —  2  per  theor.  i. 
Atqui  hoc  produétum  cft  oublis  ab  c  —  a.  Ergo  cubiis  ibc  —  a  non  habet  pauciores 
quam  x  +  6s  —  2.  Ergo  vicidini  x  +  6s  —  2  non  habet  plurcs  quam  cubus  ab  r  —  a. 
Atqui  cubus  c  —  a  non  habet  plures  quam  6x,  per  i  theor.  Ergo  x  +  6s  —  2  non 
habcbit  ctiam  plures  quam  6s.  Ergo  x  +  6s  non  habebit  plurcs  quam  6s  +  2.  Ergo  x 
non  plures  quam  2.  Argumencatio  fubtilis. 


APPENDICE  IV  0 

À  LA  PIÈCE  Vl  DE  LA  P.  259 
(LNSUFFLSANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  DE 
L'IMPOSSIBILITÉ  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE,  1668). 

[sept.  1668]. 

On  peut  comparer  la  priifente  Pièce  avec  la  p.  275  du  T.  VI  (faifant  partie  de  l'article  de  Huy- 
gens  du  12  nov.  1668, mentionné  aulTiparnousau  début  derAppendiceIIqiiiprc;céde);on  trouve 
à  cette  page  une  figure  identique  (quoiqu'avec  d'autres  lettres)  à  la  Fig.  32  qui  suit.  La  présente 
Pièce  donne  l'explication  de  l'approximation  géométrique  d'un  arc  de  cercle  à  laquelle  ces  figures 
fe  rapportent,  explication  qui  faisait  défaut  dans  l'article  de  nov.  1668. 


Inventio  termini  minoris  proximi  ex  nojîris  de 


[Fig-  32]- 


Circuli  Magnitud'ine. 


-^cc  +  lac- 


\aa 


2C+  3/7 


¥ 


ICC  —  \ac  +  laa 


6c  +  ça 


NB.  Poftea  pag.  24.  h.  -)  terminus 
minor  propior  vero  invenicur. 


m. 


—CC 


16 


3  ac  +  ^aa  ^ 


6c  +  9a 

2C+  3^ 


major  terminus  arcus 
AB  [Fig.  32]  inven- 
tuspag.  I  ')hujus3). 

minor  tenninus  ex 
noftris  de  Circuli 
magnitudine. 

differcntia  termino- 
rum.  NB.  numcrator 
eft  quadratum  du- 
plum  abc  —  a. 

fefquitertia  termino- 
rum  differcntia.  adde 
per  pra;ceptum  nof- 
trum  prop.  20. 


')  Manufcrit  D,  p.  48 — 51.  Voyez  fur  la  date  de  la  Pièce  la  note  i  de  la  p.  310  qui  précède.  Vers 

la  fin  on  trouve  dans  la  Pièce  la  date  du  30  septembre. 
-)  Un  groupe  de  pages  du  Manuscrit  D  se  rapportant  à  la  recherche  de  la  quadrature  du  cercle  a 

été  numéroté  par  Uuygens.  Ces  numéros  (i — 25)  correspondent  à  la  numération  plus  récente 

40 — 64,  dont  nous  nous  servons. 
^)  Voyez  sur  cette  formule  la  p.  310  qui  précède. 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  IV.  3  1 7 

Il  s'agit  ihi  Probicma  IV.  Propos.  XX  du  Traité  de  1654  „De  circuli  magnitiidine  inventa" 
(T.  XII  p.  172  et  siiiv.).  Comme  on  peut  le  voir  audî  dans  le  T.  XII,  Huygens  n'a  pas  voulu  publier 
la  démonftration  de  cette  propo(ition  qui  enfeigne  de  trouver,  en  partant  des  limites  fupérieure  et 
inférieure  trouvées  antérieurement,  une  limite  inférieure  plus  exacte  pour  la  longueur  d'un  arc. 

La  limite  qu'il  calcule  ici  fuivant  cette  propofuion  (dans  fon  traitéde  165411  n'avait  pasdonné 

de  formule  algébrique),  Civoir  a -\ î^^ — —^ — :-,correfpond(lorfqu'on  multiplie  par 

'      '     6c  -\-ça 
an,  nombre  des  côtés  du  polygone  infcrit,  dont  AB  =  ceft  le  côté)  à  la  formule  (terminus  miner) 
de  la  note  52  de  la  p.  175  du  T.  XII,  également  déduite  par  nous  de  cette  propofition, 

,  I0(/>ln-/>^) 


6p,„  +  ppn 

On  peut  voir  auffî  dans  le  T.  XII  que  nous  n'avons  pas  réulïï  à  reconftruire  la  démonftration  de 
la  Prop.  XX  fupprimée  à  delTein  par  Huygens  et  qui  ne  fetrouvepasdanslesmanufcritsconfervés. 
Per  idem  prîeceptum  ut  fumma  *) 

3  qu.  2C  +  3^  +  I  qu.  c  —  a  1 06-      i  o 

6c  +  9a  '       3        3 

hoc  eft  uc 
9  qu.  2C  +  3^  +  8  qu.  c  —  a 

6c  +  ça 


10C+  loa- 


c  —  al. 

-1 


I  occ  —  I  oaa 


9  qu.  2C  +  2^  +  8  qu.  c  —  a 
6c  +  ça 

seu  locc  —  I  oaa  ,  arcus  AB  in 

+  (J 


.    ,         ,  8qu.c  —  a  minore  ter- 
or  +  Qa-\ 5 tninr^ 

Major  termmus  ante  mventus  pag.  i  'j  hujus  — ^ 1-  a  "j. 

Additiuncula  ad  a  in  majori  ad  additiunculam  in  minori  tennino  ad  eandem  a,  eft 
vice  verfa  ut  hujus  denominator  ad  illius  denominatorem  quoniam  numerator  utro- 
bique  idem.  Ergo  fi  additiuncula  in  majori  fit  HO,  in  minori  HZ  [Fig.  33];  erit 


4)  Savoir  la  somme  des  trois  expressions  considérées  en  dernier  lieu. 

5)  Un  groupe  de  pages  du  Manuscrit  D  se  rapportant  à  la  recherche  de  la  quadrature  du  cercle  a 
été  numéroté  par  Huygens.  Ces  numéros  (i — 25)  correspondent  à  la  numération  plus  récente 
40 — 64,  dont  nous  nous  servons. 

*)  Voyez  sur  cette  formule  la  p.  310  qui  précède. 


3  I  8  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GRRGORY  ETC.  APP.  IV. 


[Fig.  331-  HO  ad  HZ  ut  6c  +  ç,a+  ^£zif  ad  6c  +  .;a 

c^ 7^ — ^o  

^  HO  ad  OZ  ut  6c  +  odr  +  -/— nr  ->—; 

Hinc  invente  HO  invenitur  et  HZ  vel  OZ. 


HO  ad  OZ  ut  qu.  6c +  9«  +  8qu.c  —  «-î-8qu.c 
HZ  ad  ZO  ut  qu. 6c  +  9tf-r8qu.c  —  a. 


Cum  ergo  ut  qu.  6c  +  9(7  ad  8  qu.  c  —  a  ita  fit  HZ  ad  ZO,  hinc  ollendo  diiTcrcn- 
tiam  tcnninorum  OZ  non  eiïe  plurium  quam  duarum  cifrarum  fi  prior  tricns  cifrarum 
conftituentium  a  et  c  lit  idem.  Dicatur  enim  numerus  illc,  cifrarum  utrobique 
earundem,  s.  Ergo  tam  a  quam  c  liabent  cifras  3^  et  c  —  «  non  plures  quam  2J,  per 
Theor.  4  '). 

Demofifîfûtio.  Cum  ergo  6c  -\-  9^  fit  major  numerus  quam  1 0(7;  confiât  numcrum 
faftum  additione  6c  +  9^,  liabere  non  pauciores  cifras  quam  35  +  unà.  Undc  quudra- 
tum  ab  6c  +  ()a  non  pauciores  habebit  quam  6s  -\-  unà,  per  theor.  i  pag.  5  hujus.  Sed 
c  —  a  non  habet  pUircs  quam  25,  per  theor.  4  hujus.  Ergo,  quadratum  ex  c  —  a  non 
habebit  plures  quam  4.V  et  8  qu.c  —  a  non  plures  quam  4.?  +  i.  Rurfus  HZ  cum  fit 
minor  utiquc  quam  dupla  c  —  a^  non  habebit  plures  quam  is  +  i  per  theor.  5  hujus  •' ). 
Ergo  ducendoHZ  in  8qu.c^ — <?,  produdlum  non  habebit  plures  quam  6s  +  2.  Et 
dividendo  hoc  produélum  per  qu.  6c  +  ga  quod  non  pauciores  hahebat  quam  6s  +  i 
habebit  factus  hinc  hoc  eil  OZ,  non  plures  quam  cifras  2,  quanta;  fiunt  cum  à  6.f  +  2 
aufertur  6s  ■\-  i,  et  rurfus  i  additur  per  theor.  2  hujus. 

Numquam  igitur  inter  tcrminos  approximationis  mese  majorera  minoremque  (fum- 
tis  utriusque  cifris  triplis  numéro  ad  multitudincm  cifrarum  fimilium  in  a  et  c,  finu  et 
fubtenfa)  poterit  diiferentia  major  eflTe  quam  duarum  cifrarum.  plerumque  vero  ad 
unius  quidem  reperitur,  fed  tantum  fraclio  aliqua,  cum  nempe  amphus  quam  triplus 
verorum  charafterum  numerus  efiicitur. 

Qua;  autem  indicant  fore  minorera  difTerentiara  l'unt  ha;c.  Ratio  horum  patet  ex 
précédente  demonfi:ratione.  Si  6c  +  9rthabeat  plures  cifras  quam 3^  +  i,narapotest 
habere  35  +  2,  fi  initiales  in  ^  et  c  fint  magnœ.  et  fie  qu.  6c  +  ^a  habebit  6j  +  3  ut 
conftat  ex  i  theor.  Rurfus  fie  —  a  habeat  initiales  humiles  ita  ut  qu.  c  —  a  habeat 
tantura  \s  —  i  cifras  :  fimul  enim  fiet  ut  HZ,  quîe  non  efl:  dupla  c  —  a,  tantum  habeat 
is  cifras.  Hsc  humilitas  cifrarum  initialium  in  c  —  a  cemitur  in  exemplo  pag.  3  ^) 
unde  ne  unius  quidem  cifr^e  difFerentia  inter  teraiinos  oritur  ut  videre  licet  in  noftris 
de  magnitudine  circuli  prop.  20  '■'),  ubi  haec  polygona  adhibentur. 


")  Voyez  les  six  théorèmes  de  la  p.  313  qui  précède. 
')  Il  y  est  question  de  nombres  104  .... 
')  Déjà  citée  plus  haut. 


INSUFFISANCE  DK  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  AI'P.  IV, 


319 


Ca;tcriim  cum  noftri  tcrmini  hi  major  iiipra  minorcm  podint  diffcrcntiam  haberc 
duarum  cifraruni,  et  'rcrminiis  ex  nova  approxiniatione  pag.  8  "')  pollit  cxcc(T\iiti 
haberc  l'upra  majorcni  eorundcm  iimilitcr  duarum  cit'rarum.  videnduni  jam  quantum 
cxccdum  haberc  poflit  Tenninus  ille  ex  nova  approximatione  fupra  Terminum  mi- 
norem.  Videretur  dicendum  prima  fronte  p(^fre  eum  exceiïïim  effe  4  cifrarum.  fed  non 
potelt  elle  pUirium  quam  trium.  Nam  cum  différencia  inter  minorem  et  majorera 
vetcrem  non  fit  pluriura  quam  2  cifrarum,  non  crit  major  illa  differentiaquamyp.  Et 
denuo  cum  diifercntia  inter  majorera  veterem,  et  majorera  novum  lit  non  pkiriura 
quam  2  cifrarum  nec  major  proinde  quara  99,  utraque  diffcrentia  junfta,  hoc  eil  dif- 
ferentia  inter  minorcm  terminum  et  majorera  novuni  non  poterit  efle  major  quara  bis 
99,  fivc  198;  ideoque  non  major  quara  3  cifrarum. 

E{\  vero  pulchra  quoque  nova  ifta  Approximatio  '°),  quod,  ficut  vêtus  "),  triplum 
verarum  notarura  nuraeruin  in  arcuura  dinienfione  producit.  nara  uno  ad  furamura  ac 
plerumque  ne  uno  quidera  charaiftere  aberrat,  et  quanquara  pauxillo  a  veteri  vincatur 
hoc  exigui  ell  raomenti.  Dat  autem  et  conllniàliionera  egregiara  ac  fimplicem,  et  ad 
nuraerorum  calculum  adhibita  tantum  opus  habet  latere  infcripto,  et  circumfcripto,  et 
infcripco  polygoni  quod  reliquoruin  nuraerum  laterura  fubduplura  habeat.  Nara  his 
datis,  fola  additione  et  fubtraftione  arcus  longitudineni  verse  proximam  edit,  adco 


cxafte  ut  n  vel45°.  gr.  fit  arcus  non  différât 


15000 


fubtenfa\  Nempe  fi  finus  fit  r/,  fub- 


tenfa  hic  erit  arcus  zo  c  -\- 
[Fig.  32]-  A 


4^  +  f^- 
^  a 


a 


unde  conftruftio  erit  hujusraodi. 


ce 


Virij  ").  30  Sept.  1 668.  c  + 


T^  +  f- 


a 


Approximatio  nova,  paulo  major  arcu  cura  a 


ce 


ell  finus.  (•  fubtenfa  [Fig.  32].  ideoque  —  latus 


a 


—    polygoni  circurafcripti  totidera  laterura  quot  c. 


ce 


'°)  c.  à.  d.  l'approximation  (terminus  major)  /j  -  —  ^ja  +  \tc  de  la  p.  3 12  qui  précède 


■OC.  à.d. 


'ff  +  lac  —  ^< 


^   a 
1  ace  —  I  oaa 


ou 


+  <7,  également  terminus  major. 


ic  -\-  3/7  ""      de  +  9« 

=)  C.à.d.  à  Vir>',cliez  Claude  Perrault  (T.  VI.  p.  497).  Comparez  sur  ce  séjour  la  p.  323  du  T.  X 
ainfi  que  la  p.  3-2  du  T.  XIX. 


320 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  IV. 


CONSTRUCTIO. 

Datus  fit  arciis  ABC  cujus  fubtenfa  AC  [Fig.  34].  Dividatur  arcus  bifariamin  B 
et  duplœ  fubtenfîE  AB  ponatur  jequalis  AF.  Diiftâque  BE  perpendiculari  in  AB, 
ponatur  diiplœ  AE  œqualis  AG.  Et  fit  GH  tertia  pars  GF,  et  divifa  HC  in  quinque 


[Fig-  34]- 


-3>     C 


<^      -FKH^ 


îequales  fit  earuni  una  FK.  Et  erit  AF  [lifez  AK]  ajqiialis  arcui  ABC,  minimo 
excedens. 

o  Qp  n  çc  ce 

Ratio construftionis.AG  fit ^—.  AF  eft  2c.  ErgoFG,  ' o-c.  Et  GH  ooî  — 

—  \c.  Qua  ablata  ab  GA,  —  fit  HA  »  4  -  +  \c.  Et  CH  oo  f-  +  |c  —  ia. 

Et  hujus  4  nempe  FK  — qua  addita  ad  AF  00  2C,  fit  AK  do  26-  + 

|r  +  4££-2« 


ConjîruEîio  omnium  accuratijjîma,  et  elegantijftma  ex  approxhnaùone  veferi, 
+  a,  noviter  inventa  '3).  Sit  datus  arcus  portionis  ABC,  cujus  bafis 


6c  +  <)a 


[Fig-  35]- 


U       NI 


■3)  C'eft  la  re(5lification  approchée  de  l'arc  de  cercle  de  la  p.  275  du  T.  VI  dont  nous  avons  parlé 
au  début  du  présent  Avertissement. 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  IV. 


321 


ACdiameterliD  [Fig.35].Inprodu(ftabafiaccipiatur  ALœqualis  |  fubtenfa;  AB.  Et 
minuatiir  DL  parte  liii  dccima  LM.  Duétaquc  rcfta  MC,  (ît  ci  perpcndicularis  BN. 
Eric  AN  arcui  ABoîqualis,  et  dupla  AN  arcui  ABC. 


Ratio  conilruftionis  qiiod 


I  occ —  I  oaa 

6c  +  ()a 


00 


ce  —  aa 


Efl:  autcm  AD  x>  a^  AB  oo  r,  idcoque  BD  oo  X^cc  —  aa.  Unde 
utMD  ad  BD         ita  BD  DN 

aa 


a  - 


V 


ce 


aa 


\/cc  —  (ta/  - 
I   I  < 


ce 


'%C  +  /ô« 


cui  additur 


I  o*3'-     1^    I  o 

AD  30  a. 

Ma;c  conftruftio  etfi  in  parvis  arcubus  parum  excellât  prœcedentem,  in  magnis 
tamcn  arcubus  raulto  prœftantior  ell,  nam  etfi  arcus  ABC  fit  fcmicirculi,  tamen  dupla 
longitude  AN  non  excedet  arcum  ABC  ,5—  fui  ipfius  cum  eo  cafij  in  priori  con- 
firuc'tione  AK  excédât  arcum  ABC  aniplius  quam  ^  ig  fuîe  longitudinis. 

Quod  fi  vero  ABC  fit  triens  circumferentia;,  jam  in  pofierioriconfiruftione,  longi- 
tude dupla  AN  non  excedet  arcum  ABC  ttoS^  ^"i  parte.  At  fi  ABC  fit  circumfe- 
rentia.'  quadrans,  non  erit  exceiTus  gpôoo  duplœ  AN. 

Rurfus  fi  ABC  fit  \  circumferentia;,  non  erit  exceiTus  ^  g  p  ô  o  o  o  duplœ  AN. 

Differentia  inter  fi.ibtenlam  et  finuni  eit  ad  differentiam  inter  arcum  et  finum  ut 
fexcupla  fiibtenia  cum  noncuplo  finu  ad  decuplura  iumniJE  finus  et  llibtenfe. 

Vel 
Dato  arcu  circuli  quadrante  non  majori,  fi  fiât  ut  fexcupla  fubtensa  cum  noncuplo 
finu,  ad  fummam  finus  fubtenfceque  ita  eorundem  differentia  ad  aliam,  ejus  décupla 
addita  finui  efficiet  longitudinem  arcus. 

Vel  fie  optime. 
Omnis  circuli  portionis,  femicirculo  non  majoris,  arcus  œqualis  efl:  bafi  portionis 
et  linea;  qu£  fit  ad  diametrum  portionis  ut  idem  diameter  ad  novcm  décimas  compo 

[Fis-  36] 


322  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  IV. 

lîtœ  ex  quadrantc  bafis  cum  triente  lateris  trianguli  maximi  intra  porcionem  infcripti. 

Poteft  et  eadem  conllruàtio  variari  hoc  modo. 

Sit  datus  arcus  BP  [Fig.  36]  pars  femicirciimferentiœ  ABP,  dimidia  minor.  Duca- 
tur  BD  perpendicularis  diametro  AP.  Ec  jungatur  AB,  ejufque  duabiis  tcrcijs  fumatiir 
îequalis  AL  in  produfta  diametro  PA.  totaque  LD  diminuatur  parte  fui  décima  LM, 
ec  jungatur  MB  ec  producacur  occurratque  tangenticircumferenciara  ad  P,  in  punfto 
N.  Erit  PN  œqualis  arcui  PB. 


APPENDICE  V 

À  LA  PIÈCE  VI  DE  LA  P.  259 

(INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY 

DE  L'IMPOSSIBILITE  DE  LA  QUADRATURE  DU  CERCLE,  1668). 


Ccn'ert  pas  feulement  à  la  quadrature  du  cercle  que  fe  rapportaient  les  publications  de  Gregory, 
c'ert  aufli  à  celle  de  l'iiyperbole.  Or,  dans  fa  critique  du  2  juillet  1668,  mentionnée  au  début  de 
notre  Appendice  I,  Huygens  ne  dilait  rien  de  l'hyperbole.  Dans  le  projet  d'une  réplique  qui  confti- 
tue  notre  Appendice  II  il  fe  contentait  également  de  dire  (premier  alinéa)  qu'il  demeure  encore 
incertain  fi  le  cercle  et  le  quarré  de  Ton  diamètre  ne  font  pas  commenfurables,  c'cfl  a 
dire  s'ils  ne  font  pas  entre  eux  en  raifon  de  nombre  a  nombre  (le  mot  „nombrc"  étant 
pris  dans  le  fens  de  nombre  entier  ou  fourd;  comparez  la  p.  188  qui  précède).  Mais  dans  fa  réplique 
imprimée  il  ajoute  (T.  VI,  p.  273, 1. 7—<)):  et  de  mefmc  en  ce  qui  efl  d'une  portion  déter- 
minée de  l'hyperbole,  et  de  fa  figure  reftilignc  infcrite.  Et  à  la  p.  274:  je  trouve  que 
cette  approximation  ')  n'cfl:  pas  vraye  dans  le  cercle,  quoy  qu'elle  le  foit  dans  l'hyper- 
bole; et  que  comme  dans  celle-cy  il  prend  la  plus  grande  des  quatre  moyennes 
arithmétiques,  il  faut  prendre  la  plus  petite  pour  l'approximation  du  cercle  '). 

C'efl  aux  p.  54 — 55  et  60  du  Manufcrit  D  que  Huygens  confidère  la  quadrature  approchée  de 
l'hyperbole,  la  comparant  avec  celle  du  cercle.  P.  54  du  Manufcrit  (on  trouve  d'ailleurs  les  mêmes 
„termini  minor  et  major"  du  cercle  déjà  à  la  p.  31 1  qui  précède  ^): 


')  Alap.43du  Manufcrit  D  Huygensécrit,aprésunlongcalculnumérique,enparlantdes4propor- 
tionnelles  arithmétiques  intercalées  par  Gregory  entre  un  «terminus  major"  et  un  «terminus 
minor"  (il  s'agissait  de  trouver  un  nouveau  «terminus"  plus  rapproché  —  «terminus  W(7/or"  plus 
petit  dans  le  cas  du  cercle  — ,  voyez  sur  cette  question  ralinéa,,D'aprés  Huygens  etc."  de  la  p.3 1 2 
de  l'Appendice  III  qui  précède):  non  ergo  maxima  fed  minima  4  mediarum  arithme- 
tice  proportionalium  inter  inventes  terminos  Gregorio  fumenda  erat,  in  Circule 
et  Ellipfi  faltem  (dans  la  «Vera  circuli  et  hyperbola;  quadratura"  de  Gregory  il  efl  auflî 
queftion  de  l'ellipse). 

^)  Ileft  vrai  que  le  cet  le  <7  du  présent  Appendice  ne  sont  pas  les  mêmes  que  le  cet  le  <»  de  l'Appen- 
dice III,  mais  ils  leur  sont  proportionnels  (nous  parlons  toujours  du  cercle)  dans  le  rapport  de 
la  corde  au  rayon;  c'ell  pourquoi  l'on  trouve  ici,  avec  les  nouveaux  c  et  rf,  formellement  les 
mêmes  «termini"  pour  le  seâeur  divisé  par  la  demi-corde  que  dans  l'Appendice  III  pour  Varc. 


3*4 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  API>.  V. 


In  circulo  [Fig.  37] 
f_^[=PR,  flèche] 


In  hyperb.  [Fig.  38] 
a  —  c[=  PR,  flèche] 


HE  HE 

ic  —  |dr  [multipl.  par  —  <]/:inHPE     ^a  —  ^c  [multipl.  par  —  >  ]  ^::::n  HPE. 

cecien  vertuduTh.  IlI.Prop.  IIIde„DeCirciili      ce  qui  refTort  (voyez  la  note  3)  du  Th.  VI  des 
magnitudineinventa"dei654(T.XII,  p.  123).      „Tlieoremata  de  quadratura  hyperboles  etc." 

(T.  XI,  p.  304). 


[Fig.  38]- 


[addition} 


HP 

a  [multipl.  par  ^^='\A  THE 
2 


a  [multipl.  par 


HE 


=]Z1THE 


fc— 1^?  [m.  par iî^<]  V  THPE 
minor  terminus 


ex 


c  —  i^  [m.  par  ^  ?  ] /\  HTEP 

major  tenninus 

Huygens  commet  ici  une  erreur  dans  le  cas  de  l'hyperbole.  En  retranchant  ^/j  —  ^c  de  a  (multi- 

HE"\  HF 

plies  l'un  et  l'autre  par  —  J  on  obtient  (^f  —  |-tf)  —  <  A  HTEP,  donc,  comme  dans  le  cas 

du  cercle,  un  „terminus  minor". 


3)  D'après  le  Th.  VI  des  „Theoremata  de  quadratura  hyperboles  etc."  on  a  /^  HPE:  /]  HPE 
=  I  (2TP  +  PR)  :  TV,  V  étant  le  centre  de  gravité  du  segment  HPE.  En  d'autres  termes 

2TP  4-  PR 
IZIHPE       J^       =^HPE, 

r.TP  _L  p'R       c  4-  a 
où  - — rs^ïT —  =  — Tpr^,  ce  qui  eft  inférieur  à  l'unité,  puisque  VR  <  PV.  Donc  |  ^  HPE  > 


2TV 
^-nHPE. 


aTV 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  API'.  V.  325 

--^  [multipl.par.  —  =]ZlHLE   «--[multipl.  par^-=]  ^HI.E 

a  a 

[miiltipl.] ^ ^ 


f  -  —  f«  [m.  par.  ^  >]  /^n  HPE       f ^  -  |  -  [m.  par  îi??]  ^  HPE 

ceci  en  vertu  du  Th.  IV.  l'rop.  IVde„De  d'après  le  Th.  XXIV  de  la  „Vcra  circuli 

Circuli  magnitudine  inventa".  et  hyperbole  quadratiira"  de  Gregory  *} 

HF  HF 

a  [m.  par  "^  =  ]  zJ  THE  a  [m.  par  —  =]  z1  THE 

[addition] -— ex fTp 

f^  +  ^«[m.parî:^>]9THPE      |^  +  ^<m.parîi^?]  AHTEP 

major  terminus  miner  terminus 

Ici  auffîil  y  a  chez  Huygens  erreur  dans  le  cas  de  l'hyperbole.  Il  s'agit,  comme  dans  le  cas  du  cercle, 
d'un  „terminus  major"  5). 


■*)  Comparez  la  note  6  qui  suit. 

5)  C'est  ce  qu'on  peut  démontrer  directement  comme  suit.  Soit  l'équation  de  l'hyperbole  HPE 

.v=       f  f 

[Fig.  39]  en  coordonnées  reftangulaires-j  —  —  =  i.  Le  segment  HPER  est  2  1  ydx.  On  a 

c 

[Fig.  39j-  ^  .pj^pg  ^^y_„  A,d^_  I,  faut  prouver 

e 

xy  —  2  jydx  <  V  (^1  '-  +  I  .V  J 

c 

X 

c.  à.  d.    (a--  —  c')y  <  3  v  lïd.v  pour  toute  valeur 

c 

de  X  supérieure  à  c. 
Pour  .V  =  c,  les  deux  membres  s'annulent.  Il  suffit  donc  de  faire  voir  que  les  accroissements 
du  premier  membre  sont  toujours  inférieurs  aux  accroissements  correspondants  du  deuxième, 
c.  à.  d.  que  (après  réduftion) 

X  (.v'  —  C-)  ày  <y  Q^x-  —  e')  dx 

ou  x(x^  —  <:-)d^<(2.v-  —  c^')^-^ày 

ou  c'  <  A,-',  ce  qui  eft  vrai. 

ce 
L'expression  |  —  +  y'»  est  donc  un  «terminus  major".  C.  Q.  F.  D. 


326  INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  APP.  V 

|f  —  ^a  major  terminus  Gregorij  ''') 


a 


ce 


[fouftraaion]  _^ 


— h  y^  minor  terminus  Gregorij  ') 


Comme  nous  l'avons  dit  plus  haut  la  première  exprefïïon  correspond  au  „terminus  minor"  et  la 
deuxième  au  „terminus  major".  (~)n  voit  tout  de  fuite  que  la  deuxième  eft  fupèrieure  à  la  première 

puifque  f  f  +  è-»  -  (^  -  j^)  =  ^  (-^  -  0=- 


")  Comme  nous  l'avons  dit  à  la  p.  31 1,  les  deux  expressions  font,  dans  le  cas  du  cercle,  à  la  fois 
des  „termini  Ilugenii"  et  des  „termini  Gregorii";  où  toutefois  Huygens  a  la  priorité.  Ici  Huy- 
gens  parle  de  l'hyperbole,  de  sorte  que  l'expression  „termini  Gregorii'  semble  préférable. 

7)  Huygens  écrit  à  la  même  p.  54: 


TV 

c+ia  —  ic 

|RTP 

^HPE    ^HPE 

^HPE 

TV 

î^+'j^        ' 

1  -,     1      n  - 

^       rl¥^-¥'^ 

\oaa  —  \occ 

î^+ 3^ 

a  —  Cl  =^-- ^ — 

/    \c  +  \a 

de  +  9« 

ex  a 


loaa —  locc 
a  — 


ôc  +  ça 
minor  terminus  meus  in  hyperb.  /\  THPE  (lequel  peut  auflî  s'écrire 


]  O     1     I  1      t 


2c  +  3a 

Comparez  sur  ce  calcul  la  note  3  qui  précède.  Seulement  Huygens  prend  ici  pour  V  le  centre 
de  gravité  d'un  segment  de  parabole  au  lieu  du  segment  hyperbolique  considéré,  comme  il  le 
faisait  auHî  en  d'autres  occasions  (voyez  les  p.  432  et  454  du  T.  XIV).  Il  n'obtient  donc  pas  la 
valeur  exacte  de  la  surface  du  segment  hyperbolique  HPE,  mais  la  valeur  approchée 

) ,  d'où  se  tire  pour  le  A  THPE  la  valeur  approchée 

6c  +9/»    y  '^ 

îir.    3  ^  "*" ~  3^  .  Pour  reconnaître  s'il  s'agit  d'un  „terrainus  major"  ou  bien  d'un 

2  2f+3'» 

„terminus  minor",  il  peut  sembler  qu'il  faille  savoir  d'ailleurs  si  le  centre  de  gravi  té  du  segment 
hyperbolique  se  trouve,  oui  ou  non,  plus  près  de  la  base  que  celui  du  segment  parabolique 
également  symétrique  de  même  base  et  de  même  hauteur.  En  réalité  cela  n'efl:  nullement  néces- 
saire: on  voit  que  la  formule  pour  y^  THPE  s'annule  non  seulement  pour  HE  =  o  (segment 
évanouissant),  ce  qui  est  évident  a  priori,  mai<  aussi  pour  /»  =  r  (3  +  1  19),  où  le^THPE 
a,  comme  toujours,  une  valeur  positive;  nous  avons  donc  affaire  à  un  „terminus  minor". 


INSUFFISANCE  DE  LA  DÉMONSTRATION  DE  GREGORY  ETC.  Al'P.  V.  327 

ce 
|c  —  I \a  ditF.  tenu.  Greg. 

il 


[nuilt.] 


Différence  négative. 


lie K  — ?,tf         *  diff 


a.  [c.  à.  d.  addendo] 


I  — \-  la        minor  tenn. 
^  a      ^ 


C'eft  au  contraire  un  „terniinus  major".  L'addition  ne  donne  donc  pas,  comme  Huygens  le 
penTe,  le  terminus  minor  +  i  (t.  major  —  t.  minor),  mais  le  t.  minor  +  i  de  cette  différence. 


■f  I  c  +  fj -^j  n  approximatio  Gregorij  ^  THPE  [c'efl  donc  là 

l'approximation  que  Huygens  appelle  „approximatio  Gregorij"  et  dont  il  difait  dans  les  paroles 
citées  plus  haut  qu'elle  eft  vrayc  .  .  .  dans  l'hyperbole]  qua;  erit  minor  terminus  quippe 
minor  ctiam  meo  tennino  hic  invento  [voyez  la  note  7],  ut  conftabit  fimili  dcmonllra- 
tione  ac  pag.  4 [nos  p.  3 1  : — 3 1 6,démonftration  fe  terminant  parles  mots:  Et  cum  mca  fit  major 
vero  et  minor  quam  iplîus,  erit  et  iplius  major  vero]  obfervando  quod  hic  a  major 
quam  c  [de  forte  que  (f — 0^  eft  négatif].  On  voit  en  effet  que  la  „demonftratio"  eft  „rimilis" 

puifque  l'approximation  trouvéeparHuygens(note7) -3 5 — a  exaftement  la  même 

ic  -\-  la 

forme  pour  l'hyperbole  que  pour  le  cercle  avec  cette  différence  que  cette  exprefTion  conftitue  un 
„terminus  major"  pour  le  cas  du  cercle,  mais  un  „terminus  minor"  pour  celui  de  l'hyperbole. 

Il  importe  peu  que  c  ti  a  Ibient  ici,  tant  pour  la  formule  y|  f  +  ^-j •  -^j  a  que  pour  la 

^  °c°  -U  lac — ^-a' 

formule -3 ^ — ,  d'autres  grandeurs  que  dans  les  formules  identiques  de  la  p.  312 

ic-\-ia 

(comparez  la  note  2  delà  p.  323).  L'„approximatio  Gregorii"  eft  donc  en  effet,  comme  Huygens  le 

dit,  un  „terminus  minor". 


La  valeur  — ^^ -,  elle,  est  donc  supérieure  àla  vraie  valeur  du  segment  hvperbolique, 

de  sorte  qu'on  peut  conclure  ici  en  passant  (ce  que  Huygens  ne  fait  pas)  que  le  centre  degra- 
vité  du  segment  hyperbolique  est  plus  près  de  la  base  que  celui  du  segment  parabolique.  Nous 
avons  admis  tacitement  que  s'il  en  est  ainsi  pour  les  centres  de  gravité  de  deux  segments  symé- 
triques de  même  base  et  de  même  hauteur,  il  en  est  aussi  de  même  pour  toute  autre  paire  de 
pareils  segments  (l'un  hyperbolique,  l'autre  parabolique)  de  même  base  et  de  même  hauteur, 
ce  qui  peut  être  justifié  par  des  considérations  géométriques. 


APPENDICE  I 

À  LA  PIÈCE  VIII  DE  LA  P.  265  (PROBLEMA  ALHASENI) 

1672. 

25  Maj.  1672. 

Problema  Alhafem.  Dato  circulo  cujus  centrum  A  radius  AD,  et  puncftis  duobus 
B,  C.  Invcnio  pundlum  II  in  circumferentia  circuli  dati,  unde  diids  HB,  HC  faciain 
ad  circumfercntiam  angulos  a^quales. 

Etc.  C'eft,  peut-on  dire,  la  Pièce  que  nous  avons  publiée  dans  le  T.  VII,  p.  187 — 189  (pièce 
1891).  Comme  on  le  voit  dans  ce  Tome,  elle  fut  envoyée  de  Paris  par  Iluygens  à  Oldenburg  dans 
une  lettre  du  i  juillet  1672.  Les  f.  136  et  fuiv.  des  Cliarts  mathematicje,  auxquelles  nous  emprun- 
tons le  préfent  Appendice,  nous  font  connaître  la  date  de  la  compofition.  Voyez  aufli  fur  la  pièce 
1891  le  premier  alinéa  de  l'Appendice  II  qui  fuit. 

Dans  fa  lettre  Huygens  a  copié  prefque  mot  à  mot  la  Pièce  du  25  mai,  mais  il  a  omis  la  „ratio 
conftructionis"  ou  plutôt  il  ne  l'a  indiquée  que  dans  trois  lignes.  Voici  d'après  la  Pièce  originale  cette 

R.(Jtio  ConflfuBionis  (où  il  faut  confulter  les  deux  figures  de  la  planche  vis-à  vis  de  la  p.  187 
du  T.  VII).  Ducantur  Py,  Q(^perpendiculares  in  AM.  Elt  ergo  uc  BA  ad  PA,  hoc  eft, 

ut  qu.  BA  -X)  aa  -{■  bb  ad  qu.  lA  30  dd^  ita  MA  00  (2  ad  A7  x  — X77'  ^"'  a:qualeni 

pofuimus/».  Ergo  ky  oo  p.  Sed  ut  AL  ad  AM  ita  CA  ad  AB,  et  ita  PA  ad  AQ,  (eft 
enim  \ZZ\  BAP  x>  \ZIÏ'  CAQ,  quia  uttoimque  squale  qu.°  AD  radij).  Ut  autem  PA 

ad  AQ  ita  A7  ad  A^.  Ergo  ut  AL  00  c  ad  AM  x  «  ita  Ay  x  /)  ad  A^  x  -^.  Quia 

autem  R  dividit  bifariam  redlam  PQ,  etiain  o  bifariam  fecabit  y^.  Quamobrem  AO 

erit  X  i  Ay  -f  iA^,  hoc  eft  x  |/>  +  4~^,  cui  œqualem  pofuimus  s.  Ergo  AO  x  s. 

Et  OF  X  X — s. 

Porro  ut  AL  x  c  ad  LC  x  «  ita  eft  Ay  x  />  ad  yP,  quas  eft*-^.  Item  ut  PA  ad 

AQ  hoc  cil  ut  CA  ad  AB,  hoc  eft  ut  CL  x  n  ad  MB  x  b  ita  P7  x  '^  ad  Q(f,  quœ 

ergo  erit-^.  Sed  propter  PQ  bifeftam  in  R,  facile  apparet  efte  OR  x  ^  differentise 

inter  Qi^et  Py.  Ergo  OR  erit  i^  —  |^,  cui  Eequale  pofuimus  q.  Ergo  OR  five 
FV  X  q.  Et  VH  zoy  —  q.  Sed  erat  OF  five  RV  x  x — s.  Ergo  \ZZ\  RVH  x  xy — 


PROBLEMA  ALHASENI.  APPENDICE  I.  329 

qx — sy  +  sq.  Sed  idem  CZl  RVII  ex  conftriictione  squale  cft  {Z3'  AOR  hoc  eft  sq^ 

nam  AO  eft  s  et  OR  :o  q.  Ergo  .rj' — ^.r — i'j-\-sq  oo  ^i/,  ce  ablatis  a^qualibus  fit.rjy  X)  ^;c 

+17  lit  in  a^qiiationc  fiiperiiis  inventa.  [Ergo]  confiât  rede  condructuni  efTe  problema. 

Quod  autem  hyperbole  per  punfta  P,  Q  tranfeunt  lie  conftabit.  Si  enim  in  xqua- 

,.       .    .phx  —  pnx -\- pcy  +  pay  _     .  .      _ 

tione  lupcnon*^ ^ f—^- — *— ^  oo  xy^  fucrit  x  :a  p  zo  Ay,  net 

bp  —  i!p  -\-  cy  -\-  ay              bp  —  np  „  .  ,  .         „   . 

~ 00  3»  et  -^ ^  00  — y.  Ergo  a  —  c  ad  Z»  —  /;  ut  /»  ad  — y.  Sed 

^1  —  f  eft  ad  i  —  «  ut  ^  ad  Z»,  quia  a  ad  Z»  ut  c  ad  «.  Ergo  <?  ad  Z»  ut  />  ad  — y.  Sed  ut  a 
ad  Z»,  hoc  ell,  ut  AM  ad  MB  ita/i  fi  ve  Ay  ad  yP.  Ergo  y  P  oo  — y  quand  [fie]  Ay  oo  .r. 
Unde  Hquet  hyperbolam  tranfire  per  punélum  P.  Itaque  et  per  Q  tranfibit  hyperbola 
oppofita  quia  PR  oo  RQ  ex  conftru(5tione.  Eftque  R  centrum  oppofitarum  seftionum. 

Enfuite  Huygens  confidère  quelques  cas  particuliers.  Il  biffa  plus  tard  ces  remarques  au  crayon, 
ne  les  jugeant  fans  doute  pas  fort  importantes. 

Voyez  fur  les  folutions  concurrentes  de  René  de  Slufe  et  de  Huygens  du  problème  d'Alhazen 
dans  les  années  167 1  et  1672  les  p.  218  et  219  (note  128)  de  rAvertidement  qui  précède. 


4a 


APPENDICE  II 

À  LA  PIÈCE  VIII  DE  LA  P.  265  (PROBLEMA  ALHASENI) 

1673. 


Charti  mathematicœ  f.  147:  De  problemate  Alhafeni ...  Il  y  a  une  plus  belle  folution 
et  deinonftration  que  toutes  celles  cy  dans  mon  livre  d'adverfaria  marque  D,  près  de 
la  fin,  ou  dans  un  in  4°.  Confultez  auiïi  fur  ce  fujet  notre  note  30  à  la  p.  497  du  T.  X:  en 
diTant  que  la  folution  de  la  pièce  1891  —  c.  à.  d.  de  la  Pièce  publiée  dans  le  T.  VII  dont  il  efl  ques- 
tion dans  l'Appendice  précédent  —  eft  „la  plus  fimple  et  la  plus  élégante"  nous  avons  tenu  compte 
du  fait,  mentionné  dans  cette  note  30,  que  la  folution  de  la  pièce  1891  et  celle  de  V  „\n  4°"c.  à.  d. 
du  Manufcrit  1 1,  ne  font  pas  entièrement  diffemblables. 

Les  p.  301,  384,  393,  418  du  Manufcrit  D  contiennent  en  effet  des  figures  fe  rapportant  à  la 
folution  du  Manufcrit  1 1.  Ces  dernières  pages  du  Manufcrit  D  datent  de  1673;  le  texte  du  Manu- 
fcrit 1 1  peut  être  de  beaucoup  plus  tard.  Les  Chart»  mathematica;  contiennent  d'ailleurs  aufli 
(outre  plufieurs  autres  feuilles  fe  rapportant  au  problème  d'Alhazen)  une  double  feuille  féparée 
(f.  143 — 144)  qui  porte  la  date  du  2  septembre  1673  et  donne  la  même  folution;  une  de  fes figures 
a  été  utilifée  dans  la  note  3  de  la  p.  570  du  T.  X.  Le  texte  du  Manufcrit  1 1  a  apparemment  été 
copié  en  partie  de  celui  de  la  double  feuille  143 — 144.  A'ous  avons  déjà  dit  vers  la  fin  de  la  p.271 
qui  précède  que  c'eft  ici  la  conflruction  préférée  par  Huygens.  Comme  la  p.  570  citée  le  fait  voir, 
Huygens  envoya,  ou  du  moins  fe  proposait  en  novembre  1693  d'envoyer  cette  folution  en  France, 
où  elle  ne  fut  toutefois  pas  publiée.  Voyez  encore  fur  ce  fujet  notre  remarque  à  la  p.  27 1  qui  précède. 

Voici  le  texte  du  Manuicrit  1 1  (p.  i — 6): 

Probletna  Alhazeni  ad  im^eniendum  in  ft4perficie  fpectili 
fpharici  pun&um  reflexionis. 

Extat  hoc  problema  in  Alhazeni  Arabis  libris,  quos  de  rébus  opticis  confcripfit, 
unde  idem  tranfcripfit,  ut  caetera  fere  omnia,  Vitellio  ').  Eftautemiblutioacdemon- 
ftratio  Alhazeni  longa  admodum  ac  tedioia,  ipfumque  problema  difficile  vifum  eit 
geometris  plerifque  nec  a  quoquam  poil:ea  brevius  conllruftum  quod  fciam.  Cîeterum 
analyticje  artis  opéra  non  uno  modo  illud  refolvimus,  quorum  tandem  hic  quem  tra- 
dimus,  vifus  eft  omnium  optimus  breviffimufque. 

Sit  ergo  propofitum  date  circule  cujus  centrum  A,  punftifque  B,  C,  invenire  in 


')  Voyez  sur  les  ouvrages  d'optique  d'.\lhazen  et  de  Vitellio  les  p.  6  et  9  du  T.  I  et  5  du  T.  XIU. 


PROBLEMA  ALllASENI.  APPENDICE  II. 


33' 


circonferentia  punftum  H  [Fig.  40]  m  duftse  BH,  HC  occurrant  circumferentix  ad 

angiilos  squales,  fivcucœqualcsfint 
[Fig.  40].  anguli  AHB,  AHC. 

Sic  faftum,  et  ducatur  HP  ut  fit 
angulus  IIPA  a^qualis  BIIA.  Item 
ducatur  HQ,  ut  angulus  HQA  fit 
squalis  CHA.  Efl:  ergo  et  angulus 
HQA  asqualis  HPA.  Erunt  vero 
fimilia  triangula  BHA,  HPA,  cum 
et  angulum  A  commune  habeant. 
Itcmque  fimilia  erunt  triangula 
CHA,  HQA.  Proportionales  igitur 
BA,  AH,  AP;  item  CA,  AH,  AQ. 
cumque  duœ  priores  proportiona- 
lium  utrobiquc  dat£fint,dabituret 
tertia.  Datje  igitur  AP,  AQ.  Voce- 
tur  jam  AQ,rt;  AP,  h.  Duftâque  HO 
paralleld  AC,  et  HI  parallelà  AB, 
fit  AI  co  x:  IH  XI  y. 

Erunt  autem  fimilia  triangula 
HOP,  HIQ,  cum  squales  habeant  angulos  ad  O  et  I,  itemque  ad  P  et  Q.  Itaque  ut  HO 
ad  OP  ita  HI  ad  IQ.  Unde  rcftangulum  HO,  IQ,  five  reftangulum  AIQ  squale  reclan- 
gulo  HI,  OP,  five  reftangulo  AOP.  Ei1:  autem  AI  do  .v;  AQ  X)  a.  Ideoque  QI  do 
X — a.  Et  reftang.  AIQ  oo  xx  —  ax.  Efl  etiam  AO  five  IH  do  t;  AP  do  Z»;  unde 
OP  DD  y  —  Z»,  ac  proinde  reftang.  AOP  do  yy  —  by.  Itaque  xx  —  ax  zo  yy  —  by. 
Unde  patet,  fecundum  régulas  artis,  punftum  H  eiïe  ad  hyperbolen  ;  cujus  latus  trans- 
versum  reCtumque  squalia,  fiquidem  insquationeinveniuntur.rxet^'jynullapropor- 
tione  affefta.  Erit  autem  con/fru&io  hujuftnodi. 

Applicato  quadrato  radij  ad  fingulas  AB,  AC,  fiant  AP,  AQ,  fi,iper  reftis  AB,  AC 
accipiends;  junclàque  PQ  dividatur  ca  squaliter  in  pundo  N").  per  quod  ducatur 
reéta  DN  parallcla  AV,  qus  angulum  BAC  squaliter  partitur.  Ipfam  vero  ND  ad  N, 
redla  alia  ad  reftos  angulos  fiicet,  occurrens  lineis  AB,  AC  in  JMetS.Jam,afymptotis 
DN,  NS,  defcripta;  intelligantur  hyperbols  oppofits  per  puncta  P,  Q  tranfcuntes; 
quarum  altéra  etiam  per  centrum  A  tranfibit.  Hs  fecabunt  circumferentiam  in  punc- 
tis  H,  h  qusfitis  ad  quse  nimirum  dudts  BH,  HC  propofitum  efficient. 


')  Ce  point  N  correspond  au  point  Z  de  la  Fig.  19  de  la  p.  2-0  qui  précède.  L'hyperbole  de  cette 
Fig.  19  est  la  même  que  celle  considérée  dans  la  présente  Pièce. 


332  PROBLEiMA  ALHASENI^APPENDICE  II. 

Demonftfûtio.  Ducantur  enim  PR,  QF  reftîc  NS  perpendicularcs.  Quia  ergo  PN 
îcqualis  NQ  ex  conilnicftione  erit  et  PR  œqualis  QF.  Similia  autcm  func  triangula 
PR?»I,  QFS,  propcer  teqiialcs  angulos  INI  et  S  ex  conftrucHonc.  Ergo  INIR  a^qualis 
SF.  Quare  et  INIS  »qualis  RF.  Sed  MS  diipla  efl;  VS :  et  RF  dupla  NF,  proptcr  îequales 
PN,  ÎN'Q.  Itaque  et  \'S  œqualis  NF;  ideoque  et  \'N  œqualis  SF.  Eft  autem  fient  SF  ad 
SQ,  five  ut  SN  ad  SD  ita  \'N  ad  AD.  Ergo  AD  aqualis  SQ,  ideoque  punftum  A  efl; 
in  feftione  oppofita  ipfi  QH  feftioni,  hoc  efl  in  eadem  in  qua  et  punéhim  P,  per  i6 
lib.  2  Conicorum  s). 

Jam  ducantur  HO  parallela  AQ  et  HI  parallela  AP,  occurrens  feftioni  in  Z.  Item 
jungantur  AH,  HP,  HQ,  et  per  Nducatur  refta  TNE  parallela  AQ;  ea  dividet  AP 
îequaliter,  quia  PN  a;qualis  NQ.  Efl  ergo  AP  ordinatim  applicata  ad  feftionis  diame- 
trum  TNE.  Quod  fi  ducatur  ipfi  AP  parallela  QK,  etiam  hsc  diamètre  TNE  ordi- 
natim applicata  erit,  et  ab  ea  proinde  a^qualiter  dividetur  in  E.  cumque  QE  fit  îequalis 
AT,  erit  et  tota  QK  œqualis  AP.  Quare  fi  ducatur  PK,  ea  erit  parallela  TE  diametro. 
Conveniat  autem  cum  reéla  HI  in  X.  Cum  igitur  HXZ  ad  diametrum  TE  ordinatim 
fit  applicata,  quippe  parallela  AP  ex  conflruftione,  fitque  oppofitarum  feftionum  latus 
redhim  tranfverfo aiquale,  ex  prop.  22.  lib.  3.  Conicorum  +)  reftangulum  PXK  squale 
elTe  reftangulo  HXZ,ac  proinde  PX  ad  XH,  hoc  efl  HO  ad  OP,  ut  XZad  XK,hoceflut 
HI  ad  IQ.  Efl  enim  XZ  œqualis  HI,  quoniam  IX  et  ZH  utraque  bifecantur  à  refta  TE. 
Sunt  ergo  fimilia  triangula  HOP,  HIQ,  cum  anguli  ad  O  et  I  squales  fint.  Quare 
etiam  îequales  anguli  HPO,  HQI:  ac  proinde  et  HPA,  HQA.  Atqui  angulus  HPA 
îequalis  efl  BHA,  quia  fimilia  fi.mt  triangula  BHA,  HPA,  propterproportionalesBA, 
AH,  AP  ex  conflruiftione,  angulumque  utrique  triangulo  communem  ad  A.  Simili- 
terque  angulus  HQA  œqualis  CHA  quia  fimilia  funt  triangula  CAH,  HAQ  proptcr 
proportionales  CA,  AH,  AQ.  Ergo  etiam  œquales  enmt  anguli  BHA,  CHA.  quod 
erat  demonflrandum. 

Conveniunt  autcm  tum  conflruftio  tum  demonflratio,  ijfdem  verbis  exprefl^se, 
onmibus  cafibus,  five  extra  five  intra  circulum  punda  B,  C  data  fint,  five  alterum 
extra  alterum  intra. 


3)  Apollonii  Coiiica,  Lib.  II,  Prop.  XVI  (d'après  le  texte  latin  de  Heiberg):  „Si  in  oppositis redta 
duciturutramquerectamsecans,qua;angiilumangulissectiones  continentibus  deinceps  positum 
comprehendunt,  cum  utraque  opposita  in  uno  solo  puncSo  concurret,  et  retts  ex  ea  a  seftioni- 
bus  ad  asymptotas  abscisse  squales  erunt". 

■♦)  Apollonii  Conica,  Lib.  III,  Prop.  XXII:  Si  sectiones  oppositas  dua: recta; parallèle contingunt, 
et  ducuntur  reclae  qua;dam  sécantes  et  inter  se  et  sectiones,  altéra  contingent!  parallela,  altéra 
rects  pun<fta  contactus  coniungenti  parallela,  erit,  ut  latus  transversum  figura;  recta;  puncta 
contactus  coniungenti  adplicats  ad  recftum,  ita  rectangulum  compreViensum  rectis  inter  seftiones 
punftumque  concursus  positis  ad  reftangulum  comprehensum  reftis  inter  seftionem  pundum- 
que  concursus  positis". 


PROBLEMA  ALHASENl.  APPENDICE  II. 


333 


Et  in  cafii  qiiidcm  qiicm  figura  [Fig.  41]  exhibct,  ctiam  punftum  h  reflectit  radium 
in  fupcrficic  cava,  ut  ex  13  nianans  dirigatur  ad  C,  vcl  vice  verfa.  lleliqua;  vcro  intcr- 
fectioncs,  circumferentia;  ce  oppolicarum  hypcrbolariini,  ad  Y  Y  [Fig.  40],  hoc  tantuin 


pr^eflant,  ut  radij,  ex  B  vel  C  egrefli,  ita  ibi  refleftuntur  ut  refpiciant  punftum  alte- 
rum,  tanquam  ex  eo  exijlTent.  At  cum  utraque  punéla  B,  C  intra  circukim  dantur, 
quatuor  elTe  poflunt  vera  reflexionis  punfta  [Fig.  41]. 


5)  Au  crayon  en  marge  d'une  autre  figure  fort  semblable  à  la  Fig  41  :  pour  les  Echos  du  Ton 
a  Chantilly.  Mémoires  p.  160.  La  remarque  fut  sans  doute  ajoutée  plus  tard.  Comparez 
la  p.  5-0  de  notre  T.  X,  où  Huygens  parle  des  «Mémoires  de  l'Académie  au  mois  de  Nov. 
1692",  traitant  d'un  „Echo  près  de  Rouen . . .  d'un  mur  en  demicercle",  et  confultez  notre  note 
en  cet  endroit.  Chantilly  n'eft  pas  fort  loin  de  Rouen. 


APPENDICE 

À  LA  PIÈCE  XII  DE  LA  P.  286 
(SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680). 

[1682] 


Nous  avons  annonce  à  la  p.  106  du  T.  XII  la  publication  dans  un  Tome  ultérieur,  de  la  Pièce 
empruntée  au  Manufcrit  1 1  qui  conftitue  la  partie  B  (à  laquelle  fe  rattache  la  partie  C)  du  préfent 
Appendice;  auparavant  (T.  XII,  p.  103 — 106)  nous  avions  publié  les  conftrurtions  antérieures  de 
Muygens  de  deux  moyennes  proportionnelles  entre  deux  lignes  données;  en  même  temps  que  de  la 
préfente  Pièce  nous  y  faifions  mention  de  ce  qui  a  été  appelé  ici  la  Pièce  XII,  favoir  la  communi- 
cation de  1680  de  Huygens  à  l'Académie. 

C'eft  par  exception  —  voyez  la  p.  207  de  rAvertiflement  qui  précède  et  la  note  i  qui  fuit  — 
que  nous  publions  comme  Appendice  à  l'une  des  communications  à  l'Académie  fur  des  fujets  de 
mathématique,  une  pièce  de  Huygens  datant  (quoique  peu)  d'après  fon  départ  définitif  de  Paris. 

On  peut  voir  aux  pages  citées  du  T.  XII  que  ce  fut  par  la  folution  expofée  par  Slufius  dans  la 
deuxième  édition,  datant  de  1668,  de  fon  „l\IefoIabum"  —  mot  emprunté  à  Eratofthène  parlant 
du  problème  déliaque  (duplication  du  cube)  et  propofant  un  inftrument  pour  le  réfoudre  par  la 
recherche  de  deux  moyennes  proportionnelles  —  que  Huygens  fut  amené  à  s'occuper  de  nouveau 
du  problème.  Nous  faifons  précéder  la  Pièce  du  Manuscrit  11  par  une  page  (notre  partie  A)  du 
Manufcrit  F,  où  Huygens  raconte  lui-même  ce  qui  l'amena  à  mettre  par  écrit  le  préfent  article,  fe 
rapportant  non  feulement  (partie  B)au  problème  des  deux  moyennes  proportionnelles,  mais  plus 
généralement  (comme  le  „Mefolabum"  de  Slufius)  à  des  „folida  problemata". 

y^').  Cum  Rev.  Franc.  Slufius  ad  me  rnififfet  Conftruftiones  Problematis  Deliaci 
quas  typis  vulgavcrat  -^,  nec  cxplicaffet  qua  via  ad  eas  perveniflet;  ego,  id  invefli- 
gans,  hanc  rationcm  tune  inveni  qu£  in  fequencibus  exponetur,  quamque  deinde  cum 
fuorum  invencorum  originem  ille  edidiflet  diffimilem  eiïe  comperi.  Sed  eam  tune 
neglexi  quod  eafdem  quidem  fed  non  meliores  Deliaci  Problematis  conftruftiones 


')  Manuscrit  F,  p.  134.  La  p.  112  porte  la  date  du  16  avril  1682.  Aux  p.  131  et  135  on  trouve 
des  calculs  sur  les  passages  de  Mercure  devant  le  soleil  respeftivement  de  janvier  1682  et  du  31 
août  1682.  Il  paraît  donc  fort  probable  que  la  présente  page  date  de  1682  et  la  Pièce  du  Ma- 
nuscrit 1 1  pareillement. 

^)  En  1657  (T.  II,  p.  36)  Slusius  avait  envoyé  à  Huygens  des  constructions  de  ce  genre  déjà  avant 
de  les  avoir  publiées.  Le  „Mesolabum"  parut  pour  la  première  fois  en  1659;  Slusius  l'envoya 
à  Huygens  en  juillet  (T.  II,  p.  437).  En  septembre  1668  (T.  VI.  p.  262)  Huygens  reçut  éga- 
lement la  deuxième  édition.  Voyez  en  outre  la  p.  105  du  T.  XII. 


SUR   LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP.  335 

procicrec.  Jam  vero  port  annos  aliquot  in  ApoUoniano  problcmate  ^)  eandem  rationem 
expcrtus,  iibi  a  punéto  daco  in  datain  coni  i'eftionem  pcrpcndiciilarisduci  impcratur,  quod 
illcutlblidumconllruiteoqiicubalijsrcprchendimeniit,  invcni  fulutionem  problcmatis 
ejus  circuli  ope  ac  folius  quœ  data  cil  feétionis  conicœ,  quod  in  parabola  quidcm  jam 
olim  pnviHccram +),  ied  in  hyperbola  et  ellipfi  multo  plus  crat  negotij,  ciim  autcm 
longiufcula  in  bis  eirct  condruftio  mca  eoque  diibitarem  an  non  melior  qiia;piam  in- 
vcnienda  refcaret,  opéra  pretium  non  duxiadvcrfarijscaradefcribere.  Pollquam  vero 
galliis  quidam  gcomctra  ')  Slufiana  mcthodo  ufiis,  multo  opcrofiorem  longiorcmque 
folutioncm  ejul'dem  problcmatis  edidiflet,  tune  demum  alicujus  prctij  mea  ciïc  mihi 
vifa  cil,  fimulquc  intellexi  methodum  qua  eam  inveneram  antcponendam  Slufianœ  mc- 
thodo ad  folida  plcraqiic  problemata,  cum  et  compendiofior  fit  nec  tantis  qua;rendi 
ambagibus  obnoxia  ''). 

Inventa  Iblutionc  pcrcirculum  et  coni  feftionem  fimilem  data;,  habetur  fimul  fo- 
lutio  per  circulum  et  ipiam  ieftionem  datam,  quod  d.  Slufius  in  Mcfolabo  videtur 
animadvertiiTe.  In ventis  cnim  Elliplis  fimilis  qua;  delcribcnda  non  cil:  latere  tranfverfo, 
item  circuli,  qui  illam  intcrfccando  problcma  iblvit,  diametro;  et  pofitionc  ccntri  ad 
Elliplis  illius  latus  tranlVcrlum.  opus  tantum  cil  omnia  haec  augcrc  vel  minucre  pro- 
portionaliter,  fecundum  rationem  dicti  lateris  tranfverfi  ad  latus  transverfum  ellipfis 
datte,  peraftaque  conflructione  qualis  inveniebatur  cum  Ellipfi  fimili  facienda,  prodibit 
non  quidcm  linea  quîelita  fed  ejufmodi  qua;  redufta  proportione  priori  contraria, 
quœfitam  exhibeat. 


3)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  342  qui  suit. 

•♦)  Voyez  les  p.  81^82  du  T.  XII,  datant  de  1653,  ainsi  que  la  p.  422  du  T.  XIV  et  la  Piiice  bien 
rédigée  des  p.  533—534  du  T.  I. 

Dans  la  Préface  de  „La  Construélion  des  équations  analytiques"'  par  M.  de  la  Hire  de 
l'Ac.  R.  d.  Sciences,  qui  constitue  la  troisième  partie  de  ses  „Nouveaux  éléments"  de  1679, 
l'auteur  écrit  :  „A  vec  ma  méthode  j'ay  construit  les  plus  beaux  Problèmes  qui  ayent  esté  propo- 
sez jusques  à  présent,  entre  lesquels  est  celuy  de  la  Perpendiculaire  d'un  point  donné,  menée 
à  une  Ellipse  ou  à  une  Hyperbole:  car  pour  la  Parabole,  il  y  a  long-temps  que  Monsieur  Huygens 
l'a  publiée,  en  ne  se  servant  d'autre  sedion  conique  que  de  celle  qui  est  proposée;  ce  tjuefay 
mis  il  a  déjà  du  temps  dans  les  Registres  de  P Académie  des  Sciences  [nous  soulignons]. 

5)  Il  s'agit  de  Ph.  de  la  Hire;  voyez  sur  sa  publication  de  16-9,  outre  la  note  précédente,  l'Aver- 
tissement qui  précède  (p.  220).  Dans  la  Préface  citée  dans  la  note  précédente  de  la  Hire  parle 
aussi  de  Slusius  traitant,  après  Descartes,  de  „la  construction  des  Equations".  Il  ajoute:  „Et 
comme  je  faisois  voir  à  Monsieur  Hugens  de  Zulichem  les  raisons  que  j'avais  de  reprendre  ainsi 
Monsieur  Descartes,  il  m'a  communiqué  un  Manuscrit  de  Monsieur  de  Fermât,  d'une  manière 
de  construction  des  Equations,  dans  laquelle  il  le  reprend  aussi  sur  le  mesme  sujet".  Etc. 

Dans  les  Manuscrits  nous  n'avons  trouvé  qu'un  seul  endroit  où  Huygens  cite  un  ouvrage  de 
de  la  Hire  en  appelant  ce  mathématicien  par  son  nom:  ic'est  à  la  p.  143  du  Manuscrit  F  datant 
sans  doute  de  1682  (la  p.  135  est  datée  31  août  1682).  Huygens  y  cite  la  „p.  448"  ce  qui  s'ap 
plique  aux  „Nouveaux  éléments". 

*)  Voyez  cependant  la  fin  du  présent  Appendice. 


336 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 


B.C.     CONSTRUCTIO  PROBLEMATUM  SOLIDORUM  PER 
RESOLUTIONEM  .ÏQUATIONLS  IN  DUOS  LOCOS. 

B  ').  §  I.  Sit  data  a?qiiatio  ûbb  00  x^,  qua?  eft  ad  invcniendas  diias  médias  pro- 

portionales  incer  datas  lineas  a  et  b.  Eft  enim  hic  x  mediarum  altéra,  proxima  datœ  b 

Primum  utramqiie  tequationis  partem  duco  in  x,  fit  v+  oo  ûbbx,  tum  divido  per 


X* 


bb,  fn'jjzo  ax.  Jam  utrimque  addo 


r+ 


XX  +  ^bb.,  fit  ™  —  XX  -\-  ^bb  00  ax  —  xx 
bb 


+  \bb.  ut  nempe  ea  pars  iibi  ell  "—  fiât  quadratum;  ex  altéra  parce  vero  accédât  — xx., 

quod  cur  liât  jam  parebit.  Aequctur  enim  utraque  pars  œqiiationis  qiiadrati)  r.V,  po- 

lità  y  linea  incognita  ciii  .r  fit  ad  rectos  angulos.  fit  igitiir 

x^ 
-vy  00  -i-r  — XX  +  Ujb  00  ax  —  xx  +  ^bb  00  yy 
"^        bb  ■*  .. 


y  00  —, i,b 

■^         b         - 


ax  +  ^bb  —  yy  "Xi  xx 


by  zo  XX 


[bb 


i^  +  \/^aa  +  ^bb  —  yy  oo  x 


]Ay 


'by  +  ^bb  ^  -'■' 

Altéra  harura  squationum  fignificat  locum  ad  parabolam.  Cujus  parabolse  latus 

reélum  efl;  b.  Altéra  fignificat  lo- 
cum ad  circuli  circumferentiam, 
cujus  radius 

l/^aa  +  jbb.  Hase  oritur  igi- 

tur  conftruftio  problematis,  per 
parabolam  et  circuli  circumfe- 
rentiam, qua;  efl:  hujufinodi. 

vSint  datae  extrems  a,  b.  In 
reda  AB  [Fig.  42]  accipiatur 
AC  00  i^,  cui  ponatur  ad  angu- 
los reftos  CD  oo  i^,junftâque 
^  AD,  fit  ha;c  radius  circumferen- 

tia"  defcribenda;  centro  D.  Intel- 
rFiff  j.'^l  ligatur  etiam  defcripta  parabola 

cujus  axis  AB,  vertex  A,  latus 
reftum  œquale  b.  Ha*c  circumferentiam  fccet  in  E  punfto,  unde  cadat  in  axem  AB  per- 


')  Manuscrit  1 1,  p.  - — 15.  Voyez  sur  la  date  la  partie  ^ qui  précède. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  API'.  337 

pLMidicularis  EB.  Erit  mediariini  qiijcfitanim  altéra  EB,  proxiina  niminim  data  b\ 
altéra  BA. 

Si  cnim  CB  vocctur  -y;  BE,  a-;  erit  AB  oo  iZ»  +  3?  cum  AC  lit  hb.  Rectangulum 
vero  ex  AB  et  latere  refto  ^,  erit  ^bb  -[■  by,  a.'qiiale  propter  parabolam  qua- 
drato  ex  EB,  nempe  .r.Y.  Rursus  cum  qiiadratum  ex  AD  (ive  ex  DE  lit  ^aa  +  ^bb^ 
qiiadratiim  vero  DF,  perpendicularis  in  EI5,  lit  yy\  erit  EF  quadratum  x»  ^^/a  +  ^bb 

-  yy.  unde  EF  +  FB,  five  EB  hoc  cil  x  co  Ui  +  \/^ûû  +  ^bb  —yy.  Mine  autem, 

relegendo  axiiiationis  riipcrioris  velligia,  apparet  (îeri  ^x  —  xx  +  ^bb  x>  yy.  Item 
ex  ^bb  +  by  zo  xx,  quod  llipra,  relegendo  fimiliter  velligia  altcrius  œquationis, 
apparet  fieri 

yy  co  —  —  XX  +  ^bb. 


bb 
bb" 


Ergo  jam  '—  —  xx  +  ^bb  zo  ûx  —  xx  +  ^bb 


X* 

et  deletis  communibus  --  ao  ax 

bb 


x'^  00  bba,  quîe  cum  fit  aequatio  ab  initio 

propofita,  confiât  eam  reéle  conftructara  fuiffe,  et  efle  continué  proportionales  b,  x, 

-^,  ^.  Patet  etiam  BA  elTe  alterumproportionalem-y-,  cum,  ex  proprietate  para- 

XX 

bolîe,  lit  latus  reftum  b,  ad  applicatara  BE,  live  x,  ut  hîec  ad  BA  lîve"— . 
Eft  autem  conllruftio  hœc  eadem,  quîe  Cartefij  ^). 

B.  §  2.  Data  eddem  œquatione  x"^  oo  abb,  atqueinde,utante,  ^y  oo  ^.v,  fi  utrim- 
que  addatur  +  .t.t  +  -^bb,  et  pars  utraque  sequationis  îequetur  l'e  quadrato  incognitse 
V,  quam  pono  perpendicularem  in  x,  fiet  hinc  quidem  m  zo  'jj  +  xx  -{-  ^bb,  hoc  eft, 

extraéla  radice,  v  zo  -j-+  ^b,  five  bv  00  xx  +  ^bb  quod  fignificat  locum  ad  para- 


')  „L'invention  de  deux  moyennes  proportionnelles"  dans  le  «Livre  Troisième"  de  „La  Géo- 
métrie" de  1637. 

43 


338  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  680.  APP. 

bolam,  cujus  latus  rectum  b.  Ex  altéra  vcro  parte  fiet  w  x>  ^.v  +  xx  +  y:>b^  qui  eft 
locus  ad  hyperbolen  requalium  laterum,  cum  habeatur  +  .v.v,  nulld  proportione  affec- 
tum,  défit  autem.vc'.  cujus  hyperbolslatustranfverrunieft/7(7  —  hb[l\i'c7.]/  ûû  —  bù^. 
Hinc  igitur  datur  conllructio  problematis  per  interleiftionem  parabola.'  et  hyperbola 
îequilaterœ. 

Sed  hujusniodi  conflruétio  merito  rejicitur,  cum  conflet  una  coni  fciftione  et  circuli 
circumfcrentia  rem  confie!  3^.  Nec  tamen  fruftra  efl:  illa  refolutio  in  parabolam  et  hy- 
perbolen œqualium  laterum,  ut  jam  oftendemus;  id  quo  in  hac  methodo  pra;cipuum 
eft  ac  pulcherrimum. 

Ex  eo  enim  quod  paulo  ante  invenimus  problema  conllrui  interfeétione  parabolie 
cujus  latus  reftum  b,  et  circuli  circumferenti»  :  nunc  vero  idem  rurfus  conllrui 
oflendimus  interfeftione  ejufdem  parabolx',  cujus  latus  redum  b,  et  hyperbola:  a;qui- 
laterx.  Hinc  inquam  colligere  licet,  interfeftionem  utramque  in  idem  parabolîe  punc- 
tum  cafuram,  ac  proinde  in  idem  hoc  punctum  etiam  caderc  intcrlectionem  hyperbole 
œquilatera;  et  circumferentife  circuli.  Ita  ut  jam  harum  tantum  duarum  interfeélione 
ad  conllructionem  opus  habeamus,  omifiTa  parabola. 

Scimus  enim,  in  fuperiori  conllruftione,  pofita  CB  in  axe  parabols  co  r,  et  BE  zo  x 
qus  fit  ipfi  CB  ad  angulos  redos,  efiTe  quidem  hanc  ordinatim  ad  axem  applicatam. 
Rurfus  vero  in  pofteriori  conflrutlione  fcimus,  pofità  -v  in  ejufdem  parabola;  axe,  elTe 
itidera  lineam  qua^fitam  x  in  eadem  parabola  ordinatim  applicatam,  ac  proinde  eandem 
ipfi  BE  ante  inventa;.  Itaque  fi  parabola  intelligatur  AE  latus  reftum  habens  b,  cum- 
que  eà  figillatim  utraque  conftrudlio  perficiatur,  tam  quîe  interfeftione  circumferentis 
circuli  opus  habebat,  quam  qua;  hyperbolen  ^qualium  laterum  requirit,  necefife  efl: 
hoc  modo  interfeftionem  circumfcrentia»  et  hyperbole  a^quilaterœ  ollendere  punàtum 
E,  unde  ducto  in  AB  perpendiculari  EB,  fit  quœfitœ  x  a;qualis.  idque  ita  ut  parabolam 
defcribere  opus  non  fit.  Conllruetur  igitur  problema  interfeftione  hyperbole  aqui- 
lateras  et  circumferentiîe  circuli  hoc  modo  [Fig.  43]. 

Circulus  quidem  eodem  modo  ac  fuperius  defcribatur  AE.  Porro  produfta  BA  ad 
G,  ut  fit  AG  cequalis  AC,  hoc  efl;  i^,  faftaque  GH  perpendiculari  œquali  ^û,  et  qua- 
drato  HK  xquali  differentise  quadratorum  HG,  GA,  centre  H,  axe  HG,  vertice  K 
fit  defcripta  hyperbole  œqualium  laterum  KAE,  quje  fecet  circumferentiam  AE  in  E, 
et  fit  EB  perpendicularis  in  EB,  haec  ipfa  EB  erit  linea  x  quœfita. 


3)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  342. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 


339 


Si  enim  CB  [Fig.  43]  ut  ante  vocetur  y,  BE,  .r.  fit  proptcr  circulum,  ut  fupra, 

yy  XI  ax  —  xx  +  ^bù.  Rurfus  fi  GI5 


et  quadrando  partem  utramque  fit 

Erat  aucem,  propter  circulum, 
x^ 
bb 


l 


feu  KH  vocetur  f,  erit  fijinma  quadra- 
torum  KH,  \\]s.^vv  +  \aa  —  ^bb.oÀ 
fijinma:  a'qualeeft,propterhyperbolen 
squilateram,  quadratum  ex  KE.  unde 

KE  co  K    vv  +  ^aa  —  ^bb^&t  BE  fi ve 

X  ZD  —  5«  +  K    w  +  ^aa  —  Ibb. 
Hoc  eft,  vv  -Xi  ax  -{■  XX  -\-  ^bb:  five 
(quia  V,  hoc  eft  GB,  eft  y  +  b") 
"    y  y  +  zby  +  bb  oa  ax  +  xx  +  ^bb^ 
hoc  efl:  yy  00  ax  +  xx  —  2by 
Erat  autem  prius 

yy  X  ax  —  xx  +  ^bb.  Ergo  jam 
ax  +  XX  ■ —  2by  ■ —  ^bb  do  ax  —  xx 

+  kbb 


ibb. 


unde 

ixx  30  iby  +  bb 

hoceft 

XX  00  ^3»  +  ^bb 

hoc  cfl: 

XX        ., 
b        ^^^^ 

—  —  XX  +  ':fbb  X  yy. 

yy  X  ax  —  xx  +  ^bb. 

Ergo 


hoceft 
hoc  ell 


XX  +  ^bb  X  ^AT 

■Tjzoax 
bb 

x^  X  i»^^ 


XX  +  î^^ 


quod  erat  demonftrandum. 


5  §  3.  Facilius  alia  hyperbole  circa  afymptotos  invenietur  quîe  cum  eodem  rurfijs 
circule  problema  conilruat.  pofita  enim  aîquatione  .v^  x  abb,  fiet  xx  x  — ;^.  jam  fi 


X 


utraque  pars  îequetur  c^,  pofitâ  v  incognitâ,  fiet  ex  altéra  parte  xx  x  vb.  qu£  eft 
îequatio  ad  parabolam,  cujus,  ut  in  fuperioribus,  latus  redum  eft  b.  Ex  altéra  vero 

X  bv,  hoc  eft  ab  x  xv,  qus  eft  îequatio  ad  hyperbolam  ad  afymptotos,  et  qui- 

dem  sequalium  laterum  fi  î;  et  .r  angulo  refto  jungi  intelligantur,  quod  femper  in  his 
fieri  volumus.  Pofita  autem  parabola  AE,  cujus  ut  antea  latus  reclum  ^,  facile  apparet 
quomodo  collocanda  fit  hyperbola  de  qua  hic  agitur.  Quia  enim  îequatio  parabolse  eft 


34©  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 

XX  30  vb,  oportet  AB  vocari  c,  ut  reftangulum  z'b  aquctur  quadrato  BE,  quod  eft 
XX.  Quia  porro  ccquatio  hyperbole  ell  ab  co  xv,  hoc  c\\  ab  oo  reftang.  AB,  BE, 
apparet  asymptocos  ede  AB,  AINI  angulum  rcftum  ad  A  conftituentes,  faétoque  rcc- 
tangulo  AL  ex  lateribus  ^,  /»,  hypcrbolam  pcr  L  punftum  defcribendam,  qua  circum- 
ferentiam  AE  in  punéto  E  Ikpe  difto  feftura  fit.  Facilifque  efl:  dcmonftratio. 

Nam  cum  fit,  proptcr  circulum,  vv  oo  ^.v  —  .v.v  +  i/'Z',  pofita  ut  fupra  CB  xi  3», 
et  BE  00  X.  Cumque  hic  fit  ûb  co  xv  propter  hyperbolam,  fed  t'  feu  BA  fit  œqualis 

3'  +  ^b.  Erit  ergo  ab  oo  xy  +  |^.r,  hoc  eft  3'  co ^b.  Unde 

aabb      abb  ,    , , , 

yy  00 f-  ^bb. 

XX  x 

-                                                       ,    , 7 /       «^^^       abb   ,    ,  , , 
Itaque  et  ax  —  x.v  +  ^bb  00 \-  i  bb 

^  XX  x 

hoc  eft  ax'^  —  .r*  00  aabb  —  abbx 

et  utrinque  dividende  per  a  —  .v,  fit  x^  00  abb,  ut  oportebat. 

V* 

5  §  4.  Pofita  rurfus  sequatione  eadem  x^  00  abb,  five  .v+  oo  abbx,  five  ~  00  ax, 

cxx 
fi  utrinque  addatur ^  +  ^cc,  et  utraque  pars  œquationis  squetur  vv  fiet 

.%••*      cxx  ,   ,  cxx  ,    , 

vv  00  yy z — h  ^cc  00  «.r ; — h  z'^c  00  î>u 

bb         b  b 


XX       ,  bax  +  Ibcc  —  bvv 

VZO  — U  '-^ 30  XX 


b 


2" 


r      ,    ,  7  ,ab  ^^  /laabb  ,    , ,         b 

bv  +  ^bc  zo  XX         i  —  ii  1/   i h  xi'c vv  00  AT 

r'^'^rr"*  c 


Unde  hinc  quidem  œquatio  quœ  locum  ad  parabolam  defignat  cujus  latus  reftum  b. 
Inde  vero  îequatio  qu£  fignificat  locum  ad  Ellipfin  data  cuivis  fimilem,  cujus  nempe 
latus  reftum  ad  tranfverfi.im  ut  c  ad  b,  nam  c  pro  arbitrio  fiami  potefl;.  Dimidium  vero 

lateris  transverfi  ellipfeos  efl:  1/  | h  \bc  et  linea  .r  parallela  lateri  tranfverfo. 

Et  quoniam  in  tequatione  ad  parabolam,  latus  reclum  parabolse  eft  b,  idem  nempe 
quod  in  jequatione  fuperiori  ad  circuli  circumferentiam,  hinc  oritur  problematis  con- 
ftruftio,  feu  inventio  duarum  mediarum  inter  duas  datas,  per  circulum  et  ellipfin 
fimilem  datœ,  efl:que  eadem  prorfus  qus  in  propos,  i  Slufij  in  Mefolabo.  Unde  et 
altéra,  propofitione  ipfius  ultimà,  per  circulum  et  ellipfin  quamlibet  datam  facile  obti- 
netur.  cum  femper  data  confliruftione  per  circulum  et  ellipfin  vel  hyperbolen  fimilem 
dats,  facile  abfque  alio  calcule  inde  deducatur  conftruclio  per  circulum  et  ellipfin  vel 
hyperbolen  datam,  quod  vidctur  Slufius  non  advertifiTe. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  68o.  APP. 


341 


Hoc  vero  in  fequenti  probleniacc  Apolloniaiio  nianifcltum  fiec  ubi  ex  dato  punfto 
ad  datam  coni  feftioneni  lincam  rcftani  perpcndicularcin  ducciiiiis,  ipfius  datie  fcctio- 
nis  et  circiili  iinerfertionc,  quiini  Apollonius  hyperbolx»  dcicriptione  iitatur,  coque  a 
geonietris  rcprchcndi  mcruerit  +).  Adnoto  vero  priufquam  eo  progrediar,  potuilTe 
eadem  facilitatc  conftrudtionem  duarum  niediarum  per  circulum  et  hypcrbolen  dacœ 

C  XX 

fimilem  dari,  fi  utrinque  addidiiTem  -\ — - — |-  ^cc.  Indcque  etiam  per  circulum  et  hy- 
pcrbolen datam. 


C  ').  $  I .  Data  ElHp/i^  duccre  ex  ptincîo  iiitra  z-el  extra  eaiii  dato^  lineani  rc6fain 
qucc  occurrat  Ipfi  ad  angulos  rectos. 

Sit  Ellipfis  [Fig.  44]  cujus  axis  major  idem- 
que  latus  tranlVcrfum  AC,  latus  reclum  AT, 
centrum  D.  deturque  punctum  E  unde  opor- 
teat  ducere  reftam  EB  quje  ellipfi  occurrat 
ad  angulos  reftos  in  B  punfto. 

Ponatur  faftum,  occurratque  productum 
EBaxi  AC  in  H.  Tangens  vero  in  pundtoB 
ideoque  refta  ad  BE,  nempe  BK,  conveniat 
cum  axe  in  K.  Et  ducantur  ad  axem  pcrpcn- 
diculares  EF,  BG.  Sit  axis  AC  00  ^/,  latus 
reftum  AT  00  ^,  DF  ao  c,  FE  oo  ^,  quse- 
fita  DG  00  .r. 

Erit  ut  âr  ad  ^  ita  reftang.  CGA,  hoc  ell 
^aa  —  AU-,  ad  quadratum  GB,  quod  erit 

— .  Sicut  autem  UG,  .v  ad  DA, 


a 


\aa 


^a,  ita  hœc  ad  DK,  ^ — ,  propter  tangentem 


^)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  342. 

5)  Manuscrit  1 1,  p.  16—41.  Voyez  sur  la  date  la  note  i  de  la  p.  130.  C'est  à  la  p.  122  du  Manu- 
scrit F  que  commencent  les  calculs  qui  servirent  à  Huygens  pour  composer  la  partie  C  du 
présent  Appendice.  On  y  trouve  respedivement  auxp.  122  et  127  des  figures  fort  ressemblantes 
aux  Fig.  44  et  45  du  texte.  De  même  les  Fig.  46  et  48  se  retrouvent  respedivemen:  aux  p.  139 
et  156  du  Manuscrit  F. 


342  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 

BK.  Et  h  DK  auferendo  DG,  .v,  fiet  KG,  i  —  —  jc  five  i^^  — ^^  Ut  vcro  KG  ad 

■*  .r  X 

GB,  ita  haec  ad  GH,  quœ  erit — ,  cui  fi  addatur  GF,  c  —  a-,  fict  HF [-c  —  .v. 

^  a  a 

Quod  fi  GB  vocetur  z,  erit  ut  GH,  -^  ad  GB,  z  ita  HF, \-  c  —  ar  ad  FE,  d. 

^  a  a 

Ideoque  — ^  x»  — -  -\-cz  —  xz^  quîe  îequatio  docet  locum  punfti  B  cfie  hyperbolen, 
a         a 

atque  hinc  conn:rudio  breviflîma  qua:  eft  apud  Apolloniura,  fed  vitiofii  ").  Quare 

nos  aliam  meliorem  jam  inveftigabiraus  in  qua  non  hyperbolâ  fed  tantura  circuli 

circumferentià  opus  erit. 

Efl;  nimirum  ut  quad.  GH, ad  quadr.  GB,  î ^,  ita  quadr.  HF,  quod 

on  a 

(pofito  a  —  Z»  X  /!)eft '-  ,  ad  quadr.  FE,  da.  Unde  jequatio; 

^      .  f   ..  ac  ahdd 

quse,  fi  reducatur,  et  fcnbatur  g  pro  —  et  ee  pro  -yy-,  ent 

.v+  —  2^A-3  +  ggxx  +  k^agx  —  \aagg  oo  o 
+  ee 
—  \aa 
Jam  ad  tollendum  tenninum  fub  x'\  fi  fiât  x  —  \g^  .V,  vel  \g  —  x  oo  v,  quando 
apparet  .v  minorein  fore  quam  ig,  hoc  eft  ig  —  r  oo  x\  habebitur  îequatio 

.V'  —  èggv^'  —  \<i(*g'^  +  tV^  20  o 
—  \aa     —eeg      +  i  eegg 
+  ee  —  -i^aagg 

vel,  pofito  abbreviandi  caufa  ^gg  +  ^aa  —  e^  oo  />/>, 
et     ^aag  +  eeg  oo  ppq, 

erit       ;y+  —  ppyy  —  ppqy  ±  ^ppgi'  oo  o 
vel        y*  +  ppyy  —  ppqy  +  \ppgr  ao  o 
Quod  fi  ad  tollendum  terminum  fub  .v^  pofuifliem  .%•  —  èg  oo  y  ut  faciendum  efi 
fccundum  regiilam;  quo  nempe  fiât  radix  v  vera,  hoc  eft  ut  ab  e.\trema  linea  ^g  acci- 
pienda  fit  y  in  partem  eandem  quo  vergit  DG,  .v:  fuifiet  asquatio 

y^  —  ppyy  +  pp^y  ±  PPë''  ^  ° 

vel        y^  +  ppyy  +  ppqy  +  Ippgr  co  o. 


*)  Voyez  les  notes  5  et  6  de  la  p.  82  du  T.  XII. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  68o.  APP.  343 

Ncmpe  tantum  tenninus/)/)<7v  habuifTet  figniim  +  ciim  prius  habiicrit  fignuni  — , 
qiiod  ctiani  cognoiccre  licet  ex  Carteiij  Ilcf^iila,  qiiîe  jubet  mutari  ilgna  locorum 
pariiim  (qiialis  hic  fiib  y,  cum  v  '  non  inveniatiir)  ut  radiées  verœ  fiant  falfe  et  contra. 
Falite  cnini  et  hic  fiunt  radiées  prius  vera?  r,  cum  ponimus  ^g  —  .r  oo  3'.  quoniani 
jani  ig  major  intelligitur  quam  .r,  ideoque  y  in  part  cm  negatam  aceipienda,  hoe  ell  in 
eontrariam  ejus  quo  vcrgit  DG.  ponendum  autcm  ig  -  .r  x  y  quando  aniinadver- 
tinnis  ig  niajorcm  fore  quam  .r. 

Quod  autcm  utrobique,  fi  habeatur  +  ppyy^  fiât  etiam  +  Ippg''-,  facile  oftenditur. 
Etenim,  fi  habeatur  +  ppyy-,  hoc  ell  fi  ee  majus  quam  -^gg  -\-  ^aa,  fiet  etiam  ^'5^^  + 
^ec  majus  quam  -x'^^^"-,  ideoque  +  ^pPg>'-  î^t  fi  habt^tur  —  ppyy  poterit  cflTc  vel  + 
^ppgr,  vel  -  ippgr. 

C§  2.  Ad  dk'iftonetu  porro  in  duos  locos. 
Siquidem  fit  r+  —  tpyy  — ppqy  +  ^ppgr  00  o, 

hoe  efl:  y*  00  ppyy  +  ppqy  —  ^ppg>', 

addatur  utrinque  —  2ppyy  +  />+,  et  dividatur  per  rt-^  pofito  —  co     ;  fietque 

y*—2ppyy+p*^  —  ppyy  +  p*  +  ppgy  —  ^ppgr 
tt  tt 

quas  pars  utraque  sequationis  ponatur  squalis  quadrato  w  incognitse  quîe  fit  ipfi  y 
perpendicularis;  eritque  ex  altéra  parte 

y*  —  myy+P'^  _ 

tt 


y  y  — pp 

et  "^ "-  30  V 

t 


five  yy  zo  tv  +pp 

quîe  îequatio  defignat  locum  ad  parabolam  cujus  latus  reétum  /. 

Vel  etiam      •"■^  "^  ""  30  v,  unde  yy  00  pp  —  (v. 

Ex  altéra  vero  parte  erit 

—  ppyy  +  ppqy  +P*-  iPPgr  ^  ^t- 


unde  qy  +  pp —^gr  —  —  :o  yy 


iq  ±  [/î^ 


ttvv 
\qq+pp-W  -  — oor 


qui  ert  locus  ad  ellipfin  fimilem  datœ.  nam  quia  ut  pp  ad  //  ita  eit  axis  minor,  cui  per- 


344  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 

pendiciilaris  Y,  ad  latus  reftum  fibiconveniens;  erit  contra  axis  major  ad  latus  reftiim 
iuum  ut  //  ad  />/),  hoc  ell  ut  n  ad  b.  Eft  autem  axis  major  hujus  ellipfis 


]X; 


qq  +  4/)/)  —  gr. 

Quod  li  vcro  in  ivquatione  iuilTe:  +  ppyy,  ac  proinde  3'+  ao  —  ppyy  +  ppqy  - 
^-/>/)^/-tamummodoucrimqucdivili(remper//,  ponendo  ut  ante —  ao  -;  fuiiïetque 


y^  _  —  ppyy  +  ppqy  —  jppgr 


•—  00 

tt  tt 


Et  œquando  rurl'us  utrafque  aquationis  partes  quadrato  cî',  habuiflem  hinc  vv  00 
—  hoc  eft  î;  00  ^^  vel  tv  zo  yy  qui  locus  eft  ad  parabolam  cujus  latus  reftum  /. 

Ex  altéra  parte  vero  habuiffem  — ^^^ — ^^^ mE^-  qq  vv 

hoc  eft  qy  —  ^gr  —  —  :x)  yy 


et  i^^yl'  '  ''"" 


??  -  H'-  ~  ^  ^  -^ 


qui  fimiliter  locus  eft  ad  ellipfin  fimilem  datce. 

C§  3.  Habemus  jam  conftruétionem  problematis  per  ellipfin  fimilem  datje  et  per 
parabolam.  Nunc  porro  alia  quterenda  eft  per  parabolen  eandem  et  circulum,  qua  in- 
venta, habebimus  etiam  conftruftionem  per  ellipfen  fimilem  data;  et  per  circulum, 
atque  inde  per  ellipfin  ipfam  qute  data  eft,  et  per  circulum. 

Repetita  igitur  a;quatione  ftiperiori 

^„^^j^  y* —ppyy  —ppqy  +  Ippgr  ^  q 

yi  —  ppyy  00  ppqy  —  ^ppgr 
dividatur  per  tt,  fit  t  - PPyj.  ^  PWj^lÏPP^ 

Subtrahatur  utrinque  yy  five  -^.  Ergo 

y*  —  ppyy  —  ffyy  ^  f^yy  +  ppqy  —  ippgf 
tt  tt 

Jam,  ut  ab  altéra  parte  fiât  quadratum,  addendum  infijper  ^  quadrati  cx-^^l 

quod  vocetur  s,  itaque  addito  utrinque  ss  fiet 

y^-'-y^+isso^-yy+^-^^y^^+iss. 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  68o.  APP. 


345 


Et  œquata  parte  iitraque  œquationis  qiiadrato  incogiiitaî  z,  habcbitur 


y*    ^yy 


n 


+  Iss  00 


■yy  + 


Pp(iy  —  \iPPgr 


tt 


"r"  "tSS  CO  ^j^ 


z  CO 


yy 


\s  vcl 


y  y 


+  è^ 


tz  +  \ts  30  yy 
vel       4^/5  —  tzzo  yy 


pp^y—ippgr     , 

-  2;=  X  37 

—  22  00  37 

h. 

a  ' 


M 


bbqq 
aa 


(3  ^ 


SS 


zoy. 


Hinc  nimirum  œquatio  ad  parabolam  cujus  latus  redlura  /.  Inde  aequatio  ad  circuli 
circumfcrcntiam.  Unde  datur  conftniftio  problematis  per  hujiis  parabolœ  et  circum- 
fcrcnticB  intcrfcdionem.  Et  quia  etiam  antca  conflruclio  inventa  ell  per  candcm  para- 
bolam et  elliplin  lîmilem  datîc,  ubi  y  (îmiliter  quoque  ad  axeni  applicata  erat  ut  hic, 
fequitur  jam  conllruftionem  haberi  per  ellipfin  datœ  fimilem  et  per  circuli  circumfe- 
rentiam  poftremo  inventam. 

Oportet  autem,  ficut  in  prœcedentibus  diximus,  ad  conltructionem  hanc;  pofitis 

parabolte  axe  et  vertice,  cujus  latus  reéluni  t^  quod  jequale  \/  PPJl  quia  pofuimus 

—  00  y;  oportet  inquara  velut  fi  utramque  cum  parabola  hac  conftruftionem  propo- 
PP  fitam  habeamus,  tara  quœ  ellipfin  quain  quae 

circulum  requirit,dcfinire  calculo  lineas  rcclas 
quibusad  cas  luis  locis  conllituendas  opus  eft, 
quales  œquationes  invents  prslcribunt.  Ita 
enim  cum  ad  eandem  parabolam  tam  ellipfis 
quamcirculiporituscognofcetur,etiamutriuf- 
que  horum  inter  fe  pofitus  innotcfcet. 

Ut  autem  per  ellipfin  datamet  circulum  res 
abfialvatur,  opus  efl:  tantum  ut  proportiona- 
literaugeantur  velminuantur lines  qux  cir- 
culi radium  et  pofitionem  ipfius  ad  axem 
ellipfis  fimilis  definiunt,  lecundum  rationem 
qua  ellipfis  data;  axis  fupcrat  vel  minor  ell 
axe  ellipfis  fimilis.  ac  deinde  inventa  radix 
reduccnda  rurfi.is  proportione  contraria  ad 
obtinendam  radicemr. 

Nempe  in  conll:ruftionc  per  parabolam  et 
ellipfin  fimilem  datïe,  cujus  vicemnunc  référât 
ipfa  ellipfis  ANC  [Fig.  45],  apparet  pcr- 

44 


[Fig  45]- 


346  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 

pendicularem  à  cencro  ellipfis  D  in  axem  parabolas  (quem  référât  OP)  ductam  debere 
intercipere  portionem  axis  illius  ad  verticem  RO  £equalem^,propterKquationemad 

parabolam  _y_y  oo  tv  +  pp  vel  yy  x  pp  —  (v.  Ipfam  vero  perpendicularem  OD,  qux- 
eft  in  axe  ellipfis,  cfle  ^q. 

Rurfus  in  conftruftione  per  parabolam  eandem  et  circulum  apparet  perpendicu- 
larem à  centre  circuli  IM  in  axem  parabola;  intercipere  partem  VR  axis  ejus  ad  verti- 
cem, œqualem  ^s,  propter  aequationem  ad  parabolam  yy  oo  its  ±  /;;.  Ipiam  vero 

perpendicularem  MV  effe  i  — . 

Itaque  différencia  duarum  ^q  et  ^— ^,  hoc  eft  duanim  DO,  MV,  erit  pars  axis  DL, 
à  centro  ellipfis,  quam  intercipit  perpendicularis  a  centro  circuli  in  iplum  axem  eduéta. 
adeoque  DLerit  i  —  quia  A  oo  /?  —  h.  Ipfa  vero  perpendicularis  LM  erit  difterentia 

duarum  ^s  et-^, hoc eft duarum RO,RV.IdeoqueLMoo^— quia  h  zo  n  —  beis  zo 

t  +  ^et  tt  00  ^^.  Radius  vero  circuli  erit  A/J^Hl  _  i ÈI!!  _^  Lss  ut  patet  ex 

aquatione. 

In  hac  autem  ellipfi  fimili  perpendiculares  ab  interfectionibus  N  in  OP  dufta;  efient 
radiées  vera;  y.  Jam  vero  ut  confirufHo  fiât  per  ellipfin  ipfam  quîe  data  eft,  oportet 
facere  ficut  axis  major  ellipfis  fimilis,  qui  erat  \/ qq  —  gr  +  4/)/)  (vocetur  autem  /) 

ad  <7,  axem  ellipfis  data,  ita  DL  oo  i—  ad  ^—^  quas  erit  vera  DL  qua  utendum  in 

Cl  t' 

-ht      -ht 
ellipfi  data.  Item  ut  /  ad  ^  ita  LM  00  - —  ad  ^,  quœ  erit  vera  LM  in  data  ellipfi 

adhibenda.  Ac  denique  ut  /ad  <?  ita  radius  circuli  inventus  ad 


"Vi 


4      „       r  î  •'•'i 


aa  a 

radium  circuli  quo  utendum  in  ellipfi  data.  , 

Itaque  in  ellipfi  data  [Fig.  45]  accipiatur  in  axe  a  centro  D  recfta  DL  sequalis  4-  -j 

fitque  axi  perpendicularis  LM  œqualis  i  --.  Erit  M  centrum  circuli,  radius  vero 

aqualis  ^  1  X%^       .  H>'  ,    .  „ 
iV  ^  aa        ^   a    ^  ^ 

Ab  interfectione  autem  circuli  hujus  et  ellipfis  quîe  (it  in  punfto  N,  ducenda  per- 
pendicularis NP  in  redlam  OP,  axi  normalem  et  abfcindentem  DO  oo  -  -^  à  D  verfus 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOUDF,S,  1  68o.  aPP.  347 

L.  quia  diximus  centrum  clliplls  fimilis  ab  axe  parabolx  diftare  i^;  qus  redu(fh,ficut 
rcliquœ  linea;,  fecundum  proporcionem  /ad  a^  îzàt^jK  refert  enim  fie  rurfiis  rcfta 

AP  axem  paiabolœ.  ad  quem  duéh  perpendicularis  NPerit-^.  quam  rcducendo  rur- 

fus  fecundum  proporcionem  contrariam  a  ad  /,  habebitur  ->>;  et  poncndo  DT  do  \g 
et  TG  30  _r,  undc  DG  O)  \g  —  v,  erit  DG  co  x  qu£e(it:e;  quare  axi  perpendicularis 
Gli  qux  ellipfi  occurrat,  ollendet  pun(5lum  B,  ad  quod  ab  E  pundto  date  ducendo 
reftam  EB,  occurrat  ipli  ellipii  ad  angulos  rcftos.  Potell  autcm  contingerc  intcrfeftio 
cllipfis  et  circuli  in  puniflis  quatuor,  undc  duftis  perpcndicularibus  in  OP,  ijfque  re- 
duftis  fimiliter  fient  fingulœ  y  quœ  ablatîe  ab  \g^  ut  accipiantur  à  T  verfus  D,  dabunt 
totidem  radiées  .r,  qus  oflendent  punfta  ellipfis  ad  quîe  ipfi  ad  angulos  reftos  ducantur 
à  pundo  E. 

C  §  4.  Et  hîec  quidem  rationem  niethodi  perfpicue  explicant.  Si  vero  breviter  folu 
tionem  problematis  tradere  velimus,  ponenda  funt  tantum  quœ  pag.  i(^  et  17  conti- 
nentur '),  vel  etiam  quîe  paginis  18,  19,  20,  21  "*).  Dein  ita  pergendum. 

Quodfi  3'+  — ppys  — ppq'j  +  \ppgt'  30  o,ponatur  /  do  1  / PP^,  s  co  ^  +  i, 

l  yo  \/qq  —  g^-^PP  t''^*^^  |/^^  —  gr  +  \pp\  h  :x:i  a  —  b^  ficut  jam  ante  pofi- 

tum  fuit.  Tum  a  centre  cllipfis  dats  D  ponatur  in  axe  ejus,  verfus  F,  re(5h  DL  30 

-ha  ^ht 

^-T^;  et  erigatur  ad  axem  perpendicularis  LM  oo  ^,  ftatuenda  in  partem  contra- 

riamejusubiEpundtum.DeindecentroMradioMN  00  -j^/çzM. îX^  jl  ^ss 

circumferentia  deferibatur,  et  a  punftis  N,  ubi  illa  ellipfi  oeeurrit,  ducantur  NP  per- 

pendiculares  in  OP,  quîe  axem  feeat  ad  redlos  angulos,  abfeinditque  DO  oo  ^-f--,  idque 

verfus  F.  Singula  NP  voeentur  m  et  ut  a  zà  l  ita  fit  m  ad  aliam  quîe  voeetur  3',  et 
fiât  DG  00  4^^  —  3',  fumpta  4g  a  D  verfus  F.  Denique  ducta  perpendiculari  ad  axem 
reftà  GB,  quœ  occurrat  ellipfi  in  B,  jungatur  EB  :  hœc  oceurret  ellipfi  ad  angulos  redos. 
Si  ponatur  axis  ellipfis  AC  feu  df  oo  i  ;  latus  reftum  b  oo  4;  DF  five  c  x  i  ;  FE  feu 
dzD\^  \.  fit  squatio  y*  —  |3'3;  —  §3»  +  J  00  o.  In  cujus  conflruâione  figna  -f  et 
—  ita  fefe  habebunt  ut  in  ea  quam  conftruere  docuimus,  quia  ipfius  sequationis  figna 


'')  C.  à.  d.  le  §  I  de  C  (p.  341)  jusqu'au  dernier  alinéa  de  la  p.  342  (non  compris). 
')  C.  à.  d.  du  dernier  alinéa  de  la  p.  342  au  dernier  alinéa  de  la  p.  345  (non  compris). 


348  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDIÙS,  l68o.   APP. 

rcfpondent  (îgnis  xquationis  y^  —  ppyy  —  ppqy  +  Ippgf  30  o.  Fiunt^item  hinc 
A  00  i,  /r  30  ^2,  /)/)  00  f ,  //  30  f ,  <7  00  2,  gr  oo_^5,  ss  zo  -V,  /  30  ]/Ç,  DO  30 
1  /  /:,  DT  ce  I ,  DL  30  ^  1/  7:,  LM  30  I  ]/  -'j.  Radius  NM  33  A]/ ^  (ivc  |  axis 
minoris.  Siciic  aiitcm  ^  ad  /,  hoc  ell  ficut  i  ad  ]/  Y^  it^  eft  NP  ad  1/-^  NP  fivcj. 
Unde  DG  five  4^^  —  y  erit  i  —  j/^-  NP.  Quod  fi  ab  altéra  parte  centri  ponatur 
Dg  30  \/^r\^ —  I  (eft  autemnp  perpendicularisab  altéra  ellipfis  et  circiiliintcr- 
fedionc,  dufta  in  OP)  fitqiic  axipcrpendicularisgb.  Eritbalteruminellipfipunftum, 
ad  quod  duda  Eb  occurrat  ipfi  ad  angulos  rcdos. 

Ad  demonilrationcni,  fit  NQ  pcrpendicularis  ad  axem  ellipfis.  Item  fit  MS  perpen- 

dicularis  in  NP.  ut  autem  «  ad  /  ita  fit  NQ  ad  v.  Ergo  NQ  30  — .  Quia  auteni  ut  a 

¥ 

ad  /,  ita  eft  NP,  five  m  ad  y^  erit  m  five  NP  oo  -j. 

Jam  vero,  proptcr  clHpfin,  redangulum  CQA,  hoc  efl:  quadratum  DA  minus  qua- 
drato  DQ,  cil  ad  quadr.  QN,  ut  axis  ellipfis  ad  latus  redum,  hoc  efl:  ut  a  ad  b.  Sed 

quadratum  DA  eft  ^aa:  quadr.  DQ,  five  ab  DO  -  NP,  eft  i^^m  +  ^^^'jy  -  ^^y\ 

item  quadr.  QN,  five  ;;«,  eft  —jj--  Hinc  igitur,  ex  proportione  ifta,  datur  œquatio 
^bll  —  ^bqq  +  bqy  —  byy  x  avv. 
Et  reflituto  qq  —  gr  +  ^pp  in  locum  //  fit  — — ^-^ ^ ^  30  m. 

Jam  porro  ut  <?  ad  /  ita  fit  MS  ad  aliam  z.  Ergo  MS  30  -^.  Eft  autem,  propter  cir- 

culum,  quadr.  MN  sequale  quadratis  MS  et  SN.  Sed  quadr.  radij  MN  eft 

l-bbqq  —  ^absr -\-  iaass  n.     n.-  j  n/io  n_^azz    ,,  , 

^ — i-i ^—jf^ ex  conitrudione,  quadratum  vero  MS  eft  — tt-.  Et  quadr. 

