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ŒUVRES
COMPLÈTES
D'AUGUSTIN CAICHÏ
PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET HLS?
Quai des Atigustins, 55.
ŒUVRES
COMPLETES
AUGUSTIN CAUCin
l'UUI.IKKS SOLS LA DIUKCTION SCIENTIFIQUH
DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES
ET SOIS LES AUSPICES
DE M. LE MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.
II" SÉRIE. TOME VIII.
fi %
lUNITEBSin
PARIS,
GAUTH1ER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
D l BUREAU DES LONGITUDES, DE L* ECO LE POLYTECHNIQUE,
Quai des Augustins, 55.
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SECONDE SÉRIE.
1. MEMOIRES PUBLIÉS DANS DIVERS RECUEILS
AUTRES QDE CEUX HE L.' ACADÉMIE.
IL OUVRAGES CLASSIQUES.
M. MÉMOIRES PUBLIÉS E.\ CORPS D'OUVRAGE.
IV. MÉMOIRES PUBLIÉS SÉPARÉMENT.
OFuvresdeC— S. Il, t. Mil.
111.
MÉMOIRES
PUBLIÉS EN CORPS D'OUVRAGE.
EXERCICES
MATHÉMATIQUES
(ANCIENS EXERCICES).
ANNÉE 1828.
DEUXIEME EDITION
RÉIMPRIMÉE
D'APRÈS LA PREMIÈRE ÉDITION
EXERCICES
DE
MATHÉMATIQUES,
PAR M. AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY,
INGÉNIEUR EN CHEF DES PONTS ET CHAUSSÉES, PROFESSEUR A L'ÉCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE,
PROFESSEUR ADJOINT A LA FACULTÉ DES SCIENCES, MEMBRE DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,
CHEVALIER DE LA LÉGION D'HONNEUR.
TROISIÈME ANNEE.
A PARIS,
CHEZ DE ltl HE FRÈRES, LIBRAIRES DU ROI ET DE LA BIBLIOTHEQUE Dl ROI
828.
EXERCICES
DE
MATHÉMATIQUES.
SUR
LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX ET LES AXES PRINCIPAUX
DES
SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
Parmi les méthodes employées par les géomètres pour discuter les
surfaces représentées par des équations du second degré, l'une des
plus simples est celle qui consiste à couper ces surfaces par des droites
parallèles. En suivant cette méthode, on peut facilement déterminer la
nature des surfaces dont il s'agit, leurs centres, s'il en existe, leurs
axes principaux, etc.; et l'on reconnaît, en particulier, que, pour fixer
la direction de ces axes, il suffit de résoudre une équation du troi-
sième degré. Cette équation, qui se représente dans diverses questions
de Géométrie ou de Mécanique, et, en particulier, dans la théorie des
moments d'inertie, a cela de remarquahle que ses trois racines sont
toujours réelles. Mais jusqu'à présent on n'avait prouvé cette réalité
qu'à l'aide de moyens indirects, par exemple, en ayant recours à la
transformation des coordonnées, ou en faisant voir que l'on parvien-
drait à des conclusions ahsurdes, si l'on supposait deux racines ima-
ginaires. Je me propose, dans cet article : i° de montrer combien il est
CEuvres de C. — S. II, I. Mil. 2
10 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
facile de fixer, par la méthode ci-dessus mentionnée, la position du
centre, des plans principaux et des axes principaux d'une surface du
second degré, lorsque, pour simplifier les calculs et les rendre plus
symétriques, on écrit les équations de chaque droite sous la forme in-
diquée dans les Leçons sur les Applications du Calcul infinitésimal à la
Géométrie; i° d'établir directement la réalité des trois racines de l'équa-
tion qui sert à la détermination des axes principaux.
Soient oc, y, z les coordonnées d'un point, rapportées à trois axes
rectangulaires. L'équation générale du second degré en oc, y,z sera de
la forme
(i) Ax2+Bv2+C^2+2Dj^-f-2E^ + 2F^/ + 2Gx4-2H/-4-2l^ = K;
et les équations d'une droite menée par le point (Ç, yj, l), de manière
qu'elle fasse, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles
a, p, y, seront comprises dans la formule
(2) ï=ï=y-* = iz^m
cosa cosS cosy
De plus, si l'on fait, pour abréger,
(3) r = ^(*-£)«+(7- rj)*H-(-- C)",
c'est-à-dire si l'on désigne par r la distance des deux points (E, ïj, *Ç),
(oc, y, z), on tirera de la formule (2)
cosa cos|3 cosy
le double signe devant être réduit au signe + ou au signe —, suivant
que les angles a, (3, y se rapporteront à la longueur r comptée à partir
du point (E, Y], £), ou à partir du point {oc, y, z). On aura donc, dans
le premier cas,
(5) a? = £-hrcosa, y = ïj -+- rcos{3, s = Ç-f- rcosy,
et, dans le second,
(6) X~X — rcosa, v = t, — rcos^, * = Ç — rcosy.
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. il
Concevons à présent que la droite, étant prolongée à partir du point
(;, y], Z), de manière à former avec les demi-axes des coordonnées
positives les angles a, (3, y, rencontre précisément la surface (i) au
point (r, y, z). Les valeurs de.x, y, z, données par les équations (5),
vérifieront la formule (i). Donc, si l'on pose
/ s = Acos2oc + Bcos2^ + Ccos'y -i- al) cospeosy + aEcosy cosa + 2Fcosacos,5,
(7) ' t =. (A; + Fu + E£ + G)eos«-4- (F; + Btj + I>£ + H) cos[3 -h (E£-t- Dt] ■+■ CÇ -h I) cosy,
( « = A;2+ B*]*+ C£2 + 2Dr£ -+- aEÇ£ + aF£n + 2G; + aHtj -H alÇ,
la distance r sera déterminée en fonction des angles a, (3, y et des coor-
données Ç, Y), £ par l'équation du second degré
(8) s/'2+ 2tr-\- a = K.
Or, cette équation devant fournir, par hypothèse, une valeur réelle et
positive de r, on peut affirmer qu'elle admettra deux racines réelles, à
moins que les angles a, (3, y ne vérifient la condition s = o ou
( Acos2a -i- B cos2|3 + Ccos2y
/ +2D cos|3 cosy + 2E cosy cosa -+- 2 F cosa cos[3 = o.
Si cette condition n'est pas remplie, une seconde valeur réelle de /\
positive ou négative, satisfera encore à l'équation (8). En d'autres
termes, une seconde valeur positive de /-vérifiera l'équation (8) ou la
suivante
(10) s/- — 2lr-{-u — ]\.
Par conséquent, la droite que nous avons déjà considérée, et qui se
trouve représentée par les équations (5) ou par les équations (G), sui-
vant qu'on la suppose prolongée dans un certain sens ou en sens con-
traire, rencontrera de nouveau la surface (1). Si maintenant on fait
coïncider le point (Ç, yj, Z) avec le milieu de la distance comprise entre
les points d'intersection de la droite et de la surface, r sera la moitié
de cette distance; et, comme les formules (8), (10) devront subsister
12 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
simultanément, on en conclura
(il) sr2 -+- u — K
et
(12) ' . t = o.
Il est bon d'observer que l'équation (12) peut s'écrire sous l'une ou
l'autre des deux formes suivantes :
( (A; + FY]-t-EÇ + G)cosa
i + (F£ + Tin + DÇ + II) cos<3 4- (E| -h Dn + CÇ + I) cosy = o,
f \ (Acosa + Fcos^ + Ecosy)? -+- (F cosa 4- R cos|3 4- D cosy)*]
I + (Ecosa + I) cos^-f-Ccosy)Ç-V G cosa-j-Hcos|3 4-Icosy = 0.
Cette équation étant du premier degré par rapport aux coordonnées l,
7], '(, il en résulte que le point (H, y], l) décrira une surface plane, si la
sécante de la surface (1) devient mobile, mais de telle sorte que les
angles a, (3, y demeurent constants. Ainsi, des cordes parallèles de la
surface (1) ont toujours leurs milieux situés dans un seul plan que l'on
peut appeler diamétral, et qui se trouve représenté par l'équation (i3)
ou (i4)- Soient X, a, v les angles que forme la perpendiculaire à ce
plan, prolongé dans un sens ou dans un autre, avec les demi-axes des
coordonnées positives. Les cosinus de ces angles étant nécessairement
proportionnels aux coefficients de l, *j, l dans l'équation (1/4), on
aura
/ A cosa 4- F cos [3 4- E cosy
(.5)
COSÀ
F cosa -+- R cos(3 4- I) cosy
COS/JL
E cos a -h D cos (3 4- C cos y
cosv
De plus, les trois fractions que renferme la formule (ij), étant égales
entre elles, seront égales au rapport
(.\cosaH-Fcos(3H-Ecosy)cos« + (Fcosa4-Rcos(3 + Dcosy)cos|3 + (Ecosa + Dcos(3H-Ccosy)c(>S7
cosA cosa -+- cos/j. cos(3 4- cosv cosy '
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 13
et, par conséquent, à
i
i'dSQ
si l'on pose
(i6) cosô = cosÀcosa + cos/ji.cos[3 + cosv cosy,
c'est-à-dire si l'on désigne par o l'un des deux angles que forme une
des cordes parallèles avec la perpendiculaire au plan diamétral qui
passe par leurs milieux. On aura donc encore
(•7)
A cosa -+- Fcos.(3
+
E
cosy
COSÀ
F cosa + Bcos(3
■+■
1»
cosy
COSjJL
Ecosa -+- 1) cos(3
+
C
cosy
cosv coso
et, par suite, l'équation du plan diamétral ou l'équation (i/j ) pourra
être réduite à
(18) s(£cosX + n cos/ji -+- Çcosv) -+- (G cosa -h Hcos(3 -t- 1 cosy) cosâ = o.
Lorsque les cordes de la surface (i) deviennent parallèles à l'un des
axes coordonnés, l'une des trois quantités cosa, cosfi, cosy se réduit
à ± i, les deux autres s'évanouissent, et l'équation (i3) du plan dia-
métral prend une des trois formes
(19) AÇ-hFti + EÇ-t-G^o,
(20) F£+By} + DÇ + II = o,
(21) E£ + Dyi + CÇ+ I = o.
Ces trois dernières équations représentent donc les trois plans diamé-
traux qui passent par les milieux des cordes parallèles aux axes des
x,y et z. Lorsque ces trois plans se coupent en un même point, ou sui-
vant une même droite, les coordonnées de ce point ou de cette droite
vérifient évidemment la formule (i3), quelles que soient d'ailleurs les
valeurs attribuées aux angles a, (3, y. Donc tous les plans diamétraux
ik SLR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
passent alors par ce point ou cette droite, qui est le centre ou le lieu
des centres de la surface (i).
Pour qu'un plan diamétral coupe à angles droits les cordes parallèles
dont il renferme les milieux, ou, en d'autres termes, pour qu'un plan
diamétral divise la surface (i) en deux parties symétriques, et devienne
ce qu'on nomme un plan principal de cette surface, il est nécessaire et
il suffit que les cosinus des angles À, u, v soient proportionnels aux
cosinus des angles a, (3, y, c'est-à-dire que l'on ait
cos). COSU. COSV
(22)
cos a cos 3 cos
'/
D'ailleurs, si l'on combine la formule (i5) avec la première des équa-
tions (7) et avec la suivante
( 28 ) . cos2 a 4- cos2 3 4- cos2 y = 1,
on en conclura
IA cos a 4- F cos|3 -+- E cosy
cosa
F cosa 4- R cos3 -+- 1) cosy
< = sïjt ~
_ E cos a 4- D cos 3 4- C cos y _
cosy
ou, ce qui revient au même,
/ (A — s) cosa 4- F cos [3 4- E cosy = o,
(a5) | F cosa h- (R — s) cosS 4- D cosy = 0,
( E cosa 4- I) cos 3 4- (C — s) cosy = o.
De plus, si l'on élimine cosa, cosj3, cosy entre les formules (25), on
obtiendra une équation en s du troisième degré, savoir
(26) (A-.9)(R-^)(C-5)-R2(A-5)-E-(R-5)-F2(C-5)4-2l)FF = o.
Enfin, si l'on pose, dans les formules (25),
(27) cosa =/> cosy, cosS = <jr cosy,
cosa
cosp
9
cosy _ i
P
i \i^-p2+q°-
cosa
cos|3
q
cosy i
P
1 v/i+/?2 + ^r2
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 15
elles deviendront
/ (A — *)/>-hF?-t-E = o,
(28) ■ F/>+(B — 5)7 + I) = o,
! E/? + Dr/ + C — s =0;
cf. il est clair qu'à chaque racine réelle de l'équation (26) correspon-
dront : i° des valeurs réelles finies ou infinies des variables/», q, déter-
minées par les formules (28); 20 des valeurs réelles de cosa, cosp,
cosy, déterminées par les équations (23) et (27), ou, ce qui revient
au même, par l'une des deux formules
(39)
(3o)
Par suite, si l'on nomme directions principales celles que prennent des
droites menées par l'origine, ou par un point quelconque de l'espace,
de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives des
angles a, [J, y ('), déterminés par le système des équations (26), (28),
(29), chaque racine réelle de l'équation (26) fournira généralement
une direction principale. Donc il sera démontré qu'une droite menée
par l'origine, ou par un point quelconque de l'espace, peut toujours
prendre, relativement à la surface (1), trois directions principales, s'il
est prouvé que l'équation (26) a ses trois racines réelles. Or la réalité
de ces trois racines est évidente, dans le cas particulier où les quan-
tités E, F s'évanouissent. Alors, en effet, l'équation (26) se partage en
deux autres, savoir
(3i) A-i-o
et
(3a) (B-*)(C-#)— D*=o,
(r) Nous supposons ici, conformément aux conventions généralement adoptées, que
chacun des angles a, |3, f est positif et inférieur à 180°.
10 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
que l'on vérifie en prenant
(33) *== A
et
(34)
B + C
s- = ■
2
Donc, si l'on fait
\/(-^)VD'
l'équation (26), dans le cas particulier dont il est question, aura pour
racines les trois quantités réelles A, s', s". D'autre part, si l'on nomme
les valeurs réelles qu'acquiert la fonction
(36) S = (A-.ç)(B-.y)(C-s)-D2(A-.ç) — E2(B — .v)-F2(C-s) + 2l)EF,
quand on attribue successivement à la variable s les quatre valeurs
( 37 ) S = — 00, s = ,ç', .v =r s" , S = 00,
rangées, comme on le voit ici, par ordre de grandeur, on aura
S_w= °0,
S' ~ -E2(R — s') — F2(C — ^') + 2DEF
= 2DEF - |(B - C) (E2- F2) - (E2 4- F«)y/(^^)+ I)2,
S" =— E*(B — 5") — F2(C — 5")-^-2DEF
= 2DEF - i(B - C) (E2- F2) ■+• (E2+ F2) |A?L=i?Y+ 1}ï>
SK = — 00;
puis, en faisant, pour abréger,
(38) 2DEF-|(B-C)(E2-F2)=:P, (B - C)EF + D(E2- F2) = Q,
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 17
et ayant égard à la formule
(3g) (E*+ F»)' j^Lz£y+D»]=P«+Q' .(»),
on trouvera définitivement
/ S_„=oc>o,
O) s = P - y/PM7^ < o, S"=P + v/P2+Q2>o,
Sœ = — oo < o.
Donc si, dans le premier membre de l'équation (26), on attribue suc-
cessivement à la variable s les quatre valeurs — ce, s', .?"> s' et -+- ce,
on obtiendra quatre résultats alternativement positifs et négatifs. 11 est
permis d'en conclure que l'équation (26) aura toujours trois racines
réelles, la première inférieure à la limite/, la deuxième comprise entre
s' et s'\ la troisième supérieure à la limite s". Dans le cas particulier
que nous avons d'abord considéré, les quantités P, Q et, par suite, S',
S" s'évanouissent en même temps que les quantités E, F; ainsi qu'on
devait s'y attendre, puisque s\ s" sont alors deux racines de l'équa-
tion (26). Ajoutons que la conclusion générale à laquelle nous sommes
parvenus subsisterait encore, si l'on désignait par s\ s", non plus les
racines de l'équation (28), mais les valeurs réelles de s qui vérifient
l'une des deux équations
(40 (C_*)(A-*)_E»=o
ou
(4a) (A-.v)(B-.v)-F2 = o;
(!) Pour obtenir l'équation (39), il suffit do combiner entre elles, par voie de multipli-
cation, les deux formules imaginaires
(F + Ev^)2(B-^-Dv/^7)
= 2DEF- *(B-C)(E2-FS)H-[(B-C)EF-+-D(E*-F*)lv/:ri =P-hQi'- -..
(r-B/=ïy(^+p/=r)=p-Q/=n.
OF.nvres de C. — S. II. I. Mil.
18 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUN
c'est-à-dire, en d'autres termes, si l'on prenait
(43) ^-^r--.\/(-7-J+Es ^=__.+^^__j+l?,
ou bien
BV F».
Cela posé, admettons que l'on ait calculé les trois valeurs de s' et les
trois valeurs de /'fournies par les équations (35), (43) et (44)- On
sera en droit d'affirmer que des trois racines réelles de l'équation (26)
la première est inférieure à la plus petite des valeurs de s', la deuxième
supérieure à la plus grande des valeurs de s', mais inférieure à la plus
petite des valeurs de s", et la troisième supérieure à la plus grande des
valeurs de s".
Concevons maintenant que l'on désigne par
(45) su s2, s3
les trois racines réelles de l'équation (26), et par
(46) «t, Pj, y,; x,, (Jj, y,; a,, (3„ y,
les valeurs correspondantes des angles a, (3, y tirées des formules (28)
et (29). Chacune des équations (25) sera vérifiée lorsqu'on attribuera
aux variables s, a, ($, y un quelconque des trois systèmes de valeurs
dont il s'agit. Par conséquent la première de ces équations donnera
(A — st) cosoq-t- F cos|3, ~ E cosy, = o
et
(A — st) cosa2-h F cos£,-h E cosy2 = °;
(47)
puis qn en conclura, en éliminant la quantité A,
\ (**'— s\) cosa, cosa2-h F(cos{31 cosa.2— cosaj cos^2)
' -t- E(cosyj cosa2 — cosa, cosy, ) == o.
En raisonnant de même, on tirera de la deuxième des équations (25)
i (**— st) cosj3j cos(32-h D(cosy! cos(32— cos^ cosy,)
(48)
' -f- F(cosa, C0S(32— cos(3, cosa2) = 0,
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 19
et de la troisième
( (*«■— *i)COSyi cosy2+- E(cosa! cosy2 — cosy, cosa2)
j -+-D(cos£, cosy,— cosy, cos,32) =o.
Enfin, si l'on ajoute, membre à membre, les formules (47), (48), (4q)»
on trouvera
(*,— .s,) (cosa, cosa2-i- cosô, cos3,-h cosy! cosy2) =0
et, par suite,
(5o) cosa, cosa2-f- cosS, cos3,4- cosy, cosy2= o,
pourvu que les racines s{, s., ne deviennent point égales entre elles.
On trouvera de même, en supposant inégales les racines *,, tt1
(5i) cosa,cosa3-h cos3, cos33-h cosy, cosy3=: o
et, en supposant inégales les racines s.,, st1
(52) . cosa2cosa3H- cos{32 cosSs-^ cosy, cosy3= o.
D'ailleurs, les premiers membres des formules (5o), (5i), (5a) expri-
meront évidemment les cosinus des angles compris entre les trois
directions principales. Donc, puisque ces cosinus se réduiront à zéro,
les directions principales seront celles de trois droites perpendicu-
laires l'une à l'autre. Ajoutons que chacune de ces droites, si elle
passe par l'origine, sera représentée par les équations comprises dans
la formule
œ y z
(53)
cosa cos[3 cosy
les valeurs de a, [J, y étant tirées des formules (25) et (26); ou, ce qui
revient au même, par les trois équations
, (À — $)x -+- Vy -+- Es = o,
(54) ■ Fx4-(IÎ-5)r+I)3=o,
( Ea- + Dy^(C~s)z =0,
20 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
la valeur de s étant l'une de celles que nous avons désignées par sit
s.,, s3.
Dans ce qui précède, nous avons admis que les trois racines ttt #a,
v., étaient inégales. Si deux de ces racines, par exemple les deux plus
petites, devenaient égales entre elles, elles coïncideraient nécessaire-
ment avec les valeurs de s' tirées des formules (35), (43) et (44)- Au
contraire, si les deux racines égales surpassaient la troisième, elles
coïncideraient avec les valeurs de s" tirées des mêmes formules. Donc
chacune des racines égales sera toujours une valeur de s propre à
vérifier simultanément les équations (26), (32), (40> (4^), et par
conséquent la formule
(55) (A - s) (B - .9) (C — *) = D2(A - s) = E2(B - .s) = F2(C - s) = DEF.
On aura donc, pour cette valeur de s,
(56) A-*=^p B-#=?-g-, C-*=-jr;
d'où l'on peut conclure que les trois équations (28) seront réduites à
la seule équation
(07) EF/? + FD? + DE = o,
et les trois équations (54) à la seule équation
(58) EF^ + FDj + DE; = o.
Il sera donc permis d'attribuer aux variables/?, q l'un quelconque des
systèmes de valeurs propres à vérifier la formule (57). Par suite, les
valeurs de cosa, cos(3, cosy, données par la formule (29), ne seront
pas complètement déterminées; et les deux directions principales,
correspondantes aux deux racines égales de l'équation (26), seront
celles de deux droites menées arbitrairement par l'origine dans le plan
que représente l'équation (58). Or il est évident qu'on pourra choisir
encore ces directions de manière qu'elles soient perpendiculaires entre
elles. Quant à la troisième racine de l'équation (26), elle continuera
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 21
de fournir une direction principale perpendiculaire aux deux autres,
et par conséquent au plan représenté par l'équation (58).
Si, dans le cas que nous venons d'examiner, on désigne par ç la
valeur commune des deux racines égales de l'équation (2G), on aura,
en vertu des formules (56),
.. . . EF ■ FD r DE
(59) ç^A-^^B-^^C--^-
Par conséquent, les coefficients A, B, C, D, E, F vérifieront les deux
équations de condition comprises dans la formule
,r , EF FD DE
(60) A__ = B-^-=C-T-
Réciproquement, lorsque ces deux équations sont vérifiées, on peut
affirmer que l'équation (26) a au moins deux racines égales entre
elles. En effet, si l'on désigne alors par ç la valeur commune des trois
membres de la formule (60), on trouvera
... , EF _ FD r DE
(61) A=ç4-— , B = ç + --gr, Cr=ç+-p-,
et la substitution des valeurs précédentes de A, B, C dans l'équa-
tion (26) réduira cette équation à la forme
/AN /Xt/ EF FI) I)E\
(62) (ç_j)«/ç_,-h___h_ + _J=o.
S'il y avait égalité entre les trois racines de l'équation (26), cha-
cune d'elles coïnciderait nécessairement avec les trois valeurs de / et
les trois valeurs de **, déterminées par les formules (35), (43) et (44)«
Donc alors les radicaux renfermés dans ces formules s'évanouiraient,
et les coefficients A, B, C, D, E, F vérifieraient les trois conditions
(63) (*=£\\v=0. (£=iY+r=., f±-B'.
ou, ce qui revient au même, les cinq équations de condition comprises
22 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
dans les deux formules
(64) A = B = C, D = E = F = o.
De plus, en désignant par ç la valeur unique de s à laquelle se rédui-
raient les trois racines égales de l'équation (26), on trouverait
(65) ç = A = B — C
Enfin, il est clair que, en vertu de cette valeur et des conditions (64),
les équations (28) et (54) deviendraient identiques. Donc les valeurs
de p, q, propres à vérifier les équations (28), deviendraient complè-
tement indéterminées; et les trois directions principales, correspon-
dantes aux trois racines égales de l'équation (26), seraient celles de
trois droites menées arbitrairement par l'origine, ou par un point quel-
conque de l'espace. On pourrait, d'ailleurs, choisir encore ces direc-
tions de manière qu'elles fussent perpendiculaires entre elles. Ajou-
tons que, dans le cas où les conditions (64) sont remplies, les trois
racines de l'équation (26) sont toujours égales, puisque cette équa-
tion se réduit alors à la forme
(66) (s — A)3=o.
Les deux cas que nous venons d'examiner, c'est-à-dire ceux qui se
rapportent à l'égalité de deux ou trois racines de l'équation (26), sont
évidemment les seuls qui fournissent, pour les quantités/? et q, des
valeurs indéterminées. En effet, pour que cette circonstance arrive, il .
est nécessaire que les trois équations (28), qui s'accordent toujours
entre elles en vertu de la formule (26), se réduisent à une seule et
même équation ou deviennent toutes identiques. Or les trois équa-
tions (28) ne peuvent pas se réduire à une seule, à moins que les six
quantités
(67) A -s, B-s, C — *, D, E, F
ne vérifient la condition
(68) A-s:F:E:: F:B - «:D::E:D:C — *,
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 23
et, par conséquent, les deux formules
A— * F E F B— i D
TC>
F "B — s~~D El) C-s
qui peuvent être remplacées par les équations (56), et qui entraînent
la formule (60) avec l'égalité de deux des racines st, s.,, st. De plus,
les trois équations (28) ne peuvent devenir identiques que dans le cas
où les quantités (67) s'évanouissent, et, par conséquent, dans le cas où
les conditions (64), étant vérifiées, entraînent l'égalité des trois racines
dont il s'agit.
Il résulte des considérations précédentes que, par l'origine ou par
un point quelconque de l'espace, on peut toujours mener trois droites
perpendiculaires entre elles, et dont les directions soient principales
relativement à la surface (1). On voit, en outre, que ces droites seront
complètement déterminées, ou l'une déterminée et les deux autres
indéterminées, mais comprises dans un plan donné, ou toutes les
trois indéterminées, suivant que l'équation (26) offrira trois racines
inégales, ou une racine simple et deux racines égales, ou enfin trois
racines égales.
Supposons maintenant que l'on coupe la surface (1) par une droite
dont la direction coïncide avec l'une des directions principales, et
soient 2;, yj, '( les coordonnées d'un point situé sur la même droite. Les
coordonnées variables x, y, z de cette droite vérifieront la formule. (2),
pourvu que l'on attribue aux angles a, (3, y les valeurs correspondantes
à la direction principale dont il s'agit. Soit d'ailleurs r la distance com-
prise entre les points (£, y], Ç) et (ce, y, z). Comme les coordonnées x,
y, z du point où la droite rencontrera la surface satisferont en même
temps à l'équation (1) et aux formules (5) ou (6), la valeur de r, cor-
respondante à ce point, sera fixée par l'une des équations (8), (10),
les valeurs de s, 1, u étant déterminées, à l'ordinaire, par les for-
mules (7), dont la seconde, combinée avec la formule (a4)> donnera
(69) t =*(£ cosa -+- n cos[3 -h Çcosy) -h G cosa h- II cos(3 + I cosy.
Donc, puisque les racines de l'équation (10) sont égales, abstraction
24 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
faite des signes, aux racines de l'équation (8), chacune de ces équa-
tions fournira toujours, dans l'hypothèse admise, une valeur réelle de
la variable r. On est en droit d'en conclure que les deux équations .
réunies offriront quatre racines réelles, savoir deux racines positives
et deux racines négatives, à moins que les valeurs attribuées aux
angles a, (3, y ne vérifient la condition
(70) s = o,
c'est-à-dire la formule (9). Donc, si l'on excepte le cas particulier où
cette condition serait satisfaite, la droite que l'on considère, prolongée
dans un seul sens, ou d'abord dans un sens et ensuite en sens contraire,
rencontrera la surface (1) en deux points déterminés de position sur
cette droite. On doit toutefois observer que ces deux points cesseraient
d'être distincts, si les deux racines positives appartenaient à une seule
des équations (8), (10), et devenaient égales entre elles. Or, c'est ce
qui arriverait effectivement, si la droite et la surface devenaient tan-
gentes l'une à l'autre.
Lorsque les angles a, (3, y, correspondants à une direction princi-
pale, ne vérifient pas la condition (9) ou (70), et que l'on fait coïn-
cider le point (Ç, Y], '() avec le milieu d'une corde ou sécante parallèle
à cette direction, les équations (8) et (10) sont nécessairement véri-
fiées par une même valeur positive de /-qui représente la moitié de la
corde dont il s'agit. Par suite, cette valeur de r satisfait encore à la for-
mule (1 1), et les coordonnées H, ïj, l du milieu de la corde vérifient
l'équation (12), qui, en vertu de la formule (69), peut être réduite à
(71) s(|cosa + ncos[3 + C cosy) + G cosa + ïlcos^ -+- Icosy = 0.
Si la sécante se changeait en une tangente à la surface (r), les deux
extrémités de la corde et son milieu coïncideraient avec le point de
contact; tandis que la distance r, réduite à zéro, représenterait la
valeur commune des racines devenues égales de l'équation (8) ou de
l'équation (10). Donc alors les coordonnées (?, ïj/C) du point de con-
tact vérifieraient, non seulement la formule (71), mais encore la for-
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 25
mule (i i) réduite à
(72) u = K.
Remarquons, d'ailleurs, que l'équation (72), qu'on peut écrire comme
il suit
(73) A|2+By)24-CC2+2DriÇ + 2E^+-2F^-h2G^ + 2Hr/4-2lÇrrzK,
exprime simplement que le point (5, yj, Ç) est situé sur la surface (1).
Quant à l'équation (71), elle est évidemment celle d'un plan perpen-
diculaire à la direction principale que l'on considère; et, d'après ce
qu'on vient de dire, ce plan devra renfermer les milieux ou les points
de contact des cordes et des tangentes parallèles à cette direction.
Donc ce plan divisera la surface en deux parties symétriques, et sera
toujours ce qu'on nomme un plan principal.
Lorsque les angles a, (3, y, correspondants à une direction princi-
pale, satisfont à la formule (9) ou (70), la valeur nulle de s est une
racine de l'équation (26), et par conséquent les coefficients A, B, C,
L), Ef F vérifient la condition
(74) ABC-AD2-BE2-CF2-h2DEF = o.
En même temps, la valeur de 1, donnée par la formule (69), se réduit à
(75) * = Gcosa + Hcosj3 + Icosy,
et les équations (8), (10) deviennent respectivement
(76) ztr -+- u = K,
(77) -2//'+«=:K.
Alors, si la valeur de / ne s'évanouit pas, une droite menée par un point
quelconque (£,»),£), parallèlement à la direction principale que l'on
considère, coupera la surface (1) à une distance r du point (£, y], '£),
représentée par la racine positive de l'équation (76) ou de l'équa-
tion (77). Mais il n'y aura qu'un seul point commun à la droite et à
la surface; et, comme on ne pourra plus choisir Ç, y], £ de manière à
vérifier l'équation (71), dont le premier membre sera précisément égal
OEuvres de C — S. il, t. VIII. 4
26 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
à /, on verra disparaître le plan principal que représentait cette même
équation. Au contraire, si t s'évanouit, c'est-à-dire si les valeurs de a,
p, y vérifient la condition
(78) Gcosac 4- Hcos£ 4- I cosy = o,
les équations (76) et (77) se réduiront à la formule (72) ou (73);
et, comme cette formule se trouvera satisfaite, quel que soit r, ou ne
pourra l'être, suivant que le point (£, yj, Ç) sera ou ne sera pas compris
dans la surface (1), il est clair que chaque droite, menée parallèlement
à la direction principale, sera située tout entière sur cette surface,
ou n'aura aucun point commun avec elle. Donc alors l'équation (1)
représentera une surface cylindrique, dont les génératrices, prolon-
gées dans un certain sens, formeront avec les demi-axes des coor-
données positives les angles a, (3, y. Or, dans ce cas, tout plan per-
pendiculaire à la direction principale divisera évidemment la surface
cylindrique en deux parties symétriques, et pourra, en conséquence,
être considéré comme un plan principal. Il est d'ailleurs aisé de voir
que les coordonnées d'un semblable plan satisferont à la formule (71),
attendu que cette formule deviendra identique, et sera vérifiée indé-
pendamment des valeurs attribuées aux variables H, y], '(.
Faisons maintenant, pour abréger,
(79) w = Gcosa 4- Hcos(3 4-Icosy;
s et 2w désigneront ce que deviennent les deux polynômes du premier
et du second degré, dont la somme forme le premier membre de l'équa-
tion (1), savoir,
(80) A^24-Rj24-C224-2D/5 4-2E^4-2F^/ et 2(Gx + H/ + L-),
quand on y remplace x,y, z par cosa, cosfl, cosy. Cela posé, il résulte
des observations précédentes que toute droite, qui offrira une direc-
tion principale relativement à la surface (1), sera perpendiculaire à un
plan principal, si la valeur correspondante de la quantité s vérifie la
condition
(80 52>0,
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 27
et à une infinité de plans principaux, si les valeurs correspondantes
de s et co vérifient les deux formules
(82) 8 = Ot O)=0.
Le cas où l'on aurait à la fois
(83) * = o, w2>o
est le seul dans lequel le plan principal disparaisse. D'ailleurs nous
avons prouvé ci-dessus qu'il existe, par rapport à la surface (1), trois
directions principales et perpendiculaires entre elles, lorsque l'équa-
tion (26) n'a pas de racines égales, et, dans le cas contraire, une infi-
nité de systèmes de directions principales qui, étant prises trois à
trois, sont encore perpendiculaires l'une à l'autre. Donc, à moins que
l'équation (26) n'offre une racine nulle ou des racines nulles, corres-
pondantes à une valeur positive ou négative de co, et, par conséquent,
propres à vérifier les conditions (83), il existera, pour la surface du
second degré, trois plans principaux et perpendiculaires entre eux, ou
une infinité de systèmes de plans principaux, qui, étant pris trois à
trois, se couperont à angles droits. Les systèmes de plans rectangu-
laires, dont il est ici question, se réduiront effectivement à un seul, si
l'équation (26) n'a pas de racines égales ni de racines nulles. Alors les
trois plans principaux se couperont suivant trois droites perpendicu-
laires entre elles, et que l'on nomme axes principaux. Mais, si l'équa-
tion (26) admet, ou des racines égales qui diffèrent de zéro, ou quelque
racine nulle correspondante à une valeur nulle de co, le nombre des
systèmes des plans principaux et perpendiculaires entre eux étant
alors infini, les droites, suivant lesquelles ils se couperont mutuelle-
ment, offriront une infinité de systèmes d'axes principaux.
Une remarque importante à faire, c'est que tout point, suivant lequel
se coupent trois plans principaux rectangulaires entre eux, et par con-
séquent trois axes principaux, est toujours un centre de la surface (1).
En effet, trois plans de cette espèce étant donnés, construisons un
parallélépipède rectangle qui ait pour centre leur point d'intersection,
28 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
pour sommets' huit points dont l'un au moins soit situé sur la sur-
face (r), et pour arêtes des droites perpendiculaires aux plans dont il
s'agit. Comme les huit sommets, considérés deux à deux, seront placés
symétriquement par rapport à l'un de ces mêmes plans, ils appartien-
dront tous à la surface (i); et les deux sommets opposés, qui forme-
ront les extrémités d'une diagonale, coïncideront sur la surface avec les
deux extrémités d'une corde dont le milieu sera précisément le centre
du parallélépipède. Donc, puisque l'un de ces points pourra être un
point quelconque de la surface (i), celle-ci aura pour centre le point
d'intersection des trois plans principaux.
Réciproquement on peut affirmer que tout point qui sert de centre
à la surface (i) est en même temps le point d'intersection d'un système
ou d'une infinité de systèmes d'axes principaux de la surface. C'est ce
que l'on démontrera sans peine à l'aide des considérations suivantes.
Les plans diamétraux représentés par les équations (19), (20) et (21)
se couperont en un point unique, si les plans parallèles menés par
l'origine, et représentés par les formules
(84) Ax+ Fj + Es =0,
(85) F^+Rj + D^ = o,
(86) Ex -h D^-4-C*=o,
n'ont d'autres points communs que cette origine même ; ou, en d'autres
termes, si l'on ne peut satisfaire aux formules (84), (85), (86) que
par des valeurs nulles des coordonnées ce, y, z. Alors la surface (1)
aura un centre unique, et aucune des racines de l'équation (26) ne
s'évanouira. Car, si une ou plusieurs de ces racines se réduisaient à
zéro, on pourrait trouver un système de valeurs ou une infinité de sys-
tèmes de valeurs de a, (3, y propres à vérifier la formule (24), et par
conséquent les trois équations
/ Acosa + F cos(3 + E cosy = 0,
(87) < F cosa -+- Bcos(3 -+- Dcosy = 0,
E cosa -+- D cosj3 + C cosy = o;
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 29
puis, en déterminant x, y, z par la formule
x y z
(88)
cosa cos(3 cosy
c'est-à-dire, en prenant pour x, y, z des quantités proportionnelles à
cosa, cos(3, cosy, on obtiendrait une infinité de systèmes de valeurs
de x,y, z propres à vérifier les équations (84), (8 5), (86). D'ailleurs,
quand l'équation (26) n'offre pas de racines nulles, il existe un système
ou une infinité de systèmes de plans principaux et rectangulaires,
dont chacun passe nécessairement par le centre unique de la surface.
Donc par suite il existe, dans l'hypothèse admise, un système ou une
infinité de systèmes d'axes principaux qui ont pour point d'intersec-
tion le centre dont il s'agit.
Si les plans (19), (20) et (21) se coupent suivant une même droite,
tous les points de cette droite seront autant de centres de la surface (1).
De plus, la droite parallèle menée par l'origine sera représentée par
les équations (84), (85), (86); et les angles a, [3, y, formés par cette
droite avec les demi-axes des coordonnées positives, vérifieront les
équations (25). Donc ces angles et une valeur nulle de la variable s
vérifieront la formule (24). Par conséquent, l'une au moins des racines
de l'équation (26) deviendra égale à zéro. D'autre part, comme les
équations (19), (20), (21) devront subsister simultanément, et que
de ces équations, respectivement multipliées par cosa, cos(3, cosy, on
déduit, par voie d'addition, la formule (78), il est clair que, dans
l'hypothèse admise, les angles a, (3, y devront satisfaire encore à cette
formule, c'est-à-dire à la condition w = o. D'ailleurs, quand une
racine de l'équation (26) s'évanouit avec la valeur correspondante
de co, la surface (1) devient une surface cylindrique, et il existe une
infinité de systèmes de plans principaux perpendiculaires entre eux,
dont l'un coupe toujours à angles droits les génératrices de la surface;
d'où il suit que les deux autres plans ont pour commune intersection
une droite parallèle à ces mêmes génératrices. Enfin il est évident :
i° que la droite dont il s'agit devra coïncider avec celle qui sera le
30 SUR LES CENTRES, LES PLAINS PRINCIPAUX
lieu des centres de la surface cylindrique; i° que le plan principal,
perpendiculaire aux génératrices et par conséquent à cette droite,
pourra la couper en un point quelconque. Donc, dans le cas que l'on
considère, chacun des centres de la surface sera encore le point d'in-
tersection d'un système ou d'une infinité de systèmes de plans princi-
paux rectangulaires, et par suite d'un système ou d'une infinité de
systèmes d'axes principaux.
Si les plans ([9), (20), (21) se réduisaient à un seul, tous les points
de celui-ci pourraient encore être considérés comme des centres de la
surface (1). Dans la même hypothèse, les équations (87), réduites à
une seule, seraient vérifiées par tous les systèmes de valeurs de a, (3, y
qui exprimeraient des angles compris entre les demi-axes des coordon-
nées positives et l'une quelconque des droites parallèles au plan dont
il s'agit. Donc alors la surface (1) pourrait être engendrée, d'une infi-
nité de manières, par des droites parallèles à ce plan; et par consé-
quent l'équation (1) ne pourrait représenter qu'un plan ou un système
de plans parallèles. On arriverait aux mêmes conclusions en observant
que, dans l'hypothèse admise, on aura nécessairement
(89) A:F:E:G::F:B:D:H::E:I):C:I,
ou, ce qui revient au même,
(90)
AFEG F__R 1) H
F~B— D~H' E — D~C~T
et par suite
. , . EF n FD _ DE
(90 A^, B=_, C=T,
(92) DG = EH = FI.
Si l'on a égard à ces dernières formules, et que l'on désigne par L la
valeur commune des trois produits DG, EH, FI, on trouvera
(93) c = £, n=\, i = t,
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 31
et l'équation (i), divisée par DEF, donnera
K
= DEF'
, (x y z\2 ?.L (x
<*> (/|>+E + f)+ÏÏËfU
y
-\- -
E
puis l'on en tirera
(95) 5 + I-hF=-Dif±
i
DEF
Or cette dernière ne représentera jamais qu'un système de plans paral-
lèles, qui se confondront, si l'on a
(96) L2+KDEF = o.
D'ailleurs, puisque les équations (19), (20), (21) devront subsister
simultanément, les valeurs de a, [3, y, propres à vérifier les for-
mules (87), feront évanouir, non seulement la quantité s, mais encore
la quantité co. Donc il existera une infinité de systèmes de plans prin-
cipaux dont l'un coïncidera nécessairement avec le plan mené à égale
distance des plans parallèles représentés par l'équation (1), c'est-
à-dire, en d'autres termes, avec le lieu des centres de la surface (1).
Quant aux deux autres plans principaux, on pourra les faire coïncider
avec deux plans quelconques perpendiculaires l'un à l'autre, ainsi
qu'au premier; d'où il résulte qu'un point quelconque de celui-ci,
c'est-à-dire, un quelconque des centres de la surface (1), pourra être
regardé comme le point d'intersection d'un système ou d'une infinité
de systèmes d'axes principaux.
Considérons maintenant en particulier les cas où l'équation (26) a
des racines égales. Si l'on suppose d'abord que deux racines soient
égales et différentes de zéro, à la valeur commune <; de ces deux racines
correspondront une infinité de directions principales, qui formeront,
avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles a, [3, y
propres à vérifier les formules (29) et ($7), et par conséquent la sui-
vante
(97) EF cosa -+- FD cos[3 h- DE cosy .— o.
32 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
De plus, chacune de ces directions sera perpendiculaire à un plan prin-
cipal représenté par
(98) (ç£-+- G)cosa 4- («t» -h H)cos(3 4- (çÇ + I) cosy = o.
Or il est clair que cette dernière sera satisfaite, pour toutes les valeurs
de a, p, y propres à vérifier la formule (97), si l'on suppose
gj-H-G _ gYi + H __ g£ + I
(99) EF — F1) — j)E '
ou, ce qui revient au même,
(100) D(ç£-HG) = E(çiî-»-H) = F(çÇ-hI).
Donc les plans principaux relatifs aux directions principales dont il
s'agit passeront tous par la droite dont les coordonnées Ç, Y], '( seront
liées entre elles par les deux équations comprises dans la formule (100).
D'ailleurs, si par le point (£, y], l) on mène à cette droite une perpen-
diculaire qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les
angles a, (3, y, la perpendiculaire en question rencontrera ou ne ren-
contrera pas la surface (1), suivant que la valeur de r, tirée de la for-
mule (n), sera réelle ou imaginaire; et, dans le premier cas, la distance
du point de rencontre au point (Ç, yj, '() aura pour valeur
(101)
/K — «
Or cette valeur restant la même, pour toutes les valeurs de a, (3, y qui
vérifient l'équation (97), il en résulte que, dans l'hypothèse admise,
la surface (1) sera une surface de révolution, engendrée par un cercle
mobile dont le plan sera toujours perpendiculaire à la droite (100), et
dont le centre parcourra cette même droite.
On arriverait à la même conclusion en observant que, dans le cas où
deux racines de l'équation (26) deviennent égales, leur valeur com-
mune ç vérifie les formules (61), et qu'en conséquence l'équation (1)
peut être présentée sous la forme
(102) ç(^2 + j2+~2)+DEf(^ -+-£ + f) -Ha€ra?4raH/-4-aI* = K.
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 33
Or, si l'on coupe la surface que l'équation (102) représente par un
plan parallèle à celui dont les coordonnées ce, y, z vérifient la for-
mule (58), la courbe d'intersection sera évidemment située sur la
C H
sphère dont le centre a pour coordonnées les trois quantités — -> — — >
; et par conséquent elle sera un cercle dont le centre se trouvera
placé sur le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan (58), c'est-
à-dire, sur la droite que représente la formule (100).
Lorsque deux racines de l'équation (26) sont égales à zéro, la for-
mule (102) devient
(io3) DEF(b + I -+-fY+2Ga? + aH.>'-t-aI* = Kï
et la surface que cette formule représente, étant coupée par des plans
parallèles au plan (58), donne évidemment pour sections des droites
parallèles à celles que déterminent les deux équations
(io4) D'^E4"^"0' G*-l-Hy-t-I* = o.
Enfin, lorsque l'équation (26) a ses trois racines égales, les condi-
tions (64) étant remplies, l'équation (1) se réduit à
(IOS) A(#2 + J2+~2) +2G^ + 2Hj + 2lsz=:K,
et représente une sphère dont le centre a pour coordonnées les quan-
C H T
tités — T, — t' — T" Concevons à présent que, la surface (1) avant
A. A. A.
un ou plusieurs centres, on désigne par £, y], Ç les coordonnées de l'un
d'entre eux, et que l'on fasse passer par le centre dont il s'agit un sys-
tème d'axes principaux. Les valeurs de a, [3, y et s relatives à l'un de
ces axes vérifieront la formule (24); et, si l'axe coupe la surface, le
rayon vecteur r, mené du centre à chacun des points d'intersection,
sera déterminé par la formule (1 1) ou (101). Alors la valeur de s, c'est-
à-dire, celle des racines de l'équation (26) qui correspond à l'axe que
OEuvre-t de C. — S. II, t. VIII. 5
34 SUR LES CENTRES, LES PLANS PRINCIPAUX
l'on considère, sera nécessairement une quantité affectée du même
signe que la différence K — u; et la distance ir, comprise entre les
deux points d'intersection de l'axe principal et de la surface, sera ce
qu'on nomme un axe réel de cette même surface. Réciproquement, si
l'une des racines de l'équation (26) est de même signe que la diffé-
rence K — u, la formule (101) fournira une valeur de r; par consé-
quent l'axe principal, mené par le centre et correspondant à cette
racine, coupera la surface (1) en deux points, situés des deux côtés du
centre et à la distance r. Cela posé, admettons d'abord que les racines
de l'équation (26) soient inégales. Dans ce cas, la surface (1) aura un
axe réel, ou deux axes réels, ou trois axes réels, suivant que l'équa-
tion (1) offrira une, deux, ou trois racines affectées du même signe
que la différence K — u. S'il arrive, au contraire, que deux racines de
l'équation (1) deviennent égales, et si l'on suppose en outre que leur
valeur commune soit une quantité affectée du même signe que la dif-
férence K — u, alors la surface (1) sera de révolution autour de l'axe
principal que fournira la troisième racine, et le plan mené par le centre
perpendiculairement à cet axe coupera la surface suivant un cercle
dont chaque diamètre pourra être considéré comme un axe réel. Enfin,
si les trois racines de l'équation (26) sont égales et affectées du même
signe que la différence K — //, la surface (1) deviendra une sphère dont
chaque diamètre sera un axe réel.
Si l'une des racines de l'équation (26) était nulle, la surface (1)
n'aurait plus de centre que dans le cas où l'on aurait en même temps
o) = o; et, dans ce dernier cas, elle se réduirait à une surface cylin-
drique {voir la p. 26). Alors aussi, en posant s = o dans l'équa-
tion (101), on en tirerait r = =c, ce qu'il était facile de prévoir.
En terminant cet Article, nous remarquerons que, dans l'équa-
tion (1), les coefficients D, E, F s'évanouissent toutes les fois que les
axes coordonnés sont parallèles à trois directions principales, et les
coefficients G, H, I, toutes les fois que l'origine est un centre de la sur-
face. En effet, si l'axe des x est parallèle à une direction principale, on
vérifiera nécessairement les équations (25) en prenant pour s une cer-
ET LES AXES PRINCIPAUX, ETC. 35
taine racine de l'équation (2G), et posant de plus
cosa = ±i, cos|3 = o, cosy = o.
Par suite, les deux dernières des équations (25) donneront
(106) E = o, F = o.
On trouvera de même, en supposant l'axe des y parallèle à une direc-
tion principale,
(107) F = o, D = o;
et, en supposant l'axe des z parallèle à une direction principale,
(108) l) = o, E = o.
Donc, si les trois axes coordonnés sont parallèles à trois directions
principales, on aura en même temps
(109) I)=:o, E = o, F = o.
Enfin, si l'origine est un centre de la surface que l'on considère, les
équations (19), (20), (21) devront être satisfaites quand on y réduira
les coordonnées Ç, y], l à zéro; et l'on aura en conséquence
(no) G = o, H = o, I = o.
DES SURFACES QUE PEUVENT ENGENDRER,
EN SE MOUVANT DANS L'ESPACE,
DES LIGNES DROITES OU COURBES
DE FORME CONSTANTE OU VARIABLE.
Comme les méthodes que j'ai employées clans les applications du
Calcul infinitésimal à la Géométrie fournissent le moyen de simplifier
en plusieurs points les calculs relatifs à la génération des surfaces par
le mouvement des lignes, j'ai pensé qu'il ne serait pas inutile de repro-
duire ici de nouveau la théorie de ces surfaces. Tel est l'objet que je
me propose dans les paragraphes suivants.
§ I. — Equations finies des surfaces engendrées par le mouvement des lignes.
Considérons une ligne droite ou courbe représentée par deux équa-
tions qui renferment, avec les coordonnées rectangulaires oc, y, z,
deux paramètres ou constantes arbitraires G et ZK. Si l'on résout ces
équations par rapport aux constantes dont il s'agit, on en tirera
(i) p = e, w — zu
v et w désignant deux fonctions des variables oc, y, z. De plus, si l'on
attribue successivement aux constantes G, G< une infinité de valeurs
arbitrairement choisies, la ligne représentée par les équations (i)
changera de position, souvent même de forme, sans décrire aucune
surface déterminée. Mais, si l'on établit entre G et G, une relation
quelconque, si l'on suppose, pour fixer les idées,
(2) G1=cp(G),
SURFACES ENGENDREES, ETC. 37
o(e) désignant une fonction de la constante 3, les équations (i),
réduites aux deux suivantes
(3) c=--2, w=<p(e),
représenteront une ligne dont la forme et la position seront complète-
ment déterminées pour chaque valeur particulière de la constante z.
Donc, si l'on attribue successivement à cette constante une infinité de
valeurs, la ligne en question se mouvra de manière à engendrer une
certaine surface. Ajoutons que l'équation de cette surface sera évi-
demment celle que produit l'élimination de S entre les formules (2),
savoir
(4) w = q(v).
Premier exemple. — Concevons que l'on demande l'équation géné-
rale en termes finis d'une surface cylindrique, c'est-à-dire d'une sur-
face engendrée par le mouvement d'une droite qui reste constamment
parallèle à elle-même. Si l'on nomme a, [3, 7 les angles que doit former
cette droite prolongée dans un certain sens avec les demi-axes des
coordonnées positives, ct;r0, j0, z-0 les coordonnées d'un point qu'elle
renferme, elle pourra être représentée par les deux équations com-
prises dans la formule
, c » * — &o y .Yo z -"o
( ° ) — 5~~ =
cosa cosp cos y
D'ailleurs, on tire de cette formule
x cos j3 — y cos <x = x0 cos (3 — j-0 cos ce,
jc cosy — z cosa = .r0cosy — c0cosa,
ou, ce qui revient au même,
(6) j:cosJ3 — ycosct. — Z, .rcos*/ — zcosa=iZi,
G, 3, désignant, pour abréger, les deux quantités constantes
#0cos[3 — y0 cos oc, ^r0cosy — -Ocosa.
Cela posé, si l'on attribue aux constantes 3, 3, une Infinité de valeurs,
38 SURFACES ENGENDRÉES
sans établir entre G et G, aucune relation, la droite représentée par les
équations (6) pourra se mouvoir de manière à remplir successivement
tout l'espace. Mais, si l'on suppose e, = ç(e), les équations (G),
réduites à
(7) d?cos(3— jcosoc = G, xcosy — scosa = <p(Q),
représenteront la génératrice d'une surface cylindrique, et cette sur-
face, représentée elle-même par l'équation
(8) x cosy — ^cosa = o(iccos|3 — ycosa),
aura une forme et une position dépendantes de la fonction ©.
On pourrait encore présenter l'équation finie d'une surface cylin-
drique sous une autre forme que nous allons indiquer.
Pour qu'une droite mobile reste parallèle à elle-même, il suffit qu'elle
soit la ligne d'intersection de deux plans mobiles qui demeurent res-
pectivement parallèles à deux plans donnés. Or les équations de ces
plans mobiles seront de la forme
(9) ax 4- by + cz = 3, A^r 4-Bj4-Cs = G1,
a, b, c, A, B, C désignant des constantes déterminées, et G, G, des
constantes arbitraires. Donc les équations de la génératrice d'une sur-
face cylindrique pourront s'écrire comme il suit :
(10) ax 4- by-+-cz = 3, Ax 4- Bj 4- Cz = o(G).
Si l'on élimine G entre ces dernières, on tirera
(11) Ax 4- Bj' -hCs = o(ax 4- by 4- cz).
11 est aisé d'en conclure que, pour obtenir l'équation finie d'une sur-
face cylindrique, il suffit d'établir une relation quelconque entre deux
fonctions linéaires des variables x, y, ». Dans le cas où l'on réduit
ces fonctions linéaires aux premiers membres des formules (7), la for-
mule (11) se trouve remplacée par l'équation (8).
Deuxième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation géné-
rale en termes finis d'une surface conique, c'est-à-dire, d'une surface
PAR DES LIGNES DROITES OU COURRES. 39
engendrée par une droite mobile qui passe constamment par un point
donné. Si l'on nomme x0, y0, z0 les coordonnées de ce point, ou, en
d'autres termes, les coordonnées du sommet de la surface conique,
et a, p, y les angles formés par la génératrice avec les demi-axes des
coordonnées positives, cette génératrice sera représentée par les équa-
tions (5), desquelles on tirera
z — z0 cosy
y — y* _ cos(3
x — x0 cosa
OU,
ce qui revient au même,
ho
v y — y* _ q
cosa
S et ©(©) désignant les valeurs arbitraires des rapports - — > — ->
I v J ° x x cosa cosa
que l'on suppose liées entre elles de telle sorte que l'une se déduise de
l'autre. Si maintenant on élimine Q entre les équations (12), celle
qu'on obtiendra, savoir
(.3) £=a = t(f=f«
ou
04) - — z0=(x — x0) 9J • —
représentera une surface conique dont la forme et la position varieront
avec la nature de la fonction cp. Il est bon d'observer que la valeur de
z — z0, fournie par l'équation (i4)» est précisément celle qu'on déter-
mine en égalant à zéro une fonction homogène quelconque des trois
différences
x — x0, y y0, z z0.
D'ailleurs, si l'on prend pour sommet de la surface conique l'origine
des coordonnées, ces trois différences se réduiront aux variables x,
y, z. Donc, pour obtenir l'équation d'une surface conique dont le
sommet coïncide avec l'origine, il suffit d'égaler à zéro une fonction
homogène quelconque de x, y et z.
40 SURFACES ENGENDRÉES
Troisième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation finie
d'une surface conoïde, engendrée par une droite mobile qui passe con-
stamment par un axe donné, en demeurant perpendiculaire à cet axe.
Si l'axe dont il s'agit coïncide avec l'axe des z, les deux équations de
la génératrice seront évidemment de la forme •
(i5) £ = e, * = <p(e);
et, par suite, l'équation finie de la surface conoïde sera
(,6) ' = »©'
en sorte que l'ordonnée z de la surface se trouvera exprimée par une
fonction homogène de x et y, d'un degré nul.
Supposons maintenant que l'axe de la surface conoïde coïncide avec
une droite menée par un point donné (x0,y0, *,), de manière à former,
avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles donnés a, |3, y.
La génératrice de la surface pourra être considérée comme produite par
l'intersection de deux plans mobiles dont l'un passerait constamment
par l'axe de la surface, tandis que l'autre serait perpendiculaire à cet
axe. Or, si l'on nomme L, M, N les angles compris entre la perpendi-
culaire au premier plan et les demi-axes des coordonnées positives,
ces angles vérifieront évidemment la condition
(17) cosa cosL -+- cos(3 cosM -+- cosy cosN = o,
et l'équation du premier plan sera de la forme
(18) (x — x0) cosL -+- {y — y0) cosM -+- (s — z0) cosN = o.
On trouvera par suite
cosL cosM
(y — jo) cosy — (z — z0) cos(3 (z — z0) cosa — {x — x0) cosy
(l9) 1
i _ cosN
~ (x — x0) cos(3 — (y —y^Gassc'
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 41
et l'on en conclura
(j — j0)cosy — (z — j0)cos(3 _ cosL —ç>
(x — x0) cosy — (z — z0) cosoc cosM
G désignant une constante arbitraire. Quant à l'équation du second
plan, elle sera évidemment de la forme
(21) j?cosa 4-/cos(3 -f- ^cosy = S, = o(2).
Cela posé, les équations de la génératrice pourront s'écrire comme il
suit
( (7 — 70) cosy — (z — go) cosft _ ©
(aa) J (* — .r0)cosy — (s — ~„)cosa '
( j?cosa +/cos(3 + s cosy = o(2),
et l'équation finie de la surface conoïde sera
t os a [(Y — 7o)cosy — (z — s0)cos(3]
(a3) .rcosa +■ ycosfi + 5cosy = o 7^ ^— ! ; •
v ; ^ r ^ T L(.r — j;0) cosy — (,; — ~0) ^osaj
Si, dans cette dernière formule, on pose a = -> p = -> y = o, a?0 = o,
y0 = o, z0 4= o, on retrouvera précisément l'équation (16).
Quatrième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation finie
d'une surface de révolution. On pourra prendre pour génératrice de
cette surface, ou une courbe plane tournant autour d'un axe, nommé
axe de révolution, et situé dans le plan de la courbe, ou, ce qui revient
au même, un cercle dont le rayon serait variable, mais dont le plan
resterait toujours perpendiculaire à l'axe dont il s'agit, et dont le
centre serait situé sur ce même axe. Cela posé, admettons d'abord que
l'axe de révolution coïncide avec l'axe des z. Les deux équations du
cercle générateur seront évidemment de la forme
(a4) ** + y-=e, z = <?(£),
et, par suite, l'équation finie de la surface de révolution sera
(%5) c = ?(^4-r2).
OEuvres de C. - S. II, t. VIII. 6
V2 SURFACES ENGENDREES
Supposons maintenant que l'axe de révolution coïncide avec une
droite menée par un point donné (a?0, y0, se), de manière à former,
avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles donnés a,
(3, y. Le cercle générateur sera évidemment la courbe d'intersection
d'une sphère qui aura pour centre le point (o?#, j0, s0) et d'un plan
perpendiculaire à l'axe de révolution. Donc les équations du cercle
générateur seront de la forme
/ .rcosa 4- y cosS -t- ~cosy = 3,
(26)
I {x - x,Y+ (y -jo)2+ (a - ~o)2 = <?(©),
et l'équation finie de la surface de révolution sera
(27) O — <r0)2+ (y — Jo)2+ (* — *o )"—- o(-rcosoc + jcos(3 -+- z cosy).
Si l'on suppose, dans cette dernière, a = -, (3 = -, y = o, #0 = o,
j0 = o, 50 = o, on obtiendra la suivante
de laquelle on tirera une valeur de z semblable à celle que présente la
formule (20).
On pourrait généraliser encore les principes établis au commence-
ment de ce paragraphe, et faire mouvoir dans l'espace les lignes tel-
lement choisies que la construction des surfaces engendrées par le
mouvement de ces lignes dépendît de plusieurs fonctions arbitraires.
Considérons, en effet, une ligne droite ou courbe dont les équations
soient
(28) f(a?,^*,e,eIfes,e„...)=o, F(*,.r,*, 3, 3„s„ e„ ...) = o,
et renferment, avec les variables x, y, z, plusieurs paramètres ou con-
stantes arbitraires 3, 3,, 32, 33, Si l'on attribue successivement à
ces constantes une infinité de valeurs arbitrairement choisies, la ligne
en question changera de position, souvent même de forme, sans décrire
aucune surface déterminée. Mais, si l'on établit, entre les constantes 3,
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. W
3,, a2, 33, . . . , des relations telles que, la valeur de l'une étant donnée,
les valeurs de toutes les autres s'en déduisent, si l'on suppose, par
exemple,
(29y e,= <p(ô); è,=x<®). e*=-tW.
9(3), 7,(8), '-Ks) désignant des fonctions de la constante 8, les équa-
tions (1), réduites aux deux suivantes
( ï[*,7,s,8,9(8),x(8),<],(8), ...]=o,
(3o)
I F[*,.r,s,®,9(S),x(3)f4*(®), ...] = o,
représenteront une ligne dont la forme et la position seront complète-
ment déterminées pour chaque valeur particulière de la constante 8.
Donc, si l'on attribue successivement à cette constante une infinité
de valeurs, la ligne en question se mouvra de manière à engendrer
une certaine surface. Or, la forme et la position de cette surface
dépendront évidemment de la nature des fonctions 9(3), */,(®)»
<p(©)i ..-, que l'on peut choisir arbitrairement. Ajoutons que, pour
obtenir l'équation de la surface, il suffira d'éliminer 3 entre les équa-
tions (3o), mais qu'on ne pourra, en général, effectuer cette élimi-
nation qu'après avoir remplacé les fonctions arbitraires 9(3), */.(£)♦
'j»(3), . . . par des fonctions déterminées de la constante 3.
Il est bon d'observer que, dans les équations (3o), on pourrait faire
dépendre les unes des autres plusieurs des fonctions 9(3), x(s)'
•j/(3), . . . , et prendre, par exemple, pour 9(3), x(3), '^(s) des
dérivées de la fonction 9(8). Ainsi, pour fixer les idées, on pourrait
supposer
x(S) = <p'(S), <|,(3) = o'(e),
$ II. — Équations aux différences partielles des surfaces engendrées
par le mouvement des lignes.
Considérons d'abord la surface engendrée par le mouvement de la
ligne droite ou courbe que représentent les équations (3) du $ I. Si
kk SURFACES ENGENDRÉES
l'on nomme/? et q les valeurs des dérivées partielles
dz dz
dx dy
que fournit l'équation de la surface, dans le cas où l'on regarde x, y
comme variables indépendantes, et z comme une fonction de ces deux
variables, on aura
( i ) dz =p dx -h q dy;
et cette dernière équation sera toujours satisfaite, quand les coordon-
nées x, y, z varieront de manière que le point (a?, y, s) décrive une
courbe comprise dans la surface dont il s'agit. Or, si la courbe en ques-
tion se confond avec la génératrice de la surface, elle aura pour équa-
tions finies les formules (3) du § I. Par suite, les différentielles des
coordonnées de la courbe vérifieront les formules
. . dv , dv , dv , dw . dw dw
( 2 ) -t— dx -+- -r- d Y ■+• -T- dZ rr O, -t— dX + rr- flV H r— d z = o ;
dx dy dz dx dy J dz
et comme, en faisant, pour abréger,
D dv dw dv dw
~ dy dz dz dy '
n dv dw dv dw
| dz dx dx dz'
I dv dw dv dw
| dx dy dy dx
on tirera des équations (2)
dx dy dz
(4) T^-TT^R'
on conclura définitivement de l'équation (1) combinée avec la for-
mule (4)
(5) P/> + Q? = R.
Telle est l'équation aux différences partielles de toutes les surfaces
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. ko
que peut représenter l'équation (4) du § I. Cette équation aux diffé-
rences partielles ne renferme plus la fonction arbitraire indiquée par
la lettre a», mais seulement les dérivées partielles de z, savoir, p et q,
avec les quantités P, Q, R, qui sont des fonctions déterminées des
variables x, y, z. Au reste, on pourrait déduire directement l'équa-
tion (5) de la formule (4) du § I. En effet, pour y parvenir, il suffirait
de différentier cette dernière formule : i° en regardant x et z comme
seules variables; 2° en regardant y et z comme seules variables, puis
d'éliminer la fonction dérivée y'(v) entre les nouvelles équations ainsi
obtenues. Ajoutons que l'on pourrait encore établir l'équation (5), en
considérant un point quelconque (x,y,z) de la surface dont il s'agit
et observant que, si l'on mène par ce point une normale à la surface et
une tangente à la génératrice, ces deux droites seront perpendiculaires
l'une à l'autre. En effet, les cosinus des angles formés avec les demi-
axes des coordonnées positives par la normale et la tangente en ques-
tion seront proportionnels d'une part aux quantités
(6) . p, q, -i,
de l'autre aux valeurs de dx, dy, dz tirées des équations (4), et, par
conséquent, aux quantités
(7) P. Q. K.
Donc, puisque le cosinus de l'angle compris entre les deux droites
devra s'évanouir, la somme des produits qu'on obtient en multipliant
deux à deux les quantités (G) par les quantités (7), savoir,
P/> + Q?-R,
devra se réduire à zéro. En d'autres termes, la formule (5) devra être
vérifiée.
Premier exemple. — Concevons que l'on demande l'équation aux dif-
férences partielles d'une surface cylindrique. Si l'on nomme a, |3, y
les angles formés par la génératrice avec les demi-axes des coordon-
nées positives, cette génératrice pourra être représentée par la for-
46 SURFACES ENGENDRÉES
mule (5) du § I, de laquelle on tirera
/o, dx dy dz
cosoc cos(3 cosy*
Or on conclura de la formule (8), substituée à la formule (4) et com-
binée avec l'équation (i),
(9) ^osy =p cosoc -+- qcosfi.
Telle est l'équation aux différences partielles des surfaces cylindriques.
Pour l'établir directement, il suffirait d'exprimer que la normale
menée par un point quelconque d'une surface cylindrique forme un
angle droit avec l'une quelconque des génératrices de la surface.
Deuxième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation aux
différences partielles d'une surface conique. Si l'on nomme œ0, y0, z0
les coordonnées du sommet, la génératrice pourra être représentée par
la formule (5) du § I, de laquelle on déduira encore la formule (8), et
par conséquent la suivante
(10) dx dy dz
x — xi y — y0 * — **
Or on conclura de la formule (10), substituée à la formule (4) et com-
binée avec l'équation (1),
00 - — z0 = p(x — x0) + q(y-y0).
Telle est l'équation aux différences partielles des surfaces coniques.
Pour l'établir directement, il suffit d'exprimer que le plan tangent à
une surface conique passe toujours par le sommet. En effet, si l'on
nomme ?, y), l les coordonnées courantes du plan tangent mené à la
surface par le point (x,yt z), on aura
02) *-Z = P(*-^Z) + q(y-ri)i
et, si ce plan doit renfermer constamment le point (w„ y0, z0), l'équa-
tion (12) entraînera évidemment la formule (1 1).
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. W
Dans le cas particulier où le sommet de la surface conique coïncide
avec l'origine des coordonnées, la formule (u) se réduit à
(i3) z—px-r-qy.
Cette dernière équation est celle que fournit le théorème des fonctions
homogènes dans le cas où l'on suppose que la fonction des variantes x,
y, désignée par z, est homogène et du premier degré.
Troisième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation aux
différences partielles d'une surface conoïde. Si cette surface a pour axe
l'axe des z, la génératrice sera représentée par les équations (i5) du
§ I, desquelles on tirera
dx dy
( 1 4 ) — = -s£- 1 dz=.o.
x y
Or on conclura de ces dernières, substituées à la formule (4) et com-
binées avec l'équation (i),
(l5) . px + qy—o.
Cette équation aux différences partielles de la surface conoïde est pré-
cisément celle que fournit le théorème des fonctions homogènes, quand
on suppose l'ordonnée z équivalente à une fonction des variables x, y,
homogène et d'un degré nul. On pourrait encore établir cette même
équation en observant que, si par le point (x,y,z) on mène un plan
tangent à la surface conoïde, il renfermera la génératrice tout entière
et, par conséquent, le point d'intersection de la génératrice avec l'axe,
c'est-à-dire, le point qui, sur cet axe, correspond à l'ordonnée z. En
effet, si, dans l'équation (12), on pose
on se trouvera précisément ramené à la formule (i5).
Supposons maintenant que l'axe de la surface conoïde coïncide avec
une droite menée par le point (x0, j0, z0), de manière à former, avec
les demi-axes des coordonnées positives, les angles a, (3, y. La généra-
48 SURFACES ENGENDRÉES
trice pourra être représentée par les formules (ai) et (18) du § I, des-
quelles on tirera
(16) cosa «te -h cos(3û?j -+■ cosy dz = o
et
(17) cosLdx -f- cosMdy + cosN dz = o.
Si, d'ailleurs, on combine l'équation (17) avec la formule (19) du § I,
on trouvera
( [(J-Jo)cosy — (- — z0)cos°>]dx
(18) 1 -*-[(* — «,)co8a — (* — «0)co«y3<fy
( -+- [(a? — ^0)cosj3 — (j — jo) cosajtf* =0.
Or on conclura des équations (16) et (18), substituées à la for-
mule (4) et combinées avec l'équation (1) : i° en éliminant la diffé-
rentielle dz,
(19) (cos«-h/?cosy)«te-h(cos|3 + gcosy)dy = o
et
i j(j — 7o)cosy — (z - z0) cos?> -h p[(x — x0) cosfi — (y — y 0) cos et] \ dx
( H-|(« — *,)cos« — (tf — a?,)cosy -+- ?[(# — a;,) cos(3 — (7— r0) cosa] j dy = o;
20 en éliminant les différentielles c£r et dy,
i ( j — y0) cosy — (s — z0) cos(3 + /?[(a? — x0) cos(3 — (7 — /o) cosa]
| cosa +/> cosy
(21) '
j _ (z — z0) cosa — (ar — a-0) cosy -f- g [(x — a?0) cosft — (j — /p) cosa]
! cos[3 -f- ^rcosy
Telle est l'équation aux différences partielles de la surface conoïde. Au
reste, cette même équation peut être présentée sous une forme plus
simple, que nous allons faire connaître.
Si l'on élimine dz : i° entre les équations (16) et (17); 20 entre les
équations (1) et (17), on trouvera
(cosa cosN — cosy cosL) dx + (cos(3 cosN — cosy cosM) dy = o,
PAR DES LIGNES DROITES OU COURRES. 49
et
(cosL -h p cosN) clx -f- (cosM -f- q cos'S) dy = o;
puis on en conclura
cosacosN — cosy cosL _ cos(3 cosN — cosy cosM
(22)
cosL +/? cosN cosM + <7CosN
D'ailleurs, les fractions que renferment les deux membres de la for-
mule (22) étant égales, on obtiendra encore une fraction équivalente
à chacune d'elles si l'on divise la somme de leurs numérateurs par la
somme de leurs dénominateurs, après avoir multiplié les deux termes
de la première par cosa, et les deux termes de la seconde par cos{3, ou
bien les deux termes de La première par x — xn, et les deux termes de
la seconde par y — y0. Cela posé, on tirera de la formule (22), en ayant
égard aux équations (17) et (18) du § I,
I cos2a + cos2(3 4- cos2y
\ p cosa -1- 7 cos[3 — cosy
(23) j
I _ (x — x0) cosa -4- (y — y0) cosft -+- (s — *z0) cosy
' Pi* — *o)-ï-<7(y — r0) — (5 — s»)
ou, ce qui revient au même,
, ,'\p(x — *o) + ç(y— 7o) — (- — »•■)
(24) •
I == (p cosa •+■ q cos[3 — cosy) [(x — x0) cosa -+- (/ —.Ko) cos,3 -+- (z — z„) cosy J.
Telle est, sous la forme la plus simple, l'équation aux différences par-
tielles de la surface conoïde. J'ajouterai que, pour établir directement
cette équation, il suffirait de projeter la distance du point (x0, y0, z0)
au point (x,y, z) : i° sur l'axe de la surface conoïde ; 20 sur la normale
menée à la surface par le point (x, y, *), et d'observer que la seconde
projection, devant être égale en longueur à la perpendiculaire abaissée
du point (x(),y0, z9) sur le plan tangent, a nécessairement pour mesure
le produit de la première projection par le cosinus de l'angle aigu com-
pris entre la normale et l'axe.
Dans le cas particulier où l'on suppose a= -, [J== -, 7 = 0, a?, = 0,
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. -
50 SURFACES ENGENDRÉES
Jo = o, z0 = o, la formule (24) se réduit, comme on devait s'y attendre,
à l'équation (i5).
Quatrième exemple. — Concevons que l'on demande l'équation aux
différences partielles d'une surface de révolution. Si cette surface a
pour axe l'axe de », le cercle générateur sera représenté par les équa-
tions (24) du § I, desquelles on tirera
( 20 ) x dx -+- y dy = o, dz = o.
Or on conclura de ces dernières, substituées à la formule (4) et com-
binées avec l'équation (1),
(26) E = l.
x y
On arriverait à la même conclusion en observant que, dans l'hypothèse
admise, la normale menée à la surface par un point quelconque (x,y, %)
doit toujours rencontrer l'axe des z, et que, en conséquence, la projec-
tion de la normale sur le plan des x, y doit passer par l'origine. En
effet, si l'on nomme ;, vj, l les coordonnées courantes de la normale,
cette droite sera représentée par la formule
(27) ^ = 2^=c_,;
p g
et, pour que sa projection sur le plan des x, y passe par l'origine, il
suffira que l'équation
(28)
ç — x,- _ rs — y
P <7
soit vérifiée par des valeurs nulles de \ et de •/]. En d'autres termes, il
suffira que l'on ait — = *-, ou, ce qui revient au même, ^ = 3..
^ P g M x y
Supposons maintenant que l'axe de révolution coïncide avec une
droite menée par le point (x0,y0,z0), de manière à former, avec les
demi-axes des coordonnées positives, les angles a, {3, y. Le cercle
générateur pourra être représenté par les formules (26) du § I, des-
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 51
quelles on tirera
( (* — *<>) dx + (y — 7o) *y ■+■ (- - *•) <** = Oi
(29)
( cos a c/^' 4- cos fidy -h cosy tife = o,
et par suite
(j — Yo) cosy — (* — *•) cosp (z — c0) cosa — (x — x0) cos-/
(3o) (
dz
(x — #0) cos£ — (y — y0) cosa
Or on conclura de la formule (3o), substituée à la formule (4) et com-
binée avec l'équation (1),
i P[(f — Jo)cosy — (~ — ^0)cos;3] + y [(5 — ^0)cosa — (x — ^0)cosy]
(3i)
( =(x — xQ)cos$ — (y—y0)cosct.
Telle est l'équation aux différences partielles des surfaces de révolution.
On pourrait encore établir cette équation en exprimant que la normale
menée à une semblable surface par un point quelconque {oc, y, z) ren-
contre toujours l'axe de révolution. En effet, si l'on nomme H, ï], "Ç les
coordonnées courantes de cet axe, on aura
/9 N E — x0 ri — y0 C — *g
(32)
cosa cos^ cosy
D'ailleurs, pour que la normale rencontre l'axe, il suffit que les foi-
mules (27), (32) puissent être vérifiées simultanément par un système
particulier de valeurs de H, ï), '(. Or, si l'on substitue, dans la dernière
formule, les valeurs de £, r\, tirées de la première, on trouvera
x — x%— a»(Ç — s) _ y—y*—<f(K — s) _ z — z0-+-Ç — z
cosa cos [3 cosy
(x — x0) (cos[3 + 7 cosy) — (y—y0) (cosa 4- p cosy) 4- (-s — ~0) (p cos fi — q cosa)
et, par suite, on obtiendra l'équation
( ( x — x0 ) ( cos S + 7 cos y) — ( y — y#) ( cos a + « cos y )
(33)
( 4- (z — z0) (p cosj3 — q cosa) = o,
(jui coïncide évidemment avec la formule (3i).
52 SURFACES ENGENDRÉES
Dans le cas particulier où l'on suppose %= -> $ = ^,^ = o,x0 = o,
y0 = o, z0 = o, la formule (3i) ou (33) se réduit, comme on devait s'y
attendre, à l'équation (26).
Si l'on faisait mouvoir dans l'espace, non plus la ligne que déter-
minent les équations (3) du § I, mais celle que déterminent les for-
mules (3o) du même paragraphe, la surface engendrée par le mou-
vement de cette ligne pourrait encore être représentée par une ou
plusieurs équations aux différences partielles, qui ne renfermeraient
pas les fonctions arbitraires 9, y, 'h, .... Seulement ces équations aux
différences partielles seraient, en général, d'un ordre supérieur au pre-
mier. Ajoutons que, pour les obtenir, il suffirait de considérer, dans
les équations (3o) du § I, z et 3 comme des fonctions des variables
indépendantes x, y, puis d'éliminer les quantités
de 03 (r-e d*-e d*e
(34)
ùx ' dy ' dx* Ox dy dy'1
l ?(3), 9'(3), o"(3),
(33) « Z(3), Z'(3), Z"(3),
entre les équations (3o) et celles qu'on en déduit par des différen-
tiations relatives, soit à la variable a?, soit à la variable y. Supposons,
pour fixer les idées, que l'on désigne par m le nombre des fonctions
arbitraires
(36) ?(3), Z(3), -|(3), ...,
et par n un nombre entier quelconque. Si des séries (34) et (35) on
exclut celles des dérivées partielles de 3, .et celles des dérivées de
ç(e), */(3), 'K3)' ••• dont l'ordre est supérieur à n, le nombre des
termes de la série (34) se réduira simplement au produit
( n 4- 1 ) ( n 4- a )
— >
2
et le nombre des termes compris dans les séries (35), à
(n -+- i)/n.
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 53
D'autre part, si l'on joint aux équations (3o) du § I leurs dérivée*
d'un ordre inférieur ou égal à n, on obtiendra en tout
équations; et l'on pourra, entre ces dernières, éliminer les différents
termes compris dans les séries (34) et (35), dès que le produit
(n 4- i)(/i H- 2) surpassera la somme — -h {n -h i)m, ou,
ce qui revient au même, dès que le nombre -+i surpassera le
nombre m. Or, cette condition sera remplie si l'on prend n = 2tn — 1,
et alors l'élimination produira m équations aux différences partielles
qui appartiendront toutes à la surface ci-dessus mentionnée.
Lorsque les équations (3o) du § I renferment une fonction arbi-
traire ç(©)i et se réduisent à
(3;) rt*./f*.ei?(©)] = °» F[.r,/,c, 2,9(3)] = 0,
en joignant à chacune de ces équations ses deux dérivées partielles du
premier ordre, on obtient en tout six équations entre les quantités
Os ds a 03 03 /ô. f/ô.
•' * s> '=35' C' = T/ @' aï* V 9(o)' ?(o)'
et l'élimination des cinq dernières de ces quantités, entre les six équa-
tions dont il s'agit, produit, comme on devait s'y attendre, une équa-
tion aux différences partielles du premier ordre entre les variables
indépendantes x, y et l'ordonnée z considérée comme fonction de ces
variables.
Lorsque les équations (3o) du § I renferment deux fonctions arbi-
traires 9(2), x(®)» °t sc réduisent à
(38) f[*,y,*,e,<p<e),x(e)]=o, F[x,y,z,e,o(B)rÂ(Z)] = o,
en joignant à ebacune de ces équations ses dérivées partielles du pre-
mier et môme du second ordre, on n'obtient en tout que douze équa-
tions entre lesquelles il n'est pas possible d'éliminer, du moins en
oi SURFACES ENGENDRÉES
général, les douze quantités
„ dZ dB 3*3 d*3 d*e
(3g) < àx ôy ôjc- dxdy dyi
( 9(8), o'(3), ?»(3), X(C), 7/(3), z(3).
Mais, en s'élevant jusqu'aux dérivées du troisième ordre, on obtiendra
en tout vingt équations entre lesquelles on pourra éliminer les quan-
tités (39) avec les suivantes
tr . d33 J33 d33 d3B
(40) à*' d~x^Ty> dx~dy df*' 9"'(£)' *'"(£)'
et l'élimination produira deux équations aux différences partielles du
troisième ordre entre les variables indépendantes x, y et la variable
principale z.
Il est bon d'observer que, dans certains cas, l'ordre des équations
aux différences partielles, produites par l'élimination des quantités (34)
et (35) entre les formules (3o) du § I et leurs dérivées successives,
peut s'abaisser considérablement. Supposons, par exemple, que ces
formules renferment trois fonctions arbitraires 9(3), 7(3), K3)-
Comme on aura, dans cette hypothèse, m = 3, -im — 1 = 5, il faudra
généralement, pour effectuer l'élimination des quantités (34), (35),
s'élever jusqu'aux dérivées du cinquième ordre, et cette élimination
produira trois équations aux différences partielles du cinquième ordre
entre œ, y et z. Mais, si l'on établit entre les fonctions 9(3), 7(3),
^(3) les relations
Z(3)=r?'(3), ^(3) = ?"(3),
ou, en d'autres termes, si les formules (3o) du § I se réduisent à
(40 ^,r,~,3,9(3),9'(3),9''(3)]z=o, ¥[x,y, z, 3, 9(3), ?'(3), off(8)]==o,
alors, en joignant à ces formules leurs dérivées du premier et du second
ordre, on obtiendra en tout douze équations entre lesquelles on pourra
éliminer les onze quantités
(4a) s' %' §' SF' TZiïy p' ?<3>' *>'<e>> fW. ?"(e).'?'v(£).
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 55
et l'élimination produira une seule équation aux différences partielles
du second ordre entre les variables indépendantes x, y et la variable
principale z. Donc la surface engendrée par la ligne que représentent
les formules (40 sera représentée elle-même par une équation aux dif-
férences partielles du second ordre, qui ne renfermera plus la fonc-
tion 9, ni ses dérivées. Parmi les surfaces de cette nature, on peut
remarquer celle qui aurait pour génératrice la normale principale d'une
courbe à double courbure, dont les équations seraient de la forme
(43) r=f(*0> «=?(*)•
f(a?) désignant une fonction donnée, et o(x) une fonction arbitraire.
Considérons encore la surface développable qui aurait pour généra-
trices les diverses tangentes que l'on peut mener à une courbe à double
courbure. Si l'on représente par
(44) ' *«=?(*)f y — vSz)
la courbe dont il s'agit, la droite qui touchera cette courbe au point
dont les coordonnées seront
(45) *=©i * = ?(©)> j = x(£)
pourra être représentée par la formule
x — 9 ( 3 ) _ y — y ( S ) 0
(46
?'(©) X'(®)
Donc, pour obtenir l'équation finie de la surface développable engen-
drée par cette droite, il suffira d'éliminer la constante arbitraire Z
entre les deux équations comprises dans la formule (4^)- Au reste,
cette élimination ne peut être effectuée qu'après.la détermination des
fonctions arbitraires 9(3), y (s), desquelles dépend la construction de
la surface.
Soient maintenant/?, q, r, s, t les valeurs des dérivées partielles
dz dz <)'2z (Pz d'Z
ôx^ ày Ox- ôxôy ôy"-
que fournit l'équation de la surface développable, après une ou deux
56 SURFACES ENGENDREES
différentiations relatives aux variables indépendantes x, y'. La for-
mule (i) devra être vérifiée par les valeurs de dx, dy, dz tirées de la
formule (46); et, comme celle-ci donnera
ou, ce qui revient au même,
dx dy dz
(48)
*-?(©) r-x(©) ~-£
on trouvera définitivement
(49) ' '-/»î'(©) + ?x'(e)
et
(50) z-B=p[x -?.(©)]H-f[r -x(©)3-
Donc l'équation (5o) appartiendra encore à la surface développante, si
l'on y regarde 8 comme une quantité variable déterminée par l'équa-
tion (49)- Or, dans ce cas, si l'on différence l'équation ($o) : i°par
rapport à x; i° par rapport à y, les coefficients de ~ ou de -^ seront
égaux dans les deux membres, et l'on aura par suite
( o=r[*-9(e)]-h*i>~X(e)]>
(5i)
( o=s[x -?(©)] •+-. *Cr-x(e)];
puis on en conclura, en éliminant la quantité S,
(52) rl~s\
Ainsi, quoique les équations de la génératrice d'une surface dévelop-
pable renferment deux fonctions arbitraires et leurs dérivées du pre-
mier ordre, cette surface peut être représentée par une équation aux
différences partielles qui ne contienne plus de fonctions arbitraires, et
qui soit du second ordre seulement.
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 57
§ III. — Sur les directrices des surfaces engendrées par te mouvement
des lignes.
Lorsqu'une surface est engendrée par le mouvement d'une ligne
droite ou courbe, dont les équations renferment une fonction arbi-
traire, on peut déterminer cette fonction de manière que la surface
passe par une ligne donnée qui s'appelle alors directrice. On y parvient
en effet de la manière suivante.
