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Full text of "Oeuvres de Fermat"

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BOOK   510.0B.F385  v.2   e.  1 
FEBMAT    f    OEUVRES    DE    FERMAT 


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ŒUVRES 


DE    FERMAT. 


PARIS.  -  IMPRIMERIE  GAUTIIIER-VU.LARS  ET  FILS. 

Quai  di-s  Gramls-Augustins,  5:>. 


ŒUVRES 


DE    FERMAT 


3 
.F3S 

t.x 


l'LBMKICS    PAR    I.KS   SOINS    riK 


MM.  PAUL  TANNEUY  et  CJIAIUJÎS  HENKV 


sous    LES    AUSPICES 


DU  MIMSTKRE  DE  L'INSTRUCTION  PUBLIQUE. 


TOME  DEUXIEME. 


CORRESPONDANCE. 


PIRIS, 


GAUTHIKR-VILLARS  ET  FILS,  IMPRIMEUIIS-LIBKMKES 

nu    B  U  U  K  A  (l    D  K  s    L  0  ^  G  1  T  U  D  E  S .    DE    L  '  É  C  O  I.  E    P  (1  L  Y  T  E  C  II  N  1  Q  L  E 

(Juai  des  Grands-Augustins,  55. 
M  DCCC  XCIV 


TABLE  DES  MATIÈRES 


DU  DEUXIÈME  VOLUME  ('). 


AVERTISSKMEXT. 


Pages 
IX 


CORRESPONDANCE  DE  FERMAT. 


1. 

•20  avril 

i63(5. 

ir. 

mai? 

» 

ru. 

III. 

3  juin 

)) 

IIIa. 

HIr. 
IV. 

vt'i  juin 

» 

IVa. 

IVb. 
V. 

9.4  juin? 

» 

VI. 

I  ')  juillet 

» 

VII. 

aoûl 

)> 

VIII. 

16  aoiU 

» 

IX. 

51,3  aoûl 

» 

X. 

■>.  septembre 

1) 

XI. 

iG  .septembre 

., 

xn. 

septembre? 

)) 

XIII. 

22  septembre 

« 

Format  à  Morsenne M 

Propositio  Geostatica  Domini  de  Fermât.      V 
Premier  extrait  de  Y I-turmonic  it/iiversel/e 

de  Mersenne 

Fermât  à  Alersenne  .    V 

Deuxième  extrait  do  V/Iunnoiiic  unin-r- 

sclle  de  Mersenne 

Extrait  des  CoguataPliysico-maUiemalica 

de  Mersenne 

Fermât  à  Merseuno V 

Troisième  extrait  do  VHartnoiiic  imii'cr- 

selle  de  Mersenne 

Quatrième  extrait  de  XHarmoiàe  univer- 

setle  de  Morsenno 

Nova   in  Mechanicis   tliooremata   Domini 

de  Fermât 

Fermât  à  Mersenne VM 

Fermât  à  Roberval 

Etienne  Pascal  et  Roberval  ù  Fermât. . . . 
Fermât  à  Etienne  Pascal  et  Rohorval. . , . 

Fermât  à  Jlersoniie 

Format  à  Roberval 

Fermât  i  Merseuno  (pour  S"'-Croix) 

Fermât  ù  Roberval 


10 
1 1 


I  ) 

17 


V 

23 

VM 

27 

V 

3i 

V 

3) 

V 

5o 

V 

5; 

V 

5!) 

.M 

63 

V 

71 

(')  Les  lettres  majuscules  placées  devant  les  renvois  indiquent  que  la  pièce  a  été  imprimée  : 
V  dans  les  f^arta  Opéra,  W  dans  le  Vommercium  epistoliciim  de  Wallis»  D  dans  les  Lettres  de 
Descartes,  F  dans  les  OEuures  de  Pascal,  II  dans  la  Correspondance  de  Hiiygens  ;  piilin  M  qu'elle 
est  tirée  de  sources  manuscrites. 


Im.umat. 


II. 


VI 


TABLE  DES  MATIERES. 


XIV. 

1 1  oclubro 

I(ij(i 

XV. 

4  novembre 

)) 

XVI. 

décembres' 

» 

XVII. 

7  cloccmbro 

n 

XVIII. 

i6  décombro 

» 

XIX. 

février"? 

i(i37 

XX. 

4  avril 

» 

XXI. 

20  avril 

^) 

XXII. 

soplcinbro 

?       »> 

XXIII. 

octobre  "? 

» 

XXIV. 

décembre? 

» 

XXV. 

t8  janvier? 

i63S. 

XXV  bis. 

février? 

t) 

XXVI. 

2o  avril 

)> 

XXVII. 

3  mai 

). 

XXVllI. 

))     » 

0 

XXIX. 

1  juin 

H 

XXX. 

juin? 

» 

XXXI. 

juin? 

» 

XXXII. 

27  juillet 

» 

XXXIII. 

10  aoiU 

» 

XXXIV. 

1 1  octobre? 

n 

XXXV. 

22  octobre 

1) 

XXXVI. 

26  décembre 

1) 

XXXVII. 

20  février 

ffilÇ). 

XXXVIII. 

mars  ? 

1040. 

XXX\1II  Ins. 

1  avril 

» 

P-S. 

? 

» 

XXXIX. 

mai? 

» 

XL. 

juin? 

n 

XLI. 

4  août 

„ 

XLII. 

aoilt? 

» 

XLIII. 

aoilt? 

» 

XLIV. 

18  octobre 

)) 

XLV. 

25  décembre 

» 

XLVI. 

26  mars 

iGji. 

XL  VIL 

I î  juin 

)} 

XLVIII. 

lî  juin? 

)) 

XLIX. 

2  août 

)) 

L. 

6  septembre 

» 

U. 

10  novembre 

lO^A. 

LD. 

li  janvier 

1643. 

Pages 

Uoberval  à  l'Vrniat V  75 

Fermât  à  Uoberval V  83 

Objecta  a  Domino  do  Format  adversiis 
propositioncm  mechanicam  Domini  de 

Uoberval V  87 

Fermât  à  Uoberval V  89 

Format  à  Uoberval V  92 

Fermât  à  Uoberval V  100 

Uoberval  à  Fermai V  102 

Fermât  à  Uolierval V  io4 

Format  à  Merscnne D  106 

Descaries  à  Mcrscnne  (pour  Fermât  )..    .  I)  112 

Fermât  à  Mersenne D  116 

Descaries  à  Mersenne D  12(1 

Fermât  à  Mersenne 'M  1  Sa 

Fermât  à  .Mersenne D.M  i35 

Descartes  a  .Mersenne D  i38 

Billet  ajouté  à  la  lettre  précédente D  146 

Uoberval  à  Format V  147 

Fermât  à  Mersenne M  1  )2 

.Méthode  de  maximis  et  miniinis  expli- 
quée  et   envoyée   par   M.   Fermât  à 

M.  Descartes M  1 54 

Descartes  à  Fermât '. .  D  i63 

Fermai  à  .Mersenne .M  164 

Descartes  à  Fermât D  167 

F'crmat  à  Mersenne M  169 

Format  à  Mersenne M  176 

Fermai  à  Mersenne M  179 

Frenicle  à  Mersenne M  1B2 

Fermai  à  Mersenne VM  186 

Post-scriptum  qui  parait  apparlenir  à  une 
lettre  antérieure  de  Fermai  à  Mer- 
senne   V  igi 

Format  à  .Mersenne  (fraginiMit ) M  194 

Fermai  à  Mersenne '.  . .  V  iqd 

Uoberval  à  Format V  199 

Fermai  à  Uoberval V  202 

Format  à  Frenicle  (fragment) M  2o5 

Fermai  à  Frenicle V  206 

Fermai  à  Mersenne JI  212 

Fermai  à  Mersenne M  218 

Fermai  à  Mersenne M  220 

Fermai  à  Frenicle  (extrait) AI  221 

Frenicle  à  Fermai V  22(1 

Frenicle  à  Fermai V  232 

Fermai  à  .Mersenne M  243 

Format  à  Mersenne M  245 


TABLE   DES   MATIERES. 


LUI. 

<■> 

i64'l 

LIV. 

27  janvier? 

)) 

LV. 

16  février 

» 

LVI. 

7  avril 

» 

LVU. 

•? 

)} 

LVIII. 

3i  mai 

» 

UX. 

août? 

)) 

LX. 

1  septembre 

» 

LXI. 

•7 

i64i 

LXII. 

'? 

1646 

LXIII. 

4  juin 

1648 

LXIV. 

9  juin 

» 

LXV. 

iS  août 

)) 

LXVI. 

»      » 

M 

LXVII. 


LXVIII. 

■>,o  août 

iGdo. 

LXIX. 

■ï" 

1654. 

LXX. 

29  juillet 

)) 

LXXI. 

9  août 

)) 

LXXII. 

24  aoiU 

)} 

LXXlll. 

29  août 

1) 

LXXIV. 

25  septembre 

)) 

LXXV. 

27  octobre 

» 

LXXVI. 

? 

i656. 

LXXVII. 

juin 

11 

LXXVH  bl.s: 

G  juillet 

» 

LXXVIIl. 

28  septembre 

» 

LXXIX. 

3  janvier 

■  657 

LXXX. 

fé\  rier? 

» 

LXXXI. 

février? 

» 

LXXXI  /hs. 

mars 

)) 

LXXXII. 

20  avril 

i) 

LXXXIII. 

6  juin 

11 

LXXXIV. 

I 5  août 

» 

LXXXV. 

u           1) 

" 

LXXXVI. 

août 

» 

LXXXVII. 

5  décembre 

)> 

LXXXVIII. 

12  décembre 

.. 

LXXXIX. 

1 3  février 

lOiS 

xc. 

3  mars 

» 

XG  bis. 

10  mars 

» 

P.nfte5 

Fermât  à  Carcavi V  24; 

Format  à  Morsonne M  249 

Fermât  à  Alersenne M  261 

Fermât  à  Mersenne M  253 

Fragment  d'une  lettre  de  Fermât  à  .Mer- 
senne  ou  à  Frenicle M  256 

Format  à  Saint-Martin  (?):  fragment M  238 

Fermât  à  Mersenne M  260 

Fermât  à  Mersenne M  262 

Fermât  à  Carcavi V  263 

Fermât  à  Gassendi V  267 

Format  à  Jlersenne;  fragment M  277 

Fermât  à  Séguier M  278 

Fermât  à  Cureau  de  la  Chambre M  279 

Note  de  Format  jointe  à  la  lettre  précé- 
dente   M  280 

Fermât  à  Mersenne  ou  Auzout  (?);  IVag- 

ment  D  282 

Fermai  à  Carcavi M  284 

Fermât  à  Pascal P  288 

Pascal  à  Fermai V  289 

Fermât  à  Carcavi P  299 

Pascal  à  Fermât V  3oo 

Fermât  à  Pascal P  3o7 

Fermât  à  Pascal P  3  m 

Pascal  à  Fermai P  3 1 4 

Fermât  à  Carcavi  (Iraduiiion  d'une  lettre 

latine  I M  3i5 

Fermât  à  Carcavi  (extrait) H  32o 

Huygens  à  Carcavi  (extrait) H  322 

Carcavi  à  Huygens  (extrait) II  328 

Premier  défi  de  Format  aux  mathémati- 
ciens    V  332 

Format  à  Froniclo;  fragment W  333 

Second   défi  de  Format  aux  mathémati- 
ciens   V  334 

Boulliau  à  Fermât M  336 

Fermât  à  Digby V  337 

Fermât  A  Digby V  34i 

Fermât  à  Digby V  342 

Remarques  sur  VJrit/imétiqiie  dex  infinis 

du  S.  J.  Wallis  (FermalàDigby)....  V  347 

Fermai  à  Cureau  de  la  Chambre D  354 

Digby  à  Fermât V  35g 

Digby  à  Fermât V  36i 

Digby  à  Fermât V  363 

Format  à  Clerselier D  365 

Fermai  à  Clerselier D  367 


YIII 


TA  RLE  DES  MATIERES. 


Pages 

XCI.                     7  avril            lOJS.     Kermal  à  Digby W  074 

XC.ll.                  1 5  mai                »        Digby  à  Fermai V  379 

XCUI.                 i5  mai                 »        (Uersolicr  i\  t'crmat f)  SS». 

XCIV.  1  ">  mai  »        RiHloximis  ou  projet  do  réponse  à  la  lollre 

de  M.  de  Keniial  cpii  coiUiciil  ses  ob- 
jeelions  sur  la  Dioplrique  do  .M.  Des- 
caries, par  M.  Rohault 0  39 1 

XCV.                   2  juin                »        Fermât  à  Clerselior 1)  397 

XCVI.                      juin?               »         Fermât  à  Digby VV  4o'. 

XC.VIl.                i(')juiii                 »         Fermai  à  Clersolier D  408 

XCVUI.  M  juillet  »         Lalouvère  à  Format Drdicace  4i3 

XCIX.                il  aoiU               »        Clerselier  à  Fermât D  4 '4 

C.                       1 6  février        iGâcj.     Fermât  à  Carcavi P  43o 

CI.  août  »        Relation  des  nouvelles  découvertes  en  la 

science  des  nombres  (Fermât  à  Car- 
cavi)   H  43i 

ai.                    26  août               »        Fermât  à  Billy M  436 

cm.                        août?             »        Fermât  à  Carcavi  (extrait) H  438 

CIV.                        seittembre?    »        Format  à  Carcavi  (extrait) Il  441 

CV.                         février        iGGo.     Fermât  à  Carcavi  (extrait) II  44  J 

CVI.                         juin'?               »         Fermât  à  Carcavi  (extrait) M  446 

C\ll.                   >5  juillet             i>        Fermât  à  Pascal P  45o 

CVIU.                  10  août               »        Pascal  à  Fermât V  43o 

CIX.                        décembre       «        Fermât  à  Huygens II  452 

ex.                                ?          iCiiVi.     Fermât  à  Carcavi  (extrait  ) H  4^4 

CXI.                   1 3  décembre       »        Fermât  à  Séguier M  455 

(;XII.                    1  janvier        tGG-2.     Format  à  Curean  de  la  Chambre D  457 

CXIII.                  Ornai                 u        Clerselier  à  Format D  464 

CXIV.                 13  mai                 »        Clerselier  à  Fermât D  47'- 

CXV.                  21  mai                 »        Fermât  à  Clerselier D  482 

CXVl.                        ?                 r664.     Fermât  a  M.  do*** V  485 

CXVII.  ?  "        Démonstration  dont  il  est  parlé  dans  la 

lettre  précédente V  489 

CXVIII.                     ?                   »        Saporta  à  Fermai Dédicace  496 

Variantes  et  notes  critiques 5oi 

Errata 5 14 


FIN    DE    H    TABLE    DES   MATIERES    DU    TOME    DEUXIEME. 


AVERTISSEMENT. 


Dans  le  premier  Volume  de  cette  édition  {Ai'ertissement,  p.  xxxiii),  nous 
en  avions  annoncé  deux  suivants  pour  la  Correspondance  de  Fermât,  tandis 
que  nous  avons  réuni  en  un  seul  Tome  toutes  les  pièces  connues  de  cette 
correspondance,  en  dehors  de  celles  que  leur  caractère  nous  avait  déjà  fait 
jinblier  dans  les  OEu^-res  diveisex  ou  dans  leur  Appendice:  il  a  en  effet  été 
jugé  préférable,  contrairement  à  notre  i)lan  primitif,  de  laisser  en  dehors, 
ou  plutôt  de  réserver  pour  les  Volumes  du  Complément  en  préparation,  les 
diverses  lettres  adressées  par  exemple  à  Mersenne  par  Descaries,  ou  à  Digby 
par  Wallis  ou  Brouncker,  et  qui  ont  dû  être  communiquées  à  Fermât  sur  le 
désir  formel  ou  sous  l'aveu  tacite  de  leurs  auteurs.  Nous  n'avons  donc  admis, 
en  principe,  que  les  lettres  écrites  par  Fermât  ou  directement  adressées  à 
lui;  nous  n'avons  fait  d'exception  (jue  :  i"  pour  les  deux  lettres  de  Descartes 
à  Mersenne  (n°*  25  et  27)  qu'il  est  indispensable  d'avoir  sous  les  yeux  afm 
de  comprendre  les  polémiques  relatives  à  la  dioplrique  et  à  la  méthode  des 
tangentes;  2°  pour  une  lettre  de  Frenicle  à  Mersenne  (n"  38)  qui  était  iné- 
dite et  a  été  l'origine  des  relations  entre  Fermât  et  Frenicle;  3°  pour  deux 
lettres  échangées  entre  (^arcavi  et  Huygens  (n"'  77  bis  et  78),  qui  comblent 
en  partie  de  regrettables  lacunes  de  la  correspondance  entre  Pascal  et  Fermât 
sur  les  probabilités.  Enfin,  comme  indications  relatives  aux  nombreuses 
lettres  perdues  de  Fermât,  nous  nous  sommes,  dans  le  présent  Volume, 
bornés  à  quelques  notes  et  à  quatre  Extraits  de  V Harmonie  universelle  de 
Mersenne  annexés  aux  lettres  n"'  2,  3  et  4. 

N'ayant  pas  à  revenir  sur  les  ([uestions  relatives  aux  sources  utilisées 
pour  notre  i)ubiication,  nous  pouvons  nous  borner  aujourd'hui  à  quelques 
remarques  louchant  les  dispositions  typographiques  et  l'orthographe  que 
nous  avons  adoptées. 

Dans  le  but  de  faciliter  les  renvois  pour  les  trois  index  (des  noms  propres, 
de  la  langue  mathématique  de  Fermât,  des  matières)  qui  seront  insérés  dans 
le  Complément,  après  la  traduction  des  Œuvres  latines,  nous  avons  sub- 


X  AVERTISSEMENT. 

divisé  les  lettres,  d'aïuès  les  sujets  traités,  eu  |)aiaf;rai)iies  luiiuérotés  par 
(les  ehilïres  gras  (égyptiens),  que  leur  foruie  distingue  nettement  de  ceux 
qui  sont  euipruntés  aux  sources. 

De  même  ([ue  dans  le  premier  ^'oluule,  nous  avons  cherché  avant  tout  la 
commodité  de  la  lecture;  nous  avons  donc,  sans  aucun  scrupule,  multiplié 
les  alinéas  et  conformé  la  pond  nation  aux  habitudes  modernes. 

Pour  l'orthographe  française  ('),  nous  avons  en  principe  adopté  celle  du 
xviii"  siècle,  sauf  à  conserver  les  formes  constamment  usitées  du  temps  de 
Fermai  pour  les  mots  techniques,  comme  méchanique,  (juarré;  en  dehors 
de  la  question  de  commodité,  nous  étions  forcément  conduits  ii  cette  solu- 
tion, par  suite  de  l'impossibilité  absolue  où  l'on  se  trouve  de  reconstituer  la 
véritable  orlliographe  de  Fermât. 

On  possède  de  Descartes,  par  e\em[>le,  assez  de  lettres  autographes  pour 
qu'il  soit  possible  aujourd'hui  de  publier  son  énorme  correspondance  avec 
un  texte  conforme  à  lk)rthograplie  rationnelle  (^)  qu'il  adopta  vers  l'âge  de 
quarante  ans  et  qui  est  plus  ou  moins  défigurée  dans  l'édition  de  Clerselier; 
mais  pour  Fermât,  il  fallait  renoncer  à  toute  tentative  analogue.  Il  nous  reste 
en  tout  de  lui  huit  autographes  en  français  (la  dédicace  à  Carcavi,  publiée  dans 
l'Avertissement  du  i)remier  Volume,  pages  xix-xx,  les  ir*  64,  65,  66,  100,  102, 
109,  111  de  la  Correspondance);  deux  seulement,  66  et  102,  dépassent  la  pro- 
portion de  simples  billets,  et  leur  ensemble  nous  permet  tout  au  plus  de 
conjectui'cr  (jue  Fermât  avait  une  orthographe  personnelle  dont  on  pourrait 
marquer  quelques  traits  (^),  sans  pouvoir  affirmer  qu'elle  fût  constante  (*), 
même  en  dehors  des  lapsus  de  plume,  auxquels  il  semble  avoir  été  quelque 
peu  sujet. 

Nous  avons,  en  tout  cas,  reproduit,  sans  les  modilier,  les  autographes  à 

(')  En  ce  qui  concerne  les  textes  latins,  nous  avons  suivi  les  mêmes  principes  que 
pour  le  premier  Volume  {voir  l'Avertissement,  page  xxx). 

(2)  Nous  pouvons  ajouter  «  très  réformatrice  »,  d'autant  que  nombre  de  simplifications 
qu'il  avail  Intvoduiles  sont  encore  à  réaliser,  quoiqu'elles  soient  également  réclamées  par 
l'étymologie  et  la  prononciation.  On  peut  prendre  comme  exemple  l'orthographe  usuelle 
du  mot  môme  auquel  se  rapporte  cette  noie. 

(')  Aucun  z  final  ;  le  t  final  conservé  au  pluriel;  la  forme  demender. 

(')  On  trouve  hoiieur  et  /loniieur,  avance  et  advance  dans  des  lettres  différentes;  dans 
la  môme,  commis,  mais  comission  et  comissaire;  il  ne  faut  pas  faire  entrer  en  ligne  de 
compte  dans  une  autre  lettre,  esgalité  al  égal  (page  437).  Dans  le  second  mot,  l'accent 
peut  avoir  échappé  à  la  plume;  or,  à  cette  époque,  où  en  principe  on  accentuait  seule- 
ment les  finales  non  muettes,  <?,  dans  le  corps  des  mots  et  surtout  pour  un  texte  manu- 
scrit, n'est  pas  une  forme  orthographique  réellement  différente  de  e^;  c'est  une  simple 
abréviation  dont  l'usage  est  arbitraire. 


AVERTISSEMENT.  xi 

notre  disposition  (');  quant  aux  ]iièces  qui  ne  sont  connues  que  par  des 
copies  ou  par  l'édition  des  Varia,  rortiiographe  des  sources  ne  présente 
certainement  aucune  authenticité.  Nous  avons  déjà  dit,  dans  l'Avertissement 
du  premier  Volume,  que  ceux  qui  ont  copié  au  wir  siècle  les  écrits  de 
Fermât,  ne  se  sont  lait  aucun  scrupule  d'y  introduire  les  notations  algé- 
briques cartésiennes;  on  ne  peut  supposer  qu'ils  aient  respecté  l'ortho- 
Kraphe;  Arbogast  a  également  introduit  la  sienne  dans  les  copies  qu'il  a 
faites,  do  première  ou  de  seconde  main.  Le  texte  des  }'aria  présente  enfin 
des  formes  spéciales  (^),  systématiquement  adoptées  et  qu'on  doit  attribuer 
à  l'imprimeur  beaucoup  plutôt  qu'à  Samuel  Fermât. 

Dans  ces  conditions,  nous  avons  jugé  que  la  reproduclion  des  différences 
purement  orlliographi([ues  entre  les  sources  et  notre  édition  serait  sans 
intérêt  véritable  pour  le  texte  français  (')  et  qu'elle  aurait  au  contraire  le 
grave  inconvénient  île  rendre  excessivement  pénible  l'étude  des  variantes 
qui  concernent  soit  le  sens  soit  la  forme  littéraire.  Nous  nous  sommes  donc 
limités  à  ces  dernières,  que  nous  avons  relevées  aussi  scrupuleusement  que 
possible. 

De  nous  deux,  M.  l'aul  Tannery  s'est  plus  spécialement  chargé  de  soigner 


(')  Dans  le  n°  109,  déjà  public  avec  rorlliO£;raplie  de  Fermât  dans  la  Cùrrcspandaiice 
de  Hitygcus,  el  dont  nous  n'avons  pu  collalionner  nous-mêmes  l'original,  nous  avons 
introduit  les  formes  modernes;  d'autre  part,  dans  les  lettres  d'un  intérêt  scientifique, 
pour  ne  pas  compliquer  inutilement  la  lecture,  nous  avons  distingué  1'/  et  le  y,  1'^^  et  le  c. 
Il  suflil  de  ra]ipoler  que,  dans  l'ortliographe  ancienne,  les  différences  de  fiirure  pour  ces 
lettres  ne  correspondent  à  aucune  distinction  entre  la  voyelle  et  la  consonne.  La  forme  y 
sert  couramment  pour  les  majuscules  manuscrites,  arbitrairement  pour  les  minuscules 
finales;  Fermai  ne  parait  pas  avoir  eu  l'habitude  de  l'employer  dans  ce  dernier  cas.  La 
forme  i'  est  régulièrement  usitée,  dans  les  textes  manuscrits  et  imprimés,  pour  les  majus- 
cules el  les  initiales  minuscules,  la  forme  u  pour  les  médianes  el  finales  minuscules;  dans 
l'écriture  do  Fermât,  ces  doux  foi'mes  se  distinguent  très  difficilement. 

(■-)  Dans  cette  édition,  la  reforme  de  l'orthographe  est  déjà  très  avancée;  1'/  cl  le  y,  Va 
et  le  i'  sont  distingués;  \'s  mucllo  est  remplacée  par  un  accent,  sauf  dans  le  verbe  être  el 
dans  quelques  autres  mots  particuliers;  on  doit  noter  oint  pour  oient,  dans  les  finales  des 
verbes. 

C)  Nous  avions  entrei>ris  une  étude  spéciale  des  formes  orthographiques  des  Varia. 
dans  l'espérance  que  les  différences  qui  existent  d'une  lettre  à  l'autre  pourraient  per- 
mettre de  distinguer  diverses  provenances  entre  les  copies  utilisées  par  Samuel  F'ermai; 
par  exemple,  si  les  lettres  de  Fermai  à  Mersenne  formaient  deux  groupes  d'orthographe 
distincte,  on  devrait  en  conclure  qu'elles  proviennent  de  deux  collections  différentes.  Nos 
recherches  n'ont  pas  abouti;  les  formes  que  l'on  peut  considérer  comme  propres  aux 
sources  des  J'nria  sont  relativement  rares;  l'édition  est  trop  incorrecte  cl  les  différences 
orthographiques  trop  fréquentes  dans  une  même  lettre  pour  que  l'on  puisse  déduire  des 
conclusions  certaines. 


Ml  AVERTISSEMENT. 

lï'dilion  des  lettres  des  années  i636  à  i64j;  M.  Charles  Henry  do  celles  des 
années  i646  à  1664. 

Il  nous  reste  îi  signaler  les  quelques  différences  que  présente  le  classement 
dos  pièces  de  la  correspondance  conlenuc  dans  ce  Volume  avec  la  liste  cliro- 
nolojjiqiie  publiée  dans  le  Ihdlelin  des  Sciences  mathématiques  de  juin  1890 
cl  encarlée  dans  le  Tome  premier  : 

1°  L'ordre  des  lettres  24.  et  25  de  la  IJste  a  été  interverti;  la  seconde 
lellre  de  Fermât  à  Mersenne  sur  la  Diojitrique  a  été  en  effet  écrite  avant 
la  première  lettre  de  Descartes  sur  la  méthode  des  tangentes  {voir  ci-après 
page  116,  note). 

a"  La  lettre  28  de  la  Liste,  reconnue  comme  antérieure  à  la  lettre  2G,  a 
pris  le  n"  23  bis,  et  a  été  remplacée  par  le  Billet  publié  par  (]lcrselier  comme 
annexe  à  la  lettre  27.  11  y  a  des  motifs  pour  croire  que  ce  Billet  n'a  pas  été 
réellement  envoyé  à  Mersenne  avec  la  lettre  en  question. 

3"  La  pièce  38  de  la  Liste  a  pris  le  n°  38  bis,  pour  faire  place  à  la  lettre 
inédite  de  Frenicle  à  Mersenne  que  nous  avons  trouvée  dans  un  Volume  de 
la  Corresi)ondance  de  Mersenne,  faisant  partie  du  fonds  Libri-Ashburuham; 
celte  découverte  nous  a  induits  à  penser  que  le  Post-scriptum  de  la  lettre  38  bis 
est  en  réalité  d'une  date  antérieure  à  cette  Lettre;  mais  cette  conjecture  ne 
nous  a  pas  paru  suffisamment  établie  pour  que  nous  détachions  ce  Post- 
scriptum  et  en  fassions  une  pièce  à  part. 

4"  La  lettre  de  Huygens  à  Carcavi  du  6  juillet  i656,  publiée  dans  la  Corres- 
pondance de  Huygens,  a  été  introduite  sous  le  n"  77  bis. 

5"  La  lettre  inédite  de  Boulliau  à  Fermai  a  été  introduite  sous  le  n"  81  bis. 
Nous  adressons  tous  nos  remerciements  à  M.  Lucien  Auvray,  de  la  Biblio- 
ihèfiue  nationale,  qui  a  bien  voulu  nous  la  signaler. 

6°  Les  deux  lettres  de  Fermât  renfermées  dans  la  pièce  90  de  la  Liste  ont 
été  désignées  sous  les  n"*  90  et  90  bis. 

En  résumé,  depuis  la  publication  du  Tome  premier  de  cette  édition,  notre 
recueil  de  la  Correspondance  de  Fermai  a  été  augmenté  de  deux  pièces  iné- 
dites; nous  renouvellerons,  avec  le  ferme  espoir  d'être  entendus,  l'appel  que 
nous  avons  déjà  fait  aux  savants  et  aux  amis  de  la  Science  qui  pourraient 
nous  fournir  de  nouveaux  documents  à  utiliser  dans  le  Complément  de  celte 
édition. 


CORRESPONDANCE  DE  FERMAT. 


l'i.OM  \T.    —    II. 


CORRESPONDANCE  DE  FERMAT. 


ANNÉE    1636. 


I. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

SAMEDI  26  AVBII.  1036. 

(A   1"  lo-ii;    B    !'•  iv°-i6.) 

]\1(IN    RlCVÉREM)    PkUE, 

1.  Je  VOUS  rcsio  beaucoup  obligé  de  la  faveur  que  vous  me  failes 
espérer  de  conférer  par  lellres  ('),  et  n'est  pas  une  des  moindres  oltli- 
galions  que  j'aie  à  M.  de  C.arcavi  qui  nie  l'a  procurée.  .le  suis  marri  de 
ce  que  sans  doute  ma  réponse  aux  points  de  votre  Lcllre  ne  vous  satis- 
fera pas,  mais  j'aime  mieux  paroitre  ignorant  en  vous  répondant  mal, 
qu'indiscret  en  ne  vous  répondant  point  du  tout. 

2.  .l'ai  toujours  cru  qu'il  étoit  bien  malaisé  de  secouer  et  détruire 
les  principes  dos  Sciences,  car,  étant  fondés  sur  l'expérience  labo- 
rieuse de  ceux  qui  les  ont  recherchés,  il  semble  qu'il  est  bien  malaisé 
d'en  faire  de  plus  précises,  et  il  est  encore  plus  inutile  d'appeler  la 
raison  au  secours  des  sens,  puisque,  dans  ses  opérations,  elle  présup- 
pose toujours  celles  des  sens  exactes  et  véritables. 


(  •  )  Il  est  clair  que  celle  Leltre  est  la  première  que  Fermai  ail  écrilo  à  Mersennc,  en 
répondant  d'ailleurs  à  une  Lettre  do  ce  dernier,  qui  est  perdue. 


i  ŒIVIJKS    l)i:   IKUMVI.  -   CORRESPONDANCE. 

3.  Di'  sorlo  (]ii(\  par  mon  sciiliincnl  cl  par  cos  raisons,  j'csliiiic  (pTil 
seroit  bioii  malaist'  de  (roiiver  une  proporlioii  dinV-renle  de  la  double 
(|iii  l'il  l'octavo  plus  exactement  que  celle-là.  Je  vous  avoue  bien  (|nil 
y  en  a  iutinies,  qui  effectivement  feront  des  accords  différents  et  des- 
quels néanmoins  la  différence  ne  sera  pas  comprise  par  l'ouïe  la  plus 
délicate  qui  puisse  être;  et  de  là  on  pourroit  conclui-e  que  peut-être 
la  vraie  octave  ne  consiste  pas  précisément  en  la  proportion  double. 
Mais,  puisque,  en  ce  principe  que  les  Anciens  nous  ont  baillé,  nous 
n'avons  jusquesà  présent  su  découvrir  d'erreur  sensible,  rendons-leur 
ce  respect  de  le  croire  véritable,  jusques  à  ce  que  le  contraire  nous  ait 
apparu. 

4.  Peul-èlre  que,  comme  on  a  trouvé  des  lunettes  qui  rendent  vi- 
sibles les  choses  qui  ne  l'étoient  pas  auparavant,  et  qui  nous  font  con- 
noilre  les  différences  les  plus  menues  et  les  plus  subtiles,  on  trouvera 
(|uelquc  instrument  qui  fera  tomber  les  sons  les  plus  proches  sous  des 
dillerences  remarquables  et  sensibles  à  l'ouïe. 

5.  Or,  de  chercher  par  raison  pourquoi  l'octave  est  en  proportion 
double,  c'est,  ce  me  semble,  traiter  des  choses  hétérogènes  :  le  son  de 
l'octave  est  l'accident  et  la  qualité  de  la  proportion  double  qui  consiste 
en  quantité.  La  proportion  se  comprend  par  la  vue  ;  l'accord  qu'elle 
fait,  par  l'ouïe;  et  ainsi  il  semble  qu'on  ne  sauroit  assigner  une  raison 
nécessaire  pourquoi  est-ce  que  l'un  convient  à  l'autre.  Car,  comme 
vous  savez,  les  raisons  démonstratives  s'arrêtent  toujours  entre  des  su- 
jets homogènes.  De  sorte  qu'il  vaut  mieux  laisser  décider  aux  sens 
toutes  les  questions  de  votre  Lettre,  que  d'altérer  des  maximes  reçues 
et  qu'on  ne  sauroit  convaincre  de  faux. 

6  11  y  a  bien  quelque  chose  sur  quoi  peut-être  je  pourrois  vous 
donner  des  raisons  plus  précises,  mais  ce  sera  une  autre  fois.  Je  me 
contenterai  cependant  de  vous  avoir  fait  voir  les  effets  de  mon  obéis- 
sance, bien  qu'ils  me  soient  désavantageux. 

1-  Vous  m'obligerez  beaucoup  de  me  faire  savoir  si  M.  de  Beau- 
grand  est  à  Paris.  C'est  un  homme  duquel  je  fais  une  estime  très  sin- 


I.  —  -20   AVRIL    163G.  o 

gulière  ;  il  a  l'esprit  merveilleusement  inventif,  et  je  crois  que  sa 
Géostatique  (')  sera  quelque  chose  de  fort  excellent.  Je  lui  écrirai  dès 
que  vous  m'aurez  donné  de  ses  nouvelles. 

8.  Je  serai  aussi  bien  aise  d'apprendre  par  votre  moyen  tous  les 
Traités  ou  Livres  nouveaux  de  Mathématiques  qui  ont  paru  depuis 
cinq  ou  six  ans. 

9.  Je  vous  envolerai  Vhélice  (-)  que  vous  me  demandez,  par  la  pre- 
mière commodité. 

10.  Et  vous  dirai  cependant  que  j'ai  rétabli  entièrement  le  Traité 
d'Apollonius  :  De  locis planis  (^).  II  y  a  six  ans  que  je  donnai  ii  M.  Pra- 
des,  que  peut-être  vous  connoissez,  la  seule  copie  que  j'en  avois, 
écrite  de  ma  main.  Il  est  vrai  que  la  question  la  plus  difficile  et  la  plus 
belle,  que  je  n'avois  pas  encore  trouvée,  y  manquoit.  Maintenant  le 
Traité  est  de  tous  points  accompli,  et  je  vous  puis  assurer  qu'en  toute 
la  Géométrie,  il  n'y  a  rien  de  comparable  à  ces  propositions.  J'en  ai 
l'ait  voir  quelqu'une  ii  M.  de  Beaugrand. 

11.  J'ai  trouvé  aussi  beaucoup  de  sortes  d'analyses  pour  divers  pro- 
blèmes tant  numériques  que  géométriques,  à  la  solution  desquels 
l'analyse  de  Viëtc  n'eût  su  suffire. 

De  tout  cela,  je  vous  en  ferai  part  quand  vous  voudrez,  et  ce  sans 
nulle  ambition,  de  laquelle  je  suis  plus  exempt  et  plus  éloigné  que 
tous  les  hommes  du  monde. 

12.  Je  voudrois  pourtant  qu'il  vous  plût,  sans  me  nommer,  proposer 
aux  plus  habiles  de  delà  les  deux  questions  suivantes  à  soudrc,  pour 

(')  Joannis  |  de  Beaugrand  ]  Régi  Francire  Domui  |  Uegnoquo  ac  œrario  |  sanctiori  a 
consiliis  secretisque  i  Geostatico  |  sou  |  do  vario  pondère  gravium  |  seeundum  varia  a 
lerree  <  centro  >  |  intervalla  |  Dissertatio  raathematica  1  .  —  Apud  Tussanum  Du  Bray. 
via  I  Jacobaea,  sub  Spicis  maturis  |  M. DC. XXX. VI.  —  (Bibl.  Nat.,  V  122,  f°).  —  La  dé- 
dicace, à  Riclielieu,  est  datée  du  20  avril  iG36. 

{-)  Foir  ci-après  Lettre  III,  3. 

(')  /'bi>  Tome  I,  pages  3  à  5i.  —  Il  semble  (]ue  la  proposition  que  Fermât  n'a  trouvée 
qu'en  dernier  lieu  soit  la  septième  du  Livre  I  (T.  I,  p.  24);  il  avait  en  effet  achevé  le 
Livre  II  dès  1629.  Voir  ci-après  Lettre  XXI,  .3. 


G  ŒUVHES  1)E  FEU.MAT.  -  COIiUESl'ONDANCK. 

Cl-  (|ii('  It'iii'  siiliilidii  lU'poiul  crime  méthode  particiilii'ro  que  j'ai  trou- 
vci',  (le  la(|Uollo  je  ne  ferai  plus  tanld'éla(,  si  vous  (loiivez  (|iiel(jii'iiii 
(|iii  les  puisse  soudre  géomélriquemenl  ('). 

l'ui.MA.  —  Dalœ  sphœrœ  inscnbcre  coniim  reclti/n  oinnimn  iiisnihcndo- 
ruin  ivulntu  maximum. 

Secinda  idem  proponit  de  cylindro  quod  superior  de  cono. 

.le  lie  prcliMids  pas  par  là  vous  exclui'e  du  nouibre  de  ceux  (jui  eher- 

oluToul  la  soluliou  de  ces  deux  questions. 

J'allends  de  vos  nouvelles  et  suis,  mon  Révérend  Père,  votre  très 

iuinihle  serviteur. 

Fermât. 

A  Toulouse,  ce  '26  a\ril  iG3G. 


II. 

PROPOSITIO  GEOSTATICA 

DoMiM  DE  l^'EliMAT  ("-). 
<  MAI  1G36  > 

{l-a.,  p.  .',3-1',',.) 

1.  Sit  ceiilnun  Tcrrœ  B  (fig.  i),  semidiameter  BA,  portio  allcriits  semi- 
diamelri  ]iC  et  fiai 

(il    \V>  ad  !?(!,        it(t  pondus  appcnsii m  in  C  ad  [londiis  appensiun  in   A  : 

Fi-.   ■. 

e — G) 

c  A 

Aio  puiulcra  A,  K\  non  nuneri,  sed Jicri œquilibrium. 

C)  f'oir  Tome  I  :  la  solution  analytique  de  la  première  de  ces  deux  questions, 
pages  lij  et  suiv  ;  la  solution  géométrique  de  la  seconde,  envoyée  à  Mersenne  le  10  no- 
vembre i6j2,  pages  167  et  suiv. 

1')  Celte  proposition  a  été  envoyée  par  Fermai  à  Carcavi  (  roi/- ci-a[)rès  Lettre  VI.  2) 


II.   —  MAI    1636.  7 

Hœc  autcm  propositio  probatii  est  facillima,  vesligiis  Archiinedis  (  '  ) 
insistendo,  et,  si  ncgelur,  statim  demonstrabitur. 

2.  Hoc  supposito,  propositionem  sane  mirabilem  inde  deduciimis  : 
Ponalut  grave  in  piuicto  N  (tig.  2)  inter  puncla  A  et  B,  cl  Jîal 
ut  AB  ad  BN,        ita  pondus  N  ad  polentiani.   R  : 
A io  pondus  N,  j'unclo  axe  AN,  a  potentia  R  m  puncto  A  coUocata  dcti- 

Fig   2. 

B 0 ^., 

N 

/ic/V  £'^,  .y<  minimum  augeatur  potentia  R,  sursum  tolli,  ideoquc  (pià  prn- 
pius  pondus  accedit  ad  centrum  Terrœ,  minorem  potentiani  ad  toUendum 
illud  requin. 

Haec  est,  ni  fallor,  propositio  quam  Beaiigrandus  (-)  in  sua  Goosta- 
tica  demonstrat;  nos  eam  hac  ratione,  quœ  seqnitnr,  demonstramus. 

dans  une  lettre  perdue,  où  il  le  priait  sans  doute  de  la  communiquer  à  Jtersenne.  Fermai 
l'avait  composée  avant  d'avoir  pris  connaissance  de  la  Géostatique  do  Beaugrand,  par  con- 
séquent avant  la  lettre  suivante,  du  3  juin  iG3G  {voir  ci-a]irès  III,  5). 

Mersenno  en  a  inséré  dans  son  Harmonie  universelle  une  traduction  assez  fidèle,  cpie 
nous  reproduisons  ci-après  (IIa).  Elle  permet  de  constater  une  confusion  dans  les  Varia, 
où  les  trois  premiers  articles  sont  rattachés  à  la  pièce  V  ci-après,  et  où  le  titre  du  mor- 
ceau est  inséré  après  l'énoncé  même  de  la  proposition,  c'est-à-dire  avant  l'article  3  :  Sup- 
positis  et  coiicessis  etc. 

(')  Si  l'on  compare  la  marche  que  suit  Archimède  {De  planorum  nv/uililirHx,  I)  pour 
démontrer  le  princii)e  d'équilibre  de  la  balance,  on  reconnaît  que  Fermât  admet  en  fait 
comme  postulats  : 

1°  Que  la  direction  de  la  gravité  passe  constamment  piK  un  point  déterminé  hors  du  corps 
pesant,  à  savoir  par  le  centre  de  la  Terre; 

■j.°  Que  le  point  d'application  de  la  gravité  (au  moins  pour  un  corps  sphcrique  homo- 
gène) est  un  point  déterminé  de  la  figure  du  corps  pesant; 

3°  Que  l'effet  statique  de  la  gravité,  pour  un  corps  déterminé,  dépend  uniquement  de  la 
distance  de  son  centre  de  gravité  au  centre  de  la  Terre. 

Fermât  ne  suppose  pas  d'ailleurs  que  la  gravité  s'exerce  en  dehors  de  la  sphère  ter- 
restre ;  dans  ces  limites,  ses  postulats  concordent  avec  l'hypothèse  newtonienne,  si  l'on 
considère  la  gravité  comme  la  résultante  de  l'attraction  d'une  sphère  composée  de  couches 
concentriques  et  homogènes  sur  un  point  matériel  situé  à  son  intérieur. 

(2)  Voir  la  Lettre  I,  7.  La  Géostatique  de  Beaugrand  a  pour  objet  de  démontrer  que  la 
gravité  (supposée  seulement  à  l'intérieur  de  la  sphère  terrestre)  varie,  pour  un  même 


s  ŒUVRES  DE  FERMAT.  ^  CORRESPONDANCE. 

3.  Sii[)[)ositis  l'I  coiu'i'ssis  (niil)iis  in  domonstratione  ulimur,  ex 
pni'ciHlonlo  propositionc  et  ex  coinmunihiis  notionibus  desuinplis,  sil 
«•eiilnim  Terra'  C  {Jig.  3),  semidiameter  CA  in  qua  sumatur  puiidum 

Fi-.  3. 

■■^ — '- — e e— -^ 


15.  In  pnncio  anloni  B  sit  qiiodvis  grave  appensuni;  iiat  aulein 

ut  recta  CA  ad  reclam  CB, 
ila  pondus  in  R  appcnsnm  ad  potcntiani  aliqnani,  ul  R. 

Aio  grave  1?  a  pnlentia  Rin  puncto  Asustineri  et,  si  augeatur  quantum- 
liliet  polentia  R,  pondus  B  ah  luijusmodi  aucta  potenlia  in  {tane(o  A 
colloeala  snrsum  moveri. 

Producalur  enim  Ad  in  D,  et  sil  CD  tequalis  CB,  et  in  D  eollocetur 
pondus  ponderi  B  îvquàle.  Corporis  igilur  ex  duobus  gravibus  B  et  D 
compositi  ccntrum  gravitatis  est  C,  ideoque,  si  a  puncto  A  auferalur 

corps,  pnipoi-tloiincllomeiit  à  la  dislance  do  son  contre  de  gravité  au  centre  do  la  Terre. 
C'est  donc,  en  fait,  la  mémo  thèse  que  celle  de  l'armât,  quoique  ce  dernier  établisse  une 
distinction  assez  subtile  {voir  ci-après  Lettre  IV,  1).  Mais  la  démonstration  do  Beaugrand 
est  absolument  manquôe  comme  fond  et  comme  forme,  et  elle  donnera  lieu,  dans  la  cor- 
respondance entre  Mersenne  et  Doscurtes,  à  de  fré(iuenles  railleries  de  ce  dernier  contre 
le  i^eostaliclcii. 

(;etle  démonstration  revient  en  fait  à  admettre  que,  si  un  corps  pesant  est  suspendu 
par  un  fil  sans  gravité  à  l'extrémité  d'un  levier  parallèle  à  l'horizon  et  maintenu  d'ailleurs 
en  équilibre,  cet  équilibre  ne  sera  jamais  détruit,  quand  môme  on  allongerait,  autant  que 
l'on  voudra,  le  fd  do  suspension  supposé  dirigé  vers  le  centre  de  la  Terre. 

1,'crreur  d'une  pareille  thèse  est  aisée  à  reconnaître;  mais  il  convient  d'observer  qu'à  la 
date  où  nous  sjmmes,  les  principes  de  la  Slati(pie  ne  sont  nullement  établis;  on  est  môme 
à  ])eine  d'accord  sur  les  conditions  d'équilibre  du  levier  actionné  par  des  forces  parallèles, 
car  la  question  qui  s'agite  est  précisément  de  savoir  si  les  postulats  d'origine  expérimen- 
tale sur  lesquels  repose  la  théorie  d'Archimèdo  sont  vrais  en  prenant  les  forces  de  gra- 
vité concourantes,  ainsi  qu'elles  le  sont  on  réalité,  ou  en  los  supposant  parallèles,  avec  le 
géomètre  do  Syracuse.  Beaugrand  admet  la  première  alternative  jusque  dans  ses  consé- 
quences évidemment  erronées;  Format  suit  la  môme  voie,  mais  avec  une  prudence  très 
caractéristique.  Hobcrval  défendra  l'hypothèse  d'Archimède  {ci-après  Lettres  VIII,  XIV)  ; 
mais  Galilée  et  Castelli,  quoique  déjà  en  possession,  comme  Roberval,  du  principe  de 
l'équilibre  du  levier  actionné  par  des  forces  concourantes,  n'en  ont  pas  moins  pris  en  sé- 
rieuse considération  les  conclusions  de  Beaugrand  et  les  propositions  de  Fermât  {voir  ci- 
après,  Pièce  V,  note  6). 


II.  -  MAI   1636.  !) 

potentia  R,  quum  recta  BA  niliil  ponderet,  crunt  pondéra  B  et  D  in 
œquilibrio  et  manebunt. 

Si  autem  in  A  collocetur  pondus  deorsum  tendens,  potentiae  R  sur- 
sum  moventi  a^qnale,  idem  est  ac  si  a  puncto  A  dematur  potentia  R; 
nam,  quantum  potentia  tollit,  tantumdem  pondus  deprimit.  Collocetur 
igilur  hujusmodi  pondus  in  A  :  corpus  igitur  compositum  ex  potentia 
R  collocata  in  A  et  sursum  niovente,  ex  pondère  A  deorsum  tendente 
et  ex  gravibus  B  et  D,  erit  in  aequilibrio  aut,  si  mavis,  non  move- 
bitur. 

Quum  autem  grave  D  sit  aequale  gravi  B,  et  recta  CD  rectse  CB,  erit 

ut  AC  iul  CL),       ila  AC  ail  CB, 
et 

ut  pondus  15  ad  potentiam  R  iti  A  coIlocaVam, 

ila  [joiidus  I)  ad  pondus  in  A  deorsum  tendens, 

r|uo(l  ipsi  R  potentiœ  sequale  posuimns.  Est  autem,  ex  bypothesi, 

ul  lecla  A(;  ad  Œ,       ila  pondus  B  ad  polenliam  B  in  A  collocalani  : 

erit  igilur 

ut  A(^  ad  Cl),       ila  [loiitlus  I)  ad  pondus  in  A  deorsum  lendens. 

Quum  igitur  distantia*  ponderibus  sint  reciproce  proportionales, 
pondus  iii  A  deorsum  tendens  ponderi  D  a'quiponderabit;  si  vero  ab 
a'quiponderanlibus  «quiponderanlia  auferantiir,  reiiqua  aequiponde- 
rai)unl  :  crgo,  si  ab  3equilii)rio  ex  potentia  R  in  A  collocata  et  sursum 
movente,  ex  pondère  in  A  deorsum  tendente  et  ponderibus  B  et  D  com- 
posito,  auferatur  sequilibrium  ex  ponderibus  A  et  D  compositum,  reii- 
qua îçquiponderabunt  aut  potins  non  movebuntur. 

Auferantur  igitur  pondus  A  et  pondus  l);  remanebit  potentia  R,  in  A 
collocata,  et  pondus  B,  qiiod  proindc  potentia  R  detinebit.  ideoque,  si 
minimà  augealiir  vi,  sursum  (idlif.  Quod  erat  demonstrandum. 


l'tnM.vT.  —  n. 


10  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


Ha. 

.Mkrsexne.  Scrnnde  Partir  de  lHavmotiic  ITiik'crsellc  (iTvîj),  livro  VIIl  : 
Oo  riililito  (io  l'ilarmiiuic.  |)iii|).  wiii,  pages  Gi  cX  suiv.  (  '  ). 

.  .  .  Or,  ]iuis(|iii'  Monsioiii'  l'ennal,  Conseillci'  au  Parleiiiont  de  Tliolosc  l'i 
Iri's-oxrollciil  (ioomèlro,  m'a  (ioiiiH'  lo  l'aisonncincnt  qu'il  a  t'ait  sur  les  liitTé- 
reiiles  i)esanteurs  des  poids,  suivant  (|u'ils  approchcnl  davantage  du  centre..., 
je  veux  faire  part  au  public  de  ses  pensées  sur  ce  sujet. 

Soit  donc  le  centre  de  la  Terre  dans  la  ligne  (lroit(>  VC  (/'A'-  i),  an  point  15; 


G — ^ O 


le  ilcnii-ilianièire  HV;  et  RC  soit  luie  [loinion  de  l'antre  denii-dianiéire.  El 
([lie  le  poids  attaché  au  point  C  soit  au  jioids  attaché  au  point  A  comme  AR 
à  Rt;  :  j(>  dis  (|ne  les  poids  A,  C  seront  en  éf|uilihre.  Ceci  élanl  posé,  il  en 
déduit  la  conclusion  précédente,  à  savoir  ipie  la  pesanteur  d'un  corps  est 

d'aulanl   moindre  qu'il  s'ap|iroclie  davantage  du  centre  de  la  Terre Je 

mets  ici  le  raisonnement  entier  de  Monsieur  l'ermat. 
Soit  donc  mis  le  poids  entre  A  et  l>  au  |)oint  N  {Jli;.  2);  et  connue  A<li> 

Fig.  2. 
B 0 ^>a 


est  à  BN,  ainsi  soit  le  poids  N  à  la  puissance  R  :  je  dis  que  le  poids  N,  joint 
à  A  par  la  ligne  NA  {"-),  est  détenu  par  la  puissance  R  mise  au  point  A,  et 
que  si  l'on  augmente  tant  soit  peu  la  ])uissance  R,  elle  l'enlèvera;  i)ar  consé- 
(|uent,  il  faut  une  puissance  d'autant  moindre  pour  l'enlever,  ((u'il  api)roche 
davantage  du  centre  de  la  Terre. 
Ce  qu'il  démontre  en  celte  façon  :  Que  C  {fig-  3)  soit  le  centre  de  la  Terre, 

Fig.  3. 

Cy-^ e ' 


->K 


le  dcmi-dianiétre  (3A,  auquel  soit  pris  le  point  R,  dans  lequel  le  poids  attaché 
soit  à  la  (niissance  R  comme  AC  à  (]R  :  je  dis  que  le  poids  B  est  soutenu  ])ar 

(  ';  Fuir  la  noie  2  de  la  page  G,  second  alinéa. 
(2)  joint  à  BA  par  la  ligne  BA  Mersennc. 


III.  —   3  JUIN   1636.  11 

l;i  [iiiissance  H  mise  en  A,  laquelle  l'enlèvera,  pour  peu  qu'on  l'augmenle. 
(]ar  soil  prolongé  AC  jusques  à  D,  el  que  CD  soit  égal  à  CB,  et  que  l'on  nietle 
un  poids  en  D  égal  au  poids  B,  C  sera  le  centre  de  pesanteur  du  corps  com- 
posé des  deux  poids  B  et  D;  c'est  pourquoi,  si  du  point  A  l'on  ôte  la  puis- 
sance R,  les  poids  B  et  D  demein'eront  en  équilibre,  iHiis(|ue  la  ligne  HA  ne 
pèse  point.  Et  si  l'on  met  le  poids  en  A  qui  tende  en  bas,  égal  à  la  puis- 
sance Il  qui  tend  en  haut,  l'on  (ait  la  même  chose  que  si  du  point  A  l'on  ôluil 
la  puissance  R,  puisque  le  poids  abaisse  autant  comme  la  puissance  enlève. 

Oue  ce  poids  soit  donc  mis  en  A;  donc  le  corps  comijosé  de  la  puissance  It 
posée  en  A  el  tendant  en  haut,  du  poids  A  tendant  en  bas,  el  des  poiils  lî 
et  I),  demeurera  en  équilibre.  Or  puisque  le  poids  D  esl  égal  au  poitls  B,  el 
(|ue  la  ligne  CD  est  égale  à  la  ligue  CB,  AC  est  à  CB  comme  AC  à  Cl)  ;  el  comme 
le  poids  B  est  à  la  puissance  R  mise  en  A,  ainsi  le  poids  D  au  poids  mis  en  A 
(]ui  tend  eu  bas  (lequel  on  suppose  égal  à  la  puissance  R).  Or,  comme  Af]  esl 
à  (]B,  ainsi  le  poids  B  à  la  puissance  R  posée  en  A;  donc,  comme  AC  à  Cl), 
ainsi  le  poids  D  au  poids  mis  en  A.  Et  par  conséquent  le  poids  mis  en  A  sera 
en  équilibre  avec  le  poids  D,  puisque  les  distances  sont  en  proportion  réci- 
piofpie  des  poids.  Mais  si  l'on  ôte  des  poids  qui  sont  équilibres,  d'autres 
poids  (|ui  sont  aussi  en  équilibre,  ceux  qui  resteront  demeureront  aussi  en 
l'quililiie;  donc  si,  de  l'équilibre  fait  de  la  puissance  R  mise  en  A  el  tendant 
en  haut,  du  poids  mis  en  A  tendant  en  bas,  et  des  poids  B  et  D,  l'on  ôte 
l'équilibre  l'ail  des  jioids  A  et  I),  les  |ioidsqui  resteront  demeui'eront  en  équi- 
libre. 

Soient  donc  ùlés  les  poids  A  et  I),  la  puissance  R  mise  en  A  et  le  [loiils  I! 
demeureront  en  équilibre,  et  partant,  pour  peu  que  l'on  augmente  la  pui>- 
sance  R,  elle  enlèvera  le  poids  B  :  ce  qu'il  falloit  démontrer. 


ni. 

FERMAT  A  MERSENiNE. 

MAiiDi  3  jriN   i63(j. 

Mon  Hi:vi:iu:.M)  Pèisi:, 

1-  J'ai  reçu  votre  letlre  avec  satisfaction,  puisqu'elle  contient  des 
remarques  et  des  expériences  très  singulières  :  j'en  ferai  l'estime  que 
je  dois  et  de  tout  ce  qui  me  viendra  de  votre  [)art. 


12  ŒUVRES   DE  FEKMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

2.  Je  n'ai  [tiiiiil  vu  de  livn>  de  musique  plus  nouveau  de  vous  (|ue 
celui  tiue  vous  appelez  (Jiws/io/ts  li(in)iomques,  ((ue  j'ai,  relié  avee  nu 
autre  reeueil  de  Questions  et  les  Méchaniques  de  (ialihei  (  '  ). 

3-  Si  la  denioiistratiou  de  la  proposition  de  l'hélice  ('- )  u'étoil  pas 
de  grand  discours  et  d(>  grande  rechereiie,  je  vous  l'envoierois  présen- 

(')  Il  a  paru,  en  i(i'3|,  ilcii\  Volumes  diffôroiils  do  Questinns  ilu  y.  Mersonne.  Ions  de\i\ 
polit  iii-oi'lavo. 

Le  premier  —  A  Paris,  chez  laques  Villery,  rue  C lopin  à  l'Escu  de  France,  et  au  coin 
de  la  rue  Daiiphine  aux  trois  Perruques,  M.DC.XXXIHI.  Avec  Privilège  du  Boy.  — 
Sans  nom  d'auteur  (le  privilège,  du  i4  août  i('29,  est  délivré  au  U.  P.  M.  R.  M.  ;  l'achevé 
d'imprimer  est  du  i"  décembre  iG3'5)  —  eoulienl  (Bibl.  Nnl.  Imprimés  V  '.uii,  luvon- 
tairo  V  19^94/5)  :  4  A 

a)  Questions  iiiouyes,  ou  Récréation  des  scavans.  Qui  contiennent  beaucoup  de  choses 
concernantes  la  Théorie  (Théologie?),  la  Philosophie,  et  les  Mathématiques  (180  pages); 

h)  Questions  harmoniques.  Dans  lesquelles  sont  contenues  plusieurs  choses  remar- 
(piables  pour  la  Physique,  pour  la  Morale,  et  pour  les  autres  Sciences  (276  pages). 

Le  second  —  A  Paris,  clwz  Henry  Guetio/t,  rue  Sai/ict  lacques,  prés  les  lacohins,  à 
l'image  Sainct  Bernard  M. DC. XXXIV.  Avec  Privilège  et  Approbation.  —  (Privilège 
d'août  1G34,  cpitrcs  dédicaloires  signées  de  Mcrscnne)  —  renferme  (Bibl.  Nat.  Imprimés 
V  2675,  Inventaire  V  aSiSo/i/a)  : 

c)  Les  (Questions  Tlioologiquos,  Physiques,  Morales  et  Mathématiques.  Où  chacun  trou- 
vera du  contentement  ou  de  l'exercice.  Composées  par  L.  P.  M.  (240  pages); 

d)  Les  Méchaniques  do  Galilée  Mathématicien  et  Ingénieur  du  Duc  do  Florence,  Avec 
Plusieurs  Additions  rares  et  nouvelles,  utiles  aux  Architectes,  Ingénieurs,  Fonteniers, 
Philosophes  et  Artisans.  Traduites  de  l'Italien  par  L.  P.  M.  M.  (88  pages); 

e)  Les  Préludes  de  l'Harmonie  Universelle,  ou  Questions  Curieuses,  Utiles  aux  Prédi- 
cateurs, aux  Théologiens,  aux  Astrologues,  aux  Médecins  et  aux  Philosophes.  Composées 
par  L.  P.  iM.  M.  (224  pages). 

C'est  évidemment  ce  second  volume  que  possède  Fermât  et  c'est  le  dernier  recueil  (c ) 
qu'il  désigne  improprement  sous  le  titre  de  Questions  harmoniques. 

(2)  Foir  Lettre  I,  9.  —  L'envoi  promis  ici  par  Fermât  ne  se  retrouve  pas  dans  ses 
Lettres  à  Mersenne,  mais  il  fut  fait  avant  le  4  novembre  16'ÎO  {voir  Lettre  XV,  6),  et 
d'autre  part,  en  rapprochant  les  extraits  ci-après  IIIa  et  IIIn  des  CEuvres  de  Mersenne. 
on  reconnaît  aisément  que  ce  dernier  nous  a  conservé,  dans  le  second  de  ces  extraits, 
une  partie  du  travail  de  Fermât,  suffisante  pour  que  l'on  puisse  en  apprécier  toute  l'im- 
portance. On  peut  constater  également  que  l'hélice  dont  parle  Fermât  dans  ses  Lettres  I,  9, 
et  III,  3  n'est  autre  que  colle  qu'il  désigne  sous  le  nom  à'hcli.v  Galilei  (et  non  Jialiani, 
fausse  leçon  de  Bossut)  dans  la  Solution  du  prolilcme  propose  par  Etienne  Pascal  ("ïomQX, 
pages  73-74),  pièce  dont  la  date  semble  devoir  être  assignée  en  janvier  ou  février  1637. 
Cette  spirale  de  Galilée,  nom  probablement  donné  par  Mersenne,  peut  être  définie  la 
courbe  décrite,  relativement  à  la  Terre  supposée  animée  du  mouvement  de  rotation 
diurne,  par  un  point  matériel  pesant  tombant  librement  suivant  la  loi  de  Galilée.  Le  pro- 
blème de  cette  trajectoire  préoccupait  particulièrement  le  savant  Minime  et,  dès  sa  pre- 
mière lettre  à  Fermât,  il  avait  dû  lui  dmnander  ses  lumières  sur  cette  question.  —  Il  ne 
parait  pas  douteux  (|ue  l'écrit  p(M'du  ait  été  rédigé  en  latin. 


m.  -   3  JUIN   1636.  13 

Ipment;  mais  elle  contiendra  autant  que  deux  des  plus  grands  Traités 
d'Archimède,  de  sorte  que  je  vous  demande  un  peu  de  loisir  pour  cela 
et  cependant  vous  la  pouvez  tenir  pour  très  véritable. 

4.  .l'en  dresserai  un  Traité  exprès,  oîi  je  vous  ferai  voir  de  nouvelles 
hélices  aussi  admirables  qu'on  en  puisse  imaginer;  pour  vous  en 
donner  l'avant-goût,  en  voici  une,  qui  est  peut-être  cette  ligne  que 
Ménélaùs  appelle  admirable  dans  le  Pappus  (^'  ). 

Esto  hélix  A>IB  (  tlg.  4)  '«  circulo  CNB,  cujm  ea  sil  proprietas  ut, 
ductâ  qualihel  rectù,  rerbi  gratia  AMN,  lola  circuli  circumferentia  sil 

FiK.  4. 


ad  ejiisdem  circumferentiœ  portionem  NCB  ;//  AB  quadratutn  ad  qua- 
dratiun  AM. 

//(  hoc  autem  hwc  hélix  differt  ah  hélice  Archimedis  (jund,  in  hélice 
Archimedis,  sil  iil  circumferentia  ad  portionem  NCB,  ita  AB  ad  AiM. 

l'ronunciainus  :  primo,  spatium  sub  hélice  et  recta  AB  comprehensum 
esse  dimidium  lolius  circuli:  deinde  (qitœ  est  proprietas  mirabilis),  spa- 
liuin  ex  prima  revolulione  ortum  (  quod  hic  sit  N)  (tig.  '))  esse  dimidium 

Fig.  5. 


spalii  M  ex  secunda  revolulione  orli;  spatium  vero  (]  ex  terlia  rcvolatione 

(  '  )  Popput,  rv,  'ifi,  édition  Huitsch,  page  370,  2G.  —  La  supposition  de  Fermai  est  très 
peu  probable. 


14  Œ  u  V  K  i:  S  I)  !•:  l' i:  ii  m  \t.  -  c  o  u  r  e  s  p  o  n  d  a  n  c  e. 

oit  uni  esse  œqitale  spath  .M,  et  oninid  onuiino  dcinccps  spatia  ex  (jiiahhcl 
iTKolutioiic  oiia  dirlo  s/xi/io  .M  siinililiT  esse  (vqiHilia,  idaupic  et  i  nier  se. 

J(>  crois  que  vous  m'avouerez  que  ces  reeherelies  soiil  belles,  mais 
j"ai  si  peu  île  eoinuiodile  d'eu  eeiiic  les  (léuu)us(ralious  qui  sont  des 
plus  malaisées  et  des  plus  eiubarrassées  do  la  Géométrie,  (jue  je  tue 
l'ouleule  d'avoir  ilecouvei'l  la  vérité  et  de  savoir  le  umyeu  de  la  prouver 
lorsque  j'aurai  le  loisir  de  le  l'aire.  Si  je  puis  trouver  quidijue  oecasiou 
d'aller  jiasser  (rois  ou  quatre  mois  ii  Paris,  je  les  emploierai  à  mettre 
par  éerit  toutes  uies  uouvollos  pensées  en  ces  arts,  à  quoi  je  pourrai 
sans  doute  être  beaucoup  aidé  de  vos  soins. 

5.  .l'ai  vu  la  Géostatùpœ  de  M.  de  Beaugrand  (')  et  me  suis  étonné 
d'abord  d'avoir  trouvé  ma  pensée  diH'érente  de  la  sieiiiu';  j'estime  (|ue 
vous  l'aurez  déjà  remarqué.  Je  lui  envoie  t'ranchomcnt  mon  avis  sur 
sou  livre,  vous  assurant  ([ue  j'eslinu'  si  fort  son  esprit  et  qu'il  m'en  a 
donné  de  si  grandes  preuves,  que  j'ai  peine  ii  nu'  persuader  qu'ayant 
entrepris  une  opinion  contraire  à  la  sienne,  je  ue  me  sois  éloigné  de  la 
vérité;  je  consens  pourtant  qu'il  soit  mon  juge  et  ne  vous  récuse  pas 
non  plus.  Et  parce  que  j'ai  écrit  à  la  hâte  la  démonstration  que  je  vous 
envoyai  et  l'écrit  que  je  lui  envoie  (  -  ),  je  mettrai  fout  au  net  à  loisir  et 
tâcherai  même  de  trouver  de  nouvelles  raisons  pour  soutenir  mon  ojti- 
nioM,  à  laquelle  pouilani  je  ne  m'attacherai  jamais  par  opiniâtreté  dès 
(|u'il  me  fera  connoitre  le  contraire. 

.le  suis  etc. 


(  ')  l'oir  Lellros  I,  7,  11,  2. 

(,')  Écrit  de  Format  perdu,  cdiuiiic  toute  sa  corrcspoudance  avec  Bcau^'rand.  —  La 
démonstration  envoyée  à  Merscnne  n'est  autre  que  la  pièce  précédente,  II,  ou  peut-être 
la  rédaction  en  fraiirais  de  la  même  pièce,  11a.  Cependant  on  no  peut  conclure  du  lani,'ai.'e 
de  Fermât  ([ue  l'envoi  a  été  fait  directement  à  Mersenne  et  que,  par  suite,  il  y  aurait  eu 
une  lettre  perdue  inlcrmédiairo  entre  1  et  III  (voir  Pièce  II,  note  a  de  la  page  6). 


IIIa   et   IIIb.  -  3  JUIN    1636.  lo 


IIIa. 


MliitSKNNR,  Seconde  Partir  de  l'Htinnrinie  Unk'emcUe  (il'^j  ),  Nouvelles  Observations 
Pliysiqiios  ol  MatliéniatiqiH?s.  Première  OIjs.  pasre  2  : 

La  seconde  chose  qu'il  est  à  propos  de  remarquer  appartient  à  la  demie 
circonférence  dont  je  parle  au  même  lieu  (')  :  car,  outre  ce  que  j"ai  montré 
(le  la  ligne  hélice,  par  la([uelle  les  ])oids  descendent  suivant  l'imagination  de 
(ialilée,  un  excellent  Géomètre  a  démontré  les  propriétés  de  celte  hélice, 
laquelle  lui  pourra  servir  d'occasion  pour  restituer  le  livre  de  Démétrius, 
iz^o\  Ypaaa'.xwv  ÈTnTTxdsojv,  dont  Pappus  (-)  a  parlé  dans  le  A-  '•  de  ses  Collec- 
tions. Je  dirai  seidement  qu'il  y  remarque  (')  une  raison  perpétuelle  de  i5 
à  8  :  ceux  qui  en  voudront  savoir  un  plus  grand  nombre  de  particularités,  les 
peuvent  espérer  de  cet  excellent  personnage.  Il  a  trouvé  plusieurs  autres 
nouvelles  hélices,  dont  l'une  est  peut-être  l'admirable  de  Ménélai'is  (M,  de 
laquelle  le  premier  espace  fait  par  la  première  révolution  est  sous  double  de 
celui  de  la  seconde;  et  néanmoins  tous  les  autres  espaces  suivans  produits 
[)ar  les  autres  révolutions  sont  égaux  à  celui  de  la  seconde  révolution  et  ()ar 
conséquent  égaux  entre  eux.  Je  laisse  les  autres  propriétés,  dont  il  donnera 
la  démonstration  quand  il  lui  plaira. 


III... 

Mersenxe,  Cogitiilii  Plirsicii-in/illienxitica  (1O4I)  —  Hallistica,  page  "17- 

1.  Cùm  (lalilseus  existimare  videretur  lapidem  (posità  terra  mohili  et  solis 
motiim  supplente)  usque  ad  terraî  centrum  descendeutem  moveri  per  semi- 
circumferentiam. . . .  de  quà  superius  (»)  dictum  est,  demonstravit  acutis- 
simus  Geometra  i).  Fermatius  non  esse  descensum  illum  semicircularem, 
sed  helicem  describere  peculiarem,  quae  sil  secunda  inter  sequentes,  quem- 
admodum  prima  est  Archimedea. 

(  '  )  Livre  II  du  Mouvement  des  Corps,  prop.  \\\,  pages  gS  et  suiv.  —  Galilée  axait  dit 
(  iHa.tsimi  Sistemi,  iG32,  p.  i56  suiv.)  qu'il  était  probable  qu'un  corps,  tombant  sans  em- 
pêchement jusqu'au  centre  de  la  terre,  décrirait,  en  tenant  compte  du  mouvement  de  la 
terre,  une  demi-circonférence.  Mersenne  réfutait  cette  opinion. 

(2)  Pappcs,  IV,  '56,  édition  Hultsch,  page  270,  20. 

{'■>)  Foir  ci-après  la  pièce  IIIu,  2. 

(1)  T'oir  Lettre  III,  4. 

(5)  Page  5o  des  BalUnica  de  Mersenne. 


lu 


(Kl  VUES   l)K   l'KHMAT.  -  COIUIESPON DANCE. 


•2.  Sil  iijiliir  lioliv  AFB  (//;,•.  G)  iiitia  tirciilum  ]U.\  descripta,  ila  ut  sempcr 
sil  oniloin  ratio  ciiciiiiilereiilia^  \U.\  ad  arciiiii  1!(',  i|na'  est  liiica'  \I$  ad  F(;, 
vol  (|uailiali  Mî  ad  (luadratuiu  FC,  vel  iul)i  AU  ad  cidiiiiii  FC,  vol  cujiis- 
luinquo  altoiius  polestatis  (')  AB  ad  siiniloin  pdtoslaleiii  FI',,  régula  geneialis 


Fis.  6. 


dalui,  ijiià  lalio  rirculi  BCX  ad  spaliuin  lineà  AB  el  helicibus  AFB  comprc- 
lieiisum  reperialur  (-). 

llîc  appono  octo  hélices  quarum  majores  iiumeri  circuluni,  minores  lieliccm 
ro  le  nuit  : 


1. 

2. 

3. 

-i. 

ri. 

G. 

T. 

.  8- 

"> 

r") 

1-1 

4- 

3  5 

t)i 

Go 

i3i 

' 

S 

9 

!î 

y.'} 

(i). 

49 

\ii< 

3.    Oiiilius  placet   addere    demonstralinnem    amici    ('),   qui   demousliavil 
liiieani  descensùs  gravium    nou    esse    circularein ,    sufllciat   aiiiiolas>-e 


'  )  Polenliio  Mersenuc. 

-)  Mersennc  a  fait  ici  quelque  confusion;  les  spirales  qu'il  \ionL  de  définir  onl  pour 
r-quation  polaire 


celles  auxquelles  se  rapportent  les  nombres  qui  suivent  el  dans  lesquelles  doit  d'ailleurs 
fleurer  comme  seconde  («  =  a  )  la  trajectoire  étudiée  par  Format,  ont.  au  contraire,  pour 
équation 

R  —  P        / 


Fermai  a  sans  doute  considéré  les  doux  classes;  pour  la  seconde,  le  rapport  de  l'airo 

/•?  =  "      rfo)                           ,            ,                        ,         i2R2         ,              •>.«'- 
de  la  spirale   /  o^  — ,  au  secteur  de  cercle  correspoiidanl ,  est  ■ ■  ; 

•     p        0 

formule  dans  laquelle  rentrent  les  nombres  donnés  par  .Merscnne. 

(  ')  La  démonstration  qui  suit  (en  partie  seulement)  dans  le  texte  de  Mersennc  ne  peut 
•Hre  attribuée  à  Fermai. 


IV.  -  24  JUIN   1636.  17 

lineani  islam  ciesccnsûs  gravium  rectam  sub  polis  i'iUiirani;  planam  helicein 
sub  a;f|iialore;  et  in  onnii  alio  loco  solidam  iiolicem  super  coiii  isoscelis 
superficie  descriplam,  cnjus  basis  est  parallelus,  à  quo  desceusus  incipit,  et 
vertex  ipsum  terriB  centrum. 

4.  Quam  demonstrationem  lil)euler  postulantibus  comniunicaljo,  queniad- 
uiodum  aiiam  elegantissiniam  à  D.  Fermatio  inventam  et  ad  ipsum  missam 
(îalilaeuui  ('),  quà  demonslrat  spatium  ab  isla  comprehensum  hélice  esse, 
vel  ad  circuli  seetorem,  vel  ad  lolum  cireulum  c|uibus  comprebenditur,  ut  8 
ad  i5;  quœ  proportio  roperitur  similiter  intra  spatium  à  spiral!  circa  coni 
superficiem  descriptum  et  ipsam  coni  superficiem. 


IV. 
FERMAT  A  !\IERSENNE. 

MARDI    24    JUIN    l636.  • 

(  l'a,   p.    122-123.) 

Mon  Révèrent»  Pèue, 

1.  Je  suis  marri  de  n'avoir  pu  vous  l'aire  précisémeul  eouipreiidre 
mes  seulimeus  touchant  ma  Proposition  Géostatique  (-);  il  est  pourtant 
vrai  que  je  n'avois  garde  de  la  prendre  au  sens  que  vous  avez  cru,  car 
la  seule  raison  que  j'ai  employée  contre  l'opinion  de  M.  de  Beaugrand, 
c'a  été  celle-là  même  que  j'ai  trouvée  dans  votre  Lettre,  de  sorte  que  je 

(')  Galilée  répondit  à  cet  envoi  par  une  lettre  du  1 5  jnin  iG3S  à  Mersenne  dont  une 
irnduetion  française  se  trouve  dans  le  MS.  de  la  Bibl.  Nat.  fr.  nouv.  acq.  6204;  dans  celte 
lettre,  ['"ermat  se  trouve  simplement  désigné  sous  les  termes  :  «  votre  aniy  ».  Dans  les 
manuscrits  de  Galilée,  on  ne  retrouve  aucune  autre  trace  de  rapports  entre  lui  et  Fermât 
([ue  ce  passage  d'une  lettre  d'Elia  Dcodati  du  \\  juillet  1637  : 

«  Al  Signer  Carcavi  essendo  tornato  di  fuora,  ho  date  la  letlora  di  V.  S.,  délia  quale  ô 
i>  restato  sodisfattissimo  per  la  soluzione  délie  objezzioni  fatte  avanti  dal  suo  amico.  il 
»  quale  anco  lui  dovrà  restare  appagato  quando  lo  vedrà.  11  nome  suo  è  W  Fermât,  Con- 
1)  sigliere  del  Parlamento  di  Tolosa,  dove  resiede.  »  (Bibliothèque  Nationale  Centrale  de 
Florence.  —  MM.  Galiléens,  P.  V.,  T.  vi,  f"  79".) 

Nous  devons  ce  renseignement  à  l'obligeance  de  M.  A.  Favaro. 

{-)  Ci-devant,  Pièce  II. 

Kebmat.  —  II.  "^ 


18  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

n'avois  garilo  de  loinhcr  dans  un  iiicoiivoiiicnl,  (|ii('  j'avois  prévu  et 
condamné. 

.r('>liiiii'  donc  (|uc  loul  grave,  en  ijind  lieu  du  nioiule  (|u'il  soil. 
honnis  dans  le  ceulre,  pris  en  soi  et  absolument,  pèse  toujours  éga- 
lement, cl  c'est  une  proposition  que  j'aurois  aisément  prise  pour  prin- 
cipe, si  je  ne  la  voyois  contestée.  Je  tàciiorai  donc  à  la  prouver;  mais, 
(|u"elle  soit  vraie  ou  non,  cela  n'empêche  pas  la  vérité  de  ma  Proposi- 
tion, qui  ne  considère  jamais  le  grave  en  soi,  mais  toujours  par  ndation 
au  levier,  et  ainsi  je  ne  mets  rien  dans  la  conclusion  qui  ne  se  trouve 
dans  les  prémisses. 

Or  l'équivoque,  sans  doule,  est  venue  de  ce  (|ue  je  ne  vous  ai  pas 
assez  expliqué  les  nouvelles  pensées  ([ue  j'ai  sur  le  sujet  des  Mécha- 
niques  et  lesquelles  vous  verrez  grossièrement  crayonnées  sur  le  papier 
que  je  vous  envoie  {');  c'est  pourtant  à  la  charge  que  vous  m'obligerez 
de  ne  les  communiquer  à  personne  et  que  vous  me  donnerez  le  loisii' 
pour  en  faire  les  démonstrations  exactes  ou  plutôt  pour  les  mettre  au 
net,  car  elles  sont  déjà  faites. 

L'erreur  d'Archiméde,  si  |)ourtant  nous  la  pouvons  nommer  ainsi, 
provient  de  ce  qu'il  a  pris  pour  fondement  que  les  bras  de  la  balance 
arréteroient,  quoiqu'ils  ne  lussent  pas  parallèles  à  l'horizon,  de  quoi 
j'ai  démontré  le  contraire. 

Si  vous  examinez  de  nouveau  la  6'""  et  la  7'""  des  Equiponclérans  (^  ), 
vous  trouverez  que  je  ne  me  trompe  pas  et  que  sa  démonstration  est 
toute  fondée  sur  cette  supposition. 

Car  soit  le  levier  EDB  {fig.  7),  duquel  le  centre  A,  celui  de  la 
terre  C.  Archimède,  pour  démontrer  la  proportion  réciproque  des 
poids,  les  divise  en  parties  égales,  comme  \l,  et  les  attache  en  dis- 
tances égales  le  long  du  levier.  Or,  il  suppose  que  le  centre  de  gravité 
de  deux  poids  est  au  point  qui  divise  leur  intervalle  également,  et  cela 

(  '  )  Ci-après,  Pièce  V. 

(2;  Arciiimêdk,  lie  pkuionim  {t'qiiililiriis  I  :  I^cs  propositions  0  ol  7  tlémoatreiU  la  réci- 
procité des  rai)ports  entre  les  poids  suspendus  à  un  levier  en  éiiuilibro  et  les  Inngneiirs 
des  bras  de  levier;  la  première  dans  le  cas  de  la  conimensurabilité,  la  seconde  dans  le  cas 
de  l'incommensurabilité  des  rapports. 


IV.  -   24  JUIN  1636. 


1!) 


est  bien  vrai  aux  deux  poids  qui  sont  autour  du  point  A,  parce  que  la 
ligne  AC  étant  perpendiculaire  au  levier,  les  poids  E  autour  du  point  A 
se  trouvent  également  éloignés  et  du  centre  du  levier  et  de  celui  de  la 
terre  et,  par  conséquent,  ils  se  trouvent  d'égale  inclination. 


Fig.  7. 


Mais  si,  dans  le  même  levier,  vous  prenez  le  point  D  qui  divise  l'in- 
tervalle des  deux  graves  E  également,  en  ce  cas  le  point  plus  éloigné 
du  centre  du  levier  est  aussi  le  |)lus  éloigné  du  centre  de  la  terre,  et 
ainsi  le  point  D  avec  les  deux  poids  E  représente  une  balance,  de 
laquelle  les  bras  ne  sont  pas  parallèles  ii  l'horizon. 

Mais  si  la  descente  des  graves  se  faisoit  par  lignes  parallèles,  comme 
en  cette  figure  {Jîg.  8)  par  les  lignes  AC  et  DN,  en  ce  cas,  la  proposi- 

O  V  Q Q  t  Q-^ 

E  E  E  E    , 


tion  d'Archimède  seroit  vraie  :  ce  n'est  pas  que  dans  l'usage  elle 
manque  sensiblement,  mais  il  y  a  plaisir  de  chercher  les  vérités  les 
plus  menues  et  les  plus  subtiles  et  d'oter  toutes  les  ambiguïtés  qui 
pourroient  survenir.  C'est  ce  que  j'ai  fait  très  exactement  et  je  vous 
puis  assurer  que,  quoique  la  recherche  en  soit  bien  malaisée,  j'en  [los- 
sède  toutes  les  démonstrations  parfaitement. 


:>0 


ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  t.OURESPONDANCE. 


Soil  le  cciilri'  de  la  Icrrc  A  {/iij;'-  ;)),  li'  gi'aN'c  li  an  |)()iiil  K,  cl  le 
poiiil  N  dans  la  supcM'l'icic  on  ailleurs,  plus  oloigiié  du  cciilrc  que 
le  piiiiil  K.  .le  Ile  dis  |)as  (Hic  le  poiiil  \i  p('S(>  moins  clanl  cii  I*]  (|ii(' 
s'il  cloil  l'ii  N.  mais  je  dis  t\[H\  si  le  pdinl  1^  es!  suspendu  dn  [xiinl  N 

N 


par  le  tilet  NE,  la  force  étant  an  point  N  le  retiendra  plus  aisément  (|ne 
s'il  éfoit  plus  proelie  de  la  dite  force,  cl  ce,  en   la  pioporlion  (|iie  je 
vous  ai  assignée. 
Je  crois  vous  avoir  suffisamment  expli([ué  ma  pensée  sur  ce  sujet. 

2.  Pour  la  ([uestion  (')  des  nombres  doni  vous  me  parlez,  si  vous 
m'en  faites  part,  je  tàeJn'rai  de  la  résoudre. 

3.  .renvoyai,  il  y  a  déjà  longtemps,  la  proposition  des  parties  ali- 
quotcs  (- )  il  M.  do  lîeaugrand,  avec  la  construction  pour  trouver  infinis 
nombres  de  même  nature.  S'il  ne  l'a  pas  perdue,  il  vous  en  fera  part. 

4.  Je  vous  prie  de  iwdire  ma  proposition  des  graves  et  de  m'en  dire 
votre  avis. 

Je  suis  etc. 


IVa. 
MunsiiNM-:.  Harmonie  Uiih'crsellc  (ilViG),  Prol'aco  générale  (page  g  non  numérotée). 

....  Or,  si  je  voulois  parler  des  lionnnos  de  grande  naissance  ou  qualilé. 
c|ui  se  plaisent  Icllenient  en  cette  partie  des  Maliiéniali(p]es  qu'on  ne  sanroil 
[)ein-cirp  leur  rien  enseigner,  je  répéterois  le  nom  do  celui  à  (|ui  le  livre  de 


('>  /^oi>  ci-après,  Lcllrc  VI,  7. 

(')  Voir  ci-après,  IVa  et  IVu,  deux  (Wtrails  des  Ouvrages  de  Mci'seniie,  iinilialilenicni 
fimprunics  à  cet  écrit  perdu  que  Kennat  avait  envoyé  à  Beaugrand. 


IVb-  -  24  JUIN  1636.  21 

l'Orgue  est  dédié  (')  el  ajoiiterois  Monsieur  Fermât,  Conseiller  au  Parlenieiii 
(le  ïhoulouze,  auquel  je  dois  la  remarque  qu'il  a  faite  des  deux  nombres  ijagli 
et  18416,  dont  les  parties  aliquoles  se  refont  mutuellement,  connue  fout 
celles  des  deux  nombres  220  et  284;  et  du  nombre  672,  lequel  est  sous 
double  de  ses  parties  aliquotes,  comme  est  le  nombre  120;  et  il  sait  les 
règles  infaillibles  et  l'analyse  pour  en  trouver  une  infinité  d'autres  sem- 
blables. 


Mrrsenxe,  Seconde  Partie  de  l'Harmonie  Universelle  (lOS;),  Nouvelles  Oljscrvalions 
Physiques  et  Malhématiques,  pages  26  et  suiv. 


\ni.    OBSERVATION. 

Des  parties  aliquotes  de  120,  et  des  nombres  amiables. 

11  faut  ajouter  à  ce  que  j'ai  dit  des  parties  aliquoles  des  nombres  dans  la 
dixième  remarque  de  la  première  Préface  générale,  la  méthode  de  trouver 
le  nombre  semblable  à  120  dont  je  parle  au  lieu  susdit.  Il  faut  donc  mettre 
tant  de  uomijres  de  suite  qu'on  voudra  en  raison  double  en  commençant  |)ar 
:>.,  comme  sont  les  nombres  A,  B,  C,  D,  E,  F  : 


(x, 

II, 

1, 

K, 

L, 

M, 

1, 

i. 

7' 

i."). 

3i, 

63. 

A. 

B, 

C, 

D, 

E, 

F, 

2, 

4, 

8, 

16, 

32, 

&',. 

N, 

0, 

P, 

0, 

B, 

S, 

3, 

5. 

9- 

'7' 

33, 

65, 

desquels  l'unité  étant  ôtée,  l'on  fasse  les  nombres  G,  H,  I,  K,  L,  M,  et  aux- 
(picls  l'unité  étant  ajoutée  l'on  fasse  les  autres  nombres  N,  O,  P,  O,  H,  S. 
Lorsque  l'un  des  nombres  G,  H,  I,  K,  L,  M,  par  exemple  K,  divisé  par  le 
nombre  N  du  dernier  ordre,  éloigné  de  quatre  rangs  à  main  gauche,  i)rodiiira 
un  nombre  premier,  le  trii)le  de  ce  nombre  premier,  multiplié  par  le  nombre 
du  rang  du  milieu  qui  précède  K  immédiatement,  donnera  le  nombre  re(|uis  : 
comme  l'on  voit  en  i5  divisé  par  3  A'oh  vient  5  nombre  premier,  dont  le 
triple  i5,  multiplié  par  8,  fait  120  qui  est  le  nombre  que  nous  avons  donné 
dans  la  Préface  susdite. 

(  '  I  Élieuno  Pascal. 


■2-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

I.'atiiio  exemple  se  voit  eii  63,  letiuel,  divisé  par  9,  prociiiit  le  nombre  pre- 
mier -  (Idiil  le  Iriple  ai.  nuilti[ilié  par  .vi,  l'ail  fi;.?,  qui  esi  l'antre  nninlire 
reipiis. 

Quant  aux  deux  nombres  dont  les  parties  aliquotes  se  refont  mutuel le- 
meiil.  il  faut  aussi  mettre  les  nombres  qui  se  suivent  depuis  >  en  progres- 
sion tréoméliique  : 

2,     .'1,     8,     i(),     etc. 

el  puis  il  faut  écrire  des  uombies  triples  dessous 

6,     12,     24,     48, 

desquels  l'unité  étant  (Méo.  lesteul 

5,     II,     23,     47, 

qu'il  faut  mettre  dessus.  Il  faut  enfin  multiplier  6  par  12  en  ôlant  l'unité  pour 
avoir  71;  et  12  par  2/1,  moins  l'unité,  pour  produire  287;  el  24  pour  48,  moins 
l'unité,  pour  avoir  ii5i,  qu'il  faut  disposer  comme  on  les  voit  ici.  Jusqu'à 

rinlini 


3, 

1 1 , 

23, 

47. 

2, 

4, 

8, 

•6, 

6, 

12, 

24, 

48, 

7'. 

287, 

1 1 5 1 . 

Lorsque  l'un  des  nombres  du  dernier  ordre  avec  son  opposé  el  le  précé- 
ilent  du  jiremier  ordre  seront  nombres  pi-eniiers,  l'on  trouvera  des  nombres 
semblables  à  ceux  dont  il  est  question.  Par  exemple,  le  nombre  du  dernier 
rang  71,  et  1 1  du  premier  ordre,  el  5  qui  le  précède  sont  nombres  premiers. 
Ceci  posé,  si  l'on  niulliplie  71  par  4,  et  scmblablement  5  et  1 1  par  le  même  4, 
l'on  aura  les  deux  nombres  284  el  220,  dont  les  parties  aliquotes  se  refont 
mutuellement.  De  rechef,  le  nombre  du  dernier  ordre  ii5i  est  nombre  pre- 
mier, aussi  bien  que  son  opposé  dans  le  premier  rang  47  et  le  précédenl  23. 
Il  faut  donc  multiplier  16  par  i  i.h,  el  puis  47  et  23  par  le  même  16  pour  avoir 
les  deux  nombres  requis  :  i84iG  et  17296;  el  ainsi  des  autres  jusques  à  l'in- 
lini. 


V.  -  2V  JUIN   1636.  23 

V. 
NOVA  IN  iMECHANICIS  THEOREMATA 

DO.MINI    DE    KICRMAT. 

<C  Pièce  jointe  à  la  lettre  précédente  ou  seconde  rédaction  envoyée  à  Carcan.  > 

{Va,  p.  .4-.-i'i3.) 

1-  Fiindaincnta  Mccliaiiices  non  sa(is  accurata  tradidisso  Archime- 
dem  fueram  dudum  siispicatus  :  supposuisse  oiiim  motus  gravium  des- 
cciidontiiiiii  inter  se  parallèles  patet,  nec  vero  absque  hac  hypothcsi 
constare  possunt  ipsius  demonstrationes.  Non  intitior  qiiideni  livpo- 
thesin  hain'  ad  sensuin  proximc  accommodari  ;  qiiippe,  propfer  ina- 
gnani  a  cciilro  Lorra^  distantiain  possunt  descensus  gravium  supponi 
parallcii  non  secus  ac  radii  solares.  Sod,  voritatem  intimam  et  accura- 
tam  quioroiitilnis,  lucc  non  satisfaciunl. 

Generalis  nempe  vectium  natura  in  quolibet  niundi  loco  videtur  con- 
sideranda  etastruenda,  idcoque  nova  in  Mechanicis  fundamenta  e  veris 
et  pi'oximis  piincipiis  accersenda.  Hujus  novae  Scientiae  proposiliones 
tantnm  exliibemns,  demonstrationes  quum  libuerit  tradituri. 

2.  Dupl(!x  igitnr  vectium  gcnus  fingimus  aut  potius  consideramus  : 
unum  cujns  motus  reclus  tantnm  est,  non  circuiaris;  alterum  cujus 
extrema  describunt  circulos.  De  secundo  boc  qusesitum  tantnm  apnd 
veteres;  primum,  quod  longe  videtur  simplicius,  ne  agnoverunt  qui- 
deni. 

Singula  exemplis  illnstramus,  et  prioris  quidcm  centruni  idem  est 
cum  centro  terr»,  posterioi'is  centrnm  extra  centrnm  terra'  necessario 
débet  collorari. 


3.  Sit  igilnr,  in  scquenti  figura  {fig.  lo),  centrnm  (errae  pnncfnn 
A,  et  intelligatur  recta  CB  transirc  per  puiictum  A;  imo  et  ipsa  CB  in- 


:>'»  ŒUVllES  l)i:    ri:UMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

tt'Iligatur  ossf  vctiis,  cl  in  piiiictis  H  cl  C  collocciiUir  i;i'avia  R  cl  (!,  sil- 

qiic 

luiiiiliis  li  ad  pciiKliis  C       Ml  roda  CA  nd  roclam  AR  : 

Aio  vcciciii  (!B  niansuriini  cl  a'ciiiilihriuiii  iii  lioc  casii  ((msliluliiiuiii. 
Si  vcro  dcmimiatur  lanlis|)cr  grave  R.  niovchilur  vcclis  in  rectum 
por  fontrum  A  ad  parles  B,  ddiiec  pondéra  dislanliis  a  eeniro  siiil  reei- 
proce  proporlionalia. 

Çh-^ o 

B  C 

Ha'c  osl prima proposùio  (')  cujus  respecin  (erra  ipsa  niagniis  veelis 
dici  potest,  ad  iniitationem  Gilberli  ([iii  cam  magnum  magnetom  vocal. 

4.  Hoc  posito,  mirabilius  quiddam  proponimus  (-),  gravia  nempe 
eo  facilius  tolli  a  potcnlia  in  supcrlicic  (erra' aut  alibi  constitula,  qui) 
propiora  fuorini  ceniro  lerra'. 

Sit  contrum  Icrra^  A  (//i,'.  1 1),  punctum  (1  cxira  cenirum.  Jungatur 
recta  CA,  in  qua  sumpto  puncto  B,  collocelur  grave  in  B.  Si  intelli- 
gamus  grave  B  per  fîlum  aut  axem  CB  suspensum,  detinebitur  a  po- 
tenfia,  in  C  coHoeatà,  cujus  proportio  sit  ad  p(Uidus  B  ut  recta  AB  ad 
recta  m  AC. 

Indeque  facillime  deducitur  cl  demonsiratur  gravia  in  ceniro  non 
poncb'rare;  cujus  rei  demonstrationem  bactenus  qusesitam  jam  novi- 
nius. 

Fig.  ... 
A__^ f 


.).  Secundum  vectium  genus  Arcliimedcum  dici  potest;  scd  reci- 
proca  distantiarum  cum  ponderibus  proportio,  quam  in  vccte  simplici 
dipmonstravimus,  in  boc  habere  locum  non  potest,  nec  ideo  subsistere 
sexta  et  septima  Arcbimedis  propositio  ('). 

(  '  )  Comparez  Pièce  II,  1. 
C)  Comparez  Pièce  II,  2. 
(  ')  Foir  page  i8,  note  '2. 


-  2k  JUIN  i;636. 


2S 


Ita  igitur  confidenter  pronuntiamus  et  vectem  generaliter  sive  bra- 
ehia,  sive  in  directum,  sive  parallela  horizonti,  sive  etiam  angulum 
constituant,  consideramus. 

Una  quippe  demonstratione  totuni  cvincimus  :  Sit  vectis  extra  cen- 
trum  terrse  DBC  (/ig-  12),  cujus  centrum  B,  brachia  BD  et  BC,  centruni 


Fig.   12. 


'^-0 


lerraî  A.  Junganlur  rcctœ  DA,  BA,  CA,  et  in  punctis  B  et  C  coUoeenlur 
gravia  sitque  proportio  gravis  C  ad  grave  D  composita  ex  proportione 
rectse  DA  ad  rectam  CA  et  rociproce  ex  angulo  CAB  ad  angulum  BAD  : 
Aio  vectem  BDC,  a  puncto  B  suspensum,  mansurum  et  aequiiibrium 
constituturum. 

Hanc  propositionem,  sicut  et  reliquas,  vcrissimam  asseveramus  (') 
et,  quum  libuerit,  demonstrationibus  ex  puriore  Geometria  et  Physica 
derivatis  confirmabimus. 

6.  Inde  patet  corruere  omnino  Veterum  de  centris  gravitatum  defini- 
tiones;  nullum  quippe  corpus  prtoler  sphaeram  potcst  reperiri  in  que 
punctum  reperiatur  a  que  grave,  extra  centrum  terra?  suspensum, 
servet  eam  quam  in  principio  babucrit  positionem. 

Definietur  ergo  deinceps  centrum  gravitatis  cujusque  corporis,  punc- 
tum intra  corpus  positum,  quod  si  coba^reat  centre  terrse,  corpus  eam 


(')  On  voil  que  Fermai  suppose  pour  l'équilibre  des  forces  concouranles  appliquées  à 
un  levier  un  principe  qui  diflère  essentiellement  de  celui  qui  a  été  depuis  universellement 
adopté. 


Feiimat. 


U. 


20  ŒUVHES  DE  FERMAT.  -  COIUIESPONDANCE. 

sorviibit  qiiain  in  principio  liabiuM'il  posilionoiii;  co  ciiiin  solum  casii 
habont  locuiii  contra  gravitatis  ('). 

7.  Demonsfrabitui'  otiam  rt  rofVIb'Uir  crror  Ubalili  (^)  ot  aliorum, 
(jui  oxistimant  libr;o  brai'hia,  licot  non  sin(  |)arall('la  Inji'izonli,  iequili- 
brinni  tanicn  constitulnra. 

I  '  "t  Nous  iviu'oduisinis  ici  une  IcUro  relative  à  ce  siijcl  el  imprimée  page  2o5  des  f'aria  : 

«   Lcltcra  dcl  Si'^itor  Bcncdcttn  Caitelli,  Abbtite  di  Verona,  al  Signor  di  ****. 
..   IlL'""  El)  Ecc""  SiQ", 

■>  Ho  lettl  i  ponsieri  sottillissimi  del  Sig'  di  Fermât  iiitorno  al  ceiUro  di  gravita,  e  con- 
I  fesso  liberamente  clio  mi  sono  parsi  belli  e  degni  di  quelle  sublime  intelletto,  che  mi  fii 
')  celebralo  oon  alta  Iode  dal  Signer  di  Beaugrand,  quando  passe  per  Roma,  e  voglio  credere 
■>  che  ne  habbia  assnluta  dimoslratione;  e  perche  il  Sig'°  di  Beaugrand  mi  disse  di  havere 
»  dimoslrata  una  simile  propositione,  cioè  che  il  medesimo  grave,  poste  in  diverse  lonta- 
•1  iianze  dal  centre  dclla  terra,  pesava  inegualmente,  e  che  il  peso  al  peso  era  corne  la 
'  distanza  alla  distanza  dal  centre  dclla  terra,  io  rai  applicai  a  pensare  a  questa  materia  e 

I  prctcsi  allhora  di  havere  ritrovata  la  dimostralionc,  madopo,  essendo  mi  stato  promesse 
»  alcune  difficoltà,  mi  ralîreddai  in  questa  specolationc.  Mi  ricordo  pero  che  ancor  io  ne 

II  (leduccvo  la  medesima  conseguenza  che  deduce  ancora  il  Signer  di  Format,  cioè  che  il 
»  grave  che  havcrà  il  suo  centre  di  gravita  col  centro  délia  terra  non  haverà  peso  alcuno; 
»  e  di  più.  che  la  terra  lutta  non  ha  peso;  c  in  oltro  ne  cavai  che,  dcscendcndo  un  grave 
i>  verso  il  centre  délia  terra,  non  solo  va  mulando  peso  di  momento  in  momento,  ma  (cosa 
»  che  puo  i)arere  più  maravigliosa)  il  suo  centro  di  gravita  si  va  continuamente  movcndo 
1)  ncUa  mole  di  esso  grave;  di  più,  che  un  grave  di  qualsivoglia  figura,  che  si  mova  in  se 
'1  medesimo  circolarmentc,  pure  va  continuamente  mutando  il  suo  centro  di  gravita  ;  e  per 
'  tante  facilmcnte  concorro  con  il  Sig'  di  Fermât,  che  il  centro  di  gravita  non  sia  in  nalura 
"  taie  quale  l'hanno  descritto  comunemente  i  Mcchanici.  E  se  io  credessi  che  le  mie  debo- 
11  lezze  potcssero  csser  care  al  Signer  di  Fermât,  gli  ne  mandarei  una  copia,  non  solo  per 
•I  ricevcre  documcnti  da  S.  Sig""  111""',  ma  per  farc  acquisto  di  un  taie  e  tante  padrone,  al 
■>  quale  prego  V.  S.  I.  dedicarmi  servitore  di  singulari  devotione,  o  li  bacio  le  mani.  « 

(')  GVIDIVBALDI  E  MARCHIONIBUS  MONTIS  MEGHANICORVM  LIBER.  —  Pisauri. 
Apud  Uieronymuni  Concordiam,  M.D.LXXVII.  Cum  Licentia  Superiorum.  —  Format  vise 
la  Proposition  111  De  librà  de  Guidobaldo  del  Monte;  ce  dernier  cite,  comme  ayant  sou- 
tenu une  opinion  contraire  à  la  sienne,  Iurdciiius  de  pondcribu^,  Hyeroiiiiiiui  Carda/iii.f 
lie  sublililntc,  Nwalaui  Tartalca  de  quœsitii  et  inveiitioitibu.t. 


VI.   -   13  JUILLET   1636.  27 


VI. 
FERMAT  A  MERSENNE. 


<    MARDI    13   JUILLET    1636    >    (') 

(la.  p.    l'p.) 

Mon  Révéueni)  Pkue, 

1.  Puisque  j'ai  été  assez  heureux  pour  vous  ôter  l'opinion  que  vous 
aviez  eue,  que  j'eusse  suivi  en  ma  Proposition  (-)  le  même  raisonne- 
ment que  M.  de  Beaugrand,  j'espère  qu'avee  la  même  facilité  je  vous 
ôterai  tous  les  autres  scrupules. 

2.  Vous  avez  cru  que  ma  proposition  étoit  la  même  que  celle  de 
M.  de  Beaugrand,  et  ce,  par  deux  raisons  :  l'une,  que  je  l'avois  écrit 
lorsque  je  l'envoyai  à  M.  de  Carcavi;  l'autre,  qu'elle  semble  conclure 
la  même  chose. 

Pour  la  première,  je  vous  réponds  que,  lorsque  j'envoyai  la  dite 
proposition,  je  n'avois  pas  vu  encore  le  livre  de  M.  de  Beaugrand  et 
n'avois  su  si  ce  n'est  qu'il  écrivoit  du  divers  poids  des  graves  secun- 
dum  varia  a  terrœ  cenlro  intervalla,  si  bien  que  là-dessus  j'imaginai  la 
proposition  que  vous  avez  vue,  et  crus  que  peut-être  ce  seroit  la  même 
que  celle  de  M.  de  Beaugrand,  et  l'écrivis  ainsi  à  mondit  sieur  de  Car- 
cavi. JMais  depuis,  ayant  vu  le  Livre  de  iM.  de  Beaugrand,  j'ai  trouvé 
que  son  opinion  est  différente  de  la  mienne  en  ce  qu'il  suppose  que  le 
grave  en  soi  se  rend  ou  plus  pesant  ou  plus  léger  selon  l'éloignement 
ou  l'approche  du  centre. 

3.  Et  moi  je  soutiens  (^en  quoi  je  répondrai  à  votre  seconde  raison) 

Cj  Nous  avons  réuni  à  une  fin  de  IcUrc,  datée,  des  manuscrits  A,  B,  une  ici  Ire  très 
eourte,  non  datée,  des  Varia,  évidemment  écrite  sur  le  vu  de  la  réponse  de  Mcrscnne  à 
la  Lettre  IV. 

(2)  Voir  la  Pièce  II. 


4 

•2S  (ElIVRES  DE  FERMAT.—  COUUESPONDANCE. 

(|u'iMi  soi  il  110  change  poiiil  do  poids,  mais  qu'il  ost  tire  avec  plus  ou 
moins  do  Ibrco,  ce  (|ui  est  hion  diflV'i-ont  du  rosfo. 

Soit  lo  cculro  do  la  Torro  (]  (//'i,''.  i3),  le  grave  B  au  point  B  ot  lo 
point  0  dans  la  suporticio.  M.  de  Beaugrand  tient  (juo,  si  on  pi'se  le 

Fig.  .3. 

D 


grave  B  dans  lo  point  B,  on  le  trouvera  plus  léger  que  si  on  le  pèse  au 
point  D.  Et  moi  je  dis  que,  si  on  pèse  le  grave  B  dans  le  point  B,  on  lo 
trouvera  de  mémo  poids  que  s'il  étoit  pesé  au  point  D,  ot  qu'en  tout 
cas,  quand  bien  cela  ne  seroit  pas  (car  ma  [)roposition  ne  dépend  nul- 
lement de  la  sienne),  que  le  grave  B  sera  soutenu  plus  aisément  par 
une  puissance  qui  sera  au  point  D  que  par  une  autre  puissance  qui  on 
sera  plus  [)rocho,  ot  en  la  proportion  que  j'ai  assignée. 

4.  Vous  ne  devez  pas  douter  que  ma  démonstration  ne  conclue  par- 
faitement, bien  (\al\  semble  que  M.  do  Boberval  no  l'a  pas  trouvée  [)ré- 
cise. 

Je  vous  puis  donc  assurer  que  toutes  les  propositions  que  j'ai  mises 
dans  mon  écrit  (')  sont  parfaitement  vraies,  et  de  cela  je  n'en  veux 
pas  être  cru  que  lorsque  j'aurai  mis  par  écrit  toutes  les  démontrations 
sur  cette  matière.  Je  suis  si  peu  ambitieux  que,  si  j'avois  trouvé 
erreur  on  ce  que  je  vous  ai  écrit,  jo  ne  ferois  nulle  diiïiculté  de 
l'avouer. 

(A  f32,  B  î"  25"-i>G".) 

5.  Pour  les  lieux  plans  (-)  et  la  proposition  des  nombres  (  '  ),  jo 
vous  les  envolerai,  si  M.  de  Beaugrand  ne  vous  les  baille  pas. 

j  ('  )  C'esl-à-dire  la  Pièce  V. 
(»)  roir  Leltro  I,  10. 
(')  roir  LeUre  IV,  3. 


VI.   —   15  JUILLET   1636.  29 

6.  Je  n'ai  pas  encore  pu  examiner  les  propositions  (')  de  la  trisec- 
tion de  l'angle,  ni  de  l'invention  des  deux  moyennes  proportionnelles. 
Ce  sera  au  plus  tôt. 

7.  A  la  question  numérique  (^),  je  réponds  qu'elle  reçoit  infinies 
solutions,  et  même  plusieurs  manières  différentes  de  la  résoudre.  Voici 
la  meilleure  et  la  plus  aisée  que  j'ai  imaginée  : 

Soient  trouvés  deux  quarrés  desquels  la  somme  soit  quarrée,  comme 
9  et  i6;  ce  que  je  n'enseigne  pas,  pour  être  trop  trivial.  Soit  chacun 
d'eux  multiplié  par  un  même  nombre  composé  de  trois  quarrés  seule- 
ment, comme  ii.  Ces  deux  produits  seront  99  et  176  qui  satisferont  à 
la  question,  car  chacun  d'eux  et  leur  somme  sont  composés  de  trois 
quarrés  seulement  ('). 

Et  ainsi,  par  la  même  voie,  vous  en  trouverez  infinis,  car,  au  lieu  de 
9  et  16,  vous  pouvez  prendre  tels  autres  deux  quarrés  que  vous  vou- 
drez, desquels  la  somme  soit  quarrée,  et  au  lieu  de  11,  tel  autre 
nombre  que  vous  voudrez  composé  de  trois  quarrés  seulement. 

Si  vous  prenez,  au  lieu  de  1 1,  un  nombre  composé  de  quatre  quarrés 

{' )  On  ne  retrouve  plus  trace,  dans  la  Correspondance  de  l'ennal,  de  ces  pro|)osilioiis. 
On  peut  croire  qu'il  s'agit  des  constructions  données  par  Descaries  dans  sa  Géométrie 
(éd.  Hermann,  p.  75-76)  pour  les  deux  célèbres  problèmes  de  la  Géométrie  antique.  Mer- 
senne,  à  qui  elles  avaient  été  communiquées  avant  la  publication,  les  aura  envoyées  à 
Fermai  sans  démonstration  et  sans  révéler  le  nom  de  leur  auteur. 

C)  C'est  la  quatrième  des  cinq  questions  numériques  proposées  par  Sainte-Croix 
(André  Jumeau,  prieur  de)  à  Descaries  en  avril  i638  {voir  Lettres  de  Descartes,  éd. 
Clorselier,  III,  7i).  Elle  était  ainsi  conçue  (pour  Descartes)  : 

(1  Trouver  deux  nombres,  cliacun  desquels,  comme  aussi  la  somme  de  leur  aggrégat,  no 
conste  que  de  trois  létragones.  .l'ai  donné  3,  11,  14.  J'attends  que  quelqu'un  y  satisfasse 
par  d'autres  nombres  ou  qu'il  montre  que  la  chose  est  impossible,  u 

La  première  solution  donnée  par  cet  énoncé  ne  paraît  avoir  été  indiquée  à  Fermai  que 
dans  la  réponse  de  Mcrsenne  à  la  Lettre  VI.  Voir  Lettre  X,  2. 

(')  B  ajoute  en  marge  les  dccomposilions  suivantes  : 

I 

•       49       49        9       '44       ' 
I         49        25  9  16         1 

9  I         25         81  iG         4 

I"         99        99        99         17O        7 


30  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

stnilonuMif,  ronuiie  7,  cliiuim  des  deux  produits,  ensemble  leur  somme, 
seidiil  composés  de  quatre  quarrés  seulement. 

Que  si  vous  voulez  non  seulement  deux  nombres,  mais  trois  ou  tel 
nombre  que  vous  voudrez,  desquels  un  cbacun,  ensemble  la  somme  de 
tous,  soient  composés  de  (rois  ou  de  (|nalre  ([narrés  seulement,  il  ne 
faudra  (jue  trouver  autant  de  quarrés  que  vous  voudrez  de  nombres, 
desqutds  la  somme  soil  qnarrée,  et  les  multiplier,  chacun  d'eux  ut 
supra. 

J'ajouterois  la  démonstration,  mais  le  tem[)s  ne  nu'  le  permet  pas. 
Kn  tout  cas,  vous  pourrez  faire  l'essai  sur  la  construction  que  je  vous 
envoie. 

8.  Et  vous  dirai  que  j'ai  trouvé  de  fort  belles  propositions  sur  ce 
sujet,  comme  : 

Si,  de  deux  plans  seniblahles  ('),  l'un  est  compose  de  trois  quarrés  seu- 
lement, l'autre  le  sera  aussi; 

et  plusieurs  autres. 

9-  Je  désirerois  que  M.  de  Roberval  travaillât  aux  questions  (|ue  je 
vous  ai  proposées  (-). 

10.  J'ai  achevé  tout  le  Traité  iJe  lacis  planis  ('),  où  il  y  a  trente  ou 
quarante  propositions  toutes  très  belles. 

Je  suis,  mon  Révérend  Pi're,  votre  très  affectionné  serviteur. 

Fermât. 
A  Toulouse,  ce  ij  juillet  iG'50. 


(')  Nombres  qui  sont  euli-e  eux  dans  le  rajiport  de  doux  carres. 
(S)  T'oir  la  Lettre  I,  12. 
(5)  Foir\A  Lettre  I,  10. 


vu.   -  AOUT   1636.  31 


VII. 
FERMAT  A  ROBERVAL  ('). 

<  AOUT  1636  > 

(Ta,   p.   1 33-1 34.) 

Monsieur, 

1.  Après  vous  avoir  remercié  de  la  faveur  que  vous  m'avez  laite  et 
de  la  peine  que  vous  avez  prise,  je  répondrai  en  peu  de  mots  aux  objec- 
tions que  j'ai  trouvées  dans  votre  Lettre,  et  ce,  sans  aucun  esprit  de 
dispute  et  pour  vous  faire  seulement  approuver  la  vérité  de  mes  propo- 
sitions. 

2.  La  première  objection  (-)  consiste  en  ce  que  vous  ne  voulez  pas 
accorder  que  le  mitan  d'une  ligne  qui  conjoint  devix  poids  égaux  des- 
cendant librement,  s'aille  unir  au  centre  du  monde.  En  quoi  certes  il 
me  semble  que  vous  faites  tort  h.  la  lumière  naturelle  et  aux  premiers 
principes  :  car,  puisque  ces  deux  poids  sont  égaux  et  qu'ils  ont  tous 
deux  même  inclination  pour  s'unir  au  centre  du  monde,  s'ils  n'étoient 
pas  empêchés,  il  est  clair  qu'ils  y  approcheront  .tous  deux  également. 
Autrement,  ayant  supposé  les  poids  égaux  et  les  inclinations  au  centre 
égales,  vous  admettriez  néanmoins  plus  de  résistance  d'un  côté,  ce  qui 
seroit  absurde. 

Et  n'importe  d'alléguer  un  levier  horizontal,  lequel,  étant  pressé  par 
deux  forces  égales  aux  deux  bouts  horizontalement,  demeure  néan- 
moins en  l'état  qu'il  est,  quoique  l'appui  qui  est  au  dessous  le  divise 
en  parties  inégales.  Car,  au  cas  de  ma  proposition,  la  vérité  de  mon 
principe  dépend  de  ce  que  les  deux  poids  (ou  puissances)  ont  naturel- 
lement inclination  au  centre  de  la  terre  et  tendent  là;  et  c'est  pourquoi, 

(M  Première  lellre  de  Fermât  à  Roberval,  répondant  à  une  lettre  perdue  où  ce  dernier 
critiquait  les  propositions  de  la  Pièce  V,  qui  lui  avait  été  communiquée  par  Carcavi. 
(2)  ro(>  Pièce  V,  2. 


32  ŒUVRES  DE  FERMAT.        CORRESPONDANCE. 

n'ayant  point  d'avantage  rmi  sur  l'aiilro,  ils  s'y  approchent  tous  deux 
également.  Mais  en  l'espèce  du  levier  horizontal,  les  deux  puissances 
des  extrémités  n'ont  aucune  inclination  naturelle  ii  l'appui,  mais  à 
s'approcher  seulement;  et  ainsi  ra|)pui  ne  doit  être  non  plus  considéré 
que  s'il  n'étoit  point. 

Outre  que  jamais  personne  n'a  douté  que  le  centre  d'un  grave  ne 
s'unit  au  centre  de  la  terre,  s'il  n'étoit  empêché;  or,  deux  graves,  joints 
par  une  ligne  qui  conjoint  leurs  centres  de  gravité,  ne  sont  censés  con- 
stituer qu'un  seul  grave,  duquel  le  centre  de  gravité^est  au  mitan  de  la 
ligne  qui  les  conjoint  :  quelle  raison  donc  de  croire  qu'il  s'arrête  ailleurs 
que  lorsque  son  centre  sera  uni  à  celui  de  la  terre? 

Soient  les  deux  poids  égaux  A  et  B  {fig-  i4)  joints  par  la  ligne  AB, 

Fig.  .4. 


(t)B 


le  centre  de  la  terre  C.  Qu'on  laisse  choir  librement  les  poids  A  et  B; 
lorsque  le  poids  B  sera  au  centre  C,  on  ne  peut  pas  dire  qu'il  s'arrête, 
parce  que  le  poids  A  gravitât  super  B  et  destruit  œquilibrium.  Où  com- 
mencera donc  le  levier  AB  de  s'arrêter?  Vous  ne  sauriez  trouver  le 
commencement  de  son  repos  en  un  point  plutôt  qu'en  l'autre,  si  ce 
n'est  au  mitan,  parce  qu'il  se  trouve  pour  lors  également  contrebalancé 
de  tous  côtés. 

Je  ne  sais  si  ces  raisons  seront  capables  de  vous  faire  changer  d'avis, 
mais  vous  me  permettrez  bien  de  vous  dire  que  vous  trouverez  peu  de 
gens  qui  suivent  votre  opinion  et  qui  ne  m'accordent  ce  principe  :  c'est 
pourquoi  je  vous  conjure  de  me  dire  nettement  ce  qu'il  vous  en 
semble. 

3.  La  deuxième  objection  (')  est  contre  la  nouvelle  proportion  des 
C)  J-'oir  Pièce  V,  5.  —  Robcrval  a.  cetlc  fois,  raison  contre  Fcrm;il. 


\l\. 


AOUT   1G3G. 


:j:? 


Jiiigics  que  j'ai  (Ircouvorlo,  contre  laquelle  pourtanl  vous  n'avez  rien 
(lit  lie  précis,  mais  seulement  que  vous  avez  démontré  que  la  propoi- 
lion  réciproque  (les  poids  doit  être  expliquée  non  pas  jiar  les  aniiles. 
mais  par  les  sinus  de  ces  angles. 

\()\i-\  la  démonslralion  de  ma  proposition,  de  la([uelle  vous  veirez 
aisément  par  conséquent  celle  de  toutes  celles  que  vous  avez  vues  dans 
l'écril  (jue  j'envoyai  à  .AI.  de  Carcavi. 

Su  cenlrum  tenxv  A  (  tig.  i  )  ),  vectis  Vj^lB  porlio  nrcii/i  ccnlrn  A  iiilcr- 
irillo  AN  descripll.   CN,  NB  œquales  circiimfcrcitticv.  et  i/i  pu/iclis  ('..  15 


(vqiudiii  pondéra.  Sitppoititniis  verlem  (]H  ci  ptuiclo  N  siispc/isttin  nia/irrc. 
ideiiupie  acciderc  si  grana  aupicdia  in  qidbitslibcl pu/ictis  hraclùoiuin  C.N, 
XB  rollocentitr,  modo  Jinjasinodi  piincla  ex  ut  raque  parte  œqualiter  a 
pu/iclo  \  (listent  :  neqite  eiiiin  destruent  a'qidlihriuin  pondéra  a'<pi(dia  a 
rentra  terra'  et  a  eeiilro  reetis  ,vAr  /d/rœ  œqualiter  distantia. 

Su  ee/Urani  teri(e  A  (  lig.    rC)),  vectis  sis'e  lihra  l{I''B(]|),  ut  supra,  eeii- 


Fig.  ,f,. 

B 


truni  sive  rnediiun  l(hr(e  puncluin  B.  Cotlocetur pondus  B  in  puncto  15  aut. 


i''t,R».vi .  —  n. 


:ti  (Kl  VUKS   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

diviso pondert'V)  in  [>:irtf's  (vqualcs  M,  V,  I?.  (].  0,  collorcnlur  civ  juirlcs  ui 
f)i(/ir/isK,  V,  H.  (..  1).  et  .v////  i/i(eivaf/a\lV,  l'B.  Rd,  CD  (vqûa/ia.  Siippo- 
ninms  pondus  15,  in  punclo  B  collocaliini  cl  n  piinclo  W  sitspensiim.  idem 
ponderare  ar  parles  \\.  \\  R.  (",  I)  siintil  siinipla',  in  recte  col/ocalœ  cl  (d> 
codem  punclo  R  suspensœ. 

Illtid  nempe  accidil  (pua.  propirr  rirculum  EFB(]D,  partes  pondons  f{ 
eamdem  semper  servant  dislanliam  a  reniro  terra'  ac  pondus  ipsuni  inle- 
i,'77//«  lî  :  f/ui)d  non  animadverlisse  et  dcscensus  gravium  parallelos  suppo- 
siusse  erroreni  peperit  Archimedeurn. 

Ilis  suppositis,  propositionern  nosircnn  dcmonsiramus,  et  ecce  tantùni 
rasuni  in  (pto  liun  redis  renirurn,  htm  e.rtrema  œqualiter  a  ceniro  terra' 
distant,  ipiia  hic  casas  veritalein  prions  redis  geostatici  non  supponil.  de 
(pia  rideris  amhigere. 

Sit  redis  FHN  (fig.  17),  aijus  cenlrum  H,  extrcma  F  et  N,  in  eadem, 
ipto  pundiini  II.  a  lerne  centro  distanlia.  Centra  A.  intervallo  AH,  descri- 

Fig.  17. 


hatur  porlio  circuli  FHN,  redis  extrema  eommittens,  et  sit  graine  in  F  ad 
grave  in  N  in  proportione  reciproca  circumferentiœ  H  F  ad  circumferen- 
tiarn  HN  :  Aio  veclem  FHN  a  pando  H  suspensum  mansurum  et  œquili- 
hrium  eonstilaturam. 

Ifanc  autern  propnrtionem  eamdem  esse  qucr  angaloriun  ad  cenlrum  A. 
palet  :  e.i-  construclione  et  duobns  axiornalibas  prœcedentibus  facillime 
iheorema  concltules. 


4.  La  hâto  du  couiTicr  me  (ait  finir  là,  parce  que  ji'  uc  doute  pas  ([uc 
vous  ne  puissiez  voir  la  ("oiicliision  avec  un  peu  de  méditation. 


VIII.    -    10  AOLT    1G36.  3o 

Au  reste,  je  vous  puis  assurer  que  le  Livre  ('  )  ((u'il  vous  a  plu 
m'euvoycr  est  ce  que  j'ai  vu  de  [)lus  ingénieux. sur  cette  matière;  mais, 
si  nies  propositions  sont  vraies,  de  quoi  peut-être  vous  ne  douterez  pas 
toujours,  vous  m'accorderez  que  ce  mouvement  sur  les  plans  inclinés 
se  peut  prouver  encore  plus  précisément. 

(>e  n'est  pas  que  je  n'estime  autant  que  je  dois  votre  invention  ;  mais 
ce  que  le  chancelier  Bacon  a  dit  est  bien  vrai  :  «  Mtdli  p/rtransihii/i/  el 
aitgebitur scicntia  (-).  » 

Je  suis  etc. 


Mil. 
ETIENNE  P.\S(;AL  ET  HOBERYAL  A  FER.MAT. 

SAMKIll     K)    AdlT     1630    ('). 
(  f'a^  p.   i-2'|-i3(),  ) 

Monsieur  Ç), 

1.  Le  principe  que  vous  demandez  pour  la  Géostatique  est  que,  si 
deux  poids  égaux  sont  joints  par  une  ligne  droite  ferme  et|  de  soi]  sans 

(  '  )  11  s';ii;U  cvidommeiit  du  Trailc  ilc  Mcc/u/tiiqiie.  Des  poids  souttciius  par  des  puis- 
sances sur  les  plans  inclinez  ù  l'Horizon.  Des  puissances  qui  sonstienncnt  un  poids  sus- 
pendu «  deux  c/iordes.  Par  G.  Pers.  de  ]{ol>ert'al,  Professeur  Roral  es  Mat/iémnticjues 
au  Collège  de  Maistre  Gerçais  et  en  chaire  île  Rcnnus  au  Collège  de  France,  inscié,  avec 
une  pagination  .spéciale  (de  i  ù  36),  dan.s  la  Seconde  Partie  de  l'Hiinnonie  unii'crscllc  du 
P.  Mersenne  (i637). 

(2)  Celle  pensée,  tirée  d'un  texte  du  proplièle  Daniel  (xii,  i  ),  se  trouve  dans  le  Novum 
organum  (I,  aphor.  93)  sous  la  forme  :  Multi  pertransibunt  et  multiplex  crit  scicntia,  cl 
dans  le  Traité  De  dignitate  el  augnientis  scientiarum  (I,  cap.  x,  3),  sous  la  suivante  : 
Plurinii  pertransibunt  et  augchilur  scienlia.  Mais  Fermai  a  tcxlucllenient  reproduit  la 
légende  d'une  vignette  au  frontispice  de  la  première  édition  du  Noi'um  Organum  (iG-.>.o), 
vignette  qui  représente  un  vaisseau  franchissant  à  pleines  voiles  les  Colonnes  d'Hercule. 

{")  Réponse  à  la  Lettre  Vit.  Fermai  y  a  répliqué  par  la  Lettre  IX,  puis  à  nouveau  par 
la  Lettre  XI. 

('■'}  Le  texte  de  celle  Lettre  a  été  restitué  d'après  le  manuscrit  de  la  Bibliollièquo  natio- 
nale, lalin  7526  f°  40  suiv.  Les  mots  entre  crochets  [  ]  sonl  des  additions  em|irunlées  à 
l'édition  des  T'aria.  Quant  aux  autres  leçons  de  celte  édition,  qui  représentent  une  rédac- 


30  ŒTVUKS   DE  FERMAT.-  (,01$  IIESPON  0  \N  CE. 

iKiiils  (M.  (|u't'laiil  ainsi  disposes,  ils  |Hiiss(Mi(  (Icscciidn^  lilx'cniciil.  ils 
iir  irposoroiit  jamais  jusqucs  ù  ce  (iiic  le  milieu  de  la  ligne  (([iii  est  le 
centre  de  pesanleiir  des  aneiens  )  s'unisse  au  centre  commun  des  choses 
posantes. 

2.  Co  principe,  (|ue  nous  avons  considéré  il  y  a  longtemps,  ainsi 
t|u"il  vous  a  été  mande,  paroit  d'abord  fort  plausible;  mais,  quand  il 
esl  (|uesli(in  de  principe,  vous  savez  (|U(dles  conditions  lui  sont  r'cqnises 
poni'  èti'c  r'tx'u  :  ilesqu(dles  <-ouditions,  cell(>  jtrincipale  manque  au 
jiiincipe  dont  il  s'agit  ici,  savoir  (jne  m)us  ignorons  quelle  est  la  cause 
radicale  qui  fait  (\uf  les  corps  pesants  descendent  et  d'où  vient  l'origine 
de  cette  pesanteur.  Ainsi  nous  n'avons  rien  de  connu  assurément  de  ce 
(|ui  arriveroit  au  centre  où  les  choses  pesantes  aspirent,  ni  aux  autres 
lieux  hors  la  surface  de  la  terre,  de  laquelle,  pour  ce  que  nous  y  habi- 
tons, nous  avons  quelques  expériences  sur  lesquelles  nous  fondons  nos 
principes. 

3.  Car  il  se  peut  faire  que  la  pesanteur  est  une  qualité  qui  réside 
dans  le  corps  même  qui  tombe;  peut-être  qu'elle  est  dans  un  autre,  qui 
attire  celui  qui  descend,  comme  dans  la  terre.  Il  se  peut  fairtf  aussi  et 
est  fort  vraisemblable  que  c'est  une  attraction  mutuelle  ou  un  désir 
naturel  que  les  corps  ont  de  s'unir  ensemble,  comme  il  est  clair  au  fer 
et  à  l'aimant,  lesquels  sont  tels  que,  si  l'aimant  est  arrêté,  le  fer,  n'é- 
tant point  empêché,  l'ira  trouver,  |et|  si  le  fer  est  arrêté,  l'aimant  ira 
vers  lui  et,  si  tous  deux  sont  libres,  ils  s'approcheront  réciproque- 
ment [l'un  (le  l'antre |,  en  sorte  toutet'(tis  (|ne  le  plus  fort  des  deux  fej-a 
le  moins  de  chemin. 

Ur,  de  ces  trois  causes  possibles  de  la  pesanteur  [ou  des  centres  des 
corps],  les  conséquences  seront  fort  différentes,  ce  que  nous  ferons 
r-onnoitre  en  les  examinant  ici  l'une  aprî's  l'autre. 

lion  nouvelle  de  Ilobcrviil  fiiilo  en  vue  de  l'impression  de  la  Correspondance  de  Ferniiil, 
elles  sont  reproduites  ci-aprcs  dans  les  yuriaiilcs.  Bossut  a  compris  cette  Pièce  dans  son 
édition  dos  OEiivrcn  de  Biaise  Pascal,  1779;  il  a  suivi  en  sénoral  le  texte  des  V<iri(i,  à 
part  les  chani^ements  d'orttio.;;raplie  et  (pielques  modifications  de  détail. 


VllI.    —    16  AOUT   1636.  37 

4.  En  premier  lieu,  si  la  première  est  vraie,  selon  ropiiiioii  coiii- 
iiiiine,  nous  ne  voyons  point  que  votre  principe  puisse  subsister  :  car, 
sur  ce  sujet,  le  sens  commun  nous  dit  qu'eu  quelque  lieu  que  soit  un 
poids  [près  ou  loin  du  centre  de  la  terre],  il  pèse  toujours  égaleun'iil, 
ayant  toujours  [en  soi  |  la  même  qualité  qui  le  fait  peser  et  |  eu  nièiui- 
degré.  Le  sens  commun  nous  dicte  aussi,  posée  cette  même  opiiiidit 
première]  qu'alors  un  corps  reposera  au  centre  commun  des  choses 
pesantes,  quand  les  parties  du  corps  qui  seront  de  part  et  d'autre  du 
même  centre,  seront  d'égale  pesanteurpour  contrepeser  l'une  à  l'autre, 
sans  avoir  égard  si  elles  sont  peu  ou  beaucoup  [également  ou  inéga- 
lement |  éloignéesdu  centre  [commun].  * 

Soient  donc  les  deux  poids  égaux  A,  B  (  //g\  i8  ),  joints  ensemble  par 
la  ligne  [droite]  ferme  et  [de  soi]  sans  poids  AH:  et  soit  (".  le  point  du 

Fig.  i8. 

0 S ^—5 o 

A.  B 

milieu  de  la  même  ligiu'  AB,  et  [soient]  I),  E,  des  autres  points  tels 
quels  dans  ladite  ligne  entre  les  poids  A,  B.  [Vous  demandez  (|n'on 
vous  accorde  que  les  poids  A,  B,  tombant  librement  avec  leur  ligne, 
ne  leposeront  point  jusqu'il  ce  (|ue  le  point  du  milieu  l]  s'unisse  au 
centre  commun  des  choses  pesantes.  [ 

Nous  accordons  que,  si  le  composé  des  poids  A,  B  est  mis  de  sorte 
(jue  le  point  C  convienne  avec  le  centre  commun  des  choses  pesantes, 
alors  le  tout  demeurera  en  équilibre.  3Iais  il  nous  semble  aussi  <|ne  si 
le  point  D  ou  E  convient  au  même  centre  commun,  en  sorte  que  l'un 
des  poids  en  soit  plus  proche,  pourvu  que  l'un  soit  entièrement  d'une 
part  du  centre  et  l'autre  de  l'autre,  ils  contrepèseront  encore  et  demeu- 
reront en  équilibre,  comme  |iar  le  point  (1,  puisque  (pour  nous  servii' 
de  vos  paroles  mêmes)  ces  deux  poids  sont  égaux  et  ont  tous  deux 
même  inclination  pour  s'unir  au  [même]  centre  commun  [des  choses 
pesantes],  et  l'un  n'a  aucun  avantage  par  dessus  l'autre  pour  le  déplacer 
de  son  lieu. 


38  tl.rVUKS    DK    Fi: i!M  VT.  ^  (,()I{RESl>()M)AN'Ci:. 

Que  si  t'Ii'c  plus  proclio  ou  plus  éloigué  du  cenlro  pouvoil  vive 
quoiquo  avantaiîo,  co  (|U('  nous  no  croyons  pas,  supposé  que  la  posan- 
ItMir  réside  au  corps  inrinc,  vous  Icouvci'c/.  plus  de  gens  (|ui  croironl 
(|U('  l'avaulago  est  de  la  pari  de  cidui  (jui  csl  plus  proche  du  crnlrc 
commun  que  Taulrc  :  rt'  (|ui  (oulci'ois  csl  dircctcnicnl  contre  voirc  sup- 
position. 

Kl  ne  serl  de  rien  d'alléguer  le  cenire  de  pesanleur  du  corps  AR. 
le(|uel  cvnlre,  selon  les  anciens,  csl  au  milieu  C  :  car  ce  centre  n'a  été 
démontré  que  quand  la  dcscenle  des  poids  se  fait  par  des  lignes  paral- 
lèles, ce  (|ui  n'est  pas;  et,  (|uand  il  y  auroit  un  tel  point,  ce  (jui  ne 
peut  être  aux  cor|)squi  tiennent  à  un  même  centre  commun,  il  n'a  pas 
été  déiuoulié  et  ne  prouveroit  aucunement  que  ce  seroit  ce  point  lii 
par  lequ(d  le  corps  s'uuiroil  au  cenire  commun.  Même  cela,  pour  les 
raisons  précédentes,  ré|iugne  à  notre  commune  connoissaiice  en  plu- 
sieurs figures. 

Kn  tout  cas,  nous  ne  voyous  poini  que  ce  centre  commun  des  anciens 
doive  être  considéré  autre  part  qu'aux  poids  qui  soni  pendus  ou  sou- 
tenus hors  du  lieu  au(|uel  ils  aspirent. 

5.  Ouant  à  la  comparaison  qui  vous  a  été  faite  du  levier  hori/oulal. 
lequel,  étaiil  pressé  horizontalement  aux  deux  houts  par  deux  forces 
ou  puissances  égales,  demeure  en  même  état  qu'il  est,  elle  nous 
semble  entii'remeut  semblable  au  levier  [précédent]  AB  pressé  aux 
deux  bouts  par  les  deux  poids  égaux  A,  H,  puisque  ces  poids  ne  pres- 
sent le  levier  que  par  la  [force  ouj  puissance  qu'ils  ont  de  se  porter 
vers  leur  centre  commun  C,  D  ou  E. 

(>omme  si  le  levier  horizontal  est  AB  (Jïg.  i<j)  et  les  forces  ou  puis- 

'■'S-    '9- 

aQ-^ o» 

sances  égales  A  [et|  B,  pressant  horizontalement  le  levier  pour  le  porter 
à  un  certain  point  commun  C,  auquel  elles  aspirent  et  lequel  est  posé 
également  ou  inégalement  entre  les  mêmes  puissances  dans  la  ligne  AB; 


VIII.    -    16  AOUT    1G3G. 


39 


ces  forces,  pressant  également  le  levier,  se  résisteront  l'une  à  l'antre, 
selon  notre  sens,  encore  même  que  l'une,  comme  A,  fût  plus  pri's  que 
l'autre  du  point  commun  C  auquel  toutes  deux  aspirent.  Ht  quand  le 
levier  ne  seroit  point  horizontal,  mais  en  telle  autre  position  que  l'on 
voudra,  étant  considéré  [de  soi]  sans  poids  et  toutes  les  autres  choses 
comme  auparavant,  le  même  effet  s'ensuivra  selon  notre  jugement  et 
la  comparaison  sera  entièrement  semblable  à  celle  des  poids  qui  sont 
à  l'entour  du  centre  commun  des  choses  pesantes. 

6.  Nous  ajouterons  ici  ce  que  nous  pensons  en  ce  cas  des  poids  qui 
seroient  inégaux  joints  comme  dessus  à  une  ligne  droite  ferme  et  [de 
soi]  sans  poids,  pour  mieux  faire  paroitre  notre  sentiment. 

Soient  deux  poids  inégaux  A,  ^{fig-  20),  desquels  A  soit  le  moindre, 

Fiff.  ao. 


et  soit  AB  la  ligne  ferme  qui  les  joint,  dans  laquelle  le  centre  de  pesan- 
teur des  anciens  soit  le  point  C.  lequel  ne  sera  pas  au  milieu  de  la 
ligne  AB.  Si  donc  on  pose  le  composé  des  poids  A,  B  de  sorte  que  le 
point  (1  convienne  au  centre  commun  des  choses  pesantes,  nous  ne 
pouvons  croire  qu'il  demeurera  en  ce!  état,  le  poids  A  étant  entière- 
ment d'une  part  du  centre  jdes  choses  pesantes]  (^t  [le  |)oids  |  B  |  eutii'- 
rement]  de  l'autre  j)art.  Mais  il  nous  semble  que  le  plus  grand  poids  B 
doit  s'approcher  du  même  centre  [des  choses  pesant(>s,  jusqu'à  ce 
(]u'une  partie  du  dit  poids  B  soit  au  delà  du  dit  centre]  vers  A,  comme 
la  [)artie  D,  en  sorte  que  cette  partie  D  avec  [tout  le  poids]  A,  étant 
d'une  même  part,  contrepèsent  avec  la  [)artie  [E]  restante  de  l'autre 
part. 

7.  Outre  ce,  nous  avons  encore  une  instance  en  ce  cas  qui  semble 
conclure  que  la  figure  et  le  volume  et  encore  la  disposition  des  poids 


vo  (i:i\r>i:s  m-:  fkumat.  —  cohhksi'ondance. 

doit  ôlro  consitlrro,  il'aiilaiil  (ni'iiii  lorps  pcsaiil  semble  devoir  |)eser 
d'autant  moins  qn'il  oecii|»era  une  pins  graiule  portion  de  la  eirconfé- 
renee  Ternie  passant  par  le  corps  et  décrite  alentour  du  centre  cointnun 
lies  eiioses  pesantes,  ce  (|ne  nous  expliquerons  [)lus  aniplenieul  ci 
après  sur  votre  second  principe  du  levier.  Or  vous  savez  qu'un  uiènie 
cor|)s.  sous  dillérentes  figures,  positions  ou  volumes,  peut  oecu|)er 
plus  ou  moins  de  cette  circont'érence  et,  s'il  y  a  cause  pour  laquelle  un 
même  corps  doive  moins  jieser  pro(diedn  centre  qu'étant  plus  éloigné, 
cidie-ci  eu  est  pi'ut-ètre  une,  étant  clair  que,  quoic|u"il  (Vit  toujours  de 
même  figure,  position  et  volume,  néanmoins,  étant  plus  proche  du 
l'culie,  il  occupera  une  plus  grande  portion  de  la  cireonférenee susdite 
qu'étant  plus  éloigné.  Mais,  quand  cela  seroit,  nous  croyons  qu'à 
peine  seroit-il  possible  à  l'esprit  humain  d'assigner  les  proportions  de 
celle  augmentation  ou  diminution  selon  les  diflereuls  éloignements 
du  centre. 

8.  Si  la  seconde  ou  la  troisième  cause  possible  de  la  pesanteur  des 
corps  est  vraie,  il  nous  semble  que  l'on  en  peut  tirer  des  [mémes|  con- 
clusions. 

Soit  le  corps  attirant  AB(]|)  {^/ig-  21)  [sphérique  |,  diiqiud  le  centre 

Fis.  31. 


>oil  II.  et  ([Ile  la  vcrlu  d'allraclion  soit  égaleinenl  épanduc  par  loutes 
li>  parties  du  corps  altirani,  et  soit  le  corps  attiré  L.  considei-é  pre- 
mièrement hors  le  (;orps  attirant  en  A. 

Soi!  menée  la  ligne  droite  Ali,  à  la([U(dle  soit  un  plan  |)erpendicu- 


MIL   -   16  AOUT   1636.  41 

lairt'  EHD,  coupant  le  corps  ABCD  cii  deux  parties  [égales  et  partant] 
d'égale  vertu.  Soient  aussi,  dans  la  ligne  AH,  marqués  tant  de  points 
(|ui'  l'on  voudra,  comme  K,  I,  par  lesquels  soient  menés  des  plans 
[FIC.GKB]  parallèles  au  plan  EHD,  coupant  le  corps  [attirant]  ABCD 
en  parties  inégales,  et  partant  d'inégale  vertu. 

[Alors]  le  corps  [L]  étant  en  A  sera  attiré  vers  H  par  la  puissance  de 
tout  le  corps  ABCD  et,  le  chemin  étant  libre,  il  viendra  en  K,  là  oin  il 
sera  attiré  vers  H  par  la  plus  [grande  et]  forte  partie  BDEG  [et  contre- 
tiré  vers  A  par  la  plus  petite  et  plus  foible  partie  BAG];  il  en  sera  de 
même  quand  il  sera  venu  en  I,  où  il  sera  moins  attiré  que  quand  il  était 
en  K  ou  en  A;  toutefois  il  sera  contraint  de  s'approcher  toujours  du 
centre  H,  tant  qu'il  y  soil  venu,  et,  la  partie  qui  attire  diminuant  tou- 
jours et  celle  qui  relire  s'augmenlani  [toujours],  il  sera  continuidle- 
ment  attiré  avec  moins  de  force  jusques  à  ce  qu'étant  arrivé  en  H,  il 
sera  également  attiré  de  toutes  parts  et  demeurera  en  cet  état. 

Si  cette  position  est  vraie,  il  est  facile  de  voir  que  le  corps  L  pèsera 
d'autant  moins  qu'il  sera  [plus]  proche  du  centre  H;  mais  son  poids 
ne  diminuera  pas  en  la  proportion  des  lignes  HI,  HK,  HA,  ce  (jue  vous 
connoîtrez  assez  en  le  considérant,  sans  que  nous  vous  l'expliquions 
davantage. 

9.  Puis  donc  que  de  ces  trois  causes  possibles  de  la  pesanteur,  nous 
ne  savons  quelle  est  la  vraie,  et  que  même  nous  ne  sommes  pas  assurés 
que  ce  soit  l'une  d'icelles,  se  pouvant  faire  [que  la  vraie  cause  soit  com- 
posée des  deux  autres  ou]  que  ce  [en]  soit  une  [tout]  autre,  de  laquelle 
on  tireroit  des  conclusions  toutes  différentes,  il  nous  semble  que  nous 
ne  pouvons  pas  poser  d'autres  principes  [pour  raisonner]  en  cette  ma- 
tière que  ceux  desquels  nous  sommes  assurés  par  une  expérience  con- 
tinuelle assistée  d'un  bon  jugement. 

Quant  il  nous,  nous  appelons  des  corps  également  ou  inégalement 
pesants,  ceux  qui  ont  une  égale  ou  inégale  puissance  de  se  porter  vers 
le  centre  commun  [des  choses  pesantes],  et  un  même  corps  est  dit 
avoir  un  même  poids,  quand  il  a  toujours  cette  même  puissance  :  que 

Fermât.  —  11.  t) 


\i  o:r\i!KS  ni-:  fkhmat  -  cou uks pond anck. 

si  cotte  piiissiiiicc  aiii^mcnlo  ou  (liiiiiiuic,  alors,  (iiioiqiic  (■(>  soit  lo 
iiioiiit'  corps,  lions  ne  le  coiisidoroiis  plus  comiiu"  le  mciiic  poids.  Oi', 
i|U('  cela  arrive  aux  corps  qui  s'éloii;iieiil  ou  s'approchent  du  centre 
I  commun  des  choses  pesantes  |,  c'est  ce  (|ue  nous  désirerions  liieu  de 
savoir:  mais,  ne  trouvant  rien  (|ui  nous  contente  sur  ce  sujet,  nous 
laissons  celte  question  indécise  et  nous  raisonnons  seulement  sur  ce 
que  les  Anciens  et  nous  en  avons  pu  découvrir  de  vrai  jusques  à  niain- 
lenanl.  |  Voilà  ce  (|ue  nous  avons  ii  vous  dire  pour  le  présent  touchant 
votre  principe  de  la  (léoslatique,  laissant  à  part  beaucoup  d'autres 
doutes  pour  éviter  prolixité  de  discours. | 

10.  Pour  la  nouvelle  proportion  des  angles  que  vous  mettez  en 
avant,  afin  de  la  démontrer,  vous  supposez  deux  principes,  desquels  le 
premier  est  vrai  et  l'autre  si  éloigné  d'être  vrai,  qu'il  y  a  des  cas  où  il 
arrive  tout  le  coniraire  de  ce  que  vous  demandez  [qu'on  vous  accorde 
[loiir  vrai  |. 

Le  premier  est  tel  :  soit  A  i/ig-  22)  le  centre  commun  des  choses 
pesantes,  l'appui  du  levier  N,  et  du  centre  A,  intervalle  AN,  soit  décrite 


l<"ig.  22. 


une  portion  de  circonférence  telle  quelle  CNB,  pourvu  que  l'arc  CN 
soit  égal  à  l'arc  NB;  et  soit  considéré  cet  arc  CN  [B]  comme  une  ba- 
lance ou  un  levier  [de  soi]  sans  poids,  qui  se  mène  librement  à  l'entour 
de  rap|)ui  N;  soient  aussi  des  poids  égaux  posés  en  C  |et|  B. 

Vous  supposez  que  ces  poids  contrepèseront  l'un  à  l'autre  et  feront 
équilibre,  étant  balancés  sur  le  point  N;  et  [il|  semble  que  tacitement 
vous  suj)posez  encore  l'équilibre,  quand  les  bras  du  levier  NC  et  NB 
seront  des  lignes  droites,  pourvu  (]ue  les  points  (1  [et|  B  soient  égale- 
ment éloignés  du  centre  A,  et  les  lignes  NC  et  NB  soustendantes  ou 
cordes,  en  efl'cl  ou  en  puissance,  d'arcs  égaux  NC,  NB. 


VIII.    -    16   AOUT   1036.  W 

Toutes  ces  choses  sont  vraies  en  général,  mais  nous  ne  les  croyons 
telles  que  pour  ce  que  nous  les  avons  démontrées  en  conséquence 
d'autres  principes  qui  nous  sont  plus  familiers,  plus  clairs  et  plus 
connus. 

Toutefois,  en  particulier,  il  y  a  une  distinction  qui  doit  être  bien 
considérée  et  est  telle  :  Quand  les  arcs  NC  et  NB  sont  chacun  moindres 
qu'un  quart  de  circonférence,  le  levier  [CNB  chargé  des  poids  C  et  BJ 
pèse  sur  l'appui  N,  poussant  vers  le  centre  A  pour  s'en  approcher  ; 
quand  les  arcs  CN,  NB  (Jîg.  28)  sont  chacun  d'un  quart  de  circonfé- 

Fis.  23. 


rence,  le  levier  CNB  chargé  des  poids  C,  B  ne  pèse  nullement  sur 
l'appui  N,  d'autant  que  les  poids  sont  diamétralement  opposés,  et  par- 
lant le  levier  demeurera  de  même  sans  appui  [qu'avec  un  appui); 
enfin,  quand  les  arcs  égaux  NC,  NB  sont  chacun  plus  grands  qu'un 
(|nart  de  circonférence,  le  levier  CNB,  chargé  des  poids  égaux  C,  IJ, 
pèse  sur  l'appui  N  poussant  vers  N  pour  s'éloigner  du  centre  A. 

H-  Si  ces  particularités  sont  bonnes,  il  s'ensuit  que  votre  second 
principe  ne  peut  subsister,  ce  qui  paroitra  fort  clair  quand  nous  l'au- 
rons examiné  plus  particulièrement,  comme  il  s'ensuit  : 

Soit  donc  A  {/ig.  iG)  le  centre  commun  des  choses  pesantes,  la 
balance  ou  le  levier  EFBCD,  dont  l'appui  est  B.  Soit  posé  un  poids 
comme  B,  tout  entierau  pointB,  pesant  de  (ouïe  sa  force  sur  l'appui  B; 
ou  bien  soit  divisé  le  poids  B  en  parties  égales  E,  F,  B,  C,  D,  lesquelles 
soient  posées  sur  le  levier  aux  points  E,  F,  B,  (],  D,  étant  les  arcs  EF, 
FB,  BC,  CD  égaux  et  tout  l'arc  EFBCD  décrit  alentour  du  centre  A. 

Vous  supposez  que  le  poids  [B],  posé  tout  entier  au  point  B,  pèsera 


,1  ŒUVRES  1)K  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

ilo  nu'iiic  sur  l'appui  B  qu'olant  poso  par  parties  [('f^alos]  aux  poinis  K, 
y.  R,  ('..  0.  Cola  ost  tcllciiu'iit  cloignc  du  vrai  (|ii('  (|tiolquofois  |  le 
poids  W.  ainsi  posé  par  parties  sur  le  levier,  ne  [ti'sera  plus  du  ton! 
sur  l'appui  B;  (|uelquet'ois|.  eu  lieu  de  peser  sur  l'appui  B  [pour  tirer 
le  levier]  vers  A.  il  pèsera  [tout]  au  contraire  sur  le  uièiue  ap|)ui  [B| 
pour  s'éloigner  de  A;  et  toutefois,  élaut  ramassé  tout  entier  au  point  B 

Fig.  16. 
B 


il  pèsera  toujours  de  toute  sa  force  sur  l'appui  B  pour  emporter  le 
levier  vers  A  et.  en  général,  étant  [divisé  et]  étendu,  il  pèsera  toujours 
moins  sur  l'appui  qu'étant  ramassé  au  point  B  [et  vous  supposez  qu'en- 
tier et  divisé,  il  pèse  toujours  de  même]. 

Tontes  ces  choses,  quoique  contraires  à  votre  supposition,  sont  dé- 
montrées en  suite  de  nos  principes,  et  nous  vous  en  pouvons  expli([uer 
les  principaux  cas  par  vos  principes  mêmes. 

12.   Soit  derechef  A  (^g-.  24)  le  centre  commun  des  choses  pesantes, 

Fig.  24. 


alentour  diniucl  soit  décrit  le  levier  CBD  qui  soit,  de  soi,  sans  poids  et 
prolongé  tant  que  de  besoin  :  et  soit  B  le  point  de  l'appui,  auquel  si 
-un  poids  est  posé,  nous  demeurerons  d'accord  avec  vous  qu'il  [)i'sera 


VIII. 


16  AOUT  1636. 


V5 


de  toute  sa  force  sur  l'appui  B,  lequel  appui,  s'il  u'est  assez  t'ori,  rom- 
pra et  le  poids  s'en  ira  avec  son  levier  jusques  au  centre  A. 

13.  Maintenant,  soit  divisé  le  poids,  premièrement  en  deux  parties 
égales  et,  ayant  pris  les  arcs  BC  et  CD,  chacun  d'un  quart  de  circonfé- 
rence, afin  que  tout  l'arc  CBD  soit  une  demie  circonférence,  soit  posée 
une  moitié  du  poids  en  D,  l'autre  en  C  Lors  ces  deux  poids  C  [et|  D, 
pesant  vers  A,  ne  feront  point  d'autre  elTet  sur  le  levier  CBD,  sinon 
({u'ils  le  presseront  également  par  les  [deux]  bouts  C  [et]  D  pour  le 
courber.  Supposant  donc  (ju'il  est  assez  roide  pour  ne  pas  plier,  ils 
demeureront  [sur  le  levier]  de  même  que  s'ils  étoient  attachés  aux  bouts 
du  diamètre  DAC,  sans  qu'il  soit  besoin  de  l'appui  B,  sur  lequel  le 
levier,  chargé  de  ses  deux  poids,  ne  fait  aucun  elfort  :  quand  cet  appui 
n'y  sera  pas,  le  tout  demeurera  de  même  que  quand  il  y  sera,  ce  qui 
est  assez  clair. 

Que  si  le  poids  est  divisé  en  plus  de  deux  parties  égales  et,  qu'étant 
étendu  sur  des  portions  égales  du  levier,  deux  d'^icelles  .parties  se  ren- 
contrent aux  points  C,  D,  [et]  les  autres  dans  l'espace  CBD,  celles  (jiii 
seront  en  C  [et]  D,  ne  chargeront  point  l'appui  B;  quant  auxau(res, 
(dies  le  chargeront,  mais  d'autant  moins  que  plus  elles  approcheront 
des  points  C,  D,  auxquels  finit  la  charge.  Ainsi,  il  s'en  faudra  beaucoup 
que  toutes  ensemble  étendues  chargent  autant  l'appui  que  si  elles 
étoient  amassées  en  B;  [elles  ne  pèsent  donc  pas  de  même]. 

14.  Davantage,  soient  pris  les  arcs  égaux  BG  [et]  BD  (Jig-  2,5  ),  |)luti 

Fis.  35. 


grands  chacun  qii'un  quart  de  circonférence,  et  soit  imaginée  la  ligne 


VG 


ŒUVRES   DK  FEIIMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


droito  D(',.  Puis,  olanl  diviso  le  poids  en  deux  pailics  ('gales  sciilonicnl, 
soil  atlaclicc  riiiic  ou  V.,  |  et  |  l'aiilit'  on  I).  [Alors]  il  esl  claii'  (]iic  le 
li'vior,  chargé  dos  poids  C,  D,  pi'sora  siii'  ra[)piii  B;  mais  a'  sora  lou( 
au  oonlrairo  (|uo  si  los  doux  poids  oloioiU  aniassos  en  M.  Car,  si  l'appui 
u'est  pas  assez  i'ori,  il  r()ni|)i'a,  ot  les  poids,  ompoilaiil  lour  lovior,  (|uo 
nous  supposons  être  do  soi  sans  poids,  no  opssoronl  do  mouvoir  tant 
quo  la  ligno  droito  CD  soit  vonuo  au  point  A,  lo  lovior  étant  monté  ou 
parlio  au-dossus  do  B,  au  lieu  do  s'abaisser  vers  A,  oo  qui  seroit  arrivé 
si  los  poids,  étant  amassés  en  B,  avoient  rompu  l'appui.  [Voyez  quelle 
(lin'orencc!  | 

15.  Enfin,  soit  le  levier  comme  auparavant  (_ftg-  2G),  auquel  soient 
les  quarts  de  cii'cont'éronce  BC,  BD  et,  do  |)art  et  d'autre  du  point  C, 


Fis-  26. 


soient  pris  dos  arcs  égaux  CG,  CE,  chacun  moindre  qu'un  (|uart.  De 
mémo,  de  part  et  d'autre  du  point  D,  soient  pris  les  arcs  égaux,  entre 
eux  et  aux  précédents,  DH,  DF,  tous  commensurables  au  quart.  Soil 
aussi  divisé  tout  l'arc  EBF  en  tant  de  parties  égales  qu'on  voudra,  en 
sorte  que  les  points  E,  (],  G,  B,  H,  D,  F  soient  du  nombre  de  ceux  qui 
l'ont  la  division;  et  soit  divisé  le  poids  en  autant  de  parties  égales  que 
l'arc  EBF,  lesquelles  parties  de  poids  soient  posées  aux  points  do  la 
division  (lu  levioi'. 

Alors,  les  |)oi(ls  qui  se  trouveront  posés  sur  les  arcs  EC  ol  FD,  dé- 
chargeront autant  l'appui  B  (|u'il  étoit  chargé  par  ceux  dos  arcs  CG, 
DH.  Ainsi,  considérant  tous  ceux  qui  sont  sur  los  arcs  EG  et  FH,  ils  ne 
chargent  point  l'appui  [B],  le(|uel.  par  ce  moyen,  no  sera  chargé  que 


VIII.   -    16  AOUT   1636.  47 

par  ceux  qui  seront  sur  les  arcs  GB,  BH;  et,  si  entre  BG  et  BH  il  n'y  a 
aucun  poids  (ce  qui  arrivera  quand  ces  arcs  BG  et  BH  ne  feront  chacun 
qu'une  partie  de  la  [susdite]  division  [du  levier]),  alors  l'appui  [B| 
sera  entièrement  déchargé. 

Voyez  donc  combien  il  v  aura  de  différence  entre  les  poids  amassés 
en  B  et  étendus  [par  parties |  sur  le  levier  EBF.  Voyez  aussi  qu'un 
même  poids  [divisé  par  parties  et  étendu  sur  le  levier]  pèse  d'autan! 
moins  sur  l'appui  B  que  plus  [grande  est  la  portion  qu']  il  occupe  de  la 
même  circonférence  décrite  alentour  du  point  A  [centre  commun  des 
choses  pesantes]. 

16.  Maintenant,  pour  venir  à  votre  démonstration,  soit  le  levier  GIR 
{Jîg-  '-i7  ),  [duquel  [  l'appui  soit  I  et  que  les  extrémités  G,  R  et  l'appui  I 


soient  également  éloignés  du  centre  commun  [des  choses  pesantes  |  A, 
alentour  duquel  soit  imaginée  la  portion  de  circonférence  GIR,  et  soit 
fait  que 

comme  l'arc  GL  à  l'arc  IR,       ainsi  le  poids  R  soit  au  poids  G. 

Vous  dites  que  le  levier  chargé  des  poids  G,  R  demeurera  en  équi- 
libre sur  son  appui  I;  quant  à  la  démonstration,  vous  supposez  (ju'cllc 
est  assez  facile  en  conséquence  des  deux  principes  précédents  et,  de 
fait,  si  les  principes  étoient  vrais,  il  ne  resteroit  peut-être  pas  beaucoup 
de  difficulté  et  la  chose  se  pourroit  à  peu  près  conclure  ainsi,  la  con- 
clusion étant  faite  selon  la  méthode  d'Archimède,  en  sorte  que  les  arcs 
RE,  RM  soient  égaux,  tant  entre  eux  qu'à  l'arc  IG,  et  les  arcs  GB,  GiVl 
égaux,  tant  entre  eux  qu'il  l'arc  IR. 

jEl|  soit  étendu  le  poids  R  également  depuis  E  jusqnes  en  M  e(  le 


»s 


(Kl  VUES  DE  FERMAT.-  COKRESPOM)  VNCE. 


poids  G  aussi  égaleiiicnl  depuis  M  jusqucs  en  U;  ainsi  les  deux  poids 
G.  U  scroul  ogalomonl  ('(cndus  sur  toul  l'arc  BGIMHE,  duquel  are  les 
porlious  IH,  lE  étant  égales,  le  levier  B(;iMl{K  denu'ureia  en  équilibre 
sur  l'appui  1  par  le  premier  principe. 

Mais  le  poids  G,  étendu  depnis  H  jusques  eu  M,  pèse  de  même 
qu'étant  ramassé  au  point  G,  par  le  second  principe,  et,  parle  même 
principe,  le  poids  R  pèse  de  même,  étant  étendu  de[»uis  M  jusques  en 
E,  (pi'étanl  ranuissé  au  point  R.  Car  tous  ces  poids,' étant  ramassés  eu 
G  et  en  R,  pèseront  de  même  sur  le  levier  qu'étant  étendus;  puis  donc 
(|u"élant  étendns,  ils  t'aisoieut  équilibre  sur  l(>  même  levier,  ils  t'eronl 
encore  équilil)r<',  étant  ramassés  en  G  el  en  R. 

En  cette  démonstration,  tout  ce  (|ui  est  fondé  sur  le  second  principe 
feroit  les  mêmes  difficultés  que  le  principe  même  et,  partant,  la  con- 
clnsion  ne  s'ensuit  pas  que  les  poids  G,  R  fassent  équilibre  sur  le  levier 
GIR. 

Nous  pouvions  nous  contenter  de  ce  que  dessus,  croyant  que  vous 
serez  satisfait;  mais  nous  vous  prions  de  considérer  encore  deux  in- 
stances qui  sont  telles  : 

n.  La  lu'eniii're,  (pi'an  levier  GIR  (_/?^.  28),  l'angle  GIR  étant  droit 
et  (partanl|   l'arc  GIR  une  demie  circonférence  [décrite  autour  de  A 


centre  commun  des  choses  pesantes],  si  [V]  on  pose  l'arc  GI  moindre 
que  l'arc  IR,  par  exemple  que  GI  soit  le  tiers  de  IR  et  le  poids  R  de 
20  livres,  il  faudroit  donc  en  G  Go  livres,  sidon  vous,  pour  faire  équi- 
libre sur  le  levier  GIR  appuyé  an  point  I.  Et  toutefois,  si  vous  uu'tlez 
des  poids  égaux  en  (J  el  en  R,  ils  seront  diaméiralenieni  opposés  et 


VIII.  10   AOUT    1636.  ig 

IparlaiU  par  le  principe  do  la  Géostatiquo,  au  cas  du  dil  principe  ac- 
corde par  vous  et  par  nons.  les  dits  poids  égaux]  feront  encore  équi- 
libre comme  s'ils  pesoient  sur  les  extrémités  du  diamètre  GR  vers  le 
centre  A;  et,  quand  il  y  a  une  fois  équilibre,  pour  pen  cpie  l'un  aug- 
mente ou  diminue  l'un  des  poids,  l'équilibre  se  perd.  Vovez  comme 
cela  se  peut  accorder  avec  votre  position. 

18.   La  seconde  instance  est  telle  :  soit  le  centre  [commun  des  cboses 
pesantes]  A  {Jig-  29),  alentour  dnqnel  soit  la  circonférence  (ÎIR,  l'appui 


du  levier  I,  et  les  bras  IG,  IR,  desquels  Gl  soi(  le  moindre;  e(  soi!  prct- 
longée  la  ligne  droite  lA  tant  qu'elle  rencontre  la  circonférence  en  H. 
Parlant,  selon  vous,  il  faudra  en  G  nn  plus  grand  poids  (in'en  H  e(,  si 
l'on  picnd  l'arc  IC  plus  grand  (|iie  IR.  i'aisant  le  bras  du  levier  IC.  cl 
même  poids  en  G  qui  étoit  en  R,  il  l'andra  en  G  un  plus  grand  poids 
qu'auparavant  [pour  faire  l'équilibre].  De  même,  prenant  l'arc  11) 
encore  plus  grand  que  IC  et  faisant  le  bras  du  levier  ID  et  le  poids  1) 
de  même  que  le  poids  (],  il  faudra  encore  augmenter  le  poids  G.  Ainsi, 
plus  le  bras  du  levier  qui  est  en  la  circonférence  IRB  aboutira  près  du 
point  B,  étant  chargé  du  même  poids,  plus  il  faudra  à  IG  un  grand 
poitls  pour  contrepeser,  et,  selon  le  sens  commun,  raisonnant  à  l'ordi- 
naire, le  bras  du  levier  étant  |  la  ligne  droite]  IB  [chargé  comme  des- 
sus |,  il  faudroit  en  G  le  plus  grand  [>uids.  Et  toutefois,  alors  le  poids 
(|ui  seroit  en  B,  pesant  vers  A,  fcniil  tout  son  effort  sur  la  roideurdii 
bras  BI;  et  le  moindre  poids  qui  seroit  en  G  feroit  balancer  le  bras  ll{ 
vers  D;  et  pour  peu  que  le  poids  qui  sera  sur  le  bras  IG  fait  balancei'  \i' 

l'KIlMAT,   —    II.  7 


50  ŒUVRES  1) E  F E II U AT.  -  C 0 H R E S P 0 N 1) A N C E. 

bras  IIJ  avof  son  poids  vcM's  D  (^co  qui  semble  ne  se  pouvoir  nier),  alors, 
encore  que  tani  G  que  B  sortent  de  la  circonférence,  on  conclura  une 
absurdité  manifeste  contre  votre  position. 

19.  Kiiliii.  ^lonsieur,  pour  ce  que  rexpérience  de  tout  ce  que  dessus 
ne  se  pcul  l'aii'c  des  poids  naturels,  si  vous  voulez  prendre  la  peine  de 
la  l'aire  avec  des  artificiels,  supposant  |  pour  levier]  un  petit  cercle  arti- 
ficiel, au  lieu  du  grand  cercle  naturel,  et  des  puissances  qui  agissent 
|ou  as|)iren(  |  vers  le  centre  du  petit  cercle,  au  lieu  des  poids  qui  agi- 
roieut  vers  le  centre  du  grand,  vous  trouverez  que  l'expérience  est  du 
tout  contraire  ii  votre  raisonnement. 

Si  nous  eussions  eu  du  temps  davantage,  nous  vous  aurions  envoyé 
ce  que  nous  avons  établi  sur  ce  sujet  et  les  démonstrations,  mais  ce 
sera  au  premier  ordinaire. 

20.  Si  vous  avez  agréables  les  communications  sur  le  sujet  de  la  Géo- 
métrie, en  laquelle  nous  savons  que  vous  excellez  entre  tous  ceux  du 
temps,  nous  vous  ferons  voir  de  notre  part  des  choses  que  peut-être 
vous  ne  mépriserez  pas.  Or  ce  que  nous  vous  proposerons  ne  sera  point 
par  forme  de  questions,  mais  nous  vous  envoierons  les  démonstrations 
en  même  temps  pour  en  avoir  votre  jugement. 

[Vous  nous  obligerez  aussi  de  nous  faire  de  vos  pensées.  Nous 
sommes,  etc.! 


IX. 

fer:\iat  a  Etienne  pascal  et  roberval. 

SAMEDI  23  AOUT   1636  C). 
(  l'a,  p.  i3o-i32.) 

Mkssikui'.s, 

1-   J'ai  lu  avec  grand  soin  le  jugenuMit  (|u'il  vous  a  plu  me  donner 
des  proposilioris  que  j'avois  envoyées  à  M.  de  Garcavi  et,  comme  j"ai 

C)  Première  r(!|ili(|iio  à  lu  LcUri'  VIII;  voir  prirliciilirrciiiciil.  10  cl  11. 


IX.   —  23  AOUT  1636.  51 

reconnu  la  fermeté  de  votre  raisonnement  jointe  avec  une  grande  et 
profonde  connoissance  de  cette  matière,  j'ai  aussi  cru  que  vous  ne 
trouveriez  pas  mauvaise  ma  réplique  que  je  ferai  en  peu  de  mots,  et 
que  peut-être  je  tirerai  à  ce  coup  de  vous  le  consentement  que  vous 
n'avez  pas  voulu  m'accorder  d'abord.  Et  je  ne  pense  pas  avoir  besoin 
de  m'excuser  des  erreurs  qu'il  vous  a  semblé  que  j'avois  commises,  à 
quoi,  quand  je  ne  répondrois  que  par  la  hâte  que  j'eus  d'écrire  à 
M.  de  Roberval  {' ),  lequel  j'avois  prié  de  suppléer  ce  qui  ne  seroit  pas 
expliqué  assez  au  long,  j'aurois  peut-être  suffisamment  satisfait. 

2.  Mais  pourtant  je  vous  déclare  que  je  n'ai  jamais  cru  parler  que  du 
levier  moindre  que  le  demi-cercle  et,  si  j'ai  omis  de  l'écrire,  ma  figure, 
qui  n'en  représentoit  que  celui-là,  réparoit  assez  ce  manquement, 
puisque  je  n'avois  pas  seulement  eu  le  temps  d'écrire  la  démonstration 
de  ma  proposition  sur  ma  dite  figure.  Que  si  le  levier  est  plus  grand 
que  le  demi-cercle,  j'ajouterai  à  la  fin  de  ce  discours  la  proportion 
qu'il  doit  garder;  il  me  semble  que  j'en  ai  assez  dit  pour  répondre  à  la 
plus  forte  des  objections  que  vous  faites  contre  mon  second  levier. 

3.  L'autre  qui  combat  mon  second  principe  a  été  prévue  par  moi,  et 
je  vous  avouerai  que,  quoique  ce  second  principe  soit  manifestement 
faux  et  qu'il  choque  mon  sentiment  sur  le  fait  du  premier  levier,  je 
l'avois  pourtant  industrieusement  et  à  dessein  mis  dans  ma  Lettre,  afin 
de  vous  faire  accorder  qu'un  grave  pèse  moins,  plus  il  approche  du 
centre  de  la  Terre,  ou,  en  me  niant  cette  vérité,  vous  obliger  d'accorder 
celle  de  mon  second  levier.  M.  de  Carcavi,  à  qui  je  l'avois  écrit  quelque 
temps  auparavant  que  de  recevoir  vos  Lettres,  vous  le  témoignera  sans 
doute,  et  j'en  ai  tiré  du  moins  le  profit  que  vous  m'avez  accordé  qu'un 
grave  pèse  moins,  plus  il  approche  du  centre,  quoiqu'il  soit  malaisé  do 
déterminer  la  proportion  de  la  différence  de  ces  poids. 

4.  Je  me  contente  d'avoir  dit  ce  peu  de  mots  par  avance  et  viens  à  la 
démonstration  de  mon  second  levier,   après  vous  avoir  assuré  que 

(')  Fuir  Lettre  VH. 


52  ŒUVRES   i)K  FEIUIAT.  -  CORRESPONDANCE. 

jamais  lunnmr  du  iiiondo  ne  se  poricra  avcr  plus  do  l)()iiiit'  foi  cl  d'iii- 
goiuiilc  (|U('  moi  ii  avouer  les  vci'ilcs  (|U('  j'aurai  rccouuiu's,  cl  (|uc  je 
crois  lua  proposition  tcllcuiciil  vraie  (|iie,  l'ayaiil  souvent  considérée 
de  ilivers  biais  et  à  diverses  reprises,  je  n'ai  jamais  pu  en  douler. 
Voici  les  vrais  |)rincipcs  de  ma  démonsh'alion  : 

AxioMA  I .  —  ^'/  i>rcn'e  quiesccns  ah  aliijuo  piinclo  suspendatur.  gravi- 
tahil  super  li/icam  rcctam  puncliim  suspcnsionis  el  centrum  terrœ  conjun- 
gcntem.  —  Patel  (ixiotnalis  rcrilas  (pua  aliter  grai'e  non  (juiescerel. 

AxioMA  II.  —  In  recte  circulari.  etijus  dimiflium  piuicturn  suspensionts. 
si  ex  alraqiie  parte  in  piinctis  œqualiiiin  scetionum  gravia  œqiialia  collo- 
centar,  corpus  e.x  omnibus  illis  gravihus  compositum  et  a  medio  illo  puncto 
siispensum  quiescet . 

AxioMA  111.  —  ///  rcrie  cirritlciri  seniicirculo  ininori.  cujus  ceniruni  est 
eentruni  terra'  {hoc  cnitn  in  /lostro  recte  semper  intelligendum).  si  punc- 
luiii  suspcnsionis  i/ia'qualiter  vectcm  dividat  et  ex  ut  raque  parte  in  punclis 
a'qualiu/n  scetionum  gravia  œqualia  collocentur,  non  inanebit  corpus  ex 
omnibus  illis  gravihus  compositum,  sed  inclinabitur  rectis  ex  parle  dicijojis 
portionis.  —  Hoc  palet  etiam  ex  veslris  positio/iibus  :  quum  enun  lotus 
rectis  sit  semicirculo  /ninor.  si/ius  rninoris  portionis  erif  mmor  si/tu  rnajons 
portionis.  ideoipie  non  /leg/ihitis  i/iclinationem  fieri  ex  parte  maptris  por- 
tio/iis. 

[fis  suppositis.  exponatur  figura  conti/iens  recte/n  DEG  (  tig.  3o  )  et  per- 


fic.iantur  reliqua  juxla  pnvparalionem  Archimcdeam.  Grave  m  D,  dispo- 
silum  per  partes  œquales  in  porliones  BG,  GD,  DE,  EF,  grai'itat  super 
rcctam  DN  :  nam,  suspensum  a  puncto  D,  per  secundum  axioma  quwscit  : 
f'rgo.  per primum.  gravitât  super  1)N.  Igitur.  sive  totum  sit  in  D,  sivc  dis- 


1\. 


23  AOUT    1636. 


33 


positum  per  partes  œquales  in  portiones  BC,  CD,  DE,  EF,  semper  super 
camclem  reclam  DN  gravitât.  Sirniliter  grave  in  G,  sive  toliim  sit  in  G,  sive 
per  parles  œquales  FG,  GH  disponatur.  semper  super  eamdem  rectam  GN 
gravilabil.  Quum  autem  gravia  per  partes  œquales  BC,  CD,  DE,  EF,  FG, 
GH  disposita  sint  œqualia,  gravit ahit  aggregatuni  lotius  gravis  super  rec- 
tam EN  :  ergo  palet  conclusio  aut,  per  deduclinnem  ad  cdisurdiim,  indc 
facillime  derivatur  ope  terlii  axiomalis. 

Eadem  certe  eral  Archimedis  (  '  )  ratiocinatio  :  nam  reclœ  BD  (  iig.  S  i  ) 
centrum  gravitatis,  verbi  gratia,  in  (]  constituil,  ut  probel  gravia  œqualia 

Fig.  3i. 
B  c  r>      E     F 


m  punctis  B,  D  super  rectam  CN  gravitare,  quod  ilte  supponit.  quu/n  in 
lihra  tantum  DEF  hoc  verum  sit,  quœ  ad  rectam  EN  est  peTpendicularis. 
in  reliquis  falsum,  quia  ad  angulos  inœquales  a  redis  à  cenlro  terrœ 
sceau tur.  In  nostro  autem  vecte  hœc  difficultas  non  occurrit.  quum  semper 
ri  in  quocumque puncto  reclœ  a  centra  terrœ  eum  normaliter  secenl. 

Sil  libra  DCB  (fig.  32  ),  centrum  terrœ  A,  centrum  librœ  C;  complealur 
circulus  centra  (\,  inlervallo  CB  descriptus  cl  DEA,  BA,  CFA  jungantur. 
Jungalur  et  CE;  ponantur  in  punctis  B  c/  D  pondéra  œqualia  cl  sil  ait- 
gulus  ACD  major  angulo  ACB  :  .4/V;  libram  a  puncto  C  suspensam  ad 
parles  B  inclinari,  idquc per  supposita  ab  Arc/iimedc. 

Pondus  a  puncto  D  al  punctum  lî  transferalur;  ex  Arc/timedc.  idem  est 
ac  si  pondus  esset  in  puncto  D,  quia  ponitur  in  recta  punctum  \)  cl  centrum 
terrœ  conjungentc  :  si  igitur  intelligalur  recta  CE  pondus  in  E  retinerc. 
manebunt,  ex  Archimede,  brachia  CE  et  CB,  quum  ponantur  maiwrc  CB 
cl  CD.  Igitur  anguli  ECF,  FCB  crunl  œquales  :  Iriangulum  enim  œqm- 


('  »  Cp.  ArciiimÊde.  Dr  planorwn  ivquil'diriit:,  I.  6. 


o* 


ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


rriur,  i/i  ctijtis  cxl remis  œqtialia  pondéra  collocanlitr.  nio\rltir  semper 
(fonce  perpendicularis  liorizonti.  Iioc  est  recta  rertieem  et  cenlritrn  terra' 
conjungens.  angulum  ad  rertieem  hisecet,  quod  caperientia  testaliir.  An- 
gidiis  aiitem  \\Π duplus  est  anguli  ad  I)  :  ergo  angiilus  FCB  angulo  I) 


Fijr.  33. 


est  (cr/iiafis.  Parallelœ  igiltir  eri/nt  (]X  et  DA,  quod  est  absurdam  :  non 
ergo  quiescit  lihra.  sed  ad  partes  B  inclinât nr.  quia  angulus  B(]F  major 
est  angulo  ECF,  ///  patet. 

Voilà,  en  [)cii  de  mois,  ma  l'épliquo  pour  le  second  Icvicf,  hKiiicllc 
i't'iisse  plus  ctcndiie  si  le  temps  me  le  permettoit. 


5.   Que  si  le  levier  est  plus  grand  que  le  demi-cercle  comme  (^AB 
[Jig-  33)  duquel  le  point  do  suspension  est  A,  les  extrémités  (".,  B, 


alors  le  levier  ne  soutiendra  plus,  mais  sera  pressé  en  haut  par  ces 
deux  poids,  de  sorte  (ju'il  faut  prendre  la  proportion  réciproque  des 


IX. 


23  AOUT  1636. 


55 


deux  angles  CND,  DNB,  après  avoir  prolongé  la  ligne  AN.  La  démon- 
stration en  est  aussi  aisée  que  celle  du  premier  cas. 

6.  Pour  le  premier  levier,  soit  le  centre  de  la  terre  B  (fig.  34),  les 
poids  égaux  A  et  C,  et  la  ligne  BC  plus  grande  que  BA.  Si  vous  m'ac- 
cordez que  ce  poids  en  C  pèse  plus  qu'en  A  (quoique  vous  estimiez 


Fig.  34. 


o 


-e 


qu'il  soit  malaisé  d'en  déterminer  la  proportion),  mes  alFaires  sont 
faites  :  car  il  descendra  donc,  et  la  même  raison  ayant  toujours  lieu 
jusques  à  ce  que  la  ligne  (M  soit  égale  à  BA,  il  ne  s'arrêtera  pas 
plus  t(M. 

Et  que  cela  se  fasse  par  attraction  ou  autrement,  la  chose  est  indifïé- 
rente.  Toutefois  je  vous  puis  assurer  que  je  puis  prouver  cette  même 
proposition  par  des  expériences  que  vous  ne  sauriez  contester  et  que 
je  vous  onvoierai  au  long,  dès  que  la  commodité  me  le  permettra. 

7-  Cependant  voici  une  de  mes  propositions  géométriques,  puis([u"il 
semble  que  vous  ayez  désiré  d'en  voir  : 

Su  parabole  AB  (tig.  35),  cuj'iis  verlex  A,  et  circa  reclam  DA  stabilem 
fleura  DAB  circurnverlatur,  describeliir  ronoides  parabolicum  Archiine- 

Fig.  35. 


de  uni,  citjm  proporlio  ad  cotium  ejasdem  basis  el  verticis  eril  sesq  niait  era. 
Quod  si  circa  stabilem  Défigura  DAB  circumvertatur,  fiet  novum  conoides 
cuj us  proport  io  ad  conurn  ejnsdem  basis  et  verticis  quœrebatur. 

Eam  nos  esse  ut  8  ad  ,)  demonslravimus,  nec  res  vacabat  difficultate. 
Imo  et  centrum  gravitatis  cjusdem  conoidis  invenimus. 


.jti  (KUVHES   DE  FERMAT.^  (.OIUÎESPONDANCE. 

8.  J'ai  Iroiivc  l)tM»cou|)  d'aiilrcs  propositions  gt''oiii(''lr'i(|iirs,  coiiiiiic 
la  ri>slitulioii  de  toiiti's  les  pro|)osilioiis  de  loris  plaiiis  (  '  )  cl  aulros; 
mais  ce  (Hii'  j'osliinc  plus  (iiic  (oui  le  rcsic  csl  iiiic  mélliodi"  pour 
il(''l(M'inint'r  loiilcs  sortes  de  problèinos  plans  ou  solidos,  |)ar  le  movcn 
i\i'  la(|ii(dl('  ji'  Iroiivc  riiivcnlioii  (^-  )  Diaximœ  et  mi/nnuv  in  oin/iibits 
iimnino  proi^/c/nd/ibiis,  et  ce,  par  une  é(|uation  aussi  simple  et  aisée 
{|ne  eelles  de]  l'Analyse  ordinaire. 

9.  Il  v  a  inlinies  (|uesti()ns  (|ue  je  n'aurois  jamais  pu  résoiulre  sans 
cela,  eoninie  les  deux  suivantes,  que  vous  |)ouvez  essayer  si  vous 
voulez  ('■^)  : 

Ihtia'  spluvra'  inscriberc  co/zi/ni  onininiti  iiiscrihcndoniin  ambitu  rna.ii- 
iniiin. 

hnlœ  s/)/i(Cia'  inscriberc  cvlindriini  onu/ium  inscribcndorum  nmbiin 
maximum. 

J'entends  par  ambitiirn,  non  senlemcnt  superficies  conicas  et  cylin- 
(Iriccis.  mais  le  eireuit  entier  composé,  au  cône,  du  eerele  de  la  base  et 
de  la  supertieie  eouique,  et  au  eylindre.  des  deux  eereles  des  bases 
et  de  la  supertieie  cylindrique. 

Il  semble  que  ces  deux  questions  sont  nécessaires  pour  une  plus 
grande  connoissauce  des  fiifures  isopérimî'tres  (  M- 

10.  Cette  métliode  ne  sert  pas  seulenuMil  à  ces  questions,  mais  à 
beaucoup  d'autres  et  pour  les  nombres  et  pour  les  quantités. 

\ dus  m'obligerez  inlinimeut  de  mv  l'aire  part  des  productions  de 
voti'e  esprit  et  de  me  croire  etc. 

.   I  '  j  Foir  LeUrcs  I,  10  cl  VI.  10. 
(2)  roi>TomeI,  p.  i33. 
(')  Foir  LcUres  I,  12,  et  VI.  9. 
(*)  Sujet  dont  .s'occupait  lioljcrvat.  Foir  Lettre  .\t\'.  11. 


X.  —  2  SEPTEMBRE  1636.  57 

X. 

FEMIAT  A  MERSENNE. 

MARDI   a   SEPTEMBRE    l636. 
(  T'a,  p.   123-12^.) 

Mo>  Révkrend  Pkhe, 

1-  L;i  IcKre  dont  vous  me  parlez  dans  votre  dernière  s'est  sans  doute 
égarée,  car  celle  que  je  viens  de  recevoir  est  la  seule  qui  m'est  venue 
depuis  cin([  ou  six  semaiiu'S  de  votre  pari. 