SN  ^^yy-^bqy+^^bbqq  ^^.^  ^^  ^  ^p  ^.^^^  p^  ^^^^  ^^^  hoc  eft  ^  -  i^ . 
quod  enim  OL  30  ^bq  patet  quia  DL  eft  ^^^  hoc  eft^  ^    1  ^     •'  ^^  ^^'"^  ^1' 

l  ¥  ¥ 

Fit  igitur  œquatio 

^bbqqj—^abgr  +  \aass      aazz  +  aayy  —  abqy  +  \bbqq 
Il  ^  Tl       ^ 

qucc  rcduda  facit       -^ — 3__&_  _i-  y  s  30  ^2. 

a  * 

c    J  •  T  TV/î  y^f    TC  r-        IVT/^  '^'■^         •    T\/IC  irkt -\- UV 

Sed  quoniam  LM  erat  30  ^,  LS  vero  five  NQ  30  —,  erit  MS  30  - — . 

¥  ¥  ¥ 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDKS,  1680.  AI'P.  349 

Eft  autem  ^  zc— ~-  ut  facile  eft  oftcndcrc,  quia  hoo  «  —  ^,  et  ^  xi  /  +  ^, 

et  ^  00  ^'.  Ergo  fit  MS  oo    i^fLzzJ^^Ml^l' .  Sed  erat  MS  oo  f .  Ergo  hsc 

a:qualia;  unde  fit  2  oo  4-^  —  -—  +  ^'-  Ideoque  zz  03  yss  —  -^  _|-  -^  -[-  ^v  — 

^  t  tt 

-li—  +  Cf.  Sed  crat  invcntum  -.;::;  x  -^ ^^ ï-^^ — \-  iss.  Unde,  fubflituto  in 

t  a 

alterutra  harum  a.'quationum  co  cui  aquatur  zz  in  altéra,  invenitur 

a  tt        t  ^         "  ■ 

ubi  fi  pro — ^  fubftituatur   — ^,  quia'-^  30  -,  cum  pofitum  fucrit  /  ao  1  /  PP'*- 
^       tt  a     ^      tt       a  ^  y     -^ 

atque  etiam  pro  s  reponatur  ipfi  asquale^^^? ^  flet 

hy  —  i^g^"  —  ^yy  —  ¥/*  ,  p* + pptt     ppv  +  ttv  ,  ^ppv 

^                           tt  t  t 

ac  proinde  oo  — ^^^^^ 3-^^ =^^! ^,quod fuperiusipfi cx" squ- 

ale invenimus.  qus  squatio  ubi  redufta  fuerit,  repofitumque  ~  in  locum  -,  fit 


a 

h_ 
tt  a 

ttpp  —  p^  -\-  tppv  —  t'^v  —  ttyy  +  ppyy  00  o 

Et  dividende  per  tt  —  pp  fit        pp  —  tv  —  yy  do  o 

five  M^:i^  00  '.. 

t 


Et  quadrando  utrmque  erit         ^ ^^^^ '^—  oo  ct-, 

hoc  eft  00  %  -  '^^^^  -  ^-V-y  +  ^/'^ 

a 

ubi  fi  porro  reilituatur  —  in  locum  -,  invenietur 

^  tt  a 

y  — /)/>3'3'  — /'/'^3'  +  tM^^  30  o. 
Et  hinc  quidem  facile  reliqua  demonftratio  abfolvitur  per  fuperioris  analyfeos  re- 
grcfium.  Etenim  in  hac  a;quatione  repofitis  pro  pp,  ^^pp^,  et  ^ppgi'-,  ijs  quje  per  hîec 
fuperius  defignavimus,  fiet  a;quatio  fuperior  illa  y^  —  ig^yy  ^^-  -^  °-  ^^  njrfus 
pofito  3»  co  3g  —  AT,  habebitur  aequatio  prima  x*  —  2gx^  &c.  xi  o.  Unde  confl:at 
refte  fe  habere  conftruftionem.  Et  hjec  quidem  una  omnia  puncta  B  in  ellipfi  invenire 
docet,  in  demonftratione  autem  non  nulla  fed  exigua  erit  diverfitas. 


35° 


SCR  LES  ÉQl  ATIONS  SOLIDES,  1680.  .\PP. 


Si  in  îequatione  X)  o  habeatur  —  Içppgr^  hoc  tantum  in  conftruftione  mutandum, 
lit  tcnnini  in  quibus  gr  contraria  figna  accipiant  ijs  quœ  nunc  fuere.  Sed  fi  in  a^quationc 
T-*  &c.  DO  o  tlierit  +  ppyy\  que  cafu  diximus  etiam  Icmper  inveniri  +  \ppgr\,  fiet 
/  30  \,^  ^qq  —  gf-,^^  ca?teroautemnihilomninoin  conllruftione  priori  mutandum. 

Tuncenim  LM  quidcm  ftatuenda  30^^;  fed^inveniturasqualis/'  — ^A  unde  LM, 
ficut  ante,  fit  5 -^  —  ="/  ' 


C  §  5.  Probkma  idem  in  Hyperbola  vel  feSiionibtis  oppofiùs.  Sint  fecfHones  oppo- 
fitœ  AB,  Cb  [Fig.  46],  axis  idemquc  latus  tranfverfum  AC,  centrum  D.  Punélum 

datum  E  unde  oporceat  duccre  EB  quœ 


[Fig.  46]. 


occurrat  hyperbols  ad  angulos  rectos. 

Prasparatione  eadem  adhibita  quje  fuit 
in  Ellipfi,  fint  etiam  nomina  lineis  fimiliter 
impofita;  ut  fit  AC  00  a\  latus  reélum 
zo  h\  DF  30  r;  FE  30  d\  DG  30  x. 

Jam  erit  rurfus  ut  quadr.  GH.  ad 
quadr.  GB  ita  qu.  FH  ad  qu.  FE.  In- 


venientur  autem  qu, 


„  „        hhxx 
GH  30 .  qu. 


GB30 


hxx 


-^ .  Qu.  FH,  pofito  a 


■\-  h  ^  h^  erit 


hhxx 


lachx  +  aacc 


aa 


qu.  verb  FE  eft  dd.  Itaque  hinc  jequatio 
orietur,  quâ  reduftâ,  et  pofito  .r 


-.& 


ac-. 


30  y  (fiet  autem  Y  30  y)adauferendum 

(ecundum  terminum,  fiet  tandem  sequatio 

abdd 
Iggyy  +  ï^'^gy  +  rVg*  ^  o»  "bi  ee  ponitur  30  -^. 


—  ee 


Et  pofito  brevitatis  caufa 


3.+ 


—  eeg      —  ^eegg 

igg  +  h^^  +  ee:xipp 

eeg  30  ppq 

ïeegg  —  j'^aagg  oo  ip'gr 
ppyy SLppqy %lppgr  zo  o 


iaag 


ent 

hoc>ft  y*  30  ppyy  X  ppqy  ÎJ  ippgr. 

Dividatur  per  (t  indeterminatum;  et  utraquepars£equeturquadratoincognitaî  v.  Fit 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1  68o.  AI'P.  35  I 


tt  tt 

ttvv 
et  Vf  00  yy  et  Hqy  51  ^gr  H oo  yj. 

Altéra  sqiiatio  ad  parabolam  cujus  latus  redlum  /;  altéra  ad  hyperbolam  fimilem 
datae  fi  ponatur  tt  oo  7-  cujus  hyperbolîe  axis  erii]/  qq  ^gr,  quod  appellecur  /.  ap- 
parat autem  fieri  /  oo  1/     -^. 

Porro  ut  œquationes  ad  circumferentiam  circuli,  et  ad  parabolam  eandem  habean- 
tur,  pofito  rurfus  y*  oo  ppyy  'ippqy  16  iPPgf,  auferatur  utrinque/ip-yv  +  ftyy  et  divi- 

datur  per  rt;  (ietque^^^^=i^^-^^  oo  IZJ^J  PP^J  ^  kPP&\  ' 
^  ^  tf  tt 

Jam  ut  ab  altéra  parte,  ubi  eft  y*,  fiât  quadratum,  addendum  infijper  i  quadrati  ex 

P— quod  vocetur  s.  Itaque  addito utrimque  ^si\et  ïquata parte utrâque quadrato 

incognita;  z,  fiet 

tt        t       "^  ■•'  tt  "* 


z^i^—is  S^-^  S  -î^-^  +  ^ss—  zz:x:i  yy 


tt    '     tt 


tz  +  \tS  X  YV 


vel  2  O)  4^  —  —  unde  yy  x  ^ts  —  tz 


-  a       ^        aa  a        * 

Altéra  sequatio  ad  parabolam  cujus  latus  rectum  t%  altéra  ad  circuli  circumferentiam 

cujus  radius  1/  i — --  ^  î  -'^  +  i  ss. 

^    *  aa  a 

Quia  autem  in  hyperbola  fimili  inventus  eft  axis  \/ qq'kgr\  patet,  fi  habeatur 
\^ qq  +  gr^  vel  fi  fuerit  \/ qq — gr^  dummodo  qq  fit  majus  quam^/-,  ad  confiructio- 
nem  facere  hyperbolam  fimilem  dat£e,  ideoque  et  datam.  Erit  autem  hic  +  g>\  fi  in 
a.'quatione  oo  o  fuerit  +  \ppg''i  hoc  eft  fi  \gg  majus  quam  \aa  -f  ee. 

Quomodo  autem  hyperbola  data  adhibeatur,  eciam  cum  hic  invenitur  qq  minus 
quam  gt\  poftea  oftendetur.  In  cafibus  vero  jam  diftis  conftruftionem  cum  data  hy- 
perbola difcemus,  ficut  in  ellipfi,  ex  conftruéVione  cum  hyperbola  fimili  quam  hic  ipfa 
data  référât.  Ponatur  œquatio  _v+  —  ppyy  +  ppqy  +  \ppgi'  ^  o.  Si  OP  reCta  refcrat 


352 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  68o.  APP. 


[Fig.  47] 


axcm  parabola:  ciijiis  vertcx  o,  latus  reftum  /,  oportct  perpcndicularem  DO  [Fig. 

47]  in  axem  parabolx'  a  centre  hyperbolîeduftamcaderein  ipfum  vercicem  O,  propter 

œquationem  ad  parabolam  ■:•/  zo  yy. 
funt  enim  OP  00  c,  PN  do  y. 

Ipfa  vero  OD  erit  Uj^  propter  a^qua- 
tionemadhyperbolenX^V&c.Etpatet 
haberi  +  ^jy,  cum  in  œquatione  zo  o 
habeatur  4-/)/)^y,  ut  hicpofitum;  ideo- 
que  OD  accipiendara  in  partem  afRr- 
matam,  hoc  eft  in  quam  cadit  v  five  TG 
fumpta  à  pundto  T  ubi  terminatur  ig 
30  DT. 

Rurfus  in  conllruftione  per  circu- 
lum,  oportet  perpcndicularem  a  ccntro 
circuli  M  abfcinderc  portioncm  axis 
parabolîe  ad  verticem,  \^0  œqualem 
^s,  propter  sequationem  ad  parabolam 
y  y  zo  ^tsS.  tz.  eft  enim  VP  x  z.  Ipfa 

vero  perpendicularis  M\'  erit  ^  —, 

fiimenda  in  partem  negatam,  quia  hic 

'^propter  +  pp^y  in  squa- 


erit 


a 


tione  30  o.  adeo  ut  VM  five  OL,  et 
OD,fempercadantinpartescontrarias. 
Radius  porro  circuli  MN  erit 


M 


\bbqq 


biir 


an 


a 


+ 


A-       1 


quia 


hiir 


^  débet  habere  fignum  contrarium  ejus  quod,  in  îequatione  oo  o,  prîefixum 


cd^ppgr. 

Notetur  vero  quod  OL  +  OD,  hoc  eu  i  -^  +  wÇ  aquatur  i  -^  quia  A  00  û  +  h. 

(l  II- 

uc  proinde  DL  fit  i  -  .  Item  VO  five  ML,  qua?  erat  \s^  œquari  |  --,  quia  s  zr^- 

pp       th       .    pp       b 
+  f-  et  --  zo  —,  quia  ---  zo  -. 
t        a  ^       ît       a 

Et  jam  quidem  perpendiculares  NP  ab  interfeftionibus  N  in  reftam  OP  erunt  ipfe 
radiées  y  in  hyperbola  data  adhibendîe;  quarum  qua;  n.int  a  parte  affimiata  ftatuenda; 
liint  in  axe  ejus  hyperbola;  a  puncto  T  (ubi  terminatur  DT  oo  \g)^  in  partem  affir- 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP.  353 

macam,  vclut  TG;  qute  vero  NP  fiinc  à  parce  contraria,  etiani  a  pun6to  T  in  contra- 
riam  partem  accipicnda.',  ut  Tg.  Et  cxcitatis  (in  liypcrbola  nimiriim  data)  perpcndi- 
cularihus  GB,  gb,  invcnicntiir  omnia  piinfta  B  ad  qiia."  ducla*  a  dato  punéto  E  lint 
hypcrbolcepcrpcndiculares,quîequidemquatiiorciïc podunt  at  linese notata;  i ,  2, 3, 4. 
JampoiTOuc  Ilyperbola data utipoITlnuisetcirculoadcardcm vin vcnicndas,redu(5tio 
proportionalis  tacienda.  Xcmpe  augcndus  vcl  niiniicndus  radius circiili, itemqiic  rcéta; 
quœ  ccntrum  ipiîus  definiunt,  rcfpeftu  ccntri  1)  hyperbole  data;,  fcciindum  propor- 
tioncm  /  ad  ^/,  ponendo  /  pro  [/^qq  —  gr,  quod  a;quale  erat  axi  hyperbole  fimilis 

dat«.  Ergo  DL  qu£e  erat  |  —  ,  jam  erit  i  -^,  accipienda  in  partem  contrariam  pundti 
F,  quia  in  a^quacione  prima  efl:  +  ppqy.  Item  LINI,  quœ  erat  |  //  ,  erit  ~  — .  Et  radius 
circiili  fiec-  1/ ^^^  +  ^EEb_  ^  ^^^^  -qO  vero,  quam  abfcindit  refta  OP,  cum 

fuerit  i^,  erit  jam  4  -.-.  Radiées  vero  NP,  hinc  inventœ  erunt  ^,qU£eredu6tœcon- 

traria  proportione  a  ad  /,  dabunt  radiccs  vcras  _v  five  TG  llatuendas,  ut  diximus,  à 
punifto  T.  Et  ha?c  conilruélio  tancum  adbibenda.  Nam  priorcm  idcirco  propofui  ut 
inventionis  ratio  perfpiceretur.  Sicut  autem  conllructio  ha."c  quadrat  illi  quam  in  ellipli 
dedimus  ita  et  demondratio  eadem  via  procedit,  nec  fere  nifi  fignis  +  et  —  differet. 
quamobrem  hic  omittetur. 

Porro  ut  eciam  cafum  illum  de  quo  diximus,  expediamus,  ubi  œquatio  ad  hyper- 

bolam  ell  ^  ijy  —  ^gr  +  — ^  oo  yy.  ac  proinde  y  oo  ii  i^  ±  X/^qq  —  ^gr  -\ 

(minus  autem  q(]  quam  gr^.  Sciendum  hic  defignari  locum  ad  hyperbolam  in  qua 
refta  y  ad  axem  ordinatim  applicatur,  cujufque  latus  rectum  ad  tranlVerfum  ut  //  ad 

pp  ut  facile  efl:  ofliendere.  Latus  tranfverfum  verb,  five  axis,  fit  I  /   *-^ EEll 

qui  nunc  vocabitur  /.  Ut  vero  hœc  hyperbola  limilis  fiât  hyperbola;  datx,  oportet 
tantum  ponere  tt  ad  pp  ficut  b  ad  (7;  cum  priori  cafu  fuerit  //  ad/»/)  ut  a  ad  b.  unde 

tantùm  quantitas  lines  /'mucatur  quœ  fiet  oo  I  /  ^"-.  In  œquatione  autem  ad  cir- 
culi  circumferentiam,  obfcrvando  item  quod  tfi,àpp  ut  b  ad  <?,  invenietur  y  00  ^  ^  -r^ 


qui  adhibendus  cum  hyperbola  fimili  data;. 

Aequationes  ad  parabolam  funt  esedem  quœ  priorecafu. 

In  conftru(:tione  autem  per  hyperbolam  et  parabolam  imaginariam,  obfervandum 

45 


354 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  I  68o.  APP. 


hîc  axem  parabole  parallelum  elTe  axi  hyperbolae,  quia  eadem  y  ad  utriufque  axem 
ordinacim  applicaciir.  Denique  reduélio  omnium  facienda  ut  prius  fecundum  rationem 
/  ad  a. 

Pofica  exempli  gracia  a^quationc  Y'*  — ppyy  +  ppqr  —  Ippgy  30  o  Hunt  squationes 
ad  parabolam  et  ad  liyperbolam  fimilem  datje 


ttvv 


'ct  00  YV,  et  \q  ±  "Ta  ^ 
iEquationes  autem  ad  parabolam  et  ad  circumferentiam 

y  s  ±tz^  yy,  et  -  if  ±  V^^f  +  if"  +  ^— ^^  ^  •^'- 
Eritque  /,  iîcut  diftum  fuit,  oo  \/^S''       ^9^.  Item  s  do  ^^        ,  hoc  eft  y  +  ^ 


th 


th 


quia  hic  -^  "  x)  t^.  Sed  y  +  /  el1:  oo  y,  quia  h  y:i  a  +  b.  Ergo  3-  jam  erit  30  — ,  /  ve- 


ro  00 


K^_PP_.  Ex  his  igitur  conftniftio  oritur  hujufmodi. 
a 


[Fig.  48] 


A  centre  hyperbolce  D  [Fig.  48] 
erigatur  axi  perpendicularis  DL  ûo 

^  -~-  •  idque  in   partem  contrariam 

ejus  ubi  pundum  E,  quoniam  in  tequa- 
tione  prima  habetur  +ppqy-  Deinde 

fit  LM,  axi  parallela,  jequalis  4^-— -,acci- 

pienda  in  partem  ubi  efl:  punftum  F. 

Centre  autem  M,  radio  MN  oo  i- 


1  /q^m  ,  ^  +  ,,      defcribatur 

circumferentia  et  à  pundtis  N,  ubi 
hœc  occurrit  hyperbola?,  cadant  per- 
pendiculares  NP  in  reftam  OP,  axi 

''     parallelam,  pofitâDO  X)  i-y.     Sicut 

autem  a  ad  l  ita  fint  (ingulîe  NP,  quas 

lift 

vocentur  ;;;,  ad  alias  —  quîe  dicantur 
a 

y.  Ac  denique  pofita  in  axe  DT  oo  i^g,  in  partem  ubi  ellE  punctum,accipiantur  ipfis 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP.  355 

Îttl 

—  îcquales  in  axe  TG,  idque  ita  ut  qua  orcœ  funt  à  pcrpendicularibus  NP  ad  partes 

Cl 

punfti  E  pofitis,  cadant  à  T  vcrfiis  F,  reliquat  vero  in  partem  contrariam.  Jamqucaxi 
perpendicularcs  rcéta^  CB  oilendcnt  in  hyperbolis  oppofitis  piinfta  B,  ad  quï,  duéla? 
ex  piMKfti)  P2,  occiirrant  iplis  ad  redos  angiilos.  Si  ponatur  axis  AC  feu  a  X)  2;  latus 
rcftuni  00  I,  DF  iive  f  30  §,  FF  iive  ^  oo  |,  liiint  A  oo  3,^  oo  \^pp  co  2,  «7  oo  ^, 
gr  00  |.  unde  œquatio 

y^  —  2  vv  +  iy  —  t'iT  30  o, 
in  qua  ligna  +  et  —  convcniiint  ijs  qiice  paulo  antc  pofuimus.  Forro  hic  fit  /  03  i, 
j  30  3,  /  30  *  j/ 1:  Unde  DL  30  )/  î.  LIN I  do  4  \/T.  Radius  MN  ao  2  ]/  f  DO 
ooi|/i,DTooi 

C  §  f>.  Demonfïratio  ConfîruEtionis.  Concurrant  LM  et  NP  in  S,  CA,  NP  in  Q. 

Et  ut  a  ad  Zita  fit  DQ  ad  aliam  quîe  dicatur  v.  eritque  DQ  x)  -y.  Quia  autem  ut  a 

ad  /  ita  fecimus  ///  ad  _v,  erit  ///  fivc  NP  ao  —-. 

Jam  vero,  propter  hypcrbolen,  rec^anguhim  CQA  hoc  efl:  quadratiim  DQ  minus 
quadrato  DA,  erit  ad  quadr.  NQ,  ut  axis  hyperholte  ad  latus  rectum,  hoc  dl  ut  a  ad 

b.  Atqui  quadr.  DQ  eft  —rr^-  quadratum  vero  DA  O)  ^aa.  Quadratum  denique  NQ, 

hoc  eft  ab  NP  minus  DO,  hoc  eft  ab  ^  -  1  f ,  eft  "jmj:z^l±À!im,  Ergo  ut 

hoc  ad  —jj-  —  \aa  ita  h  ad  a.  unde  lequatio  exiiHt,  per  quam  invenitur 

vv  00  ayy  —  aqy  +  i  aqq  +  \  bll, 
et  reftituto  ^^*  ~7  ^^^  pro  //,  fit  vv  00  ^•'•^  ~  ^■^•LJlÂ_^. 

Jam  porro  ut  rt!  ad  /  ita  MS  ad  aliam,  quœ  dicatur  :::;:  Ergo  MS  00  -y.  Eft  autem, 
propter  Circulum,  quadratum  MN  squale  quadratis  ab  MS  et  SN.  Sed  quadr.  MN 
eft  1^131  +  i.  ^f!  +  ï  ^  ex  conftruftione;  quadratum  MS  oo  ^,  quadratum 

vero  SN,  five  ab  NQ  +  QS,  eft^  +  ^  +i  "^^^y.  Nam  fi  ad  NQ,  qus  erat 

^^;i^,  addatur  QS  five  DL  00  i^;  hoc  efti^^!i  +  i^,  quia  A  00  ^  +  Z-; 

fiet  NS  00  ^  +  ^^^.  Ergo  hinc  rurfus  squatio  exiftit,  qua;  redufta  relinquit  zz  00 


356  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOUDES,  1  680.  API». 

Ouia  vero  crat  LM  oo  5-— ex  conllriiftionc,  hoc  efl:  i  -, ,  quia  s  crat  X)  -p:  DQ 
^  Ib  '  l  ù 

vero  five  LS  oo  -~.  cric  IMS  do  -^    ^—.  Erat  autem  MS  co  ~^.  Ergo  hscinter  fe 

îequalia,  unde  ;;:  oo  i'  —  i-s  et  ;:-:;  oo  vv  —  vs  +  ^ss.  Sed  erat  zz  oo  |-e-  +  ^ss  — 

-^  —  vv.  Ergo  hinc  alia  jequatio,  ex  qua  fit  ■:t  x  *  ^ ^  —  yy  +  t'.f.  Sedin- 

venimus  antea  vv  oo  -^^^ -^ ?— £-.  Ergo  alia  rurfus  hinc  œquatio.  Ex  qua 

invenicur  -—  oo  vs  —  yy,  hoc  efl:  /i'  oo  yy,  quia  .f  oo    -  et  /;  oo  «  +  b.  Itaque  efl: 

t»  00  — .  Et  proinde  vv  oo  — .  Sed  erat  vv  oo  -^ -4 ^-^;  five,  reftltuto 

-pro^,  i.oo  ^^ 

Ergo  hoc  squale  ■— .  unde  denique 

y4  —ppyy  -\-ppcjy  —  '^ppgr  oo  o. 

Quîe  cum  fit  jequatio  eadem  qus  ex  problematis  analyfi  reperta  erat,  apparet  refte 
fe  habere  conflruftionem. 

C^j.  Aliter  utroque  cafu.  Sit  rurfijs  eadem  quœ  fupra  œquatio 

3'*  —ppyy  ^pp^y  ^  ippg^'  ^  °- 


Ergo  y*  —  ppyy  oo  S  ppqy  ï  ^ppgr. 


et  addita  utrinque  ttyy  et  dividendo  psTpp  fit 

3,4  —ppyy 


+  m'    30  ityylîByliPPK 


PP  PP 

Ut  autem  ab  altéra  parte  fiât  quadratum  ubi  efl  3'+,  addendum  infuper  l  quadrati 

ex Pi-  quod  vocetur  s,  itaque  addito  utrimque  ^.r.f  et  squata  parte  sequationis 

utraque  quadrato  incognito  v,  fiet 

vv  00  ^  X  ^  +  1..  00  m^my^^PK  +  - ,,  ^ ,, 
PP  ^  PP 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1  68o.  AI'l'.  35- 

ii  ippnr  —  Ippss  R  ppay    ,  ppvv 


Qiiarum  altéra  œquatio  ad  parabolam  cujus  laciis  reftum/»,  altéra  ad  hypcrbolcn 
cujiis  latus  rcftuni  ad  tranfverfum  ut  tt  ad  pp  quaque  proinde  fimilis  crit  datac,  po- 

ncndo^oo  7,habebitqiiclatustransversiim/a)  1  /  Z''^^/,      R ppgr  —  ppss 

tt       h  V     f/i'i  "I  Yf '  ncmpc 

(1  in  quantitatibus  hac  radice  comprchcnsis  figna  +  praîvaleant  (Ignis  — .  Et  tune 
quidcm  linea  y  parallcla  intelligitur  axi  hypcrbola;. 

-Sed  il  pra^valeant  in  radice  figna  — ,  tune  locus  dcfignat  hyperbolani  cujus  latus 
redum  ad  traniverfuni  ut  pp  ad  //,  qua;,  proinde,  ut  iîniilis  fmt  hyperbola:  data;,  po- 

ncnduni' "-  oo  - .  Eius  vero  latus  tranlVerfum  fivcaxiserit  \/        "^^^  "r^  sr  +  ssi 
tt       a     ^  V  tt  ^ 

et  refta  y  ad  axem  ordinatim  applicata.  Porro  ad  invenicndum  locutn  ad  circuli  cir- 

cumferentiam;  cum  fit  ut  prius 

3,+  —ppyy  00  ^ppqy  if,  \ppgr; 

auferatur  utrimque /)/)xy,  et  divifio  fiât  per/)/),crltque 

y^—ippyy  ^  —ppyy  ifppgy  y  Ippgr 

pp  pp 

Infuper,  ad  formandum  ab  altéra  parte  quadratum,  addatur  utrinique/»/»,  et  pars 

utraque  squetur  quadrato  incognit£e  z.  fietque 

■¥+  —  ':<.ppyy  -\-  pp 
^^  ^  .1 /r.>j  -ryf  ^  _yy  ^qy^  ^gr  +PPCOZZ 


PP 


vy  ,  yv 

ZD--J-  —  p  veU  zo  p  —  -^     }S^y^ig'-+PP  —  zzooyy 
P  P 


pz+pp  XI  yy  vdpp  —  pz  :j:i  yylSiq  ±  ]/i^<7'!i  ig*' +PP  —  zz  y^  y. 

Quarum  îequationum  altéra  ad  parabolam,  cujus  rurfiis  latus  reftum/).  Altéra  ad 
circumferentiam  cujus  radius  \/^^çqr  y  ^g''  +  pp-  Notandumque  nullam  hic  utroquc 
caluc(redifï'ercntiam,nempcindefiniendocirculi  radio,  quia  fcilicet  +  hic  non  habetur. 

Ut  conilrudtionis  ratio  utroque  cafu  appareat,  ponatur  inventa  sequatio 

y^  —ppyy  +  PP-n  +  ïppg''  ^  °' 

et  efle  P-J-^  +  P£& PP—  quantitatem  afiinnatam,  et  a  majus  quani  b.  Fient  igitur 

îequationes  ad  parabolam  et  hypcrbolam  fimilem 


kpsUpvy^yy^eti-^H.  [/ i -,y  +  i-f ^T'^T^^ 


358 


SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1680.  APP. 


Aequationes  vero  ad  parabolam  et  ad  circumferentiam 
pp9.pzzoyy;Qt 

Item  /  erit  oo  1/        ^^ 


^q  ».  y  \qq  —  \gr  +/)/)  —  rs  00  V. 


hh 


"^    h 


ass  bp 

-r-  et  s  oo  ù i-. 

b  a 


Hinc  igitur  primi  cafus  conitruftio  fiet  hujusmodi.  Ponatur  DL  [Fig.  49]  in  axe 

in  partein  contrariam  punfti  F,  quoniam  in 
[Fig.  49].  squatione  prima  habecur  +  ppqy-,  fitque 

hdhq 


DL 


00 


Ib 


Porro  fit  LM  axi  perpendicu 


laris  30  ^-^. 

Jam  centro  M  radio 

MN  30  I  Vîqq'—  ^gr  +  pp 

defcribatur  circumferentia.  Et  a  punétis  qui- 
bus  ea  hyperbolîe  vel  feftionibus  oppofitis 
datis  occurrit,  cadant  perpendiculares  in  rec- 
tam  OP,  quœ  ponatur  axi  ad  angulos  reélos, 

fumptâ  DO  30  i  -jj^.  quse  perpendiculares 

tu 

NP  fingulœ  vocentur  m.  Atque  ut  a  ad  Zita 

lit  m  ad  aliam  — .  ac  denique  fumto  inaxe  in- 
a 

tervalloDTverfusF,quodfit|^g,accipiantur 

fJîl 

TG  îequales  fingulis  — ,idqucitaut  quîe  TG 

funt  à  perpendicularibus  NP  a  parte  punéli  F 
pofitis,  cadant  ultra  punétum  T  à  centro  D; 
reliqua:  vero  in  partem  contrariam.  Jamque 
axi  perpendiculares  GB  ofl:endent  punifta  B, 
ad  quœ  dufta;  ex  punfto  E  occurrant  hyper- 
bolîe ad  angulos  reftos. 


Note  ajoutée  plus  tard. 

2  Oft.  1 687.  Inveni  eafdem  conflrudtiones  hafce  inveniri  methodoSlusij  ;qu£Eefl:in 
Mefolabo  ejus  pag.  92.  fi  fuppleantur  in  bac  methodo  quje  ibi  ad  marginem  annotavi. 
Et  ex  conilruftione  per  ellipfin  aut  hyperbolen  data;  fimilem,  dcducatur  confiiruftio 
per  ellipfin  aut  hyperbolen  datam,  uti  hic  fecimus,  quod  Slufius  non  videtur  animad- 
vertifTe  femper  fieri  pofie  abfque  novo  calculo.  Itaque  ipfius  methodum  huic  noftrje 
pra^fero,  magis  intricatas. 


SUR  LES  É(^UATIONS  SOLIDES,  1680.  AI'P. 


359 


Cette  remarque  ajoutée  en  1687  au  texte  du  Manufcrit  1 1  s'accorde  avec  ce  que  l'on  trouve  i 
la  p.  291  du  Manufcrit  1",  datant  également  de  1687  (la  p.  285  cft  datée  août  1687  et  la  p.  31 1  3 
déc.  1687): 

Acqiiationcs  mca»  problemacis  Apolloniani  redufta'  ad  locos  fccundiim  methodum 
Slulij  pag.  92  Mefolabi. 

Cum  habetur  — ppyy- 

3'+  —  ppyy  —  ppqy  +  \ppil,r  co  o  yy  zo  nz 

addatiir  hinc  '^ppyy  inde  ippnz  quje  œqualia.  Et  in  co  fiippleo  hic  mctiiodiim  Slulij. 

ABxc[Fig.5o] 

EF    EG        BC, 


imx:z  +  ppyy  —  ppqy  oo  ippnz  - 

-  ÏPPg*- 

ppyy  oo  ppqy  +  o-ppriz  —  \ppgr 

—  nnzz 

nnzz 

yy  X  qy  —  ^gr  +  2t3z  —  -—- 

y  zo  \q^ 


]/l^9- 


Isr  +  inz  - 


nnzz 


PP 


p^-n—z— 


-P 


PP  nz 
n\  p 


Vi 


yy:>iq9.\/^qq  —  ^gr  +  pp  —  pp  +  2«s 


««22:     nnz 


PP        PP 


qu. 

'  —  2nz  +  pp. 


Ellipfis 


««23;  — ppnz  05  ppqy  —  ^ppgf 

.-    PP-    „^^pp^y  —  ippgf'—yy 


n 


nn 


Sit  —  +  «  00  m. 


nn  nn 


Circumferencia. 


nn        y     4   fji  *  „„  *  *      ^^ 

quadr. 

Cum  habetur  +ppyy 

3'-»  +  ppyy  —ppqy  +  ^ppgr  30  o 

nnzz  +  ppyy  —  ppqy  +  ippgf  30  o 


yy  00  qy  ~  ^gr 


nnzz 


y  00  i^^\/^ûû io-r "^^~  ad  Ellipfin  limilem  dacje. 

Et  refl;icuendo/)/)ff2pro/)/)j)'  fit  œquatio  ad  parabolam 


[Fig-  50]. 


'^6o  SUR  LES  ÉQUATIONS  SOLIDES,  1  68o.  APP. 

fjfjzz  +  ppnz  —  ppçy  +  Ippgr  X)  o. 

Et  aiifercndo  anuialia  //z  x  vv  (it  c;^  +  ^^  —  iiz  oo  ^^^'  — '*"^*' 'vy. 

'  •  •  «  ;;« 

Sit;; — --  30  m.  yv  x  -"- • i*^ — \-mz  —  zz  locus  ad  circumterentiam 


lin       y   ■*  tji        *  nn       *  "^     %^ 

quadr. 

Ex  his  intellexi  raeam  methodum  conftruendi  problema  Apollonij  de  perpcndiculari 
ex  dato  pundto  in  hyperbolam  vcl  elliplhi  ducenda  eodem  redire  quo  Slufij  illa  pag.  92 
INIefolabi,  qux  non  opus  habet  tantis  ambagibus.  Sed  in  ca  fupplendum  quod  ibi  ad 
margincm  notavi. 


APPENDICE 

À  LA  PH>CE  XIII  DE  LA  P.  288 

(THÉORÈME  SUR  LES  POINTS  D'INTERSECTION  DES  CONIQUES 
DONT  LES  AXES  SONT  PARALLÈLES  OU  À  ANGLES  DROITS,  1680) 

Mars  1680. 


A.  En  cliercliaiu  les  points  d'iiiterfeftion  d'une  ellipfe  et  d'nne  parabole  ayant  fon  axe  parallèle 
à  l'un  des  axes  de  l'cllipfe  '),  Huygcns  obtint  un  jour  une  équation  du  quatrième  degré  en  j'  où  le 
terme  en  y'  fallait  défaut  (comparez  la  note  2  de  la  p.  288  qui  précède).  Il  faifit  tout  de  fuite  la 
portée  de  cette  découverte: 

...  in  œquatione  non  habebitur  nifi  3'+,  yy  et  r  non  aiitcm  r'.  Ergo  duétis  pcrpcn- 
dicularibus  in  axcm  parabola;  a  pundis  incerfeélionum,  crunt  finnmrc  ex  utraque 
parte  œquales. 

Si  circulus  parabolam  fecet  in  quatuor  punftis,  vel  parabola  alia  cujus  axis  axcm 
prioris  fecet  ad  angulos  rectos,  vel  ellipfis  vel  hyperbole  aut  oppofita.'  feéliones  qua- 
rum  axis  vel  parallelus  fit  vel  ad  rectos  angulos  axi  parabola;,  a  punctis  interfeftionis 
autcm  demittantur  perpendiculares  in  axem  parabola.%  funima:  perpendiculariuni  ab 
utraque  parte  axis  inter  fe  œquales  erunt. 

Ce  théorème  avait  été  énoncé  pour  le  cas  de  la  circonférence  de  cercle  et  de  la  parabole  par  F 
van  Schooten  dans  fes  „Commentarii  in  Librum  III  Renati  Cartefii",  comme  nous  l'avons  indiqué, 
aulli  à  la  p.  2 19  qui  précède. 

Ita  quatuor  punfta  interfedtionum  [favoir  ceux  de  la  conique  et  de  la  parabole  confidérées] 
erunt  in  circuli  circumferentia.  Nam  circumferentia  per  tria  illorum  punclorum  de- 
fcripta  necelTario  parabolam  in  quarto  etiam  fecabit,  ut  fummte  perpendicularium 
fiant  îequales. 

Si  coni  lccT:io  coni  feftionem  in  quatuor  punctis  fecet,  lunt  autem  axes  utriufque 
paralleli  velfibimutuoad  angulos  rectos,  quatuor  punfta  interfectionum  erunt  in  circuli 
circumferentia. 

En  rédigeant  fa  Pièce  en  français  -)  —  rédaftion  dont  une  grande  partie  s'accorde  avec  celle  des 


')  Manuscrit  E,  p.  232,  portant  la  date  22  Mart.  1680. 
^}  Manuscrit  E,  p.  236 — 238. 

+6 


362    THÉORÈME  SUR  LES  POINTS  d'iNTERSECTION  DES  CONIQUES  ETC.    APPENDICE. 


p.  288 — 290  qui  précédent  —  I  luygens  s'exprime  comme  fuit  au  lujet  de  Péquatiun  du  quatrième 
degré  dont  le  deuxième  terme  fait  défaut,  et  de  la  conféquence  qui  en  découle  (il  prend  ici  une 
hyperbole  au  lieu  d'une  ellipfe): 

Soit  la  parabole  CE  [Fig.  51],  donc  l'axe  eft  CB  et  l'hyperbole  FE  dont  l'axe  FB 


[Fig-5i] 


_^ E 

cL 

fàflTe  des  angles  droits  avec  CB.  Et  des  4  points  E  de  leur  intcrfeftion  foient  menées 
fur  CB  les  perpendiculaires  ED.  Je  dis  que  celles  qui  font  d'un  coftè  feront  enfemble 
égales  a  celles  qui  font  de  l'autre  codé. 

Soit  FL  le  diamètre  tranfverfe  de  l'hyperbole,  et  fon  demi  diamètre  tranfverfe 
AF  foit  DO  ^,  fon  demi  coitè  droit  do  b.  la  diftance  AB  x  /z,  BC  30  r,  le  codé  droit 
de  la  parabole  oo  d.  CD  x  .r,  DE  oo  y. 

AO  efl:  donc     //  +  y  et  fon  quarrè  hh  +  2/n'  +  yy 
oftez  le  quarré  AF  aa 

refte  le  □  LOF  hh  +  diy  +  yy  —  ^^ 

n  -   7                >  ;    ,      ;      ,                   /  ^hk  +  1  bky  +  b^s  —  baa         ^^ 
a  elt  a  i»,  comme  hh  +  ihy  +  ry  —  aa  / ^ — — — qu.  Ut. 

Mais  OE  eihnt  égale  a  DB  elle  eft  c  —  x. 

„        .              »                       ,              bhh  +  ^bhy -\- by'S  —  baa 
Donc  fon  quarre     ce  —  zcx  +  xx  oo ^ =-= 

mais,  à  caufe  de  la  parabole,  DC  eft  égale  à  ^  c'eft  a  dire  au  quarrè  DE  appliqué 

au  coftè  droit  d.  Donc  en  fubfKtuant  dans  l'équation  trouvée  cette  valeur  au  lieu  de 

,,  icyy   ,    'y+       bhh  +  2bhy  +  byy  —  baa 

X,  1  on  aura  ce '-^  +  4-,  ^o ■ — — 

d        dd  a 


THÉORfeMF,  SUR  LES  POINTS  d'iNTERSECTION  DES  CONIQUES  ETC.    APPENDICE.     363 

qui  cft  une  a?quation  quarrequarrée  qui  eftant  réduite  manque  de  fécond  terme,  puif- 
qu'il  n'y  aura  point  de  v'  ^). 

Et  de  quelque  manière  que  la  parabole  foit  couppée  par  une  feftion  conique  dont 
l'axe  foie  parallèle  ou  a  angles  droits  a  celuy  de  la  parabole  il  eft  aifè  de  voir  qu'il  n'y 
pourra  avoir  dans  la  première  équation  que  yy,  y  et  .v.v  et  .r.  Et  .v  ellant  toufjours 

TV 

oo'-V'.  il  "G  peut  ij  venir  en  lubflituant  cette  quantité  au  lieu  de  .v,que 37  ety\  et  nonj''. 

Or  ce  fécond  tenue  manquant  a  l'cquation  il  eft  certain  que  les  valeurs  de  la  racine 
-y  affirmatives  feront  enlemble  égales  aux  valeurs  négatives  de  lamefmc  y.  C'cft  a  dire  les 
perpendiculaires  DE  d'un  colle  de  l'axe  CB  égales  aux  perpendiculaires  DE  de  l'autre 
coftè.  Car  fi  ces  perpendiculaires  de  l'un  collé  font  appellées  /et  m,  de  l'autre — «et 

— p  ...  ou  plutôt,  pour  reproduire  exaftcment  le  texte,  -f-  /;  et  -^p.  En  d'autres  endroits  audt 
on  rencontre  parfois  chez  IIuygens,au  lieudu  fij^ne — ,1e  ligne -^- qui  a  peut-être  été  inventé  par  Al- 
bert Girard.  On  ne  trouve  toutefois  ce  ligne,  au  lieu  du  (igné — ,  qu'une  feule  fois  dans!' «Invention 
nouvelle  en  l'algèbre"  de  Girard  de  1629  (citée  à  plufieurs  reprifes  par  van  Schooten  dans  fes 
„Comnientarii"et  ailleurs  et  fur  laquelle  on  peut  confulter  audî  la  note  1 20  de  la  p.  2 17  qui  précède). 
C'eft  dans  cette  brochure  que  fc  trouvent  les  théorèmes  fur  les  relations  entre  les  coefficients  et 
les  racines  d'une  équation  algébrique  à  une  inconnue;  mais  nous  n'ofons  pas  conclure  de  l'emploi 
du  (igné  -^  que  Iluygens  l'avait  fous  les  yeux  en  ce  moment. 

donc  puifque  y  00  /  et  y  x>  ?«,  et  y  do  — «  +)  et  y  zo  — p  +)  il  fenfuit  que 

y       /  00  o        Et  le  produit  de  ces  quatre  quantitez  fera  une  ïequation  quarrc 

y       7//  XI  G       quarrée.  dont  chaque  terme  fera  neceiïhiremcnt  égal  a  chaque  terme 

y  +  «  00  0        de  l'équation  quarrè  quarrée  qui  a  elle  trouvée  auparavant.  Mais 

■y  +/>  30  G        dans  cette  première  le  terme  fous  3'^  eiloit  oo  o.  donc  dans  l'autre 

équation  le  terme  fous  v'  qui  eft  -f«j^  +py^  — '"J-'  — 6''  ^^^^  ^^^^  ^^^^^  ^  °i  ^^  P^^" 

confequent  fi  +p  égal  à  ;;/  +  /. 

Et  la  mefme  chofe  devroit  eftre  fi  trois  de  ces  racines  efloient  avec  le  figne  con- 
traire de  la  quatrième,  c'cfl:  a  dire  fi  trois  perpendiculaires  tomboient  d'un  coflè  et 
une  feule  de  l'autre'). 

Dans  le  Manufcrit  E  il  n'eft  pas  encore  queftion  de  la  deuxième  Propofition  (ou  deuxième 
lemme)  de  la  Pièce  XIII,  et  ApoUonios  n'y  eft  pas  cité. 


5)  Ceci  correspond  au  calcul  de  la  p.  232  du  Manufcrit  qui  n'eft  que  de  trois  ou  quatre  lignes. 

*)  Ici  Huygens  a  réellement  le  figne  — ,  comme  partout  ailleurs  dans  cette  Pièce. 

')  Notons  encore  qu'à  la  p.  235  du  Manuscrit  Huygens  arrive  par  des  calculs  sur  les  interseflions 
de  coniques  à  la  conclusion  suivante:  Non  potell  œquatio  cubica  conftrui  per  hyper- 
bolam  datam  et  per  parabolam,  abfque  immutatione  proportionali  radicis. 

Comparez  l'alinéa  Inventa  folutione  etc.  de  l'Appendice  précédent  (postérieur  en  date), 
alinéa  qui  se  trouve  à  la  p.  335. 


364     THÉORÈME  SUR  LES  POINTS  d'iNTERSECTION  DES  CONIQUES  ETC.    APPENDICE. 


[Fig.  52] 


B.  Ailleurs  (Chartœ  mathematics,  f.  163)  Huygeiis  donne  —  évidemment  nn  peu  plus  tard  — 
unedémonftration  du  même  théorème  fans  faire  ulagedegéométrieanalydque.Elleadéjàétépubliée 
en  19ÎI  par  F.  Sclnih,avec  notre  „Piéce  XIII",  feus  le  titre„Deuxdémonaratiûnsdues  àHuygens 
de  fon  théorème  concernant  les  quatre  points  d'interfection  de  deux  coniques  à  axes  parallèles" 
dans  le  T.  I  de  la  revue  „Chriftiaan  Iluygens"  (rèd.  F.  Schuh,  A'oordhoff",  Groningen).  Schuh  y 
parle,  comme  nous  l'avons  aulTi  fait  plus  haut,  de  l'influence  de  de  la  Hire.  Voici  cette  déraonftra- 
tion  géométrique  des  Charts  mathematicx: 

Si  deux  feftions  coniques 

AUB,ALF[Fig.52],ren- 
rrecouppent  en  4  points, 
A,  B,  E,  F,  et  que  leur  axes 
DK,  LK  foient  parallèles, 
ou  à  angles  droits,  les  4 
points  d'interfection  feront 
dans  un  cercle. 

Car  ayant  defcrit  parles 
3  points  F,  A,  B  un  cercle, 
fi  ce  cercle  ne  paffe  pas  par 
le  4^  point  E;  il  couppera 
donc  les  2  fections  en  deux 
points  différents.  En  marge: 
Mais  on  prouvera  que  cela 
efl:  impofîible.  Donc  il  les 

couppera  au  point  E  qui  efl  leur  interfecHon. 

En  marge:  Pofons  que  le  cercle  couppe  la  feclion  ALF  au  point  S,  et  la  fection  ADB 

au  point  T. 

Ayant  mené  les  droites  AB,  FS,  pofons  qu'elles  fe  rencontrent  en  quelque  point  G. 

Et  que  FT  rencontre  la  mefme  AB  en  P. 

Puifque  donc,  à  caufe  du  cercle  les  reftangles  AGB,  FGS  font  égaux,  il  fen  fuit 

par  la  17.3.  des  Conica'')  que  les  droites  AG,  FG  font  également  inclinées  fur  Taxe 

LK  de  la  feclion  ALF.  Et  par  la  mcfmc  propofition  puifque  les  rectangles  APB,  FPT 


*)  La  17.'""'  proposition  du  Livre  III  des  Conica  d'Apollonios  eft  ainsi  conçue  (texte  latin  de 

l'édition  de  Heiberg):  „Si  dus  redx  coni  scftionem  vel  ambitum  circuli  contingentes  concur- 

runt,  et  in  sectione  duo  qunclibet  puncta  sumuntur,  ab  iisque  in  scctione  contingentibus  paral- 

leix  ducuntur  rectï  et  inter  se  et  lineam  sécantes,  erunt,  ut  quadrata  contingentium  inter  se,  ita 

rectangula  comprehensa  rectis  eodem  modo  sumptis".  Dans  la  publication  de  F.  Schuh  de  1921 

le  théorème  eft  énoncé  plus  clairement  comme  fuit  (nous  prenons  les  lettres  de  laFjg.  52):„Si 

par  un  point  G  quelconque  on  mène  deux  sécantes  GBA,  GEF  à  une  conique  et  qu'on  mène 

des  tangentes  parallèles  à  GBA,  GEF  dont  ÎNI,  A'  soient  les  points  de  contact,  on  aura 

GB.GA       CM-   „ 

PP   PP  =  ,  C  étant  le  pomt  de  rencontre  des  deux  tangentes  '. 


THÉORÈME  SLR  LES  POINTS  d'iNTERSECTION  DES  CONIQUES  ETC.    APPENDICE.     365 

font  cc,aiix  h  caufc  du  cercle,  les  droites  AP,  FP  feront  également  inclinées  fur  la 
mcfme  LK, parce  qif  elle  ell  perpendiculaire  ou  parallèle  a  l'axe  DK  de  la  (eciion  AD15. 
Donc  puiCque  AG,  AP  cil  la  mefmc  ligne  droite,  il  fenluic  que  FC,  FP  font  audi 
une  mernie  droite;  parce  qu'autrement  elles  leroient  diflcrcmmcnt  inclinées  fur  FK. 
Les  points  S,  T,  ibnt  donc  dans  une  mefmc  droite  menée  du  point  F.  Ft  il  ("enfuit 
que  CCS  melmes  points  S,  T  font  coïncidents  en  un,  puifqu'ils  l'ont  dans  une  mefmc 
circonférence  delcrite  par  le  point  F.  Car  autrement  il  faudroit  que  la  droite  menée 
du  point  F  rencontrai  la  circonférence  en  deux  autres  points  que  1'. 

Que  11  l'on  dit  que  les  droites  AB,  FS  peuvent  eltre  parallèles,  je  dis  que  fi  elles 
font  parallèles,  la  droite  qui  joint  leur  points  du  milieu  fera  le  diamètre  du  cercle,  et 
fera  perpendiculaire  a  ces  deux  droites  AB,  FS.  Mais  la  mefme  ligne  de  jonction  fera 
auHi  l'axe  de  la  feftion  ALI'"  parce  qu'elle  elt  fon  diamètre  a  caufe  du  parallélisme  des 
AB,  FS,  et  qu'elle  ell  a  angles  droits  aux  appliquées.  Donc  les  lignes  AB,  FS  feront 
perpendiculaires  a  l'axe  de  la  fedlion  ALF.  Et  cela  eflant  je  dis  que  la  ligne  FT  fera 
aufli  parallèle  à  .\B,  car  pofons  qu'elles  concourrent;  elles  feront  donc  également 
inclinées  fur  l'axe  de  la  fetlion  ADTF  par  la  propofition  de  Apollonios  '').  Mais  .\B 
elloit  perpendiculaire  à  l'axe  de  la  fecftion  ALF,  donc  aufli  FT,  ce  qui  eil  abfurde 
puifqu'on  les  a  dit  concourrir  enfemble.  Donc  fi  AB  ell  parallèle  a  FS  elle  cil  audi 
parallèle  a  FT,  et  ainfi  FS,  FI'  une  mcfme  ligne,  l'on  montrera  de  mefme  que  (i  I'"!' 
ell  parallèle  a  AB,  aulli  FS  fera  parallèle  a  AB.  Donc  li  FS  concourt  avec  AB,  aulli 
FT  concourra  avec  AB.  Mais  toutes  les  2,  FS,  FT  feront  également  inclinées  a  l'axe 
de  la  feétion  ALF,  avec  AB,  donc  toutes  deux  concourrent  a\ec  AB  vers  le  mefme 
collé. 


Lorsque  le  deuxième  membre  de  l'équation,  comme  le  premier,  eft  égal  à  i,  de  sorte  que 
CM=CN,  le  point  C  se  trouve  nécessairement  sur  l'axe  de  la  parabole  (ou,  dans  le  cas  de  l'el- 
lipse ou  de  l'hyperbole,  sur  l'un  des  deux  axes)  et  les  deux  tangentes,  et  par  conséquent  aussi 
les  deux  sécantes,  font  avec  cet  axe  des  angles  égaux. 


LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES 
DE  L'ANTIQUITÉ. 


Avertifiement. 


Dans  l'Averciflement  précédent  ')  nous  n'avons  voué  que  quelques  mots  au  pro- 
blème ancien  de  la  quadrature  du  cercle  dont  rimpoflibilité  n'a  pas  été  rigoureufement 
démontrée  au  dix-feptième  fiècle  ^).  Quant  aux  deux  autres  grands  problèmes,  celui 
de  la  trifeclion  de  l'angle  dont  Huygens  s'était  beaucoup  occupé  jadis  ')  et  celui  de  la 
recherchcde  la  duplication  du  cube,  autrement  dit  de  deux  moyennes  proportionnelles 
entre  deux  grandeurs  données  (problème  déliaque),  ils  conduisaient  tous  les  deux  à 
des  équations  du  troilième  degré;  il  a  été  queilion  du  problème  déliaque  et  delaréfo- 
lution  graphique  des  équations  qui  s'y  rattache,  outre  dans  quelques  Tomes  précé- 
dents, dans  plufieurs  pages  du  préfent  Tome  +). 

Comme  on  peut  le  voir  au  Manufcrit  D,  la  difpute  avec  Gregory  amena  Huygens 
à  pourluivre  la  recherche  de  solutions  approchées  pour  la  quadrature  du  cercle.  Nous 
publions  ici  féparément  (Pièce  II)  quelques  pages  de  ce  Manufcrit  qui  auraient  pu 
figurer  pamii  les  Appendices  '}  à  la  Pièce  VI  dans  lefquels  on  trouve  également  cer- 
taines approximations  nouvelles.  Ces  pages  fe  rattachent  au  traité  „De  CirculiîNIag- 
nitudine  inventa"  de  1654. 


')  Voyez  !a  p.  213  ou  nous  renvoyons  le  le(fteur  à  cet  Avertissement-ci. 

-)  Consultez  notamment  sur  r„insuffisance  de  la  démonstration  de  Gregory  de  l'impossibilité  de 

la  quadrature  du  cercle"  l'article  de  1914  de  F.  Schuh  cité  à  la  p.  259  qui  précède. 
3)  Voyez  le  T.  XII. 
*)  P.  13,  220,  286 — 28-,  334  et  suiv. 
0  I^-  303— 3=7- 

47 


3/0  AVERTISSEMKNT. 


Il  eft  bien  connu  que  déjà  dans  l'antiquité  la  recherche  de  la  quadrature  du  cercle 
conduifit  Archimède  à  celles  de  la  quadrature  de  la  parabole  et  de  la  fpirale  qui  porte 
fon  nom.  Dans  le  „De  Circuli  Magnitudine  inventa"  Huygens  a  conftamment  pré- 
fentes à  fon  efprit  des  propofitions  exprimant  des  égalités  pour  la  parabole  et  donnant 
lieu  par  analogie  h  des  théorcmes  exprimant  des  inégalités  pour  le  cercle  ou  fa  circon- 
férence. D'une  façon  générale  on  peut  dire  que  dans  l'efprit  de  Huygens  comme  dans 
celui  de  plufieurs  de  fes  contemporains  les  quadratures  d'autres  furfaces  planes  et  aufli 
les  reélifications  de  certaines  lignes  courbes  planes  *),  conftituaient  des  préparations, 
des  ccTayiiiyciq  —  voyez  p.  e.  ce  mot  (fi  fouvent  employé  par  Slufius)  dans  un  paffage 
de  Wallis  cité  plus  haut  ■')  —  pour  la  quadrature  efpérée  du  cercle. 

Huygens,  on  l'a  vu  plus  haut  "),  admet  les  nombres  entiers,  les  nombres  fraétion- 
naires  et  les  nombres  fourds  ou  irrationnels  quoiqu'en  vérité  ces  derniers  ne  foient 
pas  exprimables  par  des  nombres  déterminés  de  chiff'res  mais  feulement  par  des //gw^ 
(on  confidère  évidemment  généralement  des  lignes  droites').  Dans  l'efprit  de  Huygens 
la  queftion  de  la  poffibilité  de  la  reftification  de  la  circonférence  de  cercle  revient  donc 
à  celles-ci  :  i .  une  ligne  peut-elle  avoir  une  longueur  telle,  par  rapport  à  l'unité  donnée 
de  longueur,  qu'elle  ne  foit  exprimable  ni  par  un  nombre  entier,  ni  par  un  nombre 
fraéi:ionnaire,  ni  par  un  nombre  fourd?  2.  dans  l'aflirmative,  en  e(l-il  ainfi,  ou  n'en 
ert-il  pas  ainfi,  de  la  circonférence  de  cercle  par  rapport  à  fon  rayon? 

La  première  quefiiion  peut  être  fomiulée  plus  brièvement  (quoique  moins  claire- 
ment) comme  fuit:  exifte-t-il  un  nombre  correfpondant  à  une  longueur  quelconque? 
Queftion  à  laquelle  nous  pourrions  tout-de-fuite  (en  nous  confidérant  comme  des 
gens  du  dix-feptième  fiècle)  donner  une  réponfe  négative,  fi  nous  n'avions  pas  adopté 
avec  Huygens  et  tant  d'autres  la  convention  peut-être  afl!ez  illogique  de  parler  de 
,ytnimbres  fourds". 

Depuis  des  temps  fort  reculés  fans  doute  les  penfeurs  ont  fait  une  diftinéHon  entre 
la  quantité  difcrète  et  la  quantité  continue  (voyez  p.  e.  fur  ce  fujet  la  note  3  de  la  p. 


*)  Il  en  a  été  question  à  la  p.  216. 

7)  Note  104  de  la  p.  215. 

*)  Voyez  la  p.  188  qui  précède.  Nous  ne  parlons  pas  ici  des  logarithmes  auxquels  il  donne  aussi  le 
nom  de  nombres.  Pour  lui  les  logarithmes  ne  sont  au  fond,  nous  semble-t-il,  que  des  nombres 
entiers:  voyez  les  p.  215 — 216  et  264  qui  précèdent.  D'ailleurs  ils  portaient  olliciellement, 
depuis  Neper,  le  nom  de  \ogarithmes;  leur  refuser  le  nom  de  nombres  eût  donc  fait  reflet  d'un 
purisme  quelque  peu  bizarre. 


AVERTISSEMENT. 


37' 


1 1  qui  précède).  Depuis  rintroduftion  par  McMischme  ')  de  courbes  donnant  par 
interfedtion  deux  longueurs  (deux  coordonnées,  peut-on  dire)  repréfentant  les  deux 
moyennes  proportionnelles  entre  deux  quantités  pouvant  être,  fcmblc-t-il,  non  feu- 
lement des  longueurs^  mais  aufli  des  nombres^  il  pouvait  femblcr  défirable  d'attribuer 
une  valeur  numérique  à  une  longueur  quelconque,  malgré  rimpollibilitédc  dire  exacte- 
ment ce  qu'il  faut  entendre  par  une  telle  valeur  numérique.  Nous  avons  dit  plus 
haut  '°)  qu'Ariftote  ne  craint  pas  d'appliquer  le  mot  à:/)/9-,asç  à  une  quantité  qui  varie 
d'une  manière  continue.  Il  cH:  vrai  que  cet  àp<3'/xoç  t»}ç  kivvitsu!:;,  le  temps  qui  s'eft 
„écoulé"  depuis  un  inilant  déterminé,  n'eft  pas  une  longueur  fpaùale.  Toutefois, 
après  ce  premier  pas,  d'autres  —  nous  ibngeons  furtout  à  liarrow  (note  1 9  qui  luit)  — 
pouvaient  avoir  l'audace  de  parler  aulli  de  nombres  correfpondant  à  des  longueurs 
fpatiales  quelconques.  D'ailleurs,  vers  le  commencement  du  dix-feptièmc  fiècle,  plus 
précifément  en  1585,  Simon  Stovin  dans  „le  Premier  Livre  d'Arithmétique"  avait 
déjà  dit  clairement,  fans  citer  Arïûote^que^tjombren'eflpoi/iêîqt/antitedifconri/jue .. . 
à  une  continue  grandeur  correipond  le  continue  nombre  qu'on  lui  attribue  ...  le 
nombre  eft  quelque  chofe  telle  en  grandeur,  comme  l'humidité  en  l'eau  . . ."  '  ').  Ceci 
mériterait,  ajoute  l'édition  de  1634  de  Girard,  „un  traiéte  particulier",  mais  „ce  ne 
fera  pas  icy  fon  lieu"  '  ^).  Nous  ne  trouvons  pas  que  Stevin  ait  jamais  tâché  de  juflifier 


')  Voyez  la  p.  28-  qui  prt'céde. 

'°)  Note  2- de  la  p.  181. 

")  „L'Aritlimetique  de  Simon  Stevin  de  Brvges:  Contenant  les  computationsdes  nombres  Arithme- 
tiques  ou  vulgaires:  Aussi  l'Algèbre,  auec  les  quatre  premiers  Hures  d'Algèbre  de  Diopliante 
d'Alexandrie,  maintenant  premièrement  traduicts  en  François ..."  A  Leyde,  de  l'imprimerie 
de  Christophle  Plantin,  MDLXXXV.  Nous  citons  les  p.  4 — 5. 

'=)  „Oeuvres  mathématiques  de  S.  Stevin"  publiées  par  Albert  Girard  en  1634  (Leyde,  B.  &  A. 
Elsevier).  Les  paroles  citées  de  Stevin,  ainsi  que  la  remarque  ajoutée  par  Girard,  s'y  trouvent 
à  la  p.  2. 

Stevin  dit  un  mot  sur  le  début  de  son  «Arithmétique"  dans  son  „Primus  liber  Géographie" 
(„Hypomnemata  mathematica"  de  1608,  p.  1 1  du  dit  livre,  appartenant  à  la  „6  definitio"  qui 
a  trait  à  r„eruditum  seculum"):  „Alterum  indicium  erudi  \\\$tz:  eruditr\s,eculi,  est  admirabilis 
numerorum  peritia,  qux  veteribus  illis,  &  priscis  viris  fuit  cognita  . . .  Illustr.  losepbus  Scaliger 
aliquando  nobis  ostendit  •  pun^um  ab  ipsis  [Arabibus]  dici,  nostrique  o  vicem  fungi.  congruens 
cum  eo  quod  non  ita  pridem  2  definitione  Arithmetics  nostrœ  Gallicxde  eodem  disseruimus". 
En  effet  dans  l'Explication  de  la  dite  Définition  II  Q„Nombre  est  cela,  par  lequel  s'explique  la 
quantité  de  chascune  chose"^  Stevin  avait  dit  que  les  nombres  ne  commencent  pas  par  i, comme 
on  l'admet  généralement,  mais  par  o  („o,  commencement  du  nombre").  Ensuite  il  énonce  en 


372  AVERTISSEMENT. 


fes  affirmations:  dans  fa  thèfe  c'eft  le  bon  fens,  l'intuition,  qui  a  la  parole  et  non  pas 
la  logique.  Le  noeud  gordien  n'efl:  pas  défait,  il  ell  tranche  par  un  coup  d'épée  '3). 
I  luygens  n'a  jamais  avancé  pareil  axiome.  Il  eft  vrai  que  chez  lui,  comme  chez 
tant  d'autres,  lorfqu'il  fe  fert  de  l'exprcffion  „quantitas"  '+),  on  peut  parfois  être  en 
doute  s'il  entend  parler  excluilvcment  d'une  longueur  ou  bien  peut-être  auffî  d'une 
quantité  numérique  '');  ce  qui  certes  ne  fuffit  nullement  pour  le  confidérer  comme 
un  partifan  de  la  thèfe  de  Stevin  "^).  Nous  avons  déjà  dit  '■")  qu'il  déclare  cxprelfé- 
ment  ne  pas  être  fatisfait  de  certains  raifonnements,  ou  de  certaines  définitions,  lui 
paraiffant  médiocrement  logiques,  de  Wallis.  Nous  croyons  donc  auflî  pouvoir  ad- 
mettre qu'il  eft  en  déiaccord  avec  ce  mathématicien  là  où  celui-ci,  traitant  dans  fon 
„Arithmetica  univerfalis"  de  1655  '^)  de  la  „quantitas  continua"  ou  „magnitudo" 
d'une  part,  de  la  „quantitas  difcreta"  ou  „numerus"  de  l'autre,  penfe  bien  faire  en 
effaçant  plus  ou  moins  cette  distinftion  '').  Notons  que  dans  r,,Arithmetica  infini- 
torum",  datant  également  de  1 655  '^),  Wallis  dit  '°)  être  convaincu  „rationem  illam 


grands  caraftéres  la  thèse  „que  nombre  n'est  poincl  quantité  discontinue",  qui  fait  encore  partie 
de  la  dite  Explication. 

Stevin  dit  donc  avoir  publié  cette  thèse  antérieurement  à  son  entretien  avec  Scaliger,  ce  qui 
nous  dispense  de  demander  si  ce  que  Scaliger  lui  avait  communiqué  correspondait  bien  certai- 
nement à  la  deuxième  définition  de  r„Arithmetique",  et  aussi  de  poser  la  queftion  si  Stevin 
savait  que  les  Arabes  ont  largement  profité  des  lumières  des  philosophes  grecs.  En  énonçant  sa 
thèse,  Stevin  semble  ne  pas  avoir  conscience  d'une  autorité  quelconque  qui  l'aurait  amené  à 
parler  ainsi. 

'3)  Il  est  à  remarquer  que  beaucoup  d'auteurs  modernes  introduisent  bien  moins  brusquement  ce 
parallélisme  du  nombre  et  de  la  longueur.  Voyez  p.e.  le  beau  „Cours  d'analyse"  de  M.  C.  Jordan 
(Paris,  Gauthier — Villars,  1893),  où  l'auteur  commence  par  traiter  des  propriétés  des  nombres 
discrets  et  nous  propose  ensuite  la  «ligne  continue"  décrite  par  un  point  mathématique  se  mou- 
vant d'une  manière  continue  —  p.  90:  „Une  ligne  étant  définie  comme  le  lieu  des  positions 
successives  d'un  point  mobile  . . .";  comparez  sur  ce  sujet  la  p.  191  qui  précède  —  après  quoi  il 
admet,  sans  qu'il  soit  question  d'„hypothèse"  ou  d'„axiome",  la  continuité  des  valeurs  numé- 
riques correspondant  aux  longueurs. 

'■♦)  P.e.  1.  6  et  iode  la  p.  233  qui  précède. 

'5)  Voyez  aussi  à  la  p.  73  du  T.  XVI  (1.  6)  l'expression  „numeri  linesve". 

'*)  Qu'il  ne  cite  pas. 

'7)  P.  13  et  213. 

'^)  Ouvrage  cité  à  la  p.  258  qui  précède. 

'î")  I.  Barrow,  dans  ses  „Lediones  Mathematica;"  de  1664  (Lect.  III,  début)  —  p.  47  de  „Thc 
IVIathematical  Works  of  Isaac  Barrow,  D.D."  éd.  W.  Whewell,  Cambridge,  Univ.  Press,  1 860  — 
dit  de  même:  „Etenim  evicto  numerum  (illum  saltem  quem  Mathcmaticus  contemplatur)  a 
quantitatc,  quam  vocant,  continua  nil  quicquam  reverà  differre,  sed  ei  tantum  exprimend» 
declarandîBque  confiétum  esse,  nec  Arithmeticam  proinde  ac  Geometriam  circa  diversam  mate- 


AVERTISSEMENT. 


373 


quîe  quœrebatur  [le  rapport  de  la  longueur  de  la  circonférence  du  cercle  à  fon  dia- 
mètre] cjufmodi  cfTe  ut  qua::  ncc  veris  numcris,  ncc  quidem  radicibus  furdis  (vulgo 
didis)  eiret  explicabilis . . .  aliuni  aliqucm  notationis  modum  quam  qui  adhuc  receptus 
eft  introducendum  putavi,  quo  mimer  us  ille  impojjihilh  [nous  foulignons]  indicetur". 
Wallis  fait  allufion  h  fon  célèbre  théorème  exprimant  le  „numcrus  impoffibilis" 

par  la  fraftion  3-3 -S-S- 7-  7  ••  •  ^i^  (à laquelle fe rapporte aulîlla courbe  fufpeac 

aux  yeux  de  1  luygcns  ")  dont  il  fut  queflion  à  la  p.  234  qui  précède)  fraction  dont 

Huygens  dit  admirer  la  découverte  „utiquc  fi  vera  elV,  ce  qui  lui  femble  probable  '3). 

On  conçoit  que  Wallis,  par  cette  découverte,  croyait  avoir  démontré  '+)  ce  qui  à 


riam  versari,  sed  communes  uni  suhjefto  proprietates  utramque  pari  quasi  passu  demonstrare, 
plurima  liquehit  inde  maximaque  in  rem  Matheseos  publicam  commoda  derivari  . . .  hàc  ad- 
missâ  numerorum  et  magnitudinum  coalitione,  locuples  utrique  disciplina;  [Geometria;  et 
Arithmetica;]  succrescct  accessio,  lautum  accedet  incrementum". 

Dans  les  „Leâ:iones  Mathematica?"  Barrow  cite  Aristote  fort  souvent  (c.  a.  des  passages  sur 
le  temps  et  le  mouvement).  Aux  p.  .30  et  34  il  observe  qu'Aristotc  applique  l'expression  -oo-ov 
tant  aux  nombres  qu'aux  grandeurs  („magnitudinis  et  multitudinis  commune  genus  consti- 
tuit"),  tandis  qu'auparavant  on  disait  Trouiv  pour  les  quantités  discrètes  et  x-y;X«ov  pour  le  continu 
(comparez  la  note  3  de  la  p.  1 1  qui  précède). 

Ni  Wallis  ni  Barrow  ne  citent  les  paroles  si  claires  de  Stevin.  Barrow  doit  cependant,  nous 
semble-t-il,  les  avoir  connues  puisqu'il  dit  à  la  p.  59  de  l'édition  citée,  en  parlant  des  „numeri 
surdi"  ou  „irrationales":  „Atqui  satis  ostendunt  hi  numeri,  quos  proinde  non  incongrue  Geo- 
7w/?vVosappellatStevinus  [voyez  l'„Argument"etladef.  XXXI  du  i. livre  de  r„Arithmetique"], 
numerum  a  magnitudine  nihil  differre  reipsà;  quos  certe  nec  ipsà  mente  putem  abstrahi  posse  ab 
omni  magnitudine".  En  lisant  cette  phrase,  le  lecteur  n'apprend  pas  que  Stevin  tlvm généra/e- 
vient  «vancé  dans  son  „Arithmetique"  ce  que  Barrow  exprime  par  les  mots  „numerum  a  mag- 
nitudine nihil  differre  reipsà". 

Nous  saisissons  cette  occasion  pour  mentionner  aussi  en  passant  les  „Lediones  gcometricas" 
de  1669  de  Barrow:  dans  l'Appendicula  de  la  Ledio  XI  il  s'inspire  de  la  cyclométrie  de  Huy- 
gens; voyez  les  notes  3  de  la  p.  i  et  3  de  la  p.  38  du  T.  VII.  Huygens  (T.  VII,  p.  43,  1670) 
n'exprime  aucune  opinion  sur  cette  Appendicula. 
'°)  P.  359  du  T.  I  de  1695  des  „Opera  Omnia". 
")  Ici  il  ne  s'agit  pas  précisément  du  rapport  de  la  longueur  de  la  circonférence  au  diamètre 

(notre  nombre  »!■),  mais  de  celui  de  la  surface  du  carré  circonscrit  à  celui  du  cercle  (  -  )• 

-■)  1652 — 1653,  lettres  à  van  Schooten  (T.  I). 

'3)  P.  459  de  notre  T.  I  (lettre  de  Huygens  à  Wallis  de  juillet  1656).  Wallis  en  1652  n'avait  pas 

expliqué  à  Huygens  la  genèse  de  sa  courbe  dont  d'ailleurs  il  ne  voyait  pas  suffisamment  lui-même 

les  propriétés. 
-+)  Lettre  de  Wallis  à  Brouncker  de  novembre  1668  (notre  T.  VI,  p.  289):  „the  work  is  done 

allready,  the  thing  itself  being  proved  long  since  in  my  Arithmetica  Infinitorum",  etc. 


374  AVERTISSEMENT. 


fon  avis  comine  à  celui  de  Huygens  n'était  pas  démontré  dans  un  ouvrage  poftérieur 
par  Gregory,  que  le  „nunierus  impodibilis"  n'eft  pas  un  nombre  dans  le  fens  que 
Huygens  attribuait  à  ce  mot  -'). 

Huygens,  lui,  n'a  jamais  accordé  —  voyez  la  Pièce  IV  qui  iliit  —  qu'il  fût  prouvé 
que  ce  „numerus"  dit  „impofllbilis"  ne  peut  pas  être  un  nombre  dans  le  fens  rellreint 
dont  il  vient  d'être  queflion  ^''}.  Ne  réunifiant  pas  à  trouver  ce  nombre  il  a  dû  fe 
contenter  d'obtenir  par  des  artifices  géométriques  des  valeurs  approchées  qui  peu  à 
peu  perdaient  leur  intérêt.  La  Pièce  II  qui  fuit  repréfente  un  effort  de  ce  genre  dont 
le  réfultat  n'a  pas  été  publié  par  lui  '■"). 

Lorfqu'il  avait  été  démontré  par  Leibniz  que  le  „numerus  impofilbilis"  —  nous 
parlons  toujours  de  notre  nombre  x  (notation  du  dix-huitième  fiècle)  —  peut  être 
exprimé  par  la  fomme  algébrique  d'une  infinité  de  fraétions  numériques,  Huygens 
put  efpérer  (Pièce  III)  que  le  problème  de  la  quadrature  du  cercle  fe  montrerait 
réfoluble  par  la  fommation  effeétive  des  tennes  de  cette  férié. 

Le  traité  d'algèbre  de  1685  de  Wallis  fit  connaître  à  Huygens  les  approximations 
de  Newton  déduites  de  développements  en  fériés  que  Newton  compare  avec  celles 
de  Huygens  („De  Circuli  Magnitudine  inventa"  de  1654).  Wallis  cite  deux  lettres 
de  1676  de  Newton  à  Oldenburg,  dont  ce  dernier  envoya  des  copies  tant  à  Leibniz, 
auquel  elles  étaient  deftinées  en  premier  lieu,  qu'à  lui.  Wallis  les  avait  reçues  en  juillet 
1 6-J7  peu  avant  la  mort  d'Oldenburg  (septembre  i  (ij'j^.  On  voit  par  la  Pièce  IV  qui 
fuit  que  Huygens  n'en  reçut  pas  de  copies  et  qu'il  apprit  feulement  à  les  connaître 
(ou  plutôt  à  connaître  les  grands  extraits  de  ces  lettres  qui  fe  trouvent  dans  le  livre 
de  Wallis)  en  1685  ou  1686.  Il  f'agit  des  lettres  de  Newton  à  Oldenburg  du  1 3  juin 
et  du  24  oftobre  1676,  quoique  —  foit  dit  en  palTant  —  Wallis  en  deux  endroits 
donne  à  cette  dernière  lettre  la  date  du  24  août  1 6-j()  '^).  C'ell:  aux  formules  de 
Wallis  et  de  Brouncker  que  fe  rattache  (même  Pièce)  le  développement  par  Huygens 
du  „nombre  tt"  en  une  fraftion  continue. 


°5)  Comparez  sur  ce  sens  les  1.  1 1  — 13  de  la  p.  283  du  T.  VI. 

=*)  Nous  l'avons  dit  aussi^aux  p.  39 — 40  du  T.  XVIII. 

'7)  Il  s'agit  ici  d'une  approximation  obtenue  à  l'aide  de  la  considération  de  centres  de  gravité, 
sujet  auquel  se  rapporte  la  Deuxième  Partie  de  l'article  de  F.  Schuh  mentionné  à  la  p.  259  qui 
précède.  Consultez  surtout  les  §§  167 — 169  qui  se  rapportent  à  ce  que  nous  appelons  ici  la 
Pièce  II.  Schuh  y  discute  le  procédé  de  Huygens  d'une  façon  détaillée. 

-*)  Voyez  la  note  6  de  la  p.  391  qui  suit.  La  dernière  lettre  d'Oldenburg  à  Huygens  (T.  VIII,  p. 
8)  est  de  février  1676. 


AVERTISSEMENT.  375 


En  1691,  ou  plutôt  déjà  en  i68y,  Iluygens  revint  dans  le  Manufcrit  G  (notre 
Pièce  V)  fur  la  „Frogre{l]o  Lcibnitsij  ad  Circuli  Quadraturam"  (Pièce  III),  reten- 
dant „ad  feftores  quofvis,  quod  illc  nefcio  ananiniadverterit"'^).  En  d'autres  tennes 

il  démontra,  géométriquement,  la  (érie     arc  tg  /  = + etc. '°)  pour 

des  arcs  quelconques  inférieurs  à  45°  (ou  =  45°}. 

Les  confidérations  géométriques  font  de  1 689;  elles  fe  rattachent  à  des  confidéra- 
tions  géométriques  de  1 674.  La  férié  qui  en  réfulce  ell  de  169 1 .  Tandis  que  celle  de 
Leibnitz  (trouvée  d'abord  d'une  autre  façon)  eft  le  développement  de  arc  tg  i  (no- 
tation moderne),  Huygens  propofe  de  prendre  plutôt  arc  tg  ^v's  ce  qu'il  appelle  la 
„progreffio  optima  ad  quadrandum  circulum". 

Le  développement  en  féric  de  l'arc  tangente  était  connu  depuis  plufieurs  années 
à  diverfes  perfonnes:  James  Gregory  3')  en  avait  fait  part  à  John  Collins  en  1670, 
mais  fans  en  donner  aucune  démonllration.  En  novembre  1690  3')  Leibniz  écrit  à 
Huygens  que  dans  l'ouvrage  qu'il  avait  „compofé  autrefois  fur  la  quadrature  Arith- 
métique"") il  avait  démontré  une  propolîtion  générale  pour  les  fefteurs  des  coniques 

f  (3 

qui,  pour  le  cercle,  revient  à  la  fonnule  arc  tg  /  = etc.  Huygens  n'a  peut-être 

'        3 
pas  eu  cette  fonnule  fous  les  yeux  avant  ce  temps  '+).  Le  bout  de  phrafe  cité  plus 


=»)  Fin  de  la  Pièce  V, 

3°)  Sans  se  servir  de  l'expression  courte  „arc  tg  /"  encore  inconnue. 

fi  (S 

3')  Mort  en  1675.  Gregory  écrit  a  =  t ;;  ■\-  — ^  etc.  Chez  Huygens  le  rayon  r  =  i.  On  sait 

que  la  tangente  /au  dix-septième  siècle  est  une  longueur,  non  pas  un  rapport  de  deux  longueurs. 

3=)  T.  IX,  p.  534- 

33)  Voyez  la  Pièce  III  qui  suit. 

3+)  Aux  p.  178  et  i79des„A(fta  Eruditorum"de  1691  Leibniz  écrit  (dans  son  article  „Quadratura 
Aritlimetica  communis  Seftionum  Conicarum  quje  centrum  habent,  indeque  duda  Trigono- 
metria  Canonica  ad  quantamcunque  in  nuraeris  exaditudinem  à  Tabularum  necessitate  liberata: 
cum  usu  speciali  ad  lineam  Rliomborum  nauticam,  aptatumque  illi  planisplia;rium"):  „Jam 
anno  1675  compositum  liabebam  Opusculum  Quadratura;  Aritlimetica;  amicis  ab  illo  tempore 
leâum  ...  in  Opusculo  nostro  incdito  tiec  :psi  [Hugenio]  visum  [nous  soulignons],  inter  alias 
propositiones. . .  etc."  Il  est  vrai  qu'en  1679  (T.  VIII,  p.  219)  Leibniz  écrit  à  Ihiygens  des 
„choses  qui  appartiennent  à  l'Académie  et  particulièrement  ma  Quadrature  Arithmétique  dont 
j'ay  laisse  même  le  M.S.  à  Paris".  Mais  dans  sa  réponse  de  novembre  1679  (T.  VIII,  p.  244) 
Huj'gens  parle  de  „cette  Quadrature  Arithmétique"  comme  d'une  chose  qui  lui  est  inconnue. 
En  1682  (T.  VIII,  p.  403)  P.  van  Cent  écrit  à  Huygens,  si  nous  le  comprenons  bien,  que 
Tschirnhaus,  chargé  de  rapporter  le  manuscrit  en  Allemagne,  l'aurait  perdu  en  route.  S'il  en  a 
été  ainsi,  on  n'a  pas  manqué  de  le  retrouver,  puisqu'on  le  possède  encore  à  Hannovre. 


376  AVERTISSEMENT. 


haut  „ad  feftorcs  quofvis  [lefteurs  de  cercle],  quod  nefcio  an  ille  [Leibniz]  anim- 
advertcrit"  eft  écrit  en  marge  à  la  fuite  d'une  confidération  géométrique  de  1689 
d'où  1  luygcns  peut  déduire  la  formule  générale  de  l'arc  tangente.  Nous  ignorons  lî 
cette  remarque  écrite  en  marge  date  de  1(189  ou  de  1 691.  Il  en  eit  de  même  d'une 
autre  remarque  fur  le  même  fujet,  également  écrite  en  marge  ("fin  du  §  3  de  la  Pièce  Vj, 
où  Iluygens  renvoie  à  la  page  ultérieure,  datant  de  1 69 1 ,  du  Manufcrit  G  où  fe 
trouve  la  férié  arc  tg  /  =  etc.  Il  efl:  évident  que  ce  renvoi  ne  peut  en  tout  cas  pas 
être  antérieur  à  1691.  Nous  inclinons  à  croire  que  les  deux  remarques  marginales 
datent  de  cette  année.  Dans  ce  cas  le  „nefcio  an  animadverterit"  ne  fe  rapporte  pas 
à  un  doute  fur  la  connaiffance  de  Leibniz  de  la  formule  générale  (nous  parlons  tou- 
jours du  cercle),  mais  au  fait  que  Leibniz  peut  ne  pas  avoir  fu  qu'elle  peut  être 
démontrée  de  la  façon  que  Huygens  indique. 

La  démonftration  de  Huygens  revient  à  ceci.  Il  favait  depuis  1 674  qu'une  certaine 

aire  comprife  entre  trois  droites  et  la  courbe  à  équation  y  =  —^ (la  „verfiera", 

w     "Y"  OC 

comme  on  dira  plus  tard)  efl  égale  à  un  cercle  de  rayon  ^a  et  peut  d'autre  part  f 'ex- 
primer par  rt'  (I  —  5  +  5-  etc.),  d'où  réfulte  la  fonnule  de  Leibniz.  En  1689  il  dé- 
couvre qu'en  calculant  une  aire  moins  étendue  également  limitée  par  trois  droites  et 
par  la  verfiera  on  obtient  la  furface  d'un  fecieur  du  même  cercle.  Or,  cette  aire  peut 
aulîi  être  exprimée  par  une  i'érie  analogue  à  la  précédente.  D'où  réfulte  la  formule 
générale  qu'il  aurait  pu  déduire  en  1689  mais  qu'il  n'a  peut-être  déduite  en  effet 
qu'en  1691. 

Huygens  dit  que  fa  „progreffio  optima"  efl  „fimplicior  ac  commodior"  que  la 

„progreflio  Newtoniana".  Il  f 'agit  fans  doute  de  la  formule  de  Newton  de  la  p.  392 

1  L 

\       I         ^1         *xx'^ 

qui  fuit  :  arc  AB  [Fig.  57]  =  ^  a-  ^  -f  — j  -f-  — — ~  etc.,  où  d  efl  le  diamètre  du 

Gd"^      \od^ 

cercle confidéré et .r  laflcche  AD  de  la  Fig.  57  ^5);  formule  dont  Huygens  peut  avoir 

caufé  avec  Fatio  de  Duillier  lorfque  celui-ci  le  vifîta  en  février  1 69 1  —  voyez  la 

p.  396  qui  fuit  —  puifque  Fatio  lui  écrit  en  décembre  1691  ^5)^  en  citant  r„Algebra 

de  Mr.  Wallis",  en  avoir  trouvé  la  démonilration  3*^). 


^5)  T.  X,  p.  215  et  note  6  de  cette  page. 

2*)  Cette  formule  de  Newton  se  trouve  aux  p.  29-  et  324  du  T.  I  de  „I.  Newtoni  Opéra"  éd.  S. 

Horsley,  1779  („Excerptum  IV  ex  epistolà  Newtoni  ad  Oldenburgum  prima.  De  Problematis 

per  Séries  Infinitas  Resolvendis"). 


AVERTISSEMENT. 


377 


Nous  n'avons  pas  de  Pièce  de  1 666  ou  poftérieure  à  cette  année  qui  traite  fpécia- 
lemcnt  de  la  trifedion  de  l'angle. 

Au  fujec  du  problème  dcliaque  (Pièce  VII)  on  pourrait  fe  demander,  en  ayant 
égard  à  la  première  partie  du  prcfcnt  Tome,  ii  Huygcns  ne  l'a  pas  parfois  conlidéré  dans 
un  rapport  étroit  avec  l'interpolation  de  tons  dans  l'échelle  rauficale.  Il  faut  répondre 
à  cette  queftion  qu'il  f 'eft  borné  à  chercher  des  folutions  géométriques,  naturelle- 
ment en  faifant  ufage  d'algèbre.  Dans  l'antiquité  auffi,  malgré  le  rapport  étroit  exiftant 
i'elon  pluiîeurs  entre  la  mathématique  et  la  mulique  —  on  peut  confulter  l'ouvrage 
de  Théon  de  Smyrne,  cité  plus  haut  ^Q  —  ce  problème,  li  nous  nous  en  tenons  aux 
textes,  parait  avoir  été  confidéré  comme  effentiellement  de  nature  géométrique. 
Huygens  n'a  recours  aux  logarithmes  que  lorfque  le  nombre  de  termes  à  interpoler, 
foit  en  mufique,  foit  dans  d'autres  cas  pratiques  (voyez  la  p.  294  qui  précède),  devient 
plus  grand. 


^î")  p.  5,  10,  II,  if7  et  180.  Soit  dit  en  passant;  nous  ne  citons  dans  ce  Tome  que  l'édition  frag- 
mentaire de  BouUiau,  la  seule  qui  existât  au  dix-septième  siècle. 

48 


LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES 
DE  L'ANTIQUITÉ. 


I.       HuYGENS  ET  HoBBES  (  1  666'). 

II.     Une  quadrature  approchée  du  cercle  (  1 668). 

III.  Le  développement  du  „numerus  impossibilis"  (x)  en  série  par  Leibniz 
C1674). 

IV.  Du  LIVRE  DE  WaLLIS,  HlaTORIA  AlGEBRAE  ANGLICÈ  ').  DÉVELOPPEMENT  DU 
„NUMERUS  IMPOSSIBILIS"  (x)  EN  UNE  FRACTION  CONTINUE  (l  686  OU  1687). 

V.  PrOGRESSIO  OPTIMA  ad  QUADRANDUM  CIRCULUM  AC  NON  TANTUM  LeIBNITIANA 
MULTO  CITIUS  APPROPINQUANS  SED  ET  NeWTONIANAM  POST  SE  RELINQUENS, 
SIMPLICIORQUE  EA  AC  COMMODIOR")  (169I  ET  1689). 

VI.       HuYGENS  ET  HuBERTUS  HuiGHENS  (  I  692). 

VII.      Investigatio  DUARUM  MEDIARUM  '). 


'}  C'est  ainsi  que  Huygens  lui-même  intitule  cette  Pièce. 


I. 

HUYGENS  ET  HOBBES. 
1666. 


A  la  p.  13  qui  prc'CL^e  (Pièce  III  :  la  compofition  ou  addition  des  rapports)  nous  avons  fait  res- 
fortirque  Huygenseft  de  l'avis  de  Ilohbes,  et  non  pas  de  celui  de  Wallis,  dans  laqueftiondefavoir 
s'il  faut  eonfidérer  les  „quantitatcs  rationum"  comme  des  mwhres  entiers  ou  fraiftionnaires. 

Que  perfonne  n'en  tire  la  conclufion  que  Huygens  faifait  grand  cas  de  Hobbes  mathématicien. 
Sa„Cenfura"  de  1662,  citée  à  la  p.  13,  du  livre  de  Hobbes  de  la  même  année  traitant  e.a.  de  la  du- 
plication du  cube  et  de  la  quadrature  du  cercle  ')  fait  bien  voir  que  lesdémonftrations  vicieufesde 
Hobbes  qui  croyait  être  en  état  de  réfoudre  ces  fameux  problèmes  ne  lui  femblaicnt  nullement 
intéreffantes. 

En  \666  Hobbes  publia  un  traité  „De  principiis  et  ratiocinatione  geometrarum,  ubi  oftenditur 
incertitudinem  falfitatemque  non  minorera  ineffe  fcriptis  eorum,  quam  fcriptis  Phyficorum  & 
Ethicorum,  Contra  faftum  profeflbrum  geometria;"  qui  contient  e.a.  un  chapitre  XXI  „De  Mag- 
nitudine  Circuli  Hugeniana",  où  il  fait  au  traité  de  Huygensde  1654 desobjettionsquine  tiennent 
pas  debout;  Huygens  y  eft  dit  „deceptus",  „falf6  ufus  principio  hoc,  puni^tum  e(Te  nihil",  ce  que 
Huygens  avance  «confirmât  id  quod  refutare  voluit"etc.  Déjàen  1662  Huygensécrivait(T.  IV,  p. 
274):  Je  crains  fort  que  la  choie  ne  foit  defefperée,  et  luy  au  nombre  des  incurables. 


')  „Problemata  Physica  una  cum  Magnitudine  Circuli",  London. 

^)  Voyez  aussi  sur  Wallis  et  Hobbes  la  p.  258  qui  précède.  Nous  y  avons  cité  un  écrit  de  1657  de 
Wallis;  en  effet,  Hobbes  avait  déjà  traité  de  la  duplication  du  cube  dans  son  „De  corpore" 
de  1655  et  ailleurs.  En  1660  Hobbes  publia  son  „Examinatio  et  emendatio  mathematicîe 
hodiernx,  qualis  explicatur  in  libris  Johannis  Wallisii  Geometrix  Professons  Saviliani  in  Aca- 
demia  Oxoniensi,  distributa  in  sex  dialogos".  C'est  le  premier  de  ces  dialogues  que  nous  avons 
cité  à  la  p.  13.  La  „Quadratura  circuli,  cubatio  sphaîrs,  duplicatio  cubi"  de  Hobbes  parut  en 
1669.  Le  deuxième  volume  (de  1670?)  des  Oeuvres  de  Hobbes  (le  premier  est  intitulé:  „Thom!E 
Hobbes  Malmesburiensis  Opéra  philosophira  qua  latine  scripsit  orania",  etc.  I.  Blaeu,  Amster- 
dam, 1668,  le  second  —  exemplaire  de  la  Bibliothèque  de  l'Université  de  Leiden  —  n'a  aucun 
titre,  et  n'est  pas  daté)  contient  cette  „Quadratura  circuli  etc.  una  cum  responsione  ad  ob- 
jectiones  geometriœ  professoris  Saviliani  Oxonis  éditas  anno  1669".  En  effet,  Wallis  avait  publié 
le  3  juin  de  cette  année  à  Oxford  la  brochure:  „Thoms  Hobbes  quadratura  circuli . . .  etc. . . 
confutata"  qui  commence  par  les  mots:  „Accepi  per  Veredarium  hesterna  nocte,  Hobbii 
Schediasma  novum,  solitis  refertmn  nugis".  Hobbes  revenait  toujours  à  la  charge  et  Wallis  ne 
cessa  qu'en  167 1  de  lui  répondre.  Voyez  encore  sur  ce  sujet  les  p.  1  et  93  (note  21)  du  T.  Vil. 


IL 


[Fig-  53] 


UNE  QUADRATURE  APPROCHEE  DU  CERCLE  ■)• 

Odobre   1668. 

Prop.  I. 

ABC  [Fig.  53]  portio  circuli. 

A  SBGC  parabolse  portio  eandem 

bafineteundemverticemhabens. 

BC  bifariam  feéta  in  E.  EF  per- 

pendicularis  BC.  EG  parallela 

BD.Du£FK,GHparallel£eDC. 

Dico  BKmajorem  elfe  quam  BH. 

Jungatur  BF.  Ergo  BK  ad  BD  ut  qu.  BF  ad  qu.  BC.  Sed  qu.  BF  magis  efl:  quam 

i  qu.  BC.  Ergo  et  BK  major  quam  i  BD.  Sed  BH,  propter  parabolara  efl:  jequalis 

^  BD.  Ergo  BK  major  quam  BH.  quod  erat  demonftrandum. 

Prop.  2. 
lifdem  pofitis  dico  refiduorum  ANBS,  BFCG  centrum  gravitatis  minus  abefle  à 
pundo  D  quam  punftum  H. 

Cum  enim  portionis  parabolics  BECG  centrum  gravitatis  fit  in  diametro  ejus  GE, 
centrum  vero  gravitatis  portionis  circularis  BECF  fit  in  diametro  ejus  EF.  necefle 
efl  centrum  gravitatis  refidui  BGCF  effe  ad  eam  partem  refta;  EF  qua;  verfus  C.  Sed 
non  potcfl  elTe  extra  ambitum  BECF.  Ergo  erit  intra  ambitum  EFC,  ac  proinde 
minus  diftabit  a  bafi  DC  quam  punftum  F.  Ac  proinde  minus  utique  quam  punétum 
G  vel  H.  Quare  et  refta  refiduorum  BFCG,  BNAS  centra  gravitatis  conjungens 
fecabit  diametrum  BD  inter  H  et  D.  quod  erat  demonstrandum. 

Prop.  3.  u         ^ 

ABC  [Fig.  54]  circuli  portio,  cujus  diameter 
BD.  circuli  centrum  M,  diameter  BL'').  DR 
x  I  BD.  Per  1 8  noflr.  de  Cire.  Magn.3)  fi  fiât 


')  La  Pièce  est  empruntée  aux  p.  61-64  du  Manusc.  D. 
Les  pages  63  et  65  portent  resp.  les  datesp  et  16  Oft. 

=)  Nousomettonsiesmots  qui  suivent  dans  le  Manusc: 
Sit  MD  30  IVTB  30  b  [sic].  Les  lignes  suivantes 
du  texte  font  voir  que  Huygens  a  pris  MD  =  «  et 

MB=:f. 

3)  Theor.  XV.  Prop.  XVIII,  p.  167  du  T.  XII. 


[Fig-  54] 


UNE  QUADRATURE  API'ROCIlIiE  DU  CERCLE. 


383 


Ut 


MR 


ad 


ça  +  çc 


I  occ  —  I  oaa 


I  DL     ita     BD     ad  aliam,  ea  erit 

f«  +  f6- c—a/l- 

ioa+  i  oc 


9«  +  66- 

Rel.  ^q"-  '-f 
9a  +  oc 


altitudo  trianguli  majo- 
ris  portione  cire.  ABC. 

altitudo  trianguli  œqua- 
lis  parabok'  ASBGC. 

majus  altitudine  trian- 
guli l'qualis  relîduo  inter 
portiones  parabola;  et 
circuli. 


Jam  quia 


I  occ  —  I  oaa 

ça  +  6c 


majorem  rationcm  habet  ad  |c  —  ^a  quaui  portio  circuli 


ABCad  portionem  parabolœ  ASBGC:  per  converiionem  rationis  habcbit 


locc — loaa 
ça  +  6c 


ad 


2qu. 


—  minorem  rationem  quam  portio  circuli  ABC  ad  refiduam  BGCF, 

BSAH.  Sit  BQ  30  i  BD.  Ergo  quia  RD  00  |  BD,  ablatis  utriique  BQ  et  RD,  qus 
faciunt  ig  BD,  ab  BD,  rclinquitur  QR  30  fo^D,  five  {-^c  —  ^  a.  Efl:  autem  Q  altius 
quam  centrum  gravitatis  refiduorum  BFCG:  R  vero  centrum  gravitatis  parabola 
ASBGC.  Ergo  QR  major  quam  diftantia  inter  centra  gravitatis  parabok  et  diftonim 


refiduorum.  Quare  fi  fiât  ut 


RN^q^l: 


I  occ  —  1  oaa 


ça  +  6c 


ad 


2qu. 


ça  +  6c 


ita  QR,  ^  c  —  ï5<?  ad  aliam 


erit  iam  RN  major  quam  diftantia  inter  centra  gravitatis  portionis 

parabolicae  et  portionis  circularis  ABC.  Adeoque  N  punétum  altius  centro  gravitatis 

7  qu.  c  —  a 


portionis  circuli  ABC.  Quod  fi  vero  ad  RN  oo 


1 00c  -}- 1 00^ 


addatur  DR  zo  le  ■ 


a,  fiet  DN  oo 


47a"  —  I  ^ac  —  33«<« 


Prop.  4. 

Sit  VAC  [Fig.  55]  circuli  portio  cujus  dia- 
mcter  AO.  Et  dufta  fit  AC.  Et  portionis 
ABCD  fit  diameter BD.  Et  fiimatur  diametri 
AO  pars  AF  oo  |  AO.  ducaturque  FE  bafi 
OCparallelaqusdiametro  BD  occurrat  in  E. 
Dico  punftum  E  magis  diltare  ab  D  quod 
bafin  AC  bifecat  quam  centrum  gravitatis 
portionis  ABCD. 

Sit  enim  DR  parallela  EF;  et  concurrant 

V  L^'BODJ    produftîe  AO,  BD  in  IVI,  quod  erit  centrum 

circuli  VABC.  Et  fit  MD  do  a,  MB  oo  £-,  AD  oo  d. 


[Fig.  55] 


384 


LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQCITÉ. 


Ergo       ut       MA  ad  AD  ira  DA 

c  — i —  d d 


AR 
dd 


r~ 


Sed  quia  AF  ao  |  AOerit  inde  AF  00  4  AR,  ideoque  FR  oo  i  AR,  hoc  eft  FR  ao 

i  — .  Ut  autem  RM  ad  MD,  hoc  eft  ut  MD  ad  MA  ita  FR  ad  DE. 
'   c 

ut     IVID  ad  iMA  ita  FR         DE 


Ergo 


a 


Jd   I   ^_dj_ 
^  I    =  a 


hoc  eft  -2 2 — . 


Sit  jam  in  diametro  BD  inventum  punftum  N  ficut  in  propofitione  prscedenti. 
altius  ncmpe  centre  gravitatis  portionis  ABCD.  Itaque  cum  MD  fit  a,  MB,  c,  erit 

lOOC  +   lOOrt' 

Dico  autem  DN  minorem  effe  quam  DE.  Si  enim  DN 


At  DE  eft  5 


ce 


iaa 


a 


non  minor  quam  DE, 

eftet     47  ce  —  \\ac  —  3  3  ^^  non  minor 


20  c^  —  20  aac  +20  ace  —  20  «' 


a 


EiTet     \'jaee  —  \\aae — 3 3 ^r^  non  minor  loe^  —  ioaae-\-ioaee  —  so^^ 

Eftet     1-j acc-\-6aac  non  minor  20^3+13^^ 

Atqui  eft  minor,  cum  e  fit  major  quam  a.  Sit  enim  ezo  a  +  v,  fit 

1-j  aee-\-  6 aac ►  27^3  _|_  ^^aay  +  ^vayy  +  6a^  +  6aay. 

Et  20 c^  +  ï3a'^ ^20^3  -|-  6oaay  +  60 ayy  +  2oy^+  13^^- 

Atqui     33(3'  +  6oaay  +  2-  ayy  mmor  eft  quam  33  a^  +  60 aay  +  60  ayy  +  20 y'^ 
nam  o  minor       quam  33^v  + 20^^. 

Eft  igitur  DN  minor  quam  DE,  ac  proinde  pundum  E  ulterius  diftat  à  bafi  AC 
quam  centrum  gravitatis  portionis  ABC,  cum  etiam  N  amplius  diftet. 

Prop.  5  +). 
ABC  [Fig.  56]  portio  circuli,  cujus  diameter  BD,  intra  quam  parabola  defcripca 
^  [Fig.  56]      eft  ASBEC.  Sit  BQ  do  f  BD. 


Dico  refiduorura  AI  IBS,  BF 
CE  centrum  gravitatis  quod 
eft  in  diametro  BD  ulterius 
diftare  a  vertice  B  quam  punc- 
tum  Q. 


*)  Huygens  écrit  par  ereur:  Prop.  6  (et  de  même  Prop.  7  pour  la  proposition  suivante). 


UNE  QUADRATURE  APPROCHÉE  DU  CERCLE. 


385 


Diicacur  enim  QOV  parallela  bail  AC,  et  occurrac  diametro  portionis  parabolicœ 
BECT,  qiix  lit  'l'E,  in  O,  et  diametro  portionis  circuli  liFCT,  qua*  (it  T\\  in  V.  Et 
lit  TZ  parallela  qiioque  AC.  Quia  ergo  BQ  od  l  BD,  hoc  ell  xi  i  BZ,  erit  QZ  o) 
iBZ.  Sed  ET  propter  parabolam,  elldiniidix'BZa'qiialis.  ErgoQZ  ao  |ET.  Idcoque 
b  centnim  gravitatis  erit  portionis  parabolica.-  liECT.  Atqiii  reéta  QOV  ulterius 
dillat  a  bali  AC  qiiam  cen  trum  gravitatis  portionis  circuli  BFCT.  Ergo  portionis  hujus 
centrum  gravitatis  cadet  neceflario  inter  punéta  V  et  T,  puta  in  X.  Et  centrum 
gravitatis  relîdui  BFCE,  cadet  in  rcfta  OX  produfta  verfus  X.  adeoquc  minus  dirta- 
bit  a  bail  AC  quani  re6ta  VQ;  eademque  ratione  centrum  gravitatis  rcfidui  AHBS. 
Quare  utriufque  centrum  gravitatis  commune  minus  dilkbit  à  bali  AC  live  ulterius 
à  vertice  B,  quam  punftum  Q,  quod  erat  demonllrandum. 

Prop.  6. 

Repetatur  figura  prop.  3  [Fig.  54]  atque 
etiam  argumentatio  eadem  ufque  ad  determi- 
nationem  longitudinis  BQ,  qua;  hic  ponatur 
I  BD.  Unde  fie  porro  dicemus.  RI)  ell  limiliter 
I  BD,  cum  R  fit  centrum  gravitatis  portionis 
parabolica»  ASBGC.  Ergo  reltabit  QR  o)  i  BD. 
Ell  autem  Q  altius  quam  centrum  gravitatis 
refiduorum  AHBS,  BFCG;  ideoque  QR  major 
intervallo  inter  hoc  centrum  gravitatis  et  cen- 
trum gravitatis  portionis  parabolicœ  ASBGC. 
Quare  fi  fiât 


ut 


ad 


c  +  a 
tionis  circuli  ABC 

Eft  autem  RD  co  |  c 

'"       c  +  a 
Cire.  Magn.  fi  fiât 
ut     MN 


9^  +  6c  9a  +  6c 

erit  N  punftum  altius  quam  centrum  gravitatis  por- 


I  ^  et  DM  00  a.  Ideoque  RM  co  |  c  +  4  <7.  cui  fi  addatur 


,  fit  NM  X  |c  +  itf  +  ^V 


qu.  c  —  a 

c  +  a 


Jam  rurfus  per  18  de 


adfLD 


r^  +  f^  +  ôV 


qu.  c  —  a 


ita  BD       ad  aliam, 

I  occ  —  I  oaa 


6c  +  ça  + 


qu. 


c  +  a 


■a 


c  +  U 


■V 


6c  +  9a  +  l 


qu.  c  —  a 

c  +  a 


c  +  a 


,  ea  ent  mmor  altitudme  tnanguli  fuper 

\oc  +  laa  .     .  .r,^^      °    ,      ^ . 

AC,  quod  portiom  ABC  fit  œquale.  quia 


MN  ell  major  ea  qus  a  centro  circuli  ad  portionis  centrum  gravitatis  pertingit. 
Hœc  autem  ad  arcuum  longitudinem  inveniendam  tranfferuntur  ut  in  prop.  19  de 

49 


386  LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 

Cire.  Magn.s).  Adeoque  fi  finus  arcus  alicujiis  fit  //,  fiabtenfa  ejufdem  c,  erit  arcus 

longitude  mmor  quara  a  +  — ^ ,  major  autem  quam  a  + 

oc  +  ça  jQ^^ — loaa 


ôc  +  ça  +  f" — ; 


Ergo  ad  arcus  propofiti  longitudinem  inveniendani,  fiât  ut  fexcupla  fi.ibtenfa  cum 
noncuplo  finu,  (qux'  linea  compofita  vocetur  N)  ad  fiimmam  finus  fi.ibtcnfix.'que  ita 
eoruin  differentia  ad  aliam,  cujus  décupla  addatur  finui,habcbiturquc  arcus  longitudo 
vera  major.  Si  vero  linea  N  augcatur  tribus  quintis  lineolse  quse  fit  tertia  proportio- 
nalis  fumms  et  differentiœ  dida;,  fict,  eadem  faciendo,  longitudo  arcus  vera  minor. 