Supposons toujours la génératrice représentée par les équations (3)
du § I, c'est-à-dire, par les formules
(i) P = ©, w>=rç(e),
dans lesquelles e, w désignent deux fonctions déterminées de x, y\ z,
et 9 (s) une fonction arbitraire du paramètre a. Soient d'ailleurs
(2) ï(x,y,z) = o, Y{x,y,z)—o
les équations de la directrice, ou, ce qui revient au même, les équa-
tions de deux surfaces qui la renferment. Pour déterminer la nature
de la fonction 9, il suffira d'assujettir chaque génératrice à passer par
un point de la courbe (2). Donc la fonction 9 devra être choisie de
manière que les formules (1) et (2) soient vérifiées simultanément par
un système unique de valeurs de oc, y, z. Par conséquent, la valeur de
9(3) se déduira de l'équation produite par l'élimination des coordon-
nées x, y, z entre les formules dont il s'agit. La nature de la fonc-
tion 9(3) étant ainsi déterminée, l'équation (4) du § I, savoir
(3) w = 9(p),
ne renfermera plus rien d'arbitraire, et l'on pourra construire la sur-
face que cette équation représente.
Si l'on voulait déterminer la fonction 9 comprise dans les for-
mules (1), de manière que la surface (3) fût circonscrite à une surface
donnée, il faudrait chercher d'abord les équations de la ligne de con-
tact des deux surfaces, et l'on pourrait ensuite opérer, comme on vient
OF.uvresde C. — S. Il, t. VIII. 8
58 SURFACES ENGENDREES
de le dire, en prenant pour directrice la ligne dont il s'agit. Or soit
(4) ii=o
l'équation de la surface donnée, u désignant une fonction connue de
x, y, s. La normale, menée à cette surface par un point quelconque
(x,y,z) de la ligne de contact, formera, avec les demi-axes des coor-
données positives, des angles dont les cosinus seront proportionnels
aux dérivées partielles
du du du
{D) W W àl'
tandis que la tangente, menée par le même point à la génératrice de la
surface (3), formera, avec les mêmes demi-axes, des angles dont les
cosinus seront proportionnels aux valeurs de
(6) P, 0. R
que fournissent les équations (3) du § II. D'ailleurs, comme la tan-
gente et la normale dont il est ici question sont toujours perpendicu-
laires l'une à l'autre, le cosinus de l'angle compris entre ces deux
droites se réduira nécessairement à zéro. Donc, si l'on multiplie deux
à deux les quantités (5) par les quantités (6), la somme des produits
sera nulle, et l'on trouvera
. „ du rt Ou T1 du
' dx . /* dy à*
On arriverait à la même conclusion en observant que, pour chaque
point de la courbe de contact de la surface donnée et de la surface (3),
les normales à ces deux surfaces doivent se confondre, et qu'en consé-
quence les quantités (5) doivent être proportionnelles aux cosinus des
angles formés par la normale à la surface (3) avec les demi-axes des
coordonnées positives, ou, ce qui revient au même, aux quantités
(8) p, q> —i,
p et g désignant les valeurs de ~ et -^ tirées de l'équation (3). En
p _
du
du
— i
du
dx
ày
iï
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 59
effet, si, après avoir posé la formule
(9)
on substitue les valeurs de/>, «7 déterminées par cette formule dans l'é-
quation aux différences partielles de la surface (3), c'est-à-dire, dans
l'équation (5) du § II, on retrouvera l'équation (7).
L'équation (7) devant être vérifiée, en même temps que l'équa-
tion (4), pour tous les points de la ligne de contact, les deux équations
réunies suffiront pour représenter cette même ligne, qui, dans l'hypo-
thèse admise, deviendra la directrice de la surface (3).
Quoique les méthodes ci-dessus indiquées conduisent à des solutions
fort simples des questions que nous nous étions proposées, on peut
simplifier encore les calculs qu'exige l'emploi de ces méthodes. On y
parviendra effectivement à l'aide des considérations suivantes.
Concevons que l'on demande l'équation de la surface qui a pour
génératrice la ligne représentée par les formules (1), et pour directrice
la ligne représentée par les formules (2). On pourra continuer à se
servir des lettres x, y, z pour désigner les coordonnées courantes de la
directrice, et employer de nouvelles lettres |, yj, £ pour désigner les
coordonnées courantes de la génératrice menée par le point {oc, y, z).
Cela posé, si l'on nomme V et W ce que deviennent les quantités cet w
quand on y remplace x, y, z par E, y], Ç, les équations de la génératrice
deviendront
(10) Y = v, \Y = w,
tandis que la directrice sera toujours représentée par les formules (2).
Or, si l'on élimine x, y et z entre les formules (2) et (10), on obtien-
dra une équation qui renfermera les seules coordonnées Ç, rj, '£, et qui
sera vérifiée pour un point quelconque de l'une quelconque des géné-
ratrices. Donc cette équation sera précisément celle de la surface ci-
dessus mentionnée.
De même, si l'on nomme Ç, y], £ les coordonnées courantes d'une sur-
60 SURFACES ENGENDREES
face, engendrée par la ligne que représentent les formules (i), et cir-
conscrite à une autre surface qui serait représentée par la formule (4),
il suffira, pour trouver l'équation à laquelle doivent satisfaire les coor-
données £, Y], Ç, d'éliminer x, y, % entre les formules (4)* (7) et (10).
Il est bon d'observer qu'aux équations (10) on pourrait substituer
un système quelconque de deux équations qui seraient propres à repré-
senter la génératrice menée par le point (#,7, ») de la directrice, les
coordonnées courantes de la génératrice étant toujours désignées par
les trois lettres^, yj, t.
Appliquons maintenant les principes que nous venons d'établir à
quelques exemples.
Exemple I. — Proposons-nous d'abord de faire passer par une direc-
trice donnée une surface cylindrique dont la génératrice forme, avec
les demi-axes des x, y et z positives, les angles a, (3, y. Les coordon-
nées E, y], £ de la génératrice menée par le point (x,y, z) de la direc-
trice vérifieront les deux équations comprises dans la formule
(11) • -*-*-
cosa cos(3 cosy
Donc, si, entre cette formule et les équations de la directrice, on éli-
miner,/, z, l'équation résultante, qui renfermera seulement £, rj, Ç,
sera précisément celle de la surface cylindrique.
Concevons à présent que la directrice soit une courbe plane. Dési-
gnons par k la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur
le plan de cette même courbe, et par X, [x, v les angles que forme cette
perpendiculaire avec les demi-axes des coordonnées positives. Enfin
nommons 0 l'angle compris entre la perpendiculaire en question et la
génératrice de la surface cylindrique, en sorte qu'on ait
(12) cos<5 = cosa cosÀ + cos|3 cosjli. -h cosy cosv.
Les équations de la directrice seront de la forme
(i3) creos^ +/cosfx + scosv = k, F(x,y,z) =0.
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 61
Cela posé, on tirera de la formule (i i) combinée avec la première des
formules (i3)
•£— a? rj — y _% — s _{l — oc)Q,osl-+- (ri — j) cosu + (Ç — ~)cosv
cosa " cos(3 cosy cosacosÀ -+- cos(3 cosu -+- cosy cosv
(^) < , l r t
_£cosÀ -h y) cosjm. -+- Ç cosv — k
cosô
et par suite
X — l r (l COS>. + YJ COSU. -+- £ COSV — £),
coso
cos 3
(i5) \ y =Y) ^(?cosX-t- Y)Cosu.4-Çcosv — *),
v ' 1 y coso
cosy ,„ , „ , v
hl = Ç Ut COSÂ H- Y] cosa H- Çcosv — k);
1 coso
puis, en substituant les valeurs précédentes de x, y, % dans la seconde
des formules (i3), on obtiendra l'équation de la surface cylindrique,
savoir
l r (É COSA -f- Y] COSU + Ç COSV — *),
* COSO
cos 3
(16) F/ Y) Ç(çcosX-+-ïicosfxH-Çcosv — X:), }= o.
v coso
f . cosy ,„ , ., , x
Ç (- (tCOSA -h- Y) cosu -+- Çcosv — A:)
\ cosô vs r
Lorsque le plan de la directrice coïncide avec le plan des x, y, elle
peut être représentée par deux équations de la forme
(17) z — o, F(^,.y) = o;
et l'équation de la surface cylindrique, c'est-à-dire l'équation produite
par l'élimination de x, y, z entre les formules (11) et (17), se réduit à
p/geosy — Çcosoc n cosy — gcos(3\ _ p
\ cosy cosy /
Concevons, pour fixer les idées, que la directrice soit une ellipse corn-
62 SURFACES ENGENDRÉES
prise dans le plan des ce, y, et représentée par la formule
x- y-
_L_ ±1 ¥
a'
(19)
L'équation (18) deviendra
(t cosy — Çcosa)2 (m cosy — ÇcosS)2
(20) S r—t L 4. v L__ \LL - cos'-y.
Supposons maintenant que la surface cylindrique doive être circon-
scrite à une autre surface représentée par l'équation (4). Comme, en
chaque point de la courbe de contact des deux surfaces, la génératrice
de la première et la normale à la seconde se couperont à angles droits,
les coordonnées x, y, z de cette courbe vérifieront évidemment les
deux équations
. „ du du Q du
(21) u=.o, — cosa -+- -c-cosp -h -v-cosy = o,
dx dy oz '
dont la seconde aurait pu être immédiatement déduite de la formule (7).
Gela posé, pour obtenir l'équation de la surface cylindrique, il ne res-
tera plus qu'à éliminer x, y, z entre les formules (1 1) et (21).
Concevons en particulier que la surface cylindrique doive être cir-
conscrite à un ellipsoïde construit avec les demi-axes a, b, c, et repré-
senté par l'équation
(22) — + jj + -= =1.
a1 b- c1
La seconde des formules (21), réduite à
OC Y -£
(23) — cosa +■ VrCOsS -\ — -cosy = o,
v ' a- b1 c- '
représentera un plan passant par l'origine, et qui coupera l'ellipsoïde
suivant la courbe de contact des deux surfaces. De plus, on trouvera,
en combinant les formules (23) avec les formules (11),
t o f\ x{c-x) . y {ri— y) z(X-z) _
a- b- c-
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 63
puis, on ayant égard à l'équation (22),
(20) -7 + ^ -t--r =Ij
a2 Z>2 c2
Enfin, si l'on désigne par 2R celui dos diamètres de l'ellipsoïde qui sera
parallèle aux génératrices du cylindre, on aura évidemment
. -, cos2a cos2(3 cosfy 1
(*) — + -yr + ^-j/^jp,
attendu que l'équation (22) devra être vérifiée quand on y supposera
(27) ^ = Rcosa, j=Rcos[3, *=rRcosy.
Cela posé, on tirera desformules (11), combinées avec les formules (23),
(23) et (26),
l — ^ __ y< — y ___ C — s
cosa _~ cos(3 "" cosy
cosa cos(3 cosy
v^ r/* v •" 6* ; c2 _«,/£cosa Yicosj3 ÇcosyX
cos2a cos2(3 cos'y \ a' &2 c1 /
c
il . ,. . C P . U1
«-•>S+(t»-7)p + (C-*)? a, ^ ■ c
— . — 1
£cosa yjcosj3 Çcosy £cosa -rjcos^ Çcosy
a- b- c- a- b- c-
et, par conséquent,
«2 62 c2 \ a1 b1 C
Telle est l'équation de la surface cylindrique circonscrite à l'ellipsoïde.
Cette dernière équation peut encore être présentée sous une autre
forme très simple que nous allons faire connaître.
Si, par l'extrémité du rayon R, c'est-à-dire par le point (.r, y, z)
que déterminent les formules (27), on mène un plan tangent à l'ellip-
soïde, et si l'on nomme X, Y, Z les coordonnées courantes de ce plan.
64 SURFACES ENGENDREES
on aura
(29) ^(X-*) + £(Y--j)+^(Z-s) = o,
ou, ce qui revient au même,
~tf + 62 + c2 ~" «2 + b* + c2 — 1;
puis on en conclura, en ayant égard aux formules (27),
Xcosa Ycos(3 Zcosy 1
(3o)
li
Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de l'ellip-
soïde à un point (£, Y], Ç) choisi arbitrairement sur la surface du cy-
lindre circonscrit. Cette droite coupera l'ellipsoïde et le plan tangent
en deux nouveaux points dont les coordonnées x, y, z et X, Y, Z véri-
fieront les formules (22) et (3o). De plus, si l'on désigne par r, s, t les
longueurs mesurées sur cette droite, à partir du centre de l'ellipsoïde,
et qui aboutissent aux trois points correspondants (.x, y, z), (£j, yj, £),
(X, Y, Z), on aura évidemment
(30 x
(32) X
Par suite, les équations (22) et (3o) donneront
(33) $+*+*=*,
a1 b1 c2 /-
(34) R(^ + !^ + ^) = i. '
\ a-< b2 c* / t
Or on tirera des formules précédentes, combinées avec l'équation (28),
ï*
r
J s
•=;*
\i
Y=f„,
S
«-!«■
S2
-I=72
ou, ce qui revient au même,
(35)
1
r* ~
1 1
s2 + ^
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. Go
Telle est la forme la plus simple que puisse recevoir l'équation (28).
Supposons maintenant que, par le point (£, Y], C) et par le rayon R, on
lasse passer un plan. Ce plan, qui coupera l'ellipsoïde suivant une
ellipse, donnera pour sections, dans la surface cylindrique et le plan
langent, deux tangentes conjuguées de cette ellipse. De plus, il esl
clair que les extrémités des trois longueurs désignées par r, s, t seront
situées sur l'ellipse et sur les deux tangentes conjuguées. Donc l'équa-
tion (3j) entraîne la proposition suivante :
Théorème I. — Si, après avoir tracé dans une ellipse un rayon quel-
conque r, on divise successivement l'unité par le carré de ce rayon et par le
carré de chacune des deux distances s, t, qui séparent le centre des points
où le rayon prolongé rencontre deux tangentes conjuguées, le premier
quotient sera équivalent à la somme des deux autres.
Si l'on voulait démontrer directement ce théorème, duquel on peul
déduire l'équation (28), il suffirait de projeter l'ellipse sur un plan
passant par le petit axe, et formant avec le grand axe un angle 7 qui
aurait pour cosinus le rapport du petit axe au grand axe. Alors, en
effet, l'ellipse et les deux tangentes conjuguées donneraient pour pro-
jections un cercle dont le rayon serait reosT, et deux tangentes me-
nées à ce cercle par les extrémités d'un arc égal au quart de la circon-
férence. Il est aisé d'en conclure que les projections des longueurs s
cl /, savoir
SC0S7, £COS7,
seraient équivalentes à deux produits résultants de la multiplication
du rayon du cercle par la sécante et par la cosécante d'un même angle.
Donc, en désignant par 0 cet angle, on aurait
.VCOST S , . /COST t , r
= -•= secO, = - = rosec/J
/•cosT /• rcost /"
et, par suite,
— H cos'-v -t- si il- 0 .— 1.
\- i-
Or cette dernière équation coïncide évidemment avec la formule ( 35 ).
GF.iwtes de C. — S. II, t. Mil. 9
G6 SURFACES ENGENDREES
Lorsque les constantes a, b, c, R deviennent égales entre elles, l'el-
lipsoïde se réduit à une sphère, et l'équation (28) peut s'écrire comme
il suit
(3G) ;2M--n2-t-r— (;cosa + Y)CO 3 -+- £ eosy)2 = R-.
Le premier membre de la formule précédente n'est autre chose que le
carré de la perpendiculaire abaissée du point (5, r,, '() sur la droite
menée par l'origine parallèlement aux génératrices du cylindre circon-
scrit à la sphère. Donc cette formule exprime que la perpendiculaire
dont il s'agit est égale au rayon de la sphère; ce qui est évidemment
exact.
Si, à l'ellipsoïde que nous avons considéré ci-dessus, on substituait
un liyperboloïde à une ou à deux nappes représenté par l'équation
(37)
a.-2 y2
— -+- 77 •
a- b-
C2 '
ou par la suivante
(38)
C* Or
- b>=1>
il est clair que l'équation de la surface cylindrique, circonscrite à cet
hyperboloïde, serait, dans le premier cas,
(3g) ^-J-15-S-1
* a* b- c1
==R2(
'c cosa
< *
et, dans le second cas,
r-2 -,1 Y±
1 = R«
/ £_ cos a
V a1
c cos a yî cos ,3 C cos y
i) cos 3 C cos y
b* c*~
Dans l'un et l'autre cas, la courbe de contact de l'hyperboloïde et de la
surface cylindrique serait plane, et son plan serait représenté par
l'équation
, , , .rcosa y cos 3 ccosy
a2 b- c-
Quant au premier théorème, il se trouverait remplacé par une proposi-
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 67
lion relative à deux hyperboles conjuguées (*), et que L'on peut énon-
cer comme il suit :
ThÉORÊME II. — Supposons que, après avoir tracé dans un plan deux hy-
perboles, on mène à ces hyperboles des tangentes conjuguées , c'est-à-dire
telles que les points de contact soient situés sur deux diamètres conjugués.
( oncevons, de plus, que du centre commun des deux hyperboles on mène
à l'une d'elles un rayon r, et que l'on divise l'unité : i° par le carré du
rayon r; 2° par le carré de chacune des deux distances s, t qui séparent le
centre des points où le rayon r rencontre les tangentes conjuguées. Le
premier quotient sera équivalent à la différence des deux autres, et l'on
aura
4a , ----- -,
/- .s- t1
pourvu que la longueur s soit celle qu intercepte une des tangentes de r hy-
perbole à laquelle appartient le rayon r.
Supposons encore que l'on demande la surface cylindrique circon-
scrite au paraboloïde elliptique qui serait représenté par l'équation
(43) — + yT=2-
a2 62 c
Alors, au lieu des formules (23) et (s5), on obtiendra les deux sui-
vantes
(44) -jCOSflt-4- jrjCOSj3=-COSy,
(4«>) -f + TT — ~>
a2 b* c c
(') Nous désignons sous le nom $ hyperboles conjuguées deux hyperboles qui ont le
même centre, les mômes asymptotes et les mômes axes, avec cette différence que l'axe
réel de la première est perpendiculaire à l'axe réel de la seconde. [F'oir, à ce sujet, les
Levons sur tes applications du Calcul infinitésimal à la Géométrie, p. 9.73 et suiv. (a)-\
(•) Œuvres de Caiuliy, S. II. T. Y.
i -
GH SURFACES ENGENDRÉES
puis on tirera de ces dernières, combinées avec la formule (i i),
Ëcosa T)COs8 cosy P rr
— _ _J_ L_ _ L _-_ _|_ __ — <_
£ ■ — x /] — y £ — • _ Or b'1 e a'1 b* c
cosa " cos(3 cosy cos*a cos*(3 £cosa Y)COs(3 cosy
a* A- a* b- c
et, par conséquent,
/£cosa rjcos(3 cosy
(46) ? * c
b'1 ' c cos'a cos*p
Si, au lieu d'un paraboloïde elliptique, on considérait un paraboloïde
hyperbolique représenté par la formule
l'équation de la surface cylindrique circonscrite deviendrait évidem-
ment
£cosa yjcos^3 cosy
(48) £_■;!-, .5-
a1 b1 c cos*« cos2j3
Il est bon d'observer que, dans les formules (4(3) et (48), les binômes
cos'a cos2,3 cos*a cos*|3
a2 b2 a* 6*
ont pour valeurs numériques les quotients qu'on obtient en divisait I
l'unité par les carrés des rayons qui forment des angles a, [3 avec les
demi-axes des x et y positives, dans l'ellipse et l'hyperbole représen-
tées par les équations
X* v2 x'1 y-
a- b- a- b-
Supposons enfin que l'on demande la surface cylindrique circon-
scrite à une surface du second degré représentée par l'équation
(49) A x"- -\- B y- +C;!+2 D yz + 2 Ezx -+- 2 F xy -\- 2 Gx + 2 H y -+- 2 1 z r= K .
PAR J)ES LIGNES DROITES OU COURUES. G!)
Alors les formules (28) et (2.)) devront être remplacées par les deux
suivantes
( (Ad?-t-Fy + E« + G)cosa
(5o)
( + (Fa? h- B/ + D-; 4- H) cos(3 -h (Ea?4- D/ h- Cs 4- I) cosy = o,-
( (Xa:-{-Fy-hEz 4-G);'4-(Fa.-4-B/4-I)~4-II)ï)
) +(Ea? + Dj+Cc + I)C + r,a--|-H:K-^Ec=zK,
dont la première représentera toujours le plan de la courbe de contact
des deux surfaces; et, en combinant ces formules avec la formule (r 1 ),
on trouvera, pour l'équation de la surface cylindrique demandée,
/ A|2 + Ryi2+ CÇ2+ 2DyîÇ -f- aEÇg + v¥iri 4- aGg 4-aHti + 2IÇ — K
I :>> > _ [(Ag+FY]+EC+G)cosa + (F;H-BYiH-DC4-H)cos{3 + (EçH-Dr<-t-CC + J)cosy,
A cos2oc 4- B cos2j3 4- C cos2y + 2D eosj3 cosy + 2E cosy cosa 4- 2 Fcosa cos£
Exemple II. — Proposons-nous de faire passer par une directrice
donnée une surface conique dont le sommet coïncide avec le point qui
répond aux coordonnées <rg, y0, s0. Les coordonnées E, ïj, t de la géné-
ratrice menée par le point (x, y, s) de la directrice vérifieront les deux
équations comprises dans la formule
(53) -'*->'-
ou, ce qui revient au même, dans la suivante
- — .r„ m — v« £ — .
(54)
a' — a-0 j' j-'q c z0
Donc, si entre l'une de ces formules et les équations de la directrice
on élimine x, y, s, l'équation résultante, qui renfermera seulement
$, Y], '(, sera précisément celle de la surface conique.
Lorsque la directrice est une courbe plane représentée par les équa-
tions
(55) \.i 4- Bj4- C~ = K, F(a?, y, z) = o,
70 SURFACES ENGENDRÉES
on tire de ces équations, combinées avec la formule (54),
~Q) S — -ro _ r> — Jo _.C — -Sp __ A(£ — o,-0) + R(y] — j-0) + Ç(Ç— gQ)
•r — J"o _ J — /o - — ^o K — (Ajt04- Bj0+C-o)
et, par suite,
(57) { ?' = Jo— (rj — r„)
puis, en substituant les valeurs précédentes de a-, y, s dans la seconde
des formules (55), on trouve, pour l'équation de la surface conique,
I * ( y , A^Q+Rjo+C^Q— K
*• • « ^^A(^-^0) + R(r/-Jo) + C(C-z0)'
(58) Fp-o-l^-Jo)^^— , Ho-
I 4 -r -4-
"0 (, -s "0 )
Ax0+ Rjo+C-o— K
A(£-
- J70) + B(n— j0) + C(C-
A^o + Bro-f- C~0— K
■ s»)
A(£-
-^0)+B(r)-r0) + C(C-
A^-0+ Br0-f- C^fl — K
*•)
À(| — a?0)-t->
Lorsque la directrice est comprise dans le plan des x, y et repré-
sentée par les formules (17), l'équation de la surface conique se ré-
duit à
< ->9) J -y — r-5» -> — r— = °-
(Concevons, pour fixer les idées, que la directrice soit une ellipse com-
prise dans le plan des x,y, et représentée par la formule (19). L'équa-
tion (59) deviendra
(Go) (■roS-SoS)' + (Vog-goti)' _ (Ç _ ; )t
v aï £>-
Supposons maintenant que la surface conique doive être circonscrite
à une autre surface représentée par l'équation (4). Comme, en chaque
PAU DES LIGNES DROITES OU COURBES. 71
point dé la courbe de contact des deux surfaces, la génératrice de la
première et la normale à la seconde se couperont à angles droits, les
coordonnées x, y, z- de cette courbe vérifieront évidemment les deux
équations
du , Ou . , du . .
(Gi) tt==0, d~(x-x0) -H ~(y—f0)-+-—{z-z0) — o,
dont la seconde aurait pu être immédiatement déduite de la for-
mule (7). Cela posé, pour obtenir l'équation de la surface conique, il
ne restera plus qu'à éliminer^,/, z entre les formules (53) et (61).
Concevons, en particulier, que la surface conique doive être circon-
scrite à un ellipsoïde construit avec les demi-axes a, b, c, et représenté
par l'équation (22). La seconde des formules (61) deviendra
(6a) *(*-*.) + y(y-y') + îiLziû = D,
v ' a1 b- c*
et, en la combinant avec l'équation (22), on obtiendra la suivante
x0x YoY z<>z
(G3) — r + ^y-+ -V = ».
v ' a- b- c-
c'est-à-dire l'équation d'un plan qui coupera l'ellipsoïde suivant la
courbe de contact des deux surfaces. De plus, l'équation (62), réunie
à la formule (53), entraînera l'équation (24) et, par conséquent,
l'équation (25). Cela posé, on tirera de la formule (.53), combinée
avec les formules (22), (25) et (63),
l — x r, — v Ç — -
y*— y s9—s
{*.-*)-, +(y.-y)fc + <,:>-') et V + TÏ+S
«-»)^+(,-/)J+(e-«>à j-= + ïi + ?
\ f] . . \ X0' V0'i
'ri SURFACES ENGENDRÉES
et, par suite,
(64) (H + 3? * '4 -.)'= (4 +4+4-,) (il + g + ?; _,
V «- 61 c- / \ci- bl c- ) \a- b- c*
Toile est l'équation de la surface conique circonscrite à l'ellipsoïde.
Cette même équation peut encore être présentée sous d'autres formes
très simples que nous allons faire connaître.
Soient
H0 le rayon vecteur mené du centre de l'ellipsoïde au sommet de la
surface conique;
U la partie de ce rayon vecteur qui représente un rayon de l'ellip-
soïde ;
a, [i, y les angles que forme la direction commune des rayons R„, R
avec les demi-axes des coordonnées positives.
L'équation (26) sera vérifiée, et l'on aura, de plus,
(6.")) .r0=R0cosa, j0=R0cos£, s0=R,eosy,
Par conséquent, la formule (64), divisée par Rj;, deviendra
{%cm* , ncosft , Çcosy 1 \*_/ 1 1 \//i'2 , rt
a" b> c1 \\J VR2 H*/ \a* b* c1
Si, dans cette dernière, on suppose R0 = ac, la surface conique se trans-
formera en une surface cylindrique, et l'on retrouvera, comme on de-
vait s'y attendre, l'équation (28).
Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de l'ellip-
soïde à un point (E»i)t() choisi arbitrairement sur la surface du cône
circonscrit. Cette droite coupera l'ellipsoïde, et le plan tangent qui
touche l'ellipsoïde à l'extrémité du rayon R, en deux nouveaux points
dont les coordonnées x, r, r- et X, Y, Z vérifieront les formules (22)
et (3o). De plus, si l'on désigne par r, s, t les longueurs mesurées sur
cette droite à partir du centre de l'ellipsoïde, et qui aboutissent aux
PAR DES LIGNES DROITES OU COURRES. 73
trois points correspondants (x, y, z), (Ç, yj, Ç), (X, Y, Z), ces longueurs
se trouveront liées aux coordonnées Ç, Y], *( par les formules (33) et
(34). Or on tirera de ces formules, combinées avec l'équation (67),
(ic-èH*-ib)(W
Telle est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter
l'équation (67). D'ailleurs, si, par le point (Ç, yj, Ç) et par le rayon R,
on fait passer un plan, ce plan, qui coupera l'ellipsoïde suivant une
ellipse, donnera pour sections, dans la surface conique et le plan tan-
gent dont nous avons parlé ci-dessus, deux tangentes quelconques de
celte ellipse. Enfin il est clair que les extrémités des longueurs r, s, t
seront situées sur l'ellipse et sur les deux tangentes. Donc l'équa-
tion (68) fera connaître une nouvelle propriété de l'ellipse. Cette der-
nière propriété, plus générale que celle dont l'énoncé a fourni le pre-
mier théorème, pourrait être démontrée directement par le même
moyen, attendu qu'il est facile de la vérifier dans le cas où l'ellipse se
réduit à un cercle.
Si à l'ellipsoïde représenté par l'équation (22) on substituait l'un
des hyperboloïdes représentés par les formules (37), (38), l'équation
de la surface conique circonscrite se réduirait à l'une des suivantes
<*> (3
o| _,_ roU _ £oÇ _ \*_ (x\ yl
bl c* ) U2 b*
r\-
Ç2
b-
c2
f]-
>*2
b*
c*
(70) (2-J£-#H-.)=@+£-2-
et la formule qui remplacerait l'équation (68) ferait connaître une pro-
priété du système de deux hyperboles conjuguées.
Supposons encore que l'on demande la surface conique circonscrite
au paraboloïde elliptique représenté par l'équation (43). Alors, au lieu
des formules (25) et (63), on obtiendra l'équation (45) et la suivant»1
, v x(sx , yp.y f *•.
[~l) a" '• "*" b* c~ c '
OEuvrcs de C. - S. II. t. VIII. 10
n SURFACES ENGENDRÉES
puis on tirera de ces dernières combinées avec la formule (53)
fil + ZiH _ £ + *• |1 , 22! a?
£ — # y) — y Ç — z 0} b2 c a2 b'2 c
et, par conséquent,
__» _i_ i_ji 9 _^
a* t> c a- b-
*Â , Jo^n Ç-KjA"_/*2 L .r« 2:o\/?^ _ 2?
<7^
62 C / \a2 b2 c \a2 b1 c
Si, au lieu d'un paraboloïde elliptique, on considérait un paraboloïde
hyperbolique représenté par la formule (47)» l'équation de la surface
conique circonscrite deviendrait évidemment
(73)
^o£ y** c + -n\2_/^o yl a*o\ /£" ^ 2C
a-
b1 c \ a2 b2 cl \a2 b- c
Supposons enfin que l'on demande la surface conique circonscrite à
la surface du second degré représentée par l'équation (49)- Alors les
formules (25) et (63) devront être remplacées par l'équation (5i) et
par la suivante
( (A* + Fj + Es + G)^0+ (F* -+- By -f- Vz -+- H)/0
(74) ) +(E^ + D/ + Gs4-I)^0+G.r + Hj + I^ = K,
(jui représentera la courbe de contact des deux surfaces; et, en combi-
nant ces équations avec la formule (53), on obtiendra celle de la sur-
face conique demandée, savoir
( ÀÊ«-4-Bi)»+C{;8-+-aD7iÇ-t-aEÇÈ-t-aF$i] -+-2G$-»-aHi] -t-alÇ — K
75)- _ [(AS-t-F71 + E^-t-G).r0H-(FS + B7iH-Dg-i-H)ro+(Eg-HDv}-t-C^-f-l)so-t-GS-T-Hr,-+-U-Kl»
( Xx2-i~iifl-h G«§-+- 2Dj0^o+ 2E20-C0+ »Fxojr*-f- 2G.r0+ alIjo-T- 2l30— K
Troisième exemple. — Proposons-nous de faire passer une surface co-
noide par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe l'axe des z,
les coordonnées £, y}, '( de la génératrice menée par le point (x, y,z)
de la directrice vérifieront les deux formules
(76) z-z* & = *•
' x y
PAU DES LIGNES DROITES OU COURBES. 75
Donc, si entre ces formules et les équations de la directrice on élimine
x, 7, s, l'équation résultante, qui renfermera seulement Ç, 7], L scia
précisément celle de la surface conoïde.
Lorsque la directrice est une courbe plane représentée par les équa-
tions (55), on tire de ces équations combinées avec les formules (76)-
l _ y) __ Ag + Bn _ A£_+_B_y) _ A^-f-Br;
x "y ~~ kx + By *~ K '- CT : K - CÇ
et, par suite
(77) * = C * = *?£&& ^^W^t^
puis, en substituant les valeurs précédentes de x, y, z dans la seconde
des formules (55), on trouve, pour l'équation de la surface conoïde,
(78) FUtê — ït-> -n 4v , » > K ) = o.
w ' \^A£4-By) Aç + Byj /
Dans le cas particulier où la directrice est renfermée dans un plan
perpendiculaire à l'axe des x, et représentée par deux équations de la
forme
(79) x — a, Y(y,z) = o,
l'équation de la surface conoïde se réduit à
(80) f(^,c)=o.
Ainsi, par exemple, si l'on prend pour directrice l'ellipse que déter-
minent les formules
Y- C2
(81) œ — a, ^- + -=1,
la surface conoïde sera représentée par l'équation
a2 Y)2 K2
(82) ^ + 3=»»
76 SURFACES ENGENDRÉES
à laquelle on parviendrait également en prenant pour directrice le
cercle que déterminent les deux formules
(83) x——-, y2+-2=c2.
b J
Supposons maintenant que la surface conoïde doive être circonscrite
à une autre surface représentée par l'équation (4). Alors, pour chaque
point de la courbe de contact des deux surfaces, l'équation (5) du § II
devra être vérifiée par les valeurs de/? et g tirées de la formule (9), et,
par conséquent, les coordonnées x, y, z de cette courbe seront liées
entre elles par les deux équations
/q/\ du du
(<*4) u = o, x — + y — - — o,
ôx J dy
dont la seconde aurait pu être déduite de la formule (7). Cela posé,
pour obtenir l'équation de la surface conoïde, il ne restera plus qu'à
éliminer x, y, z entre les formules (76) et (82).
Concevons, en particulier, que la surface conoïde doive être circon-
scrite à un ellipsoïde dont le centre coïncide avec le point (x0, y0, z9)t
et dont les axes soient respectivement ia, -±b, ic, savoir, à l'ellipsoïde
représenté par l'équation
1 .
(85) (^-^o)2 , (.r--.ro)2 , (s-sp)*
a2 b* "*" c2
La seconde des formules (84) deviendra
(86) *(*-*») y(y-y,)_
De plus, en combinant celle-ci avec la première des équations (76),
on trouvera
<8?) ^(^-^o) + ^(7-7o)=o.
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 77
Enfin, on tirera des formules (76), (85) et (87)
«6 _ y— y* _ (^ — •*•<>) *i — (r — .n)c _ /0£ — #<>*>
£« a" 6* + a2 a2 + b'-
, —±ab — ===== — =±ab — —
(Ç-~o)J
et, par conséquent,
(88) — ^ — - U2" ôv L — ^s— J '
Telle est l'équation de la surface conoïdc circonscrite à l'ellipsoïde.
Si l'axe d'une surface conoïde coïncidait, non plus avec l'axe des z,
mais avec la droite menée par un point donné (&0*y0, £<>)» de manière à
former avec les demi-axes des coordonnées positives certains angles a,
[3, y, les coordonnées Ç, r\, '( de la génératrice menée par le point (oc, y, *)
de la directrice vérifieraient les deux formules
(89) (£ — x)costx H-(rj — jr)ços$ + (Ç — s) cosy =0,
(90) (ç — .z) cosL ■+- (n —y) cosM + (Ç — z) cosN = o,
L, M, N désignant les angles compris entre les demi-axes des coordon-
nées positives et la perpendiculaire au plan qui renfermerait cette géné-
ratrice avec l'axe de la surface conoïde. D'ailleurs ces angles seraient
évidemment liés entre eux par les deux équations
( cosacosL -h cos3cosM -+- cosy cosN = 0,
(90
( (x — x0) cosL + (y — y0) cosM 4-(«— -0) cosN = 0,
desquelles on tire
cosL cosM
( y — Jo) cosy — (3 — z0) cosS (z — z0) cosa — (x — .r0) cosy
(92) { "
cosN
(j; — x0) cosS — ( J — Jo) ('os:*
(9«)
78 SURFACES ENGENDRÉES
Donc, par suite, la formule (90) donnerait
j [(y — >'o)cosy — (z — z0)cos(3](£— te)
(93) j + [(~ — -0)cosa — {œ — a?0) cosy] (n — y)
! + [(# — ^0)cos(3 — (j— j0)cosa](C — *) = 0.
Dans l'hypothèse admise, les formules (89) et (93) représentent la
génératrice qui passe par le point {oc, y, z) de la directrice. Donc,
pour obtenir alors l'équation de la surface conoïde, il suffît d'éli-
miner ce, y et z entre les équations de la directrice et les formules
dont il s'agit.
Il est bon d'observer que l'on peut substituer, dans les formules (91)
et (92), les coordonnées Ç, r\, £ aux coordonnées x, y, z, et remplacer
en conséquence l'équation (93) par la suivante :
l [(*)— 7o)cosy — (Ç — s0)cos(3](£ — #)
(94) j + [(Ç— -0) cosa — (ç — a?»>COSy](t] — y)
\ H-[($ — ^o)eos[i — (m — j'0)cosa] (Ç — »)= o.
Or, de cette dernière réunie à la formule (89), on conclut
/ l — œ
(95)
\— ■Zo— [(£ — ^0) COS« -+- {-n — j0)cos(3 -+- (Ç— -~0)cosy] cosa
-n— y
•Q — /»— [(| — ^0)^osa + (n — j0)cos(3 + (Ç — ^0) cosy] cos(3
Çj^* __
Ç — -0— [(£ — ^0) cosa -+-(y] — 70)cos|3 + (Ç — ~0) cosy] cosy'
Lorsque la directrice est plane, et représentée par les équations (i3),
chacune des fractions comprises dans la formule (95) est équivalente
au rapport
£ cosX -+- rt cos[i. -+- Ç cosv — k
(£ — .r0)cosÀ ■+- (rj .— j0)cosfx-+-(Ç — 20)cosv — [(£ — #<,) cosa -4- (ïj — j0)cos[3 H- (Ç — 30)cosyjcoso
et de cette seule remarque on déduit immédiatement des valeurs de x,
y, z, qui, substituées dans la seconde des équations (i3), fournissent
l'équation entre Ç, ïj, Z propre à représenter la surface conoïde.
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 79
Si l'on prenait pour directrice la droite menée par un point donne
(a?«»^i>*i)i de manière à fermer, avec les demi-axes des coordonnées
positives, les angles 1, [x, v, c'est-à-dire la droite représentée par la
formule
^J' COSÀ COSfJl cosv
on tirerait de cette formule combinée avec les équations (12) (89)
et (94)
/ (j| — -Ei) cosa-t- (ti — ,ri)cosft -+- (K — 3i)coS7
\ coso
(',8,j _[(Tt-ro)cosY-(S-z0)co8p](S — xQ + K^— g0)cos«-^-.r0)eosY](7i— yQ + KS— ■ro)cosp-(Tl-r0)cosa|rS--si>
[ -[(q—^cosY — (Ç — *o) cos(i]cosX -h [(Ç — z0)cosa — ({•— .ro) cosy]cos[x -+-[(; — .r0)cos'p — (r, — r0)cosa) cosv
Telle est l'équation du paraboloïde hyperbolique engendré par une
droite qui se meut en s'appuyant sur les axes représentés, l'un par la
formule (32) du § II, l'autre par la formule (97), et de manière à rester
toujours perpendiculaire au premier de ces deux axes.
Lorsque la surface conoïde doit être circonscrite à une autre sur-
face représentée par l'équation (4), on peut prendre pour directrice
la courbe de contact des deux surfaces, représentée elle-même par les
équations
u —- o,
. du . .du du
(99) /<* - *o) ^ + (/ - 7o) Ty + (* - ^o)^T
/ -, f Ou Ou Q du \
f = [(.r - .x0) cosa ■+■ (y - fo) cos(3 + (z - s9) COSy] (^ cosa + ^ cos[3 + ^ eosy j,
dont la seconde se déduit de la formule (9) combinée avec la for-
mule (24) du § II. Ajoutons que la seconde des équations (99) peut
être remplacée par la suivante
v x du , .Ou ,„ .du
(100) «-*)35 + (*-/)ç + (C-«)3j=^
qui exprime que, en chaque point de la courbe de contact, la généra-
80 SURFACES ENGENDRÉES
trice de la surface conoïde et la normale de la surface (4) se coupent
à angles droits.
Quatrième exemple. — Proposons-nous de faire passer une surface
de révolution par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe
l'axe des z, les coordonnées Ç, yj, Ç du cercle générateur passant par le
point (oc, y, z) de la directrice vérifieront les deux formules
(ioi) it+-ni=œ'-+r\ £ = *.
Donc, si entre ces formules et les équations de la directrice on élimine
xt y, z, l'équation résultante qui renfermera seulement H, tj, '( sera
précisément celle de la surface de révolution.
Supposons maintenant que la surface de révolution doive être cir-
conscrite à une autre surface représentée par l'équation (4). Alors on
pourra prendre pour directrice la courbe de contact des deux surfaces,
représentée elle-même par les équations
, x du du
dont la seconde se déduit de la formule (9) combinée avec la for-
mule (26) du § II. Concevons, pour fixer les idées, que la surface (4)
se réduise à l'ellipsoïde représenté par l'équation
a2
(io3) (^-^o)2+(j-jo)2=^-[c2-(^-^0)2].
Dans ce cas particulier, la seconde des formules (102) deviendra
(io4) î=h
XQ Jo
puis on tirera de cette formule combinée avec les équations (101)
et (io3)
y — jo _
^0 Jo V^o+Jo V^o + Jo'
X — ./■„ _
V^o+Jo V^o+Jo
_^_« V/C2_(Ç_-o)2
Xt
>'o
C V^o+Jo
PAR DES LIGNES DROITES OU COURBES. 81
et par suite
(io5) {sf^f^^s/W^^-y-^^W-iK-^Yl
ou, ce qui revient au même,
(106) U2 + ^2-^[c2-(ç--o)2] + ^-^7oj2=4(^ + ro)(^ + ^)-
Telle est l'équation de la surface de révolution qui, ayant pour axe
l'axe des z, est circonscrite à l'ellipsoïde de révolution représenté par
l'équation (io3).
Si l'axe de la surface de révolution coïncidait, non plus avec l'axe
des z, mais avec la droite menée par un point donné (^vjo >-<>-)> de
manière à former, avec les demi-axes des coordonnées positives, cer-
tains angles a, (3, y, les coordonnées Ç, y], '( du cercle générateur pas-
sant par le point (oc, y, z) de la directrice vérifieraient les deux for-
mules
( (£ — a?)cos«-h (yî — /)cos(3-+- (Ç — z) cosy = o,
et la surface de révolution circonscrite à la surface (4) pourrait être
considérée comme ayant pour directrice la courbe représentée, non
par les équations (102), mais par les deux suivantes
U — o,
[(y — /o)CO«P — (* — -0) cos y] ^
(108) , . -du
4- [( s — z% ) cos a — ( x — jc0 ) cos y J y-
4- [(* - .r0) cos(3 — (/ — Jo) cosa] — = o,
dont la seconde se déduit de la formule (9) combinée avec la for-
mule (3i) du § II.
Nous bornerons ici l'application des principes exposés au commen-
OEm;es de C. - S. Il, t. VIII. ' 1
82 SURFACES ENGENDRÉES, ETC.
cernent de ce paragraphe. Un autre article sera consacré à la recherche
des équations qui représentent des surfaces dont la construction dé-
pend de plusieurs fonctions arbitraires, et en particulier des surfaces
développables, lorsque ces surfaces doivent passer par des directrices
données, ou être circonscrites a des surfaces données.
DISCUSSION
DES LIGNES ET DES SURFACES
DU SECOND DEGRÉ.
On nomme lignes du degré n celles qui, étant renfermées dans un
plan, peuvent être représentées par une équation du nième degré entre
deux coordonnées rectilignes x, y. On nomme de même surfaces du
degré n celles qui peuvent être représentées par une équation du
riëme degré entre trois coordonnées rectilignes x, y, z. Comme, pour
passer d'un système de coordonnées rectilignes à un autre du même
genre, il suffit de recourir à des formules dans lesquelles ces coordon-
nées entrent au premier degré seulement, il est clair que la nature des
lignes et surfaces du degré n dépend uniquement du nombre n, et nul-
lement du système de coordonnées rectilignes que l'on emploie. Cela
posé, on peut rechercher quelles sont les diverses espèces de lignes et
de surfaces qui correspondent à une valeur donnée de n. Ainsi, par
exemple, on discutera sans peine les lignes et les surfaces du second
degré à l'aide des principes ci-dessus exposés (pages 9 et suiv.). C'est
ce que je vais montrer dans cet article.
§ I. — Discussion des lignes du second degré.
Soient, dans un plan donné, x, y les coordonnées d'un point, rap-
portées à deux axes rectangulaires. L'équation la plus générale des
lignes du second degré sera de la forme
(1) A^2-t-By2-T- 2C#/-+- aD#-4-aE/:= k,
84 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
A, B, C, D, E, K désignant des quantités constantes ; et une droite menée
par le point (?, y]), de manière à former avec le demi-axe des x posi-
tives l'angle a compris entre o et t., sera représentée par l'équation
S _ .+. y — f\
oosoc sina
que l'on peut réduire à
(2)
x — l _ y
eosd» s in ^
en faisant, pour plus de commodité,
± a = <|/.
De plus, si l'on pose
(3) ,. — ^ — 4)*+ (y-~^7,
c'est-à-dire si l'on désigne par r la distance des deux points (Ç, yj),
(r, y), on tirera de la formule (2)
(4) ^Lzl = y-^=±r
le double signe devant être réduit au signe + ou au signe —, suivant
que l'angle a == ± ty sera relatif à la longueur r comptée à partir du
point (£, y]) ou à partir du point (x, y). On aura donc, dans le premier
cas,
(5) x = \ 4- /'cos^, y = y] -1- /• sin ^
et, dans le second,
(6) cC = \ — rcosty, y — Y] — r sin^.
Concevons maintenant que le point (Si yj) coïncide avec le milieu
d'une corde de la ligne (1), et le point {x, y) avec l'une des extrémités
de cette corde. La longueur de la même corde sera égale au double de
la distance r, et la formule (1) sera vérifiée par les valeurs de x, y
tirées, soit des équations (5), soit des équations (G). Donc, si l'on fait,
DU SECOND DEGRÉ. 85
pour abréger,
/ s = Acos2^ -h B sin2<|* h- 2C cos^sin^,
(7) j < = (A$-+-Ctî-i-D)ço84' + (C$H-Btï-f-E)8in4»,
( az^A|2+BY)2+2C|Yl4- 2D£H-2Ey),
on aura, on même temps,
(8) sr°--+-2tr-hu~K, $/•*— a*r-K« = K
et, par suite,
(9) «H+« = K,
(10) £ = 0,
Il est bon d'observer que l'équation (10) peut s'écrire sous l'une ou
l'autre des deux formes
(n) (A|-+-Cti-+-D)cos^-h(C$ + BYH-E)sim|/ = o,
(12) (A cosd* -f- C sin<j>)ç + (Ccos^ -H B sin^)^ + D cos^ -+- E sin^ — o.
Cette équation étant du premier degré par rapport aux coordonnées Ç,
y], il en résulte que le point (Ç, yj) décrira une droite, si la corde ir
varie, mais de telle sorte que l'angle ^ demeure constant. Ainsi des
cordes parallèles de la ligne (1) ont leurs milieux situés sur une seule
droite qu'on pourrait appeler axe diamétral. Ajoutons que, si l'on fait
03) — ^ } — -n— 7— f = tango,
±ç désignera l'angle formé par la droite dont il s'agit avec le demi-axe
des x positives, et que cette droite sera perpendiculaire aux cordes
dont elle renferme les milieux si l'on a
(i'4) 1 + tangotang^ — o,
ou, ce qui revient au même,
K A cos^ -+- C sirnp _ C cos<|> -+- B sintji
cosvp sin*];
86 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
Dans ce dernier cas, la droite représentée par l'équation (12) divisera
en deux parties symétriques la ligne représentée par l'équation (1), et
sera ce que l'on nomme un axe principal as cette ligne. Cela posé, on
démontrera facilement que, pour chaque ligne du second degré, il
existe toujours au moins un axe principal. On y parviendra, en effet, a
l'aide des considérations que nous allons exposer.
On tire de l'équation (i5), combinée* avec la première des équa-
tions (7),
/ gv Acosip -j- C sini|> _ Ccosij; -h B sintL
cosij; sin^
ou, ce qui revient au même,
( (A — s) cos<ii + C sintL = o,
(17)
f C costj; + (B — s) sin<J> = o;
puis, en éliminant l'angle ty, on en conclut
(18) (A-5)(B-5)-C2=:0.
De plus, les deux racines de l'équation (18) sont évidemment
et elles ne peuvent devenir égales entre elles que dans le cas particu-
lier où l'on a
(20) A = B, C = o.
Dans ce dernier cas, l'une et l'autre se réduit à la quantité A, et les
équations (17) se trouvent vérifiées, quel que soit l'angle^. Mais, dans
le cas contraire, les équations (17) fournissent une valeur unique et
réelle du rapport
sind»
\ = tangd/.
Ajoutons que l'équation (12) deviendra, en vertu des formules (17),
(21) .s(£cosi}<-+- Yisinip) -hDcos^ + Esin^=:o.
DU SECOND DEGRÉ. 87
Or cotte dernière représentera évidemment une droite déterminée,
toutes les fois que l'angle ty aura une valeur déterminée, et la quan-
tité s une valeur différente de zéro. Enfin il est clair que, pour une va-
leur de s différente de zéro, l'équation (9) fournira deux valeurs de r
déterminées et de signes contraires, toutes les fois que la droite (2)
rencontrera la ligne (1). Donc la ligne (1) offrira deux axes principaux
correspondants aux deux racines de l'équation (1 8), si ces racines sont
inégales, et si aucune des deux racines ne s'évanouit.
Si, l'équation (18) ayant ses racines inégales, l'une d'elles se rédui-
sait à zéro, la ligne représentée par cette équation continuerait d'offrir
un axe principal correspondant à l'autre racine.
Enfin, si l'équation (18) avait ses deux racines égales entre elles,
mais différentes de zéro, alors, en substituant au lieu de s, dans la for-
mule (21), la valeur commune des deux racines, et attribuant succes-
sivement à l'angle '\> une infinité de valeurs diverses, on obtiendrait
une infinité de droites dont chacune pourrait être considérée comme
un axe principal de la ligne (1).
On ne peut supposer que les racines de l'équation (18) soient toutes
deux nulles, à moins d'admettre que l'on aA = B = C = o, c'est-à-dire
que la formule (1) cesse d'être une équation du second degré.
Il sera maintenant facile de résoudre la question suivante :
Problème I. — Rechercher quelles sont les différentes espèces de lignes
du second degré.
Solution. — Comme nous avons prouvé que, pour chaque ligne du
second degré, il existe au moins un axe principal, c'est-à-dire un axe
qui la divise en deux parties symétriques, on pourra prendre cet axe
pour axe des œ. Alors l'équation de la ligne ne devra pas être altérée
quand on y remplacera/ par — y, et, par conséquent, les termes qui
renfermeront la première puissance de y devront s'évanouir. Donc
cette équation sera de la forme
(22) A^24-Bjr-+-2D#=:K.
88 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
J'ajoute qu'on pourra toujours réduire à zéro le coefficient D, si la con-
stante A n'est pas nulle, et la quantité K, si, A étant nulle, D diffère de
zéro ; car, pour y parvenir, il suffira de remplacer, dans le premier cas,
x par x — j> et, dans le second cas, x par x h — jr, c'est-à-dire de
transporter l'origine sur l'axe des x, au point qui a pour abscisse
D K
— — ou — pr- Cela posé, l'équation (j) prendra l'une des formes
(23) A.r2-+-Bj2 =K,
(24) Bj2+2D^=0.
De plus, si, dans les formules (23), (24), on suppose les coefficients
A, B, D, K différents de zéro, il suffira de faire
_ ._ a , — — £>> j. — h-c>
a, b, c désignant des quantités positives, pour ramener ces formules
aux deux suivantes :
v a1 b-
(26) y*=± icx.
Or la formule (25) comprend : i° l'équation
x2 , J2 _ .
(27)
a-
qui représente une ellipse dont les demi-axes sont a et b\ 20 les deux
équations
y2 oc*
qui représentent deux hyperboles dont les demi-axes sont a et b ;
3° l'équation
(3o) ? + t=-'
DU SECOND DEGRÉ. 89
qui ne représente aucune ligne. L'ellipse (27) deviendrait un cercle si
l'on avait a = b. Quant à la formule (26), elle représente évidemment
une parabole dont c est le paramètre.
Si l'on faisait évanouir,» dans l'équation (23) ou (24)1 une ou deux
des constantes A, B, D, K, mais de manière que cette équation ne
cessât pas d'être du second degré, on obtiendrait l'une des formules
(3i) A^2+Dj2 = o,
(32) Àaî8=K,
(33) B/»=K,
(34) . x*=o,
(35) r- = o.
Or les seules lignes que puisse représenter une de ces formules sont :
i° deux droites qui se coupent à l'origine des coordonnées; i° deux
droites parallèles à l'un des axes coordonnés; 3° l'un de ces mêmes
axes.
En résumé, une ligne du second degré ne peut être qu'une ellipse
ou un cercle, une hyperbole, une parabole, ou un système de deux
droites qui se réduisent quelquefois à une seule. Parmi ces lignes, l'el-
lipse et l'hyperbole, qui peut se réduire à deux droites passant par un
même point, sont les seules qui offrent deux axes principaux et de
positions déterminées. Le cercle offre une infinité d'axes principaux
qui ne sont autres que ses diamètres. La parabole offre un seul axe
principal. Enfin le système de deux droites parallèles offre pour axes
principaux non seulement une troisième parallèle qui divise la dis-
tance des deux premières en parties égales, mais encore l'une quel-
conque des droites menées perpendiculairement à ces mêmes paral-
lèles.
Nota. — On peut aisément s'assurer que les courbes représenter
par les équations (26), (27), (28) et (29) jouissent des propriété-
connues qui servent à la description de la parabole, de l'ellipse et de
l'hyperbole.
OEuvrcs de C. — S. II, t. ¥111. »2
M) DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
En effet, considérons d'abord l'équation
(36) J2= 2cr,
à laquelle se réduit la formule (26) quand on choisit convenablement
la direction des x positives. Si l'on nomme r la distance comprise
entre un point {x, y) de la courbe (36) et le point situé sur le demi-
axe des x positives à la distance ~c de l'origine, on aura
et, par suite,
(3;) r = a? -\-\c.
Donc cette distance sera équivalente à celle qui séparera le point (x, y)
de la parallèle à l'axe des y à laquelle appartient l'équation
(38) œ=-\c.
Or on reconnaît évidemment ici la propriété caractéristique de la para-
bole.
Considérons en second lieu l'équation (27), dans laquelle a surpas-
sera b, si l'on a convenablement choisi l'axe des x, et posons
(39) a-~bï—a}c-.
Cette équation donnera
(40) r2=r(i — c2)(a2— x2).
De plus, si l'on appelle r la distance comprise entre le point (x, y) de
la courbe (4°) et l'un des deux points situés sur l'axe des x à la dis-
tance ai de l'origine, on aura
r*=(a:±at)t + y*={x±at)*-+-(l — £2)(a2— x*) = (a± sx-y ;
puis on en conclura, en ayant égard aux conditions £2<i, x2<^a2,
i2x2<^ a2,
(40 r~azhzjc.
DU SECOND DEGRE. !ll
Donc les distances du point {oc, y) aux deux points dont il s'agit
seront
a — e x, a -+- ex,
et la somme de ces distances sera constamment équivalente à ia. On
reconnaît évidemment ici la propriété caractéristique de l'ellipse.
Considérons enfin l'équation (28) à laquelle on ramène l'équa-
tion (29), quand on échange entre elles, d'une part, les coordonnées
r, y; d'autre part, les constantes a et b; et posons
(4a) a*-+b%—aH\
Cette équation donnera encore
(43) r2 = (i-£2)(^2-«2).
Par suite, si l'on appelle r la distance comprise entre le point (oc, y) de
la courbe (43) et l'un des points situés sur l'axe des x à la distance ai
de l'origine, on aura toujours
/•2 = (a ± ex)2;
puis on en conclura, en ayant égard aux conditions £2>>i, x2^>cr,
i'-x2 ^> a2, et supposant x positive,
(44) r = tx±a.
Donc les distances du point (oc, y) aux deux points dont il s'agil
seront
ex — a, ex -+- a,
et la différence de ces distances sera constamment égale à ia. On re-
connaît évidemment ici la propriété caractéristique de l'hyperbole.
Dans les équations (3q) et (42)> la constante £ est ce qu'on appelle
Y excentricité de l'ellipse ou de l'hyperbole.
Lorsqu'une ligne du second degré offre deux axes principaux de
positions déterminées, cette ligne ne pouvant être qu'une ellipse, ou
une hyperbole, ou un système de deux droites qui se coupent, les deux
axes principaux sont nécessairement perpendiculaires l'un à l'autre.
92 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
C'est, au reste, ce que l'on démontre sans peine à l'aide des formules
(17) et (18). En effet, nous avons vu que la ligne (1) a deux axes prin-
cipaux déterminés, lorsque les racines de l'équation (18) sont inégales
et diffèrent de zéro. Or soient sit s.2 ces racines supposées inégales, et
'!,, i|/a les valeurs correspondantes de ty, tirées des formules (17) on,
ce qui revient au même, de l'une des suivantes
/ / - x , . .? — A 1 s — B
(45) •"«+=— as— • ^ = -c-;
tang^i» tangua seront les deux racines de l'équation
A T»
(46) \ang-'li-\ = — tangtj/ — 1 = 0,
que produit l'élimination de s entre les formules (45). On aura donc
(^7) lang'i, tang'|2 = — 1 ou 1 4- langui tang'J;2 = o.
Or cette dernière formule exprime évidemment que les axes principaux
correspondants aux racines s,, s.2 se coupent à angles droits. Ajoutons
que l'équation (46), qui peut encore être présentée sous l'une des
formes
(48) tanga^= ,
(49) C(cos2ij; — sin2^) 4- (B — A) sin^ cos'j» = o,
coïncide évidemment avec l'équation (i5).
Dans le cas que nous venons de considérer, le point d'intersection
des deux axes principaux de la ligne (1) est évidemment un centre, et
même le centre unique de cette ligne. Alors aussi un axe diamétral,
représenté par la formule (n), est toujours un véritable diamètre de
la courbe; et, comme le centre est nécessairement situé sur tous les
diamètres, ses coordonnées, que nous désignerons par E, y], vérifient
la formule (1 1), quel que soit l'angle vp, par conséquent les deux équa-
tions
(50) A$ + Crn-D=o, C| + Br)4-E = o,
DU SECOND DEGRÉ. 03
(lesquelles on tire
CE — BD _ CD -AE
(51) c>~ AB-C2 ' 'n ~ AB-C2 '
Cela posé, soit k la valeur de u correspondante aux valeurs précédentes
de 5 et de y). On trouvera
(52) k = A£2 -+■ B n2 -h 2 C;n + 2 D \ ■+■ aEn = Dç h- Eyi,
ou, ce qui revient au même,
,„, ,. AE' + BD'-aCDE.
(53) *=- ^^^ ,
et, si le diamètre représenté par l'équation (2) rencontre la ligne (1),
la longueur interceptée par cette ligne sur le même diamètre sera égale
au double de la longueur r déterminée par l'équation
(54)
v^
que l'on déduit de la formule (9) en prenant u = k.
Concevons à présent que, dans la formule (54), on substitue succes-
sivement pour s les deux racines de l'équation (18). Les valeurs cor-
respondantes de r seront toutes deux réelles, ou l'une réelle et l'autre
imaginaire, suivant que la ligne (1) sera rencontrée par ses deux axes
principaux ou par un seul d'entre eux, ou, en d'autres termes, suivant
que la ligne (1) sera une ellipse ou une hyperbole. Dans la première
hypothèse, les deux racines de l'équation (18) seront nécessairement
des quantités affectées du même signe que la différence K — k, et par
conséquent l'on aura
(55) AB-C2>o, (À4-B)(K — A)>o.
Dans la seconde hypothèse, les racines de l'équation (18) devront être,
l'une positive, l'autre négative, et en même temps la différence K — k
devra différer de zéro. On aura donc alors
(56) AB-C-<o, (K — A)->o.
9i DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
Le centre de l'ellipse ou de l'hyperbole ci-dessus mentionnées devien-
drait évidemment un point de cette ligne; en d'autres termes, l'ellipse
se réduirait au point (?, ïj), et l'hyperbole à deux droites passant par
ce même point, si la différence K — k venait à s'évanouir. Par consé-
quent l'équation (i) représentera une ellipse réduite à un point, et sera
vérifiée par les seules coordonnées
si l'on a
(57) AB-C2>o, K = A.
Au contraire, la même équation représentera une hyperbole réduite à
deux droites, si l'on a
(58) AB-(?<o, K = k.
Enfin, si l'on avait
(%) AB-C2>o, (A + B)(K-Â)<o,
les deux racines de l'équation (18) étant alors affectées de signes con-
traires au signe de la différence K — k, les valeurs de r, tirées de la
formule (54), deviendraient imaginaires, et l'équation (1) ne repré-
senterait plus aucune ligne.
Si les racines de l'équation (18) étaient différentes de zéro, mais
égales entre elles, alors, les conditions (20) étant remplies, l'équa-
tion (1) se réduirait à
A A-7 A
ou, ce qui revient au même, à
(-+j)V(r+;y=^±g^*
et représenterait un cercle ou un point, ou ne représenterait rien, sui-
vant que l'on aurait
AK-t-D2+E2>o, ou AK + D-+E-=o, ou AK + D2 + E2<o.
DU SECOND DEGRÉ. 93
Comme on tirerait d'ailleurs des équations (20) et (53 )
l)2_L F2
AB - C» = A2, k = - T ,
A
il est clair que les conditions (55) seraient vérifiées dans le premier
cas, les conditions (37) dans le second, et les conditions (^9) dans le
troisième.
Lorsque l'équation (18) offre une racine nulle, c'est-à-dire lorsque
la condition
(62)
AB-C2=o
se trouve remplie, on tire des formules (17), en cherchant la valeur
de '! qui correspond à cette racine,
C G
B*
(63;
tang^ = — - =
Alors aussi la formule (21), réduite à
I)
Ë'
(64) tang'.};
est ou n'est pas vérifiée, suivant que la condition
(65)
A _ C _ D
C ~~ B ~~ E
est ou n'est pas remplie. Dans la première supposition, la formule (9)
se trouve satisfaite, quelle que soit r, ou ne peut l'être, suivant que les
coordonnées Ç, r\ vérifient ou ne vérifient pas l'équation (1), et par con-
séquent cette équation ne peut représenter que deux droites. parallèles.
11 est d'ailleurs facile de s'en assurer, en observant que la condition (65 )
équivaut aux deux suivantes
(66)
A =
CD
lî
CE
E ~~ D '
et qu'en vertu de ces dernières l'équation (1) devient
C
(67)
DE
= (D* ■+- E/)2+ i(XSx 4- E/) = K.
1)6 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
Or la formule (67), de laquelle on tire
DE
(68 ) Dx + E > = - ~ ± ^ y^E ( UE + Ck)>
ne peut représenter qu'un système de droites parallèles. Ces mêmes
droites seront distinctes l'une de l'autre, si l'on a
(69) DE(DE + CK)>o.
Elles se confondront, si l'on a
(70) DE(DE + CK) = o,
et disparaîtront, si l'on a
(71) DE(DE + CK)<o.
Ajoutons que les conditions (65) ou (GG) peuvent être remplacées par
le système des formules
(72) AB-C2:=o, AE2-+-BD2-2CDE = o.
Si la condition (G5) n'était pas remplie, on ne pourrait plus satisfaire
à l'équation (21) en prenant pour s la racine nulle de l'équation (18),
et par conséquent la ligne (1) n'offrirait qu'un seul axe principal. Donc
cette ligne ne pourrait être qu'une parabole.
A l'aide des principes que nous venons d'établir, on résoudra sans
peine la question suivante :
Problème II. — Etant donnée une équation du second degré entre deux
coordonnées rectangulaires x , y , déterminer V espèce de la ligne représentée
par cette équation.
Solution. — Supposons les coefficients de l'équation (1) choisis de
manière qu'elle coïncide avec l'équation donnée. Pour déterminer l'es-
pèce de la ligne du second degré que celle-ci représente, on commen-
cera par former et par discuter l'équation (18). Admettons d'abord que
cette dernière équation n'offre pas de racines nulles, ou, en d'autres
termes, que l'on ait
(73) (AB-C2)2>o.
DU SECOND DEGRE. 97
Alors la ligne (i) sera une ellipse, si AB — C2 est positif, et une hyper-
bole, si AB — C? devient négatif. De plus, l'ellipse se transformera en
un eercle, si l'on a A = B, C = o; elle se réduira simplement à un
point, si la différence K — k s'évanouit, et disparaîtra si cette différence
n'est pas nulle ou affectée du même signe que la somme A -+- B. Quant
à l'hyperbole, elle se réduira au système de deux droites qui se coupe-
ront, si l'on a K — k = o. Enfin, si la quantité AB — G2 devient nulle,
l'équation (i) représentera une parabole; et cette parabole se transfor-
mera en un système de droites parallèles si la formule (65) est vérifiée.
Ajoutons que ces droites parallèles se confondront ou disparaîtront si
la condition (70) ou (71) se trouve remplie.
Lorsque la ligne (1) est une ellipse ou une hyperbole, et que l'on
suppose, dans l'équation (2), les coordonnées Ç, ï] déterminées par les
formules (5i), alors, pour rendre l'équation (2) propre à représenter
un axe principal de la ligne (1), il suffit de choisir l'angle •]> de manière
à vérifier la formule (4f))- Or de cette dernière formule combinée avec
l'équation (2) on déduira la suivante
(74) C[(x-ty-(y-rly-] + (B-\)(x-i)(y-rl)z=o,
que l'on pourra encore écrire sous l'une des formes
( -5 ) A(ar-g) + C(y-Yi) _ C(*-g)-4-fe ( r - p)
(76)
A,r + Cj + D _ O + Dj + E
x — l y —n
et qui, dans l'hypothèse admise, représentera les deux axes principaux
de la ligne (1). Si cette ligne est une ellipse, et si l'on nomme ia, ib
les axes de l'ellipse, c'est-à-dire, les longueurs interceptées par cette
ellipse sur les deux axes principaux, «, b seront évidemment les deux
valeurs positives de r propres à vérifier l'équation
(77) (A_*=_*Wb_*^)_C.=o,
que produit l'élimination de s entre les formules (18) et (54)» Au con-
OEuvres de C. — S. II. t. VIII. l3
98 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
traire, si la ligne (i) est une hyperbole, l'équation (77) n'offrira qu'une
racine positive, et, si l'on désigne par a cette racine, ia sera l'axe réel
de l'hyperbole, c'est-à-dire, la longueur interceptée par cette courbe
sur l'axe principal qui la rencontre, Ajoutons que l'équation (2) repré-
sentera une asymptote de l'hyperbole lorsque, en supposant E, r\ déter-
minées par les formules (5o), on choisira l'angle ty de manière que la
distance r déduite de la formule (54) devienne infinie, et par consé-
quent de manière à vérifier l'équation
(78) 5 = 0
ou
(79) A cos2^ H- B sin2-^ 4- 2C cos'-p sin-J; — o.
Donc les deux asymptotes de l'hyperbole seront représentées par l'é-
quation
(80) A(.r-02+B(7-Y])2+2C(*-0(/--n) = o,
que produit l'élimination de l'angle | entre les formules (2) et (79).
Kemarquons d'ailleurs qu'en vertu des formules (5o) et (52) l'équa-
tion (80) pourra être réduite à
(81) Ax2+ Bj2-h i(Zxy + Dx + E/= k.
Lorsque l'hyperbole se transforme en deux droites, on a k = K, et l'é-
quation (81) se réduit, comme on devait s'y attendre, à l'équation (1).
Lorsqu'une hyperbole représentée par l'équation (r) a pour centre
l'origine même des coordonnées, cette équation devient
(82) A^24-B/2+2Cx/ = K;
et, comme, dans cette hypothèse, les asymptotes passent nécessaire-
ment par l'origine, l'équation qui les représente. se réduit nécessaire-
ment à
( 83 ) A .r2 -+- B72 + 2 C xy = o.
On arrive à la même conclusion, en observant que, dans l'hypothèse
admise, on a I) = o, E = o et, par suite, k = o.
DU SECOND DEGRÉ. 90
Dans le cas où l'hyperbole représentée par l'équation (i) n'a pas
l'origine pour centre, l'équation (83) représente les parallèles menées
par cette origine aux deux asymptotes.
II est bon d'observer que la différence AB — C2 est négative, nulle
ou positive, suivant que les valeurs de £ tirées de l'équation (83) sont
réelles et inégales, ou égales ou imaginaires, c'est-à-dire, en d'autres
termes, suivant que l'équation (83) est propre à représenter deux
droites ou une seule droite, ou seulement l'origine des coordonnées.
Ajoutons : i° que, dans le cas où la ligne (i) admet un centre, les
coordonnées de ce centre, déterminées parles formules (5o), sont pré-
cisément les valeurs de x et de y que fournissent les dérivées de l'é-
quation (i), prises successivement par rapport aux deux variables x,y,
savoir
(84) A^ + Cj + Dnro, Cr + Bj + E^o;
2° qu'il suffît de substituer ces valeurs de x et de y dans le premier
membre de l'équation (i), pour obtenir la quantité désignée par /•;
3° que, s'il existe un ou plusieurs points dont les coordonnées vérifient
les formules (84), un déplacement de l'origine transportée en un de
ces points réduira l'équation (i) à la suivante
(85) A*24-Bv2+2C^/ = K-Â-;
4° que, si l'équation (i) ou (85) représente une ellipse ou un système
de droites parallèles, cette ellipse ou ce système de droites sera réel ou
imaginaire, suivant que les coefficients A, B, dont le produit restera
positif, en vertu de la condition AB — C2>o, seront des quantités
affectées du même signe que la différence K — k, ou du signe con-
traire.
Lorsque l'équation (83) représente une seule droite, la condition (65)
est ou n'est pas remplie, suivant que les valeurs de x,y, tirées des for-
mules (84), se présentent sous la forme - ou sous la forme -•
Nous ferons remarquer encore avec quelle facilité on déduit des for-
mules (2) et (n) l'équation d'une tangente menée à une ligne du
100 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
second degré par un point donné de cette ligne. En effet, soient £, Y] les
coordonnées du point dont il s'agit. Pour que la droite (2) se réduise
à la tangente menée par le même point, il suffira que la corde mesurée
sur cette droite s'évanouisse, et que le milieu de cette corde coïncide
avec le point (!j, yj). En d'autres termes, il suffira de choisir l'angle |
de manière que la formule (1 1) soit vérifiée. Donc, si entre cette for-
mule et l'équation (2) on élimine l'angle '|, l'équation résultante,
savoir
(86) (A? + Cr? + D)(„r-!) + (C? + Bï]+E)(j-Y0 = o,
sera précisément celle de la tengente menée à la ligne (1) par le point
(Ç, 7]). De plus, comme les coordonnées H, yj vérifieront évidemment la
formule
(87) ■ A^-t-Byj'+aCïYj-f- 2DÇ + aEv} = K,
l'équation (86) pourra être réduite à
(88) (A£ + Cn -HD)j?-h(C$-H$u-hE),r = K — D$ — Etj.
Pour montrer une application numérique des méthodes développées
dans ce paragraphe, proposons-nous de trouver quelle est la courbe
représentée par l'équation
(89) 2x--\- 5xy 4- 3/2— 3x — 4/= o.
Dans ce cas, la formule (83) deviendra
2 x1 4- 5 xy 4- 3 y" =r o
OU
(90) (X 4- /)(2X+ 3/) = o,
et représentera deux droites distinctes; d'où il suit que la courbe (89)
sera une hyperbole. De plus, les dérivées de l'équation (89), prises par
rapport à x et à y, savoir
(91) l\x 4- 5y — 3 = o, 5x^t-6y — 4 = 0,
donneront pour les coordonnées du centre
(92) x = 2, y= — 1,
DU SECOND DEGRÉ. 101
et, en substituant ces coordonnées dans le premier membre de l'équa-
tion (89), ou, ce qui revient au même, dans la fraction
Zx + ky
— »
2
on trouvera pour résultat
(93) * = -!.
Donc les asymptotes de l'hyperbole (89) seront représentées par la for-
mule
(g4) 2^* + 5jcy 4- 3y2— Sx— hy = — ».
que l'on peut écrire comme il suit :
(q5) (x -+- y — 1) (a* -+- 3/ — i) = e.
En d'autres termes, ces asymptotes seront représentées, l'une par
l'équation
(96) tf-t-y = i,
l'autre par l'équation
(97) a* h- 3^ = 1.
Les asymptotes étant construites, il suffira de diviser en parties égales
les angles qu'elles forment entre elles, pour obtenir les deux axes prin-
cipaux de l'hyperbole, et d'ailleurs ces axes seront représentés par la
formule (76), qui, dans le cas présent, deviendra
4 j?'H- 5/ — 3 __ 5# H- 6y — 4
^ 9 ' a? — . a y — '
Nous observerons, en terminant ce paragraphe, que, si deux lignes
du second degré sont représentées par deux équations en a?, y, dans
lesquelles se retrouvent les mêmes termes du second degré, ces deux
lignes seront en même temps deux ellipses, deux cercles, deux hyper-
boles ou paraboles, chacune des ellipses pouvant, ainsi que chacun des
102 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
cercles, se réduire à un point ou disparaître, chacune des hyperboles
pouvant se réduire à ses asymptotes, et chacune des paraboles à son
axe ou à deux droites parallèles à cet axe. Dans ces divers cas, l'une
des deux lignes offrira toujours un axe principal ou des axes princi-
paux parallèles à un axe principal ou à des axes principaux de l'autre.
D'ailleurs, étant donnée une équation quelconque du second degré
entre trois coordonnées rectangulaires oc, y, z, si l'on coupe la surface
que cette équation représente par des plans parallèles au plan des x,
y, les lignes d'intersection seront évidemment représentées par des
équations en x, y, dans lesquelles on retrouvera toujours les mêmes
termes du second degré. Donc, puisque le plan des x,y est entière-
ment arbitraire, on peut affirmer que, deux sections étant faites dans
une même surface du second degré par deux plans parallèles, l'une des
sections offrira toujours un axe principal ou des axes principaux paral-
lèles à un axe principal ou à des axes principaux de l'autre.
§ II. — Discussion des surfaces du second degré.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point rapportées à trois axes
rectangulaires. L'équation la plus générale des surfaces du second
degré sera de la forme
(i) A^2+B/2+Cs2+2D/.- + 2Es^ + 2Fx7 + 2(}^ + 2H/ + 2lj = K,
A, B, G, D, E, F, G, H, I, K désignant des quantités constantes; et les
équations d'une droite menée par le point (£, y], £), de manière qu'elle
fasse avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, |3, y
renfermés entre les limites o, -, seront comprises dans la formule
i
(2) œ-ï ^y-f) ^z-K
_ cosa cos(3 cosy
Admettons maintenant que le point (£, Y), '() coïncide avec le milieu
d'une corde de la surface (i), et le point (x, y, z) avec l'une des extré-
mités de cette corde. En désignant par ir la longueur de la corde, et
DU SECOND DEGRÉ. 103
posant, pour abréger,
j = A cos2 a 4- B cos2j3 4- C cos2 y
4- 2D cosj3 cosy 4- 2E cosy cosa + 2F cos a cos (3,
(3)
j «=A£24-By)24-CÇ2
I 4- 2DY1C + 2E££-f- 2Fçn + 2G; 4- 2Hn 4- 2IÇ,
on établira sans peine, comme on l'a fait dans un précédent article
(voir les pages 9 et suiv.), les deux équations
(4) " sr--h u — K,
{ (A>+Fï]-+-EÇ + G)cosa
| 4- (F£ 4- Bn + DÇ 4- H) cos (3 4- (E; + Dy] + CÇ-hI)cosy = o.
La seconde de ces équations, si l'on y considère H, tq, '( comme va-
riables, représentera le plan diamétral qui renfermera les milieux d'un
système de cordes parallèles de la surface (1); et ce plan diamétral
deviendra un plan principal, c'est-à-dire un plan qui sera perpendicu-
laire aux cordes parallèles, de manière à diviser la surface (1) en deux
parties symétriques, si l'équation (5) subsiste en même temps que les
suivantes :
A cos a h- F cos (3 -+- E cos y
i cosa
. ' F cos a 4- B cos (3 4- D cos y
cos [3
E cos a H- D cos S -f- C cos y
= - L = s,
cos y
(7) cos2 a 4- cos2 (3 ■+■ cos2 y = I.
D'ailleurs on tire de la formule (G)
I( A — s) cosa 4- F cos[3 4- E cosy = o,
F cosa 4- (B —s) cos [3 4- D cosy = o,
Ecosa 4- D cos (3 4- (C — s) cosy = o,
puis, en éliminant les angles a, (3, y,
(9) (A - s) (B - s) (C - s) — D2(A - 5) — E2(B -s) - F2(C - s) 4- 9 DEF = o;
10V DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
et, en vertu de la même formule, l'équation (5) se réduit à
(10) s(£cosa ■+- f] cos(3 -+- Çcosy) + G cosa + H cos(3 -+- Icosy — o.
Enfin l'on prouve aisément (voir les pages i5 et suiv.) : i.° que les trois
racines de l'équation (9) sont toujours réelles; i° que, dans le cas où
ces racines sont inégales, les formules (8) fournissent des valeurs cor-
respondantes, réelles et déterminées, pour les quantités cosa, ços{3,
cosy; 3° que, dans le cas où deux racines de l'équation (9) deviennent
égales, les formules (8) fournissent un nombre infini de systèmes de
valeurs de cosa, cos (3, cosy correspondants à ces mêmes racines, sa-
voir, tous ceux qui vérifient l'équation (7) et la suivante :
(11) EF cos a -h FD cos (3 + DE cos y = o.
Cela posé, il est clair que, pour chaque surface du second degré, il
existera toujours au moins deux plans principaux. En effet, comme
l'équation (10) représentera un plan déterminé, toutes les fois que les
angles a, fi, y auront des valeurs déterminées, et la quantité s une va-
leur différente de zéro, on peut affirmer que la surface (1) offrira deux
ou trois plans principaux, si deux ou trois racines de l'équation (9)
sont inégales et différentes de zéro. Si la même équation a deux racines
différentes de zéro, mais égales entre elles, la surface (1) offrira une
infinité de plans principaux correspondants à ces racines et aux di-
verses valeurs de a, {$, y qui vérifient les formules (7) et (1 1). Enfin, si
l'équation (9) admet une seule racine différente de zéro, avec deux ra-
cines nulles, la première racine continuera de fournir un plan prin-
cipal de la surface (1); et, comme on vérifiera la formule (10) en posant
à la fois
(12) *=o,
(i3) G cosa -h H cos (3 -f- 1 cosy = 0,
les racines nulles correspondront elles-mêmes à un nombre infini de
plans principaux qui seront représentés par des équations de la forme
04) £cosa ■+- f\ cos|3 -h Çcosy = const.,
DU SECOND DEGRÉ. 105
les valeurs de a, (3, y étant déterminées par les équations (7), (1 1) et
(i3). On peut, au reste, vérifier directement cette dernière assertion.
En effet, si l'équation (9) a deux racines nulles, l'équation (r) se ré-
duira simplement à la formule (io3) de la page 33, c'est-à-dire à
(i5) I)EF(s + f + p;)2+2Gx4-2lfj + 2l^K,
et représentera un cylindre dont les génératrices, étant parallèles à la
droite que déterminent les deux équations
(-6) £ + | + £ = 0,
(17) VjX -+- \\j -+- \z = 0,
formeront avec les axes coordonnés les angles a, p, y qui vérifient les
formules (7), (11) et (i3). Donc tout plan représenté par l'équa-
tion (i4) sera perpendiculaire à ces génératrices, et divisera la surface
en deux parties symétriques, en sorte qu'on pourra le considérer
comme un plan principal. Si les équations (iG) et (17) se réduisaient
à une seule, le cylindre se transformerait en un système de deux plans
parallèles, et l'on pourrait ranger parmi les plans principaux, non seu-
lement un troisième plan qui diviserait la distance des deux premiers
en parties égales, mais encore tous ceux qui leur seraient perpendicu-
laires.
On ne peut supposer que les trois racines de l'équation (9) s'éva-
nouissent, à moins d'admettre que l'on a
A = Bz^C = D = E = F = o,
c'est-à-dire, à moins d'admettre que la formule (1) cesse d'être une
équation du second degré.
Il est encore facile de s'assurer que, parmi les plans principaux rela-
tifs à une surface du second degré, on peut toujours en trouver deux
qui se coupent à angles droits. En effet, si deux ou trois racines de
l'équation (9) sont inégales et diffèrent de zéro, les plans principaux
correspondants à ces racines seront, d'après ce qui a été dil dans un
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. l4
106 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
autre article (pages 18 et 19), perpendiculaires l'un à l'autre. Si la même
équation a deux racines distinctes de zéro, mais égales entre elles, il
existera une infinité de plans principaux perpendiculaires aux diverses
droites qui formeront avec les demi-axes des coordonnées positives des
angles a, [3, y propres à vérifier la formule (11), et, par conséquent,
tous les plans perpendiculaires à celui que représente l'équation (16)
seront des plans principaux. Or ces mêmes plans, considérés deux à
deux, se couperont encore à angles droits. Enfin, si l'équation (9)
admet une seule racine différente de zéro avec deux racines nulles, le
plan principal correspondant à la première racine et les plans princi-
paux correspondants aux racines nulles devront toujours être perpen-
diculaires entre eux, puisque les normales à ces mêmes plans seront
des droites perpendiculaires entre elles (voir les pages 20, 21).
Il est maintenant facile de résoudre la question suivante.
Problème I . — Rechercher quelles sont les différentes espèces de surfaces
du second degré.
Solution. — Comme nous avons prouvé que, pour chaque surface du
second degré, il existe au moins deux plans principaux perpendicu-
laires l'un à l'autre, on pourra les prendre pour plans des y, z et des
x, z. Alors l'équation de la surface ne devra pas être altérée quand on
y remplacera x par —x et y par — y; par conséquent, les termes qui
renfermeront les premières puissances de x et de y devront s'évanouir.
Donc toute suif ace du second degré peut être représentée par une équation
de la forme
(18) A^2+Bj24-C^2+2l^=z:K.
Comme cette proposition sert de fondement à la solution du problème
qu'il s'agissait de résoudre, il ne sera pas inutile d'en offrir ici une se-
conde démonstration, qui exige moins de calcul que la première.
Etant donnée une surface quelconque du second degré, on peut tou-
jours choisir les plans rectangulaires des x, y, des x, z et des y, z, de
manière que le plan des x, y coupe la surface, et que l'axe des x coin-
DU SECOND DEGRE. 107
cide avec l'axe principal ou avec l'un des axes principaux de la section
faite par ce même plan. D'ailleurs, si l'on suppose la surface du second
degré représentée par l'équation (i), la section faite par le plan des
x, y sera une ligne du second degré, représentée elle-même par la for-
mule
(a) A^2+B/2+ 2F-3?jH- 2G^c+ 2Hj = K;
et, pour que l'axe des x soit un axe principal de cette ligne, il faudra
que l'équation (a) ne soit pas altérée quand on y remplacera x par
— x, c'est-à-dire que les termes du premier degré en x disparaissent,
et que l'on ait en même temps F = o, G = o. Donc une surface quel-
conque du second degré pourra être représentée en coordonnées rec-
tangulaires par la formule
(b) A^2+B72+C^2+2Dj^ + 2Ezx + 2H7+ 2I5 — K.
Mais alors, la quantité F étant réduite à zéro, l'équation (9) de-
viendra
(c) (A-s)(B-s)(C-s)-D2(A-s)-E2(B-s)=zo.
Or, pour s'assurer que cette dernière a ses trois racines réelles, il suffît
de substituer dans le premier membre les valeurs suivantes de s
S = — 00, S = A, 5=:B, S = CC,
rangées par ordre de grandeur. En effet, supposons, pour fixer les
idées, A< B. Les valeurs dont il s'agit, étant substituées dans le pre-
mier membre de l'équation (c), fourniront les quatre résultats
00, — E2(B — A), +D2(B — A), -00;
et, comme ces résultats seront alternativement positifs et négatifs, il
est clair que l'équation (c) aura, dans l'hypothèse admise, trois racines
réelles, la première inférieure à A, la seconde comprise entre A et B,
la troisième supérieure à B. Si l'on supposait, au contraire, A > B, on
établirait de la même manière l'existence de trois racines réelles qui
108 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
seraient, la première inférieure à B, la seconde comprise entre A et B,
la troisième supérieure à A. La réalité des trois racines de l'équa-
tion (c) étant ainsi démontrée, on remarquera que ces trois racines ne
peuvent s'évanouir à la fois, à moins que l'on n'ait A=o, B=o, C = o,
D = o, E = o, F = o, c'est-à-dire à moins que l'équation (b) ne cesse
d'être du second degré. Donc l'équation (c) offrira toujours au moins
une racine différente de zéro. Ajoutons que, si l'on substitue, dans
l'équation (10), des valeurs de cosa, cos(3, cosy correspondantes à ces
racines et propres à vérifier les équations (8), ou plutôt les suivantes
■ [ (A — s) cosa H- Ecosy = o,
(d) ' (B — s) cos[3 -hD cosy = o,
( E cosa + D cosj3 -+- (C — s) cosy = o,
l'équation (10) représentera toujours un plan principal de la sur-
face (b). Donc, pour toute surface du second degré, il existe au moins
un plan principal, c'est-à-dire un plan qui divise la surface en deux
parties symétriques. Concevons, à présent, que l'on prenne ce plan
principal pour plan des x, z. L'équation de la surface ne devra pas
être altérée quand on y remplacera y par -—y. Donc elle sera de la
forme
(e) A^2+Bj2+C^2+2E^ + 2Go7+2l5 = K.
