This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves bef ore it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.
+ Refrainfrom automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's Information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web
at |http : //books . google . com/
Over dit boek
Dit is een digitale kopie van een boek dat al generaties lang op bibliotheekplanken heeft gestaan, maar nu zorgvuldig is gescand door Google. Dat
doen we omdat we alle boeken ter wereld online beschikbaar willen maken.
Dit boek is zo oud dat het auteursrecht erop is verlopen, zodat het boek nu deel uitmaakt van het publieke domein. Een boek dat tot het publieke
domein behoort, is een boek dat nooit onder het auteursrecht is gevallen, of waarvan de wettelijke auteur srechttermijn is verlopen. Het kan per land
verschillen of een boek tot het publieke domein behoort. Boeken in het publieke domein zijn een stem uit het verleden. Ze vormen een bron van
geschiedenis, cultuur en kennis die anders moeilijk te verkrijgen zou zijn.
Aantekeningen, opmerkingen en andere kanttekeningen die in het origineel stonden, worden weergegeven in dit bestand, als herinnering aan de
lange reis die het boek heeft gemaakt van uitgever naar bibliotheek, en uiteindelijk naar u.
Richtlijnen voor gebruik
Google werkt samen met bibliotheken om materiaal uit het publieke domein te digitaliseren, zodat het voor iedereen beschikbaar wordt. Boeken
uit het publieke domein behoren toe aan het publiek; wij bewaren ze alleen. Dit is echter een kostbaar proces. Om deze dienst te kunnen blijven
leveren, hebben we maatregelen genomen om misbruik door commerciële partijen te voorkomen, zoals het plaatsen van technische beperkingen op
automatisch zoeken.
Verder vragen we u het volgende:
+ Gebruik de bestanden alleen voor niet-commerciële doeleinden We hebben Zoeken naar boeken met Google ontworpen voor gebruik door
individuen. We vragen u deze bestanden alleen te gebruiken voor persoonlijke en niet-commerciële doeleinden.
+ Voer geen geautomatiseerde zoekopdrachten uit Stuur geen geautomatiseerde zoekopdrachten naar het systeem van Google. Als u onderzoek
doet naar computervertalingen, optische tekenherkenning of andere wetenschapsgebieden waarbij u toegang nodig heeft tot grote hoeveelhe-
den tekst, kunt u contact met ons opnemen. We raden u aan hiervoor materiaal uit het publieke domein te gebruiken, en kunnen u misschien
hiermee van dienst zijn.
+ Laat de eigendomsverklaring staan Het "watermerk" van Google dat u onder aan elk bestand ziet, dient om mensen informatie over het
project te geven, en ze te helpen extra materiaal te vinden met Zoeken naar boeken met Google. Verwijder dit watermerk niet.
+ Houd u aan de wet Wat u ook doet, houd er rekening mee dat u er zelf verantwoordelijk voor bent dat alles wat u doet legaal is. U kunt er
niet van uitgaan dat wanneer een werk beschikbaar lijkt te zijn voor het publieke domein in de Verenigde Staten, het ook publiek domein is
voor gebruikers in andere landen. Of er nog auteursrecht op een boek rust, verschilt per land. We kunnen u niet vertellen wat u in uw geval
met een bepaald boek mag doen. Neem niet zomaar aan dat u een boek overal ter wereld op allerlei manieren kunt gebruiken, wanneer het
eenmaal in Zoeken naar boeken met Google staat. De wettelijke aansprakelijkheid voor auteursrechten is behoorlijk streng.
Informatie over Zoeken naar boeken met Google
Het doel van Google is om alle informatie wereldwijd toegankelijk en bruikbaar te maken. Zoeken naar boeken met Google helpt lezers boeken uit
allerlei landen te ontdekken, en helpt auteurs en ui tgevers om een nieuw leespubliek te bereiken. U kunt de volledige tekst van dit boek doorzoeken
op het web via http: //books .google . com
DK %L..d DER TEHÜBKMTSfflG P BREKING
m m LICHT.
AiVMlEMISCIl fHORFS(-|tl(ll'l'
!
1 THEORIE DER TERnGÜATSrarr SN BRCm :
■
^L m EET UCHT.
1
^^H iii'\Tis:rri i»i}OK!^r-!iinrr
i
^H H. A. LORENTZ.
i
^^^^^^^1 il
1
^m ■
■ U
■ 1
i
ê
«
*■
• «
OVER
DE THEORIE DER TERUGKAATSING EN
BREKING VAN HET LICHT.
.1
* ^
«
•*
■»■ V
f."*
>. ^-^-
a.
'(
— f?z^<l^
föf
^^
ff . *
s ^
«
k «
*> '
^ , .
OVER
ACADEMISCH PEOBFSCHRIFT ,
TEK VERKKIJGINÜ VAN DEN ÜKAAD VAN
€TOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE.
AAN DE HOüGESgHOOL TE LEIDEN,
OP GEZAG VAN DEfJ KECTOK MAGNIFICUS
Mr. JOANNES THEODORUS BUIJS ,
UUOeLEEKAAH IN DK VACULTKIT DKK HKCUTBGKLKltHUHKID ,
p Zaterdag, den 11<*«" December 1875, des namiddags te 1 uur,
VOOR DE FACULTEIT TE VERDEDIGEN
DOOR
HENDRIK ANTOON LORENTZ,
GEROKEN TE ARNHEM. /
ARNHEM,
K. VAN DER ZANDE.
Firma Stenfert Kroese 8c van der Zandk.
1875.
rvy'-r :;■ ■ ■..;■,■
2240898
ASTo::, ;::•::: /.n;»
^ 1943 L I
Gedrukt hij G. J. Thienie, te Arnhen»
!a,n mijne ^akn.
.si
O—
i' ■ -. ■'■ .;• •
%:
r
OVER
DE THEORIE DER ÏERUGKAATSING EN
BREKING VAN HET LICHT.
. *
•*
^:^?
* V. ^ ^-^■
-'^^
v
\:
6
makshalve nemen wij aan , dat het plat is en tot yz-vlak van een
rechthoekig coördinatenstelsel wordt genomen. Verdeelen wij dan
het lichaam door vlakken , loodrecht op de assen , in elementen , die
de gedaante van een rechthoekig parallelepipedum hebben , dan is
het gemakkelijk, de bewegingsvergelijkingen voor eenig element
op te sporen. Wij sluiten daarbij voorloopig die elementen uit ,
die gedeeltelijk in het eene, gedeeltèl|jj|L in het andere medium zijn
gelden.
Hebben de deeltjes van het lichaam op den tijd t zekere ver-
plaatsingen, waarvan wij de componenten 4', 7, i zullen noemen,
terwijl de coördinaten door x , y, z worden voorgesteld , dan tre-
den, ten gevolge van de relatieve plaatsverandering der deeltjes,
de elastische krachten op. Dien ten gevolge werken er op de zij-
vlakken van een element zekere drukkingen en deze moeten , met
de uitwendige krachten , die op het element werken , een resultante
opleveren , gelijk aan zijne massa , vermenigvuldigd met de ver-
snelling. Ligt nu het element dx dy dz met een der hoekpunten
in het punt P (o?, 1/, z) en met het daar tegenover staande in het
punt (ar -f d ar, y + dy^ z + d z), dan schrijven wij voor de compo-
nenten der drukking, die op het dooi* P gaande zy vlak dydz
wordt uitgeoefend,
X^dydz^ Y^dydz, Z^dydz,
zoodat de letters X, y, Z de richting der componenten aangeven ,
de kleine index daarentegen de normaal van het zijvlak, waarop
de drukking werkt Schrijft men evenzoo voor de drukking, op
het tegenoverstaande zijvlak uitgeoefend ,
* -^^C^dydz, ^Y^dydz, ^Z:cdydz,
dan leveren deze beide drukkingen als resultante op
-(r,^x,)dt/dz,-(r,— y,)dydz,-(Z',— 2.)dt/dz.
Ëvenzoo kan men met de drukkingen op de overige zijvlakken
te werk gaan en vervolgens de componenten opstellen der geheele
kracht, die op het element werkt Zal men nu met geene andere
dan eindige bewegingen te doen hebben, dan moet deze kracht
oneindig klein zijn en van dezelfde orde als de massa van het
element, dus van de oüde dxdy dz. Dan blijkt het dus , dat
X'g — Xg , y. — Yx , Z'x — Zg oneindig kleinen van de orde d x
moeten zijn; m. a. w. ^,, Y,, Z, moeten doorloopend en overal
eindig zijn. Dit geldt voor elk medium en wel , daar wij ook
elementen kunnen beschouwen, waarvan één zijvlak in het grens-
vlak ligt, tot aan dat grensvlak: ook daar moeten dqjB de compo-
nenten der drukkingen eindige waarden hebben.
Onderstelt men nu, dat de verplaatsingen der deeltjes zeer klein
zijn ten opzichte van hun onderlingen afstand , dan kan men be-
wijzen, dat de componenten der drukkingen lineaire en homogene
functiën zijn van de eerste differentiaalquotienten van £, 7> (naar
de coördinaten. Zullen daarbij de drukkingen overal eindige waar-
den hebben, dan moeten die differentiaalquotienten eindig, $, 7, (
doorloopend zijn. Aangezien nu die voorwaarde ook aan het grens-
vlak moet vervuld zyn, moeten ook daar de verplaatsingen £, 7, (
doorloopend xijn.
Maar, nu dit eens bewezen is , bestaat er geenerlei bezwaar meer,
de boven gegeven beschouwing ook toe te passen op een element,
dat gedeeftelijk in 't eeno, gedeeltelijk in 't andere medium ligt.
Daar de drukkingen op de tegenover elkander staande zijvlakken
dydz dai) weer oneindig weinig moeten verschillen, besluiten we
dat, bij. den overgang van het eene tot het andere medium, ook
Jï,, Y,, Ze doorloopend moeten zijn. Onderscheiden wij derhalve
de grootheden, die op de twee middenstoffen betrekking hebben,
door de indices 1 en 2 , dan gelden aan het grensvlak de zes
voorwaarden
ll = ?2, 7l = 72, fl=42, (1)
(:XJi=W2, (>;), = (Y,)3, (Z,)t = (Z,)8 . . . (2)
§ 3. Schrijven wij thans
ex
enz., dan kunnen wij voor de componenten der totale, op het
element dxé^jdz werkende kracht tamelijk eenvoudige uitdruk-
kingen vinden. Door deze vervolgens gelijk te stellen aan de massa
van het element, vermenigvuldigd met de versnellingen
n ^v ^i
verkrijgen we de volgende bewegingsvergelijkingen
^T7
-x +
+
i,X,
+
hX.
=
0,
-T +
iix
+
+
hY.
hz
=
:0,
-Z +
+
hy
+
=
0,
(3)
w
8
waarin (i de dichtheid voorstelt, terwijl
Xdicdydz^ Y dxdydz^ Zdxdydz
de componenten zijn van de uitwendige kracht, op het element
dxdydz werkende.
Ts elk der twee middenstoffen homogeen en isotroop, dan beeft
men voor de componenten der drukkingen de volgende waarden
^—-*(M + "■)•'
V,— .it(ij + «p),|
^■=-^'^G ! + *'■)•(
Hierbij \s P =z ^- \-—- gesteld, terwijl K en d constan-
ó X èy ó z •^
ten zijn, die van den aard van het medium afhangen. Dit zijn
de coëfficiënten der elasticiteit. •
Door deze waarden in (3) over te brengen en
te stellen, vindt men, voor het geval dat er geen uitwendige
krachten werken , de bewegingsvergelijkingen in den volgenden
zeer eenvoudigen vorm
^•| ^P
<.J|=lfA7 + ü:(l + 2ö)|^, \ (5).
Men kan hieruit vervolgens afleiden , dat zich in het lichaam
transversale en longitudinale trillingen kunnen voortplanten , en dat
de voortplantingssnelheden v en V daarvan gegeven worden door
v^=— , V* = 2(l + d)— (6).
Q 9
Zijn dus K^ d en if de constanten, die betrekking hebben op
den aether, in een doorschijnend lichaam aanwezig, dan stelt de
grootheid v, die door (6) gegeven is, de voortplantingssnelheid
van het licht voor.
§ 4. Wij zijn nu in staat, het vraagstuk der terugkaatsing en
breking van het licht te behandelen. Daarbij stellen wij eens voor
al vast, dat het eerste medium, waarin wij den invallenden licht-
bundel hebben , zich aan de negatieve zijde van het y z-vlak be-
vindt en dat de grootheden , die op de twee midden stoffen betrek-
king hebben, door de indices 1 en 2 worden onderscheiden. Verder
zullen wij steeds aannemen, dat de invallende, en dus ook de terug-
gekaatste en gebroken lichtbundel tot golffront een plat vlak heeft,
dat loodrecht op het rcz-vlak staat, zoodat dit laatste het in valsvlak
is. Wij stellen eindelijl^ de amplitudo van het invallende licht = 1
en zoeken door middel van de gren s voorwaarden , die wij boven
opstelden , de amplitudines der teruggekaatste en gebroken trillingen.
Zooals men weet, is het voldoende, dit onderzoek te doen voor de
twee gevallen, dat de trillingen overal roodrecht op, of overal in
het invalsvlak geschieden. Wij zullen or^s voorloopig tot het eerste
geval bepalen.
Alsdan zijn van de verplaatsingen | en ^ = O , terwijl 7 alleen
van X en z, niet van y afhangt. Daaruit kan men afleiden, dat
aan alle gren svoor waarden van zelve voldaan is, behalve aan
vi = n2 en (yA=(y«)2.
Uit de omstandigheid , dat aan deze voorwaarden op elk oogenblik
en aan elk punt van het grensvlak voldaan moet zijn, kan men
tot de wetten der terugkaatsing en breking besluiten ; tevens volgt
daaruit , dat in het grensvlak de phnse der drie lichtbundels dezelfde
moet zijn. Nemen wij kortheidshalve die omstandigheden aan, dan
kannen wij voor het invallende licht schrijven
2 n . X z
i Vi V,
waarbij T de oscillatietijd, «i de invalshoek is. Evenzoo wordt het
teruggekaat.ste licht voorgesteld door
^ 2 71 o; z
7i = «fcos — (t-\ cos «, sin «I + ƒ))
iO
en eindelijk, als uj de hoek van breking is, het gebroken licht
door
2 n , X z .
7i = flj cos — (< cos «3 sin oj +• p).
T Vj Vj
Volgens de wet der breking is hierbij
sinoTi^ Vi
sin «3 V, *
Neemt men in aanmerking , dat de geheele beweging in het eerste
medium gegeven wordt door
Vi = Vi + Vi\
dan vindt men gemakkelijk uit de twee grensvoorwaarden
Vi = V2 en (y.)i = (y,)s
de beide vergelijkingen
1 + ai = oa
en — cos «i (1 — tti) =s — cos aj aj.
Hieruit kunnen de onbÉtende amplitudines worden berekend en
men vindt aldus voor het teruggekaatste licht
«1 =
cos «i cos 02
cos «1 -j cos «8
Vi Va
(7).
§ 5. Daar bij gepolariseerd licht de trillingen of loodrecht op ,
of in het polarisatievlak plaats hebben, is hel^ invallende licht,
zooals wij dit boven hebben aangenomen , of in het invalsvlak , of
loodrecht daarop gepolariseerd. Voor deze beide gevallen volgt echter
uit de ervaring voor de amplitudo van het teruggekaatste licht
sin(«i-~«a) .^.
sm («i + «2) ^ ^
tg («1 — «a)
en ai = ±'— j r, (9).
tg (Cfi + «,)
welke waarden stellig op zeer weinig na de juiste zijn. De for-
mule (7) zal dus volkomen of bijna met een dezer uitdrukkingen
moeten overstemmen, zal zij niet met de waarnemingen in strijd
zijn. In haar algemeenen vorm vertoont zij echter die overeenstem-
ming volstrekt niet en wij zien ons dus reeds hier genoodzaakt,
nieuwe onderstellingen in te voeren. Twee hypothesen laten zich
nu opstellen , waarvan de eene (7) tot den vorm (8) , de andere tot
(9) terug brengt.
Wil men namelijk (7) tot (8) terug brengen , dan moet
Ki Kq
— cos «1 cos «2 ■ . , V
Vi Vj sm («1 — «a) Vi cos «j — Vj cos «i
^1 , iTj sin («i + ««) Vi cos «a + v* cos «i
cos «i -\ cos Ofj
zijn. Gold hier 't bovenste teeken, dan zou men moeten hebben
Ki JTj
— cos «1 : — cos «i = Vi cos «* : Vo cos «i ,
wat niet voor eiken invalshoek mogelijk is, daar K en v con-
stant zijn.
Neemt men daarentegen het onderste teeken, dan moet
— cos «i : — cos nj = Va cos «i : Vi cos «a
Vi Va
zijn, en hieraan is voor eiken invalshoek voldaan, als men
Ki = Hl a
stelt.
Alleen dus door de onderstelling te maken, dat de elasticiteit
in de twee middenstoffen de zelfde is, en haar verschil alleen in
een verschillende dichtheid te zoeken, kan men (7) tot (8) herlei-
cien. Dit is de hypothese van fbesnel en men moet daarbij aan-
nemen , dat bij gepolariseerd licht de trillingsrichting loodrecht op
liet polarisatievlak staat.
Wil men daarentegen (7) tot (9) reduceeren , dan moet men stellen
cos «1 cos «a . ,
-Vi . Vj ^^ tg (ai — oj) Vi cos «1 — Va COS «a
=± :° ' . \ =±-
JKi ' Ki tg (ai + Oj) Vi COS a4 + Va cos aj
cos tti -j cos aa '
Vi Va
Hier zou de keus van het onderste teeken tot een betrekking
A/'oeren, die niet voor alle waarden van ai kan gelden. Wij nemen
clus het bovenste teeken; dan volgt uit onze vergelijking
— cos «i : — cos aa = Vj cos «i : Va cos aj ,
• Vi Va
ei) hieraan is steeds voldaan, als men heeft
12
K K
of, daar v," = — en v^ = — is,
9i = 9i
Men moet derhalve de dichtheden gelijk stellen , om (7) tot (9)
te transformeeren. Deze onderstelling is van neumann afkomstig
en daarbij ligt de trillingsrichting in het polarisatievlak.
Het blijkt tevens, dat alleen bij een van deze bijzondere onder-
stellingen de formule (7) met de ervaring strookt en dat het niet
mogelijk is, een verklaring der terugkaatsing van het licht te
geven, wanneer aan de beide middenstoffen zoowel een verschil-
lende dichtheid , als een verschillende elasticiteit wordt toegeschreven.
Van de beide hier besproken onderstellingen moet echter die van
PRESNEL worden verworpen, daar zij lijnrecht in strijd is met het
gedrag der kristallen. Want om dit te verklaren is het noodig
aan te nemen , dat in kristallen de elasticiteit voor verschillende
richtingen aanmerkelijk verschillend is, en hoe zal men dit rijmen
met de omstandigheid, dat bij alle isotrope lichamen de elasticiteit
van den aether geheel of bijna de zelfde waarde heeft? Wat de
theorie van nbümann betreft, voor haar bestaat een dergelijk
bezwaar niet. Wel schijnt de hypothese zelve eenigszins vreemd,
daar men zich toch moeilijk in twee isotrope middenstoffen een
verschillende elasticiteit des aethers kan voorstellen, verbonden
met absoluut gelijke dichtheid, maar men kan de zaak zoo opvat-
ten , dat de verschillen in dichtheid slechts zeer klein behoeven te
zijn , om een aanmerkelijk verschil in elasticiteit ten gevolge te
hebben. Bij een eerste benadering zou men dan die kleine verschillen
in dichtheid kunnen verwaarloozen op een dergelijke wijze, als men
bij vloeistoffen de samendrukbaarheid ter zijde mag stellen.
§ 6. Nu wij aldus gezien hebben, dat er, wanneer men den
aether geheel gelijk stelt met een elastisch vast lichaam, waarop
geene uitwendige krachten werken, zeer bijzondere onderstellingen
noodig zijn , om tot een juiste theorie te geraken , behoeft het ons
niet te verwonderen, dat men getracht heeft, zich de lichtver-
schijnselen op eenigszins andere wijze voor te stellen.
Inderdaad is de aether in het algemeen niet vrij , maar liggen
tusschen de aetherdeeltjes de moleculen der gewone stof verspreid
en het ligt voor de hand, ook aan deze bij de lichtverschijnnelen
een rol toe te kennen. Het is vooral cauchy 1) geweest, die, bij
zijne beschouwingen omtrent de theorie van het licht, de onder-*
linge werking van dit dubbel stelsel moleculen ten grondslag heeft
gelegd.
Trachten wij na te gaan, welken invloed deze onderstelling op
de lichtbeweging in het algemeen en op de terugkaatsing in het
bijzonder moet hebben.
Daarbij zullen we , wat bij een eerste benadering geoorloofd is ,
afzien van de omstandigheid, dat men den aether in een lichaam
nu, strikt genomen, niet meer als homogeen mag beschouwen.
Door het behouden der homogeneïteit zullen wij geen merkbare
fouten begaan , zoo lang op elke molecule een groot aantal andere
werken en zoo lang de onderlinge afstand der op elkaar werkende
1 deeltjes zeer klein is, ten opzichte van de golflengte.
Voor de elastische krachten tusschen de aetherdeeltjes onderling
geldt dan nog alles , wat wij in § § 2 en 3 gezegd hebben. Maar
vrij moeten daar nu bijvoegen de krachten, die door de moleculen
van het tweede stelsel worden uitgeoefend. Om hiervoor een uit-
drukking te vinden zij m\ een dezer moleculen, werkende op het
aetherdeeltje m; wij denken ons daarbij de verschillende moleculen
m'y die in de nabijheid vmi m liggen, door de indices k onder-
scheiden. Laat, in den even wichtsstand , ar, y, z de coördinaten
van m, ar*, y^, z* die yan tn'*, eindelijk r* hun onderlinge afstand
zijn. Stellen wij
ar* — ar = x*, y* — y = y*, «A — z = Z* ,
dan is derhalve
f^, = x^ + y^, + z^,.
Noemen wij verder, even als vroeger, de verplaatsingen der
aetherdeeltjes $, 7, (, daarentegen die van de tusschenliggende
moleculen £', 17', (', dan zijn , ten gevolge van die verplaatsingen ,
Xk 1 7» ) 2a toegenomen met
Daardoor hebben ook de componenten van de kracht, door m* op
m uitgeoefend, zekere aangroeiingen ondergaan. Ten einde de
geheele kracht te vinden , op m werkende , is het voldoende, alleen
1) Men zie b. v. cauchy, Mémoire sur les vibrations d'an doublc système
s nolëcules. Comptes rendas, 1849.
u
die aangroeiingen te nemen en over al de werkende moleculen van
bet tweede stelsel te sommeeren, daar er toch, wanneer de ver-
plaatsingen O zijn, evenwicht bestaat.
Zij nu
de kracht, waarmede m'^ m aantrekt, dus de componenten daarvan
x*F(n),y,F(n),z*F(r,),
dan is de aangroeiing der eerste
waarbij ondersteld is , dat de verplaatsingen der deeltjes zeer klein
zijn ten opzichte van hun onder lingen afstand.
Door vervolgens naar k te sommeeren verkrijgt men voor de
totale kracht , door de deeltjes van het tweede stelsel , in de richting
der dr-as, op m uitgeoefend,
X = JSX,
Eenvoudiger uitdrukkingen verkrijgt men door in aanmerking te
nemen, dat voor alle werkende moleculen x^, y^, z^ zeer klein
zijn. Beschouwt men nl. f'k, 7'*, Ck als functiën der coördinaten
en verstaat men onder g', 7, {' de waarden, die zij hebben in het
punt X, 1/, z, dan geeft ons de reeks fan t at lor
hi' hi' ^r
wanneer wij de hoogere machten van x^t Yki ^k verwaarloozen.
Evenzoo kan men waarden voor ff\ — 7, i'^ — t opstellen. Brengt
men deze vervolgens in de uitdrukking voor Xk over, dan vallen
bij het sommeeren, ten gevolge van de homogeneïteit , de eerste
differentiaalquotienten van {', 7', C weg. Waren nu al de moleculen
aan elkander gelijk, zoodat zij slechts één stelsel uitmaakten, dan
zou ook i' = i zijn en zouden bij het sommeeren alleen termen
overblijven, die de tweede differentiaalquotienten van {', 7', ?' be-
vatten. Het is echter het natuurlijkst, in ons geval aan te nemen,
dat de aetheratomen veel kleinere massa hebben dan de daar-
i6
tusschen liggende deeltjes en dat dien ten gevolge |', 7', iT klein
zijn ten opzichte van i, 7, f. Het gevolg daarvan is, dat men
juist die termen met de tweede differentiaalquotienten mag ver-
waarloozen, zoolang de uitdrukkingen als
zeer klein zijn ten opzichte van {' en dus ook ten opzichte van
{' — |. Dat is echter hij een voortplanting van trillingen het ge-
val, mits de afstand, waarop twee moleculen op elkander werken,
zeer klein is, vergeleken met de golflengte.
Dit aannemende en dus de termen met de tweede differentiaal-
quotiënten weg latende, verkrijgen wij ten slotte
of, als wij de differentiatie uitvoeren en in aanmerking nemen, dat
ons medium homogeen en isotroop is ,
X=x{ F(r,) + x% ^^"^'^ ({•-{).
^ Tk ^
Zijn er, in het element dxdydz^ pdxdydz aetherdeeltjes
aanwezig en is de kracht, door het tweede stel moleculen op dit
element uitgeoefend,
"Kdxdy dz^ Y dxdydz^ Z dxdydz,
dan is
en evenzoo
Y = 4(,'-7), Z = yi(f'-t),
vraarbij A een constante is, die van den aard van het lichaam
afhang^t. De bewegingsvergelijkingen van den aether worden ein-
delijk , daar de laatste krachten als uitwendige zijn te beschouwen ,
« ^ - ^ (f - «) = «^ A { +K(1 + 2 Ö)|i*,
16
Op dezelfde wijze kan men de bewegingsvergelijkingen van het
tweede stelsel moleculen verkrijgen. Men vindt daarvoor
ér c z
\
(11)
Hierbij hebben ^', K\ O' betrekking op deze deeltjes, op zich
zelve beschouwd, terwijl uit de gelijkheid der werking en terug-
werking tusschen de twee stelsels volgt, dat A in (10) en (11)
dezelfde waarde moet hebben.
De aldus verkregen vergelijkingen zijn voldoende, om de 6 groot-
heden {, 7, f, {', rj\ f als functiën van ar, y, z en < te bepalen.
Men kan er uit afleiden , dat alle moleculen gemeenschappelijk aan
een voortplanting van trillingen kunnen deelnemen , en dat de voort-
plantingssnelheden van transversale en longitudinale trillingen ge-
geven worden door de vergelijkingen
-Q'
(13)
Het meest voor de hand ligt de onderstelling, die ook cauchï
zeer waarschijnlijk acht , dat de massa der moleculen van het tweede
stelsel die der aetherdeeltjes zoo zeer overtreft, dat men de bewe-
ging der eerste mag verwaarloozen en ze dus als vaste aantrek-
kingsmiddelpunten beschouwen. Dan kan men in (10) {', 7', f=:0
stellen en zijn deze vergelijkingen ter bepaling van {, 17, f vol-
doende. Men vindt dan voor de voortplantingssnelheden
^" = ^^n^TTl 04)
V
-©■'
_S£(l + «)_
§ 7. Om na te gaan, wat er bij de beschouwingswijze, die wij
il
nu hebben Jeeren kennen, van de verklaring der terugkaatsin g
wordt, dienen wij vooreerst de voorwaarden te kennen, waaraan
voldaan moet zijn aan de grens van twee m idden stoffen , die beide
in het algemeen aether en een tweede stel moleculen kunnen be-
vatten. Cauchy 1) zegt hieromtrent het volgende:
»Pour trouver les conditions auxquelles devront
satis faire, sur la sur face de séparation des deux
corps, les trois déplacements d'une molecule
d'éther, mesurés paralièlement aux axes coor-
donnés, il suffira de considërer les molécules
d'éther comprises dans les deux corps comme
formant un système unique de molécules, et
d'admettre que, dans Ie mouvement de ce sys-
tème, les déplacements m ol écu 1 a ir e s, et leurs
dérivées prises par rapport a l'abscisse x, ou
du moins celles de ces dérivées que ne determi-
nant pas les équations différentielles des mou-
vements infiniment petits, variant par degrés
insensiblas avec cette même absciss e.''
Dat men, zooals cauchy zegt, den aether in de beide midden-
stoffen als één geheel kan beschouwen , is zeker in zoo verre waar,
dat men zich aan de grens den aether der twee media als vast
verbonden moet voorstellen, maar dit neemt niet weg, dat daar
zijne eigenschappen een sprong kunnen maken. Dan heeft men
echter geen recht tot de bewering, dat alle grootheden, die de
beweging bepalen, aan de bedoelde grens doorloopend zullen zijn;
ja, men zal zelfs niet al die grootheden doorloopend mogen stellen,
zonder voorwaarden te krijgen, die met elkander in strijd zijn.
Caucbt aischt dan ook niet de doorloopendheid van die differenti-
aalquotienten (nl. de tweede en hoogere), die door de differentiaal-
vergelijkingen bepaald worden. Het wordt echter niet recht dui-
delijk, waarom die differentiaalquotienten niet doorloopend behoeven
te zijn, de eerste daarentegen wel. Deze omstandigheden maken
het, dunkt me, niet overbodig, te onderzoeken, of men de grens-
VQorwaarden van CAUCHr moet en of men ze mag aannemen.
1) Oauchy , Mémoire sur les conditious relatives aux liinites des corps.
Comptes rendus, 1848.
2
18
Wanneer men in het algemeen verschillende eigenschappen aan
(ten aether der beide lichamen toekent en bovendien in beide ook
de tusschenliggende moleculen aan de beweging laat deelnemen,
is het opstellen der grens vergel ijkingen geen gemakkelijke zaak.
Want men heeft dan niet alleen met de voorwaarden voor den aether ,
maar bovendien met die voor de gewone stof te doen, en hoe zijn
in dit opzicht de twee middenstoffen met elkander verbonden?
Slechts dan wordt de zaak eenvoudiger, wanneer men de, reeds
in de vorige § aangewezen, onderstelling maakt, dat de tusschen-
liggende moleculen in rust zijn; dan toch heeft men alleen voor
den aether grens voorwaarden op te stellen. Men kan dan verder de
krachten, door de gewone stofdeeltjes uitgeoefend, als uitwendige
krachten, op den aether werkende, beschouwen. Al werken echter
dergelijke krachten, de voorwaarden (1) en (2) van §2 blijven nog
geldig, zooals uit de afleiding dier vergelijkingen blijkt. Voor de
terugkaatsing van licht, waarvan de trillingen loodrecht op het
invaisvlak plaats hebben, blijft derhalve het onderzoek van § 4
onveranderd bestaan, dus ook de vergelijking (7), waartoe het ons
bracht. Ook hiei hebben wij dus slechts na te gaan, hoe men (7)
tot (8) , of (9) zal reduceeren.
Om (7) tot (9) terug te brengen is weer, even als in § 5,
noodig, dat
is; hier wordt die voorwaarde, daar de voortplantingssnelheid door
(14) gegeven is,
een zeer gekunstelde betrekking, tenzij f^i = 93 en Ai = A^ ware.
Was echter A voor alle lichamen even groot , dan zou -4 =
moeten zijn en zou dus nergens een merkbare inwerking van de
gewone stof op den aether mogen worden aangenomen. Dan waren
wij teruggevoerd tot de eenvoudige hypothese van nbumann.
Wil men daarentegen (7) tot (8) herleiden, dan is, blijkens §5,
slechts noodig , dat
wordt gesteld. Voor den aether, op zich zei ven beschouwd, moet
dus de elasticiteitscoëfficient /JT overal dezelfde waarde hebben. Om-
19
trent de trillingsrichting heeft men zich daarbij aan de onderstelling
van FRESNEL te houden. Maar de aldus verkregen theorie is niet
mieer, zooals de oorspronkelijke beschouwingswijze van fresnel , met
de verschijnselen der dubbele breking in strijd. Immers, al moeten
wij, consequent blijvende, nu ook in kristallen aan K voor alle
richtingen dezelfde waarde toekennen , de constante A kan nu van
de voortplantingsrichting afhankelijk zijn en dit zal steeds het
geval moeten zijn, zoodra de verdeeling van de gewone stofdeeltjes
niet meer isotroop is.
Neemt men eens aan, dat K overal even groot is, dan dient
men dit ook voor 6 te onderstellen. Alsdan gaan echter de grens-
voorwaarden (1) en (2) over in de volgende :
{i = fe» 7i = 72 » ^i = fx » J
V ^a? /, \^ a?/3' \h xji \ ^ ay/j' \h xji \h xji J
zoodat wij dan juist de voorwaarden verkrijgen, die door caüchy
zijn gebezigd.
Voor wij verder gaan moet ik nog op een bezwaar wijzen , waar-
aan de theorie der laatste § § onderhevig is.
Hetzij men de vergelijkingen (i2) en (13), of (14) en (15) kieze,
het blijkt, dat de voortplantingssnelheid niet meer onafhankelijk is
van den trillingstijd. Dit zou een dispersie ten gevolge hebben,
niet, zooals de werkelijk waargenomen kleurschifting, met het
karakter van een bijkomende omstandigheid, maar een dispersie,
die reeds bij een eerste benadering optreedt en dus al licht te groot
zou worden. Bovendien kan het gebeuren , dat de door de formules
aangewezen dispersie een omgekeerde is. Immers , wij kunnen alleen
dan een eenigszins zekere theorie der terugkaatsing verkrijgen,
wanneer wij de gewone stofdeeltjes in rust laten en dus voor de
voortplantingssnelheid de uitdrukking (14) kiezen. Daar wij verder
overal voor den aether , op zich zelve genomen , dezelfde elasticiteit
moeten hebben , is 't het natuurlijkst , ook overal de dichtheid gelijk
te stellen, zoodat twee middenstoffen alleen in de waarde van A
van elkander kunnen verschillen. Daar nu de ondervinding leert,
dat V in de luchtledige ruimte, dus voor il = 0, het grootst is,
moet in alle andere lichamen A negatief worden genomen. Dan
wordt echter v des te kleiner , naarmate T grooter wordt , wat op
een omgekeerde kleurschiflting wijst.
§ 8. Stuit men reeds op bezwaren, wanneer men het eersteen
20
eenvoudigste geval der terugkaatsing beschouwt, nieuwe moeilijk-
heden rijzen er op , wanneer men tot het geval overgaat , dat de
trillingsrichting in het invalsvlak ligt. Daar alsdan alleen ^ = O
is, is slechts aan twee van de zes grensvoorwaarden van zelve
voldaan, zoodat men vier vergelijkingen overhoudt. Gaat men nu
met FRBSNEL en neuhann, van de onderstelling uit, dat er alleen
een teruggekaatste en een gebroken lichtbundel met transversale
trillingen ontstaan, dan heeft men in de amplitudines daarvan
twee onbekenden en het blijkt dan , dat deze niet zoo kunnen bepaald
worden, dat aan de vier vergelijkingen voldaan is. Daarom alleen
reeds moeten de eenvoudige theorieën van prbsnel en neumann
worden verworpen; beiden begingen toch de fout, dat zij niet alle
voorwaarden van het vraagstuk in rekening brachten.
Gauchy zag het eerst de noodzakelijkheid in , de zaak anders op te
vatten. Hij nam in aanmerking, dat er in dit geval , behalve de twee
bovengenoemde lichtbundels, ook nog teruggekaatste en gebroken
longitudinale trillingen ontstaan. De amplitudines daarvan zijn dan
twee nieuwe onbekenden, zoodat het aantal der onbekenden aan
dat der vergelijkingen gelijk is geworden. Wij zullen in korte
trekken de oplossing aangeven, ons daarbij aan de theorie van
CAUCHY houdende en dus de voorwaarden (16) kiezende.
Voor de invallende lichttrillingen schrijven wij daartoe
{'i = — sin «1 cos j^'i , ") , 2 71 / X z . \
f 'i = cos «1 cos ./;'i , J ^ * T\ Vi Vi ^ ^/
voor de teruggekaatste transversale trillingen
J"i = — tti sin «1 cos u^"i , ^ „ 2 7ï/ . a? z , \
.. r «^ i = -;;r 1 * H cos «i sm «i -f » |,
t"i = — Oicosaicosv'i, ) ^ \ Vi Vi . ^V
en voor de teruggekaatste longitudinale trillingen
Ji"' = — ^iCOsAcosü^i'^O ,n Stt/ , X ^ ^ . « . \
l"= 6.si4.cos<-j ^' =^(' + wr^^^-irr^'^''}
waarbij de hoek van terugkaatsing voor deze trillingen ^i is genoemd.
Evenzoo kunnen wij de gebroken stralen voorstellen; voor de
transversale trillingen hebben wij dan
£2 = — Oj sin «2 cos I//2 , ') 2 TT / x z , \
' ^ ' [ w^= —.{t cos «2 sm «2 + ü I ■
C2=^ asCOsa2Cos V2,-> T\ Va V3 -^^ f y
en voor de longitudinale
1*2 = 63 cos ^2 cos V'a ï 7^ , , 2
^2 = fej sin ^2 sin y/ 2
i") 27ï/ X ^ z , ^ \
21
Volgens de wetten der terugkaatsing en breking — die men
ook hier uit de grensvoorwaarden kon afleiden — is
sm «1 sin «3 sin /3i sin 62
^^=-^=^^=-^' • • • •(*'>
zoodat aan de grens der twee lichamen
Vi' = Vi" = Vi'" = Va = Vi'
is. Door dit in aanmerking te nemen , vindt men gemakkelijk uit
de grensvoorwaarden de volgende vergelijkingen ter bepaling der
vier onbekenden ai, oj, Z>i, 62
(1 + Ui) sin «1 + bi cos ^i = Oa sin «, — 63 cos /9j ,
(1 — Oi) cos «1 + bi sin ^1 = 03 cos «3 + 63 sin B^ ,
fA \ 1. ^s' ^1 , <^os« /Si
(1 — ai) cos «i — 61 -; = aa cos «3 —- &« »
sm fii sin /Sj
,, . V cos* «i cos* cej
(1 + ai) -: 61 cos /81 = 03 -: 1- b^ cos jSj.
sm «i sin 1x3
Hieruit verkrijgt men voor het teruggekaatste licht de vrij een-
voudige uitdrukking
""^■"cotCa.-a^)-^' ^^^^
waarbij ^ = — tg (/8i - ^2) is.
§ 9. De ondervinding leert, dat bij alle doorschijnende stofien,
op zeer weinig na , de vergelijking (9) geldig is en derhalve Oi on-
afhankelijk is van de voortplantingssnelheden der longitudinale
trillingen. Dit is alleen dan mogelijk, wanneer g zeer klein is
en men zal derhalve omtrent de longitudinale trillingen zoodanige
hypothesen dienen te maken, dat dit het geval wordt. Daar komt
nog een andere omstandigheid bij. Men heeft nooit op eenige wijze
het bestaan van een teruggekaatst en gebroken golfstelsel met lon-
gitudinale trillingen bemerkt, hetzij rechtstreeks, hetzij daardoor,
dat een deel der intensiteit van het invallende licht niet in het
teruggekaatste en gebroken licht is weer te vinden. Derhalve moet
nog worden aangenomen , dat de longitudinale trillingen geen eigen-
lijken straal kunnen vormen. Dit is mogelijk, zoodra de waarden
van dl en /Sj, die door (17) worden opgeleverd, onbestaanbaar zijn.
Men vindt dan, in plaats van de golfstelsels met longitudinale
trillingen, een bewegingstoestand, waarbij de amplitudo, bij toe-
22
nenienden afstand van het grensvlak, zeer snel afneemt. Tevens
verkrygt dan q een onbestaanbare waarde en men kan daaruit
afleiden, dat het teruggeplaatste licht een bepaalde phaseverande-
ring ondergaan heeft. Steeds moet echter bij doorschijnende stoffen
q zeer klein worden.
Men heeft twee wegen gevolgd , om ^i en ^2 onbestaanbare waar-
den te doen aannemen. De eerste bestaat hierin, ''dat de voorts
plantingssnelheden der longitudinale trillingen ondersteld worden,
zeer groot te zijn. Men vindt dan, door de tweede en hoogere
machten van — | en — ^ te verwaarloozen , na eenige herleiding
en zal hierbij q zeer klein worden , dan moeten ook Vi en Vj zeer
weinig verschillen. Er is, voor zoover ik weet, nooit eenige grond
voor aangegeven, aan de theorie ontleend, waarom dit zoo zijn
moet. Integendeel, wanneer wij voor de voortplantingssnelheden
de uitdrukkingen (14) en (15) nemen, die wij als de meest v?aar-
schijnlijke leerden kennen , dan is
daar di = öj gesteld is.
Daaruit volgt echter, als n de brekingsindex is,
welke waarde véél te groot- is.
Men kan dit bezwaar ontgaan door voor de voortplantingssnel-
heden niet (14) en (15), maar b. v. (12) en (13) te nemen. Dan
wordt echter vooreerst, zooals wij in § 7 opmerkten, de geheel©
theorie der terugkaatsing twijfelachtig en men zal toch nog bij-'
' zondere bijonderstellingen moeten maken , om Vi en Vj bijna gelijB^
te doen zijn.
In de tweede plaats heeft men aangenomen , dat zich in h^^
algemeen longitudinale trillingen slechts kunnen voortplanten m^^
voortdurend kleiner wordende amplitudo; ook dit voert tot dergess^
lijke resultaten , als de vorige onderstelling. Men kan dat verschiji^^
sel opvatten als een absorptie der longitudinale trillingen. Maar
hetzij die absorptie voortspruite uit een onvolkomen elasticiteit va
23
den aether op zich zelven, of uit de medewerking van de moleculen
der gewone stof, steeds blijft het een raadsel, hoe zij in alle licha-
men bestaan zou, die voor transversale trillingen volkomen (of
bijna) doorschijnend zijn.
Men kaï) ook nog zonder absorptie tot een bewegingstoestand
van den aether komen, zooals men dien hier noodig heeft, wanneer
men aanneemt, dat de voor V* uit de theorie afgeleide waarde
negatief wordt. Daar dit ook in de luchtledige ruimte 't geval zou
moeten zijn , waarvoor de vergelijkingen (6) gelden , zou dan 1 + ö ,
dus ook d negatief moeten zijn. Stelt men de uitdrukking voor 6
op, afgeleid uit de beschouwing der moleculaire krachten van den
aether, dan is het niet onmiddellijk in te zien, of 6 al of niet ne-
gatief mag genomen worden. Maar men kan aantoonen, dat bij
een negatieve waarde van 1 + 6 het evenwicht van den aether
labiel zou zijn, wat zeker niemand zou willen aannemen.
Ik heb hier slechts in hoofdtrekken den weg aangegeven, dien
men heeft ingeslagen, om de vergelijking (18) op zeer weinig na
met (9) te doen overeenstemmen. 1) Ik zal de pogingen, die men
beeft aangewend, om hiertoe te geraken , door een geleidelijken
overgang van het eene medium tot het andere aan te nemen, ge-
heel voorbijgaan. Want, gesteld al, dat men op eenige wijze
hierin geslaagd was, en dus voor isotrope stoffen een voldoende
theorie der terugkaatsing had gevestigd, dan kan men nog bewij-
zen, dat deze in strijd is met de waarnemingen, die men omtrent
de terugkaatsing van het licht door kristallen verricht heeft.