2.  Sur  le  sujet  de  laquelle  (^')  je  vous  dirai  (jue,  (|uand  nous  parlons 
d'un  nombre  composé  de  trois  quarrés  seulement,  nous  entendons  un 
nombre  qui  n'est  ni  ((uarré,  ni  composé  de  deux  cjuarrés;  et  c'est  ainsi 
(|U('  Diopliante  et  tous  ses  interprètes  l'enlendenl,  lorscju'ils  disent 
(|u"un  nombre,  composé  de  trois  quarrés  seulement  en  nombres  en- 
tiers, ne  peut  jamais  être  divisé  en  deux  quarrés,  non  pas  même  en 
fractions.  Autrement  et  au  sens  que  vous  semblez  donner  à  votre  pro- 
position, il  n'y  auroit  que  le  seul  nombre  de  3  (|ui  (Vil  composé  de  trois 
(juarrés  seulement  en  nombres  entiers;  car  : 

Premièrement,  tout  nombre  est  composé  d'autant  de  (juarrés  enti((rs 
(|u'il  a  d'unités; 

Secondement,  vos  nombres  de  1 1  et  i4  se  IrouvenI  composés  cliacun 
lie  cinq  quarrés;  le  premier  de  l\,  4,  i,  i,  i  ;  le  second  de  4,  'i,  \,  i,  i. 

Que  si  vous  entendez  que  le  nombre  ((ue  vous  demandez  soit  com- 
posé de  (rois  quarrés  seulement  et  non  pas  de  qua(re,  en  ce  cas  la 
question  (ient  plus  du  hasard  que  d'une  conduite  assurée  et,  si  vous 
m'en  envoyez  la  consd'uction,  peu(-é(re  vous  le  ferai-je  avouer. 

(M  l'oir  Lettre  VI,  7.  —  D';ipi-cs  Descartes  (Lettres,  éd.  C(erselier,  III,  CiO),  l'aiileiir 
(le  la  question,  Sainte-Croix,  demandait  que  les  deux  nombres  à  trouver  et  leur  somme 
fussent  composés  de  trois  carrés  à  l'exclusion  de  (|aatro.  Il  n'y  aurait  dès  lors,  suivant 
IJescartes,  que  trois  solutions  :  i,  3,  G:  3,  ii,  i4;  3,  m,  ■j.\. 

Kersiat.  —  U.  8 


o8  ŒuvuKs  m-:  rKUMvr.  -  (,oiu\esponi)ANCE. 

[)o  sorte  (jiii'  j'avois  satisfait  à  volro  proitosiTHui  au  sens  de  Diopliaiilo, 
qui  semble  être  le  seul  admissihle  en  cède  sorte  de  queslions. 

Or,  (|u"nn  nombre,  composé  de  trois  (juarrés  seulement  en  nombres 
entiers,  ne  puisse  jamais  être  divisé  (mi  deux  (|uarrés,  non  pas  même 
en  fractions,  personne  ne  l'a  jamais  encore  démontré  et  c'est  à  <]uoi  je 
travaille  et  crois  que  j'en  viendrai  à  bout.  Cotte  conuoissance  est  de 
grandissime  usage  et  il  semble  (|ue  nous  n'avons  pas  assez  de  prin- 
cipes pour  en  venir  ii  bout;  M.  de  Bcaugrand  est  en  cela  de  mon  avis. 
Si  je  puis  étendre  en  ce  point  les  bornes  de  l'Arithmétique,  vous  ne 
sauriez  croire  les  propositions  merveilleuses  que  nous  en  tirerons. 

3.  Pour  la  Proposition  géoslatiquc,  elle  est  toute  fondée  sur  ce  prin- 
cipe seul,  que  deux  graves  égaux,  joints  par  une  ligne  ferme  et  laissés 
en  liberté,  se  joindront  au  centre  de  la  terre  par  le  point  qui  divise 
également  la  ligne  qui  les  unit,  c'est-à-dire  que  ce  point  de  division 
s'unira  au  centre  de  la  terre.  Messieurs  Pascal  et  de  Roberval  ('), 
après  avoir  reconnu  que  tout  mon  raisonnement  est  fondé  là-dessus 
et,  qu'accordant  ce  principe,  ma  proposition  est  sans  difficulté,  m'ont 
nié  ce  principe,  que  je  prenois  pour  un  axiome,  le  plus  clair  et  le 
|)lus  évident  (ju'on  i)eut  demander;  obligez-moi  de  me  dire  si  vous 
êtes  de  leur  sentiment,  .le  l'ai  pourtant  démontré  depuis  peu  par  de 
nouveaux  principes,  tirés  dos  expériences,  qu'on  ne  me  sauroit  con- 
tester, et  je  le  leur  envolerai  au  plus  tôt. 

Je  suis  etc. 

(')  yoir  Lettre  Mil,  1  el  suiv. 


XI.   --  SKPTKMBHE  1G3G.  59 

XI. 

PERIMAT  A  ROBERYAL  ('). 

MAlîDI     l6    SEPTEMBRE    lG.36. 
{fn.  p.   i3.')-i3G.  ) 

Monsieur, 

1.  Je  me  trouvai  ces  jours  passés  à  la  campagne  lorsque  je  répondis 
à  voire  écrit,  que  j'avois  pourtant  laissé  en  cette  ville.  Depuis  mon 
retour,  je  l'ai  considéré  plus  exactement  et  vous  envoie  la  réponse 
plus  précise  à  tous  ses  points  concernant  le  premier  levier.  Si  vous  ne 
goûtez  pas  mes  raisons  sur  le  second,  vous  m'obligerez  beaucoup  de 
m'envoyer  la  démonstration  de  votre  proposition  suivant  l'opinion  où 
vous  êtes,  que  les  graves  gardent  la  proportion -réciproque  des  per- 
pendiculaires tirées  du  centre  du  levier  sur  les  pendants,  et  de  laquelle 
je  douterai  toujours  jusques  à  ce  que  je  l'aurai  vue.  Je  vous  puis  pour- 
tant assurer  que  je  ne  saurois  démordre  encore  de  la  mienne  et  (|iril 
me  semble  que  vous  ne  sauriez  démontrer  la  votre,  au  moins  par  les 
principes  que  nous  connoissons. 

2.  Le  principe  que  je  vous  ai  demandé  pour  l'établissement  de  nu's 
propositions  géostatiques  est  que,  si  deux  poids  égaux  sont  joints  par 
une  ligne  droite  ferme  et  de  soi  sans  poids  et,  qu'étant  ainsi  disposés, 
ils  puissent  descendre  librement,  ils  ne  reposeront  jamais  jusques  ii 
ce  que  le  milieu  de  la  liLjne  s'unisse  au  centre  commun  des  choses 
pesantes.  Ce  principe,  qui  vous  a  semblé  plausible  d'abord,  a  enfin 
choqué  votre  opinion  sur  ce  principalement  que  nous  ignorons  la 
cause  radicale  qui  fait  que  les  corps  graves  descendent,  sur  quoi  vous 
dites  qu'il  y  a  trois  opinions  différentes  et  que,  de  toutes  les  trois,  les 
conséquences  semblent  diflerentes. 

('  )  Suite  à  la  LeUre  IX  et  seconde  réponse  à  la  Lettre  VIII.  Dans  les  l'aria,  l'article  7 
suit  immédiatement  le  n"  I.  —  La  réplique  de  Robcrval  est  perdue. 


(iO  iKl  \I{KS  DE   l'KllMAT.  -  COHllESPONDANCE. 

3.  Ji'  ne  rt'pi'lc  point  vos  mois  ni  vos  raisons;  je  me  conlcnlc  d'y 
ic|ion(ii'('  cl /'/•////()  en  la  |)r('iniJ'r('  opinion. 

Kn  voire  iigiirc  {J'f^-  ii>).  vous  dilcs  (|u'il  vous  scinhic  que,  si  le 
point   n  on   I"]  convient   avec  le  ccnti'c  coinnnin  «les  elioses  |)esant(>s. 


Kiff.  iS. 


& 


-e 


eonil)ien  (|ue  l'un  des  poids  en  soit  plus  proche  (|ue  l'autre,  ils  conlre- 
pi'seront  encore  et  demeureront  en  équilibre.  Puis(|ue,  dites-vous 
(pour  me  servi i'  de  vos  propi'cs  termes),  ces  deux  poids  sont  éi^aux 
et  ont  tous  deux  même  inclination  de  s'unir  au  centre  commun  des 
choses  pesantes,  l'un  n'a  aucun  avantage  sur  l'autre  pour  le  dé|dacer 
de  son  lien . 

Or,  si  ce  raisonnement  est  bon,  voyez-le  dans  la  figure  suivante 
(/?!,'".  'Mi),  dans  laquelle  j'emploierai  les  mêmes  mots. 

Fig.  36. 
c 


Soit  l(>  centr(>  de  la  terre  0,  un  point  dans  sa  surface  ou  ailleurs  (]; 
soit  jointe  la  ligne  (^l),  et  soit  au  point  ('  attaché  le  levier  B(]A, 
duquel  les  bras  BC,  (-A  soient  égaux  el  les  poids  B  et  A  aussi  égaux, 
l'angle  B(]A  ferme.  S'il  n'y  avoit  point  le  |)oids  en  B,  la  ligne  (lA 
s'uniroit  ii  la  ligne  CD,  c'est-à-dire  (|ne  le  poids  A  s'approi-heroit  du 
centre  D  autant  qu'il  pourroil;  et  tout  de  même  de  la  ligne  B(<. 

Soit  fait  l'angle  BCD  moindre  qne  D(LV;  par  le  précédent  raisonne- 
ment, le  levier  s'arrêtera  (ce  qui  est  contre  l'expérience),  puiscjue  les 
deux  poids  A  et  B  sont  égaux  et  ont  tous  deux  même  inclination  de 
s'unir  au  centre  D  sivc  l\  la  ligne  (^1),  et  l'un  n'a  aucun  avantage  sur 


XL-  16  SEPTEMBRE  1636.  61 

l'autre  pour  le  déplacer  de  sou  lieu.  Or,  de  même  qu'en  ce  cas  l'ex- 
périeuce  nous  fait  voir  que  ces  deux  poids  approcheront  également 
du  centre  D  et  de  la  ligne  CD,  il  ne  faut  pas  douter  qu'au  premier  cas 
ils  n'approchent  également  du  centre  de  la  terre,  et  la  raison  de  toutes 
ces  deux  propositions  est,  qu'ayant  même  inclination  au  centre  (>t  ne 
pouvant  tous  deux  y  descendre,  à  cause  qu'ils  s'entr'empêchent,  ils  y 
approchent  du  moins  également  :  autrement  la  force  de  celui  qui  y 
approcheroit  davantage  seroit  plus  grande. 

4.    L'exemple  du  levier  horizontal  (fig-  37)  ne  fait  rien  à  la  (jues- 
tion  :  car,  pour  marquer  que  les  poids  B  et  A  n'ont  pas  leur  inclina- 


FiK.  3;. 
C 


(ion  au  point  (!,  il  ne  faut  qu'oler  la  ligne  (^D,  sur  laquelle  le  levier 
s'appuie,  et  le  levier  ne  restera  pas  de  demeurer,  s'il  est  pressé  par  les 
poids  A  et  B  horizontalement,  de  sorte  que  le  point  C  n'est  non  plus 
considérable  que  tel  autre  de  la  ligne  BA  que  vous  j)rendrez.  Et,  cela 
étant,  l'exemple  est  inutile,  parce  que  la  principale  raison  de  mon 
principe  déjtend  de  l'inclination  des  graves  au  centre  de  la  terr(\ 

5.  Ce  que  vous  ajoutez,  do  deux  poids  qui  seroient  inégaux,  joinis 
comme  dessus  à  une  ligne  droite  fernu>  et  de  soi  sans  poids,  n'esl  non 
plus  recevahie  :  car,  vous  accordant  que,  lorsque  vous  menez  un  plan 
perpendiculaire  à  la  ligne  qui  joint  les  deux  poids,  comme  vous  faites 
en  votre  figure  ('),  il  est  certain  qu'en  ce  cas  il  y  a  de  chaque  côté  du 
centre  une  grandeur  égale;  il  arrive  pourtant  cent  cas  auxquels,  si 
vous  coupez  les  deux  poids  par  un  autre  plan  passant  par  le  centre,  les 


(1)  T'nir  fîg.  0.0,  Lettre  VIII,  6. 


«2  GU'VUES  DE  FEIIMAT.  -  COR  lUiSI'ONDANCK. 

grandours  qui  soront  do  chaque  colé  soroiit  inégales,  e(  ainsi  nn  même 
corps  en  même  (emps  arrèlera  e(  n'airèlei'a  jtas. 

Kl  n'imjxirle  de  dire  que  ce  plan  doil  èlrc  toujours  perpendiculaire 
il  la  ligne  qui  joinl  les  deux  graves,  ("-ar  vous  savez  qu'anlonr  du  cenire 
lous  endraits  sont  indillV-rens  et  o:nnia  intelliguntur  stirstiin.  ouinia 
ileorsum. 

Il  i'aut  donc  nécessairement  prendre  le  repos  des  poids,  non  pas  de 
cette  faijon,  mais  de  la  proportion  réciproque  suivant  mon  sentiment. 

Voilà,  en  peu  de  mots,  la  réponse  ii  votre  première  opinion,  (]ue 
j'eusse  pu  étendre  davantage  et  tirer  mémo  la  démonstration  de  mon 
principe  de  l'expérience  (|ue  je  vous  ai  donnée,  comme  il  vous  sera 
aisé  de  voir. 

6-  Si  la  seconde  opinion  est  vraie,  mon  principe  est  infaillible.  Car 
en  ce  cas  vous  dites  que  l(>  cor|)s  pi'sera  d'autant  moins  qu'il  sera 
proche  du  centre,  mais  cette  diminution  ne  sera  pas  on  la  raison  des 
éloignemens.  Or,  puisqu'un  corps  pèse  moins  on  ce  cas  à  mesure 
qu'il  est  plus  proche  du  centre,  donc  il  sera  toujours  pressé  par  le 
plus  éloigné,  jusques  ii  ce  qu'ils  soient  également  éloignés  du  centre. 

Kn  la  troisième  opinion  les  mêmes  raisons  sont  bonnes. 

Je  serai  bien  aise  que  M.  Pascal  voie  ma  Lettre,  si  vous  l'agréez. 


7.  Permettez-moi  de  changer  <le  matière  et  de  vous  demander  la 
démonstration  de  cette  proposition  (|ue  j'avoue  franchement  que  je 
n'ai  encore  su  trouver,  quoique  je  sois  assuré  qu'elle  est  vraie  (')  : 

Summa  quadralorum  a  duabus  redis  rationalibus  longiluditie  commen- 
ta) L'A  proposition  que  Fermai  énonce  dans  le  langage  enclidien  peut  s'exprimer  comme 
suil  : 
Si  «  cl  i  sont  rationnels  et  que  l'on  ait 

.r  cl  x^  seront  irrationnels. 

L'apotome  est  proprement  la  différence  de  deux  grandeurs  incommensurables  entre  elles, 
mais  dont  les  carrés  sont  rationnels  (Euclide,  X.  yS);  .r  =  /(  «  -t-  6  )-  -i-  «-'  +  /;'  _  („  _|_  i) 
sera  dès  lors  une  apotome,  si  le  radical  est  incommensurable  avec  a  +  b.  —  J'oir  plus 
loin  I-eUre  XIII.  8. 


XII.  -  SEPTEMBRE    1030.  63 

surabilibiis,  si  ad  duplurn  summœ  laterwn  applieelur  excedens  figura  ijua- 
dralâ.  lalitiulo  excessâs  erit  apolome.  \ 

Vous  no  sauriez  croire  combien  la  science  du  dixième  Livre  à'\Ln- 
clide  est  défectueuse  :  je  veux  dire  que  cette  connoissance  n'a  pas 
encore  fait  de  grands  progrès  et  qu'elle  est  pourtant  de  grandissime 
usage.  J'y  ai  découvert  beaucoup  de  nouvelles  lumières,  mais  encore 
la  moindre  chose  m'arrête,  comme  le  théorème  que  je  viens  de  vous 
écrire,  qui  semble  d'abord  plus  aisé  ii  démontrer  qu'il  n'est  pas. 

J'attends  de  vos  nouvelles  et  suis  etc. 


XII. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

<   SEPTEMBRE   OU   octobue    16S6.    > 

(  A  f-  G-9,  V,  r-  i2"'-'4'°.) 

Revekode  Patf.p,, 

1.  Quamvis  id  agam  ut  pro  OEdipo  Davum  (^')  resliluam.  cl  li- 
bentissime  profitear  quiPstionem  Domini  de  Sainte-Croix  ad  nicam 
notitiam  (-)  non  pervenisse,  liceat  lamen  numéros  ab  ipso  exliibi- 

('  )  .Vlkision  iiu  vers  igî  do  Y  Indria  de  Tércnoe  : 

Non  licrclc  inl^îlleïo.  —  Non/  lioiii.  —  Davos  sum,  non  OEiJipus. 

(2)  Il  osl  malaisé  de  détcniiiner  si  la  qnoslioM  duiil  il  s'agit  ici  est  bien  celle  donl  il  est 
parle  Lettres  VI,  7,  et  X,  2,  ainsi  que  plus  loin.  XII,  5,  ou  une  antre  dos  cinq  questions 
iiuméri(iues  proposées  [lar  S'"  tlroix  à  Descartes  en  avril  iGiS,  à  savoir  : 

I.  Trouver  un  trigone  qui.  pliiv  un  trigo/ic  tctmgone,  fasse  un  tétragone,  et  de  rechej, 
et  que  de  la  somme  des  côtes  des  tétrogones  re'sulte  le  premier  des  trigones  et  de  In  jnulii- 
pUcation  d'elle  par  son  milieu  le  second.  J'ai  donne'  i5  et  120.  J'attends  que  quelqu'un  y 
satisfasse  par  d'autres  nombres  ou  qu'il  montre  que  la  chose  est  impossible. 

II.  Trouver  un  trireciangle  dont  chacun  des  côtes  soit  l'aire  d'un  trirectangle.  J'ai 
donné  'tAO,  yio,  y5o.  J'attends  etc. 

III.  Trouver  un  bartong  nu  tc'tragone  plus  sa  pleure  et  tel  que  l'aggrégai  du  dit  te'lrn- 


tiV  ŒUVHES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

tos  (^  ' )  soliilione  prohloiualis  ahs  te  proposili  componsaïc,  cl  qiia'stio- 
iios  aliqiiol  àu.oi[3ata;  siihjicoro,  quaruiu  enodationem  ad  nos  sorius 

goiic  cl  de  son  dotthlr  Icirngone  faise  un  Ictriigonc  (lanl  in  pleure  soit  le  barlong  ou  té- 
tragonc  plu.t  sa  pleure.  J'ai  donne  d.  J'attends  etc. 

IV.  {T'oir  ci-avaiil.  LcUre  VI,  7,  noie.) 

V.  On  demande  aussi  un  nombre  dont  les  parties  aliquotes  fassent  le  double  et,  pour  ee 
qu'on  en  a  déjà  trois  qui  sont  120,  672  et  52377G,  il  est  question  de  trouver  le  qua- 
trième. 

Le.*  rensei^nomcnls  lires  do  la  correspondance  de  Uescarles  sont  conlradicloircs;  dans 
une  lellro  à  .Mersenni'  du  22  juin  i638,  il  dit  (éd.  Clersclier,  11,  88)  : 

n  Je  serai  bien  aise  de  savoir  si  les  réponses  de  M.  Fermât  ont  satisfait  davantage 
"  M.  de  Sainle-Croix  que  les  miennes;  mais  pour  moi,  je  trouve  plaisant  que,  de  quatre 
■•  questions,  n'y  en  ayant  qu'une  qu'il  résout  à  peine  en  donnant  un  nombre  qui  y  satis- 
■<  fait,  il  ne  laisse  pas  de  faire  des  bravades  sur  ce  sujet,  disant  qu'il  ne  se  contente  pas 
»  de  résoudre  ces  questions  à  la  modo  do  M.  de  Sainte-Croix,  etc.,  et  en  propose  une 
:i  autre  toute  semblable  et  nir-me  qui  est  bien  ])lus  aisée.  » 

l,e  jo  juin  16ÎS  (éd.  Clorselier,  III,  (i2),  il  écrit  d'autre  part  à  Mersenno  : 

«  Je  lui  ai  aussi  proposé  (à  Gillot)  la  quatrième  question  de  M.  de  Sainte-Croix  qui  est 
»  de  trouver  deux  nombres  chacun  desquels,  comme  aussi  la  somme  de  leur  agrégat,  ne 
»  soit  que  de  trois  tétragones,  à  cause  que  vous  me  mandez  que  c'est  celle  qui  a  semblé 
u  à  M.  de  Fermât  In  plus  dijficile.  u 

On  doit  remarquer  que  la  (pu;stlon  II  de  Sainte-Croix  à  Descartes  a  d'abord  élé  proposée 
par  Fermât  à  Sainle-Croix  qui  la  résolut  (ci-après.  Lettre  XVIll,  3),  que  des  quatre 
autres,  la  question  V  aVait  été  posée  par  Mersenne  dans  l'Épîtrc  dédicatoire  de  ses  Pré- 
ludes lie  l'Harmonie  universelle  en  i634  (voir  Lettre  III,  2),  avec  l'indication  du  nombre 
120.  Fermai  trouva  le  nombre  672  (Lettres  XII,  4,  et  XIII,  4).  Le  troisième  nombre 
5';>3776,  que  ne  donne  pas  la  méthode  de  Fermât  (IVu  ),  parait  avoir  été  trouvé  par  Sainte- 
r.roix  à  une  date  postérieur!^  à  l'impression  de  la  Seconde  Partie  de  l'Harmonie  unii'er- 
seUe  de  .Mersenne  (i6>7  ). 

La  question  III,  qui  se  traduit  par  l'équation 

jr2-f-2(.r2)2=  (,r2-i-.r)2, 

est  très  aisée  à  résoudre,  et  il  est  improbable  que  ce  soit  celle  devant  laquelle  Fermât  dé- 
clarait n'être  |)as  un  CEdipe.  Il  n'en  est  pas  tout  à  fait  de  même  pour  la  question  I,  dont 
l'énonce,  passablement  obscur,  semble  devoir  s'exprimer  par  les  trois  équations 


(  i--^3)  (y  ->-  -  -H  1 1 
2 

./:(.r 


-H  /î'^  =  . 


■  1      I      r  /;  (  //  H-  I  ) 

avec  les  condilions  (pie  a-,  j,  ;  soient  entiers  et  /)-  un  entier  du  la  luriiie  ; • 

(')  l'eut-étre  comme  solution  de  la  qucsliuii  II,  jiroposéc  par  Fermât  a  Sainle-t^roix. 
Voir  noie  |>réi'édenle. 


XII.    -   SEPTEMBRE    1636.  65 

proventuram  auguramur,  quidquid  polliceatur  acutissimi  vir  ingenii. 

2.  Duni  igitur  diffîcilioribus  numeris  tentationem  honestamus,  ut 
ipse  loquitur,  ita  proponimus  ('  )  : 

i"  Invenire  triangulum  reclan gidum  numéro,  cujus  area  œquetur  qua- 
Irato. 


n 


■2°  Data  summâ  solidi  sub  tribus  laleribus  trianguli  rectanguli  numéro 
et  ipsius  hypotenusœ,  invenire  terminos  intra  quos  area  consislit. 

Nec  moveat  additio  solidi  et  longitudinis;  in  problcmatîs  (Miiiii  mi- 
mericis,  quantitates  omncs  sunt  homogenea-,  ut  omnes  sciunf . 

3°  Invenire  duo  quadratoquadratos  quorum  summa  œquetur  quadralo- 
quadrato,  aut  duos  cubos  quorum  summa  sit  cubus. 

4°  Invenire  très  quadratos  in  proportione  arithmetica,  ea  conditione  ut 
diffère ntia progressionis  sit  numerus  quadratus. 

3.  Quatuor  problematis  duo  theorcmata  (^)  adjunginius,  (jua",  a 
nobis  inventa,  a  Dom°.  de  Sainte-Croix  demonstrationcm  exspectant 
aut,  si  frustra  speraverimus,  a  nobis  ipsis  nanciscentur.  Sunt  autem 
pulcherrima  : 

I"  Omnis  numerus  œqualur  uni.  duobus  aut  tribus  triangulis, 

uni,  2,  3  aut  4 qiiadratis. 

uni,  2,  3,  4  aut  5 penlagonis, 

uni.  2,  3,  4,  5  aut  6 hexagonis. 

uni,  1,  3,  4,  -ï,  6  aut  ~ heptagonis. 

et  eo  continuo  in  infinitum  progressu. 

Videtur  supponere  Diophantus  secundam  partem  theorematis,  caui- 
que  Bachetus  experientiâ  conatus  est  contîrmare,  sed  dennonstratio- 

I  1)  Des  quatre  problèmes  proposés  ici  par  Fermât,  trois  sont  insolubles,  t'oir  au  Tome  I 
les  Observât  ions  sur  Diopliante  :  pour  (i)  et  (4  ),  VOhs.  XLV;  pour  (3),  VOIis.  II. 

I  -  )  Pour  le  premier  de  ces  deux  théorèmes,  voir  Tome  I,  YObservation  XVriI  sur  J)i<i- 
pliante  ;  pour  le  second,  comparer  l'Olis.  XXVII. 

Fermât.  —  \l.  y 


tu;  ŒLIVKES  1>K  FEIUIAT.  -  (,()HHESPON  1) ANCE. 

lUMii  lion  attiilil.  Nos  propositioïKMii  ijcncralissiinaiu  cl  |nil(li(Miiiiiaiii 
priiiii,  nisi  iallor,  dctexinuis  et  pro  jiiro  syiiallagmalis  adiuilli,  iicscio 
an  jnrc.  poslulamiis. 

■2"  Orltiphim  cu/ttsli/>c/  tiitincri  iiiutatc  (Icrniniiliiiii  coinpomliir  c.r  (juit- 
litnr  (fitadratis  lantam.  non  so/iini  in  integris,  (.\\\w\  pokicrunl  alii  vi- 
(lisse,  sed etiam  in  fraclis.  (|U()il  nos  demonstraturos  pollicenuir. 

Ht  (^x  liac  propositions  mira  sanc  ([('dnciiMiis,  quie,  si  in  proniptu 
l'ucrint  Doin".  de  Sainte-Croix,  saltcin  Hacheti  iu!>cninm  ot  opcrani  vi- 
dentnr  inniilitcr  sollicitasse. 

4.  Priusqnam  propositioncni  de  eiibis  a  te  propositam  construanius. 
ad  quœsitum  (')  de  numéro  (572  respondeo  nie  unicum  illum  non  ere- 
dere  proposito  satisfacientem,  sed  hic  nnns  post  120  in  nostra  me- 
tliodo  occurrit. 

In  luijusniodi  autem  qusestionibus  niliil  impcdit  quominus  alius 
alià  methodo  alios  numéros  qusestioni  satisfacientes  nanciscatur  :  hoc 
si  eontigerit  Dom°.  de  Sainte-Croix,  libentissime  ab  eo  accipiemns  una 
cum  methodo  qua  iisus  est.  Sunt  enim  luijusmodi  qusestionespulclier- 
Ywnx  et  dilliciliima;  et  a  nemine,  quod  sciam,  hactenus  solutse;  infini- 
tas  autem  similes  peculiari  nobis  methodo  jam  eonslruximus. 

5.  Quod  ad  qufestionem  (-)  de  nunieris  '\  et  1 1  spectat,  tatemur  dif- 
ficillimam  nobis  visam  et  adhuc,  post  multa  tentamenta,  ignorari.  Ht 
cri'diderim,  donec  contrarium  appareat,  ejus  solutionem  sorti  polius 
quam  arti  deberi  ;  sed  malimfalli  me  quam  Dom.  de  Sainte-Croix.  Hjus 
solutionem  si  dignetur  impertiri,  viam  eoustructionis  rogo  adjungat. 

6-   Tnam  de  cubis  quaestionem  ita  eoneipimus  : 

Ikilis  quolUhcl  nunieris  in  propor/ionr  r/iuivis  arithmeùca,  ciijns  diffe- 
rcnda  progression is  cl  nnnicrus  Icnninonirn  dc/iir,  invenire  siirninnm  cii- 
hornni  ahs  omnibus. 


(')  P'oir  plus  luiiit.   pape  61.  note. 
(2)  roir  LeUres  VI,  7  et  X,  2. 


XII.   -  SEPTEMBRE  163G.  67 

7.  Primus  casus  est  quum  primus  terminus  est  imitas  et  dilïerentia 
progressionis  etiam  imitas. 

Exhibeantur  niimcri  iii  hac  progressione  qiiotlibet  : 

1.2. 3. 4. 5. 6. 7. S. 9; 

quadratum  trianguli  numoroniin  ;oquatiir  ciibis  abs  omnibus.  L'iin  hoc 
exemplo,  in  quo  sunt  9  numcri,  triangulus  numcrorum  est  45,  cujus 
quadratus  202J  œquatur  summa'  cuborum  a  singulis. 

Hsec  autem  proposilio  in  lioe  casu  a  Bacheto  (  '  )  et  aiiis  est  (U'mou- 
strata;  sequentes  casus  nos  invenimns. 

8.  Sit  primus  terminus  imitas  et  differcntia  progressionis  numerus 
quivis,  ut  in  hoc  exemplo  in  quo  4  ost  difTerentia  progressionis  : 

1.5.9.13.17, 

sumo  triangulum  nltimi  numeri  dilïerentia  progressionis  nnitatedemi- 
nuta  aucti. 

Est  autem  210,  et  ejus  quadratum 

4^100. 

Ab  eo  detraho  sequenles  numéros  : 

i"  Summam  totidem  cuborum  ab  unitate  in  progressione  nalnrali 
duccntium  exordinm,  ((ih)1  siiril  unitates  in  differcntia  progressionis 
unitate  deminuta,  eamque  summam  duclam  in  numerum  terminorum. 

Numerus  autem,  qui  in  hoc  exemplo  inde  eruetur  et  ([ucm  diximns 

subtrahendum,  est 

iSo. 

2"  Detraho  triplum  summa»  totidem  quadraloium  ab  nnilalt^  in  j)ro- 
gressione  naturali  duccntium  exordinm,  quot  suiit  uuilalcs  in  tliffc- 
rentia  progressionis  unitate  deminuta,  illudque  ducdim  iu  summam 
numerorum  progressionis  data*. 

Numerus,  qui  in  lioc  exemplo  inde  eruclur  et  quem  diximns  subtra- 
hendum, est 

1890. 

(M  Appeiidix  ad  libnim  de  niimcris  polygoiiis,  II,  prop.  2i. 


68  ŒUVHES  DE  FERMAT-  COURESl'ONDANCE. 

3°  Dotraho  tripUini  siiiiuiiii'  lolidcm  mimoroniin  ab  unilato  in  pro- 
sfrt'ssiono  naturali  diiotMitium  oxordium,  quoi  siint  unitalcs  in  diliV- 
iTntia  progi'ossionis  unitalc  dciniiuila,  illii(l(|ii('  dncfuin  in  summain 
(|iiailratoriim  abs  niuncris  progressionis  data^. 

Numcrus,  qui  in  boe  oxcmpb)  in(b'  crnctnr  et  quoni  dixinms  snbtra- 

hcndnni.  est 

10170. 

Snninia  iinmi'roruni  aul'crcndonini  a  numéro  44' 00  osl  12240.  rcli- 
quuin  '^iSGo  :  quod  si  dividas  per  4.  dilTcrentiam  progressionis,  habe- 
bis  suniniani  cuborum  abs  nnnicris 

1.5. 9. 13.17, 
7965.  et  uniformi  in  infinifum  mctbodo. 

9.  Sed  nonduni  constat  qua  ratione  inveniatur  sunima  numeroruni  : 

1.5.9.18.17, 

ncquc  quomodo  sumnia  quadratorum  ab  ipsis  inveniatur  :  quod  ta- 
nien  ad  secundam  et  tortiam  operationem  perticiendum  est  neeessa- 
riuni. 

Priniilni  illud  praestitit  Hachetus  (')  in  libello  De  ntimcris  maltangu- 
lis  :  socundum  ita  expedictur. 

Suniatur  summa  tôt  quadratorum  ab  unitate  in  progressione  natu- 
rali, quot  sunt  unitates  in  majore  progressionis  numéro  differentia 
proi(ressionis  unitate  deminuta  aucto. 

Hoc  autem  est  facib'  et  ab  Archimede  (-)  in  libro  De  Spiralihus 
traditum. 

Ab  ea  summa  : 

1°  Detrahe  summam  totidem  quadratorum  in  progressione  naturali 

C)  Comiiieritnirn   do   Bachot  sur   les  propositions  IV  ot  V  Dioplunill    -l/eraridrii/i  tic 
inu/laiigulit  inotieris. 
(*)  Archimùile,  De  llneis sptridiliux,  pru|).  10,  donno  elTcctivemcnt  la  sonmiation 

3  V"„._-„3,    ..,   ,_«("+>). 


XII.   -   SEPTEMBRE  1636.  69 

ab  unitate  incipiente,  quot  sunt  imitâtes  in  differcntia  progressionis 
unitate  deminuta,  eamque  summam  ductam  in  numerumterminorum. 

2"  Detrahe  duplum  summse  totidem  numerorum  ab  unitate,  quot 
sunt  unitates  in  dilTerentia  progressionis  unitate  deminuta,  iiliuhjuc 
ductum  in  summam  numerorum  progressionis  data?. 

His  ablatis,  reliquum,  per  difi'orentiam  progressionis  divisum,  dabit 
summam  quadratorum  ab  omnibus. 

Ex  his  duobus  casibus  reliqui  omnes  nullo  aut  minimo  negotio  eli- 
cientur  juxta  prsecepta. 

10.  Sed  hic  hœrere  nohiimus,  verùm  problema  totius  fortassc 
Arithmetices  pulcherrimum  construximus,  quo  non  solum  in  quavis 
progressione  summam  quadratorum  et  cuborum  venamur,  sed  omnium 
omnino  potestatum  in  infinilum  melhodo  generalissima,  quadratoqua- 
dratorum,  quadratocuborum,  cubocuborum,  etc. 

11.  Ut  autem  innotescat  Dom°.  de  Sainte-Croix  sphingem  me  aut 
OEdipum  non  exspectare,  en  probh^ma  in  quadratoquadratorum  |ir(i- 
gressu,  quod  ita  potest  theorematice  enuntiari  : 

Exponantur  quotlibet  numcri  in  progressione  nalurali  ah  unitate;  si  a 
quadrupla  ultimi,  binario  aurlo  <^  et  >•  in  quadratum  trianguU  nume- 
rorum dueto,  demas  summam  quadratorum  a  singulis.  fiel  quintuplum 
quadratoquadratorum  a  singulis. 

Exemplum  :  Expositis  numeris 

1.3.3.4, 

quadruplum  ultimi  binario  auctum  est  i8,  quod  duci  débet  in  loo, 
quadratum  trianguli  numerorum  :  fit 

iSoo. 

Ab  eo  producto  deme  summam  quadratorum  a  singulis,  qua"  est 

3o. 

Superest  1770,  cujus  quinta  pars,  35^,  a'quatur  quadratoqiiadratis  a 
singulis. 


70  ŒUVRES  DK  FEUMAT.  -    CORRESPONnANCE. 

In  (|u;ilil»('l  progrossioiii'  simililcr  prohlcma  (•oiistriiciiais  iinitaiuld 
construclioniMii  itrivcodciitciii. 

Molhoduin  i^cncialcni  iii  (|iiil)usli!)('l  in  iiitiniltiin  potcslaliims  trado- 
imis,  si  visum  l'ucrit  aut  (il)i  aiit  Doiu".  do  Saiiilc-Croix. 

12.  Iiilciiiii  adiliiiuis  piopositioiUMU  pulchorrimani  a  luiliis  invcii- 
tain.   (|iiH'   iiohis  liiciMii  dcdil  ad   luijiismodi   pro|)()si(ion('s  iiivcnicii- 

das('): 

///  progressionc  nalitrali  ultimiis  iiiuncnis 
in  proxime  majorern  facit  dupliim  triangiili  col/atcni/fs, 
in  triangulum  numeri proxime  majoris  facit  triphun pyramidis  colla Icralis, 
in  pvramidcm  numeri  proxime  majoris  facit  qitadriiplum  tnangiilolrian- 

guli  collateralis,, 
et  eâ  in  injiniturn  uniformi  methodo. 

(')  t'oir  Tome  I,  V Oh.feriYition  XLV'I  fur  Diopliaiite.  —  Il  est  très  rciiuirqualilc  que 
cotlc  proposition  capitale,  qui  donne,  de  fait,  la  composition  des  coefficients  du  binôme, 
après  avoir  été  ainsi  communiquée  en  i636  à  Mersenne,  à  Sainte-Croix  et  à  Roberval 
(ci-fiprvs  Lettre  XV,  3),  soit  restée  assez  ignorée  pour  que  dix-huit  ans  après,  Pascal,  en 
la  retrouvant  sous  une  autre  forme,  n'ait  eu  aucun  soupçon  do  la  très  grande  antériorité 
de  la  découverte  de  Format. 

On  lit  dans  le  Traité  des-  orilrei  itiiniériqiie.s  (  CKuvres  de  Biaise  Pascal,  cdiliou  de  177g, 
l.  V,  pp.  65-66),  après  la  proposition  XI  : 

«  Les  manières  de  tourner  une  même  chose  sont  infinies  :  en  voici  un  illustre  exemple 
»  et  bien  glorieux  |)our  moi.  Cette  même  proposition  que  je  viens  de  rouler  en  ])lusicurs 
1)  sortes,  est  tomltée  dans  la  pensée  do  notre  célèbre  conseiller  de  Toulouse,  M.  de  Fer- 
"  mat:  et,  ce  qui  est  admirable,  sans  qu'il  m'en  eût  donné  la  moindre  lumière,  ni  moi  à 
I'  lui,  il  écrivoit  dans  sa  province  ce  que  j'invcntois  à  Paris,  heure  pour  heure,  comme 
.<  nos  lettres  écrites  et  reçues  en  même  temps  le  témoignent.  Heureux  d'avoir  concouru 
»  en  cette  occasion,  comme  j'ai  fait  encore  en  d'autres  d'une  manière  tout  à  fail  étrange, 
«  avec  un  liommo  si  grand  et  si  admirable,  et  qui,  dans  toutes  les  recliorchcs  de  la  plus 
»  sublime  géométrie,  est  dans  le  |)lus  haut  degré  d'excellence,  (rommeses  ouvrages,  que 
»  nos  longues  prières  ont  enfin  obtenus  de  lui,  le  feront  bientôt  voir  à  tous  les  géomètres 
»  de  l'Europe,  qui  les  attendent!  La  manière  dont  il  a  pris  cette  même  proposition  est 
i>  telle  :  n 

tt  En  la  progression  nntiirulle  {[là  coniincnre  par  l'imite,  un  nomlirc  quelcoiupie  (tant 
»  mend  dans  le  prochainemrnL  plus  grand  produit  le  doid>lc  de  son  triangle.   » 

i>  l.e  même  nombre,  étant  mené  dii/is  le  triangle  du  proeliaincinent  plus  grand,  pro- 
0  duit  le  triple  de  sapj  rainide.  u 

»  Le  même  nond>re,  mené  ilnns  la  pyramide  du  proehaineineni  plus  grand,  produit  le 
»  quadruple  de  son  Iriangiilotriaiigulaire.  » 

'<    Et  ainsi  à  l'infini,  par  une  méthode  générale  et  iinijornie.  » 

I)  Voilà  coiimient  on  peut  \arier  les  énonc'ialions.  » 


XIII.    -  22  SEPTEMBRE    163G.  71 

13.   De  triangulis  rectangulis  (')  propositio  non  satis  pcrsiiiciu',  ut 

opinor,  in  tua  epistola  est  concepta  :  solvetur  a  me  tbrtassp,  si  clarius 

proposueris. 

Addictissimus  tibi. 

Fermât. 


XIII. 
FEMIAT  A  ROBERVAL. 

LUNDI  22  SËPTEMBRK   1636. 
(l'a.,  p.  iVi-iî-.) 

MoXSIEfR, 

1.  Je  surseoirai  avec  votre  permission  à  vous  écrire  sur  le  sujet  des 
propositions  de  Méchanique,  jusques  à  ce  que  vous  m'aurez  Fait  la 
faveur  de  m'envoyer  la  démonstration  des  vôtres,  ce  que  j'attends  au 
plus  tôt  sur  la  promesse  que  vous  m'en  faites  (-). 

2.  Sur  le  sujet  de  la  méthode  (')  de  rnaximis  et  minirnis.  vous  savez 
(|nc,  piiiscjue  vous  avez  vu  celle  que  M.  Despagnet  vous  a  donnée,  vous 
avez  vu  la  mienne  que  je  lui  baillai,  il  y  a  environ  sept  ans,  étant  à 
Bordeaux. 

Et  en  ce  temps-là  je  me  ressouviens  que  M.  Philon  ayant  reçu  une  de 
vos  lettres,  dans  laquelle  vous  lui  proposiez  de  troiaer  le  plus  grand 
cône  de  tous  ceux  qui  auront  la  superficie  coniaue  égale  à  un  cercle  donne, 
il  me  l'envoya  et  j'en  donnai  la  solution  à  M.  Prades  pour  vous  la 
rendre.  Si  vous  rappelez  votre  mémoire,  vous  vous  en  souviendi'ez 
peut-être,  et  que  vous  proposiez  celte  (|nes(ion  comme  diUieile  et  ne 

('  )  .\iicunc  autre  allusion,  dans  la  Correspondance  ijul  nous  reste  de  Fermât,  n'est  faite 
à  cette  proposition.  Peut-être  s'agit-il  de  la  (|ueslion  I  de  Sainte-Croix  à  Descartes  {voir 
plus  haut  pages  63-6;,  note),  dont  l'énonce  énigniati(pio  prêtait  facilement  à  confusion. 

(2)  Dans  une  réponse  perdue  à  la  lettre  XI.  Hoberval  annonçait  sa  lettre  suivante,  XIV. 

(■■i)  f'oir  Lettre  IX,  8. 


72  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

l'ayant  pas  oncore  (roiivéo.  Si  je  rcncond-c  parmi  mos  papiers  votre 
lettre,  que  je  gardai  pour  lors,  j{>  vous  l'envoierai. 

3-  Si  iM.  Despagnet  ne  vous  a  proposé  ma  méthode  (')  que  comme 
je  la  lui  baillai  pour  lors,  vous  n'avez  pas  vu  ses  plus  beaux  usages;  car 
je  la  fais  servir,  en  diversifiant  un  peu  : 

1°  Pour  l'iiivenlion  des  propositions  pareilles  à  celles  du  conoide 
(|iie  je  vous  envoyai  par  ma  dernière  (")  : 

2"  Pour  l'invention  des  tangentes  des  lignes  courbes,  sur  lequel 
sujet  je  vous  propose  ce  problème  :  Ad  datiim  punctum  in  conchoide 
Mromedis  itwenire  tangentern  (')  ; 

3"  Pour  l'invention  des  centres  de  gravité  de  toute  sorte  de  figures, 
aux  figures  même  différentes  des  ordinaires,  comme  en  mon  conoide  et 
autres  infinies,  de  quoi  je  ferai  voir  des  exemples  quand  vous  vou- 
drez (*). 

4°  Aux  problèmes  numériques  auxquels  il  est  question  de  parties 
aliquotes  {^)  et  qui  sont  tous  très  difficiles. 

4-  C'est  par  ce  moyen  que  je  trouvai  G72  duquel  les  parties  sont 
doubles  aussi  bien  que  celles  de  120  le  sont  de  120. 

C'est  aussi  par  là  que  j'ai  trouvé  des  nombres  infinis  qui  font  la  même 
chose  que  220  et  284,  c'est-à-dire  que  les  parties  du  premier  égalent  le 
second  et  celles  du  second  le  premier.  De  quoi  si  vous  voulez  voir  un 
exemple  pour  tàter  la  question,  ces  deux  y  satisfont  : 

17296     et     i84i6. 

.le  m'assure  que  vous  m'avouerez  que  cette  question  et  celles  de  sa 
sorte  sont  très  malaisées;  j'en  envoyai  il  y  a  quelque  temps  la  solution 
à  M.  de  Beaugrand. 

M  "1  Fermât  paraît  ici  ontondrc,  par  sa  inôtlindc,  le  procédé  ilo  siihsliliicr  .4 -t- E  à  J 
dans  une  relation  en  J. 

(*)  Foir  LeUrc  IX,  7,  et  plus  loin  XIII.  6. 

(')  Foir  Tome  1,  p.  i6i. 

(*)  Foir  Tome  1,  p.  i36,  note  3. 

(5  )  FoIr  Lettre  IV.  3.  et  Pièces  IVa.  IVis. 


XIII.  -  22  SEPTEMBRE   1636.  73 

J'ai  aussi  trouvé  des  nombres  en  proportion  donnée  ou  qui  surpas- 
sent d'un  nombre  donné  leurs  parties  aliquotes;  et  plusieurs  autres. 

5.  Voilà  quatre  sortes  de  propositions  que  ma  méthode  embrasse  et 
que  peut-être  vous  n'avez  pas  sues. 

Sur  le  sujet  du  i",  j'ai  quarré  infinies  figures  comprises  de  lignes 
courbes  (');  comme,  par  exemple,  si  vous  imaginez  une  figure  comme 
la  parabole,  en  telle  sorte  que  les  cubes  des  appliquées  soient  en  pro- 
portion des  lignes  qu'elles  coupent  du  diamètre.  Cette  figure  appro- 
chera de  la  parabole  et  ne  diffère  qu'en  ce  qu'au  lieu  qu'en  la  parabole 
on  prend  la  proportion  des  quarrés,  je  prends  en  celle-ci  celle  des 
cubes;  et  c'est  pour  cela  que  M.  de  Beaugrand,  à  qui  j'en  fis  la  propo- 
sition, l'appelle /;ara5o/e  solide. 

Or  j'ai  démontré  que  cette  figure  est  au  triangle  de  même  base  et 
hauteur  en  proportion  sesquialtère.  Vous  trouverez,  en  la  sondant, 
qu'il  m'a  fallu  suivre  une  autre  voie  que  celle  d'Archimède  en  la  qua- 
drature de  la  parabole  et  que  je  n'y  fusse  jamais  venu  par  là. 

6.  Puisque  vous  avez  trouvé  ma  proposition  du  conoïde  excellente, 
la  voici  plus  générale  {fig.  38)  : 

•  Ki.r.  38. 


Si  circa  rectam  DA  parabole,  cujus  t^ertex  B  et  axis  BF  et  applicata 
AF,  circumducatur,  fiet  conoides  novœ  speciei,  quo  secto  bifariwn,  piano 
ad  axem  recto,  dirnidium  ipsius  ad  conuni  ejusdem  basis  et  altitudinis  est 
Ht  8  ad  5 . 


(')  P^oir  Tome  I,  pages  ?.5J  à  266. 
Fermât.  —  II. 


n  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

5/  rcrô  piano  secetiir  ad  axem  recto  inœqiialiter,  piiUi  pcr  pitncluni  M, 
ses^mcn/itm  conoidis  ABCE  ad  coriiim  rjiisdem  basis  et  allitudinis  est 

ul  qaiiitii|iliiiii  iniailrali  El)  iiiià  ciiin  rcctaiigulo  AED  bis 
(M  loctaiiiiiilo  siil)  DK  in  AE 

ail  quadrati  El)  (|iiiiiiiipliiiii, 

et  ricissim  segmentum  conoidis  DCE  est  ad  conum  ejusdem  basis  et  altitu- 

dinis 

m  qiiiiiliiplum  (|tia(liali  AE  uiià  ciim  loclanguio  AED  bis 
et  rectangulo  siib  DF  in  DE 

ad  qiiadrali   AE  qiiiiiliipbiin. 

Pour  la  (lémoiistratioii,  outre  les  aides  {\w  j'ai  tirées  de  ma  mé- 
thode, je  me  suis  servi  des  cylindres  inscrits  et  circonscrits. 

7-  J'avois  omis  le  principal  usage  de  ma  méthode  qui  est  pour  l'in- 
vention des  lieux  plans  et  solides;  elle  m'a  servi  particulièrement  à 
trouver  ce  lieu  plan  que  j'avois  auparavant  trouvé  si  difficile  (')  : 

5«  a  quotcumque  dalis  punctis  ad  punctum  iiniim  injlectantur  rectœ  et 
sint  species  quœ  ab  omnibus  fiunt  dato  spatio  œquales,  punctum  continget 
positionc  datam  circumferentiam. 

Tout  ce  que  je  viens  île  vous  dire  ne  sont  qu'exemples,  car  je  vous 
puis  assurer  que,  sur  chacun  des  points  précédents,  j'ai  trouvé  un  très 
grand  nombre  de  très  belles  propositions.  Je  vous  envolerai  la  démon- 
stration de  celles  que  vous  voudrez  :  permettez-moi  néanmoins  de 
vous  prier  de  les  essayer  plutôt  et  di'  m'en  donner  votre  jugement. 

8.  Au  resie,  depuis  ht  dernière  Lettre  que  je  vous  écrivis,  j'ai  trouvé 
la  démonstration  de  la  proposition  que  je  vous  faisois  (^).  Elle  m'a 
donné  grandissime  peine  et  ne  se  présente  pas  d'abord. 

Je  vous  conjure  de  me  faire  part  de  ([uelqu'unc  de  vos  pensées  et  de 
me  croire,  etc. 

P)  Voir  Tome  I,  page  3;  (  Lieux  plans  d'Apollonius,  II,  S). 
'2)  Foir  Lettre  XI,  7. 


XIV.  -  11  OCTOBRE   1C36.  73 

XIV. 
ROBERVAL  A  FERMAT  ('). 

SAMEDI    11    OCTOBRE    1636. 

{fa,  [I.  i38-i4i.) 

Monsieur, 

1.  Je  vous  ciivoio  la  démonstralion  de  la  proposition  fondamentale 
de  notre  Méchanique,  ainsi  que  je  vous  l'ai  promise.  En  quoi  je  suivrai 
l'ordre  commun  d'expliquer  auparavant  les  définitions  et  principes 
desquels  nous  nous  servons. 

2.  Nous  appelons  en  général  une  puissance  cette  qualité  par  le 
moyen  de  laquelle  quelque  chose  que  ce  soit  tend  ou  aspire  en  un 
autre  lieu  que  celui  où  elle  est,  soit  en  bas,  en  haut  ou  à  côté,  soit  que 
cette  qualité  convienne  naturellement  à  la  chose  ou  qu'elle  lui  soit 
communiquée  d'ailleurs.  De  laquelle  définition  il  s'ensuit  que  tout 
poids  est  une  espèce  de  puissance,  puisque  c'est  une  qualité  par  le 
moyen  de  laquelle  les  corps  aspirent  vers  les  parties  inférieures. 

Souvent  nous  appelons  aussi  du  nom  de  puissance  la  même  chose  à 
laquelle  la  puissance  convient  (comme  un  corps  pesant  est  appelé  un 
poids),  mais  avec  cette  précaution  que  ce  soit  à  l'égard  de  la  vraie 
puissance,  laquelle,  augmentant  ou  diminuant,  sera  appelée  plus 
grande  ou  moindre  puissance,  quoique  la  chose  à  quoi  elle  convient 
demeure  toujours  la  même. 

Si  une  puissance  est  pendue  ou  arrêtée  à  un(^  ligne  flexible  et  sans 
poids,  laquelle  ligne  soit  attachée  par  un  bout  à  quelque  arrêt,  en 
sorte  qu'elle  soutienne  la  puissance  tirant  sans  empêchement  contre 
cette  ligne,  la  puissance  et  la  ligne  prendront  quelque  position,  en 

(')  Réponse  à  la  Lettre  XIII.  —  Le  texte  de  la  présenlc  a  été,  comme  celui  de  la 
Lettre  VIII,  restitué  d'après  le  manuscrit  de  la  Bibliothèque  Nationale,  lalin  n°  7226,  P'  3  j 
cl  suiv. 


76  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

laqiiollo  elles  demeureront  en  repos,  et  la  ligne  sera  droite  par  force. 
Soil  icelle  ligne  appelée  le  pendant  ou  la  ligne  de  direction  de  la  puis- 
sance; et  le  point,  par  lequel  la  ligne  est  attachée  à  l'arrêt,  soit  appelé 
\o  point  d'appension,  lequel  pourra  être  quelquefois  au  bras  d'un  levier 
ou  d'une  balance;  et  lors  la  ligne  droite,  menée  du  centre  de  l'appui 
du  levier  ou  de  la  balance  jusques  au  point  d'appension,  soit  appelée 
la  distance  ou  le  bras  de  la  puissance,  laquelle  distance  ou  bras  nous 
supposons  être  une  ligne  ferme  considérée  de  soi  sans  poids.  Davan- 
tage, l'angle,  compris  du  bras  de  la  puissance  et  de  la  ligne  de  direc- 
tion, soit  appelé  Vangle  de  direction  de  la  puissance. 

Premier  axiome.  —  Après  ces  définitions,  nous  posons  pour  principe 
(|u'au  levier  et  à  la  balance,  les  puissances  égales,  tirant  par  des  bras 
égaux  et  des  angles  de  direction  égaux,  tireront  également;  et,  si  en 
cet  état  elles  tirent  l'une  contre  l'autre,  elles  feront  équilibre;  que  si 
elles  tirent  ensemble  ou  de  même  part,  l'efTet  sera  doublé. 

Si,  les  puissances  étant  égales  et  les  angles  de  direction  égaux,  les 
bras  sont  inégaux,  la  puissance  qui  sera  sur  plus  grand  bras  fera  plus 
d'effet. 

Comme  en  cette  première  figure  {fig.  Sg),  le  centre  de  la  balance 


ou  du  levier  étant  A,  si  les  bras  AB  et  AC  sont  égaux  et  les  angles  ABD. 
ACE  égaux,  les  puissances  égales  D,  E  tireront  également  et  feront 
équilibre.  De  même,  le  bras  AF  étant  égal  à  AB,  l'angle  AFG  à  l'angle 
ABD,  et  la  puissance  G  à  la  puissance  D,  ces  deux  puissances  G,  D 
tireront  également  et,  pour  ce  qu'elles  tirent  de  même  part,  l'effet  sera 


XIV.  -   11   OCTOBRE   1C:3G.  77 

doublé.  Au  contraire,  la  puissance  G  et  la  puissance  E  feront  équi- 
libre. Par  le  même  principe,  les  puissances  I,  Lcontrepëseront  si,  étant 
égales,  les  bras  AK,  AH  sont  égaux  et  les  angles  AHI,  AKL aussi  égaux. 
II  en  sera  de  même  des  puissances  P  et  R,  si  le  tout  est  disposé  de 
même. 

Et  en  ce  cas  nous  ne  mettons  point  d'autre  différence  entre  les  poids 
et  les  autres  puissances,  sinon  que  les  poids  tendent  et  aspirent  tous 
vers  le  centre  des  choses  pesantes,  et  les  puissances  peuvent  être  en- 
tendues aspirer  vers  toutes  les  parties  de  l'univers  avec  autant,  plus  ou 
moins  de  force  que  les  poids.  Ainsi  les  poids  et  leurs  parties  tirent  par 
des  lignes  de  direction  qui  toutes  concourent  ii  un  même  point,  et  les 
puissances  et  leurs  parties  peuvent  être  entendues  tirer  de  telle  sorte 
que  toutes  les  lignes  de  direction  soient  parallèles  entre  elles. 

Deuxième  axiome .  —  En  second  lieu,  nous  supposons  qu'une  puis- 
sance et  sa  ligne  de  direction  demeurant  toujours  en  même  position  et 
le  centre  de  la  balance  ou  du  levier  de  même,  quel  que  puisse  être  le 
bras  mené  du  centre  de  la  balance  à  la  ligne  de  direction,  la  puissance, 
tirant  de  soi  toujours  de  même  sorte,  fera  toujours  même  effet. 

Comme  en  cette  seconde  figure  {fig-  ^o),  le  centre  de  la  balance 
étant  A,  la  puissance  B  et  sa  ligne  de  direction  BF,  prolongée  tant  que 

Fig.  4o. 


de  besoin,  à  laquelle  aboutissent  les  bras  AG,  AC,  AF.  En  cet  état,  soit 
que  la  ligne  BF  soit  liée  au  bras  AF  ou  AC  [ou  AG]  ou  à  un  autre  bras 
mené  du  centre  à  la  ligne  de  direction  AF,  nous  supposons  que  cette 
puissance  B  fera  toujours  un  même  efTet  sur  la  balance;  et  si,  tirant 
par  le  bras  AC,  elle  fait  équilibre  avec  la  puissance  D  tirant  par  le  bras 


7S  U:UVUES   DE  FERMAT.-  COHRESPOND ANGE. 

AE,  lorsqu'ollo  tirera  par  le  bras  AF  ou  AG,  elle  l'cra  encore  équilibre 
avec  la  puissance  D  tirant  par  le  l)ias  AE. 

Ce  principe,  quoiqu'il  ne  soit  pas  expressément  dans  les  auteurs,  il 
est  néanmoins  usurpé  tacitement  par  tous  ceux  qui  en  ont  eu  affaire, 
et  l'expérience  le  confirme  constamment. 

Troisième,  axiome.  —  En  troisième  lieu,  nous  posons  que,  si  les  bras 
d'une  balance  ou  d'un  levier  sont  directement  posés  l'un  à  l'autre  et, 
qu'étant  égaux,  ils  soutiennent  des  puissances  égales  desquelles  les 
angles  de  direction  soient  droits,  ces  puissances  pèseront  également 
sur  le  centre  de  la  balance,  soit  qu'elles  soient  proche  du  même  centre, 
soit  qu'elles  en  soient  fort  éloignées,  soit  que  toutes  deux  soient  ramas- 
sées au  même  centre. 

Comme  en  la  troisième  figure  {/ig-  40,  la  balance  étant  ED,  le 
centre  A.  les  i)ras  égaux  AD,  AE  soutenant  des  puissances  égales  H,  I, 

Fig.   .',.. 
E  C  A  B  D 


G 


desquelles  les  angles  de  direction  ADH,AEI  soient  droits;  nous  suppo- 
sons que  ces  puissances  I,  H  pèseront  de  même  sur  le  centre  A  que  si 
elles  étoient  plus  près  du  même  centre  sur  les  distances  égales  AB,  AC, 
et  encore  de  même  que  si  ces  mêmes  puissances  étoient  ensemble  pen- 
dues en  A,  ces  angles  de  direction  étant  toujours  droits. 

Première  proposition.  —  Ces  principes  posés,  nous  démontrerons 
facilement,  imitant  Archimède  ('),  que  sur  un(>  balance  droite,  les 
puissances,  desquelles  et  de  toutes  leurs  parties  les  lignes  de  direction 
sont  parallèles  entre  elles  et  perpendiculaires  à  la  balance,  contre- 
pèseront  et  feront  équilibre,  quand  les  mômes  puissances  seront  entre 
elles  en  proportion  réciproque  de  leurs  bras.  Ce  que  nous  pensons 
vous  être  aussi  facile  qu'à  nous. 

(,'  )  Archi.mldic,  De  planoruin  œ(iuUlhru.i,  I,  G  et  7. 


XIV.  -  11    OCTOBRE   1G36.  79 

En  suite  de  quoi  nous  démontrerons  cette  proposition  universelle,  à 
laquelle  nous  butons. 

Deuxième  proposition.  —  En  toute  balance  ou  levier,  si  la  propor- 
tion des  puissances  est  réciproque  à  celle  des  lignes  perpendiculaires 
menées  du  centre  ou  point  de  l'appui  sur  les  lignes  de  direction  des 
puissances,  ces  puissances,  tirant  l'une  contre  l'autre,  feront  équilibre 
et,  tirant  d'une  même  part,  elles  feront  un  pareil  effet,  c'est-à-dire 
qu'elles  auront  autant  de  force  l'une  que  l'autre  pour  mouvoir  la  ba- 
lance. 

Soit  en  la  quatrième  tigure  {fig.  42)  le  centre  de  la  balance  A,  le 
bras  AB  plus  grand  que  le  bras  AC,  et  soient  premièrement  les  lignes 

Fig.  42. 


de  direction  BD,  CE  perpendiculaires  aux  bras  AB,  AC,  par  lesquelles 
lignes  tirent  les  puissances  D,  E,  lesquelles  seront  des  poids,  si  on 
veut,  et  qu'il  y  ait  même  raison  de  la  puissance  D  à  la  puissance  E  que 
du  bras  AC  au  bras  AB,  les  puissances  tirant  l'une  contre  l'autre.  Je  dis 
qu'elles  feront  équilibre  sur  la  balance  CAB. 

Car,  soit  prolongé  le  bras  CA  jusques  en  F,  en  sorte  que  AF  soil 
égale  à  AB,  et  soit  considérée  CAF  comme  une  balance  droite  de 
laquelle  le  centre  soit  A.  Soient  aussi  entendues  deux  puissances  G  et 
H,  desquelles  et  de  toutes  leurs  parties  les  lignes  de  direction  soient 
parallèles  à  la  ligne  CE;  et  que  la  puissance  G  soit  égale  à  la  puis- 
sance D  et  la  puissance  H  égale  à  la  puissance  E,  l'une,  savoir  G,  tirant 
sur  le  bras  AF  et  l'autre,  savoir  H,  tirant  sur  le  bras  AC. 

Lors,  par  la  première  proposition,  les  puissancesG  et  H  feront  équi- 
libre sur  la  balance  CAF;  mais,  par  le  premier  principe,  la  puissance  D 
sur  le  bras  AB  fait  le  même  effet  que  la  puissance  G  sur  le  bras  AF  : 


80  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

parlant  la  puissance D  sur  le  liras  AB  fait  équilibre  avec  la  puissance  H 
sur  le  bras  AC  et.  la  |)uissance  H  tirant  de  même  sorte  sur  le  hras  A(^ 
que  la  puissance  E,  par  le  même  |)reinier  axiome,  la  puissance  D  sur  le 
bras  AU  fera  équilibre  avee  la  puissance  E  sur  le  bras  AC. 

iMainfenanl,  en  la  cinquième  figure  {fig.  43),  soit  le  centre  de  la 
balance  A.  les  bras  AB,  AC,  les  lignes  de  direction  BD,  CE  qui  ne 


soient  pas  perpendiculaires  aux  mêmes  bras,  et  les  puissances  D,  E 
tirant  par  les  mêmes  lignes  de  direction;  sur  lesquelles  lignes  soient 
menées  des  perpendiculaires  du  centre  A,  savoir  AF  sur  BD  et  AG  sur 
EC  ;  et  que,  comme  la  ligne  AF  est  à  AG,  ainsi  soit  la  puissance  E  à  la 
puissance  D,  lesquelles  puissances  tirent  l'une  contre  l'autre.  Je  dis 
qu'elles  feront  équilibre  sur  la  balance  CAB. 

Car,  soient  entendues  les  lignes  AF,  AG  comme  les  deux  bras  d'une 
balance  GAF,  sur  lesquels  tirent  les  puissances  D,  E  par  lesiignes  de 
direction  FD,  GE,  ces  puissances  feront  équilibre,  par  la  première 
partie  de  cette  seconde  proposition;  mais,  par  le  second  axiome,  la 
puissance  D  sur  le  bras  AF  fait  le  même  effet  que  sur  le  bras  AB,  et  la 
puissance  E  sur  le  bras  AG  fait  le  même  effet  que  sur  le  bras  AC;  par- 
tant, la  puissance  D  sur  le  bras  AB  fait  équilibre  avec  la  puissance  E 
sur  le  bras  AC. 

Il  y  a  plusieurs  cas  suivant  les  chutes  des  perpendiculaires,  mais  il 
vous  sera  facile  de  voir  que  tous  n'ont  qu'une  même  démonstration.  Il 
est  aussi  facile  de  démontrer  que,  si  les  puissances  tirent  de  même 
part,  elles  feront  même  effet  l'une  que  l'autre,  et  l'effet  des  deux 
ensemble  sera  double  de  celui  d'une  seule. 

J'attends  votre  jugement  sur  cette  démonstration  et,  si  vous  l'ap- 


\IV.  -   11   OCTOBRE  1G36.  81 

prouvez,  nous  communiquerons  ensuite  des  conséquences  qui  en  dé- 
pendent. 

3.  J'ai  trouvé  la  démonstration  (')  de  la  somme  des  quarrés  de  deux 
côtés  rationaux,  commensurables  en  longueur,  appliquée  au  double  de 
la  somme  des  côtés,  excédant  d'une  figure  (juarrée.  Mais,  puisque 
vous  l'avez  aussi  trouvée,  je  ne  vous  dirai  ici  que  mon  principal  fon- 
dement qui  est  que,  de  deux  nombres  quelconques,  la  somme  de  deux 
fois  le  quarré  du  premier,  deux  fois  le  quarré  du  second  et  deux  fois 
le  produit  des  deux  nombres,  n'est  pas  un  nombre  quarré,  d'autant 
que,  prenant  les  moindres  nombres  de  leur  raison,' un  nombre  simple- 
ment pris  n'est  pas  quarré.  Si  nous  avons  tous  deux  un  même  moyen, 
ceci  suffit;  si  vous  en  avez  un  autre,  ce  que  vous  reconnoîtrez  par  ce 
discours,  vous  me  ferez  faveur  de  me  l'apprendre,  et  moi  je  vous  écri- 
rai le  mien  tout  au  long,  si  vous  le  désirez. 

4.  .l'ai  aussi  trouvé  la  démonstration  (-)  de  votre  conoïde  et  celle  de 
votre  parabole  solide  et,  en  conséquence,  celles  d'uiu^  infinité  d'autres 
pareilles,  quarréquarrées,  quarrésolides  etc. 

5.  .l'ai  trouvé  les  tangentes  de  toutes  ces  figures  :  par  exemple,  eu 
la  parabole  solide,  la  portion  de  l'axe,  prise  entre  la  tangente  et  le 
sommet,  est  double  de  la  portion  du  même  axe,  prise  entre  le  sommet 
et  la  ligne  appliquée  de  l'attouchement  à  l'axe. 

6.  .l'ai,  par  le  même  moyen,  quarré  la  parabole  géométriquement, 
autrement  qu'Archimède. 

7-  Ht  je  me  trompe  fort  si  je  n'ai  rencontré  le  même  moyen  que 
vous,  me  servant  des  lignes  parallèles  à  l'axe  et  des  portions  de  ces 
lignes  prises  entre  les  paraboles  et  la  ligne  qui  touche  les  mêmes  para- 
boles par  le  sommet,  lesquelles  portions  se  suivent  en  la  raison  de 
l'ordre  naturel  des  nombres  quarrés  ou  des  nombres  cubes  etc.  Or,  la 
somme  des  quarrés  est  toujours  plus  que  le  tiers  du  cube  qui  a  pour 

(1)  /o(r  Lettre  XI,  7. 

(2)  Foir  LeUres  IX,  7;  XIII,  3  et  6. 

Fermât.  —  \\.  il 


8-2  ŒUVRES   l)K   1-ERMAT.   -  CORRESPONDANCE. 

côlt'  lo  coto  ilu  |)liis  graiiil  (iiiai'i'c',  cl  la  môme  sonimo  dos  ((iiariTS,  le 
plus  i^raïul  ('laiil  ùlé,  osl  moiitdn'  i\uc  le  licrs  du  inêmo  cube;  la  somme 
dos  culios  [lins  (juc  lo  ([uai'l  du  (|uarro(iuarro  et,  le  plus  grand  oul)o 
oté,  moins  que  le  (]uarl;  ^'ic.  Si  par  eo  discours  vous  reconnoissez  (|ue 
00  u'osl  pas  voire  iiioven.  j'en  serai  d'autant  plus  réjoui  pour  ce  (|ue 
nous  en  aurons  deux,  et  vous  me  forez  la  faveur  do  m'onvoyer  lo  vôtre, 
faisant  lo  mènie  do  ma  part. 

8.  Pour  les  tangentes  do  la  conclioïde,  je  les  ai  considérées  il  y  a 
longlonips,  comme  étant  déterminations  d'équations  quarréquarréos. 
Sur  ce  sujet,  il  y  a  deux  points  en  la  conclioïde  par  lesquels  on  ne  peut 
mener  des  tangentes  :  je  vous  prie  de  les  considérer  et  vous  trouverez 
une  admirable  propriété  d'angles  au  sommet  l'un  de  l'autre  à  la  sec- 
tion d'une  ligne  droite  et  de  la  conchoïde  ('). 

9.  J'estime  vos  propositions  {-)  des  nombres  et  celle  du  lieu  plan 
fort  difficiles;  ce  que  je  saurai  mieux  quand  j'aurai  eu  le  loisir  de  les 
considérer,  comme  aussi  les  centres  de  gravité  des  figures  susdites 
tant  planes  que  solides,  n'étant  pas  résolu  pourtant  de  m'obstiner 
après;  car  j'aimerai  mieux  tenir  de  vous  ce  que  vous  en  aurez,  si  vous 
l'avez  agréable. 

10.  Je  vous  prie  pourtant  de  me  mander  si  le  centre  de  gravité  do 
votre  demi-conoïde  n'est  pas  ce  point  oîi  l'axe  est  divisé  de  sorte  (|ue 
l'un  des  segments  est  à  l'autre  comme  n  à  4.  pour  ce  qu'un  léger  rai- 
sonnement et  non  encore  bien  considéré  m'a  semblé  me  mener  à  cotte 
raison  ('). 

H-  Une  autre  fois  je  vous  pourrai  mander  de  nos  propositions  ainsi 
que  vous  le  désirez.  Pour  cette  heure,  que  je  n'emploie  à  écrire  ceci 
qu'un  temps  dérobé,  je  vous  envolerai  seulement  celle-ci  : 

De  deux  cônes  droits  égaux  et  isopérimctres  e'ianl  données  les  bases  iné- 
gales ou  les  hauteurs  inégales,  trouver  les  cônes. 

(  '  )  f''oir  Lettre  Xlll,  3.  —  Robcrval  parle  ici  des  poinis  d'inflexion  de  la  conclioïde. 
r2)  Foir  Lettres  XIII,  4  et  7. 
(')  ynir  ri-aprés  Lettre  W.  5. 


XV.  -  4  NOVEMBRE  1636.  83 

Quand  je  dis  isopérimètres,  j'entends  les  bases  y  comprises  ou  excep- 
tées, comme  vous  voudrez. 

Vous  en  aurez  la  solution  quand  il  vous  plaira,  si  vous  ne  voulez 
prendre  la  peine  de  la  trouver  vous-même,  et  je  vous  l'aurois  envoyée 
dès  maintenant,  n'éloit  que  je  crois  que  vous  désirerez  avoir  le  plaisir 
d'y  penser. 

Attendant  que  vous  me  fassiez  la  faveur  de  m'écrire,  je  demeu- 
rerai etc. 


XV. 
FERMAT  A  ROBERVAL. 

MARDI    k    .NOVEMBRE    1636. 

(la,   p.   1/50-147:8^  a'".) 


Monsieur, 


1.  Me  réservant  à  vous  écrire  une  autre  fois  les  défauts  (|(i('  j'ai 
trouvés  dans  votre  démonstration  (')  et  dans  votre  Livre  imprimé  (-), 
(|ue  j'espère  vous  faire  avouer  par  vos  propres  maximes,  je  me  con- 
Iciilcrai  de  répondre  présentement  aux  autres  points  de  voire  LcKi'e. 

2.  Et  premièrement  vous  saurez  que  nous  avons  concouru  au  même 
médium  sur  le  sujet  de  la  somme  des  deux  quarrés  rationaux,  com- 
mensurables  en  longueur,  appliquée  au  double  de  la  somme  des  côtés, 
excédant  d'une  figure  quarrée  ('). 

3.  Vous  vous  êtes  servi  aussi  d'un  même  médium  (/)  que  moi  en  la 
quadrature  des  paraboles  solides,  quarréquarrées  etc.  à  l'infini;  mais 
vous  supposez  une  chose    [vraie]  de  laquelle    vous   n'avez  possible 

('1  Lettre  XIV,  2.  —  Fermât  annonce  les  objections  contenues  dans  la  Pièce  XVL,  ci- 
après. 

(2)  Voir  Lettre  VII,  4,  note  i. 

(3)  FoiV  Lettre  XIV,  3. 
(*)  Fm>  Lettre  XIV,  7. 


S'.  ŒUVKKS  ])E   TEllMAT.  -  COHRESPONDANCE. 

pas  la  démonstralioii  pivcisc  (lui  esl  ([iic  la  soniino  des  quarros  est 
plus  graiult"  (lue  li'  tiers  du  cube  qui  a  pour  coté  lo  côté  du  plus  grand 
quarré;  la  soiuiiic  dos  cubos  plus  (|uc  le  (|uai'(  du  quarréquarré;  la 
somme  des  (|iiarré(Hiarrés  pins  (|u'uii  ciii(|iiième  du  quarrécube;  etc. 

Or,  pour  démontrer  cela  plus  généralement,  il  faut,  étant  donné  nn 
nombre  in  progressione  naliiralù  trouver  la  somme,  non  seulement  de 
Ions  les  qnarrés  et  cubes,  ce  que  les  auteurs  qui  ont  écrit  ont  déjà 
l'ait  1^'),  mais  encore  la  somme  des  quarréquarrés,  quarrécubes  etc.. 
ce  que  personne  que  je  sache  n'a  encore  trouvé;  et  pourtant  cette  con- 
noissanee  est  btdie  et  de  grand  usage  et  n'est  pas  des  plus  aisées. 

.l'en  suis  venu  à  bout  avec  beaucoup  de  peine.  En  voici  un  exemple  : 

Si  quadruphan  ma.rimi  iiunieri  binario  aticliim  ducas  in  qnadraliun 
Irinnguli  numerorurn,  et  a  producto  dernas  summum  quadratorum  a  si/i- 
gulis,  fiel  summa  quadraloqiiadratoriim  quintupla. 

Il  semble  que  Bachel,  dans  son  Traité  De  numeris  multangu/is  (-), 
n'a  pas  voulu  tàfer  ces  questions  après  avoir  fait  celle  des  quarrés  et 
des  cubes;  je  serai  bien  aise  que  vous  vous  exerciez  pour  trouver  la 
méthode  générale,  pour  voir  si  nous  rencontrerons.  Eu  tout  cas,  je 
vous  otfre  tout  ci'  que  j'y  ai  fait,  ({iii  est  tout  ce  qu'on  peut  dire  sur 
cette  matière. 

Voici  cependant  une  très  belle  proposition,  qui  peut-être  vous  y  ser- 
vira; au  moins  c'est  par  son  moyen  que  j'en  suis  venu  à  bout.  C'est  une 
ri'gle  que  j'ai  trouvée  pour  donner  la  somme,  non  seulement  des 
triangles,  ce  qui  a  été  fait  par  Bachet  et  les  autres  (^),  mais  encore 
des  pyramides,  triangulotriangulorum  etc.  à  l'infini.  Voici  la  propo- 
sition (■')  : 

UUimum  lalus  in  lalus  proxinie  majus  facit  dupluni  trianguli. 

(1)  yoir  Lclire  Xll,  10  et  11. 

(î)  foir  Lettre  Xll.  7,  iiule  i. 

(^)  Bachel  (Appendix  ad  lil/rum  de  numerit  poljgonis,  I,  prop.  18)  donne  la  sonima- 
lion,  non  seulement  des  triangles,  mais  en  général  des  polygones  de  même  genre  ayant 
pour  côtés  les  nombres  consécutifs  à  partir  de  l'unité. 

(')  ro(>  Lettre  Xll,  12. 


XV.  —  i  NOVEMBRE  1636.  85 

Ultimiun  lattis  in  triangulum  lateris proxime  majoris  facit  triphun  py- 
ramidis. 

Ullirnum  lattis  in  pyramidem  lateris  proxime  majoris  facit  (juadriipluin 
triangulotriangidi. 

Et  eo  in  infinitum  progressa. 

Toutes  ces  propositions,  quoique  belles  de  soi,  m'ont  servi  à  trouver 
la  quadrature  que  je  suis  bien  aise  que  vous  estimiez. 

4.  Je  voudrois  avoir  assez  de  loisir  pour  vous  envoyer  les  proposi- 
tions des  nombres  (')  que  vous  trouvez  si  difficiles;  elles  le  sont  en 
effet  :  même  Tartaglia  (-)  avoit  cru  qu'elles  n'étoient  poiiil  trouvables 
par  art.  J'en  ai  envoyé  la  construction  au  Père  Mersenne;  il  vous  la 
communiquera  si  vous  la  lui  demandez. 

5.  Je  vous  envolerai  aussi  une  autre  fois  le  centre  de  gravité  (')  de 
toutes  ces  nouvelles  figures,  avec  la  méthode  générale  pour  le  trouver. 
Vous  savez  cependant  que  celui  du  demi-conoïde  divise  l'axe  en  pro- 
portion de  1 1  à  5,  non  pas  de  ii  ii  4»  comme  vous  aviez  cru,  et  que 
celui  des  nouvelles  paraboles  divise  l'axe  en  proportion  pareille  à  celle 
du  parallélogramme,  qui  a  pour  hauteur  l'axe  et  pour  base  celle  de  la 
figure,  à  la  figure  :  ou,  pour  mieux  dire,  le  diamètre  de  toute  parabole 
est  divisé  en  tel  point  [de  son  diamètre]  par  le  centre  de  gravité,  fen 
sorte]  que  le  segment  d'en  bas  est  à  celui  d'en  haut  comme  la  figure  au 
parallélogramme  de  même  base  et  de  même  hauteur. 

6.  Puisque  vous  avez  trouvé  la  démonstration  de  toutes  mes  propo- 
sitions, vous  m'obligerez  beaucoup  de  prier  le  Père  Mersenne  de  vous 
donner  mes  nouvelles  hélices  (''),  desquelles  les  démonstrations  vous 
seront  aussi  aisées  que  celles  du  conoide  et  des  paraboles.  Il  m'écrit 
qu'on  doute  de  delà  de  leur  vérité;  vous  la  lui  confirmerez,  s'il  vous 

(')  Foir  Lettre  XIV,  9  et  Pièces  IVa,  IVb. 

(2)  Comparer  La  seconda  parte  del  General  Trutlalo  di  nwneri  cl  inisure  di  JVico/o 
Tartaglia  (Venise,  i5J6),  lib.  I,  cap.  IV. 

(3)  Foir  Tome  1,  p.  i36.  —  Cp.  Lettre  XIV.  10. 

(4)  roir  Pièces  IIIa,  IIIb. 


S(î  ŒUVRES  DK   F EHM  \T.  --  CORHESI'ONU  ANCK. 

plail.  cl  tlosabiiscroz  Monsit'iii- (le  ...  ('),  qui  scmMc  lu- les  avoir  pas 
cru PS. 

7.   .Mais  il  n'en  l'aul  pas  ik'iiLOiircr  l;i.  car,  pour  suppii'cr  (ont  ce  (|iii 
soinblo  manquer  dans  rArihinÙHlc  : 

Exponatur paiabole  A(]DP  (,fig-  44)'  cnjus  axis  DE,  hasis  AF,  CB  pa- 
rallela  I^E  et  ideo  perpendicultins  ipsi  AF.  Circa  rectam  DE  fixam  figura 


l'ig.  4i 


ADE  comersa  constituil  conoides  Archimedeum  ;  circa  Pài fixam  consti- 
luil  nostruni  conoides. 

Sed,  si  figura  ACB  circa  AB  fixam  converlalur,  constiluitur  porlio 
nostri  conoidis;  si  autcm  circa  Çj&  fixam  fiai  conversio,  quœritur  proportio 
noii  istius  conoidis  ad  conum  ejusdem  basis  et  altitudinis. 

Hoc  aulem  eliam  perfecimus  ;  imo  mirabilius  (jinddam  invenimus.  ellip- 
soides  cui  si  conum  œqualem  inveneris,  dabimus  circiili  quadrationem.  — 
Sed  hœc  allas. 

8.  Votre  question  dos  cônes  (^)  est  si  aisée  qu'il  seroit  inutile  de 
vous  en  écrire  la  solution. 

9-  Pour  les  tangentes  de  la  conchoïde  ('),  j'ai  peur  que  vous  aurez 
équivoque;  car  voici  ma  proposition  qui  n'exclut  aucun  point,  laquelle 
j'ai  copié  sans  la  vérifier  sur  mon  manuscrit;  peut-être  que  c'est  moi 
((ni  aurai  failli,  je  vous  l'écrirai  la  première  fois. 

(';  Bcaugrand?  loir  Lettre  XVIII,  4. 

(î)  Folr  Lettre  XIV,  11. 

M)  Voir  Lettre  XIV,  8.  —  Cp.  Tome  I,  p.  iGr. 


XVI.  -  DECEMBRE   1G36.  87 

Eslo  conchois  ABC  (fi g.  \S),  cujus polits  F,  inlervallum  HA,  cl  in  ea 
(/atiim  piinctum  B. 

Primiim  asserimus  eam  in  itUeriora  convexam  reprœsentandam.  licel 
cnnliririiun  Pappo  ri  Eiilocio  visumfuerit  ('). 

Fis.  45. 


Deinde  tangenlem  ila  diicinius  :  Jungalur  FIB  cl  perpendicularis  BD 
demiltatur ;  reclangulum  BFI,  itnà  ciini  quadralo  BD,  ad  rcciam  BD  ap- 
plice/iliir  cl  fcicianl  laliludinem  D^;Jial 

1,1  11)  ad  DN,         ila  BD  ad  DY. 

Jiincia  YB  langcl  conchoidem. 

J'attends  votre  réponse  et  suis  etc. 


XVI. 
OBJKCÏA  A  DOMINO  DK  FERMAT 

ADVERSUS  PROPOSITIONEM  MECHAIS'ICA.M  DÛMINI  DE  UOBERVAL  ('). 

<    DÉCEMBRE    I 636    > 

{In,  p.   l'ii-i'ia.) 

Si  vera  esset  propositio  mechanica  Doriiini  Ai"  RoI)erval,  i/i  rccie  t/ao- 
libet  pondéra  perpendicitlis  a  centra  rertis  in  lincas  dircctinmini  dctnissis 

('  )  Pappus,  IV,  22  (éd.  IIiillscli,  pp.  2_J2  et  %\ij).  Eulooiiis  (Comiii.  iii  lil).  Il  de  spli^ura 
et  cylindro  :  Archimùde.  éd.  Heiborg,  vol.  III,  pp.  117,  119,  120,  122)  n'indituieiit  rien  sur 
le  sens  de  la  concavité  do  la  conchoïde  :  l'observation  do  Fermât  ne  porte  donc  que  sur  les 
figures  fautives  des  manuscrits  reproduites  dans  le  Pappus  de  Comniandin  ei  dans  les  an- 
ciennes éditions  d'Archimède  (p.  ex.,  celle  de  Uivaull,  Paris,  i6i5). 

(*)  Celte  Pièce  parait  avoir  été  envoyée  à  Carcavi,  au  commencemeni  de  décembre  i63G 
{voir  Lettre  XVII,  1  )  comme  réplique  à  la  Lettre  XIV  de  Uoberval. 


S8  tKl  VUES   I)K  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

f-sse  reciprocc propojtionalia  ad  (islmciulam  quietcm,  non  possot  suhsis- 
Icvo  proporlio  gravis  ad  potentiani  in  piano  inclinalo,  quam  in  Lilx-llo 
suo  {')  trailicli(.  Hoc  porspicue  dcnionstraimis  : 

In  prima  tignra  {Jîg.  !\6),  es(o  punclnni  in  superficie  telluris  N, 
ccnlrnm  len;e  H.  .lunctà  NH,  dncatur  ANGF  perpcndicularis  ipsi  HN, 


(liiain  quidem  ANGF  ii  qui  sunt  in  puncto  N  vocant  parallelam  hori- 
zonti.  Exponantur  sphserae  quarum  centra  B,  C,  D,  quse  tangant  rectam, 
sivc  planum  per  ANGF,  in  punctis  N,  G,  F. 

Patet  primum  sphœram  B  a  minima  potentia  movcri,  idque  Dominus 
do  Roberval  non  diffiletur,  et  in  puncto  N  coliocatam  manere,  sed  in 
nullo  alio  totius  plani  puncto  idem  accidit. 

Perticiatur  tigura,  ut  hic  vides.  Recta  HG,  connectens  punctum  con- 
tactùs  G  et  centrum  terr*  H,  ad  rectam  CG  facit  angulum  obtusum. 
ideoque  sphaera  C  ad  partes  GN  movebitur.  Idem  de  spha-ra  D.  Sit  igitur 
potentia  in  Z  retinens  sphajram  C  per  niotum  rectae  ANGF  parallelum, 
auf,  quod  idem  est,  per  rectam  ZC.  Intelligatur  vectis  cujus  centrum 
tixum  G;  ducatur  in  HC  perpcndicularis  GI. 

Sph^rie  C  motus  naturalis  est  per  rectam  CH;  motus  retinens  per 
Œ,  ad  quam  perpcndicularis  est  GC  :  ergo,  ex  suppositis  Domini  de 
Hoberval,  est  [reciprocc] 

lit  recta  GI  ad  rectam  GC,     ila  potentia  retinens  in  Z  ad  sphaeram  C. 
Quod  erat  demonstrandum. 


I')  11  s'agit  du  Traite  de  Méchanique  de  Roberval.  Voir  Lettre  Vil,  4,  note  i. 


XVII.  -  7  DÉCEMBRE  1636.  89 

In  splifera  autem  D  major  requiretur  potentiaad  rctiiiondum  et,  quo 
magis  distabit  a  puncto  N,  eo  majore  potentia  opus  erit,  quod  est  mira- 
bile.  Ex  suppositione  autem  Domini  de  Roberval,  iiunqiiam  in  eodeni 
piano  variât  proportio;  quod  quàm  longe  abeat  a  verilate,  ipseviderit. 

Sitcenlrum  terrae  B  (y?^.  47),  planum  inclinatum  ACDE.  In  punctis  A 
et  C  eamdem  potentiam  retinere,  poterat  fortasse  non  incongruum 


videri  Domino  de  Roberval.  Sed,  ducto  perpendiculo  BD,  quum  in 
puncto  D  sit  quies  et  minima  potentia  retineat,  quâ  ratione  constabit 
ipsius  propositio? 

In  (juolibet  autem  piano  habet  locum  nostra  demonstratio.  Omne 
quippe^planum  alicui  borizonti  invenietur  paralleluni. 

Hac  propositione  evertitur  demonstratio  Domini  de  Roberval  etbre- 
vissimà  via  ad  ipsius  bypotheses  nova  proportio  detcgitur. 

Secundam  figuram  addideramus,  quà  judieium  nostrum  de  ipsius 
ultima  propositione  prodere  sperabamus.  Sed  non  suppetit  tempus. 


XVII. 
FERMAT  A  ROBERVAL. 

DIMAKfillE  7   DÉCEMBRE  |636. 
(l'a,  1).  i47-i4«-) 
MONSIELR, 

1.  Après  vous  avoir  assuré  que  je  n'ai  jamais  songé  de  soutenir  une 
opinion  contre  mon  sentiment  et  que  je  serois  ravi  que  votre  propo- 

Feiimat.  —  II.  12 


ftO 


ŒIVRKS   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


sition  niochaniqiio  (')  IYi(  vraio,  atiii  iiiic  nous  iio  Aissioiis  plus  ni 
poiiio  (lo  soiidt'i'  la  naliirc  par  col  endroit,  je  m'en  remettrai  du  sur- 
plus à  la  lel(r(>  ([ue  j'écris  à  AI.  de  ("areavi,  à  laquelle  j'ajouterai  seu- 
liMiienl  (|ue  le  dernier  des  principes  dont  vous  vous  servez  pour  l'éta- 
hlissement  de  votre  proposition  ne  me  semble  du  tout  point  admissible 
et  que.  sans  aucun  esprit  de  contradiction,  j'estime  que,  pour  établir 
la  proportion  des  poids  qui  se  meuvent  librement,  on  ne  doit  pas 
avoir  recours  aux  forces  mouvantes,  et  qu'au  contraire  les  poids  libres 
doivent  servir  de  règle  à  tous  les  autres  mouvemens  violents;  et  c'est 
en  quoi  je  trouve  que  votre  principe  est  défectueux,  outre  qu'il  est 
apparemment  faux,  puisque  celui  dont  je  me  sers  en  sa  place  ne  peut, 
ce  me  semble,  être  contredit,  et  de  cela  j'en  fais  juge  qui  que  ce  soit. 

Sil  redis  BDC  (tig.  48).  cajiis  médium  D,  cenlrum  terrœ  A;  sil  aulem 
recta  DA  vecli  perpendicularis  et  sint  œqiialia  pondéra  ^  et  Cad  centrum 


terrœ  per  rectos  BA,  CA  naturaliter  annuentia  ;  suspendatur  autem  i^ectis 
a  piincto  D  et  a  quaiis  polenfia  retinealur  :  Aio  idem  ponderare  B  et  ("- 
corpora  ila  constituta  an  si  amho  in  piincln  D  ab  eadem  potenlia  deti- 
neanlur. 

Car,  puisque  la  ligne  BC  est  sans  poids  et  que  la  puissance  qui  est 
en  D  abslrahil  a  cenlm.  où  au  contraire  les  poids  B  et  C,  swe  sint  in 
punctis  B  et  C,  sive  in  punclo  D,  vergunt  ad  centrum  motu.  opposilo. 
il  s'ensuit  clairement  que  la  puissance  qui  retiendra  les  poids  aux 
points  B  et  C  les  retiendra  aussi  en  D,  et  vice  versa. 


P)  Foir  Lettre  XIV,  2,  cl  Pièce  XVI. 


XVII.  -  7  DECEMBRE   1636.  91 

Et  n'importe  d'alléguer  qu'il  semble  que  le  mouvement  qui  se  l'ait 
par  des  puissances  parallèles  à  la  ligne  DA  est  aussi  bien  contraire  au 
mouvement  qui  se  fait  sursum  par  la  puissance  qui  retient  en  D  :  car, 

i"  Il  n'est  pas  si  probable  de  dire  qu'un  mouvement  violent  est  con- 
traire à  un  autre  mouvement  violent,  comme  de  dire  qu'un  mouvement 
violent  est  contraire  au  mouvement  naturel. 

2°  Le  mouvement  qui  se  fait  sur  les  lignes  parallèles  à  DA  se  fera 
sur  des  plans  inclinés  à  l'horizon  et  desquels  la  proportion  sera  plus 
inconnue  que  le  principe;  de  sorte  que  ou  il  vous  faut  avouer  la  vérité 
de  mon  principe  ou  démontrer  le  vôtre.  Au  premier  cas,  je  vous  démon- 
trerai ma  proposition  de  mon  second  leviej,  par  vos  propres  maximes; 
j'estime  que  vous  aurez  grande  difficulté  au  second. 

Vous  pouvez  encore  répondre  qu'il  n'est  pas  ici  question  des  mou- 
vemens  qui  se  font  sur  des  plans  inclinés  à  l'horizon,  parce  que  vous 
supposez,  et  je  l'accorde  aussi,  qu'en  tout  mouvement,  si  la  force  qui 
retient  tire  à  l'opposite,  l'équilibre  se  fera  lorsqu'elle  sera  égale  à  la 
force  qui  tire  au  contraire,  et  qu'ainsi,  la  puissance  en  D  tirant  à  l'op- 
posite, l'efTet  de  votre  principe  s'en  ensuivra. 

Mais  je  réponds  que  votre  réponse  seroit  bonne,  si  la  puissance  qui 
est  en  D  étoit  divisée  et  placée  aux  points  B  et  C,  et  qu'elle  tirât  au 
contraire  par  les  mêmes  lignes  que  les  forces,  que  vous  supposez  en 
C  et  B,  meuvent.  Mais  cela  n'étant  pas,  excusez  mon  incrédulité  si  elle 
ne  se  rend  pas  à  vos  raisons,  lesquelles  je  souhaiterois  plus  fortes 
pour  pouvoir  librement  me  dédire  de  tout  ce  que  j'ai  fait  sur  ce  sujet, 
vous  protestant  que  jamais  homme  n'a  été  plus  docile  que  moi  et  que, 
lorsque  je  reconnoîfrai  mes  fautes,  je  les  publierai  le  premier  avec 
toute  franchise. 

2.  .l'ai  été  bien  aise  de  voir  votre  remarque  sur  la  conchoïde  ('), 
et  vous  prie  de  m'en  donner  la  démonstration  et  vous  souvenir  que, 
lorsque  je  vous  écrivis  sur  ce  sujet,  je  le  fis  en  doutant  et  sans  exa- 
miner l'écrit  que  je  transcrivis  d'un  livre  où  je  l'avois  mis  il  y  avoit 

C)  Foir  Lettre  XIV,  8. 


!V2  ŒUVRES   DE   !•  EUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

quatre  ans.  La  construction  i)ourtaiit  convient  au  |)roi)lèine  et  au 
point  niènie  de  votre  proposition,  si  elle  est  vraie,  ce  que  j'attends 
(|ue  vous  nie  contirmiez. 

,1e  vous  prie  aussi  nu'  l'aire  savoir  voire  sentiment  sur  les  autres  pro- 
positions (|iie  je  vous  ai  envoyées  et  votre  réponse  sur  les  autres  points 
(le  ma  (lernière  Lettre  (')  et  me  croire  toujours  etc. 


XVIII. 
FERMAT  A  ROBERVAL. 

MARDI    l6   DÉCEMBRE   l636. 
(  J'a,  p.  i4S-i5i.) 

Monsieur, 

1.  Je  viens  de  recevoir  votre  Lettre  du  29  novembre  (^),  pour  réponse 
il  laquelle  je  vous  dirai  que,  de  la  méthode  que  vous  avez  trouvée  pour 
donner  la  somme  des  quarrécubes  et  quarréquarrés,  je  ne  vois  point 
(|u'on  en  puisse  tirer  une  règle  générale  pour  l'invention  de  la  somme 
omnium  poleslalum  in  infinilntn,  ce  qui  est  requis  à  la  solution  de  mon 
problème  (').  Car  vous  dites  seulement  qu'il  sera  aisé  de  trouver  les 
autres,  après  avoir  vu  celles  dont  vous  baillez  les  exemples;  mais  je 
demande  une  méthode  générale  qui  serve  ad  omnes  potestales,  comme 
Viète  a  trouvé  celles  des  sections  angulaires  (*).  Vous  y  songerez,  s'il 
vous  plaît,  et  j'en  écrirai  cependant  l'invention  et  démonstration  que 
vous  verrez  lorsqu'il  vous  plaira. 

(•)  Letue  XV. 

(')  Celle  Letlre,  lie  Uoberval  à  Fermai,  est  perdue. 
(»)  roir  Lettre  XV,  3. 

(')  Francisci  Vietaî  ad  angulares  sectiones  tlieorcinata  /.aOoXLzajTzpa  denionstrala  per 
Alcxandrum  .4ndersonum.  —  Pages  287  à  3o4  de  l'édition  des  Elzevirs. 


XVIll.  -    16  DECEMBRE  1636.  93 

2.  Pour  ce  qui  est  des  nombres  et  de  leurs  parties  aliquotes  (  '  ),  j'ai 
trouvé  une  méthode  générale  pour  soudre  toutes  les  questions  par 
algèbre,  de  quoi  j'ai  fait  dessein  d'écrire  un  petit  Traité.  Je  crois  que 
vous  aurez  maintenant  vu  la  construction  des  deux  que  j'ai  envoyés 
au  Père  Mersenne;  car  il  m'écrit  qu'il  vous  les  baillera.  Toutes  ces 
questions  sont  très  difficiles,  comme  vous  savez,  et  n'ont  été  traitées 
par  personne. 

3.  J'ai  été  bien  aise  d'être  confirmé  par  votre  lettre  en  l'opinion  que 
j'avois  déjà  conçue  de  M.  de  <  Sainte-Croix  >.  Il  est  pourtant  vrai 
qu'il  doit  avoir  grande  expérience  dans  les  nombres,  car,  lui  ayant 
par  l'entremise  du  Père  Mersenne  proposé  une  question  que  personne 
de  ceux  à  qui  je  l'avois  proposée  n'avoit  encore  pu  soudre,  il  m'a 
envoyé  d'abord  les  nombres  qui  satisfont  à  la  question,  sans  pourtant 
expliquer  sa  construction.  La  question  est  (^)  : 

Invenire  tria  triangula  rectangula  numéro,  quorum  areœ  constituant 
tria  latera  trianguli  rectanguli  numéro,  singulœ  nempe  areœ  singulis 
lateribus  sint  œquales. 

Je  vous  avouerai  que  ce  problème  me  donne  beaucoup  plus  de  [)einc 
qu'à  M.  de  <^  Sainte-Croix  ;>.  Il  est  vrai  que  les  nombres  que  j'ai 
trouvés  sont  différents  des  siens  et  que  peut-être  ai-je  tenu  un  chemin 
plus  difficile,  comme  vous  savez  que  ces  questions  ont  infinies  solu- 
tions. Peut-être  serez-vous  de  mon  avis,  si  vous  essayez  de  satisfaire  à 
la  proposition. 

4.  Vous  verrez  aussi  mes  spirales  C),  desquelles  la  démonstration 
vous  sera  connue  tout  aussitôt  (car  elle  est  pareille  à  celle  des  nou- 
velles figures  {'')  que  j'ai  quarrées  ou  auxquelles  j'ai  trouvé  des  cônes 


(  '  )  Foir  Lettre  XV,  4.  —  Les  deux  nombres  envoyés  au  Père  Mersenne  sont  les  amiables 
17296  et  18416  {voir  IVa  et  IVu). 
(2)  Foir  Observation  XXLX.  sur  Dioplianto  ("Tome  I,  p.  3a i). 
(?)  Foir  Lettre  XV,  6. 
('•)  Foir  Lettre  XIV,  4. 


!)i  Π V  V  R  E  S   I)  i:   r  F.  Il  M  AT.  -  C  0  R  R  E  S  P  0  N I)  A  N  C  E. 

égaux),  vl  vous  uravouercz  que  ci's  propositions  u'illuslrent  pas  pou 
la  Géomélrio. 

Si  .M.  (le  Bcaugraïul  n'a  pas  (Micorc  Irouvé  la  démonstration  de  ces 
questions,  vous  m'obligerez  de  lui  en  l'aire  pari. 

5.  .le  lui  ai  éeril  l'invention  du  centre  de  gravité  de  toutes  ces 
nouvelles  ligures  (  ')  par  une  méthode  particulière,  qui  ne  suppose 
point  la  eonnoissance  de  la  (juadralure,  ce  qui  vous  semblera  merveil- 
leux jusques  à  ce  que  vous  l'aurez  vu.  Il  est  vrai  que  je  lui  ai  envoyé 
l'analyse  seulement  el  non  pas  la  composition  que  je  vous  éclaircirai 
une  autre  Ibis,  parce  qu'elle  a  ses  dilTicullés  et  ne  paroit  pas  d'abord 
par  cette  voie. 

,1'ai  trouvé  le  centre  de  gravité  de  la  parabole  sans  présupposer  la 
quadrature,  comme  a  fait  Archimède,  et  ainsi  on  en  peut  tirer  la  qua- 
drature par  un  simple  corollaire. 

6.  Toutes  ces  proposilions,  ensemble  celles  des  lieux  plans,  solides 
et  ad  superficiem,  que  j'ai  achevées,  et  celles  encore  des  parties  ali- 
quotes  des  nombres,  dépendent  de  la  méthode  (-)  dont  M.  Despagnet 
lie  vous  a  |)u  l'aire  voir  qu'un  seul  cas,  parce  que,  depuis  que  je  n'ai 
en  l'honneur  de  le  voir,  je  l'ai  beaucoup  étendue  et  changée. 

7-  Les  tangentes  des  lignes  courbes  dépendent  aussi  de  lii,  sur 
lequel  sujet  je  vous  proposerai  de  trouver  une  tangente  h  un  point 
donné  en  la  seconde  concho'ide  de  Nicomède  (^). 

8.  An  reste,  je  suis  bien  aise  de  ce  que  vous  ayez  trouvé  la  démon- 


(')  roi>LeUro  XV,  5. 

(S)  ro(>  Lcltre  XIII,  3. 

(3)  Voir  Lettre  XVil,  2.  —  La  seconde  coiioliuïdo  do  Nicomode  (Pnppus,  éd.  IIuUscli. 

[1.  2i4i  1-  '9^  parait  correspondre  à  l'équatioa  en  courdonnées  polaires  :  p  =  — —  —  /^,  en 

supposant  /;  <  n.  (Lp  Iroisiéinc  et  la  quatrième  répondraient  respectivement  aux  cas: 
i)  =  (i;  b  >  a).  jMais  Fermât  entend  i>rolialdemenl  ici  la  conclioïdc  du  cercle.  (Comparez 
Viète,  Supidcincnlum  Ceomcliiœ,  édition  des  Llzesirs,  page  240.) 


XVIII.  -    16  DECEMBRE   1636.  93 

stration,  comme  vous  dites,  de  ce  que,  supposé  qu'aux  paraboles  les 
segmens  (' )  de  l'axe  sont  entre  eux  comme  les  parallélogrammes  aux 
mêmes  paraboles,  il  sera  vrai  aussi  qu'étant  tournées  sur  leurs  axes, 
les  centres  des  solides  seront  où  l'axe  est  divisé  en  raison  comme  les 
cylindres  aux  solides  (  -  ). 

Car,  par  la  voie  dont  j'ai  envoyé  un  exemple  à  M.  de  Beaugrand,  et 
que  je  mettrai  au  long  une  autre  fois,  j'ai  trouvé  la  démonstration  de 
l'antécédent  et,  de  celle  du  conséquent,  que  vous  m'envoierez,  s'il 
vous  plaît,  j'en  tirerai  la  proportion  des  solides  paraboliques  à  leurs 
cônes,  qu'il  seroit  malaisé  de  trouver  autrement  (').  Car  vous  trou- 
verez bien  la  proportion  de  ceux  qui  xïennent post  quadrata  alternatim, 
comme  quarréquarrés,  cubocubes  etc.,  de  quoi  vous  baillez  l'exemple 
au  premier;  mais  in  parabolis  cuhicis.  (juadratociihicis  et  sic  alternis  in 
infinitum,  methodus  qita  usi  sumus  non  dat  proporlionem  conoideôn  ad 
conos;  ex  nostra  autem  methodo.  in  omnibus  omnino  conoidibus  inve- 
nimiis  centrum  gravitatis  :  ergo,  ex  Ina  propositions  dalntiir  proportio 
eorum  ad  conos. 

Je  l'attends  donc  avec  impatience,  puisqu'elle  doit  servir  à  cet 
usage;  si  ce  n'est  que  vous  ayez  trouvé  la  proportion  des  conoïdes 
cubiques,  quadratocubiques,  etc.  à  leurs  cônes,  ce  que  votre  Lettre 
semble  marquer,  auquel  cas  je  vous  supplie  m'envoyer  lesdites  pro- 
portions. 

Ce  n'est  pas  que  je  doute  de  la  vérité  de  votre  proposition;  mais 
permettez-moi  de  vous  dire  que  je  me  suis  délié  que  vous  en  eussiez 
trouvé  la  démonstration  et  que  j'ai  cru  seulement  que  vous  en  avez 
fait  l'expérience  aux  conoïdes  paraboliques  des  quarréquarrés,  cubo- 

(')  C'est-à-dire  que  le  centre  de  gravité  do  l'aire  2  /  jrf.rde  la  parabole  ./'"  = /),r 
divise  l'abscisse  x  dans  le  rapport  m  -t-  i  à  m. 

('^)  C'est-à-dire  que  le  centre  de  gravité  du  solide  71  /  y'^^dx  engendré  par  la  parabole 
y  m  =  p.r  divise  l'abscisse  -v  dans  le  rapport  m  -t-  2  à  m. 

■  r  - 

('  )  D  après  ce  passage,  Fermât  n  aurait  alors  possédé  la  quadrature  J  .i"'d.i:  que  dans  le 
cas  où  m  est  pair. 


90  ŒUVRES  DE   FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(■iil)es  etc.  altcrnis.  3rais  la  coiiiKiissaix'e  (luo  j'ai  de  votre  savoir  fait 
que  j'espère  que  vous  me  détromperez. 

9.  l'our  ce  (|ui  est  de  la  proportion  (^  '  )  du  solide  qui  se  (ait  sur  un 
diamètre  de  la  parabole  parallèle  à  l'axe,  ma  construction  est  différente 
de  la  vôtre  :  il  seroit  inutile  de  l'ajouter,  puisqu'elles  concluent  toutes 
deux. 

10.  .le  me  trouve  obligé  d'ajouter  un  mot  touchant  votre  proposi- 
tion méchanique  {-),  parce  que  le  Père  Mersenne  m'écrit  qu'enfin  j'ai 
acquiescé  à  votre  opinion,  ce  que  pourtant  je  ne  saurois  faire  par  les 
raisons  que  vous  allez  voir,  et  vous  puis  assurer  que  jamais  je  ne  fus 
mieux  confirmé  en  la  proposition  de  mon  second  levier  (')  que  je  le 
suis  maintenant,  car,  pour  celle  du  premier,  il  la  faut  établir  par 
de  nouveaux  principes,  puisque  vous  avez  nié  ceux  que  j'estimois  si 
clairs. 

Si  votre  principe,  duquel  je  vous  ai  déjà  écrit  par  ma  dernière 
Lettre  {''),  est  vrai,  il  s'ensuit  manifestement  qu'un  même  corps  appro- 
chant du  centre  de  la  terre  changera  son  poids. 

In  secunda  figura  (fi g.  49)  sit  vectis  CAB,  cujiis  médium  A  cum  centra 
terrez  N  per  rectam  AN,   ad  veclem   peroendicularem ,    iungatur.    In 

Fig-  49' 


punctis  C  et  B  pondéra  C  et  B  cequaba  constitiiantur  et  similia ,  quœ  ad 
centrum  per  rectas  CN,  BN  annuant. 

C;  Proportion  au  cylindre  ou  au  cône  de  même  base  et  même  liaulcur,  c'est-à-dire  cu- 
ba lu  re. 
(2)  ^o(>  Pièce  XVI. 
(')  roir  Pièce  V,  2  et  5. 
(»)  ro/r  Lettre  XVII,  1. 


XVIII.  -  16  DECEMBRE  1636.  97 

Si  rectœ  NC,  NB  essc/it  ad  veclejn  perpendiculares,  potentia  in  A.,  œqiia- 
lis  (htobus pondei'ibus  B  et  C,  ex  tuo principio  detineret  l'ectem.  Sed,  quum 
angulos  ^CA,  ^BXacutos  efficiant,  aiit  eadem  mil  minor  aiU  major  po- 
tentia requiretur  in  A  ad  œquilibrium. 

Si  eadem  potentia  facit  œquilihiium,  verum  eiit  principium  qito  in  pra- 
cedenti  ad  te  epistola  usi  sumiis  :  qiiod  si  fatearis,  statim  vectem  nostrum 
demonstrabimus. 

Si  major  aiit  minor  potentia  œquilibrium  constituit,  ergo,  in  primo 
casu,  quô  minuentur  magis  anguli  rectarum  CN,  EN  cum  vecte,  eu  major 
requiretur  ad  a'quilibrium  potentia  ;  in  secundo  casu,  minor.  Supra  punc- 
lum  A  idem  veclis,  in  eadem  direclionis  linea,  similiter  ponatur,  ut  in 
figura;  minuentur  (  '  )  anguli  linearum  CN,  BN,  ut  patet  :  variabit  igitur 
potentia  œquilibrii  in  A  conslitula,  ideoque  pondus  ex  gravibus  ^  et  (\ 
compositum,  pro  diversa  a  terne  centra  distantia,  erit  etiam  diversum. 

Primam  partem  dilemmatis  quominus  fatearis,  impedit  tua  propositio  : 
quippe,  hoc  dato,  corrueret.  Fatearis  igitur  necesse  est,  aul  potentiamin  A 
rariare  pro  diversitate  angulorum,  aut  eamdem  semper  esse  in  omni  angu- 
lorum  acutorum  positione,  sed  tamen  inœqualem  potentiœ  quw  detinri 
potentias  ad  vectem  perpendiculares. 

Utrum  libet  concesseris,  manifestissimâ  demnnstratione  detcgitur  parii- 
logismus,  quem  tuœ  demonstrationi  irrepsisse  nec  reritas  quam  quœrimus 
palilnr  dissimulare,  nec  tu  ipse poteris  forlasse  difjileri. 

H.  In  prima  figura  (fig-  Jo),  qtuv  est  quarta  tuœ  propositionis  (-), 
lus  rerbis  ita  construis. 

«  Soit  le  contre  de  la  balance  A  etc.  {voir  page  79,  ligne  10  à  page  80, 

ligne  4) équilibre  avec  la  puissance  Esur  le  bras  AC.  » 

Hic  vertitur  cardo  tuœ  demonslrationis. 

Et  primo,  si  dixeris  in  omni  angulorum  acutorum  positione  eamdem 

(')  Le  texlc  semble  corrompu,  mais  ne  peiil  ùlre  rétabli  sûrement,  la  figure  originale 
faisant  défaut.  Si  la  droite  CB  est  tracée  au-dessus  du  point  A  (supra),  les  angles  C  et  B 
augmentent  {migehuiitiw)  au  lieu  de  diminuer.  Avec  miiuicntur,  il  faudrait  infrn,  qui  est 
la  leçon  la  plus  probable  au  lieu  de  supra,  à  moins  que  la  figure  ne  fût  retournée. 

(2)  Comparez  en  effet  la  /%.  \i,  qui  est  la  quatrième  de  la  Lettre  XIV. 

['"ermat.   —    II.  l3 


!)S  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

semper  potcntiam  requiri  ad  œquilihriiim,  slalini  dcmonstraho  meam  de 
veclc  propositionem  ;  fatearis  igitur  necesse  est,  rariarc  potendam  prou/ 
angii/i  varia/Il . 

Fig.  5o. 
C  A  F 


h;e 


His  posais,  esto,  siplacet,  in  exposUa  figura  centrum  terrœ^  inquod 
rectœ  CE,  BD  dirigantur,  et  sinl  in  punclis  E  ef  D  pondéra  seu  gravia  in 
proporlionc  data,  quod  quidem  liberum  esse  tua  innuit  constructio. 

Imo  hue  tantum  abs  te  tenditur  ut,  per  potentias  imaginarias  ah  omni- 
bus omnino  parlibus  izxpaXki^Xb)^  moventes,  inveniatur  proportio  ponde- 
rum  in  vecte  quiescente  :  aliter  quippe,  quum  hujusmodi  potentiœ  nullibi 
in  reruni  natura  reperiantur,  inutiles prorsus  essent. 

Inpunctis  H  e^  G  construis  potentias  ponderibus  E  et  D  œquales,  quœ  ah 
omnibus  ipsariun  partibus  r^v.py.'k'kr^'kijj:;  moveant.  Potentiam  deinde  H 
potentiœ  E  œqualiter  movere,  concludis  per  primum  tuorum  axiomatum. 
quia  ncmpe  trahet  H  potentia  per  punctum  C  et  rectarn  HC  perpendicula- 
rem  vecti;  trahet  etiam  pondus  E  per  eamdem  rectam  vecti  perpcndicula- 
rem  :  quum  igitur  œquales  potentiœ  per  eamdem  rectam  et  eumdem  angu- 
lum  moveant  et  circa  eamdem  a  vectis  ccntro  distantiam,  pondus  E  et 
imaginaria  ^potentia  œqualiter  trahunl. 

Id,  i^erisimile  quum  sit,  verilatem  intimam  quœrentibus  non  potest  non 
vulerifalsissunum.  Pondus  in  E  sit  sphœricum,  verbi  gratia;  omnes  om- 
nino ipsius  parles  ad  centrum  N  tendunt  per  rectas  in  eodem  N  centra  con- 
currentes et  vectem  AC,  si  continuentur,  ad  angulos  acutos  sécantes  :  ergo 
potentiœ,  abs  C  utrimque  œqualiter  remotœ,  intelligentur  vectem  ad  angu- 
los acutos  suis  motibus  sécantes.  Contra,  quum  parles  omnes  potentiœ  H 
-apaXXïjXcjç  moveant,  intelligentur  potentiœ,  abs  C  utrimque  œqualiter 
remolœ,  ad  angulos  rectos  vectem  suis  motibus  sécantes. 


XVIII.  -   FEVRIEK  1636.  99 

Quum  igitur  partes  omnes  potentiœ  H  simid  sumptœ  œquentur  partihus 
omnibus polentiœ  seu  ponderis  E  simul  sumptis  {tôt a  enim  potentia  H  ton 
ponderi  E  œquatur),  patet,  exjam  traduis, potentiarum  H,  E  w  piinctis  H 
et  E  inœqualem  esse  motum  ;  f/uod  igitur  de  potentia  H  concludit  demon- 
stratio,  perperam  ad  pondus  E  porrigit. 

12.  S'il  me  restoit  du  temps  ou  du  papier,  j'ajouterois,  suivant  voire 
désir,  la  démonstration  des  cônes  isopérimètres  (').  Ce  sera  une  autre 
fois,  me  réservant  encore  de  vous  écrire  quelque  chose  de  plus  re- 
cherché sur  les  Méchaniques,  à  la  charge  que  vous  m'obligerez  de 
croire  que  je  n'aurois  garde  de  m'opiniâtrer  après  une  proposition,  si 
je  ne  la  croyois  véritable,  et  que  je  la  quitterai  un  moment  a|)rès  que 
de  nouvelles  raisons  l'emporteront  sur  les  miennes. 

Je  suis  etc. 

(>)  Voir  Lettres  XIV,  11  et  XV,  8. 


100 


(EUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNEE    1637. 


XIX. 

FERMAT  A  ROBERVAL. 

<    FÉVRIER    1637    > 

(  ^'rt,  p.   i5i-!.):>.) 


Monsieur  . 


1-  Je  trouve  assez  de  loisir  pour  vous  envoyer  encore  la  construc- 
lion  du  lieu  plan  :  Si  a  quotcumque  de.  ('),  que  je  tiens  une  des  plus 
belles  propositions  de  la  Géométrie,  et  je  crois  que  vous  serez  de  mon 
avis. 

Sinl  dataquotlibet piincta,  quinque  verbi  gratia.  A,  G,  F,  H,  E  (tig.  5i) 

Fig.  5i. 
N 


A  li        C        0  D  E 

(nain  propositio  est  generalis),  quœrkur  circulus  ad  cujus  circumfercu- 
liam  in  quolibet  punclo  inflectendo  rectas  a  dalis punclis ,  quadrala  om- 
nium sint  œqualia  spatio  dalo. 

C)  Foir  Tome  I,  p.  37,  la  proposition  V  du  Livre  II  des  Lieiiv  plans  d'Apollonius.  — 
Cp.  Lettre  XIII,  7.  —  La  présente  semble  n'être  qu'un  Irasjment  d'une  Lettre  perdue. 


\1X.  -  FÉVRIER   1637.  101 

.lungantur  puiiela  qusevis  A  et  E  por  rectam  AE,  iii  qiiam  al)  aliis 
punctis  datis  cadant  perpendiculares  GB,  HD,  FC.  Omnium  rectaruni, 
punctis  datis  vel  occursu  perpendicularium  etpuncto  A  terminatarum, 
sumatur  pars  conditionaria,  quintans,  verbi  gratia,  in  hac  specie  : 
quintans  ergo  rectaruni  AB,  AC,  AD,  AE  simul  sumptarum  esto  AO,  et 
a  puncto  0  excitetur  perpendicularis  infinita  ON,  a  qua  rcsecetur  01 
pars  conditionaria  (quintans  nempe  pro  numéro  punctorum  datorum) 
perpendicularium  GB,  FC,  HD,  et  inteiligantur  jungi  recttc  AI,  GI,  FJ, 
HI,  El.  Quadrata  istarum  quinque  erunt  minora  spatio  dato  :  deman- 
tur  igitur  a  spatio  dato  et  supersit,  verbi  gratia,  Z  planum,  cujus  quin- 
tans (pars  nempe  conditionaria)  sumatur  et  in  quadratum  31  redigatur. 
Circulus,  centro  I,  intervallo  M  descriptus  satisfaciet  proposito  :  hoc 
est,  quodcumque  punctum  sumpseris  in  ipsius  circumferentia,  recta- 
runi a  datis  punctis  ad  illud  punctum  ductarum  quadrata  erunt  a-qua- 
lia  spatio  dato. 

Adderem  demonstrationem,  sed  longa  sane  est,  et  malim  vestrum 
amborum  sollicitare  geniuni  ad  eam  inveniendam. 

2.  Non  soluni  autem  has  propositioncs,  sed  omnes  omnino  de  lacis 
planis  absolvi,  imo  bicos  quamplurimos  adinveni,  de  quibus  nibil 
scripserat  Apollonius,  qui  tamen  sunt  pulcherrimi,  verbi  gratia  (')  : 

Datis  tribus  punctis  in  recta  A,  B,  C  (fig.  02),  invenire  circuli  circum- 

Fis.  52. 


ferentiam,  in  qua  sumendo  quodlibet  punctum,  ut  N,  quadrata  k^,  NB 
superent  quadratum  NC  spatio  dato. 

(')   Voir  Tome  I,  p.  3i,  la  seconde  addition  de  Fermai  à  la  proposition  1  du  Livre  II  des 
Lieux  plans. 


102  (EUVRES   ni:  FERMAT.-  COllUKSPONDANCE. 

Di»  /ocis  so/idis  cl  ad  superficicm  multa  (iiKuitic  jaiii  siint  delocla. 

Casiis  lofi  plaiii  superioris,  non  addo,  iiam  paU'bunt  statim.  —  Si 
puncta  data  sint  tant  uni  tria  el  constituanl  triangulum,  centriim  circuli 
localis  erit  ccniruni  gravitatis  illius  triangiiU,  et  ha'C  prupositio  siiign- 
laris  satis  est  mira. 

3-  S(h1  hic  non  nioror.  i'ropositioiicia  universalissimam  ita  coiisti- 
tuo  et  jam  construxi  (' )  : 

>Y  a  dalis  quolUbel  punclis  injleclanlur  rectœ,  el  cxpunanlur  omnium 
species  in  data  proportione  crescentes  aul  déficientes,  erunt  species  ita 
aurlœ  aut  deminutœ  dato  spatio  œquales. 

Exemplum  :  Sint  data  tria  puncta  in  superiori  tigura  A,  B,  C,  et 
<|ua'rendus  circulas  in  cujus  circumferenlia  sumendo  quodiibet  punc- 
(uin,  ut  N,  quadrati  NA  dimidium,  verbi  gratia,  quadrati  BN  dupium 
et  quadrati  CN  triplum  simul  juncta  conficiunt  spatium  datum,  et  de- 
nionstratio  ad  quamlibct  proportionem  et  quotlibet  puncta  porrigenda. 

Hanc  propositioneni,  pulcherrimam  sane,  videtur  non  vidisse  Apol- 
lonius. 


XX. 

ROBERVAL  A  FERMAT. 

SAMEDI    k   AVRIL    1637. 

(/'a,  p.  i')j-i.)3.) 
MONSIELU, 

1-  Ouoique  j'eusse  reçu  dès  lundi  dernier  votre  démonstration  du 
lieu  plan  (^),  néanmoins  mes  occupations,  tant  publiques  que  parti- 
Ci)  Généralisation  de  la  proposition  V  (lu  Livre  II  dos  Lieux  plans. 
(2)  J'oir  Lettre  XIX,  1.  —  Roberval,  dans  une  Lettre  perdue,  avait  demandé  la  démon- 
stration de  l'énoncé  donné  pur  Format. 


XX.  —  4  AVRIL  1C37.  103 

culières,  ne  me  permirent  point  de  la  considérer  jusques  à  jeudi  que 
je  la  présentai  de  votre  part  à  l'assemblée  de  nos  mathématiciens,  qui 
étoit,  ce  jour-là,  chez  M.  de  Montholon,  conseiller,  où  elle  fut  reçue, 
considérée,  admirée  avec  étonnement  des  esprits,  et  votre  nom  élevé 
jusques  au  ciel,  avec  charge  particulière  à  moi  de  vous  remercier  au 
nom  de  la  Compagnie  et  vous  prier  de  m'envoyer  tout  d'une  main  la 
composition  du  lieu  solide  (*)  avec  une  brève  démonstration,  afin  de 
faire  imprimer  les  deux  ou  sous  votre  nom  ou  sans  nom,  comme  vous 
le  voudrez;  en  quoi  nous  aurons  le  soin  d'étendre  plus  au  long  ce  qui 
semblera  trop  concis  pour  le  public. 

Cependant,  il  y  eut  débat  à  qui  auroit  votre  écrit  pour  en  tirer  copie, 
chacun  m'enviant  le  bonheur  de  la  communication  que  j'ai  avec  vous; 
mais  M.  le  président  Pascal,  à  qui  le  premier  je  l'avois  mis  entre  les 
mains  et  qui  l'avoit  lu  à  la  Compagnie,  donna  arrêt  en  sa  faveur,  se 
fondant  sur  la  maxime  :  quitenel,  teneat,  et  pour  faire  droit  aux  parties 
intéressées,  se  chargea  lui-même  de  leur  en  fournir  copie,  ordonnant 
que  puis  après  l'original  me  seroit  remis  entre  les  mains. 

Je  leur  avois  dès  auparavant  communiqué  la  construction  et  un 
nommé  M.  Le  Pailleur  avoit  trouvé  la  démonstration  particulière  pour 
trois  et  pour  quatre  points,  si  différente  de  la  vôtre  que  c'est  une  chose 
étrange.  Il  y  avoit  apparence  qu'avec  le  temps  il  eût  trouvé  une  démon- 
stration générale;  mais  il  confesse  que  cette  recherche  le  tuoit  et  qu'il 
vous  a  une  particulière  obligation  de  l'avoir  délivré  d'une  peine  presque 
insupportable. 

2.  Pour  moi,  je  ne  me  puis  promettre  aucun  loisir  que  trois  mois  ne 
soient  passés,  pour  être  délivré  de  mes  leçons  publiques  et,  quand 
j'aurois  ce  loisir,  je  ne  serois  pas  assuré  de  trouver  le  lieu  solide,  le- 
quel je  prévois  très  difficile.  C'est  pourquoi,  dès  maintenant,  je  vous 
ferai,  si  vous  voulez,  une  ample  déclaration  de  mon  impuissance,  afin 
que,  sans  me  tenter  plus  longtemps,  et  qu'ayant  égard  aux  prières 
d'une  telle  Compagnie  que  celle  dont  je  vous  parle,  vous  nous  fassiez 

(  '  )  Le  lieu  solide  ad  très  et  quatuor  tineat.  J'oir  Lettre  XXI,  2. 


!(>■,  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CUHUESPONDANCE. 

j);irl  tlo  volro  invention.  (|ui  csl  (cllo  (jnc  le  ij;r;in(l  géomètro  (')  dos 
siècles  passés  se  glorifioit  particulièromcnl  d'y  avoir  ajouté  la  porf'cc- 
lion.  en  ayant  reçu  l'invenlion  de  ceux  ([ui  l'av(Hen(  précédé.  Jugez 
comliien  vous  avez  occasion  de  vous  glorifier  de  l'avoii'  Ironvée  en  un 
temps  auquel  elle  étoil  en  même  étal  que  si  elle  n'avoit  jamais  été 
connue. 

3.  il  m'est  eiilin  paru  quelque  lumière  pour  le  centre  de  gravité  des 
paraboles,  en  considérant  les  centres  des  parallélogrammes  circonscrits 
comme  s'ils  étoient  tous  posés  sur  une  même  base,  différant  seulement 
en  hauteur.  .Mais,  comme  ces  lumières  me  viennent  an  matin  en  me 
levant  et  ([u'il  faut  du  loisir  pour  les  éclaircir,  je  ne  me  puis  pas  pro- 
mettre d'en  venir  à  bout  si  tôt.  Si  vous  me  délivrez  de  cette  peine,  je 
vous  en  aurai  l'obligation  entière. 

Je  suis  etc. 


XXI. 

FERMAT  A  ROBERVAL(-). 
n;.M)i  20  AViiiL  1037. 

(  /'rt,  p.  i53-i.) J.  ) 
MONSIKIU!, 

1.  Je  ne  pus  pas  vous  écrire  par  le  dernier  courrier,  à  cause  des 
occupations  auxquelles  je  me  trouvai  engagé;  je  prends  maintenant  la 
])lume  j)()ur  vous  témoigner  que  je  suis  beaucoup  obligé  à  ces  Messieurs 
il  qui  vous  avez  fait  voir  ma  proposition,  auxquels  vous  assurerez,  s'il 
vous  plail.  ([Ile  j'estime  beaucoup  plus  leur  approbation  que  mon  ou- 
vrage. Leur  savoir  est  si  connu  que  je  ne  puis  in'empècher  d'être  glo- 

(  '  )  Apollonius,  préface  du  Mmc  1  des  Cuniqucs  (page  8  de  l'édilion  llalley). 
I  -)  Réponse  à  la  Lellre  précéd<'nte. 


XXI.   -  20  AVRIL   1637.  105 

ricux  d'avoii"  écrit  et  inventé  quelque  chose  qui  leur  plaise,  -le  ne 
prétends  pas  par  là  vous  exclure  du  nombre  ;  au  contraire,  les  marques 
dCiVotre  savoir  m'étant  plus  particulièrement  connues,  je  juge  parla 
(jucis  doivent  être  ceux  qui  confèrent  avec  vous. 

2.  Au  reste,  je  vous  eusse  envoyé  les  lieux  solides  ad  très  et  quatuor 
lineas,  n'étoit  que  j'ai  cru  que  M.  de  Beaugrand  ne  fera  pas  dilficulté 
de  bailler  à  M.  de  Carcavi  le  lieu  ad  très  lineas,  que  je  lui  envoyai,  il  y 
a  longtemps,  avec  la  démonstration  (').  Dès  que  vous  aurez  celui-là,  je 
vous  envolerai  l'autre.  Si  j'avois  retenu  copie  de  celui  ad  1res  lineas, 
je  n'eusse  pas  fait  difficulté  de  vous  l'envoyer;  mais,  ne  l'ayant  plus, 
j'ai  voulu  ménager  la  peine  qu'il  m'eût  fallu  prendre  à  le  refaire,  à  la- 
quelle je  me  porterai  pourtant,  si  M.  de  Beaugrand  ne  le  baille  pas. 

3.  Vous  verrez  entre  les  mains  de  M.  de  Carcavi  les  deux  Livres  De 
locis planis  (-),  que  j'avois  promis  depuis  longtemps  à  M.  de  Beaugrand 
et  que  j'ai  à  dessein  envoyé  un  courrier  plus  tôt  que  je  ne  lui  avois  fait 
espérer,  afin  que  vous  puissiez  cependant  les  voir.  Vous  m'obligerez 
de  m'en  écrire  avec  franchise  votre  sentiment;  je  ne  doule  pas  que  la 
chose  n'eût  pu  se  polir  davantage,  mais  je  suis  le  plus  paresseux  de 
tous  les  hommes. 

.le  serai  bien  aise  que  vous  m'écriviez  aussi  quelles  de  ces  proposi- 
tions vous  étoient  connues  et  quelles  non,  et  en  cas  que  vous  en  ayez 
vu  quelqu'une,  principalement  du  deuxième  Livre,  si  elles  étoient  pa- 
reilles à  celles  que  vous  verrez.  Car  il  y  a  huit  ans  que  le  deuxième 
Livre  est  écrit  et  en  ce  temps  j'en  baillai  deux  copies,  l'une  à  M.  Des- 

pagnet,  conseiller  au  parlement  de  Bordeaux,  et  l'autre  à  M.  de ,  si 

bien  que  peut-être  quelqu'une  de  ces  propositions  aura  été  divulguée. 
Peut-être  vous-même  ou  quelqu'autre  de  ceux  de  votre  Compagnie  en 
ont  l'ait  une  partie. 

Éclaircissez-moi  de  tout  au  vrai  et  vous  m'obligerez  beaucoup  etsur- 

(1)  C'est  la  Pièce  publiée  Tome  I,  pages  87-89.  La  dcmonslralion  du  lieu  ad  i/iurtuor 
lineas  est  perdue. 

(2)  f'oir  Tome  I,  pages  3  à  5i. 

l'EBMAT.  —   II.  '"4 


106  GÎUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

tout  qiio  votre  jugement  suive  toutes  ees  propositions,  s'il  vous  plait; 
je  l'attends  pour  réponse  à  celle-ci. 

4.  Au  reste,  quoi  qu'on  juge  digne  d'impression  de  moi,  je  ne  veux 
pas  que  mon  nom  y  paroisse. 

Je  me  réserve  à  vous  entretenir  plus  amplement  une  autre  l'ois;  ce- 
pendant vous  saurez  qu'outre  les  lieux  plans  et  solides  qui  sont  dans 
Pappus.  j'en  ai  trouvé  grande  quantité  de  très  beaux  et  dignes  de  re- 
marque, que  je  n'ai  pourtant  osé  mêler  avec  ceux  d'Apollonius.  J'en  ai 
plus  de  cent  propositions  très  belles  et  particulièrement  des  lieux  so- 
lides et  ad  superjiciern,  mais  le  loisir  me  manque. 

Je  n'ai  pas  voulu  faire  le  grammairien  en  expliquant  au  menu  le 
texte  de  Pappus;  il  suffît  que  j'aie  pris  son  sens,  comme  je  crois  (|uc 
vous  m'avouerez. 

J'attends  votre  réponse  et  suis  etc. 


XXII. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

<  SEPTEMBRE    1637   > 

(D,  111,37.) 

Mon  Révkrem)  Père, 

1-  Vous  me  demandez  mon  jugement  sur  le  Ti'aité  de  l)ioplii(|U('  de 
,M.  Descartes  (  '  );  il  est  vrai  (jne  le  peu  de  temps  que  M.  de  lîeaugrand 

(M  l.e  premier  Volume  publié  par  nescartes  :  —  Discours  \  de  la  Méthode  \  pour  bien 
conduire  sa  raison,  et  chercher  \  la  vérité  dans  les  sciences.  \  Plus  \  la  Dioptrique  \  les 
Météores  \  et  \  la  Géométrie  \  qui  sont  des  essais  de  cette  Méthode.  —  ./  Leydc  \  Dr 
l'Imprimerie  de  Jan  Maire  |  CIO.IO.CXXXVII.  Juec  Priuilcgc.  —  ne  parvint  en  France 
et  ne  fui  distribué  (par  Mcrsonne)  que  vers  la  fin  de  1637.  Mais,  avant  raehéveuienl  <\o 
l'impression  et  à  l'appui  de  la  demande  du  privilège,  ipii  l'ut  accordé  le  4  mai.  Descartes 
avait  envoyé  un  exemplaire  au  Minime,  q\ii  le  communiqua  par  |>arlies  à  différentes  per- 
sonnes, (^'csl  ainsi  qu'il  prit  l'avis  do  Fermai  sur  la  Dioptriquc .  (pii  parait  cependant  avoir 


XXII.  -  SEPTEMBRE  1637.  107 

m'a  donné  pour  le  parcourir  semble  me  dispenser  de  l'obligation  de 
vous  satisfaire  exactement  et  par  le  menu,  outre  que,  la  matière  étant 
de^oi  très  subtile  et  très  épineuse,  je  n'ose  pas  espérer  que  des  pen- 
sées informes  et  non  encore  bien  digérées  puissent  vous  donner  une 
grande  satisfaction.  Mais  d'ailleurs,  quand  je  considère  que  la  recherche 
de  la  vérité  est  toujours  louable,  et  que  nous  trouvons  souvent  à  tâtons 
et  parmi  les  ténèbres  ce  que  nous  cherchons,  j'ai  cru  que  vous  ne  trou- 
veriez pas  mauvais  que  je  tâchasse  à  vous  débrouiller  une  mienne 
imagination  sur  ce  sujet,  laquelle,  étant  encore  obscure  et  embarras- 
sée, j'éclaircirai  peut-être  davantage  une  autre  fois,  si  mes  fondemens 
sont  approuvés,  ou  si  je  ne  change  pas  moi-même  d'avis. 

2.  La  connoissance  des  réfractions  a  toujours  été  recherchée,  mais 
inutilement.  Alhasen  et  Vitellion  (  '  )  y  ont  travaillé  sans  avancer  beau- 
coup; et  ceux  qui  sont  venus  depuis  ont  très  bien  remarqué  que  tout 
se  réduisoit  à  établir  une  certaine  proportion,  parle  moyen  de  laquelle, 
une  réfraction  étant  connue,  on  pût  aisément  trouver  toutes  les  autres; 
de  sorte  que  tous  les  fondemens  de  la  Dioptrique  doivent  consister  en 
ce  point,  c'est-à-dire  en  la  convenance  cl  au  rapport  (ju'iine  réfraction 
connue  a  à  toutes  les  autres. 

Cela  supposé,  il  a  été  nécessaire  que  ceux  qui  ont  voulu  établir  les 
principes  de  la  Dioptrique  aient  cherché  cette  convenance  et  ce  rapport. 

été  envoyée  à  Toulouse  par  Bcaugrand  sans  son  aveu.  En  tout  cas.  il  ressort  delà  fin  de  la 
présente  Lettre  que  les  autres  parties  ne  furent  pas  dès  lors  communiquées  à  Fermât,  et 
<]u'il  ignorait  même  qu'elles  dussent  être  réunies  en  un  seul  Ouvrage. 

La  date  réelle  de  cette  Lettre  est  très  inccrlaine;  nous  l'avons  supposée  du  mois  de  sep- 
tembre, la  réplique  de  Descartes  (Lettre  XXIII  ci-après)  étant  certainement  de  la  pre- 
mière quinzaine  d'octobre.  Mais  il  se  peut  très  bien  que  iMersenne  ait  gardé,  même  plu- 
sieurs mois,  la  Lettre  de  Fermât. 

Au  reste,  ce  dernier  n'avait  pas  été  prévenu  que  sa  critique  serait  communiquée  à  l'au- 
teur de  la  Dioptrique  et  il  se  plaignit  à  .Mersennc  quand  il  eut  connaissance  de  l'indiscrétion 
de  celui-ci  (Lettres  de  Descartes,  éd.  Clerselier,  111,  55,  p.  298). 

(')  oPTic.E  THESAVRVS.  —  Alliazeui  Arabis  libri  septeni,  nunc  primùm  edili.  Ejusdem 
liber  de  crepusculis  et  nubium  ascensionibus.  Item  Vitellionis  Thuringopoloni  libri  X.  — 
Omnes  instaurati,  figuris  illustrati  et  aucti,  adjectis  etiam  in  Alhazenum  commenlariis  a 
Federico  Risnero.  —  Cum  privilegio  Ca?sareo  et  Kegis  Galliœ  ad  sexennium.  Basile»,  per 
Episcopios,  M.D.LXXU. 


lOS  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

^laurolic,  abbé  ilo  Mossiiic.  cii  son  Traité  posthume  De  lumine  et  iim- 
hra  (  ').  a  soutomi  (|ue  les  angles  (|ti'oM  appelle  d'incidence  sont  pro- 
portionaux  àeeiix(iiron  nomme  de  rélVaelion.  Si  cette  proposition  étoit 
vraie,  elle  snlïiroit  pour  nous  marquer  les  vraies  figures  que  doivent 
avoir  les  corps  diaphanes  qui  produisent  tant  de  merveilles  ;  mais, 
pour  ce  qu'elle  n'a  pas  été  bien  démontrée  par  Maurolic,  et  que  l'expé- 
rience même  semble  la  convaincre  de  faux,  il  en  est  resté  assez  i» 
M.  Deseartes  poui"  exercer  son  esprit,  et  pour  nous  découvrir  de  nou- 
velles lumit*res  dans  ces  corps,  qui,  pour  en  être  seuls  capables,  n'ont 
pas  laissé  de  produire  jusques  à  présent  de  grandes  obscurités.. 

Son  Traité  de  la  Dioptrique  est  divisé  en  plusieurs  discours,  des- 
quels les  principaux  sont,  ce  me  semble,  les  deux  premiers,  qui  par- 
Iciil  de  la  lumière  et  de  la  réfraction,  pource  qu'ils  contiennent  les 
fondemens  de  la  Science,  dont  on  voit  ensuite  les  belles  conclusions  et 
conséquences  ([u'il  en  tire. 

3.  Voici  à  peu  près  son  raisonnement  (^)  :  La  lumière  n'est  autre 
chose  que  l'inclination  que  les  corps  lumineux  ont  à  se  mouvoir;  or, 
cette  inclination  au  mouvement  doit  probablement  suivre  les  mêmes 
lois  que  le  mouvement  même;  et  partant,  nous  pouvons  régler  les 
eilels  de  la  lumière  par  la  connoissance  que  nous  pouvons  avoir  de 
ceux  du  mouvement. 

Il  considère  ensuite  le  mouvement  d'une  balle  dans  la  réflexion  e( 
dans  la  réfraction,  et  pour  ce  qu'il  seroit  inutile  et  ennuyeux  de  copier 
ici  tout  son  discours,  je  me  contenterai  de  vous  marquer  simplement 
les  observations  que  j'y  ai  faites. 

4.  Je  doute  premièremenl,  et  avei'  raison,  ce  me  semble,  si  l'incli- 
nation au  mouvement  doit  suivre  ii's  lois  du  mouvement  mèaie,  puis- 

(  ')  Abbalis  Francisci  Maurolyci  Messancnsis.  Pliolismi  de  iLiniiiie,  et  umbia  ad  perspec- 
tivam,  et  radionim  incidenliam  facienles.  —  Diaphaiiorura  partes,  seu  Libri  très  :  in  quo- 
rum primo  de  perspiciiis  corporibus,  in  secundo  de  Iride,  in  tertio  de  organi  visualis  slriic- 
lura,  et  conspiciliorum  formis  agitur.  —  Problemata  ad  perspcctivam,  et  Irideni  pertinentia. 
—  Onmia  nunc  prinium  in  hiccni  édita.  —  Neapoli,  ex  Typograpliia  Tanpiinii  Long!. 
M.UC.XI.  Superioruni  pcrmissu. 

(!)  Page  8  de  l'édition  originale  du  Traité  de  Descaries. 


XXII. 


SEPTEMBRE   1637. 


109 


qu'il  y  a  autant  de  ditrércnce  de  l'un  à  l'autre  que  de  la  puissanee  à 
l'acte;  outre  qu'en  ce  sujet,  il  semble  qu'il  y  a  une  particulière  discon- 
venance, en  ce  que  le  mouvement  d'une  balle  est  plus  ou  moins  vio- 
lent, à  mesure  qu'elle  est  poussée  par  des  forces  différentes,  là  où  la 
lumière  pénètre  en  un  instant  les  corps  diaphanes  et  semble  n'avoir 
rien  de  successif.  Mais  la  Géométrie  ne  se  mêle  point  d'approfondir 
davantage  les  matières  de  la  Physique. 

5.  En  la  figure  {fig.  53)  par  laquelle  il  explique  la  raison  de  la  ré- 
flexion, page  i5  de  la  Dioptrique  ('),  il  dit  que  la  détermination  à  se 

Fig.  53. 


mouvoir  vers  quelque  côté  peut,  aussi  bien  que  le  mouvement  et  gé- 
néralement que  toute  autre  quantité,  être  divisée  en  toutes  les  parties 
desquelles  on  peut  imaginer  qu'elle  est  composée,  et  qu'on  peut  aisé- 
ment imaginer  que  celle  de  la  balle  qui  se  meut  d'A  vers  B,  est  compo- 
sée de  deux  autres,  dont  l'une  la  fait  descendre  de  la  ligne  AF  vers  la 
ligne  CE  et  l'autre  en  même  temps  la  fait  aller  de  la  gauche  AC  vers  la 
droit(^  FE,  en  sorte  que  ces  deux,  jointes  ensemble,  la  conduisent  jus- 
ques  à  B,  suivant  la  ligne  droite  AB. 

Cela  posé,  il  en  tire  la  conséquence  de  l'égalité  des  angles  d'inci- 
dence et  de  réflexion,  qui  est  le  fondement  de  la  Catoptrique. 

Pour  moi,  je  ne  saurois  admettre  son  raisonnement  pour  une  preuve 
et  démonstration  légitime.  Car,  par  exemple,  en  la  figure  ci-jointe 
{fig-  54).  ''Il  laquelle  AF  n'est  plus  parallèle  à  CB,  et  où  l'angle  CAF 

(')  Nuus  reproduisons  la  figure  donnée  par  Clerselier  dans  son  édition  des  Lettres  de 
Descartes,  lomo  III,  page  171.  Dans  l'édition  originale  de  la  Dioptrique,  les  lignes  BG, 
GDK,  Dg'  ne  sont  pas  tracées. 


110 


ŒUVRES  DE  FERMAT.        CORRESPONDx\NCE. 


(>st  obtus,  pourquoi  ne  pouvons-nous  pas  imagincM-  quo  la  détermina- 
tion de  la  halle  qui  se  meut  d'A  vers  B  est  composée  de  deux  antres, 
dont  l'une  la  fait  descendre  de  la  ligne  AF  vers  la  ligne  CE,  et  l'autre  la 
fait  avancer  vers  AF?  Car  il  est  vrai  de  dire  qu'à  mesure  que  la  balle 
descend  dans  la  ligne  AB.  elle  s'avance  vers  AF,  et  que  cet  avancement 


doit  être  mesuré  par  les  perpendiculaires  tirées,  des  divers  points  qui 
peuvent  être  pris  entre  A  et  B,  sur  la  ligne  AF.  Et  ceci  pourtant  se  doit 
entendre  lorsque  AF  fait  un  angle  aigu  avec  AB;  autrement,  s'il  étoit 
droit  ou  obtus,  la  balle  n'avanceroit  pas  vers  AF,  comme  il  est  aisé  de 
comprendre. 

Cela  supposé,  par  le  même  raisonnement  de  l'auteur,  nous  conclu- 
rons que  le  corps  poli  CE  n'empêche  que  le  premier  mouvement,  ne  lui 
étant  opposé  qu'en  ce  sens-là;  de  sorte  que,  ne  donnant  point  d'em- 
pêchement au  second,  la  perpendiculaire  BH  étant  tirée,  et  HF  faite 
égale  à  HA,  il  s'ensuit  que  la  balle  doit  réfléchir  au  point  F,  et  ainsi 
l'angle  FBE  sera  plus  grand  que  ABC. 

Il  est  donc  évident  que,  de  toutes  les  divisions  de  la  détermination 
au  mouvement,  qui  sont  infinies,  l'auteur  n'a  pris  que  celle  qui  lui 
peut  servir  pour  sa  conclusion;  et  partant  il  a  accommodé  son  médium 
à  sa  conclusion,  et  nous  en  savons  aussi  peu  qu'auparavant.  Et  certes, 
il  semble  qu'une  division  imaginaire,  qu'on  peut  diversifier  en  une  in- 
finité de  façons,  ne  peut  jamais  être  la  cause  d'un  effet  réel. 

Nous  pouvons,  par  un  même  raisonnement,  réfuter  la  preuve  de  ses 
fondemens  de  Dioptrique,  puisqu'ils  sont  établis  sur  un  pareil  dis- 
cours. 


XXII.  -   SEPTEMBRE    1637.  111 

6.  Voilà  mon  sentiment  sur  ces  nouvelles  propositions,  dont  les  con- 
séquences qu'il  en  tire,  lorsqu'il  traite  de  la  figure  que  doivent  avoir 
les  lunettes,  sont  si  belles,  que  je  souhaiterois  que  les  fondemens  sur 
lesquels  elles  sont  établies  fussent  mieux  prouvés  qu'ils  ne  sont  pas  ; 
mais  j'appréhende  que  la  vérité  leur  manque  aussi  bien  que  la  preuve. 

J'avois  fait  dessein  de  vous  discourir  ensuite  de  mes  pensées  sur  ce 
sujet;  mais,  outre  que  je  ne  puis  encore  me  satisfaire  moi-même  exac- 
tement, j'attendrai  toutes  les  expériences  que  vous  avez  faites  ou  que 
vous  ferez  à  ma  prière,  sur  les  diverses  proportions  des  angles  d'incli- 
nation et  ceux  de  réfraction.  Vous  m'obligerez  beaucoup  de  m'en  faire 
part  au  plus  tôt,  et  je  vous  promets,  en  revanche,  de  vous  dire  de  nou- 
velles choses  sur  cette  matière. 

Tout  ce  que  je  viens  de  vous  dire  n'empêche  pas  que  je  n'estime 
beaucoup  l'esprit  et  l'invention  de  l'auteur;  mais  il  faut  de  commune 
main  chercher  la  vérité,  que  je  crois  nous  être  encore  cachée  sur  a' 
sujet. 

7.  Vous  m'avez  encore  envoyé  deux  Discours  ('),  l'un  contre  M.  de 
Beaugrand,  et  l'autre  de  M.  Desargues.  J'avois  vu  déjà  le  second,  qui 
est  agréable  et  fait  de  bon  esprit.  Pour  le  premier,  il  ne  peut  pas  ètr(> 
mauvais,  si  nous  en  retranchons  les  paroles  d'aigreur;  car  la  cause  de 
M.  de  Beaugrand  est  tout-à-fait  déplorée.  Je  lui  écrivis  les  mêmes  rai- 
sons de  votre  imprimé  à  lui-même,  dès  qu'il  m'eut  envoyé  son  Livre. 

(')  Le  Discours  de  Desargues  doit  ùtre  son  premier  opuscule  sur  la  perspecti\e  : 
Ece/nple  de  l'une  des  manières  universelles  du  S.  G.  D.  L.,  touchant  la  pratique  de  la 
perspective  sans  empliicr  aucun  tiers  pol'il,  de  distance  ny  d'autre  nature  qui  soit  liors 
du  champ  de  l'oavra-^c.  A  Paris,  en  Maj  i636,  avec  Privilège  (Bil>l.  Nat.  iinpriniés 
Vi22,  Inventaire  V1527),  reproduit,  sous  un  titre  inexact,  pages  5Î-84  du  premier  Vo- 
lume des  OEuvres  de  Desargues  (éd.  Poudra,  Paris,  Leiber,  1864  ). 

Le  Discours  contre  Beaugrand  est  l'Ouvrage  :  Esclaircisscment  d'une  partie  des  Para- 
logis'nes  ou  fautes  contre  les  toix  du  raisonnement  et  de  la  démonstration  que  Moisieur 
de  Biaugrand  a  commis  en  sa  prétendue  Démonstration  de  la  première  /  arlie  de  la 
quatricsme  proposition  de  son  Liure  intitulé  Gcostatique.  Adresse  au  mcsme  Monsieur  de 
Beaugrand.  Par  Guy  de  la  Brosse,  Escuicr  Conseiller  et  Médecin  ordinaire  du  Boy,  et 
Intendant  du  lardin  Royal  des  Plantes  Medecinales  de  Paris.  —  A  Paris.  Chez  Jac- 
ques Di/gast,  rue  S.  Jean  de  Beauuais.  à  l'Olivier  de  Robert  Estienne  et  en  sa  boutique 
dans  la  court  du  Palais,  place  du  r/iaHOf.  M.  DC.XXXVll  (Bibl.  Xat.  imprimés  V  'p,  In- 
ventaire Vi538). 


112  ŒUVRES  DE  FERMAT.        CORRESPONDANCE. 

.l'altciuls  la  faveur  que  vous  ino  l'ailes  espérer  de  voir  par  voire 
iiioyeu  les  autres  Livres  de  M.  Descartes  et  Je  Livre  de  Galilée  De 
moi  II  (  '  ). 

Je  suis,  uioii  Révérend  Père,  votre  très  lumihle  serviteur, 

Ferjiat. 


XXIH. 
DESCARTES  A  MERSENNE  POUR  FEMIAT  (  =  ). 

<    OCTOBRE    1687    > 

(D,  III,  39.) 

Mon  Révérend  Père, 
1-   Vous  me  mandez  qu'un  de  vos  amis,  qui  a  vu  la  Dioptrique,  y 

(')  Il  s'agit  do  l'Ouvrage  :  Discorsi  e  dimustrazioni  jnatfniaticlie  intorno  a  due  nuove 
scienze  attenenù  alla  Mecanica  e  i  moviinenlali  locali,  del  Signur  Galileo  Galilei,  fdo- 
sofo  e  matcmatico  priinario  del  serenisslmo  Grand  Duca  di  Toxcana.  —  Cou  una  Ap- 
pendice del  centra  di  gravita  di  alcuni  solidi.  —  qui  était  alors  sous  presse  à  Leyde,  chez 
les  Elzcvirs,  et  qui  ne  parut  que  l'année  suivante,  en  i638. 

(')  Réponse  à  la  Lettre  précédente.  La  date  iudiquée  dans  les  annotations  manu- 
scrites de  l'exemplaire  des  Lettres  de  Descaries  do  la  Bibliotlièque  do  l'Institut,  qui  a  été 
utilisé  par  Cousin  pour  son  édition,  est  celle  du  3  décembre  iGîy.  Mais  cette  réponse  de 
Descartes  fut  adressée  par  lui  à  Mersenne  en  môme  tem|)S  que  sa  Lettre  (Clorselicr,  III, 
38),  qui  commence  ainsi  : 

«  Mon  Révérend  Père,  j'ai  été  bien  aise  de  voir  la  lettre  de  M.  de  Fermât  et  je  vous 
«  on  remercie;  mais  le  défaut  qu'il  trouve  en  ma  démonstration  n'est  qu'imaginaire  et 
»  montre  assez  qu'il  n'a  regardé  mon  Traité  que  de  travers.  Je  réponds  à  son  objection 
»  dans  un  papier  séparé,  afin  que  vous  lui  puissiez  envoyer,  si  bon  vous  semble,  et  si 
11  vous  avez  envie  par  charité  de  le  délivrer  de  la  peine  qu'il  prend  de  rêver  encore  sur 
"  cette  matière ....   » 

Or,  dans  la  même  Lettre,  Descartes  dit  a\oir  reçu  «  ces  jours  passés  »  quelques  ob- 
jections de  Froinoudas,  auxiiuelles  il  a  répondu  dès  le  lendemain.  Conimo  la  lettre  de 
Libert  Froidmont  est  datée  du  i3  septembre  1687  et  qu'elle  fut  transmise  à  Descartes  le 
i5  septembre  [)ar  Plcmpius  (Domela  Nieuwenhuis,  Commentatio  de  R.  Cartes  i  i  com- 
mcrcio  cum pliilosophis  hclj^icis,  Louvain,  1828,  p.  g5),  il  faut  adopter  pour  les  réponses 
de  Descartes  à  Plempius  et  à  Fromondus  (éd.  Clerselier,  II,  7  et  8)  la  date  du  3  octobre 
donnée  par  l'édition  latine  d'Amsterdam  des  Lettres  de  Doscartes,  et  non  pas  celle  du 
j-  novembre  supposée  par  l'annotateur  anonyme  do  l'cxeuiplairo  de  l'Institut. 

Dès  lors,  notre  Lettre  XXIII  doit  avoir  été  écrite  du  5  au  12  octobre  1G37. 


XXIII.  -  OCTOBRE   1G37.  113 

trouve  quelque  chose  à  objecter,  et  premièrement  qu'il  doute  si  l'incli- 
nation au  mouvement  doit  suivre  les  mêmes  lois  que  le  mouvement,  puis- 
qu'il y  a  autant  de  différence  de  l' un  à  l'autre  que  de  la  puissance  à 
l'acte  ('). 

Mais  je  me  persuade  qu'il  a  formé  ce  doute  sur  ce  qu'il  s'est  imaginé 
que  j'en  doutois  moi-même,  et  qu'à  cause  que  j'ai  mis  ces  mots  en  la 
page  8,  ligne  il\  :  «  car  il  est  bien  aisé  à  croire  que  l' inclination  (-)  à  se 
mouvoir  doit  suivre  en  ceci  les  mêmes  lois  que  le  mouvement  »,  il  a  pensé 
que,  disant  qu'une  chose  est  aisée  à  croire,  je  voulois  dire  qu'elle 
n'est  que  probable.  En  quoi  il  s'est  fort  éloigné  de  mon  sentiment;  car 
je  répute  presque  pour  taux  tout  ce  qui  n'est  que  vraisemblable, 
et  quand  je  dis  qu'une  chose  est  aisée  à  croire,  je  no  veux  pas  dire 
qu'elle  est  probable  seulement,  mais  qu'elle  est  si  claire  et  si  évidente, 
qu'il  n'est  pas  besoin  que  je  m'arrête  à  la  démontrer;  comme  en  effet 
on  ne  peut  douter  avec  raison  que  les  lois  que  suit  le  mouvement,  qui 
est  l'acte,  comme  il  dit  lui-même,  ne  s'observent  aussi  par  l'inclina- 
tion à  se  mouvoir,  qui  est  la  puissance  de  cet  acte.  Car,  bien  qu'il  ne 
soit  pas  toujours  vrai  que  ce  qui  a  été  en  la  puissance  soit  en  l'acte,  il 
est  néanmoins  du  tout  impossible  qu'il  y  ait  quelque  chose  en  l'acte 
qui  n'ait  pas  été  en  la  puissance. 

2.  Pour  ce  qu'il  dit  ensuite  (^),  qu'il  semble  y  avoir  ici  une  particu- 
lière disconvenance,  en  ce  que  le  mouvement  d'une  balle  est  plus  ou  moins 
violent,  à  mesure  quelle  est  poussée  par  des  forces  différentes,  là  où  la 
lumière  pénètre  en  un  instant  les  corps  diaphanes,  et  semble  n'avoir  rien 
de  successif,  je  ne  comprends  point  son  raisonnement. 

Car  il  ne  peut  mettre  cette  disconvenance  en  ce  que  le  mouvement 
d'une  balle  peut  être  plus  ou  moins  violent,  vu  que  l'action  que  je 
prends  pour  la  lumière  peut  aussi  être  plus  ou  moins  forte;  ni  non 
plus  en  ce  que  l'un  est  successif  et  l'autre  non,  car  je  pense  avoir  assez 

(I)  ruir  Lettre  XXII,  4. 

C)  Le  texte  de  la  Dioptrique  porte  :  l'actioit  ou  inclination. 

(3)  Foir  Lettre  XXII,  U. 

Febmat.  —  il  i5 


II.  ŒlXiil.S    l)K   F KRMAT.  -  COUHESPONDANCE. 

t'ait  ciilciulrc.  par  la  comparaison  du  Itàloii  li'iiii  avciigU',  cl  par  celle 
(lu  vin  (jui  (loscond  dans  une  cuve,  (iiic,  bien  ([ue  i'inelinalion  à  se 
iiioiivoir  se  coiinnunicuic  d'un  lieu  à  l'aulrc  eu  un  iuslant,  elle  ne 
laisse  pas  de  suivre  le  même  chemin  par  où  le  mouvenicnl  successit 
se  doit  tairo,  qui  est  tout  ce  dfuil  il  esl  ici  ([uestiou. 

3-  il  ajoute  après  cela  un  discours  qui  nw  semble  n'être  rien  moins 
qu'une  démonstration  (').  Je  ne  veux  pas  répéter  ici  ses  mots,  pour 
ce  que  je  ne  doute  point  que  vous  n'eu  ayez  gardé  l'original;  mais  je 
dirai  seulement  que,  de  ce  que  j'ai  écrit  que  la  détermination  à  se 
mouvoir  peut  être  divisée  (j'entends  divisée  réellement,  et  non  point 
par  imagination)  en  toutes  les  parties  dont  on  peut  imaginer  qu'elle 
est  composée,  il  n'a  en  aucune  raison  de  conclure  que  la  division  de 
cette  détermination,  qui  est  faite  parla  superficie  CBE(y/^.  54),  qui  est 
une  superficie  réelle,  a  savoir  celle  du  corps  poli  CBE,  ne  soit  qu'ima- 
ginaire. Et  il  a  fait  un  paralogisme  très  manifeste  en  ce  que,  supposant 
la  ligue  AF  n'être  pas  parallèle  à  la  superficie  CBE,  il  a  voulu  qu'on  put, 
nonobstant  cela,  imaginer  que  cette  ligne  désignoit  le  coté  auquel  cette 
superficie  n'est  point  du  tout  opposée,  sans. considérer  que,  comme  il 
n'v  a  que  les  seules  perpendiculaires,  non  sur  cette  AF  tirée  de  travers 
par  son  imagination,  mais  sur  CBE,  qui  marquent  en  quel  sens  cette 
superficie  CBE  est  opposée  au  mouvement  de  la  balle,  aussi  n'y  a-t-il 
que  les  parallèles  à  cette  même  CBE  qui  marquent  le  sens  auquel  elle 
ne  lui  est  point  du  tout  opposée.  * 

4.  Mais,  afin  qu'on  voie  mieux  la  différence  qui  est  entre  nos  deux 
raisonnemens,  je  les  veux  appli(|uer  à  une  autre  matière.  J'argumente 
en  cette  sorte  : 

Premièrement,  le  triangle  ABC  (Jig-  55)  peut  être  divisé  en  toutes 
les  parties  dont  on  peut  imaginer  qu'il  est  composé.  Secondement,  or 
on  peut  aisément  imaginer  qu'il  a  été  composé  des  quatre  triangles 
égaux  ADE,  FED,  fîlFB,  DCF.  Troisièmement .  et  ensuite  il  est  aisé  à 

(')  ro/r  Leure  XXII,  5. 


XXIII.  -  OCTOBRE   1C37.  115 

entendre  que  les  trois  lignes  DE,  EF,  FD  marquent  les  endroits  oîi  ces 
quatre  triangles  doivent  se  joindre  pour  le  composer.  Donc,  si  on  tire 
ces  trois  lignes,  il  sera  réellement  et  véritablement  divisé  par  elles  en 
quatre  triangles  égaux. 

Voici  maintenant  la  façon  dont  il  argumente,  ou  du  moins  dont  il 
vont  que  j'aie  argumenté  : 

Le  triangle  ABC  peut  être  divisé  en  toutes  les  parties  dont  on  peut 
imaginer  qu'il  est  composé.  Or  on  peut  imaginer  qu'il  est  composé  des 


quatre  triangles  inégaux  AHG,  IGH,  HCI,  JBG.  Donc,  si  on  tire  les  trois 
lignes  DE,  EF  et  FD,  elles  diviseront  ce  triangle  en  quatre  autres  qui 


seront  inégaux. 


Je  m'assure  que  quiconque  voudra  entendre  raison  ne  dira  point 
que  ces  deux  argumens  soient  semblables. 

5.  Mais,  de  quelque  qualité  que  soient  les  objections  qu'on  voudra 
taire  contre  mes  écrits,  vous  m'obligerez,  s'il  vous  plaît,  de  me  les 
envoyer  toutes,  et  je  ne  manquerai  pas  d'y  répondre,  au  moins  si  elles 
ou  leurs  auteurs  en  valent  tant  soit  peu  la  peine,  et  s'ils  trouvent  bon 
que  je  les  fasse  imprimer  lorsque  j'en  aurai  ramassé  pour  remplir  un 
juste  volume.  Gar  je  n'aurois  jamais  fait  si  j'entreprenois  de  satisfaire 
en  particulier  à  un  chacun. 

Je  suis,  etc. 


m;  ŒINKKS    l»E   KEUMAT.  -  COHKESPONDANCE. 

\X1V. 
FKRMAT  A  MKRSENNE  (')• 

<    DÉCEMBRE  1687    > 
(D.  111,  40). 

M(i>   RévkpvF.M)  Pèrk, 

1-  J'ai  vu  dans  la  Lettre  de  M.  Descartes,  que  vous  avez  pris  la  peine 
de  m'envoyer,  des  réponses  succinctes  qu'il  fait  aux  objections  que 
i'avois  formées  contre  sa  Dioptrique,  auxquelles  j'eusse  plus  tôt  ré- 
pondu si  mes  occupations  nécessaires  ne  m'eussent  empêché  de  le 
faire,  de  quoi  M.  de  Carcavi  sera  mon  garant.  Je  vous  proteste  d'abord 
(|ue  ce  n'est  point  par  envie  ni  par  émulation  que  je  continue  cette 
petite  dispute,  mais  seulement  pour  découvrir  la  vérité;  de  quoi  j'es- 
lime  que  M.  Descartes  ne  me  saura  pas  mauvais  gré,  d'autant  plus  que 
je  connois  son  mérite  très  émincnt,  et  que  je  vous  en  fais  ici  une  dé- 
claration très  expresse,  .l'ajouterai,  auparavant  que  d'entrer  en  matière, 
que  je  ne  désire  pas  que  mon  écrit  soit  exposé  à  un  plus  grand  jour 

(')  Le  texte  do  celle  Lcllre  a  été  revisé  sur  la  copie  faite  à  Vienne  jiar  Despcyrous 
iliiprès  lc.<  originaux  de  Clerselier  (Bibl.  Nat.  MS.  français  nouv.  acq.  3280,  fol.  29  ;'i  34). 
Elle  répond  à  la  Lettre  XXIII  qui  précède. 

Sa  date  est  fixée  au  25  janvier  i638  par  l'annotateur  de  l'exemplaire  des  Lettres  de 
Descartes  de  la  Bililiollièque  de  l'Inslilut  (OEuvres  de  D.,  éd.  Cousin,  VL  p.  38i),  et  de 
fait  Mersenno  ne  l'adressa  à  Uesoartcs  que  le  12  février  i638.  Mais  il  la  lui  avait  annoncée 
dès  la  (in  de  décembre  1637,  en  même  temps  qu'il  lui  envoyait  des  écrits  mathémaliques 
de  Fermât  {voir  ci-après  Lettre  XXV,  2"  note).  C'est,  en  effet,  à  la  présente  Pièce  XXIV 
que  se  rapporte  le  passage  suivant  d'une  Lettre  de  Descartes  à  Mersenne  (éd.  Clerselier, 
lit,  p.  429)  à  dater  de  janvier  i638  : 

«  .le  n'ai  pas  tant  de  dcsir  de  voir  la  démonstration  do  M.  de  Fermât  contre  ce  que  j'ai 
écrit  de  la  réfraction,  tpic  jo  vous  veuille  prier  de  me  l'envoyer  par  la  poste,  mais,  lors- 
qu'il se  présentera  commodité  de  me  l'adresser  par  mer,  avec  quelques  balles  de  mar- 
chandise, je  ne  serai  pas  marri  de  la  voir,  avec  la  Géoslatique  et  le  Livre  de  la  Lumière 
de  M.  de  la  Chambre  et  tout  ce  qui  sera  de  pareille  étoffe;  non  que  je  ne  fusse  bien  aise 
de  voir  promiitement  ce  (ju'écrivont  les  autres  pour  ou  contre  mes  opinions  ou  de  leur 
invention,  mais  les  ports  de  lettres  sont  excessifs.  » 


•XXIV.  -   DÉCEMBRE  1637.  117 

que  celui  que  peut  souffrir  un  entretien  familier,  de  quoi  je  me  contie 
à  vous. 

2.  Je  tranche  en  quatre  mots  notre  dispute  sur  la  réflexion,  laquelle 
pourtant  je  pourrois  faire  durer  davantage,  et  prouver  que  l'auteur  a 
accommodé  son  médium  à  sa  conclusion,  de  la  vérité  de  laquelle  il  étoit 
auparavant  certain;  car,  quand  je  lui  nierois  que  sa  division  des  déter- 
minations au  mouvement  n'est  pas  celle  qu'il  faut  prendre,  puisque 
nous  en  avons  d'infinies,  je  le  réduirois  à  la  preuve  d'une  proposition 
qui  lui  seroit  très  malaisée.  Mais,  puisque  nous  ne  doutons  pas  que  les 
réflexions  ne  se  fassent  à  angles  égaux,  il  est  superflu  de  disputer  de  la 
preuve,  puisque  nous  connoissons  la  vérité;  et  j'estime  que  je  ferai 
mieux,  sans  marchander,  de  venir  à  la  réfraction,  qui  sert  de  but  ii  la 
Dioptrique. 

3.  Je  reconnois,  avec  M.  Descartes,  que  la  force  ou  puissance  mou- 
vante est  différente  de  la  détermination,  et,  par  conséquent,  que  la  dé- 
termination peut  changer  sans  que  la  force  change,  et  au  contraire. 

L'exemple  du  premier  cas  se  voit  en  la  figure  de  la  i5*  page  de  la 
Dioptri(fue,  où  la  halle  poussée  du  point  A  au  point  B  {fig.  53)  se  dé- 

FiR.  53. 


A 

/ 

H               X 

F 

l\ 

\ 

\ 

? 

\ 

B 
6 

\           E 

]/ 

D 

K 

tourne  au  point  F,  de  sorte  que  la  détermination  ii  se  mouvoir  dans  la 
ligne  AB  change,  sans  que  la  force  qui  continue  son  mouvement  soit 


diminuée  ou  changée. 


Nous  pouvons  nous  servir  de  la  figure  de  la  page  17  pour  le  second 
cas  {fig.  56).  (]ar,  si  nous  imaginons  que  la  halle  soit  poussée  du 
point  H  jiisques  au  point  B,  puis  qu'elle  tomhe  perpendiculairement 


118  (Kl  VliKS    l)K   FRIlMVr.  —  COIîRKSPONnVNCE. 

>iir  lu  Idilr  (",HE,  il  es!  cvidcnl  (nrdlc  l;i  Iravci'srr;!  dans  la  lii;n('  H(!, 
t'I  ainsi  sa  force  inoiivaiilc  s'afloihlira,  cl  son  iiioiivciiicnl  sera  relardc 
sans  (|iic  la  ilélcriiiinalion  chaiiij;e,  |)iiis(Hi'elle  coiidniie  son  nioiivc- 
mic'mI  dans  la  même  lii!;nc  IIBG. 

Fis.  5f.. 


4.  Je  reviens  maintenant  à  la  dcinonslralinn  de  la  réfraction  sur  la 
iiiènie  ligure  de  la  page  17. 

«  Considérons  (')  »,  dit  rauteur,  «  ywe  des  deux  parties,  dont  onpeitt 
imaginer  que  cette  détermination  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  fai- 
sait tendre  la  halle  de  haut  en  bas  qui  puisse  être  changée  en  quelque 
façon  par  la  rencontre  de  la  toile,  et  que,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre 
vers  la  main  droite,  elle  doit  toujours  demeurer  la  même  quelle  a  été,  à 
cause  que  cette  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là.  » 

5.  Je  remarque  d'abord  que  l'auteur  ne  s'est  pas  souvenu  de  la  dif- 
férence qu'il  avoit  établie  entre  la  détermination  et  la  force  mouvante 
ou  la  vitesse  du  mouvement.  Car  il  est  bien  vrai  que  la  toile  CBE  atfoi- 
blit  le  mouvement  de  la  balle,  mais  elle  n'empêche  pas  qu'elle  ne  con- 
tinue sa  détermination  de  haut  en  bas,  et,  quoique  ce  soit  plus  lente- 
ment qu'auparavant,  on  ne  peut  pas  dire  que,  parce  que  le  mouvement 
de  la  balle  est  aiï'oibli,  la  détermination  qui  la  fait  aller  de  haut  en  bas 
soit  changée.  Au  contraire,  sa  détermination  à  se  mouvoir  dans  la 
ligne  Bl  est  aussi  bien  composée,  au  sens  de  l'auteur,  de  celle  qui  la 
fait  aller  de  haut  en  bas  et  de  celle  qui  la  fait  aller  de  la  gauche  ii  la 

(')  Texte  de  la  Dioplriqiic  :  Et  contidcrons  aussi  que  etc. 


XXIV.  -  DECEMBRE   1G37.  119 

droite,    comme    la   première    délermination    à    se    mouvoir   dans  la 
ligne  AB. 

6.  Mais  donnons  que  la  détermination  vers  BG,  ou  de  haut  en  i)as, 
pour  parler  comme  l'auteur,  soit  changée;  nous  en  pouvons  conclure 
que  la  détermination  vers  BE,  ou  de  gauche  à  droite,  est  aussi  chan- 
gée. Car,  si  la  détermination  vers  BG  est  changée,  c'est  pource  qu'à 
comparaison  du  premier  mouvement,  la  halle  qui  maintenant  se  dé- 
tourne et  prend  le  chemin  de  BI,  avance  moins  à  proportion  vers  BG 
que  vers  BE  qu'elle  ne  faisoit  auparavant;  or,  par  ce  que  nous  suppo- 
sons qu'elle  avance  à  proportion  moins  vers  BG  que  vers  BE  qu'eHe 
ne  faisoit  auparavant,  nous  pouvons  aussi  dire  qu'elle  avance  à  pro- 
portion davantage  vers  BE  que  vers  BG  qu'elle  faisoit  auparavant;  si 
le  premier  nous  fait  comprendre  que  la  détermination  vers  BG  est 
changée,  le  second  nous  peut  bien  faire  concevoir  que  la  détermina- 
tion vers  BE  est  aussi  changée,  puisque  le  changement  est  aussi  bien 
causé  par  l'augmentation  que  par  la  diminution. 

7.  Mais  donnons  encore  que  la  détermination  de  haut  en  bas  soil 
changée,  et  non  pas  celle  de  gauche  à  droite,  et  examinons  hi  conclu- 
sion de  l'auteur,  duquel  voici  les  mots  : 

«  Puisque  la  balle  ne  perd  rien  (')  du  tout  de  la  détermination  quelle 
avait  à  s'avancer  vers  le  côté  droit,  en  deux  fois  autant  de  temps  quelle 
en  a  mis  à  passer  depuis  la  ligne  AC  jusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux 
fois  autant  de  chemin  vers  ce  même  côté.  » 

8.  Voyez  comme  il  retombe  dans  sa  première  faute,  ne  distinguant 
pas  la  détermination  de  la  force  du  mouvement;  et  pour  mieux  vous  le 
faire  entendre,  appliquons  son  raisonnement  à  un  autre  cas. 

Supposons,  en  la  même  figure,  que  la  balle  soit  poussée  du  point  H 
au  point  B.  Il  est  certain  qu'elle  continuera  son  mouvement  dans  la 
ligne  BG  et  que  sa  détermination  ne  change  point;  mais  aussi  son 
mouvement  est  plus  lent  dans  la  ligne  BG  qu'il  n'étoit  auparavant,  et 

('  )  Texte  do  la  Dioptriquc,  pai,'e  i-  :  Et  puisqu'elle  ne  perd  rien  etc. 


120  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

néanmoins,  si  le  raisoiiiicimMil  de  raiilciir  éloit  vrai,  nous  pourrions 


(tin 


Puisque  la  balle  ne  perd  rien  du  (ou(  de  la  délerminalion  ([u'idle 
avoil  il  s'avaneer  vers  HBG  (car  e'esl  toute  la  même),  doue,  en  autant 
de  temps  qu'auparavant,  (die  fera  autant  de  eliemin. 

Vous  voyez  que  cette  conclusion  est  absurde,  et  (|ue,  pour  rendre 
l'argument  bon,  il  faudroit  (jue  la  balle  ne  perdit  rien  de  sa  détermi- 
nation ni  de  sa  force,  et  partant,  voilii  un  [laralogisme  très  manifeste. 

9.  Mais,  pour  détruire  pleinement  la  proposition,  il  faut  examiner 
deux  sortes  de  mouvements  composés  qui  se  f(mt  sur  deux  lignes 
droites. 

Considérons,  par  exemple  {/ig-  37),  les  deux  lignes  DA  et  AO,  (|ui 
comprennent  l'angle  DAO  de  quelque  grandeur  que  vous  voudrez,  et 

Fig.  07. 


imaginons  un  grave  au  point  A,  qui  descende  dans  la  ligne  ACD  eu 
même  temps  que  la  ligne  s'avance  vers  AN,  à  telle  condition  qu'elle 
fasse  toujours  un  même  angle  avec  AO,  et  que  le  point  A  de  la  même 
ligne  ACD  soit  toujours  dans  la  ligne  AN.  Si  les  deux  mouvements,  de 
la  ligne  ACD  vers  AO  et  du  même  grave  dans  la  ligne  ACD,  sont  uni- 
formes comme  nous  les  pouvons  supposer,  il  est  certain  que  ce  mou- 
vement composé  conduira  toujours  le  grave  dans  une  ligne  droite, 
comme  AB,  dans  laquelle  si  vous  prenez  un  point,  comme  B,  duquel 
vous  tiriez  les  lignes  BN  et  BC  parallèles  aux  lignes  DA  et  AO,  lorsque 
le  grave  sera  au  point  B,  en  un  temps  égal,  s'il  n'y  eût  eu  que  le  mou- 
vement sur  ACD,  il  eût  été  au  point  C,  et  s'il  n'y  eût  eu  (|ae  l'autre 
mouvement  tout  seul,  il  eût  été  au  point  N;  et  la  proportion  de  la  force 
qui  le  conduit  sur  AD  à  la  force  qui  le  conduit  vers  AO  sera  comme 
AC  à  AN,  c'est-à-dire  comme  BN  à  BC. 


XXIV.-  DECEMBRE   1G37.  121 

C'est  de  celte  sorte  de  mouvements  composés  que  se  servent  Arclii- 
mède  et  les  autres  anciens  en  la  composition  de  leurs  hélices,  des- 
quelles la  principale  propriété  est  que  les  deux  forces  mouvantes  -ne 
s'empêchent  point  mutuellement,  ains  demeurent  toujours  les  mêmes. 
Mais,  pource  que  ce  mouvement  composé  ne  vient  pas  si  bien  dans 
l'usage,  il  le  faut  considérer  d'une  autre  façon  et  en  faire  une  spécula- 
tion particulii're. 

10.  Supposons  en  la  même  figure  un  grave  au  point  A,  lequel  en 
même  temps  est  poussé  par  deux  forces,  dont  l'une  le  pousse  vers  A() 
et  l'autre  vers  AD,  si  bien  que  la  ligne  de  direction  du  premier  mouve- 
ment est  AO,  et  celle  du  second  est  AD.  S'il  n'y  avait  que  la  première 
force  toute  seule,  le  grave  se  trouveroit  toujours  sur  AO,  et  sur  AD  s'il 
n'y  avoit  que  la  seconde;  mais,  puisque  ces  deux  forces  s'empêchent 
et  se  résistent  mutuellement,  supposons  (et  il  faut  se  souvenir  que 
nous  supposons  aussi  tous  ces  mouvements  uniformes,  car  autrement 
le  mouvement  composé  no  se  feroit  pas  sur  des  lignes  droites)  que 
dans  une  minute  d'heure,  par  exemple,  la  seconde  force  fait  que  le 
grave  s'éloigne  de  sa  direction  AO  selon  la  longueur  NB,  (|u'il  i'aul  dé- 
crire parallèle  à  AD  ;  car  le  grave  qui  est  emporté  sur  AD  par  la  seconde 
force,  se  trouvant  empêché  par  la  première,  se  portera  toujours  et  s'a- 
vancera d'Avers  D  par  des  parallèles  à  AD.  Supposons  aussi  que,  dans 
la  même  minute  d'heure,  la  première  force  fait  que  le  grave  s'éloigne 
de  sa  direction  AD  selon  la  longueur  CB  parallèle,  par  la  précédenle 
raison,  à  la  ligne  AO.  Il  est  tout  certain  que  dans  une  minute  d'heure 
le  grave  se  trouvera  au  point  B,  qui  est  le  concours  des  deux  lignes  BN 
etBC.  Le  mouvement  composé  se  fera  donc  sur  la  ligne  AB,  et  nous 
pourrons  dire  que  le  grave  parcourra  la  ligne  AB  dans  une  minute. 

11.  Supposons  maintenant  {fig.  jH)  que  l'angle  DAO  soit  changé  el 
soit,  par  exemple,  plus  grand.  En  la  figure  suivante,  les  mêmes  choses 
étant  posées  comme  auparavant,  je  dis  que,  dans  une  minute  d'heure, 
le  grave  s'éloignera  de  sa  direction  AO  selon  la  ligne  BN  égale  à  celle 
que  nous  avons  appelée  de  même  en  la  précédente  figure.  (3ar,  puisque 

Feu.mat.  —  \l.  l6 


I-2-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

los  torcos  s(»nl  les  mômes,  l;i  seconde  (liniiiuieni  égalemeni  la  délermi- 
iiatioii  de  la  pi'emière,  et  l'era,  en  ((>mps  égal,  éloigner  le  gi'ave  de  sa 
direelitin  aiilaiil  eomiiie  au[taravaiil,  |)Oiii'c(>  que  c'est  toujours  la  même 
résistance.  Nous  conclurons  la  même  chose  de  la  ligne  BC. 

Fis.  5S. 


Le  mouvement  composé  se  fora  donc  ici  sur  la  ligne  AB,  et  la  ligne  AB 
sera  parcourue  comme  devant  en  une  minute  d'heure;  mais,  pource 
que,  dans  les  deux  triangles  ANB  de  la  première  et  seconde  figure,  les 
côtés  AN  et  NB  de  la  première  figure  sont  égaux  à  ceux  de  la  seconde, 
et  que  les  angles  ANB  qu'ils  comprennent  sont  inégaux,  il  s'ensuit 
que  les  hases  AB  seront  inégales  (et  par  conséquent  le  mouvement 
composé  sera  moins  vite  en  la  seconde  qu'en  la  première),  et  qu'il  y 
aura  telle  proportion  de  la  vitesse  du  mouvement  composé  en  la  pre- 
mière figure  à  la  vitesse  du  mouvement  composé  en  la  seconde,  que  de 
la  longueur  de  la  ligne  AB  en  la  première  à  la  longueur  de  la  ligne  AB 
en  la  seconde. 

12.  .le  prends  maintenant  un  point  à  discrétion  dans  la  ligne  AB, 
comme  F,  duquel  je  tire  les  lignes  Fl^],  FG  parallèles  à  AO  et  à  AD. 

FE  est  à  CB  comme  FA  à  A15,     c'esl-à-dire  FG  à  BN, 

comme  la  construction  nous  marcjue  :  donc 

FE  est  à  VV,  comme  CR  à  RN. 


X\1V.  -  DECEMBRE  1637.  123 

Or,  en  la  précédente  figure,  les  lignes  BN  et  BC  sont  égales,  cha- 
cune à  la  sienne,  aux  lignes  BN  et  BC  de  cette  seconde  figure,  et  nous 
pouvons,  par  un  même  raisonnement,  prendre  un  point  à  discrétion 
dans  la  ligne  AB  de  la  première  figure,  pour  en  tirer  une  pareille 
conclusion  à  la  précédente.  Donc,  quelque  point  que  vous  preniez 
dans  la  ligne  AB,  soit  de  la  première,  soit  de  la  seconde  figure,  les 
parallèles  seront  entre  elles  comme  CB  à  BN,  c'est-à-dire  toujours  en 
même  proportion. 