D'ailleurs, le plan des y, z pouvant être choisi arbitrairement, pourvu
qu'il soit perpendiculaire à celui des x, z, on pourra supposer qu'il
renferme un axe principal d'une section faite dans la surface par un
plan quelconque parallèle au plan des x, z; et alors il est clair que les
termes du premier degré en x devront disparaître dans la formule (e),
qui se réduira simplement à l'équation (18). Donc l'équation (18) est
propre à représenter une surface quelconque du second degré.
Observons maintenant que, dans l'équation (18), on pourra toujours
réduire à zéro le coefficient I, si la constante C n'est pas nulle, et la
quantité K, si, C étant nulle, I diffère de zéro; car, pour y parvenir, il
suffira de remplacer, dans le premier cas, z par z — ^, et, dans le se-
DU SECOND DEGRÉ. 10!)
K
cond cas, z par s h — y> c'est-à-dire de transporter l'origine sur l'axe
î K
des s au point qui a pour abscisse — - ou — = • Cela posé, l'équation (î)
prendra l'une des formes
(19) A^2+B/2+C~2 = K,
(9,0) Aic2+ D/2+ 2 l^ = o.
De plus, si l'on suppose les coefficients A, B, C, I, K différents de zéro,
il suffira de faire, dans la formule (19),
- - + c2
- -+a2
--+-&2
B -- '
et, dans la formule (20),
À-rfcip
a*
B-+-
- £2
(a, b, c désignant des quantités positives), pour ramener ces formules
aux deux suivantes :
(21) ±-9±^±-2=i,
a- b2 c-
(22) ±'-^±£=±2--
a2 b- c
Or l'équation (21) comprend huit autres équations, savoir : i° l'équa-
tion
<23) ^1 + Ti + ^ =I>
a2 b2 c2
qui représente un ellipsoïde dont les demi-axes sont a, /;, c; i° les
trois équations
«2 62 c2
/ex x2 y2 ^
a2 62 c2
/y»2 -y2 y»î
(26) — — -+- -2_ _i_ 1- — ,
k ' a2 + 62 c2 ''
110 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
dont chacune représente un hypcrboloïde à une nappe ; 3° les trois
équations
<»7> ^-h-'-=i,
a1 Y1 c1
~2 v2 -2
(28) _^__f.^l_^=:I)
a1 b- cl
dont chacune représente un hyperboloïde à deux nappes; 4° l'équa-
tion
qui ne représente rien, attendu qu'on ne peut y satisfaire par des va-
leurs réelles des coordonnées. Quant à la formule (22), elle comprend
les deux équations
■2*2 V2 Z
a2 o2 c
dont la première représente un paraboloïde elliptique et la seconde un
paraboloïde hyperbolique. Si deux des constantes a, b, c devenaient
égales entre elles, l'ellipsoïde, l'hyperboloïde à une ou à deux nappes
et le paraboloïde elliptique pourraient se réduire à des surfaces de ré-
volution. Si les trois constantes devenaient égales, l'ellipsoïde se chan-
gerait en une sphère.
Si l'on faisait évanouir, dans l'équation (19) ou (20), une ou plu-
sieurs des constantes A, B, C, K, I, mais de manière que cette équation
ne cessât pas d'être du second degré en x, y, s, on obtiendrait l'une
des formules
(33) A^ + Bj^ + C^^o,
(34) B72 + C~2 = K,
(35) A^24-Cs2 = K,
(36) A^24-Bj2=K,
Bj2
+ C*»=
:0,
A .a?2
+ G^-
:0,
Axs
+ B/«=
:0,
A j?2 =
:K,
Bj2^
K,
C~2 =
K,
^r2 =
O,
72 =
o,
zt —
o,
A^c2
+ 2ÏZ =
O,
By2
■+■ 2ls=z
O.
DU SECOND DEGRÉ. 111
(37)
(38)
(39)
(4o)
(40
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
Or l'équation (33) représente une surface conique du second degré,
lorsque les trois constantes A, B, G ne sont pas des quantités de même
signe, et l'origine des coordonnées dans le cas contraire. De plus, cha-
cune des équations (34), (35), (36) représente un cylindre elliptique,
lorsque les coefficients du premier membre sont des quantités affec-
tées du même signe que la constante K; un cylindre hyperbolique,
lorsque ces coefficients sont des quantités de signes différents; et ne
représente rien, lorsqu'ils sont affectés du même signe que la quantité
— K. Chacune des équations (37), (38), (3$) représente l'un des axes
coordonnés ou deux plans qui renferment cet axe, suivant que les
coefficients du premier membre sont de mêmes signes ou de signes
différents. Chacune des équations (4°)» (41)» (42) représente deux
plans parallèles à l'un des plans coordonnés, ou ne représente rien,
suivant que le coefficient du premier membre est ou n'est pas affecté
du même signe que la constante K. Chacune des équations (43), (44),
(45) représente un seul des plans coordonnés. Enfin les équations
(46), (47) représentent des cylindres hyperboliques. Ajoutons que le
cône et les cylindres elliptiques se transforment en cône et cylindres
droits à bases circulaires, lorsque, dans les équations (33), (34), (35),
(36), deux des coefficients A, B, C deviennent égaux entre eux.
En résumé, une surface du second degré ne peut être qu'un ellip-
112 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
soïde, un hyperboloïde à une ou deux nappes, un paraboloïde elliptique
ou hyperbolique, un cône, un cylindre elliptique, hyperbolique ou pa-
rabolique, enfin un système de deux plans qui se coupent, ou de deux
plans parallèles. De plus, dans la discussion des surfaces que repré-
sentent des équations du second degré, il faut observer : i° que le cône
peut se réduire à un point, le système de deux plans qui se coupent à
une droite, et le système de deux plans parallèles à un seul plan ; i° que
l'ellipsoïde, l'hyperboloïdc à une ou à deux nappes, le paraboloïde
elliptique et le cylindre elliptique peuvent devenir des surfaces de ré-
volution ; 3° que l'ellipsoïde peut se réduire à une sphère; 4° que
l'ellipsoïde, le cylindre elliptique et les deux plans parallèles peuvent
devenir imaginaires et disparaître.
Parmi les surfaces que nous venons d'énumérer, l'ellipsoïde, l'hy-
perboloïdc à une ou à deux nappes et la surface conique, en supposant
qu'on ne les réduise pas à des surfaces de révolution, sont les seuls
qui offrent un système unique de trois plans principaux et rectangu-
laires entre eux. Si l'on joint à ces surfaces l'ellipsoïde et l'hyperbo-
loïdc de révolution, la sphère et le cône droit à base circulaire, on aura
toutes celles qui offrent un centre unique, et, en même temps, toutes
celles da'ns lesquelles il existe au moins trois plans principaux rectan-
gulaires entre eux, sans que jamais deux plans principaux puissent
devenir parallèles l'un à l'autre. Le paraboloïde elliptique, quand il ne
sera pas de révolution, et le paraboloïde hyperbolique seront les seules
qui offriront simplement deux plans principaux et n'auront pas de
centre. Le paraboloïde de révolution offrira une infinité de plans prin-
cipaux passant par un même axe. Le cylindre elliptique, quand il ne
sera pas de révolution, le cylindre hyperbolique et le système de deux
plans parallèles offriront une infinité de centres situés sur un même
axe, avec une infinité de systèmes de trois plans principaux et perpen-
diculaires l'un à l'autre, chacun de ces derniers systèmes étant com-
posé de deux plans déterminés et passant par l'axe, et d'un plan quel-
conque perpendiculaire à l'axe. Le cylindre droit à base circulaire
offrira encore une infinité de centres situés sur un axe, avec une infi-
DU SECOND DEGRE. 113
nité de systèmes de trois plans perpendiculaires l'un à l'autre, et assu-
jettis à la seule condition que deux d'entre eux passent par l'axe, le
troisième étant perpendiculaire à l'axe. Le cylindre parabolique offrira
une infinité de plans principaux perpendiculaires aux génératrices
avec un seul plan principal passant par l'une de ces mêmes généra-
trices. Enfin, le système de deux plans parallèles offrira pour plans
principaux, non seulement un troisième plan parallèle, qui divisera la
distance des deux premiers en parties égales, et qui pourra être consi-
déré comme le lieu des centres, mais encore tous les plans perpendi-
culaires aux deux premiers.
Dans le cas où la surface (i) a un centre unique, les coordonnées \,
-/], l de ce centre sont déterminées (voir la page i3) par les équations
A4 + Fy] + EÇ + G = o,
(48) F£4-By]4-DÇ + H = o,
( ES+Dti4-CÇ-hI=o,
desquelles on tire
l £ __ (BC-D2)G + (DE CF)H+(FD- BE)I
(49) !*=-
ABC - AD2 - BE2 — CF2 + 2 DEF
(DE — CF)Gh-(CA -E2)H + (EF-AD)I
ABC — AD-— BE2— CF2+ 2DEF
(FD-BE)G+(EF — AD)H + (AB-F2)l
ABC - AD2— BE2- CF-+ 2DEF
Alors la quantité
(5o) A=:ABC-AD2-DE2-CF2+2DEF
diffère nécessairement de zéro. Réciproquement, lorsque cette quan-
tité diffère de zéro, les valeurs de E, yj, £ tirées des formules (49) sont
finies et déterminées, et, en substituant ces valeurs dans la formule (2),
on obtient les équations d'une droite qui ne peut rencontrer la sur-
face (1) sans avoir avec elle deux points communs situés à égales dis-
tances du point (Ç, y], '£). Donc alors toute droite menée par le point
(É. v), l) est un diamètre, et ce point un centre unique de la surface.
On arriverait à la même conclusion en observant que la quantité - A
OEuures de C. — S. II, t. VIII. |5
(53) k
114 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
est précisément le dernier terme du premier membre de l'équation (9),
dans cette équation développée et mise sous la forme
(5i) .s3- (A +B+C)i'+ (BC + CÀ-t-ÀB — Ds— E« — F*)* — A = o.
Donc, si A diffère de zéro, l'équation (9) n'aura pas de racines nulles.
Donc alors à chaque direction principale correspondra un seul plan
principal représenté par la formule (10); et, comme il existe toujours
au moins trois directions principales respectivement perpendiculaires
l'une à l'autre (voir la page 23), la surface (1) offrira nécessairement au
moins un système de trois plans principaux qui se couperont à angles
droits, mais elle n'offrira point de plans principaux parallèles. Donc
cette surface sera du nombre de celles que nous avons signalées
comme ayant un centre unique. De plus, si l'on désigne par k la valeur
de u correspondante aux valeurs de \, yj, l que déterminent les for-
mules (48), on trouvera
(5s) k = A£2+ Byi2h- CÇ2 ■+- 2Dy]Ç + 2EÇ£ 4- aFfr 4- aG£ -+- aHr, -+- 2ÏÇ= GÇ+ Un + IÇ,
ou, ce qui revient au même,
(D*— BC)GS-+- (E«- CA)H*-f- (F* - AB)P— a(EF - AD)HI - a(FD - BE)IG - 2(DE - CF)GH
et, si le diamètre représenté par l'équation (2) rencontre la surface (1),
la longueur interceptée par cette surface sur le même diamètre sera
égale au double de la longueur r déterminée par l'équation
que l'on déduit de la formule (4) en prenant u = k.
Concevons à présent que, dans la formule (54), on substitue succes-
sivement pour s les trois racines de l'équation (9). Les valeurs corres-
pondantes de r seront toutes trois réelles, ou l'une imaginaire et les
deux autres réelles, ou l'une réelle et les deux autres imaginaires, sui-
vant que la surface (1) sera rencontrée par ses trois axes principaux.
DU SECOND DEGRE. 115
ou par deux de ces axes, ou par un seul d'entre eux, c'est-à-dire, en
d'autres termes, suivant que la surface (i) sera un ellipsoïde, ou un
hyperboloïde à une nappe, ou un hyperboloïde à deux nappes. Donc,
si l'on fait, pour abréger,
(55) R = rt=5zi*,
s
les trois valeurs de R, déterminées par les formules (5i) et (55), ou,
en d'autres termes, les trois racines de l'équation
(56) R3- (RC + CA •+- AR - D2 - E2 - F2) — —^ R2 -+- (A h- B -+- C)(K~*)2 R - (K~*)3 = o
seront positives dans la première hypothèse. Donc cette équation, en
vertu de la règle de Descartes ('), offrira trois variations de signe, et
les trois produits
/ (K-*)(A + B + C),
(57) (K-£)(A + R-*-C)(RC-hCAh-AR-D2-E2-F2),
( (K-/0(RC + CA + AR-D2-E2-F2)A
seront positifs. Au contraire, dans la seconde hypothèse, deux valeurs
de R étant positives et la troisième négative, l'équation (56) offrira
deux variations et une permanence de signe; par conséquent, deux des
produits (57) seront positifs, et le troisième négatif. Enfin, dans la der-
nière hypothèse, deux valeurs de R étant négatives et la troisième po-
sitive, un seul des produits (57) sera positif, et les deux autres seront
négatifs. Si les produits (57) étaient tous les trois négatifs, les trois
valeurs de r, fournies par l'équation (54), deviendraient imaginaires,
et l'équation (1) ne représenterait plus aucune surface.
Gomme les trois racines de l'équation (5G) sont toujours réelles, le
second et le troisième terme ne peuvent disparaître simultanément,
lorsque les quantités K- k et A diffèrent de zéro. Alors aussi l'un de
(l) Cette application de la règle de Descartes à la discussion des surfaces du second
degré a été donnée pour la première fois par M. Petit ( voir le Tome II de la Correspondance
sur l'École Polytechnique, publiée par M. Hachette).
J16 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
ces termes ne peut disparaître sans que le terme précédent et le terme
suivant se trouvent affectés de signes contraires. Il est aisé d'en con-
clure que, si, A n'étant pas nulle, deux des produits (57) viennent à
s'évanouir, l'équation (1) représentera un hyperboloïde à une nappe
ou à deux nappes, suivant que le troisième produit sera positif ou né-
gatif.
Il importe d'observer que, les quantités A et K — k étant différentes
de zéro, les racines positives de l'équation (56) seront en nombre
impair ou en nombre pair, suivant que le produit
(58) (K-A-)A
sera positif ou négatif. Par conséquent, l'équation (1) représentera,
dans la première hypothèse, un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux
nappes, tandis que, dans la seconde hypothèse, la même équation
représentera un hyperboloïde à une nappe, ou ne représentera rien.
Ajoutons que, dans la seconde hypothèse, les sections faites par les
plans coordonnés, et représentées par les formules
(59) B/ + C32 + 2D^+2Hj + 2L"=R,
(60) C~2 + A^24-2Ez^ + 2ls +2G^ = K,
(61) A^2h- Bj2-+- iYxy-\- 2G.r+ 2Hj = K,
seront des courbes réelles si l'équation (1) est celle d'un hyperboloïde
à une nappe, et disparaîtront entièrement si cette équation ne repré-
sente rien. Donc alors, pour que la surface (1) existe, il suffira que
l'une des différences
(62) BC-D2, CA — E2, AB-F2
soit négative, ou que, ces trois différences étant positives, l'un des
produits
(63) (B + CHK-À-,), (Ch-A)(K-â-2), (A + B)(K-*s)
soit négatif, &,, k2, kt désignant trois quantités déterminées par les
k —
BI2
-2DHI +
CH2
"1 —
D'-BC
*2 =
CG2
- 2EIG +
AI2
E2— CA
*.=
AH2
-aFGH-h
BG2
DU SECOND DEGBÉ. 117
formules
(64)
(65)
(66)
Observons encore que, K — k et A étant positives, les trois racines de
l'équation (5i) et, par suite, de l'équation (56), seront ou ne seront
pas des quantités de même signe, suivant que les deux conditions
(67) BC + CA + AB-D2-E2 F2>o, (A+B4-C)A>o
seront ou ne seront pas satisfaites. Dans le premier cas, l'équation (1)
représentera un ellipsoïde ou ne représentera rien. Dans le second cas,
la surface (1) sera un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes, et,
par conséquent, cette surface s'étendra indéfiniment, soit dans le sens
des coordonnées positives, soit dans le sens des coordonnées néga-
tives.
Il est bon de remarquer que l'on a généralement
/ AA = (CA--E2)(AB-F2)-(AD-EF)2,
(68) BAr=(AB-F2) (BC -D2) (BE-FD)2,
( C A = (BC - D2) (GA - E2) - (CF - DE)2,
et qu'en conséquence la seconde des conditions (67) peut s'écrire
comme il suit :
(69)
(CA - E2) (AB - F2) -+- (AB - F2) (BC - D2) -h (BC - D2) (CA - E2)
> (AD - EF)2+ (BE — FD)2+ (CF — DE)2.
Les règles que nous venons d'établir s'étendent au cas même où, les
quantités A et K — k étant différentes de zéro, chacune des équations
(5i), (56) offrirait deux ou trois racines égales. Seulement alors l'el-
lipsoïde et l'hyperboloïde à une ou à deux nappes se réduiraient à des
surfaces de révolution ou même à une sphère (voir les pages 32 et 33).
118 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
Ajoutons que l'équation (5i) offrira deux racines égales, si l'on a
{voir la page 21) et trois racines égales, si l'on a
(71) A=rB = C, D=E-=F = o.
Si, A n'étant pas nulle, la différence K — k s'évanouissait, en sorte
qu'on eût à la fois
(72) A2>o, K = *,
la formule (02) donnerait
(73) A^+Br)2H-CC2^2Dy)C4-2EC^2F?Y1 + 2GË + 2HY] + 2K = K;
et, par conséquent, l'équation (1), étant vérifiée par les valeurs de Ç,
y], Ç tirées des formules (49), ne pourrait représenter qu'une surface
dont le centre serait unique et situé sur cette même surface. Donc la
surface (1) serait nécessairement un cône qui aurait pour sommet le
point (Ç, y], £) et qui pourrait se réduire à ce point. Dans la même
hypothèse, il suffirait d'attribuer à plusieurs ou même à une seule des
quantités A, B, G, D, E, F, G, H, I des accroissements infiniment petits,
pour transformer l'équation (1) en une équation du même genre, dont
les coefficients ne vérifieraient plus la seconde des conditions (72), et,
par conséquent, en une équation propre à représenter un ellipsoïde
réel ou imaginaire, ou un hyperboloïde. Alors l'ordonnée de la surface
conique ou la valeur de z tirée de l'équation (1) pourrait être considé-
rée comme la limite vers laquelle convergerait la valeur de z tirée de
la nouvelle équation. D'ailleurs la seconde valeur de z représentera
l'ordonnée d'un ellipsoïde imaginaire ou d'un ellipsoïde réel, mais
dont les axes seront infiniment petits, et deviendra, par conséquent,
imaginaire pour toutes les valeurs de x, y qui ne 'seront pas sensible-
ment égales aux coordonnées j-, y] du centre de l'ellipsoïde, si les con-
ditions (67) sont vérifiées; tandis que, dans le cas contraire, elle repré-
sentera l'ordonnée d'un hyperboloïde et ne cessera jamais d'être réelle.
DU SECOND DEGRÉ. 119
Donc la limite vers laquelle convergera cette seconde valeur de s, ou
l'ordonnée de la surface (i) sera elle-même, pour des valeurs de x et
de y distinctes de !j et de ïj, toujours réelle ou toujours imaginaire,
suivant que les conditions (67) seront ou ne seront pas satisfaites; et
la surface conique, constamment réelle dans le second cas, se réduira,
dans le premier cas, à un point unique.
Concevons à présent que la condition
(74) A = o
soit satisfaite. L'équation (9) offrira une racine nulle et n'en offrira
qu'une de cette espèce, si l'on n'a pas en même temps (voirla page 3o)
/ ki a EF n FD r DE
Alors aux deux autres racines de l'équation (9), suivant qu'elles seront
égales ou inégales, correspondront deux directions principales ou une
infinité de directions principales parallèles à une même droite. Quant
à la racine nulle, elle ne fournira aucun plan principal, si les angles a,
p, y, que la direction principale correspondante forme avec les demi-
axes des coordonnées positives, ne vérifient pas la condition (i3);
tandis que, dans le cas contraire, tous les plans perpendiculaires à la
direction dont il s'agit seront encore des plans principaux. Enfin, si
l'équation (9) a deux racines nulles, ou, en d'autres termes, si les con-
ditions (75) sont vérifiées, la troisième racine de l'équation (9) four-
nira un plan principal dont la position sera complètement déterminée.
Dans le même cas, si les équations (iG) et (17) sont distinctes l'une de
l'autre, les racines nulles fourniront une infinité de plans principaux
perpendiculaires à la droite représentée par ces équations; mais, si les
équations (iG) et (17) se réduisent à une seule, elles représenteront
un plan unique, et tous les plans qui lui seront perpendiculaires seront
autant de plans principaux. Il suit évidemment de ces diverses re-
marques que les surfaces qui pourront être représentées par l'équa-
tion (1), dans le cas où la condition (74) se trouvera satisfaite, seront
120 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
nécessairement un paraboloïde elliptique ou hyperbolique, si l'équa-
tion (9) offre une racine nulle correspondante à des angles a, (3, y qui
ne vérifient pas la condition (i3), et deux autres racines inégales; un
paraboloïde de révolution, si l'équation (9) offre une racine nulle cor-
respondante à des angles qui ne vérifient pas la condition (i3), et deux
autres racines égales entre elles; un cylindre elliptique ou hyperbo-
lique qui pourra devenir un cylindre droit à base circulaire, ou se
réduire à un système de deux plans non parallèles, si l'équation (9)
offre une racine nulle correspondante à des angles qui vérifient la con-
dition (i3), et deux autres racines inégales ou égales; un cylindre
parabolique, si l'équation (9) offre deux racines nulles déterminées,
et si, en même temps, les équations (16), (17) sont distinctes l'une de
l'autre; enfin, un système de deux plans parallèles, si l'équation (9)
offre deux racines nulles, et si, en même temps, les formules (16), (17)
se réduisent à une seule. Parmi ces surfaces, les seules qui ne soient
pas dépourvues de centre seront le cylindre elliptique ou hyperbolique,
et le système des deux plans parallèles ou non parallèles; c'est-à-dire
les surfaces qu'on obtiendra lorsque, l'équation (9) ayant une racine
nulle, les valeurs correspondantes de a, (3, y vérifieront la formule (i3),
ou lorsque, l'équation (9) ayant deux racines nulles, les diverses va-
leurs de a, (3, y correspondantes à ces racines, c'est-à-dire les diverses
valeurs propres à vérifier les formules (7) et (11), rendront identique
l'équation (i3). Il est d'ailleurs facile de s'assurer directement que,
dans le cas où toutes les valeurs de a, (3, y, déduites des formules (8)
à l'aide de la supposition s=o, vérifient encore la formule (i3), la sur-
face représentée par l'équation (1) offre une infinité de centres situés
sur un axe ou sur un plan parallèle au plan que représente l'équa-
tion (17). En effet, supposons d'abord que, parmi les trois équations
iA cos a -+- F cos [3 -+- E cosy = o,
F cos a + B cos [3 -+- D cos y = o,
v E cosa + D cos(3 ■+- C cosy = o,
il y en ait deux, par exemple, les deux premières, qui soient distinctes
DU SECOND DEdRÉ. 121
l'une de l'autre; on aura nécessairement
(77) (AB-F)2>o.
Car, si la condition
(78) AB-F=o
se trouvait remplie, en désignant par p la valeur commune des deux
rapports
F B
a' r
on tirerait des deux premières équations (76)
(79) cosa + p cos(3 = 0, cos-/ = o,
cosa _ cos[3 cosy 1
(80)
P -1 o y/i-^P2
et, pour que les valeurs de cosa, cos(3, cosy, déterminées par les for-
mules (79) ou (80), fussent propres à vérifier la troisième des équa-
tions (76), il faudrait que l'on eût encore ^ == p, et par suite
(b,) Â-F~Ë
Mais alors les deux premières des équations (76) cesseraient d'être,
comme on l'a supposé, distinctes l'une de l'autre. De plus, la condi-
tion (78) n'étant pas remplie, on tirera des deux premières équa-
tions (76), combinées avec la formule (7), des valeurs déterminées
de cosa, cos[3, cosy, savoir celles que fournira la formule
1 cosa cos(3 cosy
\ FD^~BË ~ ÈF^ÂD ~~ AB — F*
(82)
V/(FD — BE)--t- (EF — AD)4 -h (AB — F2)2
dans laquelle le radical aura une valeur différente de zéro. Or, pour
que ces valeurs satisfassent, non seulement à la troisième des équa-
tions (76), mais encore à l'équation (i3), il sera nécessaire que les
OF.m-res de C. — S. II. t. VIII. l 'i
1-22 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
coefficients A, B, C, D, E, F, G, H, I vérifient, non seulement la con-
dition
(83) E(FD-BE)-^D(EF-AD) + C(AB-F2) = o,
qui n'est autre que la formule (74)» mais encore la suivante :
(84) G(FD - BE) + H(EF - AD) h- I(AB - F2) = o.
Cela posé, il est clair que, dans l'hypothèse admise, les deux premières
des équations (48) fourniront des valeurs finies et déterminées des
deux inconnues £, yj, exprimées en fonction de l, savoir,
FD-BE FH-BG EF-AD„ FG - AH
[*°} t- AB-F^+ÂB^p' Y]- AB-F*C+ AB-F2"'
et que ces valeurs, substituées dans la troisième des équations (48), la
vérifieront quelle que soit l. Donc alors il existera une droite unique
et déterminée, dont les coordonnées E, yj, £ satisferont aux trois équa-
tions (48); d'où il résulte qu'elle sera comprise dans les divers plans
diamétraux représentés par la formule (5), ainsi que dans les plans
principaux correspondants à celles des racines de l'équation (9) qui
différeront de zéro. Ajoutons : i° que la même droite sera perpendicu-
laire en chacun de ses points à l'un des plans principaux et parallèles
entre eux qui correspondront à la racine nulle de l'équation (9);
20 que les plans principaux qui passeront par cette droite, réduits à
deux plans déterminés, si l'équation (9) n'a pas de racines égales, et
pris deux à deux dans le cas contraire, seront perpendiculaires l'un à
l'autre. Donc chaque point de la droite dont il s'agit, étant le point
d'intersection de trois plans principaux et rectangulaires, sera un
centre de la surface représentée par l'équation (1).
Supposons maintenant que chacune des équations (76) se confonde
avec les deux autres, et que toutes les valeurs de cosa, cos[3, cosy
propres à vérifier l'une d'entre elles avec la formule (7) vérifient
encore l'équation (i3). On aura nécessairement
(86) A :F:E:G ::F:B :D :H::E:D :C:l;
DU SECOND DEGRÉ. 123
et, par suite, les trois équations (48) se réduiront à une seule qui repré-
sentera un plan déterminé, avec lequel coïncideront tous les plans dia-
métraux représentés par la formule (5). De plus, ce plan étant paral-
lèle à celui que détermine la formule (16) ou (17), et par conséquent
à toutes les directions principales correspondantes aux deux racines
nulles de l'équation (9), coupera certainement à angles droits la direc-
tion principale correspondante à la troisième racine, et sera un plan
principal. Enfin, comme tous les plans qui seront perpendiculaires à
celui-ci couperont à angles droits des directions principales correspon-
dantes aux racines nulles, ils seront encore des plans principaux. Cela
posé, il est clair que tout point du plan représenté par l'une des équa-
tions (48) sera le point d'intersection de trois plans principaux per-
pendiculaires l'un à l'autre, et, par suite, un centre de la surface (1).
11 importe d'observer que, dans tous les cas où la surface (1) offrira
une infinité de centres, les coordonnées de ces divers centres, étant
substituées dans l'équation (52), fourniront une valeur unique de la
constante k. En effet, supposons d'abord que, deux des équations (76),
par exemple les deux premières, étant distinctes l'une de l'autre, on
en déduise des valeurs de cosa, cos(3, cosy propres à vérifier la for-
mule (r3). Alors la condition (77) sera remplie, c'est-à-dire que
AB — F2 différera de zéro; puis, en combinant l'équation (32) avec
les formules (85), et ayant égard à la condition (84), on trouvera,
quelle que soit £,
, AB?-2FGH-f-BG2
A —
F2— AB
En d'autres termes, on aura
la valeur de kt étant celle que détermine la formule (66). On trouve-
rait de même, en supposant la troisième des équations (76) distincte
de la première ou de la seconde,
X- = kt ou k = kt.
Donc, si, la surface (1) ayant une infinité de centres, les équations (76)
12i DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
ne se réduisent pas à une seule, la formule (52) donnera généralement
( 8~ ) A = kx = a2 = A*3,
les valeurs de X:,, £,, k^ étant celles que déterminent les équations (64).
(65), (66). On aura donc nécessairement, dans cette hypothèse, l'équa-
tion de condition
(88) *i ==*,= *,
ou
BP-2DHI + CH2 CG2-2EIG-AP AH'— aFGH + BG*
<89) D2-BC~ E2-CA F2-ÂB
Seulement, si l'une des différences
(90) BC-D2, CA-E2, AB — F»
venait à s'évanouir, l'une des quantités kt, it$ X:i se présenterait sous
la forme -•
o
Supposons, en second lieu, les équations (76) réduites à une seule
qui s'accorde avec l'équation (i3). Les conditions (86) seront véri-
fiées, et la surface (1) ne pourra être qu'un système de deux plans
parallèles à un troisième plan qui, étant le lieu des centres, sera repré-
senté par chacune des équations (48). Or on tirera de ces dernières
équations, en ayant égard aux conditions (86),
G2 H2 l2
(90 GS-hHt)-hIÇ = - x=-¥=-£,
et par suite la formule (02) donnera
G2 H2 P
(92) *=- X — B" ""C'
quelles que soient les coordonnées %, yj, l qui pourront rester arbi-
traires. Alors aussi les coefficients A, B, C, D, E, F, G, H, I vérifieront
nécessairement l'équation de condition
G2 H2 I2
<93) A=¥==C'
DU SECOND DEGRÉ. 125
Lorsque la surface (i) représente un cylindre elliptique réduit à ses
axes, ou un cylindre hyperbolique réduit au système de deux plans qui
se coupent, ou un système de deux plans parallèles réduits à un seul
plan, les valeurs de (, ï), £ propres à vérifier les formules (48) satis-
font nécessairement à l'équation (1), et par suite la valeur de k, déter-
minée par la formule (87) ou (92), vérifie la seconde des condi-
tions (72).
Observons encore que, si, la quantité A étant nulle, la surface (1)
est dépourvue de centres, cette surface sera toujours réelle. En effet,
supposons d'abord qu'une seule des racines de l'équation (9) s'éva-
nouisse, et que les valeurs correspondantes de cosa, cos(3, eosy,
déterminées par les formules (76), ne vérifient pas l'équation (i3).
Si, par un point (£, yj, l) choisi arbitrairement, on mène une droite
qui, prolongée dans un certain sens, forme avec les demi-axes des
coordonnées positives les angles a, (3, y, et si l'on nomme r la dis-
tance mesurée sur cette droite depuis le point (E,y],£) jusqu'à un
point quelconque (x,y, z), on aura
(94) X~^ = y'"r> =S~K=±.r-
cosa cos|3 eosy '
le signe 4- ou — devant être adopté suivant que la distance r sera
comptée dans un sens ou dans un autre. D'ailleurs, si l'on substitue
dans l'équation (1) les valeurs de x, y, z tirées de la formule (94)» et
si l'on observe que, dans le cas présent, la valeur de s déterminée par
la première des formules (3) se réduit à zéro, on trouvera, en ayant
égard aux équations (76) et à la seconde des équations (3),
(95) ~ r(Gcosa + Hcos(3 4- Icosy) 4- u = K,
ou, ce qui revient au même,
(96)
G cosa 4- H cos(3 4- I eosy
Or il est clair que, dans l'hypothèse admise, la formule (96) fournira
une valeur réelle finie et positive de r, pourvu que l'on dispose du
126 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
double signe de manière à rendre le second membre positif, c'est-
à-dire pourvu que l'on prolonge dans un sens convenable la droite
menée par le point (£, y),'(). Donc cette droite rencontrera toujours
la surface (i), qui sera nécessairement réelle. Nous savons, d'ailleurs,
que cette surface ne pourra être qu'un paraboloïde elliptique ou hyper-
bolique.
Supposons en second lieu que deux racines de l'équation (9) s'éva-
nouissent, mais que les divers systèmes de valeurs de cosa, cos(3, cosy,
qui correspondent alors à ces deux racines, et qui sont en nombre
infini, ne vérifient pas tous l'équation (i3). Si l'on emploie un de ces
systèmes, la droite que détermine la formule (94) rencontrera encore
la surface (1) à une distance finie du point (£, yj, Z), toutes les fois que
l'équation (i3) ne sera pas vérifiée. Donc la surface (1) sera réelle. Nous
savons d'ailleurs qu'elle ne pourra être qu'un cylindre parabolique.
Faisons voir maintenant comment on peut, en partant de l'équa-
tion (1), distinguer le paraboloïde elliptique du paraboloïde hyperbo-
lique, le cylindre elliptique réel ou imaginaire, ou réduit à son axe,
du cylindre hyperbolique ou de deux plans qui se coupent, enfin le
système de deux plans parallèles et réels ou un seul plan réel du sys-
tème de deux plans imaginaires. Pour y parvenir, il suffira de substi-
tuer à l'équation (1) une autre équation du même genre, savoir, celle
qu'on obtient quand on attribue aux coefficients A, B, C, D, E, F, ou à
l'un d'eux seulement, un accroissement infiniment petit, de manière
que la quantité A cesse d'être nulle, et que la quantité K — k diffère
de zéro. Alors la surface (1) se trouvera transformée en une autre que
nous nommerons surface auxiliaire, et qui, offrant un centre unique,
ne pourra être qu'un ellipsoïde réel ou imaginaire, un hyperboloïde à
une nappe, ou un hyperboloïde à deux nappes. Or il est clair : i° que
la valeur de z en x et j, fournie par l'équation de la surface auxiliaire,
aura pour limite la valeur de z fournie par l'équation (1); i° que les
trois valeurs de s relatives aux axes principaux de la surface auxiliaire
auront pour limites les trois racines de l'équation (5i), et que, en con-
séquence, une ou deux de ces valeurs seront infiniment petites suivant
DU SECOND DEGRE. 127
que l'équation (5i) offrira une ou deux racines nulles, tandis que les
deux autres valeurs, ou du moins la dernière, se réduiront sensible-
ment aux deux racines de l'équation
(97) s2 — (A ■+- B -+- C).v + BC + CA + AB - D2- E2- F2 = o,
ou à la racine unique de la suivante
(98) *-(A-hB + C) = o;
3° que les longueurs interceptées par la surface auxiliaire sur ses axes
principaux, et correspondantes à des valeurs finies de s, auront pour
limites les valeurs réelles et finies de 2 \Jr, auxquelles on parviendra
en combinant la formule (54) avec l'équation (97) ou (98); c'est-
à-dire, en d'autres termes, que les axes réels de la surface auxiliaire
qui correspondront à des valeurs finies de s auront pour limites les
valeurs réelles de 2 y/R déterminées par la formule
( (BC + CA + AB-D2-E2-F2)R2
(99)
I -(A + B + C)(K-£)R + (K-£)2=o,
ou par la suivante :
(100) (A + B+C)R-(K-*)=o.
Donc, si la surface (1) offre une infinité de centres situés sur un même
axe ou sur un même plan, les valeurs réelles et positives de 2 \/R tirées
de l'équation (99) ou (100) exprimeront précisément les axes réels ou
l'axe réel de la section faite dans la surface (1) devenue cylindrique
par un plan perpendiculaire à la ligne des centres, ou la distance des
plans parallèles dont le système sera représenté par l'équation (1).
Remarquons, d'ailleurs, que l'équation (99) admettra deux racines
positives, ou en aura une seule, ou n'en aura aucune, suivant que les
premières des deux expressions (37) seront toutes les deux positives,
ou l'une positive, l'autre négative, ou toutes les deux négatives; et
que, en conséquence, si la surface (1) est cylindrique, la section faite
par un plan perpendiculaire à la ligne des centres se réduira ou non à
une hyperbole, suivant que le produit de ces expressions, qui pourra
128 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
être remplacé par le polynôme
(ioi) BC + CA-hAB-D--E2-F2,
sera lui-même positif ou négatif. Observons enfin que si, la quantité A
étant nulle, la surface (i) reste dépourvue de centres, cette surface ne
pourra être qu'un paraboloïde dont l'axe principal correspondra tou-
jours à la racine nulle de l'équation (5i), et qu'elle sera, en effet, un
paraboloïde hyperbolique ou elliptique, suivant que la section faite
dans la surface auxiliaire par le plan principal perpendiculaire à l'axe
du paraboloïde sera ou ne sera pas une hyperbole, c'est-à-dire, en
d'autres termes, suivant que les deux racines de l'équation (97) seront
de signes contraires ou de même signe. Cela posé, l'équation (1) repré-
sentera évidemment un paraboloïde elliptique, si l'équation (5i) offre
une seule racine nulle correspondante à des valeurs de a, p,-y qui ne
vérifient pas la formule (i3), et si en même temps le dernier terme
de l'équation (97) ou le polynôme (101) est positif; un paraboloïde
hyperbolique, si l'équation (5i) offre une racine nulle correspondante
à des valeurs de a, (3, y qui ne vérifient pas la formule (i3), et si en
même temps le polynôme (101) est négatif; un cylindre elliptique, ou
hyperbolique, ou imaginaire, si l'équation (5i) offre une seule racine
nulle correspondante à des valeurs de a, (3, y qui vérifient la for-
mule (i3), savoir : un cylindre elliptique, si les deux premiers des
produits (07) sont positifs, un cylindre hyperbolique, s'ils sont l'un
positif, l'autre négatif, et un cylindre imaginaire, s'ils sont tous deux
négatifs; un cylindre parabolique, si l'équation (5i) offre deux racines
nulles correspondantes à des valeurs de a, (3, y qui ne vérifient pas
constamment la formule (i3); enfin, deux plans parallèles, si l'équa-
tion (5i) offre deux racines nulles correspondantes à une infinité de
systèmes de valeurs de a (3, y qui tous vérifient la formule (i3). Ajou-
tons : i° que le cylindre elliptique se transformerait en un cylindre à
base circulaire, si, dans l'équation (5i), les deux racines différentes
de zéro devenaient égales entre elles; i° que le cylindre elliptique ou
hyperbolique se trouvera réduit à une droite ou au système de deux
DU SECOND DEGRÉ. 129
plans non parallèles, si la valeur de k déterminée par la formule (87)
vérifie la seconde des équations (72), savoir : à une droite, si le poly-
nôme (101) est positif, et au système de deux plans parallèles, si le
même polynôme est négatif; 3° que les deux plans parallèles se rédui-
ront à un seul, si la valeur de k déterminée par la formule (92) devient
égale à K, et disparaîtront si la valeur de R déterminée par la for-
mule (100) devient négative, c'est-à-dire si le premier des produits (5^)
est négatif.
Les règles que nous venons de tracer, jointes à celles que nous
avons données ci-dessus pour la distinction des surfaces qui ont un
centre unique, suffisent évidemment pour compléter la solution de la
question suivante :
Problème II. — Etant donnée une équation du second degré entre trois
coordonnées rectangulaires x, y, z, déterminer l'espèce de la surface
représentée par cette équation.
Lorsque la surface (1) est un hvperboloïde à une ou à deux nappes,
et que Ton suppose dans la formule (2) les coordonnées £, t\, l déter-
minées par les formules (4$), alors, pour rendre la formule (2) propre
à représenter une asymptote menée à cette surface par le point (£, yj, *( ),
il suffit de choisir les angles a, (2, y de manière que la distance r déter-
minée par la formule (54) devienne infinie, et, par conséquent, de
manière à vérifier l'équation
(102) 5 = 0
ou
\ A cos2oc -h B cos2(3 ■+■ C cos2-/ -+- 2D cos(3 cosy
( -h 2E cosy cosa -t- 2F cosacos(3 =r o.
Donc, toutes les asymptotes menées à la surface (1) par son centre
seront comprises dans la surface conique du second degré représentée
par l'équation
, M ( A(*-02+B(j--n)2+C(;-Ç)2-H2D(7--n)(.--Ç)
(io4) ■
( +2E(s — Ç)(* — £)-f-2F(.r-f)(v-rj)=o,
OF.uvrex de C. — S. II, t. VIII. 17
130 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
que produit l'élimination des angles a, (3, y entre les formules (a) et
(io3). Le cône déterminé par cette nouvelle équation est ce qu'on peut
appeler le cône asymptotique de l'hyperboloïde proposé. Remarquons,
d'ailleurs, que, en vertu des formules (48) et (5a), l'équation (io4)
pourra être réduite à
(io5) Ao:24-Bj2-(- C-s2-h 2D/5 -+- iJLzx -\- iVxy -\- iGx + iVLy 4- 2Ï* = k.
Lorsque la surface (1) se transforme en une surface conique, on a
k = K, et la formule (io5) se réduit, comme on devait s'y attendre, à
l'équation (1).
Lorsque l'hyperboloïde représenté par l'équation (1) a pour centre
l'origine même des coordonnées, cette équation devient
(106) A^2+ By2 + Cs2+ 2Ï)yz -+- 2Ezx + 2F xy = K,
et l'équation du cône asymptotique se réduit nécessairement à
(107) Ax'-i- B/!4- Cs2+ iDyz ■+■ zEzx -\- 2Fxy=o.
S'il arrive, au contraire, que l'hyperboloïde n'ait pas l'origine pour
centre, l'équation (107) représentera, non plus le cône asymptotique,
mais un cône semblable qui aura pour centre l'origine et pour géné-
ratrices des droites parallèles aux génératrices du cône asymptotique.
Lorsque l'équation (1) cesse de représenter un hyperboloïde, la sur-
face (107) peut se transformer en un système de deux plans non paral-
lèles, ou même -se réduire à un seul plan, ou à une seule droite, ou à
un seul point. Il est d'ailleurs facile de reconnaître quelles sont les
diverses formes de la surface (107) qui correspondent à des formes
déterminées de la surface (1). En effet, comme dans les équations de
ces deux surfaces les termes du second degré offrent les mêmes coeffi-
cients, la formule (5i) ne variera pas quand on passera d'une surface
à l'autre. Cela posé, on déduira facilement des remarques que nous
avons faites sur la formule (5i) les conclusions suivantes.
Si l'équation (5i) offre trois racines égales ou inégales, mais de
DU SECOND DEGRÉ. 131
même signe et différentes de zéro, l'équation (i) représentera un ellip-
soïde réel ou imaginaire qui pourra se réduire à une sphère ou à un
point, et en môme temps l'équation (107) représentera un point
unique. Si l'équation (5i) offre trois racines différentes de zéro, et qui
ne soient pas toutes de même signe, la surface (1) sera un hyperbo-
loïde à une ou deux nappes, qui pourra se réduire à un cône, et en
même temps l'équation (107) représentera une surface conique. Si
l'équation (5 1) offre une racine nulle et deux autres racines différentes
de zéro, mais affectées du même signe, la surface (1) sera un parabo-
loïde elliptique, ou un cylindre elliptique qui pourra se réduire à son
axe, ou devenir imaginaire, et en même temps l'équation (107) repré-
sentera une droite. Si l'équation (5i) offre une racine nulle, avec deux
autres racines différentes de zéro, mais affectées de signes contraires,
la surface (1) sera un paraboloïde hyperbolique, ou un cylindre hyper-
bolique qui pourra se réduire au système de deux plans non parallèles,
et l'équation (107) représentera un semblable système. Enfin, si l'é-
quation (5i) offre deux racines nulles, la surface (1) sera un cylindre
parabolique ou un système de deux plans parallèles qui pourront se
réduire à un seul ou devenir imaginaires, et l'équation (107) repré-
sentera un plan unique. Donc, en résumé, les diverses surfaces qui
pourront être représentées par l'équation (107) se réduiront à un point,
si l'équation (1) représente un ellipsoïde; à une surface conique, si
l'équation (1) représente un hyperboloïde ou un cône; à une droite, si
la surface (1) est un paraboloïde elliptique ou un cylindre elliptique;
au système de deux plans non parallèles, si l'équation (r) représente
un paraboloïde hyperbolique ou un cylindre hyperbolique; enfin à un
seul plan, si l'équation (1) représente un cylindre parabolique ou un
système de deux plans parallèles. Il est d'ailleurs essentiel de se rap-
peler : i° que l'ellipsoïde peut se réduire à une sphère ou à un point,
le cylindre elliptique à une droite, le cylindre hyperbolique à deux
plans non parallèles, et le système de deux plans parallèles à un seul;
20 que l'ellipsoïde peut devenir imaginaire, ainsi que le cylindre ellip-
tique et le système de deux plans parallèles. Quant à la distinction des
13-2 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
diverses formes que peut offrir la surface (107), on peut l'effectuer
très simplement en résolvant l'équation (107) par rapport à Tune des
variables x, y, z. Ajoutons que, pour distinguer les unes des autres les
diverses surfaces que peut représenter l'équation (1), pour une forme
donnée de la surface (107), il suffira le plus souvent de rechercher s'il
existe des points qui puissent être considérés comme centres de la sur-
face (1), et si ces points sont situés sur la surface. On y parviendra
sans peine à l'aide des formules (48) et (io.5). Ainsi, en particulier,
quand la surface (1) offrira un ou plusieurs centres, les coordonnées
de ces mêmes centres seront les valeurs de £, r\, £ que détermineront
les formules (48), ou, ce qui revient au même, les valeurs des variables
x, j, z que fourniront les dérivées de l'équation (1) prises successive-
ment par rapport aux trois variables dont il s'agit, savoir
/ A^ + Fj-i-E^+G = o,
(108) F^-h-B/ + Dsh-H = o,
( E^ + Dj+C^+I =0.
De plus, si l'on substitue ces valeurs de x, y, z dans le premier membre
de la formule (1), on obtiendra précisément la quantité désignée dans
l'équation (io5) par la lettre k. Cela posé, il est clair que, pour distin-
guer le paraboloïde elliptique du cylindre elliptique, le paraboloïde
hyperbolique du cylindre hyperbolique, et le cylindre parabolique du
système de deux plans parallèles, il suffira d'examiner si l'on peut
satisfaire ou non aux équations (108) par des valeurs finies de x,y, z.
Remarquons en outre que l'ellipsoïde se réduira simplement à un point,
I'hypcrboloïdeà un cône, le cylindre elliptique à son axe, et le système
de deux plans parallèles à un seul plan, si les deux quantités k et K sont
égales entre elles.
Lorsque, pour déterminer l'espèce de la surface du second degré
que représente une équation donnée, on a recouru aux formules que
nous venons d'indiquer, c'est-à-dire, aux formules (io5) et (108), il
ne peut rester à vaincre d'autre difficulté que celle qui consiste à dis-
tinguer l'ellipsoïde réel de l'ellipsoïde imaginaire, ou le cylindre
DU SECOND DEGRÉ. 133
elliptique réel du cylindre imaginaire, ou le système de deux plans
parallèles et réels du système de deux plans imaginaires, ou enfin
l'hyperboloïde à une nappe de l'hyperboloïde à deux nappes. Or, pour
effectuer cette distinction, on commencera par observer que, dans le
cas où l'équation (i) représente une des surfaces dont il est ici ques-
tion, il existe un ou plusieurs points dont les coordonnées vérifient les
formules (108), et que, si l'on transporte l'origine en un quelconque
de ces points, l'équation (i) se trouvera remplacée par la suivante
(109) Ao;2-+-Bj2+ Czi-h 2D/-4- 2Es# + 2¥ccy = K — k.
Cela posé, concevons d'abord que l'équation (1) représente un ellip-
soïde, ou un cylindre, ou un système de plans parallèles. Alors la sec-
tion faite dans la surface (1) par cliacun des plans coordonnés ne
pouvant être qu'une ellipse réelle ou imaginaire, ou un système de
droites parallèles, les coefficients A, B, C seront des quantités de même
signe; et la surface (r) sera réelle ou imaginaire, suivant que les signes
de ces quantités seront ou ne seront pas semblables au signe de la dif-
férence K — i. Si l'équation (1) représentait un hyperboloïde, alors,
pour décider si cet hyperboloïde offre deux nappes distinctes ou une
seule nappe, il suffirait de calculer la quantité ci-dessus désignée par A,
et d'examiner si cette quantité est ou n'est pas de même signe que la
différence K — k. On pourrait aussi résoudre cette question à l'aide
d'une autre méthode que nous indiquerons tout à l'heure.
Lorsque les quantités k, K diffèrent l'une de l'autre et que la sur-
face (1) se réduit à un cylindre elliptique ou hyperbolique, ou au sys-
tème de deux plans parallèles, l'équation (104), ou (io5), représente
évidemment l'axe du cylindre elliptique, ou ce qu'on peut nommer les
plans asymptotiques du cylindre hyperbolique, ou enfin le plan mené
à égale distance des deux plans parallèles. Si la surface (i) était un
ellipsoïde, l'équation (104) ou (ro5) représenterait un seul point,
savoir le centre même de l'ellipsoïde.
Observons encore que l'équation (9), qui fournit les valeurs de s cor-
respondantes aux axes principaux de la surface (1), est précisément
131 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
celle qui résulte de l'élimination des variables x, y, z entre les for-
mules
(no) kx -+- Ey-+- Ez = sx, Ex -j- Bj -+- Dz = sv, Ex -+- Dj-+- C~ = sz,
et, par conséquent, celle qui a pour racines les maxima et minima de
la fonction
kx2 h- B r2 -+- C-s2 -+- 2 Dyz 4- 2 Ezx -+- 2 Exy
En effet, si l'on pose
A#2-|- B/2-h Cs24- 2D y* -1- iEzx 4- iE xy
s =
r
ou, ce qui revient au même,
(II2) \X^- B/2+C-2-4-2Dr- + 2Es^4-2F^vy=5(^2 + /2-l-^2),
il suffira de différentiel' successivement la formule (112) par rapport à
x, y, z, puis d'égaler à zéro, dans les nouvelles formules ainsi obte-
nues, les dérivées de s prises par rapport à x, y, z, pour retrouver les
équations (no). Il est essentiel d'ajouter que, la valeur de s étant
choisie de manière que les équations (110) s'accordent entre elles, ces
équations, réduites à deux, représenteront une droite menée par l'ori-
gine et dont la direction coïncidera toujours avec une direction prin-
cipale relativement à la surface (1). Si, pour cette même valeur de s,
■les trois équations (no) se réduisaient à une seule, la surface (1)
serait de révolution. Elle deviendrait une sphère, si les équations (1 10)
étaient vérifiées par une seule valeur de *, indépendamment des valeurs
attribuées aux variables x, y, z.
Lorsque la surface (1) a un centre et que l'on a transporté L'origine
à ce même centre, l'équation (1) se trouve remplacée par la for-
mule (109), et les axes principaux coïncident avec les droites qui
peuvent être représentées par les équations (1 10), ou plus simplement
par la formule
( 1 1 3 ) ^ = - = ^
DU SECOND DEGRÉ. 135
Donc, avant le déplacement do l'origine, les axes dont il s'agit devaient
être représentés par la formule
/ A(x-n + F(.r-y))+E(--C)
(»4)
P(«-
_Ç)-HB(.r — n) + D(*-
-0
E(j?-
y — n
_^)+D(r-y))4-C(s-
-0
!;, t), C désignant les coordonnées du centre; ou, ce qui revient au
même, par la formule
, e, Àa?H-Fy-t-E*-hG Fx + By + D; + H E.r + Dy + Cs + 1
(n5) '- = = : = ! =
x — c, y — H -s — ;
Remarquons d'ailleurs : i°que, pour obtenir la formule (i i3) ou (no),
il suffit d'exprimer que les dérivées du premier membre de l'équa-
tion (109) ou de l'équation (1) sont proportionnelles aux variables x,
y, z, ou aux différences x — \*y — ï), z — £; i° que l'on tire de la for-
mule (n4) ou O1^), combinée avec les formules (48) et (52),
/ Aar+Fy-hEs-i-G F^ + Rr + D^ + H Ex + T)y + Cz + I
(..6)
y — f)
K-G£-
-Kn-K K-À
{*-
-lY+(y-
-r))2+(s-Ç)2~ r2
(
r désignant la distance qui sépare la surface (1) du point où cette sur-
face rencontre l'un des axes principaux.
On déduirait aisément des formules (2) et (5) l'équation du plan
tangent mené à une surface du second degré par un point quelconque
de cette surface. En effet, soient \t r\, £ les coordonnées du point dont
il s'agit. Pour que la droite (2) se réduise à une tangente menée par le
même point, il suffira que la corde mesurée sur cette droite s'éva-
nouisse, et que le milieu de cette corde coïncide avec le point (;, yj, Ç).
En d'autres termes, il suffira de choisir les angles a, [3, y de manière
que l'équation (5) soit vérifiée. Donc, si entre cette équation et la for-
mule (2) on élimine a, (3, y, l'équation résultante, qui se réduira sim-
136 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
plement à
( (Ac: + Fyi+EC + G)(^-0-MF£4-Byi-+-DÇ + H)(7-y])
"' I 4-(E2;H-DrjH-CÇ 4- I) (5-C) = o,
et qui sera du premier degré en oc, y, z, représentera un plan qui ren-
fermera toutes les tangentes menées par le point (?,*], '£) à la sur-
face (1), c'est-à-dire, le plan tangent (*), De plus, comme les coordon-
nées Ç, Y], Ç vérifieront évidemment la formule
(118) Af-+-BY52-f-CC2-r-2DrîC + 2EC| + 2F^-T-2G| + 2Hr]^2U = K,
l'équation du plan tangent pourra encore s'écrire comme il suit :
((A£ + Frj+EC + G)^-(F£ + Br;+DC-i-H)7
1 +(Eç + Dr) + CC4-I)s = K-G£ — Hf}-IÇ.
Lorsqu'on remplace la surface (1) par la surface (106), l'équation
du plan tangent se réduit à
(120) (A£ + FYî + EÇ)^ + (F£4-BY) + DC)r + (E£-+-DY]+CÇ)s = K.
Concevons encore que l'on se propose de trouver les cas dans lesquels
la surface (1) peut être engendrée par une droite, et les équations de
la génératrice. Pour y parvenir, on prendra sur cette surface un point
quelconque dont on désignera les coordonnées par Ç, yj, *(, et l'on cher-
chera les valeurs qu'il faut attribuer aux angles a, (3, y pour que la
droite passant par le point (Ç, yj, £), et représentée par la formule (2),
soit située tout entière sur la surface. Or, pour que cette dernière
condition se trouve remplie, il sera nécessaire que les valeurs de x,
y, z tirées de la formule (94) satisfassent, quelle que soit la distance r,
à l'équation (1), c'est-à-dire, en d'autres termes, que les valeurs de
cosa, cos[3, cosy vérifient à la fois les deux formules
( Acos2a 4- B cos2 ,3 -f- Ccos2-/ 4- 2D cos |3 cosy -+- 2E cosy cosa 4- 2Fcosacos(3 = 0,
'?'l)/(A? + Fri+EÇ + G)cosa+-(F£-f-Bri-+-DÇ + H)cos[3 + (E$ -+- Dn 4- CÇ 4- I)cosy
(*) Cette manière de parvenir à l'équation du plan tangent nous a été indiquée par un
jeune ecclésiastique également versé dans les sciences divines et dans les sciences hu-
maines, et membre de cette illustre Société qui, dans les deux hémisphères, a rendu tant
de services à la civilisation.
(iaa)
DU SECOND DEGRÉ. 137
Donc il existera une droite passant par le point (£,Y],'0, et située
tout entière sur la surface (i), si l'on peut, des formules (121), tirer
des valeurs réelles des rapports
cosa cos{3
cosy cosy
attendu qu'alors les mêmes formules, combinées avec l'équation (7),
fourniront des valeurs réelles des quantités
cosse, cos£, cos-/.
Ajoutons qu'il suffira d'éliminer ces trois quantités entre les for-
mules (2) et (121), pour obtenir les équations de la génératrice de la
surface (1). Donc cette génératrice sera représentée par les formules
A(.r-|)2+I^ir-^)2+C(^-C)2+2l)(7-y))(^-C)-t-2E(c-C)(.r-ç)-f-2F(.r-c;)(r-ri) = o,
(AS-4-Fti-hEÇ + G) (a?-£) + (FÇ+Bru-DÇ-H H) (r - n) + (E| + Du + C£ + I) {z - £)=«>,
c'est-à-dire, qu'elle sera précisément une des droites suivant lesquelles
le plan tangent, mené à la surface (1) par le point (?, rç, '£), rencontre
le cône dont le sommet coïncide avec le même point, et dont les géné-
ratrices sont parallèles à celles du cône asymptotique.
Lorsque la surface (1) est un ellipsoïde réel ou imaginaire, ou un
paraboloïde elliptique, le cône représenté par la première des équa-
tions (122) se réduit, ainsi que la surface (107), à un point unique,
ou à une droite qui, étant parallèle à l'axe du paraboloïde, rencontre
ce paraboloïde en un seul point. Donc alors la surface (1) ne peut être
engendrée par une droite. Au contraire, si l'on considère un hvperbo-
loide à une nappe, par exemple l'hyperboloïde représenté par l'équa-
tion (24), les formules (r22) deviendront
(l?3) i£zJ£ 1 (.r-y')2_(~--Q2 $(*-£) . nÇy-tQ C(*-C)
K'} «2 b* '- c" ' ^ + ïï — - c» '
et, comme on aura d'ailleurs
(•24) ^+Îz =
I2
a} ' b*
CEuvres de C. — S. II, t. Mil.
138 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
on en conclura
H? + *;[-?- -p- -y tt
(120) <
I = (
IH.P\(a'— C>" C2(~-?)2
c*
ou, ce qui revient au même,
(126)
ab ) \ C
et, par suite,
('27)
«6 c
Ajoutons que la seconde des équations (i23) peut être réduite à
(128)
orc
y/i
a-
-+-
~b~*
—
1 -+-
C2
Donc, par un point quelconque de l'hyperboloïde à une nappe, on peut
faire passer deux droites qui soient situées sur cet hyperboloïde,
savoir les deux droites représentées par les formules (127) et (128).
Si à l'équation (24) on substituait l'équation (29), la formule (126)
serait remplacée par la suivante :
'x-n—ylV (--C)2
029)
ab
Comme on ne peut satisfaire simultanément à cette dernière et à la
seconde des équations (128) qu'en supposante = c, y = ïj, s = 'C, il
en résulte qu'il n'existe aucune droite qui soit située tout entière sur
la surface de l'hyperboloïde à deux nappes.
Considérons enfin un paraboloïde hyperbolique, par exemple celui
que représente l'équation
, 9 , x% y2 iz
(i3o) -7 — jt = —■•
a- br c
Les formules (122) deviendront
{lôl) d>- b* ~°' a^~ b* ~ c '
DU SECOND DEGRÉ. 131)
Or on tirera de la première
(i3a)
X —
a
et la seconde
pourra
être
rédui
te à
(.33)
a-
rr,
b*
Donc, par un point quelconque du paraboloïde hyperbolique, on peut
faire passer deux droites qui soient situées sur ce paraboloïde, savoir
les deux droites représentées par les formules (i32) et (i33).
La propriété qu'offre l'hyperboloïde à une nappe d'être engendré
par une droite peut servir à le faire distinguer de l'hyperboloïde à deux
nappes. Supposons en effet que la surface représentée par l'équa-
tion (r) soit un hyperboloïde dont on demande l'espèce. On commen-
cera par transporter l'origine au centre. Alors l'hyperboloïde dont il
s'agit et l'hyperboloïde conjugué se trouveront représentés, le premier
par l'équation (109), le second par la suivante
(i34) A.r2+ \\ v24- C-2-+- 2D vz -+- %TLzx ■+- lYxy = k — K,
tandis que le cône asymptotique, qui restera le même pour les deux
hyperboloïdes, sera représenté par l'équation (107). Cela posé, conce-
vons que, par le centre commun des deux hyperboloïdes, on mène une
droite qui ne se confonde pas avec l'une des génératrices du cône
asymptotique. Cette droite, dont les équations pourront être rempla-
cées par la formule
(-35) £ = 2=:£,
1 m n
dans laquelle /, m, n désignent trois constantes arbitraires assujetties
à la seule condition de fournir pour le polynôme
(1 36) A/2 + Bm!+ C«'-+ 2 \)mn 4- 2Ë«/+ 2F lin
une valeur différente de zéro, rencontrera nécessairement un des deux
hyperboloïdes en deux points dont les coordonnées £, y;, Ç seront dé-
liO DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
terminées par l'une des deux formules
1 7) l~ m~~ n V A/2+Bm2+C«2
\__
T]
t
m
n
ç _
■n
Y
t
m
//
K
i\) mn ■+■ 2E«/ + 2F //«
(,38) ) = - =±=±1/— _
*— K
C il* -h 2 D mn -+■ 2 E /*/ -+- 2 F //«
savoir, l'hyperboloïde (109), si le polynôme (i3G) est une quantité de
même signe que la différence K — k, et l'hyperboloïde (1 34) dans le
cas contraire. De plus, si l'on combine les équations (122) avec les
formules (i3t) ou (i38), après avoir réduit à zéro les constantes G,
H, I, on trouvera pour les équations de la génératrice qui renferme le
point (H, Y], Ç) sur l'un des hyperboloïdes
. A(^-ï)2 + B(/-r02+C(^-C)24-2D(j-rî)(3-C) + 2E(^-C)(^-D + 2F(^->)(j-ri) = o,
' j ( A7.-+- F m -+- En) {x — Q + (F/ + Bm +Dn) {y — tj) -+- (E/+D/n + C») (* — Ç) = o.
Donc la parallèle menée à cette génératrice par l'origine des coordon-
nées sera la droite suivant laquelle le cône asymptotique coupera le
plan représenté par l'équation
(i4o) (A/ 4- Fm+En)jc + (F/ + Bm -+-»/*)/ -+- (E/ + Dm + C«); = o,
c'est-à-dire, le plan diamétral qui passera par les milieux des cordes
parallèles à la droite (i35). Si cette parallèle vient à disparaître, ou,
en d'autres termes, si les équations (107) et(i4o) ne peuvent être véri-
fiées que par des valeurs nulles ou imaginaires des coordonnées oc,
y, z, on en conclura que l'hyperboloïde qui renferme le point (H, yj, '()
ne saurait être engendré par une droite, et qu'il offre deux nappes
distinctes. Par conséquent, l'hyperboloïde (109) offrira une seule
nappe, si, le polynôme (101) étant une quantité de même signe que la
différence K — k, le système des équations (107), (i4°) fournit des
valeurs réelles de x, y, z, ou si, le polynôme (101) et la différence
K — k étant des quantités de signes différents, le système des équa-
tions (107), (i4o) fournit des valeurs imaginaires de x, y, z. Dans la
supposition contraire, l'hyperboloïde (109) offrira deux nappes dis-
DU SECOND DEC. RÉ. Ui
tinctcs. D'ailleurs, pour savoir si le système des formules (107), (i4°)
fournit des valeurs réelles ou imaginaires des variables x, y, z, il suf-
fira d'éliminer une de ces variables entre les mêmes formules, par
exemple la variable z, puis de tirer de l'équation résultante la valeur
du rapport —
Lorsque, des coefficients A, B, C, l'un au moins diffère de zéro, l'un
des axes coordonnés rencontre l'byperboloïde (109) ou l'hyperboloïde
(i34), et, par suite, on peut réduire à zéro, dans la formule (i4°)» deux
des constantes arbitraires /, m, n. Concevons, par exemple, que le coef-
ficient A ne soit pas nul. Alors, en prenant m = o, n = o, on fera
coïncider la droite (i35) avec l'axe des x. Alors aussi, l'équation (i4o)
se trouvant remplacée par la formule
040 A^ + Fr + E; — o,
la surface (109) sera un hyperboloïde à une nappe, si, le produit
(142) A(K — k)
étant positif, les formules (107) et (i40 fournissent des valeurs réelles
de x, y, z, ou si, le produit (142) étant négatif, les mêmes formules
fournissent des valeurs imaginaires de x, y, z.
11 nous reste à montrer quelques applications numériques des règles
que nous venons d'établir, et à l'aide desquelles on détermine l'espèce
d'une surface du second degré, d'après l'inspection de l'équation qui
la représente.
Proposons-nous d'abord de trouver quelle est la surface représentée
par l'équation
„ N I V E B -
043) rz + zx + xy — i. \
Cette surface a évidemment un centre qui coïncide avec l'origine. De
plus, comme l'équation du cône asymptotique de la même surface,
c'est-à-dire, la formule
044) yz -h zx -h jty — o,
148 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
fournit, lorsqu'elle est résolue par rapport à la variable s, une valeur
réelle de cette variable, et que cette valeur, savoir
(.'45) *=__5?L,
ne se réduit pas à l'ordonnée d'un plan, on peut affirmer que le cône
îisymptotique existe, et que la surface (i43) est un hvperboloide. Pour
déterminer l'espèce de cet hvperboloide, on mènera par l'origine une
droite qui ne soit pas renfermée dans la surface du cône asymptotique,
par exemple la droite que représente la formule
(i'i6) a>=yz=zs,
et l'on cherchera le plan diamétral qui passe par les milieux des cordes
parallèles à cette droite. Or les dérivées du premier membre de l'équa-
t ion (i43), prises successivement par rapport aux variables x, y, s, se
réduisent aux trois binômes
Y-JrZ, Z-hXf X+Y-
Donc le plan diamétral passant par les milieux des cordes parallèles à
la droite (i3.)) sera représenté par l'équation
(m + n)x -+-(/*-+■ l)y ■+. (/-f- m)z =p,
et le plan diamétral cherché, par l'équation
(i/»7) x h- y ■+- » = *>.
De plus, on tirera des équations (r43) et (i4?)i en éliminanl la va-
riable s,
(t48) (.z- -h y)2— ,rr = 0 ou œ'1 -+- xy -+- y"- = o
et, par conséquent,
(149) Z=-L±*lsf=ru
D'autre part, on tirera des équations (i43) et (i£6)
(i5o) x=y — z = ±^.
DU SECOND DEGRE. U3
Donc le plan diamétral (i4/) ne rencontrera pas le cône asymptotiqnc,
tandis que la droite (i4^) rencontrera l'hyperboloïde proposé. On doit
en conclure que cet hyperboloïde ne pourra être engendré par une
droite, et qu'il offrira deux nappes distinctes.
On arriverait à la même conclusion en observant que, dans l'hypo-
thèse admise, la formule (n3), qui comprend les équations des axes
principaux, se réduit à
y ■+- s g •+■ x x -+■ y
(.1*0
y
Or, si l'on désigne par r la distance qui sépare le centre de la sur-
face (i43) du point où cette surface rencontre l'un des axes principaux,
on tirera des formules (i4'î) et (i5i) combinées entre elles
. - . r -h :■ s + x x -y- v ixz ^- izx+->.xy a
( 1 5a ) • = — — ■ = - = — — ; - r—^ = — i
x y z x'- -+- y* -+- z* i -
ou, ce qui revient au même,
(,53) ^+.=(5+.).= (£+,)r=(£-i
De plus, il est clair qu'on vérifiera l'équation (i53), soit en posant
(A~)
a?-+
et
(«54)
i + i = o
soit en posant
046)
X
et
055)
a
-4-1 = 3
/-
1
ou r=± 2*y/ — i,
■y —
on /• = i .
Donc il existe, pour la surface (i 43) : r° une infinité d'axes principaux
compris dans le plan représenté par l'équation ( r 4 7 ) , mais dont aucun
144 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
ne rencontre la surface; 20 un axe principal représenté par la for-
mule (146), et qui coupe la surface en deux points situés à l'unité de
distance de l'origine. Donc l'équation (i43) représente un hyperboloïde
à deux nappes, qui est de révolution autour de la droite (1/46). et dont
l'axe réel offre une longueur égale à 2.
Proposons-nous, en second lieu, de trouver quelle est la surface
représentée par l'équation
(1 56) x"- — y2 — :-2+ 2ys + x 4- y 4- % = 0.
Dans ce cas, la formule (107) se réduit à
X* — ■ y- — -s2 + 2 y z = o
ou, ce qui revient au même, à
(i57) (x—y^z)(x+y—z) = o.
Donc alors le cône dont les génératrices sont parallèles à celles du cône
asymptotique se transforme en un système de deux plans qui se coupent.
Par conséquent l'équation (i56) ne peut représenter qu'un semblable
système, ou un cylindre hyperbolique, ou un paraboloïde hyperbo-
lique. De plus, comme les dérivées de l'équation (i5G), prises par rap-
port aux variables x, y, s, sont respectivement
( 1 58 ) 2.r-i-imo, -2r+2;+i-o, -2; + 2y4-i = o,
et qu'on ne peut satisfaire simultanément aux deux dernières des for-
mules (i58) par des valeurs finies de y et de :■, nous devons conclure
que la surface (ijO) n'a pas de centre, et qu'elle est un paraboloïde
hyperbolique.
Si à l'équation (1 jG) on substituait l'une des suivantes
(159) x* — y* — -24- lyz 4- x -\- y — z = o,
(160) x* — y* — **-¥■ iyz -+- x +-y — z=zi,
on trouverait, au lieu des formules (1 58),
(161) 2.7-4-1—0, -2/ + 2: + i = o, 2r-2;-i=:o;
DU SECOND DEGRÉ. 145
et, comme les équations (161) sont vérifiées, quelle que soit z, lors-
qu'on pose
(162) x — ■> y —
•>.
on pourrait affirmer que chacune des surfaces (159), (160) admet une
infinité de centres. Enfin, comme, en substituant les valeurs de x, y
tirées des formules (162) dans les premiers membres des équations
(159), (1G0), ou, ce qui revient au même, dans le polynôme
x + y
on trouve zéro pour résultat, on conclurait que la surface (139) se ré-
duit au système de deux plans qui se coupent suivant la droite (162),
et la surface (160) à un cylindre hyperbolique qui a pour axe cette
même droite.
Considérons encore l'équation
(i63) x*-î- 2j2-h 3-s2-h l\yz -+- !±zx -+- [±xy + 2« + 2/+2î=:i.
Dans ce cas, la formule (107) deviendra
(i64) x*-\- 2j2-+- 3s2 -h ^yz -4- ^zx -+- -\xy = o.
Or on tire de cette dernière, résolue par rapport à x,
(i65) x — — 2 (y -+- z) ± \Jz* 4- \yz-h 2 y2. •
De plus, comme, en égalant à zéro le polynôme
52+4j5 4-2J2,
on en conclut
Z — —iy±.y\Ji,
et que, par suite, on a généralement
(166) z2 -h l\yz + a y* =(* + 27 ■+■ y \fi) (3 4- 27 — y \Jz) — (3 -+- 2 y)*— 2 y9-,
il est clair que la valeur de x, déterminée par la formule (i65), sera
réelle toutes les fois que la valeur numérique de z h- 2 y sera supé-
OEuvres de C . — S. II, t. VIII. ig
146 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
rieure à celle de ysl'i, c'est-à-dire, en d'autres termes, toutes les fois
que la valeur numérique de la somme — h 2 sera supérieure à sfï.
Donc le cône asymptotique représenté par l'équation (164) ou (i65)
sera réel, et la surface (i63) sera nécessairement un hyperboloïde.
Pour obtenir les coordonnées du centre de cet hyperboloïde, il suffira
de chercher les valeurs de x,y, z qui vérifient simultanément les trois
dérivées de l'équation (i63), savoir
0:+2J'+25 + I=:0,
(167) ! ix + iy + iz + 1 — o,
( ix + iy + 3z + 1 = o.
Donc les coordonnées du centre seront
(168) X — o, J =
I
Cela posé, les axes principaux de la surface (i63) seront représentés
par la formule
, _ . a? + ay + a* + i 2^ + 27 + 25 + 1 2.r + 2r + 3s + i
(i6q) - •= ^ = *■ ■
'J X I z
y+ -
J 2
Ajoutons que, si l'on transporte l'origine au centre de la surface (i63),
les équations de cette surface et des axes principaux deviendront
3
(170) x2-\- 2j2+ 3,s2+ (\xy -v- ^ocz + \yz = -,
JT+2V + 2S 2X + 2V + 23 2J7 + 2V + 3.3
X
y
D'ailleurs, si l'on désigne par rla distance qui sépare la surface (170)
du point où cette surface rencontre un des axes principaux, et si l'on
fait, pour abréger,
i ^ 3
(I"2) **=*
DU SECOND DEGRÉ. H7
on tirera des formules (170) et (171) combinées entre elles
3
x -+- 2 y -4- 2 z ___ a a? -f- 2 y -+- 2 z _ 2 .r -f- 2 y -t- 3 s 2
"j 2 — x1 -\- y* -\- z%
(«73) Z = Z ~ —-. :-^^r^2-4-^_2/-2_ '
ou, ce qui revient au même,
(174) 2J7 + 2J-f-2^=:(5+ l) X = S y = (s — \)Z\
puis on en conclura
/ 1 1 1
( 1 75 ) 2 1 1
v ' ' \s -f- 1 s s — 1
ou, plus simplement,
(176) s3— 6s2— s -h 2 = 0.
Comme cette dernière équation offre deux variations de signe, on peut
affirmer qu'elle a deux racines positives. Donc, parmi les trois valeurs
de r correspondantes aux trois axes principaux, et déduites des for-
mules (172), (176), deux seront réelles. Donc la surface (i63) sera un
hypcrboloïde à une seule nappe. On pourrait encore arriver à la même
conclusion de la manière suivante.
Si l'on construit les cordes de la surface (170) qui sont parallèles à
l'axe des y, le plan diamétral qui renfermera les milieux de ces cordes
sera représenté par l'équation
•XX H- 2 y -f- 2 Z = O,
OU
(177) a?.-t-7-+-* = o.
Si entre cette dernière équation et la formule ( 1 64 ) on élimine y, on
trouvera
(.78) z*--x* = o,
('79) z=±x.
148 DISCUSSION DES LIGNES ET DES SURFACES
D'autre part, si l'on réduit x et z à zéro dans l'équation (170), on en
tirera
±
92
(180) y= ±_.
2
Donc le plan diamétral qui renferme les milieux des cordes parallèles
à l'axe des/ coupe le cône asymptotique de la surface (170), qui elle-
même est rencontrée par l'axe des y. Donc cette surface peut être
engendrée par une droite, et l'hyperboloïde auquel elle se réduit offre
une seule nappe.
Considérons enfin l'équation
(181) x9-+ 2J2+ 3~24- lyz + 25J + 2 x/ + ,r +/ + 3 =1.
Dans ce cas, la formule (107) deviendra
O82) <r2-h 2/24- 3,s24- lyz + izx -t- ixy = o.
Or, comme on tire de cette dernière, résolue par rapport à x,
(i83) ^ = -(7 + ^)±(/2+252)2v/=rï,
il est clair que les seules valeurs réelles de x, y, z, propres à vérifier
la formule (182), seront des valeurs nulles. Donc l'équation (181) ne
peut représenter qu'un ellipsoïde réel ou imaginaire. Ajoutons que,
dans cet ellipsoïde, les coordonnées du centre vérifieront les dérivées
de l'équation (181), savoir
/ 2X+2/ + 2J + I = û,
('84) < 2« + 4j-t-2; + i = o,
' 2a; + 2j + 6;+i-o,
et seront, par conséquent,
1
7 — 0, £ = 0.
(i85) *=-i
2
D'ailleurs, si l'on transporte l'origine à ce même centre, l'équa-
DU SECOND DEGRÉ. 149
tion (181) sera remplacée par la suivante
( 1 86) x*-\- 2j2-i- 3 s2 4- lyz -f- izx -+- ixy = y>
c'est-à-dire, par l'équation d'une surface qui coupera évidemment
l'axe des x en deux points dont les abscisses seront comprises dans la
formule
(187) œ — ±^—-
Donc la surface (181) est un ellipsoïde réel.
SUR LA
DIVISION D'UNE MASSE SOLIDE OU FLUIDE
EN COUCHES HOMOGÈNES.
Considérons une masse solide ou fluide représentée par M, et com-
prise sous un certain volume V. Supposons d'ailleurs tous les points
de l'espace rapportés à trois axes rectangulaires des x, y, z, et soit
la densité de la masse M au point {oc, y, z). Si l'on divise cette masse
en couches infiniment minces et homogènes par des surfaces très rap-
prochées les unes des autres, l'équation de chacune de ces surfaces
sera de la forme
(2) p = const.
Soit d'ailleurs p -+- Ap ce que devient la densité p lorsqu'on passe du
point (ce, y, z) à un autre point très voisin et correspondant aux coor-
données x -h Ax, y -h Ay, z -+- Az. On trouvera, en regardant les quan-
tités Ax, Ay, Az comme infiniment petites du premier ordre, et négli-
geant les infiniment petits du second ordre,
(3) Ap=|PA*+^A7+$A;.
dx dy J dz
De plus, si l'on désigne par r le rayon vecteur mené du point (x, y, z)
au point (x +■ Ax, y -+- Ay, z ■+- Az), par a, (3, y les angles que forme
ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives, et par
SUR LA DIVISION D'UNE MASSE SOLIDE, ETC. 151
« la valeur numérique du rapport -A on aura
(4) Ax = r cosa, Aj = rcosj3, As = r cosy,
(5) cos2a -h cos2(3 -+- cos2y = i,
(6) » = ± — =± ( -/-cosa-f- -r^-cosS + -£ cosy ).
/• \ox ây ôz ' J
Enfin, il est clair que le rayon vecteur r sera dirigé suivant la normale
menée à la surface (2) par le point (x, y, z), si les angles a, (3, y sont
déterminés par la formule
cosot cos(3 cosy 1
(7)
à* ày <)z y y^j ■+■ \jfyj -1- y-j
et qu'alors la valeur de a deviendra
âA 4? * J(*lX+.(*i\\(*9
Or on peut démontrer que cette dernière valeur de a est la plus grande
de celles que fournit l'équation (6), quand on y substitue pour a, (3, y
des valeurs propres à vérifier la condition (5). On y parviendra, en
effet, de la manière suivante.
On a généralement
dp dp dp Y1 (dp dp 0y-
(9) ( +(|cosa-||cosy)2+(^cosP-^cosa
Donc la quantité
(10) a«— / _A-cosa 4- -pCOs(3+ -^ cosy j
sera toujours inférieure au trinôme
152 SUR LA DIVISION D'UNE MASSE SOLIDE OU FLUIDE
tant que les angles a, (3, y ne vérifieront pas les conditions
/ ^P dp n
-~ cosy f- cosp — o,
\ dy ' ôz r
/ x J dp dp
(12) < ~- cos or. — -~ cosy = o,
v ' \ dz ôx '
\ -^-cos(3 f cosot = o,
» ôx ay
ou, ce qui revient au même, la formule (7); tandis que, dans le cas
contraire, les quantités (10) et (1 1) seront égales entre elles. Donc le
trinôme dont il s'agit représentera la valeur maximum de s2, et la ra-
cine carrée de ce trinôme offrira le maximum de la quantité a. Or cette
quantité sera plus ou moins grande, suivant que l'accroissement ou la
diminution de la densité p sera plus ou moins considérable dans le
passage du point {x, y, z) au point (x -h bx, y -+- Ay, z -+■ As) séparé
du premier par la distance r. Cela posé, on déduira immédiatement du
principe ci-dessus établi la proposition suivante :
Théorème I . — Si, après avoir divisé une masse solide ou fluide en cou-
ches homogènes par des surfaces infiniment rapprochées les unes des au-
tres, on passe d'un point (x, y, z) pris au hasard sur l'une de ces surfaces
à un second point très voisin et séparé du premier par la distance r, l'ac-
croissement ou le décroissement de la densité deviendra le plus grand pos-
sible, lorsque la distance r sera mesurée sur la normale à la surface dont il
s'agit.
La quantité « que détermine la formule (6), et qui sert à mesurer
l'accroissement ou la diminution de la densité à une distance très
petite du point {oc, y, z), est ce que nous appellerons désormais le
module de cet accroissement ou de cette diminution.
Il est facile de prouver que, dans la formule (7), le double signe
doit être réduit au signe + ou au signe —, suivant que la densité croît
ou diminue quand on passe du point {oc, y, z) à un point très voisin
{x -h Ax, y -+- Aj, z -4- As) situé sur la direction correspondante aux
angles a, (3, y. En effet, admettons d'abord que la densité croisse dans
EN COUCHES HOMOGÈNES. 153
la direction dont il s'agit. Les deux quantités
dp
cosa et -r-
ôx
seront toutes deux positives si cette direction forme avec le demi-axe
des x positives un angle aigu, et toutes deux négatives dans le cas con-
traire. Donc alors le rapport
cosa
(i3)
dp_
dx
sera nécessairement positif, et la formule (7) devra être réduite à la
suivante :
cosa cos[3 _ cosy _ 1
04)
fy (ty ' ' àp /(àpV (àpV (ai
à* ày àz y yâjc) + ydy) + ydz
On prouvera de même que, si la densité diminue quand on passe du
point {x, y, z) à un point très voisin situé sur la direction correspon-
dante aux angles a, [J, y, le rapport (i3) sera nécessairement négatif.
Donc alors la formule (7) deviendra
. r. cosa cosS cosy 1
(i5)
à* ày ôz y \J)%) + \jfy) + \JZ
Lorsque la masse M est celle d'un liquide en équilibre, et que les
projections algébriques X, Y, Z de la force accélératrice 9 appliquée
à la molécule qui renferme le point (x,y,z) réduisent le trinôme
Xdx-hYdy-\-Zdx à une différentielle exacte, les surfaces qui divisent
la masse M en couches homogènes sont des surfaces de niveau, dont
chacune est toujours coupée à angles droits par la direction de la force
accélératrice. Donc alors, si l'on veut passer d'un point donné (a?, y,z)
à un second point très voisin et situé à la distance r du premier, de
manière que l'accroissement ou la diminution de la densité obtienne
la plus grande valeur possible, il suffira de mesurer la distance r sur
la direction de la force accélératrice.
OF.wrcs de C. — S. II, t. VIII. 20
15i SUR LA DIVISION DUNE MASSE SOLIDE OU FLUIDE
Si l'on considère le calorique comme un fluide impondérable qui
pénètre les différents corps, la densité p de ce fluide, en un point
donné (x,y9*) d'un corps quelconque, sera la mesure de la chaleur
en ce point, et les surfaces qui diviseront le même fluide en couches
homogènes, ou d'égales densités, seront ce qu'on peut appeler des sur-
faces isothermes, puisqu'on retrouvera dans tous les points de chacune
d'elles la même quantité de chaleur. Alors la quantité », déterminée
par la formule (G), deviendra proportionnelle à l'accroissement ou à la
diminution que la chaleur subira dans le passage d'un premier point
(x, y, z) à un second point très voisin (x -f- Ax, y -+- ày, z -f- Az), sé-
paré du premier par la distance r tracée de manière à former avec les
demi-axes des coordonnées positives les angles a, j3, y, et sera le mo-
dule de cet accroissement ou de cette diminution. Or il suit des prin-
cipes ci-dessus établis que ce module acquerra la plus grande valeur
possible quand la distance infiniment petite, désignée par r, se comp-
tera sur la normale menée par le point (a?, y, z) à la surface isotherme
qui renferme ce point. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème II. — Si, dans un corps ou dans l'espace, on veut passer d'un
point donné (x,y, z) à un second point très voisin et séparé du premier
par la distance r, de manière que la différence des quantités de chaleur me-
surées en ces deux points soit la plus grande possible, on devra suivre la
direction de la normale menée par le premier point à la surface isotherme
dans laquelle il se trouve compris.