§ 10. Het is niet noodig, hier in een uitvoerige beschouwing
te treden van de lichtbeweging in kipstallen. Genoeg zij het, in
herinnering te brengen, hoe het bij eenassige kristallen met de
trillingsrichting gesteld is, wanneer men aanneemt, dat bij gepo-
lariseerd licht trillingsvlak en polarisatievlak loodrecht op elkaar
staan. Dan ligt, zoowel bij een gewonen, als bij een buitengewo-
nen lichtstraal, de trillingsrichting in het golffront; bovendien ligt
zij bij den laatsten in het vlak, dat door de voortplantingsrichting
en de optische as gebracht wordt, bij den gewonen straal daaren-
tegen loodrecht op dat vlak.
Laten wij nu licht terugkaatsen door het platte grensvlak van
1) Voor een meer uitvoerige beschouwing van de in deze § besproken onder-
>.verpen zie men bees, Pogg. Ann. 91, 92; eisenlohr, Pogg. Ann. 104;
V, MNG, Einleitung in die theor. Phys., p. 264; lunpcjuist, Pogg. Ann., 152.
24
een eenassig kristal en dat wel zoo, dat de optische as in het
invalsvlak ligt. Nemen wij daarbij aan, dat de trillingen van het
invallende licht in het invalsvlak geschieden , dan kan er geen ge-
wone straal tot stand komen, wel de buitengewone straal, wiens
trillingsrichting ook in het invalsvlak ligt Bovendien ayA ook hier
een teruggekaatst en gebroken golfstelsel met longitudinale trillin-
gen ontstaan en het is duidelijk , dat in ons geval voor het laatste
de normaal op het golffront en de daarmee samenvallende trillings-
richting in het invalsvlak zullen liggen.
Verder is het naar de beschouwing van § 7 duidelijk, dat men
ook nu nog de vergelijkingen (16) als grensvoor waarden moet
kiezen , daar men toch , consequent blijvende , dient aan te
nemen, dat in het kristal de elasticiteit van den aether op
zich zei ven beschouwd voor alle richtingen gelijk is aan de waarde,
die zij in eenig isotroop medium heeft. Trouwens , op welken grond
men ook tot de bedoelde vergelijkingen moge besluiten, daar zij
geen grootheden bevatten , die van den aard van het medium afhan-
gen , ligt het voor de hand, ze ook op de terugkaatsing door kris-
tallen toe te passen. Het is dan ook zeker de bedoeling van cauchy
geweest , dat zijne voorwaarden ook aan de grens van een isotroop
medium en een kristal moeten gelden. Na dit vastgesteld te hebben ,
kunnen wij gemakkelijk de intensiteit van het teruggekaatste licht
berekenen. Noemen wij «a den hoek , dien de voortplantingsrichting
(nl. de normaal op het golffront) van den buitengewonen lichtstraal
met de normaal op het grensvlak maakt , en is ^i de overeenkom-
stige hoek voor de longitudinale trillingen in het kristal, dan
gelden alle vergelijkingen Hm § 8 onveranderd en wordt dus de
gesteldheid van het teruggekaatste licht nog door (i8) gegeven.
Maakt men nu bij isotrope stoffen zoodanige ondersteltingen , dat q
zeer klein wordt en dus op weinig na de formule (9) geldt, dan
dient men hetzelfde bij de terugkaatsing door een kristal te doen,
zoodat ook daarvoor als eerste benadering de betrekking
^ _ tg («1 — «2)
tg («i + «2)
moet gelden.
Vraagt men naar den polarisatiehoek , den invalshoek dus, waarbij
a\ = O wordt , dan moet daarvoor
«j + otj — 90*
«ijn.
25
Zij nu L de hoek, dien de optische as met de normaal op het
grensvlak maakt, dan is de hoek tusschen de optische as en de
normaal der gebroken golven
L — a-i.
Zijn O) en e de hoofdbrekingsindices , dan is , volgens de wet der
breking, i)
sin* «i = sin» ai j — + \j^ ^ ) cos* (L — «j) J.
Zal derhalve «i -f- «2 = 90° zijn , dan moet men hebben
4 / 1 4 \
tg*a2 = -ï-+(— ^ ^ cos*(£— «a). . .
(19).
Uit de constanten van het kristal en den hoek L kan men , door
middel van deze vergelijking, a^ berekenen; het complement daar-
van is dan de gezochte polari^atiehoek.
Nu heeft sëebeck in een aantal gevallen zeer nauwkeurig den
polarisatiehoek gemeten, zoodat men 't middel heeft, de verge-
lijking (19) met de waarnemingen te vergelijken. Nemen wij het
bijzondere geval, dat de optische as in het grensvlak ligt, dan is
L = 90° en wordt de vergelijking (19)
1 / 1 1 \
Bij den overgang uit lucht in kalkspaat is (voor de streep D
van het spectrum) w = 1,6585, a =i 1,4864; ik vind daaruit, door
de bovenstaande vergelijking, aj = 33*8', dus voor den polari-
satiehoek ^
56«52',
terwijl de proeven van sebbeck in dit geval
54° 2'
gaven 2). Er bestaat derhalve een afwijking van 2° 50', veel grooter
dan met de nauwkeurigheid van seebeck's bepalingen is overeen
te brengen. Die nauwkeurigheid is ook hierdoor bevestigd, dat de
door sebbeck gegeven waarden in alle gevallen zeer goed overeen-
stemmen met andere formules voor de terugkaatsing door kristallen.
1) Men zie b. v. be£r, Ëinleitung in die höhere Optik, p.
2) Billet, Traite d'opt. phys. II p. I73.
26
die duoi' neumann zijn gegeven. Deze formules geven in het hier
behandelde geval 1) voor den polarisatiehoek 53° 58' 40" , wat slechts
ruim 3' van de waarneming afwijkt. En in alle andere gevallen is
hier de overeenstemming even voldoende. De proeven van seebeck
leveren dus het bewijs, dat de formules van neumann juist zijn,
dat daarentegen de theorie van cauchy met de waarnemingen in
strijd is.
§ 11. En zoo zijn wij teruggekomen op de beschouwingswijze
van NEUMANN met de daaraan verbonden onderstelling omtrent de
trillingsrichting. Niemand buiten hem is het gelukt, ook voor de
terugkaatsing van het licht door kristallen juiste formules op te
stellen. Bewijst dit echter , dat de geheele theorie van neumann de
juiste is? Zeker niet, wanneer het blijkt, dat die theorie, conse-
quent volgehouden , niet meer tot ware uitkomsten voert. Beschouwt
men nu de terugkaatsing van licht, waarvan de trillingen in het
invalsvlak plaats hebben, bij isotrope stoffen, dan moet men, ook
als men de theorie van neumann aanneemt, zors^en, dat aan de
vier grensvoorwaarden , die men in dit geval heeft , voldaan wordt.
Dit is alleen mogelijk, wanneer men ook hier, even als caucht dit
deed, longitudinale trillingen invoert. Daardoor verkrijgt men zeer
samengestelde uitdrukkingen en het is mij niet gelukt, door eenige
onderstelling . omtrent de longitudinale trillingen daaruit de formule
(8) af te leiden, die in dit geval zou moeten gelden.
Het komt mij voor, dat nedmann alleen door eenige grensvoor-
waarden (nl. de vergelijkingen (2) ) buiten beschouwing te laten
er in geslaagd is , tot juiste resultaten te komen. Dat dit mogelijk
is, wanneer men, tot op zAere hoogte, de voorwaarden van het
vraagstuk willekeurig stelt , behoeft ons niet te verwonderen. Even-
min, dat een dergelijke keus, wanneer zij voor isotrope stoffen tot
juiste uitkomsten voert, dit ook bij de kristallen kan doen. Daar-
mede wordt echter de grondslag, waarvan men uitging, maar
waaraan men zich niet voortdurend gehouden heeft, niet bewezen
waar te zijn.
De beschouwingen van dit hoofdstuk — hoe onvolledig ook —
zijn genoegzaam , om ons te doen zien , dat men er nog nooit in
geslaagd is, een voldoende verklaring der terugkaatsing van het
licht te geven, wanneer men uitging van de meening, dat dit in
1) Billet , t. a. p. II p. 176,
27
trillingen eener veerkrachtige stof zou bestaan. Bijna zou ik dur-
ven beweren , dat deze meening tot geen bevredigende verklaring
kan voeren; stellig kan zij het niet, zonder vele gekunstelde bijon-
derstellingen. In elk geval is men volkomen gerechtigd te beproeven ,
of men langs anderen weg tot betere resultaten kan komen en elke
theorie, die minder zwarigheden oplevert, zal, al is ze misschien
nog slechts in ruwe trekken te geven, onze aandacht ten volle
waardig zijn.
TWEEDE HOOFDSTUK.
DE BEWEGINGSVERGELIJKINGEN DER ELECTRICITEIT.
§ 1. Even als de tot nog toe aangenomen undulatietheorie steunt
op de leer der beweging van een elastisch lichaam, zijn bij de
door MAXWELL gegeven beschouwingen de bewegingsverschijnselen
der electricitait ten grondslag gelegd. Voor wij derhalve zijne
hypothese kunnen leeren kennen, is het noodzakelijk, vele zaken
uit de leer van de electriciteit en het magnetisme in herinnering
te brengen. Ik zal trachten , dit zoo beknopt mogelijk te doen , en
daarbij vooral de verschillende onderstellingen , die wij moeten
maken , duidelijk zoeken aan té wijzen. Alleen langs dien weg toch
mag men ver wachten,^ een gegrond oordeel te kunnen vellen over
de waarde der verkregen resultaten.
Bij de afleiding van de bewegingsvergelijkingen der electriciteit
zal ik grootendeels helmuoltz volgen. Even als deze natuurkun-
dige zal ik daarbij uitgaan van de onmiddellijke werking op een
afstand: aldus toch ]|0bben wij het voordeel, dat aan de theorie
de meest rechtstreeksche opvatting der feiten ten grondslag ligt.
Ik wil daarmee echter niet, zooals men dit soms gedaan heeft, die
actio in dis tan s als een onwankelbaar dogma beschouwen; veel-
eer zijn de verkregen differentiaalvergelijkingen, niet die werking,
het eigenlijke uitgangspunt der theorie. Ik «cht het niet onwaar-
schijnlijk , dat men , wanneer eens die vergelijkingen in haar meest
waarschijnlijken vorm zijn opgesteld en in een groot aantal gevallen
aan de ervaring zijn getoetst , er in zal kunnen slagen , ze ook uit
de beschouwing van moleculaire krachten af te leiden.
29
Wij zullen in het vervolg het electrostatische maatstelsel kiezen.
Onder een eenheid electriciteit verstaan wij dus een hoeveelheid,
die, wanneer ze in een punt is opgehoopt, op een andere, even
groote hoeveelheid, in een tweede punt aanwezig, een kracht = 1
uitoefent, wanneer de afstand = 1 is. De electrische' potentiaal-
functie, die wij door <p zullen voorstellen, wordt, zooals men weet,
gegeven door
e
T
waarhij e een hoeveelheid electriciteit is , op een afstand r van het
punt , waarvoor men de potentiaalfunctie zoekt.
Onder electromotorische kracht verstaan wij de kracht , uitgeoe-
fend op een eenheid positieve electriciteit. Wij zullen haar door
F, hare componenten volgens drie onderling loodrechte assen door
X, y, Z voorstellen. Wanneer zij alleen afhangt van een electro-
statische verdeeling, dan is
^(p ^<p h<p
X=~r^, Y=~T^, ^=->r • . . . (1)
óx dy ó z ^
Door d& hier gegeven bepalingen worden de potentiaalfunctie en
de electromotorische kracht van zelve in absolute maat gegeven.
Allereerst zullen wij nagaan, wat er gebeurt, wanneer een elec-
tromotorische kracht op een of ander lichaam werkt. Daarbij on-
derscheiden wij twee hoofdgevallen : het lichaam kan vooreerst een
volkomen isolator of diëlectrisch lichaam, in de tweede plaats een
goede geleider der electriciteit zijn.
Alleen in sommige gevallen heeft de waarneming de werking
eener electromotorische kracht geheel doen kennen. Bij de toepas-
sing der verkregen resultaten op andere gevallen zullen wij ons
dus genoodzaakt zien, bepaalde onderstellingen in te voeren.
§ 2. De werking van een electromotorische kracht op een diëlec-
trisch lichaam openbaart zich vooreerst bij de influentieverschijn-
selen. faradaï ontdekte, dat de aard der aanwezige niet-geleiders
hierop Iran invloed is.
Ik zal niet in een uitvoerige beschouwing treden over hetgeen
door verschillende natuurkundigen tegen de juistheid van deze be-
wering is aangevoerd, daar de laatste onderzoekingen 1), naar 't
1) Behalve de- onderzoekingen van boltzmann, die later ter sprake komen,
xie men hieromtrent bronoebsma. Over den invloed der middenstof bij de
electrostatische inductie.
30
mij voorkomt, den strijd ten gunste van faba.da.y hebben beslist.
Genoeg zij het, een korte uiteenzetting te geven van den aard en
de theoretische verklaring van het verschijnsel.
Verbeelden wij ons een condensator, bestaande uit twee gelei-
ders, waarvan de eenc den anderen geheel omgeeft , en die door
een isoleerende stof van elkander zijn gescheiden , dan is , bij lading
hiervan, zooals men weet, de hoeveelheid electriciteit , op een der
geleiders aanwezig, evenredig aan hun potentiaalverschil. Is dit
= 1 , dan noemt men de bedoelde hoeveelheid electriciteit de capa-
citeit van den condensator. Zij *hangt vooreerst van vorm, grootte
en onderlinge plaatsing der geleiders af, maar bovendien — en dit
is fakaday's ontdekking — van den aard der isoleerende stof.
Hebben wij twee condensatoren , alleen hierin verschillende , dat
bij den een lucht, bij den anderen een andere middenstof voor-
komt, dan is de capaciteit van den tweeden een zeker aantal K
malen grooter dan die van dén eersten. Het getal K hangt alleen
van den aard der bedoelde middenstof af en zal in het vervolg het
specifiek induceerend vermogen daarvan genoemd wórden. Voor
alle vaste en vloeibare middenstofifen , die men onderzocht heeft, is
het grooter dan 1. De juiste waarde van K is echter — uit de
proeven van gibsov en baeclay en uit die van boltzmanm — nog
slechts voor enkele dezer stoffen met voldoende nauwkeurigheid bekend.
Wat de gassen betreft, deze gedragen zich, als isolatoren*, op
byna dezelfde wijze als de luchtledige ruimte. Intusschen is het
BOLTZMANN gclukt aan te toonen, dat ook hier — vergeleken met
het luchtledige — K iets grooter dan 1 is , en zelfs het bedrag er
van voor eenige gassen te meten.
Men kan den hier geschetsten invloed van een diêlectrisch lichaam
verklaren door aan te nemen, dat, wanneer op zulk een lichaam
een electromotorische kracht werkt, in de kleinste deeltjes er van
de beide electriciteiten worden gescheiden, zoodat zij aan de eene
zijde positief, aan de andere negatief electrisch worden. Wij nemen
daarbij aan, dat zich een of andere kracht tegen dat scheiden der
electriciteiten verzet, zoodat, bij een bepaalde electromotorische
kracht, de electrische verdeeling een bepaalde grootte niet te boven
gaat, terwijl zij geheel ophoudt, zoodra de uitwendige oorzaak ver-
dwijnt, die haar te voorschijn riep. Wij zullen het hier beschreven
verschijnsel diëlectrische polarisatie noemen en er vooreerst de
wiskundige uitdrukking voor opstellen.
31
Denken wij ons daartoe het diëlectrisch medium door vlakken ,
loodrecht op de coördinaatassen , in elementen verdeeld en beschou-
wen wij wat er binnen zulk een element dx dy dz, geplaatst aan
het punt P, ligt. Ten gevolge der electrische verdeeling hebben
wij in sommige punten een hoeveelheid vrije positieve, in andere
vrije negatieve electriciteit. Ligt nu in een punt, met de coördi-
naten a?, y, z, een hoeveelheid electriciteit e, dan vormen wij de
drie sommen
2607, £61/, S6Z,
berekend over al de in het element aanwezige electriciteit. Zijn
die sommen
^dxdydz^ jjdxdy dz^ idx dy dz^
dan kan men gemakkelijk bewijzen — daar toch ^6 = is —
dat $, 7, f zijn te beschouwen als de componenten van een lijn,
die in richting en grootte volkomen onafhankelijk is van het geko-
zen assenstelsel en alleen van de electrische verdeeling afhangt.
Die lijn zal ons dienen , om de richting en grootte van de diëlec-
trische polarisatie in het punt P voor '•'te . stellen en wij zullen
€, 7, t de componenten dier polarisatie noemen.
Daar het coördinatenstelsel geheel willekeurig is, kunnen wij
als oorsprong ook een der hoekpunten van het element nemen.
Noemen wij dan de coördinaten van een punt binnen het element
X, y, z, welke grootheden nu oneindig klein zijn, dan kunnen
wij schrijven
^dxdydz =: £eiL, ijdxdydz = ^ey y idxdydz = ^ ez . (2)
Het is Verder noodig, dat er geen dubbelzinnigheid overblijve
omtrent de beteekenis, die men heeft te hechten aan de uitdruk-
king electromotorische kracht voor een punt Ö, in het inwendige
van een lichaam met diëlectrische polarisatie gelegen. Wij stellen
daaromtrent het -volgende vast. Vooreerst denken wij ons een deel
van dit lichaam om O weg, en wel zoo, dat dit deel den vorm
van. een omwentelingscilinder heeft , waarbij O op het midden
der as ligt, terwijl de laatste dezelfde richting heeft als de
diëlectrische polarisatie in O. Dan is de electromotorische kracht
F in O ondubbelzinnig aan te geven. Laten wij vervolgens de af-
metingen van den cilinder hoe langer hoe kleiner worden , maar
zoo dat de 'Straal r oneindig klein blijft ten opzichte van de lengte
3^
l , dan zal de grens , waartoe F nadert , de deciromotorische kracht
in het punt O worden genoemd 1).
Den waargenomen invloed der isoleerende middenstoffen kan men
nu verklaren door te stellen , dat de diëlectrische polarisatie bij
isotrope lichamen dezelfde richting heeft als de electromotorische
kracht en evenredig daaraan is, zoodat men mag stellen
{ = ff X, 7 = ff Y, f = ff Z (3)
Daarbij heeft e, de constante der diëlectrische polarisatie ^ een
waarde, die van den aard der stof afhangt.
Wij maken ten slotte de onderstelling, dat het besproken ver-
schijnsel ook voorkomt in den aether, die de luchtledige ruimte
vult , zoodat wij met een volstrekt algemeene eigenschap der niet-
geleiders te doen hebben. Zooals wij zullen zien , komt men daar-
door niet met bekende feiten in strijd.
§ 3. Denken wij ons dan nu een isoleerend lichaam, begrensd
door het oppervlak S, en stellen we ons daarin op een of andere
wijze de moleculen electrisch gepolariseerd voor, zoodat |, 7, (
willekeurige functiën der coördinaten zijn , die wij alleen doorloopend
1) De theorie der diëlectrisiBhe polarisatie komt geheel overeeD met die der
magnetische verdeeling. Even als daar , voor het inwendige van eeu inagne>
tische stuf, een nadere bepaling van de magnetiseerende kracht noodig ia, is
dat hier met de electromotorische kracht het geval. Men heeft echter op die
omstandigheid niet gelet en stilzwijgend de definitie van den tekst gekozen. Z^
komt overeen met de polaire defimiie der magneüseerefide kracht van Thomson.
Hadden wij een anderen vorm voor de holte om O gekozen, b.v. een bol,
of een nauwe spleet, loodrecht op de richting der diëlectrische polarisatie, dan
zou men andere uitdrukkingen voor de electromotorische kracht verkrijgen. Dit
neemt echter niets weg van de geldigheid der verkregen resultaten. AYant,
zooals wij zullen zien, bewijzen de proeven dat men, de opvatting der electro-
motorische kracht, die w^ kozen, ten grondslag leggende, de vergelijkiiigen (3)
mag laten gelden. Door ons dus aan die opvatting te houden, steunen wQ op
de waargenomen feiten.
Ik doe nog opmerken , dat men , bij een andere bepaling der electromotoriache
kracht, tot dezelfde vergel^kingen komt, maar in plaats van 8 komt dan een
andere constante.
Men vergelijke thomson. Papers on Electrostatics and Magnetism, (M79,
517 (en het bijvoegsel bij de laatste $). Maxwell, Electricity and Magnetism,
H 395—400.
33
onderstellen. Om de werking naar buiten te beoordeelen, hebben
wij slechts de potentiaalfunctie <p in eenig punt O (cc\ y\ z') buiten
8 te zoeken, voor zooverre zij van den gepolariseerden toestand
afhangt. Bepalen wij ons vooreerst tot het element dxdydz van
het lichaam, met een der hoekpunten in 't punt (a?, y, z) gelegen.
Is ^' de potentiaalfunctie van de eenheid electriciteit in dat
hoekpunt geplaatst, zoodat ip' een functie van x^ y en z is, dan
is de potentiaalfunctie van een hoeveelheid e, geplaatst in 't punt
(x + x, y+ y, 5J + z), daar x, y en z oneindig klein zijn,
(^' + x-I-
\ d X
-f y~- +z -^
b y Izj
Sorameeren wij nu vooreerst over al de electriciteit, in het element
aanwezig , en nemen wij daarbij in aanmerking , dat 2 e = O is ,
dan komt er, als wij nog (2) gebruiken ,
Hieruit volgt voor de gezochte waarde van de potentiaalfunctie
waarbij de integratie over het geheele isoleerende lichaam moet
uitgestrekt worden. Deze uitdrukking laat zich op een bekende
wijze transfer meer en. Het eerste deel er van, nl.
kunnen wij door gedeeltelijke integratie naar x herleiden tot den
vorm
waarbij de eerste integraal over het grensvlak S moet genomen
worden , terwijl a de cosinus van den boek is , dien de naar buiten
getrokken normaal aan dit oppervlak met de asas vormt. Bepalen
wij, op dezelfde wijze, den stand dier normaal ten opzichte der
y- en z-as door de grootheden 6 en c, en behandelen wij de twee
andere deelen van ^ even als het eerste , dan verkrijgen we ten slotte
34
In woorden overgebracht levert ons deze vergelijking de vol-
gende stelling :
Voor een punt, buiten het diëlectrische lichaam gelegen, heeft
de potentiaalfunctie , welke het gevolg is van een electriscbe polari-
satie, dezelfde waarde, alsof zij voortsproot uit een gewone elec-
triscbe lading, waarbij de dichtheid qi der electriciteit in het
inwendige van het lichaam en de vlaktedichtheid oti aan het grens-
vlak gegeven worden door
Daaruit volgt echter, dat wij, wat de werking naar buiten be-
treft, den gepolariseerden toestand door deze verdeeling der elec-
triciteit kunnen vervangen.
Beschouwen wij thans de electromotorische kracht voor een punt
O, binnen het lichaam gelegen. Daartoe denken wij ons eerst om
dat punt de, in de vorige § beschreven, cilindrische holte. Dan
ligt O buiten het lichaam en geldt dus de gevonden stelling.
Daarbij komt dan in aanmerking vooreerst de lading met de dicht-
heid Qiy ten tweedede lading met de dichtheid 0*1 over het buiten-
oppervlak van ons lichaam, eindelijk een dergelijke lading over
grond- en bo venvlak van de holte. Wordt nu de straal r daanran
oneindig klein , dan is de hoeveelheid electriciteit , op een dezer
vlakken aanwezig, oneindig klein van de orde r*, en dus de daar-
door in O uitgeoefende electromotorische kracht een grootheid van
de orde ( ^- ) • Wij laten echter den straal der holte oneindig klein
blijven ten opzichte van de lengte; de laatste grootheid nadert
derhalve tot 0.
Hieruit volgt, dat wij ten slotte alleen met de beide eerstge-
noemde ladingen te doen hebben, zoodat wij kunnen stellen, dat
ook , wat de electromotorische kracht in een punt in het inwendige
betreft, de diëlectrische polarisatie door de boven aangegeven elec-
triscbe lading mag vervangen worden.
§ 4. Men kan het verkregen resultaat toepassen , om de wijzigin-
gen te vinden, die nu aan eenige vergelijkingen moeten worden
aangebracht , bij welker afleiding men den invloed der niet-geleiders
buiten rekening heeft gelaten. Wij beschouwen daarbij alleen het
35
geval, dat men aan eenige geleiders een lading heeft gegeven.
Zooals men weet , wordt dan in de leer der electrostatica bewezen ,
a. dat 9> overal doorloopend, voor eiken geleider constant en op
oneindigen afstand O is;
h. dat q> voor elk punt van de ruimte tusschen de geleiders
voldoet aan de vergelijking
A?> = 0; (4)
en eindelijk
c. dat aan het oppervlak van eiken geleider de voorwaarde
«^-^+6^+c|^ + 4„,=0 (5).
c X óy èz
vervuld is, waarbij onder de differentiaal quotiënten de waarden
verstaan worden , die zij onmiddellijk buiten het oppervlak hebben.
Deze voorwaarden bevatten op ondubbelzinnige wijze de oplossing
van alle vraagstukken omtrent de verdeeling der electriciteit op
een stelsel geleiders. Is b. v, de potentiaal functie . voor eiken ge-
leider gegeven, dan is er slechts ééne waarde van <p te vinden,
die aan a en & voldoet, en men kan vervolgens uit (5) de waarde
van <r aan elk punt afleiden.
Verbeelden wij ons nu, dat in de ruimte tusschen en om de
geleiders eenige diëlectrische lichamen aanwezig zijn , dan zal de
totale waarde van <p niet meer alleen afhangen van de electrici-
teit, op de geleiders aanwezig, maar bovendien van de electrische
lading, die men voor de polarisatie in de plaats mag stellen.
Gemakkelijk overtuigt men zich , dat de voorwaarden a nog
gelden. Uit de vergelijking van poisson kunnen wij verder, voor
een punt binnen een diëlectrisch lichaam gelegen , de betrekking
'^1 , ^7 . ^f\
\d X ó y czj
afleiden. Immers wij hebben, blijkens de vorige J, in dat punt een
lading met de dichtheid
\bx h y ^zj
Neemt men (1) en (3) in aanmerking, dan wordt bovenstaande
vergelijking
(1 + 4 n ff) A ?> = O of A ^ = 0.
Ook de tweede voorwaarde biyft dus onveranderd. De derde
36
echter niet. Want aan het oppervlak van een conductor is niet
meer alleen de electriciteit, daarop aanwezig, in rekening te bren-
gen, maar bovendien de electrischc verdeeling met de dichtheid
^i , aan de grens van het omringende medium. Wij moeten dus in
(5) in plaats van ir stellen ir -\- ^i; daar echter
\ ö ar èy oz f
wordt, gaat (5) over in
(l+4..)(«|f +ft|f + c||) + 4.. = (6)
Wanneer er verschillende diëlectrische lichamen aanwezig zijn
moeten wij nog een vergelijking opstellen voor het grensvlak vaik.
twee dergelijke stoffen. Wij onderscheiden daarbij steeds de tw<
stoffen door de indices 1 en 2 en trekken de normaal aan hel
scheidingsvlak naar de met 2 gemerkte zijde. Dan hebben wij
ten gevolge der diëlectrische polarisatie, aan het grensvlak eei
vlaktelading met de dichtheid
<r' = a«i — $,)+6(7i-72) + o(4i-t2),
en hieruit volgt voor dit oppervlak de vergelijking
.«,-« + M7,-«) + «(t,-M = .4;[.{(||)-(|j)j -+
+'{(l?),-(^:)J-•{(^:)-(^:).}].
welke ons later van dienst zal zijn. Neemt men (1) en (3) ^n
aanmerking, dan gaat zij over in
"+-^{"C-!),+'C4+<r,)}=<'+*-'{»(lï).^
-'(^:^<^o.} «
§ 5. Beschouwen wij nader het geval, dat men overal hetzel»^®
medium tusschen de geleiders heeft, dan hebben wij slechts s*^®*
de voorwaarden a en 6 en met de vergelijking (6) te doen. Gest-^"
nu, dat wij twee stelsels geleiders hebben, meetkundig volko**^*'^
aan elkander gelijk , maar dat bij het eene lucht met de const»"*^
«o, bij het tweede een ander medium, met de constante *, vo^^^'
komt. Wij geven aan de stelsels zekere ladingen, zoodat de pa*-^"'
tiaalfunctie voor eiken conductor een bepaalde en wel voor \y^^
37
stelsels gelijke waarde heeft; het is de vraag, de hoeveelheid elec-
triciteit, op een geleider aanv^ezig, te zoeken. Daartoe kan men
eerst uit de voorwaarden a en 6 de potentiaalfunctie zoeken, ver-
volgens uit (6) de waarde van «r. Daar echter de eerste voorwaarden
voor beide stelsels volkomen dezelfde zijn^ is dit ook met ^ het
geval; uit (6) volgt dan echter voor € niet dezelfde waarde. Daar
toch 8 verschillend is, zal men in het tweede stelsel overal een
waarde van a vinden, die
1 -h 4 7ï e
maal grooter is dan in het eerste; dientengevolge zijn ook alle
hoeveelheden electriciteit in het tweede stelsel evenveel malen grooter.
Hiermede is aangetoond , dat de hypothese der diëlectrische pola-
risatie, de proeven van paraday met condensatoren verklaren kan.
Immers deze proeven maken slechts een bijzonder geval uit van
het boven behandelde. Wel heeft men bij de condensatoren niet
de ruimte, die het buitenbekleedsel omringt, maar alleen de ruimte
tusschen de geleiders met verschillende stoffen gevuld, maar, wan-
neer de potentiaalfunctie voor het buitenbekleedsel O is, kan dit
geenerlei verschil maken, daar dan in de omringende ruimte geen
electromotorische kracht werkt.
Uit bovenstaande beschouwingen volgt nu tevens, dat het ver-
band tusschen de grrootheid -RT, die men uit de condensatorproeven
kan afleiden , en de constante s gegeven wordt door
1+^^
1 + 4 .1 a„ ^ ^
Verder heeft boltzmank 1) aangetoond, dat ook dan, wanneer
de ruimte tusschen de geleiders niet geheel door hetzelfde diëlec-
trische lichaam wordt ingenomen, de invloed, door de isolatoren
op de influentieverschijnselen uitgeoefend, door de boven gegeven
vergelijkingen met juistheid bepaald wordt.
Eindelijk heeft dezelfde natuurkundige uit de theorie afgeleid 2) ,
dat zich nog op een andere wijze de werking van een electromoto-
rische kracht op een isolator moet openbaren. Want, evenals een
1) Pogg. Ann. Bd. 151.
2) Pogg. Ann. Bd. 163. Uitvoeriger in boltzmann, Expcrüuentaluuter-
suchaug über die electrostatische Fernwirkung diëlectrisclier Körper.
38
stuk week ijzer door een magneet wordt aangetrokken, moet ook
een niet-geleider , alleen ten gevolge der diëlectrische polarisatie,
door een geëlectriseerd voorwerp aangetrokken worden, met een
kracht, waarvan zich het bedrag theoretisch laat vaststellen. Deze
voorspelling van de theorie heeft boltzmann bevestigd gevonden en
uit de waarneming van het verschijnsel bij eenige stoffen waarden
van K afgeleid, die tamelijk goed overeenstemmen met die, welke
uit condensatorproeven zijn verkregen.
Terwijl men dus uit verschillende electrostatische verschijnselen
de waarde van K kan vinden, leveren zij ons niet het middel op,
8 te bepalen, daar toch, blijkens (8), uit de waarde van £ slechts
de verhouding van i -\- 4 n 8 voor verschillende stoffen volgt. Van
daar dat men, zonder met bekende feiten in tegenspraak te ko-
men, de onderstelling van § 2 mag maken, dat ook in de lucht-
ledige ruimte diëlectrische polarisatie bestaat. En dit niet alleen:
men mag zelfs voor de constante 8 in dit geval een willekeurige
waarde kiezen. Dan geldt voor de verschillende gassen bijna dezelfde
constante, terwijl bij vaste en vloeibare isolatoren 8 aanmerkelijk
grooter is.
§ 6. Niet alleen oefent de diëlectrische polarisatie invloed uit
op het verband tusschen de ladingen der geleiders en de waarde
der potentiaalfunctie: ook de mechanische krachten, door geëlec-
triseerde lichamen op elkander uitgeoefend, worden er door ge-
wijzigd. Wij kunnen het best nagaan 1), hoe het hiermede gesteld
is, wanneer wij eerst het arbeidsvermogen (van plaats) zoeken,
dat door een stelsel geladen geleiders vertegenwoordigd wordt. Stel
dat de potentiaal functie voor deze geleiders de waarden 9>i, ^j, enz.
aanneemt, terwijl de ladingen door Ci, gj, enz., en eindelijk het
bedoelde arbeidsvermogen door Q wordt voorgesteld. Om dan deze
grootheid te bepalen , hebben wij slechts de grootte van den arbeid
te zoeken, dien men moet verrichten, om de op de geleiders aan-
wezige electriciteit van een oneindig ver verwijderd punt tot op
die geleiders te brengen. Gemakshalve doen wij dit zoo, dat ge-
durende het verloop van dit proces op elk oogenblik de potentiaal-
functie en de lading voor de verschillende conductoren kunnen
voorgesteld worden door
n9>ij ^92i enz.,
n ^1 , n 62 9 enz. ,
1) Maxwell, Electr. and Magn., Hoofdstuk III, § ( 85, 92, 94.
waarbij n van O tot 1 toeneemt. Zien wij nu , hoe groot de arbeid
is, dien men moet verrichten, om n oneindig weinig, totw + rfn,
te doen aangroeien. Daarbij moeten wij op den eersten geleider
een hoeveelheid electriciteit Cidn brengen. Om deze oneindig kleine
hoeveelheid van oneindigen afstand te brengen tot op den eersten
\ conductor, waar de potentiaalfunctie n ^i is, moet een arbeid
ei^ifid n verricht worden. Door evenzoo met de andere geleiders
te handelen vindt men voor den geheelen arbeid, noodig om n tot
n-^ dn te doen toenemen
2e^ ndn
en , daar voor de geheelé lading n van O tot 1 aangroeit , vinden
wij Q door tusschen die grenzen te integreeren. Dus is
Q = 2: e^ r ndn = iSe^, (9)
o
exi dit geldt altijd, hetzij tusschen de conductoren een diëlectrische
st;of aanwezig is of niet. Ook in het eerste geval toch behoeft men
bij de lading slechts de electriciteit op de geleiders te brengen,
d^siiur de diëlectrische polarisatie van zelve daaruit voortvloeit.
Uit de waarde van Q kan men de grootte der mechanische krach-
t^:» vinden, op een der geleiders door de andere uitgeoefend. Ver-
pl^wtst men nl. dezen geleider oneindig weinig, terwijl elke
<^o'mductor zijn lading behoudt , en neemt bij die verplaatsing Q met
^ C toe , dan moeten de bedoelde krachten daarbij een arbeid ^ dQ
li.^l)ben verricht. Door dit voor verschillende verplaatsingen toe te
f>£^ssen kan men de electrostatische aantrekkingen en afstootingen
^oX^omen leeren kennen.
ITa dit vastgesteld te hebben verbeelden wij ons, dat men twee
i^iE^^^&etkundig volkomen gelijke stelsels I en II van geleiders heeft,
h^^m; eene zonder eenig medium tusschen de conductoren , het andere
ncfc^t een middenstof, de lucht b. v. , met de constante e^. Wanneer
w-ij in I en II aan de geleiders dezelfde ladingen geven , dan heeft,
blijkens § 5, ^ en dus, volgens (9), ook Q een i-f 4 7ieo maal
U^^inere waarde in het stelsel II dan in I. Bij dezelfde oneindig
^l^mne verplaatsing moet ook tusschen dQ, dus ook tusschen den
&^V»eid der mechanische krachten , in beide stelsels dezelfde betrek-
^i^£ bestaan. Derhalve moeten ook die krachten in II i -\- 4n e^
lasi^l kleiner zijn dan in I.
Hebben wij nu twee gelijke hoeveelheden electriciteit, elk = e,
\
40
op zeer kleine geieiders aanwezig en op een afstand 1 van elkander*
dan zou in de geheel ledige ruimte de onderlinge afstooting ê
zijn. Doet men echter de proef in de lucht dan is, blijkens het
voorgaande, de onderlinge afstooting
1 + 4 7Ï ^,
waarbij
e = e'VT+Tn8, (10)
is. Leiden wij nu uit de waargenomen afstooting de hoeveelheid
electriciteit af — meten wij deze dus — dan houden wij geen
rekening met de diëlectrische polarisatie der lucht. Wij meenen
dan, dat wij op eiken geleider een hoeveelheid electriciteit e' hebben ;
in werkelijkheid is zij echter e en wij zien hieruit dat, wanneer
wij door onze metingen voor een hoeveelheid electriciteit de waarde
e' vinden , de werkelijke waarde gegeven wordt door de verge-
lijking (10).
Door een dergelijke redeneering als wij boven bezigden laat zicli
bewijzen, dat, wanneer in de beide stelsels I en II f> dezelfde
waarde heeft, de aantrekking in II i + Ausq maal grooter is dan
in I. Willen wij nu de potentiaalfunctie van een conductor meten,
dan kunnen wij de aantrekking bepalen, die hij uitoefent op een
tweeden conductor, waarvoor de potentiaalfunctie O is, en dan zal,
al het overige gelijk zijnde, ^ evenredig zijn aan den vierkants-
wortel uit de grootte der aantrekking. Eigenlijk moesten wij dit
in de geheel ledige ruimte doen ; wij doen het echter in een medium
met de constante sq en vinden daardoor de aantrekking 1 + 4 ji eo
maal te groot. Dien ten gevolge kennen wij aan de potentiaal-
functie een waarde toe, die |/1 +47i«o maal te groot is. Is
derhalve ^ de werkelijke, ^' de waargenomen waarde, dan heb-
ben wij
V\4-An
«o
(11)
Daar dezelfde betrekking ook moet gelden voor de differentiaal-
quotiënten van 9>, moet zij, zooals uit (1) blijkt, ook doorgaan
voor de electromotorische kracht.
Daarvoor is dus
F = ^' ....... (12)
K 1 +4neo
41
/
§ 7. Bij de in de laatste § § besproken verschijnselen had steeds
de electro motorisch e kracht, op eenig punt werkende, voortdurend
dezelfde waarde. Omtrent de diëlectrische polarisatie bij veran-
derlijke electromotoriscbe kracht bestaan geen waarnemingen. Wij
maken voor dat geval de door maxwell en helmholtz stilzwijgend
aangenomen onderstelling, dat ook dan nog op elk oogenblik de
vergelijkingen (3) gelden.
Dien ten gevolge hebben wij dan een veranderlijke electrische
verdeeling, dus beweging der electriciteit of een electrischen stroom.
Een stroom echter bepalen wij op de gewone wijze door zijne
componenten w, v, w, waarbij de hoeveelheid electriciteit, die in
de tijdseenheid door een element d S van eenig oppervlak stroomt,
wordt gegeven door
{au-{-bv-{-cw)dS.
Noemen wij de componenten van den stroom, die bij een ver-
andering van den gepolariseerden toestand optreedt, u', v', w'
dan hebben wij
zooals men gemakkelijk kan afleiden door na te gaan, wat er
binnen een element d x dy dz van den isolator gebeurt.
§ 8. In de tweede plaats houden wij ons bezig met de werking
van een electromotoriscbe kracht F op een goeden geleider. Hier
brengt zij een stroom voort, die altijd bestaat, zoo lang de elec-
tromotoriscbe kracht werkt, terwijl in een isolator alleen bij ver-
andering dier kracht beweging der electriciteit plaats heeft. Wan-
neer F en de stroom constant zijn , wordt het verband tusschen
beide, bij een isotropen geleider, gegeven door
of
1 11
w = — X, ü = — y, iü=— z, . . . (14)
welke vergelijkingen de mathematische uitdrukking bevatten van
de wet van ohm. De hierbij voorkomende constante x is de weer-
stand van den geleider.
De wet van ohm is proefondervindelijk alleen voor constante
stroomen bewezen, maar men heeft haar dikwijls ook op veran-
42
derlijke stroomen toegepast, en, voor zoover hieromtrent waarne-
mingen bestaan, is er geen afwijking van de wet gebleken.
Intusschen hebben webeb en lorbebg bij sommige onderzoekingen
de omstandigheid in aanmerking genomen, dat misschien de wet
van ouM slechts bij benadering geldig is, als de stroom met den
tijd verandert. Zeker heeft deze beschouwingswijze groote waai^-
schijnlijkheid voor zich. Want, welke begrippen men ook omtrent
het wezen der electriciteit moge koesteren, men zal zich een elec-
trischen stroom moeilijk anders kunnen voorstellen, dan als een of
ander bewegingsverschijnsel van eenige stof, in den geleider aan-
wezig. De oorzaak dier beweging is hier de electromotorische kracht
en zij zal, wanneer zij alleen werkt, de beweging hoe langer hoe
sterker maken. Dit moet bij eiken stroom , die juist begint, het
geval zijn. Blijft echter de electromotorische kracht constant, dan
zal ook de stroom weldra standvastig worden. Dit is alleen dan
mogelijk, wanneer een of andere kracht de beweging tegenwerkt,
en als een zoodanige kracht hebben wij ons den weerstand van
een geleider voor te stellen.
Onderstellen wij, dat in een punt, waar de stroomcomponenten
w, V, tü zijn, een beweging plaats heeft met de snelheden yu,
yvy yw^ waarbij / een constante is, die van den aard des ge-
leiders kan afhangen. Nemen wij verder aan, dat de weerstand
evenredig is met de snelheid, wat bij zeer kleine snelheden de
meest waarschijnlijke onderstelling is, dan kunnen zijne compo-
nenten door
xu, XV, xw
worden voorgesteld en men heeft voor de totale kracht
X — xw, Y — XV, Z — xw.
Deze uitdrukkingen zullen gelijk moeten zijn aan de versnellin-
gen, met een of andere constante d vermenigvuldigd. Zijn nu
w, V, w als functiën van sr, y, z en t gegeven, dan hebbeu wij
voor een der componenten van de versnelling
d(ru) hu , , hu , , hu , , hu
' =r^ \-fu hy V r \-fwr-—,
dt ' ht ' hx ' hy ' ' hz
of, zoolang wij met zeer kleine snelheden te doen hebben,
h u
43
en evenzoo voor de andere componenten
stelt men vervolgens voor y^ de nieuwe constante <;» dan ver-
krijgt men, in plaats van (14), de vergelijkingen
Y=xv+gjj,) (15)
Z = >w+g-.
De hierbij gemaakte onderstelling, dat u, v, w zeer klein zijn,
zul bij de toepassingen, die wij later maken, steeds vervuld zijn.