Quanta  autem  in  numerorum  charafteribus  horum  terminorum  poffit  efiTe  differen- 
tia, fimili  ratione  ac  pag.  9  hujus*)  oilendemus.  Nempe  fi  in  ^  et  c  primus  charafterum 
triens  fit  idem,  differentia  terminorum,  inter  quos  arcus  longitudo  confillit,nunquam 
plurium  quara  unius  erit  charadteris.  Sxpe  vero  ne  unius  quidem,  fed  fraftio  tantum 
cujus  numerator  unum,  denominator  quinque  charaéteres  habebit. 

Eft  enim  additiuncula  quœ  ad  a  apponitur,  in  majori  termino  ad  eam  qus  in  minori 

ut  6c  -j-  ça  -\-  4-2—^ ad  6c  -\-  ça.  Ac  proinde  erit  additiuncula  major  ad  difFe- 

rentiam  utriufque  (quîe  eadem  etiam  terminorum  efi  diilerentia)  ut  6c  +  ça  + 

l— ad  i— .  five  ut  6c  +  ga'mc  +  a  +  iqu.c  —  andiqu.c  —  a. 

=     c+a         =     c+a  ^         T      '    =M  on 

Ponatur  numerus  charaCterum  fimilium  in  ^  et  c  do  s.  Ergo  tara  a  quam  c  habebit 
charafteres  3^.  atqui  6^  +  91^  majores  fiant  quam  10a.  Ergo  6c  +  ça  habebit  cha- 

racteres  non  pauciores  quam  3^  +  i . Ergo et6c  +  ça  +  ^-  ~ non  pauciores 

habebit  quam  3^  +  i .  Sed  c  +  a  non  habet  pauciores  quam  3  s.  Ergo  6c  +  9^  in  c  +  ^, 
non  habebit  pauciores  quam  6s,  per  theor.  i  pag.  5').  Rurfiis  quia  c  —  a  non  plures 
habet  quam  2^,  habebit  qu.  c  —  a  non  plures  quam  4^. 

Eil  itaque  ut  numerus conftanscharaifteribus non paucioribus quam  6s  ad  Jnumeri 
confl:antis  charaéteribus  non  pluribus  quam  45,  ita  additiuncula  major  addifferentiam 
majoris  et  minoris  termini.  Ifta  vero  additiuncula  non  qI\  major  quam  |c  —  ^a,  cum 


5)  Theor.  XVI,  Prop.  XIX,  p.  169  du  T.  XII. 

*)  Les  pages  du  Manuscrit  D  qui  sont  indiquées  aujourd'hui  par  les  n°s  40 — 65,  ont  été  numéro- 
tées I — 26  par  Huygens.  Sa  pag.  9  correspond  à  la  p.  48  où  se  trouve  le  début  de  ce  que  nous 
avons  appelé  plus  haut  (p.  316)  „Appendice  IV  à  la  Pièce  VI  de  la  p.  259  (Insufiisance  de  la 
démonstration  de  Gregory  de  l'impossibilité  de  la  quadrature  du  cercle,  1668)". 

<■)  Voyez  la  p.  3 1 3  qui  précède. 


UNE  QUADRATURE  APPROCHÉE  DU  CERCLE. 


387 


vix  fit  major  quam  ^c  —  |^,  ideoque  non  plures  charaftercs  habct  quam  |  numeri 
conlhntis  non  phiribus  quam  2s  charaétcribiis.  l*>ff()  ad  invenicndam  tcmiinoriim 
diiTcrcntiani  oporcet  duccre  4  niimeri  non  plurihiis  conlhntis  characlcribus  quam  45-, 
in  f  numeri  non  plures  habcncisquani  2^-.  undeorieturnumerusnonpkiribusconllans 
quam  6s,  cum  fraftiones  altéra  altcram  tollant.  lit  hoc  prodnctum  dividendum  pcr 
numcrum  non  pauciorcs  habcntem  quam  6s.  undc  quotiens,  hoc  eUdiffcrcntiatcrmi- 
norum  dida  non  plures  uno  habcbit  charafteres. 

Quod  fi  vero  a  initialcm  charaéterem  habcat  fupra  5.  et  r  —  a  habeat  initialem  i  ; 
jam  6c  +  9^  in  c  +  a  habebit  laltcni  charaftcres  6s  +  3.  Kt  qu.  c  —  a  non  plures  quam 
45  —  I .  eoque  dufto  in  c  —  a,  produdum  non  plures  quam  6s  —  2  :  quo  divifo  itaque 
per  6s  +  3,  fietfracftio  cujus  denominator  fuperabit  numeratoremquinquecharaclcri- 

bus,  unde  minor  utique  erit  quam 


lOOOO 

Notandum  porro  minorem  tenninum  femper  aliquanco  accuratiorem  fore  majore, 
ut  fi  c  fit  latus  ôoanguli  a  4  lateris  3oanguli,  fit  major  tenninus  circumferentia; 
totius         3141592653775 
minor  autem         3i4'59^^535^5 
cum  verus  fit         3 14 1592653589. 


III. 

LE  DÉ\^LOPPEMENT  DU  „NUMERUS  IMPOSSIBILIS"  ')  (x) 
EN  SÉRIE  PAR  LEIBNIZ. 

[1^74] 

Leibnitzij  quadratura  ^).  quadraturn  eft  ad  circulum  fibi  infcriptum  ut 
I  ad  i  —  \-\-  \  —  f  +  è  —  TT  &c  in  infinitum. 
I  ad  1  +  âV  +  55  +  T55  ™"or  terminus 
I  ad  I  — •  /j  —  g?3  —  yfj  major  terminus 
Si  major  tenninus  auferatur  ab  unitate,  hoc  ell  fi  circulus  auferatur  a  circumfcripco 
quadrato,  et  refiduum  addatur  minori  termine,  fiet  rurfus  quadraturn  circumfcripcum 
hoc  eft  unitas. 

I    30   I  +  xV  +  3>  +  5Î  +  ^9  &C- 

ergo  i  00  i  +  ïV  +  jV  +  sV  +  55  &c. 


Ayant  appris  de  Leibniz  cette  «quadrature  arithmétique"  Huygens  écrivit  le  7  novembre  1674 
(T.  VII, p.  394):  il  ne  paroiftra  pas  impcfllble  de  donner  la  fonimc  de  cette  progreiïion 
ni  par  confequent  la  quadrature  du  cercle.  Une  des  méthodes  par  lefquellesArcliimède  avait 
déterminé  la  furface  d'un  fecleur  de  parabole,  n'avait-elle  pas  été  la  fommation  des  termes  d'une 
férié? 

Voyez  encore  sur  le  manuscrit  de  Leibniz  „de  quadratura  arithmetica  circuli,eIlipfeosethyper- 
bolîB  etc."  datant  du  temps  de  fon  féjour  à  Paris,  plus  précifément  de  1675,  la  p.  214  (note  6)  du 
T.  VIII,  ainfi  que  la  p.  160  (note  15)  du  T.  X.  Leibniz  déclare  en  1691  ne  pas  avoir  montre  ce 
manufcrit  à  Huygens:  voyez  la  note  34  de  la  p.  375  qui  précède. 

Le  théorème  fut  publié  par  Leibniz  en  1682  dans  le  T.  Ides  „Aifl:aEruditorum"  dans  fon  article 
„Devera  proportioneCirculi  ad  Quadraturn  circumfcriptum  in  Numéris  rationalibus".  Il  en  avait 
fait  part  à  Oldenburg  déjà  en  1674. 

Voyez  aufîî  fur  cette  quadrature  de  Leibniz  la  Pièce  V  qui  fuit. 


0  Voyez  sur  ce  terme  la  1.  4  de  la  p.  373  qui  précède. 

')  La  Pièce  est  empruntée  à  la  f.  27  des  Charts  mathematic»;  voyez  aussi  sur  cette  feuille  la  p. 
149  (note  1 2  de  la  p.  147)  du  T.  XIX  où  nous  avons  déterminé  sa  date.  On  trouve  d'ailleurs 
au  verso  l'adresse  de  Leibniz  séjournant  en  1674  à  Paris:  Libnitz  [comparez  la  p.  605  du  T. 
XVIII],  Hollel  des  Romains,  rue  S.  Marguerite.  Notons  encore  qu'à  la  p.  440  du  Ma- 
nuscrit D  se  trouve  la  notice:  1673,  30  Dec.  preftè  a  Libnitz  mon  livre  De  Circuli 
Magnitudine  et  Gregorius  de  Vera  Circuli  quadratura. 


IV. 

DU  LIVRE  DE  WALEIS,  IIISTORIA  ALGEBRAE  ANGLICÈ. 

DEVELOPPEMENT  DU  „NUMERUS  IMPOSSIBILIS"  (x) 

EN  UNE  FRACTION  CONTINUE. 

[16860U1687]') 


Cap.  83.  Que  la  quadrature  du  cercle  ne  peut  eftre  exprimée  par  aucune  manière 
de  notation  reçue  '). 

C'efl:  a  dire  ni  par  raifon  de  nombres  ni  de  racines. 

Dans  Ton  Arithmetica  infinitorum,  prop.  190,  il  appelle  cecy  fcntentia  noftra  aut 
conjeéhira  ^).  Mais  icy  il  prétend  qu'on  peut  le  conclure  furcraent.  ce  que  je  ne 


')  Manuscrit  F,  p.  255.  Il  y  a  des  dates  de  1686  avant  cette  page  (à  la  p.  239  du  Manuscrit  Huy- 
gens  discute  un  article  de  Leibniz  de  septembre  1686;  voyez  la  p.  162  du  T.  XIX),  la  date 
1687  se  trouve  à  la  p.  261.  Il  s'agit  du  livre  mentionné  dans  le  catalogue  de  vente  de  1695  des 
livres  de  Huygens:  „A  Treatise  of  Algebra  both  Historical  and  Practical  by  John  Wallis,  Lon- 
don  1685"  (Libri  Matliem.  in  Folio,  81).  Voyez  sur  l'édition  latine  du  traité  la  note  1  de  la  p. 
!  8  du  T.  X.  Nous  le  citons  d'après  le  texte  latin  („Tractatus . . .  auétus")  des  „Opera  mathe- 
matica"  (où  l'on  peut  distinguer  les  additions  du  texte  primitif). 

*)  Cap.  83:  „Quadratura  Circuli,  non  designanda  secundum  ullum  antea  receptum  numéros 
Notandi  modum". 

3)  C'est  dans  le  Scliolium  appartenant  à  la  Prop.  CXC  de  r„Arithmetica  infinitorum"  de  1655 
que  Wallis  s'exprime  comme  suit  :  „Et  quidem  proclivis  sum  ut  credam  (quod  &  ab  initio  suspi- 
catus  sum)  rationem  illam  quam  quajrimus  talem  esse  utquîenonpoteritnumerisexprimijuxta 
ullum  adhuc  receptum  notationis  modum,  ne  quidem  per  latera  surda;  (quale  quid  instruit 
Schootenius,  de  radicibus  Aequationum  quarundam  cubicarum,  in  ipsius  Appendice  ad  tracta- 
tum  de  Organica  Conicarum  Seâioiium  Descriptione,  idque  ad  mentem  Vieta;i,  Cartesii,  &  alio- 
rum;)  ut  necesse  videatur  aliam  ejusmodi  rationem  explicandi  modum  introducere,  quam  vel 
per  numéros  veros,  vel  etiam  per  recepta  latera  surda.  Atque  hxc  quidem  nostra  sive  sententia, 
sive  conjeâura,  hinc  confirmari  videtur:"  Etc. 

Wallis  cite  r„Appendix,  de  cubicarum  squationum  resolutione"  de  van  Schooten  qui  suit 
ses  „Commentarii"  sur  les  livres  de  Descartes  dans  son  Recueil  bien  connu.  Après  avoir  énoncé 
la  règle  dite  de  Cardan  van  Schooten  parle  de  „ejus  asquationis  radiées,  aliàs  numéro  non 
explicabiles". 


390  LF„<;  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  L  ANTIQUITE. 

croy  pas,  et  je  voudrais  qu'il  me  demontrafl:  feulement  que  la  circonférence  ed:  in- 
coinmenfurable  au  diamètre. 

Cap.  79.  Il  veut  jullifier  fa  manière  de  démontrer  par  Induftion  dont  il  fe  fert  dans 
fon  Arithmetica  infînitorum.  Mais  en  vain  [ces  trois  derniers  mots  ont  été  ajoutés  après 
coup]  +). 

Lorfqu'il  écrivit  la  préfente  Pièce,  Huygens  avait  fans  doute  vu  dans  les  „Afta  Eruditorum" 
de  juillet  1686  (p.  360)  Tarticle  de  deux  pages  de  Jaques  BernouUi,  intitulé:  „Bernoullii  Demon- 
ftratio  Ratioiuim,  quas  habent  feries  numerorum  naturali  progreflione  fefe  iiifequentiiim,  vel  qua- 
dratorum,  cubicorum,  &c.  item  trigonnlium,  pyramidalium  &c.  ad  feries  inuncronim  totidem 
maximo  œqualium"  et  commençant  par  les  mots:  „\Vallifius  in  Arithmetica  infînitorum  id  fola  in- 
duiftione  invefligare  docet,  cui  demonftrandi  modo,  cum  parum  fcientificus  eft,  alium  eumque  fa- 
cillimum  hic  fubflituam".  Nous  pouvons  en  effet  admettre  que  Huygens  avait  lu  cet  article  puif- 
qu'il  efl  précédé  par  un  article,  également  de  Bernoulli,  qui  fe  rapporte  à  la  controverfe  entre 
Huygens  et  Catelan  (le  n°  X  de  la  note  1  de  la  p.  457  du  T.  XVIII)  5). 


*)  Cap.  79  (ou  plutôt  LXXIX):  „D.  Fermatij  Exceptionibusrespondetur".  Voyez  sur  les  démon- 
strations par  induftion,  outre  la  note  suivante,  la  p.  213  qui  précède  (avec  la  note  92). 

■'')  Dans  son  article  „Sur  l'œuvre  mathématique  de  Biaise  Pascal"  („Revue  desQuestionsscientifi- 
ques",  janvier  et  avril  1924,  Louvain,  Fr.  Ceuterick)  H.  Bosmans  écrit  :  „L'indudion  complète 
[expression  dont  Bernoulli  ne  se  sert  pas  encore;  il  désigne  donc  le  procédé  de  Wallis  non  pas 
par  les  mots  «induction  incomplète"  mais,  on  l'a  vu,  simplement  par  l'expression  „induftion", 
comme  le  fait  aussi  Huygens]  était  une  méthode  aussi  ancienne  que  la  Géométrie  elle-même. 
Les  Grecs  la  connaissaient  et  l'employaient  souvent.  Mais,  de  sa  plume  magique,  Pascal  lui 
donne  un  tour  nouveau,  lumineux,  simple  et  alerte,  qui  est  demeuré  définitif.  —  Le  lefteur  en 
conclura  peut-être,  que  la  nouvelle  forme  donnée  à  la  méthode  de  l'induftion  complète  fit 
aussitôt  fortune?  —  Qu'il  ne  se  hâte  pas  trop.  Elle  passa  au  contraire  presqu'inaperçue.  Par  une 
de  ces  bizarreries,  dont  l'histoire  des  mathématiques  nous  offre  maint  exemple,  elle  fut  même 
si  peu  remarquée,  que  vingt  et  un  an  plus  tard,  dans  le  cahier  de  juillet  1686  des  Afta  Erudito- 
rum, Jaques  Bernoulli  croyait  visiblement  l'inventer  pour  rendre  rigoureux  un  raisonnement 
par  induftion  incomplète  de  Wallis". 

Citons  encore  sur  ce  sujet  A.  Prag  écrivant  en  1931  dans  son  article  „John  Wallis  (1616 — 
1703)"  („Quellen  und  Studien  zur  Geschichte  de  Mathematik",  Abt.  B.  Bd.  i,  Berlin,  J. 
Springer):  „Wallisweiss,dass  Induktion  in  ganzen  Zahlen  ein  Charafteristikum  arithmetischer 
Schlussweise  ist  [observons  que  Prag  sait  fort  bien  que  l'induction  de  Wallis  ne  se  rapporte  pas 
seulement  aux  nombres  entiers  dont  il  est  question  dans  l'article  de  Bernoulli;  ce  n'est  pas  en 
dernier  lieu  d'exposants  fraaionnaires  qu'il  s'agit].  Er  macht  sich  Gedanken  iiber  die  prinzi- 
pielle  Zulâssigkeit  solcher  Schlusse  . . .  was  Wallis  hier  sagt  ist . . .  barer  Unsinn  [?]  . . .  aber  das 
Problemdashinterdiesen  Ueberlegungen stehtist  iiberauswichtig.. .Darstellungder  Funktion 
durch  die  Tabelle,  die  die  Zuordnung  stark  betont . . .  Sicher  gehôrt  in  den  Bereich  funktio- 
naler  Betrachtungen  dieser  zweiten  Art  die  Begriindung  des  Verfahrens  der  „vollstândigen" 
Induktion.  So  weit  konnte  Wallis  nicht  vordringen". 


DU  LIVRE  DE  WALLIS,  IIISTORIA  ALGEBRjE  ANGLICÈ.  39 1 

Cap.  95.  Approximaciones  quafdam  Ncutoni  rcfert  quas  cum  nieis  comparât  quas 
in  libello  de  Circiili  IVlagnitudiiie  dcnK)nltravi  *). 


*)  Dans  le  Cap.  91  :  «Doflrina  Serieriim  Infiiiitariim,  ulcerius  à  D.  Newtonopromota"  Wallisdit: 
„Approxiniationes  ilUr  (in  Arithmctica  Iiilinitoriim)  .supra  memorata;  (pro  Circule,  Ellipsi  & 
llyperbola)  occasioncm  feceriint  aliis  iiltcriiis  in  eam  rem  inquirendi;  similcsqiie  approxima- 
tioncs  cxquircndi  in  casibiis  aliis.  (^Juaîjam  dici  coeperunt  Inlinitx  Séries,  aiit  Seriesconvergentcs, 
aliisve  nominibiis  tantundem  indicantibus.  Intereaqua- ego  hoc  in  génère  conspexi:  Non  alium 
video  qui  speculationem  hanc  subtilius  prosecutus  est  &  cum  meliori  successu,  quam  Vir  Clar. 
Isiiiiciis  iXetvfo)!,  Rlathcseos  Professor  nieritissimus  in  Celcbcrrima  Academia  Ctiiitabrigieiisi. 
Qui  circa  annum  (ut  conjicio)  1664  aut  1665  speculationem  hanc  magna  sagacitate  prosecutus 
est  (sed  eam  per  aliquot  annos  ad  alla  studia  avocatusintcrmiserat  speculationem).  Quodinno- 
tuit  mihi  ex  duabus  Epistolis  ab  cr  ad  Clar.  Virum  D.  Henricum  Oldenbnrgium  (Regia;  Socie- 
tatis  Londinensis  tum  Secretarium)  ca  de  re  scriptis  (13  Junii  &  24  Augustianni  1676), 
Societati  Regirc  Communicandis,  quas  inde  mihi  impertivit  Oldenburgius;  ingénue  quidem 
scriptas  &  luce  publica  dignissimas".  Etc. 

Nous  avons  déjà  dit  dans  l'Avertissement  (p.  374)  qu'Oldenburg  envoya  aussi  des  copies  de 
ces  deux  lettres  de  Newton  à  Leibniz.  On  les  trouve  aux  p.  179  et  203,  n°s  XLIII  et  XLV,  du 
recueil  „Der  Briefwechsel  von  G.  W.  Leibniz  mit  Mathematikern",  éd.  C.  L  Gerhardt,  I, 
Berlin,  Mayer  &  Millier  1899,  d'après  les  manuscrits  conservés  dans  la  Bibliothèque  Royale 
de  Hannovre.  La  date  de  la  deuxième  lettre  n'est  pas  le  24  août,  date  que  Wallis  donne  aussi 
dans  la  Préface  du  T.  I  de  ses  „C)pera"  (ce  Tome  parut  en  1695,  deux  ans  après  le  T.  Il),  mais 
le  24  oftobre.  On  voit  clairement  qu'il  ne  s'agit  pas  de  deux  lettres  différentes,  du  24  août  et 
du  24  oftobre,  mais  d'une  seule  lettre,  tant  par  le  contenu  que  par  le  fait  que  Wallis  écrit  plus 
loin  dans  la  Prop.  95  déjà  citée  du  T.  II:  „in  difta  Epistola  Oftob.  24.  1676"  sans  qu'il  ait  été 
question  d'une  nouvelle  lettre. 

Les  citations  de  Wallis  ne  sont  pas  absolument  littérales,  comme  on  le  constate  en  les  com- 
parant avec  le  texte  de  l'édition  des  oeuvres  de  Newton  par  S.  Horsley;  voyez  la  note  36  de 
la  p.  376  qui  précède. 

Cap.  92  et  93.  „Hujus  Applicatio  ad  Circulum  &  Ellipsin".  —  „Ejusdem  Applicatio  ad 
Hyperbolam". 

Cap.  94.  „Nova  Methodus  extrahendi  Radiées  tum  Simplicium  tum  Afte(5tarum  jEqua- 
tionum". 

Cap.  95.  „Exempla  hujus  Methodi  exhibet  multa  [Newton].  Quorum  ego  aliquot  hic 
transcribo". 

„Exemplum  I".  Etc. 

„Per  has  méthodes,-  Quando  Problema  reduftum  fuerit  ad  hujusmodi  Seriem,  infinité  conti- 
nuandam;  mult»  approximationes,  usui  commoda;,  facile  obtineantur  [lisez:  obtinentur],  & 
labore  non  magno,  qua;  alias  aigre  obtineantur,  magno  temporis  &  laboris  impendio.  Hujus 
Spécimen  exhibet  in  exemplo  subjefto,  pro  Circuli  Quadratura;  cum  illo  Clariss.  Christiani 
Hugenii,  super  idem  subjedum,  comparando. 

Exemplum  X.  Data  cujusvis  Arcus  chorda  A,  arcusque  dimidii  chorda  B;  Invenire  arcus 
longitudinem,  proxime.  Ponatur  arcus  =  2;  &  circuli  radius  =  r:  tum  pereaqussupraostensa 
sunt  habemus  (duplum  sinum  arcus  3  s) 


LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 


Cap.  lo  •").  Il  traite  de  la  reduftion  de  fraftions  en  proportions  a  de  moindres 
nombres.  Il  dit  que  quelques  uns  ont  admiré  comment  IVIetius  efloit  tombe  fur  ces 
nombres  1 13  ad  355  qui  approchent  fi  tort  a  la  raiibn  du  diamètre  a  la  circonférence 


A  =  : 


Et 


B  =  i2 


4  X  6rr^4  X  4  X  l2or» 
«5 


&c. 


; &C. 


2  X  16  X  6rr^ 2  X  16  X  16  X  laor^ 
Tiim  multiplica  B  in  «  (numerum  fiftitium)  &  ex  Produclo  deme  A:  &  Residui  secundum 


terminura 


2  X  i6  X  6rr      4  X  6rr 

3-5 


(quo  evanescat)  pone  oo  o.  Unde  prodibit  «  =  8,  & 


8B  —  A  =  33  — ;p — ^^ ^:  Hoc  est =  s, proxime.QuippeError (in excessu [l'édi- 
tion „Isaaci  Newtoni  Opéra  quae  exstant  omnia"  de  1-79  de  Samuel  Horsley  observe,  T.  I,  p. 
323:  „In  defeftu  potius,  sicut  reftè  statuit  Hugenius"])  non  major  est  quam  —^ — 4-&C. 

Estque  idem  cum  illo  Htigenii  Theoremate. 

Il  s'agit  de  la  Prop.  Vil  de  „De  Circuli  Magnitudine  inventa"  (T.  XII,  p.  133). 

Exemplum  XI.  Item.  lu arciisWo[¥\g.  ^~'\iit!U verso KQ indefîuite produâ}o,invenire ptinâum 
G,  unile  duciiC  reà^s  GB,  Gb  abscindant  (in  Tangente  Ee)  arctii  aqualem  proxinie.  Esto  Circuli 
centrum  C,  Diameter  AK  =  </;  &  sinus  versus  AD  =  .v.  Tum  est  DB  (=  V  :  dx  —  xx  :) 


[Fig.57]- 


=  dix'^  — 


3 
x^ 

I 

2(/2 


X^ 

8^/1 


._--&c. 
i6d^ 


Et  AE(=AB) 

1  1  Z 

.L   L    ,    x^     ,     3Jr2     ,      «a      ,    g 
=  ^^x^  +  ^  +       T  +       ^  +  ^'^• 
6^2       40</2       1 1 2dJ 
Et  AE  —  BD.  AD  :  :  AE.  AG.  Adeoque 


AG  =  ^d—-x- 


2        5         ^57'^ 
Ponamus  ergo  AG  00  -</ a 


±&c. 


Eritque  iterum,  DG  (  =  ^d x\  DB  :  :  DA.  AE  —  DB. 

Ergo  AE  —  DB  =  ^  +-:i^  +  "•^•'".  -f  &c. 


3  i 

2  V2  v2 

DB  =  ^^+-^ 
I    '       3 

Adde  DB;  eritque 


7 

__23£2_ 

3oo</ï 


AE  =  </2xâ  + 


3 
jr2 


5  Z 

3.v2_   ,   J7^^ 


6d2 


40</2 


I2O0</2 


+  &C. 


Deme  hoc  ex  valore  AE  prius  invente;  Residuum  est  error 


.6xî 


±&c. 


52  5*^ 


DU  LIVRE  DE  WALLIS,  HISTORIA  ALGEBRit  ANGLICÈ.  3^3 

du  cercle.  Qu'un  d'.  Davcnant  luy  avoir  propose  ce  problème  en  1 663  et  qu'il  luy  a 
envoie  un  traité  de  cette  matière  qui  a  elle  imprimé  par  manière  d'appendix  derrière 
les  ouvrages  pofthumes  d'Iiorrocks.  Mais  je  ne  trouve  point  la  ce  traité  "). 

11  propoie  le  Théorème  aind.  Elhnt  donné  une  fraélion  en  proportion,  trouver 
une  qui  en  approche  autant  qu'il  eft  poflible  de  faire  en  des  nombres  qui  n'excèdent 
point  un  nombre  donné,  et  dans  les  plus  petits  termes. 

Sa  méthode  cft  bien  longue  par  de  continuelles  additions  et  diflere  beaucoup  de 
celle  dont  je  me  (uis  fervi  »)  a  trouver  les  nombres  des  dents  de  mes  roues  du  Plane- 
tologe.  Il  l'applique,  comme  moy,  a  chercher  la  proportion  prochaine  du  diamètre  a 
la  circonférence  et  trouve  par  ies  additions  les  nombres  de  7  a  22,  de  133  a  355,  de 
33215  a  104348  (lefquels  derniers  félon  moy  ne  font  pas  des  bons).  Puis  364913  a 


Ergo  in  AG,  sumptis  AH  =  -  DA,  &  KG  =  HC,  Reftae  GBE,  Gbe  abscindent  Ee  proxime 

I 6x^  I ôx^ 

scqualeni  arcui  Bab.  Quippe  error  non  major  est  quam -y  àx  flisez:  2. \/dx,  texte 

525(/3  ^  225i/3 

de  GerhardtJ  ±  &c.  Qui  multo  minor  est  quam  Hugenii". 

(Etc.  Cet  „Exemplum",  comme  le  précédent,  est  emprunté  à  la  lettre  de  Newton  de  juin  i  (>'6'). 
Nous  trouvons  en  effet  que  lorsque  l'arc  BAb  est  la  huitième  partie  de  lacirconférence,  de  sorte 

que.v  =  r  [1  —  cos.  22|°]  =pr,oùr  =  J;/,  l'erreur  de  Newton /=i^—-/>2r  (en  ne  tenant 

525 
compte  que  de  ce  premier  terme)  a  la  valeur  0,00000083  ''•  Quant  à  l'erreur  de  Huygens, 
d'après  le  Probl.  IV,  Propos.  XX  de  „De  circuli  magnitudine  inventa",  où  il  considère  le  cas  de 
l'arc  dont  nous  venons  de  parler,  il  est  de  0,0000097  r  (donc  1 1  ou  1 2  fois  plus  grand),  vu  que 
son  „terminus  minor  accuratior"  —  chez  Newton  il  s'agit  également  d'un  terminus  minor  — 
est  égal  à  0,7853885  r  et  que  ^r^r  =  0,7853982  r. 

'')  Cap.  10:  „De  Fraftionum  &  Rationum  Reduftione  ad  minores  terminos  servato  quam  potest 
proxime  valore". 

8)  Wallis  parle  en  effet  dans  le  sens  indiqué  de  „Edwardus  Davenant,  S.  Theologis  Dodor,  & 
Ecclesia;  Sarisburiensis  tum  Canonicus  Residentiarius;  magnœ  eruditionis  &  modestia:  Vir,  & 
in  rébus  Mathematicis  sedulus,  earumque  bene  gnarus",  etc.  . .  Probleraa.  Cujus  solutionem 
(ante  plures  annos)  ad  ipsum  [Davenant]  misi;  eamque  subjunxi  Schediasmatis  quibusdam 
posthumis  .Jerenu\e  Horroccii,  quse  mes  cura;  commendarunt  Societas  Regia  Londoiiensis,  in 
ordinem  digerenda  &  edenda".  Huygens  j-ossédait  apparemment  la  première  édition,  celle  de 
1673,  des  „Opera  Posthuma"  de  Horrocks  (T.  V,  p.  41,  note  12)  et  non  pas  la  deuxième  de 
1678  (T.  V,  p.  73,  note  8)  qui  contient  vers  la  fin  un  chapitre  „De  rationum  et  fraftionum 
reductione".  Le  catalogue  de  vente  de  1695  des  livres  de  Huygens  mentionne  en  effet  l'édition 
de  1673  (Libri  Mathematici  in  Quarto,  92). 

*)  On  trouve  déjà  des  fradions  continues,  servant  au  calcul  des  nombres  des  dents  de  différents 
rouages,  aux  p.  13  et  suiv.,  datant  de  1680,  du  Manuscrit  F  où  Huygens  traite  de  la  Terne  et 
Merciirij  periuilunim  proportio,  etc. 

50 


394  LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 

1 146408  '°).  172503335419351  et  plufieurs  autres  en  fuite.  Il  nomme  ces  nombres 
incrcmcnta.  item  52746197  a  165707065. 

Il  le  propofe  auiïi  cette  proportion,  2684769  a  8376571,  pour  trouver  la  plus 
prochaine  majeure  ou  mineure  qui  fe  puiiTe  exprimer  en  nombres  qui  n'ayent  que 
trois  chifres.  Et  il  conclut  que  la  fraftion  ||  eft  la  plus  prochaine  majeure  et  |||  la 
plus  prochaine  mineure  ce  qui  eil  vray. 


Hiiygens  cite  le  livre  de  Wallis  déjà  à  la  p.  252  du  Manufcrit  F  et  calcule  enfuite  diverfes  frac- 
tions continues  ').  Notons  que  Brouncker  avait  réudî  à  développer  en  une  fraftion  continue  la 

formule  de  Wallis  pour  -  (p.  373  qui  précède)  ce  dont  Wallis  traite  dans  fon  livre  de  1685.  A  la 

p.  256  du  Manufcrit  F  fe  trouve  pour  le  rapport  de  la  circonférence  du  cercle  au  diamètre  (notre 
nombre  "■}  la  valeur 

3  +  I 


7  +  I 


15+1 


I  +  I 


292  4- 1 


I  +  I 


I  +  I 


I  +  I 


2  +  I 


I  +  I 


3  +  I 


1  +  I 


14  .   . 

Huygens  calcule  même  encore  les  dénominateurs  fuivants  2,  i,  i,  2,  2,  i.  Sa  „Defcriptio  Auto- 
mati  Planetarii"  (dans  la  préfente  Pièce  il  donne  à  cette  conftruftion  le  nom  de  „Planetologe") 
auquel  ce  calcul  était  deftiné  —  nous  la  publierons  dans  le  Tome  fuivant  —  ne  parut  qu'en  1703 
dans  les  „Opufcula  poftuma".  Il  n'a  pas  jugé  néceiïaire  de  publier  féparément  la  préfente  approxi- 
mation du„numerus  impoflîbilis". 


'")  Et  avant  ceux-ci  les  nombres  99532  et  312689  que  Huygens  mentionne  à  la  p.  253  du  Manu- 
scrit F. 


V. 

PROGRESSIO  OPTIMA  AD  QUADRANDUM  CIRCULUM  AC  NON 

TANTUM  LEIBNITIANA  MULTO  CITIUS  APPROPINQUANS  SED  ET 

NEWTONIANAM  POST  SE  REIJNQUENS  SIMPLICIORQUE 

EA  AC  COMMODIOR. 

[1691  et  1689]. 


§!■> 


[Fig-  58] 


1/3      3-3 1^3      5-9  K 3      7-271/3 

&c  30  AD  arc.  [Fig.  58  j. 


9.81  1/3       11.243]/ 3 

III  1,1  lu- 

1 pc .  Hinc  patet 

7.27      9.81        11.243 


3-3      5-9 


orcus  nuraerorum  progreffionis. 
I 


I       9      45 


— +— • 
189      729 


2673 


&c  fumma  divifa 


per  1X3  30  AD  arc.  quem  fi  in  3  ducas  fiet  quadrans 
peripheriîe  AE,  hinc  autem  idem  fit  ac  fi  fiammam  progreflionis  ducas  in  IX3. 

Le  rayon  a  la  longueur  i,  comme  la  figure  l'indique.  La  formule  donnée  ici  par  Huygens  fans 
explication  correfpond  à  ce  que  nous  appelons  le  développement  en  férié  de  l'arc  tangente  pour 

77  î  i^  î^  î^  I 

un  arc  de  30°  :  —  =  arctg/  =      —  — 1 pour  /  =  —r=  ;  tandis  que  celle  de  Leibniz 

6  ^1357  VZ 


')  Manuscrit  G,  f.  82  v.  Les  dates  i  Jan.  iiîpi,  Maj.  1691  et  16  Mart.  1691  se  trouvent  respec- 
tivement sur  les  feuilles  78,  88  et  93. 
=)  Huyens  écrit  auflî  (f.  82  r)  la  progrefïïo  ad  quadraturam  circuli 

I  \ =+ ' ^ 

2  +  1/3      78  +  45K3       1810  +  10451/3 

etc.,  où  78  +  45  v/3  =  3  (2  +  /s)^,  etc.  et  où -;=  =  Cang.  1 5  gr.  C'est  donc  le  dé- 

-  +  k3 

veloppementensériedearctg.  — - — 7=  donnant  — (  nous  avons  corrigé  +  — 7=  en  — 

^^  2  +  V/3  12^  78  +  45V^ 

—— ;=  \  Il  eût  sans  doute  été  plus  simple  d'écrire  2  —  Vj.  au  lieu  de 

78+45/3-^ 


2  +  J/3 


396  LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 

(Pièce  III  qui  précède)  peut  être  appelée  le  développement  de  l'arc  tangente  pour  un  arc  de  45°: 

—  =  -  —  — . .  pour  /  =  I  ^), 

4135 

Le  §  3  qui  fuit,  lequel  ell  antérieur  en  date  au  §  i,  indique  comment  Huygens  a  obtenu  fa  for- 
mule: voyez  les  dernières  lignes  du  §  3.  Le  §  4  amplifie  cette  explication.  Le  §2,  moins  important, 
fait  fuite  au  §  i. 

§  2  3).  Séries  quadratix 


,us 

+ 

I 0000000000 

ous  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

3US 

+ 

222222222 

4US  _ 

52910053 

5US 

+ 

I371742I 

gus  

3741 115 

7US 

pus 

+ 

+ 

IO54I3I 
89656,3 

Sus  _ 

304831,6 

8871 
827 

IQUS 

29413 

2699 

255 

10237093 128 
I 168099478 

I 168099478 

906893650 

17320507,.  1/3 


I5707945II8828I342 


3I4I58902376562684 

Potell:  quifque  numerus  feriei  quadratricis  inveniri  ex  promixe  prîecedeiui,  exigua 
multiplicatione  et  divifione  unius  vel  duarum  charafterum,  ufque  ad  numerum  deci- 
mum  quintum.  inde  ad  quinquagefimum  multiplicatione  per  duos  charafteres  et 
divifione  per  très,  quo  compendio  in  fiais  progrefllonibus  utebatur  D.  Fatius. 

Fatio  de  Duillier,  fuilTe,  vifita  Huygens  à  la  Haye  en  feptembre  1686  (T.  IX,  p.  134)  et  de 
nouveau  en  février  1691  (T.  X,  p.  21  ;  il  refta  à  la  Haye  jufqu'en  feptembre,  T.  X,  p.  440)  après 
avoir  féjourné  en  Angleterre  et  y  avoir  rencontré  e.a.  Newton.  Voyez  la  note  1  de  la  p.  1 1 7  du  T. 
IX  et  la  fuite  du  préfent  Tome. 


S)  Manuscrit  G,  f  82  v  et  83  r. 


PROGRliSSIO  OPTIMA  AD  QUADRANDUM  CIRCULUM,  ETC. 


397 


Nam  fi  in  ferie 1 

••1       3-3      5-9 


+ 


&c  fraftionum,  qua- 


7.27       9.81        11.243 
mm  (iiigulis  denominatoribus  dividi  débet  mimerus  1 0000000000,  ponamus  m  pro 


m 


numéro  hoc;  et  -^ — fignificet  m  divifum  per  denominatorem  aliquem  fraftionum 

fcriei  ut  d  (ît  numerus  progredionis  i,  3,  5,  7,  &c.  et  p  poteftas  tcrnarij  (undc  fie 
numerus  aliquis  l'eriei  quadratricis),  erit  numerus  proximè  fequcns  hujus   feriei 


m 


^4- 2  in  3/»" 
m 


quem  dico  ex  praîcedenti  illo 


m 


m 


facile  inveniri.  EU  enim  -^  ad 
a  m  p  d.p 


ut  ^  +  2.3/)  ad  d.p^  hoc  efl:  ut  d-\-  2.3  ad  d.  Eft  autem  d  -\-  i  numerus 
rf+2.3/) 

feriei  i,  3,  5, 7  in  fraftione  proxime  fequente. 

Ergo  pofita  ferie  i,  3,  5,  7,  9,  1 1,  1 3  &c  crit  primus  numerus  feriei  quadratricis 
nempe  1 0000000  &c  ad  fecundum,  ut  triplum  3  ad  i,  feu  ut  9  ad  i.  Secundus  ad 
tertium  ut  triplum  7  ad  5,  feu  ut  2 1  ad  5  atque  ita  porro.  Sed  fi  in  uno  quopiam  erra- 
tum fuerit,  etiam  in  fequentibus  omnibus  errabitur. 

§  3  +).  BEt  [Fig.  59]  ciiToides.  AD  ad  DC  ut  BD  ad  DE. 

Pour  entendre  le  préfent  §  on  peut  le  comparer  avec  le  §  ibis  de  la  p.  149  du  T.  XIX  datant  de 
1674.  La  Fig.  79  ter  de  la  p.  148  du  T.  XIX,  laquelle  appartient  à  ce  §  ibis,  eft  analogue  à  la  pré- 
fente  Fig.  59.  Dans  cette  Fig.  -ji^  ter  BE  eft  la  cillbide  et  BGF?  la  courbe  qui  correfpond  à  la  courbe 
BF?  de  la  préfetite  Fig.  59. 

Ofl:endimus  olim  fpatium  AEB  œquari  triple  fegmento  circuli  CBS.  Ergo  et  fpatium 

[Fig-  59] 


^-/î 


'•)  Manuscrit  G,  f.  21  v.  La  date  du  20  déc.  16S8  se  trouve  sur  la  f.  8  r,  et  les  „k&A  Eruditorum" 
d'avril  1689  sont  cités  sur  la  f.  28  v. 


398  LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 

CEB  jequabitur  triplo  fegmento  CBS,  nam  triangulum  CDB  00  ADE.  Ergo  fpaciiim 
ECSB  30  4  fegmentis  CBS.  Ergo  et  fpac.  DFB  ao  4  fegm.  CBS.  quia,  ex  conftruc- 
tione  curva;  BF^ —  voyez  fon  équation  plus  loin  dans  le  préfent  §,  et  auflî  dans  la  note  :  delà 
p.  1 49  du  T.  XIX  — ,  fpat.  CSBF  00  DEB.  nam  CF  fumta  eft  œqualis  DE,  et  fie  ubique. 

Diicatiir  AC  et  prodiifta  occurrat  tangenti  BG  in  L.  Et  fit  QCG  parallela  AB. 
Quia  ergo  ut  AD  ad  DC  hoc  eft  ut  BD  ad  DE  ita  CG  ad  GL;  erit  GL  do  DE  feu 
CF.  Unde  juncla  LF,  parallela  erit  BA.  Producatur  LF  ad  M.  Jam  trianguli  c5CB 
duplum  efl:  triang.  ACB.  Ergo  CU  AG  quadruplum  trianguli  èCB.  Unde  et  CD  DM 
quadniplum  erit  trianguli  ^CB.  Sed  fpat.  FBD  erat  quadruplum  fegmenti  circuli 
CSB.  Ergo  totum  fpatium  IMFBA  do  4  feftores  tîCSB.  Eft  autem  4  leftor  t5CSB  do 
I  I  ab  arcu  CB  et  reda  AB.  Ergo  fpat.  MFBA  oo  huic  reftangulo.  Ergo  QH  MB 
ad  fpat.  MFBA  ut  LB  ad  arcum  CB  five  ad  arcum  OB,  cujus  ipfa  LB  tangens  &c. 

Ex  his  facile  perfpicitur  fpatium  Aa^  B  asquari  circulo  ACB,  five  quadranti 

AaOB  S). 

Ceci  correfpond  à  la  dernière  ligne  de  la  p.  149  du  T.  XIX. 

Quod  fi  continuetur  curva  B^  ut  et  afymptotos  Aa,  fiet  fpatium  interjeftum  infi- 
nitum  îequale  quadruple  femicirculo  ACB,  hoc  efl  duplo  circulo  AC^r.  ut  facile  ex 
his  coUigitur  '). 

Sit  AB  DO  a,  AU  x  .r,  MF  oo  r.  Quia  ergo  AD.  DC:BD.  DE  [c.à.d.  AD:  DC  = 
BD:DE]  erit  et  AD.DC  :  AB.CE  vel  DF. 

y ]/aa—yy a x 


yyxx  DO  a^y  —  a^yy 


«3 

DO  y 


XX  +  aa 


C'eft  l'équation,  dont  nous  avons  déjà  parlé  plus  haut,  de  la  courbe  BFç,  connue  plus  tard  fous 
le  nom  de  verfiera.  Il  n'eft  pas  généralement  connu  que  Huygens  a  confidéré  la  verfiera  déjà  en  1 674. 

En  marge  ")  :  Ex  hujus  fraftionis  divifione  numeris  exprefia  oritur  quadratura  Leib- 
nitsij.  Ex  qua  circulus  efl  ad  quadratum  circumfcriptum  ut  1  —  î  +  j  —  7  +  5  ^^• 
ad  I. 


5)  Puisque  „spatium  MFBA  DO  4  seclores  â'CSB"  et  de  même  par  conséquent:  „spatium  Aa  ?  B" 
=  4  fois  le  quart  du  cercle  ACB  ~  =  ce  cercle  entier,  on  a  aussi:  espace  total  compris  entre  le 
diamètre  AB,  l'asymptote  Aa  et  la  courbe  BFÇ  continuée  jusqu'à  l'infini  =  4  fois  le  setteur  cor- 
respondant, qui  est  le  demi-cercle  ACB.  En  formules  modernes: 

o  '  o  '  o  ' 

*)  Voyez  sur  cette  remarque  marginale  la  note  10  de  la  p.  400  qui  suit. 


PROGRESSIO  OITIMA  AD  QUADRANDUM  CIRCULUM,  ETC. 


399 


Voyez  fur  la  „frartionis  divifio"  et  fur  la  fonimation  qui  fuit  cette  divifion,  la  note  57  de  la  p. 
41  du  T.  X  et  la  p.  147  du  T.  XIX.  Confultez  aulli  la  note  12  de  cette  dernière  pajje.  Kt  les  p. 
261 — 262  du  prdfent  Tome. 

Toujours  en  marge:  Sed  hœc  approximacio  lente  procedit.  Miilto  citiiis  appropin- 
qiiabic  11  AM  five  BL  ponacur  taiigens  parvi  arciis  cercuninigraduiim.  Sed  tune  femper 
erit  irrationalis.  Vide  pag.  infra. 

Cette  p.  63  du  Manufcrit  G  —  numération  de  Ihiygens  —  eft  la  f.  82  v  à  laquelle  nous  avons 
emprunte  le  §  i  qui  prcct}de. 

§  4  •■).    ABCD  quadratum  [Fig.  60].  BD  quadrans  circumferentia;,  centre  A, 

BN  zo  AB,  CM  DO  CD.  BINl  parabola  cujus 
latus  reftum  BN.  LQ  parallela  BA  lecans  BC 
in  K.  LQ,  KQ,  PQ  proportionalcs. 

BPpO  per  punfta  P  inventa  efl:  linca  curva. 

En  marge:  1  lacc  curva  BPO  elt  eadera  qux" 

folio  précédente  [Fig.  59]  BF<^.  AB  00  a, 

ai 
AQ  00  .r,  QP  DO  ;y, —  do  y. 


[Fig.  60.] 


aa  +  XX 
Dico  fpatium  BODA  sequale  effe  quadranti 
ABD  «). 

Item  diiftd  utcuraque  AK  quse  lecet  arcum 
in  G,  et  ex  K  deinde  reftà  KQ  quje  fecet  cur- 
vam  BPO  in  P.  dico  efTei  arcum  BD  ad  arcum 
BG  ficut  quadratum  BD  [lifez:  quadrantem 
ABD]  ad  fpatium  BPQ A  «). 

Applicetur  ordinatim  LR.  Duftâ  jam  AH 
qu£e  faciat  minimum  feftorem  GAE  et  minimum  fimul  triangulum  KAH,  erit  hoc 
trianguUim  ad  illum  minimum  feftorem  ut  qu.  KA  ad  qu.  AG,  hoc  eft  ut  qu.  AB  + 
qu.  BK  ad  qu.  AB.  hoc  eft  ut  qu.  AB  +  Q  ABR  ad  qu.  AB.  hoc  eft  ut  RA  five 
LQ  ad  KQ.  Quod  fi  igitur  tota  BC  divifa  intelligatur  in  particulas  a;quales  ipfi  KH, 
et  a  divifionum  pun(5tis  ducantur  reftje  ad  A,  erit  totum  triangulum  ABC  divifum  in 
totidem  triangula  a^qualia.  Et  fi  ab  ijfdem  divifionum  pundis  ducantur  parallèle  ad 
BA,  ea'  lecabunt  qu.  BD  in  totidem  reftangula  œqualia.  Et  horum  fingula  ad  partes 
interceptas  ejufdem  latitudinis  de  fpatio  BODA,  erunt  ut  reftîe  KQ  ad  PQ.  hoc  eft 
ex  conftruétione  ut  refta;  LQ  ad  KQ,  hoc  eft  ut  A  '"  KAH  ad  fectores  GAE.  Sed  et 
reftangula  HQ  et  A  '»  HAK  funt  refpcciive  omnia  inter  fe  aqualia.  Ergo  ut  omnia 
diéla  [^a  ad  omnia  fpatia  PS,  ita  omnia  A  '^  KAH  ad  omnes  feftores  GAE.  hoc  eft 


7)  Manuscrit  G,  f.  22  v.  Voyez  fur  la  date  la  note  4  de  la  p.  397. 
')  Voyez  la  note  suivante. 


400  LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  l'aNTIQUITÉ. 

Ut  \ZD  KA  ad  fpat.  BPQA  ita  A  KAB  ad  fcftorem  GAB,  five  ita  tangens  KB  ad 
arcum  GB.  &c.  »). 

En  marge:  Hinc  ergo  etiara  pcr  continuam  divilionem  oritur  Progrcfllo  Leibnitfij 
ad  Circuli  Quadraturani  et  ad  feiftores  quofvis,  quod  illencfcioananiniadvercerit"'). 


')  L'équation  démontrée  KB:  arc  GB  =  |  |  KA:  spat.  BPQA  donne,  lorsque  K  coïncide  avec 
C,  CB:  iarc  BD  =  □  ABCD:  spat.  BODA.  Or,  en  posant  CB  =  r,  on  a:  ^arc  BD  =  iî^/-, 
et  n  ABCD  =  r-.  Par  conséquent  spat.  BODA  =  ^  -;•%  c.  à.  d.  „spat.  BODA  squale  qua- 
drant! ABD"  (note  précédente). 

Quant  à  la  relation  du  texte  ^  arc  BD:  arc  BG  =  quadrans  ABD  :  spat.  BPQA,  elle  résulte 
aussi  de  l'équation  démontrée,  puisqu'on  a 

KB  :  I  arc  BD  =  □  KA  :  i  tt  ;•= 
c.  à.  d.  1  :  ^  -r  =  r  :  \  ~r-. 

'")  Voyez  sur  cette  remarque  finale,  ainsi  que  sur  la  remarque  finale  du  §  3,  la  p.  376  de  l'Avertis- 
sement qui  précède. 


VI. 

HUYGENS  ET  HUBERTUS  HUIGHENS. 
1692. 


Voyez  fur  Huygens,  Hiibertiis  Huighens,  et  la  quadrature  du  cercle  les  1.  17 — 19  de  la  p,  298 
du  T.  X. 


51 


VIL 

INVESTIGATIO  DUARUM  MEDIARUISI  ')• 


[Fig.  6i] 


Sint  datje  HC,  HQ  [Fig.  6a]  inter  quas  oporteat  diias  médias  invenire.  Sit  CB  co 

i  CQ.  CA  30  3  CH.  BOAcirculus. 
AL  00  ^  AB.  LE  oo  HC.  LD 
00  2  LE.  DM  (perpend.  DE)  oo 
1/qu.  EL  +  EA.  MN  00  -DM. 

FNAM  eft  eUipfis  centre  D.  HG 
efl:  minor  duarum  mediarum  inter 
HC,  HQ. 

Inventum  ex  alia  conftruftione, 
cujus  figura  fuperior  [Fig.  6i]  per 
modum  pcrfpeftivs. 

Nous  publions  ces  lignes  quoique  la 
conftniclion  ne  soit  pas  correcte  ffans 
doute  à  caufe  d'une  faute  de  calcul)  °), 
puifque  c'eft  bien  rarement  que  Huygens 
dansfesdémonftrationsfefertde„perfpec- 
tive"  (il  s'agit  d'une  projeâion  oblique 

fous  l'angle  arc  ces  — =,  qui  change  l'el- 

lipfe  et  la  circonférence  de  cercle  de  la 
Fig.6i  refpeclivement  en  la  circonférence 
de  cercle  et  l'ellipfe  de  la  Fig.  62)  :  nous 
croyons  remarquer  ici  unelégêréinfluence 
de  Defargues. 

Voyez  auflî  fur  la  méthode  de  projec- 
tion la  note  8  de  la  p.  4:8  qui  fuit. 


Dans  le  manuscrit  les  diamètres  BA  sont  égaux  dans 
les  deux  figures. 


')  Chart»  mechanicae,  f.  100. 


INVESTIGATIO    DUARUM    MEDlARUM.  403 


-)  D'après  le  texte  on  a  dans  la  Fig.  62,  en  posant  HC  =  ^7  et  HQ  =  h,  C A  =  3/7,  CB  =  -(a — ^)  ; 

AB  =  i(8/7  +  ^),KB  =  KA=r=  i(8^ +  i),  AL  =  —  (8/7  +  ^),  LE  =  ^,  LD  =  ia, 
3  018 


donc 


DE  =  «1/3,  AE  =  /.  =  -^  (26,7  +  b\  HA  =  ia,  HE  =  ^  (io<7  —  b'),  DM  = 
18  18 


\/ a'^  +  p-,  MN  =  2  \/a^  +  /)^.  En  prenant  les  axes  DX  et  DY  comme  l'indique  la  Fig.  62 

bis,  nous  avons  pour  l'équation  de  l'ellipse  de  la  Fig.  62  3.v^  +  y  =  3  (ji^  +  />-)  et  pour  celle 

de  la  circonférence  de  cercle  de  la  même  figure  (.v — py- 

[Fig.  62  bis]  +  <ir  Qx—p')  +  (j—a  [/z  )"  =  o- 

^                                A/           X'  ^^^  deux  courbes  passent  par  le  point  A.  Suivant 

~l • Huygens  elles  se  coupent  une  deuxième  fois  en  un  point 

F  pour  lequel  .v  =  —  GE  =  —  (HE  +  GH)  =  \ 

I  o 

(^b  —  io«)  —  V^a^è.  En  général  il  n'en  est  pas  ainsi,  quoique  la  chose  soit  vraie 

pour  les  valeurs  particulières  a  =  o  et  a  =  è. 

Huygens  n'indique  pas  comment  il  a  trouvé  la  construftion  de  la  Fig.  61,  du 

-  moins  son  raisonnement  n'a  pas  été  conservé.  II  est  connu  que  les  équations  du 

troisième  degré  se  résolvaient  généralement  par  l'interseftion  de  deux  coniques 
(Appendice  de  la  p.  334  qui  précède),  dont  l'une  pouvait  être  une  circonférence 
de  cercle  et  l'autre  une  ellipse  (voyez  p.e.  la  Prop.  Prima  du  „Mesolabum"  de 
Slusius:  „Inter  extremas  datas  duas  redas  medio  loco  proportionalespercirculum 

.  &  ellipsim,  infinitis  modis,  exhibera"). 


MATHEMATICA  VARIA  1666- 1681. 


mÉmff''m 


Avertiffement. 


Comme  on  peut  le  voir  dans  la  (uite  du  prcfcnt  Tome,  c'cll:  furtout  après  fa  rentrée 
définitive  en  Hollande,  donc  après  1681,  que  Huygcns  f'appliqua  de  nouveau  avec 
ardeur,  comme  dans  fa  jeuneiTe,  aux  mathématiques  pures'):  c'efl:  furtout  vers  la  fin 
du  fiècle  que  le  calcul  infinitéfimal  prit  fon  eflbr  triomphal. 

La  préfence  de  Roberval  et  de  Frenicle  de  BefTy  -)  à  l'Académie  ne  femble  pas 
l'avoir  fortement  incité  à  foccuper  dans  la  période  françaife  de  fa  vie  qui  fouvre  en 
1 666  de  fujets  de  mathématique  pure  intéreffant  fpécialement  l'un  ou  l'autre  de  ces 
collègues '^).  Voyez  toutefois  le  nom  de  Roberval  dans  la  Pièce  I,  2,  B  qui  fuit  et  de 
même  dans  la  Pièce  i,  2,  A,  datant  également  de  1668,  celui  d'un  autre  collègue,  le 
phyficien  Mariotte.  Roemcr,  membre  depuis  1672,  a  été  mentionné  dans  le 
T.  XVIII 5)  là  où  il  était  queftion  de  l'épicycloïde  (année  1674);  voyez  audl  à  la  fin 
de  la  Pièce  III,  4  de  1676  qui  fuit  la  „methodus  Romeri"  rapportée  par  Iluygens 


')  L'Appendice  à  la  Pièce  XII  (p.  334)  appartient  aussi  à  cette  période  hollandaise,  mais  il  y  a 

lieu,  comme  nous  l'avons  dit  à  la  p.  207,  de  !e  rattacher  aux  dernières  années  (i6"8 — 1681) 

de  la  période  française. 
^)  Qui  décédèrent  l'un  et  l'autre  en  16-5. 
3)  Pascal,  Desargues  et  Fermât  étaient  déjà  morts  avant  1666. 
■♦)  Consultez  sur  les  discussions  entre  Huygens  et  Roberval  sur  des  sujets  de  mécanique  les  T. 

XVIII  et  XIX  qui  précédent. 
5)  Consultez  surtout  sur  Roemer  et  Huygens  la  p.  603  du  T.  XVIII.  Voyez  aussi  la  p.  2 16  et  la 

Pièce  XI  à  la  p.  285  qui  précédent. 


4o8  AVERTISSEMENT. 


pour  refoudre  un  problème  planimécrique.  La  prcfence  de  de  la  Hire  à  l'Académie, 
depuis  1 678,  eut  plus  d'influence  fur  lui  —  nous  parlons  toujours  de  la  mathématique 
pure  —  comme  nous  l'avons  expofé  aux  p.  219 — 22a  et  dans  la  note  5  de  la  p.  335. 
Cette  influence  perflila  même  après  1681  ''). 

Les  Pièces  III,  1  et  IV,  2  fur  la  qucftion  des  fignes  dans  les  équations  de  géométrie 
analytique  (la  Pièce  IV,  2  de  1676  ou  1677  n'efl  qu'un  développement  un  peu  plus 
ample  de  celle,  III,  i ,  de  1 672)  peuvent  paraître  bien  Amples.  Mais  ce  (ont  précifément 
ces  chofes  Amples  (équivalence  des  deux  axes,  celui  des  x  et  celui  des  7,  et  équivalence 
de  leurs  parties  pofitives  et  négatives)  qui  ont  de  l'importance.  Voyez  aufli  ce  que 
nous  avons  dit  à  la  p.  217  fur  l'expreflîon  fimple:  a>quatio  parabola,  équation  de  la 
parabole 7).  C'efl:  aufli  une  remarque  Ample,  mais  fur  laquelle  cependant  une  difi"érence 
d'opinion  était  poflïble,  que  celle  de  la  Pièce  I,  2,  B  (nous  avons  déjà  dit  qu'on  y 
trouve  le  nom  de  Roberval),  d'après  laquelle  les  équations  algébriques  fervant  à 
réfoudre  un  problème  déterminé  fournifl!ent  fouvent  fpontanément  des  folutions  d'un 
problème  plus  général. 

Les  carrés  magiques,  ainfl  que  d'autres  queftions  fur  les  nombres,  n'avaient  pas 
d'attrait  puifl^ant  pour  Huygens^).  La  compofition  de  fon  article  de  1668  „De  com- 
binationum  rairandis"  ')  attefl:e-t-elle  pourtant  une  certaine  influence  de  Frenicle  fur 
fa  penfée?  Nous  avons  déjà  remarqué  à  la  p.  20  du  T  XIV '°)  que  jadis  Muygens  ne 
fêtait  pas  fervi  d'analyfe  combinatoire  (§  2  de  la  préfente  Pièce)  dans  fon  traité 
„Van  Rekeningh  in  Spelen  van  Geluck"  de  1 657.  Voyez  encore  ce  que  nous  difons 
fur  Frenicle  à  la  fin  du  préfent  AvertiflTement  et  confultez  l'Appendice  de  la  p.  419 
qui  fuit. 

Au  §  I  qui  fe  rattache  à  fa  confidération  de  1 66 1  de  la  ligne  logarithmique,  Huygens 
établit  les  formules 

Somme  des  logarithmes  des  nombres  entiers  jufqu'à  log  n  (inclus) 

>nlogn  —  (n—i).  434  2945 
et  „  „  „  „  <(n+|)logn—(n— 0.4342945 


*)  Consultez,  outre  la  note  i  qui  précède,  la  fin  de  la  note  138  de  la  p.  221. 

'')  Comparez  sur  ce  sujet  la  note  2  de  la  p.  442  qui  suit. 

^)  Comparez  ce  que  nous  avons  dit  àlap.  2 14 du  T.  XI;  voyez  toutefois quelquescarrésmagiques 

aux  p.  259 — 260,  datant  de  1650,  du  même  Tome. 
9)  Pièce  I,  I  à  la  p.  413  qui  suit. 
'°)  Où  nous  mentionnons  aussi  les  travaux  de  Pascal  et  de  Wallis. 


AVERTISSEMENT. 


409 


(où  log  défignc  le  logarithme  h  bafc  10,  celui  de  10  étant  10  millions);  on  peut  donc 
dire,  en  défignant  le  nombre  4342945  par  log  e  (ce  qui  eil  un  anachronifmej,  que 
fuivant  Iluygens 

n"e— ("— 0<n!<nn+èc— C"— 0. 
La  célèbre  formule  de  Stirling  de  1730,  qui  peut  f'écrire 


[/271 


27r. n"  +  èe      "<  n! 
refTemble  beaucoup  h  celle  de  Iluygens  ainfi  formulée:  le  rapport  du  „tcmiinus  mi- 

c 

nor"  de  Iluygens  à  celui  de  Stirling  (ce  dernier  étant  plus  exact)  eft  -,    . •  Quant 

K     2Tn 

au  „terminus  major"  de  Huygens  il  eft  au  „terminus  minor"  de  Stirling  dans  le  rapport 

e 

1  y —  =  1,084:  c'eft  un  „terminus  major"  fort exact,tandisqucle„terminusmmor" 

K      2T 

lui  aufli  n'eft;  pas  fans  valeur. 

La  formule  du  §  2  pour  le  nombre  de  permutations  poiTibles  („numerus  tranfpofi- 

tionum")  lorfque  les  n  lettres  confidérées  ne  font  pas  toutes  différentes,  mais  qu'il 

exifte  parmi  elles  p.e.  trois  groupes,  aux  nombres  m,,  m,  et  m,,  de  lettres  égales 

n! 

entr'elles,  favoir  (en  notation  moderne) j j r,  était  loin  d'être  généralement 

^  -^milm^îm,!  ° 

connue  puifqu'en  1666  Leibniz  dans  fon  œuvre  dejcuncfre„Dinertatio  de  arte  com- 

binatoria"  commet  une  faute  dans  la  conlîdération  d'un  cas  de  ce  genre,  écrivant") 

6  ! 
6! — 5!  au  lieu  de —j  pour  le  nombre  des  permutations  („variationes")  des  (yllabes 

ut  ut  re  mi  fa  fol  '  -).  Mais  cette  formule  n'eil  pas  de  Huygens  :  tout-le-monde  pouvait 
la  trouver  chez  Merfenne  dans  les  „Harmonicorum  libri"  de  1635  ou  bien  dans 
r„Harmonie  Univerfelle"  de  1636.  Déjà  dans  „La  Vérité  des  Sciences"  de  1625 


")  Dans  le  „Probl.  VI",  intitulé:  „Dato  numéro  rerum  variandarum,  quarum  aliqua  vel  aliquse 

repetuntur  variationem  ordinis  invenire". 
")  M.  Cantor  („Vorlesungen  ûber  Geschichte  der  Matliematik"  III,  1901)  observe  (p.  45)  que 

lorsqu'on  réimprima  la  „Dissertatio"  en  1690  à  l'insu  de  Leibniz  celui-ci  protesta  et  indiqua 

e.a.  une  certaine  erreur  dans  son  œuvre  de  jeunesse,  mais  que  même  alors  il  ne  lit  pas  mention 

de  l'erreur  dont  il  est  question  dans  le  texte. 

52 


4IO  AVERTISSEMENT. 


Merfenne  confidère  les  „combinations"  en  connexion  avec  fa  théorie  des  plus  beaux 
chants,  dont  nous  avons  parié  à  la  p.  66  qui  précède;  en  cette  année  il  connaît  la 


n 


formule  n  !  mais  pas  encore  la  formule  — , — '-. :,  Dans  fon  article  pofthume  fur 

'^  m,  !  ra^'  nij  !  '^ 

les  combinaifons  Frenicle  cite  au  début  les  „Harmonicorum  libri."  '3) 


'3)  Dans  „La  Vérité  des  Sciences"  le  Théorème  II  du  Liure  III  (nous  ne  citons  que  ce  seul  passage) 
pose  déjà  la  question  de  „sçauoir  combien  une  multitude  de  nombres,  de  lettres,  de  soldats,  de 
mouuemens,  de  sons,  &  de  toutes  sortes  d'obiets  peuuentestrechangcz,&  transposez  d'un  lieu 
en  un  •autre".  Dans  les  „Marmonicorum  libri"  Mersenne  considère  le  cas  général  en  discutant 
la  Prop.  VIII  du  Liber  Septimus  intitulée:  „Cantilenarum  varietatem  explicare,  cum  in  dato 
notarum  numéro  dux  vel  plures  similes  occurrunt";  La  même  chose  dans  le  Second  Livre 
des  „Traitez  de  la  Voix  et  des  Chants"  qui  font  partie  de  r„Harmonie  Universelle". 

Frenicle  cite  en  marge  les  p.  1 16 — 1 17  (faisant  partie  du  Liber  Septimus)  des„Harmonico- 
rum  libri"  dans  le  traité  posthume  „Abregé  des  Combinaisons"  («Divers  ouvrages"  de  1693 
et  „Memoires de  l'Ac.  R.  d.  Sciences,  depuis  1666  jusqu'à  1699",  T.  V,  Paris, C'^des  Libraires, 
1729). 


MATHEMATICA  VARIA   1 666-1681 

I.  A  Paris  (mai  i  666  —  août  i  670) 

I .     De  combinationum  mirandis  '). 
a.     Trois  problèmes  sur  des  triangles. 

APPENDICE.  Sur  la  i  5  proposition  [de  Frenicle]  '). 

II.  A  LA  Haye  (septembre  1670  — juillet  1671) 


III.  A  Paris  (juillet  i  67  i  —  juillet  i  6j6) 

1 .  Question  des  signes  dans  les  équations  de  géométrie  analytique;. 

2.  Trois  problèmes  sur  le  triangle. 

3.  Un  théorème  sur  la  tangente  X  l'ellipse. 

4.  Un  problème  sur  le  quadrilatère,  avec  extension  du  théorème 

TROUVÉ  en  cette  OCCASION  SUR  LE  QUADRILATÈRE  INSCRIT  DANS   UNE 
circonférence  de  cercle,  à  un  polygone  INSCRIT  QUELCONQUE. 

5.  Les  „quantitez  imaginaires". 

IV.  A  LA  Haye  (juillet  1676 — juin  1678) 

1 .  Questions  se  rapportant  au  traité  „Van  Rekeningh  in  Spelen  van 
Geluck". 

2.  Question  des  signes  dans  les  équations  de  géométrie  analytique. 

V.     A  Paris  (juillet  1678 — août  168  i) 

Question  se  rapportant  au  traité  „Van  Rekeningh  in  Spelen  van 
Geluck". 


')  C'est  ainsi  que  Huygens  lui-même  intitule  cette  Pièce. 


I. 

À  PARIS  (MAI   i6(56-AOÛT   1670) 

1,1. 

DE  COMBINATIONUM  MIRANDIS  ')• 
[l668]0 


1  a         §1.  Si  fcire  velim  quot  fint  combinationes  4  diverfarum  notarum  aut 

litcrarum  ah  c  d^  notum  cfl:  multiplicandas  tantum  eiïc  continue 

2  ah  numéros  ab  unitate  ad  quaccrnariiim.  Scilicet  i  in  2  facic  2,  hoc 
ha  in  3  facit  6,  hoc  in  4  facit  24,  qui  eft  numerus  conibinationum 

quffifitus. 

6     ahc  Ergo  fi  fcire  velim  quot  fint  combinationes  centum  mille  nota- 

hac  rum  difFerentium,  oportet  multiplicare  in  fe  continue  numéros 

ach  omnes  ab  i  ad  1 00000.  quod  infiniti  laboris  effet .  Vel  oporteret 

bca  addere  in  unam  (ummam  omnes  logarithmos  numcrorum  i  ad 

cab  1 00000,  et  fumma  illa  effet  logarithmus  numeri  combinationum 

cba  quEefiti.  Sed  et  hoc  immenfi  laboris  effet.  Verum  mcthodo  mea 

invenio  facili  negotio  fummam  iffam  logarithmorum  effe  ma- 

24  . . .  jorem  quam  456571,  9800000,  minorem  autem  proximè  quam 

456573,5000000  pofito  logarithmo  denarij  i. 0000000.  adeo  ut 

fit  proxime  456572,0000000.  Ergo  cum  charafteriftica  hujus 

logarithmi  lit  456572,  lequitur  numerum  ipfi  logarithmo  convenientem  habere  cha- 

raéteres  456573.  ac  proinde  numerus  combinationum  notarum  1 00000,  tantus  erit 

ut  fcribatur  charafteribus  456573.  Ipfe  vero  numerus,  neque  etiam  primi  charafteres, 

hac  methodo  inveniri  non  poffunt. 

Methodus  autem  inveniendi  fummam  logarithmorum  numerorum  quotlibet  ab 
unitate  continuatorum  ell:  ha;c.  Fundamentum  horum  ex  dimenfiofte  fpatij  a  linea 
logarichmica  et  afymptoto  ejus  intercepti  de  qua  in  libro  B. 

Voyez  les  p.  439 — 442  et  460 — 471  du  T.  XIV.  Huygens  venait  en  outre  de  traiter  en  odobre 
1668  de  la  ligne  logarithmique,  et  de  Tefpace  corrcfpondant,  dans  les  p.  86 — 98  du  INIanufcrit  D 
que  nous  avons  publiées  aux  p.  ici — 1 19  du  T.  XIX;  il  s'y  agiflait  de  la  courbe  de  jet  d'un  projec- 
tile lorfque  la  réfiftance  efl  proportionnelle  à  la  vitefTe. 


')  Manuscrit  D,  p.  108 — 1 10, 

^)  On  trouve  les  dates  28  Oft.  1668,  1669  et  i  Febr.  1669  respedivement  aux  p.  86,  118,  et  145 
du  Manuscrit. 


414 


MATHEMATICA  VARIA   1666— 1681. 


Ducatur  minicrus  maximus  datorum  in  fuum  logarithnium  et  à  produfto  auferatiir 
alterum  hoc  quod  fit  multiplicando  numcrum  maximum  unitatediminutum,in  numc- 
nmi  4.342945"),  pofito  nempc  dcnarij  logarithmo  i.ooooooo-^).  Rcfiduum  minus 
erit  fumma  logarithmorum  qua^fita.  Addito  vero  femiffe  logarithmi  numeri  maximi, 
excedet  diftam  fummam  quîefitam. 


[Fig.  633 


■iiimiiiiiiiL 


lin  II  niiiin. 


K 
A 


qui  furpafle  la  fomme  cherchée  („terminus  major' 
beaucoup  plus  de  la  vraie  valeur  que  le  «terminus 


Soit  KL,  Fig.  63,  la  logarithmique  (compa- 
rez la  Fig.  I  delap.  46oduT.XIV),AK=  i, 
IlL  =  n  (numerus  maximus),  AE  =  logEI, 
AX  =  log  XV,  où  nous  fuppofons  que  XV 
furpaffe  El  de  l'unité,  donc  YV  =  AK  =  i. 
Log  XV  eft  par  conféquent  repréfentéparle 
reftangle  VYyv  et  de  même  log  RL  par  le 
reftangle  LL  11.  La  fomme  cherchée  eft  donc 
égaie  à  l'enfemhle  des  rectangles  couvrant 
tout  l'efpace  limité  par  les  droites  Ll,  IK  et  la 
logarithmique,  plus  n — i  triangles  tels  que 
VYL  Or,  „quod  fit  multiplicando  numerum 
maximum,  unitate  diminutum,  in  numerum 
4342945"  eft  l'efpace  RLVIKAR,  et  en  re- 
tranchant cet  efpace  du  reftangle  RLIA  on 
obtient  l'efpace  LVIKIL  =)  qui,  comme  le 
dit  Huygens,  eft  inférieur  à  la  fomme  cher- 
chée („terminus  minor"). 

Or,  la  fomme  des  triangles  tels  que  VYI 
ferait  égale  à  l  RA,  fi  les  „hypoténufes"  de 
ces  triangles  étaient  droites.  Leur  véritable 
fomme  efl:  donc  inférieure  à  5  RA  et  en  ajou- 
tant à  l'efpace  LVIKIL  cet  |  AR  („addito 
femifie  logarithmi  numeri  maximi")  on  ob- 
tient, comme  le  dit  Huygens,  une  grandeur 

').  (^n  voit  que  ce  „terminus  major"  fe  rapproche 

minor". 


3)  Voyez  sur  ce  nombre  la  p.  441  du  T.  XIV. 

■♦)  C.à.d.  10  millions;  comparez  la  dernière  ligne  du  texte  de  la  p.  1 1  qui  précède.  Consultez  aussi 

les  p.  216  et  264.  Ailleurs  dans  cette  même  Pièce  Huygens  prend  apparemment  le  logarithme 

de  10  égal  à  i. 

n  n 

5)  Cet  espace  peut  s'écrire  |  \.xdx,  ou  1.  désigne  le  logarithme  népérien.  On  a  |  l.xd.v  =  nl.n  — 
I  1 

(n — i);  or,  pour  passer  aux  logarithmes  à  base  10,  il  faut  encore  multiplier  par  log  e,  ce  qui 
donne  n  log  n — (n — i)  log  e  (où  log  e  =  4342945),  conformément  à  la  valeur  de  l'espace 
LVIKIL  déduite  de  la  considération  de  la  Fig.  63. 


A  PARIS  (mai  i666 — AOUT  1670).  415 

Aufercndo  autcni  7  poftcriorcs  charaftercs  habcbicur  characftcrillica  d'\S.x  fiimmcc, 
ad  qiiam  charaiiterillicani  addita  iinitatc,  habcbicur  mnncruscharaéteriimnumcritacri 
continua  multiplicatione  omnium  numerorum  datorum. 

Quod  li  ibries  datorum  numerorum  non  incipiat  ab  unitatc  fcd  ab  alio  quovis  nu- 
méro, ducatur  numcrus  maximus  in  ditlerentiam  logarithmorum  maximi  et  minimi. 
Rurliis  diflerentia  numcri  maximi  et  minimi  ducatur  in  numcrum  4342945,  et  hoc 
produrtum  a  primo  produfto  aufcratur,  eritque  rcfiduum  minus  quam  fumma  loga- 
rithmorum  qua>lka.  Addito  vero  femifle  differentiiu  logarithmi  maximi  et  minimi,  fiet 
jam  majus  llimma  qua."lita. 

Ici  Huygens  s'eft  trompe.  L'intégration  /  l..vdx  (comparez  la  note  5),  ou  n^  désigne  le  „alius 

"o 

qiiivis  numerus"  ou  „numerus  minimus",  donne  nl.n — noLn,, — n(n — n^),  ou,  en  paflant  aux  loga- 
rithmes il  bafe  10, 11  log  n — n^,  iog  n,, — (n — Uq).  4342945.  II  aurait  donc  dû  dire  :  „ducatur  numerus 
maximus  in  logaritlimum  numeri  maximi  et  ah  lioc  produtlo  aufcratur  numerus  minimus  duftus in 
logaritlimum  numcri  minimi  aufcratur  item  ditVerentia  numeri  maximi  et  minimi  dufta  in  nu- 
mcrum 4342945",  ce  que  la  confidération  de  la  Tig.  63  conlirmc.  Pour  la  môme  raifon  que  plus 
haut  on  trouve  ainli,  comme  le  dit  Huygens,  un  „terminus  minor"  qui  le  change  en  un  „cerminus 
major"  par  l'addition,  fcmblable  à  celle  du  cas  précédent,  qu'il  indique. 

§  2.  Videri  poiTet  verfus  hexametros  pentametrofque  innumeros  efTe  qui  compo- 
fiti  fint  vel  componi  in  pofterimi  poflînt  non  déficiente  cempore.  Id  vero  contra  habere 
hic  oftendam. 

Si  dccem  tantum  eircnt  literarum  elemcnta,  vox  duarum  literarum  centum  modis 
formari  poifet,  vocalibus  ac  confonantibus  nullo  diicrimine  habitis.  quod  hinc  confiât 
quum  decem  exiilcntibus  notis  arithmeticis,  accerfito  ctiam  o,  centum  lint  numeri 
binis  notis  fcribendi,  ut  00,  01,  02  &c.  10,  11,  12  &c.  Non  enim  plures  funt  infra 
centenarium,  nec  pauciores  eciam,  cum  quilibet  numerus  fit  diverfus. 

Simili  ratione  vox  trium  literarum  tune  mille  difFerentias  haberet:  vox  quatuor 
literarum  decem  millia  differenciarum.  acque  ita  porro.  quîe  etiam  aliter  facile  de- 
monrtrari  pofl'unt. 

Ita  quoque  cum  fint  elementa  22,  oftendi  potefl:  vocem  duarum  literarum  habere 
varietates  484  qui  ell:  quadratus  ex  22.  Vocem  trium  literarum  varietates  10648  qui 
cubus  efl:  22.  Vocem  4  literarum  varietates  234256  quod  eil  quadratoquadratum 
22.  Ac  denique  eciam  verfum  60  literarum  habere  varietates  tôt  quot  iunt  unitates 
in  poteftate  fexagefima  numeri  22. 

Logarithmus  22  ell  1,342422-,  qui  fexagies  fibi  fupcradditus  facit  80,5453620, 
cujus  logarithmi  charaftcrifiiica  cum  fit  80,  fequitur  hinc  potestatem  fexagefimam 
mmieri  22  habituram  81  charaifteres,  eorimique  primos  patet  fore  3510  &c.  quia 
0,545  efl:  logarithmus  3510  &c.  Itaque  cum  verfus  nuUus  hexameter  pentameterve 
pluribus  quam  60  literis  conflct,  nam  vix  inveniuntur  qui  50  habeant,  fequitur  nu- 
meriun  35 10©  majorem  elfe  numéro  omnium  verfuum  ejufmodi  vel  illis  breviorum 
qui  fieri  imquam  pofllnt.  Nam  et  bre\'iores  quam  60  literarum  ita  comprehendo,  ut. 


4  1  6  MATHEMATICA  VARIA   I  666 1  68  I . 

perfefto  verlu,  informes  rcliquse  litera;  reliftîe  credantur.  Itaquc  in  ifto  numéro  varia- 
tionum  omnes  verfus  \'irgilij,  Ovidij,  Horatij  atquc  omnes  omnium  qui  unquam  fadfH 
funt  vel  fieri  pofl\int,  fcripti  lint  neceire  elt.  Sed  et  multo  minore  numéro  continentur, 
cum  varietates  inutilus  utilibus  longe  plures  fint.  Porro  et  Gallici,  Belgici  et  omnium 
linguariim  quœ  22  elementis  ijfdem  fcribuntur  aut  icribi  poilunt  verfus  omnes  non 
ultra  60  literas  habentes  eodem  numéro  continentur. 

Quod  fi  fcire  libeat  quot  diverfa  poëmata  vel  etiara  opéra  profa  oratione  fcribi  poffint 
totidem  literis  quot  continet  Virgilij  Aeneis,  dico  et  illum  operum  numerum  infinitum 
nequaquam  cffe,  fed  facile  numerum  majorem  affignari  pofTe. 

Sunt  enim  in  Aeneide  verfus  non  plures  quam  9450,  unde  litera;  non  plures  quam 
500000,  pofitis  50  literis  et  amplius  in  fingulos  verfus,  etfi  tôt  rariilîmè  velnunquam 
inveniantur.  I  lie  igitur  variationes  erunt  quot  unitates  in  numéro  qui  fit  500000"'^ 
poteftas  numeri  22,  quze  poteftas  fcribitur  671 21 2  charafteribus,  quorum  primus  2, 
qui  erit  immanis  numerus,  fed  refpeftu  infiniti  minimus. 

Numerus  ille  charaderum  invenitur  ut  fupra,  fed  hîc  logarithmus  numeri  22,  qui 
eft  1,3424227  ducendus  5ooooo<=set  fit  671 21 1,3500000;  unde  demtis  7pollrcmis 
notis  relinquitur  charaderillica  67 1 2 1 1 ,  cui  addita  unitate  fit  67 1 2 1 2.  Primus  autem 
charafter  erit  2,  propter  35  pofl:  charafterifticam. 

Quîecunque  igitur  opéra  tôt  quot  Aeneis  Virgilij  literis  fcribi  poïïunt  vel  pauciori- 
bus,  certo  illo  numéro  variationum  continentur,  etiam  ijs  computatis  quae  tota  ex 
litera  a,  b  vel  alia  conilarent,  immenfàque  prasterea  multitudine  nihil  fignificantium. 
Omnia  itaque  naturs  et  artis  arcana  quîe  vel  ipfe  Deus  illo  numéro  literarum  vel  mi- 
nore perfcribere  poflTet  eodem  variationum  numéro  comprehenduntur. 

Ad  inveniendum  quoties  literie  verfus  alicujus  tranfponi  pofllnt,  ut  illius 

Difcite  juftitiam  moniti  et  non  temnere  diuos"), 

oportet  videre  primum  quot  literis  conftet,  ut  hic  39;  quîe  fi  omnes  diverfs  cflent, 

videndum  quis  tune  futurus  fit  tranfpofitionum  numerus,  per  prsecedentia,  qui  fit  hic 

47  charafterum.  Deinde  videndum  quoties  qusque  litera  repetatur,  ut  hic  inveniuntur 

difctemnaoru 
2  8  3  I  6  5   3   4  I  3  I  2 

His  fubfcribantur  numeri  tranfpofitionum  quas  haberent  fingula;  literarum  fummje 
fi  non  ijfdem  fed  diverfis  literis  conllarent: 

2     39920     6     I     720     I 20     6     24     I      6     I      2 
ita  duarum  variationes  funt  2,  ofto  diverfarum  variationes  39920  ex  prsecedentibus. 
Et  fie  porro.  Tum  his  infimis  numeris  omnibus  in  fe  duftis,  per  productum  hoc  divi- 
datur  numerus  tranfpofitionum  primo  inventus,  et  quotiens  erit  numerus  tranfpofi- 
tionum qua;fitus.  Hsc  facile  demonftrantur. 


*)  Aeneis,  lib.  VI,  vs.  620. 


1, 2. 

TROIS  PROBLÈMES  SUR  LES  TRIANGLES. 

[1668  OU  1668 -1669] 


A  ').  Triangula  duo  rcperirc  ifofcelia,  œqiialia  et  ifoperiniecra,  quorum  lacera  (Ingula 
et  perpendiculares  numeris^)  exprimantur.  Ilypothelès  Mariotti. 

HypothefislaterumAC,CB,BA[Fig.64]:  aa^bb  ^  aa-bb^'''^''  ^^b'  ">'P°- 
[Fig.  64]  thefis  laterum  EG,  GF,  FE  : 

A  EG         FG  EF 

/K  ^  aa  +  cc''  aa  —  ce''  ^'^^'^  2ac  ' 

/    \  /"^I^N.  ^^  —  ^^  "~i —  ^'^  —  '^^ -^'^  — i —  ^^^ 

^     ^     W        r       S  aab  —  aacyib^  —  c^ 


aa  -X)  bb  -\-  bc  -{-  ce 

II  s'agit  donc  de  trouver  des  valeurs  convenables,  c.  à.  d.  des  nombres  entiers  ou  fraélionnaires, 
pour  a,  l>et  c  qui  fatiffaiïent  à  cette  dernière  équation.  A  cet  ctTet  Huygens  pose 

bc  -\-cc^  dd —  2db 

d'où  b  00 p 

c-\-  id 

[et  a''=(d—by'\ 
Exemple  :  c  zn  i,d  00  2,ût  b  00  f,  a  x  ^. 


B  3).  Invenire  triangiilum  ifofceles  habens  aream  dato  fpatio  squalem  et  crura  una 
cum  bafi  tequalia  lineîe  datœ.  ubi  eadem  œquatio  invenietur  atque  cum  crura  demptâ 
bafi  datte  lineje  squalia  exigentur,  quoniam  calculus  analiticus  non  tam  attendit  quid 
geomctrice  propofitum  fit,  quam  quid  agat  rêvera.  Eft  enim  hic  calculus  idem  ac  fi 
proponatur  datis  redtis  b  et  ^invenire  lineam  x  a  cujus  quadrato  fi  auferatur  quadra- 
tum  differentiîe  inter  b  et  x  refidui  radix  dufta  in  diftam  differentiam  ipfarum  b  et  .v 
a;quet  redtangulum  bd. 


■)  Manuscrit  C.  p.  262,  juillet  1668. 

")  Ici  il  s'agit  apparemment  de  nombres  entiers  ou  fraftionnaires,  non  pas  de  nombres  sourds 

(voyez  sur  ces  derniers  „nombres"  les  p.  i88  et  370  qui  précèdent). 
5)  IVlanuscrit  D,  p.  114,  fin  1668. 


53 


4  1  8  MATHEMATICA  VARIA  I  6G6 1  68  I . 

Potefl  hic  X  major  vcl  minor  qiiani  h  fumi  uc  tamcn  ad  eandcm  îequacionem  cubi- 
cam  deveniatur,  cujiis  très  erunt  verx'  radices  qua"  propofito  fatiffacient. 
Robervallius  negabat  certiam  radicem  utilem  effe  in  hoc  problemate. 

Poteft  et  fie  proponi.  Invenire  triangulum  ifofceles  quod  habeac  aream  squalem 
Ipatio  date,  et  ciijus  tria  latera  contingant  circumferentiam  circuli  dati.  ubi  trianguhim 
etiam  fie  ordinatum  intelligi  potert  ut  circulas  fit  extra  triangulum,  et  contingat  bafin 
et  latera  ultra  bafin  produfta.  Et  fie  rurfus  3  radices  veras  habebit  asquatio. 

Ita  radix  aliqua  inutilis  aliquando  ell:  intentione  noftra,  led  utilis  tamen  natura. 

C  +).  In  triangulo  ABC  [Fig.  65],  dato  latere  BC  oo  h^  angulo  oppofito  BAC,  et 

refta  BD  quœ  angiilum  bifariam  fecat  x>  tf,  invenire 
triangulum.  , 

^DoDC 


-^  -\-aazDbx 

X 


Sic  aa'Xihd    y  zo  \/  xx  —  dx 
Patet  ex  hac  îequatione  quod  punftum  D  feu  tenni- 
nus  lineiB  AD  30  t,  ell  ad  hypcrbolam  quîe  datam 
y       ^  pofitionem  habet  ad  redam  BÀ  et  punftum  ejus  B. 

Idem  vero  D  punftum  eft  quoque  ad  circumferentiam  centre  B  radio  BD  00  a  de- 
fcripta.  Ergo  dabitur  punftum  D  ad  interfeftionem  circumferentiEe  hujus  et  hyperbolœ 
dat£e.  Afymptoti  fefe  lecant  ad  angulos  redos. 
Conftrutiio.  Etc. 


■*)  Manuscrit  D,  p.  133,  janvier  ou  fiivrier  1669. 


APPENDICE. 

SUR  LA  15  PROPOSITION-). 

m 


Uhypotetmfe  -)  de  tout  triangle  primitif  eft  la  fomme  de  deux  quarrez  inégaux 
et  premiers  entre  eux,  dont  fun  ejï  la  diference  des  mefmes  quarrez. 

S'il  n'entend  pas  que  ces  deux  quarrez  foient  des  nombres  entiers,  s'il  ne  faut  pas 
cela  pour  les  propofitions  fuivantes? 

Il  s'enfuit  par  la  prop.  14  ^)  que  cette  hypotenufe  fera  compofee  de  deux  nombres 
entiers  ou  rompus,  qui  Ceront  entre  eux  comme  quarrc  a  quarrè.  Mais  nous  ne  fca- 
vons  pas  encore  s'ils  seront  entiers  ou  rompus.  L'on  peut  donc  foutenir  qu'ils  feront 
ou  entiers  ou  rompus,  jufqu'a  ce  qu'il  foit  prouuè  qu'ils  ne  peuvent  pas  être  rompus. 
Or  comment  prouvera-t-on  qu'ils  ne  peuuent  pas  eftre  rompus  ou  des  fraftions,  puis 
qu'ils  le  peuvent  bien  eftre?  Car  pofons  le  triangle  primitif  3, 4, 5.  Il  y  a  deux  fraftions, 
fcavoir  -^-  et  S-,  qui  font  entre  elles  comme  quarrè  a  quarrè  et  qui  compofent  en- 
femble  l'hypotenufe.  Il  n'y  a  donc  point  d'impoifibilitè  que  l'hypotenufe  d'un  triangle 
primitif  foit  compofè  de  deux  fraftions  qui  foient  entre  elles  comme  quarrè  a  quarrè. 
Et  par  confequent  la  propofition  n'ell  pas  prouuee  vraye  en  nombres  entiers. 


')  ChartK  mathematicîc,  f.  3.  La  feuille  n'est  pas  datée.  C'est  pour  cette  raison  que  nous  l'avons 
placée  comme  Appendice. 

Ce  que  Huygens  appelle  la  ,,15  Proposition"  est  la  Proposition  XX  du  „Traité  [posthume] 
des  Triangles  reflangles  en  Nombres"  de  Frenicle,  publié  en  1676  et  1677  (voyez  la  p.  215  du 
T.  VIII)  et  qui  parut  aussi  en  1729  dans  les  „Memoires  de  l'Académie  Royale  des  Sciences 
depuis  1666  jusqu'à  1699". 

Il  est  possible  que  du  vivant  de  Frenicle  cette  proposition  ait  été  connue  à  ses  collègues  sous 
le  nom  de  ,,15"*°"=  proposition". 

=)  En  marge:  Hypotenufe  et  non  pas  hypothenuse  comme  il  y  a  partout.  Frenicle  tou- 
tefois écrit  partout  correflement  «hypoténuse"  (ou  parfois  «hypoténuse"). 

3)  Ici  il  semble  s'agir  réellement  de  la  «Proposition  XIV"  du  Traité  de  Frenicle,  qui  est  la  sui- 
vante: ,,Si  on  prend  deux  nombres  quelconques  premiers  entre  eux,  dont  l'un  soit  pair,  & 
l'autre  impair,  le  Triangle  dont  ils  seront  les  générateurs  sera  primitif.  La  «Démonstration" 
commence  comme  suit:  «Soient  A  &  Bpremiersentreeux,dont  l'un  soit  pair,  &  l'autre  impair; 
je  dis  que  le  Triangle  rectangle  qu'ils  formeront,  sçavoir  A-  +  B',  A*  —  B-  &  2AB,  sera  pri- 
mitif". Comparez  la  Pièce  I  2,  A  qui  précède. 


420  MATHEMATICA  VARIA  1 666 — 1681. 


Il  faut,  pour  bien  faire,  demonftrcr  primitivemcnc  que  l'hypotenufe  de  tout  triangle 
rcftangle  ert  compofee  de  deux  nombres  entiers  qui  font  entre  eux  comme  quarrc  a 
quarrè.  ou  bien  il  le  faut  montrer  feulement  du  triangle  primitif. 

Tout  triangle  primitif  a  pour  hypotcnule  et  pour  un  des  coflez  un  nombre  impair 
par  la  prop  ....+),  donc  la  fomme  de  1  hypotenufe  et  du  colle  impair  et  aufli  leur 
différence  Icront  des  nombres  pairs,  et  les  moitiez  de  cette  fomme  et  différence  feront 
des  nombres  entiers,  mais  le  produit  de  cette  ibmme  et  différence  eu.  un  quarrè,  fca- 
voir  le  quarrè  du  colK-  pair,  comme  il  eft  évident  en  mettant  a  pour  l'hypotenufe, 
b  pour  le  collé  impair  et  c  pour  le  coftc  pair.  Donc  la  dite  fomme  a  +  i>  et  différence 
a  —  b  font  entre  elles  comme  quarrè  a  quarrc,  et  de  mefme  leur  moitiez,  que  nous 
avons  montré  eftre  des  nombres  entiers.  Mais  ces  deux  moitiez  compofent  Thypo- 
tenufe,  parce  que  ^a  +  ^b  adjoutè  à  ^a  —  ^b  fait  «l'hypotenufe,  donc  l'hypotenufe 
eft  compofee  de  2  nombres  entiers  qui  font  entre  eux  comme  quarrc  a  quarrè.  De  plus 
la  différence  de  ces  moitiez  c'eft  a  dire  ^a  +  \b  moins  \a  —  i^,  fait  b  le  coftè  im- 
pair, donc  &c. 

INIaintenant  il  ell  aile  de  montrer  que  ces  nombres  entiers  qui  compofent  l'hypo- 
tenufe, font  des  quarrez  premiers  entre  eux.  parce  que  s'ils  avoient  une  commune 
mefure,  elle  mefureroit  auffi  leur  fomme  et  leur  différence  qui  font  l'hypotenufe  et  le 
coftè  impair,  et  ainfi  le  triangle  ne  feroit  pas  primitif,  contre  l'hypothefe. 


4)  Il  s'agit  de  la  «Proposition  XIX":  „En  tout  Triangle  rectangle  primitif,  l'un  des  deux  costez 
est  pair,  &  l'autre  impair,  &  l'hypoténuse  est  aussi  un  nombre  impair". 


m. 

A  PARIS  (JUILLET   1671 -JUILLET  1676) 

m,  I. 

QUESTION  DES  SIGNES  DANS  LES  EQUATIONS  DE 
GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE  -)• 

[1672] 


Parabola  ax  x  ^'3'  [Fig.  66'].  Si  -\-x  fit  +7  vcl  — y. 

rpj     ^^-|  Si  — .r  cfl:  impoUibile,  nam  y  non  poteft  habcre 

+  "^'^  -•  [Fig.  67] 

Parabola  cubica  aax  zo  y^ 

[Fig.  67]. 

Si  +x  fit  +y. 

Si  — X  fit  neceffario  — y,  ut  fiât 

— ^3^3.  Etc. 

Comparez  la  Pièce  IV,  2  qui  suit. 


')  Manuscrit  D,  p.  308,  avril  1672. 


MATHEM.VriCA  VARIA   l666 1681. 


III,    2. 

TROIS  PROBLÈMES  SUR  LE  TRIAiNGLE. 
[1673-1674] 


[Fig.  68] 


y4  ').  Propolitum  a  d°.  de  Maubuiiïbn  ').  Data  fumma  latcrum  duorum  trianguli, 

angulo  ab  ijs  comprehenfo, 
et  perpendiculari  ab  eodem 
angulo  in  bafin,  invenire  tri- 
angulum. 

Sive  dato  feftore  circuli 
[Fig.  68],  aptare  intcr  ipfius 
latera  produda  reftam  qua; 
circumferentiam  tangat  et  fa- 
ciat  fummam  abfcifTorum  la- 
tenim  œqualem  linese  datae. 

Ce  problème  eftoit  défia 
refolu  vers  le  commencement 
decelivre'),et  trouvé  plan+). 

Summa  laterum  AB,  13C 

trianguli  ABC  data  fit  co  b. 

Perpendicularis  BD  do  a.  Et 

angulus  ABC  datus. 

Ponatur  inventum  in  arcu  I\1DN  punclum  D  per  quod  ducenda  fit  AC  ut  fiât 

triangulura  quœfitum.  Sit  DS  perpendicularis  in  BA,  et  BS  zo  x.  SD  dov.  Pro- 

ducatur  SD  donec  occurrat  produfta  BC  in  T.  Sit  etiam  ODL  perpendicularis  in  BC. 


^)  Manuscrit  D,  p.  420 — 425,  août,  septembre  ou  oftohre  1673.  Ces  pages  suivent  celles  (p. 
418- — 419)  où  Huygens  traite  de  la  „Prohlematis  Alhazeni  analysis  brevissima"  (comparez  le 
début  de  l'Appendice  II  à  la  p.  330  qui  précède);  ce  sont  surtout  les  solutions  de  ce  problème 
qui  le  familiarisèrent  avec  les  équations  du  deuxième  degré  représentant  des  hyperboles. 

Il  avait  d'ailleurs  déjà  considéré  le  même  problème  vers  la  fin  de  1668  (Manuscrit  D,p.  1 13 
et  suiv.). 

3)  Voyez  la  p.  410  du  T.  VII  où  Huygens  dit  avoir  visité  M.  de  Maubuisson,  qui  ne  nous  est  pas 
connu  autrement,  en  janvier  16-5. 

♦}  Voyez  la  note  6  de  la  p.  425  qui  suit. 


A  PARIS  (JUILLET  1 67  I  —  JUILLET  1 6^6). 


4*3 


SB 

X- 


lîD 
-  a  - 


BD     , 

-'h 


BC 


BD 


BA 

ex  h 


,       aa 

b , —  a- 


aax 


bx  —  aa 


BL 


^-^BC 


X 


g' 


DS 

-y 


OB 


/ny 

I  g 


X 


"-y  +  x  OB 

g 


SO 


fit 


f-r-g "j  +  xl"-l±^BL 


aax 


y,"-y  +  g^    BL 

bx  —  aa  f 

nxy  ^  fax  +  aax  ^  any  ^~ 
b  b 


S'il  g  y^  a 


a 


Sit  f'+  a  00  ^/ 


— nxy  ,  dax  ,  any 

+  -7-  +  -;r-  DO  XX 

a  b  b 


hyperbola 


Quia  igitur  locus  pundH  D  ell  hyperbola  data,  ejufdemque  purifti  D  locus  ell  cir- 
cumferentia  data  MDN,  erit  ad  interfeétionem  utriufque. 

Si  anguhis  ABC  réélus,  erunt  termini  in  quibus  g  infinité  parvi,  ideoque  tune 

faux  00  bnxy  —  aany 


fed  et  /'  XI  «,  ergo 


aax  +  aay 


-  -  DO  xy 


locus  hyperbola. 


Remarque  ajoutée  plus  tard: 

A°  1680.  Fado  examine  per  regulam  in  libro  E  traditam,  invenitur  problema 
planum  efle,  quia  nempe  régula  oftendit  punclum  B  eiïe  in  axe  hyperbola  '). 


Aliter  [Fig.  69].  Super  refta  AK,  radio 
AK  05  b  fi.imm£e  laterum,  defcribatur  arcus 
KE,  in  quo  qua;ratur  punftum  E,  m  duda 
AE,  et  intra  angulum  EAK  accommodata 
perpendiculari  BD  do  <«,  pofitaque  BCdo  BE, 
fiât  triangulum  ABC  quod  qujeritur.  Sit  EH 


[Fig.  6yJ 


5)  Voyez  la  note  suivante.  Huygens  entend  s&iis 
doute  parler  des  considérations  sur  l'équation  de 
l'hyperbole  qu'on  trouve  à  la  p.  14  du  Manus- 
crit E  („fih£Bcproportiona-  A 
lia,    problema    erit    pla- 
num"). 


424 


mathematica  varia  1 666 —  1 68 1 . 


perpend.  AK.  et  AH  oo  .r,  HE  oo  y,  reliqua  conftruantur  ut  prius. 


g- 


DS     SO 

ax  j  nax 


EA 

b- 


AH 

-x  — 


BD  DS 


BD 

-V 


?BS 
b 


HE 

y- 


EA 

-b- 


/ax 

DB  BA 
-al  et 

I  y 


-  nax  ,   ay  1  nax  +  say  „,  „       ,       ab       „„ 

f^-S -^  +  tI         bf     ^^  Ergo/.~-ooBC 


fjax  +  gay 


00 


BC 

ab 

J 

aay 
by  —  ab 


BD 
-  a- 


BD 


■V 


aay 


by  —  ab 


BL 


Sit  g  zo  a,  (il  a  +  f  zo  d     yy  ^ 


nxy 


a 


+  (^v  +  nx 


y:^-i"^  +  y+l4dd-i^-f+nx  + 


^nnx^ 
^  aa 


hyperbola 


Conftrudtio  problematis  folij  prjeced. 

[Fie  70]  Angulus  datus  lAR  [Fig.  70].  Perpendic.  AR  00  AI. 

RY  perpend.  AR.  AC  perpend.  AI.  IM  parall.  AC.  IM, 
MY  funi  afymptoti.  Hyperbola  tranfit  per  A,  altéra  op- 
pofit  [arum  feftionum].  AG  xi  fummîe  laterum.  AG 
iecat  hyperbolam.  BC  oo  BG.  Triang.  ABC  qusefitum. 

/ 

[Fig- 71] 

/ 


Melitis.  [Fig.  71].  Sit  an- 
gulus datus  CAR,  perpen- 
dicularis  data  do  AI  vel  AR. 
Somma  laterum  AG.  Sit  IF 
perpend.  AI.  Et  R  Y  perpend. 
AR.  Intcrfedio  in  M  eft  cen- 


A  PARIS  (juillet  1 67  I  —  JUILLET  1 6j6'). 


425 


rrum  oppoficarum  feftionum.  Afymptoti  RY,  IF.  A  punfto  in  hypcrbola  cui  oppo- 
fita  NG  (fcilicct  llimpta  MN  oo  iMA)  lecabit  circumf.  radio  AG  dcfcriptam  in  G. 
Eritque  duftà  AG  qux'  fccar  IF  in  B,  altcriimlatustrianguliqiisliti  AB,alteruni  BG. 
Siimtifquc  AP  o)  AB,cc  AC  xi  BG,jimchîqucCP,crii  ipdmurianj^uluniCAF.  Cum 
centrum  circumt>'  lie  in  axe  hyperbolx*  conllat  hinc  problcma  elTc  pianiim*). 


MO  00  ^,  AN  00  2^,  AG  30  ^,  A/3  00  .r. 


aa 


dd- 


XX  —  lax 


ddxx — laddx 
aa 

XX 


qu.  /3G    j 
■  A/3    i 


ad. 


qu 


ddxx + aaxx —  laddx 
aa 


X  hh  qu.  AG 


XX  :xi 


iaddx-\-aabh 
aa  +  dd 


B'').  Couper  un  triangle  donne  ABC  [Fig.  72]  en  4  parties  égales  par  deux 


[Fig.70] 


lignes  qui  fe  coupent  a  angles  droits. 
H   AB  30  «,  BC  00  b,  AC  oo  A,  BN  oo  d, 
-     NA  00  e. 

AE  00  .T,  DB  30  y  [CN  =  «.  CN  j_ 

AB.  CK//GE.  CH//FD.] 

AE      AB        lAC 

AG         AE       AC 

ha  ,  /2XX 

i — X h/ 

X  /a 

BF  BD         BC 


AG 


AK 


BH 


*)  Ailleurs  (Chart»  mathematicœ,  f.  139,  voyez  sur  cette  feuille  la  note  suivante)  Huyçens 
écrit  de  même:  Problema  Pappi  apparet  hinc  planuni  elTe  quod  centrum  circuli  BE 

cadat  in  axem  hyperbolîe  OA. 

Voyez  sur  Pappus  et  les  problèmes  plans  les  p.  15 — 16,  213  et  240  du  T.  XI,  7,  82et  107 — 
108  du  T.  XII,  et  421  du  T.  XIV. 
7)  Charta;  mathematics,  f.  139  et  Manuscrit  D  p.  427 — 433  et  435 — 436,  août,  septembre  ou 
octobre  1673.  La  Fig.  72  est  empruntée  à  la  f.  139  nommée,  qui  doit  avoir  fait  partie  du  Ma- 
nuscrit D  :  les  calculs  de  la  p.  427  se  rapportent  à  cette  figure.  Deux  feuillets  qui  précédaient  la 

54 


426  MATHEMATICA  VARIA  1 666 —  I  68  I . 


a 


ia  —T-  AE  ut  AG  — —  AC  ut  AE  — ^  AK 

a  BK  â         >    fubtr. 

d  BN  a  1 


1 

2XX 


^xx-aa+ady.,  ^yy  +  ^xx-aa^^ 

~^ 

Axx  +  aa  qu.  BK 

aa 

bb  qu.  BC 

\dxx 


a 


2ad    2I — IKBN 


V 


AXX  +  — +  aa  +  bb  —  2ad  zo  KC 

aa  a 

\xx  +  ^         +  hh  30  KC  00  2 


\a  +  4.^ 


\axx  —  \aax  +  \axy 

\aax  +  4^3  —  4«<33'        do  i^rn'  +  laxx  —  a'^ 


+  4<2xy  —  4^*3'  +  4<?^3' 


iuxx  —  8«<7jc  +  8<?a;j?  —  ^aay  +  2«3'3»  +  5*3  30  o 
-T^  00  i^ax  —  4.vy  +  4^3*  —  yj  —  f  ^^ 


:c  00  2«  —  23?  +  ]/  |(ïdt  —  4^3?  +  '^yy  bon.  ad  hyperbolam. 


p.  427  du  Manuscrit  D  ont  été  coupés.  À  la  p.  427  Huygens  écrit  inventum  pag.  prîeced. 
à  propos  d'une  certaine  équation  de  la  f.  139.  Nous  remarquons  encore  qu'on  voit  dans  la  f. 
139  nommée  le  même  filigrane  que  dans  les  feuillets  429 — 430  et  433 — 434  (et  beaucoup 
d'autres  feuillets)  du  Manuscrit  D. 