Pour établir l'équation qui sert à fixer les lois du mouvement de la
chaleur dans un corps ou dans l'espace, il suffit d'admettre, comme
nous le montrerons plus tard, que le calorique est un fluide dont
chaque molécule se meut toujours à partir d'un point donné {x, y, z)
dans la direction suivant laquelle le décroissement de la densité est le
plus considérable, et que la quantité de chaleur, qui, pendant un in-
stant très court A/, traverse un éléments de surface perpendiculaire à
cette direction, est proportionnelle au module a du décroissement dont
il s'agit. Adoptons cette hypothèse, et concevons qu'au bout du temps t
EN COUCHES HOMOGÈNES. 155
on désigne par co et p la vitesse et la densité du fluide correspon-
dantes au point (x,y,z). Comme la quantité de chaleur qui, pendant
l'instant Al, traversera l'élément de surface s, sera nécessairement pro-
portionnelle, d'une part à la densité p, d'autre part à la vitesse w, et,
par suite, au produit pco, on aura, en vertu de l'hypothèse admise,
(16) p&) = £8,
P
la valeur de a étant déterminée par la formule (8), et k désignant un
coefficient positif qui ne pourra dépendre que des variables x, y, z.
Ajoutons que ce coefficient sera constant si le fluide se meut dans l'es-
pace ou dans un corps homogène, tandis que, dans le cas contraire, il
mesurera la conductibilité du corps échauffé au point (x,y, z). Quant
aux angles a, [3, y formés par la direction de la vitesse co avec les demi-
axes des coordonnées positives, ils coïncideront avec les angles a, 8,
y déterminés par la formule (i5), qui pourra s'écrire comme il suit
cosa _ cos(3 cosy _ i
• — >
8
do
dp'
dx
ày
ôz
et de laquelle on tirera
i \ ï àp
(iq ) cosa = ^- ,
8 dx
cos(3 = —
i dp
8 dv
ï dp
cosy = f->
' 8 dz
Cela posé, si l'on nomme u, v, w les projections algébriques de la vi-
tesse (o sur les demi-axes des coordonnées positives, on trouvera
k dp
u — w cos a = ^- ,
p dx
(20) { v =wcosS= £,
p uy
k dp
w = (xi cosy = £■
' p dz
et, par suite,
( 2 1 ) p u = — h r -3 ° 5 p v = — k 2» , p w = — k J!
dx r dy r dz
156 SUR LA DIVISION D'UNE MASSE SOLIDE OU FLUIDE
Si l'on supposait l'élément de surface s perpendiculaire, non plus à
la direction de la vitesse co, mais à une autre direction qui formerait
avec les demi-axes des coordonnées positives des angles X, u., v, alors,
§ désignant l'angle compris entre ces deux directions, la quantité de
chaleur qui, pendant un temps très court, traverserait la surface s,
serait proportionnelle, non seulement aux quantités p et co, mais
encore à cosS, et, par suite, au produit
(22) pwcos<5.
On aurait d'ailleurs
(23) cos<5=: cosacosX +- cos(3 cos/xh- cosy cosv;
puis on conclurait des formules (20), (21) et (23)
!pw cos 9 = pu cos 1 h- p v cos [x ■+■ p w cos y
1 ( i àp do dp\
= — kl cos/ -r- -+■ COSU-r — h cosv -^- •
\ dx ' oy azj
(24)
Concevons maintenant que l'élément s fasse partie de la surface exté-
rieure d'un corps solide, et que la quantité p ou la température de
cette surface au point {oc, y, z) diffère de la température ç du milieu
environnant. Admettons enfin que la quantité de chaleur qui traver-
sera, pendant un instant très court A*, l'élément s soit proportionnelle
à la différence entre les températures p et ç du corps solide et du mi-
lieu dans lequel il est placé. On aura
(25) - *(cosX -£ + cos^ + COSvJï Jt=K(p _ Ç),
K désignant un nouveau coefficient qui dépendra de la facilité avec la-
quelle la surface extérieure du corps se laissera traverser par le calo-
rique, et, par conséquent, de la nature ainsi que du poli de cette sur-
face. Ajoutons que, si l'on représente par
(26) ï(x,y,z) = o
la surface dont il s'agit, les angles X, a, v formés par la normale à cette
EN COUCHES HOMOGÈNES. 157
surface avec les demi-axes des coordonnées positives seront déter-
minés par la formule
cosl COS|X cosv
ôï{x, y,z) " di{x,y,z) " dî(œ,y,z)
die dy ôz
(27)
Il est bon d'observer que, dans la formule (25), le coefficient K et
la différence p — ç seront des quantités affectées du même signe, si
l'angle désigné par S dans l'équation (24) est aigu, ou, en d'autres
termes, si la température, mesurée au dedans du corps solide et dans
le voisinage du point (a?, j, s) au bout du temps /, décroît tandis
qu'on passe d'un point à un autre en suivant la direction déterminée
par les angles X, jx, v. Si le contraire arrivait, le coefficient K et la dif-
férence p — ç seraient des quantités affectées de signes contraires.
Dans le cas particulier où la température ç du milieu qui environne
le corps solide devient égale à zéro, l'équation (25) se réduit à
/„e\ 1 dp dp dp K
(20) COS/ ~ -r COS/J. -— + COSV -p + Tp=:0.
Alors, si Ton admet que la surface du corps solide offre en chaque
point une température inférieure à celle de points très voisins, mais
situés au dedans du même corps, le coefficient K sera positif ou né-
gatif, suivant que les angles X, tx, v se rapporteront à la normale pro-
longée au dehors ou au dedans du corps solide à partir du point
(*;jvs).
En terminant cet article, nous ferons remarquer que MM. Fourier
et Poisson avaient déjà obtenu, le premier la formule (28), le second
la formule (25), quoique les hypothèses admises par ces deux géo-
mètres relativement à la propagation de la chaleur fussent très dis-
tinctes de celle que nous avons adoptée.
SUR LES
ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
ou
LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES.
§ Ier. — Considérations générales.
Considérons d'abord une masse fluide en équilibre. Soient
m une molécule infiniment petite, prise au hasard dans cette masse ;
ce, y, z les coordonnées de la molécule m comptées sur trois axes rec-
tangulaires;
p la densité du fluide au point (oc, y, *);
p la pression hydrostatique au même point;
© la force accélératrice qui sollicite la molécule m;
X, Y, Z les projections algébriques de la force 9 sur les axes coor-
donnés.
En choisissant pour variables indépendantes les coordonnées x,y, s,
on aura (voir la page 24 du Volume II) (1 )
/ n àp v dp v dp
et par suite
(2) dp = p(Xdx h- Y dy -hZdz).
Or, pour que l'on puisse trouver une fonction p de x, y, z propre à vé-
rifier la formule (2), il est nécessaire que le second membre de cette
(J ) Œuvres de Cauchj, S. II, T. VII, p. 39.
SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE, ETC. 159
formule soit une différentielle exacte, et que l'on ait
d(PY)_d(pZ) d(pl) _ â(pX) d(p\) _à(pY)
(3)
dz dy dx dz dy dx
Donc les conditions (3) devront être remplies dans le cas d'équilibre.
On peut ajouter que ces conditions suffiront pour assurer l'équilibre,
si le fluide est contenu dans un vase fermé de toutes parts, pourvu que
la paroi du vase soit capable de supporter en chaque point la pression
exercée contre elle. Si, au contraire, une portion de la surface qui ter-
mine la masse fluide est libre et soumise à des pressions extérieures,
il sera nécessaire, pour l'équilibre, non seulement que les conditions
(3) se trouvent vérifiées, mais encore que l'on puisse satisfaire à
l'équation (2) par une valeur de p qui, pour chaque point de la sur-
face libre du fluide, soit précisément équivalente à la pression exté-
rieure en ce point. Donc, si la surface dont il s'agit est représentée par
l'équation F(a?, y, z) = o, et la pression extérieure par P, il faudra
que les formules
(4) V(x,y,x) = o,
(5) p=V
subsistent simultanément, c'est-à-dire que la valeur de z, tirée de
l'équation (4), vérifie l'équation (">),/> étant l'une des fonctions ({tic
détermine la formule (2).
Considérons maintenant le cas où la masse fluide est en mouvement,
et soient, au bout du temps t,
a> la vitesse de la molécule m correspondante aux coordonnées œ, y, z;
4» la force accélératrice qui serait capable de produire le mouvement
effectif de cette molécule;
u, v, w et -\., .j, % les projections algébriques de la vitesse eu et de la
force accélératrice '\.
Prenons d'ailleurs pour variables indépendantes les coordonnées #,
y, z, et le temps /. Les formules (1) devront être remplacées par celles
que l'on en déduit, quand on substitue à la force accélératrice o la
160 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
résultante de cette force et d'une autre qui serait égale, mais direc-
tement opposée à <J/, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand on rem-
place les quantités X, Y, Z par les différences X — oX,, Y — *f, Z — X>.
On aura donc, dans le cas du mouvement de la masse fluide,
(6) ^=P(x-«), |=P(Y-n !=P<z-*>.
yo désignant toujours la pression hydrostatique au point {oc, y, z). Soit
d'ailleurs A/ un instant très court compté à partir de la fin du temps t,
et représentons par
Ax, Aj, A», Ap, Aw, Ap, Aw
les accroissements que prendront, pendant cet instant, les valeurs des
quantités
x, y, z, p, u, v, HP-
relatives à la molécule m. On aura sensiblement
(7) Ax = uAt, &yz=çAt, As — wA£.
De plus, la densité p étant fonction de x, y, z, t, si l'on pose, pour plus
de commodité,
on trouvera
Ap = f(x + Ax,y-h\y,z + As, t 4- At) — f(x, y, z, l),
ou à très peu près
Ap = /( x -+- u At, y 4- v At, z -H w A*, £ -h A<) — /( a?, _y, s )
__ \àf(x,y,z) u df(x,y,z) p df(x,y,z) ^ d f(x, y, z)l ^
ât dx dy dz J
On aura donc, en considérant A* comme un infiniment petit du pre-
mier ordre, et négligeant les quantités infiniment petites d'un ordre
supérieur au premier,
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 1G1
On trouvera de même, en remplaçant, dans l'équation (8), la den-
sité p par les vitesses u, e, w, qui sont encore des fonctions de x%
v, *, t,
1 d« =
Enfin, comme, pour obtenir les projections algébriques 3t, rr, à de la
force accélératrice <|/, il suffira de diviser par Al les accroissements
infiniment petits Au, Ae, Aw, on tirera des formules (9)
(10)
(du
\dt
du du dus
-+- u -r (- v h «r -—
)At,
(dv
\dt
^c de <)<> N
-+- u h 9 h W —
dx dy dz j
)âs.
(dw
\dt
dw dw dw^
-4- u hf- hd'T-
d x dy dz y
)àL
X
du du du du
dt dx dy dz
ïï
dv dv dv dv
dt dx dy oz
%
dw dw dw dw
6>£ cte a/ d-
et, par suite, les équations (G) donneront
<?M
du
du
du
<J7
dx
-VTy~
~"'Tz
dw
IV
dw
Vdy
dz
[dx 'VV
, » } dp ( ' dv dv dv dv\
ï dy ' \ de dx dy dz J
1 dp ( '„ dw dw
\ dz 'V dt dx
Concevons à présent que l'on désigne par v et par v(i-t-OAf) le
volume infiniment petit sous lequel la masse m se trouve comprise :
i° à la fin du temps l; i° à la fin du temps t -+- At. La valeur numérique
de Ta quantité positive ou négative OA/ servira de mesure à ce qu'on
doit nommer la dilatation ou la condensation du volume v pendant
l'instant At. De plus, la masse m se trouvera exprimée à la fin du
temps / par le produit
pv,
OF.wresdeC — S. II, t. VIII. 2 1
162 SUR LES CONDITIONS- D'ÉQUILIBRE
et, à la fin du temps / -h Al, par le produit
(p + Ap) v(i -+-0AO = pv
0+'pjî]
Cela posé, comme cette masse ne saurait changer de valeur avec le
temps, on aura nécessairement
et, par suite,
o At)
i Ap _
puis on en conclura, en ayant égard à la formule (8),
(12)
n dp dp dp dp
00 -+- 37 -+• u-f- -+- V -£- -+- w -±- =o.
0* 0J7 0K (73
D'ailleurs, comme les trois produits
(i3) u At, v At, wAt
représentent les déplacements très petits de la molécule m, parallèle-
ment aux axes coordonnés, pendant l'instant At, il est clair qu'il suf-
fira de substituer ces trois produits aux quantités z, rr Z dans la valeur
de u déterminée par l'équation (33) de la page GG du second Volume (' )
pour obtenir la dilatation 0 A/ du volume v. On aura donc
flA d(uAt) d(vàt) dUvAt)
9 At =- — ^ -1-
dx
ou, plus simplement,
04)
ày
du dv dw
dx dy dz
dz
Par conséquent, la formule (12) donnera
, KN dp dp dp dp (du dv rM'\
(*) Œuvres de Cauchy, S. IL T. VII, p. 89.
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 1G3
ou, ce qui revient au même,
/ ex dp à(pu) d(pv) d(pw)
dt dx dy dz
Enfin, si l'on désigne par v0 et par v0(i -4- u) = v les volumes infini-
ment petits sous lesquels la masse m se trouve comprise : i° à l'origine
du mouvement; i° à la fin du temps l, la valeur numérique de la quan-
tité positive ou négative u servira de mesure à ce qu'on doit nommer
la dilatation ou la condensation du volume de la molécule m pendant
le temps t; et l'on aura sensiblement
a aa a f àv àv ôj du\ . m
0 A* = Au = { -t- H- u -= — \- v -.— -+■ w — A^,
\dt Ox dy dz J
Au représentant l'accroissement de u pendant l'instant A/; puis on en
conclura
07)
0 =
du
' dt
du
dx
+ V
du
du
' dz
ou, ce qui
revien
t au même.
>
(18)
du
dt
du
ox
4- 1'
du
dy
■+- IV
du
dz'
du
dx
dv
dy
+
dw
dz
Soient encore
x — 'E, y — ri, z — Ç
les coordonnées initiales de la molécule m, c'est-à-dire de la molécule
qui coïncide au bout du temps t avec le point {oc, y, s). Les trois quan-
tités H, Y], '( serviront à mesurer les déplacements de la molécule m
pendant le temps /, parallèlement aux axes des x, y, z; et, pendant un
instant infiniment petit Al compté à partir de la fin du temps /, ces
mêmes déplacements recevront des accroissements égaux aux trois
produits
àl dl d\ d\\.
Tt^llTx^'dy^wfz)^
dt] dri dn àt]\ .
Tt-hudï+çdP + "'àï)à'
àï dX dt dÇ \ .
— +«T1 + f3i+ »'~ )A/.
dt dx dy d-
/ di ô'i di dl
17 ■+■ u "7^ ■+• (; "T" + w -T-
\ dt ax ay dz
— a,
! dn dri dn dn
j <y£ c/j? e'/ tf~
— v>
X X ^ , dt
\ dt dx dy dz
= w.
164 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
Or, en divisant ces produits par At, on devra retrouver les vitesses u,
v, w parallèles aux axes. On aura donc
('9)
Ces trois dernières équations serviront à déterminer l, ij; l lorsqu'on
sera parvenu à exprimer les vitesses u, p, w en fonction des quatre
variables indépendantes x, y, z, t.
Les formules générales que nous venons d'établir subsistent dans
toute l'étendue d'une masse fluide en mouvement. Mais il en est
d'autres qui sont relatives aux surfaces par lesquelles cette masse peut
être limitée. Supposons, pour fixer les idées, que la masse fluide soit
terminée par deux surfaces, savoir : i° une surface invariable qui s'ap-
puie contre la paroi d'un vase, et qui soit représentée par l'équation
(20) i{x,y,z)-0-,
2° une surface libre soumise à une pression extérieure P, et repré-
sentée à l'origine du mouvement par l'équation
(20 T(x,y,z) = o.
Enfin, admettons que chacune de ces surfaces renferme constamment
les mêmes molécules. Dans cette hypothèse, une molécule située sur
la surface invariable et correspondante aux coordonnées x, y, z aura
sa vitesse dirigée suivant une droite tangente à la surface. Donc cette
droite et la normale à la surface comprendront entre elles un angle
droit dont le cosinus sera nul. D'autre part, comme les demi-axes des
x, j, z positives formeront avec la vitesse de la molécule des angles
dont les cosinus seront proportionnels à
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 105
et, avec la normale à la surface invariable, des angles dont les cosinus
seront proportionnels à
à((x,y,z) df(#,y,s) Of(x,y, z)
dx dy dz
le cosinus de l'angle compris entre la normale et la vitesse sera pro-
portionnel à la somme
dî{x,y,z) dî(x,y,z) dî{x,y,z)
Il -t- V ; h W ; >
dx dy ôz
et ne pourra s'évanouir qu'avec cette somme. Donc, pour tous les
points de la surface invariable, on aura en même temps les deux
équations
(22) \ dt(x,y,z) df(x,y,z) dî(x,y,z)
dx dy
= o.
Quant aux molécules comprises dans la surface libre, leurs coordon-
nées x, y, % devront, au bout du temps /, vérifier simultanément les
deux équations
(23) F(J7 — ç, y — y), z — Ç)= :o, p — V.
11 est bon d'observer que, si l'on désigne par u0, y$l w0 les valeurs
initiales de u, v, w, c'est-à-dire les vitesses initiales de la molécule qui
coïncide, non pas au bout du temps t, mais à l'origine du mouvement,
avec le point (ce, y, z), on aura nécessairement pour tous les points de
la surface invariable
, ,. dtisc, ytz) ôf(x,Y,z) àUx,y,z)
«> ». „; + -. — oT~ + l"" à= -"■
et que l'on pourra, en conséquence, remplacer les équations (22) par
les suivantes :
1,(^»7»-) = Ot
(25)
,, „\d *(*•?>*) , {v -\àH*,y,M) ^ài(x,y,z) _
166 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
Plusieurs des formules qui précèdent se simplifient dans le cas où
les déplacements l, y], Z, les vitesses u, v, w et la dilatation u du
volume conservent constamment des valeurs très petites. Supposons,
en effet, que ces diverses quantités, et par suite leurs dérivées, prises
par rapport aux variables ce, y, z, t, soient considérées comme infini-
ment petites du premier ordre. Alors on tirera des formules (i i), (18)
et (19), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
à£_ — n(x àu\ dp _ / âp\ dp (r. àw\
<2«> £=^-ï> £=**-£■ 2=p*-5>
)u\
dt)
' dï-p{Y-dî)'
dj du dv dw
dt dx dy dz
di
dt
dn #
= "' Tt=i'> Tt
(27)
(28)
Dans le même cas, les projections algébriques de la vitesse initiale de
la molécule qui coïncide au bout du temps 1 avec le point (x,y, s) dif-
féreront très peu des projections algébriques u9, c0, w0 de la vitesse
mesurée à l'origine du mouvement au point (x,y,z), c'est-à-dire que
la différence sera une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur
au premier.
§ IL — Sur l'équilibre et le mouvement des liquides
ou fluides incompressibles.
Considérons un liquide ou fluide incompressible, soumis à la force
accélératrice 9. Si ce liquide est en équilibre, la pression correspon-
dante au point (x,y,z) sera déterminée par la formule (2). Si, au
contraire, le liquide est en mouvement, la densité de chaque molécule
devant rester invariable, la valeur de Ap déterminée par l'équation (8)
devra s'évanouir, et, par conséquent, on obtiendra la formule
1 . do dp do dp
en vertu de laquelle l'équation (i5) se trouvera réduite à celle qu
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 167
exprime qu'un élément du volume ne varie pas avec le temps /, c'est-
à-dire à
, 0 . du dv dw
(3o) + + — G.
OX OY ôz
Alors les formules (n), (29), (3o) seront les seules qui subsistent,
<lans toute l'étendue de la masse fluide, entre cinq inconnues p, /?, u,
v, w considérées comme fonctions des variables indépendantes x, y,
%t t. Dans le cas particulier où les vitesses u, e, w demeurent constam-
ment très petites, les formules (11) peuvent être remplacées par les
formules (26).
Supposons maintenant que le fluide incompressible soit homogène.
Alors la densité p deviendra constante; et, si l'on ajoute les équa-
tions (26) après avoir differentié la première par rapport à x, la
seconde par rapport à y, la troisième par rapport à z, on trouvera, en
ayant égard à la formule (3o),
n,N à'p d'p d'p (d\ âY âZ\
ôx- ôy1 dz1 ' \dx dy àzj
Telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la pression p dans 1111
liquide homogène et en mouvement, lorsque chaque molécule a tou-
jours une très petite vitesse. Dans le même cas, en désignant par n0,
e0, w% les projections algébriques de la vitesse mesurée à l'origine du
mouvement au point x, y, zt c'est-à-dire les valeurs de u, ç, w corres-
pondantes à / = o, on tirera des équations (26)
u = u0-h j (y
1 dp
0 âx
(3a) {.**=*+ f'(Y--^
Jo V ? dy
dt,
dt,
.«•^/■•(i-iÉl-i
p d~
et des équations (28)
(33) ï= f Udt, Y)r= f Vdt, C= f Wdt.
Jq J0 J0
168 SUR LES CONDITIONS D'EQUILIBRE
Les formules (3i) et (32) se simplifient dans le cas où, X, Y, Z
étant des fonctions des seules variables x, y, z, l'expression
(34) Xdx + Ydy + Zdz
devient une différentielle exacte. Alors, pour convertir l'état initial en
un état d'équilibre, il suffirait d'anéantir les vitesses initiales des
molécules liquides, et de remplacer à l'origine du mouvement la sur-
face libre du liquide par une surface invariable. Soit £ la pression
relative à l'état d'équilibre dont il s'agit. On aura
(35) dQ = p(Xda> + Ytfy + Zdz)t
ou, ce qui revient au même,
(36)
#2
ôv
f»Y,
et, par conséquent,
â\ âY
dZ\_d*<2
d<2
dz
d*9
Pz
â' 9
dz* '
Donc, si l'on fait, pour abréger,
(37) 9 — p=z ay,
les équations (3i) et (32) deviendront
(38)
d-Tz
IF
i Ja
m dt
P
(39)
v = c
i J0
m dl
P
? ày
â I m dl
dz
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 169
Par suite, les formules (33) donneront
à f f ™df-
l = u0t H - ,
p Ox
0 f f mdt*
| J0 J0
P ày
0 1 f mdt-
(4o)
f)= (>0t H-
«'n^
P <?C
Ajoutons que, si la masse liquide est terminée par deux surfaces,
Tune invariable et représentée par l'équation (20), l'autre libre, mais
soumise à une pression extérieure?, et représentée à l'origine du mou-
vement par l'équation (21), on aura, pour tous les points de la surface
invariable, en vertu des formules (2.5) et (3g),
/ f (*, y, «) = o,
/ 1 r' r' r'
(-»1) ! _#/ à mdt 0 rzdt 0 rndt
i Q{(x,y,z) J0 Of(x,y,z) J0 Ot(x,y,z) J0
àx Ox Oy Oy dz~~ Oz
tandis que l'on aura, pour tous les points de la surface libre, en vertu
des formules (23), (37) et (4o),
(42) F(ar — lty — u,* — Ç)=o, m = 9 — P
ou, ce qui revient au même,
I / âf f *dt* Of f Tzdt* 0 f' ï'mdtA
m = <£ - P.
Cela posé, pour obtenir la fonction de x, y et s désignée par ot, il suf-
fira d'intégrer l'équation (38), en déterminant les fonctions arbitraires
de manière à remplir les conditions (4 1) et (43). De plus, la fonction cj
étant connue, on déduira immédiatement des formules (37), (39) et
OF.uvres de C. — S. Il, t. VIII. <xi
170 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
(4o) les valeurs de la pression p, des vitesses u, v, w, et des déplace-
ments l, ■/], *(.
Pour montrer une application des formules que nous venons d'éta-
blir, considérons un liquide homogène dont les molécules, uniquement
soumises à la force g de la pesanteur, conservent pendant toute la
durée du mouvement des vitesses très petites; et concevons que, l'axe
des z étant vertical, l'ordonnée z se compte positivement de bas en
haut. Supposons en outre que le liquide repose sur un plan horizontal
représenté par l'équation
(44) s=-h,
que sa surface libre supporte une pression constante désignée par P,
et que cette même surface, à l'origine du mouvement, s'écarte très peu
du plan des x, y. Soient enfin
(45) z = ¥(*,y)
l'équation initiale de la surface libre, et
(46) Wa=3(œ,y)
la valeur de w0 correspondante à z = o. Les fonctions F (a?, y), §(xty)
auront de très petites valeurs numériques, quelles que soient d'ailleurs
les coordonnées oc, y; et, comme on trouvera
X = o, Y = o, Z = — g,
la formule (35) donnera
(47) d9 = — gpdz.
Or cette dernière équation sera vérifiée, si l'on prend
(48) 9=zP-gps.
Cela posé, les formules (4i) et (42) deviendront
à f xsdt
(49) z = -h, A= =0,
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 171
et
(5o) s — Ç = F(.r — £,/— Vi), nr = — gpz.
De plus, les déplacements \, yj devant rester très petits, ainsi que la
fonction F(x, y), on pourra, sans erreur sensible, réduire la première
des équations (5o) à
(5i) z-Ç = F(x,y);
et, comme la troisième des formules (4o) donnera à très peu près,
pour des valeurs de z peu différentes de zéro,
(52) Ç = t5{x,y)+ -
dfl
I „t
rndt2
p dz
on tirera de l'équation (5i)
*ff
tsdt1
(53) * *—%- =x F(*f y) + tS{xt y).
D'ailleurs, si l'on élimine z entre la formule (53) et la seconde des
équations (5o), on obtiendra la suivante
à f P m dC-
(54) rz + g ° *ds . — =-gp[F(x,y) + t3(x,y)],
qui restera sensiblement exacte pour de très petites valeurs numé-
riques de z, et par conséquent pour z = o. Donc l'on déterminera,
dans l'hypothèse admise, la fonction de x, y, z désignée par cr, en inté-
grant l'équation (38), de manière que la condition (54) soit vérifiée
pour z = o, et la condition
ô I xsdt
(55) °ds =o,
pour z = — h. On fixera ensuite la valeur de la pression/;, en un point
172 SUR LES CONDITIONS D'EQUILIBRE
quelconque de la masse liquide, à l'aide de la formule (37), ou plutôt
de la suivante
(56) ? = ?—.«?* — Vf
puis les valeurs de u, 9, w, Ç, ij, £ à l'aide des formules (3f)) et (4o).
Ajoutons que la surface libre du liquide sera représentée, au bout d'un
temps quelconque t, par la seconde des équations (5o), qui peut s'é-
crire comme il suit :
(07) *= — — •
S?
Si, pour plus de simplicité, on supposait les vitesses initiales uc, p0,
w0 réduites à zéro, la fonction ${x,y) étant alors nulle, l'équation (54)
se présenterait sous la forme
Tzdt-
. di f
(08) cr + - *dz -gç>Y(x,y),
tandis que les formules (3g) et (40) donneraient
d ! mdt ô i mdt <) I
p ax p dy p dz
et
df f mdt* df f wdt* ,) f f
CTfl^
mé/£2
P àx p rjj p <^
Nous renverrons à un autre Article l'intégration de l'équation (38),
ainsi que l'exposition des lois qui s'en déduisent pour la propagation
des ondes à la surface d'un liquide pesant. On peut d'ailleurs consulter
sur ce sujet un Mémoire composé en i8i5, qui a été couronné par l'In-
stitut en t8i6, et inséré dans le Recueil des Mémoires des Savants
étrangers (').
(l) Œuvres de Cauchy, S. I, T. I, p. 5 et suiv.
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 173
§ III. — Sur l'équilibre et le mouvement des fluides élastiques.
Soit donné un fluide élastique soumis à la force accélératrice ç. La
densité p, en un point quelconque {oc, y, z) de ce fluide, sera propor-
tionnelle à la pression/;, c'est-à-dire que l'on aura
(61) p = *p,
k désignant un coefficient qui dépendra uniquement de la température
correspondante au point dont il s'agit. Cela posé, considérons un état
d'équilibre ou de mouvement de la masse fluide, dans lequel la tempé-
rature, connue en chaque point, ne varie pas avec le temps; k sera une
fonction déterminée de xy y, z ; et la pression p, si le fluide est en équi-
libre, se déduira de la formule
(62) d](p) = k(Xdx + Ydy + Zdz)
que produit l'élimination de p entre les formules (2) et (61). Au con-
traire, si le fluide est en mouvement, les cinq inconnues p, p, u, v, w
devront vérifier les cinq équations (n), (16) et (61), quelles que
soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux variables indépendantes x,
y, z, t. Dans le cas particulier où les vitesses u, v, w demeurent con-
stamment très petites, les formules (n) peuvent être remplacées par
les formules (26), desquelles on tire, en les combinant avec l'équa-
tion (61),
(63, ^=*(x-^V iM.=kh-t\ *ll£l=k(z-¥\
dx \ ôt ) dy \ dt ) dz \ ât )
D'ailleurs, si l'on élimine p entre les formules (16) et (61), on trou-
vera
iat. .dp ô{kup) d(kvp) d(kwp)
ôt dx dy Oz
ou, ce qui revient au même,
,akx ,à\(p) ,r à\(p) dl(p) d\(p)l d(ku) d(kv) d{kw)
ot Ox ay oz 1) •■ dy dz
174 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
puis, en considérant les vitesses u, v, w comme infiniment petites du
premier ordre et négligeant les infiniment petits du second ordre, on
déduira des équations (63) et (65) combinées entre elles
ittA\ i àl(p>) , M/v v v x d(ku) d(kv) d(kw)
dt dx dy dz
Si maintenant on suppose que les projections X, Y, Z de la force accé-
lératrice cp soient indépendantes du temps, on tirera de l'équation (66),
difïérentiée par rapport à t et réunie aux formules (63),
] dt2 dx dy dz
] \ -tcX^W ■ kYâl{p) i kïdl{p) i d%Hp) i *!W . *lM
\ dx dy J dz dx* dy2 • dz2
Telle est l'équation aux différences partielles du second ordre à laquelle
doit satisfaire la pression p dans un fluide élastique en mouvement,
lorsque, chaque molécule ayant une vitesse très petite, la température
et les projections de la force accélératrice sont indépendantes du temps.
Alors aussi, en désignant par u0, ç0, w0 les vitesses initiales, c'est-
à-dire, les valeurs de w, y, w correspondantes à t = o, on conclura des
formules (63) et (27)
->+£{*- m*-
Quant aux déplacements Ç, ïj, '(, ils seront déterminés, comme dans le
§ II, par les équations (33).
Les formules (67) et (68) se simplifient dans le cas où, la direction
et l'intensité de la force accélératrice étant, ainsi que la température,
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 175
indépendantes du temps, le produit
(7o) k(Xdx^Ydy^Zdz)
devient la différentielle exacte d'une fonction des seules variables x,
y, z. Alors, pour obtenir un état d'équilibre de la masse fluide, il suffi-
rait de rendre invariables les surfaces qui servent de limites au volume
qui renferme cette masse, et de la distribuer, entre les diverses por-
tions du même volume, de telle manière que la densité p et la pression/?
correspondantes à un point quelconque {x, y, z) fussent propres à vé-
rifier les formules (61) et (62). Cela posé, désignons par <£ la valeur de
la pression/? relative à l'état d'équilibre dont il s'agit. <£ sera une fonc-
tion des seules variables a?, 7, z, qui vérifiera l'équation
(7i) 4l(9) = k(Xdx + Ydy + Z'dz)
ou, ce qui revient au même, les trois formules
v ' ' ox oy oz
et l'on aura en conséquence
x ox dy oz
d(k\) d(kY) d{kl) _ d2l(ff) <?M(g) d*_l(#) .
dx dy dz dx- dy1 ds2
Donc, si l'on fait, pour abréger,
(73) |(ff)_|(p)s=4
les équations (67) et (G8) deviendront
, ,, d°* d28 . t)2* ,/v^a xràx ~d«\ , d-'i
d ! *dt <) ! *dt à f
(75) » = „,+___, „ = .,, + -__ «, = „,,+ -_
Observons d'ailleurs que, la quantité «étant très petite, l'équation (73)
176 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
donnera, sans erreur sensible,
(76) -=re«— 1 + 8,
et que les pressions 9, p, mesurées au point (a, y, z) : i° dans l'état d'é-
quilibre dont nous avons parlé ci-dessus; i° dans l'état de mouvement
que présente à la fin du temps / la masse fluide, seront proportion-
nelles, en vertu de la formule (61), aux densités correspondantes à ces
deux états. Donc la valeur numérique de la quantité positive ou néga-
tive désignée par a mesurera ce qu'on doit nommer la dilatation ou la
condensation du volume au point (oc, y, z) dans le passage du premier
état au second. Ajoutons que cette dilatation ou condensation ne doit
pas être confondue avec celle que nous avons désignée par la lettre u,
et qui se rapporte au changement produit dans le volume d'une molé-
cule m, tandis que la masse fluide passe de l'état initial de mouvement
ou de repos à l'état de mouvement qui subsiste au bout du temps /.
On pourrait encore parvenir aux formules (74) et (75) de la manière
suivante.
On tire des formules (63) et (66), en ayant égard aux équations (72)
et(73),
/„„% . du _ d% . ôv ôm , dw ds
et ôx dt* ày dt dz
<m*\ i-d* /„9/v . v ? \ à (kit) d(kv) d(kw)
oc dx dy dz
Or, si, après avoir différentié par rapport à / la formule (78), on la
combine avec les formules (77), on retrouvera précisément l'équa-
tion (74). De plus, il est clair que les équations (73) se déduisent
immédiatement des formules (77) intégrées par rapport à t et à partir
de / = o.
Si l'on suppose que la masse fluide s'étende indéfiniment dans tous
les sens, il sera très facile de déterminer les fonctions arbitraires com-
prises dans l'intégrale générale de l'équation (74). En effet, ces fonc-
tions arbitraires peuvent être réduites aux valeurs initiales des quan-
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 177
• , dn
tites » et^- Or, d'après co qui a été dit plus haut, la valeur initiale
de a, que nous désignerons par a0, représentera, au signe près, la dila-
tation ou la condensation que subit le volume du fluide élastique au
point (x,y,z), quand on passe de l'état d'équilibre ci-dessus men-
tionné à l'état dans lequel se trouve le fluide à l'origine du mouve-
ment. Quant à la valeur initiale de ~, elle se déduira sans peine de la
formule (78), et sera, en vertu de cette formule, équivalente au po-
lynôme
(79) *<Xm-H Yp.+ z*.) + 1 \d-±p± + i<^û + *L*pï\.
k |_ dx dy dz
Lorsque la masse fluide est uniquement soumise à la force accéléra-
trice de la pesanteur, alors, en supposant que l'axe des z soit vertical,
et que l'ordonnée z se compte positivement de bas en haut, on trouve
X = o, Y = o, Z — — g
et, par suite, l'équation (74) se réduit à
dx2 dy- dz2 ° dz dt2
Si l'on suppose au contraire que la force accélératrice s'évanouisse,
l'équation (74) se réduira simplement à
dx2^ dy2 + dz* ~ dt*
Si l'on admet de plus que la même température règne constamment
dans toute l'étendue de la masse fluide, la quantité k deviendra indé-
pendante des variables x, y, z, et la formule (78) donnera
(82} (h _ du ôv div
dt ~~ dx dy dz '
puis on conclura des équations (27) et (82)
(83) th = <h
dt dt
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. ^3
178 SUR LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
et, par conséquent,
(8/4) U = 8 — «o-
Alors, si l'état initial de la masse fluide est un état d'équilibre, on aura
a0 = o, et par suite
(85) ,j = »;
ce qu'il était facile de prévoir.
§ IV. — Sur le mouvement de la chaleur.
Concevons que l'on demande l'équation du mouvement de la cha-
leur dans un corps solide ou dans l'espace. Supposons d'ailleurs,
comme dans l'Article précédent, que le calorique est un fluide qui
pénètre tous les corps, et dont chaque molécule se meut toujours à
partir d'un point donné (x,y, s) dans la direction suivant laquelle le
décroissement de la densité est le plus considérable. Admettons enfin
que la quantité de chaleur, qui, pendant un instant très court M, tra-
verse un élément de surface perpendiculaire à cette direction, est pro-
portionnelle au module du décroissement dont il s'agit. Si l'on désigne
par co et p la vitesse et la densité du fluide au point (œty, z) au bout
du temps t, puis par u, v, w les projections algébriques de la vitesse w
sur les axes coordonnés, on aura (voir la p. i55)
(86) P« = -*||' *9=-k$9 pW = ~^'
k désignant un coefficient positif, qui sera constant si le calorique se
meut dans l'espace ou dans un corps homogène, et qui, dans le cas
contraire, mesurera la conductibilité du corps échauffé au point(a?, y, z).
Or, si l'on substitue dans la formule (16) les valeurs des produits pu,
pç, pw tirées des équations (86), on en conclura immédiatement
(87) Tt ~ àx dy àz
OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 179
Dans le cas particulier où le coefficient k a une valeur constante, c'est-
à-dire, indépendante de x, y et *, l'équation (87) se réduit à
(88) 4? = /,(^ + Ç? + '!i_P
v ; ùt \()x- <)v- dz*
Les formules (88) et (87) coïncident avec celles qui ont été données
par MM. Fourier et Poisson, quoique l'hypothèse admise dans cet
Article relativement à la propagation de la chaleur diffère essentielle-
ment de celles que ces deux géomètres ont adoptées, et suivant les-
quelles le calorique serait un fluide qui s'échapperait par rayonnement
dans toutes les directions possibles de chacune des particules d'un
corps échauffé.
Je montrerai dans un autre Article l'analogie qui existe entre la pro-
pagation du calorique et la propagation des vibrations d'un corps entiè-
rement dépourvu d'élasticité.
SUR LES DIFFÉRENCES FINIES
DES
PUISSANCES ENTIÈRES D'UNE SEULE VARIABLE.
On sait que la différence finie \mxn d'une puissance entière de la
variable x s'évanouit dans le cas où l'ordre m de la différence finie est
inférieur à l'exposant n de la puissance. Dans le cas contraire, Mnxn se
réduit à un polynôme en x du degré n — m. Or, parmi les moyens à
l'aide desquels on peut déterminer les coefficients des diverses puis-
sances de x dans ce polynôme, l'un des plus simples est celui que
fournit le calcul des résidus, et que nous allons indiquer en peu de
mots.
Comme on a généralement, en supposant le nombre n entier, et le
signe £ relatif à la variable s,
(i) *» = i.a.3...«/ —
on en conclut
k>nexz
la caractéristique A étant relative à la variable x; puis, en posant pour
abréger kx = h, on trouve
r (eh:— \)mexz
(3) A»g»=i.a.3..,n<rv ((<Jt))
Concevons maintenant que l'on développe les deux fonctions
(ht h'z* \"1
V ' \ I .2 J .2.3 )
(5)
SUR LES DIFFÉRENCES FINIES, ETC. 181
suivant les puissances ascendantes de s, et faisons
( z z- V"
(4) V^r^TT^4-"-) =I + Ml5 + M2^ + M3^-)-....
Pour obtenir le résidu <T( iZ^S** il suffira de chercher le coeffi-
cient de zn~m dans le développement du produit
lm x-( hz A**" \"
\ 1.2 1.2.3 )
= h*(* + ^r + ^1" +. . .) (1 + m,Aj + lf,À>«>+.. .),
et, par suite, l'équation (3) donnera
Amœ»=n(n — 1). . .(n — m +i)hmx*-m
+ »(n — 1). . .(*_ m)M, /i"^1 ^"-"'-, -h. .. + »(» — 1). . .3.2 .1 M„_„, A".
On tirera d'ailleurs de la formule (4)
(6) M,=> M>=^(3m-4-i) m'(m + i)
2 24 3 48
et généralement
7) M^^fYiVY-L-Vf_!_YY_L__V ».a.3...m .
0|_W \I.2/ V-2.3; V'-2.3.4/ (l.2.../?)(l.2...^)(l.2...r)(l.2....Ç)...J'
le signe § indiquant une somme de termes semWables à celui qui se
trouve renfermé entre les crochets, et relatifs à toutes les valeurs
entières positives de p, g,r,s, ... qui vérifient les deux conditions
(8) p + ç + r + t -+-... = m, y-K2*r-h3*-t-... = /.
Si, dans l'équation (5), on pose successivement
n — m, h •==. m ■+• I, «=«! + 2
182 SUR LES DIFFERENCES FINIES, ETC.
on obtiendra les formules
S.»'jc'"=i .2.3. . . mh'",
A'"^'"+1 = i.2.3. . . (m -+- i)hm+ll y + - 1,
(9) { A'"^'"+2--- i.a. 3. ..(m +n)h"l+-
&*xm+* — \.*.$. . .(m-+- 3)A'»+:!
^r2 m .r m ( 3 m -+- 1 )
.a?3 a a?2 m(3m + i) j /n2 ( m + i )
6» H_ ™ ïTT2 *1 â4 h H 4S-
SUR LES
INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES
DES
PUISSANCES ENTIÈRES D'UNE SEULE VARIABLE.
La méthode que nous avons employée dans l'Article précédent pour
déterminer les différences finies des puissances entières d'une seule
variable peut également servir à former les intégrales aux différences
finies de ces mêmes puissances. Concevons, par exemple, que, la
lettre n désignant un nombre entier, on se propose d'évaluer l'intégrale
aux différences finies Zx", c'est-à-dire, la valeur de y propre à vérifier
l'équation
( i ) ày — xn ;
et soit gj(#) une fonction périodique de x, déterminée par la formule
(?.) Act(j?) = o.
On reconnaîtra sans peine que l'équation (r.) de la page 180, savoir
ga
(3) •"="■»•»■••«£„,««„■
entraîne la suivante
\exz
(4) 2x«=i.a.3...»//>
qui peut être réduite :i
(i>) 1xn= I .2.3. . . II } —r- 77— „^T7TT +©(#).
En effet, pour vérifier la formule (5), il suffira de prendre les diffé-
m SUR LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES
rences finies des deux membres, et d'observer que l'on a
. P i exz _ « i /\exz _ p e*z xn
C e^—\ ((~'i+1)) ~~ o ehz — i {(z'^1)) ~~ <^ ((s*"4"1)) ~" i . 2 . 3 . . . n '
Admettons maintenant que l'on développe les deux fonctions
i i / hz tfz-
et -7- = -r- 1 1 4- -
ehz — j . /iz\ 1.2 1.2.3
suivant les puissances ascendantes de z, et faisons
(6) (n t~^_ô + ---) = i 4- ai- + a2-24- a3c3 + ,
-î
Le résidu
P i exz
<^^~7 ((â«+l))
ne sera autre chose que le coefficient de s'i+1 dans le développement
du produit
et l'équation (5) donnera
xn~*~l
On tirera d'ailleurs de la formule (6)
(8) «,= -;, «,= 11, a3 = o, «^-.—L-^JL, «5 = o, •■•;
et généralement
(9) «i«+i = o, «,„ = <— 1)'"+1
i . a . 3 . . . a m
m désignant un nombre entier différent de zéro, et A27„ celui des
nombres de Bernoulli qui correspond à l'indice im. En effet, la for-
mule (6) donnera
n h
2 2.3
(,0) *'=l ,(,/».» =Lttîm<
DES PUISSANCES ENTIÈRES D'UNE SEULE VARIABLE. 185
et, comme on a identiquement
i ez -+- 1 i i e" h- e * i
<?~ — I 2 <r— 1 2 2 1; _i- 2
e2 — e 2"
on trouvera encore
,..* i n e2 -+- e 2 i r rfl\e» — e
e — e -
Or on conclura de la formule (i i) : i° en remplaçant / par -un — i ,
2° en remplaçant /par -un et z par -il y/— î,
, sin£
(12) a — (~0/;t p rflsinf i_ (— î)"* p ~T~ î
a2'"- 2s/« o ^ ((**m)) ~ 22'" <^~~d~ ((tlm))''
ou, ce qui revient au même,
03) «„.= - ("«>■
î .2.3. . . (2 m — î) 22'" «-/s2'"
s (levant être réduit à zéro après les différentiations ; et, comme l'é-
quation (72) de la page 349 du premier Volume (') donnera
(i4î ,,„' =-*»-*!s,
il est clair que la formule (i3) entraînera la seconde des équations (9).
Ajoutons que de la formule (12) combinée avec l'équation (ai) de la
page 3oi du second Volume (2) on tirera
(i5) «,„=(— Ùm+i- — - — /\-f- — -+- J- -+-
(») Qffw/w «fa Cow^r, S. II, T. VI, p. \\i.
(2) OEiwrcs de Cauchy, S. II, T. VII, p. 318.
OF.uvres de C. — S. II, t. VIII. i!\
186 SUR LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES
Cela posé, l'équation (7) pourra être représentée sous l'une des formes
(.6)
(17)
lx11 = — ——7 a?" h A, Aar»-1
( n -+- 1 ) « 2 2
« ( /* — 1 ) ( n — a ) , ,
( /i + I ) /i 2 62
1 n ( // — 1) ( n — 2 )
3o 2.3.4
jlZxii-Z_ . . . 4_ CJ(J?),
Zx" =. m(x) + r-j x'
(n -+- 1)11 2
(l8) ' "4-2
1 1 \nhxn~l
l2 32 "7 227T
— I
/ 1 1 \ n( n — 1) ( n — 2)//3.r'i-3
V 24 3^ / 2+7T*
Si, dans l'équation (18), on attribue successivement au nombre
entier n les valeurs 1, 2, 3, . . . , on en conclura
; x ( x — h ) . .
x(x — h ) ( 2 x — h )
1 ^x1-- 7ri-i \-rn(x),
6 A3
x-(x-h)-
Il est bon d'observer que de l'équation (10) on tire directement
(20) «,=«r(-.)r"~". *:*-*-»i* +/+'+»') /T\y^y/ ' y...i
^'0) * 8|_ j (i;a.3...y)(i.a.3.<.r)(i.a.3...*)...\2; VâT5/ \a-34y J
le signe § indiquant une somme de termes semblables à celui qui est
renfermé entre les crochets, et devant s'étendre à toutes les valeurs
entières, nulles ou positives de q, r, s, ... qui vérifient la condition
(21) q H-ar-h3*-i-...=7. .
Des formules (9) et (20) comparées entre elles, il résulte : i° que,
DES PUISSANCES ENTIÈRES D'UNE SEULE VARIABLE. 187
si l'on étend le signe S à toutes les valeurs entières, nulles ou positives
de <y, /•, .9, ... qui vérifient la condition
(22) «/ + 2/' + 3j+...=i2m + i>i,
on aura
t*3) Ç|"(-,w-mm-'-k •• i.a.3...(7+r + J + ...) (i\* ( ■ Vf 1 V 1 .
OL ' (i.a.3...?)(i.a.3...r)(i.a.3...*)...\V \2.3/ V.a.3.4/
20 que, si l'on étend le signe Sj à toutes les valeurs entières, nulles ou
positives de q, r, s, ... qui vérifient la condition
(24) y + 2/' + 35 + ....= 2/w,
le terme correspondant à l'indice im dans la série des nombres de Ber-
noulli sera
OL (i.a.3...j)(i.a.3...r)(i.a.3.^jr)... \ay Va-V \a3.4/ J
On a vu, par ce qui précède, comment, à l'aide du calcul des ré-
sidus, on peut déterminer la valeur générale de l'intégrale la?". On cal-
culerait avec la même facilité la valeur de l'expression
._._._. . j
quel que fût le nombre des intégrations indiquées par les signes X; et
l'jon trouverait, en désignant ce nombre par m,
(26) m;,^=i.2.s...ni^nÇ9
ou, ce qui revient au même,
' III.. .x" = 1. a. 3. ..n f
(27) <~>(e**-i)« ((*•-*))
( -H .a?'"-1 gt, (a-) ■+■ ^c'"-2 gt.2 (4?) •+-... -f- * &!,„_, (.r) + gt„, (or).
Dans l'équation (27), »,(#), ex, (a?) »,„_,(#)» GT,„(<r) représen-
tent des fonctions périodiques de la variable x, qui peuvent être choi-
188 SUR LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FIMES ETC.
sies arbitrairement. Ajoutons que, si l'on pose
(28) ( 1+ - 4- — 4-. . . \ =\ + ;)ji.l5 4- orc,s3l-h;)ïl353 + . . .,
la formule (27) pourra être réduite à
VVV^^r
(/i 4-1). . .{n-T-m)km
. (n 4- l)...(« -t- /« — \)h"l~A
4- a?"»-1 ©i(jp) -4- a?*-,w*( ar) +. . . 4- *Œr»,_i (*) + »,„ (47).
On tirera d'ailleurs de la formule (28)
/a n «w m », m (3 m — 1) „, m*("> — 1)
(30) .)ll1 = ---, am= ^ ', ;,*,=:_ _i__, ...
et, généralement,
(3.) *»= $[(_,)—• ^v'w^^t^V";0 C1)" WC-riV-T
LJL (1.2. 3. ..y) (1.2.3.../') (I.2.3....V)... \2 / \2.3y \2.3.4/
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives
de 7, r, s, ... qui vérifient la condition (21).
SUR LES DIFFÉRENCES FINIES
ET LES
INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIÈRES
D'UNE OU DE PLUSIEURS VARIABLES.
A l'aide des formules que nous avons établies dans les articles pré-
eédents, on déterminera sans peine les différences finies et les inté-
grales aux différences finies des fonctions entières d'une ou de plu-
sieurs variables. Pour y parvenir, nous observerons d'abord que, si l'on
fait usage des notations adoptées dans le Volume II (pages 1G1 e(
suiv.) ('), les formules (5) et (29) de l'avant-dernier et du dernier
article se réduiront aux deux équations
( 1 ) A'" xn == h"1 1)'" x" + Mj hm+i D"î+I xn -+- M2 A"t+2D "l+2 xn -+- M3 h'n+3 D"I+ï xn -f
f f...xndx'n (' f'...xndx"1-1
(a) 11 . . .**= JJ hm — - + ;)n, hm_{ +...+ônmx» + i)XLm^h\)x»-
dont la seconde pourra encore être présentée sous la forme
( 3 ) — = -~- + OÏL, r— ^ r ■+■ ... -+- 3H ,„ xn + ;)ll „,+, h hx» -+-...,
A"1 h'nD"1 h"l~ V) "i-t-t
ou, ce qui revient au même, sous la suivante
( 4 ) A-"' x'1 = Ji-'" l)-"1 x" -+- le, h-"l+l D-'"+1 &* + .,.+ ;))l ,„ xn -h 3H «m., h l)xn -+- .
Seulement, pour que la valeur de 21. . .x" fournie par l'équation (i>),
(3) ou (4) devienne la plus générale possible, il faudra remplacer les
(') OEuvres de Cauchy, S. II, T. Vit, p. 200 et suiv.
190 SUR LES DIFFÉRENCES FINIES
constantes arbitraires comprises dans les intégrales
D-»3r»= f j\ . .X'ldxm, \)-"l+xœll~ f f . . .xndxm-\
par des fonctions périodiques arbitrairement eboisies. Quant aux coef-
ficients M,, M2, M3, . . . ; on,, 3ïL,, DM:i, . . . , ils se trouveront déterminés
par les formules (4) et (28) des pages 181 et 188, ou, ce qui revient
au même, par les deux équations
(5) (e; — i)>» —zm (i + M,= +M.2s2 +-Mi*' +,..)=*« -J-M,.-"^' -t-M,*""-*
( 6 ) (e: — 1 )-"' — z-m ( 1 -1- Ole 1 z + 3H , s ■ + Dïi ,*»+.'..) =■*""*-+- 011 , *-**+« ■+- 3R. , z-'"^
Supposons maintenant que, dans la formule (r) ou (4), on remplace
successivement l'exposant n par les suivants n ■+- 1, n-h 2, . . ., et que
l'on combine par voie d'addition les formules ainsi obtenues, après les
avoir respectivement multipliées par des coefficients donnés A, B,
C, Alors, en faisant, pour abréger,
(7) // = A.r"4-B.r"-f-1 + C^'^-h . . .,
on trouvera
(8) A'"« = h"l\)mu 4- Uihm*tDm**u + M2A'"+2D,"+2« -+- M3//"'+3 \)"l^u -+-...
et
(9) &-mu=zhmD-mu h- -m, A-'«+» D-"'+1 u -h. ..-h 3Il,#im +■ JK^+jA 1)// -+-....
Comme on peut d'ailleurs, dans le second membre de l'équation (7),
fixer arbitrairement le nombre des termes, et réduire l'exposant n à
zéro, la valeur de u que cette équation détermine pourra être une
fonction entière quelconque de la variable x. Donc, pour développer
les différences finies ou les intégrales aux différences finies d'une
semblable fonction en séries ordonnées suivant les puissances ascen-
dantes de la quantité h = Ax, il suffît de recourir aux formules (8)
et (9). De plus, comme dans ces dernières les coefficients M,, M,, . . .;
01l,, 01U, . . . doivent être déduits des équations (5) et (G), on trouvera
ET LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES ETC. 191
encore
* ... /AD \m
(10) A'"u = (e —l) u
et
* „. /AD \-/M
(il) A-'"M = (e —i.) u,
pourvu que, après avoir développé les expressions
/AI» \m . /AD \— m .
(e — \) u et (^e — i) u
*
en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de h, et, par
conséquent, en termes de la forme
on considère la lettre D placée devant la lettre u comme une véritable
caractéristique.
Dans le cas particulier où l'on suppose n=i, les formules symbo-
liques (10) et (i i) se réduisent à
(12)
lu = ((
J'°
- I ) M zz:
AD
e
u —
U,
(i3)
A-1
u =
/ AD
(e —
<r
u ;
et l'on en
conclut
04)
lu-
= hVu-+-
//2
I .2
D5 « +
a3
I .2
l*
l«
(i5)
lu-
= /
it dx
i i
- - U -+- ^
2 b
2
i
U — 7—
3o
A'
*D*
M
h
2~r
D3//-....
ou, ce qui revient au même,
, du h* d2u /r3 d3 u
(l6) « + A« = « + /lj 1 -r- s H r; T~i ■+-...,
v ' dx i . 2 a,r2 1.2.5 «jt
J u dx , i h du i A3 éP // ' i Ar> d* u
'7' ~ /< 2 6 2 rf.C 3o 2.3.4 f/j?3 42 2.3.4-5.6 tffo?5
Il est essentiel de rappeler que la constante arbitraire, comprise dans
l'intégrale / udx que renferme l'équation (17), doit être remplacée
par une fonction périodique, mais arbitraire, de la variable x.
192 SUR LES DIFFERENCES FINIES
Concevons à présent que la lettre u désigne une fonction entière,
non plus de la seule variable x, mais de plusieurs variables indépen-
dantes x, y, z, ... ; et que l'on emploie les caractéristiques
1) R2 T)3 • T) R2 R3 • R R2 R3
uxy Vg, Uj.) • • •» "yi vy* " yy • ••» "zy **-, u-, . . ., ...
OU
A,, A2, A3, ...; A,, A2, A3, ...; A„ A?, A!, ...; ...,
placées devant une fonction de x, y, z, . . ., pour indiquer les dérivées
partielles de cette fonction ou ses différences finies parcelles des di-
vers ordres prises par rapport à x, par rapport à y, etc. Alors, en
posant
(18) Lx = h{ Aj = A-, Az = l,' ...,
on tirera de la formule (10)
(19) Aï« ;=(*"*- 1)-«, A«« = (/IV_I)"«, ...
et, par suite,
(ao) A£A*. ..« = («*•-- i)" (e*V_i)\. .ii.
De même, si l'on emploie les caractéristiques
R1 R~2 R 3 R-1 R 2 I) 3 R ' I)2 I)-3
'-'x y "x y JJ x y • • • « ^j > x,y y "y y • ■ • y ** z y vz y uz y • • • » • • • »
A-1 A-2 A"3 • A-1 A-2 A"'3 • A-1 A-2 A-3
placées devant une fonction de x, y, z, . . ., pour exprimer le résultat
d'une ou de plusieurs intégrations indéfinies relatives à x, ou à y, ou
à s, ... et du genre de celles que l'on indique ordinairement par le
signe / ou par le signe £, on tirera de la formule (i i)
(2i) Ar*u = (e"*-i)-,"«> Aj»« = («**'- 1)"*«,
et, par suite,
(22) A"'" Aj" ..'.« = (e***- r)"" (e*1^ i)~" . . .«,
11 est important d'observer qu'après avoir développé les seconds mem-
bres des équations (19), (20), (21) et (22) en séries ordonnées sni-
ET LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES ETC. 193
vant les puissances ascendantes des quantités h, k, . . ., on devra :
i° considérer D^., Dr, . . . comme de véritables caractéristiques; 20 sub-
stituer aux constantes arbitraires, comprises dans les intégrales indi-
quées par les exposants négatifs de la lettre D, des fonctions pério-
diques, mais arbitraires.
Concevons encore que l'on pose
(23) u = f(x,jr1 z, ...).
On tirera successivement de la formule (12)
AD,
f(jc -+- h, y, z, ...) = « + AI« = (i + AJ.)« = e' x «,
i(x -+- h, y -+- k, z, . . .) — e y ï(x -+- h, y, z, . . .) = e y e *u = e ' //,
i(x -+- h, y -+- k, z -+- l, ...) = e f(x-hh,y-^k,z,...) = e e yu—e y u,
On aura donc, quel que soit le nombre des variables indépendantes x,
y**
/ r\ et A A., A \ ADJC-(-*Uv+/I)s-+-...
(24) \{x -+- b.x, y + Aj, z -\- As, . . .) — e r u,
et, par suite,
(25) {(x + &x, y + A/, z + A^ . . .) - t\x,y, z, . . .)=(^*****,*K-_i) u.
Donc, si l'on désigne par Au l'accroissement total que reçoit la fonc-
tion entière u = f(a?, j, a, . . .) quand on y fait croître simultanément
x de àx, y de As, z de As, etc., on trouvera
(26) A« = (e •> — ijm.
On aura, de même,
A, / hl)x-hk\)Y-hlt>z->-... \2
2 M — (g * — i) W>
3// = (e •' — i) U,
et généralement, m désignant un nombre entier quelconque,
(27) A»« = (e*^+*^'»^--.)'"i*,
OEuvres de C. - S. II, t. VIII. 2D
194 SUR LES DIFFÉRENCES FINIES ETC.
Les diverses formules que nous venons de rappeler, et qui étaient
déjà connues, se trouvent rigoureusement établies par les considéra-
tions dont nous avons fait usage dans cet article, tant que la fonction u
reste entière. Si le contraire arrivait, les mêmes formules subsiste-
raient encore, mais dans certains cas seulement. Ainsi, par exemple,
quand la fonction // cesse d'être entière, les équations (iG) et (17),
qui coïncident, la première avec la formule de Taylor, la seconde avec
la formule d'Euler, subsistent seulement sous certaines conditions
dont l'une est la convergence des séries comprises dans les seconds
membres.
SIK LES ÉQUATIONS
QUI EXPRIMENT
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE
ou
LES LOIS DU MOUVEMENT INTÉRIEUR
D'UN CORPS SOLIDE, ÉLASTIQUE OU NON ÉLASTIQUE.
§ Ier. — Considérations générales.
Dans la recherche des équations qui expriment les conditions
d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur des corps solides ou
fluides, on peut considérer ces corps, ou comme des masses continues
dont la densité varie d'un point à un autre par degrés insensibles, ou
comme des systèmes de points matériels distincts, mais séparés entre
eux par de très petites distances. C'est sous le premier point de vue
que les fluides ont été envisagés dans l'Un des articles précédents et
dans les divers Traités de Mécanique publiés jusqu'à ce jour. (Test
aussi sous le même point de vue que nous considérerons ici les corps
solides. Cela posé, soient M la masse d'un corps solide en équilibre,
m une particule ou portion infiniment petite prise au hasard dans cette
niasse, x, y, z les coordonnées de la particule m comptées sur trois
axes rectangulaires, et p la densité du corps solide au point (x,y, z).
Si l'on nomme/?', p", p" les pressions ou tensions exercées au point
(.*% j, s), et du côté des coordonnées positives, contre trois plans pa-
rallèles aux plans des j, z, des z, œ et des x,y, les projections algé-
briques des forces p', p", p"' sur les axes coordonnés seront deux à
deux égales entre elles [voir la page \-j du Volume II (*)], et pourront
Œuvres de Cauchy, S. II, T. VII, p. 67.
196 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
être représentées, en conséquence, par les quantités
j A, F, E,
(.) F, B, 1),
( E, I), C.
Soient d'ailleurs o la force accélératrice qui sollicite la particule m,
et
X, Y, Z
les projections algébriques de cette force accélératrice sur les axes des
x, y, z. En prenant oc, y, z pour variables indépendantes, on aura,
comme on l'a prouvé à la page 1 1 1 du Volume II ('),
/ dk d¥ dE
1 ox oy oz '
. , ] JF <m dD
(2) { — + — + _-+pY=o,
J ox Oy oz '
I OE ÔD ôC
\ ox oy oz r
De plus, si, après avoir fait passer par le point {oc, y, z) un plan quel-
conque, on porte, à partir de ce point et sur chacun des demi-
axes perpendiculaires au plan, deux longueurs équivalentes, la pre-
mière à l'unité divisée par la pression ou tension exercée contre ce
plan, la seconde à l'unité divisée par la racine carrée de cette force
projetée sur l'un des demi-axes que l'on considère, ces deux longueurs
[voirie Volume II, page 53 (')] seront les rayons vecteurs de deux
ellipsoïdes dont les axes seront dirigés suivant les mêmes droites. A
ces axes correspondront les pressions ou tensions principales dont cha-
cune sera normale au plan qui la supportera, et parmi lesquelles on
rencontrera toujours la pression ou la tension maximum, ainsi que la
pression ou tension minimum. Quant aux autres pressions ou tensions,
elles seront distribuées symétriquement autour des axes des deux ellip-
(') Œuvres de Cauchj, S. II, T. VII, p. 144.
(*) Ibid., p. 74.
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 197
soïdcs. Ajoutons que, dans certains cas, le second ellipsoïde se trou-
vera remplacé par deux hyperboloïdes conjugués. Ces cas sont ceux
dans lesquels le système des pressions ou tensions principales se com-
pose d'une tension et de deux pressions, ou d'une pression et de deux
tensions. Alors, si l'on substitue à la force qui agit contre chaque plan
deux composantes rectangulaires, dont l'une soit normale au plan, cette
dernière composante sera une tension ou une pression suivant que le
rayon vecteur perpendiculaire au plan appartiendra à l'un ou à l'autre
des deux hyperboloïdes, et elle s'évanouira quand le rayon vecteur sera
dirigé suivant une des génératrices de la surface conique du second
degré qui touche les deux hyperboloïdes à l'infini. Concevons, pour
fixer les idées, que l'on nomme p la pression ou tension exercée au
point (oc, y, z) contre un plan perpendiculaire à une droite qui, pro-
longée d'un certain côté, forme avec les demi-axes des coordonnées
positives les angles a, [3, y. Soient, en outre, o l'angle formé par cette
droite avec la force p qui agit contre le plan du côté que l'on considère,
et ~k, (/,, v les angles compris entre la même force et les demi-axes des
coordonnées positives. On aura, comme on l'a vu dans le Volume II
[pages 48 et 49(0]»
/ p cos), = A cosa 4- F cos (3 ■+• E cosy,
(3) / />cosf/. = F cosa -+- B cos (3 -+- D cosy,
\ />cosv =E cosa 4- D cos (3 4- C cosy,
(4) cosô = cosacosX+ oos^cosjjh- cosy cosv.
Par suite, la force/? et sa composante perpendiculaire au plan seront
déterminées par les équations
( jo2— (A cosa -h F cos(3 -+- E cosy)2
( -f- (F cosa -H B cos|3 -+- D cosy)2 -h (Ecosa h- DcosjS ■+■ Ccosy)2,
p cos ô = A cos2 a -+- B cos2 [3 -+- C cos2 y
4- 2D cos(3cosy 4- 2E cosy cosa 4- 2F cosa cos [3.
(6)
(») Œuvres de Cauc/ij, S. II, T. VII. p. 68.
198 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
Il est aisé d'en conclure que, si l'on désigne par ce H- x, y -+- "y, z -t- z
les coordonnées d'un point situé sur le second des deux ellipsoïdes ci-
dessus mentionnés, on aura
(7) Ax'-+ Ry--f- Cz2+ sDyx -+- 2Ezx 4- 2Fxy ==±: 1.
Enfin les pressions ou tensions principales correspondront aux valeurs
de a, (3, y déterminées par la formule
cos À cosjm cosv
( b ) . — -g = ,
cosa cosp cosy
ou, ce qui revient au même, par la suivante
« , A cos a + F cos 3 -h E cos y
/? cos à ~ ± /? — ^o
cos a
F. cos a + R cosS ■+- D cosy
cos 3
_ E cos a + D cos 3 + C cos y _
cosy
et, comme on tire de la formule (9), en faisant, pour abréger, ±p=t3,
i (A — gj) cos a -+- F cos 3 -+- E cosy = o,
(iô) ' F cosa — (R — m) cos 3 -+- Dcosy = o,
f E cosa -r- D cosS -+- (C — gj) cosy == o;
puis, en éliminant cosa, cos [3, cosy,
(11) (A — gj)(R — bj)(C — w) — D*(A — cj) — E2(R - m) — F2(C — w) + 2l)EF = o,
il est clair que les pressions ou tensions principales seront précisé-
ment les valeurs numériques des trois racines de l'équation (1 1).
Pour tirer parti des équations (3), il est nécessaire de connaître les
relations qui existent entre les pressions ou tensions A, R, C, D, E, F,
et les condensations ou dilatations linéaires mesurées au point (x, y, s)
dans la masse M. Ces condensations ou dilatations sont celles que pro-
duisent les déplacements des diverses particules de la masse M, tandis
que le corps solide passe de l'état naturel, c'est-à-dire d'un état d'équi-
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 199
libre, dans lequel la force accélératrice o et les pressions supportées
par la surface extérieure du corps seraient nulles, à l'état d'équilibre
dans lequel ces forces cessent de s'évanouir. Cela posé, concevons que
le point matériel correspondant aux coordonnées a?, y, z, dans le second
état du corps solide, soit précisément celui qui, dans le premier état,
avait pour coordonnées les trois différences
x — l, Y- -ri, s— Xi
E, Yj, '( seront des fonctions de oc, y, z qui serviront à mesurer les dé-
placements du point que l'on considère parallèlement aux plans coor-
donnés; et, si l'on désigne par e une quantité positive ou négative qui
représente la dilatation ou la condensation linéaire du corps solide
mesurée au point {oc, y, z) sur une droite tracée de manière à former
avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, (3, y, on
aura, comme on l'a prouvé à la page Gi du Volume II ('),
(12)
Il en résulte que, si, à partir du point (ce, y, z), on porte sur les
droites en question une longueur équivalente à i -f- e, l'extrémité de
cette longueur sera située sur la surface d'un ellipsoïde dont la con-
struction indiquera les rapports constants entre les dilatations ou con-
densations linéaires mesurées dans les diverses directions autour du
point (oc, y, z). Les dilatations ou condensations correspondantes aux
trois axes de l'ellipsoïde sont celles que nous avons nommées princi-
pales. Les autres se trouvent symétriquement distribuées autour des
mêmes axes. Ajoutons que, si l'on désigne par s', e", e'" et u des quan-
tités positives ou négatives, propres à représenter : i° les dilatations
(1) OEuvres de Cauc/iy, S. II, T. VII, p. 83.
' I N
) — ( cosa —
—^cosa —
Ox
■— cosp
dy
dl V
.n-«y
+ ( cos(3 —
dn
-T- cos a —
ox
dn q
-r-COSp -
dy
dn Y
■TzC0*V
+ ( cos y —
dl
-.— cosa —
ox
d: a
-r^COSP -
dy
-Tzcosy)'
(i6)
200 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
ou condensations principales; i° la dilatation ou la condensation du
volume au point (x% y, z), on aura [voir la page 65 du Volume II (' )]
(l3) I + U=(l+£')(l + E")(. + Ef').
Observons enfin que, si l'on désigne par
(i4) A = f(a-,f,z)
la valeur de la densité p dans l'état naturel du corps, la densité corres-
pondante à l'état d'équilibre sera évidemment déterminée au point
(oc, y, z) par la formule
(i5) f(*-Z,r—n,*-ï)m
Dans le cas particulier où les déplacements (;, y], £ ont de très petites
valeurs, en considérant ces déplacements, ainsi que leurs dérivées,
comme des quantités infiniment petites du premier ordre, et négli-
geant les infiniment petits du second ordre, on réduit la formule
(i2)à
ï = -r cos2a •+■ -^- cos2p -+- -r- cos2y .
} doc dy dz '
d-n , dC\ _ fd% di\ (dl àr]\
^+^jcos(3coSy + ^- + -jcosycosa + ^ + -jcosacos^
Alors, si l'on fait, pour abréger,
ox dy dz
*. = £, ^=^; K
17 I o^ toi^àl nF ÔK rô é d\ an
\ dz dy doc dz dy doc
la valeur de £ deviendra
(18) e = X co s- a 4- Db cos2 (3 4- 3cos2y 4- 2t0cos(3cosy -4- 2C cosy cosa 4- 2,? cosacos(3.
Dans le même cas, si l'on porte, à partir du point (a?, y, z), et sur la
droite qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les
(•) OEuvres de Cauchj, S. II, T. VU, p. 88.
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 201
angles a, 3, y, une longueur dont le carré représente la valeur numé-
rique du rapport-» on trouvera, en désignant par x -h x, y -+- y, s H- z
les coordonnées de l'extrémité de cette longueur,
(19) -l.\s + Hi>y2+ £z-+ 2(0yz + 2<Czx + a/xy = ±i.
Donc cette extrémité sera située sur la surface d'un ellipsoïde qui
pourra se changer en un système de deux hyperboloïdes conjugués.
Il est d'ailleurs évident que les trois axes de cet ellipsoïde correspon-
dront aux dilatations et condensations principales. Quant aux for-
mules (i3) et (i5), elles donneront, dans l'hypothèse admise [voir la
page GG du Volume II (')],
Ûk (h °1
àx àv dz
(20) u
et
(ai) P^C-^^-^-'^'-^-
Ajoutons que les condensations ou dilatations principales seront déter-
minées en grandeur et en direction par la formule
JU cos a ■+- ê cos |3 ■+■ £ cosy
cosa
§
cos a -+-
iti> cos {3
4-
©
cos
y
cos (3
e
cos a -+-
(0 cos^
-4-
3
cos
7
cosy
de laquelle on tirera
(23) (-A. — e) (ift — 1)(© — t) — <0â(-l. — e) - £2( ift — e) — P{Z - e) -t- a©C£ = o.
Si la densité A, relative à l'état naturel du corps, était supposée eon-
(») Œuvres de Cauchy, S. II, T. VII, p. 89.
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. 26
202 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
stante, c'est-à-dire indépendante de oc, y, z, l'équation (ai) donnerait
simplement
(a4) p = (i-u)A.
A l'aide des formules que nous venons de rappeler, on peut déter-
miner les condensations ou dilatations linéaires correspondantes au
point donné (x,y,z) d'un corps solide, quand on connaît les déplace-
ments £, Y], l. Donc, si l'on parvient à exprimer les pressions ou ten-
sions A, B, C, D, E, F à l'aide des condensations ou dilatations linéaires,
on pourra les exprimer aussi en fonctions des déplacements £, y], l.
.Mais, comme les relations qui existent entre les pressions et les con-
densations, ou les tensions et dilatations, ne sont pas les mêmes poul-
ies corps élastiques et pour les corps non élastiques, nous renverrons
la recherche de ces relations aux paragraphes suivants.
Si les diverses particules du corps solide que l'on considère, au lieu
d'offrir un état d'équilibre, sont en mouvement, alors, en désignant au
bout du temps t par w la vitesse de la particule m correspondante aux
coordonnées x, y, z, par <|> la force accélératrice qui serait capable de
produire le mouvement effectif de cette particule, par u, c, w les pro-
jections algébriques de la vitesse w, enfin par A-, %f, % celles de la force
accélératrice <|>, on reconnaîtra sans peine que l'on doit aux équa-
tions (2) substituer les suivantes
p(X-3t) = o,
*P(Y--sr)=o,
p(Z — 3b) = 0;
puis, en prenant pour variables indépendantes x,y, z, /, on établira,
comme dans un précédent article, entre les quantités 36, 5", £; //, c, w\
;, Y], l, les formules (10) de la page 161 et les formules (19) de la
page 164. Si l'on suppose que les déplacements £, rj, £ et les vitesses
u, v, w conservent constamment des valeurs très petites, les formules
/ dk dF
l dx dy
**" dz
) d¥ dB
i dx dy
d\)
+ Tz
dE d\)
{ dx dy
dC
+ 57
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 203
dont il s'agit pourront être réduites à
»=£■
v <?•*••
*=*'
(37) «=57'
et l'on on conclura
*=£.
rT-^'
a V 's
Nous remarquerons, en terminant ce paragraphe, que la formule (iG)
de la page i63 subsiste dans le mouvement intérieur d'un corps solide
aussi bien que d'un corps fluide; mais qu'on doit la considérer comme
une combinaison des formules (i3) et (i5), ou (20) et (21). Ainsi, en
particulier, si, entre l'équation (21) et l'équation (iG) de la page i63,
on élimine p, alors, en négligeant les infiniment petits du second
ordre, on obtiendra la formule
, s ôj du ds> dw
(29) -T7 = -t- H- -7- H- T '
qui s'accorde, en vertu des équations (27), avec la formule (20).
§ II. — Sur l'équilibre et le mouvement intérieur d'un corps solide
élastique.
Considérons un corps solide placé sous le récipient d'une machine
pneumatique après qu'on y a fait le vide, et supposons que la tempéra-
ture de l'espace qui environne ce corps soit partout la même. Ce que
nous nommerons Yétat naturel du corps solide, ce sera l'état d'équilibre
auquel il pourra parvenir si les diverses parties de sa masse et les di-
vers éléments de sa surface ne sont soumis à aucune force extérieure
autre que l'action du calorique. Concevons maintenant que le corps,
étant transporté dans un milieu quelconque, et sollicité au mouvemenl
par des forces extérieures, vienne à changer de forme, mais que la
température de chaque molécule conserve sa valeur primitive. D'après
les notions généralement admises sur l'élasticité, le passage de l'état
20\ SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
naturel à un nouvel état produira, en chaque point, si ce corps est
élastique, des pressions ou tensions indépendantes des états intermé-
diaires et du temps pendant lequel le changement de forme aura pu
s'effectuer. Lorsque pour chaque point d'un semblable corps l'élasti-
eité reste la même dans tous les sens, la pression ou tension exercée
contre un plan passant par un point donné {oc, y, s) dépend unique-
ment des condensations ou dilatations linéaires autour de ce' point, en
sorte que, le système de ces condensations ou dilatations étant connu,
on peut en déduire le système entier des pressions ou tensions exer-
cées contre les divers plans qui renferment le point {oc, y, z). Alors
c'est évidemment autour des mêmes axes rectangulaires que les deux
systèmes de quantités dont il s'agit se trouvent symétriquement distri-
bués. Par conséquent, trois directions perpendiculaires entre elles, et
<jue l'on peut nommer directions principales , correspondent en même
temps aux trois pressions ou tensions principales et aux trois conden-
sations ou dilatations principales. De plus, il semble naturel de sup-
poser, du moins quand les déplacements des molécules sont très petits,
que les pressions ou tensions principales sont en chaque point du
corps élastique respectivement proportionnelles aux condensations ou
dilatations principales. iYdmettons d'abord cette hypothèse dont l'adop-
tion facilite la recherche des formules qui expriment les lois de l'équi-
libre ou du mouvement d'un corps solide, et désignons par ta', gt", ta"
les trois valeurs positives ou négatives de la variable
(3o) m = p cosd = ± p,
qui seront propres à représenter les condensations ou dilatations prin-
cipales. Les trois rapports
,, . W m" BJ*
auront la même valeur numérique et seront tous les trois positifs,
attendu que les deux termes de la fraction
£
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 205
seront l'un et l'autre positifs quand il y aura dilatation, et négatifs
dans le eas contraire. Cela posé, si l'on nomme k une quantité positive
égale aux rapports dont il s'agit, k sera la mesure de l'élasticité du
corps au point {x,y, s), et l'on aura
(3a) w=ke,
toutes les fois que les angles a, p, y correspondront à une direction
principale; d'où il suit que la formule (9) pourra être réduite à
/ A cosa + F cos [3 4- E cosy
cosa
(33)
F cosa -+- B cos 3 -+- I) cosy
I — - — . , _ .J L
cos 3
I _ E cosa 4- D cos(3 4- C cosy _ ,
\ ~ cosy
Or, en divisant cette dernière par la formule (22), on obtiendra la sui-
vante
iA cosa 4- F cosj3 4- E cosy
oU cosa 4- ^COS{3 4- £ cosy
F cosa 4- B cos(3 4- D cosy
^ 4 1 ~~ Jcosa4-itî>cos(3 4-(£)cosy
f E cosa 4- D cos 3 4- C cosy _ ,
\ ~" C cos a 4- cO cos 3 4- 3 cosy "
de laquelle on tirera
/ (A — kA>) cosa 4- (F — kê ) cos ^ 4- (E — kC ) cosy = o,
(35) < (F — A%f )cosa4-(B — À-ill0cos^4-(D — A-cô)cosy = o,
( (E — *C)C08«-h(D — A-(0)cos^4- (C - *©)cosy = o;
et, comme les équations (35) devront subsister pour les trois systèmes
de valeurs de a, (3, y correspondants aux trois directions principales,
on en conclura évidemment
(36) \ = kX, B = **, C=k&, D = *(D, E = *C, F = M.
En effet, la première des équations (35), si elle n'était pas identique,
exprimerait que la direction déterminée par les angles a, (3, y est per-
20G SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
pendiculaire à une droite tracée de manière à former avec les demi-
axes des coordonnées positives des angles dont les cosinus soient pro-
portionnels aux différences
(37) A — kX, F — k$, E — kC\
ou, en d'autres termes, que cette direction est parallèle à un certain
plan. D'ailleurs les trois directions principales, étant perpendiculaires
entre elles, ne sauraient devenir parallèles à un même plan. Donc la
première des équations (35), qui subsiste pour chacune des directions
principales, sera nécessairement identique, et les différences (37) se
réduiront à zéro. On peut en dire autant des différences comprises
dans la deuxième et la troisième des équations (35); d'où il résulte
que les formules (36) seront toutes vérifiées.
On parviendrait encore facilement aux formules (36) par une autre
méthode que nous allons indiquer.
L'équation (32) étant vérifiée par hypothèse toutes les fois que les
angles a, (3, y correspondent à une direction principale, il en résulte
que, dans le cas où les équations (7) et (19) représentent deux ellip-
soïdes, les axes principaux du premier ellipsoïde sont proportionnels
à ceux du second. Donc ces deux ellipsoïdes sont semblables l'un à
l'autre; et, puisqu'ils offrent, non seulement le même centre, mais
encore des axes principaux dirigés suivant les mêmes droites, il est
clair que les coefficients des carrés des coordonnées x, y, z et de leurs
doubles produits devront varier dans un rapport constant lorsqu'on
passera de l'équation (7) à l'équation (19). Donc, si l'on désigne par k
ce rapport, on trouvera
(38) A = 1 = £==£ = ë = fa
Il est d'ailleurs facile de s'assurer : i° que, si chacune des équa-
tions (7), (19) représente, non plus un ellipsoïde, mais un système
d'hyperboloïdes conjugués, les hyperboloïdes représentés par la pre-
mière équation seront semblables aux deux autres, et que, en consé-
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 207
quence, la formule (38) ne cessera pas d'être exacte; i° que la quan-
tité k sera toujours positive. Ajoutons que la formule (38) comprend
évidemment les équations (30).
Les équations (36) étant une fois établies, on tirera de ces équa-
tions, combinées avec les formules (G), (18) et (3o),
nr = kg,
ou, ce qui revient au même,
(39) p cosô = As,
quels que soient, d'ailleurs, les angles a, (3, y. On peut donc énoncer
la proposition suivante :
Lorsque dans un corps élastique on suppose les déplacements des molé-
cules très petits, et les pressions ou tensions principales proportionnelles
aux condensations ou dilatations principales , la composante perpendicu-
laire à un plan de la pression ou tension exercée contre ce plan conserve
toujours le même rapport avec la condensation ou dilatation qui a lieu
dans le sens de celte composante.
Le rapport dont il est ici question ou la quantité positive k qui me-
sure l'élasticité du corps solide au point {x,y, z) dépend de la nature
du corps en ce point. Si l'on suppose les différentes parties du corps
solide formées de la même matière, la valeur de k ne variera pas lors-
qu'on passera d'un point à un autre; mais, dans la supposition con-
traire, k deviendra généralement une fonction des coordonnées x,y, z.
Observons en outre que, dans la première hypothèse, si la loi de pro-
portionnalité des tensions aux dilatations s'étendait à des dilatations
quelconques, il suffirait, pour déterminer la quantité k, de chercher
la tension capable de produire une dilatation représentée par l'unité,
c'est-à-dire capable de doubler l'une des dimensions du corps solide.
On y parviendrait en composant avec la matière du corps un cylindre
droit à base circulaire et d'une hauteur très petite, puis en fixant la
base supérieure de ce cylindre dans un plan horizontal, et suspendant
à la base inférieure un autre cylindre de même diamètre, mais formé
208 SLR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
avec une matière inextensible dont la densité serait équivalente à la
densité naturelle du corps. Alors, en supposant la hauteur h du second
cylindre tellement choisie que celle du premier cylindre se trouvât
doublée en raison de la dilatation produite par le poids du second, on
pourrait prendre le poids dont il s'agit pour mesure de la pression
totale exercée contre la base du premier cylindre, et, en divisant ce
même poids par la surface de la base, on obtiendrait la pression en
chaque point, et, par conséquent, la valeur de la constante k. D'ail-
leurs, si l'on désigne par A la densité naturelle du corps, par s la sur-
face de l'une des bases dans l'un des cylindres, et par g la force accé-
lératrice de la pesanteur, le poids du second cylindre sera
ghab\
et, en divisant ce poids par s, on trouvera
(4o) k = ghl.
Concevons à présent que l'on considère la loi de proportionnalité des
tensions aux dilatations comme uniquement applicable aux cas où les
dilatations sont très petites. Alors, pour déterminer la constante k à
l'aide de l'expérience indiquée, on devra disposer de la hauteur du
second cylindre de manière à produire seulement dans celle du premier
une dilatation représentée par une très petite fraction, par exemple,
une dilatation de — — » — — > — ; — » •••• Mais alors aussi, pour
Ull«_ uiitiianui v. ioQO IOOOO ioOOOO
obtenir la quantité A, on devra multiplier par iooo, par ioooo, par
,00000, ... la hauteur du second cylindre. On pourrait, d'ailleurs,
remplacer le second cylindre par un poids quelconque tt\ et, si ce
poids produisait dans la hauteur du premier cylindre une dilatation
mesurée par la fraction -, on aurait, pour déterminer la quantité /-,
l'équation suivante
Enfin, au lieu de fixer la base supérieure du premier cylindre et de
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 209
suspendre le poids « à sa base inférieure, on pourrait fixer eette der-
nière et charger du poids $ la base supérieure. La pression qui en
résulterait produirait, non plus une dilatation, mais une condensation
qui serait encore mesurée par la fraction -•
Si la quantité k, au lieu de conserver la même valeur dans toute
l'étendue d'un corps solide, variait d'un point à un autre, cette quan-
tité deviendrait, comme on l'a dit, fonction de x, y, z, et pourrait
même renfermer le temps /, si le corps était en mouvement. Alors la
valeur de k devrait être donnée en chaque point dans l'état naturel du
corps, et déterminée dans cet état par une équation de la forme
(4-2) k = f(x,y,z).
De plus, comme, dans l'état d'équilibre ou de mouvement du corps, la
molécule correspondante aux coordonnées x, y, z serait précisément
celle qui, dans l'état naturel, avait pour coordonnées les trois diffé-
rences
x — Ci y — *fc Ç — £>
il est clair qu'on aurait, dans l'état d'équilibre ou de mouvement,
(43) * = f(*-&/-fl,*-C).
Or cette dernière valeur de k, lorsqu'on y' regarde £, yj, Z comme infi-
niment petits du premier ordre, est sensiblement égale à celle que
fournit l'équation (42)«
Revenons maintenant aux équations (36). Si l'on y substitue les
valeurs de «A,, atë>, G, ®, C, é données par les formules (17), on en tirera
*#.