D^ vergelijkingen (15) geven aan, dat de stroom, bij het eerste
optrSien van een electromotorische kracht, zoo lang aangroeit,
tot X = xM, Y=xv, Z = X w is geworden. Alsdan blijft [de
stroom verder constant en is de wet van ohm geldig. Wanneer g
zeer klein is — wat het geval is , wanneer de in beweging gebrachte
stof slechts een zeer geringe massa heeft — zal voor het tot stand
komen van dien stationnairen toestand slechts een zeer korte tijd
noodig zijn , en het kan ons dan toeschijnen , dat de stroom on-
middellijk in zijn volle sterkte optreedt.
Bij de afleiding der vergelijkingen (15) heb ik een progressieve
beweging in dezelfde (of de tegengestelde) richting, als die van den
stroom ondersteld. Ik geloof intusschen, dat, ook bij een andere
opvatting van de electrische beweging, deze vergelijkingen groote
waarschijnlijkheid voor zich hebben. Ik wil echter niet beweren,
dat wij in (15) de juiste wet hebben uitgedrukt; daartoe zijn onze
begrippen omtrent de electriciteit en hare beweging veel te duister.
Alleen komt het mij voor, dat, voor veranderlijke stroomen, de
nü opgestelde formules waarschijnlijker zijn dan de ongewijzigde
wet van ohm. Intusschen zal ik vooreerst deze wet aannemen en
niet dan door de feiten genoodzaakt mijn toevlucht nemen tot de
in (15) uitgedrukte onderstelling.
Keeren wij nu tot de vergelijkingen (14) terug, dan vinden wij
daarin tevens het middel , om x in absolute maat te bepalen. Wij
hebben daartoe x = — en kunnen Z en m meten. Bestaat er in
u
44
het oiui'ingende iiiediuru echter diëlecti'ische polarisatie , dan vinden
>vij niet de werkelijke waarde van X en u, dus ook niet die van
X. Worden weer de waargenomen waarden van de werkelijke door
accenten onderscheiden dan is, blijkens (12) en (10)
X'
•X=177===ri tt=u' 1/1 + 471*0,
V i +4 71 Sq
daar toch u een hoeveelheid electriciteit is. Hieruit volgt:
1 + 4 71 «o
§ 9. Het is de vraag, of in elk lichaam slechts een der beide
uitwerkingen van een electromotorische kracht bestaat, die wij
hebben leeren kennen. Dit is niet waarschijnlijk. Aan den eenen
kant kunnen zoogenaamde isolatoren een zwak geleidingsvermogen
bezitten, aan den anderen kant kan misschien in goede geisers
nog polarisatie bestaan. Voor de electrolyten is dit geheel in over-
eenstemming met de verklaring, die men gewoonlijk van hun ge-
leidingsvermogen geeft. En ook bij metalen kan men zich misschien
den sti'oom het best zoo voorstellen , dat een polarisatie der mole-
culen hem voorafgaat en vergezelt. Het is bovendien gemakkelijk
in te zien , dat men bij electrostatische proeven en bij waarnemin-
gen omtrent constante stroomen die polarisatie niet zal bemerken;
waarnemingen omtrent veranderlijke stroomen zijn er echter nog
te weinig, om omtrent deze zaak iets met zekerheid te beslissen.
Wij zullen in het vervolg, om het meest algemeene geval te
behandelen , onderstellen , dat polarisatie en stroomgeleiding te gelijk
bestaan. Alsdan worden de stroomcomponenten niet meer door
(14) gegeven, maar wij moeten daar nog de componenten vanden
in (13) aangegeven stroom bijvoegen. In het algemeen is derhalve
ó t X d t X C t X
of
^£1 ^»1 l i \
et X 8 d t X6 d t X 8
welke uitdrukkingen wij in het vervolg zullen bezigen.
Om uit de aldus opgestelde algemeene vergelijkingen de betrek-
kingen af te leiden , die yoor een volkomen isolator gelden , hebben
wij slechts x = oo te stellen. Tevens blijkt uit het bovenstaande,
45
dat wij in dit geval het meest op de juistheid der theorie mogen
vertrouwen , terwijl bij goede geleiders veel meer onzekerheid blijft
bestaan. Vooreerst wordt deze veroorzaakt door de mogelijkheid
eener afwijking van de wet van ohm; bovendien weten wij niet met
zekerheid, of ook hier een polarisatie der moleculen bestaat, en
of zij aan dezelfde wetten onderworpen is als bij isolatoren.
Heeft in een lichaam een electrische strooming plaats, dan kan
het gevolg daarvan zijn , dat de verdeeling der electriciteit met den
tijd verandert. Noemen wij in eenig punt, waar w, v, tü door-
loopend zijn, Q de dichtheid der vrije electriciteit, dan is
Is ff de dichtheid van de vlaktelading aan een oppervlak S , waar
u, Vy w ondoorloopend zijn, dan hebben wij daar evenzoo
a{Ui^ u^) + b (vi — Vi) + c (wi-- w^) =y-^.
Bij het bepalen van ^ en <r moet hier, behalve de electrische
ladingen in gewonen zin, ook de lading in aanmerking worden
genomen, die men voor de diëlectrische polarisatie in de plaats
mag stellen (zie § 3).
Door ^ en <r, op de bekende wijze, in de differentiaalquotienten
van ^ uit te drukken , vindt men uit de bovenstaande vergelijkingen
hu hv hw i h
rs+ry+j^=T„-t^^^^ ■ ■ ■ ■ (^«>
en
a (ui — 1«2) + 6 (vi — Vi) -\- c (wi — lüa) =
Hierdoor is in het algemeen het verband tusschen de stroom-
componenten en de potentiaalfunctie uitgedrukt. Voor volkomen
isolatoren , waarbij de stroomcomponenten door (i 3) worden gegeven ,
kunnen deze vergelijkingen naar t geïntegreerd worden. Bestaat er
geen andere lading in den isolator, of aan het grensvlak S, dan
"^ die, welke voor de diëlectrische polarisatie in de plaats wordt ge-
steld, dan vindt men aldus
46
^£ ^v ^i i
en
.(«,-6) + »fa-70+.«,-t.)-j^{.[(|ï)-(^-ï)J +
+'[Gi),-(:-7)j-[fe'),-c^)j}- • ■ <^"
welke betrekkingen wij reeds in § 4 vonden.
Het is nog van belang, de voorwaarden te kennen, waaraan
voldaan moet zijn , opdat er geen verandering in de verdeeling der
vrije electriciteit plaats hebbe. Uit bovenstaande vergelijkingen volgt
daarvoor
è U hv ^ ^ ^(\
b s! by h z
en,aan t oppervlak iS,
a(Ui"'Ui)+b{Vi — V2)+c(Wi
Bij volkomen isolatoren zal dit het geval zijn , wanneer op elk
oogenblik
èx^hy^èz ... (23)
en l
«(|i-&)+&(7.-7j) + c(t,-t,) = ]
is.
Is aan de voorwaarden (22) of (23) voldaan , dan komt de be-
weging der electriciteit overeen met die eener on samendrukbare
vloeistof.
§ iO. Na aldus de uitwerking eener electromotorische kracht te
hebben besproken, moeten wij die kracht zelve nader beschouwen.
Zij is van verschillenden oorsprong. Van het eerste gedeelte,
dat afhangt van een verdeeling der electriciteit, hebben wij
reeds de componenten opgesteld. Een ander deel ontstaat uit de
inductiewerkingen en dit laat zich wederom in tweeën splitsen,
daar deze werkingen ontstaan kunnen uit een veranderlijken
stroom, of uit een veranderlijke magnetisatie. Van de inductie,
die het gevolg is van een beweging van stroomgeleiders of mag-
neten, kunnen wij hier afzien, daar wij de lichamen, waarin de
electrische verschijnselen plaats hebben, in het vervolg in rust
zullen onderstellen.
Men heeft de wetten der inductiewerkingen afgeleid uit proeven
met lineaire geleiders (dunne draden). Daarbij vond men niet wat
47
wij de electromotorische kracht F hebben genoemd, maar een andere
grootheid G, die wij de electromotorische kracht langs den geleider
zullen noemen. Is <r de geleider en F^ de component van F, in
de richting van tr , dan is
G=fF„dc: (24)
m. a. w. G is de arbeid, dien de op een eenheid positieve electri-
citeit werkende kracht verricht, wanneer die eenheid langs den
geleider verplaatst wordt.
Gaan wij vooreerst na , welke uitkomsten de waarnemingen voor
G hebben opgeleverd, wanneer de inductie door een electrischen
stroom wordt uitgeoefend. Nauwkeurige bepalingen heeft /nen in
dit opzicht alleen voor het geval , dat ook de induceerende geleider
lineair is, en bovendien beide geleiders gesloten zijn. Het bleek
daarbij, dat de inductie verschijnselen in zeer nauw verband staan
met de electrodynamische werkingen , en wij moeten dus eerst met
een ei^el woord over deze spreken.
Door de schoone onderzoekingen van ampèbë is bewezen , dat de
onderlinge werking van twee gesloten stroomen volkomen dezelfde
is, als die van twee magnetische lagen 1), die elk door een
der stroomgeleiders begrensd worden. Nu kunnen, zooals men
weet, bij twee willekeurige magneten, de mechanische krachten,
die zij op elkander uitoefenen, gevonden worden uit een grootheid,
die de potentiaal der twee magneten ten opzichte van elkander ge-
noemd wordt. Derhalve moet ook bij twee gesloten stroomen het-
zelfde mogelijk zijn.
p. E. NEüMANN is dc ecrste geweest, die de potentiaal van twee
gesloten stroomen opstelde. Duiden wij de twee geleiders door s
en «f, de stroomintensiteiten door i en j, en den afstand van twee
elementen door r aan, dan kan men voor chl potentiaal schrijven
Pij.
waarbij
^ ^ /»/»cos (ds, d <r) , .
P^ — ^JJ — ^^ — dsd9 (25)
1) Onder magnetische laag versta ik hierbij een oneindig dnnne laag eener
zelfstandigheid, die zoodanig gemagnetiseerd is, dat de magnetische polarisatie
een richting heeft, loodrecht op *t oppervlak der laag, en, wat de grootte be-
treft, omgekeerd evenredig is aan de dikte.
/
/
48
Hierbij moet de integratie over beide geleiders worden uitge-
strekt, terwijl A een constante is, die men uit de waarnemingen
kan afleiden.
De beteekenis van de potentiaal is deze, dat zij den arbeid voor-
stelt, dien men verrichten moet, om de beide geleiders van een
oneindig grooten afstand te brengen in den stand, waarin zij zich
bevinden.
Is eens de potentiaal bekend, dan kan men de mechanische
krachten ) door de geleiders op elkander uitgeoefend, vinden door
de stelling, dat de arbeid, door deze krachten bij een oneindig
kleine verplaatsing der geleiders verricht, gelijk is aan de aan-
groeiing van de potentiaal, met het tegengestelde teeken genomen.
De invoering van deze grootheid heeft het voordeel aangebracht,
dat zij niet alleen de electrodynamische werkingen bepaalt, maar
dat bovendien de wetten der inductie zich nu op zeer eenvoudige
wijze laten aangeven. Is s de induceerende, <r de geïnduceerde
geleider, en wederom de stroomsterkte in den eersten i, daiï "wordt
de electromotorische kracht der inductie langs «•, ontstaande uit
verplaatsing van 5, verandering van i, of uit beide oorzaken te
gelijk, gegeven door
of, wanneer alleen de intensiteit verandert, door
G = P —
dt
Het volgt onmiddellijk uit de boven voor Gr gegeven bepaling , dat
die grootheid te beschouwen is als de som der electromotorische
krachten langs elk element van <r. Verder ligt het voor de hand ,
de werking van den stroom s te ontbinden in de werking zijner
afzonderlijke elementen. Eerst dan hebben wij dus een voldoende
kennis van het verschijnsel, wanneer ons de electromotorische kracht
Gi der inductie langs het element d^ bekend is, ontstaande uit
een verandering der stroomsterkte in het element ds. Wij moeten
zelfs G, noodzakelijk kennen , willen wij in het algemeen de inductie
bij willekeurige electrische bewegingen beschouwen ; men kan toch
gewoonlijk dergelijke bewegingen niet meer als een stelsel gesloten
stroomen opvatten.
Hier doet zich nu het bezwaar voor, dat men de induceerende
49
werking van stroomelementen niet op ondubbelzinnige wijze uit die
van gesloten stroomen kan afleiden. In ons geval intusschen, waar
alleen verandering van intensiteit de oorzaak der inductie is, is
een enkele, zeer natuurlijke onderstelling voldoende, om den vorm
te kunnen vaststellen, dien Gi moet aannemen. Die onderstelling
is deze, dat, evenals bij gesloten stroomen, blijkens de formule
(26), zoo ook bij stroomelementen de gezochte electromotorische
kracht evenredig is aan — .
d t
Neemt men dit aan, dan wordt
d i
waarbij p eenige functie is , van den onderlingen stand en de lengte
der elementen af hangende , maar onaf hankelijk van de stroomsterkte.
Daar wij nu steeds onderstellen , dat alleen i veranderlijk is , mag
men dan ook schrijven
«.='4? <«)
Verder is het dan duidelijk , dat men door integratie van p over
de beide stroomgeleiders de grootheid P verkrijgen moet. Dit is
het geval, als men stelt
cos(rfs, da)
p = — A* ds da, (28)
T
maar dit is niet de eenige uitdrukking, die men kan kiezen. Men
mag toch gerustelijk bij (28) termen voegen, die bij de integratie
noodzakelijk verdwijnen, zoodra een der geleiders gesloten wordt.
Hblmholtz heeft nu aangetoond, dat de meest algemeene vorm,
dien men voor p mag aannemen, om in dat geval dezelfde uit-
komst te verkrijgen, als uit (28), de volgende is:
p=— -ii»-! (1-ffe)cos(d5,da)+(l— fc)cos(r,ds)co8(r,c?a) d8d<T,(29)
als men namelijk nog onderstelt, dat de induceerende werking van
stroomelementen op dezelfde wijze van den afstand afhangt, als die
van gesloten stroomen. Het is deze uitdrukking, die wij in het
vervolg ten grondslag zullen leggen.
De hier ingevoerde constante k kan uit de waarnemingen om-
trent gesloten stroomen niet worden afgeleid. Stelt men haar = + 1 ,
4
50
dan verkrijgt men de uitdrukking (28) ; neemt men fe =-• — 1 , dan
komt de formule overeen met die, v^elke uit de wet van webeb
volgt; neemt men eindelijk ^ = 0, dan komt men, zooals v^ij later
zullen zien, tot resultaten, die met de theorie van maxwell over-
eenkomen.
Al kennen wij k niet, één zaak is door helmholtz bewezen, dat
die constante nl. niet negatief mag genomen worden, daar in dat
geval het evenwicht der electriciteit labiel zou kunnen zijn , zoodat
een zeer kleine verstoring van dit evenwicht aanleiding zou kunnen
geven tot hoe langer hoe grooter afwij[kingen daarvan, iets, dat
ten eenemaie met de waarnemingen in strijd is i).
§ il. Uit de beteekenis van Gi volgt
^ da
Hieruit blijkt, hoe men uit het gevondene de component der
electromotorische kracht — zooals wij die oorspronkelijk hebben
1) Men vindt het onderzoek van helmholtz in okelle's Journal 72 (187(» '
een oittreksel in wiedemann, Galvanismus II, 2, p. 638 — 649 (tweede aitgave?>
Bij de afleiding der formule (27) ben ik in zooverre van helmholtz af^^^
weken, dat ik mij bepaald heb tot het geval, dat alleen de stroomsterkte ve^^
andert, terwyl de stroomgeleiders in rust blijven. Veranderen ook de grooC^'^
heden l, m, n, enz., die den stand van het element ds bepalen, dan ligt he'^
wel voor de hand, te stellen
>* di . . dl , . dm ,
maar, om dit tot (27) terug te brengen, is de onderstelling noodig, dat het
tweede lid van (a) steeds een volkomen differentiaal is. Helmholtz maakt
die onderstelling en leidt in alle gevallen de inductiewerking van stroomelementen,
even als die van gesloten stroomen, uit de beschouwing van hun onderlinge
potentiaal af. Evenzoo bezigt hij die ter bepaling der electrodynamiache aan-
trekkingen en afstootingen. Afgezien van de moeilijkheden, die men hierbg
kan ondervinden, bl\jft het aannemen dier potentiaal een hypothese, die voor
ons doel niet noodzakeiyk is.
Wat de constante k betreft, heb ik het onderzoek van helmholtz niet weer-
gegeven, daar de waarde van k voor de theorie der volgende hoofdstukken van
geen overwegend belang is. Wij zullen zien, dat, zelfs wanneer i( negatief
mocht worden genomen — zooals sommigen dit, ook na de bewijsvoering van
helmholtz, nog willen — onze resultaten hunne geldigheid niet zouden verliezen.
51
ipgevat — in de richting van d^ kan afleiden; daarbij wordt de
litkomst natuurlijk onafhankelijk van de lengte van d c. Stellen
Ne dan nu in plaats van d a &% willekeurige richting /i, dan blijkt
iet ons , dat wij de electro motorische kracht der inductie , door het
clement ids in die richting uitgeoefend , kunnen voorstellen door
da
waarbij, volgens (29),
g === — (1 + fe) cos {d «, h)+(\ — h) cos (r, d b) cos (r, h) \ids
is. Door hierin voor h achtereenvolgens de richtingen der drie aiSsen
te nemen , vinden we de componenten Z, Y, Z der electromoto-
rische kracht.
Stellen wij ons thans voor, dat wij in de ruimte een wille-
keurige stroomverdeeling hebben, bepaald door de componenten
w, V, tü in elk punt (a?', y', z')» ®" zoeken we de electromotorische
bracht, door verandering van m, v, to, in het punt (a?,y,z) uitge-
oefend. Beschouwen we vooreerst het element dx' dy' d z', dan
runnen we daarvoor in de plaats stellen drie stroomelementen ,
vaarvoor i en ds de volgende waarden aannemen
udy' dz\dx'; v dz'dx' ,dy'; wdx' dy\dz'.
Voor elk dezer stroomelementen kunnen wij de waarde van q
»eken , de drie dus verkregen uitdrukkingen optellen en vervolgens
ïver de geheele ruimte, waarin stroomen voorkomen, integreeren.
(herkrijgen we daarbij de waarden t7, V en W, wanneer wij voor
^ a,chtereenvolgens de richtingen der drie assen nemen, dan is
^=-^'Tr'^=-^yr'.^=-^'Tr' • • • (^«>
'ï^Mrijl men gemakkelijk vindt
'^ ix^x') ^v{y — y') + w{z-^z')y^dx'dy'dz\ . . (31)
a-^rbij onder het integraalteeken m, v, w als functiën van x', y', z'
y^ te beschouwen. De uitdrukkingen voor F en W zijn op dezelfde
"^Öïie op te stellen.
52
Hiermede zou dit onderzoek zijn afgeloopen, ware het niet
noodig, eenige eigenschappen der functiën Ï7, V, W ie leeren
kennen. Wij stellen daarbij, dat de stroomcomponenten u, v, w,
en eveneens ^^ overal eindig en op oneindigen afstand O zijn, dat
echter de drie eerste grootheden aan eenig oppervlak S (grensvlak
van twee lichamen) ondoorloopend kunnen worden. Wij zullen
nagaan, hoe het dan met de doorloopendheid van Z7, F, W gesteld
is; tevens zullen wij eenige differentiaalvergelijkingen leeren ken-
nen , waaraan die functiën voldoen. Evenals bij onderzoekingen
omtrent de electrostatische potentiaalfunctie , zijn hier die differen-
tiaalvergelijkingen voor het gebruik geschikter dan de integraal-
vergelijking (31).
§ 1 2. Vooreerst moeten wij opmerken — en een dergelijke om-
standigheid doet zich bij verschillende, later voorkomende integralen
voor — dat, wanneer het punt (x, y, z) binnen de ruimte ligt,
waarin de electrische beweging plaats heeft, sommige elementen
van de integraal (31) oneindig groot worden. Men kan echter,
door invoering van poolcoördinaten, bewijzen, dat daardoor de
integraal zelf niet oneindig wordt; dit onderzoek stemt geheel
overeen met de beschouwingen, die men op de potentiaalfunctic
kan toepassen voor een punt , te midden van de aantrekkende stof
gelegen. 1)
Verder kan men in plaats van (31) schrijven
JJJ Ir ' 2 L ^xlx' ^ Ixly' IxIt!^) ^
en dit wordt eenvoudiger, wanneer men de nieuwe grootheid
invoert. Immers, vooreen punt (.r, y^ z), buiten de ruimte, waarin
de electrische bewegingen plaats hebben, heeft men klaarblijkelijk
en even zoo
W=-~ -+fff-d. dy dz.
1) Men zie b. v. clausius, die Potentialfunction , § 11.
Dat deze vergelijkingen ook nog gelden , wanneer het punt (^,^. z)
binnen de bedoelde ruimte ligt , laat zich door een dergelijk onder-
zoek aantoonen, als men in de theorie der attractie bezigt om te
bewijzen, dat, ook in het inwendige der aantrekkende stof, de
krachtcomponenten door de differentiaalquotienten der potentiaal-
functie worden gegeven 1).
De uitdrukking voor ^ laat zich transformeer en door partieele
integratie. Past men deze bewerking op het eerste deel van W toe ,
dan vindt men
Hierbij is [m r] samengesteld uit de waarden , die ur aanneemt
in de verschillende punten van het grensvlak der ruimte , waarover
geïntegreerd wordt, welke de coördinaten y' en z' hebben — mits
men die waarden van de behoorlijke teekens voorzie. Onderstelt
men nu, dat w bij toenemende waarden van r zoo sterk afneemt,
dat ter tot O nadert 2), en past men de gevonden vergelijking
toe op de verschillende deelen der ruimte, die door de oppervlakken
S zijn gescheiden, dan komt er
zoodat men verkrijgt
V = rr r \a (Ui — Wa) + & iVi — Vj) -f c {wi -— lüg) j rf /S —
1) Verg. CLAUSius, t. a. p. §§ 12 en 13.
2) Zal dit zoo zijn, dan moeten «, v, w, voor zeer groote afstanden, geen
^^^ïïien bevatten, grooter dan die van de orde — g-. Dit ia b. v, het geval,
^^ïitieer de stroomcomponenten op dezelfde wgze van de coördinaten afhangen ,
^* de verplaatsingen in een veerkrachtig medium , waarin zich een trillende
"^Weging voortplant.
54
Neemt men echter de vergelijkingen (2ü) en (2i) in aanmerking
en stelt daarbij kortheidshalve voor het tweede lid der laatste
4 7fL\51i/i V^njJ'
waarbij n de normaal aan het oppervlak S is, dan kan men ook
schrijven
- hrtfff "'■"•' '^ '* ■ ■ ■ »
Wij kunnen dezen vorm nog wijzigen door toepassing van het
theorema van gbeen. Daaruit vplgt , gelijk men weet , de betrekking
Hierbij zijn G en H twee functiën der coördinaten a?, y, z, terwijl
de twee eerste integralen over eenig deel t der ruimte, de twee
laatste over het grensvlak H daarvan moeten worden genomen.
Stellen wij G = r en H=<p^ dan vinden wij
JlfJ* '^ 1^9 dx' dff' dz' — ^J*^fJ 9 Ar dx' dy' dz' =
=^rrr^^dSi^ff^^^dSl
^ ^ o n *^ y on
en dus
1_ / Pr —^^ dsi--— rr^—^—dsi
+ IknJJ ^ ht ^nJ J l t ^n
Past men deze vergelijking toe op de verschillende deelen der
ruimte, door de oppervlakken S gescheiden, dan leveren de beide
laatste termen integralen over het oneindig ver verwijderde grensvlak
der ruimte en over de oppervlakken S. De eerste integralen worden ,
als ^ sterk genoeg, bij het toenemen van den afstand, afneemt, O ;
wat de integralen over de oppervlakken S betreft, deze geven»
55
daar ^ en dus r— aan die oppervlakken doorloopend is , juist den
c t
eersten term in het tweede lid van (34). Door de hier slechts aan-
gewezen herleiding komt men ten slotte tot de vergelijking
of, daar A ** = is,
v
Deze vergelijking is zeer geschikt ter beoordeeling van de con-
tinuïteit van 9f en zijne differentiaalquotienten. Immers (35) leert
ons, dat men V kan beschouwen als de potentiaalfunctie van een
1 ^ 9>
massa , verspreid met de overal eindige dichtheid — — — -3-— •
Daaruit volgt echter, dat ^ zelf en zijne eerste differentiaalquo-
tienten doorloopend zijn, terwijl (zooals uit de vergelijking van
FOissoN blijkt) de tweede afgeleiden voldoen aan de vergelijking
^^ = ^T7 (^^^
Verder zijn ook die tweede afgeleiden doorloopend. Uit (35) kan
men nl. afleiden
en hieruit door partieele integratie naar x', (waarbij wederom de
integraal over het oneindig ver verwijderde grensvlak der ruimte
verdwijnt)
= — rrr —^ — dafdv'dz'.
2i X 2n ^^'JJ }^t}^x' r
Derhalve kan ook -^ — als de potentiaalfunctie beschouwd wor-
1 ^9
den van een massa, met de overal eindige dichtheid — - — >. ^ >, , .
'z n ót c X
^y
Hieruit blijkt, dat ook de differentiaalquotienten van -r —
o X
doorloopend zijn , en evenzoo is dit met die van ^r — en -^^ — het
cy ó z
geval.
56
Keeren wij thans terug tot de vergelijkingen (33). Voor de eerste
kunnen wij kortheidshalve schrijven
i — fc ^ V
Ook de grootheid R kan echter als een potentiaalfunctie worden
opgevat, en wel van een massa met de dichtheid u. Daar deze
overal eindig is, zijn ook R en zijne eerste differcntiaalquotienten
doorloopend. Vooreerst blijkt het dus dat ook U doorloopend moet
ei W
zijn, daar dit ook voor ^r — is bewezen. Door verder de boven-
ó X
staande vergelijking naar ar, y en ;? te differentiëeren, vindt men
de eerste afgeleiden van Ü ^ uitgedrukt in de tweede van W en in
de eerste van R, voor welke grootheden de continuïteit bewezen is.
Men komt dus tot het resultaat, dat de grootheden U, F, W
en hare eerste afgeleiden overal doorloopend zijn, ook aan de
oppervlakken S (grens van twee lichamen), waar w, v, to ondoor-
loopend kunnen worden. Deze omstandigheid zal ons later van
grooten dienst zijn, als wij de voorwaarden voor de grens van
twee middens tofïen moeten opstellen.
De hier ingevoerde functiën voldoen nog aan eenige merkwaar-
dige betrekkingen. Uit (33) volgt vooreerst
of, als men (36) in aanmerking neemt,
en evenzoo
^» ö \ (37)
Eindelijk vindt men uit dezelfde vergelijkingen
hu . hV hW \—k
d X ó y ó z 2
Door integratie bij gedeelten gaat de laatste term, na eenige
57
herleiding, over in — -;- — en daar, volgens (36), A V= 2 r-—
èt ót
is, hebben wij
1^+AI+4E=_,4^ (38)
Van de herleidingen van deze § waren vooral die, welke op de
grootheid ^ betrekking hebben, vrij samengesteld. Bovendien
moesten wij daarbij een enkele maal aannemen, dat ^, bij grooter
wordenden afstand , zeer sterk afneemt. Streng genomen moet dit,
na de oplossing van een vraagstuk, geverificeerd worden. Het is
daarom niet van belang ontbloot , op te merken , dat in de ge-
vallen , waarop wij later de theorie zullen toepassen , de electriciteit
zich op dezelfde wijze beweegt, als een onsamendrukbare vloeistof.
Alsdan is overal v^ = 0, dus, blijkens (34), ook ^ = 0, zoodat,
wanneer men zich , van het begin af aan , tot die gevallen wilde
bepalen, het geheele onderzoek omtrent W achterwege kon blijven.
Dan zouden in de vergelijkingen (33) alleen de laatste termen blij-
ven bestaan, en uit die betrekkingen zou dan onmiddellijk de conti-
nuïteit van U, y, W en hunne differentiaalquotienten volgen. Tevens
kon men er gemakkelijk de vergelijkingen uit afleiden , waarin (37)
en (38) overgaan, als men daarin ^ = stelt.
§ 13. Wij hebben nog de inductie te beschouwen, die het ge-
volg is van een veranderlijke magnetisatie. Uit de onderzoekingen
over het magnetisme en diamagnetisme is het gebleken, dat in
alle onderzochte stoffen een magnetische polarisatie der moleculen
ontstaan kan en de onderstelling ligt voor de hand, dat dit ver-
schijnsel ook nog in de luchtledige ruimte bestaat. Niet alleen komt
men, door dit aan te nemen, niet met bekende feiten in tegen-
spraak, maar men geraakt zelfs langs dezen weg tot de eenvou-
digste theorie van het diamagnetisme.
De mathematische behandeling van dit verschijnsel komt geheel
overeen met die van de diëlectrische polarisatie. Daarbij komt in
de plaats van positieve en negatieve electriciteit noord- en zuid-
magnetisme, waarvan de eenheid op dezelfde wijze wordt vastge-
steld. De electro motorische kracht wordt hier vervangen door de
magnetiseerende kracht (voor het inwendige van een gemagneti-
seerd lichaam met de nadere bepaling van § 2), de constante e
door een andere, die wij 6 zullen noemen. Zijn dus X, fi, v de
58
componenten der magnetische polarisatie, L, Al, A' die der uit-
wendige raagnetiseerende kracht , x ^^ magnetische poten tialEtlfunctie,
dan hebben wij overal
, = .(x-^-|),. = .(,-||),, = .(«_|f)....«
Ter bepaling van x dienen hier de vergelykingen
-.+-j''-rz=rn^' (*>^
waarvan de eerste overal geldig is , waar Z , ju , y doorloopend zijn ,
de tweede aan elk oppervlak 5, waar dit niet meer het geval is.
Deze vergelijkingen komen overeen met (20) en (21) voor de
diëlectrische polarisatie.
Wat de constante ö betreft, men heeft deze evenmin als s kun-^
nen bepalen; ook hier is alleen de verhouding Q van de waarde»
bekend , die i -}- ^ ^ ^ voor verschillende stoffen aanneemt , en juist>^
hierdoor zyn wij vrij, om te onderstellen, dat ook in de luchtle-
dige ruimte magnetische polarisatie bestaan zou. De grootheid Q^
is echter voor alle stoffen , met uitzondering van de magnetische
metalen , zeer weinig van de eenheid verschillend , zoodat men slechts
een kleine fout begaat, door O = 1 te stellen.
Nu is het bekend, dat een electrische stroom in zijn omgeving
een magnetiseerende kracht uitoefent, en dat, aan den anderen
kant, verandering in den magnetischen toestand inductieverschijn-
selen ten gevolge heeft. Vandaar de noodzakelijkheid, hier de
magnetische polarisatie in rekening te brengen.
Wij zullen vooreerst de vergelijkingen opstellen ter bepaling van
den magnetischen toestand, die het gevolg is van een electrischen
stroom. Daar de magnetiseerende kracht (L, Al, A) de kracht is ,
die op een noordpool, met de eenheid van magnetisme, wordt uit-
geoefend, moeten wij vooreerst deze werking leeren kennen. Men
heeft haar alleen waargenomen, wanneer de werkende stroomen
gesloten zijn en door elke doorsnede van den stroomgeleider even
veel electriciteit stroomt. Wil men de magnetiseerende kracht
kennen , door een stroomeJement uitgeoefend , dan laten zich daar-
59
voor verschillende waarden aangeven, die voor gesloten stroomen
alle tot hetzelfde resultaat voeren. Daaruit volgt, dat, wanneer
wij een dezer uitdrukkingen opstellen, de daaruit volgende theorie
alleen dan zeker juist zal zijn, wanneer de electriciteitsbeweging
als een samenstel van gesloten stroomen kan opgevat worden. Dit
is echter het geval, zoodra de electriciteit zich op dezelfde wijze
beweegt, als een on samendrukbare vloeistof en bij de toepassingen
van de volgende hoofdstukken zal werkelijk aan die voorwaarde vol-
daan zijn.
Met de theorie van amfebe is het in overeenstemming, als men
voor de kracht, door een stroomelement i d s op een noordpool,
met de eenheid van magnetisme uitgeoefend, stelt
Aids sin (r, ds)
? •
Deze kracht is gericht volgens een loodlijn op het vlak, door
ds en r gebracht, terwijl de zijde, naar welke die loodlijn moet
getrokken worden , op een bekende wijze is aan te geven. De con-
stante A is dezelfde, die in onze vroegere vergelijkingen voorkomt. 1)
Ten einde, zonder dubbelzinnigheid , de componenten dezer kracht
op te stellen, is het noodig, de keus van ons coördinatenstelsel
nader te bepalen. Wij stellen daaromtrent vast, dat een wenteling
van de positieve ar- naar de positieve y-as (over een rechten
hoek) in richting met de beweging der wijzers van een uurwerk
overeenkomt , wanneer de beschouwer zich aan de zijde der posi-
tieve Z' as bevindt. Ontbindt men dan ds in de drie componenten
dar', dy, dz', ligt verder de noordpool in het punt (ar, y, z) dan
heeft men voor de gezochte componenten
— ■[-.7(7)-^'-r.(7)]-
Willen wij nu de magnetiseerende kracht zoeken , die het gevolg
is van een willekeurige stroomverdeeling in de ruimte, zooals wij
1) De hier gekozen formale wordt ook door h£lmholtz gebruikt, ofschoon
se juist met diens //Potentialgesetz" niet overeenstemt,
60
die in de vorige § § hebben aangenomen , en bepalen wij ons daarbij
vooreerst tot den stroom in het element dx' d y' dz', dan moeten
wij in bovenstaande uitdrukkingen in plaats van idx\ idy', idz'
stellen
u dx' dy' dz\ v dx' dy' dz', w dx' dy' dz'.
Om vervolgens de totale magnetiseerende kracht te leeren kennen ,
moeten wij over de geheele ruimte integreeren.
Aldus komt er
^ = ^ .//y [ " .1 ( v) - 4, (t)>' '^^' -^ ^'
en dergelijke uitdrukkingen voor M en N,
Dit is eenvoudiger voor te stellen wanneer men de vergelijkingen
(33) in aanmerking neemt. Differentieert men de tweede daarvan
naar z, de derde naar y en trekt af, dan valt V weg en men ver-
krijgt juist de integraal, die wij hier hebben, zoodat men mag
stellen
»-(h;-^.) ""
Beschouwen wij thans de electromotorische kracht der inductie,
ontstaande uit een verandering van den magnetischen toestand.
Wij maken daarbij gebruik van de omstandigheid , dat men , wat
de werking naar buiten betreft, een oneindig kleinen magneet kan
vervangen door een oneindig kleinen cirkel vormigen stroom, in een
vlak loodrecht op de as van den magneet en dat de inductie, die
het gevolg is van verandering van het magnetisch moment, dezelfde
is als die, welke uit een overeenkomstige verandering der stroom-
intensiteit voortvloeit. Op de inductie, die hieruit ontstaat, zijn
echter de formules van §§ 10, 11 en 12 van toepassing. Daar de
stroom hier gesloten is , kunnen wij k willekeurig nemen , dus b. v.
/e = l stellen en van de eenvoudige formule (28) gebruik maken.
Hebben wij in het punt x' , ƒ , z' een oneindig kleinen magneet,
waarvan de as volgens de z-as is gericht, en het moment tl is,
dan kunnen wij dien door een cirkelstroom vervangen , gelegen in
een vlak, evenwijdig aan het ary-vlak, en zoo dat , als i? de oneindig
kleine straal, i de stroomsterkte is, de betrekking bestaat
AinR'=tl (42).
Voor de electromotorische kracht, door dezen stroom (bij ver-
andering van i) in het punt (a?, y, z) uitgeoefend, vindt men dan
de componenten
of, als men (42) in aanmerking neemt,
-r-[%l(l)]--4,[»n(T)} «•
Deze uitdrukkingen bepalen derhalve ook de electromotorische
liracht der inductie, door den onderstelden magneet, bij verande-
ring van zijn moment, uitgeoefend. Voor twee dergelijke magneten
met de momenten l en m ? en met de assen evenwijdig aan de
ir- en y-as, hebben wij evenzoo de electromotorische krachten:
Bestaat nu in de ruimte een willekeurige magnetische polarisatie,
dan kunnen wij het element dx' d y' dz' vervangen door drie
oneindig kleine magneten met de momenten
l=zldaf' dy' dz\ tin = (idx' dy' dz\ n=zvdx' dy' dz'
en door bovenstaande uitdrukkingen kunnen wij dan de inductie
toerekenen, door dit element uitgeoefend. Door vervolgens over de
êr«heele ruimte te integreeren, vinden wij voor de totale componen-
"t^n der electromotorische kracht, voortspruitende uit verandering
^v-^tn de magnetische polarisatie,
"^v-aarbij i, /i* en y als functiën van x\ y\ z' zijn te beschouwen.
Voeren wij de volgende nieuwe grootheden in:
'^=Jff^^''^9'^-'\
M
= fff ~^'^>''^''\ (*3)
dan worden de boven verkregen uitdrukkingen eenvoudiger, nl.
ót \hy }iz J' ht V^z è xj
Omtrent de grootheden L, M, N merk ik nog op, dat zij^ '
blijkens de vergelijkingen (43), zijn te beschouwen als potentiaal — ''
functiën van massa's, met de overal eindige dichtheden i, /i*, r "**
Daaruit volgt, dat L, M, N en de eerste differentiaalquotienten
overal doorloopend zijn.
§ 14. Wij kunnen eindelijk de vergelijkingen opstellen, die in
het algemeen de beweging der electriciteit en den daarmede samen-
hangenden magnetischen toestand bepalen.
Wij hebben daartoe vooreerst — , — , — gelijk te stellen aan
8 8 8
de componenten der electromotorische kracht. Daarbij onderstellen
we, dat geen uitwendige krachten werken; alsdan bestaat de elec-
tromotorische kracht uit de drie deelen , die wij in (1), (30) en
(44) hebben aangegeven.
Derhalve is
8 "' h X ht^ htL^iy hz J'
V _ ^JP ^j^^^ji ^ r^^ ^^'] \ ...(45)
»7
MTSï
« "" ^2 a < '^ ètL^i X hy J'
Evenzoo volgt uit (39) en (41) ter bepaling van de magnetische
polarisatie :
63
^ r^W lU--i \x \ (46)
è^ ^ a: J }i z
Hiermede zijn alle betrekkingen opgesteld, die noodig zijn, ter
^paling van de verschillende grootheden, als functiën van plaats
I tijd. Wanneer toch £, 7, ?, X, ft, y zijn gegeven, vindt men
. t;, w uit (17), ü, y, W uit (32) en (33), q> uit (18) en (19),
^it (40) en (40*), L, M, N uit (43). Alles is dus bepaald in
Kictie van de zes grootheden g, 7, (, X, /i, y, en, om deze te
n.den, heeft men in (45) en (46) zes vergelijkingen.
Bet vereischte aantal betrekkingen is dus voorhanden, om, als
ön den begintoestand en de grens voorwaarden in * aanmerking
iemt, vraagstukken omtrent de beweging der electriciteit op te
s«en.
lïast men, zooals wij in 't vervolg zullen doen, de theorie toe
^ een onbegrensd lichaam (of stelsel van lichamen), dan zijn de
'ens voorwaarden deze, dat {, 7, (, 1, /i, v en de daarvan afhan-
-^de functiën op oneindigen afstand moeten verdwijnen.
X)e opgestelde vergelijkingen hebben nog het bezwaar, dat zij een
'oot aantal functiën bevatten en dat bovendien in sommige , b. v.
(43), integralen voorkomen. Men kan meer gesctiikte uitdruk-
irigen verkrijgen , door gebruik te maken van de volgende stellingen.
Wanneer in een ruimte, begrensd door het oppervlak^, de drie
Actiën )l, 9) ^ voldoen moeten aan de vergelijkingen
f = 0, S=0, % = 0, («)
in volgt daaruit klaarblijkelijk, dat zij ook voldoen aan de voor-
aarden
•z è y ' è X è z ' hy h x '
i>f , a»., ^Z_^^
m
i>9
Omgekeerd volgt («) uit (^), wanneer men daaraan nog de ^oor-
aarden toevoegt, dat vooreerst in de bedoelde ruimte ?, 9, %
aorloopend moeten zijn (y), en dat ten tweede aan het oppervlak S
64
«? + fc»-+c« = (J)
is.
Immers uit de drie eerste van de vergelijkingen (/9) volgt , dat
men mag stellen
waarbij ]0 een functie is, die, blijkens de laatste der vergelijkingen
(^), voldoen moet aan AJ^ = 0, en, blijkens (iJ), aan -^r — = O,
d n
als n de normaal van het oppervlak 8 is. Hieruit, in verband met
de uit (y) volgende doorloopendheid der eerste differentiaalquotienten
van )^, kan men, zooals in de leer der potentiaal functiën bewezen
wordt, besluiten, dat l^%binnen het oppervlak S constant is en dus
J^, 8, S: = zijn.
Daar klaarblijkelijk ook (y) en (d) uit (a) volgen, blijkt het, dat
de voorwaarde (a) door de drie conditiën (/9), (y) en (d) kan ver-
vangen worden, welke volkomen hetzelfde uitdrukken.
Wij kunnen deze stellingen vooreerst toepassen op (45), door
voor %, 9, 2^ de eerste leden van deze vergelijkingen, nadat zij
op O herleid zijn, te nemen. Om dan de eerste der vergelijkingen
(/9) te vormen, differentieeren wij de derde van (45) naar y, de
tweede naar z en trekken af. Dan komt er
by\ 8 J h z\ 8 J h tLJèz ^yJ
^ bti?iyLhx hyj bzLbz JJj) ' ' ' ' ^""^
Voor den eersten term in het tweede lid kan men schrijven,
zooals uit de eerste der vergelijkingen (46) volgt.
en voor den laatsten term
b ( b r^L . m . bs
Uit (43) volgt echter
65
"^+"^+"^-/x/t-^(i)+.j^(^)
^L ^M ^N
en gemakkelijk overtuigt men zich, dat de laatste integraal juist
de waarde van x voorstelt.
Verder volgt uit (43) Al« = — 4jïil, zoodat (b) wordt
?vht ^ èt
Brengen wij de verkregen uitkomsten in (a) over, dan komt er
^ly \ 8 I èz \ e I e ht'
en evenzoo verkrijgen wij
i>z \ B I èr \ e } ~ e ht'
\ • ƒ ü, [1 }~ » ht
(I)
hg
Om verder de vierde der vergelijkingen ($) te vormen, difTeren-
tieeren Tvy (45) naar ir, j^, z en tellen op. Dit geeft
of, als wij (38) in aanmerking nemen,
Evenals hier met (45) kan men ook met (46) te werk gaan.
Zoo vindt men uit de tweede en derde
dus, volgens (37), (38) en (47),
waarbij nog komen
èx\e} hy\ e J'^ Uli>t ht «ei
66
Door eindelijk de vergelijkingen (46), naar x^ y en z gedifferen-
tieerd, op te tellen, verkrygen we
^-^(tI+^ItI+^ItJ^-^^- •
(IV)
Wij moeten aan de opgestelde vergelijkingen vooreerst de voor-
waarde (d) toevoegen. Daar hier S het oneindig ver verwijderde
grensvlak der ruimte is, is aan die voorwaarde voldaan, wanneer,
zooals wij steeds stelden, op oneindigen afstand
i = ^ = i=.l = f, = p = ^=:x=0 . . . . (V)
is.