Du  point  F  tirons  les  perpoiuliculaires  FH,  FI  sur  les  lignes  AO 
et  AD.  Au  parallélogramme  GAEF,  les  angles  AGF,  AEF  seront  égaux 
comme  étant  opposés  :  donc  les  triangles  GFH  et  EFI  sont  équiangles, 
et  par  conséquence, 

comme  EF  est  à  FG,     ainsi  FI  est  à  FH. 
Or 

FI  est  à  FH  comme  le  sinus  de  l'angle  DAF  est  au  sinus  de  l'angle  OAF, 

et  par  conséquent.  Taisant,  si  vous  voulez,  une  même  construction  en 
la  première  figure,  vous  conclurez,  pour  éviter  prolixité,  que  le  sinus 
de  l'angle  DAB  est  au  sinus  de  l'angle  OAB  en  la  première  figure, 
comme  le  sinus  de  l'aufirle  DAF  au  sinus  de  l'angle  OAF  en  la  seconde 
figure  (  '). 

13.  Cela  ainsi  supposé  et  démontré,  considérons  la  figure  de  la 
page  2()  de  la  Diopfrique  {fig.  oq),  en  laquelle  l'auteur  suppose  que 
la  balle,  ayant  été  premièrement  poussée  d'A  vers  B,  est  poussée  de 
rechef,  étant  au  [xtint  B,  par  la  ratiuefte  CBE,  qui  sans  doute,  au  sens 
de  l'auteur,  pousse  vers  BG;  de  sorte  que  de  ces  deux  mouvements, 
dont  l'un  pousse  vers  BD  et  l'autre  vers  BG,  il  s'en  l'ait  un  troisième 
qui  conduit  la  balle  dans  la  ligne  BI. 

14.  Imaginons  ensuite  une  seconde  figure  pareille  à  celle-là,  en 

(i)  Ou  voit  que  désormais  Format  rosoiiiiait  pleinement,  pour  la  composition  des  forces 
concourantes,  le  principe  du  parallélogramme  qu'il  avait  mis  en  doute  dans  sa  discussion 
avec  Roberval  sur  la  Géoslatique  {voir  notamment  Pièce  XVI). 


12» 


CEI  VliES  DE   FERMAT. 


COIUIESI'UNDWCE. 


laquelle  la  loi'cc  de  la  Italie  ti  ecllc  de  la  racjiicKc  soiciil  les  inèincs, 
t't  (]iio  ['angle  DHG  soil  seiileiiien(  plus  grand  en  celle  seconde  figure. 
Il  est  eortaiii.  par  les  deiiionslralions  ([ue  nous  venons  de  faire,  (jn'il  y 
aura  (elle  proporlion  dn  sinns  de  l'angle  (jBI  an  sinns  de  l'angle  IBD, 
en  la  ligure  de  l'aulenr,  (|ne  dn  sinus  de  l'angle  (ilJI  au  sinus  de 
l'aniîle  IBD.  en  ceUe  seconde  tionre  fine  nous  iniaifinons  èlre  décrite 

Fi-.  5(). 


A 

C  "~^ 

/ 

/y 

E 

C                    B 

\ 

"/ 

__„_--^ 

( 
ne 


et  que  nous  oino(tons  pour  éviter  la  longueur,  là  où,  si  les  proposi- 
tions de  l'auteur  étoient  vraies,  il  y  auroit  telle  proportion  du  sinus  de 
l'angle  GBD  au  sinus  de  l'angle  GBI,  en  la  figure  de  l'auteur,  que  du 
sinus  de  l'angle  GBD  au  sinus  de  l'angle  GBI,  on  cette  seconde  figure 
jue  nous  avons  imaginée.  Or,  puisque  cette  proportion  est  différente 
l'autre,  il  s'ensuit  qu'elle  ne  peut  pas  subsister  (  '). 

.  15.  D'ailleurs  la  principale  raison  de  la  démonstration  de  l'aulenr 
est  fondée  sur  ce  qu'il  croit  que  le  mouvement  composé  sur  BI  est  tou- 
jours également  vite,  quoique  l'angle  GBD,  compris  sous  les  lignes  de 
direction  des  deux  forces  mouvantes,  vienne  à  changer  :  ce  qui  est 
faux,  comme  nous  avons  déjà  pleinement  démontré. 

16.  Ce  n'est  pas  que  je  veuille  assurer  (ju'en  l'application  qu'il  fait 

C)  Ainsi  Fermai  conclut  que,  si  l'on  doit,  avec  Doscarles,  considérer  le  mouvemenl 
suivant  le  rayon  réfracté  comme  résultant  du  mouvement  suivant  le  rayon  incident  et 
d'une  action  suivant  la  normale,  la  |}roi)ortionaJité  doit  exister  non  pas  entre  les  sinus  des 
angles  d'incidence  et  de  réfraction,  sini  cl  sinr,  mais  entre  sin((  —  /•)  et  sin/".  A  cet 
effet,  il  suppose  implicitement  l'aclion  normale  indépendante  de  l'incidence.  L'hypothèse 
de  Descaries  est  au  contraire  que  la  composante  parallèle  à  la  surface  d'incidence  garde 
la  même  valeur  avant  et  après  la  réfraction.  Il  est  clair  (\\\'a  priori  on  no  peut  décider 
entre  ces  deux  suppositions. 


XXIV.  —   DÉCEMBRE   1G37.  l->5 

(le  la  figure  de  la  page  20  à  la  réfraction,  il  faille  garder  ma  proportion 
et  non  pas  la  sienne;  car  je  ne  suis  pas  assuré  si  ce  mouvement  com- 
posé doit  servir  de  règle  îi  la  réfraction,  sur  laquelle  je  vous  dirai  une 
autre  fois  plus  au  long  mes  sentiments. 

n.  J'attendrai  la  réponse  (')  à  cette  Lettre,  puisque  vous  me  la  faites 
espérer,  et  serai  toujours,  mon  Révérend  Père,  votre  très  humble  ser- 
vifcur. 

L'excuse  que  vous  avez  vue  au  commencement  de  ma  lettre  me  ser- 
vira encore  sur  ce  que  je  ne  vous  ai  point  écrit  de  ma  main. 

(')  Descartes,  n'ayant  reçu  la  Lettre  XXIV  qu'au  moment  où  il  avait  à  défendre  contre 
Ilolierval  sa  propre  critique  de  la  méthode  des  tangentes  de  Fermai  {voir  ci -après 
Lettre  XXV,  i'"  note),  ajouta  le  môme  jour  (22  février  i638)  à  son  courrier  pour  Mer- 
senne  une  Lettre  spéciale  sur  la  Dioptrique,  adressée  à  Mydorge  (éd.  Clersclier,  III,  42). 
Mais  cette  réplique,  qu'on  trouvera  dans  le  Supplément  à  la  présente  édition,  ne  fut  eom- 
muni(|uée  à  Fermât  que  vers  le  mois  de  juin  16  jS.  alors  que  s'arrangeait  le  différend  sur 
la  métliode  des  tangentes.  Descartes  ne  se  montrant  pas  disposé  à  satisfaire  davantage 
Fermât  sur  la  question  de  la  réfraction,  la  discussion  en  fut  également  suspendue  pour 
n'être  reprise  que  vingt  ans  après,  entre  Fermât  et  Clerselier.  La  présente  Lettre  XXIV 
fil  alors  l'objet  d'une  réfutation  spéciale  {ci-aprcs  Pièce  XCIV)  composée  par  Rohaull. 


126     OU  VUES  DE  FEKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


ANNKE  1638. 


x\v. 

DESCARTES  A  MERSENNE  {' ). 

<    LLNDI    18   JANVIER    IGS8    > 

(D,  III,  fiG.) 
3l0N    RÉVÉREM)    Pèrf., 

1.  Je  siM'ois  hien  aise  de  ne  rien  dire  de  l'Ecrit  que  vous  m'avez 
envoyé  ("),  [)Ouree  que  je  n'en  saurois  dire  aucune  chose  qui  soit  à 
l'avantage  de  celui  qui  l'a  composé.  Mais  à  cause  que  je  reconnois  que 
c'est  cehii  même  qui  avoit  ci-devant  taché  de  réfuter  ma  Dioptrique, 

(')  LcUrc  dcslinéo  à  t'ermat  ot  envoyée  à  iMerseiino  en  même  lonips  que  celU^  (|ui  la 
précède  (III,  5))  dans  l'édition  Clcrselier.  Au  lieu  de  l'adresseï'  à  Toulouse,  le  correspon- 
dant de  Descartes  la  montra  à  Roberval  et  Etienne  Pascal  qui,  prenant  la  défense  de  la 
Méthode  attaquée,  rédigèrent  une  Réplique  (perdue).  Elle  fut  envoyée,  le  8  février  i638, 
par  Mersenne  à  Descaries,  qui  répondit  vers  le  22  février  (éd.  Clerselier,  III,  4'!  à  Mer- 
senne;  III,  57,  à  Mydorge)  en  faisant  appel  à  Mydorge  et  Hardy  comme  juges.  Le  26  mars, 
Mersenne  fit  pari  à  Descartes  (qui  répli(pia  le  3  mai  par  la  Lettre  XXVIl  ci-après)  de 
nouvelles  objections  de  Roberval  et,  probablement  au  conmiencemcnt  d'avril,  ce  dernier 
composa  une  seconde  Défense  de  la  Méthode  de  Fermât  (éd.  Clerselier,  III,  58).  Ainsi  fui 
engagé  ce  procài  inatliémaiiquc,  auquel  Fermât  resta  de  fait  étranger  pendant  toute  cette 
phase  {voir  ci-après  Lettre  XXVI)  et  dont  les  pièces  seront  réunies  dans  le  Supplément 
de  la  |)résente  édition. 

Le  texte  de  celte  Lettre  XXV  a  élé  révisé  d'après  une  copie  ancienne  dans  le  .MS.  Bibl. 
Nat.  IV.  n.  a.  'iiGo,  ['"  53  à  5G. 

(*)  L'envoi  fait  par  Mersenne  vers  la  lin  de  décembre  1O37  comprenait,  outre  l'écrit 
dont  il  esl  ici  question  (  Methodus  ad  disquirendam  maximnm  et  miiiimam.  —  De  tnii- 
ffe/itihtis  llnearum  cun'arum.  Tome  I,  pages  l33  ù  i36),  Y  Isa  gage  ad  locos  plaitos  et 
solidos  (Tome  I,  pages  91  et  suiv.),  qui,  formant  un  paquet  séparé,  ne  parvint  à  Descartes 
qu'un  peu  plus  lard.  Ces  pièces  avaient  été  remises  à  Mersenne  par  Carcavi. 


XXV.  —   18  JANVIER  1638,  1>7 

ol  que  vous  me  mandez  qu'il  a  envoyé  ceci  après  avoir  lu  ma  Géo- 
métrie et  s'étonnant  de  ce  que  je  n'avois  point  trouvé  la  même  chose, 
c'est-à-dire,  comme  j'ai  sujet  de  l'interpréter,  à  dessein  d'entrer  en 
concurrence  et  de  montrer  qu'il  sait  en  cela  plus  que  moi;  puis  aussi 
à  cause  que  j'apprends  par  vos  lettres  qu'il  a  la  réputation  d'être  fort 
savant  en  Géométrie,  je  crois  être  obligé  de  lui  répondre. 

2.  Premièrement  donc,  je  trouve  manifestement  de  l'erreur  eu  sa 
règle,  et  encore  plus  en  l'exemple  qu'il  en  donne  pour  trouver  les 
contingentes  de  la  parabole  :  ce  que  je  trouve  en  cette  sorte. 

Soit  ( /ig.  Go)  BDN  la  parabole  donnée  dont  DC  est  le  diamètre,  et 
({ne  (In  point  donné  B  il  faille  tirer  la  ligne  droite  BK  qui  rencontre 

Fis.  Co. 


DC  au  point  E  et  qui  soit  la  plus  grande  qu'on  puisse  tirer  du  même 
point  E  jusques  à  la  parabole  :  sic  enim  proponitnr  quœrenda  maxima. 

Sa  règle  dit  :  sialualur  quilibet  quœstionis  terminus  esse  A  ;  je  prends 
donc  EC  pour  A,  ainsi  qu'il  a  fait  :  ei  inveniatur  maxima  (à  savoir  BE) 
in  tenninis  sub  A  gradu,  iil  libet,  ini'olttlis;  ce  qui  ne  se  peut  faire  mieux 
qu'en  cette  façon  :  Que  BC  soit  B,  le  quarré  de  BE  sera  Aq.  -+-  liq.,  à 
cause  de  l'angle  droit  BCE. 

Ponatur  rursum  idem  terminus  qui priits  esse  A  -h  E;  à  savoii'  je  fais 
que  EG  est  A  -h  E  (ou  bien,  suivant  son  exemple,  A  —  E,  car  l'un 
revient  à  l'autre)  :  iterumqiie  inveniatur  maxima  (à  savoir  BE)  in  ter- 
minis  sub  A  et  E  gradibus  ut  libet  coejjïcientibus ;  ce  qui  ne  se  peut  mieux 
faire  qu'en  cette  sorte  :  Posons  que  CD  ait  été  ci-devant  />,  lorsque 

BC  étoile,  le  côté  droit  de  la  parabole  sera  -j^-,  à  cause  qu'il  est  à  B(", 


128  ŒUVRKS   DK   FERMAT.—  COlî  UKSl'ONDANCE. 

la  ligiio  appliciiicc  par  ttrdro,  comnip  BC  csl  à  CI)  le  sci^mikmiI  dn  dia- 
nù'tiT  auquel  cilo  est  a|)i)li(|né('.  C'csl  p()iir(|U(ii,  iiiaiiilciiaiil  (juc  Œ 

est  .1  +  /■.,  1)(.  est  />  +  h,  v[  le  (inarrc  (le  I5(.  csl  — '- j- — '- , 

(|ui  ('lant  ajoMli'  au  quarn''  dr  Œ,  (jui  est  -ly.  4- .1  in  A' bis  + /iV/..  il 
lait  II'  quarré  de  \\\l. 

A(hv(jitcntiir  duo   /lor/io^c/ica   iiia.viDiœ  (vqiialia;    f'csl-ii-dirc    (jnc 
Atj.-hUq.  soit  posé  égal  ii 

n,/.  +  "'^'1'^'  ''  -(-  A  q. -h  A  in  £■  bis  +  £-7.  : 


e/  demptis  co/tunii/iiùiis,  il  rcsti' 
/Jr/.  in  E 


D 
Applicentur  ad  E  e/c.  ;  il  vient 


:(  in  E  \>\s  +  Eq.  ("g;il  ;i  rien. 


Bq.  ...  „ 

-jj-  +  A  h\s  +  L. 


Elidalur  E,  il  reste 

——  -+-  A  l)is  ég;!!  à  l'icii. 

Ce  qui  ne  donne  point  la  valeur  de  la  ligne  A,  comme  assure  l'an- 
leur.  et  par  conséquent  sa  règle  est  fausse. 

3.  iMais  il  se  mécompte  encore  bien  plus  en  l'exemple  de  la  même 
parabole,  dont  il  tâche  de  trouver  la  contingente.  Car,  outre  qu'il  ne 
suit  nullement  sa  règle,  comme  il  paroît  assez  de  ce  que  son  calcul 
ne  se  rapporte  pointa  celui  que  je  viens  de  faire,  il  use  d'un  raison- 
nement qui  est  tel  que,  si  seulement,  au  lieu  ào parabole  olparaholc/i, 
on  met  partout  en  son  discours  hyperbole  et  hyperbolcn  ou  le  nom  de 
quidijue  autre  ligne  courbe,  telle  (jue  ce  puisse  être,  sans  y  changer 
au  reste  un  seul  mot,  le  tout  suivra  en  même  façon  qu'il  l'ait  touchant 
la  paraijole  jusques  à  ces  mots  :  ergo  Œ probavimiis  daplam  ipsiiis  CD, 
r/uod quidem  ila  se  habet.  Nec  unqiiam  failli  metJiodus;  au  lieu  des(jucls 
on  [)eut  metli'e  :  non  idco  sequilur  CK  diiplani  cssc  ipsius  (^D,  nec  unquani 


XXV.  -    18  JANVIER   1638.  129 

ila  se  hahel  alibi  quam  in  parabole,  ubi  casa  et  non  ex  l'i  prœmissariun 
œrum  concludilur  :  semperque  fallit  ista  methodus. 

4.  Si  cet  auteur  s'est  étonné  de  ce  que  je  n'ai  point  mis  de  telles 
règles  en  ma  Géométrie,  j'ai  beaucoup  plus  de  raison  de  m'étonner  de 
ce  qu'il  a  voulu  entrer  en  lice  avec  de  si  mauvaises  armes.  Mais  je  lui 
veux  bien  encore  donner.le  temps  de  remonter  à  cheval,  et  de  prendre 
toutes  les  meilleures  qu'il  eût  pu  choisir  pour  ce  combat,  qui  sont  que, 
si  on  change  quelques  mots  de  la  règle  qu'il  propose  pour  trouver 
maximam  çiminimam,  on  la  peut  rendre  vraie  et  est  assez  bonne. 

(a'  que  je  ne  pourrois  néanmoins  ici  dire,  si  je  ne  l'avois  su  dès 
auparavant  que  de  voir  son  Écrit  :  car,  étant  tel  qu'il  est,  il  m'eût 
plutôt  empêché  de  la  trouver  qu'il  ne  m'y  eût  aidé.  Mais  encore  que 
je  l'aurois  ignorée  et  que  lui  l'auroit  parfaitement  sue,  il  ne  me  semble 
pas  qu'il  eût  pour  cela  aucune  raison  de  la  comparer  avec  celle  qui  est 
en  ma  Géométrie  touchant  le  même  sujet. 

5.  Car  premièrement  la  sienne  (c'est-à-dire  celle  qu'il  a  eu  envie  de 
trouver)  est  telle  que,  sans  industrie  et  par  hasard,  on  peut  aisément 
tomber  dans  le  chemin  qu'il  faut  tenir  pour  la  rencontrer,  lequel  n'est 
autre  chose  qu'une  fausse  position  fondée  sur  la  façon  de  démontrer 
qui  réduit  à  l'impossible  et  qui  est  la  moins  estimée  et  la  moins  ingé- 
nieuse de  toutes  celles  dont  on  se  sert  en  mathématique.  Au  lieu  que 
la  mienne  est  tirée  d'une  connoissance  de  la  nature  des  équations,  gui 
n'a  jamais  été,  que  je  sache,  assez  expliquée  ailleurs  que  dans  le  troi- 
sième Livre  de  ma  Géométrie;  de  sorte  qu'elle  n'eût  su  être  inventée 
par  une  personne  qui  auroit  ignoré  le  fonds  de  l'algèbre,  et  elle  suit  la 
plus  noble  façon  de  démontrer  qui  puisse  être,  à  savoir  celle  qu'on 
nomme  a  priori. 

6.  Puis,  outre  cela,  sa  règle  prétendue  n'est  pas  universelle  comme 
il  lui  semble,  et  elle  ne  se  peut  étendre  à  aucune  des  questions  qui 
sont  un  j)('u  difficiles,  mais  seulement  aux  plus  aisées,  ainsi  qu'il 
[)ourra  éprouver  si,  après  l'avoir  mieux  digérée,  il  tâche  de  s'en  servir 
pour  trouver  les  contingentes,  par  exemple,  de  la  ligne  courbe  BDN 

l'iIlMVT.   —    U.  17 


130  ŒUVRES   DE   FKUM  \T.  -  CORRESPONDANCE. 

{Jig.  Gi),  que  jo  suppose  être  (elle  qu'eu  quehjue  lieu  de  sa  circonfé- 
rence qu'on  prenne  le  point  B,  ayant  tiré  la  perpendiculaire  BC,  les 
deux  cubes  des  deux  lignes  BG  et  CD  soient  ensemble  égaux  au  paral- 
lélépipède des  deux  mêmes  lignes  BC,  CD  et  de  la  ligne  donnée  P. 


(A  savoir,  si  P  est  g  et  que  CD  soit  2,  BC  sera  4»  pource  que  les 
cubes  de  2  et  de  4.  qui  sont  8  et  64,  font  72,  et  que  le  parallélépipède 
composé  de  9,  2  et  4  est  aussi  72.) 

Car  elle  ne  se  peut  appliquer  ni  à  cet  exemple,  ni  aux  autres  qui 
sont  plus  difficiles,  au  lieu  que  la  mienne  s'étend  généralement  à  tous 
ceux  qui  peuvent  tomber  sous  l'examen  de  la  géométrie,  non  seule- 
ment en  ce  qui  regarde  les  contingentes  des  lignes  courbes,  mais  il 
est  aussi  fort  aisé  de  l'appliquer  ii  trouver  maximas  et  minimas  en 
toute  autre  sorte  de  problèmes;  de  façon  que,  s'il  l'avoit  assez  bien 
comprise,  il  n'auroit  pas  dit,  après  l'avoir  lue,  que  j'ai  omis  cette 
matière  en  ma  Géométrie. 

7.  Il  est  vrai  toutefois  que  je  n'y  ai  point  mis  ces  termes  de  maximis 
et  minimis,  dont  la  raison  est  qu'ils  ne  sont  connus  que  parce  qu'Apol- 
lonius en  a  fait  l'argument  de  son  cinquième  Livre,  et  que  mon  des- 
sein n'a  point  été  de  m'arrêter  à  expliquer  aucune  chose  de  ce  que 
quelques  autres  ont  déjà  su,  ni  de  réparer  les  livres  perdus  d'Apollo- 
nius, comme  Viète,  Snellius,  Marinus  Ghetaldus  ('),  etc.,  mais  seu- 
lement de  passer  au  delà  de  tous  côtés,  comme  j'ai  assez  fait  voir  en 
commençant  par  une  question  que  Pappus  témoigne  n'avoir  pu  être 
trouvée  par  aucun  des  Anciens;  et  par  même  moyen,  eu  composant  et 

(')  Foir  Tome  I,  p.  3,  note  3. 


XXV.  —   18  JANVIER   1638.  131 

clétcrminanL  tous  les  lieux  solides,  ce  qu'Apollonius  chcrchoil  encore; 
puis  en  réduisant  par  ordre  toutes  les  lignes  courbes,  la  plupart  des- 
quelles n'avoient  pas  même  été  imaginées,  et  donnant  des  exemples 
de  la  façon  dont  on  peut  trouver  toutes  leurs  propriétés;  puis  enfin, 
en  construisant  non  seulement  tous  les  problèmes  solides,  mais  aussi 
tous  ceux  qui  vont  au  sursolide  ou  au  quarré  de  cube;  et  par  même 
moyen,  enseignant  à  les  construire  en  une  infinité  de  diverses  façons. 
D'où  l'on  peut  aussi  apprendre  à  déguiser  en  mille  sortes  la  règle 
que  j'ai  donnée  pour  trouver  les  contingentes,  comme  si  c'étoient 
autant  de  règles  différentes.  Mais  j'ose  dire  qu'on  n'en  peut  trouver 
aucune,  si  bonne  et  si  générale  que  la  mienne,  qui  soit  tirée  d'un 
autre  fondement. 

8.  Au  reste,  encore  que  j'aie  écrit  (')  que  ce  problème  pour  trouver 
les  contingentes  fût  le  plus  beau  et  le  plus  utile  que  je  susse,  il  faut 
remarquer  que  je  n'ai  pas  dit  pour  cela  qu'il  fût  le  plus  difficile, 
comme  il  est  manifeste  que  ceux  que  j'ai  mis  ensuite  touchant  les 
figures  des  verres  brùlans,  lesquels  le  présupposent,  le  sont  davan- 
tage. De  façon  que  ceux  qui  ont  envie  de  faire  paroître  qu'ils  savent 
autant  de  géométrie  que  j'en  ai  écrit,  ne  doivent  pas  se  contenter  de 
chercher  ce  problème  par  d'autres  moyens  que  je  n'ai  fait,  mais  ils 
devroient  plutôt  s'exercer  à  composer  tous  les  lieux  sursolides,  ainsi 
que  j'ai  composé  les  solides,  et  à  expliquer  la  figure  des  verres  brù- 
lans, lorsque  l'une  de  leurs  superficies  est  une  partie  de  sphère  ou  de 
conoïde  donnée,  ainsi  que  j'ai  expliqué  la  façon  d'en  faire  qui  aient 
l'une  de  leurs  superficies  autant  concave  ou  convexe  qu'on  veut,  et 
enfin  à  construire  tous  les  problèmes  qui  montent  au  quarré  de  quarré 
de  quarré  ou  au  cube  de  cube,  comme  j'ai  construit  tous  ceux  qui 
montent  au  quarré  de  cube. 

9.  Et  après  qu'ils  auront  trouvé  tout  cela,  je  prétends  encore  qu'ils 
m'en  devront  savoir  gré,  au  moins  s'ils  se  sont  servis  à  cet  effet  de  ma 

('I  Géométrie  lie  Descartes,  éd.  Hermaiin.  Paris,  i886,  p.  3Î. 


132  QÎUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Géométrio.  à  cause  (lu'cllc  coiitii'iil  le  clicinin  (iii'il  l'aut  (ciiii'  j)(>iir  y 
parvoiilr.  of  (|iii\  si  iiu'inc  ils  iio  s'(mi  sdiU  point  servis,  ils  ne  doivenl 
|)as  pour  cela  prétendre  ancuii  avantai;(>  j)ar  dessus  moi,  d'au(an(  (pi'il 
n'y  a  aucune  de  ces  choses  que  je  ne  trouve  autant  (|u'(dle  es(  Irou- 
vable,  lorsque  je  voudrai  prendre  la  pi'ine  d'en  faire  le  calcul.  Mais  je 
crois  pouvoir  employer  mon  tcni[)s  plus  ulilcMient  à  d'autres  choses. 
Je  suis  etc. 


XXV  bis  ('). 
FERMAT  A  .MERSENNE. 

<  FÉvRnîR  1C38  > 

(A,  f"  35-:ili,  B,  f"  ai-^-aa-».) 

Mon  Rkvérf.nd  Père, 

1.  J'ai  appris  par  votre  lettre  que  ma  réplique  (-)  à  M.  Descartes 
n'étoit  pas  goûtée,  que  même  il  avoit  trouvé  à  dire  à  mes  méthodes  de 
maximis  et  minimis  et  de  tangenlibus  (■'),  en  quoi  pourtant  il  avoit 
trouvé  M''*  de  Pascal  et  de  Roberval  de  contraire  sentijnent.  De  ces 
deux  choses,  la  première  ne  m'a  point  surpris,  pource  que  les  choses 
de  physique  peuvent  toujours  nous  fournir  de  doutes  et  entretenir  les 
disputes;  mais  je  suis  étonné  de  la  dernière,  puisque  c'est  une  vérité 
géométrique,  et  que  je  soutiens  que  mes  méthodes  sont  aussi  certaines 
que  la  construction  de  la  i'^  proposition  des  Eléments.  Peut-être  que 
les  ayant  proposées  nuement  et  sans  démonstration,  elles  n'ont  pas  été 

(')  Réponse  inédite  à  une  lettre  par  laquelle  Merscnnc,  sans  communiquer  à  Fermât 
la  critique  de  Doscartes  relative  à  la  Méthode  de  maximis  et  minimis,  c'est-à-dire  la 
Pièce  XXV,  l'informait  que  cette  critique  avait  donné  lieu  à  une  réplique  (perdue)  de 
Roberval  et  de  Pascal,  envoyée  à  Descartes  le  8  février  i638. 

(')  Lettre  XXIV.  iMersenno  avait  parlé  de  l'impression  produite  dans  son  cercle,  i  Paris, 
par  celte  Lettre,  non  pas  de  la  réplique  de  Descartes,  qu'il  n'avait  pas  encore  reçue. 

(')  Tome  I,  pages  i33  à  i36. 


XXV   bis.  -   FEVRIER   1638.  13:! 

ealciidiics  ou  qu'elles  ont  paru  trop  aisées  à  M.  Descartes,  qui  a  fait 
tant  de  chemin  et  a  pris  une  voie  si  pénible  pour  ces  tangentes  dans  sa 
Géométrie. 

2.  Quoi  qu'il  en  soit,  je  ne  me  pique  pas  d'être  cru  que  par  ceux  qui 
le  voudront,  et  vous  proteste  que  j'aimerois  mieux  prononcer  : 

Jamjam  efficaei  do  nianus  sciontiae  ('), 

que  de  soulTrir  que  rien  de  ce  que  je  vous  ai  envoyé  soit  imprimé  sous 
mon-nom,  ce  que  je  vous  prie  d'empêcher  par  le  pouvoir  que  vous 
avez  sur  tous  ces  Messieurs  qui  se  mêlent  de  cette  étude.  Je  ne  vous 
envolerai  donc  plus  rien  pour  ^l.  Descartes,  puisqu'il  met  des  loix  si 
sévères  à  un  commerce  innocen(,  et  me  contente  de  vous  dii'e  que 
je  n'ai  trouvé  encore  personne  ici  qui  ne  soit  de  mon  avis,  que  sa 
Dioptrique  n'est  pas  prouvée.  Je  voudrois  seulement  savoir  si  dans 
Paris  on  croit  qu'il  ait  démontré  exactement  les  fondements  et  les 
principes  de  la  réfraction,  et  particulièrement  qu'il  vous  plût  me  faire 
part  des  sentiments  de  M.  Mydorge  sur  ce  sujet,  et  de  M.  Desargues. 

3.  Voilà  pour  ce  sujet.  Pour  les  manuscrits  de  Viète  (-),  il  n'y  a  ([ue 
fort  peu  de  chose  que  nous  n'eussions  pas  dans  les  imprimés  :  ce  sont 
seulement  des  exemples  plus  étendus  et  quelques  propositions  de 
nombres  multangulaires,  qui  se  trouvent  en  d'autres  livres,  de  sorte 
que  l'impression  de  ses  œuvres  n'en  profiteroit  guères.  Outre  que  je 
les  ai  reçus  de  M.  Despagnet,  à  la  charge  de  ne  les  bailler  à  personne 
que  par  son  aveu. 

4.  Puisque  M.  de  Roberval  a  soutenu  ma  méthode,  je  lui  veux  faire 
encore  part  d'un  de  ses  plus  beaux  usages  touchant  Vinvention  des  centres 
(le  gravité,  puisque  M.  de  Beaugrand  ne  les  lui  a  pas  baillés,  comme  je 
l'en  avois  prié.  Et  ne  serai  pas  marri  qu'on  propose  à  M.  Descartes  l'in- 

(')  Vers  d'Horace,  Epodes,  XVII,  i. 

(-)  On  voit  que  Mersenne  s'occupait  déjà  de  l'édition  des  Œuvres  de  Viète,  imprimée 
à  Leyde  par  les  Elzevirs  en  1646  et  à  laquelle  il  apjiorta  un  concours  efficace. 


13i  ŒIVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

vontion  de  (Hichnios-ims  ih'  ers  ccntros  do  gravité.  Vous  m'ohligoroz  de 
donner  cet  écrit  (^  ')  à  M.  de  Uohorval  et  de  in'envoyer  son  sentiment  là- 
dessus,  et  s'il  croit  (lue  nous  soyons  obligés  d'envover  à  Leyde,  pour 
avoir  la  solution  des  problèmes  géométriques. 

.Mon  Révérend  Père,  votre  Iri's  humble  et  tri's  afToctionné  serviteur. 

Fermât. 

5.  Je  (-)  serai  bien  aise  de  savoir  le  jugement  de  M'*  de  Roberval  et 
de  Pascal  sur  mon  Isagoge  topique  et  sur  YAppendix  ('),  s'ils  ont  vu 
l'un  et  l'autre. 

6.  Et,  pour  leur  faire  envie  de  quelque  chose  d'excellent,  il  faut 
étendre  les  lieux  d'un  point  à  plusieurs  in  infiniium  :  comme  par 
exemple,  au  lieu  qu'on  dit  d'ordinaire  : 

Trouver  une  parabole  en  laquelle,  prenant  tel  point  qu'on  voudra,  il 
produise  toujours  un  même  effet, 

je  veux  proposer  : 

Trouver  une  parabole  en  laquelle  prenant  tels  deux,  trois,  quatre. 
cinq,  etc.  points  que  vous  i^oudrez,  ils  produisent  toujours  un  même  ejfel, 
et  ainsi  à  l'infini. 

C'est  chose  que  j'ai  trouvée  et  plusieurs  autres  par  l'aide  de  ces 
misérables  méthodes  qui  passent  pour  sophistiques.  Bien  plus,  je  puis 
encore  donner  la  résolution  de  cette  question  : 

Trouver  autant  de  lignes  courbes  qu'on  demandera,  en  chacune  des- 

(')  Il  s'agil  du  fragment  imprimé  Tomo  I,  pages  i36  à  iSg,  et  pour  lequel  (page  i36, 
noie  3)  le  uo  avril  i638  a  été  indiqué  à  tort  comme  date  de  la  lettre  d'envoi. 

Pour  la  communication  antérieure  à  Beaugrand,  voir  Lettre  XVIII,  5. 

(2)  Le  po.st-scriptum  qui  suit  se  retrouve  imprimé,  sauf  le  dernier  alinéa,  dans  les 
Lettres  de  Descarte.s  (éd.  Clorselicr,  III,  page  383)  comme  Extrait  d'une  lettre  de  Fermât, 
inséré  dans  un  envoi  de  Mersenne  à  Doscartes  (du  28  avril  ou  du  i"'  mai  iG38).  Il  s'y 
trouve  précédé,  dans  le  même  Extrait,  du  premier  alinéa  de  l'écrit  Ceiiirum  gravitatis 
parabolici  coiioidis  (Tome  1,  pages  i36  à  139),  qui,  comme  on  l'a  vu  dans  la  note  précé- 
dente, fut  envoyé  par  Fermât  pour  Roberval,  dans  la  présente  lettre  à  Mersenne.  Il  est 
clair  que  le  post-scriptum  était  également  destiné  à  Roberval. 

(')  Tome  I,  pages  91  à  110.  Ce  passage  prouve  que  \  Appeiulit  est,  comme  Y  Isagoge, 
antérieur  à  la  publication  de  la  Géométrie  de  Descartes. 


XXVI.   —   20   AVRIL   1G38.  135 

quelles prenanl  tel  nombre  de  points  qu'on  voudra,  tous  ces  points  ensemble 
produisent  un  même  effet. 

1-  J'oubliois  de  vous  dire,  sur  le  sujet  de  la  roulette  (')  de  ^I.  de  Ro- 
berval,  que  je  crois  qu'il  n'aura  pas  persisté  en  l'opinion  qu'il  avoit, 
de  lui  avoir  donné  un  cercle  égal.  Je  vous  prie  de  le  savoir  de  lui. 


XXVI. 

FERMAT  A  MERSENNE. 

MARDI  20  AVRIL   1638  (*). 

(D.  III,  36.) 

Mon  RKVÉr.END  Pèhe, 

1.  Je  vous  suis  extrêmement  obligé  du  soin  que  vous  prenez  pour 
satisfaire  ma  curiosité,  m'ayant  bien  voulu  faire  part  d'une  Lettre  que 
je  trouve  très-excellente,  soit  pour  la  matière  qu'elle  contient,  soit 
pour  les  paroles  dont  on  s'est  servi;  c'est  celle  qui  est  signée  Petit  {^), 
qui  est  un  nom  inconnu  pour  moi,  mais  qui  m'a  donné  un  très  grand 
désir  d'être  connu  de  lui;  je  serai  ravi  qu'il  vous  plaise  de  m'en  donner 
le  moyen,  et  j'ai  cru  que  ni  vous  ni  lui  ne  désapprouveriez  pas  la 

(')  Mersenno  avait  parle  à  Fermât  de  la  quadrature  do  la  cycloïde,  obtenue  par 
Roberval. 

(2)  L'annotateur  anonyme  de  l'exemplaire  des  Lettres  de  Descartes  de  la  Bibliothèque 
de  l'Institut  jirétend  que  la  date  ne  s'applique  qu'au  post-scriptum  et  que  le  corps  de  la 
lettre  remonte  au  26  novembre  1637.  Victor  Cousin,  dans  son  édition  des  OEwres  de  Det- 
caries  (t.  VI,  p.  365),  adopte  la  même  opinion  qui  nous  paraît  insoutenable,  car  si  C.lerse- 
lier  a  commis  des  confusions  dans  les  lettres  qu'il  a  publiées  d'après  les  minutes  non 
datées  de  Descartes,  ces  confusions  ont  résulté  uniquement  du  désordre  dans  lequel  se 
sont  trouvées  ces  minutes  à  la  suite  d'un  accident  où  elles  ont  failli  être  détruites.  Mais 
la  présente  lettre  était  évidemment  écrite  (en  copie  par  Mersenne)  sur  un  seul  feuillet  et 
n'a  pu  souffrir  aucun  dérangement. 

(')  Mersenne  avait  annoncé  à  Descartes  cet  écrit  do  Petit  dans  une  lettre  du  12  fé- 
vrier i638  (Lettres  de  Descartes,  III,  p.  190).  Il  le  lui  envoya  le  12  mars  (III,  p.  889). 


13()  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

liborle  qiio  j'ai  prise  d'i^HaccM'  sur  la  lin  tiiichiiics  paroles  qui  iiiar- 
quoiont  que  ses  objeeli(»iis  coiilre  la  Dioptrique  de  M.  Descaries  éloienl 
plus  fortes  et  moins  sujettes  ii  répli(|ue  que  les  miennes,  ('e  n'est  pas 
(]ne  j'en  doulc  puisque  j'ai  eonc^'u  une  très  i^'rande  opinion  de  son 
esprit;  mais  je  dcsii'e.  si  vous  l'agréez,  d'être  un  pou  mis  ii  l'écart,  et 
de  voir  toutes  ees  belles  dis|)ntes  plutôt  comme  témoin  (|ue  comme 
partie. 

2.  A'^ius  ajouterez  une  très  grande  obligation  à  toutes  celles  que  je 
vous  ai  déjii,  si  vous  me  procurez  la  vue  de  ce  Discours  que  l'auteur 
de  celte  belle  Lettre  promet  touchant  laréfraction.  Et  si  j'osois  espérer 
la  communication  des  expériences  qu'il  a  faites,  peut-être  y  mêlerois- 
je  de  la  géométrie,  si  je  les  trouvois  conformes  ii  mon  sentiment.  J'at- 
tendrai cette  satisfaction  avec  impatience,  et  vous  renvoierai  par  le 
premier  courrier  son  écrit,  que  je  retiens  pour  en  tirer  copie. 

3.  J'attends  aussi  par  votre  faveur  les  réponses  (^')  que  M.  Descartes 
a  faites  aux  difficultés  que  je  vous  ai  proposées  sur  sa  Dioptrique,  et  ses 
remarques  (■)  sur  mon  Traité  de  maximis  et  minimis  et  de  tangentibus. 
S'il  y  a  quelque  petite  aigreur,  comme  il  est  malaisé  qu'il  n'y  en  ait, 
vu  la  contrariété  qui  est  entre  nos  sentiments,  cela  ne  vous  doit  point 
détourner  de  me  les  faire  voir;  car  je  vous  proteste  que  cela  ne  fera 
aucun  effet  en  mon  esprit,  qui  est  si  éloigné  de  vanité,  que  M.  Des- 
cartes ne  sauroit  m'cstimer  si  peu  que  je  ne  m'estime  encore  moins. 
Ce  n'est  pas  que  la  complaisance  me  puisse  obliger  de  me  dédire  d'une 
vérité  que  j'aurai  connue,  mais  je  vous  fais  par  là  connoître  mon  hu- 
meur. Obligez-moi,  s'il  vous  plaît,  de  ne  différer  plus  à  m'cnvoyer  ses 
écrits,  auxquels  par  avance  je  vous  promets  de  ne  faire  point  de  ré- 
plique. 

4.  J'ai  fort  vu  ces  jours  passés  M.  Despagnet,  avec  qui  je  vis  de 

(')  Lettres  de  Deuartes,  éd.  Clersclicr  :  Descaries  à  Mydorgc,  111,  42;  lin  de  lu  Icltrc  111, 
57  (pi  3i2)  à  Mydorge. 

(')  Foir  ci-avant  Lettre  XXV.  Mcrsenno  aurait  pu  communiquer  aussi  dès  lors  à  Fer- 
mal  les  autres  lettres  écrites  à  ce  sujet  par  Descartos  (Letlres  de  Descaries,  éd.  Clersc- 
licr :  à  Mersenne,  III,  4>;  à  Mydorge,  III,  ^i\  à  Mydorge,  111,  'J7). 


XXVI.  -   -20   AVRIL    1G38.  137 

loiiE^ue  main  comme  un  ami  intimo;  s'il  va  à  Paris,  comme  il  espère,  il 
vous  dira  qu'il  est  de  mon  avis  en  tous  les  petits  Discours  que  j'ai  faits, 
sans  en  exclure  la  Dioptrique. 

J'attends  de  vos  nouvelles,  et  suis,  etc. 

A  Toulouse,  ce  io  avril  i638. 

5.  Quand  vous  voudrez  que  ma  petite  guerre  contre  M.  Descartes 
cesse,  je  n'en  serai  pas  marri  et,  si  vous  me  procurez  l'honneur  de  sa 
connoissance,  je  ne  vous  en  serai  pas  peu  obligé. 

(A  ^  6o)   ('). 

6.  Outre  le  papier  (-)  envoyé  à  R(oberval)  et  P(ascal),  pour  sup- 
pléer à  ce  qu'il  y  a  de  trop  concis,  il  faut  que  M.  Descartes  sache,  qu'a- 
près avoir  tiré  la  parallèle  qui  concourt  avec  la  tangente  et  avec  l'axe 
ou  diamètre  des  lignes  courbes,  je  lui  donne  premièrement  le  nom 
(|u'elle  doit  avoir  comme  ayant  un  de  ses  points  dans  la  tangente,* ce 
qui  se  fait  par  la  règle  des  proportions  qui  se  tire  des  deux  triangles 
semblables.  Après  avoir  donné  le  nom,  tant  à  notre  parallèle  qu'à  tous 
les  autres  termes  de  la  ([ueslion,  tout  de  même  qu'en  la  parabole,  je 
considère  derechef  cette  parallèle,  comme  si  le  point  qu'elle  a  dans  la 
tangente  étoit  en  effet  en  la  ligne  courbe,  et  suivant  la  propriété  spéci- 
tique  de  la  ligne  courbe,  je  compare  cette  parallèle  par  adêgalité  avec 
l'autre  parallèle  tirée  du  point  donné  à  l'axe  ou  diamètre  de  la  ligne 
courbe. 

Cette  comparaison  par  adêgalité  produit  deux  termes  inégaux  qui 
cntin  produisent  l'égalité  (selon  ma  méthode),  qui  nous  donne  la 
solution  de  la  question. 

Et  ce  qu'il  y  a  de  merveilleux,  est  que  l'opération  nous  indique  si  la 

(')  Nous  avons  raltaché  à  la  lettre  du  20  avril  1038  le  fragment  suivant  dont  les  copies 
par  Arbogast  portent  sur  le  brouillon  le  titre  :  De  iiKutimis  et  intnimi<:,par  M.  Fermât  et 
la  souscription  :  Fin;  sur  la  mise  au  net,  le  titre  :  Sur  la  mélliode  des  tangentes,  par 
Fermai.  11  a  déjà  été  publié  par  M.  Charles  Henry  (Recherches,  pp.  i83-i84)  d'après  le 
brouillon  d'Arbogasl  (Bibl.  Nat.  fr.  n.  a.  3280,  f"  rSy),  lecpiel  n'a  d'ailleurs  eu  entre  les 
mains  ([u'une  copie  de  Merscnne  en  partie  indéeliiH'rable. 

('^)  Probablement  la  pièce  insérée  Tome  I,  pages  iSC-iSg.  Foir  Lettre  XXV  Ois,  4. 

Fermât.  —  II.  18 


i:î8         œuvres  1)1-:  fkiîmat.  -  cohhespondance. 

lignô  courlio  ost  t'oiivcxc  ou  concave,  si  la  (aiigculc  est  parallèle  à  l'axe 
ou  diamètre,  et  de  quel  côté  clic  fait  son  concours  lorsqu'elle  u'est  pas 
parallèle;  ce  (|ui  sérail  trop  long  à  décrire  par  le  menu  ('),  et  suffit  de 
din>  que  nous  trouvons  des  équations  impossibles  pour  avoir  pris  le 
concours  du  mauvais  c()té.  etc.,  d(>  sorte  ([u'il  paroit,  même  sans  faire 
un  plus  grand  discours,  que  l'équation  se  soudra  aisément  si  le  con- 
cours jteut  exister  et  en  aussi  peu  de  temps  (|u'on  puisse  imaginer. 


XXVII. 
DESCARTES  A  MERSENNE  (-). 

LUNDI    3    MAI     1G38. 

•  ■  (D,  m,  60.) 

Mon  Rr.vi':r>E>{n  Père, 

1.  H  y  a  déjà  quelquesjours  que  j'ai  reçu  votre  dernière  du  26  mars, 
où  vous  me  mandez  les  exceptions  (^)  de  ceux  qui  soutiennent  l'Ecrit 

(')  A  [larlir  des  mots  el  suffît,  le  Icxlc  est  conjectural.  Le  brouillon  d'Arbogasl  porte 
(les  mois  cil  italique  sont  ceux  pour  ll^^squcls  il  a  particulièrement  hésité)  : 

«  Et  suffit  lors  que  nous  trouvons  des  équations  impossibles,  nous  ayons  pris  le  con- 
cours du  mauvais  côté  etc.  de  sorte  qu'il  paroît  même  sans  faire  un  plus  grand  retour. 
que  l'équation  soit  toujours  aussi  -ù  le  concours  peut  exister  et  en  aussi  peu  de  temp? 
qu'on  ()uissc  imaginer.  » 

.Vrbogast  a  ajouté  en  note  :  «  11  me  paroît  que  cette  leçon  est  véritable,  nous  n'en  avons 
pas  mis  la  fin  dans  la  copie  au  net,  par  ce  que  nous  craignions  do  nous  tromper.  » 

('■)  Le  texte  de  celle  lettre  a  été  corrige  sur  l'original,  actuellement  conservé  à  la 
Bibliothèque  'VictGr  Cousin. 

(')  Ces  e.tceptions  se  retrouvent  développées  dans  \ Escrit  de  quelques  amis  de  Mon- 
sieur de  Fermât,  imprimé  Lettres  de  Detcarles,  éd.  Clerselier,  III,  58.  Mais  Descartes  ne 
l'avait  pas  encore  reçu  {voir  ci-après,  Lettre  XXI.K,  3);  c'est  donc  à  tort  que  la  note  de 
l'exemplaire  de  l'Institut,  reproduite  par  Cousin  (OEuvres  de  Descartes,  t.  VII,  p.  aS). 
assigne  à  cet  Écrit  la  date  du  i5  mars  i638.  Il  ne  doit  avoir  été  envoyé  qu'en  avril;  Des- 
cartes répondit  seulement  à  Mersenne  par  la  lettre  III,  Sg  de  l'édition  Clerselier;  la  date 
du  i4  avril  i6î8,  indiquée  |>our  cette  lettre  par  l'annotateur  anonyme  (OEufrcs  de  Des- 
cartes,  éd.  Cousin,  t.  VII,  p.  35)  est  également  trop  reculée,  Iloberval  n'ayant  pas  encore 
eu  connaissance  de  cette  réponse  le  i"'  juin  i(i38. 


XXVII.  -  3  MAI  1638.  139 

(le  M.  Fermât  de  maximis  etc.  Mais  elles  ont  si  peu  de  couleur  que 
je  n'ai  pas  cru  qu'elles  valussent  la  peine  que  j'y  répondisse.  Toute- 
fois, pource  que  je  n'ai  point  eu  depuis  de  vos  nouvelles  et  que  je 
crains  que  ce  ne  soit  l'attente  de  ma  réponse  qui  vous  fasse  différer  de 
ni'écrire,  j'aime  mieux  mettre  ici  pour  une  fois  tout  ce  que  j'en  pense, 
atin  de  n'avoir  jamais  plus  besoin  d'en  parler. 

2.  Premièrement,  lorsqu'ils  disent  qu'il  n'y  a  point  de  muxinia 
dans  la  parabole  ('),  et  que  M.  F.  trouve  les  tangentes  par  une  règle 
(lu  tout  séparée  de  celle  dont  il  use  pour  trouver  maximam,  ils  lui  font 
tort  en  ce  qu'ils  veulent  faire  croire  qu'il  ait  ignoré  que  la  règle  qui 
enseigne  à  trouver  les  plus  grandes  sert  aussi  i\  trouver  les  tangentes 
des  lignes  courbes  :  ce  qui  scroit  une  ignorance  très  grossière,  à  cause 
que  c'est  principalement  à  cela  qu'elle  doit  servir;  et  ils  démentent 
son  Écrit  où,  après  avoir  expliqué  sa  méthode  pour  trouver  les  plus 
grandes,  il  met  expressément  :  Ad  superiorem  methodiim  inventionem 
tangentium  ad  data  puncta  in  lineis  guibuscumque  curvis  reducimiis  (-). 

11  est  vrai  qu'il  ne  l'a  pas  suivie  en  l'exemple  qu'il  en  a  donné  fou- 
chant  la  parabole,  mais  la  cause  en  est  manifeste.  Car,  étant  défec- 
tueuse pour  ce  cas-là  et  ses  semblables  (au  moins  en  la  façon  qu'il 
la  propose),  il  n'aura  pu  trouver  son  compte  en  la  voulant  suivre,  et 
cela  l'aura  obligé  à  prendre  un  autre  chemin,  par  lequel  rencontrant 
d'abord  la  conclusion  qu'il  savoit  d'ailleurs  être  vraie,  il  a  pensé  avoir 
bien  opéré  et  n'a  pas  pris  garde  à  ce  qui  manquoit  en  son  raison- 
nement. 

3.  Outre  cela,  lorsqu'ils  disent  que  la  ligne  EP,  tirée  au  dedans  de 
la  parabole  C),  est,  absolument  parlant,  plus  grande  que  la  ligne  EB, 

(•)  roir  Lellro  XXV,  fig.  6o.  L'objection  do  Descartes  contre  la  règle  de  Fermât  était 
que  pour  trouver  la  tangente  BE  au  point  B  de  la  parabole,  il  fallait  ehercher  le  maximum 
de  BE,  considéré  comme  droite  a  mener  du  jjoint  E  à  la  parabole.  Roberval  et  Pascal 
repoussaient  à  bon  droit  ce  raisonnement. 

{-)  Voir  Tome  I,  page  i34,  les  deux  dernières  lignes. 

(3)  Voir  fig.  6o,  page  127.  Il  faut  supposer  la  droite  EP  menée  de  E  à  un  point  de  la 
parabole  plus  éloigné  que  B  par  rap|>ort  à  E. 


liO 


ŒUVRES  m:   F  K  II  M  AT. 


COUHESPONDANCE. 


ils  ne  disent  ricii  (|ui  serve  à  leur  eaiise.  Car  il  n'est  pas  requis  ((u'elle 
soit  la  plus  grande  absoliinieiil  |)ai'lan(,  mais  seulement  (|u'elle  soi(  la 
plus  grande  sous  eerlaines  eonditions,  comme  ils  ont  eux-mêmes  délini 
au  eommencement  de  l'Eerit^')  (|u'ils  m'oni  envoyé,  où  ils  disenl  (|ue 
eotle  invention  de  M.  F.  est  louchant  Us  plus  grandes  et  les  moindres 
lignes  ou  les  plus  grands  et  les  moindres  espaces  rpte  Fan  puisse  mener  ou 
faire  sous  certaines  conditions  proposées. 

Va  ils  ne  sauroient  nier  que  la  ligne  EB  ne  soit  la  plus  grande  qu'on 
puisse  mener  du  |)oint  E  jusques  ii  la  parabole  sous  les  conditions  que 
j'ai  proposées,  à  savoir  qu'elle  n'aille  que  jusques  à  elle  sans  la  tra- 
verser, comme  ils  ont  assez  dû  entendre  dès  le  premier  cou|).  >Iais  |)our 
faire  mieux  voir  (|iie  leur  excuse  n'est  aucunement  valable,  je  donnerai 
ici  un  autre  exemple  où  je  ne  parlerai  ni  de  tangente  ni  de  parabole, 
et  où  toutefois  la  règle  de  M.  Fer.  manquera  en  même  façon  ((u'au 
précédent.  Aussi  bien  vous  vous  plaignez  quand  je  vous  envoie  du 
papier  vide,  et  vous  ne  m'avez  point  donné  d'autre  matière  pour  rem- 
plir cette  feuille. 

Soit  donné  le  cercle  BDN  {fig-  G2),  et  que  le  point  E  qui  en  est 
dehors  soit  aussi  donné  et  qu'il  faille  tirer  de  ce  point  E  vers  ce  cercle 


une  ligne  droite,  en  sorte  que  la  partie  de  cette  ligne  qui  sera  hors  de 
ce  cercle  entre  sa  circonférence  et  le  point  donné  E  soit  la  plus  grande. 
Voici  comment  la  règle  donnée  par  M.  Fer.  enseigne  qu'il  y  faut  pro- 
céder. 

Ayant  mené  la  ligne  EDN  par  le  centre  du  cercle  et  sa  partie  ED 
étant  nommée  B,  et  sa  partie  DN  qui  est  le  diamètre  étant  (',  statuatur 


(')  Écril  [jcniu,  envoyé  [)ar  Mcrsennc  à  Descarlos  le  8  février  i638. 


XXVII.  -  3  MAI   1638.  141 

(juilihel  quœslionis  terminus  esse  A  ('),  ce  qui  ne  se  peut  mieux  faire 
(ju'en  menant  BC  perpendiculaire  sur  DN  et  prenant  .4  pour  CD. 

Et  inventa  maximâ  etc.  Pour  trouver  donc  cette  maximum,  à  savoir 
BE,  puisque  DC  est  A  et  DN  est  C,  le  quarré  de  BC  est 

.4  in  C  —   Iquad., 

et  puisque  DC  est  .4  et  DE  est  B,  le  quarré  de  CE  est 

Aq.  +  Bijf.-h  A  inZf  bis, 

lequel  joint  au  quarré  de  BC  fait  le  quarré  de  la  plus  grande  BE.  qui 

est 

AiiiC  -i-  Bq.  -H  .1  in  B  bis. 

Ponatur  nirsits  idem  qui  prius  terminus  esse  A  +  E,  ilerumquc  invc- 
iiiatur  maxiina,  ce  qui  ne  se  peut  faire  autrement,  en  suite  de  ce  qui  a 
précédé,  qu'en  posant  A  -^  E  pour  DC.  Et  lors  le  quarré  de  BC  est 

C  in  ^ -t- C  in  £•  —  yl  7.  —  .4  in  £■  bis  —  £"7.  ; 

puis  le  quarré  de  CE  est 

Aq.  -4-  A  in  £"  bis  +  Eq.  +  Bq.  +  .4  in  fi  bis  -1-  ^  in  fi  bis, 

lequel,  étant  joint  \\  l'autre,  fait 

A  in  C  H-  ^  in  C  -(-  Bq.  +  ,4  in  fi  bis  -1-  /Tin  fi  bis 

pour  le  quarré  de  la  plus  grande  BE. 
Adœquentur.  c'est-à-dire  qu'il  faut  poser 

{\n(^  +  Bq.-\-A  in  fi  bis  égala  ,4  in  C  ^E\nC-hBq.+ A  in  fi  bis  4- /-.'in  fi  bis. 

El  (lemptis  œqualibus  (_-),  il  reste 

E'mC  -\-  E  in  B  bis  égal  à  rion, 

ce  qui  montre  manifestement  l'erreur  de  la  règle. 

5.  Et  afin  qu'il,  ne  puisse  plus  y  avoir  personne  si  aveugle  ((ii'il  ne 

('/  Descartes  reprend  successivement,  comme  dans  la  Lettre  XXV,   les  dillérenles 
phrases  du  texte  de  la  règle  donnée  par  Fermât  (Tome  I,  page  i33). 
{-)  Fermât  aviiit  tVd  rommii/iibu.r  (Tome  I,  p.  i33,  ligne  3  en  remontant). 


li-2  ŒIVUES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

la  voie,  je  tiirai  ici  on  (|uoll{'  sorte  on  la  pcnt  corriger,  (lar,  hien  (|ne 
j'en  aie  touché  un  mot  en  ee  (|ue  j'ai  écrit  à  M.  IVÎvdorge  ('),  il  v  est 
néanmoins  en  telle  t'a(;on  (jue  je  ne  désirois  pas  encore  ([ue  ton!  le 
monde  le  put  entendre. 

Promièroment  doue  ii  ces  mots  el  inventa  maximâ.  il  est  bon  d'ajouter 
vel  alla  qiiâlibet  ciijiis  ope possit postea  inaxima  inveniri.  Car  souvent,  en 
cherchant  ainsi  la  plus  grande,  on  s'engage  en  beaucoup  de  calculs 
supertlus. 

Toutefois  cela  n'est  pas  un  point  essentiel;  mais  le  principal  et  celui 
qui  est  le  fondement  de  toute  la  règle  est  omis  en  l'endroit  où  sont 
ces  mots  :  Adœqucntitr  duo  homogenea  rnaximœ  aiil  minimœ  œqualia. 
lesquels  ne  signifient  autre  chose  sinon  que  la  somnu>  qui  explique 
maximani  in  tenninis  suh  A  gradu  iil  libcl  involiitis,  doit  être  supposée 
égale  à  celle  qui  l'explique  in  tenninis  siib  A  et  E  gradibus  ut  libel  coef- 
ficientibits. 

Et  vous  demanderez,  s'il  vous  plaît,  à  ceux  qui  la  soutiennent,  si  ce 
n'est  pas  ainsi  qu'ils  l'entendent,  avant  que  de  les  avertir  de  ce  qui  doit 
y  être  ajouté  :  à  savoir,  au  lieu  de  dire  simplement  adœqaentur,  il  falloit 
dire  :  adœqnentiir  tali  modo,  ut  quantitas  per  istani  œquaiionem  inve- 
nienda  sit  qnidcm  una,  cùni  ad  maximum  aut  minimam  refertur,  sed 
una  emergens  ex  duabus  quœ  per  eamdem  œquaiionem  possent  inveniri 
essentque  inœquales,  si  ad  minorem  maximâ  vel  ad  majorem  minimâ 
referrentur  (-). 

6.  Ainsi,  en  l'exemple  que  je  viens  de  donner,  ce  n'est  pas  assez  de 
chercher  le  quarré  de  la  plus  grande  en  deux  laçons;  mais  outre  c»da, 
il  i'aiil  dire  : 

comme  ce  quarré,  lors(|u'il  esl  .1  in  C  -\-  Bq.  -^  A'xwB  bis, 

estai!  même  quarré,  lorsqu'il  esl /IinC-+-É'in6'H-/?7.  +  >i  in/?bis  +  /?in/?bis, 

ainsi  C'in  A  —  Aq.,  qui  est  le  quarré  de  BC, 

est  à  C\n  A  -h  6' in  £"  —  Aq. —  A  in  E  bis  —  Et/.,  ([ui  est  aussi  le  même  quarré. 

(  ';  Lettres  de  Descaries,  éd.  Clerscller,  III,  57,  pai;o  3n6. 

(')  Descarlcs  essaye  de  raiiicncr  la  niclliode  de  Kermat  à  la  sienne  propre,  c'est-à-diro 
à  la  recherche  de  la  condition  sous  laquelle  deux  racines  d'une  équation  deviennent  égales. 


XXVII.  -  3  MAI   1638.  143 

Puis  multipliant  le  premier  de  ces  quarrés  par  le  quatrième,  on  le  doit 
supposer  égal  au  second  multiplié  par  le  troisième,  et  après,  en  démê- 
lant cette  équation  suivant  la  règle,  on  trouve  son  compte,  à  savoir  que 
CD  est  ^-r^ t;,  comme  il  doit  être. 

1-  Tout  de  même,  en  l'exemple  de  la  parabole  qui  avoit  été  pris  par 
M.  F.,  et  que  j'avois  suivi  en  mon  premier  Écrit  ('),  voici  comme  il 
faut  opérer  : 

Soit  BDN  {Jig.  Go)  la  parabole  donnée,  dontDC  est  le  diamètre,  et 
(jue  du  point  donné  B  il  faille  tirer  la  ligne  droite  BE,  qui  rencontre 

Fig.  6o. 


DC  au  point  E  et  qui  soit  la  plus  grande  qu'on  puisse  tirer  du  même 
point  E  jusques  à  la  parabole  :  —  à  savoir  au  dehors  de  cette  parabole, 
comme  ceux  qui  ne  sont  point  sourds  volontaires  entendent  assez,  de 
ce  que  je  la  nomme  la  plus  grande. 

Je  prends  li  pour  BC  et  D  pour  DC.  d'oii  il  suit  que  le  côté  droit  est 

^jj^,  et  sans  m'arréter  à  chercher  la  plus  grande,  je  cherche  seulement 

le  quarré  de  BC  en  d'autres  termes  que  ceux  qui  sont  connus,  en  pre- 
nant A  pour  la  ligne  CE,  et  par  après  en  prenant  A  -h  E  pour  la  même  : 
à  savoir,  je  la  cherche  premièrement  par  le  triangle  BCE,  car 

comme  A  est  a  B,    ainsi  A  -h  E  est  a  ^ , 


(|ui  par  conséquent  représente  BC,  et  son  quarré  est 

.4^.  in  Bq.-h  A  in  £"111  JJ q.b\s  -^  Eq.'nx  B(j. 
A^. 


(  '  )  Lettre  XXV. 


lU  ŒLiVlU:S    DE   FKHjMAT.  -  (.OIÎRESPONDANCK. 

puis  ji'  lii  clicrclie  par  la  paraltolc,  car,  quand  KC  est  A-hE,  DC  est 
D  -+-  /•.',  ri  le  (luaiTO  île  Bd  est 

/it/.m  D  +  fiq.  in  E 
T) ' 

(jui  doit  ôtro  égal  au  précédout,  à  savoir 

.1  il)  fi  in  Bq.  bis  +  Eq.  in  Btf.    ,        ,    Bq.  in  ^ 

D'où  l'on  trouve,  on  suivant  la  règle,  que^,  c'cst-;i-dire  CE,  est  double 
de  D,  c'est-à-dire  CD,  comme  elle  doit  être. 

Or  il  est  à  remarquer  que  cette  condition  qui  éloit  omise,  est  la 
même  que  j'ai  expliquée  {' )  en  la  page  3l^G,  comme  le  fondement  de 
la  méthode  dont  je  mosuis  servi  pour  trouver  les  tangentes,  et  qu'elle 
est  aussi  (oui  le  fondement  sur  lequel  la  règle  de  M.  F.  doit  être 
appuyée;  en  sorte  que,  l'ayant  omise,  il  fait  paroître  qu'il  n'a  trouvé 
sa  règle  qu'il  tâtons,  ou  du  moins  qu'il  n'en  a  pas  conçu  clairement 
les  principes. 

El  ce  n'est  point  merveille  qu'il  l'ait  pu  former  sans  cela,  car  elle 
réussit  en  plusieurs  cas,  nonobstant  qu'on  ne  pense  point  à  observer 
celte  condition,  ii  savoir  en  ceux  où  l'on  ne  peut  venir  h  l'équation 
(|u'en  l'observant,  et  la  plupart  sont  de  ce  genre. 

8.  Pour  ce  qui  est  de  l'autre  article,  où  j'ai  repris  la  façon  dont  se 
sert  M.  F.  pour  trouver  la  tangente  de  la  parabole,  vous  dites  qu'ils 
assurent  tous  qu'il  faut  prendre  une  propriété  spécifique  de  l'hyper- 
bole ou  de  l'ellipse  pour  en  trouver  les  tangentes.  En  quoi  nous 
sommes  d'accord,  car  j'assure  aussi  la  même  chose  et  j'ai  apporté 
expressément  les  exemples  de  l'ellipse  et  de  l'hyperbole,  qui  con- 
cluent très  mal,  pour  montrer  que  M.  Fermât  conclut  mal  aussi  tou- 
chant la  parabole  dont  il  ne  donne  [loint  de  propriété  spécifique. 

Car  dédire  (*)  qu'il  y  a  plus  gi'ande  proportion  de  CD  ii  Dl  que  du 

(')  Geoincïric  de  Duscarles,  ciJ.  lIcriMiiiin,  |}uges  30  et  37. 
(2)  yoir  Tome  I,  page  i35,  lignes  4  ù  (J. 


XXVII.  —  3   MAI    1638.  W6 

quarré  do  BC  au  quarré  de  01,  ce  n'est  nullement  une  propriété  spé- 
cifique de  la  parabole,  vu  qu'elle  convient  à  toutes  les  ellipses  et  à  une 
infinité  d'autres  lignes  courbes,  au  moins  lorsqu'on  prend  le  point  0 
entre  les  points  B  et  E  comme  il  a  fait,  et  s'il  l'eût  pris  au  delà,  elle  eût 
convenu  aux  hyperboles.  De  façon  que,  pour  la  rendre  spécifique,  il 
ne  falloit  pas  simplement  dire  sumendo  quodlihet  punctum  in  recta  BE, 
mais  il  y  falloit  ajouter  sWe  sumatur  ilhid  intra  puncta  B  et  E,  sive  ultra 
punctum  B  in.  lineâ  EB  productâ.  Et  cela  ne  peut  être  sous-entendu  en 
son  discours,  à  cause  qu'il  y  décrit  la  ligne  BE  comme  terminée  des 
deux  côtés,  à  savoir,  d'un  côté  par  le  point  B  qui  est  donné,  et  de  l'autre 
par  la  rencontre  du  diamètre  CD. 

Outre  cela  il  falloit  faire  deux  équations  et  montrer  qu'on  trouve  la 
même  chose  en  supposant  El  être  .4  +  E,  que  lorsqu'on  le  suppose 
être  A  —  E.  Car  sans  cela  le  raisonnement  de  cette  opération  est  im- 
parfait et  ne  conclut  rien. 

9.  Voilà  sérieusement  la  vérité  de  cette  affaire.  Au  reste,  pour  ce 
que  vous  ajoutez,  que  ces  Messieurs  qui  ont  pris  eonnoissance  de  notre 
entretien  ont  envie  de  nous  rendre  amis,  M.  Fermât  et  moi,  vous  les 
assurerez,  s'il  vous  plaît,  qu'il  n'y  a  personne  au  monde  qui  recherche 
ni  qui  chérisse  l'amitié  des  honnêtes  gens  plus  que  je  fais,  et  que  je 
ne  crois  pas  qu'il  me  puisse  savoir  mauvais  gré  de  ce  que  j'ai  dit  fran- 
chement mon  opinion  de  son  Écrit,  vu  qu'il  m'y  avoit  provoqué.  C'est 
un  exercice  entièrement  contraire  à  mon  humeur  que  de  reprendre  les 
autres,  et  je  ne  sache  point  l'avoir  encore  jamais  tant  pratiqué  qu'en 
cette  occasion;  mais  je  ne  la  pouvois  éviter  après  son  défi,  sinon  en  le 
méprisant,  ce  qui  l'eût  sans  doute  plus  offensé  que  ma  réponse. 

.le  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteur. 

Descartes. 

Du  3  mai  t638. 


Fermât.  —  II.  ig 


U6 


Œl  VKKS   DE   FERMAT. 


COllRESPONDANCE. 


WVIII. 
BILLET  AJOUTÉ  A  LA  LETTRE  PRÉCÉDENTE  ('). 

Pour  ontoiulro  parfaitiMuonl  la  troisième  (-)  page  de  ma  lettre,  et 
par  même  moyen  le  déduit  de  la  règle  de  M.  de  Fermât,  il  faut  con- 
sidérer ces  trois  figures  {/ig.  G3)  et  penser  que  lorsqu'il  dit  :  .S/«- 
lualiir  idem  qui  prias  terminus  esse  A  -+-  E,  cela  signifie  qu'ayant  posé 
EC  pour  .4  et  El  pour  .1  4-  E,  il  imagine  El  être  égal  à  EC,  comme  on 
le  voit  (Ml  la  troisième  figure,  et  que  néanmoins  il  en  fait  le  calcul  tout 
de  même  que  si  elles  étoient  inégales,  comme  on  le  voit  en  la  pre- 
mière et  seconde  figure,  en  cherchant  premièrement  EB  par  EC  qu'il 
nomme  A,  puis  EO  par  El  qu'il  nomme  .4  -i-  E. 

Fi-.  63. 


Et  cela  va  fort  bien,  mais  la  faute  est  en  ce  qu'après  les  avoir  ainsi 
calculées,  il  dit  simplement  :  Adœquentur.  Et  on  la  peut  voir  claire- 
ment par  la  première  figure  où  si  l'on  suppose  la'ligne  EO  (')  être 
égale  à  EB,  il  n'y  a  rien  qui  détermine  les  deux  points  B  et  0  à  s'as- 
sembler en  un  endroit  de  la  circonférence  du  cercle  plutôt  qu'en 
l'autre,  sinon  que  toute  cette  circonférence  ne  lut  qu'un  seul  point, 
d'où  vient  que  toutes  les  quantités  qui  demeurent  en  l'équation  se 
trouvent  égales  à  rien. 

Mais  pour  faire  que  ces  deux  points  B  et  0  ne  se  puissent  assembler 

(')  L'original  de  Va  Lettre  précédente  a  fait  piirtie  do  la  collection  dos  autographes  de 
De.scarles  anciennement  conservée  à  l'Académie  dos  Sciences  et  volée  par  Libri.  (lolui  du 
fragment  i]uc  nous  cotons  XXVIII  n'y  figurait  pas;  il  n'est  donc  connu  que  par  Clerselier. 

(«)  Foir  plus  haut  XXVII,  5. 

(')  Addition  en  rnar^c  :  a  Notez  (jue  je  suppose  ici  que  (;'est  le  point  E  qui  est  donné 
et  non  le  point  B.  « 


XXIX.  -    !"■   JUIN   1638.  IW 

qu'en  un  seul  endroit,  h  savoir  en  celui  où  EB  est  la  plus  grande  qu'elle 

puisse  être  sous  la  condition  proposée,  il  faut  considérer  la  seconde 

figure  et,  à  cause  des  deux  triangles  semblables  EGB  et  EIO,  il  faut 

dire  : 

comme  EC  ou  BC  est  à  EB,     ainsi  El  ou  01  est  à  EO; 

au  moyen  de  quoi  on  fait  qu'à  mesure  que  la  quantité  EB  est  supposée 
plus  grande,  la  quantité  EO  est  supposée  plus  petite,  à  cause  que  les 
points  E,  B,  0  sont  toujours  là  en  même  ligne  droite.  Et  ainsi  lorsque 
EB  est  supposée  égale  à  EO,  elle  est  supposée  la  plus  grande  qu'elle 
puisse  être  :  c'est  pourquoi  on  y  trouve  son  compte. 

Et  c'est  là  le  fondement  de  la  règle  qui  est  omis.  Mais  je  crois  que  ce 
seroit  pécher  de  l'enseigner  à  ceux  qui  pensent  savoir  tout  et  qui 
auroient  honte  d'apprendre  d'un  ignorant  (îomme  je  suis;  vous  en 
ferez  toutefois  ce  qu'il  vous  plaira. 


XXIX. 
ROBERVAL  A  FERMAT. 

MARDI     1'''    JllN     1638. 

{ra,  p.  i5/|-i:>5.) 


Monsieur, 


1.  Puisqu'il  est  vrai  qu'il  n'y  a  aucun  contentement  que  je  préfère 
à  celui  que  je  reçois  de  vos  lettres,  vous  devez  penser  que  les  occupa- 
tions qui  m'ont  empêché  de  vous  écrire  depuis  si  longtemps,  doivent 
avoir  été  bien  pressantes,  ayant  eu  la  force  d'interrompre  notre  entre- 
tien qui  m'est  si  cher  et  si  agréable. 

2.  Or,  pour  recommencer,  je  vous  dirai  que,  si  j'ai  entrepris  la  dé- 
fense de  votre  Traité  [de  minimis  et  mciximis]  contre  les  objections  de 


r.S  ŒUVRES  DE   l'EUMAT.  -  COUUESPONDANCE. 

M.  Descartos  ('),  jo  m'y  suis  senti  (»i)lig('  ou  |)hi(ùl  nécessité  par  mou 
génif.  (jui  nt'  \)onl  soullVirciuo  la  vérilé  soil  laul  soit  peu  obscurcie, 
tant  s'en  faut  (|u'il  endure  (|u'oii  la  lasse  passer  pour  ce  (|u'elle  a  de 
plus  coutraire,  j'entends  pour  une  fausseté  accompagnée  de  paralo- 
gismes.  C'est  pourquoi  j'ai  grand  besoin  qu'au  lieu  de  me  remercier  (-) 
comme  vous  faites,  vous  m'excusiez,  tant  pource  qu'étant  foible,  j'ai 
osé  entrer  en  lice  contre  un  fort  adversaire  pour  vous,  que  pource  que 
je  l'ai  fait  sans  vous  en  avertir,  vu  que  vous  sembliez  y  avoir  le  prin- 
cipal intérêt.  Mais,  en  elfet,  c'est  l'intérêt  de  la  vérité  et  de  tous  ceux 
(|ui  la  chérissent  :  c'est  pourquoi  j'en  ai  fait  le  mien  propre,  et  elle 
m'a  paru  si  claire  qu'elle  m'a  fait  passer  par  dessus  les  considérations 
de  ma  foiblesse,  à  laquelle  j'ai  pensé  que  son  évidence  pourroit  sup- 
pléer assez  suffisamment,  .l'espère  que  vous  recevrez  cette  excuse  et 
que  vous  me  ferez  l'honneur  de  croire  que  la  connoissance  que  j'ai  de 
votre  mérite,  m'a  tellement  acquis  à  vous,  qu'elle  m'a  fait  témoigner 
i-e  zèle,  quoique  mon  insuffisance  seule  l'ait  pu  rendre  en  quelque 
sorte  indiscret. 

3.  M.  Descartes  n'ayant  pas  encore  reçu  uion  Ecrit  (')  le  3  mai,  ce 
qui  est  pourtant  bien  tard,  a  fait  quelques  objections  nouvelles  de  peu 
de  conséquence.  Vous  les  verrez  dans  sa  Lettre  (*)  que  le  Père  Mer- 
senne  vous  pourra  envoyer. 

Il  veut  trouver  la  tangente  d'un  cercle,  persistant  toujours  (jue  c'est 
la  plus  grande,  sinon  qu'il  y  ajoute  qu'elle  n'est  la  plus  grande  que 
sous  certaines  conditions  :  en  quoi  il  s'enferre  lui-même,  voulant  ré- 
futer votre  Ecrit  ('),  qui  [)arle  de  la  plus  grande  absolument,  par 
l'exemple  d'une  (jui  n'est  la  plus  grande  que  conditionairement. 

Il  est  vrai  que,  voulant  la  trouver  absolument  ou  la  moindre,  el. 
pour  ce  faire,  nommant  le  diamètre  ND  (^/fg.  tJ4)  C,  DE  ^,  et  DC  ou 

(  '  )  Foir  Lettre  XXV. 

(')  Dans  une  Lettre  perdue. 

(')  Lettres  (le  Descarte.t,  vd.  V,\cvscUp[',  lit,  58. 

(»)  Lettre  XXVll. 

(')  Metliodiis  ad  disiiairciidtnii  iiuixiiiuiin  et  i//i/ii»iniii,  Tome  I,  |).  i33  cl  sui\'. 


XXIX.  —  1"  JUIN  1638.  IW 

EC  A,  on  tombe  dans  une  absurdité  que  C+  B  bis  est  égal  à  rien;  et. 
si  le  point  E  étoit  dans  le  cercle,  C  —  B  bis  seroit  égal  à  rien.  Mais  cette 
absurdité  montre  qu'il  ne  faut  pas  chercher  le  point  B  dans  la  circon- 
férence autre  part  que  dans  la  ligne  DN,  savoir  au  point  N  pour  la 


Fis.  6'.. 


plus  grande  et  au  point  D  pour  la  moindre  :  en  quoi  il  est  remarquable 
que  C -h  B  bis  est  la  somme  de  la  plus  grande  et  de  la  moindre,  et 
C  —  B  bis  est  leur  différence. 

Mandez-moi  quel  est  votre  sentiment,  car,  n'ayant  pas  encore  le 
loisir  de  considérer  bien  particulièrement  le  fonds  de  votre  méthode  et 
sa  démonstration,  il  se  peut  être  qu'elle  ne  contienne  des  mystères 
qui  me  sont  encore  cachés. 

4.  J'ai  trouvé  admirable  le  moyen  (')  par  lequel  vous  l'appliquez 
aux  paraboles  et  solides  paraboliques  pour  en  trouver  les  centres; 


mais,  le  voulant  éprouver  en  la  vraie  parabole,  j'ai  trouvé  qu'il  falloit 
changer  votre  raisonnement  qui  n'est  que  particulier  au  conoïde  par 


(  '  )  Ceiitrum  grm'itfttis  paraholici  conoidh,  lomc  I,  ]).  1 3G  cl  sui\'.  J'oir  I^pl  tre  XXV  his,  4. 


150  ŒUVRES  !)[•:  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

raboli(]U(\  car,  ayaiil  l'cspiu'c  do  la  ligiio  EO  {Jîg.  65),  vous  pouvez 
l)itMi  dire  : 

eoiuiiie  la  iliU'i'reiice  des  quanés  lA  et  AN  osl  au  quané  de  AN, 
ainsi  la  ligne  EO  est  à  OM, 

ce  que  vous  ue  pouvez  pas  en  la  parabole  même  (  '  ),  en  laquelle,  sui- 
vant ee  raisoniuMuent.  il  Caudroil  dire  : 

comme  la  difféieiice  de;?  cubes  de  lA  cl  AN  est  au  cube  de  AN, 
ainsi  la  didëreiice  des  quanés  de  EM  ei  MO  est  au  ([uai-ré  de  MO, 

et  cepeiidanl  vous  n'avez  pas  l'espèce  ni  de  l'un  ni  de  l'autre  de  ces 
quarrés. 

Au  lieu  desquels  j'ai  dit  ainsi  : 

il  y  a  plus  grande  raison  du  cube  lA  an  cube  AN  que  du  qunrré  El  au  quarré  01, 
ce  qui  réussit,  et  en  la  parabole  cubique  j'ai  dit  : 

il  y  a  plus  giande  raison  du  quarréquarré  lA  au  quarréquarré  AN 
que  du  cube  El  au  cube  01, 
etc. 

Mais  le  raisonnement  est  autant  ou  plus  beau  et  plus  facile  par  les 
ligures  qui  restent,  ayant  ôté  le  plan  parabolique  du  parallélogramme 
qui  le  comprend. 

J'ai  promis  à  M.  Mydorge  de  l'entretenir  sur  cette  invention  que  je 
ne  saurois  assez  admirer,  et  je  m'assure  que  M.  Pascal  en  fera  ses  ex- 
clamations ordinaires,  si  je  puis  la  lui  faire  voir,  comme  j'espère  (^), 
et  à  31.  Desargues. 

5.  Il  faut  aussi  que  M.  Descartes  la  voie,  afin  qu'il  nous  en  fasse  voir 
les  paralogismes  et,  puisque  vous  avez  trouvé  les  tangentes  de  sa 

(')  Koberval  n'avait  pas  compris  toutes  les  ressources  de  la  méthode  de  Format. 
(2)  Depuis  quelque  temps,  Etienne  Pascal  avait  attiré  sur  lui  la  colère  de  Richelieu  et  il 
se  cachait,  pour  éviter  une  arrestation. 


XXX.  —  1"  JUIN   1638.  151 

tigurc  ('  ),  qui  est  une  espèce  d'ovale,  il  sera  bon  que  vous  lui  en- 
voyez, ou  nous,  si  vous  le  trouvez  meilleur.  Mais  prenez  garde  que, 
par  le  même  point  donné,  il  peut  y  passer  deux  de  ces  ovales  et  par- 
tant y  avoir  deux  tangentes,  ce  que  j'espère  que  l'équation  fera  décou- 
vrir. 

6.  J'y  travaillerois,  mais  je  suis  assuré  que  vous  y  réussirez  mieux 
(juc  moi,  joint  qu'il  me  faudroit  être  délivré  de  la  roue  à  laquelle  je 
suis  attaché,  ayant  appelé  du  nom  de  roue  le  cercle  qui  roule  avec  les 
conditions  que  vous  savez  (^);  et  ayant  donné  un  nom  à  la  ligne 
courbe  que  décrit  un  point  delà  circonférence  pendant  une  révolution 
entière,  je  démontre  que  l'espace  compris  de  cette  ligne  courbe  et  de 
la  droite  qui  lui  sert  de  base,  sur  laquelle  la  roue  se  meut,  est  majus 
(lato  qiiam  in  ratione,  c'est  à  savoir  que,  de  cet  espace  en  ayant  ôté 
l'espace  de  la  roue,  il  y  aura  même  raison  du  reste  à  la  même  roue  que 
de  la  base  de  l'espace  à  la  moitié  de  la  circonférence  de  la  roue. 

D'où  il  s'ensuit  qu'en  la  roue  ordinaire,  de  laquelle  la  base  est  esti- 
mée égale  à  la  circonférence,  l'espace  dont  il  s'agit  est  triple  de  la 
roue;  et  si  la  base  est  double  de  la  circonférence,  l'espace  sera  quin- 
tuple de  la  roue;  si  triple,  septuple  :  et  ainsi  en  continuant  par  les 
nombres  impairs. 

De  tout  ceci  je  vous  envoierai  par  le  premier  courrier  une  brève  dé- 
monstration, en  attendant  le  Traité  entier. 

Je  suis  etc. 


(')  La  courbe  .r^-i-  )-3=  axy.  —  /'<«>  Lettre  XXV,  6,  et  ci-après,  pièce  XXXI,  3.  — 
Il  faut  observer  que,  pour  prendre  à  la  lettre  l'énoncé  de  Descaries  et  en  l'absence  de 
conventions  précises  sur  l'interprélation  des  signes  des  coordonnées,  Roberval  devait 
rejeter  les  branches  infinies  de  la  courbe,  comme  ne  faisant  pas  partie  du  lieu,  et,  au  con- 
traire, y  ajouter  dans  eliaquo  angle  autre  que  celui  des  coordonnées  positives,  un  folium 
symétrique  de  celui  que  forme  la  courbe  dans  ce  dernier  angle.  La  figure  d'ensemble  du 
lieu,  figure  admise  au  reste  par  Descartes  lui-même,  justifie  dès  lors  le  nom  do  galand 
(nœud  de  ruban),  que  lui  donna  Roberval  (voir,  ci-après,  Lettre  XXXV).  Dans  la  phrase 
ipii  suit,  ce  dernier  semble  faire  allusion  au  point  double  à  l'origine. 

(-)  Conditions  de  génération  des  cycloïdes.  —  ^oir  Lettre  XXV  bis,  7. 


152  ŒUVRES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

XXX. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

<  JUIN  1638  > 

(A,  f-  27,  B,  f°  26.) 

Mon  Révérend  Père, 

1.  .l'avois  déjà  fail  1111  mot  d'rciit  pour  m'oxpluiiKT  plus  clairement 
à  31.  Descartes,  sur  le  sujet  de  ma  méthode  demaximis  et  minimis  et  de 
im'entione  tangentiiim,  lorsque  votre  dernière  m'a  été  rendue,  qui 
contient  copie  de  la  réplique  (-)  de  M.  Descartes.  Je  ne  reste  pas  de 
lui  envoyer  ce  que  j'avois  déjà  fait  ('),  où  il  trouvera  sans  doute  de 
quoi  se  désabuser  de  la  croyance  qu'il  semble  avoir,  que  j'ai  trouvé 
cette  méthode  par  hasard  et  que  je  n'en  connois  pas  les  vrais  prin- 
cipes. 

2.  îl  a  déjà  franchi  qu'elle  est  bonne  pour  les  tangentes,  en  se  ser- 
vant d'une  propriété  spécitique  des  lignes  courbes,  ce  qu'il  di(  <  ne  > 
pouvoir  être  sous-entendu  en  mon  écrit  latin;  en  elTet,  je  n'aurois  ni 
sens  commun,  ni  logique  naturelle,  si  je  croyois  d'une  propriété  géné- 
rale en  tirer  des  particulières.  La  méthode  donc  est  bonne,  au  sens 
auquel  je  l'emploie  pour  les  tangentes. 

Et  n'importe  de  dire  qu'il  faut  faire  deux  opérations,  l'une  par  A-i-E, 
l'autre  par  A  —  E,  car  une  seule  suffit  pour  la  construction,  quoique 
la  démonstration  que  je  n'ai  pas  encore  donnée,  tire  son  principal 
fondement  de  ce  que  A  -1-  E  fait  la  même  chose  que  A  —  E. 

(1)  Lettre  inédite,  envoyée  à  Mersenne  avec  la  Pièce  suivante  XXXI.  Mersenne  adressa 
le  tout  à  Descartes  le  20  juillet  i638.  D'autre  part,  cette  Lettre  XXX  fut  écrite  sur  le  vu 
de  celle  de  Descartes  à  Mersenne,  du  3  mai  {ci-nvnnt  XXVII),  que  le  Minime  n'adressa  à 
Fermât  qu'après  le  i'"' juin  {voir  Lettre  XXIX,  3).  Les  deux  Pièces  XXX  et  XXXI  sont 
<lonc  de  la  fin  de  juin  nu  du  comnienccnient  de  juillel  i(J31S. 

r-)  Lettre  XXVII. 

r')  La  Pièce  XXXI. 


XXX. 


JUIN  1638. 


153 


3.  Reste  de  dire  un  mot  de  la  méthode  sur  le  sujet  de  l'inveiitioii 
maximœ  et  minimœ,  laquelle  il  prétend  être  fautive  et  en  allègue 
l'exemple  suivant  : 

Du  point  D  {fig.  66)  il  faut  tirer  DA  sur  le  cercle,  en  telle  sorte 
qu'elle  soit  la  plus  grande  qui,  du  point  D,  puisse  être  menée  au  dit 


cercle  sans  le  franchir  (ce  qui,  en  effet,  ne  veut  dire  autre  chose  que 
chercher  la  tangente  AD). 

Si  nous  prenons  CN  pour  A,  et  DA  pour  la  plus  grande,  selon  la 
méthode,  nous  trouverons  une  équation  impossible,  d'où  il  conclut 
que  la  méthode  est  insufiisante. 

Je  réponds  que  je  n'ai  garde  de  prendre  DA  pour  la  plus  grande 
(bien  que  la  limitation  de  M.  Descartes  semble  lui  pouvoir  donner  ce 
nom),  d'autant  que  la  méthode,  n'agissant  que  par  la  propriété  spéci- 
fique du  cercle,  en  trouve  toujours  de  plus  grandes  qui  peuvent  être 
tirées  au  dit  cercle  jusques  au  point  B.  Mais  la  méthode  satisfait  d'ail- 
leurs à  cette  question,  qui  y  peut  très  facilement  être  réduite,  comme 
M.  Descartes  a  reconnu,  et  voici  comment  : 

Puisque  DA  touche  le  cercle,  DA  est  à  AC,  perpendiculaire,  en 
moindre  proportion  qu'aucune  autre  ligne  tirée  du  point  D  au  cercle, 
de  l'un  et  de  l'autre  côté  du  point  A,  n'est  à  la  perpendiculaire  tirée, 
du  point  auquel  elle  concourt  avec  le  cercle,  sur  le  diamètre;  ce  qui 
paroît  d'abord. 

Cherchons  donc  par  la  méthode  un  point  au  cercle,  comme  A,  en 
sorte  que  DA  ad  AC  habeat  minimam  proportionem  ;  dabiturpunctum  A, 
ideoque  tangens. 

Voilà  la  raison  de  l'opération  de  M.  Descartes,  qu'il  n'a  pas  dite. 


Fermât.  —  U. 


ISi  ŒUVRES  1)K   l'KHMAT.  -  (.015  IlESPON  DANCK. 

laciiiolli;  coiitiriiie  la  roi^lo  (oui  à  i'ail.   liion  loin  d'y  remarquer  des 
défauts,  je  erois  qu'il  y  trouvera  plus  de  facilité  qu'à  la  sienne  (') 


XXXI. 

aiÉTHODE  DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS 

EXPLIQUÉE  ET  ENVOYÉE  l'AU  M.  FERMAT  A  M.  DESCARTES  (2). 
(A,  f»'  ih.  k  6-].) 

1.  La  méthode  générale  pour  trouver  les  tangentes  des  lignes 
courbes  mérite  d'être  expliquée  plus  clairement  qu'elle  ne  semble 
l'avoir  été. 

Soit  la  courbe  donnée  ZCA  (Jïg.  67),  de  laquelle  le  diamètre  soit 
CB.  Soit  encore  donné  dans  la  courbe  le  point  A,  duquel  soit  menée 
l'appliquée  AB  sur  le  diamètre.  Il  faut  chercher  la  tangente  AD,  de 
laquelle  le  concours  avec  le  diamètre  prolongé  se  fait  au  point  D. 

Les  lignes  AB  et  BC  sont  données;  supposons  que  BA  s'appelle  //, 
cl  (jue  BC  s'appelle  IJ.  Supposons  que  la  ligne  BD,  que  nous  cher- 
chons, s'appelle  A.  Prenons  à  discrétion  un  point,  tel  que  E,  sur  la 
tangente,  duquel  soit  tirée  EF  parallèle  à  AB,  et  supposons  que  la 
ligne  BF  soit  E. 

(')  La  Lellrc  csl  cviilcminoiU  incomplolo.  D'apri's  la  réponse  do  Descarlos  à  llcrsciinc, 
en  date  du  27  juillet  i638  {Lettres  de  Descartes,  éd.  Clci'selicr,  lll,  66,  p.  37.J-375),  Fer- 
mat  y  aurait  répondu  à  la  question  V  do  Sainte-Croix  (voir  p.  64,  note),  c'ost-à-dirc 
donné  le  nombre  i  476  3o4  896,  comme  quatrième  connu  dont  le  double  soit  égal  à  l;i 
somme  de  ses  parties  aliquotcs.  Descartes  ajoute  : 

«  ...  il  mot  un  peu  devant,  touchant  la  quatrième  question  de  M.  de  Sainte-t^roix 
(voirp.  ag,  note  2),  que  j'aurai  peut-être  fait  la  même  équivocpie,  qui  lui  arriva  la  pre- 
mière fois  qu'elle  lui  fut  proposée,  cl  que  j'aurai  cru  qu'il  sullisoil  que  les  nombres  clicr- 
cliés  ne  fussent  ni  quarrés,  ni  composés  de  deux  quarrés,  bien  qu'ils  fussent  composés  do 
quatre,  ce  qui  n'est  pas  pourtant  selon  le  sens  de  l'auteur  etc.  » 

(■)  Pièce  jointe  à  la  précédente  {voir  page  i,'J2,  note  i).  —  Elle  a  été  publiée  par 
M.  Charles  Henry  dans  ses  Jier/iérc/ict  sur  les  manuscrits  de  Pierre  de  Fermai 
(pages  184  à  189;,  d'après  le  brouillon  d'.Vrbogast.  Celui-ci  ne  l'a  connue  que  par  une 
copie  de  Alersenne,  aujourd'hui  perdue. 


Donc  CF  sera  D-  E,¥E  sera 


XXXI.  -  JUIN  1638. 

BinA  —  Bm/i 


135 


A 


et,  de  quelque  nature 


que  soit  la  courbe,  nous  donnerons  toujours  les  mêmes  noms  aux 
lignes  CF  et  FE  que  nous  venons  de  leur  donner. 


Cela  étant  fait,  il  est  certain  que  le  point  E  de  la  ligne  EF,  étant  dans 
la  tangente,  sera  hors  de  la  courbe,  et,  par  conséquent,  la  ligne  EF  sera 
plus  grande  ou  plus  petite  que  l'appliquée  qui  s'appuie  à  la  courbe  du 
point  F  :  —  plus  grande,  lorsque  la  courbe  est  convexe  en  dehors, 
comme  en  cet  exemple,  et  plus  petite,  lorsque  la  courbe  est  convexe 
en  dedans;  car  la  règle  satisfait  à  toutes  sortes  de  lignes  et  déter- 
mine même,  par  la  propriété  de  la  courbe,  de  quel  côté  elle  est  con- 
vexe. —  Quoique  la  ligne  FE  soit  inégale  à  l'appliquée  tirée  du  point  F 
à  la  courbe,  je  la  considère  néanmoins  comme  si  en  effet  elle  étoit  égale 
à  l'appliquée,  et  en  suite  la  compare  par  aciéqualion  avec  la  ligne  FI, 
suivant  la  propriété  spécifique  de  la  courbe. 

2.  Comme,  en  la  parabole,  par  exemple,  je  fais 

comme  BC  à  CF,     ainsi  BAciuarré  à  FEtiuarré, 

ou  bien,  pour  éviter  les  fractions  et  la  diversité  des  lignes, 

comme  BC  à  CF,     ainsi  BD  quarré  à  DF(|nairé; 

car  c'est  toujours  la  même  chose,  à  cause  des  deux  triangles  sem- 
blables DBA,  DFE. 

Ou  bien  encore  je  pourrois  comparer  le  quarré  FE  avec  le  rectangle 
compris  sous  le  côté  droit  et  la  ligne  CF,  comme  si  ce  quarré  étoit  égal 
à  ce  rectangle,  quoique  en  effet  il  ne  le  soit  pas,  puisque  ce  sont  seule- 


156 


ŒUVRES   m:  FERMAT.        CORRESPONDANCE. 


ment  los  appliquées  à  la  coiirho  (|ui  ont  la  propi'iclé  (|m'  nous  iloiiiioiis 
par  adéquation  à  la  ligne  FE. 

C.ela  elant  (ait,  j'ôle  les  choses  communes  e(  divise  le  resie  par  E. 
J'elTai'i»  tout  l'c  (|ui  resIe  mêlé  avec  E  et  égalise  le  surplus,  de  sorte  que, 
par  cette  dernière  équation,  je  conuois  la  valeur  de  .4  et  par  consé- 
quent la  ligue  BD  et  la  tangente. 

3.  Kt  pour  l'aire  voir  que  la  méthode  est  générale,  et  qu'elle  satis- 
fait avec  pareille  facilité  à  toutes  sortes  de  questions,  nouvs  la  pouvons 
appliquer,  pour  servir  d'un  second  exemple,  à  la  ligne  courhc  pro- 
posée par  M.  Descartes  (  '  ). 

SoU  la  courue  C\  {  tig.  6S  ),  de  laquelle  la propriclé  esL  telle  que,  quelque 
point  qu  on  prenne  sur  la  dite  courbe,  comme  A,  tirant  la  perpendicu- 


laire AB,  les  deux  cubes  €M  et  BA  soient  égaux  au  parallélépipède  com- 
pris sous  une  ligne  droite  donnée,  comme  N,  et  sous  les  deux  lignes  CB 
et  BA. 

Supposons  que  la  chose  soit  déjà  faite,  et  une  construction  pareille 
à  la  précédente,  avec  les  noms  des  lignes  BD,  BC,  BA,  CP\  FE.  H  faudra 
comparer,  par  adéquation,  les  deux  cubes  CF,  FE  avec  le  solide  com- 
pris sous  N,  FC,  FE. 

Les  deux  cubes  de  CF,  FE  sont  en  notes 

Dcub.  —  li  euh.  —  Dq.  \n  E .Z  +  D  in  Eq.  3 

Bcub.  in  Acub.  —  Bcub.  in  Ectib.  —  Bctib.  in  A  q.  in £'.3  -i-  Bcub.  in  A  in  Eq.  3 
"^  ~  '  ^Âcût).  "  ' 


(<;  roir  LeUrc  XXV.  6. 


XXXI.  -   JUIN   1638.  157 

le  solide  de  A',  CF,  FE,  en  notes,  est 

yVinZ)ingin  4  —  Vin /)  in  ^  in  g  — /Vin  ^  in  .4  iii  g  +  Vin  g  in  gy. 

Multipliant  tout  par  Acub.,  il  faut  comparer 

De.  in  Ac.  —  Ec.  in  Ac.  —  Dg.  in  E  in  .)  f.  3  +  Z>  in  Erj.  in  A  c.  3 

-+-  Bc.  \n  A  c.  —  Bc.  in  Ec.  —  Bc.  in  A  q.  in  £".3  -+-  Bc.  in  A  q.  in  Eq.  3 

avec 

7Vin/>iri  /?in    te—  Vin  Z)  in  5  in  £"  in  .47. 

—  Vin  B\\\  E\i\  .4  c. +./Vin  fi  in  Eq.  in  .47. 

Otons  les  choses  communes,  savoir,  du  premier  terme, 

De.  in  .4  c.  H-  fie.  in  .4  c, 

et  du  second, 

iVin  D  in  B  in  4c., 

qui  sont  égaux  par  la  propriété  de  la  ligne;  —  puisque  les  deux 
cubes  De.  et  Bc,  répondant  aux  cubes  des  deux  lignes  BC  et  BA, 
sont  égaux  au  solide  A' in  D  in  U,  qui  répond  à  celui  de  la  ligne  donnée 
et  des  deux  lignes  BC  et  BA.  —  Divisons  le  reste  par  E  et  ôlons  ensuite 
tout  ce  qui  se  trouvera  mêlé  avec  E;  restera  enfin 

/>7.  in  4  1er  +  fi  cm6.  1er       égala       A' in  Z)  in  fi  h- A' in  fi  in    I, 

e(  ainsi  nous  aurons 

/Vin  Z>  in  fi  =  B  euh.  1er 


/>7.  ter  =  Ain  B 


égal  à   .4, 


ce  qu'il  falloit  chercher. 

Nous  avons  mis,  suivant  la  méthode  de  Viète('  ),  deux  lignes  ==  [)our 
la  marque  du  défaut,  parce  qu'il  n'appert  point,  s'il  n'a  été  dit  d'ail- 

(')  Vièie,  la  Arlom  analyticen  Isagoge,  cap.  iv,  praic.  n  (éd.  Scliooteii,  Lcyde,  El/.e- 
virs,  1646,  page  5)  : 

(I  Ciim  autem  non  pi-oponilur  ulra  magnitiido  sit  major  vel  minor,  et  tamon  siibdm-tio 
D  facionda  est,  nota  dilleronliu3  est  =  id  est,  minus  inccrto  :  ut  propositis  A  qnadralo  et 
1)  li  piano.  dilTerenlia  erit  A  quadratum  =  B  piano,  vel  B  plannm  =  A  quadrato.   u 


1S8  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

leurs,  (iiioUo  est  la  proportion  dos  doux  liguos  H  ot  D,  ou  bien  BA  et 
BC,  données.  Car  il  pont  arriver  que  quelquefois,  suivant  la  diversité 
dos  proportions  do  D  ol  do  D,  la  ligne  eourbo  sera  oonvexo  ol  d'autres 
fois  concave;  quelquefois  encore  (|ue  la  tangente  sera  parallèle  au  dia- 
mètre BC;  quelquefois  enfin  que  le  concours  avec  le  dianiètro  se  fora 
de  l'autre  oôté,  ce  qui  se  détermine  aisément  par  la  méthode  même, 
lorsqu'on  nous  donne  la  proportion  des  deux  lignes  données  BActBG, 
comme  il  est  très  aisé  de  voir  ot  de  faire  comprendre.  Lorsque  je  parle 
de  la  proportion  des  deux  lignes  données,  j'entends  leurs  valeurs,  en 
nombres  ou  sourds  ou  ralionaux;  car  autrement  on  sait  assez  que,  deux 
lignes  étant  données,  leur  proportion  est  aussi  donnée. 

4.  Il  parait  donc  que  ou  je  me  suis  mal  expliqué  ou  que  M.  Doscartcs 
a  mal  compris  mon  Écrit  latin  (');  s'il  veut  que  ce  soit  le  premier,  je 
ne  le  lui  contesterai  guère.  Il  s'est  aussi  trompé  en  ce  qu'il  a  cru  que, 
pour  appliquer  la  méthode  de  maximis  et  minimis  à  l'invention  des 
tangentes,  il  falloit  chercher  une  ligne,  comme  AD  {fig.  69),  menée, 

Fig.  fio- 


du  point  A  donné,  sur  le  diamètre,  en  telle  sorte  que  AD  soit  la  plus 
grande  qui  puisse  être  tirée  du  point  D  à  la  courbe.  M.  de  Roberval  (^) 
lui  a  déjà  fait  voir  la  raison  de  son  mécompte,  duquel  il  a  voulu  tirer 
cette  conséquence,  que  la  méthode  de  maximis  et  minimis  étoit  fautive 
et  avoit  besoin  d'être  corrigée,  en  quoi  il  s'est  aussi  bien  trompé  qu'au 
reste. 

5.  Mais  pour  lui  marquer  de  quelle  façon  la  méthode  de  maximis  et 
minimis  peut  être  appliquée  à  l'invention  des  tangentes,  la  voici  : 


(')  Aletliodiis  ad  diaquircnâdm  maxunum  et  inininiani.  Tome  I,  Jiagc  l'iS. 
(')  LeUrcK  de  Dcscarte.i,  éd.  Clcrselier,  III,  58. 


XXXI. 


JUIN   1638. 


1.59 


Le  point  A  étant  donné,  il  tant  avoir  recours,  non  pas  admaximaiii. 
puisqu'on  ne  trouvcroit  que  l'intini,  mais  ad  minimam.  Cherchons 
donc  le  point  0  dans  le  diamètre,  de  telle  façon  que  la  ligne  OA  soit  la 
plus  courte  qui  puisse  être  tirée  du  point  0  à  la  courbe.  Le  point  O 
étant  trouvé  par  la  méthode,  joignez  les  deux  points  0  et  A  par  la 
ligne  OA,  et  tirez  la  ligne  AD  perpendiculaire  sur  OA.  Je  dis  que 
la  ligne  AD  touchera  la  courbe,  <  ce  >  dont  la  démonstration  est 
aisée. 

Car  si  AD  ne  touchoit  pas  la  courbe,  une  autre  droite  la  toucheroit 
au  point  A,  laquelle  fera  son  concours  au  dessus  ou  au  dessous  de  D, 
et  tous  ses  points  seront  hors  de  la  courbe,  et  elle  fera  des  angles  iné- 
gaux avec  OA  au  point  A.  Si  donc,  sur  cette  touchante  supposée,  du 
point  0  l'on  tire  une  perpendiculaire,  elle  ne  rencontrera  pas  la  tou- 
chante au  point  A,  mais  au  dessus  ou  au  dessous,  et  elle  coupera  la 
courbe  plus  tôt  que  d'arriver  à  la  touchante.  Donc  la  partie  de  cetic 
perpendiculaire  comprise  entre  le  point  0  et  la  courbe  sera  plus  courte 
que  la  perpendiculaire,  et  la  perpendiculaire  étant  plus  courte  que  OA. 
à  cause  de  l'angle  droit,  il  s'ensuivra  que  la  ligne  comprise  entre  la 
courbe  et  le  point  0,  faisant  partie  de  la  perpendiculaire,  sera  plus 
courte  que  OA,  laquelle  pourtant  nous  supposons  la  plus  courte  île 
toutes  celles  qui  du  point  0  peuvent  être  menées  à  la  courbe. 

Que  si  la  ligne  Cx\  {fig-  70)  est  convexe  en  dehors,  soit  la  taii- 


Fig.  70. 


gente  DA  sur  laquelle  soit  tirée  la  perpendiculaire  AO.  Il  paroit  par 
la  construction  que  AO  est  la  plus  courte  de  toutes  celles  (jui  du 
point  0  sont  menées  à  la  courbe,  de  sorte  qu'en  cherchant  le  point  0, 
le  point  A  étant  donné,  on  trouve  aisément  la  tangente. 


160  ŒIVUES   DE  FERMAT.-  C0RHES{M)NI)AN(;E. 

6.   Il  reste  doiio  de  chcwhcr  le  point  0  par  la  méthode. 

Soif  par  exemple  la  parabole  donnée  CIA  {ûg.  G7)  .*///■  laquelle  le 
point  A  soit  donné.  Je  veux  chercher  le  point  0,  en  sorte  que  OA  soit  la 
plus  courte  de  toutes  celles  qui  du  point  0  peuvent  être  menées  à  la  para- 
bole. 

Fig.  67. 


BC,  comme  ci-devant,  s'appellera  D,  et  BA  s'appellera  B,  le  côté  droit 
de  la  figure,  Z,  donné,  puisque  la  parabole  est  donnée.  Supposons  que 
OB  soit  .4.  Donc  le  quarré  OA  en  notes  sera  Aq.  -+-  Bq. 

Prenons  maintenant,  au  lieu  de  la  ligne  A  ou  OB,  OF  ou  A  -+-  E.  Si 
du  point  F  nous  menons  l'appliquée  FI,  son  quarré  sera  en  notes 

Z'xnD—  Z\n  h\ 

lequel,  ajouté  au  quarré  de  OF,  fera 

^«7.4-  Eq.  +  A  in  £'bis  +  Zin  /)  —  Zin  Ë, 

et  celte  somme  fera  le  quarré  de  01,  lequel  doit  être  plus  grand  que 
celui  de  OA,  puisque  son  côté  est  supposé  plus  grand  que  OA.  Compa- 
rons donc  en  notes,  par  adéquation,  les  quarrés  01  et  OA. 
Nous  aurons  d'un  côté 

Aq.+  Bq., 

et  de  l'autre 

Aq.-^  Eq.  +  ^  in  E  h\i  +Zin  D  —  ZinE. 

Otons  les  choses  communes;  la  comparaison  restera  entre 

Eq.-\-  Am  E  bis 

d'un  côté,  et 

Zin  E 

de  l'autre;  car  Bq.  est  égal,  par  la  propriété  de  la  parabole,  à  Zin  D. 


XXXI.    —    DE  iMAXIMlS   ET  MINIMIS.  161 

Divisons  le  tout  par  E,  et  du  reste  ôtons  le  même  E  : 

A  bis  sera  égal  à  Z, 

et  partant  .4  ou  OB  sera  égal  à  la  moitié  du  côté  droit  de  la  parabole, 
et  la  tangente  est  trouvée. 

T.  C'est  ainsi  que  j'appliquois  ma  méthode  pour  trouver  les  tan- 
gentes, mais  je  reconnus  qu'elle  avoit  son  manquement,  à  cause  que 
la  ligne  01  ou  son  quarré  sont  d'ordinaire  malaisés  à  trouver  par  cette 
voie;  la  raison  est  prise  des  asymmétries  qui  s'y  rencontrent  aux  ques- 
tions tant  soit  peu  difficiles,  et  qu'on  ne  peut  éviter,  puisque,  sur 
D  —  E  en  notes,  il  faut  donner  un  nom  à  FI  aussi  en  notes,  ce  qui  est 
souvent  très  malaisé. 

La  méthode  de  M.  Descartes  n'ôte  pas  non  plus  tous  les  inconvé- 
nients, car  obligeant  à  mettre  \jss  —  vv  +  i9y  —  y  y  au  lieu  de  js  e(  le 
quarré  de  cette  somme  au  lieu  de  xx,  et  son  cube  au  lieu  de  x'\  et 
ainsi  des  autres,  —  c'est  ainsi  qu'il  parle  (')  page  342,  —  si  on  lui 
propose  de  trouver  la  tangente  à  une  courbe,  en  sorte  que,  faisant  en 
sa  figure  MA  égal  à  r  et  CM  à  x,  on  ait  l'équation  suivante  qui  explique 
le  rapport  qui  est  entre  x  et  r, 

t  j9  _|-  63  ,.7  ^   1,-0  y-.  _^   1,1  yi  _,_   1,'Sy  ^   .,.  lU  _  J^9  _  f/S  ^.T  _  ^3^3  _  f/7^3_  ^/9  ^.^ 

il  me  semble  qu'il  lui  sera  1res  malaisé  de  se  desembarrasser  des  asvm- 
métries  qui  se  rencontrent  en  cette  question  et  autres  semblables  et 
plus  difficiles  encore,  si  on  veut,  à  l'infini;  ce  que  je  serai  bien  aise 
qu'il  prenne  la  peine  d'essayer. 

8.  Puisque  donc  ces  deux  méthodes  paroissent  insuffisantes,  il  en 
falloit  trouver  une  qui  levât  toutes  ces  difficultés. 

Il  me  semble  avec  raison  que  c'est  la  première  que  j'ai  proposée,  car 

CF  restant  toujours  I)  —  h,  et  FK,  ^ >  je  ne  vois  rien  qui 

(1)  Géométrie  de  Descartes,  éd.  Hermann.  Paris,  1886,  page  33,  au  bas.  —  Dans  la 
Bguro,  A  est  le  sommet  d'ime  courbe,  AM  l'abscisse,  MG  l'ordonnée  courante;  Fermât 
note  d'ailleurs  exactement  les  coordonnées  comme  l'avait  fait  Descartes. 

Fermât.  —  11.  21 


162  ŒUVUES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

ompècho  ([iroii  ne  puisse  lo  comparer,  en  prenaiil,  si  vous  voulez, 

I)  —  h  pour  V  et  -. pour  x,  saus  renconirer  jamais  une 

seule  asymméirie.  en  quoi  eonsisle  la  facilité  e(  la  pert'eclion  de  lette 
niélliode. 

9.  Ou  pourroit  ensuite  chercher  la  converse  de  cette  proposition 
et,  la  propriété  de  la  tangente  étant  donnée,  chercher  la  courhe  à  qui 
cette  propriété  doit  convenir  :  à  laquelle  question  aboutissent  celles 
des  verres  brûlants  proposées  par  M.  Descartes.  Mais  cela  mérite  un 
discours  à  part  et,  s'il  l'agrée,  nous  en  conférerons  quand  il  lui  plaira. 
Je  désire  seulement  qu'il  sache  que  nos  questions  de  maxbnis  et  mi- 
nimis  et  de  tangentihiis  lineariim  ctavariim  sont  parfaites  depuis  huit 
ou  dix  ans  et  que  plusieurs  personnes  qui  les  ont  vues  depuis  cinq  ou 
six  ans  le  jieuvent  témoigner. 

S'il  désire  voir  l'application  (')  que  je  fais  de  cette  môme  méthode 
pour  trouver  les  centres  de  gravité  des  espaces  compris  des  lignes 
courbes  et  de  leurs  solides,  je  la  lui  ferai  voir  et  lui  proposerai  cepen- 
dant, s'il  l'agrée,  de  trouver  le  centre  de  gravité  du  conoïde  qui  se  fait 
lorsque  la  demie  parabole  CBA  est  tournée  sur  son  appliquée  BA,  et  celui 
aussi  de  toutes  ses  portions,  comme  aussi  la  proportion  qu'elles  ont  aux 
cônes  de  même  base  et  de  même  hauteur  (-). 

(')  Centruin  pnrabolui  conoitlis,  Tomo  I,  p.  i36. 
,  {--)  fuir  Lettres  IX,  7;  XIII,  6;  XV,  5. 


XXXII.  -   27  JUILLET   1638.  1C3 

XXXII. 

DESCARTES  A  FERMAT  ('). 

MARDI  27  JUILLET  1C38. 

(D.  Iir,  G3.) 

jMonsielu, 

Je  n'ai  pas  eu  moins  de  joie  de  recevoir  la  Lettre  (')  par  laquelle 
vous  me  faites  la  faveur  de  me  promettre  votre  amitié,  que  si  elle  me 
venoit  de  la  part  d'une  maîtresse  dont  j'aurois  passionnément  désiré 
les  bonnes  grâces  :  et  vos  autres  écrits  qui  ont  précédé  me  font  sou- 
venir de  la  Bradamantc  de  nos  poètes  (/"),  laquelle  ne  vouloit  recevoir 
personne  pour  serviteur  qui  ne  se  fût  auparavant  éprouvé  contre  elle 
au  combat. 

Ce  n'est  pas  toutefois  que  je  prétende  me  comparer  à  ce  Roger  qui 
étoit  seul  au  monde  capable  de  lui  résister;  mais,  tel  que  je  suis,  je 
vous  assure  que  j'honore  extrêmement  votre  mérite.  Et  voyant  la  der- 
nière façon  (*)  dont  vous  usez  pour  trouver  les  tangentes  des  lignes 
courbes,  je  n'ai  autre  chose  à  y  répondre,  sinon  qu'elle  est  très  bonne 
et  que,  si  vous  l'eussiez  expliquée  au  commencement  en  cette  façon, 
je  n'y  eusse  point  du  tout  contredit. 

Ce  n'est  pas  qu'on  ne  pût  proposer  divers  cas  qui  obligeroient  à 
chercher  derechef  d'autres  biais  pour  les  démêler,  mais  je  ne  doute 
point  que  vous  ne  les  trouvassiez  aussi  bien  que  celui-là. 

Il  est  vrai  que  je  ne  vois  pas  encore  pour  quelle  raison  vous  voulez 

(')  I.cllrc  adressée  par  l'inlermédiairo  do  Mersenne,  en  même  temps  que  celle  de  Des- 
cartes au  Minime  de  la  môme  date  (Clersclier,  !II,  66),  dont  l'original  (Bibl.  Nat.  fr.  n.  a. 
5iGo,  f°  1  i  V")  porte  en  marge  ces  mots  : 

«  Je  vous  enuoye  ma  lettre  pour  M.  de  Fermât  toute  ouuerte,  mais  vous  la  fermerez  s'il 
vous  plaist  auant  que  de  lui  enuoyer  pour  la  bienséance.  » 

(-)  Lettre  perdue. 

(')  Expression  quelque  peu  singulière,  puisque  Bradamantc  et  Roger  appartiennent  à 
VOrlaiido  inamorato  de  Bcrni  et  à  Y Orlando  j'urioso  de  l'Arioste. 

(')  Fo//- Pièce  XXXI. 


16i  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

(|iit'  voIrc  itrciniiM'o  règle,  pour  clicrclicr  les  pins  grandes  cl  les  iiKtin- 
(liTS.  so  puisse  appliciuer  à  l'invciilion  de  la  laiigenle,  en  considérant 
la  ligne  (|ni  la  eonpe  à  angles  droils  eoninie  la  plnsconrle,  [dulôl  qu'en 
eoiisidéranl  eelte  langente  comme  la  plus  grande,  sous  les  conditions 
qui  la  rendent  telle. 

Car.  |)cn(lan(  qu'on  ne  dit  point  la  cause  pourquoi  elle  réussit  en 
l'une  de  ces  façons  [)lutot  qu'en  l'autre,  il  ne  sert  de  rien  de  dire  que 
cela  arrive,  sinon  pour  faire  inférer  de  là  que,  même  lorsqu'elle  réus- 
sit, elle  est  incertaine.  Et,  en  efl'et,  il  est  impossible  de  comprendre 
tous  les  cas  qui  peuvent  être  proposés  dans  les  termes  d'une  seule 
règle,  si  on  ne  se  réserve  la  liberté  d'y  changer  quelque  chose  aux  oc- 
casions, ainsi  que  j'ai  fait  en  ce  que  j'en  ai  écrit,  où  je  ne  me  suis  as- 
sujetti aux  termes  d'aucune  ri'gle,  mais  j'ai  seulement  expliqué  le  fon- 
dement de  mon  procédé  et  en  ai  donné  quelques  exemples,  afin  (juc 
chacun  l'appliquât  après,  selon  son  adresse,  aux  divers  cas  qui  se  pré- 
senteroient. 

dépendant  je  m'écarte  ici,  sans  y  penser,  du  dessein  de  cett(i  Lettre, 
lequel  n'est  autre  que  de  vous  rendre  grâces  très  humbles  de  l'offre 
qu'il  vous  a  plu  me  faire  de  votre  amitié,  laquelle  je  tâcherai  de  mé- 
riter, en  recherchant  les  occasions  de  vous  témoigner  que  je  suis  pas- 
-ionncment,  etc. 


XXXIII. 

FERMAT  A  MERSENNE. 

MARDI  10  AOUT  1038. 

(A,  ("'    21-  23,  B,  f  3,',  V».) 

^ioN  Révèrf.M)  Pèhe, 

1-  Je  ne  vous  écris  à  ce  coup  que  pour  vous  remercier  très  humble- 
ment de  la  peine  que  vous  prenez  à  me  faire  pai'l  des  cui'iosilcs  qui 
tombent  en  vos  mains. 


XXXllI.  -  10  AOUT   1G38.  JGo 

Je  vous  renvoie  votre  Ecrit  Harmonique  (' ),  duquel  je  vous  dirai 
une  autre  fois  pleinement  mes  sentiments. 

Maintenant  je  me  trouve  sur  le  point  d'aller  à  la  campagne,  pour 
une  commission  de  ma  charge,  d'oîi  je  n'aurai  nulle  commodité  pour 
vous  écrire,  de  quoi  je  vous  demande  pardon  par  avance,  vous  conju- 
rant de  ne  rester  pas  pour  cela  de  m'écrire  par  tous  les  courriers;  car 
j'ai  baillé  ordre  pour  faire  que  vos  lettres  me  soient  rendues,  lesquelles 
vous  mettrez  au  bureau  en  la  forme  ordinaire. 

2.  J'attends  surtout  avec  impatience  de  voir  rétracter  M.  Descartes 
du  jugement  qu'il  avoit  fait  de  ma  méthode,  et  de  l'impossibilité  qu'il 
s'étoit  figuré  qu'elle  avoit,  pour  résoudre  la  question  de  sa  figure,  de 
laquelle,  sans  doute,  il  a  maintenant  vu  les  tangentes  (-). 

3.  Vous  direz,  s'il  vous  plait,  ii  M.  de  Roberval,  que  j'ai  trouvé 
celle  (')  qui  lui  manquoit  pour  les  connoitre  toutes,  et  que  je  satis- 
ferai ii  ses  autres  questions  à  mon  retour. 

4.  Pour  les  nombres  des  parties  aliquotes  ('),  si  j'ai  loisir,  je  met- 
trai par  écrit  ma  méthode  analytique  sur  ce  sujet  et  vous  en  ferai  part. 
Je  trouve  que  M.  Frenicle  se  tient  fort  caché  et  ne  veut  pas  découvrir 
son  artifice.  Je  n'en  fais  pas  de  même,  car  vous  savez  assez  avec  quelle 
liberté  j'étale  toutes  mes  pensées. 

(')  Les  Lcllres  qui  suivent  ne  renferment  rien  au  sujet  de  cet  Écrit  Harmonique,  qui 
devait  ôlre,  non  pas  de  Mcrscnne,  mais  d'un  de  ses  correspondants,  peut-être  Bannius, 
de  Harlem  {Lettres  de  Descnrtes,  éd.  Clersclier,  III,  C8,  p.  3g3),  peut-être  Gandais  {ihid.. 
II,  97,  p.  418)- 

(-)  Koir  Pièce  XXXI,  3.  —  Fermai  n'a  pas  encore  reçu  la  lettre  de  Descartes,  XXXII. 

(3)  roi'r  LeUre  XXXV,  2. 

(*)  F'olr  page  i54,  note  i.  —  Dès  le  i"mai  i638  {Lettres  de  Descaries,  éd.  Cleree- 
lier,  III,  68,  p.  392),  Mersenne  avait  demandé  à  Descartes  une  règle  pour  trouver  des 
nombres  ayant  un  rapport  donné  avec  la  somme  de  leurs  parties  aliquotes.  Le  1 3  juillet 
{ihid..  Il,  89,  p.  388),  Descartes  avait  envoyé  au  Minime  sept  nombres  satisfaisant  à  cette 
condition  pour  les  rapports  \  ou  i.  Frenicle  fit  faire  à  ce  sujet  une  Communication  à  Des- 
cartes {ibuL,  II,  92,  Lettre  de  Descartes  à  Mersenne  du  i5  novembre  i638,  p.  408-409), 
et  lui  adressa  ensuite  directement  une  Lettre,  à  laquelle  Descartes  répondit  {ihid., 
II,  95). 


l(iG'  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

5.  Ji'  lirai  le  Galiloi  {')  vn  mon  voyage,  à  quoi  je  n'ai  pu  encore 
vaquer,  à  cause  des  occupations  de  la  tin  du  Parlement.  Souvenez-vous 
de  m'écrire.  bien  ([ue  vous  ne  receviez  pas  de  mes  lettres,  et  croyez- 
moi,  mon  Révérend  Père, 

A'oire  très  humble  serviteur, 

Fermât. 

A  Toulouse,  ce  lo  août  iC>38. 

<^  P. -S.  >  6.  En  relisant  une  de  vos  Lettres,  j'ai  trouvé  que  vous 
nie  demandiez  ma  pensée  sur  la  question  2.5  des  Méchaniques  d'Aris- 
lote  (-).  Si  vous  cherchez  parmi  vos  j)apiers,  vous  trouverez  que  je 
vous  l'ai  envoyée,  il  y  a  longtemps,  tout  au  long. 

7.  Pour  les  centres  de  gravité,  il  y  a  plus  de  deux  ans  que  je  les  ai 
envoyés  ii  M.  de  Roberval,  des  ligures  mêmes  auxquelles  31.  Des- 
cartes (^)  dit  les  avoir  trouvés  et  desquelles  on  peut  dériver  tous  les 
autres. 

Car  celui  de  la  parabole  quarrée,  qui  est  l'ordinaire,  divise  l'axe  en 

deux  parties  qui  sont 

comme  3  à  2; 

la  cubique, 

comme  4  à  3; 


1  ')  Les  Discursi  imprimas  à  Leydo  en  iG38.  roir  page  112,  note  i. 

(2)  «  On  demande  pourquoi  doux  cercles,  l'un  plus  grand,  l'autre  plus  pelil,  placés 
»  concentriquement,  parcourent  des  longueurs  égales  lorsqu'on  les  fait  rouler  ensemble, 
»  tandis  que  les  longueurs  parcourues  par  les  cercles  roulant  isolément  sont  dans  le  rap- 
»  port  de  grandeur  (des  diamètres)  des  deux  cercles;  pourquoi,  d'autre  part,  quand  ils 
»  sont  adaptés  concentriquement,  la  longueur  parcourue  dans  le  roulement  est  égale 
))  tantôt  à  colle  que  parcourrait  le  petit  cercle  roulant  seul,  tantôt  à  celle  que  parcourrait 
»  le  grand  cercle.  » 

Dans  les  explications  qu'il  donne  à  ce  sujet,  Aristote  admet  que  la  longueur  parcourue 
par  un  cercle  qui  roule  est,  après  un  tour  complot,  égale  à  la  circonférence  do  ce  cercle  ; 
mais  il  n'arrive  pas  à  définir  cinôtiqucmenl  le  glissement,  et  fait  intervenir  dos  considéra- 
tions dynamiques  qui  sont  en  réalité  étrangères  à  la  question. 

(3)  Leitrct  r/e  Devcartes,  éd.  Clerselier,  II,  89,  Lettre  à  Mcrsenne  du  i3  juillet  iG3S, 
pages  38G-387.  —  Fermât  avait  énoncé  la  règle  générale,  |)our  trouver  le  centre  de  gra- 
vité d'une  aire  de  parabole  do  degré  quelconque,  dans  sa  Lettre  à  Roberval  du  4  novembre 
i636(w//-.XV,5). 


XXXIV.  -  Il   OCTOBRE  1638.  IC7 

la  quarréquarrée, 

comme  -3  à  4; 

la  sursolide, 

comme  6  à  5, 

et  ainsi  ii  l'infini. 

Et  ce  que  vous  trouverez  de  plus  merveilleux,  c'est  que  ces  ques- 
tions se  trouvent  par  ma  méthode  de  maximis  cl  minirnis  ('),  comme 
3F.  de  Roberval  vous  fera  voir,  et  à  M.  Descartes. 


XXXIV. 

DESCARTES  A  FERMAT  (-). 

<    LUNDI    11    OCTOBRE    1638    > 

(D,  ni,  6^). 
Monsieur, 

1.  Je  sais  bien  que  mon  approbation  n'est  point  nécessaire  pour 
vous  faire  juger  quelle  opinion  vous  devez  avoir  de  vous-même,  mais 
si  elle  y  peut  contribuer  quelque  chose,  ainsi  que  vous  me  faites  l'hon- 
neur de  m'écrire  ('),  je  pense  être  obligé  de  vous  avouer  ici  franche- 
ment que  je  n'ai  jamais  connu  personne  qui  m'ait  fait  paroître  qu'il 
sût  tant  (|ue  vous  en  Géométrie. 

2.  La  tangente  de  la  ligne  courbe  que  décrit  le  mouvement  d'une 
roulette,  qui  est  la  dernière  chose  que  le  Révérend  Père  Mersenne  a 
pris  la  peine  de  me  communiquer  de  votre  part,  en  est  une  preuve 
très  assurée.  Car,  d'autant  qu'elle  semble  dépendre  du  rapport  qui  est 

('^  Foir  l'Eci'it  Centrum  gravitai ia  parabolici  coiioidis,  Tomo  I,  page  ijG. 

(2)  Dans  une  Lettre  à  Mersonne  du  i5  novembre  i6'38,  Descaries  (éd.  Clcrselier,  11,  91, 
p.  406-407)  dit  lui  avoir  adressé  une  Lettre  pour  Fermât  cinq  semaines  auparavant,  dans 
un  paquet  qui  devait  arriver  à  Paris  environ  la  mi-octobre.  Il  s'agit  évidenmient  de  celle- 
ci,  qui  a  donc  été  mal  datée  du  a5  septembre  par  l'annotateur  anonyme  do  rcxemplairc 
de  l'Institut. 

(^)  Dans  une  Lettre  perdue. 


168  ŒLVUKS   ])!•:   KKUMAT.  -  COU  U  KS  IMMNDANCE. 

cntiv  une  ligne  dmito  cl  une  cii'cuhiiiv.  il  n'es!  |)as  aisé  d'y  a|)pli(|iUM- 
les  règles  qui  sei'von(  aux  autres,  et  M.  de  Roberval  qui  l'avoit  propo- 
sée, qui  est  sans  doute  aussi  l'un  des  premiers  géomètres  de  notre 
siècle,  eontessoil  ne  la  savoir  pas  e(  nuMue  ne  eonnoilre  au('un  moyen 
pour  y  parvenir  ( ' ). 

Il  est  vrai  qnt^  de|)iiis  il  a  dil  aussi  «[u'il  l'avoit  trouvée,  mais  e'a  été 
justement  le  lendemain,  apri-s  avoir  su  (juc  vous  et  moi  <la>  lui 
envoyions,  et  une  marque  certaine  ([u'il  se  mécomptoit  est  ([u'il  disoit 
avoir  trouvé  en  même  temps  que  votre  construction  étoit  fausse, 
lorsque  la  base  de  la  courbe  étoit  plus  ou  moins  grande  que  la  circon- 
l'érencc  du  cercle  :  ce  qu'il  eiit  pu  dire  tout  de  même  de  la  mienne, 
sinon  qu'il  ne  l'avoit  pas  encore  vue,  car  elle  s'accorde  entièrement 
avec  la  vôtre  {-). 

3.  Au  reste.  Monsieur,  je  vous  |)rie  de  croire  que,  si  j'ai  témoigné 
ci-devant  n'approuver  pas  tout-ii-f'ait  certaines  cboses  particulières  qui 
venoient  de  vous,  cela  n'empêche  point  que  la  déclaration  que  je  viens 
de  faire  ne  soit  très  vraie.  IMais  comme  on  remarque  plus  soigneuse- 
ment les  petites  pailles  des  diamans  que  les  plus  grandes  taches  des 
pierres  communes,  ainsi  j'ai  cru  devoir  regarder  de  plus  près  à  ce  qui 
venoit  de  votre  part  que  s'il  lût  venu  d'une  personne  moins  estimée. 

Et  je  ne  craindrai  pas  de  vous  dire  que  cette  même  raison  me  con- 
sole, lorsque  je  vois  que  de  bons  esprits  s'étudient  à  reprendre  les 
choses  que  j'ai  écrites,  en  sorte  qu'au  lieu  de  leur  en  savoir  mauvais 
gré,  je  pense  être  obligé  de  les  en  remercier.  Ce  qui  peut,  ce  me 
semble,  servir  à  vous  assurer  que  c'est  véritablement  et  sans  fiction 
que  je  suis,  etc. 

(')  Lettres  de  Dcxcartes,  éd.  Clcrselier,  III,  05,  p.  33o.  —  Dans  coUo  LcLlro  à  Mer- 
senne,  du  23  août  i638,  Descartes  donne,  pour  la  tangente  en  un  point  donné  d'une  cy- 
cloïdc  ordinaire,  allongée  ou  raccourcie,  la  construction  fondée  sur  la  considération  du 
centre  instantané  de  rotation. 

(  2)  Cp.  Lettres  de  Descartes,  II,  gi,  p.  4oo-4oi.  —  La  construction  de  Format,  jiour  la 
tangente  à  la  cycloïde,  fut  envoyée  par  Mersonnc  à  Descartes  le  ii  septembre  i638.  — 
Foir,  pour  celte  construction.  Tome  I,  p.  i63. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE  1638.  1C9 

XXXV. 

FERMAT  A  MERSENNE. 

VENDREDI  22  OCTOBRE  1638. 

(A,  f-39-44;  B,  f-io--i2-.)  , 

1-  Je  reprends  le  style  géométrique  après  vous  avoir  parlé  d'af- 
faires ('). 

Premièrement,  je  vous  renvoie  le  sentiment  de  M.  Descartes  sur  la 
Géostatique  (-),  et  vous  conjure  de  me  faire  part  de  tout  ce  que  vous 
avez  de  lui. 

2.  Après  cela,  je  satisferai  à  la  question  de  la  tangente  du  galand 
parallèle  à  Vaxc  ('),  c'est-à-dire  qui  fasse  un  angle  de  4^  degrés  avec 
la  droite  donnée  par  position. 

Pour  satisfaire  à  cette  question,  qui  semble  d'abord  malaisée  et  qui 
l'a  paru  à  M.  de  Roberval,  car  je  n'ai  pas  encore  vu  la  solution  de 
M.  Descartes  (^),  je  me  suis  servi  de  la  méthode  de  mon  Appendix  ad 
locos  {'),  de  laquelle  l'usage  en  plusieurs  rencontres  est  miraculeux, 
pour  éviter  les  asymmétries  et  cette  longueur  d'équations  qui  sem- 
blent ne  devoir  jamais  prendre  fin. 

Soit  donné  le  galand  NSQR  {fig-  71).  la  droite  donnée  par  position 
DNOP,  et  la  ligne  Z  donnée  de  grandeur. 

La  propriété  du  galand  est  que,  quel  point  que  vous  preniez,  comme 


(  '  )  Le  commencement  de  cette  Lettre  inédite  est  perdu. 

{-)  La  Lettre  de  Descartes  à  Mersenne  (éd.  Clerselier,  I,  78)  du  i3  juillet  i638  :  Exa- 
men de  la  question,  savoir  si  un  corps  peso  plus  ou  moins,  étant  proche  du  centre  de  la 
terre,  qu'on  étant  éloigné. 

(3)  Foir  Lettre  XXXIIl,  3.  —  C'était  Roberval  qui  avait  posé  cette  question,  après  avoir 
donné  le  nom  de  galand  (nœud  de  ruban)  à  la  courbe  proposée  par  Descartes  et  dont  il 
avait  étudié  la  forme. 

(*)  Cette  solution  se  trouve  dans  la  Lettre  de  Descartes  à  Mersenne  du  23  août  i638 
(éd.  Clerselier,  III,  65,  p.  354-357).  Comparez  la  Lettre  du  i5  novembre  (Clerselier,  II. 
92;  Cousin,  VIII,  p.  G). 

(5)  Tome  I,  page  io3-iio. 

Fermât.  —  U.  22 


170 


ŒUVRES   DE  FEUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


S  ou  H,  le  solide  sous  Zin  NO  in  OS  est  égal  aux  deux  cubes  NO  et  OS; 
ou  bien  le  solide  sous  Z  in  NO  in  OR  est  égal  aux  deux  cubes  NO  et  OR. 
11  faut  trouver  la  tangente  SD,  par  exemple  du  côté  d'en  haut,  qui  fasse 
l'angle  SDO  égal  à  la  moitié  d'un  droit. 

Fig.  7>- 


Soit  fait.  Par  ma  méthode  des  tangentes  ('),  si  NO  est  appelée  /),  et 
OS,  B,  la  ligne  OD  sera  égale  ii 

Bctib.hh  —  Dcuh. 
Z  m  B  —  Dr] .  \ev    ' 

et  si  la  tangente  étoit  du  côté  d'en  bas,  la  ligne  OD  seroit  égale  à 

D  cub.  —  B  cub.  bis 
Dq.ier  —  ZinB 

Mais  nous  n'avons  besoin  que  de  la  première  équation,  puisque  nous 
ne  travaillons  qu'au  premier  cas. 

Supposons  que  NO,  inconnue,  s'appelle  .4,  et  que  OS  s'appelle  E, 
nous  aurons,  pour  la  ligne  OD, 

E  cub.  bis  —  A  cub. 
Z\nE  —  A(].  1er 

Or,  puisque  l'angle  D  est  demi-droit  et  que  l'angle  0  est  droit,  les 
lignes  OD  et  OS  seront  égales;  il  faudra  donc  qu(^ 

Ecub.b'x?,  —  A  cub.      .    .     ,  ,    „ 

—^. — = j — ; soit  égal  a  E, 

Z\n  E  —  Aq.  ter 

et,  par  conséquent, 

E  cub.  bis  —  A  cub.     sera  égal  à     Z  in  Erj.  —  Aq.  in  E  1er. 

f«)  foj>  Pièce  XXXI,  3. 


XXXV.  —  22  OCTOBRE  1638.  171 

Or,  par  la  propriété  de  la  ligne, 

Acitb.    est  égal  à     Z\{\A\\\E  —  Ecub. 

Nous  aurons  donc  (') 

E  cub. — ZinAinE    ég:al  à    Zin  Eq.  —  Ac/.\n  E  1er. 

Divisons  le  tout  par  E,  nous  aurons 

E(j.  —  Z  in  A     égala     ZinE  —  Ag.ler, 

et  enfin 

Eq.  —  Z\n  E     égala     Z\i\  A  —  Aq.  \e\\ 

Et  partant,  nous  avons  un  lieu  elliptique,  et  le  point  S  est  ad  cUipsin 
posUione  datam;  sed  est  etiam  ad  curvam  posilione  datant.  Ergo  dalur 
par  l'intersection  de  ces  deux  lieux  et  par  ma  méthode  topique  (^). 

Par  la  même  facilité  on  fera  la  résolution  du  second  cas.  Mais,  pour 
rendre  la  proposition  générale,  vous  pourrez,  par  la  même  méthode, 
faire  l'angle  D  égal  à  tel  angle  que  vous  voudrez,  ou  bien,  ce  qui  est  la 
même  chose,  faire  que  la  ligne  DO  soit  ;i  la  ligne  OS  en  proportion 
donnée. 

En  voilà,  à  mon  avis,  assez  pour  vous  témoigner  que  je  ne  tiens  pas 
caché  ce  que  je  sais. 

3.  Pour  la  tangente  de  la  roulette  ('),  bien  loin  d'en  faire  un  mys- 
tère, je  vous  veux  faire  comprendre  qu'il  n'y  a  point  de  question  de 
cette  matière  qui  puisse  m'échapper.  Vous  saurez  donc  que  cette  même 
méthode  dont  je  me  sers  pour  les  tangentes  des  lignes  courbes,  lorsque 
leurs  appliquées  ou  les  portions  de  leur  diamètre  ont  relation  à  des 

(')  Fermât  commet  ici  une  faute  de  calcul.  Les  premiers  termes  des  équations  sui- 
vantes devraient  être  E  cub.  ter;  E(/.  ter;  Eq.  ter.  Le  lieu  est  donc  un  cercle  ot  non  un 
ellipse. 

(2)  ;^o(>  plus  loin  9,  une  seconde  solution,  également  imparfaite.  Fermât  n'a  pas  re- 
connu, comme  l'avait  fait  Descartes,  que  le  problème  particulier  est  plan;  il  n'avait, 
semble-t-il,  cherché  que  des  méthodes  générales. 

(3)  Folr  Lettre  XXXIV,  2. 


172 


ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


ligiios  droites,  luo  sort  aussi,  avec  un  peu  de  chaugeiueut  pris  île  la 
nature  de  la  chose,  à  trouver  les  tangentes  des  courbes  dont  les  appli- 
quées ou  les  portions  de  leur  diamètre  ont  relation  à  d'autres  courbes. 

4.  .le  vous  en  ai  déjà  fait  voir  l'exemple  en  la  roulette.  En  voici  nn 
autre  en  i<nale  (')  de  laquelle  le  sphéroïde  est  au  cylindre  circonscrit 
comme  le  double  du  diamètre  à  la  circonférence  du  cercle,  laquelle  j'en- 
voyai dernièrement  à  M.  de  Roberval. 

Soit  l'ovale  GARD  {fig.  72)  et  l'axe  GD  autour  duquel  se  décrit  le 


sphéroïde.  Soit  le  cercle  NOIS,  coupé  à  angles  droits  par  les  deux  dia- 
mètres OS  et  NU,  duquel  la  circonférence  soit  double  de  l'axe  GD,  en 
sorte  que  le  quart  OU  soit  égal  au  demi-axe  FD.  Soit  le  point  B  en  l'o- 
vale, duquel  il  faut  tirer  la  tangente. 

Tirons  la  perpendiculaire  BE  et  faisons  la  portion  du  quart  01  égale 
à  FE;  tirons  au  cercle  la  tangente  IR  qui  coupe  le  diamètre  NU  au 
point  R.  Faisons  EC,  en  l'ovale,  double  de  IR.  La  ligne  BC  touchera 
l'ovale. 

5.  En  voici  un  autre  exemple  : 

Soit  la  parabole  EDAG  {fg.  yS),  de  laquelle  l'axe  AG  et  le  sommet  A. 
Soit  une  autre  courbe  ABF  de  même  axe  et  sommet,  et  que  BC,  appliquée, 
soit  égale  à  la  portion  de  parabole  DA,  et  l'appliquée  FG  égale  à  la  por- 
tion de  parabole  EA,  etc.,  à  l'infini.  11  faut  trouver,  au  point  B  de  cette 
nouvelle  courbe,  une  tangente. 

( '  )  CeUe  courbe,  évidemment  imaginée  par  Fermai,  a  pour  équation  rapportée  aux 
axes  FA,  FD  ■  y  =^  a  1  /  ces  j  ,  h  étant  le  rayon  du  cercle  auxiliaire  NOIS. 


XXXV.  —  22  OCTOBRE  1638.  173 

Soit  tirée  l'appliquée  BDC.  Soit  0  Xefociis  de  la  parabole.  Faisons 
comme  OA  +  AC  à  AC,     ainsi  le  quarré  BC  au  quarré  CN. 
La  ligne  BN  touchera  la  courbe  FBA. 


6.  Voilà  deux  exemples  aisés,  lesquels  vous  pourrez  proposer  à 
soudro,  si  vous  voulez,  avant  que  do  faire  voir  les  solutions.  Mais, 
pour  le  suivant,  je  le  propose  à  M.  de  Roberval  et  encore,  si  j'osois, 
à  M.  Descartes  : 

Soient  autant  de  courbes  que  ion  voudra  de  même  sommet  B  (fig.  74)- 
coOTme  BE,  BD,  BF,  BA,  données  par  position,  et  soit  marquée  une  autre 

Fig.  7^ 


courbe  de  même  sommet,  comme  MB,  en  sorte  que  les  appliquées  de  cette 
dernière,  comme  MC,  soient  moyennes  proportionnelles  entre  la  somme 
des  portions  des  autres  courbes,  AB,  BF,  BD,  BE,  et  la  somme  des  appli- 
quées AC,  FC,  DC,  EC.  Il  faut  trouver  une  tangente  à  un  point  donné  de 
cette  dernière  courbe. 

Si  vous  voulez  que  les  quatre  courbes  de  mon  exemple  soient  un 
cercle,  une  parabole,  une  hyperbole  et  une  ellipse,  j'y  consens,  à  la 
charge  que  vous  croyiez  que  je  donnerai  la  solution  en  tout  nombre  et 
en  toute  espèce  de  courbes  données,  et  ce  sans  aucune  asymmétric,  ce 
qui  semble  merveilleux. 

7-  Avant  que  de  quitter  la  Géométrie,  je  vous  donne  encore  une  spé- 


m  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

culation  qui  semble,  être  excellente  et  qui  allonge  infiniment  l'étrivière 
au  lieu  plan  :  Si  a  (/uotcumt/ne  piinclis  ('),  laquelle  j'ai  trouvée  en  cher- 
chant les  lieux  ad superficiem  (-)  : 

C'est  que,  après  avoir  trouvé  un  cercle  qui  satisfasse  à  la  question 
(l'Apollonius  in  piano,  comme  par  exemple  :  Soient  (fig.  yS)  les  points 

Fis.  7.i. 


donnés  F,  G,  H,  E,  1)  et  le  cercle  trouvé  ABC  en  sorte  que,  quel  point  que 
vous  preniez  en  sa  superficie,  comme  A,  les  quarrés  FA,  GA,  HA,  DA,  EA 
soient  égaux  à  un  espace  donné,  je  dis  que  :  Si  autour  du  point  I  comme 
centre,  vous  décrivez  une  sphère  de  laquelle  le  cercle  ABC  soit  un  des 
grands,  quel  point  que  vous  preniez  en  la  superficie  de  la  sphère,  il  satis- 
fera à  la  question  du  lieu. 

J'ai  trouvé  ensuite  beaucoup  de  choses  merveilleuses  sur  le  sujet  des 
lieux  ad  superficiem,  mais  je  ne  puis  pas  vous  dire  tout  à  la  fois. 

8.  Le  quadrilatère  (^)  de  M.  do  Roberval,  que  je  n'ai  pas  cru  si 
pressé  que  la  tangente  du  galand,  sera  différé  au  premier  voyage. 

9.  Il  faut  que  je  vous  die  encore  qu'on  peut  trouver  la  tangente  de 
45  degrés  au  galand  (")  par  une  voie  qui  semble  plus  géométrique. 
Car,  là  où  ma  précédente  solution  a  employé  la  ligne  courbe  du  galand 
pour  trouver  le  point  cherché  par  l'intersection  du  galand  et  d'une 
ellipse,  cette  autre  voie  n'emploie  que  les  sections  coniques. 

(')  f'oirLMTQ  XIX,  1. 

(2)  Comimrer 'VomoX,  p.  ii3. 

(')  Problèmo  proposé  à  Descarlcs  par  Mcrsenne,  comme  n'ayant  pas  été  résolu  par 
Roberval  {Lettres  de  Descartes,  éd.  Clerselier,  III,  65,  du  aS  août  i638;  p.  357)  : 

«  Les  côtés  AD  et  AE  du  quadrilatère  ADCE  étant  donnés  avec  l'angle  DAE  et  la  lon- 
»  gueur  de  la  diagonale  AC,  et  enfin  la  proportion  qui  est  entre  les  deux  lignes  AG  et 
»  AU,  perpendiculaires  sur  les  côtés  inconnus  Cl)  et  CE,  il  faut  ciiorciier  le  reste.  >< 

(*)  yoir  plus  haut,  2. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE  1638.  175 

Supposons  que  Z  (yfig.  76),  le  côté  droit  du  galand,  est  iuconnu,  et 


que  AD  est  une  ligne  donnée  nommée  B,  que  DB  est  inconnue,  nom- 
mée A.  Donc  le  côté  droit  sera 

A  cub.  -+-  B  euh. 
B\\\  A 

Par  ma  méthode  des  tangentes,  la  ligne  DN  qui  concourt  avec  la 

tangente  sera 

BK'CiA  cub.  bis  —  Bqq, 
A  cub.  —  B  cub.  bis 

laquelle  il  faut  faire  égale  à  A.  Nous  aurons  donc 

Aqq.  — B  cub.\nAh\s        égala        B  in  A  cub.  b\s  — Bqq., 

et  enfin 

B\n  A  cub.his  +  B  cub.'in  Ah'is  — A  qq.        égala        Bqq., 

laquelle  équation,  pour  trouver  la  valeur  de  /l,  se  peut  résoudre  ou 
par  ma  méthode  topique,  ou  par  telle  autre  qu'on  voudra. 

Or,  A  étant  connue,  le  côté  droit  Z  sera  connu,  et  si  le  galand  donné 
est  différent  de  celui-ci,  il  faudra  faire  : 

comme  le  côté  droit  de  celui-ci  à  la  ligne  AD  ou  B  donnée, 
ainsi  le  côté  droit  du  galand  donné  à  une  autre  ligne 

qui  déterminera  un  point  semblable  au  point  D,  et  la  question  est 
faite. 

S'il  y  a  manque  en  la  supputation,  vous  la  corrigerez,  car  je  n'ai  pas 
seulement  le  loisir  de  relire  ma  lettre. 


176  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

10.  INnir  Galiloo  {'  ),  j'avois  commencé  do  l'examiner  par  le  menu, 
et,  si  j'ai  ilii  loisir  assez,  je  continuerai. 

Lorsqu'il  parle  de  la  proportion  de  la  vitesse  en  la  descente  qui  se 
fait  en  u\\  même  on  divers  milieux  par  des  corps  difl'érents,  vous  trou- 
verez que  son  expérience  qui  précède  contredit  sa  ri'gle  (|ni  suit. 

Je  vous  entretiendrai  une  autre  fois  plus  à  loisir,  bien  que  l'oisiveté 
de  la  campagne  vous  ait  présentement  fait  voir  une  lettre  plus  longue 
que  je  n'avois  desseigné. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père,  votre  très  humble  serviteur, 

Yv.UMXT. 

Ce  22  octobre  t638. 

11-  Puisque  mes  deux  vers  (-)  ont  eu  votre  approbation,  en  voici 
deux  autres  de  même  main  qu'on  estime  ici  plus  que  les  premiers  et 
desquels  vous  me  direz,  s'il  vous  plaît,  votre  sentiment  : 

Optato  patriam  affliclam  Delphine  boavit 
Kcx  .lustus  :  nunqiiam  juslior  ille  fuit. 


XXXVI. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

DIMANCHE  26  DÉCE.MBRE  1638. 

(A,  f-  23-24;  B,  f°  25  v.) 

1.  Pour  les  nombres,  je  peux  trouver  par  ma  méthode  toutes  les 
questions  des  parties  aliquotes  (''),  mais  la  longueur  des  opérations 
me  rebute  et  la  recherche  des  nombres  premiers,  à  laquelle  toutes  ces 

('»  roi>  Lettre  XXXIIl,  5. 

(')  Ces  vers  de  Fermât  ne  sont  pas  connus. 

(')  Celle  Pièce  est  un  extrait  d'une  Lettre  perdue,  déjà  publié  par  .M.  Charles  Henry 
{Rcclierchc.i,  etc.,  pp.  177-178)  d'après  le  brouillon  d'Arbogast,  qui  déri\o  d'une  copie  de 
Mersenne. 

{<•)  rotr  Lettre  XXXIIl,  4. 


XXXVI.  -  26  DECEMBRE  1638.  177 

questions  aboutissent.  Sur  lequel  sujet  je  ne  sais  point  de  méthode 
que  la  vulgaire,  sinon  qu'il  suffît  de  faire  la  division  jusques  à  la  plus 
petite  racine  quarrée  du  nombre  donné,  car  si  on  n'a  point  trouvé  de 
diviseur  jusque  là,  on  n'a  garde  d'en  trouver  de  plus  grands,  pource 
que  leur  quotient  seroit  moindre  que  la  racine  quarrée,  ce  qui  est 
impossible,  par  l'expérience  qu'on  aura  déjà  faite. 

2.  Pour  la  Géométrie,  comme  toutes  les  courbes  et  les  tangentes 
qui  sont  de  la  juridiction  de  la  méthode  de  M.  Descartes  le  sont  aussi 
de  la  mienne,  et  particulièrement  lorsque  la  comparaison  des  portions 
du  diamètre  aux  appliquées  est  mêlée  de  lignes  courbes,  je  m'en 
démêle  aussi  aisément  que  des  simples  tangentes.  De  quoi  je  vous  ai 
déjà  donné  quelques  exemples,  vous  priant  d'en  proposer  les  ques- 
tions et  principalement  le  dernier  exemple  ('),  sur  quoi  vous  ne  m'a- 
vez pas  répondu.  Obligez-moi  donc  de  savoir  si  les  messieurs  de  Paris 
en  peuvent  donner  la  solution,  et  je  vous  envolerai  tout  aussitôt  la 
mienne. 

3.  Bien  plus,  je  donnerai  intinies  tangentes  do  courbes  dont  la  pro- 
portion est  pleine  d'asymmétries. 

Soit  la  courbe  DNE  {fig.  77),  le  diamètre  NF,  l'appliquée  quel- 


conque DF.  Supposons  que  NF  étant  appelée  .4,  l'appliquée  DF  soit 
égale  à 

lat.  {Bq.  +  Ag.)  -hlat.  [Dq.  —  Aq.)  -1- lat.  ( /? iii ,-l  -  Àrj.) 

^  l^l_  fAcub.-B\nAq.\  ^  ^^^    fAqq.  +  Dq.mA,,. 
'  \  D  /        '   '  \         Bq.+  Aq. 

Je  demande  une  tangente  au  point  D. 

(M  Voir  Loltre  XXXV.  6. 

Fermât.  —  M.  23 


178  ŒUVRES  DE  FKllMAÏ.  -  COHUESPON  DANCE. 

.Ma  iiu'lhutli.'  les  iloiiiicra,  o(  infinies  de  pareille  nature,  etc.,  quand 
bien  la  ligne  DF  seroit  composée  de  centinomies  ou  plus  grand  nombre 
de  termes. 

,1e  ne  dis  rien  (|ue  je  n'exéeute  dès  (jii'on  m'aura  témoigné  qu'on  ne 
le  sait  pas. 

4.  Je  proposerai  le  reste  après  ([ue  vous  m'aurez  envoyé  les  papiers 
de  M.  Descaries  (' ).  Cependant  j'étends  encore  ce  problème  local  «r/ 
superjîciem  (^)  qui  enchérit  sur  le  plan  d'Apollonius,  et  le  conçois 
ainsi  : 

Si  (t  i/iio/cii/fK/iic  pitnrlis  datis  iii  quibuslibet  planis  ad  piinrliirn  iiniim 
injlectantur  rcctœ,  et  sint  species,  quae  ah  omnibus,  daio  spalio  œquales, 
punclum  ad  injlexionem  sphcvricam  superftciem  positione  datam  con- 
tinue t. 

La  construction  se  dérive  aisément  de  celle  que  je  donnai  il  y  a  long- 
temps (lu  lieu  ])lau.  VA  ls\.  de  Roberval  le  pourra  trouver  d'abord  et 
avouera  qu'il  y  a  tort  peu  de  propositions  de  C.éoméfrie  (pii  valent 
celle-ci. 


(')  l'roluihlemoiU  les  iiiiporlanles  LcUros  (ie  Descartes  à  .Merscniic,  du  27  juillet  i63S 
(Clersclier,  III,  0(i),  du  xi  août  (111,  Ci"))  pi  du  1  ">  novendire  (11.  t.yi). 
('-)  y<>ir  Lclln-  \XXV.  7. 


XXXVII.  -    20  FEVRIER  1639.  179 


ANNÉE    1639. 


XXXVII. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

DIMANCHE    20    FÉVRIER    1639. 

(B,  f"  2  v°.) 

1-  Vous  m'avez  envoyé  36o  duquel  les  parties  aliquotes  sonl  au 
même  nombre  comme  9  à  4.  et  moi  je  vous  envoie  2016  qui  a  la  même 
propriété. 

2.  ,Ie  viens  maintenant  au  défi  des  plus  grands  géomètres  du 
monde  (  -). 

Pour  première  question,  proposé  : 

I  (]  —  6N        égal  à        4o  et  la  valeur  tl'iN,  !\, 

et  encore 

iC-t-4N         égal  à         80,  où  N  est  encore  4, 

ils  demandent  la  méthode  pour  trouver  la  racine  en  pareilles  questions 
sans  aller  à  tâtons. 


(')  Extrait  inédit  d'une  Lettre  perdue. 

(-)  Descartes,  dans  sa  Lettre  à  Mersenne  du  9  février  i63y  (Clerselier,  II,  97,  p.  45o), 
répond  à  ces  mêmes  questions.  La  seconde  et  la  troisième  lui  avaient  été  adressées  le 
23  janvier;  il  les  désigne  comme  étant  d'un  M.  Dounot.  La  première  ne  lui  fut  envoyée 
que  par  le  courrier  suivant. 


180  (F.UVRES  DE  FERMAT.        CORRESPONDANCE. 

,lo  vous  réponds  avor  Vii'to  {')  quo  ceux  qui  foroiil  cette  recherche 
sans  employer  h^s  artifices  déjà  connus  excruciahuni  se  frustra  et  bonas 
/taras  mathemalices  quam  colcnt  dispendio  perdent. 

3-   Ils  proposent  ensuite 

iC  — 8Q  +  19N        éfial  à        t4, 

et  après  avoir  déterminé  que  le  problème  est  ambigu  et  donné  trois 
valeurs  de  la  racine,  savoir  2,3  —  v'2,  3  -t-  \j'i,  ils  ajoutent  :  Qui  dederit 
quartam  solutionem,  portento  erit  simile. 

En  quoi,  sans  préjudice  de  la  grammaire,  ils  pèchent  autant  contre 
les  Mathématiques,  qui  nous  enseignent  qu'il  est  impossible  qu'en  ce 
cas  et  autres  pareils,  il  y  ait  quatre  solutions.  Car  il  est  très  certain 
qu'un  problème  ne  peut  recevoir  pour  le  plus  qu'autant  de  solutions 
que  son  plus  grand  terme  a  de  degrés,  et  ainsi  ils  ont  fait  eux-mêmes 
ce portentum  d'avoir  proposé  une  question  impossible. 

4.  Mais  la  troisième  proposition  contient  sans  doute  la  plus  forte 
attaque,  qui  semble  d'autant  plus  considérable  que  le  moyen  dont  Viète 
s'est  servi  pour  soudre  pareilles  questions,  lequel  il  appelle  synensis 
en  son  Traité  De  recognitione  œquationum  (-),  est  défectueux  et  ne  dit 
pas  tout. 

Voici  la  dernière  question  : 

iC  — 9Q-t-i3N        aeq.        v/â^S  — 15. 

Quœritur  i  N.  Hoc  problema  recipit  très  solutiones  quarum  exhibimus  pri- 
marn,  scilicet  3  —  \/2,  quœ  satisfacit  exacte. 

Si  reliquas  duas  dederim,  ero  illis  magiuis  Apollo. 

Hae  sunt  :  prima  3  +  v/i8,       secunda  3  —  y/TS. 

P  I  VlÈTE  (éd.  Sclioolcn,  Lcydo,  Elzcvirs.  iG.lG),  De  einendalloiie  œquationum,  cliap.  1, 
|).  129  : 

«  Itaquc  cxerucianiiU  so  frustra  et  bonas  horas  Malhematices  quam  colcbanl  dispendio 
•1  absumpsoruiU.   j 

(  -;  Ib'ul.,  pages  104  et  suiv. 


XXXV.II.     -  20  FÉVRIER    1639.  181 

Si  cela  ne  sutfit,  je  donnerai  une  méthode  générale  (  '  )  pour  toutes 
solutions  pareilles,  laquelle  réussit  sans  nulle  peine,  et  n'a  pas  les  dé- 
fauts de  celle  de  Viète,  qui  est  très  fâcheuse  à  cause  des  divisions, 
particulièrement  aux  exemples  un  peu  malaisés,  comme  celui  dont  est 
question,  (|U('  les  analystes  communs  ne  sauraient  soudre  par  la 
syncrise. 

(  '  )  roir  LeUre  XXXVIll  Ins.  4. 


182  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


ANNEE   1640. 


XXXVIII. 
FRENICLE  A  MERSENNE  ('V 

<    MARS    ICiO    > 

f  Fr.   II.  a.  H204 ,  i'°  t>2;).) 

IMON    RÉVKRF.M)   Pèrf,, 

1-  Puisque  vous  dosirez  que  je  vous  rafraîchisse  la  mémoire  de  l'en- 
tretien que  nous  eûmes  dernièrement  ensemble  touchant  les  nombres 
des  tables  magiques,  je  vous  dirai  que  ce  que  M.  Fermât  vous  en  a 
envoyé  est  fort  peu  de  chose,  car  il  n'y  a  presque  rien  hors  de  ce  qu'il 
peut  avoir  vu  dans  Stiphelius,  Spinula  et  la  vieille  Clavicule  (-),  et 
que  la  méthode  qu'il  dit  avoir  pour  les  construire  n'est  autre  que  celle 
qu'ils  enseignent,  encore  qu'elle  ne  soit  pas  d'eux  :  laquelle,  pour  ce 
qui  regarde  les  impairs,  est  la  plus  noble  qui  se  sauroit  trouver  et  est 
si  facile  que  ce  n'est  qu'un  jeu  d'enfant,  et  n'y  a  pas  grand  sujet  de  se 
tant  glorifier  pour  l'avoir  apprise  dans  un  livre. 

(')  Lettre  inédite  qui  fut  communiquée  à  Fermât  et  à  laquelle  il  répondit  par  la  sui- 
vante, XXXVIll  his. 

{-)  Arithmetica  intégra,  authore  IMichaelo  Stifelio,  cum  prœfationc  Philippi  Melancli- 
thonis.  —  Norimber!»a3  apud  Joh.  Petrejum.  Anno  Christi  MDXLIII.  Cura  gratia  et  privi- 
légie Cicsareo  atque  Regio  ad  soxennium. 

Franciscus  Spinoln  est  cité  dans  les  Deliciœ pliysicoiiialhematinr  de  Daniel  Scliwenter, 
Nuremberg,  1626,  comme  s'ctant  occupé  des  carrés  magiques.  Le  seul  Ouvrage  imprimé 
qui  soil  connu  avec  ce  nom  d'auteur  {P.  Fronasci  Hjmiulœ  Mediolanensis  Opera,\Qn\sc, 
i5G3)  est  un  Volume  de  vers  latins  où  ne  se  trouve  aucune  allusion  à  ce  sujet. 

Nous  n'avons  pu  déterminer  non  plus  quel  Ouvrage  Frenicle  désigne  sous  le  nom  de 
meitlc  Clavicule;  il  s'agit  peut-être  d'un  tirage  sans  lieu  ni  date  de  l'Écrit  tliéoso|)liique 
Clavlcula  Salomonis  fllii  David. 


XXXVIII.  -  MARS   1640.  183 

2.  S'il  savoit  quelque  chose  de  uouveau  pour  les  pairs,  il  vous  devroit 
avoir  envoyé  une  table  du  quarré  de  i8  ou  22  ou  pour  le  moins  de  i4. 
qui  a  servi  de  borne  à  Bachet  (  '  ),  et,  quand  il  l'aura  fait,  nous  avoue- 
rons qu'il  y  sait  quelque  chose. 

3.  Ce  qu'il  vous  a  envoyé  n'est  pas  digne  d'un  honnête  homme 
comme  lui,  mais  est  plutôt  l'occupation  d'un  écolier  et,  s'il  veut  s'em- 
ployer à  un  exercice  qui  lui  soit  plus  convenable,  sans  sortir  de  cette 
matière,  qu'il  dispose  les  nombres  d'un  quarré  en  telle  sorte  que  toutes 
les  lignes  et  diagonales  soient  égales  et  que,  telles  enceintes  qu'on 
voudra,  et- non  plus,  en  étant  ôtées,  le  quarré  qui  restera  soit  de 
même  nature  que  le  premier. 

Par  exemple,  que  22  soit  donné  pour  le  côté  du  quarré  magique; 
on  demande  que,  ce  quarré  ayant  les  conditions  requises,  on  en  puisse 
oter  trois  enceintes  et  que  le  quarré  restant,  qui  aura  16  cellules  de 
côté,  soit  encore  magique;  et  qu'étant  deux  enceintes  de  celui-ci. 
le  quarré  restant,  qui  aura  12  cellules  de  chaque  côté,  soit  encore 
magique;  et  que  de  celui-ci,  en  étant  une  enceinte,  le  quarré  restant, 
qui  aura  10  de  côté,  soit  encore  magique;  et  que  du  premier  quarré 
de  22,  tel  autre  nombre  d'enceintes  qu'on  en  veuille  ôter,  le  quarré 
restant  ne  soit  plus  magique. 

4.  Davantage,  il  se  peut  aussi  étudier  à  taire  de  ces  tables  qui  aient 
une  partie  de  leurs  cellules  vides  et  néanmoins  que  toutes  les  lignes, 
colonnes  et  diagonales,  soient  égales  tant  en  la  quantité  des  nombres 
qu'en  la  somme  d'iceux. 

Par  exemple,  s'il  y  a  en  la  table  quarrée  i44  cellules,  qu'il  n'y  en 
ait  que  Go  ou  autre  nombre  possible  de  remplies  de  nombres  consécu- 
tifs et  qui  commencent  par  tel  qu'on  voudra,  et  qu'en  chaque  colonne, 
ligne  et  diagonale,  il  y  ait  o  nombres,  la  somme  desquels  soit  égale  par 
tout. 

5.  Mais  s'il  veut  sortir  des  quarrés  et  s'appliquer  aux  solides,  il 
pourra  considérer  les  nombres  disposés  en  telle  sorte  qu'ils  forment 

(  '  )  Problèmes  plaisans  et  délectables  qui  se  font  par  les  nombres.  —  A  Lyon,  MDCXXIV. 


18i  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

les  trois  t'aci-s  ox  lé  ri  cures  d'ime  pyramide  triangulaire  ou  tétraèdre, 
ot  faire  que  les  dits  nombres,  étant  en  progression  donnée,  Cassenl 
toutes  les  enceintes  égales  entre  elles. 


Par  exemple,  que  la  somme  des  nombres  représentés  par  A  m,  n,  <>, 
p,  y,  r.  s,  t  soit  égale  à  celle  de  e,  f,  g,  h,  i,  k,  et  à  celle  de  c,  b,  d  :  et 
que  les  lignes  a,  c,  e,  /;  a,  b,  g,  o  el  a,  d,  i,  r  soient  égales  entre  elles 
en  valeur  comme  elles  le  sont  en  longueur  en  Géométrie;  et  que  les 
trois  lignes  de  chaque  enceinte  soient  égales  entre  elles,  c'est-à-dire 
l'une  à  l'autre,  jusques  à  où  il  se  peut;  et  déterminer  h  quelles 
enceintes  doit  finir  l'égalité  susdite. 

Ce  seront  là  des  occupations  qui  méritent  aucunement  qu'il  s'y 
emploie  et,  quand  il  y  aura  satisfait,  on  lui  découvrira  des  choses  qui 
surpasseront  d'autant  celles-ci  que  celles-ci  surpassent  ce  qu'il  vous 
a  envoyé. 

6.  Je  vous  dirai  aussi  que,  s'il  ne  veut  pas  sortir  des  plans,  je  lui 
pourrois  demander  un  hexagone  rempli  de  nombres  consécutifs,  qui 
ait  même  somme  en  chacun  de  ses  côtés  et  des  lignes  qui  vont  du 
centre  à  la  circonférence. 


p 

n 

h 

»i 

f 

c 

a 

l 

,, 

d 

e 

k 

l 

h 

i 

XXXVIII.  —   MARS   iG40.  185 

Par  cxL'iiiple,  que  les  nombres  représentés  par  o,  n,  in\  m,  I,  /.■;  X-, 
/,  h\  h,  I,  s\  s,  r,  q\  y.  p,  n,  comme  aussi  par  a,  h,  o;  a,  c,  ?>2;  a,  d,  k\ 
a,  e,  h;  a,  g,  s  et  a,  /,  </,  eussent  chacun  leur  somme  égale;  et  en 
nuire,  qu'ôtant  quelques  enceintes  de  ladite  figure,  sous  les  condi- 
tions déduites  au  quarré,  la  même  égalité  demeurât  encore. 

Vous  remarquerez,  s'il  vous  plait,  que  la  quantité  de  lettres  qui  sont 
ici  ne  sert  que  d'exemple,  et  ne  s'ensuit  pas  d'iccllc  qu'on  puisse  faire 
ces  choses  sous  la  quantité  qu'elles  représentent,  car  elles  ne  servent 
que  pour  les  donner  mieux  h  entendre. 

7.  Pour  ce  qui  est  des  nombres  dont  il  veut  renouer  la  conférence, 
on  attend  encore  la  solution  de  ceux  qu'on  lui  a  envoyés  autrefois,  et 
de  celui  que  vous  avez  encore  envoyé  depuis  peu  ('),  duquel  il  doit 
d'autant  plus  facilement  venir  à  bout,  qu'il  a  trouvé  la  démonstration 
de  tout  ce  qui  concerne  les  parties  aliquotes. 

8.  Et  s'il  trouve  que  ce  soit  peu  de  chose  pour  lui,  (|u"il  vous  envoie 
un  nomhva parfait  qui  ait  20  lettres  ou  le  prochainement  suivant,  atiii 
de  ne  point  sortir  de  ce  qu'il  sait  avec  perfection,  et  j'estime  qu'il  en 
viendra  d'autant  plus  facilement  à  bont,  qu'il  pourra  sur  tout  ce  que 
dessus  consulter  l'oracle  de  ce  grand  démon  dont  vous  nous  avez  tant 
fait  de  fête,  lequel  nous  tiendrons  pour  bon  ange  et  des  plus  blancs, 
s'il  y  satisfait.  Encore  que,  s'ils  éfoient  versés  en  ces  matières-là 
comme  le  sont  vos  Sainte-Croix  et  Frenicle,  cela  leur  serviroit  plutôt 
d'ébattement  que  de  travail,  vu  qu'il  y  a  longtemps  qu'ils  ont  trouvé 
et  considéré  ces  choses-lîi. 

Voilà,  mon  Pi're,  si  j'ai  bonne  mémoire,  un  raccourci  de  tout  l'en- 
tretien que  nous  eûmes  ensemble  avant-hier. 
Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  afTectionné  serviteur, 

Frexicle. 

C)  Comparer  los  LcUrcs  XXXVI,  1  et  XXXVII,  1.  l^'i'ciiicle  fait  allusion  à  une  corres- 
pondance perdue,  qui  paraît  avoir  surtout  concerné  les  nombres  en  relation  donnée  avec 
la  somme  de  leurs  i)arties  aliquotes. 


Fermât.  —  11. 


i86  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

WWIIT  bis. 
FERMAT  A  3IERSENNE. 

DIMANCHE    1    AVIIII.    IG'tO. 

(  f'ii,  p.   173-17G.) 

Mon  RiivÉREND  Père, 

1.  .le  vous  dois  deux  réponses  pour  les  deux  dernières  Lettres  que 
j'ai  reçues  de  votre  part  et  que  j'ai  trouvées  toutes  deux  en  même 
temps  à  mon  retour  de  la  campagne;  le  sujet  de  la  première  concerne 
Monsieur  Desargues  et  celui  de  la  seconde  Monsieur  de  Frenicle. 

2.  Je  suspends  la  réponse  aux  questions  de  Monsieur  Desargues, 
jusques  à  ce  que  j'aurai  vu  par  votre  faveur  le  troisième  Livre  des 
Coniques  de  Monsieur  Mydorge  et  les  autres  ('),  s'il  y  en  a  d'im- 
primés depuis  les  deux  premiers  qui  sont  les  seuls  que  j'ai  en  mon 
pouvoir.  Je  vous  promets  alors  de  m'étendrc  sur  tout  ce  qu'il  semble 
que  vous  desirez  de  moi,  et  cependant  je  suis  obligé  de  vous  dire  que 
j'estime  beaucoup  Monsieur  Desargues  et  d'autant  plus  qu'il  est  lui 
seul  inventeur  de  ses  Coniques;  son  livret,  qui  passe,  dites-vous,  pour 
jargon,  m'a  paru  (rès  intelligible  et  très  ingénieux  (^). 

(')  Les  deux  premiers  Livres  des  Coniques  de  Mydorge  avaient  élo  puijlios  en  lU'ii 
sous  le  titre  : 

Claudii  Mydorgii  palricii  Parisini  Prodromi  Catojjlricorum  et  Dioptricorum  sive  Coni- 
corum  operis  ad  abdita  radii  rcflexi  et  refracti  mysteria  prœvii  et  facem  praeferonlis  Libri 
primus  et  seciindus.  D.  A.  L.  G.  —  Parisiis,  Ex  typographia  L  Dcdin,  via  Nucum,  sub 
signo  trium  Coiuniliarum,  M.DC.XXXL  Cum  privilégie  Régis  (in-f'oHo;. 

Les  deux  suivants  furent  ajoutes  dans  la  réédition  do  ifi^g  ; 

Claudii  .Mydorgii....  Libri  quatuor  priores.  D.  A.  L.  G.  —  Parisiis,  E\  typographia 
l.  Dedin,  via  Nucum,  sub  insigni  parvi  Scuti,  M. DC. XXXIX.  Cum  privilegio  Kogis. 

(-)  Il  s'agit  du  Brouillon  project  d'une  atteinte  aux  euenemena  des  rencontres  d'un 
cône  (wec  un  plan,  par  le  S.  G.  D.  L.,  dont  l'édition  originale,  imprimée  à  Paris  en  1O39, 
est  introuvable  (Œuvres  de  Desargnes,  éd.  Poudra,  I,  pages  y;  à  ■l'io).  —  La  corres[)On- 
dance  de  Fermât  ne  contient  aucune  autre  indication  sur  les  questions  que  lui  avait  posées 
Desargues. 


XXXVIIl   bis.  —    1"  AVRIL   1G40.  187 

3.  Pour  3Ionsieur  de  Frenielc,  ses  inventions  en  Arithmétique  me 
ravissent  et  je  vous  déclare  ingénument  que  j'admire  ce  génie  qui. 
sans  aide  d'Algèbre,  pousse  si  avant  dans  la  eonnoissance  des  nombres 
entiers,  et  ce  que  j'y  trouve  de  plus  excellent  consiste  en  la  vitesse 
de  ses  opérations,  de  quoi  font  foi  les  nombres  aliquotaires  qu'il 
manie  avec  tant  d'aisance.  S'il  vouloit  m'obliger  de  me  mettre  dans 
quelqu'une  de  ses  routes,  je  lui  en  aurois  très  grande  obligation  et  ne 
ferois  jamais  difficulté  de  l'avouer,  car  les  voies  ordinaires  me  lassent 
et,  lorsque  j'entreprends  quelqu'une  de  ces  questions,  il  me  semble 
(jue  je  vois  devant  moi 

Magiuira  maris  îEquor  anindum  { '  ), 

à  cause  de  ces  fréquentes  divisions  qu'il  faut  faire  pour  trouver  les 
nombres  premiers.  Ce  n'est  pas  que  mon  analyse  soit  défectueuse, 
mais  elle  est  lente  et  longue  pour  ce  regard  et  j'ose  dire  sans  vanité 
que,  si  je  pouvois  l'accompagner  de  cette  facilité,  je  trouverois  de  fort 
belles  choses.  Je  voudrois  avoir  mérité  par  mes  services  la  faveur  que 
je  lui  demande  et  ne  désespère  pas  même  de  la  payer  par  quelques 
inventions  qui  peut-être  seront  nouvelles  à  Monsieur  Frenicle. 

(  13,  f»  3  r-  )  (  =  ). 

4.  Pour  la  méthode  que  j'oppose  à  la  syncrise  ('),  ce  n'est  seule- 
ment que  pour  éviter  les  divisions  qui  sont  souvent  très  fâcheuses  en 
cette  sorte  de  questions. 

Soit,  par  exemple  : 

bda  —  6(7^ — a^         a?f|.         c'"'-. 

Cette  équation  peut  avoir  trois  solutions,  desquelles  soit  par  exemple 
Il  l'une  qui  soit  donnée.  Il  faut  trouver  les  autres  deux. 

(')  Virgile,  Enéide,  II,  780  :  [,onga  tibi  exsilia  cl  vasliim  maris  aîquor  araadiim.         * 

(2)  Le  fragment  qui  suit  est  inédit;  il  est  reproduit  d'après  l'extrait  de  la  Lettre  du 
i"  avril  1640,  que  contient  le  manuscrit  Vicq-d'Azyr-Boncompagni.  U  est  très  improbable 
que  les  notations  algébriques,  dans  lesquelles  dominent  les  habitudes  cartésiennes,  soient 
réellement  celles  de  Fermât. 

(3)  Foir  Tome  L  page  147,  note  3.  —  Comparer  Lettre  XXXVII,  4. 


188  Π l  y  II  K  S   n  K  F  F.  Il  M  VW  -  C  ()  U  II  E  S  P  0  N I)  A  N  C  E. 

Pmir  V  parvenir,  il  os(  lUH'cssaii'o  de  I)aissor  colle  ('qualion  (riiii 
(logro,  00  (|iio  A'iolo  i'ail  j)ar  division  o(  M.  Dosearlos  aussi;  voioi 
ooniiuo  jo  procodo  : 

//  osl  ogal  il  <i;  or  il  y  a  deux  lii^nos  égalos  ii  a,  iiiogalos  ii  //.  Posons 
(|ui'  l'uiio  do  oos  doux  iii(nos  soil  //  +  e,  ot  faisons  inainlonani  ro(|ua- 
lion  ooninio  si  //  +  c  oloil  a,  nous  aurons 

bchi  ■+-  hde  —  bc- —  e^ —  bn"  —  ihne  —  Zne- —  li^ —  3/t-e         a?(|.         ;'°'-. 

Or,  puisquo  a  est  ôgal  à  //,  donc 

bda  —  ba"- —  a^     sera  égal  l\     bcln  —  bn- —  n^. 

Mais 

bda  —  ba- —  a^         est  égal  à         z""^-, 

[lar  la  pi'oniiôro  oquation;  donc 

bdn  —  bn-—  n^         est  égal  à         z^°^-. 

Olez  donc  d'un  côlé  de  la  seconde  équation  hdn  —  hn-  —  «',  et  de 
l'autre  (-(Mé  ;*"',  il  restera 

b<lc  —  bc- — e' — nbne — ci  ne- — 'in-e         œq.         o. 

l-]t,  le  tout  divisé  par  e,  qui  est  une  division  simple  et  non  composée 
comme  colle  de  Yiète  et  des  autres,  restera 

bd — bc  —  e- — ■  ibn — Zne  —  3/i'-         a^j.         o 

et  ainsi  l'équation  ne  sera  que  quarréc  et,  lorsque  e  sera  connu,  en  y 
ajoutant  «,  vous  aurez  la  ligne  olierchée. 

O  n'est  pas  que  j'estime  beaucoup  ceci,  ni  que  j'aie  tout  dit  en 
vous  donnant  ce  seul  exemple,  mais  c'est  seulement  pour  la  facilité  do 
l'opération. 

'  5.  Je  viens  aux  propositions  des  quarrés  (')  :  sur  quoi  je  vous  puis 
protester  que  je  n'ai  jamais  vu  ni  Stiphelius  ni  celle  Clavicule  et  ne  sais 

C)  loir  LoUre  XXX VIII,  1  à  3.  —  Ici  icprcud  lo  tcxlu  doiiiiô  par  les  luria.  Le  carré 
magique  est  inédit. 


XXXVIII   ùà.  —    i<-'    AVRIL   ICVO. 


180 


ce  que  ces  livres  coiUieiinent  et,  pour  faire  voir  que  j'ai  vu  peul-èlre 
plus  loin  qu'eux  et  satisfaire  à  la  semonce  de  M.  Frenicle,  je  vous 
envoie  le  quarré  de  i4  aux  conditions  requises,  duquel,  si  vous  ùtez 
deux  enceintes,  le  restant  sera  aussi  quarré  aux  conditions  requises 
et,  si  vous  ôtcz  encore  deux  enceintes  de  ce  restant,  ce  qui  restera  sera 
encore  quarré  aux  mêmes  conditions. 


. 

2 

i85 

18G 

■) 

G 

7 

190 

19' 

19). 

1 1 

'91 

19'' 

'1 

i5 
42 

iG 
i-.G 

■16 

9,5 

24 

.77 

17G 

17  j 

171 

17) 

.7'- 

1  71 

27 

1G7 

28 
■'9 

3i 

iG3 

.59 

34 

33 

162 

^7 

.G4 

i58 

4o 

5G 

14-2 

i5-2 

46 
i3„ 

J2 

ii9 

1I8 

'47 

i46 

47 

53 
i'>7 

43 

68 

i53 
■39 

43 
70 

Gi 

i3J 

,34 

G3 

l32 

GG 

71 

1  •  ),  'i 

~  i 

i'.>,i 

1 22 

7G 

120 

i'9 

■9 

75 

uG 

82 

"4 

84 

S5 

1 1  1 

'/' 

Kig 

1118 

107 

91 

9'2 

9" 

io3 

102 

87 

100 

9S 

I  1-2 

'J7 

1 10 

9^ 

«9 

9-5 

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loG 

104 

9i 

88 

101 

8G 

99 

i?X> 

Si 

1 1  ) 

81 

So 

118 

/  / 

78 

121 

1 17 

74 

124 

72 

ii3 

lio 

'il 

«9 

J5 

i38 

Go 
14  i 

rîr 

G>. 

G4 

i33 

G  5 

i3G 

1^7 
i5i 

129 
■  45 

58 
44 

127 

i5o 

5i 

5o 

49 

48 

145 

1S2 

41 
1-0 

1  jj 

32 

33 

iGo 

iGi 

3G 

iG3 

38 

39 

1  GG 

3o 
181 

1  )  j 
169 

180 

179 

178 

23 

22 

21 

20 

19 

18 

«7 

i83 

184 

3 

4 

,87 

188 

i8() 

8 

9 

10 

19Î 

12 

i3 

196 

Le  premier  quarré  fait  en  ces  lignes  iS-q;  le  deuxième  fait  985-,  le 
troisième  fait  .J91. 

6.  Or,  ne  doutez  point  que  je  ne  possède  la  méthode  générale  pour 
faire  toute  sorte  de  quarrés  en  cette  sorte  et  aux  conditions  qu'ùtant  (cl 
nombre  d'enceintes  qu'on  voudra,  le  restant  soit  encore  quarré,  etc. 


190  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

.Mais,  il  n'otor  (ju'iinc  seule  enceiiile,  je  erois  la  qiieslioii  impos- 
sible :  à  (|uoi  peiif-ètre  .M.  Treniele  ne  prit  pas  garde  ('  ),  lorsqu'il  me 
proposa  d'ôler  trois  eneeiiiles  de  22,  et  puis  deux  du  restaul,  et  |)uis 
uue  du  reslaut.  Car,  aux  deux  premiers  eas,  la  questiou  est  faisable 
eu  beaucoup  de  iiiauières,  uuiis  au  troisième  je  ue  l'estime  poiut  pos- 
sible :  de  quoi  la  raisou  dépend  de  ma  règle,  laquelle  je  n'ai  pourtant 
ni  trouvée  ni  chorcbée  que  lorsque  j'ai  reçu  la  Lettre  de  M.  Freuiele, 
et  c'est  pour  cela  que  je  ne  détermine  pas  absolument  l'impossibilité 
de  ce  cas,  jusqu'à  ce  que  j'aurai  eu  encore  quelques  jours  pour  y 
sons;er  de  nouveau. 

7.  Mais  ce  que  je  trouve  de  plus  beau  en  ma  règle,  et  que  je  ne 
crois  pas  avoir  été  touché  ni  par  Sliphelius  ni  par  aucun  autre,  est  que 
je  puis  déterminer  en  combien  de  façons,  et  non  plus,  chaque  quarré 
peut  être  disposé  aux  conditions  requises,  comme  par  exemple,  s'il 
m'est  permis  de  demander  à  M.  Frenicle,  en  combien  de  sortes  diffé- 
rentes 22  peut  être  rangé. 