B = *^,
c=/4
OJC
dv
ôz
(44) Id=W— -h^Y e=--âY— -3\ f=W^ + — Y
( a \0z dy) 2 \djc dz] " 1 \ày dx /'
puis, en combinant ces dernières avec les équations (3), on trouvera
pour les projections algébriques de la tension ou pression supportée
au point (x,y,z) par un plan perpendiculaire au demi-axe qui forme
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. 27
210 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
avec ceux des coordonnées positives les angles a, fi, y,
ii , T ^ ' / àl 0n\ a i / dl dX \
p cosA = k — cosa + - -r+j- cosp +■ - -^ + -r— cosv
r \^dx 2 \^j <fcr/ 2 \dz dx J '
.fi /drj d\\ dn a i/âl\ dÇ\
pcosu — k \ - 1- -v2 cosa 4- -r- cosp ■+- -{ - — h ^- cosv
I L2 v^7 <w àf r 2\âz dy) '
p cosv — k - - h -r2 cosa h — -, — h — cosp -+■ ^-cosv
\ | 2 \dx dz J 2 \dy dz J r J= '
On devrait, à la rigueur, dans les équations (44) et (45), supposer la
valeur de k déterminée par la formule (43). Mais, si, en considérant
\, y], 'C comme infiniment petits du premier ordre, on néglige les infi-
niment petits du second ordre, on pourra remplacer la valeur en ques-
tion par celle que présente la formule (42)-
Pour obtenir, dans l'hypothèse que nous avons adoptée, les équa-
tions d'équilibre d'un corps solide parfaitement élastique, mais dont
les molécules seraient très peu écartées des positions qu'elles occu-
paient dans l'état naturel du corps, il suffira de combiner les équa-
tions (44) avec les formules (2), et la formule (20) avec la for-
mule (21). On trouvera ainsi
<*£) Akî+k£) .<*£+*
dx
dx '2 dy 2
PX = o,
46 1 \ dx dyj V à y 1 \ àz dy ,
-+- r— 1 : -r 0 1 = O,
2 dx dy 2 dz
d(k^- + k^\ d(k^- + k*ï\ d(k*
1 \ dx dz I 1 \ dy dz J \ dz
et
(47)
dx 2 dy 1
' dx dy dz
H- p Z =0,
Les quatre formules précédentes sont les seules qui subsistent dans
toute l'étendue du corps solide entre les quatre inconnues £, yj, Ç, p
considérées comme fonctions des variables indépendantes x, y, z, t.
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 211
Mais, outre ces formules, il y en aura d'autres qui seront relatives aux
surfaces par lesquelles le corps peut être terminé. Supposons, pour
tixer les idées, qu'il soit terminé par deux surfaces, savoir : i° une sur-
face rigide et invariable, assujettie de manière à ne pouvoir changer de
forme, et représentée par l'équation
(48) f(œ,y,z) = o;
20 une surface libre soumise à une pression extérieure P, et repré-
sentée dans l'état naturel du corps par l'équation
(49) ¥{x,y,z)=o.
Admettons, d'ailleurs, que la pression extérieure P soit normale en
chaque point à la surface contre laquelle elle agit. On aura en même
temps, pour tous les points de la surface invariable,
(5o)
( £ = o, Y] = o, K = o;
et, pour tous les points de la surface libre,
( F(a> — l,y — *},* — Ç) = o,
( 5 1 ) <
( />cos). = — Pcosa, pcosp. = — Pcosj3, pcosv = — P cosy,
les valeurs de pcosX, pcosp, />cosv étant déterminées par les for-
mules (45), et les angles a, [3, y par la formule
cosa cos(3
dx
ii laquelle on pourra, sans erreur sensible, substituer la suivante
cosa cos(3 cosy
(53)
âF{x,y,z) " 0 F( x, j, z ) ~" àF(x,y, z)
Ov ôy àz
212 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
Cela posé, les équations (5i) se réduiront à
F(^ — t,y — -n, z — Ç) = o,
d\ d¥(x,y,z) ^Wàl^drA d¥(x,y,z) £ /<£ . 0Ç \ d¥(x,y,z) _ P <ÎF(g,,r,.s)
** *» *\dy~*~ dx) dy ï\dz dx) ' dz k dx
(54) \ 1 /&n + #[\ <?F(^,y,s) _^ dhrj dF(a?,j,.g) , « /£n £Ç\ dF(a-,/,5) P d¥(x,y,z)
I a \rte dy/ <*r ^j dj " 2 \<te ' dy) dz k dy
'd% t dj\d¥(x,y,z) ^ i/QÇ drj\d¥(x,y,z) dÇ d¥(x,y,z) _ P d¥(x,y,z)
Kdx dz) dx 2\dy dz) dy ' + dz dz ~ k dz
Il n'est pas inutile de remarquer que, dans les formules (46), la
quantité désignée par k conservera généralement une valeur très con-
sidérable, et que, en conséquence, on pourra, dans ces mêmes for-
mules, remplacer, sans erreur sensible, la variable p par sa valeur
approchée A.
Dans le cas particulier où les quantités k et A deviennent con-
stantes, alors, en ayant égard aux équations (20) et (24), on tire
des formules (4o) et (46), divisées par p,
(55)
Dans le même eas, si l'on ajoute les formules (55), après avoir diffé-
rence la première par rapport à x, la deuxième par rapport à y, la
troisième par rapport à z, on trouvera
,~v 0-v #u , d*v 1 fdX dY âZ\
dx- dy% dz- gh\dx dy dz J
On pourrait douter, au premier abord, que les formules (55) et (56),
dans chacune desquelles les quatre premiers termes restent très petits
par hypothèse, fussent applicables à des cas où les forces accéléra-
trices X, Y, Z ne seraient pas elles-mêmes très petites. Mais, pour dis-
siper ce doute, il suffit d'observer que la quantité h est généralement
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 213
très considérable, et que, en conséquence, chacun des produits
2 X a Y 2 Z
/*#' h g7 h g
différera très peu de zéro, si le rapport
• ?V(!HIMI)' •
n'a pas une très grande valeur.
Concevons maintenant que les molécules du corps élastique ne
soient pas en équilibre, mais en mouvement. On devra, dans les
équations (46)» (55) et (56), remplacer les quantités X, Y, Z par
les différences
X-JC, Y-iT, Z-2b,
les valeurs de «K, JT, k étant déterminées par les formules (28). On
trouvera ainsi : i° en supposant k et A variables avec x, y, s,
ihg) *(*£ + *£
Ox ; 1 \ dy dx
âx 2 dy
à(t*L + kà) d(k*>
(07) ( t __V rJJ7 dy) _ \ dy
2 do*? c/y
, 2 d.r 2 (9/
20 en supposant k et A constantes,
àxi
^ < S
ôx-
0(4 + *f )
<i2Ê
) - ' PA-
dz ' pY -
■ p <fc*
-S ^ — S ^o/ =pt7î;
dr 0- <^2
J2£
àf2
-t-
5?
+
+
4X=
2 <)2£
W2
+
^2Y)
+
do
dy
■+■
2
d2Y)
"Jï2"
â2K
+
<^2
H-
du
dz
+
"7Z =
3
i*
<)2Ç
ôt-'
Si l'on ajoute ces dernières formules après avoir différentié la première
214 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
par rapport à x, la deuxième par rapport à r, la troisième par rapport
à zf on en conclura
(5g)
(T--j d2v
u d*v i /dX
dz* ' gh \dx
dY ÔZ\
h dy + dz)'
i d2j
dx* dy*"
~ ghlî2
i 0^ ^ d2\ d"-t du _
l doc- dy1 dz'2 dx ~
2 d2l
gh dt2 '
1 d-r\ d2-n d-n du __
j dx2 dy* dz"1 dy
2 d2n
gh dt2
' dx'2 ' dy2 dz'2 ' dz
2 d2Ç
' gh dt2 '
d2x> d2v d2j _ i
dx2 dy2 ~1~ dz'2 gh
d2j
dt2'
Dans le cas particulier où la force accélératrice o s'évanouit, et où l'on
a, en conséquence, X = o, Y = o, Z = o, les formules (58) et (5g)
donnent simplement
(6o)
(6i)
On arriverait encore aux mêmes résultats si la force accélératrice ç était
supposée constante et constamment parallèle à une droite donnée.
Il est bon d'observer que, dans ces diverses équations, les quan-
tités H, y], u et u représenteront les déplacements d'une molécule m du
corps élastique, mesurés parallèlement aux axes des x, j, z, et la dila-
tation ou condensation du volume de cette molécule, tandis que le
corps solide passera de l'état naturel à l'état de mouvement qui sub-
sistera au bout du temps /. Il en résulte : i° que les valeurs initiales
de ç, y,, '(, u ne sont pas nulles ici comme dans les formules que nous
avons employées pour déterminer le mouvement des fluides; i° que la
quantité désignée par u dans l'équation (Gi) est à très peu près celle
que nous avons désignée par a dans l'équation (8i) de la page 177.
D'ailleurs, si l'on adopte la théorie précédente, il suffira, comme nous
le montrerons plus tard, de recourir, d'une part à l'équation (81) de la
page 177, d'autre part à l'équation (6r), qui est de même forme que
la première, pour déterminer les lois de la propagation du son dans
l'air et dans un corps élastique. Donc les lois dont il s'agit demeu-
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 215
reront les mêmes dans l'air et dans les corps élastiques. Ainsi, par
exemple, la vitesse du son sera constante dans un corps élastique
comme dans l'air. Seulement elle dépendra de la quantité h, et, par
conséquent, de la matière dont le corps sera composé.
La plupart des équations établies dans ce paragraphe, et particuliè-
rement les formules (39), (44)» (55), (56), (58), (5q), sont extraites
du Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences le 3o sep-
tembre 1822. Ces mêmes équations seraient remplacées par d'autres
du même genre si l'on modifiait l'hypothèse précédemment admise.
Ainsi, par exemple, les formules (44)» (45)» (46), ... acquerraient
de nouveaux termes et deviendraient plus générales si, pour un point
donné d'un corps élastique, on supposait chaque tension ou pression
principale composée de deux parties, dont l'une serait proportionnelle
à la dilatation ou condensation linéaire mesurée dans le sens de cette
force, l'autre étant uniquement dépendante de la position du point.
Admettons maintenant cette dernière hypothèse, et soient en consé-
quence
(62) »'=*«' -h R, W*=±*8»+R, ©»=*«•-+- R,
k, R désignant des quantités qui ne pourront être que des constantes
ou des fonctions de a? — \9y — r\t % — '(. On devra remplacer la for-
mule (33) par celle-ci
A A cosa -+- Fcos|3 -h Ecosy _ F cosa 4- B cos(3 -+- D cosy
' cosa cosS
(63) ; •*
I _ Ecosa-+-Dcos(3 4- Ccosy _
\ cosy
ou, ce qui revient au même, par la suivante,
, _ (A — R) cosa -+- Fcosft 4- E cosy g 1 rp y
cosa
_ F cosa -+- (B — R)cos(3 + Dcosy
cos[3
— E cos a 4- 1) cos (3 -4- ( C — R) cosy
cosy
sËlUFORN^
216 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
Or, en combinant celle-ci avec la formule (22) et raisonnant comme à
la page 200, on obtiendra, au lieu des formules (36), les six équations
(A = *JL-j-R, B = Aai!, + R,' C = kQ-}-R,
(65)
On trouvera, par suite, au lieu des formules (39), (44) et (45),
(66) p cosè = ks -hR,
(67)
ax dy dz
(»=;*(£-£> -KÊ*S> F=Kf-£
. D , ,f^ 1 (dl àrl\ a 1 (d\ dK\ 1
pcosï = RcosA 4- * ^- cos* + - (^ + - J cos{3 + -^ + - j cosyj ,
(68) { pcoSli= Rcos^+ *|_-(^ + ^J cosa + -^-cosjâ-h -^ + ^J cosyj ,
/>cosv =Rcosv + * [-(^ +^j cosa + - (^ + -j CQSp + ^ cosyj.
On peut conclure des équations (68) que, dans la nouvelle hypothèse,
la pression/?, exercée au point (x,y,z) contre un plan quelconque,
sera la résultante de deux autres forces, dont l'une représentée par R
restera perpendiculaire à ce plan, tandis que la seconde coïncidera en
grandeur et en direction avec la pression que déterminent les for-
mules (45)- Quant aux équations qui exprimeront l'équilibre ou le
mouvement du corps solide, on les déduira immédiatement des for-
mules (46) et (37) en ajoutant aux premiers membres de ces' formules
les termes
dR OR dR
(69) ^ dy' te'
Concevons à présent que la partie R commune aux trois pressions
principales soit proportionnelle à la quantité u qui mesure la dilatation
ou la condensation du volume au point {oc, y, z). On aura
(70) R = Kv,
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 217
K désignant un coefficient qui sera constant, si le corps est homogène,
et que l'on pourra considérer comme fonction des seules variables x,
y, z dans le cas contraire. Cela posé, les expressions (69) deviendront
d(K-j) d(Kv) d(Kv)
Par conséquent on trouvera, si le corps élastique est en équilibre,
V dx) 1 V dy dx) 1 \ dz dx) <HKo)
ï^ + Px=°>
dx 2 dy 2 dz dx
(7a) 1 u\ dx dy) \ dy) 1 V dz dy) | d(K-j) ^ qYz=q
' 2 dx dy 2 dz dy
2 1 ^ 1 : \- : h OC — O,
2 dx 2 dy dz dz
et, si le corps est en mouvement,
«te? 2 ()/ 2 <te d.» r r dt-
ê(k* + *\ à(k*\ dfk^ + k*
(73) < 1 V dx^ dy) | "V dy) { v \ dz dyj , ç)(Ku) | ^^^
2 d.r <}/ 2 d-s dy ' <^2
,»(*§-*£) .Kiliii) *(*2) w.) , «■
2 dx 2 dy dz dz ' d£2
Il est essentiel d'observer qu'aux formules (72) et (73) on devra tou-
jours réunir les équations (20) et (47). Ajoutons que des formules (62 ),
(66) et (70) combinées entre elles on tirera
(74) ■'=*i,-hlv, gt"=â-£"-fK-j, œt»— *e*-t-Ku,
(7-5) p cosô = Âe -+- Kj. *
Quant aux équations qui se rapporteront à la surface extérieure du
corps solide, elles seront semblables à celles que nous avons déjà don-
OEuvres de C. — S. Il, t. Mil. 2S
213 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
nées (p. 21 1). Seulement on devra, dans les équations (5i), supposer
les valeurs de/>cosX,/?cosp., pcosv déterminées, non plus par les for-
mules (45), mais par les formules (68).
Lorsque les quantités k, K, A deviennent constantes, les formules (72)
et (73), divisées par p, se réduisent aux suivantes :
[ JL(£&^*ï±*l\ *-+-*& <fr v_
2 A \dx* ^ dy* + dz>) "h "aT"" fa + X - °'
w
(77)
2 A \ d.v-
2 A \ <fcr"
2 A \ <).r2
A: /d'y?
2 A V dz2
aA\cfcr« ' <ty2 ' d*V 2 A dz 'h dp'
Or, si l'on combine par voie d'addition les trois formules (76) ou (77),
après les avoir respectivement différentiées par rapport à x, y% z, et en
ayant égard à l'équation (20), on trouvera
k + K/à*v à*v d2v\ dX dY àZ
A \dûci dy1 dz1 J ôx dy dz
et
r ™ ï Al ± K ( d* 'J ^d* 'J <)s v \ <?x ^Y- M ^ «
Dans la nouvelle hypothèse que nous avons adoptée, on déterminera
sans peine la valeur du rapport — ~— compris dans les formules (78)
et (79). Pour y parvenir, il suffira de recourir à une expérience du
^genre de celles que nous avons déjà indiquées (p. 207 et 208). Con-
cevons en effet qu'après avoir composé avec la matière du corps un
cylindre droit à base circulaire et d'une très petite hauteur, on ren-
ferme ce cylindre dans une boîte de même diamètre, mais formée
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 219
d'une matière inextensible, et que Ton place sur la base supérieure du
cylindre un poids 9 capable de produire une diminution de hauteur et
par conséquent une condensation mesurée par -• Si l'on nomme s la
(g
surface de l'une des bases, - représentera la pression principale que
la base supérieure supportera en chaque point, et, en posant, dans la
première des formules (74)»
CT:
= — t e'=u =
s
1
n
on trouvera
9 1
_ = (* + K)-.
S II
On aura donc
(80)
9
k + K = n - •
s
Si maintenant 1'
on
pose
(81)
•
9
n-s=ghA,
A désignant la densité naturelle du corps, et g la force accélératrice de
la pesanteur, - sera la hauteur qu'il faudrait attribuer à un cylindre
inextensible de même diamètre que le premier, et d'une densité égale
à A, pour produire dans le premier cylindre la condensation mesurée
par-- D'ailleurs on tirera des équations (80) et (81)
(82) ^-=^;
puis, en substituant dans les formules (78) et (79) la valeur précé-
dente du rapport — -r — ? on se trouvera de nouveau ramené aux for-
mules (50) et (.59)- H est permis d'en conclure que la propagation du
son à travers les corps solides suivra précisément les mêmes lois dans
les deux hypothèses que nous avons successivement adoptées, pourvu
qu'on détermine toujours la hauteur h à l'aide de l'expérience que
nous venons de décrire.
220 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
Supposons à présent qu'au lieu de renfermer dans une boîte inex-
tensible le cylindre dont nous avons parlé, on se contente de le placer
sur un plan horizontal. II sera facile d'assigner la dilatation qu'éprou-
vera le diamètre, lorsqu'on chargera la base supérieure d'un poids
capable de produire dans la hauteur de ce cylindre une condensation
mesurée par-^- En effet, dans la supposition dont il s'agit, la tension
principale que supportera en chaque point la surface latérale du
cylindre sera évidemment nulle, et l'on pourra en dire autant des ten-
sions qui seront exercées en un point quelconque du cylindre, contre
des plans parallèles à l'axe. Donc, des trois quantités cr\ ©*, ©*, il y
en aura toujours deux, par exemple, ©", car*, qui s'évanouiront, et l'on
trouvera par suite
(83) ÂV+Ku = *•£'"+ Ku = o.
Comme on aura d'autre part
(84) £'=-*-, U = |'+|'+|»,
n
on tirera de la formule (83)
(85) t'z=tm—
h
2K «
et
(86)
2K n
Il résulte des équations (85) et (86) qu'à une condensation de la hau-
teur du cylindre mesurée par l- correspond une dilatation du diamètre
mesurée par la fraction
K i
- <
i
Ï+2K n 2 n '
et une condensation du volume mesurée par la fraction
i i
k -+- 2 K n n
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 221
Lorsque dans les formules (76) et (77) on suppose k— 2K, elles
coïncident avec celles que M. Navier a données pour déterminer l'équi-
libre ou le mouvement des corps élastiques dans un Mémoire présenté
à l'Académie des Sciences le \L\ mai 1821, et que M. Poisson a repro-
duites en les établissant d'une autre manière dans un Mémoire qui
n'est pas encore publié. Alors les équations (85) et (86) donnent sim-
plement
(87) £"=£'"=—, y = -~
J \n 2/1
Au reste, je reviendrai sur les formules (76) et (77) dans un second
Article, qui sera consacré à la recherche des équations d'équilibre ou
de mouvement des corps solides considérés comme des systèmes de
points matériels distincts les uns des autres, mais séparés par des dis-
tances très petites, et qui contiendra les formules générales que j'ai
données à ce sujet dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences
le ier octobre 1827.
Je remarquerai, en terminant ce paragraphe, que les équations (72),
(7^)» (76)» (77)' (78) et (79) ne devraient subir aucune modification
si l'on attribuait aux pressions désignées par A, B, C, D, E, F, non plus
les valeurs que déterminent les formules (67) et (70), mais ces mêmes
valeurs augmentées de constantes arbitraires.
§ III. — Su/- le mouvement intérieur d'un corps solide non élastique.
Dans un corps solide non élastique, les pressions ou tensions ne dé-
pendent pas seulement du changement de forme que le corps éprouve
en passant de l'état naturel à un nouvel état, mais aussi des états inter-
médiaires et du temps pendant lequel le changement de forme s'ef-
fectue. Dans un semblable corps l'élasticité disparait entièrement,
lorsque les pressions ou tensions deviennent indépendantes de l'état
naturel du corps, et peuvent être déduites, à la fin d'un temps quel-
conque désigné par t ou / H- ai, du changement de forme que le corps
vient de subir dans un instant très court A*. Alors le système des près-
222 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
sions ou tensions exercées à la fin du temps / contre les divers plans
qui renferment un point donné (x,y9g) dépend uniquement des con-
densations ou dilatations linéaires qui ont lieu autour de ce même
, point, pendant l'instant A*, c'est-à-dire, des condensations ou dilata-
tions instantanées que déterminent les formules (17) et (18), quand
on substitue aux déplacements absolus E, yj, l d'une molécule les dépla-
cements infiniment petits et instantanés
(88) %At. = uAt, (^At = vAt, (^Ai = <vAt
dt dt dt
que cette molécule éprouve parallèlement aux axes des x, y etz. Par
suite, les condensations ou dilatations instantanées et principales
doivent être dirigées suivant les mêmes droites que les pressions ou
tensions principales, et ces deux systèmes de quantités doivent être
liés entre eux d'une certaine manière. Parmi les hypothèses que l'on
peut faire à ce sujet, l'une des plus naturelles consiste à supposer que
les trois pressions ou tensions principales sont en chaque point pro-
portionnelles aux trois condensations ou dilatations instantanées et
principales. Si l'on admet cette hypothèse, les pressions ou tensions
exercées contre trois plans perpendiculaires aux axes des a?, y, s, et les
projections algébriques de ces pressions ou tensions sur les axes,
c'est-à-dire les quantités (2), seront déterminées, clans un corps solide
entièrement dépourvu d'élasticité, non plus par les formules (44)»
mais par les formules semblables
/ a 1 àu „ . dv dw
\ dx dy dz
(89)
D = - k -r- + — , E=-k -j h — , F=-k 3- + — ,
\ 2 \dz dy J 2 \dx dz J 2 \dy dx )
que l'on déduit des six premières, en substituant aux déplacements ij,
r(, l les quantités (88), et au produit kkt une nouvelle fonction k des
différences x — Ç, y — yj, z — t. Il est essentiel d'observer que cette
fonction k se réduira simplement à une constante, si les diverses par-
ties du corps solide sont formées de la même matière. Si maintenant
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 223
on combine les équations (89) avec les formules (23), on trouvera
dx a dy 2 dz
■>!.'(*£ •"£) •("© A**^'
4- pX = p»X,
P-7,
(90) j 1 "V"da? "dyj "\" àyj _ 1^ " V" dz^ ^~dy
2 da; d/ 2 ^
1 2 " -35- + 2 ^ + ~ dT- + pz = **»
les valeurs de 3t, Jf, % et de u, v, w étant liées à celles de \, rj, £ par les
formules (10) de la page 161 et les formules (19) de la page 164.
Quant aux quantités u etp qui représentent : i° la dilatation du volume
d'une molécule, tandis que le corps passe de l'état naturel à l'état de
mouvement qui subsiste au bout du temps /; i° la densité du corps à
cette époque, elles seront toujours déterminées par les équations (i3)
et(i5).
Dans le cas particulier où l'on suppose les déplacements l, y], l très
petits pendant toute la durée du mouvement, et où les quantités k,
A deviennent constantes, les équations (i3) et (i5) doivent être rem-
placées par les équations (20) et (24), et les formules (64) peuvent
être réduites aux suivantes :
(90
d2u
Ox1
d°-u
-+■
d*u
dz^
-+-
Ô
m
dx
-f-
2Ax
k X-
2 A du
T dl
{ à2<>
1 dx2
^ d2v
H ày1
+-
dU>
dz>-
■+-
d
(8
ày
■+■
VA-
2A dv
k dt
dUv
dx1
d-w
-4-
d2w
'dz1
-+-
d
m
dz
^«-
2 A dn'
T ~dt
Si l'on ajoute celles-ci, après avoir différentié la première par rapport
à x, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à *, on en
224 SUR LES ÉQUATIONS QUI EXPRIMENT
tirera, on ayant égard à l'équation (29),
(92
(h\
dt !
âxi
dy*
dt
dz*
A /dX dY dZ\
k \dœ ây dz J ~
à'®
k dt
Enfin, si la force accélératrice s'évanouit avec ses projections algé-
briques X, Y, Z, les formules (91) et (92) deviendront
(93)
et
(94)
dx*
à1
dt
'S)
2 A du
T 57*
2 A dt»
T W
2 A ch*
X "57
A Vd*
<fr«
<fc
dv
Il importe d'observer : i° que la quantité -y- comprise dans l'équa-
tion (94) est proportionnelle à la dilatation du volume pendant un
instant très petit At; 20 que l'équation (94) est semblable à la for-
mule (88) de la page 179, c'est-à-dire à celle qui détermine le mouve-
ment de la chaleur dans un corps homogène ou dans l'espace; d'où
résulte une analogie remarquable entre la propagation du calorique
et la propagation des vibrations d'un corps entièrement dépourvu
d'élasticité.
Les formules (89), (91), (92), (93), (94) sont extraites du Mémoire
que j'ai présenté à l'Académie des Sciences, le 3o septembre 1822. Ces
formules devraient être remplacées par d'autres du même genre, si l'on
modifiait l'hypothèse précédemment admise. Ainsi, par exemple, si,
pour un point donné d'un corps non élastique, on supposait chaque
pression ou tension principale composée de deux parties, dont l'une
serait proportionnelle à la condensation ou dilatation instantanée, me-
LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE ETC. 225
surée dans le sens de cette force, tandis que l'autre, désignée par R,
dépendrait uniquement de la position du point, on devrait aux for-
mules (89) substituer les suivantes :
A = k- — i-R, B = k--+R, L=k-r--i-R,
\ ôx ôy ôz
(g5) j
I) — - k (— — '^ F — - k ( — -4- — 1 F — - k ( — H- —Y
2 \dx ôy ) 2 \dj? As/ 2 \r)j &r
Concevons à présent que la partie R commune aux trois pressions prin-
cipales devienne proportionnelle à la quantité
(90) %*
qui mesure la dilatation ou la condensation instantanée du volume au
point {x,y, z). On aura
(97) R = Krf7'
K désignant un coefficient qui sera constant si le corps est homogène,
et fonction des différences x — £, r — y], :■ — '( dans le cas contraire.
Cela posé, on tirera des formules (23) combinées avec les équations
(95)et(97)»
(98)
à
m
-+-
■4
Ou
1
dx
2
d(k
,.<k»*k© -(*»)
ôz
ôv . (hv\
c) k— + k —
1 \ ôz ôv '
dx âv
2 du? 2 ôy ôz ôz
ôx
ô(K^
\ ôt
)
à>
ô K 3-
\ ôt
)
pX = p5t,
pY=p3',
p Z = p%>.
Enfin, si l'on suppose que les déplacements i, rt, 'Ç restent très petits
pendant toute la durée du mouvement, et que les quantités k, K, A
deviennent constantes, les formules (98) pourront être réduites à
OEwres de C. — S. II, t. VIII. 29
226 • SUR LES ÉQUATIONS ETC.
colles qui suivent
k (à*u à*u d*u
i A \dx'i dy- dz2
i^.\dx'2 dy2 dz2
k fd2w d2w d2w
2 A V dx2 dv'2 dz2
k-4-2K
2A
dx
k
+ 2K
<t
)
2A
dy
k
+ 2K
'Ht
\dt
ôz
)
2 A
et l'on en conclura
(>oo)
k + K
A
<)-
du
dt
dx2
d*
dt )
dy2
dz2
■+•
dX
dx
x =
du
Tt1
dv
dl'
dw
dl'
dy
dz
EL
dt
Les formules (98), (99) et (100) subsisteraient encore sans aucune
modification, si l'on attribuait aux pressions ou tensions désignées par
A, B, C, D, E, F, non plus les valeurs que déterminent les équations
(93) et (97), mais ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbi-
traires.
SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
I) IN
SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS
PAR DES FORCES D'ATTRACTION OU DE RÉPULSION MUTUELLE.
Considérons un très grand nombre de molécules ou points matériels
distribués arbitrairement dans une portion de l'espace, et sollicités au
mouvement par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.
Soient
m la masse d'une de ces molécules,
m, rn', m", ... les masses des autres;
et supposons qu'à une certaine époque
a, b, c désignent les coordonnées de la molécule m, rapportées à trois
axes rectangulaires des x, y et s\
a -h A«, b + \b, c -+- Ac les coordonnées d'une autre molécule m;
r la distance des molécules m et m;
a, fi, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des
coordonnées positives.
Admettons d'ailleurs que l'attraction ou la répulsion mutuelle des
deux masses m et m, étant proportionnelle à ces masses et à une fonc-
tion de la distance r, soit représentée par
(i) mm((r).
La résultante des attractions ou répulsions exercées sur la molécule m
228 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
par les molécules m, m't ... aura pour projections algébriques sur les
axes coordonnés
(a) »§[±»ieosaf(r)J, mjsj [± mcos{3 f(r)], m§[±mcosyf(r)],
la lettre § indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs
aux diverses molécules m, m', . . ., et le signe ± devant être réduit au
signe -h ou au signe — suivant que la masse m sera attirée ou repous-
sée par la molécule m. Ajoutons que les quantités Aa, Ab, Ac pourront
être exprimées en fonction de r et des angles a, [3, y par les formules
(3) A«=:rcosa, Ab = rcosfi, Ac = /'cosy.
Supposons maintenant que l'état du système de points matériels soit
changé, et que les molécules m, m, m', ... se déplacent dans l'espace,
mais de manière que la distance de deux molécules m et m varie dans
un rapport peu différent de l'unité. Soient
des fonctions de a, b, c, qui représentent les déplacements très petits
et parallèles aux axes d'une molécule quelconque m;
x, y, z; x-h Ax, y + Ay, z + Az
les coordonnées des molécules m, m dans le nouvel état du système;
la distance des molécules m, m dans ce nouvel état; z exprimera la
dilatation très petite de la longueur r dans le passage du premier état
au second; et l'on aura évidemment
(4) x — a-^l, y = à-hrit z = c+*;
/ Ax = Aa h- A£ ■+■ r cos a + Aç,
(5) / Ay = Ab-+- An— /-cosj3 + Ay?,
Az = Ac -+- A£ -+- /• cosy -+- AC;
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 229
( /-2(i + £)2= kx-+ Aj2 + Ac2
( ) j =r24-2/-(cosaA? + cos^Ay] + cosyA:) -+-Af+ A-n2-4- AÇ2,
(7) , + g = */,+ J (cosa A^ + cos[3 An + cosy AÇ) + ~ (A_ï2-t- A*}1 ■+■ A?2).
De plus, le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m for-
mera, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles dont
les cosinus seront représentés, non plus par
A« a A6 _ Ac
(8) cosa=— > cosp=— , cosy==— »
mais par
A3? Ay Aj
En conséquence, les projections algébriques de la résultante des
attractions ou cépulsions exercées par les molécules m, m', ... sur la
molécule m deviendront respectivement égales aux trois produits
f -S { * -î^îî
(,o) '»Sr'"^T)r['-('"£)]i'
(■S.l=t.-R^ii't':(,.+*HJ-
Donc, si l'on pose
X = V ± rn ll-t r J A# ,
230 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
les trois produits
m A", mV, m3,
et les trois quantités
S, V, 3
représenteront les projections algébriques : i° de la résultante dont il
s'agit; 2° de cette résultante divisée par m, ou, ce qui revient au même,
de la force accélératrice qui sollicitera la molécule m, et qui sera due
aux actions des molécules m, m',
Dans l'hypothèse que nous avons admise, c'est-à-dire lorsque les
déplacements Ç, yj, l sont très petits, alors, en considérant ces dépla-
cements comme infiniment petits du premier ordre, et négligeant les
infiniment petits du second ordre, on tire de l'équation (7)
(12) s = -(cosa A£ 4- cos;3 Aïj + cosy A£).
Dans la même hypothèse, on aura encore, à très peu près,
puis on conclura des formules (n), combinées avec les équations (5)
et (t3),
/ v C i_L. T 'T(r) — f('') M 1 )
(.4) »=gj:±,nr,+^^
k5( L !('') /-cos^J ^lv ;j'
f 1 Ci- T rf(r) — f{r) a: 1 )
3 = iS - m r + ,v n £ H — — cos7 r(/-) •
Lorsque le premier état du système des points matériels est un état
d'équilibre, il suffît de remplacer E, yj, '(, z par zéro dans les for-
mules (14), pour faire évanouir X, t), 3. On a donc alors
(i5) |§[±mcosaf(r)] = o, §[± m cos|3 !'(/•)] = o, §[±mcbsyf(r)] = o,
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 231
et, par suite, les formules (i4) se réduisent à
( X - g j ± m \[r f (/•) - |V) ] e.cosa -f- tip A; j ,
(,6) |^==-§j±»[[rf(r)-f(r)]«.eoip>^Afl]ji
ou, ce qui revient au même, à
I=CJ±m[(^ + /'^(/')~l'(/') cos2a) A£ + r^r)-\V') (cosa cos[3 Ay) + COSa cosy AÇ)]J,
(,7) J* = §j±:mf(^
3 = R|± mïfiQ + Lg^lfiî co»'y) AC + - ^ lV° (cosy cosscA* 4- cosy c«pAii)]j.
Concevons à présent que l'action de m sur m et la l'onction f(r) ne
conservent de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de la
distance r. Alors on pourra, sans inconvénient, dans les formules (12),
(i4) et (17), substituer aux quantités A^, Ayj, AÇ les valeurs appro-
chées qu'on obtient lorsque, après avoir développé chacune de ces
quantités suivant les puissances ascendantes des différences finies
Aa = /cosa, A6=rcos^, Ac = rcosy,
on réduit chaque développement à un petit nombre de termes. Or on
tirera de la formule de Taylor étendue à plusieurs variables
AÈ = Sa*+Sa*+-3a«ï
Oa ou Oc
+ -^^A^+^A^+^A^+,#|-A6Ac+2^AcA« + 2l^7A«A6)
i.2\ôa- Où1 Oc1 ObOc Oc Oa OaOb J
232 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
A di) . dn A 7 *dn .
Ay] = — Aa + — AZ> +■ — Ac
drt do de
H ^-^Aa2+ Tr-A62+ ^rTAc24-2 Ty-T-AAAc + Qy-r-AcAfl + a-r — £■ AaA&
i . 2 Vrt«2 001 de2 do de de da da db
dy dr dr
AÇ = £■ Art + % Ab + £ Ac
da dc> ac
i /dsÇ A . tf2ÇA7, ^aÇ A , à*Ç ... d2Ç A A <PC A A,
+ • 3~ Art2+ -773 A&2 + -r4 Ac2+ 2 -rr-4- A& Ac + 2 3—|- Ac Art + 2 3—fr Art A£
i.2\drt2 do1 de- ! dt> de de drt drt d^>
ou, ce qui revient au même,
A* = /' ( -i COS a + -f cos 3 -f- -p COS Y )
\d« db r de ' /
7-2 /^ï ()2Ï ()2^ ^2? ^2Ï ^2 t \
-i \ — cos2a+ — ^cos23 -+- 3— cos2v-t- 2-t7-^-cos3cosy + 2-— - f- cos y cos a -h 2 -r — ,,-cosacos3 )
i.2\^«2 w2 oc2 ' dbdc ' oewa ' dadb r/
/dïi eh) t)q \
At, = ri — ^cosa-t- — -cos 3 ■+■ — icosY
' \da db r ac V
h — — !■ cos2 a 4 — t-^cos2^ -+--— Lcos2Y-i-2--r—eos3cosY + 2 -r—— cos y cos a -t- 2 - — -ycosa cos ,3 )
i . 2 \da2 «y2 oc2 ' db de ' ' oc da ' o« M ' /
A^r(-cosa-^cos3--coSYJ
r2 /d2t! d2£ c*2£ v^Z d2£ ô-l x
— ( —^ cos2 a ■+■ — -? cos2 B + -^ cos2 y -i- 2 T7-r- cos p COSY-Ha -: — ;- cos y cos a -+- 2 - — f7 cos a cos 3 )
i.-z\da2 db1 de* ' dbdc ' deda ' daàb '/
et, si, dans les seconds membres des formules (18), on néglige les
termes qui renferment des puissances de r supérieures au carré, il est
clair que les valeurs de 3, 1J, 3 déterminées par les équations (i4) ou
(17) se réduiront, comme la valeur de £ fournie par l'équation (12), à
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 233
les fonctions linéaires des quantités
(19)
dl tfj <H. an (h ànm «Ç . dC- ^Ç.
da db' de' da db de' da' db de'
d*-£ (Pi ô-l (Y-i d2i
ni
da1 db1 de1 Ob Oc ' de ôa da db '
' â2ri d2n d'n d-rt d-rt <V-r\
(ao) \5ô»' W *?' àbdc' àeda d~a~db;
\ dK (PX d*K (PK <PX <P<
\ ôa- ' db1' de1' dbdc' de da ôadb
Cela posé, si l'on fait, pour plus de commodité,
[ , di dl „ ai
[Et = -^ cos x 4- -—- cos 3+t cos y,
l r)« ob de '
; „ dm d*j Q r)r,
(2i) •; rj!= —-cosa + -rycosp 4- -r-cosy,
da db de '
Ç. =-r- cos a 4- TT cos p 4- -r- cosy;
da dc> de '
Xit d2f d«Ê d»Ê n (Pr #1?
£ ., = -T-i COS2 a -V -rA COS* S -f- -r-7 COS2 V 4- 2 T7-3- COS 3 COS Y -H 2 -r— 3- COS Y COS a -+- 2 \? COS a COS 3,
s- t)a- d/>2 de2 ' dbôc ' ' dcc>« ' ôaôb r
^2t. . Pr, oQ d2r, d2Tj ()2r( 0-r,
(•ri) ' W,= — ^ COS2 a -H -yf COS2 3 4- — -iCOS2Y H- 2 -ri— COS 3 COS Y 4- 2- COSY cos a -+- 2 -y COS % COS 3,
C, = -^cos2a-f- —ri cos2 3 -4- — r cos Y + 2 37— r C0SPC0SY "+" 2 -7— 7- cosy cosa -+- 2 - — 4/ cosse cos 3,
da2 i)l>- de1 ' dMc ' Ocda ' drt d6 ' '
on trouvera simplement
(23) A£ = r(iA+'-lX An = r(tî, 4- £*),), AÇ = r^ 4- |çt\
(2/4) *==& cosa 4- y), cos[3 4- Xi cosy H — (:2 cosa -K*li cos ,3 4- Ç2 cosy) ;
et, par suite, les équations (i4) donneront
(25) 1 = 1, -*-!,-**„ 9?=9,4-9i + 9n 3=r3,-h31 + 3t,
Œuvre» de C. — s. II. t. VIII. 3o
234 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
pourvu que l'on pose
(u6) Jo-S^h/neMsftr)], Vo= § [± wcos? f(r)], 3.= jsj [± w cos y |\r)].
Jfi= Sj[±:#»Êi !'('•)] ■+■ jsj |±i»(|i C08«-+-iji C08P-+-Ç|C08Y)C08a[rf(r)— f(r)]|,
(»7) > ^i = S [* "<r<i l'O)] "•" S |=*= TO< 5l C08X+ »}, COS ? H- Ç, COS y) COS? [r f (;■) — f( !•)]),
f 3i = Js| [± w r, !'(/-)] + § ji "K?i «M" 4- T)i cos p -4- Ç, cosY) cos y f r \"(r) - f(r)]J ;
jf,= C ± — |, f(r) + S J± — (!r$08à-4-i}seb«|i -+- Çj008Y)eosa[rf(r)— (-'(r)] ,
(a8) ( ^=§[^^rr2|X/")j-^j±^(^cosa^rr2cosp + ^cosY)cosp[r|''(r)-f(/-.]J;
f 3» = G [± — Ça f(r) I -H.C | dt; — (|a cosa -t- rl2 cos? 4- ^_ cosy) cosy[>* f» - f(r)] ! •
Faisons do plus, pour abréger,
(»9) =['■!'('■) -f( '■)] = /('■)•
On tirera des formules (27)
1 * - 1 & + il S h 3 S
àa
àï
x[/»/(^)cos:5a] -t- -— V[m/(r)cos2acosj3] ■+- y X [m f(r) cos2 a cosy]
-— V[m/(*) cos2 a cos ?] -h y.- V[ m f(r) cos a cos2?] 4- -— ' V [m f(r) cos a cos? cosy |
7 Nt^/C7") cos2 a cos y ] ■+■ y} V [/«/(/•) cos a cos? cosy] --y Stm r(r)co8aco8,Y],
(3o) (li = 3tS+^3+*S
àa ~*v db ~ " Oc
- X | '" /O ) cos2 a cos ? ] -r- --y V [ m f{ r ) cos a cos2 ? I -f- y ^ X [ m f( r ) cos a cos ? cos y ]
X[/n /(r) cosa cos2 ? ] -1- -yr Ni '" f{r) cos:! 3 ] -t- y V [ m f(r) cos2? cosy I
[ m /( r ) cos a cos ? cos Y ] -+- y X [ rw /( r ) cos2 ? cos y ] h- y V [ m j ( r ) cos ? cos2 7 ] .
i)rt
àa
<)% dt àZ
3l'J"àa^VoÉ^^ôc~'
db
(3,i)
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 235
et des formules (28)
3S[t**>H - 31 S [-/(ocos^cos^j *2s't=^)*^T]
+^Sriwr/(r)co8SaMs?co87l+^
g S [t /C-)co9*acos?j * S? S [T^r)COSaCOs3?] ^ «mS [^/(^cos.cos^cos* v I
+. *i g [,„r/(r) cos a cos2 3 cos Tj - ^ § [w/(r) cos2 a cos 3 cos 7] - ^§ [w/W a»1 * «*' ? |
+ *^ C [mr /(,.) cos a cos ? cos» y I ■+- ^ § [w/(r) COS» a cos2 y] -H ^ |sj [«r/(r) cos2 a cos 3 cos 7 ] .
9,
Les formules (3o) et (3i), étant réunies aux équations (a_5) et (26),
fournissent le moyen d'exprimer les forces accélératrices 3, X), 3,
ducs aux actions des molécules m, m', . . . sur la molécule m, en fonc-
tions des quantités (19) et (20).
Comme, pour obtenir les sommes qui servent de coefficients aux
expressions (20) dans les seconds membres des formules (3i), il suffît
de multiplier successivement les quantités renfermées sous le signe §
dans les seconds membres des formules (26) et (3o) par les trois fac-
teurs
rcos a, r cos 3, rcosy,
OU par les moitiés de ces facteurs, et que chacun de ceux-ci diffère
très peu de zéro quand on attribue au rayon vecteur r une valeur très
236 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
petite, il semble, au premier abord, qu'on pourrait, dans les équa-
tions (25), négliger X, X).,, 3, vis-à-vis des quantités 30, t)0, 30, 3t,
t),, 3,. Mais on doit observer que chacune des sommes comprises dans
les formules (3i) se compose de termes qui sont tous affectés du
même signe, tandis que chacune des sommes comprises dans les for-
mules (26) et (3o) se compose de termes qui sont affectés de signes
contraires quand ils correspondent à des molécules situées de part et
d'autre du point (a, b, c) sur une droite quelconque menée par ce
même point. Il en résulte que les dernières sommes peuvent s'éva-
nouir dans beaucoup de cas, mais qu'il n'en est pas de même des
autres. Donc il peut arriver que, dans les seconds membres des équa-
tions (25), les termes X,, X)2, 32 soient, non seulement ceux qui
offrent les plus grandes valeurs numériques, mais encore les seuls qui
diffèrent de zéro.
Les valeurs de 3, X), 3 étant déterminées par les formules (2,5),
(26), (3o) et (3i) en fonction des quantités (19) et (20), on établira
sans peine les équations qui expriment l'équilibre ou le mouvement
du système des masses m, m, m', . . . soumises, non seulement à leurs
attractions ou répulsions mutuelles, mais, en outre, à de nouvelles
forces accélératrices. En effet, supposons que, au bout du temps t,
l'état d'équilibre ou de mouvement du système coïncide avec l'état
dans lequel les coordonnées de la molécule m se trouvent représentées
par x, y, z ; et soient à cette époque
X, Y, Z
les projections algébriques de la nouvelle force accélératrice 9 appli-
quée à la molécule m sur les axes coordonnés. On aura évidemment, si
le système est en équilibre,
(32) Ï + Xsro, t) + Y = o, 3-+-Z = o.
Au contraire, si le système se meut, en désignant par ^ la force accé-
lératrice qui serait capable de produire à elle seule le mouvement
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 399
effectif de la molécule m, et par »\-, -T, % les projections algébriques de
cette force sur les axes coordonnés, on devra, dans les équations (3a),
remplacer les quantités X, Y, Z par les différences X — V-, Y — :y,
Z — &. Comme on trouvera, d'ailleurs, en prenant a, b, c, t pour
variables indépendantes, et ayant égard aux formules (4),
<33) A'=W = dë' 'T=^ = ^' * = w>=w
il est clair que le mouvement d'une molécule quelconque m sera déter-
miné par les équations
d2? â2-n à^K
Les valeurs de JF, tj, 3, déterminées par les formules (25), (26),
(3o) et (3i), se simplifient dans plusieurs hypothèses dignes de re-
marque, et que nous allons successivement examiner.
D'abord on peut supposer que les sommes comprises dans les for-
mules (26) et (3o) s'évanouissent. C'est ce qui arrivera en particulier
si, dans l'état primitif du système, les masses m, m', m", ..., étant deux
à deux égales entre elles, sont distribuées symétriquement de part et
d'autre de la molécule m, sur des droites menées par le point («, b, c)
avec lequel cette molécule coïncide. En effet, comme chacun des
termes renfermés sous le signe § dans les formules (26) et (3o),
offrant un nombre impair de facteurs égaux aux cosinus
cosa, cos,3, cosy,
change nécessairement de signe avec ces mêmes facteurs, ces termes,
comparés deux à deux, seront évidemment, dans le cas dont il s'agit,
équivalents autsigne près, mais affectés de signes contraires. Alors lc>
formules (i5) seront vérifiées, c'est-à-dire que l'état primitif du sys-
238 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
tème sera un état d'équilibre; et, comme on aura d'ailleurs
(35;
Xt — o,
*,
31 = o,
les valeurs de JF, X), 3 se réduiront à celles de X, X)2, 32.
On peut supposer encore que, parmi les sommes comprises dans les
formules (26), (3o) et (3i), toutes celles qui renferment des puis-
sances impaires de cosa, de cos (3, ou de cosy s'évanouissent. C'est ce
qui arrivera en particulier si, dans l'état primitif du système, les molé-
cules m, m', m", ... sont distribuées symétriquement par rapport à
chacun des trois plans qui, renfermant le point (a,b,c), sont paral-
lèles aux plans coordonnés des y, z, des z, x et des x, y, et si deux
molécules symétriquement placées à l'égard d'un des trois premiers
plans offrent toujours des masses égales. Dans la supposition dont il
s'agit, non seulement les formules (i5) et (35) seront vérifiées, mais
de plus les valeurs de X l), 3, équivalentes à celles de X,, t)o, 32, se
réduiront à
(36)/
+
Ou-
d*-rt
da ûb
V [mr cos2 a cos2 ?/(/•)] + -j—|- V [ rar cos2 a cos2 f f( r)] ,
\3 =
Donc alors, si Ton fait, pour abréger,
(37) G=^[±^«»..f(,)], H- §[*=«*»*,.)], l-S(±=«.TH,)].
(») L = S[2C«^«/(r)], H-.S[=-*W)], «r«.S[=«*T/&;)j,
C'9) P= ^ $[^cos2f3cos2T/(r)|, Q = j§teco8«Yco8«*/(r) , R-^r^cos2acos23/o)l,
de2
■+- 2 R ry -+- 2 Q -5-5- >
à2 1]
Je-
+ 2P-TT-T- + 2 1* "S 77'
M de ôa ôb
ÔK
de1
-f- a Q 1 — i — i- 2 P tïtt *
ôc ôa ôb ôc
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 239
on trouvera simplement
(G + L)g+(H + R)g + (I + Q)
3=(G + Q)g+(H+P)^+(I + N)^
Si l'on supposait les molécules m, m', m", ... primitivement distri-
buées de la même manière par rapport aux trois plans menés par la
molécule m parallèlement aux plans coordonnés, les valeurs des quan-
tités G, H, I, L, M, N, P, Q, R devraient rester les mêmes après un ou
plusieurs échanges opérés entre les trois angles a, [3, 7; et l'on aurait
par suite
(4i) G = H = I, t = M = N, P = Q^R.
Donc alors les équations (3o) donneraient
(4a)
Les formules (n), (12), (i4), (16), (17), (18) et (42) sont extraites
du .Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences, le ier oeto-
bre 1827, sur l'équilibre et le mouvement intérieur d'un eorps solide
considéré eomme un système de molécules distinctes les unes des
autres.
Supposons enfin les molécules m% m\ m", ... primitivement distri-
buées autour de la molécule m, de manière que les valeurs des sommes
eomprises dans les équations (37), (38), (3<)) deviennent indépen-
dantes des directions assignées aux axes des x, y et z. Alors, non seu-
lement les conditions (4i) devront être satisfaites, mais de plus, si
l'on nomme a,, (3,, y, ; a„ £,, 7,; a.,, (}*, 7, les angles formés par trois
i X:
= d.*e)S+(i*e)(S*-S) + .m(â[+â
r
=ii+*)£+<*™)® +£)+«(& + &
L
\
= (L + G)g-MK.C,)(g + g)^R(^+^
240 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
demi-axes perpendiculaires entre eux avec les demi-axes des x, y et z
positives, on n'altérera pas les valeurs des sommes G, H, I, L, M, N,
P, Q, R en y remplaçant les trois quantités
cosoc, cos[3, cosy
par les trinômes
cosa cos^! + cos(3 cos|3i -h cosy cosyi,
cos a cos a2 -+- cos (3 cos(324- cosy cosy2,
cosa cosa;i-t- cos{3 cos|33+ cosy cosy3.
On aura donc par suite
G = V — — (cosa cos»! -+- cosp cosPi ■+■ cosy cosyi)2 f(r) ,
(43) | L = V ^(cosacosa, -+- cos^ cos{3, -4- cosy COBYt)*/(r) ,
R = V — (cosa cosa! -+- cosp cos^i-t- cosy cosyi)2 ( cos a cos a, -4- cosp cosp2-f- cosy cos*{.2)- f(r) .
Or, si l'on développe le second membre de chacune de ces dernières
équations en une suite de termes proportionnels aux sommes comprises
dans la formule (3i), et si l'on remplace par zéro celles des sommes en
question qui renferment des puissances impaires de cosa, de cos [3 ou
de cosy, on trouvera, en ayant égard aux formules (37), (38), (3q)
et(4i),
G = G ( cos2 aj -1- cos2 Pi -+- cos2 Yi ),
L = L( cos1 aj -4- cos^Pi-f- cos*Yi) ■+■ 6R(cos2Pi cos2Yi-+- cos2yi cos2ai-f- cos2ai cos2 pi),
(44) ^ R = R (cos2 pi cos2Y2-t-cos2p2 cos2Yi-r- C0S2Yl COS2a2-r- COS2Y2 cos2ai +■ cos2 ai cos2p2-f- cos2a2 cos2 pi)
-H 4R (cosPi cosp2 cosyi C0SY2-+- cosyi COSY2 cosai cosa2-+- cos ai cosa2 cosPi cosp2)
4- L ( cos2 aj cos2 a2 ■+- cos2 Pi cos2 p2 -+■ cos2 Yi cos2 Y2 )•
Comme on aura d'ailleurs
cos2 ai -h cos2 [3i -+- cos2 y , = 1 , cos2 a2 -+- cos2 |32 4- cos2 y2 = r ,
' cosaj cos a2 4- cos [3, cos (3, 4- cosy, cosy2=o,
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 241
et, par conséquent,
i — oot4ot| — cos4pi — cosvY! = (cos2 ai -h cos2 [3, -+-cos2yi)2 — cos4 ai — cos4 pi — cos4Yi
= 2(cos2 j3i cos2Yi -+- cos2Yi cos2ai -+- cos2ai cos2Pi),
i — (cos2Pi cos2Y2-i- cos2j32 cos2Yi + cos2 Yi cos2a2-+- cos2Y2 cos2 ai -+- cos2ai cos2[32-i- cos2a2 cos2 pi)
= (cos2a, -+- cos2p! -f- cos2Yi) (cos2a2 -+- cos2,?, -+- cos2Y2) — (cos2Pi cos2Y2 ■+■ cos2,32 cos2Yi -k
= ( cos2 *t cos2 a2 4- cos2 $x cos2 p2 -+- COS2 Yi COS2 Y2 )
sa - >. (COSpi COS^COSYl COSY2+ COSYl COSY2 cosaj cosa2 -i-cosai cosa2 COS Pi costJ2 »■
il est clair que la première des équations (44) sera identique, tandis
que la deuxième et la troisième donneront 2L = 6R ou
(45) L=3R.
Gela posé, on tirera des formules (42)
/ra\ in /r> , r \ l ^"^ , ^ , ^îyA n au
(46) \*=iK+Q)\êdi + d* + dàï) + **Tbi
3-(R+G)x^ + ^ + ^J+ ^'
la valeur de u étant déterminée par l'équation
Concevons maintenant que, dans l'état primitif du système des molé-
cules 7n, m', . . ., et, du point (a, b, c) comme centre avec un rayon /
convenablement choisi, on décrive une sphère qui renferme toutes les
molécules dont l'action sur la masse m a une valeur sensible. Divisons
le volume <? de cette sphère en éléments très petits v, v', v", . . . , mais
dont chacun renferme encore un très grand nombre de molécules.
Soient sm la somme des masses des molécules comprises dans la sphère,
et
Enfin supposons que les sommes des masses comprises sous les volumes
OF.uvrc* de C. — S. II, t. VUI. 3l
242 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
élémentaires v, v', v", . . . soient proportionnelles à ces mêmes volumes,
et représentées en conséquence par les produits vA, v'A, v"A,
Alors, si la fonction f(r) est telle que, sans altérer sensiblement les
sommes désignées par G et par R, on puisse faire abstraction de celles
des molécules m, m', m", ... qui sont les plus voisines de la molécule m,
les valeurs de G, R fournies par les équations (37) et (39) différeront
très peu de celles que déterminent les formules
(49)
( R = ^ S t '" cos2 « cos2 13 y ( /• ) v ],
quand on étend le signe §, non plus à tous les points matériels m, m,
m", . . . , mais à tous les éléments v, v', v", ... du volume %?. Or, dans
cette dernière hypothèse, le second membre de chacune des expres-
sions (49) pourra être remplacé par une intégrale triple relative à trois
coordonnées polaires dont l'une serait le rayon vecteur r, tandis que
les deux autres représenteraient les angles formés : i° par le rayon vec-
teur r avec Taxe des x; 20 par le plan qui renferme le même rayon et
l'axe des x avec le plan des x, y. Soient/?, q les deux angles dont il
s'agit.. Chaque intégrale triple devra être prise entre les limites
p—o, p~Ti; q~o, q = %n\ r = o, r~l;
et l'on pourra même, sans erreur sensible, remplacer la seconde limite
de r ou le rayon /par l'infini positif. Cela posé, on trouvera
(5o)
I G=±- lll ** f(,')cos2a sinpdrdq dp,
" "'o «- 0 "0
f R=- III r*/(r) cos2a cos2j3 s'mpdrdqdp;
I J(, J0 J0
et, comme on aura généralement
(5i) cos a = cos/>, cos (3 — sinp cosq, cos-/ — s\np siny,
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 2W
on on conclura
' / cos2a sinpdq dp — 27: / cos2/? sinp dp ■=. — ,
J~27t „7t
/ cos2a cos2(3 sinpdq dp •
0 «^0
I cos2qdq f cos2/?(i — cos2/>) sin/> J/> = 7:1 5 — f )
4ir
i5
Par suite, les formules (49) donneront
2 7rA /'
(52)
G = ±
f r*((r)dr,
«•"0
R=2-^ r^/(r)dr = ±^ r[r>f(r)-r>ar)]dr.
D'ailleurs, si, pour des valeurs croissantes de la "distance /', la fonc-
tion ç(r) décroît plus rapidement que la fraction — > si de plus le pro-
duit r* |'(r) s'évanouit pour r= o, on trouvera, en supposant la fonc-
tion f(r) continue, et en intégrant par parties,
dr
(53) r*r»f(r)<fr=:-4 f"r»f(r)
On aura donc alors
(54) R = -G,
et, par conséquent, on tirera des formules (46)
(5o) jr = 2R3-, î) = 2R-r7, 3 = 2R3-
#a ou oc
Lorsque les quantités, désignées dans les formules (4o) et (48) par
les lettres G, H, I, L, M, N, P, Q, R et A, deviennent constantes, c'est-
à-dire, indépendantes des coordonnées a, b, c, ou, ce qui revient au
même, de la place qu'occupe la molécule m, alors, en faisant, pour plus
2U SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
do commodité,
(56)
(57)
A =
B =
C =
D =
E =
F=r
»+e>g+<i-G)|ï+(a-s>g]A,
(K-H)|+(M + H)^ + (P-H)fJA,
da
dn
db
de
(P+I)£+(P + H)*]a,
(Q + G)| + (o+d|]a,
(R + H)*+(R + G)|]a,
on réduit les équations (4o) aux trois suivantes :
(58)
T *fd\ d¥ dE
A\da db de
' "~ A V da + dé + de
3 V— — —
~ à\ da db de
Dans le cas particulier où les conditions (4i) et (45) sont remplies il
suffit de poser
(59)
(R + G)A=-A-, (R-G)A = K
pour ramener les équations (56) et (57) à la forme
(60)
da
db
de
2 V^c d^/ 2 \da de) i \db da
Si, de plus, la condition (54) est vérifiée, on aura k = 0 et, par suite,
(61) A=tB=iC-Kj, D = E = F = o.
D'UN SYSTEME DE POINTS MATERIELS ETC. 2k'6
Jusqu'à présent nous avons considéré comme variables indépen-
dantes les quatre quantités a, b, c, i. Mais il est facile de reconnaître
comment on devrait modifier les diverses formules auxquelles nous
sommes parvenus, si l'on voulait prendre pour variables indépendantes,
avec le temps t, les coordonnées oc, y, z. Soient effectivement, au bout
du temps t, et dans le cas où l'on regarde a, b, c comme variables indé-
pendantes,
(62) Ç = F(a,*rc),
(63) ^ =•(*,*, c), ^ = X(a,6,c), ^=V(a,d,c).
On tirera des formules (4) et (62), en considérant x, y, z comme va-
riables indépendantes,
,fi/. da _ dl db dr\ de dÇ
dx dx' dx ~~ dx' âx ~ dx
!à\ ^, 1 xda _.. . .db „.. , .de
-A=*{a,b,C)^ + X(a,b,e)-+V(a,b,e)-
( = *(«, b, e) - U(a, b, c) || + \(a, b,e)^L+V (a, b, c) ||J.
Or, si l'on continue de regarder Ç, yj, £ et leurs dérivées comme des
quantités infiniment petites du premier ordre, on conclura de l'équa-
tion (65), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
H=#(«,6,c>.
En raisonnant de la même manière, on établira successivement les trois
formules
(66) ||=#(a,M), ^=X(a,b,c), %=W(a,b,c).
De ces dernières, comparées aux formules (63), il résulte que, si l'on
prend pour variables indépendantes, au lieu de a, b, c, les trois eoor-
24G SUK L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
données.*?, y, z, on devra, aux dérivées partielles
H Ë. û
da db de
substituer les trois suivantes :
El & El
dx' dy dz
D'ailleurs, si, dans les calculs que nous venons de faire, on remplace
la fonction \ = Y (a, b, c) par l'une des fonctions $(a, b, c), X(a, b, c),
W(a, b, c), on prouvera encore que les dérivées
d&(a,b,c) d$(a,b,c) d®(a,b,c) d\(a,b,c)
da db de ' ~da ' ""
sont respectivement égales aux suivantes :
d<b(a,b,c) d<b(a,b,c) d<t>(a,b,c) dX(a,b,c)
dx dy ' dz ' dx ' '">
et l'on en conclura que les expressions
cP| 0*1 d*j cH
da? dadb dade db%*
peuvent être remplacées par
d-l d*t d*ï &l
dx% dx dy dx dz dy% '
Enfin les remarques précédentes ne sont pas seulement applicables à
la fonction i-, mais encore aux fonctions y), Ç, et à toutes les quantités
que l'on peut considérer comme infiniment petites, par exemple, à la
quantité u. Donc, en définitive, si l'on veut prendre pour variables indé-
pendantes, avec le temps t, les coordonnées x, y, s, il suffira d'écrire
partout, dans les formules (3o), (3i), (4o), (47), (56), (37) et dans
celles qui s'en déduisent, x au lieu de a, y au lieu de b, z au lieu de c.
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 247
Quant aux valeurs de X, y, £, elles continueront d'être représentées
f «ht les formules (28) de la page 2o3] par les trois expressions
Ot1 ' dfl ' ôt2 '
et par conséquent on n'aura point à modifier les seconds membres des
formules (34). Cela posé, admettons que, dans les formules (26), (3o)
et(3i), les sommes qui renferment des puissances impaires de cosa,
de cosj3, ou de cosy s'évanouissent; on tirera des équations (32) et
(4o), si le système des molécules m, m', ... est en équilibre,
(L ■+- G) ^ + (R + H) %\ + (Q + I) ~ + 2R 4A- s- 2Q -f-f- + X = o,
| dx* ' dy- v ' dz* dx dy dzdx
1 »-» d/2 ds2 dy dz dx Oy
Si, au contraire, le système est en mouvement, on tirera des for-
mules (34) et (4o)
«
Si de plus les valeurs de G, H, I, L, M, N, P, Q, R deviennent indé-
pendantes en chaque point des directions assignées aux axes des x, y
ef z, les conditions (4i)et(45) seront vérifiées, et, en supposant la
quantité u déterminée par l'équation (47), ou, ce qui revient au même,
par la suivante
(69)
de, du d*
•248 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
on réduira les formules (67) et (68) à
(70) |o+«)(S+5î+S)+-»$-ht^
et à
/d'rj d»n d2Y)\ „ da w rf*tl
Enfin, si la condition (54) est elle-même remplie, on aura, dans le cas
d'équilibre du système des molécules m, m', ... ,
(7a) X+2R^, = o, Y + ^| = o, Z + 2R^ = o
et, dans le cas du mouvement,
On doit observer que la quantité u, déterminée par la formule (69),
représente la dilatation qu'éprouve un volume très petit, mais choisi
de manière à renfermer avec la molécule m un grand nombre de molé-
cules voisines, tandis que ces molécules changent de position dans
l'espace. Ajoutons que les formules (72) et (73), étant semblables aux
formules (63), (72) et (77) des pages 173, 175 et 176, paraissent con-
venir à un système de molécules qui seraient disposées de manière à
constituer un fluide élastique.
Concevons maintenant que les quantités désignées par les lettres G,
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 249
H, 1, L, M, N, P, Q, R et A deviennent constantes, c'est-à-dire indépen-
dantes des coordonnées a, b, c ou x, y, s; alors, en supposant les va-
leurs de A, B, C, D, E, F déterminées par les équations (5G) et (37),
ou, ce qui revient au même, par les formules
(74)
(75)
A
I B
C
(L+G)g+(R-G)g+(Q-G)!§_h
(R_H)§ + (M + H)^ + (P-H)|]A,
(Q-I)â+(p-Dë + (N+I)§]A;
d-r
àr
(P+I)^+(P+H)|]a,
(* + *>$ +<H + «£]*.
on réduira les équations (67) aux trois suivantes :
(76)
dX dF ÔE v .
ox a y Oz
àF âB à\) VA
ox a y oz
dis. ô\) dC
3 h -y- •+- -s hZA = o.
\ ox oy oz
Ces dernières et celles qu'on en tire, quand on y remplace X, Y, Z
par
X — 36, Y--T, Z — %,
sont semblables aux formules (2) et (25) des pages 196 et 202. Ainsi,
en vertu des suppositions admises, les équations d'équilibre ou de
mouvement du système des molécules m, m', m", . . . coïncident avec
celles qu'on obtiendrait en considérant une masse homogène et con-
tinue, dans laquelle les pressions ou tensions, exercées au point
OF.iwres de C. — S. II, t. VIII. 32
250 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
(x,y, s), du côté des coordonnées positives, contre trois plans per-
pendiculaires aux axes des x, des y et des *, offriraient des projections
algébriques sur ces axes respectivement égales aux quantités
j A, F, E,
(77) < F, B, D,
! E, D, C
que déterminent les équations (74) et (75). Si, de plus, les conditions
(40 et (45) sont vérifiées, alors, en posant comme ci-dessus
( R + G) A = 1 A, (R - G) A = K,
on réduira les formules (74), (73) à
|A=*§+Kv' »=*$+*; c=*i+KV,
D=I*(£+*\ E=I*f*+SV F=I*^+'*!Y
et, en même temps, on fera coïncider les équations (70), (71) avec les
suivantes
A /<?2n d2Y] d»tj\ *+aKdu
('9) Llb + n + iïï + -TA- 37. +-Y=o,
2 A \<^2 <?/2 à**) 2 A dj
2A V<te« a/2 + dz*J H ÏÂ~~ ïfc + L ~ °;
' * (&1 , ^2| a2^\ A + 2K dj v_dn
~+~ ■ 1 — -5 — -f- X —
2A\(
dz2 dy2 dz1) 2 A *p 5?s
■ 2A v^2 <ty2 d!»V 2A 3r ^2
A /^*Ç , d2Z diÇ\ A+2K du r,d2Ç
\ 2 A \dx2 tfv2 ds» ) 2 A <fc ^ ** "~ dt*'
c'est-à-dire avec les formules (76), (77) de l'article précédent.
Il importe d'observer que les formules (67), (79) et (80) coïncide-
D'UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS ETC. 251
raient encore avec les formules (76), si l'on attribuait aux quantités
désignées par
A, B, C, D, E, F,
non plus les valeurs que déterminent les équations (74), (75) et (78)'
mais ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbitraires.
Pour réduire les équations (79) et (80) à celles qui ont été données
par M. Navier comme propres à déterminer les lois d'équilibre et de
mouvement des corps élastiques, il faut supposer, ainsi qu'on l'a déjà
remarqué,
(81) k=2K.
Or, pour que les valeurs de k et de K, tirées des formules (5g), véri-
fient la condition (81), il suffit d'admettre que la quantité désignée par
G peut être négligée vis-à-vis de la quantité désignée par R, ou, en
d'autres termes, que le rapport
G
(82) r
a une valeur sensiblement nulle.
On voit au reste que, si l'on considère un corps élastique comme
un système de points matériels qui agissent les uns sur les autres à de
très petites distances, les lois de l'équilibre ou du mouvement inté-
rieur de ce corps seront exprimées dans beaucoup de cas par des équa-
tions différentes de celles qu'à données M. Navier. Les formules (67)
et (68) paraissent spécialement applicables au cas où, l'élasticité
n'étant pas la même dans les diverses directions, le corps offre trois
axes d'élasticité rectangulaires entre eux, et parallèles aux axes des x,
des y et des z. Les formules (70) et (71), au contraire, semblent
devoir s'appliquer au cas où le corps est également élastique dans tous
les sens; et alors on retrouvera les formules de M. Navier, si l'on attri-
bue à la quantité G une valeur nulle. Ajoutons que, si, dans les for-
mules (67) et (G8), on'réduità zéro, non seulement la quantité G, mais
encore les quantités de même espèce H et I, ces formules deviendront
252 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT ETC.
respectivement
et
[oB-^-0-^-^—o
ôz dx
Pi
dx ôy
<)2f)
dydz
d*K
DE LA PRESSION OU TENSION
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS.
Dans l'article précédent, après avoir établi les équations générales
d'équilibre ou de mouvement d'un système de molécules m, m, m\
m", . . . qui agissent les unes sur les autres à de très petites distances,
nous avons recberché ce que deviennent ces mêmes équations quand
leurs coefficients vérifient les conditions qui seraient remplies, si tout
plan, passant par une molécule et parallèle à l'un des plans coordon-
nés, divisait le système en deux parties symétriques. Nous sommes
ainsi parvenus aux formules (67) de la page 247, et nous avons observé
que ces formules coïncident avec celles qu'on obtiendrait en considé-
rant une masse homogène et continue, dans laquelle les tensions ou
pressions exercées au point (œ, y, s), du côté des coordonnées posi-
tives, contre trois plans parallèles aux plans des y, s, des s, x et des
a?, y, offriraient des projections algébriques respectivement égales aux
valeurs de A, F, E; F, B,D; E, D, G déterminées par les équations (74)
et (75), ou à ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbitraires.
Nous allons maintenant faire voir comment on peut calculer directe-
ment les tensions ou pressions exercées dans le système des molécules
m, m, m', . . . contre un plan perpendiculaire à l'un des axes coordon-
nés, quand on suppose que ce plan devient rigide, et qu'on lie par des
droites invariables les points qu'il renferme avec ceux des points maté-
riels m, m', . . . qui sont situés d'un même côté de ce plan.
Soient toujours, à une certaine époque,
x = a, y = b, % = c les coordonnées de la molécule m;
a -h Aa, b ■+> Ab, c -4- Ac les coordonnées d'une autre molécule m;
254 DE LA PRESSION OU TENSION
r la distance des molécules m et m;
a, (3, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des
coordonnées positives, et liés aux quantités Aa, Ab, Ac par les for-
mules
(0 A« = /-cosa, Ab = rcosfi, Ac = rcosy;
mmf(r) l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et m,
proportionnelle d'une part à ces masses, d'autre part à une fonction
de la distance r.
Soient, de plus,
0, 0', 0* trois points quelconques du plan mené par la molécule m
perpendiculairement à l'axe des x;
m, m', m", ... les molécules situées par rapport au plan 00'0"du côté
des coordonnées positives;
m,, m.,, ... les molécules situées par rapport à ce même plan du côté
des coordonnées négatives;
/ une longueur très petite, mais supérieure au rayon de la sphère d'ac-
tivité sensible d'une molécule;
s un élément de la surface du plan 000", dont les dimensions soient
très petites, mais supérieures, ainsi que la longueur /, au rayon de
la sphère d'activité sensible d'une molécule;
■ç le volume d'un cylindre droit qui ait pour base la surface élémen-
taire s, et pour hauteur la longueur / mesurée à partir du plan 0 0' 0"
du côté des coordonnées négatives;
31L la somme des masses des molécules mn m2, ... comprises dans ce
même cylindre, et
le rapport qui exprime ce qu'on peut nommer la densité du cylindre.
Soient encore
i une portion de la hauteur du cylindre, mesurée, comme cette hauteur,
à partir du plan OO'O";
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 255
n lo nombre des molécules comprises dans la partie du cylindre qui
aurait s pour base, et i pour hauteur.
Enfin, désignons par
( A, F, E,
(3) F, B, D,
l E, D, C
les projections algébriques des tensions ou pressions qu'il s'agit de
calculer; en sorte que A, F, E représentent, aux signes près, les com-
posantes rectangulaires de la pression ou tension/?' exercée au point
(«, b, c) et du côté des x positives contre le plan OO'O", dans le cas
où l'on suppose les différents points de ce plan liés par des droites in-
variables avec les points matériels mn m.2, Le produit
p's
de la pression ou tension/?' par la surface élémentaire s ne sera autre
chose que la résultante des actions exercées par les molécules m, m\
m", ... sur les molécules comprises dans le plan OO'O", et sur celles
des molécules m,, mit . . . qui seront situées tout près de la surface s.
Par conséquent, les produits
(4) A*, Fs, Es
représenteront à très peu près les projections algébriques de la résul-
tante des actions exercées par les molécules m, m' ', m", . . . sur les molé-
cules comprises dans le volume y. Quant aux projections algébriques
de la résultante des actions exercées sur la molécule m par les molé-
cules m, m', m", . . . , elles seront équivalentes aux sommes
(5) §[±mmcosaf(/-)], § [± m/« cos|3 j'(r)], § [± m m cosy |'(/')],
ou, ce qui revient au même, aux produits
(6) in^[±mcosa|'(/-)], m £j [± m cos(3 ('(/■)], mi jj[dr mcosy f(r)],
pourvu que l'on se contente d'étendre le signe § aux molécules ///, m',
256 DE LA PRESSION OU TENSION
m", ... situées par rapport au plan 00' (Velu côté des a? positives, et
que l'on réduise le double signe ± au signe -h, si les molécules m, m
s'attirent, au signe — dans le cas contraire. Supposons maintenant que
les diverses molécules offrent des masses égales et se trouvent distri-
buées à très peu près de la même manière, soit autour de la molécule
m, soit autour de chacune des molécules m,, m.,, Si chacune des
sommes (5) renferme un certain nombre de termes correspondants à
des molécules m, m' ', ... pour lesquelles la condition
(7) /'COSa = i
soit vérifiée, les expressions (4) renfermeront les termes dont il s'agit,
répétés chacun autant de fois qu'il y aura dans le volume <? de molé-
cules m,, m2, . . . séparées du plan 00'0"par une distance égale ou in-
férieure à 1. Donc, pour déduire les expressions (4) des expressions (5),
il suffira de multiplier, dans chacune de ces dernières, la quantité
comprise sous le signe $ par le nombre n des molécules comprises
dans la portion du cylindre dont i est la hauteur. On trouvera ainsi
I Às= \ [± «mm cosot f(r)],
(8) | F* = jJ[±imiwcosPf(r)],
F Es = Q [± nm m cosy f(r)],
ou, ce qui revient au même,
[ As = m Q [dfc Fim cosa f(r)],
(9) J F* = m § [± Fini cos|3 f(r)],
I Ei = m\[±/imcosy f(r)].
D'ailleurs, en vertu des notations et des suppositions admises, le
nombre total des molécules comprises dans le cylindre dont la hauteur
est / sera représenté par le rapport
. . OÏL <Q . si .
(10) _ — _A=-A;
m m m
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 257
et, par suite, on aura, sans erreur sensible,
on i si .
(u) n— — 7 = -A;
x ' ml m
puis on en conclura, en ayant égard à la formule (7),
sr cosa .
(12) n = — - — A.
m
Donc les formules (8) ou (9) donneront
[ A = A§[d= mr cos» a f(r)],
(i3) ( F = A§[±:m/-cosacos(3 f(r)],
f E = A Q [± mr cosacosy f(r)].
Les sommes que renferment ces dernières équations doivent être éten-
dues seulement aux molécules m, m', m", . . . situées par rapport au
plan OO'O" du côté des x positives.
Concevons à présent que l'on désigne par p{ la pression ou tension
exercée au point (a, b, c), et du côté des coordonnées négatives, contre
le plan OO'O", dans le cas où l'on suppose les différents points de ce
plan liés par des droites invariables avec les points matériels m,,
m2, .... Le produit
de la pression ou tension pK par la surface élémentaire s ne sera autre
chose que la résultante des actions exercées par les molécules mit
m2, ... sur les molécules comprises dans le plan OO'O'et sur celles
des molécules m, m', m", . . . qui seront situées tout près de la sur-
face s. D'ailleurs les actions exercées par les molécules m{, m2, . . . sur
les molécules m, m\ m", . . . sont égales et directement opposées aux
réactions exercées par les dernières sur les premières; et il est clair
qu'on n'altère pas sensiblement la résultante de ces actions ou de ces
OF.uvres de C. — S. II, t. VIII. 33
258 DE LA PRESSION OU TENSION
réactions, lorsque, aux molécules m, m', m", ... ou mt, m.,, mx, . . ., on
joint celles qui se trouvent précisément situées dans le plan OO'O".
Cela posé, les pressions ou tensions//.?, pts supportées, dans les deux
hypothèses successivement admises, par la surface élémentaires, pour-
ront être considérées comme deux forces égales, mais directement op-
posées, et l'on devra en dire autant des pressions/?', pit exercées au
point (a,b,c) contre les deux faces du plan OO'O". Donc la pression
ou tension/?, aura pour projections algébriques sur les axes, non plus
les trois quantités A, F, E, mais les trois suivantes
-A, -F, -E.
Si maintenant on applique à la détermination de ces projections algé-
briques les raisonnements par lesquels nous avons établi les équa-
tions (i3), on sera conduit à reconnaître que ces équations subsistent
encore dans le cas où l'on étend le signe §, non plus aux molécules m,
m', m", . . . situées par rapport au plan OO'O" du côté des x positives,
mais aux molécules m4, m.2, ... situées par rapport à ce plan du côté
des x négatives. Donc, par suite, les sommes comprises dans les équa-
tions (i3) sont équivalentes aux moitiés de celles qu'on obtiendrait, si
l'on supposait le signe § étendu à toutes les molécules m, m', m", . . . ,
m,, m.,, wi„ ... situées par rapport au plan OO'O", soit du côté des x
positives, soit du côté des x négatives, c'est-à-dire, à très peu près,
aux moitiés de celles que l'on obtiendrait en étendant le signe § à
toutes les molécules du système proposé. On aura donc, en interpré-
tant le signe § comme on vient de le dire,
j\[ — mrcosacosf3 f(r)],
A n\
E = — S[— mr cosa cosy \'(r)].
En appliquant des raisonnements du même genre à la recherche des
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 259
projections algébriques F, B, D ou E, D, G de la pression ou tension
exercée au point (a, b, c) et du côté des coordonnées positives contre
un plan perpendiculaire à l'axe des y ou à l'axe des z, on trouvera dé-
finitivement
A=: -j$[±mrcos*«f(r)], I) = - §[± mrcos(3cosy f(/)],
(i4) i B = -§[=fcj»rcos*Pf(r)], E = ^§[±mrcosy cosaf(/-)],
C = -§[±mrcos*y f(r)], F = -£J[± m/-cosacos(3f(/-)],
le signe § devant être étendu à toutes les molécules du système pro-
posé.
Supposons maintenant que l'état du système de points matériels soit
changé, et que les molécules m, m, m', ..., m,, m2. ... se déplacent
dans l'espace, mais de manière que la distance de deux molécules m et
m varie dans un rapport peu différent de l'unité. Soient d'ailleurs,
comme dans l'article précédent,
des fonctions de a, b, c qui représentent les déplacements très petits
et parallèles aux axes d'une molécule quelconque m,
x, y, z, x -+- bx, y -+- ^y, z -}- kz
les coordonnées des molécules m, m dans le nouvel état du système, et
r(i-+-t)
la distance des mêmes molécules dans ce nouvel état. Enfin désignons
par u la dilatation qu'éprouve, pendant le changement d'état du sys-
tème, un volume très petit v, mais qui pourtant renferme avec la mo-
lécule m un grand nombre de molécules voisinesm,m', ..., m,, m,, ...;
260 DE LA PRESSION OU TENSION
et soit p la nouvelle densité du volume élémentaire v. Les quantités x,
y, z, Ax, Aj, As, £ seront déterminées par les formules (4), (5), (7)
de l'article précédent, et la quantité u par l'équation (69) ou plutôt
par l'équation (47) du même article, en sorte qu'on aura
(i5) „=£+*! + *
K ' da db de
On trouvera d'ailleurs
A
(16)
1 -+- u:
puis, en considérant u comme un infiniment petit du premier ordre,
on tirera de la formule (16)
(17.) P = (i-u)A.
Cela posé, les valeurs de A, B, G, D, E, F, relatives au nouvel état du
système, seront données à très peu près, non plus par les équations (i4)>
mais par celles qu'on en déduit quand on substitue la densité p à la
densité A, le produit r(i 4- 1) au rayon vecteur, et les rapports
A.# Aj A z
r(i-he) r(n-e) /-(i-t-s)
aux cosinus des angles a, (3, y. On trouvera ainsi
(.8) B = îÇj±mfc(-^vj, S = tQ\±mG0i±M*,à*\,
V M 2k3( r(H-8) J Y 2kJ< r(i + e) )
puis, en considérantes déplacements S, r\, l comme infiniment petits
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 261
du premier ordre, négligeant les infiniment petits du second ordre, et
faisant pour abréger
(19)
[r'f(r.)-f(r)]=/(r);
on conclura des formules (18) combinées avec les équations (5), (12)
et (i3) de l'article précédent
r)-\
f(r)
C =
' Ol a L ï('") /-cosyj
D-0gi + ^ri+rr(r)~r(r)e + -^ + -^-l cosmos-/ f(#=)L
PÙ| 2 L f(0 /-cos[3 rcosyj "v 'j
(2ofE = oCS±^ri+^^£+^- + -^lcosycosaf(,)S,
v M ' O) 2 L l('') rçosy /cosaj )
I F =Pgj±^r,+rf(:)-wv+^-4-^Bl co»»co»pr(')i.
\ pk3( 2 L f(r) /-cosa /-cos(3 | ri )
ou, ce qui revient au même,
A =4-pÇl ± — (cos2a + 2 cosa y j f(r)
+ p§[^(co8«^+cos^4-co8y^)cos««/(r)]J
B =+ p C T±: yfcos2[3 + 2 cos£ ~\ f(/')l
+ p§[^r-(cos«^+cos^+cosy^)cos«i3 /(r)],
C=4-p§[±^(co8«y-haco8y^f(r)]
+ pQ ~(eosa — -i-cos(3-~ -h cosyy j cos2y /(r) .
(22)
262
et
DE LA PRESSION OU TENSION
D= + p\ ± ——( cos(3cosy -{-cosy — + cos[3 — j f(r
i:
(23)
n TmA-/ Ac 0 Arj AÇ\ e 1
OL^"VC0Sa^r +C0SÎ3V +cos7 — jcos(3cosy /(/•),
Sr. mrt A£ A£ .
± — I cosy cosa 4- cosa h cosy — 1 ('(/■)
S\mr( A£ An
— (^cosa — +cos(3 —
At\ "1
4- cosy — I cosy cosa/(/-) ,
F = + p\ ± — (cosacos(3 4- cos|3 — 4- cosa-^ ] f(r)
r\ Vmrf A£ An
Ar\ "î
cosy — 1 cosacosj3/(/-)
D'ailleurs les attractions ou répulsions mutuelles des molécules m, m,
m', . .., mn m2, . . . n'étant sensibles par hypothèse qu'à de très petites
distances, on pourra, sans inconvénient, dans les formules (22) et (23),
substituer aux quantités AH, Aï], AÇ les premiers termes de leurs déve-
loppements en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes
de r, c'est-à-dire, des développements que fournissent les équations (1 8)
de la page 232, et supposer en conséquence
— = 3- cosa -+- -ry cosp 4- -v1 cosy,
/• da db r de '
(»4)
An df\ an a dn
■ — = -r- cosa 4- — cosp 4- — cosy,
/■ da db r de '
— = -7- cosa 4- -vr cosp H cosy.
r Oa db r Oc '
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 263
Donc les formules (22) et (23) donneront
(25)
A = pS[±Tcos2al'(,')]
SS[t-«H+3S[t--^w^]*2s[t^«--tH
pj^S[Tcos3acos?H^S^^^^
(26)
|^±— C08«Pf(r)|
+v|Ss[*T~'«rH+^[*T^H*2S[±T-'''-THi
[ IS[Tcos'"05'?/,r,] + IS[Tcos"os,?/<r,]+*S[Toos,cos'?cos''/(r)j
\àZ n T , »»w , 1 <>£ fi [ , mr a .. 1 dïc\[, mr 1
SL=Tcosacos^(rjJ^^SL=Tco^cos'|(r,j + ^SL::Tcos^(,')J
da
(*7)
aSt?008*" cos2"^(r)] ~~ ^;S[vcosacos?cos2Y^(r)] "*" ^SL^C0SaC0SÏT^<')l
da
<K n Y tnr
da O a
26i
DE LA PRESSION OU TENSION
+ P
(•28)
? S ~ cos2acos£cosï/(r) "+" § Si ~ «os»*»1? 008^/(1*) 1+5 S ■ ^cosacospcos2Y/(/-)
da
Sf^cosacoflfWï/Cr)]^^
(29)'
E = p\ "7 cosy cosa j'(/")
( S S [=*= T cos2a f(r)] + IS [~ T608'"*^] + IS [" T cosacoSY M
( + I S [=*= T cosa C0ST f(r)] + I S [- T cos ? cos "' H + I S [=*= f cos^ M
? fi I — cos3a cosy /(/•) + -' V '"-cos2a cos? cosy /(r) + ^ JS ~ cos2a cos2 Y /O)
-+-£< + v^fi '" cos2acospcosY/(>) 4™ V ^ cosa cos2? cosy /(/•) 4-^ V p^cosacos? cos2y/(^)
1 ' da
S S 1* cos2xc°s2t/^') ■*• 4S ^•cosacos?cos2T/^)j~h ^SI'?C0S2C0s3Y^r)l
-^p<:
(3o)
F = p\ d= 7- cos a cos? ('(/•)
► S S [* t »*■ H - S S [* t— » » H -S S [* T ro" -» H
j-^gr!ÏCco8>acos?eosï/Ml-i-^-§r^'cos.cos«?co8-f/(r)]4 -^gp-^cosicos^cos'Y/Cr)]
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 263
Dans ces dernières formules, les coordonnées a, b, c sont regardées
comme variables indépendantes, et la valeur de p est toujours celle
que fournit l'équation (17). Les valeurs des quantités A, B, C, l), E, F
étant une fois déterminées par les formules que nous venons d'établir,
on en déduira sans peine les projections algébriques de la pression ou
tension/) supportée au point (oc, y, s) par un plan quelconque, à l'aide
des équations (3) de la page 197.
