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Full text of "Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications"

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31ATH./STAT, 


jli^TH/STASii 


^ATH/STAT. 


PRINCIPES 


DE    LA    THKORIE    DES 


FONCTIONS  ELLIPTIQUES 


Math.  Stat. 


Add'i 


GIFT 


QA3Lt3 

f\(a 


STAT. 


PRÉFACE. 


Les  Traités  sur  les  fonctions  elliptiques  imprimés  en  France 
sont  des  Traités  complets  destinés  spécialement  aux  mathé- 
maticiens :  la  plupart  d'entre  eux  prennent  comme  point  de 
départ  les  théorèmes  généraux  de  la  théorie  des  fonctions  ; 
dans  tous,  l'étude  des  fonctions  elliptiques  est  envisagée  au 
point  de  vue  le  plus  général  et  poussée  le  plus  loin  possible 
(multiplication,  division,  transformation,  équations  modu- 
laires, multiplication  complexe). 

Nous  nous  sommes  proposé  de  faire  un  Traité  des  Fonc- 
tions elliptiques,  d'un  caractère  élémentaire,  en  un  seul 
Volume,  contenant  les  principes  essentiels  de  la  Théorie 
et  montrant,  par  des  applications  simples,  combien  ces  fonc- 
tions sont  utiles  pour  la  résolution  de  certaines  questions  de 
Géométrie,  de  Mécanique  et  de  Physique  mathématique. 

La  Théorie  des  fonctions  elliptiques  est  comme  une  Trigo- 
nométrie d'un  ordre  plus  élevé  ;  nous  nous  sommes  limités 
dans  notre  exposé  aux  principes  fondamentaux;  ces  principes 
étant  bien  compris,  les  parties  plus  profondes  de  la  Théorie 
deviennent  facilement  accessibles. 

Pour  réduire  au  minimum  les  emprunts  à  la  Théorie  des 
fonctions,  nous  prenons  comme  point  de  départ  la  notion  du 
développement  d'une  fonction  uniforme  par  la  formule  de 
Taylor;  nous  ne  nous  servons  pas  de  la  théorie  de  Gauchy 
sur  les  intégrales  prises  entre  des  hmites  imaginaires.  Nous 
donnons,    dans  une  courte  introduction,   la  définition  des 


902 


YI  PRÉFACE. 

quelques  termes  lires  de  la  Théorie  des  fonctions,  qui  sont 
employés  dans  l'Ouvrage. 

La  Théorie  des  fonctions  rationnelles  et  des  fonctions  tri- 
gonométriques  est  d'abord  exposée  par  les  méthodes  mêmes 
(jui  sont  employées  ensuite  pour  les  fonctions  elliptiques.  Le 
lecteur  voit  ainsi,  sur  des  fonctions  simples  avec  lesquelles  il 
est  familiarisé,  l'enchaînement  des  raisonnements  et  des 
théorèmes  qu'il  rencontrera  ensuite  pour  les  fonctions  ellip- 
tiques. 

Les  formules  principales  de  la  Théorie  des  fonctions  ration- 
nelles d'une  variable  x  se  réduisent  à  deux  formules  types  : 
une  première  formule  mettant  en  évidence  les  valeurs  de  x, 
qui  rendent  la  fonction  rationnelle /(it)  nulle  ou  infinie 

{x  —  «1  )  {x  -—  a^).  .  .{x  —  a,i) 


f{x)-=--k 


{x  —  ùi)  {x  —  h^).  .  .{x  —  b,,) 


puis  une  deuxième  formule,  dite  de  décomposition  en  élé- 
ments simples,  mettant  en  évidence  les  points  où  la  fonction 
devient  infinie,  et  la  façon  dont  elle  y  devient  infinie 


J\x)  =  Go-h  C^x  -^  C^x-~\-. .  .-I-  G; 


X 


A  B  l^ 

X  —  a        X  —  b  X  —  /  ' 


l'élément  simple est  la  dérivée  de  Log(^  —  a). 

Les  formules  principales  de  la  Théorie  des  fonctions  trigo- 
nométriques  peuvent,  de  même,  se  ramener  à  deux  types 
analogues  :  une  première  formule  mettant  en  évidence  les 
points  où  la  fonction  devient  nulle  ou  infinie 

/•(  ^  )  r=  A  e"^^'  sln(^--r/0sin(^-^,)...sin(^--a„)  ^ 
'  '  s\\\{x  —  Z>i)sin(^  —  ^2)...sin(^ — bp) 

et  une  deuxième  formule,  appelée /orA/zw/e  de  décomposition 
en  éléments  simples,  mettant  en  évidence  la  façon  dont  la 


PREFACEc  VII 

fonction  devient  infinie 

-t-  A.  coi{jc  —  (ir)+  B  cot(^  —  ^)  -f-. .  .  -^  Lcot(jr  —  /). 
On  peut  remarquer  encore  que  rélément  simple 

cot(j7  —  a) 
est  la  dérivée  de 

Logsin  {jc-  —  a).  .^ 

De  même,  dans  la  Théorie  des  fonctions  elliptiques^  il 
existe  deux  formules  fondamentales  :  i*'  une  formule  de 
décomposition  en  facteurs 

f(  r)  -  \e--  H(^-^.)...H(.?7-a„) 
•^^^~  H(^.'-^i)...H(,r-^J       • 

mettant  en  évidence  les  points  a^,  a.,.  . . .,  «/^  où  la  fonction 
s'annule,  et  les  points  b^y  b^-,  .  •  -,  ^n  où  elle  devient  infinie  ; 
2^  une  formule  de  décomposition  en  éléments  simples,  due  à 
M.  Hermite 

/(^)  =  Co4-AZ(j7  — a)  -f-...  — LZ(:r  — /) 
OÙ  l'élément  simple  Z(x  —  a)  est  égal  à 

r/LogH(jr  —  a) 
dx 

La  plupart  des  calculs  sur  les  fonctions  elliptiques  sont 
fondés  sur  Temploi  de  Fune  ou  de  l'autre  de  ces  deux  for- 
mules :  ces  calculs  se  ramènent  donc  à  des  règles  simples  dont 
il  est  fait  de  nombreuses  applications. 