8.  Je  passe  bien  plus  outre,  et  passant  aux  solides  qui  le  sont  effec- 
tivement, j'ai  trouvé  une  règle  générale  pour  ranger  tous  les  cubes  à 
l'infini,  en  telle  façon  que  toutes  les  lignes  de  leurs  quarrés,  tant  dia- 
gonales, de  largeur,  de  longueur  que  de  hauteur,  fassent  un  même 
nombre,  et  déterminer  outre  cela  en  combien  de  façons  difl'érentes 
chaque  cube  doit  être  rangé,  ce  qui,  me  semble,  est  une  des  plus 
belles  choses  de  l'Arithmétique. 

Vous  en  trouverez  un  exemple  (-)  sur  le  cube  64,  à  côté  du  quarré 
.le  14. 

Il  faut  ranger  les  quatre  quarrés  qui  font  la  solidité  du  cube,  en  telle 
façon  que  le  premier  soit  dessous;  le  deuxième  soit  mis  sur  le  premier, 
en  telle  façon  que  53  soit  sur  4  et  50  sur  i.;  il  faut  ensuite  mettre  le 
troisième  sur  le  deuxième,  en  telle  façon  que  Go  soit  sur  53  et  37 

(')  Foir  Lellre  XXXVIII,  3.  —  Comparer  Lettre  XL,  3. 

C)  Les  carrés  ci-;i()rcs  se  trouvaient,  ainsi  que  le  carré  magique  reproduit  plus  luiul  (5), 
transcrits  sur  une  leuille  détachée;  ils  ne  sont  pas  non  plus  donnés  dans  les  J'aria. 


XXXVIII    bis. 


i"  AVRIL   IGVO. 


191 


sur  5G;  et  enfin  il  faut  mettre  le  quatrième  sur  le  troisième,  en  sorte 
que  i3  soit  sur  Go  et  iG  sur  57.  Cela  étant  fait,  vous  aurez  un  cube 
qui  sera  divisé  en  douze  qnarrés,  lesquels  se  trouveront  tous  disposés 
aux  conditions  requises;  il  y  aura  en  tout  72  lignes  différentes,  cha- 
cune desquelles  fera  une  même  somme,  savoir  i3o. 


1. 


2. 


3. 


1 

(il 

C3 

1 

Ô3 

1 1 

10 

5(i 

Go 

6 

7 

*7 

i3 

5i 

5o 

16 

4i 

l'i 

22 

44 
24 

32 

34 

35 

'9 

17 

47 

46 

20 

4« 

40 
28 

26 

2^ 

37 

21 

43 

42 

30 

3o 

3i 

3'. 

8 

19 

18 

38 

39 

25 

(ii 

9. 

3 

61 

9 

55 

54 

12 

58 

59 

5 

49 

i5 

t4 

5>, 

9.  Vous  voyez  combien  ceci  est  au-dessus  du  tétraèdre  et  de  l'hexa- 
gone (')  de  M.  Frenicle,  desquels  le  premier  n'est  pas  solide  en  effet, 
mais  par  fiction  seulement,  quoique  je  ne  doute  pas  qu'il  ne  puisse 
être  haussé  en  solide;  mais,  dans  ces  deux  propositions,  il  y  a  beau- 
coup de  nombres  superflus  dans  les  entre-deux  des  lignes  qui  abou- 
tissent ou  au  sommet  ou  au  centre,  ce  qui  fait  qu'elles  ne  sont  pas  si 
parfaites  que  la  mienne,  en  laquelle  je  puis  encore  ôter  les  enceintes 
requises  et  faire  que  le  restant  demeure  aussi  cube,  etc. 

Je  soumets  pourtant  le  tout  à  mondit  S''  de  Frenicle  et  crois  que,  si 
j'avois  l'honneur  d'être  connu  de  lui,  il  auroit  omis  quelques  paroles 
qui  sont  dans  sa  Lettre.  Je  ne  resterai  pas  de  lui  assurer  l'estime  que 
je  fais  de  lui  et  de  le  conjurer  de  me  faire  part  de  sa  méthode. 

10.  Pour  le  solide  de  la  roulette,  je  le  réduirois  bien  à  des  solides 
plus  simples,  mais  à  des  sphères,  cônes  ou  cylindres  qui  soient  créés 
par  des  lignes  droites  données,  il  me  semble  qu'il  est  impossible. 

Excusez  si  le  papier  me  manque,  etc. 

H.  P. -S.  Depuis  ma  Lettre  écrite  (-),  un  de  mes  vieux  papiers  m'est 

(')  Voir  Lellre  XXXVIII,  5  et  6. 

(^)  Ce  posl-scriptiim  [jarail  appartenir  à  une  Lettre  aiUorieuro  et  avoir  été  l'occasion 
(le  la  Lettre  XXXVIII  de  Krenicle. 


19-2  ŒUVRES   Iti:  FEUMAT.  —  CORUESPONDANCE. 

toiiihi'  cil  main.  IimiucI  coiitieiil  iiiic  olisorvalioii  sur  le  [)i"ol)li'mo  XXI 
(lu  Livre  do  Harlu'I.  innirimc  à  Lyon  en  i()2'|,  o(  (jiii  [joric  pour  lilrc  : 
Problèmes  plaisons  et  délectables  (/la'  se  font  par  les  nombres. 

Voici  rciidroil  (^');  il  propose  do  ranger  en  (|iiarré  les  noniI)res  con- 
séeulii's  en  progression  arithmétique,  on  sorte  (jne  tous  les  rangs, 
tant  de  haut,  A('  has  (|ue  des  côtés  et  par  U's  diami-tros,  fassent  une 
môme  somme,  de  quoi  il  haille  une  règle  générale  pour  les  quarrcs 
impairs,  et  avoue  n'en  avoir  pu  trouver  aucune  pour  les  pairs,  mais 
avoir  fait  seulement  plusieurs  observations  particulières,  par  le  moyen 
desquelles  il  a  rangé  les  pairs  jusques  à  141. 

Or,  pour  la  règle  des  (|uarrés  impairs,  je  dis  premièrement  qu'elle 
n'est  pas  de  son  invention,  car  (die  est  dans  l'Arithmétique  do  (lar- 
dan  (-);  mais  d'ailleurs  elle  ne  résout  la  (]ueslion  que  d'une  seule 
façon,  qui  le  peut  ètroen  plusieurs.  Je  dis  donc  : 

1°  Que  ma  méthode  range  les  quarrés  pairs  et  impairs  à  l'infini  ; 

2°  Qu'elle  les  range  en  toutes  les  façons  possibles,  lesquelles  aug- 
mentent comme  les  combinaisons,  à  mesure  que  les  quarrés  sont  plus 
grands; 

3°  Que  la  règle  des  pairoment  impairs  n'est  pas  dilférento  do  celle 
des  pairoment  pairs,  mais  bien  la  mémo,  quoique  Bachet  ait  cru 
qu'elles  dévoient  être  différentes. 

Voici  un  exemple  de  ma  méthode  : 

Il  range  le  2j  d'une  seule  façon,  n'y  sachant  autre  chose,  et  voici 
comme  il  le  range  : 

1  I   24    7   20    3 

4  12  25   8  i6 
17   5  i3  21   9 

10   l8    I   l4   22 

2  3   fi  j  g  1     1 5 

(')  Pages  Go  et  suivantes  de  rédition  originale. 

(2)  Practica  ar'ithinetica  et  nwii.mroiidi  xiiigidnrls  (Milan,  iSSg),  réimprimée  dans  le 
quatrième  lonie  de  l'édition  des  Giiivrcs  de  Cardan  en  lo  volumes  (Lyon,  iG63).  —  Car- 
dan y  donne,  sans  règle  de  consiruciion,  sept  eurrcs  magiques  (de  3^  à  9^)  qu'il  attribue 
aux  se|)t  planètes  et  appelle /)/«//(;ii7/;-e.f.  Il  parait  les  avoir  empruntés  à  Agrippa  de  Nettes- 
heym  (De  occulta  pldlosnphia.  Cologne,  i533). 


XXVIII  Us.  -  1"  AVRIL  1C40.  193 

En  voici  trois  autres  que  j'ai  choisis  parmi  plusieurs  que  ma  mé- 
thode enseigne  : 


1 1 

•i>. 

9 

■iO 

3 

1 1 

24 

17 

10 

9 

12 

23 

G 

19 

3 

'2 

■'. 

2") 

H 

lO 

4 

12 

ij 

18 

6 

5 

1 1 

■>4 

8 

17 

19 

5 

i3 

21 

7 

7 

5 

i3 

21 

■  y 

iG 

4 

i3 

■>.2 

10 

10 

i« 

I 

r.î 

■>.', 

■'.0 

8 

I 

>i 

22 

9 

18 

2 

1  j 

21 

■2! 

0 

[7 

4 

i5 

23 

iG 

9 

2 

i5 

23 

7 

20 

I 

14 

Il  range  le  3G  à  tâtons  d'une  seule  façon,  comme  s'ensuit  : 

G  32  3  34  35  I 

7  II  27  28  8  3o 

19  1  i  iG  i5  23  >4 
18  20  22  21  17  i3 
2  3  29  10  g  2G  12 
3fi  5  33  4  2  3i 

En  voici  une  aulro  parmi  plusieurs  que  ma  méthode  fournit;  si  le 
temps  ne  me  manquoit,  je  vous  en  envoierois  demi-douzaine  : 

5  3i  4  33  3G  2 

14  18  22  21  1 3  23 

2G  7  9  10  3o  29 

II  25  27  28  12  8 

20  24  i5  iG  19  17 
35  G  34  3  i  32 

Mais,  parce  qu'on  pourroit  croire  que  la  règle  n'a  qu'un  seul 
exemple,  lorsque  les  diamétraux  demeurent  les  mêmes,  voici  qui  fait 
voir  le  contraire  :  c'est  un  exemple  de  ma  méthode  du  04,  différent  de 
celui  de  Bachet,  et  qui  garde  néanmoins  les  diamétraux  : 

I  7  G  Go  Gi  59  58  8 

iG  10  5i  32  33  54  i5  9 

17  47  19  43  4i  22  18  4« 

40  31  38  28  29  27  3i  33 
32  2G  3o  36  37  33  39  2J 

41  23  43  21  20  4^  42  24 
3G  5o  II  i3  12  14  55  49 
57  63  62  5  4  3  2  64 

Fermât.  —  M.  'iO 


19i  (i:  l  V  11  K  s    1)  K   F  K  n  M  Al".  —  (".  O  U  U  K  S l' ON  DAN  CE. 

E»  voilà  assez  pour  donner  de  l'exercice  à  M.  Krcnicle,  car  je  ne 
sais  guère  rien  de  plus  beau  en  l'Arillunétique  que  ces  nombres  que 
quelques  uns  appellent  planclarios,  et  les  autres  wa^/co*;  et  do  fait  j'ai 
vu  plusieurs  talismans,  oii  quelques  uns  de  ces  (juarrés  rangés  de  la 
sorte  sont  décrits,  et  parmi  plusieurs  un  grand,  d'argent,  qui  conlient 
le  '19  rangé  selon  la  méthode  de  Bachot,  ce  qui  t'ait  croire  (]ue  personne 
n'a  encore  connu  la  générale  ni  le  nombre  des  solutions  qui  peuvent 
arriver  ;i  chaque  quarré. 

Si  la  chose  est  sue  à  Paris,  vous  m'en  éclaircircz;  en  tout  cas,  je  ne  la 
dois  qu'à  moi  seul. 

Je  suis  etc. 


XXXIX. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 
<  MAI?  levo  > 

(B,  f»  6  v°.) 

1-  Je  trouve  plusieurs  abrégés  pour  trouver  les  nombres  parfaits  (■) 
et  je  dis  par  avance  qu'il  n'y  en  a  aucun  de  20  ni  do  21  caractères,  ce 
qui  détruit  l'opinion  de  ceux  qui  avoient  cru  qu'il  y  en  avoit  un  dans 
l'enceinte  de  chaque  dixaine;  comme  un  depuis  i  jusques  à  10,  un 
autre  depuis  10  jusques  à  100,  un  autre  depuis  100  jusques  à  1000,  etc. 
(le  qui  n'est  pas  vrai,  comme  il  paraît  par  cet  exemple;  car  depuis 
10 000 000 000 000 000 000  jusques  à  la  dixaine  suivante,  il  n'y  en  a 
pas  un.  ni  d(qniis  la  suivante  à  la  prochaine  non  plus. 

2.  Je  passe  à  ma  proposition  (^)  de  ranger  les  quarrés.  Vous  pouvez 
vous  assurer  que  j'en  possède  absolument  la  méthode,  aussi  bien  que 

(')  Ce  fragment  inôdit,  de  dalc  inccrUiino,  semble  avoir  fait  partie  d'une  Lettre  envoyée 
à  Mersenne  par  Fermât  avant  qu'il  en  eût  reçu  la  réponse  de  Frenicle  à  la  précédente. 
(S)  Foir  Lettre  XXX VIII,  8.  —  Comparer  ci-après  Lettre  XL.  6. 
(3)  Comparer  Lettres  XXXVIII  bis,  7,  et  XL,  2. 


XL.  -  JUIN  1640.  195 

(■L'IIo  (les  cubes,  et  pour  vous  montrer  jusques  où  va  la  connaissance 
que  j'en  ai,  le  quarré  de  8,  qui  est  G4,  se  peut  disposer  en  autant  de 
façons  différentes,  et  non  plus,  qu'il  y  a  d'unités  en  ce  nombre 

1  oo4  144995344, 

ce  qui  sans  doute  vous  effraiera,  puisque  Hachet  et  les  autres  que  j'ai 
vus  n'en  donnent  qu'une  seule. 

Je  rangerai  de  même  tous  les  quarrés  et  cubes  à  l'infini  et  détermi- 
nerai en  combien  de  façons  et  non  plus,  avec  la  démonstration. 

3.  Pour  savoir  si  M.  Frenicle  ne  procède  point  par  tables,  proposez 
lui  (')  de 

Tromper  un  triangle  rectangle  duquel  i aire  soit  un  nombre  quarré  ; 
Trouver  deux  quarréquarrés  desquels  la  somme  soit  quarrcquarrée  ; 
Trouver  quatre  quarrés  en  proportion  arithmétique  continue  ; 
Trouver  deux  cubes  desquels  la  somme  soit  cube; 

S'il  vous  répond  que  jusques  ii  un  certain  nombre  de  cliilfres  il  a 
éprouvé  que  ces  questions  ne  trouvent  point  de  solution,  assurez-vous 
qu'il  procède  par  tables. 


XL. 
FERMAT  A  ÎMKRSENNK. 

<    JUIN?    ICVO.    > 

(r„,  p.  ,7(5-, 78.) 

iMox  RicvÉUEND  Pi':r\E, 

1.  J'ai  reçu  avec  grande  satisfaction  votre  lettre  accompagnée  de 
cylle  (-)  de  M.  Frenicle,  qui  me  confirme  en  l'estime  que  je  faisois  de 

(')  P'oir  LcUre  XII,  2,  où  Format  proposait  déjà  à  Sainte-Croix  trois  de  ces  problèmes 
Impossibles,  et  un  dernier  analoij;ue  au  troisième  de  la  présente. 
(-)  En  réponse  à  la  Lcttie  XXXVIll  his. 


1%  GÎUVRES  DE  FERMAT.-  COHllESPONDANCE. 

lui.  .l'y  ropoiuls  suoc'mcliMucnt  et  [trcinièrcnicnl,  sur  ce  (|ii'il  a  douU' 
que  j'eusse  uue  méthode  générale  pour  ranger  fous  les  quarrés  pairs  à 
l'intini.  Je  vous  prie  de  l'assurci'  du  contraire,  car  il  est  très  certain 
(|u'il  y  a  plus  de  dix  ans  que  je  la  découvris  et  en  donnai  di's  lors  des 
exemples  sur  des  quarrés  |)Ius  liants  que  ceux  de  Bacliet,  comme 
M.  Despagnet  vous  ponrroil  témoigner. 

2.  Il  est  vrai  que  je  n'avois  pas  songé  de  déterminer  exactement  en 
combien  de  façons  ces  quarrés  pouvoient  être  ordonnés,  et  j'avoue  que 
je  n'avois  pas  vu  toutes  les  manières  qui  y  conduisent,  puisque  je  dou- 
tois  même  que  l(>  quarré  put  demeurer  magique  en  levant  une  seule 
enceinte  (');  mais,  ayant  trouvé  une  règle  pour  les  ordonner  en  beau- 
coup de  fiH'ons,  je  crus  qu'elle  les  contenoit  toutes,  ce  qui  me  semble 
excusable,  puisque  je  vous  envoyai  ma  Lettre  aussitôt  après  la  première 
méditation  que  j'eus  fait  sur  ce  sujet. 

3.  Depuis  que  j'ai  reçu  la  dernière  de  M.  Frenicle,  j'ai  aussitôt  dé- 
couvert que  la  question  du  quarré  de  22  étoit  de  ma  portée  et,  pource 
que  l'opération  seroit  trop  longue  qui  consiste  à  ranger  le  quarré  de 
22  en  telle  sorte  que,  levant  trois  enceintes,  il  reste  magique,  et  du 
restant  encore  deux  et  qu'il  demeure  magique,  et  puis  une  seule  du 
reste  à  la  même  condition,  je  me  contenterai  pour  ce  coup  de  vous  en- 
voyer le  carré  qui  reste  après  les  trois  premijères  et  les  deux  secondes 
enceintes  ôtées,  daqu(d  si  vous  levez  une  seule  enceinte,  le  reste  de- 
meure magique,  comme  vous  verrez. 

Pource  que  le  temps  me  manque,  je  diffère  à  vous  envoyer  les  cinq 
enceintes  qui  manquent  pour  parfaire  le  quarré  entier  de  22,  jusques 
au  départ  du  prochain  courrier  (-). 

Après  cela  vous  devez  croire  que,  dès  que  j'aurai  loisir,  j'irai  aussi 
avant  sur  ce  sujet  qu'il  est  possible. 

(')  Comparer  Lettres  XXXVIII  bà,  6  cl  7,  et  XXXIX,  2. 

(')  La  Lettre  ainsi  annoncée  l'ait  défaut. 


XL.  -  JUIN   16i0. 


li>- 


12- 

■^47 

120 

125 

3Gi 

3G2 

363 

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3G", 

3GG 

118 

"7 

iiG 
i3S 

■  48 

338 

339 

143 

143 

342 

142 

344 

345 

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3'25 

161 

1G9 

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3i8 

3.9 

320 

3-21 

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162 

324 

160 

■292 

293 

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190 

299 

298 

297 

18G 

i85 

184 

3n2 

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270 

280 

272 

275 

21 1 

210 

209 

208 

278 

279 

20  5 

21 5 

248 

227 

2')0 

25l 

23o 

232 

23l 

233 

2  36 

257 

2  38 

237 

226 

•^49 

228 

229 

232 

253 

2  54 

253 

234 

235 

236 

259 

204 

214 

206 

207 

•^77 

27G 

273 

274 

212 

2l3 

271 

281 

182 

19., 

3oi 

3oo 

189 

188 

1S7 

296 

295 

294 

i83 

3o3 

171 

3ii 

323 

322 

.61 

iG5 

1G6 

167 

3.7 

3iG 

170 

3i4 

149 
3G9 

346 

'47 

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343 

I  il 

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337 

336 
358 

359 

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124 

123 

122 

121 

r>.o 

i"9 

367 

368 

4.  Pour  ce  qui  est  des  cubes  ('),  je  n'eu  sais  pas  plus  que  M.  Fre- 
nicle,  mais  pourtant  je  puis  les  ranger  tous  à  la  charge  que  les  diago- 
nales seules  des  quarrés  que  nous  pouvons  supposer  parallèles  à  l'ho- 
rizon seront  égales  aux  côtés  des  quarrés,  ce  qui  n'est  pas  peu  de 
chose,  en  attendant  qu'une  plus  longue  méditation  découvre  le  reste. 
Je  dresserai  celui  de  8,  10  et  12  à  ces  conditions,  si  M.  Frenicle  me 
l'ordonne. 

5.  Pour  les  quarrés  qui  ont  des  cellules  vides  (-),  j'y  travaillerai  au 
plus  tôt. 

6.  Ce  que  j'estime  le  plus  est  l'abrégé  (')  pour  l'invention  des 
nombres  parAiits,  à  quoi  je  suis  résolu  de  m'attacher,  si  M.  Frenicle 
ne  me  fait  part  de  sa  méthode. 


(')  rnir  Lettre  XXXVIH  bis,  8. 
(2)  roi>  Lettre  XXXVIII,  4. 
(')  foj>  LeUre  XXXIX,  1. 


198  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

Voici  trois  propositions  (|ue  j"ai  trouvées,  sur  lesquelles  j'espère  de 
l'aire  un  t;ran(l  bâtiment  : 

Les  nombres  moindres  de  l'unité  que  ceux  (|ui  |»rocèdent  de  la  pro- 
jjtrcssion  double,  comme 

l  2  3  l  s  C  7  S  0  10  II  12  13 

I      3     -     I.")     3i     G3     12-     ajj     ;  H I      loaS     20/17     4o95     8191     etc., 

soient  appelés  les  radicaux  des  nombres  parfaits,  pource  que,  toutes 
les  lois  qu'ils  sont  premiers,  ils  les  produisent.  Mettez,  au  dessus  de 
ces  nombres,  autant  en  progression  naturelle  :  i,  2,  3,  4.  5,  etc.  qui 
soient  appelés  leurs  exposants. 

(icla  supposé,  je  dis  que  : 

1°  Lorsque  l'exposant  d'un  nombre  radical  est  composé,  son  radical 
est  aussi  composé.  Comme,  parce  que  G,  exposant  de  63,  est  composé, 
je  dis  que  63  est  aussi  composé. 

2"  Lorsque  l'exposant  est  nombre  premier,  je  dis  que  son  radical 
moins  l'unité  est  mesuré  par  le  double  de  l'exposant.  Comme,  parce 
que  7,  exposant  de  127,  est  nombre  premier,  je  dis  que  126  est  mul- 
tiple de  i4- 

3"  Lorsque  l'exposant  est  nombre  premier,  je  dis  que  son  radical  ne 
peut  être  mesuré  par  aucun  nombre  premier  que  par  ceux  qui  sont 
plus  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  double  de  l'exposant  ou  que 
le  double  de  l'exposant.  (]omme,  parce  que  11,  exposant  de  2047,  est 
nombre  premier,  je  dis  qu'il  ne  peut  être  mesuré  que  par  un  nombre 
plus  grand  de  l'unité  que  22,  comme  23,  ou  bien  })ar  un  nombre  plus 
grand  de  l'unité  qu'un  multiple  de  22  :  en  effet  2047  n'est  mesuré  que 
par  23  ou  par  89,  duquel,  si  vous  ôlez  l'unité,  reste  88,  multiple 
de  22. 

Voilà  trois  fort  belles  propositions  que  j'ai  trouvées  et  prouvées  non 
sans  peine  :  je  les  puis  appeler  les  fondements  de  l'invention  des 
nombres  parfaits.  Je  ne  doute  pas  que  M.  Frenicle  ne  soit  allé  plus 
avant,  mais  je  ne  fais  que  commencer,  et  sans  doute  ces  propositions 
passeront  pour  très  belles  dans  l'esprit  deceux  qui  n'ont  pas  beaucoup 


XLI.  -  4  AOUT  16i0.  199 

épluché  CCS  malières,  et  je  serai  bien  aise  d'apprendre  le  senliment 
de  M.  de  Roberval. 

7.  Au  reste,  vous  ou  moi  avons  équivoque  de  quelques  caracti'res 
au  nombre  que  j'avois  cru  parfait  ('),  ce  que  vous  connoîtrez  aisé- 
ment puisque  je  vous  baillois  1 37  _Y38  953471  pour  son  radical,  lequel 
j'ai  pourtant  depuis  trouvé,  par  l'abrégé  tiré  de  ma  troisième  propo- 
sition, être  divisible  par  223;  ce  que  j'ai  connu  à  la  seconde  division 
que  j'ai  faite,  car,  l'exposant  dudit  radical  étant  3;,  duquel  le  double 
est  74.  j'ai  commencé  mes  divisions  par  149.  plus  grand  de  l'unité  que 
le  double  de  74;  puis,  continuant  par  223,  plus  grand  de  l'unité  que 
le  triple  de  74,  j'ai  trouvé  que  ledit  radical  est  multiple  de  223. 

De  ces  abrégés  j'en  vois  déjà  naitre  un  grand  nombre  d'autres  et  jni 
par  di  veder  un  gran  liane. 

Je  vous  entretiendrai  un  jour  de  mon  progrès,  si  M.  Frenicle  me 
vient  au  secours  et  m'abrège  par  ce  moyen  ma  recherche  des  abrégés. 
En  tout  cas,  je  vous  conjure  de  faire  en  sorte  que  M.  de  Roberval  joigne 
son  travail  au  mien,  puisque  je  me  trouve  pressé  de  beaucoup  d'occu- 
pations qui  ne  me  laissent  que  fort  peu  de  temps  à  vaquer  à  ces 
choses. 

Je  suis  etc. 


XLI. 
ROBERVAL  A  FER:\IAT. 

SAMEDI  4  AOUT  16iO. 

(  /"rt,  p.  i65-iG6.) 


Monsieur, 


1.  Encore  que  depuis  près  de  trois  ans  je  n'aie  eu  l'honneur  d'a- 
voir commerce  avec  vous,  je  n'ai  pourtant  pas  été  privé  entièrement 

(')  Probablement  dans  la  partie  perdue  de  la  Lettre  XXXIX. 


200  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

du  plaisir  ([iio  jo  reçois  de  vos  spéculations  mathémati(juos,  car  le  Père 
.Mersenne  m'a  t'ait  la  faveur  de  me  communiquer  la  plupart  des  lettres 
(|u'il  a  reçues  de  vous  depuis  ce  temps  là,  dans  lesquelles  j'ai  reconnu 
une  augmentation  continuelle  e(  très  sensible  en  la  heaulé  et  solidité 
de  vos  pensées,  auxquelles  il  n'y  a  rien  que  d'admirable,  soit  sur  le 
sujet  de  la  Géoniéirie  ou  de  l'Arithmétique. 

2.  Sur  tout  je  suis  ravi  de  votre  invention  de  minimis  et  maximis  et 
du  moyen  (^  '  ")  par  lequel  vous  l'appliquez  à  la  recherche  des  tou- 
(dianles  des  lignes  courbes,  et  ne  crois  pas  que  jusques  ici  il  se  soit  vu 
rien  sur  ce  sujet  qui  ne  cédât  de  beaucoup  à  ce  que  vous  nous  en  avez 
donné.  Car  l'invention  de  M.  Descartes,  à  laquelle  j'assigne  le  premier 
lieu  après  la  vôtre,  n'en  approche  que  de  bien  loin,  parce  que,  quoi- 
qu'elle puisse  être  rendue  universelle,  ce  qu'il  n'a  pas  fait  et  le  pourra 
maintenant  à  l'imitation  de  votre  dernière  addition,  toutefois  elle  est 
sans  comparaison  plus  longue,  plus  embarrassée  et  plus  difficile. 

3.  Je  vous  dirai  que  j'ai  d'autant  plus  admiré  votre  invention  qu'à 
peine  croyois-je  que,  pour  trouver  les  touchantes  des  lignes  courbes 
tjui  n'ont  rapport  qu'à  d'autres  courbes  ou  partie  à  des  droites  et  partie 
à  des  courbes,  on  pût  s'en  servir,  ce  que  M.  Descartes  avoue  de  la 
sienne  sur  le  sujet  de  la  roulette  et  autres  lignes  pareilles,  lesquelles 
pour  cette  considération  il  rejette  de  la  Géométrie  (-)  :  sans  raison, 
puisqu'à  l'imitation  de  votre  dernière  addition,  sa  méthode  peut  être 
rendue  universelle  comme  la  vôtre,  mais  avec  une  difticulté,  laquelle 
bien  souvent  ne  se  pourroit  presque  surmonter  par  un  esprit  humain. 

4.  Cette  opinion  fut  cause  que,  quand  je  vis  que  vous  aviez  trouvé 
les  touchantes  de  la  roulette  (')  et  que  vous  assuriez  avoir  la  règle  uni- 
verselle pour  toutes  les  lignes  courbes,  je  crus  qu'elle  ne  pouvoit  être 
autre  que  celle  que  j'avois  inventée  au  temps  même  que  j'inventai 
cette  roulette,  laquelle  règle  ou  méthode  je  n'avois  encore  commu- 

(•)  Voir  le  Traité  Doctriiiam  la/igeiitiiim.  Tome  I,  pages  i58  à   167. 
(-)  Géométrie  de  Descartes,  éd.  llcrmann,  l'aris,  1886,  page  iG. 
(»)  Voir  Lettre  XXXIV,  2. 


\L1.   -   i   AOUT    IGiO.  :20l 

niqnée  à  personne,  ni'étant  contenté  d'en  avoir  démontré  les  eli'ets  à 
.Al.  Pascal  en  la  tangente  de  la  quadralrice qui  se  trouvoit  des  plus  dit'ti- 
ciles,  y  joignant  la  démonstration  géométrique,  comme  a  fait  Archi- 
mède  en  celle  de  la  spirale,  laquelle  par  ma  méthode  s'expédie  en  deux 
mots. 

5.  .Favois  fait  la  même  chose  en  la  cissou/e  et  avois  démontré,  de 
plus,  que  ces  deux  lignes  courhes  sont  infinies  de  leur  nature  et  oui 
(les  asymptotes  parallèles  entre  elles  ('),  ce  qu'on  m'a  assuré  avoir 
été  déjà  démontré  par  un  auteur  dont  on  ne  m'a  pu  dire  le  nom. 

6.  .l'ai  aussi  démontré  le.s  tangentes  des  lignes  courhes  (|ui  se 
décrivent  avec  un  compas  sur  la  superficie  d'un  cylindre,  |)uis  se 
réduisent  en  plan,  et  en  général  celles  de  toutes  les  courhes  ([ui  oui 
pu  venir  à  ma  connoissance;  et  cette  méthode  est  tellement  différente 
de  la  votre  (contre  ma  première  opinion)  qu'elles  ne  se  ressemhicnl 
en  lien  qu'en  la  conclusion. 

T-  Depuis,  M.  Mydorge  faisant  quelques  difficultés  sur  la  vùlre,  je 
lui  en  donnai  la  solution,  et  en  même  temps  je  lui  ouvris  les  principes 
de  la  mienne  et  lui  en  fis  voir  un  essai  en  la  cissoide.  Si  je  sais  (|uc 
vous  l'ayez  agréahle,  je  vous  en  écrirai.  Elle  n'est  pas  inventée  avec 
une  si  suhtile  et  si  profonde  géométrie  que  la  votre  ou  celle  de  31.  Des- 
cartes et,  partant,  elle  paroît  avec  m'oins  d'artitice;  en  récompense, 
elle  me  semhle  plus  simple,  plus  naturelle  et  plus  courte,  de  sorte 
(|ue,  pour  toutes  les  touchantes  dont  j'ai  parlé,  il  ne  m'a  pas  même 
été  hesoin  de  mettre  la  main  ii  la  plume. 

8.  Depuis  cette  invention,  je  me  suis  appliqué  aux  lieux  solides  (t</ 
ires  et  ad  qualuor  lineas,  lesquels  j'ai  entièrement  restitués,  quoique, 
pour  n'y  rien  oublier,  il  ne  faille  guère  moins  de  discours  qu'aux  six 

(')  Roberval  semble  avoir  considéré  la  cissoide  Qomma  comprenant  la  courbe  symé- 
trique que  l'on  obtient  en  cliangeanl  le  signe  de  x  dans  l'équation _)2(a  —  x)  =  (ft-f-.r)'. 
Il  est  probable  que  les  anciens  entendaient  également  dans  le  môme  sens  leur  définition 
de  cette  courbe,  mais,  pas  plus  que  pour  la  quadratrice.  ils  n'avaient  considéré  les  branches 
en  dehors  du  cercle  .r^-h  r-=  «2. 

Fermât.  ■ —  I[.  26 


•20-2  (KrVHKS    1)K    !•  K  I!  M  VT.  -  CO  I!  IIKS  l'ONDA  N  CK. 

[ircmiiM's  Livres  tlos  Klcinoiils.  C/csl  de  qni»i  je  vous  ciilrcliiMKli'ai  une 
autre  t'ois,  parte  (|ii'il  va  quelque  chose  qui  me  semble  le  mériter. 

9.  ensuite  j'ai  considéré  la  percussion,  le  mouvement  et  les  autres 
ellets  que  cause  quelque  impression,  soit  violente  ou  naturelle,  en  quoi 
je  ne  crois  pas  avoir  mal  employé  le  temps,  puisqu'en  une  matière  si 
épineuse,  encore  ni-je  découvert  quel(|uc  cliose  de  grande  utilité,  à  ce 
(|uc  je  pense,  et  laquelle  je  [)ourrai  [leul-élre  augmenter  avec  le 
temps. 

10-  J'oubliois  presqiu'  à  vous  dire  que  les  nombres,  dont  vous  avez 
déjà  découvert  des  propriétés  admirables,  contiennent  de  grands  mys- 
tères; mais,  pour  les  mieux  découvrir,  il  i'audroit  être  plusieurs 
ensemble,  d'accord  et  sans  jalousie,  et  desquels  le  génie  fût  naturelle- 
ment porté  à  cette  spéculation,  ce  qui  est  très  dllficile  à  rencontrer. 
Si  ce  sujet  vous  plail,  ou  quel(|u'un  de  ceux  dont  j'ai  [)arlé  ci-dessus, 
je  prendrai  aussi  plaisir  à  le  considérer  plus  |)articulii'remenl,  espé- 
rant que  vous  me  l'erez  part  de  vos  inventions,  de  quoi  je  vous  supplie 
en  ([iialité  de  etc. 


XLll. 
FERMAT  A  R015ERYAL. 

<    AOUT     lOVO    > 
(  >^a,  p.  iGi-iCi.) 

3lo.Nsu;i:u, 

1-  Après  vous  avoir  remercié  de  vos  civilités  (')  et  protesté  que 
je  serai  ravi  d'avoir  des  occasions  à  vous  plaire,  je  vous  supplierai  de 
me  faire  part  de  votre  invention  sur  le  sujet  des  tangentes  des  ligiu^s 
courbes  et  encore  de  vos  spéculations  méclianiques  sur  la  percussion, 

(')  Réponse  ;i  la  Lollip  |)réc,é(ioMli'.  XI,I. 


XLII.  -  AOUT    IGiO.  203 

[)uis(jue  vous  me  faites  espérer  la  commmiiratioii  de  vos  pensées  en 
retle  matière. 

2.  Après  cela,  je  vous  dirai  que  M.  Frenicle  m'a  donné  depuis 
(|uelque  temps  l'envie  de  découvrir  les  mystères  des  nombres,  en  quoi 
il  me  semble  qu'il  est  extrêmement  versé.  Je  lui  ai  envoyé  (')  les  belles 
pro|)Ositions  sur  les  progressions  géométriques  qui  commencent  à 
l'unité,  lesquelles  j'ai  non  seulement  trouvées,  mais  encore  démon- 
trées, bien  que  la  démonstration  en  soit  assez  cachée,  ce  que  je  vous 
prie  d'essayer,  puisque  vous  les  avez  vues. 

3.  Mais  voici  ce  (|ue  j'ai  découvert  (-)  depuis  sur  le  sujet  de  la  pro- 
position 12  du  cinquième  Livre  de  Diophantc,  en  quoi  j'ai  suppléé  ce 
que  Bacliet  avoue  n'avoir  pas  su,  et  rétabli  en  même  temps  la  corrup- 
tion du  texte  de  Diophantc,  ce  qui  seroit  trop  long  à  vous  déduire.  Il 
suffit  que  je  vous  donne  ma  proposition  et  que  je  vous  fasse  plutôt  sou- 
venir que  j'ai  autrefois  démontré  (^)  quun  nombre  moindre  de  l'unité 
(jn' un  multiple  du  quaternaire  n'est  niquarré,  ni  composé  de  deux  q narrés . 
ni  en  entiers  ni  en  fractions.  J'en  demeurai  pour  lors  lii,  bien  qu'il  y  ail 
beaucoup  de  nombres  plus  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  quater- 
naire, qui  pourtant  ne  sont  ni  quarrés,  ni  composés  de  deux  quarrés, 
comme  2f ,  33,  77,  etc.,  ce  qui  a  fait  dire  à  Bachet  sur  la  division  pro- 
posée de  21  en  deux  quarrés  :  quod  quidem  impossihile  est,  ut  reor,  cîini 
is  neque  quadratus  sit,  neque  suapte  natura  cumpositus  e.r  duohus  qua- 
dratis,  où  le  mot  de  reor  marque  évidemment  qu'il  n'a  point  su  la 
démonstration  de  cette  impossibilité,  laquelle  j'ai  enfin  trouvée  et 
comprise  généralement  dans  la  proposition  suivante  : 

4.  Si  un  nombre  donné  est  divisé  par  le  plus  grand  quarré  qui  le  me- 
sure, et  que  le  quotient  se  trouw  mesuré  par  un  nombre  premier  moindre 

(  '  )  J'oir  LeUrc  XL,  6. 

(  2  )  f'oir  Tome  I,  Observationx  XXV  et  XXVI  sur  Dioplianle. 

(  3)  Celte  proposition  avait  été,  en  même  temps  que  le  second  théorème  énoncé  Lettre  XII, 
3,  envoyée  par  Merscnne  à  Deseartes,  le  22  mars  i638,  comme  démontrée  par  Fermât. 


■2o\         (i:i  \  ur.s  i)K  ri:i!M  \i".  -  cor.KKSi'OM)  wci:. 

(/('  l'ii/iilc  (jit'itn  multiple  du  (/iid/cniairc.  le  noDibrc  donne  n'est  m  (/iKirrè. 
ni  compose  de  deux  qaarrès.  ni  en  e/itiers.  ni  en  fractions. 

Exemple  :  Soit  donni'  H'i.  Le  plus  grand  (luarri'  qui  io  mesure  est  1, 
le  (|uotieiU  ■^\,  l(M|uel  est  mesuré  par  >  ou  bien  par  7,  moindres  de 
l'unité  qu'un  multiple  de  i.  Je  dis  que  S\  n'est  ni  quarré,  ni  composé 
de  deux  quarrés,  ni  en  entiers,  ni  en  IVai'lions. 

Soit  donné  77.  Le  plus  grand  quarré  (jui  le  mesure  est  l'unité;  le 
(|U(i(ient  77,  (|ui  est  iei  le  même  que  le  nombre  donné,  se  trouve  me- 
suré par  11  (111  |tar  7,  moindres  de  l'unilé  qu'un  multiple  du  ([uater- 
naire.  .le  dis  (|ue  77  n'est  ni  (|uai'ré,  ni  composé  de  deux  quarrés,  ni  en 
entiers  ni  en  fractions.  Etc. 

Je  vous  avoue  franchement  que  je  n'ai  rien  trouvé  en  nombres  qui 
m'ait  tant  plu  que  la  démonstration  de  cette  proposition,  et  je  serai 
bien  aise  que  vous  fassiez  clfort  de  la  trouver,  quand  ce  ne  seroit  que 
jMiur  apprendre  si  j'estime  plus  mon  invention  qu'elle  ne  vaut. 

5.  J'ai  démontré  ensuite  cette  j)roposition,  qui  sert  à  l'invention  des 
nombres  premiers  : 

.*n/  ///;  nombre  est  conipose  de  deux  f/i/arre's  pre/niers  entre  eux.  Je  dis 
(pi  il  ne  peut  être  divisé  par  aucun  nond>re  premier  moindre  de  t' unité 
(péun  multiple  du  quaternaire. 

Comme,  par  exemple,  ajoutez  l'unilé,  si  vous  voulez,  à  un  quarré 
paii',  soit  le  quarré  10  oooooo  000,  lequcd  avec  i  fait  10  000  000  001 . 
Je  dis  que  10  000  000  001  ne  peut  être  divisé  par  aucun  nombre  pre- 
mier moindre  de  l'unité  qu'un  multiple  de  4.  <'l  îiiusi,  lorsque  vous 
vomirez  éprouver  s'il  est  nombre  premier,  il  ne  faudi-a  point  le  diviser 
ni  par  '5,  ni  par  7,  ni  par  i  t,  etc. 

6.  Si  ne  fanl-il  pas  oublier  tout  ii  fait  la  (léoim'trie.  Voici  ce  ((ii'on 
m'a  proposé  et  que  j'ai  trouvé  tout  aussitôt  : 

l'er  dut  uni  extra  rel  intra  parabole»  punetum.  rectum  diieere  ipiiv 
abscindat  segment  uni  a  parabole  U'ipude  data  spalio.  lit.  si  pu/icliim  sit 


\LI1I.  —  AOUT    1G40.  203 

mira  peu  abolen,  dcterminare  nnniinian  (juod  a  parabole  per  chcluin  punc- 
liim  abscindi  possit  spatium. 

Si  vous  ne  rencontrez  pas  d'abord  la  construction,  je  vous  forai  part 
de  la  mienne. 

J'attends  de  vos  nouvelles  et  suis  etc. 


XLllI. 
FERMAT  A  1RENICLE(M. 

<   AOUT?  1640   > 

(A,  {■>/,.) 

1.  Soit  par  exemple  la  proijression  double  depuis  le  binaire  avec  ses 
exposants  au-dessus  : 

1         2        3  1  ô  6  7  8  9  m  11  12  13  1'.  lô  1; 

3    4    8    1(3    33    6'|    138    356    5i3    1034    3o',8    '|Oi)(i    8ir,>.    i638',    83768    i\:',yM\ 

,1e  dis  que,  si  vous  augmentez  les  nombres  de  la  progressinn  de 
l'unité,  et  que  vous  fassiez  '\,  "),  9,  17,  etc.,  tous  les  dits  nombres  |)ro- 
gressifs  ainsi  augmentés,  qui  se  trouveront  avoir  pour  exposants  des 
nombres  qui  ne  sont  pas  de  la  dite  progression  double,  seront  nombres 
composés. 

2.  Rien  qu'on  puisse  faire  une  anatomie  particulière  qui  est  trop 
longue  à  décrire,  il  suffit  de  vous  faire  comprendre,  dans  l'exemple 
qui  suit,  la  proposition  que  j'y  ai  faite  : 

Soit  le  nombre  progressif  augmenté  de  l'unité  Hi()3,  duquel  rex[)o- 
sant  est  i3  nombre  premier.  Je  dis  que,  si  vous  divisez  8193  par  5,  le 

(')  Fragment  publié  [lar.M.  Ch.  Wanr)'  (Recherches  etc.,  p.  192-193)  d'après  le  brouillon 
(l'Arbogast.  Il  porte  sur  la  copie  au  net  le  titre  :  Sur  tes  nombres  premiers  de  Fernuit  à 
Frenicle,  et  la  mention  :  D'après  In  copie  de  Mersenne. 


■im  ŒUVRES    l)K   ri'UM  \T.  -  COItHKSPONDANCK. 

(|iiiiliiMi(  ne  poiiiTa  vive  divisé  (|ii('  par  un  iioiiihrc  (|iii  surpasse  do  l'u- 
nili'  ou  \c  doubli'  de  i  i  oxposaul  snsilil,  ou  un  nailtipk'  dudit  doiildc 
Av  1  ).  fie,  il  l'intini. 

Que  si  l'exposanl  csl  un  nomltrc  coiuposô,  (|ui  pourlanL  ne  soil  pas 
un  do  coux  do  la  prOii;rossion  douhlo,  jo  puis  Irouvor  (ous  les  diviseurs 
fort  aiséinoiit. 

3.  Mais  voici  ce  que  j'aduiiro  le  plus  :  c'est  que  je  suis  quasi  |)or- 
suadé  ('  )  que  tous  les  nombres  progressifs  augmentés  de  l'unité,  des- 
(]U(ds  les  exposants  sont  dos  nombres  de  la  progression  double,  sont 
nombres  premiers,  comme 

3     5     17     207     65537     4291967297 

cl  le  suivant  de  20  lettres 

I  s  4'|6  7 '|4  073  709  55 1  6 1 7  ;     olc. 

.le  n'en  ai  pas  la  démonstration  exacte,  mais  j'ai  exelu  si  grande 
quantité  de  diviseurs  par  démonstrations  ini'aillibles,  et  j'ai  de  si 
grandes  lumii'res,  qui  établissent  ma  [)enséo,  (juc  j'aurois  peine  à  me 
dédii'c. 


XLIV. 

FKKMAT  A  FRENICI.E. 

jECDi  18  ocTOBnr,  IG'tO. 

(  f'tl,    p.    lG2-l(i'|.  ) 

Mo^•sIEUR, 

1-    Les  vacations,  qui  m'ont  éloigné  de  Toulouse,  m'ont  en  mémo 
temps  éloigru'  de  mon  devoir  et  empêché  de  vous  écrire  plus  tôt  depuis 

(  ')  C'csl  l;i  le  plus  ancien  énoncé  donné  par  Fermât  de  la  célèbre  iiroposiliim  dont  Eidcr 
a  reconnu  la  fausseté,  f'oir  Tome  I,  page  i3i,  note  i.  Le  sixième  nombre  (  -232  +  1)  indi(iué 
ici  par  Fermai  comme  premier  est  divisible  |)ar  641.  Le  septième  (2'''''+  i)  est  divisible 
par  27  i  1-7. 


XLIV.  -   18   OCTOBRE    1040.  207 

la  dernière  de  vos  lettres  en  date  du  21  septembre  (').  Je  tâcherai  de 
réparer  par  celle-ci  la  longueur  de  l'attente  et  commencerai  par  la 
liberté  que  je  prends  de  vous  dire  que  je  n'ai  point  vu  encore  aucune 
proposition  de  votre  part  que  je  n'eusse  plus  tôt  trouvée  et  consi- 
dérée; et  afin  de  vous  rendre  vous-même  juge  de  cette  vérité,  et  vous 
oter  en  même  temps  le  scrupule  que  vous  pourriez  avoir,  que  je  n'en 
use  comme  quelqu'un  de  ceux  du  lieu  où  vous  êtes,  qui  s'attribue 
impunément  les  inventions  d'autrui,  après  qu'elles  lui  ont  été  com- 
muniquées, je  commencerai  par  la  proposition  (-)  de  la  différence  de 
deux  quarrés,  que  vous  trouverez  dans  Bacliet  sur  le  Diophante,  au 
commentaire  de  la  proposition  U  du  deuxième  Livre,  en  même  façon 
que  vous  me  l'avez  envoyée,  vous  avouant  pourtant  que  l'application, 
que  j'estime  beaucoup,  est  toute  vôtre  et  que  je  l'ai  apprise  de  vous. 

2.  Pour  le  sujet  desprogressions,  je  vousavois  envoyé  par  avance  ('j 
les  propositions  qui  servent  à  déterminer  les  parties  des  puissances  —  i , 
et,  par  ma  seconde  Lettre  ('),  jevous  avois  fait  comprendre  que  j'avois 
considéré  toutes  les  propositions  qui  servent  aux  puissances  +  i,  de 
quoi  je  m'étois  contenté  de  vous  donner  deux  exemples,  dont  l'un  étoit 
démontré  par  moi  et  par  conséquent  connu  nécessairement,  et  l'autre 
ne  m'étoit  point  entièrement  connu  par  raison  démonstrative,  bien 
que  je  vous  assurasse  que  je  n'en  doutais  pas. 

Or,  pour  venir  ii  la  connoissance  de  ce  dernier,  quoiqu'imparfaile 
encore  et  non  achevée,  je  ne  le  pouvois  sans  avoir  plus  tôt  examiné 
et  prouvé  par  démonstrations  toutes  leurs  propositions  contenues  en 
votre  dernière,  ce  que  vous  n'aurez  nulle  peine  de  croire,  puisque  le 
seul  exemple  que  je  vous  envoyai  le  marquoit  assez,  auquel  j'ajou(ois 
qu'en  toutes  progressions  on  pouvoit  déterminer  les  diviseurs  com- 
muns et  généraux  avec  pareille  aisance. 

Mais  je  vous  avoue  tout  net  (car  par  avance  je  vous  avertis  que, 

(•  )  Lettre  perdue. 

(-)  Construction  do  deux  carrés  entiers  ayant  une  difTérencc  donnée. 

(3)  Voir  Lettre  XL,  6. 

C')  Lettre  XLIIL 


-208  (KIIVKKS    ni:    ri:U.M\T.  —  COUUESl'ONDANCK. 

(•(iinnit'  jo  no  suis  pas  capal)Io  dr  m'a((ril)ucr  plus  quo  je  ne  sais,  je 
(lis  avec  mémo  franohiso  oo  (]uo  jo  uo  sais  pas)  quo  jo  n'ai  pu  oiicoro 
(lomonfror  l'oxclusion  do  tous  diviseurs  ou  cctiL'  hoUe  proposition  quo 
jo  vous  avois  onvoyoo  o(  quo  vous  m'avoz  ooufirméo,  touchant  los 
nomhros  3,  j,  17,  ■2''i~,  G"}")']-,  otc.  Car,  hiou  quo  jo  rôduiso  l'oxclu- 
sion il  la  plupart  dos  nombres  et  quo  j'aie  nionio  dos  raisons  probables 
pour  le  reste,  je  n'ai  \)u  oncore  démontrer  nécessairement  la  vérité  do 
coite  proposition,  dv  laqiu'lio  pourtant  jo  no  doute  non  plus  à  cette 
heure  (|ne  jo  faisois  auparavant.  Si  vous  on  avez  la  prouve  assurée, 
vous  m'obligerez  do  me  la  communi()uor;  car,  après  cola,  rien  ne 
m'arrêtera  on  ces  matii'res. 

3.  Reste  il  vous  parler  de  la  proposition  fondamentale  des  parties 
aliquotos,  laquelle  m'étoit  tellement  connue  quo  jo  vous  l'avois  en- 
voyée par  la  première  lettre  que  je  vous  écrivis  ('),  laquelle  on  m'a 
dit  depuis  s'être  égarée.  Pourtant,  si  le  Père  Mcrsonne  veut  prendre  le 
soin  do  la  faire  cliorcber  dans  le  bureau  de  la  poste,  elle  se  trouvera 
dans  un  paquet  que  j'adressois  à  M.  ...  (- ). 

Outre  quo  cette  proposition  est  si  naturelle,  qu'il  est  impossible  de 
déterminer  et  de  trouver  la  moindre  chose  sur  ce  sujet,  qu'elle  ne  se 
présente  d'abord;  do  sorte  qu'ayant  depuis  fort  longtemps  trouvé  et 
envoyé  les  propositions  des  deux  nombres  17  296  et  i8  4i<^)  et  autres 
|)areilles  ('j,  il  falloil  par  nécessité  que  j'eusse  passé  par  la  dite  pro- 
position. 

Pour  votre  application,  il  me  semble  qu'elle  u'ôte  ])as  la  longueur 
que  je  trouvois  en  cette  sorte  de  questions,  qui  est  la  seule  dilficulté 
que  j'y  ai  toujours  reconnue;  sinon  que  je  ne  l'aie  pas  bien  comprise, 
de  quoi  jo  vous  pi'io  m'avortir  et  me  rendre  certain. 

4.  Il  me  semble  après  cela  qu'il  m'im|)orte  do  vous  dire  le  fondo- 


(';  Lellre  perdue,  ijui  doit  avoir  oLc  écrilo  entre  los  l^oltres  XI.  el  XLIII. 

(2)  Carcavi? 

(')  f^'oir  Pièce  IVa- 


XLIV.  —  18  OCTOBRE  1G40.  209 

ment  sur  lequel  j'appuie  les  démonstrations  de  tout  ce  qui  concerne 
les  progressions  géométriques,  qui  est  tel  : 

Tout  nombre  premier  (')  mesure  infailliblement  une  des  puis- 
sances —  I  de  quelque  progression  que  ce  soit,  et  l'exposant  de  la 
dite  puissance  est  sous-multiple  du  nombre  premier  donné  —  i;  et, 
après  qu'on  a  trouvé  la  première  puissance  qui  satisfait  à  la  question, 
toutes  celles  dont  les  exposants  sont  multiples  de  l'exposant  de  la  pre- 
mière satisfont  tout  de  même  à  la  question. 

Exemple  :  soit  la  progression  donnée 


1         2  3  i  5  « 

3    9    2-    8i     243     729    etc. 


avec  ses  exposants  en  dessus. 

Prenez,  par  exemple,  le  nombre  premier  i3.  Il  mesure  la  (roisièmc 
puissance  —  i,  de  laquelle  3,  exposant,  est  sous-multiple  de  12,  qui 
ost  moindre  de  l'unité  que  le  nombre  i3,  et  parce  que  l'exposant 
de  ';2(),  qui  est  G,  est  multiple  du  premier  exposant,  qui  est  3,  il  s'en- 
suit que  i3  mesure  aussi  la  dite  puissance  729  —  i. 

Et  cette  proposition  est  généralement  vraie  en  toutes  progressions 
et  en  tous  nombres  premiers;  de  quoi  je  vous  envoierois  la  démonstra- 
tion, si  je  n'appréhendois  d'être  trop  long. 

5.  .Mais  il  n'est  pas  vrai  que  tout  nombre  premier  mesure  une  puis- 
sance +  I  en  toute  sorte  de  progressions  :  car,  si  la  première  puis- 
sance —  I,  qui  est  mesurée  par  le  dit  nombre  premier,  a  pour  expo- 
sant un  nombre  impair,  en  ce  cas  il  n'y  a  aucune  puissance  -f-  i  dans 
toute  la  progression  qui  soit  mesurée  par  le  dit  nombre  premier. 

Exemple  :  parce  qu'en  la  progression  double,  23  mesure  la  puis- 
sance —  I  qui  a  pour  exposant  it.  le  dit  nombre  23  ne  mesurera 
aucune  puissance  -+■  1  de  la  dite  progression  à  l'infini. 

Que  si  la  première  puissance  —  i  qui  est  mesurée  par  le  nombre 

(')  C'csl  de  cet  énoncé  qu'a  été  tirée  la  proposition  connue  sous  le  nom  de  Théorcnie 
de  Fermât,  à  savoir  que  si  p  est  premier  et  ne  divise  pas  a,  il  divise  «''-'  —  i. 

Feiimat.  — ■  n.  27 


210  ŒUVRES   DE   FEUMVI.  -  (.OIUIE SI'ONDANCE. 

premior  doniu'  ;i  pour  cxposaiil  un  iiomhrc  pair,  en  ro  cas  la  piiis- 
sanoo  -t- I  (|iii  a  |)oiir  ('X|)osaii(  la  nioilir  diulil  prciuior  exposant  sera 
Mipsuri'c  par  le  nombre  |)reniier  donné. 

6.  Tonle  la  diltienllé  consiste  à  trouver  les  nombres  ])reniiers  qni 
no  mesurent  aucune  j)uissance  4-  i  en  une  progression  donnée  :  car 
cela  sort,  par  exemple,  à  trouver  quels  des  nombres  premiers  mesurent 
les  radicaux  des  nombres  parfaits  et  ii  mille  autres  choses,  comme,  par 
(«xeniple,  d'où  vieni  que  la  ']-''  puissance  —  i  en  la  progression  double 
est  mesurée  par  -i-i'].  Kn  un  mot,  il  faut  déterminer  quels  nombres  |)r('- 
miers  sont  ceux  qui  mesnrent  leur  premiî're  puissance  —  i  en  telle 
sorte  que  l'exposant  de  la  dite  puissance  soil  un  nombre  impair,  ce 
que  j'estime  fort  malaisé,  en  attendant  un  plus  grand  éclaircissement 
de  votre  part  et  qu'il  vous  plaise  d'étendre  cet  endroit  de  votre  lettre, 
oii  vous  dites  qu'après  avoir  trouvé  que  le  diviseur  doit  être  multiple 
+  I  de  l'exposant,  il  y  a  aussi  des  règles  pour  trouver  le  quantième 
des  dits  multiples  +  i  de  l'exposant  doit  être  le  diviseur. 

7.  Voici  une  mienne  proposition  (que  peut-être  vous  aurez  aussi 
Irouvée)  que  j'estime  beaucoup,  bien  qu'elle  ne  découvre  pas  tout  ce 
([ue  je  cherche,  que  sans  do.ute  j'achèverai  d'apprendre  de  vous  : 

En  la  progression  double,  si  d'un  nombre  quarré,  généralement 
parlant,  vous  ôlez  2  ou  8  ou  j2  etc.,  les  nombres  premiers  moindres 
de  l'unité  qu'un  multiple  du  quaternaire,  qui  mesureront  le  reste, 
feront  l'effet  requis. 

(Zomme  de  2j,  qui  est  un  quarré,  ôtez  2;  le  reste  2!  mesurera  la 
I  1*^  puissance  —  i. 

Otez  2  de  \r),  le  reste  '17  mesurera  la  23"  puissance  —  r. 

Otez  2  de  22j,  le  reste  223  mesurera  la  37*  puissance  —  i  ;  etc. 

Kn  la  progression  triple,  si  d'un  nombre  quarré  ut  supra  vous  (Mez 
3  ou  27  ou  2'|3  etc.,  les  nombres  premiers  moindres  de  l'unité  qu'un 
multiple  du  quaternaire,  qui  mesureront  le  reste,  feront  l'elfet  requis. 
Comme  : 

Otez  3  de  2"),  le  reste  22  est  divisé  par  it,   qui   est  premier  et 


XLIV.  —   18   ()  CTO  BUE   IGVO.  211 

moindre  de  riiiiilé  qu'un  multiple  du  quaternaire;  aussi  ii  mesure 
la  j"  puissance  —  i . 

Otez  3  de  121;  le  reste  118  est  mesuré  par  09  moindre  de  l'unité 
qu'un  multiple  du  quaternaire;  aussi  .^9  mesure  la  29*  puissance  —  i. 

En  la  progression  quadruple,  il  faut  ôter  ]  ou  Cy\  ou  102I,  etc.  à 
l'infini  en  toutes  progressions,  en  procédant  de  même  façon. 

8.  J'ajouterai  encore  cette  petite  proposition. 

Si  d'un  quarré  vous  ùtez  2,  le  reste  ne  peut  être  divisé  par  aucun 
nombre  premier  qui  surpasse  un  quarré  de  2. 

Comme  prenez  pour  quarré  loooooo,  duquel,  ùté  2,  reste  999998. 
Je  dis  que  le  dit  reste  ne  peut  être  divisé  ni  par  i  1 ,  ni  par  83,  ni  par 
227  etc.  , 

Vous  pouvez  éprouver  la  même  règle  aux  quarrés  impairs  et,  si  je 
voulois,  je  vous  la  rcndrois  belle  et  générale;  mais  je  me  contente  de 
vous  l'avoir  indiquée  seulement. 

9-  Avant  que  finir,  voici  une  autre  proposition,  laquelle  vous  four- 
nira peut-être  quelque  application,  comme  vous  y  êtes  très  heureux. 

Si  un  nombre  est  mesuré  par  un  autre  et  que  le  nombre  divisé  soif 
encore  divisé  par  un  autre  nombre  moindre  que  le  premier  diviseur, 
en  ce  cas,  si  vous  otez  du  quotient  de  la  seconde  division,  multiplié 
par  la  dillerenccdcs  deux  diviseurs,  le  reste  de  la  seconde  division,  ce 
qui  restera  sera  mesuré  par  le  premier  diviseur  (  '  ). 

Exemple  :  121  est  mesuré  par  1 1.  Divisez  encore  121  par  7;  le  (]uo- 
liiMil  sera  17  et  le  reste  de  la  division  2. 

Multipliez  le  quotient  17  par  '\,  différence  du  premier  et  du  second 
diviseur,  et  du  produit  G8  ôtez-en  2;  reste  OG  ([ui  sera  aussi  mesuré 
par  I  I,  premier  diviseur. 

10.  Que  si  le  second  diviseur  est  plus  grand  que  le  premier,  en  ce 

(  '  )  C'cst-ù-diro  que  si  l'on  a 

.  a  =  bq  =  l>tq,  +  r, 

si  l'on  a  /'  >/'!,  b  di\  ise  r/,  (i  —  i,  1  —  r.  Si  au  conlraire  li    '.  h[,  h  d'wisu  (/[(bi  —  f')  -i-  r. 


:>12  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

«■as,  si  vous  ajoultv.  au  (|U(tliiMil  de  la  sccoudc  divisiou,  multiplié  par 
la  (lillÏTouco  di's  deux  diviseurs,  le  rcslo  de  la  seconde  division,  ce 
(|ui  restera  sera  mesuré  par  le  premier  diviseur. 

Exemple  :  117  est  mesuré  par  3.  Divisez  encore  1  17  par  'j  ;  le  (|uo- 
ticnt  sera  29  el  le  reste  de  la  division  i. 

Ajoutez  au  quotient  -n^,  multiplié  par  la  dilTéronce  des  diviseurs 
(  (]ui  ne  change  ici  rien,  parce  que  c'est  l'unité),  le  reste  de  la  dite 
division,  qui  est  i;  la  somme  3o  sera  aussi  mesurée  par  3,  premier 
diviseur. 

J'ai  déjii  trop  écrit  et  il  me  semble  qu'il  est  temps  que  vous  parliez, 
après  avoir  employé  si  mal  votre  temps  à  lire  cette  longue  lettre,  ([ui 
vous  confirmera  que  je  suis  etc. 


XLV. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

MAIIDI    23   DÉCEJIllKE    IC'iO. 

(A,  f"  i2-i3  to,  B,  t°  H).) 

Mon  Révérem)  Pf;RE, 

1.  .le  languissois  dans  l'attente  de  vos  lettres  et  de  M.  de  Frenicle. 
Je  suis  bien  aise  qu'il  approuve  ce  que  j'ai  l'ait  (');  et  afin  (|u'il  ne  soit 
plus  en  doute  de  ce  que  je  lui  demande,  voici  trois  questions  que  je 
lui  propose,  pource  que  les  spéculations  que  j'y  ai  faites  ne  me  satis- 
Ibnt  pas  pleinement  : 

i"  La  raison  essentielle  pourquoi  3,  5,  17,  257,  etc.  à  l'infini,  sont 
loujours  nombres  premiers; 

2°  Qu'il  me  donne  quelqu'un  de  ses  autres  moyens  pour  trouver 

(■  '  ;  La  réponse  de  Frenicle  à  la  Lettre  XLIV  est  perdue. 


\LV.  -  -26  DECEMBRE  16iO.  213 

à  l'intîiii  des  nombres  premiers  de  tels  nombres  de  figures  qu'on 
voudra. 

Sur  quoi  je  voudrois  être  éclairci  si  une  de  mes  pensées  est  vraie, 
qu'en  la  progression  d'un  nombre  pair,  comme  G,  toutes  les  puissances 
+  I  de  la  progression  qui  ont  pour  exposant  :  i,  2,  4,  H,  iG,  etc.  sont 
nombres  premiers,  si  elles  ne  sont  pas  mesurées  par  un  de  ceux-ci  :  "5, 
5,  17,  267,  etc.;  laquelle  proposition,  si  elle  est  vraie,  est  de  très  grand 
usage. 

Si  je  puis  une  fois  tenir  la  raison  l'ondamentale  que  3,  j,  17,  etc. 
sont  nombres  premiers,  il  me  semble  que  je  trouverai  de  très  belles 
choses  en  cette  matière,  car  déjà  j'ai  trouvé  des  choses  merveilleuses 
dont  je  vous  ferai  part,  après  que  j'aurai  eu  votre  réponse  et  celle  de 
M.  Frenicle. 

3°  Je  lui  demande  un  moyen  plus  général  que  celui  que  j'ai  inventé 
pour  savoir  quels  sont  les  multiples  de  l'exposant  utiles  à  la  division. 

Après  cela,  je  travaillerai  aux  propositions  que  vous  me  demandez. 

2.  Sur  le  sujet  des  triangles  rectangles  ('),  voici  mes  fonde- 
ments : 

1°  Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  du 
quaternaire,  est  une  seule  fois  la  somme  de  deux  quarrés,  et  une  seule 
fois  l'hypoténuse  d'un  triangle  rectangle. 

2"  Le  même  nombre  et  son  quarré  sont  chacun  une  fois  la  somme 
de  deux  quarrés; 

Son  cube  et  son  quarréquarré  sont  chacun  deux  fois  la  somme  de 
deux  quarrés; 

Son  carrécube  et  son  cubecube  sont  chacun  trois  fois  la  somme  di' 
deux  quarrés; 

Etc.,  à  l'infini. 

3"  Ce  même  nombre  étant  une  fois  l'hypoténuse  d'un  triangle  rec- 
tangle, son  quarré  l'est  deux  fois,  son  cube  trois,  son  quarréquarré 
quatre,  etc.  ii  l'infini. 

(')  Comparer,  Tome  I,  VO//.fc'rvalio/i  T'H  sur  Diopliaittc. 


21V  (KUVHEft   DE   l-KUM  A  I .  -  COUUESPONDANCE. 

j"  Etant  doniu'  un  nomltrc,  pour  savoir  coiubiL'ii  de  Ibis  il  est  l'iiv- 
poténuse  d'un  triangle  roctanf^lo,  divisez-lo  par  tous  les  noiiihics  pro- 
niiors.  plus  grands  de  l'unité  (|u'uii  niuiti[)l('  du  (|ualcrnairc,  qui  le 
nu'suront.  Puis  rangez  les  exposants  des  puissanees  des  dits  nombres 
premiers  (|ui  nu-surenl  le  nombre  donné,  en  (el  ordre  que  bon  vous 
semblera,  l'un  a[)res  l'autre.  Multipliez  le  premier  par  le  second  deux 
fois,  e(  il  cida  ajoutez  la  somme  du  premier  et  du  second;  |>uis  iiiulli- 
pliez  cette  dernière  somme  deux  fois  par  le  troisii'nie,  el  ajoutez  au 
produit  tant  la  dite  dernière  somme  que  le  troisième,  etc.  ii  l'infini. 
F.a  dernière  somme  marquera  à  combien  de  triangles  le  nombre  donné 
peut  servir  d'hypoténuse. 

Les  nombres  premiers  qui  sont  moindres  de  l'unité  qu'un  multiple 
du  quaternaire,  ni  2,  non  plus  que  leurs  puissances,  ne  l'ont  rien  à  la 
question,  et  n'augmentent  ni  ne  diminuent  le  nombre  des  dits  trian- 
gles rectangles. 

Soit,  par  exemple,  un  nombre  donné  mesuré  par  5,  par  le  quarré  de 
i3,  par  le  cube  de  17,  et  par  le  cube  aussi  de  29. 

Nous  aurons  quatre  diviseurs  dont  les  exposants  de  leurs  puissances, 
(]ui  mesurent  le  nombre  donné,  sont  : 

I,     ■>.,     3,     3. 

Je  multiplie  le  [iremier  par  le  second  deux  fois  :  viendra  \;  ajoutez-y 
le  premier  et  le  second  :  viendra  7.  Je  multiplie  7  par  le  troisième  3 
deux  fois  :  viendra  /|2,  auquel  ajoutant  7  el  3,  c'est  j2.  Je  multiplie 
)2  par  le  quatrième  (qui  est  3)  deux  fois  :  viendra  3 12,  auquel  ajou- 
tant 5-2  et  3,  viendra  3G7. 

Je  dis  donc  que  le  nombre  donné  sera  l'iiypoténuse  de  3G7  triangles 
rectangles  et  non  plus. 

5"  Pour  trouver,  par  exemple,  le  moindre  nombre  de  tous  ceux  qui 
sont  3G7  fois  S(uilement  l'iiypoténusi'  d'un  ti'iangle  rectangle,  je  double 
le  nombre  donné  et  au  dit  tlouble  j'ajoule  l'unité  :  vieiulra  735,  du- 
quel je  prends  tous  les  diviseurs  sépai'ément.  (Quoiqu'un  nombre  me- 
sure et  par  soi  et  par  ses  puissances,  j'enlends  tous  les  diviseurs  (|ui 


XLV.  —   23   DECEMBRE    1G40.  -ilo 

sont  ii()ml)ros  preiiiiors;  le  dit  nombre  se  trouve  donc  divisé  aux  dites 
conditions  par  3,  î),  7,  7.  J'ùte  de  chacun  des  dits  diviseurs  l'unité  el 
prends  la  moitié  du  reste  :  viendra  i,  2,  3,  3. 

Il  faut  donc  prendre  (juatre  nombres  premiers  plus  grands  de  Tunilc 
qu'un  multiple  du  quaternaire,  et  prendre  leurs  puissances  exposées 
par  les  dits  quatre  nombres.  En  quoi  faisant,  vous  satisferez  à  la  question 
généralement  en  multi[)liant  les  dites  quatre  puissances  entre  elles. 

Que  si  vous  voulez  le  moindre  nombre  satisfaisant  à  la  question,  il 
faudra  prendre  les  quatre  plus  petits  nombres  premiers  de  la  qualité 
requise,  qui  sont  :  j,  i3,  17,  29,  et  pour  leurs  puissances,  il  faut  que 
celle  du  plus  petit  ait  le  plus  grand  exposant,  et  ainsi  des  autres.  Nous 
prendrons  donc  le  cube  de  .5,  le  cube  de  i3,  le  quarré  de  17,  et  29,  et 
multipliant  tous  les  uns  par  les  autres,  nous  aurons  le  moindre  nombre 
de  tous  ceux  qui  servent  d'hypoténuse  à  3G7  triangles  rectangles  el 
non  plus. 

3.  Il  s'ensuit  de  là  que  si  le  double  du  nombre  donné,  plus  i,  es! 
nombre  premier,  en  ce  cas  le  nombre  cherché  ne  peut  être  divisé  que 
par  un  seul  nombre  premier  plus  grand  de  l'unité  qu'un  multiple  du 
quaternaire. 

Comme  si  vous  demandez  un  nombre  qui  serve  d'hypoténuse  à 
20  triangles  rectangles  et  non  plus,  ponrce  que  4i  est  nombre  pre- 
mier, il  faut  prendre  la  20''  puissance  d'un  nombre  premier  de  la  qua- 
lité requise. 

Vous  trouverez,  par  conséquence  aisée,  un  nombre  qui  ait  autant  de 
diviseurs  différents  que  vous  voudrez  et  qui  puisse  satisfaire  à  la  ques- 
tion, lorsqu'elle  est  possible.  J'iMilends  des  diviseurs  de  la  qualité 
requise,  car  vous  y  en  pouvez  mettre,  comme  nous  avons  dit,  autant 
que  vous  voudrez  de  ceux  qui  sont  moindres  de  l'unité  qu'un  multiple 
de  '1,  ou  bien  2  et  telle  de  ses  puissances  que  vous  voudrez. 

.le  vous  écris  ceci  si  fort  à  la  hâte  que  je  ne  j)rends  pas  garde  si  je 
fais  des  fautes,  et  omels  beaucoup  de  choses  dont  je  vous  dirai  li; 
menu  une  autre  fois. 


•216  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

4-  Pour  la  (iiuslion  des  ellipses  (^'),  oll(>  so  di'duira  l'orl  aisrmcnl  de 
ro  (]iio  vous  vouez  do  voir,  car  la  quostion  va  là  à  trouver  un  nombre 
qui scr\e  d'IiYpolénuse  à  12  triangles  et  non  pins,  de  telle  qualité  que  la 
dite  hypoténuse  ait  plus  grande  proportion  au  plus  grand  des  deux  autres 
côtés  que  le  dit  plus  grand  au  moindre  :  c'ost-à-diro  (|U0  chacun  dos  dits 
(riangics  soit  conimo,  par  oxomplo,  29,  21,  20.  Ce  qui  est  aisé,  et 
ayant  trouvé  le  dit  nombre,  son  quarré  sera  le  donii-diamètre  dos 
ellipses. 

Il  le  tant  (|uarrer,  afin  que  la  porpondiculairo  sur  le  foyer  soit  un 
nombre  entier.  J'en  dis  assez  pour  me  faire  entendre  à  M.  Frenicle. 

5.  J'ajoute  oiicoro  qu'une  toute  pareille  règle  à  la  précédente  des 
hypoténuses  sert  à  celte  question  : 

Etant  donné  un  nombre,  déterminer  combien  de  fois  il  est  la  différence 
de  deux  iwmbres  desquels  le  produit  est  un  nombre  quarré. 

Et  n'y  a  que  celte  différence,  qu'en  cette  question  tous  les  nombres 
premiers  hormis  2  sont  utiles,  ce  qui  n'est  pas  en  la  précédente  des 
hypoténuses. 

Comme,  si  un  nombre  est  mesuré  par  3  et  par  le  quarré  de  j,  les 
exposants  étant  i  et  2,  multipliez  le  premier  par  le  second  deux  fois, 
il  (|uoi  ajoutant  leur  somme,  viendra  7.  Vous  pouvez  donc  assurer  que 
7.")  est  7  fois  la  différence  de  deux  nombres  desquels  le  produit  fait  un 
(j  narré. 

Pour  avoir  le  plus  petit,  vous  userez  de  même  voie. 

Or,  [>our  trouver  tous  les  triangles  et  aussi  les  dits  nombres  en  cetfo 

(')  f'oir  sur  cette  question,  antérieurement  proposée  par  Frenicle  à  Descartes,  les  Let- 
tres (le  ce  dernier,  du  9.0  décembre  i63H  (  éd.  Clcrselier,  II,  <)5  ),  du  9  février  ifiSo  (  II,  97), 
du  3o  avril  1(339  (III,  84).  Frenicle  avait  demandé  de  construire  sur  le  môme  grand  axe 
(aa)  un  nombre  déterminé  d'ellipses  telles  que  pour  chacune  la  distance  des  foyers  (ac) 
fût  supérieure  au  petit  axe  (26)  et  qu'on  pût  exprimer  en  nombres  entiers  le  grand  axe. 

le  petit  axe,  la  distance  (a  —  c)  a  un  foyer  au  sommet  voism,  et  I  excès  I I  >  sur 

la  dislance  des  foyers,  de  la  distance  de  l'un  d'eux  à  l'extrémité  de  l'ordonnée  passant 
par  l'antre. 


XLV.  -  25  DECEMBiiH    lOiO.  217 

t|iiostion,  l;i  cliosc  os(  assez  aisée,  de  quf»i  je  vous  écrirai  séparémciil, 
si  vous  voulez. 

De  celte  dernière  queslion,  ou  peut  tirer  l'iuveuliou  d'Iiyperboles 
au  lieu  d'ellipses,  etc. 

Dès  que  M.  de  Freuicle  m'aura  écrit,  je  lui  donuerai  des  proposi- 
lious  que  je  juge,  sans  me  flaller,  qu'il  estimera  incomparablement 
plus  Itelles  que  tout  ce  dont  nous  avons  encore  parlé. 

Je  suis. 

Mon  Révérend  Père, 

Voire  (ri's  liumble  serviteur, 

Feiuiat. 
A  Toulouse,  ce  /.'i  décembre  1G40, 


FtasiAT.  —  II. 


28 


2IS  ŒrXllKS   1)1-:   KEUiMAT.  -  CORUESPOM)  VNCi:. 


ANNÉE  IGil. 


XLVl. 
FRRMAT  A  MERSENNE  (  '  )• 

MARDI    20    M  Alt  S     lOil. 

(A,  f»  34;  B,  t»  '4  v°.) 

.Mon  Ri:vi-.RENn  Père, 

1-  Les  occupations  qm'  les  procès  nous  donncnl  sur  la  UMc  m'onl 
ompèché  de  pouvoir  lire  îi  loisir  les  Traités  (-  )  que  vous  m'avez  l'ail  la 
faveur  de  ni'envoyer.  Je  me  réserve  d'y  vaquer  avec  soin  aussitôt  après 
Pâques,  et  ce  sera  alors  que  je  vous  satisferai  et  vous  marquerai  avec 
liberté  mes  sentiments. 

2.  Je  suis  toujours  dans  l'aKenle  de  la  réponse  de  M.  de  Frenicle  (■'). 
et  en  tout  cas,  vous  m'obligerez  de  me  renvoyer  ma  démonstration  (  '  ) 
pource  que  je  n'en  ai  point  gardé  de  copie.  Comme  aussi  je  serai  bien 
aise  qu'il  vous  plaise  m'envoyer  ma  copie  de  mon  Isagoge  ad  locos,  de 

(  I)    Ij'lllT    ilUMiilO. 

(-)  Mersonnc  luisait  alors  iinliimmont  eirciilci"  {Lettres  de  Dexcortcs,  éd.  Clorsclier.  M. 
41,  du  28  octobre  1640  à  .Mcrsemie;  MS.  B,  f"  29  v°  et  suiv.,  lettre  iiicdito  do  l'ujos  ii  Mor- 
scnno  du  9  mai  164 1),  avec  l'opuscule  de  Fermât  Doctrinam  tangeiitiuin  (Tome  I,  p.  1 JS 
cl  suiv.)  :  1°  un  Traité  des  cercles  qui  se  font  dans  l'eau;  2°  un  autre  pour  le  mouvetnciit 
journalier  de  la  terre;  3"  la  lettre  de  Beaugrand  contre  Desargues  (  OpAivres  de  Desar- 
gues, éd.  Poudra,  II,  p.  355  et  suiv.). 

(')  Réponse  à  la  Lettre  XLV? 

(*)  Démonstration  piTiliie. 


XLVI.  —  26  MARS    ICI.  219 

son  Appendix  et  De  inveniione  tangentimn  in  ciuvis  [  '),  m'élaiU  engagé 
envers  M.  Despagnet  de  les  lui  faire  voir. 

3.  Excusez  l'importunité  à  laquelle  je  me  trouve  engagé  par  ma  né- 
gligence. Voici,  en  revanche  de  la  peine  que  je  vous  donne,  une  belle 
proposition  tirée  de  mes  Lieux  ad  superficiem  (-)  et  qui  n'est  qu'une 
suite  d'une  des  propositions  du  Traité  entier  : 

S)oil  une  sphère  donnée  et  en  icelle  décru  un  solide  régulier.  Je  dis  (jue, 
si  vous  prenez  un  point  à  discrétion  dans  toute  la  superficie  de  la  sphère, 
et  (pie  de  ce  point  vous  tiriez  des  lignes  à  tous  les  angles  du  solide  régulier, 
les  quarrés  de  toutes  ces  lignes  pris  ensemble  seront  égaux  à  un  espace 
donné. 

(]omnie,  si  vous  en  désirez  un  exemple,  soil  une  sphère  donnée  et 
en  icelle  décrit  un  tétraèdre.  Je  dis  que,  si  vous  prenez  un  poinl  à  dis- 
crétion dans  toute  la  surface  de  la  sphère,  et  que  de  ce  point  vous 
tiriez  (|uatre  lignes  aux  quatre  angles  du  tétraèdre,  les  quarrés  de  ces 
([uatre  lignes  pris  ensemble  feront  un  es|)ai'e  (|ui  sera  double  du 
quarré  du  diamètre  de  la  sphère.  Etc. 

La  démonstration  n'est  pas  malaisée  et  se  (ire  facilement  de  celle 
d'une  autre  proposition  que  j'envoyai  il  v  a  longtemps  à  M.  de  Ro- 
berval ('). 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteui', 

Feumai'. 
A  Toulouse,  ce  aG  mars  iGii. 

(1)  FfM>  Toins  I,  pages  gi  et  suiv.;  io3  el  suiv.;  iJ8  et  suiv.;  le  dernier  litre  doit  en 
effet  designer  l'écrit  Doctrinam  tangentimn. 

(2)  Foir  Tome  I,  pages  1 1 1  et  suiv.  L'énoncé  qui  suit  est  un  ca>  particulier  du  lliéoréiue 
général  :  Si  a  quotciiinqne  pimctix,  page  ii3. 

(3)  P'oir  Lettre  XIX. 


■210  ŒU\  IIKS   DE  FEUMAT.  —  COIUIESPOND ANGE. 

MAIL 
FERMAT  A  MKUSENNE  {'). 

SAMUDI     lo    JUIN     IC'll. 

(A,  f"  l'i:  lî,  f°  i5  v.) 

Mon  Rr.vKUEND   Picr.E, 

1.  Je  lâche  de  coiitentor  assfiz  amplonieiil  la  curiosilé  do  M.  de  Fro- 
iiiclo  par  la  Lettre  que  vous  trouverez  dans  votre  paquet  (/').  11  m'a 
pourtant  demandé  la  solution  d'une  question  (')  que  je  diffère  de  lui 
envoyer  jusqu'à  ce  que  je  serai  de  retour  à  Toulouse,  me  trouvant  pré- 
sentement à  la  campagne  où  j'nurois  besoin  de  beaucoup  de  temps 
poui'  refaire  ce  que  j'ai  écrit  sur  ce  sujet  et  (]ue  j'ai  laissé  dans  mon 
cabinet. 

Voici  pourtant  un  échantillon  de  cette  question  générale,  que  vous 
lui  pourrez  faire  voir  par  avance  : 

En  la  progression  de  3,  tous  les  nombres  premiers,  qui  sont  diffé- 
rents par  l'unité  d'un  multiple  de  12,  mesurent  seulement  les  puis- 
sances —  I.  Tels  sont  :  11,  i3,  23,  37,  etc. 

Eli  la  même  progression,  les  nombres  premiers,  qui  sont  différents 
par  5  d'un  multiple  de  12,  mesurent  les  puissances  +  i.  Tels  sont  :  i), 
1  7,  i(),  etc. 

En  la  progression  de  5,  tous  les  nombres  premiers,  qui  finissent  par 
I  ou  par  f),  mesurent  seulement  des  puissances  —  i.  Tels  sont  :  1  i, 
19,  etc. 

Ceux  qui  finissent  par  3  ou  jtar  7  mesurent  des  puissances  + 1 .  Tels 
sont  :  7,  1 3,  17,  etc. 

Vous  aurez  une  autre  fois  la  règle  générale  en  toute  sorte  de  pro- 
gressions. 

(')  LeUrc  incdile. 

(»)  J^oir  Pioce  XLVlll  ci-après. 

(3)  roir  Leitres  XLVlll,  12  cl  XLIX,  i2. 


XLVIll.  -   13  JUIN   IGll.  221 

2.  J'attends  maintenant  qu'il  vous  plaise  m'envoyer  la  copie  de  mes 
Traités  (')  que  je  vous  ai  si  souvent  demandée  pour  M.  Despagnet. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humilie  et  très  affectionné  serviteur. 

Fermât. 

Ce  1 5  juin  i(>-i  I. 

3.  Depuis  avoir  écrit  la  lettre  de  31.  Freniclc,  j'ai  trouvé  la  dernière 
question  que  je  lui  fais  (-)  : 

Etant  donné  un  nombre ,   déterminer  combien  de  fois  il  peut  être  In 
somme  des  deux  petits  côtés  d'un  trian<^le  rectangle. 

S'il  la  veut,  je  lui  eu  ferai  part,  et  serai  cependant  bien  aise  de  voir 
sa  solution. 


XLVIII. 

FERMAT  A  FRENICLE  {'). 

<  13  jLix  16V1  > 

(B,  f°  26  v°-28  r".  ) 

1-  La  proposition  fondamentale  des  triangles  rectangles  est  que  tout 
nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  \,  est  com- 
posé de  deux  (| narrés  (^  ). 

(  <  )  l'olr  Lettre  XLVI,  2. 

(  2)  Voir  Lettre  XLVIIL  11. 

(')  Cette  pièce  inédite,  reproduite  d'après  une  copie  qui  ne  porto  ni  adresse  ni  date,  ne 
doit  être  considérée  que  comme  un  extrait  d'une  Lettre  de  Fermât.  Cette  Lettre  était  évi- 
demment adressée  à  Frenicle,  dont  nous  avons  la  réponse  (ci-après  XLIX),  datée  du 
2  août  1641.  Le  post-scriptnm  de  la  Lettre  XLVII  ci-avant,  adressée  àMersennelo  i5  juin 
ifi/ii,  prouve  d'ailleurs  que  le  présent  extrait  a  bien  été  fait  sur  la  Lettre  pour  F'reniclo, 
mise  par  F'eruiat  dans  le  paquet  envoyé  à  cette  date  au  Minime.  L'auteur  de  l'extrait  n'a 
copié  que  ce  qui  lui  a  paru  avoir  un  intérêt  mathématique  et  a  négligé  toutes  les  transi- 
lions  d'une  question  à  l'autre. 

(^)  Viiir  Lettre  XLV,  2. 


■lî'l  ŒUVRES    1)K   Fi:UiM\T.   -  CORRESPONDANCE. 

2.  La  nu'lliodi'  pour  trouver  les  IriaiigU's  coiuposés  eu  conséquence 
des  primitil's  est  dans  les  Livres  ('),  ou  s'en  peut  tirer  aisément  : 

Soit  le  nombre  donné  d"),  ie(juei  je  trouve  être  Fliypolénuse  de 
quatre  triangles,  [)ar  la  ri'gle  déjà  envoyée  (-).  Les  nombres  premiers 
de  la  (]ualilé  re(|uise  (|ui  le  composent  sont  "i  et  l'i.  Le  triangle  ('■')  de 
j  est  5,  .'|,  3;  celui  de  i '5  est  i),  12,  5. 

Je  multiplie  la  base  12  |)ar  la  base  ^|,  vient  '|8;  puis  le  petit  côté  5  par 
l'autre  3,  vient  il;  et  derechef  12  par  3,  en  croix,  vient  3();  puis  4 
par  j,  vient  '20. 

La  somme  des  deux  premiers  produits  et  la  did'érencc  des  deux  se- 
conds font  les  deux  petil;s  cotés  d'un  des  triangles  cherchés,  qui  sera 
par  conséquent  :  G.j,  G3,  iG. 

Kt  derechef  la  somme  des  deux  derniers  produits  et  la  difl'érence 
des  deux  premiers  sont  les  deux  petits  cùtés  d'un  autre  des  ti'iangles 
cherchés,  qui  sera  partant  :  Gj,  5G,  33. 

(Que  si,  au  lieu  de  i3,  12,  5,  vous  aviez  pris  le  même  3,  4.  ^.  on 
faisant  la  même  opération,  vous  n'eussiez  trouvé  ([u'un  seul  triangle 
qui  est,  en  mon  précédent  exemple  :  20,  24,  7.) 

Les  deux  autres  triangles  sont  semblables  aux  deux  premiers  et  se 
font,  l'un  en  multipliant  les  côtés  du  premier  par  l'hypoténuse  du 
second,  et  l'autre  en  multipliant  les  côtés  du  second  par  l'hypolénuso 
du  premier;  ils  sont  donc  :  Cj,  .")2,  39;  6Ï>,  Go,  2.5. 

3.  Cette  méthode  est  générale,  de  sorte  que  toute  la  didicullé  con- 
siste à  trouver  les  triangles  primitifs,  lorsque  le  nombre  premier  qui 
leur  sert  d'hypoténuse  est  donné,  et  cette  question  se  réduit  à  la  sui- 
vante déjà  proposée (')  : 

litanl  donné  un  nombre  premier  qui  surpasse  de  l' unité  un  multiple 
de  4,  trouver  les  deux  quarrés  qui  composent  le  dit  nombre. 

(')  Fermât  va  simplement  en  elTel  exposer  la  métliodo  de  Dioplianlc,  lil,  22,  pour  con- 
struire (pialre  triangles  ayant  une  munie  hy|)Olénusc. 
(2)  Dans  la  Lettre  XLV,  2,  i". 
(')  Le  triangle  qui  a  5  pour  hypoténuse. 
(')  Probablement  dans  un  passage  non  conservé  do  la  présente  Lettre. 


XLVllI.  -    lo  JUIN    1G41.  223 

Car  si  l'on  n'a  ces  deux  quarrés,  on  ne  sauroit  trouver  le  trian;^le 
primitif.  Mais  ce  problème,  de  trouver  ces  deux  quarrés,  est  aussi  mal- 
aisé que  de  tâtonner,  et  l'ordre  de  la  proposition  précédente  est  gran- 
dement dilïicile. 

4.  Soit  un  nombre  impair  donné,  comme  i5,  les  couples  des  nom- 
bres sous  lesquels  il  est  produit  sont  i ,  1 5,  et  3,  5.  Chacun  de  ces  deux 
couples  le  fait  être  un  des  petits  côtés  d'un  triangle  rectangle,  car  le 
premier  couple  (')  produit  le  triangle  :  ii3,  112,  i  >;  et  le  second 
couple  produit  le  triangle  :  17,  iT),  8  (j'entends  des  triangles  non  com- 
posés). 

Au  premier  de  ces  triangles,  i5  est  le  plus  petit  côté,  au  second,  le 
moven.  On  demande  quelle  est  la  proportion  des  deux  côtés  qui  produisent 
un  nombre  impair,  au-dessus  de  laquelle  le  dit  nombre  impair  soit  le  petit 
côté,  et  au-dessous  le  moyen . 

Je  réponds  qu'il  est  impossible  de  le  déterminer  exactement  en 
nombres  entiers,  parce  que  l'équation  d'algèbre  produit  des  nombres 
irrationaux,  quoiqu'on  en  puisse  approcher  à  l'infini  de  plus  en  plus 
par  nombres  entiers. 

Par  exemple  :  si  les  deux  côtés  qui  produisent  l'impair  sont  enire 
eux  en  proportion  moindre  que  de  2414  2i3  à  1000  000  ou  égale,  le 
nombre  impair  fera  le  moyen  côlé;  que  si  les  deux  côtés  qui  produisent 
l'impair  sont  en  proportion  plus  grande  que  de  2414214  à  1000 000 
ou  égale,  le  nombre  impair  fera  le  petit  côté. 

On  peut  approcher  ces  deux  proportions  à  l'infini,  mais  non  en 
termes  précis;  elle  sera  (-)  en  termes  irrationaux,  savoir  de  i  à  i  +  Hq. 
de  2. 

5.  Il  va  des  triangles  qui  se  peuvent  diviser  en  deux,  et  subdiviser 

(  '  )  En  tlièse  générale,  suivanl  le  langage  de  Dioplianle,  un  triangle  rectangle  en  nombre 
(7,  //,  c,  est  dit  formé  des  deux  nombres  p  et  q,  si  l'on  a 

a  =  p--hq-,         b  =  p- — </-,         c  =  ipq, 

relations  qui  entraînent  l'égalité  a-  =  b^--\-c'^.  Mais  ici,  comme  Fermai  veut  des  nombres 
premiers  entre  eux  et  que  a,  b,  c  seraient  pairs,  il  prend  leurs  moitiés. 
(2)  Format  renverse  la  proportion  qu'il  a  indiquée  plus  haut. 


Mi  ŒUVRES   ni:   fi: UM  Vr.  -    COHRESPONDANCE. 

en  tjualrt'.  seize  el  ainsi  laiil  (pic  l'on  veiil.  (miles  les  lignes  des  divi- 
sions deineiiraiil  ediuiiiensiirahies  en  noiiihres  entiers  (  '  ). 

Si  i"(in  enlend  (|ne  Taire  dn  (iian^le  es(  tlonltle,  edrnine  celle  de  i-, 
1  "),  8,  (jni  esl  donlde  de  l'aire  de  1 3,  ii,  .),  cela  esl  aisé  et  se  pent 
ainsi  énoncer  : 

Etant  donnes  i/cii.v  nombres  enlicrs.  trouver  deux  triangles,  desquels 
les  aires  soient  en  proportion  de  deux  nombres  donnés. 

Il  y  a  (|na(re  règles  pour  soiidro  eelle  (|nes(i()n  en  ce  sens  (-). 

6.  Il  V  a  des  Iriangles  don!  les  moindres  cotés  ne  dillérenl  jamais 
que  de  l'nnité,  comme  3,  !\,  ")  ;  20,  21,  -k),  lesquels  se  forment  snr 
nn  des  termes  par  règle  infaillilde  à  rinlini.  Car  il  ne  faut  qu'ajouter 
le  double  de  rhvpotéiuise  h  la  somme  des  deux  autres  côtés,  et  le 
tout,  ajouté  au  moindre  coté,  fait  le  côté  moindre  du  triangle  requis. 
Ajoutez-y  l'unité,  vous  aurez  le  moyen. 

Exemple  :  le  double  de  29  est  jS  ;  ajoutez-y  la  somme  des  deux  petits 
côtés,  savoir  /ji,  vient  99,  auquel  ajoutez  20,  qui  est  le  petit  côté; 
vient  119,  auquel  ajoutez  l'unité,  vous  aurez  1 19  et  120  pour  les  deux 
moindres  côtés  du  triangle  requis,  qui  sera  :  1 19,  120,  169. 

I-'liypoténuse  se  fait  du  triple  de  l'hypoténuse  et  du  double  de  la 
somme  des  deux  autres  côtés.  Le  triple  de  l'hypoténuse  est  S-,  le 
double  de  la  somme  des  autres  côtés  82,  lequel,  avec  87,  fait  1G9,  ([iii 
est  l'hypoténuse  requise. 

Nous  avons  donc  tiré  du  triangle  :  20,  2f,  29,  celui-ci  :  119,  120, 
1G9;  de  celui-ci,  nous  en  tirerons  un  autre  à  l'infini. 

Même  méthode  pour  trouver  un  triangle,  ladilférencc  des  moindres 
côtés  duquel  soit  un  nombre  donné.  J'omets  les  règles  et  les  limita- 
tions pour  trouver  tous  les  possibles  de  la  qualité  requise,  car  la  règle 
est  aisée,  en  supposant  les  fondements. 

7-  il  y  a  des  triangles  auxquels  le  moindre  côté  est  toujours  diffè- 
rent d'un  (juarré  de  chacun  des  deux  autres,  comme  20,  21,  29. 

(  •  )  roir  LcUrc  XLIX,  4. 

(')  Fb/>  l'Observation  XXIX  sur  Dioplianle  et  ci-après,  10,  la  première  de  ces  règles. 


\LV111.  -   13  JUIN    IGil.  2-2"> 

Trouvez,  par  la  précédente,  un  triangle  non  composé,  les  côtés 
moindres  duquel  diflerent  par  un  quarré,  comme  20,  21,  29  ou  tel 
autre. 

S'il  a  les  qualités  requises,  il  en  faut  tirer  deux  de  celui-ci  par  la 
méthode  précédente,  et  le  second  qui  viendra  satisfera  à  la  propo- 
sition. 

Et  s'il  n'a  pas  les  conditions  requises,  le  premier  qui  s'en  tirera, 
par  la  précédente,  satisfera  à  la  proposition. 

Comme  :  3,  4.  5  ne  satisfait  qu'à  la  précédente  et  non  à  celle-ci.  Le 
premier  qui  s'en  tirera  y  satisfera,  à  savoir  :  29,  21 ,  20,  et  si  de  cettui- 
ci  vous  en  tirez  un,  viendra  119,  120,  1G9,  qui  ne  satisfait  pas  à  cette 
question;  mais  celui  qui  s'en  tirera,  à  savoir  :  983,  697,  G96,  et  ainsi 
à  l'infini,  alternativement,  y  satisfera. 

8.  11  y  en  a  d'autres  qui  pris  par  couples  ont  leurs  différences  rela- 
tives ( ' )  comme  1 1 ,  ()o,  Gi  et  119,  1 20,  iCk). 

Pour  les  former,  il  faut  trouver  trois  quarrés  en  proportion  arithmé_ 
lique,  qui  sont  par  exemple  :  i,  25,  49-  Formez  l'un  des  triangles  de 
la  somme  des  côtés  des  premier  et  deuxième  quarrés  et  du  côté  du 
second,  et  formez  l'autre  triangle  de  la  somme  des  deux  côtés  du 
second  et  du  troisième,  et  du  côté  du  deuxième,  vous  aurez  les  deux 
triangles  requis. 

Autre  exemple  (- )  :  Soient  exposés  les  trois  quarrés  en  proportion 
arithmétique  49.  1G9,  289. 

Les  deux  triangles  se  formeront  de  20  et  7  et  de  3o  et  7,  et  seroiil 

/i49,  35 1,  280;         y49>  ^ji»  420. 

9.  Trouver  un  nombre  qui  soit  autant  de  fois  qu'on  voudra  polygone 
et  non  plus  ('). 

(')  C'cst-à-diro  deux  triangles  rectangles  en  nombres  («,  h,  c)  («i,  Ai,  ci),  tels  que 
l'on  ait  a  —  ù  =  l/i  —  ri  et  /^  —  r  =  «j  —  /;]. 

(2)  I'"ernial  commet  dans  cet  exemple  une  erreur  de  plume.  Car,  d'après  sa  règle,  ayant 
les  carrés  7-,  i32,  172^  j|  devait  former  les  triangles,  l'un  de  7  M-  i3  =  lo  et  de  i3.  l'autre 
de  i3  -(-  17  =  3o  et  de  i3;  il  aurait  ainsi  trouve  les  triangles  569,  620,  23i  et  loGy.  7S0. 
73 1,  satisfaisant  au  problème  proposé.  P'oir  ci-après,  XLIX,  6. 

(3)  Question  proposée  par  Fermât  à  Frenicle.  Foir Lellrc  XLIX,  7. 

Fermât.  —  U.  ag 


•ÎH\  ŒIIVRKS   1)K  FERMAT.        (.OURESPONDANCE. 

10.  Irouvor  deux  (liaiiglos  doiil  les  airos  soient  on  propoilion 
donnée  {'  ). 

Voici  la  règle  la  |)lus  éléiianle  : 

Soient  les  den\  nombres  qui  expriment  la  proportion  donnée,  a  cl  /v. 
Les  deux  triangles  se  forment  :  le  premier,  de  a  bis  +  h  et  de  a  —  b; 
le  second,  de  h  bis  -h  n  ci  de  a  —  />. 

Vous  aurez  donc  deux  triangles  qui  seront  par  leurs  aires  en  pro- 
portion donnée.  (]ar,  si  vous  les  demandez  de  5  à  3,  les  deux  triangles 
se  formeront,  le  premier  de  i3  et  2,  le  second  de  11  et  2,  et  les  deux 
triangles  seront  :  173,  i65,  .')2  I  12"),  117,  44. 

H.  Etant  donné  un  nombre,  trouver  combien  de  fois  il  peut  être  la 
somme  des  deux  petits  côtés  d'un  triangle  rectangle  {'' ). 

12.  Règle  pour  déterminer  les  nombres  premiers  qui,  en  toute  pro- 
gression, mesurent  les  puissances  —  i  seulement,  ou  +  i  aussi  ('). 


XLIX. 

FRENICLP]  X  FERMAT  {■'). 

VENDREDI    2    AOUT    IGil. 

{Ta,   \i.    166-168.) 

Monsieur, 

1.  .l'étois  dans  l'impatience  de  savoir  votre  retour  h  Toulouse,  pour 
me  donner  l'honneur  et  le  contentement  de  continuer  nos  conférences, 
lorsque  le  Révérend  Père  Morsenne  m'en  adonné  avis;  j'espère  qu'elles 
dureront  plus  longtemps  que  je  ne  pensois,  parce  qu'il  est  survenu 
quelque  chose  qui  m'arrête  ici. 

(  ')  /'»//•  plus  luiul,  5. 

(')  Question  proposée  par  Format  à  Frcniclc.  /'>;//■  Lettre  XLVII,  3,  el  XLIX.  9. 
(')  Question  proposée  par  Frcnicle  à  Fermât.  To/r Lettre  XLVII,  1,  et  XLIX,  12. 
(')  Réponse  à  la  Lettre  précédente,  XLVUI. 


XLIX.  —  2  AOUT  iGhi.  227 

2.  J'ai  mille  remerciements  à  vous  faire  de  la  limitation  des  cotés 
que  vous  m'avez  envoyée  ('),  laquelle  véritablement  je  prise  fort.  J'a- 
vois  bien  reconnu  que  la  proportion  étoit  irrationelle  et  pour  cela  je 
m'étois  contenté  des  raisons  de  lo  à  24  et  à  23,  mais  vous  l'entendez  ici 
à  l'infini.  .l'avois  cru,  [)ar  la  lecture  de  votre  précédente  (-),  par 
laquelle  vous  mandiez  qu'il  étoit  aisé  de  la  trouver,  que  vous  préten- 
dissiez de  donner  une  raison  rationelle  pour  cette  limitation;  c'est  ce 
qui  m'avoit  fait  dire  que  peut-être  ne  la  trouvericz-vous  pas  si  facile, 
parce  que  je  la  savois  être  impossible. 

Je  sais  que  l'Algèbre  de  ce  pays-ci  n'est  pas  propre  pour  soudre  ces 
questions,  ou  pour  le  moins  on  n'a  pas  encore  ici  trouvé  la  manière  de 
l'y  appliquer  :  c'est  ce  qui  me  fait  croire  que  vous  vous  êtes  fabriqué 
depuis  peu  quelque  espèce  d'Analyse  particulière  pour  fouiller  dans  les 
secrets  les  plus  cachés  des  nombres,  ou  que  vous  avez  trouvé  (juelque 
adresse  pour  vous  servir  à  cet  effet  de  celle  que  vous  aviez  accoutumé 
d'employer  à  d'autres  usages. 

Si  la  démonstration  de  cette  limitation  étoit  courte,  vous  m'oblige- 
riez  beaucoup  de  me  l'envoyer  :  car,  si  elle  est  trop  longue,  je  ne  vou- 
drois  pas  que  vous  vous  détournassiez  de  vos  études  à  cette  occasion. 

Cette  même  raison,  de  i  à  i  H-  y'^2,  se  peut  aussi  appliquer  à  la  pro- 
portion des  côtés  des  quarrés  qui  composent  l'hypoténuse,  mais  en  un 
sens  contraire  à  celui  des  parties  plus  prochaines  du  côté  impair, 
comme  aussi  elle  se  peut  appliquer  aux  nombres  qui  composent  la 
moitié  des  côtés  pairs,  au  même  sens  qu'aux  parties  des  impairs. 

3.  Je  viens  maintenant  ii  ce  qui  regarde  les  triangles. 

Les  méthodes  (')  que  vous  donnez,  tant  pour  trouver  les  quarrés  que 
les  côtés  des  triangles  qui  appartiennent  aux  hypoténuses  composées, 
sont  véritablement  fort  belles,  et  vous  avez  la  méthode  de  si  bien  dis- 
poser vos  règles,  que  cela  leur  donne  une  certaine  grâce  qui  les  fait 
encore  agréer  davantage,  mais  elles  ne  suivent  pas  mon  intention,  car 

(1)  ro(>XLVllI,  A. 

(2)  Lettre  perdue. 

(3)  ro;>  XLVIII,  2. 


■lis.  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  COURKSl'ONDANCE. 

\v  n'ai  poiiil  oiilciulu  (lu'oii  so  servit  des  qiiarrés  ni  des  Iriaiigles  des 
parties  des  hypoténuses  composées,  mais  seulement  dos  dites  parties. 
Par  exemple,  je  demande  nne  manière  de  trouver  que  Gj  est  com- 
posé des  quarrés  (i'i.  1  et  '|i).  i('),  supposant  seulemenl  qu'il  a  .'^  et  i3 
pour  les  parties  premières,  sans  employer  à  cel  effet  les  qnarrés  4  tU  i, 
ni  les  côtés  3  et  4.  i"^"  p'"^  <|"i'  ceux  qui  appartiennent  à  i). 

4.  Des  (juatre  propriétés  des  triangles  que  je  vous  avois  proposées, 
vous  avez  fort  bien  trouvé  la  deuxième  (');  pour  les  trois  autres,  vous 
n'avez  pas  suivi  mou  intention.  Parlant,  il  iïiut  (jue  je  m'éclaircisse 
plus  que  je  n'avois  fait. 

La  première  est  facile  (-)  :  Que  le  triangle  rectangle  soit  AB(J 
(//g.  78);  il  le  faut  diviser  en  deux  triangles  ABD,  ADC  avec  la  per- 


Fis.  -8. 


pendicnlaire  AD;  et  derechef  le  triangle  ADC  en  deux  triangles  EDC, 
KDA  par  la  perpendiculaire  DE  et  l'autre  pareillement  ABD  en  deux, 
savoir  ADF,  BDF,  par  la  perpendiculaire  DF;  et  derechef  les  triangles 
BDF.  ADF,  ADE,  DEC  par  les  autres  perpendiculaires  FO,  FI,  EL,  EN; 
et  continuer  ainsi  tant  qu'on  voudra  et  faire  que  toutes  les  lignes  et 
sections  d'icelles,  comme  AL,  LL  ID,  BO,  OD,  DN,  NC,  soient  nombres 
entiers. 

5.   \'ous  donnez  par  après  (^)  les  triangles  dont  le  moindre  colè  est 
dilférent  d'un  quarré  de  chacun  des  deux  autres  :  je  sais  bien  (jne  la 


(')  Lettre  XI.VIII,  6. 
(*)  Lettre  XLVIII,  5. 
(»)  Leuro  XLVIlt,  7. 


XLI\.  —   2  AOUT   ICil.  ±1'.) 

moilié  de  ceux  qui  ont  i  pour  différence  de  leurs  petits  côtés  ont 
aussi  cette  propriété,  savoir  ceux  qui  commencent  par  un  nombre 
pair  ('),  mais  je  n'attendois  pas  que  vous  dussiez  vous  servir  di' 
ceux-là,  espérant  que  vous  donneriez  le  moyen  de  les  trouver  tous: 
et,  afin  d'exclure  les  susdits,  on  pourroit  ainsi  proposer  le  problème  : 

Donner  tous  les  triangles  qui  ont  un  cjuarré pour  différence  de  leur  petit 
côté  à  chacun  des  deux  autres  côtés,  en  sorte  que  l'une  des  différences  ne 
puisse  pas  mesurer  l'autre. 

6.  Pour  l'autre  propriété  des  triangles  (-),  qui  est  d'avoir  un  autr(> 
triangle  relatif  en  différences,  en  sorte  que  la  différence  des  deux 
grands  cotés  du  premier  soit  celle  des  deux  petits  côtés  du  second, 
et  la  différence  des  deux  petits  côtés  du  premier  soit  celle  des  d(Mi\ 
grands  côtés  du  second,  comme  on  voit  aux  triangles  : 


49  ^      •    , 
6o        Gi 


119         i^o         169, 


vous  n'avez  pas  considéré  attentivement  cette  proposition,   car  les 
triangles  que  vous  donnez  : 


/  / 


9«  /■ 


^^9        .5.)!         200 


98  43 1 

9'i9        8r>i  420, 


n'ont  pas  cette  propriété,  mais  en  ont  une  autre,  qui  est  que  les  grands 
côtés  de  chacun  ont  pareille  différence,  savoir  98,  et  en  outre  que  les 
deux  hypoténuses  ont  pareille  différence  que  les  deux  grands  côtés. 
Mais  ce  n'est  pas  ce  que  je  demande,  car  aux  triangles 

49        "  '  49     , 

Il         Go        61         et         119         120         169, 

vous  voyez  que  120  et  iGf)  n'ont  pas  même  différence  que  Oo  et  (Ji ,  ni 
(il  et  iGg  même  différence  que  Go  et  120.  Il  faudroit  donc,  pour  satis- 
faire à  la  question,  qu'en  vos  triangles  il  y  eût  même  différence  de  l\\[) 
à  35 1  que  de  85 1  à  420,  et  de  35 1  à  280  que  de  ()\r)  \\  85 1. 

(')  C'est-à-dire  dont  le  plus  polit  côté  est  pair. 
(2)  Lettre  XLVIII.  8.  J'oir  les  notes. 


■IW  (KUVUKS  I)K  IKU  M  AT.  -  COURES  POND  ANGE. 

7.  Vous  mo  lu'oposoz  par  aprc'S  {')  do  trouver  un  nombre  qui  soit 
polygone  autant  de  fois  qu'on  roudra  et  non  plus. 

Je  vous  (liiai  (ju'il  v  a  ([uchiucs  aiiÊiécs  ([iir  je  m'ôlois  mis  ii  la 
rtH'litM'olic  (le  t'(>la.  mais  à  {jcinc  cus-jo  comuuMici',  quo  jo  m'avisai 
i|ui'  les  lii,Miros  qui  soûl  uiaiulcuaut  ou  usage  soûl  si  oxtravagaulos, 
lorsqu'ou  ios  veut  uiollro  on  pratique,  j'entends  quand  on  les  veut 
représente!'  avec  des  jetons  ou  des  points,  qu'on  les  nommeroit  plus  à 
propos  chimères  ou  grotesques  que  figures,  lesquelles,  si  elles  ne  sont 
ontièrement  régulii'res,  au  moins  doivent-elles  en  approcher  le  plus 
(|ue  faire  se  peut. 

Cela  fut  cause  que  je  quittai  ce  que  j'avois  commencé  pour  mo 
mettre  à  réformer  ces  figures,  et  Dieu  m'a  fait  la  grâce  d'y  réussir  en 
(juelque  fa(,'ou,  car  j'ai  trouvé  une  manière  de  faire  des  iîgures  régu- 
lières en  nombres  d'une  infinité  de  sortes,  et  d'autres  aussi  qui  n'ont 
point  d'angles  rVio-/-eV/?V/?i,  de  tant  do  côtés  qu'on  voudra.  J'ai  ensuite 
l'onsidéré  quelques-unes  de  leurs  propriétés  et  ce  qui  dépend  d'icelles, 
de  sorte  que  je  ne  me  suis  pas  beaucoup  arrêté  aux  figures  communes, 
que  je  nommerois  plutôt  progressions  de  triangles  que  figures,  à  cause 
de  l'assemblage  des  triangles  par  lequel  elles  sont  formées.  Je  crois 
bien  que  ce  n'est  pas  de  ces  nouvelles  figures  dont  vous  voulez  parler, 
car  possible  ne  vous  en  ètos-vous  pas  encore  avisé;  mais  pour  les  com- 
munes, on  peut  considérer  votre  question  en  deux  maurèros  : 

8.  La  première,  si  le  nombre  demandé  est  plusieurs  fois  polygone, 
de  telle  sorte  qu'il  enveloppe  tous  les  polygones  inférieurs,  c'est- 
à-dire  que,  si  ce  nombre  est,  par  exemple,  heptagone,  il  doive  aussi 
être  hexagone,  pentagone,  quarré  et  triangle.  Et  ainsi,  pour  avoir 
un  nombre  qui  fût  sept  fois  polygone,  il  en  faudroit  donner  un  qui  fût 
figure  de  9,  8,  7,  G,  5,  4  et  3  côtés;  ce  qui  seroità  la  vérité  fort  difficile, 
et  il  faudroit  un  nombre  fort  grand  pour  y  satisfaire,  car  les  nombres 

(')  Foir  Lcltre  XLVIII,  9.  Cette  question  dérive  de  celle  qui  termine  le  IJvre  Des 
noml/rcs  polfgonc.i  de  Diophanle.  I''ermat  ne  paraît  pas  être  jamais  arrivé  à  une  solution 
qui  l'ait  satisfait. 


XLIX.  -   -2  AOUT   IGVl.  231 

qui  sont  seulomeiit  triangles,  quarrés  et  pentagones  deviennent  incon- 
tinent fort  grands,  et  c'est  à  cela  que  j'avois  commencé  à  travailler. 

L'autre  considération  est  qu'un  nombre  soit  polygone  en  plusieurs 
façons,  sans  se  soucier  si  les  polygones  sont  de  suite  ou  non.  Je  n'ai 
pas  encore  recherché  cela;  si  vous  l'avez  trouvé,  vous  m'obligerez  de 
me  le  communiquer. 

9.  L'autre  question  que  vous  me  faites  (')  contient  deux  problèmes  : 
L'un  de  choisir  un  nombre  c/iii  soit  la  somme  des  deux  petits  côtés  de 

tant  de  triangles  qu'on  l'oudra  et  non  plus; 

L'autre  est  de  déterminer  à  combien  de  triangles  un  nombre  donné  est 
la  somme  des  deux  petits  côtés. 

Pour  soudre  ces  problèmes,  il  faut  considérer  que  tout  nombre  pre- 
mier, différent  de  l'unité  d'un  nombre  divisible  par  8,  est  la  somme 
des  deux  petits  côtés  d'un  triangle,  et  tout  nombre  qui  est  la  somme  des 
deux  petits  côtés  d'un  triangle  auquel  les  côtés  sont  premiers  entre  eux, 
diffère  de  l'unité  d'un  nombre  divisible  par  8. 

Sur  ces  fondements,  il  faut  faire  la  même  chose  avec  ces  nombres 
qu'on  feroit  sur  les  nombres  premiers  pairement  pairs  -hi,  pour 
trouver  ce  qui  est  requis  par  les  problèmes,  si  on  demandoit  des 
hypoténuses  au  lieu  de  la  somme  des  deux  petits  côtés.  Il  seroil 
su|)erflu  de  déduire  cela  plus  au  long  :  intelligenti  loquor. 

10.  Si  votre  méthode  est  autre  que  celle-là,  vous  m'obligerez  de 
me  la  communiquer,  et  aussi  de  quelle  façon  se  pourroit  trouver  le 
triangle,  ayant  seulement  la  somme  de  ses  petits  côtés  sans  avoir  les 
quarrés  et  doubles  quarrés  dont  elle  est  la  différence.  Car  ces  sommes 
ont  cette  propriété  d'être  toujours  deux  fois  la  différence  d'un  quarré 
et  d'un  double  quarré;  et,  si  cette  somme  est  un  nombre  composé 
d'autres  de  même  nature,  comme  119  composé  de  17  et  7,  il  sera 
quatre  fois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré. 

Il  faudroit  aussi  trouver  la  même  chose  pour  l'enceinte  entière  des 
triangles  que  pour  la  somme  des  deux  petits  côtés. 

(  ')  J'oir  Letlre  XLVUI,  11. 


-23-2  (!•  UVllKS  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

11.  Sur  lo  sujet  tics  triangles,  voici  ce  que  je  vous  proposerai 
l'ucorc  : 

L'uc  hypotènttse  cuDiposéc  élaiit  donnée  cnx'c  les  (/narres  premiers  entre 
eux  qui  la  composent  par  leur  addition,  Iroui'er  ses  parties. 

Qiio  2?. I  soit  riiypotéinise  donucc  avec  les  quarrés  qui  la  composent, 
savoir  :  loo,  ii>i  et  njG,  2"),  il  faut  trouver  par  le  moyen  d'iceux  que 
•2■l^  a  i3  et  17  pour  parties. 

12.  .l'alicnds  de  vous  la  manière  (')  de  trouver  les  nombres  pre- 
miers qui  ne  mesurent  que  les  puissances  —  i  en  toute  analogie,  et 
principalement  en  celle  de  2. 

Je  suis  etc. 


L. 

FRENICLE  A  FEMIAT  (-). 

VliNDIlEDI    6    SEl'TUMnilE    1641. 
(Ta,  p.  i(i9-i;3.) 
MOSIECK, 

1-  Votre  règle  (■')  pour  trouver  les  triangles  pareils  à  1 1,  Go,  Gi  et 
I  i(),  I20,  169,  est  fortbonne;  je  m'étois  seulement  arrêté  à  l'exemple, 
sans  la  considérer  autrement. 

2.  Mais  celle  que  vous  mettez  ensuite,  pour  les  triangles  dont  le 
moindre  côté  dilFère  d'un  quarré  des  deux  autres  ('),  sert  à  la  vérité 
pour  trouver  quelques-uns  de  ces  triangles,  mais  non  pas  pour  les 
trouver  tous,  ainsi  que  vous  prétendez  :  car,  prenant  tous  les  nombres 
<jui  sont  en  proportion  comme  le  quarré  -+-  r  de  quelque  nombre  au 

1')  roirUnre  XLVll,  1. 

(*)  Réponse  à  une  LoUrc  pcnliic,  par  laquelle  l'crinat  avait  répliqué  à  la  précédeuto, 
XLIX. 
-  3)  roir  Lettres  XLVIll.  8  el  XLIX,  6. 
•  ■•)  Cp.  Lettre  XLIX.  5. 


L.  —  6  SEPTEMBRE   1641.  233 

double  —  2  du  même  nombre,  on  ne  trouvera  pas  les  triangles  qui  se 
font  par  29  et  12  ou  par  60  et  298,  et  une  infinité  d'autres;  mais  on 
les  trouvera  tous  par  la  règle  que  vous  mettez  en  l'écrit  particulier  (  ') 
que  vous  avez  envoyé,  qui  se  fait  mettant  pour  un  des  nombres  consti- 
tutifs du  triangle  un  nombre  composé  de  deux  quarrés  premiers  entre 
eux  et  de  divers  ordres. 

Et  cette  dernière  méthode  sert  à  trouver  tous  les  primitifs  dont  les 
côtés  des  quarrés  (-)  sont  comme  d'un  nombre  impair  à  un  autre 
nombre.  Par  exemple,  on  trouvera  par  icelle  qu'il  y  a  deux  triangles 
où  les  côtés  des  quarrés  sont  comme  île  G5  à  un  autre  nombre,  et  dont 
le  moindre  côté  est  différent  d'un  quarré  des  deux  autres  :  savoir  les 
deux  qui  sont  faits  de  65  et  i4  et  de  65  et  24  et  les  autres  qui  sont  en 
même  proportion. 

Mais  si  on  vouloit  tous  les  triangles  primitifs  dont  les  racines  des 
quarrés  sont  comme  d'un  nombre  pair  à  un  impair,  comme  par 
exemple  de  60  à  quelque  autre  nombre,  on  n'y  pourroit  pas  satisfaire 
par  cette  seconde  règle,  sinon  après  un  long  tâtonnement  (•'),  et  la 
première  règle  ne  donne  que  la  raison  de  60  à  1861;  mais  il  y  a  encore 
trois  autres  proportions,  outre  celle-là,  qui  ont  toutes  60  pour  un  de 
leurs  termes. 

J'ai  deux  règles  différentes  dont  chacune  donne  tous  les  triangles 

(  ')  Écrit  perdu.  —  La  première  règle  de  Fermât  consiste  à  prendre  pour  les  nombres 
servant  à  former  le  triangle  rectangle  {voir  page  ■ri'i,  note  i) 

/)  =  r-+i,         q  =  ir  —  ï. 

La  seconde  règle  à  prendre,  r  et  ^  étant  premiers  entre  eux, 

/)  =  r- -i-  .1'' ,  q  =^  ■x( r  —  s) s. 

C  )  Frenicle  appelle  ici  càtés  ou  racines  clex  quarrés  les  nombres  servant  à  former  le 
triangle  rectangle,  désignés  par/>  et  q  dans  la  note  précédente. 
(  '  )  Si  l'on  pose 

/•2-+-  I 

et  q  =  r  —  I, 


■2. 

et  que  l'on  fasse  q  =  60,  on  aura 

r  =  Gi,        /)  =  18G1. 

J-cs  trois  autres  proportions  sont 

Go,     293;         60,     aGg:         Go,      157. 
Fermât.  —  U.  3o 


•i;$V  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  COIUIESPOND ANGE. 

siisilils,  av(M'  ct'llc  (lillV'rciu'c  (]ii('  I'iiik^  l'cgardc  la  j)ro|M)rlioii  qui  coiii- 
nioiu'c  par  un  jiair  et  l'aulrc  relie  (|iii  eouiiiuMire  par  un  iiiipair. 

Kl  celle-ei  n'esl  pas  beaueoup  di  lié  renie  de  voire  dernière  ('),  car, 
avant  pris  un  lrianij;le  priniilil,  je  nie  sers  de  son  hypoténuse  pour  le 
premier  lernie,  el  pour  l'autre,  j'oie  il'un  des  eolés  du  lrianii;le  la  dil- 
i'éronee  de  l'autre  eôlé  à  l'hypoténuse. 

Exemple  :  Que  20,  21,  2Ç)  soit  le  triangle,  29  le  premier  terme;  pour 
l'antre,  j'ote  de  20  la  différence  de  2[  à  2;),  ou  de  21  la  dilVérence  de  20 
à  2(),  et  restera  12.  On  aura  donc  2;)  et  12  dont  les  quarrés  compose- 
ront le  triangle  cherché. 

3.  Voire  premii're  règle  (■)  pour  trouver  trois  quarrés  en  proportion 
arithmétique  a  le  même  défaut  que  la  précédente,  car  on  ne  les  peut 
pas  frouvei'  tous  par  icelle.  Par  exemple,  on  ne  trouvera  pas  les  quar- 
rés de  I,  2(),  'il.  ou  de  17,  53,  7'j.  Mais,  par  la  proposition  que  vous 
mettez  en  l'écrit  particulier,  on  les  peut  tous  comprendre. 

Vous  pouviez  aussi  donner  aisément  par  la  première  règle  le  troi- 
sième quarré,  sans  obliger  à  prendre  la  dilTérence  des  deux  (|uarrés 
trouvés.  Comme  :  en  l'exemple  que  vous  ajjportez,  le  quarré  —  2  de  j 
est  2);  le  quarré  suivant  +1  est  37  :  si  on  vent  avoir  le  troisième 
nombre,  il  faut  ajouter  à  37  le  double  de  5,  et  on  aura  47- 

Si  on  pronoit  4»  son  quarré  —  2  est  r4;  le  quarré  suivant  -f-i  est  2G, 
auquel  ajoutant  8,  double  de  4.  on  aura  34-  Les  trois  nombres,  étant 
l'éduits,  sont  7,  i3,  17. 

La  méthode  dont  je  me  sers  pour  trouver  ces  irois  quarrés  propor- 
tionaux,  est  tout  autre  que  celle-là  ('),  et  voici  comme  on  procède 
pour  les  avoir  tous  : 

I  ')  Celte  rè.ijlo  fie  Frenicle  revient  en  effet  à  la  seconde  de  Fermai. 

(2)  Cp.  Lotirc  XLVIII,  8.  —  La  règle  générale  de  Fermât  parait  avoir  coiisislé  de  fait  à 
prendre  pour  les  racines  des  trois  carrés  lés  nombres  r-  —  a.c-,  /•- -1- an- -t- 21-, 
r^  -t-  irs-i-  2.v2.  La  première  règle  revenait  à  supposer  .r  =  1. 

(')  Cette  règle  de  Frenicle,  revenant  à  prendre  pour  les  racines  des  trois  carrés  en  jiro- 
grcssion  arillmiélique  les  nombres  p^ —  9.prj  —  <j^,  p'^-h  7^,  p-+  opq  —  17^,  concorde  en 
réalité  avec  la  règle  générale  de  Fermai  {voir  note  précédente),  si  l'on  a  /5  =  ;• -h  .t  et 


L.  -  G  SEPTEMBRE   IGil.  233 

L'iiypoléiuise  de  tout  triangle  primitif  sera  le  côté  du  moyen  quarré; 
la  différence  des  deux  côtés  du  triangle  sera  le  moindre  côté,  et  leur 
somme  sera  le  plus  grand. 

Exemple  :  Que  le  triangle  soit  28,  4  j.  J^-  I^e  moyen  côté  sera  l'hy- 
polénuse,  53;  la  diflerence  de  28  à  45,  qui  est  17,  sera  le  moindre,  et 
leur  somme,  7-3,  sera  le  plus  grand.  On  aura  donc  17,  53,  73  pour  les 
racines  des  quarrés  cherchés. 

Et  si  l'on  prend  tous  les  triangles,  commençant  par  le  premier  :  3, 
4,  5,  on  aura  tous  les  dits  quarrés. 

4.  Après  celle  règle  générale,  j'en  ai  considéré  deux  parliculii'res, 
dont  l'une  est  celle  que  vous  proposez  en  l'écrit  particulier,  savoir  que, 
le  moindre  des  trois  quarrés  demeurant  toujours  le  nu^ue,  on  ail  les 
deux  autres  en  une  infinité  de  façons,  et  à  laquelle  vous  croyez  que  je 
n'ai  pas  pris  garde,  quoiqu'il  y  ail  déjii  longtemps  que  je  l'ai  Irouvée, 
lorsque  je  travaillois  aux  triangles  rectangles  : 

Car  lout  nombre  et  chacun  d'iceux  est  la  différence  des  deux  moin- 
dres côtés  d'une  infinité  de  triangles; 

Et  tout  nombre  premier,  dillerent  de  l'unité  d'un  niulliple  de  8,  uu 
composé  desdils  nombres  premiers  seulement,  est  la  différence  des 
moindres  côtés  d'une  infinilé  de  triangles  rectangles  primitifs. 

Et,  y  ayant  des  voies  certaines  pour  trouver  tous  les  triangles  ((ui 
ont  une  même  différence  en  leurs  moindres  côtés,  on  aura  aisément 
tous  les  quarrés  susdits. 

Sur  quoi  il  faut  remarquer  que,  si  le  nombre  proposé,  qui  doit  être 
la  racine  du  moindre  quarré  des  trois  et  qui  doit  être  la  différence  des 
deux  petits  côtés  du  triangle,  n'est  divisible  que  par  un  seul  nombre 
premier  dilférent  de  1  d'un  oclonaire,  comme  sont  7,  4î).  3Vj;  17, 
28(7,  etc.,  le  nombre  sera  la  différence  des  petits  côtés  de  deux  trian- 
gles qu'on  peut  nommer  surprimitifs,  pource  qu'ils  sont  primitifs  des 
primitifs,  car  d'iceux  dépend  l'infinité  des  autres  triangles,  et  ces  deux 
triangles  sont  toujours  les  moindres  dont  l'un  commence  par  un  pair 
et  l'autre  par  un  impair,  et  d'iceux  se  forme  l'infinité  des  autres. 


:>:]0  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

Voici  la  iiiaiiioro  dont  j(>  mo  sers  :  si  je  vrux,  par  exemple,  avoir 
Ions  les  triangles  (lui  oui  7  île  iliiréronee  enire  leurs  moindres  côtés, 
je  eherehe  les  deux  premiers  triangles  qui  ont  cette  dill'érence,  et 
trouve  T.  12,  1  î  et  iS,  i"),  17.  Je  prends  les  racines  des  quarrés  de 
eiiaque  triangle,  savoir  i,  2  et  4.  '•  ^'1  mets  cha()ue  couple  en  tète 
d'une  ciiloune.  J'ai  donc  pour  le  premier  :  3,  2.  Pour  avoir  le  triangle 
suivant,  je  prends  la  plus  grande  racine  du  premier  pour  la  moindre 
du  s(>cond.  savoir  3,  et  pour  la  plus  grande  je  prends  le  double  de  la 
plus  grande  du  premier,  plus  la  moindre.  Ainsi  j'aurai  8,  qui  est 
double  de  3,  -1-  2.  Ce  8  sera  la  moindre  racine  du  troisième  triangle, 
et  la  plus  grande  du  dit  troisième  sera  i<),  qui  est  double  de  8,  +3.  On 
iera  la  même  chose  à  l'autre  couple  4.  '.  et  on  poursuivra  aussi  loin 
(lu'oM  voudra. 


3. 

2 . 

4. 

I . 

8. 

3. 

»• 

r 
4- 

•9- 

8. 

22. 

9- 

46. 

'9- 

53. 

22. 

Ayant  donc  tous  les  triangles  qui  ont  7  pour  différence  de  leurs 
moindres  cotés,  il  sera  facile,  par  ce  qui  a  été  dit  ci-devant,  de  trouver 
tous  les  quarrés  arithmétiquement  proportionaux,  dont  le  moindre 
est  ',<). 

Si  le  susdit  moindre  quarré  étoit  divisible  par  deux  nombres  pre- 
miers de  même  nature  que  les  susdits,  il  y  auroit  (juatre  souches  dont 
tous  les  triangles  dépendroient. 

S'il  étoit  divisible  par  trois  nombres  premiers,  il  y  en  auroit  huit. 
qui  ne  dépendroient  point  l'un  de  l'autre. 

Ktc. 

Ainsi  iGi,  composé  de  7  et  23,  est  la  différence  des  petits  côtés  des 
triangles  surprimitifs  : 


19.    180.    181.    I  60.    221.    22g  I   279.    [\[\0 .    52 


et       4oo.   56 I.   68g, 


et  de  chacun  d'iceux  on  peut  faire  une  infinité  de  triangles  primitifs 
f|iji  auront  le  même  i()i  pour  dill'érence,  et  partant,  le  quarré  de  itii 


L.  —  6   SEPTEMBRE   1C41.  237 

sera  le  moindre  quarré  des  trois  propor(ionaiix  en  une  infinité  de 
sortes. 

Il  faut  excepter  l'unité  de  ce  qui  a  été  dit,  car  elle  sert  bien  de  diffé- 
rence à  une  infinité  de  triangles,  mais  elle  n'a  qu'une  seule  souche, 
qui  est  le  triangle  3,  4,  5,  d'où  dépendent  tous  les  autres. 

On  aura  donc  les  quarrés  proportionaux  (')  dont  les  racines  son! 

ici  : 

7.       .3.        .7. 
7.       73.      io3. 

7.        423.        601 . 

7.   2477.   35o3. 


J 

17 . 

2J. 

1 

97- 

13". 

565. 

799- 

7 

SagS. 

4657- 

et  on  les  peut  continuer  tant  qu'on  voudra  en  continuant  les  trian- 


ûies. 


Voilà  donc  pour  la  première  chose  qui  appartient  aux  dits  quai'rés. 


5.  La  seconde  est  de  trouver  les  dits  trois  quarrés  en  telle  sorte 
qu'ils  soient  comme  enchaînés  l'un  à  l'autre  et  que  le  dernier  et  plus 
grand  des  trois  soit  le  premier  des  trois  suivans  :  comme  on  peut  voir 
en  ces  colonnes,  la  fabrique  desquelles  je  vous  envolerai  au  premier 
voyage;  toutefois  j'estime  que  par  l'inspection  vous  la  jugerez  aisé- 
ment. 

.7.      23. 

3-.  47- 

65.  79. 

79.    101.  119. 

119.    145.  167. 

197.     223. 


I . 

;). 

/  • 

y  ' 

i3. 

•7- 

'7- 

25. 

3i. 

3i. 

4.. 

49- 

49- 

61. 

7'- 

7'- 

85. 

97- 

97- 

ii3. 

117. 

;  • 

23. 


iG- 


I.  29.  |i 

4i.  85.  1(3. 

1 13.  1 73.  217. 

217.  290.  353. 

353.  445.  521. 

32 r .  629.  721 . 


Il  y  a  aussi  des  voies  pour  avoir  les  différences  égales  desdits  quar- 
rés :  car,  en  la  première  colonne,  si  on  multiplie  i\  par  les  sommes  de 
tous  les  quarrés,  lesquelles  sommes  sont  i,  5,  \\,  3o,  etc.,  on  aura 


(')Frcniclo    reprend   la    construction    de    trois    carrés    en   progression   arithmétique 
d'après  les  séries  de  Iriingles  commençant  par  5,  12,  i3;  8,  i5,  17. 


•238  ŒTVRES   DK   FKItMAT.  -  COHUESPONDANCE. 

les  diUorencos  des  quarrés,  vl  (M1  la  socoiule  coloiiiu',  il  laiidroil  imil- 
liplior  2'|  par  los  sommes  des  soiils  qiiarrés  impairs.  • 

Il  y  a  d'antres  choses  à  cniisidérer  lii-dessiis,  (jiie  je  n'ai  pas  iiiaiiile- 
naiil  le  loisir  de  déduire  plus  au  loui;'. 

6.  Me  voici  niaiiileuaut  ii  l'eudroil  de  voire  i.cKre,  aïKpiel  vous 
parlez  tles  iKUiiljres  (jui  sont  la  soaunc  des  deux  petits  colés  d'un 
triangle  (^')  et,  sur  ce  sujet,  je  vous  dois  ôter  de  l'opinion  que  vous  avez 
que  je  ne  susse  pas  que  cliacun  de  ces  nombres  peut  siM'vir  de  diffé- 
rence à  une  infinité  de  ([narrés  et  de  doubles  quarrés.  Vous  vous  êtes 
fondé  sur  un  avertissement  que  je  donnois,  que  les  dits  nombres  sont 
toujours  deux  l'ois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré; 
mais  je  n'ai  pas  dit  qu'ils  fussent  seulement  deux  fois  la  différence 
d'un  quarré  et  d'un  double  quarré,  comme  vous  croyez  avoir  lu.  Il 
faudroit  avoir  bien  peu  de  pratique  aux  nombres  pour  ne  s'être  pas 
aperçu  d'abord  que  7  est  quatre  fois  la  différence  entre  de  fort  petits 
nombres  :  savoir  entre  i  et  8,  2  et  9,  18  et  25,  23  et  32.  Et  je  ne  vous 
ai  pas  coté  cela  pour  une  propriété  des  dits  nombres;  mais,  vous  ayant 
demandé  le  moyen  de  trouver  le  triangle  dont  un  nombre  donné  est  la 
somme  des  côtés,  sans  avoir  les  quarrés  et  doubles  quarrés  dont  il  est 
la  dinérence  (-),  il  falloit  vous  avertir  que  les  dits  nombres  étoient 
toujours  deux  fois  la  différence  d'un  (juarré  et  d'un  double  quarré. 

Car  il  y  a  deux  couples  dont  je  me  sers  pour  avoir  le  dit  triangle. 
Par  exemple,  pour  avoir  le  triangle  dont  7  est  la  somme  des  deux 
côtés,  je  me  sers  de  i  et  8,  et  de  2  et  9.  Et,  pource  que  j'étois  pressé, 
je  n'eus  pas  le  loisir  de  m'éidaircir  davantage.  Je  n'entends  pas  que  les 
dits  couples  soient  2,  9  et  r8,  2"),  comme  vous  avez  cru,  mais  i,  8  et 
2,  9;  et  ce  que  j'observe  en  ceci  est  que  les  dites  sommes  sont  deux 
fois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  ((uarré,  en  chaque  couple 
desquels  il  y  a  un  nombre  moindre  que  la  différence  donnée  :  savoir, 
il  un  des  couples  le  quarré  est  moindre,  et  à  l'autre  couple  c'est  le 

(  ')  f'oir  Leltrcs  XLVlll,  11,  el  XI.IX,  9. 
(î)  Foir  Lettre  XLIX.  10. 


L.  —  G   SEPTEMI5UE   IGil.  -239 

double  qiiarré.  Gela  s'observe  toujours  aiusi;  et  aux  nombres  qui  sont 
composés  de  deux  nombres  premiers,  comme  119,  il  a  quatre  couples, 
dont  un  des  nombres  est  moindre  que  119.  Et  voilà  la  méthode  dont 
je  me  sers  pour  voir  quels  sont  les  couples  utiles  pour  faire  les  trian- 
gles, car  ce  sont  ceux  auxquels  un  des  nombres  est  moindre  que  la 
diiïérence. 

Ainsi,  h  17,  les  deux  couples  utiles  sont  i,  18  et  8,  2/),  à  (diacun 
desquels  couples  il  y  a  un  nombre  moindre  que  17,  et,  selon  votre  mé- 
thode même,  on  se  servira  aussi  bien  de  i,  18  que  de  21,  8.  Car  si  à 
2j,  8,  on  prend  2  et  la  différence  de  5  à  2,  de  même  à  r,  18,  on  aura  3 
et  la  dilleroncc  de  1  ii  3,  et  on  aura,  en  l'une  et  l'autre  sorte,  les  mêmes, 
nombres  2,  3. 

De  même,  si  on  donnoit  iGr,  on  auroit  quatre  couples,  savoir  : 

I.    162  I  8.    169  I  81.   242  I    128.   289, 

il  chacun  desquels  il  y  a  un  nombre  moindre  que  lOi . 

Et,  pour  trouver  les  triangles,  je  me  sers  des  racines  des  doubles 
(juarrés,  car  elles  sont  les  racines  des  quarrés  qui  composent  l'hypo- 
ténuse. Ainsi  à  17,  on  aura  1  et  3,  racines  des  doubles  quarrés  8,  18  ; 
mais,  quand  il  y  en  a  quatre,  comme  à  161,  je  prends  les  extrêmes,  sa- 
voir 9,  8,  et  celles  du  milieu,  2,  ir,  qui  donneront  les  triangles  :  17, 
\'\\,  145,  et  44,  117,  I2J. 


1 .    1G2 

I . 

9 

169.       8 

i3. 

0 

81.    242 

9- 

1 1 

289.    128 

'7- 

8 

Pour  avoir  le  coté  pair  du  triangle,  il  faut  prendre  le  double  du  pro- 
duit des  racines  susdites  des  doubles  quarrés  :  ainsi  le  double  de  9 
par  8  est  i44.  et  le  double  de  2  par  1 1  est  44- 

Mais  pour  le  coté  impair,  on  prend  le  produit  des  racines  des  quarrés 
simples  :  ainsi  r  par  17  donne  17,  et  9  par  i3  donne  117,  le  premier 
pour  le  triangle  17,  \\\,  i4n  le  second  pour  44»  '17»  i2">. 


•i'iO  (KlIVRES   l)i:   IKKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

1-  Vous  voyoz  si  j'ai  eu  raison  de  dire  (\in^  les  nomhrcs  susdits  sont 
la  dilTcrciit'o  de  (Icii.v  couplos  (iiiaiid  ils  son!  preniicr's,  (■(  de  (/tiafre 
couples  lorsqu'ils  sont  divisibles  par  deux  nombres  premiers.  iMais  ce 
(|ui  le  nioiilrera  (Micore  mieux  est  la  façon  de  Irouver  fous  les  couples 
donl  un  des  dits  nombres  est  la  dillérence  :  car,  selon  ma  méthode, 
il  est  nécessaire  iravoir  ces  deux  couples  qui  l'ont  comme  deux 
souches. 

Kxemple  :  O/i  me  demande  tous  les  quanès  et  doubles  tjuarrés  dont  ~j 
est  la  différence.  Je  cherche  les  deux  couples  utiles  \\  chacun  desquels 
il  y  a  un  nombre  moindre  que  7;  j'aurai  1,8  et  9,  2.  Je  prends  leurs 
racines  et  en  fais  deux  colonnes  séparées  comme  on  voit  ici  : 

Quarrés.      Doubles  quarrés. 


I 

5 

1 1 

27 

65 

i57 


2 

3 

8 

'9 

1 1 1 


QuaiTos. 

Doub 

es  quarrés 

3 

1 

5 

4 

i3 

9 

3i 

22 

73 

53 

i8i 

128 

e(  mets  en  chaque  colonne  les  racines  des  quarrés  d'un  ccMé  et  celles 
des  doubles  quarrés  de  l'autre.  J'ai  donc  d'un  côté  1,2;  pour  avoir  les 
racines  des  couples  suivans,  je  prends  la  somme  de  i,  2,  qui  est  3, 
pour  la  racine  du  double  quarré,  et  la  somme  des  racines  des  deux 
doubles  quarrés  prochains  pour  la  racine  du  quarré.  Ainsi  la  somme 
lie  1 ,  2  est  3,  et  celle  de  3,  2  est  .5  :  j'ai  donc  5  et  3.  Pour  le  troisième 
couple,  la  somme  de  5,  3  est  8,  celle  de  8  et  3  est  11.  On  poursuit 
ainsi  autant  qu'on  veut,  et  l'autre  colonne  qui  commence  par  3,  i,  se 
fait  de  même. 

A  chaque  colonne  la  rangée  de  main  droite,  dont  les  nombres  sont 
pairs  et  impairs  alternativement,  contient  les  racines  des  doubles  quar- 
rés, lesquels  sont  plus  grands  que  les  quarrés,  lorsque  la  racine  du 
double  quarré  est  paire,  comme  i ,  2  et  1  r ,  8  ;  mais  le  double  quarré  est 
moindre  quand  sa  racine  est  impaire,  ce  qui  a  lieu  lorsque  le  moindre 
quarré  des  deux  qui  composent  l'hypoténuse  du  triangle  dont  la  dite 


L.  —  6  SEPTEMBRE    1641.  2il 

difTéronce  est  la  somme  des  côtés,  est  impair,  comme  à  3,  4.  5;  mais 
c'est  le  rebours,  quand  le  moindre  quarré  est  pair,  comme  au  triangle 
5,  12,  i3. 

8.  Je  laisse  le  reste  pour  le  premier  voyage,  auquel  je  vous  envolerai 
aussi  la  méthode  dont  je  me  sers  pour  former  les  triangles  relatifs  en 
différence  ('),  comme  i  i.  Go,  Gi  et  i  19,  120,  iCk);  car  je  ne  me  sers 
pas  des  trois  quarrés  proportionaux. 

Voici  seulement  ce  que  je  vous  proposerai  : 

i"  Trouver  le  moindre  nombre  qui  soit  autant  de  fois  qu'on  roudra.  et 
non  plus,  la  somme  de  deux  quarrés  (-). 

2"  Trouver  un  triangle  auquel  le  double  du  quarré  du  petit  côté  étant 
ôté  du  quarré  de  la  différence  des  deux  moindres  côtés,  il  reste  un  quarré. 
Par  exemple,  si  le  triangle  cherché  étoit  7,  24,  2j,  il  faudroit  qu'otant 
98  de  289,  le  reste  191  fût  un  quarré. 

3"  Trouver  un  nonibie  qui  serve  d' hypoténuse  à  tant  de  triangles  <pion 
voudra,  et  non  plus  à  chacun  desquels  le  produit  du  moindre  côté  par 
l' hypoténuse  soit  plus  grand  que  le  quarré  du  moyen  côté. 

'1"  Trouver  les  bornes  des  proportions  que  les  racines  des  quarrés  consti- 
tutifs des  triangles  doivent  avoir  l'une  à  l'autre,  afin  que  les  triangles 
aient  la  propriété  du  troisième  problème. 

Pour  ceci,  il  y  a  autant  de  danger  que  les  racines  pèchent  en  excès 
qu'en  défaut,  mais  elles  ont  un  espace  assez  grand  pour  s'égayer,  et 
elles  ne  sont  pas  gênées  comme  à  l'autre  limitation  que  vous  m'avez 
envoyée.  Si  les  racines  sont  en  proportion  double  ou  moindre,  ou  si 
elles  sont  en  proportion  triple  ou  plus  grande,  les  triangles  n'auront 
pas  ladite  propriété.  Entre  ces  deux  proportions,  il  y  a  un  grand  espace 
qui  contient  une  infinité  de  proportions  propres  à  ces  triangles,  lequel 
pourtant  n'est  pas  si  grand  que  la  différence  et  intervalle  des  propor- 
tions double  et  triple,  mais  est  un  peu  plus  rétréci. 

(')  l'hoir  LcUrcs  XLVIII,  8,  cl  XI.IX,  6. 

(2)  yoir  l'Observation  VII  sur  Diophaiile,  t.  I,  p.  29G. 

U.  —  Peuuat.  3i 


■ivî         (i: i  \  Il !•: s  n k  f i-: u m  vt.  -  c o u u e s p o n d a n c e. 

9.  Vous  irav.v.  pas  pris  gardo  (iiu-  je  vous  avois  proposo,  par  ma 
pivotMliMUe  ^'  ).  tlo  fairo  la  mémo  choso  de  rcncoinlo  cnlièro  du  triangle, 
.[uo  vous  demamlioz  de  la  somme  des  deux  moindres  eôtés. 

■le  suis  etc. 

(M  l.ollre  XI.IX.  10. 


LI.  -    10  NOVEMBRE    \Gk-2.  2i3 


ANNÉ-E    1642. 


LI. 
FKR.MAT  A  MERSKNNE  ('). 

LL'XDl    10    NOVEMBRE    16i2. 

(A,  f°  3o;  D,  f»  .7  r«.) 

Mon  Ri;viiur.Mt  Pkhi:, 

1.  Bion  que  la  colore  du  refus  de  31.  le  Chancelier  {-)  me  dure,  je 
ne  veux  pas  rester  de  vous  obéir  et  chercher  toutes  les  occasions  à 
vous  donner  des  preuves  de  mon  alFection  et  de  mon  service. 

2.  J'ai  reçu  ces  jours  passés  une  lettre  de  M.  de  (Jarcavi,  par  laquelle 
il  me  demande  une  question  que  31.  de  Roberval  a  résolue  et  h  hujuelle 
il  a  allaché  cet  éloge  :  Magni  (juidem  facicnda  iitvenlio,  scd  niaxinn  dr- 
monslrnlio  geometrica,  nec  adeo  facilis  ab  analysi  ad  synthesin  régressas, 
at  quidam  imperiti.  re  non  satis perspecta,  e.xistimarunt . 

Cela  m'a  obligé  d'y  travailler  et  de  l'envoyer  par  le  précédent  cour- 
rier il  31.  de  (]arcavi;  mais,  pource  que  peut-être  il  ne  se  soiiviendroit 
pas  de  vous  en  faire  part  et  (|ue  même,  en  l'écrivant  à  la  hâte,  il  m'a 
semblé  que  j'y  ai  mis  (juelque  chose  de  supertlu,  je  vous  l'envoie 
comme  elle  doit  être  ('). 

(  '  )  Lclli'c  inédite. 

(2)  11  s'agit  d'une  nomination  qu'attendait  l<'erniat  (J'oir  Lollre  LU,  2),  probablement 
pour  sortir  des  cliambres  des  enquêtes  et  entrer  dans  celle  de  l'édit. 

(')  La  pièce  dont  il  s'agit  est  imprimée  dans  le  tome  I,  p.  itJ7  et  sui\.  La  ipiestion  ré- 
solue par  Roberval  et  traitée  par  l-'ermat  est  la  construction  du  cylindre  de  surface  raaxinia 
inscrit  dans  une  sphère  donnée. 


■2\\  (Kl  Vil i: S    DK    FKUM  Vr.  -  COHUKSI'ONDANf.E. 

3.  J'iillcnds  api'i's  cela  li'  Livi'(>  m()uv(\tu  tic  l'Auglois  (')  cl  vous  con- 
jure lie  111"  vous  rchud'r  pas  lic  (|uoi  je  ne  vous  ai  pas  envoyé  mon  juge- 
ment lie  l'an! ri'.  Vous  savez  mes  raisons,  que  je  vous  ai  déjà  allé- 
guées. 

4.  Vous  m'obligerez  de  me  dire  pourquoi  je  n'ai  pas  ou  réponse 
do  M.  (le  C.liampbon,  el  de  l)aiser  les  mains  de  ma  part  à  MM.  de  My- 
doriïo  el  Desai'iîues. 

5.  Souvenez-vous  de  la  eommunieation  des  écrits  de  M.  Freniele, 
pour  l'amour  du(]uel  j'ai  travaillé  après  les  nombres,  et  je  m'assure 
(|ue  je  vous  persuaderai  (|uel([ue  jour  (jue  mon  travail  n'a  ]»as  été 
inutile. 

6.  Je  ne  sais  j)as  en  quelle  posture  je  serai  dans  l'esprit  de  M.  de  La 
Chambre  depuis  que  la  commission  de  Castres  a  si  mal  réussi. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  alTectionné  serviteur, 

Fermât. 

Ce  10  novembre  i64'.i. 
Tournez  pour  le  problème  ( -). 

(  '  I  Dans  la  correspondance  de  celle  époque  cnlre  Dcscarles  et  Mersenne,  l'expression 
(le  «  l'Anglois  »  désigne  Hobbes,  qui  a  donné  en  iG4'2  la  première  édition  de  son  De  cive  : 
on  y  trouve  également  mentionné  un  antre  auteur  de  la  même  nationalité,  Tliomas  Wliilc 
(  f'itiix),  qui  publia,  la  môme  année,  ses  De  inundo  dinloi^i  très,  où  Descartes  était  critiqué. 
C'est  peut-filre  l'ouvrage  sur  lequel  Fermai  refusait  de  donner  son  jugement. 

I')  f'oir  page  précédente,  note  'J. 


LU.  -  ANNEE  1043.  2'io 


ANNÉE    1643. 


LU. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

MARDI    13    JANVIER     1GV3. 

(A,  f-  ij-i6.) 

Mon  Ricvérknd  PÈp.f;, 

1-  J'envoyai  par  le  dernier  courrier  mon  Isagoge  ad  locos  ad  supcr- 
ficicm  (^)  à  M.  de  Carcavi,  de  laquelle  il  ne  manquera  pas  de  vous  faire 
part.  Vous  y  trouverez  des  propositions  aussi  belles  que  laGéométrie  en 
puisse  produire  et,  bien  que  mon  discours  soit  concis,  il  m'a  semblé 
que  je  n'en  devois  pas  dire  davantage,  s'agissant  d'une  méthode  géné- 
rale de  laquelle  les  exemples  et  l'usage  peuvent  èlre  iniinis. 

Je  m'imagine  même  que  cette  matière  n'a  pas  été  exactement  connue 
des  anciens;  car,  qu'y  a-t-il  dit  dans  tous  leurs  JJvres  en  fait  de  lieux, 
qui  vaille  la  proposition  suivante,  par  exemple? 

Dalis  quollibet  punclis  in  uno  vel  diversis  planis,  irwenire  sphœram.  in 
cujits  superficie  sumendo  quolUbel  punctum  et  ah  co  ducendo  rectas  ad 
puncla  omnia  data,  quadrata  ductaram  sirmd  sumpta  œquentur  spatio 
dalo  (/  ). 

Et  toutefois  la  construction  en  est  aisée  par  ma  méthode,  et  non  seu- 
lement cette  proposition  a  été  par  moi  découverte,  mais  la  voie  géné- 

(  ')  Lellre  inédilo. 

(2)  Tome  I,  p.  III  cl  suiv.  Celle  Isagogc  est  en  cITcldalée  du  6  janvier  i6iî. 

(■')  Cp.  Tome  I,  p.  ii3  :  ,SV'  a  qiiotcumq'.ie  puiictit  etc. 


246  ŒUVRES  DE  FEllMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

raie  |)oiir  ni  Iroiivcr  iiitiiiics.  Vous  me  dire/  volro  senliinciil  de  mon 
|>i'tit  Traiti'.  cl  celui  de  MAI.  les  aud'cs  savan(s. 

2.  ('.c|icndaiit  n'oiiMicz  pas  de  nreiivoyer  le  livre  (juc  vous  m'avez 
promis  ('),  ni  de  me  dire  pour(juoi  je  n'ai  pas  eu  de  réponse  do  M.  de 
Champhon. 

\i\\  adcndanl  (|ue  vous  preniez  voire  temps  de  parler  |)Oui'  moi  lors- 
(|uc  l'occasion  s'en  otlVira.  je  vous  j)rie  de  savoir  de  M.  de  La  Cliamlire 
(|u'esl-cc  (]ui  empêcha  ma  nomination  l'année  passée,  et  me  donner 
avis  de  la  réponse  qu'il  vous  fera  là  dessus,  alîn  que  je  sache  s'il  a  joué 
de  galimatias,  ou  s'il  a  eu  vérilaldemenl  pensée  de  m'obligcr. 

3.  l.a  pi'oposilion  du  plus  grand  cône  en  superficie  qui  peut  rire  inscrit 
en  hi  sphère,  et  (|ue  j'avois  demandée  ii  Al.  de  Roberval  par  la  voie  de 
M.  de  Carcavi  en  revanche  de  celle  du  cylindre  qu'il  m'avoit.  deman- 
dée (-),  ne  m'a  pas  été  encore  envoyée.  S'il  me  l'envoie,  je  vous  en 
ferai  part;  mais  ce  n'est  pas  à  dire  que  je  ne  sois  en  état  de  vous  la 
faire  tenir,  s'il  ne  me  relève  pas  de  ce  travail  par  sa  construction. 

4.  La  proporlion  du  cône,  que  le  triangle  équilatéral  fait .  à  la  sphère 
est  aisée,  puisque  les  deux  termes  sont  donnés  en  même  espèce  de 
corps,  car  la  sphère  peut  se  réduire  en  un  cône  par  les  propositions 
d'Archimède.  Or,  quand  les  deux  termes  sont  donnés,  vous  ne  doutez 
|)as  (jue  la  proportion  ne  soit  donnée;  vous  n'ignorez  pas  la  méthode 
de  mettre  toutes  proportions,  quoique  irralionelles,  en  nombres  entiers 
et  approchés  si  prî's  qu'on  voudra.  Néanmoins,  si  vous  voulez  celle-ci 
de  moi,  en  tel  nombre  de  ligures  de  chill're  qu'il  vous  plaira,  je  vous 
la  dresserai. 

5.  Vous  m'obligerez  de  m'envoyer  les  épitaphes  de  feu  M.  le  Cardi- 
nal que  vous  tr'ouverez  les  meilleurs,  ii  la  réserve  de  celui  qui  finit  : 

Phiudento  coroiia.  Valclc  dixil, 
que  j'ai  déjii  vu. 

('}  /"("■/■  LvAUt:  Ll,  3  ol  4 
(5;  J'oir  LeUri;  1,1,  2. 


LUI.  —   ANNEE   16i3.  2V7 

Je  suis  de  loul  mon  cœur,  mon  Révérend  Père, 

Votre  elc., 

Ferjiat. 

A  Toulouse,  ce  i3  janvier  iGi3. 

6.  Je  vous  prie  de  presser  M.  de  Carcavi  pour  le  Pappus  manuscril, 
et  pour  les  propositions  que  M.  de  Saint-Martin  a  de  M.  Frenicle  ('). 


LUI. 

FERMAT  A  CARCAVI  {-). 
<  16i3  > 

(fa,    p.    178.) 

MoxsncLu, 

1.  Vous  m'obligez  toujours  et  je  connois,  dans  la  continuation  de 
vos  soins,  celle  de  votre  afFection,  de  quoi  je  vous  rends  mille  grâces. 

Pour  la  Géométrie,  je  n'ose  pas  encore  m'y  attacher  fortement 
depuis  mon  incommodité  :  je  n'aurai  pourtant  pas  beaucoup  de  peine 
à  trouver  les  deux  de  vos  propositions  (■');  pour  celle  de  la  parabole, 
je  ne  l'ai  pas  examinée,  ni  tentée. 

2.  Je  remets  tout  ceci  à  ma  première  commodité;  mais,  de  peur  que 
vous  ne  m'accusiez  de  n'envoyer  rien  de  mon  invention,  je  vous  envoie 
trois  nombres  parmi  plusieurs  autres  que  j'ai  trouvés,  dont  les  parties 
aliquotes  font  le  multiple. 

(1)  rail-  Lettre  U\',  3  et  4. 

(2)  Nous  avons  conservé  à  celte  Lettre,  dont  la  date  est  incertaine,  le  numéro  qui  lui 
a  été  assigné  dans  la  Table  du  Tome  L  page  4^9;  mais,  après  nouvel  examen,  elle  nous 
parait  avoir  été  écrite  entre  la  Lettre  LVIII  du  3i  mai  1643  et  la  Lettre  LIX  non  datée; 
elle  peut  donc  n'être  pas  antérieure  au  mois  d'août  i643. 

(3)  Ces  propositions  paraissent  bien  différentes  do  celles  dont  il  est  parlé  Lettre  LIV,  1. 
Nous  n'avons  pu  trouver  d'autres  renseignements  ni  sur  les  unes,  ni  sur  les  autres. 


'2kS  ŒUVHKS  1)K   FEU  MAT.  -  CORHESPON  DANCE. 

"*      Le  nombre  suivant  ost  soiis-triplc  do  sos  parties  alicjiiotos  : 

\!\  ()42  l'.îS  37GG41  920, 
Cehii-ci  ai  sous-quadruple  : 

1  803  58-.Î  780  3^0  364  661  760, 

pt  folni-i'i  aussi  : 

87  934 '17G  787  6()8  o55  o^o. 

Puis([ucje  me  trouve  sur  coKo  matière,  en  voici  deux  que  j'ai  elioisis 
parmi  mo'i  soas-qui/ituples  : 

Le  premier  se  produit  des  nombres  suivants  multipliés  entre  eux  : 

8 388 608,  -iSoi,  ?.4oi,  2197,  2187,   i33i,  4^7,  307,  289,  241,  i25,  fii,  4',  3i, 

cl  l'autre  se  produit  des  nombres  suivants  multipliés  entre  eux  : 
134217728,  243,  1G9,  127,   120,  ii3,  61,  43,  3i,  39,  19,   II,  7. 

Lji  voiei  encore  un  sous-rlouhle  de  ses  parties,  de  mon  invention, 
ie(|uel,  multiplié  par  J,  l'ait  un  sous-lriplc  :  le  dit  nombre  est 

5i  001  180  160. 

3.  ("."est  parmi  quantité  d'autres  que  j'ai  trouvés,  que  j'ai  choisi 
par  avance  ceux-ci  pour  vous  eu  faire  part,  afin  que  vous  en  puissiez 
juger  |)ar  cet  éclianlilloa.  J'ai  trouvé  la  méthode  générale  pour  trouver 
Idus  les  possibles,  de  quoi  je  suis  assuré  que  M.  deRoberval  sera  étonné 
et  le  bon  Pi're  Mersenne  aussi;  car  il  n'y  a  certainement  quoi  que  ce 
soit  dans  toutes  les  Mathématiques  plus  difficile  que  ceci,  et  hors 
M.  de  Frenicle  et  peut-être  j\L  Descartes,  je  doute  que  personne  en 
connoisse  le  secret,  qui  pourtant  ne  le  sera  pas  pour  vous,  non  plus 
que  mille  autres  inventions,  dont  je  pourrai  vous  entretenir  une 
autre  fois. 

4-  Kl  pour  excitei'  par  mon  exemple  les  savants  du  pays  oii  vous 
êtes,  je  leur  propose  (  '  )  de  trouver  autant  de  triangles  en  nombre  qu'on 

(')  f'oir  l'Observation  XXIII  sur  DiophaïUc.  —  Cp.  LfUrc  KVIII,  3. 


LIV.  -   JANVIER    1643.  2W 

voudra  de  même  aire,  ce  que  Diophante  ni  Viète  n'ont  trouvé  que  pour 
trois  seulement. 
Je  suis,  etc. 


LIV. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

<    27    JANVIER    1G43    > 

(A,  f°  33;  D,  f°  i4  v.) 

Mon  Révérend  Père, 

1.  Je  vous  rends  mille  grâces  de  votre  souvenir  et  dos  proposi- 
(ions  (  ^)  que  vous  m'avez  fait  la  faveur  de  m'envoyer. 

Celles  de  la  parabole,  de  l'hélice  et  du  conoïde  parabolique  sont  si 
visiblement  fausses  que  ce  seroit  perdre  le  temps  que  de  les  réfuter. 
Néanmoins,  si  vous  me  l'ordonnez,  je  le  ferai. 

2.  Je  m'imagine  que  vous  avez  vu  maintenant  mes  Lieux  ad  supcr- 
ftciem  (').  Pourvu  qu'on  ne  m'écrive  pas  qu'on  lès  savoit  auparavant 
que  d'avoir  vu  mon  Discours,  comme  on  a  ci-devant  fait  de  quelques- 
unes  de  mes  pièces,  je  serai  assez  satisfait;  du  reste,  vous  et  ceux  qui 
les  verront,  en  serez  les  juges. 

Je  dois  maintenant  répondre  aux  deux  questions  numériques  de 
M.  de  Saint-Martin  ('). 

3.  La  première  est  de  (roiwer  trois  triangles  rectangles  desquels  les 
aires  fassent  les  trois  côtés  d'un  triangle  rectangle  (^). 

(')  Letlre  inédite,  non  datée,  mais  qui,  intermédiaire  entre  la  Lettre  LU  du  i3  janvier 
el  la  Letlre  LV  du  i6  février  i643,  doit  être  du  27  janvier  ou  du  3  février,  jours  de  cour- 
rier. Nous  avons  supposé  la  première  de  ces  deux  dates. 

(2)  Nous  n'avons  trouvé  aucune  autre  indication  sur  ces  propositions. 

(3)  Fo(>  Lettre  LU,  1. 
(*)  Foir  Lettre  L!I,  6. 

(5 1  Foir  l'Observation  XXIX  sur  Diophante,  Tome  I,  p.  32 1. 

Fermât.  —  M.  32 


•2.i0  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORK ESP(3N UANCE. 

l.os  (rois  triangles  qu'on  demande  sont  ceux-ci  : 

a4o5,  3397,    igG.         22i3,  22o5,   188.         23o5,  23o3,  96. 

S'il  (Ml  veut  d'autres  (|ui  satisfassent  à  la  question,  je  lui  eu  puis 
fournir  infinis  et,  s'il  veut  uia  méthode  pour  les  trouver,  je  lui  eu  ferai 
pari.  Cependant  il  pourra  éprouver  si  les  trois  que  je  lui  envoie  satis- 
font h  ladite  (juestion. 

4.  La  seconde  question  est  celle-ci  {' )  ■  Un  nombre  étant  donné, 
déterminer  combien  de  fois  il  est  ht  différence  des  côtés  d'an  triangle  qui 
ail  un  (jiiarré pour  différence  de  son  petit  côté  aux  deux  autres  côtés.  Le 
nombre  qu'il  donne  est  i  8o3Goi  800. 

Je  réponds  qu'en  l'exemple  proposé,  il  y  a  243  triangles  qui  satisfont 
à  ta  question,  et  qu'il  n'y  en  peut  pas  avoir  davantage. 

La  méthode  universelle  dont  je  lui  ferai  part,  s'il  me  l'ordonne,  est 
lieiie  et  digne  de  remarque,  bien  que  je  ne  doute  point  que  M.  Freniele 
ne  lui  ait  baillé  tout  ce  qui  concerne  ces  questions. 

Je  ne  vous  envoie  ces  deux  solutions  que  pour  vous  faire  voir  que 
les  mystères  numériques  de  M.  Freniele  me  doivent  être  communiqués 
aussi  tôt  qu'à  tout  autre,  et  que  M.  de  Saint-Martin  n'y  doit  pas  faire 
difficulté. 

5.  Je  vous  prie  m'euvoyer  au  plus  tôt  le  livre  que  vous  m'avez  pro- 
mis (  -),  et  faire  en  sorte  que  M.  de  Carcavi  me  fasse  copier  la  réponse 
pour  que  je  la  puisse  voir. 

Je  prendrai  la  liberté  d'écrire  par  la  première  commodité  à  M.  de 
Saint-Martin  sur  l'occasion  de  ces  deux  questions  qu'il  a  voulu  m'étre 
proposées. 

Cependant  je  vous  prie  me  croire  toujours,  Monsieur, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteur, 


Fermât. 


(  '  )  Cp.  LeUre  L,  2. 

(î)  Cp.  Lellres  LI,  3  el  LU,  2. 


i 


LV.  -  10   FEVniER    1G'»3.  2ot 

6.  Vous  ne  m'écrivez  pas  à  quoi  il  a  tenu  que  je  n'aie  pas  eu  de 
réponse  de  M.  l'abbé  de  Champbon  (')  depuis  si  longtemps,  ni  si 
vous  avez  parlé  à  M.  de  La  Chambre,  duquel  je  voudrois,  avant  que 
rien  tenter  pour  moi,  que  vous  sussiez  à  quoi  la  chose  tint  Tannée 
passée. 


LV. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

LUN'Dt    IG    FÉVnlER     1GV3. 

(A,  f»-   17-18;    B,  f"   23  V.) 

Mon  Révérend  Père, 

1-  Je  vous  remercie  de  vos  soins  h  l'endroit  de  M.  de  La  Ciianilire,  et 
il  lui-même  de  ceux  qu'il  prit  à  Lyon  pour  moi.  M.  deMarmiesse,  noire 
avocat-général,  m'ayant  confirmé  ce  que  vous  venez  de  m'écrire,  lors- 
qu'il sera  temps,  je  ne  doute  point  qu'il  n'ait  assez  de  crédit  pour  fiiire 
tenir  cette  vieille  promesse  que  3L  le  Chancelier  a  faite  depuis  si  long- 
temps en  ma  faveur  ('). 

2.  Je  suis  bien  aise  que  mes  solutions  (*)  aient  plu  a  M.  de  Saint- 
Martin;  elles  sont  purement  de  mon  invention,  et  M.  de  Frenide  le 
pourra  assurer  que  j'ai  trouvé  par  ma  méthode  la  solution  de  tout  ce 
qu'il  m'avoit  proposé  sur  pareil  sujet.  Ce  n'est  pas  qu'il  ne  l'eût  trouvé 
sans  doute  longtemps  auparavant,  mais  j'ai  eu  assez  de  bonheur  pour 
découvrir  par  d'autres  voies  ou  quelquefois  par  les  mêmes  ce  qu'il  me 
proposoit,  et  je  crois  que  les  démonstrations  de  toutes  ces  proposi- 
tions pourront  malaisément  venir  d'ailleurs  que  de  moi,  si  je  ne  me 
trompe. 

(')  Cp.  LeUres  Ll,  4  cl  6;  LU,  2. 
(,')  LeUro  incdile. 

(3)  Cp.  LeUres  LI,  1;  LU,  2;  LIV,  6. 
(M  roir  Lettre  LIV,  3  et  4. 


■2:yl  ŒllVRKS    l)K   FKUMAT.        COUHESPON 1) ANCE. 

3.  Si  >[.  de  Sailli-Martin  ost  exercé  aux  questions  des  nombres, 
voici  ce  que  je  prends  la  liberté  de  lui  proposer  en  revancbe  de  ses 
deux  questions  : 

Tramer  deux  triangles  rectangles  dont  les  aires  soient  en  raison  donnée, 
en  sorte  que  les  deux  petits  eûtes  du  plus  grand  triangle  diffèrent  par 
t  unité. 

Trouver  deux  triangles  rectangles  en  sorte  que  le  contenu  sous  le  plus 
grand  côté  de  i un  et  sous  le  plus  petit  du  niênw  soit  en  raison  donnée  au 
contenu  sous  le  plus  grand  et  le  plus  petit  côté  de  l'autre  ('  ). 

Après  qu'il  aura  résolu  ces  deux  questions,  je  lui  en  fournirai  de 
plus  difficiles. 

4.  Que  s'il  croyoit  que  les  solutions  des  deux  que  je  lui  ai  données 
ne  soient  pas  de  moi,  il  m'obligera  de  choisir  des  plus  difficiles  qui 
sont  résolues  dans  les  écrits  qu'il  a  de  M.  Frenicle,  et,  si  je  n'en  fais 
pas  la  solution,  je  consens  de  ne  voir  point  le  dit  travail  de  M.  Frenicle, 
que  je  désire  plutôt  voir  pour  apprendre  quelles  sont  les  questions, 
que  pour  la  solution  qu'il  en  donne.  Ce  n'est  pas  que  je  ne  l'estime 
beaucoup,  mais  c'est  que  je  m'imagine  que  je  n'aurai  pas  beaucoup 
de  peine  à  la  trouver. 

Si  je  puis  trouver  du  loisir  pour  satisfaire  au  désir  de  M.  de  Saint- 
Martin  sur  le  sujet  de  ma  méthode  de  maximis  et  minimis  et  sur  celle 
dont  je  me  sers  à  la  résolution  de  ses  questions  numériques,  je  serai 
ravi  de  lui  plaire  et  à  vous  qui  me  l'ordonnez. 

5.  Pour  les  lignes  courbes  auxquelles  vous  m'écrivez  que  M.  de  Ro- 
berval  a  trouvé  d'autres  lignes  égales,  sur  lequel  sujet  vous  m'allé- 
guez l'hélice  (-),  j'appréhende  qu'il  y  aura  de  l'équivoque.  H  semble 
d'abord,   par  la   raison   des  inscrites  et  circonscrites,   que   l'hélice 

(•)  P'oir  l'Observation  XX.K  sur  DiopliaïUe. 

(')  Ce  passage  donne  une  date  pour  la  découverte  par  Roberval  de  régalitc  entre  la  lon- 
gueur des  arcs  de  la  spirale  d'Arcliimède  et  ceux  d'une  parabole,  égalité  démontrée  plus 
tard  par  Pascal.  Foir  Tome  I,  p.  206,  note  1. 


LVI.   -  7   AVRIL    lGi3.  253 

d'Ai'chimède  est  la  moitié  de  la  circonférence  du  cercle  qui  sert  ii 
la  décrire,  et  c'étoit  une  pensée  que  j'avois  eue  il  y  a  fort  longtemps, 
mais  je  me  détrompai  d'abord.  Si  c'est  celle  de  M.  de  Roberval,  je  m'as- 
sure qu'il  ne  sera  pas  longtemps  de  même  avis,  et  qu'il  n'aura  besoin 
que  d'une  seconde  réflexion  pour  se  dédire. 

.le  suis  en  peine  de  savoir  des  nouvelles  de  M.  de  Carcavi;  vous 
m'obligerez  de  m'en  donner  et  de  me  croire,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteur, 

Fermât. 

A  Toulouse,  ce  lO  fcvrifr  iG.i3. 


LVI. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

MARDI    7    AVRIL    164-3. 

(A,  f"  19-20;  B,  f°  '22  v.) 

MosiELTR  MON  Révérend  Père, 

1.  Vous  n'eûtes  pas  de  mes  lettres  par  le  dernier  courrier,  à  cause 
d'une  petite  absence  qui  m'a  tenu  huit  jours  à  la  campagne  pendanl  la 
fcte.  Vous  aurez  maintenant  la  réponse  que  je  fais  à  M.  de  Brularl  (  -  ) 
jointe  à  celle-ci;  je  l'ai  écrite  à  la  hâte,  comme  vous  verrez,  et  c'est  la 
raison  qui  m'oblige  à  vous  prier  qu'il  n'en  soit  pas  fait  de  copie  cl 
qu'elle  ne  sorte  pas  d'entre  les  mains  de  M.  de  Bruhirt. 

(  '  )  Lettre  inédite. 

(')  Le  personnage  désigné  dans  les  Lettres  LIV  et  LV  sous  le  nom  de  Saint -Martin 
s'appelait  Pierre  Bruslart  de  Saint-Martin  et  était  collègue  de  Carcavi  au  Grand-Conseil. 
11  semble  qu'ici  il  s'agit  encore  de  lui  {Cp.  LV,  4). 

La  réponse  dont  parle  Fermât  est  perdue;  on  voit  qu'elle  concernait  sa  méthode  de 
maxùnis  et  mininiis. 


•2ôh  ŒUVUKS    HK   FKRMVT.     -  C()  U  UKSPONDA  NCi:. 

Ce  n'osl  pas  qiio  ce  que  j'y  .ai  mis  ne  puisse  è(re  expli([ué  assez  aisé- 
menl,  mais  il  y  a  quelque  petit  équivoque  où  on  nie  pourroit  accuser 
de  négligence,  comme  lorsque  j'ai  dit  que  les  deux  derniers  termes  de 
l'équation  (|ui  se  trouvent  mesurés  par  K  sont  en  plus  grande  raison 
qu'aucuns  antres  qui  leur  soient  relatifs  dans  les  pins  hautes  puis- 
sances. On  pouri'ail  dire  qu'à  le  prcMidi'e  ronvciicndu ,  ils  sont  en 
moindre  raison  qu'aucuns  autres  de  leurs  relatifs;  mais  c'est  en  ma 
règle  et  en  mon  raisonnement  toute  la  mémo  chose,  et  les  mêmes  con- 
séquences se  déduisent  de  l'un  et  de  l'autre. 

11  y  pourroit  encore  avoir  équivoque  en  ce  que  j'ai  dit  :  que  non 
seulement  A  — K  doit  donner  la  même  équation  que  A  +  E,  mais 
encore  que,  si  A-i-E  donne  moins  que  A,  A  —  E  doit  aussi  donner 
moins  que  A.  Car  il  semble  d'abord  que,  si  A  —  E  donne  la  même 
équation  que  A -l- E,  qu'il  est  infaillible  que,  l'un  donnant  moins  que 
A,  l'autre  donnera  de  même  moins  que  A;  ce  qui  pourtant  n'est  pas 
et  qu'il  me  semble  avoir  suffisamment  expliqué  par  l'exemple  que  j'ai 
ajouté. 

Mais,  pour  ôter  tout  équivoque,  lorsque  j'ai  dit  que  A  ~  E  doit 
donner  la  même  équation  que  A-hE,  j'entends  que  par  la  position 
de  A  —  E,  en  suivant  ma  méthode,  on  doit  trouver  A  ésal  îi  une  même 
(juantité  que  si  nous  employons  A -+- E  par  la  même  méthode.  Mais, 
lorsque  j'ai  ajouté,  en  la  seconde  condition,  que  si  A  H- E  donne 
moins  que  A,  A  —  E  doit  de  même  donner  moins  que  A,  j'entends 
que  si,  par  la  position  de  A  +  E,  les  homogènes  qui  représentent  le 
plus  grand  sont  moindres  que  les  homogènes  qui  représentent  le  plus 
grand  en  la  position  de  A  seul,  de  même,  en  la  position  de  A  —  E, 
les  homogènes  qui  représentent  le  plus  grand  doivent  être  moindres 
que  les  homogènes  qui  représentent  le  plus  grand  en  la  position  de  A 
seul. 

Voilii  ce  que  j'ai  cru  vous  devoir  dire  sur  ce  sujet.  Car  pour  rendre 
la  chose  entièrement  claire  et  parfaitement  démontrée,  il  faudroit  un 
Traité  entier,  que  je  ne  refuirai  pas  de  faire,  dès  que  je  pourrai 
trouver  du  loisir  assez  pour  cela. 


k 


LVI.  —   7  AVRIL   ICi3.  25o 

2.  J'attends  la  solution  de  quelques-unes  de  mes  questions  numé- 
riques ('),  et  vous  prie  de  m'apprendre  quand  est-ce  que  M.  Frenicle 
sera  do  retour  à  Paris,  et  si  M.  de  Sainte-Croix  est  en  état  de  soudre 
des  questions. 

3.  Pour  les  parties  aliquotes,  j'ai  découvert  des  choses  excellentes 
et  je  puis  vous  envoyer  quelques  multiples  de  mon  invention  autres 
que  ceux  que  vous  avez  mis  dans  la  préface  du  petit  Livre  Des  Pensées 
de  Galilée  (-),  et  pour  ne  vous  laisser  plus  en  doute  <Jue  je  ne  possède 
la  voie  infaillible  de  ces  questions,  j'ai  relu  ces  jours  passés  une  ques- 
tion que  vous  me  faisiez  par  ordre  de  M.  Frenicle,  dont  je  vous  envoie 
présentement  la  solution. 

4.  Vous  me  demandiez  donc  quelle  proportion  a  le  nombre,  qui  se 
produit  des  nombres  suivants,  avec  ses  parties  aliquotes  : 

2i4  7  jS  364  Sooooo,    ">   i9>    i^,   6i,   83,   169,    223,   33i,   3-9,   Goi,   707,   g6i, 
1201,    7019,    S23.j'i3,    616818177,    6r)Gi,    10089.5598169. 

Vous  me  demandiez  ensuite  si  ce  dernier  nombre  est  premier  ou 
non,  et  une  méthode  pour  découvrir  dans  l'espace  d'un  jour  s'il  est 
premier  ou  composé. 

A  la  première  question,  je  vous  réponds  que  1(>  nombre  qui  se  fait 
de  tous  les  nombres  précédents  multipliés  entre  eux,  est  sous-quin- 
tuple  de  ses  parties. 

(1)  J'nir  Lettre  LV,  3. 

(2)  Les  nouvelles  pensées  de  Galilée,  matlieniaticien  et  ingénieur  du  duc  de  Florence, 
où  il  est  traité  de  la  proportion  des  mouvements  naturels  et  violents  et  de  tout  ce  qu'il  y 
a  de  plus  subtil  dans  les  Meclianiques  et  dans  la  Physique.  Où  l'on  verra  d'admirables 
inventions  et  démonstrations  inconnues  jusqu'à  présent.  Traduit  d'Italien  en  François.  — 
A  Paris,  chez  Henry  Guenon,  rue  Saint-Iacques,  à  l'Image  de  S.  Bernard,  près  des 
lacobins,  M.DC.XXXIX.  Avec  Privilège  du  Roy. 

Dans  la  préface  de  ce  volume,  Mersenne  ne  donne  d'après  Fermât  que  les  nombres  déjà 
insérés  dans  celle  deV Harmonie  universelle  Aa  i636  {voir  Pièce  IVa).  11  en  a  ajouté  divers 
autres  dus  à  Sainte -Croix,  Descartes  {un  excellent  Géomètre),  Frenicle  (un  excellent 
esprit),  au  reste  sans  aucune  désignation  par  nom  propre. 


•256  ŒUVRES   DK   FKRM  \T.  -  CORRESPOND  ANGE. 

A  la  seconde  queslion,  jo  vous  réponds  que   le   dernier  de   ces 
nombres  est  composé  et  se  fait  du  produit  de  ces  deux  : 

898  !\?.o     et     I  ly  3o3, 
i|iii  soni  premiers  (^  '  ). 

Je  suis  toujours,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  huml)le  el  très  an'eclionné  serviteur. 

Fermât. 

A  Toulouse,  ce  7  avril  iG43. 


LVII. 

FRAGMENT  D'UNE  LETTRE  DE  FERMAT  (  =  ). 

<     16V:5    > 

(A,  f-74.) 

Tout  nombre  impair  non  quarré  est  difTérent  d'un  quarré  par  un 
quarré,  ou  est  la  diiïérence  de  deux  quarrés,  autant  de  fois  qu'il  est 

(  ')  Sur  le  problème  ainsi  posé,  il  était  aisé  de  trouver  la  composition  du  dernier  nombre. 
En  effet,  si,  pour  trouver  le  rapport  du  produit  à  la  somme  des  parties  aliquotes,  on  pari 
du  premier  nombre  qui  est  2^^  x  5^,  on  remarque  que  2^^  a,  pour  somme  de  ses  parties 
aliquotes,  223  x  616  318177.  Le  second  de  ces  deux  facteurs  correspond  de  même  à  la 
somme  2  x  7' x  898 '|23.  Ce  dernier  facteur  ne  se  retrouvant  pas,  comme  les  précédents, 
parmi  ceux  du  produit  proposé,  il  est  naturel  d'essayer  de  diviser  par  lui  le  dernier 
nombre  donné,  dès  que  l'on  ignore  si  celui-ci  est  premier.  Par  conséquent,  quelque  mé- 
thode que  possédât  F'ermat  pour  rechercher  si  un  nombre  est  premier  ou  non  (voir 
Pièce  LVII),  il  est  improbable  qu'il  ait  employé  cette  méthode  et  fait  des  calculs  plus  longs 
que  ceux  que  nous  avons  indiqués. 

(2)  Le  fragment  qui  suit  a  été  publié  par  M.  Cliarles  Henry  (Recherches  etc..  p.  191) 
d'après  le  brouillon  d'Arbogast,  transcrit  d'une  copie  perdue  de  Mersenne.  Il  ne  renferme 
que  l'exposé  d'une  méthode  pour  la  recherche  des  diviseurs  d'un  nombre,  en  commençant 
par  les  plus  grands,  et  répond  ainsi  à  une  question  faite  par  Mersenne  pour  le  compte  de 
Frenicle  (Cp.  LVI,  4)  et  sur  laquelle  les  correspondants  de  Fermât  ont  dû  revenir.  Mais 
la  copie  d'Arbogast  porte  le  titre  :  Des  nombres  des  parties  aliquotes,  qui  semble  indiquer 
que  ce  fragment  faisait  partie  d'une  communication  beaucoup  plus  étendue,  adressée  soit  à 
Mersenne,  soit  à  Frenicle.  Dans  ce  cas,  la  date  en  serait  probablement  postérieure  à  celle 
que  suppose  le  rang  assigné  à  cette  pièce  pour  la  rapprocher  de  la  Lettre  LVI. 