A  PARIS  (JUILLET  167I  — JUILLET  1676).  427 


Hœc  una  îequatio.  Jam  inventio  alcerius  fequitur  confidcrando  feftionem  fieri  ad 
angulos  redos. 

BF         BD       BC  / 

y       '     ^  I  a         >s. 

a   BA 


^yy  —  ^^ 


a 

aa 

hh      qu.  AC 

m^^Jiî^  ,  □  HAN 
a 


AH 


—  —  43'3'  +  ^^'  +  aa  +  hh  —  ^ea  qu.  CH. 

qu.  CH  +  qu.  CK  (faftum  ad  fimilitudinem  qu.  CH)  oo  qu.  HK 

^ ±yy  +  ^-^^  ■{-  hh  -^^ ±xx  +  -î -\-  bb  zo  ly*  +  8vyxx  — 

aa  aa  aa  a  ' 

^aayy  +  4.%-+  —  ^aaxx  +  <«♦ 

^JH^^A^Jl  +  bb  +  hh^^-yy^  +  aa 
a  a  aa 


bb  +  hh  —  aa  zc  ihh  —  lae       —^—  + \-  hh  —  ae  00  - — ^ 

a  a  aa 

Videndum  qus  natura  curvœ  hujus  loci. 

Pofant  X  30  y,  Huygens  tire  de  fa  première  équation  xzoïa —  2y  +  \/  ^aa — ^ay  +  337 
la  valeur  3»  00  |^.  Subftituant  cette  valeur  de  jr  et  dey  dans  fa  deuxième  équation,  où  ?  =  <^=  \a, 
il  obtient 

162M  +  162^^  00  "^yjaa. 

Sk  h  00  b  ad  inveniendum  quantitatem  reftae  quse  ab  angulo  verticis  ad  raediam 
bafin  ducitur. 

bb  00  §1^  aa 
[Sic]  aa  00  324.  Ergo  «  00  18.  ^^  00  337 
AB                    NC- 
a  — I —  ]/  bb  —  ^aa 1 8  ad  16  five  9  ad  8. 


428 


MATKEMATICA  VARIA  I  666 —  1  68  1 . 


Quand  dans  un  triangle  la  raifon  de  AB  a  NC  qui  eft  menée  de  l'angle  oppofè  au 
point  de  bifeftion  de  la  baie  AB  eil  de  9  h  8,  Ton  aura  les  points  D  et  E  dont  il  faut 
mener  les  lignes  cherchées  DF,  EG,  en  prenant  AD  et  BE  chacune  5  de  AB.  Car  en 
menant  DF,  EG  en  forte  qu'elles  coupent  chacune  le  triangle  en  2  parties  égales, 
elles  fe  couperont  a  angles  droits  et  diviferont  le  triangle  en  4  parties  égales.  Ce  cas 
a  eflè  remarqué  par  M.  MaubuilTon. 

Nous  obfervons  (voyez  fur  ce  fujet  le  dernier  alinéa  de  la  note  8)  que  les  calculs  de  Huygens 
qui  précèdent  ne  démontrent  ce  théorème  plus  général  de  Maubuifibn  que  dans  le  cas  où  le  triangle 
efl:  ifofcèle.  Avant  de  fuppofer  AC  =  BC,  Huygens  avait  déjà  pris  dans  la  Fig.  72  NC  comme  une 
perpendiculaire  à  la  bafe  AB  et  non  pas  comme  la  droite  „menee  de  l'angle  oppofè  au  point  de 
bifeftion  de  la  bafe"  *). 


2XX 

a 
a 


KN 
HN 


2eyy      idxx 
a 
iaeyy 


a 


-\-  ed  :x:i  nn 


\adxx  +  ^aade  00  \aann 


\an  00  \/ XX  —  \ae  \/ yy  —  \ad.  Hinc  descriptio  curvîe. 


8)  Une  feuille  séparée  qui  se  trouve  dans  le  Manuscrit  D  contient  encore  la  figure  74  et  quelques 
équations  qui  ne  sont  pas  de  la  main  de  Huygens,  non  plus  que  les  lettres  de  la  figure.  Est-ce  la 
main  de  Maubuisson?  Cela  semble  probable. 

Une  de  ces  équations  (à  laquelle  satisfait  j:  =  |/ï 
lorsque  ;y  =  .r)  x.v||  8«\'  +  ^ax^ â,\x —  \oaa 
—  fj  (où  II  désigne  l'égalité  des  deux  membres) 
correspond  à  la  première  équation  de  Huygens 
XX  00  4«.v  —  i^'s  +  4(yy  —  37  —  \ia,  lorsqu'on 
y  change  a  en  2a.  On  trouve  en  effet  sur  la 
feuille  les  indications  BF  {|  x,  CE  lly,  BC  {|  ia 
[Fig.  74],  tandis  que  chez  Huygens  [Fig.  72]  le 
côté  BA  qui  correspond  à  BC  de  la  Fig. 7 4  était 
égal  à  a. 

Huygens  y  a  ajouté  ce  qui  suit:  BCbifariam 

in  Q.  Ratio  BC  in  QA  ut  9  ad  8.  Suman- 
tur  BF  et  CE  mediœ  proportionales  inter 
BQ  et  BQ  +  QA.  fiunt  fuiguls  BE,  FC  oo  ^  BC. 

Nous  ignorons  si  Huygens  a  remarqué  qu'on  peut  passer  du  cas  considéré  par  lui  au  cas  plus 
général  considéré  par  Maubuisson  en  projetant  son  triangle  isoscèle  sur  un  plan  quelconque 


A  PARIS  (juillet  167!  — JUILLET  1676). 


429 


C'eft  une  autre  forme  delà  deuxième  équation  trouvée  plus  haut  :  nuygens  obfervc  :  Nota  quod 
m  -edy,  bb+hh-aa  ^^^^  ^^  nc  -  □  BNA  ^  g"- AC  +  CB-gu.  AB 
2  1 

Ex  prima  îequatione  concurfus  linearum  .r  et  -y  fuper  reftis  AB,  AC  [Fig.  73]  per- 
pendiculariter  duéhrum  eft  ad  hyperbolam  VHV  qua:  cadem  manet  manence  bafi 
trianguli  AB  [Fig.  72  et  Fig.  73]  >).  Ex  altéra  vero  aquatione  concurfus  ejus  punc- 


[Fig-  73J 


parallèle  à  l'une  des  deux  sécantes  orthogonales  entr'elles  considérées  qui  divisent  le  triangle 
isoscèle  en  quatre  parties  égales.  En  effet  le  rapport  entre  la  base  et  la  médiane  correspon- 
dante, qui  était  de  9  à  8,  reste  le  même  après  la  projedtion  puisque  ces  deux  lignes  font  l'une 
et  l'autre  dans  le  triangle  isoscèle  des  angles  de  45°  avec  les  sécantes.  Il  résulte  de  cette  démon- 
stration, ce  qui  n'est  pas  de  toute  évidence  dans  la  Fig.  74,  que  dans  le  cas  considéré  par  Mau- 
buisson  les  sécantes  orthogonales  se  coupent  toujours  sur  la  médiane  et  sont  toujours  parallèles 
aux  bisseétrices  des  angles  Q. 
')  Puisque  cette  première  équation,  celle  de  l'hyperbole,  ne  contient  d'autre  paramètre  que  a. 


43° 


MATHEMATICA  VARIA  I  666 — 1681. 


tum  eft  ad  curvam  TI,  qua  defcribitur  ope  hyperbole  FN  cujus  reftangulum  habet 
latent  ~a  et  «.  Nam  fumpta  Ao;  co  a;  ad  arbitrium,  aufcraturà  qu°  Aa.'qii.  A(p  oo  ^ae 
et  refidui  radici  fit  xqualis  A/3,  et  applicetur  /Sy  ad  hyperbolam  FN.  Et  addatur  qu9 
/Sy  qu.  AB  oo  5^^,  fumma;  radix  erit  a,'T  ao  y.  Ita  enim  [[^  fub  A/3  oo  |Xa"x — ^^e 
et  fijb  /3y  x>  l./^.'V^'  —  \^ad  erit  squale  i<z«  five  AF. 

Jara  interfeâio  igitur  hyperbolîe  HV  et  curvœ  TI  indicabit  y  00  T  w,  et  .r  oo  w  A. 
Débet  autem  interfeiftio  cadere  intra  quadratum  AK  cujus  latera  oo  a  bafi  dati  trian- 
guli,  quia  nec  x  nec  y  poffiint  excedere  ipfam  bafin.  quod  fi  extra  cadat,  indicio  cil 
feftionis  punda  utraque  non  cadere  in  illam  bafin,  fed  in  alterum  e  lateribus.  Dans  la 
Fig.  75  p.e.  le  point  D  tombe  fur  le  prolongement  de  la  bafe  BA  et  le  point  G  lur  le  prolonge- 
ment du  côté  AC  pour  l'une  des 
deux  manièresdedivifer  le  triangle 
ABC  en  quatre  parties  égales  par 
lesdroitesperpendiculairesentr'el- 
[Fig.  75]  //  lesDFetEG. 

Ob  îequationem  xxyy  ao 
^arixx  +  ^ûeyy  —  \aade  -\- 
\aatm  videtur  cur\'a  ex  qua- 
tuor lineis  confl:are  quarum 
hic  una  defcripta  efl,  rcliqua: 
limiles  huic  in  angulis  BAS", 
CA^,  9-AB  fint  defcribends. 
Potefi:  enim  eadem  exiflere 
aquatio  five  lumantur  +  x  et 
+  .^five — .r  et  —  y,  five  +  x 
et  —  y,  five  —  .r  et  +  y.  Sed 
très  reliqua;  hic  inutiles  vi- 
denturquiainalteraa^quatione 
ad  hyperbolam  non  pofiunt 
mutarifigna  afTeftio  nis  .v  nec 
T,  ut  maneat  eadem  squatio. 
Ergohic  ca  tantuminterfeftio 

utilis  quîe  cadit  intra  quadrantem  AK,  (cadit  autem  nonnunquam  utraque)  et  qua; 

extra  ut  hic  /,  ita  folvit  problema  ut  fatisfiat  pollulatis  qu£e  in  analyfi  confideravimus, 

nempeut  [Fig.  72]  □  lub  EA,  AG  fit  30  i  □  fub  BA,  AC,  et  □  EDT  do  i 

I     I  BDF  et  anguli  ad  T  refti. 


A  PARIS  (juillet  167I  — JUILLET  1676). 


43» 


C  '°).  Data  bafe  trianguli  AB  x»  <?  [Fig.  76]  angulo  ad  bafin  BAC  et  rcftangulo 

a  latcribus  ACB,  invenirc  triangulum. 

CG  perpend.  AB.  Ratio  CG  ad  GA 
et  ad  CA  data  ell,  lit  CG  ad  GA  ut  a  ad 
b,  et  CG  ad  CA  ut  a  ad  c. 


[Fig.  76] 


ut  CG  ad  GA 

a      .     b~ 


FD 


FD 


fi 


DE 


'/ 


^^EF 

a 

a  FB 


m. 


0^ 
qu.  EB  -^-^  n  EF3 qu.  AB  - 


cy  □  EFB 
I     lACBdatumr/» 


,    ibx^i  ,   bbm 

XX  H •-  -\ --^ 

a  aa 


cy- 


■aa- 


■  cp 


,    ipbxv   ,  pbbyy 
pxx  +  -J-—^  +  ^ — ^  00  aay 
a  aa 


[Fig-  77^ 


Slt  —r,   00  2(7 

pbb         ^ 


y  y  30 


a^y       laxy      aaxx 
pbb  b 


yyyi  iqy- 


laxy 


aaxx 
~bb' 


y^q-~^\/qq-^-M^-  parabola 


Conftruftio.  Angulus  datus  BAQ  [Fig.  ■jj'].  BQ 

perpend.  AB.  Ut  AR,  p  ad  BQ,  --  ita  hsc  ad  ali- 

am  ~Yj  zo  iq  cujus  dimidium  BI  00  q.  IL  parallela 

AC,IM  00  ilL.  M  eft  vertex  parabola?.  BS  perpend. 

IL.IS  00  —,  i  latus  reftum.  Diameterpara- 

bolaî  MI.  F  Interfectio  parabolîe  et  circum- 
ferentiîe  centre  B  radio  BA  defcriptse.  BF 
recta  fecans  AQin  C.  Triangulum  qucefitum 
eft  ACB.  Parabola  tranfit  per  punftum  B. 


'°)  Manuscrit  E,  p.  14—15,  datant  probablement  de  la  fin  de  1674  (la  p.  26  porte  la  date  du 
ip  Dec.  1674). 


432 


MATKEMATICA  VARIA  1  666  —  l68l. 


m,  3-  ■) 

UN  THÉORÈME  SUR  LA  TANGENTE  À  L'ELLIPSE. 

[1674  OU  1675] 

Si  AC  [Fig.  78]  tangens  in  A.  et  ducantur  CB,  CD  perpendiculares  in  AQ,  AD. 
dico  efle  CD  ad  AB  ut  MN  ad  RQ  focorum  dilbntiam. 

Sive  funito  punéto  C  in  perpendiculari  BC,  ita  ut  dufta  CD  habeat  ad  AB  rationem 

[Fig.  78] 


quam  MN  ad  RQ,  dico  reftam  CA  tangere 
elliplin.  Si  enim  non,  fecet  in  E,  ut  fit  reéla 
linea  CE  A.  Et  fint  ES,  EP  perpendiculares 
in  AD,  AQ.  Ergo  propter  fimilia  triangula 
erit  et  ES  ad  AP  ut  CD  ad  AB  five  MN  ad 
RQ.  Atqui  fumta  QO  squale  QE,  erit  ES 
ad  AO  ut  MN  ad  QR.  Ergo  ES  ad  AO  ut 
ES  ad  AP,  quod  abfurdum. 

Dans  cette  démonflration  le  théorème  ES  :  QA  — 
QE  =  MN:QR  eft  fuppofé  connu;  en  effet,  ce 
théorème  réfulte  de  la  proportionalité  d'après  Pap- 
pus  du  rayon  vefteur  (QE  ou  QA)  à  la  diftancedu 
point  de  l'ellipfe  (E  ou  A)  à  fa  diredrice  (la  valeur  de  ce  rapport  étant  toujours  QR  à  MN). 


')  Manuscrit  E,  p.  29,  décembre  1674  ou  janvier  1675. 


A  PARIS  (juillet  I  Sj  I  — ^JUILLET  I  ^jS').  433 

m,  4  ')• 

UN  PROBLÈME  SUR  LE  QUADRILATÈRE,  AVEC  EXTENSION  DU 
THÉORÈME  TROUVÉ  EN  CETTE  OCCASION   SUR  LE  QUADRI- 
LATÈRE INSCRIT  DANS  UNE  CIRCONFERENCE  DE  CERCLE, 
À  UN  POLYGONE  INSCRIT  QUELCONQUE. 

Ex  dans  quatuor  laterihus  trapezij  et  area  invenire  trapezium.  Oportet  autem 
et  ordinem  quo  junguntur  datum  eJJ'e. 


Ad  folutionem  opiis  habemus  theoremate  noto  ^)  quo  ex  tribus  lateribus  crianguli 
;eftigatur  arca.  Nempe  fi  latera  fi] 
z  —  b  +  c  z  —  c  +  b  b  -\-c  —  z 


z  \  b  \  c 
inveftigatur  arca.  Nempe  fi  latera  fint  b,  c,  z  oportet  ducerc  in  fe  ifta  quatuor 


2        '         2        '         2 
S\t  b  +  c  00  s.  b  —  c  zo  t 


,  produftum  erit  squale  quadrato  areae  trianguli. 


Erit5±l±^x^:±^  z-b  +  c^z-t_ 


1 

m. 
b-{-c — z      s — z[  z  —  c  +  b      z  +  t 


2      I  2  2      ^ 


SS  —  22  22  —  // 


4 

SS . 


j  «  ,  sszz  —  sstt — z*  +  22// 

quadr.  ares  A  ? 

16 


')  Manuscrit  E,  p.  44 — 50,  juillet,  août  ou  septembre  1675  (voyez  sur  cette  date  la  note  i  de 
la  p.  441  qui  suit),  et  Chartœ  mathematieœ,  f.  91 — 93.  Après  la  p.  50  du  iVlanuscrit  E  six  feuil- 
lets ont  été  coupés.  Les  trois  ou  quatre  premiers  sont  évidemment  les  f.  91 — 93  des  Charta; 
mathematicîB  (l'une  des  feuilles  est  composée  de  deux  feuillets  collés  l'un  sur  l'autre):  on  trouve 
sur  leurs  premières  pages  les  n°s  3,  4,  5  de  la  main  de  Huygens,  tandis  que  les  p.  49  et  50  du 
Manuscrit  E  portent  les  n°s  1  et  2.  Nous  publions  le  texte  des  Chartaemathematica;;  voyez  sur 
celui  du  Manuscrit  E  la  note  13  de  la  p.  437  et  la  fin  de  la  p.  440. 

Il  s'agit  ici  d'un  problème  déjà  posé  et  résolu  en  1661  par  G.  Schott:  voyez  la  p.  435  de 
notre  T.  III.  Cette  pièce  n'avait  pas  été  envoyée  directement  à  Huygens,  puisque  la  lettre  de 
Schott  (T.  III,  no  938)  n'était  pas  adressée  à  Huygens  mais  à  Vegelin  van  Clirbergen  (voyez, 

55 


434 


MATHEMATICA  VARIA  I  666 — 1681. 


Sed  quia  habctur  sszz  +  ttzz  eftque  ss  +  tt  zd  ibb  +  icc  ut  facile  apparet,  erit 


quadr.  arese  trianguli 


.  zbbzz  +  1CCZZ  —  sstt  —  z* 


16 


bb  —  ce  dicatur  gg^  Erit  quadr.  arese  triang.' 


vel  lî  bb  -\-  ce  dicatur  oo,  et  st  five 
200ZZ  — g^  —  2* 


adeo  ut  régula  etiam  hoc  modo  poffit  enunciari.  Summa  quadratorum  duorum 
laterum  ducatur  in  quadratum  latcris  reliqui,  et  à  produfti  duplo  auferatur  quadratum 
differentia;  quadratorum  duorum  priorum  laterum,  una  cum  quadratoquadrato  latcris 
reliqui.  Refidui  pars  decimafexta  erit  a;qualis  quadrato  areœ  trianguli. 

Sit  jam  trapczium  cujus  latera  AB  oo  Z»  ;  BC  x>  c-,  AD  30  a,  DC  oo  d.  Area  tra- 
pezij  x  ee  [Fig.  79]. 

Ducta  CE  perpend.'  in  AB  fit  BE  oo  .r,  EC  00  y 
utpunftumCteraiinus  latcris  BC,  fi  poteft,  ad  locum 
redigatur;cujusinterfecl:io  cum  circumferentia  centro 
B  radio  BC  defcripta  dabit  determinationcm  punfti 
C;  adeoque  conftruftionem  problematis. 

Sit  bb  +  ce  DO  oo\  bb  —  ce  :X)  gg\  aa-\-  ddy:!  hh\ 
va  —  dd  :x:>  f.  Et  ducatur  diagonius  AC  00  z.  Erit 


•        i  Ai-»r-' 1   X200ZZ  —  ff+  —  2"*  ,N 
igitur  arca  triang.  AUC  1/    -p ^) 


ex  régula  pr^emifia.  addatur  area  A'  ABC  00  ^by, 
area  trapez.  ^by  +  1/    - 


100ZZ 


■t- 


-2+ 


16 


3)  00  ee. 


œquatio  pag.  prasc.  y^y  + 1/  — -l —  ~o  ee  *) 

zhhzz  — /+  ■ 


■2'^ 


16 

2hhzz- 


00  e+  —  eeby  +  ^bbyy      fed  yy  oo  ce  —  xx 


-f*—z^ 


16 


co  e*  —  eeby  +  ^bbcc 


^bbxx 


Atqui  zz  :X)  bb  +  ce  —  2bx  ex  Euclide.  Sive  zzzo  00  —  2bx  quia  bb  +  ce  co  oo. 


à  la  p.  582  du  T.  IV,  les  Additions  et  Corrections  au  T.  III).  Ce  dernier  doit  l'avoir  envoyée  à 
Huygens  avec  la  lettre.  Les  p.  732 — 738  du  T.  X  font  voir  que  Huygens  était  en  correspon- 
dance avec  Vegelin  van  Cla;rbergen  quoique  les  lettres  échangées  ne  se  trouvent  pas  dans  la 
collection-Huygens  de  Leiden.  En  1676  Huygens  ne  fait  aucune  allusion  à  la  solution  de 
Schott,  meis  il  mentionne  celle  de  Roemer  (440  qui  suit). 

Le  mot  „trapezium"  a  le  sensgénéral  de  quadrilatère  quelconque. 
')  Comparez  les  p.  69 — 71  du  T.  XII. 


3)  Lisez iV// 


2MZZ—P  —  Z* 
16 


A  PARIS  (juillet  I  67  I — JUILLET  1676). 


435 


Ergo 


hh 


ihhoo  —  \hhbx  — f^  —  o+  +  \oobx  —  \bbxx 
\oobx  —  ^hhbx  +  2hhoo  — /+  —  0* 


ODe*  —  eeby  +  \bbcc —  ^bbxx 


^hhbx 


DO  6'+  —  eeby  +  ^bbcc 
■  \oobx  —  ihhoo  +  ^bbcc  +  1 6^+  +  /^  +  o+  do  i  6eeby 


i6 


00      ,  \bbcc  +  f*  —  2hhoo  +  o*  ,   ce 


^ee  1 6eeb 

quadrata  fierct  fi  quteratur  x. 

,  hhx — oox      Sbbcc  +f*  —  2/ihoô  +  g* 
\ee  1 6eeb 


■\-'-j-zo  y  zo  \/ ce  —  XX  unde  sequatio 


vel 


ee 


-j-  DO  V  quia  nempe  0*  +  ^bbcc  do 


g*  +  ^bbcc  five  0-^  zo  g*  +  ^bbcc. 

Eft  ergo  locus  punéti  C  linea  refta.  Eritque  Conflirudioproblematis  hujufmodi. 
Sit  BF  [Fig.  80]  perpend.  ad  AB.  ipfaque  BF  jequalis  llimatur 

—  hhoo''')  +  Ubcc  -[-g^+f^.ee 

i6eeb  b 

du(5taque  FG  parall.  BA  et  in  eandem 

partem  quo  tendit  BA,  fit  FG  ad  ipfi  per- 

pendicularcm  GH,  ut  4^^  ad  /i/t  —  00, 

fumptà  GH  in  conlcquentia  pundorum 

â    y   ^^  \\   "■  /  BF  fi  A/(majusquamr;ry,  at  in  partem  con- 

n^^^^-*~~—,^_^  \\  Xy  trariam  fi  hh  minus  quam  00  ^).  deinde 

ducatur  FH  eamquc  fecet  circumf.'  radio 
BC  DO  r,  defcripta  ccntro  B.  Interfeftio 
definiet  locum  punfti  C,  unde  confiruftio 
reliqua  raanifefia  eft. 

NB.  débet  BF  fumi  in  partem  contra- 
riam  fi  in  quantitatibus  ipfam  BF  deno- 
tantibus  prœvaleant  fignata  per  — . 
Hic  jani  nunc  patet  •")  quod  cum  circulus  CC  tangit  FH,  hoc  eft  cum  area  raaxima, 
tune  EC  ad  EB,  ut  FG  ad  GH,  hoc  eft  ut  ^ee  ad  hh  —  00. 


*)  Il  s'agit  de  l'équation  précédente  à  laquelle  Huygens  donne  maintenant  la  forme  exafte.  Dés 
lors  Huygens  procède  à  l'élimination  de  la  variable  z. 

5)  Lisez  ihhoo. 

*)  C'est  le  cas  de  la  Fig.  80;  mais  cette  figure  montre  encore  les  traces  d'une  construftion  anté- 
rieure où  GH  avait  la  direftion  de  BF.  Cela  explique  le  troisième  point  C  à  droite  de  B  qui 
n'appartient  pas  à  la  construdion  présente. 

7)  Cette  remarque  fut  ajoutée  plus  tard. 


436  MATHEMATICA  VARIA  I  666 — 1681. 

Cum  aiucm  circumfercntia  fecct  rcébm  FH  in  duobus  piinftis,  duplicera  folutio- 
nemhahcbitprohlema,rcdfciciidiimnon  fcmperduobus  inodis  conllrui  polTe  crapczium 
ex  funima  diiorum  triangulorum  ABC,  ADC  conlkns,  quod  daco  fpatio  a-quale  fit, 
fed  nonnunquam  alcerum  ex  fumma  alterum  ex  différencia  horum  triangulorum  con- 
ftitui;  quod  inde  fit  quia  in  prima  œquatione,  ubi  ^by  +  ]  /  ihhzz  — •  /+  —  z+  33  ee^ 
non  refera:  utrum  radix  habcat  fignum  +  an  — ,  hoc  eft  an  fumma  an  différencia  trian- 
gulorum sequeturareœ  data;  ft";  quia  ducendo  in  fe  —  vel  +  \/  ihhzz — /+  —  2*  oo 
ee  —  ^by\  femper  ijdem  plane  termini  orientur. 

Eftautem  limitatio  ha;c,quodfi  arca  data  major  fit  quamtriangulumexlaceribus  AB  , 
BC  ,  et  reliquis  AD ,  DC  in  unam  rectam  extentis  effeccum  **),  tune  dupliciter  conftrui 
poterit  trapezium  ex  fumma  triangulorum  ^).  Si  vero  minor  difto  criangulo  fit  area 
data,  tune  vel  nuUum  vel  unum  tantummodo  hujufmodi  trapezium  ex  fumma  conrtrui 
poterit,  eritquc  alterum  ipfi  îequale  ex  differentia  triangulorum  ABC ,  ADC.  Ali- 
quando  '°)  nullum  nec  ex  differentia  conftrui  poterit. 

Quod  fi  circumferentia  tangat  redara  FH ,  dufta  BC  ad  pundlum  contadus,  efficic- 
tur  trapezium  omnium  quîe  fieri  pofTunt  maximum. 

Ad  inveniendam  autem  detenninationem  area;  maximse  quîe  datis  quatuor  lateribus 
comprehendi  poffit,  repetatur  îequatio  ultimo  reperta,  fed  brevitatis  gratia  fcribatur, 

.      — r^x  +  s*-{-e^  1  / j  xhhb  —  400^  r^ 

A     -= DO  v  X  \X  ce  —  XXI  ponendo  nenipe ^— ^^ 00 

eeb  -  i6^e  ee 

-      hhb—oob  ,       —2h}ioo  +  s,-^  +  %bbcc+f^ 

five 30— r^iet -^-r ^-^  x>  s*. 

à.  16 


*)  Huygens  suppose  donc  AB  +  BC  >  AD  -{■  DC,  ce  qui  est  permis,  excepté  dans  le  cas,  qu'il 
n'est  pas  nécessaire  de  considérer,  où  AB  =  DC  et  AD  =  BC.  De  plus  lorsque  les  segments  a, 
b,  c,  d  sont  choisis  de  manière  qu'ils  peuvent  constituer  les  côtés  d'un  quadrilatère  on  aura 
(supposant  AB  >  BC)  AB  —  BC  <  AC  <  AD  +  DC.  La  construction  du  triangle  en  question 

est  donc  toujours  possible. 

')  Commençant  par  sa  valeur  maximale,  lorsque  le  quadrilatère  devient  inscriptible  au  cercle, 
on  peut  diminuer  graduellement  l'aire  donnée.  Évidemment  les  deux  quadrilatères  seront  alors 
au  début  égaux  à  la  somme  des  triangles  ABC,  ADC  et  la  transition  aux  autres  cas  ne  peut 
arriver  qu'à  l'instant  où  l'aire  de  l'un  de  ces  triangles  s'annule.  Toutefois  cela  peut  toujours 
arriver  de  deux  manières  différentes,  savoir  celle  envisagée  par  Huygens,  où  AC  devient  égale 
à  la  somme  de  AD  et  DC  et,  en  outre,  dans  le  cas  où  la  différence  de  AB  et  BC  est  plus  petite 
que  la  différence  de  AD  et  DC,  celle  où  AC  devient  égale  à  la  différencede  ADet  DC,ou,dans 
le  cas  contraire,  celle  où  AC  est  égale  à  la  différence  de  AB  et  BC,  auxquels  cas  c'est  l'aire  du 
triangle  ABC  qui  s'annule.  Or,  il  dépend  de  la  grandeur  relative  des  triangles  qui  restent  laquelle 
de  ces  manières  se  présentera  la  première.  Si  c'est  celle  de  Huygens  sa  conclusion  est  juste;  si 
c'est  l'autre,  elle  doit  être  modifiée. 

'°)  Cette  phrase  fut  ajoutée  plus  tard. 


A  PARIS  (juillet  I  67  I — ^JUILLET  I  676). 


437 


quadrando  utrinque  (let 

B  (r"  +  e^bb^  xx  —  (ar%4  +  2r^e*)  x  +  s^  +  2s*e*  +  e°  —  ccbbe*  x  o 

per  Rcg.  Hiidd.  ")         2  i  o 

ir'^xx  +  2e*bbxx  —  2r'^s*x  —  âr^+.v  zo  o 

f^s^  4-  f^e^ 

Rcfticuatur  valor  x  in  œquatione  A. 


AT  00 


r«  +  e^bb 


hees*  +  be*^ 
r'  +  bee*   ^^ 


Ciir  '^)  non  pofTumus  hinc  invenire  quod  .r  jam  oo 


bbc  +  c^  —  caa  —  cdd 


?  ut 
2aii  +  2bc 

rêvera  eft,  aquè  ac  cum  circule  infcribitur  trapezium  ut  inventum  cfl:  pagina  2  ''). 

NB.  ■+)  effe  hic  x  ad  3»  ficut  r^  ad  bee  hoc  eft  ut  — ^ —  ad  ^^.  Hoc  oftendendum 

4 
effet  ita  quoquc  fe  habere  cum  trapezium  cfl:  in  circulo.  tune  enira  régula  indc  cxifle- 
ret,  qu£e  fol.  fequ.  in  fine  habetur,  ad  invenicndam  arcam  trapezij  in  circulo. 

Si  valor  x  refticuatur  in  a^quatione  B,  habebitur  arca  ce  raaxima  dctcnninaca  per 
latera  trapczij  data,  fed  fiet  jequatio  in  qua  e'  %  ^%  e-*,  qua:  non  facile  divifibilis  cognos- 
cetur  etfi  rêvera  fit  divifibilis.  Et  licct  jam  redufta  ponatur,  nondum  conftabit  an  trape- 
zium omnium  maximum  fit  illud  quod  in  circulo  infcribatur.  Quod  hac  via  itaque 
inquirere  infliitui. 

Si  trapezium  ABCD  [Fig.  81]  eft  in  circulo;  pofitis 
nominibus  laterum  ut  (iipra,  et  area  ee,  duftaque  perpend.' 
CE  00  y:  fiporro  ducatur perpend.  AQ  in  latusproduclum 

CD,  erit  AQ  00  -^  quia  triang.'  CBE,  ADQ  funt  fimilia, 

ut  facile  apparet. 

itaque  additis  triang."  ABC  ^by 

ADCi^ 


erit  fumma  ^by  +  ^ — ^ 


00  ee 


")  Il  s'agit  d'une  application  de  la  méthode  de  Hudde  exposée  dans  son  „Epistola  secunda  de 
maximis  et  minimis"  qui  fut  publiée  par  van  Schooten  p.  507 — 515  de  l'édition  de  1659  de  la 
„Geometria"  de  Descartes.  Elle  est  basée  sur  la  considération  que  pour  la  valeur  maximale  de 
e  l'équation  en  x  aura  des  racines  égales.  Comparez  la  Pièce  II  qui  précède  (p.  223  et  suiv.). 

")  Cette  phrase  fut  ajoutée  plus  tard. 

'3)  C'est  la  p.  50  du  Manuscrit  E  (comparez  la  note  i  de  la  p.  433).  Le  raisonnement  de  Huygens, 

appliqué  à  la  Fig.  81,  revient  à  ce  qui  suit.  On  a  QD  =— .BE  =  ^,  et  ensuite  AC^  =  i"  +c' 

lad 
—  2bx  =  a--\-d--\-  — x\  équation  qui  conduit  à  l'expression  désirée. 


43^  MATHEMATICA  VARIA   I  666 I  68  I . 

1C66 

Ergo  cum  trapezium  efl:  in  circulo  fit;y  do  — - — j-,  non  tamen  cum  haec  îequa- 

lia  trapezium  cft  in  circulo,  quia  non  conlîderavi  bafin  communem  effe  AC. 

Cum  vero  trapezium  efl  maximum  fit  y  do  — ^ — jy — 

„.    .  .  icee  ùees*  +  be"        ,     ,       adbs*  +  bbcs* — 2cr^ 

Sit  leitur  oportet  -— — =—  do  — ^  ,   ,,  .  ,  undee+  do  j-, y— ^ 

^  ^  ad+bc        r^  +  bbe*  bbc  —  bad 

Quod  fi  jam  hsec  sequatio  fit  régula  ad  inveniendam  aream  trapezij  circulo  infcripti; 

concludam  indc  idem  trapezium  circulo  infcriptum  eiïè  maximum.  Si  cnim,  cum  tra- 

'^c€6  bccs^  -\~  bc 

pczium  eft  in  circulo,  fit  e+  do  adbs^  &c.  hoc  eft:,  —^ — r-  do  — > — ,^-— ;eftautem, 
^  '  ad-\-bc        r^  +  bbe* 

cum  trapezium  in  circulo,  —j — 7-  do  y.  Ergo,  cum  trapezium  in  circulo,  erit  et 

bëÉS*  -1-  bë^ 

— ^ — -j- —  30  3';  hoc  autem  cum  fit,  efficitur  trapezium  maximum.  Ergo,  cum  tra- 
pezium in  circulo,  fiet  trapezium  maximum.  Reftat  itaque  examinandum  an  a;quatio 
ultimo  inventa  contineat  rcgulam  ad  inveniendam  aream  trapezij  in  circulo.  Quod 
quidem  ita  fe  habere  comperi.  Nam  refHtuto  primum  valore  r'  et  s*,  fecundum  ea 
quibus  jequalia  pofita  fuere,  ac  deinde  reftituto  etiam  valore  hh,  00,  fex.  gg,  invenitur 
divifionem  fieri  pofTe  per  bc  —  ad,  et  fit 

— a* — d* — c* — b*  +  2bbcc+  iaadd-\-  iaacc-\-  ibbdd-\-  iccdd-\-  8adbc  ... 

e*  DO  :z '> 

16 

Et  inirfus  abbreviando 

1 6e*  DO  ihhoo  — /+  —  g*  +  Sadbc  '*). 

Sed  quia  /+  do  /;*  —  ^aadd  et  g*  do  0+  —  ^bba\  ut  facile  colligitur  quia  bb  +  ce 
DO  oo\  bb  —  rc  DO  gg\  aa  -\-  dd  :X)  hh-,  aa  —  ddzo  f,  fit  i6e+  do  ihhoo  —  A+  —  0* 
-f  ^aadd  +  j^bbcc  +  Sadbc. 

i6e*zo  —  qu.  hh — 00  +  qu.  iad+  ibc.  Convenit  'Q  cum  Régula  qua  invenitur 
area  trapezij  in  Circulo.  qus  régula  reperitur  pag.  verfa  '^). 

i6e*  zc  —  qu.  aa  +  dd —  bb  —  cc  +  qu.  2ad  +  ibc,  ut  autem  habeatur  differentia 
quadratorum  ab  his  radicibus,  multiplicetur  summa  radicum  in  ipfarum  differentiam, 
hoc  efl  ^«+  iad-\- dd — bb-\-ibc  —  ccmbb-\-  ibc -\- ce — aa+iad — ddzo  i6e+. 


'♦)  Cet  alinéa  a  été  ajouté  plus  tard. 

■5)  Ajoutez  au  numérateur:  -\-2aabb.  Nous  avons  vérifié  ce  résultat. 

'*)  Cette  réduction  implique  l'addition  indiquée  dans  la  note  précédente. 

'")  Cette  phrase  fut  ajoutée  plus  tard. 

")  Voir  la  page  suivante. 


A  PARIS  (juillet  I  67  I — ^JUILLET  1676). 


439 


Qiiiim  igitiir  hxc  régula  fit  ad  invcnicndam  arcain  trapezij  circule  infcripti,  eadcm 
régula  erit  ad  invcnicndam  arcam  maximi  trapezij  ex  quatuor  datis  lateribus.  Nempc 

A  quadrato  fumma;  quorumlibct  duorum  latcrum  auferatur  quadra- 
tum  differentia;  duorum  latcrum  reliquorum;  et  viciffim  a  quadrato 
funimae  horum  auferatur  quadratum  differentije  illorum.  duo  refidua  in 
fc  ducta  dabunt  quadratum  arcîe  trapezij  maximi  fexdecuplum. 

Vel  addantur  omnia  trapezij  latera;à  fummse  dimidio  auferantur  latera 
fingula;  refidua  quatuor  in  fe  ducantur,  erit  producti  radixqu.  aqualis 
arese  trapezij  '^). 

Hinc  facile  dcmonftratur  polygonum  quodvis,  insqualium  licet  latc- 
rum, circulo  infcriptum  maximum  effe  omnium  quod  ex  ijfdem  lateribus 
eodem  vel  alio  quocunque  ")  ordine  connexis  confici  poffit  "). 


Trapezij  circula  infcripti  aream  invenire. 

A  ABC  [Fig.  82]  fecundum  Regulam  inventam  fuperius 

ubi  de  hac  quEeftione  oo  ^  \/  200ZZ  —  g^ — 2+  "). 

^-c  [ad]  ad  [ut]  A  ABC  ad  A  ADC. 

ooad  +  hhbc  /.        ,  ,       .  ,.    .„. 

•^"^  '^ TJTh —  lecundum  regulam  mventu  lacilli- 

mam  ^3^. 


'')  Cette  règle  aujourd'hui  si  bien  connue  avait  été  donnée  par  Snellius  sans  démonstration  sous  la 
forme:  „Si  de  dimidio  coliedorum  laterum  dati  quadranguli  in  circulum  inscripti  latera  sigil- 
latim  subducantur,  latus  continue  à  quatuor  dilferentijs  h&x  erit  area";  voir  la  p.  139  de 
l'ouvrage:  „Ludolplii  à  Ceulen  De  circulo  &  adscriptis  liber.  In  quo  plurimorum  polygono- 
rum  latera  per  irrationalium  numerorum  griplios,  quorum  libet  autem  per  numéros  absolutos 
secundum  Algebricorum  a;quationum  leges  explicantur.  Qus  insuper  accesserunt  pagina  versa 
indicabit.  Omnia  é  vernaculo  Latina  fecit,  &  annotationibus  illustravit  Willebrordus  Snellius 
R.  F.  Lugd.  Ratav.  Apud  lodocum  Colster  Anno  1619". 

On  a  découvert  plus  tard  que  la  même  rigle  avait  déjà  été  formulée  par  le  mathématicien 
hindou  Brahmagupta  qui  vivait  au  septième  siècle. 

"°)  Ces  trois  mots  furent  ajoutés  plus  tard. 

-')  Si  nous  considérons  un  quadrilatère  qui  a  pour  sommets  quatre  sommets  consécutifs  A,  B,  C, 
D  du  polygone,  son  aire  doit  être  maximum,  afin  qu'il  en  soit  ainsi  de  l'aire  du  polygone.  Le 
cercle  qui  passe  par  A,  B,  C  doit  donc  passer  par  D;  donc  aussi  par  E,  etc. 

")  Voir  la  p.  434. 

-3)  La  règle  se  déduit  en  effet  facilement  des  relations  mentionnées  dans  la  note  13  de  la  p.  437. 


44°  MATHEM ATICA  VARIA  1 666 —  I  68  I . 

r  A  xnri       1 1  Z^^^+^/Z  +  zoohhbc  o*aadd-\-  loohhadhc  +  h*bbcc 

L AABCJ  X  I  |/  -Jd^fc         —^—         aadd ^  ladbc  ■\- hWc 

— *^  '  , ^^—  XI  4  trapez.  ABCD,  five  \ee^  fi  area  crapezij  vocetur  ee. 

(|/Tfignificat  hic  illam  radicem  quse  eft  valor  trianguli  ABC)  ^+). 

ad  -{-  bc  .    1  /-  1  /-        ,  . 

lo^abcd — aadds^ -\- o'>aadd — ladbcs^ 

i6^ao ^^7 2_4.  ^oohh  —  s^  —  h'' 

bbcc  ^ 

fed g+  30  0+  —  /^bbcc\  \6e^  oo  \aadd  +  %adbc  +  \bbcc —  o+  +  loohh  —  A+ 

1 6e''  30  qu.  2^^  +  zbc  —  qii.  oo  —  hh.  Eadem  acque  illa  pagins  prascedentis  ''). 


La  méthode  dont  Huygens  fe  fert  dans  la  folution  de  ce  problème  est  défignée  par  lui,  à  la  p.  47 
du  Manuscrit  E,  par  les  mots  Methodus  noftra.  La  p.  46  donnait  la  Methodus  Romeri.  Les 
côtés  étant  \'  a^  \  T>,  \'c,  l'V,  l'aire  e  et  la  diagonale  cherchée  \/x  [Fig.  83],  Roemer  écrit  : 

\/b — |Xc3o]/^g     \/ a — l/dzo]/^»    hg  —  ninzcrr 
]/b  +  '\/c:x>\/h     \/a+\/doo\/t?i     hg  +  mn:y2ss 

b  —  ex  \/ hg 
ib  -\-  2C  zo  h -{-  g 

2bx  +  2CX  —  kg  —  .v.r  X  1 6yy 

2ax  +  2dx  —  mn  —  xx  zo  \6ee  —  32<?y  +  1 6yy 

lubtr. -, — — -, 

zbx — 2ax  —  ng  . 

,     ,     °     X  '5  2^T  —  1 6ee 
2CX  —  2dx  +  mn  "^    • 

2px  —  rr  +  1 6ee 

A     .  8i ""'^ 

b-\-c  —  a  —  «x^ 

b  ■\-  c  -{■  a  -\-  d  y:i  q     2b -{- 2c  zo  p  +  q 

Appxx  —  ±prrx  —  646^^^:  +  r  +  +  Q  2  rree  +  2  <  6 1?-*  ,      , 

^^i^ -^ 3<--; —^ ■ — X  2ax  +  2dx  —  mn  —  xx 

6^ee 

/^ppxx  —  4.prrx  +  r*  +  256  e*  00  6^eeqx  —  3  2eess  —  64  eexx 


XX  +  —  ^P>'>'^'  —  ^V^^x  +  >•*  +  ^5^g^  +  3 ^-<^ess  ^  ^ 
4/)/i  +  6^ee 

Voyez  aufïï  aux  p.  80 — 81  du  T.  VIII  iine  folution  de  A.  Monforte,  reçue  par  Huygens  en  1678. 


=♦)  Lisez:  4  A  ABC. 

=5)  Voir  la  p.  438. 


A  PARIS  (JUILLET  I  67  I — ^JUILLET  1676).  44I 

IH,  5  ■)• 
LES  „QUANTITEZ  IMAGINAIRES". 

xa-  +  4X+ioS-'^'+--KE| 

^         \x+2  +  y—6  Etc. 

On  trouve  à  la  p.  58  du  Manufcrit  E  la  date  8  Dec.  1675.  Quant  à  la  p.  53  ')  elle  contient  aufli 
le  Ibmmaire  de  la  lettre  du  30  septembre  de  Huygens  à  Leibniz.  Nous  avons  publié  ce  fommaire, 
traitant  e.a.  des  quanticcz  imaginaires,  ainfi  que  la  lettre,  aux  p.  504  et  fuiv.  du  T.  VII,  où 
l'on  voit  qu'on  a  cru  devoir  dater  cette  lettre  du  soseptembre  1675.  Huygens  dit  dans  la  lettre  avoir 
elle  tort  longtemps  hors  d'exercice  pour  ce  qui  regarde  [les]  Equations  Algebraiques 
[confidérées].  Il  ne  fe  fent  apparemment  pas  porté  à  pourfuivre  férieufement  l'étude  des  quantités 
imaginaires,  ce  qui  rell'ort  auili  plus  ou  moins  de  la  plaifanterie  fur  les  racines  des  équations  algé- 
briques en  général  par  laquelle  le  termine  le  fommaire. 


')  Manuscrit  E,  p.  53.  On  pourrait  douter  (comparez  la  note  1  de  la  p.  496  du  T.  XVIII)si  cette 
page  ell  de  1675  ou  bien  de  16-6,  mais  pour  la  raison  donnée  dans  le  texte  nous  adoptons  la 
date  de  septembre  16-5. 

56 


IV. 

À  LA  HAYE  (JUILLET  1676-  JUIN  1678) 

IV,  I. 

QUESTIONS  SE  RAPPORTANT  AU  TRAITÉ 
„VAN  REKENINGH  IN  SPELEN  VAN  GELUCK". 

Voyez  les  Pièces  d'août  16-6  etc.  aux  p.  151  et  fuiv.  du  T.  XIV. 


IV,  2. 

QUESTION  DES  SIGNES  DANS  LES  ÉQUATIONS  DE 
GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE. 

[1676  OU  1677] 

Ponantur  reftîe  AB,  BC  angulum  reélum  conftituere.  Sitque  indefinite  AB  zo  x 
[Fig.  84],  BC  30  y  et  a  linea  data.  Aequatio  autem  curvse  AC  naturam  exprimens  ^) 

ûx  —  XX  XI  yy  five  xx  —  ax  +  yy  o)  o. 

Hic  five  ponatur  +  y  five — 3',  eadem  tamen  fit  îequatio, 
unde  fequitur  curvam  AC  ejus  efTe  nature  ut  BC  oo  y  d.à 
utramvis  partem  reftse  AB  fumi  pofilt.  Eftque  fane  circuli 
circuniferentia  cujus  diametcr  a,  ut  facile  apparet. 

Non  potefi:  autcm  fumi  x  in  contrariam  quoque  partem 
nempe  vcrfus  D,  quia  fi  ftatuatur  —  .r,  non  poterit  fieri 
cadcm  priori  a;quatione  fed  crit  xx  +  ax  +  yy  30  o.  Nam 
in  priori  cum  haberetur  —  ax,  effetque  +  x  ncccffc  efi: 
fuifl^e  — û.  quarc  pofito  — .r  duftoque  in  —  c/  (nam  hoc 
non  mutatur)  fit  +  ûx. 


[Fig.  84] 


')  Manuscrit  E,  p.  97 — 98. 

^)  Quelques  années  plus  tard  Huygens  parlera  simplement  de  l'„a;quatio  parabolaî"  (1.  10  de  la 

p.  408  qui  précède).  En  1691  il  se  sert  couramment  de  l'expression  „equation  d'une  courbe"; 

voyez  la  suite  du  Tome  (p.  506  et  suiv.}. 


A  LA  HAYE  (JUILLET  l6j6 — JUIN  1678). 


443 


[Fig.  85] 


Sit  item  îeqiiatio  .ry  30  aa  qua:  hyperbolœ  ad  afymptotos  rclationcm  oftcndit  [Fig. 
85].  Hic  potell  cciam  —  x  poni  fcd  tune  et  —  y  poncndum,  ut  fiât  utriusquc  multi- 

plicatione  +  xy.  Itaque  fuinto  x  in  contrariam 
partcm  ab  A,  etiam  y  five  bc  in  contrariam  par- 
tem  a  reéla  A\l  iumenda  cft,  tuncque  punctum 
cedad  feftionem  oppofitam,  ut  vocant,  ipfi  CD. 
Patctquc  xqimtionc  propodta  dcfignari  curvam 
ex  duabus  Ci),  cd  conihntem,  non  vcro  pUi- 
ribus.  adco  ut  feftiones  conjugatas  non  faciant 
partem  ej'us. 

Sit  rurfus  œquatio  x^  oo  aay  [Fig.  86J.  Hic 
manente  +  x  débet  ctiam  mancre  +  y.  at  pofito 
—  .%•  débet  quoque  poni  — y  ut  fiât  —  .r^  00 


—  aay,  nam  hsc  eadem  sequatic  efl:  ac  +  x^  oo  aay. 
Unde  hsc  curva  erit  CAc,  qua;  axem  non  habebit. 
Vocatur  autem  parabola  cubica  vel  Paraboloides. 


[Fig.  86] 


[Fig.  87] 


Quod  fi  fit  ajquatio  x'^  30  aay  [Fig.  87].  Hic  ma- 
nente +  -V  potell  efle  +  y  vel  —  y  ut  eadem  maneat 

œquatio  fcd  non  potell:  un- 
quam  fumi  —  x  fivellatua- 
tur  +  y  five  —  y.  Unde 
hîec  curva  habebit  formam 
CAc,  angulo  acutiffimo  ad 
A  _    A  inflexam. 


V. 
À  PARIS  (JUILLET  1678 -AOÛT  168 1). 

QUESTION  SE  RAPPORTANT  AU  TRAITÉ 
„VAN  REKENINGH  IN  SPELEN  VAN  GELUCK". 

Voyez  la  Pièce  de  1679  aux  p.  164  et  luiv.  du  T.  XIV. 


MATHEMATICA  VARIA   1681-   1695. 


Avertiffement. 


Des  dix  Pièces  qui  fuivent  la  plupart  fe  rapportent  à  des  queftions  de  géométrie  ; 
c'eft  ce  que  le  ledteur  eût  afruréinent  deviné  d'avance.  Une  Pièce  (II)  traite  de  tri- 
gonométrie, une  (IV)  de  géométrie  analytique  (équation  d'une  courbe),  trois  (I, 
VI,  X)  de  rayons  de  courbures,  troisaufll(V,  VII,  IX)  d'intégration,  plus  précifément 
du  calcul  de  la  grandeur  de  certaines  furfaces  ou  de  certains  corps  obtenus  par  la 
révolution  de  lignes  ou  de  furfaces.  Une  feule  (III),  publiée  dans  le  T.  XIV,  fe  rap- 
porte au  calcul  des  chances  (comparez  les  Mathematica  varia  1666  —  1 681),  une 
autre  (VIII)  à  celui  des  logarithmes  en  partant  de  la  confidération  de  l'hyperbole 
équilatèrc  et  en  faifant  ufage  d'une  certaine  férié  trouvée  par  Huygens  et  publiée 
par  lui  en  1690  dans  le  „Difcours  de  la  caufe  de  la  pefanteur"  '). 

On  a  remarqué  dans  les  Math,  varia  1666  — 168 1  les  problèmes  affez  nombreux 
sur  le  triangle,  fujet  cher  à  tant  de  mathématiciens  anciens  et  modernes;  Huygens  fy 
fervait  d'équations  en  x  et  3^  de  forte  qu'il  TagifTait,  peut-on  dire,  de  géométrie  analy- 
tique. Quant  aux  fonnules  trigonométriques,  la  préfente  Pièce  II  fait  voir  que  Huygens 
aimait  à  trouver  lui-même  leurs  démonilrations  plutôt  que  de  les  chercher  ailleurs. 
Le  catalogue  de  vente  de  1695  de  fes  livres  ne  mentionne  pas  la  „l\Iirifici  Logarith- 
morum  Canonis  Defcriptio"  de  161 4  de  Neper")  dans  le  Livre  II  de  laquelle  3)  l'au- 
teur confidère  e.a.  longuement  le  cas  où  „funt  .  .  .  tria  latera  [trianguli  fphsrici] 
data,  &  qua^runtur  anguli".  Huygens  trouvait  apparemment  les  énoncés  des  différents 


')  Voyez  le  Tome  suivant. 

-)  Comparez  la  note  4  de  la  p.  459. 

3)  Chap,  VI. 


448  AVERTISSEMENT. 


théorèmes  dans  \cs  petites  tables,  celles  in  oftavo,  de  Vlacq+).  Or  tant  dans  l'édition 
latine  que  dans  les  deux  éditions  néerlandaises  que  nous  citons  Vlacq  dit  en  latin 

ou  en  flamand:  "Qui  demonftrationes  hujus  videra  cupiunt  —  mais  c'eft  ce  que 

1  luygens  ne  délirait  pas  —  cas  invenient  in  Trigonometria  Britannica  Henrici  Briggii". 

Dans  la  Pièce  de  géométrie  analytique  (IV^)  datant  de  1690  Huygens  confidère 
une  des  ovales  de  Delcartes').  Nous  rappelons  qu'au  commencement  de  cette  année 
il  avait  publié  le  „Traité  de  la  Lumière"")  dans  le  Chap.  VI  duquel  il  elt  également 
queftion  de  ces  ovales  ''). 

Tout  ce  qui  fc  rapporte  à  des  développées  et  des  rayons  de  courbure  (Pièces  1, 
VI,  X)  fc  rattache  évidemment  à  la  Troilième  Partie  de  r„Horologiumofcillatorium" 
de  16738). 

Des  recherches  fur  les  furfaces  et  corps  de  révolution  (Pièces  V,  VII,  IX)  nous 
ne  mentionnons  ici  que  la  dernière,  où  il  el1:  question  tant  de  la  ciflbïde  que  de  la 
cycloïde,  ce  qui  donne  lieu  à  Huygens  de  rappeler  les  „profondes  fpeculations"  de 
PafcaletdeWallis!'). 

La  Pièce  fur  le  calcul  des  logarithmes  fe  rattache  à  un  endroit  des  „Principia"  de 
1 687  de  Newton,  ainfi  qu'à  la  quadrature  de  l'hyperbole  par  Mercator  et  VVallis, 
comme  le  font  voir  les  notes  des  p.  471 — 472  ou  plutôt  les  pages  des  T.  IX  et  X 
auxquelles  ces  notes  renvoient  le  leéleur. 

Nous  terminons  cet  AvertilTement  en  difint  un  mot  du  développement  du  cofinus 
en  une  férié,  fujet  dont  il  eit  queftion  dans  la  Pièce  I.  Dans  la  note  6  de  la  p.  392  qui 
précède  on  trouve  la  férié  de  Newton 

A  =  2 1 etc. 

4  X  o;v      4  X  4  X  i2or+ 


^)  Voyez  les  notes  3  et  5  de  la  p.  45<$. 

5j  Livre  second  de  „La  Géomc'trie"  de  1637. 

'')  Suivi  du  «Discours  de  la  cause  de  la  pesanteur"  mentionné  plus  haut. 

")  T.  XIX,  p.  524  et  suiv.  (l'"ig.  216  à  la  p.  525).  Voyez  aussi  la  l'ièce  \'I  de  1678  à  la  p.  424  du 

même  Tome. 
8)  T.  XVIII,  p.  188—241. 
*)  Note  5  de  la  p.  475. 


AVERTISSEMENT.  449 


OU,  en  divifant  par  ar  et  en  pofanc  ^2  =  ^, 

lin  s        s         I    ,^.3    ,     1    ,5.5  •    ,1  1    j/     1 

= C-)    H — .  (-)  1  ^"C  qui  eu  le  dévclop- 

r         r        3!    r  5!  V 

pcmcnt  de  ce  que  nous  appelons  le  finus  (fin  s  dans  la  formule  ert  une  ligne,  non  pas 

un  rapport)  en  fonftion  de  l'angle  correfpondant  (j-  =  arc,  ;•  =  rayon).  Wallis  cite 

également,  ce  que  nous  n'avons  pas  reproduit  dans  la  note,  le  développement  du  finus 

veri'us  luivant  Newton,  lavoir 

Z^  2'*  2* 

finus  verfus  = 1 evC. 

2/-      24r5      7aor5 

Or,  en  retranchant  le  finus  verfus  du  rayon,  on  obtient  le  cofinus  (c.à.d.  le  cofinus 

linéaire,  analogue  au  finus  linéaire  mentionné  plus  haut);  en  divifant  par;- il  en  réfulte 

le  développement  de  ce  que  nous  appelons  aujourd'hui  le  cofinus: 

r  2!    /•  4!    r  6!    r 

C'ell  depuis  l'apparition  de  l'Algèbre  de  1685  de  Wallis  que  Huygcns  a  connu 
ce  développement  en  férié  du  cofinus.  Il  ne  connaiffait  d'ailleurs  pas  la  preuve  des 
formules  de  Newton,  et  il  ne  paraît  pas  fen  être  jamais  fervi.  En  1683  il  ne  les 
connailTait  certainement  pas  encore.  On  a  vu  plus  haut  '°)  que  la  férié  de  l'arc  tan- 
gente de  J.  Gregory  lui  était  même  inconnue  au  moins  jufqu'à  1689.  Il  ne  femble 
pas  étonnant  qu'après  fa  difpute  avec  Gregory  ")  on  n'ait  pas  éprouvé  en  Angleterre 
le  befoin,  fuppofé  qu'on  l'eût  éprouvé  finon,  de  lui  faire  connaître  au  plus  tôt  les 
nouvelles  découvertes.  Mais  pour  la  confidération  théorique  du  „pendulum  cylin- 
dricum  trichordon"  (1683),  dont  traite  la  Pièce  I"),  il  n'avait  que  faire  de  dévelop- 
pements en  férié. 


■°)  P.  375- 

")  P.  259  et  303 — 32"  tlu  présent  Tome. 

")  Le  lefleur  qui  s'intOresse  spécialement  au  „pendiilum  cyliiidricuni  tricliordon"  trouvera  dans 
les  Additions  et  Corrertions  à  la  fin  du  présent  Tome,  une  corredion  à  apporter  à  une  note  du 

T.  xvm. 

57 


MATHEMATICA  VARIA  1681  -  1695. 


I.       A   PROPOS   DU  „PF,NDULUIV1   CYLINDRICUM  TRICHORDON"  (sINUSOÏDF,  ET  PARA- 
BOLE, COURBES  0SCULATRICh:s)  (1683). 

II.       DÉMONSTRATION  DE  THÉORÈMES  TRIGONOMÉTRIQUF.S  (  I  687,  1  680). 

III.  Question  se  rapportant  au  traité  „Van  Rekeningh  in  Spelen  van 
Geluck"(i688). 

IV.  Examen  curv^  line/E  quam  Cartesius  REGULiE  et  iili  ductu  describere 
DOCET,  an  sit  eadem  at(^ue  ovalium  ipsius  prima')  (1690). 

V.     Surface  obtenue  par  la  révolution  de  la  parabole  autour  d'une  tan- 
gente AU  SOMMET  (  I  69 1  ). 

VI.       DÉVELOPPÉE  DU  „FOLIUM  CaRTESIi"  (  1 69 1  ). 

VII.     Solide  de  révolution  obtenu  par  la  rotation  de  la  cycloïde  autour 
DEsoN  axe(i69i). 

VIII.     Calcul  de  logarithmes  en  partant  de  la  considération  de  l'hyperbole 

ÉQUIL ATÈRE  (  I  69 1  ) . 

IX.     Cycloïde  et  cissoïde;  solides  de  révolution  et  centres  de  gravité 
(1691  ou  1692). 

X.     Calcul  du  rayon  minimal  de  la  courbe  logarithmique  (i 692). 


')  Titre  donné  par  Hiiygens  lui-même  à  cette  Pièce. 


MATIIKIVIATICA  VARIA   1681-1695. 

I. 

A  PROPOS  DU  „PENDULUM  CYLINDRICUM  TRICIIORDON" 
(SINUSOÏDE  ET  PARABOLE,  COURBES  OSCULATRICES). 

[1683] 


En  con(ldi;raiu  dans  le  T.  XVIII  les  calculs  de  Huygens  qui  fe  rapportent  au  „pendulum  cylin- 

drieiim  tricliordon"  nous  avons  renvoyé  le  lefteiir  (p.  530,  première  note  et  note  2)à„undcs 
Tomes  fuivants"  pour  les  deux  queflions  que  voici: 

1.  Comment  Huygens  a-t-il  pu  dire  que  la  „ciirva^jg-:<7[(inufoïde  ou  „compagne  de  la  roulette", 
Fig.  25  de  la  p.  528]  eft  xqualis  curva:  dimidia;  EUipih  a/iè  poijia  e/i  potentiàdupla  ad  radium  (7^"? 

2.  Comment  a-t-il  calculé  que  la  diftance  verticale  PG  entre  un  certain  point  P  de  la  courbe 
nPL  [Fig.  23  de  la  p.  527]  qui  devient  une  parabole  lorfqu'on  déroule  fur  un  plan  le  cylindre  fur 
lequel  elle  fe  trouve,  et  le  point  correfpondant  ('■  de  la  courbe  hCA  )qui  par  cette  évolution  devient 

une  finufoïde,  eft  inférieure  à AB,  c.  à.  d.  à du  diamètre  du  cylindre? 

1000  1000 

1.  La  réponfe  à  la  première  queftion  eft  bien  fimple.  Il  n'efl  nullement  befoin  de  confidérer, 
comme  nous  le  faifions  dans  la  note  2  de  la  p.  530,  la  méthode  de  Pafcal  pour  réduire  „la  dimenfion 
des  lignes  de  toutes  fortes  de  roulettes ...  à  des  lignes  cliptiques".  Il  fuflit  de  fe  rappeler  ce  que 
nous  difions  à  la  p.  511  de  rAvertilTement:  que  Huygens  favait  qu'on  obtient  la  „linea  finuum" 
non  feulement,  comme  dans  la  Pièce  fur  le  „pendulum  cyl.  tricliordon",  par  l'évolution  fur  un 
plan  de  la  „ligne  cyclocylindrique",  mais  audî  „par  le  développement  fur  un  plan  de  la  feftion 
elliptique  obtenue  en  coupant  un  cylindre  par  un  plan  incliné  à  45°"  ').  Or,  dans  cette  feftion 
elliptique  —  voyez  ce  que  Huygens  dit  plus  haut  fur  la  „potentiâ  dupla"  —  le  grand  axe  eft  égal 
au  produit  du  petit  axe  par  1^2  . 

2.  Dans  nos  notes  du  T.  XVIII  nous  nous  fommes  fervis  du  développement  du  cofinus  en  une 
férié.  En  1683  la  férié  du  cofinus  —  voyez  l'Avertifiement  —  était  fans  douteconnue,  grâce  à 
Newton,  à  un  nombre  reftreint  de  perfonnes,  mais  Huygens  ne  faifait  pas  partie  de  ce  cercle.  C'eft 

donc,  penfons-nous,  par  un  calcul  direél  °'),  qu'il  a  trouvé  la  fraélion  • en  queftion.  Ce  ne  fut 

1000 

qu'en  1685  ou  1686  3)  qu'il  apprit  à  connaître  par  l'Algèbre  de  Wallis  quelques  fériés  de  Newton 
d'ailleurs  dépourvues  de  démonflrations. 

Une  remarque  analogue  s'applique  au  cas  du  §  3  des  p.  530  et  fuiv.;  fans  doute  c'eft  par  une 


')  Comparez  la  p.  337  du  T.  X,  déjà  citée  dans  la  note  5  de  la  p.  51 1  du  T.  XVIH. 
^)  Comparez  les  p.  290  et  262  du  T.  XVII,  datant  de  1654. 
3)  Voyez  la  Pièce  IV  à  la  p.  389  qui  précède. 


454  MATHEMATICA  VARIA   1681  —  1695. 

confidération  géométrique  que  Huygens  a  vu  que  „qua;cunque  fueri:  longitude  filorum"  la  para- 
bole à  équation  ?  =  /  —  — j  fe  rapproche  fortement  de  la  courbe  à  équation  y  =  Ï/P  —  R^  fin  *  -„ 

(note  3  de  la  p.  531):  l'une  et  l'autre  courbe  a,  pour  .v  =  o,  c'efl  h  dire  là  où  les  deux  courbes  fe 
touchent,  le  rayon  de  courbure  /  (ou  plutôt  —  /),  de  forte  qu'elles  font  ofculatrices  (comme  la 
parabole  et  la  finufoïde  —  correfpondant  au  cas  /==  ^  ^ —  précédemment  confidérées)  pour  em- 
ployer rexpreflion  de  Leibniz  de  1686-*).  Ces  fortes  de  contaft  entrent  naturellement 
dans  mes  Evolutions  de  Lignes  courbes,  écrira  Huygens  en  1691  5). 


■*)  Voyez  la  note  5  de  la  p.  42  du  T.  XVIII. 
5)  T.  X,  p.  183. 


IL 

DÉMONSTRATIONS  DE  THÉORÈMES  TRIGONOMÉTRIQUES. 

[1687] 

A.  [Trijronométric  plane].  §  i.  Dath  trianguU  dmhiis  latcrthus  et  angulo  inter- 
jeta invenire  latus  tertiiim  ip/i oppolitiim^^. 

[Fig.  87]  h  =  iinus  dimidij  anguli  iVdati  [Fig.  87].  d — c  co/>.     ^'^P 

Régula  ad  invcnienduni  anguluniA'cx  tribus  lateribus  P 

f*\l>        datis  de ~ i-i.  =  rr hh     r  radius  ^^ 


ell  donc  lo  rs.pport  qui  eft  défigné  aftuellement  par  le  mot  finiis. 

rrxx  —  4/>rr  co  ^hhdc 

^^  ,   ±hhnn 

XX  co  pp  +  — 

rr 

Jam  invenienda  radix  fummîe  horum  duorum  quadratorum  per  tabulas  finuum 

et  logarithmes. 

p q r  /  ^  tangens  anguli  (r  radius)  [Fig.  88].  [Fig.  88] 

s  Iinus  ejufdcm  anguli. 


7/f  ^  ^ 


.^ 


T  /-=-  2/11!  ihn  lihn 

1/  de  30  n      DO  (7  p r  I 

'  r  ^  ^  r  I    p 


2hn  liht} 

~/~r 


Adde  -)  logarithmos  datorum  laterum.  Summs  dimidia:  adde  logarithmum  finus 


')  Manuscrit  F,  p.  292.  Les  p.  285  et  297  portent  respeélivement  les  dates  août  1687  et  septem- 
bre 1687. 

°)  Feuille  collée  entre  les  pages  182  et  183  du  Manuscrit  F.  En  marge:  Vide  lib.  F,  ce  qui  se 
rapporte  sans  doute  à  la  p.  292,  où  l'on  trouve  la  même  règle  (^Adde  logarithmes  lacerum 
c  Qt  d  [Fig.  87]  fummœ  dimidiœ.  Etc.)  mais  sans  exemple  numérique.  La  feuille  ne  peut 
guère  être  antérieure  à  1687:  voyez  la  note  i  de  la  p.  458  qui  suit. 


456 


MATHEMATICA  VARIA    I  68  I  —  1  695. 


iemiflls  anguli  t1ati,  itcmquc  logarithmum  binarij.  Ab  hac  fumma  aiifer  logarithnnim 
dill'crcncuv  latcrum.  Rcliquum  cil  logarithmus  tangcntis  anguli,  cujus  logarithniiis 
finus,  ablatus  ab  cadem  polkriore  fumma,  dabit  logarithmum  lateris  quœfiti. 

a. 93702  log.  865      865 


[Fig.89]3) 


2.80072 


log.  632 


63^ 

233  diff.a  latcrum  [Fig.  89] 


5-73774  fum- 

2.86887  dimid. 

9.92894  log.  lin.  ^  ang.  dati  five  58°  61' 

..30103  log.  binarij 


13.09884  fumma 
-•36736  log-  -33  "^iff-*  laterum 

1 0.73 1 48  1.  tangentis  anguli  cujufdum 
9.99264  cujus  hic  log.  finus 

3. 1 0620  log.  1 277  lateris  nempe  qua;fiti. 

Ha;c  régula  nolb'a  brcvior  el1:  vulgari,  quœ  primo  angulumunumquœrcreprsecipit 
atque  hinc  deinde  latus  propolitum.  Nollra  enim  tabulas  logarithmicas  fexies  infpici 
poltulat  (nam  binarij  logarithmus  notus  eft),  illa  vero  oéties.  Tum  in  c£eteris  nollra 
quoque  facilior  efl. 

Il  faut  en  ellct  coiifulter  liuit  fois  la  table  des  logarithmes  Icrfqu'on  applique  d'abord  la  règle 
des  tangentes  pour  trouver  la  différence  des  angles  de  la  bafe  (d'où  fe  tire  „angulus  unus"),  et 
enfuite  celle  des  (inus  pour  trouver  le  „latus  propofitum",  c.  à.  d.  la  bafe. 


[1680] 

§  2.  Cette  règle  des  tangentes  ell  formulée  et  démontrée  comme  fuit  par  Huygens  en  un  endroit 
antérieur  du  même  Manufcrit,  datant  de  1680  ■•)  et  appartenant  donc,  (i  l'on  veut  parler  ftricte- 
nient,  aux  „Matliematica  varia  1666 — 168 1": 

Theorenia  trigonoDietricum  utile  ad  inveniendaiu  anonialiani  .  .  .  etc.  Huygens 
s'occupe  de  la  conflrudion  de  fon  planétaire  mentionné  aulîl  à  la  p.  394  qui  précède.  En  marge: 
vulgo  notum  efl:  hoc  theorema.  Vide  Tabb.  Vlacqui  '). 


^)  Le  triangle  à  côtés  632,  865,  1277  est  considéré  par  Vlacq  dans  chacune  des  éditions  de  ses 

Tables  mentionnées  dans  la  note  5  qui  suit, 
f)  P.  2  du  Manuscrit  F,  datant,  nous  semble-t-il,  de  /a  fin  de  1680.  La  p.  239  du  Manuscrit  E 

porte  la  date  du  1 1  mai  1680,  celle  du  16  novembre  1680  se  trouve  à  la  p.  39  du  Manuscrit  F. 
S)  Il  existe  un  assez  grand  nombre  d'éditions  différentes  des  Tables  de  Vlacq.  Nous  mentionnons 

les  suivantes,  i  „Tafels  van  sinus,  tangentes,  sécantes:  Ende  van  de  logarithmi  van  de  sinus, 

tangentes,  Ende  van  de  Getallen  van  i  aftot  loooo  toe.  Nevens  de  manière omdoordeselfde 

allerley  Drie-hoecken,  ende  veele  Astronoraische  ende  Interest-Reeckeninghen  te  resolveren. 

Door  A.  Vlacq.  In  's  Graven-IIage.  By  Adrien  Vlacq",  MDCLXI.  La  III.  l'rop.  du  IIL  Cap. 

(intitulé:  „Vaii  de  resolutie  van  de  Rechtlinise  Sclieeflioeckige  Drie-hoecken")  est  celle-ci: 


DÉMONSTRATIONS  DE  THÉORÈMES  TRIGONOMÉTRIQUES. 


457 


ABC  [Fig.  90]  triangiilum.  ICric  ut  ftimma  laterum  AB^  DC,  ad  eorum  d'tjfe- 
revtiam  tta  tangcm  dhmdi<e  fmmn<e  angulovum .  /,  C,  ad  taugentem  dlmtdineipjlruiii 

dijj'ercnttte. 

Mea  dcmonllratio.  IVt)thi- 


[Fig.  90] 


catur  AB,  ut  fit  BI3  l'qualis 
liC.  jungatiirquc  DC,  iccm- 
qiie  puncta  E,  F  qiix'  rcctas 
AD,  DC  fecant  bifariani,  et 
ducatiir  BF,  ac  deniquc  BG 
parallcla  \\Y  (ivc  AC.  Erit 
jam  anguliis  DBC  a.'qiialis  du- 
obus  BAC,  BCA.  ac  proinde 
angulus  DBFa?qualis  dimidia; 
fumma;  ipibnim.  à  qua  aiifcrcndo  angulum  DBG  îeqiialcm  BCA,  rclinquctiir  (îBF 
jequalis  \  diilerentix'  angulonmi  BCA,  BAC.  Suinta  itaquc  Bl''  pro  radio,  oportct 
ollcndcrc  tangcMitem  DF  elTe  ad  tangentem  GF,  (iciit  fumma  laterum  AB,  liC  ad 
ipforum  ditrcrcnciam,  livc  ut  dimidia  ilinima,  qu;v  cil  El),  ad  dimidiam  ditferentiain, 
qua*  cil  EB.  Hoc  autcm  manifelhim  clt,  quuui  liF,  BG  lint  parallela;. 


„Bekent  sijnde  de  tvvee  zijden,  ende  een  hoeck  tusschen  beyde,  te  vinden  de  andere  hoecken". 

Vlacq  donne,  sans  la  démontrer,  la  règle  suivante:  „Gelijckdesomme  van  beyde  de  zijden.  Tôt 
het  verschil  der  selfde;  Soc  is  de  Tangens  van  de  halve  somme  der  begeerde  hoecken.  Tôt  de 
Tangens  van  het  halve  verschil  der  selfde".  2.  „Nieu\ve  Konstige  Tafelen  sinuum,tangentiiim 
&  secantium,  ofte,  vande  Hoeckmaten,  Raecklijnen,  en  Snylijnen,  met  de  logarithmis,  der 
Iloeckmaten,  en  Raecklijnen,  Als  mede  de  Logarithmi  passende  op  de  getallen  van  i  tôt 
1 0000 . . .  Met  sekere  œnwijzinge  om  door  deselve  aile  Rechtlinische  en  Clootsche  Driehoecken, 
met  verseheyde  Astronomische  vrieg-stucken  op  te  lossen.  't  Samengesteit  door  A.  Vlack.  En 
vermeerdert  met  een  nieuw  uytgerekende  Tafel  van  de  vergrootende  breedte,  als  mede  de 
Tafel  der  Kromstreecken  [voyez  la  p.  236  du  T.  XVII].  Door  A.  de  Graef  [voyez  sur  lui  la  p. 
27  du  T.  IX].  't  Amsterdam,  By  Hendrick  Doncker,  Boeck-verkooper  en  Gra?t-boogemaker 
[voyez  sur  les  „grœt-boogen"  les  p.  627 — 628  du  T.  XVIIll  in  de  IVieuwe-brug  steeg",  1665. 
Vlacqy  donne  la  même  règle.  3.  „Tabulœsiniium,tangentium  et  secantium,  et  logarithmi  sinuum, 
tangentium  . . .  cum  Methodo  facillimà,  illarum  ope,  resolvendi  omnia  Triangula  Rectilinea 
&  Sphxrica,  &  plurimas  Qua;stiones  Astronomicas,  ab  A.  Vlacq.  Editio  ultima  emendata  & 
auda.  Amstetedami,  Apud  Henricum  &  Viduam  Theodori  Boom",  MDCLXXXI.  La  règle 
(toujours  dépourvue  de  démonstration)  y  a  la  forme  suivante  (p.  16):  „Ut  aggregatum  dato- 
rum  laterum.  Ad  differentiameorundem;  Sic  Tangens  semissisaggregatiangulorumqusesitorum. 
Ad  Tangentem  semissis  differentia:  eorundcm". 

58 


458  MATHEMATICA  VARIA  1 68  I  —  1695. 

[1687?] 

B.  [Trigonométrie  fphérique  et  trigonométrie  plane].  §  i .  Trianguli  fphterici 
[Fig.  91]  datis  tribus  laterthns  inveiurc  angulwn  (jticinHhet^^. 

Verg£ert  de  drij  fijden  te  Inmcn,  vande  helft  der  fomme  treckt 
elcke  lijde  oni  den  begeerden  hoeck.  komen  twee  reften").  Nu 
gelijck  den  radius  tôt  iinus  van  eenc  fijde  om  den  begeerden  hoeck, 
allbo  finus  van  d'andcr  fijde  om  den  felven  hoeck  tôt  een  4'ie  getal. 
Dan  voort 

Gelijck  dit  4^6  getal  tôt  finus  van  het  eene  verfchil,  alibo  finus 
van  "t  ander  verfchil  tôt  de  halve  pijl  van  den  begeerden  hoeck. 
defe  halve  pijl  met  den  radius  gcdeelt  ')  en  van  't  produd  de  wortel 
uytgetrocken  fal  geven  finus  van  den  halven  begeerden  hoeck. 


Het  produft  van  de  finus  der  twee  reften  multipliceert  met  het  quadrœt  vanden 
radius,  dit  product  dividecrt  door  het  product  van  de  2  finus  der  fijden  œn  den  be- 
geerden hoeck.  de  quadrœtwortel  uijt  het  produél  fal  fijn  de  finus  van  den  halven 
begeerden  hoeck. 

Hinc  régula  illa  per  logarithmos  utilifllma,  cujus  quis  fit  auélor 
nefcio-*).  logarithmis  ruv  a  et  b  adde  duplum  logarithmum  radij.  A 
fumma  omnium  aufer  fummam  logarithmorum  tccv  c  et  d.  Reliqui 
femiffis  erit  log.  finus  anguli  dimidij  qufefiti. 

Dans  le  tableau  c  e.x.  d  repréfement  les  (iniis  des  arcs  EP  et  ES,  et  a  tt  b  les 
finus  des  termes  4  (—  EP  +  ES  +  PS)  et  \  (EP  —  ES  +  PS).  ;•  ett  l'inévitable 
rayon.  En  prenant,  comme  nous  le  faisons  actuellement,  les  finus  comme  des 


r 

cd 
r 

c 

a 

d 

b 

cd 

abt 

r 

cd 

ahrr 
"cT 


rapports  on  a  fin  i  E  =1  /    f^ 
y      cd 


Sur  d'autres  éditions  des  petites  tables  de  Vlacq  (elles  furent  publiées  en  différentes  villes, 
tant  en  Hollande  qu'à  l'étranger)  on  peut  consulter  la  „Bibliographie  néerlandaise  historique- 
scientifique  des  ouvrages  importants  dont  les  auteurs  sont  nés  aux  16%  17'  et  iS"  siècles  sur  les 
sciences  mathématiques  et  physiques  avec  leurs  applications"  par  le  D,.  D.  Bierens  de  Haan, 
extrait  du  „Bullettino  di  bibliografia  e  di  storia  délie  scienze  matematiche  e  fisiche"  T.  XIV, 
sept. — dec.  1881,  T.  XV,  mai — juillet  1882,  T.  XVI,  juillet  1883,  Rome,  Impr.  d.  sciences 
math,  et  phys.  Via  Lata  N°  3,  1883. 

Le  catalogue  de  vente  de  1695  des  livres  de  Huygens  mentionne  (Libri  math,  in  Oftavo, 
22)  „Vlack  Tabula  Sinuum,  Tangentium  &."sans  date. 
')  Petite  feuille  collée  dans  le  Manuscrit  F  entre  les  p.  182  et  183  (comparez  la  note  2  de  la  p. 
455).  La  feuille  semble  ne  pas  être  antérieure  à  1687,  puisqu'à  la  p.  295  du  Manuscrit  F  Huy- 
gens paraît  ne  pas  encore  connaître  la  démonstration  de  la  règle  ici  considérée:  il  énonce  quel- 
ques propriétés  du  triangle  sphérique  disant:  „An  hinc  régula  illa  nota  inveniri  potest?"  Il  est 


DÉMONSTRATIONS  DE  THÉORÈMES  TRIGONOMÉTRIQUES. 


459 


—j-  cujus  logar'.  dimidium  erit  log.  finus  anguli  dimidij  quîefiti 


Vel  addeert  de  arichmctische  complementen  van  de  logarithmi  der  finus  der  fijden 

die  den  begecrden  bocck  begrijpcn,  bij  de  log-arithmi  vandc  (inus  der  gcvondcn  vcr- 
fchillen.  De  hcltc  van  de  lommc  fal  de  logarithmus  fijn  vandc  halve  begeerde  hoeck. 

I   -  hujiis  logar.i's  eft  compl.  arithm.  logar.  finus  c 

lof^ar  "^   '  V 

nume-       j'''"J"^  logar."''  ell  compl.  arithm.  logar.  linus  d 

rorum    /  ^ 

1  ^ 

fit        T 

,  rrab 

logar.us 

numeri 

§  2.  [Demonllratio].  ESP  [Fig.  92]  is  de  gcgevene  drichocck.  SEP  de  begeerde 
hoeck.  Necrat  EC  ao  ES.  En  PY  oo  PS.  XW  Vnijde  CY  in  2  gelijckc.  Soo  is  EW 

de  halve  fomrae  der  3  fijden.  en 
CW  is  het  verfchil  tufTchen  ES  en 
defe  halve  fomme.  en  PW  het  ver- 
fchil tufTchen  EP  en  het  felvige. 

Sij  CI  en  PV  perpend.  op  EX; 
Soo  fijn  dit  de  finus  der  boghen 
ES  of  EC  en  PE.  CK  is  linus  van 
CW.  En  YQ  rcchthoekigh  door 
XP  treckende,  die  CI  fnijdt  in  Z, 
foo  is  PQ  30  PY.  En  dan  QC  trec- 
kende; en,  door  het  midden  der 
felve,  XOA,  foo  is  AC  x>  AQ,  en 
bij  gevolg  AP  co  iCY,  of  CW,  en 
CA  00  WP.  En  dsrom  CO  finus 
vanPW,hetandcr  verfchil.  Treckt 
SZ.  Als  mede   DG  perpend.  op 


[Fig.  92] 


vrai  que  les  p.  295 — 296  constituent  aussi  une  feuille  détachée  (non  collée  et  du  format  du 
Manuscrit). 
')  Chez  Vlacq  (éd.  de  1665,  voir  la  note  5  de  la  p.  456):  „Addeert  de  drie  sijden  te  samen,  en 
treckt  elcke  syde  aen  de  bekende  hoeck  vandehelfthaerdersomme,  omhetverschilderselfden 
te  hebben".  Etc. 


')  Pour  trouver  la  formule 


V'^- 


voir  la  suite  du  texte  —  et  non  pas 


'V'rr 


1  faudrait 


lire  „gemultipliceert"  au  lieu  de  „gedeelt". 
*)  Huygens  semble  donc  ne  pas  avoir  consulté  —  nous  l'avons  déjà  dit  dans  l'Avertissement  — 
la  „Mirifici  Logarithmorum  Canonis  descriptio"  de  1614  de  iXeper. 


460  MATHKMATICA  VARIA  1681  — 1695. 

XH.  EN  XINI  perp.  op  DU  en  ININ  parai.  DG.  Treckt  voorts  CF  parall.  met  PX, 
en  IF  parall.  mec  QY:  Ibo  is  de  A  CFI  gelijctbnnigh  xn  PXV,  als  lichc  is  te  ficn. 
Dxrom  XP  tôt  PV  als  IC  tôt  CF.  Dat  is  de  radius  tôt  fimis  dcr  fijdc  EP  als  de  finus 
der  fijde  ES  of  EC  tôt  een  vicrde  linie  CF.  Soo  moet  dan  voorts  heweCen  werden 
dat  CF  is  tôt  CK  als  CO  tôt  UN,  halve  pijl  in  den  hoeck  HXD  of  PES.  En  marge: 
pijl  ipfi')  e(l  iînus  verfus. 

^  Voorts  dewijl  ZT,  IF  parall.  fijn,  foo  is  CF  tôt  CT  als  CI  tôt  CZ.  Mœr  HX  is  tôt 
I IG  als  CI  tôt  CZ.  volgens  't  gcene  hier  na;  bewefen  fal  werden. 

Dîerom  CF  tôt  CT  als  I IX  tôt  HG. 

Voorts  dewijl  dcn  boogh  AC  de  helft  is  van  QAC,  dœrom  is  den  hoeck  AXC  oo 
QYC.  dat  is  OXC  oo  TYC.  IVfer  de  hoecken  in  CTY  fijn  recht.  dsrom  de  A'=" 
COX,  CTY  gelijckformigh.  En  bij  gevolg  CT  tôt  CY  als  CO  tôt  CX.  Ma;r  wij 
haddcn  te  vooren  CF  tôt  CT  als  HX  of  CX  tôt  I  IG,  dîerom  CF  tôt  CY  als  CO  tôt 
HG.  of  CF  tôt  CK  als  CO  tôt  HN.  't  wclck  moeil:  bewefen  werden. 

Dewijl  nu  die  hoeck  XIMH  recht  is,  als  oock  MNH,  foo  is  MH  finus  van  den 
halven  hoeck  MXD  of  PES,  middelproportioncel  tuffchcn  Nil  en  dcn  radius  I IX. 
En  dairom  HX  met  HN  gemultipliceert  fal  de  wortel  van  't  produd  geven  HM. 
't  welck  noch  ovcrigh  was  te  bewijfen. 

'T  geene  gefcght  is  dat  HX  is  tôt  HG  als  CI  tôt  CZ,  werd  aldus  bewefen.  Dewijl 
PS  00  PY,  foo  is  den  boogh  SY  in  het  vlack  't  welck  de  fphxra  fnijdt  en  recht- 
hoeckigh  is  op  PX.  in  't  welck  oock  YZQ  fijnde,  foo  is  oock  SZ  in  't  felve  vlack: 
INfer  dit  vlack  is  rechthoekigh  op  EHX,  en  foo  is  oock  het  vlack  ISC.  Dîerom  de 
gemeene  fnee  SZ  der  vlacken  ISC  en  YZS,  fal  rechthoeckigh  fijn  ophet  vlack  El  IX, 
en  oock  SZ  perpend.  op  IC.  en  da;rom  parallel  met  DG.  Soo  is  dan  DX  of  HX  tôt 
XG  als  SI  of  CI  tôt  IZ.  En  HX  tôt  HG  gelijck  CI  tôt  CZ,  't  welck  bethoont  moeft 
werden. 


§  3.  Datis  trianguli  plani  [Fig.  93]  tribus  lateribus  invenire  angulum  quemlibet. 

c  +  d+e   )                  c  +  d  +  e  )  .. 

'  s.  — >  s.        r  XI  radius 


2  )  2 

c  d 


d+e  —  c  c  +  e  —  d        , 


Régula  ex  Vlackij  tabulis'^)  c a l;! 


ab 
c 
ab  Irab 
c  I  de 


■■')  Vlacq,  pensons-nous. 

"}  Les  deux  équations  qui  suivent  correspondent  en  effet  à  une  des  deux  régies  données  par  Vlacq. 


DÉMONSTRATIONS  DE  THÉORÈMES   TRIGONOMÉTRIQUES.  461 


^^  finus  dimidij  aniriili  N.  Rrgo  hic  in  triangulis  planis  cadem  cil  rcgula  qux 


V 

in  fphaTicis,  nili  quod  in  liis  (iniis  latcrum  et  diiTcrcntiarum  lateriimadhibcntur,  ciim 
in  illis  latcra  ipfa  et  difTcrcntiiv  adliihcantiir.  utrobiqiie  adduntur  primiim  tria  latcra, 
et  a  fumma;  dimidio  aufcriintur  (ingiila  latcra  angukim  qiia;l!tum  comprchcndcntià 
ut  fiant  differcntia.'  dua;. 


m. 

QUESTION  SE  RAPPORTANT  AU  TRAITÉ 
,VAN  REKENINGH  IN  SPELEN  VAN  GELUCK". 

[1688] 
Voyez  les  p.  1 69 — 179  du  T.  XIV. 


IV. 

Examen  Curvce  lima;  quant  Carte fms  reguhc  et  fili  dti&u  dcfcribere  docef^  an  fit 
caâem  atque  Ovalitim  ipliin prima  ').  Vid.  pag.  54  in  l'Aiiciono  Ccimi.-^'  i^5y'). 

Sept.  1690 


8  Sept.  1690.  Curva  AB  [Fig.  94,  où  AG  =  ^,  AF  =  A,  Ail  =  r,  HA  =  w,  NG  =  n, 
FN  =  0,  NO  =  A-,  AE  =  e\,  AB  =  élément  de  la  courbe;  AC,  AD,  AE  =  projections  orthogonales 
de  AB  refpeaivement  fur  AH,  AF  et  le  prolongement  de  GA]  ejus  natiirae  Ut  fi  ad  punéltum  in 


[Fig.  94] 


^^  U 


T"- 


ipfa  A  ducantur  a  datis  punftis  G,  H,  F  reftse,  itemqueadpunéhimejusB,proximum 
A,  in  partes  F;  quantum  FB  minor  ell  quam  FA,  tantundem  GB  cum  dupla  BH  llnt 
breviores  quam  GA  cum  dupla  Ail.  llœc  efl  curva  Cartesij  pcr  rcgulam  et  filum 
defcripta  quam  dicit  elTe  eandcm  cum  prima  ovali  fua.  Quod  liic  examinatur,  et  verum 
eft.  Sed  non  video  unde  hanc  defcriptionem  invenerit. 


Invenitur  tangens  curvîe  quam  Cartesius  defcribit  motu  régula;  et  fili  pag.  54  in 
editione  1659  ^). 


')  Manuscrit  G,  f.  55r — 56  v  [p.  9 — 1 1  suivant  la  numération  de  Huygens]. 

")  Il  s'agit  du  Recueil  bien  connu  de  F.  van  Schooten,  contenant  „La  Géométrie"  de  1637  de 

Descartes,  etc.  Dans  l'édition  de  1683  la  premi^^re  ovale  de  Descartes  figure  également  à  la  p.  54. 

C'est  dans  le  Livre  Second  de  „La  Géométrie"  que  Descartes  traite  de  ses  ovales. 


464  MATHEMATICA  VARIA  1  68  I  —  I  695. 

Cette  conftruélion  par  règle  et  corde  de  Defcartes  s'applique,  comme  il  le  dit,  au  cas  où  l'on  a 
[Kig.  94]  FK  =  KG. 

AD  30  2  AC  —  AE.  Hic  eft  idem 
quod  in  libro  F  I IV  co  2  1 IX  —  HD  3). 
AO  perpend.  tangenti  AB.  NO  définit  cangentem. 
HV  2  HX         1 ID 

aoe  +  axe        lame  +  laxe 
hn  —  hx  en  —  ex 

La  preuve  des  équations 

ae(o-\-x)        .^        AG.FO 
AD  =   ,;  (  ou  AD  =  „^  „■  e 

b(n  —  X)  OG.  FA 

.„       ae(m-\-x)        .^       AG.HO 

et  AC  =  — -r V  o"  AC  =  „„  .,  ■  e 

<:(« — X)  OG.HA 

fe  trouve  à  la  p.  275  du  Manufcrit  F  3);  voyez,  aux  p.  49- — 500  qui  fuivenr,  les  §§  11,  13  et 
16  de  la  Pièce  I  des  „Problémes  et  méthodes  modernes". 

ao  +  ax       lam  +  -xax 

\ 30 n-^x 


cao  —  lahm  +  hcn  x  labx  +  hcx  —  cax 
cao  —  2  abm  +  bcn 


2ab  +  bc  —  ca 


DO  X  00  NO. 


FZ  ZG 

0+   n    00    FG  |o — 2f«  —  i« — j — |«+2;«  —  |o 3 — , —  2 

io  +  i«    00    FK  hic  pono  proportioncm  refradtionis  ut  3  ad  2. 

ex  hypoth.   Cartefii  D'après  Defcartes  le  point  Z  eft  déterminé  par  la  relation 

("c.à.d.  FK  =  KG, corn-  HZ  =  KH;  et  FZ:  ZG  efl  la  „proportio  refractionis". 
me  nous  l'avons  dit  plus 
haut) 

0  —  m    30    FH 

oj-n  FK 


m KH 


20  —  2w;  —  0  —  «  KZ  1 

0  +  fi  p.r  I  ad.  30  —  4»;  —  n  zo  %n  +  6m  —  |o 

2  ' 

§0 —  y«  00  10»; 


3)  Ceci  se  rapporte  ii  une  figure  de  la  p.  275  du  Manuscrit  F(notreFig.  105  de  la  p.  497  qui  suit). 
On  voit  que  HV  de  la  Fig.  105  est  identique  avec  AD  de  la  Fig.  94,  etc. 


EXAMEN  CURVVE  UNE*,  ETC.  465 


,  I  17-7  90  —  I  I« 

20 
ex       0  +  fi  F'G  |o  +  |«  FZ  refticuto  valore  m. 

In  +  2?»  —  |q      ZG  f  «  +  f  0  X»  ZG  refticuco  valore  m. 


Invcnitur  tangcns  Ovalis  prima}  Cartesij  ex  noftra  mctliodo.  Il  s'agit  de  la  „Mcthode 
des  tangentes . . .  pour  les  courbes  donniîes  en  coordonné'es  bipolaires  etc."  dont  traite  la  PiOce  I 
à  la  p.  4pi  qui  fuit. 

a  -]r  ^b  zo  a  +  e  +  U 

•*        '^bn  —  3^x 

puifque  d'après  la  premic^rc  conftruaion  de  Defcartes,  comme  Huygens  le  dira  plus  loin,  on 
a  :  <>  +  -^  =  court,  r  l'indice  de  réfradion  étant  |  J;  ceci  ell  d'ailleurs  vrai  pour  la  première  ovale 
même  lorfqu'on  n'a  pas  FK  =  KG. 

3^«  —  3^x  —  lao  —  'xax  oo  o 

•xbn  —  ^ao  cao  —  labm  +  bcn 

^ ; — j—  00  :»:  00 T~T—i — ^  X  pay;.  prxccd. 

ia  +  y?  lab  +  bc  —  ca  r  o  r 

,,.  90  —  1 1«  'ibn  —  2ao       cao  —  ^^abo  +  kh^bti  +  bcn 

relut  lie  ;/;  oo  ^ — ^ —  do  ^-^ -^^ ■ 

20         ia  +  34'  lab  +  bc  —  ca 

6abbn  —  ^.aabo  +  '^bbcn  —  2aobc  —  3Z';7(7t-  +  aaaco  oo  naaco  —  ^aabo  -\- 
^jaabn  +  labcn  +  '^bcao  —  '^^abbo  +  ^^abbn  +  "^bbcn 

,       ,   ,        ^labbn  +  ^labbo  —  ^-^aabo  —  ^~aabn  oo  ^bcao  +  ^bcan 

pevbao  +  ban   ^^ ^-^^ ^, r-r ^ 2 L_2 

^  ^Ib  —'j'azo  5c 

^b-flazoc 

(Si  (2  00  ^,  ut  fit  cum  punftum  ciirvœ  fiimitur  in  K,  fiet  HK  c  00  /g  five  yg  KF 
vel  KG,  quod  ita  ert.) 

Nota  quod  certa  pars  AF  minus  ccrta  parce  AG  a^quatur  Al  I  ■*). 


*)  Comparez  Gino  Loria,  „Spezielle  algebraische  und  transsceiidente  ebeneKurven, Théorie und 
Gescliiclite"  (Deutsche  Ausgabe  von  Fr.  Schùtte,  Leipzig, Teubner,  I902;p.  163, appartenant 
au  III.  Abschnitt  „Kurven  vierter  Ordnung",  Cap.  IX  „Die  Cartesischen  Ovale"};  „  . . .  dass 
das  Cartesische  Oval  zu  derjenigen  Kategorie  von  Kurven  gehôrt,  die  gebildet  wird  von  den 
Oertern  der  Punkte,  deren  Abstande  von  ;;  festen  Polen,  multipliziert  mit  beliebigen  Kon- 
stanten,  eine  konstante  Summe  geben". 

59 


466  MATHEMATICA  VARIA  1 68  I  — 1695. 

Quod  fl  hîec  Ovalis  cft  eadem  quam  regiila  etfilodefcribit  Cartefius,etiamtangens 
ucriufque  facit  x^quale  intervallum  NO  ieu  .v.  Hoc  vero  ut  fîat,  oportet  elfe  i^b  — 

iia  00  c  in  curva  ifta  filari.  Sed  in  ca  efl  c  oo 1 fecundumpropriecatem 

2  2. 

à  Cartefio  fuppofitani,  uc  facile  apparet. 

(rt  +  ar  4-  //  —  b  zo  d  datje  —  il  eft  la  longueur  du  fil  —  fecundum  Cartefium. 

Sedet/î  —  LF  dans  la  Fii;.  94  —  e(t  data.  Ergo eltdatalinea.f  oo 1 ) 

2  1  1    I 

Ergo  in  hac  curva  filari  erit 

unde  fit  a  -\-  ^b  zo  — ^^^—        quœ  eil:  linea  data.  Quse  eft 

proprietas  primje  Ovalis  Cartesij  fecundum  noftram  conftruftionem.  Atque  ita  patet 
hanc  curvam  proprietate  eadem  gaudere  qua  Cartesij  Ovalis  prima.  Sed  et  prorfus 
eandem  elTe  fie  ofiendetur. 

In  Curva  Cartesij,  d^  five  fumma  LA  +  -AH  +  AG,  tantundem  fuperat  h  five 
LF,  quantum  2 AH  +  AG  fuperat  AF,  quia  LF  efl:  LA  +  AF.  Atqui  rt?  —  h  femper 
ell  eadem  longitude,  etiam  cum  pro  punfto  curvîe  A  fumitur  K.  Ergo  -^  —  h  co  2HK 
+  KG  —  KF.  Sed  KG  oo  KF,  ergo  d  —  //  oo  2HK  five  KZ.  Sed  in  Ovali  Cartesij 
prima  fit  femper  a  -\-  ^b  zc  GK  +  |KF,  hoc  efl  30  |KF,  (quia  KG  co  KF).  Ergo 

quia  invenimus  in  Curva  filari  efTe  a  +  ^b  zo    "^         "     ,  hoc  efl  -J  KZ,  oportet 

3 
jam,  fi  hfec  curva  efl  eadem  cum  illa  Ovali,  ut  |KF  fit  00  -f  KZ,  hoc  eil  KZ  zc  jKF, 

quod  ita  efl;  nam  FZ  ad  ZG  ut  3  ad  2  ex  confiruélione  Cartesij;  unde  FG  ad  GZ  ut 

5  ad  2,  et  KG  ad  GZ  [ut]  5  ad  4.  Et  KG  feu  KF  ad  KZ  ut  5  ad  i . 


V. 


SURFACE  OBTENUE  PAR   LA  REVOLUTION  DE  LA  PARABOLE 
AUTOUR  D'UNE  TANGENTE  AU  S0MMF:T. 


Janvier  1691 


I  Jan.  1691.  Qusriciir  ')  fupcrfîcics  ex  revolucione  parabols  AC  circa  AU,  item 
circa  BC  [Fig.  95]. 

BD  00  l^rx  +  ^rr       hic  AB  oo  x 
[F'g-95]  BC        CH  BD 

l/^rx—^—x \y rx  +  y-r 


BL 

-y 


rxyy  cxj  rx^  +  ^rrxx 
y  00  \y XX  +  ^rx      hyp.  a-quil. 

AC  parabola,  diain.  AB,  vertex  A,  cangens  in 
vercice  AH.  latus  reftum  X)  r.  Eric  fupcrfîcics  ex 
convcrfione  AC  linca?  parabolicœ  circa  axcm  AI  I, 
adfupcrficicmcylindricamcx  converlîonc  CB  circa 
eiindem  axcm,  five  ad  fuperficiem  cylindricam  ex 
convcrfione  I IC  circa  axcm  AB,  ut  fcmihyper- 
bola;  ipatium  ALB  ad  rcftangulum  HB. 

Eli  aucem  hyperbola;  vertex  A.  latus  cranfver- 
fum  AF  00  \r,  itemque  latus  reéhim.  Nam  pofita 

BD  30  Kr.r  +  |rr,  et  defcripta  parabola  FXD  cujus  latus  rechnn  erat  itidem  r; 
erit  portio  AXDB  ad  Q^  MB  ut  fuperficies  parabolica  conoidis  ACB  ad  fuperficiem 
cylindricam  ex  convcrfione  I  IC  circa  AB,  ut  notum,  quia  ncmpc  reclangulum  ex  par- 
ticula  qualibet  parabolse,  ut  PP  ducla  in  OT  diftantiam  fuam  ab  AB,  jequatur  reftan- 
gulo  ex  refpondente  particula  QQ  parallela  xA.B  ducla  in  diilantiam  ST.  Sed  hoc 
reftangulum  ex  QQ  in  ST  cH:  ad  rectangulum  ex  refpondente  bb  particula  recte  HC 
in  bT,  ut  ST  ad  diftantiam  bT.  Ergo  et  □  ex  PP  in  OT  eft  ad  □  ex  bb  in  bT  ut 


D  C 


')  Manuscrit  G  f.  -^  v  (p.  5-  siiivaiu  la  numération  de  Huygens). 


468  MATHEMATICA  VARIA   1 68  I 1695. 

ST  ad  bT.  Scd  ut  □  ex  PP  in  OT  ad  CD  ex  bb  in  bT  ita  eft  fiiperficies  ex  PP  circa 
AB  ad  riipcrficicm  ex  bb  ciirva  AB.  Ergoilla  fiiperficies  ex  PP  circa  AB  ad  hanc  ex 
bb  circa  AB  uc  ST  ad  bT.  Atque  ita  tota  fiiperficies  ex  AOC  circa  AB  ad  fuperficiem 
ex  HC  circa  candem  AB  ut  portio  AXDB  ad  rcftangulum  IIB. 

Porro  quia  fuperficies  ex  PP  circa  AB  crt  ad  fuperficiem  ex  eadem  PP  circa  AH  ut 
OT  dillantia  ad  diftantiam  OE,  iiat  ut  OT  ad  OE  ita  ST  ad  IT,  erit  quoque  ST  ad 
IT  ut  i'iipcrficics  ex  PP  circa  AB  ad  fuperficiem  ex  eadem  PP  circa  AH.  Atqui  erat 
bT  ad  ST  ut  fuperficies  ex  bb  circa  AB  ad  fuperficiem  ex  PP  circa  AB.  Ergo  ex  œquo 
erit  bT  ad  IT  ut  fuperficies  ex  bb  circa  AB  ad  fuperficiem  ex  PP  circa  AH.  Ideoque 
omnes  bT,  hoc  eil  \Z3  HB  ^d  omnes  IT,  hoc  efl:  ad  fpatium  hyperbolicum  ALB,  ut 
omnes  fuperficies  ex  bb  circa  AB,  ad  omnes  fuperficies  ex  PP  circa  AH.  hoc  efl:  ut 
fuperficies  cylindrica  ex  HC  circa  AB,  vel  ex  HA  circa  CB,  ad  fuperficiem  ex  AC 
curva  circa  AH.  Efl:  autem  I  punftum  ad  hyperbolam  defcriptam,  ficut  et  L,  ut  patet 
ex  îequatione  fuperiori. 

Poterit  autem  et  fuperficies  ex  parabolica  AC  circa  BC  inveniri,  pofita  quadratura 
hyperbola;.  Datur  enim,  hac  pofità  quadratura,  longitude  parabolicîe  AC  ^).  Et  datur 
fuperficies  ex  AC  circa  AB.  Ergo  dabitur  centri  gravitatiscurvje  ACdiftantiaab  AB. 
Cumque  etiam  detur  fuperficies  ex  AC  circa  AH,  erit  ut  fuperficies  ex  AC  circa  AB 
ad  fuperficiem  ex  AC  circa  AH,  ita  difta  diflantia  centri  gravitatis  ad  diflantiam  centri 
gravitatis  ejufdem  ab  refta  AH.  Ergo  datur  quoque  ha^c  diflantia  centri  gravitatis  ab 
AH,  quare  et  a  BC.  Sicut  autem  diflantia  ejus  ab  AB  ad  diibntiam  ab  BC  ita  erit 
fuperficies  ex  AC  circa  AB  ad  fuperficiem  ex  AC  circa  BC.  quare  et  hœc  dabitur. 