La  Théorie  des  fonctions  elliptiques  se  complique  de  la 
question  des  notations  qui  varient  d'un  Traité  à  l'autre.  Tout 
d'abord,  nous  nous  sommes  interdit  rigoureusement  d'em- 
ployer aucune  notation  nouvelle.  Nous  avons  exposé  simul- 


VIII  PRÉFACE. 

tanément  deux  systèmes  de  notations  qui  doivent  subsister 
définitivement  :  celui  de  Jacobi,  constamment  suivi  par 
M.  Hermite,  dans  toutes  ses  recherches,  et  celui  de  M.  Weier- 
strass.  Le  passage  de  l'un  de  ces  systèmes  à  l'autre  est  aisé  : 
néanmoins,  il  importe  de  les  conserver  tous  les  deux  ;  car, 
suivant  les  cas,  les  applications  sont  plus  faciles  dans  l'un 
des  systèmes  que  dans  l'autre.  En  outre,  après  avoir  lu  un 
Traité  élémentaire,  le  lecteur  doit  connaître  les  deux  systèmes, 
afîii  de  pouvoir  lire  ensuite  les  Livres  ou  les  Mémoires  écrits 
dans  chacun  d'eux. 

Pour  préparer  les  applications,  nous  avons  étudié  avec  soin 
les  cas  particuliers  où  les  valeurs  des  fonctions  elliptiques 
sont  réelles,  les  seuls  qui  puissent  se  présenter  en  Mécanique 
et  en  Physique. 

Chaque  Théorie  est  suivie  immédiatement  de  quelques 
applications  ;  ainsi  l'étude  de  la  fonction  p  de  M.  Weierstrass, 
quand  l'une  des  périodes  est  réelle  et  l'autre  purement  ima- 
ginaire, est  suivie  d'applications  à  la  cubique  plane,  à  la 
lemniscate,  au  pendule  sphérique,  au  mouvement  d'un  corps 
pesant  de  révolution  suspendu  par  un  point  de  son  axe  ; 
l'étude  des  fondions  de  Jacobi,  pour  le  cas  où  le  module  est 
réel  et  plus  petit  que  un,  est  suivie  d'applications  à  la  biqua- 
dra tique  gauche,  à  la  surface  des  ondes,  au  pendule  simple,  à 
l'élastique  plane,  à  la  corde  à  sauter,  aux  mouvements  à  la 
Poinsot  ;  l'étude  de  la  fonction  jd,  dans  le  cas  de  deux  périodes 
imaginaires  conjuguées,  est  suivie  de  l'application  au  mou- 
vement d'un  projectile  dans  un  milieu  dont  la  résistance  est 
proportionnelle  au  cube  de  la  vitesse.  Viennent  ensuite 
quelques  applications  au  problème  de  Lamé  et  au  problème 
de  l'élastique  plane  sous  pression  normale  constante,  dont  les 
intégrales,  découvertes  par  M.  Maurice  Lévy,  ont  été  conver- 
ties en  formules  elliptiques  par  Halphen. 

L'Ouvrage  se  termine  par  la  Théorie  des  fonctions  que 


PRÉFACE.  IX 

M.  Hermite  a  appelées /o/ic//o/25  doublement  périodiques  de 
deuxième  ou  de  troisième  espèce,  avec  applications  à  l'équa- 
tioii  de  Lamé  et  aux  équations  de  iNI.  Picard,  et  par  quelques 
notions  élémentaires  sur  les  fonctions  modulaires  qui  four- 
nissent l'exemple  le  plus  simple  des  fonctions  fuchsiennes  et 
kleinéennes  de  M.  Poincaré.  Comme  pour  les  fonctions 
elliptiques,  nous  donnons  pour  les  fonctions  doublement 
périodiques  de  deuxième  espèce  deux  formes  essentielles  : 
décomposition  en  facteurs  et  décomposition  en  élémojits 
simples,  d'après  M.  Hermite;  puis  nous  indiquons,  pour 
les  fonctions  de  troisième  espèce,  deux  formes  analogues,  en 
employant  l'élément  simple  introduit  par  M.  Appell. 

Les  principales  formules  sont  résumées  dans  un  Tableau 
placé  à  la  lin  du  Volume.  Sauf  dans  l'exposé  de  la  transfor- 
mation de  Landen,  nous  n'avons  pas  donné  de  Tables  numé- 
riques, car,  dans  la  plupart  des  cas,  les  séries  définissant  les 
fonctions  à  calculer  sont  si  rapidement  convergentes,  que  les 
premiers  termes  suffisent  dans  les  applications.  On  trouvera 
des  exemples  de  calculs  numériques  à  la  fm  du  Calcul  inté- 
o-ral  de  M.  J.  Bertrand  et  dans  les  Tables  de  Houel. 

Nous  espérons  qu'après  avoir  étudié  cet  Ouvrage,  le  lecteur 
pourra  se  servir  des  fonctions  elliptiques  comme  des  fonctions 
trigonométriques.  Nous  avons  clioisi  des  applications  aussi 
variées  que  possible  :  on  en  trouvera  d'autres,  d'une  grande 
élégance,  dans  le  Traité  de  M.  Greenbill.  Quant  aux  dévelop- 
pements théoriques,  nous  pensons  avoir  mis  le  lecteur  à 
même  de  lire  les  grands  Traités  de  Briot  et  Bouquet,  d'Hal- 
phen, de  MM.  Tannery  et  ?^Iolk,  et  de  se  servir  utilement  des 
feuilles  de  M.  Scluvarz. 

Paris,  2-  septembre  1896. 


PRINCIPES 


DE  LA  THEORIE  DES 


FONCTIONS  ELLIPTIQUES 


CHAPITRE  I. 

NOTIONS  PRÉLIMINAIRES. 