LVII.  -  1613.  237 

composé  de  deux  nombres,  et,  si  les  quarrés  sont  premiers  entre  eux, 
les  nombres  compositeurs  le  sont  aussi.  Mais  si  les  quarrés  ont  entre 
eux  un  commun  diviseur,  le  nombre  en  question  sera  aussi  divisible 
par  le  même  commun  diviseur,  et  les  nombres  compositeurs  seront 
divisibles  par  le  côté  de  ce  commun  diviseur. 

Par  exemple  :  4)  est  composé  de  j  et  de  9,  de  3  et  de  ij,  de  i  et  de 
'p.  Partant,  il  sera  trois  fois  la  dilTérence  de  deux  quarrés  :  savoir  de 
'1  et  de  49,  qui  sont  premiers  entre  eux,  comme  aussi  sont  les  compo- 
siteurs correspondants  5  et  9;  plus,  de  30  et  de  81,  qui  ont  9  pour 
commun  diviseur,  et  les  compositeurs  correspondants,  3  et  i),  ont  le 
côté  de  9,  savoir  3,  pour  commun  diviseur;  enfin  4^  est  la  différence 
de  484  et  52g,  qui  ont  i  et  4j  pour  compositeurs  correspondants. 

Il  est  fort  aisé  de  trouver  les  quarrés  satisfaisants,  quand  on  a  le 
nombre  et  ses  parties,  et  d'avoir  les  parties  lorsqu'on  a  les  quarrés. 

Cette  proposition  se  trouve  quasi  tout  par  tout.  On  en  pourrait  quasi 
autant  dire  des  pairements  pairs,  excepté  4.  avec  quelque  petite  mo- 
dification. 

Cela  posé,  qu'un  nombre  me  soit  donné,  par  exemple  2027G51  281, 
on  demande  s'il  est  premier  ou  composé,  et  de  quels  nombres  il  est 
composé,  au  cas  qu'il  le  soit. 

J'extrais  la  racine,  pour  connoitre  le  moindre  des  dits  nombres,  el 
trouve  4^029  avec  4o44o  de  reste,  lequel  j'ôte  du  double  plus  i  de  la 
racine  trouvée,  savoir  de  90009  :  reste  49  G 19,  lequel  n'est  pas  quarré, 
parce  que  aucun  quarré  ne  finit  par  19,  et  partant  je  lui  ajoute  90  061  ^ 
savoir  2  plus  que  900)9  qui  est  le  double  plus  i  de  la  racine  4^  029, 
Et  parce  que  la  somme  189  680  n'est  pas  encore  quarrée,  comme  on  le 
voit  par  les  finales,  je  lui  ajoute  encore  le  même  nombre  augmenté 
de  1,  savoir  90063,  et  je  continue  ainsi  d'ajouter  tant  que  la  somme 
soit  un  quarré,  comme  on  peut  voir  ici  (').  Ce  qui  n'arrive  qu'à  io4o4oo, 
qui  est  quarré  de  1020,  et  partant  le  nombre  donné  est  composé;  car 
il  est  aisé,  par  l'inspection  des  dites  sommes,  de  voir  qu'il  n'y  a  au- 

(')  Fermât  avail  dû  elTeetiier  en  marge  les  calculs  indiqués,  qui  n'ont  pas  été  repro- 
duits sur  la  copie. 

Fermât.  —   H.  33 


•258  ŒUVRES  1)K  FEllMAT.  -  COUUESPONI) ANCE. 

cuiio  qui  soit  nonibro  qtiarré  que  la  dernière,  car  les  quarrés  ne 
peuvent  soulTrir  les  finales  qu'elles  ont,  si  ce  n'est  'iqo 9/1 'i  qui  néan- 
moins n'est  pas  quarré. 

Pour  savoir  niaintenanl  les  nombres  qui  composent  2027651  281, 
j'ote  le  nombre  que  j"ai  premièrement  ajouté,  savoir  90  oGi,  (lu  dernier 
ajouté  90081.  Il  reste  20,  à  la  moitié  duquel  plus  2,  savoir  à  12,  j'a- 
joute la  racine  premièrement  trouvée  4jo-9-  I-^a  somme  est  43041, 
auquel  nombre  ajoutant  et  ôtant  1020,  racine  de  la  dernière  somme 
ïo4o4oo,  on  aura  46061  et  44  021,  qui  sont  les  deux  nombres  plus 
prochains  qui  composent  2027651  281.  Ce  sont  aussi  les  seuls,  pource 
que  l'un  et  l'autre  sont  premiers. 

Si  l'on  alloit  par  la  voie  ordinaire,  pour  trouver  la  composition  d'un 
(el  nombre,  au  lieu  de  onze  additions,  il  eût  fallu  diviser  par  tous  les 
nombres  depuis  7  jusqu'à  44  021. 

Plusieurs  abrégés  se  peuvent  trouver,  comme  lorsqu'on  ne  fait 
qu'une  addition  au  lieu  de  dix,  aux  endroits  où  les  sommes  ont  leurs 
tinales  quarrées,  quand  les  compositeurs  sont  beaucoup  éloignés  l'un 
de  l'autre. 


LVIII. 
FERMAT  A  <  SAINT-MARTIN  >('). 

UIMANCIIE    31    MAI    16i3. 

(B,  P  9V«.): 

1.   Donner  le  sixième  triangle  qui  a  l'unité  pour  différence  de  ses  deux 
petits  côtés. 

(')  Fragmcnl  inéilit  d'une  lettre  perdue.  Il  porle  comme  titre,  dans  le  manuscrit  : 
«  Extraict  d'une  Irc  du  ^l  may  iO|3  à  M.  DF.  »,  ce  qui  indiquerait  Fronicle  comme  le 
destinataire.  Mais,  si  l'on  compare  la  Lettre  L  de  Frenicle  à  Fermât,  il  est  très  impro- 
bable que  le  premier  ait  propose  au  second  deux  questions  dont  il  lui  avait  auparavant 
donné  une  solution.  11  est  établi  d'autre  part,  par  les  lettres  suivantes  (LIX  et  LX),  que 
les  questions  énoncées  par  Fermât  dans  la  présente  (3)  étaient  proposées  à  S'-Martin  et  à 
Frenicle.  Le  destinataire  effectif  fut  donc  plutôt  S'-Martin  et  la  confusion  s'cxpli(iue  d'ail- 
leurs facilement. 


LVIII.  -   31   MAI   16V3.  259 

Donner  le  second  triangle  qui  a  pour  différence  de  ses  deux  petits 
côtés  7. 

Pour  la  première  question,  le  premier  triangle  qui  a  pour  différence 
de  ses  deux  côtés  l'unité,  lequel  est  :  3,  4.  5,  donne  aisément  tous  les 
autres  par  ordre,  et  voici  comme  je  procède  : 

Du  double  de  la  somme  de  tous  les  trois  côtés,  ôtez-en  séparément 
les  deux  petits  côtés,  et  ajoutez-y  le  plus  grand  côté,  vous  aurez  le 
second  triangle,  lequel  par  la  même  règle  donnera  le  troisième,  celui- 
là  le  quatrième,  etc.  à  l'intini. 

Pour  avoir  donc  le  second,  prenez  le  double  de  la  somme  dos  trois 
côtés  du  premier,  qui  est  i\  ;  ôtez-en  séparément  les  deux  petits  côtés, 
restera  20  et  21,  et  ajoutez  à  24  le  grand  côté,  viendra  29.  Nous  aurons 
donc  pour  le  second  triangle  :  20,  21,  29;  le  troisième  sera  :  119,  120, 
169,  et  le  sixième  :  23G6o,  2'3  66i,  33  4*3 1. 

2.  La  seconde  question  a  la  pareille  solution  :  il  y  a  deux  triangles 
fondamentaux  qui  ont  7  pour  différence  de  leurs  petits  côtés,  savoir 
5,  12,  i3,  et8,  i5,  17.  De  chacun  de  ceux-là  se  forment  tous  les  autres 
à  l'infini  par  la  méthode  précédente. 

Par  exemple,  le  double  de  5,  12,  1 3  est  Go;  ôtez-en  séparément  les 
deux  petits  côtés,  5  et  12,  restera  48  et  55;  ajoutez  à  Go  le  plus  grand 
côté,  viendra  73.  Donc  nous  aurons  pour  le  premier  triangle  :  48, 
55,  73. 

De  même  8,  i5,  17  donnera  G5,  72,  97.  Etc.  à  l'infini. 

Je  sais  bien  qu'on  pourroit  réduire  ces  questions  à  trouver  combien 
de  fois  et  l'unité  et  7  sont  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double 
quarré;  mais  il  faudroit  en  ce  cas  deux  opérations,  et  il  me  semble 
plus  commode  d'en  user  d'une  seule. 

3.  Je  vous  propose  (')  : 

i"  Trouver  un  triangle  rectangle  duquel  le  plus  grand  côté  soit  un 
quarré  et  la  somme  des  deux  ou  trois  autres  soit  quarrée. 

(')  Foin  pour  ces  questions  :   1°  l'Observation  XLIV  sur  Diophanto;  1°  l'Observa- 
tion XXIII;  3°  les  Lettres  LIX,  2,  et  LX,  2. 


:>G0  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

2"    Trouver  (/ital/r  triangles  de  même  aire. 

3"   lu  triangle  duquel  l'aire,  ajoutée  au  (/uarré  de  la  somme  des  deux 
petits  eàlés,  fasse  un  quarté. 


Ll\. 

FKKMAT  A  MERSENNE  ('). 
<  AOUT  16i3  > 

(A,  l-  37-38;  B,  f"  22''''  r.  ) 

Mon  RiivKUF.ND  Pèhk, 

1.  Vous  m'écrivez  que  la  [)ropo&itioii  (le  mes  (jueslions  impos- 
sibles (-)  a  fâché  et  refroidi  M.M.  de  Saint-Martin  et  Frenicle,  et  que 
(•'a  été  le  sujet  qui  m'a  rompu  leur  communication.  J'ai  pourtant  à 
leur  représenter  que  tout  ce  qui  paroît  impossible  d'abord  ne  l'est  pas 
|)ourtant,  et  qu'il  y  a  beaucoup  de  probli'uies  desquels,  comme  a  dit 
autrefois    Arcliimèdc,   oùx   sùaÉOooa  toj    Trpojiw    çavivra  ypovco  ty]v 

Vous  vous  étonnerez  bien  davantage  si  je  vous  dis  de  plus  que  toutes 
les  questions  queje  leur  ai  proposées  sont  possibles,  et  que  j'ai  décou- 
vert leur  solution.  Ce  n'est  pas  qu'elles  ne  soient  très  malaisées  et  que, 
pour  les  soudre,  il  ne  faille  faire  quelque  démarche  au  delà  du  Dio- 
pbante  et  des  Anciens  et  Modernes.  Mais,  comme  toutes  les  inventions 
n'ai'rivent  pas 'et  ne  se  produisent  pas  en  même  temps,  celle-ci  est  du 
nombre  de  celles  dont  la  méthode  n'est  pas  dans  les  Livres  et  que  je 
puis  attribuer  au  bonheur  de  ma  recherche. 

2.  Et,  afin  que  je  ne  vous  tienne  pas  plus  longuement  en  suspens, 

(')  Lettre  inédite,  dont  la  date  approximative  est  indiquée  par  colle  de  la  .sui\aiito. 
(')  Les  questions  de  la  Lettre  LVllL  3. 

(')  Préambule  du  Traité  De  lincis  spiralilnis.  Fermât  a  cité  de  mémoire;  dans  le  texte 
d'Archimède,  au  lieu  de  t'ù  ::p.w-';).  on  lit  h  ip/i- 


LIX.  —    AOUT    16V3.  2G1 

j'ai  résolu  toules  les  questions  que  j'ai  proposées  à  ces  Messieurs,  doii( 
je  ne  vous  coterai  maintenant  qu'un  exemple,  pour  leur  oter  soulemeni 
la  mauvaise  impression  qu'ils  avoient  conçue  contre  moi,  comme  leui' 
ayant  proposé  un  amusement  et  un  travail  inutile.  Je  choisirai  pour 
mon  exemple  une  des  plus  belles  propositions  que  je  leur  ai  faites  (  '  )  : 

Trouver  un  triangle  duquel  le  plus  grand  côté  soit  quarré,  et  la  somme 
des  deux  autres  soit  aussi  quarrée. 

Voici  le  triangle  : 

4687298610289,     4 '^65  ,'|86  027  761,     1061652293020. 

3.  S'ils  veulent  la  solution  de  quelqu'une  des  autres  questions,  je  la 
leur  envolerai  des  qu'ils  voudront;  ils  n'ont  qu'à  me  marquer  celle  ou 
celles  qu'ils  désirent. 

Il  faut  proposer  les  autres  ii  soudre  à  ceux  qui  disent  (comme  ^].  de 
Carcavi  m'a  écrit)  que  j'ai  trouvé  ma  méthode  de  maxima  et  mi/iima 
par  hazard.  Car  peut-être  ne  croiront-ils  pas  que  j'aie  (rouvé  ces  ques- 
tions il  tâtons  e(  par  rencontre.  M.  Hardy  est  un  de  ceux-là. 

Vous  m'obligerez  de  saluer  M.  de  Saint-Martin  de  ma  part.  Peut-èlrc 
que,  pour  l'amour  de  lui,  je  mettrai  par  écrit  mes  inventions  sur  Dio- 
pliante,  où  j'ai  découvert  plus  que  je  ne  m'étois  jamais  promis.  La  mé- 
thode pour  soudre  les  questions  que  je  lui  ai  proposées  est  un  échan- 
tillon de  mon  travail. 

Je  serai  bien  aise  que  M.  de  Frenicle  souffre  le  renoucment  de 
notre  commerce. 

4.  M.  de  Carcavi  vous  fera  part  de  quelques  nombres  sous-muldples 
que  je  lui  ai  envoyés  (-  ). 

J'en  ai  trouvé  quantité  d'autres  et  la  méthode  générale  pour  trouver 
tous  les  possibles. 

5.  N'oubliez  pas  de  presser  M.  de  La  Chambre  (^)  et  de  le  faire  agir 

(')  Comparer  l'OLiscrvalion  XLIV  sur  Diophanle. 

(2)  Foir  Lctlrc  LUI,  2. 

(.')  T/).  LelUes  U,  1  et  6  ;  LU,  2;  LIV,  6. 


26-2  ŒUVRES   l)K   FEIUIVF.  -  COURESPONDANCi:. 

ilo  la  bonne  façon.  S'il  nio  considère,  comme  il  fail  semblant,  celle 

petite  alVaire  vant  faite. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père,  voire  etc. 

Fermât. 

6.  Le  théorème  qne  vons  m'avez  proposé  de  la  part  du  géomètre  do 
("-hàlons  ('),  marque  qu'il  n'a  pas  fait  grand  progrès  en  l'Algèbre,  car 
les  plus  médiocres  ne  peuvent  pas  douter  que  ce  théorème  ne  soit  gé- 
néralement vrai. 

Si  MM.  de  Saint-Martin  et  de  Frenicle  veulent  renouer  le  commerce 
des  lettres,  nous  vous  ferons  voir  des  choses  nouvelles  et  qu'il  ne  faut 
pas  chercher  dans  les  Livres. 

Si  M.  de  La  Chambre  n'agit  pas  bientôt  et  avec  affection,  je  songerai 
à  ne  l'employer  plus. 


LX. 
FERMAT  A  MERSENNE  (  =  ). 

MARDI    1"    SEPTEMBRli    i6'l-3. 

(A,  f»  3i;  B,  !'"22  ter.) 

Mon  Révérend  Père, 

1-  J'ai  vu,  par  la  lettre  de  M.  de  Saint-Martin,  que  mes  questions 
lui  ont  paru  impossibles  (')  et  à  M.  Frenicle  aussi. 

C'est  une  marque  infaillible  de  la  difficulté  qu'ils  y  ont  trouvée; 
pourtant,  non  seulement  elles  sont  toutes  faisables,  mais  j'en  ai  décou- 
vert la  solution  et,  afin  qu'ils  n'en  doutent  pas,  j'ajouterai  à  la  solution 

(')  Nous  n'avons  trouvô  aucune  indicalion  sur  co  géomètre,  ni  sur  son  problème. 

(«)  LcUre  inédile. 

(>)  Foir  Lettres  LVIII,  3,  et  UX,  1. 


LX.  —   l"-^  SEPTEMBRE   16.V3.  203 

de  la  question  que  je  vous  envoyai  dernièrement  ('),  qui  étoit  : 

Trouver  un  triangle  dont  le  plus  grand  côté  soit  rjuarré,  et  la  somme 
des  deux  autres  soit  aussi  quarrée, 

celle  de  la  suivante,  qu'ils  ont  tout  de  même  jugée  impossible  : 

2.  Trouver  un  triangle  duquel  l'aire  ajoutée  au  quarré  de  la  somme 
des  deux  petits  côtés  fasse  un  quarré. 

Voici  le  triangle  : 

205769,     190281,    78820. 

3.  La  troisième  étoit  : 

Trouver  quatre  triangles  de  même  aire. 

Mais,  pource  que  M.  de  Saint-Martin  m'écrit  qu'il  espère  de  venir  à 
bout  de  celle-là,  je  ne  vous  donnerai  point  la  solution  présentement, 
seulement  vous  dirai-je  qu'après  qu'il  en  aura  trouvé  quatre,  je  lui  en 
ferai  voir  cinq  et,  s'il  m'invite,  une  méthode  générale  pour  trouver 
autant  de  triangles  qu'on  voudra  de  même  aire;  ce  qui  vous  fera  peut- 
être  étonner  de  ce  que  Diophante  et  Viètc  (-)  n'ont  proposé  ni  fait  la 
question  qu'en  trois  seulement. 

Si  M.  de  Saint-Martin  ne  m'écrivoit  qu'il  est  allé  faire  un  voyage,  je 
lui  récrirois  sans  remise.  Vous  m'obligerez  de  m'apprendre  quand  il 
sera  de  retour,  afin  que  je  satisfasse  à  mon  devoir,  et  cependant  je 
vous  prierai  de  lui  faire  voir  cette  lettre  avec  ma  précédente  ('),  afin 
qu'il  connoisse  que  je  ne  lui  ai  rien  proposé  dont  je  ne  sois  venu  à 
bout. 

Je  serai  bien  aise  que  M.  Frenicle  voie  ces  miennes  solutions,  de 

quoi  je  me  confie  à  vous   et  suis  toujours,  mon   Révérend  Père, 

votre  etc. 

Fermât. 

A.  Toulouse,  i  septembre  i643. 

4.  Je  n'ai  pas  bien   compris  le  théorème  de  Torricelli  en  votre 

(•)  To/r  Lettre  LIX,  2. 

C)  Diophante,  Aritlimctique.'!,  V,  8;  Viète,  Zetetic,  IV,  11. 

^3)  La  Lettre  LL\. 


■iR\         (  i:  i  \"  li  i:  s  I)  i: . v  !•:  i\  m  at.  —  c  o  n  n  i:  s  i>  o  m )  v  n  c  e. 

Loltrt*  (  '  "):  vous  ni'obligoroz  de  l'élcndre  im  peu  plus  o(  de  l'iiirc  Iticn 
la  liiînrc. 

(M  Torrieelli  avnil  cumimmiiiin'  cm  idiS  au  P.  Niccroii  un  ccrliiiii  tioiiiliio  {li'  |iru|iiisi- 
lions  qu'il  lit  impriuier  l'anuoo  suivante  dans  ses  Opcr/i  gconictricn.  La  plus  rmiarquablo 
concernait  le  volume  do  révolutinu  engendré  par  une  hyperbole  éipiilalére  tournant  autour 
de  sort  asxmptote:  Torrieelli  L>noni;ail  ipie  ce  volume,  à  partir  d'une  ordonnée  déterminée. 
est  fini.  Dans  une  lettre  adressée  par  .Merseune  à  Torrieelli  le  aj  décembre  iG4'3  (Dixcc- 
poli  di  Galilco,  l"  XLI,  f°  ij  r°  i,  cl  publiée  dans  le  Jliillrtliiio  /lo/irumpt/^/ii,  VIII,  p.  4ïo, 
on  lit  : 

'■  Clarlssimus  aieomctra  Sonahir  Tholosanus  Fermalius  libi  pçr  nie  scqueus  problema 
solvendum  proponil,  quod  Ino  de  conoide  acuto  infinilo  a'ipiivalcat  : 

»  Invenire  triaui;ulnm  rectan.ijulum  in  numcris,  cujus  latus  majus  sit  (piadratum,  summa- 
(juc  duorum  aliorum  eliam  sit  quadralum,  deni(pie  summa  majoris  et  medii  laleris  sit  etiam 
quadralum. 

»  Excmpli  gratia  :  ia  triangulo  3,  4.  5,  oportct  J  esso  numerum  quadralum;  dcinde 
summa  4  et  3,  hoc  est  7,  foret  numerns  quadratus;  denique  sunima  'i  et  j,  hoc  est  g.  esset 
ijuadrala....   u 


LXI.  -    IGhk.  265 


ANNÉE   1644. 


LXI. 

FERMAT  A  CARCAVI  {' ). 

<   t6ii  > 

{fa.  p.   17.S-179.) 

Monsieur, 

1-  Je  suis  iiiani  de  l;i  perte  du  paifuel  de  M.  de  Saiut-Martiu.  Je  lui 
éerivois  sur  le  sujel  des  nornltres  el  lui  faisois  part  de  qael([ues  propci- 
sitions  et  surtout  de  la  suivaute,  que  M.  Frenicle  in'avoit  autrefois 
proposée  (-)  et  qu'il  m'avoua  tout  net  ne  savoir  point  : 

Trouver  itn  triangle  rectangle,  auquel  le  quarré  de  la  différence  des 
deux  moindres  côtés  surpasse  le  double  du  (juarré  du  plus  petit  côté  d' un 
nombre  quarré. 

Je  lui  avouai  aussi  pour  lors  que  je  n'en  savois  point  la  solution  et 
que  je  ne  voyois  pas  même  de  voie  pour  y  venir,  mais  de|)uis  je  l'ai 
trouvée  avec  autres  infinies.  Voici  le  triangle  (^)  : 

i.")6,    ir)ij,    1520. 

Il  sert  à  la  suivante  question,  pour  la(|uelle  M.  Frenicle  se  melloil 
en  peine  de  ce  préalable  : 

Trouver  un  triangle  rectangle,  duquel  le  plus  grand  côté  soit  quarré  et 
le  plus  petit  diffère  d'un  quarré  de  chacun  des  deux  autres. 

(  ')  La  date  de  celle  Lcllre  osl  présumée  d'après  celle  do  l'édition  de  Thcon  de  Smyrno, 
donnée  par  Boulliaii. 

(2)  ro(>  Lettre  L.  8.  —  On  peut  constater  la  perle  île  deux  Lettres  échangées  entre 
Fermai  et  Frenicle  à  la  suite  de  celte  Lettre  L. 

(')  Cp.  l'Observation  XLIV  sur  Diophanle. 

l'KtOUT.   —   IL  •34 


■Hm  ŒUVRES  1)K  l'KHMVT.  -  COK  HESI>OM)ANCE. 

Si  vous  jugoz  à  propos  do  l'airo  par(  tlo  coKo  proposition  à  mon  dil 
Sioiir  do  Saint->[ai'(iii,  jo  m'en  rémois  à  vous;  je  ne  reslerai  pas  de  lui 
réerire  par  la  première  voie. 

2.  J'ai  donné  ii  Monsieur  rArehovèquo  (')  nu  polil  mémoire  de  eor- 
reetions  sui'  le  T/ico/i  Smyrnœiis,  ijue  je  crois  (ju'il  envolera  à  l'auleur 
avee  le  mauuseril  de  l'Astronomie  (-).  Je  serai  ravi  (jue  cette  occasion 
nie  s(M'vi>  ;i  être  connu  de  31.  Houlliau,  de  qui  le  mérite,  étant  connu 
il  tout  le  monde,  m'a  été  pleinement  confirmé  par  ce  nouveau  travail 
sni' le  Tliéon.  oii  j'ai  particulii'remeut  admiré  la  coi'rection  du  décret 
de  riniotluM',  (]ui  ne  pouvoit  être  due  qu'il  une  main  de  celle  impor- 
tance. 

.)(>  suis  etc. 

{')  Charles  de  Moiitehal,  arcliovCque  de  Toulouse.  —  Pour  les  euiTcclioiis  proposées 
par  Fermât  au  texte  édité  par  Boulliau,  voir  Tome  I,  Appendice,  VIII,  pages  373-376. 

(-)  Dans  les  prolégomènes  do  son  J.tlrofiomia  phllolaîca  (i645),  p.  20,  Boulliau  dit  en 
effet  avoir  entre  les  mains  ce  manuscrit  de  la  seconde  partie  de  l'ouvrage  de  Tliéon,  que 
Montclial  avait  mis  à  sa  disposition;  mais  il  ne  le  publia  pas.  Ce  manuscril,  entré  vers 
ijooà  la  Bibliothèque  Boyale  (fonds  grec  n"  1821),  ne  fut  utilisé  (]u'cn  iSjg  par  Th. -II. 
Martin  :  Tlieonis  Smyrnwi  Platoiiici  lihcr  de  .Isiri 


rniioiuKi. 


LXII.   -   ICiG.  267 


ANNÉE    164(>, 


lAII. 

FERMAT  A  GASSENDI  ('). 

<  1046?  > 

(  f'a,  p.  ^01-  :!o:^ .  ) 

1-   Proniintiavit  Galiieiis  motum  unifoiiaitfr  accoleraUim  psso  cuni 


(  '  )  Celte  pièce  a  été  imprimée  on  i)i-emiei'  lieu  dans  l'édilion  lie  Lyon  (  iGJ8)  des  Œuvres 
de  Gassendi,  t.  VI,  pp.  541-543,  ainsi  que  le  menlionne  au  reste  la  noie  suivante  des 
Faria  : 

«  II;cc  epistola  Typis  édita  fuil  tuinu  0  Operum  Gassendi  inter  ejjislolas  ad  eiim  seri- 
plas.  » 

Elle  porte  comme  intitule  dans  les  f'nr'ui  : 

«  Viro  Clarissimo  Dom.  Gassendo  Petrus  de  Fermât  S.  P.  —  De  proporlinne  (|uâ  gi'a\ia 
deeidentia  accelerantur.  » 

Elle  est  suivie  dans  les  J'arUt,  p.  204.  de  la  pièce  suivante  : 

«  Lettre  de  Monsieur  Gds.sendi  à  Monsieur  de*  "  '  * 

i)  Monsieur, 

»  1!  y  a  déjà  quekjue  temps  que  Monsieur  le  Président  do  Donneville,  s'étanl  donné  la 
i>  peine  do  me  venir  voir,  me  laissa  un  écrit  de  Monsieur  de  Fermât  touchant  l'accroisse- 
»  ment  de  vitesse  qui  est  en  la  cheute  des  corps,  et  parce  que  je  n"ay  point  eu  l'honneur 
0  do  le  revoir  depuis,  et  que  je  ne  sçay  poini  son  lotjis  pour  le  liiy  pouvoir  rendre,  et  que 
<>  d'ailleurs  il  1110  semble  qu'il  me  dit  en  passant  qu'il  avoit  charge  de  vous  le  remettre 
»  après  qu'il  me  l'auroit  monstre,  je  me  suis  advisé  de  vous  l'envoyer  sans  plus  attendre, 
«  avec  les  très  humbles  remerciemens  que  je  dois  à  mondit  sieur  de  Fermât  do  la  bonté 
1)  qu'il  a  eiie  de  m'en  donner  la  communication.  Il  seroit  superflu  de  vous  dire  combien 


:>(iS  (Kl'VKES    PK   FKUM'iT.  -  COU  KESPOND  ANCR. 

(|tii.  a  (iiiioto  riH"('tl('iis.  (ciiiporilnis  a'(Hialil»iis  avjiialia  celcritatis  iiio- 
iiH'iita  sihi  supi'i'adilit  (^  '  ). 

lùiiii  vrro  t[iii  a'(|iialil)iis  spatiis  a'iiiialia  celoritalis  inomenta  silti 
superailtlil.  adco  non  convciiin'  inotui  graviiiiii  dcsccndi'iitiiini  alllr- 
iiial  ul,  ox  00  siipposih),  iiKitiiiii  in  iiislaiili  ticri  (Icdiical  ol,  ni  silii 
pcfsnasil.  t'acillinic  donionsirol. 

Sed  concedatnr,  si  plaeot,  viro  pcrspicaci  et  Lynca^o  indcmoiisli'ala 
conclusio,  diiininotld  si(  vcra.  DcmonstralioiuMii  enim  dnni  |)rinio  sta- 

liin  ohlnlu 

Aiit  viilet,  nul  vidisso  piiUil  pcr  iiiibila  (-), 

niliil  niirnm  si  Irctorihns  minus  uliquo  LyucaMs  parum  vidoatnr  salis- 
IVcissc. 

Il  igilnr  coiistet  suus  lionor  Galilcu,  nt-que  amplius  de  ipsins  ilia- 
lione  anibigatur,  aut  ralionibus  tantum  probabilibus  disputetur,  pru- 
posilioncrn  ipsam  naore  Archiniodoo  bic  demonstratam  habebis. 

2.  Si  qitolli1>L'l  rectce.  ad  iintirn  panel iim  rimcurrentes,  exponanliir  in 
caiitiima  proporlianc,  canun  inicivalla  enail  in  endem  ralione. 

»  j'en  suis  satisfait,  pui?iine  comme  vous  gravés  mieii\  qui.'  loiil  autre  rien  ne  peut  jun-lir 
1)  d'une  telle  uiain  (pii  ne  soit  |)iirrait  e:i  tout  jioint.  Je  suis,  etc.   « 

D'autre  part,  les /■"«/•(«  (page  vi  non  numorotéo)  reproduisent  la  mention  lionoriliipie 
suivante  : 

«  Samuel  Sorhcrhis  m  pr/fft/tio/ic  Uperiiin   Gassendi. 

»  Petruni  Fermatium  tam  longo  iatorvallo  Victam,  Diophanluni  et  l'ythagoreos  omnes 
»  post  se  relinquenteni.  » 

Cette  mention  se  trouve  effectivement  page  36  (non  numérotée)  de  la  Notice  do  Sor- 
bière. 

La  présente  lettre  n'est  pas  datée;  mais  on  jicut  la  rapporter  vraisemblablement  à 
l'année  lO.'iC);  c'est  la  date  de  l'ouvrage  in-4  de  Gassendi  :  De  proporliaiie  i/iu/  grnvia  deci- 
dciitia  accclcrniitur  Ej)istolœ  TU  (judius  rcspondetur  iid  epislolas  Pétri  Ciizrœi  (  OEin'res, 
tome  III,  1).  504).  Fermât  fera  allusion  dans  les  n"'  LXXXII  et  LXXXIIl  à  la  même  ques- 
lion. 

(  '  )  C'est  la  définition  qu'on  trouve  commentée  dans  la  Ginrnata  tcrzn  des  Discorsi  e 
ilimostrazioid  nudeiiiitliehe  i/ilor/io  a  due  iiiim'e  Scie/ize  (itteneiui  nlla  mcccanica  et  mo- 
iimeiiti  loiali.  Levde,  id'iS,  .'1°,  p.  1S8.  (Cf.  Opère  di  Cntileo  (Udilei,  éd.  Alliéri.  tome  XIII. 
|i.  i55.) 

(  ')  Virgile,  Enéide,  VI,  l'»  i- 


LXII.  -   16i6.  -260 

Verbi  gratia,  sint  rectai  {fig.  79)  AF,  BF,  CF,  DF,  EF,  etc.  in  conti- 


Fig.  79. 


mia  proportione,  enint  intorvalla  ipsarum,  AB,  BC,  CD,  DE,  in  cadeni 

rationo. 

Est  enim 

m  tola  AF  ad  totam  BF, 

ita  ablata  BF  a  priore  ad  CF  ablalam  a  posteriore. 
Ergo 

ila  rcliqua   \H  ad  reliquam  BC  ut  tota  ad  totam,  hoc  est,  iit  AF  ad  BF, 

et  sic  de  cseteris. 

Eadom  ratione  demonslrabimus 

ut  AF  ad  CF,        ita  esse  AB  ad  CD, 

et 

ut  BF  ad  DF,       ita  esse  DC  ad  DE, 

etc. 

3.  Si  inlelligatur  motus  a  punclo  F  (fig.  80)  i^ersus  panrluni  A  con- 
tinue acceleralus  secundum  ralionem  ilecursorurn  spaliorurn.  et  expo- 

Fig.  80. 

B  C  D"        E 


li    JI     X           0   V  X 
Z 


nanlur  quolUhel  continue proportioiiales  ut  AF,  BF,  -^CF,  DF,  >KF,  etc., 
lempus  in  quo  mobile percurret  spatium  DE  erit  œquale  tempori  in  quo  idem 
mobile percurret  spatium  DC  ;  denique  spatia  omnia  ED,  DC,  CB  eodem  tem- 
[)ore  singula  percurrentur. 

4.  Demonstrabiinus/jn>«o  spatia  CB,  BA  oodeni  toniporc  in  snppo- 
sito  motu  percurri. 

Si  onini  tempus  per  AB  non  est  «quale  lenipori  per  BC,  eril  vcl  nia- 
jns  vel  minus. 


■r,{)  (  i:  l  N  W  ES   1)  K  F  E  l{  M  AT.  -  C  (  )  IU{  E  S 1'  0  xN  D  A  N  C  E. 

Sil  iiriimim  niajiis,  si  lieri  polost.  Krgo 

lempiis  per  AB  osl  ad  Icnipus  pcr  Ii(^. 
m  alitiua  rccla  major  ipsà  BF  ad  ipsam  I5F. 

Sit  rccla  illa  Z  :  erno  est 

m  Iciiipus  pcr  AI5  ad  lcm|)(is  por  BC,       i)a  recla  Z  ad  rcelam  BF. 

Siiniantur  inter  rectas  AF,  BF,  (ot  niodiic  in  coiiliiiua  proportionc, 
m  HF,  MF,  NF,  douce  miiior  ex  ij)sis,  ut  NF,  sit  minor  quiim  recta  Z  : 
(|ii()(l  (|ui(lcm  necessario  eventuriim,  vel  ex  sola  médise  invcnlioiic 
cjiisqiic  itcrata,  qiioties  opus  fuerit,  opcratione,  quis  non  videl? 

Kriint  ei'go  continua'  proporlionales  rectse  AF,  RF,  MF,  NF,  BF  ; 
ciini  auteni  sit 

ut  AF  ad  BF,       ila  BF  ad  CF,       et  ita  AB  ad  BC, 

ergo  poterit  continuari  proportio  sub  eodcni  numéro  terminorum,  lit 
sint  etiam  proporlionales  BF,  OF,  VF,  XF,  CF,  idque  in  cadem  snpc- 
riorum  rationc. 

His  ita  positis  et  constructis,  considcrcntur  et  comparentur  singula 
spatia  AR,  RM,  MN,  NB  singulis  spatiis  BO,  OV,  VX,  X(],  singula  nempe 
singulis,  hoc  est,  spatium  AR  spatio  BO. 

Si  igitur  per  spatium  AR  fuerit  motus  uuiformis  juxta  gradum  velo- 
citatis  in  puncto  R  acquisitum,  <^  et  per  spatium  BO  moins  uuiformis 
jiixta  tfradum  velocitatis  in  puncto  B  acquisitum  >, 

tempus  per  AR  ad  tempos  pcr  I$0  componcreliu' 
ex  ralione  spatii  AU  ad  sitalium  BO 
et  (vicissim)  ex  rationc  velocitatis  pcr  B  ad  vclocilatcm  pcr  II  : 

(|uod  uotissimum  est  etGalileus  ipse  demonstravit,  proposilione  quinlà 
Traclatiis  de  motu  (vqunhili  (' ). 

At 

\\\  spaliiim  AB  ad  spatium  BO,  ila, 

C)  B  Si  duo  mobilia  œquabili  motu  feranlur,  sint  tamen  vclocilatcs  iiurqualos  et  ina'- 
(liialia  ?pBtia  poracla,  ralio  toniporum  composita  erit  ex  ralione  spalionim,  et  ex  rationc 
velocilalum  contrarie  sumptarum.  »  (Dixcorsi  e  dimostrazioiu  matcmatichc,  Leydo,  iGiS, 
p.  i54:  Opère  di  Gaideo  Gnlilei,  éd.  Albèri,  l.  XIII,  p.  iSa.) 


LXII.  -    lGi6.  -271 

per  primam  proposUioncm, 

recta  AF  ad  rectani  BF, 

et 

ul  velocitas  per  B  aci  velocitatem  per  R,  ila, 

ox  supposita  niotùs  accelcrati  jiixta  spatia  dccursa  definitiono, 

recta  BF  ad  reclani  RF; 
ergo  fcmpus  per  AR,  hoc  casu,  ad  lempus  per  BO  componeretiir 

ex  rationc  AF  ad  BF  et  ex  ratione  BF  ad  RF; 
cssel  igitur 

tempus  per  AR  ad  lempus  per  B()  ut  recta  AF  ad  reclam  RF. 

Deiiide,  si  per  spatium  RM  HoreL  motus  uniformis  juxta  gradiiiii 
velocitatis  •<  in  puncto  M  acquisitiim,  et  per  spatium  OV  motus  uni- 
formis juxta  gradum  velocitatis  >  in  <  puncto  >  0  acquisitum, 
eàdem  ratione  probabitur 

tempus  per  MR  ad  tempus  per  OV  esse  ul  recta  RF  ad  rectam  MF. 

Similiter,  considerando  velocitates  punctorum  N  et  V,  erit 

tempus  |)er  M.N  ad  lempus  per  VX  ul  MF  ad  NF. 

Denique,  considerando  velocitates  punctorum  B  et  X  in  ultimis  spa- 

tiis,  erit 

tempus  per  NB  ad  lempus  per  \G  ul  NF  ad  BF. 

Sed  omnes  cjusmodi  rationes,  nempe  AF  ad  RF,  RF  ad  MF,  MF  ad 
NF,  NF  ad  BF,  ex  constructione  sunt  esedem  :  ergo 

tempus  omnium  motuiim  per  lotam  AB 
ad  tempus  omnium  motuum  per  lotam  BC 

in  ulrisque  spatiis  ita  ut  diximus  consideratorum 

est  ut  recla  AF  ad  RF,     sive  NF  ad  BF. 

Sed  tempus  motùs  accelerati  per  AR  est  minus  temporc  inotùs  per 
AR  uniformis  juxta  velocitatem  in  R  :  cùm  enim  a  puncto  R  usque  ad 
punctum  A  perpetuo,  ex  hypothesi,  velocitas  crescat,  ergo  a  puncto  R 
ad  punctum  A  citius  per  motum  acceleratum  pervenitur  quiim  si  vélo- 


•2rl  (El  VHKS    DM   FEUMVT.  -    CO  1!  1$  KSI'OX  I)  VNCI-:. 

l'ilus  a("(|iiisila  in  H  oadciii  vl  iiniroriiiis  us(|ii('  ad  piiiicdiin  A  pcrscvo- 
rari't. 

Kadciii  ralioiic  jn'ohaltiliir  Icnipiis  mod'is  accidcialt  [)pr  KM  oss(> 
iiiiiuis  lompoi'p  inolùs  uniforiiiis  pcr  R.M,  si  vclocilas  ipsiiis  iiiliiiio 
ipsiiis  sjiatii  M  pimrlo  rcspondcal. 

Doniquo  oonstal  nioUiiii  por  tolaiii  AB  aci'oI(M'aliiiii,  iil  lie!  Iivpo- 
llicsis.  inii\(>ii  (ciuporf  licri  (luàm  moliiin  aliiiia  ticliliimi  ex  niolibiis 
iiiiilbriuibus,  jii\(a  vchicilales  tiUiinis  spalionini  AU.  H.M,  MN,  NB 
pHnctis  rcspondoiik'S,  compositiiiii. 

At  contra  lonipus  motiis  accolcrati  por  BO  est  majus  tomporc  molùs 
uniforniis  pcr  BO,  considtM'ati  juxta  velocitalem  puncti  B,  quia  volo- 
citas  a  puncto  B  ad  0  senipcr  crescit  in  motu  accelerato,  juxta  hypo- 
ihesin,  et  niinor  somper  est  velocitate  qu*  respondet  puncto  B. 

Undc  pari  ratiocinio  concludetur  motuni  per  totam  BC  accélérai  uni. 
ut  tiel  liypothesis,  majori  tempore  tîeri  quàni  niolum  iilum  fictiliuui  ex 
nioliiins  uniformibus,  juxta  velocitates  primis  spatiorum  BO.  OV.  YX, 
XC  punctis  respondentes,  compositum. 

Cùm  ergo  tempus  motûs  accelerati  per  AB  sit  minus  tempore  motùs 
illius  tictitii  per  eamdem  AB,  et  contra  tempus  motûs  accelerati  per  BC 
sil  inajus  tempore  motùs  illius  fictitii  per  eamdem  BC,  ergo 

niinor  est  r;itio  icmporis  motùs  accelerati  per  AB 
ad  leiiipus  motùs  accelerati  pcr  BC 
quiim  lemporis  molùs  fictitii  |)er  AB 
ad  tempus  molùs  tictitii  per  13C; 
sed, 

ut  lempus  molùs  accelerati  per  A15  ad  tempus  molùs  accelerati  pcr  liC, 
ila  posuimns  esse  reclam  Z  ad  reclam  BF, 

et 

ul  leiiii)us  molùs  fu^lilii  |)er  AB  ad  lempus  motùs  iîclilii  pcr  BC, 

ita  demonstravimus  esse  iN'F  ad  1$F  : 
ergo 

iniiior  e^l  ralio  i-ecUe  Z  ad  leclam   151'  (|ii;uii  recta;  NF  ad  eamdem   15F, 
qiiod  est  alisurdum,  cùm  recta  Z  sit  major  rectà  NF. 


LXII.  -  IGIC.  273 

Ergo  tempus  motùs  accelerati  per  AB  non  est  majus  temporp  motùs 
accélérât!  per  BC. 

Eàdem  facilitalc  probabimus  tempus  motùs  per  AB  accelerati  non 
esse  minus  tempore  motùs  accelerati  per  BC. 

Sit  enim  minus,  si  fieri  potest  :  erit  igitur 

ul  tempus  motùs  per  AB  accelerati  ad  tempus  motùs  accelerati  pcf  I5('., 
ita  recta  miiior  i])sà  BF  ad  ipsaiii  BF. 

Ksto  itaquc  recta  illa,  minor  quàm  BF,  G  et  sit 

tempus  motùs  acceleraii  per  AB  ad  tempus  motùs  acceierali  per  BC 
ut  G  ad  rectam  BF, 

et  inter  rcctas  BF,  CF  exponatur  continue  proportionalium  séries 
quarum  maxima  OF  sit  major  quàm  G.  Eodem  quo  usi  sumns,  in 
superiori  demonslrationis  parte,  ratiocinio,  conferendo  spatia  in  ipsà 
AB  inler  similes  proportionalcs  intercepta  cum  spatiis  BO,  OV,  VX, 
XC,  mutemus  solummodo  velocitates  uniformes  et  tingamus,  verbi 
gralia,  motum  per  AR  uniformem  fîeri  juxta  gradum  velocitatis  in 
puncto  A  acquisitae;  motum  vero  uniformem  per  BO  fieri  juxta  veio- 
citateni  acquisitam  in  puncto  0;  et  sic  in  reliquis  spatiis,  in  quil)us 
patet  omnes  velocitates  per  AB  uniformes  augeri,  velocitates  verb  per 
BC.  uniformes  minui.  contra  id  quod  in  priore  dcmonstrationis  parle 
fuerat  usurpatum. 

C.oncludetur,  ut  supra, 

lempus  motùs  luijusmndi  unilormis  per  AFl 
ad  tempus  motùs  unilormis  per  KO 
esse  ut  recta  BF  ad  rectam  AF  : 

duni  enim  augcntur  velocitates,  tempora  motuum  minuuntur. 
Similiter 

tempus  motùs  uniformis  per  BM  ad  tempus  motùs  uniformis  per  OV 

erit  ul  MF  ad  MB. 

Keumat.  —  II.  35 


f 


n(Miii|iu> 

itMiipiis  iiioli'ls  ficlilii  illitis  per  AB  e\  uniformibiis  composili 
ad  teinpus  moti'^s  firtilii  (lor  UC  o\  iiniforiiiilnis  parilcr  conipositi 
dit  m  l\V  ad    VF. 

cîirn  oinnes  nitionos  siiil  cTrliMii.  Iincost,  ni  OFad  BF,  porpriniam  prn- 
|)ositittii('iu. 

Teinpiis  aiUcin  luotùs  acccU'iali  prr  A15  est  majus  Icmporo  iiiotùs 
illius  tu'titii  ex  imiformibiis  (îoinpositi,  cùm  supposuorimiis  in  mo- 
tilms  uiiirormihiis  aiirtas  fuisse  volocitatos,  qua'  nimiriiin  in  lior  casu 
priiiiis  spalioriiin  AK,  RM,  clc.  piinclis  rcspoiidcnt;  sod  cl  Icnipiis 
motùs  accelerali  per  BC  est  iniiuis  lenipore  inotùs  ticlitii  ex  uiiifoi"- 
inil)us  composili,  quia  hic  velocitales  iniiiiuiiiliir  et  ultiniis  spaliorinn 
no,  OV,  etc.  punctis  respondeiit  :  ergo 

major  esl  ratio  leniporis  iiiolMS  accelerali  jter  <  AB 

ad  tenipiis  niotùs  accelerali  per  >  BC 

cHiàm  lemporis  motùs  lictitii  per       ATî 

ad  tempus  molùs  ficlilii  per       HC. 

Sed 

ut  lempus  motùs  accelerali  per  AB  ad  tempus  molùs  accelerali  per  Bli, 
ita  est  recta  (î  ad  reclam  BF, 

ex  suppositioiie;  ut  autem 

tempus  molùs  (iclilii  per  AB  ad  tempus  molùs  ficlitii  per  B(], 
ila  recta  ()F  ad  BF, 

ex  deinonstrationc  :  ergo 

refla  G  ad  rectam  BF  majorcm  pi-oportionem  lialtet 
quàin  recta  OF  ad  rectam  BF, 

(|uod  esl  ahsnrdum,  ciim  recla  ('•  sil  minor  rectà  OF,  ex  conslnir- 
liouc. 

Non  ergo  lempus  motùs  acciderali  per  AB  est  minus  leinpore  molùs 
accelerati  por  BC;  sed  nec  majus,  ut  supra  demonstratum  esl  :  ergo 
est  œtj/uale. 


L\ll.  -    IG'.6.  -275 

Ivuk'in  ratione  patol  k'iiipus  molùs  accclerali  pcr  CD  a'qiiaii  (cinpori 
niolùs  accclorati  por  AB,  et  tompori  niotùs  accehM'ati  por  HC,  cl,  coii- 
tinualis,  si  plaei't,  in  infinitum  rationibus,  ornnia  omnino  spaliu  eodcni 
tempore  perciirri. 

5.  llis  positis,  tcriià  propositioiie  mL'iiloin  Galiici  rovelaimis  aul  pro- 
|)Os;ilioiiis  voritalem  astruimus. 

Intelligatur  motus  gravium  dcsconckMiliuni  a  (|iiie(('  ex  puacto  A 
{fig-  Si)  usque  ad  punctum  H,  verbi  gratia,  et  siipponaliir,  si  //cri 


Viff.  Si. 
F  G 


po/csi .  rrlocitatem  gravis  cadentis  accelerari  jiixUt  rnlionem  spatioruin 
ilcriirsonim.  Ponalur  moins  jaiii  t'aclus  ab  A  usque  ad  U  lem|)ore  unius 
miiiuli  aul  altero  (|uovis  tempore  determiuato,  et  supponatur  motus 
contiiuiari  usque  ail  punctum  K  :  Aio  jtiolum pcr  WK/icri  in  instanli. 

Si  enim  motus  per  HK  non  tiat  in  instant!,  tiet  in  tempore  arK|U(i 
determiuato,  quod,  per  aliquem  numerum  mullipliealum.  exeedel 
tempus  in  decursu  spatii  AH  iusumptum;  ponalur  numerus  mulli- 
plieans  "i,  ila  ut  tempus  motùs  per  HK  (juiiujuics  sumptum  excédât 
tempus  motùs  per  AH. 

lieetis  KA,  HA  sumatur  terlia  proportionalis  (;A  et  loties  eonli- 
uuelur  |)roporlionalium  seiies,  ibuiec  spatiorum  interceptorum  nu- 
merus excédât  numerum  ")  ;  tiant  ergo,  ex  proportionalibus  eonli- 
nualis,  sex,  ver!)i  gratia,  spalia  uilra  punctum  \\,  i\wx  siiit  H(i,  (iK, 
FE,  ED,  DC,  CB. 

Ergo  tempus  molùs  per  HG,  per  prœcedentem,  esl  «quale  tempori 
motùs  per  HK. 

Simililer  tempus  motùs  per  GF  est  iequale  tempori  motùs  per  HK. 

Denique  motus  per  totam  HB  fiet  in  tempore  quod  ad  tempus  ])er 
HK  erit  sextuplum;  al  lempus  temporis  per  HK  quiutuplum  est  majus 
tempore  motùs  per  AH  :  ergo  a  foi'liori  lempus  motùs  per  HB  tempore 
motùs  per  totam  HA  est  majus.  Quod  est  absurdum. 


■270  ŒUVRES   DE  FEUMAT.  -  COUIIESPOND ANCE. 

Krgo  vora  rcmaïu'l  (ialilci  illado  (jiiamvis  l'ain  ipso  non  dciuoii- 
stnirit. 

6.  Uivc  hrovitor  ot  fainiliarilor,  (^larissiinc  Gassoiule,  scripsinms, 
110  tilû  in  poslcriiin  faccssaf  negotiiim  aut  Cazraeiis  aut  qiiivis  alitis 
("lalilt'i  advorsariiis,  ot  in  iniinensum  cxcrcscant  volnmina,  qua"  unicâ 
dcmonstraliono,  vol  lahMilihiis  ipsis  aucloribns,  ant  deslruentiir  aut 
iniitilia  ol  supcrlUia  onicionlui'.  Vaic. 


LXIII.  —  JEUDI   k  JUIN    1C48.  277 


ANNÉE    1648. 


lAlII. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

JEUDI    k   JUl.N    1648. 

(B„2vg 

Voici  la  consh'udioii  de  la  question  des  Iniis  Iriaiiiçlcs  (jiiorurn  (ircfc 
consliliiutil  iria  latcra  trianguli  reclan gidl numéro  (-). 

Trouvons  un  Irianglo  de  telle  sorte  que  la  somme  de  riivpolénusc 
et  de  l'un  des  cotés  soit  quadruple  de  l'autre  e(Mé. 

Ce  qui  est  t'ait  ainsi.  Soit  le  dit  triangle  : 

R     S     r 

17     I.-)    s 

Funnabuntnr  Iria  Iriangida  rcrtangula  : 

priinitm      abs     R-t-4S     et     îW —  ^S, 
secundiiDi  abx  6  S         et       W  —  2  S. 

terlium       ahs      Jj  S -t- T     et     \'i  — 2 T. 


(')  Fragment  de  lettre  inédil. 

(-)  Cp.  rObservutioi)  XXIX  sur  Dioplianle. 


278  Œ U  V H i: S    I) K   F !•: K M  A  P.  -  C (» lî  H  K S  1' ()  M t  \  N  ( ;  i:. 

Hoc  csl  :  in  hoc  exeinplo  i/i  s/icrir  /on>ia/>//iif  : 

/>ri'/iiiini  I///S  .\()  et  ■?,, 
sifii/ii/iiiti  itbs  /|!^  et  I, 
Icrliiiin       (dis      .'\~     cl      '.. 


lAIV. 

KEHMAT  A  SÉdLMKIÎ  (  '  ). 
inRiii  !)  JUIN  1648. 

(  Bill.  liât.  l'r.  173SS,  f«  7/1  f.) 
MONSEIG.NEIR, 

Je  sçai  que  la  vertu  et  le  sçauoir  sont  les  seules  recommaiulalious 
qui  peuuent  obtenir  vostre  protection,  et  que  c'est  sans  doute  auec 
(ro[)  de  confiance  que  je  prens  la  liberté  de  vous  demendcr  une 
grâce  (-)  (|ue  i'aduoue  n'auoir  pas  méritée.  Mais  ie  seai  aussi,  Mon- 
seigneur, que  vous  aués  assés  de  bonté  pour  conter  parmi  les  bonnes 
qualilcs  l'inclination  de  les  acquérir,  ("est  la  seule  qui  ne  m'a  iamais 
abandonné  et  mon  ambition  a  tousiours  esté  assés  hardie  pour  me  faire 
considérer  les  Ixdles  lettres  comme  une  conqueste  aisée  en  mesme 
temps  que  ie  sentois  bien  et  que  l'expérience  m'a  faict  cognoistre 
qu'elle  esloit  au  dessus  de  mes  forces.  C'est  donc  a  des  mouvements 
imparfaicts  et  au  désir  seul  de  mériter  quelqu'une  de  vos  faneurs  que 
ie  vous  coniure,  Monseigneur,  d'accorder  celle  que  M.  de  la  Chambre 
a  voulu  prendre  le  soin  de  vous  demender  de  ma  part.  Si  ie  ne  suis  pas 

(')  Publiée  p;ir  .M.  Charles  lloiirv  ( Rec/icrc/iew  p.  63)  d'après  l'uriginal  doiil  amis 
reproduisons  l'oilhographe. 

(')  Le  ïg  aoùl  iG|8  Fermât  fui  dépiilé  à  Castres  «  pour  tenir  cl  desservir  séance  do  la 
oliambre  de  l'édil  avec  les  présidents  et  conseillers  de  la  rcliijion  ])rétendue  rélbrniée  » 
(Histoire  générale  du  Ltini^iiedoe.  tome  XIV,  Toulouse  li^jG,  col.  'ioCj;  c'est  |)ent-ètrc 
celle  nomination  qui  faisait  l'objet  do  la  présente  requête. 


L\V.  -  MAHDI   18   AOUT   ir,V8.  27i) 

capable  do  m'en  rondre  digne  a  l'adiienir,  ie  la  recognoistrai  du  moins 
|iai'  le  respeet  auec  leqmd  ie  vens  eslre  toute  ma  nie. 

Monseigneur, 

Vostre  très  humble,  très  obéissant 
et  très  obligé  seruiteur, 

Fermât. 

A  Tolosi'  le  9  iuin  1648. 
(  .-/drefse.) 


A   Monseiirnear 
igné  II 
Chancelier. 

A  Paris. 


Monseigneur  le 


L\V. 

FHH.MAT  A  LA  CHAMBRE  (Martin  CUREAU  de)  ('). 

MARUI    18    AOUT    lG'l-8. 
!■  Bib.  X.it.  fr.  17390,  f»  iij  1'°.) 

.MoNSIELU, 

.l(^  ne  vous  ai  point  entretenu  iusqu'ici  d'all'aires  publiques,  mais 
pnuree  que  les  véritables  mouvements  d'un  arrest  que  le  parlement  a 
donné  n'ont  pas  esté  peust  estre  cognus  chez  Monseigneur,  i'ai  dressé 
un  mot  d'escrit  ou  vous  le  treuueres,  ie  vous  l'expose  sur  rasseurancc 
(|ue  i'ai  et  de  vostre  prudence  et  de  l'honneur  que  vous  me  faictes  de 
m'aymer.  11  ne  verra  qu'autant  de  iour  que  vous  voudres,  outre  (jue  ma 
politique  est  très  foible  et  très  bornée,  ie  ne  pretens  par  lit  vous  l'aire 
paroistre  que  mon  zcle  pour  le  seruice  du  roi  et  mon  respect  |)oiir  les 
volontés  de  Monseigneur.  Si  cest  escrit  ne  peut  pas  seruir  a  cela 

('  )  Publiée  par  M.  Cliarlos  Henry  (  Rcclicrcliex,  p.  G7)  d'après  laulograplic. 


280         Œ r \  Il i: s  n e  f e i\ m \t.  —  c o iiu e s p o n n a n c e. 

iiiosmo,  pxciisos  lUi  moins  mos  faulos  et  faictos  moi  la  grâce  do  les 
Icnir  cacheos  t'(  de  me  croire  tousiours, 

^loiisiciir, 

Vostre  (rcs  Inimble  cl 

1res  obéissant  seruitciir, 

Fermât. 

A  Toloso  le  iS  août  16 18  (  '  ). 

I    I dresse.) 

A  Monsieur 

Monsieur  de  la  Chambre 

chez  Monseigneur  le 

Chancelier. 

A  Paris. 


LXVI. 
NOTE  DE  FER^IAT 

JOINTE    A    I.A    LETTRE    PRÉCÉDENTE    ("). 
(liib.  Nat.  fr.   i;.^,  f"  "^■) 

L'arrest  que  \('.  parlement  de  Tolose  a  donne  par  lequel  il  est  inhibé 
(le  liMicr  les  tailles  a  main  armée  et  par  logements  effectifs  de  gens  de 
guerre,  a  esté  si  nécessaire  dans  la  conionture  présente,  qu'il  n'y  auoil 
apparament  que  ce  seul  remède  pour  faire  subsister  le  calme  dans  la 
])rouince  de  Guicnne  qui  est  dépendante  de  ce  ressort. 

1-c  i)ruit  (jui  s'estoit  espandu  par  toutes  les  villes  que  le  roi  alloit 
(]nit(cr  les  arrérages  des  impositions  et  accorder  une  diminution  con- 
sidérable de  la  taille  courante  faisoit  supporter  au  peuple  auec  tant 

I  ')  (;elle  suscriptioii  est  i)rc.sf]',ie  entièrement  efTacéc  :  la  date  a  clé  inscrite  au  \cr.-;o 
par  les  l'onimis  cio  Si^siiicr. 
I  ^)  Publiée  par  .M.  Charles  Henry  {Reciierclies,  p.  08}  d'après  l'aulograplie. 


LXVI.  -  MARDI  18  AOUT   1648.  281 

d'impatience  ces  ordres  seueres  de  logements  effectifs  qu'il  se  faisoit 
de  louts  costés  des  conspirations  et  des  attroupements  contre  les  bri- 
gades, et  des  rebellions  si  notables  qu'elles  eussent  sans  doute  tramé 
de  plus  grands  souslevements  si  le  parlement  n'eiist  suspendu  par  sou 
arrest  ces  ordres  violents  qui  sont  contre  les  ordonnances  et  contre 
l'humanité  mesme,  s'il  faut  ainsi  parler.  Depuis  ce  temps  là  on  n'a 
point  cessé  de  donner  des  arrests  pour  procurer  en  toute  diligence  le 
payement  des  tailles,  on  a  mesme  taché  d'empescher  diuers  abbus  pra- 
tiqués par  les  commis  qu'on  a  descouuert  qui  faisoient  faire  des  quit- 
tances antidatées  pour  s'approprier  par  ceste  voye  les  deniers  royaus 
et  les  diuertir  a  leur  profit;  le  parlement  en  a  faict  informer,  a  donné' 
arrest  et  comission  là  dessus,  bref  il  n'a  rien  omis  pour  ce  regard.  J'ai 
esté  le  premier  qui  ai  eu  quelque  cognoissance  des  voyes  obliques  et 
qui  ai  suggéré  à  quelques  uns  de  la  Grande  Chambre  l'arrest  qui  est 
donné  sur  ce  subject. 

Je  ne  laisse  pas  de  vous  aduouer  que  ces  remèdes  sont  lents  et  que 
le  payement  des  tailles  l'est  encore  d'advantage,  depuis  que  ceste 
grande  rudesse  de  l'exaction  a  cessé,  la  raison  est  claire,  la  pauureté 
est  si  generalle  et  si  grande,  et  les  charges  si  hautes  que  des  que  ceste 
constrainte  armée  a  cessé,  rien  ne  paroist  d'assés  fort  pour  faire  payer 
les  contribuables,  les  saisies  qui  estoient  l'extrême  dans  les  voyes 
réglées  commencent  de  n'effrayer  plus  et  sont  plustost  des  menaces 
que  des  coups. 

Il  faut  pourtant  haster  les  Icuees  et  donner  promptement  au  roi  un 
secours  si  iuste  et  si  nécessaire.  Il  me  semble  que  l'expédient  le  plus 
plausible  et  le  plus  aisé  seroit  d'auoir  une  déclaration  du  roi  qui  por- 
tast  permission  a  toutes  les  communautés  d'emprunter  les  sommes 
nécessaires  a  concurrence  des  tailles  courantes  et  qui  declarast  les 
sommes  empruntées  audict  effect  priuilegiees  a  toutes  debtes  desd. 
communautés  comme  destinées  au  payement  des  charges  courantes. 
Il  est  très  probable  que  tout  l'argent  de  la  prouince  aboutiroit  là, 
pource  que  la  fréquence  des  banqueroutes  est  cause  que  ceux  qui 
ont  de  l'argent  ayment  mieux  le  garder  que  le  bazarder.  Ceste  decla- 

Fermat.  —  M.  36 


•282  ŒUVHES   DE   FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

ration  signée  du  rogistro  ilu  parlement  seroit  une  asseurancc  entière 
pour  les  créanciers  et  si  le  roi  accordoit  quelque  remise  pour  l'auance, 
toutes  les  communautés  accourroieut  en  foulle  pour  emprunter  les 
deniers  nécessaires  et  les  payer  tout  aussi  tost  aux  receueurs.  On 
ponrroit  mesme  enjoindre  au  parlement  d'enuoyer  des  comissaires 
dans  toutes  les  uilies  pour  faciliter  lesd.  payements,  et  si  sa  maiesté 
ingeoil  qu'il  fust  important  pour  le  bien  de  son  estai  de  se  seruir  de 
ce  mesme  moyen  pour  faire  approcher  les  deniers  de  l'an  iG'Î9,  Fexe- 
cution  n'en  seroit  pas  apparament  malaisée. 


LXVII. 
FERMAT  A  MERSENNE  (?). 

FRAGMENT  ('). 
1648. 

(I),  m,  83.) 

Asymmetrias  in  Algebraicis  omnino  tollerc,  opus  arduum  nec  salis 
hactenus  ab  Analystis  tentatum. 

Dentur,  verbi  gratia,  termini  asymmetri  plures  quatuor  et  secundum 
artis  prsecepta  proponantur  asymmetria  liberandi.  Vix  est  ut  ab  hujus- 
modi  tricis  expédiât  se  Analysta  :  dum  crescct  labor,  augebitur  dilR- 
cultas  et  fatigatus  tandem,  nihil,  post  repetitas  sœpius  operationes, 
aut  profecisse  se  aut  promovisse  deprchendet.  An  itaque  hœrebit  Ana- 
lysis  et  asymmetriis  undique  obruta  conticescet?  Videant  eruditi  et 
methodum  huic  negotio  conducibilem  inquirant. 

(';  Tire  d'une  Lettre  de  Doscartes  à  M***,  datée  du  i8  décembre  16^8,  où  ce  fragment 
est  précédé  des  mois  :  roici  maintenant  le  billet  de  M.  de  Fermât,  et  suivi  d'une 
réponse  de  Descartes  à  la  question  posée.  La  partie  latine,  qui  dans  l'édition  Clerselier 
est  composée  en  italiques  avec  les  lettres  de  l'équation  en  minuscules;  est  traduite  fii 
français  (édition  Cousin,  tome  X,  p.  ifig). 


LWII.  -   16V8.  283 

Proponatur  in  exomplum  : 

latiis(B  in  A  —  Aquad.)  -t-  lal.{Z  quad.  +  D  in  A  +  Aquad.) 

-h  lat.(M  in  A)  +  lat.(D  quad.—  A  quad.), 
—  lalere(R  in  A  4- A  quad.)         œcjuari         B  +  A. 

Oporelur  secundum  praecepta  arlis  Analysta  et  ab  asyminelria  pro- 
posita  se  expédiât,  aut  artis  inefficaciam  fateatur  ('). 

Il  me  semble  que  les  illustres  en  cette  Science  ne  sauroient  prendre 
un  plus  digne  et  plus  nécessaire  emploi  que  celui  d'aplanir  ces  didi- 
cultés.  Pour  les  y  exciter,  vous  leur  pourriez  dire  par  avance  que  j'ai 
fait  quelque  progrès  en  cette  matière  et  qu'il  y  a  beaucoup  ii  décou- 
vrir et  à  inventer;  vous  pourriez  même  en  écrire  en  Italie  et  en  Hol- 
lande, afin  que  la  prophétie  du  Chancelier  d'Angleterre  s'accompliss(>  : 
Miilti pertransihiint  et  augehitiir  scicritia  (^). 

(  ')  Voir  Tome  I,  p.  181-188. 

I  ^)  f'oir  plus  haut.  p.  3J,  noie  1. 


281  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNEE   1G50. 


LXVIll. 

FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

SAMEDI   20   AOUT    1C30. 

(Bibl.  nat.,  lat.  11196,  f°*  5i-55  ) 

Monsieur, 

i-  Ma  lettre  par  malheur  fut  envoyée  trop  tard  la  semaine  dernière 
au  messager  d'Aurillac;  vous  la  recevrez  seulement  par  celui-ci  avec 
la  pénitence  que  je  me  suis  enjoint  à  moi-même  pour  payer  ce  retar- 
dement, c'est-à-dire  que  je  n'ai  point  voulu  différer  h  vous  envoyer  ma 
méthode  générale  pour  le  déhrouillement  des  asymmélriesi^-).  Les  fêtes 
m'ont  tout  à  propos  donné  le  loisir  nécessaire  pour  y  vaquer;  je  vous 
envoyé  mon  original  par  pure  paresse  et  vous  prie  me  le  renvoyer  au 
plus  tôt  ou  hien  un  autre  à  votre  choix.  Vous  ménagerez  mes  intérêts 
comme  vous  l'entendez;  ils  consistent  seulement  à  me  laisser  la  satis- 
faction (j'use  à  dessein  d'un  mot  adouci)  d'avoir  dévoilé  une  matière 
(|iii  n'étoit  pas  connue,  ce  que  diverses  questions,  que  je  vous  ai  pro- 
posées à  diverses  fois  et  dont  pas  une  solution  n'a  jamais  été  donnée, 
prouvent  assez  suffisamment. 

2.  Mais,  si  vous  voulez  avoir  le  plaisir  tout  entier,  proposez  hardi- 
ment à  trouver  la  tangente  d'une  courbe  dont,  par  exemple,  la  pro- 

(')  Publiée  par  M.  Charles  Henry  {Recherches,  p.  igS). 

(')  C'est  la  niéltiode  d'élimination  des  radicaux,  exposée  tome  I,  p.  181-188. 


LXVIII.  —  SAMEDI  20  AOUT  1650.  285 

priété  soit,  en  prenant  A  pour  l'appliquée  et  E  pour  la  portion  du  dia- 
mètre qui  lui  correspond  : 

Lattis  cub.  (Z<7.in  A  —  Xc.)-\-  lat.quad.quad.(Bpl.  pi.  —  ïiq.  in  B  in  A  +  A(/y.) 
+  lat.  quad.  (B  in  A  —  Aiy.)  +  lat.  quad.  cub.  {Aqc.  —  Bqq.  in  A). 

Ilœc  ornnia  quatuor  homogenea,  quce,  in  hoc  casu,  sunl  rectœ,  œquen- 

tur 

B  +  A  -  E. 

Quœritur  tangens  ad  punctum  daturn  in  cun'a  cujus  superior  œqualitas 
proprietatem  specijicam  reprœsentat. 

Que  fera  en  ce  rencontre  la  méthode  de  M.  Descartes  que  vous  savez 
être  infiniment  plus  embarrassée  que  la  mienne?  mais  que  fera  encore 
la  mienne,  si  les  asymmétries  ne  sont  ôtées? 

Pour  les  ôter,  la  méthode  que  je  vous  envoyé  en  vient  à  bout  sans 
nulle  difficulté,  car,  en  donnant  à  chacune  des  lignes  irrationelles  le 
nom  d'une  seconde  racine,  tierce,  quarte  et  cœt.,  on  vient  toujours  à 
des  doubles  égalités  lesquelles  se  réitèrent  jusques  à  ce  que  l'applica- 
(ion  (ou  la  division)  ôte  la  dernière  de  ces  racines,  puis  la  pénultième, 
et  ainsi  en  rétrogradant  jusques  à  ce  que  toutes  les  nouvelles  racines 
inconnues  que  vous  aurez  prises  à  discrétion  aient  entièrement  dis- 
paru, et  pour  lors  il  vous  restera  une  équation  sans  asymmétrie  en 
laquelle  il  n'y  aura  de  racines  inconnues  que  les  deux  premières  A 
et  E,  qui  n'auront  que  changé  de  degré  à  cause  des  multiplications  fré- 
quentes et  nécessaires  à  chaque  opération,  et  cette  équation  exempte' 
d'asymmétrie  représentera  la  propriété  spécifique  de  la  courbe. 

Or,  quand  nous  avons  la  propriété  spécifique  de  la  courbe  sans 
asymmétrie,  ma  méthode  de  tangentihus  donne  la  tangente  très  sim- 
plement et  par  la  seule  application  ii  tous  les  cas  généralement,  soit 
que  la  propriété  spécifique  aie  relation  à  des  lignes  droites  seulement, 
soit  qu'elle  l'aie  aussi  à  des  courbes.  Et  partant,  en  joignant  les  deux 
méthodes,  la  tangente  de  la  question  proposée  se  trouve  par  l'applica- 
tion simple,  ce  qui  semble  merveilleux. 


•286  ŒrVIJES   DE  FERMAT.-  COIIRESPON  [)  ANCE. 

Jo  n'ajoute  pas  l'opéralion  onlii'rc,  ])oiirco  (jiio  la  lonj^iiciir  du  (ra- 
vail  ino  lassoroit,  mais,  en  un  mol,  il  sulFil  que  vous  voyez  très  claire- 
ment le  progrès  et  la  fin  tle  l'ouvrage;  ce  que  je  crois  avoir  été  in- 
connu jns(jues  à  présent,  puis(|uc  JM.  Descartcs,  que  je  nomme  avec 
tout  le  respect  qui  est  dû  à  la  mémoire  d'un  si  merveilleux  homme, 
proposoit  comme  une  dilTiculté  insurmontable  la  question  suivante  : 

l-llaitl  donnés  quatre  points  et  une  courbe,  en  laquelle  prenant  un  point 
à  discrétion,  les  droites  menées  de  ce  point  aux  quatre  donnés  fassent 
une  somme  donnée,  trouver  une  tangente  à  quelconque  point  donné  de 
cette  courbe. 

ainsi  (juc  je  puis  l'aire  voir  par  une  de  ses  lettres  (').  Pourtant,  mes 
nu'thodes  jointes  ensemble  en  donnent  la  solution  simple,  et  l'opéra- 
tion <C  se  fait  >  en  se  jouant. 

Vous  comprenez  par  là  que  le  principal  et  plus  considérable  effet  de 
cette  méthode  paroît  aux  tangentes  de  toutes  sortes  de  lignes  courbes 
il  l'infini,  puisque  les  tangentes  s'y  trouvent  toujours  par  application 
simple,  et  après  cela  aux  questions  que  j'appelle  abondantes,  qui  se 
résolvent  aussi  par  la  seule  division,  sans  aucune  extraction  de  racines 
et  caet. 

3.  En  voilà  trop  pour  une  seconde  lettre,  mais  je  suis  d'humeur  à 
vous  faire  paroitre  ce  que  peut  notre  ancienne  amitié.  Peut-être  que 
ces  petits  éclaircissements  serviront  à  ce  qu'il  y  aura  de  trop  concis 
dans  mon  écrit  latin,  quoique  je  ne  doute  point  qu'après  que  vous  et 
messieurs  à  qui  vous  le  communiquerez  y  auront  un  peu  rêvé,  ils  n'en 
trouvent  l'intelligence  et  la  pratique  aisée. 

Je  n'ai  (ju'à  vous  avertir  que  l'ordre  des  pages  de  mon  petit  Traité 
est  marqué  par  chiffres,  et  qu'il  y  a  un  endroit,  en  la  page  septième, 
qui  semble  défectueux,  qui  pourtant  ne  l'est  pas,  et  il  faut  tout  écrire 
comme  un  sens  continu,  ainsi  que  vous  comprendrez  d'abord. 

')  Celte  IcUre  n'a  pas  été  conservée. 


LXVIII.  -  20  AOUT  IGoO.  287 

Je  vous  réitère  encore  que  je  vous  renvoierai  vos  écrits  de  mes 
Traités  au  plus  tôt  avec  le  Livre  de  M.  Gaignières  ('),  sinon  que  vous 
en  trouviez  ;»  Paris  un  autre  exemplaire,  auquel  cas  vous  m'obligerez 
de  le  bailler  à  mondit  S''  Gaignières,  e(  j'en  rembourserai  le  prix  au 
messager  qui  vous  porte  mes  lettres. 

Je  suis,  Monsieur,  votre  du  tout  acquis  serviteur, 

Fermât. 

A  ('astres,  ce  20  août  lOJo 


(  '  )  l,a  suite  de  la  phrase  montre  qu'il  s'agit  d'un  ouvrage  prête  par  Gaignières.  Celui-ci 
n'est  pas  Koger  de  Gaignières  dont  les  collections  ont  enrichi  la  Bibliothèque  du  roi.  puisque 
ce  célèbre  collectionneur  est  né  vers  1644,  mais  sans  doute  son  père  Aimé  de  Gaignières. 
secrétaire  du  duc  de  Bellegarde,  gouverneur  de  Bourgogne.  (Léopold  Delisle.  Le  caliinet 
des  m/i/iitscrilx,  Tome  I,  p.  335.) 


288  ŒL'VUES   DE  FERMAT.-  COIUIESPONDANCE. 


ANNEE    1654. 


LXIX. 

FERMAT  A  PASCAL  ^'). 
1654. 

{OEuvr'es  de  Pascal^  ^779'  I^'j  P-  ^W~41--) 

Monsieur, 

Si  j'onlropronds  de  fairo  un  point  avec  un  seul  dé  en  huit  coups;  si 
nous  convenons,  après  que  l'argent  est  dans  le  jeu,  que  je  ne  jouerai 
l)as  le  premier  coup,  il  faut,  par  mon  principe,  ((ue  je  tire  du  jeu  {  du 
total  pour  être  désintéressé,  à  raison  dudit  premier  coup. 

Que  si  encore  nous  convenons  après  cela  que  je  ne  jouerai  pas  le 
second  coup,  je  dois,  pour  mon  indemnité,  tirer  le  Ci""^  du  restant,  qui 
est  ~  du  total. 

Et  si  après  cela  nous  convenons  ([ue  je  ne  jouerai  pas  le  troisième 
l'oup,  je  dois,  pour  mon  indemnité,  tirer  le  G'""  du  restant,  qui  est  ^ 
ilu  total. 

Et  si  après  cela  nous  convenons  encore  que  je  ne  jouerai  pas  le  qua- 
trième coup,  je  dois  tirer  le  (i'""  du  restant,  qui  est  ^~  du  total,  et  je 
conviens  avec  vous  que  c'est  la  valeur  du  (|uatrième  coup,  supposé 
qu'on  ait  déjà  traité  des  précédents. 

Mais  vous  me  proposez  dans  l'exemple  dernier  de  votre  lettre  (je 

(  '  )  «  Iinpriméi;  pour  la  promière  fois.  Cctlo  LoUre  est  sans  date  dans  la  copie  (pis  j'en 
ai;  elle  paroîl  répondre  à  une  lettre  de  Pascal  que  je  n'ai  pu  recouvrer.  »  (Note  de 
/Sossut.)  —  L'éditeur  des  OEavrex  de  Pascal  a  d'ailleurs  placé  cette  Lettre  entre  celles 
numérotées  ci-après  LXXIV  et  LXXV. 


L\\.  -  29  JUILLET   1634.  289 

mots  vos  propres  termes)  que  si  j'entreprends  de  trouver  le  six  en  huit 
coups  et  que  j'en  aie  joué  trois  sans  le  rencontrer,  si  mon  joueur  me 
|)ropose  de  ne  point  jouer  mon  quatrième  coup  et  qu'il  veuille  me 
désintéresser  à  cause  que  je  pourrois  le  rencontrer,  il  m'appartiendra 
T^  de  la  somme  entière  de  nos  mises. 

Ce  qui  pourtant  n'est  pas  vrai,  suivant  mon  principe.  Car,  en  ce  cas, 
les  trois  premiers  coups  n'ayant  rien  acquis  à  celui  qui  lient  le  dé,  la 
somme  totale  restant  dans  le  jeu,  celui  qui  lient  le  dé  et  qui  convient 
de  ne  pas  jouer  son  quatrième  coup,  doit  prendre  pour  sou  indemnité 
~  du  total. 

Et  s'il  avoit  joué  quatre  coups  sans  trouver  le  point  cherché  et  qu'on 
convînt  qu'il  ne  joueroit  pas  le  cinquième,  il  auroit  de  même  pour  son 
indemnité  ^  du  tolal.  Car  la  somme  entière  restant  dans  le  jeu,  il  ne 
suit  pas  seulement  du  principe,  mais  il  est  de  même  du  sens  naturel 
que  chaque  coup  doit  donner  un  égal  avantage. 

Je  vous  prie  donc  que  je  sache  si  nous  sommes  conformes  au  priu- 
l'ipe,  ainsi  que  je  crois,  ou  si  nous  diirérons  seulement  en  l'applica- 
lion. 

Je  suis,  de  tout  mon  cœur,  etc. 

Fermât. 


LXX. 

PASCAL  A  FERMAT. 

MEHCREUI     i'J     JIILI.ET      1054. 

(  fa,  p.  179-183.) 

Monsieur, 

1.  L'impatience  me  prend  aussi  bien  qu'à  vous  et,  quoique  je  sois 

encore  au  lit,  je  ne  puis  m'empècher  de  vous  dire  que  je  reçus  hier 

au  soir,  de  la  part  de  M.  de  Garcavi,  votre  lettre  sur  les  partis,  que 

j'admire  si  fort  que  je  ne  puis  vous  le  dire.  Je  n'ai  pas  le  loisir  de 

II.  —  l'ERsuT.  37 


290  ŒUVRES   DE  F  E  KM  AT.  -  COllRESl'OND  ANGE. 

m'ctenclro.  mais,  on  un  mot,  vous  avez  trouvé  les  deux  partis  (')  des 
dos  ol  dos  partios  dans  la  parfaito  juslosso  :  j'en  suis  tout  satisfait,  car 
jo  no  tlouto  plus  maiutonant  que  je  ne  sois  dans  la  vérité,  après  la 
ronoonire  admirahlo  où  je  me  trouve  avec  vous. 

J'admire  l)iou  (lavanlai;-o  la  méthodo  des  parties  que  celle  des  dés; 
j'avois  vu  plusieurs  porsounos  trouver  celle  des  dés,  comme  M.  le  che- 
valier de  ^loro,  qui  est  celui  qui  m'a  proposé  ces  questions,  et  aussi 
M.  do  Hohorval  :  mais  .M.  do  ^loré  n'avoit  jamais  pu  trouver  la  juste 
valeur  dos  partios-ni  do  biais  pour  y  arriver,  de  sorte  que  je  me  trou- 
vois  seul  qui  eusse  connu  cotte  proportion. 

2.  Votre  méthode  est  très-sùre  et  est  celle  qui  m'est  la  première 
venue  à  la  pensée  dans  cette  recherche;  mais,  parce  que  la  peine  des 
combinaisons  est  excessive,  j'en  ai  trouvé  un  abrégé  et  proprement  une 
autre  méthode  bien  plus  courte  et  plus  nette,  que  je  voudrois  vous 
pouvoir  dire  ici  on  pou  de  mots:  car  je  voudrois  désormais  vous  ouvrir 
mon  cœur,  s'il  se  pouvoit,  tant  j'ai  de  joie  de  voir  notre  rencontre.  Je 
vois  bien  que  la  vérité  est  la  même  à  Toulouse  et  à  Paris. 

Voici  il  peu  près  comme  je  fais  pour  savoir  la  valeur  de  chacune  des 
parties,  quand  deux  joueurs  jouent,  par  exemple,  on  trois  parties,  et 
chacun  a  mis  32  pistolos  au  jeu  : 

Posons  que  le  premier  en  ait  deux  et  l'autre  une;  ils  jouent  mainte- 
nant une  partie,  dont  le  sort  est  tel  que,  si  le  premier  la  gagne,  il 
gagne  tout  l'argent  qui  est  au  jeu,  savoir  64  pistoles;  si  l'autre  la 
gagne,  ils  sont  deux  parties  à  deux  parties,  et  par  conséquent,  s'ils 
veulent  se  séparer,  il  faut  qu'ils  retirent  chacun  leur  mise,  savoir  cha- 
cun 32  pistoles. 

('>  Parti  signifie  ici  réparLlLloii  enlro  dos  joueurs,  d'après  leurs  chances  rcIaUves,  de 
la  masse  des  enjeux,  dans  le  cas  où  le  jeu  est  abandonné  avant  sa  fin. 

Le  parti  des  des  dont  il  s'agit  ici  paraît  avoir  été  simplement  demandé  dans  le  cas  où 
celui  qui  lient  les  dés  a  parié  d'amener  un  point  déterminé  en  un  nombre  do  coups  convenu 
(voir  Lettre  LXIX  et  ci-après,  LXX,  7). 

Quant  au  parti  des  parties,  la  question  est  clairement  exposée  ci-après  (2  à  6).  Com- 
parer, à  la  suite  du  Traité  du  triangle  arithmétique  de  Pascal,  l'apijlicalion  qui  en  est 
faite  à  ce  même  problème  {OEuvres  de  Pascal,  édition  de  1779,  V,  p.  32). 


LXX.  -  29  JUILLET   iGok.  291 

Considérez  donc,  Monsieur,  que,  si  le  premier  gagne,  il  lui  appar- 
tient 64;  s'il  perd,  il  lui  appartient  32.  Donc,  s'ils  veulent  ne  point 
hasarder  cette  partie  et  se  séparer  sans  la  jouer,  le  premier  doit  dire  : 
«  Je  suis  sur  d'avoir  32  pistoles,  caria  perte  même  me  les  donne;  mais 
»  pour  les  32  autres,  peut-être  je  les  aurai,  peut-être  vous  les  aurez,  le 
»  hasard  est  égal.  Partageons  donc  ces  32  pistoles  par  la  moitié  et  me 
»  donnez,  outre  cela,  mes  32  qui  me  sont  sûres.  »  Il  aura  donc  48  pis- 
toles et  l'autre  iG. 

Posons  maintenant  que  le  premier  ait  deux  parties  et  l'autre  point, 
et  ils  commencent  à  jouer  une  partie.  Le  sort  de  cette  partie  est  tel 
que,  si  le  premier  la  gagne,  il  tire  tout  l'argent,  G4  pistoles;  si  l'autre 
la  gagne,  les  voilà  revenus  au  cas  précédent,  auquel  le  premier  aura 
deux  parties  et  l'autre  une. 

Or,  nous  avons  déjà  montré  qu'en  ce  cas  il  appartient,  à  celui  qui  a 
les  deux  parties,  48  pistoles  :  donc,  s'ils  veulent  ne  point  jouer  cette 
partie,  il  doit  dire  ainsi  :  «  Si  je  la  gagne,  je  gagnerai  tout,  qui  est  64; 
»  si  je  la  perds,  il  m'appartiendra  légitimement  48  :  donc  donnez-moi 
»  les  ^8  qui  me  sont  certaines,  au  cas  même  que  je  perde,  et  partageons 
»  les  iG  autres  par  la  moitié,  puisqu'il  y  a  autant  de  hasard  que  vous 
»  les  gagniez  comme  moi.  »  Ainsi  il  aura  48  et  8,  qui  sont  56  pistoles. 

Posons  enfin  que  le  premier  n'ait  qii  une  partie  et  l'autre /^ot«i.  Vous 
voyez.  Monsieur,  que,  s'ils  commencent  une  partie  nouvelle,  le  sort  en 
est  tel  que,  si  le  premier  la  gagne,  il  aura  deux  parties  à  point,  et  par- 
tant, par  le  cas  précédent,  il  lui  appartient  56;  s'il  la  perd,  ils  sont 
partie  à  partie  :  donc  il  lui  appartient  32  pistoles.  Donc  il  doit  dire  : 
«  Si  vous  voulez  ne  la  pas  jouer,  donnez-moi  32  pistoles  qui  me  sont 
»  sûres,  et  partageons  le  reste  de  56  par  la  moitié.  De  56  ôtez  32, 
»  reste  24;  partagez  donc  2'i  par  la  moitié,  prenez-en  12  et  moi  12, 
»  qui,  avec  32,  font  44-  » 

Or,  par  ce  moyen,  vous  voyez,  par  les  simples  soustractions,  que, 
pour  la  première  partie,  il  appartient  sur  l'argent  de  l'autre  12  pis- 
toles; pour  la  seconde,  autres  12;  et  pour  la  dernière,  8. 

Or,  pour  ne  plus  faire  de  mystère,  puisque  vous  voyez  aussi  bien 


±)1  (F.rVllKS  DE  rEHMAT.  -  COU  RESPON  I)  ANCE. 

tout  à  (locouvert  et  (]iu'  jo  n'en  l'aisois  que  pour  voir  si  jo  ne  nie  trom- 
pois  pas,  la  vali'ur  y'enlonds  sa  valeur  sur  l'argent  de  l'autre  seule- 
ment^ (le  la  dernière  partie  de  t/ci/.v  est  double  de  la  <]  dernière  > 
partie  de  /rois  et  quadruple  de  la  dernière  partie  de  quatre  et  octuple 
de  la  dernii're  partie  de  ci/k/.  etc. 

3.  Mais  la  pi'oportion  des  premières  parties  n'est  pas  si  aisée  à 
trouver  :  elle  est  donc  ainsi,  car  je  ne  veux  rien  déguiser,  et  voici  le 
problème  dont  je  l'aisois  tant  de  cas,  comme  en  ell'et  il  me  plaît  fort  : 

Etaiil  donné  tel  nombre  de  parties  qu  on  rendra,  trouver  la  valeur  de 
la  première. 

Soit  le  nombre  des  parties  donné,  par  exemple  8.  Prenez  les  huit 
[iremiers  nombres  pairs  et  les  huit  premiers  nombres  impairs,  savoir  : 

2,     4,     G,     8,     10,     12,     i4,     i6 

et 

I,     3,     5,     7,      9,       II,     i3,     i5. 

Multipliez  les  nombres  pairs  en  cette  sorte  :  le  premier  par  le  second, 
le  produit  par  le  troisième,  le  produit  par  le  quatrième,  le  produit 
|)ar  le  cinquième,  etc.;  multipliez  les  nombres  impairs  de  la  même 
sorte  :  le  premier  par  le  second,  le  produit  par  le  troisième,  etc. 

Le  dernier  produit  des  pairs  est  le  dénominateur  et  le  dernier  pro- 
duit des  impairs  est  le  numérateur  de  la  fraction  qui  exprime  la  valeur 
de  la  première  partie  de  hait  :  c'est-à-dire  que,  si  on  joue  chacun  le 
nombre  de  pistoles  exprimé  par  le  produit  des  pairs,  il  en  appartien- 
droit  sur  l'argent  de  l'autre  le  nombre  exprimé  par  le  produit  des 
impairs. 

Ce  qui  se  démontre,  mais  avec  beaucoup  de  peine,  par  les  combi- 
naisons telles  que  vous  les  avez  imaginées,  et  je  n'ai  pu  le  démontrer 
par  cette  autre  voie  que  je  viens  de  vous  dire,  mais  seulement  par 
celle  des  combinaisons.  Et  voici  les  propositions  qui  y  mènent,  qui 
sont  proprement  des  propositions  arithmétiques  touchant  les  combi- 
naisons, dont  j'ai  d'assez  belles  propriétés  : 


L\\.  —  29  JUILLET   ICai.  293 

4.  Si  d'un  nombre  quelconque  de  lettres,  par  exemple  de  8  : 

A,     M,     C,     D,     E,     F,     G,     II, 

vous  en  prenez  toutes  les  combinaisons  possibles  de  4  lettres  et  ensuite 
toutes  les  combinaisons  possibles  de  5  lettres,  et  puis  de  (3,  de  7  et 
de  8,  etc.,  et  qu'ainsi  vous  preniez  toutes  les  combinaisons  possibles 
depuis  la  multitude  qui  est  la  moitié  de  la  toute  jusqu'au  tout,  je  dis 
que,  si  vous  joignez  ensemble  la  moitié  de  la  combinaison  de  4  avec 
cbacune  des  combinaisons  supérieures,  la  somme  sera  le  nombre  tan- 
tième de  la  progression  quaternaire  à  commencer  par  le  binaire,  qui 
est  la  moitié  de  la  multitude. 

Par  exemple,  et  je  vous  le  dirai  en  latin,  car  le  français  n'y  vaut 
rien  : 

Si  quollibet  litteraniin,  verbi  gralia  oclo  : 

A,     B,     C,     D,     E,     F,     G,     II, 

sumanlur  omnes  combinationes  qualernarii,  quinquenarii,  senarii.  clr. . 
usque  ad  octonariiim .  dira ,  si  jitngas  dimidium  combinationis  qualer- 
narii, nempe  35  (^dimidium  70),  cum  omnibus  combinationibus  (juin- 
quenarii,  nempe  56,  plus  omnibus  combinationibus  senarii,  nempe  28, 
plus  omnibus  combinationibus  septenarii,  nempe  8,  plus  omnibus  combi- 
nationibus octonarii,  nempe  i ,  factum  esse  quartum  numerum  progres- 
sionis  quaternarii  cujus  origo  est  2  :  dico  quartum  numerum,  quia  '\  octo- 
narii dimidium  est. 

Sunt  enini  numeri progressionis  quaternarii.  cujus  origo  est  2,  isti  : 

2,     8,     Sa,      128,     5i2,     etc., 

quorum    2  primus   est,    8  secundus,    32   lertius  et   128   quartus   :   cui 

]  28  œquanti/r 

■+-  35  dimidium  combinationis  4  litlerarum 
-+-  56  combinationis  5  litlerarum 
+  28  combinationis  6  litlerarum 
-t-    8  combinationis  7  litlerarum 
-(-    I  combinationis  8  litlerariun. 


•29i  (Kl  Vr»i:S  DE   FKKMAT.  —  COU  II  KS  rONDANCK. 

5.  \()ilii  la  proiiiièro  proposition  (|iii  os(  purement  arilinnéli([ne; 
l'antre  reijiarile  la  doclrine  des  parties  et  est  telle  : 

Il  faut  (lire  auparavant  :  si  on  a  une  partie  de  /),  par  exemple,  et 
ipiainsi  il  en  mancjue  '\,  le  jeu  sera  infailliblement  d(?cidé  en  tS,  qni 
est  douille  de  '\. 

\a\  valeur  de  la  |)renii(''re  partie  de  Z)  sur  l'argent  de  l'autre  est  la 
fraction  (]iii  a  pour  numérateur  la  moili(''  de  la  combinaison  de  4  sur  8 
ye  prends  '\  parce  qu'il  est  égal  au  nombre  des  parties  qui  manque, 
et  8  parce  qu'il  est  double  de  f\)  et  pour  dénominateur  ce  même  numé- 
rateur plus  toutes  les  combinaisons  supérieures. 

Ainsi,  si  j'ai  une  partie  de  5,  il  m'appartient,  sur  l'argent  de  mon 

joueur,  — 5  :  c'est-à-dire  que,  s'il  a  mis  12S  pistoles,  j'en  prends  35  et 

lui  laisse  le  reste,  f)3. 

Or  cette  fraction  —5  est  la  même  que  celle-là  :  ô^-d  laquelle  est  faite 

par  la  multiplication  des  pairs  pour  le  dénominateur  et  la  multiplica- 
tion des  impairs  pour  le  numérateur. 

Vous  verrez  bien  sans  doute  tout  cela,  si  vous  vous  en  donnez  tant 
soit  peu  la  peine  :  c'est  pourquoi  je  trouve  inutile  de  vous  en  entre- 
tenir davantage. 

6.  Je  vous  envoie  néanmoins  une  de  mes  vieilles  Tables;  je  n'ai  pas 
le  loisir  de  la  copier,  je  la  referai. 

Vous  y  verrez  comme  toujours  que  la  valeur  de  la  première  partie 
est  égale  à  celle  de  la  seconde,  ce  qui  se  trouve  aisément  par  les  com- 
binaisons. 

Vous  verrez  de  même  que  les  nombres  de  la  première  ligne  aug- 
iiiciilenl  toujours;  ceux  de  la  seconde  de  même;  ceux  de  la  troisième 
de  même. 

Mais  ensuite  ceux  de  la  quatrième  diminuent;  ceux  de  la  cin- 
quième, etc.  Ce  qui  est  étrange. 


LXX.  -  29  .lUir.LET    165i. 

Si  on  jonc  chacun  2 JG  on 


295 


partie  . 


—  iS  12°  partie. 


3    .3"  partie. 


.£  0 


/,«  paru. 


5°  partie. 


6°  partie. 


6 
parties. 

5 
parties. 

i 
parties. 

3 
parties. 

2 
parties. 

1 
partie. 

2)6 

63 

70 

80 

9<'' 

12S 

63 

70 

Su 

<jl'' 

12S 

56 

60 

Oi 

01 

',■?. 

io 

32 

i.\ 

16 

8 

Si  on  joue  2j6  chacun  en 


ra    1 

CL 


6 
parties. 

63 

0 
parties. 

4 
parties. 

3 
parties. 

0 
parties. 

1 

partie. 

la  1"  partie 

70 

80 

9« 

128 

2  56 

les  2  premières  parties.... 

126 

i4o 

160 

192 

2JG 

les  3  premières  parties.... 

182 

200 

224 

2  36 

% 

les  4  premières  parties 

22  i 

2i0 

2')6 

les  5  premières  parties.... 

2_i8 

2  J6 

les  6  premières  parties.... 

2  56 

7.  Jt'  n'ai  pas  lo  temps  de  vous  envoyer  la  démonstration  d'une  clifli- 
culté  qui  étonnoit  fort  M.  <  de  Méré  >,  car  il  a  très  bon  esprit,  mais 
il  n'est  pas  géomètre  (c'est,  comme  vous  savez,  un  grand  défaut)  et 


■im  (KrVIlKS    1)K   FKIUIAT.  -  COHHKSPONDANCE. 

moine  il  ne  conipronil  pas  qu'uno  ligne  matliomalique  soit  divisible  à 
l'infini  et  croit  fort  bien  entendre  qn'(die  esl  composée  de  points  en 
nombre  tini,  et  jamais  je  n'ai  |iu  l'en  lirei'.  Si  vous  le  ponviez  faire, 
on  le  rendroil  parfait. 

Il  MU'  disoil  donc  (jn'il  avoil  trouvé  fausseté  dans  les  nombres  par 
eelte  raison  : 

Si  on  enlre[)rend  de  l'aire  un  six  avec  un  dé,  il  y  a  avantage  de  l'en- 
ti'e|>re!idre  en  ],  coninic  de  (iy  i  ii  (")2j. 

Si  on  entreprend  de  faire  sonnés  avec  deux  dés,  il  y  a  désavantage 
de  l'entreprendre  en  ■i'\. 

Et  néanmoins  i\  est  ii  36  (qui  est  le  nombre  des  faces  de  deux  dés) 
comme  \  à  G  (qui  est  le  nombre  des  faces  d'un  dé). 

Voilà  quel  étoit  son  grand  scandale  qui  lui  faisoit  dire  hautement 
que  les  propositions  n'étoient  pas  constantes  et  que  l'Arithmétique  se 
démentoit  :  mais  vous  en  verrez  bien  aisément  la  raison  par  les  prin- 
cipes où  vous  êtes. 

Je  mettrai  par  ordre  tout  ce  (jue  j'en  ai  fait,  quand  j'aurai  achevé 
des  Traités  géométriques  où  je  travaille  il  y  a  déjà  quelque  temps. 

8-  J'en  ai  fait  aussi  d'arithmétiques,  sur  le  sujet  desquels  je  vous 
supplie  de  me  mander  voire  avis  sur  cette  démonstration. 

Je  pose  le  lemme  que  fout  le  monde  sait  :  que  la  somme  de  tant  de 
nombres   qu'on   voudra   de   la  progression   continue   depuis   l'unité, 

comme 

I,     a,     3,     /(, 

étant  prise  deux  fois,  est  égale  au  dernier,  \,  mené  dans  le  prochaine- 
ment plus  grand,  j  :  c'est-à-dire  que  la  somme  des  nombres  contenus 
dans  .1,  étant  prise  deux  fois,  est  égale  au  ])roduit 

A  in  (A  -\- 1). 

Maintenant  je  viens  à  ma  proposition  : 

Duoriirn  quorumlibel  ciiborurn proximorum  diffcrenlia,  imitalc  demptâ, 
sextupla  esl  omnium  numerornm  in  minoris  radiée  conlentorum. 


LX\.  -  29  JUILLET   1G54.  297 

Si/i/  c/iiœ  indices  fi,  S  unitate  différentes  :  dico 

/{'  —  .S"'  —  I  œguari  sunimœ  immerornm  in  S contentonirn  sexies  siimplcv. 

Etenim  S  vocetur  A  :  ergo  H  est 

.4  +  1. 

Igitiir  cidjus  radicis  R,  seu  .-1  +  i ,  est 

A^~h3A^+3A  +  i\ 

Cubas  rero  S.  seu  A ,  est 

A\ 

et  horuin  différentiel  est 

3.-l--h3.4-(-i', 

id  est  IV  —  S'  ;  igitur,  si  auferatur  uuitas, 

ZA'-^àA       œq.       /P  —  S'-J. 

Sed  duplum  summœ  numerorum  in  A  seu  S  conte/ilonini  ccqualur,  ex 

lemmate, 

A  in  {A  -H  i),       hoc  est       A- -{-  A  : 

igitur  sextuplum  summœ  numerorum  in  A  contentorum  œquatur 

3.42+3.4. 

3.4'+ 3.4       œr,.       fi'-S'—i: 
igitur 

/?' — 5'  —  I    fetj.  sextupla  sitmniœ  niiincroruni  in  A  seu  S  contentorum. 
Quod  erat  demonstrandum . 

On  lie  m'a  pas  fait  de  clifTiciilté  là-dessus,  mais  on  m'a  dil  qu'on  110 
m'en  faisoit  pas  par  cette  raison  que  tout  le  monde  est  accoutumé  au- 
jourd'liui  à  cette  méthode;  et  moi  je  prétends  que,  sans  me  faire 
grâce,  on  doit  admettre  cette  démonstration  comme  d'un  genre  excel- 
lent :  j'en  attends  néanmoins  votre  avis  avec  toute  soumission. 

Tout  ce  que  j'ai  démontré  en  Arithmétique  est  de  cette  nature. 

Fbrmat.  —  M.  38 


298  ΠU \'  H  r. S   n  E   F E  II IVI  AT.  -  C 0 1{ H  E S  PO N 1)  A N C E. 

9.  Voici  oiicore  doux  dillicultés  : 

J'ai  domontré  iiiip  proposition  piano  en  me  servant  du  cube  d'une 
li«;ne  compare  au  cube  d'une  autre  :  je  prétends  que  cela  est  purement 
géométrique  el  dans  la  sévérité  la  plus  grande. 

ne  même  j'ai  résolu  le  probli'me  : 

/)e  quatre  plans,  quatre  points  cl  quatre  sphe'res,  quatre  quelconques 
étant  donnés,  trouver  une  sphère  qui.  touchant  les  sphères  données,  passe 
par  les  points  donnés  et  laisse  sur  les  plans  des  portions  de  sphères  ca- 
pables d'angles  donnés, 

et  celui-ci  : 

De  trois  cercles,  trois  points,  trois  lignes,  <[  trois  ]>  quelconques  étant 
donnés,  tromper  un  cercle  qui,  touchant  les  cercles  et  les  points,  laisse  sur 
les  lignes  un  arc  capable  d'angle  donné. 

J'ai  résolu  ces  problèmes  plainement,  n'employant  dans  la  construc- 
liou  que  des  cercles  et  des  lignes  droites;  mais,  dans  la  démonstration, 
je  me  sers  de  lieux  solides,  de  paraboles  ou  hyperboles  :  je  prétends 
néanmoins  qu'attendu  que  la  construction  est  plane,  ma  solution  est 
plane  et  doit  passer  pour  telle. 

(>'est  bien  mal  reconnaître  l'honneur  que  vous  me  faites  de  souffrir 
mes  entretiens  que  de  vous  importuner  si  longtemps;  je  ne  pense 
jamais  vous  dire  que  deux  mots,  et  si  je  ne  vous  dis  pas  ce  que  j'ai  le 
plus  sur  le  cœur,  qui  est  que,  plus  je  vous  connois,  plus  je  vous  admire 
et  vous  honore  et  que,  si  vous  voyiez  -a  quel  point  cela  est,  vous  donne- 
riez une  place  dans  votre  amitié  à  celui  qui  est,  Monsieur,  votre  etc. 


LXXI.  —   9  AOUT    1634.  299 

LXXI. 
FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

DIMANCHE    9    AOUT    ICSi. 

{CEmres    de    Pascal.     IV,    p.    44^-4J5.) 

Monsieur, 

1.  J'ai  été  ravi  d'avoir  eu  des  sentiments  conformes  à  ceux  de 
M.  Pascal,  car  j'estime  infiniment  son  génie  et  je  le  crois  très  capable 
de  venir  à  hout  de  tout  ce  qu'il  entreprendra.  L'amitié  qu'il  m'offre 
m'est  si  chère  et  si  considérable  que  je  crois  ne  devoir  point  faire  dif- 
ticiillé  d'en  faire  quelque  usage  en  l'impression  de  mes  Traités. 

Si  cela  ne  vous  choquoit  point,  vous  pourriez  tous  deux  procurer 
celte  impression,  de  laquelle  je  consens  que  vous  soyez  les  maîtres; 
vous  pourriez  éclaircir  ou  augmenter  ce  qui  semble  trop  concis  et  me 
décharger  d'un  soin  que  mes  occupations  m'empêchent  de  prendre.  Je 
désire  même  que  cet  Ouvrage  paroisse  sans  mon  nom,  vous  remettant, 
à  cela  |)r('s,  le  choix  de  toutes  les  désignations  qui  pourront  marquer 
le  nom  de  l'auteur  que  vous  qualifierez  votre  ami. 

2.  Voici  le  biais  que  j'ai  imaginé  pour  la  seconde  Partie  qui  con- 
tiendra mes  inventions  pour  les  nombres.  C'est  un  travail  qui  n'est 
encore  qu'une  idée,  et  que  je  n'aurois  pas  le  loisir  de  coucher  au  long 
sur  le  papier;  mais  j'enverrai  succinctement  à  M.  Pascal  tous  mes 
principes  et  mes  premières  démonstrations,  de  quoi  je  vous  réponds  à 
l'avance  (|u'il  tirera  des  choses  non  seulement  nouvelles  et  jusqu'ici 
inconnues,  mais  encore  surprenantes. 

Si  vous  joignez  votre  travail  avec  le  sien,  tout  pourra  succéder  et 

Cj  L'autographe  do  celle  Icltre  a  fail  parlie  de  la- Colleclion  Benjamin  Fillon  ol  a  passé 
en  vcnle  le  i6  février  1877  (Invcjitnire  dcx  mitif^rciplies  et  des  documents  liistoriqttc.s 
composant  la  collection  de  M.  Benjamin  Fillon,  séries  I  et  II.  Paris,  Etienne  Ciiarava\ , 
^^11^  P-  y-io)-  On  Ironve  reproduit  dans  ce  catalogue  le  §  1  de  cette  lettre,  et  de  plus, 
facsimilés,  la  signature,  la  date  et  les  mots  «  Vostre  très  humble  et  très  obéissant  servi- 
teur »,  ces  derniers  supprimés  dans  l'édition. 


:U)0  Œ  r  V  R  E  S   n  K   !■  !•:  H  M  \'r.  -  C  0  H  U E s  l'O  N I)  A  N C  E. 

s'achever  dans  peu  de  temps,  el  eepeiidanl  on  poiicra  meUre  au  jour 
la  première  Partie  que  vous  avez  eu  votre  pouvoir. 

Si  M.  Pascal  goûte  mon  ouverture,  qui  est  principalement  fondée 
sur  la  grande  estime  qne  je  fais  de  son  génie,  de  son  savoir  et  île  son 
es|irit,  je  commencerai  d'abord  à  vous  faire  part  de  mes  inventions 
nn!néri(|ues.  Adieu. 

Ji>  suis.  .Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Ferm.vt. 

A  Toulouse,  t'o  g  aoùl  i654. 


LWIl. 
PASCAL  A  FlilRMAT. 

LUNDI   24   AOUT    165i. 

(fa,  p.   l8'|-i88.) 

Monsieur, 

1.  Je  ne  pus  vous  ouvrir  ma  pensée  entière  touchant  les  partis  de 
plusieurs  joueurs  par  l'ordinaire  passé,  et  même  j'ai  (|uelque  répu- 
gnance il  le  faire,  de  peur  qu'en  ceci  cette  admirable  convenance,  qui 
étoit  entre  nous  et  qui  m'étoit  si  chère,  ne  commence  à  se  démentir, 
car  je  crains  que  nous  ne  soyons  de  différents  avis  sur  ce  sujet.  Je 
vous  veux  ouvrir  toutes  mes  raisons,  et  vous  me  ferez  la  grâce  de  me 
redresser,  si  j'erre,  ou  de  m'affermir,  si  j'ai  bien  rencontré.  Je  vous  le 
demande  tout  de  bon  el  sincèrement,  car  je  ne  me  tiendrai  pour  cer- 
tain que  ([uand  vous  serez  de  mon  côté. 

Quand  il  n'y  a  que  t/eMj;  joueurs,  votre  méthode,  qui  procède  par 
les  combinaisons,  est  très  sûre;  mais,  quand  il  y  en  a  /rois,  je  crois 
avoir  démonsi ration  qn'idle  est  mal  juste,  si  ce  n'est  que  vous  y  procé- 
diez de  ([iicique  autre  manière  que  je  n'entends  pas.  Mais  la  méthode 
que  Je  vous  ai  ouverte  el  dont  je  me  sers  partout  est  commune  ii 


LXXII.  -  2i  AOUT   1G54.  301 

toutes  les  conditions  imaginal)les  de  toutes  sortes  de  partis,  au  lieu 
que  celle  des  combinaisons  (dont  je  ne  me  sers  qu'aux  rencontres 
particulières  où  elle  est  plus  courte  que  la  générale)  n'est  bonne  qu'en 
ces  seules  occasions  et  non  pas  aux  autres. 

Je  suis  sur  que  je  me  donnerai  à  entendre,  mais  il  me  faudra  un 
peu  de  discours  et  à  vous  un  peu  de  patience. 

2.  Voici  comment  vous  procédez  quand  il  y  a  deux  joixem's  : 
Si  deux  joueurs,  jouant  en  plusieurs  parties,  se  trouvent  en  cet  étal 
([u'ii  manque  deux  parties  au  premier  et  trois  au  second,  pour  trouver 
le  parti,  il  faut,  dites-vous,  voir  en  combien  de  parties  le  jeu  sera  dé- 
cidé absolument. 

Il  est  aisé  de  supputer  que  ce  sera  en  quatre  parties,  d'où  vous  con- 
cluez qu'il  faut  voir  combien  quatre  parties  se  combinent  entre  deux 
joueurs  et  voir  combien  il  y  a  de  combinaisons  pour  faire  gagner  le 
premier  et  combien  pour  le  second  et  partager  l'argent  suivant  cette 
proportion.  J'eusse  eu  peine  ii  entendre  ce  discours-là,  si  je  ne  l'eusse 
su  de  moi-même  auparavant;  aussi  vous  l'aviez  écrit  dans  cette  pen- 
sée. Donc,  pour  voir  combien  quatre  parties  se  combinent  entre  deux 
joueurs,  il  faut  imaginer  qu'ils  jouent  avec  un  dé  à  deux  faces  (puis- 
qu'ils ne  sont  que  deux  joueurs),  comme  à  croix  et  pile,  et  qu'ils 
jettent  quatre  de  ces  dés  (parce  qu'ils  jouent  en  quatre  parties);  et 
maintenant  il  faut  voir  combien  ces  dés  peuvent  avoir  d'assiettes  dif- 
férentes. Cela  est  aisé  ii  supputer  :  ils  en  peuvent  iwo'w  seize  qui  est 
le  second  degré  de  quatre,  c'est-à-dire  le  qnarré.  Car  figurons-nous 
qu'une  des  faces  est  marquée  a,  favorable  au  premier  joueur,  et 
l'autre  b,  favorable  au  second;  donc  ces  quatre  dés  peuvent  s'asseoir 
sur  une  de  ces  seize  assiettes  : 


a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

b 

b 

b 

/; 

b 

/; 

b 

b 

(i 

a 

a 

a 

h 

b 

l> 

b 

a 

a 

a 

a 

b 

h 

b 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

n 

b 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b- 

I 

I 

I 

■ 

1 

I 

' 

>. 

1 

I 

a 

I 

'i 

■2 

•X 

M)l  (Kl  \  HKS    DK    rKKMAT.  -  COKHKSI'ONDANCE. 

et,  parce  qu'il  nianqiio  doux  parties  au  pi'cuiicr  joueur,  toutes  les  faces 
(jui  ont  lieux  a  le  font  gagner  :  donc  il  en  a  i  i  pour  lui;  et  parce  qu'il 
y  manque  trois  parties  au  second,  toutes  les  faces  où  il  v  a  trois  b  le 
]>euvent  faire  gagner  :  donc  il  y  en  a  .j.  Donc  il  faut  qu'ils  partagent  la 
somme  comme  1 1  à  5. 

Voilà  votre  méthode  quand  il  y  a  dcii.r  joueurs;  sur  (|uoi  vous  dites 
tiuc.  s'il  y  en  a  davantage,  il  ne  sera  pas  dilficile  de  faire  les  partis 
par  la  même  méthode. 

3.  Sur  cela,  Monsieur,  j'ai  à  vous  dire  que  ce  parti  pour  deux 
joueurs,  fondé  sur  les  comhinaisons,  est  très  juste  et  très  bon;  mais 
que,  s'il  y  a  plus  de  deux  joueurs,  il  ne  sera  pas  toujours  juste  et  je 
vous  dirai  la  raison  de  cette  différence. 

Je  communiquai  votre  méthode  ii  nos  Messieurs,  sur  quoi  M.  de  Ro- 
berval  me  Ht  cette  objection  : 

Que  c'est  à  tort  que  l'on  prend  l'art  de  faire  le  parti  sur  la  supposi- 
tion qu'on  joue  en  qualre  parties,  vu  que,  quand  il  manque  deux  par- 
ties à  l'un  et  trois  à  l'autre,  il  n'est  pas  de  nécessité  que  l'on  joue 
quatre  parties,  pouvant  arriver  qu'on  n'en  jouera  que  deux  ou  trois,  ou 
à  la  vérité  peut-être  quatre; 

Et  ainsi  qu'il  ne  voyoit  pas  pourquoi  on  prétendoit  de  faire  le  parti 
juste  sur  une  condition  feinte  qu'on  jouera  quatre  parties,  vu  que  la 
condition  naturelle  du  jeu  est  qu'on  ne  jouera  plus  dès  que  l'un  des 
joueurs  aura  gagné,  et  qu'au  moins,  si  cela  n'étoit  faux,  cela  n'étoit 
pas  démontré,  de  sorte  qu'il  avoit  quelque  soupçon  que  nous  avions 
l'ait  un  paralogisme. 

Je  lui  répondis  que  je  ne  me  fondois  pas  tant  sur  cette  méthode  des 
combinaisons,  laquelle  véritablement  n'est  pas  en  son  lieu  en  celte 
occasion,  comme  sur  mon  autre  méthode  universelle,  à  qui  rien 
n'échappe  et  qui  porte  sa  démonstration  avec  soi,  qui  trouve  le  même 
parti  précisément  que  celle  des  combinaisons;  et  de  plus  je  lui  dé- 
montrai la  vérité  du  parti  entre  deux  joueurs  par  les  combinaisons  en 
cette  sorte  : 

N'est-il  pas  vrai  que,  si  deux  joueurs,  se  trouvant  en  cet  état  de 


LXXII.  -   2i   AOUT   1C54.  303 

l'hypothèse  qu'il  manque  deux  parties  à  l'un  et  trois  à  l'autre,  con- 
viennent maintenant  de  gré  à  gré  qu'on  joue  quatre  parties  complètes, 
c'est-à-dire  qu'on  jette  les  quatre  dés  à  deux  faces  tous  à  la  fois,  n'est- 
il  pas  vrai,  dis-je,  que,  s'ils  ont  délibéré  de  jouer  les  quatre  parties, 
le  parti  doit  être,  tel  que  nous  avons  dit,  suivant  la  multitude  des  as- 
siettes favorables  à  chacun? 

Il  en  demeura  d'accord  et  cela  en  effet  est  démonstratif;  mais  il 
nioit  que  la  même  chose  subsistât  en  ne  s'astreignant  pas  à  jouer  les 
quatre  parties.  Je  lui  dis  donc  ainsi  : 

N'est-il  pas  clair  que  les  mêmes  joueurs,  n'étant  pas  astreints  à 
jouer  ■<  les  >>  quatre  parties,  mais  voulant  quitter  le  jeu  dès  que  l'un 
auroit  atteint  son  nombre,  peuvent  sans  dommage  ni  avantage  s'as- 
treindre à  jouer  les  quatre  parties  entières  et  que  cette  convention  ne 
change  en  aucune  manière  leur  condition?  Car,  si  le  premier  gagne 
les  deux  premières  parties  de  quatre  et  qu'ainsi  il  ait  gagné,  refusera- 
t-il  de  jouer  encore  deux  parties,  vu  que,  s'il  les  gagne,  il  n'a  pas 
mieux  gagné,  et  s'il  les  perd,  il  n'a  pas  moins  gagné?  car  ces  deux  que 
l'autre  a  gagné  ne  lui  suffisent  pas,  puisqu'il  lui  en  faut  trois,  et  ainsi 
il  n'y  a  pas  assez  de  quatre  parties  pour  faire  qu'ils  puissent  tous  deux 
atteindre  le  nombre  qui  leur  manque. 

Certainement  il  est  aisé  de  considérer  qu'il  est  absolument  égal  et 
indifférent  à  l'un  et  à  l'autre  déjouer  en  la  condition  naturelle  à  leur 
jeu,  qui  est  de  finir  dès  qu'un  aura  son  compte,  ou  déjouer  les  quatre 
parties  entières  :  donc,  puisque  ces  deux  conditions  sont  égales  et  in- 
différentes, le  parti  doit  être  tout  pareil  en  l'une  et  en  l'autre.  Or,  il 
est  juste  quand  ils  sont  obligés  de  jouer  quatre  parties,  comme  je  l'ai 
montré  :  donc  il  est  juste  aussi  en  l'autre  cas. 

Voilà  comment  je  le  démontrai  et,  si  vous  y  prenez  garde,  cette  dé- 
monstration est  fondée  sur  l'égalité  des  deux  conditions,  vraie  et 
feinte,  à  l'égard  de  deux  joueurs,  et  qu'en  l'une  et  en  l'autre  un  même 
gagnera  toujours  et,  si  l'un  gagne  ou  perd  en  l'une,  il  gagnera  ou 
perdra  en  l'autre  et  jamais  deux  n'auront  leur  compte. 

4.  Suivons  la  même  pointe  pour  frow  joueurs  et  posons  qu'il  manque 


30V  ŒUVKKS  l)i:  FEUMAT.  -  COHRESPONDANCE. 

une  partie  au  promier,  qu'il  (^n  manque  deux  au  second  e(  deux  au 
troisième.  Pour  faire  le  parti,  suivant  la  même  méthode  des  combinai- 
sons, il  faut  chercher  d'abord  en  combien  do  parties  le  jeu  sera  dé- 
cidé, comme  nous  avons  fait  quand  il  y  avoit  deux  joueurs  :  ce  sera  en 
trois,  car  ils  ne  sauroient  jouer  Irios  parties  sans  que  la  décision  soit 
arrivée  nécessairement. 

Il  faul  voir  maintenant  combien  trois  parties  se  combinent  entre 
trois  joueurs  et  comI)icn  il  y  en  a  de  favorables  à  l'un,  combien  à 
l'autre  et  combien  au  dernier  et,  suivant  cette  proportion,  distribuer 
l'argent  do  même  qu'on  a  fait  en  l'hypothèse  de  deux  joueurs. 

Pour  voir  combien  il  y  a  de  combinaisons  en  tout,  cela  est  aisé  : 
c'est  la  troisième  puissance  de  3,  c'est-à-dire  son  cube  27.  Car,  si  on 
jette  trois  dés  à  la  fois  (puisqu'il  faut  jouer  trois  parties),  qui  aient 
chacun  trois  faces  (puisqu'il  y  a  trois  joueurs),  l'une  marquée  a  favo- 
rable au  premier,  l'autre  b  pour  le  second,  l'autre  c  pour  le  troisième, 
il  est  manifeste  que  ces  trois  dés  jetés  ensemble  peuvent  s'asseoir  sur 
i>7  assiettes  différentes,  savoir  : 


a 
a 
a 

I 

1 

a 
a 
b 

1 

a 
a 
c 

i 

a 
b 
a 

a 
h 
b 

2 

0 

b 
c 

I 

a 
c 
a 

1 

c 
b 

a 
c 
c 

I 
3 

b 
a 
a 

I 

b 
a 
b 

1 
2 

b 
a 
c 

I 

b 
h 
a 

I 
2 

b 
b 
b 

2 

b 
b 
c 

2 

c 
a 

I 

b 
b 

2 

b 
c 
c 

3 

c 
a 
a 

I 

c 
a 
b 

c 
a 
c 

I 
3 

c 
a 

c 
b 
b 

a 

c 

b 

c 
3 

c 
a 

I 
3 

c 
c 
b 

3 

c 
c 
c 

3 

Or,  il  ne  manque  qu'une  partie  au  premier  :  donc  toutes  les  as- 
siettes où  il  y  a  un  a  sont  pour  lui  :  donc  il  y  en  a  h). 

II  manque  deux  parties  au  second  :  donc  tontes  les  assiettes  où  il  y 
a  deux  b  sont  pour  lui  :  donc  il  y  en  a  7. 

Il  manque  deux  parties  au  troisième;  donc  toutes  les  assiettes  où  il 
y  a  deux  c  sont  pour  lui  ;  donc  il  y  en  a  7. 

Si  de  là  on  concluoil  (ju'il  faudroit  donner  à  chacun  suivant  la  pro- 
portion de  i(),  7,  7,  on  se  tromperoit  trop  grossièrement  et  je  n'ai 
garde  de  croire  que  vous  le  fassiez  ainsi;  car  il  y  a  quelques  faces 


LXXII.  —  2'i.  AOUT   1054.  305 

favorables  au  premier  et  au  second  tout  ensemble,  comme  ahb,  car  le 
|)r('niier  y  trouve  un  a  qu'il  lui  faut,  et  le  second  deux  h  qui  lui  man- 
(jucut;  et  ainsi  ace  est  pour  le  premier  et  le  troisième. 

Donc  il  ne  faut  pas  compter  ces  faces  qui  sont  communes  à  deux 
comme  valant  la  somme  entière  à  chacun,  mais  seulement  la  moitié, 
('ar,  s'il  arrivoit  l'assieltc  ace,  le  premier  et  le  troisième  auroieiit 
même  droit  à  la  somme,  ayant  chacun  leur  compte,  donc  ils  partage- 
roient  l'argent  par  la  moitié;  mais  s'il  arrive  l'assiette  aab,  lo  premier 
iijagne  seul.  Il  faut  donc  faire  la  supputation  ainsi  : 

Il  y  a  i3  assiettes  qui  donnent  l'entier  au  premier  et  G  qui  lui  don- 
nent la  moitié  et  8  qui  ne  lui  valent  rien  :  donc,  si  la  somme  entière 
est  une  pistole,  il  y  a  i3  faces  qui  lui  valent  chacune  une  pistole,  il  y  a 
()  faces  qui  lui  valent  chacune  ^  pistole  et  8  qui  ne  valent  rien. 

Donc,  en  cas  de  parti,  il  faut  multiplier 

i3  par  une  pistole,  (]ui  font i3 

6  par  une  demi,     (|ui  font 3 

8  par  zéro,  qui  font o 

Somme...     27  Somme...      16 

et  diviser  la  somme  des  valeurs,  16,  par  la  somme  des  assiettes,  27, 
(jui  fait  la  fraction  i^,  qui  est  ce  qui  appartient  au  premier  en  cas  de 
parti,  savoir  iG  pistoles  de  27. 

Le  parti  du  second  et  du  troisième  joueur  se  trouvera  de  même  : 

Il  y  a    4  assiettes  qui  lui  valent  i  pistole  :  multipliez. .  .     4 
Il  y  a    3  assiettes  qui  lui  valent  |  pistole  :  multipliez. . .      i\ 
El       20  assiettes  qui  ne  lui  valent  rien o 

Somme...     27  Somme...     .i} 

Donc  il  appartient  au  second  joueur  5  pistoles  et  ^  sur  27,  et  autant  au 
troisième,  et  ces  trois  sommes,  5  :!^,  5^  et  iG,  étant  jointes,  font  les  27. 

5.  Voilà,  ce  irie  semble,  de  quelle  manière  il  faudroit  faire  les  partis 
par  les  combinaisons  suivant  votre  méthode,  si  ce  n'est  que  vous  ayez 
quelque  autre  chose  sur  ce  sujet  que  je  ne  puis  savoir.  Mais,  si  je  ne 
me  trompe,  ce  parti  est  mal  juste. 

La  raison  en  est  qu'on  suppose  une  chose  fausse,  qui  est  qu'on  joue 

Klrmat.  —  II.  Sg 


301)  Œl'VUES  DE  FERMAT.—  COUUESPOM) ANCE. 

en  trois  parties  inl'aillil)leiiuMi(,  au  lieu  que  la  eondilioii  nalurelle  de 
ee  jeu-là  est  qu'on  ne  joue  que  jusques  à  ce  qu'un  des  joueurs  ait 
atteint  le  nombre  de  parties  ([iii  lui  manque,  auquel  cas  le  jeu  cesse. 
(",e  n'est  pas  qu'il  ne  puisse  arriver  qu'on  joue  trois  parties,  mais  il 
peut  arriver  aussi  qu'on  n'eu  jouera  qu'une  ou  deux,  et  rien  de  nécessité. 
Mais  d'où  vient,  dira-t-on,  ([u'il  n'est  pas  permis  de  faire  en  cette 
rencontre  la  même  supposition  teinte  que  quand  il  y  avoit  deux 
joueurs?  Kn  voici  la  raison  : 

Dans  la  condition  véritable  de  ces  trois  joueurs,  il  n'y  en  a  qu'un 
qui  peut  gagner,  car  la  condition  est  que,  dès  qu'un  a  gagné,  le  jeu 
cesse.  Mais,  en  la  condition  feinte,  deux  peuvent  atteindre  le  nombre 
de  leurs  parties  :  savoir,  si  le  j)reinier  en  gagne  une  qui  lui  manque, 
cl  un  des  autres,  deux  (jui  lui  manquent;  car  ils  n'auront  joué  que 
trois  parties,  au  lieu  que,  qiraïul  il  n'y  avoit  que  deux  joueurs,  la  con- 
dition feinte  et  la  véritable  convenoicnt  pour  les  avantages  des  joueurs 
en  tout;  et  c'est  ce  qui  met  l'exlrènie  différence  entre  la  condition 
feinte  et  la  véritable. 

Que  si  les  joueurs,  se  trouvant  en  l'état  de  l'hypothèse,  c'est-à-dire 
s'il  manque  une  partie  au  premier  et  deux  au  second  et  deux  au  troi- 
sième, veulent  maintenant  de  gré  à  gré  et  conviennent  de  cette  condi- 
tion qu'on  jouera  trois  parties  complètes,  et  que  ceux  qui  auront 
atteint  le  nombre  qui  leur  manque  prendront  la  somme  entière,  s'ils 
se  trouvent  seuls  qui  l'aient  atteint,  ou,  s'il  se  trouve  que  deux  l'aient 
atteint,  qu'ils  la  partageront  également,  en  ce  cas,  le  parti  se  doit  faire 
comme  je  viens  de  le  donner,  que  le  premier  ait  iG,  le  second  5^,  le 
troisième  j;^,  de  27  pistoles,  et  cela  porte  sa  démonstration  de  soi- 
même  en  supposant  cette  condition  ainsi. 

Mais  s'ils  jouent  simplement  à  condition,  non  pas  qu'on  joue  néces- 
sairement trois  parties,  mais  seulement  jusques  à  ce  que  l'un  d'entre 
eux  ait  atteint  ses  parties,  et  qu'alors  le  jeu  cesse  sans  donner  moyen 
à  un  autre  d'y  arriver,  lors  il  appartient  au  premier  17  pistoles,  au 
second  5,  au  troisième  5,  de  27. 

Et  cela  se  trouve  par  ma  méthode  générale  qui  détermine  aussi 


LXXIII.  -  29   AOUT   lCo4.  307 

qu'en  la  condition  précédente,  il  en  faut  iG  au  premier,  5^  au  second, 
et  ^^  au  troisième,  sans  se  servir  des  combinaisons,  car  elle  va  par- 
tout seule  et  sans  obstacle. 

6.  Voilà,  Monsieur,  mes  pensées  sur  ce  sujet  sur  lequel  je  n'ai 
d'autre  avantage  sur  vous  que  celui  d'y  avoir  beaucoup  plus  médité; 
mais  c'est  peu  de  chose  ii  votre  égard,  puisque  vos  premières  vues  sont 
plus  pénétrantes  que  la  longueur  de  mes  efforts. 

Je  ne  laisse  pas  de  vous  ouvrir  mes  raisons  pour  en  attendre  le  juge- 
ment de  vous.  Je  crois  vous  avoir  fait  connoitrc  par  là  que  la  méthode 
des  combinaisons  est  bonne  entre  deux  joueurs  par  accident,  comme 
elle  l'est  aussi  quelquefois  entre  trois  joueurs,  comme  quand  il 
manque  une  partie  à  l'un,  une  à  l'autre  et  deux  à  l'autre,  parce  (ju'en 
ce  cas  le  nombre  des  parties  dans  lesquelles  le  jeu  sera  achevé  ne 
suffit  pas  pour  en  faire  gagner  deux;  mais  elle  n'est  pas  générale  et 
n'est  bonne  généralement  qu'au  cas  seulement  qu'on  soit  astreint  ii 
jouer  un  certain  nombre  de  parties  exactement. 

De  sorte  que,  comme  vous  n'aviez  pas  ma  méthode  quand  vous 
m'avez  proposé  le  parti  de  plusieurs  joueurs,  mais  seulement  celle 
des  combinaisons,  je  crains  que  nous  soyons  de  sentimens  différens 
sur  ce  sujet. 

Je  vous  supplie  de  me  mander  de  quelle  sorte  vous  procédez  en  la 
recherche  de  ce  parti.  Je  recevrai  votre  réponse  avec  respect  et  avec 
joie,  quand  même  votre  sentiment  me  seroit  contraire.  Je  suis  etc. 


LXXIII. 
FERMAT  A  PASCAL  {'). 

SAMEDI   29   AOUT    1654. 
{OEmres  Je  Pascal,  IV,  p.  t^■i3-!|^~.) 

Monsieur, 
1.  Nos  coups  fourrés  continuent  toujours  et  je  suis  aussi  bien  que 

(' )  CeUe  lettre  a  été  écrite  par  Fermât  avant  qu'il  eût  reçu  la  précédente. 


30S 


( K  U  V  lî  E  S    0  E   F R 15  M  \T.  —  C  0  11  l\  E  S  P  0  N  1)  V  X  C  E. 


vous  dans  radiniration  t\c  quoi  nos  poiisi'os  s'ajuslcul  si  oxaclcmonl 
i|u'il  somhlo  qu'elles  aient  pris  une  même  route  et  fait  un  même  ehe- 
uiin.  Vos  derniers  Traités  du  Triangle  arithmèliquc  et  de  son  application 
en  sont  une  preuve  au(heii(i(iue  :  et  si  mon  calcul  ne  me  trompe,  voire 
onzième  conséquence  ('  )  couroil  la  poste  de  Paris  à  Toulouse,  pendant 
(|ne  ma  proposition  des  nombres  figurés,  qui  en  ellel  esl  la  même. 


alliiil  (le 


Toulouse  à  Paris. 


(')  La  onzième  conséquence  du  Traite  du  triangle  urilliiuctlque  csl  énoncée  ainsi  : 
Chaque  cellule  de  la  dk'identc  est  double  de  celle  qui  la  précède  (taux  xo/i  rang  paral- 
lèle ou  perpendiculaire. 

Pascal  appelle  cellules  de  la  dividcute  celles  que  la  bissectrice  de  rani;lç  droil   du 
triangle  traverse  diagonalemenl  :  jiar  exemple  les  cellules  G,  0;,  (".,  P,  p. 


■'. 

I 

1 

I 

1 

1 

1 

I 

I 

I 

\'l' 

3 

4 

5 

fi 

/ 

S 

!» 

3 

.  c 

ii> 

1  j 

56 

1  !() 

■j8 

36 

'\ 

10 

20 

35 

«'l 

5 

i5 

53 

7"^ 

6 

O.l 

ÔG 

ijG 

y 

38 

84 

8 
9 

36 

La  proposition  des  nombres  figurés  de  Fermât  est  celle  de  VOlixervatioii  XLl  1  sur  Dio- 
phaiite  et  lie  la  lettre  XH,  12  (voir  plus  haut,  page  70,  note  1).  La  onzième  conséquence  du 
Traité  du  triangle  aritlunctique  de  Pascal  no  correspond  do  fait  qu'à  la  première  parlic 
de  la  proposition  de  F(!rmal,  à  savoir  que  in{m-v-i)  est  le  double  du  triangle  de  côté  m  : 
pour  retrouver  dans  l'œuvre  do  Pascal  le  reste  de  cette  proposition,  il  faut,  à  la  onzièmi' 
conséquence,  ajouter  la  douzième,  etc.,  en  mettant  d'ailleurs  celle-ci  sous  la  forme  de  la 
proposition  XI  du  Traite'  des  ordres  numériques. 


LXXIII.  -  -29  AOUT   IC^oh.  30!) 

Je  n'ai  garde  de  faillir  tandis  que  je  rencontrerai  de  cette  sorte,  el 
je  suis  persuadé  que  le  vrai  moyen  pour  s'empêcher  de  faillir  est  celui 
de  concourir  avec  vous.  Mais,  si  j'en  disois  davantage,  la  chose  tien- 
droit  du  compliment,  et  nous  avons  hanni  cet  ennemi  des  conversa- 
tions douces  et  aisées. 

Ce  seroit  maintenant  à  mon  tour  à  vous  débiter  quelqu'une  de  mes 
inventions  numériques;  mais  la  fin  du  parlement  augmente  mes  occu- 
pations, et  j'ose  espérer  de  votre  bonté  que  vous  m'accorderez  un  répil 
juste  et  quasi  nécessaire. 

2.  Cependant  je  répondrai  à  votre  question  des  trois  joueurs  qui 
jouent  en  deux  parties.  Lorsque  le  premier  en  a  une,  et  que  les  au(res 
n'en  ont  pas  une,  votre  première  solution  est  la  vraie,  et  la  division  de 
l'argent  doit  se  faire  en  17,  5  et  5  :  de  quoi  la  raison  est  manifeste  et 
se  prend  toujours  du  même  principe,  les  combinaisons  faisant  voir 
d'abord  que  le  premier  a  pour  lui  17  hasards  égaux,  lorsque  chacun 
des  <<deux  ;>  autres  n'en  a  que  .:"). 

3.  Au  reste,  il  n'est  rien  à  l'avenir  que  je  ne  vous  communique 
avec  toute  franchise.  Songez  cependant,  si  vous  le  trouvez  à  propos,  à 
cette  proposition  : 

Les  puissances  quarrées  de  2,  augmentées  de  l'unité,  sont  toujours 
des  nombres  premiers. 

Le  quarré  de  2,  augmenté  de  l'unité,  fait  5  qui  est  nombre  premier. 

Le  quarré  du  quarré  fait  i(i  qui,  augmenté  de  l'unité,  fait  17, 
nombre  premier. 

Le  quarré  de  iG  fait  2jG  qui,  augmente  de  l'unité,  fait  2J7,  nombre 
premier. 

Le  quarré  de  2jG  fait  G5  53G  qui,  augmenté  de  l'unité,  fait  Gj  ^37, 
nombre  premier. 

Et  ainsi  à  l'infini. 

C'est  une  propriété  de  la  vérité  de  laquelle  je  vous  réponds.  La 
démonstration  en  est  Iri's  malaisée  et  je  vous  avoue  que  je  n'ai  pu 


:n 0         (  1-: i  \  u !•: s  d i-:  v !■: ii m  at.  -  c o ii k i: s p ( > x  i) a n ce. 

encore  lii  Iroiiver  pleinemont  ;  je  ne  vous  la  pr()|)nsprois  pas  pour  la 
chorclior.  si  j'en  élois  vciiii  à  Ixnil  {'  ). 

Colle  proposilioii  sert  ;i  l'invention  des  nombres  (jni  soni  ii  leurs 
parties  alicpioles  en  l'aison  donnée,  sur  (|uoi  j'ai  l'ait  des  découvertes 
considérables.  Nous  en  |)arlerons  une  autre  l'ois. 


Je  suis.  Monsieur,  votre,  etc., 
A  TomIdusc,  lo  ■>()  août  i6JÎ. 


Feumat. 


n 


LXXIV. 

FERMAT  A  PASCAL  (-). 

VENDllEDI  2.5  SEPTEMBRE  1054. 

(OEilrres   de  Pnscal ,    IV,    p.   4'Î7-4'l'-) 

IMONSIEll!, 

1-  .N'appréhendez  pas  que  notre  convenance  se  démente,  vous  l'avez 
eonlirmée  vous  même  en  pensant  la  détruire,  et  il  me  semble  <|u'( 
répoinlant  à  .M.  de  Roberval  pour  vous,  vous  avez  aussi  répondu  pour 
moi. 

.le  prends  l'exemple  des  trois  joueurs,  au  premier  desquels  il  manque 
uiH'  par'tie,  et  à  chacun  des  deux  autres  deux,  qui  est  le  cas  que  vous 
m'oj)posez. 

.le  n'y  trouve  que  17  combinaisons  pour  le  premier  et  5  pour  chacun 
des  deux  autres  :  car,  quand  vous  dites  que  la  combinaison  arc  est 
honno  pour  le  premier  et  pour  le  troisième,  il  semble  que  vous  ne 
vous  souveniez  plus  que  tout  ce  qui  se  fait  après  que  l'un  des  joueurs 
a  içagné,  ne  sert  plus  de  l'ien.  Or,  celte  combinaison  ayant  l'ait  gagner 
le  premier  dès  la  premif're  partie,  qu'importe  que  le  troisième  en 

(  ')  Foir  Tome  1,  p.  i3i,  et  Tome  II.  p.  uoC. 
n;  Réponse  à  la  leUre  LXXII. 


LXXIV.  —  25  SEPTEMBRE  1654.  311 

gagne  doux  ensuite,  puisque,  quand  il  en  gaguoroit  (rente,  toul  (■eia 
seroit  superflu? 

Ce  qui  vient  de  ce  que,  comme  vous  avez  dès  bien  remarqué,  celte 
iiction  d'étendre  le  jeu  à  un  certain  nombre  de  parties  ne  sert  qu'à 
faciliter  la  règle  et  (suivant  mon  sentiment)  ;i  rendre  tous  les  hasards 
égaux,  ou  bien,  plus  intelligiblement,  à  réduire  loules  les  fractions  à 
une  même  dénomination. 

Et  afin  que  vous  n'en  doutiez  plus,  si  au  lieu  de  trois  parties,  vous 
étendez,  au  cas  proposé,  la  feinte  jusqu'à  quatre,  il  y  aura  non  seu- 
lement 27  combinaisons,  mais  81,  et  il  faudra  voir  combien  de  com- 
binaisons feront  gagner  au  premier  une  partie  plus  tôt  que  deux  à 
chacun  des  autres,  et  combien  feront  gagner  à  chacun  des  deux  autres 
deux  parties  plus  tôt  qu'une  au  premier.  Vous  trouverez  que  les  com- 
binaisons pour  le  gain  du  premier  seront  5i  et  celles  de  chacun  des 
aulres  deux  i  >,  ce  qui  revient  à  la  même  raison. 

Que  si  vous  prenez  cinq  parties  ou  tel  aulre  nombre  qu'il  vous 
plaira,  vous  trouverez  toujours  (rois  nombres  en  proportion  de  17, 
5,  5. 

Et  ainsi  j'ai  droit  de  dire  que  la  combinaison  ace  n'est  que  pour  le 
premier  et  non  pour  le  troisième,  et  que  cca  n'est  que  pour  le  troi- 
sième et  non  pour  le  premier,  et  que  partant  ma  règle  des  combi- 
naisons est  la  même  en  trois  joueurs  qu'en  deux,  et  généralement  en 
tous  nombres. 

2.  Vous  aviez  déjà  pu  voir  par  ma  précédente  (')  que  je  n'hésitois 
l)oint  à  la  solution  véritable  de  la  question  des  trois  joueurs  dont  je 
vous  avois  envoyé  les  trois  nombres  décisifs,  17,  5,  5.  Mais  parce  que 
M.  ■<  de  >  Roberval  sera  peut-être  bien  aise  de  voir  une  solution  sans 
rien  feindre,  et  qu'elle  peut  quelquefois  produire  des  abrégés  en 
beaucoup  de  cas,  la  voici  en  l'exemple  proposé  : 

Le  premier  peut  gagner,  ou  en  une  seule  partie,  ou  en  deux,  ou  en 
trois. 

(1)  Lettre  LXXIO,  2. 


Mî  ŒITVIIES  DE   FERMAT.-  COHlîESPOM) ANCE. 

S'il  gagne  en  une  seule  parlie,  il  l'aiil  (ju'avuu'  un  dé  qui  a  trois 
tares,  il  rencontre  la  favorable  du  |)reniiei"  coup.  Un  seul  dé  produit 

trois  hasards  :  ce  joueur  a  donc  pour  lui  ^  des  hasards,  lors([u'on  ne 
j(uie  qu'une  partie. 

Si  on  en  joue  deux,  il  jieut  gagner  de  deux  laçons,  ou  lorsque  le 
second  joueur  gagne  la  première  cl  lui  la  seconde,  ou  lorsque  le  troi- 
siènu'  gagne  la  première  et  lui  la  seconde.  Or,  deux  dés  produisent 
<)  hasards  :  ce  joueur  a  donc  pour  lui  -  des  hasards,  lorsqu'on  joue 
d(>ux  parties. 

Si  on  en  joue  trois,  il  ne  peut  gagner  que  de  deux  façons,  ou 
lorsque  le  second  gagne  la  première,  le  troisième  la  seconde  et  lui 
la  troisième,  ou  lorsque  le  troisième  gagne  la  première,  le  second  la 
seconde  et  lui  la  troisième;  car,  si  le  second  ou  le  troisième  joueur 
gagnoit  les  deux  premières,  il  gagneroit  le  jeu,  cl  non  pas  le  premier 

joueur.  Or,  trois  dés  ont  27  hasards  :  donc  ce  premier  joueur  a  ^  des 
hasards  lorsqu'on  joue  trois  parties. 

La  somme  des  hasards  qui  font  gagner  ce  premier  joueur  est  i)ar 

conséquent  o>  -  et  — •>  ce  qui  l'ait  en  tout  — • 
'  ô    9       27  '  27 

Et  la  règle  est  bonne  et  générale  en  tous  les  cas,  de  sorte  que,  sans 
recourir  à  la  feinte,  les  combinaisons  véritables  en  chaque  nombre 
des  parties  portent  leur  solution  et  font  voir  ce  que  j'ai  dit  au  com- 
mencement, que  l'extension  à  un  certain  nombre  de  parties  n'est 
autre  chose  que  la  réduction  de  diverses  fractions  à  une  même  déno- 
mination. Voilà  en  peu  de  mots  tout  le  mystère,  qui  nous  remettra 
sans  doute  en  bonne  intelligence,  puisque  nous  ne  cherchons  l'un  et 
autre  que  la  raison  et  la  vérité. 

3.  .l'espère  vous  envoyer  à  la  Saint-JMarlin  un  Abrégé  de  tout  ce 
que  j'ai  inventé  de  considérable  aux  nombres.  Vous  me  permettrez 
d'être  concis  et  de  me  faire  entendre  seulement  à  un  homme  qui  com- 
|)iciid  tout  il  demi-mot. 

(^e  que  vous  y  trouverez  de  plus  important  regarde  la  proposition 


LXXIV.  —  20   SEPTEMBRE    1654.  311$ 

que  tout  nombre  est  composé  d'un,  de  deux  ou  de  trois  triangles; 
d'un,  de  deux,  de  trois  ou  de  quatre  quarrés;  d'un,  de  deux,  de  trois, 
de  quatre  ou  de  cinq  pentagones;  d'un,  de  deux,  de  trois,  de  quatre, 
de  cinq  ou  de  six  hexagones,  et  à  l'intini  ('). 

Pour  y  parvenir,  il  faut  démontrer  (jue  tout  nombre  premier,  qui 
surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  4.  t'^t  composé  de  deux  quarrés, 
comme  j,  i3,  17,  29,  37,  etc. 

Etant  donné  un  nombre  premier  de  cette  nature,  comme  53,  trouver, 
par  règle  générale,  les  deux  quarrés  qui  le  composent. 

Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  3, 
est  composé  d'un  (juarré  et  du  triple  d'un  autre  quarré,  comme  7,  i3, 
19,  3i,  37,  etc. 

Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  i  ou  de  3  un  multiple  de  8, 
est  composé  d'un  quarré  et  du  double  d'un  autre  quarré,  comme  1  1, 
17,  19,  ^i,  43,  etc. 

Il  n'y  a  aucun  triangle  en  noinbies  duquel  l'aire  soit  égale  à  un 
nombre  quarré  (-). 

Gela  sera  suivi  de  l'invention  de  beaucoup  de  propositions  que  Bacliel 
avoue  avoir  ignorées,  et  qui  manqu<'n(  dans  le  Diophante. 

.Te  suis  persuadé  que  dès  que  vous  aurez  connu  ma  façon  de  démon- 
trer en  cette  nature  de  propositions,  elle  vous  paroilra  belle  et  vous 
donnera  lieu  de  faire  beaucoup  de  nouvelles  découvertes;  car  il  faut, 
comme  vous  savez,  que  multi pertranseant  ut  augeatiir  scientia  (  '). 

S'il  me  reste  du  temps,  nous  parlerons  ensuite  des  nombres  ma- 
giques, et  je  rappellerai  mes  vieilles  espèces  sur  ce  sujet. 

Je  suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur,  votre,  etc., 

Feumat. 

Ce  23  septeml>ro. 

.Te  souhaite  la  santé  de  M.  de  Carcavi  comme  la  mienne  et  suis  tout 
il  lui. 

(  '  )  J'oir  Lettre  XII,  3. 

(2)  T'oir  Lettre  XII,  2. 

(3)  J^oir  plus  haut  p.  35,  iioU'  2. 

Iebmat.  —  II.  [\o 


:5IV  (KIVIIKS    I)K   KKHM  AT.  —  COHUKSPONDAiNCK. 

Je  vous  écris  de  la  cainpagiu',  cl  c'est  ce  qui  retardera  par  avendire 
mes  réponses  pendant  ces  vacations. 


F.XXV. 

PAS(i\L  A  fek:\iat  ('). 

ji.viiui  27  ocToBitE  lG3i. 

{OKuiTcs  de  Piisca/,  IV,  |i.  44'>-) 

Jfo.Nsnan, 

Votre  (leriiii-re  leKre  m'a  parfaitement  satisfait.  J'admire  votre  mé- 
(hode  pour  les  partis,  d'autant  mieux  que  je  l'entends  fort  bien;  elle 
est  entièrement  vôtre,  et  n'a  rien  de  commun  avec  la  mienne,  et  arrive 
an  même  Itut  facilement.  Voilà  notre  intellistence  rétablie. 

.Mais,  Monsieur,  si  j'ai  concouru  avec  vous  en  cela,  cherchez  ailleurs 
(|iii  vous  suive  dans  vos  inventions  numériques,  dont  vous  m'av(!z  fait 
la  grâce  de  m'envoycr  les  énonciations.  Pour  moi,  je  vous  confesse 
(|ne  cela  me  passe  de  bien  loin;  je  ne  suis  capable  que  de  les  admirer, 
cl  vous  supplie  très  humblement  d'occuper  votre  premier  loisir  à  les 
achever.  Tous  nos  Messieurs  les  virent  samedi  dernier  et  les  esti- 
mi'rent  de  tout  leur  ciieur  :  on  ne  peut  pas  aisément  supporter  l'at- 
lenle  de  idioses  si  belles  et  si  souhaitables.  Pensez-y  donc,  s'il  vous 

plail,  et  assurez-vous  que  je  suis,  etc. 

Pascal. 
Paris,  27  octobre  i()34. 

(')  Réiwnso  à  la  l.cUre  précéileiUe.  ' 


LXXVI.  -   1C56.  315 


ANNÉE    1656. 


LXXVI. 

FERMAT   A    CARCAVl    ('). 
1636. 

(Bibl.  Nat.  fr.  sog-iJ,  XVII,  p.  7S-S4.) 
<  MOXSIKCR  >, 

1.  J'ai  reçu  un  très  grand  contentement  de  vos  lettres  du  19  du  mois  passé, 
lesquelles  m'ont  été  rendues  il  y  a  deux  jours,  et  je  me  tiens  fort  obligé  à  la 
civilité  de  M.  Pascal,  duquel,  si  l'estime  que  j'en  ai  pouvoit  être  plus  grande, 
elle  seroil  augmentée  par  laiil  de  démonstrations  que  j'en  ai  reçues.  Je  vous 
prie  donc  (vous  qui  m'avez  fait  l'honneur  de  me  faire  connoître  une  personne 
si  savante)  de  lui  témoigner  le  respect  el  l'estime  que  j'ai  pour  lui,  et  que,  si 
je  ne  puis  pas  correspondre  avec  les  effets  à  tant  de  grâces  qu'il  lui  a  plu  de 
me  faire,  je  ne  manquerai  pas  au  moins  d'y  satisfaire  avec  ma  bonne  volonté 
f|ue  j'ai  voulu  vous  faire  connoître  présentement  par  la  réponse  que  je  \ous 
envoie  de  ce  qu'on  m'a  proposé.  Le  temps  est  court;  mais,  n'espérant  pas  de 
pouvoir  la  semaine  prochaine  avoir  la  commodité  de  m'appliquer  à  de  sem- 
blables spéculations,  je  suis  contraint  de  vous  en  dire  mon  sentiment  sur  le 
champ. 

2.  Il  est  bien  vrai  (|u'il  me  déplaît  que  d'abord  je  ne  suis  pas  du  sentiuienl 
de  M.  Pascal  touchant  VAnalyse  specio.se,  de  laquelle  je  fais  plus  grand  cas 

(I)  Cette  lettre  a  clé  publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  (Recherches, 
p.  197-200)  d'après  une  copie  sans  date,  sans  adresse  et  sans  signature.  La  date  de  i656 
a  été  attribuée  à  celte  lettre  à  cause  des  allusions  aux  jansénistes  el  molinistes,  et  au 
séjour  de  Huygens  à  Paris  que  le  savant  hollandais  quitta  le  3o  novembre  i655  {OEuvres 
compléter,  I,  p.  367).  Le  texte  n'est  qu'une  traduction  passablement  incorrecte  de  l'ori- 
ginal qui  élait  rédigé  en  latin,  comme  on  peut  le  conclure  d'après  les  nombreux  mots  de 
cette  langue  que  le  traducteur,  parfois  embarrassé,  a  transcrits  dans  Finlerligne. 


;Ul>  (KIVHES    DE   FERMAT.  -  COUHESl'ONnVNr.E. 

(|iio  lui,  ot  J'ose  (lire  que  les  pi-euves  (|iie  j'en  ai  sont  si  grandes  que  non  seii- 
lonienl  elles  me  persuadent,  mais  elles  m'obligent  d'en  faire  une  estime  hien 
irrande.  J'avoue  (|ne  le  retour  en  est  iiien  souvent  dilTicile;  mais,  pane  ipie, 
quand  j'ai  l'ait  exaelemenl  l'analvse,  je  suis  aussi  sûr  de  la  solution  du  pro- 
lilème  comme  si  je  l'eusse  démontré  par  synthèse,  je  ne  me  soucie  pas  quel- 
(piel'ois  d'en  chercher  la  construction  lu  i)lus  aisée,  mo  ]iersuadant  ce  qu'en 
une  autre  occasion  M.  Pascal  (')  dit  :  im/i  cssc  par  lahori />ririiiiii/ii.  Mais,  en 
cela  comme  en  toutes  autres  choses,  je;  laisse  volontiers  (|ue  chacun  suive  son 
propre  sentiinont. 

3.  ■\o  viens  au  problème  des  <  cercles  >  tangens  dont  on  désire  une  plus 
grande  explication.  Aussitôt  que  vous  me  l'envoyâtes,  il  me  souvint  que 
j'avois  songé  à  cette  matière  en  cherchant  le  lieu  que  décriroit  le  centre 
d'un  cercle  (jui  Uuivlieroil  deux  autres  cercles  donnés,  ou  un  cercle  donnr  et 
une  ligne  donnée,  etc.,  et  que  j'avois  démontré  que,  quand  deux  cercles  sont 
égaux  <et  qu'>ils  se  doivent  toucher  avec  un  autre  cercle  qui  les  enferme  ou 
rpii  les  exclut  tous  deux,  le  lieu  est  la  ligne  droite  qui  les  divise  également  et 
ipi'elle  est  perpendiculaire  à  la  ligne  qui  unit  les  centres  des  cercles  donnés; 
mais,  quand  ils  sont  inégaux  et  (|ii'il  faut  ({u'ils  se  touchent  comme  ici-dessus, 
alors  le  lieu  est  hyperbole  ou,  pour  mieux  dire,  il  est  les  sections  opposées, 
les  foyers  desquelles  sont  les  centres  des  cercles  donnés  et  le  côté  transvers 
égal  à  la  différence  des  semidiamètres  des  dits  cercles. 

Or,  dans  le  cas  dans  lequel  il  faudra  inclure  l'un  et  exclure  l'autre  en  le 
louchant,  les  sections  opposées  ont  les  foyers  comme  auparavant,  mais  le 
côté  Iransvers  est  l'aggrégé  et  non  jtas  la  dilTérence  des  semidiamètres. 

Je  passe  les  autres  problèmes  (lue  j'ai  démontrés  en  celte  matière,  parce 
(|u'ils  ne  sont  pas  à  propos  (lour  nous;  mais  je  dirai  seulement  en  passant 
que,  (piand  les  donnés  sont  un  cercle  et  une  ligne  droite  qui  le  coupe,  le  lieu 
est  à  deux  paraboles  qui  ont  toutes  deux  pour  foyer  le  centre  du  cercle  donné 
et  passent  par  les  intersections  du  dit  cercle  et  de  la  ligne  donnée. 

Ainsi,  en  recevant  vos  lettres,  je  m'aperçus  qu'en  laissant  une  détermina- 
tion dans  le  problème  de  M.  Pascal  ('),  il  se  feroit  local,  en  la  manière  ici- 
dessous  : 

Etant  donné  un  cercle  et  une  ligne,  trouver  un  autre  cercle  qui,  touchant 

(')  Dans  les  écrits  connus  de  Pascal,  on  iic  Irouve  guère  (lu'iinc  expression  analogue  : 
ml  illa,  qiue  pluf  a(fcrunt  frucUis  (jUdin  luliorit,  verf^enles,  mots  qui  terminent  le  Do 
numericii'  ordinibus  trfictatu.i. 

(2)  Comp.  Lettre  LXX,  9. 


LXXVI. 


IGoG. 


317 


le  donné,  soil  coupé  par  la  li^ne  en  sorte  que  le  segment  soit  capable  d'an 
angle  donné. 

Soit  le  cercle  ABG  {fig.  82)  donné,  la  ligne  <  EF,  le  >  centre  1);  soil  lu 
[jeipendicuhiiro  DBH  et  qu'on  fasse  l'angle  HDG  égal  à  l'angle  donné. 
Menant  GO  perpendiculaii'e,  que  ci-après  on  coupe  BH  en  P  dans  la  raison 
GD  à  DO,  et  qu'on  prolonge  la  ligne  DU  en  Q  en  sorte  que  la  raison  DO  à  IIO 
soit  la  même  que  celle  du  quarré  GO  au  quarré  GD  avec  le  rectangle  HDO. 


Qu'après,  par  le  i)oinl  O,  on  lire  les  angles  HQK,  HQS  égaux  à  l'angle 
donné,  et  que  par  le  [toinl  1',  aulour  des  asymptotes  QS,  QK,  on  décrive 
riiyperbolc  IPX. 

Je  dis  qu'elle  satisfera  à  la  proposition,  c'est-à-dire  que  le  cercle  quel- 
conf|ue  (pii,  ayant  son  centre  sur  ladite  hyperbole,  loucliera  le  cercle  donné, 
sera  aussi  cou])é  [lar  la  ligne  donnée  en  sorte  ([ue  son  segment  soit  capable 
de  l'angle  GDO.  Mais  cela,  on  ne  le  doit  entendre  qu'en  cas  que  l'angle 
donné  soit  aigu,  puisque,  s'il  est  droit,  le  lieu  est  la  ligne  droite  <donnée>, 
comme  il  est  clair,  et  que,  s'il  est  obtus,  le  lieu  est  aussi  une  hyperbole,  mais 
il  y  a  alors  quelque  peu  de  mutation  dans  la  construction.  —  Mais  il  n'est  [las 
nécessaire  de  dire  tous  les  détails. 

Cela  étant  sujiposé,  on  peut  facilement  résoudre  le  problème  par  les  lieux 
solides  en  cas  quelconque,  c'est  à  dire  en  décrivant  cette  dernière  hyperbole 
et  les  autres  sections  opposées  dont  j'ai  parlé  ici-dessus,  puisque  leur  inter- 
section donnera  toujours  le  centre  du  cercle  qu'on  cherche. 

Mais,  parce  que  le  problème  est  plan  et  craignant  le  scrupule  des  géo- 
mètres, je  l'ai  résolu  alors  par  les  lieux  plans  généralement;  mais,  parce  que 
je  m'aperçus  que  la  construction  en  éloil  Ijeaucoup  embrouillée,  je  choisis 


31S  ŒUVRES  dp:  FERMAT.—  CORRESI'ONDANCE. 

au  plus  facile  les  donnés  et  je  les  ai)pluiuai  en  nombres;  et  c'est  tout  ce  ([ue 
je  vous  envoyai  alors  et  je  ne  vous  enverrai  autre  chose,  parce  que  le  susdit 
Monsieur  ne  \eul  pas  la  soliuioii  siinplenieiit  analytique,  mais  qu'il  veut  aussi 
une  construction  gentille  et  facile,  lafpicUe  je  n'ai  pas  pour  à  celle  heure  le 
loisir  de  la  chercher, 

4.  Pour  ce  (pii  est  de  l'autre  <  ]irohlème  >  de  cinq  lignes  données  ('),  je 
ne  sais  pas  (|ui  lui  a  dit  que  je  l'estime  facile.  Je  ne  crois  jias  vous  avoir  écrit 
une  telle  chose,  puisque  je  m'aperçus  alors  (|u'on  pouvoit  venir  difficilement 
à  l'écuialion  cl  (lu'après  qu'on  l'auroit  trouvée,  la  construction  en  seroit 
l)eaucoup  emiirouillée.  Vous  me  ferez  la  faveur  de  le  dire  à  M.  Pascal  el  je 
songerai  à  cela  (|uand  j'aurai  plus  de  loisir. 

5.  Je  viens  au  problème  de  minimis  avec  lequel  le  dit  Monsieur  dit  cpi'il  a 
résolu  plusieurs  autres  problèmes.  C'est  ce  que  je  crois  facilement,  parce 
(|iR'  ma  inélhode  s'étend  aux  mêmes  et  m'apprend  que  le  plus  souvent  en 
ces  problèmes  le  point  du  minime  est  centre  du  cercle  ou  de  la  sphère  qui 
satisfait  à  ce  qu'on  propose.  Je  dis  le  plus  som-ent,  parce  que  je  n'ai  pas  le 
loisir  de  les  examiner  tous  et  je  suis  certain  qu'en  celui-ci,  dont  W.  Pascal 
ne  parle  point,  bien  qu'il  soit  local  ad  circithim,  le  [loinl  flu  minime  n'est 
pas  le  centre  du  cercle  : 

Elanl  donné  quelconque  nombre  de  points  en  une  ligne  droite,  comme  A, 
C,  I),  E,  F,  G,  \\  {fig-  83),  trou'.'cr  un  autre  comme  I,  duquel  menant  les 
lignes  lA,  IC,  II),  lE,  IF,  IG,  IR,  l'assemblage  des  quarrés  des  dites  lignes  ail 
au  triangle  AIB  la  raison  minime  de  toutes  les  possibles. 

Fis.  83. 


A.     C     D      E  FUS 


C'est  à  quoi  je  voudrois  prier  M.  Pascal  de  me  faire  la  faveur  d'appliquer 
sa  méthode. 

6.  Après,  <  pour  >  le  lieu  du  problème  duquel  il  dit  que  dépendent  tous 
les  lieux  phins  proposés  par  lui,  je  n'ai  pas  voulu  mancpier  de  le  chercher  et 
aussitôt  j'ai  trouvé  que  c'était  un  cercle,  en  la  manière  ci-dessous  : 

Snil  donnée  la  ligne  droite  AB   {fig.  84)  coupée  utcumt|ue  en  C  et  </u'il 
(')  Peut-être  un  |)roblènic  ayant  rapport  à  \' hexagramme  do  l'ascal. 


LXXVI.  -  1656. 


319 


faille  trou\-er  le  lieu  sur  lequel  étant  pris  le  point  D,  et  étant  tirées  les 
lignes  DA,  DB  et  les  parallèles  CE,  CF,  les  rectangles  ADE,  BDF  p/is 
ensemble  soient  égaux  au  quatre  de  la  ligne  donnée  Z. 

Qu'on  décrive  sur  la  ligno  AB  le  demi-cercle  AGB  et  qu'après,  élevanl  la 
perpendiculaire  CG,  on  lire  la  ligne  GH  égale  à  la  ligne  Z  et  terminée  à  la 
ligne  AB  allongée  s'il  le  faut.  Je  dis  que,  si  du  centre  C,  avec  la  distance  CH, 
on  décrit  le  cercle  HD,  il  sera  le  lieu  qu'on  cherche. 

Fig.  8',. 


V ous  pouvez  proposer  à  M.  Pascal,  avec  les  mêmes  données,  de  trouver  le 
point  I),  en  sorte  que  les  deux  rectangles  DAE,  DBF  soient  égaux  au  quarré 
de  la  <  lignes  Z  donnée  :  c'est  ce  que  j'ai  trouvé  en  un  même  temps. 

7.  J'ai  cherclié  le  lieu  de  cet  autre  :  Etant  donnés  autant  de  cercles  qu'on 
voudra  et  une  ligne  droite,  trouver  un  point  duquel  menant  des  tangentes 
aux  cercles  donnés  et  une  perpendiculaire  à  la  ligne  donnée,  les  quarrés  des 
tangentes  aient  à  la  perpendiculaire  une  raison  donnée,  et  j'ai  trouvé  qu'il 
peut  être  ellipse,  parabole  ou  hyperbole  selon  la  diversité  des  données.  Mais 
il  seroit  trop  long  d'écrire  tout,  car  il  faudroit  faire  un  livic  et  non  pas  une 
lettre;  je  mettrai  ici  seulement  pour  essai  la  détermination  qui  est  que, 
toutes  les  fois  que  la  raison  donnée  sera  la  même  c|ue  la  raison  du  nombre 
des  cercles  donnés  à  l'unité,  le  lieu  sera  parabole;  si  elle  est  plus  petite,  il 
sera  ellipse,  et  si  elle  est  plus  grande,  il  sera  hyperbole. 

8.  Le  porisnie  des  anciens  à  la  description  des  sections  coniques  me  semble 
très  joli,  mais  je  n'ai  pas  le  loisir  de  les  examiner  pour  à  ceUe  lieurc^;  je 
conserverai  le  tout  pour  un  meilleur  temps,  comme  aussi  de  vous  parler 
des  quarrés  que  ces  Messieurs  appellent  magiques,  desquels  M.  Pascal  fait 
quelque  mention  dans  sa  lettre. 

9.  J'y  ajoute  seulement  ([ue  vous  dites  le  vrai  qnnnd  vous  dites  qu'il  vous 
souvient  (pie  je  vous  ai  parlé  aulrel'ois  des  deux  moyennes,  [jarce  qu'il  y 
a  longtemps  que  j'ai  trouvé  la  méthode  de  les  trouver  en  une  infinité  de 


:{iO  (lUVRKS   DE  FERMAT.  -  COHUESPONDANCE. 

l'acoiis  (^j\'iiU'iuls  jiar  les  lieux  solulos);  mais,  ciilrc  lotis,  ceux  là  m'oiil  plu 
(lavantasjo  (|iii  résoheiil  le  piDliIrmc  pcr  circulnin  cl  cllipsi///  :  c'est  ce  ((lie 
Je  vous  prie  de  pio|ioser  à  M.  Pascal  pour  savoir  s'il  lui  es!  peul-èli'i'  arrivé 
loiil  (le  même. 

10.  Je  vous  prie  de  me  donner  quelques  nouvoUes  des  jansénistes  et  moli- 
nistes,  comme  aussi  (|uek|ne  objection  qu'on  fait  à  M.  Descartes;  et  je  vou- 
drois  savoir  en  ipud  estime  M.  Ilugenius,  jïeutiliiomme  hollandois,  est  auprès 
de  ces  Messieurs.  H  a  imprimé  ])lnsieurs  pelits  livres  do  (iéoméirie  (')  et  il  a 
demeuré  ipichpie  temps  à  Paris. 


LXXVII. 
FERMAT  A  C  ARC  AVI  (-). 

ji;iN  IGoC. 

(Conesi).  Huvff.,  11°  301.) 

....  1-  Si  A  et  B  joiiont  avec  deux  dés  en  sorte  que,  si  A  amène 
()  points  en  ses  deux  dés  avant  que  R  eu  amène  7,  le  joueur  A  gagne 
et,  si  B  amène  7  avant  que  A  ail  amené  <()>,  le  joueur  B  aura  gagné, 
et  de  plus  le  joueur  A  a  la  primauté,  l'avantage  de  A  à  B  est  eoiuiue 
'')o  à  3 1 . 


I  ')  Clirisliani  Iliigenii,  Consl.  F.,  Tlicoremala  de  quadraliira  liyperboles,  cllipsis  cl  cii- 
ciili,  ex  dalo  porlionuin  gravitatis  cenlro,  quibus  subjtincta  est  'EÇeTaoïç  Cyclometriœ  Cl. 
viri  Grcgorii  a  S.  Vincentio  edilœ  anno  C'OlOCXLVII,  Lugd.  Balavorum,  i65i,  4°-  —  !><■ 
i-irculi  magnitudine  inventa  :  accodiint  cjusdem  Problematura  quorundani  illustriinn  con- 
structiones.  Lugd.  Balavorum,  iGî^,  4"- 

(  ')  Celte  |)ii!Pe  esl  un  extrait  adressé  par  Carcavl  à  Iluygens.  Dans  la  Icllre  d'envoi,  du 
y.y.  juin  ifiJG,  Carcavi  écrivait  (Correxp.  Hujg.,  n"  300)  : 

«  M.  de  Fermai  m'a  envoyé,  il  y  a  déjà  quelques  jours,  la  solution  de  ee  que  vous  aviez 
.)  propose  touchant  le  parti  des  jeux,  et  vous  verrez  par  l'extrait  que  je  vous  fais  de  sa 
»  lettre  qu'il  a  la  démonstration  générale  de  ces  sortes  de  que.slions,  et  conclurez  certai- 
»  nemont  avec  nous,  non  seulement  pour  la  résolution  do  ce  problème,  mais  aussi  pour 
i>  quantité  de  plusieurs  antres  très  belles  spécidations  que  nous  avons  vu  de  lui,  tant 
1  en  ce  qui  concerne  les  nombres  (juc  pour  la  géométrie,  que  c'est  un  des  plus  grands 
"  génies  de  notre  siècle.  Je  lâche,  il  y  a  déjà  longtemps,  d'en  tirer  ce  que  je  puis  pour  le 


LXXVII.   -   JUIN    1656.  321 

2.  Si  le  joueur  A  a  la  première  fois  la  primauté  et  ensuite  le  joueur  H 
ait  aussi  la  primauté  la  seconde  fois,  et  ainsi  alternativement  (auquel 
cas  A  poussera  le  dé  la  première  fois,  et  puis  B  deux  fois  de  suite,  et 
puis  A  deux  fois  de  suite,  et  ainsi  jusques  à  la  tin),  en  cette  espèce 
le  parti  du  joueur  A  est  à  celui  du  joueur  B  comme  io3.55  à  122-G. 

3.  Que  si  le  joueur  A  joue  premièrement  deux  fois  et  le  joueur  B 
trois  fois,  puis  le  joueur  A  deux  fois  et  ensuite  le  joueur  B  trois  fois, 
et- ainsi  ii  l'infini  que  le  joueur  A  qui  commence  ne  joue  jamais  que 
deux  coups  et  que  le  joueur  B  en  joue  trois  (supposant  toujours 
que  A  cherche  à  ramener  G  et  B  7),  le  parti  de  A  à  B  est  comme  ■ji'iGo 
à  87451. 

4.  Les  questions  diversifient  et  la  méthode  change  au  jeu  de  caries. 
Par  exemple,  je  propose  : 

Si  trois  joueurs  A,  B,  C  parient  avec  ja  cartes  (qui  est  le  noml)re 
d'un  jeu  complet)  que  celui  qui  aura  plus  tôt  un  cœur  gagnera,  en 
supposant  que  A  prend  la  i"^'  carte,  B  la  2"  et  (]  la  3",  et  que  ce  même 
ordre  est  toujours  gardé  jusques  à  ce  que  l'un  ait  gagné; 

5.  Si  deux  joueurs  jouent  ii  prime  (')  avec  4»  cartes,  l'un  entre- 
prend de  ramener  prime  dans  les  quatre  premières  cartes  qui  lui 

•>  (loiinor  i\u  piililic  fil  j'i'ii  avois  fait  la  pro[iosition  à  M.  de  Schoolon  pour  y  ciiiploycr  los 
»  Elzcvirs,  mais  les  choses  ne  so  trouvèrenl  pas  disposées  pour  nous  procurer  coUo 
u  satisfaction.   » 

«  En  ce  qui  concerne  Messieurs  Pascal  et  Desargues,  ....  le  premier  avoit  déjà  trouve 
la  solution  de  votre  proposition  et  me  doit  donner  au  |ireinier  jour  celle  de  toutes  les 
autres  qui  sont  dans  l'extrait  de  cette  lettre  de  M.  de  l'erniat.  » 

La  question  posée  par  Iluygens  est  la  dernière  de  son  Traité  J)e  roilociniit  in  luclo 
alcœ  qu'il  venait  de  terminer  en  brouillon  et  d'envoyer  (le  6  mai  iGJ6)  à  Sclioolen  pour 
que  ce  dernier  en  aciievàt  la  mise  en  latin.  Elle  est  ainsi  conçue  : 

I'ropositio  XIV.  —  Si  egn  et  alia.t  duabiis  tcsseri.i  (ilterniitiin  jaciwiius  liac  condilioiie 
lit  ego  vi/icam  simili  alquo  septciKiriuin  jaciain,  iile  vcro  r/uai/i  priinum  senariiim  jacint. 
ila  vide'.icet  ut  ipsi  prinmm  jactuin  conccdam,  invenive  ratwnem  mece  ad  ipsius  sorlein. 
I  Fr.  a  Schooten,  Excrcilationuin  mat  hématie  arum  liber  V,  conlinens  sectiones  triginta 
miscellaneas.  Lugd.  Balavorum,  1657,  in-4°,  p.  53'3.) 

(  ')  J^oir  ci-après,  LX.\.VII  bis,  6. 

l'EUMAT.    —    M.  4  ' 


M-î  ŒliVKKS    l)K   FEHMAT.  -  C()UH1:S1'()M)AN(;E. 

soronl  haillt'os  (>l  l'autre  parie  (|iie  le  premier  ne  réussira  pas,  (|uei 
esl  leur  parti  ? 

6.  Toutes  ees  questions  ont  des  uiétliodes  et  des  règles  différentes. 
Si  (ui  n'en  peut  venir  à  bout,  je  vous  les  expliquerai  toutes  avec  leurs 
démonstrations;  la  |)lus  sultlile  et  la  plus  malaisée  est  celle  du  vrai 
parti  de  celui  (|ni  lient  le  dé  au  jeu  de  la  chance  contre  les  autres  (  '  ). 


7.  Soit  encore,  si  vous  voulez,  deux  joueurs  qui  jouent  au  piquet: 
le  premier  entreprend  d'avoir  trois  as  en  ses  douze  premières  cartes; 
(jucl  est  le  parti  de  celui-ci  contre  l'autre  ([ui  jtarie  (|u'il  n'aura  point 
les  trois  as? 


LXXVII  bà. 
HUYGEiNS  A  CARCAVI  (-). 

JEUDI    G    JUILLET    tGoC. 

(Corresp.  de  Hnygens,  n"  308.) 

....  1.  .l'ay  veu  par  la  solution  (jue  ^Monsieur  de  Fermât  a  l'aile  de 
mon  Problème  ('')  (ju'il  a  la  méthode  universelle  pour  trouver  totil  ce 
qui  appartient  ii  celle  matière,  ce  que  je  desirois  seulement  de  sçavoir 
en  la  proposant.  La  mesme  raison  de  3o  ii  3i  est  dans  le  traité  que  j'ay 
envové  à  Monsieur  Schoten  il  y  a  2  mois  :  dans  le  mesme  il  y  a  aussi 
un  Théorème  duquel  je  me  sers  dans  toutes  ces  questions  des  partis 
(lu  jeu;  et  je  le  mettray  icy,  parce  qu'autrement  je  ne  pourrois  pas 
vous  faire  voir  que  je  suis  venu  ii  bout  des  Problèmes  que  Monsieur  de 
Fermât  a  j)roposez,  le  calcul  de  quelques  uns  d'entre  iceux  estant  si 
long  que  je  n'ay  pas  assez  de  patience  pour  en  rccherchei'  le  dernier 

(' )  Il  s'agit  probablLMuciiL  lio  la  qucsllun  exposée  Lctire  LXXVIll,  3. 
(')  Extrait  communiqué  à  Format  et  à  Pascal  (voir  ci-ai)rès  LXXVIll,  1)  et  r('[i()iiihiiil 
à  la  pièce  préccdonto,  LXXVII. 
(')  roi>  Pièce  LXXVII,  1. 


LXWII  ùis.  —  G  JUILLET   1036.  323 

[)roiliiit;  c'est  pourquoy  dans  ceux  la,  après  vous  avoir  expliqué  le  di( 
tlieoreme,  je  me  contenteray  de  mettre  la  méthode  par  laquelle  l'on  y 
peut  parvenir. 

2.  Le  Théorème  est  cettui-cy  : 

Si  le  nombre  des  liazards  qu'on  a  pour  avoir  h  soit  p,  et  le  nombre 
des  ha/ards  qu'on  a  pour  avoir  c  soit  (/,  cela  vaut  autant  que  si  l'on 
bp  -+-  cq 


avait 


Par  exemple  si  j'avois  2  hazards  pour  avoir  :t  de  ce  qui  est  mis  an 
jeu  et  ")  hazards  pour  en  avoir  -,  je  multiplie  t^  J»ar  2  et  -  par  5.  Puis 
j'adjouste  ensemble  les  produits  qui  sont  t^  et  -;  la  somme  est  -^1 
laquelle  je  divise  par  j  +  2,  c'est  7  ;  dont  j'ay  ^-  Je  dis  qu'il  m'appar- 
liciil  y-  de  ce  qui  est  mis  au  jeu. 

3.  La  |)remiere  des  (]neslions  de  Monsieur  de  Fermât  ('  )  est  telle  : 
A  et  B  jouent  à  2  dez.  A  gaignera  en  amenant  G  points,  lî  gaignera  en 
amenant  7  points.  A  poussera  le  dé  la  première  t'ois,  et  puis  B  deux  lois 
de  suite  et  puis  A  deux  fois  de  suite,  et  ainsi  jusques  à  ce  que  l'un  ou 
l'autre  ait  gaigné. 

.  Pour  l'aire  les  partis  je  nommeray  d  ce  qui  est  mis  au  jeu,  et  je  mct- 
tray  x  pour  la  part  (|ui  en  appartient  au  joueur  A. 

Or  il  est  évident  que,  quand  A  aura  l'ait  le  premier  coup  et  B  ses 
deux  coups  de  suite,  cl  encore  A  l'un  de  ses  deux  coups,  sans  que  ny 
l'un  ny  l'autre  ait  rencontré,  que  alors  A  aiira  derechef  la  mesme 
apparence  pour  gaigner  qu'il  avoit  des  le  commencement,  et  que  par 
conséquent  il  Iny  appartiendra  dei'echef  la  mesme  part  de  ce  qui  est 
mis  au  jeu,  c'est  à  dire  x. 

Partant,  lorsque  A  vient  à  faire  le  premier  de  ses  deux  coups  de  suite, 

il  aura 

5  liazards  pour  avoir  cl, 

et  3i  liazards  pour  avoir  x, 
C)  Pièce  LXX Vit,  2. 


32V  Œl  Vm:S    l)K   FKiniAT.  -  C.OIÎUKSPONDANCE. 


car  (lo  3()  (liv(M's  coups  ([lie  prodiiisciil  2  dcz,  il  y  en  a  j  de  (3  points. 

c'est  il  dire  ([ui  \n\  donnent  d  ou  ce  ({iii  est  mis  au  jeu,  cl  'Ji  qui  luv 

font  manquer  les  G  points,  et  ainsi  Iny  donnent  x,  le  mettant  en  estât 

d'avoir  encore  un  couj)  à  faire  devant  (|ne  le  tour  de  15  soit  venu.  Mais 

j  liazards  pour  avoir  ^/ 1       1      ,       ,      ,  1     ,1  ■      , 

.  .,    ,         ,  .  valent  autant  par  !<' Iheoreme  nrecedeiil  (ine 

et  .il  liazards  pour  avoir  ./■  l  '  '  ' 

ô7^ — -•  Cecy  est  donc  la  part  de  A  lorsque  A  fait  le  premier  de  ses 

deux  coups  de  suite. 

i.e  coup  d'auparavant  c'est  quand  B  fait  le  dernier  de  ses  deux 
coups,  et  parce  qu'il  gaigne  en  amenant  7  points  lesquels  se  ren- 
contrent en  (")  façons  différentes  et  qu'alors  A  perd,   donques  à  ce 

coup  A  au  l'a 

()  iiiizarils  |iour  avoir  o  ou  rien, 

cl  00  iiiizards  pour  a\on' ^7; > 

r>b 

car  son  tour  sera  venu  de  faire  deux  coups  de  suite;  lesquels  hazards 

par  le  précédent  théorème  valent r •  Cecy  est  donc  la  part 

de  A.  lorsque  B  fait  le  dernier  de  ses  2  coups  de  suite. 
Quand  donc  B  fait  le  premier  de  ses  2  coups,  A  aura 

G  li;izartls  jiniir  avoir  o, 

i5o(7  -t-  gSojr 


3(j  iiazards  pour  <  avoir  > 


1296 


,  45oof?-i- 27Q00X 

ce  (lui  vaut ,g,.-„ 

'  46606 

Quand  donc  A  fait  le  premier  coup  de  tous,  A  aura 

j  liazard.s  pour  a\()ir  d, 

„    ,  ,  .    fi^^ood  +  i-jqoojc 

.31  hazards  pour  avoir .  ,„-„  ' > 

46636 

,  372780(^4- 864000 J" 

et'  (lui  vaut  ^ r: -r-r^ 

'  ib7cj6i6 

Cecy  est  donc  égal  à  .r,  et  partant  .r  égal  à  ^^^  <C  ^^>- 

Le  parti  du  joueur  A  est  donc  — '—-  de  ce  (ini  est  mis  an  jeu,  et  le 
'  ■'  236J1  '  •' 


LXXVll   bis.  -  G  JUILLET   IG06.  333 

,     12276      ,  ,           ,     I    T>      .  1'            »  -  1'      <                      io355 
reste  — —-  est  le  parlvde  «,  et  1  un  est  a  I  autre  comme ^1  qui  son! 

220il  ^  ^  12276      ^ 

les  mesmes  nombres  de  Monsieur  de  Fermât. 

4.  Dans  la  seconde  question  (')  où  il  suppose  que  le  joueur  A  joue 
premièrement  deux  fois,  et  puis  le  joueur  B  trois  fois  et  ensuite  le 
joueur  A  <:^  deux  fois  et  puis  le  joueur  B  >  trois  fois,  la  méthode  est 
tout  à  fait  semblable,  et  j'y  trouve  aussi  les  mesmes  nombres  que 
Monsieur  de  Fermât,  mais  qu'il  les  faut  transposer  :  c'est-à-dire  que 
le  party  de  A  est  à  celui  de  B  comme  874)1  à  72360,  au  lieu  qu'il  a 
mis  72360  il  87^  "il . 

5.  La  troisième  est(-)  quand  trois  joueurs  A,  B  et  C  parient  avec 
toutes  les  02  cartes  que  celuy  qui  aura  plus  tost  un  cnnir  gaignera,  e( 
que  l'on  suppose  que  A  prend  la  première  carte,  B  la  seconde,  (\  la 
troisième  et  ainsi  consécutivement  jusques  à  ce  que  l'un  ait  gaigné. 

11  y  a  i3  cœurs  parmy  ces  ji  cartes,  c'est  pourquoy  s'il  arrivoit  (jue 
toutes  les  autres  39  fussent  prises  selon  le  dit  ordre  sans  que  personne 
eust  rencontré  un  cœur,  alors  ce  seroit  le  tour  du  joueur  A  de  prendre 
et  il  auroit  gaigné  asseurement.  Quand  donc  (]  prend  la  trente-neu- 
vième carte,  au  cas  que  jusques  là  personne  n'ait  rencontré,  il  est 
certain  que  A  aura  i3  hazards  pour  avoir  perdu  et  i  hazard  pour  avoir 
(oui  ce  qui  est  mis  au  jeu,  que  j'appelleray  d  comme  devant.  Or, 

d'avoir 

i3  hazards  pour  avoir  o, 

el  I  tmziU'd    pour  avoir  d, 

cela  vaut  ~j-  par  nostre  théorème;  d'icy  je  cognois  que,  quand  B  prend 
la  trente-huitième  carte,  A  aura 

i3  hazards  pour  avoir  o, 
et   2  hazards  pour  avoir  — ;  d 

(•)  Pièce  LXXVll,  3. 
(2)  Pièce  LXXVll,  4. 