')  Voyez  la  p.  553  du  T.  XIV  sur  la  „Réduftion  de  la  reflification  de  la  parabole  à  la  quadrature 
de  l'hyperbole  et  réciproquement." 


VI. 

DÉVELOPPÉE  DU  „FOLIUM  CARTESII". 

[1691] 

Voyez  les  p.  406 — 409  du  T.  XVIII. 


VIL 

SOLIDE  DE  RÉVOLUTION  OBTENU  PAR  LA  ROTATION 
DE  LA  CYCLOÏDE  AUTOUR  DE  SON  AXE. 

[1691] 

Voyez  les  p.  377 — 378  du  T.  XIV. 


Vlll  '). 

CALCUL  DE  LOGARITHMES  EN  PARTANT 
DE  LA  CONSIDÉRATION  DE  L'HYPERBOLE  EQUILATÈRE. 

[1691] 


NG  hypcrbola  afymptotis  DA,  DC  [Fig.  96].  quadratum  ejus  ND. 
Ad  invenicndum  logarithraum  rationis  NE  ad  GC  live  CD  ad  DE,  fccetur  EC 
bifariam  in  B,  et  formetur  fradtio  cujus  rmmeracor  ad  denominatorem  ut  EB  ad  BD. 


[Fig.  <)6-] 


ji  Js  ^7 
quaifraftio  vocetur^.  Eritiam^H 1 —   A &c  bis 

3  5  7 
fumptum  ad  i ,  ut  fpat.  NGCE  ad  qu.  AE.  hoc  ell  ut  loga- 

rithmus  hyperbolicus  rationis  NE  ad  GC,  feu  rationis  CD 

ad  DE  ad  i  0- 

Fraftio autcm rt' commode  talis accipiecurad  inveniendos 

logarithmes  ut  lit  EB  ad  BD  lîcut  unitas  ad  numcrum.  velut 

li  inveniendus  fit  logarithmus  rationis  2  ad  1 .  hoc  cil  logar. 

2,  erit  CD  ad  DE  ut  2  ad  i,  unde  EB  ad  BD  ut  i  ad  3,  et 

d  fraftio  erit  ^.  Unde  Hb.  G  pag.  46  3)  inventus  eit  logar  2. 

Invento  autem  log.^  2,  habebitur  log.  3,  fi  inveniatur  log.  |  nam  addito  timc  log.°  8 

qui  notus  efl  ex  log.°  2.  habebitur  log.  9  cujus  dimidium  eit  log.  3. 


13 


Sit  jam  ergo  NE  ad  GC,  feu  CD  ad  DE  ut  9  ad  8  [Fig.  97]. 
Eritque  bifeftà  EC  in  B,  ratio  EB  ad  BD  quîe  i  ad  17,  et  fracfHo 
d  00  y  ^,  per  quam  itaque  habebitur  log.  3.  Hinc  porro  ad  log.  5 
progrediemur,  quœrendo  logar.  §|,  nam  ad  hune  addendo  log. 
24  qui  ex  log.'*  2  et  3  cognofcitur,  (quia  24  fit  ex  2.2.2.3)  habe- 
bitur log.  25,  cujus  dimidium  efl:  log.  5. 

Itaque  hic  ponendo  CD  ad  DE  ut  25  ad  24,  fit  EB  ad  BC  ut 
I  ad  49;  unde  d  oo  ^^■^. 


[Fig-  97] 


2) 


(BC 


')  Manuscrit  H,  p.  2—3  (numération  de  Huygens).  Les  dates  i  Oft.  1691  et  19  Dec.  1691  se 
trouvent  respeftivement  aux  p.  1 53  du  Manuscrit  G  et  8  du  Manuscrit  H. 

^)  Voyez  l'endroit,  datant  également  de  1691,  du  T.  X  que  nous  citons  dans  la  note  suivante; 
nous  y  renvoyons  le  lecteur  aussi  à  la  Pièce  II  de  1691  de  la  p.  27  du  T.  X. 


472  MATHEMATICA  VARIA  I  68  I  — 1695. 

Sic  porro  ad  log.  -  pergemus  qujerendo  log.  |g,  cui  addito  log.°  48  (qui  nofcitur 
ex  log.'*  2  et  3)  ficc  log.  49  cujus  dimidium  eil  log.  7.  Et  lie  ponendo  CD  ad  DE  ut 
49  ad  48  fit  EB  ad  BD  ut  1  ad  97,  et  hinc  fraftio  d  00  -^j. 

Denique  ita  iemper  a  minoribus  ad  majores  numéros  primos  procedendo,  invenien- 
tur  eorum  logar.'  ex  logarichmo  fraftionis  cujus  numerator  efl:  quadratus  numeri  Primi 
propofiti.  et  denominator  tantum  unitate  minor,  et  fraftio  d  fiet  unitas  divifa  per 
duplum  illius  denominatoris.  Cujus  quidem  denominatoris  logarithmus  femper  dabitur 
ex  logarithmis  prscedentium  numerorum  Primorum  jam  inventis.  Imo  ex  ijs  tantum 
qui  numeri  Primi  pro[po]fiti  atque  unitate  aufti  dimidium  non  excedunt. 

Sic  numeri  13  logarithmus  invenietur  ex  fraftione  l^f,  et  fraftio  //erit  ^^^.  Et 

I  'X  "A-  I 
denominatoris  1 68  logarithmus  dabitur  ex  logar.'*  2.3  et  7.  qui  numerus  7  eft— ^ , 

nec  major  aliquis  compofitionem  ingredietur. 

Ratio  efl:  quia  fi  numerus  Primus  cujus  noviflimè  logarithmus  quœritur  dicatur  ^, 
fit  ejus  quadratura  unitate  multatum  aa  —  i ,  denominator  nempe  fraftionis  cujus 
logarithmum  ex  jam  inventis  dari  diximus.  Qui  itaque  denominator  divifibilis  efl:  per 
a  -\-  i  Qt  per  a  —  i .  qui  uterque  efl:  numerus  par  ideoque  per  2  dividitur,  quxcunque 
igitur  pars  aliquota  fuerit  difti  denominatoris  aa  —  i ,  eam  oportet  partem  aliquotam 

efle  numeri vel ,  ac  proinde  non  major  faltem  potefl:  efTe  quam  ipfe  nu- 

menis ,  hoc  efl  quam  numerus  primus  de  quo  agitur  unitate  auftus  ac  per  2 

diviflis,  quod  erat  ollendendum. 

Taies  quidem  fomiando  fradiones  d^  compendio  obtinebimus  logarithmes  nume- 
rorum Primorum.  Si  vero  qujeras  an  nunquam  majori  quoque  brevitate  uti  liceat, 
dicam  aliquando  licere.  velut  cum  log.  7  ex  fracftionis  |g  logar.°  invenimus:  potuit 
idem  log.  7  elici  non  tantum  ex  log.°  fraftionis  ||;  unde  fraftio  fit  ^-^-^  fedetexlog.° 
fraélionis  ^^^  unde  fit  fraétio  d  oo  yi^.  Nam  dato  log.°  |g,  quia  ctiam  log.  50  datur 
ex  log.'*  1  et  5,  dabitur  et  log.  49  cujus  dimidium  efl  log.  7.  Nempe  ablog.°5oaufe- 
rendo  log.  ||,  fiet  log.  5o|g,  hoc  est  log.  49.  Item  dato  log.°  ^f  dabitur  quoque  log. 
63,  auferendo  ablog.°  64,  log.  ^^.  Datur  autem  log.  64,  ex  invente  log.  2.  Et  ex  log. 
63  auferendo  log.  9,  qui  datur  ex  invente  prius  log.°  3,  remanebit  log.  7  qujefitus. 
Et  in  univerfum  quidem  quando  propofiti  numeri  Primi  poteftas  aliqua  pra;ter  qua- 
dratum  vel  poteflatis  ipfius  multiplex  aliquis  (per  iplb  majorem,  fed  omnes  partes 


5)  Huygens  a  noté  sur  la  p.  2  du  Manuscrit  H:  Ex  libro  G.  pag.  46.  Il  s'agit  dans  cette  remar- 
que de  la  Pièce  que  nous  avons  reproduite  aux  p.  45 — 47  du  T.  X.  Voyez  aussi  la  note  13  de 
la  p.  535  du  T.  IX,  où  nous  avons  exposé  en  quoi  la  série  quadratice  de  Huygens  diffère  d'une 
série  fort  semblable,  et  pourtant  tout  autre,  de  Leibniz. 


CALCUL  DE  LOGARITHMES,  ETC.  473 

aliqiiotas  ipfo  codem  numéro  Primo  minores  habentem)  demtâ  vel  additd  unitate 
tacic  numerum  cujiis  llngula."  partes  aliquota;  ipfo  numéro  Primo  minores  func  (iicut 
accidit  cum  7  multiplicatur  per  9)  fonnabitur  fradio  utilior  quam  ex  régula  pracc- 
dence:  cujus  fraéHonis  numerator  et  denominator  erunt  multiplex  ille  et  idem  +  vel 
—  I.  Scd  raro  aut  ccrtc  non  tacilè  talis  multiplex  invenitur.  Aliquando  veroinvenire 
impolTibile  efl:.  ut  (î  qua;ram  ad  inveniendum  log.  3  alium  ejus  multiplicem,  praetcr 
quudntum  ejus  y,  qui  utilius  adhibeatur,  fruflra  qux'ram.  Ilic  enim  multiplicans  nu- 
merum 3.  vel  poteftatem  ejus  deberet  efTe  aliqua  poteltas  numeri  2.  quia  nullus  alius 
eltnumerus  cujus  quolibet  pars  aliquota  fit  minor  3.  Atqui  poteiks  numeri  2  multi- 
plicans 3,  vel  potertatem  ejus,  producit  numerum  parem,qui  velaudusveldiminutus 
unitate  relinquit  imparem,  qui  non  potell  haberc  quamlibct  partium  aliquotarum 
minorera  3,  hoc  ell,  qui  non  potell  cffe  potcftas  aliqua  numeri  2.  Sed  ibrlan  potellas 
aliqua  numeri  3  (praetcr  quadratum)  auéta  velmultataunitate,facitpoteflatemaliquara 
numeri  2.  quo  cafu  quoque  utiliorem  fraftionem  dari  diximus. 


60 


IX  ■^. 

CYCLOÏDE  ET  CISSOÏDE;  SOLIDES  DE  RÉVOLUTION 
ET  CENTRES  DE  GRAVITÉ. 

[1691  OU  1692] 

En  marge:  Hœc  pendent  e  Theoremate  pag.  14  pofteriore  ^). 
ABCD  Semicyclois  [Fig.  98]  3).  FH  tangens.  FK  pareil.  DC.  HK  parall.  DA.  K 
ell  punftum  in  curva  CKQ.  Erit  fpatium  CFK  oo  CFG  +). 


[Fig.  98] 


^c  H 


Sit  DRS  CilToides,  ad  afympt.  AT.  applicata  NO,  (poiita  KFENO  linea  refta) 
cric  cequalis  ML  live  GM,  hoc  efl:  FK.  unde  fpac.  DNO  x>  CFK  feu  CFG.  idque 


")  Manuscrit  H,  p.  9  r  (p.  17  suivant  la  numération  de  Huygens),  Les  p.  8  et  55(Huygens)  por- 
tent respeftivement  les  dates  19  Dec.  1691  et  17  Apr.  1692. 

^)  Il  s'agit  ici  de  la  Pièce  de  «décembre  1 691  "(voyez  cependant  sur  cette  date  la  note  précédente) 
que  nous  avons  publiée  comme  Appendice  à  une  lettre  de  Huygens  au  Marquis  de  l'Hospital  à 
la  p.  309  du  T.  X.  Consultez  sur  les  notations  z.  /  etc.  de  cette  Pièce  la  suite  du  présent  Tome 
(p.  511  etc.). 


CYCLOÏDE  ET  CISSOÏDE,  ETC.  475 


ubique.  Nempe  et  fpat.  SVD  ao  BCF.  Et  totum  fpatium  CilToidis  infinitum  oo 
Cycloidi  dimidia;  ACD. 

Item  folidiim  ex  fpatio  infinito  CilToidis  circa  axem  DX  squale  folido  ex  (patio 
Cycloidis  ACD  circa  axem  DC. 

Sed  fpatij  Cycloidis  ACD  centrum  gravitatis  diftat  abDC  /^  AD  «).  Ergo  fpatij 
infiniti  DSTA  centrum  gravitatis  didat  i§  feu  ^  AD  ab  DC.  feu  ^  AD  ab  AT.  quod 
et  aliunde  apparct  quia  AN  in  NO  xi  DN  in  NE.  ideoque  femicirculus  DEA  circa 
DM  vel  AT  revolutus  facit  foliduin  a;quale  folido  CilToidis  infinito  circa  AT.  unde 
radius  DZ  in  femicirculum  AED  duftus  squale  folidum  facit  ac  fpatium  infinitum 
DSTA  in  dillantiam  centri  gravitatis  fux  ab  AT.  Eft  autem  fpatium  iftud  triplum 
femicirculi.  I'>go  difta  dillantia  centri  gravitatis  erit  ^  radij  ZD. 


3)  La  présente  Pièce  se  rattache  aussi  plus  ou  moins  à  celle  de  septembre  1 691 ,  tirée  de  la  f.  1 26  r 
du  Manuscrit  G  (on  trouve  les  dates  I  Sept.  1691  et  i  Oft.  169 1  respectivement  sur  les  p.  123  r 
et  127  v)  que  nous  avons  publiée,  comme  /\ppendice  à  des  pièces  antérieures,  aux  p.  377 — 378 
du  T.  XIV.  Nous  n'aurions  guère  pu  y  joindre  la  présente  Pièce:  les  recherches  de  Iluypens  de 
1658  et  1659  constituant  ces  „piêces  antérieures"  se  rapportaient  exclusivement  i\iyi  „proprié- 
tés  géométriques  de  la  cylo'idé'^  (voyez  la  p.  347  du  T.  XIV). 

■*)  Comparez  la  figure  et  le  texte  de  la  p.  309  du  T.  X,  déjà  citée  dans  la  note  2. 

5)  Dans  sa  lettre  du  1  janvier  1692  à  Leibniz  Huygens  lui  rappelle  (T.  X,  p.  224)  les  «profondes 
spéculations  de  Mr.  Pascal"  et  de  „Wallis"  »ur  „le  centre  de  gravité  de  la  demie  Cycloide". 


X. 

CALCUL  DU  RAYON  MINIMAL  DE  LA 
COURBE  LOGARITHMIQUE. 

[1692] 

Voyez  la  p.  333  du  T.  X  et  la  p.  410  du  T.  XVIII, 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


..-îirsasKSf' 


Avertiffement. 


Dans  cette  dernière  partie  mathématique  du  préfent  Tome,  on  voit  Huygens  aux 
prifes  avec  l'eiprit  moderne.  En  comparant  le  Traité  de  la  Lumière  avec  l'Horolof^ium 
ofcillatorium,  on  conllate  une  différence  de  forme  très  apparente,  d'abord  le  français 
au  lieu  du  latin,  en  lecond  lieu  la  continuité  de  rexpofition:  le  Traité  ne  confirte  plus 
en  une  férié  de  théorèmes  dont  beaucoup  prouvées  rigoureufement  d'après  la  mode 
antique.  Le  même  effort  pour  ne  pas  paraître  archaïque  paraît  aufli  ailleurs.  Ce  n'efl: 
pas  que  Huygens  foit  revenu  de  la  conviftion  qu'en  mathématique  les  dcnionllrations 
rigourcufes  font  les  feules  véritables:  il  exprime  encore  cette  conviction  en  1695  ') 
dans  une  des  dernières  pages  de  fon  dernier  manufcrit  I  (Pièce  VIII  qui  fuit);  mais 
il  a  conftaté  le  fuccès  indéniable  que  les  méthodes  moins  rigoureufement  logiques 
dont  d'autres  auteurs  fe  contentent  peuvent  avoir,  et  Leibniz  ne  fiit  fans  doute  pas 
le  feul  à  lui  confeiller  de  ne  pas  fobftiner  dans  le  formalisme:  „Vous  avés  déjà  acquis 
tant  de  gloire,  que  vous  vous  pouués  repofer  un  peu,  et  fi  vous  donniés  quelques  unes 
de  vos  belles  penfées  et  découvertes  toutes  pures,  quoyque  dénuées  de  ce  bel  appa- 
reil de  demonftrations  formelles,  mais  qui  gênent  trop  et  qui  font  perdre  trop  de 
temps  à  une  perfonne  comme  vous  elles,  je  croy  que  la  pollerité  ne  vous  feroit  que 
trop  obhgée"*).  Voyez  d'ailleurs  ce  que  Huygens  difait  lui-même  fur  ce  fujet  déjà 
en  16593). 


')  Ou  peut-être  vers  la  fin  de  1694. 

^)  Lettre  du  20  odobre  1679  (T.  VIII,  p.  237). 

^)  Note  31  de  la  p.  181  qui  précède. 


480  AVERTISSEMENT. 


Leibniz  recherchait  furtout  —  et  non  feulement  dans  le  domaine  des  mathéma- 
tiques —  les  notations  fimples,  celles  qui  conviennent  à  la  nature  des  problèmes  à 
réibudre.  Le  „nouveau  calcul . . .  offre  des  vérités  par  une  efpece  d'analyfe,  et  fans 
aucun  effort  d'imagination,  qui  fouvent  ne  reuffit  que  par  hazard,  et  il  nous  donne 
fur  Archimede  tous  les  avantages  que  Viete  et  Des  Cartes  nous  avoient  donnés  fur 
Apollonius" +).  Huygens  reconnaît  comme  „certainement  fort  beau"  que  le  nouveau 
calcul  offre  „comme  de  foy  mefme ...  des  veritcz  [qu'on  n'a]  pas  niefme  cherchées"'). 
Cependant,  n'étant  plus  jeune,  il  ne  réufllt  pas  à  acquérir  l'adreffe  néceffaire  dans  le 
maniement  des  nouveaux  fymboles,  dont  il  ne  fe  fert  d'ailleurs  pas  toujours  et  même 
plutôt  exceptionnellement  ''),  et  ce  n'eft  véritablement  qu'au  prix  de  grands  „efforts 
d'imagination"  qu'il  parvient  à  réfoudre  certaines  queilions  figurant  à  l'ordre  du  jour, 
e.a.  des  problèmes  pofés  dans  les  Adta  Eruditorum,  et  à  fe  maintenir  ainfi  plus  ou  moins 
au  premier  rang. 

Le  majeure  partie  des  calculs  qui  occupèrent  Huygens  (outre  fes  autres  recherches) 
dans  les  dernières  années  de  fa  vie,  furtout  depuis  1 690,  ont  été  publiées  par  nous, 
avec  les  commentaires  néceifaires,  dans  les  Tomes  IX  et  X,  derniers  Tomes  de  la 
Correfpondance.  Ces  calculs  fe  trouvent  d'abord  dans  les  lettres  elles-mêmes,  mais 
furtout  dans  nos  notes  et  Appendices.  Pour  que  ceux  de  nos  lefteurs  qui  pourraient 
fintéreffer  aux  manufcrits  foient  en  état  de  i"orienter  dans  ce  dédale,  nous  publions 
à  la  fin  de  ce  Tome,  panni  les  Tables,  —  ce  qui  n'a  pas  été  fait  antérieurement  — 
une  lifl:e  des  pages  des  Manufcrits  F,  G,  H  et  I  qui  ont  trouvé  leur  place  dans  les 
deux  Tomes  nommés.  Cette  lifte  fera  comprendre  l'impoffibilité  de  réimprimer  dans 
le  préfent  Tome  les  recherches  en  queftion.  Les  §§  i  et  2  de  la  Pièce  I  qui  fuit  ont 
en  vérité  été  réimprimés  ici,  pour  qu'on  puifte  voir  fans  peine  comment  les  §§  fuivants 
fy  rattachent.  Mais  pour  les  autres  confidéracions  et  calculs  publiés  dans  les  deux 
Tomes,  tels  que  ceux  qui  fe  rapportent  à  la  chaînette,  à  la  ligne  d'égale  defcente  ou 
à  la  traftrice,  nous  n'avons  pas  cru  devoir  les  mettre  de  nouveau  fous  les  yeux  des 
lefteurs,  fut-ce  dans  un  ordre  qui  pourrait  parfois  différer  de  celui  des  Tomes  IX  et  X. 

C'eft  aufii  dans  les  T.  IX  et  X  qu'ont  été  imprimés,  puifqu'elles  affeftent  la  forme 
de  lettres  à  l'éditeur,  les  articles  fuivants,  qui  ont  vu  le  jour  du  vivant  de  l'auteur-'): 


*)  Lettre  du  22  septembre  1691  (T.  X,  p.  157). 

S)  Lettre  à  Leibniz  du  i  septembre  1691  (T.  X,  p.  129). 

*)  „Toute  votre  méthode  ne  me  demeure  pas  présente  à  l'esprit  quand  j'ay  discontinué  longtemps 
à  m'y  exercer"  (Lettre  à  Leibniz  du  27  décembre  1694,  T.  X,  p.  698). 

<")  Nous  ne  tenons  pas  compte  dans  le  présent  Tome  de  ce  qui  se  rapporte  aux  voiles  ou  à  la  ma- 
nœuvre des  vaisseaux. 


AVERTISSEMENT.  48 1 


T.  IX,  p.  224,  No.  2489.Chr.Huygen.sa  l'auteur  des  Nouvelles  de  la  République 
des  Lettres,  8  Oftobre  1687.  Solution  du  Problème  propoic  par  M.  Lcibnitz  dans 
les  nouvelles  de  la  Republique  des  Lettres  du  Mois  de  Septembre  1 687.  —  Comparez 
la  Pièce  II  qui  fuit. 

T.  X,  p.  95,  No  268 1 .  Chr.  Muygcns  aux  éditeurs  des  Aéta  Eruditorum,  5  Mai 
1 69 1 ,  public  en  juin  1 69 1  fous  le  titre  „Chr.  1  lugcnii,  I )ynaft£  in  Zulcchem,  folutio 
cjufdem  problematis".  —  Comparez  la  Pièce  VI  qui  luit. 

T.  X,  p.  407,  No.  2793.  Chr.  Huygens  à  H.  Bafnage  de  Bcauval,  lettre  publiée 
dans  le  fafcicule  de  décembre  1 692  —  février  1 693,  au  Mois  de  Février,  dans  l'I  iis- 
toire  des  Ouvrages  des  Sçavans.  —  Comparez  les  Pièces  V  et  VI  qui  fuivent. 

T.X,p.5 1 2,No  2823. Chr.  Huygens  aux  éditeurs  des  Aé^a  Eruditorum,Scptembre 

1693,  publié  fous  le  titre  „C.H.Z.  de  problematc  Bcrnouliano  in  actis  Lipfienfibus 
hujus  anni  pag.  235  propofito." —  Comparez  la  Pièce  VII  qui  fuit. 

T,  X,  p.  673,  No  2875.  Chr.  Huygens  aux  éditeurs  des  Ada  Eruditorum,  Août 

1694,  publié  en  feptembre  de  la  même  année  fous  le  titre  „C.H.Z.  Conllruétio  uni- 
verfalis  Problematis  a  Clariffimo  viro,  Jo.  Bemoulio,  fuperiori  anno  menfe  Majo 
propofiti".  —  Comparez  la  Pièce  VII  qui  fuit. 


En  confidérant  la  lifte  des  queftions  mathématiques  traitées  par  Huygens  dans 
l'Académie  des  Sciences  de  Paris,  on  voit  qu'il  f'intéredait  aux  maxima  et  minima 
préfentés  par  les  courbes,  et  plus  généralement  à  ceux  d'expreffions  algébriques  "), 
à  la  détennination  des  tangentes  aux  courbes  géométriques  (c.a.d.  celles  dont  les 
équations  ne  contiennent  que  des  puiflances  de  x  et  de  y^  et  pas  de  fraétions),  ainfi 
qu'à  la  reétification  et  à  la  quadrature  de  certaines  courbes,  fans  qu'il  fut  en  polTes- 
fion  d'une  méthode  générale  pour  ces  deux  derniers  problèmes. 

Aujourd'hui  il  eft  évident  pour  chacun  de  nous  que  la  recherche  des  tangentes 
et  celle  des  maxima  et  des  minima  des  courbes  3^  =/C'i")  0^/(0:^)  =  o  exigent  la 
même  différentiation  et  l'ont  donc  étroitement  liées  l'une  à  l'autre.  L'on  pourrait  être 
tenté  d'admettre  qu'il  devait  en  être  de  même  pour  Huygens.  Tel  n'était  cependant 
pas  le  cas.  Chercher  la  tangente  à  une  courbe,  ce  n'eft  pas  pour  lui  déterminer  une 
tangente  trigonométrique  exprimée  par  un  rapport  (ce  ferait  là  un  anachronifme), 
c'eft  déterminer  la  longueur  d'une  droite,  favoir  la  fouftangente,  d'après  une  règle 


')  Appendice  II  à  la  p.  300 

61 


482  AVERTISSEMENT. 


lîmple,  trouvée  comme  on  l'a  vu.  Mais  chercher  un  maximum  ou  un  minimum,  c'eft 
cirer  les  valeurs  de  .t  de  l'équation  qu'on  obtient  en  fonnant  ce  que  nous  appelons 
la  différentielle  dy  et  en  l'égalant  à  zéro.  Cette  dernière  règle  eft  générale,  quoique 
le  calcul  ne  foit  pas  toujours  exécutable,  tandis  que  la  règle  fuccinfte  pour  trouver  la 
fouftangente  ell  bornée,  comme  nous  venons  de  le  dire,  au  cas  des  courbes  géomé- 
triques*'). Il  n'eft  donc  pas  abfolument  exaft  de  dire,  comme  cela  a  été  fait  dans  la 
note  6  de  la  p.  249  du  T.  X,  que  Huygens  „évite  .  .  .  toujours  [nous  foulignons]  . . . 
d'employer  la  différenciation  des  expreffions  irrationnelles".  11  ne  l'évite  pas  quand 
il  fagit  de  chercher  un  maximum  ou  un  minimum.  Voyez  les  p.  89  et  i  o  i  du  T.  XIX  : 
en  1 690  il  tire  immédiatement  de  l'expreffion 

\_y  =]  ]/ ^bb  +  ^xx  +  \/aa — o.ax  +  xx-'tcc 
la  différentielle 

Idy  =]      ,  ^  +  — ^  (ou  e  =  dx) 

2\/ ^bb  +  ^xx        2]/ aa — aax  +  xx+cc 

qu'il  égale  à  o  pour  calculer  la  valeur  de  x  rendant  minimale  la  valeur  de  l'expreflion 
donnée.  Mais  quand  il  a  affaire  en  1692  aux  calculs  de  Hubercus  Huighens,  où  il 
f'agic  (note  citée  de  la  p.  249  du  T.  X)  de  calculer  la  fouftangente,  il  commence  par 
réduire  l'équacion  de  la  courbe  à  la  forme  fans  radicaux  qui  pennée  l'applicacion  de 
la  règle,  ec  il  iè  figure  que  Hubercus  doic  avoir  commencé  par  la  confidéracion  de 
cette  forme-là  („hinc  incepit",  p.  250)  quoique,  comme  l'obferve  à  bon  droit  la  note 
7,  rien  ne  foit  moins  certain.  A  la  fin  de  fa  deuxième  et  dernière  lettre  Hubertus  lui 
demande  la  „permiffio  te  falutandi",  mais  nous  ne  trouvons  pas  que  Huygens  l'ait 
invité  à  venir  le  voir;  plus  tard  auffi  il  ne  parle  pas  de  lui  comme  d'une  connaiffance 
perfonnelle;  peut-être  avait-il  l'impreflîon  qu'en  tenant  Hubertus  à  l'écart  il  conier- 
verait  mieux  fon  preftige  vis-à-vis  de  ce  mathématicien  un  peu  fantaififl:e  plus  jeune 
que  lui  de  vingt  ans  et  ne  jouiffant,  femble-t-il,  d'aucune  célébrité,  mais  dont  pour- 
tant il  avait  l'impreffion  de  ne  pas  comprendre  à  fond  les  méthodes  donnant  générale- 
ment des  réfultats  exafts. 

Après  ce  que  nous  venons  de  dire  on  conçoit  que  Huygens  n'ait  pas  non  plus 
remarqué  dans  la  période  françaife  qui  fe  termine  en  1681  et  même  beaucoup  plus 
tard  ce  qui  nous  paraît  aujourd'hui  fi  fimple,  favoir  que  la  différentiation  et  l'intégra- 


')  Ceci  ne  veut  pas  dire  que  Huygens  était  incapable  de  construire  la  tangente  dans  d'autres  cas. 
Voyez  les  p.  463  et  464  du  T.  XI V  où  il  calcule  en  166 1 ,  en  se  servant  du  triangle  caractéristique, 
la  sous-tangente  (le  „latus  redum")  de  la  courbe  logarithmique.  Voyez  aussi  le  premier  alinéa 
de  la  p.  485  qui  suit. 


AVERTISSEMENT.  ^83 


tion  font,  non  feulement  dans  des  cas  particuliers,  mais  généralement,  des  opérations 
invcrfcs.  Cependant  la  correfpondance  avec  Leibniz  ramène  de  plus  en  plus  à  voir 
la  connexion  étroite  des  problèmes:  ,Jc  vois  —  écrit-il  en  1692  —  qu'on  peut  en 
fuppoitint  autant  qu'on  veut  de  quadraturcs,trouver  les  courbes  à  qui  elles  convienent, 
mais  d'aller  de  l'équation  h  la  quadrature,  je  n'y  vois  pas  moyen,  fi  non  en  quelques 
cas  fimples"  '°). 


Cette  connexion  entre  les  divers  problèmes  nommés  cft  proclamée  par  un  autre 
mathématicien,  du  même  âge  que  Hubertus  Huighens,  avec  qui  Iluygcns  eut  beau- 
coup plus  de  relations,  lavoir  E.  W,  Tfchirnhaus  ou  von  Tfchirnhaufen  ").  Celui-ci 
le  vifita  pour  la  première  fois  à  Paris  en  août  1 675  ■=),  venant  de  Londres  et  recom- 
mandé par  Oldenburg  et  Papin.  Tfchirnhaus  ne  tarda  pas  à  faire,  également  à  Paris, 
la  connaiffance  de  Leibniz  à  qui  il  avait  été  recommandé  de  même:  c'efl  peut-être  à 
ce  demier  qu'il  eft  redevable  d'une  partie  de  les  idées  générales  '3).  Plufieurs  lettres 
furent  échangées  entre  Huygens  et  Tfchirnhaus,  foit  direétement,  foit  par  l'inter- 
médiaire de  P.  van  Gent,  médecin  à  Amfterdam.  Il  ferait  trop  long  de  réfumer  cette 
correfpondance  qui,  de  la  part  de  Tichirnhaus,  homme  de  talent  mais  fort  fujet  à 
errer  '+),  confifte  trop  fouvent  dans  une  énumération  de  problèmes  généraux  qu'il 
dit  pouvoir  réfoudre  par  des  méthodes  qu'il  garde  pour  lui  '');  ce  qui  donne  lieu  à 
Huygens  de  critiquer  ces  vantardifes  réelles  ou  apparentes'").  Au  §  17  de  la  Pièce  I 
qui  fuit  on  trouvera  un  théorème  général  de  Tfchirnhaus,  énoncé  par  lui  fans  démon- 
ftration,  et  fur  la  valeur  duquel  Huygens  cfl:  apparemment  en  doute:  ce  théorème  eft 
exaét.  Il  n'en  eft  pas  ainfi  d'un  autre  théorème  aftez  femblable  difcuté  au  §  i  de  la 
Pièce  I,  et  fur  le  fujet  duquel  Huygens  difait  en  mars  1687"'):  „Tangentium  inven- 


'°)  Lettre  du  1 5  mars  1692  (T.  X,  p.  270). 

")  1651-1-09;  mentionné  pour  la  première  fois  à  la  p.  490  du  T.  VII. 

'^)  Tschirnliaus  rendit  visite  à  Huygens  à  la  Haye  en  août  ou  septembre  1682  (T.  VIII,  p.  386) 

et  en  septembre  1694  (T.  X,  p.  6çjy 
'3)  Voyez  p.e.  la  note  7  de  la  p.  254  du  T.  X. 
'■*)  Comparez  le  „Vorwort"  de  H.  Weissenborn  de  sa„Lebensbeschreibung  von  Elirenfr.  Walther 

von  Tschirnhaus  auf  Kiesslingswalda,  und  Wûrdigung  seiner  Verdienste"  (Eisenach,  Bsrecke, 

1866). 
'5)  Voyez  p.e.  les  p.  469-471  du  T.  VIII,  datant  de  1683. 
'*)  Voyez  p.e.  la  p.  123  du  T.  IX,  datant  du  10  mars  1687. 


484  AVERTISSEMENT. 


tionem  tuam  in  lineis  circa  plura  centra  defcriptis  vellem  demonftratione  confir- 
maffes . . ."  Huvf^ens  n'en  avait  pas  encore  reconnu  la  faulTeté"''),  lorfqu'il  reçut 
trois  jours  plus  tard  la  vifite  de  N.  Fatio  de  Duillier,  jeune  homme  de  23  ans,  qui 
l'avait  aperçue'^). 

Cette  vifite  fut  un  grand  événement  dans  la  vie  de  Huygens:  la  jeunefTe  frappait 
à  fa  porte,  non  pas  pour  l'évincer,  mais  pour  travailler  avec  lui'!').  En  1692") 
Huvgens  écrira  à  Fatio  (réfidant  alors  en  Angleterre),  en  parlant  de  Leibniz:  „Vous 
voila  également  éloignez  de  vouloir  rien  apprendre  l'un  de  l'autre,  qui  efl:  une  delica- 
teffe  que  je  n'ay  point,  ainfi  qu'il  a  paru;  czx  fay  ejîé  bien  aife  d'apprendre  de  tous 
les  deux  [nous  foulignons]." 

La  Pièce  I  fait  voir  comment  Huygens,  de  concert  avec  Fatio,  confidéra,  après  la 
correftion  du  théorème  de  Tl'chirnhaus  dont  nous  avons  parlé,  en  refiant  dans  le 
même  ordre  d'idées,  la  méthode  pour  mener  des  tangentes  aux  courbes  données  en 
coordonnées  bipolaires  etc.'')  —  Nous  avons  déjà  parlé  du  §  17  qui  fait  bien  voir 
que  dans  l'efprit  de  Tfchirnhaus  il  fagit  en  premier  lieu  de  courbes  pouvant  être 
décrites  par  des  fils  tendus,  comme  c'était  aufli  le  cas  pour  la  première  ovale  de  Des- 
cartes, dont  la  confidération  fous  ce  point  de  vue  par  Huygens  fe  rattache  à  celles  de 
la  Pièce  I  :  fi  nous  l'avons  néanmoins  placée  —  plus  ou  moins  arbitrairement  —  parmi 
les  „Mathematica  varia  1681  —  1695"  c'eft  parce  que  cette  ovale  était  une  courbe 
fort  connue  à  I  luygens  depuis  fa  jeunefTe.  On  voit  bien  ici  —  nous  pourrions  dire 
la  même  chofe  pour  la  chaînette  ^=)  —  que  les  „problèmes  modernes"  dont  traite  la 
préfentePartie  n'étaient  pas  en  général  des  problèmes  parfaitement  nouveaux  :  la  chofe 
effentielle  c'efl  l'évolution  des  méthodes  qui  pennettait  fouvent  de  chercher  les  folu- 
tions  avec  plus  de  fuccès.  Dans  fes  „Commentarii  in  Librum  II"  de  la  Géométrie  de 
Defcartes  van  Schooten  n'avait  pas  tâché  de  juflifier  la  conflruftion  de  Defcartes  à 
l'aide  d'un  fil  de  la  première  ovale,  comme  le  fait  Huygens  en  1 690. 


'7)  C'est  ce  que  Huygens  dit  expressément  dans  sa  lettre  à  van  Cent  du  1  juillet  1687  (T.  IX,  p. 
185)  et  de  nouveau  dans  une  lettre  à  Leibniz  du  18  novembre  1690  (T.  IX,  p.  538). 

'8)  Nous  avons  déjà  mentionné  cette  visite  à  la  p.  396  qui  précède. 

'S')  Fatio  resta  à  la  Haye  jusqu'en  mars  1687  (T.  IX,  p.  134). 

=°)  T.  X,  p.  287. 

'»)  Voyez  sur  les  publications  de  Fatio  sur  ces  sujets  en  1687  et  1689  dans  la  „Bibliothèque  Uni- 
verselle et  Historique"  les  p.  154  et  175  du  T.  IX  ainsi  que  la  note  14  à  la  p.  219  du  même  Tome. 

==)  Voyez  les  p.  37  et  suiv.  du  T.  XI  datant  de  1646. 


AVERTISSEMENT.  485 


Dans  la  Pièce  I  les  §§  6  ce  7  forcent  du  cadre,  puifqu'il  y  eft  queftion  de  tangentes 
à  la  parabole  et  à  la  circonférence  de  cercle  données  lune  et  l'autre  en  coordonnées 
cartéfiennes,  la  direétion  d'une  tangente  étant  déterminée,  diredement,  par  le  calcul 
du  rapport  de  deux  côtés  du  triangle  caraftériftiquc  fort  ou  plutôt  infiniment  petit. 
Comparez  la  note  9  de  la  p.  482, 

Ces  calculs  eurent  aufll  pour  réfiiltat  de  mettre  Huygens  en  état  de  rcfoudrc  à  fa 
manière  —  voyez  le  §  1 6  de  la  Pièce  I  —  le  problème  pofé  par  Leibniz  en  janvier  1 680 
que  ce  dernier  intitule  „Excmplum  ex  Nova  mea  Tangcntium  Mcthodo  duélum"  '3), 
que  nous  avons  publié  à  la  p.  269  du  T.  VIII  en  difant  (note  3):  „Dans  les  Oeuvres 
inédites  qui  fuivront  cette  Corrcfpondance,  nous  aurons  l'occalion  de  revenir  fur  ces 
recherches  de  1 687".  Nous  ne  jugeons  pourtant  pas  nécelTaire  de  reproduire  dans  le 
préfent  Tome  les  p.  17  —  19  du  Fafciculus  II  de  P.  J.  Uylenbroek  (i  833),où  celui- 
ci  indique  quelle  aurait  été  la  forme  de  la  démonftration  d'après  les  idées  de  Leibniz. 


Comme  Huygens,  Fatio  était  avant  tout  géomètre.  „Les  lignes  droites",  dit-il, 
,font  plus  commodes  que  les  nombres, pour  exprimer  toutes  fortcsde proportions"'-*). 


En  1691  —  comparez  la  p.  396  qui  précède  —  le  jeune  fuiiTe  revint  à  la  Haye 
pour  y  refter  plufieurs  mois.  Entretemps  il  avait  été  en  Angleterre,  où  il  devait  palTer 
le  relie  de  fa  longue  vie:  il  en  revenait  plein  de  refpeét  pour  les  méthodes  anglaifes 
—  nous  rappelons  que  les  „Principia"  de  Newton  avaient  paru  en  1687  peu  après  les 
recherche  du  §  i  de  la  Pièce  I  qui  fuit  — ,bien  convaincu  auiTi  qu'il  avait  appris  à  con- 
naître plutôt  les  réfultats  obtenus  par  ces  méthodes,  que  les  méthodes  elles-mêmes  ''). 
On  fait  que  Newton,  quoiqu'il  parle  de  fa  méthode  des  fluxions  dans  le  Lemma  II  de 
la  Seftio  II  du  Liber  Secundus,  avait  en  général  donné  à  fon  livre  une  forme  géomé- 
trique qui  en  rend  la  leélure  malaifée.  Dans  une  lettre  à  Rômer  de  feptembre  1 690  '*) 


^3)  Ce  ne  fut  pourtant  qu'en  1684  (Aifla  Eruditorum,  mois  d'oftohre)  que  Leibniz  publia  sa 
„Nova  metliodus  pro  Maximis  et  Minimis,  itemque  tangentibus,  qua;  nec  fraftas  nec  irrationales 
quantitates  moratur,  et  singulare  pro  illis  calcul!  genus". 

'*)T.  IX,  p.  158.  C'est  une  citation  de  l'article  de  168-,  déjà  mentionné  dans  la  note  21  delà  p. 
484,  qui  est  intitulé:  „Reflexions  de  Mr.  N.  Fatio  de  Duillier  sur  une  méthode  de  trouver  les 
tangentes  de  certaines  lignes  courbes,  laquelle  vient  d'être  publiée  dans  un  Livre  [de  Tschirn- 
haus]  intitulé  Medicina  Mentis". 

*5)  Comparez  les  deux  dernières  lignes  de  la  p.  376  qui  précède. 

»«)  T.  IX,  p.  490. 


486  AVERTISSEMENT. 


Huygens  parle  du  „Newtoni  librum  ...  in  quo  obfcuritas  magna  . .  .  attamen  multa 
acutc  inventa".  C'eft  en  1691,  plus  encore  qu'en  1687,  que  Fatio  et  Huygens  tra- 
vaillèrent enfemble.  La  Pièce  III  qui  fuit,  de  beaucoup  la  plus  longue  des  Pièces  de 
la  préfente  Partie,  fait  voir  que  la  méthode  de  Fatio  pour  réfoudre  le  problème  inverfe 
des  tangentes  fut  amplement  confidérée  par  les  deux  favants.  Il  y  a  des  pages  (voyez 
nos  §§  13  —  18)  où  les  mains  de  Fatio  et  de  Huygens  alternent  dans  le  Manufcrit, 
comme  on  en  trouve  ailleurs,  datant  de  1675- 1676,  où  alternent  celles  de  Leibniz 
et  de  Tfchirnhaus  ^").  Vu  le  grand  intérêt  témoigné  par  tant  d'hiftoriens  pour  tout 
ce  qui  fe  rattache  à  la  période  de  l'enfance  du  calcul  infinitéfimal  moderne  (étroitement 
lié,  il  efl:  vrai,  à  des  fpéculations  antiques,  notamment  à  celles  d'Archimède),  nous 
croyons  bien  faire  de  publier  toutes  ces  pages  in  extenfo. 

Fatio  avait  déjà  donné  un  aperçu  de  fa  méthode  dans  fa  lettre  à  Huygens  du  24 
juin  1687  ^*);  mais  la  chofe  en  refta  là  jufqu'à  la  vifite  à  la  Haye  de  1691.  Voyez, 
au  début  du  §  3  de  la  Pièce  III,  ce  que  nous  difons  fur  des  expofés  plus  complets, 
refpeétivement  par  Fatio  et  par  Huygens,  en  1691  et  en  1693. 

Dans  le  même  temps  Huygens  était  en  correfpondance  avec  Leibniz  qui  d'ailleurs 
lui  avait  demandé  déjà  en  1 6j^  ^^')  fil  avait  „quelque  beau  problème,  qui  dépende 
à  Methodo  Tangentium  inverfa"  difant  „je  ferois  bien  aife  de  voir  fi  j'en  pourrois 
venir  à  bout";  mais  alors  Huygens  n'avait  pas  fatiffait  à  cette  demande,  et  la  corres- 
pondance était  demeurée  interrompue  depuis  janvier  i68o3°)  jufqu'à  janvier  1690 
(avec  l'exception  d'une  lettre  de  Leibniz  de  janvier  1688  3');  voyez  ce  que  nous 
difons  dans  la  note  30  fur  cette  lettre  et  fur  la  Pièce  II  qui  fuit).  En  1690  les  lettres 
échangées  furent  au  nombre  de  onze,  en  1691  de  quatorze.  Ce  fut  dans  la  lettre  du 
24  août  1690^^),  où  Huygens  dit:  ,J'ay  vu  de  temps  en  temps  quelque  chofe  de 
Voftre  nouveau  calcul  Algebraique  dans  les  Aéles  de  Leipfich,  mais  y  trouvant  de 
l'obfcuritè,  je  ne  l'ay  pas  aflez  étudié  pour  l'entendre,  comme  auffi  parce  que  je  croiois 


^7)  H.  Weissenborn,  ouvrage  cité  dans  la  note  14  de  la  p.  483,  p.  5. 

=8)  T.  IX,  p.  16-. 

^')  T.  VIII,  p.  215,  lettre  du  8  septembre  1679. 

3°)  La  dernière  lettre  de  Leibniz  de  cette  période,  celle  de  janvier  1680,  contient  le  problème 
dont  il  est  question  dans  le  deuxième  alinéa  de  la  p.  485  qui  précède  et  que  Huygens  ne  résolut, 
comme  on  l'a  vu,  que  dans  la  première  moitié  dei  687.  La  lettre  de  janvier  1688  se  rapporte  à  la 
solution  par  Huygens  en  ottobre  1687,  d'un  problème  proposé  publiquement  par  Leibniz 
(Pièce  II  qui  suit). 

3')  T.  IX,  p.  257. 
3>)  T.  IX,  p.  470. 


AVERTISSEMENT. 


487 


avoir  quelque  méthode  équivalente,  tant  pour  trouver  les  Tangentes  des  Lignes 
courbes  où  les  règles  ordinaires  ne  fervent  pas,  ou  fort  diflicilcmcnt  [c(l-ce  une  al- 
lufion  au  calcul  de  la  tangente  à  la  courbe  logarithmique,  à  l'aide  du  triangle  carafté- 
ridique,  note  9  de  la  p.  482?  ou  plutôt  à  celui  du  calcul  de  la  Pièce  I  de  1687,  ayant 
trait  aux  courbes  données  en  coordonnées  bipolaires  etc?  c'eft  bien  plus  probable 
puifquc  par  ce  dernier  calcul  lluygens  avait  réfolu  le  problème  de  Leibniz  dont  il 
ell  queition  dans  la  note  30],  que  pour  plulleurs  autres  recherches",  que  lluygens 
propofa  enfin  à  Leibniz  quelques  problèmes  dépendant  de  la  „MethodusTangentium 

inverfa":  les  fouftangentes  données  étaient  ^^^ ix  et — ,choifies  comme 

ix  3«* —  ixy 

le  dit  le  paflage  du  Manufcrit  G  qui  conrticue  l'Appendice  à  cette  lettre.  Leibniz 

trouva  des  folutions.  Nous  croyons  inutile  de  réiumer  la  corrcfpondancc  ultérieure 

de  1690  entre  Huygens  et  Leibniz,  où  il  eft  encore  queftion  d'autres  Ibuftangentes 

et  des  courbes  correfpondantes:  elle  eft  pourvue,  comme  nous  l'avons  dit  plus  haut, 

de  notes  explicatives  et  d'Appendices  empruntés  aux  manufcrits.  Le  leéteur  qui  fin- 

térelTe  au  fujet  peut  bien  prendre  la  peine  de  la  lire  lui-même. 

On  conçoit  maintenant  que  puifque  Huygens,  au  moment  de  recevoir  la  deuxième 

vifite  de  Fatio,  était  déjà  en  corrcfpondancc  depuis  plufieurs  mois  avec  Leibniz  fur 

le  problème  inverfe  des  tangentes,  la  méthode  de  Fatio  fut  accueillie  par  lui  avec 

beaucoup  d'intérêt;  et  que  dans  la  Pièce  III  on  rencontre  plufieurs  fois  le  nom  du 

favant  allemand  ainfi  que  les  équations  déjà  examinées.  Dans  fa  lettre  du  23  février 

1691  33)  Huygens  ne  cache  pas  à  Leibniz  que  Fatio  eft  à  la  Haye,  que  fa  méthode 

fe  perfeftionne,  et  qu'il  „m'a  trouvé  les  deux  mefmes  courbes  dont  je  vous  avois 

propofè  les  fouftangentes".  Il  fut  bientôt  queftion  d'un  échange  des  méthodes, 

premièrement  propofé  par  Leibniz  en  mars  1691 3+);  on  trouve  dans  notre  T.  X 

l'hiftoire  des  pourparlers  fur  cet  échange  qui  en  fin  de  compte  n'eut  pas  lieu;  la  dis- 

cuflîon  fe  prolongea  jufqu'en  mai  1 692.  „Eruditi  fontes  inventionis  alijs  non  libenter 

communicant"  difait  Tfchirnhaus  en  1687  ^s). 

Huygens  traita  auiïî  du  problème  des  tangentes  renverfées  dans  fa  corrcfpondancc 
avec  le  jeune  Marquis  de  l'Hofpital  qui  avait  déjà  pris  fon  parti  en  1 690  dans  la  ques- 


33)T.  X,  p.  21. 

34)  T.  X,  p.  50. 

35)  T.  IX,  p.  178. 


488  AVERTISSEMENT. 


non  du  centre  d'ofcillation  3").  Pas  moins  de  28  lettres  échangées  de  1692  à  1695 
le  trouvent  dans  notre  T.  X.  N'ayant  que  fort  peu  à  ajouter  à  cette  importante  cor- 
refpondance,  nous  ne  croyons  pas  qu'il  y  ait  lieu  de  la  réiumer  ici.  On  n'y  remarque 
guère  de  réticences.  Qu'on  relife  p.e.  la  lettre  de  Huygens,  mentionnée  au  début 
du  §  3  de  la  Pièce  III,  où  il  expofe  la  méthode  de  Fatio,  ou  la  fin  de  fon  article  de 
1693  dans  l'Histoire  des  Ouvrages  des  Sçavans"  (No  2793,  p.  481  qui  précède)  où 
il  fait  l'éloge  du  Marquis.  Ce  dernier,  ayant  mieux  pu  affimiler  les  méthodes  leibni- 
ziennes,  fe  montrait  en  effet  plus  avancé  que  Huygens  dans  l'art,  fi  important  et  fi 
complexe  encore  aujourd'hui,  d'intégrer  les  équations  différentielles. 

Il  convient  de  ne  pas  terminer  cet  AvertifTement  fans  dire  encore  un  mot  du  calcul 
anglais  des  fluxions.  En  juin  ou  juillet  1 693  ■'■■)  Huygens  reçut  la  vifite  de  David 
Gregory  qui  lui  communiqua  ime  certaine  règle  et  lui  parla  de  Newton.  Huygens 
communiqua  à  fon  tour  à  Leibniz  „rextrait  de  l'ouurage  de  Mr.  Wallis  touchant 
M.  Newton"  qu'il  avait  reçu  en  cette  occafion  3'*),  Le  29  mai  1 694  ^i»)  Huygens  écrit 
à  Leibniz:  „Mr.  Wallis  m'a  envoie  la  nouvelle  édition  Latine  de  fon  grand  ouvrage 
de  Algebra^  augmenté  de  quelque  choie  de  nouveau  des  ferles  de  Mr.  Newton,  où 
il  y  a  des  équations  différentielles,  qui  reffemblent  tout  à  fait  aux  vollres,  honnis  les 
characteres".  A  quoi  il  ajoute  le  1 6  juin  dans  une  lettre  à  de  l'HofpitaH"),  après  avoir 
cité  Wallis  difant  que  la  méthode  expofée  par  Barrovv  dans  fes  „Le(ftiones  Geome- 
tricje"  eft  plus  ancienne  que  celles  de  Newton  et  de  Leibniz  et  que  „quod  ab  his 
duobus  el^  fuperadditum,  efl:  formularum  analyfeos  breviura  et  conmiodarum  adap- 
tatio  illius  theorijs":  „En  quoy  pourtant  il  [Wallis]  fait  tort  à  ces  Meffieurs". 


3«)  T.  XVIII,  p.  457  et  suiv, 

37)  T.  X,  p.  462. 

38)  T.  X,  p.  669, 675. 
3»)  T.  X,  p.  610. 
^°)T.X,p.623. 


PllOBLf::MES  ET  MÉTHODES  MODICRNES. 


I.     Fatio  de  Duillier  et  Huygens.  Méthode  des  tangentes  pour  les  „ctR- 
ViE  filares"  de  Tschirnhaus,  ou  plutôt  pour  les  courbes  données  en 

COORDONNÉES  BIPOLAIRES,  TRIPOLAIRES  ETC.,  LES  POLES  ÉTANT  SITUÉS  SUR  UNE 
LIGNE  DROITE  (  I  687). 

II.     Solution  du  Problème  proposé  par  M.  Leibnitz  dans  les  nouvelles  de 
la  Republique  des  Lettres  du  Mois  de  Septembre  i  687  ')  (sur  la  courbe 

DE  descente  uniforme)  (1687). 

III.  Fatio  de  Duillier  et  Huygens.  Règle  pour  trouver  l'équation  d'une 

courbe  lorsque  la  soustangente  est  donnée  en  coordonnées  carté- 
siennes (,,1'roblème  inverse  des  tangentes"  ou  „probléaie  des  tangentes 
renversées")  (1691). 

IV.  Methodus  Leibnitij  ■)  (1691). 

V.     A  propos  de  la  méthode  du  Marquis  de  l'Hospital  (i 692). 

VI,     Le  problème  de  la  chaînette,  etc.  (i 69 i  et  i 693). 

VII.     Solution  d'un  problème  mathÉimatique  proposé  par  Jean  Bernoulli 
(1693  ET  1694). 

VIII.     A  propos  DES  „Reflections  upon  Ancient  and  Modern  Learning"  de 

W.  WOTTON  (1694  ou  1695). 


')  C'est  ainsi  que  Huygens  lui-même  intitule  cette  Pièce. 

62 


I. 

FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  MÉTHODE  DES  TANGENTES 

POUR  LES  „CURVi^   FILARES"  DE  TSCHIRNHAUS,  OU  PLUTÔT 

POUR  LES  COURBES  DONNÉES  EN  COORDONNEES  BIPOLAIRES, 

TRIPOLAIRES  ETC.,  LES  POLES  ICI  CONSIDÉRÉS  ÉTANT 

SITUÉS  SUR  UNE  DROITE. 

1687. 


§  I  ').  1687.  13  ou  14  marcij.  M',  de  Duillers  me  communiqua  sa  méthode  des 
Tangentes  pour  les  lignes  courbes  de  M',  de  Tchimhaus,  par  la  quelle  il  paroilToit 
que  ce  dernier  s'eftoit  trompe  dans  une  chofe  ou  il  fe  vante  d'avoir  mcrveillcufement 
reufli. 

Voyez  fur  les  courbes  de  Tfcliirnhaus  le  §  1 7  qui  fuit  ainfl  que  les  p.  483 — 484  de  l'A  vertiffement 
qui  précède. 

Le  lendemain  je  luy  montray  ma  demonllration  exafte  de  fa  méthode,  et  remarquay 
qu'on  pouvoir  procéder  de  l'une  ligne  a  l'autre,  une  à  une. 

Dimanche  le  16  je  trouvay  que  la  perpendiculaire  a  la  tangente  devoit  paiïer  par 
le  centre  de  gravité  de  tous  les  fils  qui  fervent  a  la  defcription  de  la  courbe,  en  pre- 
nant fur  elles  [lifez:  fur  eux]  des  portions  égales  depuis  le  point  donné,  et  le  demon- 
tray  dans  les  cas  de  deux  et  de  trois  fils. 

Lundi  17  je  dis  cela  a  M',  de  Duilliers,  qui  voulut  le  nier  d'abord,  ayant  pourtant 
efté  fort  près  de  trouver  la  mefme  chofe,  mais  l'ayant  en  fuite  rejettée,  et  ayant  efcrit 
àcoftède  fon  raifonnement  Cecy  efî  fort  douteux^et  ainfî  ma  belle  Méthode  ou  Théorie 


')  Manuscrit  F,  p.  271.  Notre  „§  1"  a  été  imprimé  en  partie  —  comparez  la  note  2  de  la  p.  181 
du  T.  IX  —  par  P.  J.  Uylenbroek  aux  p.  56  et  57  du  Fasciculus  II  des  „Christiani  Hugenii 
aliorumque  seculi  XVII  virorum  celebrium  exercitationes  mathematiea;  et  philosophie*". 
Hags  Comitum,  ex  typographia  regia,  MDCCCXXXIII.  Le  §  2  s'y  trouve  en  entier  aux  p. 

57-58. 


49= 


PROBLÈMES  F.T  M^.THODES  MODERNES. 


court  grand  rifque  d'être  fauffe.  Cependant  ce  qu'il  avoir  trouvé  de  la  fomme  égale 
des  finus,  fervoit  a  démontrer  facilement  le  Théorème  iusdit  du  centre  de  gravité,  et 
eftoit  fort  beau.  \'oiez  à  la  page  précédente  [c.  à.  d.  le  §  2  qui  fuit]. 


[Fig-  99\ 


AB  eftoit  le  vray  axe  de  pelanteur  des  fils. 


Il  avoit  trouvé  le  centre  de  gra- 
vité de  tous  les  points  N  [Fig.  99], 
puis  il  conlidcra  que  la  fomme  des 
perpendiculaires  tirées  d'un  point 
de  la  ligne  AB  il  elle  eftoit  perpen- 
diculaire a  la  tangente,  devoit  eftre 
égale  d'un  et  autre  coftè  de  cette 
ligne.  En  fuite  il  crut  que  ces  dis- 
tances depuis  les  centres  de  gravité 
des  fils  au  point  B  eftant  égales  d'un 
coftè  et  d'autre,  cela  ne  convenoit 
pas  au  centre  de  gravité.  Mais  s'il 
avoit  mené  des  points  D  des  finus 
llir  AB,  il  auroit  vu  qu'ils  eftoient 
chacun  égaux  perpendiculaires  de 
B   fur  les  lignes  AN,  et  qu'ainfi 


Après  le  17  mars  Iluygens  refta  en  communication  avec  Fatio  de  D.:  on  lit  au  basde  la  feuille; 
prefté  le  reçeuil  des  Journaux  de  1685  [il  s'agit  fans  doute  du  Journal  des  Scavans  ou  peut- 
être  aufli  des  Aeta  Eruditorum]  à  INI.'  Duilliers  20  Mars  1687. 

§  a  ').  A,  B,  C  [Fig.  1 00]  punfta  data  in  linea  refta  vel  utcunque.  KDK  curva 
ejufmodi  naturs  ut  duftis  ad  ejus  punftum  quodlibet  rcdtis  AD,  BD,  CD.  haruni 
fumma  fit  data;  réélue  a;qualis. 
quœritur  tangens  in  D. 

Sit  ea  DE,  et  E  punftum 
proximum  D.  idque  cenfen- 
dum  in  curva  exiftere.  Ab  E 
in  reftas  AD,  BD,  CD,  fi  opus 
eft  produftas,  cadant  perpen- 
dicularcs  EG,  EH,  EF. 

Ergo  fi  ex  A,  B,  C  duce- 
rentur  xt&fx.  ad  E,  crefcet  ea 
quje  ex  C  longitudine  DF, 


")  Manuscrit  F,  p.  270. 


KATIO  DE  DUILLIF.R  ET  HUYGENS.  ETC. 


493 


qu£e  ex  B  diminuetur  longitudine  DH,  quae  ex  A  diminuetiir  item  lonpitudinc  DG. 
Ergo  ut  fiiinnia  diiftariim  ex  A,  B  C,  ad  E  lit  œqiialis  tribus  ex  A,  li,  C  ad  D  duftis, 
hoc  clt  Ycdx  data',  oportct  l)F  xquari  duabus  DM,  1)C. 

Sit  tangcini  DE  pcrpcndicularis  DE,  et  ex  D  defcripta  circuinterentia  fccetrcdtas 
AD,  BD,  CD  in  M,  O,  N.  undc  ducantur  in  DE  pcrpcndiculares  iMQ,  OR,  M». 
Quod  fi  jani  pru  radio  circuli  lumatur  DE,  apparet  angulorum  DVA\  DE  II,  DEC 
elTe  finus  Dl*\  DM,  DO.  Klisautcm  angulis  sequales  funt  fingulisfinguliPDX,  RDO 
QDM,  quorum  (inus  funt  NF,  OR,  MQ.  Ergo  licut  linus  DV  a;quatur  duobus  1)1 1, 
DG,  ita  linus  NP  jequabitur  duobus  OR,  MQ.  Unde  facile  colligitur  punftoruni  M, 
O,  N  ccntrum  gravitatis  eiïc  in  rcfta  DE.  Itaquc  rcpcrto  lioc  ccntro,  dabitur  rcda 
DE,  qua."  tangenti  Di'>  cil  ad  angulos  rectos.  Eadcm  vero  c{\  conftruiftioquotcunquc 
data  fucrint  punda  [undc  rcéta;]  ad  D  ducenda;  quarum  fumnia  (it  data. 


§  3  ').  Rafio  inveniendartim  tangentium  in  ctirvis  lineis. 

Ponitur  CD  [Fig.  ici]  effc  tangens  quœfita  in  punfto  C.  in  ca  proxiniè  punélo  C, 

[Fig.  ici] 


accipi  intelligitur  punftum  D.  quod  idem  in  curva  propofita  effe  cenfctur.  Ex  D  ca- 
dant  perpendiculares  in  AC  et  BC,  nempe  DF,  DE.  Recta  AC  lupcrare  cenfetur 


•■')  Les  §§  3—7  se  trouvent  à  la  p.  272  du  Manuscrit  F.  Le  §  3  a  iii  public  par  Uylenbroek  à  la  p. 
24  du  Fasciculus  IL  Les  p.  24—28  de  ce  fascicule  contiennent  aussi  des  fragments  des  §§  sui- 
vants, jusqu'au  §  16  inclus. 


494 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


reftam  AD  differentiâ  FC  quia  DF  minima  refpeftu  AF.  Item  BD  fuperare  cenfetur 
reftam  BC,  différencia  CE.  CE  vocatur  .r.  CF,  v.  quarum  lî  inter  le  ratio  cogiiofca- 
tiir,  dabitur  D  punftuui  in  concurfu  perpendicularium  ED,  FD.  adeoque  tangens 
CD.  Ifta  vero  ratio  invefligacur  ex  tequatione  in  qua  ponitur  parte  una  proprietas 
curvs  lineis  datis  AC,  CB  expreffa;  parte  altéra  eadem  proprietas  expreflalineisAD, 
BD,  feu  pro  ijs  AF,  EB. 

Vel  tantummodo  exprimacur  proprietas  curvje  pofitis  a  -\-  x  et  b  —  y  pro  a  et  b. 
et  deleantur  omnia  prœterquam  in  quibus  unum  x  aut  3'.  Ut  deleantur  etiam  in  quibus  x 
et  y  conjunétim.  Reliqua  dabunt  rationemA'ad  vacproinde  tangentisconftructionem. 
§  4.  Proprietas  curvs  da  -\-  db  zo  ab.        d  linea  data. 

a-\-x-\-b — y  a-\-x 

d  b  —  y 

da  +  dx  +  db  —  dy  oo  ûb  +  bx — ay  —  xy 


dx  —  bxx  dy — ay — xy 


x- 


a- 


b—d 


§  5.  Proprietas  curvœ  ut       ^^  +  ^^30  d^  datje. 
d'i  zo  a"^  -{-  '^aax  +  2^xx  4-  x^  4-  b^  —  '^bby  -\-  ^byy  — y~'  00  a^  +  b^  oa  d'^ 

^aax  zo  2bby 


X- 


-bb 


aa 


§  6.  Les  §§  6  et  7  forcent  du  cadre  de  la  Pièce  I:  il  ne  s'agit  pas  ici  de  coordonnées  bipolaires 
(ou  tripolaires  etc.),  mais  de  coordonnées  cartéfiennes  orthogonales;  a  et  b  font  les  coordonnées 
courantes,  :>r  et  y  leurs  accroidements.  Lerapport  jrx  détermine  la  direction  de  la  tangente. 


Parabola  [Fig.  102].  /•  latus  reélum. 
[Fig.  102] 


a  —  X 


b—y 
b—y 


ar  —  rx    ao    bb  —  iby-\-yy 


rx  00  2by 

-2b  =  y- 


hr 


-X 

.r  bon. 


§  7.  In  circulo. 

+  aa+  lax  4-  xx  +  bb  —  2by  +  yy  00  aazo  bb 


2ax  zo  iby 


X' 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  ETC. 


495 


§  8  +).  HO  perpend.  in  tangentem  HK  [Fig.  103].  Hic  NT  ponitur  00  .r. 

Puil'qiie  (/+  c  =  conft.  (d'aprc^s  les  équations  qui  fuivent)  il  s'agit  ici  de  l'elliple. 


[Fig.  103] 


TN     NH      KL 

X -y e 


quœritur  DH. 


l'i 


LH 


TN      NIi       KL 
X « 


.  /  '"  LM 

X 


/C'f, 

LH 

ye  I  ce 
xjx 


Mil 


c «- 

eo  I  oe      00e 


KM 


eo  j  oe      00e     j  \ 
xj   d       dx        ( 


ne  I  ne      nne 
xj  c        ex 


MD 


+  ^mH 
x 


ad. 


ce 

X 


MH 


,      oe  ,   00e      ed -.-.J , 

d  —  -j+  -j Wd 

d       dx      X 


ne  ,   nne       ce  lit-» 

—  -| HU 

C        ex        X 


HB 


,  ne  ,   nne       ce 

c-\-  —  -\ 

c  CX  X 

,      oe       00e       ed 
d        dx       X 


zo  d  +  c 


c         ex         X 


ne  ,  nne  ,   00e      oe      ce  ^   ed 

—  + h-T-30-H h- 

c        CX       dx       d       X       X 


^)  IVIatiuscrit  F,  p.  273. 


496 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


§  9  5)  Lest-qiiationsquifuiventfontvoirqiricilcprodiiit  frt'desdeuxrayons  vedleursell  parhy- 
pothéfe  conftant.  Il  s'agit  donc  de  la  courbe  qui  plus  tard  recevra  le  nom  de  lemnifcate. 

ce 


,  ne  ,  fine 

c  +  — H 

c       ex 


X 

ed 


j  ,  oe  ,   ooe 

a       dx       X 


mult.  [Fig.  103] 


Omittuntur  in  quibus  plura  e  quara  unum. 

idée 


,    ,  dne  ,  dnne 

de  -\-  —  H 

c  ex 


X 


coe   ,   eooe  , 

-y  +  -j-  zo  ed 
d         dx 


ddnx  +  d^nn  +  ceoo  00  ecox  +  iddee 


NTx  00 


iddce  —  ddnn  —  eeoo 


^n^^^ddpp^rSSÎl 


eeo 


ddn  —  eeo 


dd  -\-ec 


ON 


ddn  —  eeo 

Atqui  ce  —  /;//  X>  pp  arque  etiam  dd  —  00  ZO  pp.  Huygens  défigne  donc  maintenant 
par/)  ce  qui  dans  la  Fig.  103  s'appelle  t,  et  dans  la  Fig.  104  s'appellera/». 

Iddn 
-P PJ- 

N.B.  quod  hic  [c.  à.  d.  dans  les  fadeurs  c  -\ etc.  (ir.d  —  -3  etc.]  in  numeratoribus  nul- 

lum  x.  et  unum  e  vel  nullum.  et  in  denominatoribus  tantum  unum  x.  Cumque  in 
œquatione  tantum  fcribenda  funt  in  quibus  unum  e  vel  nullum,  hinc  fit  ut,  five  qua- 
drata  inventarum  lincarum  five  cubi  five  rcélangula  ex  duabus,  vel  folida  ex  tribus, 
efficienda  fint,  femper  tamen  fimplex  x  jequale  proditurum  fit  quantitati  cognitse. 

§  lo').  Le  calcul  fuivant  s'applique  à  la  Fig.  104.  Le  réfultat  eft  le  même  que  celui  obtenu  dans 
le  §  9:  ce  qui  plus  haut  s'appelait  ON  elt  maintenant  défigné  par  BF  ou  x. 


[Fig.  i04_"' 


5)  Manuscrit  F,  p.  274. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  ETC. 


497 


Froprietas  ciirva-  MDS,  ut  Icmper  □  diianim  ex  C  et  A  puiiftis  ad  ipfam  dii(fta- 
rimi  cidem  fpatio  qq  îequalc  (k. 

CD       l)B  CK 


-P- 
-P- 


0  ■\-  X 


jP± 


+  px 


FH 


DE 


FG  FH 

pn  — px  pu  +  px  icoe  +  exe 


X  Icoe  -{■  L^.c       rM'  i 

e    — — L  Dk    , 

I  dn  —  dx  !  s. 

ex//    Da) 

ddn  —  ddx  —  coe  —  exe    . , ,  i 
5 5 AK/ 

du  —  dx  /  m. 

c-\-e       CE  ) 


cddn  —  cddx  —  ccoe  —  ccxe  +  ddne  —  ddxe  —  coee  —  cxee 

dn  —  dx 


30  q'' 


cco  +  ccx  +  ddx  00  ddn 

BF  .r  XI TV-     convenir  cum  ON  fFic;.  ic?  et  Fie.  ic;! 

cc  +  dd  L     s        .1  &        3J 

§11*}.  Hoc  modo  optimè  et  brevifllmc  ad  îequationem  pervcnitur  [Fig.  1 05]. 


Idem  hic  raodus  eft  qui  in  fine  paginœ  prœcedentis  [§  i  o]. 


[Fig.  105] 


*)  Manuscrit  F,  p.  275. 


63 


498  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


BH HN 

a   p   n — X 

LH       HN  LO      / 

c  — I — p m  +  X  /  ^ — —^--  OS 

OR  OS  HD 

pj^-px  pm±px ,  HX  nam  A  HOR  fimile 

a  ^  c 

KHD  et  A  HOS  fimile  KHX  ut  facile  apparet  propter  angulum  reftum  OHK.  nam 
HO  ponitur  perpend.  in  tangentem  HK. 


en  —  ex 


lame  +  axe  ,  ,v- 
am  -\-  ax e  / HX 

/     en  —  ex 


ame  —  axe  ^^  ^^^  ^^  ^  +  ^  BD  pro  BK 


en  —  ex 


—  ame  —  axe  ,  ir 
e 1-.K. 

en  —  ex  )  m. 

tf +  eBD 

—  aame  —  aaxe  , — .  „,.  ttt 

ae  +  ee do  ae  □  BH,  HL 

en  —  ex 

ecne  —  eexe  —  aame  —  aaxe  do  g 

ecn  —  aam  ^^.t 
DO  :j:ON 

ee  +  aa 

ON  [ou  plutôt  BF]  ex  pag.  ante  prœcedentem  -^ convenit  cumhacON(// 

pro  c,  e  pro  a,  0  pro  »/),  fed  hic  fàcilius  invenitur. 

§  1 2.  Cas  où  la  courbe  confidérée  eft  déterminée  par  la  conftance  de  la  femme  des  deux  rayons 

vefteurs  c  et  </: 

,   ne   ,   nne       ee 

c  +  —-\ 

e        ex        X 

S   [termes  obtenus  au  §  8] 
,   «1?  ,  nne      ee  ' 
c  +  —  H ; 

'innée       'xe'^e        „          ,      .      dooe  d'^e        .   ,     ,, 

c5  +  ^nex  +  ^— -  —  ^—  +  r/3  —  2doe  +  3 3  —  do  r^  +  ^3 

XX  XX 


"^nee  +  3««f  —  3^3  —  ylox  +  '^doo  —  3^^  do  o 
^3  +  f  3  —  doo  —  cnn 

x  DO ; 

en  —  do 


FATIO  OF,  Ul'ILMI.R  hT  IIUVCFNS.  KTC. 


4^!; 


Sed  dd—  00  y^  pp^  ce  —  m  zo  pp     NT  x  x  J'tj^JPP  fFig-.  loq  où  toutefois 

en  —  do   ^    ^        "^ 

/i  s'appelait  y] 

PP 


X  30 


en  —  do 
NO  00 


en  — do 


d  +  c 


$  1,-5.  Proprictas  ut  folidum  triiim  rcftariim  h  punftis  B,  L,W[Fig.  io5]adciirva.' 

pundiim  ducftarum,  fcmpor  eidcin  (blido  x'qualc  fit.  Solidum  d"^  oo  acb. 

—  ame  —  axe  ^ -^        .  ^^  ^         ,    .     ^  ,  — aoe — axe  ,,j,j        „,„ 
c •  La  pro  LK  [voyez  le  §  i  il.  ^  — , ; WV  pro  WK. 

en  —  ex  ^  bn  —  bx  ^ 

a  +  eJiD  pro  BK. 

C'eft  de  ces  formules  que  Hiiygens  fera  ufage  dans  le  Manufcrit  G  en  confidérant  la  première 
ovale  de  Descartes;  voyez,  à  la  p.  463  qui  précède,  la  Pièce  IV  des  «Mathematica  varia  168 1 
—1695". 

bame  —  baxe     —  eaoe  —  eaxe 


cb 


en  —  ex  bn  —  bx 

a  +  e 


ecb  4-  ^eb 

—  baame 

—  baaxe 

—  aaeoe  ■ 
bn~ 

—  aaexe 
-bx 

30  d> 

en  — 

-ex 

0  X»  ncbe  - 

—  xebe  — 

baame  — 
e 

baaxe  — 

-  aacoe  — 
b 

-  aaexe 

necbb  —  bbaam  —  aaeeo 
ecbb  +  aabb  +  aacc 

§  14.  Proprietas  ut  fumma  quadratorum  ab  L  et  B  pundis  [Fig.  105]  ad  curvam 

inclinatarum  fit  femper  eidem  fpacio  œqualis. 

,  — icame — laexe       ,  , ,   ,  ,  „^ 

aa  Ar  ce  ■yi  ce qu.LA  -^  aa  +  lae  qu.BD 

en  —  ex 

—  leame  —  laexe  +  laene  —  laexe  oo  o 


acn  —  acm 

00  X 

lae 

five  \n  —  i/«  30  X 

hic  curva  fit  circuli  circumferentia  Q. 


7}  Puisque  X  -\-  m  =1  \  (jn  -\- 11^  =  LO,  de  sorte  que  toutes  les  normales  à  la  courbe  passent  par 
le  même  point  O  (situé  au  milieu  de  LB). 


;oo 


PROBLliMRS  ET  METHODES  MODERNES. 


§  1 5  ').  /•  latus  reiftum  panibolîc  [Fig.  loô]./»/»  oo  ar. 

BC  CD  1:0  /  GB 

[t'V  'o^]  /  ex 

^  I  P 


P- 


^^GC    30    EF 


P 

-J- 30  ûf  —  re    qu.  YE 

pp  —  2^a' 


Ov 


ar 


2ex  zo  ar 


re 


x  00  ir 


JJ  1 6  y).  Nacura  curvœ  EE  [Fig.  107]  elt  hsec  ut  fit X)  /^k-  +  bcd-\-cda  + 

rt^/yZ»  [AE  =  ^,  BE  —  ^,  CE  =  f,  DE  =  «'].  EQ  perpend.  tangenti  ET. 

[Fig.  107] 


/l\c^-2r 


«»;^ 


axe 


b- 

d- 


—  cn-\-  ex 
aoe  —  axe 


— hn-\-  hx 
aqe  —  axe 
— diiAr  dx 

a    +    c 


[-  r  +  A  f] 

[=^+ A  Z'] 

[=^+  A  rt?] 
[=  ^  4-  A  «] 


Voyez  les  §§  11  et  13  qui  prcctdent  fur  ces  exprefîîons  qui  reprcfentent  les  accroidemeius 
[-i<7,  ii>,  Ac,  Arf]  des  quatre  rayons  vecteurs  lorfqu'on  pafTe  du  point  H  au  point  K  [Fig.  108].  HK 
eft  donc  un  élément  de  la  courbe  et  en  même  temps  de  la  tangente.  HO  J_  IIK  eft  la  normale  à  la 
courbe  au  point  H. 


')  Manuscrit  F,  p.  i-(>. 

*)  Manuscrit  F,  p.  2-6 — 27; 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HfYGENS.  RTC. 


;oi 


Hiiygens  écrit  que  l'accroidcmein  de (g  étant  apparemment  une  confiante),  lorfqu'on 


[Fig.  .08] 


pafle  du  point  H  au  point  K,  eft  égal  à  celui  de  abc  -\-  bc(l-\-cila  -f-  dah. 

En  effeftuant  la  multiplication  \c-\-^c]\_b-\-M>]  [^+ Ac/]  [^-fi^],  où  11  ndglij,'e  les  termes 
contenant  e  à  un  degré  fupérieur  au  premier,  en  retranchant  enfuite  cAc//;  de  ce  premier  produit, 

et  en  divifant  linalement  par  ^,  il  trouve  ce  que  nous  appelons-  ^(ahctT),  accroiirement   de- . 

g  g 

De  la  même  manière  il  trouve  -i  (///^f)  etc. 

L'équation  -  à  (^aùcc/)  =  A  (^^èc  +  hcil  ■\-  ciln  -(-  clab~)  permet,  après  divilion  par  e,  de  trouver 

l'inconnue  v.  Hiiygens  obtient 


haaccq  \ 


caahhq  f 


—  ne  '  hdâ  —  aahddm 

—  ncbbdd  —  aacddo 

—  nhbdcc  —  aadhhm  —  daacco 

—  ddbam  —  ddccae  —  bbccaq 


in  g. 


+  nddbbcc  +  aaddbbm 
+  aaddcco  -f  aahbccq 


—  bccdd  —  (tabdd  —  baacc  \ 

—  bhcdd  —  aacdd  —  caabb  f 

—  ccbbd  —  aabbd  —  daacc  ( 

—  ddbba  —  ddcca  —  bbcca  1 

Si  reftituatur  valor  g  qui  eft 


+  ddbbcc  +  aaddbb 
+  aaddcc  +  aabbcc 


[Fig.  108] 


abcd 


(it  .V  hic  idem  quod  QF 


abc  +  bcd  +  cda  +  dab 
Leibnitzio  pag.  fequenti  [Fig.  107]. 

Conftrudlio  Leibnitzij  [il  s'agit— voyez  la  note  .modela p.486  —  delaconftruftionindiquée 
dans  le  tableau  du  N°  12 1 4,  f.  VIII,  p.  269,  Leibniz  à  Huygens,  26  janvier  1680].  y  =  GF  [lifez 


5oa 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


'     fe       •  -1  «3  ^  ^3  ^  c''  ^  //S  a^^  b^        c^        d^ 


Ci         d^ 

TF        FF 

.  Par  K,  0,  /«,  ot  ^  il  faut  entendre  FA,  FB,  FC  et  FD,  Fig.  107: 

s—<—y 
104  et  105. 


comparez  les  Fig. 


ommsg^     yy+^+yy+yi 

^  a^      b^      c^      d'^ 


30  .f  30  TF 


0 


m 


a'i      b'i      c^^  d^ 


EF 


EF 

y 


'^/fQ  Leibni 


rpp  b'c^d^yy  +  c^z/'i^^vv  +  d^'a'^b^yy  +  a^b^c^yy 

'~b^cÙ'^f!  +  c^d^a^o  +  d^a^b^m  +  <^3^,3c3^ 
zio '°),  mihi  NO  [Fig.  108]. 
b^c^d^n  +  c^d^a^o  +  d^a^bhfi  +  a^b^c^û      _^  .^^     , 

-^W3  +  C3i3^,  +    ^3^3^3    +  ^3^3,3-  ^  FQ  X  X  CO  ^0  lUlhl  [comme  Ilnygens  le 
difait  plus  haut,  d'après  fa  formule  pour  x,  en  >■  fubftituant  g  =    1,1  j,     j  a.  j  i}' 


§  Ij.  Les  „curvs  filares"  (exprefîîon  de  Huygens)  confidérées  par  Tfcliirnhaus  ne  font  pas 
exclufivement  celles  où  les  fils  font  tendus  par  des  points  matériels  (ou  plutôf,  pour  fixer  les  idées, 
par  des  ftylcts  linéaires  perpendiculaires  au  papier)  demeurant  tous  en  repos  à  l'exception  de  celui 
dont  la  pointe  trace  la  courbe:  ils  peuvent  également  être  tendus  par  des  courbes  convexes  fixes  et 
rigides  fituées,  comme  les  points  fixes,  dans  le  plan  du  papier  ou,  fi  l'on  préfère  cette  expreiïion,  dans 
!e  plan  de  la  „curva  filaris". 

Le  pafl^age  fuivant  du  Manufcrit  G  "),  ou  plutôt  la  Fig.  109  à  laquelle  il  fe  rapporte,  fait  bien 
voir,  lorfqu'on  confidère  A  comme  un  point  lumineux,  le  rapport  exiftant  entre  des  courbes  ainfi 
conftruites  et  certaines  catacauftiques  '"). 

Si  ABCE  fit  filum,  defixum  in  A  pundto 
ecambiens  curvam  CE  '3).  Eoque  femper 
tenfo  defcribatur  curva  BF.  Oftenden- 
dum  reélas  AB,  BC  curvs  BF  vcl  reftœ 
ipfam  tangcnti  in  B,  sequalibus  angulis 
occurrere.  Oftendendumdeindeexpuncfto 
B  non  pofle  exire  nifi  iinam  curvam  ut 
BHF  '+),  ita  comparatam  ut  dufta  a 
punfto  ejus  aliquo  H  refta  AH,  et  HG 
tangente  curvîe  CE,  utraque  AH,  HG 
occurant  curvœ  BHF  angulis  jequalibus. 
Hx'c  D°.  Tchirnhaus  deraonilranda  funt. 
IVous  avons  déjà  fait  mention  en  termes  gé- 
néraux de  ce  théorème  de  Tschirnhaus  à  la  p.  48  3 
de  l'AvertiflTement  qui  précède.  Or  comme  Tschirnhaus  l'affirme,  le  théorème — dont  il  ne 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  ETC. 


503 


donne  pas  la  démonftration  difant  iiu'elle  ferait  trc-s  longue  '3)  —  eft  correft  quoique  Huygens 
femble  ne  pas  en  avoir  trouvé  la  preuve,  fans  doute  faute  d'y  réiléchir  férieufement.  Il  fuflit,  pour 
en  faire  voir  la  vérité,  de  remplacer  la  courbe  fixe  par  un  polygone.  Dans  le  cas  de  la  Fig.  109  bis 
la  „curva  filaris"  BH  fe  compofe  de  deux  (etc.)  arcs  d'ellipfe  le  raccordant  au  point  ï'  et  dont  le 

premier  a  pour  foyers  les  points  A  et  C,  le  deuxième 
les  points  A  et  G.  Il  ell  donc  évident  que  la  tangente 
eft  perpendiculaire,  d'abord  à  ta  biflecnrice  de  l'angle 
ABC,  enfuitc  à  celle  de  l'angle  AlIG.  Or,  ceci  refte 
vrai,  quelque  grand  que  foit  le  nombre  des  côtés  du 
polygone;  l'on  peut  être  allure  qu'il  en  fera  encore 
de  même  à  la  limite  lorfque  le  polygone,  pour  nous 
exprimer  ainli,  devient  une  courbe.  Comparez  fur 
les  démonflrations  de  ce  genre  les  notes  1  de  la  p. 
388,  4  de  la  p.  401  et  9  de  la  p.  403  du  T.  XVIII. 
Notre  démonftration  refte  valable  lorfque,  comme 
dans  certaines  figures  de  Tschirnhaus,  le  point  fixe 
A  eft  remplacé  lui  aulTi  par  une  courbe  convexe 
fixe. 

Il  eft  de  plus  évident  que  dans  le  cas  de  la  Fig. 
109  bis,  et  par  conféquent  aulli  dans  celui  de  la  Fig.  109,  il  n'y  a,  lorfque  le  point  B  eft  donné  (de 
même  que  le  point  A  et  le  polygone,  ou  la  courbe  fixe)  qu'une  feu/e  courbe  continue  BPH  capable 
de  concentrer  la  lumière  réfléchie  fucceiïivement  en  C,  en  G,  en  E  etc.,  précifément  celle  qui  fe 
compofe  des  arcs  d'ellipfe  dont  nous  avons  parlé. 

Nous  obfervons  encore  qu'on  a  dans  la  Fig.  109  AB  +  BC  +  arc  CG  =  AH  +  HG,  cequi 
peut  conduire  dans  certains  cas  à  la  rectification  de  la  courbe  fixe  (ou  catacauftiquc).  Tschirnhaus 
fe  vante  de  pofleder  une  méthode  fort  générale  pour  la  reftification  des  courbes.  Dans  le  cas  p.  e. 
de  la  réflexion  de  rayons  parallèles  fur  une  circonférence  de  cercle  (du  côté  concave),  ce  qui  eft  le 
cas  confidéré  en  1678  par  Huygeiis  (T.  XVIII,  p.  t,ç^'),  ainfi  qu'en  1690  dans  le  Traité  de  la  Lu- 
mière (T.  XIX,  p.  537)  et,  en  mars  1691,  à  la  p.  73  du  T.  X,  on  a,  dans  la  figure  de  cette  p.73,arc 

VPZ  =  XI  -f  IZ,  donc  „tota  VME  =  -  AN" conformément  au  préfentM^wi>ff;?(/tf  Tschirnhaus: 

le  point  lumineux  (A)  de  la  préfente  Fig.  109  fe  trouve  alors  à  l'infini,  les  points  B  et  H  delà  Fig. 
109  font  les  points  V  et  I,  ou  V  et  A,  de  la  figure  de  la  dite  p.  73  '5). 


'°)  La  Fig.  107  ne  se  distingue  de  la  figure  de  Leibniz  (T.  VIII,  p.  269)  que  par  le  fait  que  dans 

cette  dernière  la  lettre  Q  fait  défaut. 
")  Manuscrit  G,  p.  48  r.  Voyez  sur  la  date  de  cette  page,  1690,  la  note  i  de  la  p.  190  qui  précède. 
'^)  C'est  à  ce  rapport-ci,  nous  semble-t-il,  que  Tschirnhaus  fait  allusion  dans  ses  paroles  citées  dans 

notre  note  22  de  la  p.  515  du  T.  IX. 
'5)  Comparez  les  figures,  et  le  texte,  de  Tschirnhaus  aux  p.  143  et  161  du  T.  IX.  C'est  à  la  p.  143 

que  Tschirnhaus  dit  ne  pouvoir  donner  ii  démonstration  „absque  multarum  figurarum  ope 

adeoque  nimia  prolixitate",  ajoutant  ne  pas  être  certain  de  ne  pas  „alicubi  errasse". 
'"t)  Ici  Huygens  songe  sans  doute  à  sa  démonstration  de  la  Propos.  IV  de  la  Troisième  Partie  de 

r„Horologium  oscillatorium"  (Fig.  57  à  la  p.  198  du  T.  XVIII). 
■5)  Déjà  dans  son  article  de  1682,  où  la  construction  par  points  de  la  catacaustique  du  cercle  est 

erronée  (voyez  la  note  4  de  la  p.  381  du  T.  VIII),  Tschirnhaus  avait  néanmoins  donné  cette 

rectification  (T.  X,  p.  72,  note  3).  Tschirnhaus  publia  une  construction  correcte  en  février 


504  PROBLKMES  ET  METHODt^S  MODERNES. 

Nous  avons  publié  un  facfimilé  de  la  p.  48r  du  Manufcrit  ('.,  où  le  trouve  la  Fig,  109,  dans  notre 
article  —  comparez  la  p.  594  qui  fuit  —  „neiix  pages  confécutives  du  Manufcrit  G  deChr. 
Huygens"  inféré  dans  la  revue  „Ianus",  organe  de  la  fociété  hiftorique  néerlandaife  des  Iciences 
médicales,  exaetes  et  naturelles,  1'  à  3'  livraifons  janvier-mars  1940  *.  On  trouve  dans  le  même 
article  la  Fig.  109  bis  et  le  facfimilé  de  la  p.  47V  du  Manufcrit  contenant  les  définitions  du  corps, 
de  la  furface,  de  la  ligne  et  du  point  fur  laquelle  on  peut  confulter  les  p.  190  et  fuiv.  qui  précédent. 

À  cet  article  fait  fuite  un  deuxième  article  —  voyez  également  la  p.  594  qui  fuit  —  intitulé 
„Démoul"lration  mécanique  des  théorèmes  de  Tfcliirnliaus  conlidérés  dans  le  T.  XX  des  Oeuvres 
Complète>  de  Clir.  Huygens"  (Janus,  -'  à  9'  livraifons  juillet — feptembre  1940).  Nous  y  difons 
être  d'avis  que  Huygens  n'aurait  pas  récufé  cette  démonflration:  voyez  (T.  XVII,  p.  286)  ce  qu'il 
dit  en  1659  fur  la  méthode  mécanique  d'Archimède  fervant  à  démontrer  une  ou  des  propofitions 
géométriques  et  confultez  auflî  fur  la  Méthode  d'Archimède  dont  il  s'infpirait  parfois  lui-même 
la  note  5  de  la  p.  553  qui  luit. 

•  E.  y   Brill,  Uidt. 


1690,  dans  les  jours  mêmes  où  parut  le  Traité  de  la  Lumière  (voyez  la  p.  1 54  du  T.  IX).  Il  ne 
se  sert  pas  en  cette  occasion  de  son  théorème  comme  nous  le  faisons  ici. 

Huygens  dit  en  1690  (T.  IX,  p.  513)  être  d'avis  que  Tschirnhaus  avait  vu  les  épreuves  du 
Traité  de  la  Lumière,  plus  tard  il  écrit  (T.  X,  p.  496)  que  Tschirnhaus  avait  vu  son  manuscrit. 


IL 

SOLUTION  DU  PROBLEME  PROPOSÉ  PAR  M.  LEIBNLFZ  DANS  LES 
NOUVELLES  DE  LA  REPUBLIQUE  DES  LETTRES  DU  MOIS  DE 
SEPTEMIUIE  1687  [SUR  LA  COURBE  DE  DESCENTE  UNIFORME]. 

1687. 


Cet  article  de  Huygciis  qui  porte  la  date  du  8  o(5tobre  1687  et  a  été  publié  dans  la  livraifon  de 
ce  mois  des  „Nouvelles  de  la  République  des  Lettres",  conftitue  le  N°  2489  (p.  224)  de  notre  T. 
X;  nous  y  avons  ajouté  comme  Appendice  (N°  2490)  la  Pièce  de  feptembre  1690  de  la  p.47(nu- 
mération  de  Iluygens)  du  IWanufcrii  G,  qui  d'ailleurs  avait  déjà  été  publiée  en  1833  (à  l'exception 
de  l'en-téte)  par  Uylenbroek  aux  p.  22 — 23  de  fon  Fafciculus  II. 

Il  s'agit  du  problème:  «Trouver  une  ligne  de  defcente,  dans  laquelle  le  corps  pefant  defcende 
uniformément  et  approche  également  de  l'horizon  en  temps  égaux". 


64 


III. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  REGLE  POUR  TROUVER 

L'ÉQUATION  D'UNE  COURBE  LORSQUE  LA  SOUSTANGENTE  EST 

DONNÉE  EN  COORDONNÉES  CARTÉSIENNES  („PROBLÉME 

INVERSE  DES  TANGENTES"  OU  „PROBLÈME 

DES  TANGENTES  RENVERSÉES"). 


[1691] 


[Fig.  109] 


Les  §§  I — 2  traitent,  comme  les  fuivants,  du 
problème  inverfe  des  tangentes;  mais  la  „methodiis 
Fatij"  n'apparaît  qu'au  §  3. 

Quoiqu'il  en  foit  ainfi  dans  toutes  les  figures, 
il  n'eft  pas  nécessaire  que  les  coordonnées  l'oient 
orthogonales. 


]/  rr — XX 


FD 


BD 


HF 


FO 


[Fig.  109] 


■x- 


j      rx 


œquatio  curvs  AO, 

xxyy  —  rryy  +  rrxx  ao  o 
TFooFO        FS       FS/       zz 
rx  I 


rx 


zoy 


FK 


\/^rr  —  XX  I  \/rr  —  xx 

ST  perpend.  curvœ  AS.  SK  perpend.  TS. 

fubnormalis  FT  do  FO  x  ; 


Ergo  FK  00  ^■^V^r  —  xx  f^bcangi 


XX 


ens. 


rx 


C  D  G  eft  une  circonférence  de  cercle. 


Quîeritur  natura  curvEe. 

Ihiygens  propofa  ce  problème  à  Leibniz  le  23 
février  1691  (T.  X,  p.  21),  difant:  Si  voflire  mé- 
thode ne  s'arrefle  pas  à  ces  racines,  vous 


')  Manuscrit  G,  f.  84  r  (p.  (>(>  suivant  la  numération  de  Huygens).  Les  dates  i  Jan.  1691  et  26 
Mart.  1691  se  trouvent  respedivement  aux  pages  57  et  83  de  Huygens;  la  date  du  22  Apr. 
1691  à  la  p.  104.  Voyez  aussi  sur  la  f.  84r  la  note  8  de  la  p.  21 1  du  T.  X. 


FATIO  DE  DUiLLIER  ET  HUVGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  507 

avez  quelque  chofe  de  plus  que  M'.  Fatio,  quoy  qu'il  ait  défia  palR'  mon  attente. 

Voyez  encore  fur  ce  fiijec  la  (in  Uu  §  2. 


Oftcnfum  pag.  58  '),  quod  uc  DB  ad  BC,  ita  □  HA  ad  (patium  OFA  [voyez  le 
§  I  bis  qui  fuit] 

DB  BC nHA/        fpat.OFA 

X r  —  l^rr  —  xx rx     /  rr  —  r  \/ rr  —  xx 

Ergo  ex  theoremate  Barrovij  [voyez  le  §  1  ter  qui  fuit] 

fpat.  OFA 
4  qu.  FS  c»  rr  —  r]/rr  —  xx  00  — 

2rr  —  2r  \/rr  —  xx  oo  zz 

z*  —  ^rrzz  +  i\rrxx  00  o       œquatio  curvje  quadratricis  AS. 
Sed  hœc  ex  data  fuperius  FK  eft  invenienda. 

422 

—  42+  +  Srrzz  (.     —  2+  +  "i-rrzz  ^.^      zz  \/ rr  —  xx  -ov 

— ^-TT— i five  — — — FK  00  :=i^-!i tz  FK  ante  inventa. 

orrx  irrx  rx 

—  22  +  irr  "X)  ir\/  rr  —  xx 

22  00  irr  —  2r\/  rr  —  xx  convenit 
cum  [ante  inventis].  Ergo  curva  fatisfàcit. 


Aequatio  curva  AON     xxyy  —  rryy  +  rrxx  xi  o. 
—  ixxyy  H-  irryy 
2xyy  +  2rrx 


—  xxyy  +  rryy  ^  ,  ,  .  ^ 

=^^— --^  fubtangens  ad  curvam  AO. 

xyy  +  frx 


—  xxyy  +  xxyy  +  rrxx 
xyy  4-  rxx 


fubtangens  eadem  implicata. 


yy  Ar  rx 


=)  Manuscrit  G,  f.  80  r  (p.  58  de  Huygens). 


5o8 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


Si  [in 


z*  +  irrzz 


30  FK]  in  —  z^  fubftituatur  pro  uno  zz  ejus  valor  in 

zz  \/rr 


rx 


fubtan- 

^rrzz  + 


ir  \/rr  —  xx^  qui  ex  ajquatione  curva:  invenitur,  fiet  FK  oo  - 

gens,  quœ  alioqui  non  facile  apparet  quomodo  ex  sequatione  curvœ  x-^ 
^rrxx  zo  o  deducatur. 

§  I  bis  [voyez  le  §  i  (1.  3  de  la  p.  507)]  3^.  ACGcirculiquadrans  [Fig.  1 10].  CLGA 

quadratum.  à  punfto  peripheria  D  cadunt  in  AG 
et  AC  perpendiculares  DF,  DB. 
FD  ad  DB  ut  HF  ad  FO. 

FD               DB       HF       FO 
'[/rr—xx  — I —  X r  — , —  y 


[Fig.  iio] 


y  \/rr — XX  30  rx 


xxyy  —  yyrr  +  rrxx  oo  o 
Hujus  curvEe  fpatium  infinitum  AONMG,  £e- 
quale  eil  quadrato  CG.  Item  Tpatij  ejus  portio,  ut 
OAF,  eft  ad  reftangulum  FC,  ut  BC  ad  BD.  Sive 
fpatium  OAF  efl:  œquale  |^°  BL.  ut  facile  appa- 
ret ex  calculo. 

Quia  enim  AD  ad  DF  ut  particula  curvs  mini- 
ma  EDE  ad  KK,  erit  AD  feu  HF  dufta  in  KK  30 
DF  duftœ  in  EE.  ideoque  pars  fuperficiei  cylindri- 
cœ  ex  KK  circa  AG,  jequalis  parti  fuperficiei  Iphse- 
ricîe  ex  EE  circa  eandem  AG.  Unde  (ut  notum 
eft)  tota  fuperficies  cylindrica  ex  CL  circa  AG 
îequalis  fuperficiei  fphjericœ  ex  arcu  CDG  circa 
AG.  Porro  quia  fuperficies  ex  EE  circa  AG  ad 
(uperficiem  ex  eadem  EE  circa  CA,  ficut  DF  ad  DB.  erit  et  fuperficies  ex  KK  circa 
AG,  ad  fuperficiem  ex  EE  circa  CA,  ut  DF  ad  DB,  hoc  e(l,  ex  conflruftione,  ut  HF 
ad  FO.  atque  ita  tota  fuperficies  cylindrica  ex  CL  circa  AG  ad  fuperficiem  fphœricam 
ex  arcu  CDG  circa  CA,  ut  omnes  HF  ad  omnes  OF,  hoc  efl:  ut  quadratum  CG  ad 
totum  fpatium  infinitum  AONMG.  Eil  autem  oflenfa  fuperficies  cylindrica  ex  CL 
circa  AG  œqualis  fuperficiei  fphœricaa  ex  arcu  CDG  circa  AG,  ideoque  et  fuperficiei 
fphœricas  ex  arcu  CDG  circa  CA,  quia  utraque  dimidia;  fphœrai  fuperficiei  œqualis 
eil.  Ergo  ratio  fuperficiei  ex  CL  circa  AG  ad  fuperficiem  fpha^ricam  ex  arcu  CDG 


3)  Manuscrit  G,  f.  80  r  (p.  58  de  Huygens). 


l'ATlO  OK  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROHLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  509 


circa  CA  erat  ratio  aqualitatis,  ac  proinde  et  ratio  qui  CG  ad  fpatium  infinitum 
AONMG  erit  a«qualitatis,  qiiod  erat  demondraiiduin. 

Porro  ex  ratione  demonllrandi,  patet  etiam  fiiperficiem  cylindricam  ex  CH  circa 
AF  five  ex  arcii  CD  circa  AF  efTe  ad  (iiperficicm  ex  codera  arcu  CD  circa  CB,  ut 
redangulum  HA  ad  fpatium  curvœ  CFA.  Atqui,  ex  Archimede  e(Kuperficies  ex  CD 
arcu  circa  AFad  fuperficiem  ex  eodem  arcu  CD  circa  CB  ficut  exceiTus  quadrati  CG 
fupra  qu.  GD  ad  quadr.  ex  CD  refta  +),  hoc  elt  licut  cxceflus  AG  fupra  GF,  feu  ficut 
AF  aut  BD  ad  BC.  Ergo  et  reftangulum  I  lA  ad  fpatium  OFA  ut  BD  ad  BC,  quod 
erat  demonllrandum. 


S  I  ter  [Theorema  Barrovii:  voyez  le  §  i  (I.  7  de  la  p.  507)].  On  peut  confulter  fur  le  théo- 
rème de  Barrow  (Leftio  XI  s),  dernière  des  Leéliones  Geometrica;  publiées  en  1674)  la  note  8 
de  la  p.  21 1  du  T.  X,où  a  été  cité  le  „§  i"  de  la  préfente  Pièce.  Nous  inférons  ici  l'énoncé  et  la 
démonftration  de  ce  théorème  tels  qu'ils  fe  trouvent  à  la  p.  14  du  Manufcrit  H  datant  de  la  fin  de 
1691  ou  peut-être  de  1692  *). 

Theorema  Barrovij  de  quo  in  pr^cedentibus  eft  hujufmodi. 


[Fig.  m] 


AB  [Fig.  III  ]  eft  curva,  AC  refta,  ad  quam  nor- 
malis  applicata  BC;  cuiquc  produits  occurrit  nonna- 
lis  curva^  BD  in  D.  Jam  fubnonnali,  quam  dico,  CD, 
îequalis  iîatuatur  CF  eidem  AC  perpendicularis  idque 
fie  ubique  fieri  intelligatur,  et  cffe  curvam  FE,  ad 
quam  omnes  iiïx  fubnormales  ereto  tenninentur. 
Jam  fpatium  AEFC  erit  squale  dimidio  quadrato  BC. 
Sit  AC  05  X,  CB  00  y\  CD  ao  z,  HK  feu  GC  oo  /., 
KB  DO  A.  Ex  punfto  H  proximo  B,  cadat  HG  per- 
pendicularis in  AC,etducaturHKparallela  AC.Jam 
GC  differentiola  rdiv  x  eft  k.  Et  BK  differentiola  ruv 
y  e(\.  A.  ut  in  fuperioribus.  Et  quia  triangula  fimilia 
"funt  HKB,  BCD,  erit  ut  BC,  y  ad  CD,  z  ita  HK,  k 
ad  KB,  A.  Unde^f  A  ao  ^  x.  Et  fumma  omnium  v  A  x> 
fummje  omnium  2 x;  hoc  efl:  i  qu.  BC  oo  fpat.  AEFC. 
Efl:  enim  3^  A  reftangulum  exiguum  LN,  faftd  LM  xi  LA  oo  BC  xi  y.  namMN  oo 
BK  00  A.  Itemque  zkqû  reftangulum  feu  Ipatiolum  GF.  atque  ita  fingula  redlangula 


"*)  La  «superficies  ex  arcu  CD  circa  CB"  étant  la  différence  des  surfaces  de  deux  segments,  la  pro- 
position résulte  immédiatement  de  la  Prop.  XIII  du  Livre  I  du  Traité  d'Archiméde„Desphîera 
et  cylindro";  texte  latin  de  Heiberg:  „Cuiusvis  spha;ra:  segmenti  minoris  hemisphsrio  super- 
ficies asqualis  eft  circulo,  cuius  radius  œqualis  eft  reds  a  uertice  segmenti  ad  ambitum  duftîc 
circuli,  qui  basis  est  segmenti  sphîerœ". 

5)  P.  251  de  l'édition  de  1860  des  „Mathematical  works  of  J.  Barrow"  par  W.  Whewell. 

*)  Comparez  sur  cette  date  la  note  i  de  la  p.  474  qui  précède. 


5IO 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


exigua  in  triangulo  ML  A  jeqiialia  refpeftivis  fpatiolis  feu  redlangulis  in  fpatio  AEFC. 

un  de  et  fumma  fumma;. 

Si  curva  VB  [Fig.  1 1 2]  non  incipiat  ab  axe,  fiet  area  AEFC  00  4^  qu.  BC  —  i  qu. 

VA.  Si  enim  ponatur  continuatam  curvam  BV 

[Fig.  112]  fP  convenire  cum  axe  in  O,  et  ex  fubnormalibus 

ipfius  VO  formari  OE:  erit  ipatium  OAE  as 
i  qu.  AV,  et  fpat.  OCB  x»  i  qu.  BC.  Unde  &c. 


Quîeritur  quje  curva  talem  [fubtangentem]  det. 

Leibnitfius  curva  îequationem  banc  [2+  — 

j^rrzz  +  i^rrxx  zo  o]  ex  data  fubtangente 

2^  I  /  ff*  —^  'ï*ir 

— l^-— —  invenit  infigni  artificio.  Ait  au- 

tem  et  pluribus  alijs  ciirvis  eandem  fubtangen- 
tem convenire,  atque  inter  esteras  huic 
2+  +  rrxx  —  r+  00  o.  quod  non  puto  ita  effe. 