I.  —    GÉNÉRALITÉS   SUR    LES   FONCTIONS   UNIFORMES. 

1 .  Fonction  régulière  en  un  point.  Zéros.  —  Une  fonction  d'une 
variable  im  aginaire  u  =  x-\-yi  esi  dite  uniforme  pour  toutes  les 
valeurs  de  u  quand  elle  n'a  qu'une  valeur  pour  chaque  valeur  de  u  : 

par  exemple-,  cos;;,  iangu  sont  des  fonctions  uniformes.  On 
dit  aussi,  en  représentant  la  variable  u  =  x  -\-yi  par  le  point  d'un 
plan  de  co  ordonnées  œ  et  y,  que  la  fonction  est  uniforme  dans 
tout  le  plan.  Nous  ne  nous  occuperons  que  de  fonctions  de  cette 
nature.  Une  fonction  uniforme/(M)  est  régulière  en  un  point  a 
quand  on  peut,  dans  un  cercle  ajant  ce  point  comme  centre,  la 
développer  par  la  formule  de  Taylor  en  une  série  procédant  sui- 
vant les    puissances  positives  croissantes  de  u  —  a 

I  i  .2.  .  .n  '^       ^ 

Zéros.  —  Une  fonction /(z/)  régulière  au  point  u  =  a  admet  ce 
point  comme  zéro  quand  f{a)  est  nul  :  si  f'(a)  n'est  pas  nul  le 
zéro  est  simple.  Si  un  certain  nombre  de  dérivées  f  (a),  f"  (a),  ... 
sont  nulles,  f^"'(a)  étant  la  première  dérivée  non  nulle,  le  zéro 
u  =  a    est  d'ordre  n  :  on  peut  alors  écrire  le  développement  ci- 

A.  ET  !.. 


^  CHAPITREl. 

dessus 

(2)  /(u)  =  {u-ay'g(u), 

OÙ  le  facteur  g{u)  est  une  série  entière  en  {u  —  a)  ne  s'annulant 
pas  p 


our  u  =  a. 


2.  Points  singuliers.  Pôles.  Résidus.  Points  singuliers  essen- 
tiels. —  Lorsqu'une  fonction  uniforme  f{u)  n'est  pas  régulière 
en  un  point  déterminé  a,  on  dit  que  ce  point  est  un  ^^oïnl singulier. 
C'est  un  point  singulier  isolé  quand  on  peut  décrire  de  a  comme 
centre  un  cercle  assez  petit  pour  que  la  fonction  n'ait  pas  d'autre 
point  singulier  dans  ce  cercle. 

Pilles.  —  Un  point  singulier  a  est  un  pôle  quand  il  est  isolé  et 
quand  la  fonction  devient  infinie  en  ce  point  à  la  façon  d'une 
fraction  rationnelle.  Pour  préciser,  le  point  a  est  un  pôle,  quand 
la  fonction /(w)  devient  infinie  en  ce  point  et  qu'il  existe  une 
fraction  rationnelle 

A  Al  Aa-i 

telle  que  la  différence 

J\u)-^{u) 

soit  régulière  au  point  a\  les  lettres  A,  A,,  . . . ,  Aa_i  désignant 
des  constantes.  La  fraction  rationnelle  <^{u)  s'appelle  la  partie 
principale  àQ  la  fonction /(f^)  relative  au  pôle  «;  le  coefficient  A 

de  — —  est  le  résidu  relatif  à  ce  pôle  :  l'entier  a  est  l'ordre  ou 

u  —  a 

degré  du  pôle.  On  a  alors,  dans  un  certain  cercle  de  centre  a, 

f{u)^o{u)-^g{u), 

cr[u)  étant  une  fonction  régulière  au  point  a  :  on  en  conclut,  en 
réduisant  le  second  membre  au  même  dénominateur  {u  —  «)°', 


Çi{ii)  étant  une  fonction  régulière  au  point  «,  différente  de  zéro 
pour  u=^  a. 


NOTIONS    PRELIMINAIRES.  3 

Nous  dirons  aussi  que  le  point  a  est  un  infini  d'ordre  a  de  la 
fonction. 

Points  singuliers  essentiels.  —  Quand  un  point  singulier  n'est 
pas  isolé  ou  qu'étant  isolé  il  n'est  pas  un  pôle,  on  dit  qu'il  est  un 
point  singulier  essentiel.  Nous  ne  nous  occupons  dans  la  suite 
que  de  fonctions  dont  les  seuls  points  singuliers  à  distance  finie 
sont  des  pôles. 

3.  Remarque  sur  les  zéros  et  les  pôles.  —  Si  le  point  a  est  un 
zéro  d'ordre  n  de  la  fonction /*(«),  il  est  un  pôle  simple  de  ré- 
sidu n  dans  la  dérivée  logarithmique  —^ — ;  en  effet,  on  a  alors, 
dans  le  voisinage  de  u  =  a, 

puis  en  prenant  les  logarithmes  et  les  dérivées 

f'{u)  _       n  ,<?■'("). 

/{u)   ~  u  —  a        g{u)' 

comme  g{u)  n'est  pas  nul  pour  u  =  a,  le  rapport  ^  ^^  est  une 
fonction  régulière  au  point  a;  donc  ce  point  est  un  pôle  simple  de 
résidu  n  de  4^ — ^-  De  même,  si  le  point  u^=a  est  un  pôle  d'ordre  a 

de/(w),il  est  un  pôle  simple  de  résidu  — a  de  '\,  "  •  On  a  en  ellet, 
dans  cette  hypothèse,  au  voisinage  de  a, 

f(u)=  ^ , 

d'où 

f'ju)  ^    -g    _^  G^OO. 

f{u)         u  —  a    '     G(w)' 

comme  G(u)  ne  s'annule  pas  pour  u  =  a,  ^  est  une  fonction 
régulière  en  a  et  le  théorème  est  démontré. 