326  tl-.rVIîKS    |)K   FF.I5MAT.  -  COiniKSPOM)  \NCE. 

(^i-'t'sl  (|uaii(l  B  iiiaiiquc  de  l'ciicMuilrcr  un  cdMir.  car  alors  c'est  à  ('  ilc 
iirciuli'c  la  Irciilc-iic-uvicinc  );  lesciiicls  liazards  valciil  — r  c/. 

'  '  lO.J 

Oiiaiid  A  prend  la  (rciilc-scplicinc,  A  aura  donc 


i3  Iiazards  pnui'  iuoii'  '/, 


01    .■>  lia/.aiMls  pour  avoir 


' ~  5 

103 


ce  (ini  vaul  -^rr-"- 

'  I  bSo 

Ainsi  (Ml  roculant  tousjours  d'une  car(e  Ton  seanra  à  la  tin  la  part 
de  A.  lorsqu'il  prend  la  première  de  toutes,  et  de  la  niesnie  manière 
se  trouvera  le  |)arlv  de  H,  cl  le  resie  sera  cidiiy  de  (1. 

6.  La  (|ualrienu'  est  ('  )  (|nand  deux  joueurs  jouent  ii  la  prime  avec 
io  cartes  et  que  le  joueur  A  entreprend  de  ramener  prime,  et  J5  parie 
(|ne  A  ne  réussira  pas  dans  les  quatre  premières  cartes.  L'on  m'a  dit 
(|ne  d'avoir  prime  c'est  avoir  f\  cartes  dilïerentes,  à  sçavoir  une  de 
clias(|in'  soile.  Je  trouve  donc  que  le  party  de  A  est  à  celui  de  B  comme 
Ktoo  il  (Si  )(),  de  sorte  (|ue  l'on  peut  bien  parier  8  contre  r  (|ne  (|U(d- 
(|u"un  u'amesnera  |tas  prime. 

7-  La  ein(|uiemi'  et  dernière  question  (-)  est  quand  deux  joueurs 
jouent  au  piquet  et  que  le  premier  entreprend  d'avoir  )  as  dans  ses 
douze  premières  cartes  et  que  l'autre  parie  qu'il  ne  les  aura  pas.  Pour 
résoudre  eelle-cy,  je  supposcray  qu'il  prend  ses  \i  caries  une  à  une, 
car  il  n'importe  aucunement.  S'il  arrive  donc  que  celuy  ([ui  l'entre- 
prend ayant  pris  1 1  cartes  ait  desja  rencontré  2  as,  il  y  aura  parmi  les 
25  caries  (|iii  restent  encore  9.  as,  et  |)artanl  il  aura  eu  ce  cas  2hazards 
pour  avoir  gaigné,  c'est  pour  avoir  d,  et  'ï\  lia/.ards  |)(uir  avoir  o,  c'est 

a  dire  nour  perdre  :  ce  (jui  vaul  —a. 


(  ')  Plw.f  LXXVll,  5. 


LWVII   Ins.  —  G  .ILILLKÏ    IGoC.  327 

Quand  il  a  [)ris  lo  cartes,  s'il  a  icnconti'é  2  as,  il  aura  donc. 

2  hnzards  pour  avoir  d, 

1 
et  a'i  liazards  pour  avoir  ~^d,  c'est  pour  avoir  seulement  2  as  en  1 1  caries; 

20 

lesquels  hazards  valent  -^^d. 

^  020 

Mais  quand  il  a  pris  10  cartes,  s'il  n'a  encore  que  i  as,  il  y  aura 
parfny  les  2G  restantes  3  as;  c'est  pourquoy  alors  il  aura 

2 
3  hazards  pour  avoir  —rd,  c'est  iiour  avoir  2  as  eu  1  1  cartes. 

20 

et  23  hazards  pour  avoir    o,     c'est  pour  avoir  i  as  en  1 1  cartes. 

car  avec  cecy  il  ne  sçauroit  gagner;  lesquels  hazards  valent  -i-^d. 
Quand  il  a  pris  9  cartes,  s'il  a  2  as,  il  aura 

2  hazards  pour  avoir  d, 

4q 
et  20  hazards  pour  avoir  T~-^d,  c'est  pour  avoir  seulemeiil  2  as  en  10  caries, 

020 

lesquels  hazards  valent  7r-^d. 
T  8770 

3Iais  ayant  pris  9  cartes,  s'il  n'a  encore  qu'i  as,  il  aura 

3  hazards  pour  avoir  ■—  d,  c'est  2  as  en  10  cartes, 

320 

et  24  hazartls  pour  avoir  ir^d,  c'est  r  as  en  10  cartes, 

ce  qui  vaut  T—rd. 

S770 

Et  enfin  si  parmi  ses  9  cartes  il  n'a  encore  aucun  as.  il  aura 

4  liazards  |)our  avoir  ^— ^  d,  c'est  i  as  en  10  cartes, 

et  23  iiazards  pour  avoir  o,  c'est  pas  i  as  en  10  cartes, 

car  alors  il  ne  sçauroit  {iaifiner, 

lesquels  hazards  valent  rr-^d. 

Ainsi  par  celle  méthode  en  reculant  tousjours  d'une  carte  je  seau- 


3-2S  (  !•:  L'  \  H  K  S    D  K   F  \l  II  M  \T.  —  C  O  U  II  E  S  P  0 1\  D  A  N  C  li. 

niy  à  la  lin  la  part  du  joueur  A,  lorsqu'il  n'a  encore  pris  aucune  carie 
el  (|ue  par  conséquent  il  n'a  pas  encore  i  as  :  laquelle  ayant  ostée 
(le  if.  le  reste  sera  la  part  du  joueur  B.  Ce  qu'il  lalloil  trouver. 

8.  Si  j'estois  bien  informé  de  Testât  de  la  question  au  jeu  de  la  chance 
que  Jlonsieur  de  Fermât  dit  estre  la  plus  malaisée  ('),  j'essayerois 
aussi  de  la  résoudre.  Pour  celles  que  je  viens  de  traiter,  je  vous  prie. 
.Monsieur,  de  me  Hiire  la  faveur  de  les  communiquer  à  IMonsieur  Milon, 
el  (|ue  je  puisse  sçavoir  si  ce  que  Messieurs  de  Fermât  et  Pascal  en 
auront  trouvé  sera  conforme  à  ce  que  j'en  explique.  Je  désire  aussi 
fort  de  seavoir  s'ils  ne  se  servent  pas  du  mesme  théorème  que  moy. 


LXXVIIl. 

CARCAVI  A  HUYGENS  (-). 

.lEUDI    28    SEPTEMBRE    1656. 

(  Currcxp.   tluyg.^  n*"  33G.) 

MONSU'.IR, 

1.  Il  y  a  déjii  longtemps  que  j'ai  fait  voir  à  .Messieurs  de  Fermai  el 
Pascal  ce  que  vous  aviez  pris  la  peine  d'envoyer  à  M.  Mylon  et  ii  moi 
louchant  les  partis  (  ■' j,  mais  je  n'ai  pu  me  donner  l'honneur  de  vous 
faire  réponse,  la  chose  n'ayant  pas  dépendu  absolument  de  moi  et  la 
commodité  de  ces  Messieurs  ne  s'étanl  pas  toujours  rencontrée  avec  le 
désir  que  j'avois  de  vous  satisfaire. 

-M.  Pascal  so  sert  du  même  principe  que  vous  et  voici  comme  il 
l'énonce  : 

S'il  y  a  Ici  nombre  de  hasards  qu'on  voudra,  comme  par  exemple  lo 

(  '  )  Pièce  LXXVII,  6. 

f ')  Publiée  pour  la  promièrc  fois  par  .M.  Charles  lleiiry  {Pierre  de  Cnrcavr,  \\.  i8). 
C)  Fuir  la  Lellrc  pix'cédenlo. 


LXXVIII.  -    28  SEPTEMBRE  1656.  329 

qui  donnent  chacun  3  pistoles  et  qu'il  y  en  ait  2  qui  donnent  chacun 
4  pistoles,  et  qu'il  y  en  ait  3  qui  ôtent  chacun  3  pistoles,  il  faut  ajou- 
ter toutes  les  sommes  ensemble  et  les  hasards  ensemble,  et  diviser  l'un 
par  l'autre.  Le  quotient  est  le  requis,  ce  qui  revient  à  une  même  énon- 
ciation  que  la  vôtre. 

2.  Mais  il  ne  voit  pas  comment  cette  règle  peut  s'appliquer  à 
l'exemple  suivant  : 

Si  on  joue  en  six  parties,  par  exemple  du  piquet,  une  certaine 
somme  et  qu'un  des  joueurs  ait  deux,  trois  ou  quatre  parties  et  que 
l'on  veuille  quitter  le  jeu,  quel  parti  il  faut  faire  quand  un  a  une 
partie  à  point,  ou  deux  ou  trois  etc.  à  point,  ou  bien  quand  un  a  deux 
parties  et  l'autre  une,  etc.? 

Et  le  dit  S''  Pascal  n'a  trouvé  la  règle  que  lorsqu'un  des  joueurs  a 
une  partie  à  point  ou  quand  il  en  a  deux  à  point  (lorsque  l'on  joue  en 
plusieurs  parties),  mais  il  n'a  pas  la  règle  générale.  Voici  son  énoncia- 
tion  (')  : 

Il  appartient  à  celui  qui  a  la  première  partie  de  tant  qu'on  voudra, 
par  exemple  de  six,  sur  l'argent  du  perdant,  le  produit  d'autant  de 
premiers  nombres  pairs  que  l'on  joue  de  parties,  excepté  une,  divisé 
par  le  produit  d'autant  de  premiers  nombres  impairs.  Le  premier  pro- 
duit sera  la  mise  du  perdant,  le  second  produit  sera  la  part  qui  en 
appartient  au  gagnant. 

Par  exemple,  si  on  joue  en  4  parties,  prenez  les  3  premiers  nom- 
bres pairs  :  -2,  ^,  G;  multipliez  l'un  par  l'autre,  c'est  4^;  prenez  les 
3  premiers  impairs  :  \,  3,  j;  le  produit  c'est  i5  qui  appartiendront  au 
gagnant  sur  l'argent  du  perdant,  si  on  a  mis  chacun  48  pistoles. 

Cette  règle  sert  pour  la  première  et  la  seconde  partie,  celui  qui  en  a 
deux  ayant  le  double  de  celui  qui  n'en  a  qu'une.  Il  en  a  la  démonstra- 
tion, mais  qu'il  croit  très  difficile. 

(')  Coinp.  Lettre  LXX.  3.  —  L'énoncé  de  Carcavi  est  mal  confu  et  en  désaccord  avec 
l'exemple. 

Fermât.  —  U.  42 


330  ŒIVUF.S   DK   FERMAT.-  (.011  HESPONDANCE. 

3.  Voii'i  uiio  autre  proposilion  qu'il  ii  laile  à  M.  de  Fermai,  la(|U('ll(' 
il  juge  saus  coniparaison  plus  tlillicile  que  (ouïes  les  autres  : 

Deux  joueurs  joueut  à  celte  coiulition  que  la  chauce  du  premier 
soit  1 1  el  celle  du  seeoud  i /j  ;  uu  troisième  jette  les  trois  dés  pour  eux 
deux  el,  (|iiaiul  il  arrive  i  i,  le  premier  mai'que  nu  poiut  el,  (|uaud  il 
ari'ive  i  '|,  le  see.oud  de  son  eolé  eu  uiarque  uu.  Us  jouent  en  12  points, 
mais  à  condition  (jue,  si  celui  (|ui  jelle  le  dé  ramène  i  1  et  qu'ainsi  le 
premier  marque  un  point,  s'il  arrive  (|ue  le  dé  tasse  i/|  le  coup  d'après, 
le  second  ne  marque  point,  mais  en  ote  uu  au  premier,  et  ainsi  réci- 
prO(|uement,  eu  sorte  que,  si  le  dé  amène  six  fois  11  et  le  premier  ail 
mar(|ué  six  points,  si  eu  après  le  dé  amène  trois  fois  de  suite  i/j,  le 
second  ne  marquera  rien,  mais  otcra  trois  points  du  premier.  S'il  ar- 
rive aussi  en  après  que  le  dé  fasse  six  fois  de  suite  14,  il  ne  restera 
rien  au  premier  et  le  second  aura  trois  points,  et  s'il  amène  encore 
huit  fois  de  suite  i4  sans  amener  ii  entre  deux,  le  second  aura 
II  points  et  le  premier  rien;  et  s'il  amène  quatre  fois  de  suite  11,  le 
second  n'aura  que  sept  points  et  l'autre  rien;  et  s'il  amène  cinq  fois 
de  suite  i4,  il  (')  aura  gagné. 

La  (juestion  parut  si  dilïïcile  à  M.  Pascal  qu'il  douta  si  M.  de  Fermât 
en  viendroit  à  bout,  mais  il  m'envoya  incontinent  cette  solution  : 

Celui  qui  a  la  chance  de  n  ,  contre  celui  qui  a  la  chance  i!\,  peut  parier 
1 1 56  contre  i ,  mais  non  pas  1167  contre  i  ; 

et  qu'ainsi  la  véritable  raison  de  ce  parti  étoit  entre  les  deux;  par  où 
M.  Pascal  ayant  connu  que  M.  Fermât  avoit  fort  bien  résolu  ce  qui  lui 
avoit  été  proposé,  il  me  donna  les  véritables  nombres  pour  les  lui  en- 
voyer et  pour  lui  témoigner  que  de  son  côté  il  ne  lui  avoit  pas  proposé 
une  chose  qu'il  n'eût  résolue  auparavant.  Les  voici  : 

i5o     og\     635     296     ggg     121' 
129     746     337     890     620. 

Mais  ce  que  vous  trouverez  de  plus  considérable  est  que  le  dit  S"^  de 

(  '  )  Lisez  :  le  second. 


LXXVIII.  -   28  SEPTEMBRE   1656.  331 

Kcriiial  en  a  la  démoiislralioii,  comme  aussi  M.  Pascal  do  son  colé,  bien 
(ju'il  y  ait  apparence  qu'ils  se  soient  servis  d'une  différente  méthode. 

4.  J'ai  envoyé  votre  livre  (')  à  ^I.  de  Fermai,  dont  il  rend  liés 

humbles  grâces  et  vous  remercie  Iri's  humblenienl  de  celui  que  vous 
avez  eu  la  bonté  de  me  donner 


(')  Il  s'agit  ici  d'exemplaires  dos  premiers  opuscules  de  Huygens  (voir  ci-dessus, 
page  320.  noie  i),  adressés  par  lui  à  Claude  Mylon  pour  Carcavi  et  Fermât  (Corrctp. 
Hiifo-.,  n"  297,  306,  308,  310)  aux  soius  de  François  Henry,  avocat  au  Parlement  de 
Paris. 

Nous  no  reproduisons  pas,  dans  la  lettre  de  Carcavi,  quehjues  passages  étrangers  à  ses 
reinliuns  avec  Fermât  et  Pascal. 


332  ŒUVRES  DE  FEKMAT.  -  COUHESPONDANCE. 


ANINÉE    1657. 


LXXIX. 

PREMIER  DÉFI  AUX  MATHÉMATICIENS  ('). 

MEKCIIEDI   3   JANVIER    1657. 

A 

iComifi.  ep.,  n°  33.) 

Problemala  duo  mathemolica ,  tanquam  indissoltibilia  Gallis,  Anglis.  IJol- 
landis,  nec  non  cœleris  Enropœ  Mathcmalicix  proposita  a  D"".  de  Fermai . 
liegix  Consiliario  in  l^olosano  Parlamenlo, 

Caslris  Parisios  ad  D"'".  Claudinin  Martinuni  Laïaenderiiint ,  Doctoreni 
Medicuin.  transmissa  3  nonas  Janiiar.  1G57,  accepta  verd  12  Kal.  Fehr. 

Prot!I.kma  Purs. 

1.  Invenire  cubum  qui,  additus  omnibus  suis  partibus  aliquotis, 
conticiat  quadratum. 

2.  Ut  numerus  343  est  cubus  a  latcre  7.  Oinnes  ejus  partes  aliquota* 
sunt  :  I,  7,  'i;),  quse,  adjunctse  ipsi  343,  conticiunt  numerum  l\oo,  qui 
est  quadratus  a  latere  20.  Quaeritur  alius  cubus  ejusdcm  naturae. 

(  '  )  Le  titre  qui  précède  la  rédaction  A  du  Défi  semble  avoir  été  composé  par  Willem 
Boreel,  Ambassadeur  de  Hollande  en  Franco  do  i65o  ;i  itiâS,  le(iuel,  le  2O  janvier  iG);. 
adressa  la  pièce  à  Golius  pour  Scliouten  à  Leyde. 

Le  litre  de  la  rédaction  B  est  de  la  main  de  Thomas  White,  qui  servait  d'intermédiaire 
entre  Digby  et  Brouncker;  celui-ci  reçut  le  défi  le  4  mars  1657,  et  le  transmit  le  lende- 
main à  Wallis. 

L'expression  :  Gallia  Celtica,  dans  celte  seconde  rédaction,  prouve  que  le  défi  avait  été 
également  adressé  à  Frenicio,  probablement  par  une  lettre  directe  de  Fermai  à  ce  der- 
nier. 


LXXX.  -  FÉVRIER  1637.  :«:{ 

Problema  Postekius. 

3.  Qiiseriliir  etiaiii  luimeriis  quadratus  qui,  addilus  omnibus  suis 
partibus  aliquolis,  conticiat  numerum  cubiim. 

B 

( /"(7,  p.  188;  Cornm.  ep.,  ii"  1.) 

.'(  challenge  froin  M.  Fermât  for  D.  Wallis.  ivith  Ihe  liearty  commendations 
of  ihe  messager.  Thomas  Uhile. 

Proponatur  (si  placef)  Wallisio  et  reliquis  Anglise  IMalhemalicis 
scquons  quaeslio  numerica  : 

Inveiiire  etc.  (ut  supra  1). 

Exempli  gratia,  numerus  343  est  cubus  a  latere  7.  Omiies  ipsiiis 
partes  etc.  (ut  supra  2). 

Quseritur  etc.  (ut  supra  3). 

Has  solutiones  exspectamus;  quas,  si  x\iiglia  aut  Galliae  Belgica  et 
Celtica  non  dederint,  dabit  Gallia  Narbonensis,  easque  in  pigniis  iias- 
centis  amicitia'  D.  Dii^bv  oITeret  et  dicabit. 


LXXX. 

FER.MAT  A  FRENICLE  ('). 

<    FÉVRIER     IGo"    > 

{Comtn.  ep.,  n°  33;  Correspondance  de  Huygens^  \\°  37Î.) 

Tout  nombre  non  quarré  est  de  telle  nature  qu'on  peut  trouver  in- 
finis quarrés  par  lesquels  si  vous  multipliez  le  nombre  donne  cl  si 
vous  ajoutez  l'unité  au  produit,  vienne  un  quarré. 

(')  Cette  ])ièce  est  un  extrait  envoyé  d'abord  par  Cl.  Mylon  à  Ilnygens  à  la  suilo  d  iini> 
lettre  datée  du  i  mars  lâS;;  Iluygens  le  renvoya  le  g  mars  à  Seliooten. 


.■Î3'»  (KINUKS    DE   FERMAT.—  C.OIÎ  KKS  l'ON  I)  ANCE. 

ExiMiiplo  :  3  est  un  iiomhi'C  non  (|uarré,  k'(|uel  inulliplié  |);ir  i,  qni 
ost  quarré,  fait  3  cl,  en  prenant  l'unilé,  fait  4,  qui  est  (jnanc. 

Le  même  3,  multiplié  par  iG,  qui  est  quarré,  fait  48  et,  en  prenant 
l'unité,  fait  '19.  (|ni  est  quarré. 

Il  y  (Ml  a  intinis  qui,  multipliant  3,  en  prenant  l'unilé,  font  pareil- 
lement un  nonilire  ([narré. 

Je  vous  demande  une  règle  générale  ])Our,  étant  donné  un  nombre 
non  quarré,  trouver  des  quarrés  qui,  multipliés  par  le  dit  nombre 
donné,  en  ajoutant  l'unité,  fassent  des  nombres  quariés. 

Quel  est,  ])ar  exemple,  le  plus  petit  quarré  qui,  multipliant  Gi,  en 
prenant  l'unité,  fasse  un  quarré? 

Item,  quel  est  le  plus  petit  quarré  qui,  multipliant  109  et  prenant 
l'unité,  fasse  un  quarré? 

Si  vous  ne  m'envoyez  pas  la  solution  générale,  envoyez-moi  la  par- 
ticulière de  ces  deux  nombres  que  j'ai  choisis  des  plus  petits,  pour  ne 
vous  donner  pas  trop  de  peine. 

Aprèg  que  j'aurai  reçu  votre  réponse,  je  vous  proposerai  quelque 
autre  chose.  Il  paroît,  sans  le  dire,  que  ma  proposition  n'est  que  pour 
trouver  des  nombres  entiers,  qui  satisfassent  à  la  question,  car,  en  cas 
de  fractions,  le  moindre  arithméticien  en  viendroit  à  bout. 


LXXX[. 
SECOND  DÉFI  DE  FERMAT  AUX  MATHÉMATICIENS  (<). 

FÉVRIER    1657. 

f/V/,  p.  190;    Comrn.  ep.,  n"  8.) 

Quïestiones  pure  arithmeticas  vix  est  qui  proponat,  vix  qui  inlel- 
ligat.  Annon  quia  Arithmetica  fuit  hactenus  tractatageometricèpotius 

(')  Colle  pièce,  qui  pose  le  même  problème  que  la  Letlre  prcc(5(lento  LXXX  à  Frc- 
ni(jle,  fui  reçue  par  Brounclvcr,  de  la  pari  de  Digby  et  par  liiitermédiaire  de  Thomas 
Wbite.  en  mars  1657. 


LXXXI.  -   FEVRIER  1657.  335 

quàm  arithmelicè?  Id  saiie  imuuiiit  pleraque  et  Veterum  et  Receii- 
tiorum  voluiuina;  iniiiiit  et  ipse  Diophantus  (').  Qui  licct  à  Geomelria 
paiilo  magis  quàm  cseteri  tliscesserit,  dum  Analyticen  numeris  taiitiiin 
rationalibus  adstringit,  eam  tamen  partem  Geometrià  non  omnino 
vacare  probant  satis  superque  Zeletica  Vietsea,  in  qnii)iis  Diopiianli 
methodus  ad  quantitatem  continuam,  ideoque  ad  Gcoinetriam  porri- 
gitur. 

Doctrinam  itaque  de  numeris  integris  tanquam  peculiare  sibi  ven- 
dicat  Aritbmetica  patrimonium;  eam,  apud  liuclidem  Icviler  duntaxat 
in  Elementis  adumbratam,  ab  iis  autem  qui  secuti  sunt  non  satis 
excultam  (nisi  forte  in  iis  Diophanti  libris,  quos  injuria  temporis 
abstulit,  delitescat),  aut  promovere  studeant  'AptO[i.Y]-:t/.cov  -aîcs;  aiil 
renovare. 

Quibus,  ut  prœviam  lucem  prœferamus,  theorema  seu  problema 
sequens  aut  demonstrandum  aut  construendum  p'roponimus;  hoc 
autem  si  invenerint,  fatebuntur  hujusmodi  quaestiones  nec  subtili- 
tate,  nec  dilficultate,  nec  ratione  demonstrandi,  celebrioribus  ex 
Geometrià  esse  inferiores  : 

Dato  quovis  numéro  non  quadralo,  danliir  infini li  (jiiadrati  qui.  in 
datum  numcrurn  ducli,  adscilâ  unitate  conficianl  quadratum. 

Exempiuni.  —  Datur  3,  numéros  non  quadratus;  ille,  duclus  in 
(juadratum  i,  adscità  unitate  conficit  4.  qi'i  ost  quadratus. 

Item  idem  3,  ductus  in  quadratum  i6,  adscità  unitate  t'acit  49  qui 
est  quadratus. 

Et,  loco  I  et  iG,  possunt  intiniti  quadrati  idem  prsestantes  inveniri; 
sed  canonem  generalem,  dalo  quovis  numéro  non  quadrato,  inqui- 
rimus. 

Quseratur,  verbi  gratia,  quadratus  qui,  ductus  in  149,  aut  109,  aut 
433,  etc.,  adscità  unitate  conficiat  quadratum. 

(')  T'oir  le  Traite  des  nonihrc!!  polygones.  —  Fermai  vise  d'ailleurs  le  fait  que  Dio- 
pliante  admet,  pour  ses  problèmes,  les  solutions  en  nombres  fractionnaires. 


330  ŒUVRES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

LXXXI  bis. 
BOULLIAU  A  FERMAT  ('). 

MARS    1637. 

(Bib.  Nat.  fr.  i3oj(1,  f°  5i.) 

Illtislris.u'nio    ac   erudilissimo    viro   Domino   de   Fermai, 
in  xuprcma  Ciiria  Tliolo.iana  consiliario,  Ma//iematico 

Ismael  Biillialdtis  S.  P.  D. 

Hanc  de  Porismatibus  scriptiunculam  (^),  Vir  111""',  simui  cum  aliis 
paucis,  circa  theoremata  aliquot  geometrica,  mois  lucubrationibus, 
cum  Mathematicis  nostrse  tetatis  communicare  et  public!  juris  facere 
statui;  eani  vcro  rem  cùm  occasione  eruditi  simul  ac  subtilis  opusculi 
lui  de  Porismatibus,  quod  anno  superiore  (')  ad  amicos  luos  hue 
transmisisti,  aggressus  sim.  Te  antesignanum  sequor;  quod  mihi  de- 
cori  ac  gloriae  vertit.  Tibi  enim,  Vir  eximie,  quàni  studiose  te  colam 
aliquatenus  significare,  tam  mihi  gratum  ac  jucundum  est,  ut  occa- 
sionem,  si  nata  opportune  non  fuisse!,  mullis  curis  studioque  vehe- 
inenti  redemissem.  Omnes  equidem,  quibus  virtutes  tuse  notse  sunf, 
ingenii  judiciique  acumen  probatum,  merito  te  suspiciunt  ac  célé- 
brant :  nec  soli  per  Galliam  qui  vivant,  verùm  per  universam  Europam 

(  '  )  Lettre  inédite,  dont  nous  devons  l'indication  à  M.  Lucien  Auvray,  de  la  Bibliotlièque 
nationale.  Elle  est  publiée  d'après  la  minute  de  BouUiau. 

(■^)  11  s'agit  do  l'Ouvrage  do  Boulliau,  dont  le  titre  est  donné  Tome  I,  page  77,  note  2. 
Comparer  avec  la  présente  Lettre  l'extrait  inséré  dans  la  Note  précitée. 

(')  Dans  V Exercitalio  de  Porismatibus  {voir  Tome  I,  p.  77,  note,  ligne  10  en  remon- 
tant), Boulliau  dit  ante  biennium;  mais  cette  expression,  qui  indique  la  fin  de  i654,  semble 
se  rapporter  à  l'envoi  à  Paris  par  Fermai  de  propositions  détachées  comme  les  PorismaUi 
duo  (Tome  1,  p.  7?  à  76),  retrouvés  dans  les  papiers  do  Pascal.  L'opuscule  Porismatuin 
liuclideorum  etc.  (Tome  1,  p.  76  à  84),  ici  désigné  expressément,  n'aurait  été  commu- 
niqué au  contraire  qu'en  i656  {anno  superiore).  11  y  a  donc  lieu  de  corriger  dans  ce  sens 
ce  que  nous  avons  dit  sur  la  date  de  celte  communication  Tome  I,  page  78,  deuxième 
alinéa  de  la  note. 


LXXXII.  -  20  AVRIL  1657.  337 

laudes  tuas  illi  prîedicant,  quibus  nomen  luum  innotuit  ;  atque  in  Italia 
dum  cgi,  Bonaventuram  Cavallerium  Bononise,  et  Evangelislam  Torri- 
cellum  Florentiœ,  summos  hujus  nostri  sseculi  Mathematieos,  audivi 
£ûp-r][ji.aTa  tua  sublimes  mentis  tuœ  effectiones,  quarum  copia  ipsis 
facta  erat,  mirantes  summisque  laudibus  extoUentes.  Inter  illos 
itaque,  qui  Te  toto  animo  colunt  et  venerantur,  me  recense;  utquc 
offîcium,  tenue  quamvis,  acceptum  gratumque  Tibi  sit,  hoc  mihi 
pertice.  Et  quse  cum  paucis  hactenus  communicasti,  pnestantissimos 
animi  tui  partus,  omnium  utilitati  et  commodo  ut  serviant,  in  pu- 
blicum  emitto,  illosque  diutius  comprimere  noli.  Vale  Vir  111""=. 

Scribebani  Lutetise  Parisior.  dieMartii  1GJ7. 


LXXXII. 

FERMAT  A  DIGBY. 

VENDREDI    20    AVKIL    1057. 
(  Krt,  p.  1S9-190;  Comm.  ep.y  n"  '1.) 

Monsieur, 

1-  Puisque  vous  voulez  que  les  complimens  cessent,  soit  t'ait;  il  me 
suffît  de  vous  assurer  une  fois  pour  toutes  que  vous  vous  êtes  très- 
justementacquis  un  pouvoir  absolu  sur  moi  et  que  je  ne  perdrai  point 
d'occasion  à  vous  le  témoigner. 

J'ai  lu  Y  Arithmelica  injinitorum  [' )  de  Wallisius  et  j'en  estime  beau- 
coup l'auteur;  et,  bien  que  la  quadrature  tant  des  paraboles  que  des 
hyporboles  infinies  ait  été  faite  par  moi  depuis  fort  longues  années  et 

(')  Johannis  Wallisii  SS.  Th.  D.  Geometriae  Professoris  Saviliaai  in  celeberrimâ  Aeade- 
mia  Oxoniensi  Arilhmelica  infinitonim  sivo  Nova  melhodus  inciiiircndi  in  Curvilineorum 
(juadraluram  aliaque  difliciliora  Malhcseos  Prcfblemata:  Oxonii  Typis  Léon.  Liclifield  .\ea- 
demiœ  Typographi,  Impensis  Tho.  llobinson,  Anno  i6J0.  -un  [)ages  in-4". 

II.  —  Fermât.  •  4^ 


:53S  ŒUVUKS   1)K   FEllM  AT.  -  (.OURESPONDANCE. 

que  j'tMi  aio  autrefois  ontrotiMui  rillustroTorricelli  ('),  je  ne  laisse  pas 
d'estimer  l'inventioa  de  Wallisius,  qui  sans  doute  n'a  pas  su  que 
j'eusse  préoccupé  son  travail. 

2.  Voici  une  de  mes  propositions  aux  termes  on  je  la  conçus  en 
l'envoyant  à  ïorricelli  : 

Soient  les  deux  droites  SKR  et  KOF  {//g.  Sj)  et  soient  décrites  les 
courbes  EGHQ  d'un  coté  et  DABC  de  l'autre,  en  forme  d'hyperboles 


Fis-.  Si. 


dont  les  asymptotes  soient  les  droites  premièrement  données.  Soient 
encore  tirées  AG,  BH,  parallèles  à  SKR,  et  les  droites  BN,  AM,  GL,  Hl, 
parallèles  h  KOF. 

En  l'hyperbole  ordinaire,  le  rectangle  NP  est  égal  au  rectangle  MAO  ; 
mais  supposons  maintenant  que  le  produit  du  quarré  BN  et  de  la 
droite  BP  soit  égal  au  produit  du  quarré  MA  et  de  la  droite  AO  :  en  ce 
cas,  la  courbe  sera  une  nouvelle  hyperbole  dont  la  propriété  sera  que 


(';  Dans  uno  lellre  perdue,  probablement  de  la  fin  do  16 (G,  cl  qui  semble  avoir  clé  la 
seule  que  Fermât  ait  adressée  à  Torricelli.  Elle  dut  répondre  à  une  communication  à  la- 
quelle Torricelli  fait  allusion  dans  la  partie  inédite  de  sa  lettre  à  Roberval  du  7  juillet  1646, 
dans  celle  à  Mcrsenne  du  même  jour  {BuUcitino  Boiicompagni,  VIII,  pages  400-404)  et 
dans  celle  à  Carcavi  du  8  juillet  iGjG  (Memorie  dctla  Jieale  Accadenda  dei  Liiicci, 
V3,  10  Juin  1880).  Dans  la  (iremière  de  ces  lettres  (Bibl.  Nat.  lat.,  iiigii,  f°  16  v°).  on 
lit  : 

«  Ilyperbolarum  Tlicoremata,  qua;  mitto  ad  111™.  De  Fermât,  ut  jiidicium  siibeant,  num 
»  cum  parabolis  saltem  aliqua  ex  parte  conferri  possinl,  videre  poteris.  Si  unius  hyper- 
a  boIiE  primaria;  (|uadralura  lamdiu  (|u;csita  est,  nos  pro  una  influitas  daniiis.  » 

Ces  théorèmes  ont  été  de  fait  envoyés,  avec  la  lettre  du  8  juillet  i()46,  à  Carcavi,  cpii 
avait  conimuni(jué  à  Torricelli  des  propositions  de  Fermât  sur  les  nombres.  Le  géomètre 
italien  connaissait  d'ailleurs,  au  moins  par  les  Cogltaia  de  .Mersenne  (1O4I),  les  travaux 
de  Fermai  sur  les  paraboles  de  divers  degrés  (voir  Tome  I,  page  ly  >,  note  1  j. 


LXXXII.  -  20  AVRIL   1637.  339 

le  parallélogramme  BI  sera  égal  à  l'espace  compris  sous  la  base  BH  et 
les  deux  courbes  BADF,  FEGH,  qui  vont  à  l'infini  du  côté  de  F. 

Que  si  le  produit  du  cube  BN  et  de  la  droite  BP  est  égal  au  produit 
du  cube  AM  et  de  la  droite  AO,  en  ce  cas,  ce  sera  une  autre  hyperbole 
dont  la  propriété  sera  que  le  parallélogramme  BI  sera  double  de  l'es- 
pace compris  dans  la  base  BH  et  les  deux  courbes  en  montant,  m 
supra. 

Et  par  règle  générale,  si  le  produit  d'une  puissance  de  BN  par  uni^ 
puissance  de  BP  est  égal  au  produit  d'une  pareille  puissance  de  MA 
par  une  pareille  de  AO  (en  supposant  celles  de  BN  et  MA  pareilles 
entre  elles,  comme  aussi  celles  de  BP  et  de  AO  aussi  pareilles),  le 
parallélogramme  BI  sera  à  la  figure  prolongée  à  l'infini  ///  supra, 
comme  la  différence  de  l'exposant  de  la  puissance  de  BN  avec  l'expo- 
sant de  la  puissance  de  BP  est  à  l'exposant  de  la  puissance  de  BP. 

De  sorte  qu'il  suit  de  là  qu'en  l'hyperbole  ordinaire  l'espace  de  la 
figure  prolongée  à  l'infini  n'est  point  égal  à  un  espace  donné,  parce 
que  l'exposant  des  puissances,  étant  le  même,  ne  donne  aucune  dif- 
férence; et,  pour  faire  que  l'espace  de  la  dite  figure  prolongée  à  l'in- 
fini soit  égal  à  un  espace  donné,  il  faut  que  l'exposant  de  BN  soit  plus 
grand  que  celui  de  BP,  comme  il  est  aisé  de  remarquer. 

3.  Tout  ceci,  quoiqu'énoncé  un  peu  diversement,  se  peut  tirer  du 
livre  de  Wallisius;  mais  il  n'a  pas  fait  une  spéculation  sur  ces  figures, 
de  laquelle  il  sera  sans  doute  bien  aise  d'être  averti  et  qui  peut  passer 
pour  un  des  miracles  de  la  Géométrie.  Je  l'ai  autrefois  donnée  h  Tor- 
ricelli  aussi  bien  que  la  précédente  ;  c'est  : 

Comme  il  arrive  que  quelquefois  l'espace  prolongé  à  l'Infini,  comme 
BADFEGH,  est  aussi  infini,  comme  en  l'hyperbole  ordinaire,  et  quel- 
quefois fini,  comme  en  celles  dont  les  exposants  de  BN  surmontent 
ceux  de  BP,  on  demande  si,  lorsque  le  dit  espace  prolongé  à  l'infini 
est  égal  à  un  espace  fini,  il  a  un  centre  de  gravité  fixe  et  certain. 

Or,  il  arrive  une  chose  merveilleuse  en  cette  recherche  et  laquelle 
j'ai  découverte  et  démontrée,  c'est  que  quelquefois  le  dit  espace. 


3i0  ŒUVRES   HE   FEUM AT.  -  CORRESPONDANCE. 

(liioiqiio  tiiii.  n'a  point  do  contre  tlo  içravito  tixc,  ot  quol(|uol()is  il 
on  a. 

(lar.  par  exemple,  lorsque  le  produit  du  quarré  BN  ot  de  la  droite 
HP  ost  égal  aux  produits  soniblahlemcnt  tirés,  la  figure  BADFEGH  pro- 
longée à  l'intini,  (|ui  en  co  cas  ost  égale  au  parallélogramme  BI,  n'a 
pourtant  aucun  centre  de  gravilé. 

jMais,  si  le  produit,  par  exemple,  du  cube  BN  et  de  la  droite  BP,  est 
égal  aux  produits  semblables  et  semblablcmont  tirés,  en  ce  cas,  non 
seulement  l'espace  de  la  figure  prolongé  à  l'infini  est. égal  à  un  espace 
donné,  qui  est,  comme  nous  avons  dit,  la  moitié  du  parallélogramme 
BI,  mais  encore  cette  figure  prolongée  à  l'infini  a  un  centre  de  gravité, 
([ui  va  en  ce  cas  en  la  ligne  PF  coupée  en  telle  sorte  au  point  0  que  la 
ligne  PO  soit  égale  à  la  ligne  KP;  ot  ce  point  0  sera  le  dit  centre  de 
gravité  de  cette  figure  prolongée  à  l'infini. 

Si  Monsieur  Wallisius  veut  avoir  la  démonstration  de  cette  proposi- 
tion et  de  la  règle  générale  pour  trouver  les  dits  centres  de  gravité,  je 
vous  l'onvoierai  pour  lui  en  faire  part. 

4.  Pour  ce  qui  regarde  la  quadrature  du  cercle  dans  son  dit  Traité, 
je  n'en  suis  pas  pleinement  persuadé,  car  ce  qui  se  déduit  par  com- 
paraison en  Géométrie  n'est  pas  toujours  véritable. 

5.  Je  ne  vous  parle  ni  de  votre  Livre  ('),  ni  de  celui  de  Thomas 
Anglus  (-)  :  ne  suior  ultra  crepidain.  Vous  êtes  souverain  en  Physique  et 
je  vous  reconnois  pour  tel  :  j'espère  pourtant  au  premier  voyage  vous 
entretenir  de  la  proportion  que  gardent  les  graves  dans  leur  desconte 

(')  Il  s'agit  sans  doute  de  :  Two  Treatisos  in  llio  one  of  wliicli  Tlie  Nature  of  bodies, 
in  tlic  oihcr  tho  Nature  of  man's  soulo  is  looked  into  in  way  of  discovery  of  ttie  immor- 
lality  of  reasonablc  soûles.  ^'u'/Zi!  9'-'"^  âÇ''(o;  Xo'fou  zaïavoî^aat  ol'ci  Suvktov  Eivat  âvau  T:q;  tciu 

SXou  çûdïw;;  animae  naluram,  absque  totius  nalura,  sufficicntor  cognosci  posse  existimas? 
Plato  in  Phaîd.  At  Paris,  Printod  by  Gilles  Blaizol.  MDCXLIIII  with  Priviledge.  C'est  le 
Chapitre  X  (p.  76-86)  qui  est  consacré  à  la  pesanteur. 

{"■)  Il  s'agit  de  :  Euclides  ptiysicus  sive  de  principiis  natur.x'  Stœchcidea  E.  Au- 
Ihore  Thoma  Anglo  Ex  Albiis  East-Saxonuin.  Londini  prostant  apud  Joliannem  Crook. 
MDC.L.VII. 


LXXXIII.  -  6  JUIN    1657.  341 

naturelle,  de  quoi  vous  avez  traité  daiis  votre  Livre  que  Monsieur  Bo- 
rel  (  '  )  m'a  fait  la  faveur  de  me  faire  voir. 
Je  suis,  Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fkkmat. 
A  Castres,  le  20  avril  ifiîj. 


LXXXIII. 

FERMAT  A  DIGBY. 

MERCREUI  6  Jl  IN  1637. 

{  f^Ut  p.   11(1  ;  Coinm.  f/}.,  ii"  11.) 

Monsieur, 

J'ai  reçu  votre  dernière  lettre  la  veille  du  départ  de  M.  Borel,  qui 
ne  me  donne  quasi  pas  le  loisir  de  vous  faire  un  mot  de  réponse. 

Vos  deux  lettres  anglaises  (^)  m'ont  été  traduites  par  un  jeune  An- 
glais qvii  est  en  cette  ville  et  qui  n'a  point  connoissance  de  ces  matières, 
de  sorte  que  sa  traduction  s'est  trouvée  si  peu  intelligible  que  je  n'y  ai 
pu  découvrir  aucun  sens  réglé,  et  ainsi  je  ne  puis  vous  résoudre  si  ce 
Mylord  a  satisfait  à  mes  questions  ou  non.  Il  me  semble  pourtant,  au 
travers  de  l'obscurité  de  cette  traduction  bourrue,  que  l'auteur  des 
lettres  a  trouvé  mes  questions  un  peu  trop  aisées,  ce  qui  me  fait  croire 
qu'il  ne  les  a  pas  résolues. 

Et  parce  qu'il  pourroit  équivoquer  sur  le  sens  de  mes  propositions, 
j'ai  demandé  un  nombre  cube  en  nombres  entiers,  lequel,  ajouté  à 
toutes  ses  parties  aliquotes,  fasse  un  nombre  quarré. 

J'ai  donné  par  exemple  343,  qui  est  cube  et  aussi  nombre  entier, 

(1)  Probablement  le  médecin  du  Roi,  Pierre  Borel,  né  à  Castres  vers  1620  et  fixé  à 
Paris  depuis  i653. 

(2)  Lettres  do  Brouucker  écrites  en  mars  1657  et  qui  sont  perdues.  Elles  répondaient 
aux  défis  de  Fermât  (Pièces  LXXIX  et  LXXXI):  l'analyse  s'en  trouve  dans  la  Lettre  n°  9 
du  Commcrcium  episloliciim. 


:}V2  (KUVRES   DE   FERMAT.    -  COUlîESPONDANCE. 

liM|ii('l.  ajoiilo  à  Joutos  SOS  partios  aliqiiotes,  l'ait  'ioo,  qui  csl  un 
Monihro  quarré;  et,  parce  que  cette  question  reçoit  plusieurs  antres 
solutions,  je  demande  un  autre  nombre  cube  en  entiers,  qui,  joint  ii 
toutes  ses  parties  aliquoles,  fasse  un  nombre  ([uarré. 

Et  si  le  Mylord  Brouncker  répond  qu'on  entiers  il  n'y  a  (|ui'  le  seul 
nombre  3'|3  qui  satisfasse  à  la  question,  je  vous  promets  et  à  lui  aussi 
de  le  désabuser  en  hii  en  exhibant  un  autre. 

Je  domandois  encore  un  quarré  en  entiers  qui,  joint  à  tontes  ses 
parties  aliquotes,  fasse  un  cube. 

Pour  la  question  proposée  dans  l'Écrit  latin  ('  )  que  je  vous  envoyai, 
elle  est  aussi  en  nombres  entiers,  et,  parlant,  les  résoUitions  en  frac- 
tions, lesquelles  peuvent  être  d'abord  fournies  a  quolibet  de  trk'io 
arithinetico,  ne  me  satisferoicnt  pas. 

Je  suis  avec  respect.  Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant 

serviteur. 

Fermât. 

A  Casti'es,  le  (l  juin  16J7. 

Je  vous  parlerai  de  la  descente  naturelle  des  corps  pesants  dès  que 
j'aurai  un  peu  plus  de  loisir  (^). 


LXXXIV. 

FERMAT  A  DIGBY. 

MERCREDI     15     AOliT      1657. 

[Comiii.  r/).,   11"  V2'.  Va.,  p.    191-19.3.) 

Monsieur, 
1-  J'ai  reçu  avec  joie  et  satisfaction  votre  dernier  paquet  et,  quand 
il  ne  conticndroit  autre  nouvelle  que  celle  de  votre  convalescence  et 

(')  La  pièce  LXXXI, 

(2)  Ce  post-scriplum,  cnipiuiiié  au  tomo  II  (ii;  loilitioii  des  OKuvios  do  Waliis  (Ox- 
ford, 1693,  in-f"),  manque  dans  l'cililioa  du  Commercium  de  i658.  — Cf.  Lettre  LXXXIL  5. 


LXXXIV.  -  15  AOUT   1657.  313 

du  retour  de  votre  santé,  c'est  un  bien  si  grand  et  si  considérable  pour 
tous  ceux  qui  aiment  les  belles-lettres,  qu'ils  ne  peuvent  en  recevoir 
un  plaisir  médiocre. 

2.  J'ai  reçu  la  copie  de  la  lettre  de  Monsieur  Wallis  ('),  que  j'es- 
time comme  je  dois,  et  j'avoue  que  ses  figures  sont  les  mêmes  que 
les  miennes  et  que  ses  conclusions  pour  leur  quadrature  sont  aussi 
les  mêmes;  mais  sa  façon  de  démontrer,  qui  est  fondée  sur  induction 
plutôt  que  sur  un  raisonnement  à  la  mode  d'Archimède,  fera  quelque 
peine  aux  novices,  qui  veulent  des  syllogismes  démonstratifs  depuis 
le  commencement  jusqu'à  la  tin.  Ce  n'est  pas  que  je  ne  l'approuve  ; 
mais,  toutes  ses  propositions  pouvant  être  démontrées  via  ordinariâ, 
légitima  et  Archirnedcâ  en  beaucoup  moins  de  paroles  que  n'en  con- 
tient son  livre,  je  ne  sais  pas  pourquoi  il  a  préféré  cette  manière  par 
notes  algébriques  à  l'ancienne,  qui  est  et  plus  convaincante  et  plus 
élégante,  ainsi  que  j'espère  lui  faire  voir  à  mon  premier  loisir. 

Je  voudrois  qu'ensuite  il  eût  déterminé  les  centres  de  gravité  de  ces 
hyperboles  infinies,  en  distinguant  celles  qui  en  ont  d'avec  celles  qui 
n'en  ont  pas  (-);  car,  tandis  qu'il  dira  que  la  chose  lui  est  connue  et 
qu'il  n'en  a  pas  voulu  charger  son  livre,  il  ne  me  persuadera  pas,  et 
d'autant  ylus  que  la  proposition  générale  sans  démonstration  me  suf- 
tÎKa  de  sa  part.  Et  je  vous  réponds,  à  l'avance,  qu'elle  ne  sauroit  con- 
tenir plus  de  huit  ou  dix  lignes;  dès  qu'il  me  l'aura  envoyée,  je  lui 
ferai  part  de  ma  spéculation  sur  ce  sujet  et  de  ma  façon  de  démon- 
trer. 

3.  Pour  les  questions  des  nombres,  j'ose  vous  dire,  avec  respect  et 
sans  rien  rabattre  de  la  haute  opinion  que  j'ai  de  votre  nation,  que  les 
deux  lettres  de  Mylord  Brouncker  (■'),  quoique  obscures  à  mon  égard 
et  mal  traduites,  n'en  contiennent  point  aucune  solution;  ce  n'est  pas 
que  je  prétende  par  là  renouveler  les  joutes  et  les  anciens  coups  de 

(  '  )  Cf.  l'Épitro  V  du  Cnmmarcium  datée  du  6  juiu  iGJy  ot  répondant  à  la  Lettre  LXXXII. 
(-)  Cf.  rÉ[)itrc  XVI  du  Commercium,  réponse  de  Wallis  datée  du  21  novembre  1657. 
(')  A'oi/' page  341,  note  -i. 


au     (EUVHES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

laiicos  quo  les  Anglois  ont  autrefois  faits  contre  les  François  :  mais,  sans 
sortir  (le  la  métaphore,  j'ose  vous  soutenir,  et  à  vous.  Monsieur,  plus 
justement  qu'à  tout  autre,  qui  excellez  aux  deux  métiers,  que  le  ha- 
sard et  le  bonheur  se  mêlent  quelquefois  aux  combats  de  science  aussi 
bien  qu'aux  autres,  et  qu'en  tous  cas  nous  pouvons  dire  ([ne  non 
omnis  fert  omnia  tellus  (  '  ) . 

Je  serai  pourtant  ravi  d'être  détrompé  par  cet  ingénieux  et  savant 
seigneur  et,  pour  lui  témoigner  que  notre  combat  ne  sera  point  à  ou- 
trance, je  me  relâche  dans  la  question  suivante,  que  je  m'en  vais  lui 
proposer,  de  la  rigueur  de  mes  premières  questions  qui  ne  vouloient 
que  des  nombres  entiers  :  il  me  suffira  qu'ils  soient  rationaux  à  la 
mode  de  Diophante.  (Le  nom  de  cet  auteur  me  donne  l'occasion  de 
vous  faire  souvenir  de  la  promesse  qu'il  vous  a  plu  me  faire,  de  recou- 
vrer quelque  manuscrit  de  cet  auteur,  qui  contienne  tous  les  treize 
livres,  et  de  m'en  faire  part,  s'il  vous  peut  tomber  en  main.) 

4.  Voici  la  nouvelle  question,  ou  pour  Mylord  Brouncker  ou  pour 
Monsieur  ^¥allis,  que  j'écris  en  latin  suivant  votre  ordre  (')  : 

Datum  numerum  ex  duobus  numeris  rubis  compositum  dividere  in  duos 
alios  numéros  cubos. 

Banc propositionem  in  cpiadralis  tanlum  exscquulus  est  Diophanlus,  in 
cubis  ne  tcnlavit  quidern,  in  iis,  sallem  libris  qui  ad  nos  de  majore  ipsius 
opère  pervenerunt. 

Exempli  gratia,  proponatur  numerus  28  ex  duobus  cubis  i  et  27  com- 
positus. 

Oportet  dictum  numerum  28  in  duos  alios  cubos  rationales  dividere  et 
propositionis  solutionem  generaliter  prœstare. 

Je  consens  que  M.  Frenicle  l'entreprenne;  je  suis  persuadé  qu'il  ne 
la  trouvera  pas  si  aisée  que  les  autres,  que  je  savois  être  de  sa  juridic- 
tion. Je  l'estime  extraordinairement  aussi  bien  que  vous,  mais  pour- 

(')  Allusion  à  Virgile,  Eclog.  IV,  3()  :  (iin//ix  fcret  ninnia  tellus. 
(^)  Cf.  Oi)servalion  IX  sur  Diophante. 


LXXXIV.  —  lo  AOUT   1057.  3io 

laiit  ce  que  je  vais  ajouter  l'étonnera.  si  vous  prenez  la  peine  de  le  lui 
communiquer. 

5.  ,Te  lui  avois  écrit  qu'il  n'y  a  qu'un  seul  nombre  quarré  en  entiers 
qui,  joint  au  binaire,  fasse  un  cube,  et  que  ledit  quarré  est  i5,  auquel 
si  vous  ajoutez  2,  il  se  fait  27,  qui  est  cube(').  Il  a  peine  à  croire  cette 
proposition  négative  et  la  trouve  trop  hardie  et  trop  générale. 

Mais,  pour  augmenter  son  étonnement,  je  dis  que,  si  on  cherche  un 
quarré  qui,  ajouté  à  4»  fasse  un  cube,  il  n'en  trouvera  jamais  que 
deux  en  nombres  entiers,  savoir  4  et  121.  Car  4  ajouté  à  4  fait  8  qui 
est  cube,  et  121  ajouté  à  4  f^iit  i-J  <liii  est  aussi  cube.  ]\Iais,  après 
cela,  toute  l'infinité  des  nombres  n'en  sauroit  fournir  un  troisième  qui 
ait  la  même  propriété. 

Je  ne  sais  ce  que  diront  vos  Anglois  de  ces  propositions  négatives 
et  s'ils  les  trouveront  trop  hardies  :  j'attends  leur  résolution  et  celle  de 
M.  Frenicle,  qui  n'a  pas  répondu  à  une  longue  lettre  que  M.  Borel  lui 
rendit  de  ma  part.  De  quoi  je  suis  surpris,  car  je  lui  répondois  exac- 
tement à  tous  ses  doutes  et  lui  faisois  quel({ue  question  de  mon  chef, 
dont  j'attends  la  solution. 

Je  suis  avec  grand  respect,  Monsieur,  votre  très  humble  et  trî's 

obéissant  serviteur, 

Fermât. 

A  Caslres,  le  ij  août  1G57. 

6.  J'oubliois  de  vous  dire  que  M.  Borel  a  écrit  à  son  père  que 
M.  l'Ambassadeur  de  Hollande  s'étonnoit  de  quoi  je  n'avois  pas  ré- 
pondu à  M.  Sehooten  qui  prétend  avoir  résolu  mes  questions  et  m'cMi 
avoir  proposé  d'autres;  mais  je  vous  assure  que  je  n'ai  rien  vu  de  sa 
part  et  que,  si  vous  m'en  envoyez  copie,  j'y  répondrai  (^). 

7-  J'ai  mis  la  proposition  un  peu  plus  générale  dans  la  page  sui- 

(')  Cf.  Observation  XLIl  sur  Diophante, 

(2)  La  réponse  de  Sehooten  au  premier  Défi  (Pièce  LXXIX)  fut  adressée  par  lui  le 
17  février  16J7  à  l'Ambassadeur  de  Hollande,  Willem  Boreel.  Elle  est  insérée  dans  la 
Lettre  n°  33  du  Commercium  epistoticum  et  dans  la  Correspondance  de  Huygeiis,  n°'  377 
et  378. 

Fermât.  —  U.  44 


3'tG  (EU  VU  ES   OE   F  E  RM  AT.  -  COlîUESPONI)  ANCE. 

vanio  où  ollo  ino  semble  êlre  mieux  ;  on  la  peut  concevoir  pour  M.  Fre- 
uicle,  qui  aime  les  nombres  entiers,  en  ces  termes  : 

Trouver  deux  nombres  cubes  dont  la  somme  soit  cube, 
cl 

Troui'er  deux  nombres  cubes  dunl  la  somme  soit  égale  à  deux  autres 
nombres  cubes. 

8.   Proposuit  Diophantus  (  '  )  : 

Dalum  numerum  quadratum  in  duos  quadratos  dividere; 
item  : 

Datum  numerum  ex  duohus  quadratis  composilum  in  duos  alios  qua- 
dratos dividere. 

Quœstionem  autem  ad  cubos  evehere  nec  ipse  nec  Vieta  tenlavil  :  quidni 
igitur  famosam  propositionem  et  recentioribus  reservatam  Analystis  expe- 
dire  aut  dtdntemus  aul  differemus  ? 

Proponatur  itaque  : 

Dation  numerum  cubum  in  duos  cubos  rationales  dividere; 

item  : 

Datum  numerum  ex  duobus  cubis  composilum  in  duos  alios  cubos  ratio- 
nales dividere, 

et  inquiralur  quid  eci  de  re  Anglia,  quid  Hollandia  censeat. 
(')  Cf.  Observations  II  cl  III  sur  Diopliaiite. 


LXXXV.  —  15  AOUT   1657.  347 

LXXXV. 
FERMAT  A  DIGBY  ('). 

REMARQUES  SUR  L'ARITHMÉTIQUE  DES  INFINIS  DU  S.  J.  VVALLIS. 

MERCREDI    15    AOUT    1657, 
{Contm.  ep.r  \\°  13;  fa.,  p.  193-196.) 

I.  En  son  Épître  il  déclare  comment  il  s'est  mis  à  la  recherche  de 
la  quadrature  du  cercle  et  dit  que  quelques  vérités,  qui  ont  été  dé- 
couvertes en  Géométrie,  lui  ont  donné  l'espérance  qu'elle  se  pourroil 
trouver.  Ces  vérités  sont  : 

Que  la  raison  des  cercles  infinis  du  cône  aux  infinis  du  cylindre  est 
connue,  savoir  celle  du  cône  au  cylindre  qui  a  même  base  et  hauteur; 
et  pareillement  la  raison  des  diamètres  desdits  cercles,  savoir  celle  du 
triangle  qui  passe  par  l'axe  du  cône  au  parallélogramme  qui  passe  par 
l'axe  du  cylindre; 

Comme  aussi  on  a  la  raison  du  conoïde  parabolique  au  cylindre  cir- 
conscrit, et  celle  de  la  parabole  au  parallélogramme  qui  passent  par 
leurs  axes,  qui  sont  comme  l'assemblage  des  diamètres  des  cercles  in- 
finis qui  composent  lesdits  solides; 

De  plus,  qu'on  a  aussi  trouvé  la  raison  des  ordonnées  (^tant  au 
triangle  qu'au  conoïde  parabolique  ou  parabole),  qui  sont  les  dia- 
mètres desdits  cercles. 

D'où  il  conclut  que,  puisqu'on  a  trouvé  aussi  la  raison  de  la  sphère 
au  cylindre  circonscrit,  ou  celle  de  l'infinité  des  cercles  parallèles, 
dont  on  peut  concevoir  que  la  sphère  est  composée,  à  pareille  multi- 
tude de  ceux  qui  se  peuvent  feindre  au  cylindre,  on  pourra  aussi 
espérer  de  pouvoir  découvrir  la  raison  des  ordonnées  en  la  sphère 
ou  au  cercle  à  celles  du  cylindre  ou  quarré,  savoir  la  raison  des  dia- 

(')  Pièce  apportée  par  White  à  Brouncker  en  même  temps  que  la  précédente  (premiers 
jours  d'octobre  1657).  Wallis  répondit  (à  Digby)  par  la  Lettre  16  du  Conimercium. 


:5V8  ŒUVRES  DE  FE1{MAT.  -  CORRESPONDANCE. 

iiit'li'os  lies  l'iMvlo!^  intiiiis  qui  composent  la  sphère  aux  diamèlres  des 
ooroles  du  cylindre.  Ce  qui  seroit  avoir  la  quadrature  du  cercle. 

^lais,  de  même  qu'on  ne  pouiToil  pas  avoir  la  raison  de  tous  les  dia- 
mètres pris  ensemble  des  cercles  qui  composent  le  cône  à  ceux  du 
cylindre  circonscrit,  si  on  n'avoit  la  quadrature  du  triangle;  non  plus 
(|ue  la  raison  des  diamètres  des  cercles  qui  composent  le  conoïde 
|)arabolique  ii  ceux  qui  font  le  cylindre  circonscrit,  si  on  n'avoit 
la  quadrature  de  la  parabole  ;  ainsi  on  ne  pourra  pas  connoître  la 
raison  des  diamètres  de  tous  les  cercles  qui  composent  la  sphère  à 
ceux  des  cercles  qui  composent  le  cylindre  circonscrit,  si  l'on  n'a  pas 
la  quadrature  du  cercle.  Car,  de  demander  la  raison  qu'il  y  a  entre  les 
diamètres  de  tous  les  cercles  parallèles  qu'on  peut  concevoir  en  la 
sphère  (lesquels  diamètres,  pris  tous  ensemble,  ne  sont  autre  chose 
([u'uii  cercle)  et  ceux  des  cercles  qu'on  peut  feindre  au  cylindre  cir- 
conscrit (lesquels  font  un  quarré  circonscrit  audit  cercle),  cela  n'est 
autre  chose  que  de  demander  la  raison  du  cercle  au  quarré  circon- 
scrit. 

II.  En  la  même  Epître  ('),  après  avoir  posé  une  suite  de  nombres, 

savoir  : 

I,     G,     3o,     1^0,     G3o, 

il  demande  le  terme  moyen  (jui  doit  être  mis  entre  i  et  G.  Je  réponds 
que,  si  on  a  égard  à  la  suite  entière  des  dits  nombres,  on  ne  peut  poser 
aucun  terme  moyen  entre  les  dits  i  et  G,  pource  qu'en  cette  suite  les 

(')  Si,  dans  la  suite  do  Wallis,  on  considère  l'uniLo  comme  élanl  le  terme  de  rang  o.  le 

terme  de  rang  n  sera 

_  :i. j...(a/;  — i)(2/i  +  I)    ^^ 

^"^  l.'i...{u-i)n  ^  ' 

cl  l'on  peut  aussi  poser 

7: 


Tn=  ^-"j"'  .^2,1^1  I    cos2".cf/.f,      OU  bien      T„  = 


d'où 

T,.?. 


£ 


•2 

cos-""'''  J'  dx 


LXXXV.  -   13  AOUT   1037.  3i9 

nombres  ne  font  pas  une  proportion  continue,  mais,  en  autant  de 
façons  que  l'un  est  comparé  à  l'autre,  autant  font-ils  de  proportions 
différentes;  de  sorte  que  ce  sont  plusieurs  proportions  ou  progressions 
disjointes  et  ainsi,  quand  on  prendroit  un  terme  moyen  entre  i  et  G, 
il  n'auroit  rien  de  commun  avec  les  autres  nombres. 

Toute  la  proportion  ou  suite,  qu'on  peut  remarquer  entre  ces  nom- 
bres, consiste  au  rapport  qu'ont  entre  eux  les  nombres  dont  ils  pro- 
viennent par  multiplication,  auxquels  on  voit  une  espèce  de  progres- 
sion arithmétique.  Néanmoins  il  ne  sçauroit  passer  aux  nombres 
susdits,  en  telle  sorte  que,  par  icelui,  on  puisse  donner  un  terme 
moyen  entre  deux  des  nombres,  qui  ait  correspondance  à  toute  la 
suite. 

Au  contraire,  la  propriété  même  de  cette  progression  fait  qu'il  n'y 
en  peut  avoir;  voici  comment  : 

Les  nombres  donnés 

I,     6,     3o,     140,     63o 

sont  produits  par  les  suivants  en  multipliant  : 

,1      ^2       ,2      ,2 

I,       q-)        i|-)        q,)        47, 
1204 


ou  les  équivalents 


6       10       i4       18 

1234 


En  ces  nombres,  qui  servent  à  faire  les  donnés,  il  est  facile  de  voir 
où  est  le  rapport.  Il  consiste,  aux  premiers,  en  la  seule  augmentation 
du  dénominateur  de  la  fraction  qui  y  est  jointe,  ce  qui  fait  diminuer  les 
nombres  d'autant  plus  qu'ils  s'éloignent  du  premier  terme,  savoir 

de  i;  et  aux  seconds 

6       10 
I,     -)     — )     etc., 

qui  sont  les  mêmes  en  autres  termes,  les  numérateurs  des  fractions 
augmentent  de  4  t't  b^s  dénominateurs  de  l'unité,  ce  qui  fait  pareille- 
ment diminuer  les  nombres  tant  plus  la  progression  avance  :  en  sorte 


330  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(]uv  ct'liii  qui  est  lo  plus  proche  du  premier  terme  i,  savoir  4-  ou  -> 
i|ni  vaut  G,  est  le  plus  grand  de  tous. 

Il  faut,  aussi  remarquer  que  le  rapport  des  nombres  de  la  dite  pro- 
gression n'arrive  pas  jusques  au  premier  terme  i,  ou  plutôt  ne  com- 
mence pas  dès  le  premier  terme,  mais  au  second  seulement,  qui  est  sa 
horne.  De  sorte  que,  si  on  vouloit  augmenter  les  termes  de  la  dite 

progression,  en  la  changeant  et  mettant  un  nombre  moyen  entre  le 

a         6     . 
premier  et  le  second  terme,  savoir  entre  i  et  A-  ou  ->  il  ne  faudroit 
'  II 

pas  avoir  égard  à  i,  mais  aux  autres  nombres 

4f>    4^    4|>    4^. 

ou  il  ces  autres  qui  sont  les  mêmes  : 

6       lo       i/i       i8 
12  3  4 

car  cette  progression  n'auroit  pas  de  suite,  si  on  la  commençoit  par  i . 
Puis  donc  :  qu'il  ne  faut  pas  avoir  égard  au  premier  terme  i,  qui  n'a 
rien  de  commun  avec  les  nombres  de  la  dite  progression,  mais  aux 
autres  seulement;  et  qu'ils  augmentent  à  mesure  qu'ils  approchent  du 
premier  terme  i  :  il  s'ensuit  que  le  nombre,  qu'on  prendroit  entre  i 

et  1  -  ou  -)  seroit  plus  grand  que  le  dit  -  ou  G,  et  il  faudroit  multiplier 

le  premier  terme  i  par  ce  nombre  moyen  qui  seroit  plus  grand  que  6, 
pour  avoir  le  moyen  terme  entre  les  deux  premiers  des  nombres  pre- 
mièrement donnés,  qui  sont  i  et  6  (car  les  dits  nombres  donnés 

I,     G,     3o,     i4o,     63o 

n'ont  point  d'autre  rapport  ou  liaison  que  celle  qu'ils  empruntent  de 
leurs  multiplicateurs,  autrement  ils  n'en  ont  aucune).  Et  ainsi  on  au- 
ri)it  un  nombre  plus  grand  que  G  pour  le  moyen  terme  d'entre  i  et  G  ; 
ce  qui  est  absurde. 

De  lii  s'ensuit  qu'on  ne  peut  donner  le  moyen  terme  entre  i  et  G,  en 


LXXXV.  -  13  AOUT  1657.  351 

lanl  qu'ils  sont  compris  en  la  suite  ou  progression  des  nombres  :  i ,  G, 
3o,  i4o,  63o. 

Ou  peut  inférer  de  là  que  la  ligne  courbe VC  (fig.  86)  (')  n'est  point 
égale  en  elle-même  el  qu'elle  ne  peut  provenir  d'aucun  mouvement 
continu  qui  soit  égal  ou  réglé,  mais  de  plusieurs,  différens  suivant 
ses  parties;  et  que  c'est  une  ligne  composée  de  portions  de  plusieurs 
courbes  comprises  entre  les  parallèles  à  l'axe  VX  de  la  figure.  (]ar,  en 

Fis.  S'i. 


icclle,  il  est  bien  nécessaire  que  la  moyenne  ligne  tirée  entre  la  pre- 
mière et  la  seconde  parallèle,  savoir  entre  i  et  6,  soit  moindre  que  6. 
Mais,  outre  que  cette  moyenne  ligne  seroit  de  différente  longueur  sui- 
vant la  nature  et  la  propriété  de  cette  portion  de  la  courbe  VC,  qui  n'a 
rien  de  commun  avec  les  autres  portions,  comme  a  été  dit,  elle  n'au- 
roit  rapport  qu'avec  les  deux  termes  i.  G,  et  non  pas  avec  les  autres, 
ni  avec  les  moyennes  qu'on  auroit  tirées  entre  deux,  si  on  prenoit  le 
tout  conjointement. 

III.  En  la  première  proposition  le  dit  sieur  Wallis  propose  une 
suite  de  quantités  commençant  par  o  (qui  représente  le  point)  et  qui 
se  suivent  en  progression  arithmétique,  et  cherche  quelle  raison  il  y 
a  entre  la  somme  des  dites  quantités  et  la  somme  d'autant  de  termes 
égaux  à  la  plus  grande  des  données. 

Le  moyen  qu'il  donne  pour  trouver  cette  raison  est  de  prendre 
les  sommes  de  diverses  quantités  de  nombres  commençant  par  les 
moindres,  puis  comparer  les  raisons  les  unes  aux  autres  et  inférer 
de  là  une  proposition  universelle. 

On  se  pourroit  servir  de  cette  méthode,  si  la  démonstration  de  ce 

(')  La  figure  ne  se  trouvant  pas  dans  le  Coinmercium,  nous  la  restituons  d'après 
V Arithmetira  injinitoruni  de  Wallis  {Opéra  malhemaùca ,  Oxford,  1695,  in-f,  tome  1, 
P-  477)- 


352  ŒUVRES  DK  KERM.VT.  -  CORRESPONDANCE. 

(jui  os(  proposé  étoit  bien  cachée  et,  qu'auparavant  de  s'engager  ii  la 
cliercher,  on  se  voulut  assurer  à  peu  près  de  la  vérité;  mais  il  ne  s'y 
faut  lier  que  de  bonne  sorte  et  on  doit  y  apporter  les  précautions 
nécessaires,  t'ar  on  pourroit  proposer  telle  chose  et  prendre  telle 
règle  pour  la  trouver  (|u'olle  seroit  bonne  à  plusieurs  particuliers 
et  néanmoins  seroit  fausse  en  elTet  et  non  universelle.  De  sorte  qu'il 
faut  être  fort  circonspect  pour  s'en  servir,  <|uoi(|u'en  y  apportant  la 
diligence  requise,  elle  puisse  être  fort  utile,  mais  non  pas  pour 
prendre,  pour  fondement  de  quelqile  science,  ce  qu'on  en  aura 
déduit,  comme  fait  le  sieur  Wallis  :  car,  pour  cela,  on  ne  se  doit 
contenter  de  rien  moins  que  d'une  démonstration,  et  principalement 
au  sujet  (le  la  proposition  dont  il  s'agit,  dont  la  solution  et  démon- 
stration est  fort  facile. 

Voici  comme  on  démontrera  que  les  dites  quantités  proposées,  étant 
jointes  ensemble,  font  la  moitié  d'autant  de  quantités  égales  à  la  plus 
grande  d'icelles  : 

Soient  exposées  des  quantités  ou  nombres  qui  commencent  par  le 
point  ou  par  o,  et  qui  se  suivent  en  progression  arithmétique;  et 
soient  celles  de  la  première  ligne 

1°  Quanlilt's  données o  <?   h  c  d 

%"  Quantilcs  égales  à  la  plus  grande  des  données.. . .     d  d  cl  d  d 

3°  Excès  des  plus  grandes  iiar  dessus  les  données. . .     de  h  a  o 

Puisque  les  quantités  données  sont  en  progression  arithmétique,  le 
troisième  terme  h  surpassera  le  second  de  pareille  quantité  que  le 
second  (savoir  a)  surpasse  le  premier  qui  est  o;  mais  l'excès  de  a 
|)ar  dessus  o  est  a  :  et,  partant,  toutes  ces  quantités  se  surpasseront 
l'une  l'autre  de  proche  en  proche  selon  la  quantité  du  second  terme  a. 
Va  si  on  prend  les  quantités  de  deux  en  deux,  laissant  une  d'icelles 
entre  deux,  comme  sont  a,  c,  ou  b,  d  de  la  première  ligne,  leur  diffé- 
rence sera  le  troisième  terme,  comme  il  est  évident.  Et  de  même,  si 
on  les  prenoit  de  trois  en  trois,  elles  auroient  le  quatrième  terme  c 
pour  leur  différence. 


LXXXV.  —  15  AOUT    16o7.  333 

De  là  il  s'ensuit  que,  si  on  prend  autant  de  termes  égaux  au  plus 
grand  terme  c^des  quantités  données,  comme  en  la  seconde  ligne,  leur 
excès  par  dessus  les  quantités  données  sera  égal  aux  dites  quantités 
données,  comme  on  [le]  voit  en  la  troisième  ligne.  Car  l'excès  de  d 
par  dessus  la  plus  grande  des  quantités  données,  savoir  par  dessus  d, 
est  o,  qui  est  le  premier  ferme  des  quantités  données;  l'excès  du 
même  (/par  dessus  le  terme  précédent  c  est  le  second  terme  a,  comme 
il  a  été  montré,  savoir  pource  que  les  deux  quantités  c  et  cf  sont  pro- 
chaines; et  ensuite  l'excès  de  d  par  dessus  b  sera  b,  et  ainsi  des 
autres,  jusques  à  ce  qu'enfin,  étant  au  premier  terme  o,  l'excès  de  d 
par  dessus  icelui  sera  le  même  d. 

Va  ainsi  la  ligne  des  excès,  qui  est  la  troisième,  sera  égale  à  la  pre- 
mière qui  (?onlient  les  quantités  données;  mais  la  première  et  la  troi- 
sième ligne  étant  jointes  ensemble  (^savoir  les  quantités  données  étant 
jointes  aux  excès  des  quantités  de  la  seconde  ligne  par  dessus  celles 
de  la  première,  qui  sont  les  données),  font  la  dite  seconde  ligne,  qui  a 
chacun  de  ses  termes  égal  au  plus  grand  de  ceux  de  la  première  :  par- 
tant la  seconde  ligne,  ou  le  plus  grand  terme  des  données  pris  autant 
de  fois  qu'il  y  a  de  termes,  sera  double  de  la  première  ligne,  c'est 
à  dire  des  quantités  données.  Ce  qu'il  falloit  démontrer. 

IV.  En  la  seconde  proposition,  il  requiert  que  le  premier  terme  soi! 
o  et  le  second  i .  Autrement  il  dit  ([ue  moderatio  est  adhibenda. 

A  cela  je  dis  que,  si  on  commence  par  o,  quelque  nombre  qu'on 
mette  pour  le  second  terme,  la  somme  d'autant  de  fois  le  plus  grand 
terme  sera  toujours  double  des  quantités  données.  Car,  si  pour  a,  b, 
c,  d  on  prend  quelques  nombres  qu'on  voudra,  qui  soient  en  progres- 
sion arithmétique  depuis  le  premier  terme  o,  cela  succédera  toujours 
en  la  même  sorte,  ainsi  qu'il  a  été  ci-devant  démontré. 


l'EnMAT.    —    11.  45 


3oV  ŒUVUES    1)K   l'KUMVT.  -  COUIIESPOND ANCE. 

LXXXVI. 

FKllMAT  A  DK  LA  CllAMRRE. 

Aoi;i'   ICo7. 
(1).    111,   5o). 

A  TouloHse.  le  mois  d'août  16J7. 
Mo.NSIEll!, 

1.  Jo  n'avois  garde  do  vous  obéir  lorsque  vous  m'ordonniez  de  rece- 
voir votre  Livre  (')  sans  le  lire.  Le  présent  que  vous  m'en  avez  fait  est 
une  marque  trop  précieuse  de  l'amitié  dont  vous  m'honorez;  mais  sa 
lecture  m'a  fait  concevoir  l'idée  de  cette  amitié  comme  un  bien  qui  mé- 
rite d'être  conservé  avec  soin,  avec  respect  et  avec  estime. Et  pour  vous 
le  faire  voir,  je  ne  vous  parlerai  point  de  vos  autres  spéculations  de 
Phvsique,  quoiqu'elles  soient  pleines  d'un  raisonnement  très  solide  et 
très  subtil;  il  me  suffira  de  vous  entretenir  un  peu  sur  la  matière  de 
la  réflexion  et  de  la  réfraction,  quand  ce  ne  seroit  que  pour  réparer 
par  cette  lettre  la  perte  d'un  Discours  que  je  vous  avois  adressé,  il  y  a 
déjà  quelques  années,  sur  ce  même  sujet  et  que  j'ai  su  n'être  point 
venu  en  vos  mains.  Ce  qui  m'y  confirme  est  que  j'entre  par  là  dans 
quelque  société  d'opinion  avec  vous,  et  j'ose  même  vous  assurer  par 
avance  que,  si  vous  souffrez  que  je  joigne  un  peu  de  ma  géométrie 
h  votre  physique,  nous  ferons  un  travail  à  frais  communs  qui  nous 
mettra  d'abord  en  défense  contre  M.  Descartes  et  tous  ses  amis. 

2.  Je  reconnois  premièrement  avec  vous  la  vérité  de  ce  principe, 
(|uc  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes.  Vous  en 
déduisez  très  bien  l'égalité  des  angles  de  réflexion  et  d'incidence,  et 
l'objection  de  ceux  qui  disent  que  les  deux  lignes  qui  conduisent  la 

(')  I.a  Luiiiiére  à  Monseigneur  l'Iï^inincnlissiino  ()ardin:il  Ma/.arin  par  le  siciii'  De  La 
(Chambre,  conseillci'  du  Roy  en  ses  Conseds  et  son  .Médecin  ordinaire.  A  Paris,  chez 
P.  Rocolet,  Inip.et  Lilj.ord.  du  Roy;  au  Palais,  en  la  gallcrie  des  Prisonniers,  aux  Armes 
du  Roy  el  de  la  Ville.  M  DCLVII,  avec  Privilège  du  Roy  (446  pages  in-4°). 


LXXXVI.  -  AOLÏ   1057.  555 

vue  ou  la  lumière  dans  le  miroir  concave, sont  très  souvent  les  plus 
longues,  n'est  point  considérable,  si  vous  supposez  seulement,  comme 
un  autre  principe  indisputable,  que  tout  ce  qui  appuie  ou  qui  fait 
ferme  sur  une  ligne  courbe,  de  quelque  nature  qu'elle  soit,  est  censé 
appuyer  ou  faire  ferme  sur  une  droite  qui  touche  la  courbe  au  point 
où  la  rencontre  se  fait:  ce  qui  peut  être  prouvé  par  une  raison  de  phy- 
sique aidée  d'une  autre  de  géométrie. 

Le  principe  de  Physique  est  que  la  nature  fait  ses  mouvements  par 
les  voies  les  plus  simples.  Or,  la  ligne  droite  étant  plus  simple  que  la 
circulaire  ni  que  pas  une  autre  courbe,  il  faut  croire  que  le  mouve- 
ment du  rayon  qui  tombe  sur  la  courbe  se  rapporte  plutôt  à  la  droite 
([ui  touche  la  courbe  qu'à  la  courbe  même. 

Premièrement,  parce  que  cette  droite  de  l'attouchement  est  plus 
simple  que  la  courbe;  secondement  (et  c'est  ce  qui  s'emprunte  de  la 
Géométrie),  parce  que  aucune  droite  ne  peut  tomber  entre  la  courbe 
et  la  touchante,  par  un  principe  d'Euclide.  De  sorte  que  le  mouve- 
ment est  justement  le  même  sur  la  droite  qui  touclie  que  sur  la 
courbe  qui  est  touchée. 

Et,  cela  supposé,  on  ne  peut  jamais  dire  que  les  deux  droites  qui 
conduisent  la  lumière  ou  le  rayon  soient  quelquefois  les  plus  longues 
aux  miroirs  concaves,  parce  qu'en  ce  cas  même  elles  se  trouvent  les 
plus  courtes  de  toutes  celles  qui  peuvent  se  réfléchir  sur  la  droite  qui 
touche  la  courbe.  Et,  par  conséquent,  il  ne  faut  ni  supposer  que  la 
nature  agisse  par  contrainte  en  ce  cas,  ni  conclure  qu'elle  suive  une 
autre  manière  de  mouvement  que  celle  qu'elle  pratique  aux  miroirs 
plans  et  en  toute  autre  espèce  de  miroirs.  De  sorte  que  voilà  votre 
principe  pleinement  établi  pour  la  réflexion. 

3.  Mais,  puisqu'il  a  servi  à  la  réflexion,  pourrons-nous  en  tirer 
([uelqu'usage  pour  la  réfraction?  Il  me  semble  que  la  chose  est  aisée 
et  qu'un  peu  de  géométrie  nous  pourra  tirer  d'affaire. 

Je  ne  m'étendrai  point  sur  la  réfutation  de  la  démonstration  de 
M.  Descartes.  Je  la  lui  ai  autrefois  contestée,  à  lui,  dis-je,  vivenli 


35(i  ŒlVllKS   i)K   rKUMAT.  -  CO 11  11  KS  POND  ANGE. 

ahjitc  senticnti.  coiiimo  disiiit  Martial  ('),  mais  il  ne  mo  satisfit  jamais. 
I.'usago  lie  ces  niouvciiioiits  roinposés  est  une  matière  bien  ilélicale 
et  qui  ne  doit  être  traitée  et  employée  qu'avec  une  très-grande  |)ré- 
eaution.  Je  les  eompare  à  quelques-uns  de  vos  renii'des,  qui  servent 
de  poison  s'ils  ne  sont  l>ien  el  dûment  préparés.  Il  me  sulfit  donc  tie 
dire  en  eel  endi'oit  (|ne  \\.  Descaries  n'a  rien  prouvé,  et  que  je  suis  d(! 
votre  sentimenl  (mi  ce  (nu>  vous  rejetez  le  sien. 

.Mais  il  l'aul  pass(M'  plus  outre  et  trouver  la  raison  de  la  réfraction 
dans  noire  principe  commun,  qui  est  que  la  nature  agit  toujours  par 
les  voies  les  plus  courtes  et  les  plus  aisées.  Il  semble  d'abord  que  la 
chose  ne  peut  point  réussir  et  que  vous  vous  êtes  fait  vous-même  une 
objection  qui  paroit  invincible.  Car  (y?^-.  87)  puisque,  dans  la  page  '^ifï 


de  votre  Livre,  les  deux  lignes  CB,  BA  qui  contiennent  l'angle  d'inci- 
dence et  celui  de  réfraction,  sont  plus  longues  que  la  droite  ADC  qui 
leur  sert  de  base  dans  le  triangle  ABC,  le  rayon  de  C  en  A,  qui  con- 
tient un  chemin  plus  court  que  celui  des  deux  lignes  CB,  BA,  devroit, 
au  sens  de  notre  principe,  être  la  seule  et  véritable  route  de  la  nature, 
ce  qui  pourtant  est  contraire  à  l'expérience.  3fais  on  peut  se  défaire 
aisément  de  cette  dilTicullé  en  supposant,  avec  vous  et  avec  tous  ceux 
qui  ont  traité  de  (;ette  matière,  que  la  résistance  des  milienx  est  diffé- 
rente, et  qu'il  y  a  toujours  une  raison  ou  proportion  certaine  entre 
ces  deux  résistances,  lorsque  les  deux  milieux  sont  d'une  consistance 
certaine  et  qu'ils  sont  uniformes  entre  eux. 

.\e  vous  étonnez  pas  de  ce  que  je  parle  de  résistance,  après  ([ue  vous 


(')  Mmitial,  É/'igr.,  I,  11.  s.  —  f'oir  les  Lettres  XXII  et  XXIV. 


LXXXVl.  —  AOUT  1037.  337 

avez  décidé  que  le  mouvement  de  la  lumière  se  fait  en  un  instant  el 
que  la  réfraction  n'est  causée  que  par  l'antipathie  naturelle  qui  est 
entre  la  lumière  et  la  matière.  Car,  soit  que  vous  m'accordiez  (|ue  le 
mouvement  de  la  lumière  sans  aucune  succession  peut  être  contesté  cl 
que  votre  preuve  n'est  pas  entièrement  démonstrative,  soit  qu'il  faille 
passer  par  votre  décision,  à  savoir  que  la  lumière  fuit  l'abondance  de 
la  matière  qui  lui  est  ennemie,  je  trouve,  même  en  ce  dernier  cas, 
que,  puisque  la  lumière  fuit  la  matière  et  qu'on  ne  fuit  que  ce  qui  l'ail 
peine  et  qui  résiste,  on  peut,  sans  s'éloigner  de  votre  sentiment,  éta- 
blir de  la  résistance  où  vous  établissez  de  la  fuite  et  de  l'aversion. 

Soit  donc,  par  exemple,  en  votre  figure  le  rayon  CB  qui  change  de 
milieu  au  poinl  B,  où  il  se  rompt  pour  se  rendre  au  point  A.  Si  ces 
deux  milieux  étoient  les  mêmes,  la  résistance  au  passage  du  rayon 
par  la  ligne  CB  seroit  ii  la  résistance  au  passage  du  rayon  par  la 
ligne  BA  comme  la  ligne  CB  à  la  ligne  BA.  Car,  les  milieux  élant  les 
mêmes,  la  résistance  au  passage  seroit  la  même  en  chacun  d'eux  et, 
par  conséquent,  elle  garderoit  la  raison  des  espaces  parcourus.  D'où 
il  suit  que,  les  milieux  étant  différents  et  la  résistance  par  conséquent 
différente,  on  ne  peut  plus  dire  que  la  résistance  au  passage  du  rayon 
par  la  ligne  CB  soit  à  la  résistance  au  passage  du  rayon  par  la  ligne  BA 
comme  la  ligne  CB  à  la  ligne  BA;  mais  en  ce  cas  la  résistance  par  la 
ligne  CB  sera  à  la  résistance  par  la  ligne  BA  comme  CB  :i  une  autre 
ligne  dont  la  raison  à  la  ligne  BA  exprimera  celle  des  deux  résistances 
différentes. 

Comme  :  si  la  résistance  par  le  milieu  A  est  double  de  la  résistance 
par  le  milieu  C.  la  résistance  par  CB  sera  ii  la  résistance  par  BA  comme 
la  ligne  CB  au  double  de  la  ligne  BA;  et  si  la  résistance  par  le  milieu  C 
est  double  de  la  résistance  par  le  milieu  A,  la  résistance  par  CB  sera 
à  la  résistance  par  BA  comme  la  ligne  CB  à  la  moitié  de  la  ligne  BA. 
De  sorte  qu'en  ces  deux  cas,  les  deux  résistances  par  CB  et  par  BA, 
étant  jointes,  pourront  être  exprimées  :  ou  par  la  ligne  CB  jointe  à  la 
moitié  de  la  ligne  BA,  ou  par  la  ligne  CB  jointe  au  double  de  BA. 

Vous  voyez  déjà  sans  doute  la  conclusion  de  ce  raisonnement  :  car, 


;$.SS  ŒIVIIKS    DK   IKUMAI".  -  COKHKSl'ONDANCK. 

soioiil  lionnes,  par  cxoniplo,  les  deux  points  (]  et  A  en  (hnix  milieux 
(lilIVrents  séparés  par  la  ligno  lU)  o(  (pii  soiciil  de  Icllc  iiahirc  ([uc  la 
résistance  ilc  lun  soit  ilonhlc  dr  celle  de  Tanli'e;  il  l'aul  cliereher  le 
point  15  an(]U(d  le  rayon,  (jui  va  de  (1  en  A  on  d"A  en  (],  soit  coupé  ou 
rompu. 

Si  nous  su|)|iosons  (|iie  la  chose  est  déjii  faite,  et  que  la  nature  aifit 
toujours  par  les  voies  les  plus  courtes  e(  les  plus  aisées,  la  résistance 
par  ('.15,  jointe  ii  la  résistance  pai-  UA,  conliendi'a  la  somme  des  deux 
résistances,  et  cette  somme,  pour  satisfaire  au  principe,  doit  être  la 
moindre  de  toutes  celles  qui  se  peuvent  rencontrer  en  quelqu'autre 
point  que  ce  soit  de  la  ligne  DB.  Or  ces  deux  résistances  jointes  sont 
(Ml  ce  cas,  comme  nous  avons  prouvé,  représentées  :  ou  par  la  ligne  CH 
jointe  il  la  moitié  de  BA,  ou  par  la  même  ligne  GB  jointe  au  double 
de  BA. 

La  question  se  réduit  donc  à  ce  problème  de  Géométrie  : 

Etant  donnés  les  deit.r  /loi/i/s  V.  cl  A  c/  Ici  droite  DB,  tromper  un  point 
dans  la  droite  DB  auquel  si  vous  conduisez  les  droites  CB  et  BA,  la  somme 
de  CB  et  de  la  moitié  de  BA  contienne  la  moindre  de  toutes  les  sommes 
pareillement  prises,  ou  bien  que  la  somme  de  (\\i  et  du  double  de  BA  con- 
tienne la  moindre  de  toutes  les  sommes  pareillement  prises  ; 

et  le  point  B  qui  sera  trouvé  par  la  construction  de  ce  problème  sera 
le  point  où  se  fera  la  réfraction. 

Vous  voyez  par  lii  qu'il  faut  que  le  rayon  se  coupe  et  se  rompe 
lorsque  les  milieux  sont  dillerents.  Car,  bien  que  la  somme  des  deux 
lignes  CB  et  BA  soit  toujours  plus  grande  que  la  somme  des  deux 
lignes  CD  et  DA  ou  que  la  toute  CA,  néanmoins  la  ligne  CB,  jointe  à 
la  moitié  ou  au  double  de  BA,  peut  être  plus  courte  que  la  ligne  CD 
jointe  à  la  moitié  ou  au  double  de  DA. 

Je  vous  avoue  que  ce  problème  n'est  pas  des  plus  aisés;  mais, 
puisque  la  nature  le  fait  en  toutes  les  réfractions  pour  ne  se  départir 
pas  de  sa  façon  d'agir  ordinaire,  pourquoi  ne  pourrons-nous  pas  l'en- 
treprendre? 


LXXXVII.  —  o   DECEMBRE   1G57.  3o9 

Je  vous  garantis  par  avance  que  j'en  ferai  la  solution  quand  il  vous 
plaira  et  que  j'en  tirerai  même  des  conséquences  qui  établiront  soli- 
dement la  vérité  de  notre  opinion.  J'en  déduirai  d'abord  :  que  le 
rayon  perpendiculaire  ne  se  rompt  point;  (jue  la  lumière  se  rompt 
dès  la  première  surface  sans  plus  clianger  le  biais  qu'elle  a  pris;  ([ne 
le  rayon  rompu  s'approche  quelquefois  de  la  perpendiculaire,  et  qu'il 
s'en  éloigne  quelque  autre  fois,  à  mesure  qu'il  passe  d'un  milieu  rare 
dans  un  plus  dense  ou  au  contraire;  et  en  un  mot,  que  cette  opinion 
s'accorde  exactement  avec  toutes  les  apparences.  De  sorte  que,  si  elle 
n'est  pas  vraie,  on  peut  dire  ce  que  disoit  Galilée  en  un  sujet  dilt'é- 
rent,  que  la  nature  semble  nous  l'avoir  ins\)\i'év  per  pig/iarsi  gioro  (/i 
iioslri  ghiribizzi  (  '  )  •  ' 

Mais  j'ai  tort  de  ne  songer  pas  ({ue  le  sujet  de  cette  lettre  ne  tlevoil 
être  qu'un  remerciment.  Je  vous  conjure.  Monsieur,  d'excuser  sa  lon- 
gueur, quand  ce  ne  seroit  que  par  l'intérêt  que  vous  y  avez,  et  de  la 
recevoir  en  tout  cas  comme  un  témoignage  de  l'estime  que  j'ai  pour 
votre  savoir  et  du  respect  avec  lequel  je  suis.  Monsieur, 

Votre  tri's  humble  et  très  affectionné  serviteur, 

Fekmat. 


LXXXVII. 
DIGBY  A  FERMAT. 

MERCREDI     D     DftCEMBRE     1657. 

(l'a.,  p.  ly'i-197.) 

MoNsu:nn, 

Je  me  donnai  l'honneur  de  vous  écrire  le  iç)  du  mois  passé.  Depuis 
ce  temps-là,  j'ai  été  en  Normandie  et  à  mon  retour  j'ai  trouvé  la  Lettre 

(')  Nous  n'avons  pu  retrouver  le  texte  auquel  ost  empruntée  cotte  citation. 


MW  IKI  VUKS    l)i:   rKHMVT.    -  CO  RR  ES  POND  ANC  K . 

(]ii(>  vous  m'avoz  l'ail  l'Iionnour  de  iirrcrirc  du  17  du  nu'-uie  mois  ('). 
dont  jo  vous  ronds  Irrs-liunihlos  gi'àc(>s  ol  in'ostiiiH?  tros-lieuroux  de 
vous  servir  daus  le  coiuniciTO  (|ui  os(  culro  vous  et  Monsieur  de  Frc- 
nicle.  à  (]ui  je  nionlrai  aussi  voire  l^ellre  el,  eouinie  vous  y  parlez  de 
noire  ('.haini'lirr  l?acon,  eela  nie  til  souvenir  d'un  aulre  beau  mol 
(|u"il  dil  en  ma  présence  une  l'ois  à  feu  Monsieur  le  Duc  de  Buc- 
kiui^lram. 

(4'étoil  au  commencement  de  ses  malheurs,  quand  l'assemblée  des 
Ktats,  que  nous  appelons  le  Parlemenl.  entreprit  de  le  ruiner,  ce 
(|u'elle  lit  ensuite  :  ce  jour  là.  il  en  eut  la  première  alarme.  J'étois  avec 
le  Duc,  ayant  diné  avec  lui;  le  Chancelier  survint  et  l'entretint  de 
l'accusation  qu'un  de  ceux  de  la  Chambre  Basse  avoit  présentée  contre 
lui,  et  il  supplia  le  Duc  d'employer  son  crédit  auprès  du  Roi  pour  le 
mainlenir  loujoui's  dans  son  esprit.  Le  Duc  lui  répondit  qu'il  étoil  si 
bien  avec  le  Roi  leur  maître,  qu'il  n'éfoit  jias  besoin  de  lui  rendre  de 
bons  olïicos  auprès  de  Sa  Majesté  :  ce  qu'il  disoit,  non  pas  pour  le 
refuser,  car  il  l'aimoit  beaucoup,  mais  pour  lui  faire  plus  d'honneur. 
Le  Chancelier  lui  répondit  de  très-bonne  grâce  qu'en  effet  il  croyoit 
être  parfaitement  bien  dans  l'esprit  de  son  Maître,  mais  aussi  qu'il 
avoit  toujours  remarqué  que,  pour  si  grand  que  soit  un  feu  et  pour  si 
fortement  qu'il  brùlc  de  lui-même,  il  ne  laissera  pourtant  pas  de  brûler 
mieux  et  d'être  plus  beau  et  plus  clair,  si  on  le  souITle  comme  il  faut. 

De  même  j'ai  dit  à  Monsieur  Frenicle  que,  pour  si  grand  feu  d'esprit 
(|u"il  ait  et  quelque  merve'illeux  que  soit  son  génie  pour  la  science  des 
nombres,  son  feu  seroit  plus  l)rillant,  s'il  le  vouloit  exciter  ou  aug- 
Mieiilerpar  l'élude,  par  la  lecture  des  anciens  et  [lar  la  conversation. 

Il  vous  honore  infiniment  et  dit  que  jamais  homme  n'a  approché  de 
votre  fond  de  science;  il  m'a  apporté  ce  matin  un  écrit  pour  vous  l'en- 
voyer. Je  l'ai  fait  copier  par  mon  secrétaire,  car  vous  ne  l'auriez  pu 
lire;  il  écrit  d'ordinaire  sur  des  lambeaux  de  papier  et  si  vite  qu'il  n'y 
a  que  lui  même  qui  puisse  lire  son  écriture. 

(  '  )  Cette  lettre  est  perdue. 


LXXXVIII.  —    1-2   DÉCEMBRE    1637.  361 

Vous  aurez  vu,  par  ma  dernière  lettre,  que  j'ai  reçu  celle  (')  que 
vous  me  fîtes  rhonneur  de  m'écrire  lorsque  vous  étiez  à  la  campagne. 
Au  lieu  de  vous  laisser  passer  le  titre  de  paresseux  que- vous  vous 
donnez  injustement,  j'admire  infiniment  la  facilité  et  la  présence  avec 
laquelle,  au  milieu  de  vos  grandes  occupations,  vous  eîdprimez  sur  le 
champ  vos  profondes  et  subtiles  pensées.  Je  vous  supplie  de  croire 
que  j'honore  vos  rares  talens  et  que  je  voudrois  que  mes  actions  tous 
pussent  témoigner  mieux  que  mes  paroles  h  quel  point  je  suis  etc. 


LXXXVIII. 
DIGBY  A  FERMAT. 

MERCREDI    12   DÉCEMBRE    163". 

(fa,  p.    197.) 

Monsieur, 

Depuis  (jue  je  me  suis  donné  l'honneur  de  vous  écrire  une  leKrc 
du  ')  de  ce  mois  (-),  je  reçus  celle  que  vous  m'avez  l'ait  la  faveur  de 
m'écrire  du  25  du  passé  ('),  dont  je  vous  rends  trcs-humhles  grâces. 
lîile  me  fut  rendue  comme  j'étois  à  table  avec  Monsieur  Frenicle  à  qui 
je  la  montrai  et,  y  ayant  papier  et  encre  sur  le  btilfet,  je  le  priai  de 
vous  écrire  quelque  petit  mot  sur  ce  que  vous  y  disiez  sur  son  sujet;  je 
vous  envoie  son  écrit. 

Il  me  faît  souvenir  fort  souvent  d'un  aumônier,  qu'avoit  le  feu  roi 
d'Angleterre,  qui  étoitun  des  plus  éloquens  prédicateurs  de  son  temps 
et  très-subtil  théologien;  mais,  depuis  que  la  guerre  fut  commencée, 
il  n'y  avoit  plus  moyen  de  le  faire  prêcher  ou  parler  de  sa  science  :  il 
n'avoit  d'autres  idées  en  son  imagination  que  de  machines  de  guerre 

(')  Ces  lettres  de  Digby  et  de  Fermât  sont  perdues. 
(2)  La  lettre  qui  précède. 
(')  Lettre  perdue. 

Ferjiat.  —  H.  46 


M-I  ŒUVUKS    l)K    FEUMAT.  -  COKHESPONDANCK. 

et  dos  siralagt'mrs  pour  prciidri'  des  villes,  en  ([iioi  il  ircnd'iidoit  rien 
dii  tout. 

Ainsi  .Monsiciii'  Krciiiclc  ne  inc  veut  cnlrclcnir  d'autre  eliose  (|iie  de 
la  llieologie  mystique  et  de  ses  pensées  sur  le  franc-arbitre  on  sur  la 
prédestination',  quittant  le  rani^-  (|ii'il  pourroit  posséiler  d'un  des  pins 
LCrands  niatliéinatieiens  du  sii'ele  ])onr  un  des  moindres  théologiens. 
t"-ar  c'est  itieu  lai'd  de  eommeneer  la  |)hysique  et  la  llieologie  après 
l'âge  de  ein(Hianle  ans  :  je  dis  la  physique,  parce  qu'il  (>st  nialaisé 
d'être  un  grand  théologien  si  on  n'est  un  solide  physicien  et  si  on  n'a 
une  véritable  eonnoissance  de  la  nalure,  dont  le  sommet  sert  de  hase  ii 
la  gràee. 

.Mais  je  dois  bien  prendre  garde  de  m'engager  en  ce  que  j'entends 
aussi  |)eii  et  encore  moins  que  lui;  je  reviens  à  ce  (jue  je  sais  de  science 
certaine,  dont  je  vous  ferai  démonstration  évidente  toutes  les  fois  que 
l'occasion  s'en  présentera,  et  c'est  <|ue  je  suis  etc. 


LXXXIX.  -   13   FÉVRIEU   lCo8.  363 


ANNEE    1658. 


LXXXIX. 

DIGBY  A  FERMAT. 

MEIUMIKDI     13    Kf.VRlEIt     1038. 

(  /"«,  p.   irj7-igS.) 

ilOXSlEUR, 

.)('  suis  sur  le  poiul  d'cud'or  on  carrossi-  poui-  aller  à  Rouen,  doiU  je 
ne  crois  pas  revenir  de  quinze  jours  ou  (rois  semaines.  C'est  pourquoi, 
(li's  que  j'eus  reçu  votre  paquet  du  27  du  passé  (  '  ).  j'allai  chez  M.  Cder- 
selier  et,  n'ayant  pas  moyen  de  lui  faire  faire  des  copies  de  vos  écrits 
avant  mon  départ,  je  crus  que  vous  trouveriez  bon  que  je  les  lui  con- 
fiasse sur  la  parole  qu'il  me  donna,  de  vous  les  rendre  (idèlement  dès 
qu'il  auroittiré  copie  de  ce  qu'il  lui  faut.  C'est  un  foit  honnête  homme 
et  fort  votre  serviteur;  il  m'a  dit  qu'il  se  donneroil  l'honneur  de  vous 
écrire  par  cet  ordinaire. 

Au  reste.  Monsieur,  quand  bien  je  denieurerois  ici,  je  ne  serois  pas 
assez  vain  pour  accepter  la  charge  que  vous  voudriez  m'imposer  :  elle 
est  trop  pesante  pour  ma  foiblesse.  Je  sais  trop  bien  (-) 

quid  ferro  reeuscnl, 

QuiJ  viik'aiil  hiuiieri 

pour  pouvoir  être  arldlre  entre  deux  grands  personnages;  il  faut  aller 

(  '  )  Lellre  perdue,  à  laquelle  élaient  jointes  des  copies  demandées  par  Clerselier  pour  l;i 
pnl)liealion  des  Lettres  de  Descaries.  P^oir  Lettre  XC  ci-après. 
I  -)  Horace,  Jn  pof^iiijiie,  39-40. 


mv  ŒrVHKS  DE   1-EUMAT.  -  CJ^RRESPOND ANGE. 

(lu  pair  avoc  oiix.  (a'assus  s'acquitta  bien  mal  de  cette  tbiictioii  entre 
César  et  Pompée,  n'ayant  pas  les  reins  aussi  forts  qu'eux. 

Il  est  vrai  (lue  ceux  qui  sont  clans  les  vallées  peuvent  discerner  la 
hauteur  des  plus  grandes  montagnes  pour  en  avoir  de  l'admiration; 
mais,  pour  liieii  juger  de  ce  (|u'il  y  a  au  sommet  de  (juelqu'une  d'elles, 
il  faut  être  monté  aussi  haut  sur  une  autre.  Vous  me  permettrez  donc 
de  vous  dire  avec  le  grossier  PaUvmon  (')  : 

Kou  noslnim  iiUcr  vos  tantas  componcro  liles. 

Et,  pour  ce  qui  est  de  la  chaleur  avec  laquelle  vous,  Monsieur,  et 
>!.  Descartes  avez  soutenu  vos  sentimens,  je  ne  serois  pas  d'avis  d'en 
rien  oter  ou  changer,  pourvu  ({u'il  n'y  ait  rien  qui  soit  offensant,  ce 
qu'on  ne  peut  présumer  de  deux  aussi  grands  hommes  et  à  quoi 
.M.  Clerselier  prendra  garde.  Car,  de  vouloir  étouffer  ce  petit  feu  bril- 
lant et  étincelant,  ce  seroit  ôter  beaucoup  de  la  grâce  et  de  la  force  à 
une  contestation  d'esprit  et  de  science,  et  c'est  une  des  raisons  pour- 
(|uoi  les  disputes  aux  Universités  des  Suisses  sont  si  peu  agréables, 
leur  manière  d'argumenter  étant  bien  éloignée  de  la  vivacité  des  ba- 
cheliers de  la  Sorbonne  qui  pressent  avec  véhémence  et  avec  chaleur  : 
car  cette  chaleur  provient  d'un  feu  (|ui  ne  brûle  pas,  mais  qui  semble 
donner  la  lumière  et  la  vie  comme  celle  du  Soleil. 

Je  ne  saurois  m'empêcher  de  vous  envoyer  quelques  vers  que  le 
plus  grand  génie  de  notre  ile  pour  les  Muses  (-)  écrivit  au  Chancelier 
Bacon,  qui  étoit  son  grand  ami  et  que  vous  témoignez  être  fort  le  vôtre 
en  le  citant  souvent.  Je  vous  dirai  comment  je  les  ai  rappelés  en  ma  mé- 
moire :  l'autre  jour,  m'entretenant  avec  une  personne  de  grand  mérite 
de  vos  rares  qualités,  je  lui  récitai  ces  vers  y  mettant  votre  nom  au 
lieu  de  celui  de  Baco.  Il  en  voulut  avoir  une  copie  :  je  la  lui  fis  tran- 
scrire |)ar  mon  secrétaire  sur  le  brouillard  que  j'en  fis  à  la  hàlc;  il 


(')  Virgile,  Eclog.,  IIF,  io8. 

(')  Nous  n'avons  pu  retrouver  ces  vers  ni  dans  Sliaifcspcare,  ni  dans  aucun  des  grands 
poètes  contemporains.  Au  reste,  il  s'agit  probablement  d'une  jiièco  latine. 


XC.  -  3  MARS  1658.  365 

vous  en  auroit  fait  aussi  une  copie  s'il  eût  été  chez  moi,  mais  je  viens 
de  l'envoyer  chez  M.  l'Ambassadeur  d'Angleterre  ('). 
Je  suis  etc. 


XC. 

FERMAT  A  CLERSELIER  (-). 

DIMANCHE    3    MARS    1658. 
(Bil).    nat.   fr.    n.    a.    SaSo,    f°    35;    D.    III.    43.) 

Monsieur, 

J'ai  reçu  votre  lettre  (")  avec  les  deux  copies  des  écrits  de  M.  Ues- 
cartes  sur  le  sujet  de  notre  ancien  démêlé. 

Je  voudrois  bien.  Monsieur,  vous  satisfaire  ponctuellement  en  ce 
que  vous  semblez  souhaiter  que  je  refasse  mes  réponses  d'alors  qui 
se  sont  égarées  ('');  mais,  comme  je  hais  naturellement  tout  ce  qui 
choque  tant  soit  peu  la  vérité,  et  qu'il  me  seroit  aussi  malaisé  de 
rajuster  co  vieux  ouvrage  qu'à  un  peintre  de  refaire   mon  portrait 


(')  Nous  Irouvons  au  vol.  09  (le  la  Corrcspondaiioe  Angleterre  conservée  aux  Archives 
du  Ministère  des  affaires  étrangères  la  preuve  (|uo  l'ambassadeur  d'alors  s'appelait 
Lokard. 

(-)  Le  texte  de  celte  lettre  est  établi  principalement  d'après  une  copie  du  temps  colla- 
tioiuico  à  Vienne  par  Dcspeyrous  cl  qui  présente  plusieurs  passages  inédits  publiés  par 
Libri  {Journal  des  Snwintx,  iSjâ,  pp.  6SG-G87  ).  —  Quoique  daléc  du  3  mars,  elle  ne  fut 
envoyée,  d'après  le  post-scriplum,  que  le  lo,  avec  la  lettre  suivante. 

(3)  Lettre  annoncée  dans  la  précédente  de  Digby,  et  qui  est  perdue.  Les  écrits  de 
Descaries  sur  la  Dioplrique  qui  l'accompagnaient  étaient  :  la  lettre  à  Mersenne  {ci-awni 
XXIII)  et  la  lettre  à  Alydorge  {Desc,  III,  4'^).  Foir  plus  haut,  page  rij,  note  1. 

(*)  Ce  langage  parait  l'cfTel  d'un  malentendu;  Clerselier  possédait  bien  les  deux  lettres 
de  Format  à  Mersenne  sur  la  Dioplrique  (ci-avant  XXII  et  XXIV),  nuus  il  aura  cru  à  des 
répliques  postérieures  de  Fermât;  celui-ci  aura  compris  que  les  lettres  perdues  dont  on 
hii  parlait  étaient  celles  auxquelles  Descartes  avait  répondu  et  que  nous  venons  de  men- 
tionner. 11  n'avait  certainement  pas  rouvert  la  discussion;  toutefois  il  nous  manque  des 
lettres  de  lui  à  Mersenne  en  iC38,  où  il  avait  touché  incidemment  la  question  de  la  Diop- 
lrique, comme  dans  les  Pièces  XXV  bi.\-.  1  et  XXVI. 


:U>6  (ET  VUES  DE  FEU  M  AT.  —  COUU  K  SI'OM)  AXCE. 

d'alors  sur  mon  visage  d'à  prés(Mil.  j'ai  cru  qu'il  valoit  mieux  vous 
écrire  lou(  de  nouveau  une  lellre  (|ui  contiendra  mes  raisons  d'op- 
l^osition  et  vieilles  et  nouvelles,  et  c'est  à  quoi  je  travaillerai  pour  la 
liuilaine  ('  ). 

J'entre  dans  vos  senlinienls  pour  ce  qui  concciiie  l'impression;  il  y 
faudra  changer  les  termes  les  plus  choquants  et  les  plus  aigres,  mais 
n'y  l'aire  jjoint  autrenu-nl  de  grand  changement,  et  de  cela  je  m'en 
remets  à  vous.  jMonsieur  de  Garcavi  vous  fournira  sans  doute  mou 
traité  de  maximis  et  minimis ;  il  l'a  de  toutes  façons,  c'est-à-dire  avec 
démonstration  et  sans  démonstration,  et,  puisqu'il  est  question  d'in- 
struire ou  de  désahuser  le  public,  il  sera  bon  de  l'insérer  dans  votre 
recueil  avec  une  lettre  de  M.  Milon  ou  de  quelque  autre  de  vos  fameux 
géomètres  qui  éclaircisse  la  chose  et  qui  prépare  les  lecteurs  à  en- 
tendre la  dernière  lettre  de  M.  Descartes  (-),  par  laquelle  il  m'écrivit 
(coninie  vous  verrez)  qu'il  étoit  satisfait  de  ma  géométrie. 

Pour  la  question  de  Dioptrique,  je  vous  proteste,  sans  nulle  fcintise, 
<|ue  je  souhaite  de  m'ètre  trompé;  mais  je  ne  saurois  obtenirsur  moi, 
en  façon  quelconque,  que  le  raisonnement  de  M.  Descartes  soit  une 
démonstration,  et  même  qu'il  en  approche.  .le  vous  envolerai  dans 
huit  jours  la  lettre  qui  éclaircira  mes  doutes  sur  cette  matière.  Et  je 
suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur,  Votre  très  humble  et  très  obéissant 

serviteur. 

Fermât. 
A  Toulouse,  ce  3  mars  i()J8. 


J'ai  rciciiii  celte  lellre,  (jui  éloit  prèle  à  vous  èlrc  envoyée  dès  la 
semaine  passée,  parce  que  j'ai  cru  (|uc  .M.  Digby,  par  la  voie  du(|uel 
j'ai  pris  la  liberté  de  vous  écrire,  ne  seroit  pas  encore  de  rclour  i' 
Paris.  Vous  recevrez  donc  les  deux  conjointement  et,  si  la  second 
est  un  peu  trop  longue,  assurez-vous,  .Monsieur,  (|ue  j'ai  mis  peine; 
raccourcir,  et  que  je  pouvois  dire  beaucoup  plus  que  je  n'ai  fail.  Ji 


(  '  )  Foir  la  LcUre  suivante  XC  Ins. 
(«)  foj>LeUre  XXXII. 


XC  bis.  -  tO  MARS   1G58.  307 

l'ajoiUerai  un  jour,  si  les  géomètres  de  Paris  soulienncnf  la  ilemoii- 
stration  de  M.  Descartes. 

Il  ne  sera  pas  malaisé  par  les  répliques  de  M.  Descartes  de  supposer 
ce  que  j'aurois  dit  au  contraire,  et  ma  dernière  <<  lettre  >>  le  con- 
tiendra à  peu  près. 

Vous  me  renvoierez  mes  écrits  (')  quand  vous  voudrez;  je  n'en  ai 
iioint  de  hâte. 


XC  bh. 
FERMAT  A  CLERSELIER. 

DIMANCHE    10    MARS    1038. 

(D.,  ni,  'il.) 

Monsieur, 

1-  Les  conclusions  qui  se  peuvent  tirer  de  la  proposition  qui  sert 
de  fondement  à  la  Dioptrique  de  M.  Descartes  sont  si  belles  et  doivent 
naturellement  produire  de  si  beaux  effets  dans  tous  les  ouvrages  de 
l'art  qui  regardent  la  réfraction,  qu'il  seroit  ii  souhaiter,  non  seule- 
ment pour  la  gloire  de  notre  défunt  ami,  mais  bien  plus  pour  l'aug- 
mentation et  embellissement  des  sciences,  que  cette  proposition  fût 
véritable  et  qu'elle  eût  été  légitimement  démontrée,  et  d'autant  plus 
qu'elle  est  de  celles  dont  on  peut  dire  que  inuha  surit  falsa  probabi- 
liora  verts.  Je  veux  même  passer  plus  outre  et  la  comparer  à  ce  fameux 
mensonge  dont  il  est  parlé  dans  le  Tasse,  et  que  ce  poète  assure  être 

plus  beau  que  la  vérité  : 

Quand 0  sarà  il  vero 
Si  bello,  elle  si  possa  a  ti  preporre?  (-) 

Je  commence  par  là,  Monsieur,  afin  de  vous  faire  connoitre  que  je 

(')  Il  s'agit  probablement  d'écrits  malhémaliqiies  conservés  d'ailleurs;  mais  nous  ne 
pouvons  préciser  lesquels. 

(2)  Jcrusnlcin  délivrée.  Il,  il  : 

Maçnaiiiiiia  nicnzogna.  or  qourulo  è  il  vero  de. 


;»)S  ŒIVRKS  ni:  riMUlAT.  -  couukspondanck. 

serois  ravi  quo  lo  ilillV'n'iul  que  j'ai  ou  aulrolois  sur  ce  sujet  avoc, 
M.  Dosearlos  se  terminât  à  son  avantage.  J'y  (rouverois  mon  eom|)(p  en 
toutes  t'a(;ons  :  la  gloire  d'un  ami  (jne  j'ai  inliniment  estimé  et  qui  a 
passé  avoc  raison  pour  un  des  grands  hommes  de  sou  temps;  rétablis- 
sement d'une  vérité  physique  dos  plus  importantes;  et  l'exécution 
aisée  des  eiVels  merveilleux  (|ui  s'en  pourroiont  infailliblement  dé- 
iluiro.  Tout  cela  me  vaudroil  ineomparablemout  mieux  (|u'un  gain  de 
cause,  (|uand  mémo  je  devrois  compter  pour  rien  le 

Mcfum  cerlasse  ferelur  ('), 

dont  les  amis  d(î  31.  Descartes  peuvent  toujours  raisonnablement  con- 
soler SOS  adversaires.  Je  me  mots  donc,  Monsieur,  en  la  posture  d'un 
homme  qui  veut  être  vaincu;  je  le  déclare  hautement  : 

.Innijam  efRcaci  do  manus  scienliEC  (-). 

Mais,  parce  que  les  démonstrations  sont  des  raisons  forcées  et,  qu'à 
moins  d'être  convaincu  par  elles,  on  n'en  sauroit  être  persuadé, 
voyons.  Monsieur,  si  le  consentement  des  lecteurs  peut  échapper  ;i 
noti'e  auteur,  et  si  nous  pourrons  nous  défaire  aisément  des  objections 
qui  semblent  lui  poi^voir  être  op])Osées.  Il  faut  pour  cela  suivre  sa  dé- 
monstration mot  pour  mot,  et  il  suffira  d'enfermer  par  des  parenthèses 
ee  qui  ne  sera  point  à  lui  et  que  j'ajouterai  du  mien. 

2.  Voici  donc  comme  il  parle  sur  la  fin  de  la  page  iG  de  sa  Diop- 
(rique  f'raneoise  ('')  : 

'(  Et  premièrement,  supposons  qu'une  balle,  poussée  d'A  vers  B 
»  (Jig.  56),  rencontre  au  point  B,  non  plus  la  superficie  de  la  terre, 
»  mais  une  toile  (^BE  qui  soit  si  foible  et  si  déliée  que  cotte  balle  ait  la 

(')  Ovido,  Metain.,  XIH,  -xo. 

(=)  Horace,  Epode.t,  XVII,  i. 

(')  Discours  de  la  inélhodo  poiii-  bien  conduire  sa  raison  cl  ciicrclier  la  vérité  dans  les 
Sciences  :  plus  la  DioiJlriquc,  les  Méléores  et  la  Géométrie,  qui  sont  des  essais  do  cette 
Méthode.  A  Leyde,  de  l'imprimerie  de  lan  Maire,  CIO  10  C  XXXVII  :  avec  privilège,  p.  iG 
(  "?'  pagination  de  l'Ouvrage). 


XC    bis. 


10  MARS   1658. 


369 


)i  force  de  la  rompre  et  de  passer  tout  au  travers,  en  perdant  seule- 
»  ment  une  partie  de  sa  vitesse,  à  savoir,  par  exemple,  la  moitié.  Or 
»  cela  posé,  afin  de  savoir  quel  chemin  elle  doit  suivre,  considérons 
n  de  rechef  que  son  mouvement  diffère  entièrement  de  sa  détermina- 
>>  tion  à  se  mouvoir  plutôt  vers  un  côté  que  vers  un  autre,  d'où  il  suit 
»  que  leur  quantité  doit  être  examinée  séparément;  et  considérons 


Fie.  56. 


»  aussi  que,  des  deux  parties  dont  on  peut  imaginer  que  cette  déter- 

»  mination  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre  la  balle 

»  de  haut  en  bas  qui  puisse  être  changée  en  quelque  façon  par  la  ron- 

»  contre  de  la  toile,  et  que,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre  vers  la 

»  main  droite,  elle  doit  toujours  demeurer  la  même  qu'elle  a  été,  à 

)i  cause  que  cette  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens  là.  " 

3.  (^Mais  ce  raisonnement  n'esl-il  pas  un  peu  opposé  au  sens  com- 
mun? L'extension  qu'il  en  fait  de  la  réflexion  à  la  réfraction  n'est-elle 
pas  aussi  un  peu  forcée?  En  la  page  i'5,  il  suppose  que  la  balle  va  tou- 
jours d'égale  vitesse, lanl  en  descendant  qu'en  remontant,  (|u'elle  con- 
tinue son  mouvement  dans  un  même  milieu  (');  il  en  déduit,  en  la 
page  ij,  que  la  rencontre  de  la  terre  (-)  peut  bien  empêcher  la  déter- 
mination qui  faisait  descendre  la  balle  d'A  vers  CE,  à  cause  qu'elle 


(  '  )  n  Mais  afin  do  ne  nons  embarrasser  point  en  des  nouvelles  difficullés,  supposons 
que  la  terre  est  parfaitement  platte  et  dure,  et  que  la  balle  va  tousjours  d'esgale  vitesse, 
tant  en  descendant  qu'en  remontant...  » 

(^)  «  Et  en  suite  il  est  aysé  à  entendre  que  la  rencontre  de  la  terre  ne  peut  emposclior 
que  l'une  de  ces  deux  déterminations  et  non  point  l'autre  en  aucune  façon.  » 

Fermât.  —  II.  47 


MO 


ŒUVRES   l)i:   TERMAT.  -  CORllESPONDANCE. 


occupe  loul  l'espace  qui  est  au  dessous  de  CE,  mais  qu'elle  ne  [)eul 
point  empêcher  l'autre  qui  la  taisoit  avancer  vers  la  main  droite,  vu 
([u'cllc  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là;  d'où  il  infère 


l'égalité  des  angles  de  réflexion  et  d'incidence. 


Fis.  53. 


A 

/               H               \ 

F 

^ 

\ 

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X 

C                 D 

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/ 

\ 

\               G 

X,^ 

y 

y 

u 

K 

.Mais  quand  bien  ce  raisonnement  seroit  véritable  en  la  réflexion, 
quelque  sceptique  scrupuleux  ne  manquera  point  d'alléguer  qu'il  y  a 
trois  circonstances  en  la  réfraction  qui  doivent  changer  la  consé- 
quence, ou  du  moins  servir  d'empêchement  à  la  recevoir  sans  nou- 
velle preuve  : 

Premièrement,  en  la  ligure  delà  page  17  ou  en  celle  de  la  page  18  ('), 
la  balle  ne  continue  pas  son  mouvement  d'une  égale  vitesse,  puisque, 
par  la  supposition,  elle  perd,  par  exemple,  la  moitié  de  sa  vitesse  dès 
le  point  B. 

Secondement,  elle  ne  passe  pas  toujours  par  un  même  milieu, 
comme  il  paroît  en  la  figure  de  la  page  18. 

Et  enfin  la  détermination  qui  la  faisoit  aller  de  haut  en  bas  n'est  pas 
tout  à  fait  empêchée  par  la  rencontre  de  la  toile  ou  de  l'eau,  mais 
changée  seulement  ou  diminuée. 

Or,  que  la  conséquence  soit  la  même  nonobstant  la  diversité  de 
ces  trois  circonstances,  il  sera  malaisé  qu'un  médiocre  logicien  le 
puisse  accorder.  Il  alléguera  pour  excuse  de  sa  logique  scrupuleuse, 
qu'il  n'a  pas  cru  se  faire  grande  violence,  lorsqu'en  la  figure  de  la 
page  1  5  (//§■•    >3)  il  a  donné  les  mains  que  la  détermination   de  la 


O  A  CCS  figures  correspond  celle  que  nous  avons  repi'oduilo  plus  liaul  sous  le  ii"  ."ili. 
d'après  l'édition  des  Lettres  de  Descartes,  de  Clerselier. 


XC   bis.  —   10  MARS    1658.  371 

gauche  à  la  droite  restoit  la  même,  puisque  la  balle  allant  toujours 
de  même  vitesse  pouvoit  conserver  l'une  de  ses  visées  ou  détermina- 
tions lorsque  l'autre  seule  étoit  empêchée;  que  d'ailleurs  le  mouve- 
ment se  faisoit  dans  un  même  milieu;  et  qu'enlin,  la  détermination 
dé  haut  en  bas  étant  entièrement  empêchée,  il  n'y  avoit  pas  grand  mal 
de  consentir  que  celle  de  la  gauche  à  la  droite  restât  tout  entière  : 
comme,  quand  on  perd  un  œil,  on  dit  que  la  vertu  visive  se  conserve 
entière  en  celui  qui  reste. 

Mais,  en  la  réfraction,  tout  y  est  diliférent.  Veut-on  y  obtenir  le  con- 
sentement de  notre  sceptique  sans  preuve?  La  détermination  de  la 
gauche  à  la  droite  demcurera-t-elle  la  même,  lorsque  toutes  les  rai- 
sons qui  le  lui  avoient  persuadé  en  la  réflexion  se  sont  évanouies? 
Mais  ce  n'est  pas  tout  :  il  a  sujet  d'appréhender  l'équivoque  et,  lors- 
qu'il aura  accordé  que  cette  détermination  de  gauche  à  droite  demeure 
la  même,  il  a  occasion  de  soupçonner  que  l'auteur  le  chicanera  sur 
l'explication  de  ce  terme.  Car,  quoiqu'il  ait  protesté  que  la  détermina- 
tion est  diff'érente  de  la  puissance  qui  meut,  et  que  leur  quantité  doit 
être  examinée  séparément,  si  notre  sceptique  lui  accorde  en  cet  en- 
droit que  cette  détermination  de  gauche  à  droite  demeure  la  même  en 
la  réfraction,  c'est-à-dire  qu'elle  conserve  la  même  visée  ou  direction, 
il  y  a  apparence  que  l'auteur  voudra  l'obliger  ensuite  ii  lui  accorder 
que  la  balle,  dont  la  détermination  vers  la  droite  n'est  point  changée, 
s'avance  autant  et  aussi  vite  vers  la  droite  qu'elle  faisoit  auparavant, 
quoique  sa  vitesse  et  le  milieu  par  oîi  elle  passe  soient  changés. 

Mais  parce  qu'il  ne  paroît  pas  sitôt  qu'on  veuille  lui  faire  une  si 
grande  violence,  il  ne  croit  pas  être  encore  temps  de  se  départir  du 
respect  qu'il  doit  au  nom  de  M.  Descartes,  et  il  veut  bien  lui  avouer, 
sur  sa  seule  parole,  que  cette  détermination  vers  la  droite  demeurera 
la  même,  pourvu  qu'il  ne  se  parle  point  du  temps  que  la  balle  doit 
employer  à  s'avancer  de  ce  côté  là  :  parce  que  M.  Descartes  même  a 
avoué  que  la  force  qui  meut  et  la  détermination  sont  deux  quantités 
qui  n'ont  rien  de  commun,  et  qu'elles  doivent  être  séparément  exa- 
minées). 


■^-■l  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

4.  «  Puis,  avant  ilécrK  du  contre  B  le  cercle  AFD  cl  tiré  h  ansrles 
tlroils  sur  CBE  les  trois  lignes  droites  AC,  HB,  FE,  en  telle  sorte  qu'il 
y  ait  deux  Ibis  autant  de  distanc(>  entre  FE  et  HB  qu'entre  ÎIB  et  AC, 
nous  verrons  que  celte  balle  doit  tendre  vers  le  point  I.  Car,  puis- 
qu'elle perd  la  moitié  de  sa  vitesse  en  traversant  la  toile  CBE,  elle 
doit  employer  deux  fois  autant  de  t(>nips  à  passer  au-dessous,  depuis 
B  jusques  à  quelque  point  de  la  circonférence  du  cercle  AFD,  qu'elle 

Fis,  56. 


a  fait  au-dessus,  à  venir  depuis  A  jusques  h  B.  Et,  puisqu'elle  ne  perd 
rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à  s'avancer  vers  le  côté 
droit,  en  deux  fois  autant  de  temps  qu'elle  en  a  mis  à  passer  depuis 
la  ligne  AC  jusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux  fois  autant  de  chemin 
vers  ce  même  côté  (').  » 

5.  (C'est  ici  le  guet-apens,  et  la  trop  grande  crédulité  de  celui  qui 
avoit  franchi  tous  ses  scrupules  sur  le  premier  article,  reçoit  en  cet 
endroit  une  nouvelle  attaque.  L'auteur  a  sujet  d'espérer  que,  puisque 
notre  sceptique  lui  a  déjà  accordé  que  la  détermination  vers  la  droite 
restoit  la  môme,  il  ne  doit  pas  le  dédire  non  plus,  que  cette  détermi- 
nation ou  cette  visée  et  direction  vers  le  côté  droit  ne  soit  également 
vile  et  n'avance  toujours  autant  qu'elle  faisoit  auparavant. 

Mais  le  sceptique  commence  à  n'entendre  plus  raillerie  et,  s'il  a  con- 
senti de  bonne  foi  que  la  détermination  vers  la  droite  ne  changeoit 

('  )  Discours  de  la  méthode,  etc.  A  Leydo,  CDI3CXXXV1II,  p.  i8  (2°  pagination). 


XC  bis.  -    10  MARS    1638.  373 

pas,  il  proleste  qu'il  n'est  point  engagé  à  consentir  qu'en  changeant  de 
milieu  elle  fasse  toujours  un  égal  progrès,  puisque  l'auteur  a  si  sou- 
vent et  si  solennellement  assuré  que  la  détermination  et  la  force  mou- 
vante sont  tout  à  fait  différentes  et  distinctes;  et  pour  se  confirmer  en 
son  doute,  il  ajoute  que  si,  dans  la  figure  de  la  page  17,  la  balle  étoit 
poussée  depuis  H  jusques  à  B,  et  qu'elle  continuât  son  mouvement  vers 
BG,  le  raisonnement  de  celui  qui  diroit  : 

«  La  détermination  de  la  balle  sur  la  route  HBG  n'est  point  changée 
au  point  B,  car  elle  est  la  même,  et  le  mouvement  perpendiculaire  se 
continue  dans  la  même  ligne  HBG;  donc  cette  balle  avance  autant  et 
aussi  vite  au  dessous  de  B  qu'elle  faisoit  auparavant.   » 

ce  raisonnement,  dis-je,  seroit  ridicule,  parce  que  la  détermination  ou 
direction  du  mouvement  diffère  de  sa  vitesse. 

Pourquoi  donc  notre  sceptique  sera-t-il  obligé  d'accorder  gratuite- 
ment et  sans  preuve  que  le  mouvement  qui  se  fait  vers  la  droite  dans 
la  figure  de  la  page  18  avance  également  vers  le  dit  côté  droit,  après 
qu'il  a  changé  de  milieu?  Ce  n'est  pas  que  cette  proposition  ne  puisse 
être  vraie,  mais  elle  ne  l'est  qu'au  cas  que  la  conclusion  que  M.  Des- 
cartes en  tire  soit  véritable,  c'est-à-dire  que  la  raison  ou  proportion 
pour  mesurer  les  réfractions  ait  été  par  lui  légitimement  et  véritable- 
ment assignée.  11  ne  l'a  donc  pas  prouvée  par  une  proposition  si  dou- 
teuse et  si  peu  admissible. 

En  un  mot,  quand  toutes  les  oppositions  qu'on  peut  faire  à  son  rai- 
sonnement seroient  fautives,  peut-il  faire  passer  pour  véritable  ce  qui 
n'est  ni  axiome,  ni  déduit  par  une  conséquence  légitime  d'aucune  pre- 
mière vérité?  Les  démonstrations  qui  ne  forcent  pas  de  croire  ne  peu- 
vent point  porter  ce  nom.) 

Et  croiriez-vous.  Monsieur,  que  si  la  proposition  de  M.  Descartes 
étoit  démonstrativement  prouvée,  son  évidence  et  sa  clarté  n'eussent 
pas  percé  les  ténèbres  de  mon  entendement,  pendant  vingt  années  qui 
se  sont  écoulées  depuis  notre  ancien  démêlé,  puisque  je  vous  ai  pro- 
testé, dès  le  commencement  de  ma  lettre,  que  je  travaille  sincèrement 


37i  ŒUVRES   DE  FKUM AT.  —  CORRESPONDANCE. 

à  me  lircM-  d'orrour,  ot  que  je  ne  cliercho  {|a'iui  homit'lc  prôloxlc  à  me 
ronilro?  Je  sorois  même  ravi  d'établir  riioiinour  de  M.  Descaries  aux 
dépens  du  mien,  et  je  voudrois,  s'il  ni'éloit  possible,  en  reconiioissaiil 
la  vérité  de  sa  preuve,  ajouter  avant  que  de  finir  : 

Se  clara  videiHlaiu 
Obliilil  el  piirrt  pcr  iinctem  in  lucc  l'cl'iilsiL  (  '  ). 

Il  en  sera  pourtant  ee  (|ue  M.  le  cbevalier  Digby  et  vous,  3Ionsieur, 
trouverez  bon.  Je  vous  soumets  à  tous  deux  ma  logique  et  ma  mathé- 
matique, et  je  consens  à  ce  que  vous  en  fassiez  un  sacrifice  à  la  mé- 
moire de  cet  illustre,  qui  n'est  plus  en  état  de  se  détendre;  mais,  jus- 
ques  à  ce  que  vous  ayez  prononcé,  je  prétends  que  la  véritable  raison 
ou  proportion  des  réfractions  est  encore  inconnue  et  que  Osàiv  h 
YO'Jvxj'.  y.v.-y.'.  (-),  en  compagnie  de  tant  d'autres  vérités  que  l'avenir 
découvrira  peut-être  mieux  que  n'a  pu  faire  le  passé. 

Excusez  ma  longueur  et  faites  moi  l'honneur  de  me  croire,  .Mon- 
sieur, Votre  très  humble  et  très  affeclionné  serviteur, 

F"i:r,M.vr. 


XCI. 
FERMAT  A  DIGBY. 

DlMANCIlli  7  AVIUL  1038. 

{Conun.  t'p.,  07.) 

Monsieur, 

1-  J'ai  reçu  les  nouvelles  solutions  de  la  proposition  (')  de  Mon- 
sieur Wallisius,  que  Monsieur  Freniclc  a  ajoutées  aux  premières.  Je 

(')  Virgile,  Éne'idc,  II,  58y-J90. 

(5)  Homère,  Iliade,  XVII,  5 14. 

(')  «  Trouver  doux  nombres  entiers  carres  tels  que  les  sommes  formées  par  cliacun 
d'eux  et  par  ses  parties  aliquotes  soient  égales.  » 

Otlc  question  avait  été  proposée  par  W'allis  dans  sa  Lettre  à  Digby  (hi  21  novembre  iliâ; 
i  Comm.  iG).  Los  solutions  de  Frcnicle  sont  dans  sa  Lettre  à  Digby  (Com/ii.  Si)  que 
Bronnckcr  reçut  le  j  avril  i658. 


XCl.  -  7  AVRIL  1G58.  375 

suis  ravi,  aussi  bien  que  vous,  de  l'abondance  et  fertilité  de  son  esprit 
et  de  la  grande  facilité  qu'il  s'est  acquise  en  ces  matières.  Je  m'étois 
contenté  de  donner  deux  solutions  en  nombres  premiers  entre  eux, 
et  avois  seulement  indiqué  qu'on  pouvoit,  par  ma  méthode,  étendre 
la  question  à  trois,  quatre,  cinq  et  plusieurs  nombres  de  même  nature. 
Mais,  puisque  Monsieur  Frenicle  m'a  si  avantageusement  préoccupé,  je 
n'ajoute  plus  rien  à  son  travail,  et  je  consens  que  ma  petite  et  maigre 
solution  demeure  en  vos  mains. 

2.  Après  avoir  reçu  la  lettre  de  Monsieur  Wallisius  ('),  je  suis  tou- 
jours surpris  de  quoi  il  méprise  constamment  tout  ce  qu'il  ne  sait  pas. 
Les  questions  en  nombres  entiers  ne  sont  point  de  son  goût.  Il  s'ima- 
gine que  je  ne  sais  point  les  centres  de  gravité  des  hyperboles  infi- 
nies, et  il  semble  promettre  sur  la  fin  la  quadrature  de  l'hyperbobs 
c'est-à-dire  de  celle  d'Apollonius  :  car,  pour  toutes  les  autres,  ni  lui 
ni  moi  ne  l'ignorons  pas. 

Je  lui  réponds  succinctement  : 

3.  Premièrement  à  ce  qu'il  dit  que  je  fais  grand  cas  des  proposi- 
tions négatives,  comme  qu'il  n'y  a  que  le  seul  quarré  25  qui,  ajouté 
à  2,  fasse  un  cube  en  nombres  entiers;  et  encore  qu'il  n'y  a  que  les 
deux  quarrés  4  et  121  qui,  ajoutés  à  4.  fassent  des  cubes,  aussi  en 
entiers  ('-).  H  dit  que  ce  sont  des  propositions  ordinaires  et  nequc 
majus  qiiid  atit  grandius  insinuant  quam  si  dicerein  cubicidmm  nulhim 
in  integris  esse  t^el  etiam  quadratum  qui,  numéro  G^juncUis,  e/f/icial  qua- 
dratum,  ....  vel  etiarn  nulles  in  integris  eubos  esse  qui  ab  invicem  distenl 
numéro  vicenario  nec,  prœter  8  et  27,  qui  distenl  numéro  19,  etc.  ;  . . . , 
cujusmodi  innumeras  delerminationes  negativas  inpromptu  esset  comnd- 
nisci. 

Je  réponds  que  je  ne  fais  point  cas  de  toute  sorte  de  propositions 
négatives;  par  exemple,  celles  qu'il  rapporte  et  infinies  de  telle  nature 
ne  sont  que  des  amusements  d'un  arithméticien  de  trois  jours,  et  leur 

(')  Lellre  16  du  Coinmercium  cputolicuin.  {f'oir  la  noie  qui  précède.) 
(2)  fWr  Lettre  LXXXIV,  5. 


376  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

raison  est  d'alionl  roiimic  cliaiii  lip/nx  cl  to/isoriln/s  ('  ).  De  sorte  que 
d'en  inforer  de  là  qu'il  faut  faire  peu  de  compte  de  toutes  sortes  de 
propositions  négatives,  voyez.  Monsieur,  quelle  logique!  Mais  je  ne 
veux  point  d'autre  preuve  que  celles  (|ue  je  vous  ai  proposées  sont  du 
haut  étage  et  dignes  d'être  rcchercliécs,  c'est  que  ni  lui,  (]ui  s'estime 
tant,  ne  les  a  pas  encore  démontrées,  ni  Monsieur  Freniclc  même,  que 
je  mets  au-dessus  de  lui,  sans  lui  faire  tort;  et  ce  dernier,  qui  connoit 
merveilleusement  les  mystères  les  plus  cachés  des  nombres,  ne  les  a 
pas  méprisées. 

4.  Mais,  parce  que  les  nombres  entiers  ne  plaisent  pas  à  Mon- 
sieur Wallisius,  en  voici  une  autre,  à  laquelle  il  pourra  s'occuper  et 
en  laquelle  je  n'exclus  point  les  fractions  (-)  : 

//  n'y  a  aucun  triangle  rectangle  en  //ombres  dont  l'aire  soit  qiiarrèe. 

5.  Kt,  pour  lui  faire  voir  que  le  défaut  de  connoissance  de  celte 
sorte  de  questions  lui  fera  quelquefois  concevoir  plus  grande  opi- 
nion de  ses  forces  qu'il  n'en  doit  raisonnablement  avoir,  il  dit  qu'il 
ne  doute  point  que  le  Mylord  Brouncker  ne  résolve  les  deux  ques- 
tions (')  : 

Dalum  numcrum  cubum  in  duos  cubos  rationales  dividere. 

et 

Dalum  numerurn  ex  duobus  cubis  compositum  in  duos  alios  cubos  ratio- 
nales dividerc  ; 

ji>  lui  réponds  qu'il  pourra,  par  aventure,  ne  se  mécompter  pas 
(Ml  la  seconde,  quoiqu'elle  soit  assez  difficile,  mais  que,  pour  la 
première,  c'est  une  de  mes  propositions  négatives  que  ni  lui  ni  le 
Seigneur  Brouncker  ne  démontreront  peut-être  pas  si  aisément.  Car  je 
soutiens  qu  il  n  y  a  aucun  cube  en  nombres  qui  puisse  être  dwisc  en  deux 
cubes  ralionaux. 

(')  Horace,  Sol.  I,  vi,  3. 

(')  Problcnio  impossible.  —  Observation  XLV  sur  Diopluinlo. 

(3)  Voir  Lettre  LXXXIV,  4  et  8.  —  Observations  II  cl  IX  sur  Diopiiante. 


XCI.  -  7  AVRIL  1638.  377 

Pour  la  seconde  question,  elle  n'est  pas  d'une  extrême  ditriculté  et, 
pour  lui  témoigner  que  je  veux  même  la  lui  proposer  en  cas  des  plus 
aisés  en  prenant  un  petit  nombre,  je  me  contente  que  lui  ou  Mylord 
Brouncker  divisent  le  nombre  9,  qui  est  composé  des  deux  cubes  8  et 
I,  en  deux  autres  cubes  rationaux.  S'il  rejette  cette  proposition,  qui 
n'est  pas  des  plus  difficiles,  je  n'oserai  plus  leur  en  proposer  ni  en 
entiers  ni  en  fractions. 

6.  Pour  son  canon  ad  inveniendos  quadralos  qui,  ducti  in  datum 
numerum  non  quadratum,  adscita  unilate,  conficiant  quadratum,  je  ne 
sais  pas  pourquoi  il  doute  que  cette  invention  nous  paroisse  malaisée, 
puisqu'il  n'est  point  d'algébriste  novice  qui  ne  trouve  sa  règle  d'a- 
bord. Mais  ma  question  en  entiers  est  si  fort  au  dessus  de  ces  petites 
règles  de  trivio,  que  M.  Frenicle  l'a  jugée  digne  de  l'occuper,  et  c'est 
tout  dire.  Il  a  si  exactement  répondu  à  tout  le  reste  qui  regarde  les 
questions  numériques  que  j'aurois  tort  d'ajouter  quelque  chose  du 
mien  à  ses  réponses  (  '  ). 

7-  Pour  ce  qui  regarde  les  centres  de  gravité  des  hyperboles  infi- 
nies et  la  règle  pour  distinguer  celles  qui  en  ont  de  celles  qui  n'en  ont 
pas  <  je  répondrai  >  que  je  l'avois  résolu  pleinement  et  envoyé  tant 
à  Torricelli  qu'aux  géomètres  de  Paris  dix  ans  avant  l'impression  du 
livre  Arilhmelica  infinilorum  (-).  S'il  ne  m'en  veut  pas  croire,  les 
Roberval  et  les  Pascal,  qui  ont  toutes  mes  propositions  sur  ce  sujet 
depuis  plusieurs  années,  le  pourront  désabuser. 

8.  La  promesse  qu'il  fait  sur  la  quadrature  de  l'hyperbole  s'exécu- 
tera sans  doute  comme  celle  du  cercle  :  la  voie  qu'il  tient  en  se  ser- 
vant de  certaines  progressions,  inter  quorum  terminas  inlerpolationem 
quœrit.  est  de  ces  méthodes  qui  aboutissent  à  trouver  une  chose  aussi 
difficile  que  celle  qu'on  a  pour  but  de  chercher.   Obscurutn  autem 

(')  Digby  avait  tout  d'abord  communiqué  à  Frenicle  la  lettre  de  VVallis  du  -n  no- 
vembre 1657  et  Frenicle  avait  rédigé  en  réponse  une  épitre  latine  à  Digby,  datée  du 
3  février  i658  (Comm.  ep..  22). 

(-)  t'oir  Leilre  LXXXII,  2. 

I'liimat.  —  II.  f\o 


378 


(Kl'VHES   DE  FERMAT. 


CORRESPONDANCE. 


explicare  per  obsciirius.  matœotechnia  est,  commo  a  trôs  bien  dit  noire 
Vièto('V 

.Mais  piiiir  lui  faire  voir  «nie  je  ne  niancfue  pas  de  théorèmes  efïec- 
tifs  et  fri's  Imnuix  en  la  véritable  hyperbole  d'Apollonius,  voici  un  pro- 
blème dont  je  puis  donner  la  construction. 

Soit  {pg.  88)  l'hyperbole  d'Apollonius  ABC,  ses  asymptotes  JVJNO; 
soient  tirées  les  deux  parallèles  à  NO,  les  droites  JMA,  HB.  Je  propose 
la  tigure  AMHB  contenue  sous  l'hyperbole  et  sous  les  droites  AM,  IMH, 
IIB.  Il  la  faut  diviser  <  par  >  une  parallèle  aux  bases  comme  QR,  en 
sorte  que  le  segment  RQHB  soit  au  restant  AMQR  en  raison  donnée. 

FiR.  8S. 


Ce  problème  sera  construit  par  moi  bien  plus  tôt  que  31.  Wallisius 
ne  donnera  la  quadrature  de  l'hyperbole  d'Apollonius. 

En  voilà  de  reste  j)our  ce  coup.  Ce  n'est  pas  pour  faire  un  démêlé 
formel  avec  M.  Wallisius,  mais  c'est  seulement  pour  me  justifier  à 
vous,  consentant  que  vous  ne  lui  envoyiez  que  ce  qu'il  vous  plaira  du 
contenu  en  cette  lettre.  Je  ne  réponds  pas  aux  dernières  réponses, 
parce  que  ce  n'est  pas  moi  qui  lui  avois  fait  les  objections  auxquelles 
il  répond. 

Je  suis,  Alonsieur,  Votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fi:r,MAT. 
A  Toulouse,  lo  7  avril  i6')8. 


(')  VllJTK,    Ad  Adriani    Roiitiini  prolilcina    rcsponxiini,    (jap.   \. 
Leyde,  iG.îl).  p.  309.  —  Le  rrml  (mlein  a  été  ajoiiU'  par  Fermai. 


—  Édition   EIzovir: 


XCII.  -    15  MAI    1658.  379 


XCII. 
DIGBY  A  FERMAT. 

MERCREDI  15  MAI   1658. 

(  l'a.  p.    igS-aoo.) 

Ili.»'"  Su;.  Paduon  col"'", 

Avrei  tcmuto  d'infastidire  troppo  V.  S.  Illustrissima  con  nuova  let- 
tera,  se  la  sua  ultima  delli  4  fit''  forrciite  non  m'avesse  recata  cagione 
(quantunque  in  soggetto  di  poco  rilicvo)  di  rcndcrle  qualche  picciola 
servitù  o  più  presto  osscquio  e  conformità  alli  suoi  commandi;  avendo 
imparato  dal  savio  clie,  corne  c'è  tempo  di  parlare,  vi  lo  è  anche  del 
siienzio;  e  dallo  spiritoso  Poëta  Tosco  ('),  che 

11  silciilio  aiicor  suole 
Havor  prioglii  c  |i;irolr. 

Ma  Ici  avcndomi  fatto  ronoi-e  d'ordinarmi  di  mandarle  un  de'  miei 
libri  délia  Physica  in  Inglese  (-),  non  l'ho  voluto  lasciar  andare  senza 
accompagnamento  di  queste  poche  righe,  pcr  ringraziarla  délia  sua 
tanta  compiaccnza  in  dire  che  ha  intento  di  trascorrerlo,  per  avvez- 
zarsi  cosi  alla  nostra  rozza  favella;  rozza  in  quant'al  suono  cd  ingrata 
air  orecchia  non  avvezza  ad  essa,  ma  forse,  quanto  alla  copia,  pro- 
prietà,  ed  energia  dell'  espressioni,  ed  ail'  eleganza  e  politezza  in  ogni 
altro  génère,  che  non  cède  punto  aile  più  eleganti  e  stimate,  ne  délie 
volgari,  ne  delle  dotte,  che  ahhino  mai  avulo  prattica  nel  mondo,  e 
che  nelle  poésie  che  abhiamo,  non  solo  va  del  pari,  ma  avvanza  di 
gran  lunga  li  migliori  o  Toscaiii,  o  Latini,  o  Greci;  eccettuando  perô 
neir  Eroica  Omero  e  Virgilio,  i  quali  dui,  senza  contraste,  son  fiiori 

(M  .Nous  n'avons  pu  retrouver  l'auteur  de  ces  beaux  vers. 

('-)  Il  s'agit  sans  doute  du  premier  des  Two  treniises  cités  ci-dessus,  page  340, 
note  I.  Digby  parle  plus  loin  d'une  traduction  (latine'/)  de  ce  Livre,  faite  à  Paris,  mais 
elle  ne  parait  pas  avoir  été  imprimée.  Élait-ello  entre  les  mains  de  Fermât,  ([ui  ne  savait 
pas  l'anglais? 


380  ŒUVRES   HE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

d'ogni  ooniparazionc  cou  tutti  do  i  sccoli  dopo  loro,  v  poro  prudcnte- 
iiKMito  tVco  quoi  Grammatioo  ardito  Giulio  Scaligero  (che  maggior  epi- 
toto  non  gli  posso  concodor  io,  qiiantunque  i  pcdanti  modcrni  gl'affîg- 
ghino  il  titolo  invidioso  di  divino  Critico),  cho  in  voce  di  far  consura 
dcll'  nllimo  e  forsc  il  minore  di  cssi,  gl'  orosse  un  altaro.  Ondo  vora- 
nionto  allo  v(dlo  lamcnto  la  sorte  che  oi  ha  lalti 

Pcniliis  tolo  divisos  orbo  Bi-itannos  (  '), 

poi  cho  abbiamo  parecchie  composizioni  poetiche  le  quali  moritareb- 
hono  la  lucc  cd  il  godimento  universalc,  e  per  le  quali  capirc,  ho 
conosciuto  quattro  persone  di  spiriti  sublimi  ed  ingcgnosissimi  (dui 
Francesi,  e  dui  Italiani),  che  per  aver  visto  délie  grossière  interpre- 
tazioni  in  prosa  di  certi  carmi  Inglesi,  si  sono  applicati  con  forvore  a 
studiare  nostra  lingua,  por  bever  alla  schietta  fonte  dellc  nostre  acque, 
le  quali  hanno  poi  confcssato  avergli  più  sedato  la  loro  sete  in  simile 
matcria,  che  qualsivoglia  abondante  fiume  di  altra  regio.ne  in  terra 
ferma.  Per  conformarmi  dunquc  al  voler  di  V.  S.  I.,  ho  messo  in 
mano  del  mossaggiero  di  Tolosa  lunedî  passato  un  involto  contenendo 
il  mio  detlo  libro,  dcl  qualc  voramente  non  ne  aveva  più  copia  ap- 
presso  di  me,  avcndo  per  ciô  scritto  in  Inghilterra,  dove  h  stato  ris- 
tampato  questo  trattato  tre  o  quattro  volto  in  ambedue  le  Università 
di  Oxonio  e  Gantabrigia;  e  poi  che  loi  si  vuole  penaro  di  dar  un' 
occhiata  a  questo  mio  componimento,  mi  rallegro  molto  che  cio  sia 
nella  lingua  ne.lla  quale  io  l'ho  conceputo,  per  essor  che  quantunque 
il  traduttore  sia  stalo  uomo  dottissimo,  e  la  sua  Iraduzione  essami- 
nata  per  tutto  il  Collegio  dei  Dotlori  Inglesi  di  questa  Città,  tutti 
valenti  Teologi  i  quali  la  fecero  fiare  per  servir  allo  studio  di  tutti  i 
loro  scminarii,  nientedimeno  egli  è  cosa  certa,  che  ci  è  gran  differonza 
tra  l'original  ed  il  Iranscritto,  in  quanto  al  vigor  dcU'espressione,  o 
credo  che  dopo  aver  vissuto  sempre  in  nostra  corte  polita,  e  conver- 
sato  continuamente  co'l  liacone,  il  Seldeno  e  altri  maggiori  lumi  dolla 

(  '  )  VinciMi  Eclo)^.  f,  V.  Ciy. 


XCII.  -  15  MAI  1038.  381 

nostra  Patria,  non  si  stimarebbe  vanità  in  me  s'io  mi  attribuissi  lo 
scriver  correttamente  in  Inglese.  E  ijuando  io  feci  il  primo  discgno 
di  questo  discorso,  godevo  di  tranquillità  assai  per  spiegar  con  mag- 
gior  chiarezza  cio  che  voleva  dire,  essendo  che  Io  fcci  ncllo  spazio  di 
quelli  quasi  dui  anni  ch'io  fui  continuamente  su'l  mare  :  durante  il 
quale  è  ben  vero  che  quasi  ogni  giorno  ebbi  occasione  di  prepararmi 
a  combattere  con  la  mia  flotta  (essendo  nel  mar  Meditcrraneo  circon- 
data  dalle  forze  Francesi  e  Spagnuole  ('),  con  chi  avevamo  allora 
guerra,  e  anche  dalle  Vineziane),  nientedimeno  mi  avvanzava  tanto 
tempo,  che  se  non  fosse  stato  che  per  evitar  il  tedio  (ancorchè  il 
comando  del  Re  fu  il  mio  primo  motivo),  mi  accingevo  ogni  giorno 
con  premura  a  metter  qualche  cosa  in  carta,  di  modo  che  posso  con 
ragione  dire  corne  quel  più  dotto  e  gentil  cavagliero  di  tutta  la  nazion 
Castigliana  e  prencipe  de'  loro  Poeti,  Garcilasso  de  la  Vega  (-)  : 

Entre  las  armas  del  sangrienlo  Marte 
Hiirtè  del  tiempo  esta  brève  suma, 
Tomando  hora  la  spada,  hora  la  pluma. 

31a  poi  che  lei  si  degna  voler  vcder  de  i  meschini  parti  del  mio  sté- 
rile ingegno,  ho  volsuto  farle  parte  ancora  d'un  altro  trattaticiuolo  che 
ho  composte  intorno  alT  infallibilità  délia  Religione  Catolica,  per  dar 
soddisfazione  a  un'  de'  maggiori  genii  cli'  io  abbia  mai  conosciuto,  e 
che  tinalmente  l'ha  convinto  (').  Perche  lui  non  si  contentava  di  con- 
siderarlddio  come  un  Legislatore,  chevolesse  dimostrareil  suo  potere 
con  dar  premii  o  pêne  seconde  una  volontà  imperiosa,  senza  motivo 
ragionevole  fondato  in  natura,  c  perô  bisogno  penctrar  nella  Filosofia 


(  ')  Les  croisières  de  Digby  dans  la  Méditerranée  avec  deux  bâtiments  armés  en  course 
remontaient  à  1628. 

(-)  Ces  vers  se  trouvent  dans  l'Églogue  III.  Digby  supprime  entre  le  premier  et  le 
second  le  vers  suivant  : 

1)0  opciias  liay  quicii  su  furor  cutitra^io 

(Obrn.1  de  Garcilaso  de  Ui  rega  iUustradas  cou  notât.  En  Madrid,  MDCC LXXXVIII. 
P-  97-98)- 

(3)  11  A  Discourse  concerning  Infallihilily  in  Religion,  written  by  sirKenelme  Digby 
to  Ihe  Lord  George  Digby,  eldest  sonne  of  tlie  Earle  of  Bristol  ».  l'aris,  i652, 
in- 12. 


.?82     (KUVRES  DE  FERMAT.  -  COKHESPONDANCE. 

(It'lla  Uoligionc.  o  porchi'  ossa  sia  nocossaria  a  gl"  uoniini.  lu  iiiia 
parola,  hisognù  oomhattore  iii  lui  liiKc  le  maggioi'i  l'orzc  de"  j)iii  dotti 
Sociniani  {là  piîi  tcrribil'  soda  d'Krotici  clic  sia  mai  sta(a).  iicl  chc 
l'arc  ho  (|iii  iinpiogalo  tutto'l  vigorc  dcl  luii)  dcbholc  iiigcgno  in  ima 
strada  non  calcata  d'altri,  c  (utio  le  pin  s(|uisilc  csprcssioiii  chc  so 
délia  lingua  nostra,  c  non  no  feci  stamparc  se  non  3o  copier  pcr  dar 
ad  amici  contidcnli.  Gli  mando  ancora  un  altro  traUato  Inglcsc,  clic 
ha  fatto  gran  ronioro  in  Inghiltorra  c  cho  inolti  vogliono  attribniic  a 
me,  ancor  che  sia  sotto  il  nome  del  Signor  Bianchi  (conosciuto  sotto 
titolo  di  Thomas  Anglus),  per  osser  che  i  scntinienti  dcH'Aiilor  c  li 
niiei  siano  precisamente  gl'istessi  (').  Dimando  pcrdono  dc'l  min 
lanto  im|)ortnnarla,  c  la  rivcrisco,  cic. 


XCIII. 
CLERSELIER  A  FERMAT  (-). 

MERCIIEDI     15    MAI     l(jo8. 

I  11.,  lit,  'lô:  lîiljl.  Xat.  fr.  .'iaSo,  n.  ace).,  I"'  !^3-ôo:) 

MOXSIF.UR, 

1.  .le  ne  veux  pas  m'arrèter  beaucoup  à  vous  faire  des  excuses 
d'avoir  tant  tardé  à  faire  réponse  aux  deux  vôtres,  l'une  du  S""  et 
l'autre  du  lo''  mars  dernier,  pource  que  je  me  persuade  que  vous 
croirez  aisément  qu'il  m'a  fallu  des  obstacles  invincibles  pour  m'em- 
pêcher  de  satisfaire  à  temps  à  des  témoignages  si  obligeans  de  votre 
suffisance  et  de  vofre  civilité.  En  effet,  une  maladie  (|ui  m"a  détenu 
dans  le  lit  presque  tout  ce  temps-là,  et  qui  m'a  otc  le  moyen  de  pou- 

(  '  )  Thomas  \A'hite,  en  dehors  de  ses  ouvraj^cs  latins,  piililiés  sous  le  nom  de  Thoinas 
Miifflus.  A  composé  un  grand  nombre  de  Traites  en  anjjlals.  Digby  désignait  peut-être 
celui  (|ui  parut  à  Londres  en  i6i5.  sous  le  litre  :  Tlir  CroiiiitU  nf  Obédience  niul  Co- 
vernmeiil . 

(2)  Réponse  à  la  Leilre  \(',  his. 


XCIII.  -  15  MAI   1658.  383 

voir  occuper  mon  esprit  à  des  considérations  si  relevées,  est  la  véri- 
table cause  qui  m'a  empêché  de  vous  témoigner  plus  tôt  ma  recon- 
noissance. 

Mais  tout  cela  seroit  peu,  si  je  pouvois  aujourd'hui  répondre  à  tous 
les  doutes  de  votre  sceptique,  et  satisfaire  pleinement  aux  didicultés 
(fue  vous  proposez  dans  votre  dernière;  car,  comme  elles  ne  dépen- 
dent point  du  temps,  la  réponse  n'en  seroit  de  rien  moins  meilleure  et 
convaincante,  pour  n'être  pas  venue  à  temps.  Néanmoins,  pourvu  que 
c(î  soit  à  vous.  Monsieur,  que  j'aie  alTaire,  et  non  point  à  votre  scep- 
tique, dont  l'humeur  seroit  trop  difficile  à  contenter,  je  me  promets 
de  pouvoir  éclaircir  la  plupart  do  ses  doutes,  et  de  faire  voir,  si  je  ne 
me  trompe,  si  clairement  en  quoi  il  s'est  mépris  dans  ses  raisonne- 
mens,  que,  vous  prenant  vous-même  pour  l'arbitre  de  nos  différens 
et  pour  le  juge  de  nos  conclusions,  j'espère  que  vous  reconnoitrez  la 
subtilité  des  siennes  et  la  vérité  des  miennes,  c'est-à-dire  de  celles  de 
.AI.  Descartes. 

2.  Premièrement,  je  ne  vois  point  que  le  raisonnement  que  fait 
31.  Descartes,  à  l'occasion  de  sa  ligure  (')  de  la  page  17  de  sa  Diop- 
trique,  soit  aucunement  opposé  an  sens  commun,  ni  que  l'extension 
qu'il  en  fait  de  la  réflexion  à  la  réfraction  soit  forcée.  (]ar  la  même 
raison  qui  lui  a  fait  conclure  en  la  page  i  >  que  la  terre  CBE  (-)  ne 
pouvoit  empêcher  que  la  détermination  de  haut  en  bas,  et  non  point 
celle  de  gauche  à  droite,  pource  qu'elle  est  entièrement  opposée  à  la 
première  et  point  du  tout  à  la  seconde,  la  même  lui  a  dû  faire  con- 
clure, dans  la  figure  de  la  page  17  ou  18,  que  la  détermination  de  haut 
en  bas  pouvoit  bien  être  changée  en  quelque  façon  par  la  rencontre  de 
la  toile  ou  de  l'eau,  mais  point  du  tout  celle  qui  Tait  tendre  la  balle 
vers  la  main  droite,  à  cause  que  l'eau  ou  la  toile  est  en  quelque  façon 
opposée  à  l'une  et  point  à  l'autre. 

Je  vous  prie  de  remarquer  ici  la  façon  de  parler  de  M.  Descartes  (car 

(  '  )  Foir  fi^.  JG,  païï;c  '569. 
(-)  yoir  lig;.  33,  page  370. 


38V  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

c'est  lie  là  {|Uo  dcpoml  on  partie  la  solution  de  tous  les  doutes  de  votre 
sceptique)  :  il  ne  dit  pas  simplement  que  la  détermination  de  haut  en 
bas  peut  être  changée  |)ar  la  rencontre  de  la  toile,  mais  seulement 
(|u"elle  peut  être  changée  en  quelque  façon  ('). 

Car  en  effet  elle  n'est  pas  tout-à-fait  changée,  puisque  la  balle  con- 
tinue de  descendre,  mais  elle  est  changée  en  ((uelqiie  façon,  en  tant 
que  c'est  changer  en  quelque  façon  la  détermination  qu'un  mobile 
avoit  à  avancer  vers  un  certain  côté,  que  de  faire  que  dans  le  même 
temps  il  n'avance  pas  tant  vers  ce  côté-lii  qu'il  faisoit  auparavant  :  ce 
qui  change  la  quantité  de  sa  détermination. 

3.  De  plus,  les  trois  circonstances  que  remarque  votre  sceptique, 
pour  l'empêcher  d'admettre  cette  conséquence,  ne  la  peuvent  aucu- 
nement infirmer.  Car,  que  la  vitesse  soit  diminuée,  que  le  milieu  soit 
changé,  et  que  la  détermination  de  haut  en  bas  ne  soit  pas  tout-à-fait 
empêchée,  mais  que  la  balle  continue  de  descendre,  tout  cela  ne  doit 
point  apporter  de  changement  à  la  détermination  de  gauche  à  droite, 
à  laquelle  pas  une  de  ces  circonstances  ne  s'oppose  et  ne  met  obstacle, 
puisque  cette  détermination  peut  demeurer  la  mênu^  quoique  la  vi- 
tesse soit  changée,  une  même  détermination  pouvant  être  jointe  à  dif- 
férentes vitesses. 

Le  milieu  ne  peut  aussi  apporter  aucun  changement  à  cette  déter- 
mination, puisqu'il  lui  est  également  facile  de  s'ouvrir  et  faire  pas- 
sage d'un  côté  que  d'un  autre  dans  le  milieu  qu'elle  parcourt.  Et  bien 
que  la  balle  continue  de  descendre  et  qu'elle  ne  remonte  pas  comme 
en  la  réflexion,  cette  détermination  vers  la  main  droite  se  peut  aussi 
bien  faire  et  maintenir  en  descendant  qu'en  remontant. 

.lusques  ici  votre  sceptique  auroit,  ce  me  semble,  tort  de  ne  vou- 
loir pas  accorder  que  la  détermination  de  gauche  à  droite  demeure  la 
même  en  la  réfraction,  après  en  être  demeuré  d'accord  sans  difficulté 
en  la  réflexion.  Et  il  ne  doit  point  appréhender  qu'on  le  chicane  sur 
l'explication  de  ce  terme,  et  qu'on  l'oljlige  à  rien  avouer  ([u'on  ne 

(  '  )  Fnir  le  lo\le  do  Descartes,  page  369. 


\C111.  -  15  MAI   1C58.  385 

prouve  et  qui  uc  soit  tiré,  par  uue  conséqueuce  légitime,  de  ce  qu'on 
a  avancé  auparavant,  M.  Dcscarfes  ayant  trop  soigneusement  fait 
remarquer  la  différence  qu'il  y  a  entre  la  détermination  et  le  mou- 
vement, ou,  comme  vous  dites,  la  puissance  qui  meut,  pour  s'en 
oublier. 

4.  Mais  voici  le  point  qui  effarouche  votre  sceptique,  et  qui  lui 
fait  perdre  ce  peu  de  respect  qu'il  sembloit  encore  porter  au  nom 
de  M.  Descartes.  C'est  à  ce  coup  qu'il  dit  n'entendre  plus  raillerie,  et 
que,  s'il  a  consenti  de  bonne  foi  que  la  détermination  vers  la  droite  ne 
changeoit  pas,  il  proteste  qu'il  n'est  point  engagé  à  consentir  que  la 
balle,  changeant  de  milieu,  fasse  toujours  un  égal  progrès  et,  comme 
il  dit  un  peu  auparavant,  aille  aussi  vite  vers  la  droite,  après  qu'il  a  été 
supposé  que  la  balle  au  [)oint  B  perd  la  moitié  de  sa  vitesse,  et  que 
M.  Descartes  a  si  solennellement  assuré  que  la  détermination  et  la 
force  mouvante  sont  tout-à-fait  différentes  et  distinctes. 

Mais  ne  voyez- vous  pas  que  ce  qui  empêche  votre  sceptique  de 
donner  les  mains  à  cela  est  qu'il  ne  distingue  pas  assez  lui-même 
la  détermination  d'avec  la  force  mouvante  ou  la  vitesse,  et  qu'il  les 
confond  ensemble,  croyant  que  la  division  ou  la  perte  que  l'une 
souffre,  à  savoir  la  vitesse,  se  doive  ressentir  par  l'autre,  à  savoir 
par  la  détermination  vers  la  main  droite,  quoique  rien  ne  se  soit 
opposé  qui  ait  pu  changer  ou  diminuer  la  quantité  de  la  détermina- 
tion que  la  balle  avoit  à  avancer  vers  ce  côté-là?  (^ar,  s'il  avoit  bien 
pris  garde  à  ce  que  dit  M.  Descartes,  il  n'auroit  pas  de  peine  à  com- 
prendre que,  la  vitesse  étant  diminuée  de  moitié  [au  point  B],  la 
détermination  de  gauche  à  droite  demeurant  toujours  la  même  [en  ce 
point-là]  qu'elle  a  été  [auparavant],  il  est  nécessaire,  pour  accorder 
cette  vitesse  à  cette  détermination,  que  la  balle  suive  la  ligne  BI. 

Et  quoique,  dans  la  route  qu'elle  prend,  en  des  temps  égaux,  elle 
fasse  autant  de  chemin  ou  (ju'elle  avance  autant  vers  la  droite  qu'elle 
faisoit  auparavant,  et  qu'ainsi  elle  conserve  toujours  la  même  déter- 
mination qu'elle  avoit  à  avancer  vers  [ce  côté]  là,  il  ne  s'ensuit  pas 

Fermât.  —  II.  49 


:5S(;  Œ  V  V  R  ES    1)  i:    !•  E  R  M  AT.  -  C  ()  F»  R  E  S  l>  ()  N  I)  A  N  C  E. 

(lu't'llc  aillr  aussi  vite  qirolli'  l'aisoil  au|)aravant  {cv  que  vntrc  scep- 
liqiie  soniblo  avoir  toujours  approhoudé  qu'on  lui  voulût  faire  ac- 
conlor),  puisque  M.  Descartes  avoue  lui-niènie  (|u'il  lui  faut  le  double 
(le  temps  pour  l'aire  autant  de  chemin  qu'auparavant.  Mais  comme, 
dans  la  route  qu'elle  est  obligée  de  prendri',  (die  incline  plus  (|u'(dle 
ne  taisoit  vers  la  droite,  elle  ne  laisse  pas  d'avancer  autant  vers  ce 
côté-là,  quoiqu'elle  aille  deux  fois  moins  vite. 

Et  c'est  à  mon  avis  ce  qui  fait  la  beauté  et  la  force  tout  ensemble  du 
raisonnement  de  M.  Descartes,  de  faire  voir  quelle  doit  être  dans  cette 
rencontre  la  route  véritable  que  doit  prendre  la  balle,  qui  ne  peut 
être  autre  que  celle  qu'il  a  expliquée  en  ce  lieu-là,  pour  se  rapporter  à 
la  détermination  vers  la  droite  qu'elle  doit  garder,  et  à  la  perte  de  la 
vitesse  qu'elle  a  soufferte  en  B. 

5.  .Mais  ce  qui  le  plus  a  abusé  votre  sceptique  est  un  raisonnement 
très  spécieux  à  la  vérité,  et  très  capable  de  surprendre  les  autres  et  de 
faire  qu'on  y  soit  surpris  soi-même,  si  l'on  n'y  prend  garde,  mais  qui 
pourtant  est  faux  et  contre  l'intention  de  M.  Descartes.  Ce  raisonne- 
ment est  que,  comme  M.  Descartes  sur  la  figure  de  la  page  17  dit  que, 
la  détermination  vers  le  côté  droit  étant  la  même,  quoique  le  mouve- 
ment de  la  balle  soit  diminué  de  moitié  au  point  B,  en  deux  fois  autant 
de  temps  elle  doit  avancer  deux  fois  autant  vers  la  droite  ('),  donc 
a  pari,  dit  votre  sceptique,  posé  que  la  balle  soit  poussée  perpendicu- 
lairement depuis  H  jusques  à  B  et  qu'elle  continue  son  mouvement 
vers  BG,  la  détermination  de  la  balle  sur  la  route  BG  n'étant  point 
changée  au  point  B  et  demeurant  la  même,  puisque  le  mouvement 
perpendiculaire  se  continue  dans  la  même  ligne  HBG,  en  deux  fois 
autant  de  temps  elle  doit  avancer  deux  fois  autant,  et  aussi  vite  au 
dessous  de  B  qu'elle  avoit  fait  auparavant  au  dessus  :  ce  qui  est  absurde, 
puisque  l'on  suppose  que  la  balle  au  point  B  a  perdu  la  moitié  de  sa 
vitesse. 

Véritablement,  si  la  conséquence  qu'il  infère  étoit  bicm  tirée  de  ce 

('  )  Foir  le  texte  de  Dcseartes,  page  372. 


XCIII.  -   la   MAI   1638.  387 

qu'a  avancé  M.  Descartes,  je  conclurois  comme  lui  que  M.  Descartes 
se  seroit  trompé  dans  son  raisonnement,  duquel  il  s'ensuivroit  une 
telle  absurdité. 

Mais  aussi  M.  Descartes  dit  tout  autre  chose  que  ce  que  votre  scep- 
tique lui  veut  faire  dire  :  car,  quand  il  a  dit  que  la  détermination 
qu'avoit  la  balle  à  avancer  vers  le  côté  droit  demeuroil  la  même,  et 
qu(>  par  conséquent  en  deux  fois  autant  de  temps  elle  devoit  faire 
deux  fois  autant  de  chemin  vers  ce  côté-là,  il  a  conclu  cela  de  ce 
que,  bien  qu'on  suppose  que  la  balle  au  point  B  perde  la  moitié  de 
sa  vitesse,  néanmoins  elle  ne  perd  rien  du  tout  de  la  quantité  de  la 
détermination  qu'elle  avoit  à  s'avancer  vers  le  côté  droit,  à  laquelle 
la  toile  n'est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là,  et  à  laquelle  se  doit 
et  se  peut  accommoder  la  vitesse  qui  reste  en  la  balle  (car  autrement 
la  balle  rejailliroit  au  lieu  de  pénétrer  la  toile),  pour  faire  en  sorte 
que  sans  déroger  à  la  perte  qu'elle  a  soufferte  et  qu'allant  moins  vite, 
elle  ne  laisse  pas  d'avancer  autant  vers  le  côté  droit  qu'elle  eût  fait  si 
elle  n'eût  rien  perdu  de  sa  vitesse. 

Mais  peut-on  dire  la  même  chose  de  la  détermination  d'une  balle 
que  l'on  suppose  tomber  perpendiculairement  sur  la  même  toile,  à  sa- 
voir que  la  superficie  sur  laquelle  elle  tombe  ne  lui  est  aucunement 
opposée  en  ce  sens-là,  et  qu'en  perdant  la  moitié  de  sa  vitesse,  elle  ne 
perd  rien  du  tout  de  la  quantité  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à 
s'avancer  vers  le  coté  où  elle  visoit,  et  (|ue  la  vitesse  qui  lui  reste  se 
doit  et  se  peut  accommoder  avec  cette  détermination,  pour  la  faire 
avancer  en  un  temps  égal  sur  la  même  route  autant  qu'elle  eût  fait 
si  elle  n'eût  rien  perdu  de  sa  vitesse?  Certainement  personne  ne  dira 
que  ce  cas  soit  semblable  au  premier,  et  par  conséquent  la  conclusion 
n'en  peut  être  pareille. 

6.  Aussi  tout  le  défaut  [du  raisonnement]  de  votre  sceptique  ne 
vient  que  de  ce  qu'il  n'a  pas  pris  garde  que  la  même  superficie  CBE, 
en  laquelle  la  balle  au  point  B  perd  la  moitié  de  sa  vitesse,  est  aussi 
en  même  temps  opposée  à  la  détermination  de  haut  en  bas,  soit  qu'elle 


388  (KIN  in:S    1)K   FKK.MAT.  -^    CO  l{  I5ES  PON  I)  A  NCE. 

soit  piM'poiuliciilairo  ou  non.  lin  sorte  (|ue,  quoique  la  balle  continue 
«le  descendre  et  même  qu'elle  descende  dans  la  même  ligne  quand 
elle  a  été  poussée  perpendiculairement,  on  ne  sauroit  pas  dire  que 
eette  détermination  vei's  le  bas  soit  la  même,  mais  elle  est  changée  en 
(|U('l(|ne  (acon ,  ainsi  que  dit  .M.  Descartcs.  Car  la  halle  ne  descend 
plus  avee  la  même  (luantité  de  détermination,  puis(|ue  dans  un  temps 
égal  elle  ne  va  pas  si  loin  ([u'elle  éloit  déterminée  d'aller  avaut  qu'elle 
eut  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse,  ce  qui  est  un  changement  en  la 
détermination  qu'elle  avoit  ;»  avancer  vers  ce  coté-là. 

Kt  si  vous  y  prenez  garde,  tous  les  changemens  de  détermination 
que  M.  Descartes  a  dit  s'ensuivre  en  la  halle  du  changement  de  sa 
vitesse  ou  de  la  force  qui  la  pousse  ou  qui  l'arrête  en  B  (selon  les  dif- 
férentes suppositions  qu'il  fait),  ont  tous  été  en  la  détermination  de 
haut  en  bas,  et  non  point  en  celle  de  gauche  à  droite,  à  cause,  comme 
il  dit  en  la  page  17,  ligne  i3  ('),  que  des  deux  parties  dont  on  peut 
imaginer  que  la  détermination  de  la  halle  sur  la  route  AB  est  com- 
posée, il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre  la  halle  de  haut  en  bas  qui 
puisse  être  changée  en  quelque  façon  par  la  rencontre  de  la  toile. 
Mais,  à  plus  forte  raison,  cette  toile  peut-elle  faire  changer  la  déter- 
mination perpendiculaire  à  laquelle  clic  est  entièrement  opposée,  qui 
est  simple  et  qu'on  ne  peut  pas  dire  être  composée  de  deux,  à  l'une 
desquelles  elle  ne  soit  point  du  tout  opposée,  ainsi  (|u'elle  ne  l'est 
point  à  celle  de  gauche  à  droite,  quand  la  balle  est  poussée  de  biais 
suivant  la  ligne  AB. 

Or,  (|ucl  changement  peut-il  arriver  en  cette  détermination  de  haut 
en  bas,  que  celui  qu'a  expliqué  M.  Descartes?  à  savoir  que  cette  balle, 
en  continuant  de  descendre,  avance  tantôt  plus  et  tantôt  moins  vers  le 
bas  qu'elle  ne  faisoit,  selon  le  changement,  c'est  h  dire  l'augmentation 
ou  la  diminution  que  sa  vitesse  a  reçue  en  B,  et  selon  le  rapport  que 
cette  vitesse  a  eu  avec  la  détermination  vers  le  côté  droit,  qui  a  dû 
toujours  demeurer  la  même,  comme  j'ai  dit  plusieurs  fois,  c'est  ;i  dire 

^')  Foir  le  texte  de  Dcsearte*.  page  :JCy. 


XCIII.   -    15   M\l    1638.  389 

qui  a  dû  faire  qiio  la  balle  ait  toujours  aulant  avancé  do  ce  côté-iii 
qu'elle  avoit  fait  auparavant. 

Et  partant,  tant  s'en  faut  que  l'absurdité  qu'avoit  voulu  inférer 
votre  sceptique  suive  bien  de  ce  qu'a  dit  M.  Descaries,  qu'au  con- 
traire il  se  trouve  que  c'est  lui-même  qui,  au  lieu  d'un  bon  argument, 
s'est  embarrassé  dans  un  sophisme,  eu  supposant  que  la  détermina- 
tion de  la  balle  dans  une  chute  perpendiculaire  étoit  la  même,  au 
même  sens  que  celle  de  gauche  à  droite  est  dite  être  la  mémo  quand 
la  balle  tombe  obliquement. 

1-  Que^i,  après  cela,  vous  prenez  la  peine  d'examiner  la  réponse 
que  M.  Descartes  a  fait  lui-même  au  reste  des  difficultés  que  votre 
sceptique  lui  a  autrefois  proposées  par  l'enfremise  du  Révérend  Père 
Mersenne,  et  auxquelles  il  satisfit  alors  par  une  lettre  qu'il  adressa  à 
M.  Mydorge  ('),  dont  je  vous  ai  naguère  envoyé  la  copie,  vous  trou- 
verez que  ce  qu'il  dit  est  véritable,  à  savoir  que  votre  sceptique  s'est 
trompé,  pour  avoir  parlé  de  la  composition  du  mouvement  en  deux 
divers  sens,  et  inféré  de  l'un  ce  qu'il  avoil  seulement  prouvé  de 
l'autre. 

.le  ne  répète  point  ici  ce  qu'il  en  a  dit;  car,  outre  qu'il  seroit  inu- 
tile, comme  j'en  étois  là,  un  de  mes  amis,  appelé  M.  Rohaulf,  savant 
mathématicien  et  des  mieux  versés  que  je  connoisse  en  la  philosophie 
de  M.  Descartes,  m'est  venu  apporter  une  réponse  qu'il  a  faite  à  votre 
lettre  au  Père  Mersenne  (-),  pensant  que  M.  Descartes  n'y  avoit  point 
répondu  (car  je  ne  lui  avois  point  montré  cette  lettre  à  M.  Mydorge), 
et  que  vous  n'eussiez  reçu  de  lui  aucune  réponse,  voyant  que  dans  la 
lettre  que  vous  m'avez  fait  l'honneur  de  m'écrire,  laquelle  je  lui  avois 
fait  voir,  vous  conlinuez  vos  premières  difficultés,  et  que  dans  celle  ii 
M.  de  la  Chambre  vous  dites  avoir  autrefois  contesté  à  M.  Descartes  sa 
démonstration  touchant  la  réfraction,  à  lui,  dites  vous,  vii>en/i  a/c/iie 
senlienti,  mais  qu'il  ne  vous  satisfit  jamais  (' ). 

(I)  Foir  la  note  de  la  page  x-?.'). 

Ç')  LelU'e  XXIV.  —  CeUe  réponse  de  Roliault  est  la  Pièce  XCIV  ci-après. 

(»)  foir  ci-dessus  page  3'i5-)56. 


390  (lUVUES   DE   FERMAT.  -  CORUESPOND  ANCE. 

Kl  poiircc  qu'il  onlond  hcaucoiip  iiiioux  que  moi  loutcs  ces  ma- 
litTos.  (>t  qu'il  a  roponihi  artirlc  par  article  à  tous  ceux  do  votre  dito 
ItMtrc.  je  m'abstioudrai  de  vous  ennuyer  davantage  par  mon  discours, 
atin  de  vous  laisser  plus  de  temps  pour  examiner  la  réponse  qu'il  a 
faite  il  voire  lettre.  S'il  me  l'eût  apportée  plus  tôt,  il  nous  auroil  Ions 
deux  soulagés  :  moi,  d'écrire  d'un  sujet  qui  passe  mes  forces,  et  vous, 
de  lire  une  si  mauvaise  lettre.  Mais,  comme  c'en  étoit  déjà  fait,  je  n'ai 
pas  voulu  perdre  ma  peine  et  j'ai  pensé  qu'il  valoit  mieux  vous  fati- 
guer de  celle  lecture,  et  vous  donner  par  même  moyen  des  preuves 
du  soin  où  je  m'étois  mis  de  m'acquitler  de  ce  que  je  vous  devois, 
que  de  vous  laisser  venir  la  pensée  que  je  m'en  serois  peut-être 
oublié,  et  que  j'aurois  été  bien  aise  ([u'un  autre  m'en  eut  déchargé. 

Au  reste.  Monsieur,  je  vous  prie  d'excuser  ce  qui  peut  m'étre 
échappé  de  libre  en  répondant  à  votre  sceptique.  J'aurois  agi  avec 
tout  autre  respect  si  mon  discours  se  fût  adressé  à  vous;  mais,  bien 
loin  de  craindre  que  pour  cela  vous  me  refusiez  justice,  je  prends 
même  l'assurance  de  vous  demander  quelque  grâce.  Il  y  a  des  ren- 
contres où  un  peu  de  faveur  n'offense  point  l'équité  et,  si  dans 
celle-ci  vous  vous  mettez  de  mon  parti,  je  puis  vous  assurer  qu'en 
toute  autre  je  serai  entièrement  à  vous,  et  que  vous  pourrez  faire 
état  d'avoir  toujours  prêt  en  moi.  Monsieur, 

Un  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Clerselieh. 
Paris,  ce  i  '>  mai  i<)').S. 


XCIV.  -  15  MAI   1638.  391 


XCIV. 


RÉFLEXIONS  OU  PROJET  DE  REPONSE  A  LA  LETTRE 
DE  M.  DE  FERMAT 

QUI  CONTIENT  SES  ODJECTIOXS  SUR   L.V   DIOPTRIQUE   DE  M.  DESCARTES, 

PAR  M.  ROHAULT. 

13  MAI  1658. 

(D.,  III,  4(5;  BiU.  iiat.  fr.  :V2S0,  n.  acq.,  r<"  Si-ôfi.) 