Eindelijk moet nog de voorwaarde (jr), op de continuïteit betrek-
king hebbende, in aanmerking worden genomen. De eerste leden
van de op O herleide vergelijkingen (45) en (46) moeten overal
doorloopend zijn, ook aan de oppervlakken S^ waar sommige der
functiën |, 7, i^» ^> />*t i^ ondoorloopend kunnen worden. Dit geval
kan zich b.v. aan de grens van twee middenstoffen voordoen en de
omstandigheid, dat de eerste leden der bedoelde vergelijkingen ook
daar doorloopend moeten zijn, levert ons derhalve de zoo belang-
rijke grensvoorwaarden. Doorloopend moeten dus zijn
i ^il ^ A^ ^ ^ A—T— ^ —1
enz.
e Lhz by J^ hx'
enz.
Daar echter^ voor C7, F, W, L, M, N en hunne differentiaal-
quotiënten , zooals wij vroeger bewezen hebben, steeds continuïteit
bestaat, is het noodzakelijk en voldoende, dat aan het oppervlak
S (grens van twee middenstoffen) de volgende betrekkingen bestaan
Jl . lÈi-] = iL.+ {h-\ ]
67
De vergeJ ijkingen (1) — (V), (A) en (B) zijn aequivalent raet
(45) en (46), Behalve de grootheden ^, ij^ i, l^ gt en v bevatten
zij nog slechts twee andere, ^ en jif, zoodat wij er alleen nog de
vergelijkingen (18) en (19) (met (17)), (40) en (40*) bij behoeven
te nemen , om het vraagstuk geheel bepaald te hebben.
Dit zijn de bewegingsvergelijkingen der electriciteit , zooals zij
door HELMHOLTZ Zijn opgesteld. Hü heeft verder aangetoond, dat
zij de beweging steeds ondubbelzinnig bepalen, zoo lang k positief
genomen wordt.
§ 15. Wil men de verkregen vergelijkingen toepassen op licha-
men, die alleen een geleidingsvermogen, geen vatbaarheid voor
diëlectrische polarisatie bezitten, dan heeft men sllechts
8 8 8
te vervangen door de daaraan gelijke waarden
en vervolgens e = te stellen.
Evenzoo zijn de vergelijkingen nog geldig, al wil men aan het
lichaam geen vatbaarheid voor magnetische polarisatie toekennen.
X u p
Want, al zijn den dus il, fi, v O, de verhoudingen "Z"' 'S" ' 'T*
hebben nog altijd beteekenis. Zij stellen nl. de componenten der
magnetiseer ende kracht voor en deze bestaat altijd, wanneer er
beweging der electriciteit plaats heeft, al kan zy misschien geen
magnetische polarisatie te weeg brengen.
Heeft men , zooals dit meestal het geval is , met stoffen te doen ,
die slechts zwakke magnetische of diamagnetische eigenschappen
vertoonen, dan mag men, zonder merkbare fout te maken, d overal
gelijk stellen aan de waarde Öq, die voor de lucht geldt. W^ij kun-
nen dan verder uit de vergelijkingen (I) en (III) i, ju, v elimineeren
en aldus vergelijkingen verkrijgen, waarin alleen {, 7, t en ^ voor-
komen. Door de derde van (I) naar y en de tweede naar z te
68
differentieeren en ze vervolgens van elkander af te trekken , daarbij
de eerste van (III) in aanmerking nemende, verkrijgt men
r.C/.(Thr.(lK^(l)]-M7)=
enz.,
terwijl (II) blijft bestaan. Uit deze vier vergelijkingen, die {, 17, f , ^
en dus de beweging der electriciteit (afgezien van de magnetische
polarisatie) bepalen, blijkt dat die beweging van denzelfden aard
is, welke waarde men ook aan do moge toekennen. Juister gezegd ,
uit alle proeven omtrent de bewegingsverschijnselen der electrici-
teit kan men alleen de beide constanten
(l+4»»öo)i4« en A^h,
de eenige, die in de bovenstaande vergelijkingen voorkomen, aflei-
den, maar dit geeft niet het middel aan de hand, de waarde van
^0 te leeren kennen.
Aldus wordt het vroeger gezegde bevestigd, dat men ook aan
de lucht magnetische polarisatie mag toeschrijven. Doet men dit
intusschen , dan blijkt het tevens , dat de waarnemingen niet meer
de juiste waarde van -4" opleveren. Want, bij de bepaling dezer
constante, houdt men met den magnetischen toestand der lucht
geen rekening en ziet daardoor voor A^ aan , wat (1 + 4 « Öq) ^
is. De waargenomen waarde van A? is dus door dit verschijnsel
1 + 4 n 60 maal te groot.
Kent men bovendien aan de lucht de vatbaarheid voor diêlectri-
sche polarisatie toe, met de constante e^^ dan heeft ook dit invloed
op de waarde van A, Immers men kan, blijkens § 10, A* meten*
door de electrodynamische werking D te bepalen, tusschen twee
stroomen, met de bekende intensiteiten i en ƒ Dan toch is
waarbij C een grootheid is, van den stand der stroomgeleiders
afhangende.
Maar wij zagen vroeger , dat men bij het meten van i en i deze
grootheden eJk |/i-f 47ïdo maal te klein vindt; men vindt derhalve
-4* 1 + 4 71 5j maal te groot.
i
69
Hetzelfde is het geval, wanneer men, zooals volgens § 10 moge-
lijk is , de waarde van A afleidt uit de inductieverschijntelen , bij
beweging van een stroomgeleider 5, in een tweeden geleider «f op-
gewekt.
Meet men de stroomsterkte t in 5 en de electromotorische kracht
G langs a, dan heeft men
waarbij men voor C een waarde moet stellen, die uit den ouder-
lingen stand der geleiders en uit de verplaatsing van s is te bere-
kenen. Ook nu wordt weer i V^i-{-4n8^ maal te klein gevonden,
G daarentegen evenveel malen te groot , derhalve -4* i-{-AnSo maal
te groot, wat met het boven gevondene overeenstemt.
Men kan uit het hier gezegde afleiden dat, wanneer A' de waar-
genomen, A de werkelijke waarde is , de volgende betrekking bestaat:
A'
A = z- (47)
l/(l-f4»i«o)(l+4«öo) ^ ^
Ten slotte nog een enkele opmerking over deze gewichtige con-
stante. Wanneer men nagaat, op welke wijze A verandert, als
men de willekeurige eenheden van lengte, massa en tijd wijzigt,
dan vindt men, dat A verandert op dezelfde wijze als 'het omge-
i
keerde van een snelheid , -7- dus als een snelheid. Men kan daarom
A
i
-- als een snelheid opgeven en heeft dan niet aUeen een bepaling
in absolute maat , maar is bovendien onafhankelijk van de gekozen
eenheden.
DERDE HOOFDSTUK.
DE THEORIE VAN MAXWELL.
TERUGKAATSING EN BREKING VAN HET LICHT DOOR ISOTROPE ,
NIET-GELEIDENDE STOFFEN.
§ 1. De vergelijkingen van het vorige hoofdstuk zullen ons die>
nen , om de merkwaardige ontdekking van maxwell te leeren kennen .
die hem er toe bracht, het licht op te vatten als een electromag-
netisch verschijnsel, een theorie, die, blijkt zij juist te zijn, een
der schoonste voorbeelden zal zijn van de vruchten, die een v^is^
kundige behandeling der natuurverschijnselen oplevert.
Wij zullen daartoe de bewegingsvergelijkingen (I) — (V) toepas-
sen op een onbegrensd, homogeen, iso troop lichaam, dat de elec-
triciteit niet geleidt, maar vatbaar is voor diëlectrische en het kan
zijn voor magnetische polarisatie, i) Wij moeten dan vooreerst
den weerstand x oneindig groot nemen en ten tweede a en d als
grootheden beschouwen, die onafhankelijk zijn van de coördinaten.
Tevens voeren wij, in plaats van Z, f», y, de componenten
L, M, N der (totale) magnetiseerende kracht in, die met de eerste
grootheden verbonden zyn door de betrekkingen
Behalve dat hierdoor onze uitdrukkingen iets eenvoudiger wor-
1) Het laatste doet, wat de resultaten betreft, niet ter zake.
7i
den, nemen wij aldus niet den schijn aan, dat de onderstelling
eener magnetische polarisatie voor de theorie noodzakelijk is. Onze
vergelijkingen verkrijgen nu den volgenden vorm
d z èx ó t
dx oy èt
ex oy cz ói* ^ ^
hy
bz bx'^ Ldybt ^""bü'
bx b y
(3)
)M ^L _ r b"^ A^f~I
bL bM , bN
en
{=.^ = t = L = ]if=Ar=^ = ;r = o, (4)
op oneindigen afstand.
Daarbij moeten wij nog voegen de vergelijkingen , die f en j|f in
functie van |, 7^ C, L, M, N bepalen. Nemen wij aan, dat oor-
spronkelijk nergens in den isolator een electrische lading bestond
buiten die , welke voor de diëlectrische polarisatie in de plaats kan
gesteld worden , dan geldt de vergelijking (20) van het vorige hoofdstuk
bi bn bi i
.-+4+^1=4-^^ (^)
Ter bepaling van x dient (40), waarvoor wij hier schrijven
^L bM bN__ i
bx'^ by^ bz '"ÜTe^^'
Daar x slechts in twee vergelijkingen voorkomt, zullen wij die
grootheid daaruit elimineeren; dit geeft ons
^ ^ ^
b X b y b z
zoodat wij x verder buiten beschouwing kunnen laten
a.+Fi; + -z=«' •••••• (6)
72
Om onmiddellijk den aard der electrische beweging te leeren
kennen is een andere vorm der bewegingsvergelijkingen geschikter,
dien men op de volgende wijze kan verkrijgen. Door de derde en
tweede der vergelijkingen (1), naar y en z gedifferentieerd, van
elkander af te trekken en daarby de eerste van (3) in aanmerking
te nemen, vindt men, als kortheidshalve
è a? h y hz
gesteld wordt.
Uit (2) en (5) volgt echter, door eliminatie van A f i
en door dit naar x te differentieeren en de daaruit volgende waarde
van r — ^— in bovenstaande vergelijking over te brengen, wordt dexe
d X et
A{ = 4,.(l + 4««)^'^. + |_l j^~.
Stellen wij derhalve
Ana{i + ^ne)A* = I^ (7)
en
i-<i±i^^M±l!ü).=«, (8)
dan hebben we
en evenzoo
in welke vergelijkingen nog alleen |, 7, f voorkomen.
Evenals wij hier met de vergelijkingen (i) zijn te werk gegaan,
kunnen wij ook met (3) handelen ; langs dezen weg verkrijgen wij
de volgende betrekkingen , die alleen Z , M, ^ bevatten
73
Stelt men (I) naast de vergelijkingen (5) van het eerste hoofd-
stuk, die de verplaatsingen f, 7, i der deeltjes van een elastisch
vast lichaam als functiën van tijd en plaats bepalen , dan zien wij ,
dat de hier verkregen betrekkingen den zelfden vorm hebben. Daaruit
volgt het gewichtige resultaat, dat aan elke beweging der deeltjes
van een veerkrachtig lichaam een mogelijke electrische beweging
in onzen isolator beantwoordt , waarbij wij slechts de verplaatsingen
door de diëlectrische polarisatie te vervangen hebben. Nu kunnen
zich in een elastisch lichaam transversale en longitudinale trillingen
voortplanten en wij besluiten daaruit, dat in den isolator op
dezelfde wijze een voortplanting van transversale en longitudinale
electrische trillingen mogelijk is, waarbij wij onder electrische tril-
ling het verschijnsel te verstaan hebben , dat de diëlectrische pola-
risatie een periodieke functie van den tijd is. De voortplantings-
snelheden moeten dan uit de vergelijkingen (I) op volkomen dezelfde
wijze kunnen afgeleid worden, als wanneer |, 7, ( verplaatsingen
in een veerkrachtig lichaam voorstellen; aldus vindt men voor de
transversale electrische trillingen
J_ 1
^"""^ ~ AV ^n8{i-\-AnB)'
en voor de longitudinale
v = V^TEA = L l/Sip av)
Wat de vergelijkingen (II) betreft, ook deze hebben denzelfden
vorm, als die, welke voor een elastisch lichaam gelden, wanneer
hiervoor P = O moet zijn , wat met (6) overeenkomt. Bij een veer-
krachtig lichaam is P = O echter de uitdrukking voor de onsamen-
drukbaarheid en, daar in een onsamendrukbaar medium van een
eigenlijke voortplanting van longitudinale trillingen geen sprake
kan zijn, besluiten we, dat in een isolator, die voor magnetische
polarisatie vatbaar is, geen longitudinale ma^etische trillingen
kunnen bestaan. Wel transversale, en voor deze vindt men uit
(II), dat de voortplantingssnelheid wederom door (III) wordt ge-
geven. Aan de uitdrukking magnetische triUing moet hierbij een
74
beteekenis gehecht worden , overeenkomende met die van dectrische
trüling. i)
§ 2. Wij zullen ons niet bezig houden met de algemeene op-
lossing der vergelijkingen (I) en (II), daar zij eensdeels volkomen
dezelfde is als die van de bewegingsvergelgkingen van veerkrachtige
lichamen en daar, aan den anderen kant, een bijzondere oplossing
voor ons doel genoegzaam is. Zooals men weet, kan men op groeten
afstand van het trillingsmiddelpunt, bij een eerste benadering, de
beweging van een elastisch lichaam beschouwen, als te bestaan
in een voortplanting van trillingen , met een plat vlak tot golfiront
en met een amplitudo, die overal dezelfde is. In de theorie van
het licht komt met dien bewegingstoestand een evenwijdige bundel
gepolariseerde lichtstralen overeen. Zoeken wij nu een bijzondere
oplossing onzer vergelijkingen van dezelfde soort.
Daarbij gebruiken wij onmiddellijk de vergelijkingen (1) — (6)
(behalve (4), die hier wegvalt). Gemakshalve nemen wij de voort-
plantingsrichting tot ^-as, dus het golfiront evenv^jdig aan het
1/z-vlak, Beschouwen wij dan vooreerst transversale trillingen,
zoodat de electrische trilUngen overal evenwijdig aan de y-as ge-
richt zijn , dan kunnen wij voor de diëlectrische polarisatie schrijven
1=0 , ^ = acos — (t^-^ -\r pU t = 0,
waarbij a de amplitudo, T de oscillatietijd, v de voortplantings-
snelheid is. Zien wij dan, of L, Jf, N zoodanig bepaald kunnen
worden, dat aan alle voorwaarden van het vraagstuk voldaan is.
Daar wij een bijzondere oplossing zoeken, die een voortplanting
van trillingen voorstelt, zullen wij daarbij aannemen, dat alle
termen, die geen periodieke functiën van tijd en plaats zijn, ver-
dwijnen en dus b. v. bij integratie naar t de constante = O stellen.
Daar r 1- ^ [- -;— = O is, volgt vooreerst uit (5)
è X o y èz
en daarmede is ook aan (2; voldaan. Verder geven de vergelij-
kingen (1)
i = 0, « = 0, >^— ^. (,;,„,), «co^tC-V^4
waardoor ook aan (6) voldaan is.
1) De resultaten van deze § zijn door helm hol tz aan het einde van zgne
meermalen genoemde verhandeling afgeleid.
75
Wat eindelijk de vergelijkingen (3) betreft, bij substitutie der
waarden van £, 7, (, Z, M^ N en <p geven de eerste en de derde
beide = 0, de tweede daarentegen
JTcTmTTöTv • r-v " '^" T V-"T + ^ j =
« sin — ( e — — + 15 j »
T
waaruit volgt
wat met (III) overeenkomt.
Alle voorwaarden van het vraagstuk zijn nu vervuld en wij kun-
nen, ten gevolge der gevonden waarde voor v, de uitdrukking voor
N korter aldus schrijven
iV = — 4n4V7.
Dit resultaat is natuurlijk, daar het medium isotroop is, onaf-
hankeiyk van de gekozen voortplantings- en trillingsrichting. Nemen
wij verder de gesteldheid van het gekozen assenstelsel (hoofdst. II,
§ 13) in aanmerking, dan kunnen wij het volgende vaststellen.
In een isotropen isolator kunnen zich transversale electrische tril-
lingen zoo voortplanten , dat het golffront een plat vlak , de ampli-
tudo overal dezelfde is. De voort plantingssnelheid wordt daarbij
gegeven door (III). Ligt de electrische trillingsrichting overal in
een vlak, door de voortplantingsrichting gaande, dan bestaat in
elk punt een magnetiseerende kracht, loodrecht op dat vlak, zoodat
bij een isolator, die gemagnetiseerd kan worden, de electrische
trillingen van magnetische vergezeld gaan. Daarbij heeft een draaiing
over een rechten hoek van de richting der diëlectrische polarisatie
naar die der magnetiseerende kracht denzelfden zin, als de bewe-
ging der wijzers van een uurwerk, voor een beschouwer, geplaatst
aan de zijde, van waar de trillende beweging komt. Eindelijk
wordt de grootte der magnetiseerende kracht bekend, door die der
diëlectrische polarisatie met AtnAY te vermenigvuldigen.
Ëvenzoo kan men longitudinale trillingen beschouwen, met een
plat vlak, loodrecht op de or-as, tot golffront. Dan is
2.**/ X \
$ = a cos— ^e— — +pj, 7 = 0, t = 0,
en volgt uit (1)
X = itf = iV=0,
76
zoodat bij longitudinale electrische trillingen geen magnetiseerende
kracht optreedt. Uit (3) vindt men dan verder
^— =47ï| , -—==— = 0,
ê X ó y ó z
derhalve
9= ~2rVa sm— ^^-— -M)j,
waardoor ook aan (5) voldaan is. Eindelijk geeft (2), na eenige
herleiding,
V*^ —
wat overeenstemt met (IV).
Het blijkt ten slotte, dat men bij de longitudinale trillingen ge-
heel afhankelijk is van de onbekende constante k. Zoolang deze
een positieve waarde heeft is een voortplanting van longitudinale
trillingen mogelijk, zooals wij die boven behandelden. WordtA; = 0,
dan wordt V = «; m. a. w. een eigenlijke voortplanting van lon-
gitudinale trillingen is dan onmogelijk, wat in dit geval ook on-
middellijk uit de vergelijkingen (2) en (5) is af te leiden. Dit komt
overeen met de theorie van maxwell , waarbij dan ook stilzwijgend
/f = O is gesteld. Kon eindelijk k negatief worden , dan leverde de
formule (IV) een imaginaire waarde voor V op; dan kon dus een
golvende voortplanting van longitudinale trillingen niet bestaan en
men zou bij nader onderzoek tot een geheel anderen bewegings-
toestand komen.
Niet alleen zijn wij bij deze trillingen van k afhankelijk, maar
bovendien wordt door de in § 13 van het vorige hoofdstuk aange-
wezen moeilijkheid de uitkomst onzeker gemaakt. Geheel anders
is het met de transversale beweging. Daar hangt de voortplan-
tingssnelheid niet van k af en de grond voor deze omstandigheid
is hierin gelegen, dat bij deze trillingen de electriciteitsbewQging
met die eener onsamendrukbare vloeistof overeenkomt en derhalve
als een stel gesloten stroomen kan opgevat worden. Bij de indu-
ceerende werking van dergelijke stroomen is echter de waarde van
k zonder invloed. Tevens bestaat bij een dergelijken bewegingstoe-
stand, zooals wij in § 13 van 't tweede hoofdstuk opmerkten, ook
het daar aangewezen bezwaar niet meer.
De beide onderzochte bewegingstoestanden hebben derhalve vol-
77
strekt niet denzelfden graad van zekerheid. Alleen bij de transver-
sale bev\reging zijn vfij onafhankelijk van eenige moeilijkheden , die
bi| de opstelling van de algemeene bev^egingsvergelijkingen niet
waren te ontgaan. Gelukkig hebben wij in 't vervolg vooral met
deze trillingen te doen, die wij dan ook, zonder het er uitdruk-
kelijk bij te voegen, zullen bedoelen.
§ 3. Wat vooreerst de voortplantingssnelheid dezer trillingen
betreft, wij hebben die in (III) aangegeven. Neemt men echter in
aanmerking, dat A in die formule de vyerkelijke waarde dezer con-
stante voorstelt, die door de betrekking (47) van het vorige hoofd-
stuk met de waargenomen waarde A' is verbonden , dan vinden wij
A' ^ 4 »ï ff (1 + 4 f» Ö)
Voor de lucht wordt dit
_ 1 lyT j +4na,
A' ^ 4n8o
Maxwell, die de bewegingsvergelijkingen der electriciteit op
eenigszins andere wijze opstelde dan wij gedaan hebben , vond voor
de l4ht 1)
1
v =
T"'
zoodat die snelheid geheel uit electromagnetische waarnemingen zou
1
zijn af te leiden. Werkelijk is -— • bepaald en men heeft reeds
spoedig opgemerkt, dat de uitkomst zeer weinig verschilt van de
snelheid van het licht.
Dit blijkt uit de volgende opgaven voor deze twee grootheden,
^eide in meters per seconde.
P'XZBAU . . .
Astronomische ")
liepalingen ^
Oobnu. . . .
p^oucault . .
et licht
314000000
1
'aJ'
308000000
Wbbbr .
310740000
300330000
Maxwell.
•
288000000
298360000
Thomson .
.
282000000
^at de snelheid van het licht betreft, verdient, dunkt mij, het
X) Maxwell, Electr. and Magn., $ 786.
78
resultaat van cobnu, wegens de overeenstemming met dat van
i
poüCAüLT , het meeste vertrouwen. De getallen , voor — • opgege-
ji
ven, loopen vrij sterk uiteen, maar aan weerszijden van de door
coRNü en FOüCAüLT gevonden snelheid van het licht. Zeer is het
1
te hopen, dat — nogmaals met al de nauwkeurigheid bepaald
A
worde, die te bereiken is. Zal men intusschen uit de getallen,
zooals zij nu zijn, een besluit trekken, dan kan het geen ander
zija dan dit, dat, bij een eerste benadering, — en de voortplan-
A
tingssnelheid van het licht als gelijk te beschouwen zijn.
En zoo kwam maxwell tot het resultaat, dat zich in de lucht
transversale electrische trillingen kunnen voortplanten met een snel-
heid, gelijk aan die van het licht. Moeilijk was hierin een louter
toevallige analogie te zien. Het zou zeker een zonderling spel der
natuur zijn» wanneer zich, behalve die electrische trillingen , andere
trillingen van denzelfden aard en met dezelfde voortplantingssnel-
heid in de lucht konden voortplanten, waarbg de werkende krach-
ten geheel andere zouden zijn, dan bij de eerste. Veel eenvoudiger
was het , zooals maxwell deed , aan te nemen , dat zich slechts ééne
soort van beweging met de gevonden snelheid in de lucht kan
voortplanten en dat dus het licht in werkelijkheid in electrische
trillingen bestaat.
Ook wij zullen die onderstelling maken, maar, om dit te mogen
1
doen , moeten wij zoo over ^o beschikken dat v = — wordt Daar-
toe is het voldoende , aan te nemen , dat 9^ (en dus ook e voor een
willekeurigen isolator) een zeer groot getal is, zoodat men , althans
bij een eerste benadering, het omgekeerde ervan ten opzichte van
de eenheid mag verwaar loozen. Immers ten gevolge van deze hypo-
these — die wij in 't vervolg steeds zullen volhouden — mag men
in plaats van de waarde, die wij voor v vonden, de grootheid
1
—7; nemen.
A
Wanneer wij de waarschijnlijkheid overwegen, die er voor maxwsll's
meening is , moeten wij niet uit het oog verliezen , dat , zooals wij
in het eerste hoofdstuk opmerkten, de feiten alleen het hoofdbe-
ginsel der undulatietheorie bewezen hebben , dat de nieuwe theorie
79
onaangeroerd laat bestaan. De gelijkstelling van het licht met de
trillingen van een elastisch lichaam voerde echter , gelijk wij zagen,
tot zoo groote moeilijkheden, dat dit het zeker van des te meer
belang maakt, te onderzoeken, of maxwbll's hypothese een be-
hoorlijke verklaring van alle lichtverschijnselen kan geven. £n
mocht zij dit beter doen dan de theorie van fresnel, dan zou
men de hoop mogen voeden, dat men met de electromagnetische
theorie althans op den goeden weg is, al is onze wetenschap nog
te onvolkomen, om alle moeilijkheden te overwinnen.
§ 4. Vooreerst rijst de vraag op, of de nieuwe beschouwings-
wijze ook voor andere diëlectrische middenstoffen dan de lucht de
juiste voortplantingssnelheid oplevert. Zoeken wij daartoe de ver-
V
houding — , waarbij Vo voor de lucht geldt. Uit (III) volgt
n 8{i+4ne)
n 8^{i+4nBo)
Nu is voor alle onderzochte diëlectrische stoffen de verhouding
i + 4*ïd
— zeer weinig van de eenheid verschillend (bij het sferk
1+4ndo
diamagnetische bismuth is volgens boltzmann dat verschil minder
dan 0,0003) , zoodat men slechts een onmerkbare fout begaat , door
voor die verhouding de eenheid te nemen. Nemen wi] daarbij onze
onderstelling omtrent «^ en a in aanmerking, dan mogen wij schrijven
Maar, zooals men weet , is — de brekingsindex n , zoodat men
moet hebben
Men ziet hieruit, dat de theorie in den vorm, dien zij nïi
heeft, de dispersie niet verklaren kan. Dit is echter geen ber'
langrijk bezwaar; de vroeger aangenomen theorie toch kan dit
in haar eenvoudigsten vorm evenmin en het is zeer goed mogelijk ,
dat wij de dispersie uit onze vergelijkingen zouden zien volgen,
zoodra wij bij de behandeling der diëlectrische polarisatie alle om-
standigheden in rekening brachten, met name de moleculaire con«
stitutie der stof. Willen wij nu intusschen de waarden van K met
die van n vergelijken, dan zullen wij den brekingsindex voor lang-
80
zame trillingen moeten nemen , daar deze althans meer dan snellere
tot de proeven naderen , waardoor wij K bepalen ; m. a. w. wij
zullen de waarde van n moeten nemen, die uit de dispersiefor-
mules voor oneindig lange golven voortvloeit.
Maxwell, die het eerst de gevolgtrekking maakte, dat het
specifiek induceerend vermogen gelijk moet zijn aan de tweede
macht van den brekingsindex , kon dit alleen voor paraffine op de
proef stellen. Daarvoor was door gibson en barclat 1) gevonden
X = 1,975, dus l/T= 1,405.
Voor den brekingsindex volgde uit de metingen van gladstoihs
n = 1,422.
Men moet hierbij in het oog houden, dat de door gibson en
BABCLAT verkregen uitkomst, zooals boltzmann heeft aangewezen,
waarschijnlijk te klein is. Bovendien experimenteerden deze waar-
nemers met vaste , oladstone daarentegen met gesmolten parafüne.
Nauwkeuriger is later K voor eenige stoffen bepaald door
BOLTZMANN 2) en wel volgens twee methoden, uit condensator-
proeven nl. en uit de aantrekking, door geélectriseerde voorwerpen
op diëlectrische lichamen uitgeoefend. Bij zwavel, paraffine en
colophonium , die de nauwkeurigste metingen toelieten , verkreeg
hij de volgende resultaten, als de meest waarschijnlijke uit ver-
schillende proeven.
K n*
Condensatorproeven .
Zwavel 3,84
Paraffine • . 2,32
Colophonium 2,55
De brekingsindex van paraffine werd door boltzmann zelf naar
de methode van wollaston bepaald; zooals men ziet is de uitkomst
vrij wat grooter dan die van gladstone.
De overeenstemming tusschen K en n* is, naar 't mij voorkomt,
zoo groot als men met grond bij deze bepalingen kon verwachten.
Nog schooner bevestiging van de electromagnetische theorie van
)iël. aantrekking.
3,90
4,06
2.32
2,33
2,48
2,38.
1) Phü. Trans. 1871, p. B78.
^) Pogg. Ann. 151, 153. Uitvoeriger vindt men sommige zaken besproken
in een paar verhandelingen «^über die elektrostatische Fernwirknng dielektrischer
Körper." Uit een van deze zijn de waarden van K en »* overgenomen.
81
het licht wordt opgeleverd door het gedrag der gassen. Boltzmann 1)
heeft een reeks onderzoekingen volbracht over het specifiek indu-
ceerend vermogen van deze lichamen. De methode, die hij hierbij
volgde, komt in hoofdzaak neer op een vergelijking van het indu-
ceerend vermogen K van hetzelfde gas bij verschillende drukkingen.
Daarbtj bleek vooreerst, dat K met vermeerdering van drukking
toeneemt, en v\rel zoo, dat de aangroeiing van K met die der
drukking evenredig is. Door aan te nemen, dat dit voor alle
waarden der drukking, tot O toe, doorgaat, was boltzmamn in
$taat, uit zijne proeven de waarde van K voor een gas, vergeleken
met het luchtledige, af te leiden. Dan moet l/ ül, volgens de
theorie van maxwell, gelijk zijn aan den absoluten brekingsindex
van het gas, daar het verschil der waarden, die i-^+^nd in het
luchtledige en in de verschillende gassen aanneemt, zeer klein
is. De volgende tabel geeft voor eenige gassen i/ iT en den abso-
luten brekingsindex n, zooals die door dulong bepaald is. Beide
grootheden hebben betrekking op een temperatuur van 0° G. en
een drukking van 760 mM.
|/T~ n
Lucht 1,000295 1,000294
Koolzuur 1,000473 1,000449
Waterstof 1,000132 1,000138
Kooloxyde 1,000345 1,000340
Stikstofoxydule .... 1,000497 1,000503
Olievormend gas ... 1,000656 1,000678
Moerasgas 1,000472 1,000443
Dat in alle gassen e en de voortplantingssnelheid van het licht
bijna dezelfde waarde hebben, als in de luchtledige ruimte, wijst
er zeker op, dat ook in de gassen de diëlectrische polarisatie haar
zetel heeft in den aether, terwijl de in (betrekkelijk) gering aantal
voorkomende gasmoleculen op dit verschijnsel slechts een kleinen
invloed uitoefenen. Ook bij vaste en vloeibare lichamen wordt het
door sommige verschijnselen 2) waarschijnlijk gemaakt, dat tus-
schen de moleculen nog altijd de aether aanwezig is. Wil men dan
1) Pogg. Ann. 155.
2) Hiertoe behoort b.v. de invloed, dien de beweging der middenstoffen op
de lichtverschijnselen uitoefent.
6
82
een in alle opziphten voldoende behandeling der electrische bewe-
gingen in een dergelijk lichaam geven, dan moet men vooreerst
met den aether, ten tweede met de daartusschen liggende mole-
culen rekening houden. Daarbij komen dan afstand, grootte en
voim der laatste in aanmerking, omstandigheden, waaruit waar-
schijnlijk de verklaring der dispersie en der draaiing van het
polarisatievlak moet voortvloeien. Wij zullen hier deze zaken niet
bespreken. Alleen merken wij op , dat men bij de gassen , waar de
invloed der moleculen zeer klein is , bij een eerste benadering dien
invloed zeer gemakkelijk in rekening kan brengen. Wij nemen
daarbij aan, dat de aether in een gas volkomen dezelfde eigen-
schappen heeft, als in de luchtledige ruimte. Werkt nu op het
element d x dy dz van een gas de electromotonsche kracht X, in
de richting der or-as, en vormen wij weder, evenals op p. 31,
de som Sen, dan bestaat deze hier uit tweedeelen, waarvan het
eene door den aether, het andere door de gasmoleculen wordt op-
geleverd. Het eerste is klaarblijkelijk e^Xdw dydz, waarbij 6^ de
constante der diëlectrische polarisatie voor de luchtledige ruimteis.
Wat de gasmoleculen betreft , onderstellen wij , dat in elke molecule
door een electromotonsche kracht X een electrisch moment, in de
richting dier kracht en met de grootte m X wordt opgewekt,
waarbij m een constante is. Zijn nu in de eenheid van volume p
gasmoleculen aanwezig , dan vindt men gemakkelijk , dat de gas-
deeltjes voor £ en het bedrag mp Xdxd'tjdz opleveren. Wij
hebben derhalve
Xex = soXdxdydz + mp Xdxdydz,
of daar, volgens § 2 van het tweede hoofdstuk,
ZeiL = êXdxdydz
is,
8 = bq -{■ m p.
Hieruit volgt
\ +An8 Anmp
K= — — ; — — =1'
1+471 «o i -\- 4nBo'
Daar p met de dichtheid van het gas evenredig is, wordt door
deze vergelijking vooreerst bevestigd, hetgeen door boltzmanm om-
trent de betrekkiijig tusschen K en de drukking is gevonden.
Is verder n de absolute brekingsindex, dan heeft men, volgens
de theorie van maxwell.
83
dos
" ^^ = 4~rl^^'
Daar p met de dichtheid d evenredig is , volgt hieruit , dat
d
voor elk gas standvastig is. Dit is de uitdrukking voor de bekende
wet van arago en bigt 1).
Past men dergelijke beschouwingen als de bovenstaande op meng-
sels van gassen toe, waar m voor elk gas dezelfde waarde heeft,
als wanneer het niét met andere is vermengd , dan komt men ge-
makkelijk tot de wet, die door de genoemde natuurkundigen omtrent
de brekende kracht van gasmengsels uit hunne waarnemingen is
afgeleid. Dat die wet voor verbindingen van gassen niet meer
doorgaat volgt onmiddellijk hieruit, dat daarbij moleculen van geheel
andereii aard, dan de oorspronkelijke, ontstaan zijn , zoodat omtrent
de waarde van m hier niets te zeggen is
Ten slotte merken wij nog op, dat men, daar bij dezelfde tem-
peratuur en drukking p voor alle gassen even groot is, uit de
l>rekingsindices de verhouding der waarden van m in verschillende
gassen kan afleiden.
§ 5. Het behoeft geen breedvoerige toelichting, dat ïïaxwell's
hypothese alle interferentieverschijnselen verklaren kan. Deze toch
vinden hun grond in den aard der 1 ichtbe weging , als een golvende
Voortplanting van trillingen, verbonden met het .principe , dat men
bet beginsel van de coëxistentie der kleine bewegingen genoemd
"©eft. Dit zegt echter niets anders, dan dat de som van eenige
oplossingen der bewegingsvergelijkingen nog een oplossing is, wat
onmiddellijk uit de omstandigheid volgt, dat onze vergelijkingen
'^neair zijn en geen bekende termen bevatten.
Klaarblijkelijk kunnen volgens de nieuwe theorie gepolariseerde
lichtstralen bestaan. Inderdaad moet de eerste der in § 2 onder-
zochte bewegingstoestanden als een bundel gepolariseerd licht wor-
den beschouwd. Daarbij kan men dan voorloopig nog twee zaken
Aannemen, dat nl. de richting der electrische trillingen in het
Polarisatievlak ligt, of loodrecht daarop staat.
l) Zie 1VÜLLMEB, Sxperimentalphysik, Il p. 153.
84
Gaan wij thans over tot de behandeling van de terugkaatsing
en breking van het licht aan de grens van twee isotrope diëlectrl-
sche middenstoffen.
Vraagt men alleen naar de richting der teruggekaatste en gebro-
ken stralen, dan vindt men, dat de theoretische verklaiing van de
wetten, welke die richting bepalen, onveranderd blijft bestaan. Of
echter de electromagnetische theorie in alle opzichten de gesteld-
heid van het teruggekaatste licht juist aangeeft en daarbij nieL
op dezelfde bezwaren stuit, die wij in het eerste hoofdstak ont-
moetten , vereischt een nader onderzoek. Daarbij houden wij ons
aan de bepalingen, die wij op p. 9 vastgesteld hebben. De grens-
voorwaarden (A) van p. 66 nemen dan den volgenden vorm aan
!i_!i=_rf|-^) -(|ü)-|, 2L = ï., L=fi , (O
«1 «2 L\^^/i \ö ar/aj «1 «2 «1 ^2
daar toch het grensvlak loodrecht op de x- as ondersteld is en dos
- — en r— noodzakelijk doorloopend moeten zijn.
ó y è z
Evenzoo worden de voorwaarden (B) met de hier ingevoerde
notatie
Mi = Af2, Ni = N, (10).
Behalve de voorwaarden, dat ^ (en x) doorloopend is, moetefi
hier nog de vergelijkingen (21) en (40*) van het vorige hoofdstuk
bij worden gevoegd, die hier overgaan in
.(li)
en
^'-^'=4i;[(è7),-(èT).] ■ •
Daar wij x steeds buiten beschouwing hebben gelaten, zullen wij
ook hier die grootheid elimineeren uit de twee eenige vergelijkin-
gen, waarin zij voorkomt. Dit geeft
(1 +47100 A = (i+47.ö,)t, .... (12)
De doorloopendheid van ^ en de vergelijkingen (9) — (12) maken
alle grensvoorwaarden uit.
Achtereenvolgens dienen de twee hoofdgevallen van bet vraag-
85
stuk ter sprake te komen; de richting der eiectrische trillingen
kan namelijk vooreerst loodrecht op het invalsvlak staan, ten
tweede in dat vlak liggen.
§ 6. In het eerste geval zullen wij aantoonen, dat men aan
alJe ^rensvoorwaarden voldoen kan , door alleen transversale tril-
lingen in rekening te brengen. Ten overvloede zullen wij daarbij de
wetten der terufi:kaatsing en breking uit die grensvoorwaarden zelve
afleiden. Daar het invalsvlak ondersteld wordt , tot x z-vlak te zijn
gekozen, vindt men gemakkelijk uit het in § 2 besprokene, dat
de invallende trillingen kunnen voorgesteld worden door
7i'=cosv';, j ^^ ^ ^
Li = 4^ AVi sin «i cos \pi\ >i///= -^( t cos a^ sin «i+l^i' )»
iVi = — 4«-ilViC0saiC0SV/i, 1
de teruggekaatste door
7r==a,cosv/r, l '2^/ X z \
A"=4flr i4 Vitti sin oti" cos xpi\ > ip^''^:- It-^ — cos «i" sin ai"+Pi" ),
NÏ'=:z4ifA'.Yi tti COS «i" cos l//i", 1
en de gebroken beweging door
^i = a,cosv/3, I 2w/ X z , \
^^ = 4 «• -4 Vj Oa sin «3 cos «//ji ) i//j = — -( t cosaj sinaa+jJal»
V . . \ T \ V^ Va /
^^2^ — 4ïri4 V2a2C0sa2C0sy2 /
terwijl overal 5=f-JI = 9> = is.
Hierbij stellen «i, «i" en «a resp. de hoeken van inval, terug-
^aatsing en breking voor , terwijl de teekens zoodanig zijn gekozen ,
dat deze hoeken alle scherp moeten genomen worden.
Gemakkelijk is het in te zien, dat aan alle grensvoorwaarden
van zelve voldaan is, behalve aan de tweede van (9), de tweede van
(10), en (12); alleen met deze laatste hebben wij derhalve rekening
te houden.
De eerste dezer vergelijkingen geeft hier, daar aan de grens
a? = O is ,
— f^os T (^"~ ^ ^^" «1 + Pi' j+«iCos-^U — ;^ sin oi"4pi"j J=
1 2«-/ z . . \
^ — aacos — (t— — sin«a + pjj,
of, als men kortheidshalve
86
2»
stelt,
^[cOs(^'-?.')+«.COs(^'-?.")]=l«,COs(?^'-gr«).
Uit de omstandigheid, dat deze vergelijking voor elke waar — de
van t moet doorgaan, volgen de beide betrekkingen
11 sin gi" 1 sin ga ..— — >n
1 a, -r ;• = — a^- . • . . (i-i=)«J
«1 «1 sin gi 5, sin qi
en
1 1 cos Qx' 1 cos <72 - ,
f-— «1 r=— «3 ^ .... (l^^é-
8i Si cosgi fia cos qi
Op dezelfde wijze levert eeh der andere grensvoorwaarden tv^^^ee
vergelijkingen op van den vorm
^ , sinöi" ^ sinö, ^^ ^_ .
sm gi sin gi
^ , cosgi" , cos o- ^. _^ X
cos q^ cos gi'
Men kan dan verder uit (13») en (14^) de beide onbekenden
sin qi' sin q^
«i 7 en a^-^
sm gx sm g/
uit (13*) en (U*) de twee grootheden
cos flfi" cos Oj
ai h- en «2 — ^,
cos qi cos gi
oplossen. Daar echter in (13») en (136) en evenzoo in (14.) en (l-i^.^)
dezelfde coëfficiënten voorkomen, moeten de beide oplossingen d^"
zelfde zijn. Men heeft derhalve
sin qi cos q^ sin ga cos q^
fli -; = ai en a^ — = Oa , ,
sin gi cos qi sm gi cos g/
waaruit volgt
qi=qi" = q2^
dus
^ . , 2 . „ „ z .
— sm opi — ü, = — sm «1 — «1 = — sin «2 — p,.
87
Zal dit langs het gehcele grensvlak, dus voor alle waarden van
z, juist zijn, dan moet men noodzakelijk hebben
sin «1= sin a/', «i = «i", .... (i 5)
sin «1 sin «^
= (16)
en
Vi = ïh!' = P2'
Wij komen dus vooreerst tot de wetten der terugkaatsing en
breking en leeren in de tweede plaats, dat aan het grensvlak de
phase onzer drie lichtbundels dezelfde moet zijn.
Deze omstandigheden brengen het voordeel aan , dat aan de grens
Vi' = Vi" = V2 wordt, waardoor de grensvoor waarden meer een vou-
<iige vergelijkingen opleveren. De boven reeds gebezigde conditie
geeft dan nu de betrekking
i±^' = -^ (17)
Bi 82
Verder geeft de tweede der vergelijkingen (10)
(1 — a,) V, cos «i = «2 V2 cos «i, (18),
terwijl eindelijk uit (12) volgt
(1 + «i) (1 + 4 flT dl) Vi sin ni = afi{i+4k^ ö,) V3 sin «j.
Door (16) en de waarden van Vi en v« in aanmerking te nemen,
overtuigt men zich echter gemakkelijk, dat de laatste vergelijking
dezelfde is als (17), zoodat men slechts van deze en (18) voor de
bepaling van Ui en «3 gebruik heeft te maken. Het vraagstuk is
dus juist bepaald en men vindt
fij Vj cos «, — Bi Vj cos «1
«i = ; (19)
62 V2 cos «2 + «1 Vi cos «i
Een zeer eenvoudigen vorm neemt deze uitdrukking aan, wan-
neer wij in aanmerking nemen, dat bij een eerste benadering ge-
1 -A-AvfBi
rustelijk -. — ^ = 1 mag gesteld worden. Immers dan is ,
1 + 4 «■ Ö2
blijkens (III),
«1 V2'
waardoor (19) overgaat in
62 Vi« '
88
Vi cos «2 — Vj cos «i sin «i cos «a — sin «a cos «i
* Vi cos «2 + Vj cos «1 sin «^ cos aea + sin o, cos a/
^^^_smK^) ^^
sm («i + «a)
Voor de amplitudo van het gebroken licht vindt men dan verder
uit (17)
^2 /j I \ «2 2 sin «2 cos oi
oj = — (1 + ai) = ^- j . . . (VJ
fii ei sm («1 + «2)
De uitdrukking (V) komt overeen met de uitkomsten, die de
waarneming heeft opgeleverd voor licht , dat in het invalsvlak ge-
polariseerd is. Daaruit volgt, dat de electromagnetische theorie
voor dit geval tot juiste resultaten voert , mits men stelt, dat in
een bundel gepolariseerd licht de electrische trillingen loodrecht op
het polarisatievlak staan 1).