4.  Point  à  l'infini.  —  Pour  étudier  une  fonction  f{u)  de  u 
quand  u  devient  très  grand,  on  fait  u  =  —  et  l'on  suppose  u'  très 
petit.   La   fonction  f{u)    est    dite    régulière   au    point    u  =  oo 


4  CHAPITRE    I. 

quand/(-,)  est  régulière  au  point  u' =  o  :  on  a  alors,  pour  des 
valeurs  très  petites  de  u\ 


f  {  —j  \  =  ao  -h  ai  u' -\-  a^  u''^ 


et  par  suite,  pour  des  valeurs  très  grandes  de  u, 


f(^u)=  «0+  «1 H  <^2 


Lorsque  la  fonction  est  ainsi  régulière  au  point  go,  le  point  oo 
est  un  zéro  d'ordre  n  quand  «0,^0  •  •  •  5  <^«-i  sont  nuls,  an  étant 
différent  de    zéro.  La  fonction  s'annule   alors  à  l'infini   comme 

Le  point  infini  est  un  pôle  ou  un  point  singulier  essentiel  pour 
f{u)  quand  le  point  u' =  o  est  un  pôle  ou  un  point  essentiel  pour 

/(--,)'  Supposons  que  ce  soit  un  pôle  :  alors,  par  définition,  on  a 

pour  de  petites  valeurs  de  u' 

c'est-à-dire,  pour  de  grandes  valeurs  de  u^ 

f{u)=  kU-\-  Ail*2_|_.  .  ._!_  Aa-l  w^+  «0+  «1  ~  +  ^^2  ("^ 

La  partie 

(f(  m)  =Aw  + Al  w2 +  ...-!-  Aa-iw^', 

qui  devient  infinie  au  pôle  u  =  00,  est  la  partie  principale  relative  à 
ce  pôle,  a  est  l'ordre  du  pôle. 

5.  Remarque  sur  la  convergence  des  séries.  —  Nous  pouvons 
maintenant  préciser  un  point  important  dans  ce  qui  précède.  Nous 
avons  dit  que  la  fonction/(^^)  uniforme  dans  tout  le  plan  est  ré- 
gulière en  a  quand  elle  est  développable  par  la  formule  de  Tajlor 
dans  un  cercle  de  centre  a  :  cette  série  sera  convergente  dans  le 
cercle  ayant  pour  centre  a  et  pour  rayon  la  distance  du  point  a 
au  point  singulier  de  f{ii)  le  plus  rapproché  de  a. 


NOTIONS    PRELIMINAIRES. 


C'est  là  une  proposition  que  nous  admettrons  pour  ne  pas 
allonger  ce  Chapitre. 

6.  Une  fonction  uniforme  régulière  en  tous  les  points  à  distance 
finie  et  infinie  est  une  constante.  —  En  effet,  la  fonction  supposée 
f{u)  étant  régulière  au  point  u=^  o  est  développable  en  une  série 

f{u)=a(i-^aiU-^aiU--{-...y 

convergente  dans  le  cercle  ayant  l'origine  comme  centre  et  passant 
par  le  point  singulier  le  plus  rapproché  de  l'origine;  comme,  par 
hypothèse,  il  n'y  a  pas  de  points  singuliers,  cette  série  est  con- 
vergente dans  tout  le  plan.  Pour  étudier  la  fonction  dans  le  voisi- 
nage du  point  oc,  posons  ?/  =  —,  ;  alors 


Par  hypothèse  cette  fonction  est  régulière  au  point  u' ^=  q  :  elle 
ne  doit  donc  pas  contenir  dans  son  développement  de  puissances 
négatives  de  u'  :  donc  tous  les  coefficients  a^^a^^  . . .,  an-,  ...  sont 
nuls,  sauf  le  premier  «o,  et  l'on  a 

/<■'')=/ {h)  =  '">■ 

La  fonction  est  une  constante. 

On  peut  énoncer  ce  résultat  sous  une  autre  forme,  en  disant 
qu^iine  fonction  uniforme  partout  finie  (le  point  co  compris) 
est  une  constante.  En  effet,  une  fonction  uniforme  devient  infinie 
en  chacun  de  ses  pôles;  on  peut  en  outre  démontrer  rigoureuse- 
ment que,  si  la  variable  u  tend  vers  un  point  singulier  essentiel 
de  la  fonction  suivant  une  loi  convenablement  choisie,  le  module 
de  la  fonction  croît  au  delà  de  toute  limite.  Si  donc  une  fonction 
uniforme  est  partout  finie,  elle  ne  peut  pas  avoir  de  points  singu- 
liers, elle  est  régulière  partout  et  se  réduit  à  une  constante. 

7.  Les  zéros  et  les  pôles  d'une  fonction  uniforme,  n'ayant  d'autres 
singularités  que  des  pôles  à  distance  finie,  sont  nécessairement  isolés 
les  uns  des  autres.  —  Nous  voulons  dire  par  là  qu'il  ne  peut  pas 
exister  de  point  a  du  plan  dans  le  voisinage  immédiat  duquel  il 


6  •  CHAPITRE    I. 

se  trouve  une  infinité  de  pôles  ou  une  infinité  de  zéros  ;  ou  encore, 
quel  que  soit  le  point  a,  on  peut  toujours  décrire  de  a  comme 
centre  un  cercle  avec  un  rayon  assez  petit  pour  que  dans  ce  cercle 
il  y  ait  :  ou  bien  ni  zéro  ni  pôle,  ou  bien  un  seul  zéro  sans  pôle, 
ou  bien  un  seul  pôle  sans  zéro. 

Ce  fait  résulte  immédiatement  des  développements  précédents. 
En  eff'et,  un  point  a  étant  marqué  dans  le  plan,  trois  cas  peuvent 
se  présenter  suivant  quey*(«)  est  régulière  en  a  sans  s'annuler  en 
ce  point,  ou  que  fi^n)  admet  le  point  a  pour  zéro,  ou  enfin  que 
f(^ii)  admet  le  point  a  pour  pôle.  Dans  le  premier  cas,  on  peut  dé- 
crire de  a  comme  centre  un  cercle  suffisamment  petit  pour  qu'il 
n'y  ait  dans  ce  cercle  ni  zéro  ni  pôle  ;  dans  le  second,  on  peut  dé- 
crire un  cercle  suffisamment  petit  pour  qu'il  ne  contienne  pas  de 
pôle  et  contienne  le  seul  zéro  u^=.a\  dans  le  troisième,  on  peut 
décrire  un  cercle  ne  contenant  pas  de  zéro  et  contenant  le  seul 
pôle  a. 

D'après  cela,  si  pour  une  fonction  uniforme  il  existe  un  point  a 
tel  que,  dans  une  aire  aussi  petite  que  l'on  veut,  entourant  ce  point, 
il  existe  soit  une  infinité  de  pôles  soit  une  infinité  de  zéros,  ce 
point  est  point  singulier  essentiel.  En  effet,  la  fonction  n'est  pas 
régulière  en  a;  ce  point  est  donc  un  point  singulier.  Il  n'est'  pas 
un  pôle,  d'après  ce  que  nous  venons  de  voir;  il  est  donc  un  point 
essentiel. 