Je  ne  sais  si  le  Père  Merseiine,  à  qui  cette  lettre  (')  étoit  adressée, 
l'a  communiquée  à  M.  Descartes,  ou  si,  l'ayant  reçue,  ses  occupations 
l'ont  empêché  d'y  faire  réponse.  Toutefois  il  paroit  n'y  avoir  point 
répondu,  parce  que  M.  de  Fermât,  qui  l'avoit  écrite  il  y  a  environ 
vingt  ans,  répète  encore  à  peu  près  les  mêmes  difficultés  dans  une 
lettre  qu'il  a  écrite  depuis  peu  à  un  de  mes  amis  de  cette  ville  (-).  Je 
m'en  vais  essayer  de  suppléer  quelques  réponses  tirées  de  l'intention 
de  M.  Descartes,  et  pour  le  faire  plus  commodément,  je  ne  me  propo- 
serai aucun  ordre  que  celui  qui  est  dans  les  articles  ou  sections  de  la 
lettre  que  j'examinerai  séparément. 

AuT.  1"'-  —  Le  premier  article  ne  contient  qu'un  compliment  dont 
l'humeur  civile  de  M.  de  Fermât  honoroit  M.  Descartes,  et  dont  sa 
mémoire  lui  est  encore  redevable. 

Art.  2''.  Je  tranche,  etc.  —  Quoique  M.  Descartes  accommode  son 
médium  à  sa  conclusion,  et  qu'il  divise  son  mouvement  en  certaines 
déterminations  plutôt  qu'en  d'autres,  on  ne  le  doit  non  plus  trouver 
étrange  que  si  un  géomètre  se  sert  d'une  construction  plutôt  que 
d'une  autre  pour  l'exécution  d'un  problème;  et  l'on  ne  conteste 
jamais  la  voie  qu'il  choisit,  pourvu  qu'il  vienne  à  bout  de  ce  qu'il 
entreprend. 

(')  La  Lettre  XXIV  ci-avant  :  les  articles  distingués  par  Rohaiilt  sont  identiques  avec 
ceux  du  numérotage  de  notre  édition. 
(-)  La  Lettre  XC  bis  à  Clerselier. 


392  ŒUVHKS    DE   KEIIMAT.        COH  H  ESPON 1)  ANCE. 

Au  rosto,  JM.  Desoai'tos  a  dû  diviser  son  luouvcinont  en  une  dclcr- 
niination  purpondiculairc  à  la  surface  devers  laquelle  il  éloit  mu  et 
eu  une  détermination  parallèle  à  la  même  surrae(>,  parce  que,  celh' 
dernière  ne  reneonlraiil  aucune  opposition,  il  étoit  assuré  qu'elle 
dcvoit  (lenu'urer  la  même;  ce  (jui  lui  éloit  un  moyen  de  conclure  une 
vérité  plus  aisément  qu'il  n'eût  pu  faire  en  suivant  une  autre  méthode. 

AuT.  3'.  Je  reconnais,  etc.  —  AI.  de  ?\'rmat  semble  favoriser  31.  Des- 
eartes,  en  avouant  qu'il  est  de  sou  sentiment  touchant  la  dilTércncc 
(]u'il  établit  entre  le  mouvement  et  la  détermination,  et  tâchant  même 
de  le  prouver.  (Cependant  il  semble  aussi  qu'il  y  ait  de  l'adresse, 
pource  qu'il  impute  à  iM.  Descartes  une  opinion  (|u'il  désavoueroit, 
à  dessein,  comme  on  pourroit  croire,  de  s'en  servir  dans  la  suite. 

C'est  dans  le  second  exemple,  où  il  assure  ([u'unc  balle,  poussée  du 
point  H  au  point  B  perpendiculairement  sur  la  surface  CBK,  no  |)erd 
pas  de  sa  détermination,  à  cause,  dit-il,  qu'en  pénétrant  l'eau  ou  la 
(oilc.  l'Ile  continue  à  se  mouvoir  dans  la  même  ligne  droite. 

.Aiais  il  doit  considérer  que  la  détermination  d'un  mobile  doit  être 
réputée  changer,  non  seulement  quand  il  quitte  la  ligue  dans  laquelle 
il  s(^  mouvoit  auparavant,  ou  quand  il  se  meut  à  contre-sens  dans  la 
même  ligne,  mais  encore  en  se  mouvant  du  même  sens  dans  la  même 
liLjne  droite,  pourvu  que  ce  soit  [plus  ou]  moins  loin  qu'il  n'étoit  dé- 
Icrminê  d'aller  en  ce  sens-là.  Et  c'est  en  cette  troisième  façon  que  la 
quantité  de  la  détermination  de  la  balle  est  devenue  moindre,  autant 
(|uc  le  mouvement  :  aussi  la  surface  CBE  étoit  autant  opposée  à  la 
première  que  la  liaison  des  parties  l'étoit  à  l'autre  :  c'est  pourquoi  il 
faut  réputer  comme  nul  cet  exemple  qui  n'étoit  que  pour  prouver  une 
vérité  que  les  deux  parties  ne  contestent  point. 

Je  ne  daignerois  d'observer  que  M.  de  Fermai  appelle  force  ou  puis- 
sauce  mouvante  ce  que  M.  Descartes  appelle  le  mouvement,  parce  qu'il 
ne  paroit  pas  dans  la  suite  de  la  lettre  que  cette  diflërence  soit  d'au- 
cune conséquence. 

\kï.  4'.  Je  rei'iens  maintenant,  etc.  —  Cet  article  ne  contient  que 
quelques  paroles  de  M.  Descartes. 


XCIV.  -  15  MAI   1658.  393 

Art.  5''.  Je  remarque  d' abord,  etc.  —  Le  manque  de  mémoire  qui  est 
ici  imputé  à  M.  Descartes,  est  fondé  sur  la  croyance  que  M.  de  Fermât 
a,  que  la  détermination  de  haut  en  bas  [de  l'exemple]  de  la  page  17  de 
la  Dioptrique  n'est  point  changée,  qui  est  une  erreur  semblable  à  celle 
qui  a  été  désavouée  dans  la  remarque  sur  l'article  3^  Et  il  ne  sert  de 
rien,  pour  prouver  sa  pensée,  de  dire  que  la  détermination  dans  la 
ligne  BI  est  composée  en  partie  de  celle  qui  fait  aller  le  mobile  de 
haut  en  bas,  comme  |  étoitj  celle  qui  le  faisoit  auparavant  mouvoir 
vers  le  même  côté  dans  la  ligne  AB.  Il  y  a  [en  cela]  de  l'équivoque, 
et  encore  qu'on  remarque  toujours  une  détermination  de  haut  en  bas, 
la  seconde  est  autre  que  la  première,  de  même  que  dix  écus  sont  une 
autre  (juantité  d'écus  que  quinze  écus,  encore  que  ce  soit  toujours  des 
écus. 

AuT.  B".  Mais  donnons  que,  etc.  —  Après  que  M.  de  Fermât  accorde, 
comme  par  forme  de  passe-droit,  une  chose  qui  est  de  devoir,  il  s'ef- 
force de  prouver  que  M.  Descartes  ne  s'est  pas  aperçu  que  la  détermi- 
nation de  gauche  à  droite  étoit  aussi  changée;  ce  qui  véritablement 
infirmerait  sa  démonstration.  La  raison,  dit-il,  est  qu'on  ne  sauroit 
dire  que  la  détermination  de  haut  en  bas  soit  changée,  sinon  parce 
que,  depuis  que  le  mobile  se  meut  dans  la  ligne  BL  sa  quantité  n'a 
plus  la  même  raison  avec  celle  de  gauche  li  droite,  qu'elle  avoit  quand 
il  étoit  porté  dans  la  ligne  AB. 

Je  ne  sais  si  M.  de  Fermât  parle  ici  tout  de  bon,  d'autant  (ju'il  rai- 
sonne comme  une  personne  qui,  après  avoir  porté  quinze  écus  dans 
l'une  de  ses  pochettes  et  trente  dans  l'autre,  et  en  ayant  perdu,  par 
je  ne  sais  quel  accident,  quelques-uns  des  quinze,  reconnoîtroit  cette 
perte  par  cela  seulement  que  ce  qui  lui  reste  des  quinze  n'est  plus  la 
moitié  de  la  somme  qu'il  a  de  l'autre  côté,  après  quoi  il  vient  à  croire, 
pour  se  consoler,  que  cette  dernière  est  augmentée,  parce  qu'elle  fait, 
en  récompense,  plus  du  double  de  celle  d'oîi  il  trouvoit  d'abord  à 
redire. 

M.  Descartes  raisonne  d'une  autre  façon,  sans  pourtant  le  faire 
autrement  qu'un  jeune  homme  qui  n'auroit  pas  appris  le  cinquième 

Feiimat.  —  W.  5o 


39i  ŒUVRES  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

Livre  dos  Eloinonts  d'Euclitlo.  Car,  comme  celui-ci  jugeroit  qu'il 
auroit  penUi  quolquos-uns  des  quinze  écus,  en  comparant  ce  qui  lui 
restcroit  avec  ce  ([u'il  avoil  aui)aravant  dans  la  même  pochelle,  et  ne 
se  soucieroit  pas  de  les  comparer  avec  les  trente  de  l'autre,  de  même 
M.  Descartes  juge  du  changement  arrivé  en  la  détermination  de  haut 
en  has.  parce  que  sa  quantité  n'est  plus  la  même,  depuis  (|ue  le  mobile 
est  au  dessous  de  la  surface  CBlî,  qu'elle  étoit  quand  il  étoit  au  dessus. 
Et  il  a  raison  d'assurer  que  la  détermination  de  gauche  h  droite  n'est 
pas  changée,  parce  que  sa  quantité  est  la  même,  le  mobile  étant  dans 
la  ligne  BI,  qu'elle  étoit  quand  il  étoit  porté  en  AB. 

Art.  t.  Mais  donnons  encore,  etc.  —  Outre  que  M.  de  Format 
accorde  encore  ici  gratuitement  une  chose  qu'il  auroit  tort  de  con- 
tester, comme  il  se  voit  dans  la  remarque  précédente,  cet  article  ne 
contient  que  quelques  paroles  de  M.  Descartes. 

Art.  8°.  Voyez  comme  il  retombe,  etc.  —  M.  Descartes  est  ici  accusé 
do  retomber  pour  la  seconde  fois  dans  une  même  faute,  manque  de  se 
ressouvenir  qu'il  y  a  différence  entre  la  détermination  et  le  mouve- 
ment. Mais  cette  accusation  n'est  fondée  que  sur  ce  que  M.  de  Fermât 
priMul  un  peu  rigoureusement  les  paroles  de  M.  Descartes  :  car,  quand 
il  dit  ces  mots  :  elle  doit  /aire  deux  fois  autant  de  chemin  vers  le  même 
côté,  cela  ne  signifie  pas  que  la  balle  se  meuve  dans  une  ligne  deux 
fois  plus  grande  qu'auparavant,  mais  que,  quelle  que  soit  cette  ligne, 
elle  doit  tellement  è(re  incliuée  vers  la  droite  que  la  balle  avance  do 
ce  côté-là  doux  fois  plus  qu'elle  n'avoit  fait.  C'est  le  sens  qu'il  falloit 
donner  aux  paroles  de  M.  Descartes,  au  lieu  de  l'autre,  par  lequel  on 
prétend  qu'il  confond  deux  choses  diverses;  et  son  intention  étoit 
assez  évidente  parce  que  pendant  qu'il  dit  que  la  quantité  de  la  dé- 
termination devient  double  dans  le  même  temps,  il  suppose  que  le 
mouvement  n'est  que  simple,  c'est  ii  dire  que  le  mobile  parcourt  une 
ligne  égale  à  celle  qu'il  avoit  parcourue  auparavant. 

Ce  qui  suit  de  cet  article,  et  l'absurdité  que  M.  de  Fermât  y  conclut, 
n'est  pas  au  désavantage  de  M.  Descartes,  qui  nieroit  que  la  do(ormi- 
nation  de  haut  en  bas  demeure  la  même,  suivant  ce  qui  a  été  dit  dans 


XCIV.  -  la   MAI   1638.  393 

la  remarque  sur  le  3"  article,  et  ainsi  tout  cet  appareil  de  raisonnemenl 
s'en  va  en  fumée. 

Anr.  9,  10,  H,  12.  —  Je  passe  pour  vrai  tout  ce  que  contiennent  ces 
articles;  mais  je  crains  qu'ils  ne  fassent  point  du  tout  au  sujet. 

Art.  13''.  Cela  ainsi  supposé,  etc.  —  M.  de  Fermât  estime  que,  dans 
la  page  20  de  la  Dioptrique,  la  supposition  de  M.  Descartes  est  que 
l'accroissement  d'un  tiers  de  mouvement  qui  arrive  à  la  balle  soit  sim- 
plement de  haut  en  bas  ou  selon  la  ligne  BG,  au  lieu  que  c'est  le 
mesurer  dans  la  ligne  qu'elle  a  à  décrire  ou  parcourir  actuellement. 
Et  cela  est  assez  aisé  à  entendre,  parce  que,  si  cela  étoit,  M.  Descartes 
n'auroit  pas  supposé,  comme  il  a  fait,  la  force  du  mouvement  de  la 
balle  être  augmentée  d'un  tiers,  mais  il  auroit  supposé  la  détermina- 
tion de  haut  en  bas  être  augmentée  d'un  tiers,  et  n'auroit  rien  supposé 
du  mouvement.  H  ne  faut  donc  pas  dire  qu'à  son  sens,  la  balle  qui  se 
meut  en  BI  s'y  meuve  d'un  mouvement  composé  de  celui  qu'elle  avoit 
vers  BD  et  d'un  autre  vers  BG  dont  on  veuille  qu'il  suppose  la  quan- 
tité être  du  tiers  plus  de  ce  qui  étoit  en  AB,  mais  bien  que  le  mou- 
vement actuel  de  la  balle  soit  d'un  tiers  plus  vite  qu'auparavant, 
laissant  au  raisonnement  à  définir  quel  changement  doit  suivre  de  là 
en  la  détermination  de  haut  en  bas. 

Anr.  14^  Imaginons  ensuite,  etc.  —  Ce  que  M.  de  Fermât  conclu! 
dans  cet  article  est  vrai  dans  sa  supposition,  laquelle,  comme  je  viens 
de  remarquer,  étant  dilférente  de  celle  de  M.  Descartes,  il  ne  faut  pas 
s'étonner  s'ils  établissent  tous  deux  des  proportions  différentes  des- 
tjuelles  par  conséquent  l'une  ne  sauroit  détruire  l'autre. 

Art.  15".  D'ailleurs  la  principale  raison,  etc.  —  Il  est  vrai  que 
M.  Descaries  entend  que  le  mouvement  d'un  mobile  accroît  toujours 
d'une  pareille  quantité  en  pénétrant  un  même  milieu,  quoiqu'il  tombe 
sur  la  surface  avec  des  inclinaisons  différentes.  Et  cela  est  bien  rai- 
sonnable, puisque  la  facilité  de  se  mouvoir  dépend  de  la  nature  du 
corps  que  l'on  suppose  tel  qu'il  se  peut  ouvrir  pour  faire  passage 
aussi  facilement  vers  un  côté  que  vers  un  autre,  et  (jue  de  l'inclinaison 
du  rayon  d'incidence  dépend  seulement  la  détermination  à  la  quantité 


390  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  COUKESPONDANCE. 

il(>  la(|Ui'II('  les  divcrsos  cluitos  poiin'diil  ;ii)[»orl(M'  do  la  variole  selon  l(^ 
rapport  qu'auront  (Milrc  cllos  la  (l(''tormination>of  la  vitosso.  Ce  quo 
.M.  de  Fermât  ajoute  ensuite  el  (|iril  dil  avoir  démontré  être  Taux  n'est 
vrai  (]ne  dans  la  supposition  qu'il  croyoil  être  celle  do  M.  Doscartos. 
mais  qui  pourtant,  comme  j'ai  montré,  en  est  fort  dilîoronte. 

ArxT.  16".  Ce  n'est  pas  que,  etc.  —  M.  de  Format  avoue  qu'il  n'est 
pas  certain  s'il  faut  suivre  sa  proportion  plutôt  quo  celle  qu'il  tâche 
de  combattre.  iMais  je  no  fais  pas  dilliculté  d'avouer  qu'il  faudroit 
retenir  la  sienne,  si  l'accélération  ou  le  ralentissement  du  mouvement 
dépendoit  de  la  seule  surface  commune  aux  deux  corps  dans  lesquels 
le  mohile  se  meut  :  mais  parce  que  cette  surface  ne  sauroil  quo  dé- 
liuirner  le  mouvement  et  quo  c'est  le  second  corps  qui  le  facilite  ou 
(|ui  rempèche,  on  doit  retenir  colle  de  M.  Descartes. 

Nous  saurons,  quand  il  plaira  à  M.  de  Format,  les  pensées  qu'il  a 
touchant  la  réfraction;  mais  je  puis  déjà  dire  par  avance  que  ce  que 
vous  m'en  avez  fait  voir  d'ébauché  dans  sa  lettre  à  M.  de  la  (Chambre 
m'a  paru  fort  ingénieux  et  digne  de  lui  (  '  ). 

Si  vous  lui  faites  voir  ceci,  je  vous  prie  de  lui  taire  mon  nom,  ou,  si 
vous  trouvez  à  propos  do  le  lui  déclarer,  je  vous  prie  aussi  qu'il  sache 
quo  ce  n'est  pas  d'aujourd'hui  quo  le  bruit  do  son  nom  est  venu 
jusquesàmoi;  que  j'honore  beaucoup  son  mérite,  et  que  je  tiendrai 
à  honneur  s'il  me  daigne  faire  la  grâce  de  me  mettre  au  rang  do  ses 
très  humbles  serviteurs. 

(  '  )  LoUre  I.XXXVI. 


XCV.  -  2  JUIN  1638.  397 

XCV. 
FERMAT  A  CLERSELIER   ('). 

DIMANCHE   2   JUIX    1638. 

(D.,  lU,  '^■•,■,  Bill.  nat.  fr.  SsSo,  n.  acrj.,  f-  57-61.) 

Monsieur, 

1.  Je  suis  si  passionné,  pour  la  gloire  de  M.  Descartes  que  vous  ne 
pouvez  m'obliger  plus  sensiblement  qu'en  combattant  les  opinions  du 
sceptique  qui  s'oppose  à  ses  sentiments.  Mais  prenez  garde,  Monsieur, 
(]u"il  importe  de  conduire  votre  travail  jusquesaubout,  et  de  renverser 
entièrement  sur  leurs  auteurs  tout  ce  que  vous  appelez  ou  paralo- 
gismes  ou  sophismes.  Il  ne  suffit  pas  de  dire  que  le  sens  de  M.  Des- 
cartes a  été  mal  pris  par  ceux  qui  le  reprennent;  il  faut  prouver  que 
l'explication  que  vous  lui  donnez  va  tout  droit  et  sans  détour  à  sa 
conclusion,  et  qu'enfin  sa  preuve  est  démonstrative. 

2.  Nous  avions  cru  que  la  balle  qui  conserve  sa  direction  et  sa  route 
ne  perd  point  sa  détermination,  et  nous  l'avions  avec  quelque  raison 
inféré  de  la  dilTérence  que  M.  Descartes  établit  entre  le  mouvement  et 
la  détermination.  Mais,  sans  nous  empresser  davantage  à  prouver  la 
conséquence  que  nous  tirions  de  son  raisonnement,  nous  nous  tenons 
pour  suffisamment  avertis  de  sa  pensée  et  de  la  vôtre,  qui  veut  «  que  la 
détermination  d'un  mobile  soit  réputée  changer,  non  seulement  quand 
il  quitte  la  ligne  dans  laquelle  il  se  mouvoit  auparavant,  ou  quand  il  se 
meut  à  contre-sens  dans  la  même  ligne,  mais  encore  en  se  mouvant  du 
même  sens  dans  la  même  ligne  droite,  pourvu  que  ce  soit  moins  loin 
(|u'il  n'étoit  déterminé  d'aller  en  ce  sens-là. 

Et  c'est  en  cette  troisième  façon  »,  dites-vous  (^),  «  que  la  quantité 
de  la  détermination  de  la  balle  est  devenue  moindre  autant  que  le 

(')  Réponse  aux  Lettres  XCUI  et  XCIV. 
(2)  Lettre  XCIV,  3. 


:J98  (lUIVRES  DE  FERMAT.-  COHUESPONDANCE. 

iiioiivoiiHMil  »,  lorsqu'elle  so  nuMil  siii'  la  ligno  HHG  de  la  page  17  de 
la  Dioptrique  (').  Mais  prenez  garde  que  ce  ne  soit  tomber  dans  la 
pélilidii  du  principe. 

Viuis  entendez  doue,  dans  la  page  17,  (jue  la  loile  n'élanl  aiinine- 
wf«/ opposée  à  la  détermination  de  gaiiclie  à  droite,  ces  paroles  venlenl 
dir(>  (|ne  eette  détermination  avance  aulant  vers  la  droite  qu'elle  l'aisoil 
auparavant.  C'est  ce  que  je  nie  et  qu'il  faut  prouver  :  car,  bien  que  la 
toile  n'empêche  point  que  la  balle  n'avance  toujours  vers  la  droite, 
elle  ne  laisse  pas  d'avancer  vers  la  droite,  soit  que  ce  progrès  soil 
plus  lent,  soit  qu'il  soit  plus  vite  qu'auparavant.  Or,  de  cela  seul  que 
la  toile  n'empêche  pas  le  progrès  vers  la  droite,  vous  en  inférez  que  ce 
progrès  doit  être  justement  le  même,  c'est  à  dire  ni  plus  ni  moins  vite 
qu'auparavant.  C'est  donc  ai'TYj[j.a  a.[Ti\\i.oi.':oc„  et  il  faut  de  deux  choses 
l'une  :  ou  que  le  médium  soil  le  même  que  la  conclusion,  ou  que  la 
conclusion  en  soit  mal  tirée. 

Peut-être  direz-vous  que  le  mot  aucunement  fait  tout  le  mystère,  et 
qu'en  disant  que  la  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là, 
tout  le  reste  s'en  déduit  aisément.  IMais  il  en  faut  toujours  revenir  là  : 
si  par  le  mot  aucunement  vous  entendez  que  la  toile  n'empêche  pas 
que  la  balle  ne  continue  sa  marche  vers  la  droite  et  que  son  progrès 
ne  se  fasse  également  et  en  temps  égal,  je  le  nie  et  c'est  ce  qu'il  faut 
prouver;  si  vous  entendez  que  la  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée, 
c'est  à  dire  qu'elle  n'empêche  pas  que  la  balle  ne  continue  d'avancer 
vers  la  droite,  sans  assurer  encore  si  son  progrès  doit  se  faire  en  temps 
égal,  vous  ne  trouverez  jamais  votre  compte  dans  la  conclusion. 

D'où  il  suit  clairement  que  M.  Descartes  a  voulu  donner  des  paroles 
pour  des  choses,  et  qu'en  traitant  deux  propositions  dilTérentes  sur  le 
sujet  de  la  réflexion  et  de  la  réfraction,  il  a  voulu  accommoder  son 
raisonnement  à  la  première  qu'il  savoit  et  à  la  seconde  qu'il  a  peut- 
être  trop  légèrement  crue. 

3.  Ce  n'est  pas,  comme  je  vous  ai  déjà  souvent  prolesté,  que  sa  pro- 

C)  foir  fig.  OO,  page  118  ou  39<). 


xcv. 


2  JUIN   1658. 


399 


portion  des  réfractions  ne  puisse  être  vraie;  mais  j'ai  du  moins  à  vous 
dire  que  je  ne  la  tiens  du  tout  point  prouvée,  et  qu'en  tout  cas  vous 
avez  trop  de  complaisance  en  faisant  semblant  d'approuver  ma  pensée 
sur  ce  même  sujet  ('),  puisque,  si  ce  que  j'ai  écrit  là  dessus  à  M.  de  la 
Chambre  est  véritable,  ce  que  M.  Descartes  croit  avoir  démontré  est 
nécessairement  faux,  ces  deux  opinions  étant  tout  à  fait  contradic- 
toires et  incompatibles. 

Mais  supposons,  si  faire  se  peut,  que  la  proposition  de  M.  Descartes 
soit  véritable.  Il  faut  du  moins  pourvoir  à  ce  que  rien  ne  se  démente 
dans  les  suites,  et  c'est  aux  amis  du  défunt  à  prévoir  tous  les  cas  qui 
pourroient  faire  peine  à  la  vérité  supposée  de  cette  proposition.  En 
voici  un,  par  exemple,  qu'il  vous  faudra  tâcher  de  résoudre. 

Supposez,  dans  la  page  17,  que  la  balle  rencontre,  au  lieu  de  la 

Fi-.  50. 


toile  ou  de  l'eau,  un  corps  dur  et  impénétrable,  et  que,  lorsque  la 
Italie  arrive  au  [)oint  B,  elle  ne  laisse  pas  de  perdre  la  moitié  de  sa 
vitesse.  Car  cette  supposition  est  possible  et,  quoique  le  corps  CBEne 
contribue  rien  à  la  diminution  de  ladite  vitesse  (comme  il  fait  en 
l'exemple  de  M.  Descartes,  lorsque  c'est  de  la  toile  ou  de  l'eau),  néan- 
moins nous  pouvons  imaginer  et  supposer  que,  lorsque  la  balle  arrive 
au  point  B,  elle  perd  justement  la  moitié  de  sa  vitesse,  sans  nous 
mettre  en  peine  d'où  provient  cette  diminution,  puisque  le  même 
M.  Descartes,  en   la  page  20,    suppose   ou  imagine  au  point  B  une 


(  >  )  Lettre  XCIV,  16. 


400  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

nouvelle  puissaïu'o  (Hii  !uiii,nion(e  le  inouvement  ou  la  vitesse  do  la 
balle  :  de  sorte  que  je  ne  erois  pas  que  les  amis  do  !\f.  Descartes  soient 
assez  injustes  pour  nier  (|ue  eotlo  supposition  puisse  ê(ro  non  seule- 
ment imaginée,  mais  réduite  en  acte. 

Cela  supposé,  il  no  fiint  que  transporter  le  raisonnement  de  M.  Des- 
eartes  au  dessus  du  plan,  et  on  pourra  dire  avec  lui  que,  pour  savoir 
le  chemin  (|ue  la  balle  doit  prendre,  il  faut  considérer  que  son  mouve- 
ment (litière  entièrement  de  sa  détermination  à  se  mouvoir  plutôt  vers 
un  coté  que  vers  un  autre  :  d'où  il  suit  que  leur  quantité  doit  être 
examinée  séparément. 

Considérons  aussi  que,  des  doux  parties  dont  on  peut  imaginer  que 
cette  détermination  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre 
la  halle  do  haut  en  has  qui  puisse  être  changée  par  la  rencontre  du 
plan  CBE,  et  (|uo,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre  vers  la  main  droite, 
elle  doit  toujours  demeurer  la  môme  qu'elle  a  été,  à  cause  que  ce  plan 
ne  lui  est  aucunement  opposé  en  ce  sens-lii. 

Puis,  ayant  décrit  du  centre  B  le  cercle  AFD  et  tiré  à  angles  droits 
sur  CBE  les  trois  lignes  droites  AC,  HB,  FE,  en  telle  sorte  qu'il  y  ait 
deux  fois  autant  de  distance  entre  FE  et  HB  qu'entre  HB  et  AC,  nous 
verrons  que  cette  halle  doit  tondre  vers  le  point  du  cercle  oii  la 
ligne  FE  coupe  le  cercle  au  dessus  du  plan;  ce  point  peut  être  désigné 
par  la  ieltro  (). 

Car,  puisque  la  balle  perd  la  moitié  de  sa  vitesse  en  rencontrant  le 
plan  au  point  B  et  <[u'ollo  ne  peut  point  le  traverser  par  la  supposition, 
elle  doit  employer  deux  fois  autant  de  temps  à  passer  au  dessus  de- 
puis B  jusqucs  à  quelque  point  de  la  circonférence  du  cercle  AFD, 
qu'elle  a  fait  à  venir  depuis  A  jusqucs  à  B.  Et,  puisqu'elle  ne  perd 
rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle  avoit  ii  s'avancer  vers  le  côté 
droit,  en  deux  fois  autant  do  temps  qu'elle  en  a  mis  à  passer  do[)uis  la 
ligne  AC  jusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux  fois  autant  de  chemin  vers 
ce  même  côté,  et  par  conséquent  arriver  à  quelque  point  de  la  ligne 
droite  FE  au  même  instant  qu'elle  arrive  aussi  à  quelque  point  de  la 
circonférence  du  cercle  AFD.  Ce  (\u\  seroit  impossible  si  elle  n'alloit 


XCV.  -  2  JUIN  I608. 


401 


vers  0,  d'autant  que  c'est  le  seul  point  au  dessus  du  plan  CBE  où  le 
cercle  AFD  et  la  ligne  droite  FE  s'entrecoupent. 

Si  ce  raisonnement,  qui  est  justement  le  même  que  celui  de  M.  Des- 
cartes, en  le  transportant  seulement,  ne  conclut  pas,  pourquoi,  de 
grâce,  celui  de  M.  Descartes  conclura-t-il?  Ce  qui  est  démonstration 
au  dessous  deviendra-t-il  paralogisme  au  dessus?  Je  ne  crois  pas  que 
vous  soyez  de  ce  sentiment  et  que  vous  vouliez  donner  tout  au  seul 
nom  et  à  l'inspiration,  s'il  faut  ainsi  dire,  de  M.  Descartes. 

4.  Cela  étant,  passons  à  la  figure  de  la  page  19,  et  supposons  de  même 
que  le  plan  CB  est  un  corps  dur  et  impénétrable,  et  que  la  balle,  arri- 
vant au  point  B,  diminue  de  sa  vitesse  en  telle  sorte  que  la  ligne  FE, 
étant  tirée  comme  en  l'exemple  précédent,  ne  coupe  point  le  cercle  AD. 


Cette  balle,  par  la  supposition,  ne  peut  point  pénétrer  au  dessous 
du  plan.  Elle  ne  peut  non  plus  se  réfléchir  à  angles  égaux,  car  sa  dé- 
termination vers  la  droite  ne  seroit  point  la  même.  Enfin,  quelque 
angle  que  vous  preniez  pour  sa  réflexion  au  dessus  du  plan,  son  pro- 
grès vers  la  droite  sera  toujours  moindre  qu'auparavant.  Voire  même 
quand  vous  la  feriez  rouler  sur  le  diamètre  CB  en  ligne  droite,  sa  dé- 
termination vers  la  droite  cliangeroit  encore,  comme  il  se  voit  à  l'œil 
et  comme  il  se  déduit  clairement  de  la  supposition  :  car  il  faudroit 
qu'au  même  temps  que  la  balle  arrive  à  quelque  point  de  la  circon- 
férence, elle  arrivât  à  quelque  point  de  la  droite  FE,  ce  qui  est  impos- 
sible. 

Que  deviendra  donc  cette  balle?  C'est  à  vous.  Monsieur,  et  aux  amis 

Fermât.  —  U.  01 


W-1  ŒUVRES   DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

ilo  M.  Doscarlcs,  à  lui  l'ouriiir  un  passeport  et  à  lui  mar(|uersa  l'oute 
en  la  taisant  sortir  de  ce  point  fatal.  J'en  dirois  davantage  si  je  n'ap- 
préhendois  de  passer  dans  votre  esprit  pour  un  homme  qui  auroit 

envie  de 

Barham  vcllere  morUin  Iconi  ('). 

J'attends,  Monsieur,  votre  réplique  ou  celle  de  M.  Roliault,  que  j'es- 
liine  comme  je  dois;  et  je  vous  assure  à  l'avance  que  je  ne  cherche 
que  la  vérité  sans  chicane,  et  que  je  suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur, 
votre  très  humble  et  très  alTectionné  serviteur, 

Fermât. 


XCVI. 
FERMAT  A  KENELM  DIGBY  (-). 

(Comm.  ep.,  11°  XLVII.) 

1.  lUustrissimos  Viros  Vicecomitem  Brouncker  et  Johannem  Walli- 
sium  quaestionum  numericarum  a  me  propositarum  solutioncs  tandem 
dédisse  légitimas  libens  agnosco,  inio  et  gaudeo.  Noluerunt  Viri  Cla- 
rissimi  vel  unico  momento  impares  sese  aut  -JÎTTovaç  quœstionibus 
propositis  contiteri;  mallem  ipsos  et  quiestiones  ipsas  dignas  labori- 
bus  Anglicis  statim  agnovisse  et,  postquam  adepti  ipsarum  solutiones 
fuissent,  triumphum  eo  illustriorem  egisse  quo  certamen  magis  arduum 
apparuisset.  Contrarium  ipsis  visum  est;  id  sane  glorise  illustrissimœ 
et  ingeniosissimae  nationis  condonandum.  Verùm,  ut  deinceps  ingénue 
utrimque  agamus,  fatcntur  Galli  propositis  quaîstionibus  satisfecisse 
Anglos;  sed  fateantur  vicissim  Angli  qusestiones  ipsas  dignas  fuisse 
quae  ipsis  proponerentur,  nec  dedignentur  in  posterum  numerorum 

(')  Martial,  livre  X,  cpigr.  go. 

(')  Envoyée  par  Digby  à  Wallis,  le  19  juin  ifJJS. 


XCVI.  -  JUIN   1638.  403 

integrorum  naturam  accuratius  examinaro  et  introspicerc,  imo  et  doc- 
trinam  istam,  quâ  pollent  ingenii  vi  et  subtilitate,  propagare. 

2.  Quod  ut  ab  illis  libentius  impetremus,  Diophantum  ipsum  ot 
celeberrimum  illius  interpretem  Bachetum  ad  auctoritatem  rei  pro- 
ponimus. 

Supponit  Diophantus  in  plerisque  Libri  IV  et  V  quîestionibus  niime- 
riim  omnem  integrum  vel  esse  qtiadratitm  i^el  ex  duobus  aiit  tribus  aiit 
quatuor  quadratis  composilum.  Id  sibi  Bachetus,  in  commcntariis  ad 
qusestionem  xxxi  Libri  IV,  perfecta  demonstratione  assequi  nondum 
licuisse  fatetur.  Id  Renatus  ipse  Descartes  incognitum  sibi  ingénue 
déclarât  in  epistola  quadam,  quani  propediem  edendam  accepimus, 
imo  ot  viam,  quahucperveniatur,  difTicillimam  et  abstrusissimam  esse 
non  dilfitetur  (').  Cur  igitur  de  propositionis  illius  dignitate  dubite- 
mus,  non  video.  Ejus  tamen  perf'ectam  demonstrationem  a  me  inven- 
tani  moneo  Viros  Clarissimos. 

Possem  et  plerasque  adjungere  propositiones  non  solum  celeberri- 
mas,  sed  et  firmissimis  demonstrationibus  probatas;  exempli  causa  : 

Omnis  numerus  primus  qui  nnitate  superat  quaternarii  multipli- 
cem,  est  compositus  ex  duobus  quadratis.  Hujusmodi  sunt  5,  l'i,  17, 
29,  37,  4i,  etc. 

Omnis  numerus  primus  qui  unitate  superat  tcrnarii  multiplicem,  est 
compositus  ex  quadrato  et  triplo  alterius  quadrafi.  Taies  sunt  7,  i3, 
19,  3i,  37,  43,  etc. 

Omnis  numerus  primus  qui  vel  unitate  vel  ternario  superat  octo- 
narii  multiplicem,  componitur  ex  quadrato  et  duplo  alterius  quadrati. 
Taies  sunt  3,  1 1,  17,  19,  4i,  43,  etc. 

Sed  et  praïcedentem  Bacbeti  propositionem  generaliter  olim  Domino 

(  1  )  Lettres  de  M''  Descartes,  éd.  Clerselier,  III,  66,  p.  365  :  «  Mais  pour  ce  Thcoreme,  qui 
est  sans  doute  l'un  des  plus  beaux  qu'on  puisse  trouver  touchant  les  nombres,  je  n'en 
sçay  point  la  démonstration,  et  je  la  juge  si  difficile  que  je  n'ose  entreprendre  de  la  cher- 
clier.  »  (Lettre  à  Mersenne,  du  ■?-  juillet  i638.)  Descartes  parle  du  théorème  général 
énoncé  dans  la  Lettre  de  Fermât  pour  Sainte-Croix  (ci-dessus  XIl,  3)  et  rappelé  ci- 
après. 


iO'.  (P.IVUES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

«le  Saiiilc-r.roix  proposuimus  ('),  cjusquc  demonslralioiicm  non  igno- 
ranuis. 

Omnis  niimorus  intogcr  :  vcl  csl  (riantçulus  vt'l  ox  tliiobus  aiil  (ribiis 
(riangulis  coiiipositus;  ost  quadradis  vcl  ex  duobus,  tribus  aiil  qua- 
liior  (luailratis  compositus;  est  pentagonus  vcl  ex  duobus,  tribus,  qua- 
tuor aul  (|uinque  pentagonis compositus;  csthexagonus  velex  duobus. 
tribus,  quatuor,  quinquc  vcl  scx  hcxagonis  compositus;  et  sic  uni- 
lormi  iii  inliniluin  cnuntiafioiie. 

3.  H?ec  omuia  cl  alla  iutiiiita  qmv  ad  uumeros  integros  spectant, 
qua^quc  a  iiobis  et  inventa  et  generaliter  demonstrata  sunt,  possemus 
et  proponere  Viris  Clarissimis  et,  proponendo,  ncgotium  saltem  ali- 
(|uod  ipsis  facessere.  Sed  ingenuitatcm  gallicam  sapient  magis  propo- 
sitiones  aliquot  quarum  demonstrationem  a  nobis  ignorari  non  difR- 
Icmur,  licet  de  carum  veritate  nobis  constet. 

Meminimus  Arcbimedem  non  dedignatum  propositionibus  Cononis, 
vcris  quidem,  sed  tamen  indcmonstratis,  ultimam  manum  imponere, 
earumque  veritatem  demonstrationibus  illis  subtilissimis  contirmare. 
Cur  igitur  simile  auxilium  a  Viris  (Clarissimis  non  exspectem,  Conon 
scilicet  Gallicus  ab  Archimedibus  Anglis? 

1°  Potestates  omnes  numeri  2,  quarum  cxponentes  sunt  tcrmini 
progressionis  geometricse  ejusdem  numeri  2,  unitate  auctas  sunt  nu- 
meri prinii  (-  ). 

Exponatnr  progressio  geometrica  2,  cum  suis  exponentibus  : 

1.2.3.      4-      5.      6.        7.        S. 
2.     4.     8.      iG.     32.     64.      128.     2.56. 

Primus  terminus  2,  auctus  unitate,  f'acit  3,  qui  est  numcrus  pri- 
mas. 

Secundus  terminus  4.  auctus  unitate,  iacit  5,  qui  est  paritcr  numc- 
rus primus. 

(  ')  Foir  Lellrc  XII.  3. 
(2;  Foir  Lcllru  .\L11I,  3. 


XCVI.  -  JUIN   1658.  105 

Quartus  terminus  iG,  auctus  unitatc,  facit  17,  numcruni  primuni. 

Octavus  terminus  206,  auctus  unitate,  facit  257,  numerum  primuni. 

Sume  generaliter  omnes  potestates  2,  quarum  exponentcs  sunt  nu- 
meri  progressionis,  idem  accidet.  Nam,  si  sumas  deinde  decimum  sex- 
tum  terminum,  qui  est  65536,  ille  auctus  faciet  65537,  numerum 
primum.  Hoc  pacto,  potest  dari  et  assignari  nullo  negotio  numerus 
primus  dato  quocumque  numéro  major. 

Quœritur  demonstratio  illius  propositionis,  pulchr*  sane,  sed  et 
verissim;e,  cujus  ope,  ut  jam  diximus,  problema  alias  difficillimum 
solvi  statim  potest  :  Dato  quovis  numéro,  invenire  numerum  primum  clalo 
numéro  majorem.  Hujus  clavis  bénéficie  reserabunt  fortasse  Viri  Cla- 
rissimi  mysterium  omne  de  numeris  primis,  hoc  est  :  Dato  numéro 
(juoiis,  invenire  via  brevissima  et  facillima  an  sit  primus  vel  compositus. 

2°  Deinde  :  Duplum  cujuslibet  numeri  primi  unitate  minoris  quam 
multiplex  octonarii,  componitur  ex  tribus  quadratis. 

Este  quilibet  numerus  primus,  unitate  minor  quam  octonarii  multi- 
plex ut  sunt  7,  23,  3i,  47,  etc.;  eorum  duplex  est  i4,  46,  62,  94  :  com- 
ponitur ex  tribus  quadratis. 

Propositionem  illam  veram  asserimus,  sed  Cononis  modo,  nondum 
ant  asscrente  aut  dcmonstrante  Archimedc. 

3°  Si  duo  numeri  primi,  desinentes  aut  in  3  aut  in  7,  et  quaternarii 
multiplicem  ternario  superantes,  inter  se  ducantur,  productum  com- 
ponitur ex  quadrato  et  quintuplo  alterius  quadrati. 

Talcs  sunt  numeri  3,  7,  23,  43,  4?»  ^7>  etc.  Sume  duos  ex  illis, 
exempli  gratia,  7  et  23;  quod  sub  iis  fit,  161,  componetur  ex  quadrato 
et  quintuplo  alterius  quadrati.  Nam  81,  quadratus,  et  quintuplum  16 
sequantur  161. 

Id  verum  asserimus  generaliter  et  demonstrationem  tantum  exspec- 
tamus.  Singuiorum  autem  ex  ipsis  quadrati  componuntur  ex  quadrato 
et  quintuplo  alterius  quadrati  :  quod  et  demonstrandum  proponitur. 

4.  Sed  ne  demonstrationibus  nimium  fortasse  déesse  videamur,  se- 
quentem  propositionem  et  asserimus  et  possumusdemonstrare. 


406 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


Niilkis  luiiiKTiis  Iriaiii^uluï!,  praHor  unitateni,  u'(|ualiir  numéro  (|iia- 
draloquadrato. 

Siiit  triangiili,  ut  norint  omnos. 

I.     3.      lo.      i5.     '.31.     28.     36.     45.     etc. 

Nullus  omnino,  facta  in  infinitum  progressione,  prseter  solam  uni- 
(atom.  crif  quadratoquadratus. 

5.  Ne  autcm  ad  numéros  integros  déficiente  Geometria  videamur  con- 
fugisse,  en  aliquot  propositiones  geometricas,  qu*  Angliam  invisere 
non  erubcscent.  Priores  duas  ex  restituta  a  nohis  Porismatuni  Eiicli- 
deorum  Geometria  excerpsimus. 

Esto  semicirculus  ANB  {fig.  90)  super  diametro  AB.  Bisecetur  in  N 


semicircumferentia  ANB  et,  junctis  NA,  NB,  a  punctis  A  et  B  exci- 
tentur  perpendiculares  AD,  BG,  ipsis  AN,  NB  a^quales.  Sumpto  quo- 
libet in  semicircumferentia  puncto,  ut  E,  junctis  rectis  DE,  EC  occnr- 
rentibus  diametro  in  punctis  0  et  V,  aio  duo  quadrata  AV,  BO  simul 
sumpta  esse,  in  hoc  casu,  a3qualia  quadrato  diametri  AB. 

Generalius  in  Tractatu  nostro  hoc  problema  aut  theorema  propone- 
bamus,  sed  in  prssens  spéciale  hoc  surticit  ('). 

Esto  parabole  quaevis  AMC  {fig.  91),  in  qua  sumantur  duo  qutç- 
Iil)cl  puncta  A  et  B  et  diameter  qusevis  MN.  Sumatur  quodcumque 
aiiiid  |)iin<tum  in  parabole,  ut  C,  a  quo  ad  puncta  A  et  B  jungantur 

(  ')  Voir  Tome  I,  p.  81  :  Pœismn  r/(ii/iliiiii. 


XCVI.  -  JUIN   1038.  407 

rcctae  diametrum  sécantes.  In  cadcm  semper  ratione  secahitiir  dia- 
meter.  Nam,  sumpto  alio  quovis  puncto  D,  erit 

MO  ad  OV    ut    MI  ad  IN, 

et  semper  similes  abscissse  a  diametro  in  eadem  erunt  ratione  ('). 


Hœc  a  nobis  et  inventa  sunt  et  demonstrata,  quœ  àpioiflaîa);  pro 
theoremate  frusti  conici  offerimus  (^). 

6.  Sed  et  qute  nondum  ex  omni  parte  compléta  sunt,  tentanda 
Anglis  proponere  non  dubitamus. 

Datis  punctis,  rectis  aut  circulis,  invenire  parabolen  quse  per  data 
puncta  transeat  et  datas  rectas  aut  circules  contingat. 

Dari  autem  quatuor  ex  istis  sulïîcit.  Exempli  gratia  :  Datis  duobus 
punctis,  recta  et  circule,  invenire  parabolen  qua?  per  data  puncta 
transeat  et  rectam  circulumque  dates  contingat.  Llnde  eniergunt 
quindecim  problemata. 

In  ellipsi  aut  hyperbole  idem  preponatur;  sed  oo  casu  dcbent  dari 
quinque  aut  puncta  aut  rectœ  aut  circuli  aut  quœdam  ex  istis  numéro 
quinque,  et  Inde  emergunt  21  problemata. 

Nos  olim  in  Tractatu  De  centactibus  sphaericis  similia  in  spluera 
expedivimus  et  tandem  féliciter  problema  sequens  construximus  : 
Datis  quatuor  spha;ris,  invenire  quartam  quœ  quatuor  datas  con- 
tingat (^).  Tractatum  integrum  pênes  Deminum  de  Carcavi  invenies. 

(')  T'oir  Tome  I,  p.  79  :  Porisma  secundum. 

{-)  Cubatiire  du  tronc  de  cône  oblique,  dans  la  lettre  XXIII  du  Commercium  cpistnllcuni 
(de  Wallis  à  Digby,  le  4  mars  i658,  v.  s.). 
(•')  Foir  Tome  I,  p.  O9. 


A, 


W8  <1;LVUES   \)\l  Fl'RMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

.Monomus  tanluni  Viros  (]larissiinos  ut,  seposilis  (aiilis[)('r  spccicljiis 
Analyscos,  problcniata  geometrica  via  Euclidea  o(  Apolloiiiana  ox- 
scquanliir,  no  porcat  paulatim  olcganlia  et  consd'iicmli  cl  iloinon- 
straiidi,  cui  pr;ocipiie  oporain  dédisse  vctores  innuunt  salis  cl  Dala 
Eudidis  el  aiii  a  Pappo  eiuunorali  Analyseos  lihri;  qiios  omiii  ex 
parte  jam  olini  siippleviimis  diiin  operibus  Viet»,  Ghetaldi,  Snellir 
Tractatus  nostros  De  locis  planis,  De  locis  solidis  et  liiiearibiis,  De 
bicis  ad  siiperficiem,  et  De  porismatibus  adjeeimus  (')  :  quos  omnes 
habet  dietus  Dominus  de  Carcavi. 


XCVII. 
FERMAT  A  CLERSELIER. 

DIMANCHE   16  JUIN    1658. 

(D.,  III,  ^8:  BiW.  nat.  fr.  3280,  nouv.  acq.,  f"  63-65.) 

^lONSIEUr», 

1.  Nous  Liissàmes  dernièrement  la  balle  de  M.  Descartes  eu  belle 
peine  (-).  C'est  dans  la  ligure  de  la  page  19  de  la  Dioptrique,  où  elle 
(aisoit  tous  ses  efforts  pour  sortir  du  point  R  à  l'honneur  de  M.  Des- 
eartes;  mais  elle  y  trouva  toutes  les  issues  fermées  en  suivant  le  rai- 
sonnement de  cet  auteur,  et  même  nous  ne  pouvons  lui  donner  pré- 
sentement de  secours,  si  nous  ne  faisons  changer  de  biais  à  sa  logique. 

Reprenons  la  figure  de  la  page  i  j  (Jig.  53)  et  supposons  que  la 
balle  qui  va  dans  la  droite  AR  diminue  sa  vitesse  par  moitié  en  arrivant 
au  point  R. 

Si  elle  continuoit  dans  le  même  milieu,  et  que  le  plan  CHE  ne  lui  lût 
point  opposé,  elle  iroit  toujours  en  ligne  droite  vers  D,  avec  cette  dif- 
férence pourtant  qu'elle  emploieroit  depuis  B  jusques  à  D  le  double 

(  '  )  Foir  Tome  I,  i)agcs  3  ;  91  ;  1 1 1  ;  76. 
(')  f'oir  ci-dessus  la  fin  do  la  lettre  XCV. 


\CV1I.  -  IG  JUIN   ICoS.  W9 

du  temps  qu'elle  avoil  mis  depuis  A  jusques  à  B.  31ais  si,  en  suppo- 
sant la  même  diminution  de  vitesse  au  point  B,  nous  supposons  que 
le  plan  CBE  impénétrable  à  la  balle  se  trouve  maintenant  entre  deux 
et  empêche  que  la  balle  ne  passe  au  dessous,  je  dis  qu'elle  se  réflé- 
chira aussi  bien  à  angles  égaux  que  si  la  vitesse  et  le  mouvement 
demeuroit  le  même. 

Fis.  -^3. 


A 

/-         n          \ 

F 

/ 

y 

\ 

e 

V 

V               G 

\              E 

jX 

_^ 

D 

R 

Car,  puisque  l'interposition  du  plan  n'empêche  que  l'une  des  parties 
dont  la  détermination  est  composée,  et  que  celle  de  gauche  à  droite 
reste  la  même,  donc  la  balle  avancera  autant  vers  la  droite  qu'elle 
eût  fait  au  dessous,  si  le  plan  n'eût  pas  empêché  sa  route.  Or,  si  le 
plan  CBE  ne  faisoit  point  d'obstacle,  la  balle,  qui  diminue  sa  vitesse 
par  moitié  au  point  B,  mettroit  le  double  du  temps  depuis  B  jusques 
à  D  qu'elle  avoit  mis  depuis  A  jusques  à  B,  et  lorsqu'elle  seroit  au 
point  D,  elle  auroit  avancé  vers  la  droite  jusques  en  E;  elle  mettroit 
donc  le  double  du  temps  à  s'avancer  depuis  B  jusques  à  E  qu'elle  avoit 
lait  à  s'avancer  depuis  C  jusques  à  B.  Et  il  y  a  même  raison  de  AB 
à  BC  que  de  BD  à  BE,  parce  que  les  angles  ABC,  DBE,  sur  les  deux 
droites  AD  et  CE,  sont  égaux,  et  par  conséquent  les  triangles  ABC, 
DBE  semblables. 

Nous  pouvons  faire  le  même  raisonnement  au  dessus,  si  du  point  E 
nous  élevons  la  perpendiculaire  EF,  et  dire  que,  lorsque  la  balle  sera 
ii  un  des  points  de  la  circonférence,  comme  F,  elle  y  aura  mis  le 
double  du  temps  qu'elle  avoit  mis  depuis  A  jusques  à  B,  puisque  le 
plan  que  nous  supposons  maintenant  entre  deux  ne  fait  rien  de  nou- 
veau qu'empêcher  la  détermination  de  haut  en  bas.  Et  partant,  la 
détermination  de  gauche  à  droite  sera  pour  lors  marquée  par  le  même 

l'IiRMlT.   —    II.  52 


'.10  ŒUVIIES   DE   FEIIMAT.  -  (:()UUESI>ONDANCE. 

point  E.  ot  |iar  consiMinoiil,  coimni'  VU  ii  VA),  ainsi  la  droite  AU 
sera  ii  W..  D'oii  il  snil  ipic  los  angles  ABC,  FBE  sornnt  loiijonrs  égaux 
ilo  quelque  manière  et  en  quelque  proportion  (jue  la  vitesse  ou  le 
nuuiveiuent  changent. 

2.  Si  M.  Descartes  eût  pris  garde  qu'en  (|uelque  manière  que  la  vitesse 
change  au  point  B,  la  réflexion  ne  laisse  pas  de  se  l'aire  ii  angles  égaux, 
il  n'eût  pas  été  en  peine,  ni  ses  amis  non  plus,  de  tirer  la  balle  du 
point  B.  où  ils  l'ont  [vue|  malheureusement  engagée  dans  l'exemple 
de  ma  dernii're  lettre.  Il  n'eût  pas  soutenu  que,  la  vitesse  venant  à 
changer  au  point  B,  la  halle  ne  reste  pas  d'avancer  vers  la  droite 
autant  qu'tdie  t'aisoit  auparavant.  Il  n'eût  pas  déduit  d'un  fondement 
non  seulement  incertain,  mais  encore  faux,  sa  proportion  des  réfrac- 
tions, et  enfin  il  n'eût  pas  esquivé,  dans  la  figure  (')  de  la  page  19, 
de  déterminer  sous  quel  angle  la  halle  étant  au  point  B  se  réfléchit 
vers  le  point  L. 

Car,  quoiqu'il  paraisse,  par  son  discours  et  par  l'inspection  même 
de  la  figure,  qu'il  a  entendu  que  cette  réflexion  se  fait  à  angles  égaux, 
il  a  laissé  un  petit  scrupule  dans  l'esprit  des  lecteurs,  qui  peuvent 
raisonnablement  douter  si,  dans  l'exemple  de  M.  Descartes,  la  balle 
diminue  sa  vitesse  au  point  B  ou  non.  Si  elle  la  diminue,  la  réflexion 
ne  se  pourroit  pas  faire  à  angles  égaux,  en  suivant  le  raisonnement  de 
JVI.  Descartes.  Que  si  la  balle  ne  diminue  point  sa  vitesse  au  point  B,  y 
a-t-il  rien  de  plus  contraire  aux  lois  inviolables  de  la  pure  Géométrie, 
qui  ne  veut  point  qu'on  puisse  aller  d'une  extrême  à  l'autre  sans 
passer  par  tous  les  degrés  du  milieu? 

3.  Or,  M.  Descartes  et  ses  amis  soutiennent  que  la  halle,  qui  est 
poussée  sur  l'eau  ou  sur  la  toile,  diminue  sa  vitesse  également  en 
toutes  les  inclinations,  lorsqu'elle  la  traverse,  et  que  cette  diminution 
se  fait  dès  le  point  B.  Comment  donc  peut-on  concevoir  que,  dès  le 
premier  angle  où  elle  se  réfléchit,  sa  vitesse  ne  diminue  point  du  tout, 

(1)  roir  fig.  8(),  p.  4oi. 


\CVII.  -  IC  JUIN   1658.  411 

et  qu'il  n'en  puisse  pourtant  être  pris  aucun  plus  grand  auquel  elle  ne 
diminue  d'une  certaine  quantité  qui  soit  toujours  la  même?  Ne  seroit-il 
pas  plus  géométrique  et  plus  naturel  de  soutenir,  dans  le  sentiment  de 
M.  Descartes,  que  la  diminution  de  la  vitesse  se  fait  inégalement,  que 
cette  diminution  est  la  plus  grande  de  toutes  en  la  chute  perpendi- 
culaire d'H  vers  B  et  qu'elle  se  rend  toujours  moindre  à  mesure  que 
les  inclinations  varient  jusqu'à  ce  qu'elle  devienne  nulle?  ce  que 
M.  Descartes  a  peut-être  cru  arriver  lorsqu'elle  se  réfléchit.  Mais, 
parce  que  nous  venons  de  prouver  que,  soit  que  la  vitesse  augmente 
ou  qu'elle  diminue  au  point  B,  la  réflexion  ne  reste  pas  de  se  faire  à 
angles  égaux,  nous  ne  devons  pas  nous  mettre  en  peine  de  rechercher 
plus  soigneusement  la  conduite  secrète  dont  se  sert  la  nature  en  affoi- 
blissant  la  vitesse  de  la  balle  ou  également  ou  inégalement  à  mesure 
que  les  inclinations  viennent  à  changer. 

4.  3Iais  que  deviendra  le  raisonnement  qui  se  doit  faire  au  dessous 
du  plan  CBE,  en  la  page  17,  par  exemple?  Il  sera  le  même  que  leprécé- 

Fis.  56. 


dent  :  car,  que  la  vitesse  diminue  au  point  B  ou  par  la  rencontre  de  la 
toile,  ou  par  quelque  autre  voie  qui  vienne  d'ailleurs,  c'est  tout  la 
même  chose.  Et  puisqu'en  la  figure  de  la  page  17  la  halle  perce  la  toile 
et  qu'au  point  B  la  vitesse  diminue  par  moitié,  elle  ne  peut  jamais  avoir 
la  détermination  vers  la  droite  pareille  à  celle  qu'elle  auroit,  s'il  n'y 
avoit  point  de  toile  et  que  pourtant  la  vitesse  diminuât  par  moitié  au 
point  B,  qu'en  continuant  toujours  sa  roule  vers  la  droite  ABD. 


Vl>  ŒUVRES  DK   FEllM  AT.  -  COURESPONDANCE. 

Vous  n'iilniuoroz  :  .Mais,  à  ce  ('(mi|)l('-là,  la  (U'Icriniiialioa  de  liaiil 
en  l)as  ne  l'iiaugoroit  pas  non  plus  par  la  roiu'oulre  do  la  toile.  Je 
l'avouo.  cl  pour  olor  et  éclaircir  pleinement  cette  diiriculté,  il  ne  laul 
(|U('  diro  ([uc  vous  uo  (ircrez  jamais  auli'c  chose  du  raisoiiuemeuL  des 
inouveinculs  et  des  déterminations  composées  de  M.  Descartes,  sinon 
(|ue  la  réilexion  se  fait  toujours  à  angles  égaux  et  que  la  pénétration 
du  second  milieu  se  doit  toujours  faire  en  ligne  droite.  A  quoi  même 
se  rapporte  ce  que  vous  dites  dans  votre  dernier  écrit  ('),  que  la  balle  a 
toujours  une  même  aisance  à  pénétrer  le  second  milieu  en  foutes  sortes 
d'inclinations;  d'où  il  doit  suivre,  dans  l'application  du  raisonnement 
de  M.  Descartes,  qu'en  toute  sorte  de  cas  la  réflexion  se  fera  à  angles 
égaux,  et  que  la  pénétration  se  fera  de  même  en  tous  les  cas  en  ligne 
droite,  le  mouvement  du  dessous  en  ligne  droite  suivant  les  mêmes 
lois  et  répondant  justement  au  mouvement  du  dessus  ;i  angles  égaux. 

Mais  il  n'y  aura  donc  point  de  réfraction?  me  direz-vous.  Je  réplique 
que  le  mouvement  de  la  balle  et  la  réfraction  ne  se  ressemblent  que 
par  la  comparaison  imaginaire  de  M.  Descartes,  et  qu'au  pis  aller,  si 
le  détour  de  la  balle  en  passant  par  le  second  milieu  est  véritable,  il 
eu  faut  chercher  la  raison  ailleurs  que  dans  la  composition  des  mouve- 
ments, qui  ne  produira  jamais  en  ce  rencontre  qu'un  cercle  dialec- 
tique. 

De  quelque  biais  que  vous  le  preniez,  il  faudra  examiner  les  prin- 
cipes secrets  dont  se  sert  la  nature  en  produisant  la  réfraction,  et  si 
celui  que  j'ai  touché  dans  ma  lettre  ii  M.  de  la  (Chambre  (-)  n(^  vous 
plait  pas,  je  souhaite  qu'il  vous  en  vienne  de  meilleurs  dans  l'esprit, 
et  que  cette  vieille  dispute  aboutisse  enfin  à  la  pleine  et  entière  dé- 
couverte de  la  vérité. 

Je  suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur, 

Votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fermât. 

(')  Pièce  XCIV,  15. 
(2)  Lutlro  LXXXVI. 


XCVIII.  -  21  JUILLET   1638.  4.13 

XCVKL 

LALOUVÈRE  A  FERMAT  ('). 
21  jcii.LET  1638. 

Ainplissiino  Domino  de  Fermât  in  Siiprenia  Caria  Tolosana 
Se  lia  to  ri  inlegerrimo. 

Decem  iiimc  dies  sunt  (Senator  integerrime)  cùm  priinîiin  legi  à  Te 

milii  oblatam  nobilissimi  et  doctissimi  Anonymi  typis  editam  Epis- 

tolam,  qute  à  prœstantissimis  toto  Orbe  Geometris  postulat  solutionem 

quarundain  propositioniun  circa  cycloidern  ejusque  centra   gravilatis. 

Ego  licet,  mese  tenuitatis  mihi  probe  conscius,  noriiii  quàm  longo 

post  magiios  ilios  viros  intervallo  in  Geometrarum  qualiumcumque 

numéro  locuin  teneam;  quia  tamen  quid  de  qusesitis  illis  in  nientem 

mihi  veniret  promere  à  Te  tune  jussus  sum,  malui  temeritatis  quàm 

obsequii  Tibi  non  prompti  prœstituti  nomine  accusari.  En  igitur  quas 

circa  problcmata  ejusmodi  meditatus  sum  viginti  omnino  proposi- 

tiones.  Tu  quem  omnes  Europse  Mathematici  merilb  suspiciunt,  si 

quid  perperam  scriptuni  sit,  aut  si  quid  scriptis  dcsit,  emenda  vel 

supple,   modo  lamen  judiciorum   pnblicorum   occupationes  quibus 

longe  utilius  distineris,  id  patiantur.  Hàc  emendatione  vcl  etiam  sup- 

plemcnto  fidens  noster  liic  libellus  prodibit  iu  vulgus  intrépide,  qua- 

propter  Te  hujus  spei  plenus  adit,  ab  co  nempe  missus  qui  pluribus 

nominibus  jamdiu  Tibi  est 

Addictus  ex  animo  servus 

Antoxius  Lalouek\  Societatis  Jesu. 

Tolosaiio  in  Collegio  XII  Kal.  Aiig.  i658. 

(')  Dédicace  de  l'opuscule  :  De  Cjcloide  Galilœi  et  Torriccllii  Propositiories  viginti 
AiUore  Antonio  Laluuera  SocieUitis  Jesu,  imprime  à  Toulouse  on  i658  (rarissime,  dont 
un  exemplaire  est  conservé  Bibl.  nal.,  Imprimés,  Kcserve  V,  835  A).  —  Reproduite  en 
tête  du  premier  liv're  de  l'Ouvrage  ;  Fctcruin  Geometria  promola  in  septem  de  Cfcloidc 
libros,  ])ublié  par  Lalouvère  en  i66o. 


414  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

XCIX. 
CLERSELIER  A  FER\IAT. 

MEIlCllEDl    '21    AOUT    16.Ï8. 
(D.  m,  .'19.  Bilil.  X:U.  fr.  J280.  uouv.  acq.,  f»'  flti-jn.) 

Monsieur, 

1.  ,To  me  trouvo  aujourd'hui  plus  empêché  à  répondre  (juc  je  n'étois 
la  (h'rnière  fois  :  aussi  avez-vous  change  de  condition  et,  déjuge  que 
vous  étiez,  vous  êtes  devenu  partie.  Quand  je  n'avois  qu'à  défendre 
devant  vous  la  cause  de  M.  Descartes  contre  votre  sceptique,  je  ne  me 
promettois  pas  un  succès  moins  favorable  que  celui  que  j'ai  eu  :  j'avois 
une  bonne  cause  à  défendre,  des  subtilités  à  éclaircir,  et  un  juge  clair- 
voyant pour  ni'entendre  et  prononcer.  Mais,  quand  je  vous  considère 
descendu  de  votre  siège  pour  vous  porter  vous-même  partie  contre 
celui  que  je  défends,  le  respect  que  je  vous  dois  en  quelque  état  que 
vous  paroissiez,  la  grande  estime  que  j'ai  toujours  conçue  de  vous  et 
qui  s'augmente  en  moi  à  mesure  que  vous  vous  faites  davantage  con- 
noitre,  et  le  peu  d'usage  que  j'ai  dans  la  matière  que  nous  agitons  à 
comparaison  de  celui  que  vous  vous  y  êtes  acquis,  tout  cela  m'étonne 
et  fait  que  je  ne  sais  encore  quelle  issue  me  promettre  de  tout  ce  dé- 
mêlé. 

.Te  vous  dirai  pourtant  d'abord  que,  si  je  voulois  agir  avec  moins  de 
franchise  que  ne  m'oblige  l'honnête  procédé  que  vous  gardez  avec 
moi,  je  pourrois  user  d'une  exception  qui  paroitroit  peut-être  légi- 
time et  recevable,  en  vous  accordant  tout  ce  que  vous  dites  et  pré- 
tendant que  tout  cela  ne  fait  rien  contre  M.  Descartes  et  ne  combat  en 
aucune  façon  sa  doctrine  de  la  réflexion  et  des  réfractions. 

Car  je  veux  que  la  balle  de  la  figure  de  la  page  19  de  la  Dioptrique, 
selon  la  supposition  que  vous  faites  dans  votre  premii're  lettre  ('),  se 

(')  f'dir  LcllTH  \C,\ .  p.  401. 


XCIX.  -  21  AOUT   1G58.  415 

trouve  empêchée  (comme  vous  dites  sans  doute  agréablement)  à  trou- 
ver quelque  issue  pour  prendre  sa  route;  et  je  veux  même  que  le  pas- 
seport que  vous  lui  avez  donné  par  avance  dans  votre  seconde,  de  peur 
que  nous  n'eussions  pas  assez  de  crédit  pour  lui  en  fournir  un,  et  même 
que  la  route  que  vous  avez  eu  la  bonté  de  lui  marquer  en  cet  en- 
droit { '  ),  lui  lut  si  aisée  et  si  commode  qu'elle  ne  fit  point  diiïiculté  de 
la  suivre,  que  pourroit-on  conclure  de  Hi  contre  M.  Descartes?  lequel 
n'ayant  apporté  en  ce  lieu-là  les  exemples  de  la  balle  que  pour  expli- 
quer certains  effets  particuliers  de  la  lumière,  ii  savoir  celui  de  la 
réflexion  qui  se  fait  toujours  à  angles  égaux,  et  celui  de  la  réfraction 
qui  se  fait  toujours  de  même  sorte  dans  un  même  milieu  et  qui 
change  selon  la  proportion  qui  est  entre  le  milieu  d'où  elle  sort  et 
celui  où  elle  entre,  ce  qui  fait  que  tantôt  elle  s'approche  et  tantôt  elle 
s'éloigne  de  la  perpendiculaire  :  qui,  dis-je,  n'a  eu  aucune  occasion 
d'expliquer  le  cas  que  vous  proposez,  pource  qu'il  n'a  aucun  rapport  à 
son  dessein. 

2.  Il  n'y  en  avoit  que  trois  qui  y  pussent  servir,  et  il  les  a  tous  trois 
expliqués  et,  ii  mon  avis,  d'une  manière  si  claire  et  si  simple  qu'il  n'y 
a  que  ceux  qui  veulent  plus  que  lui  qui  y  trouvent  de  la  difficulté. 

Le  premier  cas,  qui  explique  la  réflexion,  est  celui  d'une  halle  qui, 
étant  poussée  suivant  la  ligne  AB,  rencontre  de  biais  dans  son  chemin 
un  corps  dur,  impénétrable  et  inébranlable.  Qu'y  a-t-il  de  plus  simple 
et  de  plus  clair  que  cette  balle,  qui  ne  perd  rien  de  sa  vitesse,  doit 
rejaillir  à  angles  égaux,  c'est-à-dire  remonter  aussi  vite  qu'elle  est 
descendue  et  avancer  autant  qu'elle  faisoit  vers  le  côté  où  ce  corps  dur 
n'est  point  du  tout  opposé? 

Le  second,  qui  se  rapporte  à  la  réfraction  lorsqu'elle  s'éloigne  de  la 
perpendiculaire,  est  celui  de  la  même  balle  qui,  étant  poussée  comme 
dessus,  rencontre  aussi  de  biais  un  autre  milieu,  dans  lequel  elle 
pénètre  et  qui  lui  fait  perdre  une  partie  de  sa  vitesse.  Quoi  de  plus 
clair  et  de  plus  simple  que  de  dire  que  cette  balle,  ne  pouvant  plus 

(•j  /o/>  Lettre  XCVIF,  1,  2. 


iUi  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

aller  si  vilo  qu'oUi'  f'aisoil,  doit  j)Our(aii(  conserver  la  ihienninalioii 
qu'elle  avoit  auparavant  à  avancer  vers  un  certain  côté,  à  laquelle  ce 
milieu  n'est  aucunement  opposé,  et  à  (|uoi  la  perle  (]u'elle  a  souH'erle 
en  sa  vitesse  ne  résiste  point  et  se  peut  accommoder?  Pour(|uoi  vou- 
loir (d)lip;er  celte  Italie  à  faire  plus  qu'elle  ne  doit,  puisque  la  naUire 
ne  fait  rien  eu  vain? 

Eniin  le  troisième  cas,  qui  se  rapporte  ii  la  réfraction  lorsqu'elle 
s'approche  de  la  perpendiculaire,  et  le  seul  qui  restoit  à  M.  Descartes 
à  éclaircir,  s'explique  heureusement  par  la  même  halle  qui,  étant 
poussée  comme  auparavant,  rencontre  aussi  de  biais  dans  son  chemin 
un  autre  milieu,  dans  lequel  elle  pénètre  avec  une  égale  facilité  de 
IfUis  cotés  et  qui  augmente  sa  vitesse  d'une  certaine  quantité.  Que 
peut-on  penser  de  plus  simple  et  de  plus  naturel  que  de  dire  que  cette 
halle,  devant  aller  plus  vite  qu'elle  ne  faisoit  selon  quelqu'une  de  ses 
directions,  n'avance  pourtant  pas  davantage  selon  celle  à  laquelle  ce 
corps,  par  qui  sa  vitesse  a  été  augmentée,  n'est  point  du  tout  opposé? 

3.  Le  cas  que  vous  proposez  outre  cela  dans  votre  première  lettre  est 
superflu  et  ne  peut  servir  ;i  expliquer  aucun  de  ces  phénomènes  de  la 
lumière.  Et,  par  conséquent,  il  n'est  ici  d'aucune  considération  et, 
quelque  inconvénient  qui  en  pût  suivre,  cela  ne  pourroit  préjudicier  à 
ce  que  if.  Descartes  a  auparavant  prouvé,  et  par  quoi  il  a  expliqué  si 
intelligiblement  ces  effets  merveilleux  de  la  lumière  qui  ne  laisse- 
roient  pas  d'être  vrais  et  tels  qu'il  les  a  démontrés,  quand  votre  sup- 
position seroit  difficile  à  expliquer  par  ses  principes,  ce  que  je  ne 
désespère  pourtant  pas  de  faire,  et  quand  elle  se  devroit  expliquer 
suivant  les  vôtres,  ce  que  je  n'estime  pas. 

.Mais,  pource  que  c'est  en  ceci  que  consiste  toute  notre  question,  il 
faut  que  j'éclaircisse  une  fois  un  point  qui  vous  semble  n'avoir  pas 
été  prouvé  par  M.  Descartes,  à  cause  que  sa  preuve  n'est  ])as  pure- 
ment géométrique,  mais  qu'elle  est  en  partie  fondée  sur  quelques 
principes  de  la  nature  si  clairs  qu'ils  ne  demandent  aucune  expli- 
cation. 


XCIX.  -  21  AOUT  1658.  W7 

4.  Ces  principes  sont  :  i"  que  chaque  chose  demeure  en  l'état 
qu'elle  est  pendant  que  rien  ne  la  change;  2°  que,  lorsque  deux  corps 
se  rencontrent  qui  ont  en  eux  des  modes  incompatibles,  il  se  doit  véri- 
tablement faire  quelque  changement  en  ces  modes  pour  les  rendre 
compatibles,  mais  que  ce  changement  est  toujours  le  moindre  qui 
puisse  être;  3°  qu'un  corps  ne  peut  résister  ou  causer  du  changement 
dans  un  autre  qu'en  tant  qu'il  lui  est  opposé. 

Ainsi  donc,  si  une  balle  se  meut  d'A  vers  B,  dans  la  figure  (')  de  la 
page  i5,  avec  une  certaine  vitesse,  elle  continuera  toujours  d'aller 
avec  la  même  vitesse  vers  ce  côté-là  si  rien  ne  la  change.  Mais  si  vous 
lui  opposez  le  corps  dur,  impénétrable  et  inébranlable  CBE,  pource  que 
les  modes  de  ces  deux  corps,  l'un  qui  veut  conduire  la  balle  vers  D  et 
l'autre  qui  s'oppose  à  cette  route,  mais  qui  ne  s'oppose  point  k  sa  vi- 
tesse, sont  incompatibles,  il  faut  qu'il  arrive  du  changement  en  un 
de  ces  modes,  mais  le  moindre  qui  puisse  être.  C'est  pourquoi  la  balle 
changera  de  détermination  et  gardera  sa  vitesse,  et  d'autant  que  le 
corps  CBE  n'est  opposé  qu'à  l'une  des  deux  déterminations  dont  il  est 
vrai  que  celle  de  la  balle  est  composée  eu  égard  au  corps  CBE  sur 
lequel  elle  tombe,  à  savoir  à  celle  qui  la  faisoit  descendre  et  non  point 
à  celle  de  gauche  à  droite;  ce  corps  ne  peut  apporter  de  changement 
qu'à  celle-là  et  non  point  à  l'autre,  à  laquelle  il  n'est  point  opposé. 
C'est  pourquoi  il  oblige  la  balle  à  remonter  et  la  laisse  continuer  à 
s'avancer  vers  la  droite  comme  elle  faisoit  auparavant  :  à  quoi  il  ne 
change  rien,  le  mode  de  son  corps  n'ayant  rien  d'incompatible  et  d'op- 
posé à  celui-là. 

Il  ne  faut  plus  ajouter  à  ce  raisonnement  que  ce  qui  appartient  à  la 
Géométrie,  et  la  preuve  sera  achevée.  Si  vous  n'appelez  pas  cela 
preuve  démonstrative,  je  ne  sais  plus  de  quelles  raisons  il  se  faudra 
servir  pour  en  composer  une;  mais,  pour  moi,  je  me  contente  de  pa- 
reilles démonstrations. 

Or,  le  même  raisonnement  que  je  viens  de  faire  se  peut  accommoder 

(')  Fig.  53,  p.  409. 

n.  —  Fermât.  j3 


U8  ŒUVRES   l)i:  FIÎUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

à  la  tigui'iMlo  la  page  17  ol  à  celle  de  la  page  19  el  à  tous  les  cas  qui  se 
peuveut  proposer,  et  je  u'v  vois  rien  de  différent  que  les  différentes 
suppositions  :  à  savoir  que  le  corps  CBK  tantôt  est  dur  et  tantôt  liquide, 
tantôt  pénétrahie  et  tantôt  impénétrable;  que  la  vitesse  (anlol  diminue, 
tantôt  augmente  et  tantôt  demeure  la  même;  e(  que  la  balle  tantôt 
continue  de  descendre  et  tantôt  est  obligée  de  remonter,  et  même  que 
tantôt  on  peut  opposer  un  corps  au  cours  de  la  balle  et  tantôt  non. 

5.  Exatniiions  niainlenant  ces  cas  l'un  après  l'autre  suivant  ces  prin- 
cipes, et  voyons  ce  (jui  en  doit  arriver;  et  je  m'assure  que  l'on  ne  trou- 
vera point  que  la  chose  doive  aller  comme  vous  dites,  mais  bien 
comme  dit  31.  Descartes,  et  cela  répondra  en  même  temps  à  toutes  vos 
nouvelles  difficultés. 

Premièrement,  vous  dites  fort  bien,  au  commencement  de  votre 
seconde  lettre  ('),  que  si  l'on  suppose  que  la  balle  qui  va  dans  la  ligne; 
droite  AB  diminue  sa  vitesse  par  moitié  en  arrivant  au  point  B,  elle  ira 
toujours  en  ligne  droite  vers  D,  si  elle  continue  d'aller  dans  le  même 
milieu  et  que  le  plan  ('BK  ne  lui  soit  point  opposé  :  avec  cette  diffé- 
rence seulement,  qu'elle  emploiera  depuis  B  jusques  à  D  le  double  du 
temps  qu'elle  avoit  mis  auparavant  depuis  A  jusques  à  B,  et  cela  à 
cause  qu'un  corps  doit  toujours  demeurer  dans  le  même  état  où  il  est 
ou  auquel  on  suppose  qu'il  soit,  si  rien  ne  le  change.  Or,  n'y  ayant 
rien  qui  change  en  la  balle  que  la  vitesse,  ni  rien  par  quoi  la  détermi- 
nation doive  être  altérée  plus  d'un  côté  que  d'un  autre,  tout  cela  fait 
qu'elle  doit  continuer  dans  la  même  ligne,  et  aller  seulement  moins 
vite  selon  cette  détermination  :  de  même  que,  lorsqu'un  corps  tombe 
perpendiculairement  de  l'air  dans  l'eau,  il  continue  d'aller  suivant  la 
ligne  perpendiculaire  et  va  seulement  d'autant  moins  vite  que  sa 
vitesse  est  diminuée  à  la  rencontre  de  l'eau. 

Si  pourtant  j'eusse  été  d'humeur  à  vouloir  chicaner  (ce  qui  ne 
m'arrivera  jamais  lorsque  j'aui'ai  affaire  à  une  personne  d'honneur  et 
de  mérite  comme  vous  ),  j'aurois  pu  nier  que  le  cas  que  vous  proposez 

(')  Lettre  XCVII. 


XCIX.   -  21   AOUT   1658.  419 

fût  concevable  et  admissible  :  à  savoir  qu'un  mobile,  sans  changer  de 
milieu,  puisse  tout  d'un  coup  passer  d'une  vitesse  à  une  .autre  sans 
passer  par  les  degrés  d'entre  deux.  Ce  que  vous  dites  vous-même 
être  contraire  aux  lois  inviolables  de  la  pure  Géométrie  et  qui 
même  est  contraire  à  cette  loi  de  la  nature,  qui  est  que  chaque  corps 
continue  toujours  de  demeurer  dans  le  même  état  autant  qu'il  se 
peut,  et  que  jamais  il  ne  le  change  que  par  la  rencontre  des  autres.  Le 
moyen  donc  de  concevoir  qu'un  corps  puisse  tout  d'un  coup,  étant 
arrivé  au  point  B,  perdre  la  moitié  de  sa  vitesse,  lorsqu'il  ne  se  ren- 
contre rien  qui  la  lui  puisse  faire  perdre!  Mais  je  veux  bien  vous 
accorder  toutes  vos  suppositions  et  ne  vous  rien  nier,  que  ce  qui  ne 
se  pourra  absolument  admettre  à  moins  de  renverser  toutes  les  lois  de 
la  nature  et  toutes  les  notions  claires  et  simples  qui  sont  on  nous. 

6.  Passons  à  votre  seconde  supposition,  qui  est  à  mon  gré  une  des 
plus  adroites  que  l'on  pût  faire  en  ce  genre  et  dont  sans  doute  j'aurois 
eu  peine  d'apercevoir  la  subtilité,  n'étoit  qu'étant  accoutumé  à  suivre 
des  voies  fort  simples  dans  mes  raisonnements,  je  me  détie  de  tout  ce 
que  je  vois  qui  s'en  écarte. 

Vous  supposez  après  cela  que,  la  balle  perdant  comme  auparavant 
la  moitié  de  sa  vitesse  au  point  B,  le  plan  CBE  impénétrable  se  trouve 
entre  deux  et  empêche  que  la  balle  ne  passe  au-dessous;  et  vous  dites 
que  la  balle  réfléchira  aussi  bien  à  angles  égaux  que  si  la  vitesse  ou  le 
mouvement  demeuroit  le  même.  Et  certainement  je  confesse  que  vous 
le  prouvez  d'une  manière  la  plus  ingénieuse  qu'il  est  possible;  mais 
permettez-moi  aussi  de  vous  dire  qu'elle  est  captieuse  et  souffrez  que 
je  vous  fasse  voir  en  quoi  je  pense  que  vous  vous  êtes  mépris. 

Quand  en  l'exemple  ci-dessus  je  suis  demeuré  d'accord  que  la  balle, 
perdant  au  point  B  la  moitié  de  sa  vitesse,  ne  laissoit  pas  de  continuer 
son  chemin  suivant  la  ligne  BD,  avec  cette  seule  différence  qu'elle 
alloit  de  moitié  moins  vite,  c'a  été  pource  que,  ne  changeant  point  de 
milieu  et  aucun  plan  ne  lui  étant  opposé,  on  ne  pouvoit  pas  dire  que 
la  détermination  de  la  balle  suivant  la  ligne  AB  fût  composée  de  deux 


V20  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(létorniinations,  non  plus  que  lorsqu'une  balle  tombe  perpendiculai- 
rement sur  un  plan.  3Iais  ici,  où  vous  supposez  que  le  plan  CBE  lui  est 
opposé,  il  est  certain  qu'à  son  égard  la  détermination  de  la  balle  sur 
la  route  AB  est  composée  de  deux  déterminations,  l'une  (|ui  la  fait 
descendre  vers  lui,  et  l'autre  qui  la  l'ait  avancer  vers  la  droite  ou 
horizontalemeni ,  et  que  le  plan  s'oppose  à  celle-là  et  non  point  à 
celle-ci. 

1-  Maintenant,  de  deux  choses  l'une  :  ou  vous  supposez  qu'après  que 
la  balle  est  venue  avec  deux  degrés  de  vitesse,  par  exemple,  depuis  A 
jusques  à  B,  étant  au  point  B  elle  rencontre  le  plan  CBE  qui  lui  fait 
perdre  la  moitié  de  sa  vitesse;  ou  bien  vous  supposez  que,  sans  que  ce 
plan  y  contribue,  ayant  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse  au  point  B,  elle 
rencontre  le  plan  CBE.  Et"si  j'ai  bien  compris  le  sens  de  votre  seconde 
lettre,  c'est  principalement  à  ce  dernier  cas  qu'elle  se  rapporte;  mais 
remarquez  encore  ici  en  passant  que  je  vous  accorde  plus  que  je  ne 
devrois  :  car  le  moyen  de  concevoir  qu'une  balle  perde  la  moitié  de 
sa  vitesse  au  point  B,  sans  la  rencontre  d'aucun  corps  qui  la  lui  puisse 
faire  perdre! 

8.  Au  premier  cas,  il  est  aisé  de  voir  qu'il  ne  faut,  comme  vous  avez 
fait  dans  votre  première  lettre ('),  que  transférer  le  raisonnement  de 
la  figure  de  la  page  17  au  dessus  du  plan,  et  dire  que,  puisque  la  balle 
ne  perd  rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à  avancer  vers 
la  droite,  elle  doit  (toutes  les  autres  conditions  étant  gardées)  arriver 
au  point  0,  ainsi  que  vous  avez  fort  bien  remarqué.  C'est  pourquoi  je 
n'aurois  garde  de  dire,  comme  vous  faites  :  «  Pourquoi  de  grâce  le 
raisonnement  de  M.  Descartes  conclura-t-il  au-dessous,  s'il  ne  conclut 
pas  au-dessus?  Ce  qui  est  démonstration  en  un  cas  deviendra-t-il 
paralogisme  en  l'autre?  »  Non  sans  doute  :  l'un  et  l'autre  conclut 
également  bien. 

9-  Au  second  cas,  la  balle  peut  suivre  la  route  que  vous  avez  mar- 
(<)  Lettre  XCV,  p.  400. 


XCIX.  -  "21    AOUT   1638.  421 

quée  dans  votre  seconde  lettre  ('),  et  réfléchir  toujours  à  angles  égaux, 
de  quelque  manière  et  en  quelque  proportion  que  la  vitesse  ou  le  mou- 
vement change  au  point  B  :  mais  non  pas  à  la  vérité  par  la  raison  (juc 
vous  dites.  Car  la  même  proportion  ne  doit  pas  être  gardée  par  une 
balle  qui,  rencontrant  de  biais  un  plan  impénétrable,  est  obligée  de 
réfléchir,  que  celle  qui  est  gardée  par  une  autre  balle  que  l'on  sup- 
pose n'en  point  rencontrer,  et  qui  doit  suivre  les  mêmes  lois  que 
celle  qui  en  rencontre  perpendiculairement,  à  cause  qu'une  balle  qui 
ne  rencontre  aucun  plan  n'a  qu'une  seule  détermination  :  elle  ne  va  ni 
à  gauche  ni  à  droite,  au  lieu  qu'une  balle  qui  tombe  de  biais  sur  un 
plan  y  va  toujours  avec  deux  déterminations,  à  l'une  desquelles  ce 
plan  est  opposé  et  à  l'autre  non  :  et  cette  circonstance  en  doit  changer 
reff"et,  selon  les  principes  ci-devant  posés. 

Fig.  53. 


/              H               \ 

F 

\ 

? 

C                B 
V             G 

V              E 

y 

D 

R 

Mais  voici  comme  la  balle  peut  suivre  la  route  que  vous  avez  mar- 
quée, et  réfléchir  à  angles  égaux  :  à  savoir  il  faut  supposer  que  la  balle, 
étant  au  point  B  et  ayant  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse  (ou  telle  autre 
quantité  qu'il  vous  plaira),  commence  à  ce  point  B  à  suivre  la  route 
qu'elle  suivroit,  si  elle  avoit  commencé  à  se  mouvoir  à  ce  point-là  avec 
la  vitesse  qui  lui  reste.  Or  il  est  constant  que  si,  sans  avoir  égard  à  la 
ligne  AB  qu'elle  a  parcourue  avec  deux  degrés  de  vitesse,  ellecom- 
mençoit  à  se  mouvoir  en  B,  avec  la  vitesse  qu'on  suppose  qui  lui  reste 
et  [suivant]  la  direction  qu'elle  a  véritablement  au  point  B,  elle  iroit 
vers  D  avec  un  degré  de  vitesse  [et  y  arriveroit]  en  deux  fois  autant  de 
temps  qu'il  lui  en  a  fallu  pour  venir  d'A  en  B,  si  rien  ne  s'opposoit  à 

(1)  ro;>  LeUre  XCVII,  1. 


i.-2-2  ŒUVRES   I)  K   K E  R  M  \T.  -  CORRESPONDANCE. 

stiii  nuiuvonuMil.  VA  si,  au  lirii  do  lui  opposer  le  piau  inipt'uétraljic  cl 
iiu'branlahlo  CBK  au  point  B,  on  le  lui  opposoit  au  point  D,  il  est  évi- 
dent, par  ce  (|ue  n(uis  avons  dit  ci-dessus,  que  ce  plan  l'empêchant 
seulenieni  de  passer  outi'c  et  non  point  d'avancer  vers  la  dfoile,  et  ne 
diminuani  ni  n'aui;iiieiitan(  la  vitesse  avec  laquelle  (dio  seroit  venue 
vers  lui  depuis  H,  clic  rcjailliroit  vers  g  et  feroit  un  angle  de  réflexion 
ijDK  égal  il  celui  (rincidence  BDG,  lequel  se  trouveroit  égal  à  celui 
de  la  première  incidence  ABC.  Or  est-il  qu'il  doit  arriver  au  point  B  le 
même  changement  en  la  détermination  de  la  balle  que  celui  qui  arrive- 
roil  au  point  D  si  le  |)lan  (^BE  lui  étoit  opposé  en  ce  point-là,  puisque 
dès  le  point  B  la  halle  a  toute  la  même  vitesse  et  la  même  détermina- 
tion qu'(d!e  auroit  au  point  D  après  avoir  [)arcouru  la  ligne  BD. 

10.  Et  parlant,  la  balle,  selon  votre  supposition,  doit,  au  point  B, 
rejaillir  suivant  un  angle  égal  ii  celui  d'incidence  :  non  point,  comme 
j'ai  dit,  par  la  raison  que  vous  dites,  car  il  n'est  pas  vrai  que,  l'inler- 
positiou  du  plan  CBE  n'empêchant  que  l'une  des  parties  dont  la  dé- 
termination est  composée,  celle  de  gauche  à  droite  reste  la  même 
(|n'(dle  étoit  quand  la  balle  n'avoit  aucun  plan  qui  lui  fût  opposé; 
car,  en  ce  dernier  cas,  la  balle  n'avoit  qu'une  détermination,  et  l'on  ne 
peut  pas  dii'c  (|n'(dle  avançoitvers  la  droite.  C'est  pourquoi  la  conclu- 
sion que  vous  en  lirez  n'est  pas  non  plus  véritable. 

Donc,  dites-vous,  la  balle  a  dû  avancer  autant  au-dessus  vers  la 
droite  qu'elle  eût  fait  au-dessous  si  le  plan  n'eût  pas  empêché  sa 
route;  et  comme,  lorsqu'elle  seroit  au  point  D  au-dessous,  elle  auroit 
avancé  en  deux  moments  vers  la  droite  depuis  Bjusques  en  E,  de  même 
aussi,  pour  avancer  en  deux  moments  autant  au-dessus  vers  la  droite, 
elle  doit  aller  au  point  F  qui  est  autant  avancé  vers  la  droite  que  le 
point  D,  et  qui  coupe  le  cercle  au-dessus  en  même  proportion  que  D 
le  coupe  au-dessous,  et  fait  un  angle  de  réflexion  égal  à  celui  d'inci- 
dence. Car  toute  cette  proportion  de  gauche  à  droite  que  vous  dites 
devoir  être  gardée  au-dessus  comme  elle  eût  été  au-dessous,  si  le  plan 
ŒE  n'eût  pas  empêché  sa  route,  n'est  qu'une  proportion  imaginaire. 


XCIX.  -  21  AOUT  1658.  423 

puisqu'au-dossous,  quand  il  n'y  a  aucun  plan  inlorposé,  la  balle  n'a 
aucune  direction  vers  la  droite,  cette  direction  ou  détermination  vers 
la  droite  étant  toujours  relative  au  plan  qu'on  lui  interpose.  Et  par 
exemple,  si  le  plan  CBE  lui  eût  été  opposé  d'un  autre  sens  comme  en 
cette  figure,  oîi  seroit  tout  votre  raisonnement  vers  la  droite?  Mais  cela 
doit  arriver  dans  votre  supposition  même  et  dans  toute  autre,  par  la 

Fig   92. 


raison  que  j'ai  dite,  qui  est  conforme  aux  lois  de  la  nature  et  aux  prin- 
cipes ci-devant  établis. 


11.  Pour  éclaircir  encore  ceci  davantage,  supposons  pour  troisième 
cas,  comme  a  fait  M.  Descartes  à  la  fin  de  la  page  19  de  la  Diopfnqiie('), 
(jue  la  balle,  ayant  été  premièrement  poussée  d'A  vers  B,  rencontre  an 
point  B  le  plan  CBE  qui  augmente  la  force  de  son  mouvement  ou  sa 
vitesse  d'un  tiers,  en  sorte  qu'elle  puisse  fiiire  par  après  autant  de 
chemin  en  deux  moments  qu'elle  en  (aisoit  en  trois  auparavant.  Et  il 

Fig.  r|3. 


suit  manifestement  qu'elle  doit  rejaillir  en  F,  puisque  la  délerniination 

(')  Mais  faisons  encore  ici  une  aulre  supposilion  et  pensons  que  la  balle  ayant  été 
premièrement  poussée  d'A  vers  B  est  poussée  de  rechef  étant  au  point  B  par  la  raquette 
CBE,  qui  augmente  la  force  de  son  mouvement,  par  exemple,  d'un  tiers,  en  sorte  qu'elle 
puisse  faire  par  après  autant  de  chemin  en  deux  moments  qu'elle  en  faisait  en  trois  aupa- 
ravant. (La  Dinplriqiir,  p.   ig-9.0). 


*2* 


(EUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


vers  la  ilroitc  no  pont  i-lro  aiiginontéo  par  le  plan  CBE  à  la()iioll(>  il  n'est 
aueuiiemenf  opposé  :  et  non  pas  on  K,  comme  elle  devroif  faire,  si 
votre  raisonnement  étoit  vérilahle,  mais  qui  ne  le  pentêtre,  piiis(|u'il 
est  eontraire  aux  lois  de  la  natnre  et  même  contre  l'expérience,  qui 
nous  montre  que  la  réflexion  d'une  balle  et  celle  des  autres  semblables 
eori»s,  qui  ne  sont  pas  parfaitement  durs  ou  qui  tombent  sur  d'antres 
qui  affoiblissent  leur  mouvement,  ne  se  fait  jamais  à  angles  égaux. 
Ainsi  les  balles  les  plus  molles  ne  rebondissent  j)as  si  haut  ni  ne  font 
pas  des  angles  [de  réflexion  |  si  grands  que  celles  qui  sont  plus  dures. 
Kt  remarquez  que,  puisqu'il  est  naturellement  aisé  de  concevoir 
(|ue,  pour  faire  que  la  réflexion  se  fasse  à  angles  égaux,  le  mouvement 
ne  doit  en  aucune  façon  être  augmenté  ni  diminué  par  la  rencontre  du 
plan,  il  semble  que  la  raison  nous  doive  aussi  naturellement  porter  à 
croire  que,  lorsque  ce  plan  l'augmente  ou  la  diminue,  l'angle  de  ré- 
flexion doit  être  à  proportion  ou  plus  grand  ou  plus  petit  que  celui 
d'incidence,  et  non  pas  qu'il  doive  toujours  être  égal,  comme  il  suit 
de  votre  raisonnement  qui  pour  cela  vous  doit  être  suspect,  quoiqu'il 
soit  très  ingénieux. 

12.  ]\!ais,  me  direz-vous,  que  deviendra  donc  la  balle  dans  la  suppo- 
sition que  j'ai  faite  à  la  fin  de  ma  première  lettre  ('),  à  l'occasion  de 
la  figure  de  la  page  19?  car  c'est  ici  le  point  de  la  dilïîculté,  et  enfin  il 


la  faut  tirer  de  ce  point  fatal  où  elle  paroît  malheureusement  engagée. 
C'est   aussi   ce  que  je   prétends    faire  maintenant,    à  l'honneur  de 


O)  Lettre  XCV,  4. 


XCIX.  -  21   AOUT   1G38.  /^2o 

M.  Descartes  et  sans  faire  changer  de  biais  à  sa  logique,  en  me  servant, 
dans  le  cas  que  vous  proposez  ici,  du  même  raisonnement  dont  je  me 
suis  déjà  servi  quand  j'ai  passé  à  votre  seconde  supposition. 

Si  donc  la  balle,  étant  arrivée  au  point  B,  rencontre  de  biais  le  plan 
dur,  impénétrable  et  inébranlable  [CBE],  et  qu'elle  perde  à  ce  point  B 
une  telle  partie  de  sa  vitesse  que  la  ligne  FE,  étant  tirée  comme  aux 
exemples  précédents,  soit  hors  du  cercle  AD,  je  dis  que  :  ou  vous  en- 
tendez que  le  plan  CBE  contribue  à  la  perte  de  sa  vitesse,  ou  vous  en- 
tendez qu'il  n'y  conti'ibue  rien. 

S'il  n'y  contribue  rien,  on  ne  peut  pas  concevoir  autre  chose  sinon 
que  la  balle,  après  avoir  perdu  les  deux  tiers,  par  exemple,  de  sa 
vitesse,  et  ayant  dans  cet  état  une  direction  déterminée  à  aller  vers  D 
en  un  certain  temps,  à  proportion  de  la  force  ou  de  la  vitesse  qui  lui 
reste,  et  par  conséquent  d'avancer  aussi  suivant  cette  force  d'une  cer- 
taine quantité  vers  la  droite  à  l'égard  du  plan  CBE  qu'on  lui  oppose, 
lequel  pourtant  n'est  point  opposé  à  cette  direction  vers  la  droite,  elle 
doit  rejaillir  étant  au  point  B  comme  elle  feroit  au  point  D,  ainsi  que 
j'ai  dit  ci-dessus.  Et  voilà  la  route  que  je  lui  aurois  marquée,  qui  se 
trouve  conforme  à  la  vôtre,  mais  par  une  autre  raison  qui  ne  m'oblige 
point  à  changer  de  logique. 

Mais  remarquez  que  cette  supposition  même  est  impossible,  qu'une 
balle  perde  les  deux  tiers  de  sa  vitesse  sans  la  rencontre  d'aucun  corps 
qui  la  lui  puisse  faire  perdre. 

Que  si  maintenant  le  corps  CBE  contribue  à  la  perte  de  la  vitesse, 
cela  ne  se  peut  faire  en  supposant  le  corps  CBE  parfaitement  dur,  im- 
pénétrable et  inébranlable.  Car  le  mouvement  de  la  balle  ne  peut  être 
diminué  par  la  rencontre  d'un  corps,  qu'en  tant  que  la  balle  lui  trans- 
porte de  son  mouvement;  et  si  elle  lui  en  transporte,  cela  ne  se  peut 
faire  que  du  sens  auquel  le  corps  CBE  lui  est  opposé  et  par  conséquent 
elle  ne  lui  peut  transporter  de  son  mouvement  que  selon  cette  partie 
de  sa  direction  qui  la  fait  tendre  vers  lui,  et  jamais  la  rencontre  du 
corps  CBE  (que  l'on  doit  supposer  parfaitement  uni)  ne  peut  diminuer 
sa  direction  vers  la  droite  ou  parallèle.  Or  il  est  aisé  de  conclure  que,' 

Fermât.  —  II.  34 


i-26  (E  r  \'  Il  K  S   1)  K   F  P.  Il  M  \T.  —  C  0  U  K  !•  S  P  0  M)  A  N  C  E. 

si  la  balle  au  point  15  a  transporté  an  corps  CBK  tout  le  mouvomont  qui 
la  l'aisoil  ti'mlic  en  lias,  elle  d(Ht  couliiuu'r  son  mouvomont  parallMc 
cl  l'iMilci'sur  lui  en  avançani  autant  vers  la  droite  qu'elle  faisoit  aupa- 
ravant. 

13.  Que  si,  nonobstant  cela,  vous  voulez  contre  toute  raison  faire 
cette  supposition  impossible,  qu'elle  perde  une  telle  partie  de  sa  vi- 
tesse au  point  lî  qu'elle  ne  puisse  plus  avancer  autant  vers  la  droite 
(|u'olle  faisoit  auparavant,  et  par  conséquent  qu'elle  ait  aussi  perdu 
une  |)artio  du  mouvomont  qui  la  faisoit  avancer  vers  la  droite,  alors 
je  vous  dirai  ([u'elle  roulera  sur  le  diamètre  avec  la  vitesse  qui  lui 
reste,  tout  de  mémo  que,  lorsque  vous  supposez  que  sans  rencontrer 
aucun  plan  elle  vient  à  perdre  de  sa  vitesse,  elle  doit  continuer  son 
chemin  dans  la  même  ligne  droite  qu'elle  avoit  commencé  à  parcourir. 
Et  ainsi  il  arrivera  le  mémo  à  cette  balle  que  si,  ayant  été  mue  avec 
une  certaine  vitesse  le  long  du  plan  CBE,  il  arrivoit  qu'étant  au  point  B 
(par  une  supposition  impossible  et  sans  aucune  cause),  elle  vînt  à 
perdre  une  partie  de  sa  vitesse  :  elle  continueroit  son  chemin  sur  le 
même  plan  avec  la  vitesse  qui  lui  rostoroit. 

Mais  remarquez  que,  pour  trouver  quelque  chose  de  défectueux  aux 
raisonnements  de  M.  Descartes,  il  en  faut  venir  ii  des  suppositions 
impossibles,  et  partant  ce  ne  soroit  pas  merveille  quand  d'une  impos- 
sibilité posée  il  s'ensuivroit  une  absurdité. 

14.  Par  tout  ce  que  dessus,  il  paroit  que  tout  ce  que  vous  dites  dans 
votre  seconde  lettfe  (')  tombe  de  soi-même  et  n'a  pas  besoin  de  ré- 
ponse :  à  savoir  que,  «  si  M.  Descartes  eût  pris  garde  qu'en  quelque 
manière  ([ue  la  vitesse  change  »,  c'est-à-dire  augmente  ou  diminue 
«  au  point  H,  la  réflexion  ne  laisse  pas  do  se  faire  à  angles  égaux,  il 
n'eût  pas  été  en  peine,  ni  ses  amis  non  |)lus,  de  tirer  la  balle  du  point  B 
où  ils  l'ont  [vue]  malheureusement  engagée  dans  l'exemple  de  ma  der- 
nière lettre.  Il  n'eût  pas  soutenu  que,  la  vitesse  venant  à  changer  au 

(  I;  Foir  Icllrc  XCVli,  2. 


XCIX.  —  21    AOUT  1638.  4-27 

point  13,  la  balle  ne  reste  pas  d'avancer  vers  la  droite  autant  qu'elle 
faisoit  auparavant  et  n'eût  pas  déduit,  d'un  fondement  non  seulement 
incertain,  mais  encore  faux,  sa  proportion  des  réfractions  ». 

Tout  cela,  dis-je,  n'étant  plus  appuyé  d'aucunes  raisons  valables,  se 
détruit  de  soi-même,  aussi  bien  que  ce  que  vous  ajoutez  à  la  fin  de  la 
même  lettre  ('  )  :  à  savoir  que,  le  second  milieu  se  pouvant,  comme  j'ai 
dit,  ouvrir  avec  une  égale  facilité  de  tous  côtés  pour  faire  passage  à  la 
balle,  et  que  la  balle  ayant  toujours  une  même  aisance  à  pénétrer  le 
second  milieu  en  toutes  sortes  d'inclinaisons,  il  doit  suivre,  dites-vous, 
«  dans  l'application  du  raisonnement  de  M.  Descartes,  qu'en  toute 
sorte  de  cas  la  réflexion  se  fera  à  angles  égaux  et  que  la  pénétration  se 
fera  de  même  en  tous  les  cas  en  ligne  droite,  le  mouvement  de  dessous 
en  ligne  droite  suivant  les  mêmes  lois  et  répondant  justement  au  mou- 
vement de  dessus  à  angles  égaux  ». 

15.  ("ar,  si  je  me  suis  assez  bien  fait  entendre,  vous  devez  maintenani 
tirer  d'autres  conclusions  que  celles-là  des  principes  de  M.  Descartes  et 
devez  aussi,  si  je  ne  me  trompe  moi-même,  avoir  reconnu  l'erreur  du 
raisonnement  duquel  vous  les  aviez  tirées.  Et  partant  ne  dites  plus  que 
le  mouvement  de  la  balle  et  la  réfraction  ne  se  ressemblent  que  par  la 
comparaison  imaginaire  de  M.  Descartes;  car  c'est  peut-être  la  plus 
juste  et  la  plus  claire  que  l'on  puisse  apporter  pour  l'expliquer.  Mais, 
pour  cela,  il  faut  considérer  la  balle  sans  pesanteur,  sans  grosseur,  sans 
figure  et  sans  changement  en  sa  vitesse  dans  toutes  les  lignes  qu'elle 
parcourt  :  toutes  lesquelles  choses  peuvent  causer  une  infinité  de 
variétés  dans  la  réflexion  et  la  réfraclion  d'une  balle,  mais,  pource 
qu'elles  n'ont  poini  de  lieu  en  l'action  de  la  lumière  [à  laquelle  se 
doit  rapporter  toul  ce  qu'il  dit],  M.  Descartes  ne  les  a  point  considérées 
dans  le  mouvement  de  cette  balle  dont  il  parle. 

Et  principalement  il  n'a  point  considéré  cette  circonstance  que  je 
vous  prie  de  remarquer,  qui  est  la  plus  commune  et  qui  peut  donner 
le  plus  d'occasion  de  douter  de  ce  qu'a  dit  M.  Descartes  :  c'est  à  savoir 

(')  ;^o(>  Lettre  XCVII,  4. 


V28  ŒrVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

iiuc.  (l'aulanl  i\no  lo  milieu  (|iip  iiarcdurl  luio  balle  lui  ùte  ])(uir  l'ordi- 
naire il  tous  iiHimenls  une  partie  de  sa  vitesse  pai'  le  Irausport  (|irelle 
lui  en  tait,  de  lii  arrive  (|u'une  balle  peut  avoir  perdu  au  point  de  la 
rétlexion  la  moitié  {ou  plus  ou  moins)  de  la  vitesse  qu'elle  avoit  au 
eommeneenient,  et  qu'elle  ne  laissera  pas  de  réfléebir  ;i  angles  égaux, 
à  cause  qu'an  moment  (|u'elle  vient  à  toueluM'  le  plan,  sa  vitesse  a  déjà 
été  diminuée  ])ar  le  milieu  (ju'elle  a  [tarcouru,  et  que  la  direction 
qu'ell(>  a  alors  ne  laisse  pas  de  la  déterminer  d'aller  suivant  la  même 
ligne  où  sa  première  direction  la  portoit  quand  elle  est  sortie  de  la 
main  ou  de  dessus  la  raquette,  pourvu  que  sa  pesanteur  ou  sa  grosseur 
ou  sa  figure  n'aient  rien  changé  en  cela. 

16.  Ce  que  je  dis  de  la  vitesse,  quand  le  milieu  la  diminue,  se  doit 
aussi  entendre  quand  elle  est  augmentée  à  tous  moments  par  sa  pesan- 
teur :  comme,  lorsqu'une  balle  tombe  le  long  d'un  plan  incliné,  elle 
rejaillira  aussi  alors  à  angles  égaux,  encore  que  sa  vitesse  se  trouve 
augmentée  au  point  de  la  réflexion  :  et  cela  par  la  même  raison,  à 
savoir  que  cette  augmentation  ne  lui  vient  pas  du  plan,  mais  qu'elle 
l'avoit  avant  que  de  le  rencontrer. 

Et  ainsi  vous  voyez  combien  les  principes  de  M.  Descartes  sont  fermes 
et  ses  raisonnements  bien  suivis  ;  ce  qui  montre  que  la  véritable  raison 
des  réfractions  se  doit  tirer  du  mouvement  et  des  déterminations  com- 
posées, en  les  examinant  comme  M.  Descartes  a  fait.  Et  sans  mentir, 
M.  Descartes  étoit  un  homme  de  trop  bon  sens  et  (|ui  prenoit  garde 
de  trop  près  aux  choses,  pour  tomber  dans  des  fautes  ou  visibles  ou 
grossières;  et  il  me  semble  qu'il  nous  a  donné  sujet  d'avoir  assez  bonne 
opinion  de  lui  pour  croire  plutôt  que  nous  nous  méprenons  en  ne 
comprenant  pas  son  sens  et  ses  raisons  que  non  pas  de  croire  qu'il  se 
soit  trompé,  au  moins  quand  l'erreur  où  nous  croyons  qu'il  soit  tombé 
est  apparente  et  grossière. 

n.  J'ajouterai  seulement  que,  puisque  les  diverses  expériences  qu'a 
faites  ici  M.  Petit  ('que  vous  connoissez)  en  toutes  sortes  de  corps 


XCIX.  -  -21   AOUT  1658.  i->f) 

transparents  s'accordent  toutes  avec  la  proportion  que  M.  Descartes  a 
trouvée,  il  est  aussi  à  croire  que  les  raisons  qui  la  lui  ont  fait  trouver  sont 
véritables  :  car  le  moyen  d'arriver  en  tant  de  différents  cas  si  justement 
au  vrai  par  un  même  raisonnement,  si  ce  raisonnement  étoit  faux! 

Que  si,  après  tout  cela,  vous  ne  voulez  pas  admettre  les  conclusions 
(juc  j'ai  tirées  des  principes  que  M.  Descartes  a  établis,  recevez  au 
moins  pour  vraies  les  conclusions  de  cette  lettre  et  croyez  que,  si  mes 
raisonnements  sont  fautifs,  les  protestations  de  mon  cœur  sont  sincères 
([uand  je  vous  assure  que  je  veux  être  etc.    ■ 


WO  ŒliV  UliS   DE  FERMAT.  -  CORRESPOiNDANCE. 


ANNÉE    1659. 


c. 

FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

DIMANCHE    IC    FÉVRIER    1G59. 

{OEiit'i-es  tic  Pascal,  IV,  ji.   '|'|S.  Bilil.  na(.,  imprimés,  Rdservc  V,  SSg.) 

Monsieur  mon  ciii:r  ftl.uTUE, 

Je  suis  ombarassé  en  affaires  non  géométriques;  je  vous  envoyé 
|inurl;uit  un  petit  escrit  que  le  Père  Lalouvere  m'a  fait  porter  ce 
matin  (-). 

J'ai  re(,'eu  le  Traitté  de  M.  Pascal  (^''')  depuis  deux  jours,  cl  n'ai  peu 
encore  m'appliquer  sérieusement  à  le  lii'e;  j'en  ai  pourtant  eonccu  une 
grande  (ipini(Ui,  aussi  liien  que  tout  ce  qui  |)arl  de  cet  illuslre. 

Je  suis  tout  à  vous, 

Fermât. 

A  Tolose,  le  i()  février  iGii). 

(  ')  L'autograplie  do  celle  lellre  est  collé  en  IlHo  d'un  recneil  des  opnscides  imprimés 
de  Pascal  conservé  à  la  Bibliulhèqiio  nalionale. 

(-)  Il  s'aj^il  d'une  réponse  daléo  du  ij  février  el  faite  par  Lalouvere  au  Post-scrljiluni 
du  29  janvier  à  la  Suite  de  t'hisioire  de  lu  roulette.  Cette  réponse  est  insérée  dans  la 
Veterum  Geometria  promota  in  septem  de  Crcloide  lil/ro.t,  publiée  par  Lalouvere  en  lOfio. 

(')  Lettres  de  A.  Dettonville  contenant  quelques-unes  de  ses  inventions  en  Géométrie. 
—  A  Paris,  chez  Giiillaumo  Dcsprez,  rue  S'-,!aeques,  à  l'Imago  S'-Prospcr.  MDCLIX. 


CI.  -  AOUT   1659.  431 

CI. 
FERMAT  A  GARCAVI. 

AOUT  1639. 

(  Corresp.  Huyg.,  n"  G51.  ) 

lŒL.VTIÛN  DES  NOUVELLES  DÉCOUVERTES  EN  LA  SCIENCE  DES  NOMBRES  (  '  ). 

...  1.  Et  pour  cp  que  les  méthodes  ordinaires,  qui  sont  dans  les 
rJvres,  étoicnt  insuffisantes  à  démontrer  des  propositions  si  dilTiciies. 
je  trouvai  enfin  une  route  tout  à  fait  singulière  pour  y  parvenir. 

J'appelai  cette  manière  de  démontrer  la  descenle  infinie  ou  indé- 
finie, etc.;  je  ne  m'en  servis  au  commencement  que  pour  démontrer 
les  |)roposilions  négatives,  comme,  par  exemple  : 

Qu'il  n'y  a  aucun  nombre,  moindre  de  l' unité  qu  un  multiple  de  3,  (/ui 
soit  composé  (Viin  qiiarré  et  du  triple  d'un  autre  quarré; 

Qu'il  II  y  a  aucun  triangle  rectangle  en  nombres  dont  l'aire  soit  un 
/lombrt'  quarré ('-). 

La  preuve  se  fait  par  7.-oi.y(uyr^y  dç  àO'JvaTov  en  celte  manière  : 
S'il  y  avoit  aucun  triangle  rectangle  en  nombres  entiers  qui  eût  son 
aire  égale  à  un  quarré,  il  y  auroit  un  autre  triangle  moindre  que 
celui-là  qui  auroit  la  même  propriété.  S'il  y  en  avoit  un  second, 
nidiiidrc  (]ue  le  premier,  ([ui  eût  la  même  propriété,  il  y  en  auroit,  par 
un  pareil  raisonnement,  un  troisième,  moindre  que  ce  second,  qui 
auroit  la  même  propriété,  et  enfin  un  quatrième,  un  cinquième,  etc. 
il  l'infini  en  descendant.  Or  est-il  qu'étant  donné  un  nombre,  il  n'y 
(Ml  a   point  infinis  en   descendant  moindres  que  celui-lii  (j'entends 

(i|  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  {Recherches,  p.  2i3-2i6), 
d'après  une  copie  de  la  main  do  Iluygens.  Cette  pièce  avait  été  envoyée  «  depuis  peu  » 
par  Fermât  à  Carcavi,  lorsque  celui-ci  la  communiqua  à  Huygens,  le  i4  août  ilJjg. 

(-)  l'oir  Observ.  XLV  sur  Diophante. 


i3i  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

parler  toujours  dos  nombres  entiers).  D'où  on  eonclul  qu'il  est  done 
impossible  qu'il  y  ait  aucun  trian!i;le  rectangle  dont  l'aire  soit  quarrée. 

On  infère  de  lii  ([u'il  n'y  en  a  non  plus  en  fractions  dont  l'aire  soit 
quarrée;  car,  s'il  y  en  avoil  en  fractions,  il  y  en  aiiroit  en  nombres  en- 
tiers, ce  (|ui  ne  peut  pas  être,  comme  il  se  peut  prouver  par  la  descente. 

Je  n'ajoute  |)as  la  raison  d'où  j'infère  ([ue,  s'il  y  avoit  un  triangle 
rectangle  de  celle  nature,  il  y  en  auroit  un  autre  de  même  nature 
moindre  que  le  premier,  parce  que  le  discours  en  seroit  trop  long  et 
(|ue  c'est  là  tout  le  mystère  de  ma  méthode.  Je  serai  bien  aise  que  les 
l'ascal  et  les  Roberval  et  tant  d'autres  savans  la  cherchent  sur  mon 
indication. 

2.  Je  fus  longtemps  sans  pouvoir  appliquer  ma  méthode  aux  ques- 
tions affîrmatives,  parce  que  le  tour  et  le  biais  pour  y  venir  est  beau- 
coup plus  malaisé  que  celui  dont  je  me  sers  aux  négatives.  De  sorte  que, 
lorsqu'il  me  fallut  démontrer  que  tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de 
r unité  un  multiple  de  l\,  est  composé  de  deux  quarrés  ('  ),  je  me  trouvai  en 
belle  peine.  Mais  enfin  une  méditation  diverses  fois  réitérée  me  donna 
les  lumières  qui  me  manquoient,  et  les  questions  affîrmatives  pas- 
sèrent par  ma  méthode,  à  l'aide  de  quelques  nouveaux  principes  qu'il 
V  fallut  joindre  par  nécessité.  Ce  progrès  de  mon  raisonnement  en  ces 
questions  affîrmatives  est  tel  :  si  un  nombre  premier  pris  à  discrétion, 
qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  4»  n'est  point  composé  de  deux 
(juarrés,  il  y  aura  un  nombre  premier  de  même  nature,  moindre  que  le 
donné,  et  ensuite  un  troisième  encore  moindre,  etc.  en  descendant  à 
l'intini  jusques  à  ce  que  vous  arriviez  au  nombre  5,  qui  est  le  moindre 
de  tous  ceux  de  cette  nature,  lequel  il  s'ensuivroit  n'être  pas  composé 
de  deux  quarrés,  ce  qu'il  est  pourtant.  D'où  on  doit  inférer,  par  la 
déduction  à  l'impossible,  que  tous  ceux  de  cette  nature  sont  par  con- 
séquent composés  de  deux  quarrés. 

3.  Il  y  a  infinies  questions  de  celte  espèce,  mais  il  y  en  a  quelques 

(')  ^oi>  Observ.  VII  sur  l)i(i|il]anle. 


CI.  —  AOUT  1639.  '  i3:5 

autres  qui  demandent  des  nouveaux  principes  pour  y  appliquer  la  des- 
ceiuc,  et  la  recherche  en  est  quelquefois  si  malaisée  qu'on  n'y  peut 
venir  qu'avec  une  peine  extrême.  Telle  est  la  question  suivante  que 
Bachet  sur  Diophante  avoue  n'avoir  jamais  pu  démontrer,  sur  le  sujet 
de  laquelle  M.  Descaries  fait  dans  une  de  ses  lettres  la  même  déclara- 
tion, jusques  là  qu'il  confesse  qu'il  la  juge  si  dillicile  qu'il  ne  voil 
|)oint  de  voie  pour  la  résoudre  ('). 

Tout  nombre  esl  quarré  ou  composé  de  deux,  de  trois  ou  de  quatre 
(fuarrés. 

Je  l'ai  entin  rangée  sous  ma  méthode  et  je  démontre  que,  si  un 
nombre  donné  n'éloit  point  de  cette  nature,  il  y  en  auroit  un  moindre 
qui  ne  le  seroit  pas  non  plus,  puis  un  troisième  moindre  que  le 
second,  etc.  ii  l'intini;  d'où  l'on  infère  que  tous  les  nombres  sont  de 
cette  nature. 

4-  Celle  que  j'avois  proposée  à  M.  Frenicle  et  autres  (^)  est  d'aussi 
grande  ou  même  plus  grande  difficulté  :  Tout  nombre  non  quarré  est  de 
telle  nature  qu'il  y  a  infinis  quarrés  qui,  multipliant  ledit  nombre,  font 
un  quarré  moins  i.  Je  la  démontre  par  la  descente  aj)j)liquée  d'une  ma- 
nière toute  particulière. 

J'avoue  que  M.  Frenicle  a  donné  diverses  solutions  particulières  et 
M.  Wallis  aussi,  mais  la  démonstration  générale  se  trouvera  par  la 
descente  dûment  et  [)roprement  applicjuée  :  ce  que  je  leur  indique,  afin 
qu'ils  ajoutent  la  démonstration  et  construction  générale  du  théorème 
et  du  problème  aux  solutions  singulières  qu'ils  ont  données. 

5.  J'ai  ensuite  considéré  certaines  questions  qui,  bien  que  négatives, 
ne  restent  pas  de  recevoir  très  grande  difficulté,  la  méthode  pour  y 
pratiquer  la  descente  étant  tout  à  fait  diverse  des  précédentes,  comme 
il  sera  aisé  d'éprouver.  Telles  sont  les  suivantes  : 

H  n'y  (i  aucun  cube  divisible  en  deux  cubes  (^), 

(')  f  (lir  la  note  de  la  pai^o  4oj. 

(2)  Folr  Pièces  LXXX  et  LXXXI. 

(3)  roir  Observ.  Il  sur  Diophante. 

I'lrmat.  —  11.  55 


Wi  ŒUVRES   DE  FEUiMAT.  —  COUllESPONDANCE. 

//  n'y  a  qu'un  seul  quarrè  en  entiers  qui,  aus;mentc  du  binaire,  fusse 
un  eube.  Lo  dit  quarro  est  2"). 

Il  n'y  a  que  deux  quarrés  en  entiers,  lesquels,  uu^uienfes  de  ^^  fassent 
un  cube.  Les  dits  quarrés  sont  'i  ot  121  ('). 

Toutes  les  puissances  quarrées  de  1,  augmentées  de  l'unité,  sont 
nombres  premiers  (-  ). 

l^iOtto  (icriiiôro  question  ost  d'une  tirs  siil)Lile  et  très  ingénieuse 
reclicrche  el,  hien  (iii'elie  soit  eonçue  affirmativement,  elle  est  néga- 
live.  puisque  dire  (ju'nn  nombre  est  premier,  c'est  dire  ([u'il  ne  pent 
être  divisé  parauenn  nomiire. 

Je  mets  en  eet  endroit  la  qneslion  suivante  dont  j'ai  envoyé  la  dé- 
monstration à  M.  Frenicle,  après  qu'il  m'a  avoué  et  qu'il  a  même 
témoigné  dans  son  Ecrit  imprimé  (^)  qu'il  n'a  pu  la  trouver  : 

//  n'y  a  que  les  deux  nombres  i  et  -j  qui.  étant  moindres  de  l'unité 
iju'un  double  quar ré,  fassent  un  carré  de  même  nature,  c'est-à-dire  (|ui 
soit  moindre  de  l'unité  qu'un  double  quarré. 

6.  Après  avoir  couru  toutes  ces  questions,  la  plupart  de  diverse  na- 
ture et  de  dill'érente  façon  de  démontrer,  j'ai  passé  à  l'invention  des 
règles  générales  pour  résoudre  les  équations  simples  et  doubles  du 
Diophante. 

On  propose,  par  exemple, 

2O  +  7967  égaux  à  un  quurré. 

J'ai  une  règle  générale  pour  résoudre  cette  équation,  si  elle  est  |»os- 
sible,  ou  découvrir  son  impossibilité,  et  ainsi  en  tous  les  cas  et  en  t(uis 
nombres  tant  des  quarrés  que  des  unités. 

(<)  Foir  LeUrc  LXXXIV,  5.  Cf.  Observ.  XLII  sur  Dioplianic. 

(2)  ro/rLeUrc  XCVI,  3,  1". 

(')  Cet  Écrit,  aujourd'hui  inlrouvablc,  était  intitule  Solttlio  diiorum  prohlcnuiliiiii  ne, 
dédié  à  Keneiin  Digby,  et  commençait  comme  suit  :  h'n  tif/i,  ï'ir  Itluxtrissiine,  l.uictia 
prœliet....  Deux  exnmplairos  en  arrivèrent  on  Hollande,  pour  Schooton  et  IIuyp:ons.  le 
■fA  octobre  1657.  En  Angleterre,  Brouncker  eu  reçut  un  seulement  en  décembre. 


CI.  -  AOUT   1G59.  43.Î 

()i)  propose  cptto  équation  double  : 

2N  +  3         et        2N-1-5  égaux  eliaciin  à  un  quarré. 

Bacliet  se  glorifie,  en  ses  Commentaires  sur  Diophanle  ('),  d'avoir 
trouvé  une  règle  en  deux  cas  particuliers;  je  la  donne  générale  en 
toute  sorte  de  cas  et  détermine  par  règle  si  elle  est  possible  ou  non. 

.J'ai  ensuite  rétabli  la  plupart  des  propositions  défectueuses  de  Dio- 
phanle et  j'ai  fait  celles  que  Bachet  avoue  ne  savoir  pas  et  la  plupart 
de  celles  auxquelles  il  paroît  que  Diophanle  même  a  hésité,  dont  je 
donnerai  des  preuves  et  des  exemples  à  mon  premier  loisir. 

7.  J'avoue  que  mon  invention  pour  découvrir  si  un  nombre  donné 
est  premier  ou  non  n'est  pas  parfaite,  mais  j'ai  beaucoup  dévoies  et  de 
méthodes  pour  réduire  le  nombre  des  divisions  et  pour  les  diminuer 
beaucoup  en  abrégeant  le  travail  ordinaire.  Si  M.  Frenicle  baille  ce 
qu'il  a  médité  là  dessus,  j'estime  que  ce  sera  un  secours  très  consi- 
dérable pour  les  savans. 

8.  La  question  qui  m'a  occupé  sans  que  j'aie  encore  pu  trouver 
aucune  solution  est  la  suivante,  qui  est  la  dernière  du  Livre  de  Dio- 
phanle De  inuhangulis  numeris. 

ïkilo  numéro,  irncnire  quoi  modis  mullangulus  esse possit. 

\jV  texte  de  Diophanle  étant  corrompu,  nous  ne  pouvons  pas  deviner 
sa  méthode;  celle  de  Bacliet  ne  m'agrée  pas  et  elle  est  trop  difiicllf 
aux  grands  nombres.  J'en  ai  bien  trouvé  une  meilleure,  mais  elle  ne 
me  satisfait  pas  encore. 

9.  11  faut  chercher  en  suite  de  cette  proposition  la  solution  du  pro- 
bli'ine  suivant  : 

Trouver  un  nombre  qui  soit  polygone  autant  de  fois  et  non  plus  qu'on 
voudra,  et  trouver  le  plus  petit  de  ceux  qui  satisfont  à  la  question. 

(')  foir  Observ.  XLIV  sur  Dioplianio  et  YJppendLv  à  celle  Observaliou. 


WG  (EL  VU  F,  S    DK   l'KIlM  AT.  -  COURES  IM)M)  ANCK. 

10-  Voih'i  soiniuairciiiiMil  le  roiupto  de  mes  ivvcrics  sur  le  sujcl  des 
noinbivs.  Je  ne  l'ai  ('■cril  (|ii('  parce  ([uc  j"a|»|)i'(''li(Mi(l('  ([iic  h^  Idisir 
(retondre  et  de  mettre  an  Ion;;-  toutes  ces  dt'iiioiistrations  et  ces  nié- 
lli()d(>s  me  man(|uera;  en  loni  cas,  eelte  indication  servira  aux  savans 
|(onr  Ironvei'  d'eiiv-nu'iues  ce(|ne  je  n't'tends  [toini,  principalement  si 
MM.  de  C.ari'avi  el  Ki'eniele  leur  l'uni  i)ai't  d(>  (|uel(|ue,s  démonstrations 
/Hir  la  descente  (]ue  je  leur  ai  envoyées  sur  le  sujet  de  (|uelqucs  propo- 
sitions négatives.  Kt  peut-être  la  postérité  me  saura  gré  de  lui  avoir 
fait  connoîtrc  tiuo  les  Anciens  n'ont  pas  tout  su,  et  cette  relation  pourra 
passer  dans  l'esprit  de  ceux  cjui  viendront  après  moi  pour  Iradilio 
liimpadis  ad  Jîlios,  comme  parle  le  grand  Chancelier  d'Angleterre  ('  ), 
suivant  le  sentiment  et  la  devise  du({uel  j'ajouterai  (-)  : 

Mulli  pertransibunt  et  aitgebitur  scientia. 


Cil. 

FIÎKMAT  A  BILLY(').' 

2G  AOUT  1G59. 

(  Bililiolhè([ii(!  n.itiiinale,  lalin  SGoo,  fui.  i.'i,  .lutosi'aplie.) 

Mon  Révérend  Peue, 

Je  suis  bien  aise  que  mes  solutions  vous  ayent  pieu  et  je  vous 
remercie  des  éloges  que  vous  me  donnés,  bien  que  je  recognoissc  de 
bonne  foi  que  vous  en  usés  avec  un  peu  trop  de  profusion.  Peust- 
cstre  scrés  vous  ()lus  surpris  de  ce  que  vous  allés  lire  sur  le  subject  de 
vostre  nouvelle  question  ([ue  vous  énoncés  en  ces  termes  : 

Treuver  trois  nombres  dont  le  solide  estant  osté  de  chacun  d'eux  et  de 


(  ')  Bacon,  De  fli<^/iila!e  et  /iiiginr/ili.t  sciriiliariim,  \,.  VI.  oap.  a. 

(2)  Foir  page  35,  nolo  i. 

(')  Publiée  pour  la  première  fois  par  Liliri  (Jourunl  des  Sm'nins,  1839,  p.  5/18  j. 


cil.  —  26   AOUT    IGoi).  437 

chacune  de  leur  différence,  el  du  produict  du  second  par  le  premier  ou 
par  le  dernier,  ou  du  quarré  du  milieu,  il  se  fasse  tousjours  un  quarrè. 

Ces  trois  nombres  sont  s»  i.  5- 

Vous  adjoustés  onsuitte,  après  avoir  est(Mi(lu  vostre  nicthodo,  que 
vous  ne  croyés  pas  qu'il  y  aist  au  monde  trois  autres  nombres  qui  satis- 
fassent à  la  question,  et  vous  désirés  estre  esclairci  par  moi  si  vous 
vous  trompés  en  cette  créance. 

Je  vous  respons,  mon  Père,  que  cette  question  reçoit  infinies  solu- 
tions et  que  la  double  csgalité  à  laquelle  vous  la  réduisez  : 

1  -VA  —  A  +  I     eL     1  AA  —  3  A  -t- 1 , 

chacun  desquels  termes  doit  estre  faict  égal  à  un  quarré,  peut  estre 
résolue  en  infinies  manières. 

Je  vous  advouc  que  la  méthode  dont  je  me  sers  pour  cela  n'est  pas 
dans  les  livres,  et  que  c'est  une  de  mes  inventions  qui  a  quelquesfois 
cstonné  les  plus  grands  maistres  et  particulièrement  Monsieur  Frenicle, 
que  j'estime  très  profond  dans  la  cognoissance  des  nombres.  Mais, 
puisqu'il  semble  que  Diophante,  Viete,  Baehet  et  touts  les  autres 
authcurs  dont  les  ouvrages  sont  venus  jusques  à  moi,  n'ont  sçu  qu'une 
seule  solution  en  cette  nature  de  questions,  je  ne  suis  point  surpris 
que  vous,  mon  Père,  quoyque  d'ailleurs  très  habille  par  l'adveu  de 
touts  les  sçavants,  n'ayés  point  tenté  d'estendre  vostre  cognoissance  au 
dessus  de  celle  que  donnent  les  livres. 

Vous  changerés  sans  doute  d'advis  par  mon  indication,  et  vous  ne 
croirés  pas  cette  nouvelle  descouverte  indigne  de  vostre  recherche, 
principallement  lors  que  je  vous  asseurerai,  comme  je  fais  à  l'ad- 
vance,  que  ma  méthode  est  generalle  et  qu'elle  sert  à  résoudre  un 
nombre  infini  de  questions  qui  ont  esté  jusqu'ici  entièrement  aban- 
données. 

Voici  trois  nombres  différents  des  vostres  qui  satisfont  à  vostre  ques- 
tion et  qui  peust-estre  vous  donneront  l'accès  aux  solutions  infinies. 


V3S  ŒUVRES   IH-:   FEUM AT.  -  CORRESPONDANCE. 

Le  proinior  de  ces  trois  nombres  est  !."oIk'  ïp  second  osl  i.  le  Iroi- 

sinnc  osl  i^- 
.)i8b3 

.le  suis  de  (oui  mon  cœur,  .Mon  ncvcM'cud  Père,  vostre  1res  humble 

rt  Ires  acijuis  serviteur. 

Fermât. 
A  Tolose,  le  iC  A'  lOJy. 

(Adresse)  :  Au  révérend perc ,  le  père  Billv.  de  la  compagnie  de  Jésus, 
à  Dijon. 


cm. 

FERMAT   A    C  ARC  AVI    ('). 
<  AoiT   1659.  > 

{Correspondance  Hurgens,  n"  G!)9.) 
(Bibl.  Nat.  fr.  i3o'|0,  f  l;î9.) 

...  Si  la  ligne  spirale  n'est  pas  égale  à  la  parabolique,  tdle  sera  ou 
plus  grande  ou  plus  petite. 

Soit  premièrement  plus  grande,  s'il  est  possible,  et  que  l'excès  de  la 
spirale  sur  la  parabole  soit  égal  à  X,  dont  la  moitié  soit  Z. 

Soient  inscrites  et  circonscrites  à  la  parabole  et  ii  la  spirale  des 
ligures  comme  en  la  précédente  (-),  en  sorte  que  la  difl'érence  entre  les 
inscrites  soit  moindre  que  Z,  et  que  la  différence  entre  les  circonscrites 
soil  aussi  moindre  que  Z;  nous  aurons  cinq  quantités  qui  vont  toujours 

(■')  Publiée  pour  la  pi'emiérc  fois  par  M.  Ciiarlcs  Henry  i Reclierclics,  p.  17:1-17(1). —  (^c 
frat;ment,  envové  par  (larcavi  à  Huygens  dans  une  JeUre  daléc  du  lî  sppleuibre  lOJg.  e.sl 
le  dévclo(ipemcnl  du  dernier  ihcorénic  de  VEi^aUU'  cuire  les  lignes  spirale  ei  parabolique 
démontrée  à  la  manière  des  anciens.  la<|ucllc  fait  ])artic  des  Lettres  de  A.  Dcttnnvillc 
(Œuvres  de  Pascal,  Y,  pp.  !\-?a  à  4'>^)-  La  dcmonslration  de  Pascal,  beaucoup  plus  brève. 
est  faile  également  par  l'absurde,  mais  sans  hypolhèse  sur  le  sens  de  l'inégalilé  iiure  la 
.spirale  cl  la  parabole. 

(^)  Fig.  38  des  Lettres  de  Dcttomùltc ;  voir  ci-aprcs  fig.  93. 


cm.  —  AOUT   1659.  i39 

en  augmentant,  savoir  :  l'inscrite  en  la  parabole,  la  parabole,  la  circon- 
scrite à  la  parabole,  la  spirale,  et  la  circonscrite  h  la  spirale. 

Car  il  appert  que  la  seconde,  qui  est  la  parabole,  surpasse  son 
inscrite  et  que  la  circonscrite  à  la  parabole  surpasse  la  parabole. 

Or  il  paroit  ([uc  la  quatrième  quantité,  qui  est  la  spirale,  surpasse 
aussi  la  circonscrite  à  la  parabole  :  car,  puisque  (')  l'inscrite  en  la  para- 
bole diffère  de  la  circonscrite  à  la  même  parabole  d'une  ligne  moindre 
que  Z  (ainsi  que  M.  Dettonville  l'a  démontré),  a  fortiori  la  parab(de 
même  diffère  de  la  circonscrite  de  moins  que  Z.  Or,  par  la  supposition, 
la  parabole  est  moindre  que  la  spirale  et  la  différence  est  2Z.  Donc, 
puisque  la  différence  entre  la  parabole  et  sa  circonscrite  est  moindre 
que  la  différence  entre  la  même  parabole  et  la  spirale,  la  circonscrite  à 
la  parabole  sera  moindre  que  la  spirale. 

Laquelle  spirale  étant  aussi  moindre  que  sa  circonscrite,  il  paroit 
que  ces  cinq  quantités,  à  commencer  par  l'inscrite  en  la  parabole,  vont 
toujours  en  augmentant. 

Mais  puisque  l'inscrite  en  la  parabole  diffère  de  la  circonscrite  d'une 
ligne  moindre  que  Z,  et  que,  par  la  construction,  la  circonscrite  sus- 
dite à  la  parabole  diffère  aussi  de  la  circonscrite  îila  spirale  d'une  ligne 
moindre  que  Z,  donc  l'inscrite  en  la  parabole  diffère  de  la  circonscrite 
à  la  spirale  d'une  ligne  moindre  que  2Z. 

Nous  avons  donc  la  première  et  la  cinquième  de  ces  cinq  quantités, 
qui  sont  la  plus  petite  et  la  plus  grande,  qui  diffèrent  entre  elles  de 
moins  que  de  2Z.  Donc,  a  fortiori,  la  seconde  et  la  quatrième,  qui 
sont  la  parabole  et  la  spirale,  diffèrent  d'une  ligne  moindre  que  2Z  cl 
par  conséquent  moindre  que  X;  ce  qui  est  contre  la  supposition. 

Donc  la  spirale  n'est  pas  plus  grande  que  la  parabole. 

Qu'elle  soit,  s'il  est  possible,  moindre  que  la  parabole,  et  que  l'excès 
soit  X  ou  2Z.  Il  faut  faire  les  inscriptions  et  circonscriptions  comme  en 
la  précédente  partie  de  la  démonstration.  Nous  trouverons  ici  cinq 
quantités  qui  vont  toujours  en  diminuant  :  la  circonscrite  à  la  para- 

(!)  D'après  le  corollaire  qui,  dans  les  Lettres  de  Dettonville,  précède  immédiatemeiil 
le  ihéorèmo  repris  par  Fermât. 


•liO  ŒIIVKES  1)E  FERMAT.-  COHUESPONDANCE. 

Iiolc,  la  parabole,  l'iiisrrili,'  vu  la  jiaraluilc,  la  spiralo,  cl  riiiscrile  en  la 
spirale. 

La  ])rtMiiii'ro  paioil  (''vicli'iiiiiiciil  plus  graiHlc  (|U('  la  sccoiulr  cl  la 
seconde  (|ii(>  la  tniisièiiic. 

Or  on  voil  aussi  (]ii('  la  Iroisii'nu»,  (|ui  es!  rinscrilc  en  la  |)araboie, 
surpasse  la  spirale  :  car,  puis(|ne,  par  la  dcrnonsdation  de  Al.  Dcllon- 
ville,  l'exeès  de  la  circonscrite  à  la  parabole  sui'  l'inscrite  en  la  para- 
bole est  moindre  que  Z,  a  fortiori  Vexce»  de  la  jiaraludc  sur  son  inscrite 
est  moindre  que  Z. 

Or,  la  parabole  étant  plus  grande  que  la  spirale,  cl  son  exci's  sur 
la  dite  spirale  étant,  par  la  supposition,  2Z,  la  parabole  surpasse  la  spi- 
rale d'une  plus  grande  quantité  (|ue  celle  dont  elle  surpasse  l'inscrite 
en  la  parabole,  et,  parlant,  l'inscrite  en  la  parabole  est  plus  grande  que 
la  spirale. 

Nous  avons  donc  cinq  quantités  qui  vont  toujours  en  diminuant, 
savoir  :  la  circonscrite  à  la  parabole,  la  j)arabole,  l'inscrite  en  la  para- 
bole, la  spirale,  et  l'inserile  en  la  spirale.  Or  la  circonscrite  à  la  para- 
bole diirèrc  de  son  inscrite  de  moins  que  Z,  et  l'inscrite  en  la  dite  pa- 
rabole diirère  aussi,  par  ^la  construction,  de  l'inscrite  en  la  spirale  de 
moins  que  Z.  Donc  la  circonscrite  à  la  parabole,  qui  est  la  première 
des  cinq  quantités  et  la  plus  grande,  dillcre  de  la  dcrnii're  des  dites 
quantités,  qui  est  la  plus  petite,  d'une  ligne  moindre  que  aZ.  Donc,  a 
fortiori,  la  seconde  quantité  dillcre  de  la  quatrième,  c'est-ii-dirc  la  pa- 
rabole de  la  spirale,  de  moins  que  de  2Z,  c'est-à-dii'e  de  moins  que 
de  X  :  ce  qui  est  contre  la  supposition. 

D'où  il  résulte  que  la  spirale  n'est  pas  j)lus  petite  que  la  parabole;  et 
partant,  puisqu'elle  n'est  ni  plus  petite,  ni  plus  grande,  elle  est 
égale,  ce  qu'il  etc. 


CIV.  -   SEPTEMBRE  1659.  Ul 

CIV. 
FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

<    SEPTEMBRE    1639    > 

{  Correspondance  H nj'^ens,  n"  700.) 
(Bibl.  liât.  fr.  i3o'|0,  f»  139-liO.) 

1.  ,1'onvoyai  rannéo  passée  à  M.  Frenicle  la  démoiislralion  par  la- 
quelle je  prouvois  qu'il  n'y  a  aucun  nombre  que  le  seul  7  qui,  étant  le 
double  d'un  quarré  —  i,  soit  la  racine  d'un  quarré  de  la  même  nature, 
car  'iç)  est  le  double  d'un  ([narré,  2"),  —  i. 

2.  Je  veux  même  que  M.  de  Zulichem  voie  que  cette  comparaison  des 
lignes  spirales  et  paraboliques  se  peut  rendre  plus  générale,  et  peul- 
èlre  sera-t-il  surpris  de  lire  la  proposition  suivante,  dont  je  lui  garantis 
la  vérité  : 

En  la  figure  38  de  M.  Dettonvillc  (Jig-  9'i).  on  peut  considérer  les 
spirales  quarrées,  cubiques,  quarréquarrées,  etc.,  tout  de  même  que 
les  paraboles  cubiques,  quarréquarrées,  etc. 

Si  la  spirale  ordinaire,  en  laquelle  comme  toule  la  circonférence  à  la 
portion  EiSB,  ainsi  la  droite  BA  à  la  droite  AC,  se  compare  avec  la  pa- 
rabole ordinaire  en  laquelle  comme  la  droite  RA  à  la  droite  6A,  ainsi 
le  quarré  de  la  droite  RP  est  au  quarré  de  la  droite  GQ,  et  le  rapport 
est  tel  : 

Si  AR  est  faite  égale  à  ^  de  la  circonférence  totale,  et  l'appliquée  RP 
au  rayon  AB,  la  ligue  parabolique  PQ.\  sera  égale  à  la  spirale  Bt^DA, 
comme  le  démontre  M.  Dettonville. 

Mais  en  prenant  la  spirale  quarréc,  qui  est  celle  du  second  genre, 
en  laquelle  comme  toute  la  circonférence  est  à  la  portion  E8B,  ainsi 

(')  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  llonry  (Rcc/ierrhes.  p.  176-177).  —  Cet 
extrait,  envoyé  par  Carcavi  à  Hiiygens  en  même  temps  que  le  précédent,  provient  d'une 
lettre  postérieure  de  l'^crmat. 

FiinjiAT.  —  H.  5o 


Vi-2  Œl'VRES    DE   FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

le  quarri'  du  rayon  AB  est  au  (luarrc  du  rayon  A(^  on  peut  la  coni- 

Kig.  o'i- 


parer  avec  la  parabole  cubique,  qui  est  la  parabole  du  second  genre. 
Soit  fait^  en  la  parabole  cubique,  l'axe  AR  égal  aux  |  de  la  circonfé- 


CIV.  —  SEPTEMBRE   1659.  U3 

ronce  tolalc,  et  l'appliquée  RP  aussi  égale  au  rayon  AH  ;  la  parabole  AP 
du  second  genre  sera  égale  à  la  spirale  du  second  genre  BCDA. 

Si  la  spirale  est  cubique,  il  la  faudra  comparer  avec  la  parabole 
quarréquarrée,  et  faire  les  f  de  la  circonférence  totale  égaux  à  l'axe  AR 
de  la  parabole  quarréquarrée,  et  l'appliquée  RP  toujours  égale  au 
rayon  AB. 

La  parabole  quarréquarrée  PQA,  du  troisième  genre,  sera  égale  à  la 
spirale  cubique  du  troisième  genre  en  laquelle  comme  toute  la  circon- 
férence à  la  portion  E8B,  ainsi  le  cube  du  rayon  AB  au  cube  du 
rayon  AC;  et  à  l'infini,  en  augmentant  toujours  chaque  numérateur  et 
dénominateur  de  la  fraction,  de  l'unité  : 

L'ave  (le  la  parabole  ordinaire  étant  ...  |^  de  la  circonférence, 

L'a\e  de  la  parabole  cubique f  de  la  même  circonférence, 

L'axe  de  la  parabole  quarréquarrée   ...  | 

L'axe  de  la  parabole  quarrécubique   ...  | 

Puis |,  etc. 

D'oii  il  est  aisé  de  conclure  qu'il  y  a  des  spirales  dans  cette  progres- 
sion qui  sont  plus  grandes  que  la  circonférence  du  cercle  qui  les  pro- 
duit, mais  qu'elles  sont  toujours  moindres  que  la  somme  de  ladite 
circonférence  et  du  rayon. 

Voilà  un  paradoxe  géométrique,  sur  lequel  peut-être  M.  Dettonville 
et  M.  de  Zulichem  n'ont  pas  encore  rêvé.  En  tout  cas,  je  les  supplie  de 
croire  que  je  ne  l'ai  point  de  personne,  et  que  ma  méthode  dont  vous 
avez  le  chiffre  longtemps  avant  que  le  Livre  de  M.  Dettonville  partit, 
est  la  source  de  beaucoup  d'autres  belles  découvertes  sur  le  sujet  des 
lignes  courbes  comparées,  ou  avec  des  droites,  ou  avec  d'autres  lignes 
courbes  de  diverse  nature.  Je  vous  en  dirai  peut-être  un  jour  qui  vous 
surprendront. 

3.  M.  de  Zulichem  désire  encore  savoir  si  ma  méthode  s'étend  à  tix)u- 
ver  la  dimension  des  surfaces  courbes  des  conoïdes  et  des  sphéroïdes. 
Vous  pouvez  l'assurer  que  oui,  et  qu'elle  va  encore  bien  plus  loin.  Il 
m'entendra  assez  lorsque  je  lui  assurerai  : 

1°  Que  je  n'ai  point  vu  aucune  de  ses  propositions  sur  ce  sujet; 


VVi  (EIVUKS    DE   FERMAT.  -  CORRESI'ONDANCK. 

■j."  Ouo  la  surt'iicc  du  coiioïdc  [iiiiali(ili(]Ui'  atilour  de  l'axe  se  li'oiive 
par  la  lèi^lo  ol  It*  compas  iM  csl  un  probli-mc  plan; 

Que  les  sui  laces  des  cdiuudes  liy|ieil)()li(|ues  cl  sphéroïdes  suppdsciil 
la  (|ua(lratuic  de  l'iiv  perliolc  cl  (]U(d(|ucs  fois  de  l'cdlipse, 

Va  qu'(Mitiu  le  couoïdc  parabolique  autour  de  rappli(|ué(>  f'ail  une 
surlace  cour!)e  i|ui  suppose,  pouréire  (>xaclciueii(  niesui'ée,  la  (|uadi'a- 
lurc  de  l'iiyperholc. 

Je  puis  nièiuc  donuei'  une  ligne  dioile  égale  ii  loulc  poilion  de  para- 
bole doniioe,  en  supposant  la  quadrature  de  rii\[)erbole,  c'est-à-dire  do 
l'ospace  hypcM'bolique. 

J'ajoulorois  toutes  les  constructions  do  uies  propositions,  mais  le 
loisir  me  man(|ne. 


CV.  -  FÉVRIER  1660.  445 


ANNÉE    1660. 


CV. 
FERMAT  A  C  ARC  AVI  ('). 

<  FÉVRIER    1660   > 

(Corresp.  Huyg.,  11°  ITi .) 

. . .  On  peut  considérer  les  roulettes  allongées  ou  raccourcies  d'uni- 
autre  manière  que  n'a  fait  M.  Dettonville  : 

Supposez  qu'en  la  roulette  ordinaire  les  seules  appliquées  soient 
allongées  ou  raccourcies  proportionnellement,  c'est-à-dire  que,  l'axe 
demeurant  le  même,  chacune  des  appliquées  est  augmentée  de  la 
moitié  ou  hien  raccourcie  de  la  moitié,  auquel  cas  il  se  produit  des 
courbes  nouvelles  :  celles  des  appliquées  allongées  sont  au  dehors  de 
la  roulette  et  celles  des  appliquées  raccourcies  sont  au  dedans. 

Je  dis  que  toutes  les  roulettes  allongées  en  ce  sens  sont  égales  à 
la  somme  d'une  ligne  droite  et  d'une  circulaire,  et  que  toutes  les 
roulettes  accourcies  au  même  sens  sont  égales  à  des  courbes  para- 
boliques. 

Par  exemple,  soit  une  roulette  allongée  dont  les  appliquées  soieni 
aux  appliquées  de  la  roulette  naturelle  comme  le  diamètre  d'un 
quarré  à  son  coté,  je  dis  que  cette  roulette  allongée,  prise  tout 
entière,  c'est-à-dire  des  deux  côtés,  et  que  par  la  construction  vous 
voyez  être  plus  grande  que  la  naturelle,  est  égale  à  la  circonférence 

(')  Fragmenl  envoyé  par  Carcavi  à  Huygens  le  6  mars  1660.  — •  Publié  pour  la  pre- 
mière fois  par  M.  Ch.  Henry  (Pierre  de  Carcavy,  p.  3i). 


U6  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  COHUESPONDANCE. 

(lu  ciM'cK'  gonéralour  do  la  l'oult'ltc  iialiirellc  et  au  double  do  son  dia- 

Illi'Il'C. 

Jo  pouiTois  ajouter  le  théorème  général  pour  tous  ees  cas,  c'est- 
à-dire  pour  l'iiiveiilion  des  paraboles  égales  aux  roulettes  accourcies 
et  pour  l'invention  de  l'agrégé  des  droites  et  des  circulaires  égales 
aux  allongées.  Mais  ce  sera  pour  une  autre  fois.  Ma  méthode  générale 
ne  dépend  que  du  chiffre  que  je  vous  envoyai  l'année  passée,  avant 
que  j'eusse  vu  le  Livre  de  M.  Dettonville. . . . 


CVI. 

KKRMAT  A  CARCAVI  (')• 

<jLiN  1660  > 

{Cvrresp.    Hur^.  ^    n°*    75ô.  ) 

...   1-   Data  quadralurà  hyperboles,  datur  circulus  sequalis  supertl- 
ciei  curvae  paraboles  circa  applicalam  rotatae. 

Sit  data  parabole  AD  (fig-  95),  cujus  axis  AE,  applicata  seu  semi- 


basis  DK,  rectum  latus  ABC.  Quairilur  circulus  apqualis  superficiei 
curva'  solidi  quod  ex  rotatione  figura?  ADE  circa  applicatam  DE  tan- 
quam  immobilem  circumductœ  conficitur. 


(^)  Fragments  envoyés  par  Carcavi  à  Huygens  le  25  juin  iGGo.  —  l'ublics  pour  la  pre- 
mière fois  par  M.  Ch.  Henry  {Pierre  de  Carcavy,  p.  33-34  )• 


CVI. 


JUIN    1G60. 


ii7 


Bisecetur  latus  rectum  AC  in  B  et  axi  AE  ponatur  in  directuni 
recta  EF  aequalis  rectae  AB  seu  dimidio  recti  lateris,  et  jungatur  DF. 

Exponatur  separatim  recta  IQ  {fig.  96)  œqualis  axi  AE,  cujus 
dupla  sit  recta  IR;  fiât 

ul  FE  sive  AB     ad     PF,         ita  recta  QI  ad  reclam  QII, 

et  a  puncto  H  ducatur  HG  perpendicularis  ad  HIR,  et  fiât  HG  seqiialis 
rectae  DE.  Per  punctum  I  tanquam  verticem  describatur  hyperbole 
cujus  transversum  latus  sit  recta  IR,  centrum  Q,  et  transeat  hyperbole 
per  punctum  G  et  sit  IG. 

Describatur  item  alia  hyperbole  separatim  {fig.  9G),  cujus  transver- 
sum latus  MN  sit  sequale  quartae  parti  recti  paraboles  lateris,  hoc  est 

Fig.  96. 


quartae  parti  rectae  AC;  centrum  vero  sit  V,  rectum  latus  OVP 
aequale  transverso  lateri.  Sit  autem  hyperbole  ita  descripta  MK, 
cujus  vertex  M,  axis  ML  qui  continuetur  donec  recta  ML  sit  aequalis 
axi  paraboles  AE,  et  ducatur  perpendicularis  seu  applicata  LK.  A  rec- 
tangulo  sub  QH  in  HG  deducantur  duo  spatia  hyperbolica  IGH,  MKL, 
quorum  quadraturae  supponuntur,  et  quod  supererit  aequetur  qua- 
drato. 


Vis  Π r  \  I J  F.  S   1)  K  K  K  II  M  AT.  -  C  O  H  R  E  S  P  0  N  0  A  N  C  K. 

Diagoiiia  isliiis  (iiiath'ali  cril  radius  circuli  suj)crticioi  rurva',  ciijiis 
iliiiiciisioiu'iii  quariinus,  a'qiialis  (^'). 

2.  Ksto  oyclois  priinaria  ANIF  (X.^".  97),  ciijiis  axis  AD.  seiiii- 
hasis  nr.  t'I  ab  eà  formonlur  aliœ  curva.'  vel  extra  ipsaiu  vcl  iiilra. 
([uaniiii  applirata'  siiil  soinpor  iii  càdoin  ratiniio  data  ad  applicalas 
|iri maria'  cycloidis. 


F 

g-  «7- 

■^ 

A 

H^ 

/ 

'^     1/ 

'^/ 

B 

/o 

C 

/ 

/ 

6 

F 

E 

D 

Kxonipli  gratia,  in  ciirva  oxteriori  AMMG  diicanliir  applicata-  GFl), 
HIC,  3FNB;  ratio  autom  GD  ad  DF  sit  data  et  sit  semper  eadem  qua*  H(J 
ad  CI  et  ^IB  ad  BN.  In  curvà  autem  interiori  AROE,  ratio  FD  ad  DR  sit 
data  et  sit  semper  eadem  qiise  IC  ad  CO  et  NB  ad  RB. 

Dieo  contingere  ut  curvœ  exteriores,  qualis  est  AMHG,  sinl  semper 
a'quaies  aggrcgato  linese  eircularis  et  linea»  rectae;  curv*  autem  inle- 
l'iores,  qualis  est  AROE,  sint  semper  a^juales  parabolis  primariis  sive 
Arehimedeis. 

ïheorematis  generalis  enunciationem ,  quando  vcdueris,  exliibebo, 
inio  et  demonstrationem  (-  ). 


iCortc^ipnndnncr  //lOi^e/is,  ir  7jG.) 

-î.  l'dur  me  sauvrr  un  jii'ii  (b' i'ai-cusaliini  (b'  .M.  (b^  Znlyclu'in,  (jiii 
dit  que  mes  spirab's  n'ont  pas  des  jtropi'iélés  qui  soient  autrement  con- 
si(b''rables(^),  vous  |)oni'r(>z,  si  vous  voub'z,  lui  proposer  eeUe  qui  suit  : 

(•)  Cniiipfircr  la  Proposilion  II  ;i  Lalouvrre,  I.  I,  |).  ioo. 
(')  Comparer  la  proposition  IV  à  Lciloiivi-re,  I.  I,  p.  202  Cl  siiiv. 

(')  LoUre  (le  llinijons  à  Carcavi  du  -^G  fcvriei'  1C60  (Corr.  Hiiyg..  11°  liH)  :  «  La  rnn\- 
paraiifnn  des  autres  sortes  de  spirales  avec  les  liijncs  |)aral)oloïdes  ipic   dimne  M.  do 


CVI.  —  JUIN   1660.  U9 

Soit  \e  ciTclc  BCDM  (fïg.  98),  diiquol  le  centre  A  et  le  rayon  AB,  et 
soit  la  spirale  BOZA  de  laquelle  la  propriété  soit  telle  : 

HA  esl  à  OA  comme  le  (|uarré  de  toute  la  circonférence  BCDMB 
au  f|iiarré  de  la  |)ortion  de  la  môme  circonférence  (jUMB. 

Cette  spirale,  par  mon  théorème  général,  est  égale  à  nne  parabole  en 
laquelle  les  cubes  des  appliquées  sont  en  même  raison  que  les  quarrés 
des  portions  de  l'axe,  laquelle  parabole  est  égale  à  une  ligne  droite. 

Fig.  98. 


J'espère  que  cette  propriété  suffira  pour  me  réconcilier  avec  M.  Zuly- 
chem  et,  puisque  je  lui  cède  tous  mes  droits  sur  les  surfaces  courbes 
des  sphéroïdes  et  conoïdes,  je  souhaiterois  qu'en  revanche  il  m'indi- 
quât s'il  sait  aucune  surface  courbe  égale  à  un  quarré  par  voie  pure- 
ment géométrique  et  pareille  à  celle  dont  je  me  suis  servi  en  donnant 
des  droites  égales  à  des  courbes. 

Fc'i'iiial  est  vorilahlc,  mais  nun  pas  lort  difflcilo  à  troiiviT  a|)i-ès  que  la  |ii-i'iiucrL'  est 
connue,  cl  je  m'étonne  qu'il  proiui  plaisir  à  inventer  des  lignes  nouvelles  qui  iiDiit  pas 
autrcmenl  fies  propriétés  dignes  de  considération.  »  Cp.  la  Pièee  CIV. 


Flumat. 


ioO  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

CVll. 
FERMAT  A  PASCAL. 

ItlM.WCIlE     23     JUILLET     1C60. 

(Or.iivrvs  ilr    Pascal .    IV,    p.   445.) 

Monsieur, 

Dès  quo  j'ai  su  qiio  nous  sommes  plus  proches  l'un  do  l'iuitro  que 
nous  n'étions  auparavant,  je  n'ai  pu  résister  à  un  dessein  d'amitié  dont 
j'ai  prié  .M.  do  Careavi  d'être  le  médiateur  :  en  un  mot  je  prétends  vous 
embrasser  et  converser  quelques  jours  avec  vous;  mais,  parce  que  ma 
santé  n'est  guère  plus  forte  que  la  votre,  j'ose  espérer  qu'en  cette  con- 
sidération vous  me  ferez  la  grâce  de  la  moitié  du  chemin,  et  que  vous 
iir(tl)ligerez  de  me  marquer  un  lieu  entre  Clermont  et  Toulouse,  où  je 
ne  manquerai  pas  de  me  rendre  vers  la  fin  de  septembre  ou  le  com- 
ineucemcnl  d'octobre. 

Si  vous  ne  prenez  pas  ce  parti,  vous  courrez  hasard  de  me  voir  chez 
vous  et  d'y  avoir  deux  malades  en  même  temps.  J'attends  de  vos  nou- 
velles avec  impatience  et  suis  de  tout  mon  cœur. 

Tout  à  vous. 


A  Toulouse,  lo  7  J  juillet  i66o. 


Fermât. 


CVIII. 
PASCAL  A  FERMAT. 

MARDI    10    AOUT    1C60. 

injùn'res  Je  Pascal,    IV,  p.  4',0-4^S.) 

('■fl,    p.    2oO.) 


Monsieur, 

Vous  êtes  le  plus  galant  homme  du  monde  et  je  suis  assurément  un 
de  ceux  qui  sais  le  mieux  reconnoître  ces  qualités-là  et  les  admirer 


CVIII.  -   10  AOUT    1660.  431 

infiniment,  surtout  quand  elles  sont  jointes  aux  talents  qui  se  trouvent 
singulièrement  en  vous.  Tout  cela  m'oblige  à  vous  témoigner  de  ma 
main  ma  reconnoissance  pour  l'ofTre  que  vous  me  faites,  quelque 
peine  que  j'aie  encore  d'écrire  et  de  lire  moi-même;  mais  l'honneur 
que  vous  me  faites  m'est  si  cher  que  je  ne  puis  trop  me  hâter  d'y 
répondre. 

Je  vous  dirai  donc,  Monsieur,  que  si  j'étois  en  santé,  je  serois  volé  à 
Toulouse  et  que  je  n'aurois  pas  soufTert  qu'un  homme  comme  vous 
eût  fait  un  pas  pour  un  homme  comme  moi.  Je  vous  dirai  aussi  que, 
quoique  vous  soyez  celui  de  toute  l'Europe  que  je  tiens  pour  le  plus 
grand  géomètre,  ce  ne  seroit  pas  cette  qualité-là  qui  m'auroit  attiré, 
mais  que  je  me  figure  tant  d'esprit  et  d'honnêteté  en  votre  conversa- 
tion que  c'est  pour  cela  que  je  vous  rechercherois. 

Car,  pour  vous  parler  franchement  de  la  Géométrie,  je  la  trouve  le 
plus  haut  exercice  de  l'esprit  :  mais  en  même  temps  je  la  connois  pour 
si  inutile  que  je  fais  peu  de  différence  entre  un  homme  qui  n'est  que 
géomètre  et  un  habile  artisan.  Aussi  je  l'appelle  le  plus  beau  métier 
du  monde,  mais  enfin  ce  n'est  qu'un  métier,  et  j'ai  dit  souvent  qu'elle 
est  bonne  pour  faire  l'essai,  mais  non  pas  l'emploi  de  notre  force. 

De  sorte  que  je  ne  ferois  pas  deux  pas  pour  la  Géométrie  et  je  m'as- 
sure que  vous  êtes  fort  de  mon  humeur.  Mais  il  y  a  maintenant  ceci  de 
plus  en  moi  que  je  suis  dans  des  études  si  éloignées  de  cet  esjirit-là 
qu'à  peine  me  souviens-je  qu'il  y  en  ait.  Je  m'y  étois  mis,  il  y  a  un  an 
ou  deux,  par  une  raison  tout  à  fait  singulière,  à  laquelle  ayant  satis- 
fait, je  suis  au  hasard  de  ne  jamais  plus  y  penser. 

Outre  que  ma  santé  n'est  pas  encore  assez  forte,  car  je  suis  si  foible 
que  je  ne  puis  marcher  sans  bâton  ni  me  tenir  à  cheval,  je  ne  puis 
même  faire  que  trois  ou  quatre  lieues  au  plus  en  carrosse.  C'est  ainsi 
que  je  suis  venu  de  Paris  ici  en  vingt-deux  jours.  Les  médecins  m'or- 
donnent les  eaux  de  Bourbon  pour  le  mois  de  septembre,  et  je  suis 
engagé,  autant  que  je  puis  l'être,  depuis  deux  mois  d'aller  de  là  en 
Poitou  par  eau  jusqu'à  Saumur,  pour  demeurer  jusqu'à  Noél  avec 
M.  le  duc  de  Roannès,  gouverneur  de  Poitou,  qui  a  pour  moi  des 


V32  (F.l'VRES    DE   lEIUIXT.  -   CO  l{  RKS  l>()N  I)  A  NCR. 

sontiiiKMis  (iiic  j(>  ni'  vaux  pas.  Mais,  comnio  je  |)ass(M'ai  par  Orléans 
en  allant  à  Sannuir  par  la  rivière,  si  ma  santé  ne  me  |)erm(a  pas  de 
passer  outre,  jiiai  de  là  à  Paris. 

Voilà,  Monsieur,  (oui  l'étal  de  ma  vie  présente,  don!  je  suis  (d)ligé 
de  vous  rendre  compte  |)our  vous  assurer  île  l'impossibilité  où  je  suis 
de  recevoir  l'honneur  que  vous  daignez  m'oUVir  et  (|ue  je  souhaite  de 
tout  mon  ('(viir  de  pouvoir  un  jour  re('(mn(u"lre,  (Ui  en  vous,  ou  en 
^[essieurs  vos  entants,  auxquels  je  suis  tout  dévoué,  ayant  une  véné- 
ration partienlière  pour  eeux  qui  portent  le  nom  du  premier  homme 
du  monde. 

Je  suis,  ete.  Pascal. 

lie  Bienassis,  le  lo  août  iCiGo. 


CIX. 
FERMAT  A  HUYGENS  (' ). 

DÉCEMBRE    1G()0. 

{Corrrsiionitnncc  ilf  Hiiy^^ctiH,    ii"  8'24.  ) 

Monsieur, 

J'ai  appris  avec  joie,  mais  non  sans  quelque  espèce  de  jalousie,  que 
mes  amis  de  Paris  ont  l'honneur  de  vous  posséder  depuis  quelque 
temps.  Je  vous  assure.  Monsieur,  que,  si  ma  santé  étoit  assez  forte 
pour  les  voyages,  j'irois  avec  grand  plaisir  prendre  ma  part  de  leur 
bonheur.  Ce  n'est  pas  d'aujourd'hui,  ni  par  la  relation  seule  de  M.  de 
Carcavi,  que  je  suis  persuadé  de  vos  qualités  tout  extraordinaires.  J'é- 
tois  à  vous  avant  que  vous  fussiez  en  France  et,  lorsqu'on  m'a  demandé 
mon  sentiment  de  votre  Saturne,  j'ai  répondu  hardiment  et  sans  même 

(  ■>  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  (Recliercliex,  \i.  77-78).  —  Car- 
cavi remit  celte  lettre  à  Iluygens,  alors  ù  Paris,  lo  27  dccombre  i()6o.  L'autographe  est 
conservé  à  la  Bibliotiièquc  de  l'Université  de  Leydc,  manuscrit  Iluygens,  3o. 


(JX.  -  DÉCEMBRE   1660.  453 

l'avoir  encore  vu  que,  puisqu'il  partoit  de  votre  main,  il  ne  pouvoit 
manquer  quoi  que  ce  soit  à  sa  perfection.  Vos  autres  ouvrages  que  j'ai 
vus  et  admirés  m'ont  obligé  d'en  parler  de  la  sorte  et  j'ai  eu  plus  de 
raison  d'en  user  ainsi  que  celui 

Qui  niinqiiam  vis»  flagrabat  amure  pucHœ  (  '  )• 

Votre  grande  et  juste  réputation  est  le  seul  et  véritable  garant  de 
tous  vos  livres.  Il  me  tarde  de  les  voir  et  de  me  confirmer  par  leur  lec- 
ture au  jugement  que  j'en  ai  fait  par  avance  et  en  la  passion  que  vos 
autres  écri(s  m'ont  donnée,  d'être  toute  ma  vie  avec  grand  respect. 
Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur. 

Fermât. 

(M  Jii vouai.  Sat.  IV,  ii3. 


!t6'* 


ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNÉE   1661. 


c\. 

FERMAT  A  CARCAM  {' ). 
1661. 

(Com-v/,.  Hiry!^..  n»  019.) 


. . .  Soil  la  courbe  de  Dioclo  BCRG  (//i,'-.  99)  et  BDF  do  l'autre  cùlé  du 
cercle,  qui  a  cette  propriété  connue  qu'en  prenant  quelconque  point 


Fis-  99- 


HiiG 


au  cercle,  comme  N  ou  Q,  les  quatre  lignes  AO,  ON,  OB,  OM  sont  con- 


(')  Frajïmcnl  envoyé  par  (larciivi  ;'i  Iliiygens,  lo  i"'' janvier  rG62,  en  môme  temps  que 
le  morceau  lalin  De  cix.ioidc  imprimé  ïomo  I,  p.  ■28'J-'288.  —  Il  a  été  publié  pour  la  pre- 
mière fois  par  M.  (^li.  Ilcnrv  {Pierre  de  Caremy,  p.  aj). 


CXI.  -    13  DECEMBRE   1G61.  W5 

tiiiueinent  proportionnelles  et  de  même  les  quatre  lignes  AP,  PQ, 
PB.  PR. 

Or,  cette  courbe  s'étend  des  deux  côtés  à  l'infini,  et  la  droite  HAE, 
qui  touche  le  cercle  en  A,  est  son  asymptote. 

La  proposition  est  que  tout  l'espace  GRBDF,  c(uiipris  entre  la  courbe 
et  l'asymptote  étendue  à  l'infini,  est  triple  du  cercle  générateur  ACBD. 

j'ai  aussi  la  mesure  des  solides,  des  centres  de  gravité  des  portions, 
et  de  tout  le  reste 


CXI. 
FERMAT  A  SÉGUIER  ('). 

MARDI     13    DÈfiEMIlRK     IGCl. 

(Bibl.  Xat.  ù:  ,-^ti,  [■•  '^3:i.) 

Monseigneur, 

J'ai  desia  pris  la  liberté  d'aller  tout  droit  à  vous  sans  me  servir  d'au- 
cune recommandation  estrangere  pour  vous  demender  grâce  et  iustice 
pour  mon  fils  (-).  Il  a  depuis  peu  traitlé  d'un  office  de  con'''"en  la  Chambre 
des  requestes  de  ce  parlement  que  i'ai  cy  devant  excercé.  Il  vous  sera, 
Monseigneur,  iustifié  par  actes  qu'il  a  l'aage  et  le  temps  de  la  postula- 
tion requis  par  les  ordonnances.  Et  quoique  son  traitté  soit  antérieur 
au  règlement  de  Sa  Maiesté  que  nous  venons  de  recevoir,  il  ne  restera 
pas.  Monseigneur,  de  vous  produire  toutes  les  preuves  qu'il  exige,  et 
d'y  adiouster  mesme  la  sousmission  contenue  dans  ladite  déclaration. 
J(>  n'ai,  Monseigneur,  a  vous  demender  que  la  dispense  de  la  présenta- 
tion qu'il  vous  doit  faire  en  personne  de  touts  ses  actes  aux  termes  de 
ce  règlement.  Je  n'implore  pour  cela  que  vostre  cognoissance  et  vostre 

,    (')  Publiée  pour  la  proinière  fois  par  M.  Charles  Henry  d'après  l'aulographe  (  He- 
r/ierches.  p.  70-7. >.  ). 

('-)  Clément-Samuel,  fils  aine  do  Fermai.  Son  cadet,  Jean,  reçut  les  ordres  et  devint 
archidiacre. 


456  (1>:UVHES  DE  FEHM  AT.  -  COHHESPON  DANCE. 

iiu'inoiro,  l'I  ic  ne  (l(iul»tt'  pas  (|ii(':M(iiisi('iir  de  La  (liiaiiilifc  ne  vdiis  f'ass(^ 
souvenir,  Monseignotir.  que  inond.  fils  vous  rciidisl  ses  respecis  eu  per- 
sonne eu  l'aiiiUM'  luii  six  ceus  (•iM(|iianli'  sept,  cl  que  Monseigneur  le 
Duc  de  Suili  ue  vous  dise  (|in'l(pH'  pandle  favorable  pour  uue  t'auiille 
qui  vous  est  euliereuient  devdiu'c  et  (jui  V(Uis  (>st  aetjuisc  avec  Idulc 
dépendance.  J'attens  cette  seule  grâce  de  vosire  bonté  et  suis  avec  1res 
grand  respect 

Monseigneur 

Votre  très  huinbb^  et  très 
obéissant  serviteur 

F"kumaï. 

A  Toluse.  le  ri  (Ji'c.  iGlii. 


CXII.  -  1  JANVIER   1662.  457 


ANNÉE    1662. 


CXII. 
FERMAT  A  C.  DE  LA  CHAMBRE. 

DIMANCHE    1    JANVIER    1G62. 

(D.,  III,  5t  ;  Cerrespoiulanoe  Huygens,  n°  990.  ) 
Bibl.  Nat.  fr.  n.  a.  3-280. 

Monsieur, 

1.  Il  est  juste  de  vous  obéir  et  de  terminer  enfin  par  votre  entremise 
le  vieux  démêlé  qui  a  été  depuis  si  longtemps  entre  M.  Descartes  et  moi 
sur  le  sujet  de  la  réfraction,  et  peut-être  serai-je  assez  heureux  pour 
vous  proposer  une  paix  que  vous  trouverez  avantageuse  à  tous  les 
deux  partis. 

Je  vous  ai  dit  autrefois,  dans  ma  première  lettre  ('),  que  M.  Descaries 
n'a  jamais  démontré  son  principe;  car,  outre  que  les  comparaisons  ne 
servent  guère  à  fonder  des  démonstrations,  il  emploie  la  sienne  ii 
contre-sens  et  suppose  même  que  le  passage  de  la  lumière  est  plus  aisé 
par  les  corps  durs  que  par  les  rares,  ce  qui  est  apparemment  faux.  Je 
ne  vous  redis  rien  du  défaut  de  la  démonstration  en  elle-même,  quand 
bien  la  comparaison  dont  il  se  sert  seroit  bonne  et  admissible  en  cette 
matière,  pource  que  j'ai  traité  tout  cela  bien  au  long  dans  mes  lettres 
à  M.  Descartes  pendant  sa  vie,  ou  dans  celles  que  j'ai  écrites  à  M.  Cler- 
selier  depuis  sa  mort  (-). 

(  1  )  Lettre  LXXXVI. 

(2)  Les  Lettres  à  Merscnne  XXII  et  XXIV,  à  Clerselior  XC,  XC  bis.  XGV,  XCVIl. 

Fermât.  —  \\.  5o 


io8  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

2.  J'ajoute  soulomoot  qu'ayant  vu  le  même  principe  de  M.  Descartes 
dans  plusieurs  auteurs  (|ui  onl  écrit  après  lui,  leurs  démonstrations, 
non  plus,  ne  nu'  paroissent  point  rcccvables  el  ne  niérilenl  point  de 
porter  ce  nom  :  Hérigone  ('  )  se  sert,  pour  le  démontrer,  des  équipondé- 
rants  et  de  la  raison  des  poids  sur  les  plans  inclinés;  le  Père  Maignan  (■') 
y  veut  parvenir  d'une  autre  manière.  Mais  il  est  aisé  de  voir  qu'ils  ne 
démontrent  ni  l'un  ni  l'autre,  et  qu'après  avoir  lu  el  examiné  avec 
soin  leurs  démonstrations,  nous  sommes  aussi  incertains  de  la  vérité 
des  principes  qu'après  avoir  lu  M.  Descartes. 

Pour  sortir  de  cet  embarras  et  tâcher  de  trouver  la  véritable  raison 
de  la  réfraction,  je  vous  indiquai  dans  ma  lettre  que,  si  nous  voulions 
emplover  dans  cette  recherche  ce  principe  si  commun  et  si  établi,  que 
la  nature  agit  toujours  par  les  mies  les  plus  courtes,  nous  pourrions  y 
trouver  facilement  notre  compte.  Mais  parce  que  vous  doutâtes  d'abord 
que  la  nature,  en  conduisant  la  lumière  parles  deux  côtés  d'un  triangle, 
puisse  jamais  agir  par  une  voie  aussi  courte  que  si  elle  la  conduisoit 
par  la  base  ou  par  la  soustendante,  je  m'en  vais  vous  faire  voir  le  con- 
traire de  votre  sentiment  ou  plutôt  de  votre  doute,  par  un  exemple  aisé. 

3.  Soit,  en  la  figure  à  pari  (Jig-  loo),  le  cercle  ACBG,  duquel  le  dia- 
mètre soit  AOB,  le  centre  0  et  un  autre  diamètre  GOC.  Des  points  G 
et  G  soient  tirées  les  perpendiculaires  sur  le  premier  diamètre,  GH, 
CD.  Supposons  que  le  premier  diamètre  AOB  sépare  deux  milieux  dif- 
férents, dont  l'un  qui  est  celui  de  dessous,  AGB,  soit  le  plus  dense  et 
celui  de  dessus,  iVCB,  soit  le  plus  rare,  en  telle  sorte,  par  exemple, 
que  le  passage  par  le  plus  rare  soit  plus  aisé  que  celui  par  le  plus  dense 
en  raison  double. 

(')  Cursus  raalhcmaticus  tomus  quintus,  Paris,  chez  Sinieon  Pigot,  MDCXLIV,  p.  19.9- 
i3o.  Axiome  V  :  «  Les  puissances  de  pénétrer  divers  médiums  diaphanes,  qu'ont  les 
rayons  optiques,  s'augmentent  ou  diminuent  proportionnellement  par  la  mutation  des 
médiums  ;  et  il  y  a  mesme  proportion  entre  les  puissances  des  rayons  d'incidence  et  de 
réfraction  (ju'cntre  les  [iressemens  qu'ils  recevroient  des  poids  égaux  s'ils  en  soustc- 
noient.  h 

(2)  Perspectiva  horaria  seu  de  horographia  gnomonica  tum  theoretica  tum  practica 
.libri  quatuor.  Koine,  ili/iS;  in-f'ol.,  pages  63i-647. 


CXII.  -  1  JANVIER  1662.  459 

Il  suit  de  cette  supposition  que  le  temps  qu'emploie  le  mobile  ou  la 
lumière  de  C  en  0  est  moindre  que  celui  qui  les  conduit  de  0  en  G,  et 
que  le  temps  du  mouvement  de  C  en  0,  qui  se  fait  dans  le  milieu  le 
plus  rare,  n'est  que  la  moitié  du  temps  du  mouvement  de  0  en  G.  Et 
par  conséquent  la  mesure  du  mouvement  entier  par  les  deux  droites  CO 


Fi".  100. 


et  OG  peut  être  représentée  par  la  somme  de  la  moitié  de  CO  et  de  la 
totale  OG;  de  même,  si  vous  prenez  un  autre  point,  comme  F,  le  temps 
du  mouvement  par  les  deux  droites  CF  et  FG  peut  être  représenté  par 
la  somme  de  la  moitié  de  CF  et  de  la  totale  FG. 

Supposons  maintenant  que  le  rayon  CO  soit  lo,  et  par  conséquent  le 
diamètre  total  COG  sera  20;  que  la  droite  HO  soit  8,  la  droite  OD  soit 
aussi  8;  et  qu'enfin  la  droite  OF  ne  soit  que  i.  Je  dis  qu'en  ce  cas  le 
mouvement  qui  se  fait  par  la  droite  COG  se  fera  en  un  temps  plus 
long  que  celui  qui  se  fiùt  par  les  deux  côtés  du  triangle  CF,  FG. 

Car  si  nous  prouvons  que  la  moitié  de  CO,  jointe  à  la  totale  OG,  con- 
tient plus  que  la  moitié  de  CF  jointe  à  la  totale  FG,  la  conclusion 
sera  manifeste,  puisque  ces  deux  sommes  sont  justement  la  mesure 
du  temps  de  ces  deux  mouvements.  Or  la  somme  de  la  moitié  de  CO 
et  de  la  totale  OG  fait  justement  i5,  et  il  est  évident  par  la  construc- 
tion que  la  droite  CF  est  égale  à  la  racine  quarrée  de  117  et  que  la 
droite  FG  est  égale  à  la  racine  quarrée  de  85.  Mais  la  moitié  de  la  pre- 
mière racine,  jointe  à  la  seconde,  fait  moins  que  — ?  et  -^  sont  encore 
•>  '44 

moindres  que  i5.  Donc  la  somme  de  la  moitié  de  CF  et  de  la  totale  FG 


UO  Œl  VRES  DE  FERMAT.—  CORUESPONDANCE. 

est  inoimli'c  (|iio  la  somme  tic  la  moitit'  do  (X)  ot  do  la  totale  OG,  ot  par- 
lant lo  iiioiiveimMil  par  les  deux  droites  (^F,  FG  se  t'ait  plus  toi  et  en 
moins  de  temps  que  par  la  hase  ou  soustendante  COG. 

4.  Je  suis  venu  jusquos-là  sans  beaucoup  de  peine,  mais  il  a  fallu  por- 
ter la  recherche  plus  loin  et,  parce  que,  pour  satisfaire  à  mon  principe, 
il  ne  suffit  i)as  d'avoir  trouvé  un  point  comme  V,  par  où  le  mouvement 
naturel  se  fait  plus  vite,  plus  aisément  et  en  moins  de  temps  que  par  la 
droite  COG,  mais  [qu]'il  faut  encore  trouver  le  point  qui  fait  la  con- 
duite en  moins  de  temps  que  quelque  autre  que  ce  soit,  pris  des  deux 
cotés,  il  m'a  été  nécessaire  d'avoir  en  cette  occasion  recours  à  ma 
méthode  de  maximis  et  minimls ,  qui  expédie  cette  sorte  de  questions 
avec  assez  île  succès. 

Dès  que  j'ai  voulu  entreprendre  cette  analyse,  j'ai  eu  deux  obstacles 
il  surmonter  :  le  premier,  que,  bien  que  je  fusse  assuré  de  la  vérité  de 
mon  principe,  qui  est  qu'il  n'y  ait  rien  de  si  probable  ni  de  si  apparent 
((uc  cette  supposition,  que  la  nature  agit  toujours  par  les  moyens  les 
plus  aisés,  c'est-ii-dire  ou  par  les  lignes  les  plus  courtes,  lorsqu'elles 
n'emportent  pas  plus  de  temps,  ou  en  tout  cas  par  le  temps  le  plus 
court,  afin  d'accourcir  son  travail  et  de  venir  plus  tôt  à  bout  de  son 
opération  (ce  que  le  précédent  calcul  confirme,  d'autant  plus  qu'il 
paroit  que  la  lumière  a  plus  de  diiïiculté  à  traverser  les  milieux  denses 
que  les  rares,  puisque  vous  voyez  que  la  réfraction  vise  vers  la  perpen- 
diculaire dans  mon  exemple,  ainsi  que  l'expérience  le  confirme,  ce  qui 
pourtant  est  contraire  à  la  supposition  de  M.  Descartos),  néanmoins 
j'ai  été  averti  de  tous  côtés,  et  principalement  par  M.  Petit,  que  j'estime 
infiniment,  que  les  expériences  s'accordent  exactement  avec  la  propor- 
tion que  M.  Descartes  a  donnée  aux  réfractions,  et  que,  bien  que  sa 
démonstration  soit  fautive,  il  est  ii  craindi'c  (|uc  je  tenterai  inutilement 
d'introduire  une  proportion  différente  de  la  sienne,  et  que  les  expé- 
riences qui  se  feront  après  que  j'aurai  publié  mon  invention  la  pour- 
ront détruire  sur  l'heure. 