Il reste maintenant à montrer les simplifications qu'admettent dans
plusieurs cas les formules (i3), (i4). (25), (26) et suivantes.
Lorsque la fonction f(r) est telle que, sans altérer sensiblement les
sommes renfermées dans les formules (i3) et (i4), on puisse faire ab-
straction de celles des molécules m, m', . . . , miS m,, ... qui sont les
plus voisines de la molécule m; alors, en ayant recours aux raisonne-
•ments et aux notations dont nous nous sommes servis dans l'article
précédent (p. 2.41, 242 et 243), et posant de plus
(3,) 9=^ f"r»f(r)rfr,
on conclura des équations (i3)
A = ±A2 C r f r*costpsinpf(r)drdqdp = ±^j^f r*((r)dr=±\6&,
f / r3 cos/> sin2/>cos<7 Ç(r)drdq dp = o,
E = ± A2 / / / /'3 cosp sin2/? sin q f ( r) dr dq dp = o.
«'O "0 "O
En calculant de la même manière les projections algébriques F, B, I)
ou E, D, C de la pression ou tension exercée au point (a,b,r) dans
l'état primitif du système contre un plan perpendiculaire à l'axe des y
ou à l'axe des z, on trouvera définitivement
(3a) A = B = C=±gt, D = E=:F = o,
la valeur de cj étant déterminée par l'équation
(33) CT = i9A2.
OF.uvres de C. — S. II, t. VIII. 34
266 DE LA PRESSION OU TENSION
On arriverait encore aux mêmes résultats en partant des formules (i4).
Seulement les intégrations relatives à la variable q devraient alors être
effectuées entre les limites q = o,q = 1-. Au reste, il suit évidemment
des équations (32) et (34) : i° que, dans l'état primitif du système, il
y a pour chaque point, en vertu de l'hypothèse admise, égalité de ten-
sion ou de pression en tous sens; 2° que, dans cet état, la pression ou
tension désignée par m varie, quand on passe d'un point à un autre,
comme le carré de la densité. Si maintenant on substitue à l'état pri-
mitif du système proposé le nouvel état dans lequel la molécule m a
pour coordonnées x, y, zt on devra, dans l'équation (33), remplacer
la densité primitive A par la nouvelle densité p, et l'on aura en consé-
quence
(34) rz = ±9pK
Enfin si, dans l'équation (34), on remet, au lieu de p, sa valeur donnée'
par l'équation (17), on trouvera, en négligeant les quantités infiniment
petites du second ordre,
(35) 5T=:i</(l-2<j)A2.
On voit par les détails dans lesquels nous venons d'entrer que, pour
obtenir l'égalité de pression en tous sens, dans un système de molé-
cules qui se repoussent, on n'a pas besoin d'admettre, comme l'a fait
M. Poisson, une distribution particulière des molécules autour de
l'une quelconque d'entre elles (voir dans les Annales de Physique et
de Chimie un extrait du Mémoire présenté par M. Poisson à l'Académie
des Sciences, le 1e1' octobre 1827). D'ailleurs, pour faire coïncider la
formule (33) avec celle que M. Laplace a donnée comme propre à
déterminer la pression en un point quelconque, dans un fluide élas-
tique en équilibre, il suffît d'imaginer que A représente, non la den-
sité de la masse fluide, mais celle du calorique libre de cette masse
(voirie Livre XIIe de la Mécanique céleste)-, et il était facile de prévoir
cette coïncidence, puisque l'hypothèse adoptée par M. Laplace consiste
à regarder le ressort des gaz comme produit par la force répulsive de
leur calorique libre.
A = p
(36)
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 267
Considérons à présent les valeurs de A, B, C, D, E, F que déter-
minent les formules (a5), (26), (27), (28), (29), (3o), et qui sont
relatives, non à l'état primitif du système des molécules m, m, m', . . . ,
mt, m.,, . . . , mais au nouvel état dans lequel la molécule m a pour coor-
données x, y, z. Si l'on suppose que l'état primitif soit un état d'équi-
libre, les seconds membres des formules (14) se réduiront à zéro, et,
par suite, les formules (25), (26), (27), (28), (29), (3o) donneront
simplement
I lS[^cos4a/H~^S[Tcos3aco^^^
/ dr, O r mr . „ r, âr, ri ïmr . ,, -, .1 àr, n [nir . a
^S[T-cos3acos^H"^S|vC0^^^
§[^cos3acosT/(,)]+^[^cos^cos?cosT/(r)j^^['
Oa
cos2 a cos2 y
B =
C=r,
D=p
(37)
dte O I T C°S C°S ^ C0ST^r)J + ^ O I "â" °0Sa ^ C0Sï/(r)J •+■ ^. ^ I — cos a cosp cos«y/(^
'À S ["? cosa cos2 P C0SY ^J + ^ S [t cos3 P cost ^(/,)J ■*" S S [t ,;os2 P cos2y -f{r>\
gp_^COsacos!3cos2T/(/-)] + § § [~ cos2? cos2 y /(>)] + § £} [vC0S^ cos3^/^>]
dû
E
F
Il importe d'observer que, dans les équations (36), (37), on pourra,
sans erreur sensible, et en négligeant seulement des quantités infini-
ment petites du second ordre, remplacer la densité p par la densilé
primitive A.
Supposons maintenant que les sommes comprises dans les for-
mules (25), (26), (27), (28), (29), {3o) vérifient les conditions qui
seraient remplies, si tout plan passant par une molécule et parallèle à
l'un des plans coordonnés divisait le système en deux parties symé-
triques; c'est-à-dire que, parmi les sommes dont il s'agit, toutes celles
qui renferment des puissances impaires de cosa, de cos(3 ou de cosy
268 DE LA PRESSION OU TENSION
s'évanouissent. Alors, en attribuant aux quantités G, H, I, L, M, N, P,
Q, R les valeurs que déterminent les formules (37), (38), (39) de la
page 238, on trouvera
.(38)
A
^P
\ oa J oa 00
*«a
li
— p
-"ii
C:
= 9
>HSHS+»S
-•il
1)
= 0
1
y+DÊ+cp-MD'j].
E
= p
■(Q+(J)|+(Q+,)|],
F:
= P
■(H + II)$ + (» + 6)g].
(3g)
Dans le même cas, en admettant que l'état primitif du système soit un
état d'équilibre, on tirera des formules (36) et (37), dans lesquelles
on peut remplacer p par A,
(4o)
A=fL
R^R
da
R
~db
da db
p£>
(40
°i+p$ -•-*«»'
ET
d6 ' da
&)a.
Supposons encore que les valeurs des quantités G, H, I, L, M, N, P,
0, R vérifient les conditions (40 de l'article précédent, savoir,
(42)
H = I, L = M = N, P = Q = R;
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 269
ce qui arrivera, par exemple, si, dans l'état primitif, les molécules m,
m\ m", ..., mAtmit ... ont été distribuées de la même manière par
rapport à trois plans menés par le point (a, b, c) perpendiculairement
aux axes des x,y et z. Alors on tirera des équations (4o) et (4i) com-
binées avec la formule (i5)
(43) |b=[(L-R)^ + RU]a,
[C = [(L-R)|-1-RU]4i
Enfin, si l'on suppose les molécules m, m, ..., m,, m,, . . . primitive-
ment distribuées autour de la molécule m de manière que les valeurs
des sommes comprises dans les équations (37), (38), (3g) de la
page 238 deviennent indépendantes des directions assignées aux axes
rectangulaires des x, y et *, on aura, en vertu de la formule (45) de
l'article précédent,
(45) L = 3R.
Par suite, les formules (43) -se réduiront à
(A=R('J+3I)A-
(46) ]b = r(-, + 2^)a,
Lorsque, dans les équations (46) et (44). on pose, pour abréger,
(47) RA = K,
270 DE LA PRESSION OU TENSION
et que l'on y remet pour u sa valeur tirée de la formule (i5), ces équa-
tions deviennent respectivement
\ Oa 00 Oc) \0c Où
(48) (B = l(S+8è + Ç), B = k/5'+5
\c/a cM de/ \da Oc
<ta d& de/ W6 da
Pour faire apprécier l'utilité des formules que l'on vient d'établir,
considérons un corps solide et- homogène dont l'état primitif ait été
précisément son état naturel, et dont le nouvel état corresponde à des
déplacements très petits des diverses molécules. Si l'on fait abstraction
de la force répulsive du calorique pour lui-même, si d'ailleurs on sup-
pose que tout plan parallèle à l'un des plans coordonnés divise une
portion très petite du corps, envisagée comme un système de points
matériels, en deux parties symétriques, les projections algébriques
des pressions ou tensions, exercées au point (x,y,z) contre trois
plans perpendiculaires aux axes des x, y et s, seront déterminées,
dans le nouvel état du corps, par les équations (38) et (39). De plus,
comme les pressions exercées contre la surface se réduiront à zéro
dans l'état naturel, les seconds membres des équations (i4) auront
des valeurs nulles. Par conséquent, les quantités G, H, I s'évanouiront
et les formules (38), (3q) coïncideront avec les formules (4o), (41).
Ces dernières paraissent effectivement propres à déterminer la pres-
sion ou tension qui a lieu en chaque point d'un corps solide, lorsque
l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens, et que le corps offre
trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux.
Quand l'élasticité redevient la même dans tous les sens, les condi-
tions (42) et (45) étant remplies, les valeurs de A, B, C, D, E, F, don-
nées par les formules (4o) et (4i), se réduisent à celles que four-
nissent les équations (48). Si l'on substitue ces mêmes valeurs dans
les formules (3) de la page 197, on retrouvera précisément les équa-
tions données par M. Navier, dans le Mémoire présenté à l'Académie
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 271
dos Sciences le i4 niai 1821, et déduites par M. Poisson, dans le Mé-
moire déjà cité, d'une analyse qui doit s'accorder sur quelques points
avec celle que nous venons d'exposer, et en différer sur quelques
autres. C'est du moins ce que nous pouvons présumer, à la lecture de
l'extrait que M. Poisson a donné de son Mémoire dans les Annales de
Physique et de Chimie.
Revenons maintenant aux formules (38) et (39). En supposant la
densité A constante, et négligeant les infiniment petits du second
ordre, on tirera de ces formules combinées avec l'équation (i5)
(49:
À = f(L+G)^
R= T(R-H
ôa
(R-G)
(M + H)
ùb
df]
âb
(p_H)|+h]a,
(5o)
C=:
(Q-i)
D =
(P + i)
E =
(Q + G)
F =
(R+H)
*+(p_I)*'.HN+I)* + ,
âa âb de
&n
de
aç
âa
h
(P+H)§]i,
Lorsque les conditions (42) et (45) sont remplies, en faisant, comme
dans l'article précédent,
(5i) (R + G)â = J*, (R-G)A = K,
et ayant égard à la formule (i5), on trouve simplement
(52)
k = k
B = k
C = *
âa
âr\
âb
<K
de
Kj
Kv
Ku
k
-9,K
4
k
-2K
4
+
k
-2R
{Tc
<K
âb
âa de
~ik\Tb
Les valeurs de A, B, C, D, E, F fournies par les équations (49) et (5o )
272 DE LA PRESSION OU TENSION
ou par les équations (52) coïncident les unes avec les valeurs de A, B,
C déterminées par les équations (56) ou (Go) de l'article précédent, et
augmentées des quantités GA, HA, IA ou de la quantité — 7 — » les
autres avec les valeurs de D, E, F déterminées par les formules (37)
ou (60) du même article.
Lorsque la fonction \'(r) est telle que, sans altérer sensiblement les
sommes désignées par R et G dans les formules (5i), on puisse faire
abstraction de celles des molécules m, m\ ..., mt9 m2, ... qui sont les
plus voisines de la molécule m, on a (voiries pages 242 et 243)
(53) G = -R=±2-^ f r*f(r)dr.
Donc alors on tire des formules (5i) combinées avec la formule (3i)
(54) k = o, K=2RA = +9A2;
et, par suite, les équations (02) se réduisent, comme on devait s'y
attendre, aux formules (32), la valeur de en étant déterminée par
l'équation (35).
Dans le cas où les quantités G, H, 1, L, M, N, P, Q, R et A sont con-
stantes, c'est-à-dire indépendantes des coordonnées a, b, c, les valeurs
de A, B, C, D, E, F, fournies par les équations (49) et (5o), peuvent
être évidemment substituées, dans les formules (58) de l'article pré-
cédent, aux valeurs de A, B, C, D, E, F déterminées par les équa-
tions (56) et (57) du même article. H y a plus; si l'on substitue la
valeur de p déduite des formules (1 5) et (17) dans les seconds membres
des équations (25), (26), (27), (28), (29), (3o), ou, ce qui revient
au même, dans les premiers termes de ces seconds membres, attendu
que, les autres termes étant infiniment petits du second ordre, on peut
y remplacer, sans erreur sensible, p par A ; si d'ailleurs on suppose con-
stantes la densité A et les différentes sommes indiquées par le signe §
dans les équations dont il s'agit, les valeurs des quantités désignées
par X2, \)>, 32 dans les équations (3i) de la page 235 pourront s'écrire
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 273
comme il suit :
!_~ A \da ' db de
i (dF an d\)
(55) j'» = ïV3*+W+«
I 3 _]_ (àE cM) OC
\ ' A \da db de
Donc alors, en admettant que les conditions (i5) et (35) de l'article
précédent se trouvent remplies, on aura encore, comme on devait s'y
attendre (voir la page 244)»
i fdk OF dE
A \âa db de
i [dF dïï dD\
\ — A \da db de
Dans les diverses formules ci-dessus, on a considéré comme variables
indépendantes les quatre quantités «, b, c, l. Si l'on suppose, au con-
traire, que l'on prenne pour variables indépendantes, avec le temps /,
les coordonnées x, y, z, il faudra, en vertu des principes développés
dans l'article précédent, remplacer les dérivées
dl dl d\ an dn an K # dÇ
(°7) Ta W de1 da db' de' da db' de
par les suivantes :
,„_ d\ d\ d\ an dn dn <K (K d%
{oH) di' Ty dï' dx dy dzl dx dy dz
Alors on trouvera, comme à la page 201,
dl dn dZ
<59) v = ^ + dy + dr
De plus, si l'on désigne par
(60) - A = /(a,*,c)
la densité mesurée au point («, b, c) dans l'état primitif du système
OEuvres de C. — S. II. t. VIII. 35
274 DE LA PRESSION OU TENSION
des molécules m, m, m", ...; m(, m2, on tirera de l'équation (16), com-
binée avec les équations (4) de l'article précédent,
(fin f(a,b,c) _f(x-Z,y — r},z-J)
puis, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on obtiendra
la formule
(6,.) p=(,-u)/(^,r,»)--gM£trLf)_w »>/(«■/.«) _CM^±),
ox dy dz
qui coïncide avec l'équation (21) de la page 201. Cela posé, il est facile
de reconnaître ce que deviendront, dans la nouvelle hypothèse, les va-
leurs de A, B, C, D, E, F déterminées par les équations (20) et sui-
vantes. On conclura, en particulier, des formules (40) et (4i)
(63
puis, des formules (48),
A-
\ ox ay
-0i)A,
B =
\ ox dy
-'S*.
C:
= (Q§ + P£
*»S*
Il est bon d'observer que les trois premières des équations (65)
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 275
peuvent s'écrire comme il suit :
(66) A = k(2|+v), B = K(ag+u), C = k(4: + .).
Lorsque, à l'aide des méthodes exposées dans cet article, on a déter-
miné les projections algébriques des pressions ou tensions exercées en
un point quelconque d'un système de molécules contre trois plans per-
pendiculaires aux axes coordonnés, il suffit de substituer les valeurs
de ces projections algébriques dans les formules (2) et (25) des
pages 196 et 202 pour obtenir les équations qui expriment les lois
d'équilibre ou de mouvement du système. Si l'on combine, en particu-
lier, ces formules avec les équations (63) et (64), et si l'on suppose
constantes les quantités L, M, N, P, Q, R, A, alors, en divisant tous les
termes par la densité
p=(i — v)A,
et négligeant les infiniment petits du second ordre, on retrouvera les
formules (83), (84) de l'article précédent, savoir
Air
et
Ldx~>
-f-
dy*
ô2E
ô*n
Rôx^
H-
ÔY-
ôz-
w dx1
+
ày1
Air
+ N —
ôz>
ôx'z
+
R^
ôy1
d2£
RÔH
dx1
+
■S
+p^
^ôx*
-+-
ôy-
â'-t
R <Pr]
dx ôy
3P *Ç
ày ôz
2Qôzôx
iH ^
ôx ôy
D °^
2P r-
ôy ôz
,n O'ï
2 P -5 r +Z=0
ôy ôz
d~ ^ <?/ <tt Ôt-
Ces dernières, ainsi que les formules (63) et (64), paraissent spécia-
lement applicables à un corps solide qui offre trois axes d'élasticité
rectangulaires entre eux. Quand l'élasticité redevient la même dans
tous les sens, alors, les conditions (42) et (45) étant remplies, les for-
276 DE LA PRESSION OU TENSION
mules (67), (68) se réduisent aux suivantes
^ + 2-^)+X
dx dy âz dx
1
\
j
<3ë-
4/2
d2£
+ 3*
*(ë+
a<Pt]
\(ir2
<n ^2C
<?J2 + d~2
1
\ 6^J?2 dy2
<
(?2YÎ
[
\d2?2
^ + 3^
<ty2 (te»
(?2g <?2Tj
^-3 dx dy dz
Z=o;
à'ri . <n \ . x &l
dx dy dz dx J dt1
c'est-à-dire à celles que M. Navier a données dans le Mémoire de 1821.
Nous observerons encore que, si l'on substitue, dans les formules (2)
et (25) des pages 196 et 202, les valeurs de A, B, C, D, E, F détermi-
nées par les équations (32) et (35), en supposant la densité A con-
stante, on obtiendra six nouvelles formules qui coïncideront, eu égard
à la seconde des équations (54), avec les formules (72) et (73) de l'ar-
ticle précédent.
P. -S. — Pour établir les formules (i3) (page 257) et celles qui s'en
déduisent, on a supposé que les diverses molécules m, m, m', . ..; mt,
m2, ... offraient des masses égales, et se trouvaient distribuées à très
peu près de la même manière autour de l'une quelconque d'entre elles.
Ces suppositions paraissent exiger que la densité p varie très peu d'un
point à un autre; ce qui arrivera, par exemple, si la densité A, relative
à l'état naturel, est une quantité constante, et si p diffère très peu de A.
Elles paraissent exiger encore que les différentes sommes indiquées
par le signe § soient sensiblement constantes, c'est-à-dire indépen-
dantes des coordonnées a, b, c, et que celles des mêmes sommes qui
renferment un nombre impair de facteurs égaux aux quantités cosa,
cos(3, cosy s'évanouissent. Effectivement, lorsque ces conditions sont
DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS. 277
remplies, les valeurs de A, B, G, D, E, F trouvées dans eet article véri-
fient, comme on l'a vu, les formules (5.6), et, par conséquent, les for-
mules (58) de l'article précédent.
Si les conditions dont il s'agit cessaient d'être vérifiées, les formules
obtenues dans cet article pourraient ne plus s'accorder avec celles de
l'article précédent, et alors elles devraient être rejetées. Ainsi les cal-
culs que nous venons de faire peuvent devenir insuffisants pour réta-
blissement des véritables équations de l'équilibre ou du mouvement
d'un système de molécules dans des cas auxquels les formules de l'ar-
ticle précédent seraient encore applicables.
SUR QUELQUES THÉORÈMES
RELATIFS
A LA CONDENSATION OU A LA DILATATION DES CORPS.
Considérons un corps solide ou fluide qui, venant à changer de
forme par l'effet d'une cause quelconque, passe d'un premier état na-
turel ou artificiel à un second état distinct du premier. Rapportons
d'ailleurs tous les points de l'espace à trois axes rectangulaires, et sup-
posons que la molécule m, correspondante aux coordonnées x, y, z
dans le second état du corps, soit précisément celle qui, dans le pre-
mier état, avait pour coordonnées les trois différences
x — l, y — ri, z — Ç.
Si l'on prend x, y, z pour variables indépendantes, £, r\, Ç seront des
fonctions de ce, y, z qui serviront à mesurer les déplacements du point
que l'on considère parallèlement aux axes coordonnés. De plus, si,
dans le second état du corps, on désigne par
x -+- Ax, y -+- Ay, z -+- Az
les coordonnées d'une molécule m' voisine de m, les coordonnées de
m' relatives au premier état seront représentées par
x ■+- Ax — ( c ■+- -v1 A# •+■ ~ A y + -^ Az -h .
\' âx ày àz
a ( an A dr] . dt] .
t + *■*+* *+«*+.
dx dy J àz
SUR QUELQUES THÉORÈMES RELATIFS ETC. 279
Cela posé, soient r0 et r les rayons vecteurs menés de la molécule m à
la molécule m' dans le premier et dans le second état du corps. Soient,
en outre,
a0, j30, y0 et a, (3, y
les angles formés par les rayons vecteurs r0, ravec les demi-axes des
coordonnées positives; et faisons
(1) /-r=/-0(i + £).
£ servira de mesure à ce que nous avons nommé la condensation ou la
dilatation linéaire du corps suivant la directipn du rayon vecteur r
\voir Volume II, page 61 (')]; et l'on aura
(2) rcosa = Aj?, rcos|3 = A/, rcosy^As.
On trouvera pareillement, en considérant la quantité r comme infini-
ment petite, et négligeant les infiniment petits du second ordre,
r0cosa0=A^-A^+^Aj+^A;J,
(3) r0cosp\=A7-(^A^ + ^A/ + -A,j,
( <K A ^ A f)? , \
\ r» C08* = Az - [dï Xx + Ty ly + Tz **>
ou, ce qui revient au même,
I r0 cos a0 = r ( cos a — -^ cos a — -p cos p — -^ cos y 1 ,
(4) { /"o cosp0 = ri cosp — v- cos a — — cosp — -r- cos y j,
/ rt # r. * \
I r0 cosy0 = r I cosy — -— cos a p cosp — -r- cos y j ;
(' ) OEuvrex de Cauc/iy, S. II, T. VII, p. 83.
280 SUR QUELQUES THÉORÈMES RELATIFS
puis, on tirera des équations (4), combinées avec la formule (i),
r.V ( dl d\ „ dl V
cosa — -p-cosa — -^-cosp r;cos7 )
i -+- £ 7 v r ) \ dx °y
f a an dn a dri \
(5) / +(vcosî3-^cosa-^cos^~^COS>/J
cosy — — cosa — -r-cosp — -y^cosy I
Donc, si l'on fait pour abréger, comme à la page 62 du second Vo-
lume ('),
•A=v*_,Y+teYa./'*Y.
doc ) \ôjc ) \d&
«-(smsms-«)'
__ dl dl (dn \dn dÇ/# _ \
^~TyTz^\Ty l)dz^dy\dz l)>
, „ dg (dl \ dn dn (dX, \ d%
on aura simplement
(g) ( l Y— A cos2 a h- R cos2 |3 -+- C cos2y + 2 D cos [3 cosy -+- 2 E cosy cos a -h 2 F cos a cos ,3.
Les équations (5) et (8), qui coïncident l'une et l'autre avec la for-
mule (12) de la page 199, fournissent le moyen d'exprimer la conden-
sation ou dilatation linéaire mesurée par £ en fonction des angles a.
p, y. Ajoutons que si, à partir de la molécule m, on porte sur la direc-
tion du rayon vecteur r une longueur équivalente à 1 -h £, on aura, en
désignant par
x 4- x, j + y, s -+- z
(») OEuvres de Cauchy, S. IL T. VII, p. 85.
A LA CONDENSATION OU A LA DILATATION DES CORPS. 281
les coordonnées de l'extrémité de cette longueur,
cosa ~~ cos [3 cosy
et qu'en conséquence la formule (8) donnera
(10) Ax2-f-By24-Cz24-2Dyz-f-2Ezx-t-2Fxy = i.
Donc l'extrémité de la longueur i 4- e sera située sur la surface de l'el-
lipsoïde représenté par l'équation (10). Enfin, si par cette extrémité
on mène une normale à l'ellipsoïde, les angles X, [x, v compris entre
cette normale et les demi-axes des coordonnées positives seront déter-
minés par la formule
(m)
\ Ecosa 4- Dcosj3 4- Ccosy
Lorsque le rayon vecteur r est dirigé suivant l'un des axes de l'ellip-
soïde, la dilatation ou condensation mesurée par £ se réduit à l'une de
celles que nous avons nommées condensations ou dilatations princi-
pales; et, comme, dans ce cas, la normale se confond elle-même avec
le rayon r, on tire de la formule (i i), en y remplaçant 1 par a, ijl par fl,
et v par y,
I A cosa -+- Fcosj3 -+- Ecosy
cosa
F cosa ■+- Bcosô -+- Dcosy
(12) / = -f 1
cosp
I _ Ecosa -+■ Dcosj3 -+- Ccosy
\ ~ cosy
Observons encore que, après avoir déduit i de l'équation (8), on
pourra, quelles que soient les valeurs de a, (3, y, déterminer les angles
«o» ?•! To à l'aide des équations (4), ou, ce qui revient au même, à
Œuvres de C — S. Il, t. VIII. 36
cos/
A cosa 4-
F cos^
COSJU.
~i~
E
cos
y
F cosa 4-
BcosP
cosv
4-
1)
cos
y
282 SUR QUELQUES THÉORÈMES RELATIFS
l'aide de la formule
cosa,,
ai di a dl
cos a r-^- cos a ^ cos â — ~ cos y
ox ay oz '
cos|30
(\?>) / n an âf] a an
cos 3 — cos a — — - cos 3 — -v- cos y
aa? ay oz '
cosy0
cos y r— cosa r- cos 3 — -.- cos y
1 ox ay oz '
Concevons maintenant que dans le premier état du corps on mène
par la molécule m un plan perpendiculaire au rayon vecteur r„ et
soient m,, m.2, . . . des molécules choisies arbitrairement dans le plan
dont il s'agit. Désignons d'ailleurs par a0, b0, c0 et par a, b, c les angles
que le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m, forme
dans le premier et dans le second état du corps avec les demi-axes des
coordonnées positives. On aura nécessairement
( i fA ) cos y.0 cos a0 -h cos 30 cos ba -+- cos y0 cos c0 = o.
De plus, les angles a0, b0, c0, a, b, c devant être liés entre eux de la
même manière que les angles a0, (30, y0, a, [3, y, on aura encore
cosa0
cosa ~ cosa r-1 cosb — -?■ cosc
ox Oy oz
cosb„
(io) ( , dr\ df] , an
cosb — j- cosa r- cosb — -r- cos c
ox oy oz
coscft
cos c — 5- cos a r- cos b — ^— cos c
ox oy oz
Or, si dans l'équation (i4) on remplace les quantités
cosa0, cos(30, cosy0; cosa0, cosb0, cosc0
par les dénominateurs des fractions comprises dans les formules (i3)
A LA CONDENSATION OU A LA DILATATION DES CORPS. 283
et (i5), on en tirera, eu égard aux équations (6) et (7),
(16)
(Acosa + Fcos(3 4- E cos y) cos a + (Fcosa -+- Bcosj3 -+- Dcosy)cosb
-+- ( E cos a 4- D cos (3 + C cos y ) cos c = o ;
puis on conclura de cette dernière combinée avec la formule (1 1)
(17) cosa cosX -+- cosb cos/* -+- cosc cosv = o.
Donc, dans le nouvel état du corps, le rayon vecteur mené de la molé-
cule m à la molécule m, formera un angle droit avec la normale menée
par l'extrémité de la longueur 1 -+- £ à l'ellipsoïde que représente l'é-
quation (10), ou, en d'autres termes, ce rayon vecteur sera parallèle
au plan tangent à l'ellipsoïde; et, comme on pourra en dire autant de
tout rayon vecteur qui joindra la molécule m à l'une des molécules mt ,
m.,, . . . , il est clair qu'un plan unique, parallèle au plan tangent, ren-
fermera toutes ces molécules. D'ailleurs l'ellipsoïde représenté par l'é-
quation (10) est semblable à celui dans lequel se transforme une
portion infiniment petite du corps comprise sous une surface sphérique
dont le centre coïncide avec là molécule m, tandis que le corps se con-
dense ou se dilate; et les axes des deux ellipsoïdes sont, non seulement
proportionnels, mais encore dirigés suivant les mêmes droites, d'où il
résulte que les plans tangents menés à ces deux ellipsoïdes par des
points situés sur un seul diamètre sont parallèles entre eux. On peut
donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Supposons qu'un corps se condense ou se dilate par l'effet
d'une cause quelconque. Concevons d'ailleurs que l'on construise, dans
l'étal primitif du corps, une sphère infiniment petite, qui ait pour centre
la molécule m, et qui renferme en outre un grand nombre de molécules
voisines, puis, dans le second état du corps, l'ellipsoïde dans lequel cette
sphère s'est transformée. Les molécules primitivement situées près de la
molécule m : i° sur un diamètre de la sphère; 20 dans un plan perpendi-
culaire à ce diamètre, se trouveront transportées, après le changement
d'état du corps : i° sur le diamètre de l'ellipsoïde correspondant au dia-
284 SUR QUELQUES THÉORÈMES RELATIFS
mètre donné de la sphère; i° dans le plan diamétral parallèle aux plans
tangents menés à V ellipsoïde par les extrémités du nouveau diamètre.
Au reste, pour établir directement le théorème qui précède, il suffit
d'observer que, après le changement d'état du corps, les molécules pri-
mitivement situées, près de la molécule m, dans un plan tangent à la
sphère, doivent évidemment se trouver transportées dans le plan tan-
gent à l'ellipsoïde, et que d'autre part des molécules très voisines, pri-
mitivement comprises dans des plans parallèles, devront encore être,
après le changement d'état, renfermées dans des plans de cette espèce.
Si la molécule m' est tellement choisie que, dans le second état du
corps, le rayon vecteur r mené de m à m' coïncide avec un des axes de
l'ellipsoïde, la dilatation ou condensation mesurée suivant le rayon
vecteur r sera l'une des dilatations ou condensations principales, et
dans le même cas, mais dans ce cas seulement, les molécules m{,
m.x, ... primitivement situées près de m sur le plan perpendiculaire à
la droite qui joignait les points matériels m, m', se trouveront encore
sur un plan perpendiculaire au rayon r. Il est aisé d'en conclure que
des molécules primitivement comprises dans une surface normale à la
droite qui joignait les points matériels m, m', jouiront de la même pro-
priété dans le nouvel état du corps, si dans cet état le rayon vecteur
mené de m à m' est l'un de ceux suivant lesquels se mesurent les con-
densations ou dilatations principales. On peut d'ailleurs considérer,
dans les deux états du corps, la distance très petite qui sépare les
points m et m' comme l'élément d'une courbe qui couperait à angles
droits la surface ci-dessus mentionnée; et l'on est ainsi conduit à la
proposition suivante :
Théorème II. — Quand un corps se dilate ou se condense, pour que
des molécules primitivement situées : i° sur une certaine sur/ace; 2° sur
une courbe normale à cette su/face, se trouvent encore, après leur dépla-
cement, sur une surface et sur une courbe qui se coupent ci angles droits,
il est nécessaire et il suffit que la tangente menée à la seconde courbe, par
A LA CONDENSATION OU A LA DILATATION DES CORPS. 285
le point où celle-ci rencontre la seconde surface, offre lune des directions
suivant lesquelles se mesurent les dilatations ou condensations principales.
Considérons maintenant un corps solide élastique dont la surface
libre soit soumise en chacun de ses points à une pression normale,
par exemple, à la pression atmosphérique; et supposons que, pour
établir les équations d'équilibre ou de mouvement de ce corps, on ait
recours aux principes ci-dessus développés (pages 2o3 et suiv.), ou,
ce qui revient au même, aux principes exposés dans le précédent ar-
ticle, en se bornant toutefois au cas où l'élasticité reste la même dans
tous les sens. Alors, en chaque point du corps pris dans un état dis-
tinct de l'état naturel, trois directions, désignées sous le nom do prin-
cipales et perpendiculaires entre elles, correspondront en même temps
aux trois pressions ou tensions principales et aux trois condensations
ou dilatations principales. D'ailleurs, en un point quelconque de la
surface libre, la pression extérieure, étant, par hypothèse, normale à
cette surface, sera nécessairement une pression principale. Donc la
condensation ou dilatation linéaire mesurée très près de cette sur-
face et suivant une direction normale sera l'une des condensations ou
dilatations principales. On arriverait encore évidemment à la même
conclusion, si la pression extérieure supportée par la surface libre du
corps élastique se réduisait à zéro. Cela posé, on déduira immédiate-
ment du théorème II une nouvelle proposition dont voici l'énoncé :
Théorème III. — Si, l'élasticité d'un corps étant la même dans tous les
sens, la surface libre de ce corps est soumise à une pression normale ou à
une pression nulle, tandis que ce corps passera de l'état naturel à un
nouvel état, une droite comprise entre deux molécules situées prés de la
surface libre, et primitivement normale à cette surface, ne cessera pas de
la couper à angles droits.
Concevons à présent que le corps élastique se réduise dans son élal
naturel à une plaque très mince et comprise entre deux plans paral-
lèles qui soient soumis à des pressions normales. Supposons, de plus,
que, cette plaque venant à changer d'état, sa forme varie très peu, cl
286 SUR QUELQUES THÉORÈMES RELATIFS
de manière que les déplacements des molécules soient très petits. Les
deux plans parallèles qui terminaient primitivement la plaque se trans-
formeront en deux surfaces courbes dont les courbures principales
seront très petites en chaque point; et l'épaisseur de la plaque, me-
surée après le changement d'état, sur l'une quelconque des droites
normales à l'une de ces deux surfaces courbes, différera très peu de
l'épaisseur primitive, c'est-à-dire de la distance qui séparait d'abord
les deux plans ci-dessus mentionnés. Ajoutons que, en vertu du troi-
sième théorème, les diverses molécules primitivement situées sur une
perpendiculaire commune aux deux plans dont il s'agit se trouveront
transportées sur un petit arc de courbe qui coupera ces deux surfaces
courbes à angles droits. D'ailleurs, ce petit arc de courbe se confondra
sensiblement avec sa corde et de telle sorte que, si l'on regarde l'épais-
seur de la plaque comme une quantité infiniment petite du premier
ordre, la distance entre l'arc et la corde sera infiniment petite du se-
cond ordre. Il y a plus, on pourra en dire autant d'un élément de l'arc
en question et de la corde de cet élément; d'où il suit que cette der-
nière corde prolongée sera sensiblement normale aux deux surfaces
courbes. On pourra donc énoncer encore le théorème suivant :
Théorème IV. — Si une plaque élastique très mince et primitivement
comprise entre deux plans parallèles se condense ou se dilate, mais de ma-
nière que sa forme varie très peu, deux molécules, primitivement situées
sur une perpendiculaire commune aux deux plans, se trouveront, après le
changement de forme de la plaque, sur une droite sensiblement normale
aux deux surfaces qui remplaceront ces mêmes plans.
Si l'on supposait la plaque élastique primitivement comprise, non
entre deux plans parallèles, mais entre deux surfaces courbes séparées
l'une de l'autre par une distance très petite et constante dans toute
l'étendue de la plaque, alors, en raisonnant toujours de la même ma-
nière, on obtiendrait, au lieu du théorème IV, la proposition suivante :
Théorème V. — Si une plaque élastique, primitivement courbe, mais très
mince et d une épaisseur constante, se dilate ou se condense de manière
A LA CONDENSATION OU A LA DILATATION DES CORPS. 287
que sa forme varie 1res peu, deux molécules, primitivement situées sur une
droite sensiblement normale aux deux surfaces qui terminaient la plaque,
se trouveront encore, après le changement de forme de ces deux surfaces,
sur une droite qui pourra être considérée comme perpendiculaire à l'une
et à l'autre.
En terminant cet article, nous ferons observer que, si un corps subit
à différentes époques des changements de forme quelconques, la dila-
tation ou condensation définitive d'un volume très petit, qui renferme-
rait néanmoins avec la molécule m un grand nombre de molécules
voisines, se déduira sans peine des dilatations ou condensations suc-
cessivement éprouvées par ce volume aux époques dont il s'agit. En
effet, soient u,, u2, ... les quantités propres à mesurer ces dernières
dilatations ou condensations, en sorte que le volume en question varie
à une première époque dans le rapport dei ài + u,, à une seconde
époque de i à i -h ua, etc. Le même volume aura définitivement varié
dans le rapport de l'unité au produit (i-h d,)(h- ua) .... Donc, si l'on
nomme u la quantité propre à mesurer la dilatation ou condensation
définitive de ce volume, on aura
('8) i -hu = (i-t- y,)(n-y,)....
Si les changements de forme successivement éprouvés par le corps
sont peu considérables, alors ut, u,, ..., u seront des quantités très
petites, et la formule (18) donnera sensiblement
('9) U = Ui + 'J!+
L'équation (19) comprend un théorème dont voici l'énoncé :
Théorème VI. — Si un corps subit à différentes époques des change-
ments de forme très peu sensibles, la dilatation ou condensation définitive
qu'éprouvera le volume d'un des éléments de ce corps sera la somme des
ddatatwns ou condensations successivement éprouvées par le même vo-
lume.
SUR L'ÉQUILIBRE
MOUVEMENT D'UNE LAME SOLIDE.
§ I. — Considérations générales.
Considérons une plaque solide qui offre dans l'état naturel une
épaisseur très petite, et qui se trouve alors comprise entre deux sur-
faces cylindriques très voisines l'une de l'autre. Supposons, en outre,
que cette plaque s'étende indéfiniment dans le sens de sa longueur,
c'est-à-dire dans la direction des génératrices des deux cylindres, mais
qu'elle soit terminée, dans le sens de sa largeur, par deux plans pa-
rallèles à ces génératrices. Un élément de la plaque, renfermé entre
deux plans très voisins et perpendiculaires aux génératrices dont il
s'agit, sera ce que nous nommerons une lame solide; et, par suite, la
longueur de cette lame coïncidera précisément avec la largeur de la
plaque. Concevons maintenant que la plaque, et les lames solides dont
elle se compose, viennent à changer de forme, mais de manière que
les surfaces qui la terminent ne cessent pas d'être cylindriques, et que
des molécules, primitivement situées sur une parallèle aux généra-
trices des deux cylindres, satisfassent encore à la même condition
après leur déplacement. Supposons d'ailleurs que, dans le nouvel état
de la plaque, on applique aux molécules qui la constituent des forces
accélératrices données, et aux surfaces cylindriques qui la terminent
des pressions extérieures normales à ces surfaces. Enfin, admettons
que, les forces accélératrices étant dirigées comme les pressions dans
des plans perpendiculaires aux génératrices des deux cylindres, les
SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT ETC. 289
directions et les intensités de ces forces et pressions, ainsi que la na-
ture et la densité de la plaque, soient les mêmes pour tous les points
situés sur une parallèle à ces génératrices. Les équations d'équilibre
ou de mouvement de la plaque, qui seront en même temps celles de
chacune des lames qui la composent, coïncideront évidemment avec
les équations d'équilibre ou de mouvement de la section faite dans la
plaque par un plan perpendiculaire aux génératrices des cylindres.
Donc, pour déduire ces équations des formules qui expriment généra-
lement les lois de l'équilibre ou du mouvement d'un corps solide, c'est-
à-dire des formules (2) ou (23) des pages 196 ou 202, il suffira de
faire abstraction de l'une des trois dimensions de ce corps. Cela posé,
rapportons tous les points de l'espace à trois axes rectangulaires des
x,y, z, et prenons pour axe des z une droite parallèle aux génératrices
des surfaces cylindriques qui terminent la plaque.
Soient d'ailleurs, dans l'état d'équilibre ou de mouvement de cette
plaque,
m une molécule comprise dans le plan des x, y;
x, y les coordonnées de cette molécule;
p la densité de la plaque au point (a?, y);
9 la force accélératrice appliquée à la molécule m;
X, Y les projections algébriques de la force 9 sur les axes des x et y ;
p',p" les pressions ou tensions exercées au point {x, y) contre des
plans perpendiculaires à l'axe des x et à l'axe des y,
A, F les projections algébriques de la pression ou tension p sur les
axes des x et y;
F, B les projections algébriques de la pression ou tension p" sur les
mêmes axes.
On trouvera, s'il y a équilibre,
ÔK dF v OV àli v
Si, au contraire, la plaque se meut, alors, en désignant par ty la force
OEuvres de C. — S. II, t. VIH. 3y
290 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
accélératrice qui serait capable de produire le mouvement effectif de
la molécule m, et par {£, gr les projections algébriques de cette force
sur les axes coordonnés, on trouvera
r«\ dX , dF t ,v v. ÔF dB '__ -P1
Dans l'un et l'autre cas, si l'on nomme
a, (3 les angles compris entre les demi-axes des coordonnées positives
et un autre demi-axe 00' mené arbitrairement par le point (ce, y) ;
p la pression ou tension exercée au point (a?, y) contre le plan perpen-
diculaire à ce demi-axe et du côté qui le regarde;
\, \k les angles formés par la force/? avec les demi-axes des x et y posi-
tives,
on aura, en vertu des formules (3) de la page 197,
(3) pcosî. = Acosa+ Fcos;3, p cosp. = F cosa -h A cos|3.
Enfin, si l'on suppose le point (x, y) situé sur l'une des surfaces cy-
lindriques qui terminent la plaque, et si l'on fait coïncider le demi-axe
00' avec la normale à cette surface, les valeurs précédentes de/?cos)v,
/?cos[i. devront se confondre, au signe près, avec les projections algé-
briques de la pression extérieure appliquée à cette surface dans une
direction normale. Donc, si l'on désigne alors par P la pression exté-
rieure correspondante au point (x, y), on aura encore
(4) Acosa-j-Fcqs(3:=— Pcosa, Fcosa -+- B cos(3 =— P cos(3.
On ne doit pas oublier que ces dernières formules subsistent seule-
ment pour les points situés sur les surfaces cylindriques ci -dessus
mentionnées.
Il reste à faire voir comment des équations (1), (2) et (4) on peut
déduire celles qui déterminent à un instant quelconque, dans l'état
d'équilibre ou de mouvement, la forme de la plaque ou plutôt de la
section faite par le plan des x, y, et, en particulier, les divers change-
ments de forme de la ligne qui, étant comprise dans ce même plan,
D'UNE LAME SOLIDE. 291
divisait primitivement l'épaisseur de la plaque en deux parties égales.
Toutefois, comme la détermination de cette ligne, que nous appelle-
rons ligne moyenne, s'effectue de diverses manières et entraîne des
calculs plus ou moins étendus, suivant que l'on considère une lame
élastique ou non élastique, naturellement plane ou naturellement
courbe, d'une épaisseur constante ou d'une épaisseur variable, nous
renverrons le développement de ces calculs aux paragraphes suivants.
§ II. — Équations d'équilibre ou de mouvement d'une lame
naturellement droite et d'une épaisseur constante.
Concevons que, dans l'état naturel de la plaque ci-dessus mention-
née, les deux surfaces cylindriques qui la terminent se réduisent à
deux plans parallèles, séparés l'un de l'autre par une très petite dis-
tance. Chacune des lames qui composeront cette plaque sera ce qu'on
peut appeler une lame naturellement droite et d'une épaisseur con-
stante. Cela posé, représentons par -ih l'épaisseur naturelle de la
plaque, et prenons pour plan des x, y celui qui divisait primitivement
cette épaisseur en deux parties égales. Supposons d'ailleurs que, dans
le passage de l'état naturel à l'état de mouvement, les déplacements
des molécules soient très petits. La ligne moyenne de la section faite
par le plan des oc, y, après avoir coïncidé dans l'état naturel avec l'axe
des x, deviendra, en vertu du changement de forme de la plaque, une
courbe plane, mais dont l'ordonnée sera très petite. Désignons par
/(x) cette ordonnée. Soit, de plus, r la différence entre l'ordonnée y
d'une molécule quelconque m correspondante à l'abscisse x et l'ordon-
née f{x) de la ligne moyenne, en sorte qu'on ait généralement
(5) ^=/(«)H-r.
S0ienteilfin S^UFORN^
(6) -x — l, f — ri
les coordonnées primitives de la molécule m qui, dans l'état d'équi-
libre ou de mouvement, coïncide avec le point (x, y); \, yj seront des
292 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
fonctions de x, y qui serviront à mesurer les déplacements de cette
molécule parallèlement aux axes; et, si l'on considère ces déplace-
ments comme infiniment petits du premier ordre, la fonction f{x)
sera encore une quantité infiniment petite, ainsi que sa dérivée f'ipo).
Il est aisé d'en conclure que, si Ton veut prendre pour variables indé-
pendantes x et r au lieu de x et j, il suffira d'écrire, dans les formules
(1) et (2), la lettre r à la place de la lettre y. Soient effectivement,
dans le cas où l'on regarde x, y comme variables indépendantes,
(7) A = F(*,jO,
(8) Ë = *(^)> ff=^y)-
On tirera des formules (5) et (7), en regardante et r comme variables
indépendantes,
et
/ \ àk A/ . v/ .Oy dA _. . , dy
ou, ce qui revient au même,
(M) Tx =*(*,?) + \{x,y)f\x), ^=X(*,j).
Donc, en négligeant vis-à-vis de <&(x, j) le terme X(x, y)f'{x) qui
est infiniment petit, on aura simplement
Or, de ces dernières équations, comparées aux formules (8), il résulte
que, si l'on prend pour variables indépendantes a; et r au lieu de x
et y, on devra, aux dérivées partielles
dK d\.
dx dy '
D'UNE LAME SOLIDE. 293
substituer les suivantes :
dx dr
Cette conclusion demeurant exacte, tandis que l'on remplace la lettre
A par la lettre B ou par la lettre F, on tirera des équations (i) et (2) :
i° en supposant que la plaque soit en équilibre,
dk ÔF v d¥ dB v
20 en supposant que la plaque se meuve,
, ,, àK àF ,_ „, âF dB
Ajoutons que les formules (28) de la page 2o3, qui fournissent des
valeurs très approchées de 3C, g dans le cas où l'on considère x ety
comme variables indépendantes, subsisteront encore à très peu près,
quand on regardera comme indépendantes les variables x et r. Donc
aux équations (i4) on pourra substituer celles-ci :
dA d¥ v &l d¥ ÔB v d^n
(,o) ^ + 57 + PX = ?^' ^+â7+PY=r'°^-
Quant aux formules (4)» il résulte des suppositions admises qu'elles
donneront à très peu près, pour r = — h et pour r = h,
(16) F = o, B= — P.
En effet, dans l'état naturel de la plaque, la section faite par le plan
des x, y était renfermée entre deux droites parallèles à l'axe des x, et
représentées par les équations
(17) y — -h, y = /i.
Or les deux courbes, dans lesquelles ces deux droites se transforment
en vertu des déplacements infiniment petits des molécules, diffèrent
très peu de ces mêmes droites. Donc, si l'on désigne para, (3 les angles
que forme la normale à l'une de ces courbes avec les demi-axes des r
294 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
et y positives, on aura sensiblement, c'est-à-dire en négligeant des
quantités infiniment petites,
(18) cosa = o, COS(3r=l.
D'ailleurs les angles dont il s'agit sont évidemment ceux que compren-
nent les formules (4), et qui déterminent la direction de la normale à
l'une des surfaces cylindriques entre lesquelles la plaque se trouve
définitivement renfermée. Donc les formules (4), qui subsistent pour
tous les points de chacune de ces surfaces, se réduiront sensiblement
aux équations (16). Enfin, comme une droite primitivement perpendi-
culaire à l'axe des x, et propre à mesurer la demi-épaisseur de la
plaque dans l'état naturel, changera très peu de longueur et de direc-
tion, en vertu des déplacements infiniment petits des molécules, il
est clair que, dans l'état d'équilibre ou de mouvement, —h et H- A
seront à très peu près les valeurs de r correspondantes aux deux
courbes qui remplaceront les lignes primitivement représentées par
les équations (17).
Concevons maintenant que, dans les équations (i3), (i5) et (16),
on développe les quantités
A, F, B, X, Y, l, n,
considérées comme fonctions de x et de r, suivant les puissances as-
cendantes de la variable r; et soient, en conséquence,
(19) A = A0+ Aj/'H- A2
(20) F=F#-4-F1r + F,^-hF,— 5+..., B=B0+B1/ + B2-+B3-^ +...,
2 2 . «3 2 2 . o
(ai) X = X0 + X1/-4-X2^"+..., Y=Y0 + Y1/--f-Y2Ç+...,
(22) l —lfi -h&'r ■+• £2 — +.. ., Y) =Yi0 + *),/■ + yi2 h-...,
& 2
-y
A0, F0, B0, X0, Y0, £0, Y]0; A,, F,, B,, X,, Y,, H,, ï](; ... désignant des
fonctions de la seule variable x. Supposons d'ailleurs constantes la
D'UNE LAME SOLIDE. 295
pression P et la densité A relative à l'état naturel de la plaque. La den-
sité p, infiniment peu différente de A, pourra elle-même être regardée
comme constante; et les formules (t3), qui doivent subsister quel que
soit r, donneront
(23) ^n+F1 + pX0=o, ^1+F2 + pX1 = o,
, . . dFn n „T dv j _, «F, „ „
(24) ^+Bl + pYo=:0' ^+B2+pYl=:0' Z^+B3+P 2=°'
tandis que l'on tirera des formules (i5)
Mais les formules (16), qui doivent être vérifiées seulement pour
r= — h et pour r = h, donneront
/ h2 h1
{ F0 + F, — +... = o, Fi + F, -g 4-... = o;
(27)
i A2 A2
I B0+B2- +... = - P, B,+ B,i+...=o.
Il est important d'observer que, dans les formules précédentes,
A0, r0, B0, to> "Oo
représentent les valeurs de
A, F, B, l r,
qui correspondent à une valeur nulle de r. Donc
A0, F0 et F0, B0
expriment les projections algébriques des pressions ou tensions exer-
cées contre des plans perpendiculaires aux axes des x et y en un point
de la ligne moyenne; et E0, yj0 expriment les déplacements de ce point
mesurés à partir de sa position primitive parallèlement aux mêmes
296 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
axes. Or le second de ces déplacements ne sera évidemment autre
chose que l'ordonnée de la ligne moyenne, en sorte qu'on aura identi-
quement
(■28) «•=/(*)•
Quant aux quantités
Al, F|| Bj, Çji ï)l| A2, T2, I>2> S2» ^2> •••,
elles exprimeront les valeurs de
d\ dY dB ù\ du d"-k d'Y d2B à-Z, d2n
0r (//• d/1 or d/1 ar- a/- c/a"1 d/"1 df*
correspondantes à r = o. Enfin
(29) X0, Xt, Xf, ..., Y0, Yj, i2, ...
représenteront ce que deviennent, pour r=o, les quantités
,a , v <*X . â*X v dY d2Y
(3o) X> âF' 1P"' '"' Y> à?' dP' ""
D'ailleurs, si X, Y considérées comme fonctions des variables x, y
sont continues par rapport à ces variables, les expressions (3o) différe-
ront très peu des fonctions qu'indiquent les notations
,, . „ dX d2X dY d'-Y
<*0 x' fy> 4^' "' Y' df' &f' ""'
dans le cas où l'on regarder, y comme variables indépendantes. Donc,
pour obtenir les valeurs très approchées des quantités (29), il suffira
de poser, dans les expressions (3i), r = o, ou, à très peu près, y = o.
L'erreur commise alors, étant dutfiême ordre que les déplacements !*,
y), devra être considérée comme infiniment petite.
Il reste à montrer ce que deviennent les formules (23), (24), (a5),
(26) et (27), dans le cas où la quantité h est très petite. Or, si l'on né-
glige dans une première approximation tous les termes qui ont pour
D'UNE LAME SOLIDE. 207
facteur h*, comme on devra le faire effectivement, si, h étant du même
ordre que les déplacements l, r(, on attribue au temps / une valeur peu
considérable, on tirera des formules (27)
(3a) F,= 0, 11,=:— P, F, = o, B, = o;
puis, des formules (23) et (2.4),
(33) -^+pX0— o, Y„ = o,
tandis que les formules (25) et (26) donneront
,9, d\0 d-ln d-n0
La première des formules (33) détermine, dans le cas d'équilibre, la
valeur de la pression ou tension A0. Quant à la seconde de ces for-
mules, elle exprime qu'une lame naturellement droite, et d'une épais-
seur constante, mais très petite, ne peut rester en équilibre après un
changement de forme presque insensible, à moins que les forces accé-
lératrices appliquées aux diverses molécules ne soient dirigées à très
peu près dans le sens de la longueur de cette lame. C'est ce qu'il étail
facile de prévoir. Ajoutons que les formules (33), une fois admises,
entraînent les formules (34) dont la seconde détermine, pour des va-
leurs peu considérables de/, l'ordonnée rin delà ligne moyenne, quand
la plaque est en mouvement.
La pression A0 n'est que le premier terme du développement de la
pression A suivant les puissances ascendantes de r. Si l'on veut déter-
miner, dans le cas d'équilibre, le coefficient A, du second terme de ce
même développement, il faudra recourir à une approximation nou-
velle, en supposant que la quantité h, quoique fort petite, devienne
très supérieure aux valeurs numériques des déplacements Ç, y;, et con-
server, dans la première des formules (24)1 les termes proportionnels
au carré de h. Si d'ailleurs on continue de négliger les puissances de//
d'un degré supérieur au second, les formules (27) pourront être ré-
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. 38
298 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
duites aux suivantes :
(35) F,=-~F„
200
Or on conclura de celles-ci, combinées avec la seconde des équa-
tions (23) et avec les deux dernières des équations (24),
(36)
(37)
»i
/r
Par suite, la première des équations (24) donnera
(38)
A2 ePAi
?
3 dx
ou, ce qui revient au même,
dKK
Y'+£ (Y2+2Ê)] = °'
(39)
/-A, + o /3_V_0 + I y + rfXA _ Q
dx'1 ' \ A2 ■>. 2 <i,x y
11 est bon d'observer que, la quantité Y0 devant être, dans le cas d'é-
3 Y
quilibre, très petite et du même ordre que h2, le rapport -~> que ren-
ferme la formule (3q), ne sera pas nécessairement très considérable,
comme on pourrait le croire au premier abord; et qu'en conséquence
la fonction A,, déterminée par cette formule, conservera généralement
une valeur finie, comparable à celle de A0. Comme d'autre part la va-
riable r, comprise dans les équations (19), (20), etc., est une quan-
tité du même ordre que h, tandis que les valeurs de F,, B, fournies
par les équations (35) sont proportionnelles au carré de h, on conclura
des équations (19) et (20) : i° en négligeant, dans le développement
de A, les puissances de h supérieures à la première,
(4°) Â = A,+ Àir;
20 en négligeant, dans les développements de F et de B, les puissances
D'UNE LAME SOLIDE,
de h supérieures à la seconde,
( ', i ) F = Ffl+F,— .: =F0(i
lr
B = B0 + 132- =BJ <
m)
-£•
ou, ce qui revient au même,
B
P^-pY,^2-/2
Ainsi, après avoir déterminé les fonctions A0, A,, à l'aide des deux
équations
rfA. ., rf*À, /3Y0 i .r rfX,
o,
il suffira de recourir aux formules (4o) et (42) pour obtenir les va-
leurs approchées des pressions A, F, B relatives à l'état d'équilibre.
Si de l'état d'équilibre on passe à l'état de mouvement, il faudra,
dans les équations (42) et (43), remplacer les quantités
(44)
nar les différences
A01 A-1Î l(H M) • >
{v>) X(,~^' Xl
dt* '
v 0-ri0 d-fn v â*fli
On trouvera donc alors, en négligeant les termes proportionnels au
carré de //,
rfAfl v d'£,
(46)
'.fi1! '
rf»A,
~ 0
[ 77^' + p ^ // + à Y,_H 777 / - > \ A2 ^ "•" 2 <^2 ' <te
et, en négligeant les termes proportionnels au cube de //,
(47)
( 1 [dA, / d2-V
^ 2 J_rt.r ' \ ai-
|B=-P-ip(Y.-^J(*'-^).
300 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Quant à la valeur approchée de A, elle continuera d'être déterminée
par l'équation (4<>)» l'erreur étant du même ordre que h*.
Dans le cas particulier où la force accélératrice o est supposée nulle,
ses projections algébriques X, Y et, par suite, les quantités X0, X, ; Y„,
Y,, Y2 s'évanouissent. Donc alors les équations (46) et (47) se ré-
duisent aux suivantes :
,/Q. d\n (P'l0 rf*A| 3 rio 6 \r'2 2àx)\
m dJ~?^> ^T = Â5P Jfi '
Nous ajouterons ici une remarque importante. Si, après avoir divisé
la plaque, prise dans l'état d'équilibre ou de mouvement, en lames
solides, on désigne par /la largeur d'une de ces lames, la section faite
dans cette lame par un plan perpendiculaire à l'axe des x, et corres-
pondant à l'abscisse x, supportera une tension ou pression dont les
projections algébriques sur les axes des x et y seront représentées à
très peu près par les produits
il Aclr=.l (A, ■+- A, /•) dr = 2 Ati hl,
} J- h J- /,
\ljydr=lfj^^(lr = h^
et dont le point d'application aura pour ordonnée la valeur dey déter-
minée par la formule
il krdr
(5l ) / = «*+ — j == -nc
il Xdr
J - h
A« A,
3 A0'
Cela posé, le produit
(5a) 2A,*/(y-yi,) = iA1A»/
D'UNE LAME SOLIDE. 301
représentera, au signe près, le moment (') de la pression ou tension
ci-dessus mentionnée par rapport à l'axe qui, étant perpendiculaire au
plan des x, y, renferme le point de la ligne moyenne correspondant à
l'abscisse x. De plus, ce moment sera du même ordre que le produit
JF0/i/, qui représente la projection algébrique de la force sur l'axe
des y, c'est-à-dire de l'ordre de h3; puisque la quantité F0, déterminée
par l'une des formules
F«= 7 [~dJ + 'oX'J ' F'= T (dJ + PX*-P W
sera de l'ordre de h'2. Quant à la projection de la même force sur l'axe
des x, elle sera de l'ordre de h seulement; d'où l'on peut conclure que
la direction de cette force formera un très petit angle avec l'axe des x.
Pour appliquer les diverses équations que nous venons d'établir à la
détermination des changements de forme qu'éprouvent la plaque ou
lame proposée, et la ligne moyenne de la section faite par le plan des
x, y, il est nécessaire de tenir compte des relations qui existent entre
les tensions ou pressions A, F, B et les déplacements H, rr Or ces rela-
tions dépendent de la nature de la plaque et de la matière dont elle est
formée. Si l'on considère en particulier une lame élastique et homo-
gène, dont l'élasticité soit la même dans tous les sens, alors, en adop-
tant les principes énoncés dans l'un des précédents Articles (p. 2i5
et 216), et prenant x, y pour variables indépendantes, on aura, en
vertu des formules (67) et (70) de la page 216,
(53) A = *3+Ev, f=lk(*L + *l\ B = *£+Kv,
Ox 1 \dy OxJ (Jy
/•, K désignant deux quantités constantes, et u la dilatation du volume
donnée par l'équation
,K/* ai <)f\
(54) v= -£ -h --■
( * ) Ce qu'on appelle le moment d'une force par rapport à un axe n'est autre chose
que le produit de cette force par la plus courte distance entre l'axe et la droite suivant
laquelle elle agit.
30-2 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Par suite, si l'on fait, pour plus de commodité,
(55) *-hK = 0K,
et si l'on prend pour variables indépendantes x et r, au lieu de x et y,
on aura
Lorsque, dans les formules (56), on substitue aux fonctions A, F, B,
\% ïj leurs développements ordonnés suivant les puissances ascendantes
de la variable r, alors, en égalant entre eux les coefficients des puis-
sances semblables de r, on trouve
I A, -A . F, S — i/ttn, , \ B, dç, ,
puis, en combinant les formules (5-j) avec les équations (32), on en
conclut
driQ i f dln I
(58)
Ç2— ~~ T7T — Z 37TX' 1
d.r (5 die1 0 dx 6 dx1
Les valeurs précédentes de £,, *),, c2, ■/]., sont exactes, aux quantités
près de l'ordre de A2. En substituant ces mêmes valeurs dans les deux
premières des formules (37), on en tire
(69) Ao=(o_')K£» '', At=-(e-l)Kd
OJ dx 6 l~ \ B) dx*
Cela posé, les équations (43). qui sont relatives à l'équilibre d'une
lame solide, donneront, pour une lame élastique,
<6o) o,^+X„=o,
(61) il* dfln — — Y -f- - Y. + — >
dx'* h- a ' dx
D'UNE LAME SOLIDE. 303
il désignant une constante positive déterminée par la formule
i\K
Observons d'ailleurs que, si, après avoir multiplié pour h2 les deux
membres de l'équation (Gi), on négligeait les termes proportionnels
au carré de h, on se trouverait immédiatement ramené à la seconde
des formules (33).
On pourrait douter, au premier abord, que les équations (Go), (Gj ),
dans lesquelles £0, Y]0 désignent de très petites longueurs, fussent ap-
plicables à des cas où la force accélératrice 9 ne serait pas elle-même
très petite. Mais, pour dissiper ce doute, il suffit d'observer que la
quantité K et par suite le coefficient 122 sont généralement très considé-
d2 'r
rables. Il en résulte que la valeur de -—-, tirée de l'équation (Go), sera
peu différente de zéro et du même ordre que —:,- Ajoutons que l'on
pourra encore en dire autant de la valeur de -szr* si, comme nous l'a-
vons supposé, Y0 est une quantité très petite du même ordre que h2.
Quant à la quantité h2, il faudra, comme on l'a dit, qu'elle soit de beau-
coup supérieure aux valeurs numériques des inconnues H0, ri0, et par
conséquent à la valeur numérique de <^> afin que l'on puisse continuer
d'omettre les termes proportionnels aux carrés de ces inconnues ou de
leurs dérivées, tout en conservant les termes proportionnels au carré
de h. Donc la force cp devra rester très petite par rapport au produit
il2 h2. Mais il suffit, pour cela, que, le produit Qh ayant une valeur très
considérable, o conserve une valeur finie.
Les équations (Go) et (Gi) sont les seules qui subsistent pour tous
les points de la ligne moyenne dans une lame élastique, homogène,
naturellement droite et en équilibre. Chacune d'elles détermine sépa-
rément l'une des deux inconnues H0, yj0 qui représentent, dans Pétai
d'équilibre, le déplacement d'un point de la ligne moyenne parallèle-
ment à l'axe des #, et l'ordonnée de cette ligne. Ajoutons que, ces deux
inconnues étant ainsi déterminées aux quantités près de l'ordre de //-,
304 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
les valeurs do A, c, i\ se déduiront avec le même degré d'approxima-
l i on : i° de l'équation (4o) réunie aux formules (69); 20 des for-
mules (58) combinées avec les formules (22) ou plutôt avec les sui-
vantes :
( 63 ) c = l0 ■+■ -'1 >'■> r> = r>o + fi 1 r.
On trouvera de cette manière, en ayant égard à la formule (62),
/r,, - an, r/d'co P
cl
(65) A — p9J
dl0 *n,\ V
dx dx'1 / 0
Quant aux valeurs approchées de F et de B, elles seront données par
les équations (42) et (;)<)) ou, ce qui revient au même, par les for-
mules
(66) F=ip(x,-Û*^W-r*), B=-P-4- IpY, (A»-/-J),
et seront exactes aux quantités près de l'ordre de h*.
Nous avons ici supposé que l'on commençait par déterminer, à l'aide
des équations différentielles (60) et (61), les valeurs inconnues !j0, ri0.
Mais, pour effectuer complètement cette détermination, il est néces-
saire de fixer les valeurs des six constantes arbitraires que renferment
les intégrales générales de ces équations différentielles. On y parvien-
dra sans peine, si les extrémités de la lame élastique sont toutes deux
fixes, ou l'une fixe et l'autre libre, en assujettissant les inconnues H0, rt0
aux conditions nouvelles que nous allons indiquer.
Concevons que, dans l'état naturel de la lame élastique, les extrémi-
tés de la ligne moyenne coïncident avec l'origine et avec un point situé
sur l'axe des a? à la distance a de cette origine ; en sorte que ces extré-
mités correspondent aux abscisses
x = o, x sz a.
Supposons d'ailleurs la lame terminée dans le sens de sa longueur par
D'UNE LAME SOLIDE. 305
deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne. Enfin imaginons que
les extrémités de cette lame deviennent fixes, ou plutôt que, les extré-
mités de la ligne moyenne étant fixes, les points renfermés dans les
deux plans dont il s'agit soient assujettis de manière à n'en point sortir.
Alors on aura, pour x = o et pour x = a, non seulement
(67) £0=0,
(68) ri0--o,
mais encore Ç = o, quel que soit r, et, par conséquent,
(69)
dri0
dx
Or les trois conditions qui précèdent, et qui doivent être vérifiées pour
deux valeurs différentes de x, fournissent le moyen de déterminer les
six constantes arbitraires que comportent les valeurs générales des
inconnues H0, yj0.
Supposons encore que la lame élastique offre une extrémité fixe, par
exemple, celle qui correspond à x = o, mais que l'autre extrémité cor-
respondante à x — a soit libre. Alors les conditions (67), (68), (69)
devront être vérifiées pour la valeur zéro de x, qui correspond à l'ex-
trémité fixe. De plus, si l'on considère un point (x, y) renfermé dans
le plan mené par l'autre extrémité perpendiculairement à la ligne
moyenne, les projections algébriques de la pression exercée en ce point
contre le plan seront sensiblement équivalentes aux quantités A, V
données par les équations (65) et ((^>6). Donc, si ce plan est soumis à
la pression extérieure et normale P, les valeurs de A et de F, tirées des
équations (65) et (66), devront pour x = a satisfaire, quel que soit/-,
aux deux formules
(70) A=-P, F = o,
qui entraîneront les trois conditions
OF.uvres i*C— S. 11, t VIII. 3g
306 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Or, à l'aide de ces conditions réunies aux formules (67), (68), (69),
on pourra déterminer encore les deux constantes arbitraires que com-
porte l'intégrale de l'équation (60), et les quatre constantes arbitraires
que comporte l'intégrale de l'équation (61).
Si les deux extrémités de la lame élastique devenaient libres, les
conditions (71) et (72) devraient être vérifiées pour x = a aussi bien
que pour x = o. Mais, après avoir déterminé, à l'aide des conditions
relatives à x = o, les constantes arbitraires introduites dans la valeur
de H0 par une première intégration, ou dans la valeur de ri0 par deux
intégrations successives, il faudrait renoncer à déterminer les trois
autres constantes arbitraires; et les conditions relatives à x = a four-
niraient seulement des relations qui devraient exister, dans le cas d'é-
quilibre, entre les forces accélératrices et la pression P. Il était facile,
au reste, de prévoir ces résultats-, attendu qu'on ne trouble pas l'équi-
libre d'une lame élastique dont les extrémités sont libres, lorsqu'on la
déplace très peu, en faisant tourner cette lame sur elle-même, ou en
transportant l'une de ses extrémités sur une droite parallèle soit à
l'axe des x, soit à l'axe des y.
Si la lame élastique, ayant ses extrémités libres, se trouvait terminée
dans le sens de sa longueur par deux plans perpendiculaires, non plus
à la ligne moyenne, mais à deux droites comprises dans le plan des x,
y, et qui, prolongées en dehors de la lame, formeraient avec les demi-
axes des x et y positives, la première les angles a', j3', la seconde les
angles a", $", les valeurs de A, F et B, tirées des formules (65)
et (66), devraient vérifier, pour x = o et pour x = a, non plus les
formules (70), mais celles que l'on déduit des équations (4), quand
on y remplace successivement les angles a, [3 par a', fi' et par a", j3".
On aurait donc alors, pour x = o,
(-3) Acosa'4-Fcos|3' = — Pcosa', F cosa'+ B cos(3' = — P cbs|3',
et, pour x = a,
(74) Acosa"+Fcos(S" = -Pcosa", Fcosa" + B cos|3" = - P cosjâ".
D'UNE LAME SOLIDE. 307
D'ailleurs, la quantité F, qui est du même ordre que h1, pouvant être
négligée vis-à-vis de A, la première des formules (?3) ou (j\) se
réduirait encore à
et entraînerait : i° la condition (71); i° la première des conditions (72).
Mais la seconde des conditions (72) se trouverait remplacée par celle
que l'on déduit de la seconde des formules (73) ou (74). combinée
avec les formules (66), c'est-à-dire par l'une des deux suivantes :
(70) le -j-? — xtH- \%- — -,t
Il serait encore facile de voir ce qui arriverait si l'un des plans qui
terminent la lame élastique supportait une pression différente de P.
Ainsi, par exemple, concevons que le plan correspondant à x = o reste
perpendiculaire à la ligne moyenne, et supporte en chaque point une
pression normale désignée par <%. Alors il faudra substituer $ à P, dans
la première des formules (70), et, en conséquence, la formule (71)
devra être remplacée par la suivante :
Il est essentiel de remarquer que, en vertu des formules (5<j) et (62),
la première des expressions (5o) et l'expression (52) deviennent res-
pectivement
(78) ,£*£■_ Ç)«;
(79) -*p*a?*"-
Donc les produits (78) et (79) représentent, dans une lame élastique
dont la largeur est / : t° la projection algébrique sur l'axe des x de la
pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire à cet axe:
308 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
2° le moment de cette pression ou tension par rapport à une droite
qui, étant perpendiculaire au plan des œ, y, renfermerait le point
de la ligne moyenne correspondant à l'abscisse' x. D'ailleurs, si l'on
nomme t le rayon de courbure de cette ligne, on aura
i _ , dx'2
et l'on en conclura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
(80) l=+^>.
Donc, l'expression (79) pourra être réduite à
h3 /
(81) ±fp.Q2— •
Par conséquent, le moment ci-dessus mentionné sera en raison directe
de la largeur de la lame élastique, du cube de son épaisseur et de la
courbure - de la ligne moyenne. Ainsi se trouve vérifiée l'hypothèse
admise par Jacques Bernoulli dans la solution que ce géomètre a
donnée du problème de la lame élastique. Mais on doit ajouter qu'il
ne tenait aucun compte de la seconde des expressions (5o), c'est-à-dire
de la tension dirigée dans un sens perpendiculaire à la longueur de la
lame élastique. Or cette tension, qui, à la vérité, est fort petite par rap-
port à celle qui se trouve dirigée suivant la longueur de la lame (voir
la page 3oi), reste néanmoins comparable au moment dont nous
avons parlé; et cette circonstance, qui a une influence marquée sur
les valeurs des coefficients que renferment les équations déduites de
la théorie de Jacques Bernoulli, oblige, dans plusieurs cas, à modifier
la forme même de ces équations.
Concevons à présent que la laine élastique vienne à se mouvoir.
Alors, dans les équations (60) et (61), on devra remplacer les quan-
D'UNE LAME SOLIDE. 309
tités (44) par les différences (45). Par suite, les valeurs générales de
5, et de Y]0 devront satisfaire aux équations
(82)
(83) !*_ + --_
2 6^2 ' <te<^2~ A2 ° 2 2n" ete
dont la dernière, combinée avec les formules (58), donnera
ô-
(84) " y ^ + "
r h-f - _lVa°i
<^2 " 6 V
rfAt
Si l'on fait d'ailleurs, pour abréger,
(85)
(86)
et si, dans les produits
h*
Œ2 J = 02,
h*/ i\d*n0_
" 3 d^4 ' 3V1 20/ dr2
on néglige les termes de l'ordre de A2, on tirera de la formule (84)
d'+y <Py .. h-
(87) Sî^+di=Y»+0
et de la formule (86)
ï ,
dx
(88)
■^o=y +
h1 f i \dîy
(
a 0 / <J.r*
Les équations (82), (87) et (88) permettent <le déterminer à une
époque quelconque, pendant le mouvement de la lame élastique, les
valeurs des inconnues E0, Y]0 dont la seconde représente l'ordonnée de
la ligne moyenne. Ajoutons que cette ordonnée, étant très peu diffé-
rente de la fonction y, en vertu de la formule (88), pourra être snbsti-
310 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
tuée à y sans erreur sensible; en sorte qu'on aura encore à très peu
près
(89) ° ^ + ^~-Yo + e"^2^2^
Outre les équations (82) et (89), qui subsistent, pendant le mouve-
ment de la lame élastique, pour tous les points de la ligne moyenne, il
en est d'autres qui sont relatives aux extrémités de cette ligne. Suppo-
sons que ces extrémités correspondent toujours aux abscisses x = o,
x = a, et que la lame soit terminée, dans le sens de sa longueur, par
deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne. Alors, si cette lame a
ses deux extrémités libres, les inconnues 2j0, ri0 devront vérifier, pour
x = o et pour x = a, la condition (71) et la première des condi-
tions (72). Quant à la seconde des conditions (72), elle devra être
remplacée par la suivante
(90) ^ = X,-^,
de laquelle on tirera, en la combinant avec les formules (58), (89), et
négligeant les termes qui auront pour facteur k2 ou @2,
Si, au contraire, une des extrémités de la lame élastique, par exemple
l'extrémité qui coïncide avec l'origine, devient fixe, les inconnues E0,
ïj0 vérifieront, pour x = o, les conditions (67), (68) et (69). Enfin,
si les deux extrémités deviennent fixes, ces mêmes conditions devront
être remplies, non seulement pour x = o, mais encore pour x = a.
Ajoutons que, dans le cas où, les extrémités étant libres, les plans qui
terminent la lame cessent d'être perpendiculaires à la ligne moyenne,
on doit à la condition (91) substituer celle que l'on déduit de la for-
mule (7,")) ou (76) quand on y remplace X, par
DUNE LAME SOLIDE.
311
et Y, par la différence
(93)
Y
1_ dfi
-Y-. ' °^°
"Xt-Bâ'x dfi
iY,+
i rfX0
e dx
-Q2 d3h
+ 9 dx*
On a
donc
al
ors, pour x =
o,
(94)
dx3
= Xt
-h — + i
dx
(«
d%
dx dV
\ cos(3'
y cosa''
et, p
our x
=
a,
(95)
Q2 ^o
dx3
=x,
dx
(Y<
i
à:iZ0
dx dt
\cos0'
V cosa"
Les diverses conditions que nous venons d'indiquer fournissent le
moyen de déterminer les fonctions arbitraires que renferment les va-
leurs générales des inconnues E0, Y]0 déduites des équations (82) et
(89). Ces inconnues étant ainsi calculées, aux quantités près de l'ordre
de /r, les valeurs de A0, A,, H, r\ et A se déduiront, avec le même degré
d'approximation, des formules (5c)), (64)» (65). Quant aux valeurs
approchées de F et de B, elles seront données, non plus par les équa-
tions (66), mais par celles qu'on en tire, en substituant aux quan-
tités X,, Y, les expressions (92), (93). Par conséquent, on trouvera.
en négligeant seulement les quantités de l'ordre de A3,
(96)
F=*P.(x14-^-0»^]
B
dx*
Y'^S
6 dx3 '
r«).
Lorsque la force cp est constante et constamment parallèle à elle-
même, ses projections algébriques X, Y se réduisent à des quantités
constantes, et l'on a
X0 = X, Xt=4>ï Y0=Y, Yt = o, Y,= o.
Par suite, les équations (60), (61) qui sont relatives à l'état d'équi-
:512 SUK.LÉQU1LIBRE ET LE MOUVEMENT
libre de la lame élastique, deviennent
(97) P-!H + X = °-
(98) e'^=Y-
et les équations (82), (89), qui sont relatives à l'état de mouvement,
donnent
(I0°) 0'^+^-^Y-
Alors aussi les conditions (72), (73), (76), (91) se réduisent à §
(,ol) â^ = 0' ^=°;
et les conditions (94)» (<p) aux deux suivantes :
O2^0 _ 1 à3c0 cos^
(102) S>
(io3) Œ
d#3 0 dx dt* cos oc'
d3r]0 1 d3c0 cos|3"
dx3 "" 5 <Âr^72 cos a"
Quant aux valeurs de Ç, Y], A, elles seront toujours déterminées par les
formules (64), (65). Mais les valeurs de F, B, déterminées par les for-
mules (96), deviendront
<■•« F=->'|£<*,-'*>- B=-I,+>£2!ë^'',-'=>-
Dans le cas particulier où la force accélératrice 9 s'évanouit, les
équations (99) et (100) deviennent
(lo6) 0-d^ + ^=o'
Au reste, pour établir en même temps l'équation (106) et les for-
DUNE LAME SOLIDE. 313
mules (101), il suffirait de recourir au principe adopté par Jacques
Bernoulli, et ci-dessus rappelé, ainsi que nous l'avons fait dans notre
premier Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions
de Physique mathématique (p. 45 et 46) ( ' ).
Si l'on considère un corps élastique comme un système de molécules
qui agissent l'une sur l'autre à de très petites distances, alors, en sup-
posant que l'élasticité reste la même dans tous les sens, et que les
pressions supportées par la surface libre du corps dans l'état naturel
se réduisent à zéro, on obtiendra, entre les constantes désignées par k
et par K dans la formule (55), la relation
(«07)
k-
= 2K.
On aura donc par suite
(.08)
■ 9
= 3;
et, en faisant, pour abréger,
(109)
K
P
= R,
on tirera de la formule (62)
(110)
ïl =
V/?R
2
y/3
Dans la même hypothèse, la formule (71) deviendra
(m) 0*^=-^?,
dx 3 0
tandis que les formules (102), (io3) donneront
(na) <ï*diri°= l â^° cosi3',
dx3 3 dx dt2 cosa''
(„3) Û«ÇS = î /^^
v ; àx* 3 ôxdt% cosa"
Il resterait à intégrer les diverses formules auxquelles nous sommes
(') OEuvrcs de Cauc/iy, S. II, T. VII. p. 6{ et 65.
OEuvres de C. — S. Il, t. VIII. 4o
314 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
parvenus. Or cette intégration ne présente aucune difficulté, lorsqu'on
a recours aux méthodes exposées dans le Mémoire sur l'application du
calcul des résidus aux questions de Physique mathématique. C'est, au
reste, ce que nous montrerons plus en détail dans un autre article,
nous bornant pour le moment aux observations suivantes.
Si la lame élastique, étant terminée par deux plans perpendiculaires
à la ligne moyenne, a ses deux extrémités fixes et une vitesse initiale
nulle en chaque point, la valeur de ç0 déterminée à l'aide des for-
mules (io5) et (67) sera semblable à l'ordonnée d'une corde un peu
écartée de la position d'équilibre, c'est-à-dire à la valeur de z déduite
des formules (94) et (93) du Mémoire déjà cité. Donc, en remplaçant,
dans la formule (roi) de ce Mémoire, z par E0, et h par ù, on trouvera
j. 1 Ç\ nr.Qt . nr.x f" . nitu. M, v ,
(»4) ç,= -£cw — «n— jj nn-JfOO*».
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou néga-
tives de n, et la fonction ((oc) désignant la valeur initiale de H0. Dans
le même cas, la valeur de Y]0, déterminée à l'aide des formules (106),
(G8) et (69), sera ce que devient la valeur de z donnée par la for-
mule (245) du Mémoire, quand on remplace la constante k par 0. On
aura donc
!n . (1 — e~ar cosar) (erx — cosrx — sin/\r) — ear sin ar ( e-''x — cos/vr-f-sinAvr) (*"
(,I5) r(0=-|yose,W- <e«r-e-ar)cosar_{ear+e^r)smar ~ "jf ^ * ( »0 <**
r désignant une variable nouvelle, f(a?) la valeur initiale de yj0, et le
signe § s'étendant à toutes les racines réelles positives de l'équation
{ 1 1 6) (ear-h e~av) cosar =. 2.
Si, la lame élastique ayant ses deux extrémités libres, la pression P
s'évanouit, la valeur de H0, déterminée à l'aide de l'équation (io5) et
de la formule (71), ou plutôt de la suivante
(117) te=°>
D'UNE LAME SOLIDE. 315
sera ce que devient la valeur de z donnée par l'équation (3oo) du
Mémoire quand on réduit les coordonnées x, y, z- à une seule, et que
l'on remplace h par ù. On aura donc alors
(.18) ^°~â!SC0S— ^"C0S~^~~J cos « i^)rff*'
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou néga-
tives de n. Enfin, si l'une des extrémités de la lame élastique est fixe
et l'autre libre, la valeur de Y]0, déterminée à l'aide de l'équation (106),
des conditions (68), (69) qui devront être remplies pour x = o, et des
conditions (101) qui devront être remplies pour x = a, sera ce que
devient la valeur de u donnée par la formule (249) du Mémoire, quand
on substitue à la constante k la constante 0. On aura donc
(ll9} ^ = --^co80r»/- (ear_ e_ar) CQSar _ {ear+ e.ar)sinar -Jf •fUGW
le signe § s'étendant à toutes les racines de l'équation
(120) (ea,'4- e-av) cosar -h 2 = o.
Lorsque la longueurs de la lame élastique devient infinie, les équa-
tions (1 14), (1 18) se réduisent l'une et l'autre à
f(g + fiO+f(a?- ùt)
(lai) lo—
Par suite, si la valeur initiale f(x) de l'inconnue lj0 est supposée sen-
siblement nulle dans tous les points distincts de l'origine des coordon-
nées, la valeur de la même inconnue au bout du. temps t sera encore
nulle à très peu près pour tous les points dont les abscisses ne vérifie-
ront pas une des deux formules
x=z— Çlt, a- — Q.t.
Il est aisé d'en conclure que le son se propagera dans la lame élastique
proposée avec la vitesse
v/sR
il = 2
y/l
316 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
D'ailleurs, si l'on déduit des formules (70) de la page 276 la vitesse du
son dans un corps solide élastique qui ne soit sollicité par aucune force
motrice, on trouvera cette dernière vitesse égale à v/3R. Donc les deux
vitesses dont il s'agit sont entre elles dans le rapport de y/8 à \Jc) ou,
ce qui revient au même, dans le rapport de 2 ^2 à 3. D'autre part, si
l'on nomme T le temps d'une vibration longitudinale de la lame élas-
tique, T sera évidemment la plus petite des valeurs positives de / pour
lesquelles l'inconnue E0, déterminée par la formule (n4) ou (118),
reprend sa valeur initiale, c'est-à-dire, la plus petite de celles qui vé-
rifient, quel que soit n, la condition
nr.Qt
cos
En d'autres termes, T sera la plus petite racine positive de l'équation
COS r= 1:
a
et l'on aura en conséquence
(1») T = ir
Donc, si l'on désigne par N le rapport „ ou le nombre des vibrations
longitudinales exécutées pendant l'unité de temps par la lame élastique,
on trouvera
(i23) N=— ■
la
Ce résultat était déjà connu.
Quant à la durée des vibrations transversales correspondantes au son
le plus grave que la lame élastique puisse rendre, elle sera évidemment
la plus petite des valeurs de /, pour lesquelles l'ordonnée yj0 reprend
sa valeur initiale, quand on réduit le second membre de la formule (11 5)
ou (119) à un seul terme, savoir, à celui qui renferme la plus petite
racine positive de l'équation (1 16) ou (120). Cette durée sera donc dé-
terminée par la formule
D'UNE LAME SOLIDE. . :i I T
de laquelle on tire, en ayant égard à l'équation (85),
i 0r2 ilhr- a*r* h^T
(124) 1 = = 1= = F~N-
t 27r 27ry/3 ry/3 a
D'ailleurs, si l'on fait, pour abréger,
4 airi =s,
les équations (i iG), (120), que l'on peut écrire comme il suit
deviendront simplement
1 .<2
. . = 0,
5.6.7.8 5.6.7.8.9. 10. 1 1 . 12
.=0,
1.2.3.4 l .2.3.4.5.6.7.8
et les plus petites valeurs positives de s propres à les vérifier seront
$ = 5.6.7.8 x 1,19181 86. . . = 2002,255. . . ,
s = 2.2.3.4 x 1 ,0301968. . . = 49 j 44944 • • • •
Or, en substituant l'une après l'autre les valeurs précédentes de s dans
l'équation (124) présentée sous la forme
t 271 \ 3 / a
on trouvera en premier lieu
(i25) • - =(2, o55838...) — N,
et en second lieu
(126) - =(0, 323o798... ) — N.