§ 7. Liggen de electrische trillingen in het invalsvlak en is
dus het invallende licht loodrecht op dat vlak gepolariseerd, dan
ligt het voor de hand aan te nemen (evenals bij de theorie van
cauchy), dat er, behalve teruggekaatste en gebroken transversale
trillingen, ook stralen met longitudinale trillingen ontstaan. Wij
beginnen daarom met dit te onderstellen en laten het aan de
theorie zelve over, te beslissen, of misschien die longitudinale
beweging buiten rekening kan gelaten worden.
Wij stellen derhalve voor het invallende licht (men zie § 2).
Il' = — sin «i cos y/i', 1
f i' = cos «i cos u/l', f,2»-/ X z . , \
' * ^ } ^i = — It cos «i smai+jj),
n' = o, 1
voor de teruggekaatste transversale trillingen
Ji" = — fli sin «i cos 1//1", \
fi" = — Oi cos «i cos u/l", I ,, 2 7i/ a? z . \
w. / ' ^\ Ur=— (< + — cos«i~— sin«i+J> ,
Mi"^ 4jrilaiViC0s^i", 1 r \ Vi Vi /
en voor het gebroken licht
{j = — a, sin «2 cos ^2 ,
(, =r Os cos a, cos
Af 3 = 4jri4a2V2COsy2
9»2 = 0,
Yii J
11/2, f 27ï/^ a? z . \
^' ' > U/2 = \ t cos «2 sm Ct2+P]'
8^2, i T\ Vi V2 /
1) Dit is door maxwell uit de verschijuselen der dubbele breking afgeleid.
Electr. and Magn. $ 797.
89
Zijn /?! en /?3 de hoeken van terugkaatsing en breking voor de
longitudinale trillingen, dan kunnen wij voor deze beweging in
het eerste medium stellen
li"'= — 6iC0SftC0SV/i"', j
fr= 6iSin/?iC0sv/i"', [ ,, 2 n/ X ^ - o , \
en in het tweede medium
{,' = 62 cos /SjCOS lp2f k
i^'= 63 sin ft cos u^j', |.2«/ x ^ ^.«.\
Jfcf2=0, J
Overal is
iy = I. = iV=0.
Kortheidshalve nemen wij hier de wetten der terugkaatsing en
breking aan , alsmede de gelijkheid in phase der verschillende golf-
stelsels aan het grensvlak. Men zou ook hier die omstandigheden,
op een dergelijke wijze als in het vorige geval, uit de grens-
voorwaarden kunnen afleiden.
Volgens de bovengenoemde wetten i$
sin «1 _ sin «a _ sin ^i sin ft
■^^— "^-^tT-'W ' • • • ^^^^
en dientengevolge aan het grensvlak (voor a? = 0)
Vi' = Vi" = Vi'" = Va = Va'»
wat onze vergelijkingen zeer vereenvoudigt.
De voorwaarde, dat *p doorloopend moet zijn, geeft ons de ver-
gelijking
6iVx=l6,V3 (21)
Uit de eerste van (9) volgt verder
(1 + «O sin ai \+A n 8. Oj sin aj i+Ane.
1 öicos^i== 6j00sft(22)
81 61 S2 «3
en uit de derde
(1 — Oi) cos «. 1 , . ^ Oa cos 03 1 , . ^
-'+-5|Sin/9i=-^ -^ +- fcjsiniSa, . .(23;
terwijl aan de tweede van zelve voldaan is.
Verder geeft ons de eerste van de vergelijkingen (10)
(l+«i)Vi = a3V3 (24)
90
De betrekking (ii) eindelijk wordt hier
(1 +ai) sina, = aa sina,, (25)
terwijl de tweede van (10) en (12) wederom = geven.
Zooals uit (20) blijkt, zijn (24) en (25) dezelfde vergelijking,
zoodat wij in (21), (22), (23) en (25) vier vergelijkingen hebben,
ter oplossing der onbekenden ai, 03, &i, &s.
Daar uit (21) volgt
bi sin Pi = 6s sin /9s ,
kan men voor (23) schrijven
(1 — ai) cos «1 aj cos «2 / 1 1 \ .
=1 )bi sm i?i
«i 82 \«j «1/
en voor (22)
(1 -f- ^i) sin «1 Os sin a^
«1 82
= _ (l±i!:i'cotA+i±^^'cotA\ è.8in A.. (26)
Door hieruit bi sin /9i te eliniineeren verkrijgt men
^r(1 +aO sin «._c^sin^-i/J^_jl^X^^ ..(27)
L Si «S J \ «2 81/
welke vergelijking ifiet (25) de waarde van ai en aj bepaalt.
Zijn deze gevonden, dan kan men uit (26) bi en vervolgens uit
(21) 6j vinden.
Nemen wij nu onze onderstelling in aanmerking , dat ei en «j zoo
1 1
groot zijn , dat men — en — ten opzichte van de eenheid mag
*i 82
verwaarloozen , dan wordt (27) veel eenvoudiger, nl.
C(1 — ai) cos «1 Oa cos «jH . , ^ .
^ '-^ i— ^ (cotft + cotft) = 0,
of
(1 — ai) cos Oi a, cos «2
.... (28).
'1 82
Verder blijkt dan uit (26), dat 61 een grootheid wordt, van
1
dezelfde orde als — , en evenzoo 63, zoodat men bij een eerste
benadering mag zeggen , dat er geen longitudinale trillingen ontstaan.
91
Lost men uit (25) en (28) de onbekenden op, dan vindt men
8i sin tti cos «2 — «2 sin «2 cos «i
«1 = : ; : .... (29)
8i sm «1 cos (X2 + ^s sin at^ cos ni
Stelt men ook hierbij , , , — ^ = 1 , dan wordt
1 + 4 «■ Ö2
*!:«„ = Va* : Vj* = sin* «2 : sin* «j
en gaat (29) over in
sin «2 cos «2 — sin «i cos «i
a, =
of
sin «2 cos «2 + sin ai cos «i
tg («i + Og)
terwijl uit (25) volgt
giü^iTi . tg(«i-«.) -] .^
sin«2L'^tg(«,+ «2)J ^'''•^'
Zooals men ziet komt (VI) met de ervaring overeen. En hier-
mede is het resultaat afgeleid, dat reeds vroeger door helmholtz
werd gevonden (Inleiding, p. 2). De door hem gemaakte opmerking ,
dat men , door 6i = s^ te stellen en dus alleen de magnetische eigen-
schappen der twee middenstoffen te doen verschillen , ook tot juiste
resultaten komt , wordt door onze formules bevestigd. Want alsdan
gaat (19) over in (VI), (29) daarentegen in (V). Daar echter dit
geval stellig niet verwezenlijkt' wordt , kunnen wij het verder met
stilzwijgen voorbijgaan.
§ 8. Het is niet van belang ontbloot, de hier gegeven theorie
met die van cauchy, die tot dezelfde resultaten tracht te komen,
te vergelijken. De laatste moest, om voor het eerste hoofdgeval
tot juiste uitkomsten te komen, de onderstelling maken, dat de
elasticiteit des aethers overal dezelfde is (Hoofdst. I, § 7). V^ij
1 + 4 «■ dl
moesten op een dergelijke wijze — ^ = i stellen , wat echter
1 -f- 4r «• öj
geen onderstelling is , maar ons door de waarneming geleerd wordi.
Over het algemeen is het als een voordeel van maxwell's theorie
te beschouwen dat zij de optische eigenschappen der lichamen in
onmiddellijk verband brengt met andere waargenomen feiten.
Verder leverde het bij de theorie van cauchy zwarigheden op,
om in het tweede hoofdgeval de longitudinale trillingen , om 't zoo
te noemen , te doen verdwijnen. Hier werd dit onmiddellijk bereikt
92
door de onderstelling, dat e zeer groot is, een hypothese, die
tegen niets strijdt, ons de juiste waarde voor de voortplantings-
snelheid opleverde en bovendien andere moeilijkheden zal oplossen.
Men had, ten gevolge van die onderstelling, het tweede hoofd-
geval op meer eenvoudige wijze kunnen behandelen. Men kan nl.
onmiddellijk de grensvoorwaarden door de invoering ervan wijzigen.
Uit de eerste der vergelijkingen (9) en uit (11) volgt door eliminatie
van f
i + Ansi l+47i*j
§1 = §2
en vervolgens uit (11)
1
Wordt nu — oneindig klein, dan volgt uit deze vergelijkingen,
Il /^ 9\
dat de verhouding -7- oneindig weinig van de eenheid en ( ^ — )
«i V ^/ 1
oneindig weinig van I :r— ) verschilt. Bij een eerste benadering
\è x/t
kan men in plaats van deze beide vergelijkingen nemen
^.-^.••(^:).=G-^).'
waarbij dan de overige grensvoorwaarden zijn te voegen. Aan
de aldus verkregen condities kan men voldoen, door alleen trans-
versale trillingen in rekening te brengen en men komt dan tot
dezelfde uitkomsten , die wij boven vonden.
Met een enkel woord wil ik nog aangeven, welken invloed het
heeft, wanneer men sommige onderstellingen, waarop de gegeven
theorie steunt, laat varen. Wilde men vooreerst de kleine afwij-
king in rekening brengen , die de verhouding - — -— ; — -^ van de
1 + * «• öj
eenheid vertoont, dan zou men uit (19) en (29) vinden, dat dit
alleen een kleine verandering in de intensiteit van het terugge-
kaatste licht ten gevolge had, te klein om door ons waargenomen
1
te worden. Onderstelde men in de tweede plaats, dat — nog een,
wel kleine maar toch merkbare, waarde had, dan zou de formule
(29) nog een kleine correctie behoeven. Daarbij zou , wanneer
93
b.v. k niet zeer groot en dus V aanzienlijk werd , het geval zich
voordoen , dat die correctieterm onbestaanbaar werd. Bij behoorlijke
interpretatie der formules zou men dan tot het resultaat komen,
dat in het algemeen het teruggekaatste licht een zwakke elliptische
polarisatie had. Hetzelfde zou het geval zijn, wanneer men met
lichamen met een zwak geleid ings vermogen te doen had, of wan-
neer de twee middenstoffen niet scherp van elkander gescheiden
waren, maar een overgangslaag van merkbare dikte bestond.
De electromagnetische theorie van het licht levert dus in de
formules (V) en (VI) resultaten op, die eigenlijk alleen voor een
ideaal geval gelden. De waarneming heeft dan ook in het algemeen
kleine afwijkingen daarvan , met name een zwakke elliptische pola-
risatie van het teruggekaatste licht, doen kennen. De theorie kan
niet één , maar verschillende oorzaken voor dit verschijnsel aangeven.
Ik twijfel er niet aan , of men zou , door alles in rekening te bren-
gen, tot formules kunnen geraken, die ook die afwijkingen weer-
geven. Maar onze kennis is nog niet voldoende, om met zekerheid
te kunnen aangeven, welk aandeel ejke oorzaak in het verschijnsel
heeft, en het komt mij daarom beter voor, ons voorloopig bij de
eenvoudige formules te bepalen, die wij boven hebben afgeleid.
VIERDE HOOFDSTUK.
DÉ TERÜGKAATSING EN BREKING VAN HET LICHT DOOR
KRISTALLEN.
§ 1. De optische eigenschappen van gekristalliseerde lichamen
behoorden tot de eerste onderwerpen , waaraan de undulatietheorie
hare krachten beproefde. Zij slaagde er in, niet alleen een vrij
voldoende verklaring der dubbele breking te geven, maar zelfs een
paar verschijnselen te voorspellen, die nog niet waren waargeno-
men. Minder gelukkig was zij in hare pogingen, om de wetten
der lichtbeweging in kristallen uit de gelijkstelling van het licht
met de trillingen van een veerkrachtig medium af te leiden. En,
zooals reeds bij de isotrope lichamen het geval was , zeer ernstige
bezwaren traden te voorschijn, toen men beproefde, uit die gelijk-
stelling alle omstandigheden te doen voortvloeien, die zich bij de
terugkaatsing en breking van het licht door kristallen voordoen.
Vandaar de wenschelijkheid, een onderzoek in te stellen omtrent
de vraag, of de electromagnetische theorie, die wij in het vorige
hoofdstuk leerden kennen , ook hier misschien gelukkiger is dan de
theorie van fresnel. Maxwell 1) heeft reeds uit zijne beschou-
wingen vergelijkingen afgeleid, die de dubbele breking weergeven.
Wij zullen vooreerst nagaan, of dit ook mogelijk is, wanneer men
de bewegingsvergelijkingen der electriciteit opstelt, zooals wij dit
voor de isotrope lichamen gedaan hebben. Vervolgens zullen wij
de terugkaatsing door kristallen aan een nader onderzoek onderwerpen.
I) t. a. p. H 794—797.
Allereerst moeten de vergelijkingen van het tweede hoofdstuk zoo
gewijzigd worden, dat zij voor een anisotroop medium gelden. Wij
gaan daarbij uit van de volgende stelling.
In een anisotrope middenstof valt in het algemeen de richting
van de diëlectrische polarisatie, den geleid ingsstroom , of de mag-
netische polarisatie niet meer samen met die der electromotorische,
of magnetiseerende. kracht; voor elk punt bestaan echter drie on-
derling loodrechte richtingen (de hoofdrichtingen)^ waarvoor dit
wel het geval is. De constanten e, Xy d hebben dan voor die
richtingen verschillende waarden.
Wat de magnetische polarisatie en den geleidingsstroom betreft,
vindt deze stelling haar steun in de waarnemingen en voor de
diëlectrische polarisatie is althans in een enkel geval (zie beneden,
§ 6) de afhankelijkheid van e van de richting proefondervindelijk
aangetoond.
Wij maken verder de zeer natuurlijke onderstelling , dat de hoofd-
richtingen voor elk der drie verschijnselen dezelfde zijn. Eindelijk
zullen wij alleen het geval beschouwen, dat zij ook in elk punt
dezelfde zijn. Dit is het geval, wanneer wij met een onbegrensd,
homogeen, anisotroop medium te doen hebben, of ook, wanneer
dit de ruimte gedeeltelijk vult en het overige deel door een isotrope
stof wordt ingenomen ; in deze laatste toch kunnen de hoofdrich-
tingen willekeurig worden gekozen.
De eenvoudigste vergelijkingen worden nu verkregen, wanneer
wij onze assen evenwijdig aan de hoofdrichtingen kiezen. Onder-
scheiden wij daarbij de waarden van £, x en d, die op de drie
assen betrekking hebben, door de indices i, 2 en 3, dan moeten
wij in plaats van de vergelijkingen (3) van het tweede hoofdstuk
schrijven
en in plaats van (14)
111
u= — X, v = — Y, w = — Z,
Xy «2 «3
zoodat de uitdrukkingen (17) voor de stroomcom ponenten nu worden
C t , Xi bi O t X^82 1 M} «3
Op dezelfde wijze veranderen de betrekkingen (39) in
d6
,-,(.-|£), ,=<«-if), .=..(»-|i).
Daarentegen blijven alle vergelijkingen onveranderd , die dienen
ter bepaling van ^ en ;jr door I, 7, t (w, v, lo) en i, ^, y. Even-
zoo die, welke de magnetiseerende kracht aangeven, uit een elec-
trische beweging voortspruitende. Eindelijk worden ook de formules
voor de electromotorische kracht der inductie, die het gevolg is
van een veranderlijken stroom, of van een veranderlijken magne-
tischen toestand, niet gewijzigd. Neemt men dit alles in aanmer-
king, dan vindt men, dat (45) en (46) nog gelden, mits men
e en 6 met de indices 1 , 2 en 3 voorzie. Verder kan men op
die vergelijkingen dezelfde transformaties toepassen, die wij in het
tweede hoofdstuk hebben gebezigd, en men komt hierdoor ten
slotte tot de volgende bewegingsvergelijkingen
± /_f_\ _ ± (±\ ^ , <+4>0. èj.
l(l\-±(±\= ii±AiA^± ) fl)
iix\a.i/ i)y\9iJ 6, ht'
^•^ . ^{ 4x
d x\ 81 / o y \ 8^ / cz \ 83 / dr
h^Vë;) i>z\dj~ u>xbi ht «. «i'J'i
èz\ej hx\dj~ Li>yi>t -bt »,»,'- J'l
l = , = t = i = i»=» = ?' = ;r = o, . . . . (V)
de laatste voor oneindigen afstand.
De grensvoorwaarden (A) en (B) veranderen in de volgende
-^ + ïl = (ir) "*" (^) ' )
i+ii=(ij+(^)' ■■■•"'
97
ö z
'waarbij de eene zijde van het oppervlak S van de andere door
accenten is onderscheiden.
Bij de opgestelde vergelgkingen komen dan nog (18), (i9) — of
(20), (21) — , (40) en (40*), die, met de gewijzigde notatie aan
het grensvlak, onveranderd blijven bestaan.
§ 2. Wij passen deze vergelijkingen toe op een onbegrensd,
anisotroop medium, dat de electriciteit niet geleidt, zoodat Hi =
ir2=z»3 = x is. Het lichaam zij daarbij homogeen , zoodat «i, ag, ^«,
^ii ^2> ^s overal dezelfde waarde hebben. Gemakshalve voeren wij
in plaats van de magnetische polarisatie de componenten L, üf, N
der (totale) magnetiseerende kracht in; v^ij stellen dus
Oi ©2 öj
Om eindelijk onze uitdrukkingen een wenschelijke eenvoudigheid
te doen bewaren, nemen wij onmiddellijk in aanmerking, dat men
slechts een zeer kleine fout begaat, door in plaats van 1 -\-4ndi,
1 + 4 « öj , 1 + 4 w öj de waarde te stellen , die i +4n6 in de
lucht aanneemt.
De vergelijkingen (I) — (IV) worden dan
— r ' — 3--=i4(l 4-4jfdo)3--,
— c ^-- =i4(l +4wöo)-Y7»
Sg ó X »i o y dt
(«)
Si è x 82 è y 8i o z <j i
hy hz
^x ^ 1
(c)
98
terwijl (ie vergelijkingen (V) achterwege gelaten moeten worden,
wanneer wij ons, zooals we in het vervolg zullen doen, met de
voortplanting van vlakke golven bezig houden. Hierbij komen nog
de vergelijkingen (20) en (40) van het tweede hoofdstuk
t!: + T^ + iT^ = -r- ^ ^ • • • • ^)
ó X d y è z 4n
en
ó ic óy èz 4 n
Elimineeren wij wederom / uit de twee eenige vergelijkingen,
waarin die functie voorkomt , dan vinden wij , het omtrent d
onderstelde in aanmerking nemende»
lL + ^ + ^=0 (e)
ö X èy èz
§ 3. Zoeken wij de voorwaarden, onder welke zich een golf-
stelsel, met een plat vlak tot golffront, en waarbij de electrische
trillingen overal in dezelfde richting geschieden , in het kristal kan
-voortplanten. Zij de voortplantingsrichting, d. i. de normaal op
het golffront, gegeven door de cosinussen l, m, n der richthoeken en
evenzoo de trillingsrichting door de grootheden p, g, r, dan kun-
nen wij de electrische trillingen voorstellen door
{ = p a cos v/ , 7 = <y a cos ^ , f = r a cos y , . . . (1)
waarbij
lx -^-my + nz
-V"('-
+ d\
V
en V de vooHplantingssnelheid der golven is.
Uit de vergelijkingen (a) kunnen wij L, Jf, N bepalen, daarbij
weer in het oog houdende, dat wij een periodieke beweging zoeken
en dus constante termen = O moeten stellen. Daardoor vinden wij
1 / 9^ ♦•w^ \
fpm ql \
( I a cos iiiy
\ Si H
(2)
N=-
.4(1+4 7röo)v
welke waarden tevens aan (e) voldoen.
09
Uit (d) volgt verder
8 71*
waaraan voldaan wordt door
f> = — 2 rv(|)i +5in + rn)asin V (3)
Na substitutie der opgestelde waarden in (p) en (c) leveren ons
deze vergelijkingen eenige voorwaarden op , tot nadere bepaling van
den bewegingstoestand. De eerste vergelijking geeft
1 + 4 w «i i +4in 82 1 + 4 n «8
pi-] gmH rn =
Si S2 Si
= 4nA*kv*(pl + qm + rn) (4)
en evenzoo vindt men uit de vergelijkingen (c) na eenige herleiding
8i \ «1 ^2 Bi )
= 4 X J» (4 ;+ 4 T ÖJ V» [|9 — ^ (15 i + g tw + r n)],
»j \ «i ffa «» / ) .... (5)
= 4 «• .4» (4 + 4 irdo) V* [g — tn (jo i + ^tn + rn)],
r / vl , qm , rn\
«( 1 H ) =
«3 \ «1 «a «» /
= 4«-ii»(i + 4«-do)v*[r— nöoi + gm + rn)].
Is de voortplantingsrichting, dus l^ m, n, gegeven, dan moeten
"^i Pi 9) ^ ^A" d^z^ voorwaarden, benevens aan
P^ + q' + f'^i (6)
voldoen. Door de vergelijkingen (5) , resp. met / , »w , n vermenig-
vuldigd , bij elkaèr op te tellen , verkrijgt men = 0, zoodat (4) ,
(5) en (6) slechts vier van elkander onafhankelijke betrekkingen
bevatten, juist voldoende ter bepaling van p, q, r en y. Men ziet
hieruit, dat een bewegingstoestand, zooals wij dien onderstelden,
wel mogelijk is, maar dat bij een gegeven voortplantingsrichting
niet elke trillingsrichting kan genomen worden. Uit de opgestelde
vergelijkingen laat zich verder bewijzen, dat er drie trillingsrich-
tingen kunnen gevonden worden, die aan de voorwaarden van het
vraagstuk voldoen.
§ 4. Wij zullen alleen de oplossing der vergelijkingen (4), (5)
en (6) geven in de onderstelling, die vtrij reeds in het vorige hoofd-
stuk maakten, dat a^, s^ en a, zoo groot zijn, dat men de omge-
224089B
100
keerde waarden ervan ten opzichte van de eenheid mag verwaar-
loozen. Daardoor wordt de vergelijking (4) veel' eenvoudiger; zij
geeft dan na deeling door 4 «-
pl + qm + rn=:A*kv*(pl-{'qm'\'rn) (7)
Hieraan kan vooreerst voldaan worden door
i
V* =
A^k
Substitueert noen dit in (5), dan bepalen deze vergelijkingen met
(6) op ondubbelzinnige wijze p , q en r.
Deze eerste bewegingstoestand komt, zooals uit de waarde voor
de voortplantingssnelheid blijkt, overeen met de longitudinale tril-
lingen bij isotrope lichamen, ofschoon hier de trillingsrichting in
het algemeen niet meer loodrecht op het golffront staat. (Alleen
i i
wanneer — ten opzichte van — mag verwaarloosd worden zou
8 K
men dit bij een eerste benadering mogen aannemen). Wij zullen
echter met dezen bewegings toestand in het vervolg niet te doen hebben.
In de tweede plaats kan aan (7) voldaan worden, wanneer
p / + <y m + rn = O (8)
is. Deze vergelijking drukt uit , dat er in het kristal een bewe-
ging mogelijk is, waarbij de richting der electrische trillingen in
het golffront ligt. Dit zijn dus zuiver transversale trillingen en
de beschouwing daarvan, is voor de theorie van het licht van groot
belang.
Ten gevolge van (8) veranderen de vergelijkingen (5) in
Si \ «1 «2 «3 / I
Bi \ Si 8-2 8i J
Si \ 8i 8.2 6i /
die nog altijd twee van elkander en van (8) onafhankelijke voor-
waarden bevatten. Leiden wij derhalve twee dergelijke betrekkin-
gen uit (9) af, dan kunnen wij die in de plaats ervan nemen. Wij
elimineeren nu vooreerst uit (9) de grootheden
p l qm ^^ *•**
»1 «3 »8
(9)
101
4»^*(l+4»do)v*.
Dit geeft
p_
^
r
«l
«2
S-A
h
m,
n
p,
fh
r
= o
(10)
4wA'ii+iire,)V' =
.(U)
Ten tweede eiiraineeren wij uit (9) l, m, n door de vergelijkin-
gen, met p, q en r vermenigvuldigd, op te tellen en daarbij (8)
in aanmerking te nemen. Dit geeft
*l *2 »S
Voor onze vier vergelijkingen nemen wij nu (6), (8), (10) en
(11). De drie eerste bevatten alleen p, q en r, maar v niet en
bepalen dus de trilling srichting. De laatste leert v kennen , zoodra
Pf q, r bekend zijn.
Uit (11) volgt, dat de voortplantingssnelheid op eenvoudige wijze
met de trillingsrichting samenhangt.
Om ons dit duidelijk te maken stellen wij
4 Jr /i« t, (1 + 4 ^ d„) = /?!*, 1
4»^«,(l-f 4ird„) = /?,«. .
A^A*8,{i +4ird„) =5,», ]
en construeeren een ellipsoïde met de vergelijking
^ , l/' . ^
Zoeken wij dan de lengte jR eener halve middellijn, in de rich-
ting (p, g, r) getrokken. Men heeft daarvoor
^ ^ P' , g' . ^
of, volgens (12),
jL ^ < {jL ^ 'f
= 1
(12)
(£)
n« ~ R t "■" n 1 + n f ' • • • • (*^)
+
Si f
4 » ^ (1 + 4 «- (
Vergelijkt men dit met (11), dan vindt men, dat
1
i, d. w. z. de voortplantingssnelheid van transversale trillingen
102
wordt gegeven door de omgekeerde waarde van de halve middellijn,
in de ellipsoïde in de richting der electrische trillingen getrokken.
Het oppervlak E^ dat wij in het vervolg de polarisatie&lipmde
zullen noemen, leert ons ook op eenvoudige wijze de betrekking
tusschen voortplantings- en trillingsrichting kennen.
Denken wij ons daartoe door het middelpunt der ellipsoïde een
vlak gebracht , evenwijdig aan het golffront en zoeken wij de richting
van de assen der ellips e, die uit de snijding ontstaat. Wy moeten
1
dan p^ q en r zoo bepalen, dat de waarde (i3) voor
iP
een
maximum of een minimum wordt; daarbij zijn echter j9, 9 en r
gebonden aan de voorwaarde
p Z + g m + rn = O, («)
die uitdrukt, dat de gezochte richting in het bedoelde vlak ligt,
en aan
j/ + <f + f* = i ........ («
Men moet dan, zooals men weet, de totale differentiaal van
1
-— -- naar p, q en r gelijk O stellen; evenzoo de voorwaarden (a)
en (j8) dififerentieeren en uit de drie aldus verkregen vergelijkingen
dp, dq en dr elimineeren. Uit (i3) volgt aldus
Pdp qdq rdr ^
of, volgens (42),
JLdp + ^dq+—dr = 0.
«1 »2 »s
De voorwaarden («) en (fi) geven
ldp-\'mdq +ndr =
en
pdp-\-qdq'\-rdr = 0.
Door eliminatie van dp, dq en dr komt er
P ^ ^
i, m, n
welke betrekking met (a) en {fi) de richtingen der assen bepaalt.
Maar, zooals men ziet, zijn de vergelijkingen («), {fi) en (y) juist
= 0,
(y)
103
dezelfde als (6), (8) en (10), die ter bepaling van de trillings-
richting dienen , waaruit volgt , dat deze met die der assen van
onze ellips kan samenvallen.
Resumeerende hebben wij nu de volgende stelling, die de licht-
beweging in kristallen geheel bepaalt.
In een anisotroop lichaam kunnen zich in het algemeen in een
gegeven richting slechts twee golf stelsels met transversale trillingen
voortplanten. De richting der electrische trillingen moet nl. samen-
vallen met een van twee onderling loodrechte richtingen , in het
golffront getrokken. Die richtingen worden gegeven door de assen
der ellips, die uit de doorsnijding van de polarisatieëllipsoïde met
een vlak, door haar middelpunt evenwijdig aan het golffront ge-
bracht , ontstaat. De voortplantingssnelheid van een dezer golf-
stelselg wordt gegeven door de omgekeerde waarde van de daarbij
behoorende halve as der ellips.
§ 5. Dezelfde stelling heeft men ook afgeleid uit de onderstel-
ling, dat het licht in trillingen eener veerkrachtige stof besta^it,
en het wordt in verhandelingen over de dubbele breking bewezen,
dat men alle waargenomen verschijnselen — voor zoo ver zij op de
richting der lichtstralen en de ligging van hun polarisatie vlak be-
trekking hebben — uit die stelling kan afleiden 1), mits men aan-
neemt, dat de trillingen bij een gepoJariseerden lichtbundel lood-
recht op het polarisatievlak plaats hebben. Dit laatste hebben wij
echter reeds in het vorige hoofdstuk moeten aannemen.
Uit het verkregen resultaat volgt derhalve, dat de electromag-
netische theorie alle bovengenoemde verschijnselen verklaren kan,
zoodat een nadere bespreking daarvan niet noodig is. De bepaling
van het golfoppervlak , het gebruik daarvan bij de verschillende
vraagstukken der dubbele breking , het verband eindelijk , dat er be-
staat tusschen de normaal der golven en den lichtstraal, dit alles
blijft bij de nieuwe theorie onveranderd. Wij zullen daarom in de vol-
gende § § alleen in zoo verre op sommige dezer zaken terugkomen ,
als zij voor de behandeling der terugkaatsing onmisbaar zijn.
In één opzicht is de verklaring der dubbele breking, zooals
zij uit m^xwell's theorie volgt, eenvoudiger dan die, waartoe
1) Inderdaad staat onze pplarisatieëllipsoïde in naaw verband met het
elastieiteitsoppervlak van fresnel, zoodat men tot diens theorie der dabbele
breking wordt teraggebracht. Men zie omtrent een en ander beer, Einleitaug
in die höhere Optik.
104
de theorie van fkbsnel voert. Gelijk men weet, levert deze in de
eerste plaats het resultaat op, dat zich in een gegeven richting
drie golfstelsels met bepaalde, onderling loodrechte trillings-
richtingen kunnen voortplanten. Zal men echter de waargenomen
verschijnselen kunnen verklaren, dan moet men aannemen, dat
twee dezer trillingsrichtingen een zoo kleinen hoek met het golf-
front maken, dat men ze bij een eerste benadering in het golffront
mag stellen. Hiertoe zijn bepaalde betrekkingen tusschen de con-
stanten van het medium noodig en het blijkt niet duidelijk, op
welke eigenschappen des aethers die betrekkingen steunen 1). 6ij
de beschouwingen van de vorige § daarentegen werd het bestaan
van zuiver transversale trillingen mogelijk gemaakt door onze on-
derstelling omtrent «, die wij reeds vroeger hadden ingevoerd.
§ 6. De electromagnetische theorie van het licht eischt in kii-
stallen voor de drie hoofdrichtingen verschillende waarden van s,
dus ook van K; de laatste moeten, zooals men gemakkelijk vindt,
door de vierkanten der hoofdbrekingsindices worden opgeleverd.
Kon men dus een condensator vervaardigen, bestaande uit twee
plaatvormige geleiders, evenwijdig aan elkaar opgesteld en met
een gekristalliseerden , homogenen isolator daartusschen , dan zou
de capaciteit moeten verschillen, al naarmate de eene of de andere
hoofdrichting loodrecht op de beide geleiders stond. Zoo is echter
de proef moeilijk te nemen. Ëen geschikter middel om de afhan-
kelijkheid van K van de richting te bewijzen vond boltzmanh in
de door hem ontdekte diëlectrische aantrekking. Ook het bedrag
hiervan moet afhangen van de richting , waarin de electromotorische
kracht op het kristal werkt. Boltzmann 2) heeft nu een paar bollen
onderzocht, geslepen uit natuurlijke zwavelkristallen , daarin langs
optischen weg de drie hoofdrichtingen bepaald en vervolgens de
diëlectrische aantrekking gemeten voor het geval, dat de electro-
motorische kracht volgens een dezer hoofdrichtingen werkte. Aldus
bepaalde hij de volgende waarden van K voor die richtingen
4,773 ; 3,970 ; 3,811
De vierkanten der overeenkomstige hoofdbrekingsindices zijn
4,596 ; 3,886 ; 3,591
1) Men zie bker, t. a. p., p. 232—237.
2) BOLTZMA.NN, Ueber die Verschiedenheit der Dielektricitatsconstante des
krystallisirteQ Schwefels nach verschiedenen Richtungen. Ook Pogg. Ann. 163.
405
Naar de meening van boltzmann kunnen de hier voorkomende
afwykingen uit de moeilijkheid verklaard worden, om de electro-
motorische kracht volkomen in de gevirenachte richting te laten
werken, zoodat men in de opgegeven getallen een bevestiging van
maxwell's beschouwingswijze zien mag.
§ 7. Wij hebben ons boven bij het onderzoek der trillingen in
het kristal voornamelijk met de diëlectrische polarisatie bezig ge-
houden ; thans zullen wij zien , hoe het daarbij met de andere
grootheden gesteld is, die bij de electriciteitsbeweging in aanmer-
king komen. Daarbij bepalen wij ons tot transversale trillingen.
Dan volgt vooreerst uit (3), zooals te verwachten was, dat overal
^ = O is. Beschouwen wij in de tweede plaats de electromotorische
kracht F, Daar hare componenten gegeven worden door
X=L, Y=±,Z=1,
8i S2 *3
heeft zij niet meer dezelfde richting als de diëlectrische polarisatie
Q. De polarisatieëllipsoïde kan ons intusschen op eenvoudige wijze
het verband tusschen beide leeren kennen. Brengen wij daartoe
een raakvlak aan die ellipsoïde in het punt (x', y\ z'), waar zij
gesneden wordt door de middellijn , in de richting (j? , ^ , r) der
diëlectrische polarisatie getrokken. Laten wij vervolgens uit het
middelpunt een loodlijn op dat raakvlak neer, dan heeft men, gelijk
bekend is, als p\ q\ r' de richtingsconstanten dier lijn zijn
^' y' «'
^ Ri* Ri' R^
Neemt men de waarden van R*, JRj*, R^ in aanmerking, dan
kan men hieruit afleiden
p- : q- ..r' = ^ : L : ^ = 1- : ± :±= X : Y : Z.
Si «2 «3 Si £3 «3
Derhalve wordt de richting der electromotorische kracht aange-
geven door de loodlijn op het raakvlak.
Planten zich in een kristal transversale trillingen , met een plat
vlak als golffront, voort, dan zagen wij in § 4, dat de richting
der diëlectrische polarisatie met een der assen van de ellips e moet
samenvallen. Trekken wij dan nu door het uiteinde (ar', y', z') dier
as een raaklijn aan de ellips, dan ziet men gemakkelijk in, dat
die lijn loodrecht moet staan op het trillingsvlak — het vlak nl. ,
dat door de voortplantings- cii trillingsrichting gaat. Daaruit volgt,
106
dat ook het raakvlak aan de ellipsoïde in het punt (x', y\ z)
loodrecht op het triJlingsTlak staat en dat dus de loodlijn op het
raakvlak, derhalve ook de richting van F, in het trillingsvlak ligt.
Is dit echter het gev;tl, dan kan men de electromotorische kracht
onthinden in twee componenten F. en F^ , de eerste in de richting
der diëlectrische polarisatie, de andere in de voortplantingsrichting
der golven. Voor de eerste heeft men klaarblykelijk
'^ »i É, «,
waarvoor men kan schrijven
^ \ «l «S «3 ƒ
dus, volgens (tl),
F^==4n^'(l+4ndo)v'^ , (14)
welke formule geheel overeenkomt met die, welke voor isotrope
lichamen geldt.
Is verder /l de hoek , dien de richting van F met die van ^
maakt, dan is
^y=-P; .tg/5 (15)
Wy kiezen daarbij het teeken van /S zoodanig, dat F^ positief
is, wanneer de richting ervan samenvalt met die, naar welke zich
het licht voortplant.
§ 8. De richting der electromotorische kracht F hangt op eigen-
aardige wijze samen met die van den lichtstraal. Daar wij dat
verband later noodig hebben, zullen wij het kortelijk bespreken.
Heriimeren wij ons daartoe de wijze, die de leer der dubbele
breking aangeeft, om de richting van den lichtstraal te bepa-
len, behoorende bij een gegeven golffront. Denkt men zich uit
eenig punt O in het kristal een lijn getrokken, daarop een' stuk
genomen, gelijk aan de voortplantingssnelheid der golven, in de
richting dezer lyn, eindelijk door het uiteinde van dat stuk een
vlak loodrecht op die lyn gebracht, dan is het omhullende opper-
vlak van alle dus verkregen vlakken het golfoppervlak. Wil men
nu bg een gegeven golffront de richting van den lichtstraal bepa-
len, dan brenge men aan het golfoppervlak een raakvlak, even-
wijdig aan dat golffront; de lijn, die van O naar het raakpunt
voert, geeft de gezochte richting aan.
107
De vergelijking van het golfopperviak in vlakcoördinaten P, 9> 5
(zoo gekozen dat een vlak, met de coördinaten p, 9» 5> tot verge-
lijking op puntcoördinaten heeft pay + py + 5z = 1) is 1)
— P'W+V8')+»XV+Vi') + 5"(Vi'+v,')] + 1 =/(j:,»,5) = . . (16)
Hierh^ is O als oorsprong gekozen, terwijl Vi, Vj, Vj de voort-
plantingssnelheden van golven zijn, v^aarbij de electrische trillingen
resp. in de richting der ;?-, t/-, z-as plaats hebben.
In de analytische meetkunde wordt verder bewezen, dat de
coördinaten van het raakpunt bij (16) evenredig zijn met de eerste
afgeleiden van het eerste lid der vergelijking naar P, ff, 5, wan-
neer men daarin voor deze grootheden de coördinaten van het
raakvlak neemt. Zijn derhalve T, m', n' de richtingsconstanten
van den lichtstraal, dan worden deze bepaald door
hf hf bf
Voert men de differentiatie uit en neemt in aanmerking, dat
volgens onze vroegere notatie
▼ ' V ' V ' ^^ JR
is , dan vindt men , dat
r : m' : n' = P, : Pj : P,. . (17)
wanneer men stelt
Pj^mV3»ViW+m/?«pVj«V3»+mV3»Vi«+nVVa']--m(V3»+Vi'),> • (18)
P3= nVi»V3*i?"+nl{*[Pv8"V+»i*v,Vi»+n"Vi»v,»]— n(Vi"+V8'). ;
Vermenigvuldigen we deze grootheden resp. met
mr — ng, np — ir, Iq^-^mp
en tellen we ze daarna op. Aangezien
i(iwr — ng) + »n(np — ?r) + n(ig — mp)= O
is kan men voor de uitkomst schrijven
(3 = /i»P(wir— ng)Vj»V3*+m(n2) — Zr)v3'Vi»+n(Zg — ml))V4«Va^+
4- P (m r — n g) Vi» + m (n 2) — lr)Y^ -\-n{}q — mp) v,*].
Neemt men verder de waarden van v^ v^, Vj en v, in aan-
merking, dan kan men de vergelijkingen (9), na deeling door
4 »■ il* (1 -f 4 «• ö,) V*, schrijven in den vorm
1) Beek, t. a. p. , p. 321.
108
q—B'[qV,'-^m{lpVj'-\-fnqv,' + nrv,')] = 0,\ . . . (19)
r — ««[rv," — n(^pVi"+nigVj* + nrV3')] = 0. )
Door deze achtereenvolgens te vermenigvuldigen met
m n (Vs" — VI*) , n l (v.» — v,*) , / m (v," — v,')
en op te tellen , neemt het eerste lid der nieuwe vergelijking juist
den vorm aan , dien wij boven voor Q neerschreven. Daaruit volgt
Q = P, (m r — n g) + P, (n p — Z r) + PaP g — m j9) = O
en dus, volgens (17), ook
l'(mr-^nq)-\-m'{np — l^) + fi' Qq — mp) = 0.
Deze vergelgking drukt echter uit, dat de richting {l\ m\ n')
met de richtingen (Z, w, w) en (p, g, r) in één plat vlak ligt,
dat derhalve de lichtstraal in het trillingsvlak is gelegen.
In de tweede plaats vermenigvuldigen wij de vergelijkingen (18)
met p Vi', q r^\ r v,* en tellen op. Daar
pZ + qm-|-rn =
is, vindt men hierdoor
P,pvi«+P2qv3> + P.rv8' =
= i?'(Pv3"v,» + m"v,«Vi* + n"Vi"Vj")(ZpVi" + niqv,* + nrv,") —
— P l (Va» -f V,») Vi> — q m (v,« + Vi«) v^^'-^rn (Vi* + v,») Vg'.
Het tweede lid dezer vergelijking is echter O, zooals men kan
bewijzen door de vergelijkingen (19), met
l Vj* V,' , m Va» Vi' , n Vi» Vg»
vermenigvuldigd, bij elkaar op te tellen. Men heeft derhalve
Apvi« + P2gv,* + P8rva«=:0.
Neemt men (17) in aanmerking, benevens de waarden van
Vi', Vj*, V,*, dan kan men hiervoor schrijven
l' -^+m'-^+ n'— = 0.
«1 *3 Si
Daar , , evenredig zijn met de richtingsconstanten
«1 «J «8
der electromotorische kracht Fleert ons deze vergelijking, dat de
lichtstraal loodrecht op F staat. Door de verkregen resultaten is
de richting van den lichtstraal , die bij een gegeven golffront be-
hoort, geheel bepaald. Het blijkt tevens, dat de in de vorige §
ingevoerde hoek o ook de hoek is, dien de lichtstraal maaki met
de normaal op het golffront.
109
§ 9. Als een bevestiging onzer formules kan nog de uitdrukking
dienen, die zij voor de magnetiseerende kracht G opleveren. De
componenten daarvan worden gegeven door (2) , waarvoor men kan
schrijven
^ (1 + 4 sr Oj V
^ = j,. ,\ ^ {Zl— X n),
^ = v-Ti jT/- /)w(^*"-^')'
en deze vergelijkingen hebben een eenvoudige meetkundige betee-
kenis. Zetten wij in de voortplantingsrichting een stuk uit =
1
^ ,, , , — -r-r- en construeeren wij op dat stuk en de electromo-
A(l+4«-do)v
torische kracht F als zijden een parallelogram , dan zijn L, M, N
de componenten eener lijn, loodrecht op het vlak daarvan getrok-
ken, terwijl de lengte dier lijn door den inhoud van het paralle-
logram wordt gegeven. Daaruit volgt, dat de richting der mag-
netiseerende kracht in het golffront ligt en wel loodrecht op de
trillingsrichting. Let men bovendien op de z\jde, naar welke de
lijn G moet getrokken worden, en die door de gesteldheid van ons
assenstelsel bepaald is, dan komt men daaromtrent tot hetzelfde
resultaat, dat wij in § 2 van het vorige hoofdstuk voor isotrope
lichamen vonden. Daar verder de hoek , dien F met de voortplan-
tingsrichting maakt, {n- — fi is, heeft men voor den inhoud van
het parallelogram ep dus voor G
1 ^,
of, volgens (14),
G^AitAvq, (20)
welke formule ook met de in 't vorige hoofdstuk gevondene over-
eenstemt. Deze uitkomst, dat de magnetiseerende kracht op vol-
komen dezelfde wijze bepaald wordt, als bij isotrope middenstoffen,
was te verwachten, daar wij van de verschillende waarden, die
i -}- 4 ^ O voor de drie hoofdrichtingen aanneemt, hebben afgezien.