Nous  allons,  dans  les  deux  paragraphes  suivants,  traiter,  comme 
exemples,  les  fonctions  rationnelles  et  les  fonctions  trigonomé- 
triques. 

II.  —  Fractions  rationnelles. 

8.  Objet  du  paragraphe.  —  Le  lecteur  connaît  assurément  les 
propriétés  des  fractions  rationnelles  :  décomposition  en  fractions 
simples,  utilité  de  cette  décomposition  pour  l'intégration,  décom- 
position en  un  quotient  de  deux  produits  de  facteurs  linéaires. 

Nous  reprenons  brièvement  cette  théorie,  en  suivant  une  marche 
analogue  à  celle  que  nous  emploierons  plus  loin  pour  obtenir  l'ex- 
pression générale  des  fonctions  elliptiques,  d'abord  sous  une  forme 
toute  semblable  à  celle  d'une  fraction  rationnelle  décomposée  en 
fractions  simples,  puis  sous  une  forme  semblable  à  celle  d'une 


NOTIONS     PRELIMINAIRES.  7 

fraction  rationnelle  décomposée  en  un  quotient  de  deux  produits 
de  facteurs  linéaires. 

9.   Fraction  rationnelle  particulière.  —  La  fonction 

(3)  /(")=, 

est  régulière  à  distance  finie  en  tous  les  points  autres  que  w  =  i, 
Il  =  1.  Ces  deux  points  sont  des  pôles  de  premier  ordre.  La  partie 
principale  relative  au  pôle  ii  =  i  est 

?i(")  =  — 


a  —  I 


en  effet  on  vérifie  immédiatement  que  la  différence /(w) —  es,  (^ii) 
est  régulière  au  point  u=.\.  Le  résidu  relatif  au  pôle  u  =  i  est 
—  I .  De  même  la  partie  principale  relative  au  pôle  u^=i  est 

02(11)=   , 


avec  le  résidu  2.  Au  point  oc  la  fonction  est  régulière,  car 
/(-,)=- r^ r- 

''    \U  J  ^i  —  u'){l  —  -J.U) 

est  régulière  au  point  u'  =  o.  On  voit  que  z/  =  o,  c'est-à-dire  11  =  00 
est  un  zéro  simple.  La  fonction  f(ii)  a  donc  deux  pôles  simples 
;/  =  I ,  iiz=  o.  et  deux  zéros  simples  z^  =  o,  w  =  00  :  on  dit  qu'elle 
est  d  ordre  2.  On  peut  remarquer  que  l'équation 

/{u)=G 

a  deux  racines  quelle  que  soit  la  constante  G. 

Comme  les  fonctions  'ft(w)  et  'fo(w)  sont  régulières  partout  à 
distance  finie  et  infinie,  excepté  aux  pôles  respectifs  1  et  2,  la  dif- 
férence 

/(")—  ?l(")—  ?2(«) 

est  régulière  pai^tout  à  distance  finie  et  infinie,  j  compris  les 
pôles  I  et  2,  d'après  la  définition  des  parties  principales  cp,  et  cpo- 
Cette  différence  est  donc  une  constante  et,  comme  elle  s'annule  à 
l'infini,  puisque  chacune  des  fonfctions  /,  cp,,  ^o  s'y  annule,  elle 


8  CHAPITRE     I. 

est  égale  à  zéro.  On  a  donc 

formule  que  donnerait  immédiatement  la  décomposition  de  la 
fraction  rationnelle  en  fractions  simples. 

10.  Cas  général.  Pôles  et  zéros.  Ordre.  —  Une  fraction  ration- 
nelle 

OÙ  P  et  Q  sont  deux  polynômes  de  degrés  m  et  /i,  est  une  fonction 
qui,  à  distance  finie  et  infinie,  n'a  d'autres  points  singuliers  que 
des  pôles.  A  distance  finie  elle  a  comme  pôles  les  racines  de 
Q(w)=o  :  le  nombre  des  pôles  à  distance  finie,  en  comptant 
chacun  d'eux  avec  son  degré  de  multiplicité,  est  donc  n. 

i"  Si  m  >  n,  le  point  co  est  un  pôle  d'ordre  m  —  ii.  Le  nombre 
total  des  pôles  à  distance  finie  et  infinie  est  donc 

n  -^{m  —  n)=  m. 

]l  y  a  aussi  m  zéros  qui  sont  les  racines  de  P(;^)=  o.  La  fraction 
a  donc  m  pôles  et  m  zéros  :  on  dit  qu'elle  est  d'ordre  m.  L'équation 
fi^u)^  C  a  m  racines  quel  que  soit  C. 

2"  Si  n  >>  m  le  point  oo  est  un  zéro  d'ordre  n  —  m.  La  fraction 
a  alors  n  pôles  et  un  nombre  égal  de  zéros,  car  il  y  en  a  /?z  à 
distance  finie  [les  racines  de  P(w)]  et  /i  —  m  réunis  à  l'infini.  La 
fraction  est  d'ordre  n\  l'équation  f(^u)^=  G  a  toujours  n  racines. 

3°  Si  772  =:  71,  le  point  00  n'est  ni  un  pôle  ni  un  zéro  :  il  y  a  en- 
core autant  de  zéros  que  d'infinis  :  la  fraction  est  d'ordre  m  =  n. 

En  résumé  une  fonction  rationnelle /"( 7^)  a  toujours  dans  tout 
le  plan,  l'infini  compris,  autant  de  pâles  que  de  zéros;  le  nombre 
des  pôles  ou  des  zéros  est  l'ordre  de  la  fraction  :  réquation/(7/)=  G, 
a,  quel  que  soit  G,  un  nombre  de  racines  égal  à  V ordre. 

H.  Formes  analytiques  principales  des  fractions  rationnelles. 
—  On  peut  mettre  une  fraction  rationnelle  sous  deux  formes  dif- 


NOTIONS    PRÉ  LI. Alix  AIR  ES.  9 

férenles  suivant  que  l'on  veut  mettre  en  évidence  les  pôles  et  les 
parties  principales,  ou  les  pôles  et  les  zéros. 

i"  Première  forme  mettant  en  évidence  les  pôles  et  les  par- 
ties principales  correspondantes .  Décomposition  en  fractions 
simples.  —  Appelons  a,  b,  . . .  ^  l  les  pôles  à  distance  finie  res- 
pectivement d'ordre  a,  ^,  . .  .  ,  a  et 

,    ,  A  A,  A._. 