Ces deux dernières formules déterminent le nombre (\c^ vibrations
318 , SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
transversales correspondantes au son le plus grave et exécutées, pen-
dant l'unité de temps, par la lame élastique : i° dans le cas où les deux
extrémités sont fixes; i° dans le cas où l'une des extrémités est fixe,
et l'autre libre.
Si l'on voulait déterminer le nombre des vibrations transversales
exécutées par la lame pendant l'unité de temps, et correspondantes,
non au son le plus grave, mais à ceux qui l'avoisinent, il faudrait sub-
stituer, dans la formule (i2/j), celles des racines positives de l'équa-
tion (116) ou (120) qui suivent immédiatement la plus petite. Or on
déterminera sans peine des valeurs fort approchées de ces racines, en
observant que, pour des valeurs un peu considérables de r, l'équa-
tion (1 16) ou (120) donne à très peu près
(127)
cosar = o.
Donc les racines positives de l'équation (116) ou (120), abstraction
faite des plus petites, se réduiront sensiblement aux racines positives
de l'équation (127), c'est-à-dire, aux valeurs de r déterminées parla
formule
ar = (2K + i).-,
2
dans laquelle n désigne un nombre entier quelconque. Si, pour plus
d'exactitude, on suppose, dans l'équation (116) ou (120),
(ïa8) ar = (an -M)* + f.
2
alors, en négligeant le carré de 1, on conclura de l'équation (1 16)
(129) i=(— i)»+i » *=(— ir,2e"""+"7(i-r(J«+|)«+...)
(2/i-f-l)_ — (2/i-Hl)4r
e 2 -\-e 2
et de l'équation (120)
(i3o) £ = (— 1)» _ _ =r(-i)»2eH2"+ll?(!-rl2''^+...),
(2/H-l)- _(2„-t-l)£ '
e 2 -+- e 2
D'UNE LAME SOLIDE. 319
On tirera d'ailleurs des formules (124) et (128)
v ; t 8\/3 L (2/i + j)7:J «
Si maintenant on pose successivement n = i, n = 2, 11 = 3, . . ., dans
les formules (129), (i3o) et(i3i), on trouvera : i" en admettant que
la lame ait ses deux extrémités fixes,
I=(a,o56i...)^N, 1= (5,66706...) ^N, I=(i 1,10957...) ^N, ...;
t (XI CL l Cl
20 en admettant que les deux extrémités soient l'une fixe et l'autre
libre,
I=(2,oa4...)^N, j =(5, 66924...) ^N, i=(,i,io945...)^N, ....
t Cl t Cl t c*
Le premier des nombres compris dans les équations précédentes,
savoir 2,o56i . . ., diffère très peu du nombre 2,o55838. . . que renferme
l'équation (i25); d'où il suit que la formule (i3i) fournit sans erreur
sensible même le nombre des vibrations correspondantes au son le
plus grave dans une lame dont les extrémités sont libres. Ajoutons
que, dans le cas où 11 devient supérieur à 2, on peut remplacer i par
zéro dans la formule (i3i), et réduire cette formule à
1 (au + i)2t: 9J1
( I 32 ) - = — A •
K ' t 8v/3 a
Quant au nombre des vibrations transversales que la lame exécute-
rait, si ses deux extrémités devenaient libres, il est aisé de voir qu'il
sera encore déterminé par les formules (116) et (124). En effet, dans
ce dernier cas, l'équation (106) doit être intégrée de manière que les
conditions (101) soient vérifiées, non seulement pour x = o, mais
encore pour x = a. D'ailleurs, si l'on fait, pour plus de commodilé,
on tirera de l'équation (106) différentiée deux fois de suite par rap-
320 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
port à x
tandis que les conditions (101) se réduiront à
H = °' dœ=°-
De plus, î(x) étant la valeur initiale de yj0, Î"(x) sera la valeur ini-
tiale de H. Cela posé, il est clair que, pour obtenir la valeur de l'in-
connue H, dans le cas où les deux extrémités de la lame élastique sont
libres, et les vitesses initiales nulles, il suffit de remplacer f(ix) par
f"(ix) dans le second membre de l'équation (n5). On obtiendra en-
suite la valeur de Y]0 par le moyen de la formule
i}9-f(*)= f f VLdx\
et l'on conclura de cette dernière que le nombre des vibrations trans-
versales exécutées pendant l'unité de temps par la lame élastique est
une des valeurs de - déterminées par les formules (i 16) et (124).
Par des raisonnements semblables à ceux dont nous venons de faire
usage, on pourrait encore déduire de la formule (n4) la valeur de £0
relative au cas où la lame a ses deux extrémités libres, et l'on trouve-
rait toujours le nombre N des vibrations longitudinales égal au rap-
port —
Il importe d'observer que le nombre N des vibrations longitudinales
est, en vertu de la formule (i23), indépendant de l'épaisseur ih de la
lame élastique, tandis que le nombre des vibrations transversales, ou
la valeur de - déterminée par l'équation (124), est proportionnel à cette
épaisseur. Donc, lorsque l'épaisseur est très petite, les vibrations trans-
versales s'exécutent beaucoup plus lentement que les autres, en sorte
que, au bout d'un temps peu considérable et comparable à la durée
d'une vibration longitudinale, l'ordonnée Y]0 de la ligne moyenne dif-
D'UNE LAME SOLIDE. »t
ferc très peu de l'ordonnée initiale f(a?). On ne doit donc pas être sur-
pris de voir les équations (n5) et (119) se réduire à
Qh
conséquence
lorsqu'on néglige le carré de h ou de 8= -^=-> et que l'on suppose en
*COS0/,2£ = I
Au reste il était facile de prévoir ces divers résultats à l'inspection des
équations différentielles (82) et (89). Effectivement, l'équation (82),
qui détermine généralement les vibrations longitudinales d'une lame
élastique, est indépendante de l'épaisseur ih de cette lame, tandis que
l'équation (89), qui détermine les vibrations transversales, renferme
dans son second membre le carré de h, et dans son premier membre le
carré de la constante 0 proportionnelle à h. Si l'on néglige h2 et par
suite 02, l'équation (89) se réduira simplement à la seconde des for-
mules (34). Il y a plus, on pourra dans les formules (34) remplacer Y,
par zéro. En effet, pour que les déplacements des molécules restent
très petits, comme on le suppose, pendant toute la durée du mouve-
ment, il est nécessaire que la lame élastique s'écarte très peu d'une
position d'équilibre, et qu'en conséquence Y0 soit une quantité très
petite du même ordre que lr. Donc, en négligeant h-, on devra négli-
ger aussi Y0, et réduire la seconde des formules (34) à
2Ç = o.
Si d'ailleurs on suppose nulle la vitesse initiale d'un point quelconque
de la ligne moyenne, et par conséquent la valeur de -~ correspondante
à / = o, alors, en désignant par i(x) la valeur initiale de y],,', on tirera
de l'équation précédente
Si l'on supposait la valeur initiale de ■— différente de zéro, en la dési-
CEuvres de C. — S. II, t. VIII. 4'
322 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
gnant par F(a?), et négligeant le carré de h, on trouverait
Ces dernières iormules, qui ne doivent être employées que pour des
valeurs peu considérables de t, expriment que, dans le cas où l'épais-
seur de la lame est très petite, la vitesse d'un point de la ligne moyenne,
dans un sens perpendiculaire à cette ligne, demeure sensiblement
constante pendant la durée d'une vibration longitudinale. Cela tient à
ce que, dans l'hypothèse admise, les vibrations transversales s'exécu-
teront, comme on l'a déjà dit, beaucoup plus lentement que les autres.
Mais, si le temps croît et devient comparable à la durée d'une vibration
transversale, il ne sera plus permis de négliger le carré de la quantité/*
et de la constante 0 qui, dans les intégrales générales des équations (89)
et (106), se trouvera multipliée sous les signes sinus ou cosinus par la
variable /.
On pourrait imaginer diverses hypothèses en vertu desquelles les
conditions relatives aux extrémités de la lame seraient représentées,
non plus par les formules (67), (G8), (69) ou (71), (72), (7j), etc.,
mais par des formules nouvelles. Ainsi, par exemple, si les extrémités
de la ligne moyenne, en devenant fixes, prenaient des positions dis-
tinctes de celles qu'elles occupaient dans l'état naturel, les valeurs
de E0, Y]0 correspondantes à ces extrémités se réduiraient, non pas à
zéro, mais à des quantités constantes. On pourrait supposer encore
que les extrémités de la ligne moyenne sont assujetties a rester sur des
courbes données, ou que les plans qui terminent la lame supportent
des pressions ou tensions dirigées d'une manière quelconque et don-
nées en chaque point, etc. Dans ces différents cas, la recherche des
Iormules qui devront être substituées à celles que nous avons obte-
nues se déduira sans peine des principes que nous avons exposés.
Enfin il est clair qu'on tirera aisément des formules (1 14), (n5), etc.
les valeurs de x pour lesquelles les inconnues H0, ri0 s'évanouiront,
quel que soit /, et par conséquent le nombre ainsi que la position des
D'UNE LAME SOUDE. 828
points qui resteront immobiles pendant les vibrations longitudinales
ou transversales de la lame élastique.
Supposons maintenant que l'on considère, non plus une lame élas-
tique, mais une lame solide entièrement dénuée d'élasticité. Alors, en
adoptant les principes énoncés dans l'un des précédents articles
(p. 224 et 22$), et taisant pour abréger
on reconnaîtra que les formules (82) et (89) doivent être remplacées
par celles que l'on en déduit, quand on substitue dans les premiers
membres, aux inconnues H0, ï]0, leurs dérivées relatives à /, savoir
Donc, si l'on pose
Ôlp Orig
ôt ' ôt
ÔE0 _ (h, _
W"°' dt
les inconnues //„, e0, qui représenteront au bout du temps / les projec-
tions algébriques de la vitesse d'un point situé sur la ligne moyenne,
devront satisfaire, quel que soit^r, aux équations
dx- ôt
»£§•+*& =¥.+ £(*,+ .£)■
àx* ôt 6 \ dx J
Dans le même cas, si ta force accélératrice o s'évanouit, on aura sim-
plement
dx1 ~" ôt '
dur ôt
11 sera également facile de trouver les conditions qui devront être rem-
plies aux deux extrémités de la lame solide, el l'on pourra ensuite dé-
324- SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
terminer les valeurs des inconnues à l'aide des méthodes développées
dans le Mémoire déjà cité.
Parmi les formules obtenues dans ce paragraphe, celles qui sont
relatives à l'équilibre ou au mouvement d'une lame élastique sollici-
tée par une force accélératrice constante et constamment parallèle à
elle-même coïncident avec des formules déjà connues, et particulière-
ment avec celles que renferme le Mémoire d'Euler, intitulé : Investiga-
tio motuum quibus laminœ et virgœ elasticœ contremiscunt (voir les Acta
Academiœ petropolitanœ pour l'année 1779). Elles doivent donc s'ac-
corder aussi avec celles que renferme le Mémoire présenté par M. Pois-
son à l'Académie des Sciences, le 14 avril dernier ('). En effet, après
avoir annoncé, dans les Annales de Chimie, qu'il déduit de la considé-
ration des forces moléculaires les équations relatives, soit à tous les
points, soit aux extrémités des cordes et des verges, des membranes et
des plaques élastiques, M. Poisson ajoute : Parmi ces équations, celles
qui répondent au contour d'une plaque élastique pliée d'une manière
quelconque, et celles qui appartiennent à tous les points d une plaque ou
d'une membrane qui est restée plane n'avaient pas encore été données; les
autres coïncident avec les équations trouvées par différents moyens. Il
paraît d'ailleurs par ce passage que M. Poisson s'est occupé seulement
des lames et des plaques élastiques d'une épaisseur constante qui,
étant naturellement planes, ne cessent de l'être qu'autant qu'elles sont
pliées etcourbées par l'action d'une cause extérieure. Lorsqu'une lame
ou plaque est dénuée d'élasticité, ou naturellement courbe, ou d'une
épaisseur variable, on parvient à des équations d'équilibre ou de
mouvement qui sont très distinctes des équations déjà connues, et ne
sont pas indiquées dans le passage cité. C'est ce que montrent les cal-
culs ci-dessus effectués, et ceux que nous développerons ci-après ou
dans de nouveaux articles.
(') Ce beau Mémoire, dans lequel M. Poisson a déduit le premier de la considération
des forces moléculaires les équations relatives à l'équilibre ou au mouvement des cordes,
des verges, des membranes et des plaques élastiques, s'imprime en ce moment, et doit
paraître dans le tome VIII des Mémoires de l'Académie des Sciences.
DUNE LAME SOLIDE. 325
§ XJ i_ _ Équations d'équilibre ou de mouvement d'une lame
naturellement droite, mais d'une épaisseur variable.
Dans le paragraphe précédent, nous avons regardé comme constante
l'épaisseur 2 A de la lame solide. Supposons maintenant que cette épais-
seur soit variable; mais admettons, pour plus de simplicité, que, étant
toujours très petite, elle se trouve primitivement divisée en deux par-
ties égales par l'axe des x. h deviendra une fonction de x, et la section
faite dans la lame solide par le plan des x, y sera renfermée dans l'état
naturel entre deux courbes représentées par les équations (17). D'ail-
leurs, si l'on suppose/ fonction de x, les angles a, £, formés par la
normale à la courbe dont x et y sont les coordonnées avec les demi-
axes des x et y positives, se trouveront déterminés par l'équation
cos a dx -+- cos (3 dy = 0 ou cos a -+- cos (3 ^ = o.
Donc, si cette courbe se confond avec l'une de celles que représentent
les équations (17), on aura
dk o dk
(i33) cosa-hcosP-7-=o- ou cosa — C0SH^ — °-
De plus, si l'on continue de regarder comme infiniment petits les dé-
placements des molécules, et si l'on détermine toujours la variable r
par l'équation (5), les formules (i33) subsisteront encore sans erreur
sensible, après les déplacements dont il s'agit, la première pour
r= — h, la seconde pour r=h. Par conséquent, on tirera des for-
mules ( \) : i° pour r = — à,
. dh „ ,. d/i dh u
(,34) Agj+F^-Pgj. F-g-n-I^-P;
20 pour r ■-- h.
Enfin, si l'on développe les quantités A, F, B, X, V, Ç, f\ suivant les
036)
326 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
puissances ascendantes de r, à l'aide des équations (19), (20), (21),
(22), on trouvera, au lieu des formules (27),
• v h% ->- «_/A \idh v 17 h' (k i *" \i dh V dh
| ».+B.?+-.-+(F.+.v)*£= "P. ^ + B.»+....t(F, + F.f+...)ig
= 0;
mis, on en conclura, en négligeant dans une première approximation
dh
dx
les termes du même ordre que la fonction h et sa dérivée 5-
(i37) F„=o, B0--P; Ft=-(A.+ P)i'S, B1=o,
li dx
Cela posé, la première des formules (33) et la première des for-
mules (34) devront être remplacées par les suivantes :
(,38)- £-<A. + P)J £+,*-.>
Quant à la seconde des équations (33), elle continuera d'être fournie,
ainsi que la seconde des équations (34), par la première approxima-
tion; mais elle acquerra de nouveaux termes et offrira le moyen de
déterminer la valeur de A,, si l'on a recours à une approximation nou-
velle. Concevons, en effet, que, dans les formules (1 36), on conserve
les termes proportionnels au carré de h. On tirera de ces formules
(i4o)
puis on conclura de celles-ci. combinées avec la première et la seconde
des équations (23), la seconde et la troisième des équations (24), et
F,=-
h2 dh
-_f,_a,as,
B0^-P_-B,
2
_. , dh
-Fih-j-i
dx
F,=-T
-<v>i«-
h2 r, i., dh
0 1 dx
B»^=
h- 1 dh
~6}h-¥ohdx
1 dh h"-
1 dx 6
dh2
rAidx*>
D'UNE LAME SOLIDE.
327
l'équation (i38)
,, h* fd\l v
A, h
dh
dx
'Y— — h d%k
(,«,) (B.^-P4.-P(Y, + X.i^j + (A.+ P)v^, a<to,
dx'1
Par suite, la première des équations (24) donnera
, . , A- <i2A, , <7-A
ou, ee qui revient au même,
Vo+^(
rfXA v dh
dx } dx
. ,_. d2Al 3 . d'h ( 3 ,. 1 „ rfX, 3 „ c/A
(>43) -^--A.^-s+p _y0+-\1+ -^-+-rX,
dx2
dx1
dx
dx
De plus, comme la variable r, comprise dans les équations (19),
(20), etc., est une quantité du même ordre que h, on conclura de ces
équations, combinées avec les formules (i4o) •' T° ?» négligeant, dans
le développement de A, les puissances de h supérieures à la première,
(4o) A = A8 + A,r;
2° en négligeant, dans les développements de F et de B, les puissances
de // supérieures à la seconde,
F=F0+F,/-4-F2
-S-5<p+A«+A":>»
(i44) B = Be-i-Bï-=B0(i-^
2 \ 11-
/*- ' h dx
«.(-£)-£
P-<A.+ P,£]
Enfin, si l'on substitue dans les équations ( 1 4 4 ) les valeurs de F0 et B0
tirées des formules (r \ 1), on trouvera
(.45)
dh
r dh
»-i(^'+P».V-'*)-M£-(A.+ P)jt4i
1, ,, • /.r ,- 1 dh A„-f-P 1 «PAN,,. ., , . c/A-
r/.r2
('47
328 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Los équations (i43), (i45) sont relatives à une lame solide en équi-
libre. Si de l'état d'équilibre on passe à l'état de mouvement, il faudra
dans ces équations remplacer les quantités (44) par les quantités (45).
On trouvera donc alors, en négligeant les termes proportionnels au
carré de h,
046)
d*Ai 3 tPh /3Y0 i v
~dx^ ~ h Al d& + 9\lë + 2 -
4-^ + îx
dx h J
""^vA* dt* h2 <^2 ' dxdtx
3 dȣ. dh
+ 7 -TT -7-
h ut- dx
dh\
dx J
et, en négligeant les termes proportionnels au cube de h,
_ i \~dAi /v <?2£i\~l,,, >x l i dh .. _,/■ rfA
B--P+Ê
v ^2i0i /v à2^o\ i û?A A0+P i d-h
j£2 \ d£2 / A «ta? o h dx-
(A.-r^-MÀ.H-P)^
Quant à la valeur approchée de A, elle continuera d'être déterminée
par l'équation (4°)» l'erreur étant du même ordre que h2.
Supposons maintenant que la lame proposée devienne élastique, et
que son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors, en adoptant
les mêmes notations que dans le second paragraphe et combinant les
formules (37) avec les équations (137), on retrouvera les valeurs de
?«• *}«» Tn données par les formules (58), et les valeurs de A0, A, don-
nées par les formules (39), ou, ce qui revient au même, par les sui-
vantes
(,48j) A;=pû.^_|, A, = -pn^,
(2 désignant toujours une constante positive propre à vérifier l'équa-
tion (62). Mais la quantité E2 acquerra une valeur nouvelle, savoir
, / v t —1 ^!l» _ 2 Ao+P I dh_
[lW> -2_ 9 dx* 0 — 1 K h dx'
ou, ce qui revient au même,
, ,■ v 1 â2c0 2 [""., dco PI 1 ^
D'UNE LAME SOLIDE. 3*)
Cela posé, s'il y a équilibre, les équations ( 1 38) et ( r 4 ^ ) donneront
/J-c',, i dh cil0\ v 0 — i P i dh
et
/ s«i <m(lld>r>o d9-/id2rl0\ h2 / rfXA . *M
(,;,a) - *(j ^ " m d^) = Y*+ tvYi+ 2 "s:; + 'as*-
Si, au contraire, la lame élastique se meut, on tirera des équa-
tions (i3f)) et (i 46), combinées avec les formules (.j8) et (i48),
1 53 ç» (^lk _ 1 *È. Êî\ -4- \ _ G ~l — — — £1&
\ dz-2 // rf.r dr/ 0 ph dx dt1
et
(i54
| \5 <fce* dx* dx1) dt* dx dx dt1 3 \' <>Jj)dx2ûï-
v A" /v rfXA . rfA v
D'ailleurs, en faisant, pour abréger,
(«55) ïj, — A-r- -j- — -s- { i 5 -— - = y,
</x- dx à \ 20/ dx-
<•{, négligeant les termes de l'ordre de /r, on conclura de l'équa-
tion (i 54)
/ khs r»L(h&y d2hô2y\ à2v v /<S/Y dXA .dh-,
Donc, puisque, en vertu de la formule (i55), l'ordonnée ri0 de la ligne
moyenne sera très peu différente de la fonction y, on aura encore à
1res peu près
t ~ \ <vifl1 d''rin ll2h â2ri0\ d2rl(l v A* /_, r/\A , dh _
Ajoutons que les valeurs approchées des déplacements :, i\ cl de la
pression A continueront d'être déterminées, comme dans le second
paragraphe, par les équations (64) et (65). Quant aux valeurs appro-
chées des pressions F et B, elles se déduiront des formules (il»).
OEtivrcs de C — S. Il, t. VIII. \ >.
3:îO SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
( i %'j) combinées avec les formules (58), ( r ^ 8 ) , et seront, dans le cas
d'équilibre,
/ r- » Ar Oi^A/M *v_l. cnhdhdl** [O,^o ^0-i P\rdh
(.58) ' B=-P-K-p
2
i rfA /^.û£0 9 — i P\ i rf*A"
Y -+- \ - -- — I Q* -2Ï
h dx \ dx 0 Q J li dx'1
-i P\ dh2
dx ' 0 p J dx2
(*»-#*)
rt1& 9 — i P\ rfA
Observons, de plus, que, pour tirer des formules (i58) les valeurs
approchées des pressions F, B dans le cas du mouvement, il suffira de
substituer aux quantités X0, X,, Y, les différences
-V ÏTT — A.! -h j t-t > l| rrr — I i
•° tf<* ' ' ôtr- — ' ()X^ d** " ' 0 dxdt^
et que la seconde de ces différences, en vertu de l'équation (i5j), sera
sensiblement équivalente à l'expression (92). On aura donc, dans le cas
du mouvement,
■ F = 1 p (x, + %i - s* Ç$} (*•- ,•') + f&h p. £2?- p (p.. «&+•=■£)>*
2 ' \ </*-' dx / <£# ox-2 ' \ dx Q p J h dx
d%\ i dh _ /Q2 d& O — i P\ I ePh*
(i59) B = -P + -p Yi+i/^ +(x°
2 I \ 0 (/J? t/^v \ c>£ / « «2e \ dx d p J li dx-
Q»^î _u. ^JTJ: F_\ dh*
dx 0 p J dx-
Les équations (i5i) et (1.J2) ou (i53) et (137) sont les seules qui
subsistent dans le cas d'équilibre ou de mouvement, pour tous les
points de la ligne moyenne, entre les inconnues £0, y]0 et les variables
indépendantes x, t. Mais, pour déterminer complètement ces incon-
nues, et fixer les valeurs des constantes arbitraires ou des fonctions
arbitraires introduites par les intégrations, il sera nécessaire de joindre
aux équations dont il s'agit les conditions relatives aux deux extré-
mités de la lame élastique. Si, cette lame étant terminée par deux plans
perpendiculaires à la ligne moyenne, et correspondants aux abscisses
x = o, x = a, les deux extrémités sont fixes, alors, pour chacune de
D'UNE LAME SOLIDE. 331
ces abscisses, les inconnues Ç#l rio devront satisfaire aux conditions
(67), (68), (69). Mais, si la seconde extrémité devient libre, alors,
pour x = a, les formules (70) devront être vérifiées, quel que soit r,
et entraîneront : i° la condition (71); 20 les conditions (72) dont la
dernière devra être remplacée, quand il y aura mouvement, par la con-
dition (91). Si les deux extrémités étaient libres, les conditions (71 )
et (72) ou (91) devraient être vérifiées pour x = o, ainsi que pour
x=a; mais elles ne suffiraient plus dans le cas d'équilibre pour déter-
miner toutes les constantes arbitraires, ce qu'il était facile de prévoir.
Enfin, si, les deux extrémités étant libres, la lame élastique se trouvait
terminée par deux plans perpendiculaires, non plus à la ligne moyenne,
mais à deux droites comprises dans le plan des x, v, et qui, prolongées
en dehors de la lame, formeraient avec les demi-axes des x et y posi-
tives, la première les angles a', fi', la seconde les angles a", fi", alors,
en raisonnant comme dans le paragraphe précédent, on établirait
encore pour chaque extrémité la condition (71) et la première des
conditions (72). Mais la seconde des conditions (72) devrait être rem-
placée, dans le cas d'équilibre, par l'une des formules
(l6f) " d^-Xi+\ l °/i dx) cosa"'
et, dans le cas de mouvement, par l'une des suivantes :
1 &1cfl (x à*-Z0\ 1 dk~\ cos(5'
1 0 dxdt* V <W h dx\ COSa'
1 d*lo (x _ dj%\ 1 din cos(3"
'^ôdxdi'^V àt-J h ctejcoscc'
Si, les plans qui terminent la lame élastique étant perpendiculaires
à la ligne moyenne, l'un de ces plans supportait une pression <P diffé-
rente de P, alors, pour chacun des points situés dans le plan dont il
s'agit, l'inconnue c{) devrait satisfaire, non plus à la condition (71).
mais ii la condition (77).
W-2 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Dans le cas particulier où la force accélératrice 9 et la pression P
s'évanouissent, on tire des équations (i53), (107)
(yyfà2i0 1 dh dl0\ _ d'-co
1 dx* h dx dx) ' dt
(«65) &h(\ %£ - Ç4 ftï + ^ = o.
Dans le même cas, les conditions (72), (160) et (161) coïncident avec
les conditions (toi), tandis que les formules (162), (i63) se rédui-
sent à
(,66)
02 £3. _
\0 d-rdf*
1 rf/i
d1^
cos3'
cosa'
(167)
0-2 <***>«
/1 *ۥ
\ 5 d.r d*2
1 dh
li dx
dt*)
cosS"
1 cosa"
Lorsqu
on
su
ppose
(168)
h — b{
1 4- c.r),
b et c désignant deux quantités constantes, les deux courbes repré-
sentées par les équations (17) se réduisent à deux droites, et, par
suite, les surfaces cylindriques qui terminent la plaque donnée dans
l'état naturel se réduisent à deux plans. Dans cette hypothèse, les
équations (164), (i65) deviennent respectivement
(169)
(170)
Nous renverrons l'intégration de ces dernières à un autre article.
§ IV. — Equations d'équilibre ou de mouvement d'une lame
naturellement courbe et d'une épaisseur constante.
Considérons, comme dans le § II, une lame solide dont l'épaisseur
constante soit représentée par ih. Mais supposons que la ligne moyenne
de la section faite par le plan des x, y coïncide dans l'état naturel avec
02 /
'à%
c
àlo
\-
d%
\
dx'1
I -f- ex
dx
)
dt*'
&b
3
■ i + cx '-r-r
dx*
-h
dt*
— 0.
1)1 NE LAME SOLIDE. 3$)
une certaine courbe, qui change de forme tandis que les molécules se
déplacent. Soient, d'ailleurs, dans l'état d'équilibre ou de mouvement
de la lame solide,
m une molécule comprise dans le plan des oc, y;
r, y les coordonnées de la molécule m;
r la normale abaissée de la molécule m sur la ligne moyenne, e( prise
avec le signe -h ou avec le signe —, suivant que la molécule /// est
située d'un côté ou d'un autre par rapport à cette ligne;
x, y les coordonnées du point où la normale dont il s'agit rencontre la
ligne moyenne ;
s l'arc de la ligne moyenne, mesuré à partir de l'une des extrémités
jusqu'au point (x, y);
t l'inclinaison de la ligne moyenne par rapport à l'axe des r, c'est-
à-dire celle des racines de l'équation
dv
(,;,) tangT = ^
qui otfre la plus petite valeur numérique. On trouvera, pourvu que
l'extrémité de l'arc s et le sens dans lequel on compte positivement la
normale r soient convenablement choisis,
dp) Ts=cosr> ^ = S,MT'
(173) .r = x — rsinr, y — y -+- /-cosr.
Cela posé, si l'on prend pour variables indépendantes /• et s au lieu de
.t et y, on aura
/ d.r ( dt\ à y ( dx .
/ dx . <)v
f -.— = — SUIT, -r- = cosr.
\ Or ôr
Par suite, les dérivées de A, B, F prises par rapport aux variables .r, v,
et renfermées dans les équations (1), seront déterminées par ^v^ for*
33i SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
mules semblables à celles-ci
K, dlL ( dz\fdk dk . \ dk dk . dk
(,75) ^ = (1-,*^K^C0S7 + ^7smV' ^=-^s,n^^cos-
en sorte qu'on aura
dk dk .
dk dk . ds C0Sr dk dk ds*m7
(176 -r- = r-sinr-i 7-, -T-- = -^- cosT-l T-
dx dr dz dv dr dz
ds ds
Donc les équations (1) donneront
dk dF .
j* jr -3-cos- 4- -.- sinr
d A . dl ds as
r-sin- -+- -v- cost -\ -. hpX-o,
or Or dz r
l-'ds
(177) '
dF dB .
m u» "J-0087 + -y- suit
dv . dB ds ds
- -r- SUIT H- -v- C0S7 H ; 1- 0 Y =0.
dr dr dz r
1 — / —
ds
De même, on tirera des équations (2)
dk d¥ .
1* >E< -y- COST -f- -y- SUIT
tfA . dr ds as ,.,
, SUIT 4- -y- COST H : h o(\ — -\.) — o,
a/" dr dz '
I — r r
as
(178) <
i dF dB .
J )r m -T-COSTH--J-S1DT
I dr . dB ds ds
f • r- siriT 4- -5- cost H ; ho \ — ÎT ) =0;
a/- dr dz
as
puis, en admettant, comme dans le § II, que les déplacements des
molécules sont très petits, on en conclura
dk dV .
H j» -y- COST 4- -.-SUIT ._
1 dk . dv ds ds „ d*c
1 ]-rd~s
(■79) <
dF dB .
,., .T> -r- COST 4- -y- SUIT M
dk . dB ds ds „ d2^
- -y- SUIT 4- -r-COST H ; h p\ = O -r-r-
dr o/1 ^t r ' dt-
i—r-p
as
DUNE LAME SOLIDE. 335
Los formules (177) et (179) subsisteront, quels que soient ;• et s, les
premières, clans l'état d'équilibre, les autres, dans l'état de mouvement
de la lame courbe. Quant aux formules (4), elles devront être véri-
fiées, lorsque, en attribuant à la variable r une des valeurs — h, 4- h,
on remplacera cosa par —sine et cos[J par cost. Donc, les pressions A,
F, B devront satisfaire, pour r= — h et pour r = h, aux deux condi-
tions
(180) (A-HP)sinr — Fcost = o, F suit— (B + P) cosr
o.
Concevons maintenant que, dans les équations (177), (179)' (*8o)«
on développe les quantités A, F, B, X,Y, H, iq, considérées comme fonc-
tions de s et de r, suivant les puissances ascendantes de la variable r, ef
que ces développements continuent d'être représentés par les seconds
membres des formules (19), (20), (21), (22). Supposons, d'ailleurs,
constantes la pression P et la densité A relative à l'état naturel de la
lame solide. La densité p, infiniment peu différente de A, pourra elle-
même être regardée comme constante, et les formules (177) devien-
dront
Ficosx — Ai Binx-H(FtC08x — A,8int)r-h(F,co«,e— Ajsmt)— — . ..
Bjcos-: — F, sin-r-4- (Bacosx — F» sinT)r-+- (B|C08t — F»8inT)— -H...
Donc, puisque ces formules doivent subsister, quel que soit r, on aura
d\0 dV0 . v
Fjcosr — Atsinr-+- -7-cosr + —r- sinr + pX0=o,
dkx d¥{ .
: F, cosr — A.,sinr + -7-cosr ■+- -7- suit
(182) ' - ■ as as
fdkt dV0 . \d~ .
:tt<> SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
i, ,^ • «?F0 d\i0 .
i B, cosr — F, suit -h -— cosr -+- ■— suit -hpY0 = o,
In r • ^1 <^B, •
, 02v / BtCOST — Ft8inr-4- — r^COSTH r^Sllir
(iW) ', eu rf5 ,
c/F0 <flî0 . \d-
— r-cosr-i t— suit -.- +o\, = o,
«5 «s / as
Mais les formules (180), qui devront être vérifiées seulement pour
r = — // et pour r = //, donneront
(A0+ P)sii>7 — F0cosTH (A. star— F, cosr) -j-...=±o,
i a
('8',)
A, siiir — F, co.S7+ -^(A3 cosr — F3 sin?) -h... = o,
Fosinr — (B0 + P)cost+ — (F, sinr — B, cosr) -+-.. . — o,
Fj sinr — B! cos- + -g (F3 siriT — B3 cosr) ■+-. . . = o.
Les équations (i83), (184) sont relatives à l'état d'équilibre de la lame
courbe. Si cette lame était en mouvement, il faudrait remplacer, dans
ces mêmes équations, les quantités
(«85) X0, X„ X2, ..., Y„ Y„ Y„ ...
par les différences
1 y ^c'° v ^li v (PL,
^-■^T' X'-"^' Xl~-dF' '••'
(186) <
/ v d2nt) v (P-ni v d-n,
! **—w Y'~ ^' ^-^' '•••
II est important d'observer que, dans les formules précédentes, A0, F„
et F0, B0 expriment, comme dans le § II, les projections algébriques
des pressions ou tensions exercées au point (x, y) de la ligne moyenne
(•outre des plans perpendiculaires aux axes des x et r, tandis que H0, tj,
expriment les déplacements de ce point mesurés à partir de sa position
D'UNE LAME SOLIDE. 337
primitive parallèlement aux mêmes axes. Quant aux quantités (i85)
(jni représentent ce que deviennent, pour r= o, les fonctions
v àX d*X Y d\ <J'Y
dans le cas où Ton considère comme variables indépendantes l'arc s de
la ligne moyenne et la distance r mesurée à partir de cette ligne, on
pourra facilement les déterminer en faisant abstraction du changement
de forme de la ligne moyenne qui n'aura sur les valeurs de ces mêmes
quantités qu'une influence insensible.
Il reste à montrer ce que deviennent les formules (182), (i83),
(184), dans le cas où la quantité h est très petite. Or, si l'on néglige
dans une première approximation tous les termes qui ont pour fac-
teur h-, on tirera des formules (184)
(187) (À0-+-P)sinT— F#co*r = o, F0sin-r — (B0+ P)cosx = o,
(188) A, sinr — Fj cost = o, E, suit — B, cost = : o,
puis, des formules (182), (i83),
(189) -j-^cost-i- -r-^sinr-h pX0=o, -7- cost h- —j- sinr 4- pY0 = o.
Si maintenant on élimine entre les formules (187), (189) les pres-
sions A0, F0, B0, on en déduira une équation de condition entre les
forces accélératrices X0, Y0. Pour effectuer l'élimination, transportons
d'abord dans les formules (189) les valeurs de A0 et de B0 tirées des
formules (187). On trouvera ainsi
. d¥0 „ , dz v dF0 ,, . dz v
(190) —j1 — F0cotT-y- + pX„sinT = o, —j — h F0 tangT-7- +pY0cosr=:o;
puis, en faisant, pour abréger,
(1.9O
dx 1
— — >
ds
OEuvres de C. — S. II, t. VIII. 4^
338 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
on tirera clos formules (190)
[ F0= p i(X, s'inr — Y0 cosr) sinr cosr,
(«9*) ) rfF, /v • 3 v
et, par suite,
iq3) L v y— — -- +\0<'osr ■+- Y0sinr = 0.
• ' as
Doue, une lame naturellement eourbe, et d'une épaisseur constante
mais très petite, ne peut rester en équilibre après un changement de
forme presque insensible, à moins que les forces accélératrices appli-
quées aux divers points de cette lame ne soient telles que l'équa-
tion (193) se trouve à très peu près vérifiée. Si l'on donne a priori
ces forces accélératrices, l'équation (193) déterminera l'angle t con-
sidéré comme fonction de s, et représentera la courbe à laquelle la lame
se réduira dans le cas d'équilibre, lorsque son épaisseur deviendra
infiniment petite. Cette conclusion est indépendante de la nature de la
lame et de son élasticité plus ou moins parfaite. Elle subsiste même
pour une lame entièrement dépourvue d'élasticité, et la courbe dont
nous venons de parler est précisément celle qu'on obtient, en suivant
les principes connus, quand on recherche les conditions d'équilibre
d'un fil parfaitement flexible renfermé dans un plan et sollicité par
une force accélératrice qui varie d'un point à un autre. Dans le cas
particulier où la force accélératrice devient constante et constamment
parallèle à elle-même, la courbe dont il s'agit est ce que l'on nomme
une chaînette. Si l'on suppose, par exemple, la force o réduite à la gra-
vité g et parallèle à l'axe des y, on aura
\0=o, Y0=£%
et l'équation (193) donnera
(ic)4) rf(*cosT) = sinT<ft = rfy,
puis on en conclura, en intégrant et désignant par b une constante
D'UNE LAME SOLIDE. 339
arbitraire,
ds
y = b ■+- v C0S7 — b -H COST -T- •
On aura par suite
ds _ sinTffr,
y — ^ cosr
puis, en intégrant de nouveau et désignant par c une deuxième con-
stante,
(«95) r-^ê^b'
Enfin de l'équation (195), combinée avec la suivante
, _ dx2 _ __^_
' ca8T— ^— rfx«-h^y,*'
on tirera
-+-
et, par conséquent,
a désignant l'abscisse correspondante à l'ordonnée 6 + c. Comme
l'équation (196) peut être remplacée par celle-ci
x — a
-[^-VA^F'l
on en conclut immédiatement, en passant des logarithmes aux
nombres,
z x — a x — a
b 1
(197)
— - \e s -+- e
Telle est effectivement l'équation de la chaînette en coordonnées rec-
tangulaires.
Il est bon d'observer : i° que la quantité désignée par t, et déter-
minée par la formule (191), est précisément le rayon de courbure de
3iO SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
la courbe (193); 20 que les binômes
('98) X0cosT4- Y0sinr, Y0 cost— X0 sinr
représentent les projections algébriques de la force accélératrice appli-
quée au point (x, y) sur la tangente à cette courbe prolongée dans le
même sens que l'arc s et sur la normale r. Donc, si l'on désigne par s0
et&0 ces mêmes projections algébriques, l'équation (193) pourra être
réduite à
(.99) ^ri=-s«-
Passons maintenant à une approximation nouvelle, en supposant
que la quantité h, quoique fort petite, devienne très supérieure aux
valeurs numériques des déplacements 5, yj. Alors, par des calculs sem-
blables à ceux que nous avons effectués dans le premier paragraphe,
on déduira des formules (182), (i83), (184), non plus l'équation d'une
courbe dont la lame élastique, soumise à la force accélératrice 9, devra
s'écarter très peu, soit dans l'état naturel, soit dans l'état d'équilibre,
mais les valeurs approchées des déplacements très petits des molé-
cules, ainsi que le changement de forme de la lame; et les résultats
auxquels on parviendra seront différents suivant qu'il s'agira d'une
lame élastique ou dépourvue d'élasticité. On peut d'ailleurs simplifier
notablement les calculs dont il s'agit, à l'aide des considérations sui-
vantes :
Soient
#,, p, les pressions ou tensions supportées, au point {oc, y) de la lame
solide, par deux plans perpendiculaires l'un à l'arc s de la ligne
moyenne, l'autre à la normale r, du côté où l'on compte positive-
ment la longueur s ou r;
,l„ 3 les projections algébriques de la pression ou tension />, sur la
tangente à l'arc s et sur la normale r;
3, aib les projections algébriques de la pression ou tension p.2 sur les
mêmes droites;
D'UNE LAME SOLIDE. 341
8, n les projections algébriques sur ces droites de la force accéléra-
trice o;
a,, (3, les angles formés par la tangente à l'arc s prolongée du côté où
cet arc se compte positivement avec les demi-axes des x et y posi-
tives ;
a2, (32 les angles formés par la normale r prolongée du côté où /• se
compte positivement avec les mêmes demi-axes;
A,, ~k2, ut, [X, les angles formés avec ces demi-axes par les directions
des forces pt,p2.
On aura évidemment
(900) cosa^ cost, cos(3] = sinr,
(201) cosa2=:— sinr, cos(32— cosr.
De plus, comme les angles formés par les forces accélératrices <p, d'une
part, avec les demi-axes des x et y positives, d'autre part, avec la tan-
gente à la ligne moyenne et la normale r, auront respectivement pour
cosinus :.i° les deux rapports
X Y
■2° les rapports
' r
8 <&
— , — ,
on trouvera encore
-SX Y Xcost -+- Ysinr
1 "s x Y «
[ - z= — cos a, h cos S, =
} 9 ? ?
?
(202) <
U X Y a Ycosr-XsiiiT
( — = — cos a, -\ — cos 3, =
\ cp cp o 9
Par suite, les projections algébriques S et<ft de la force accélératrice ç
sur la tangente à la ligne moyenne et sur la normale /• seront détermi-
nées par les formules
(203) 8 = Xcost + Ysinr, «&:= Ycosr — Xsinr.
Si, dans les mêmes formules, on remplace X, Y par les projections
(2IO)
342 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
algébriques de la pression />,, ou/?,, sur les axes des x et y, on devra
remplacer en même temps s et Si par A et j ou par § et ail,. On trouvera
de cette manière
(20^) <A> =/>,(cos>., cost + cos^jsin-), J — />,(cos/jl, cost — cos/., suit),
(ao5) $ = p2 ( cos X, cos r 4- cos /*, sinr), tft = /?.2(cosfz2 cost — cos/., sinr).
Enfin l'on aura, en vertu des équations (3),
(206)
(207)
( Pi cos/.! = A cosaj + F cos (3,=: A cost + F sinr,
I pi cosfii = F cosajH- B cos£,:= F cost -4- BsiiiT,
\ Pi cos/\2 =: A cosa2 + F cos|3»= F cost — AsinT,
/ p2 cosp.2= F cosa2+ B cos(32= B cost — F sîiit;
cl l'on tirera de ces dernières, combinées avec les équations (204),
( ao5),
/ <JU = Acos2t + B sin2T -+- 2FsiiiTC0ST,
(208) | ilî? = A sin2T + B cosjt — 2F sinTcosT,
( $ =F(cos2t — sin2T) — (A — B)sinTCOST,
ou, ce qui revient au même,
I a+B A-B
1 cAs = H C0S2T -+- h Sni2T,
1 2 2
(209)
' Di
B
B
C0S2T — Fsin2T,
, „ A-B .
J = ]<C0S2T Sin2T. •
2
Si maintenant on transporte dans les formules (2o3) les valeurs de X,
Y tirées des formules (177), on trouvera
r d(A+B) 1 à(A — B) àF
ov 1 à(A-B) . 2 dT +2 — ar~"C0S2T+^sin2r
C0S2T— - — ; — -Sin2T-f — . j_ 0$ — o,
dl
dr
1 — r
ch
ds
ॠ1 d(k — B) .
irf(A-hB) 1 d(A-H) ÔF . ^C0S2T-2 ds SH12T
C0S2T— 7j-Sin2TH +p&=o,
dr
dr
r
de
ds
D'UNE LAME SOLIDE. 343
puis on en conclura, on ayant égard aux formules (191) et (209),
à$ Os * ds
Or dr
+ 08 = o,
(an)
dii!> ds v
ds
Or
dx
ds
0<ft = O,
ou, ce qui revient au même,
(212)
ds Or vr Or
0.1 0\h 1
Os Or v
H-p( 1 )*=.o,
J(/-ii!»)l / r\ _
X- -^- J+p^--]*=o.
Ces dernières formules peuvent être substituées avec avantage aux
équations (177). Ajoutons que des formules (180) et (207) on tirera,
pour r = ± h,
(ai3)
/>, cosX4=P sinr, f»j cos/jl2 — — P cost,
et que celles-ci, étant combinées avec les équations (203), donneront,
comme on devait s'v attendre, .
(ai4)
i — O, m. = — P.
Concevons à présent que, dans les équations (212) et (21 4). on dé-
veloppe les quantités
x, 5, \iï>, s, a
suivant les puissances ascendantes de la variable /•; et soient, en con-
séquence,
(213)
eAo '— a\on + v%>l f' -\- cl», -\- . . . ,
' 1
(216) i — ^0+ -?i r 4-^1 — t- it
2.3
llî, = \lb0 + Di), /• -I- liii, V &,
a 2.3
(ai7) S =8t + «,r +«, — +...,
^ =^ + il,r +x, . ..,
:m SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
4>4, ~10, \\\>0, St, A», JU,, #,, i)ï>,, S,,'Aj, ... désignant des fonctions de la
variable s, qui représenteront les valeurs de
. rf - . - «M» #? <M (J,S M
-l>, rf, Si», eS, <!K, -r— , —5 — ; — > -5— >
o/' or or or or
correspondantes à r=o. On tirera des formules (212), qui doivent
subsister quel que soit r,
I rfJU, rf 3j / 1 \
(218) / <** * *\ * V
- + *, + - ( ,l,0 - *,) + p^o = O,
(aig) / ^
d,f2
d$, 1 / 1 \
+ l(ï,2 + _. (X, — a A,) h- p f A, - - Ao j = o,
+ A, + I ( X, — 3 *, ) + p ( A, - - A, j = o,
Mais les formules (214), qui doivent être vérifiées seulement pour
r = — h et pour r = h, donneront
rf I'- s V-
-J-o 4- », h. . . = 0, ^t + ,f3 — + . . . r= o,
2 O
(220) {
\ h* h"-
*\ + il',, — -+■ . . . = — P, il!,, + 111,3 - + . . . = o.
\ a o
Si, dans ces diverses équations, on négligeait les termes proportion-
nels au carré de h, les formules (220) se réduiraient à
(221) ^0--o, A9~— P; cfi=o, DÏ,, = o;
D'UNE LAME SOLIDE.
et, par suite, on tirerait des formules (218) et (219)
345
(222)
(223)
WcAoq
ds
H-pS0=rO,
(*l,o+P)-+-pc<R.o = o;
puis, en éliminant X9 entre ces deux dernières, on retrouverait la for-
mule (199). Si, au contraire, on conserve, dans les équations (218),
(219), (220), les termes proportionnels au carré de h, mais, en conti-
nuant de négliger les puissances de h supérieures à la seconde, les
équations (220) donneront
(224) /,=—_/„
A2 A2 -
Hb0 = — P — — Hb, , 9X = — -g 9t,
*,:
- 6 l,î'3'
et l'on tirera des équations (218), (219)
dX
ds
! + p«,+ À,l-V^,j = o)
(225)
dXx 4 ( , 1 , \ A* rf
dXm ; 4 J / , 2 , \
(226)
i(X.+P) + p*.+ |(i*,_I*.-^) = o,
15T + - (--l'-2- 3 *,) h- A, H- p fa,— * *i) = o.
Enfin, si l'on substitue dans les deux premières des équations (224),
ainsi que dans la première des formules (223) ou (226), les valeurs
approchées de #2, #3, i)b2, ub:t, fournies par la troisième et la quatrième
des formules (223), ou par la troisième et la quatrième des formules
OF.ui>res de C. — S. Il, t. VIII. $4
346 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
(226), savoir
ds
f, =--5r-; — .-pfS,-,--*,--^},
1 *,=-
on trouvera
(228)
et
1:
ds
]
i, = »Sd*"
| *,=-p-i-^rix,-i-p^A,-i*,)i)
d (*•->- ■§•*•) *i dx, r. *v. 4, ».yi
ds
_ ( j.0+_ ^ + p \ + _ _! + p | *„+ ._ ( &,_ - a,
I
<!(-*
d.9
]
Lorsque, entre ces dernières équations, on élimine Xs, la pression ou
tension &,Q disparaît en même temps, et l'on obtient la formule
d2rX>]
ds*
ds
ds
H =^[s'--^]
P(5"
d(tvR2)~| 2 , d&t 1 , t&
2 l «• t.
d($t — l»A rfi/gjLlI^jj
rf.ç
ds2
'
Il est bon d'observer que, la différence
(232)
ds
D'UNE LAME SOLIDE. 347
devant être sensiblement nulle clans le cas d'équilibre, le produit
compris dans la formule (23i), ne sera pas nécessairement très con-
sidérable, comme on pourrait le croire au premier abord, et que, en
conséquence, la fonction X, , déterminée par cette formule, conservera
généralement une valeur finie, comparable à la pression ou tension ,A,0
que détermine l'équation (223). De plus, comme la variable r comprise
dans les formules (21 5), (216) est une quantité du même ordre que h,
tandis que les valeurs de $i9 ifl>,, fournies par les équations (224), sont
proportionnelles au carré de A, on conclura des formules (21 5), (216)
et (228) : i° en négligeant dans le développement de X les puissances
de h supérieures à la première,
(233) eJlo =: eAo0+ <A>l'",
20 en négligeant dans les développements de i et de « les puissances
de h supérieures à la seconde,
('=î[Tr+'(*-ïl0](*-'*)"
(234) <
t*=-*+ï[£+p(*.-;*.)]t*,-'*>-
Ainsi, après avoir déterminé les fonctions JUa, A, à l'aide des équa-
tions (223) et (23i), il suffira de recourir aux formules (233) et (a34)
pour obtenir les valeurs approchées des pressions X, §, A relatives à
l'état d'équilibre.
Il est facile d'exprimer les quantités ci-dessus désignées par *,,*,,
H„ 89, 81f S2 en fonction des quantités X0, X,,X2, Y0, Y,, Y2. En effet,
si, dans les formules (217), on substitue les valeurs de 8, â\ données
par les équations (2o3), ou plutôt par les suivantes
S = X0cost + Y0sinT + (XiCOsr+ Y, sin -)/•-+- (X2cosr + \2sin:)- 4-. . .,
&— Y, COST— X0sinr+ (Y, cost — X,sinT)r + (Y2cost— X2suit)— +...,
(9.36)
3i8 SUR L'EQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
on en conclura, en égalant entre eux les coefficients des puissances
semblables de r,
( rS0 = XqCostH- Y0sinr, 8t = Xt cost h- Y! sinr, Ss = X2 cost -+- Y2 sinT,
( &„ — Y0 cost — X0sinT, ^1 = Y, cost — X, sinr, #Lj=Yt COST — X2sinT.
Observons encore que, clans les diverses formules auxquelles nous
sommes parvenus, on peut, sans erreur sensible, attribuer à l'incli-
naison t et au rayon de courbure t de la lame en équilibre les valeurs
que présentaient ces mêmes quantités dans l'état naturel de la lame.
De cette manière t et t deviendront des fonctions connues et détermi-
nées de la variable s.
Lorsque, dans l'état naturel de la lame proposée, la ligne moyenne
coïncide avec l'axe des x, on a sensiblement
i
V
.r.
X — k, A = B, £ = F, 8 = X, 11 = Y.
Donc alors les formules (222) et (23o), (228), (233) et (234) se ré-
duisent, comme on devait s'y attendre, aux formules (43), (36), (4o)
et (42).
Supposons maintenant que l'on considère la lame courbe, non plus
dans l'état d'équilibre, mais dans l'état de mouvement : il faudra rem-
placer les quantités
X0, Xj, \%', I0, M) *2
par les différences
v <?2£o v d*lx v d%m dâY}0 v à*ny d2ri2
x°~~^' Xl~~d^y X2~^> ^°~~W Yl~^F' Ï2_ M *
Donc, si l'on fait, pour abréger,
(237) \ cost -f- r\ sinr = y, m cost — £sinT=ô,
c'est-à-dire si l'on désigne par S et par y les déplacements de la molé-
cule m mesurés parallèlement et perpendiculairement à la normale r,
si d'ailleurs on représente par
(238) y my0+ yj/--+-y2 h..., 0 = 0, -+- Ot r + <32 h...
D'UNE LAME SOLIDE.
349
les développements des fonctions y et £ suivant les puissances ascen-
dantes de r, on devra remplacer les quantités
(23g) S9, 8|, S«,
que déterminent les formules (236), par les expressions
(240) 8,
et les quantités
(241)
par les expressions
à'y, , ^£ , ^2y2
<^2
*'-!#' *'
<fc»
(242)
n«
<&0>
cR-i, cR2
^Ô° A
dM,
^2' Jlf
<^2
Par suite, en négligeant d'abord les termes proportionnels au carré de
h, on tirera des formules (222) et (223)
(243)
(244)
cL\>0
Si, au contraire, on conserve les termes proportionnels au carré de //.
on tirera de la formule (23i)
(245)
ds ) 1 d^n
x, ds
ds
3 r rfwi
= 7^pL ° — ^~J
[
+Pl â'8s
ds
2 ds
2 , d&, I
'S°-^
d [ *t — - «0
rfs
*(«.-f».)l
f 2
^2
350 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Observons, de plus, que, si Ton réduit le polynôme
1 0(vè2) 2
do.
2 ds t, ' ds
au seul terme
y>+ TÏ7 +,l,/»_ 777
2
yo
<?M,)'
qui sera en général très grand par rapport aux autres, l'équation (245)
deviendra
d
~d?
ds
i d<&>t 3
t ds ha
d*
'/«
ds
àt*
(246)
3 r </(*&,)-]
I
i d(tAz) i , dAt i
— — hl -+- — —
2 «.S t rfs
-h-x3
ï°«
Quant aux termes qui renfermeront 8,, s2 et A„ on ne devra pas les
négliger vis-à-vis du terme
3 r d(ts\0)-\
En effet, pour que les déplacements des molécules restent très petits,
comme on le suppose, pendant toute la durée du mouvement, il est
nécessaire que la lame courbe s'écarte très peu d'une position d'équi-
libre, et que, en conséquence, l'expression (232) soit une quantité
très petite du même ordre que h2.
Si, après avoir multiplié par y les deux membres de l'équa-
tion (246), on supprimait les termes proportionnels au carré de h,
on obtiendrait la formule
(247)
ai* ~ bc
djtAJ
ds
D'UNE LAME SOLIDE. 351
que l'on pourrait même réduire à
(a48) âti -^=o,
en négligeant avec à'2 la quantité du même ordre §0 ■ t— • La for-
mule (247) ou (248), que l'on peut déduire immédiatement des équa-
tions (243), (244)» e» éliminant Jb0 entre ces équations, est analogue
à la seconde des formules (34), et ne subsiste, comme elle, que pour
des valeurs peu considérables de /. En intégrant deux fois de suite la
formule (248), on trouverait
(249) y.- ^^ =*(*) + **('),
g(s) et F(^) désignant deux fonctions arbitraires propres à représenter
les valeurs initiales des expressions
JM0) dy, &(xèt)
7o
ds ds âs-
Aux équations (223), (23i), (243) et (24G) qui subsistent, dans
l'état d'équilibre ou de mouvement d'une lame naturellement courbe,
pour tous les points de la ligne moyenne, on peut joindre d'autres for-
mules qui sont relatives aux extrémités de cette ligne, et que nous
allons faire connaître. Concevons, pour fixer les idées, que, dans l'état
naturel de la lame élastique, on désigne par « la longueur de la ligne
moyenne, en sorte que les extrémités de cette ligne correspondent à
s = o et à s = a. Supposons, d'ailleurs, la lame terminée dans le sens
de la longueur par deux plans perpendiculaires à la ligne moyenne. Si
les deux extrémités de cette lame deviennent fixes, ou plutôt, si, les
extrémités de la ligne moyenne étant fixes, les points renfermés dans
les plans qui terminent la lame sont assujettis de manière à ne point
sortir de ces mêmes plans, on aura, pour s = o et pour .v = a, non seu-
lement
(25o) y0~°»
(a5i) <50=o,
352 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
mais encore y = o, quel que soit r, et par conséquent
(252) yt=o.
Si, au contraire, les deux extrémités de la lame étant libres, chacun
des plans qui la terminent est soumis à une pression extérieure et nor-
male, désignée par 9, on aura pour s = o, et pour s = a, quelle que
soit la valeur de r,
(253) *, = — Q, § = o;
et en combinant ces dernières formules avec les équations (233),
(234), on en conclura, dans le cas d'équilibre,
(254) X,z=—9,
(a55) ,1^ = 0,
(256) *>!■-,. ,(»,_! »,)=<>.
Ajoutons que, pour passer de l'état d'équilibre à l'état de mouvement,
il suffira de remplacer s0, s, par les différences s0 — -jfr> S, — ~r^
dans la formule (236) qui deviendra ainsi
Enfin, si la lame solide offre une extrémité fixe, par exemple, celle qui
correspond à^ = o, l'autre extrémité étant libre, les conditions (200),
(231), (202) devront être vérifiées pour une valeur nulle de s, et les
conditions (234), (255) et (256) ou (257) pour s = a.
Lorsque l'on combine la condition (254) avec l'équation (223), on
en conclut
9 — P
(258) &Q =
pt
Cette dernière formule montre que, dans le cas d'équilibre d'une lame
naturellement courbe, la force accélératrice normale SL0 doit se réduire
D'UNE LAME SOLIDE. 353
sensiblement à - — pour une extrémité libre. Donc la différente
9— P
doit être, pour une extrémité libre, de l'ordre des termes omis dans
l'équation (223), c'est-à-dire que cette différence doit être de l'ordre
de h~. Si l'on avait égard aux termes de cet ordre, alors, au lieu de la
formule (2.58), on obtiendrait celle que fournit l'élimination de \„
entre les équations (23o) et (254), savoir
(260) -Ao, ■+- 2t — 7-r
(ls-
*,-§*■
d[S,— -t,) 9-P\
Quand on veut tirer parti des conditions relatives aux limites pour dé-
terminer les constantes arbitraires introduites pour l'intégration des
formules (223), (23i), il convient de substituer à la condition (a54)
la formule (260).
On pourrait imaginer diverses hypothèses en vertu desquelles les
conditions relatives aux extrémités de la lame seraient représentées,
non plus par les formules (230), (231), (2V2) ou (255), (236), (2G0),
mais par des formules nouvelles. Ainsi, par exemple, si les extrémités
de la ligne moyenne, en devenant fixes, prenaient des positions dis-
linctcs de celles qu'elles occupaient dans l'état naturel, les valeurs de
7n' <V correspondantes à ces extrémités, se réduiraient, non pas à
zéro, mais à des quantités constantes. On pourrait supposer encore
([lie les extrémités de la ligne moyenne sont assujetties à rester sur
des courbes données, ou que les plans qui terminent la lame sup-
portent des pressions ou tensions dirigées d'une manière quelconque
et données en chaque point, etc. Dans ces différents cas, la recherche
des formules qui devront être substituées h celles que nous avons obte-
nues se déduira sans peine des principes que nous avons exposés.
Dans les diverses équations ci-dessus établies, les quantités y0, o„
désignent les valeurs de y, 8 correspondantes à /• =*= o, c'est-à-dire les
OEuvrcs de C. — S. II. t. VIII. 45
35i SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
déplacements d'un point de la ligne moyenne mesurés perpendieulai-
remenl et parallèlement à la normale r. Ces quantités et les déplace-
ments £0, v]0 du même point, mesurés parallèlement aux axes, sont liés
ensemble par les formules
(261) £0cos7 + Y)nsin-:=y0, y)0cost— £0sin- = d0.
Quant aux quantités x9, $9 et #0, *„ elles représentent les projections
algébriques, sur la tangente à l'arc s de la ligne moyenne et sur la
normale r, des pressions ou tensions exercées au point (x,y) contre
des plans perpendiculaires à cet arc et à cette normale. Remarquons
encore que, si l'on désigne par /la largeur de la lame proposée, la sec-
tion faite dans cette lame par un plan perpendiculaire à l'arc s suppor-
tera une pression ou tension dont les projections algébriques sur la
tangente à la ligne moyenne et sur la normale r seront représentées à
très peu près par les produits
(a6a)
iij Xdr = lf {X9+Xlr)dr=%X9hli
\'Ùdr ='//•(- £)*=$'.«■
et dont le point d'application sera séparé de la ligne moyenne par une
distance qui aura pour mesure la valeur numérique du rapport
J -h
L / X r dr
263) J~k — h~ a%l
l / X dr
Donc le produit de cette distance par la pression ou tension 2X0Al,
c'est-à-dire l'expression
(264) f-M»/,
exprimera, au signe près, le moment de cette pression ou tension par
D'UNE LAME SOLIDE. 385
rapport à l'axe mené perpendiculairement au plan des r, y par l'extré-
mité de l'arc s.
Concevons à présent que la lame proposée "devienne élastique, et que
son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors les quantités A, F,
B seront déterminées par les formules (53) et (54), dans lesquelles x,
y sont regardées comme variables indépendantes. Or on tirera de ces
formules combinées avec les équations (55) et (209)
ix 9 + 1 /dl ân\ 0 — i[(ôl &n\ (ôl ân\ . I
,—, J* 9 + i/dZ ân\ 0-\\(ôl &n\ ( ôl ôn\ . I
£ _ e — i
K = 9
"^)sinaTJ*
ôy dx ) '"' \dx
D'ailleurs, en remplaçant les variables indépendantes x et y par s et r,
à l'aide des formules semblables aux équations (173), (176), on trou-
vera
dl dl . (ôl ôl . \ . (d\ dl .
~ cos2t+ -y- sin2-— I — cosr pSinr 1 sinr +■ I -—-cosr 4- -y^smr
<K
., — -cosr
01 . ôs
= -fsin;H ,
ôr r
dl . ôl (dl ôl . \ (ôl ôl
"inr jcosr '
siri2T — cos2r = — -r-coST— ~ sinr cosr + \~ cosr -1- ~ sinr sinr
OJc ôy \ôy ôx / \ôx ôy
ôl .
„ -r-sinr
ôl ds
= r1 cos r H ,
ôr r
1
ô^ ôr\ .
ô: ôf] ôri ô" . ôs ôs
j h -r- = -=- cosr r1 sinr h ,
ox ôy ôr ôr r
3o(î SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Donc les formules (265) donneront
di ()f\ .
X Q -+- 1 / ^y) d£ . as as
TF = -t-COST— —SIHTM
K 3 \ or or r
àl <)o .
,., ,-cost -+- -r-sinr
0 — i / àf) à' . ■ as as
cosr — .-suit
a \ or or r
ou, ce qui revient au même,
d\ dn .
-A) dm de . „ os ds
-tf = -t-cost r^sinr-i-O :
K dr or r
dl dr> .
, , -,> \ 3-COST + -5- SUIT
; »fc Clfd-n de . \ as ds
(266) < -rr = 5/ — COST — -,-SinT H :
K \or Or / /•
/ an di .
-?■•/>./•»» -, -^-COST r^SlllT
S y — 1 / de on . os as
■=? = -- COST -+- -r- SinT H
K a \ or or • r
Enfin, si l'on combine ces dernières avec les formules (287), on en
conclura
dy ô
JU d<5 , ds t
K d/1 r
(267;
& , do as t
— = y- 1_
K d/' r
K ~ 2 \ d/- +
D'UNE LAME SOLIDE.
357
On trouvera par suite
(268)
1 %
I
(269) '
5 — I /rfÔ0 yn
K = = ~~ds
fdy0 _ o,
ds t
Ooo,
^0
K
ds
yi
*.
^[§ + *-;(t + ?M
U0=.*„+(9_-)K(^-l.),
(^){*.-M'-'»)k[*-^ï(*-^)]'
-»te-H(£-*K(£-*)]«
X, = g \)l)2
puis, en taisant pour abréger
rfâo . y» _ 1
—7— -i — •» >
rt.î t
, v /^n , y0\ __ 1
flfÔ) 1 dl
L/^_?ê^?\-_I6 + P
9 Ws
K
K
on tirera : i° des équations (221) et (269)
i° (les équations (221) et (270)
<*> *.=(«->(£-*)-5=^«-5<
1 P
et k;
I »75) 1
l*.=(»-i)K[^-T-K^-t)]=-(9-i
dJ 5 4-1 J_
I =(..-»«= -(•-j)«s+^(*.+pj.
(„, *i=-*i+(,_«)l($-î!±i*)=|^H-(.-j)?
1W I a 0 -+-
r/.v-
-l.M.
(282)
358 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
On aura donc, en vertu de la formule (62),
p
(277) X0=pL22l - -ç,
(179) *,=:5*,+ ga»2-5-.+ -1—*1.
II est maintenant facile de former les équations qui déterminent les
valeurs des déplacements y0, o0 dans l'état d'équilibre ou de mouve-
ment d'une lame élastique naturellement courbe; et d'abord, si cette
lame est en équilibre, on tirera de l'équation (223) combinée avec la
formule (277)
(280) oq + tjn-?r-i E=0.
d p
De plus, la valeur de do,, déduite des équations (223) et (278), sera
(281) Xi^-pQ'^-^-pSL,.
Enfin, si l'on substitue cette valeur dans l'équation (23i), et si l'on
fait pour abréger
(5)_ ^ d(tSl0) _ 0 + i h2 / d*At dt d2M0 1 dà\0
0 ds 9 '6 \ ds3 ds dsz t ds
\ h'\'j "(««.) 13.,*'.'J **(*'" «^ ,*(*•" «l,)1
3 [_2 2 2 tffc v r ' ' d.S "^ t2 " ° ds ds ûfc2
on trouvera, en ayant égard à la formule (85),
/ oox oa( d'*$ dt. d*J 1 <i2J\
(283) "{>dF + Sd? + Zd?) = *
Or, quand on aura fixé les fonctions I et J à l'aide des formules (280)
et (283), l'intégration des équations simultanées (271) fournira immé-
diatement les valeurs cherchées des inconnues y0, S0. Ces valeurs ren-
fermeront six constantes arbitraires que l'on déterminera sans peine
D'UNE LAME SOLIDE. 359
si la courbe a ses deux extrémités fixes, ou une extrémité fixe et l'autre
libre. Dans le premier cas, les inconnues y0, S0 devront satisfaire pour
s = o et pour s — a aux conditions (2.J0), (2)1), ainsi qu'à la con-
dition (252) que l'on pourra réduire à
dd,
084) ^ = 0.
Dans le second cas, les conditions que nous venons d'indiquer devront
être vérifiées seulement pour l'extrémité fixe, et remplacées, pour
l'extrémité libre, par les formules (2.55), (256), (260), dont les deux
premières, étant combinées avec la formule (281), donneront
(285)
(286)
12-
dj
ds
9
+ I n
6 °'
Û»
rf»J _
ds*
= «i
1 ,
-V
0
dA0
~di
D'autre part, comme on tirera de l'équation (279), réunie à la seconde
des équations (227) et à l'équation (280),
(287)
u=5(»«_*,+i«.)+î*.
- a 1 P
*<**•> ,.*,-£*
ds1
la formule (260), combinée avec les formules (255) et (281), donnera
rPJ 1 1 rf(*t"* J p
(288) j A1 a ' « * \ Pl
-àh-i-^]
Si les deux extrémités de lame élastique devenaient libres, les con-
ditions (285), (286), (288) devraient être remplies pour* = o et pour
s = a. Mais on ne pourrait en déduire que les valeurs de trois des
quatre constantes arbitraires introduites dans le calcul par l'intégra-
tion de l'équation (283). La quatrième constante et celles que fourni-
360 SLR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
rait l'intégration des équations (271) resteraient indéterminées, ce
qu'il était facile de prévoir.
Il importe d'observer qu'à l'équation différentielle (283), qui est du
quatrième ordre et détermine la fonction J, on pourrait substituer une
équation différentielle du sixième ordre qui déterminerait immédiate-
ment l'inconnue y0. En effet, si, dans la formule (280), on remet pour
1 sa valeur, on en tirera
, „ , dy, , t, 1 / „ 6 — 1 1>\
(*8g) JL.._+n.^+_J__j=0,
puis, en éliminant o0 entre l'équation (289) et la seconde des équa-
tions (271), on trouvera
ds 0 0 ds
Or, si l'on substitue le second membre de la formule (290) au lieu de J
dans l'équation (282), on obtiendra évidemment une équation diffé-
rentielle du sixième ordre entre les variables y0 et s. On pourra de
même introduire l'inconnue y0 à la place de la fonction I dans les con-
ditions (285), (286), (288), qui se rapportent à une extrémité libre
de la lame élastique. Enfin il est clair que les conditions (2)0), (2") 1 >,
(284), relatives à une extrémité fixe, pourront être, en vertu de la for-
mule (289), réduites aux trois suivantes :
, . dy0 1 / 0 — 1 P\ d*y0 1 d(vS^)
Par conséquent, si la lame a ses deux extrémités fixes, ou une de ses
extrémités fixe et l'autre libre, on pourra effectuer directement la dé-
termination des six constantes arbitraires introduites par l'intégration
de l'équation différentielle du sixième ordre en y0.
Au reste, ce qu'il y a de mieux à faire, pour simplifier les calculs
relatifs à l'équilibre d'une lame élastique courbe, c'est de substituer à
la fonction J, dans la formule (283), non pas l'inconnue y0, mais la
D'UNE LAME SOLIDE. 361
fonction
<-> -S-
En effet, on obtient de cette manière, au lieu de la formule (283), l'é-
quation différentielle
qui est du second ordre seulement.
Il es( aisé de reconnaître quelle est la quantité qui, dans les calculs
précédents, se trouve représentée par J. En effet, l'inclinaison i de la
ligne moyenne au point (x, y) vérifie, dans l'état d'équilibre de la laine
solide, l'équation (171). D'ailleurs, ct), rti) désignant les déplacements
parallèles aux axes du point dont il s'agit, les différences x — H0, y — ri(,
représentent précisément les coordonnées initiales du même point.
Cela posé, si l'on nomme t — 1 l'inclinaison primitive de la ligne
moyenne en ce point, on aura évidemment
(*94) Un^-^ = ÂZ^'
ou à très peu près
UDKT '.- = -r-1 I r2 4- -r2 I = taniÇT '
cos2t d%.\ dy dx ' »k^ sinrrt.v cosz ds/'
puis, on en conclura, en ayant égard aux formules (261) et (271),
(295) 1 = cosz dn0— si nvdç0— -,- h-— =J.
CIS x.
Ainsi .1 représente, au signe près, la variation qu'éprouve l'angle t,
tandis que la lame courbe passe de l'état naturel à l'état d'équilibre.
Ajoutons que, la courbure delà ligne moyenne étant représentée, dans
l'état d'équilibre, par
1 dx
t ds
OEiii-res de C. — S. II, l. VIII. 46
362 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
la différence
dz dq __ d- di
as ds ds ds
exprimera la courbure de la même ligne dans l'état naturel. Donc la
quantité
représentera, au signe près, la variation qu'éprouvera la courbure de
la ligne moyenne, en raison des déplacements des molécules situées
sur cette ligne.
Observons encore que, si, dans l'expression (264), on substitue la
valeur de.i,, tirée de la formule (281), le résultat de cette substitution,
savoir
097) -jpffA.^-j-j-rA.M.,
représentera, au signe près, ce qu'on peut appeler le moment d'élasti-
cité de la lame courbe, c'est-à-dire, le moment de la pression ou ten-
sion exercée contre un plan perpendiculaire à la ligne moyenne par
rapport à un axe tracé dans ce plan de manière à rencontrer cette ligne.
Dans le cas particulier où la force accélératrice normale <ft0 s'évanouit,
l'expression (297), prise en signe contraire, se réduit à
(,98) l^'"3'§-
Donc alors le moment d'élasticité est proportionnel, non seulement à
la largeur et au cube de l'épaisseur de la lame, mais encore à -j-*
c'est-à-dire, au changement de courbure de la ligne moyenne. Ce ré-
sultat s'accorde avec l'hypothèse admise par Euler dans les Non Com-
mentant et les Acta Academiœ petropolitanœ pour les années 1764
et 1779.
Concevons maintenant que la lame élastique vienne à se mouvoir.
Alors, en négligeant les termes proportionnels au carré de h, et obser-
(3oa)
D'UNE LAME SOLIDE. 363
vaut que l'expression (232) est de l'ordre de A2, on tirera des équa-
tions (2i3), (2V1), combinées avec la formule (277),
(299)
(3oo) i^I + vcV
<)s ds ' dt1
0
— i P
9 P
à*à9 1
dt* '
puis on conclura de celles-ci, en ayant égard à la première des for-
mules (271),
ds*
(Soi)
ou, ce qui revient au même,
„***>_•;,.
-1 P
EU
02
'('$£
<fr«
ds
+
rf'fvA,) 1
<i.v2
- IA.H-
1 P
'£"
<^2
En joignant à l'équation (3oi) ou (3o2) l'équation (248) ou (2^9),
on pourra déterminer celles des vibrations de la lame élastique courbe
qui seront indépendantes de l'épaisseur de la lame. Si l'on veut, au
contraire, déterminer les vibrations qui dépendent de cette épaisseur.
il faudra joindre à la formule (3oo) l'équation (?45) ou (246). De
plus, comme la valeur de JU, relative au mouvement de la lame élastique
scia évidemment fournie, non plus par la formule (281), mais par la
■
suivante
(3o3)
l'équation (246) deviendra
Pl*«-â?r '
(),/r / (W rhM^l^
3 v ds* + ds ds* t ds'1
'[
à2 yo
^(•co„) 0-M h1 ( à:iô, du &$» 1 dà
ds
ds
ds ds*
t ds ;J
<**■
=t,
t pourra être réduite à
A2 / d'<5 rf» d'J
(3o4)
02
3
ds âs:i
1 £J
x dS*
d*1
= *>,
364 SUII L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Lorsque, dans les formules (3oo) et (3o4), on substitue les valeurs
de I et J tirées des formules (271), on obtient deux équations aux dif-
férences partielles, l'une du premier ordre, l'autre du cinquième, sa-
voir,
(3o5)
(3o6)
ds
" 3
d
1 —
ds
ïo
ds*
ds
y*
-1 p
s P
dt2
OS
*(*!. + *
1 \ ds 1
t ds2
<)'-
7o
d(x.ô0)'
ds
dP
= S>.
Si l'on substituait directement dans l'équation (245) la valeur de a,,
fournie par l'équation (3o3), alors, en ayant égard aux formules (272),
(273), on trouverait
9J-^
(3o7) <
-( ?J cIl â*'J
3 \ ds1* ds ds*
» h'2
,à"
kQ
26
1 ^y
t ôs-
ds*
<)'
y»—
rf> âl\ 3 _r_ dl
r/.v ds j x ' 9, 02 ds
d*3o
0 \ v ds*
ch d*àô
ds ds2
ds
dt2
Pour revenir de cette dernière à l'équation (3o4), il suffira de négli-
ger, dans le second membre, le terme qui renferme le facteur h2. Or,
c'est ce que l'on pourra faire sans erreur sensible, la quantité h étant
supposée très petite. .Mais il ne sera pas permis de négliger de même,
dans le premier membre de l'équation (307), le terme proportionnel
au carré de h, attendu que dans ce terme le facteur très petit h2 est
multiplié par un facteur très grand Cl2. Ainsi se trouve légitimée la
réduction de la formule (245) à la formule (24O), et de l'équation (307)
à l'équation (3o4) ou (3o6).
Les équations (3oj) et (3oG) subsistent pour tous les points de la
ligne moyenne entre les deux inconnues y0, o0 considérées comme
fonctions de s et de t. Si d'ailleurs la lame élastique a ses deux extré-
mités fixes, les mêmes inconnues devront satisfaire pour s = 0 et pour
s = a aux conditions (2)0), (i5i) et (284). Si, au contraire, les dvux
extrémités sont libres, on aura pour chacune d'elles, en vertu des for-
D'UNE LAME SOLIDE. 365
mules (254), (255), (257), combinées avec les formules (272), (277)
*(2?8),
(3o9)
" p\o V os 8 pv
(3°8)', ,^ + ^
ou, ce qui revient au même,
t
Enfin, si Tune des extrémités, par exemple celle qui coïncide avec
l'origine de l'arc s, était fixe, et l'autre extrémité libre, les conditions
(25b), (2)1), (284) devraient être remplies pour une valeur nulle
de s, et les conditions (3o()) pour s = a.
Lorsque les forces accélératrices <ft, S et la pression P s'évanouissent,
les équations (280) et (293), relatives à l'état d'équilibre de la lame
courbe deviennent respectivement
(3io) I = o,
(3,i) _^__Z+_,=0.
D'ailleurs, si l'on intègre l'équation (3i'i), après avoir multiplié son
premier membre par -ixch, on trouvera
ds-
c désignant une constante arbitraire, ou, ce qui revient au même.
(3ia) ___—;£_.;
\Jc- — -Y- «
866 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
puis, en intégrant de nouveau, on aura
(3i3.) arc cas- =qp / —
et, par suite,
(M) , = -< = _(/-). ■
Afin de montrer une application des formules précédentes, conce-
vons que la lame courbe offre pour ligne moyenne, dans l'état na-
turel, un arc de cercle, et que l'on rende ses deux extrémités fixes,
après avoir déplacé la seconde, c'est-à-dire, celle qui correspond à
s = a, d'une quantité très petite. Si les points renfermés dans les plans
qui terminent la lame circulaire sont assujettis de manière à n'en point
sortir, les inconnues y0, o0 devront vérifier, pour s = o, les conditions
(2)o), (2ji), (284) et, pour s = a, la condition (284) avec deux
autres de la forme
i\J désignant deux quantités dont les valeurs numériques soient très
petites. De plus, comme le rayon de courbure t de la lame prise dans
l'état naturel sera une quantité constante, on tirera de l'équation (3i4),
en représentant par a une constante nouvelle et arbitraire,
(3i6) =ccos
as1
puis, en effectuant deux intégrations successives, en observant d'ail-
leurs que la fonction
t _ dào , */o
J — ~"7T "i
cis t
doit se réduire : i° à zéro pour s = o; 20 à - pour s = a, et, en faisant
pour abréger
£'= c*.2 cosS, £" — ct2sin£,
on trouvera
D'UNE LAME SOLIDE.
ou, ce qui revient au même,
(3.8) ^-hZ!=*
as x. ai
,_cos!_^I_cos^)]+S"(
:W7
s s . a
sin sin -
t, a v
Si maintenant on élimine y, entre l'équation (3i8) et l'équation (3io)
présentée sous la forme
(3ig)
on en conclura
d7o % .
— — -- u,
as t
/o 4 à*-o0 i , i 0,fi . « i / a\"| 0,/i
.v i . "
cos sin-
puis, en effectuant l'intégration à l'aide de la méthode exposée dans te
second Volume [p. 3i (')], et observant que o0 et-/ doivent s'éva-
nouir pour s= o, on trouvera
(3>o «,=4r^
f*~ ié-'ë-s-K— ''ÏH'G
3 ' . a\fj
cos sin- Il «r
((-+ i)
ou, ce qui revient au même,
d.= / — h 3' sin { i — cos- 1 1-h B'i
J0 (a _ t a\ t/J V
et, par conséquent,
cos - ■ sin - ) } sin — - as
v a
(322)
i .ç . .9 i. . a / s
— sin sm - ( i — cos
2 v t a
Cela posé, l'équation ( 3 1 8 ) donnera
yt=I(,_tsinî]
(323) <
( ' ) Œuvres de Cauchy, S. II, T. VII, p. 4;
s \ s . s i / .5
cos sin ( v — t sm - | i— t
t 2 t t a
»»!)]
5 — t sin - sin -
368
SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
dd, «
D'ailleurs, par hypothèse, 20 doit se réduire à y et -£ à zéro pour s=a.
Donc les constantes arbitraires s, s' vérifieront les deux formules
(3*4)
i / . a a a
-I sm cos-
(,MCo,2y] + e'[i2-i(«-cos|)].in?=i-i(.-co82),
<7
f w' i — cos - sin - + Z - sin - -+- -cos sin2- = sin -•
[_2 t a \ i ) \ t |_2 \ t t x ) a x \ a x
Il ne reste plus qu'à tirer de ces dernières les valeurs de z' , z", et à les
substituer dans les équations (322), (323), pour obtenir les valeurs
complètement déterminées des deux inconnues y0, o0.
Il est bon d'observer que, en vertu de la formule (3i8), on a
(3a5)
d.\ d'-ot) i dy0 _ i
ds ds'2
ds ai
' . s xi a\\ S"/ 5 x . a\
sin i — cos -H cos - — - sin -
x a\ t/J t\ x a x )
dJ
Telle est la valeur générale de la quantité -y-, c'est-à-dire du change-
ment de courbure qu'éprouve la lame circulaire à l'extrémité de l'arc s,
dans le passage de l'état naturel à l'état d'équilibre.
Si, dans les formules (324), on suppose
(3*6)
elles donneront
(3a7)
a = i~x.
J_
T.x
Donc alors on tirera des équations (322), (323) et (325)
(328)
. s
sin -
277
S . S I S
- sin 2 i — cos
(329;
I s s .s
i — cos - i -t- — - cos sin -
2 7T \ t. t x
d.] i i s
— =+ ; ^— ; SU) ■
ds IT.x- T.x' x
Les équations (328) et (329) déterminent la figure que prend la ligne
moyenne d'un anneau élastique d'une très petite épaisseur, lorsque, à
DUNE LAME SOLIDE. 369
l'aide d'une section faite perpendiculairement à cette ligne, on la
transforme en une portion de spirale dont les extrémités sont très voi-
sines, et que, après avoir rendu ces extrémités fixes, on laisse l'équi-
libre s'établir. Si, dans la dernière de ces équations, on pose *= o,
s = ut, ou s = 27tï, on trouvera
di i
(33o)
ds '2Ttli
Par conséquent, dans l'hypothèse admise, la différence entre la cour-
bure de la spirale et la courbure primitive de la ligne moyenne de l'an-
neau sera la même aux deux extrémités de la spirale que dans le point
situé à égale distance de ces extrémités. Cette différence est d'ailleurs
indépendante de la quantité/, c'est-à-dire du déplacement relatif d'une
extrémité par rapport à l'autre mesuré dans le sens du rayon t.
Si la lame élastique se réduisait à un demi-anneau, on tirerai! des
formules (324), ?n y supposant a = -x,
(ôôi) © — -r — — — tt-j o—o,
t 71" — 0
et, par suite, les formules (322), (323), (325) donneraient
•"01
(332) <
(333)
Mi.
r. \t
. s\ ni — a i f /
-»»;;-,"£rrK'
$\ ni — 2 i T . .
— cos- -i — ^ — s- sin
t/ r. — 8 1 ■
dj i izj — 2 i
ds itt* ' (7:2 — 8U2
.v\ s . s 4 /•">*
cos sin -
s s li
- COS Il
. s 4
2 sin
t 7T
Si le rayon t devenait infiniment grand, ou, en d'autres termes, si la
lame élastique était droite, les formules (3io), (3 19), (322), etc.
deviendraient inexactes. En effet, l'équation (280) n'entraîne l'équa-
tion (3 10) que dans le cas où le rayon t conserve une valeur finie. Dans
le cas contraire, l'équation (280) se réduit à &0 = o, ou, ce qui revient
au même, à la seconde des formules (33), et devient identique pour
une valeur nulle de la force accélératrice. Alors aussi, en faisant coïn-
cider dans l'état naturel la ligne moyenne avec l'axe des x, on trouve
OEuvre* de C. — S. II, t. ¥111. k']
370 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
t = o, s = x, £0 = y0, yj0 = £0, et il faut remplacer les équations (3 10),
(3n) par les formules
(335) *£=o,
auxquelles se réduisent, quand X et Y s'évanouissent, les équa-
tions (97), (98) du § I. Or, en intégrant les formules (334) et (335)
de manière que Ton ait : i° pour x = o,
dnn
o;
o,
(336)
£•==<>,
dn0
* =0' ^
20 pour x = a,
(337)
£0= i,
on en tirera
(338)
so :
— i — >
a
(339)
•<v
,3aa;2 — 2.r3
L'équation (339), (lul représente, dans l'état d'équilibre, la ligne
moyenne d'une lame élastique naturellement droite, est celle d'une
parabole cubique. Ce résultat était facile à prévoir d'après la forme de
l'équation (335).
Si l'on suppose en même temps que les quantités A, S, P, 9 s'éva-
nouissent, et que la lame courbe se meuve, les équations (299), (3oo),
(3oi) et (3o4) donneront
(34©)
(340
(342)
(343) -Q2y
as dt*
S,
en 1 ^ ^
â'J A â3J 1 ^2J\ _ dly°
<J(tO0)~|
ds
ds'' ds ds6 t ds* J
de*
D'UNE LAME S0L1DK. 371
Dans le même cas, les formules (3o8), qui devront être vérifiées pour
une extrémité libre de la lame élastique, deviendront respectivement
(344) I = 0>
ai
(345) £=o,
m/âtJ-. 5-+-1 dl\_ \4*
as* ' 6t as J dt'
(346) tt2(
Il importe d'observer qu'en vertu de l'équation ( 3r, i) la condition (344)
peut être remplacée par la suivante :
'7) dû
La valeur de I tirée de la formule (340, savoir
(348) l = &-dF'
est évidemment très petite par rapport à l'expression
lorsque, pendant la durée du mouvement, les quantités
restent comparables entre elles. Supposons qu'il en soit ainsi, ce qui
exige que la valeur initiale de
ds t
demeure très petite, quand on la compare aux valeurs des déplace-
ments Yo, B0. On pourra, dans la combinaison des deux formules (348),
(34g), réduire la première à
(35o) i = o
373 SUIt L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
ou, ce qui revient au même, à
(35i) ^Z£ — h.
as t
Par suite, la seconde des formules (271) donnera
(35.) J = **2î + ± &! + !*..