Het gevolg daarvan is, dat, evenals in het vorige hoofdstuk, de
magnetiseerende kracht uitsluitend van de electrische beweging
afhangt.
110
Alle grootheden, die bij de lichtbeweging in kristallen in aan-
merking komen, zijn door de bovenstaande beschouwingen van de
polarisatieëllipsoïde afhankelijk gemaakt. Hierdoor heeft men het
voordeel, dat men niet meer gebonden is aan de byzondere coör-
dinaatassen , die y/ij in het begin van dit hoofdstuk kozen. Integen-
deel, men kan nu aan de assen een willek'eurigen stand geven; is
dan ook aan onze ellipsoïde ten opzichte der nieuwe assen de juiste
ligging aangewezen, dan kan men daaruit door meetkundige be-
schouwingen alles afleiden, wat men wenscht te weten,
§ 10. Bij het onderzoek omtrent de terugkaatsing en breking
van het licht door kristallen zou men, strikt genomen, een der-
gelyken weg moeten inslaan, als in § 7 van het derde hoofdstuk.
Men zou dus ook die trillingen in de berekening moeten opnemen,
die met de longitudinale beweging in isotrope lichamen overeenko-
men. Door dan echter later c zeer groot te stellen , zou men vinden,
dat de bedoelde trillingen buiten rekening gelaten mogen worden.
Om onze formules niet al te samengesteld te maken, zat ik
liever den in § 8 van het vorige hoofdstuk aangegeven weg volgen.
Wvj wgzigen dus onmiddellijk de grens voor waarden door de oa^-
1
stelling omtrent — in te voeren en sullen dan aantoonen, dat
aan de aldus vereenvoudigde conditiën kan voldaan worden, door
alleen transversale trillingen in rekening te brengen. Bovendien
zullen wij in de grensvergelij kingen aan i+A^d voor beide
midden stoffen dezelfde waarde toekennen.
Bepalen wij ons nu tot het geval, dat men met een isotroop
medium en een kristal te doen heeft. Onderscheiden wij het
laatste door accenten van het eerste , dan kunnen wij vooreerst de
voorwaarden (A) in den volgenden vorm schrijven
waaruit men kan afleiden dat , wanneer h een willekeurige richting
en F^ de component der electromotorische kracht in die richting
is , de betrekking geldt
111
Hierbij komt nog de vergelyking (21) van het tweede hoofdstuk.
Is n de normaal aan het grensvlak, dan kan men daarvoor schrijven
Neemt men in (21) vooreerst voor h de richting n, dan is
en door uit deze vergelijking en (22) <p te elimineeren , verkrijgt men
4»{a(5-|')+6(7-7') + c(f-r)}+i^.-n = 0.
Nu is
F, =a -^ +6 -i- +e -L , F'.= a -i-+ * i- +c — .
B 8 8 ^1 ^3 's
zoodat deze vergelijking overgaat in
(a{ -f &7+ot)= «IH 6j7 H et.
9 ^1 02 ^3
1
Verv^aarloost men nu bij. een eerste benadering — ten op-
zichte van de eenheid, dan mag men in de plaats hiervan nemen
a| + 5i7+ct = ar + 67' + cf', .... (23)
en blijkens (22) moet hier dan bij genomen voorden
4^=(^)' ■■(»'
Passen wij (21) toe voor eenige richting h in het grensvlak,
dan wordt -r— = | -^-^ | en dus
-m
Fh = F\ (25)
Door met de grens vergelijkingen (B) en de betrekking (40*) even-
zoo te handelen , daarbij de omtrent 6 gemaakte onderstelling in
het oog houdende, vinden wij, dat voor elke richting h de be-
trekking
G* = G» ....... . (26)
bestaat.
In woorden kunnen de voorwaarden aan het grensvlak aldus
worden uitgedrukt:
112
a. De electriscbe potentiaalfunctie en het differentiaalquotient er
van naar de normaal aan het grensvlak zijn doorloopend. (24)
b. De component der diëlectrische polarisatie, loodrecht op het
grensvlak, is doorloopend. (23)
c. Hetzelfde is het geval met de component der electromotorische
kracht voor elke richting , die in het grensvlak ligt , (25) en eindelijk
d. met de componenten der magnetiseerende kracht in alle rich-
tingen. (26)
Zooals men ziet zijn hiermede ook de grensvoorviraarden in een
vorm verkregen , onafhankelijk van de gekozen coördinaatassen.
§ 11. Wij kunnen dan nu wederom, als wij onderstellen, dat
de beide middenstofien door een plat vlak zijn gescheiden, dit
laatste voor het ^ z-vlak kiezen. Nemen wij verder aan, dat het
invallende licht een plat vlak tot golffront heeft, dan kunnen wij
loodrecht daarop het x z-vlak plaatsen , zoodat dit het invalsvlak is.
Zonder verder eenige onderstelling te maken omtrent de ligging
der hoofdrichtingen in het kristal , met betrekking tot het grensvlak
en invalsvlak , zullen wij aantoonen , dat men aan alle grensvoor-
waarden voldoen kan , door alleen transversale trillingen in rekening
te brengen, en dat, aan den anderen kant. alle onbekenden be-
paald kunnen worden. Gemakshalve zal ik daarbij twee zaken
aannemen, die men, op dezelfde wijze als bij isotrope stoffen,
uit de grens voorwaarden zou kunnen afleiden, de wetten der
terugkaatsing en breking nl. en de gelijkheid in phase der ver-
schillende lichtbundels voor punten in het grensvlak. Wat de be*
doelde wetten betreft wordt, zooals men weet, in de leer der dub-
bele breking (uit het principe van huyghens) bewezen, dat zij
dezelfde zijn als bij isotrope lichamen , wanneer men vraagt , niet
naar de richting van den lichtstraal, maar naar die van de nor-
maal op het golffront. Dan liggen de normalen der teruggekaatste
en gebroken golfstelsels steeds in het invalsvlak en de sinussen
der hoeken, die zij met de normaal op het grensvlak maken, zijn
evenredig met de (in § 4 onderzochte) voortplantingssnelheden der
golven.
Valt vooreerst een willekeurige, lineair gepolariseerde lichtbundel
uit het isotrope medium op het kristal, dan kunnen wij door be-
kende beschouwingen de richting der twee gebroken golfstelsels,
alsmede hun trilUngsrichting , bepalen. In de amplitudines hebben
wij dan twee onbekenden voor het gebroken licht. Daar voor het
113
teruggekaatste licht tiïllingsrichting en amplitudo bepaald moeten
worden zijn er dus in het geheel vier onbekenden.
Oaat in de tweede plaats een lichtbundel uit het kristal in de
isotrope stof over, dan moeten de amplitudines der beide terug-
gekaatste golfstelsels , trillingsrichting en amplitudo voor den enkelen
gebroken straal worden bepaald, zoodat er weder vier onbekende
grootheden zijn. Men zal dus in elk geval vier (en niet meer) van
elkander onafhankelijke betrekkingen moeten hebben.
Aan de voorwaarde a is van zelve voldaan, wanneer alle tril-
lingen transversaal zijn. De tweede voorwaarde geeft ééne verge-
lijking, de derde twee van elkander onafhankelijke betrekkingen,
wanneer wij haar achtereenvolgens voor de y- en z-as , die in het
grensvlak liggen, toepassen. Door eindelijk de conditie d toe te
passen voor elke der drie assen worden nog drie vergelijkingen
gevonden, zoodat het geheele aantal zes bedraagt. Daaruit volgt,
dat alleen dan aan alle grensvoorwaarden kan worden voldaan,
wanneer twee dier vergelijkingen van de overige afhankelijk zijn.
Werkelijk kan men bewijzen, dat dit steeds het geval is.
Ontbinden wij daartoe de diëlectrische polarisatie q bij eiken
lichtbundel in twee componenten q, en q^ , de eerste in, de laatste
loodrecht op het invalsvlak. Noemen wij verder voor eenig golf-
stelsel er den hoek, dien de voort plantingsrichting met de normaal
op het grensvlak maakt, waarbij a voor een in vallenden of ge-
broken lichtbundel scherp, voor een teruggekaatsten bundel stomp
is. Voor de diëlectrische polarisatie loodrecht op het grensvlak heb-
ben wij dan (de teekens kiezende als in het vorige hoofdstuk)
— q, sin a en de uitdrukking voor de continuïteit hiervoor wordt
S {q, sin a) = ^ {q, sin o)' , (27)
waarbij het somteeken betrekking heeft op de verschillende golf-
stelsels, in elk medium voorkomende.
Zoeken wij nu de component der magnetiseerende kracht G in
een richting loodrecht op het invalsvlak. Wij kunnen daartoe , vol-
gens den in (20) uitgedrukten regel, de magnetiseerende kracht
zoeken, bij elke der componenten q^ en q^ behoorende. De laatste
geeft dan een magnetiseerende kracht, die in het invalsvlak ligt en
dus niet in aanmerking komt. Bij q, daarentegen behoort de com-
ponent ^nAyqst loodrecht op *t invalsvlak. Wij hebben derhalve
de voorwaarde
S {^ n Ay q,) = S {At n Ay q,)' ^
8
114
welke echter dezelfde is als (27), daar voor de verschillende licht-
bundels V met sin a evenredig is. Daaruit besluiten wij , dat de
doorloopendheid der diélectrische polarisatie , loodrecht op het grens-
vlak en de continuïteit der magnetiseerende kracht, loodrecht op
het in vals vlak , tot dezelfde vergelijking voert.
Voor de magnetiseerende kracht in het inval svlak heeft men
AnAvQ,; zij geeft een component, loodrecht op het grensvlak,
= 4n Av QpBin ot, zoodat de doorloopendheid van de laatste wordt
uitgedrukt door
£(4n Ay qpsin a) = S(An Ay q, sin «)',
of door
S ii^f sin* a) = 2 (ff, sin" «)' (28)
Vergelijken w\i hiermede de voorwaarde, dat de component der
electromotorische kracht, loodrecht op het invalsvlak, doorloopend
moet zijn. Van de beide componenten F^ en i^^ (§ 7 ) kan alleen
de eerste hier in aanmerking komen. Daar zij dezelfde richting
heeft als q en in grootte gegeven wordt door
F^ = AnA*{i +4ndo)V9,
is haar ontbondene, loodrecht op het invalsvlak
4nA'(i+4neo)Y*q,,
De doorloopendheid hiervan voert wederom tot de vergelijking
(28). Dat derhalve de magnetiseerende kracht, loodrecht op het
grensvlak, en de electromotorische kracht, loodrecht op het invals-
vlak, doorloopend moeten zijn levert slechts éêne conditie op.
Hiermede is bewezen, dat men niet meer dan vier van elkander
onafhankelijke betrekkingen heeft ter bepaling van de vier onbe-
kenden.
§ 12. Zoodra voor een gepolariseerden lichtbundel ^de voort-
plantingsrichting bekend is,\an men de trillingsrichting aangeven
door den hoek », dien het polarisatie vlak met het invalsvlak maakt.
Dien hoek noemen wij het azimuth en wij kiezen hem zoodanig
dat, wanneer q de diélectrische polarisatie is, de componenten
daarvan volgens de drie assen worden voorgesteld door
-> sin o . ^ sin o» , ^ cos o) , cos a . ^ sin a.
Wij zullen alleen het geval uitvoeriger behandelen, dat het licht
uit de isotrope stof in het kristal overgaat. De grootheden , op
115
den in vallenden en teruggekaatsten bundel betrekking hebbende,
onderscheiden wij door de eerste met den index O te voorzien;
die, welke bij het tweede medium behooren, door accenten. Het
invallende licht kan dan worden voorgesteld door
$0 = — sin o . ^0 sin cdo, Lq=: 4 n Av sin « . ^o cos Wo
Vo = Qo cös oio, -3fo= 4 7 A V ^0 sin Wq,
(o = cos a . ^0 sin i»0) Nq= A TT Ay cos a . ^o cos wq
Het is, blijkens de vorige §, voldoende, de doorloopendheid in
aanmerking te nemen van L, Af, ^ en Z, Voor de laatste groot-
heid heeft men hier
Zo = 4 sr -4* (1 + 4 «• Öq) V* cos ff . ^o<3in Wo-
Voor den teruggekaatsten lichtbundel moet, in plaats van 0,
geschreven worden 180° — « ; men heeft derhalve daarvoor
L = 4 TT il ▼ sin a . ^ cos O) ,
Jf= 4 9ri^ V^sin a>,
iV = — 4 ^ il ▼ cos a . ^ cos O) ,
Z = — 4 5r il* (1 + 4 «■ do) V* cos « . ^ sin O).
Voor een golfstelsel in het tweede medium kunnen de waarden
op dezelfde wijze worden neergeschreven ; alleen levert hier nog F^
een component volgens de z-as op. De waarde hiervan is gemakkelijk
in rekening te brengen j aldus komt er voor een gebroken licht-
bundel
L' =4n Av' sin «' . q' cos w' ,
Jif = 4 n il v' ^' sin ai' ,
^ = 4 n il V cos «' . q' cos m' ,
Z' = 4 n i^ (1 4- 4 w öo) ▼'■ (cos «' sin w' + sin a tg p) q.
Is de amplitudo van het invallende licht 1 , die van het terug-
gekaatste licht a en die bij een gebroken golfstelsel a', dan is
^0 = cos %, ^ = a cos ^ , q' = a' cos ip'
en , tengevolge van de wetten der breking en de gelijkheid in phase
van de verschillende lichtbundels, wordt aan het grensvlak y/Q = yf = yf\
Daaruit volgt, dat men bij het opstellen der grensvergelijkingen
slechts ^o> 9 6n ^' door 1, a en a' heeft te vervangen.
Is de richting van het invallende licht gegeven , dan kan men , uit
de bekende theorie der dubbele breking, voor elk der gebroken licht-
bundels de hoeken a', w' en p berekenen. Het eenvoudigste resultaat
verkrijgt men nu door vooreerst te onderzoeken , op welke wijze het
116
invallende licht moet gepolariseerd zijn, opdat slechts een der beide
gebroken bundels ontstaan zal. Verstaan wij dus onder a', «eni?
de waarden, die voor dezen bundel gelden, dan komen wij, door
de continuïteit van L, M, N, Z uit te drukken, tot de volgende
vier vergelijkingen
(cos o»o + a cos w) sin* a = a' cos w' sin" a' , . . . (29)
(sinwo + a sin w) sin a = a' sin tó' sin ff', ... (30)
(cos ooq — a cos «) sin « cos « = a' cos »' sin a cos «', (3i)
(sin wo — a sin ») sin* a cos o = a' (sin w' cos « ' + tg j9 sin a) sin'a', (32)
waaruit de vier onbekenden oio, <*>, a en a' kunnen bepaald worden.
De eerste grootheid geeft dan aan, hoe het invallende licht moet
gepolariseerd zijn, om slechts één gebroken golfstelsel te doen ont-
staan. Tevens blijkt uit de voor w^ a en a' gevonden waarden,
hoe voor die eene hoofdtriUingsrichting van het invallende licht de
terugkaatsing en breking plaats heeft.
Door in de tweede plaats te onderstellen, dat, bij dezelfde ricb-
ting van den in vallenden lichtstraal, alleen de andere gebroken
bundel ontstaat, vindt men de tweede hoofdtriUingsrichting en de
formules voor het gereflecteerde en gebroken licht , die daarbij be-
hooren. Is men zoover gekomen, dan ligt ook de aigemeene oplos-
sing van ons vraagstuk voor de hand; immers men kan wille-
keurige trillingen in het invallende licht ontbinden volgens de beide
hoofdtriiiingsrichtingen en elk der beide componenten afzonderlijk
behandelen.
Alles komt dus neer op de oplossing der vergelijkingen (29)— (32).
Elimineert men daartoe uit de eerste en de derde a cos o», uit de
tweede en de vierde a sin oi en deelt de beide verkregen verge-
lijkingen op elkander, dan vindt men
tg^
sin (o + a') cos ia — a') -i- -: , sin* a'
' smo»
tg«io = tgw' T—, — ; — r ,
sm (a + a )
of
sin* ot te B
tgw«=:tga)'cos(« — «)+ . . , ; ,. . . . f33)
cos 01 sin (a -f- a )
Door evenzoo te handelen , maar nu eerst cos (Oq en sin o»o te
elimineeren, verkrijgt men
117
— sin (o — a') cos (« + a') 4- -r ; sin" a
sm »
tgw = tga)' r— 7 r ,
8in(a — a) '
of
. . , . sin'a'tgiS
tg» = — tg«cos(o + o')H , . , "^ ,, . . • (34)
cos«8in(a -a) ^ ^
Men kan hiervoor ook schrijven, als men (33) in aanmerking
neemt
cos (« + «') , 2 sin 2 a sin* «' tg )9
ig w = — tg oêo — + -7—— ,,.,,,, ; . . (35)
cos(a— a) sm2(o — a) sm (a + a)cos w
Zijn aldus oiq en » bepaald, dan kunnen uit (29) en (31) aena'
worden berekend. Men vindt dan voor het teruggekaatste licht
cos ft>o sin (« — tt )
cos w sm (« + a )
Ontbindt men de trillingen in het invallende en teruggekaatste
licht in een component in het in vals vlak, en een tweede loodrecht
daarop gepolariseerd, en noemt men de amplitudo van de eerste
component voor het invallende licht S, voor het teruggekaatste
R,y dan is
8 = cos «o» R» = a cos w,
zoodat meh voor (36) kan schrijven
.'^it^ ..... (37)
sm(a + a)
Uit de opgestelde vergelijkingen kan men ook nog afleiden
tgB
sin («-—«') cos («+«.') : ;sin*a'
sm «o ' sm » .QQ.
a = -, --r , . . . (d8)
sm (« + «) cos («— o') + -. ; 8m*«'
sm cü
die boven (36) de voorkeur verdient in het bijzondere geval dat
1
«» = «0= y ^
is.
Hiermede zijn de vergelijkingen opgesteld, die de oplossing van
alle vraagstukken omtrent de terugkaatsing van het licht door
kristallen bevatten. ^
448
§ 13. Reeds in het eerste hoofdstuk hebben wij een dergelijk
vraagstuk, en wel een der meest eenvoudige, behandeld. Toen
bleek het ons, dat de theorie van oaucht, in dat eenvoudige geval
zelfs , met de waarnemingen in strijd is , dat daarentegen de doer
NBUMANN opgestelde formules tot juiste uitkomsten voeren. Die
formules zijn ook in andere gevallen in schoone overeenstemming
met de waarnemingen van brewstbb, sebbeck, ds sÉNAaMOHi en
andere natuurkundigen en vooral de zeer nauwkeurige metingen
van SEBBECK hebben de juistheid ervan bewezen. Kunnen w^ dos
aantoonen, dat onze resultaten met de bedoelde formules overeen-
komen, dan is daarmede tevens bewezen, dat ook de electromag-
netische theorie van het licht alle op dit gebied waargenomen ver-
schijnselen verklaren kan.
Nbümann heeft zijne theorie in een zeer uitvoerige verhandeling i)
uiteengezet en daarbij een geheel anderen wegingeslagen, dan wij
boven volgden. Hij beschouwt nl. eerst het algemeene geval,
waarin twee gebroken stralen ontstaan, en leidt uit de verkregen
vergelijkingen eerst aan het einde 2) zijner beschouwingen de for-
mules af, die gelden, wanneer slechts één gebroken lichtbundel
in het spel komt Hij onderscheidt hierbij een gewonen en een
buitengewonen lichtstraal, wat echter slechts een zaak van conventie
is, daar men beide op volkomen dezelfde wijze kan behandelen.
Voor het geval, dat alleen de eerste ontstaat, geeft h\j de vol-
gende vergelijkingen
sin* «p' tg q'
tg«' = -tga.'cos(y-y')+ ^^^^„^^^^y
,^_cos(y + y') 2 sin 2 y sin V tg g'
COS (^ — ^') sin 2 (^ - ^') sin (^ + ^') cos x' j
sin (y — ^')
sm (^ + ^0 I
Hierin zijn f, ^\ x', a', ó de grootheden , die w\j o, «', oi', cut) en
genoemd hebben. Verder is q' de hoek, dien de lichtstraal met
de normaal op het golffront maakt, en komt dus (volgens § 8) met
onzen hoek fi overeen. Neemt men dit in aanmerking, dan blijkt
het, dat de vergelijkingen (39) van onze vergelijkingen (33), (35)
1) Abhandlungen der Berliner Academie, 1835.
2) t. a. p., p. 144 , 145.
119
en (37) slechts door sommige teekens verschillen. Dit is hieraan
te wijten , dat sommige hoeken door neumann in een anderen zin
positief zijn gerekend, dan wij dit gedaan hebben. Inderdaad gaan
de formules (39) in de onze over, wanneer men a?' door — x' vervangt.
Voor het geval, dat alleen de buitengewone lichtstraal ontstaat,
geeft NBVMANN vergelijkingen, die wederom alleen in het teeken
van sommige termen van (39) afwijken. Klaarblijkelijk is dit alleen
toe te schrijven aan de keus omtrent het teeken der verschillende
hoeken. Wordt die keus in beide gevallen op dezelfde wijze be-
paald , dan moeten ook de verkregen formules overeenkomen.
Het duidelijkst blijkt het intusschen, dat beide theorieën tot
volkomen hetzelfde resultaat voeren , wanneer wij aantoonen , waarom
dit noodzakelijk zoo zijn moet. Nevmann stelt zijne vergelijkingen
op, door vooreerst de doortoopendheid der verplaatsingen (of snel-
heden) aan het grensvlak in aanmerking te nemen, wat hem drie
betrekkingen geeft. De vierde leidt hij af uit het beginsel der
levende kracht. Stellen wij ons voor, dat de invallende — en dus
ook de teruggekaatste en gebroken — lichtbundel begrensd is, dan
kan, gelijk men weet, dit beginsel, zooals het door fresnel en
KETTVANN is tocgepast, aldus worden uitgedrukt
zoolang ten minste slechts één gebroken straal ontstaat. Daarbij
zijn 2>o, h en V de amplitudines van het invallende, teruggekaatste
en gebroken licht , ^ en ^' de dichtheden van den aether in de
twee middenstoffen , terwijl eindelijk Ho, F en W de volumina
voorstellen y >lie uit elk der lichtbundels worden gesneden door twee
vlakken, evenwijdig aan het golffront en op een afstand, gelijk aan
de voortplantingssnelheid , van elkander verwijderd. Daarbij moet
men in 't oog houden, dat de lichtbundel in het dubbelbrekende
lichaam niet loodrecht doorsneden wordt, daar hij toch wordt be-
grensd door lijnen , in de richting van den lichtstraal getrokken.
Maakt die richting een hoek / met de normaal op het grensvlak,
dan leert een eenvoudige meetkundige beschouwing, dat
cos y
ZTn : jö : H' = sin a cos a : sin a cos a : sin «' ^ •
° cos/9
Daar verder de theorie van neümann de dichtheden van den
aether gelijk stelt wordt de boven aangegeven vergelijking
120
cos y
(6o* — b*) sin « cos a = 6'* sin a' — ' (40)
cosp
üm cos Y uit te drukken in de andere grootheden, die wij heb-
ben ingevoerd, verbeelden wij ons uit het middelpunt M van een
bol drie stralen M A^ M B en M C getrokken , resp. in de richting
van de normaal op het grensvlak, de normaal der gebroken golven
en den lichtstraal. Dan heeft men voor de zijden van den aldus
gevormden bolvormigen driehoek
AB = a', BC=±fi, CA=zy,
Hier geldt het bovenste teeken, als fi positief, het onderste als
p negatief is (daar in den bolvormigen driehoek de absolute waarden
der zyden in aanmerking komen). Uit een eenvoudige figuur 1)
blijkt het verder, dat in het eerste geval de hoek B = 90* -•',
in het tweede geval B = 9QP -{-m' is. In beide gevallen heeft men
derhalve
cos y = cos o' cos /9 -f sin o' sin /? sin m'
en hierdoor gaat (40) over in
(V -^ 6") sin a cos a = fe' • (sin u cos a' + sin* a' sin a>' tg /9) . . (41)
Bij de theorie van neumann hebben verder de aethertrillingen
dezelfde richting, die bij onze beschouwingswijze aan de magne-
tiseerende kracht toekomt. Wij zullen nu bewijzen, dat, wanneer
wij de componenten der magnetiseerende kracht vervangen door de
verplaatsingen der aetherdeeltjes , onze formules dezelfde worden
als die, welke bij neümann's theorie voorkomen.
De vergelijkingen (29), (30) en (31), waarvan de beteekenis deze
is, dat L, M, N doorloopend zijn, moeten dan natuurlijk overgaan
in de drie eerste vergelijkingen van neumann, die de continuïteit
der verplaatsingen uitdrukken. In plaats van (32) mogen wij verder
een of andere betrekking nemen, uit (29) — (32) afgeleid. Verme-
nigvuldigen wij daartoe (29) met (31), (30) met (32) en tellen de
uitkomsten op, dan komt er
(1 — a*) sin* a cos a = a" (sin* a cos «' -f sin* «' sin «' tg /9).
Wordt de magnetiseerende kracht bij een der lichtbundels voor-
1) B\j het ontwerpen dezer figuur moet de gesteldheid van het gekozen i
stelsel (p. 50), benevens het omtrent het teeken van g (p. 106) en omtrent
het azimuth (p. 114) gezegde, in aanmerking worden genomen.
124
gesteld door 9 cos V' dan bestaat blijkens de vergelijking (20)
tusschen de amplitudines
S'o, 9, g'
het verband
9o ' 9 '• 9' = sin o : a sin » : a' sin o'
en hierdoor gaat bovenstaande vergelijking over in
foo* — gf*) sin a cos a = gr ' ' (sin a' cos a' + sin* a' sin o»' tg /5).
Komen in de plaats van de componenten L, ilf , iV de verplaat-
singen der aetherdeeltjes , dan moeten hierin ^O) 9 en 9' door bo,
h en 5' vervangen worden, v^aardoor men juist tot (41) komt.
Hiermede is aangetoond, dat de magnetiseerende kracht in de
eene theorie en de verplaatsing der aetherdeeltjes in de andere op
dezelfde wijze wordt bepaald. Gemakkelijk kan men daaruit afleiden,
dat men bij beide beschouwingswyzen tot dezelfde resultaten moet
komen.
Nadat het ons aldus gebleken is, dat de hypothese van maxwell
even goed van alle bij de kristallen waargenomen verschijnselen''
rekenschap kan geven als de theorie van nbühann, kan ons de
keus tusschen beide niet moeilijk vallen. Want, zooals wij in het
eerste hoofdstuk zagen, nbumann kon zijne resultaten alleen ver-
kregen door de voorwaarden van het vraagstuk gedeeltelijk achter-
wege te laten. Daardoor missen zijne beschouwingen een vasten
grondslag. Bij de nieuwe theorie zijn daarentegen steeds alle om-
standigheden in aanmerking genomen, en hierom verdient zij
ontegenzeglijk de voorkeur boven die van neumann.
VIJFDE HOOFDSTUK.
DE TOTALE REFLECTIE,
§ 1. in de vorige hoofdstukken werd stilzwijgend ondersteld,
dat bij de terugkaatsing van het licht ook een gebroken straal
ontstaat, een onderstelling, die niet altijd vervuld is, daar er
totale terugkaatsing kan plaats hebben. Thans zullen wij de wijzi-
gingen bespreken , die de verkregen resultaten in dit geval ondergaan.
Reeds fresnel i) slaagde er in, uit zijne vergelijkingen voor de
gedeeltelijke terugkaatsing uitdrukkingen af te leiden, die van alle
eigenschappen van het totaal gereflecteerde licht rekenschap geven.
Toch kan men niet zeggen, dat zijne behandeling van dit onder-
werp niets te wenschen overlaat. Zooals men weet is het uitgangs-
punt zijner beschouwingen het optreden van imaginaire grootbeden
in de voor de amplitudo van het teruggekaatste licht gevonden
uitdrukking. Te recht is fbesnel van oordeel, dat, ondanks die
imaginaire grootheden, de formules nog steeds de oplossing van
het vraagstuk bevatten. Hij maakt vervolgens de gissing , dat een
complexe uitdrukking voor de amplitudo gelijk staat met een be-
paalde phaseverandering en werkelijk levert hem dit vergelijkingen
op, [die door de waarnemingen gestaafd worden. Waarom die
gissing juist moet zijn wordt echter niet recht duidelijk, terwijl
bovendien de theorie van fresnel in zoo verre een leemte vertoont,
1) Fbesnel, Oeuvrei complètes, T, I, p. 781 en vlg.
123
dat zij niet weet aan te geven , op welke wyze bij de totale reflectie
de lichtbeweging in het tweede medium indringt.
Dat werkelijk dat indringen plaats heeft was aan fbesnel bekend
en hij spreekt zelf de wenschelijkheid uit, om ook dit verschijnsel
uit de theorie af te leiden en aldus een volkomen verklaring van
de totale reflectie te leveren. Hij heeft zich dan ook reeds voor-
gesteld, de zaak aan een strenger onderzoek te onderwerpen^ maar
hiervan is in zijne Oeuvres complètes niets te vinden.
Later zijn echter de vergelijkingen voor de totale terugkaatsing
langs veel meer bevredigenden weg afgeleid. Zoo vindt men b.v.
bij BiSENLOHR 1) formules , die het vraagstuk geheel oplossen, ook
wat de beweging in de tweede middenstof betreft. Vreemd mag
het daarom zeker heeten , dat men in de meeste — althans in de
mij bekende — leerboeken nog steeds bij de theorie van fbesnel
blijft staan, ofschoon deze stellig door een betere kan vervangen
worden.
§ 2. Zien wij vooreerst, wat er bg de totale terugkaatsing van
het gereflecteerde en gebroken licht wordt. Wij bepalen ons daarbij
tot isotrope midden stoffen , daar toch bij de kristallen dezelfde rede-
neeringen ' kunnen toegepast worden. Wi) komen daarbij (ofschoon
langs eenigszins verschillenden weg) tot dezelfde formules als
EI8ENL0HB, met dit onderscheid intusschen, dat wij de begrippen
en de notatie der electromagnetische theorie ten grondslag leggen.
Is vooreerst het invallende licht in het invalsvlak gepolariseerd,
dan wordt bij de gewone terugkaatsing de geheele lichtbeweging
bepaald door de in § 6 van het derde hoofdstuk voor 7, L, N
aangegeven waarden, waarbQ, zooals wij toen vonden
sin («1 — (xa)
ai = —
sin («1 + oij)
en
8j , sm Oi 2 sin oi cos «i
03= — (1 + ai) = ~ • — : — 7 ; r
81 ^ ^ sinoi sin («1 + 02)
is. Bovendien is pi = pi" = pj, a/^ = «i en sin «2 = n sin Oi,
i
wanneer wij den brekingsindex noemen. Zoo lang aan de hier
n
neergeschreven voorwaarden voldaan is , maken de waarden van 9 ,
1) Pogg. Ann. 104, p. 360 en 360.
124
L, N een juiste oplossing van de bewegingsvergelijkingeiïi en de
grensvoorwaarden uit. Dit zal ook nog het geval zijn, wanneer
onze voorwaarden voor 03 een onbestaanbare waarde geven, mits
men bij alle herleidingen de in het algemeen voor complexe groot-
heden geldige regels in het oog houdt Daardoor verkrijgt men
dan voor 7 , L en JV een stelsel complexe waarden , die echter nog
steeds aan alle vergelijkingen van het vraagstuk voldoen.
Werkelijk wordt oc, onbestaanbaar, wanneer n ^ 1 is en de
invalshoek den grenshoek overschrijdt. Dan toch wordt sin 03 ^ 1 ,
en dus cos O] =: t V^ n' sin* «1 — 1. Hierdoor worden de uitdruk-
kingen voor üi en aj complex; gemakkelijk vindt men
l + n*cos2ai 2 n cosoi i/ n* sin*ai — 1
ai = ; t . i , ... (1)
n* — 1 n* — i ^ '
cos* «1 2 cos tti 1/ n* sin* «i — 1
«3 = 2 — '- i . ?-^-— — i , ... (2)
n* — 1 n (n* — 1)
waarvoor wij kortheidshalve schrijven
ai = 6 + c t , «2 = 6' + c' t.
Voor het invallende licht blijft natuurlijk
2 71 X z
Vi = cos -y- (< — — cos «1 - — sin «i +p); . . (3)
de uitdrukking voor het teruggekaatste licht wordt
2 TE X z
Vv' = (& + <?*) cos -^ if + — cos «1 — — sin «i + p) , . (4)
en eindelijk die voor het gebroken licht
2 »i X M z
i7,=:(6' -|-c't)cos— — {t Kn*sin*ai — 1 . i sin eti +jp)
T V3 Vi
Stelt men
en
In
2 n z
{t sin «1 +p) = /.... (5)
— 1/ n* sin» «1 — 1 = r, . . . (6)
1 Vj
dan geeft de laatste vergelijking
17^= 1 (6'(e'-» -f c-'-*)cos / — c'Cc"* — c'""*)sin jt) +
+ t. J (^'(e''* — c-''*)sinjr + c'(c*"* + c-*'*) cos;r] . , , (7)
125
Bij (3), (4) en (7) behooren dan verder de volgende uitdruk-
kingen voor de magnetiseerende kracht
JLi' = 4n AVi sin «i . 71' , Ni= — 4nA Vi cos «i . 7/,
Li"= 4nAVi sin «^ . 71" , Ni"= 4n ATi cos «i . 71",
X2 = n • 4 n il Vs sin oEi . 73 , iVj = — i,4n Ay^ V^n*sin*tfi — 1 . 7,.
Hiermede is het stelsel complexe waarden, dat aan onze verge-
lijkingen voldoet, geheel aangegeven.
Nu zijn echter zoowel de bewegingsvergelijkingen als de grens-
voorwaarden lineair ten opzichte van |, 7, (, Z, Jf, i\r, ^ en
hunne dilferentiaalquotiënten , terwijl er geen term voorkomt, die
niet een dezer functiën bevat. In dit geval is het bekend, dat,
wanneer een stel complexe waarden aan de vergelijkingen voldoet,
ook een juiste oplossing verkregen wordt, wanneer men overal
alleen het reêele of alleen het imaginaire gedeelte neemt. Doen
wij dit, dan komen wij tot de twee volgende oplossingen
2 71 X z ,
a. 7.' = cos — — - (t — — cos ai sin «i + p) »
2 71 X z
ij^"=bcos—=— (t -f . cos «i sin ai+p) »
T Vi Vi
V,^i{b'(e
2 71 z
' + e-'')cos-—(t —sin «i+p) —
T V,
271 ,. z
«71 Z ")
— c'(e*"*— e-""') sin -— (t sin ai+p)f »
b. 7i'= O,
2 71 X z
rji'-c cos — — {t + COS «1 sin «i + p') >
fH = {{h' (e- - e- -) sin -^ (t - -1- sin a, + p') +
+ c'(e-« + e--*)cos -^(i - -^sinai + pO}»
waarbij wij in het tweede stel p' in plaats van p hebben geschre-
ven, daar hier p' elke willekeurige waarde mag hebben. De uit-
drukkingen voor de magnetiseerende kracht zijn kortheidshalve
achterwege gelaten, daar zij gemakkelijk aan de gegeven vormen
zijn toe te voegen.
Men moet a en 2> als twee bijzondere oplossingen onzer vergelij-
kingen beschouwen en men kan daaruit , daar deze lineair zijn , op
126
bekende wijze zoovele oplossingen afleiden , als men wil. Is echter het
invallende licht , dus 7/, gegeven , dan mag men nog slechts in h alle
grootheden met een willekeurige constante C vermenigvuldigen en ze
vervolgens bij de overeenkomstige waarden van a optellen. Daar
hierbij nog C en p' willekeurig zijn, ontstaat de vraag, hoe wij
zullen beslissen, welke oplossing aan de werkelijkheid beantwoordt
Daartoe is het niet genoeg, dat een stel waarden aan de be-
wegingsvergelijkingen voldoet, maar wij moeten overwegen, of de
daardoor uitgedrukte bewegingstoestand wel ontstaan kan, wan-
neer eerst alleen in het eerste medium beweging bestond en van
daar uit aan het tweede werd meegedeeld. Ofschoon nu het onder-
zoek naar de wijze, waarop die mededeeling plaats heeft, zeer
omslachtig is , kan men toch ééne zaak gerustelijk aannemen , dat
er nl. geen bewegingstoestand kan ontstaan, waarbij in het tweede
lichaam , bij toenemenden afstand van het grensvlak , de amplitudo
der trillingen hoe langer hoe grooter wordt. Door dit in aanmer-
king te nemen komen wij tot een bijzondere oplossing der bewe-
gingsvergelijkingen , die, zooals ons zal blijken, met de werkelijk-
heid overeenstemt Immers, daar in de tweede middenstof x
positiefis, moeten alle termen die e"' bevatten, verdwijnen. En
dit is alleen mogelijk, wanneer C=i, p'=p — \ T wordt gesteld.
Hierdoor komt men tot het resultaat
2 «• , X z
ifi' = h cos — — (t H cos «1 sin «i + J') +
T Vi Vi
2 w X z
-f c sin — ^ (t -{ cos «i sin «1 +|>), ... (8)
2w z
7,= 6'e-»"«cos -— (^ — _. sinai+p) +
+ c' e— sin ^ (< - ^ sin «, +|>) (9)
Men zou hierbij gemakkelijk de uitdrukkingen voor de magne-
tiseerende kracht kunnen voegen; men zou dan vinden, dat ook
hierbij de termen met e'* zijn weggevallen.
Van de beide formules (8) en (9) konat inderdaad de eerste, die
het teruggekaatste licht bepaalt, overeen met de resultaten van
FKB8MBL. Verder wordt door de tweede aangegeven, hoe bij de
totale reflectie de lichtbeweging in het tweede medium doordringt.
Uit den factor e**''* blijkt, dat hier de amplitudo by verwijdering
137
van het grensvlak afneemt, en wel zeer snel. Immers men kan,
als { de golflengte in het tweede medium is, volgens (6) schrijven
rar=2«-. — l/«* sin* a, — 1.
Voor afstanden derhalve van het grensvlak, die zeer groot zijn
ten opzichte van de golflengte, v^ordt ook rx zeer groot, dus
C'* zeer klein, zoodat men daar de ingedrongen heweging niet
zal kunnen hemerken. Wel is dit mogelijk , zoolang x slechts eenige
malen de golflengte bevat.
§ 3. Op dezelfde wijze kan men te werk gaan, wanneer het
invallende licht loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd is. Daar
wij in § 7 van het derde hoofdstuk vonden, dat er, ten gevolge
van onze onderstelling omtrent e, geen longitudinale trillingen
ontstaan, heeft men, evenals daar, slechts met de uitdrukkingen
voor de transversale beweging te doen. Hier is voor het terug-
gekaatste licht
_ tg («!--«>)
tg («1 + «a) '
wat voor de totale terugkaatsing wederom den vorm
üi = b +■ c i
aanneemt, waarbij thans
cos* «1 — n* (n* sin* ai — 1)
h =
cos* «1 + n* (n* sin* «i — 1)
2 n cos Oi |/n* sin* «i — 1
(10)
cos* «1 -f n* (n* sin* «, — 1 )
is. Evenzoo wordt ook Oj onbestaanbaar en men vindt voor |, f,
M een stel complexe uitdrukkingen. Door van de verschillende
oplossingen , die zich hieruit laten afleiden , die te kiezen , viraarbij
de amplitudo in het tweede medium niet voortdurend aangroeit
bij toenemenden afstand van het grensvlak, verkrijgt men voor
het teruggekaatste licht weer hetzelfde resultaat als ybesnel en
vindt men voor het tweede medium een dergelijke beweging als in
de vorige §.
§ 4. Het onderzoek der totale reflectie heeft ons thans een
bewegingstoestand leeren kennen, geheel verschillende van de
golvende beweging, waarmee wy gewoonlijk te doen hebben, en
128
gekenmerkt door de exponentieele grootheden , die in de uitdruk-
king er voor optreden. Het kan gebeuren, dat men bij eenig onder-
zoek verschillende van die trillingstoestanden te beschouwen heeft
Zoo kan b.v. de ingedrongen beweging teruggekaatst worden en
men zal alsdan een gereflecteerde beweging van dezelfde soort
hebben. Daarbij mag dan weer de beweging niet voortdurend
sterker worden bij verwijdering van het terugkaatsende vlak, zoo-
dat hier geen factor van den vorm e""' mag voorkomen.
Om op een geschikte wijze vraagstukken van de boven aange-
wezen soort te behandelen , is het wenschelijk de verschillende
bewegingen , die wij hebben leeren kennen , onder den zelfden vorm
te kunnen voorstellen. De leer der complexe grootheden geeft
hiervoor het middel aan de hand.
Wij hebben tot nog toe een bijzondere oplossing der bewegings-
vergelijkingen gebruikt, die onmiddellijk een bundel gepolariseerd
licht voorstelt. Was b.v. het licht in het a?z-vlak gepolariseerd,
dan werd elke lichtbundel voorgesteld door uitdrukkingen >van den
vorm
% *^ X z J
» = a cos —-— (t — — cos a sin a + p) » f ,,,.
' T ^ V V ^'^^ I . . . (11)
L = 4?rilV8ina.i7, iV= — 4«'ilvcosa.7, )
waarbij a voor invallend of gebroken licht scherp, voor een terug-
gekaatsten straal stomp is. In plaats van (11) nemen wij nu
complexe uitdrukkingen , waarbij de goniometrische functie door
een exponentieele vervangen is, en dat wel zoo, dat men, door
alleen het reëele gedeelte te nemen, juist (11) verkrijgt. Dit is het
geval , wanneer men stelt
[fi\=ae±i^i' - T-°°-« ~ "^'*"''"^''^M. .(12)
[Ir] = 4 «• -i V sin a . [7] , [iVJ = — 4 «r il v cos a , [7] , J
waarbij het teeken van den exponent voorloopig v^Uekeurig is.
Men overtuigt zich gemakkelijk, dat werkelijk (12) even goed als
(11) aan de bewegingsvergelijkingen voldoet. Men kan nubijeehig
vraagstuk vooreerst voor eiken lichtbundel uitdrukkingen van den
vorm (1 3) nemen , hierin alles zoo bepalen , dat aan de grensvoor-
waarden voldaan is, en vervolgens overal alleen het reéele gedeelte
nemen, dat op zich zelf ook een juiste oplossing zal zijn. Wordt
dan bij eenigen lichtbundel cos m imaginair, dan komt in dat refiele
429
gedeelte een exponentieele grootheid voor. Bij een gebroken licht-
bundel kan cos « den vorm k t, bij een teruggekaatsten den vorm
— fel aannemen , k positief zijnde. In het eerste geval treedt
de factor e.±«'*, in het tweede e-F«'« te voorschijn. Aan de con-
ditie, dat de amplitudo bij verwijdering van het brekende of
terugkaatsende vlak niet voortdurend mag toenemen , is derhalve
zeker voldaan, wanneer men, zooals wij dit in 't vervolg zullen
doen, in (12) het onderste teeken neemt.