0-2  (  U  ) 


a  —  a        (il  —  a)'^  '  '    {u—aV-^ 

B  Bi  Bp-i 

ii  —  b        {u  —  0)-^~^"'       {iL  —  b  )'^ 


les  parties  principales  correspondantes.  Supposons,  pour  plus  de 
généralité,  que  le  point  oo  soit  un  pôle,  ce  qui  arrive  si  m  >  /?;  et 
soit 

la  partie  principale  relative  à  ce  pôle 


Chacune  de  ces  parties  principales  est  régulière  partout  excepté 
au  pôle  correspondant.  La  différence 

(5)  f{u)  —  Oi{u)  —  ^i{u)  —.  .  .—  m{u) 

est  donc  régulière  partout  à  distance  finie  et  infinie.  En  effet, 
au  pôle  a  la  différence /(;^)  —  cp,  (^u)  est  régulière  et  les  fonctions 
cpo,  . . .,  Tîî  le  sont.  Il  en  est  de  même  aux  pôles  6,  .  .  .,  /. 

A  l'infini,  la  différence  /(w)  —  7tj(;^)  est  régulière  et  les  fonc- 
tions cp,,  cpo,  ...  le  sont  aussi.  Donc  la  différence  (5),  régulière 
partout,  est  une  constante  Mo,  et  l'on  a 

(6)  /(,0  =  Mo-i-M,z.+...-M,z,^-l-yr-J— 4-...+  ^    ^'■-'     \ 

la  somme  S  étant  étendue  à  tous  les  pôles  à  distance  finie. 

On  retrouve  ainsi  la  formule  élémentaire  de  décomposition  des 
fractions  rationnelles  en  fractions  simples  :  elle  met  en  évidence 
les  pôles  et  les  parties  principales  correspondantes,  elle  donne 
immédiatement  l'intégrale  d'une  fraction  rationnelle. 


10  CHAPITRE    1. 

On  peut  écrire 

la  somme   S  étant  étendue   à   tous  les  pôles   à   distance  finie  et 

infinie,  si  l'on  convient  que  pour  un  pôle  a  rejeté  à  l'infini 

doive  être  remplacé  par  u^  ou  en  abrégé  que 

u  —  a  =  —         quand  a  =  oo. 

u  ^ 

On  remarquera  que  l'on  peut  prendre  arbitrairement  les  parties 
principales  relatives  à  tous  les  pôles  ;  à  cet  égard  il  y  a  une  légère 
différence  pour  les  fonctions  elliptiques. 

2°  Deuxième  forme  mettant  en  évidence  les  zéros  et  les 
infinis.  —  La  deuxième  forme  qu'on  peut  donner  à  une  fraction 
rationnelle  met  en  évidence  les  zéros  et  les  infinis.  Il  suffit  pour 
cela  de  décomposer  les  polynômes  P  et  Q,  qui  forment  le  numé- 
rateur et  le  dénominateur  de  la  fraction,  en  facteurs  du  premier 
degré 

(w  —  a,  )f // —  a,).  .  .(?/ —  a,„) 
^^^  /^"'  =  S«-{i,)(«-?.)...(»-8„)' 

OÙ  certains  facteurs  peuvent  être  égaux. 

3*^  La  seconde  forme  déduite  de  la  première.  —  Soity"(;^)  la 
fraction  rationnelle  considérée  ayant  pour  zéros  a,,  ao,  .  .  .,  a,,, 
et  pour  pôles  p, ,  ^-i^  •  •  •  -,  ?//• 

La  fonction  "^ .     /  est  aussi  une  fraction  rationnelle  ayant  pour 

pôles  simples  les  zéros  et  les  infinis  de  f{^u)  (n°  3),  les  zéros 
simples  avec  le  résidu  +i  et  les  pôles  simples  avec  le  résidu  — i. 

En  mettant  alors  ^-^ — -  sous  la  première  forme  (décomposition 

en  fractions  simples)  on  a 


/(a)  u — ai         u  —  ^2  u  —  ''J.in 

T  I  I 

t^  —  [il         W  —  ^2        '  *  "        w  —  ^,i 


► 


NOTIONS     PRELIMINAIRES.  Il 

Intégrant  et  passant  des  logarithmes  aux  nombres,  on  retrouve 
l'expression  (7). 

12.  Remarque.  —  Nous  venons  de  voir  qu'une  fraction  ration- 
nelle n'a  d'autres  points  singuliers  que  des  pôles  à  distance 
finie  et  infinie.  La  réciproque  est  vraie.  Une  fonction  uniforme 
n^ ayant  d^ autres  singularités  à  distance  finie  et  infinie  que 
des  pôles  est  une  fraction  rationnelle.  Nous  nous  bornons  à 
rappeler  ce  théorème  dont  nous  n'aurons  pas  à  nous  servir. 

13.  Relation  algébrique  entre  deux  fractions  rationnelles. 
Théorème  d'addition  algébrique.  —  Entre  deux  fractions  ra- 
tionnelles 

a  lieu  une  relation  algébrique  définissant  une  courbe  unicursale, 
c'est-à-dire  une  courbe  ayant  le  plus  de  points  doubles  possible. 
En  outre,  une  fonction  rationnelle  f{u)  admet  un  théorème 
d'addition  algébrique,  c'est-à-dire  que,  u  et  v  désignant  deux 
variables  indépendantes,  f{u  -h  r)  est  une  fonction  algébrique  de 
/(«)et/(0- 

in.  —  Fonctions  trigonométriques. 