' ds> ^ ds Os + ,/o'
puis on tirera de l'équation (349), combinée avec les formules (85)
et(35i),
(t*i + ±*l l#j\__ ° y° 2lds ds ~l ~w)
\ ds* ds ds3 t ds2 ) dP
(353) 0* [x
Dans la même hypothèse, la condition (346) deviendra
( 354 )
ds2 122 <fc»
et Ton pourra même, sans erreur sensible, la réduire simplement à
(355) — o.
Si, dans la formule (353), on substitue la valeur de J donnée par
l'équation (352), on obtiendra entre l'inconnue y0 et les variables in-
dépendantes s, l une équation aux différences partielles linéaire et du
sixième ordre. Si, de plus, la ligne moyenne de la lame élastique prise
dans l'état naturel se réduit à un arc de cercle, le rayon de courbure x
sera constant, et l'équation linéaire dont il s'agit se présentera sous la
forme
(356) 0. utp + , tu + 1 «feu -yi *1
V ds* ds' t2 as2 I ât2
Pour montrer une application des formules que nous venons d'éta-
blir, considérons une lame élastique circulaire dont les extrémités
soient libres, et la vitesse initiale nulle en chaque point. Supposons,
en outre, que les forces accélératrices s'évanouissent, et que, la laine
D'UNE LAME SOLIDE. 373
étant un pou écartée d'une position d'équilibre, on veuille déterminer
les vibrations indépendantes de l'épaisseur de cette lame. On devra in-
tégrer l'équation (342) de manière que la condition (344) soit vérifiée
pour s — o et pour s = a. Si d'ailleurs on désigne par f(s) et î(s) les
valeurs initiales de y0 et de o0,
f'(,)-If(4)
sera la valeur initiale de I, et les formules (76), (77) du Mémoire sur
l'application du calcul des résidus aux questions de Physique mathéma-
tique (') donneront
„„ v , 1 n £(rt27r2t2+a2)2* . n-ns Ç . «Kft f , 1 1
(Î57) l = -VJco.-J ^s,n— j( ■«-Ji^((,)_-«(rtJ^
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou néga-
tives de n. On tirera ensuite des formules (34o) et (34 1)
(358) -/o=f(*) + -Q2 f f ^dt*
et
(3o9) ô0=f(.9) + 5-2 f f \dt\
ou, ce qui revient au même,
-s-—— ; i-cos- — cos / sin — -\\KV) Uf*> r/,a
n*it*i*+a*\_ at a J a x
(36o) y»=f(«)-«-N=î^o
et
CS ax ï2(/i27r2t2-+-a2)2*l nr.sf . n-y.\.,. ■ 4.
Il est facile de trouver la relation qui doit exister entre les fonctions
\'(s) et f($) pour que la valeur de I se réduise à un seul terme,* et si-
présente sous la forme
. Z £2(n27i2t2+a2)2^ . n-.v
(362) I=-cos-- — sin ,
v ' a ax a
(') OEuvrcsftc Cauc/ir, S. II. T. XV.
3W SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
il désignant une valeur particulière de n, et 8 une quantité constante.
En effet, pour obtenir cette relation, il suffit de poser * = o dans
l'équation (362), qui donne alors
(363) f'(*)— -f(*) = -sin— •
1 t a a
Ajoutons que, si dans les formules (357), (36o), (36i) on substitue
la valeur de
tirée de l'équation (363), savoir
© . ItTTU
— sin :
a a
ces formules coïncideront, la première avec l'équation (362), et les
deux dernières avec les deux suivantes :
n7T.v
COS :
a
(364) y0=f(s)-{-e . , - — - i — cos— . —
.__. »'-./».■-, «* £2(n27r2v2 + a2)2 M «ÎT5
(36a ô0— f 5 +9 . — - i — cos -^— —'—cos
n27:2t--H- a2 1_ at «
Les. équations (364), (365) expriment un mouvement régulier de la
lame élastique circulaire, dans lequel les mêmes vibrations se repro-
duisent périodiquement, la durée d'une vibration étant la valeur de t
donnée par la formule
Le son correspondant à un mouvement de cette espèce a pour mesure
le nombre N des vibrations exécutées pendant l'unité de temps, ou, ce
qui revient au même, la valeur de - déduite de la formule (366). Or
on tire de cette formule, en écrivant n au lieu de n,
i
i Q / "2 x *
(367) N = ^ = —
t ia
DUNE LAME SOLIDE. 375
puis, en posant
(368) 7—^'
on en conclut
069) N=^r+-
Dans l'équation (368), 57 représente l'angle au centre qui correspond
à l'arc de cercle avec lequel coïncide la ligne moyenne de la lame élas-
tique. Si l'on veut déduire de cette même équation les nombres de
vibrations relatifs aux sons les plus graves que puissent fournir des
mouvements réguliers du genre de ceux dont il est ici question, il
faudra prendre successivement n = o, n = 1 , n = 2, . . . , et l'on trou-
vera, en conséquence,
(370) *=£(.+!)', n=£(4^)*. »«£(.+£)'
Si la lame devenait droite, on aurait gt = o, et la première des équa-
tions (370), réduite à
Q.
N=— ,
ia
coïnciderait, comme on devait s'y attendre, avec l'équation (ia3).
Si la ligne moyenne de la lame est un arc de 45 degrés, on aura
gt = j, et les formules (370) donneront
(„,) K^ijÊZ, «=.££. N=£^
On trouvera, de même : i° en supposant l'arc a de 90 degrés, ou
GT = ->
2
(372) N--^, N=^^7, N=«V%, ....
^72, "~ 9a a ' 2a 2 2a 2
20 en supposant l'arc a équivalent à la demi-circonférence, ou ta = -,
Q r- & r? ht û / —
376 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
3° en supposant l'arc a équivalent aux trois quarts de la circonférence,
3tt
OU BT= :
2
(374) N=.a£!, *=«*, N=^V5, ....
2rt 2 2rt 2 2« 2 '
4° enfin, en supposant l'arc a équivalent à la circonférence entière,
23 2« V la V
Il suit de la formule (369) que, l'angle m restant le même, chacun
des sons rendus par une lame élastique circulaire, dans le genre de
mouvement que nous considérons, varie en raison inverse de la lon-
gueur de la lame. Si, au contraire, la longueur a demeure constante,
le nombre N sera d'autant plus grand, et le son d'autant plus aigu que
l'angle gj aura une valeur plus considérable. De plus, l'inspection des
formules (37i), (372), (373), (374), (375) conduira immédiatement
aux propositions que je vais énoncer.
Si l'on courbe plus ou moins une lame élastique, de manière que la
ligne moyenne prenne successivement la forme d'un demi-quart de
cercle, d'un quart de cercle, d'un demi-cercle, de trois quarts de cercle,
ou d'un cercle entier :
i° Le son le plus grave rendu par le cercle entier sera semblable au
deuxième son du demi-cercle, et plus élevé d'une octave que le premier
son du quart de cercle;
20 Le deuxième son du cercle entier sera plus élevé d'une octave
que le premier son du demi-cercle;
3° Le troisième son du cercle entier sera plus élevé d'une octave
que le premier son de l'arc équivalent aux trois quarts de la circonfé-
rence ;
4° Le deuxième son du quart de cercle sera plus élevé d'une octave
que le premier son du demi-quart de cercle,
Etc....
En général, parmi les sons que rendra le cercle entier, ceux qui cor-
D'UNE LAME SOLIDE. 377
respondront à des nombres pairs seront plus élevés d'une octave que
les divers sons rendus par le demi-cercle, ceux qui correspondront à
des nombres multiples de 3 seront plus élevés d'une octave que les
sons rendus par l'arc équivalent aux trois quarts de la circonférence,
enfin ceux qui correspondront à des nombres multiples de 4 seront
plus élevés de deux octaves que les divers sons rendus par le quart du
cercle.
Remarquons encore que les déplacements y0 et &•• déterminés par
les équations (364) et (365), deviendront indépendants du temps /, le
premier pour les valeurs de s propres à vérifier la formule
(376) cos = o,
le second pour les valeurs de s qui vérifieront la formule
/ON • n7:S
(577) sin = o.
Or, en remplaçant dans ces formules n par n, et supposant s = a ou <«,
on tirera de la première
(378) $■= — , .9 = 3 — , •••, s=(m — 3) — j s—(2n — 1) — ,
v / ; 111 in in in
et de la seconde
/o \ a a , \ a 1 \a
(ôhq) 5 = 0, s=—, 5 = 2—, •••> s = (n — 2)-> s = (n — 1)— > 5 = «.
v J * ' n n v ' n n
Donc les vibrations correspondantes au nième son de la lame élastique
circulaire sont telles que des points situés sur la ligne moyenne, de
manière à diviser cette ligne en n parties égales, n'éprouvent aucun
déplacement dans le sens du rayon t, et que les points situés aux
milieux de ces mêmes parties n'éprouvent aucun déplacement dans le
sens de la longueur de la lame.
On pourrait encore intégrer facilement l'équation (356) à l'aide des
formules que j'ai données dans le Mémoire sur l'application du calcul
OEuvresde C — S. II, t. VIII. 4&
378 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT ETC.
des résidus, etc., et l'on déterminerait ainsi, comme je l'expliquerai
dans un autre Article, celles des vibrations de la lame élastique circu-
laire qui dépendent de l'épaisseur de la lame. J'ajouterai que les résul-
tats numériques ci-dessus exposés se trouvent parfaitement conformes
;i des expériences qu'un très habile physicien, M. Savart, a bien voulu
entreprendre sur ma demande, et que j'aurai plus tard occasion de
rapporter. Enfin j'observerai que les méthodes dont je viens de faire
usage pour trouver les équations d'équilibre d'une lame élastique ou
non élastique, droite ou courbe, d'épaisseur constante ou variable,
s'appliquent avec le même succès à la théorie de l'équilibre ou du mou-
vement des surfaces ou des verges, naturellement planes ou naturelle-
ment courbes. C'est ce que l'on verra dans la suite de cet Ouvrage.
ADDITION A L'ARTICLE PRÉCÉDENT.
Dans les divers paragraphes de l'Article que l'on vient de lire, quand
il a été question d'appliquer à l'équilibre ou au mouvement des lames
élastiques les formules relatives à l'équilibre ou au mouvement d'une
lame solide quelconque, naturellement plane ou naturellement courbe,
d'une épaisseur constante ou d'une épaisseur variable, nous avons tou-
jours supposé les pressions A, F, B exprimées en fonction des déplace-
ments H, y] à l'aide des équations (53) et (54). Si l'on remplaçait les
équations (53) par la première, la seconde et la sixième des équa-
tions (52) de la page 271, ou même, pour plus de généralité, par les
suivantes
(38o) A.= *§+Xv + H F = i*(| + £), B = *g+K„ + H
en d'autres termes, si l'on supposait
!*> A = «(.*+g)+«. F = ~MI^> B = K(I + ^H'
II désignant une quantité constante, plusieurs formules de l'Article
précédent devraient subir des modifications que nous allons indiquer
en peu de mots.
Observons d'abord que, en substituant les valeurs de A, F, B fournies
par les équations (38o) dans les formules (1), (2) et (4) ou dans celles
qui s'en déduisent immédiatement, par exemple dans les formules (iG),
(70), (i34), (i35), (180), on obtiendra précisément les résultats aux-
quels on parviendrait si, dans ces mêmes formules, on substituait
directement les valeurs de A, F, B fournies par les équations (53)
et (54), après avoir ajouté à chacune des pressions P, $ la quantité II
380 ADDITION A L'ARTICLE PRÉCÉDENT.
supposée constante, c'est-à-dire indépendante de x et y. Il est aisé
d'en conclure que, parmi les formules de l'Article précédent, celles
qui ne renferment aucune des quantités A, X, B, <u!>, A,„ JU„, B0, *,
continueront de subsister sans aucune modification, si elles ne ren-
ferment pas non plus les pressions P, <$, et que, dans le cas contraire,
il suffira, pour modifier convenablement ces formules, d'v remplacer
P, 9 par P -t- n, 9 H- IL
SUR L'ÉQUILIBRE
ET LE
MOUVEMENT D'UNE PLAQUE SOLIDE.
SI. — Considérations générales.
Considérons une plaque solide qui, dans l'état naturel, se trouve
comprise entre deux surfaces courbes très voisines l'une de l'autre.
Supposons d'ailleurs qu'après un changement de forme de cette plaque
on applique aux molécules qui la constituent des forces accélératrices
données et aux surfaces qui la terminent des pressions extérieures nor-
males à ces surfaces. Enfin rapportons tous les points de l'espace à trois
axes rectangulaires des x, y, z, et soient, dans l'état d'équilibre ou de
mouvement de la plaque,
m une molécule quelconque;
x, y, z les coordonnées de cette molécule;
p la densité de la plaque au point {x, y, z);
9 la force accélératrice appliquée à la molécule m;
//, p", p" les pressions ou tensions exercées au point {x, j, z) contre
des plans perpendiculaires à l'axe des x, à l'axe des y et à l'axe
des z\
A, F, E les projections algébriques de la pression ou tension p sur les
axes coordonnés;
F, B, D les projections algébriques de la pression ou tension p'' sur les
axes coordonnés;
E, D, G les projections algébriques de la pression ou tension//" sur les
axes coordonnés.
382 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
On trouvera, s'il y a équilibre {voir la p. 196),
dA dV dE
, ॠÔB àl)
1 dx dy dz v '
dE dB âC
dx dy dz
gZ — o.
Si, au contraire, la plaque se meut, alors, eu désignant par ty la force
accélératrice capable de produire le mouvement effectif de la molé-
cule m, et par a;, rr, % les projections algébriques de cette force sur les
axes coordonnés, on trouvera (voir la p. 202)
à A ÔF dE
dx Oy dz ' v ; '
; d¥ dB d\)
^ de dy àz ' v ^ ; '
OE â\) dC
Dans l'un et l'autre cas, si l'on nomme
l
a, fi, y les angles compris entre les demi-axes des coordonnées posi-
tives et un autre demi-axe 00' mené arbitrairement par le point
(x*y* *);
p la pression ou tension exercée au point (xty,z) contre le plan per-
pendiculaire à ce demi-axe et du côté qui le regarde;
A, u., v les angles formés par la direction de la force p avec les demi-
axes des coordonnées positives,
on aura (voir la page 197)
; p cos). = Acosa + F cos;3 +- E cosy,
j />cos^ — Fcosa -f-Bcos|3 -+- D cos y,
/^cosv = Ecosa-hDcosj3 +(] cos y.
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 383
Enfin, si l'on suppose le point (x, y, z) situé sur l'une des surfaces
courbes qui terminent la plaque, et si l'on fait coïncider le demi-
axe 00' avec la normale à cette surface, les valeurs précédentes de
pcos'k, yocosa, pcosv devront se confondre, au signe près, ave.; les
projections algébriques de la pression extérieure appliquée à cette sur-
face dans une direction normale. Donc, si l'on désigne alors par P la
pression extérieure correspondante au point (x,y,z), on aura encore
i A cosa -t- F cos(3 -h E cosy = — P cosa,
(4) ' F cosa +.Bcos[3 + Dcosy = — P cos[3,
' Ecosa h- I) cos|3 4- Ccosy = — P cosy.
On ne doit pas oublier que ces dernières formules subsistent seulement
pour les points situés sur les surfaces ci-dessus mentionnées.
11 reste à faire voir comment des équations (i), (2) et (4) on peut
déduire celles qui déterminent à un instant quelconque, dans l'état
d'équilibre ou de mouvement, la forme de la plaque, et en particulier
les divers changements de forme de la surface courbe qui divisait pri-
mitivement l'épaisseur de la plaque en deux parties égales. Toutefois,
comme la détermination de cette surface, que nous appellerons surface
moyenne, s'effectue de diverses manières, et entraîne des calculs plus
ou moins étendus, suivant que l'on considère une plaque élastique ou
non élastique, d'une épaisseur constante ou d'une épaisseur variable,
nous renverrons le développement de ces calculs aux paragraphes sui-
vants.
§ II. — Equation d'équilibre ou de mouvement d'une plaque naturellement
plane et d'une épaisseur constante.
Concevons que, dans l'état naturel de la plaque, les deux surfaces
courbes qui la terminent se réduisent à deux plans parallèles séparés
l'un de l'autre par une très petite distance. Désignons par -ii cette dis-
tance ou l'épaisseur naturelle de la plaque, et prenons pour plan
des #, y celui qui divisait primitivement cette épaisseur en deux par-
384 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
ties égales. Supposons d'ailleurs que, dans le passage de l'état naturel
à l'état d'équilibre ou de mouvement, les déplacements des molécules
soient très petits. La surface moyenne, après avoir coïncidé dans l'état
naturel avec le plan des x, y, se courbera, en vertu du changement de
forme de la plaque ; mais son ordonnée restera très petite. Représentons
par /(.r, y) cette ordonnée. Soient de plus x, y, z les coordonnées
d'une molécule quelconque m de la plaque, et s la différence entre les
ordonnées z, f(x,y) comptées sur une même droite perpendiculaire
au plan des x, y, en sorte qu'on ait généralement
(5) *=•/(*, y) -h*.
Soient enfin
(6) • *— £, y — *i» * — Ç
les coordonnées primitives de la molécule m; \, y], '( seront des fonc-
tions de x, y, z, qui serviront à mesurer les déplacements de cette
molécule parallèlement aux axes; et, si l'on considère ces déplace-
ments comme infiniment petits du premier ordre, la fonctionner, y)
sera encore une quantité infiniment petite, ainsi que ses dérivées rela-
tives kx et à y. Il est aisé d'en conclure, par des raisonnements sem-
blables à ceux dont nous avons fait usage dans l'Article précédent
(p. 292), que, si l'on veut prendre pour variables indépendantes x, y
et s au lieu de x, y et z, il suffira d'écrire dans les formules (1) et (2)
la lettre s à la place de la lettre z. Ajoutons que, dans cette hypothèse,
les formules (28) de la page 2o3 continueront de fournir des. valeurs
très approchées de X, y, %. Par suite, on trouvera, en supposant que la
plaque reste en équilibre,
dk , <*F <*E x_
dx dy de " '
. OF dB d\)
àE dB dC _
dx dy as '
! dk
[ dx
-\-
ÔF
ày
-+-
ÔE
ds
d¥
j dx
+
!"
dD
ds
\ âE
\ dx
4-
ày
+
dC
ds
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 385
et, en supposant que la plaque se meuve,
„ d*K
+ p/=P^r-
Quant aux formules (4), il résulte des suppositions admises qu'elles
donneront à très peu près, pour s = — i, et pour s == i,
(9) E = o, D = o, C = — P.
En effet, dans l'état naturel, la plaque était renfermée entre deux plans
parallèles au plan des .r, y et représentés par les équations
( i o ) z=z — i, z = i .
Or, en vertu des déplacements infiniment petits des molécules, ces
deux plans se transforment en des surfaces courbes dont ils diffèrent
très peu. Donc, si l'on désigne par a, (3, y les angles que forme la nor-
male à l'une de ces surfaces avec les demi-axes des x,y et z positives,
on aura sensiblement, c'est-à-dire en négligeant des quantités infini-
ment petites,
(ii) cosaz=o, cos(3r=o, cosy = i.
Il est d'ailleurs évident que ces dernières formules permettront de ré-
duire les équations (4) aux équations (9). Enfin, comme une droite
primitivement perpendiculaire au plan des oc, y, et propre à mesurer
la demi-épaisseur de la plaque dans l'état naturel, changera très peu
de longueur et de direction en vertu des déplacements des molécules,
il est clair que, dans l'état d'équilibre ou de mouvement, — 1, -+- i
seront \\ 1res peu près les valeurs de s correspondantes aux deux sur-
faces qui termineront la plaque.
Concevons maintenant que, dans les formules (7) et (()), on déve-
QEuvres de C. — S. II, t. VIII. 49
386 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
loppe 1rs quantités
A, lî, C; I), E, F; X, Y, Z,
considérées comme fonctions do x,y et*, suivant les puissances ascen-
dants de la variable s; et soient en conséquence
I A — A0 4- At* -+- \2 - 4- . . . ,
(12) j B = B,-+-B1#4-B«j +...,
f s-2 ç3
| C = C0 4- Ct* -h C2 - + C3 T 4- . . . ;
I 2 O
Dr=|)04-D15 4-D2 - 4-D,
6
S" ^ s
(»3) ' E = E04-Et* 4- E2 ~ + E.ç +.'..,
f s2
[ F=F0 + F,5 4- F2 4-...;
! X = X04-X1*4-'X,- -+-...,
(i4) Y = Y04-Y,5+ Y,- -+-...,
•2
Z = Z,4-Z,J4-Z,--h..;.
Supposons d'ailleurs constantes la pression P et la densité A relative à
l'état naturel de la plaque. La densité p, infiniment peu différente
de A, pourra elle-même être regardée comme constante, et les for-
mules (7), qui doivent subsister, quel que soit s, donneront
/ <*A0 <?F„ <?A, (9F, _
,',)W|r+7;7+D,4-^»=0' ^+^7 4-D24-pY1 = o, ...,
[flï, ^D, «JE, , àBt r _ ^E, ^1), n
l^ + TK-+rM + p/0=o, _4--?F+Ct+pZJ = 0, ^4-_r*-*-C,H-pZ, = o,
D'UNE PLAQUE SOUDE. 387
mais les formules (9), qui doivent être vérifiées seulement pour
s — — i et pour s — 1, donneront
(Eo+Ej — +... = 0, E, -+- E3 g H-. . . = 0,
,1 j»
(16) / D0+D2- — ...= o, D,4-D,^-h...=o,
[ c„ + ct~ +...=- p, c + c; £+...=©.
11 est important d'observer que, dans les formules précédentes, les
quantités
[ Aqi *o» E0,
(17) < fo» Bo, D01
E0, D0, Cu
et
(18) X0, Y0, Z0
représentent : i° les projections algébriques des pressions ou tensions
exercées contre des plans perpendiculaires aux axes coordonnés en un
point de la ligne moyenne; 20 les projections algébriques de la force
accélératrice appliquée au même point.
11 reste à montrer ce que deviennent les formules (i5) et (iG) dans
le cas où la quantité «est très petite. Or, si l'on néglige dans une pre-
mière approximation tous les termes qui ont pour facteur r, comme
on devra le faire effectivement si, la quantité 1 étant du même ordre
que les déplacements H, rt, Z, on attribue au temps / une valeur peu
considérable, on tirera des formules (iG)
(19) E0 = o, D0 — o, Co= — P; Ei = o, D,-o, C, = o;
puis, des formules (10),
. v dA0 dFfl v <)Y0 <?B( ..
(2° -3 h-r- -hpXo— o, ---f-pY0--o,
ox oy r dx ôy
(21) Z0=:O.
388 SUH L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Les formules (20) expriment les relations qui, dans le cas d'équilibre,
subsistent en chaque point de la surface moyenne entre les projections
algébriques de la force accélératrice appliquée à ce point et des pres-
sions exercées contre des plans perpendiculaires aux axes des x et y.
Quant à la formule (21), elle indique qu'une plaque, naturellement
plane, et d'une épaisseur constante mais très petite, ne peut rester en
équilibre, après un changement de forme presque insensible, à moins
que les forces accélératrices ne soient dirigées à très peu près suivant
des droites parallèles aux plans qui terminent la plaque. C'est ce qu'il
était facile de prévoir.
Supposons à présent que la quantité i, quoique fort petite, devienne
très supérieure aux valeurs numériques des déplacements E, y], t. Pour
obtenir une approximation nouvelle, il suffira de conserver dans les
formules (i5) et (16) les termes proportionnels au carré de i, en con-
tinuant de négliger les puissances de i d'un degré supérieur au second.
Or, en opérant ainsi, on tirera des formules (16)
(aa)
E0 = --E2, D,-_i-D„ Co=-P--C
2 2 a
On conclura d'ailleurs des formules (i5), en supprimant dans la valeur
de Ca les termes proportionnels au carré de 1,
(23) _ fdF, ÔB,
1 C,:=— pZ„
U = — h -j-2 + p Z,
\ ôx dy '
d%kx d'-Ft <PB, SdXt dYi „
(24)
dx"1 dx dy dy'z ' \ ôx dy
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 389
Par suite on aura, en conservant dans le calcul les quantités de l'ordre
de r,
(25)
E0= - -3 h t-p\, ,
a \ doc a y r /
a \ Ox Ov
oY<
C0 = -P
PEl»
(26) Ct=-^^
d*F, <PB,
âXt dYi
Ox Oy "^ d/2 ' p V <**
et celle des formules (t5) qui contient Z0 donnera
ày
-Z,
C7) ^'2Al
<*»F, ^2B
11 est important d'observer que les six quantités
A0, E0, B0, Ai, F|j Bu
renfermées dans les premiers membres des équations (20) et (27),
sont les seules qui entrent avec la variable s et la constante 1 dans les
valeurs approchées des pressions ou tensions
A, B, C; D, E, F,
quand on pousse l'approximation à l'égard de A,. F, B jusqu'aux
termes qui sont du même ordre que i, et, à l'égard de A, D, C, jus-
qu'aux termes qui sont 'de l'ordre de r. En effet, les valeurs appro-
chées dont il s'agit sont respectivement
(28)
et
A = A0-hA,5, F = F0+Fi.s, B = B0+B,ç
(29) E = Et+Et£=Et(i-£}J D = D,+DI£=D,(i-£)i
(3o)
L Cn -+- L2 — 5
a
390 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
ou, ce qui revient au même,
(3,)
|F_ ' (àkx àFt __ \
(32) C=-P-f-ApZ,(*»-**).
Les équations (20) et (27) sont les seules qui, dans le cas d'équi-
libre de la plaque solide, subsistent pour tous les points de la surface
moyenne. Supposons maintenant la plaque terminée latéralement, dans
son état naturel, par des plans perpendiculaires au plan des ce, y, ou
par une surface cylindrique dont les génératrices soient parallèles à
l'axe des z. Si cette surface cylindrique est soumise à une pression
normale $ différente de P, alors, en désignant par
oc, (3 et y — -
les angles que forme avec les demi-axes des x, y et z positives la
normale à la surface cylindrique prolongée en dehors de la plaque, et
remplaçant, dans les équations (4), P par $, cosy par zéro, on trou-
vera, pour tous les points situés sur le contour de la plaque,
/ ÀcosaH-FcosJ3 = — <?cos«,
(33) j F cos a + B cos (3 = — £cos|3,
' E cosa -+- D cosj3 = o;
puis, en combinant les équations (33) avec les formules (28) et (29),
on en conclura
(34) (A0-+-£)cosa + F„cos(3=o, F9cos«-h (B,-h «)cosj3==o,
(35) A,cosa-HFfC08^=rof F,cosa-h B,cos(3 = o,
et
(36) E,COS«-hD0COs£ = o,
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 391
ou, ce qui revient au même,
^X,)eo.« + (§ + |?+PY,)co,M».
ôx dy
Les cinq conditions exprimées par les formules (34), (35) et (3.7)
devront être remplies pour tous les points situés sur des portions
libres de la surface cylindrique qui terminent latéralement la plaque
donnée. Quant aux points situés sur des portions fixes de cette même
surface, ils devront satisfaire à d'autres conditions que nous allons
faire connaître.
Soient
V S
S*
(38) \ t]=tj0-hrj,*-htjt-
f
= £o -h Ci* -HC1T.+
les développements de :, r(, Ç considérés comme fonctions de a?, y et s
suivant les puissances ascendantes de la variable *; £0, rj0, Z0 représen-
teront les déplacements du point (x,y) de la surface moyenne mesurés
parallèlement aux axes coordonnés; et, en négligeant dans les valeurs
de <;, y), Ç les termes proportionnels au carré de i, on aura simplement
(3g) l — l* + l\s, TQ=n,-t-*H*, C = Ç«+Ci*«
Cela posé, admettons qu'une portion de la surface cylindrique, qui
terminait latéralement la plaque prise dans l'état naturel, devienne
fixe, ou plutôt que, parmi les points situés sur une portion de cette
surface, ceux qui appartiennent au contour de la surface moyenne
deviennent fixes, les autres étant assujettis de manière que chacun
d'eux se trouve toujours placé sur une même génératrice de la surface
cylindrique. On aura, pour les points situés sur la portion fixe de celle
dernière surface, non seulement
(io) £0=0» -f]0--o, Ko — o,
A0+^ = o,
F0 = o,
A, = o,
F, = o,
ôx dy
pX, = o;
392 SUR L'ÉQUILIBRE ET L£ MOUVEMENT
mais encore \ = o et Y] = o, quel que soit s. Par suite, on tirera des
formules (3c))
(40 £1 = 0, Yh=:0.
Dans le cas particulier où la plaque solide est rectangulaire et ter-
minée latéralement par des plans perpendiculaires aux axes des x et j,
les formules (34), (35) et (37) donnent : i° pour les points situés sur
la surface supposée libre de l'un des plans perpendiculaires à l'axe
des .%-,
(42)
(43)
(44)
20 pour les points situés sur la surface supposée libre de l'un des plans
perpendiculaires à l'axe des y,
(45) B.4-£ = o, F,=o,
(46) R.^-ro, F1==o,
(47) ^ + ^+PY, = o.
Si l'on veut considérer la plaque solide, non plus dans l'état d'équi-
libre, mais dans l'état de mouvement, il faudra, dans les équa-
tions (20), (27) et dans la formule (37), remplacer les quantités
(48) X0,' X,; Y0, Y,; Z0, Z,, Z,
par les différences
/ v à"-Z0 Y d%
(49) 1 lo 37T» M 17T>
àr2 ' ât1
PC. 7 _fH
A0 T7T' ^l
DUNE PLAQUE SOUDE.
Cela posé, on tirera : i° des équations (20)
393
d\0 d¥0 _<>%
dx dy ' r'~" r dt* dx dy
■2° de l'équation (27), en réduisant le polynôme
dh\ dtta v, d-rin
» *'2 (y <ï'-\ ^V\
au seul terme Z0,
(5,)
P/à'A,
d'Y, «PB
- i1 A, dX,
dY,\
3 \ dx1 dx dy dy'1
S° de la formule (3y)
,m s (dkK d\\ v\ /âFt dB, v\ „ /'J2c,
FÀ
^2 '
d*rn
COS3C M —z- COS 3
Ajoutons que, dans le cas du mouvement, les valeurs de E, D, G four-
nies par les équations (3i) et (32) deviendront
(53]
(54)
1 f d\i dY{ v d'2^ .
2 \ £?J? th'
dï-
,. 1 /(MF, r)B, v d-r,{
C = — P-f--p(Z,
dt*-
(/«-^:
Supposons maintenant que la plaque donnée devienne élastique, cl
que son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors, en adoptant
les principes énoncés dans l'un des précédents articles (p. 210 cl 216),
et prenante, r, z pour variables indépendantes, on trouvera
(00) {
dx
dri
D — A - h Kj,
d)-
d: di\
d:-
I dl àti
/•, K désignant deux quantités constantes, el u la dilatation du volume
OEiwres de C. — S. Il, t. VIII. 5o
(58)
•*9i SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
donnée par l'équation
(56) WJ £.,-*!+*
ox ày dz
Par suite, si l'on fait pour plus de commodité
(57) *+'K = 0K,
et si l'on prend pour variables indépendantes x, y, s au lieu de x,
y, z, on aura
5 = *ZLiV*>_i_#\ E_0-i/# ^\ F 0-i/d£
^
(5g)
Lorsque, dans les formules (58), on substitue aux fonctions A, B,
G, I), E, F, l_, y], '(leurs développements, ordonnés suivant les puissances
ascendantes de la variable *, alors, en égalant entre eux les coefficients
des puissances semblables de *, on trouve
(6o)
ày) k 2 ^,+ At/ K" "irv^^^/
puis, en combinant les formules (59), (Go) avec les équations (19),
on en conclut
(6.) $,=-^, *,=-&, c,-J.Jf4 + i2! + £
ày " H*r"r"3jJK K
(6«) £»=-§> v)2=-^, &=_'/& + £1
DUNE PLAQUE SOLIDE. 395
r o — ft
.*./. a,**, b,=(,-;VI+(9-;)^
\ dy dx
(64) ' , X> A >
Donc, si l'on t'ait, pour abréger,
(65) (' -*)* = **'
on aura
C*7) jv^fê + F^S)'
on, ce qui revient au même,
(68) B»=-P^(^T + ëTT.d^
1 Fi = — ?"'-
ri
\ * ' 9 -+- 1 Ox (h
Cela posé, les équations (20) et (27), qui sont relatives à l'équilibre
396 SLR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
d'une plaque solide, donneront, pour une plaque élastique,
12-
Jà% , i
(69)
et
(70)
d'ç0 1 3 + 2 d2r)0
âx2
2Î + i dyt
1 h à'-n.
2 6+1 dx ày
1 fl + a d*&
+ X,=o,
■+- Ye = o
3 \ dr1
^2 dv2 <*/* '
\L^2-ôx
ày
De plus, en vertu des formules (34), (3.5) et (3;), combinées avec les
équations (6G) et (68), on aura, pour tous les points situés sur une
portion libre du contour de la plaque élastique,
(70
02 / °j^
" \dx
(fo0
ày
<fo9\
cosa -1 —
0 fdç0 dr}0
(»
6 + 1 Oj
+ 7TT C0SP
(72)
<?2Co
+
V ày"
5 H- 1 ^/2
(73) 9J
\dr3 'dx dy"~
cosa
cos3
cosa
2 5 + i \ c)/
5 ^2Cn
2 9 + i \^k dx
0 fdlo t frno
dx
cosp = o,
cosa = o,
cosa
«/P
1
p
q?
— 9
cosa,
COs£,
!> + 1 dx à y
6 -t- 1 dx ày
cos£
= X, cosa -+- Y, cos[3.
Au contraire, pour tous les points situés sur une portion fixe du con-
lour de la plaque, les valeurs des inconnues £0, rj0, l0 devront satisfaire,
non seulement aux conditions (4o), mais encore aux formules (4i)
ou, ce qui revient au même, aux deux suivantes :
(74)
^0
<)x
0,
#0
ày
o.
Dans le cas particulier où la plaque élastique est rectangulaire et
terminée latéralement par des plans perpendiculaires aux axes des x
et y, les formules (71), (72), (73) donnent : i° pour les points situés
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 397
sur la surface supposée libre de l'un des plans perpendiculaires à l'axe
des x,
( 7° } ôx>- + 9^7 d>p _ ' ôx ôy ~ '
(77) *(^ ^7 ''
2° pour les points situés sur la surface supposée libre de l'un des plans
perpendiculaires à l'axe des y,
<>2 {i*° . i ^?\ _ i (p _ (A d& . ^rj"
, , 0* C . _L_ <** Ct _ n «>_ _ _
['-)} dy* ~*~ 5+7 A** "" ' dxdy~ *
Si l'on désigne par » la somme des deux premiers termes compris
dans la valeur de u [tw> la formule (56)], et si l'on pose, en consé-
quence,
,* x $i ^
(81) 8= -p - -4- y- .
6>.r OY
a exprimera évidemment la dilatation superficielle qu'éprouve, en
vertu du changement de forme de la plaque, le plan mené par le poinl
(.r — ;, y — y]) parallèlement au plan des x, y. Si d'ailleurs on repré-
sente par
.V'2
(82) 8 = 80-+- «i5 + 82 h...
2
le développement de a considéré comme fonction des variables .r, y, .v,
suivant les puissances ascendantes de s, on aura
(W « - d%* -u âr]o
W) H,~âx + ~2y~ {d*** ~ty
398 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
et les formules (66), (67) donneront,
P122 /aàna \ p
(85) B0=#=- (6
y + 1 V ox
(86) U-^/^
+ 1 V d y
1 2p 9h-i u7 ■ ^y
De plus, les équations (69) deviendront
!.iifeKSf+Sf)+('+->$l+'.=-.
et l'on conclura de ces dernières, en les combinant par voie d'addition,
après avoir différence la première par rapport à x, et la seconde par
l'apport à y,
(88) 9.-(âH° 1 dH°\ 1 dX° 1 ^Y° =0
ydœ* ày2/ dx à y
Enfin l'équation (27) donnera
(89) - n^ + ^+/o+6(Z2+2^+2^7j=-
Lorsque, dans la formule (89), on remet pour a, sa valeur tirée de
l'équation (84), on se trouve immédiatement ramené à la for-
mule (70).
Si l'on veut considérer la plaque élastique, non plus dans l'état
d'équilibre, mais dans l'état de mouvement, il faudra, dans les équa-
tions (69), (70), (87), (88), et dans les formules (73), (78), (81),
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 390
remplacer les expressions (48) par les expressions (49)- Cola P0S('' °"
tirera : i° (les équations (87) et (88),
f a1 r / <pi
\ 2(5 + 1) L v^7
H,+„g+'I.-«
(90)
(90
\ 2(5 + 0 L \^-2
^2
/«ps, ds»„\ <?X„ . dY0 _ d*».
ete» "*" d/V ** ^ "" <"* '
•2° de l'équation (70), en réduisant le polynôme
& + ,*».
d.r à)
?o+ -(Co+23^ + 2 3^) =Ç0— 3!
l\/<PÇ. , ^C«
2 5 / \ rAr - dr2
au seul terme £„,
De plus, en substituant aux quantités X,, Y,, dans les formules (73),
(78), (81), les binômes
_ d% _ d*Ç0
V â%*i Y
<^2
<)V Ôt1
ou plutôt les valeurs approchées de ces binômes obtenues à l'aide de
l'équation (92), savoir
Y + JZ» Y -4- ^
doc dv
(93) &
(94)
(o5)
on trouvera
(S^aSi)— * të*+SDHK*+©^(T'tf)-*
1 fAr^K d'y»;- ' à y
Dans le cas particulier où la force accélératrice ç devient constante.
VOO SLR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
les formules (91) et (92) se réduisent à
(96) Q.f^n-—^.—
K97) 3\&r* ' dx*dyx^ <tyV #» ~
Si eelte même forée accélératrice s'évanouit, la formule (97) donnera
simplement
3 \dr* dr* d/2 <i/V dt-
Si d'ailleurs on considère un corps élastique comme un système de
molécules qui agissent l'une sur l'autre à de très petites distances,
alors, en supposant que l'élasticité reste la même dans tous les sens, et
que les pressions supportées par la surface libre du corps dans l'état
naturel se réduisent à zéro, on obtiendra, entre les constantes dési-
gnées par k et par K dans la formule (^7), la relation
(99) * = ak]
On aura donc, par suite, G = 3, et l'on tirera des équations (90), en
attribuant des valeurs nulles aux forces X0, Y0,
(100)
la.
.8 \d.ï* dy* ) 8 dx)— ÔC:
3 fà2f}{) à'2r,0\ _ 5 daft\ (Prh
8 V à*% dy* ) 8 dy) " ôt
Dans la même hypothèse, si les pressions P, £ s'évanouissent avec la
force cp, les formules (71), (72), (93) donneront, pour les points situés
sur des portions libres de la surface qui termine latéralement la plaque
élastique,
[fàlt> , « àri0\ 3 /Oco àrl0\
Kâ+4^jC0Sa+8(^ + ^J('0S'3 = O'
(101)
j font, , 1 ài0\ Q 3 (dU (h0\
DUNE PLAQUE SOLIDE. 401
Si la plaque élastique était rectangulaire et terminée latéralement par
des plans perpendiculaires aux axes des x et r, les formules (ioi),
(102), (io3) donneraient : i° pour la surface supposée libre de l'un
des plans perpendiculaires à l'axe des x,
v .' ^.r 4 ày ày dx
(io5) -3— r + 7 -j-ï = o, 3 — v- — o,
v ; dx- 4 ày2 dx ày
(,06) **" , ^Co =0.
20 pour la surface supposée libre de l'un des plans perpendiculaires à
l'axe des y,
(io7) ~T h. 7 T~ — °> "ï ^ ~T~ — °»
(Io8) ^ + 45?-°' 35^ -°»
\ J/ àx*dy ~T~ ày3
Il est bon d'observer que, en vertu de la seconde des équations (io5 )
ou (108), la condition (10G) pourra être réduite à
(.10) ^ = 0,
et la condition (109) à
OEttvres de C. — S. II, t. VIII.
402 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
La plupart des équations établies dans ce paragraphe, et particuliè-
rement les formules (20), (27), (34), (35), (36), (5o), (01), (90),
(91)» (92)' sont extraites d'un Mémoire que j'ai présenté à l'Académie
des Sciences le G octobre 1828. Ces mêmes formules, ou du moins
celles que l'on en tire en.posant ô = 3, se sont trouvées d'accord avec
les formules contenues dans le Mémoire de M. Poisson, qui était sous
presse à cette époque, et qui vient de paraître. Toutefois, aux condi-
tions (74), dont la première entraine la seconde, lorsqu'on a égard à la
dernière des formules (4o), M. Poisson a joint une troisième condition
qui disparait d'elle-même dans le cas où la plaque élastique devient
circulaire, et dont l'admission, dans les autres cas, nous paraît sujette
à quelques difficultés.
On peut aisément conclure de l'équation (96) que la vitesse du son
dans une plaque élastique d'une étendue indéfinie est précisément la
valeur de 12 déterminée par la formule (65). Si d'ailleurs on suppose
9 = 3, on prouvera, comme dans l'article précédent (page 3i6), que la
vitesse dont il s'agit est à la vitesse du son, dans un corps solide élas-
tique dont les trois dimensions sont indéfinies, dans le rapport de )fS
à ^9 = 3. Si l'on attribuait au nombre 0 une valeur différente de 3, le
rapport entre les deux vitesses serait celui de sfî*^ï à \/¥ = G.
L'équation (98) a la même forme que celle qui a été trouvée sans
démonstration dans les papiers de M. Lagrange, et qui a servi de base
aux recherches publiées par Me,le Sophie Germain dans un Mémoire sur
les plaques élastiques couronné par l'Institut en i8i5.
Concevons maintenant que l'on considère, non plus une plaque élas-
tique, mais une plaque solide entièrement dénuée d'élasticité. Alors,
en adoptant les principes énoncés dans l'un des précédents articles
(pages 224 et 220), et faisant, pour abréger,
on reconnaîtra que les formules (90), (92) doivent être remplacées par
celles qu'on en déduit, quand on substitue, dans les premiers mem-
D'UNE PLAQUE SOLIDE. V03
bres, aux inconnues H0, r(0, '(0, leurs dérivées relatives à /, savoir
dln àri0 àKo
dt ' dt' dt'
et, à la quan
ité
àc0 , ^0
Ojc- ay
l'expression
' <)r ôy J _ ô*„
ôt ' ôt
Donc, si l'on
pOSC
(n3)
(ÏCO
dt
ôn0 <
— «'0,
les inconnues u0, e0, w9, qui représenteront, au bout du temps /, les
projections algébriques de la vitesse d'un point situé sur la surface
moyenne, devront satisfaire, quels que soient a? et y, aux équations
ôu0 dvj
(n4)
(n5)
[•&+&
(9 + 2)
ô.r ôy
ôx
ôu0 dv{
I ^2
\ 2(^4-0 U V à*1 ày* ;
i>2 -r -r— r -4- 2 ■ „ + -5—7- M r- — A0 + 7T I A*
3 \ ^j?4 ôxl ôy2 dy* J ôt b \
}
v _ 0«o
A°~ ôt'
(^+^)+(9 + 2)lv^; ^y| + Y> = ^
t — = -+■ 9. — -
ÔX ÔY
On tirera d'ailleurs des formules (n4). combinées avec les for-
mules (83) et (11 3),
(116)
ft-i
!■
Ô*Q
ôt
'«$
^i + ^Xî
dt
dx* ôy1
Enfin, si la force accélératrice s'évanouit, les équations (n5) el ( r 16)
deviendront respectivement
(I1Ï) ... t fia + , **: + *=a + *> =o/ r::
(.18)
<>-
/<?80\ «(*lo\l j/^o\
^
d^
I
ôt
~ôT
404 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Il sera également faeile de trouver les conditions qui, dans le cas que
nous considérons, devront être remplies pour les points situés sur le
contour de la plaque solide.
Nous renverrons à un autre article l'intégration des équations diffé-
rentielles obtenues dans ce paragraphe.
§ III. — Sur les équations d'équilibre ou de mouvement d'une plaque solide
naturellement plane, mais d'une épaisseur variable.
Dans le paragraphe précédent, nous avons regardé comme constante
l'épaisseur ii de la plaque solkle. Supposons maintenant que cette
épaisseur varie; mais admettons, pour plus de simplicité, que, étant
toujours très petite, elle se trouve primitivement divisée en deux par-
ties égales par le plan des x, r; i deviendra une fonction des coor-
données x, y, et la plaque solide sera renfermée, dans l'état naturel,
entre deux surfaces courbes représentées par les équations (10).
D'ailleurs, si l'on nomme a, (3, y les angles formés par la normale à
l'une de ces surfaces avec les demi-axes des coordonnées positives,
on aura
, v cosa cosj3 cosa cosS
("9) —^r = ~â^ = cosy ou — : î*t =— tt- =— cosv.
ài^ oi ' ai ai '
àx ôy àx ày
De plus, si l'on continue de regarder comme infiniment petits les dé-
placements des molécules et si l'on détermine toujours la variable s
par l'équation (5), les formules (119) subsisteront encore après les
déplacements dont il s'agit, la première pour j== — ï, la seconde pour
s = i. Par conséquent, on tirera des formules (4) :
i° Pour j=— i,
( {k , n» ai vài _
(120) {r|i-h(B-hP)|i
àx ày
I)
17 ai ,. ai n n
àx ôy
2° Pour s = î,
D'UNE PLAQUE SOLIDE. Wo
' ôx ôy
1 „ ôi „ 0x ai n
(121) (F-—ï-(B + P )1 D = o,
I E3-+I) T- — C — P — o.
I d-r w/
Enfin, si l'on développe les quantités A, B, G, D, E, F, X, Y, Z suivant
les puissances ascendantes de s à l'aide des équations (12), (i3),(i'4).
on trouvera, au lieu des formules (i(j),
' E„4-E,Ç+...h-(A1h-...)^ + (F1 + ...)^ = o,
(122) /Do4-I)2'-+-.-^(l;,. + ---)'^+(B1 + ...)^ = o,
i1 .ai /T, , . Oi r.
C„ + C, -+...+ (E, -+-... )«:r= +(», + ...)*■
2
ôx ôy
1 £j /„ _ i- \ 1 ()< P dt
E. + Etlg+...+ (A# + A.iH-..-.ïy£ + ^F; + Fii- .Jf^- • 0x
..+ F0 + F,-+... 4 -7-+ B0 + B
1 ôi fn ^ i2
0*3) j ».+».§ +-+(^ + "r-i+--J7 3ï
)r
ôi
P
4r
)i
ôi
6 -^•••--^« ' -»a " Ji ôx ' \ ° '2
puis on en conclura, en négligeant dans une première approximation
les termes du même ordre que la fonction 1 et ses dérivées —, j-l
((2^) E0 — o, D0— o, (>o=°.
[ C»=o.
W6 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
Cela posé, les formules (20) devront être remplacées par les suivantes
(126)
àx ày i
Ao+P)
àx
à[
ày
d¥6 àB0 1 r ai ... _. ai
r[F0- + (Bc+P)^
\ dx ày
ày
pX, = o,
pY0 = o.
Quant à la formule (21), elle continuera d'être fournie par la première
approximation. Mais elle acquerra de nouveaux termes, si l'on a re-
cours à une approximation nouvelle. Concevons en efFet que, dans les
formules (122), (i23), on conserve les termes proportionnels au carré
de 1. On tirera de ces formules
E„ = --E1-A1*^-F
2 àx ' dy
J27)
Cft=
(H
ày
di
* n v ai _
-D,— F,t- R,/
a Ox dy
1 r 17 ai n . ai
- L, — E, i D, i— - ;
(ia8)
r 1 ^*2 ^ ai di n di'- i2
da;*
(129) <
puis on conclura de celles-ci, combinées avec les équations (i5), les
deux premières des équations (i2j) et les équations (12G),
¥ _ <'2 (àAt â¥t \ / tf p d/
j^o — — I — 1 h p X, — ( Ai h Fi —
2 \àx dy '7 V àx ' Fl ày
I) - Î! fdF> _!_ ^B' ^_ „v \ -fv ai n <fc*\
^Kx^
P)
e?/»
(c3o)
^sA1*-- dx
àx*
i à2i
2 àx-
v di
^ „ f ai ai i à- i
àv
i* (d%kx
6 \ dx-
\ àx ày 2 c> j? c>y
(Rn-f-P
dx2 àx ày
I!,
ai*
ày>
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 407
Par suite colle des équations (i5) qui renferme la quantité C, donnera
(i3i)
( ï1 /à2 A, â-F{ dâB,
3 \ dx* dx dy dy'1
dH _, d2i
B,
d*i
x-I-y<£)
dx
dy2
ày)
2^]=o.
De plus, comme la variable s, comprise dans les équations (12), (i3),
(i4)» est une quantité du même ordre que 1, on tirera de ces équations
combinées avec les deux premières des formules (ia5), et avec les
équations (127), (129), (i3o) : i° en négligeant dans les développe-
ments de A, F, B les puissances de i supérieures à la première,
(28)
A = A0+A,5, F^Fo+F,.?, B = B0+B,5;
20 en négligeant, dans les développements de E, D, C, les puissances
de 1 supérieures à la seconde
E0+ E,* -+- Es- =E, ( 1- ÇA + E,* - ? (A, ~ + F, %-
2 \ 1- ) 1 \ dx dy
(i3a)<
<*A, d¥x
dx
di di
1 A1T- + F, -
dx dy
D = D0+D,.ç + D2- =
i1 — s2 /^F, ^ dB,
j)x
-$h*-îtë
(A0 + P)
di
n ai
''iF.£-^IH['
(],-=- P
= —P
(C0
(.33)
/>
"KEi^
D,
, di
di_
ày
di di I
1 /v ^i
1 \ ° dx
'•!)]
_ /- — ^ r
ai
(V
d2/ d2/ <J*i 1
P)3P + ,F'B35?-|-<B'+p>SiJ
/a r» \ ^** r. ai di ,n _ , d*
Outre les équations (126) et (i3i) qui, dans le cas d'équilibre d'une
plaque solide, subsistent pour tous les points de la surface moyenne,
il en est d'autres qui sont relatives au contour de cette plaque, et que
408 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
nous allons faire connaître. Supposons toujours la plaque terminée
latéralement par une surface cylindrique dont les génératrices restent
perpendiculaires au plan des x, y. Soient
a, [3 et y
les angles formés par la normale à cette surface avec les demi-axes des
coordonnées positives; et concevons que l'on développe H, Y], Ç suivant
les puissances ascendantes de la variable s à l'aide des formules (38).
En raisonnant comme dans le §11, on prouvera que les conditions (4o),
(4i) doivent être vérifiées pour tous les points de la surface moyenne
situés sur des portions fixes du contour de la plaque, et les formules (23)
pour tous les points de la surface moyenne situés sur des portions libres
du même contour. D'ailleurs, en substituant dans les formules (33)
les valeurs de A, F, B, D, E fournies par les équations (28), (i32), et
supposant, pour plus de simplicité, $ = P, on retrouvera encore les
conditions (34), (35) et (37).
Si l'on veut considérer la plaque solide, non plus dans l'état d'équi-
libre, mais dans l'état de mouvement, il faudra, dans les équa-
tions (12G), (i3i) et (37), remplacer les quantités (48) par les expres-
sions (49)' Gela posé, on tirera des équations (126)
(i34)
/ àA9 âFê
1 dx dy
i
jA„+P,|i
\ dx dy
i
>.£+<*
Kày\
+ pX0 = f
IF*
et de l'équation (i3i), en réduisant le polynôme
„ i- (y dlx ()ï),\
au seul terme Z0,
(i35)
i2 (d'At
3 \ dx-
dx dy
dy*
EL _
dx
Yiày)
dx*
i2
2F,
y.
dx dy
dXi
2 -
dx
B
â*i
dy
dy
dt2
D'UNE PLAQUE SOLIDE. 409
Quant à l'équation (37), elle devra être remplacée par la formule (5a).
Supposons maintenant que la lame proposée devienne élastique, et
que son élasticité soit la même dans tous les sens. Alors, en adoptant
les mêmes notations que dans le § II, et combinant les formules | 5g ».
(Go) avec les équations (124), (ia5), on retrouvera les valeurs de £,,
•/],, r, et r2 déterminées par les formules (Gi), (62), et les valeurs de
A0, F0, B0, A,-, Ft, B, déterminées par les formules (G6), (68), tandis
que les quantités l,, i\a acquerront des valeurs nouvelles. Cela posé,
s'il y a équilibre, les équations (126) et(i3i) donneront
Ql
[<r
{dx1 29+2
I 9 — 1 P 1 d£
9 p i dx'
(i36)<
dyt "** 254_2 dx dy i \\dx 0+i dyjdx 29+2 \dy dx ) dy] )
"' \ dy1 ^~ iï+i dx- 20-r-2dxày i \\ày h-^idxjdy 29+2\d/ dx)dx\\
— 1 P 1 di
S p i dy>
3 \ dx* dx- dy2 ôy*
(,37) - -°-s< [(^r + 5 +~7 ^"J ^ + 9T7 d^ dx~Ty + W2 0 + > à*) dy* J
(i38)<
Si, au contraire, la lame élastique se meut, on tirera des équat ions (1 3( »
et(i35)
jd^* 20+2 d/â ' 261+2 dard v / |_\d.r ' 9+i d^/dx 29+2 \dy <W4rJ)
_ d% 9 - 1 P 1 - d<
d** + 9 p i d^'
|dxî+25+2d/î ' 29+2 âxdy i \_dy ù^-idxjdy 29+2\dy ' dx ! dx \\
d^p 0 — i P 1 di_,
dt* 9 p 1 d.r'
OEuvresde t.— S. Il, t. VIII.
52
02
MO
S UIl L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
à' Ko
3 \ dxk
2 dx* dy* +
(i39)< — £2*
^0
dy*
d*Ç0\ à2i
2d âKu à2;
(d*U
5+i cJy2 y1 &r» ~r 6 4- i <fcc d[y dx dy ~*~ \dy* ~*~ h -+- 1 <fcr« / dy1
Si l'on admet la relation établie par la formule (99) entre les quan-
tités* et K, on aura 0 = 3. Alors, en supposant constantes la direction
et l'intensité de la force accélératrice 9, on conclura des formules (i38),
(t39)
f p'-[^o '^ 0% ^ d*n0 _ ,dc^ 1 druAdli 3 / di0 dn<\ à 1 H
I " [<**' 8 dy» "•■ 8 «fcrdy ^ + 4 dj ;ÂF ~ 8^ + dx~) dy~\ + X
04o)
<^2 "*"
lui ? ^li
5 p ^
" L 4r2 « dx* 8 <tedy Vdfr ^ 4 dW d/ 8 ^7 + ~dx~)dx~\
dx I dx
de
S p dy>
040
3 \d^4 dx2dy* dv*
l-'i&HÎ
Ç„\ d2* 3 d2?(
<}2/
1 £&Y£fl
4 dx* )dy*\
d*ï9 , 1 <PÇ0\ d*«
d/2
<^2
dy2 / dr2 2 d^c dy dx dy
Enfin, si l'on suppose 9 = o, P — o, et
(T42) i = c(i 4- «x 4- by),
.a, b, c désignant trois quantités constantes, les équations (i4o), (141)
donneront respectivement
(.43)'
i>^
Ll-
d^2 "*" 8 dy* H dx dy
d2ri0 3 d*r}0 5 d2Y]n
àt*
<22
1 4- a x 4- &/
£22
dy2 ' 8 dx* "T" 8 dx dy) ~* + ax + by[ \dy + ^dlc ) + %a \~dj-
044)
®?c* , /àK.
[•8riSf)*î*©*©]
<^s
D'UNE PLAQUE SOLIDE. Ml
Les équations (i36), (1^7), ou(i38), (139), el les suivantes sont
ici 1rs qui, dans l'état d'équilibre ou de mouvement, subsistent pour
tous les points d'une plaque élastique dont l'épaisseur est variable.
Quant aux formules qui doivent être vérifiées pour les points situés
sur le contour de la plaque, elles ne diffèrent pas de celles que nous
avons obtenues, dans le § II, en supposant l'épaisseur constante.
SUR L'ÉQUILIBRE
MOUVEMENT D'UNE VERGE RECTANGULAIRE.
Considérons une verge solide qui, dans l'état naturel, ait pour axe
une ligne droite ou une courbe plane. Supposons d'ailleurs que la sec-
tion faite dans la verge par un plan perpendiculaire à l'axe soit un
rectangle dont les deux côtés restent constamment parallèles à l'un des
plans menés par cet axe, ou au seul plan qui le renferme. La verge
dont il s'agit deviendra ce que nous appellerons une verge rectangu-
laire, et son épaisseur ih ou ii mesurée parallèlement ou perpendicu-
lairement au plan qui renferme l'axe ne sera autre chose que l'un des
côtés du rectangle ci-dessus mentionné. Au reste, les épaisseurs -±h,
ii, que nous regarderons comme très petites, pourront demeurer con-
stantes, ou varier d'un point de l'axe à un autre, suivant une loi quel-
conque.
D'après ce qu'on vient de dire, une verge rectangulaire ne diffère
pas d'une plaque solide qui serait naturellement plane et terminée
latéralement par deux surfaces cylindriques très rapprochées l'une de
l'autre. Si d'ailleurs on suppose que cette plaque solide devienne
élastique, et offre la même élasticité dans tous les sens; si de plus, en
adoptant les notations et les principes exposés dans l'article précédent,
on continue de prendre pour plan des x, y celui qui divisait primiti-
vement l'épaisseur 2Ùle la plaque élastique en deux parties égales, les
déplacements E0, yj0 d'un point de la surface moyenne, mesurés paral-
lèlement aux axes désuet y, devront, dans le cas d'équilibre, acquérir
SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT ETC. 413
des valeurs telles que les formules (20) de la page 387, savoir
et les formules (34) de la page 390, savoir
(2) (A0+#)cosaH-F0cos(3 = o, F0 cos a -+- (B0 -+-<£) cos|3 = o,
soient vérifiées, les deux premières, pour tous les points situés sur la
surface moyenne de la plaque, et les deux dernières pour tous les
points situés sur le contour de cette surface, A0, F0, B„ étant des fonc-
tions de x, y déterminées par les équations (G3) de la page 3c)5, ou,
ce qui revient au même, par les suivantes :
<*> <B.= ^Kg + <*-)g
F0 =
9 0 — 1 r/<%q { an*
2 0 \dy dx
■ Il est essentiel de rappeler que, dans ces équations, p désigne la den-
sité de la plaque regardée comme constante, X0, Y0 les projections
algébriques, sur les axes des x et y, de la force accélératrice appliquée
à un point quelconque de la surface moyenne, et a, fi les angles formés,
avec les demi-axes des x et y positives, par la normale élevée dans le
plan des x, y sur le contour de cette surface.
Supposons maintenant la plaque élastique renfermée entre deux sur-
faces cylindriques très voisines, et réduite par ce moyen à une verge
rectangulaire dont l'épaisseur, mesurée parallèlement au plan des x, y,
soit égale à 2 A. Désignons, comme dans l'article précédent, par Ç, yj, l
les déplacements parallèles aux axes d'une molécule quelconque ///
qui correspond, dans l'état d'équilibre, aux coordonnées x, y, s; par
X, Y, Z les projections algébriques de la force accélératrice appliquée
à cette molécule; et par A, F, E; F, R, D; E, D, C les projections
algébriques des pressions ou tensions exercées au point (x, r, s)
contre trois plans parallèles aux plans coordonnés. Soient, de plus,
4H SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
/-, r' les distances comprises, dans l'état d'équilibre : i° entre l'axe de la
verge et la droite menée par la molécule m parallèlement à l'axe des z;
■2° entre la molécule m et le point de la même droite qui se trouvait
primitivement renfermé dans le plan des x, y. Enfin concevons que
l'on développe les quantités f, y), Z; X, Y, Z; A, B, C, D, E, F, consi-
dérées comme fonctions de x, r et r', suivant les puissances ascen-
dantes de r, r'; et joignons, en conséquence, à la formule
(4) l = &*+ ÇMr + £0,1 '•'+ \ (£2)o'-2+ a£M /•/•'+ £0,2r'2) + . . .
toutes celles qu'on en déduit quand on y remplace la lettre \ par l'une
des lettres yj, '(; X, Y, Z; A, B, G, D, E, F. Les fonctions de x et de j,
désignées, dans les formules (1), (2), (3), par \„ yj0; X0, Y0; A0, F0,
B0, se confondront avec les valeurs de Ç, yj; X, Y; A, F, B correspon-
dantes à r' = o. Donc elles seront données par des équations de la
forme
(5) £0= £0,0 +£1,0 '' + £2,0— +• • ■> '«o = ''io,o+rli1o'' + ïl2,o h
Remarquons d'ailleurs que les deux quantités désignées par £0j0, yjM
dans les équations (4) et (5) sont précisément les valeurs de \ et de x\
correspondantes à un point situé sur l'axe de la verge.
En résumé, on voit que, dans le cas d'équilibre de la verge rectan-
gulaire, les déplacements l0, y]0 d'une molécule primitivement renfer-
mée dans le plan des x, y, et les déplacements E00, yjM d'un point
primitivement situé sur l'axe se déduiront des formules (1), (2), (3),
(5), dont la première et les deux dernières devront être vérifiées pour
tous les points de la section faite dans la verge par le plan des x, y,
tandis que la seconde devra être vérifiée pour tous les points situés
sur le contour de cette même section. Or les formules (1), (2), (3),
(5) sont entièrement semblables aux formules (1), (4), (38i), (22) de
l'avant-dernier article; et, pour tirer les unes des autres, il suffit de
remplacer A, F, B, X, Y, l, yj par A0, F0, B0, X0, Y„ ?0, y]0, P par $, II
p Q j
par — ^, Kpar — ^— K, 0 par 0-hi, enfin !j0, Ç„ E,, ...; y]0, yj,, yj2, ...
par !j0>0, ?,,„, Ç2f0, . . .; y)0(0, yjl)0, yj2f0, . ... Cela posé, en tenant compte
DUNE VERGE RECTANGULAIRE. 415
des observations faites à la page 379, on pourra immédiatement trans-
former celles des équations de l'avant-dernier article qui déterminent
les valeurs de !*0, Y)0 relatives à l'équilibre d'une lame élastique droite
ou courbe d'épaisseur constante ou variable, de manière à obtenir les
équations qui fourniraient les valeurs de H0>0, yj0j0 relatives à l'équi-
libre d'une verge élastique et rectangulaire, pourvu que cette lame et
cette verge, prises dans l'état naturel et coupées par le plan des x9y%
offrent toutes deux la même section. Si, pour plus de simplicité, on
suppose les différentes faces de la verge élastique soumises dans tous
leurs points à une seule pression extérieure, on devra réduire $ à P, et
alors, pour effectuer la transformation dont il s'agit, il suffira de rem-
placer dans les formules (60), (61), (62), (67), (68), (69), (71),
(72), (99), (100), etc. de l'avant-dernier article, ǧ, y]0; X0, X,; \u.
r,
Y,, Y, par lj0,0, y]0>0; X0)0, Xm; Y0;0, Y,;0, Y2i0, K par —ç- K, 0 par
Q j p
0 -h 1, enfin P par P -+- n = — g— P, la valeur de II étant — Tj- Donc, si
1>' on considère l'équilibre d'une verge rectangulaire, qui, dans l'état
naturel, étant droite et d'une épaisseur constante, aurait pour axe l'axe
des x, les déplacements d'un point de l'axe, mesurés parallèlement aux
coordonnées x et y, seront déterminés par les équations
(6)
iV-
d%,0
dx%
+
X0l
0 —
0,
&
A*
3
dx'
= Y0)C
»+
A2
(^
,0+2
«?x,)0
dx
(7)
dans lesquelles
-^-0,0» "■!,•> '0,0) 12,0
désigneront les valeurs de
correspondantes au point dont il s'agit, et 12 une quantité propre à vé-
rifier, non plus la formule (62) de la page 3o3, mais la suivante
M6 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
on sorte qu'on trouvera
(8) o,_ (Q-'Hfl + a) K
6-h i p '
Ajoutons que les conditions relatives aux extrémités de la verge se
déduiront des formules (67); (6$), (69), (71), (72) (page 3o5) et
seront respectivement : i° pour une extrémité fixe,
(«0 ,0,0=0, %=o;
20 pour une extrémité mobile,
(ti) Û.^!=_|ZL£?,
cte 6 -+- 1 p
(m) ^î = o, Qi*2?M-x
cte« ' 3Sc« -Ai,o.
Si, dans l'état naturel, la verge élastique, ayant toujours pour axe
l'axe des xt offrait une épaisseur ih variable d'un point de l'axe à uft
autre, il faudrait aux équations (6) et (7) substituer celles que l'on
tire des équations (i5i), (132) de la page 329, en remplaçant ?0, vj0 par
5«.#i *)o,o» ^ Par 0 + j, et P par -^— P. On aurait donc alors, pour un
point quelconque de l'axe,
(i3) o^(dL^l_L dh <*Sm\ _._ y g — I P «M _
' V ^2 A dx dx ) + X°'°~ ëTT ^Â dlc - °'
fiAI Q*h(h^*M dr"h dir>oA v , A2/v <*Xi.o\ ,rfA
;Xt.t-
Concevons enfin que, dans l'état naturel, la verge élastique, douée
d'une épaisseur constante, offre pour axe une courbe plane, et que le
plan de la courbe coïncide avec celui des x, y. Si l'on nomme s l'arc
de cette courbe, t son rayon de courbure, t son inclinaison par rapport
à l'axe des x; si d'ailleurs on pose
(l5) y= l cost + y) sinr, è = n cost— £ sinr,
"6) 8 — Xcosr+Ysinr, JL= Ycosr — Xsin-r,
DUNE VERGE RECTANGULAIRE. il-
ôt si l'on désigne par y0.0, o0,0; A.,„ 8M les valeurs de y, ù; ft, -s, cor-
respondantes à des valeurs nulles de r,r', les quantités y0/0, 8M repré-
senteront les déplacements d'un point de la courbe, mesurés dans le
sens de la tangente et de la normale; puis en faisant, pour abréger,
(17) ' *=Û,T' •
. _. f dy00 d0,o ^0,0 y 0,0
et remplaçant : i° ^ P par |^ P; 20 ^0 par *„„ on tirera des for-
mules (280) et (2.S3) de la page 358
0 — 1 P
(•9) G»I-+- iAo.o+0-^ - =0,
/ d*J A d3J 1 d2J\ _
la valeur de $ étant fixée, non plus à l'aide de l'équation (282)
^page 358), mais à l'aide de celle qu'on en déduit en substituant aux
quantités
(21) A9, ft„ &a, 8„ S,, S2
les quantités
fournies par les développements de A et de § suivant les puissances
ascendantes de r et de r. Il sera également facile de trouver les condi-
tions qui devront être remplies pour une extrémité libre ou pour une
extrémité tixe de la verge élastique en équilibre. En effet, s'il s'agit
d'une extrémité fixe, les formules ( 2 h> ), (aSi) et (284) des pages 35i
et 359 donneront
(a3) yo,o=o,
(34) *o,o = o, ds
^0,0 __
Quant aux conditions relatives à une extrémité libre, on les obtiendra
OEuvres de C — S. Il, t. VIII. ^
il8 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
on remplaçant, dans les formules (285), (286), (288) de la page 35§,
0 par 0 -t- 1, et les quantités (21) par les quantités (22).
Si l'on voulait eonsidérer une verge élastique et rectangulaire, non
plus dans l'état d'équilibre, mais dans l'état de mouvement, il faudrait,
en regardant cette verge comme une plaque solide dont la largeur
serait très petite, substituer aux formules (1) les formules (5o) de la
page 393, savoir
Or, ces dernières étant semblables aux formules (i5) de l'avant-der-
nier article, il est clair que, dans l'état de mouvement, les équations
propres à fournir les valeurs de H00 et y]0)0, ou de yOt0 et S0;0, pour une
verge élastique rectangulaire, se déduiront des équations propres à
fournir les valeurs de H0 et r\0 ou de y0 et o0, pour une lame élastique,
à l'aide des mêmes transformations que nous avons opérées dans le cas
de l'équilibre. Ainsi, par exemple, en remplaçant, dans les for-
mules (82) et (89) des pages 309 et 3 10, !j0, yj0; X0, X,; Y0, Y,, Y,
par E0>0, Y]00; XM, X(f0; Y0>0, Y1>0, Y2t0, on trouvera, pour tous les
points situés sur l'axe d'une verge rectangulaire naturellement droite
ef d'une épaisseur constante,
(26) a»^ + x0i0
dx* dt- *'' ' 6 V ' dx
Ajoutons que les conditions (9) et (10) ou (1 1) et (12), établies dans
le cas d'équilibre, et relatives à une extrémité fixe ou à une extrémité
libre de la verge, continueront de subsister dans l'état de mouvement,
excepté la dernière des conditions (12), qui devra être remplacée par
une autre déduite de la formule (91) (page 3io), savoir
(28) *-*F--^+-d5r-
D'UNE VERGE RECTANGULAIRE. 419
Lorsque la force © est constante et constamment parallèle à elle-
même, on a
X0)0=X, Xi.o^o, X2i0 = o; Y0)0= Y, Yli0=^o, Y2,o — °>
et les équations (26), (27) deviennent
"S0,0 . v " Ço.o
(29) a«
dx% ùll
Alors aussi, en réunissant la première des conditions (12) à la condi-
tion (28), on trouve, pour une extrémité libre de la verge élastique en
mouvement,
(3i) 1^=0' 1^-— °"
Dans le cas particulier où la force accélératrice s'évanouit, les for-
mules (29) et (3o) donnent simplement
(32) pj<^ = ^n,
(33) fc>2 - . ■ H r-r- = O.
àx- dtl
d-r* <^2
Si la verge élastique en mouvement était supposée naturellement
droite, mais d'une épaisseur variable, alors, en remplaçant dans les
formules (i53) et (i-">7) de la page 3-29 E0 par £(K0, yj, par tJo,0,
— â— P par 7-=^- P, on trouverait, au bout d'un temps quelconque t et
pour tous les points de l'axe,
,,/N 01 /^|m ' dh ^o,o\ , Y 9 — i 1» d/i _d°-Z>0,o
{6fi) "'{ <),- h dx ~âx) + Xo'°~ 6^7 £7Ï ^ ~ ^ '
Lorsque dans ces dernières formules on réduit à zéro la pression P en
»
420 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
même temps que la force accélératrice 9, on en conclut
(36) o*/d2ço.o 1 dh <%0,0\ _ (?2g0,0
\ dr2 A rfa? <te y ~~ dt2 '
(37) BFAVI -3^- - tt'-fiF) + ^F~ = °'
Si, de plus, on supposait la verge terminée du côté des y positives et
du côté des y négatives par deux surfaces planes, la demi-épaisseur h,
mesurée parallèlement à l'axe des y, serait donnée par une équation
de la forme
(38) * = 6(i-+-ci),
b, c désignant deux quantités constantes, et les équations (36), (37)
deviendraient
\ dx2 1 h- ex ôx ) dt-
(40) ^!(, + c„).^M + ^M = 0.
à dx1* dt-
Enfin, si la verge élastique en mouvement est une verge rectangu-
laire, naturellement courbe et d'une épaisseur constante, on tirera des
formules (299), (3oo), (3oi), (3o4) de l'avant-dernier article, conve-
nablement modifiées,
(41) QsgJ + g^o.o^gl/M,
ds ds dt'1
(te) -Q21 + ^00h-|
1 P=^2<50,„
0 + i p dt*
-±lU*<^-ifA, • Q-
ds> t« 7 ^ ds^ t \^^ ~e + iy.)-di
£(t3M.)
L
irr\ a*/- d'*'] ch &J 1 d2J\ d\
V ' V à* ds ds* t ds*J dt2 — "'
puis, en supposant la force accélératrice et la pression P réduites à
DUNE VERGE RECTANGULAIRE. 421
zéro, on trouvera
(45)
as dïl
lies 0> I U °'°
(46) o-1 = l____
(4,) »fg-i.IN "
d** t* y d£2
(48) ê*^
ds1 rfs OS3 t <?S2 / ^£2
^'r — *-
Ces dernières équations subsistent, dans l'hypothèse admise, pour
tous les points situés sur l'axe de la verge élastique. Quant aux condi-
tions relatives à ses deux extrémités, elles coïncideront, pour une ex-
trémité fixe, avec les formules (23), (24), et pour une extrémité libre
avec les formules (344)» (345), (355) de l'avant-dernier article, sa-
voir
(4g) I = o.
di d*i
Ajoutons que, si le rayon de courbure x devient constant, la for-
mule (356) de la page 372 donnera
r( -2 d'yn.oN
(DI) 0 xl s?' + 2 "Sr * ? tk*v ~ â?
Les diverses équations ci-dessus établies déterminent, dans l'état
d'équilibre ou de mouvement d'une verge élastique et rectangulaire,
d'une épaisseur constante ou d'une épaisseur variable, et dont l'axe
droit ou courbe est renfermé dans le plan des a?, y, les déplacements
£♦,•» *}o,fl ou Yo>0, £0,o d'un point de l'axe mesurés parallèlement à ce
plan. Si l'on voulait déterminer, en outre, le déplacement £M d'un
point de l'axe dans le sens de la coordonnée z, ou même les déplace-
ments Ç, y], £ d'un point quelconque, on y parviendrait sans peine en
422 SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
remplaçant r par r' dans les formules de l'article précédent, puis en dé-
veloppant les quantités A, B, C, D, E, F; Ç, y], Ç suivant les puissances
ascendantes de r, r', et, par conséquent, les quantités A0, A,, A,, . . .;
B0, B,,B2, ...jCC'C», ...;D0, D(, D2, ...;E0, E,, E2, ...; F0, F,,
F2, ...; E0, ç4, ;„ ...; y]0, yj(, v}9, ... suivant les puissances ascendantes
de r. Parmi les formules ainsi obtenues, celles qui détermineront la
valeur de £0)0, dans l'état d'équilibre ou de mouvement d'une verge
droite, d'une épaisseur constante ou variable, coïncideront évidem-
ment avec celles que l'on déduirait des équations (7), (to), (12), (14),
(27), (3o), (3i), (33), en substituant aux lettres h, r\ et Y les lettres
1, t et Z.
Je terminerai cet article en indiquant quelques applications des for-
mules qu'il renferme.
Observons d'abord que, dans le cas où l'on suppose nulles la pres-
sion P et la force accélératrice 9, les formules propres à déterminer
les valeurs de H0)0, rçM ou de y0j0, o00, pendant le mouvement d'une
verge élastique rectangulaire, sont entièrement semblables aux for-
mules de l'avant-dernier article qui déterminaient les valeurs de E0,
73 0 ou de y0, o0 pendant le mouvement d'une lame élastique. Par con-
séquent, dans cette hypothèse, les valeurs de H(M et de yjm, relatives à
une verge droite, qui, étant douée d'une épaisseur constante, présen-
terait deux extrémités fixes ou une extrémité fixe et une autre libre,
coïncideront avec les valeurs de £„ rin relatives à une lame élastique
droite, et fournies par les équations ( 1 1 4 ) et (1 15) ou (1 18) et (119)
des pages 3i4 et 3i5. De même, étant donnée une verge courbe dont
l'axe se trouve compris dans le plan des x,y, les valeurs de y0.0, o00,
relatives à celles des vibrations de la verge qui seront indépendantes
de l'épaisseur mesurée parallèlement au plan dont il s'agit, coïncide-
ront avec les valeurs de y0, o0 relatives à une lame élastique courbe,
et fournies par les équations (36o), (3Gi) de la page 373. Seulement
la quantité 12, qui mesurera la vitesse du son dans une lame ou dans
une verge élastique d'une longueur indéfinie sera déterminée, pour
une lame élastique, par la formule (62) de la page 3o3, et pour la
DUNE VERGE RECTANGULAIRE. III
verge élastique, par la formule (8). Si l'on pose, pour abréger,
(52) - = R,
P
et si Ton réduit d'ailleurs le nombre 0 au nombre 3, comme on doit le
faire quand on veut exprimer que les pressions supportées par la sur-
face libre d'un corps élastique dans l'état naturel s'évanouissent, les
deux formules en question coïncideront, la première avec l'équa-
tion (i io) de la page 3i3, et la seconde avec la suivante :
(53) o=Y^.
En comparant la valeur précédente de (2, c'est-à-dire la vitesse du son
dans une verge élastique, à la quantité y^R, qui représente la vitesse
du son dans un corps élastique (voir la page 3i6), on reconnaîtra que
ces deux vitesses sont entre elles dans le rapport de y 5 à \G. M. Pois-
son avait déjà énoncé celte proposition, qui subsiste, comme il l'a fait
voir, quelle que soit la forme de la surface qui termine latéralement
une verge élastique droite.
Quant aux rapports qui existeront entre les divers sons produits par
les vibrations longitudinales ou transversales de la verge élastique rec-
tangulaire, ils seront évidemment les mêmes que les rapports entre les
sons produits par les vibrations longitudinales ou transversales de la
lame élastique, pourvu que cette lame et cette verge, étant prises dans
l'état naturel et coupées par le plan des x, y, offrent précisément la
même section. Par conséquent, si, la longueur d'une verge droite étant
représentée par «, on pose
(54) N
ICI
c'est-à-dire si l'on désigne par N le plus petit nombre de vibrations
longitudinales que cette verge, supposée libre, puisse exécuter pen-
dant l'unité de temps, le nombre N' des vibrations transversales cor-
42i SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT
respondantcs à l'un des sons produits par la même verge sera (voir la
page 3 17)
(55) N'=(2,o55838...) — N.
Cette dernière formule s'accorde parfaitement avec les expériences de
M. Savart rapportées dans le Bulletin des Sciences de janvier 1828, et
diffère très peu d'une formule que M. Poisson a présentée sans démon-
stration dans ce même Bulletin, mais que l'on ne retrouve pas dans le
Mémoire publié par ce géomètre sur l'équilibre et le mouvement des
corps élastiques.
Concevons maintenant que l'on compare le son le plus grave, pro-
duit par les vibrations longitudinales d'une verge droite, aux divers
sons produits par celles des vibrations d'une verge circulaire, et de
même longueur, qui sont indépendantes de l'épaisseur mesurée sui-
vant le rayon de l'arc de cercle avec lequel l'axe de la verge coïncide
dans l'état naturel. En nommant a la longueur de l'arc en question, et
ù la vitesse du son dans la verge redressée, on pourra déterminer
immédiatement le nombre des vibrations exécutées pendant l'unité de
temps et correspondantes aux divers sons de la verge circulaire, à
l'aide des formules (371), (372), etc. de la page 37.). Comme les ex-
périences que M. Savart a bien voulu entreprendre sur ma demande,
et que j'ai déjà mentionnées dans l'avant-dernier article (page 378),
peuvent servir à la vérification des formules dont il s'agit, je vais rap-
porter ici ces expériences qui ne peuvent manquer d'intéresser les
physiciens, et auxquelles l'habileté bien connue de l'observateur
ajoute un nouveau prix.
Deux verges parallélépipédiques en cuivre jaune, dont les longueurs
respectives étaient om,8225 et i,n,6;>7, ont été successivement cour-
bées de manière à offrir chacune : i° un demi-quart de cercle; 20 un
quart de cercle; et, après avoir produit dans ces mêmes verges des vi-
brations analogues aux vibrations longitudinales d'une verge droite,
on a déterminé le nombre N des vibrations correspondantes à chacun
I) l \ B \ E R€ E It KCTAN f. L t A I R E. t95
des sons (jnc l'on pouvait obtenir. Or les valeurs approchées de \.
ainsi déduites de l'expérience et relatives au son le pins grave, ont
été : i° pour la verge de im,G ^7, courbée de manière à offrir suceessi-
veinenl un demi-quart de cercle et un quart de cercle,
(56) N=;aan,84...
cl
(57) N = 24oo;
2° pour la verge de om,&Mf5, courbée de la même manière,
(58) N = 44^3, 68...
e!
(~og) \ = 48oo.
D'autre part, le nombre représente dans les formules des pages 3j5f 3~0
par —> c'esl-à-dire le nombre des vibrations longitudinales corres-
r aa
pondantes an son le [dus grave que peut produire une verge droite,
avait été déterminé [tour la grande verge par une expérience directe qui
donnait
1 fi 1 ) — = ai33,33. . .,
et par conséquent ce même nombre devrait être pour la petite verge
Or, en comparant les valeurs de N fournies par les équations (5(>) cl
( *>- ) ;i la valeur de — tirée de l'éciuation ((>(»), ou les valeurs de N
<)
fournies par les équations ( >8) et ( h) ) à la valeur de — - tirée de
OEuvres de C . — S. II. l. Mil. 54
Ï2G SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT ETC.
l'équation (Gr), on trouve : i"
(6a) N = (i,o36...)— ,
ia
(63) N = (i,ia5...) — ;
ia
2"
(64) N = (1,029...)—,
(65) N = (i,it68...) —
ICI
Los coefficients numériques qui entrent clans les formules (62) ou
(64) et (63) ou (65) diffèrent très peu des nombres
l7 o V^> o
-~ = 1 ,060-. . . et — =1,1180. ...
4 2
qui tiennent la place de ces mêmes coetïicients dans les formules (371)
et (372) de la page 3y5, et l'on peut même remarquer que le nombre
indiqué par la théorie est toujours compris entre les deux nombres
fournis par les expériences faites sur les deux verges proposées.
Après avoir fait connaître la valeur de N correspondante au son le
plus grave que pouvait produire la grande verge courbée de manière ;i
offrir un demi-quart de cercle, l'observation a encore permis de fixer
les valeurs de N correspondantes à un deuxième et à un troisième son,
1 1 1 Œ
et par suite les rapports de ces valeurs à — Or ces rapports, qui, en
vertu des formules (371) de la page 37;"), devaient être
?— — = 2, 01 a. . . el ^—t1-- = 3,oio. . .,
4 4
ont été trouvés sensiblement égaux, le premier au nombre 2, le
second au nombre 3, en sorte que sur ce point l'expérience sYsl
encore accordée avec la théorie.
FIN OU TOME VIII DE LA SECONDE SÉRIE.
TABLE DES MATIÈRES
DU TOME HUITIÈME.
SECONDE SÉRIE.
MÉMOIRES DIVERS ET OUVRAGES.
III. - MÉMOIRES PUBLIÉS EX CORPS D'OUVUAGIÏS.
Exercices de Mathématiques (anciens Exercices).
Année 1828.
Page*
Sur les contres, les plans principaux et les axes principaux des surfaces du second
degré ,,
Des surfaces que peuvent engendrer, en se mouvant dans l'espace, des lignes droites
ou courbes de forme constante ou variable ;<;
Discussion des lignes et des surfaces du second degré 83
Sur la division d'une masse solide ou fluide en couches homogènes i5o
Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement
des fluides i ;,s
Sur les différences finies des puissances entières d'une seule variable i8<>
Sur les intégrales aux différences finies des puissances entières (fane seule variable. 18 ;
Sur les différences finies et les intégrales aux différences des fonctions entières d'une
ou de plusieurs variables 18g
Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre, ou les lois du mouve-
ment intérieur d'un corps solide, élastique, ou non élastique i<> >
Sur l'équilibre et le mouvement d'un système de points matériels sollicités par des
forces d'attraction ou de répulsion mutuelle >>-
fc*8 TABLE DES MATIÈRES.
PatM
De la pression ou tension dans un système de points matériels , y^
Sur quelques théorèmes relatifs à la condensation ou à la dilatation des corps 478
Sur l'équilibre et le mouvement d'une lame solide «
Addition à l'article précédent Q
Sur 1 équilibre et le mouvement d'une plaque solide 38l
Sur l'équilibre et le mouvement d'une verge rectangulaire /,.,
FIN ni: LA TABLE DBS MATIÈRR8 ni TOME VIII DE L\ SECONDE SÉRIE.
r5j h) Pa«a. — Imprimerie GMlTSIUfVtLLABS et lùi.s, quai des Grands-Augustins, 55.
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