Wij zullen in het vervolg de symbolische waarden (12), waaruit
de werkelijke worden afgeleid door alleen het reêele deel te nemen,
door insluiting in haakjes van deze onderscheiden.
Het spreekt van zelf dat men, wanneer het licht in een ander
dan het xz-vlak gepolariseerd is, evenzoo te werk kan gaan.
Wilde men, langs den hier aangewezen weg, de terugkaatsing
behandelen van licht, dat in het invalsvlak gepolariseerd is, dan
moest men het invalleqde, teruggekaatste en gebroken licht eerst
voorstellen door de symbolische uitdrukkingen
M = e-i— ('-^ eos«j-_sIn«i+:p)^
M = aj c -i-F '' -^ cosaj-^ si„«,+^)
Uit de grens voorwaarden vindt men dan, als vroeger,
sin («xi — «,) sin «i 2 sin «i cos «i
Sin («i + rtg) sin «j sin (a^ + or,)
Ten slotte moest men dan alleen het bestaanbare gedeelte nemen.
Daarbij moet dan onderscheiden worden, of de invalshoek kleiner
of grooter dan de grenshoek is. In het eerste geval zijn cos o,,
ai en er, bestaanbaar en men komt dan tot de resultaten van het
derde hoofdstuk. In het tweede geval is cos «j imaginair, dus
tti en «2 complex en door nu alleen het reëele deel te nemen ver-
krijgt men de boven voor de totale reflectie gevonden formules.
Het gebruik der symbolische waarden stelt ons dus in staat, de
gedeeltelijke en de totale terugkaatsing op dezelfde wijze te be-
handelen 1).
1) De methode, die wij hier leerden kennen, is steeds door caucht bij
yraagstakken omtrent trillende bewegingen gebezigd.
9
130
I
§ 5. Ik zou hierbij niet zoo lang hebben stil gestaan , ln(Uen
zich niet bij de totale reflectie eenige omstandigheden voordeden,
waarvan de bespreking niet van belang ontbloot is. Tervirijl name-
lijk door JAMIN en quincke is aangetoond, dat de formules voor
het totaal gereflecteerde licht door de waarnemingen worden be-
vestigd, is de juistheid der formules voor het ingedrongen licht nog.
niet met denzelfden graad van zekerheid bewezen. En ik acht dit
te meer van belang, omdat men soms omtrent de verschijnselen,
waarvan hier sprake is , andere begrippen koestert dan dié , v^raarop
de hier gegeven uiteenzetting steunt. De zaak is b.v. zoo opge-
vat, alsof het licht, na tot op een bepaalde diepte in het tweede
medium te zijn doorgedrongen, uit het inwendige daarvan werd
teruggekaatst en men meende dan in die dubbele terugkaatsing de
oorzaak te zien van de phaseverandering by de totale reflectie.
Dit strookt niet met de boven gegeven beschouwingen. Deze gelden
voor het geval dat de twee lichamen scherp van elkander zijn ge-
scheiden. Al neemt nu ook de tweede middenstof aan de beweging
deel, dit geeft ons nog geen recht, van een terugkaatsing uit het
binnenste daarvan te spreken, iets, dat men zich trouwens niet
gemakkelijk zal kunnen voorstellen.
Een tweede omstandigheid, die een verificatie der verkregen
formules wenschelijk maakt , is deze , dat niet elke theorie dezelfde
beweging in het tweede medium vereischt. Immers, wanneer men
uitgaat van de onderstelling , dat het licht in trillingen eener veer-
krachtige stof bestaat, dan ontstaat vooreerst een beweging in de
tweede middenstof, zooals wij die boven hebben gevonden, beant-
woordende aan een golfstelsel met transversale trillingen bij de
gewone terugkaatsing. Maar, wanneer de trillingsrichting in het
invalsvlak ligt , zou daar nog een tweede dergelijke beweging bij-
komen, afkomstig van de longitudinale trillingen, die men in de
berekening heeft moeten opnemen. Het zou nu kunnen gebeuren,
dat bij verschijnselen, waar de eerste beweging merkbaar wordt,
ook de tweede een rol speelt. Het is daarom als een steun voor
de electromagnetische theorie niet geheel zonder gewicht , wanneer
wij aantoonen , dat zich de waarnemingen omtrent het ingedrongen
licht geheel laten verklaren door de opgestelde vergelijkingen,
waarbij — ten gevolge onzer onderstelling omtrent s — is aan-
genomen, dat er geene longitudinale trillingen ontstaan.
§ 6. Om te bewijzen , dat bij de totale reflectie ook het tweede
134
medium aan de beweging deel neemt, is reeds door newton de
volgende proef genomen. Een glazen prisma A met een gelijk-
beenigen recbthoekigen driehoek tot grondvlak en een tweede prisma
B^ van A alleen verscbillende door dat het schuine zijvlak niet
plat, maar een weinig bol is, worden met deze zijvlakken tegen
elkander gedrukt. Men kan dan op bekende wijze een lichtbundel
door het schuine z\jvlak van A een inwendige terugkaatsing doen
ondergaan onder een invalshoek, grooter dan de grenshoek. Is
B niet aanwezig, dan is in dit geyal de terugkaatsing totaal en
neemt men geen gebroken straal waar. Is echter B tegen A aan-
gedrukt , dan gebeurt er op de plaats , waar de beide glasstukken
het naast by elkander zijn, iets anders. Daar ontstaat wel een
gebroken straal, die zich in B voortplant, terwijl de intensiteit
van het gereflecteerde licht kleiner is geworden ; het gevolg daarvan
is , aat men op die plaats in het teruggekaatste licht een donkere ,
daarentegen in het doorgelaten licht een heldere vlek waarneemt.
Uit deze proef volgt met zekerheid, dat de lichtbeweging in de
dunne luchtlaag tusschen de beide prisma's doordringt.
Uitvoeriger is het beschreven verschijnsel beschouwd door quincke.
In een eerste reeks van onderzoekingen 1) stelde hij zich de vraag,
hoe diep de beweging in het tweede medium kan indringen ; de
grootste diepte, tot op welke zij kan doorgaan, zou gegeven worden
door den afstand der prisma's aan den rand der vlek. Volgens de
hier gegeven theorie kan men eigenlijk niet spreken van de grootste
diepte, tot op welke de beweging zich uitstrekt (daar zij, met af-
nemende amplitudo, tot op eiken afstand doordringt); wel van de
grootste diepte, op welke de amplitudo nog groot genoeg is om
een gebroken straal op te leveren, die door ons oog kan worden
waargenomen. Hierbij komt dus aan den eenen kant de gevoelig-
heid van het oog des waarnemers, aan den anderen kant de in-
tensiteit van het invallende licht in aanmerking. In overeenstem-
ming hiermede werd dan ook gevonden, dat de rand der centrale
vlek steeds vloeiend uitloopt, en dat de middellijn ervan bij zon-
licht veel grooter is dan bij kunstlicht.
Hebben dus de metingen van de bedoelde diepte geen absolute
waarde voor de theorie, zij hebben wel degelijk een betrekkelijke
1) Pogg. Ann. 127, p. 1.
132
waarde, wanneer zij nl. aangeven, welken invloed verschillende
omstandigheden er op hebben.
Hieromtrent vond quincke het volgende:
a. De afstand , tot op welken het licht indringt , neemt met
toeneraenden invalshoek af.
6. Bij invalshoeken , die den grenshoek slechts weinig over-
schrijden , dringt het loodrecht op het invalsvlak gepolariseerde licht,
bij grooteren invalshoek het in het invalsvlak gepolariseerde 't verst
in het tweede medium door.
c. De bedoelde afstand neemt met de golflengte toe. Daaruit
laat het zich verklaren, dat de donkere vlek in het gereflecteerde
licht een violetten, daarentegen de lichte vlek in het doorgaande
licht een rooden rand heeft.
d. Brengt men tusschen de twee prisma's een andere door-
schijnende stof dan lucht, b.v. water of terpentijn, dan wordt de
diepte, tot op welke het licht indringt, des te grooter, naarmate
de brekingsindex meer nadert tot dien van het glas.
§ 7. Een theorie van het beschreven verschijnsel is reeds gege-
ven door ST0K£S 1). Daar hem intusschen geen nauwkeurige me-
tingen ten dienste stonden kan het zijn nut hebben, de uitkomsten
der theorie met de latere waarnemingen van quincke te vergelijken.
De verklaring van de zaak is eenvoudig , nu wij gevonden hebben ,
dat bij de totale reflectie de lichtbeweging in het tweede medium
doordringt. Wordt die ingedrongen beweging door een andere mid-
denstof gestoord, dan zal zij tot een gebroken straal in de laatste
aanleiding kunnen geven en tevens gedeeltelijk teruggekaatst wor-
den. De teruggekaatste trillingen zullen weer in de eerste mid-
denstof overgaan en daar de eigenschappen van het gereflecteerde
licht wijzigen.
Zooals men ziet is de verklaring analoog niet die der ringen van
NEWTON bij gedeeltelijke reflectie en men zal dan ook hier, strikt
genomen , de herhaalde terugkaatsingen aan de beide grensvlakken
in rekening moeten brengen.
Verbeelden wij ons dan nu een dunne laag van een doorschij-
nende middenstof(b.v. lucht), aan weerszijden begrensd door dezelfde
glassoort met den brekingsindex n (^1) ten opzichte van de
tusschenliggende stof. Zij de vergelijking van het eerste grensvlak
1) Cambridge Phü. Trans., vol. VIII, part 5, 1848.
133
s = Ot die van het tweede x ••= dy zoodat d de dikte der laag is.
Verder make een lichtstraal in het glas den hoek «i , in het andere
medium den hoek a^ met de normaal der grensvlakken, dan is
sin Os = n sin ni ,
welke vergelyking een onbestaanbare waarde voor den hoek ajkan
opleveren.
Stellen wij de amplitudo van het invallende licht = i , dan
kunnen wij dit voorstellen door de symbolische uitdrukking
[gj = «-' -^ e -:- cos «,- ^ «m a, + p)^
waarbij qo de diëlectrische polarisatie voorstelt. Wij denken daarbij
steeds aan een der twee gevallen , dat het licht in , of loodrecht
op het invalsvlak gepolariseerd is; deze gevallen kunnen echter
tegelijk behandeld worden. Is, wanneer de amplitudo van het in-
vallende licht =1 is, die van het teruggekaatste licht a en die
van het gebroken licht m bij den overgang uit glas in het tusschen-
liggende medium , daarentegen a' en m' bij den overgang hieruit in
glas, dan is blijkens de formules van het derde hoofdstuk
sin (ai — «i)
"" sin (ai + oj)
voor licht in het invalsvlak gepolariseerd en, voor een polarisatie
loodrecht daarop,
_ tg (ai ^ g»)
tg (04 + Oj) '
Voor beide gevallen is
a' = — a, mm' = i ^ a* (13)
De invallende beweging [go] wordt aan het eerste grensvlak
(x = 0) gesplitst in een teruggekaatste en doorgelaten beweging.
Voor de eerste heeft men
[gj= ae-* -V-^^+ i: "°" "^ "" ^ "'""* + '^
en voor de tweede
[rj = m «-* -j^ (' — -;^ «O" «« - -;^ -*" «» + P).
De laatste beweging plant zich voort tot aan het tweede grens-
134
vlak (x = d) en geeft daar aanleiding tot een doorgelaten beweging
in het tweede glasstuk
en tot een teruggekaatste beweging in de dunne laag
De grootheden p' en p" worden hierbij bepaald door de voor-
waarde, dat aan het tweede grensvlak, dus voor x =: d, de
exponenten in [ri], [qi'] en [n*] dezelfde moeten zijn. Daaruit volgt
, d ^ d
p = p cos o, H cos o,
en
d
p" = p — 2 — cos Of.
▼i
Verder doet de beweging \r{'\ aan het eerste grensvlak een
doorgelaten beweging [gt] in het eerste glasstuk en een terug-
gekaatsten trillingstoestand [r,] in de dunne laag ontstaan. Men
heeft daarvoor
-i-7-('4-^ «»«i — J^^m + p*')
[q^=^a' mm' e
Met de laatste bew^ng gebeurt weer hetielfde als met [rj.
;ens de waarde Tan p" is echter
wanneer m«n
2» d
r = —= cos «f
' T Yt
steXU Hienroor kan men ook schr^v«i, als I de golflengte in het
iusschentiggende medium is,
d
jr = ij.-^ COS., (14)
Dca^r nu [ry] alloen door een canstanten &ctor a" eP'T van [n]
135
verschilt, zullen ook de symbolische uitdrukkingen voor de bewe-
gingen, die uit [rs] ontstaan, door vermenigvuldiging met dien
factor uit de overeenkomstige , bij [n] behoorende grootheden kun-
nen afgeleid worden. De beweging [rj] wordt derhalve aan het
tweede grensvlak gesplitst in een doorgelaten beweging
en in teruggekaatste trillingen [t^s'], die, als zij door het eerste
grensvlak worden gestoord, wederom twee trillingstoestanden op-
leveren, nl. in het eerste glasstuk
en in de dunne laag
Ook met [r^] moet weer evenals met [rj worden gehandeld en
men verkrijgt daardoor de bewegingen
in het tweede glasstuk en
[?4] = a"c«'J'[<?,]
in het eerste.
Aldus kan men voortgaan en de wet, waaraan de uitdrukkingen
voor de verschillende trillingstoestanden onderworpen zijn, is na
het bovenstaande duidelijk. Voor de totale teruggekaatste beweging
in het eerste glasstuk heeft men nu
[0] = [?«] + fe] + [?3] + r*] + enz.,
of
tO] = [?i] + LïJ (1 + «" e'*r + a'« e*'Y + enz.).
De hierin voorkomende reeks is een meetkundige, waarvan de
som is
1
Stelt men verder
2n x z ,
~T~ ^ "^ "v" ^^^ «i — — sin «1 + p) = V' ,
dan is
en
136
zoodat
wordt, of, als men (13) in aanmerking neemt , na eenige herleiding
i g««y
[0] = « — e-'f (A)
Even zoo heeft men voor de totale doorgelaten beweging in bet
tweede glasstuk
[0] = [gil + [g,'] + [*'] + enz. =
= [qi'](i4-a'*e"»7 4-a'*c*»r + enz.)= —
Nemen wij nu
2 71 ar z , d
--jr (t — — cos «1— — sm «i + — cosai + p) = ^',
dan is
[gi'] = mm' c-^fV' -y) = (1 — a>) c-'(V'-y),
zoodat wij voor het doorgelaten licht verkrijgen
[0]=(iz:^e-'^' . (B)
Wij merken nog op, dat de grootheden \\f en ^' steeds reëel zijn
en niet afhangen van de ligging van het polarisatie vlak in het
invallende licht.
§ 8. Wil men uit de symbolische uitdrukkingen (A) en (B) tot
(ie werkelijke lichtbeweging besluiten, dan moet alleen het be-
staanbare gedeelte worden genomen. Is hierbij de invalshoek kleiner
dan de grenshoek, dan zijn cos «j, a en y bestaanbare grootheden.
De exponentieele vormen e^lf en e*^l( leveren dan uitdrukkingen op,
waarin sin y en cos y voorkomen en dien ten gevolge wordt de
amplitudo van het teruggekaatste licht een periodieke functie van
y^, dus van de dikte d der laag. Van daar dat, wanneer die dikte
niet overal dezelfde is, in dit geval donkere en lichte in terferentie-
sireepen worden waargenomen (de ringen van newton), waarvan
de verklaring geheel uit de formules (A) en (B) is af te leiden.
137
Geheel anders wordt de zaak, zoodra de invalshoek den grens-
hoek overschrijdt. Dan wordt y imaginair, zoodat wij kunnen stellen
y = i y',
waarby
y =271— -|/n"sin*ai — i (15)
i
is.
Verder neemt a den complexen vorm
a=^h + ci (16)
aan; de grootheden 6 en c zijn voor de twee hoofdgevallen in
§ § 2 en 3 aangegeven. Voor het eerste geval is
1 + n' cos 2 ai 2 n cos «i 1/ n* sin* «i — 1
voor het tweede
cos*ai — n*(n* sin' «l — l) ^ 2 n cos «, J/ n* sin* «i — 1
^ cos"a[+n»(n*sin"ai -1) ' ^ "" "" cos" «i + n* (n* sin* «i — 1)
zoodat voor beide gevallen
6» + c» = l . (19)
is.
Stelt men nu in (A)
1— c'»y
a . = J? + C i
en in (B)
1— a*ö*'r
= i)+£i,
dan moet vooreerst de waarde van B\ C, D en ^ nader beschouwd
worden.
Men vindt door een gemakkelijke herleiding
^+Ct = (i— c-^y ). ,=.{e'y -^\)
\. - -
= (e«y'~l)
1— a»e-«y e^r — a'
6 + c i
en daaruit, als men (19) in aanmerking neemt,
138
J5
b(e'r'-i)*
{e^r
' — i)» + 4c»e
•r'
c "^^
*ï'+i)(e'Y'-
1)
(e'
'r'_l)« + 4c»«
••r'
ieruit laat zich afleiden
RJ-i. nt
(e^'-ir
.... (20)
Om de waarden van D en E te beoordeelen merken wij op, dat
» men heeft
1 — a»=i — (6 + ciy = l— 6» + c« — 26ct = 2c» — 26ci =
= — 2ci(6 + ci) = — 2ct.a,
waaruit volgt
Dit geeft ons
er' er'
e'r^i e'r ^i '
dus
of, volgens (20),
S^ + E*= ^'^''^ ^^ .(21)
terwïjl
E B
-D- = —^ (22)
is.
De vormen (A) en (B) gaan nu over in
[0] = (B+CO^-'V'» [Q'] = (D + ^t)^-'V'
en hieruit volgt voor de werkelyke beweging
139
of, in een geschik teren vorm,
Q = V^B«+C;»cos(y — ^), O' = l/I^ + E«cos(y'—^'), . .(23)
wanneer men
sm o = — > cos a = -
£ j ? ('M)
Sin o' = — ■ , cos o = — ==_
{/ J/ + E? l/D^ + JB*
stelt. Hieruit en uit (22) volgt nog, als men in aanmerking neemt,
dat c negatief is en dus J^ en B dezelfde, D en C tegengestelde
teekens hebben,
d = d -\- i n ^)
Door deze vergelijkingen wordt het teruggekaatste en doorgelaten
licht bepaald voor het geval, dat het licht in of loodrecht op het
invalsvlak is gepolariseerd. De grootheden d en d' geven de phase
dezer lichtbundels aan , terwijl de amplitudines door l/ fi* + C
en |/ D* + E* worden gegeven.
§ 9. Neemt men de intensiteit van het invallende licht als
eenheid, dan wordt die van den teruggekaatsten of gebroken bundel
door het vierkant der amplitudo gemeten. Daaruit volgt voor deze
lichtstralen
dus, blijkens (20) en (21),
wat als een eerste bevestiging onzer uitkomsten kan aangemerkt
worden.
Wij hebben dan verder slechts ƒ te beschouwen , daar J' = 1 — J
hieruit onmiddellijk kan worden gevonden.. Uit de uitdrukking
r- f'-^r
blijkt vooreerst, dat J niet meer, zooals bij gedeeltelijke terug-
kaatsing, een periodieke functie van y of van de dikte der laag
is. Van daar, dat by de boven beschreven proef met de beide
prisma's geen interferentiestreepen meer worden waargenomen
140
onder de invalshoeken der totale reflectie. Integendeel neemt J
geleidelijk toe, wanneer d, en daardoor y , grooter wordt. Immers,
stelt men kortheidshalve
dan kan J in den volgenden vorm geschreven worden
J = ^— (26)
Differentieert men --;r naar er, dan komt er — -r-,
wat steeds negatief is, daar y positief en dus q y i moet zijn.
q
Daaruit volgt, dat bij toeneming van d, y' en q —-steeds
(q — *)
af- en dus J toeneemt.
Wordt de dikte der laag en dus y =0, dan wordt blijkens onze
formule ook / = 0. Dit moest ook zoo zijn , want de twee glas-
stükken vormen dan één lichaam en in het binnenste daarvan heeft
geene terugkaatsing plaats.
Kan daarentegen de dikte der laag ten opzichte van de golf>
lengte als oneindig groot worden aangezien , dan is y' = oo en men
vindt J = 1. Zijn derhalve de stukken glas zoo ver van elkander
verwijderd, dan komt men tot het gewone geval der totale reflectie
terug, zoodat dan het tweede glasstuk zonder invloed is.
Tusschen deze twee uitersten verandert de intensiteit langzamer-
hand van O tot 1. En hiermede is de verklaring der centrale vlek
bij de proef van newton gegeven.
Bij dezelfde dikte dei luchtlaag en denzelfden invalshoek veirkrijgt
Y niet voor alle lichtsoorten dezelfde waarde. Ziet men vooreerst van
de dispersie af, dan blijft voor twee lichtstralen met verschillende
golflengte c dezelfde , maar y' en dus volgens het bovenstaande ook
J' verkrijgen (blijkens (15)) een des te grootere waarde , naarmate de
golflengte kleiner wordt. Bij dezelfde dikte wordt dus het violette
licht het sterkst teruggekaatst, het roode het meest doorgelaten en
daaruit laat zich de aan den rand der vlek waargenomen kleuring
verklaren (zie § 6, c). De dispersie, die ook c doet veranderen met de
golflengte , oefent hierbij een kleinen invloed uit ; die verandering van
c is echter zoo klein , dat die van -rr de overhand behoudt.
(q — v
141
Tot betere beoordeeling van de hier gegeven theorie heb ik voor
eenige gevallen de intensiteit van het teruggekaatste en doorgelaten
licht berekend. Daarbij heb ik ondersteld, dat het licht in het
invalsvlak gepolariseerd is en dat de afstand der glasstukken het
vierde deel is der golflengte in lucht van de Fraunhofersche lijn
D. Daarbij kwam ik tot de volgende uitkomsten :
a. Flintglas — lucht — flintglas.
Geel licht (streep D).
n = 1,6160, Grenshoek = 38"14', Invalshoek = 45®.
/ = 0,611 , r = 0,389.
b. In plaats van geel blauw licht (streep F).
n = 1,628, Grenshoek = 37**54', Invalshoek = 45*».
J = 0,731 , J' = 0,269.
De vergel\jking van deze beide resultaten bevestigt het boven
omtrent den invloed der golflengte gezegde.
c. Alles als bij a, maar de invalshoek = 70**.
J = 0,933, J' = 0,067.
In overeenstemming hiermede is de opgave van quinckb, dat de
raiddellijn der vlek kleiner wordt bij grooteren invalshoek (§ G, a).
d. Flintglas — terpentijn — flintglas.
Geel licht (D).
n = 1,0911, Grenshoek = 66*»25^ Invalshoek = 70».
J= 0,279, J' = 0,721.
Vergelijkt men c met rf, dan ziet men hierin een bevestiging van
hetgeen quincke omtrent den invloed der tusschenliggende stof
opgeeft (§ 6. d).
Dat eindelijk ook het in § 6, b gezegde met de theorie in
overeenstemming is blijkt van zelve uit de volgende § §.
§ 10. De amplitudo en phase van het teruggekaatste of door-
gelaten licht zijn niet dezelfde voor de beide hoofdgevallen , die wij,
wat de polarisatie van het licht betreft, hebben onderscheiden.
Duiden wij door de indices p en 8 aan, of het licht in, of lood-
recht op het invalsvlak gepolariseerd is, dan zijn in het eerste
geval de amplitudines
V/ Bp» + C/ en |/ D,* + E,\
en de grootheden, die de phase bepalen.
<Jp en dp.
In het tweede geval^komt in plaats hiervan
142
1/ B.« + C/ en |/ A" + ^/, ^ en d;.
Het gevolg van de genoemde omstandigheid is dat , bij een wille-
keurige lineaire polarisatie van het invallende licht, de terugge-
kaatste en gebroken stralen elliptisch gepolariseerd zijn. Men kan
bij het teruggekaatste licht door den compensator van babiket de
verhouding der amplitudines
+ C.'
en het phaseverschil
ê.-d.
meten. Ëvenzoo by het gebroken licht de grootheden'
^■-v^m-''--''-
Werkelijk heeft quinckeI) voor een aantal gevallen deze metingen
verricht. Het phaseverschil A g^^ hij daarbij in kwart golflengten
aan, zoodat
A = — {^ - ^p), A' = — (s; — S,')
n n
is.
Uit de vergelijkingen van § 8 laten zich formules ter bepaling
van fc, k\ A en A' afleiden.
Wat het doorgelaten licht betreft heeft men, blijkens de formule
(21), daar voor de beide hoofdgevallen jr dezelfde waarde heeft,
_ A' -f E* 4c/g'y' 4cp'e'y _
i+4c/
(^-iZ_
?^+*V
Hierbij is, evenals boven
q = e'lf'
gesteld. De grootheid y' is door (15) bepaald, waarvoor men ook,
als G de grenshoek is, kan schrijven
1) Pogg. Ann. 127, p. 199. ^*
143
y =r 2 n w — - {/ sin (ai -|- G) sin («i — G).
Hieruit volgt nog
d
log ^ = 4 TT w — . log e . i/ sin («i -f G) sin («i — G).
Stelt men derhalve
d
4 «• n — log c = s ,
welke grootheid nu niet meer van den invalshoek afhangt, dan
heeft men ter berekening van q de vergelijking
log g = « i/ sin («1 -f G) sin (aj — G).
Verder kunnen de in § 8 voor Cp en c, aangegeven waarden in
een meer geschikten vorm worden geschreven, wanneer men, be-
halve G, nog een tweeden hulphoek H invoert, die gegeven wordt
door de betrekking
cot H = n.
(H is dus de polarisatiehoek bij den overgang uit het glas in de
tusschenliggende stof).
Men vindt dan gemakkelijk
n*
Cp = — 2 -^ cos «1 l/ sin («i + G) sin (cfi — G) ,
sin* H
^ sin (ai + H) sin (oi — ^0
Brengt men deze waarden in de voor k'^ gevonden uitdrukking
over en stelt daarbij
^ ^ / n» \2 q
dan verkrijgt men
j^,2^ ^ + T cos' «1 sin («1 + G) sin {a^ - G)
rsin(aH-H)sin(«i-iï)-]2 , . , ^r^ ^ r r^
. , -- 4-TCos*aiSin(ai4-G)sin(ai-~G)
L sm' H J
Voor het phaseverschil in het doorgelaten licht volgt uit de ver-
gelijkingen (24)
144
E,P,-E,D. E.D,-E ,D,
sin • T A'=8in(*.- ^^)=^/(^^,.^E,*)(D.''+E;) = '^ 'W+eT'
Brengt men hierin de waarden van Z^ en E uit § 8 over , dan
komt er na eenige herleiding
Nu volgt uit de in die § opgegeven waarden van 6 en c
2 n cos «1 ]/n* sin' «i — 1
(n« — 1) {cos« ai + w* (n* sin* «i — 1) }
X { 1 + n* cos 2 «, — cos* «i + w* (n* sin» «i — 1) ) =
2 n (n* — 1) sin' «i cos a^]/ n^ sin' «i — 1 __
cos' «1 + n' (♦?' sin' «i — 1)
c,
= — 2 n sin' «i cos «i l/ n' sin' a, — 1 . ~~
en door dit en de waarde van Cp in de uitdrukking voor het phase-
verschil te substitueeren verkrijgt men
' 9-1 1+TC0s'ai8in(a,+G)sin(ai— G) ^
Onderzoekt men het licht, dat door den uitersten rand der
centrale ylek gegaan is, dan zal men zonder groote fout voor h'
de waarde mogen nemen, waartoe die grootheid nadert bij voort-
durende toeneming van den afstand der twee glasstukken. Wordt
echter y' = oo , dan wordt x — - O , zoodat men voor den rand heeft
sin*//
/^' ^— ..... (29)
sin («i f- iï) sin («i — H)
Voor het teruggekaatste licht zal ik alleen een formule voor k
aangeven Uit de vergelijkingen van § 8 volgt
of
k = sin («1 + H) sin («i — H) ^, (30)
sin'H
waarbij k' de waarde is, die voor het bij dezelfde dikte doorgelaten
licht geldt.
145
§11. QuiNCKE heeft vooreerst uit zijne waarnemingen afgeleid,
dat de grootheden A en A» die het pha^e verschil aangeven bij
het teruggekaatste en het doorgelaten licht, 2, dus een halve
golflengte, verschillen.
Dit blijkt b.v. uit de volgende opgaven:
Tabel XI c van quincke.
Flintglas-lucht.
n = 1,6160, G = 38M4'.
(Licht, dat door een dunne luchtlaag doorgelaten of teruggekaatst is.)
«1
38»50'
39 27
40 3
4155
43 8
A'
—0,237
—0,270
—0,309
—0,364
—0,393
A
—2.237
—2,211
—2,288
-2,362
—2,393
«1
A'
45«
—0,452
48 5'
—0,535
5110
—0.499
5713
—0,481
63 1
—0,418
A
-2,408
—2,529
—2,516
—2,488
—2,379
De theorie heeft ons de vergelijking (25) opgeleverd; wij hebben dus
^' = ^P + hn, d,=S, + in
en hieruit volgt
d, - ^, = ö: - d,\
derhalve
A = A'.
Dat QUINCKE A ön A' niet gelijk vindt, maar juist een halve
golflengte van elkander verschillende, is alleen te wijten aan de
door hem bij het aangeven van het phaseverschil bij het terug-
gekaatste licht gevolgde handelwijze. Wanneer wij het phasever-
schil O noemen, is het bij hem een halve golflengte. Dit in aan-
merking nemende ziet men, dat dit resultaat van de theorie door
de waarneming wordt bevestigd.
Stelt men zich voor, dat de dikte der luchtlaag voortdurend toe-
10
146
neemt, dan zal A' naderen tot de waarde, die men bij het licht
waarneemt, dat door den uitersten rand der centrale vlek gegaan
is; A daarentegen wordt het phaseverschil voor het gewone, totaal
gereflecteerde licht. Beide waarden moeten dus gelijk zijn of, bij
QUiNCKE, 2 verschillen. Dit werd inderdaad bevestigd. Bij flint-
glas en lucht b.v. werd in de genoemde gevallen voor A en A'
gevonden :
Tabel :
n 6.
«l
38050'
A
—2,248
A'
—0,149
46052'
A
—2,610
A'
-0,602
39 27
—2,334
—0,328
47 28
—2,624
—0,617
40 3
-2,425
—0,402
48 5
—2,625
-0,630
40 40
—2,442
—0,399
48 42
—2,606
—0,579
4118
—2,484
-0,469
5110
—2,588
-0,635
4155
—2,528
-0,521
5713
—2,519
-0,562
43 8
-2,549
-0,.558
63 1
—2,446
—0,463
45
—2,588
-0,594
üe theorie geeft derhalve het juiste verband aan, dat er bestaat
tusschen A' bij het licht, dat door den rand der vlek gegaan is,
en A bij de gewone totale terugkaatsing. Het is echter bewezen,
dat in het laatste geval de waarnemingen met de theorie overeen-
stemmen; derhalve moet dit ook in het eerste geval, wat A' be-
treft, zoo zijn, zoodat wij ons met die grootheid voor den rand
der vlek niet verder behoeven bezig te houden.
In een aantal gevallen heeft qüincke k' gemeten voor licht, dat
door den rand , en tevens k' en /S' voor licht , dat door het raidden
der centrale vlek gegaan is. Ik heb uit de formules der vorige §
die grootheden voor eenige gevallen berekend. Voor het midden
der vlek is daarbij eerst uit de waarde, die k' voor den eersten
invalshoek heeft, log s berekend en daarmede vervolgens de andere
gezochte grootheden.
Aldus kwam ik tot de volgende resultaten.
147
40» 3'
4118
43 8
46 52
54 10
63 1
XI a.
Flintg:las-Jucht.
w = 1 ,6160 ; G = 38M4'; H = 31»45'.
log 8 = O, 59051.
Midden Rand
k' A' k*
waargen
2,049
1,817
1,557
waargen
1,589
1,507
1,378
1,120
0,883
0,562
ber.
1,589
1,499
1,352
1,075
0,846
0,538
waargen.
ber.
-0,399
—0,381
—0,394
—0,433
^0,470
—0,492
-^0,526
—0,556
-0,596
—0,566
-0,463
—0,447
1
1,132
0,889
0,581
ber.
2,019
1,745
1,453
1,083
0,839
0,535
XII a,
FJintglas-water.
= 1 ,2096 ; G = 55"46' ; H = 39«35'.
log s = 0,00930.
Midden
k'
A'
Rand
k'
56»
2'
57 13
63
'i
waargen.
1,027
1.023
1,013
ber.
waargen.
ber.
waargen.
1.027
—0,063
—0,063
1,358
1,025
—0,065
—0,067
1,359
1,007
^ 0,106
—0,091
1,031
ber.
1,441
1,350
1,046
148
XIV a,
Kroonglas-lucht.
n = 1,5149; G = 4tM9'; /f =33» 26'.
log 8 =^9,52214.
Midden
A'
42**22'
43 41
45
49 37
58 3
70 6
waargen.
1,008
0,993
1,216
1,031
0,963
0,941
ber.
waargen.
ber.
waargen.
1,008
—0,047
-0,054
2,000
1,007
—0,047
-0,058
1,663
1,007
-0,270
—0,062
1,394
1,002
—0
—0,072
1,077
0,983
—0,025
—0,118
0,738
0,895
-0,117
-0,199
0,552
Rand
k'
ber.
2,016
1,750
1,545
1,097
0,729
0,523
De waarnemingen voor het midden der vlek schijnen mij hier
vrij groote fouten te vertoonen. QuiNCKfe geeft dan ook aan, dat
deze metingen werden verricht ongeveer een jaar na het samen-
stellen der prisma's. In dien tijd kan echter de oppervlakte van
het glas aanmerkelijk zijn gewijzigd.
xm a.
Flintglas-terpentijn.
n = 1 ,0911 ; G = 66*25' ; H = 42»30'.
Hand
«, k'
66*>49'
68 26
69 28
waargen.
1,115
. 1,080
1,037
ber.
1,175
1,118
1,085
149
XV a.
Kroonglas-water.
w = i ,i 339 ; G = 6r52' ; H= 41«25'.
«i
Rand
waargen. ber.
62«26'
1,220
1,257
64 26
1,137
1,164
7113
0,957
0,954
QuiNCKE heeft eindelijk bij de twee flintglasprisma's , naast het
licht, dat door een dunne luchtlaag gegaan is, ook het op 't zelfde
punt teruggekaatste licht onderzocht. Daar wij reeds boven over
het phaseverschil hebben gesproken heb ik alleen voor een paar
invalshoeken k\ /\,' en k berekend.
XI c.
Flintglas-lucht.
n, 6 en ff als bij XI a.
Doorgelaten
k' A'
Teruggekaatst
k
ber.
0,583
1,032
Hierbij was eerst uit de waarde van k voor den eersten invals-
hoek de dikte der laag berekend en daarbij gevonden
log Un-^\ =0,56288.
Over het algemeen vertoonen , naar 't mij voorkomt , de berekende
waargen.
ber.
waargen.
ber.
waargen.
38'>50'
1,437
1,389
—0,237
—0,300
0,583
5110
0,937
0,866
-0,499
—0,523
0,960
150
waaiden een bevredigende overeenstemming met de metingen van
QUiNCKE. Ziet men van XIV a af, dan bestaat steeds bij beide,
wat het grooter en kleiner worden betreft, dezelfde gang. Wel
zijn de afwijkingen iets grooter dan die, welke bij quinckë's bepa-
lingen omtrent het gewone , totaal gereflecteerde licht bestaan , maar
het komt mij voor, dat die omstandigheid in de mindere nauw-
keurigheid haar oorsprong vindt, waarvoor de hier besproken proe-
ven vatbaar zijn.
ZESDE HOOFDSTUK.
DE OPTISCHE EIGENSCHAPPEN DER METALEN.
§ 1. Dat de metalen zich geheel anders dan de doorschijnende
stoffen tegenover het licht gedragen bleek vooral, toen men de
wijze, waarop zij dit terugkaatsen , aan een nauwgezet onderzoek
onderwierp. Ik zal de verschijnselen , die zich daarbij voordoen ,
hier bekend onderstellen en dus niet in een uitvoerige beschouwing
treden van de hieromtrent door verschillende onderzoekers genomen
proeven. Het aantal waarnemingen is hier aanzienlijk en ook de
theorie liet zich niet lang wachten. Weldra gaven neumann en
CAUCHY vergelijkingen , waaruit de waargenomen verschijnselen kon-
den afgeleid worden. Beiden deelden hunne formules zonder bewijs
mede; wat die van caüchy betreft is echter deze leemte later door
anderen, nl. door beek en bisenlohe aangevuld. Door deze natuur-
kundigen werd bewezen , dat men tot de formules van caucuy kan
geraken door in rekening te brengen, dat zich een lichtbundel in
een metaal slechts met voortdurend kleiner wordende amplitudo
kan voortplanten. Aldus werden de verschijnselen der terugkaatsing
in rechtstreeksch verband gebracht met het voornaamste optische
kenmerk der metalen, de ondoorschijnendheid.
Wij zullen ons hier met het onderzoek hebben bezig te houden,
of de hypothese van maxwell omtrent den aard van het licht op
behoorlijke wijze van de bij metalen waargenomen verschijnselen
rekenschap kan geven. Het groote verschil tusschen de metalen en
de vroeger onderzochte stoffen vloeit bij deze onderstelling uit hun
152
geleid ings vermogen voort. Wij beginnen derhalve nogmaals met de
bewegingsvergelijkingen der electriciteit op te stellen, thans voor
een homogeen, isotroop, geleidend lichaam. Daarbij nemen wij
voorloopig de geldigheid der wet van oeit aan, terwijl wij boven-
dien onderstellen, dat ook hier nog diëlectrische polarisatie bestaai.
Om echter niet reeds nu den schijn aan te nemen, dat de laatste
onderstelling onvoorwaardelijk noodig is, zullen wij in de verge-
lijkingen (I) — (V) van het tweede hoofdstuk in de plaats van |. 7, f
de componenten u, v, te; van den geleidingsstroom invoeren, zoo-
dat wij
stellen. Tevens verrangen wij weder il, /i, y door dL, d M, dN,
waarbij L, i¥, N de componenten der magnetiseerende kracht zijn.
Onze vergelijkingen nemen dan den volgenden vorm aan
hw hv i 4-4nd ^ hL
A T—t
h y h z X ht
hu ^ hw ^ 1+4710 ^Af
}ij} ^u__i+47id 2)N
(1)
})U hv hw i il'^sP nu
dx oy è z X H èt*
(III)
^jv hM ,r ^ 9 . ^^ , 1
ly Iz \jbxli l i J
-^ -N =-^ N — 471 fi X ^-- — 4?! V ,/
è z óx XJiy öt ó i J I
hM hL r h* ^ hw , -|
- ^ — = A ~ — 47iex- 47iu;
}^x hy lhz}it ht J
hL hM . ^JV
5; 1-5; f- 57- =- A /.
o X ' è y èz
Hierbij moeten nog de vergelijkingen (18) en (40) van het tweede
hoofdstuk gevoegd worden. Bij de eerste moeten wij opmerken,
<lat w, Vf w daar de totale stroomcom ponen ten aanwijzen. Wij
hebben hier aan die grootheden de beteekenis gegeven, dat zij
alleen den geleidingsstroom voorstellen ; de componenten van den
geheelen stroom zijn dan
153
hu h V h w
en hierdoor wordt (18)
u + s»—,v+e»^,w+s. ^^
waarbij
hu h V hw
è X c y oz
is gesteld.
Voor (40) schrijven wij hier
hL hU hN 1
èx èy dz 4na
Door vervolgens / te elimineeren komt er
^^ + ^«+4^=0 (V)
èx èy èz
en X kan nu verder buiten beschouwing gelaten worden, terwijl
wij in (I) — (V) onze bewegingsvergelijkingen hebben.
§ 2. Om vooreerst te onderzoeken, op welke wijze zich in den
geleider transversale electrische trillingen raet een plat vlak tot
golffront kunnen voortplanten, gaan wij uit van de symbolische
uitdrukkingen
[«] = [«,] = o, \
% n f
(i)
[v] =s a e — » —
Zooals men ziet is, bij de keus van dezen vorm der bijzondere
oplossing, aangenomen, dat de voortplantings richting met de ar-,
de trillingsrichting met de y-as samenvalt. Uit (1) volgt vooreerst
P=:0. Dan geeft (IV) 9> = en hiermede is ook aan (II) voldaan.
Verder vindt men uit (I)
[L] = 0, [M]-0,
8 n
xR -»-y-(/-*iJ + i»)
[N] = ; ; — -ra e
■■ -^ il (1 + 4 71 6)
Aan (V) en aan de eerste en derde der vergelijkingen (III) is
door de aangegeven waarden reeds voldaan ; de tweede daarentegen
geeft, de voorwaarde
B* = 47jeA*{i + Ane) + i/^A'(i+4ne) ... (2)
154
In twee opzichten verschilt dit resultaat van hetgeen wij vroeger
bij isoleerende lichamen vonden. Vooreerst wordt R* onbestaanbaar
en in de tweede plaats afhankelijk van den oscillatietijd. Hetzelfde
is ook met R het geval, zoodat men
R-=q + ri (3)
mag stellen, waarbij g en r uit de constanten van het medium
en uit den trillingstijd kunnen worden afgeleid.
Neemt men deze waarde van R in aanmerking, dan kan voor
[v] en [N] geschreven worden
ïjr 2 71
en neemt men hiervan alleen het reëele gedeelte, dan wordt de
uitdrukking voor de werkelijke beweging
iV=- ae
2 71
il (1+4:
- J ^ cos— (( -qx+p)+rsin —{Uqx+p)j.
§ 3. Uit deze uitdrukkingen blijkt, dat bij de voortplanting
der trillingen in het metaal de amplitudo in de voortplantings-
richting hoe langer hoe kleiner wordt, dat er dus absorptie plaats
heeft. Dit had men, ook zonder eenige berekening, kunnen inzien.
Immers, in een geleider wordt steeds een deel van het arbeids-
vermogen der electrische beweging in warmte omgezet. Bestaat
dus het licht in electrische strooraingen, dan moet in een geleider
de lichtbeweging gedeeltelijk in warmte veranderd , d. w. z. geab-
sorbeerd worden.
Werkelijk zijn alle goede, metallieke geleiders zeer weinig door-
schijnend, terwijl de meeste lichamen, die het licht bijna onver-
zv\rakt doorlaten, isolatoren zijn.
Maxwell 1), die het eerst op het verband tusschen het gelei-
1) Electr. aiid Maga. $f 798—800.
455
dingsvermogen en de ondoorschijnendheid wees , heeft de intensiteit
van het licht, dat door een dun metaalblad wordt doorgelaten,
met -«zijne theorie vergeleken. Uit de vergelijkingen (2) en (3) volgt
2gr= — i4*(l+47id),
X
dus
Tv
X
il*(l+47ld),
i
daar, blijkens de laatste formules van de vorige §, — de voort-
plantingssnelheid v is. Kent men deze dus en den weerstand x,
dan kan men r berekenen en dus vinden, hoe sterk het licht ge-
absorbeerd wordt. Zeer nauwkeurig kan deze berekening nooit zijn,
omdat men x niet met groole juistheid kent, en v nog veel minder.