4 


fubtangens 


■42;+ 


2rrx 


ex  régula.  Sed  zz  oo  y  r^  —  rrxx  ut 


ex  jequatione  curva  facile  apparet. 

—  422  ]/^'r*  —  rrxx 


2rrx 


■  fubtangens 


— 2ZZ  ]/^rr — XX 


rx 


Eft  ergo  dupla  ejus  quse  in  priore 
curva  noftra  et  propter  fignum  —  prafixum  ultra  x  accipienda  eft. 

Leibniz  avait  pleinement  raifon  en  difant,  dans  fa  lettre  du  2  mars  1691  (T.  X,  p.  50),  que  la 


fouftangente 


y-  Va^ 


convient  à  plufieurs  courbes;  Huygens  le  reconnut  dans  fa  lettre  du  5 


mai  (T,  X,  p.  93).  Seulement,  Leibniz  avait  écrit  par  erreur,  en  copiant  fon  brouillon,  a^x'^  = 

y* 

"*  — y*  au  lieu  de  rrx-  =  a^ (ou,  dans  les  notations  du  texte  de  Huygens,  z*  +  rrxx  — 

r*  =  o  au  lieu  de \-  rrxx  —  r"»  =  o\ 

4  ^ 


§  3  '').  La  „Regle  inverfe  des  Tangentes  de  Mr.  Fatio"  eft  clairement  expliquée  par  Huygens 
deux  ans  plus  tard  dans  fa  lettre  du  23  juillet  1693  au  Marquis  de  rHofpital.  Nous  pouvons  donc 
renvoyer  le  ledeur  à  cette  lettre  (T.  X,  p.  464 — 468).  Mais  on  trouve  aulïï  un  expofé  de  la  règle 
par  Fatio  lui-même  (avec  des  remarques  de  Huygens)  aux  §§  1 1  et  fuivants  de  la  préfente  Pièce. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  5  I  I 

xyy    -  aay  +  x'^  oo  o  îequatio  curvse.  Comparez  le  §  28  qui  fuit. 

Aequatio  tangentis  implicita 

—  aacjcv  +  ^^x 

r— 3' 2— 1— « 

2aa  —  2xy 

La  régie        Souftangente  :  y  =  dx  :  c/y        eft  valable  pour  une  courhc  quelconque.  Or,  tandis 

que,  dans  la  lettre  citée  de  1693,  Iluygens  défignc,  en  adoptant  la  notation  de  Leibniz,  par  (/.v  et  </y 

les  accroiiremeiits  des  variables  a-  et  3',  il  les  dcîfigne  en  1691  avec  Fatio  par  z  et  ti  refpettivement  ; 

z  et  II,  ici  et  dans  ce  qui  fuit,  rcpréfentent  donc  des  grandeurs  infinitéfiraales. 

—  2xxy  +  aux  — i—  "i^aay  —  ixyy 2  — j—  « 

—  ixxyu  -\-  aaxu  —  '},ciayz  +  'i-xyyz  00  o. 
Non  fuccedit  hic  methodus  Fatij. 
Comme  nous  l'avons  dit  dans  l'AvertilTement,  Huygens  avait  propofé  la  fouftangente 

— ; à  Leibniz  dans  une  lettre  d'août  idooidanslacorrefpondanceultérieureileftfouvent 

—  ix^y  -f-  (î^x 
queftion  tant  de  cette  fouftangente-ci  que  de  la  fouflangente j- . 

Aequatio  tangentis  fimpliciter  inventa  ex  terminis  œquationis  curvas  [c.  à.  d.  la  courbe 
xf^  —  a-y  -f-  jf3  =  o,  d'où  provient  aufli  r„»quatio  tangentis  implicita"  ci-deflus;  voyez  la  p. 
475  du  T.  IX]. 

—  aar-vy  +  aa'^ 

V -—^-y 2— r-« 

yy  +  3XX  ^ 


—  ^xy  +  aa yy  +  ycx 2 « 

—  ixyu  +  aau  —  yyz  —  '^xxz  do  o 

+  cid'S  — 'S'jx  —  x'^       00  o       hic  fuccedit. 
§  4.  Aequatio  ç.MXV'&y^  —  8^'?3'3'  +  \(>aaxx  00  o. 
Voyez  fur  cette  courbe  la  p.  473  du  T.  IX  et  le  §  27  qui  fuit. 

Aequatio  tangentis  implicita  — ~  +  ix  — —  ;y 2 «    x  .  A:  2 .  — 4 

Voyez  fur  x  et  Mes  §§  10  et  1 1  qui  fuivent. 

Huygens  avait  propofé  cette  fouftangente  implicite  à  Leibniz  en  même  temps  que  celle  du  § 
précédent. 

—  'S'S  +  4^''*^ -^3' ^ " 

—  yW  +  \xxu  —  ixyz  00  o  five  2x3^2  —  4  xxu  +  yyii  00  o 

—  yyy  —  ixxy 

—  1^3  —  xxy    non  fuccedit. 

Huygens  biffa  les  mots  „non  fuccedit"  ;  peut-être  le  fit-il  après  avoir  exécuté  le  calcul  du  §  27 
qui  fuit,  où  il  put  „intégrer"  l'équation  à  l'aide  d'un  transformateur. 
Aequatio  tangentis  fimplex  [voyez  la  p.  473  du  T.  IX] 
— y"^  -\-  \aayy 


^aax 


■y 


7)  iVIanuscrit  G,  f.  84  v  —  85  r  (pag.  67  et  68  de  Huygens). 


512 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


—  y^  +  i^aay Saax z u 

—  y^u  +  ^aayu  —  Saaxz  oo  o 

—  jy*  +  2aayy  —  ^aaxx  xi  o    hic  fuccedit. 

Itaque  data  œquatione  tangentis  lîmpliciter  inventa,  fuccedit  Fatij  Régula,  fed  non 
item  fi  implicita  fuerit  reftitutione  una  aut  pluribus  valorisexdatacurvœproprietatc. 

Ce  dernier  alinéa  eft  biffé.  Il  réfume  fort  bien  le  réfultat  provifoire  des  recherches  des  §§  3  et  4; 
mais  voyez  ce  que  nous  avons  dit  plus  haut  fur  le  calcul  du  §  27. 

§  5.  Non  fuccedit,  cum  terminus  aliquis  cequationis  tangentis  continct  radicem 
quœ  plures  uno  termines  includit  [comparez  la  remarque  de  Huygens  citée  au  §  1  et  s'appli- 
quant  h  la  même  fouftangente].  Veluti  CUm  datur 

y  y  \/  ^*'  —  X^ 


rx 
y\/  rr  —  xx 
uy  \/rr 


y 


rx 


u 


XX  —  rxz  30  o  aquatio  tangentis.  ubi  œquatio  curvje  efl: 
yy  —  irr  +  ir  \/rr  —  icx  ao  o  five  y^  —  \i"i'yy  +  \rrxx  co  quje  non  poteft 
per  Fatij  regulam  inveniri. 

Dans  la  fuite  de  ce  §  Huygens  calcule  encore  une  fois  la  fouftangente,  en  partant  exceptionnel- 
lement (voyez  la  p.  482  de  PAvertiflement  qui  précède)  d'une  équation  de  la  courbe  renfermant 
un  radical.  Mais,  conformément  à  ce  que  nous  avons  dit  dansTAvertiflement,  il  n'eft  pas  queftion 
d'une  différentiation  direfte  de  ce  radical. 


Aequatio  curvœ  yy  —  2/t  +  ir  \     rr  —  xx  oo  o 

s y s  +  e  r^—^  pro3?  [Fig.  113] 

yy  [ssyy -^risyye 

2rr  00  {  "  ?  add. 

+  2r  l/rr  —  XX 


[Fig-  113] 


ss 
—  irr 


^  +  ir  \/rr  —  xx  —  lex 


ee 


ssyy  —  irrss  +  irss  \/rr  —  xx 


DO 


syy  -f  isyye  —  issrr  -f  "xrss  \/rr  —  xx  —  ^ex 


rs  \/rr  —  xx  —  yye  00  rs  \/  rr  —  xx  —  lex 


r''ss  —  rrssxx  —  irsyye  \/  rr  —  xx  oo 
r'^ss  —  rssxx  —  irrssxe 


—  yy  \/^^  —  xx  00  —  rsx 


s  =  fouftangente. 


yyV 


rr 


00  s  hinc  non 


rx 


videtur  dari  regrelTus. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROULf^ME  INVERSE  DES  TANGENTES.  5  I  3 


S  6  ")•  ]/ ax  fubnormalis  quïelitae  curva;. 

],/  ax y y/T^"  ~^  lubcangens 

Methodus  Fatii  z  .  u:  -,- / ^-^  •  y 
y  ax  -^ 

[c.  à.  d.  z  — I —  u -^=     I      51  ou  2  ad  «  ut    ,  -  ^  ad  y.  Huygens  adopte 

ici  ci  fort  peu  près  la  notation  de  Fatio.  Toutefois,  ce  dernier  (•crit  (voyez  la 

p.  169  du  T.  IX  et  ie§  13  qui  fnit)3.«::  7j^=  .y,  ce  qui  eft  la  notation  de     *■ 

Wallis  dans  Ion  „Arithmetica  infinitorum"  et  ailleurs]  Parabola   a  latus 

z\/ ax  zo  uy  reftum 

—^—^iyy 


^ax^  30  ly* 


16 


-ç-ax^  00  y*  quadratrix  parabola; 


f X  \/ ax  30  y'^ 

fpat.  ABC  |a:  V ax  oo  ^yy  quadratura  parabolœ  ex  Barrovij  Thcoremate  [voyez 
le  §  I  ter  qui  précède;  dans  le  §  i  il  efl:  aulîi  queftion  d'une  «xquatio  curvîe  quadratricis"  en  con- 
nexion avec  le  théorème  de  Barrow]. 

§  7  9).  a^  —  aayy  —  xxyy  oo  o  œquatio  quadrandœ  quse  efl:  altéra  earum  quaî  ad 
Catenariam  utiles  funt. 

Voyez  fur  cette  courbe  la  p.  501  du  T.  IX  (Appendice  à  la  lettre  de  Huygens  à  Leibniz  du  9 
0(ftobre  1690). 


aa  +  XX 


-00  y  y 


aa  a  \/  aa  —  -yy 

T  /  00  y     — ^ ^  30  X 

]/  aa  +  xx      ^  y 


^^         z :,/zz]/aa  +  xx  fubtangens  cujufdam,  vel  h 

1/  aa  ~x~  XX  j  aa 

— ,  ,     ^       =.  Difficile  efl:  curvam  huic  propriam 
a  [/  aa  —  yy 

tricam.  Alioqui  et  curva  Catense  eflet  geometrica. 


— .  ,     ^       =.  Difficile  efl  curvam  huic  propriam  invenire,  nec  puto  extare  georae- 
a  Y  aa  —  yy 


8)  IVIanuscrit  G,  f.  89  r  et  v.  (p.  jf»  et  j-j  de  Huygens). 
y)  Manuscrit  G,  f.  92  v.  (p.  81  de  Huygens). 

65 


514 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


§  8  '°).  AB  parabola  cubica  y^  do  aax.  3  x  fubtangens.  ^x | / Ç  aax 

/iubnormalis  ED 
yÇaûxIa  [/Çaxx 
3* 


00  y  applicata  in  alla  curva  [Fig.  1 15]. 


[Fig.115] 


a*xx  DO  2y  x\y'^ 
a*  00  2jxy^ 

■^j  a*  DO  xy^  œquacio  curva;  cujus 
quadratrix  [voyez  la  tin  du  §  6  qui  précède] 
eft  parabola  cubica. 

Eadem  conflruftio  iubtangentis  non 
poteil  convenire  duabusautpluribuscur- 
vis  eundem  verticem  habentibus.  (1  in 
fubnormali  non  habeatur  ullum  y. 


§  9  ").  Addenda  exemplis  fubftitutio- 
num  in  fin.  p.  2  Epiflols  Facij.  ubi  unum 
x  in  2  et  unum  y  in  u  mutatur. 
C'eft  peut-être  la  lettre  du  3  avril  1691,  quoique  Fatio  y  écrive,  comme  Newton,  x  et  y  et  non 
pas  z  et  «[„.rv  =  Fluxion  de  l'efpace  AOF"  etc.]  Toutefois  les  „addenda"  du  préfent  §  correspon- 
dent plutôt  aux  données  du  §  1 1.  Il  eft  poffible  qu'il  s'agille  de  la  lettre  inconnue  de  Fatio,  anté- 
rieure à  1690,  dont  il  eft  queftion  dans  la  note  15  de  la  p.  571  du  T.  IX. 

axTy".  Subftituendum  vi\ax'°~'  2/  -j-  rïaxry''-'u 


temiini  dati  in 
ïequatione 
tangentis 


=  — ~  =  .r  v" 
3,4  -> 


3  =  x-yy~*  fubftituendum 


.v'fe^-^  fubftituendum  i-^Ji— ''^y-'/s 


.t''2«v 


2x2 
-5/3 


3x^a 


In  tennino  priori  ratio  fubftitutionis  eil  quod  per  exponentem  literœ  x  hoc  eft  { 
multiplicandus  terminus  datur.  Tum  unum  x  rautandum  in  2.  Sed  quia  hic  tantum 
habetur  x\  necefte  eft  quo  fiât  x  ut  ducatur  iftud  x''^  in  fimile  a*''',  ac  rurftis  per  hoc 
ipfum  dividatur,  feu  multiplicatio  fiât  per  a-"''^.  Itaque  his  faélis  oritur  i2.T~''2'v~^/3. 

In  tennino  pofteriori  ratio  eft  hîec.  Primb  ducendus  eft  terminus  datus  in  |  expo- 
nentem literje^'.  Tum  unum  y  mutandum  in  «.Sed  quia  habetur  tantum  7  ~^'%ducen- 
dum  hoc  in  y  +  ^'a,  quo  fiet  y'/',  fivey'  mutandum  in  «;  fed  et  rurfus  dividendum  per 


ji+5/3^  live  multiplicandum  perv"^'^;  quibus  ita  faftis  fit 
mino  fubftituto. 

1/x 


^x^i^uy^i^  pro  altero  ter- 


Tenninus  datus  a:''^"" ''s  idem  fignificat  quod   y  — ,  ubi  ut  poffit  mutari  unum  y  in 


"')  Manuscrit  G,  f.  çç  v.  (p.  ^j  de  Huygens). 
"}  Manuscrit  G,  f.  100  r.  (p.  98  de  Huygens), 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  5  I  5 

«,  facicndiim  ut  in  numeratore  appareat  y,  quod  fiet  (i  ce  numerator  et  denominator 
multiplicetur  utcrque  per  r,  undc  fit  iTT=2,  et  miitato  y  in  «,  K^r^^  quod  ita  fcribi- 

tur  x^'Hty  "  ''^ 

§  10.  Ex  3'.  [?]  La  propriété  des  Tangentes  ert  donnée  z.u::2x  -\-  5/1.3?  [voyez  fur 
la  notation  ::  Ie§6  qui  prcccdc].  d'où  TEquation  des  Tangentes  eft  ^3» —  2UX  —  ^pu  =  0 
[la  lbnftan};ente  étant  2,r  +  i/>  on  voit  qu'il  s'agit  de  dcmontrer  qu'on  a  affaire  à  une  parabole]. 
On  commence  par  chercher  le  tenne  générateur  des  deux  termes  correfpondants  non 
marquez,  lequel  doit  cflre  un  feul  terme  qui  contienne  .r  et  y.  Il  faut  connoitre  quel- 
les puiiïances  de  x  et  de  y  doivent  ertre  dans  ce  terme.  On  fcait  que  les  expofants  de 
ces  puiffances,  pour  lefqucls  on  met  k  et  A,  font  entre  eux  comme  les  nombres  qui 
font  au  devant  des  termes  correspondants,  les  quels  nombres  font  ici  i  et  —2.  Car 
puifque  les  termes  zy  et  — aux  doivent  venir  d'un  mcfme  terme  générateur,  les 
multiplicateurs  i  et  — 2  doivent  eflre  dans  la  raifon  des  expofants  de  x  et  de  r,  dans 
ledit  terme,  donc  x  à  A  comme  i  à  — 2.  Et  le  tenue  générateur  peut  donc  avoir  eflé 

X  z,         1  xu 

— .  Mais  cettuicy  fait  naiilre  ou  rend  les  termes  ~ '■ — ,  fcavoir  le  premier  en 

yy  y"      y^ 

multipliant  ce  correfpondant  par  i,  expofant  de  .r,  et  changeant  .r  en  ::,  l'autre  en 
multipliant  par  — 2,  expofant  de  3',  (qui  efl:  avec  le  figne —  parce  que  cela  marque 
qu'on  divife  par  3'-)  et  faifant  paroitre  un  y  au  numérateur  pour  eftre  changé  en  //, 

et  adjoutant  en  recompenfe  un  y  au  dénominateur.  Or  ces  termes  —  —  ^^,  ou  bien 

•VV  o  Vil 

-•  —  — —  font  dans  la  mefme  raifon  que  les  deux  termes  de  l'Equation  des  tangentes 

zy  —  1UX  a  cause  du  divifeur  commun  3'^.  A  fin  donc  d'y  faire  venir  auiïi  le  terme 
marqué  — \pu^  on  change  toute  cette  première  squation  en  multipliant  tous  les 

termes  par en  marge:  Il  y  a  une  règle  générale  pour  trouver  ce  tranfformateur 

la  quelle  n'eft  pas  dans  la  lettre  de  M.  Fatio.  Volez  pag.  1 20  [§  23  q"'  fuit]  —  ce  qui 

donne  l'équation  ^ ?Z_  30  o  des  termes  de  la  quelle  on  trouve  les  corres- 

^  v^       v^        y^ 

pondants  dans  l'équation  de  la  courbe  d'où  ils  font  venus  par  l'opération  converfe 
de  celle  qui  donne  l'équation  de  la  tangente,  quand  celle  de  la  courbe  efl:  donnée.  Et 

vient  —  4-  \^^ .  Scavoir  —  formé  de  l'un  des  deux  ^  ou ,  (mais  on  a  défia  vu 

YY       v^  vv  T         y 

qu'il  efl:  —  puifqu'il  rendoit  ces  deux  termes  félon  la  règle)  et  +^"-  pour  généra- 
teur de  ZUÎIL^  parce  qu'il  faut  changer  premièrement  dans  le  terme  — ^—  un  u 


5  1 6  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

en  T,  vient  — ^•^,  et  puis  divifer  par  l'expofant  de  3^  qui  efl:  — 2.  et  ainfi  il  vient 

Or  ces  deux  termes  —  +  ^  —  ne  peuvent  eilre  égaux  à  o,  ni  faire  toute  l'équa- 
tion de  la  courbe,  il  faut  y  adjouter  quelque  quantité  connue  comme ^,  ou  plus- 

o 

toll  — ~,  et  ainfi  on  aura  - — \-  ^^^ 00  o  la  quelle  équation  eftant  réduite  eft 

p  yy     y^      p 

px  +  ^pp  zo  y}\  qui  efl:  a  la  Parabole  '-). 


§  II  'O-DidéparM'.  Fatîo. 

Définition  des  lettres  /x  y.  et  A  dans  la  Théorie  de  M*'.  Fatiopar  la  quelle  on  trouve 
r équation  de  la  Courbe^  la  propriété  des  Tangentes  e fiant  donnée. 

Soit  yax^y"  un  terme  dans  l'Equation  de  la  Courbe  '*).  La  règle  donne  pour  fes 
correfpondants  yniax^^'zy"  +  ynax'°y''~'u. 

[j,  efl:  le  produit  ya,  qui  peut  eflre  compofè  de  nombres  comme  7,  avec  des  quan- 
titez  analytiques  comme  a.  Et  cette  quantité  /a,  dans  les  lignes  qui  ne  font  pas  ex- 
ponentiales,  efl  la  quantité  mefme  par  la  quelle  la  partie  inconnue  x'^y"  du  terme 
générateur  dans  la  courbe  eft  multipliée. 

X  eft  le  nombre  rationel,  irrationel,  ou  exprimé  par  quelque  quantité  analytique 
que  ce  foit,  de  dimenfions  que  l'inconnue  x  a  dans  le  terme  de  la  courbe;  par  exemple 
dans  le  terme  yax"'y"  y.  eft  égal  à  ;;;. 

A  eft  le  nombre  rationel,  irrationel,  ou  exprimé  par  quelque  quantité  analytique 
que  ce  foit,  de  dimenfions  que  l'inconnue  y  a  dans  le  terme  de  la  courbe,  par  exemple 
dans  le  terme  yax^y"  A  eft  égal  à  /;. 

Or  comme  les  quantitez  ;/;  et  ;;  peuvent  eftre  pofitives  ou  négatives,  entières  ou 
rompues,  numériques  ou  analytiques,  fimples  ou  complexes,  connues  ou  meflees  et 
mefme  compofees  feulement  des  inconnues  x  ou  y,  ou  de  toutes  les  deux  enfemble: 
et  qu'elles  peuvent  eflre  encore  rationelles  ou  irrationelles:  et  que  toutes  ces  chofes 
fe  peuvent  combiner  diverfement  entre  elles,  il  paroit  qu'il  y  pourra  avoir  beaucoup 
de  variété. 


'-)  Comparez  sur  ce  datif  (si:  venia  verbo)  la  dernière  ligne  de  la  p.  216  qui  précède,  ainsi  que  la 
note  1 13  de  la  p.  217. 

'5)  IVIanuscrit  G,  f.  100  v.  (p.  99  de  Huygèns). 

'•*)  Comparezsur  ce  génitif  la  deuxième  ligne  et  la  note  1 13  de  la  p.  217  qui  précède.  On  voit  que 
dans  les  présents  §§  Huygens  se  sert  généralement,  comme  Fatio,  du  génitif  (p.  e.  dans  la  1.  1 1 
de  la  p.  507  etc.  etc.).  Voyez  cependant  la  note  12  qui  précède  et  le  début  du  §  15  qui  suit. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLEME  INVERSE  DES  TANGENTES.  5  I  7 

Quand  la  courbe  dont  TEquacion  de  la  Tangente  eft  produite  eft  géométrique,  il 
eil  certain  que  x  et  A  font  des  nombres  rationels.  Et  quand  en  cherchant  par  l'Equa- 
tion donnée  de  la  Tangente,  quelle  ell  fa  courbe,  on  trouve  y.  et  A  efbre  des  nombres 
rationels,  il  s'enfuit  que  la  courbe  eil  géométrique.  Et  qu'elle  n'ell  point  géométrique, 
quand  x  et  A  ne  peuvent  eflre  des  nombres  rationels. 

Les  termes  qui  doivent  eltre  marquez  d'un  trait  (^^)  ne  font  pas  tant  ceux  qui 
font  purs,  (c'eft  a  dire  qui  n'ont  que  les  lettres  .r  et  2  ou  y  et  11  feulement)  que  ceux 
qui  n'ont  panny  les  autres  termes  de  l'Equation  des  Tangentes  aucuns  termes  qui 
puident  élire  gemaux  avec  eux. 

En  examinant  dans  l'Equation  de  la  Tangente  quels  deux  termes  font  correfpon- 
dants,  c'ell  à  dire  provenus  d'un  mciine  terme  de  l'Equation  de  la  courbe,  on  doit 
confidercr  les  z  comme  des  x,  et  les  ti  comme  des  y. 


§12").  Soutangente  donnée 


•v-y  +  aa 

Il  s'agit  de  la  fouftangente  dcgiilfée  de  la  courbe  .v=  (/?=  +?'")  —  ''^V■  =  o  déjàconfidéréeaii  §  1 
où  a  s'appelait  /•.  Huygens  fera  mention  de  cette  foullangente  déguifée  dans  fa  lettre  à  Leibniz  du 
I  janvier  1692  (T.  X,  p.  223). 

aax y^  +  aay  —  z « 

Aequation  de  la  tangente       y'^z  +  aayz  —  aaxu  =  o 

À  A 

Icy  le  tenne  zy"^  ne  peut  pas  eilre  marque  de  ^^,  et  avec  cela  il  n'a  point  de  cor- 

refpondant.  les  deux  autres  termes  font  correfpondants. 

Il  faut  faire  en  forte  que  le  terme  zy"^  deviene  pur,  ce  qui  fe  fait  en  divifant  l'équa- 

X       x^ 
tion  par  y'^.  On  pouvait  auiïi  la  multiplier  par  —  ou  — . 

/y  3  «y  3 

T  ,c.        .       rt  j                     .   ^^2      aaxUr       -1 
L  Equation  eft  donc  2;  + r=  o  . 

^    yy       y^ 

A  A 

Les  deux  derniers  tenues  demeurent  neceffairement  correfpondants. 
Et  x.A  ::  I.  —  I.  Soit  le  transformateur  x^y^'\  donc  i  +  g-  —  2  +  h  ::  i.  —  i. 

Parce  qu'en  multipliant  le  terme  — -  (où  il  y  a  un  z  ou  x')  par  le  transformateur  :«:«v'', 

yy 

l'expofant  de  x  c'eft  a  dire  k  fera  i  +  g,  et  l'expofant  de;>'  c'efl  a  dire  A  (era  —  2  +  h, 
parce  qu'il  y  avoir  — yy. 
—  I  —  goo  —  2-|-h       Mais  h  doit  eilre  oo  o,  parce  qu'autrement  il  s'intro- 
I  —  g  30  h  00  o  duiroit  y  dans  le  tenue  z  en  le  multipliant  par  le  trans- 

I  00  g  formateur  xfiy^. 


'5)  Manuscrit  G,  f.  loi  v.  (p.  10 1  de  Huygens). 


5i8 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


L'Equation  transformée  fera 


[Fig.  109] 


zx  + 


aazx      aaxxu 


ou 


:.v  + 


yy 

aazxy 


A" 


Le  terme  générateur  fera 
,  aaxx 


00  o 


aaxxu 

x>  o 

^3 


et  lautre  i  xx. 


vv 


Et  l'Equation  de  la  Courbe  fera 
,  aaxx 


vv 


+  i-  XX  —  \  aa  zo  o 


aa^'x  30  o 


ou  bien  aaxx  +  .t.tty 
eftant  réduite. 

Cette  courbe  eft  AO  pag.  66  [Fig.  109; 
comparez  le  §  i]dont  la  quadrature  efl:  pag.  88 
[c.  à.  d.  à  la  p.cjsr  de  la  pagination  générale;  voyez 
la  note  26  de  la  p.  510  du  T.  IX,  où  toutefois  il  efl 
dit  par  erreur  que  la  p.  95r  correfpond  à  la  p.  90  de 
Huygens]. 

En  marge:  Il  valoit  mieux  de  mettre  —  bb 
au  lieu  de  —  ^aa.  Et  dire  que  fuppofant 

—  bb  égal  à  —  laa^  on  venoit  a  l'Equation 
réduite  comme  elle  efl  icij. 

Au  lieu  de  —  ^aa^  on  pouvait  mettre 

—  ^ab  ou  —  ^bb^  et  on  aurait  trouvé  tousjours  la  ibutangente  comme  elle  a  eftè 
propofee.  Mais  il  faut  que  ce  terme  connu  foit  adjoutè  et  cela  avec  le  figne  — .  parce 
que  les  1  autres  termes  ont  +. 

Il  faut  noter  aufîl  que  pour  que  l'Equation  réduite  donne  la  foutangente  propofee, 
il  faut  qu'il  y  ait  —  aayy^  et  par  confequent  —  ^aa  dans  celle  d'où  elle  vient. 


§  1 3  '*).  De  la  main  de  Fatio: 


z.tr. 


_  —  2x-y  +  aax 


.  V 


3<7«  —  ixy 
On  reconnaît  la  fouflangente  dont  il  eft  déjà  queftion  au  §  3. 

2,aayz  —  i.xy'-z  +  'i.xx'su  —  aaxu  =  o 
A  X  ><'  A 


'*)  Manuscrit  G,  f.  loi  (p.  100  et  ici  de  Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  5  1 9 


Il  eft  évident  que    ,           ,  ° 

aay 

Icix  =  — 3 

A=+  i 

X.  A  ::        — 2  .  +  2 

donc  4  +  2g  =  —  4  - 

-2h 

2  4-g.2  +  h::  —  2  .  +  2 

g=-4- 

-h 

Il  eft  évident  que  l '^  ~  '  ,  ^ 
^      (A=2  +  h 

—  4  —  3h  =  —  4- 
donc     h  =  0 

g  =  — 4 

-h 

od^f  Transfonnateur  qui  fc  trouve      (puifque  h  oo  o  et  g  :30  —  4)  et  duquel 

A  X  .  A        ::  3  .  —  i    donc  —  i  —  g  =  3  +  Sh  on  pcut  (c  pafter  de  fc  fervir 

i+g.i+h::3. —  i  g=  —  4  —  3h  pour  transformer  l'Equation. 

Correlpondant  [delà 
main  de  Huygens:  gé- 
nérateur] des  A-  [De 
la  main  de  Huygens: 
Parce  que  dans  le 
termegcnerateurdes 
2  termes  '^^aayz  et 
—  aaxu,  on  a  recon- 
nuquel'expolant  des 
X,  c'eft  à  dire  y.  eft 

I  +  g,  c'eft  a  dire  —  3 .  Et  que  l'expofant  des  3»,  c'eft  à  dire  A,  eft  i  +  h,  c'eft  à  dire  i . 

Et  il  paroit  que  aa  doit  aufïï  entier  dans  le  dit  terme  générateur]. 

X         +^  Correspondant  [de  la  main  de  Huygens:  générateur]  des  x 

Ici  X  =  —  2 

A=  +  2 

-aay      y^      a 

x^  x^      b 

a 
—  aay  +  xy""  ±  y-  x^  =  o 

[De  la  main  de  Huygens:  Notez  que  fi  on  ne  met  point  y,  l'Equation  fera  aa  oo  xy  de 
forte  que  la  courbe  peut  bien  eftre  aufïï  une  hyperbole.] 


[De  la  main  de  Huygens:  Exemple  à  bien  remarquer.] 

a  ^     I    '   _ 

•y'       x'y      x"" 
[De  la  main  de  Huygens:  aïquation  de  la  courbe,  ou  axx  —  byy  +  r'  30  c] 

—  'îau  ,    ibz  ,     bu        22 

-I — |. =  0 


^4  x^^y       x'^y''       x^ 

[De  la  main  de  Huygens:  Equationdestangentes,oùlepremieretdemierterme  feroient 
marquez  /^^.] 

— ^aux^  +  ibzy"'  +  buxy-  —  22^'*  =  o 
A  a"  ,\ 


520  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

[De  la  main  de  Huygens:  Equation  des  tangentes  réduite  et  donnée,  ou  le  premier  et 

dernier  terme  ne  font  plus  marquez,  et  ne  paroiflent  pas  correfpondants  non  plus.] 

y. .  A        ::  2  .  I      donc  i  +  g  =  6  +  2h     Les  termes  ^  ne  font  pas  propre- 

i+g.3-fh::2.i  g=5  +  2h     ment  correfpondans;  et  [mot  barré 

g  =  —  3  par  Huygens  et  remplacé  par  toute- 

h  =  —  4  fois]  il  fe  faut  bien  donner  de  garde 

de  rendre  encore  la  courbe  exponentiale;  mais  il  faut  voir  fi  (fans  aller  contre  l'Equa- 
tion g  =  5  +  2h)  on  ne  peut  pas  réduire  le  terme  —  2zy^  à  n'avoir  que  des  x,  et  le 
terme  —  3tf«x3,  à  n'avoir  que  des-y.  Or  il  efl:  d'abord  évident  que  cela  fe  peut,  fi  on 

divife  l'Equation  par  x^y*,  ceû  à  dire  fi  on  la  multiplie  par .  On  auroit  donc  g  = 

—  3  &  h  =  —  4.  Or  par  l'Equation  g  =■  5  +  2h  on  auroit  —  3  =  5  —  8  c'eft  à 
dire  — 3  =  — 3  et  toutes  chofes  feroient  confifl:entes.  [De  la  main  de  Huygens:  Mais  fi 
cela  n'eull:  pas  elle  ainfi  l'Equation  auroit  eftè  intraitable.] 

[De  la  main  de  Huygens:  Apres  avoir  trouvé  le  terme  générateur  de  deux  termes 
correfpondants  de  l'équation  des  tangentes,  non  pas  entièrement,  mais  feulement  les 
X  et  -y  qui  y  entrent,  on  trouvera  les  autres  lettres,  en  prenant  le  divifeur  commun 
des  deux  termes  correfpondants  après  en  avoir  oftè  tous  les  x  et  les  3',  ou  je  comprens 
auflî  les  z  et  les  «.  Ainfi  dans  le  premier  de  ces  deux  Exemples,  après  avoir  trouvé 

que  le  terme  générateur  des  termes  2^^yz  et  — aaxu,  doit  avoir  — -,  on  trouve  qu'il 

faut  encore  y  mettre  aa  dans  le  numérateur,  et  on  aura ^. 

^  x^ 

Icy  le  terme  générateur —  fe  trouve  de  ce  qu'il  y  doit  entrer  x'+^  qui  fait  x-'. 

x'y 

Et  de  plus  y^+^  qui  fait  y-\  c'efl:  à  dire  — j-,  a  quoy  adjoutant  dans  le  numérateur  la 

X  y 

lettre  b,  commun  divifeur  des  deux  termes  correspondants  A  (fans  compter  les  x  et 

3r)[on]a —.  Et  il  y  a  le  figne  — ,  parce  que  les  x  font  au  divifeur,  et  que  le  terme 

x  y 

correfpondant  ou  il  y  a  2  eft  avec  +,  ce  qui  eft  de  mefme  dans  le  premier  exemple.] 

§  1 4.  De  la  main  de  Fatio: 

aau      z      aaz  _ 
Equation  des  tangentes  que  l'on  propole  "^^3         ^.       ^^-x  ~  °* 

A       '^       A 
Dans  cette  Equation  il  ne  faut  pas  croire  que  les  deux  premiers  termes  doivent 

indifféremment  être  marquez  d'un  petit  trait  (^-n)  ;  car  ainfi  la  courbe  deviendroit 


'7)  Manuscrit  G,  f.  102  r  (p.  102  de  Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANC.ENTES.  52 1 

intraitcable.  Le  plus  feur  eft  de  rechercher  quels  doivent  être  les  termes  correfpon- 
dans  entre  eux;  or  un  des  correfpondans  contient  toujours  la  lettre  z  et  l'autre  la 
lettre  «;  dans  les  lignes  géométriques  ou  qui  ne  font  pas  exponcntiales  les  deux  cor- 
relpondans  contiennent  le  même  nombre  de  dimcnfions  de  .r,  et  le  même  nombre  de 
dimenlions  de  y.  Ils  font  de  plus  divifibles  par  les  mêmes  lettres  connues.  [De  la  main 
de  Huygens:  Or  tout  cela  convient  à  ces  deux  termes  extrêmes.  Donc  ils  font  corres- 
pondants, non  obftant  que  dans  le  terme — il  n'y  ait  que  l'inconnue  3?  ni  auffi 

dans  le  terme  -^—  (car  le  x  efface  le  z);  ce  qui  eft  digne  d'eftre  remarque  puis  qu'il 

eft  contre  la  règle  générale,  qui  demande  que  dans  les  termes  correfpondants  les 
lettres  x  et  y  entrent  toutes  deux.  Cela  (era  ainfi  dans  cette  Equation  fi  on  la  multi- 
plie par  X,  ou  x'.  Mais  il  n'eft  pas  neceffaire,  parce  qu'on  n'a  qu'a  fuivre  la  méthode 
générale,  dont  on  a  vu  un  exemple  à  la  page  précédente.] 
X .  A  ::  —  I  .  -|-  I      x^y^  transformateur 
o  +  g.  —  2  +  h::  —  i.-ri      hooo  parce  qu'autrement  la  transformation 

g    =2  —  h .  Sed  h  30  G       .        ,  •    ■       ,       1                        2 
°  mtroduiroit  -y  dans  le  terme  pur . 

g    =  2  -^  ^  X 

Ergo  le  transformateur  ic'.                 ,aaxx      ,  1      it- 

°  —  i i:rxtennesgenerateursdans  1  Equa- 

tion de  la  Courbe,  qui  efl  la  mefmc  que  celle 
de  la  page  précédente.  [Voyez  le  §  1 1]. 
§  1 5  '").  De  la  main  de  Fatio: 
Equation  à  une  Courbe  [la  circonférence  de  cercle] 

x^  +  y-  —  a"  =  o         donc  x  = —  &  v  = . 

X  y 

2XZ  +  lyti      =  G         Equation  à  la  tangente.  Et  (ubfHtuant 

[pour  déguifer  la  fouftangente]  les  valeurs  de  x  et  de  y 

la-z  —  2y-z      lua-  —  2«.r^ 


X  y 

2a-zy  —  2y'^z  -\-  lua-x  —  2tix^  =  o.    Donc  fubftituant  la 
valeur  de  -y  dans  le  i"  terme  et  celle  de  x  dans  le  3' 

aa'za-  —  la-zx-  ,     ,   2iia-a'^  —  lua'^y'-  . 

-y  '  X 

A.  la'^zx  —  2a-zx'^  —  ly'^xz  -f  luya^  —  iiia-y'^  —  lux^y  =  o 

B.  z.u::  —  la^'y    +    2a-y'^     -\-    ix^y .  2a-^x   —    2a-x^  —  2y*x 

C.  ■.■.—yxa*  —  aY-  —  x*.  +  xya*  —  a'x''—y*. 


'8)  Manuscrit  G,  f.  102  v.  (p.  103  de  Huygens). 

66 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


Il  n'y  a  ici  aucune  paire  de  termes  qui  puiffent  être  gémeaux  enfemble.  Et  il  n'y  a 
aucune  transformation  polTible  qui  rende  tous  les  termes  marquables  ou  purs. 

—  d'"^^  —  .r4  =  a'X'^  —  ■>'+  [voyez  l'explication  de  cette  équation  que  Uuygens 
donne  un  peu  plus  loin] 

.T+  —  3'+  =  a-x'^  —  «\'y\  Donc  divifant  par  x""  —  y"" 
.r^  +  y  =  a-.  Cette  Equation  donneroit  xz  +  iiy  =  o  pour 
l'Equation  de  la  tangente. 

Je  fubllitue  x-  +  y-  dans  l'Equation  A  par  tout  où  fe  trouve  a-  et  j'ai 
2x^z  +  ix^y^z  +  o.y-^xz,  —  izx^  —  ay^'zx^,  —  2y'^xz,  +  luyx^  +  /^uy^x''  + 

2ttv',  —  luy^x-  —  o.uy^  —  lux^y  =  o 
i^x'^y-z  —  ^.y'^zx^  +  2uy^^x-  =  o 
Divifant  par  2x-y-  2x2  —  xz  +  uy  =  o 

xz  +  t{y  =  o. 
[De  la  main  de  Huygens:  Quand  l'équation  vient  comme  icy  en  A,  je  la  réduis  a  une  pro- 
portion de  :;  a  u,  comme  en  B;  et  j'examine  quels  font  les  divifeurs  des  deux  membres 
de  cette  proportion.  Je  trouve  qu'ils  ont  eilè  composez  par  des  multiplications  telles 
qu'on  voit  en  C.  Maintenant  fi  —  y  eftoit  égal  à  +  .r,  la  proportion  àQzau fe redui- 
roit  a  celle — cy  :  ;^  àttcomme^+  —  a'y- — a-+  à  a*  —  a'x- — y*.  Et  fi  a^ — a-y" — x* 
eftoit  égal  à  <»+  —  a-x-  —  y*],  la  mefme  proportion  fe  reduiroit  à  celle  ci  z.u  ::  — 
y .  +  X,  ce  qui  donneroit  zx  +  uy  =  o.  Volons  ce  qui  arriveroit  en  fuppofant 
^4  —  ^/2^=  —  X*  =  «■*  —  a-x-  —  y*.  On  auroit  [De  la  main  de  Hnygens: 
+  a^y-  +  .r+  00  a^'x-  +  y*       et  par  confequent 
x+  —  3'*  00  a-x-  —  a'y''         Et  divifant  par  x""  —  y'  on 
auroit  x-  +  y-  03  a\  d'où  refulte  aufll  l'équation  des  tangen- 

tes zx  +  tiy  00  o. 

Or,  il  arrive  aufll  en  fubfi:ituant  dans  l'Equation  A,  au  Heu  de  a-  fa  valeur  x'  +  y', 
qu'on  revient  en  fin  à  conclure  .r;:  +  uy  =  o.  Qui  rend  l'Equation  de  la  courbe  x^  + 
y-  X)  a-.  C'eft  icy  un  cas  fingulier.] 


§  16  '^y  Exemple  de  fubfiitution  double  pour  deguifer  l'Equation  de  la  Tangente. 
Voiez  devant  cecy  pag.  98  et  fuivantes  ^°). 

Equation  de  la  Courbe       xyy  —  aay  +  x^  co  o.  Au  §  13  il  était  déjà  queftion  de  la 

courbe  —  aay  -^xy-±jx^  =  o.  Equation  de  la  Tangente  félon  la  règle  de  M^.  Fatio 


'»)  Manuscrit  G,  f.  106  v  (p.  1 1 1  de  Huygens).  La  date  du  25  Apr.  1691  se  trouve  sur  la  f.  104  v. 

Comparez  sur  la  f.  106  v  la  note  9  de  la  p.  87  du  T.  X. 
")  C.  à.  d.  les  §§  7  et  suiv. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  523 


yyz  +  ^xxz  +  ixyu  —  aau  X)  o 
z.ti  ::  aa  —  2xy.yy  +  3.v^ 


Subltitution  pour  un  x  oo  — = 

yy 


—  zaay  +  2x^        ,       , 


Q         ^.V'  +  2^xxy  +  a^ytt  —  2x^u  do  o     Equation  dcguifec 
^^  A  ^^  A  de  la  tangente. 

z  +  ^ 1 00  o.  On  a  divile  1  équation 

/-N       y-         v"         Y^ 

"a         ^         A 
par  y^  pour  rendre  le  premier  et  troifieme  terme  purs. 

Les  termes  qui  doivent  élire  marquez  d'un  trait  ^-^  ne  font  pas  tant  ceux  qui  font 
purs  c'efl:  a  dire  qui  n'ont  pas  conjointement  z  avec  y  ou  v  avec  .r,  que  ceux  qui  n'ont 
parmi  les  autres  termes  de  l'Equation  des  Tangentes  aucuns  tonnes  qui  puiflcnt  dire 
gémeaux  avec  eux.  Et  il  ell  tousjours  facile  de  reconnoitre  fi  un  terme  proposé  dans 
une  Equation  des  Tangentes  a  un  gémeau  avec  luy  ou  non,  parce  qu'il  ftut  qu'ils 
contienent  toutes  les  mefmcs  lettres,  (en  comptant  les  z  pour  x  et  les  «  pour  y)  ex- 
cepté les  nombres  qui  les  multiplient,  fcavoir  aux  courbes  géométriques. 

x^       aa 
K.À::  'i.  —  2.       xA =  a     Termes  générateurs. 

"*  yy     y     ^ 

Le  premier  tenue  générateur  x  vient  de  2  premier  terme  de  l'Equation  changée, 
le  fécond  —  vient  de  ^^^^^  en  changeant  un  z  en  x  et  divifant  après  cela  par  1  expo- 

yy  yy 

fant  de  x.  Le  troifieme       ^^  vient  de  — ,  en  changeant  un  «  du  numérateur  en  v 

y  r  "" 

et  divifant  en  fuite  par  l'expolant  de  y  qui  eft  —  i ,  parce  que  —f  fait  — -. 

Ces  termes  générateurs  de  l'Equation  de  la  courbe  peuvent  eftre  égaux  à  rien,  ou 
h  une  quantité  pofitive  ou  négative.  Icy  en  les  fuppofant  égaux  a  rien,  et  en  rcduifant 
l'équation,  on  a  xyy  +  x^  —  aay  00  o,  qui  eftoit  l'Equation  de  la  courbe  d'où 

l'Equation  de  la  Tangente  a  efté  tirée.  Mais  l'Equation  de  la  Tangente  fe  feroit 
encore  tirée  de  l'une  de  ces  deux  autres  Equations  de  Courbe,  fcavoir  .vvv  +  .v'  — 
aay  —  ^^  oo  o  ou  .rvv  +  x^  —  aay  +  t>^  qui  font  des  courbes  différentes  de  l'autre. 

N.B.  Jufqu'icy  la  méthode  de  M'.  Fatio  reuflit  fort  bien. 

Voicy  une  féconde  fubftitution  dans  l'Equation  marquée  Q.  qui  efloit  zy-'  + 

2zxxy  +  a-yii  —  ix'^u  oo  o.  Subftitution  pour  un  3'  00  — ^-^ . 


524  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

zxy*  +  S^^^yy  +  ^*"y  —  aaux^  —  2x'^uy  co  o.    Intraitable  après 

^ ,  ^  "  ,        ^'  ^  ^' 

deux  fubftitutions  l'une  de  y  l'autre  de  x.  Elle  eft  intraitable  par  ce  qu'il  n'y  a  point 

de  multiplicateur  qui  rende  purs  les  trois  tennes  marquez  ^-n.  ni  qui  taffe  qu'il  y  en 
ait  deux  entre  eux  de  correfpondans,  parce  que  ne  l'eftant  pas  ils  ne  peuvent  le  de- 
venir. Quand  mefme  ces  trois  tennes  marquez  feroient  rendus  purs,  il  fe  trouveroit 
plus  de  trois  termes  avec  des  inconnues  dans  l'Equation  de  la  Courbe. 

X^  _|_  xvv 

N.B.  Si  on  fubftitue  encore  la  valeur  3'  oo ! — ^dans  le  tenne  a*uy,  ellerede- 

aa 

vient  traitable.  de  quoy  la  raifon  efl:  peut  eflre,  parce  que  le  terme  a-yu  dans  l'équa- 
tion Q  eft  ne  des  deux  termes  xyy  et  aay  de  l'Equation  de  la  Courbe,  ce  qui  paroit 
de  ce  que  ce  terme  a^'yu  eft  reftè  comme  dilTerence  des  termes  —  aauy  et  za^uy,  qui 
ont  leur  origine  des  dits  termes  xyy  et  aay.  Il  femble  donc  qu'après  avoir  fubftitue 
dans  le  terme  a-yu  un  y  qui  eft  ne  du  terme  xyy,  (ce  qui  rend  l'équation  intraitable) 
il  faut  encore  fubftituer  dans  le  terme  a-^uy  de  l'Equation  R,  un  y  ne  du  terme  aay  de 
l'Equation  de  la  Courbe,  et  que  par  la  l'on  rende  l'Equation  de  la  Tangente  derechef 
traitable. 

Equation  Q.  Subftitution  pour  un  x  xi  — ^-^. 

,  ,   riaazy'^  —  'îxzy^   , 

zy^  + — —  -f-  aauy  —  ax^a  zo  o 

x 

-\-  %aazy-  —  ixzy'^  -f  aaxuy  —  ix^u  xi  o 
A  ^  A    '  ^ 

Equation  traitable  après  deux  (ubftitutions  différentes  de  la  valeur  .t.  Icy  les  deux 

tenues  marquez  ^~\  deviendront  purs  en  multipliant  l'équation  par  3'""^  x^''  ").  les 
deux  autres  demeurent  correfpondans.  comme  il  eft  aisé  de  voir  en  comptant  les  z 
pour  des  x^  et  les  u  pour  des  3»  '')• 


Equation  transformée 


'xaaz      iz  ,    aau        lu 

£. j X)  O 

yx^       x^       y^'x'^        y^ 


^')  Phrase  corrigée  par  Fatio.Huygens  avait  écrit  (ce  qui  revient  au  même):  en  divifant  l'équa- 
tion par  3'~'.r*. 

")  Fatio  ajoute:  Auflî  étant  correfpondans  d'abord  ils  le  demeurent  neceftairement 
après  la  divifion  par  x^y^.  ou  la  multiplication  par  x~^  y~^. 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLfeME  INVERSE  DES  TANGENTES.  515 

De  la  main  de  Fatio:  Cette  Equation  ne  fera  traittablc  qu'en  cas  qu'elle  foit  immédiate 
c'ert  à  dire  que  les  termes  A  aient  un  générateur  qui  les  rende  immédiatement.  Car 
la  transfonnation  quia  été  faite  étoit  la  feule  qui  put  rcuffîr.  Il  faut  donc  voir  fi,  pour 
les  termes  A,  on  a  ;4 .  A  :  :  3  .  i .  Or  cela  cil  ainfi,  car  dans  le  générateur  immédiat  le 
nombre  des  dimenfions  étant  necefl'airemcnt  le  morne  que  dans  lescorrefpondans,  on 
trouve  pour  le  générateur  des  A  que  x  et  A  l'ont  —  3  et  —  i  [en  marge  de  la  main 
de  Huygens:  Il  fout  voir  feulement  fi  les  termes  ^~n  peuvent  venir  d'un  mcfme  géné- 
rateur] ce  qui  efi:  confident  avec  la  proportion  y. .  A  ::  3  .  1.  Mais  fi  au  lieu  de  --^-  on 

laaii  .  .,,,.,. 

avait  eu    ^      on  auroit  eu  x .  A  :  :  3 .  2  ce  qui  auroit  marque  que  1  équation  etoit 

y  X 

.     . ,     r                               T                                   ,.      .      —  aa         \ 
intraittable.  [De  la  main  de  Huygens:  Les  termes  générateurs  font  icy  — - —  + h 

X  j  XX 

—  00  (/  qui  font  tirez  des  tenues  de  l'équation  transformée,  félon  la  règle  ordinaire]. 


§  17  -3^_  Le§  i/nenousefl  pascompréhenfible.  Le  calcul  eflincorrect.Nousn'avons  pourtant 
pas  voulu  le  fupprimer  puifqu'il  fait  voir  que  Fatio,  ou,  fi  l'on  veut,  Fatio  et  Huygens,  eflayérent 
un  inftant,  fans  aucun  fuccès,  d'appliquer  la  méthode  aux  courbes  tranfcendentes.  Le  point  d'inter- 
rogation ajouté  par  eux  (par  Fatio)  à  une  équation  du  §  18,  indique  qu'ils  fe  rendaient  compte  de 
leur  manque  de  fuccès. 

De  la  main  de  Fatio:  Equation  de  la  Tangente  ax^y^'z  —  b'^x^ytt  =  o. 

jfS^s  commun  divileur  compofé  des  puiffances  de  x  et  de  y. 

X .  A  :  :  ax-  .  b"^ 


:rax'  ^b3  30  q.  Courbe 
que  l'on  peut  avec  Monfieur  Leibnitz  nommer  exponentiale  [Leibniz  fe  fert  aufïï  de 
l'exprellion  „equation  tranfcendente";  voyez  la  p.  517  du  T.  L\]. 

<«X-xax=— i^-yb'  —  ^S^ax^^b?— 1«  00  O   On  voit  que  Fatio  n'eft  pas  en  état  (s'il 

l'eût  été, cela  eiit  été  bien  furprenant)  de  différentier  correftement  la  fonftion  x"'^. 

^A:ax^4-i2yb3 — Z'3xax=«yb3— i  OO  O  ,„    ,         .    ^    „ 

'^  ^  [De  la  main  de  Huygens: 


divide  per  .rax^^yb^. 
axz  —  b'^y—i  «  oo  o 

b^  De  la  main  de  Huygens: 

z.u::  —  —  ax  y^_^^y  ^^.4^. 

z.u::bKaxy  ^^-x^y  axy.x^y  in 

x^z  +  ax^f-z  -  bH-^yu  =  o  ^^"^"""^  ^^'^  tzngenùs} 
-            A                 A 


=3)  Manuscrit  G,  f.  107  r  (p.  112  de  Huygens). 


526 


PROBLEMES  ET  METHODES  MODERNES. 


X  .  A  :  :  ^.r' .  b 


2^  '  qui  font  lesdimenfions  de^'.  qu'il  faut 

ax^'  ^       garder  pour  conferver  le  ternie mar- 
2^  que  dans  fa  pureté. 


§  l8  "+).  DelamaindeFatio: 

Propriété  de  la  tangente  de  la  ligne  Logarithmique  [Fig.  1 1 6] 
[Fig.  Ii6]  z.  —  u::a.y 


-irty 


[En  marge  de  la  main  de  Huygens:  parce  que  u  efl  conté  pour  V,  il  a  falu  compter  aufll 
z  pour  .V.] 

La  lettre  a  défigne  la  fouftangente  qui  eft  conftaiite  pour  la  logarithmique,  ce  qui  caraftérife 
cette  courbe. 

zy  -{-  au=  o 
A  A 

y. .À::  X .a 

x'y'  =  ^  ?  Equation  de  la  Courbe,  mais  comme  il  paroit 

elle  eft  exponentiale.  Calcul  apparemment  erroné,  non  moins  que  celui  du  §  17. 

Dans  la  fuite  Fatio  eft  plus  heureux  :  il  réuflît  à  trouver  une  forme  non-exponen  tiale  de  la  courbe 
par  un  développement  en  férié  antérieur  à  l'intégration.  Il  s'agit  au  fond,commeon  voit,  dudéve- 

1  y 

oppement  en  férié  déjà  obtenu  par  Mercator  (Pièce  VII  à  la  p.  260  qui  précède)  de  l(  i  +  -  )  ou,  pour 
a=  I,  de  1(1  +y'). 

,  au 

z-\ =  o 

.-y 


'*')  Manuscrit  G,  f.  107  v  (p.  1 13  de  Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES. 


527 


Soit  le  3»  de  la  courbe  =  l>  +  y  nouveau  :  par  là  on  détermine  le  nouvel  y  [Fig.  1 1 6 
etFig.  117]. 

[Fig.  117] 


au^,    .     ^    au 

—  rdevient  I 

y  b-^y 


2  -j devient 


&c  = 


[L'intégration  donne] 
X  + 


'='.'y___^3''^^_&c 


Equation  de  la  courbe  par  une  fuite 

infinie  de  termes  qui  ne  font  point  exponentiaux.  Le  i"  y  eft  changé  en  ^  +  y. 

X  +  -/  +  ~  +  -~  +  &c  =  (7.  Equation  de  la  même  courbe  mais  qui  naic 

b       o-b"-      3»^ 

en  faifant  le  premier  v  =  b  — y  nouveau. 

Si  on  commence  les  x  et  les  -y  en  A  [Fig  1 17],  où  la  tangente  fait  un  angle  de  45° 
avec  la  courbe  Logarithmique,  on  aura  b  —  a. 

De  plus  lî  X  eil  infiniment  petit  on  aura  encore  x  =  y. 

X  +3;  +  -^  +  ^^  +  &c  =  ^. 
ia      2^ 

■y  +  y  +  *^ — f-  -^--  +  &c  =  <7.  qui  eft  zéro  comme  il 
ia      2^- 

X  +  y  +  ^—+  ^-(kc  =  o. 
ia      3^^ 


eft  évident. 


T 


t 


.r  =  —  v — ~ —  &c.  Il  faut  faire  a=  \. 

•^      ia       3«^ 


§  1 9  '0-  Aequatio  Parabola:  ^.v  —  v.v  oo  o.      -^-  fubtangens  fimplex.  Jam  pro^ry 

1ÛX 

pone  ax.  ^-^  five  ix  fubtangens  implicita. 


=  5)  Manuscrit  G,  f.  109  r  (p.  1 16  de  Huygens). 


528  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

z.u : 2x.y 

Zy  30  2UX 
Zy  2UX  30  G 

A  A 

X  .  A  :  1  .  —  2 

X  I 

• 00  G  quia  tantum  duo  exiihint  teniiini  corrc- 

yy      ^ 

fpondentes  abfque  alio,  non  opus  efl:  hic  Transformatorem  quœrere,  fed  llifficit,  cum 

X 

fit  X  ad  A  ut  1  ad  —  2,  ponere  terminum  generacorem  in  aquatione  curvœ  30 — ,  cui 

neceflario  addendus . 

a 

Sit  tamen  x^y^  transformator.        i+g.i+h:i.  —  2 


2g  30  I  +  h 


—  2g  —  3  30  h 

—  3  30  h .  PofTum  ponere  g  oo  g 

quia  nullus  eft,  in  œquatione  tangentis  zy  —  2ux  30  g,  terminus  prêter  duos  corre- 

fpondentes.  Ergo  —  3  30  h,  eoque  transformator  x^y^  30  --,  et  œquatio  transfor- 

Z  2UX 

mata  —  oo  o 

yy      y^ 

X 

Hinc  enim  —  terminus  generator  in  œquatione  curvEe  quafits. 

X  z 

Terminus  generator  —  ex  termine  sequationis  transformatas  —  habetur  mutando 

^  yy  yy 

z  in  X  et  dividende  per  exponentem  quem  tune  habet  x,  qui  efl;  hic  i .  Idem  terminus 

2UX  — -X 

generator  haberetur  ex  termine  — ^ —  .  mutando  nempe  //  in  y  unde  fit      ^      ,  et 

—  2Ar 
dividende  tune  per  exponentem  literœ  y,  qui  hic  efl:  —  2.  Nam  divifum  per 

X 

—  2  facit  -\ ,  eundem  nempe  terminum  generaterem. 

X  z  Q.XU 

Ex  hoc  enimftermino  — ]  duo ^~-,  primus  mutando  ,t  numeratoris  in  z, 

^         yy       yy      y^ 

et  multiplicande  per  i  exponentem  ejufdem  x,  alter  multiplicande  per  —  2  expo- 
nentem  toû  y  in  termine      ,  et  mutando  unum  y  numeratoris  in  u  :  led  quia,  in  nume- 

■^  yy  . 

ratore  termini  —,  non  efl:  y,  oportet  ut  ibi^»  apponatur  quod  mutatur  in  a;  fimulque 

2XU 

in  deneminatore  adjiciatur  unum  y.  atque  ita  fit — , 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBL^.ME  INVERSE  DES  TANGENTES.  529 


X 


Quia  autem  folus  temiinus  gencrator  —  invcnitur,  qui  non  potell  efficere  jequa- 
tionem  curv»,  oporcet  quantitatem  aliquam  cognitam  quœ  eafdcni  dimenfioncs  habeat 


ab  ipfo  fubtrahere.  Atquc  ita  facere 
bolaî. 


X 

yy' 


00  o.  Unde  ax  —  3^3'  oo  o  aequatio  para- 


§  20  "'').  Oportct  valorem  .v  vcl  v  riibfticui  in  co  tantum  tennino  fubtangcntis  qui 
orcus  eft  c  temiino  xqiiationis  linea-  curva'  ex  que  iflc  valor  x,  vel^'  dcfunicus  fuit; 
alioqui  fit  œquatio  tangentis  intra{5hbilis  quantum  ad  mcthodum  D'.  Facij. 

Exempli  gratia  fit  CD  circumferentia  [Fig.  1 18].  CB  xi  x.  BD  03  y.  AC  ao  a. 

Aequatio  curvx 

yy  +  XX 


lax — xxzoyy 


X  30 


-yy  +  lax  —  xxzo  o       la'Xi 


yy  +  xx 

X 


lyy 


ia- 

BE 
a 


■IX 


yy 


fiibtangens  fimplex  BE. 


yy 


-y y  — XX 


layy 


laa — yy  —  xx 


BE  fub- 


2^ 


tangens  implicita  per  fubflitutioncm  valons  x  in  termino  diviforis  —  x^  qui  ortuseft 
ex  tennino  —  xx^  cuni  valor  .v  fit  ex  tennino  ^ax. 

Huygens  parle  de  cette  fouftangente  (l'appelant  pourtant  par  erreur  „fubnormalis";  comparez 
le  §  22  qui  fuit)  dans  fa  lettre  à  Hubertus  Huiglicns  du  12  février  1692,  T.  X,  p.  247,  où  nous 
citons  dans  la  note  16  la  préfente  page  du  Manufcrit  G. 

z u lay laa  —  yy  —  xx 

laaz  —  zyy  —  :;.r.r  —  laiiy  o)  o  œquatio  tangentis 

incraftabilis  cum  nulli  termini  correfpondentes  infint,  nec  omnes  puri  poffint  effici 

In  fubtangente  implicita  fubilituatur  porro,  pro  2<z  numeratoris,  valor  ejus 

y^  ■\-  XX  .  -         7+  +  xxyy        . . 

~ ortus  ex  termmo  lax.  fit ■  ,  fubtangens. 

X  laax  —  y  va:  —  x^  ^ 


z.u 


AT-* 


=  y^  +  xxy ^aax  —  yyx  ■ 

laazx  —  zyyx  —  zx'^  —  uy'^  —  uxxy  00  o     squatio  tan- 


^  A  '^        '^  A 

gentis  traftabilis.  Hic  funt  duo  termini  correfpondentes  notati  a,  et  reliqui  très  puri. 


=«)  iManuscrit  G,  f.  109  v  (p.  1 17  de  Huygens). 


67 


53° 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


X  .  A  :  —  I .  —  I        Nullus  vcrb  transformator  quia  fi  quis  efTet,  is  terminorum  puro- 
rum  triiim  aliquos  impures  redderet,  hoc  efl:  x  et  y  continentes. 

Fit  ergo,  fecundum  regulam,  terminus  generator  correfpondentium  duorum 
—  è^'-^'.TJi  temiinorum  vero  purorum  generatores  +  ûûxx  —  ^x*  —  ^y*. 
Ergo  —  ixxyy  +  aaxx  —  \x''  —  ^3'+  ao  o 

âfUaxx  30  X*  +  ixxyy  +  7+ 

lax  00  ATX  +  yy  ajquatio  curvœ. 

In  hoc  exemplo  fingulare  eft,  quod  ad  œquationem  pervenitur,  ex  qua  utrimque 
radix  extrafta  dat  jequationem  curva.^  qusfitîe. 

Similiter  ut  hic,  invenio  quoque  contingere  in  fubtangente  curvîe  pag.  1 1 1,  quae 

—  ixyy^aay.  r  r  ua-  •  •  1       •      • 

eu — — ;^ — ,  m  qua  li  lubltituatur  pro  y  m  termmo  aay,  valor  ejus  mventus 

.'3  ~r  3 
ex  termino  xyy  sequationis  curvîe  xyy  —  aay  +  x'  xi  o  [équation  déjà  confidérée  dans 
le  §  16,  emprunté  à  la  p.  1 1 1  de  Huygens]  fit  îequatio  tangentis  intraftabilis 
2x3»+  +  2zx^y''  +  "^x^y^u  —  a^yu  +  aaxhi  00  o. 
A  "a 

Si  vero  hic  porro  in  termino  —  a^yu  qui  eft  ab  aay,  fubfticuatur,  pro  uno  <?%  valor 

X'^y  -\-  x^ 
ejus  —' "—,  inventusex  termino  ^ï^^j  :  redditur  jequatio  tangentis  traftabilisz^*  + 

y  A 

^zxxyy  +  2xyHi  —  aayyu  do  o  reformanda  divifione  per  yy,  ut  duo  termini  non 

A 
correfpondentes  fiant  puri. 


[Fig.  119] 


§  21  -).  AB  [Fig.  1 19]  eft  curva.  DAC  refta.  BC  applicata.  Si  DC,  DA,  DE 

fint  proportionales,  erit  EB  tangens 
hyperboles  ut  notum  ex  Conicis  ''^). 
Ex  hac  proprietate  invenienda  eft 
natura  curvse  AB,  nempe  hyperboles. 
Sit  DA  30  ^,  DC  00  .T,  CB  30  3-. 
DC.  DA  :  DA  .  DE 


Z.U. 


X.  a 


/aa 
— 
X 


s. 


ex  DC  X 


■aa 


X 


EC 


•v 


zxy  —  iixx  +  uaa  30  o  œquatio  tan- 
a'  A  ^ 


")  Manuscrit  G,  f.  1 10  r  (p.  1 1 8  de  Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  53 1 


gentis.  K .  A  :  1 .  —  i .  Sit  x^y^  cransformator.  in  quo  g  eft  cxponens  x,  et  h  exponens^». 

g  +  2.  h  +  I  :  I.  —  I.    —g  —  2Doh+i. 

Sed  g  XI  o  quia  alias  introduceretur  x  in  tcnninum  purum  uaa.  Ergo  —  3  X)  h. 

17  r  ,  h         '    1-  •  _  2.r      uxx      uaa 

Lrgo  transfomiator  .r^v"  oo    ,.  I-.t  a.^quatio  cransfonmca  — r-  H ;-  oo  o.  In 

y  yy     y^      y^ 

zx 
termmo  ~  mutctur  z  ni  .v  et  tune  dividatur  per  exponentem  x  qui  erit  2.  fitque 

■^'x  .  ,  ^       ,      .       zx     —  uxx  „  ■    ,   . 

- —  tcnnnnis  generator  duorum  eorrclpondcntium  —  et — .  Demdc  in  tcrmino 

uaa                 ■       r   aa       ,.  .,                                      .    ^           ^   —aa 
—Y  mutetur  u  m  v,  ht  —  et  dividatur  per  exponentem  y  qui  eft  —  2,  fit , 

,.,...                                      .  .  uaa 
alter  terminus  qua»litœa;quationis,  generator  nempctcrmini .  quîeitaqueœquatio 

n                    XX        aa       a 
elt  - —  — ^  7  X)  o.  Apparet  eniin  terminum  aliquem  cognitum  hic 

adponendum,  quia  alioqui  fieret  xx  00  aa^  quœ  non  eft  œquatio  ullius  linea  curva;. 

Potefl;  autem  ratio  azàb  efTe  quolibet  data,  vel  etiam  squales  a  et  b.  Itaque  jam 

layy 
XX  —  aa^  —j-^  30  o. 

2ûvy                                                    -\-  zûyv 
Quod  fi  ponatur —  ^iri  ^rit  squatio  hyperbolse;  fi  vero  1^^,  erit  ellipfis 

vel  circuli,  ut  facile  apparet.  Sed  hic  ponendum f-^,  quia  xx  majus  pofitum  fuit 

TVT      .     f  ^ayy  „.  ^  2ayy 

quam  aa.  Nam  ita  fit  xx  —  aa  xi  -j-^,  at  m  ellipfi  aa  —  xx  zo  —j- 

2aax 
Quod  fi  ex  îequatione  fimplici  hyperbolse,  .r.v  —  aa r^  xioquEeraturprimb 

fubtangens  EC,  ea  fit  ^^-p-  five  -7^,  ubi  fi  fubfl:ituatur  valor  yy,  qui  ex  bac  aqua- 

„bxx  —  baa   _     bxx  —  baa  .     xx  —  aa  ^,  .     ,.  .  ,- , 

tione  elt ,  net -, —  five lubtansrens  imphcita  per  lub- 

2a  bx  X  o  r  r 

ftitutionem  valoris  yy,  quîe  fuperius  data  erat. 


^')  D  est  par  hypothèse  le  centre  de  l'hyperbole,  et  DA  =  «  ce  que  nous  appelons  la  moitié  du 
grand  axe.  ApoUonios,  Conica,  Lib.  I,  XXXVII  (texte  latin  de  Heiberg):  „Si  reda  hyper- 
bolam  vel  ellipsim  vel  ambitum  circuli  contingens  cum  diametro  concurrit,  et  a  punfto  con- 
taftus  ad  diametrum  refta  ordinate  ducitur,  reda  ab  ordinate  ducla  ad  centrumseclionisabscisa 
cum  refta  a  contingent!  ad  centrum  sectionis  abscisa  spatium  comprehendet  aequale  quadrato 
radii  seftionis",  etc. 


532 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


2^3'3' 


Pocerat  et  œquatio  hyperbole,  xx  —  aa 7—  00  o  dividi  per  yy 


imde 


fit 


XX       du        'XCl 

' j-    33  o,  et  hinc  fubtangens  formari 

yy      yy       " 

Q,XX  ^Uû  XX Cîd 

quîe  fit hoc  efl: ,  eadem  rurfus  quœ  fupra.  Nota  autem  tiim  ter- 

yy  yy  x  ^ 


divifor 


•iX 

yy 


ax.r 


minum  — ^  effe  primo  cumfigno — quia  exponens3Jefl: — 2,fedmutariin+,exregula 
quœ  figna  contrarijs  mutât  in  numeratore  fi.ibtangentis. 


§  22  '9).  AB  [Fig.  1 20]  efl:  curva.  AC  refta  00  x.  BC  ad  eam  normalis  oo  y.  BD 
tangens.  Proprietas  tangentis  hjec  ut  fubtangens  DC  fit  oo  2:r  H . 

[Fig.  120] 


Il  eft  queftion  de  cette  fouftangente  dans  la  lettre  du  12  février  1692  de  Huygens  à  Hubertus 
Huighens  (T.  X,  p.  246),  où  toutefois  Huygens  parle  par  erreur  (erreur  qu'il  corrigea  par  après) 
de  la  „fubnormalis"  (note  13  de  cette  p.  246}.  Comparez  le  §  20  qui  précède. 


°')  Manuscrit  G,  f.  1 10  v  et  1 1 1  r  (p.  1 19 — 120  de  Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLfelWE  INVERSE  DES  TANGENTES.  533 

Qujericur  natura  feu  squatio  curvse  AB. 

DC        CB 

z  .  u  :  2X  -{-    -  .  y 

y  y 

z  .  u  :  2xyy  -\-x^  .y'^ 

zyi  —  2xyyu  —  x^u  co  o  a.'quatio  tangencis. 
A  A  4> 

1  lie  quidem  duo  tcrniini  corrcfpondentes  habentur,  fed  rcliquus  —  x'u  non  cft 
punis,  quia  et  x  habcc  et  y,  pro  que  nempe  cenfetur  «; 

Sed  dividende  a^quationem  per  x'^  fiet  pro  tcnnino  —  x^u,  purus  u.  Ergo  eo  f afto  fit 

zys        zyyu  ,  .   , 

-^ =-= u  00  o       ubi  duo  priores  termini, 

A  A        ^ 

etfi  correfpondentes  fine,  tamen  ab  eodem  tennino  'generatore  oriri  non  potuerunt, 

zy^  —  "'3 

nam  -7^  venit  a  generatore  — '—  .  nempe  multiplicando  per  —  2,exponentem.T,et 

mutando  unum  x  numeratoris  in  z,  (fed  quia  non  habetur  x  in  numeratore  genera- 

toris  apponitur  ipli  x  et  in  z  mutatur,  fimulque  unum  x  in  denominatore  additur) 

y^z                                                       —  2yyu 
unde  fit  ■-^.  Atqui  alter  terminus  correfpondens ^^= —  venit  a  generatore 

2  y^ 

=^  multiplicando  nempe  per  3  exponentem  t  et  unum  t  numeratoris  in  //.  Viden- 

2  XX 

zy^       2yyu 
dum  itaque  an  adhuc  amplius  transfonnari  poffit  iequatio  -^ " ?<  x  o. 

)c .  A  :  I .  — 2  Sit  traniïormator  x^y^\ 

zy^ 
g — 2.h  +  3: 1. — 2       g — 2,  quia  in  termino  -^  exponens areft  — 2  propter 

—  2g  +  40oh  +  3        -"^  feu  ^  feu — . 


—  2g  +  I  co  h  Sed  g  eft  00  o,  quia  alias  tranfformator  induceret  x  in  termi- 

num  purum  //.  Ergo  tranfformator  x-^y^  zo  y. 

Zyi       ny^u 

~^  —  ^^  —  uy  00  o       îequatio  tranfformata,  ubi  jam 

A         '  A       ^ 
duo  termini  correfpondentes  et  tertius  — uy  purus. 

m4  vv 

Ergo  generator  duorum  eft  — —,  et  — •—  alter,  quibusneceffarioaddendus  termi- 
nus aliquis  cognitus,  ac  fimpliciffimus  quidem  +iaa,  unde  fit  aquatio 

y^  +  yyx'x  —  aaxx  00  o, 


534  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

curvîe  unicœ  qus  problemati  convenir.  Hîec  curva  eft  ejufmodi,  ut  duftâ  ab  A  vertice 
refta  AB,  et  huic  normali  BE,  ha;c  ipfa  femper  eidem  linese  a  a:qualis  eft.  Hanc 
Gutfchovius  Slufio  propofuit,  Slufius  mihi,  cujus  quadraturam  ex  circuli  quadratura 
pendere  inveni  [voyez  fur  ce  fujet  la  note  1 5  de  la  p.  146  du  T.  X,  où  nous  avons  cité  ce  pafTagc]. 
Nempe  fi  APF  fit  circuli  quadrans,  radio  AP  o)  BE  feu  a^  et  ducatur  BKG  parallcla 
et  GH  perpend.  AC,  fieri  fpat.  BKA  00  fegmento  GPH.  X'^id.  Lib.  B,  circa  ined. 
[Manufcrit  B,  p.  i  25  et  i:6,  datant  du  15  feptemhre  1662]. 

Ut  ofiendatur  porro  curvam  cujus  ïequatio  3'+  +  VV.v.r  —  aaxx  do  0  darc  fi.ib- 

tangentem  2.v  +  — ,  dividenda  tantum  asquatio  hïec  per  xx^  unde  fit  -^ \-  3'j  — 

aa  00  G.  Unde  fecundum  regulam  formata  fubtangens  erit 


—  2^3» 

hoc  eft  IX  + 


tA/Jv  't"  j 


Nota  diviforem  hune  efie  — "^ — ,  quia  terminus  ^ —  muhiphcandus  fuit  per  ex- 
ponentem  quem  in  eo  habet  a-,  qui  exponens  eft  hic  — 2.  ac  deinde  dividendus  per 
X.  unde  fit —  .  hœc  nempe  fecundum  regulam  tangentium. 


A- 


Nam  aliter  quoque  ex  œquatione  y+  +  yyxx  —  aaxx  oo  o,  fonnatà  fubtangente 

AV^  ^xxxx 

fimplici  — — ~ —  et  in  termino  —  2aax  fubftituendo  valorem  aa,  ex  ipfa 

2yyx  —  2aax 

,   ,  — 4V+  —  ayyxx 

œquatione  inventum,  nempe  aa  X)  ^— — '-^ —  habebimus                  2y*  , 

^  '        ^  XX  '^yvx 2yyx  ' 

X 

hoc  eft  2.V  -| fubtangentem  eandem. 


§  23  3°).  Non  reperi  adhuc,  licet  in  multis  exempHs  fim  expertus,  œquationes  tan- 
gentium intraftabiles  ultro  fefe  offerentes.  Sed  tantum  data  operâ  taies  fieri  videntur, 
eo  modo  quo  dlxi  pag.  1 1 7  in  principio  [§  20]  nempe  per  fubftitutiones  quafdam 
quantitatum. 

Ecce  exempla  qujedam  ubi  femper  traftabiles  fiunt  sequationes  tangentium,  five  fub- 
tangentes;  etfi  hîenon  fint  fimplices  tamen,  quales  ex  œquationecurvEedefcribuntur. 


3°)  Manuscrit  G,  f.  1 1 1  r  (p.  1 20  de  Huygens).  Nous  avons  cité  cette  page  dans  la  note  11  de  la 
p.  223  du  T.  X. 


FATIO  DE  DUILLIKR  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  535 

AM  [Fig.  121]  c'it  ciirva.  b  refta  data.  AL  rcfta  30  x.  LM 

bx  "4"  XX 
applicata  oo  y.  PM  tangens.  fubtangens  PL  oo     ,     — . 

I  Inygcns  propofera  cette  fouftangente  à  Leibniz  dans  fa  lettre  du  1  janvier 
i6i;:  (T.  X,  p.  223),  difant  que  la  méthode  de  Fatio  conduit  aifément  à 
l'équation  de  la  courbe  correfpondante  (favoir  l'hyperbole). 
bx  +  .r.r 
^b  +  X  "^ 

^.v  +  XX  .  iby  +  xy  =  z u 

a^quatio  tangentis  ibyz  +  x^z  —  bxn  —  xxu  oo  o.   hic  duo 

À  ?  A  ? 

paria  tenninorum  correipondentium. 

En  marge:  Termini  corrclpondcntes  funt  in  quibus  eœdcni  poteftates  quantitatum 
X  et  T  reperiuntur;  fed  ita  ut  etiam  z  pro  x  habeatur  et  u  pro  y.  —  Methodus  Fatij 
aliquatenus  exponitur.  vide  pag.  98  [§  9  qui  précède]. 

Quia  termini  corrcipondcntes  ibyz  et  —  bxii  ab  eodem  termino  genitore  orti 
l'unt,  nccefTe  eft  in  hoc  termino  genitore  exponentem  toû  .relTe  ad  cxponentem  roïi 
y  ut  2  ad  —  I,  hoc  efl:  ut  numeri  his  terminis  prsfixi,  nam  2^'-  habet  2,  et  —  bxii 
cenietur  habere  —  i.  Ergo  x. .  A  :  2. —  i.Sedhitcnnini  non  po(runt,quales  hic  funt, 
ex  uno  eodcmque  tennino  gencratore  oriri:  poterunt  autem  ccrto  modo  in  poteftates 
x  vel  y  utriufque  dufti.  Itaque  quœrendus  efi:  transfonnator  totius  hujus  a;quationis 
tangentis  qui  transformator  fit  a*T\  ubi  g  et  h  funt  ignoti  adhuc  exponentes  tûv  x 
y.  Ergo  cum  in  termino  2^3'^  (ive  etiam  —  bxii^  habeatur  jam  nunc  unum  x,  (nam^ 
eft  pro  x),  fafta  transformatione  erit  in  ipfo  exponens  tov  x  x  i  +  g.  Similiterque 
cum  in  alterutro  ifiiorum  tenninorum  habeatur  jam  nunc  unum  y;  (nam  et  u  elt  pro 
y')  fafta  tranfmutatione  erit  in  ipfo  exponens  t:j  3;  30  i  +  h.  Atqui  diximus  in  ter- 
mino horum  genitore  communi  effc  exponentem  tsû  x  ad  exponentem  -s^'  y  ficut  2 
ad  ^ —  I .  Ergo  erit 

I  +  g  ad  I  +  h  ut  2  ad  —  i . 

Ergo     —  I  —  g  30  2  +  2h 


Confidero  deinde  termines  reliquos  correfpondentes  .rv:;  et  —  xxu,  in  quorum 
communi  genitore  exponens  tcû  .%•  ad  exponentem  foù  y  débet  effe  ut  i  ad  —  1 ,  quia 
hi  cenfentur  numeri  ipiîs  prsfixi.  Itaque  hic  x  ad  A  ut  i  ad  —  i . 

Quia  autem  in  terminorum  utrovis  eft  xx  et  y,  erit  in  ipfis,  poft  transformationem 
ex  duftu  A-«3'\  exponens  tsû  a:  00  2  +  g,  et  exponens  te-:  v  i  +  h. 
Ergo  2  +  g  ad  1  +  h  ut  I  ad  —  i 

unde  —  2  —  goo  +  i+h 

et        — 3 — g  00  h.  Sed  erat  h  00  — ^ — s_ 


536  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

Ergo  —  3  —  g  00  — \ — ^ 


Ergo  —  3  ^  g  Ergo  h  oo  — 00  o.  Ergo 

transformator  -,  oo  ^"«'y''. 

Nam  quia  in  transformatore  hoc  invenitur  exponens  g  roù  x  effe  —  3,  hoc  figni- 

ficat  divifionem  per  x^,  five  multiplicacionem  in  ~.  Exponens  autem  h  rcûy  efl:  oo  o. 

ideoque  cransformatio  non  auget  nec  diminuit  exponencem  tsû  y  qui  eft  in  œquatione 
ante  cransfonnationem. 

Erat  sequatio  ifta  ibxz  +  .tvs  —  bxti  —  xxu  x  o  quîe  dufta  in  trans- 

A  I  A  I 

^  I   _    .  zbyz      yz        bu  u  ^ 

lonnatorem  —  lacit  — -. — | —    -    aoo.  in  qua  aquatione 

A  ?  A  ? 

termini  bini  quique  raanent  neceiTario  correfpondentes,  quia  taies  erant  ante  duftum 

in  -^  .  Nunc  autem  duo  notati  a  poterunt  habere  genitorem  cominunem,  itemque 

2byz 
duo  reliqui  notati  ?  /Nempe  fecundum  regulam,  in  termino  — V-,  mutato  z  in  x,  et 

x-' 

—  by 
tune  dividendo  per  exponentem  x,  qui  erit  —  2,  quia  xx  eft  in  divifore,  fiet  — -— 

yz 
pro  generatore  duorum  notatorum  a  .  Similiterque  in  tennino  ^^  mutando  z  in  x  et 

—  y 

tune  dividendo  per  exponentem  x  qui  erit  —  i,  quia  x  erit  in  divifore,  fiet  — 7-  pro 

generatore  duorum  notatorum  ? . 

by  ib\z 

En  marge:  Nota  ex  termino  —  -7^  fieri  in  ajquacione  terminum  —;-,"  multiplicando 

ipfum  per  exponentem  literœ  x,  hoc  ei1:  per  —  2,  et  mutando  z  in  a";  fed  quia  non 
by  .  .....   2byz 


invenitur  :::  in —.  addendum  eft  in  numeratore,  et  x  in  divisore,  et  (ic  fit      ,  . 

XX  x^ 

[ly         y 

Ergo  duo  termini  in  œquatione  curvaî  quîefitœ  funt '-  et  — f~  quibus  neces- 

sario  adjungendus  terminus  aliquis  cognitus  totidem  dimenfionum,  ut  -,   atque    ita 


a' 


,   —  by       y       b  ,         , 

tota  cequatio  curvœ  tu ^ ~  -\ —  xi  o.  qua?  redufta  facit 

^  XX         X      a  ^ 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES. 


537 


,  bxx 

—  by  —  xy  -\-  —  30  o  quae  oftendit 

curvam  AM  eiïe  hyperbolam.  Quod  fi  pro  -  pofuifTem  i,  fuifiet  îcquatio  —  by  — 
*!V  +  i^^  30  o,  atquc  ica  hyperbola  fuidet  squalium  lateruin.  Nara  cunc 
XX  30  ixy  -\-  iby 
X  30  \/yy  +2by  ■\-  y  ubi  nulla  fraélio  ad  yy. 

En  marge  :  Ut  ollcndaciir  fubtangcntcm  cflTe    '.     — ,  sequatio  —  aby  —  axy  + 

bxx  30  o  dividatur  per  ata:;  fit  —    -_-  —  —  -{-  b  zo  o,  unde  defcripta  fubtangens 

fecundum  regulam  noflram  erit 

aby      ay 


XX  X 


dividendus 


hoceft 


^  +  ^     divifor 

X^  XX 


bx  -\-xx 

ab  +  x' 


Videtur  ita  dividendum  fuiiTe  per  .r.r  quia  transformator  fuit  — 


[Fig.   12  2] 


§  24  3'^.  Sit  BD  [Fig.  122]  Conchoides  veterum,  aut  certe  Nicomedis,  qui  dé- 
ganter ea  ufus  eft  in  duarum  mediarum  in- 
ventione  et  in  trifeftione  anguli  '■'). 

P  polus,  AE  régula,  AB  diameter.  punc- 
tum  in  ea  C.  AF  30  x,  FC  30  y,  qua."  fcilicet 
parallela  AE.  AP  do  b,  AB  do  c.  Tangens 
CG.  Subtangens  FG.  qu£e  invenitur  efie 

X*  +  bx^  +  bccx  +  bbcc'        ^ 
nienda  îequatio  Curvœ.  Eft  autem  —  x^yy 
[  \  .    negativa,  cum  divifor  fit  affirmativa,  quia 
~^^    ^   GF  in  contrarium  AF  ponitur. 


3')  Manuscrit  G,  f.  1 12  r  (p.  122  de  Huygens). 

^^)  Huygens  s'était  occupé  de  cette  conchoïde  déjà  en  1652:  voyez  le  T.  XII. 


68 


538 


PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


Ergo 


x^yy 


X*  +  bx'i  +  bccx  +  bbcc      '     ■' 

—  x^y  — T —  x^  +  bx^  +  bccx  +  bbcc  ■■ 


ir+  +  zbx'^  +  zbccx  +  zbbcc  +  tix'^y  oo  o. 

Hic  nuUi  funt  termini  correfpondentes  cuni  unus  cantum  fit  in  quo^  Sed  video 

fafta  divifione  per  x^,  omnes  terminos  evadere  puros,  hoc  eft  cales  ut  tantum  habeant 

zbcc      zbbcc 
X  wtXy.  Ergo  hoc  fafto  fit  zx  -\-  zb  -\-  —^  -\ — —^ — [-  uy  zo  o. 

Neque  aliud  hic  requiritur,  cuin  ex  fingulis  hifce  terminis  finguli  defcribantur 
îequationis  curvîe.  Nempe 

bec 


\xx  •{-  bx  — 


X 


bbcc 


Et  hsc  quidem  curva  fatisfàcit  qusefito,  quia  dat  fubtangentem  eandem  data.  Sed  et 

alijs  duabus  curvis  eadem  conftruftio  cangentis  convenit,  quia  liberum  efl:  huic  sequa- 

tioni  apponere  terminum  aliquem  cognitum  vel  affirmativum  vel  negativum.  ac  fi 

quidem  adponatur  +  ibb  —  ^cr,  tune  demum  îequatio  oritur  Conchoidis,  nempe 

bec         bbcc 

i,xx  +  bx i •  +  h^y  -\r  i:bb  —  i-cc  oo  o 

=  X        ^  XX        ---^       - 

five  x^  +  2^A-3  —  ^bccx  +  xxyy  +  bbxx  —  ccxx  oo,  namhœc  calculo 

facile  invenitur. 

Le  cas  de  la  conchoVde  eft  le  dernier  des  exemples  de  la  méthode  de  Fatio  que  Huygens  donne 
dans  fa  lettre  au  Marquis  de  l'Hofpital  du  23  juillet  1693,  citée  aufli  au  début  du  §  3  qui  précède. 
De  rHofpital  —  voyez  ce  que  nous  difons  fur  lui  à  la  fin  de  notre  Avertidement  —  peut  répondre 
(10  août  1693,  T.  X,  p.  485)  que  pour  lui  ce  cas  eft  fi  fimple  «qu'il  n'eft  befoin  d'aucune  méthode 
pour  [le]  refoudre". 

§  25  ").  AB  [Fig.  123].  Curva  cujusdiameterAC,faciens  angulum  CAD45gr. 

AD  00  X.  BD  zc  y.  a  linea  data. 
^^  yî!,quatio  curvse  [„folium  Cartefii"] 

"       '  '  A-3  +  3'3  — xya  30  o.  Divide  per  xy. 


[Fig.  123] 


l — 


XX  ,  -yy 

\-'- a  30  o 

y       X 


-3;y3  .j,  xya 
2XX  —  ya 
fubtangens  fimplex.  Subftituto  [in 
fiabtangente    fimplici]    utrobique 


33)  Manuscrit  G,  f.  112  v  (p.   123  de 
Huygens). 


FATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  539 

'1^5  _1_  y3         ^4  Q,xy^ 

valore^^if  quieft  ■ 7^  fit r =—  fubtangens  implicita  ex  qua  fit  invenienda 

asquatio  Curvje. 

X*  —  2xy^  - 


2X^  —  y^ 

A'+  —  2xy^ 2X^y  —  j+  ==  z u 

ax^zy  —  zy* x^u  +  ixy'^u  00  o  squatio  Tangcntis. 

?  À  ?  A 

jf^y  tranfformator.  k^  y. .  X  :  — 1.2  Ergo 

l;c.A:o._i  g+,.h  +  4:-i.2  (^  ^  -g— ^ 

g  +  4.h+i:2.— I  ^+^3o_h_4  ?__ 

=1=^  DO  h  ^ -2  :o  g 


h  30  —  2g  — 6  Ergo  h  oo  — 2 

Q.x^zy 

Terminus  2x^'zy  tranfformatus 

xxyy 


izx  XX 
.  ffcnerator  — . 

y    ^  y 


Terminus  — ry*  tranfformatus  eft  — —.  cujus  generator  — . 

Ergo  termini  squacionis  '—  ^<^  —  a  x  o.  ^quatio  Curva;  x^  +  jy'  —  xya  oo  o. 
Nam  terminus  aliquis  cognitus  — ^ neceffario addendus quia priores ambo  habent  +. 

§  26  ^*').  Ici  Huygens,  fans  abandonner  tout-à-fait  les  2,  «,  commence,  comme  on  voit,  à  fe 
fervir  des  notations  (/.r,  tiy  de  Leihnitz  dans  le  problème  inverfe  des  tangentes:  voyez  ce  que  nous 
avons  dit  au  début  du  §  3  fur  les  notations  tix,  dy  et  z,  u.  Dans  fa  lettre  du  23  juillet  1693  au  Mar- 
quis de  l'Hofpital  il  écrit  dx  et  dy  dans  toutes  les  équations  différentielles. 
2xdx      yydx      xxdy      aydy 

y  XX  yy  x 

ix'^ydx  —  y*dx  —  x^dy  +  ixy'^dy  zo  o 

— àJ   'T'    y_  fubtangens  fimplex  paginœ  prscedentis  [§  25]. 
x'^  +  y^  —  xya  00  G 


3_-y3  30  —3^3  _|.  o,xya. 
+3^3  —  ixya 


2,xx  —  ya 
i^x'^u  —  2X\'au  —  33'XJC2  +  ay^Z  ZO  o  îequatio  tangentis  [apparemment  intraitable  dans 
cette  forme]. 


3*)  Manuscrit  G,  f.  1 1 2  v  et  1 1 3  r  (p.  1 23  et  !  24  de  Huygens). 


54©  PROBLÈMES  ET  METHODES  MODERNES. 

§  27  3  5).  y-i  —  Saayy  +  lôaaxx  00  o     squatio  curvse  pag  i  3"). 
Comparez  le  §  4  qui  précède.  La  courbe  eft  reprcfentée  à  la  p.  473  du  T.  IX. 

ôoutangence  deguilee y z « 

—  yy  +  4^-''-" 2x3' z u 

—  uyy  +  ^.xxu  —  2zxy  oo  o 

^          A             A 
Transformator     x^y^     y. A 2 h  4 

g  "+  2 h  +  I 2 h  4 


h  00  —  5  et  transformator    5 


2g  00  —  h  —  5  Sed  g  00  o  quia 

fi  in  transfonnatore  effet  x  ullum,  fieret  terminus  uyy  impurus,hoceftliaberet3»etAr. 

I 

u         A.XXU  Q.ZX  .  - 

— ; — I ^ —r-  00  o  jequatio  transformata 

3,3  y5  yi 
XX          Q.     r               I     -1             I  ...  1,1... 

— ; 1 lisez ±  ô —  00  o  .  additur  +  75 —  vel  ±  — quiaalias 

y*        y y  L       -yyJ       oaa  oaa  aa^ 

asquatio  non  defignaret  curvam  aliquam  3'"). 

—  Saaxx  +  I  ôaayy  [lisez  ^aayyl  —  y^  00  o 

vel     o  00  ;y+  —  "^ccyy  [lisez  —  k'^^yy'\  +  aaxx^  mea.     y''  +  laayy 

[lisez  +  \aayy'\  —  aaxx  00  o  altéra. 


^    n   ON  r.  ,  N  —  ixxy  +  aax 

§  20  3").  Subtangens  curvaî  pag.  2  ''} 3^ dx dy 

Comparez  le  §  3  qui  précède.  La  courbe  xy^  —  a^y  +  at^  =  o  eft  repréfentée  à  la  p.  4-4  du 
T.  IX. 


35)  Manuscrit  G,  f.  1 1 3  r  (p.  1 24  de  Huygens). 

3«)  Pag.  51  vdela  numération  générale,  où  il  est  question,  comme  à  la  page  suivante  (note  39J,  de? 
soustangentes  proposées  à  Leibniz  en  1690  (hinc  Leibnitfio  curvîe  naturam  inquirendam 
propofui  in  epiflola  24  Aug.  1 690).  Comparez  la  p.  487  de  rAvertiiïement  qui  précède. 
Voyez  aufli  fur  ces  p.  1  et  2  de  Huygens  les  p.  472 — 475  du  T.  IX. 

37)  Pour  obtenir  l'équation  initiale  avec  la  même  constante  a  il  faut  écrire 

—  XX  \  I 


y*  iy         16  aa 

38)  Manuscrit  G,  f.  113  v  (p.  125  de  Huygens) 
3')  Pag.  52  r  de  la  pagination  générale. 


lATIO  DE  DUILLIER  ET  HUYGENS.  PROBLÈME  INVERSE  DES  TANGENTES.  54  I 

—  2xxy  +  aax 2^ay  —  ixyy  =--  dx dy 

[Transformacor]  oc^y*'        —  ixxydy  +  aaxdy  —  yiaydx  +  lyyxdx  OJ  o  œquatio 

differentialis. 
K  .  X:  -\-  1.  —  2  x.A:  —  3.  i 

g+2-h+2 2.-2  g+I.h+I=  —  3.1 


goo—  h  —  4  goo— 4  —  3h 


+  ^^Tl    000 


vel     xyy  —  aay  ^  x"'  oo  o. 


g  30  —  4,  h  X  o, 
transfomiator— . 

X* 


IV 

METHODUS  LEIBNITIJ  ■)• 

Dec.  1691 

Huygens  exécute  quelques  calculs  en  vue  de  fa  réponfe  à  Leibniz  du  i  janvier  1692  (T.  X,  p. 

221).  Confukez  aufli  les  notes  que  nous  avons  ajoutées  à  cette  lettre. 

1 9  Dec.  1 69 1 .  Methodus  Leibnitij.  qua  ex  data 

fubtangente   inveftigatur  curva  ei  conveniens. 

Leibniz  avait  expliqué  fa  méthode  et  fes  notations  dans 

la  lettre  à  Huygens  d'oftobre  1691  (T.X,  p.  197). 

t:y  ::  ^.r;^[Fig  124].  fubtangens  t  do  ydx:dy 

'^dx  —  I* 

five  —T—  formula  generalis.  dx  vel  dx  fignificat 

Leibnitio  incrementum  lineœ  x  five  differentiolam 
duarum  insequaliiim  proximarum  x.  dy  vel  dy  fimiliter  incrementum  lineœ  y  .  aa\  y 

fignificat  — . 
.T 


aa 


Sit  /  XI  I  :  X  five  —  fubtangens  data.  Poterat  pro  aa  efle  ah.  MC  eft  curva 


[Fig-  125]. 


X 


^^:^^::^:^  ?!?^>^^v^^^|gy 


M 


(t: 


[Fig-i^s] 


')  Manuscrit  H,  p.  8  (ce  manuscrit  n'a  pas  d'autre  numération  que  celle  de  Huygens).  Cette  page 
a  été  citée  dans  les  notes  5  de  la  p.  222  et  1 8  de  la  p.  247  du  T.  X. 


METHODUS  LEIBNITIJ. 


543 


CO  applicaca  ejus,  AO  abfciira.  CT  tangens  in  C.  AO  oo  x.  OC  oo  y.  a  linea  data. 


aa 


OT  00  t  (ubtangcns,  femper  eft  — .  Qusritur  natura  ac  conftrudHo  curvs  MC. 


X 


aa 

X 


:x>ydx:dy 


aa 

X  -^ 

aa  ydx 

X  dy 


dx 


aady  :  y  oo  xâx 
j  aady  :y  y:>  j  xdx  oo  \xx. 
.  ^^  Hic  [Fig.  1 25]  iaady  :  y  ^u  fumma  omnium 


aady 


eft  fpatium  hyperbolicuni  ut  FBMD.  Nam 


aady 


ut  3^  ad  a,  hoc  eft  ut  AB  ad  AM,  ita  a  fivc  MD 


X  xdx 


aa 


ad  BF  00  —  quîe  dufta  in  BQ  oo  dy^  hoc  eft,  in 
différent iolam  tCùv  y,  facic  fpatiolum  BR  00  ^^-J*  quod  œquale  fpatiolo  HS  00  xcTx. 

y 

undeetfummîe  \^^dy   ^  \xdx  five  \xx.  Hic  jam  fubtangens  OT  00  — . 

J       y  J  X 

DF  eft  hyperbola  ad  afymptotos  AM,  AE,  cujus  quadratum  AMDE.  MG  facit 
angulum  GMH  dimidium  reéti.  Jam  dudta  GHC  parallela  MA,  oportet  in  ea  punftum 
curvEc  C  ita  fitum  efTe  ut  dufta  CBF  parallela  AO,  fiât  (patium  hyperbolicum  BFDM 
œquale  fpatio  feu  triangulo  GHM.  Si  ergo  poiïim  triangulo  GHM  abfcindere  squale 
fpatium  hyperbolicum  BFDM,  hoc  eft  11  detur  quadratura  hyperbola;,  potero  conftru- 
ere  curvam  MC.  Poterat  et  FBC  prima  duci,  in  qua  punctum  C  ita  accipiendum  ut 
dufta  CG  fiât  triangulum  GMH  squale  fpatio  BFDM. 


Si 


fubtangens  ^00  1  :  j/i  —  xx  hoc  eft  fi  /  00      .  [Fig.  1 26] 


[Fig  126] 


544  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

Y  aa  —  XX  -^ 

aady  :y  ^  dx:  \/aa —  xx 

\aady  :  y  oo  jdx  \/ aa—xx 

Hsec  curva  MC  conftrui  poterit  datis  quadraturis  Hyperbolîe  et  Circuli.  Oportet 
enim  punftum  ejus  quodlibet  C  ita  effe  pofitum  ut  duftis  CF,  CG,  fpatium  hj'per- 
bolicum  MDFB  liât  a;quale  fpatio  circulari  MLGH.  Et  femper  adeo  fpatiolum  BR 
œquale  fpatiolo  HS;  hoc  efl:  aady  -.y  oo  dx\/ aa — xx.  Jam  erit  fubcangens  OT 

five  /  30      .  =.  Patet  aady  13',  ut  in  fuperiori  exemplo,  effe  fpatiolum  BR 

hyperbolicum;  et  dx\\/ aa  —  xx  effe  fpatiolum  circulare  HS. 

Locus  eil  methodo  huic  ut  ait  Leibnitius,  quandocunque  quantitas  fubtangentem 
datam  conftituens  oritur  ex  duftu  vel  divifione  quantitatum  qu£e  prêter  datas  quanti- 

tates  tantum  x  vel  y  habent,  non  utrumque  fimul.  Sic  fubtangens     ,  =-non  ad- 

mittitur.nec r-^^;nec —.  quœ  poftrema  Fatij  methodum  admittit.  effque 

b  a 

fubtangens  parabolce. 

Methodus  hœc  in  eo  pofita  eft,  ut  ad  sequationem  perveniatur  in  qua  ex  una  parte 
non  habeatur  nifi  .r  et  dx:,  ex  altéra  non  nifi  y  et  ^y,  prseter  quantitates  cognitas,  nec 
fuccedit  nifi  cum  hoc  fieri  poteff;  cum  vero  poteff,  deducitur  problcma  ad  quadraturas. 

II  eft  vrai  que  Leibnitz  n'avait  pas  fait  connaître  fa  méthode  en  entier;  voyez  les  p.  224  et  227 
du  T.  X. 


Nous  empruntons  encore  à  la  p.  9  du  Manufcrit  II  ce  qui  fe  rapporte  à  la  logarithmique. 
/  30  ydx  :  dy  formula  generalis.  Ergo  ^  ao  dy  t\y  fonnula  cum  t  datur  per  3',  vel 
cum  ?  30  ^.  Sit  ?  30  (7,  femper  fubtangens  data  [comparez  le  §  18  qui  précède]. 

dx  X)  dya  :  y  five  adx  oo  aady  :  y.  Hic  altero  a  multiplicavi  ut  fieret  j  aady  :  y 
fpatium  hyperbolicum.  Poterat  et  per  b  pro  a. 

j  adx  30  j  aady  :  y 
reftangulum       fpatium  hyperbolicum 

Ad  aequationem .%"  30  j  dya  :  y  producit  Leibnitius.  ex  qua  obfcura  adhuc  manet 
curvse  conftruftio.  Imo  ne  a  quidem  adfumit,  fed  ponit  /  30  i,  unde  ipfi aequalis.r  30 

j  dy  :  y.  Unde  concludit  curvam  quœfitam  pendere  à  quadratura  hyperbolte  quod 
plane  obfcurum  eft  unde  conftet. 


METHODUS  LEIBNITIJ. 


545 


Hsc  curva  MC  [Fig.  127],  quae  ell  Logarichmica,  conftnii  potcrit  data  quadra- 
tura  hyperbola;.  Oportct  enim  cjus  punauin  quodlibct  C  ita  clTe  pofitum  ut  duftis 


[Fig.  127] 


/^r 


CF,  CG,  fpatium  hyperboliciim  MDFB,  œquetur  reftangulo  IlL,  adeoque  femper 
fpatiolum  BR  redtangulo  minimo  HS.  Hoc  cil:  femper  aady  :  y  xi  û^/x.  Unde  patet 
fi  aqualia  fint  fpatiola  BR,  ZF,  ctiam  œqualia  dcbere  ciïe  fpatiola  KG,  GY,  ideoque 
et  lineolas  10,  OA.  Spatiola  autem  BR,  ZF  funt  a;qualia  quando  proportionales  funt 

[Fig.  128] 


RQ,  FB,  VZ;  tumque  etiam  proportionales  fiiint  RJ,  F7,  V/3,  hoc  cft  NI,  CO,  ÔA. 
Ergo  ea  efl:  natura  curvîe  MCÔ,  ut  fi  NI,  CO,  ÔA  proportionales  fint,  fimul  rcctœ  lO, 
OA  fint  squales,  quam  l'cimus  efie  proprietatem  Logarithmicte,  cujus  afvmptotos  AT. 

69 


546  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

Et  hujus  quidem  fubtangens,  ut  OT,  femper  fiet  a;qualis  a.  Angulus  quem  curva  facit 
ad  MA  eft  fcmircftus.  Quod  aliter  fuilTet  [Fig.  128]  fi  multiplicafTcm  utrimque  per 
b.  undc  hiTx  zo  bady  :  y.  Tune  enim  reftangulum  hypcrbola;  fuiflet  ab  et  eurva 
INIC  oâjflct  à  teraiino  rcftœ  b,  fi  ha.'c  in  afymptoco  AL  accepta  fi.ii(ret,  ut  in  hac  figura. 
NB.  Potefl:  quidem  liœc  Curva  Logarithmica  per  punfta  quotlibet  conftrui  abfque 
quadratura  Myperbolîe,  fed  non  ita  ut  lubtangentemhabeatdataehuic£equalem,quod 
hic  fecimus. 


V. 

À  PROPOS  DE  LA  MÉTHODE  DU  MARQUIS  DE  L'IIOSPITAL  ■)• 

1692 


Huygens  prépnre  fa  réponfe  à  de  l'Hofpital  du  22  oftobre  1692  (T.  X,  p.  325).  Voyez  les  notes 
que  nous  avons  ajoutées  à  cette  lettre. 

§  I.  Comment  il  a  pu  trouver  qu'à  la  foutangente -^^ -^-^  appartenoit  la 

courbe  lyzz  30  aay  +  laaz  V 1  ?  J'ay  eu  de  la  peine  a  prouver  que  cela  eft  ainfi. 

Je  le  prouve  en  tirant  de  cette  courbe  la  ibutangente  par  la  règle  des  î'angentes,  vient 

£,yzz  —  aazVi       .  ,  .     ,,     1        r  T  V^r^  +  vy  _ 

„^^ —, ,  qui  doit  eltre  la  melme  que  -^ '-^.  Ce  que  le  trouve  eftre 

1ZZ  ClU  Cl 

ainfi,  en  fubdituant  3  fois  des  valeurs,  fuivant  l'équation  donnée  de  la  courbe.  Une 
autre  preuve  eil:  icy  a  cette  page: 

—  ^zzy  +  aay  +  laaz  Vs  co  o  per^' 

,   laaz  Va 

—  1ZZ  +  aa  -\ 00  o 

y 

Subtangens  ex  régula  pofl:  divifionem  per  y 

laaz  V 1 
+  422 

3' 


+  laaz  V 1 


yy 

+  axvy  —  aay  V 1  „  ,  _,.       ,  aa  Va  +  Va  a  V aa  +  -yy 

— T-~r Subflit.  valorem  2  XI  — ^^-^^ 

+  aa  V  2  2y 

+  yaa  V 1  -\-V  lay  V aa  +  yy  —  aay  V 1 

+  aa  Va 

-y  V aa  +  yy  . ,  •     i-  • 
^-^          lubtangens  implicita. 