14.  Objet  du  paragraphe.  —  Nous  allons  présenter  les  points 
fondamentaux  de  la  théorie  des  fonctions  trigonométriques,  en 
suivant  une  voie  identique  à  celle  que  nous  suivrons  dans  le 
Chapitre  suivant  pour  les  fonctions  elliptiques. 

lo.   Fonction  ûnu,  sa  définition  par  un  produit  infini.  Fonctions 

cet  u  et    ■   .,    ,  leurs  expressions  par  des  séries.  Périodicité  de  ces 

fonctions.  —  La  fonction  s\nu  est  régulière  en  tous  les  points  à 
distance  finie.  Elle  s'annule  aux  points 

M  =  G,  dzr,  ±1-,  

C'est  ce  que  met  en  évidence  la  formule  suivante  que  nous 
supposons  connue  et  que  nous  considérons  comme  servant  de 


12  CHAPITRE     I. 

définition  à  sinii 

(8)  si„«=«];|'(.-^)«^, 

le  produit  H'  étant  étendu  à  toutes  les  valeurs  de  l'entier  m  de 

—  oo  à  +00,  la  valeur  m  =  o  exceptée.  Grâce  à  la  présence   du 

11 
facteur  e'"^,  le  produit  H'  est  convergent  quel  que  soit  l'ordre  des 
facteurs.  Cette  fonction  sinu  est  impaire,  c'est  ce  qu'on  voit  sur 
le  produit  (8).  En  effet,  comme  m  prend  toutes  les  valeurs  de 

—  co  à  +  co,  on  peut  le  changer  de  signe  et  écrire 


n 


u 

ni'    ' 


Changeant  ensuite  u  en  —  u  on  voit,  en  comparant  à  (8),  que 
sin  ( —  u)  est  égal  à  —  sin  u. 

Le  point  co  est  un  point  singulier  essentiel  de  sinz^  :  en  effet,  si 

l'on  fait  u=  —■>  on  voit  que,  dans  une  aire  aussi  petite  qu'on  le 

veut  entouran t  le  point  u'=o,  la  fonction  sin  -^  admet  une  infinité 

de  zéros  u'  = D'après  ce  que  nous  avons  vu  (n°  7)  le  point 

u'=  o  est  donc  un  point  singulier  essentiel. 

Fonction  colu.  —  La  fonction  cotw  se  déduit  de  sinw,  par  la 
formule 

cotï«  =  -z-  lo£r  smii. 
du     ^ 

D'après  la  formule  (8),  on  a  donc  pour  cotw  la  série 

I 
cotw  =  — h 


I  I 


U  -\-  -K  71/  \U  -r-  -ITZ  1T^ 

ou,  sous  forme  condensée, 


(9)  cotz^  =  — h^ 


u  —  niTZ  Jïl-K 

la  somme  S'   étant   étendue  à   toutes  les   valeurs  de  l'entier    m 


NOTIONS    PUÉ  LIMINAIRES.  l3 

de  —  ce  à  -j- OC,  la  valeur  zéro  exceptée.  La  fonction  cot;^  est 
aussi  impaire.  Le  développement  (9)  montre  qu'elle  a  pour  pôles 
simples  tous  les  points  o,  ih-,  d=  2-,  ...,  le  résidu  relatif  à 
chacun  de  ces  pôles  étant  i.  Par  exemple,  le  point  uz=t^  est  un 
pôle,  et  la  différence 


cotw 


est  régulière  au  point  11:=-.  La  formule  (9)  met  donc  en  évidence 
les  pôles  et  les  parties  principales  correspondantes  de  la  fonction. 
Le  point  «  =  ûc  est  un  point  singulier  essentiel  pour  coiu  comme 
pour  è'inii. 


Fonction    .  ..    •  —  La  fonction 


sin-  Il 

I 


/      \  va  I         v^ 

sxn-u  du  II-      ^ 


(  Il  —  in-)- 


est  paire.   Elle  a   pour  pôles    doubles    tous  les   points   o,    ± -, 
±27:,    ...;   la  partie  principale  relative    au    pôle    u  z=z  m~    est 


{u  —  m-)'- 


Périodicité.  —  Des   formules   précédentes  on   peut  déduire 
facilement  la  périodicité  des  fonctions  circulaires.  Tout  d'abord 

le  développement  (10)  de  ^.-^  montre  immédiatement  que  cette 

fonction  ne  change  pas  quand  on  ajoute  tt  à  u^  car  cela  ne  fait 
que  déplacer  les  termes  du  second  membre. 

On  voit  de  même  que  la  cotangente  admet  la  période  ti;  en  effet, 
formant  la  différence  cot(;/  +  7:)  —  cot;^,  on  trouve 

\ii-^-        TiJ  ~  \7i~  a  —  tJ  ~  \u  —  T.  ~  a  —  i-J  ~^"' 

~^\ll-r-1-  U-hT.)  \u-^.r^-  ii-^..2-)      '•••' 

somme  qui  est  évidemment  nulle,  car  les  termes  se  détruisent 
deux  à  deux. 

Enfin  de  la  relation 

COt(u  -+-  T.)=  COtU, 


l^  CHAPITRE     l. 

que  nous  venons  d'établir,  on  peut  déduire  la  périodicité  de  la 
fonction  sinw.  En  effet,  en  intégrant  les  deux  membres  de  la  re- 
lation ci-dessus,  on  a 

log  sin(w  -h  71)=  log  sin  u  +  logC, 
sin(j^  -H  t:)  =  G  sin  ii, 

oii  G  est  une  constante.  Pour  déterminer  cette  constante,  faisons 


11=^ j  nous  aurons 

2 


sin  —  =  G  sin 

2 


et  comme  la  fonction  sin?/  est  impaire  on  a 

G=— I. 
D'où  la  formule 

sin(it  +  tt)  =  —  sin  u. 

Développements  en  séries  de  puissances.  —  Pour  calculer  les 
premiers  termes  du  développement  de  coiu  en  série  de  puissances 
dans  le  voisinage  de  u  =  o,  on  peut  employer  la  méthode  suivante 
analogue  à  celle  qui  nous  servira  pour  les  fonctions  de  M.  Weier- 
strass.  On  a,  pour  u  inférieur  à  miz  (en  valeur  absolue), 

I         _  1  u  ^^2 

portant  cette  série  dans  le  développement  de  colu  et  ordonnant 
par  rapport  aux  puissances  de  u,  on  a  une  série  de  la  forme 

i  u  li^  u^ 

cot  U= 5i  —  —  S-i  —  —  53  —-—... , 

u  rJ  71*^  Tt*' 

où  l'on  a  posé 

les  sommes  ^  -^  T*  A'  T!  ~^'  *••  sont  évidemment  nulles, 
car  m  prend  des  valeurs  deux  à  deux  égales  et  de  signes  con- 
traires. 