Le  second  obstacle  qui  s'est  opposé  à  ma  recherche  a  été  la  longueur 


CXII.  -  1   JANVIER    1G6-2.  ^^61 

et  la  difficulté  du  calcul,  qui,  dans  la  résolution  du  problème  dont  je 
vous  parlai  dans  ma  lettre  et  que  je  vous  témoignois  n'être  pas  des  plus 
aisés,  présente  d'abord  quatre  lignes  par  leurs  racines  quarrées  et 
engage  par  conséquent  en  des  asymmétries  qui  aboutissent  à  une  très 
grande  longueur. 

Je  me  suis  défait  du  premier  obstacle  par  la  connoissance  que  j'ai 
qu'il  y  a  infinies  proportions,  dilTérentes  de  la  véritable,  qui  approchent 
d'elle  si  insensiblement  qu'elles  peuvent  tromper  les  plus  habiles  et 
les  plus  exacts  observateurs.  Ainsi  n'y  ayant  que  le  second  obstacle  à 
vaincre,  je  m'étois  résolu  très  souvent  d'em|tloyer  la  bien-aimée  (') 
Géométrie  (c'est  ainsi  que  Plutarque  l'appelle)  pour  vous  satisfaire  et 
pour  me  satisfaire  moi-même.  Mais  l'appréhension  de  trouver,  après  une 
longue  et  pénible  opération,  quelque  proportion  irrégulière  et  fan- 
tasque, et  la  pente  naturelle  que  j'ai  vers  la  paresse,  ont  laissé  la 
chose  en  cet  état,  jnsqu'à  la  dernière  semonce  que  M.  le  Président 
[de  J  Miremont  vient  de  me  faire  de  votre  part,  que  je  prends  pour  une 
loi  plus  forte  que  ni  mon  appréhension  ni  ma  paresse  :  si  bien  «jue  je 
me  suis  résolu  de  vous  obéir  sans  autre  retardement. 

5.  J'ai  donc  procédé  sans  remise  en  vertu  de  l'obédience,  comme 
parlent  les  moines,  à  l'exécution  de  vos  ordres,  et  j'ai  fait  l'entière 
analyse  en  forme,  dans  laquelle  le  désir  passionné  que  j'ai  eu  de  vous 
satisfaire  m'a  inspiré  une  route  qui  a  abrégé  la  moitié  de  mon  travail 
et  qui  a  réduit  les  quatre  asymmétries  que  j'avois  eu  en  vue  la  pre- 
mière fois  à  deux  tant  seulement,  ce  qui  m'a  notablement  soulagé. 

Mais  le  prix  de  mon  travail  a  été  le  plus  extraordinaire,  le  plus 
imprévu  et  le  plus  heureux  qui  fut  jamais.  Car,  après  avoir  couru  par 
toutes  les  équations,  multiplications,  antithèses  et  autres  opérations  de 
ma  méthode,  et  avoir  enfin  conclu  le  problème  que  vous  verrez  dans 
un  feuillet  séparé  (-),  j'ai  trouvé  que  mon  principe  donnoit  justement 

(')  Plutarque,  Marcellus,  xiv,  5  :  Ttjv  fàp  ÔYoc-ojpisvriv  TaÔTr,'/. . . . 

En  fait,  il  s'agit  dans  ce  passage,  relatif  à  Arcliimècie,  de  Mécanique,  non  de  Géométrie. 

(2)  Voir  VJiudy.iis  ad  refractiones,  t.  I,  p.  170  et  sniv. 


VG2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-    CORRESPONDANCE. 

el  préciséiiuMit  la  menu*  propordon  dos  réfractions  que  M.  Doscartcs  a 
établie. 

J'ai  été  si  surpris  d'un  événement  si  pou  attendu,  ((uo  j'ai  poiiio  ii 
revenir  do  mon  étonnemonl.  J'ai  réitéré  mes  opérations  algébraïquos 
diverses  fois  et  toujours  le  succès  a  été  le  même,  quoique  ma  démon- 
stration suppose  que  le  passage  de  la  lumière  par  les  corps  denses  soit 
plus  malaisé  que  par  les  rares,  ce  que  je  crois  très  vrai  et  indispu- 
tahle,  et  que  néanmoins  M.  Descartos  suppose  le  contraire. 

Que  devons-nous  conclure  de  tout  ceci?  Ne  sufiîroit-il  pas.  Monsieur, 
aux  amis  de  M.  Descartes  que  je  lui  laisse  la  possession  libre  de  son 
théorème?  N'aura-t-il  pas  assez  de  gloire  d'avoir  connu  les  démarches 
de  la  nature  dans  la  première  vue  et  sans  l'aide  d'aucune  démon- 
stration? Je  lui  cède  donc  la  victoire  et  le  champ  de  bataille,  et  je  me 
contente  que  M.  Clerselior  me  laisse  entrer  du  moins  dans  la  société 
do  la  preuve  de  cette  vérité  si  importante,  et  qui  doit  produire  des  con- 
séquences si  admirables. 

6.  J'ajoute  même,  en  faveur  de  son  ami,  qu'il  semble  que  cotte  grande 
vérité  naturelle  n'a  pas  osé  tenir  devant  ce  grand  génie,  et  qu'elle  s'est 
rendue  et  découverte  à  lui  sans  s'y  laisser  forcer  par  la  démonstration, 
à  l'exemple  de  ces  places  qui,  quoique  bonnes  d'ailleurs  et  de  difficile 
prise,  ne  laissent  pas,  sur  la  seule  i-éputation  de  celui  qui  les  attaque, 
de  se  rendre  sans  attendre  le  canon. 

Je  vous  annonce  donc.  Monsieur,  j'annonce  à  M.  Clerselier  et  à  tous 
les  amis  de  M.  Descartes  qu'il  ne  tiendra  plus  à  l'incrédulité  des 
géomètres  qu'on  ne  doive  attendre  les  merveilles  que  M.  Descartes  a  fait 
espérer  avec  raison  de  ses  lunettes  elliptiques  et  hyperboliques, 
pourvu  qu'on  puisse  trouver  des  ouvriers  assez  habiles  pour  les  faire 
et  pour  les  ajuster. 

Il  resteroit  encore  une  petite  difficulté  que  la  comparaison  de  M.  Des- 
cartes semble  produire.  C'est  qu'il  no  paroît  pas  encore  pourquoi  la 
balle  qui  est  poussée  dans  l'eau  n'ap|»roche  pas  de  la  perpendiculaire, 
ainsi  que  la  lumii-ro;  mais,  outre  (lu'on  j)ourroit  soujx'onnor  que  la 


CXII.  -   1  JANVIER   1662.  iG3 

réflexion  se  mêle  dans  cet  exemple  à  la  réfraction,  et  que  la  figure  ou 
la  gravité  peuvent  contribuer  à  la  difl'érence  de  ce  mouvement,  je  n'ai 
garde  d'entrer  dans  une  matière  purement  physique.  Ce  seroit  entre- 
prendre sur  vous,  Monsieur,  qui  en  êtes  le  maître,  et  faire  irruption 
dans  votre  domaine. 

Je  finis  donc  après  vous  avoir  déclaré  que  je  consens,  si  vous  le 
trouvez  à  propos,  que  l'accommodement  entre  les  Cartésiens  et  moi 
soit  publié  dans  les  Académies,  [et]  après  vous  avoir  conjuré  de  rece- 
voir au  moins  l'effet  de  ma  prompte  obéissance  pour  une  preuve  cer- 
taine et  plus  que  démonstrative  de  la  passion  avec  laquelle  je  suis, 
Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur. 

Fermât. 
A  Toulouse,  le  i  de  l'an  1662. 

P.  S.  Si  vous  persistez  toujours  à  n'accorder  pas  un  mouvement 
successif  à  la  lumière,  et  à  soutenir  qu'il  se  fait  en  un  instant,  vous 
n'avez  qu'à  comparer  ou  la  facilité  ou  la  fuite  et  résistance  plus  ou 
moins  grande,  à  mesure  que  les  milieux  changent.  Car  cette  facilité  ou 
cette  résistance  étant  plus  ou  moins  grande  en  différents  milieux,  et  ce 
en  une  proportion  diverse  à  mesure  que  les  milieux  diffèrent  davan- 
tage, elles  pourront  être  considérées  en  une  raison  certaine  et  par  con- 
séquent tomber  dans  le  calcul  aussi  bien  que  le  temps  du  mouvement, 
et  ma  démonstration  y  servira  toujours  d'une  même  manière. 

Je  n'ai  pas  étendu  mon  opération  tout  entière  :  et  il  n'a  pas  été 
nécessaire,  puisque  ma  méthode  est  imprimée  tout  au  long  dans  le 
sixième  tome  du  Cours  malhématique  d'Hérigone  et  que  j'en  ai  assez 
dit  pour  être  entendu.  Si  vous  m'ordonnez  de  parcourir  tous  les 
détours  de  l'analyse  en  forme,  je  le  ferai  et  je  n'aurai  pas  même  beau- 
coup de  peine  à  faire  la  démonstration  par  la  composition,  c'est-à-dire 
en  parlant  le  langage  d'Euclide. 


i()V  ŒUVRES  Di:  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

CXIII. 
CLERSELIEU  A  FERMAT. 

SAMEDI  G  MAI  1G62. 

(D.,-iir,  52.) 

Monsieur, 

No  croyez  pas  (|iie  ce  soit  à  dessein  de  troubler  la  paix  que  vous  pré- 
sentez à  fous  les  Descartistes,  que  je  prends  aujourd'hui  la  plume  ;i  la 
niaiii.  Les  conditions  sous  lesquelles  vous  la  leur  offrez  leur  sont  trop 
avantageuses,  et  à  moi  en  particulier  trop  honorables,  pour  ne  la  pas 
accepter;  e(  si  tous  ceux  qui  ont  jamais  eu  des  démêlés  avec  leur 
maître  étoieiit  aussi  sincères  que  vous,  vous  la  verriez  bientôt  établie 
partout  au  contentement  de  tous  les  partis. 

11  y  avoit  encore  deux  sortes  d'esprits  à  satisfaire  au  sujet  de  la 
réfraction  : 

Les  uns,  peu  versés  dans  les  Mathématiques,  qui  ne  pouvoient  com- 
prendre une  raison  prise  de  la  nature  des  mouvemens  composés,  et 
vous  leur  avez  fait  entendre  raison,  en  leur  proposant  un  autre  prin- 
cipe plus  plausible  en  apparence  et  plus  proportionné  à  leur  portée,  à 
savoir  (|ue  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes  et  les 
plus  simples; 

Les  autres  qui  y  étoient  trop  adonnés  et  qui  ne  pouvoient  se  rendre 
aux  raisons  pures  et  simples  de  la  métaphysique,  qu'il  faut  pourtant 
nécessairement  joindre  avec  celles-là  pour  leur  donner  la  force  de  la 
conviction,  et  vous  leur  avez  ôté  cet  obstacle  en  conduisant  votre  prin- 
cipe par  un  raisonnement  purement  géométrique. 

Kl  comme  ces  deux  sortes  de  personnes  étoient  sans  doute  beaucoup 
|)lns  (Ml  nombre  que  les  autres,  vous  méritez  aussi  sans  difficulté  une 
|diis  Lcrandc  part  dans  la  gloire  (jtii  est  due  à  une  si  belle  et  si  impor- 
tante découverte. 

Je  ne  vous  l'envie  |)oiiit.  Monsieur,  et  vous  promets  de  le  publier 


CXIII.  -  6  MAI    1662.  465 

partout  et  de  conFesscr  hautement  que  je  n'ai  rien  vu  de  plus  ingé- 
nieux ni  de  mieux  trouvé  que  la  démonstration  que  vous  avez  appor- 
tée. Permettez-moi  seulement  de  vous  dire  ici  les  raisons  qu'un  Des- 
cartiste  un  peu  zélé  pourroit  alléguer  pour  maintenir  l'honneur  et  le 
droit  de  son  maître,  et  pour  ne  pas  relâcher  si  tôt  à  un  autre  la  posses- 
sion où  il  est,  ni  lui  céder  le  premier  pas. 

1-  Le  principe  que  vous  prenez  pour  fondement  de  votre  démon- 
stration, il  savoir  que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus 
courtes  et  les  plus  simples,  n'est  qu'un  principe  moral  et  non  point 
physique,  qui  n'est  point  et  qui  ne  peut  être  la  cause  d'aucun  effet  de 
la  nature. 

Il  ne  l'est  point,  car  ce  n'est  point  ce  principe  qui  la  fait  agir,  mais 
bien  la  force  secrète  et  la  vertu  qui  est  dans  chaque  chose,  qui  n'est 
jamais  déterminée  à  un  t(d  ou  tel  effet  par  ce  principe,  mais  par  la 
force  qui  est  dans  toutes  les  causes  qui  concourent  ensemble  à  une 
même  action,  et  par  la  disposition  qui  se  trouve  actuellement  dans  tous 
les  corps  sur  lesquels  cette  force  agit. 

Et  il  ne  le  peut  être,  autrement  nous  supposerions  de  la  connois- 
sance  dans  la  nature  :  et  ici,  par  la  nature,  nous  entendons  seulement 
cet  ordre  et  cette  loi  établie  dans  le  monde  tel  qu'il  est,  laquelle  agit 
sans  prévoyance,  sans  choix,  et  par  une  détermination  nécessaire. 

2.  Ce  même  principe  doit  mettre  la  nature  en  irrésolution,  ii  ne 
savoir  ;i  quoi  se  déterminer,  quand  elle  a  à  faire  passer  un  rayon  de 
lumière  d'un  corps  rare  dans  un  plus  dense.  Car  je  vous  demande 
s'il  est  vrai  que  la  nature  doive  toujours  agir  par  les  voies  les  plus 
courtes  et  les  plus  simples,  puisque  la  ligne  droite  est  sans  doute  et 
plus  courte  et  plus  simple  que  pas  une  autre,  quand  un  rayon  de  lu- 
mière a  à  partir  d'un  point  d'un  corps  rare  pour  se  terminer  dans  un 
point  d'un  corps  dense,  n'y  a-t-il  pas  lieu  de  faire  hésiter  la  nature,  si 
vous  voulez  qu'elle  agisse  par  ce  principe  à  suivre  la  ligne  droite  aus- 
sitôt que  la  rompue,  puisque  si  celle-ci  se  trouve  plus  courte  en  temps, 

Fkiim\t.  —  II.  09 


VtUi  (Kl  VHKS   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

l'autre  so  trouve  plus  courte  et  plus  simple  en  mesure?  (Jui  décidera 
donc  et  qui  prononcera  là-dessus? 

3.  Comme  le  temps  n'est  point  ce  ([ui  meut,  il  ne  peut  être  non  plus 
ce  qui  détermine  le  mouvement,  et  quand  une  fois  un  corps  est  mû  et 
déterminé  ;i  aller  quelque  part,  il  n'y  a  nulle  apparence  de  croire  que 
le  temps  plus  ou  moins  bref  puisse  obliger  ce  corps  à  cbanger  de  déter- 
mination, lui  qui  n'agit  point  et  qui  n'a  nul  pouvoir  sur  lui.  Mais 
comme  toute  la  vitesse  et  toute  la  détermination  du  mouvement  de  ce 
corps  dépend  de  sa  force  et  de  la  disposition  de  sa  force,  il  est  bien 
plus  naturel  et  c'est,  à  mon  avis,  parler  plus  en  physicien  de  dire, 
comme  fait  M.  Descartes,  que  la  vitesse  et  la  détermination  de  ce  corps 
changent  par  le  changement  qui  arrive  en  la  force  et  en  la  disposition 
de  cette  force,  (|ui  sont  les  véritables  causes  de  son  mouvement,  que 
non  pas  de  dire,  comme  vous  faites,  qu'elles  changent  par  un  dessein 
que  la  nature  a  d'aller  toujours  par  le  chemin  qu'elle  peut  parcourir 
plus  promptement,  dessein  qu'elle  ne  peut  avoir,  puisqu'elle  agit  sans 
connoissance,  et  qui  n'a  nul  elTet  sur  ce  corj)s. 

4.  Comme  il  n'y  a  que  la  ligne  droite  qui  soit  déterminée,  il  n'y  a 
aussi  que  cette  ligne-là  seule  où  la  nature  tende  dans  tous  ses  mouve- 
mens  et,  bien  que  parfois  un  corps  par  son  mouvement  décrive  actuel- 
lement une  autre  ligne,  néanmoins,  à  considérer  l'un  après  l'autre 
tous  les  points  qu'il  a  parcourus,  ils  sont  plutôt  les  points  d'autant  de 
lignes  droites  qu'il  quitte  successivement  que  ceux  d'une  ligne  courbe 
qu'il  tende  à  décrire,  et  il  les  a  plutôt  parcourus  comme  tels  qu'autre- 
ment, puisque,  sitôt  que  ce  corps  est  laissé  et  abandonné  à  la  force  qui 
le  meut  en  chaque  point,  il  se  porte  à  suivre  la  ligne  droite  à  laquelle  ce 
point  appartient,  et  pointdutoutla  ligne  courbe  qu'il  a  décrite  (y?^.  ici). 

Cela  étant,  s'il  est  question  de  porter  un  rayon  de  lumière  du  point  M 
au  point  H,  il  est  certain  «[ue  la  nature  l'envoiera  tout  droit  par  la 
ligne  MH,  si  cela  se  peut,  et  de  fait,  quand  le  milieu  est  semblable  et 
égal,  elle  n'y  manque  jamais.  Mais  quand  le  milieu  par  où  la  lumière 


CXIII.  -  6  MAI    1662.  i67 

passe  change  de  nature  et  oppose  plus  ou  moins  de  résistance  à  son 
passage  et  à  son  cours,  qui  fera  changer  sa  direction  à  la  rencontre  de 
ce  milieu?  Que  peut-on  soupçonner  qui  en  soit  la  cause? 

Fig.  loi. 


La  brièveté  du  temps?  Nullement.  Car,  quand  le  rayon  MN  es!  par- 
venu au  point  N,  il  lui  doit  être  indifférent,  suivant  ce  principe,  d'aller 
à  tous  les  points  de  la  circonférence  BHA,  puisqu'il  lui  faut  autant  de 
temps  à  parvenir  aux  uns  qu'aux  autres,  et,  cette  raison  de  la  brièveté 
du  temps  ne  le  pouvant  emporter  alors  vers  un  endroit  plutôt  que  vers 
un  autre,  il  y  auroit  raison  qu'il  dût  plutôt  suivre  la  ligne  droite,  ('ar, 
pour  choisir  le  point  H  plutôt  que  tout  autre,  il  faudroit  supposer  que 
ce  rayon  MN,  que  la  nature  n'a  pu  envoyer  vers  là  sans  une  tendance 
indéfinie  en  ligne  droite,  se  souvint  qu'il  est  parti  du  point  .M  avec 
ordre  d'aller  chercher,  à  la  rencontre  de  cet  autre  milieu,  le  chemin 
qu'il  put  parcourir  en  moins  de  temps  pour  de  là  arriver  en  H  :  ce 
qui,  à  vrai  dire,  est  imaginaire  et  nullement  fondé  en  Physique. 

Qui  fera  donc  changer  la  direction  du  rayon  MN  (quand  il  est  par- 
venu au  point  N)  à  la  rencontre  d'un  autre  milieu?  sinon  celle  (ju'al- 
lègue  M.  Descartes,  qui  est  que  la  même  force  qui  agit  et  qui  meut 
le  rayon  MN,  trouvant  une  autre  disposition  à  recevoir  son  action  dans 
ce  milieu  que  dans  l'autre,  ce  qui  change  la  sienne  à  son  égard,  con- 
forme la  direction  de  ce  rayon  à  la  disposition  qu'elle  a  pour  lors?  Et, 
pource  qu'au  point  de  rencontre  de  cet  autre  milieu,  c'est  la  seule 
force  qui  porte  le  rayon  en  bas,  qui  se  ressent  de  la  diversité  à  recevoir 
son  action,  qui  est  entre  le  milieu  d'où  il  sort  et  celui  où  il  entre  (celle 
qui  le  porte  à  droite  ne  s'en  ressentant  point,  à  cause  que  ce  milieu  ne 


tCS  ŒUVRRS   DE  FERMAT.-  (.OHUESPONDANCE. 

lui  («si  aiu'iiiuMiKMil  opposé  en  rc  stMis-là),  le  changomont  (jiii  arrive  à 
la  façon  dont  l'action  de  la  force  qui  le  porte  en  bas  est  reçue  dans  ce 
point  de  rencontre,  change  aussi  la  direction  du  rayon  et  le  fait  dé- 
tourner du  côté  où  il  est  attiré,  selon  la  proportion  qui  se  trouve  alors 
entre  l'action  de  cette  force  et  celle  de  l'autre.  Et  cela  me  semble  si 
clair  qu'il  ne  doit  plus  rester  aucune  diiricullé. 

5.  S'il  semble  apparemment  plus  raisonnable  de  croire  que  la  lu- 
mière trouve  plus  aisément  passage  dans  les  corps  rares  que  dans  les 
denses,  ainsi  que  vous  le  supposez,  fondé  sur  l'expérience  de  tous  les 
corps  sensibles  qui  l'ont  sans  doute  plus  libre  dans  ces  sortes  de  mi- 
lieux, il  est  aussi,  ce  me  semble,  plus  raisonnable  de  croire  que  les 
corps  qui  entrent  dans  des  milieux  qui  font  plus  de  résistance  à  leur 
passage  que  ceux  d'où  ils  sortent,  comme  vous  supposez  que  les  corps 
denses  font  à  la  lumière,  s'efforcent  de  s'en  éloigner  et  ne  s'y  enfon- 
cent que  le  moins  qu'ils  peuvent. 

Ce  que  l'expérience  confirme  :  ainsi,  quand  une  balle  est  poussée  de 
biais  de  l'air  dans  l'eau,  bien  loin  de  continuer  son  mouvement  en 
ligne  droite,  et  beaucoup  plus  de  s'enfoncer  davantage  en  approchant 
de  la  perpendiculaire,  elle  s'en  éloigne  autant  qu'elle  peut  en  s'appro- 
chant  de  la  superficie.  Et  vous  avez  fort  bien  reconnu  la  force  de  cette 
objection,  que  vous  appelez  pourtant  légère,  mais  que  vous  ne  sauriez 
résoudre  que  par  le  principe  de  M.  Descartes,  qui  ruine  entièrement 
le  vôtre. 

Car  si,  par  votre  principe  même,  la  balle  doit  s'éloigner  de  la  per- 
pendiculaire, pourquoi  la  lumière  s'en  approche-t-elle?  Et  si  la  balle 
ne  suit  pas  votre  principe,  comme  en  effet  elle  ne  le  suit  pas,  pourquoi 
la  lumière  le  suivra-t-elle?  (^ela  ne  fait-il  pas  plutôt  voir  que,  dans  l'un 
et  dans  l'autre  exemple,  la  nature  n'agit  pas  par  votre  principe? 

6.  Cette  voie  que  vous  estimez  la  plus  courte  parce  qu'elle  est  la 
plus  prompte,  n'est  qu'une  voie  d'erreur  et  d'égarement  que  la  nature 
ne  suit  point,  et  ne  peut  avoir  intention  de  suivre;.  (]ar,  comme  elle  est 


CXIII.  -  6  MAI   166-2.  469 

déterminée  en  tout  ce  qu'elle  fait,  elle  no  tend  jamais  qu'à  conduire 
ses  mouvemens  en  ligne  droite. 

Et  ainsi,  si  vous  voulez  que  d'abord  elle  tende  d'M  vers  H,  elle  ne 
peut  s'aviser  de  dresser  un  rayon  vers  N,  pource  que  ce  rayon  de  soi 
n'y  tend  nullement;  mais  elle  dressera  son  rayon  vers  R  et,  ce  rayon 
étant  là  une  fois  parvenu,  qui  est  le  plus  droit,  le  plus  court  et  le  plus 
bref  de  tous  ceux  qui  peuvent  tendre  à  ce  point,  pour  aller  mainte- 
nant d'R  en  H.  le  plus  droit  encore,  le  plus  court  et  le  plus  bref  est 
d'aller  tout  droit  vers  H.  Et  ainsi,  si  la  nature  agissoit  par  votre  prin- 
cipe même,  elle  devroit  aller  directement  d'M  vers  H;  car  d'un  côté 
elle  est  nécessitée  à  diriger  d'abord  son  rayon  vers  R,  et  de  là  votre 
principe  même  la  porte  vers  H. 

7-  Et,  bien  que  vous  ayez  très  clairement  démontré,  suivant  votre 
supposition,  que  le  temps  des  deux  rayons  MN,  NH,  pris  ensemble,  est 
plus  bref  que  celui  de  deux  autres,  quels  qu'ils  soient,  pris  aussi  en- 
semble, ce  n'est  pourtant  pas  la  raison  de  la  brièveté  du  temps  qui 
porte  ces  deux  rayons  par  ces  deux  lignes. 

Car  seroit-il  bien  possible  qu'un  rayon  qui  est  déjà  dans  l'air,  qui  a 
déjà  sa  direction  toute  droite  et  qui  ne  tend  nullement  ailleurs,  sitôt 
qu'on  lui  oppose  de  l'eau  ou  du  verre,  s'avisât  de  se  détourner  ainsi 
qu'il  fait,  pour  le  seul  dessein  d'aller  justement  chercher  un  point  où 
son  mouvement  composé  soit  le  plus  bref  de  tous  ceux  qui  y  peuvent 
aller  du  lieu  de  son  départ?  Cette  raison  seroit  bien  métaphysique 
pour  un  sujet  purement  matériel. 

Ne  doit-on  pas  plutôt  croire,  ainsi  que  j'ai  déjà  dit,  que  comme  c'jest 
la  force  du  mouvement  et  sa  détermination  qui  ont  conduit  ce  rayon 
dans  la  première  ligne  qu'il  a  décrite,  sans  que  le  temps  y  ait  rien  con- 
tribué, c'est  le  changement  qui  arrive  dans  cette  force  et  dans  cette 
détermination  qui  lui  fait  prendre  la  route  de  l'autre  qu'il  a  à  décrire, 
sans  que  le  temps  y  contribue,  puisque  le  temps  ne  produit  rien? 

8.  Enfin  la  différence  que  je  trouve  entre  M.  Descartes  et  vous  est 


V70  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

que  vous  iio  prouvoz  point,  mais  que  vous  supposez  pour  principe,  que 
la  luiiiii're  passe  plus  aisément  dans  les  (îorps  rares  que  dans  les 
denses;  au  lieu  ipie  M.  Descartes  prouve,  et  ne  suppose  pas  simple- 
ment, ainsi  que  vous  dites,  (|ue  la  lumière  passe  plus  aisément  dans 
les  corps  denses  que  dans  les  rares. 

Car,  posé  votre  principe  et  posé  encore  que  la  nature  agisse  tou- 
jours par  les  voies  les  plus  courtes  ou  les  plus  promptes,  vous  con- 
cluez fort  bien  que  la  lumière  doit  suivre  le  chemin  qu'elle  tient  dans 
la  réfraction;  là  où  M.  Descartes,  sans  rien  supposer,  se  sert  seule- 
ment de  l'expérience  même  pour  conclure  que  la  lumière  passe  plus 
aisément  dans  les  corps  denses  que  dans  les  rares,  et  donne  en  même 
temps  le  moyen  de  mesurer  la  propoi'tion  avec  laquelle  cela  se  fait. 
Hl ,  pource  qu'il  jugeoit  bien  que  l'expérience  journalière  que  nous 
avons  du  contraire  pourroit  nous  donner  lieu  de  nous  en  étonner,  il 
en  rend  la  raison  physique  dans  la  vingt-troisième  page  de  sa  Diop- 
trique,  à  laquelle  on  peut  avoir  recours. 

.Mais,  s'il  est  vrai  que  la  lumière  passe  plus  difficilement  dans  les 
corps  rares  que  dans  les  denses,  comme  la  raison  alléguée  en  ce  lieu-là 
par  M.  Descartes  semble  le  prouver,  et  s'il  est  vrai  aussi  que  la  nature 
n'agisse  pas  toujours  par  les  voies  les  plus  promptes,  comme  l'exemple 
de  la  balle  qui  passe  de  l'air  dans  l'eau  le  justifie,  adieu  toute  votre 
démonstration. 

Et  même,  comme  vous  dites  avoir  autrefois  proposé  vos  difficultés  à 
M.  Descartes,  à  lui,  dites-vous,  iwenti  alque  sentienti ('),  sans  que  ni 
lui  ni  ses  amis  vous  aient  jamais  satisfait,  ne  pourroit-on  pas  aussi  dire 
qu'il  vous  a  fait  réponse  de  son  vivant,  et  ses  amis  depuis  sa  mort? 
tibi,  i/Kjiiam,  vivenii,  et  nisidiceie  nefas  essel,  adderem  :  cl  non  intelli- 
genti,  puisqu'il  y  en  a  qui  se  persuadent  de  la  bien  entendre. 

Kt  entin,  comme  vous  dites  que  la  nature  semble  avoir  eu  cette  défé- 
rence et  cette  complaisance  pour  M.  Descartes  de  s'être  rendue  à 
lui  et  lui  avoir  découvert  ses  vérités  sans  s'y  laisser  forcer  par  la 

(')   f'oir  ci-dessus,  pages  35j-3.')C. 


CXIII.  -   13   MAI    1662.  471 

démonstration,  ne  peut-on  pas  dire  que  vous  avez  forcé  la  Géométrie, 
toute  sévère  qu'elle  est,  à  vous  en  fournir  une  par  le  moyen  de  cette 
double  fausse  position? 

Après  quoi  je  laisse  aux  plus  sévères  et  plus  clairvoyans  natura- 
listes à  juger  qui  de  vous  deux  a  le  mieux  rencontré  dans  la  cause 
qu'il  a  assignée  à  la  réfraction.  Cela  n'empêche  pas  qu'à  considérer 
les  choses  d'une  autre  façon,  je  ne  sois  d'accord  avec  vous  que  la 
nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes  et  les  plus  promptes. 
Car,  comme  elle  n'agit  que  par  la  force  qui  l'emporte  nécessairement 
et  qu'elle  est  toujours  déterminée  dans  son  action,  elle  fait  toujours 
tout  ce  qu'elle  peut  faire;  et  ainsi,  quelque  route  qu'elle  prenne,  c'est 
toujours  la  plus  courte  et  la  plus  prompte  qui  se  pouvoit,  eu  égard  à 
toutes  les  causes  qui  l'ont  fait  agir  et  qui  l'ont  déterminée. 

Après  vous  avoir  ainsi  proposé  ce  qui  me  fait  persister  dans  mes 
premiers  sentimens,  je  ne  laisse  pas  de  me  sentir  obligé  de  me  rendre 
et  d'acquiescer  en  quelque  façon  aux  vôtres;  et,  bien  loin  de  vous  dis- 
puter la  gloire  d'entrer  dans  la  société  de  la  preuve  d'une  vérité  si 
importante,  je  pense  avoir  trouvé  un  moyen  qui  vous  doit  mettre  tous 
deux  d'accord,  en  laissant  à  chacun  la  part  qui  lui  appartient. 

Il  semble  que,  comme  la  lumière  est  la  plus  noble  production  de 
la  nature,  elle  la  laisse  aussi  agir  d'une  manière  la  plus  régulière 
et  la  plus  universelle,  et  qu'elle  a  fait  que  dans  son  action  tout  ce 
qu'elle  emploie  de  principes  dans  toutes  les  autres  causes  se  rencon- 
trent tous  ensemble  dans  celle-ci. 

Ainsi,  pource  que  les  mouvemens  des  autres  corps  dépendent  de 
la  force  qui  les  meut  et  de  la  détermination  de  cette  force,  la  lumière, 
suivant  ces  lois,  tantôt  se  continue  en  ligne  droite  et  tantôt  s'en  écarte, 
en  s'approchant  ou  s'éloignant  de  la  perpendiculaire.  Mais  pource  que 
nous  voyons  aussi  que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus 
courtes,  il  falloit  que  la  lumière  s'accommodât  à  cette  loi. 

M.  Descartes  a  fait  voir  que  la  lumière  suit  dans  la  réfraction  les  lois 
ordinaires  du  mouvement  de  tous  les  corps,  et  vous.  Monsieur,  avez 
fait  voir  que,  quoique  la  lumière  semble' dans  la  réfraction  prendre  un 


i7-2  ŒUVRES  J)E  FERMAT.        CORRESPONDANCE. 

détour  cl  s'oubliiM'  qu'olle  doit  ai;ir  jiar  les  voies  les  plus  eourles,  elle 
observe  néanmoins  cette  loi  avec  une  exactitude  si  grande  qu'on  n'y 
sauroit  rien  désirer. 

Kt  ainsi  l'on  peut  dire  que  vous  avez  travaillé  conjointement  avec 
M.  Descartes  à  justifier  en  cela  la  nature  et  à  rendre  raison  de  son 
procédé  :  lui.  par  des  raisons  naturelles  et  communes  à  tous  les  corps; 
et  vous.  Monsieur,  par  des  raisons  mathématiques  tirées  de  la  plus 
pure  et  plus  fine  Géométrie. 

Kt  même,  comme  cette  preuve  géométrique  étoit  la  plus  dillicile  à 
trouver  et  à  démêler,  je  veux  bien  que  vous  l'emportiez  par  dessus 
lui,  et  dès  à  présent  je  signe  et  souscris  ;>  une  éternelle  paix  avec 
vous,  et  ne  veux  plus  désormais  contester  sur  rinefïicacité  de  votre 
principe  et  sur  la  différence  qui  est  entre  le  votre  et  le  sien,  puisqu'il 
conclut  une  même  chose  et  nous  enseigne  une  même  vérité. 

.le  suis,  etc. 


C\IV. 
CLERSELIKK  A  FERMAT. 

SAMEDI    13    MAI    1662. 

(D.,  III,  5.3.) 

MoNsiF.rr., 

1.  (l'est  par  l'ordre  de  l'Assemblée  qui  se  tient  toutes  les  semaines 
chez  M.  de  Montmort,  que  je  vous  écris  aujourd'hui  ])our  vous  faire 
une  amende  honorable  d'un  méchant  mot  latin  que  j'ai  mis  dans  la 
lettre  que  je  me  donnai  l'honneur  de  vous  écrire  il  y  a  huit  jours,  dont 
je  lui  fis  la  lecture  mardi  dernier.  Ce  tut  la  seule  chose  qu'elle  y  trouva 
il  redire,  et  je  l'avois  bien  senti  moi-même  en  l'écrivant  :  aussi  avois-je 
lâché  de  l'adoucir  par  le  correctif  qui  le  précède.  (Cependant,  nonob- 
stant cela,  j'en  ixm^us  une  réprimande  publi([ue,  et  aussitôt  je  me  pro- 
posai de  vous  en  l'aire  mes  excuses  au  jjremier  ordinaire,  ce  (]iie  je  fais 


(,\II1.  —  G    MAI    lG(i-2.  iï:i 

aujourd'hui  d'autant  plus  volontiers  qu'outre  que  par  cette  soumission 
je  vous  ferai  connoitre  l'ingénuité  de  mon  procédé,  cela  me  donnera 
aussi  occasion  de  vous  dire  quelque  chose  que  je  fus  obligé  de  répli- 
quer à  quelques  objections  qui  me  furent  faites  par  quelques-uns  de 
l'Assemblée,  afin  de  rendre  la  |)ensée  de  M.  Descartes,  touchant  la 
réfraction,  plus  claire  [lar  un  exemple  familier  et  qui  est  tout-ii-fait 
propre  au  sujet. 

Si  je  n'avois  |)oinl  été  si  impatient  que  de  vous  envoyer  une  chose 
((ui  éloit  prête  il  y  avoit  plus  de  quinze  jours  et  que  l'engagement 
((ue  j'avois  m'avoit  obligé  de  faire  voir  dès-lors  à  31.  de  la  Chambre, 
j'aurois  évité  le  reproche  de  la  (^onijiagnie  et  ne  serois  pas  tombé  dans 
cette  faute.  Mais  j'eus  peur  qu'il  me  fallût  encore  différer  plus  long- 
temps d'en  parler  ii  l'Assemblée,  qui  avoit  déjà  remis  par  deux  fois  la 
lecture  que  je  lui  en  voulois  faire,  pourcc  (|n'elle  vouloit  aussi  avoir 
en  même  temps  les  sentimens  de  M.  Petit,  qui  lui  avoit  fait  con- 
noitre, dès  la  |)remière  l'ois  que  votre  lettre  j)arut  devant  elle,  (pi'il 
avoit  plusi(nirs  choses  à  dire  et  contre  ce  que  vous  écrivez  à  31.  de 
la  (Ihambre  et  contre  ce  que  31.  Descartes  a  écrit. 

Pour  moi,  ((ni  ne  m'étois  pas  trouvé  à  l'Assemblée  quand  voire 
lettre  y  fut  lue  la  première  fois,  et  (|ui  me  dispensois  alors  souvent 
de  m'y  trouver,  ;i  cause  de  quebjues  affaires  plus  importantes  que  la 
délenlion  de  3F.  de  la  Haye,  mon  gendre,  me  donnoitpour  poursuivre 
il  la  cour  sa  liberté,  je  ne  l'eus  pas  plus  tôt  vue  ({ue  je  crus  être 
obligé  d'y  faire  réponse,  comme  étant  une  suite  des  petits  démêlés 
(|iie  nous  avions  déjii  eus  autrefois  ensemble  sur  la  même  matiiM'c,  et 
[)arce  aussi  que  vous  me  faites  l'honneur  de  me  nommer  par  ti'ois  fois 
dans  votre  lettre  et  de  sembler  m'y  convier. 

.l'avois  donc  préparé  ma  réponse  le  plus  tôt  (|ue  j'avois  pu,  et  pen- 
sois  la  faire  voir  ii  la  Compagnie,  mais  elle  ne  le  jugea  pas  ii  profios, 
pour  ne  point  prévenir  31.  Petit  dans  la  re[)artie  qu'il  avoit  promis  de 
vous  faire.  31ais,  craignant  que  cela  n'allât  trop  en  longueur,  je  nu- 
résolus  de  moi-même  samedi  dernier  de  vous  l'envoyer  avant  (|uc  de 
l'avoir  fait  voir  ;i  la  Compagnie,  de  qui  j'ai  reçu  les  avis  trop  tard  p(Mir 

l'F.niHT.    -    II.  6o 


h.n  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

m'iMiipècluT  ck'  (onihcr  dans  ccUo  l'auto,  mais  non  ])as  pour  vous  on 
taire  nios  excuses  et  vous  on  demander  le  j)ardon. 

Et  pour  le  mériter  en  quoique  façon,  soudVoz  (|uo  je  m'explique  un 
pou  [dus  au  long  (|uo  je  no  lis  la  dornière  t'ois,  pour  vous  faire  eom- 
proiidro  eo  que  je  j)ense  do  la  pensée  qu'a  eue  M.  Descartes  touchant 
la  léfraction. 

2.  Il  est  certain  qu'il  considérer  tout  seul  le  rayon  AB,  en  tant  qu'il 
est  dans  l'air,  il  no  va  ni  à  gaucho  ni  ii  droite,  ni  en  haut  ni  en  bas, 
mais  toute  sa  tendance  est  d'aller  vers  D  et  n'a  qu'une  seule  direction. 
.Mais  sitôt  qu'on  lui  oppose  un  autre  milieu,  par  exemple  (]BE,  dans 
lo(Hii'l  il  soit  oltligé  de  passer,  on  peut  dire  et  il  est  vrai  qu'à  l'égard 
de  ce  milieu  il  a  diverses  tendances.  Car  si  on  le  lui  oppose  directe- 
mont,  sa  chute  est  perpendiculaire  et  n'a  qu'une  direction  à  son  égard; 
mais  si  on  le  lui  (qt|>oso  do  biais,  comme  il  est  dans  la  page  17  de  la 
l)ioptri(juo  (  //ff.  102),  alors  ce  rayon  à  son  égard  a  une  double  direction  : 

Fia:.   >03. 


l'une  qui  le  fait  tendre  vers  lui,  qui  est  de  haut  on  bas;  et  l'autre  qui  le 
|)orte  de  gauche  à  droite,  à  laquelle  ce  milieu  n'est  point  du  tout  opposé. 
Kt  si  on  le  lui  opposoit  d'une  autre  façon,  la  même  direction,  qui 
maintenant  est  de  gauche  à  droite,  pourroit  être  celle  qui  le  porteroit 
vers  lui,  et  l'autre,  celh^  ii  laquelle  ce  milieu  ne  seroit  point  op|)osé. 
Et  selon  que  ce  milieu  est  plus  ou  moins  incliné  à  ce  rayon,  les  doux 
tendances  ou  directions  qu'il  a  à  son  égard  sont  diverses  et  peuvent 
avnij-  rnno  à  l'égard  do  l'autre  diverses  propoi'tions. 


CXIV.  -  13   MAI   16G2.  i7o 

3.  Mais  quand  jp  parle  de  tendance,  de  direction  ou  de  détermination, 
ne  vous  allez  pas  imaginer  que  j'entends  parler  d'une  direction  sans 
force  et  sans  mouvement,  ce  qui  seroit  chimérique  et  impossible,  ne 
pouvant  y  avoir  de  direction  sans  mouvement  ou  sans  effort  ;  mais  j'en- 
tends par  ce  mot  de  direction  ou  de  détermination  vers  quelque  en- 
droit toute  la  partie  du  mouvement  qui  est  déterminée  à  aller  vers  cet 
endroit-là. 

Donc,  selon  que  le  milieu  est  plus  ou  moins  incliné  au  rayon,  la 
force  qui  à  son  égard  le  porte  vers  un  certain  endroit  peut  être  plus 
ou  moins  grande  que  celle  qui  le  porte  vers  l'autre.  Par  exemple,  si 
l'angle  ABC  est  égal  à  l'angle  ABH,  les  deux  parties  du  mouvement, 
dont  l'une  le  porte  en  bas  et  l'autre  ii  droite,  sont  égales;  s'il  est 
moindre,  sa  force  est  moindre;  et  s'il  est  plus  grand,  elle  est  plus 
srande. 


fi 


4.  Mais,  quelle  que  soit  l'inclination  du  rayon  sur  le  milieu,  il  y  a  tou- 
jours une  partie  de  la  force  de  son  mouvement  à  laquelle  ce  milieu  est 
opposé  et  une  autre  à  laquelle  il  ne  l'est  point.  Or,  tandis  que  le  rayon 
est  dans  l'air,  la  proportion,  quelle  qu'elle  soit,  qui  est  entre  ces  deux 
parties  du  mouvement  que  nous  supposons  uniforme,  le  porte  dans  la 
ligne  AB  et,  tandis  que  rien  ne  la  change  ou  tandis  qu'elles  changent 
en  gardant  toujours  entre  elles  une  même  proportion,  le  rayon  va  tou- 
jours en  ligne  droite. 

Mais  lorsque  le  rayon  AB  de  la  page  17  étant  parvenu  au  point  B  ren- 
contre un  autre  milieu,  si  ce  milieu  ne  présente  pas  au  rayon  la  même 
focilité  il  se  laisser  pénétrer  qu'avoit  l'air,  il  doit  arriver  du  change- 
ment au  cours  du  rayon,  à  cause  que  ce  milieu  n'est  opposé  qu'à  la  dé- 
termination ou  à  la  partie  du  mouvement  qui  le  porte  vers  lui,  et  non 
point  à  l'autre,  et  s'il  présente  moins  de  facilité  au  passage  du  rayon 
que  ne  fait  l'air,  la  résistance  qu'il  apporte  à  la  partie  du  mouvement 
qui  tend  vers  lui,  et  non  point  à  l'autre,  laquelle  en  ce  point  de  ren- 
contre demeure  précisément  la  même,  fait  que,  n'y  ayant  plus  la  même 
proportion  entre  ces  deux  parties  du  mouvement  qui  toutes  deux  en- 


V:G  (EL'VKES  1)K  FKKM  VT.  -  cohukspondance. 

S('iiil)l('  j)(>rloit'iit  aii[)arav;inl  le  rayon  dans  la  ligne  Ali,  elles  doiveni 
lui  taire  changer  do  détermination  et  le  |iorler  vers  le  point  où  tend  la 
direelion  (|ni  s'ajuste  avec  la  |»ro|)ortion  qui  se  trouve  alors  entre  elles, 
et  ainsi  le  faire  éloigner  de  la  |)erpeiitliculair(>. 

One  si.  au  contraii'c,  le  milieu  (jn'on  oppose  an  rayon  AU  présente 
plus  (le  facilité  à  son  passage  (|ne  ne  laisoit  l'air,  celle  nouvelle  facilité 
ipi'il  a|)porte  et  (|ni  n'est  ressentie  (|ne  par  la  par'tie  du  mouvement 
(ini  tend  vers  lui,  et  n((n  point  par  l'auti-e,  comme  j'ai  déjà  dit,  doit 
changer  sa  direcli(ui,  à  cause  que  cela  change  la  proportion  qui  est 
entre  les  deux  parties  dont  le  mouvement  entier  de  la  balle  est  com- 
posé, et  le  détourner  par  conséquent  vers  la  perpendiculaire,  ce  <|ui 
arrive  (juaiid  un  rayon  de  Inmii'i'e  passe  de  l'air  dans  de  l'eau  ou  dans 
lin  \crre. 

5.  Kt  pour  faciliter  la  compréhension  de  tout  ceci  par  un  exemple  aisé, 
représejitcz-vous  un  corps  sphérique  bien  dur  et  bien  poli,  mis  sur 
une  ])lanche  très  dure  aussi  et  très  polie  dont  le  bout  s'appuie  sur  l'ex- 
trémité d'une  table,  en  sorte  que  la  planche  soit  inclinée  sur  la  table 
et  fasse  un  angle  aigu  avec  elle.  Il  est  certain  que  ce  mobile  roulera  sur 
celle  planche,  et  ce  d'autant  plus  ou  moins  vite  que  la  planche  sera 
moins  (Hi  plus  inclinée  sur  cette  table.  Mais,  quel  que  soit  le  mouve- 
ment dn  mobile  surcette  planche,  il  est  certain  qu'à  l'égard  de  la  table 
il  a  deux  déterminations  :  l'une  (|ui  le  j)orte  vers  elle,  par  laquelle  il 
descend  ;  el  l'antre  qui  le  poi'te  vei's  l'une  îles  murailles  de  la  chambre, 
par  la(|uellc  il  avance  de  ce  côté-là. 

I']t  il  est  si  vrai  qu'il  a  ces  deux  impressions,  qu'il  les  garde  encore 
tontes  deux  lorsqu'il  est  en  l'air  hors  de  la  planche;  et  s'il  ne  lui  en 
restoit  qu'une  quand  il  est  hors  de  dessus  la  planche,  il  ne  suivroil  que 
cidie-là  seule;  par  exemple,  il  tomberoil  perpendiculairement  à  terre 
sitôt  qu'il  a  quitlé  la  j)lanche,  s'il  ne  lui  restoit  que  celle  de  sa  chute. 

Mais  considérez  ce  qui  arrive  au  mobile  quand  il  est  au  point  on  il 
quitte  la  planche,  el  vous  verrez  qu'il  arrive  la  même  chose  à  la  lii- 
mii're  quand  idie  passe  de  l'air  dans  l'eau.  Kt  parce  qu'alors  la  partie 


CXIV.  -  13  Mil   1G6-2.  iT- 

ilii  iiKiuvomoiit  qui  porto  le  mobile  en  ijas  trouve  plus  de  lacilité  ou 
moins  de  résistauce  à  son  action,  quand  il  est  hors  de  dessus  la  planche 
et  dans  l'air,  qu'elle  u'avoit  quand  il  éloit  sur  la  planche;  et  que  celle 
(|ui  le  porte  vers  la  muraille  deuKHire  la  même  (bien  que  ce  soit  encore 
la  même  force  totale  ([ni  pousse  en  ce  point-là  le  m(diil(\  et  que  la  t'orci' 
des  deux  parties  de  son  mouvement  prises  séparément  soit  la  même  ), 
néanmoins,  pource  que  la  proportion  qui  étoit  auparavant  entre  la 
lacilité  ou  la  résistance  que  présentoit  le  milieu  à  ces  deux  forces  est 
changée,  et  que  dans  ce  point  de  sortie  il  trouve  plus  de  facilité  pour 
descendre  qu'auparavant,  sans  qu'il  en  trouve  ni  plus  ni  moins  pour 
alh'r  vers  la  muraille,  [xuir  cela  il  arrive  qu'il  ne  suit  plus  la  direrlion 
de  la  ligne  qu'il  avoil  parcourue  sur  la  planche,  mais  qu'il  en  pi'cnd 
une  autre,  laquelle  est  proportionnée  au  plus  de  lacilité  qui  se  trouve 
alors  en  l'une  de  ses  forces  plus  qu'en  l'autre.  Ce  qui  fait  que  le  mo- 
bile, en  (juittant  la  planche,  s'approche  de  la  perpendiculaire,  c(uniiie 
fait  aussi  la  lumière  en  entrant  dans  l'eau,  pour  la  même  raison. 

lit  c'est  il  mon  sens  une  des  choses  des  plus  aisées  ii  concevoir  qu'il 
est  possible,  et  c'est  aussi  à  mon  avis  tout  ce  qu'a  voulu  dire  ^1.  Des- 
cartes au  sujet  de  la  réfraction.  Je  ne  prétends  pas  néanmoins  [xuir 
cela  vous  avoir  persuadé  :  il  sudit  que  je  me  sois  donné  à  entendi-e, 
afin  ([uc  vous  ne  croyiez  pas  que  je  suive  aveuglément  .M.  Descaries  ou 
i|ue  je  vous  contredise  de  gaieté  de  cirur.  .le  vcuis  ressemble  en  ci' 
[loint  (jue  je  n'aime  et  ne  cherche  que  la  vérité,  et  cette  conformité  que 
j'ai  avec  vous  me  fait  espérer  que  vous  ne  me  désavouerez  pas,  (|uan(l 
je  m'avouerai  part(Uit,  etc. 


P.  S.  Pour  éclaircir  davantage  cette  matière,  j'apporterai  encore  ici 
un  (>xem|)le  qui  résout  à  mon  avis  la  plupart  des  difTicultés  que  l'on 
peut  faire  sur  ce  qu'a  dit  M.  Descartes  touchant  la  réfraction  dans  sa 
Dioptrique. 

11  est  constant  par  l'expérience  que,  de  quelque  façon  que  la  boule  A 
soit  piuissée  au  point  B  par  les  boules  C,  D,  E,  F,  G,  et  quelles  que 


V7S  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

soii'iil  les  (liUcrciilos  (lottMiuiiialioiis  doiil  on  peut  supposer  (iiic  (('lie 
(le  leur  nui((>  soit  coinposéo,  elles  la  pousseront  toujours  vers  11 
{fg.  .o3). 

Preuiioreiiieiit,  pour  la  Iionle  M,  il  est  vliiii'  (|ii'elle  la  doit  pousser 
vers  H,  puis(iue  la  itoule  A  s'op[)ose  totalement  ii  sa  détermination; 
mais  ce  qui  est  clair  [)our  la  houle  E  doit  pareillement  être  entendu 
des  autres,  qui,  bien  qu'elles  viennent  de  biais  vers  la  houle  A,  ne  la 


touchent  au  point  H  et  ne  la  poussent  qu'en  tant  qu'elles  descendent 
vers  H,  et  non  point  en  tant  qu'elles  vont  vers  1  (ou  vers  K).  C'est 
pourquoi  elles  ne  sauroient  imprimer  d'autre  mouvement  à  celte 
boule,  sinon  de  la  faire  aller  vers  H.  Or,  quoique  les  déterminations 
des  boules  D  et  F  soient  opposées,  en  tant  que  l'une  va  à  droite  et 
l'autre  à  £;aucbe,  elles  ne  le  sont  point  en  tant  qu'elles  descendent 
et  ainsi  elles  doivent  produire  sur  la  boule  A  un  «lême  effet,  qui  est 
de  la  pousser  vers  H. 

Mais,  si  nous  supposons  que  la  boule  A  soit  dure  et  immobile,  toutes 


CXIV.  -  13  MAI  1662.  479 

ces  boules,  après  l'avoir  rencontrée,  seront  contraintes  de  changer  la 
détermination  qu'elles  avoient  d'aller  vers  H  en  celle  d'aller  ou  de 
réfléchir  vers  L,  et  de  garder  les  autres  si  elles  en  avoient,  auxquelles 
elle  ne  peut  apporter  de  changement,  à  cause  qu'elle  ne  leur  est  point 
opposée  en  ce  sens-là  :  et  ceci  explique  la  réflexion  à  angles  égaux. 

Que  si  nous  supposons  que  ces  boules  aient  communiqué  de  leur 
mouvement  à  la  boule  A,  ce  ne  peut  être  qu'au  sens  qu'elle  leur  est 
opposée,  et  partant  ce  ne  peut  être  que  le  mouvement  vers  H  qui 
puisse  recevoir  de  l'altération,  et  non  point  celui  vers  I  (ou  vers  K), 
lequel  par  conséquent  doit  demeurer  le  même  et  en  son  entier.  Si  bien 
que  ces  boules  perdant  au  point  B  de  la  force  qui  les  détermine  à  aller 
vers  H  et  ne  perdant  rien  de  celle  qui  les  détermine  à  aller  vers  I,  elles 
sont  contraintes  de  se  détourner  et  de  prendre  en  ce  moment  une  autre 
direction,  laquelle  elles  gardent  toujours,  quelque  résistance  que  le 
milieu  apporte  après  cela,  qui  peut  bien  les  faire  aller  moins  vite,  mais 
non  pas  changer  leur  direction,  à  cause  qu'il  peut  bien  être  opposé  à 
leur  vitesse,  mais  non  point  à  la  direction  qu'elles  ont  prise,  puisque 
nous  supposons  qu'il  est  également  facile  ou  difficile  à  s'ouvrir  ou 
pénétrer  de  tous  côtés.  Et  cela  explique  la  réfraction  qui  s'éloigne  de 
la  perpendiculaire. 

Que  si  au  contraire  nous  supposons^  que,  ces  boules  étant  au  point  B, 
la  boule  A  leur  cède  plus  aisément  et  les  entraîne,  pour  ainsi  dire,  vers 
H,  cela  fait  que  ces  boules  descendent  plus  vite,  mais  cela  ne  change 
rien  à  leur  mouvement  vers  la  drof(e  (ou  vers  la  gauche)  auquel  elle 
n'est  point  opposée.  Et  ainsi  ces  boules,  au  moment  qu'elles  sont  au 
point  B,  étant  plus  disposées  à  aller  vers  H  qu'elles  n'étoient  aupa- 
ravant, et  n'étant  ni  plus  ni  moins  disposées  qu'elles  étofent  à  aller 
vers  I,  elles  doivent  changer  de  direction  et  la  giirder  après  l'avoir 
prise.  Et  cela  explique  la  réfraction  vers  la  perpendiculaire. 

Et  pour  faire  voir  que  la  résistance  plus  ou  moins  grande  du  corps 
ilu  milieu  n'y  fait  rien  et  ne  change  point  la  détermination  que  la  boule 
prend  au  point  B,  considérons  ce  qui  peut  arriver  à  la  boule  A  selon  les 
dilférens  cas  qu'on  peut  s'imaginer.  Par  exemple,  si  la  boule  E  tombe 


•iSO  (i;i  \  l!i:S    l)K    l'KIÎM  AT.    -  C.ORUESPONDANCE. 

|n'r|)('ii(liiiilaiii'iui'iil  sur  A  et  (jii't'llc  lui  ('niuiuuiii(|U('  l;i  uuiilic  de  sdii 
niiiuvt'iiioiU.  où  ira-t-cllo?  Sans  doule  <|u'cll('  ira  vers  II,  cl  la  lorcc 
(|u'('ll('  reçoit  cii  ci'  moniciil  ne  la  |)('ul  dclcruiiucr  ;i  aller  (|uc  vers  là  : 
luais  esl-ce  à  dire  (|u'eu  allaul  vei's  11  (die  décrira  eu  deux  monieus 
uue  ligne  aussi  longue  (|u'a  l'ail  E  eu  un  nioiueiil?  Oui  sans  (l(tul<'.  si 
vous  supposez  que  le  milieu  (pi"(dle  parcouri  lui  donne  passage  aussi 
tacilemeni  (|u'avoil  fail  l'aulre;  mais  si  ce  milieu  lui  résisie  davanlage, 
(die  en  dt'crira  une  plus  courle,  comme  aussi  elle  eu  peut  décrire  une 
égale  on  même  une  plus  hnigue,  si  ce  milieu  résisie  aniant  ou  moins  ii 
la  force  t|u'elle  a  reçue. 

Oue  si  nous  siip[)osous  (|ue  c'esl  l'une  des  aulres  boules  (],  D,  F,  (i, 
(|iii  renconire  A  au  point  H,  il  s'eusnivra  la  même  chose,  à  savoir 
(|u'(dle  sera  conirainle,  par  la  force  (|u'elle  recevra,  de  prendi'c  sa 
dclerminalion  vers  H  comme  auparavant  au  moment  même  (ju'idie 
en  esl  loiicliée.  Kl  la  qualité  du  milieu  ne  (  liangera  point  celle  déler- 
niination,  sinon  (|u'ayaiit  reçu  moins  de  force,  parce  t|ue  n'élant  lon- 
cliée  (]ne  de  hiais  idle  n'esl  pas  |)oussée  pai'  loule  la  lorce  de  la  houle 
(|ui  la  touche,  elle  ira  moins  vite. 

(Jiie  si  nous  supposons  que  la  houle  A  éloil  (h'jii  en  mouvemeni  cl 
se  moiivoit  vers  I,  la  (diute  de  l'une  de  ces  houles  sur  (die  n'apporle 
aucun  (diangemenl  à  la  détermination  qn'(dle  avoit  à  aller  vers  lii. 
c'esl-ii-dire  à  loule  la  force  de  son  nniuvemenl  (jui  la  délerminoil  ii 
aller  vers  I.  el  parlant  (die  doit  conlinuer  d'y  aller  comme  (die  faisoil 
auparavant.  Mais  idie  doit  aussi  aller  en  même  temps  vers  le  c(')té  où  la 
détermine  l'impicssion  (]u'(dle  a  nouv(dlemenL  reçue  |)ar  la  (diule  de 
l'une  de  ces  houles,  si  hien  (|ue  d(''s  ce  moment  (die  doit  prendre  sa 
direction. 

.Mais  si  nous  sup|)osons  que  le  milieu  où  elle  se  lr(uive  après  cela  lui 
résiste  davaulage  que  ne  faisoit  l'autre,  cela  ne  change  point  la  déter- 
mination (|u'(dle  a  jH'ise,  mais  fail  seulement  qu'elle  le  |)arconrt  moins 
vile  (ju'idle  n'auroit  fail.  (lar  enfin  la  proportion  (|ui  éhtit  en  ce  moinenl 
eiilre  ses  deux  l'(n'ces  l'a  déterminée  il  allci' (|U(d(|ue  part,  el  qii(d(|ue 
fai-ilité  on  dilliculté  (|u'apporle  ensuite  le  corps  du  milieu  (|n'(dle  doit 


CXIV.  -  13  MAI    16C2. 


181 


parcourir,  comme  elle  est  égale  en  tout  sens,  cela  ne  peut  rien  changer 
à  la  détermination  qu'elle  a  prise  en  sa  superficie,  et  ne  la  doit  ni  plus 
ni  moins  détourner. 

Et  la  même  proportion  est  ici  gardée  qu'entre  de  forts  ou  de  foibles 
mouvemens  également  proportionnés.  Par  exemple,  que  la  boule  A 
soit  poussée  par  deux  forces  égales  vers  B  et  vers  C  en  même  temps, 
que  doit-il  arriver  si  elle  est  dans  l'air?  Il  arrivera  que  ces  deux  forces, 
ayant  un  grand  effet  sur  elle,  la  pousseront  en  un  moment  jusques 
en  D.  Mais  si  elle  étoit  dans  l'eau,  alors  ces  deux  forces,  n'ayant  pas 
un  si  grand  effet  sur  elle,  ne  la  pousseront  que  jusques  en  E,  mais 
elle  ne  changera  point  pour  cela  de  direction. 

Fig.  lo'i. 


\ 

E 

Et  ce  que  je  dis  de  la  boule  A,  qui  est  poussée  par  des  forces  égales 
dans  deux  milieux  différens,  se  doit  entendre  tout  de  même  de  toute 
autre  sorte  de  proportion  qui  soit  entre  ces  deux  forces  :  savoir  est  que 
la  diversité  du  milieu  ne  change  point  la  direction  à  laquelle  les  forces 
(|u'eile  a  la  déterminent  au  premier  moment,  mais  peut  seulement 
changer  sa  vitesse. 

Par  exemple,  que  la  boule  A  soit  poussée  en  même  temps  par  deux 
forces  dont  l'une  la  pousse  du  double  plus  fort  vers  C  que  l'autre  ne 
fait  vers  B,  que  doit- il  arriver  si  elle  est  dans  l'air?  Il  arrivera  que 
ces  forces,  ayant  un  grand  effet  sur  elle,  la  pousseront  en  un  moment 
jusques  en  D.  Mais  si  elle  étoit  dans  l'eau,  alors  ces  deux  forces  n'ayant 
pas  un  si  grand  efïet  sur  elle,  mais  ne  laissant  pas  de  l'avoir  de  tous 
côtés  proportionné  à  leur  force,  parce  que  l'eau  s'ouvre  également  de 
tous  côtés,  ne  la  pousseront  que  jusques  en  E;  mais  elle  ne  chan- 

1m;u.mat.  —  II.  61 


i82  (i:  f  y  W  E  s    1)  V.   F E  R  M  AT.  -  C  0 1{  R  E  S  P  0  N  I)  A  N  C E. 

iïora  point  pour  cola  tlo  dirootion,  laquollo  ollo  prend  dès  lo  premier 
inoinent. 

Kt  ainsi,  ayant  égard  aux  premières  suppositions  que  lait  M.  Des- 
earles,  lorsqu'il  se  sert  de  l'exemple  d'une  balle  pour  expliquer  la 
rétlexion  e(  la  rétVaetion  dans  le  chapitre  second  de  sa  Dioptrique, 
c'est-à-dire  supposant  que  ni  la  pesanteur  ou  la  légèreté  de  la  balle, 
ni  sa  grosseur,  ni  sa  ligure,  ni  aucune  telle  cause  étrangère  ne  change 
son  cours,  ce  qu'il  dit  ensuite  est  véritable  :  c'est  à  savoir  qu'il  ne  faut 
considérer  que  la  détermination  que  prend  la  balle  au  moment  qu'elle 
est  au  point  B,  sans  se  mettre  en  peine  do  ce  qui  peut  arriver  de  chan- 
gement en  sa  vitesse  dans  le  milieu  qu'elle  parcourt  par  après,  pource 
que  c'est  seulement  au  point  B  qu'elle  est  contrainte  de  changer  de 
direction,  à  cause  du  changement  qui  arrive  en  ce  point  dans  la  pro- 
portion qui  est  entre  les  deux  forces  qui  composent  tout  son  mouve- 
ment; et  la  direction  qu'elle  a  une  fois  prise  au  point  B,  elle  la  garde 
|)ar  après  et  la  suit  plus  ou  moins  vite  selon  le  plus  ou  moins  de  résis- 
tance du  milieu. 


CXV. 
FERMAT  A  CLERSELIER. 

DIMANCHE   21    MAI    166-2    ('). 

(D.  111,54.) 

Monsieur, 

Vos  deux  lettres  des  sixième  et  treizième  de  mai  (^)  m'ont  été  ren- 
dues en  même  temps.  Elles  me  font  plus  d'honneur  que  je  n'en  devois 
raisonnablement  attendre,  et,  bien  loin  que  vos  mots  latins  m'aient 
choqué,  je  suis  persuadé  que,  dans  la  supposition  de  votre  sentiment 

C)  L'édition  Clerselicr  (Idihio  lu  d;ile  du  11  luiii  iirobiibluincnl  fautive  par  suite  d'une 
interversion  à  l'impression. 
(2)  Lettres  CXIII  et  CXIV. 


CXV.  -  21    MAI   1662.  i83 

sur  le  sujet  de  la  démonstralion  de  M.  Descartes,  il  n'y  en  a  point  de 
plus  véritables  en  aucun  endroit  de  vos  lettres. 

(]ar  si  cette  démonstration  est  dans  les  règles  des  démonstrations 
certaines  et  infaillibles,  il  n'est  rien  de  plus  vrai  sinon  que  ceux  qui 
n'en  sont  pas  convaincus  ne  l'entendent  point.  La  qualité  essentielle 
d'une  démonstration  est  de  forcer  à  croire,  de  sorte  que  ceux  qui  ne 
sentent  pas  cette  force,  ne  sentent  pas  la  démonstration  même,  c'est 
à  dire  qu'ils  ne  l'entendent  pas. 

Je  n'attribue  donc,  Monsieur,  qu'à  un  excès  de  courtoisie  et  de  civi- 
lité cet  adoucissement  que  Messieurs  de  votre  Assemblée  vous  ont  in- 
spiré, et  je  vous  eu  rends  très  humbles  grâces. 

Pour  la  question  principale,  il  me  semble  que  j'ai  dit  souvent  et  ii 
M.  de  la  Chambre  et  à  vous  que  je  ne  prétends  ni  n'ai  jamais  prétendu 
être  de  la  confidence  secrète  de  la  Nature.  Elle  a  des  voies  obscures  et 
cachées  que  je  n'ai  jamais  entrepris  de  pénétrer;  je  lui  avois  seule- 
ment offert  un  petit  secours  de  géométrie  au  sujet  de  la  réfraction,  si 
elle  en  eût  eu  besoin.  Mais  puisque  vous  m'assurez.  Monsieur,  qu'elle 
peut  faire  ses  affaires  sans  cela  et  qu'elle  se  contente  de  la  marche 
que  M.  Descartes  lui  a  prescrite,  je  vous  abandonne  de  bon  cœur  ma 
prétendue  conquête  de  physique,  et  il  me  suffit  que  vous  me  laissiez 
en  possession  de  mon  problème  de  géométrie  tout  pur  et  in  abslraclu, 
par  le  moyen  duquel  on  peut  trouver  la  route  d'un  mobile  qui  passe 
[tar  deux  milieux  différents  et  (jui  cherche  d'achever  son  mouvement 
le  plus  tôt  qu'il  pourra. 

Et  je  ne  sais  pas  même  si  la  merveille  ne  sera  point  plus  grande, 
en  supposant  que  j'ai  mal  deviné  le  raisonnement  de  la  Nature;  car 
peut-on  s'imaginer  rien  de  plus  surprenant  que  ce  qui  m'est  arrivé? 
J'écrivis,  il  y  a  plus  de  dix  ans('),  iiM.  de  la  Chambre  que  jecroyoisque 
la  réfraction  se  devoit  réduire  à  ce  problème  de  géométrie,  et  j'étois 
pour  lors  tout-à-fait  persuadé  que  l'analyse  de  ce  problème  me  donne- 
roil  une  proportion  différente  de  celle  de  M.  Descartes.  Et  néanmoins, 

(M  FaïU-il  lire  «  six  ans  »?  La  lettre  LXXXVI  n'est  pas  antérieure  à  1657. 


\S\  (EUVRES   l)i:   IKRMAT.  -  CORRESPONnANCE. 

(-11  liMitaiit  le  [irolili'ino,  (jui  os(  assoz  diilicilc,  dix  ans  après,  j'ai  (roiivc 
jiisItMiuMit  la  même  proportion  quo  M.  Doscartes. 

Si  j'ai  dil  un  inonsongo,  n'ai-jo  pas([n('l(|n('  raison  de  prétcnilre  (\uc 
c't'sl  nn  do  cos  inonsongos  fainonx  dos(|nrls  il  es!  dil  dans  le  Tasse, 
coninio  je  vous  ai  déjà  éerit  (')  : 

(jiuuuld  sai'i'i  ii  vei'o 
Si  hcllo.  cho  si  possa  a  ti  prrporre? 

l'Ai  voilà  de  rcsle,  je  croise  les  armes.  Penueltez-nioi  seuienienl,  s'il 
vous  plait,  d'assurer  ici  M.  Chanut  et  M.  l'abbé  d'Issoire,  son  tils,  de 
mon  obéissance  très  humble  :  je  n'ai  pas  l'Iionneur  d'être  connu  du 
[)i're,  mais  pourquoi  serois-je  le  seul  de  toute  l'Kurope  (|ui  n'anrois 
pas  une  entière  vénération  pour  lui? 

Je  suis,  3Ionsieur, 

Votre  (ri^s  humble  e(  très  obéissant  serviteur, 

Fermât. 

('  I  f'oir  ci-dessus,  page  367. 


CX.V1.  -   lG6'i..  483 


ANNÉE    1664. 


CWl. 

FERMAT  A  M.  DE  ****. 

1664. 

(  (a,  p.   i5G.) 

Monsieur, 

Puisque  M.  de parle  et  que  vous  l'ordonnez,  vous,  Monsieur,  de 

qui  la  réputation  est  si  grande  et  si  biQn  établie,  je  laisse  éveiller  ma 
Géométrie,  qui  dormoit  depuis  longtemps  dans  un  profond  repos  et, 
pour  entrer  d'abord  en  matière,  je  veux  bien  vous  conter  l'intrigue  île 
notre  Dioptrique  et  de  nos  réfractions,  eu  forme  d'histoire,  afin  de 
vous  laisser  le  jugement  libre  etque  vous  puissiez  prononcer  sans  pré- 
occupation. 

Dès  que  j'eus  vu  le  Livre  de  feu  M.  Descartes  et  que  j'eus  examiné 
avec  quelque  attention  la  proposition  qui  sert  de  fondement  à  sa  Diop- 
trique et  qui  établit  la  proportion  des  réfractions,  je  soupçonnai  sa 
preuve;  sa  démonstration  me  sembla  un  véritable  paralogisme  : 

Premièrement,  parce  qu'il  la  fonde  sur  une  comparaison  et  que 
vous  savez  que  la  Géométrie  ne  se  pique  guère  de  ces  figures,  les  com- 
paraisons y  étant  encore  plus  odieuses^  que  dans  le  commerce  du 
monde; 

Secondement,  parce  qu'il  suppose  que  le  mouvement  de  la  lumière, 
qui  se  fait  dans  l'air  et  dans  les  corps  rares,  est  plus  malaisé  ou,  si  vous 
l'aimez  mieux  ainsi,  plus  lent  que  celui  qui  se  fait  dans  l'eau  et  les 
autres  corps  denses;  ce  qui  semble  choquer  le  sens  commun  ; 


i86  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

lit  eiiliii,  parco  qu'il  prclciul  (jik'  riiiic  dos  dircrlions  ou  des  drlci- 
ininations  du  mouvomout  d'une  halle  subsiste  (oui  eulit're  après  la 
rencontre  du  second  milieu. 

.l'ajoulois  même  (jucdques  autres  raisons,  qu'il  sei'oit  ou  supei'llu  on 
ennuyeux  de  vous  déduii'e.  Il  vil  mes  écrits,  il  y  répondit  et,  a|)rès 
plusieurs  réponses  et  répliques  de  part  et  d'autre,  nous  nous  sépa- 
râmes comme  le  prévenu  et  le  témoin,  l'un  dans  l'allirmative,  l'autre 
dans  la  négative,  (juoique  j'eus  eutiii  des  lettres  de  sa  part  pleines  de 
civilité. 

Depuis  sa  mort,  M.  de  la  (Chambre,  ayant  publié  sou  Traité  de  la  lu- 
mière et  m'ayant  fait  l'honneur  de  me  l'envoyer,  je  pris  occasion  de  lui 
écrire  la  lettre  que  vous  avez  vue  (  '  ),  dans  laquelle  je  lui  témoignai  que, 
pour  nous  garantir  des  paralogismes  en  une  matière  si  obscure,  je  ne 
voyois  point  de  moyen  plus  assuré  que  de  chercher  les  réfractions  dans 
cet  unique  principe,  que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus 
courtes,  sur  le  fondement  duquel  je  lui  indiquai  qu'on  pouvoit  cher- 
cher par  géométrie  le  point  de  réfraction,  en  le  réduisant  au  problème 
ou  théorème  que  vous  savez.  Mais,  parce  que  j'en  jugeai  l'invention 
très  diflicile  et  très  embarrassée,  puisque  ces  questions  de  maximis  et 
minimis  conduisent  d'ordinaire  à  des  opérations  de  longue  haleine  et 
qui  se  brouillent  aisément  |)ar  une  infinité  d'asymmétries  qu'on  trouve 
sur  son  chemin,  je  laissai  là  ma  pensée  pendant  plusieurs  années,  en 
attendant  que  quelque  géomètre  moins  paresseux  que  moi  en  fit  ou  la 
découverte  ou  la  démonstration. 

Personne  ne  voulut  entreprendre  ce  travail;  cependant  je  recevois 
des  lettres  de  M.  de  la  Chambre  de  temps  en  temps,  par  lesquelles  il 
me  pressoit  d'ajouter  la  géométrie  à  mon  principe  et  de  faire  la  démon- 
stration en  forme  du  véritable  fondement  des  réfractions.  Ce  qui  me 
rebutoit  à  l'avance  étoit  l'assurance  que  M.  Petit  et  autres  m'avoient 
donnée,  que  leurs  expériences,  qu'ils  avoient  souvent  réitérées  pour 
mesurer  les  réfractions  et  dans  l'eau  et  dans  le  cristal  et  dans  le  verre 

(';  La  leltre  LXXXVI. 


CXVI.  -  lC6i.  487 

et  dans  beaucoup  d'autres  liqueurs  différentes,  s'accordoient  très  pré- 
cisément avec  la  proportion  de  M.  Descartes;  de  sorte  qu'il  me  sem- 
bloit  inutile  d'en  aller  chercher  quelque  autre  par  mon  principe, 
puisque  la  nature  elle-même  s'expliquoit  si  clairement  en  sa  faveur. 

L'objection  que  vous  me  faites  dans  votre  Ecrit  ne  me  faisoit  nulle 
peine  et  j'y  avois  déjà  répondu  dans  ma  lettre  à  M.  de  la  Chambre  par 
cette  raison,  que  tout  ce  qui  appuie  ou  fait  ferme  sur  quelque  point 
d'une  ligne  courbe  est  censé  faire  ferme  ou  appuyer  sur  la  ligne  droite 
qui  touche  la  courbe  audit  point;  et  ainsi,  quoique  la  somme  des 
deux  lignes  de  réflexion  soit  quelquefois  la  plus  grande  dans  les  mi- 
roirs concaves,  sphériques  ou  autres,  elle  est  toujours  la  plus  petite 
de  toutes  celles  qui  peuvent  tomber  sur  la  ligne  ou  sur  le  plan  qui 
touchent  les  miroirs  au  point  de  la  réflexion,  et  cela  n'a  pas  besoin  de 
plus  grande  preuve,  M.  Descartes  le  supposant  ainsi  aussi  bien  que 
moi. 

Toute  la  difficulté  se  réduisoit  donc  à  ce  qu'il  me  paroissoit  que 
j'avois  il  combattre,  non  seulement  les  hommes,  mais  encore  la  na- 
ture. Néanmoins  les  dernières  instances  de  M.  de  la  Chambre  furent 
si  pressantes  que  je  résolus,  il  y  peut  avoir  environ  deux  ou  trois  ans, 
de  tenter  le  secours  de  mon  analyse,  m'imaginant  qu'il  y  a  une  infi- 
nité de  proportions  différentes  entre  elles  dont  les  sens  ne  sauroient 
vérifier  la  diversité,  et  qu'ainsi  j'en  trouverois  peut-être  quelqu'une 
qui  approcheroit  de  celle  de  M.  Descartes  et  qui  pourtant  ne  seroit  pas 
la  même. 

Je  fis  mon  analyse  en  forme  par  une  méthode  qui  m'est  particulière 
et  qu'Hérigone  a  fait  autrefois  imprimer  dans  son  Cours  malhématique. 
Je  surmontai  toutes  les  asymmétries  avec  peine,  et  voilà  que  tout  à 
coup,  à  la  fin  de  mon  opération,  tout  se  débrouille  et  il  me  vient  une 
équation  très  simple  qui  me  donne  justement  la  même  proportion  de 
M.  Descartes. 

Je  crus  sur  l'heure  avoir  équivoque,  car  je  ne  pouvois  me  figurer 
qu'on  aboutît  à  une  même  conclusion  par  des  routes  tout-à-fait  oppo- 
sées, M.  D.escartes  supposant,  pour  un  des  moyens  de  sa  démonstra- 


.V88  (!■  U  V  11  E  S   I)  E   F  E  W  M  VT.  -  C  0  11  II  E  S  P  0  N  D  A  N  C  E. 

lion,  que  \o  mouvomciil  do  la  luiuièro  troiivr  plus  de  rôsislancc  dans 
l'air  que  dans  l'eau.  e(  moi  supposant  (oui  le  contraire,  comme  vous 
verrez  dans  la  copie  de  ma  démonstration,  que  j'ai  tâché  de  refaire  de 
mémoire  pour  vous  satisfaire  pleinement,  mon  original  avant  été  en- 
voyé à  M.  (le  la  Chambre,  suivant  ma  paresse  ordinaire. 

Je  refis  donc  pour  lors  la  question  ii  diverses  reprises,  en  changeant 
les  positions,  et  je  trouvai  toujours  la  même  conclusion,  ce  qui  me 
confirma  deux  choses  :  l'une,  que  l'opinion  de  M.  Descartes  sur  la  pro- 
portion des  réfractions  est  très  véritable;  et  l'autre,  que  sa  démonstra- 
tion est  très  fautive  et  pleine  de  paralogismes. 

3Iessieurs  les  Cartésiens  virent  ensuite  ma  démonstration,  qui  leur 
fut  communiquée  par  M.  de  la  Chambre;  ils  s'opiniàtrèrent  d'abord  à 
la  rejeter  et,  quoique  je  leur  représentasse  tout  doucement  :  qu'il  leur 
devoit  suffire  que  le  champ  de  bataille  demeurât  à  M.  Descartes,  puis- 
que son  opinion  se  trouvoit  véritable  et  confirmée,  quoique  par  des 
raisons  difTérentes  des  siennes;  que  les  plus  fameux  conquérants  ne 
s'estimoient  guère  moins  heureux,  lorsque  la  victoire  leur  étoit  pro- 
curée parles  troupes  auxiliaires,  que  si  c'étoit  par  les  leurs;  ils  ne 
voulurent  point,  dans  les  premiers  mouvements,  entendre  raillerie  :  ils 
vouloient  que  ma  démonstration  fût  fautive,  puisqu'elle  ne  pouvoit 
pas  subsister,  sans  détruire  celle  de  M.  Descartes,  qu'ils  entendoient 
mettre  toujours  hors  du  pair.  Mais,  comme  les  plus  habiles  géomètres 
qui  virent  la  mienne  sembloient  y  donner  leur  approbation,  ils  me 
firent  enfin  compliment  par  une  lettre  de  M.  Clerselier,  qui  est  celui 
qui  a  procuré  l'impression  des  lettres  de  M.  Descartes.  Ils  crièrent  au 
miracle  de  quoi  une  même  vérité  s'étoit  rencontrée  au  bout  de  deux 
chemins  entièrement  opposés  et  prononcèrent  qu'ils  vouloient  bien 
laisser  la  chose  indécise  et  avouer  qu'ils  ne  savoient  à  qui  donner  la 
préférence,  de  M.  Descartes  ou  de  moi,  sur  ce  sujet  et  que  la  postérité 
en  jugerolt. 

C'est  à  vous,  Monsieur,  qui  êtes  sans  doute  destiné  par  votre  mérite 
extraordinaire  à  avoir  grand  commerce  avec  elle,  à  l'informer,  si  vous 
le  jugez  à  propos,  de  ce  célèbre  démêlé  ou,  si  vous  aimez  mieux  placer 


CXVII.  -   16GV. 


489 


ce  petit  Ecrit  parmi  vos  papiers  inutiles,  j'y  consens  et  tout  m'est  in- 
difTérent. 

Mais  il  n'en  est  pas  de  même  de  la  très  humble  prière  que  je  vous 
tais  de  me  croire,  etc. 


CWII. 


Démonstration  dont  il  est  parlé  dans  la  lettre  précédente. 

Soit  la  droite  AFM  {fig.  io5),  qui  représente  la  séparation  de  deux 
différents  milieux;  que  l'air  soit  du  côté  de  B  et  l'eau  du  coté  de  H.  Le 

Fig.  in5. 


rayon  de  lumière,  qui  doit  aller  du  point  B,  qui  est  en  l'air,  vers  le 
point  F,  où  commence  le  milieu  de  l'eau,  se  rompt  et  va  vers  H,  s'ap- 
prochant  de  la  perpendiculaire,  suivant  les  expériences  connues  et 
vulgaires. 

M.  Descartes  détermine  ce  point  H  en  telle  sorte,  qu'en  tirant  une 
perpendiculaire  du  point  B  sur  la  ligne  AFM,  qui  soit  BA,  il  fait  que  la 
lisne  AF  est  à  la  lia;ne  FM  comme  la  résistance  d'un  des  milieux  à  celle 
de  l'autre,  bien  qu'il  entende,  contre  mon  sens,  que  la  résistance  est 
plus  grande  dans  l'air  qu'elle  ne  l'est  dans  l'eau. 

Soit  donc  la  plus  grande  résistance  représentée  par  la  ligne  AF  et  la 
moindre  par  celle  de  FM,  et  par  conséquent  la  ligne  AF  plus  grande 
que  FM.  Soit  élevée,  du  point  M,  la  perpendiculaire  MH  qui  soit  cou- 

FtRSIAT.  —    II.  62 


190  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

péo  en  H  par  lo  cercle  dont  le  centre  est  F  et  le  rayon  Fli,  si  bien  que 
les  droites  BF  et  FH  seront  égales  :  Je  dis  que  le  rayon  BF,  venant  à  se 
rom|)n>  par  la  rencontre  de  l'eau,  ira  vers  H. 

C.ar,  puisque,  par  mon  principe,  la  nature  agit  toujours  par  les  voies 
les  plus  courtes,  si  je  prouve  qu'en  passant  par  les  deux  droites  BF 
et  FH,  elle  y  emploie  moins  de  temps  qu'en  passant  par  aucun  autre 
point  de  la  droite  AM,  j'aurai  prouvé  la  vérité  de  la  proposition. 

Or,  puisque  je  présuppose  que  le  mouvement  dans  l'air  est  plus 
aisé  et  par  conséquent  plus  vite,  le  mouvement  de  B  en  F  se  fera  en 
moins  de  temps  que  celui  de  F  à  H  et,  pour  régler  la  véritable  propor- 
tion, il  faut  faire 

roninio    VF  à  FM  ((|ui  sont  les  mesures  des  résistances),        ainsi  I5F  à  FI), 

et  les  deux  droites  DF  et  FH  seront  les  mesures  du  temps  qui  sera  em- 
ployé de  B  à  F  et  de  F  à  H  :  savoir,  la  droite  DF  sera  la  mesure  du  mou- 
vement par  BF,  qui  est  plus  vite,  et  la  droite  FH  sera  la  mesure  du 
mouvement  par  FH,  qui  est  plus  lent,  et  ce,  suivant  la  proportion  de 
BF  à  FD,  ou  de  HF,  qui  est  égale  h  BF,  à  la  même  FD. 

Si  je  prouve  donc  que,  quelque  point  que  vous  preniez  des  deux 
côtés  de  DF,  la  somme  des  deux  droites  DF,  FH  est  toujours  plus  petite 
que  deux  droites  prises  au  même  sens,  j'aurai  ce  que  je  chercliois. 

Soit  donc  premièrement  du  côté  vers  M  le  point  0.  En  joignant  les 
droites  BO  et  OH,  et  faisant 

comme  RF  à  DF,      ainsi  RO  à  CO, 

je  dois  prouver  que  la  somme  des  deux  droites  CO  et  OH  est  plus 
grande  que  celle  de  DF  et  FH;  et  en  prenant  de  même  quelqu'autre 
point,  comme  V,  de  l'autre  côté  vers  A,  je  dois  aussi  prouver  qu'en 
joignant  les  deux  droites  BV  et  VH,  et  faisant 

comme  RF  à  DF,      ainsi  RV  à  YV, 

la  somme  des  deux  droites  YV  et  VH  est  plus  grande  que  celle  des 
deux  droites  DF  et  FH. 


CXVII.  —  1G64.  491 

Pour  y  parvenir,  je  fais 

comme  BF  à  AF,       ainsi  FO  à  FH, 
et 

comme  la  même  BF  à  FM,       ainsi  FO  à  FI. 

Puisque  BF  est  plus  grande  que  AF,  donc  FO  est  plus  grande  que  FR 
et,  puisque  AF  est  plus  grande  que  FM,  FR  est  aussi  plus  grande 
que  FI,  et  il  parait  même  que 

FR  est  à  FI       comme  AF  à  FM; 

car,  puisque,  parla  construction, 

comme  AF  est  à  FB,       ainsi  FR  à  FU, 
et 

comme  FB  à  FM,      ainsi  FO  à  FI, 

donc,  ex  œquo, 

comme  AF  à  FM,      ainsi  FR  est  à  FI. 

Je  dis  donc  que  les  deux  droites  CO  cl  OH  sont  plus  grandes  que  les 
deux  droites  DF  et  FH.  Car,  par  Euclide,  au  triangle  amblygone  FHO, 
la  somme  des  deux  quarrés  HF  et  FO  est  égale  à  la  somme  du  quarré 
HO  et  du  rectangle  MFO  pris  deux  fois;  or,  puisque  nous  avons  fait 

comme  BF  ou  FH  à  FM,       ainsi  FO  à  FI, 

donc  le  rectangle  sous  les  extrêmes  HFI  est  égal  au  rectangle  sous  les 
moyennes  MFO,  et  le  rectangle  HFI  pris  deux  fois  est  égal  au  rec- 
tangle MFO  pris  deux  fois  :  nous  avons  donc  la  somme  des  deux 
quarrés  HF  et  FO  égale  à  la  somme  du  quarré  HO  et  du  rectangle  HFI 
pris  deux  fois.  Mais  le  rectangle  HFI  pris  deux  fois  est  égal  au  rec- 
tangle HIF  pris  deux  fois  et  au  double  quarré  de  IF;  et  le  quarré  HF, 
par  le  même  Euclide,  est  égal  au  rectangle  HIF  pris  deux  fois  et  aux 
deux  quarrés  HI  et  IF  :  nous  avons  donc,  d'un  côté,  le  quarré  HI,  le 
quarré  IF,  le  rectangle  HIF  deux  fois  pris  et  le  quarré  FO  égaux  au 
quarré  HO,  au  rectangle  HIF  deux  fois  pris  et  au  quarré  FI  pris  deux 
fois.  Otez  de  part  et  d'autre  le  rectangle  HIF  deux  fois  et  le  quarré  FI  : 
reste,  d'un  côté,  le  quarré  HI  avec  le  quarré  FO  égaux  aux  deux  quar- 


Vl)2  ŒUVRES  1)  F.  F I-:  H  M  A  1' .  -  t ,  0 IU5  E  S  P  0  N 1)  A  N  C  E . 

l'és  110  ri  11".  .Mais  le  (|iiarri'  KO  est  plus  graïul  (iiio  le  (Hiarri-  I"i, 
puisqiu".  par  la  coiislriu-lion ,  KO  ost  pins  grande  quo  Kl  :  donc  le 
(|nairo  HO  est  plus  grand  (|iif  le  (jnarrr  111,  el  pailanl  la  droite  110  esl 
pins  grande  (|ne  la  droite  HI. 

Si  je  prouve  ensuite  (pie  la  droite  ('.0  est  plus  grande  que  les  deux 
droites  DK  et  Kl,  il  restera  prouvé  que  les  deux  CO  et  OH  sont  plus 
grandes  que  les  trois  DF,  Kl  et  IH,  ou  (jue  les  deux  DK  el  KH  :  je 
prouve  donc  le  requis. 

Dans  le  triangle  amblygonc  BKO,  par  Enclide,  le  quarré  BO  est  égal 
il  la  somme  des  quarrés  BK  et  KO  et  au  double  rectangle  AKO;  mais, 
puisque  nous  avons  fait,  par  la  construction, 

comme  1>F  à  FA,     ainsi  KO  à  Fit, 

donc  le  rectangle  sous  BK  et  KR  est  égal  au  rectangle  AKO,  et  par  con- 
séquent le  quarré  BO  est  égal  aux  quarrés  BK  et  KO  et  au  rectangle 
sous  BK,  KR  deux  fois  pris.  Mais  le  quarré  KO  est  plus  grand  que  celui 
de  FR,  puisque  la  ligne  KO  a  été  prouvée  plus  grande  que  la  ligne  FR  : 
donc,  si  vous  substituez  le  quarré  de  "KR  au  lieu  de  celui  de  KO,  le 
quarré  BO  sera  plus  grand  que  les  deux  quarrés  BK,  KR  et  le  rec- 
tangle BFR  deux  fois  pris.  Mais  ces  dernières  sommes  sont  égales, 
par  Enclide,  au  quarré  des  deux  droites  BF  et  FR  prises  comme  une 
seule  :  donc  la  droite  BO  est  plus  grande  que  la  somme  des  deux 
droites  BF  et  FR.  Mais  nous  avons  prouvé  que 

HF  esl  à  IF  comme  Al*"  à  FM,     c'est  à  dire  comme  BF  à  FI), 

(jui  est  la  mesure  de  la  diversité  des  mouvements  :  donc, 

comme  la  somme  des  deux  antécédents   BF  el  FR 
esl  à  la  somme  des  deux  conséquenls  DF  el  FI, 
ainsi  BF  à  VU. 


Or 
donc 


BO  esl  à  OC  comme  BF  à  FI)  : 

comme  HO  esl  à  OC, 
ainsi  la  somme  des  deux  droites  BF  el  FR 
esl  à  la  somme  des  deux  droiles  DF  el  FI. 


CXVII.  -  1664.  493 

Mais  nous  avons  prouvé  que  la  droite  BO  est  plus  grande  que  la  somme 
des  deux  droites  BF  et  FR  :  il  est  donc  vrai  que  la  droite  CO  est  plus 
grande  que  la  somme  des  deux  droites  DF  et  FI,  ce  qu'il  falloit  prouver 
en  second  liau. 

Il  n'y  a  donc  aucun  point  du  coté  de  M  par  où  le  rayon  puisse  passer 
sans  y  employer  plus  de  temps  que  par  le  point  F.  Il  reste  à  prouver  la 
même  chose  au  point  V. 

Si  l'on  fait,  comme  ci-dessus, 

comme  BF  à  FA,     ainsi  FV  à  FN, 
et 

comme  la  même  BF  à  FM,     ainsi  FV  à  FX, 
NF  sera  à  XF  comme  AF  à  FM,     c'est  à  dire     comme  BF  à  FI), 

par  la  preuve  précédente,  et  chacune  de  ces  deux  droites  NF  et  XF 
sera  plus  petite  que  VF,  par  ce  qui  a  précédé. 

Il  faut  prouver  que  la  somme  des  deux  droites  YV  et  VH  est  plus 
grande  que  la  somme  des  deux  droites  DF  et  FH. 

Je  considère  premièrement  que,  par  Euclide,  dans  le  triangle  ambly- 

gone  VFH,  la  somme  des  quarrés  HF  et  FY  et  du  rectangle  IMFY  pris 

deux  fois  est  égale  au  quarré  YH;  mais,  puisque,  par  la  construction, 

il  a  été  fait 

comme  HF  à  FM,     ainsi  FV  à  FX, 

donc  le  rectangle  BFX  ou  le  rectangle  HFX  (puisque  BF  et  FH  sont 
égales)  est  égal  au  rectangle  MFY  :  nous  avons  donc,  d'un  côté,  la 
somme  des  quarrés  HF  et  FV  et  du  rectangle  HFX  pris  deux  fois  égale 
au  quarré  HY.  Mais  le  quarré  FX  est  moindre  que  le  quarré  FY  :  donc 
la  somme  des  quarrés  HF,  FX  et  du  rectangle  HFX  pris  deux  fois  est 
moindre  que  le  quarré  HY.  Or  cette  somme  est  égale  au  quarré  fait 
des  deux  droites  HF  et  FX  comme  d'une  seule,  par  Euclide  :  donc  la 
somme  des  deux  droites  HF  et  FX  est  moindre  que  HY,  et  HY  est  plus 
grande  que  ces  deux  droites  HF  et  FX. 

Si  je  prouve  donc  que  la  droite  YY  est  plus  grande  que  la  droite  DX, 
il  restera  prouvé  que  la  somme  des  deux  YY  et  HY  est  plus  grande 
que  la  somme  des  trois  DX,  XF,  FH,  c'est  à  dire  que  des  deuxDF,  FH. 


Vfli  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

l'uiir  l'airo  oolto  dcriiièro  preuve,  je  considère  le  Iriaiii^ie  ainbly- 
gone  BVF  auquel,  par  Euclide,  les  deux  quarrés  BF  et  FV  sont  égaux 
au  quarré  BV  et  au  rectangle  AFV  pris  deux  (ois;  or,  puisque,  par  la 
eonslruelion,  nous  avons  fait 

comme  RF  à  FA,     iiiiisi  VF  à  FN, 

donc  le  rectangle  BFN  est  égal  au  rectangle  AFV,  et  partant  la  somme 
des  deux  quarrés  BF  et  FV  est  égale  à  la  somme  du  quarré  BV  et  du 
rectangle  BFN  pris  deux  fois.  Or  le  rectangle  BFN  pris  deux  fois  est 
égal  au  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  à  deux  fois  le  (juarré  FN  : 
donc  la  somme  des  deux  quarrés  BF  et  FV  est  égale  à  la  somme  du 
(| narré  BV,  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  du  quarré  de  FN  pris 
deux  fois.  Or  le  quarré  BF  est,  par  Euclide,  égal  au  quarré  BN,  au 
(|uarré  NF  et  au  rectangle  BNF  pris  deux  fois  :  nous  avons  donc  la 
somme  des  quarrés  BN,  NF,  FV  et  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois 
égale  à  la  somme  du  quarré  BV,  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  du 
quarré  de  FN  pris  deux  fois.  Otez  de  chaque  côté  le  rectangle  BNF  pris 
deux  fois  et  le  quarré  NF  :  il  restera  donc  que  le  quarré  de  BN  et  le 
quarré  FV  seront  égaux  aux  quarrés  BV  et  FN.  Or  le  quarré  FT  est  plus 
grand  que  le  quarré  de  FN,  par  la  construction  :  donc  le  quarré  BVest 
plus  grand  que  celui  de  BN,  et  partant  la  droite  BY  est  plus  grande  que 
la  droite  BN. 

Mais  nous  avons  prouvé  que 

comme  la  droite  RF  est  à  FD,     ainsi     NF  est  à  FX  : 

donc 

comme  la  ilroite  RF  est  à  FN,     ainsi  sera  DF  à  FX, 

« 

et,  par  la  conversion  des  raisons, 

comme  BF  à  BN,     ainsi  sera  DF  à  DX, 

et 

comme  BF  à  DF,        ainsi        BN  à  DX. 

.Mais  nous  avons  fait 

comme  BF  à  DF,        ainsi        RV  à  YV  : 

donc 

comme  RV  à  YV,     ainsi  sera  BN  à  DX. 


CXVII.  -  1664.  495 

Mais  nous  avons  prouvé  que  BV  est  plus  grande  que  BN  :  donc  YV  le 
sera  plus  que  DX. 

Or  il  a  été  déjà  prouvé  que  VH  est  plus  grande  que  les  deux 
droites  HF  et  FX  :  donc  il  est  pleinement  prouvé  que  les  deux 
droites  YV  et  VH  sont  plus  grandes  que  les  trois  DX,  XF  et  FH,  ou 
que  les  deux  DF  et  FH,  et  ainsi  la  démonstration  est  complète. 

Il  suit  de  là  qu'en  posant  mon  principe,  que  la  nature  agit  toujours 
par  les  voies  les  plus  courtes,  la  supposition  de  M.  Descartes  est 
fausse,  lorsqu'il  dit  que  le  mouvement  de  la  lumière  se  fait  plus  aisé- 
ment dans  l'eau  et  les  autres  corps  denses  que  dans  l'air  et  les  autres 
corps  rares. 

Car,  si  cette  supposition  de  M.  Descartes  étoit  vraie  et  que  vous 
imaginiez  qu'en  ma  figure  l'air  est  du  côté  de  H  et  l'eau  du  côté  de  B, 
il  s'ensuivroit,  en  transposant  la  démonstration,  que  le  rayon  qui  par- 
tiroit  du  point  H  et  rencontreroit  l'eau  au  point  F,  se  romproit  vers  B, 
parce  que,  le  mouvement  par  l'air  étant  plus  lent  selon  la  supposition 
de  M.  Descartes,  il  seroit  mesuré  par  la  droite  HF,  et  celui  qui  se  fait 
dans  l'eau  seroit  mesuré  par  la  droite  FD,  comme  étant  plus  vite,  de 
sorte  que,  les  deux  droites  HF,  FD  étant  les  plus  petites,  la  réfraction 
se  feroit  vers  B,  c'est-à-dire  que  le  rayon  s'écarteroit  de  la  perpendi- 
culaire, ce  qui  est  absurde  et  contre  l'expérience. 

Si  la  situation  des  deux  points  B  et  H  change  dans  les  deux  lignes  BF 
et  FH  prolongées  de  part  et  d'autre  autant  que  vous  voudrez,  la  démon- 
stration aura  lieu  et  vous  le  verrez  de  vous-même. 

Je  n'ajoute  point  l'analyse,  car,  outre  qu'elle  est  longue  et  embar- 
rassée, il  vous  doit  suffire  que  le  retour  que  vous  venez  de  lire  est 
court  et  purement  géométrique. 

Il  suit  de  tout  cela  que,  lorsque  les  deux  points  B  et  F  sont  donnés, 
ou  bien  H  et  F,  on  peut  trouver  aisément  le  problème  par  les  plans; 
mais,  lorsqu'on  donne  deux  points,  comme  B  et  H,  et  qu'on  veut  cher- 
cher par  eux  le  point  de  réfraction  dans  la  ligne  ou  plan  qui  sépare  les 
deux  milieux,  en  ce  cas  le  problème  est  solide,  et  ne  se  peut  construire 
qu'eu  y  employant  des  paraboles,  des  hyperboles  ou  des  ellipses.  Mais, 


W6  ŒUVRES   ni:   FERMAT.  —  COnUESFONDANCE. 

l'omino  t'olli'  iiiv('nli(ni  n'es!  mii'i'o  malaisée  à  un  géomi'Irc  nirilioi  ro, 
(Ml  (lomeiirant  d'accoril  du  roiuliMnoiU  et  de  la  pr()[)ortion  sur  laquelle 
il  (Idil  Iravaillrr  el  (|U('  je  vous  ai  déjà  expliquée,  j(>  u'ai  garde  de 
douter  (|ue  vous  la  trouviez  d'ahord,  vous,  Monsiinir,  ([ui  êtes  si  lorl 
au-dessus  du  coinuuni. 

Outre  que,  ne  s'agissant  proprement,  dans  la  question  que  vous  me 
faites,  que  d'apprendre  quelles  sont  les  voies  de  la  nature,  j'y  ai  déjà 
satisfait,  et  que  eette  grande  ouvrière  n'a  pas  besoin  de  nos  instru- 
niens  et  de  nos  machines  pour  faire  ses  opérations. 


CWIII. 
SAPORTA  A  FKR:\1AT  ('). 

A  MONSIEVR  1  FERMAT  |  CONSEILLEIt  DV  |  ROY  AV  PARLEMENT  | 
DE  TOLOSE. I 

MoNsucvr,, 

le  vous  rends  ce  qui  est  vostre  :  cette  traduction  que  ie  vous  pré- 
sente du  Traicté  de  Torricelli  du  mouvement  des  eaux  est  à  vous,  parce 
que  vous  m'avés  fait  l'honneur  de  m'exhorter  à  y  travailler,  et  que  vous 
m'avez  fait  cognoistre,  qu'elle  ne  pouvoit  mieux  paroistre  en  public, 
qu'en  suite  du  Traicté  de  la  mesure  des  eaux  courantes  de  Castelli, 
(ju'il  recognoist  pour  son  Maislre,  et  sur  les  démonstrations  duquel 
il  appuyé  presque  toutes  ses  propositions.  Mais  elle  vous  appar- 
tient, MoNSiEVR,   à  un  plus  iuste  tiltre,  puisque  cet  ouvrage,  qui 

(  ')  Doiiicacc  do  l'ouvrapc  inliliilc  : 

Traicli!  ilii  1  mouvement  des  |  eaux  d'Evangclislc  |  Torricelli  Malliema  |  ticicn  du  Grand 
Duc  I  de  Toscane.  |  Tiré  du  Traiclc  du  mesme  Aulhcur,  |  du  mouvomcnl  des  corps 
pcsans  qui  descendent  |  nalurcllenicnt,  et  qui  sont  jetiez.  A  Castres,  |  Par  Bernard  Bar- 
couda,  Imprimeur  |  du  Roy,  de  la  Cliambre  de  l'Edict,  de  la  dite  j  Ville  et  Diocèse.  1664. 

Ce  Traité  est  joint  à  celui  de  Benodetto  Casielli  dans  le  volume  publié  par  Sapnrla 
iToir  Tome  I,  p.  367.);  la  dédicace  adressée  à  Fermai  occupe  les  pages  59  à  Ci  du  dit 
volume. 


CXVin.  -  1664..  497 

a  esté  composé  par  vn  des  plus  sçavans  Mathématiciens  d'Italie, 
sur  vue  matière  trcs-curieuse,  et  toute  nouvelle,  ne  pouvoit  mieux 
pstrc  exposé  aux  yeux  du  public,  que  soubs  la  faveur  de  celuy  que 
tous  les  plus  grands  Mathématiciens,  ie  ne  dis  pas  de  la  France  seule- 
ment, mais  aussi  de  toute  l'Europe  admirent,  et  révèrent  d'vne  façon 
toute  particulière.  Lors  qu'ils  ont  des  difficultez  dans  ces  sciences 
abstruses,  dont  les  inventions  admirables  font  voir  et  l'excellence,  et 
la  divinité  de  nostre  ame,  ils  recourent  à  vous,  Moxsievu,  comme  à 
l'Oracle  qui  dissipe  en  un  moment  les  ténèbres  qui  les  envelopoient 
auparavant.  S'ils  ont  quelque  dispute  entre  eux  sur  quelque  point, 
dont  ils  ne  puissent  pas  s'accorder,  ils  vous  choisissent  pour  l'Arbitre 
"  de  leurs  differens,  et  ils  se  soumettent  avec  respect  à  la  décision  que 
vous  en  faites.  Tous  les  sçavans  en  toute  sorte  de  Literature  vous  con- 
sultent sur  les  passages  difficiles  qu'ils  rencontrent  dans  les  livres, 
le  pourrois  rapporter  un  grand  nombre  d'excellentes  remarques  que 
vous  avez  faites  sur  Synesius,  sur  Frontin,  sur  Athénée  et  sur  plu- 
sieurs autres  Auteurs  et  les  esclaircissemens  que  vous  avez  donnez  a 
des  lieux  obscurs  qui  n'avoient  pas  esté  entendus  par  les  Scaligers,  les 
(«isaubons,  les  Petaus,  et  les  Saumaises.  Enfin  il  semble,  Mo>sif,vi!,  ' 
que  vous  estez  né  pour  gouverner  l'Empire  des  Lettres,  et  pour  estrc 
le  Souverain  Législateur  de  tous  les  Sçavans.  Si  i'avois  dessein  de  faire 
votre  Panégyrique,  j'estalerois  icy  toutes  les  cognoissances  que  vous 
avez,  qui  sont  capables  de  rendre  les  hommes,  et  plus  doctes,  et  plus 
gens  de  bien.  le  parlerois  de  vostre  iugement  dans  les  affaires  du 
Palais,  ou  vous  avez  passé  la  plus  grande  partie  de  vostre  vie,  et 
ou  vous  avez  fait  paroistre  tant  d'intégrité,  et  tant  de  suffisance  en 
l'administration  de  la  Justice,  qu'il  y  a  de  quoy  s'estonner,  qu'ayant 
acquis  toutes  les  qualitez  d'un  grand  luge,  vous  ayez  peu  acquérir  vue 
parfaite  intelligence  de  tant  d'autres  choses,  qui  sont  si  différentes  de 
cette  sorte  d'estude.  le  pourrois  dire  avec  vérité  que  la  force,  et  l'es- 
tendué  de  vostre  génie,  a  surmonté  toutes  les  diflicultez  qui  décou- 
ragent, ou  qui  arrestent  les  autres  :  que  vous  comprenez  comme  en 
vous  louant,  ce  qui  occupe  l'attention  des  plus  subtils,  et  que  vous 

l'EBMAT.  —    II.  OD 


WS  (KlNIiKS    1)K    KKIÎM  VI'.  -  COlinKSI'OMt  ANCK. 

pciKircs  dans  peu  de  ioiii's.  l'I  avcr  peu  de  peine,  les  iiialiei'es  les  plus 
tlillicili's,  (|iii  Iraxailleiit  les  espi'ils  les  plus  vils,  e(  les  plus  sdlides. 
des  années  (Milieres.  .Mais  l'en  tlis  Irop,  Monsii'.vi',,  puni'  vosire  modestie, 
(|U(iv  t|ue  ie  n'eu  die  pas  asspz  pour  vosir'e  inerile,  n'y  pour  la  passion 
(|ne  i'av,  de  vous  lesuioi^iUM',  e(unl)ieu  ie  suis. 


.Mo.NSIKVIi, 


Voslre  (res-liiimble  et 

Iros-olteissanl  serviteur. 


SaI'OUTA. 


VARIANTES  ET  NOTES  CUITIQl  ES. 


LISTK   DliS   SOURCES. 


A    =  Maïuisci-it  Ai'lui};ast-Boncoinpafjiii   {voir  Tmnc  I,   Avcrtisscmout,  p.  XXIl). 

A'  =  Brouillons  il'Arbog:ist,  ihins  le  JIS.  UiM.  iimI.  tV.  ii,  a.  8280  ( f"  gt  à  98,  120  à  19J). 

H    =  Manuscrit  Vicii-d'Azyr-Boncorapagni  (  l'uiV  Tomo  I,  Avertissement,  p.  xxvil). 

C    =  Copie  des  manuscrits  de  Clorselior,  prise  à  Vienne  par  Despeyrous,  dans  le  MS.  Bibl.  nat.   tr. 

n.  a.  otSo  (f""  25  à  90). 
1)    =  Édition  des  Lettres  île  M-  Dc.u-ar/cs  par  Clersclier,  Tome  III,  Paris,  1667. 
E    t=  Commercitim  epistolictim  de  Wallis,  Oxford,  i658. 

V  =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  n.  a.  62»!,. 

(t    =  Gassendi  Opéra  omnia,  édition  de  Lyon,   i638. 

II    =  Correspondance  de  Huygens,    publiée    par    la    Société    liollandaise    îles    Sciences    (La    Haye 

1888  etc.). 
1      =  MS.  Bibl.  nat.   latin  S600. 
K    =  MS.  Bibl.  nat.  latin  u  196. 

L    =  Lalouvùre,  yetcrum  Geometria  proniota  in   septem  de   Cycloide  libris,  Touliiuse.  ilitio. 
M    =MS.  Bibl.  nat.  fr.   17388. 
X    =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  17390. 
0    =MS.  Bibl.  nat.  IV.  17  398. 

V  =  OEuvres  de  Pascal,  édition  de  1779. 

P'  =  Recueil  d'opuscules  de  Pascal,  Bibl.  nat.  inip.  Réserve  V,  869. 

Q    =MS.  Bibl.  nat.  fr.  20945. 

K   =  MS.  Bibl.  nat.  latin  722(5. 

S     =  Traité  de  la  mesure  des  eaux  courantes  de  Castcl/i,  traduction  Saporta,  Castres,   i(i().'|. 

T    =MS.  Bibl.  nat.  fr.  i3o26. 

ra=  Édition  des  yaria  Opéra  de  Fermât,  1679. 

X    =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  n    a.  5i6o. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES 


(') 


LiSTTRE  I.  3.  ligne  1  par  ces  B,  pour  ces  A  i  feront  B,  feroienl  A  10  jusqu'à  A  6,  ^ 
seraJA  ajoute  pour  7,  2  une  om.  A  9,  1  envoieray  B,  enverrai  A  10.  8  de  oi».  A 
II,  3  sceu  B,  pu  A     i  ce  om.  A. 

\\.{P^(i,  p.  i43).  Les  paragraphes  1  et  2  forment  la  fin  des  Xova  in  Mathcmaticis 
t/ieoremala  (Pièce  V).  P.  9,  20  (f'tt,  i44)  20  D]AD  28  Qiiod  erat  demonstranduni  | 
GED. 

III  (l'a,  i.n).     L  10  ita|.\B  (J'n,  vri). 

W  (ra,  12-2).  P.  18,  18  lajle  2o  (/«,  laS)  26  proportion]  proposition  P.  20, 
5  la] que  la 

\  (n,,  lii).  3,  2  ipsa  CB]ipsa  AB.  P.  24,  0  B](;.  P.  25,  6  etjin  (;«,  i43)  7C]D 
*  D]G  7,  3  constitutura].  Le  fragment  continue,  dans  les  Varia,  par  les  paragraphes  1 
et  2  de  notre  Pièce  II. 

VI  {Fa,  i43).  2]1.  2,  5  la  première]lo  premier  4,  9  ravouer]^Vz  ajoute  le 
suis  etc. 

La  suite  se  trouve  intitulée  dans  A  :  Fragment  d'une  lettre  à  Mersenne  (le  commence- 
ment manque);  dans  B  :  Fragment  d'une  lettre  de  M.  Fermât  du  l'i  juillet  i63G.  5,  2 
baille  A,  envoyé  B  6,  2  proportionnelles  om.  A  7,  11  pouves  B,  pourrez  A  P.  30,  .1 
trois  ou  de] 2  ou  B.     8,  1  Et  B,  Je  A.     B  omet  la  date. 

VII  (l'a,  i33).  P.  32,  I.~i  lelles  P.  33,  9  NB]CB  11  gravia|œqualia  {Fa,  i3',). 
P.  34,  10  ecce]cum  li  FI1N]FII,  in  *•  NJM  {de  même  17).  10  FHN]FIIM  (rfememelS) 
17  HF]MG    18HN]HA. 

VIII  {T^a,  124)-  Su.scripiion  :  A  Paris,  le  i6  aoust  i636.  2,  1  que]lequel  4/3  des- 
quelles conditions,  au  principe  dont  il  s'agit,  la  principale  manque,  sçavoir  G  d'où  vient] 
quelle  est  7  cette]leur  *  Ainsi...  les  corps  3,5]  ce  qui  n'étant  point  en  nôtre  connois- 
sance  (comme  il  faut  librement  avouer,  et  en  cecy,  et  quasi  en  toutes  les  autres  choses 
physiques)  il  est  évident  qu'il  nous  est  impossible  de  déterminer,  ce  qui  arriveroit  au 
centre  où  les  choses  pesantes  aspirent,  ny  aux  autres  lieux  hors  la  surface  de  la  terre, 
sur  laquelle,  parce  que  nous  y  habitons,  nous  avons  quelques  expériences  assez  con- 
stantes, desquelles  nous  tirons  ces  principes  en  vertu  desquels  nous  raisonnons  en  la  Me- 
chanique. 

(')  Les  fliilTres  égyptiens  (gras)  désignent  les  paragraphes  des  lettres,  à  moins  qu'ils  ne  soient 
précédés  d'un  P.,  auipiel  cas  ils  indiquent  la  page;  les  lignes  sont  comptées  à  partir  de  la  première 
du  paragraphe,  si  elle  est  dans  la  même  page;  autrement  à  partir  de  la  première  de  la  page. 


û02  \AH1ANTES    ET   NOTES   CHITIQUES. 

La  diversité  des  opinions  louchanl  l'oi'ij;ine  do  la  pcsantour  des  corps,  aiu'iine  des- 
quelles n'a  esié  jiisqnos  icy  ny  deiimnlréo  ni  convainciio  do  fausseté  par  démonstration  est 
un  ample  témoi^na^e  de  l'ijjnorance  lunnaine  en  ce  point. 

{f'o,  19.5).  La  commune  opinion  est.  (pie  la  pesanteur  est  une  qualité  cpii  'réside  dans 
le  corps  même  qui  tombe. 

D'autres  sont  d'avis  que  la  descente  des  corps  proeeilo  de  l'attraction  d'un  autre  qui 
attire  ccluy  qui  descend,  conuno  [le  globe  aj.  P)  de  la  terre  [paroit  attirer  une  pierre  qui 
tombe  itj.  P].  Il  y  a  une  troisième  opinion  qui  n'est  pas  hors  de  vraysemblance;  que  c'est 
une  attraction  niuluelle  entre  les  corfis,  causée  par  un  désir  naturel  ipie  ces  corps... 

3,  a  clairjévidenl  6/7  le  fer  ne  l'étanl  pas.  Tira  trouver  12  seront...  quelque  lieu  4,  3] 
sont  fort  dilTérentes,  iiarliculièrement  de  la  première  et  des  autres,  comme  nous  fairons 
voir  en  les  examinant. 

Car  si  la  première  est  vraye.  le  sens  ooniniun  nous  dicte  qu'en  ipielipie  lieu... 

4.  i  poids]  corps  pesant  *  pèse]  pèsera  iO  avoir  égard]  considérer  11  centre  com- 
mun]. IcLUiioii  :  Si  cette  première  opinion  est  véritable,  nous  ne  voyons  point  que  le 
principe  que  vous  demandez  pour  la  Geostatique  puisse  subsister.  12  Car  soient  deux 
poids  15  A  et  B  19  Nous...  équilibre  21].  Suivant  cette  première  opinion,  nous  accor- 
dons que  si  le  point  C  est  uny  au  centre  des  choses  pesantes,  le  composé  des  poids  AB 
demeurera  immobile  véritablement.  22  au]avecle  *  centre  commun  des  choses  pesantes, 
combien  que  l'un  des  poids  en  soit  plus  proche  que  l'autre,  ils  contrepeseront  (24). 
2^i  comme  par  le  point  C  omis.  26  paroles  mêmes]  propres  termes  27  pour] de  28  par 
dessus]  sur  P.  38.  Le  premier  a'inéa  est  omis.  8  car  il  n'a  pas  esté  démontré  que  le 
point  C  soit  le  centre  de  pesanteur  du  composé  AB,  sinon  lorsque  la  descente  des  corps  se 
fait  naturellement  par  des  lignes  parallèles;  ce  qui  est  contre  vos  suppositions  et  les 
nôtres,  et  contre  la  vérité,  et  même  nous  ne  voyons  pas  qu'aucun  corps,  horsmis  la 
Sphère,  ait  un  centre  de  pesanteur,  posée  la  définition  de  ce  centre  selon  Pappus  et  les 
autres  Autheurs  :  et  quand  il  y  en  auroit  un  en  chaque  corps,  il  ne  paroit  pas  (et  n'a 
jamais  esté  démontré)  que  ce  seroil  (12).  13  commun]des  choses  pesantes  15  figures] 
nddiiioii  :  comme  en  la  seconde  des  deux  figures  suivantes.     16  commun] de  pesanteur. 

5.  I  du]d'un  3  même]l'  *•  nous]vous  i  semblable]  pareille  *  AB  |(/fl,  126) 
(  puisque  vous  le  voulez  appeler  ainsi)  d'autant  que  ces  poids  ne  pressent  (S/6)  7  C,  D 
DU  E  oniis  9  le  porter]se  porter.  P.  39,  2  près]proche  3  C  omis.  6  jugement]  lajin 
de  l'alinéa  est  omise. 

6,  1  en  ce  cas  des] suivant  celte  première  opinion,  de  3  pour...  sentiment  omis. 
l  Soient  donc  deux  *  A  et  B  0  dans  laquelle  le  point  C  soit  le  centre  de  pesanteur  du 
composé  des  corps  AB,  selon  les  anciens;  ce  point  C  ne  sera  pas  (6)  7  pose]met 
9  qu'iljque  ce  composé     13  contrepèsent  avec] soit  de  même  pesanteur  que 

7.  Paragraphe  omis. 

8,  I.  Si  la  seconde  opinion  touchant  la  cause  de  la  descente  des  poids  est  véritable, 
voicy  les  conséquences  qu'on  en  peut  tirer,  selon  notre  jugomenl.  Soit  (i)  6  les  parties 
du  même  corps,  en  sorte  que  chacune  selon  sa  puissance,  tire  à  soy  le  corps  attiré,  ainsi 
que  supposent  les  Auteurs  de  cette  opinion. 

Sur  celle  position,  le  sens  commun  nous  dicte  que  les  distances  et  autres  conditions 
estant  pareilles,  les  parties  égales  du  corps  attirant  attireront  également,  el  les  inégales. 
inégalement. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  303 

Soit  donc  le  corps  alliré  L(())  8  nienéejniéme.  P.  41,  2  marqucs]pris  G  puis- 
sanceJverLu  entière  7  là  où]ou  étant  dO  venujparvcnu  11  toujours  est  placé  après 
sera  12  etjmais  13  retire ]contrctire  M  force]  vertu  17  mais  cette  diminution  ne 
sera  pas  en  la  raison  des  ligues  HA,  HK,  HI,  ce  que  vous  connoitrez  en  le  considérant 
sans  autre  explication. 

Si  la  troisième  opinion  de  la  descente  des  corps  est  véritable,  les  conclusions  que  l'on 
{P^a,  127)  en  peut  tirer  sont  les  mêmes,  ou  fort  approchantes  de  celles  que  nous  avons 
tirées  de  la  seconde  opinion.  Suit  le  paragraphe  9. 

9,  3  d'icelles]d'elles  3  conclusions] conséquences  7  desquels  l'expérience  assistée 
d'un  bon  jugement,  nous  a  rendus  certains. 

Pour  ces  considérations,  dans  nos  conférences  de  Mechanique  nous  appelions  des  poids 
égaux  ou  inégaux  ceux  qui  ont  égale  (10)  11  un  même  corps  est  dit] nous  entendons  un 
même  corps  P.  42,  3  arrive  ou  non  -i  ce] chose  S  contente] satisfasse  6  et  nous  rai- 
sonnons] raisonnans    7  en  omis. 

10.  1  PourjQuant  à  3  et  l'autrejmais  l'autre  est  9  et  soit  considérée  la  circonférence 
CNB  10  ménejremue  12  conl repèseront  l'un  à  l'autre  et  omis.  15  seront jseroint  * 
points jextremitez  16  éloignées.  P.  43,  2  pour  les  avoir  démontrées  par  des  principes 
qui  nous  sont  plus  clairs  et  plus  connus  (-4)  5  distinction  à  faire,  laquelle  est  de  grande 
considération.  Sçavoir  que  quand  ((Ji  9  mais  quand  ■*•  d'unjun  13  enOn] finalement 
15  vers  NJvers  P. 

il,  1  Si  cte.jCette  distinction  estant  vraye  comme  elle  est,  vostre  second  principe  ne 
peut  subsister,  ce  qui  paroîtra  assez  par  l'examen  d'iceluy. 

Vostre  second  principe  est  tel.  Soit  A  (4).  5  est  Bjest  D  6  force] puissance 
8D.|(^«,  128)  P.  44,  1  posé] mis  6  s'éloigner] éloigner  le  levier  8  en  général] généra- 
lement H  quoique  contraires  à  votre  supposition  omis.  12/13  et  nous  vous  en  expli- 
querons les  principaux  cas  que  vous  connoistrez  véritables  sans  aucune  démonstration. 
Suit  le  paragrap/ie  i2. 

12,  2  et  omis.    4  demeurons    P.  45,  1  force] puissance. 

13,  6  boutsjextrémités  10/12  et  quand  cet  appuy  sera  osté,  le  tout  demeurera  de  mémo 
qu'avec  l'appuy,  ce  qui  est  assez  clair.  15  alors  est  ajouté  avant  celles.  19/20  que  lors- 
qu'elles sont  ramassées  en  B. 

14,  1/2  chacun  plus  grand  P.  46,  1  DCjCD  4  ramassez  (de  même  9;)  8  Bjvers  P 
ajouté,   -k  ce  qui  seroit  arrivé]  comme  il  arriveroit 

15,  2  lesjdes  6  qu'on|que  l'on  9  aux  pointsjsur  les  parties  13  {Fa,  129)  >«•  Ainsi, 
cotisidérant] Parlant  *  sont] seront  *  ils  omis  14  chargent] chargeront.  P.  47,  1  sur 
l'arc  GBH  5  aura]  a  *  ramassez  9  même  omis.  10  Addiliou  :  Cette  dernière  consi- 
dération pourroit  bien  estre  cause  qu'un  même  corps  peseroit  moins,  plus  proche  que 
plus  éloigné  du  centre  commun  des  choses  pesantes  :  mais  la  proportion  de  ces  pesan- 
teurs ne  seroit  nullement  pareille  à  celle  des  distances,  et  seroit  peut-estre  très  difficile 
à  examiner. 

16,  3  éloignés  de  A  centre  commun  6  GI  est  à  9  assez  omis  *  des]  de  vos  10  les] 
ces  10/11  restoroit  aucune  difficulté  11  à  peu  près  omis  11/12  ainsi.  Soit  faite  la  pré- 
paration suivant  la  melliodo  d'Archimede  13  E]Q  (de  même  dans  la  suite  du  para- 
graphe). P.  48,  2/3  duquel  etc.jlequel  arc  sera  quelquefois  moindre  que  la  circonfé- 
rence entière,  quelquefois  égale  à  icelle,  et  quelquefois  plus  grand.  Et  d'autant  que  les 


.ÏOV  VAHIANTES  ET  NOTES   CHITIQUES. 

porlions  lit,  IQ  sont  c'^'iilos,  ;!  BGIRO  '•■  |i:h' le  promioi- pi-inBi|ie  sur  r;i|i|ni\  I.  7  |icsc| 
posé  S  Car  lous  ces  |  Parlant,  puisque  ces  doux  9  pèseront]  pèsent  *  puis  donc  |  et 
10  faisoieni  ] font  *  môme  o/«(,\'.  i;{  feroil]  reçoit  lipas|point  l(î  pouvons  17/l!Hn- 
stances  dont  la  première  est  telle.  Au  levier  GIR,  soit  l'angle  GIR  droit 

18.  1  Soit  A  le  ce;Uro  :2  A  omis-.  3  GI  |  soit  (f'fi,  no)  0  l'on]  on  0/7  faisant...  R| 
niellant  en  C  le  moine  poid.s  ipii  estoit  on  R  9/10  faisant...  C|faisant  ID  cstre  le  bras 
liu  levier  et  mettant  en  H  le  mémo  poids  (pii  esloil  en  C  12  à  lG|en  G  13/11  raison- 
nant à  l'ordinaire]  par  le  raisonnement  ordinaire     16  seroitjsert     18  fait]fasse    P.   50, 

1  (co  qui  est  facile  à  domonlrer)  2  delliors  2/3  on  conclura  quelque  chose  do  clio- 
(luanl  do  votre  position. 

19.  1  parce  que  *  toul  omix.  2  faire  [iir  des  lionimos,  des  poids  à  l'égard  do  leur 
contre  naturel  3  la  faire  alentour  d'un  centre  artificiel,  supposant  îijG  agiroienl]  tcndeni 
7  conforme  à  ce  raisonnement     8/10  .Ili/icn  omis. 

20.  1  agréable  de  conlinuor  nos  communications  sur  ce  sujet  ou  sur  eoluy  de  la  Géo- 
métrie 2/1  ceux  de  ce  tem|)S.  nous  tâcherons  à  vous  donner  contentement  :  et  ce  que 
nous  vous  proposerons    .S  car  nous  vous  en  envoyerons 

l.X.  (/'«,  i3o)    3(/rt.  iSi).     P.  53,   18  AC.DjadCI)    2i  r.[)| .  Igitur  (r^,  iSî).     P.  54. 

2  liorizontis  6,  1  terre] leltre  7.  3  parabola  i/'i  conois  parabolicus  archimedaeus 
(>  Movus  conois    9,  9  composé] compris. 

.\(/rt,  r>'i)    2.  l."i  quatre.  I  en  (/'Vï,  12.1)-    3.  îi  de  Pascal 

XI(r«,i34).  1,  12  prin|cipes(/^7/.  i35)  3,  1  f  BCAJBC.CA  4,  0  la  o/«m.  7  |  parce 
que(Ki7,  i36)    5,  3  menez]  niez 

XII  (B  n  eonimr  liirc  :  Epistola  Dmi  de  Fermât  ad  R.  P.  Merscnnum.)  1,  1  Havum] 
damnuni  A  P.  64,  1  te] se  A  2,  2  ita]sic  A  7  problemaiis  B,  problomatibus  A  (de 
même  3.  1)  9  quadratoquadrata  A  3.  3  ipsis /■('/>c?é  B  i  pulcherrimi  A  P.  66,  2  ad- 
mitti  om.  B.  i  diminutum  B  (de  même  plus  loin)  7  ex  his  propositionibus  B  (peut-être 
mieux  ).  4,  1  abs  te  A  Hr  construimus  A  7  contingerit  A  7,  7  ?o25]i925  B  (A  «  cor- 
rb'é  en  marse).  8,  10  exordium  ciirriu:é  de  originem  B.  >«•  B  donne  en  marge  le  calcul 
des  nombres  i8o  et  1890.  plus  loin  de  101 70  (avec  une  erreur)  et  de  jgfij.  P.  68,  10  abs] 
rorriiié  en  à  par  A.  9.  (i/7  De  mullangulis  numeris  A  9  niajori  AB  li  1°  om.  B 
P.  69,  7  omnibus]  numeris  B.  9  prœcepta]  quassita  AB.  10.  1  uolumus  B  2  Arithme- 
ticae  A  3  venamur ]  co/r^'c'  de  invenimus  A  11,  3  auclo]aucii  AB  8  exemplum]B 
ajoute  :  1.2.3.4.  10  auctum]aucti  AB  11  et  fit  B  13  et  superest  B  P.  70,  2  pnece- 
dentis  A  *  B  donne  les  calculs  en  marge.  12.  2  \\\ccm]corrigc  de  ansam  B  9  eâ]sic  A 
13.  B  ajoute  la  souscription  :  Au  Révérend  père  Morsenne  nn'nime. 

XIII  (l'a.  i36}  3.  i  i"]  Premièrement  7  in  |  conclioide  {J'n,  137)  4,  3  des]de 
5.  3  r]  premier    P.  74.  9  in]et 

XIV.  (Texte  d'après  R;  leçons  de  Va,  i38).  1,  2  promis  2,  2  en] vers  7  la  partie 
inférieure  8  chose  mémo  12  quoi]qui  15  bout]point  P.  76,  10  de  direction  omis. 
i:;  doublé] double  19  cette] la  20  bras  AB,  AC  23  deux  o;n«.  P.  77.  1  double  i  et 
imiU  10  forces  *  Ainsi].\ussi  12  être  |  entendues  (/>',  139)  14  supposons] posons 
21  AC.  AG  P.  78.  20  domonstrons  P.  79,  1  demonstrons  S  menées  omis.  19  enten- 
dues] imaginées  *  et  omis.     P.  80.  2  sorte  sur  le  bras  .\C  omis    3  E]sur|lo  bras  AC 


VARIANTES   ET  NOTES  CRITIQUES.  503 

ajouté  {Va,   i4o)    *   axiome]  principe      13   entendues  |  imaginées      Ifi   axiome]  priiieipi' 
25  Fin  du  texte  de  K.     9  (T'a,  \^i)  .^ 

XV  {Fa,  146).  3,  3  vous  sy\^\ms.6i]commeiicement  dans  B  d'un  Extraict d'une  lellre 
(lu  lui""  no"""  i636  à  M.  Robei'val  pour  la  quadrature  de  la  parabole.  *  vrayc  Va.  om. 
B.  *  possible  pas  B,  pas  peut  estro  Va.  P.  84,  2  grande  oin.  Fa.  '5  plus  om.  Va. 
19  qui  est  tout  ce  qu'on  peut  B,  qui  comprend  entièrement  tout  ce  qui  se  peut  Va. 
P.  85,  7  la  quadrature  B  {qui  s'arrête  à  ce  mot),  les  quadratures  J"a.  5,  4  et  |  que  (^". 
147)  8/9  de  son  diamètre  et  en  sovle  paraissent  des  additions  suspectes.  7,  S  conoideni 
{demi:r/ie&)    10/1 1  EUipsioidem     P.  87,  8  lD]Hr)   *  DV]DI 

X\l  {Va,  i/ii).  P.  88,  IG  Intelligilur  17  (_iI](iC  P.  89,  o  ACDE]ACDC  7BD]Er) 
\0{Va,  142). 

Xyil{Va,  147).     P.  90,  IJ  CA|naturaliter  (/>,  i.iS)     P.  91,  8  desqucls]duquel 

XVIII  ( /^V/,  1 48).  1,  11  vous]  verrez  (/■«,  1^9)  3,  2  i^  how  Sainte-Croix  ra/ re/n/^/wce 
par  des  points.  P.  95,  li  conoïdum  23(r«,  r3o)  P.  97,  20  (^rt,  i  ji)  P.  98,  I4HC|HA 
21  eadem    22  AC]IC   *  secantes]stantes. 

XIX  {Va,  i3i).     P.  101,  3  punctol  A  {Va,  iH)     11  M  omis.     P.  102,   11  BJ.\. 

XX  {Va.  i52).     P.  103,  H  {Va,  i53) 

XXI  {Va,  i53).     3,  1  de  omis  après  M.  {de  même  2)     .j  avec  |  franchise  {Va,  i54) 

XXII  (D).     P.  108,  2  et  3  qu'on]qu'il 

XXIV  (Variantes  de  D;  texte  de  C).  1,  S  me  sera  garand.  2,  10  de  venir  sans  mar- 
chander 3.  7  qui  continue]de  4,  1  Je  viens  5,  7  sa  détermination  6,  7/9  or. ..  aupa- 
ravantjMais  10  qu'elle  ne  faisoil  auparavant;  Et  si  13  lc]ce  7,  3  à  Desc.,  daC  7  ce 
Desc. ,l<iC  8,  3  entendre] comprendre  6  changera  P.  120,  1  pourrions  D.  iiouvions  C 
9,  1  la]  sa  7  la]  celte  19  c'est-à-dire] ou  P.  121,  ti  parce  que  10,  13  le  portera 
17  tout  omis.  11.  .'i  de  m(^mo  nom  12,  3  FA  est  à  AB  c'est  à  dire  comme  FG  à  BN 
^  CB  est  à  BN  P.  123,  4/3  conclusion  pareille  7  CB]BC  est  9  Mdh\lei\ai\l  ajouté ai-a/it 
Du  10  égaux]  entr'eux  ajouté.  12  conséquent  17  première]  précédente  19  DAF]est 
ajouté.  14,  1  figurejforce  P.  124,  C  cette]la  12  qu'elle]  que  celle-cy  15,  .3  pleine- 
ment omis. 

XXV  (Variantes  de  D;  texte  de  X).  1,  2  ponrce  que...  soit] parce  que  je  n'en  si;au- 
rois  parler  autant  que  je  voudrois  4  celuy-là  mesme  *  tâclié] entrepris.  2,  3  contin- 
gentes] tangentes  *  trouve]  prouve  Fig.  60.  La  ligne  01  n'est  pas  tracée  dans  X;  les 
lettres  atgéhriqiies  qid  suivent  y  sont  en  minuscule.  1,3  iterumque. .  .  BE  om.  X  .  18  B,  et 
le  coslé  P.  128,  6  maxime  16  X  ajoute  en  note  :  Il  dit  qu'il  faut  mettre  viis  aprioribus 
divçrsis  OU  pcr  diversum  médium  ou  quelque  chose  de  semblable  pour  rendre  la  règle 
bonne.  3,  1  bien  encore  Jt-  même  omis.  2  tangente  7  autre  omis.  9  ergo  proba- 
vimus  CE  P.  129,  1  se  om.  X.  4,  7  est  omis.  10  encore  que] quand  12  eût  eu 
13  même  D,  premier  X,  6,  3  tangentes  P,  130,  6  sont] font  *  font  D,  est  aussy  X. 
H  tangentes  7,  3  autres]  Autheurs  P.  131,  6  de]  du  9  tangentes  10  n'en  peut  D, 
n'eut  peu  X.    8,  2  tangentes    8  que  j'ay  fait    13  cube  du  cube    16  quarré  du  cube 

XXV  bis  (.\,  B).  1,  4  MM.  Pascal  A  3  parce  que  A  6  des  doutes  A  9  construc- 
tion] démonstration  A  2,  12  plût  de  me  A  3,  3  propositions  do  A  4,  1/2  je  veux  en- 
core lui  faire  part  A     3  Icsjlo  A     P.   134,  \f  quelqu'un  A    2  M.  Roberval  A    5.  2  de 

Feumat.  —  H.  64 


506  VARIANTES  KT  NOTES  C III TIQUES. 

Pin.  [)  6.  '2  Kl  par  iwomplc  1),  Comiiu-  par  oxcmplo  li  t  pnrabolo]  par  cxomplo  nj.  IS 
*,  tel]  quelque  D  10/11  C'est...  sophistiques  om.  I)  10  ces  B,  mes  A  13  que  l'on  A. 
qu'on  BO   *  dcmandora]  voudra  D    P.  135,   I  lels  nombres  l). 

.WVl.     6.  7  le  A,  ce  A'     i:;  1  égaillé  A,  égaillé  A'     P.  138.  3  déduire  par  le  menu  A, 
décrire  pour  le  moment  .V. 

WVIII  ^  Dj.     P.  146,  9  Icsjla 

XXI.X  {Ttj.  p.  II.)).     2,  2  de  uilniini.s  et  nilniniis  ('«//■(' /)(7;v7/M<.-A'ra.     3,  7  iui-mé  |  luc 
(n,.  i55)    p.  149,   1,  2,  0,  7  B  bisJB^.     P.  150.  .'i  pouvez]  prouvez    6,  8  dato]dati\ 

XXX  (A.  B).  2.  9  son  A.  un  B  3.  (î  fraiiehir  A.  traverser  B  10  comme  B,  ce  que  A 
21  punetuni] /Vr/«'cr  mol  de  B. 

XXXI  (A.  A').    P.  155,  9  satisfait  Ira/T/o(î'(/ç  s'étend  A'     13  en  suite  A,  de  suite  A' 

2,    !    par  e\enq)le   A,   simple  A'      P.  156,   4  avec]  aux   A\'     3,   2   pareille]  ro/vv'ifc  ifr 

egalle  A'    3  courbe]  co/rye  rfe  convexe  .\'     10  soil  A,  est  A'   *    pareille  A,   egalle  A' 

1.  .  .    ./      lo-i  1-       ,•       .  adeealler  ,   .  .    .,      „    ,„„ 

Il   avec   A,   en   conservant  A       12  par  adecniation  A,  pour     ,  (sic)  A.     P.  157. 

'        adœquarc 

9  Olant  \'     llî/lilcs  deux  cubes  o/n.  A     IC  Divisant  A'    *    ôlant  .\'     17  avec]  aux  A' 

19  nous  aurons  A,  on  aura  A'    P.  158,  .'!  sera  A,  soit  A'  (de  mcine  i)    3  fera  A,  fasse  A' 

6  aisément  A.  ainsi  A'     10  car  autrement  A,  aux  autres  .4'    4,  7  de  om.  A'    5,  1  de\ 

des  A'    P.  159.  (!  ligne  («e.  OA)  A,  droite  A'.     P.  160,  3  en  sorte  A,  de  sorte  A'    14  fera 

A',  sera  A   *   OI]OE  {de  même  16)  AA'    P.  161.  ligne  dernière,  le  dénomitiateiir  A  est 

omis. 

XXXIII  (A.  B).  1.  2  prenez]  avez  prise  A.  P.  165.  7  j'ai  baillé]  je  laisse  3.  2  con- 
noilre]ro/-/-;^'e  de  trouver  B.  5,  .l/i  croyez-moi  om.  A  S  humble  serviteur]  etc.  A. 
7,  ()  parties  B.  portions  A.     P.  167,  8  de  om.  A. 

XX.XV  (A,  B  ).  1,  1  \'ous  OUI.  B  2,  8  ceUi^  longueur  B,  ces  longueurs  A  10  par  B. 
de  .K  12  que  (après  point)  om.  B.  P.  170,  12  que  {après  et)  om.  B  P.  171,  12  On 
fera  avec  la  môme  facilité  A.     3,  2  je  veux  vous  A.    4,  1  en  {après  exemple)  B,  de  A 

2  en] de  A  5.  3  mômes  A  5  trouver  B,  mener  A  P.  173.  1  focus  B,  foyer  A  6.  2  de] 
d'en  A  3  encore  om.  B  6  marquée  B,  imaginée  A  7  sommet  om.  B  *  MB] MA  P.  174. 
1  semble  être] est  A  *  l'estrivière  B,  l'affinité  A  2  punclls]elc.  aj.  A  7  superficie] /.i'irt 
a  corri^'d  en  périphérie.  10  (|ue  quel  point  que  AB  ■>*-  preniez]  prendrez  A  9,  1  trou- 
ver]mener  .\  P.  175,  ligne  avanl-dernière  :  S'il  y  a  niampie  en  B,  SI  j'ai  manqué  ici  A. 
P.  176,  -i/.'i  trouvères  B,  trouvez  A     9  Votre,  etc.  A  qui  o/uri  le  reste  de  In  lettre. 

.XXXVI  (AB).  1.  2  les  longueurs  A,  3  rebutent  A  P.  177,  5  leur] le  A  6  les  exj)é- 
riences  A  *  faites  A.  2,  1  eommejeto.  A  3  particulièrement] en  particulier  A  4  aux] 
ou  B  *  de]desdites  A  7  le  dernier  exemple]  la  dernière  B  *  sur  quoi]quoique  A 
7/8  m'avez]  m'ayez  A  8  de  me  faire  savoir  A  3,  4  appelle  A  6  et  suit'.  lat.]latusB 
P.  178.  2  ou]en  A    4,  1  proposerai  A,  reserve  B     2  j'étends  encorejje  cède  à  donner  A 

3  renchérit  .A  *  et]je  A     9  dérivejdédult  A     10  trouver] savoir  A     11   valent]  vallût  A. 

XXXVII(B).     4,  7  /âSsJv/îSS 

XXXVIII  bis  i  la,  173).  6,  2  sorte  I  de  {Fa,  174)  *  tel]  le  B  3  encore  om.  B  *  etc. 
o/n.  B.  P.  190,  2  à  quoi. . .  possible  (3/6)  om.  B  6/7  reigle  que  Je  n'ay  trouvée  que 
lorsque  B      9/10,   de  ce  cas...   nouveau  om.   B      7,   1/3  reigle,  c'est  que  je  puis  B 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  507 

4/6  comme...  rangé  om.  B.  8.  1  bien  om.  B  *  ot  B,  en  T'a.  *  sont  Fa,  font  B 
6  ce  qui  est,  ce  me  semble,  uoe  Fa.  8  cube  de  soixante-quatre  B  8/9  à  côté  du  quarré 
de  i4  om.  B  H  le  deuxièmejlc  a""  B,  et  le  second  Fa.  P.  191,  4  et  il  y  aura  Fa. 
ijo  chacune  desquelles  B,  desquelles  chacune  Fa.  *  B  omet  /es  paragraphes  9  et  10. 
P.  192.  2  en  B,  om.  Fa.  3  et  délectables] etc.  B  *  les  om.  B.  4  Voicy  B,  Voyés  Fa. 
-k  l'endroit  où  il  Fa.  G  de  haut  en  bas  qu'à  coté  Fa.  9  avoir  seulement  fait  T'a.  11  je 
dis  om.  B  *  qu'  om.  B  1.3  mais  Fa,  et  B  *  la  [  question  {T^a,  175)  13  1°  om.  T'a. 
21  elle  devoit  être  différente  T^a.  23  lo  25  T^a,  le  quarré  de  5B  -k  voicy  B,  voyez  Fa. 
I'.  193,  13  un  autre  B  Fa.  13/16  si  le  temps...  demi-douzaine  om.  B.  26  néan- 
moins] pourtant  T'a.     P.  194  {Fa,  176). 

XXXIX  (B).    3.  4  q'jarréquarrés]quarrez  *  quarréquarrée]quarrée. 

XL  (T'a,  176,  B).  P.  196.  3  .le  vous  prie  etc.]B  eommence  ici  comme  suit  :  Asseurez 
M'  Freuicle  qu'il  y  a  plus  de  dix  ans  que  j'ay  une  méthode  générale  pour  ranger  tous  les 
quarrés  pairs  à  l'infiny,  mais  je  n'avois  pas  songé  (2, 1).  2,  S/6  beaucoup  de]  plusieurs  B 
7/8  après  ma  1™  méditation  sur  ce  subjet  B  3,  2  quarré  22  B  Fa.  10  Parce  que  T'a. 
*  je  diffère  à  vousjje  ne  vous  puis  B  11  entier  om.  B  H/J4  jusques. . .  possible  om.  B 
13  (Fa,  177).  P.  197,  9  3oo]oo3  Fa  10  322]  27.3  T'a  4,  3  de  quarré  T'a  4/5  de 
choseom.B  3  qu'une. ..  restejplus  de  méditation  B  g;»' ome« /«///;  rfe /'«/«/ert  6,  1  cet 
abbregé  T'a.  P.  198,  7  radicaux  des  om.  Fa.  k  parce  que  T'a.  9  T'a  omet  les 
nombres  ^.'^.  10  leurs  om.B  21/22  ou  que  le  double  de  l'exposant  07?i.  B  28/29  Voilà. . . 
appeler]  .le  puis  appeler  ces  3  propositions  que  j'ay  demonstrées  B  29  de  l'invention  om. 
B,     7,  13  et  n'abbrege  T'a.     13  je  |  me  {Fa,  178). 

XLI  (7"V7,  i6-5).    2.  2  l'appliquerez    7,  8  mé  |  me  (/"«,  166) 

XLII  {T'a,  iGi.  B),  3,  1  B  commence  ici  :  Voici  ce  que  et  omet  depuis.  5  que  je  vous 
donne]  que  vous  voyez  T'a.  8  là  pour  lors  Fa.  8/9  ait  beaucoup  dejaye  des  B  10  ne 
sont  quarrés  B  P.  204.  4  bien  om.  B  13  proposition  ]B  omet  le  reste  de  l'alinéa. 
S  3/i  je  dis  qu'  om.  B     7  ([uarré  |  {T'a,  162)     6  Paragraphe  omis  dans  B. 

XLIII  (AA').    1,   1/2  avec  ses  expositours  au-dessus  rejeté  après  les  nombres  de  la  pro- 

ro 
gressioti  AA  .     C  fassiez  A,  faites  A'   k   touslque  tous  k'     7  (sic)  A,  trouvent 

trouvent 

A'     2,  3  la  progr.  que  j'y  ai  fait  .\'    P.  206,  5  de  ceux] des  termes  A'    3,  3  le  dernier! 

est  remplacé  par  21.4'. 

XLIV  {T'a,  1G2,  B  en  partie).  P.  207,  il  deuxième] 3 /a.  2  Commencement  dans  }à 
d'un  Extraict  d'autre  lettre  du  18  octobre  1640  à  11'  Fr.  4/3  de  quoi  je  m'étoisjra'étanl  B 
3  vous  en  donner  B  0  suiv.  :  demonstré,  n'ayant  encor  la  demonstraon  de  l'autre,  duquel 
néantmoins  je  suis  asscuré.  Après  cela  je  vous  diray  le  fondement  sur  lequel  j'appuie  les 
progressions  (P.  209,  2)  B  P.  208,  10  vous |  m'obligerez  {T'a,  iG3)  P.  209,  2  progres- 
sions] propositions  r^r.  8  tout  o/H.  ^'rt.  12ses]lcursB  13  nombre  de  1 3  /^'rt.  16  ex- 
posant 3  T'a.  17  puissance  de  729  T'a.  20  trop  om.  B  6,  3  quels  des  B,  que  les  deux 
T'a.  7  et  en  telle /^(?.  10  d'étendre  B,  deffcndre /^«.  12  -i-i]  —  iB  *  le  quantième]  la 
quantité  B  7,  1  mienne  proposition  B,  de  mes  propositions  Va.  1/2  B  omet  la  paren- 
thèse et  3  l'incidente  que  sans  doute...  de  vous.  3  que]  sans  {Fa,  164)  10  la  23"]  la 
3o'-'  B  12  ut  supra]  comme  dessus  B  13  premiers  et  moindres  Va.  P.  211,  1  du  qua- 
ternaire] de  4  ^"-  3  est  om.  B.  4  qu'un  multiple  du  quaternaire]  etc.  T'a.  3  ou 
1024  ]om.  T'a.     8,  2  aucun] un  B     4  T'a  donne  les  nombres  100000  et  99998     5  dit  oin.  B 


508  VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES. 

t>  fa  et  B  donnent  te  nombre  1(17,  B  en  nniri^e  171.  9  seulcmoiU  oin.  li  9,  Ij'i  lii- 
Huellc...  Iieureux  om.  B.  i  divisé |mosiir6  B  (divisé  en  marge)  S  sccondcja'""  B 
7  mesuré I divisé  B  10  lejco  B  11  reste  66  qui]Io  reste  66  fa.  P.  212,  S  et  ont.  H 
(>  diviseurs] divisions  fa     10  B  omet  le  dernier  alinéa. 

XLV  (AB).     1,  3  voici  A,  voyons  B     i  iiiic  j'y  ;ii  l'iiitos  A,  que  j'en  ai  fait  B     P.  213,  I 
tel  nombre  A     7  AB  intercalent  7  entre  i  et  \-.     2.  3  :  B  omet  i".     P.  214,  3  des  qua- 

10      125    ir,C  -66-, 

ternaires  A  16/17  Rédaction  de  B  :  Soit  par  exemple  un  noml)re  donné  .'.S  016  3-2  ij'>. 
Les  nombres  premiers  plus  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  quaternaire  qui  le  mesurent 
sont  5.  i3.  17,  29,  en  premier  par  5,  par  le  quarré  de  i3,  par  lo  cube  de  17  et  par  le  cube 
de  29.  {En  note.  Nota  cpie,  de  ces  deux  nombres,  le  premier,  savoir  10  iv>.5  o56  766Ï  serl 
pour  l'exemple  où  il  dit  qu'il  faut  diviser  par  5,  par  le  quarré  de  i3,  par  le  cube  de  17  et 
par  lo  cube  do  29:  et  l'autre,  savoir  23oi6  3'2i25  est  le  plus  petit  nombre  servant  au 
même  effet,  mais  il  le  faut  diviser  par  29,  le  quarré  de  17,  le  cube  de  i3  et  de  5).  2i  qui 
est  om.  A  28  par  exemple»/».  B  30  j'ajoute]  adjouxlant  B  32  et  par  soi  om.  B  P.  215, 
7  en  om.  B.     avant  3,  B  intercale  ce  qui  suit  : 


3 

3 

•>. 

I 

5 

i3 

'7 

^9 

12.5 

•'197 

289 

><} 

2.3  016  32  125  est  le  nombre  produit  de  la  multiplication  de  ces  4  puissances  l'une  par 
l'autre,  qui  est  le  moindre  de  tous  ceux  qui  peuvent  servir  d'iiypothcuuse  à  367  triangles 
rectangles.  3,  2  qu'en  ce  cas  B.  5,  13  B  a  en  marge  :  Le  plus  petit  est  45.  \i  en]  de  A 
P.  217.  .ï  de  om.  A,  /jni  avant  le  dérider  alinéa  a  la  souscription  sous  cette  forme  :  à 
Tolose,  ce  25  de.  1640  Mon  Révérend  Perc,  Votre  etc.  Fermât 

XLVI  (AB).  1,  1  tête  A,  fôto  B  2  à  A,  avec  B  2,  2  ma  B,  une  A  P.  219,  1  .son  A. 
mon  B    3,  16  facilement  A,  aisément  B    20  humble  etc.  A.    22  mars  A,  may  3 

XLVII(AB).  1,  9  pourrez  lui  A  19  les  B,  des  A  21  toutes  sortes  A.  2,  4/3  Votre  ctr. 
Fermât  A. 

>a.VIH  (B).      p.  222,  11  sera] seront     P.  223,  20  ci  22  B  donne  le  nombre  looooooo. 

P.  225,  8  parla  précédente  est  placé  après  requises  (7)    8,  4  Formes  de  l'un    ."i  du  1  et 

2  quarré    P.  226,  i  a  et  b\  A  B  «  et  6  {sic). 
5  3 

XLIX  (  Va,  166;.  P.  227,  20  Le  signe  \/~  est  omis.  P.  228  {l'a.  167)  .'i  les  quarrés] 
le  quarré    i,  8  EDA  omis.     12  ID]IO    P.  230,  14  d'autres  |  aussi  (  fa,  168). 

L(Frt,  169).  P.  233,  8  des  quarrés]  du  quarré  lOdesoraù-.  3,  3/ i  le  quarré  P.  235. 
i  {fa,  170)  U.  7  Carjque  16  racine  moindre  du  quarré  de  3  5,  2  l'un  àll'autre  {fa. 
171)  P.  239.  i  en  rem.  le|double  {Fa,  172)  8,  16  des  triangles]du  triangle  2  en  rem. 
pas  I  si  {fa,  i-Z) 

LI  (AB).  1,  2  chercher]  saisir  A  2,  7  parce  que  A  8  en  écrivant  A  9  ai  0/?/.  A  3,2 
de  ne  pas  vous  rebuter  A  4,  1  eu  de  réponse  A  6,  4.,  Votre  etc.  Fermât  A  qui  omet  la 
dernière  ligne. 

LIV'(AB).  2,  1  vous  avez  maintenant  rc(,'u  A  5  serez]  soient  A  1'.  250,  6  la  dite  B. 
la  A  4,  9  ail  A,  aye  B  5,  1  prie  de  m'envoyer  A  i/.-i  par  la  première  commodité  rejeté 
après  Saint-Martin  A    7  prie  de  me  croire  A    8/9  Votre  etc.  Fermât  A. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  509 

LV  (AB).  2,  G  par  autres  voies  A  3,  9  et  plus  petit  B  4,  2  des  B,  les  A  3  qu'il  a 
om.  A.    5,  1  do  oin.  A    P.  253,  6  M.  Carcavi  A    8/9  Votre  etc.  Fermât  A. 

LVI  (AB).  1,  4  jointe  à  celle-ci  B,  comte  de  Cellery  A  P.  254,  6  le]ies  A  7  aucun 
autreAB  Senom.A  10  II  pourrait  encore  y  avoir  A  IS  pourtant  |  toutefois  A  2.  1  qucl- 
qu'unes  A 

LVII  (AA').  P.  257,  13  quasi  tout  A',  presque  utile  A  P.  258,  3  premièrement]  pré- 
cédemment 

LIX  (AB).  1,  l  B  commence  coiniiic  suit  :  Je  vous  dis  que  toutes  les  questions  que  j'ay 
proposées  a  Mess"  de  St-Martin  et  Frenicle  sont  possibles  (g)  2  et  de  Freniclc  A  11  du] 
de  B  14  livres]  lieux  corrigé  de  livres  B.  P.  261,  6  Trouver  om.  B,  entre  crocliets  A  * 
duquel  A,  auquel  B  9  B  «  en  marge  :  \Jii(t  5o  17  ||  5  627  i38  Sai  -fSi  \\  /aSjaiSg  3,  iO  je 
om.  B     1.3/ li  Alinéa  omis  B. 

LX  (AB).  1,  I  B  commence  comme  suit  :  Non  seulement  les  questions  que  j'ai  propo- 
sées a  M"'  de  St-Martin  et  Freniclc  sont  toutes  faisables  (4)  a  à  om.  B  P.  263,  1/4  de 
cette  seconde  question  a  celle  que  je  vous  envoyai  dernièrement  qu'ils  ont  B  3,  6  invite 
A,  irrite  B  10  B  omet  cet  alinéa  et  le  suivant  et  rejette  la  date  :  De  Tholose,  1.S.1G43, 
après  le  paragraphe  4    4,  1  en  A,  sur  B    P.  264,  1  plus  om.  A  *  bien  B,  tirer  A. 

LXI  {fa,  178).  1.  2  lc|sujot  {ra,  179)  11  F«  donne  le  nombre  1617.  2,  i  Biil- 
liaud. 

LXll(/a,  201).  P.  268,  13  hicjhcic  (G)  P.  270,  3  ad  |  tempos  (/«,  202)  6  AF]NF 
(  A'rt)  7  NF  après  ul]AF  {fa).  P.  271,  10  et  13  tonipus  per]  motus  per  (G),  ad  teui- 
pusjad  motum  (G)  17  NFjMF  {fa)  20  XCjXE  {l'a)  21  AF]  AR  {fa)  P.  272,  !) 
et  M  respondenles]  respondentis  (G)  29  ut  lempus  |  motus  (?fl,  ao'i)  P.  273,  13  velo- 
citates  uniformes] velocitatis  uniformis  (G)  5,  2  verita  |  tem  {fa,  204)  6,  1  brevi- 
terjsucoincte  (G)    2  faccssatjfacoscat  (G). 

LXUI(B).     P.  277,  14    R-h4S]R  +  S. 

LX\11  (D).     P.  282,  3  en  rcra. 'dcprcliendeljdepraihcndnt. 

LXX  {fa,  1-9).      P.    291,   -4  perle  I  môme  {fa,  180)      3,    IS   de]  des      22    le]  les 

4,  7  avec  I  (Ta,  181)  5,  13  1c  omis  *  et  la] et  de  la  P.  296,  13  (r«,  182).  8,  4 
continue]  continuée  P.  297,  2  œquarijœq.  9,  13  leslignesjla  ligne  *  Les  deux  tables 
insérées  à  la  fin  du  n"  6  sont  composées  page  i83  des  fa  sous  le  titre  suivant  :  Table 
dont  il  est  fait  mention  dans  la  Ijettre  précédente. 

LXXI  (P).     1,  4  ne  devoir  point] ne  point  devoir 

LXXn  {fa,  i84)-  2,  à  la  fin  de  la  page.  Le  tableau  est  placé  en  manchette  et  disposé 
verticalement;  la  1°"  et  la  16°  des  combinaisons  sont  reportées  au  milieu  de  la  ligne  ainsi  : 

"f!*"  P.  302,  6  quand  I  il  {fa,  i85)  P.  304,  4  avons  1  fait  {fa.  186)  P.  304,  le 
bbhb 

tableau  est  composé  verticalement  dans  le  texte.      P.   305,   22  de  même  :  |  [fa,  1871 

5,  2  quejqui    6,  8  trois  |  joueurs  {fa.  188). 

LXXtV(P).     P.  312,  13  des]de. 

LXXVI  (Q).  3,  6  avecjdans  il  et  14  foyersjfeux  P.  317,  8  qu'après  parjaprès 
dans     13  et  IG   s'il  estjétant      16  le  lieujil     19  les  lieuxjle  lieu     P.  318,    i   au  plus 


510  VARIANTES   ET  NOTES   CRITIQUES. 

facile  les  donnés]lo  plus  facile  doniu)  \\  319,  ."1  lormiiico  ;i|ltMmiiiéo  dans  7,  1  .lai 
cliereho  pour  lo  lieu  9  si  elle  est  plus  petilojs'il  est  plus  pclit  10  si  elle  est  plus 
grande] s'il  est  plus  grand    P.  320.  1  les  lieux  solides] le  lieu  solide. 

L\.\Vll(,in-    4,  1  Lesjle. 

LXXVIII(I1>.  2,  ."i  uujoii  3,  9  au]du  28  121]  122  erreur  npograpJiique,  corrigée 
lituis  les  .\dditions. 

l.XXIX.  2,  3  cubus]cubus  numenis  (/ «). 

LXXX  (.11,  E).  r.  334,  9  nonibics  oiiiix  (II);  13  des  plus  pcliis  (E),  du  plus 
petit  (H). 

lAXXll  (E, /■  rt,  189).  2,  1  oùl(iuc  (E, /^rt)  3,  1  (luoiqu'énoneé] quoique  non  si  (E  ) 
P.  840,  o  1  égale  au  {l'a,  i<)o)5,  1  parle  ni  ]  parle  pas  ni  (E)  3  voyage  vous]  voyage  de 
vous  (rn)    P.  341,  1-2  Borel]  Bourel  (E). 

LXXXIII  (E,  fa,  191).  fa  donne  la  date  du  20  juin  16J7.  -  Le  post-scriplum  de 
celle  lettre  est  la  seule  difierenec  qu'il  y  ait  entre  l'édition  originale  et  la  réimpression 
du  Commerciiim  dans  lo  tome  II  des  Œuvres  complètes  de  Wallis. 

LXXXIV  (E,  l'a,  191)-  2,  8  mais  |  {Fa,  192)  3";  4  point  (E)  omis  l'a  6,  1  (fa.  ig'i) 
3   qui] qu'il  (Art)      P.  346,   Ler  dernière  ligne  nmixe  dans  l'a. 

LXXXV  {E,  fa,  19'i).  P  348,  Gcomi)olscnl(/V(,  i9.i)P.349,  6  entre]  en  (E,  /  «)  9  il 
omis  (E,  ra)  21  de]ii(E,  l'a).  P.  351,  1  sont  |  compris  (T'a,  195 )  1  en  rem.  pourroit] 
pouvoit  (E,  fa)  P.  352,  20-22.  Oaus  lo  tableau  do  E  et  des  f'a,  les  lettres  algé- 
briques suivent  les  numéros  d'ordre  cl  précèdent  le  tcxle  qui  explique  leur  signiûcation. 
P.  353.  10  (l'a.  19O). 

LXXXVU  {l'a,  p.  19G).     P.  360,  30  si  vile  [  qu'il  (l'a,  p.  197). 

LXXXIX(;^'«,  p.  197).     P.  363,   Ki-li  liomme  |  et  (l'a,  p.  19b). 

XC  (G,  D).  P.  366,  8  depuis  «  Monsieur  de  Carcavi  »  jusqu'à  la  «  géométrie  »  inclu- 
sivement omis  dans  D.  G  ponctue  ainsi  l.N-lfi  :  «  ...  de  ma  géométrie  pour  la  question 
de  dioplriquc.  Je ...  »    20  je  omis  dans  G.     P.  367,  '^-'!  alinéas  omis  dans  D. 

XCW.v(G,  D).    3,  0  eu]dans(U)    7.\].\F. 

XCl  (E).     P.  375,  3  iircmicrs]  premières    P.  378,  14  formeljformé. 

XCII  (fa,  198).  .  P.  379,  22  mai  ha  |  vuto  (r«,  199).  P.  380,  24  traduttorejtradotloro 
26  teologi  ijthcologii  P.  381,  i  attribuissijatlribuissè  12  di  modo  ehe  possojdemodo 
che  posto     17  .>,i)ada,  liorajspada  lioro    P.  382,  3  nel  clie  |  (fa,  200). 

XGIII  (Texte  de  G,  variantes  de  D).  1,  .'5  pourco  que]  parce  quo  P.  383,  I  occui)cr 
mon  esprit  à  des  considérations]  altaclier  mon  esprit  à  des  spéculalions  7  meilleure]  rc- 
cevable  11  je]  il  (G)  12  mépris]  luy-mcsmo  «y.  3,  13  dans  le  milieu  qu'elle  parcourt  om/.v.  l.'i 
niainom/.vP.  385,  4  dites,  la  puissance] dites,  entre  la  détermination  et  la  puissance  4,  I! 
raillerie]  de  raillerie  11/12  de  donner  les  mains  à  cela]  d'y  con.sentir  et  d'y  donner  les  mains 
(D)  12  ses  mains  (G).  14  la  division  ou  la  perle] la  perte  17  changer  ou  diminuer]  rien 
diminuer  (  G  )  20/23  Les  mois  entre  eroe/iets  sont  des  additions  de  D.  ■*  pour  accorder.  . . 
détermination  omis.  *  .Iprès  lil  (ligne  23)  D  eonlinuc  :  pour  faire  que  la  délerminalion 
qu'elle  doit  prendre  se  rapporte  à  l;i  vilesse  ou  Ji  la  force  (jui  luy  resie  et  qui  la  corn- 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  511 

menée  en  B.  2i/2o  elle  lasse  autant  de  chemin  ou  qu'  omis  26  elle  conserve  toujours 
et  même  omis  27  là]  ne  soit  point  changée  «/.  5,  1  ce  qui  le  plus  a]ce  qui  a  le  plus 
P.  387,  A  dil]a-t-il  dit  11  à  laquelle  détermination  12/13  à  laquelle  se  doit...  la 
vitesse] laquelle  se  doit. . .  à  la.  vitesse  1.3/1'i  (car  autrement...  toile)  omis  14  pour 
faire  manque  dans  C.  23/21  s'avancer  vers  le  côté. . .  détermination]  s'avancer  vers  G 
et  que  cette  détermination  se  doit  et  se  peut  accommoder  avec  la  vitesse  qui  lui  reste 
6,  2  il  n'a]il  semble  n'avoir  *  la  même]  cette  3/4  aussi  en  même  temps]  toujours  4 
qu'elle]  que  la  chute  P.  388,  1  non] qu'elle  ne  le  soit  pas  4  mais  elle  est]  ayant  été  6 
la  même  quantité  dejune  pareille  11  dejqui  arrive  en  12  de]en  *  la  pousse  ou  qui 
l'arrête]  l'avance  ou  qui  la  retarde  21  de  deux  autres  28  c'est  à  dire  selon  ajouté  29/30 
sa  vitesse  a  reçue  en  B  et  selon  le  rapport  que  celte  vitesse  a  eu  avec] cette  vitesse  a 
eue  avec  (C)  30  a  eujs'est  trouvée  avoir  P.  389.  4  suive  bienjsoit  une  suite  S  d'un 
bon]de  faire  un  bon  7,  12  mieuxjplus  P.  390,  2  à  tous  ceux  de  voire  dite  leltre]  à 
votre  dite  lettre  (D),  à  tous  ceux  de  votre  dernière  leltre  (C)  4/3  qu'il  a  faite  à  votre 
lettrejqu'il  y  a  faite  12  qu'un  autre  m'en  eût  déchargéjde  m'en  décharger  sur  un  autre 
IS  si  mon  discours  se  fut  adressé  à  vous] si  j'eusse  eu  affaire  à  vous.  18  dans]  en  19 
vous  vous  mêliez  de  mon]  vous  prenez  mon     20  toute  autre  occasion.  21  prêl  ]tout  prêt. 

XCIV  (Texte  de  C,  variantes  de  D).    Réflexions.  . .  Roh\ult]  Réponse  de  JI.  Piohali.t 

A    l\    LETTRE    DE  M.    DE  FeRMAT  PAGE  1 78    QUI    CONTIENT  SES  ANCIENNES  OBJECTIONS    SIR    LA 

DiopTRiQUE  DE  MONSIEUR  Descartes.  P.  391,  9  OU...  reçue]et...  vue  10  Toute- 
foisjMais  13  de  celte  ville  omis  14/17  vais  essayer...  séparément] vas  donc  essayer 
d'y  répondre,  puisque  vous  le  désirez.  Et  pour  le  faire  plus  commodément,  je  suivrai  de 
point  en  point  tous  les  articles  de  sa  leltre  que  j'examinerai  les  uns  après  les  autres. 
18  Art.  i°']Art.  i".  J'ai  vu,  etc.  19  l'humeur  civile  de  omis  *  honoroilja  voulu 
honorer  20  est  encore] sera  toujours  21  QuoiquejQuand  *  accommode] auroit  accom- 
modé 22  divise] auroit  divisé  *  son  mouvement  en  certaines  déterminations  plutôt 
qu'en  d'autres] la  détermination  du  mouvement  d'une  certaine  manière  plutôt  que  d'une 
autre  23  doiljdevroit  21  se  sert] s'otoil  servi  26  choisit] a  choisie  *  viennojsoil 
venu  27  entreprend] avoit  entrepris.  P.  392,  1  son  mouvement] la  détermination  de 
la  balle  qui  se  meut  dans  la  ligne  AB  1/2  déterminationjqui  fût  2/3  surface...  sur- 
face] superficie  CBE  et  en  une  autre  qui  lui  fût  parallèle  3/4  cette  dernière] celle-ci 
S  ce  que  lui...  unejet  cela  lui  a  été  un  moyen  de  trouver  la  6  plus  aisément] qu'il 
cherchoit,  ce  *  n'eûtjauroit  *  en  suivantjs'il  eut  suivi  11  pourcejparce  *•  désa- 
voueroitjn'a  pas  12  comme  on  pourrait  croire] ce  semble  *  s'en  servir] contre  lui 
ajouté  13  pas] rien  du  tout  *  sa  déterminalionjla  détermination  qu'elle  avoit  à  avancer 
vers  BG  16  à]de  21  [plus  ou]  addition  de  D  comme  les  autres  mots  entre  crochets 
dans  la  suite  du  texte  2i  aussi...  conséquence  (ligne  31)  anus  33  quelques  pa- 
roles] le  texte.  P.  393,  2/3  que...  a]  qu'a  Monsieur  de  Fermât  .'5  désavouée  dans 
la  remarque]  remarquée  11  accorde]  semble  avoir  accordé  13  qui  est  de  devoir]  qu'il 
auroit  eu  tort  de  contester  17  aussi  changée] aussi  bien  changée  que  celle  de  haut  en 
bas  18  infirmeroiljrendroit  nulle  -k  raison] qu'il  en  apporte  c'esl  parce  ryo;(<e  ■*-  est  o/n.M' 
21  comme] feroil  <r/'o«<e  a  porté]mis  28  après  quoi  il  vient  à  croirejet  qui  après  cela 
29  que  cette  dernière] de  sa  perte,  viendroit  à  croire  que  la  somme  qu'il  avoit  de  l'autre 
côté  30/31  celle  d'oii...  redirejde  l'autre  32  sans  pourtant...  d'Euclide  (P.  394,  l)]el 
à  peu  près  comme  pourroit  faire  un  jeune  homme  qui  sans  avoir  jamais  appris  ce  ([ue 
c'est  que  proportion,  sauroit 'simplLMiiont  compter.  P.  394,  2  quelques  uns  des]  une 
partie  de  ses  3/4  et  ne  se  soucieroit  pasjsans  se  soucier  10  en]dans  la  ligne. 
11/12  outre  que...  ici]M.  de  Fermât  semble  encore  accorder  ici     12  auroit  tortjauroit 


:>l-2  VARIANTES   ET  NOTES  CRITIQUES. 

aussi  lorl  li!  clans | par  *  l'.ot  art iolo. ..  paroles |co  qu'il  y  a  do  plus  dans  cot  article 
n'est  que  le  propre  texte  l(î/17  manque  do  so  ressouvenir  qu'il  y  a  |  pour  no  s'ôtro  jias 
sou\enu  do  la  19  prendjici  ajouté  20  dit  ces  mots  :  ellejdit  que  la  balle  21  so 
meuvej doive  se  mouvoir  22  plus] aussi  *  soit  cette  ligne] soit  la  longueur  de  cette 
ligne  23  elle  doit  tellement  ftro  inclinée  vers  la  droite] la  détermination  vers  la  droite 
doit  tellement  s'accommoder  avec  la  vitesse  qui  lui  reste  2i  plus  qu'elle  n'avoit]  autant 
qu'elle  avoit  *  C'est  le  sonsjt'.'est  là  le  sens  2.')  au  lieu  de  l'autrejct  non  pas  celui 
26/28  et  son  intention. ..  temps]cela  éloit  assez  évident  puisque  là  même  29  n'est  ipio 
simple]  total  de  la  balle  est  diminué  de  moitié.  Le  reste  de  l'alinéa  manque.  32  n'est 
pas  au  désavantage  de] ne  fait  rien  contre  *  nieroit]tout  franc  ajouté  33  a  été  dit  dans 
la  remarque]  a  été  remari]ué  P.  395,  I  le  3"  article]  l'article  troisième  3  que  contieu- 
nent]qui  est  contenu  dans  4  je  crains  ipi'ils  ne...  sujet]cela  ne  fait  rien  du  tout  au 
sujet  et  n'a  servi  qu'à  tronq)er  M.  de  Fermât  iiui  y  parle  du  mouvement  conq)osé  en 
un  autre  sens  que  n'a  fait  M.  Descartos  8  le] à  le  12  il  omis  12/13  la  détermination. . . 
êtrejque  la. . .  est  13  rien  supposé] pas  parlé  14  mouvement]  total  ajouté  *  à  son 
sens]  au  sens  do  M.  Descartes  16  autre]  nouveau  16/17  dont  on  veuille...  du  |qui  augmente 
d'un  17  plus  de  co  qui  étoit  en  AB]la  force  qu'elle  avoit  déjà  en  ce  sens  là  18  soit] est 
2i/25  desquelles...  l'une]  l'une  desquelles  par  conséiiuent  30  puisque  la]  puisque  l'augmen- 
tation de  vitesse  ou  la  *  de]à  *  mouvoirjque  le  mobile  acquiert  au  point  de  rencontre 
qui  sépare  les  deux  milieux  ajoute'  jt  nature  du. . .  ajoute  (P.  396,  3)]  nature  du  second 
milieu  laquelle  ne  change  point  mais  est  toujours  la  même  dans  toutes  les  inclinaisons. 
Et  la  principale  faute  que  commet  ici  Monsieur  de  Fermât  est  fondée  sur  ce  qu'il  croit 
que  le  mouvement  composé  en  BI  n'est  pas  toujours  également  viste,  connne  s'il  dépen- 
doit  de  la  direction  ou  détermination  des  doux  forces  mouvantes,  au  lieu  que  c'est  à  elle 
à  s'accommoder  à  la  force  du  mouvement,  lequel  est  composé,  et  non  pas  la  détermina- 
tion, et  c'est  ce  qui  a  trompé  M.  de  Fermai  et  qui  lui  a  fait  faire  tous  ses  faux  raisonne- 
ments :  et  c'est  peut  être  encore  ce  qui  l'empêche  à  présent  de  recevoir  la  démonstration 
de  M.  Descartes.  Aussi  ce  qu'il  ajoute. . .  P.  396,  7  certain  s'il  faut] assuré  (pi'il  faille 
10  de  la  seule  surface. . .  retenir  (i3)J  ici  de  l'angle  compris  sous  les  lignes  de  direction 
des  deux  forces  mouvantes  :  mais  parce  qu'il  dépend  de  la  nature  du  second  milieu  que  le 
corps  a  à  parcourir,  de  faciliter  ou  de  retarder  son  mouvement,  il  est  évident,  ce  me 
semble,  que  l'on  doit  retenir  16  vous  m'en...  d'ébauchéjj'en  ai  vu  21  honorejestimo 
22  me  daigne] daigne  me 

XCV  (Texte  de  C,  variantes  de  D).  2,  10  moinsjplus  ou  moins  P.  399.  11  peinejdo 
la  peine  13  balle]  AB  rtyow/e  (C)  P.  400,  .^  transporter]  transférer  21/22  co  point...  O] 
c'est-à-dire  au  |)oint  0    31  même  côté]  même  côté  là    P.  401,  i  transportant]  transférant 

*  seulementjau-dessus  du  plan  ajouté  S  démonstration]  une  démonstration  6  paralo- 
gisme] un  paralogisme  4,  10  CBjCF  (C);  les  mots  en  ligne  droite  omis  14  arrivât] 
aussi  ajouté.    P.  402,  7  à  l'avance]  par  avance 

XCVI(E).    P.  404,  1  Sainte-Croix] Sainte-Croisc 

XCVII  (Texte  de  C,  variantes  de  D).  1,  1  belle]  grande  8  par] de  P.  409,  7  inter- 
position] interprétation  2,  6reste]laisse  4,  6,  8par]de  9vers]dans  P.  412,  13,  lidujde 

XCIX  (Texte  de  C,  variantes  de  D).      1,    21   de  la  réflexion] touchant  la  rellexion 

*  et  des  réfrac  lions  jet  la  réfraction  P.  415,  i  fournir]  obtenir  2,  3  veulent  plus  que 
iuijveulent  trop  subtiliser  D,  voient  plus  que  lui  C  *  trouvent] puissent  trouver  S  de] 
du  C  P.  416.  2  un  certain  côtcjle  côté  14/1*;  selon  quelqu'une  de  ses  directions]  aupa- 
ravant  15   celle]  cette  détermination      3,    12  une  fois]  pour  toutes  ajouté     4,  10  vers 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  313 

ce  côié  là]dans  la  même  ligne  12  veut  conduire  la  balle  vers  D]lend  de  B  vers  I) 
*  vers  D]  vers  BD  (C)  22  à  remonter]  de  remonter  28  preuve]  une  preuve  5,  2  en 
omis  8  par]  de  20  perpendiculaire]  de  sa  chute  P.  4i9,  3  d'entre]  qui  sont  entre 
6.  3  d'apercevoir]  à  apercevoir  P.  420,  4  déterminations]  autres  7,  2  par  exemple  omis 
10/11  puisse  faire]  fasse  8,  9  une  démonslralion  10  un  paralogisme  P.  421,  7/8  et... 
perpendiculairement  OTOii-  1-i  voici]  voyez  (C)  17  à  ce  point  B]là  P.  422,  1/2  impéné- 
trable et  inébranlal)le  omis  P.  424,  9  [de  réflexion]  addition  de  D;  de  iiiàne  pour  les 
mots  mis  par  la  suite  entre  crochets  10  toujours  être] être  toujours  P.  425,  11  par 
exemple  oraà  lo  égard ] égal  (C)  23  puisse  faire]fasse  27/28  transporte] transfère 
(deux  fois)  30  transporter]  transférer.  P.  426,  1  transporté]  transféré  P.  428,  4  ou  plus 
ou  moins] par  exemple    6  sa]la    16,  13  visibles] légères  (C)    P.  429,  2  aussi  omit. 

CI  (H).  P.  432,  5  commejcar  2,  10  estjéloit  4.  8  je  omis  P.  434,  -4  un  omis 
6,  6  2Q]2  quarruz    8  ou  découvrir] ou  de  découvrir     P.  435,  8.  0  elle  omis. 

Cil  (1,  fol  34).    P.  437,  8  Père|que  (f°  34  verso).    30  vous  |  donnoronl  (f°  35) 

cm  (H),  p.  439,  5  quejqui  est,  8  l'aja  9  de  la]de  sa  P.  440,  10  et  omis  21  do 
la  dernière] des  dernières. 

CIV  (H),  l,  2  &o\\.]z^\.  corrigé ennote.  2,  UCQjSQ  \o  \a  omis  P.  443,  i  para- 
bole] parabolique    9/10  du  rayon] de  la  droite     Vi  (piarrécubique] cubique. 

CVI  (II).     1,  3  parabole] parabola. 

ex  (H).     P.  455,  1   PQjPO  corrigé  en  note. 

CXII  (Texte  de  C,  variantes  de  D).  1,  7  carjqu'  10  dursjdenses  {peut-être  mieiLv) 
2,  3  non  plus] que  la  sienne  rt/oH^t'  9  des  principes] du  principe  10  trouverjdécouvrir 
P.  459,  2  cr  4  de  0]d'0  18  du  temps  omis  C.  4,  S  [qu']  mq.  C.  8  cette  sortejces 
sortes  12  qui  est]  et  17  précédent]  présent  18  paroît]  par  là  «yo«<e  P.  461,  10  [de] 
mq.C  5,  6  laalomis  P.  462,  1  desjaux  9  suffiroit] suffira  6,  6  rendrejà  lui  ajouté 
0  géomètres] hommes  (C)  *  les] ces 

CXIII  (D).  3,  .T  point  omis  P.  468,  a  celle  de  l'autre]  au  lieu  de  ces  mots  l'annota- 
teur anonyme  de  l'exemplaire  de  l'Institut  a  écrit  ceux-ci  :  o  le  plus  ou  moins  de  facilité 
à  recevoir  son  action  qui  est  entre  les  deux  milieux  ». 

CXIV  (D).    P.  480,  32  a] ont. 

CXV  (D).    P.  484,  6  saràjilsarà 

CXVI  {P'a,  i5G).    P.  486,  28  desjde    P.  487.  3  aller  |  chercher  (/«,  lôj) 

CXVII  {l'a,  i58).  P.  491,  23  et  |  aux  {Fa,  lig)  P.  494,  9  égal  |  au  {la,  i6o) 
Il  BNFjBNX     {%  V'\']V^  (la  première  fois)     19FN]FV     P.  495,  30  comme  B]  C.O.B. 


Fermât.  —  II.  65 


51  i  ERRATA. 


ERRATA. 


Tome  I. 


D'après  les  lectures  définitives  des  éditeurs  do  la  Correspondance  de  Huygens,  n°  947. 
il  faut  : 

Page  189,  ligne  7  :  Au  lieu  de  su/wcuire  cepit,  lire  mhvereri  cepi. 

a  191,  ligne  i5  :  Au  lieu  do  /loc,  lire  «ov. 

»  193,  ligne  3  :  Au  lieu  de  aitalyticœ,  lire  analyùco. 

»  194,  ligne  2  :  Au  lieu  de  primogcintam,  lire  primigciiiani. 

»  3-25,  ligne  3  :  Au  lieu  do  —  i,  lire  -t-  i. 

Tome  II. 

Page    8.  ligne  dernière  de  la  note  :  Au  lieu  de  note  6,  lire  6,  note;  c'est-à-dire  page  2(). 
note  1. 
»     59,  titre  courant  :  Lire  16  septembre  i63fi. 
»     83,  ligne  5  :  Au  lieu  de  avoir,  lire  d'avoir. 
1)     99,  titre  courant  :  Au  lieu  de  février,  lire  iG  décembre. 
u    ii5,  ligne  i  :  Lire  DE,  EF  et  FD. 

1)    161,  titre  courant  :  Au  lieu  de  De  maximis  et  miitimis,  lire  Juin  i638. 
»   282,  note  I  :  Après  M***,  ajouter  :  (probablement  Auzout). 
n   35-2,  ligne  3  :  Au  lieu  de  on  doit  y,  lire  onj  doit. 
»   355,  Corrigez  le  numéro  do  la  page,  marquée  555. 
«   368,  ligne  8  :  Au  lieu  doyf  devrois,  lireye  ne  devrais. 
«   388,  ligne  ij  :  Au  lieu  do  il  dit,  lire  il  a  dit. 
»   .pâi  ligne  '2  :  Au  lieu  de  5tN-4-5,  lire  3N-1-5  {Remarquer  qu'avec  ces  cnefficienis 

l'équation  double  est  impossible ). 
»  436,  en,  ligne  3  :  Au  lieu  de  fol.  i3,  lire  lettre  i3. 
B  438,  note  2  :  Au  lieu  de  fg.  93,  lire  /%.  94. 
»   4J2,  ligne  8  en  rem.  :  Au  lieu  de  non,  lisez  non  pas. 
»   47',  litre  courant  :  Au  lion  do  i3  mai  1662,  lire  6  mai  1662. 
>'  473,  titre  courant  :  Au  lieu  de  CXIII.  6  mai  1662,  lire  GXIV,  i3  mai  1662. 


FIN  DU  TOME  DEUXIÈME. 


i66.'|2      Paris.  —  Imprimerie  Gauthier- Villars  et  fils,  quai  des  Grands-Augustins,  55. 


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