')  Manuscrit  H,  p.  103. 


548 


PROBLfeMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


ay 


On  peut  dans  la  conrtruiftion  mettrez  x>  ■/ — —= — =- ry . 

^  V  laa  +  lyy  —  V  laa 

Huygcns  a  trouvé  cette  valeur  en  égalant  deux  expreflîons  de  la  fouftangente: 


laaz  V  0. 


y  Vga  +  yy       4.yzz 

a  2ZZ  —  aa 


tout  en  ayant  auffi  égard  à  l'équation  de 


la  courbe  ^XZZ  ZO  ûay  +  2aûZ  \^  1.    Vérification  de  cette  valeur  de  z: 

V  laa  +  23»^  00  -=^  +  >^  2^^ 

aayy   ,   lay  V  laa   , 

-•^  ZZ  Z 

izzyy  00  aayy  +  laazy  V  <x 
2zzy  00  aay  +  2aazV2         eadem  quœ  illius. 

§  2.  Conflruétion  de  M',  le  Marquis  de  rHofpital  pour  trouver  la  longueur  d'une 
partie  donnée  de  la  ligne  Logarithmique. 

En  marge  :  Cette  conftruftion  fuppofe  qu'on  fâche  la  foutangente  générale  de  la 
Logarithmique,  qu'on  ne  fcauroit  trouver.  Et  pour  décrire  cette  courbe  qui  conviene 
a  une  foutangente  donnée,  on  ne  le  peut  qu'en  fuppofant  la  quadrature  de  l'hyperbole. 

Soit  la  Courbe  Logarithmique  indéfinie  ABCD  [Fig.  1 29],  qui  a  pour  afymptote 
la  droite  TE.  D'un  point  quelconque  E  de  cette  afymptote  ayant  mené  la  perpendi- 
culaire EL,  foit  décrite  la  courbe  Géométrique  HI,  dont  la  nature  foit  exprimée  par 
cette  Equation  (EF  ou  EG  xi  y.  FI  ou  HG  co  2) 

aa  V 1  +  a  V  laa  +  '^y'S 


iy 


XI 


[Fig.  129] 


Cette  figure  eft  une  copie,  avec  quelques|additions,  de 
celle  de  rHofpital  (T.  X,  p.  314). 


A  PK.01'OS  DK  LA  METHODE  DU  MARC^UJS  DE  L  HOSPITAL.  549 

Ou,  en  otont  les  incommcnfurahlcs,  aay  +  laaz  V  i  y:)  lyzz.  Que  l'on  mené  à 
prcfcnt  deux  parallèles  quelconques  AFI,  Bdl  I  h  rafymptoce  TE.  Et  ayant  pris 
TE  X)  ^/,  paramètre  ou  foutangentc;  EL  ao  FI;  EK  ao  GH;et  mené  les  droites 
TG,  TF,  et  les  parallèles  LD,  KC  qui  rencontrent  la  Logarithmique  aux  points  D, 
C;  je  dis  que  la  portion  ABde  cette  Logarithmique eflegaleàTG  —  TF  +  Ll)  —  KC. 

Dcmonllration.  Ayant  pris  Tare  BM  inllnimcnt  petit,  et  mené  INIO  parallèle  à  lil  I, 
l'on  nommera,  comme  fliit  Mons'.  Leibnitz,  BN  ou  IIP,  dy-,  MN  dx'-  et  l'on  aura 

par  la  propriété  de  la  Logarithmique  dx  zo  —~- ,  d'où  l'on  tire  BMou  j/'rt'.v'  +  rf'v' 

y 

30  — î-^i^  00       ; ;=^=j^  :  or  il  elt  clair  que  la  fomme  des .  ;  •    -         dans  la 

y  yVaa-\-yy  Vaa  +  yy 

portion  AB  oo  TG  —  TF.  de  forte  qu'il  ne  refle  plus  qu'a  démontrer,  que  la  fomme 
des  y  - — =  XI  LD  —  KC:  ce  que  je  prouve  ainfi.  Soit  prise  KQ  co  OP,  et  foit 
menée  QS.  l'on  trouvera  par  la  Méthode  des  Tangentes  de  Barrou  ou  de  M'.  Leibnitz, 
que  OP  ou  KQ  oo  — ■ ^    --^ .  Or  par  la  propriété  de  a  Loga- 

rithmique  RS  oo -^  oo     .  /  '^.  Donc  la  fomme  des  RS  c'ell  à  dire  LD 

^  EK  yVaa-\-yy 

—  KC  00  à  la  fomme  des  ^  ^  dans  la  portion  AB.  Donc  &c. 

y  V  aa  +  yy  ^ 

Ayant  examiné  cette  Conflruftion  et  Deraonftration,  je  les  ay  trouve  bonnes,  et 
l'invention  admirablement  belle  et  fubtile.  Voirpag.  ^^^  loo,  ici,  102,  103, item 
160 3)  ou  efl:  ma  folution.  Il  aura  trouvé  que  la  conftrucKon  de  la  courbe  dont 

— lL_3z  efl:  foutangente,  dependoit  de  la  quadrature  de  l'hyperbole,  et  qu'ainfi 

aa 

on  la  peut  confl:ruire  par  le  moien  de  la  Logarithmique.  Or  elle  fera  réduite  a  la  qua- 
drature de  l'hyperbole,  fi  la  quadrature  de  la  courbe  ùôxxaa  -f  ûiv^  co  «*  fe  réduit 
a  celle  de  l'hyperbole. 

En  marge:  Au  lieu  de  dy  je  mets  A,  au  lieu  de  dx  je  mets  x,  ce  qui  efl  plus  commode. 
Comparez  à  la  p.  509  qui  précède  le  §  i  ter  de  la  Pièce  III  (theorema  Barrovij). 

En  marge:  Notez  que  parce  que  ET  oo  a^  il  fen  fuit  que  GT  efl:  parallèle  a  celle 
qui  toucheroit  la  courbe  en  B,  et  qu'ainfi  G/3  efl  égale  et  parallèle  à  BINI.  d'où  il 


■')  Ce  sont  toutes  des  pages  du  Manuscrit  H.  Les  p.  çç  et  loi  ont  été  citées  respeftivement  aux 
p.  325  et  3:"  du  T.  X,  et  la  p.  160  (solution  définitive  du  problème  de  la  redification  de  la 
logaritlimique)  y  a  été  publiée  aux  p.  358 — 360. 


550  PROBtfelMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 

paroit  que  menant  SU  perpendiculaire  fur  G/3,  fa  partie  G^  fera  ^  •         = .  Et  on 
voit  aifement  que  la  fomme  de  toutes  cellecy  fera  x>  TG  —  TF. 

Voyez  en  outre  fur  la  redification  de  la  logarithmique  l'article  de  Huygens  publié  dans  la  livrai- 
fon  de  février  1693  de  r„Hi(loire  de  Ouvrages  des  Sçavans"  (T.  X,  No.  2-93,  à  la  p.  407)  que 
nous  citons  aufli  à  la  fin  de  la  Pièce  VI  qui  fuit. 


VI. 

LE  PROBLÈME  DE  LA  CHAINETTE,  ETC. 

1691  et  1693 


Nous  avons  public  dans  les  Tomes  IX  et  X  —  voyez  e.a.  ce  qui  a  été  dit  à  la  p.  500  (note  3)  du 
T.  IX  d'un  article  de  1900—1901  de  D.  J.  Korteweg  —  un  grand  nombre  de  palTages,  tirés  des 
manulcrits,  fur  le  problème  de  la  chaînette;  on  peut  confulter  ià-delFus,  outre  les  Tables  des  „ma- 
tières  traitées"  de  ces  deux  Tomes,  le  §  7  de  la  p.  513  qui  précède  et  la  Table  à  la  fin  du  préfent 
Tome  qui  donne  la  lifte  des  pages  des  iVIanufcrits  F,  G,  H  et  I  utilifées  dans  les  Tomes  IX  et  X. 

Parmi  ces  Pièces  on  trouve  au  T.  \  les  deux  articles  fuivants  de  Huygens  publiés  par  lui-même. 

T.  X,  p.  95,  No.  268 1  :  Clariiîimis  et  Erudicione  confpicuis  viris  Aftorum  Eruditorum 
auftoribus  Lipfije,  Hag^e  Comitum  5  Maj.  1 691,  lettre  imprimée  dans  la  livraifon  de  juin 
1691  (p.  281—282)  des  „Aaa  Eruditorum"  fous  le  titre  Chriftiani  Hugenii,  Dynaftaî  in 
Zulechem  '^)  folutio  ejusdem  problemacis. 

T.  X,  p.  407,  No.  2793:  Lettre  à  H.  Bafnagc  de  Beauval,  imprimée  au  mois  de  février  (p. 
244 — 257)  dans  le  fafcicule  de  décembre  1692,  janvier  et  février  1693  de  l'„IIi(loire  des  Ouvrages 
des  Sçavans".  Cette  lettre  ne  traite  d'ailleurs  pas  exclufivement  de  la  chaînette,  mais  aufli  de  la 
traftrice,  de  la  rectification  de  la  courbe  logarithmique  (comparez  la  fin  de  la  Pièce  V  qui  précède) 
et  de  la  quadrature  du  „folium  Cartefii". 


■*)  Ceci  efl  une  erreur  de  la  rédaélion  des  Afta  Eruditorum.  En  1687,  après  la  mort  de  fon  père 
Constantyn,  ITuygens  avait  échangé  le  titre  de  SeigneurdeZuylichem  contre  celui  de  Seigneur 
de  Zeelhem.  Il  attire  lui-même  l'attention  sur  cette  erreur  dans  une  letrre  de  1691  (T.  X, 
P-  134)- 


vil. 

SOLUTION  D'UN  PROBLÈME  MATHÉMATIQUE  PROPOSÉ 
PAR  JEAN  BERNOULLI. 

[Sept.  1693] 


T.  X,  p.  5 1 2,  No 2823  :  C.  H.  Z.  de  Problemate  Bernouliano  in  aftis  Lipiienfibus  hujus 
anni  pag.  235  propofito,  article  publié  dans  les  „Afta  Eniditorum"  d'oflobre  1693. 

Il  s'agit  du  problème  formulé  comme  luit  par  de  l'Hofpital  (T.  X,  p.  454):  „La  courbe  ABC 
[Fig.  130]  a  une  propriété  telle,  que  chacune  de  fes  touchantes  BD  eft  toujours  à  la  partie  AD  de 

l'axe  prife  entre  fon  origine  A  et  la  rencontre  D  de  la  touchante,  en 
rpjjr    j  «qI  raifon  de  />  à  17.  On  demande  la  nature  de  cette  ligne  ou  la  manière 

'-     ^"     "^   -*■  de  la  décrire". 

C  Voyez  dans  le  T.  X,  outre  le  No.  2823,  le  No.  2821,  où  nous 

^  avons  publié  les  calculs  de  Huygens  du  Manufcrit  I  qui  fe  rapportent 

S  A  ce  problème. 


[Sept.  1694] 


L'article  No.  2875  de  la  p.  673  du  T.  X:  C.  H.  Z.  Conftruftio  univerfalis  Problematis  a 
Clariflîmo  Viro,  Jo.  Bernoulio,  fuperiori  anno  menfe  Majo  propofiti,  publié  en  feptembre 
1694  dans  les  „Aela  Eruditorum",  fe  rapporte  au  même  fujet  '). 


')  Il  en  ell  de  même  de  la  lettre  du  i  oftobre  1693  de  Huygens  à  de  l'Hofpital  (T.  X,  p.  534, 
No.  2828). 

L'  article  de  feptembre  1694  eft  immédiatement  fuivi  dans  les  Acla  Eruditorum  par  une 
courte  Pièce  tirée  par  Leibniz  d'une  lettre  de  Huygens.  Elle  se  rapporte  à  la  courbure  des 
voiles  d'un  vaisseau  d'après  Jacques  Bernoulli  et  ert  intitulée  Excerpta  ex  epirtola  C.  H.  Z. 
ad  G.  G.  L.  (T.  X,  No,  2874). 


VIII. 

A  PROPOS  DES  „REFLECTIONS  UPON  ANCIENT  AND 
MODERN  LEARNING"  DE  1694  DE  W.  WOTTON. 

[1694  OU  1695]  0 


Reflexions  upon  Ancienc  and  Modem  Lcarning.  by  Will.  Wocton.  at  the  fign  of 
the  Tempel  [de],  near  the  Inner-Temple-Gate,  in  Fleetftreet.  94. 

Il  y  a  un  difcours  inlerè  de  M.  Edmond  Halleij.  of  Ancient  and  Modem  Aftronomy 
and  Optics.  Il  appelle  les  quarts  de  Cercle  avec  des  verres  de  lunette  Inllruments  of 
the  produftion  of  Grefhams:  Il  ne  parle  point  des  nouveaux  ni  vieux  Satellites.  Il 
loue  M.  Newton.  S'.  Paul  Neile  ').  cpiXoTccrpti  comme  tous  les  Anglois. 

Il  y  a  aufll  un  difcours  de  M'.  John  Craige  ')  touchant  l'Arithmétique  et  Géomé- 
trie. II  loue  Newton  Leibniz,  moy  et  autres:  Il  dit  que  des  Cartes  n'a  pas  compris 
l'intention  des  anciens  dans  le  Problème  de  Pappus,et  que  Newton  l'a  refolu  comme 
il  tliut. 

Il  eftime  grandement  la  méthode  de  Cavallerius  qui  a  mon  avisn'eft 
pas  une  méthode  de  démontrer,  mais  de  montrer  qu'on  peut  former  une 
demonl'tration+).  Et  Archimede  ne  l'a  pas  ignorée  '),  comme  dit  auffi  Wallis"^. 


')  Manuscrit  I,  p.  130  (le  manuscrit  n'a  pas  d'autre  pagination  que  celle  de  Huygens).  La  p.  131 

porte  la  date  du  spjanvier  1695  (voyez  sur  cette  page  la  p.  338  du  T.  XIX). 

C'est  une  des  dernières  pages  que  Huygens  ait  écrites,  du  moins  dans  le  Manuscrit  I.  Les  p. 

132 — 134  traitent  d'un  sujet  astronomique,  le  reste  du  Manuscrit  est  en  blanc. 
")  Voyez  e.a.  sur  Neile  astronome  quelques  pages  de  notre  T.  XV,  sur  Neile  mathématicien  la 

note  I  de  la  p.  210  du  T.  XVIIL 
3)  On  peut  voir  dans  notre  T.  X  que  Huygens  connaissait  les  œuvres  mathématiques  de  Craig  ou 

Craige  qui  avaient  vu  le  jour  en  1685  et  1603. 
*)  Nous  avons  relevé  ce  passage  à  la  p.  479  de  l'Avertissement.  Voyez  aussi  sur  les  „démonstra- 

tions",  c.  à.  d.  les  „démonstrations  formelles",  les  notes  31  des  p.  181  — 182  et  1 04  de  la  p.  2 1 5 

qui  précèdent.  Nous  y  renvoyons  e.  a.  à  la  p.  337  du  T.  XIV. 
5)  Voyez  encore  sur  ce  sujet  la  sentence  de  Huygens,  datant  sans  doute  de  1659,  que  nous  avons 

publiée  à  la  p.  286  du  T.  XVII  en  l'intitulant  :  „Remarque  générale  sur  le  calcul  de  la  grandeur 

d'une  ligne,  d'une  surface  ou  d'un  volume  en  partant  p.  e.  de  la  considération  de  la  pesanteur: 

70 


554  PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES. 


L'aucheur  montre  qu'il  eft  favant  en  anatomie  et  raporce  toutes  les  nouuelles  de- 
couvertes  par  le  menu. 

Dans  fa  dernière  lettre,  celle  du  4  mars  1695,  à  Ton  frère  Conflantyn  (fe  trouvant  en  ce  temps 
à  Londres  en  fa  qualité  de  fecrétaire  du  roi  Guillaume),  Huygens  recommande  la  lefture  du  livre 
de  Wotton. 


méthode  d'Archimède".  Nous  rappelons  que  le  manuscrit  de  la  Méthode  d'Archiraède  (voyez 
e.  a.  sur  cet  écrit  la  p.  178  qui  précède)  n'a  été  découvert  qu'au  début  de  notre,  c.  à.  d.  du 
vingtième,  siècle;  mais  l'application  de  cette  méthode  au  cas  de  la  parabole  dont  Huygens  parle 
à  la  p.  2S6  du  T.  XVII  (application  à  laquelle  Archimède  avait  donné  la  forme  d'une  démon- 
stration rigoureuse)  faisait  partie  des  œuvres  connues  du  géomètre  grec;  or,  la  connaissance  de 
ce  seul  cas  a  permis  à  quelques  mathématiciens  du  dix-septième  siècle  d'appliquer  cette  méthode 
infinitésimale  à  d'autres  problèmes:  voyez,  aux  p.  298  et  299  de  notre  T.  XI,  faisant  partie  des 
„Theoremata  (de  Huygens  de  1651)  de  Quadratura  hyperboles,  ellipsis  et  circuli  ex  dato 
portionum  gravitatis  centre",  les  figures  où  des  segments  d'hyperbole  ou  d'ellipse  sont  attachés 
à  des  fléaux  de  balances  fictives  et  tenus  en  équilibre  par  des  triangles. 
*)  Dans  la  „Dedicatio"  à  W.  Oughtred  de  son  „Arithmetica  infinitorum"  de  1655  Wallis  écrit: 
«Ineunte  anno  1650  incidi  in  Torricellii  scripta  Mathematica . .  ubi  inter  alla  Cavallerii  Geonie- 
triam  IndivhibUhim  exponit . .  visum  erat  mihi  . .  eo  spectare  non  pauca  qux  apud  .  .  Archi- 
medem  passim  exstant ...  Et  quidem  si  unius  Parabolœ  quadratura  Archimedem  tantum  nobi- 
litaverit ..  gratum  illud  orbi  IWathematico  futurum  satis  prœsensi,  si  etiam  ejusmodi  figurarum 
infinita  gênera  quadranda  docerem".  Etc. 

Dans  une  lettre  à  Leibniz  du  16  janvier  1699  („Opera  math."  III,  1699,  p.  693)  Wallis 
écrira:  „Quod  tuus  Calculm  Diferentialis  multa  habet  cum  aliorum  sensis  communia,  etiam 
ipsius  Archimedis\  tu  (pro  candore  tuo)  libère  profiteris:  Non  taraen  est  inde  minus  îestimandus. 
Nam  multa  sunt,  quorum  prima  fundamenta  fuerint  Veteribus  non  ignota;  ita  tamen  intricata 
&  difficultatis  plena,  ut  sint  ea  nostra  œtate  reddita  multo  dilucidiora  &  usibus  aptiora". 

Nous  saisissons  cette  occasion  pour  rappeler  —  puisque  les  logarithmes  jouent  un  assez  grand 
rôle  dans  le  présent  Tome  —  que  les  mérites  de  Torricelli  ressortent  aussi  de  l'article  de  1900 
de  G.  Loria  „Le  ricerche  inédite  di  Evangelista  Torricelli  sopra  la  curvalogarithmica"  que 
nous  avons  cité  à  la  p.  441  du  T.  XIV;  nous  ajoutons  qu'on  trouve  le  nom  de  Cavalieri,  en 
même  temps  que  ceux  de  Galilée  et  de  Neper,  à  la  p.  82  du  T.  XIX  où  il  est  question  (p.  82  et 
83)  de  la  courbe  logarithmique  et  de  ce  que  nous  avons  appelé  la  «méthode  des  fluxions"  de 
Huygens  de  1668. 


RÈGLES  DE  L'ACCOMPAGNEMENT 


Avertiffement. 


Un  an  après  la  mort  de  fon  père  que  eut  lieu  pendant  le  féjour  de  1 686 —  1 687  de 
Fatio  de  Duillier  en  Hollande,  1  luygens  fixa  fa  réfidence  à  Hofwyck  près  de  la  Haye  '). 
C'cfl:  là  fans  doute  qu'il  rédigea  définitivement  le  Traité  de  la  Lumière  ')  et  le  Dis- 
cours de  la  Caufe  de  la  Pefanteur  et  qu'il  exécuta  la  plupart  des  calculs  des  7  ou  8 
dernières  années  de  fa  vie  fur  la  dioptrique  3),  le  mouvement  périodique  des  horlo- 
ges +)  et  la  géométrie  infinitéfimale  '). 

Nous  aimons  à  croire  qu'il  ne  fe  borna  pas,  en  fait  do  mufique,  à  écrire  le  Nouveau 
Cycle  Harmonique  ainfi  que  d'autres  pièces  théoriques  ')  mais  qu'il  continua  auffi  à 
pratiquer  lui-même  ce  noble  art  *)  et  peut-être  à  chanter  comme  il  l'avait  fait  dans  fa 
jeunefle  7). 


')  Voyez  sa  lettre  de  mai  1688  à  son  frère  Constantyn  (T.  IX,  p.  295). 

==)  T.  XIX. 

î)  T.  XIII. 

■•)  T.  XVIII,  p.  546  —  596.  Sur  l'origine  des  recherches  sur  les  mouvements  oscillatoires  on  peut 

consulter  e.  a.  le  dernier  alinéa  de  la  p.  486  du  T.  XVIII  et  la  p.  357  du  T.  XIX. 
5)  Présent  Tome. 

*)  Voyez  e.  a.  les  p.  104  et  161  qui  précèdent. 
?)  Voyez  la  p.  356  du  T.  XIX. 


.■)D 


8  AVERTISSEMENT. 


Fondée  par  Ion  père  en  1 640,  la  maifon  de  campagne  I  lofwyck  avait  été  de  tout 
temps  im  temple  de  mufique.  On  y  entendait  fréquemment  le  ion  des  violes,  des 
efpinettes  et  des  luths,  celui  du  clavecin,  des  théorbes  et  des  guitares.  Nous  terminons 
ce  volume  par  la  publication  des  dernières  feuilles  —  non  datées  il  eft  vrai  —  du 
portefeuille  „iMufica",  nous  figurant  que  c'efl:  à  I  lofwyck  que  Huygenslcs  rédigea. 


RÈGLES  DE  L'ACCOMPAGNEMENT  ')• 


8. 
9- 

10. 


La  main  droite  doit  tousjours  [corrigé  au  crayon  en  :  d'ordinaire]  faire  3  partips 

[ajouté  au  crayon:  et  quelques  fois  quatre]. 

Il  ne  faut  pas  faire  la  5  de  la  main  gauche  fans  adjoucer  la  tierce. 

Dans  les  balTes  fort  baffes  on  ne  fait  point  d'accord  de  la  main  gauche  que 

l'oftave  feulement. 

On  monte  rarement  plus  haut  que  le  dernier  mi. 

Il  ne  faut  pas  efcarter  beaucoup  la  main  droite  de  la  gauche  [ajouté  au  crayon:  en 

accompagnant]. 

Quand  le  chant  monte  hart,  il  efl:  bon  d'accompagner  vers  le  haut  du  clavier. 

Il  ne  faut  pas  lever  les  deux  mains  a  la  fois  pour  reprendre  plus  haut,  mais  faire 

demeurer  la  bafle  pendant  que  la  main  droite  prend  le  mefme  accord,  qu'elle 

faifoit,  à  un  endroit  plus  haut,  car  chaque  accord  fe  prend  en  3  différentes 

manières  de  la  main  droite. 

D'ordinaire  il  faut  accompagner  la  baffe  de  la  5"  et  3'. 

Seulement  fur  un  mi  ou  ci  ou  fur  une  dièfe  la  6'  et  3"  d'ordinaire  efl:  meilleure 

mais  quand  il  y  a  un  -l?  marqué  au  deffus  c'eft  figne  qu'il  faut  l'accompagner  de 

la  5  et  3. 

Quand  on  fait  la  6'  il  n'eft  pas  bon  de  redoubler  l'oftave  de  la  baffe  en  bas  fur 

tout  au  fécond  temps  de  la  mefme  6'.  Il  faut  remplir  avec  la  main  gauche  les 

parties  vuides  vers  en  haut,  et  frapper  la  3'  ou  la  6'  près  de  la  baffe  pour  le 

fécond  temps. 


')  Dernières  feuilles  du  Porcef.  „lV[usica".  Nous  publions  les  règles—  en  leur  donnant  le  titre 
«Régies  de  raccompagnement"  —  dans  l'ordre  indiqué  par  les  chifTres  de  Huygens.  Nous  y 
ajoutons  le  facsimilé  d'une  autre  feuille  du  Portef.  „Musica".  On  y  lit:  Accords  par- 
faits, fcavoir  de  quinte  et  tierce,  ei  imparfaits  de  4  et  6%  avec  leurs  agreements. 
Ils  fe  font  de  trois  manières,  et  en  montant  plus  haut  furie  clavier  on  fait  les  répé- 
titions de  ces  3  manières.  Comme  ces  accords  font  icy  fur  ut  de  la  baffe,  ils  fe  font 
de  mefme  fur  ro,  mi,  fa,  fol,  la,  ça.  —  Cadences  en  4  temps  avec  leurs  agreements. 
Agreements  =  Cieraden  (p.  6ç,  note  9).  Voyez  fur  le  „nom  particulier"  qu'on  peut  donner 
„a  chacun  des  12  tons  de  l'odave"  les  p.  109  et  167  qui  précédent. 


560  RÈGLES  DE  l'aCCOMPAGNEMENT. 

I  o  [bis].  Sur  un  ci  il  ne  faut  pas  que  le  defTus  face  l'oftave  mais  il  faut  l'accompagner 
de  la  6  et  3  [corrigé  au  crayon  en  :  . .  l'oftave  quand  on  l'accompagne  de  la  6 
mineure]. 

1 1 .  Devant  l'ochive  il  faut  prefque  tousjours  que  la  6'  foit  majeure. 

1 2.  La  faulTe  quinte  -)  s'accompagne  de  la  6  mineure  et  delà  3. 

1 3.  Le  triton  ")  s'accompagne  de  la  6'  majeure  et  l' majeure. 

1 4.  La  7'  s'accompagne  de  la  5  et  3  majeure  ou  mineure,  quelque  fois  de  la  1  o  et  8 
feulement  excepté  fur  ut  ou  fa  au  ton  naturel  [ajouté  au  crayon  :  ou  l'oétave  ne 
peut  pas  eflre]. 

[Le  bout  de  phrafe:  «excepté  etc."  a  été  ajouté  plus  tard  en  remplacement  de  quelques 
autres  mots  biffés  3).  A  la  fin  Huygens  a  ajouté  encore  au  crayon:  on  doit  omettre  la  5]. 

15.  La  2'  doit  eftre  accompagnée  de  la  4  et  5  [ajouté  au  crayon  :  ou  de  la  4  et  6  majeure, 
et  la  2'  fe  peut  redoubler  [corrigé  au  crayon  en  :  fe  redouble(r)  d'ordinaire],  la  note 
d'après  defcend  d'ordinaire  d'un  demiton  et  les  touches  de  la  4  et  5  précédente 
font  contre  cette  dernière  balTe  la  6  et  5. 

16.  [Alinéa  biffé  au  crayon].  Dans  la  T  majeure,  c'efl:  a  dire  qui  fe  fait  fur  fa  ou  ut 
dans  le  ton  naturel  l'on  ne  redouble  point  l'oétave,  et  ainfi  il  faut  l'accompagner 
de  la  3'  majeure  et  9'  ou  de  la  5  et  3  feulement. 

17.  Quand  la  baffe  va  defcendre  d'un  femiton,  et  à  un  accord  parfait  comme  aux 
cadences,  il  n'y  faut  point  d'S". 

On  fait  ces  cadences  en  faifant  la  -'  et  puis  la  6  contre  la  première  note  de  la 
baffe.  [Les  mots:  „6  contre  ....  la  baffe"  ont  été  biffés  au  crayon  et  remplacés  par  le  feul 
mot  „fauve"  (?)]  Ou  en  fauvant  la  7  au  defTus  [ajouté  au  crayon,  en  remplacement  de 
quelques  mots  biffés:  et  alors]  au  lieu  d'oftave,  on  adjoute  la  fauffe  quarte  [corrigé 
au  crayon  en:  adjoute  le  triton].  [Biffé  au  crayon:  aux  autres  cas  on  redouble  la  3, 
ou  la  6.]  Mais  quand  la  note  de  baffe  a  la  quelle  on  descend  fera  accompagnée 
de  la  6%  alors  l'on  peut  [corrigé  au  crayon  en  :  doit]  faire  l'oélave  dans  l'accom- 
pagnement de  celle  qui  précède. 

1 8.  Quand  le  defTus  fait  la  3'  ou  la  6"  contre  la  baffe,  les  deux  mains  peuvent  [ajouté 
au  crayon  :  quelques  fois]  monter  enfemble.  Et  quoyque  les  parties  du  milieu 
femblent  faire  2  oftaves  ou  2  quintes,  elles  n'en  font  pas,  parce  qu'elles  fe  croi- 
fent.  mais  le  deffus  contre  la  baffe  ne  doit  jamais  faire  2  oftaves  ni  2  quintes,  parce 
qu'on  ne  peut  pas  faire  monter  aucune  partie  plus  haut  que  le  deffus,  ni  defcendre 

au  deffous  de  la  baffe  [le  dernier  bout  de  phrafe:  „parce  qu'on la  baffe"  a  été  biffé 

au  crayon]. 

19.  Sur  la  7  mineure  l'on  redouble  l'ofta ve  de  la  baffe,  mais  non  pas  fur  la  7  majeure. 
19. 1.  L'on  ne  redouble  jamais  la  7% 


")  Sur  la  fausse  quinte  et  le  triton  on  peut  consulter  e.  a.  la  note  i  de  la  p.  165  qui  précède. 
^)  Après  le  mot  «feulement"  Huygens  avait  d'abord  écrit:  quelque  fois  de  la  3  maj.  et  9% 
excepté  fur  mi  ou  ci,  dans  le  ton  naturel. 


RÈGLES  DE  l'aCCOMPAGNEMENT. 


56' 


20.  Sur  une  diefe  qui  ne  fait  qu'un  temps  et  dont  on  monte  a  la  note  prochaine,  il 
ert  prefquc  tousjours  bon  de  faire  la  fauiïe  quinte. 

20.1 .  On  ne  redouble  pas  labaiïc  quand  c'efl  une  feinte,  pour  le  fécond  temps  quand 
la  baffe  cil  une  feinte  ou  un  ci  on  fait  la  laulle  quinte  de  la  main  droite. 

2 1 .  Dans  la  mefure  à  deux  temps,  fur  une  0  on  bat  quelques  fois  deux  fois  l'accord, 
quelques  fois  on  ne  redouble  qu'une  des  parties  balles. 

22.  Sur  le  point  au  commencement  d'une  mefure  on  redouble  tout  l'accord,  autre- 
ment feulement  une  des  parties  badcs. 

23.  Sur  la  blanche  d'une  mefure  a  3  temps  on  rebat  pour  le  fécond  temps  une  des 
parties  baffes,  et  s'il  y  a  un  point  en  fuite,  on  rebat  pour  cela  l'accord  entier. 

24.  On  ne  doit  pas  frapper  l'accord  fur  une  crochue  quand  elle  finit  un  des  4  temps 
de  la  mefure,  mais  quand  elle  en  commence  un.  [Ajouté  au  crayon  :  l'on  faift  pour- 
tant Ibuvent  de  lu  main  droite  une  tierce  contre  la  crochue  qui  finit  un  temps 
laiffant  les  autres  doits  iur  l'accord  ou  ils  elloient]. 

25.  On  ne  doibt  pas  pointer  les  notes  dans  l'accompagnement  quoyqu'on  les  voye 
pointées  dans  les  parties  qui  chantent. 


/"e^i^X 


-^. 


t^p-  Xr-C^    â^L^/.~-    t^l*    ^f'J^^'-'l^ 


Cé\^- 


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TT^ 


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TABLES. 


I.  PIÈCES  ET  MÉMOIRES. 


Page. 

Hommage  de  Huygens  A  Tiiéocrite  [1688] i 2 

MUSIQUE  ET  MATHÉMATIQUE 3_,3 

Avertissement r 7 

I.     Critique  du  livre  de  1655  de  M.  Meibomius  „De  proportionibus  diaiogus" 

[1656] 8— n 

II.    Mufiqueet  logarithmes  chez  Huygens  [i  661] 12 

III.     La  compofition  ou  addition  des  rapports  [1662] 13 

MUSIQUE 15— 1-3 

Avertissement  générai i-r ip 

Titre 21 22 

I.     Théorie  de  la  confonance 23—39 

AvertifTement 25 29 

À.  Origine  du  chant.  Rapport  des  longueurs  des  cordes  confonantes  fuivant 

Pythagore,  etc.  [1661?] 30 — 37 

B.  Autres  confidérations  fur  la  gamme  diatonique,  produit  d'intervalles  con- 

fonants.  Les  demitons  chromatiques  modernes 38 — 39 

II.     La  divifion  du  monochorde  [i6di] 41 — 60 

AvertifTement 43 — 47 

Â.  Copie  d'une  partie  d'un  écrit  d'un  des  deux  frères  Hemony  intitulé 

„Vanden  Beysert"  (c.à.d.  du  carillon) 48 

B.  Divifio  Monochordi  I 49 — 56 

C.  Divifio  Monochordi  II 56 — 58 

Appendice  à  la  Pièce  C  [1676] 59 — 60 

III.  Pièces  fur  le  chant  antique  et  moderne 61 — 82 

AvertifTement 63 — 67 

y/.  Le  tempo  giuflo 68 — 6^ 

B.  Les  divers  modes 6g — ^^6 

C.  Différences  de  hauteur,  par  rapport  aux  tons  desinflruments,réfultant  de 

la  jufteire  du  chant -6 — yy 

D.  Les  anciens  connaiflaient-ils  le  chant  polyphone? 78 — 81 

E.  Mérite  des  „Belgœ",  fuivant  Guicciardini,  dans  l'établifTement  ou  ré- 
tabliiïement  du  chant  polyphone 82 

IV.  Notes  fe  rapportant  à  des  écrits  de  muficologues  anciens 83 — 105 

AvertifTement 85 — 88 

Texte 89 — 103 


566  I.  PIÈCES  ET  MÉMOIRES. 

Page. 

appendice.  „Tons  de  ma  flûte".  La  firène  (?) 1 04 —  1 05 

V.     Notes  fe  rapportant  à  des  écrits  de  muficologues  modernes 107 — 137 

Avertillement 109 — 1 10 

Texte III  — 137 

VI.     Le  (nouveau)  cycle  harmonique 1 39 — 173 

A  vertillemen  t 141  —  1 46 

J.  Divilîo  odava;  in  31  intervalla  a;qualia  (per  logarithmos)  [1661] 147 — 149 

B.  Table  intitulée  „Divifioii  de  l'oftave  en  31  parties  égales" 149 — 150 

C.  Commentaire  fur  une  table 151  — 153 

D.  Projet  d'une  lettre  à  Bafnage  de  Beauval 153 — 155 

E.  Cycle  harmonique  par  la  divifion  de  l'oclave  en  31  dièfes,  intervalleségaux  155 — 164 

F.  Lettre  à  Bafnage  de  Beauval  touchant  le  cycle  harmonique  (connue  fous 

le  nom  de  NovusCyclus  IIarmonicus)[i69i] 164 

G.  Quelques  notes  fe  rapportant  à  la  diviiion  de  l'oftave  en  31  intervalles 

égaux 165 —  1 67 

Appendice  I.  L'idée  de  la  7Teoiz0x).w(7tç,  etc.  (programme  de  la  Pièce  E) . .  168 — 170 
Appendice  II.  Tableau  comparatif  de  1 1  ou  30  moyennes  proportionnelles 

d'après  différents  calculateurs 171  — 173 

HUYGENS  ET  EUCLIDE 175  — 191 

Avertissement 177 — 182 

Titre 183 

L     A  propos  de  l'ouvrage  projeté  d'un  mathématicien  inconnu  le  propofant  de 

corriger  les  Eléments  d'Euclide  [1672  ou  1673?] 185 — 187 

IL     L'incommenfurable  [1675] 188 — 189 

III.     Le  corps,  la  furface,  la  ligne,  le  point  [1690] 190 — 192 

MATHEMATICA  VARIA  :  LES  MANUSCRITS 193—196 

HUYGENS  A  L'ACADÉMIE  ROYALE  DES  SCIENCES.  COMMUNICATIONS 

SUR  DES  SUJETS  DE  MATHÉMATIQUE 197—365 

Avertissement 199—222 

Titre 223 

I.     Règle  pour  trouver  les  logarithmes  [1666  ou  1667] 225 — 227 

IL     Demonftratio  reguls  de  maximis  et  minimis  [1667] 228 — 241 

III.  Régula  ad  inveniendas  tangentes  linearum  curvarum  [1667] 242 — 255 

IV.  De  curvis  paraboloidibus  et  hyperboloidibus[i667] 256 — 257 

V.     Examen  du  livre  de  Wallis„Arithmetica  infinitorum"  de  1655  [1667] 258 

VI.     Infuffifance  de  la  démonftration  de  Gregory  de  l'impodibilité  de  la  quadrature 

du  cercle  [  1 668] 259 

VIL     Sur  la  quadrature  arithmétique  de  l'hyperbole  par  Mercator  et  fur  la  méthode 

qui  en  réfulte  pour  calculer  les  logarithmes  [1668] 260 — 264 

VIII.     Problema  Alhafeni  [1669  ou  1670?] 265 — 271 


I.  PIÈCES  ET  MÉMOIRES.  567 

Page. 

IX.     ConftruAio  loci  ad  hyperbolam  per  afymptotos[i67o?] a/ii 281 

X.     Sur  les  lieux  plans  d'ApolIonios  [1678] 282 284 

XI.     Reftitication  et  quadrature  de  l'épicycloide  [1678^1679] 285 

XII.     Sur  les  équations  folides  [1680] 286 287 

XIII.     Théorème  fur  les  points  d'interfeetion  des  coniques  dont  les  axes  font  paral- 
lèles ou  à  angles  droits  [1680] 288 290 

Appendice  I  à  la  Pièce  I.  Logarithmes  et  fuites  géométriques  [166 1  ?] 291 — 294 

Appendice  II  à  la  Pièce  I.  Règle  pour  trouver  les  logarithmes  [i 661] 295 — 297 

Appendice  I  à  la  Pièce  II.  A  propos  de  l'ouvrage  de  1659  „de  maximis  et 

minimisetc."  de  Viviani  [1660] 298 299 

Appendice  II  à  la  Pièce  II.  Cônes  maximaux  [1669] 300 — 301 

Appendice  à  la  Pièce  III.  Tangente  à  la  courbe  hyperboloVde  de  Ricci  [1666]        302 
Appendice  I  à  la  Pièce  VI.  Premières  réflexions  fur  la  „Vera  circuli  et  hyper- 
bols  quadratura"  de  1667  de  Gregory  [1667  ou  1668] 303 — 307 

Appendice  II  à  la  Pièce  VI.  Projet  d'une  réplique  à  la  réponfe  de  Gregory  à  la 

critique  de  Huygens  [1668] 308 — 309 

Appendice  III  à  la  Pièce  VI.  Calculs  au  fujet  des  approximations  de  Gregory 

dans  le  cas  du  cercle  [1668] 31  o — 315 

Appendice  IV  à  la  Pièce  VI.  Nouvelles  approximations  pour  le  cercle  [1668].  316 — 322 
Appendice  V  à  la  Pièce  VI.  Calculs  au  fujet  des  approximations  de  Gregory 

dans  le  cas  de  l'hyperbole  [1668] 323 — 327 

Appendice  I  à  la  Pièce  VIII.  Ratio  conftruftionisproblematisAlhafeni [1672]  328 — 329 
Appendice  II  à  la  Pièce  VIII.  Solution  préférée  du  problème  d'Alhazen  [1673]  330 — 333 
Appendice  à  la  Pièce  XII.  Recherches  fe  rapportant  au  problème  des  deux 
moyennes  proportionnelles  et  plus  généralement  à  des  „folida  problemata" 

[1682] 334— 3<îo 

Appendice  à  la  Pièce  XIII.  Démonftrations,  l'une  antérieure,  l'autre  pofté- 
rieure  à  la  rédaction  de  la  Pièce  XIII,  du  théorème  fur  les  points  d'inter- 
feaion  etc.  [A.  1680,  B.?] 361—365 

LES  TROIS  GRANDS  PROBLÈMES  DE  L'ANTIQUITÉ 367—404 

Avertissement 369 — 377 

Titre 379 

L     Huygens  et  Hobbes[i 666] 381 

IL     Une  quadrature  approchée  du  cercle  [1668]  382 — 387 

IIL     Le  développement  du  „numerusimpo(îibilis"('7)  en  série  par  Leibniz  [1674]       388 
IV.     Du  livre  de  Wallis,  Hiftoria  Algebrs  anglicè.  Développement  du  „numerus 

impo(nbilis"C'r)enune  fradion  continue  [1686  ou  1687] 389 — 394 

V.  Progreflio  optima  ad  quadrandum  circulum  ac  non  tantum  Leibnitiana  multo 
citius  appropinquans  fed  et  Newtonianara  poft  ferelinquensfimpliciorqueea 
ac  commodior 395 — 4°® 


568  I.  PIÈCES  ET  MÉMOIRES. 

Page. 

VI.     Huygens  et  Hubertus  Huighens  [1692] 401 

VII.     Inveftigatio  duariim  mediarum 402 — 403 

MATHEMATICA  VARIA  1666—168 1  405—444 

Avertissement 407 — 410 

Titre 411 

I.     A  Paris  (mai  1666 — août  1670) 413 — 420 

I,  I.  De  combinationum  mirandis  [1668] 413 — 416 

I,  2.  Trois  problèmes  fur  les  triangles  [1668  ou  1668 — 1669] 417 — 41 8 

Appendice.  „Sur  la  1 5.  propofition"  [de  Frenicle] 41 9 — 420 

II.     A  la  Haye  (feptembre  1670 — juin  1671) 

III.  A  Paris  (juillet  1671 — juillet  1676) 421 — 441 

III,  I.  Queftion  des  fignes  dans  les  éciuations  degéométrieanalytique[i673)        421 

III,  2.  Trois  problèmes  fur  le  triangle  [1673 — 1674] 422 — 431 

III,  3.  Un  théorème  fur  la  tangente  à  l'ellipfe  [1674  ou  1675] 432 

III,  4.  Un  problème  fur  le  quadrilatère,  avec  extenfion  du  théorème  trouvé 

en  cette  occafion  fur  le  quadrilatère  infcrit  dans  une  circonférence  de 

cercle,  à  un  polygone  infcrit  quelconque  [1675] 433 — 440 

III,  5.  Les  „quantitez  imaginaires"  [1675] 441 

IV.  A  la  Haye  (juillet  1676 — juin  1678) 442 — 443 

IV,  i.Queftionsfe  rapportant  au  traité  „Van  rekeningh  in  fpelen  van  geluck" 

[16-6] 442 

IV,  2.  Queftion   des  fignes  dans  les  équations  de  géométrie  analytique 

[1676  ou  1 6-j'\ 442—443 

V.     A  Paris  (juillet  1678 — août  1681).  Queftion  fe  rapportant  au  traité  „Van 

rekeningh  in  fpelen  van  geluck"  [1679] 444 

MATHEMATICA  VARIA  1 68 1  — 1695 445—4/6 

Avertissement 447 — 449 

Titre 45 1 

I.    A  propos  du  „pendulum  cylindricum  trichordon"  (finufoi'de  et  parabole, 

courbes  ofculatrices)  [1683] 453 — 454 

II.     Démonftration  de  théorèmes  trigonométriques  [1687,  1680] 455 — 461 

III.  Queftion  fe  rapportant  au  traité  „Van  rekeningh  in  fpelen  van  geluck"  [168  8]       462 

IV.  Examen  curvcc  lines;  quam  Cartefius  régula;  et  fili  duflu  defcribere  docet,  an 

fit  eadem  atque  ovalium  ipfius  prima  [1690] 463 — 466 

V.     Surface  obtenue  par  la  révolution  de  la  parabole  autour  d'une  tangente  au 

fommet  [1691] 467—468 

VI.     Développée  du  „fûlium  Cartefii"  [1691] 469 

VII.     Solide  de  révolution  obtenu  par  la  rotation  de  la  cycloïde  autour  de  fon  axe 

[1691] 470 

VIII.     Calcul  de  logarithmes  en  partant  de  la  conlidération  de  l'hyperbole  équilatère 


I.  PIÈCES  ET  MÉMOIRES.  569 


Page. 

[Kîpi] 47'— 473 

IX.     Cycloïdeetcinoïdc'iloHdesde  révolution  et  centresdc(,'ravitc[i69i  ou  1692]  474 — 475 
X.     Calcul  du  rayon  de  courbure  minimal  de  la  courbe  logarithmique  [1692]  . . .        476 

PROBLÈMES  ET  MÉTHODES  MODERNES 477—554 

Avertissement 479 — 48» 

Titre 489 

I.     Fatio  de  Duillier  et  I  luygens.  Méthode  des  tangentes  pour  les  „curva;  filarcs" 
de  Tfchirnhaus,  ou  plu  tùt  pour  les  courbes  données  en  coordonnées  bipolaires, 

tripolaires,  etc.,  les  pôles  étant  (Itués  fur  une  ligne  droite  [1687] 491 — 504 

II.     Solution  du  problème  propolé  par  M.  Leibnitz  dans  les  nouvelles  de  la 
Republique  des  Lettres  du  Mois  de  Septembre  1687  [fur  la  courbe  de  defcente 

uniforme]  [1687] 505 

m.  Fatio  de  Duillier  et  Huygens.  Règle  pour  trouver  l'équation  d'une  courbe 
lorfque  la  iburtangente  eft  donnée  en  coordonnées  cartéliennes  (problème 
inverfe  des  tangentes"  ou  „probléme  des  tangentes  renverfées")  [1691]  ....  506 — 541 

IV.     Methodus  Leibnitij  [ 1 69 1  ] 542—546 

V.     A  propos  de  la  méthode  du  Marquis  de  IMIofpital  [1692] 547 — 550 

VI.     Le  problème  de  la  chatnette,  etc.  [1691  et  1693] 551 

VII.     Solution  d'un  problème  mathématique  propofé  par  Jean  BernouUi  [1693  et 

1694] 552 

VIII.     A  propos  des  „Refleftions  upon  ancient  and  modem  learning"  de  W.  Wotton 

[  1 694  ou  1695] 553—554 

RÈGLES  DE  L'ACCOMPAGNEMENT 555— 5<5i 

Avertissement 557 — 55^ 

Texte 559— 5*5 1 


72 


IL  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS 
MENTIONNÉES. 


Dans  cette  lifte  on  a  rangé  les  noms  fans  avoir  égard  aux  particules  de,  a,  van  et  autres. 
Les  chiffres  gras  défignent  les  pages  où  l'on  trouve  des  renfeignements  biographiques  '). 

Académie  de  Caen.  227. 

Académie  de  Montmort.  191. 

Académie  (françaife)  des  Sciences.  130,  145,  1-8,  186,  196,  197,  206,  207,  21 1 — 2i,'^,  216,  220, 

221,  223—290,  295,  296,  333— 335î  375;  4°"'  408,  410,  419,  481. 
Accademiadei  Lincei.  123. 
Accademia  (Reale)  d'Italia.  121. 
Adam  (Charles).  18,  34,  200. 
Ahrens(H.L.).  I. 

Al^ademie  der  Wetenfchappen  (Koninlvlijke).  6,  32. 
Akadcmie  der  WifTenfchaften  (Sachfifche).  126. 
Alencé  (Joachim  d').  207,  597. 

Alhazen.  196,  207,  218,  223,  265 — 271,  328 — 333,  422. 
Alypius.  86,  89,92,93,94,96,  100,  126  . 
Ambros  (A.W.).  65, 66,  129. 
Apollonios  Pergaeus.  9,  178,  217,  221,  223,  282— 2R4,  289,298,299,332,335,341,342,359, 

360,363—365,480,531. 
Arabes  (les  favants  arabes).  299,  37 1,  373,  620.  Voyez  auflî  Alhazen. 
Aratos.  89. 

Archibald  (R.  C).  7,  177. 
Archiloque.  80. 

Archimède.  9— 1 1, 1J8,  180—182,  186,  187,  370,  480,  487,  504,  509,  553,  554. 
Archytas.  620. 

Ariftide  Quintilien.  26,  86,  89,  90,  93,  95. 

Ariflote.78,  86,  87,  89,  132,  lî!*,  1Î9,  181,  188,  192,371,373,620. 
Ariftoxène.  5,  7,  26,  33,  35,  78,  86,  91,94— 96,  113,  114,  121,  131,144,  155,  168. 
Ariftoxéniens  (les).  31,  34,  35,  121. 
Arrighettus  (Andréas),  299. 
Artufi  (Giovanni  M.).  54,  109. 


')  Voyez  la  note  i  de  la  p.  675  du  T.  XVIII. 


IL  PKRSONNES  ET  INSTITUTIONS  MF,NTIONNF,t:S.  5-7  i 


Asklepios.  5. 

Athenaïus.  96,  131,  13;. 

Auhry  (A.)-  ^20. 

AiigiifMn  (Saint)  (Aiircliiis  Aiif^uftimis).  i:o,  i:i,  i;8. 

Auzout  (Adrien).  22-. 

Avoye  ou  Auoye.  227. 

Aynfcom  (Fr.  X.).  9. 

Bacchius  Senex.  86,  89, 94,  OS». 

Hacli  (Joh.  Sebaftian).  129,  144. 

Balfoort  (Dirk  J.).  64, 69. 

Bail  on  Bannius  (Joannes  Albertus).  82. 

Barrow  (Ifaac).  191,  3îl— 3Î3,  488, 507, 509,  513,  549, 601, 605. 

Baryphoniis.  Voyez  Pipegrop. 

Bafnage  de  Beauval.  22,  141,  145,  14-,  153,  164,481,551,606,607,609. 

Beaiigrand  (J.  de).  34,  35,  143,  144,  171,  199. 

Beaiine  (Florimond  de).  217,  274,  275,  582  (note),  609. 

Beda  Venerabilis.  78. 

Beeckman  (Ifaac).  34,  35. 

Bernonlli  (Jacques).  390, 552, 621. 

Bemoulii  (Jean).  481,489,  552,603,609 — 611. 

Bethe  (E.).  96. 

Beyniim  (Bertha  van  R.-  von  Essen).  160. 

Bibliotheca  monafterii  Scheuren(is.  81. 

Bibliotlieca  nazionale  di  Tirenza.  65. 

Bibliothèque  de  l'univerfité  de  Leiden.  38 1. 

Bibliothèque  du  couvent  S.  Salvator  à  Mefîîne.  126. 

Bibliothèque  royale  à  Paris.  180. 

Bibliothèque  royale  de  Hannovre.  375,  391. 

Biereiis  de  Haan  (D.).  32,  33,  35,  44,  171,  458. 

Blankenburg  (Quirinus  G.  van).  69,  1 29. 

Boèce  (Anicius  Manlius  Torquatus  Severinus  Boethius).  1 16. 

Borelli  (G.  A.).  298,  299. 

Bofmans  (H.).  206,  390. 

BofTe  (Abraham).  192,220,221. 

Boulliau  (Ifmaël).  11,  34,  35,  144,  171,  172,  179,  180,  377. 

Brahmagupta.  439. 

Briggs  (Henry).  6, 7,  199,  200,  202,  448, 600. 

Brocard  (H.).  211,  620. 

Brouncker  (William).  213,  373,  374,  394. 

Brown  (Harcourt).  227. 


572  II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES. 


Brugmans  (H.  L.).  43,  154,  222. 
Brune:  (Pierre).  178. 

Bruno  (H.).  18. 

Bryennius  (Manuel).  26,  89. 

Bûrgi  (Jott).  6. 

Buttler  (Charles).  1 19. 

Cantor  (Moritz).  221,  409. 

Carcavy  (Pierre  de).  195,  209,  211. 

Cardanus  (Hieronymus).  389. 

Cartes  (René  des).  17,  18,  34,65,  143,  178-180,  199,209-211,216,217,228,230,242,243, 

274,  275,  284,  335,  337,  343,  361,  389,  437,  448,  451,  463-46»,  469,  480,  484,  485, 

489»  499,  538,  551^  553,  605,  608,  61 1. 
Ca(nni(J.D.).  179. 
Catelan  (Fr.?  de).  390,608. 
Cavalieri  (Bonaventura).  201,  202,  215,  553,  554. 
Ceulen  (Ludolf  van).  188,  439. 
Chalcidius.  178. 
Ciiilmead  (Edm.).  89. 
Clirift(W.).  132. 

Cicéron  (Marcus  TulliusCicero).  125. 
Cla;rbergen  (Pli.  E.  Vegelin  van).  433,  434. 
Clavius  (Chriftoffel).  8. 
Clerfelier(Cl.).  211. 
Coets  (H.).  597, 598. 
Collins  (J.).  375,  620. 
Combarieu  (J.).  178. 
Copernic  (Nicolaus  Coppernicus).  179. 
Coufin  (Jean?).  7. 
Craig  (John).  553. 
Crama  (non  pas  Cramers).  49. 
Croifet  (Alfred).  80. 
Croifet  (Maurice).  80. 
Cyfatus(J.B.).  81. 

Daniel  (le  prophète).  131. 

Dati  ou  Datus  (Carolus).  298,  299. 

Davenant  (Edward).  393. 

Démocrite.  179. 

Defargues  (Girard).  191,  192,  220,  281,  402,  407. 

Delcartes.  Voyez  Cartes  (des). 

Deventer  (Ch.  M.  van).  584  (note). 


II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES,  573 

Didymus.  114. 

Diels  (H.)-  99- 

Diophante.  188,  371,597. 

Donckcr  (H.).  457. 

Duhamel  (J.  M.  C).  211. 

DuilHer  (N.  Fatio  de).  376,  3»6,  484-489,  491-504, 506-541, 544,  557,  597, 601—603, 608. 

Dupont  (N.).  154,  157,  158,  160. 

Dupuy.  Voyez  Puteanus. 

Dûring  (I.).  5,  ■]%  90-93>  95>  9%  'oo- 

Durven  (les  van).  88. 

Dijkfterliuis  (E.  J.).  684,  621. 

Ecchellenfis  (Abraham).  299. 

Einlkin  (Alfred).  137,  145. 

Eitner  (R.).  45. 

Elft  (J.  van  der).  109,  1 10,  ia8-l?9,  618. 

Eneftrom  (G.).  6. 

Epicure.  If  9,  180. 

Epigonus.  96. 

Eratofthène.  10,  89-92, 1Î8,  334. 

Etats  de  Hollande  et  de  Weftfrife.  6^. 

Euclide.5,7-13,  86,  89,  94,95,97,98,  131,  175,1J»-180,  181-192,  199,200,434. 

Euler(Leonhard).  145,  200. 

Euthymius  (perfonnage  fiftif).  9,  10. 

Eiuokios.  9,  II,  287. 

Faber  Stapulenfis  (I.).  28,  617. 

Fano  (Fabio).  121. 

Fatio  de  Duillier.  Voyez  Duillier. 

Ferdinando  II  de  Medicis.  298. 

Fermât  (Pierre).  204, 208-2 1 2, 281, 228-230,  232,  233,  242,  243,  245,  248,  249,  300,  302,  335, 

390,  407,  606, 608,  619,  620. 
Fétis  (F.  J.).  7,  145. 
Fogel  (Martin).  227. 
Frédéric  III,  roi  de  Danemarck  etc.  8. 
Frenicle  de  BeflTy  (B.).  407,  408,  410,  41 1,  419. 
Friedlander  (Paul).  1 26. 

Galeus.  Voyez  Galle. 

Galilei  (Galileo).  18,  30,  33,  69,  89,  178, 179,  299,  554. 

Galilei  (Vincentio,  père\  33, 66,  89,  96, 109,  121. 


574  lï-  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES. 

Galle  (Jean).  34,  35,  i-i,  173. 

Gallois  (Jean).  259. 

GafTend  ou  Gaflendi  (Pierre).  179. 

Gaudence  ou  Gaudentius.  86,  89,  93-95,  98,  ç(). 

Gellibrand  (Henrj').  199. 

Genebrardas  (Gilbert).  1 1 9. 

Gent  (P.  van).  375,  4S3,  484. 

Gerhardt  (G.I.).  391,393. 

Gevaert  (Fr,  A.).  86. 

Gibel  (Otto).  133,  1 34. 

Gilbert  (W.).  81. 

Girard  (Albert),  33, 64,  21  ?,  363,  37 1 . 

Glareanus  (H.  L.).  ÏO,  71,  116. 

Gogavinus  (A.).  ç6. 

Graaf,  GraafFou  Graef  (A.  de).  457,  598. 

Graindorge  (André  de).  227. 

Gravelaar  (N.  L.  W,  A.).  6. 

's  Gravefande  (G.  J.).  164. 

Grégoire  de  Saint-Vincent.  9,  200 — 202,  205,  206,  213,  214,  221,  264. 

Gregory  ou  Gregorius  (David).  177,  488,  608. 

Gregory  ou  Gregorius  (James).  188,  212—214,  223,  259,  303— 327>  3^9,  3r4î  »'*>  38<5, 

388, 449, 604,  609.  620. 
Gresham  Collège.  553. 
Groffî.  Voyez  L.  da  Viadana. 
Guicciardini  (Lodovico).  21,  64,  66,  82. 
Guido  Aretinus.  109,  119,  120, 123,  124 — 126,  128. 
Guillaume.  Voyez  Willem  III. 
Gutfchovius  (G.  van  Gutfclioven).  534,  609. 
Gyfelynck  (H,  J.>  49. 

IIalley(E.).553. 

Hâiidel  (G.  Fr.).  129. 

Harduinus  (J.).  132. 

Heiberg  (J.  L.).  6,  177,  187,  199,  206,  289,  332,  364,  509,  531. 

lleinfius  (Nicolas).  298. 

Helmholtz  (H.  von).  36. 

Hemony  (François).  49. 

Hemony  (frères).  17,  18,  21,  28,  29,  43,  44,  48,  49. 

Ilemony  (Pierre).  44. 

Henry  (Ch.).  209,  211. 

Hérigone  (Pierre).  7,  199,  202 — 204,  208,  209,  212,  616,  619. 


II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES.  575 

Hermotimus  (perfonnage  fiélif).  9 — 1 1. 

Héron  d'Alexandrie.  131,  132,  192. 

Hiéron,  roi  de  Syracufe.  1,  130. 

Ililler(Ed.).  178. 

Hippocrate.  605. 

nire  (Philippe  de  la).  207,  212,  216,  217,  *19— 282,  256,  335,  364,408. 

Ilobbes  (Thomas).  13,  258,  379,  381. 

Horace  (Qiiintus  Horatius  Fiaccus).  132,219,416. 

Horroclis  (Jeremias).  393. 

Horfley  (Samuel).  376,  391,  392. 

Hofpital  (G.  E.  A.  Marquis  de  1')-  IPS»  27i>  474)  48"— 4**9)  5'°,  53^,  539.  54.'— 55°)  552.  598, 

605 — 61 1. 
Hudde  (Johan).  195,  208,  210,  228—230,  233,  242,  243,  300, 437. 
Huighens  (Hubertus).  379,  401,  482,  483,  529,  532,  605. 
Hutton  (Charles).  205,  206. 
Huygens  (Conftantyn,  frère).  220,  554. 
Huygens  (Conftantyn,  père).  17,  26,  28,  33,  34,  46,  64,  66,  82,  161, 170, 199, 209, 55 1, 

557.558,617. 
Huygens  (Lodewyk).  161,  191. 

Inftitut  archéologique  liégeois.  173. 
Inftitut  de  France.  211. 
loannes  XX  (pape).  124. 

Janus  (Carolus  von  Jan).  89. 
Jean  (pape).  Voyez  loannes. 
Jean  (Saint,  apôtre).  120,  125. 
Jeans  (James).  144. 
Jonclcbloet(W.J,A.).82. 
Jordan  (M.  C).  372. 

Kaibel  (G.).  132. 

Kapfberger  (Johann  Hieronymus  von).  i8ï. 

Kepler(J.).  179,  294. 

Kircher  (Athanafius).  85,  89,  1 10, 133-12». 

Knott  (C.  G.).  6. 

Korteweg(D.J.).  551. 

Lalovera  (A.  de  Lalouvère).  620. 

Land  (J.  P.  N.).  44,  58,  82,  144,  145,  149. 

Lange  (W.).  9. 

Leeuwenhoeck  (Antony  van).  88. 


576  II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES. 

Lefèvre  d'Etaples.  Voyez  Faber  Stapulenfis. 

Leibniz  (G.  W.).  188,  195,  374,  375,  376,  379,  388,  389,  391,395,398,400,409,441,454, 

472'  475,  479-481,  483-489,  501-503,  505,  506,  510,  511,  513,  517,  525,  535,  539, 

540,  542-546,  549,  552-554, 598—605,  608,  61 8,  62 1 .  622. 
Leopoldo  de  Medicis.  298,  302. 
Lepaige  (C).  172,  219. 
Lobkowitz  (J.  C).  204. 
Loria  (Gino).  465. 
Loulié  (E.).  69. 
Lucrèce  (Titus  Lucretius  Carus).  179,  180. 

Magalotti  (Laurentius).  299. 

Maillard  ou  Maillart  (Pierre).  109, 11S-120. 

Maire  (le),  lao. 

Manetti  (Braccio).  299. 

Maroles  (de).  597. 

Marchetto.  144. 

Mariotte  (E.).  407,  417. 

Maferes  (Fr.).  205,  206,  261,  302. 

Matliematical  Aflbeiation  of  America.  7. 

MaubuifTon  (de).  422,  428,  429. 

Maurolyciis  (Fr.).  199. 

Meiboraius  (Marcus).  5-7,  8, 9,  10,  1 1,  13,  86,  90,  92-100,  131,  155,  214. 

MenïBciime.  287,  371. 

Menge  (H.).  94,  97,  98,  131. 

Mercator  (Nicolaus).  7, 1 1,  200,  201,  814,  215,  223,  260-264,  297,  302,  448,  526. 

Merfenne  (Marin).  17,  18,  26-29,  33-35,  3",  43,64-69,  80,  86,  87,  109,  no,  1 14,  ISO-iaa, 

124,  126,  141-144,  149,  156-158,  162,  163,  168-173,  179,  195,  199-200,205,206, 

209,  214,  294,  296,  297,  409,  410,  619. 
Méfomède.  89. 
Metius  (A.  A.).  392. 
Mieli(Aldo).  178. 

Miniftère  (français)  d'inftrudion  publique.  211. 
Mon  (W.).  69. 
Monforte  (A.).  440. 
Montaient  (de).  44,  46. 
Montraort  (H.  L.  H.  de).  191. 
Moray  (Robert).  12,  18,  145. 
Mûris  (Johannes  de).  124,  129. 
Muziekhiftorisch  Inftituut  à  Utrecht.  46. 
Mylon(Cl.).  221. 


IL  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES.  577 

NeidhardtQ.C).  145. 

Neile  (Paul).  553  '). 

Neper  ou  Napier  (John).  6,  173,  199,  370,  #47,  459,  554,  6do. 

Newton  (Ifaac).  374,  376,  379,  391,  393,  395,  396,  448,  449,  453,  485,  486,  488,  514,  553. 

Nicomaque  (Nikomachos  Gerafenus).  5,  86,  89 — 91,  99. 

Nicomedes.  537. 

Niquet  (V.).  227. 

Oldenburg  (Henricus).  195,  196,  207,  218,  313,  328,  374,  376,  388,  391,  483,  621. 

Oofterwijck(S.  H.).  291. 

Oftwald(W.).  192. 

Oughtred  (W.).  554. 

Ovide  (Publius  Ovidius  Nafo).  416, 

Paige  (C.  le).  Voyez  Lepaige. 
Papin(D.).483. 
Pappos.  9, 284,  425,  432,  553. 
Pafaro  (Domenico  de).  161. 
Pafcal  (Blaife).  390,  407,  408,  448,  453  475. 
Perrault  (Claude).  85,  86,  109,  1 29, 130— 133,  319. 
Perrault  (Pierre).  131. 
Pliilippe  II,  roi  d'Efpagne.  82. 
Philolaus.  99. 

Philofophes  grecs  (les).  372. 
Pindare.  85,  89,  no,  126,  131, 132. 
Pipegrop  (Heinrich).  133, 134. 
Platon.  II,  18, 180. 
Platoniciens  (les).  179. 
Plaute  (Titus  Marcus  Plautus).  8 1 . 
Pline  (Cajus  Plinius).  132. 
Plutarque.  80,  179. 
PoUux  (Julius).  96. 
Porphyre.  5, 93. 
Poterie  (A.  delà).  19a. 
Poudra  (IVI.).  192. 
Prag  (A.).  390. 
Preftet(J.).6o8. 

Ptolémée  (Klaudios  Ptolemaios).  5,  26,  27,  33,  43,  63,  75,  78—80,  86,88,90—96,99—102, 
112, 114, 117,  169,  178, 180,  212. 


•)  Dans  le  T.  XVIII  (p.  682,  ligne  1)  il  faut  corriger  Neile  (W.)  en  Neile  (P.). 

73 


578  II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES. 


Puteanus  (Eric).  119. 

Piitte  (van  de).  Voyez  Puteanus. 

Pythagore.  21,25,  2-,  28,  30,  32,  50— 52,  87,90,91,  ^^5,  «2«i  '55)  189. 

Pythagoriciens  (les).  79.  179. 

Reinach  (Th.).  ç6,  1 14. 

Ricci  (M.  A.).  302. 

Richer  (Jean).  227. 

Riemann(K.W.J.  Iiugo).7,  137,  141,  145,  158. 

iloberval  (Gilles  Perlbnne  de).  206,  407,  408,  619,  621. 

Rome  (A.).  136. 

Rômer  (Ole).  195,  216,  407,  434, 440,  485. 

Rock  (L.).  215. 

Royal  Society.  391,  393. 

Royal  Society  of  Edinburgh.  6. 

Salinas  (Francefco).  18,  35,  45,  46,  78,  109,  1 10,  111 — 114,  1 15,  1 16,  1 18,  122,  142,  143, 

149,  154—158,  162,  168. 
Salmon  (Thomas).  109, 136,  137. 
Sant'  Angiolo  (cardinal).  89. 
Sar-.ifa  (A.  A.  de).  200,  202,  206. 
Scaliger  (Jofephus  Juftus).  371,  372,  620. 
Schlick  (Arnolt).  45,  46,  157. 
Scholcs  (Percy  A.).  63. 
Schooten  (Fr.  van).  8,  201,  202,  204,  208,  209,  212,  217,  219,  221,  228,  230,  233,  275,  283, 

361,  363,  373,  389,437.  484,  619. 
Schott  (G.).  433,  434. 
Schuh  (F.)  259,  364,  369,  374. 
Schûtte  (Fr.).  465. 
Sémiramis.  i. 
Senti  (H.).  154. 
Seth  Ward.  Voyez  Ward. 
Shore(John).  87. 
Sherwin  (H.).  205. 
Simplicius.  620. 

Simpfon  (Chriftopher).  109, 130. 
Slufius  (René  de  Slufe).  196,  218,  319,  242,  243,  329,  334,  335,  34°,  358— 3<5o,  370,  403, 

534,  609. 
Smith  (D.  E.).  6. 
Smits  van  Waesberghe  (J.).  75. 
Snellius  (Willebrord).  439. 


II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES.  579 


Societas  lefu.  1 86. 

.Sdcictc  liiftoriqiie  ncerlandaife  des  fciences  médicales,  exaftcs  et  naturelles.  504. 

Socrate.  ç(). 

Stevin  (Simon).  17,  18,27,28,32—35,44,64,65,  141,  143,144,169,  171,217, 

371—373,620. 
Stirlin^  (James).  409. 

Tacqiiet  (André).  185,  IH6,  187. 

Tanncry  (Paul).  6, 12,  18  34,  177,  199,  206,  209,  211,  221,619. 

Tannery  (M."^  Paul).  27,  34, 6j. 

Théo  Alexandriinis.  9. 

Théobald  (évêque).  1 24. 

Théocrite.  1,  2,  88,  177,  178. 

Théo  SmyrnaBUS.  5,  10,  11,  177,  180,  377. 

Thévenot  (Melchifédec).  221. 

Titelouze  (J.).  27,  114,  lao. 

Torricelli  (Evangelifta).  123,554. 

Tfchirnhaus  (E.  W.).  222,  375,  483—487,  489, 492, 502—504, 597, 602, 

Univerfité  de  Cambridge.  391. 
Univerfité  de  Leiden.  381,  620. 
Univerfité  de  Louvain.  126. 
Univerfité  d'Oxford.  380. 
Univerfités  du  moyen-âge.  6. 
Uylenbrcek  (P.  J.).  485,  491,  493,  505. 

Vas  Nunes  (A.).  49. 

Vaumefle  (Pierre  de).  216. 

Vegelin.  Voyez  Claerbergen. 

Vereeniging  voor  Noord-Nederlands  (ou:  voor  Nederlandsche)  Muziekgeschiedenis.  44.  82. 

\'erheijen  (Abraham).  35. 

Viadana  (Lodovicus),  ou  L.  Groïïi  da  Viadana.  129,  61S. 

Vicentino  (N.).  144,  157. 

Vieta  ou  Viete  (François).  217,  389,  480. 

Virgile  (Publius  Virgilius  Maro).  416. 

ViteJIio.  270,  330. 

Vitruve  (Marcus  Vitruvius  Pollio).  9. 

Viviani  (Vincentio).  6ç,  298,  299,  606. 

Vlacq  ou  Vlack  (Adriaen).  147,  204,  448,  456 — 460. 

Volder  (B.  de).  597. 

VoIlgrafr(J.A.).  594. 

Voflius  (G.  J.).  85. 


580  II.  PERSONNES  ET  INSTITUTIONS  MENTIONNÉES. 


Vodîus  (Ifaac).  85, 109, 131. 
Voye  (de  la).  227. 
Vries(H.  de").  221. 

Waard  (C.  de).  2?,  34,  67,  209,  211. 

Wallis  (John).  7,  13,  26, 63, 78—80,  88, 90—93,  95,  <)%  100,  102,  202,  204,  205,  210, 

2ia— 817,  223,  258—261,  370,  372—374.  V(>-,  379.  381,  389—394.  408, 

448,  449,  454,  475,  488,  513,  553,  554. 
Ward(Seth).  215. 
Weiffenborn  (H.).  483. 

Werckraeifter  (Andréas).  18,  88,  100,  109, 1 10, 133,  134,  135. 
Weftphal(R.).78,  I14. 
Whewell  (W,).  191,  372, 509. 
Willem  III,  ftadhouder,  roi  d'Angleterre.  554. 
Witt  (Johan  de).  210,  216,  217,  220,  221,  233,  249. 
Worp  (J.  A.).  33. 
Wotton  (W.).  489,  553,  554. 
Wren  (Chriftopher).  216. 

Zacharias  (M.)  192. 

Zarlino  (Giofeflfo).  18,  35,45 — 46,  47,54,65,  70,78,  ici,  109 — 11 1,  1 13, 114 — 118, 121, 

129,  154,  155,  158,  160,  162,  168,  171,  294. 
Zeuthen  (H.  G.).  6,  199,  206. 


III.  OUVRAGES  CITES. 


Les  chiffres  gras  dc^flgncnt  les  pages  où  l'on  trouve  une  defcription  de  l'ouvrage. 
Les  chiffres  ordinaires  donnent  les  pages  où  il  elt  queflion  de  l'ouvrage,  ou  qui  contiennent^ 
dans  le  cas  de  Huygens  la  reproduction  de  l'ouvrage'}. 

Ch.  Adam.  Voyez  des  Cartes. 

Alhazen,  Optica;  Thefaurus,  trad.  et  éd.  F.  Rifner,  1572.  270,  330. 

Alypius,  Introduélio  mufica,  93,  100. 

„       Voyez  Mufici  fcriptores  gra;ci,  éd.  C.  Jatius. 
A.  JV,  Ambrus,  Die  Entwicklung  des  geregeltcn  mchrftimmigen  Gefanges,  1864.  64. 
„  Gefchichte  der  Muiik,  1864. 05,  66. 

„  Zur  Lchre  vom  Quintenverbot.  129. 

Apollonids,  Conica,  217,  289,  298  et  299  (édition  projetée  de  G,  A.  Borelli  et  A.  EcchelltnftC), 
332,  335,  34',  342,  359,  3<5o,  364,  365,  530,  531.  (éd. ./.  L.  Ileiherg,  1891:  28» 
332,364,365,530,531). 
„         Voyez  Borelli  et  Fiviani. 
AratOS,  <I>atvô;i=va  za't  Ai.o<jr,ii-ïa,  éd. ./.  Fell,  1672.  89. 
R.  C.  Archihald,  Mathematicians  and  Mufic,  1923/1924.  7,  177. 
ArcAitnède,De  conoïdibuset  fpha;roVdibus,  186,  187. 
„         De  fpha;ra  et  cylindre.  509. 

„  La  Méthode  (npoç 'E/)aTO!79iv»;v  fyodV:).  178, 554. 

„         Manufcrit  de  la  Méthode.  554. 

Opéra  omnia,  éd.  .7.  L.  Heiherg,  1910-1913.  1 87. 
„         Quadratura  parabolae.  554. 
Ariftides  Quintiliamn.  De  Mufica  lib.  fil,  éd.  M.  Meihomiin.  90, 93,  95. 

„  „  Oeuvres  de  mufique  (manufcrit).  89. 

Arifiote,  Catégories.  620. 
„      DeCoelo.  178. 
„       Meteorologica.  181. 
„       Phyfica.  181,  192. 
„       Politica.  78. 


')  Dans  le  T.  XIX  nous  avons  omis  par  mégarde  dans  la  lifte  III: 
G.  G.  Leibniz,  Difcours  de  métaphyfiquc,  1686.  1 65. 
rincent  de  Beauvais,  Spéculum  naturale.  388. 


582  III.  OUVRAGES  CITÉS. 

Arijiote,  Problemata.  87. 

„       Voyez  Mufici  fcriptores  grîeci,  éd.  C.  Janus. 

„       Voyez  Simplicius. 
Arijloxine,  Harmonicorum  elementa,  éd.  M.  Meihomius,  1652.  91,  94,  ij6,  131. 
G.  M.  Artufi,  L'arte  del  coinrapunto,  ridotta  in  tavola,  1586—1589  et  1598.  74. 

„  L'Artuli,  ovvero  délie  imperfettioni  délia  moderna  muficri,  1600 — 1603. 74. 

Afklepios,  Commentaire  fur  l'Arithmétique  de  Nicomaqiie.  5. 
Athettitm,  Dipnofophiftarum  libri,  éd.  G.  Kaibei,  1887.  131, 133. 
A,  Aubry,  Sur  l'origine  de  la  versiera  (note  dans  les  Oeuvres  de  l-ermaf).  620. 
St.  Auguflin,  De  Mudca,  1569.  131. 

„  Opéra  omnia,  T.  1, 1877. 131. 

Auteurs  néerlandais  (16%  17'  et  18=  (lècles)  fur  les  fciences  mathématiques  etc.  45R. 
Fr.  }F.  Aynfcom,  Expofitio  et  deductio  geometrica,  1656.  9. 

Bacchius  Setiex.  Voyez  Mufici  fcriptores  grœci,  éd.  C.  Janus. 

D.  .7.  Balfoorf,  Het  muziekleven  in  Nederland  in  de  i7de  en  i8de  eeuw,  1938,  64. 

„  Quirinus  Gideon  van  Blankenhurg,  1938.  6^. 

.han  Albert  Ban,  Zangh-bericht,  1642.  83. 

„  Zangh-hloemfel,  1642.  83. 

/,  Barrovc,  Leftiones  géométrie»,  1669.  373,  488,  509. 
„         Leftiones  mathematic»,  1664.  192,  372,  373. 
„         The  mathematical  works,  éd.  JV.  fFhewell,  1860.  1 92,  3Î3,  509. 
BaryphotiHS  (H.  l'ipegrop),  Ifagoge  mufica,  1609.  134. 
FI.  de  Beamie,  In  geometriam  Renati  Defcnrtes  nets  brèves,  1659.  275. 
Betia  Fenerabilis,  Hiftoria  ecclefiaftica  gentis  Anglorum.  78. 

„  Oeuvres.  78. 

/.  Beeckman,  Lettre  à  Merfenne,  1629.  34. 
.Jacques  Bernoulli,  Demonftratio  rationum,  quas  habent  feries  numerorum  etc.  1686.  390. 

y,  Narratio  controverfije  inter  Dn.  Hugenium  &  Abbatem  Catelanum  agicata;  de 

centre  ofcillationis,  1686.  390. 
„  Solutio  problematis  Fraterni,  1693.  610, 

„  Conftruftio  curvœ  accefliis  et  recelTus  squabiiis  etc.  1694.  621. 

.Jean  Bernoulli,  Solutio  problematis  funicularii,  1691.  603. 

„  Solutio  problematis  Cartefio  propofiti  Dn.  de  Beaune  ')  [et  nouveau  problème 

propofé  par  l'auteur],  1693.  489,  609— 61 1. 

E.  Bethe.  Voyez  Polliix. 

B.  Beynum-von  Efeii,  Bouw  en  Gefchiedenis  van  het  klavier,  1932.  160. 


')  Voyez  fur  le  problème  de  FI.  de  Beaune  les  premières  lignes  de  la  p.  449  du  T.  X.  Il  en  eft  ques- 
tion (Table  IV  qui  fuit)  à  la  p.  1 5  du  Manufcrit  I. 


III.  OUVRAGES  CITÉS.  583 


D.Bierensde  Haati,  Bibliographie  iK'erlandaife  hiftorique-fcientifique  des  ouvrages  importants 

dont  les  auteurs  font  nés  aux  i6e,  17c  es  iHefiéclesfur  lesfciencesmaihéma- 
ticiues  et  pliyfiques  avec  leurs  applications,  1881 — 1883.  4AM. 
„  Voyez  Stevin. 

Q.  C.  vau  Blankenburg,  Clavecimbel  en  orgelboek  der  gereformeerde  pfalmen  en  kerkzangen, 
1732.69, 129. 
„  Elementa  mufica  etc.,  1739.  69. 

A.  M.  T.  S.  Boethius,  De  inftitutione  mufica.  87. 

C.  A.  Borelli,  Edition  de  1661  des  Conica  d'Apollonios.  298,  299.  Voyez  auffi  .IpoUonios. 
H.  Bofmans,  Sur  l'œuvre  mathématique  de  Blaife  Pafcal,  1924.  3VO. 

A.  Bojfe.  Voyez  Defargues. 

I.  Boulliau,  Aftronomia  philolaica,  1645.  179. 
„  Voyez  Ptolémée. 

Voyez  Théo  Smyrnaus. 
H.  Briggs,  Arithmetica  logarithmica,  1624.  202.  Voyez  aulli  F/acq. 

„         Trigonometria  britannica.  (Cellihrand  ci  Briggs),  1633.  448.  Voyez  aulli  Cellihratid, 
même  ouvrage. 
H.  Brocard,  La  quadrature  de  la  verfiera  (note  dans  les  Oeuvres  de  Fermaf).  620. 
H.  Brown,  L'Académie  de  phyfique  de  Caen  (1666 — 1675)  d'après  les  lettres  à" André  de 

Graiiidorge,  1938.  227. 
H.  L.  Brugmans,  Le  féjour  de  Chr.  Huygens  à  Paris  etc.  1935  (voyez  auffi  C/ir.  Huygens').^'^,  222. 
P.  Brunet  et  A.  Mieli,  Hiftoire  des  fciences;  antiquité,  1935.  178. 
M.  Bryentiius,  Harmonika  (manufcrit).  26,  89. 

„  „         éd.  ,7.  frallis,  1699. 26. 

Bucolics  graeci,  éd.  H.  L.  Ahrem,  1909.  i,  2. 
Cfi,  Buttler,  The  principles  of  mufick,  in  finging  and  fetting;  with  the  twofold  ufe  thereof,  eccle- 

fiastical  and  civil,  1636.  1 19. 
M.  Cantor,  Vorlefungen  uber  Gefchichte  der  Mathematik  III,  1901.  409. 
R.  des  Cartes,  Geometria,  éd.  F.  v.  Schooten,  1659  et  1683.  217,  228,  230,  275,  284, 361, 363, 389, 

437/463/484- 
„  La  Géométrie,  1637.  216,  284,  337,  343,  448,  463. 

„  Lettre  à  Conft.  Huygens,  1635.  34. 

Lettres  à  M.  Merfenne,  1630, 1634  et  1638.  1 8,  34,  G-,  209. 

Lettres,  éd.  CL  Clerfelier,  T.  III,  1667.  211. 
„  Oeuvres,  éd.  Ch.  Adam  et  P.  Tatwery,  1897—1913.  1 8,  34, 6j,  209. 

„  Principia  Philofophia;,  1644.  17. 

„  Voyez  van  Schooten. 

de  Catelan,  Logiftique  pour  la  fcience  générale  des  lignes  courbes,  1691.  608. 

B.  Cavalieri,  Direftorium  générale  uranometricum,  1632.  202. 

„  Geometria  indivifibilium,  1635.  554. 

L.  van  Cetileti,  De  arithmetifche  en  geometrifche  fondamenten,  1615.  188. 


584  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


L.  van  Cnu/en,  De  circule  &  adfcriptis  liber,  trad.  et  cii.  par  //^.  Snelliiis,  1619.  439. 

Cicéron  (M.  Tulliiis  Cicero),  De  oratore.  125. 

Chr.  Clavius.  Voyez  Euclide. 

Cl.  Clerfelier,  Voyez  des  Cartes. 

,J.  Combarieu.  Hiftoire  de  la  miifique  des  origines  au  début  du  XX'  fiècle,  1920. 178. 

.7.  Combarieu,  La  mufique  et  les  philofophes  antiques,  1920.  1Î8. 

.7.  Craig,  Methodus  figurarum  lineis  redis  et  curvis  comprehenfarum  quadraturas  determinandi, 

1685.553- 
„        Traclatus  mathematicus  de  figurarum  curvilinearum  quadraturis  et  locis  geometricis, 

1693.  553. 
„       Voyez  irotton. 
A.  et  M.  Croifet,  Hiftoire  de  la  littérature  grecque,  1914.  80. 
.7.  B.  Cyfatus,  De  loco,  motu,  magnitudine  et  caufis  cometœ,  qui  fub  finem  anni  1618  et  initium 

anni  1619  in  eœlo  fulfit,  1619.  81. 
Daniel.  Voyez  Livre  de  Daniel. 

G.  De/argues,  Broiiillon  projet  d'exemple  d'une  manière  univerfelle  touchant  la  praftique  du 

trait  à  preuves  pour  la  coupe  des  pierres  en  l'architeifture,  etc.  1640.  191. 

„  Broiiillon  project  d'une  atteinte  aux  éveneraens  du  rencontre  du  cône  avec  le  plan 

(copie  de  1679  par  M.  (/É'/rt//.'Vv;  l'édition  originale  était  de  1639).  192,221.  Voyez 

aufîî  M.  Zachnrun,  édition  allemande  de  1922. 

„  Manière  univerfelle  de  Defargues  pour  pratiquer  la  perfpeftive  etc.  par  M.  Boffe, 

1648.  220. 
„  Oeuvres,  réunies  et  analyfées  par  71/.  Poudra,  1864,  1 92. 

R.  Defcartes.  Voyez  des  Cartes. 
H.  Diels,  Fragmente  der  Vorfokratiker,  1922.  99. 
Diophante,  Algèbre,  éd.  françaife  de  S,  Stevin.  371. 
.7.  31.  C.  Duhamel,  Mémoire  fur  la  méthode  des  maxima  er  des  minima  de  Fermât  (et  obfervations 

de  Brocard  fur  ce  mémoire).  211. 
N.  Fatio  de  Duillier,  Publications  de  1687  et  1689  dans  la  «Bibliothèque  univerfelle  et  hiftorique". 
484;  dont  la  première  efl  intitulée:  Reflexions  fur  une  méthode  de  trouver 
les  tangentes  de  certaines  lignes  courbes,  laquelle  vient  d'être  publiée  dans  un 
livre  intitulé  Medicina  Mentis  [voyez  Tfchirnhaus].  485. 
JV.  Dupont,  Gefchichte  der  mufikalifchen  Teraperatur,  1935.  154,  157,  158,  160. 
/.  Diiring,  Ptolemaios  und  Porphyrios  ûber  die  Mufik,  1934.  93. 

„        Voyez  Ptolémée. 
£.  .7.Z)/y*y?«-/4«/j,  Deelementen  vanEuclidesI  et  II  (T.  I  et  III  de  la  „Hiftorische  bibliotheek 
voordcexaclewetenfchappen"),  1929— 1930  ')•  '•>  187.  Voyez auin£«f//V/f. 
„  Deverfiera,1932.6ai. 


')  Le  dernier  Appendice  du  livre,  où  l'auteur  cite  e.  a.  Ch.  M.  van  Deventer  qui  f'interéfl"ait  à  la 
muficologie,  traite  brièvement  du  ^ôyo;,  du  Sii(7-:r,a/.  etc. 


III.  OUVRAGES  CITÉS.  585 


A.  Ecchellenfis.  Voyez  /Ipollonios. 

Alfred  Einjlcin.  Voyez  Rienuiiiii. 

R.  Ilittier.  Voyez  Sc/itick. 

./.  van  der  Elit,  Net»  augurtiniana.-  five  miifices  figura;  etc.,  1657.  1 28. 

„  Den  ouden  ende  nieuwen  grondt  vande  mufijcke,  1662,  12S,  129. 

G,  Encjlr'ijm,  Voyez  Hibliotheai  mathematica. 
Eratojlhhie,  Carminum  reliquix,  iA.  R.  Uiller,\WÏ1.  lïB. 

„  Fragmenta,  éd. . '.  />//,  1672.  89. 

Eucllde,  Écrits  optiques.  1--. 

„       Eléments.  5,  8,  1 85,  19;,  434;  8  et  9  éd.  C/ir.  Clavim  (1589, 1607);  1 1  et  1 87  éd.  F.. .1. 
DijkflerhuisÇvQy^i aufli  Dijkfterhiiisy,  1 85,  ISO,  1 87  éd. .-/.  Tacqtiet(\ oyez auflî  Tacquet). 
Euclide,  Introduétio  liarmonica,  éd.  M.  Meibomius,\Qb2.  ç^,  çj,  çS,  131,  177;  éd.  H.Menge  131. 
„        Liber  de  canonis  feiflione,  9,  i  2,  177. 
„        Pha.'nomena,  ex  traditione. /)•.  .l/(7/;/-o/yf/.  199. 
„        Qiia;  fuperfunt  oninia,  éd.  /).  Cregory,  1703.  177. 
„        Scripta  miifica,  éd.  //.  l\Ieii~e.  94,  97,  98. 
„        Voyez  Mulici  fcriptores  gra;ci,  éd.  C.  .laum. 
L.  Euler,  Oeuvres.  1 45,  200. 
/.  Faher  Stapulenfis.  De  mufica,  1552.  617. 

„  „  Ouvrages  fur  la  mufiqiie.  28. 

,/.  Fell.  Voyez  .  Iratos,  Eratofthène  et  Méfomide. 
P.  Fermât,  Manufcrits.  204,  209,  335. 

„  Oeuvres,  éd.  P.  Tatwcry,  Ch.  Henry  et  C.  de  ll'iitird,  1891—1922.  209,  211,  620. 

„  Varia  opéra,  1679.  209,  211. 

„  Voyez  Aubry  et  Brocard. 

F.  J.  Fètis,  Biographie  univerfelle  des  muficiens,  2"-'"  édition,  1864.  7,  145. 
P.  Frenlcle  de  BeU'y,  Abrégé  des  combinailbns,  1893  et  1729.  410. 

„  „      Traité  des  triangles  rectangles  en  nombre,  1676 — 1677  et  1729.  419. 

P.  Friedlânder,  Die  Mélodie  zu  Pindars  erllera  Pythischen  Gedicht.  126. 
Galileo  Calllei,  Dialogo  intorno  ai  due  mailimi  fiftemi  del  monde,  Tolemaico  e  Copernicano, 
1632.  179. 
„  „        Manulcrit.  178. 

Fincentio  Calilei,  Dialogo  délia  mulica  antica  et  délia  moderna,  1581, 1602  et  1934.  89,  <)(>,  121. 
„  „        Dilcorlo  intorno  alP  opère  di  melTer  Giofeffo  Zarlino  etc.  1589.  65. 

„  „        Manufcrits.  65. 

.7.  V,alU,  Nouveau  epitome  d'arithmétique,  1616.  173. 

„       Nouvelle  invention  d'apprendre  l'arithmétique  par  le  moyen  de  dix  petits  bâtons  etc. 
1635.  173- 
Gaudenttus,  Harmonica  introduftio.  93,  95,  99. 

„  Voyez  Mufiei  fcriptores  grseci,  éd.  C.  Janus. 

74 


;86  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


H.  Cellibrand,  Trigonometria  britannica  (Gellibrand  et  Briggs\  1633.  199.  Voyez  aulîi  Briggs, 

même  ouvrage. 
G.  Cenebrard,  Ouvrages.  119. 

C.  I.  Cerhardt.  Voyez  Leibniz. 

Fr.  //.  Gevaert,  Hiftoire  et  théorie  de  la  mufique  de  l'antiquité,  1875.  »6. 
0.  (tibel,  Introdiiftio  mufica;  didaétiCŒ,  1640.  133. 

„        Proportiones  mathematico-muncœ,  1666.  1 33. 
IV,  Gilbert,  Tradatus  five  phyfiologia  nova  de  magnete  etc.  1600.  8 1 . 
J.  Girard,  Invention  nouvelle  en  l'algèbre,  1629.  363. 

„         Voyez  Steviti. 
H.  L.  Glareanus,  Dodekachordon,  1547.  70. 
Â,  de  Graindorge,  Voyez  Brotxn, 

N.  L.  IF.  A.  Gravelaar,  John  Napier's  werken,  1899.  6. 
Grégoire  de  St.  Vincent,  Opus  geometricum,  1647.  9,  200,  201,  205,  206,  213,  214,  264. 

D.  Gregory  ou  Gregorius.  Voyez  Euclide. 

J.  Gregory  ou  Gregorius,  De  verà  circuli  et  hyperbols  quadraturâ,  1667.  259,  303,  311,312,  323, 
325,388. 
„  „         Exercitationes  geometrics,  1668. 604. 

„  „         Geometrise  pars  univerfalis,  1668. 620. 

„  „         Lettre  à  Collins,  1670/1671.  375, 620. 

„  „         Polémique  avec  Huygens  au  fujet  de  la  „vera  circuli  etc.  quadraturâ", 

1668  et  1669.  259,  307,  308,  313. 
L.  Guicciardini,  Defcrittione  di  tutti  i  paefi  balïï,  altrimenti  detti  Germania  Inferiore,  etc.  1567, 

1581  et  1588.  21,82. 
Guido  Aretinus,  Introduflorium,  ou:  Micrologus  de  difciplina  artis  mufic»,  1 1'""'  fiécle.  1 24. 

E.  Halley.  Voyez  H'otton. 

.7.  L.  Heiberg,  Litterargefchichtliche  Studien  ijber  Euklid,  1882.  \77. 

„  Voyez  Apollonios  et  Archimide. 

H.  V.  Helmholtz,  Die  Lehre  von  den  Tonempfindungen,  1870.  36. 
P.  (?)  Hemotiy,  Vanden  Beyœrt,  copie  (d'après  un  manufci  it?).  18,21,  48. 
Ck.  Henry.  Voyez  Fermât. 

P.  Hérigone,  Cours  mathématique,  1634 — 1644.  7,  199,  202 — 204,  208,  209,  616,  619. 
G.  Hiller.  Voyez  Eratofthène. 
Ph.  de  la  Hire,  La  conflruftion  des  équations  analytiques,  1679.  335. 

„  Nouveaux  éléments  des  feclions  coniques;  les  lieux  géométriques;  la  conftruftion 

„  ou  effeftion  des  équations,  1679.  217,  220,  221,  335. 

„  Nouvelle  méthode  en  géométrie  pour  les  feftions  des  fuperficies  coniques  etc., 

1673.221. 

„  Voyez  Defargues. 

Th.  Hobbes,  De  corpore,  1655.  381. 

„       De  principiis  et  ratiocinatione  geometrarum  etc.  1666.  381. 


m.  OUVRAGES  CITÉS.  587 


Th.  Hobbes,  Examinatio  et  emendatio  machematicx  hodierna;  etc.  (dialogi  fex),  1660. 1 3, 38 1 . 
„       Opéra  philofophica  etc.  1668,  38 1 . 

„       Problemata  pliylica  uiia  ciim  niagiiitudine  circuli,  1662.  38 1 . 
„       Quadratura  circuli,  cubatio  sphœrs,  duplicatio  cubi,  1669.  38 1 . 
Horace  (Q.  Uoratius  Flaccus),  Carmina.  132. 
„  Epirtola;.  219. 

.7.  Ilorrocks,  De  rationum  et  fraftionum  reduftione,  1678.  393. 

„  Opéra  pofthiima,  1673  et  1678.  393. 

S.  Horfîcy.  Voyez  Neivton. 

.7.  Iliidik,  Epiftoia  fecunda  de  maximis  et  minimis,  1659.  437. 

Ch.  Hutton,  Introduftion  hillorique  à  Sherivin's  „Mathematical  tables",  ainfi  qu'à  la  collection  des 
„Scriptores  logarithmici"  publ.  par  /■>•.  Maferes,  1785 et  1791.  205.  Voyez  Muferes  et 
Shervin. 
Chr.  lliiygens,  Anecdota,  195, 

„  Aftrofcopia  compcndiaria,  1684.  88. 

„  Chartîe  aflronomica;.  203. 

„  Chartae  mathematics.  8,  207,  229,  243,  265,  328,  330,  364,  388,  418,  425,  433. 

„  Conftruftio  univerfalis  problematis  a  Jo.  Bernoulio  propofiti,  1694,  481,  552. 

„  Cofmotheoros.  iio,  178. 

„  Critique  de  Hobbes.  13. 

„  De  circuli  magnitudine  inventa,  1654.  259,  310,  311,  3i3»  3i<5— 318,  325î3<Î9> 

37°.  374>  382,  385,  386,  388,  391— 393- 
„  De  combinationum  mirandis.  408,413 — 416. 

„  De  coronis  et  parheliis.  203,  616  (note). 

„  De  motu  corporum  ex  percuffione.  291,  372. 

„  De  motu  naturaliter  accelerato.  204. 

„  DeproblemateBernoulianoannil693. 1693.  481,552,  610,611  (voyez  auffi  Con- 

ftruftio  univerfalis  etc.). 
„  Defcriptio  automati  planetarii.  394. 

„  Deux  démonflrations  dn  théorème  concernant  les  quatre  points  d'interfection  de 

deux  coniques  à  axes  parallèles  (éd.  F.  Schuh,  1921).  364. 
„  Difcours  de  la  caufe  de  la  pefanteur,  1690. 178,  447,  448,  557.  <5i9- 

„  Divifio  Monocliordi.  18,21,29,  49 — 58. 

„  Excerpta  ex  epiftola  C.  H.  Z.  ad  G.  G.  L.,  1694.  552, 622. 

„  'Eléraffiç,  1651.  202. 

„  Expérimenta  circa  eleftrum.  618. 

„  Fundamentum  regul»  ad  invenicndos  logarithmes.  205. 

„  Horologium  ofcillatorium,  1673.  185,  187,206,216,285,448,479,503. 

„  Journal  de  voyage  à  Paris  et  à  Londres  (éd.  //.  L.  Brugtnans,  1935).  43,  49,  1 54, 

191,  209,  212,  221,  222. 

Lettre  à  H.  Bafnage  de  Beauval,  1692.  481, 550,  551,  606, 609. 


588  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


Chr.  Huygens,  Manufcrits  A — K.  195. 

„  Maniifcrit  A.  203,  298,  299,  616  (note),  619. 

„  IManufcrit  B.  1 3,  205,  225,  413,  534. 

„  Manufcrit  C.  210,  225—227,  229,  231,  233,  256—257,  303,417. 

„  IManufcrit  D.  2 1 8,  :6 1 ,  263,  265,  267,  275,  287,  300, 308,  3 1 o,  3 1 6,  3 1 7,  323—325. 

330,  3<59>  382,  385,  3«8,  413.  4'?.  418,  A-U  422,  425>  426,  428. 
„  Manufcrit  E.  104,  109,  121,207,219,286,287,361,363,423,431—433,  437, 

440—442, 456. 
„  IManufcrit  F.  179,  334,  335,  341,  359,  389,  393,  394,  455,  456,  458,459,464,480, 

491—493,  495—49.",  500,  551,  597—598. 
„  Manufcrit  G.  109,  112,  128,  129,  190,  375,  3/6,  395— 397,  398,463,467,  47». 

472,  475,  480,  487,  499,  502—508,511,  513,  514,  516—518,  520—522, 

525—527,  529, 532,  534,  537—540, 55 1,  598—604,  605,  609,  618. 
„  Manufcrit  H.  221,  471, 472,  474, 480,  509,  542, 544,  547,  549,  551,604,  608. 

„  Manufcrit  I.  479,  480,  551 — 553,  582  (note),  604,  608 — 61 1. 

„  Manufcrit  K.  616  (note),  619. 

„  Manufcrit  11.  269,  287,  330,  334,  336,  341,  359. 

„  Manufcrit  12.  208. 

„  Manufcrit  13.  44,  55—58. 

„  Manufcrit  14.  177,  291,  294. 

„  Nouveau  Cycle  Harmonique.  7,  18,  19,  22,  28,  3S,  1 10,  1 12,  113,  129,  139 — 173, 

557- 

„  Opéra  varia,  1724.  141,  164,  230,  241,  243,  270,  275. 

„  Opufcula  portuma,  1703.  394. 

„  Phyfica  Varia.  109,  130,  186,  188. 

„  Pièces  fur  le  chant  antique  et  moderne.  21,  68 — 82. 

„  Polémique  avec  J.  Gregory  au  fujet  de  la  „vera  circuli  etc.  quadratura",  1668.  213, 

223,  259,  303—327,  369,  374,  386,  449. 

„  Portefeuille  Mufica.  i,  17,  18,  19,  30,  44,  47,  48, 50,  58,  59, 63,  68—70, 73, 76, 

78,  80,  88—90,  100,  102,  105,  III,  112,  114,  118,  120,  123,  129,  133,  147,  149, 
151,  153—155,  164,  165,  168,  169,  205,  295,  558,  559. 

„  Solution  du  problème  propofé  par  Leibniz  en  1687  fur  la  courbe  de  defcente  uni- 

forme, 1687.  48 1,  505,  600,  601. 

„  Solutio  ejufdem  problematis,  c.à.d.  du  problème  de  la  chaînette,  1691.481,551,603. 

„  Teftament.  195,  196. 

„  Theoreraata  de  quadratura  hyperboles,  ellipfis  et  circuli  ex  dato  portionum  gravi- 

tatis  centro,  1651.  2 1 5,  324, 554. 

„  Théorie  de  la  confonance.  21,  30 — 39,  1 14. 

„  Traité  de  la  lumière,  1690.  222,  448, 479,  503,  504,  557,  619- 

„  Van  rekeningh  in  fpelen  van  geluck,  1657.  408,411,  442,  444,  451,462. 

„  Varia.  195,  196. 


III.  OUVRAGES  CITÉS.  589 


Chr.  Iluygem.  Voyez  Jacques  BernouHi. 
„  Voyez  //.  L.  Bnigtiiam. 

„  Voyez  /). ,/.  Korteueg. 

„  Voyez  ./.  P.  N.  Latid. 

„  Voyez  //.  Oldeiibiirg. 

„  Voyez  F.  Scliuh. 

„  Voyez  P.  .7.  Uylenbroek. 

„  Voyez  ,7.  Â.  Vollgrajf. 

Ciimt.  Huygens,  Compofirinns  muficales.  66. 

„  Correlpondance  et  œuvre  muficales,  éd  // '.  ./.  -7.  .hnckbloct  et  .7.  P.  N, Laiid, 

1882.  »2. 
„  Ghebruik,  eu  Onjrhehruik  vau  't  orgel  in  de  kerkender  VereenighdeNederlanden, 

1660.  64. 
„  Lettres,  éd.  ,7.  . /.  //  'or[>,  T.  III,  1891. 33. 

„  Pathodia  facra  et  profana  occupât!,  1647  et  1882.  617. 

C.  von  Jaii  ou  Jaiius,  Voyez  Mufici  fcriptores  gra^ci. 
St.  Jean,  Voyez  Apocalypfe  de  St.  Jean. 

J.  Jeans,  Science  and  mufic,  1938.  144. 

H"'.  .7.  //.  Jonckhloct.  \''oyez  Coiift.  IJiiygens. 

M.  C.  Jordan,  Cours  d'analyfe,  1893.  3î2. 

.7.  Kepler,  Chilias  logarithmorum,  1624.  294. 

À.  Kircher,  Mufurgia  univcrfalis,  1650.  1 10,  123,  124 — 127. 

D.  J.  Korteweg,  La  folutioudeChrirtiaan  Huygens  du  problème  de  la  chaînette,  1900 — 1901.351. 
,/.  de  Laloiivère  ou  Lalovera,  Quadratura  circuli,  1651.  620. 

J.  P.  N.  Laiid,  Het  toonftelfei  van  C'hr.  Huygens,  1891.  44,  58,  82,  144,  145,  149. 

„  Joan  Albert  Ban  en  de  théorie  der  toonkunst.  82. 

„  Voyez  Coiift.  Hiiygciis. 

IF.  Lange,  Epiftola  ad  Meibomium,  1656.  9. 
.7.  Le f ivre  d"  Et  a  pies.  Voyez  Faher  StapuUnfis. 
C.  U\  Leibniz,  Der  Briefwechfel  mit  lMatheraatikern,éd.  C.  /.  Qerhardt,  1899.  3»I,  393. 

„  De  vera  proportione  circuli  ad  quadratuni  circumfcriptum  in  numeris  rationali- 

„  bus,  1682.  388. 

„  Difîertatio  de  arte  combinatoria,  1666  et  1690.  400. 

„  Lettres  à  Oldenburg,  1674.  388,  621. 

„  Meditatio  nova  de  natura  anguli  contaetus  et  ofculi,  1686.  454. 

„  Nova  methodus  pro  maximis  et  minimis,  itemque  tangentibus  etc.  1684.  485. 

„  Problème  propofc  en  1687  fur  la  courbe  de  defcente  uniforme.  486,  489,  49J, 

600. 

„  Quadratura  arithmetica  (manufcrit  de  1675).  375,  388. 

„  Quadratura  arithmetica  communis  fcctionum  conicarum  qua;  centrum  habent  etc. 

1691.  3Î5. 


59°  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


C  Lepaige,  Notes  pour  fervir  à  Thiftoire  des  mathématiques  dans  l'ancien  pays  de  Liège.  1 73. 

„  Voyez  Sliiliiis. 