Omtrent de wijze van berekenen geeft maxwell verder niets aan ;
hij zegt alleen, dat een dun goudblaadje hem veel doorschijnender
bleek te zijn, dan met de theorie overeenkomt.
Aangezien nu r en dus de absorptie des te kleiner wordt, naar-
mate X toeneemt, is deze afwijking in dien zin, dat het metaal
voor snel afwisselende stroomen, zooals de lichttrillingen , een
kleiner geleidingsvermogen schijnt te bezitten dan voor de stroomen ,
die wij als zoodanig kunnen waarnemen.
En dit moet zoo zijn, wanneer men aanneemt, dat bij verander-
lijke stroomen de wet van ohbi slechts bij beqadering geldig is,
een onderstelling, die wij reeds in het tweede hoofdstuk hebben
besproken. Immers, onderstellen wij, dat bij het optreden eener
electromotorische kracht de stroom niet onmiddellijk begint met de
door de wet van ohm gegeven intensiteit, maar dat er een zekere
tijd noodig is, om hem zoo ver te doen aangroeien, dan kan het
gebeuren, dat, bij stroomen van zoo korten duur als de lichttril-
lingen, de electromotorische kracht niet lang genoeg in dezelfde
richting werkt, om den stroom met zijn volle sterkte te doen op-
treden. Dan moet echter de stoomsterkte steeds kleiner zijn, dan
zij volgens de wet van ohm zijn moest, m. a. w. het metaal zal
zich ongeveer gedragen , alsof het geleidingsvermogen kleiner was
dan voor de gewone electrische stroomen.
Vertoont dus reeds bij de metalen de theorie afwijkingen van de
feiten, nog grooter verschil openbaart zich bij de electroly ten. Wel
156
is hier het geleidingsvermogeit veel kleiner dan bij de metalen,
maar toch niet zoo gering, dat men zou mogen verwachten, dat
verscheidene dezer lichamen , zooals dit toch het geval is , volkomen
doorschijnend zijn i). Het is de vraag, hoe men deze moeilijkheid
zal oplossen. Maxwell zegt hieromtrent het volgende:
We may suppose, that in the case of the rapidly
alternating forces which come into play during
the propagation oflight, the electromotive force
acts for so short a time in onedirection thatit
is unable to effect a complete separation between
the combined molecules. When, during the other
half of the vibration, the electromotive force
acts in the opposite direction it simply reverses
what it did during the first half. Thereis thus
notrue conduction through theelectrolyte, no
loss of electric energy, and consequently no ab-
sorption of light.
Ik betwijfel het, of hiermede de zwarigheid voldoende wordt op-
gelost. De beschouwingen van clausius over de electrolyse hebben
het waarschijnlijk gemaakt, dat de electromotorische kracht bij dit
verschijnsel de verbonden moleculen niet behoeft te scheiden. In-
tegendeel zal zelfs de zwakste electromotorische kracht onmiddellijk
de moleculaire beweging in den electrolyt influenceeren en ik zie
niet in, waarom, al werkt die kracht nog zoo kort, hierbij de
weerstanden tegen de beweging niet even goed zullen optreden als
bij stroomen van langeren duur. Komen echter die weerstanden in
het spel , dan zou een deel van het arbeidsvermogen der electrische
beweging in warmte overgaan en dus het licht geabsorbeerd worden.
Waarschijnlijker komt het mij voor, dat wij ook bij de electro-
lyten , evenals bij de metalen , de verklaring van de besproken af-
wijking moeten zoeken in het onvoldoende der wet van ohm. En
dat dit vooral bij electrolyten van grooten invloed moet kunnen
zijn is zeker, want wij weten, dat daar bij de electrische beweging
een zekere massa der gewone stof in beweging gebracht moet
worden.
1) Integendeel, wanneer men de formules der vorige $ op electrolyten toe-
past, dan leert de berekening, dat een laag van deze lichameii, waarvan de
dikte eenige millimeters bedraagt, het licht aanmerkelijk zou moeten absorbeeren.
157
Intusschen spreekt het van zelf. dat voor een in alle opzichten
juiste behandeling van dit onderwerp de moleculaire theorie der
electrolyse verder ontwikkeld zou moeten worden.
§ 4. Wij zullen ons verder bepalen tot de metalen en wel tot
het verschijnsel , dat bij deze het best is waargenomen , de terug-
kaatsing van het licht.
Daartoe is in de eerste plaats noodig, dat wij de uitdrukkingen
opstellen voor een trillende beweging, die zich niet meer volgens
een der assen, maar in eenige andere richting voortplant. Dit is
na het onderzoek van § 2 gemakkelijk (door een verandering van
coördinaatassen) te bereiken. Men verkrijgt daarbij het volgende
resultaat.
Ligt de voortplantingsrichting in het xz-vlak en maakt zij met
de a?-as den hoek «, dan kan men, wanneer de trillingen overal
loodrecht op genoemd vlak staan, schrijven
W= ^(l+4.ö /^^""'^
— i
V
2 n
y/ = — (< — xRcosn — zR sina -{-p).
Ligt daarentegen de trillingsrichting in het xz'\\ak^ dan kan
de beweging worden voorgesteld door
[m] = — a sin o. c -• V ,
[iü] = o cos a. e-**V ,
waarbij yt wederom dezelfde waarde heeft als boven.
Deze uitdrukkingen voldoen aan de bewegingsvergelijkingen voor
elke waarde van den hoek a , ook wanneer o , sin a , cos a complexe
grootheden zijn geworden.
§ 5. Vervolgens hebben wij de voorwaarden noodig , waaraan aan
de grens van een isolator en een metaal voldaan moet zijn. Daarbij
voorzien wij de grootheden, die bij beide door dezelfde letter zijn
voorgesteld, ter onderscheiding van de indices 1 en 2. Nemen wij
158
weder het grensvlak tot t/z-vlak dafi geven ons de voorwaarden
(A) van het tweede hoofdstuk
= « V, — = X w (4)
«1
en
Evenzoo worden de vergelijkingen (B).
^+(^),=^+(^f). ^
en
M, = A/,, Ni = N2 (7).
Hierbij komen nog (19) en (40*). Bij de eerste moeten wij voor
Wi, Vj, Wi nemen
^1 ^_7. ^t,
ht* èt' èi'
en voor t«2, Vj, w^
hu h V h w
zoodat deze vergelijking wordt
Eindelijk geeft (40*)
e.L.-±C^)=e.:L,-±(l') . . . (9).
Vooreerst kan uit (6) en (9) / geëlimineerd worden ; bepaalt men
i +47162 ,
zich ook hier tot het geval, dat de verhouding . , . — ^=1mag
1 -j- 4 71 öi
gesteld worden , (wat alleen bij de sterk magnetische metalen niet
geoorloofd is) dan komt er
Li = L, (10)
Differentieert men verder (5) naar t , dan kan men uit de aldus
verkregen betrekking en (8) de differentiaalquotienten van ^ elimi-
neeren. Dit geeft
\ ^ 4nejht ^ ^ \ ^Ansjht
159
Daar wij steeds ondersteld hebben, dat voor een isoleerende stof
8 zeer groot is, mag men in het eerste lid dezer vergelijking den
tweeden term ten opzichte van den eersten verwaarloozen. Bij het
metaal weten wij voorloopig omtrent 6.2 niets, maar toch ziet men
gemakkelijk in, dat men in het tweede lid onzer vergelijking den
derden term mag weglaten, daar hij zeer klein wordt ten opzichte
van den eersten. Immers men kan voor den derden term schrijven
X h u
of, als X de waargenomen waarde van den weerstand is, blijkens
(16) van het tweede hoofdstuk,
1 x' hu
i + 4n8^ An h t
Neemt men nu de waarde van x' en van T bij de lichttrlllingen
in aanmerking, dan vindt men, dat bij de metalen reeds
x' }i u
All ^
kleiner is dan u , zoodat men , daar s^ zeer groot is , zonder eenigen
twijfel den boven neergeschreven term met betrekking tot u mag
verwaarloozen.
Onze vergelijking wordt derhalve
— ^u + s,x- (11)
en de beteekenis hiervan is, dat de component van den totalen
stroom loodrecht op het grensvlak doorloopend is, zoodat aan de
grens geen opeenhooping van electriciteit plaats heeft. Daarbij
moet dan aangenomen worden
wat dan ook uit (8) volgt.
Wij zullen nu wederom bewijzen, dat men door alleen trans-
versale trillingen in de berekening op te nemen aan de aldus
'gewijzigde grensvoorwaarden voldoen kan. Men kon ook hier
evenals in het derde hoofdstuk beginnen met de onderstelling, dat
ook longitudinale trillingen optreden; uit de verkregen resultaten
zou dan blijken, dat de amplitudo dezer trillingen ten opzichte
van die der transversale mag verwaarloosd worden.
160
Beschouwt men alleen transversale trillingen, dan is, daar
overal ^ = O is, aan de voorwaarden, dat tp en de differentiaal-
quotiënten ervan doorloopend moeten zijn, van zelve voldaan.
Wij hebben dan nog slechts met de vergelijkingen (4), (7), (10)
en (11) te doen.
§ 6. I. Is vooreerst het invallende licht in het invalsvlak ge-
polariseerd, dan kunnen wij het voorstellen door
4 71 il . -tll^i'
[Xi] = — — - sino, .c '^^
■^ 2 7Ï 1
^/=-r7- (^ — a-Z^iCosw, — z/?i sinai + p), /?, = .
i Vi
Evenzoo schrijven wij voor het teruggekaatste licht
[Li J = -— — sin «i' . Oi e ^ ,
W] =i^cos<^a.e-«V'^
Vi" = "Y" (^ + a? ^i cos Cf," — 2/^1 sin «," + p) ,
voor de beweging in het metaal eindelijk (§ 4)
[t.] = «,c-'V»,
X i?2 , _ < U/o •
^^^ = ^(1+4. O,) ^'""''^^ '
27Ï
^2 =• — (^ — ar /?2 cos ofj - z ^2 sin «2 + V)'
Hierbij zijn «i, «i ', «2 <^e hoeken van inval, terugkaatsing en
breking, alle zoo gerekend, dat de cosinus positief is. De groot-
heden 'p zijn bij de drie bewegingen gelijk gesteld, daar toch bij
verandering van p de geheele vorm e~*M^ slechts met zekeren fac-
tor vermenigvuldigd wordt, dien men ook bij a kan voegen.
161
Aan het grensvlak, dus voor a? = 0, volgt vooreerst uit de eerste
der vergelijkingen (4)
— e ^' -\ e ^* =xa, e ^' .... (12)
Daar dit voor alle punten van het grensvlak moet gelden en
ai en o, niet van z afhangen, vindt men hieruit gemakkelijk, dat
aan de grens
moet zijn, waaruit volgt
«1 = «i
en
/?! sin oi = /{s sin «2 (13
De eerste vergelijking drukt de wet der terugkaatsing uit, de
tweede die der breking in denzelfden vorm als bij isolatoren i).
Thans wordt (12)
^^'=x«. (14)
x\an de vergelijking (11), de tweede van (4) en de eerste van
(7) is van zelve voldaan. De tweede van (7) geeft ons de betrekking
-^(1 ~aJcos«, = ^^^^^^^^^ a,cos«„
welke, na vermenigvuldiging met
il (1 + 4 71 dj) = .1 (1 + 4 71 Ö,)
den vorm aanneemt
iii cos 0| ■= /fs jf aj cos «2»
of, volgens (13),
l-aj
sin o, cos «1 = X a, sin o^ cos oj .... (1 5)
9l
Eindelijk geeft dó vergelijking (10)-
4 7ïil . , . xi?a
--^(l^aOsin«i= ^^^_^^^^^^ a,sinc
1) Ik heb hier de wet van breking uit de grens voor waarden afgeleid , daar
as bij metalen een complexe waarde verkrijgt , zoodat het gewone bewijs voor
die wet hier niet doorgaat.
11
162
en past men hierop dezelfde transformatie toe, die wy zooeven
bezigden, dan komt men tot (14) terug. Derhalve zijn (14) en (15)
de eenige voorwaarden ter bepaling van aiena,; men vindt daaruit
sin («1 — «a)
ai = ^ ■ ,
sin («i + «^)
zoodat het teruggekaatste licht wordt voorgesteld door
s n
§ 7. II. Is ten tweede het invallende licht loodrecht op het
invalsvlak gepolariseerd, dan kunnen wij de invallende, terugge-
kaatste en gebroken beweging voorstellen door
[fi] = — sin «i . e -» Vi', [f/] = cos «i .e-*^i\
rwi ^nA -iipi
t^i ] = ~p- « »
[{/'] = — «i sin «i" . e - * V'i , [fi"] = — tti cos «i" . e - » V'i",
[u\ = — «a sin «2 . e — » V'i , [w] = o, cos «2 • « "" * V'* ,
^^^''"-^(1+4^02)"''
waarbij v^/, V'i" en tp^ dezelfde beteekenis hebben als in de vorige §.
Uit de grensvoorwaarden laat zich ook hier op dezelfde wijzede
wet der terugkaatsing en de vergelijking (13) afleiden, wat de
waarden van y^/, ipi" en iff^ aan het grensvlak wederom gelijk maakt.
Alsdan geeft de tweede der vergelijkingen (4)
cos ff, = « «2 cos ffi (16)
Even zoo geeft de eerste van (7)
4nA Ki?2
/?i i4 (1 + 4 ji Ö3)
wat, na herleiding, overgaat in
1 -fa,
sin «2 = * ^3 s^n <<i (^7)
163
Eindelijk volgt uit de vergelijking (1 1), na deeling door ie — 'V'i ,
X 2 ^ . / 3 TT \
(^ +«i)- -jT sin«i =■'■ aaSmaaUjif.— + ij.
Neemt men nu iq aanmerking, dat uit de waarden van Ui en
1?, volgt
X
r> J *J . ^ M «o r 1 / 271 \
^ \ Si '2 n xBiJ ' 2 71 X «1 \ ' T ^ I'
dan kan men voor de verkregen vergelijking schrijven
(^ + «i) -y sin «1 = 03 sin «2 — — X «i ,
of, als men (13) in het oog houdt,
1 + ai .
sin «3 = X Oa sin «j,
wat dezelfde vergeljjking als (17) is. Daar aan de overige grens-
voorwaarden van zelve voldaan is hebben wij ter bepaling van
ai en o, alleen (16) en (17). Men vindt daaruit
_ tg («1 - «,)
""' tg(ai + a,)'
zoodat het teruggekaatste licht nu wordt voorgesteld door
[Q] = / ' > ...(B)
tg («i + «j)
Q is hierbij de (geheele) diëlectrische polarisatie.
§ 8. De symbolische uitdrukkingen (A) en (B) hebben denzelfden
vorm als die, welke voor niet-geleiders gelden. Maar zoodra men,
om de werkelijke teruggekaatste beweging te verkrijgen , alleen het
reëele gedeelte neemt houdt de overeenstemming op. Want bij de
metalen moeten wij in *t oog houden , dat B^ en daardoor «i com-
plex worden, terwijl deze grootheden bij niet-geleiders bestaan-
baar zijn.
Om na te gaan, wat er nu van (A) en (B) wordt, zal ik e^nige
herleidingen volgen, die door eisenlour 1) bij de afleiding der
1) Pogg. Ann. 104, p. 368.
J64
vergelijkingen van caucuy zijn gebezigd. Eisknlohk verkrijgt nl.
die formules door in de voor doorschijnende lichamen geldige uit-
drukkingen voor den brekingsindex een complexe uitdrukking
de^' te stellen; van daar dat het verdere onderzoek naar de door
(A) en (B) voorgestelde beweging grootendeels met dat van eisenlohr
samenvalt. Noemen wij de standvastige verhouding
sin oi
-: =n
sin 02
ook hier den brekingsindex, dan is, blijkens (13) en (3)
Bi /?! El
Voeren wij in plaats van g en r twoe nieuwe constanten a on t
in, zoodat
''=i+i*='^" (^«)
is, dan zijn deze met g en r door de volgende betrekkingen ver-
bonden
q r
a cos T = -—- , or sin T =: -—
Ri iti
en a en T beantwoorden aan d en s bij eisbnlour.
Blijkens (13) wordt nu
sin «1 _,-Y
sin «3 = e ,
a
dus
]X sin* «1 _3,^
a
waarbij de grootheden ^ en oi bepaald zijn door
sin* tti cos 2 T ]
Kp cos 2 01 = 1 —
, . ^ sin* tti sin 2 T (
if sin 2 M = ^ . 1
(19).
Geschikter is ter bepaling van 6> de hieruit door deeling volgende
vergelijking
a*
cot 2 w :^ ^- : — :: cot 2 t , . . . (20)
sin* «1 sin 2 T
waaruit men, na eenige herleiding, kan afleiden
cot (2 «I -i- t) = cot t cos [2 Bg tg T— — U . . (21)
Substitueert men de waarden van sin «a en cos (x, in
sin («i — «a) tg («i — «3)
en
sin («i + «a) tg («1 + o») '
dan komt er
sin Cflti — aa) cos ai , . » .
. = — - — - = a -)- a t ,
sin («1 + «a) ^ oq ^ < (t + «)
cos «1
waarbij
1 — wi' „ 2 m sin (% + «»)
1 +2mcos(T + (») + m* ' 1 + 2 mcos (» + w)+ w*
m= — ^—
cos 0|
is. Even zoo
a cos ai » (t — a»)
tg (ai — «a) ^ q = 6' + 6" i
tg («i + flta) - , ff cos ai i (t — w)
en hier is
2 wt' sin (t — O))
't»
ft' = , b" =-
i + 2 m' cos {% — w) + m" 1+2 m' cos (t - oi) + m
Q cos tti
m = .
De formules (A) en (B; voor het teruggekaatste licht worden nu
en door hier alleen het reëele deel te nemen verkrijgt men
Vi' = 1/ a' * + a" cos {^^' — rf,) , Q = v/ &'* + &"" cos (v^i" — d.) ,
waarbij
rfp = Bgtg^, , rf. = Bgtg —
is.
16H
Is derhalve het licht in het invalsvlak gepolariseerd, dan wordt
de intensiteit van het teruggekaatste licht gegeven door
^^ "* "^^ (1 + 2tMcos(»+a»)f mM»
— i
^^(^ + ^)-^^ =tg(^-ln), .... (22)
cos (t |- w). 2 m
wanneer
(23)
2ni
C0t^=C0S(T4-«). ^-:p^,.
of, blijkens de waarde van m ,
e /cos «1 X')
cot ƒ = cos (t 4- ö>) sin ^ 2 Bg tg ( I >
gesteld wordt.
De grootheid c/^, die de phase bepaalt, wordt gegeven door
a" ^ 2 m
^ ^ ^ "^ "^ "■ ^^" ^* ■'' "^' i^m' '
of
tgd, = sin(T+«»i)tg[2Bgtg(^^)} . . . (24)
Is daarentegen het licht loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd
dan vindt men op dezelfde wijze voor de intensiteit
l = b'*+h"* = tg(g^in), (25)
cot g = cos (t — «) sin (2 Bg tg ( j ^^^ "M | . . (26)
en voor de phase
tgrf, = sin(T-«i)tg{2Bgtg^^^^^i^')} . . (27)
§ 9. De opgestelde vergelijkingen veroorlooven uit de constanten
van het roetaai voor elk der beide hoofdgevallen de intensiteit en
de phase van het teruggekaatste licht te berekenen. Daar echter
deze grootheden niet voor beide trillingsrichtingen dezelfde waarde
aannemen, zal, wanneer het invallende licht op willekeurige wijze
lineair gepolariseerd is, de teruggekaatste straal elliptische polari-
men in staat
167
satie vertoonen. Uit de daaromtrent verrichte waarnemingen is
de verhouding der amplitudines k = 1/ Jl_ en het
phaseverschil rf. - rf, te vinden. Daar men vooral deze grootheden
heeft gemeten , is het wenschelijk de theoretische waarden daarvoor
op te stellen. Men bereikt dit het gemakkelijkst als men
a + o ' i
stelt. Aangezien
b' -{- b" i = ]/ ƒ, (cos df 4- i sin c/,)
en
a'-\'a" i = \/~ï7 (cos d^-{-i sin d,)
is , wordt dan
c' + c" i=^k { cos {d, — d,) + i sin {d, — d,)} ,
waaruit volgt
c"
fc = 1/ c* + c"» en tg (d, — d,) = — p.
c
Blijkens de oorspronkelijke uitdrukkingen voor a' + a" i en 6' -\-b"i
hebben wij
sin*ai -i(T + «)
, , „ . _ cos («1 4- «s) __ ^ Q cos ai
"~ cos(«i— «a)"" sin*ai — «(t-fw)
1 -| e
a q cos «1
waaruit volgt , als men ^. . ^
sin* «1
= m
a q cos «1
stelt ,
1 — m"* ,, 2 m'' sin (t + w)
c? =
i +2m"cos(T + «») + w"»' "" i+2m"cos(t-fw)+m"«*
Hieruit vindt men ten slotte, wanneer
k^igh
is,
co8 2;i==cos(t + (»)sin{ 2Bgtg f-^ï^^j}, . .(28)
tg(rf.~rf|.) = sin(T+«)tg{ 2Bgtg^-^^^^ . (29)
168
De hier verkregen vergelijkingen zijn dezelfde als die, welke
door CAUCUY aangegeven en door eisbhlohr afgeleid zijn. Het is
echter door jamin en quinürb bewezen , dat deze formules op be-
vredigende wijze met de waarnemingen overeenstemmen , niet alleen
wanneer de terugkaatsing in de lucht, maar. volgens den laatsten
natuurkundige, ook wanneer zij in een andere doorschijnende mid*
den stof plaats heeft.
Aldus zien wij, dat de hypothese van maxwell ook hier tot
vergelijkingen van den juisten vorm voert. Gaan wij thans na, hoe
het met de waarde der daarin voorkomende constanten gesteld is.
§ 10. Bij de waarnemingen komt vooral één bijzonder geval ter
sprake, dat nl. het phase ver schil d, — d,=^^n (een kwart golf-
lengte) wordt. Dit heeft voor één bepaalden invalshoek , den hoofd-
invalshoek A plaats en men noemt de waarde H, die h of Bg igk
in dit geval aanneemt, het hoofdazimuth. Deze twee grootheden
hangen np bepaalde wijze met de constanten a en j samen. Uit
(29) volgt nl. , daar tg (d« - d^) voor «i = il x moet worden ,
a ^„ = tg il sin il (30)
en uit (28) vindt men dan
T + itf. = 2// (31)
Uier bij zijn q^ en w^ de waarden , die ^ en w voor ai = A aan-
nemen. Verder heeft men
tg (t — ta) __ sin 2 T — sin 2 «»
tg (t 4- w) "^ sin 2 T + sin 2 « '
dus voor den hoofd invalshoek volgens (19)
tg (t — CU J ^ a- ^a' — sin" A
tg(T + w,)" a'q^ + Bin'A
en dit gaat, ten gevolge van (30) over in
tg (% — 01 J
tg (t + Ctf J
= — cos 2 il (32)
Men k.tn, wanneer ^ en ^ uit de waarnemingen bekend zijn,
uit (31) en (32) gemakkelijk t en «a berekenen. Vervolgens kan
a bepaald worden uit (20), waarvoor men ook kan schrijven
a--=tg4l/£2L(l±ill' (33)
^ cos (t — ««)
Langs dezen weg heeft eisenlohr uit de door jamin voor den
169
hoofdinvalshoek en het hoofdazimuth gegeven waarden voor eenige
metalen en voor verschillende streepen van het spectrum de con-
stanten er en T (bij hem 6 en c) bepaald. Uit de aldus samen-
gestelde tabel is het volgende een uittreksel
Zilver A
H
%
log or
Zink A
H
log a
Spiegel metaal A
H
%
log a
7203O'
40 9
79 15
(>,4595
74027'
18 45
35 24
0,5442
740 7'
27 21
52 27
0,5237
E
71^30'
40 19
79 29
0,4283
73^28'
21 13
39 57
0,5117
73^35'
25 52
49 16
0,5090
69°34'
39 46
77 54
0,3703
72^32'
22 44
42 38
0,4824
73« 4'
26 15
49 53
0,4929
66M2'
39 50
77 16
0,2740
71M8'
25 18
47 19
0,4435
71 «56'
28 O
53 4
0,4568
§ 11. Vergelijken wij thans deze waarden van a en t met onze
theorie. Uit (18) volgt
aan den anderen kant blijkt uit de vroeger voor Ri en i?2 opge-
stelde waarden, dat
T 1
^3' S2
is, zoodat de betrekking
T*e = + t ^
«1 2 n
X 61
K «1
.(34)
moet gelden. Daaruit leiden wij af
170
a^ cos 2 T = en a* sin 2 t =
«i 2 ?r >r «i
De eerste dezer vergelijkingen levert echter een ernstige moei-
lijkheid op. Want T is, zooals men in bovenstaande tabel ziet,
in vele gevallen grooter dan 45**. Dan is cos 2 t negatief, en zou
dit ook met het geval moeten zijn , wat niet mogelijk is.
»i
Zonder eenigen twijfel is derhalve de theorie, zooals wij die boven
gegeven hebben, niet juist.
Het is de vraag, of de oorzaak hiervan gezocht moet worden in
den grondslag der electromagnetische theorie, dan wel in eenige
bijzondere onderstelling, die wij gemaakt hebben. Tot nog toe
heeft deze theorie ons zoo juiste uitkomsten opgeleverd , dat ik
tot het laatste gevoelen overhel. Te meer omdat de moeilijkheid
kan opgelost worden door in onze beschouwingen een verandering
te brengen , waarop wij reeds zijn voorbereid , door nl. de absolute
juistheid der wet van ohm voor veranderlijke stroomen te doen vallen.
Toen wij in het tweede hoofdstuk deze wet bespraken , zagen wij
reeds, dat de meest waarschijnlijke betrekking tusschen de electro-
motorische kracht en de strooracomponenten wordt uitgedrukt door
du h V d 10
Bij het opstellen der bewegingsvergelijkingen en grens voor waarden
is nu Z=xu, y=xv, Z=uw gesteld, zoodat wij thans,
wanneer wij van de uitdrukkingen (35) willen uitgaan, alle ver-
gelijkingen zouden moeten wijzigen. Bepalen wij ons echter tot
trillende bewegingen , dan zijn die veranderingen op zeer eenvoudige
wijze aan te geven. Vooreerst is het gemakkelijk in te zien, dat
ook de gewijzigde bewegingsvergelijkingen lineair zullen zijn , zoodat
men nog op dezelfde wijze met symbolische uitdrukkingen raag
werken als wij dit tot nog toe gedaan hebben. Bij bewegings-
toestanden, zooals wij die hier onderzoeken, worden de stroom-
componenten voorgesteld door vergelijkingen van den vorm
[u] = ae T ,
waarbij D van t onafhankelijk is. Dan is blijkens (35)
171
Dese uitdrukkingen zijn van denzelfden vorm als die, welke wy
vroeger aangenomen hebben; alleen is h vervangen door ^ — i g-^-
Doet men dit in onze formules, dan moet men een symbolische
oplossing verkrijgen, die aan de gewijzigde voorwaarden van het
vraagstuk voldoet, en men moet daaruit wederom door alleen bet
reëele deel te nemen de juiste uitdrukkingen voor de werkelijke
beweging kunnen afleiden.
Het geheele onderzoek van de vorige § § blijft derhalve onver-
anaera; aiieen v
eranaeri ae waarae van
Ri'
Vroeger was
R,' «... T
i
/?,' «, ' * ■ 2 n
dit wordt nu
i?2*
- " +i ''
1
/?i'
- a, ' • 2n /
. 2-V
2 ng
of, als wij kortheidshalve — -■ = s stellen ,
= L i , = . -L
Bi fi, 2 71 X «i 1 — is èi 2 71 X «1 1 + «*
Zal dit nu = a' e ' * * zijn , dan moet men hebben
a'cos 2 T = — — — — .... (36)
en
V8in8T = --^^ .^ (37)
Nu kan werkelijk cos 2 t een negatieve waarde aannemen,
zooals wij zagen , dat het geval is.
§ 12. Deze vergelijkingen kunnen iets eenvoudiger geschreven
worden. Vooreerst stellen wij, als «i op de lucht betrekking heeft
Ten tweede merken wij op, dat in onze formules k de werkelijke
172
waarde van den weerstand voorstelt, die, blijkens (16) van het
tweede hoofdstuk, niet de waargenomen waarde aldus samenhangt
1 -f 4 « ffi
waarvoor men kan stellen
4 n
Hierdoor worden (36) en (37)
2 r 8
(r'cos2T = lir r-T-r-; (38)
u 1 + r
en
2 r 1
(^sin2T=-^. -— ., (39j
u 1 + s^^
waarbij valt op te merken, dat in ons maatstelsel x op dezelfde
2 T
wijze van de keus der eenheden afhangt als een tijd, zoodat — -
een onbenoemd getal is, van die keus geheel onafhankelijk.
Zijn nu a en T bekend en kent men bovendien den weerstand
X in absolute maat, dan kan men uit (39) s, vervolgens uit (38)
K bepalen. Voor geen metaal is x' met voldoende nauwkeurigheid
bekend (tenzij voor zuiver koper) , en bovendien is het de vraag ,
hoe groot x' is voor de metaalplaten, waarbij de terugkaatsing
onderzocht is. Intusschen zal men niet al te ver van de waarheid
verwijderd zijn, wanneer men voor zilver aanneemt
1
seconden.
5.10"
Hieruit, met de waarden van or en t voor de Fraunhofer'sche
lijn D, vind ik voor dit metaal ongeveer
s = 25, ÜC = 70.
Daaruit zou volgen, dat in metalen niet alleen een zeer groote
polarisatie der moleculen bestond , maar dat bovendien bij stroomen
van zoo korten duur als de lichttrillingen de afwijking van de
wet van ohm zeer groot is. Immers, in plaats van de waarde
[-X] = X [u], zou men daarbij [X] = x (1—25 i) [u] in rekening
moeten brengen.
Schijnt dit resultaat vreemd, toch geloof ik niet, dat het
met eenig bekend feit in tegenspraak is. Want bij proeven met
constante stroomen , die het nauwkeurigst zijn genomen , zal men
niet licht iets van de polarisatie der moleculen bemerken. Wat
verder de afwijking van de wet van ohm betreft, vindt men ge-
makkelijk uit het bovenstaande, dat zij bij de veranderlijke stroo-
men, die men als zoodanig kan waarnemen, volstrekt onmerkbaar
moet zijn, aangezien de verandering der stroomsterkte daarbij veel
te langzaam is. Bij oscilleerende stroomen b.v. moeten de uit-
drukkingen
[X]= (»-igl^yü],
enz.
worden gebezigd. Daar nu bij dergelijke stroomen T duizenden
malen grooter is dan bij de lichttrillingen , zal daar de tweede terra
gerustelijk achterwege gelaten kunnen worden.
Met dat al wil ik geenszins de voor s en K gevonden waarden
als een definitief resultaat beschouwen. Daartoe zijn in de eerste
plaats de waarnemingen nog veel te onvolkomen 1). Maar bovendien
kunnen wij er niet aan twijfelen, dat de gegeven theorie nog
slechts als een eerste benadering mag aangemerkt worden. Mis-
schien zal zij belangrijke wijzigingen ondergaan, zoodra onze
begrippen omtrent het zeer ingewikkelde verschijnsel, dat wij
beweging der electriciteit in geleiders noemen, helderder zijn ge-
worden. Blijkt daarbij het boven omtrent de afwijking van de
wet van ohm gezegde werkelijk juist te zijn, dan zou men een
resultaat verkregen hebben, dat voor de electriciteitsleer van belang
zou zijn. Men zou dan eens de grootte dier afwijking nauwkeurig
kunnen bepalen en aldus zou er eenig licht verspreid worden
omtrent de massa der stof, die bij een electrischen stroom in be-
weging verkeert.
§ 13. Een paar zaken zullen wij ten slotte met een enkel woord
bespreken, al is het dan ook slechts om te zien, hoever wij nog
van een volledige kennis van de optische eigenschappen der me-
talen verwijderd zijn.
1) De waardeu, die men bij een zelfde metaal, in verschillende gevallen,
voor A en H heeft gevonden, loopen zeer niteen. Onzuiverheden en veranle-
ringen der oppervlakte spelen hierbij zonder twijfel een voorname rol. Ook is
het mogelijk, dat de temperatuur hier van invloed is, daar, zooals men weet,
de weerstand in hooge mate daarvan afhankelijk is.
174
Vooreerst de door jamin opgemerkte en in de tabel van { 10
aangegeven afhaïikelykheid van den trillingstyd. Daar in ome
formules T voorkomt, had ik verwacht, dat zij van die af hankelijk-
heid op bevredigende wijze rekenschap zouden kunnen geven. Het
bleek mij echter, dat dit niet het geval is. Dit bewijst ons, dat
hier nog omstandigheden in het spel moeten komen, wier invloed
wij bij ons onderzoek verwaarloosd hebben. Het laat zich trouwens
verwachten, dat de oorzaken, die by doorschijnende stoffen de
kleurschifting ten gevolge hebben, ook hier zullen optreden.
In de tweede plaats de terugkaatsing door een metaal, wanneer
zij niet in de lucht, maar in een andere isoleerende middenstof
plaats heeft. Quincke 1) geeft hieromtrent de volgende waarden
voor hoofdinvalshoek en hoofdazimuth op :
Terugkaatsing op zilver
in A U il
[ Lucht.
I < Water
Terpentijn
Lucht. .
Flintglas.
( Lucht. .
Kroonglas
II
,„,
74<»19'
43^48'
1
7128
44 3
1,336
69 16
43 24
1,474
74 50
43 20
1
69 48
4122
1,626
75 57
44 1
1
69 5
42 28
1,515.
Hierbij is n de brekingsindex van de stof, waarin de terug-
kaatsing plaats heeft, terwijl de bij elkaar gevoegde opgaven op
hetzelfde zilver betrekking hebben en dus met elkander vergeleken
kunnen worden.
Volgens onze theorie, zoowel als v oigens die van eiseklour,
wordt de brekingsexponent bij een metaal gegeven door
Neemt men nu in plaats van lucht een medium met den brekings-
index n , dan wordt Ri door n Ri vervangen , terwijl R^ onver-
1) Pogg. AuQ. 128, p 561.
anderd blijft. Derhalve moet in dit geval t nos: dezelfde waarde
hebben maar a n maal kleiner zijn geworden.
Ik heb uit de opgaven van quincke a en t berekend en daarbij
de volgende waarden verkregen:
n
III
I Lucht .
Water .
: Terpentijn
I Lucht .
I Flintglas
I Lucht .
( Kroonglas
87024'
87 52
86 9
86 24
81 37
87 54
84 4
log G
loga (u
0,5174
0,4257
0,3916
0,3595
0,3489
0,5351
0,2077
0,3240
0,5744
0,3545
0,3940
log a (uit de waarde voor lucht)
De laatste kolom bevat de waarde van log a, zooals zij volgens
het bovengezegde uit die, welke voor de lucht geldt, berekend
kan worden.
Slechts in zooverre bestaat hier zeker overeenstemming dat or,
volgens de theorie zoowel als de ervaring des te kleiner is, naar-
mate n grooter wordt. Maar er bestaan zoo groote afwijkingen,
dat er of aan de nauwkeurigheid der waarnemingen, of aan de
juistheid der theorie nog zeer veel moet ontbreken.
Vatten wij thans, aan het einde van deze beschouwingen ge*
komen, het besprokene kortelijk samen. De voornaamste verschijn-
selen, die zich bij de terugkaatsing en breking van het licht
voordoen, hebben ons het middel geleverd om de deugdelijkheid op
de proef te stellen van de verschillende begrippen, die men zich
omtrent den aard der lichtbeweging heeft gevormd. Eerst uitgaande
van de meening, dat de lichttrillingen als bewegingen van een
veerkrachtig lichaam zouden zijn op te vatten , zagen wij ons weldra
tot verschillende bijonderstellingen gedwongen en het gelukte zelfs
niet, die zoo te kiezen, dat van alle verschijnselen rekenschap werd
176
gegeven. De theorie van maxwell daarentegen werd door het gedrag
der isoleerende lichamen steeds bevestigd en veréischte bij de metalen
alleen een onderstelling, die zeer waarschijnlijk is en reeds vroeger
gemaakt was. Verder hadden wij bij die theorie slechts noodig te
stell4|l, dat e een zeer groot getal is, waardoor verschillende moeilijk-
heden uit den weg werden geruimd. Het gevolg van deze hypothese
was, dat wij slechts ti^ansversale trillingen in rekening behoefden
te brengen, en dat bovendien de vergelijkingen voor de grens van
twee lichamen zoo werden gewijzigd , dat wij daar met geen opeen-
hooping van electriciteit te doen hadden. In alle gevallen, waarop
wij de theorie hebben toegepast, komt dus de beweging der elec-
triciteit overeen met die eeneronsamendrukbare vloeistof en daardoor
zijn de verkregen uitkomsten onafhankelijk van eenige moeilijk-
heden, die wij bij de opstelling van de algemeene bewegingsverge-
lijkingen der electriciteit aantroffen.
Zoo brengt ons het onderzoek der terugkaatsing en breking tot
de slotsom, dat aan maxwell's hypothese de 'voorrang boven de
vroegere undulatietheorie moet toegekend worden. Ook de andere
lichtverschijnselen belooven , in verband met die hypothese beschouwd,
veel bij te dragen tot vermeerdering: onzer kennis. Men denke
slechts aan de kleurschifting , de draaiing van het polarisatievlak
en de wijze, waarop deze met de moleculaire structuur samen-
hangen; verder aan de mechanische krachten, die misschien bij de
lichtverschijnselen kunnen optreden en aan den invloed, dien uit-
wendige krachten, of de beweging der middenstoffen daarop uit-
oefenen. Eindelijk aan de emissie en absorptie van het licht en de
stralende warmte.
Met betrekking tot de laatste verschijnselen ligt een belangrijke
gevolgtrekking uit maxwell's theorie voor de hand. Wanneer het
waar is, dat licht en stralende warmte in electrische trillingen
bestaan, dan is de onderstelling zeer natuurlijk, dat ook in de
moleculen der lichamen, die deze trillingen in het omringende
medium opwekken, electrische bewegingen plaatshebben, waarvan
de intensiteit met de temperatuur toeneemt. Dit denkbeeld, dat
niet nieuw is, maar vooral aan de electromagnetische theorie van
het licht een hoogen graad van waarschijnlijkheid ontleent , schijnt
mij toe, zeer vruchtbaar te zijn. In de theorie der warmte raag
men misschien van de beschouwing dier electrische bewegingen niet
onbelangrijke resultaten verwachten, vooral met 't oog op de energie
der bewegingen, die in de moleculen plaats hebben, en waarvan
het bpdrag tot nog toe tot groote moeilijkheden aanleiding gaf. Op
het gebied der electriciteitsleer zou het genoemde denkbeeld kun-
nen voeren tot een verklaring van de warmteontwikkeling door den
stroom , van de thermostroomen en de daarmede verwante verichijn-
selen. Eindelijk zou de theorie van het licht hebben aan te wijzen,
hoe de bedoelde electrische bewegingen met den physischen en
chemisehen toestand der stof samenhangen, een samenhang, die
aan de, in verrassende resultaten zoo rijke, spectraalanalyse ten
grondslag ligt.
Wel verre dus van een definitieven vorm Jte hebben aangenomen
eischt de theorie van maxwell nog opheldering van vele zaken,
ivaarvan thans de verklaring niet, of slechts in ruwe trekken te
geven is. Maar juist hierin is voor een deel het nut van elke
uitbreiding onzer natuurkennis gelegen, dat zij ons duidelijker
voor oogen stelt, wat er nog te doen overblijft, en de richting
#iuageeft, waarin men zich met goed gevolg bij verder onderzoek
zal kunner^ bewegen.
s
*#
STELLINGEN.
I.
De meening, dat het licht zou bestaan in trillingen eener veer-
ki'achtige stof, wordt in vele opzichten door de verschijnselen der
terugkaatsing en breking weersproken. *^
t ■■
II.
De electromagnetische theorie van het licht kan van die ver-
schijnselen een bevredigende verklaring geven.
III.
De door fkesnel gegeven theorie der totale reflectie behoort ver-
laten te worden.
4
't
180
IV.
De optische eigenschappen der metalen maken het niet alleen
waarschijnlijk, dat de wet van ohm voor veranderlijke stroomen
niet geldig is, maar geven zelfs recht tot de verwachting, dat
men eens het bedrag der afwijking van die wet zal kunnen vast*
stellen.
Het is hoogst waarschijnlijk, dat in de moleculen van elk
lichaam electrische bewegingen plaats hebben , en dat men die in de
theorie der warmte en bij het verklaren van de betrekkingen, die
er tusschen deze en de electriciteit zijn opgemerkt, in rekening
zal moeten brengen
VI.
Bij de electrische verschijnselen speelt elke midden stof — ook
het luchtledige — een voorname rol.
VII.
De pogingen, door c. neumann aangewend, om de electrodyna-
mische en inductie- werkingen uit een voortplanting der potentiaal
af te leiden, kunnen niet als geslaagd beschouwd worden.
vm.
De door schönbein gegeven verklaring van het ontstaan van den
galvanischen stroom moet in overeenstemming worden gebracht
met de theorie der electrolyse van clausius.
IX.
Dat EBGNAULT door zijne metingen van de voortplantingssnelbeid
van het geluid (Mémoires de l'Acad. de France , T. XXXVII) bewe-
zen zou hebben, dat deze van de intensiteit afhangt, is aan ge-
gronden twijfel onderhevig.
181
X.
De theoretische beschouwingen , die regnault over dit onderwerp
geeft, zijn niet juist.
Xï.
Ten onrechte meent hansbmann (Pogg. Ann., Erg. VI) dat vol-
gens de dynamische gastheorie de temperatuur van een gas niet op
elke hoogte dezelfde zou moeten zijn.
XII.
Bij de behandeling der harmonische kogelfunctiën (coëfficiënten
van laplacb) is de meest geschikte methode die, welke door
MAXWELL in zijn «Treatise on Electricity and Magnetism" is aan-
gegeven.
XIII.
Aan de migratie-theorie van wagnbr komt niet boven , wel naast
de theorie van darwin een plaats toe.
XIV.
Bij een rangschikking der elementen behoort het lood in dezelfde
groep geplaatst te worden als het silicium en het tin.
XV.
Ter verklaring van de oscilleerende beweging der uitstrooming,
die men bij de komeet van halley heeft waargenomen, zijn de
beschouwingen van bessbl meer aannemelijk dan die van zöllnbr.
INHOUD.
Bladx.
Inleiding 1
EERSTE HOOFDSTUK.
De theorie van fresnel 4
TWEEDE HOOFDSTUK.
De bewegingsvergelijkingen der electriciteit . . .28
DERDE HOOFDSTUK.
De theorie van maxwell. Teragkaatring en breking van het licht door
isotrope , niet-geleidende stofifen . . . .70
.«I r
VIERDE HOOFDSTUK.
De terngkaatsing en breking van het licht door kristallen .94
VIJFDE HOOFDSTUK.
De totale reflectie 122
ZESDE HOOFDSTUK.
De optische eigenschappen der metalen • .151
* .
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11