G.  Loria,  Le  ricerche  inédite  di  Evangelilla  Torricelli  fopra  la  curva  logarithmica,  1900.  554. 
„         Spezielle  algebraifche  und  tranficendente  ebene  Kurven,  Théorie  und  Gefchichte,  éd. 
allemande  de  /■"/•.  Sch/iue,  1902.  465. 
E.  Loulié,  Eléments  ou  principes  de  mullque,  1696  et  1698,  69. 

P.  Maillart,  Les  tons,  ou  difcours  fur  les  modes  de  mufique,  et  les  tons  de  l'églife.  IIS,  IIO. 
Fr.  Maferes,  Scriptores  logarithmici,  1791 — 1807.  205,  261,  302. 
Fr.  Maurolyctis.  Voyez  F.uclide. 
M.  Meiboiniiis,  Antique  muficx  auctores  leptem,  1652.  8,  86,  87,  90,  91,  93 — 100,  155. 

„  De  fabrica  triremiiim,  1671.  9. 

„  De  proportionibus  dialogus,  1655.  5,  7,  8,  9,  1 3. 

„  Obfervationes  ad  loca  quœdam  lihrorum  decem  M.  Vitruvii  de  Architectura.  9. 

„  Refponfio  ad  Langii  epiftolam,  1657.  9. 

H.  Menge.  Voyez  Euclide. 
N.Mercator,  Logarithmotechnia,  1667, 1668, 1674  et  1791.  n.  201,  214,261,296,302. 

„  Some  ilhiftrations  of  the  Logarithmotechnia,  1668.  261. 

M.  Merfeiwe,  Balliftica,1644.  173. 

„  Cogitata  phyfico-mathematica,  1644.  199,  214. 

„  Correfpondance,  éd.  M.'"'  P.  Tûmiery  et  C.  de  ll'anrd,  II,  1933.  27,  34,  6-j, 

„  De  la  vérité  des  fciences,  1625.  66,  67,  86,  409,  410. 

„  Harmonicorum  libri,  1635.  409,  4 1  o. 

„  Harmonie  univerfelle,  1636.  26.  28,  29,  33,  37,65,68,  87,  120,  122,  124,  126,142, 

144,  163,  171,  199,409,410. 

„  Nouvelles  obfervations  phyfiques  et  mathématiques,  1636.  34. 

„  Novarum  obfervationum  phys.  math.  T.  III,  1647.  201. 

„  Queftions  harmoniques,  1633. 115,  121,  179. 

„  Queftions  inouyes  ou  récréation  des  fcauans,  1633.  179. 

„  Queflions  théologiques,  phyfiques,  morales  et  mathématiques,  1634.  28,  33. 

„  Traité  de  l'harmonie  univerfelle,  1627.  28. 

„  Traité  des  confonances,  des  diflbnances,  des  genres,  des  modes  et  de  la  compofition, 

1636.  26,33,34,37,69,70,  120,  126,  141,  142,  149,  162,  169. 

„  Traité  desinftruments,  1636,  29,  34,  35,  37,  121,  122,  142. 

„  Traitez  de  la  nature  des  fons  et  des  mouvements  etc.  1636.  26,  87, 1 24. 

„  Traitez  de  la  voix  et  des  chants,  1636.  410. 

„  Univerf»  geometrise  mixtseque  mathematic»  fynopfis,  1644.  199. 

Méfomède,  Hymnes  à  Calliopé,  à  Phébus,  et  à  Némefis.  89. 
A.  Mieli.  Voyez  Bruiiet. 
.7.  de  Mtdris,  Mufica  praftica,  1321.  1 24. 

„  Mufica  fpeculativa,  1323.  1 24. 

„  QuîBftiones  fuper  partes  muficœ.  1 29. 


III.  OUVRAGES  CITÉS.  59  I 


Miifici  fcriptores  gra;ci  .irifloteles,  Euclides,  Nicomachus,  liacchiiis.  Caiideiitius,  Àtypius  avec 

Supplementiim  (Melodiarum  reliquia:),  éd.  C.  Janus,  1895 — 1899.  8S. 
.7.  G.  Neidhardt,  Settio  canonis  harmonici,  1724.  145. 

.7.  Neper  (ou  Napier)  Mirifici  logarithmorum  canonis  defcriptio,  1614. 6, 447,  459. 
y,  Voyez  Cravel(uir. 

„  Voyez  Napier  Tercentenary  Mémorial  Volume. 

/.  Newton,  Lettres  à  Oldenburg,  1676.  374,  376,  391,  393. 

„         Philoibphi»  naturalis  principia  mathematica,  1687.  448, 485,  486. 
„         Opéra  qua:  exftaiu  omnia,  éd.  S.  IJorfley,  1779.  376,  391,  392. 
Nicomaqtie  (Nicomiic/ius  (<eriifeiiusj.  Arithmétique.  5. 

„  Harmonices  manuale.  Ol,  99. 

„  Voyez  Mufici  fcriptores  grœci,  éd.  C.  Janiis. 

H.  Oldetiburg,  Excerpta  ex  epirtolis  nonnullis,  ultrô  citrûque  ab  illudrifllmis  viris,  Slufio&  Hugenio, 

ad  editorem  Icriptis,  1673.  218. 
C.  le  Paige.  Voyez  Lepaige. 

Bl.  Pafcal,  Lettre  de  A.  Dettonville  à  Monfieur  Hugguens  de  Zulichem,  en  luy  envoyant  la 
dimenfion  des  lignes  de  toutes  fortes  de  roulettes  etc.,  1659.  453. 
„         Voyez  Bofmam.  Il  s'agit  du  Traité  du  triangle  arithmétique  de  1665. 
Ch.  et  P.  Perrault,  Oeuvres  diverfes  de  phydque  et  de  mechanique  1, 1721.  129. 
Cl.  Perrault,  De  la  mufique  des  anciens,  1680.  130, 131,  132,  133. 
E  irais  de  phyfique,  1680—1688.  1 30. 
„  Le  parallèle  des  anciens  et  des  modernes,  1688 — 1697.  85. 

Pindare,  Carmina,  éd.  //'.  Chrijl,  1896.  1 32. 
„        Lettre  à  Hiéron.  131,  132. 
„       Ode  (dite  de  P.,  fragment).  85, 89,  i  lo,  126. 
„        Voyez  Friedlânder. 
H.  Pipegrap.  Voyez  Baryphonus. 
Platon,  Voyez  Théo  Smyrnaeus. 
Plaute  (T.  M  accus  Plautiis),  Comoedia:  (e.  a.  Mercator  et  Trinummus),  éd.  C,.  Coetz.  1906 — 1907. 

81. 
Pline  (C.  Plinius  Secundus),  Hiftoria  naturalis,  éd.  .7.  Harduinus,  1783.  132. 
Plutarque.  De  mufica.  80,  i  j^. 

,/.  Pollux.  Pollucis  Onomafticum,  éd.  E.  Bethe,  1900.  96. 
Porphyre  ou  Porphyrios,  Kommentar  zur  Harmonielehre  des  Ptolemaios,  éd.  /.  DiiringQ^itc  et 

allemand),  1932.  5. 
^.  Prag,]o\\n  Wallis  (1616— 1703),  1931-  390- 

Ptolémée  (Kl.  Ptolemaios),  Harmonika.  27,  180;  éd.  A.  Gogavinus  (1562):  96-^  éd.  .7.  ff^allis 
„  (1682):  63,  78,  79,  80,  88,  90— 93>  95,  9^,  99^  »««>  102,  212; 

éd.  /.  Diihring  (1930):  79, 90— 93>  95.  99^  loo» 
Manufcrits.  180. 


59^  III-  OUVRAGES  CITÉS. 


Ptoléwée  (Kl.  Ptolemam),  Traftatus  de  judicandi  facultate  et  animi  principatii,  éd.  /.  ll.uUiiiu^ 
1663.  i8o. 
y,  Voyez  If'ûllis. 

E.  Puteûims,  Modulata  Pallas,  1599.  1 19. 

„  „  „    ,  2'^""=  édition,  appelée  aulli  Mufathcna,  1602,  1 1 9,  1 20. 

„  Oeuvres.  1 1 9. 

Th.  Reinach,  La  mufique  f^recque,  1926. 96,  1 14. 

.1/.  Â.  Ricci,  Geometrica  exercitatio  de  maximis  et  minimis,  1666  et  1668.  303. 
A'.  //'.  J.  //.  Rieiiwtw,  Gefcliichte  der  Mufiktheorie  im  IX — XIX  Jahrhundert,  1898.  -,  144, 158. 
„  Mufiklexikon,  9^=""  éd.  1919.  1 37,  1 45. 

„  „  QRiemann—Einfîein^,  1 1"°"  éd.  par  Alfred  Einfiein,  1929. 

7'  145- 
/".  Risner.  Voyez  .11/iûzeii  et  Fitellio. 
0.  Rowi-r,  Solution  d'un  problème  fur  le  quadrilatère.  440. 
Fr.  Sa/inas,  De  mufica  libri  feptem  etc.,  1577.  35,  45,  46,  78,  1 1 1  —  1 1 8,  1 22,  1 42, 1 43, 1 49, 155, 

15-,  162. 
77/.  Salmon,  An  elTay  te  the  ad\  ancement  of  mufick,  1672.  63,  136, 137. 
A.  A.  deSnrafa,  Solutio  problematis  a  R.  P.  Marino  Merfenno  propofiti  etc.,  1649.  200 — 202, 

206. 
A.  Schlick,  Spiegel  der  Orgelmacher  und  Organiften,  1511  et  1869  (éd.  li.  Eittier').  45. 
P.  A.  Scholcs,  The  Oxford  companion  to  mufic,  1938.  63. 
Fr.  V.  Schooten.  Voyez  du  Cartes  et  Viite. 

„  Appendix  [aux  Commentarii  in  Libres  Geometrise  R.  Cartefii]  de  cubicarum 

œquationum  refolutione.  389. 
/•'.  Schiih,  Sur  quelques  formules  approximatives  pour  la  circonférence  du  cercle  et  fur  la  cyclo- 
métrie  de  Huygens,  1914.  259,  369,  374. 
„        Voyez  Chr.  Huygens. 
Fr.  Schûtte.  Voyez  Loria. 
Scriptores  logarithmici.  Voyez  Maferes. 

II.  Shertviii,  Mathematical  Tables,  éd.  Ch.  Hiitton  de  1785.  205. 
Simpl/cius,  In  Ariftotelis  Categorias  commentarius.  620. 

CAr.  Simpjon,  A  compendium,  or  introduction  to  praftical  mufick,  1655  etc.,  8'*""  éd.  1678.  130. 
R.  de  Slufe  ou  Slufius,  Correfpondance,  éd.  Lepaige  (ou  le  Paige'),  1885. 219. 
„  „       Mefolabum,  1659  et  1688.  334,  335,  340,  358—360,  403. 

„  „       Voyez  Oldenburg. 

D.  E.  Smith,  The  law  of  exponents  in  the  works  of  the  (ixteenth  century,  1915.  6. 
l'F'.  Snelliiis.  Voyez  vtiri  Ceiileii  et  Suviii. 
S.  Steviv,  Arithmétique,  1585.  3?  1,  372,  373. 
„         Bijvoegh  der  Singconft.  28,  33. 
„         Eertclootfchrift,  1608.  33. 
„         Hypomnemata  mathematica,  trad.  de  //'.  Si/elliiis,  1608.  27,  33,  371. 


III.  OUVRAGES  CITÉS.  593 


S.  Stevin,  Libri  geographia.-,  1608.  33,  371. 

„  Livres  de  géograpliie,  dd. .  /.  Cirai- J,  1634.  6*. 

„         (  >cuvres  matliiîmatiques  auginentces  par  ^V.  Cirard,  1634.  33,  64,  37 1 . 
„         Vande  molens,  manufcrit  et  dd.  D.  Bierem  de  Haan,  1884.  32. 
„         Vande  fpiegeling  der  (ingkonli,  manufcrit.  27,  28,  32,  33,  34,  35. 
„         Vande  fpicgeling  der  (ingiionll,  éd.  D.  liierens  de  llatvi,  1884.  32,  65,  171. 
„         VVileonftige  Giiedachtenillen,  1608.  33.  Voyez  auffi  Hyponinemata  mathematica. 
„         Voyez  Diophante. 
.  i.  Tarqiier,  Elemen ta  geometriœ  plan-t  ac  folidic  qiiibus  accedunt  felefta  ex  Archimede  theoremata, 

1654  et  1665.  185,  I»6,  187. 
P.  Tamiery,  Du  rôle  de  la  mufique  grecque  dans  le  développement  de  la  mathématique  pure,  1902 
et  1915. 6. 
„  Lettre  à  H.  Bofmans,  1902.  306. 

„  Lettre  à  M.  Cantor,  1891.  231. 

„  IVIémoires  fcientifiques,  éd.  .7.  L.  Ileiberg  et  H.  G.  Zeuthen,  1915—1934. 0,  1 2,  1 99, 

206,  221. 
„  Voyez  des  Cartes  et  Fermât. 

M.""'  P.  Taiinery.  Voyez  Merfenne. 
Théocrite,  Idylles.  Voyez  BucoHcïb  grîeci. 

Théo  StfiyrrheUS,  Tùv  xarà  jtxa9)îuaTixr;v  -/pr.iTtULa  £(;  Ty.v  roû  Il/irtuvoç  âià-/Vit<JVJ,  éd.  /.  Boulliau,  1644. 

5,  II,  177,  180,377. 
„  Manufcrits.  180. 

,7.  Titelouze,  Lettre  à  Merfenne,  1662.  27. 
E.  Torricelll,  Opéra  mathematica.  1644.  554. 
„  Voyez  Loria. 

E.  ff.  Tfchirnhaus,  Medicina  mentis,  1687.  485,  502. 

„  Voyez  F.  de  Du'.llier,  de  Valder  et  Vollgraff'. 

P. ./.  Uyleiibroek,  Chr.  Hugenii  aliorumque  feculi  XVII  virorum  celebrium  e.xerciiationes  ma- 
thematica; et  philofophica;,  1833.  485,  491,  493,  505. 

/I.  y  as  Nmies,  Expérimentée!  onderzoek  van  klokken  van  F.  Hemony,  1909.  49. 

,/.  l'erheyen.  Lettre  à  S.  Stevin.  35. 

L.  (da)  riadana.  Opéra  omnia  facrorum  concentuum  etc.  cum  baflb  continuo  et  generali  organo 
applicato  etc.,  1620.  618. 

A',  l'iceiithiu,  L'antica  mufica  ridotta  alla  moderna  prattica,  1555.  144,  157. 

F.  Vieta,  Opéra  mathematica,  éd.  /■'.  van  Schuoten,  1646.  217. 
Firgile  (P.  rirgilins  Maro),  Aeneis.  416. 

fitellio,  Optica;  libri  X,  éd.  F.  Rijhcr,  1572.  270,  330. 
Fitruve  QM.  Vitruvitis  Pollio),  De  Architedura.  9. 

F.  Fiviatii,  De  maximis  et  minimis  geometrica  divinatio  in  quintum  Conicorum  Apollonii  Pergsi 
adhuc  defideratum,  1659.  29B,  299. 


75 


594  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


^.  Vlacq,  Arithmetica  logarithmica  (^Briggi),  éd.  fec.  aufta  per  Adr.  Vlacq,1628. 147.  Voyez  aufll 
Briggs. 
„        Petites  tables,  éditions  diverfes,  1661, 1665, 1681  etc.  204,  448,  4d6— 468,  459, 460. 

B.  de  Solder,  Démonftration  fur  les  „curva;  filares"  de  Tfchirnhaus,  1687.  597. 

.7.  .1.  Vollgraff,  Démonftration  mécanique  des  théorèmes  de  Tfchirnhaus  confidérés  dans  le  T.  XX 
des  Oeuvres  Complètes  de  Chr.  Huygens,  1940.  504. 
„  Deux  pages  confécutivesdu  Manufcrit  G.  de  Chr.  Huygens,  1940.  504. 

H.  de  Frm,  Defargues,  1934.  221. 

„  Hiftorischeftudien,  1934.  aai. 

C.  de  H'aard,  Biographie  de  Fr.  v.  Schooten.  309. 

„  Voyez  Fermât  et  IWerfenne. 

J,  ff'^allis,  Adverfus  Meibomium  de  proportionibus  traftatus  elenifticus,  1657.  13,  214. 

„         Appendix  [ad  Ptolemiei  Harmonika].  De  veterum  harmonia  ad  hodiernam  comparata, 

1682.  80,  100,  102. 
„         Arithmetica  infinitorum,  1655.  213,  223,  258,  372,  373,  389— 39^  5i3,  554- 
„         Arithmetica  univerfalis,  1655.  372.  Voyez  les  Additions  et  Correftions. 
„         Articles  fur  la  mufique.  212. 

„         Atreatifeofalgebrabothhifl:oricalandpraftical.l685.374,376,379,389 — 394,449,454. 
„         Hobbiani  puncti  difpunétio,  1657. 258. 
„         Lettre  à  Leibniz,  1693. 
„         Mathefis  univerfalis,  1657. 202,  258,  620. 
„        Opéra  mathematica.  389,  391. 
„         Opéra  mathematica,  1, 1695.  217,  373. 

IM693.39I- 
»  «  „  111,1699.554. 

„         Thoms  Hobbes  quadratura  circuli  etc.  confutata,  1669.  381. 
„         Tradlatus  algebr»  auctus,  1693.  389,  488. 
„         Tractatus  de  fectionibus  conicis,  1655.  215,  217,  258. 
„        Traftatus  duo  de  cycloide,  de  cidbide  etc.,  1659.  2 1 2,  258. 
„         Voyez  Bryeniiiiis  et  Ptolémée. 
H.  l/'eifenboni,  Lebensbefchreibung  von  Ehrenfr.  Walther  von  Tfchirnhaus  aufKiefflingswalda, 

und  Wiirdigung  feiner  Verdienfle,  483. 
Â.  //'■^rf.t///f/y?«-,  Muficalische  Temperatur,  1691.  18,  100, 133,  134,  135. 
R.  freflpkal,  Ariftoxenus  von  Tarent,  Melik  und  Rhytmik  des  claffîfchen  Hellenentums,  1883. 

78,114. 
H\  irhewell.  Voyez  Barrow. 

J.  de  fntt,  Elementa  curvarum,  1659.  216,  217,  220,  221. 
.7.  J.  Il  'orp.  Voyez  (^on[l.  Huygens. 

ir.  U'ottoi),  Reflections  upon  ancient  and  modem  learning,contenant  e.a.  unDifcoursde.7.  Cr/7/^ 
touchant  l'arithmétique  et  géométrie,  et  un  difcours  de  E.  Halley  of  ancient  and 
modem  aftronomy  and  optics,  1694.  489,  553,  554. 


III.  OUVRAGES  CITÉS,  595 


M.  Zacharias  (voyez  aufli  Defargues),  Erfter  Entwurf  eines  Verfuchs  ûber  die  Ergebnifle  des 
ZiifammcntrefTcns  einer  Kegel  mit  einer  Ebcne,  traduction  allemande  de  1922  d'un 
ouvrage  de  Defargues,  192. 
C.  Zarlino,  Dimoftrazioni  harmonidie,  1571, 1573  et  1589.  4a,  4«,  1 15— 1 18,  168,  171. 

„  Irtituzioni  harmoniche,  1558, 1562, 1573  et  1589.  45,  46,  loi,  1 14 — 1 18,  162,  171. 

„  Sopplemcnti  muficali,  1588, 1589.  35,Od,  71,  114— 116. 

„  Traite  fur  la  patience.  45. 

„  Tutte  l'operc,  1589.  45,  114,  116. 

„  Voyez  Fiticeiitio  dali/ei. 

AÔ.A  Eriiditorum.  19,  480,  486,  603. 

1682.  388. 

1684.  485. 

„  1685. 492. 

„  1686. 390. 

1689. 397- 

„  1691.375,481,551. 

1693.481,552. 
„  1594.481,552,621. 

Apocalypfe  de  Saint-Jean.  125. 

Archives  néerlandaifes  des  fciences  exaifles  et  naturelles,  1914.  259. 
Berichte  iiber  die  Verhandlungen  der  Sachfifchen  Akademie  der  WifTenfchaften  zu  Leipzig,  1934. 

126. 
Bibliotheca  mathematica,  publ.  p.  C  EiieflrSw.  6. 
Bibliothèque  univerfelle  et  hirtorique,  1687.  484. 

1689. 484. 
Bulletin  de  l'inftitut  archéologique  liégeois,  1889.  173. 
Bullettino  di  bibliografia  e  di  ftoria  délie  fcienzematematicheefiriche,T.  XIV — XVI,  1881 — 1883. 

458- 
Catalogue  de  la  vente  des  livres  de  Chr.  Huygens,  1695.  46,  87,  116,  127,  180,204,389,393, 

447.  458. 
Catalogue  de  la  vente  des  livres  de  Conft.  Huygens,  1687.  28,  46. 
Chriftiaan  Huygens,  revue,  1921.  364. 
Die  Haghe,  annuaire,  1938.  69. 
Divers  ouvrages  de  mathématique  et  de  phyCique  par  MM.  de  l'Académie  Royale  des  Sciences, 

1693.  207,  219,  229,  243,  270,  271,  273,  410. 
Euclides,  revue,  1932/1933. 621. 
Hifloire  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  depuis  1666  jufqu'à  fon  renouvellement  en  1699. 

1733.  220. 
Hiftoire  des  ouvrages  des  fçavans,  périodique,  1691.  141,  147,  164,  488. 

1693.481,550,551,606. 


59^  III.  OUVRAGES  CITÉS. 


Hiftorifche  bibliotheek  voor  de  exafte  wetenfchappen,  1929  et  fuiv.  594. 
Intermédiaire  des  mathématiciens,  1900.  199. 

Janus,  archives  internationales  pour  l'hiftoire  de  la  médecine  etc.  1940.  d04. 
Journal  des  Sçavans,  1668,  259,  303,  30R,  311. 

„  „  1685. 492. 

Livre  de  Daniel,  traduction  latine.  131. 

Livre  d'hymnes  du  dixième  liécle  du  couvent  S.  Salvador  à  Melîîne.  1 24. 
Manufcrits  provenant  de  Conft.  Huygens.  33. 
Mathematical  airociation  of  America.  ~. 
Mémoires  de  mathématique  et  de  phyfique  tirez  du  regiftre  de  l'Académie  royale  des  fciences, 

1692.333. 
Mémoires  de  l'Académie  Royale  des  Sciences,  depuis  1666  jufqu'à  1699, 1729.  410,  419. 
Mémoires  de  l'Académie  des  Sciences  de  i'Inftitut  de  France,  1864.  211. 
Monatfhefte  fiir  Mufikgefchichte,  1869.  45. 
Napier  Tercentenary  Mémorial  Volume,  publ.  p.  C.  (',.  Knntt.  6. 
Nieuw  Nederlandfch  biographifch  woordenboek,  1927.  209. 
Nouvelles  de  la  république  des  lettres,  1687.  481,  487,  505,  598. 
Oftwalds  Kladiker  der  exakten  Wiffenfchaften,  N°  179, 192. 
Patrologia  latina,  T.  XXXII,  1877. 121. 
Philofophical  Tranfactions.  1668.  259,  2(5i,  302. 

„  „  1673.218. 

Quellen  und  Studien  zur  Gefchichte  der  Mathematik,  1931.  390. 
Regiflres  de  l'Académie  Royale  des  Sciences,  196,  206 — 208,  214,  215,  219,  225,  227,  229,  230, 

=41'  243,  256—261,  282,  285,  286,  288,  335. 
Revue  des  queftions  fcientifiques,  1924.  390. 
The  American  mathematical  Monthly  XXXI,  1924.  7. 

Tijdfchrift  der  Yereeniging  voor  Noord-Nederlands  Muziekgefchiedenis,  1891.  44,  82. 
Verhandelingen  der  Koninklijke  Akademie  van  Wetenfchappen,  1899.  6. 
Verdagen  en  mededeelingen  der  Koninklijke  Akademie,  Afd.  Natuurkunde,  1884.  32. 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I  SE  RAPPORTANT  A  DES 

SUJETS  DE  MATOÉMATIQUE  PURE  QUI  ONT  ÉTÉ  CITEES  OU 

PUBLIÉES,  EN  TOUT  OU  EN  PARTIE,  DANS  LES  TOMES  IX  ET 

X  CONTENANT  LA  CORRESPONDANCE  ANNOTÉE  ET 

POURVUE  D'APPENDICES  DES  ANNÉES  1 685— 1 695  ')• 


Manuscrit  F,  p.  235  publiée  ')  dans  le  T.  IX,  p.  1 17.  Pièce  de  1686  de  Fatio  de  Duillier 

fur  certaines  épicycioïdes. 

„  p.  261 — 265  citées    ')     „     „T.  IX,  p.  132 — 133  [1687].  «Problème  [diophan- 

tique]  de  Mr.  de  Maroles". 

„  p.  270— 271  citées  „     „T.  IX,  p.  174. 

„  „         publiées       „     „  T.  IX,  p.  181  — 183.  C'eft  la  Pièce  de  mars  1687 

réimprimée  dans  le  préfent  Tome  aux  p. 
491— 493  (§1  et  §2). 

„  P- 277  publié  „     „  T.  IX,  p.  167.  Sommaire  de^la  lettre  envoyée  par 

Huygens  à  J.  d'Alencé  le  20  juin  1 687  avec 
les  copies  de  certains  traités  devant  être  im- 
primés à  Paris. 

Une  autre  partie  de  la  p.  277  a  été  publiée 
dans  le  préfent  Tome  (p.  500,  note  9). 

„  P'2.'8  citée  „     „  T.  IX,  p.  187.  A  propos  d'une  démonftration  deB. 

de  Volder  fur  les  „curvae  filares"  de  Tfchirn- 
haus  (juillet  1687). 

„  p.  280  publiée         „     „  T.  IX,  p.  198.  Sommaire  de  la  lettre  du  27  août 

1 687  de  Huygens  à  H.  Coets  fur  un  problème 
mathématique  de  ce  dernier. 

„  p.  281  citée  „     „  T.  IX,  p.  202.  Calcul  fe  rapportant  à  celui  de  la  p. 

285  du  Manufcrit. 


')  Cette  liste  a  été  mentionnée  à  la  p.  480  qui  précède. 

^)  «Publiée"  veut  dire  «publiée  <//7«j  /e  texte  du  T.  IX  ou  du  T.  X";  „citée"  veut  dire  «citée,  ré- 
sumée ou  publiée  dans  les  notes  du  T.  IX  ou  du  T.  X". 


598 


I\^  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


Manuscrit  F,  p.  285  publiée 


p.  297  publiée 


dans  le  T.  IX,  p.  201 — 202  (appendice  à  la  lettre  à  H.  Coets 
du  27  août  1687).  Sur  le  point  d'inflexion 
de  la  conchoïde. 
„  „  T.  IX,  p.  224 — 226.  „Solution  du  Problème  pro- 
posé par  M.  Leibnitz  dans  les  nouvelles  de 
la  Republique  des  Lettres  du  Mois  de  Sep- 
tembre 1687".  Comparez  les  p.  481  «505 
du  préfent  Tome. 


Manuscrite), p.   pr 

»  p.  S-r  ") 


citée 
publiée 


T. 
T. 


p-Soretv, 


P-5iv[Hg.  i],        citée 
p.5ivet52r[Hg.  1  et  2] 
citées 


citée  dans  le  T.  X,  p.  218  [1691].  Paiïage  qui  fe  rapporte  au 
problème  de  la  cliaînette. 

X,  p.  72. 

^>  P-  73  (Appendice  à  la  lettre  à  A.  de  GraafF 
de  mars  1691).  Reflification  de  la  catacau- 
ftique  du  cercle  pour  le  cas  de  rayons  paral- 
lèles. Voyez  fur  cette  Pièce  les  4  dernières 
lignes  de  la  p.  503  du  préfent  Tome. 
T.  IX,  p.  439 — 440.  A  propos  de  „la  manière  du 
marquis  de  l'Hofpital"  pour  trouver  la  place 
du  centre  d'ofcillation  dans  le  cas  d'une  férié 
de  poids  punftiformes.  Voyez  fur  cette  ma- 
nière les  p.  46 1  — 464  du  T.  XVII I.  Ces  pages 
du  IVIanufcrit  fe  rattachent  à  la  lettrede  Huy- 
gens  à  de  l'Hofpital  du  6  juillet  1 690. 
P-  245. 


citées 


T.    X, 


T.  IX,  p.  472.  Voyez  aulïï  fur  ces  deux  pages  le  §  27 
de  la  Pièce  III  à  la  p.  540  du  préfent  Tome, 
publiées  „  T.  IX,  p.  473 — 475  (Appendice  à  la  lettre  à  Leib- 
niz du  24  août  1690).  Huygens  choifit  les 
formules  de  deux  fouftangentes  pour  les  pro- 
pofer  à  Leibniz:  voyez  les  1.  9 — 10  de  la  p, 
487  du  préfent  Tome. 


')  Nous  citons  tant  la  pagination  générale  que  celle  de  Huygens.  La  page  i  de  Huygens,  que  nous 

défignons  par  Hg.  i,  correfpond  à  la  p.  51  v  de  la  pagination  générale,  etc. 
*)  A  la  p.  72  du  T.  X  le  numéro  de  la  page  citée  du  Manufcrit  G  n'efl  pas  indiqué. 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  1,  ETC.  599 


Manuscrit  Q,p.57vet58r[Hg.  i3et  14] 

publiées  dans  le  T.  IX,  p.  504  (§  II  de  l'Appendice  II  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  y  octobre  1690).  Rectification 
de  la  chaînette  etc. 

„  P58r[Hg.  14],   citée  „T.IX,  p.541. 

»  p.59r[Ilg.  16],   publiée     „  T.  IX,  p.  505  et  507  (§  III  et  VI  de  l'Appendice  H 

à  la  lettre  à  Leibniz  du  9  octobre  1690). 
Rectification  de  la  chaînette.  Quadrature  de 
la  furface  de  révolution  de  la  même  courbe 
etc. 

»  P-59v[lIg.  17],    publiée     „  T.  IX  p.  506  (§§  IV  et  V  de  l'Appendice  II  à  la 

lettre  à  Leibniz  du  9  octobre  1690).  Refti- 
fication  de  la  développée  de  la  chaînette  etc. 

»  P-  »         »  publiée     „T.  IX  p.  541 — 542  (§  I  de  l'Appendice  à  la  lettre 

à  Leibniz  du  18  novembre  1690).  Réduction, 
en  deux  étapes,  de  la  quadrature  de  la  courbe 
x'y'  =  (i* — a'y^  à  celle  de  la  courbe  x^y^  = 
4«'*  —  X*:  ici  la  quadrature  de  la  première 
courbe  eft  réduite  à  une  Comme  infinie  de 
fécantes.  Ceci  fait  partie  des  calculs  fur  la 
chaînette. 

„  p.6ir[Hg.2o],   publiée     „  T. IX,  p.  507— 509  (§§  VII  et  VIII de  l'Appendice 

II  à  la  lettre  à  Leibniz  du  9  odobre  1690). 
Conftrudion  des  courbes  x'y^  =  a^x^ —  a^y- 
et  x-y'  =  a*  —  a^y',  dont  la  quadrature  fert 
à  la  rectification  de  la  chaînette. 

„  p.6iv[Hg.2i],  publiée    „  T.IX,  p.  509—510  (§  IX  de  l'Appendice  II  à  la 

lettre  à  Leibniz  du  9  oftobre  1690).  Calcul 
de  nombres  proportionnels  à  un  certain  arc, 
unecertaineabfciifeetunecertaineordonnée. 

„  p.62vet63r[Hg.23et24] 

publiées  „  T.IX,  p.  500  —  501  (Appendice  I  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  9  oftobre  1690).  Explication 
d'un  anagramme  fur  la  folution  du  problème 
de  la  chaînette. 

«  p.  64r[Hg.  26]    publiée     „    T.  X,  p.  192 — 193  (Appendice  à  la  lettre  à  Leib- 

niz du  16  novembre  1691).  Calcul  d'une  li- 
mite fupérieure  et  d'une  limite  inférieure  de 


/ 


fec  »  d  f . 


6oO  IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 

Manuscrite, p. 69r[Hg.34bis] citée  „  T. IX,  p. 541. 

„  p.  „         „       publiée       „  T.  IX,  p.542 — 543 (§11  de  l'Appendice  ii  la  lettre  à 

Leibniz  du  18  novembre  1690).  Rédudion, 
en  deux  étapes,  de  la  quadrature  de  la  courbe 
x^y-  =  <ï*  —  a-y-  à  celle  de  la  courbe  a-^j'  =: 
4«''  —  X*.  Une  fomme  infinie  de  fécantes  eft 
réduite  à  la  quadrature  de  la  deuxiémecourbe. 
Ceci  fait  partie  des  calculs  fur  la  chaînette. 

„  p.  69V  [Ilg.  35]    publiée    „  T.   X,  p.  63 — 64  (§  I  de  l'Appendice  II  à  une  lettre 

à  Leibniz  du  26  mars  1691).  Recherches  qui 
ont  mené  aux  réfultats  formulés  dans  l'ana- 
gramme propofé  par  Huygens  à  Leibniz  dans 
cette  lettre. 

„■  p.7ivet72r[Hg.  39et4o] 

publiées  „  T.  IX,  p.  573— 576  (Appendiceà  une  lettre  à  Leib- 
niz du  1 9  décembre  1 690).  Détermination  de 
quelques  courbes,  les  fouftangentes  étant 
données. 

„  p.  73r  et  v  [Hg.  44  et  45] 

citées  „  T.  IX,  p.  568.  Brouillon  de  la  lettre  à  Leibniz  du 
19  déc.  1690. 

„  p.73vet74r[Hg.45et4(ri 

publiées  „  T.  IX,  p.  45 — 47  (Appendice  II  à  la  lettre  à  Leib- 
niz du  23  février  1691).  Calcul  de  logarith- 
mes népériens,  et  du  module  du  fyftème 
décimal.  Ce  module  étant  connu,  manière 
de  déduire  les  logarithmes  briggiens  des  lo- 
garithmes népériens. 

Comparez  la  note  3  de  la  p.  472  du  pré- 
fent  Tome. 

„  p.  74V  [Hg.  47]    publiée    „  T.  IX,  p.  226 — 228  (Appendice  I  à  la  Pièce  No. 

2489  —  comparez  la  p.  48 1  qui  précède  — 
c.à.d.  „Solution"  de  Huygens  dans  les  Nou- 
velles de  la  Republique  des  Lettres  du  8  oft. 
1687  du  «Problème  propofé  par  M.  Leib- 
nitz  [en]  Septembre  1687".  Il  s'agit  de  la 
courbe  de  defcente  uniforme. 

»  P.75V— 8iv[Hg.49— 61] 

publiées  „  T.  X,  p.  23 — 42  (§§  I — X  de  l'Appendice  I  à  la 
lettre  à  Leibniz  du  23  février  1 691),  traitant 
„de  defcenfu  corporum  gravium  et  afcenfu 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


60 1 


Manuscrit  G,    p.  8or  [Hg.  58]    publiée    „  T. 


p.  84r[Hg.  66]    cifée 


per  aerem  auc  materiam  aliam,  qux  rcfiflic 
motui  in  ratione  duplicata  celeritatum,  ut 
rêvera  contingit"  et  contenant  e.a.  la  réduc- 
tion de  la  fommation  de  la  férié  b  +  ^/"^  -j- 
5-^5  +  ...  à  la  quadrature  de  l'hv  perbolc,  et 
l'emploi  de  cette  férié  au  calcul  des  logarith- 
mes. 

Voyez  auffi  fur  la  p.  -j^s  les  p.  467 — 468 
du  préfent  Tome  et  fur  la  p.  8or  les  §§  1  et  i 
bis  de  la  Pièce  III  aux  p.  507  et  508  qui  pré- 
cèdent. 
X,  p.  64 — 65  (§  II  de  l'Appendice  II  à  la  lettre 
à  Leibniz  du  ;6  mars  1 691).  Quadrature 
d'une  certaine  aire.  Ceci  fait  partie  des  cal- 
culs fur  la  chaînette. 

T.  X,  p.  211.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  une 
lettre  du  18  décembre  1691  à  FatiodeDuil- 
lier,  oii  Huygens  traite  d'un  problème  des 
tangentes  renverfées  en  faifant  ufage  du 
théorème  de  Barrow.  Comparez  le  §  i  de  la 
Pièce  III  à  la  p.  507  du  préfent  Tome. 

T.  IX,  p.  229  (Appendice  II  à  la  Pièce  No.  2489). 
„Problema  Leibnitlii  de  a;quali  defcenfu  in 
curva,  fuperius  refolutum,  etiam  hoc  modo 
invenitur". 

Une  autre  partie  de  la  p.  89r  eft  publiée  à 
la  p.  513  du  préfent  Tome  (§  6  de  la  Pièce 
III). 
p.  9or[Hg.  78]    publiée    „  T.   X,  p.  43  (§  XI  de  l'Appendice  I  à  la  lettre  à 

Leibniz  du  23  février  1 69 1 ).  Comparaifon 
des  durées  de  l'afcenfion  et  de  la  defcente 
d'un  corps  pefant  jeté  en  haut  avec  la  viteffe 
terminale  dans  le  cas  d'une  réfiftance  pro- 
portionnelle au  carré  de  la  viteffe. 

T.  X,  p.  65  (§  III  de  l'Appendice  II  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  26  mars  1691).  Application  de 
la  quadrature  obtenue  dans  le  §  II.  Ceci  fe 
rapporte  à  la  chaînette. 

T.   X,  p.  68. 


p.  89r  [Hg.  ^6]    publiée 


p.  93r[Hg.  82]    publiée 


p.  93V  [Hg.  83]   citée 
p.93vet94r[Hg.83et84] 

publiées  „  T.   X,  p.  59 — 62  (Appendice  I  à  la  lettre  à  Leibniz 

76 


602 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


Manuscrit  G,     p.  94V  [Hg.  87]  publÎL'e 

p.95retv[Ilg.88et89]S) 
citées 


du  26 mars  1 69 1  ).  Explication  de  l'anagram- 
me  envoyé  par  Huygens  à  Leibniz  dans  cette 
lettre  ;  l'anagramme  fe  rapporte  au  problème 
de  la  chaînette. 
T.  X.  p.  66 — 69  (§  IV  de  l'Appendice  II  à  la  lettre 
à  Leibniz  du  26  mars  1691). 


p.  97r[Hg.  92]    publiée 


p.97v[Hg.93]    citée 
p.  „         „  citée 


p.  loir  [Hg.  100]  citée 


T.  IX,  p.  510  (note  fe  rattachant  au  §  IX  de  l'Ap- 
pendice II  à  la  lettre  à  Leibniz  du  9  oftobre 
1690).  Calcul  d'ordonnées  à  l'aide  de  loga- 
rithmes. 

T.  IX,  p.  502  (§  I  de  l'Appendice  II  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  9  octobre  1690).  „Fundamen- 
tum  omnium  eorum  qus  de  curva  catense 
reperimus". 

T.  IX,  p.  511. 

T.  IX,  p.  512  [1690].  Sur  la  catacauftique  de 
Tfchirnhaus.  Comparez  fur  la  première  con- 
ftruftion  erronée  de  Tfchirnhaus  la  note  15 
de  la  p.  503  du  préfent  Tome. 

T.  X,  p.  75.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre 
à  Fatio  de  Duillier  du  3  avril  1691.  Il  eft 
queftion  dans  ce  paiïage  d'une  folution  par 
Fatio  du  fécond  des  problèmes  propofés  par 
Huygens  à  Leibniz  en  aoilt  1690  (voyez 
dans  la  préfente  lifte  Man.  G.  p.  51V  et  52r 
=  T.  IX  p.  4-3-4-5> 

T.  X,  p.  223.  A  propos  de  la  méthode  de  Fatio  de 
Duillier  pour  intégrer  les  «équations  diffé- 
rentielles" (problème  des  tangentes  renver- 
fées).  Cette  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  à  Leibniz  du  i  janvier  1692.  Voyez 
fur  cette  page  le  §  12  de  la  Pièce  III  aux  p. 
517—518  qui  précèdent  (et  audi  fur  les  p. 
loiret  loiv  le  §  13). 
p.  io6v[Hg.  iii]citée*)  „  T.    X,  p.  87.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre 


p.  ioiv[Hg.  10 1]  citée 


5)  La  note  20  de  la  p.  510  du  T.  IX  dit  à  tort  que  les  p.  95r  et  v  de  la  pagination  générale  sont  les 

p.  90  et  91  de  Huygens. 
*)  Avec  introduftion  des  symboles  dx  et  tly  de  Leibniz  dans  les  «équations  différentielles"  du 

texte  de  Huygens. 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC.  603 

à  Leibniz  du  21  avril  1691.  Il  s'agit  dans  ce 
pallage  du  dcguifement  des  expredions  qui 
reprcMentent  les  fouftangentes  confidéfiies 
ou,  fi  l'on  veut,  de  celui  des  équations  dif- 
férentielles à  intégrer. 

Voyez  fur  la  p.  io6v  le  §  16  de  la  Pièce 
III  à  la  p.  522  du  préfcnt  Tome. 
Manuscrite,     p.  io8r  [Ilg.  i  i4]citCe       „  T.   X,  p.  96.  LapageduManufcritportelafuscrip- 
tion  „mifla  ad  audores  actorum  Lipfienfium 

5  Maj  1691"  et  fe  rattache  à  la  Pièce  No. 
298 1  —  comparez  la  p.  48 1  qui  précède  — 
favoir  la  „Chr.  Hugenii . . .  Solutio  ejufdem 
problematis",  c.  à.  d.  du  problème  de  la  chaî- 
nette. Dans  les  Acta  Eruditorum  cette  Pièce 
fuit  la  „Solutio  problematis  funicularii,  exhi- 
bita  a  lohanne  Ikrnoulli". 

„  p.  1 09V  [11g.  II 7]  citée      „  T.   X,  p.  247  [1691].  Expreilîon  quirepréfente  la 

fouflangente  d'une  circonférence  de  cercle. 
Comparez  le  §  20  de  la  Pièce  III  à  la  p.  529 
du  préfent  Tome. 

„  p.  iiir  [llg  .i2o]citée       „  T.    X,  p.  223.  A  propos  de  la  méthode  de  Fatio de 

Duillier  pour  intégrer  les  «équations  diffé- 
rentielles" (problème  des  tangentes  renver- 
fées).  Cette  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  à  Leibniz  du  i  janvier  1692. 

Comparez  le  §  23  de  la  Pièce  III  à  la  p. 
535  du  préfent  Tome. 

„  p.  ii6v — ii9r 

[Hg.  131— 136]  citées       „  T.   X.  p.  129.  Ces  pages  qui  portent  les  dates  du  5, 

6  et  7  août  1691,  contiennent  l'examen  de 
Huygens  de  la  folution  par  Jean  Bernoulli 
du  problème  de  la  chaînette.  La  note  du  T. 
X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  Leibniz  du  i  fep- 
tembre  1691. 

„  p.  1 19V  et  i2or 

[Hg.  137  et  138]  publiées  .,  T.  X,  p.  135— 138  (Appendice  à  la  lettre  à  Leib- 
niz du  I  feptembre  1 691).  Quadrature  delà 
chaînette  et  détermination  des  centres  de 
gravité  de  l'arc  et  de  l'aire  d'un  fegment  de 
cettecourbe,avec  vérification  d'un  théorème 
de  Jean  Bernoulli. 


6o4  IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 

Manuscrit  G,     p.  isirctv 

[Hg.  140  et  141]  publiées  „  T.   X,  p.  127 — 128.  Sommaire  de  la  lettre  à  Leib- 
niz du  I  feptembre  1691. 
„  p.  i22r[lig.  142]  citée      „  T.   X,  p.  131  [1691].  Calcul  des  aires  de  certains 

fegmentsde  la  chaînette. 
„  p.  i23v[Hg.  145]  citée      „  T.    X,  p.  i4o„Inveni  i  Sept.  i69i,momento  poft 

quam  ad  Leibnitfium  literas  dedillem  in  qui- 
bus  querebar  haftenus  non  potuifTe  me  hoc 
invenire,  nempe  conflruftionem  Catenarix 
ex  data  menfura  linea:  Parabolicx  vel  qua- 
dratura  Hyperbols".  La  note  du  T.  X  fe 
rapporte  à  la  lettre  à  Leibniz  du  4  fept.  1 69 1 . 

Nous  obfervons  en  paflTant  que  la  p.  1 26r  [Hg.  1 50]  a  été  publiée  aux  p.  377 — 378  du  T.  XI V, comme 

nous  le  difons  audi  à  la  p.  470  (Pièce  VII)  ainfi  que  dans  la  note  3  de  la  p.  475  du  préfent  Tome. 

Manuscrit  G,    p.  127V  [Hg.  153]  citée        „  T.  X,  p.  186  (et  T.  X,  p.  418 — 419).  Achèvement 

de  la  conftruiftion  de  la  chaînette  en  faifant 
ufage  de  certains  réiultats  obtenus  par  James 
Gregory  dans  fes  „Exercitationes  geome- 
trics"  de  1668  fur  la  fomme  des  fécantes. 
La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  16  novembre  1691.  Voyez  aufli 
fur  ce  fujet  la  p.  17  du  Manufcrit  L 
„  p.  i28vet  i29r[Hg.  I55eti56] 

citées  „  T.  X,  p.  98.  Commencement  d'un  article  qui  doit 
avoir  été  compofé  dans  les  derniers  mois  de 
169 1.  Voyez  ci-deflous  la  publication  des  p. 
216— 218  du  T.  X. 

n  P*     »  »  » 

publiées    „  T.  X,  p.  216 — 218  [1691].  „RefIexions  fur  ce  qui 
a  paru  touchant  le  Problème  de  la  Chaînette". 


Manuscrit  H,     p.  8  citée  dans  le  T.  X,  p.  222.  Le  19  décembre  1691  commence 

l'examen  de  la  méthode  de  Leibniz  pour 
réfoudre  le  problème  inverle  des  tangentes. 
La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à 
Leibniz  du  i  janvier  1692. 
„  p.  8  citée       „  T.  X,  p.  247.  Voyez  fur  cette  p.  8  la  Pièce  IV 

(„Methodus  Leibnitij")  à  la  p.  542  du  pré- 
fent Tome. 
„  p.  10 — 12  citées      „  T.  X,  p.  222.  Examen  de  la  méthode  de  Leibniz. 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


605 


Manuscrit  H,    p.  14 


publi(;e  „  T.  X,  p.  309  —  310  (Appendice  à  la  lettre  à  de 
rilofpital  du  27  août  1692). Démonftration 
d'un  théorcme  général  fur  les  quadratures  et 
application  de  ce  théorème  à  la  quadrature 
de  la  courbe  x'y'  =  a*  —  a'y',  dont  dépend 
la  conftruélion  par  points  (x,  y")  de  la  chat- 
nette. 

A  la  même  page  le  théorème  de  Barrow 
que  nous  publions  aux  p.  509 — 510  du  pré- 
fent  Tome  (§  i  ter  de  la  Pièce  III). 
p.  18 — 40 citées  et  publiées,,  T.  X,  p.  244 — 256.  Calculs  de  1692  fe  rapportant 

à  ceux  de  Hubertus  Huighens. 
p.  18— 22     publiées  dans  le  T.  X,  p.  249  —  252  (Appendice  I  à  la   lettre  à 

Hubertus  Huighens  du  12  février  1692). 
Méthode  de  Huygens  pour  trouver  l'ordon- 
née Be  d'une  courbe  Ae  quand  l'aire  AeB 
eft  donnée  en  fonftion  de  l'ablcifTe  AB.  Etc. 
p.  19  citée        „  T.  X,  p.  245.  Huygens  renvoie  à  fa  p.  i  du  Manus- 

crit G  (p.  51 V  de  la  pagination  générale). 

X,  p.  251— 252. 

X,  p.  248. 

X,  p.  255.  Cette  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  à  Hubertus  Huighens  du   15  février 
1692. 
T.  X,  p.  246. 

^>  P-  253 — 254  (Appendice  II  à  la  lettre  à 
Hubertus  Huighens  du  12  février  1692). 

X,  p.  262  [1692].  Huygens  retrouve  la  ma- 
nière dont  Leibniz  a  conftruit  une  certaine 
aire  quadrable  en  partant  de  la  confidération 
d'une  lunule  d'Hippocrate. 

X,  p.  300.  „Contra  Cartefii  dogma,  Corporis 
naturam  feu  notionem  in  fola  extenfione 
confiftere".  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  à  Leibniz  du  11  juillet  1692.  Nous 
avons  de  nouveau  publié  cette  tirade  à  la  p. 
325  du  T.  XIX. 
p.  ç^  citée        „  T.  X,  p.  325.  A  propos  de  la  rectification  de  la 

logarithmique  par  de  l'Hofpital.  La  note  du 
T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de  l'Hofpital 
du  22  oftobre  1692. 


p.  21 — 22 

citée 

„  T, 

P-25 

citée 

„  T, 

p.  28—36 

citées 

«  T, 

P-37 

citée 

„  T, 

p.  « 

publiée 

„  T 

P-39 


F- 97 


citée 


citée 


6o6  IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 

Manuscrit  H,    p.  loi  citée      „  T.   X,  p.  327.  Même  fujet. 

„  P- 104  publiera  „  T.    X,  p.  333  (Appendice  II  à  la  lettre  à  de  l'Hof- 

pital  du  22  oâobre  1692).  Calcul  du  rayon 
minimal  de  la  logarithmique.  Comparez  les 
p.  45 1  et  476  qui  précèdent. 

„  p.  106  publiée  „   T.    X,  p.  330  (Appendice  I  à  la  lettre  à  de  l'Hospi- 

tal  du  22  odobre  1692).  Quadrature  de  la 
furface  de  révolution  da  la  logarithmique 
tournant  autour  de  l'on  afymptote. 

„  P' 107  citée      „  T.   X,  p.  326.  Réduction  d'une  „fomme  des 

aady  :  y  V^  aa  -\-  yy  àH  quadrature  de  l'hy- 
perbole". La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  à  de  l'Hofpital  du  22  oftobre  1692. 

„  p.  108  publiée  „  T.    X,  p.  356 — 35-  (Appendice  I  à  la  lettre  à  de 

l'Hofpital  du  29  décembre  i692).Réduftion 
de  la  quadrature  delà  courbe  x^y^  —  a'x''  = 
a*  à  celle  de  l'hyperbole. 

„  p.  1 10 — I II  citées  et 

publiées  „  T.   X,  p.  350  (note  14)  et  p.  364—373  (Appen- 
avec  les  p.  138—140  dice  IV  à  la  lettre  àde  l'Hofpital  du  29  dé- 

cembre 1692).  Démonftration  de  théorèmes 
fur  certaines  intégrations.  Extenfion  de  théo- 
rèmes de  Fermât.  Application  e.a.  à  la  qua- 
drature des  courbes  .v^  —  a'x^  -f  a-y-  =  o 
et  xy'-  -f-  a'x  —  «3  =  0. 
p.  115  citée       „  T.   X,  p.  329. 

»  p.  „  publiée  „  T.    X,  p.  336 — 338  (Appendice  III  à  la  lettre  à  de 

l'Hofpital  du  22  oftobre  1692).  Sur  le  pro- 
blème de  Viviani.  SinufoVde  (linea  finuum) 
et  lignes  cyclo-cylindriques.  Comparez  la 
note  I  de  la  p.  453  qui  précède. 

„  p.  117— 137  citées  et 

publiées  „  T.  X,  p.  409 — 412.  Traftrice.Inftruments  propres 
à  la  décrire.  Les  notes  du  T.  X  fe  rattachent 
à  la  Pièce  No.  2793  —  comparez  la  p.  481  qui 
précède  — ,  lettre  à  Bafnage  de  Beauval  pu- 
bliée dans  l'Hiftoire  des  Ouvrages  des  Sça- 
vans  en  février  1693. 

„  p.  117 — 118  citées  et 

publiées 
avec  les  p.  128  et  166  „  T.    X,  p.  418 — 422  (Appendice  à  la  lettre  à  Bas- 


tt 


IV,  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC.  6oj 

nage  de  Beauval).  Première  découverte  de 
la  traiftrice  comme  quadratrice  de  l'hyper- 
bole. Découverte  de  la  propriété  de  la  trac- 
trice  de  fe  laifTer  mefurer  par  elle-même. 
Conftruftion  de  la  tractrice  au  moyen  de 
logarithmes,  équivalant  à  la  connaifTance  de 
l'on  équation  analytique.  Cubature  du  folide 
de  révolution  décrit  par  l'aire  comprife  en- 
tre la  traftrice  et  fon  afymptote.  Centre  de 
gravité  de  cette  aire.  Quadrature  des  furfaces 
de  révolution  décrites  par  la  tractrice  autour 
de  fon  afymptote  etc.  Centre  de  gravité  de 
la  courbe.  Tracé  du  cas  particulier  de  la 
tractrice  circulaire  où  la  longueur  du  fil  eft 
égale  au  rayon  du  cercle  direfteur. 
Manuscrit  H,     p.  128  citée  et 

publiée  avec 
les  p.  117 — 118  et  166       „  T.   X,  p.  418 — 422. 
„  p.  138—140         publiées 

avec  les  p.  110 — m.         „  T.   X,  p.  364 — 373. 
„  p.  141  —  145        publiées  „  T.   X,  p.  374—380  (Appendice  V  à  la  lettre  à  de 

rilofpital  du  29  décembre  1692).  Quadra- 
ture du  folium  Canefii. 

„  p.  148  citée       „  T.   X,  p.  463.  Renvoi  de  Huygens  à  cette  page.  La 

note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  23  juillet  1693. 

„  p.  153  citée       „  T.   X,  p.  349.  Etfai  de  réduction  infructueux.  La 

note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  29  décembre  1692. 

„  p.  1 55  publiée  „  T.   X,  p.  36 1  (Appendice  III  à  la  lettre  à  de  l'Hos- 

pital  du  29  décembre  1692).  Réduttion  de 
la  quadrature  d'une  certaine  aire  à  celle  de 
l'hyperbole,  etc. 

„  p.  156  citée       „  T.   X,  p.  353.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  let- 

tre à  de  l'Hofpital  du  29  décembre  1692. 

„  p.  160  publiée  „  T.    X,  p.  358—360  (Appendice  II  à  la  lettre  à  de 

l'Hofpital  du  29  décembre  1692).  Solution 
définitive  du  problème  de  la  rectification  de 
la  logarithmique. 

„  p.  \66  citée  et  publiée  avec 

lesp.  II-— ii8et  128  „  T.   X,  p.418— 422. 


6o8 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


Manuscrit  H,    p.  196 


p.  196 


publiée  „  T.  X,  p.  276.  Sommaire  de  la  lettre  à  Fatio  de 
Duillier  du  5  avril  1692. 

citée  „  T.  X,  p.  477.  Iluygens  croit  devoir  attribuera]. 
Preftet  le  livre  anonyme  de  1691  intitulé 
„Logiftique  pour  la  fcience  générale  des 
lignes  courbes"  qui  était  en  réalité  de  l'abbé 
deCatelan. 


Manuscrit  I  "),  p.  i 


p.  I  et  2 


p.  6 


citée  dans  le  T.  X,  p.  438.  Difcufîîon  de  la  quadrature  d'une  • 
aire  du  folium  Cartefii  par  Leibniz.  La  note 
du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  â  de  l'Hofpi- 
tal  du  9  avril  1693. 
citées    „  T.  X,  p.  462.  Calcul  du  volume  du  folide  obtenu 
par  la  rotation  de  la  boucle  du  folium  Car- 
tefii autour  de  fon  axe. 
publiée  „  T.  X,  p.  473.  Remarque  fur  le  manque  de  rigueur 
de  la  démonftration  de  certaines  formules  où 
entrent  des  expofants  fraftionnaires  „quan- 
quam  per  confequentias  ortendatur  verum 
efle  poftquam  de  veris  poteftatibus  demon- 
flratum  fuerit".  La  note  du  T.  X  fe  rapporte 
à  l'Appendice  II  (pièce  de  D.  Gregory)  à  la 
lettre  à  de  rilofpital  du  23  juillet  1693. 


p.  7  et  fuiv.  citées 

et  publiées  „  T. 


citée 


X,  p.  462 — 463.  „Dav.  Gregorij  Régula  ad  in- 
ueniendas  Curvarum  certi  generis  quadra- 
turas  ex  data  Aequatione  earum"  et  applica- 
tions de  cette  règle.  La  note  du  T.  X  fe  rap- 
porte à  la  lettre  à  de  l'Hofpital  du  23  juillet 
1693. 

X,  p.  460.  Quadrature  de  la  courbe  a'^f  = 
a'^x-  ■\-  jc*  d'après  une  méthode  de  Fermât. 
La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  23  juillet  1693. 


7)  Dans  le  T.  X  le  Manuscrit  I  est  désigné  —  sans  doute  pour  distinguer  la  lettre  majuscule  du 
chiffre  romain  I  —  par  l'expression  „Livre  J  des  Adversaria". 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


609 


Manuscrit  I,      p.  1  s 


p.  15—28 
p.  17 


p.  i« 


p.  20 


p.  20  et  25 


p.  21 


P-23 


P-25 


citée  „  T.  X,  p.  449.  Interprétation  géométrique  d'une 
foUition  d'un  problème  de  de  Beaune  ').  La 
note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  du  mar- 
quis de riiofpital  à  i luygens du  1 2 mai  1 693. 

citées  „  T.  X,  p.  457.  Examen  de  cette  lettre  du  1 2  mai 
1693. 

citée  „  T.  X,  p.  413.  I  luygens  corrige  une  remarque 
[voyez  la  p.  127V  du  iManufcrit  G]  qu'il 
avait  faite  fur  J.  Gregory  et  la  loxodromique. 
La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  I^ièce  No. 
2793,  lettre  de  Huygens  à  Bafnage  de  Beau- 
val,  publiée  en  février  1693;  voyez  la  p.  48 1 
qui  précède. 

citée  „  T.  X,  p.  451.  Manifeftement  beaucoup  de  cour- 
bes diverfes  fatisfoin  à  la  même  équation  dif- 
férentielle. La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la 
lettre  du  marquis  de  l'Hofpital  à  I  luygens  du 
12  mai  1693. 

citée  „  T.  X,  p.  439.  La  page  porte  la  date  du  6  juillet 
1692.  Huygens  motive  l'addition  d'une  con- 
fiante dans  l'intégration, 
citées  „  T.  X,  p.  458.  Differentiation  détournée  de  l'équa- 
tion X  =  my^.  Ces  notes  du  T.  X  fe  rappor- 
tent à  la  lettre  à  de  l'Hofpital  du  23  juillet 
1693. 

publiée  „  T.  X,  p.  469 — 470  (Appendice  I  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  23juillet  i693).„Adcolligen- 
das  fummas". 

citée  „  T.  X,  p.  460.  Huygens  vérifie  la  conflruftion  par 
de  l'Hofpital  de  la  courbe  dont  la  fouftan- 
gente  d\  x  —  y.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte 
à  la  lettre  à  de  l'Hofpital  du  23  juillet  1693. 

citée  „  T.  X,  p.  458.  «Trouver  la  courbe  de  M.  Slufe  ou 
Gutfchoven  par  fa  foutangente  donnée  par 
la  méthode  de  M.  de  l'Hofpital".  Cette  note 
du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de  l'Hofpi- 
tal du  23  juillet  1693. 


8)  Comparez  Jean  Bernoulli,  Solutio  etc.  de  1693  dans  la  Table  III  qui  précède. 


77 


6 1 0  IV,  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC. 


Manuscrit  I,       p.  27  citée       „  T.  X,  p.  458.  „Po(ltioii  du  M.  de  rilofpital  pour 

diminuer  les  termes  d'une  équation  différen- 
tielle, et  comment  il  forme  ces  pofitions  etc." 
„  p.  28  citée       „  T.  X,  p.  459.  Recherche  des  courbes  (hyperbole 

et  circonférence  de  cercle)  correfpondant  à 

x^  —  û' 
la  fouftangente  donnée . 

„  p.  35  publiée     „  T.  X,  p.  474.  Sommaire  de  la  lettre  à  de  l'Hofpital 

du  5  août  1693. 

„  p.  36 — 37  publiées   „  T.  X,  p.  478 — 480  (Appendice  à  la  lettre  à  de 

rilofpital  du  5  août  1 693).  (^)uadratured'une 
certaine  courbe  dont  la  fouftangente  s'ex- 
prime alternativement  par  x  —  •v,  •v  —  x  et 
x  +  y- 

„  p.  38  citée       „  T.  X,  p.  491.  „Tolliturdifficultas...et  colliguntur 

f       la'^  dz        a*  dz 

ver«  fumm»    I 1 ir-". 

j  22  s-> 

„  p.  41  citée      „  T.  X,  p.  491.  Transformation  d'une  équation  en 

confidérant  „V'^»!tii  —  tiidm  cenfendum 
Kquari  ;;;  —  ^dm", 

„  P- 44 — 49  citées     „  T.  X,  p.  494 — 495.  Recherches  fur  la  „JacobiBer- 

noullii  folutio  problematis  Fraterni"dejuin 
1693.  Voyez  fur  ce  problème  de  Jean  Ber- 
noulli  lap.481  qui  précède  (No.  2823  et  No. 
2875).  Ces  notes  du  T.  X  fe  rapportent, 
comme  celles  des  p.  491  et  492,  à  la  lettre  à 
de  l'Hofpital  du  3feptembre  1693. 

„  p.  47 — 48  citées     „  T.  X,  p.  492.  „Inventio  Regulîe  Hofpitalians  ad 

diminuendos  termines squationumdifferen 
tialium". 

„  p.  49  citée       „  T.  X,  p.  537 — 538.  Sur  une  manière  de  décrire  la 

courbe  qui  réfout  le  problème  de  Jean  Ber- 
noulli.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  let- 
tre à  de  l'Hofpital  du  i  ottobre  1693. 

„  P-49  citée       „  T.  X,  p.  553.  Autres  confidérations  fur  la  courbe 

de  Jean  Bernoulli  et  la  manière  de  la  décrire. 
La  note  du  T.  X  fe  rapporte  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  5  novembre  1693. 

„  p.  52 — 57  publiées   „  T.  X,  p.  500—508  (Appendice  à  la  lettre  à  de 

l'Hofpital  du  10  feptembre  1693).  Solution 
du  problème  de  Jean  Bernoulli. 


IV.  PAGES  DES  MANUSCRITS  F,  G,  H  ET  I,  ETC.  6  I  I 


Manuscrit  I,       p.  53  publiée     „  T.  X,  p.  555  (Appendice  I  à  la  lettre  à  de  IMIofpi- 

tal  du  5  novembre  1693).  Détermination  du 
point  de  rebroufTement  de  la  courbe  de  Jean 
Bernoulli. 

N  P-58  citte       „  T.  X,  506—507. 

»  P- 62  citée       „  T.  X,  p.  534.  Iliiyfîenss'aflTure  de  l'identité  des  fo- 

hitions  des  frères  Bernoulli  et  du  marquisde 
rilofpital  du  problème  de  Jean  Bernoulli. 
La  note  du  T.  X  Te  rapporte  à  la  lettre  à  de 
l'Hofpital  du  i  octobre  1693. 

»  p.  63  publiée  „  T.  X,  p.  534.  Sommaire  de  la  lettre  à  de  l'IIofpital 

du  I  octobre  1693. 

»  p.  66  citée      „  T.  X,  p.  625.  Calcul  d'une  formule  pour  la  fous- 

normale  des  courbes  paraboloïdes,  laquelle 
devient  le  rayon  de  la  développée  pour  le 
point  de  l'axe  qui  conftitue  le  fomraet  ou  le 
point  d'inflexion.  La  note  du  T.  X  fe  rap- 
porte à  la  lettre  à  de  l'Hofpital  du  16  juin 
1694. 

n  p.  72— 73  publiées   „  T.  X,  p.  556  (Appendice  II  à  la  lettre  à  de  l'Hos- 

pital  du  5  novembre  1693).  Démonftration 
«qu'une  voile  faite  de  certain  nombre  de 
reftangles  égaux  et  inflexibles  eftant  étendue 
par  le  vent"  ne  pourra  prendre  la  même  po- 
fition  qu'une  chaîne  de  ce  genre  le  ferait  par 
fon  poids  '). 

„  p.  85  citée       „  T.  X,  p.  542.  Conftruftion  au  moyen  de  la  loga- 

rithmique d'une  courbe  mentionnée  par 
Leibniz  dans  fa  lettre  à  Huygens  du  1 1  oft. 
1693. 

»  p.  90  cifée       „  T.  X,  p.  578.  EflTai  de  vérification  d'une  méthode 

du  marquis  de  l'Hofpital  pour  quadrer  le 
folium  Cartefii.  La  note  du  T.  X  fe  rapporte 
à  la  lettre  à  de  l'Hofpital  du  24  décembre 
1693. 


5')  Nous  faisons  mention  ici  de  cet  Appendice  II  de  nature  fort  mathématique,  quoiqu'en  général, 
comme  nous  l'avons  dit  dans  la  note  7  de  la  p.  480  qui  précède,  nous  ne  tenions  pas  compte 
dans  le  présent  Tome  de  ce  qui  se  rapporte  aux  voiles-ou  à  la  manoeuvre  des  vaisseaux. 


V.  MATIÈRES  TRAITÉES. 


IVous  pourrions  répéter  ici,  mutatis  mutandis,  les  remarques  initiales  de  la  table  correfpondante 
du  T.  XIX:  nous  ne  tâchons  pas,  en  rédigeant  la  préfente  lille,  d'être  complets.  Ceci  s'applique  e.a. 
à  la  Partie  „Murique". 

Vu  la  brièveté  de  la  première  Partie  «Mufique  et  Mathématique"  nous  ne  donnons  pas  de  lifle 
des  fujets  traités  dans  cette  Partie. 

Il  en  ell  de  même  pour  la  Partie  ,,Huygens  et  Euclide"  ').  Euclide  et  Huygens  étaient  l'un  et 
l'autre  muficologue  et  mathématicien.  Cette  Partie  forme  la  tranfition  entre  la  Partie  „Mufique" 
et  la  Partie  «Mathématiques". 

Quant  à  la  Partie  «Mathématiques",  la  lifle  des  Pièces  et  Mémoires  (Table  I)  fait  fuffifamment 
connaître  les  fujets  traités.  Nous  nous  contentons  de  fignaler  les  paflages  où  ilefl  queftion  de  l'ap- 
plication des  logarithmes  à  la  mufique  et  ceux  qui  fe  rapportent  à  une  douzaine  d'autres  fujets. 


Les  chiffres  indiquent  les  pages  de  ce  Volume. 

MUSIQUE  (p.  1, 19-173  et  SSSS^i). 

Auteurs  fur  l'hiftoire  et  la  théorie  de  la  mufique  ^).  Alypius,  Ambros,  Archibald,  Ariftide  Quin- 
tilien,  Ariftote,  Ariftoxéne,  Artufi,  Athénée,  St.  Auguftin,  Bacchius  Senex,  Balfoort,  Ban,  Bary- 
phonus  (:=  Pipegrop),  Beda,  van  Beynum-von  Effen,  van  Blankenburg,  Boèce,  Bryennius, 
Buttler,  Cicéron,  Combarieu,  Coufin,  A.  Croifet,  ÏM.  Croifet,  van  Deventer,  Didymus,  Dupont, 
Dijkfterhuis,  Alfr.  Einftein,  Eitner,  van  der  Elft,  Eratofthène,  Euclide,  Euler,  Faber  Stapulenfis, 
Fano,  Fétis,  Friedlânder,  V^  Galilée,  Gaudence,  Genebrardus,  Gevaert,  Gibel,  Glareanus, 
Gogavinus,  Guicciardini,  Guido  Aretinus,  Helmholtz,  Hemony,  Conft.  Huygens,  Janus,  Jeans, 
Jonckbloet,  Kapsbergen,  Kepler,  Kircher,  Land,  Loulié,  Maillard,  le  Maire,  Marchetto, 
Meibomius,  Menge,  Mercator,  Merfenne,  de  Montaient,  de  Mûris,  Neidhardt,  Nicomaque, 
Pafaro,  Pipegrop,  Plutarque,  Polkix,  Porphyre,  Ptolémée,  Puteanus,  Reinach,  Riemann,  Rome, 


')  Nous  avons  toutefois  indiqué  dans  la  lifte  des  fujets  traités  dans  la  Partie  „Mufique"  qu'à  la  p. 
178,  qui  appartient  à  la  Partie  „Huygens  et  Euclide",  il  eft  queftion  (dans  une  note)  de  mufi- 
que chinoife. 

')  Dont  plusieurs  sont  aussi  des  compositeurs.  La  liste  comprend  de  plus  les  noms  de  quelques 
organistes  et  de  quelques  construfteurs  d'instruments. 

Parmi  nos  «auteurs"  il  y  en  a  quelques-uns  qui  n'ont  parlé  qu'incidemment  de  musique. 


V.  MATIÈRES  TRAITÉES.  613 


Salinas,Salmoii,SchIick,  Scholes,  Senti,  Shore,  Smits  van  Wasberghe,  Stevin.Tannery,  Théon 
de  Smyrne,  Titelouze,  Vas  Nunes,  Verheyen,  da  Viadana,  Vicentino,  G.  J.  Voffius,  I.  Vofîîus, 
de  Waard,  Wallis,  U'erckmeifter,  Weftphal,  Zarlino. 

Baguettes  de  Nei>er.  173. 

Battement  de  la  mesure.  120,  121. 

Beauté  des  chants  ou  de  la  musique  instrumentale,  i,  35,  36,38,66,67,78,  86, 125—127, 
129,  131,  163,  i-o  (confultez  auffila  p.  410  appartenant  à  la  Partie  „AFathc'matiques"). 

Bourdon.  131  ;  faux-bourdon.  65,  78,  80,  1 17,  1 18. 

Caractères  éthiques  des  différents  modes.  ^6,  ç6,  çç. 

Chant  d'églisk.  64,  68,  6ç,  78,  1 1 1,  1 19,  (grégorien)  127. 

Choeurs  antiques.  85;  modernes.  129. 

CoMMA.  45,  46,  paffini;  dièfe.  112,  113,  143,  144,  146,  155,  156, 165,  166;  „intervalle-atome". 
i55;iininia.  155;  cent.  146, />^//w. 

Compositeurs  3).  Archiloquc,  Bach,  I  landel,  Aléfomède,  Pindare. 

Concerts.  131,  153. 

Contrepoint.  74, 1 33. 

Dièse;  (voir  Comma). 

Différence  fntre  certains  genres  anciens  et  les  genres  modernes  correspondants.  102. 

Division  du  tétrachorde  en  différents  intervalles.  S6,paJ/im. 

Division  du  ton  en  un  certain  nombre  d'intervalles  égaux  ou  inégaux.  35, 95,  çç,  1 12, 
113,  116,  120,  143,  144,  157,  169. 

Division  harmonique  et  arithmétique  des  intervalles,  i  10,  118. 

Etalons  et  instruments  de  mesure.  21  (firène);  68,  69  (pendule  et  métronome);  87,  91  (dia- 
pafon  etc.);  105  (firène);  (voir  audî  Inflrumeuts  de  mtiftqne:  monochorde). 

Experientia  et  ratio.  17,  18,  168,  170. 

Expériences  POUR  déterminer  les  fréquences  des  vibrations.  18,30,33,  no,  124. 

Faux-bourdon;  (voir  Boiirdoif). 

Floraison  de  la  musique  dans  les  Pays-Bas.  66,  82. 

Fugues.  125. 

Genres  (voir  Différence  etc.  et  l'tirticiilarités  etc.'). 

Harmonie.  1,43,  100,  129,  133,  153 — 155, 158;  cycles  harmoniques  (voir  TempèraiHeiifs');  pro- 
portion harmonique  75  (voir  aufîî  Divijion  harmonique'  etc.  des  intervalles);  pajjim;  (voir  auffi 
Queflion  de  [avoir  s'il  y  a  deux  ou  plujteurs  modes). 

Hasard.  18,  115. 

Hexachorde.  j^  i  i  i. 

Hymnes  et  odes  antiques.  85,  89,  90,  loo,  1 10,  124,  126,  127, 132. 


3)  Voyez  aussi  la  note  précédente:  nous  ne  répétons  pas  ici  les  noms  de  ceux  qui,  comme  Const. 
Huygens,  furent  en  même  temps  compositeurs  et  auteurs  d'ouvrages  sur  l'histoire  (ou  la  théorie) 
de  la  musique. 


6l4  V.  MATIÈRES  TRA1TÉE.S. 

Instruments  de  musique.  6,  i8,  46,  73,  ioi;archicymbale.  18,  112,  113,  157,  i58;aù).o«.  87; 
barbitus  ou  barbiton.  132;  carillon.  43,  48,  49;  clavecin,  clavier.  55,  6ç),  72,  74,  75,  77,  116, 
124,  1:5,  144,  145,  153,  159,  160,  161,  163,  167,  168,  558;  idem  (et  autres  inftruments)  à 
touches  Icindées.  18,  154,  160;  cloche.  18,  26,  36,  44,  49;  (intlruments  à)  cordes.  29,  37,  43, 
72,  76,  91,  100,  617;  cymbale,  113,  1 14;  cythare  (ciftre).  34,  80,91,99,  113,  117,  131,617; 
epigonium.  96;  fiftuia.  131  ;  Hute.  21,  87,  io4;gravicembalo.  160;  guitare.  558;  harpe,  i,  137; 
luth.  34,  35,  121,  122,  132,  I37>  558;  lyre,  i,  31,99,  1 13,  1 17;  magadis.  131,  132;  mandore. 
i32;monochorde.  18,29,41—60,72,  iio,  113,  117,  133,  134,  141,  159,  168;  orgue.  34,  35, 
45î  46,  55>  64,  69,71,72,75,77,  113,  114,  116,  120,  122,  133,  137,  142,  144,  153,  159,  160, 
168;  orgue  hydraulique.  124;  pandoron  oupandouros.  i32;peftis.  132;  pfalterium.  131;  fam- 
buca.  131;  fpinette  (ou  épinette).  120,  133,558;  aO/jfy?,  87;  fymphonia.  131;  thc'orbe.  558; 
trompette.  37,  122,  618;  trompette  marine.  37,  122;  tuba.  131;  vielle.  131;  viola  da  gamba, 
1 30;  viole.  34,  35,  II 3  4),  558 ;  violon.  75,  1 3 1 ,  1 37 ;  (voir  auffi  létrachorde  et  Hexachordé). 

Invention  de  la  boussole.  81. 

Invention  du  chant  polvphone.  82,  124;  (voir  aufli  QuelJion  de  [avoir  fi  les  anciem  ont  connu 
la  polyphonie'). 

Invention  du  TéLEscopE.  81. 

Invention  et  écriture  des  notes.  63,  68,92, 93,  100,  119,  1:0,  126,  128,  129,  136,  137. 

isochronisme  des  oscillations  du  pendule.  6%  557. 

Kpoùtriç.  80,  ^Ç,  126. 

Logarithmes  APPLIQUÉS  A  la  musique.  6o,  113,  136,  141,  145,  147— 151,  157,  158,  169 
(171— 173). 

MoNOCHORDE  (voir  Inftruments  de  mufique). 

Musique  antique.  6  ;  chinoife.  178;  iroquoife.  131;  ifraëlite.  131.  grecque,  pajjim  ;  romaine.  1 25. 

Noms  des  tons  du  grand  système  parfait.  93,  98;  petit  fyfléme  parfait.  98.  pajjiw. 

Odes;  (voir  Hymnes). 

Particularités  des  divers  genres.  %6,pajltm. 

Peinture  antique.  132. 

nuxvov.  89, 90,  ç6. 

riEptxOxXiao-tç.  22,  143,  168. 

Proportionalité  inverse  des  longueurs  des  cordes  avec  les  fréquences  de  leurs  vibra- 
tions. 25,  29,  35. 

Question  DE  LA  défense  DE  quintes  (etc.)  successives.  81,  loi,  129, 130, 170. 

Question  de  la  valeur  de  la  musique  grecque  antique.  85,  86,  89,  121,  131. 

Question  de  l'existence  d'intervalles  consonants  où  entre  le  nombre  sept.  35,  37, 
161 — 164,  169. 

Question  de  savoiR  quelles  consonances  étaient  admises  par  les  anciens.  26,  27,  31,79, 
80,91,99,  ICI,  121,  123,  124,  153. 


*)  P.  113:  viola  =  lyra;  viola  =  genus  cythararum. 


V.  MATIERES  TRAITÉES.  615 


Question  dk  s.woik  si  aristoxènk  kt  les  aristoxéniens  ont  connu  la  gamme  iniform^- 
ment  tempérée  a  douze  intervalles.  33—35,78,  i  1  3,  i  14,121. 

QlESTlON  UE  SAVOIR  SI  LES  ANCIENS  ONT  CONNf  LA  POLVPHOMK.  21,  65,  78 — 82,  86,  pi,  pS,  99, 
101,121,123,124,153. 

Question  de  savoir  s'il  y  .'  niax  oi-  i-lisieirs  modes.  39,64,69 — 71,75, 86, 95  (mode  grec  ^ 

àpiiovia'),  98,  I  10,  1 19,  170. 

Règle  des  fondeurs  de  cloches.  28. 

Règles  pour  la  composition  musicale.  6j,  74,  81,92,  95,  126;  (voir  aufli:  Contrepoint), 

RÉUNION  DE  tétr  \c:iniiu)i:s  en  systèmes.  i6,pajjim. 

Sculpture  antiouk.  132. 

Sectio  canonis  Pythagorici.  90,  pa§im. 

Semitons,  noms  nouveaux.  128,  129,  167,559,  561. 

Senarius,  27,  37,  141,  162,  169. 

Son  dans  le  vide?  i  io,  123. 

Système  de  la  solmisation.  124,  126. 

Systèmes  de  notes,  86;  (voir  auili  Invention  et  écriture  des  notes). 

Télescope  sans  tuyau.  88. 

Tempéraments.  18,  43—45,66,91,  102,  110,  112,  114— 116,  122,  123,  143,  154,  157,  168;  de 
Salinas(?).  i  i3;de  VVerckmeifter(et  d'autres).  110,  134,  i35;deZariino.47,54, 1 13, 1 15, 1 16, 
168;  „du  ton  moyen"  („temperament  véritable"  fiiivant  Hiiyjçens).  45,  46,58,59,72,  113, 
115 — 117,  121,  133,  143,  145,  146,  149— 161,  168,  169;  tempéraments  uniformes  et  cycles 
harmoniques  (voir  aufîî  7rs|OixOxV,i<rej).  18,  19,  143,  144:  à  12  intervalles  (gamme  tempérée), 
iio,  122,  135,  136,  144,  145,  à  31  intervalles  (tempérament  de  Huygens).  22,  44,  112,  113, 

129,  139— 173,  55"- 
Tétrachorde.  31,  75,  79,  97,  102,  116,  wi-^ÇyoÏT  z\xK\  Réunion  de  tétrachordes  en  fyftèmes). 
Théorie  de  Stevin  sur  l'égalité  des  12  intervalles  de  la  gamme.  17,  27,  32 — 35,  64,  141, 

143,  144- 
Touches  scindées  (voir  Inflrumenis  de  mujiqué). 
Triton  et  fausse  quinte.  56,  73,  131,  156, 161,  163,  165,  167,  560. 
Unité  de  longueur.  64. 

MATHEMATIQUES  (p.  193—554). 

.\pplication  des  logarithmes  a  la  musique.  202—205,  213,  214,  291,  377. 
Courbes  5).  Catacauftiques  (voir  O/)//,///.');  chaînette.  480,  484,  489,  513,  551;  ciflbîde.  213, 
223,  256,  257,  443,  514;  conchoïde.  537,  538;  courbe  de  defcente  uniforme.  480, 489,  505; 


5)  Nous  ne  faisons  pas  mention  dans  cette  liste  des  nombreux  endroits  où  il  est  question  de  sec- 
tions coniques  ni  de  ceux  où  il  s'agit  de  différentes  courbes  du  troisième,  quatrième  ou  cin- 
quième degré. 


6ï6  V.  MATIÈRES  TRAITÉES. 

courbe  de  Wallis.  204,  373;  courbes  géométriques.  210,  481;  courbes  ofculatrices.  451,  454; 
courbes  tranfcendentes.  525;  curvœ  filares.  192,  463—466,  484,  495;  cycloïde.  216,  258,  448, 
45i>453'  4"o.  474.  475;  épicycloïde.  216,  223,  285,  407;  folium  Cartefii.  244—255,  469; 
hyperboloîdes  (hyperboles  de  divers  degrés).  212,  223,  256,  257,  302;  lemnifcate.  496—498, 
621;  ligne  cyclocylindrique.  453;  logarithmique.  204,206,  291,294,373,408,413—415,451, 
476,482,  526,  527,  544—546,  548—551,  554;  loxodromique.  375;  première  ovale  de  Def- 
cartes.  448,  451,  463 — 466,  484,  499;  paraboloïdes  (paraboles  de  divers  degrés).  212,  223, 
256,  257,443,  514;  fpirale  d'Archiméde.  370;  linufoide.  453;  tradrice.  480;  verliera.  376, 
397 — 399.  620,  621.  Voyez  en  outre  fur  quelques-unes  de  ces  courbes  la  Table  IV  qui  précède. 

Cours  mathématiqie  d'Hérigonk  (Tab.  III).  Confiiltez  la  p.  619  qui  fuit,  où  nous  appor- 
tons une  importante  correftion  au  texte  de  la  p.  209. 

Démonstration  (ou  invention)  mécanique,  ou  cinématique,  de  propositions  géométri- 
ques. 504,  553,  554,  62 1  (addition  au  texte  de  la  p.  408). 

Epoque  vers  laquelle  Huygens  commença  \  se  servir  couramment  du  calcul  des  loga- 
rithmes, 202 — 205,  619.  N'oubliez  pas  de  confulter  cette  dernière  page  où  nous  apportons  des 
corrections  importantes  au  texte  des  p.  202  et  204. 

Grandeurs  et  nombres,  le  continu  et  le  discret.  217,  264,  308,  323,  370 — 374,  380, 
387—390,  480,  485,  503. 

Induction.  213,  372, 390, 479. 

Optique.  Catacauftiques.  202 — 504,  perfpeftive.  220,  402;  ovales  de  Defcartes  (voir  Courtes'). 
problème  d'Alhazen.  196,  218,  265—271,  328—333;  quarts  de  cercle  avec  des  verres  de 
lunette.  553. 

Projection.  402,  428,  429  (voir  aufli  Optique,  perfpedivey 

Rigueur  ou  insuffisance  des  démonstrations.  212,  213,  223,  259,  303 — 327,  369,  374,  389, 
490,  479. 

Séries.  200—206,  214,  215,  261—263,  291—294.  303—309.  375.  37<5,  387,  388,  39'— 393, 
395—400. 448,  449,  453,  471—473,  488, 527,  621. 

Siècle  sage  de  Stevin  *).  371. 

Trigonométrie  et  goniométrie.  202,  203  "),  213,  375,  447,451,455—461,619  7), 


*)  Voyez  sur  le  siècle  sage  de  Stevin  les  p.  554  et  555  du  T.  XV. 

7)  Les  calculs  logarithmiques  de  l'Appendice  X  au  Traité  des  couronnes  et  des  parhélies  sont  de 

nature  goniométrique  et  trigonométrique,  comme  ceux  des  Manuscrits  K  et  A  dont  il  est 

question  à  la  p.  619  (correction  à  la  p.  204). 


ADDITIONS  ET  COR RIXTIONS'). 


Page 
8  ligne  9 
17  «o/t"3 

27  //;ff«tf  3 

28  //^«f  12 
28  «e/^  5 

35  ligne  4 


46  ligne  3  (/«  no/CJ 
54  note  23 
66  «a/^  I  " 


72  note  1 1  ligne  4 

87  //■;§■«?  9 

95  ligne  I  fl^j"  «<)/« 

96  ligui:  15 

1 04  ligne  7  «"(■;;  ^</j 
I  24  note  91 


1 27  ligne  5  i/w  «()/« 
127  note  109  //^«i?  4 


-(^y«  lieu  de  lifez 

p.  184  p.  185 

P-  33  p.  34 

poincdiivue  point  de  vue 

Règle  des  fondeurs.  —  Voyez  plus  loin  p.  170. 

Le  catalogue  de  vente  des  livres  de  Cbr.  Huygens  mentionne  lui  aujji 

Qibri  mathem.  in  4°,  1 19'):  .lac.  Fabri  Mu/ica,  l'aris  1552. 

du  Ion  grave  du  ton  grave 

Dans  la  ligne  6  au§i  il  eft  queftion  du  „ton  grave"  et  dans  la  ligne  5 

du  „ton  aigu".  Le  l  et  le  [  de  iluygens  font  parfois  fort  femblables 

run  à  l'autre:  on  peut  en  quelques  endroits  lire  tout  au fji  bien  „ton" 

que  „fon". 

Senefc.  Senefe. 

p.  46  p.  47 

On  ne  cunnait  plus  (P autres  comportions  de  Confl.  Huygens  que  celtes 

qui  fe  trouvent  dans  les  „Pat/iodia  Sacra  et  profana  occupatC  de 

1647,  réimprimés  en  1882;  voyez  la  note  2  de  la  p.  30  du  T.  /. 

P-52  p.  51 

auflî,  à  auflî  à 

fpiffum  IpiUum 

c  I  2  3  5  6  toe  c  I  2  3  5  6  toe 

Inllrumenta  polypleftra.  Puifque  jriiix-oov  ou  pleârum  =  id que  fides 

{cithar,e  etc.')  tenduntur,  il  femble  bien  qu''il  n^efl  queftion  ici  que 

d'inftruments  à  cordes. 

ton  toni 

mélodique;  mélodique: 


')  Voyez  aufli  le  deuxième  alinéa  de  la  note  56  de  la  p.  207,  où  il  f'agit  d'une  correction  à  apporter 
dans  le  T.  XIX. 

Le  lefteur  eft  prié  en  outre  de  corriger,  également  dans  le  T.  XIX,  dans  la  1.  12  de  la  p.  644, 
4'™'  obieâion  en  1 1'""'  ohiection.  Et  dans  la  1.  4  de  la  note  6  de  la  p.  104  du  T.  XIX  il  faut  cor- 
riger ED  en  EN. 

78 


<^  1  8  ADDITIONS  ET  CORRECTIONS. 


l'âge  Au  lieu  de  lifez 

129  ligne  2  d'en  bas  Manufcrit  G,  f.  47  r.  Ce  qui  fuit  fe  rattache  aux  remarqua  fur 

l'ouvrage  de  ,7.  vnn  der  Elft. 

Ludovicus  Viadana  inventer  Badi  Continu!  in  Polypleétris  A° 
1610.  Permittit  quintas  etoetavascoiitinenterponi  in  partibushilce, 
quanquam  non  permittat  in  cantu.Videndum.Quartasfupra quintas, 
confecutive  non  pofTe  poni,  fupra  tertias  polTe.  Potius  infra  cantum 
continendam  fymplioniam  omnem  Bafflis  continui  quo  magis  emi- 
neat  cantus.  qui  quo  minus  obturbetur,  non  idem  cantus  in  poly- 
pleiîtro  exponendus  quem  vox  fequitur. 

L.  ÇCrOjffi')  da  P'iadana  naquit  à  Matitoue  eu  1564  et  décéda  à 
('•ualtieri,  prohahlenient  en  1 645.  On  cannait  beaucoup  de  fes  cotnpo- 
fitiomÇmefes,  madrigaux,  motetsetcS).  En  \620  parurent  à  Francfort 
fes  „  Opéra  omnia  facrorum  concentuum  etc.  eu  m  haffo  continua  et 
generali  organa  applicato  etc." 
1^0  note  12- ligne  %  either  or  them  eitherofthem 

148  et  1 49  Dans  la  dernière  colonne  de  la  table  le  ftgne  ^  doit  être  remplacé  par  % 
1^9  ligne  \o  i)  II) 

149  ligne  12  V=)  V 
156  ligne  i:^                            fixte  fixte 

1 56  ligne  1 6  ce  que  ce  qui 

156  ligne  8  d'en  bas  Le  fon  Le  ton 

169  ligne  S  ifi  s#I 

170  ligne  -  d'en  bas  pg  [g  caufe  des  tons . . .  trompettes  etc.  —  Foyez  ce  que  Huygens  dit 

en  1672  fur  la  conjlruâtion  de  la  trompette  (T.  XIII,  p.  804)  en 

parlant  de  la  règle  des  fondeurs  (T.  XIX,  p.  363,  note  3). 
\79  dernière  ligne  aj,,^  ajnf, 

1 80  ligne  10  ,  _  pas  d'efpace  abfolu.  —  .1  la p.6s^du  T.  XFIII  (dernière  ligne) 

nous  avons  écrit  par  inadvertance,  en  citant  la  p.  215  du  T.  XFI: 
„nullus  ejl  mutatio  laci  refpeâtu  fpatij  mundani".  Le  leêleur  eft  prié 
de  corriger  ,,nullus"  en  „nulla",  conformément  au  texte  du  T.  Xyi, 

190  note  I  ^^  ^^fg  j^  i^  Pièce  que  nous  avons  intitulée  „Le  corps,  la  fur  face, 

la  ligne,  le  point"  eft  fans  doute  1 690  d'après  le  lieu  que  cette  Pièce 
occupe  dans  le  Manufcrit  G.  Il  eft  vrai  qu'on  trouve  exceptionnellement 
la  date  1 692  fur  la  f.  44;  c'eft  la  date,  d'après  Huygens,  de  la  Pièce 
„  Expérimenta  circa  FJeÙrum"  que  nous  avons  publiée  aux  p.  612  et 
fuiv.  du  T.  XIX.  Dans  le  T.  XIX  nous  avons  admis  cette  date  1692, 
tout  en  remarquant  (/>.  607)  que  c'eft  dans  une  lettre  à  Leibniz  de 
novembre  1 690  que  Huygens  parle  de  fes  expériences  fur  ,,les  effets 
de  r  ambre".  Il  nous  femhle  maintenant  extrêmement  probable  que 
Huygens  fe  fait  trompé  en  écrivant,,  1 69:".  C'eft fansdoute  en  décembre 


ADBITIONÇ  F,T  CORRECTIONS. 


6ly 


Page 


20 1  ligne  I 

202  dernière  ligne 

Î04  dernières  lignes 


204  note  32 

206  ligne  8  e/  note  4" 


209  lignes  6 — 10 


pendre 

. .  il  commença  à  fe  (ervir  du 

calcul  des  logarithmes . . 

. .  qu'avant  1661  on  ne  trouve 

pas  de  calculs  logarithmiques 

danslesmanufcritsdeHuygens. 


.-/«  lieu  de  lifez 

I  ^t)"},  qiCil  a  infcrit  cette  date  1 692  lorfqii'il  ajouta  à  la  relation  de 
fes  expériences  de  1 690  la  nouvelle  obfervation  de  ce  mois  de  décembre 
I  ()<)  3  que  nous  avons  publiée  dans  le  T.  XIX  à  la  fin  du  §  17  de  la  p.  61^. 
En  I  f>go  parut  Çavec  le  Traité  de  la  Lumière')  le  Discours  de  la 
Caufe  de  la  Pe fauteur,  dans  lequel  Huygens  traite  e.  a.  de  la  forme 
de  ta  terre  (voyez  le  T.  XXf).  Qu'elle  fait  fphérique  ou  non,  il  faut 
bien  déterminer,  tant  fur  les  globes  que  fur  les  cartes,  la  place  de 
chaque  ville  ou  de  chaque  vaiffeau  par  la  „longitudo"  et  la  ,,latitudo". 
Efl-ce  à  cette  confidération  que  font  dus  les  mots  biffés  fpha;ricîeconoe . .  s 
(p.  190)?.? 

prendre 

. .  il  commença  à  fe  fervir  couram- 
ment du  calcul  des  logarithmes . . . 
..  qu'avant  1661  on  ne  trouve  pas 
de  calculs  logarithmiques  dans  les 
manufcritsde  Huygens  (ce  qui  tou- 
tefois n'eft  pas  abfolument  exaêt). 
En  effet,  avant  1 66 1 ,  plus  pré- 
ci  fément  en  1657^/1659,  Huygens 
pétait  fervi  en  quelques  rares  occa- 
jions  de  logarithmes  en  confidéraut, 
en  fa  qualité  d'aflronome,  différents 
triangles  fphériques.  Confultez  dans 
notre  T.  XF  les  p.  528  et  53 1  tirées 
du  M anufcrit  K,  367 — 373  prove- 
nant du  M  anufcrit  A.  —  La  date 
1 657  d'après  la  note  6  de  la  p.  11 
du  T.  XFII. 

i<595 

Merfenne  a-t-il été infpiré par  Roberval,  comme  le  fuppofe  Tannery? 
Foyez  fur  cette  queflion  les  lettres  de  Roberval  et  de  Huygens  de  1 656, 
N°s  324  et  329  du  T.  I,  et  aujji  ce  que  van  Schooten  dit  en  1650/i/r 
Merfenne  et  Roberval  (T.  I,p.  132). 

Nous  nous  fonimes  trompés  en  écrivant  ,,que  le  nom  de  Fermât  ne  fe 
trouve  pas  che,:.  Hérignné"  dans  la  „  Propos.  XXFI.  De  ma  xi  mis  & 
minimis".  En  effet,  il  écrit  à  la  p.  68  du  7.  FI  ou  Supplementum 
(de  1644,  mais  „acheué  d'imprimer"  en  juillet  idiji'yde  fon  ,,Curfus 
mathematicus"  ou  „Cours  mathématique":  ,,nec  unquaw  fallit  haec 
methodus,  ut  ajferit  ejus  inuentor,  qui  eji  doâtiffimus  Fermât  cunftUarius 
in  par  lamenta  Tolofano  excellens  geometra,  nec  vlli  fecundus  in  arte 


1659 


620  ADDITIONS  ET  CORRF.CTIONS. 


Page                                                          Au  lieu  de  lifez 

Ânahtica,  etc."  Comparez  la  note  i  de  la  p.  iri  du  T.  I  de  1891  des 
Œuvres  de  Fermât. 

2 1 8  ligne  7  d'en  bas                Pièces  X  et  XI  Pièces  IX  et  X 

220  ligne  7                              d'avoir  avoir 
^20  note  136                             p.  188  p.  192 

221  note  138  ligne  2                 (T.  I,  p.  334)  (T.  II,  p.  334) 
22?,  ligne  ^                              naximales  maximales 

243  ligne  6                             premier  alinéa  de  la  p.  —       premier  alinéa  de  la  p,  244  — 

257  ligne  14                            Pièces  III  et  VI  Pièces  III  et  IV 

289 première  note  (:t— a.-q)''        Çv— ■Vq)'  ^     j..      j    .   jx—x^y       (y—yoT  ^ 

^  a'        ^        P  ^     '^  a^       ^       b'' 

306  ligne  23  teperta  reperta 

371  ligne  8  ?ious  n'avons  pas  vuuhi  dire  dans  le  texte  qu' avant  Aristote  Arc/ntas 

avait  déjà  dit  (et après  le  commentaire  de  Simplicius  fur  les  Catégories 

d' Ariftote):  io'iv  0  ;^,owci;  xivàci'yç-  nvo-  àoi^^'jç-. 
371  note  12  S.  Stevin  a  évidemment  fait  connaiffance  avec  J.  .7.  Scaliger  après 

que  celui-ci  pétait  établi  à  Leiden  en    1593  comme  profefcur  à 

Puniverfîté. 

371  note  12  ligne  8  7  punftum  .  punftum 

Le  petit  trait  horizontal  au-deffus  du  point .  ne  fe  trouvait  pas  dans 
les  épreuves.  Nous  n'avons  donc  pas  pu  le  corriger.  Il  n'a  aucun  fens 
etejidù  uniquement  à  ce  qu'on  appelle  en  néerlandais  le  ,,drukfouten- 
duivel"  (diable  des  fautes  d'impreffion).  Que  perfonne  ne  P  imagine 
donc  que  d'après  Scaliger  les  Arabes  fe  fervaient  d'un  fîgne  -  ! 

372  note  13  lignes  p.  191  P-  192 

2,72  ligne  ^  d'en  bas  „Arithmetica   iiniverialis"  de     «Mathefisuniverfalisfive  Arithme- 

1655  ticum  opus  integrum"  de  1657 

l'oyez  le  Cap.  l  (,,l)e  Mathefi  in  gcnere")  de  la  ,,Mathefts  univer- 
falis'\ 

ml'g"e7  P-234  P-204 

375  l'ë"^  ^  ^^"  ^"^  ^^  ^'■'^l''^  ^'^  •^'  (jregory  à  .7.  Collins,  où  il  donne  la  férié  de  Parc 

tangente,  eft  de  février  1 670  vieux  flyle,  1 6~  l  nouveau  ftyle. 

376  ligne  14  „La  verfiera".  On  peut  confulter  fur  cette  courbe  les  deux  notes,  fe 

trouvant  reCpeStivement  aux  p.  151  — 152  f/ 251 — 2^2  du  T.  IV  de 
IÇ12  des  Œuvres  de  Fermât.  La  première,  de  H.  Brocard,  eft  intitulée 
„La  quadrature  de  la  verfiera",  l'autre,  plus  explicite,  de  A.  Auhry 
„Sur  l'origine  de  la  verfiera".  Après  avoir  relrcé  les  mérites  de 
Lalouvère  C,Qiiadrafura  circuit'",  1651)  Aubry  dit  e.  a.:  „0n  ter- 
minera l'hijîoire  de  la  verfiera  en  rappelant .  .  que  .lames  Gregory 
ÇGeometriie  pars  univerfalis,  Padoue,  1 668)  /'«  donnée . .  en  montrant 


ADDITIONS  ET  CORRECTIONS. 


621 


l'"lif 


.■^88  lignes  3 — 2  d'en  hns 


.393  l'gt"  -  des  notes 
408  ligne  6 

4 1 1  lii^iie  6 

414  mie  5  ligne  4 
416  ligne  4 
443  //^«ff  8  d'en  bas 
449  ;/(j/s  1 2 


463  ligne  4 

472  ligne  5  (/"en  /w.t 

476  ligne  I 

485  //^a;(?  5  (/'('/;  /><7i 
492  //if«f  1 8 
494  //g-;;?  3  (Ten  bas 
496  //g'Wf  2 


496  ligne  4 


/i^«  //>//  de  lifez 

que  la  quadrature  de  la  ver  fiera  fe  ramène  ...à  celle  du  cercle  . . ." 
Le  leeieur  Imllandais  peut  auffi  confulter  „De  ver  fier  a""  par 
E.  ,7.  Dijkster/iuis,  article  publié  dans  larevue„FMclides",  1932(1933, 
Noord/iof,  Groningen. 

Dans  [es  lettres  du  15  juillet  et  du  26  otiobre  [674  à  Uldenburg 
Leibniz  n" avait  pas  fait  connaître  la  forme  exalte  de  fa  férié.  Il 
fe  contentait  d'écrire:  „Alia  milii  t/ieoremata  funt,  momenti  non 
paulo  majoris.  Ex  quihus  illud  imprimis  memorabile  eft,  cujus  ope 
area  circuli,  vel  fefloris  ejus  dati,  exaâè  exprimi  poteft  per  feriem 
quandam  mimer orum  rationaliuni  continué  produâam  in  infinitum"  . . 
„feriem  numerorum  rationaliuni  valde  fimplicem  &  regularem". 
-,  '— '   l/i/r  ^'^"  '^""^  "**'  formule  525  au 

"ii^d^*^  lieudezis- 

En  1 692  et  1 693  Huygens  mentionne  „la  met/iode  des  Tangentes  de 
M.  de  Robenar  (T.  X,  p.  352  et  440). 
A  la  Haye  (feptembre  1 670  —     Lifez  juin  au  lieu  de  juillet. 
juillet  1671). 

LVIKIL  LVIKIL 

inutilus  inutiles 

a^quatio  .v'  y^  aay  [Fig.  87]  squatio  x'^  ce  ayy  [Fig.  87] 
Pendulum  cylindricum  triciiordon.  Dans  la  note  3  de  la  p.  532  du 
T.  XriII  nous  avons  écrit  par  inadvertance:  „Cteteris  pari  bus,  le 
moment  des  forces  eft  proportionnel  à  tg  a,  c.à.d.  à  fort  peu  près  à  la 
longueur  des  fis".  Le  lecteur  eft  prié  de  corriger  cette  phrafe  comme 
juit:  „Cieteris  paribus,  le  moment  des  forces  eft  proportionnel  à  tg  a, 
c.à.d.  pour  un  même  angle  de  rotation  autour  de  Faxe  le  moment  eft 
à  fort  peu  près  \nveTÇemein  proportionnel  à  la  longueur  des  fils". 


AH  =  c,  HA  =  m 

•'4  s 

RAYON  MINIMAL 


AH  =  f,  UN  =  m 


recherche 

égaux  perpendiculaires 

aa  X)  bb 


RAYON  DE  COURBURE 

MINIMAL 

recherches 

égaux  aux  perpendiculaires 

aa  +  bb 

„lemnircate".  Ce  fut  .Jacques  Bernoulli  qui  inventa  en  1694  le  nom 
de  lemnifcata:  confultez  fa  „Conftrultio  ciirvie  accefus  et  receftus 
aquabilis,  ope  reâifîcationis  curva  cujufdam  algebraice,  addenda 
nuper.e  folutioni  menfis  Junii"  (Acta  Eruditorum,  Sept.  1694). 

e£  j      "^  i_  "**      "^ 

X  d"^  dx       le 


,   .    flf       00e 


622  ADDITIONS  ET  CORRECTIONS. 


Page  .  lu  lieu  de  lijez 

5 1 7  ligne  2  J'en  bas  y  y 

54°  nof<'  37  +  ^^  +  ^ 

552  note  1  U article  mathématique  de  Huygens  Çvoir  le  T.  XXI)  ,,Excerpta  ex 

epiflola  C.II.Z.  ad  (',.  CL."  (  1 694)  ne  Je  rapporte  pas  exclufi  vemen  t 

à  la  courbure  des  voiles. 


?^ 


I 


SOMMAIRE 


Hommage  de  Hiygens  A  Théockite i 

Musique  et  .mathématique 3 

Musique 15 

huygens  et  euclide 1/5 

Mathematica  varia:  LES  MANUSCRITS 193 

HuYGENS  À  l'Académie  Royale  des  Sciences.  Commi  nications  sur  des  sujets  de 

mathématique 197 

Les  trois  grands  problèmes  de  l'antiquité 367 

Mathematica  varia  1666 — 1681 405 

Mathematica  VARIA  1681 — 1695 445 

Problèmes  et  méthodes  modernes 4-- 

Règles  de  l'accompagnement 555 

Tables. 

I.     Pièces  et  Mémoires 565 

II.    Personnes  et  Institutions  mentionnées 570 

III.  Ouvrages  cités 581 

IV.  Pages  des  Manuscrits  F,  G,  H  et  I  se  rapportant  à  des  sujets  de  mathé- 
matique PURE  QUI  ont  été  citées  OU  PUBLIÉES,  EN  TOUT  OU  EN  PARTIE,  DANS 

LES  Tomes  IX  et  X  contenant  la  Correspondance  annotée  et  pourvue 

d'appendices  DES  ANNÉES  1685 — 1695 597 

V.    Matières  TRAITÉES 612 

Additions  et  Corrections 61- 


\ 


BJNOINU  Lldl     MAI  X     m9 


Q 
113 

H89 
1888 
t. 20 


petA  s-r. 


Huygens,  Christiaan 
Oeuvres  complètes 


PLEASE  DO  NOT  REMOVE 
CARDS  OR  SLIPS  FROM  THIS  POCKET 

UNIVERSITY  OF  TORONTO  LIBRARY