On  peut  obtenir  le  développement  de  smu  en  série  entière  en 


Si    u- 

Si    ?/> 

^3    U*^ 

•2     -2 

4   ^' 

6   t6 

.V,    II-        s^    ri* 

s,    «6 
6     ?16 

■... 

NOTIONS    PRÉLIMINAIRES.  l5 

intégrant  le  développement  de  cotw,  ce  qui  donne 
log  sin  u  =  logA  -+-  logu 

sin  u  =  A  lie     ^ 

A  désignant  une  constante  d'intégration.  Comme tend  vers  i 

quand  u  tend  vers  o,  on  a  A=  i.  Développant  alors  l'exponen- 
tielle en  série,  on  obtient  une  série  entière  donnant  sinw.  En 
identifiant  le  développement  ainsi  obtenu  avec  la  série  connue 

11^  u^ 

sin  u  =  u  — 


i.'2.3        1.2.3.4-5 
on  obtient  les  valeurs  des  sommes  5,,  ^o,  5:i,  ....  On  trouve  ainsi 

Ces  sommes  sont  ])ien  connues  :  on  les  trouvera  par  exemple 
dans  le  Calcul  différentiel  de  M.  Bertrand,  p.  421  :  pour  vérifier 
ainsi  les  valeurs  ci-dessus,  il  faut  se  rappeler  que 


car,  dans  2',  m  varie  de  —  c/c  à  4-cc,  zéro  exclu. 

Exercice.  —  Nous  ne  nous  arrêterons  pas  plus  longtemps  à  la 
théorie  des  fonctions  sin  z^,  cot^^.  Si  l'on  voulait  établir  une  théorie 
complète  de  ces  fonctions,  en  prenant  comme  seules  définitions  le 
produit  (8)  et  la  série  (9),  on  pourrait,  en  suivant  une  analyse 
d'Eisenstein  (Journal  de  Crelle,  t.  3o,  p.  191),  montrer  que  la 
fonction  f(u)=z  colu,  définie  par  la  série  (9),  vérifie  l'équation 
différentielle 

En  portant  le  développement  de  cot  u  en  série  de  puissances  dans 
cette  équation  et  écrivant  qu'elle  est  vérifiée  quel  que  soit  w,  on 
aurait  un  autre  moyen  de  calculer  de  proche  en  proche  les 
sommes  ^v  Nous  indiquons  ces  résultats  à  titre  d'exercice. 


l6  CHAPITRE     I. 

16.  Fonctions  trigonométriques  en  général.  —  On  peut  appeler 
d'une  manière  générale  fonction  tri  g  ononié  trique  une  fonction 
/(w)  rationnelle  en  cot«<,  car  le  sinus  et  le  cosinus  d'un  arc  s'ex- 
priment rationnellement  en  fonction  de  la  cotangente  de  l'arc 
moitié  que  l'on  peut  toujours  désigner  par  u.  Une  fonction  trigo- 
nométrique,  ainsi  définie,  est  uniforme;  elle  n'a  d'autres  points 
singuliers  à  distance  finie  que  des  pôles  ;  elle  ne  change  pas  quand 
on  ajoute  à  u  un  multiple  quelconque  positif  ou  négatif  de  t:  : 
c'est  ce  que  l'on  exprime  en  disant  que  la  fonction  admet  la 
période  primitiçe  tz,  ses  autres  périodes  ±:2Tr,  d=37r,  ...  étant 
des  multiples  de  la  période  primitive. 

On  peut  mettre  une  fonction  trigonométrique  sous  deux  formes 
remarquables.  L'une  est  analogue  à  la  formule  de  décomposition 
des  fractions  rationnelles  en  fractions  simples;  l'élément  de  cette 
décomposition  est  la  fonction  col(ii  —  a)  et  ses  dérivées;  c'est  ce 
que  l'on  pourra  voir  dans  le  Traité  d^ Analyse  de  M.  Her- 
mite,  p.  32  1.  L'autre  forme  est  analogue  à  celle  qui  donne  une 
fraction  rationnelle  sous  forme  du  quotient  de  deux  produits  de 
facteurs  linéaires;  l'élément  qui  remplace  les  facteurs  linéaires 
est  sin(w  —  a).  Nous  ne  nous  arrêterons  pas  à  établir  ces  for- 
mules qui  nous  sont  inutiles  pour  la  suite. 

Relations  algébriques.  —  Entre  deux  fonctions  trigonomé- 
triques 

de  même  période  tt,  a  lieu  une  relation  algébrique  définissant  en- 
core une  courbe  unicursale,  car/et/i  sont  des  fonctions  ration- 
nelles de  cot;^. 

Théorème  d'addition  algébrique.  —  Une  fonction  trigono- 
métrique f{u)  admet  un  théorème  d'addition  algébrique  :  f(u  H-  ç) 
est  une  fonction  algébrique  de/(w)  cl  f(ç). 

Remarque  sur  la  période  des  fonctions  trigonométriques.  — 
Les  fonctions  que  nous  venons  de  considérer  admettent  la  pé- 
riode TT 

f(u-i~T.)=f{u). 

Il  est  évident  que  par  un  changement  linéaire  de  variable  on  peut 


NOTIONS    PRELIMIWIRES.  I^ 

faire  en  sorte  qu'elles  admettent  une  période  quelconque  2w.  11 
suffît  de  poser 

on  a  alors 


I 


A     ET    L. 


CHAPITRE  II. 

GÉNÉRALITÉS  SUR  LES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES. 


17.  Définition.  —  Nous  avons  dit  qu'une  fraction  rationnelle  est 
caractérisée  par  la  propriété  d'être  une  fonction  uniforme  n'ajant 
d'autres  singularités  que  des  pôles. 

Nous  avons  remarqué  également  qu'une  fonction  trigonomé- 
trique  (fonction  rationnelle  de  cot?^  ou  de  sin2  z^  et  cosa?^)  est  une 
fonction  n'ajant  d'autres  singularités  à  distance  finie  que  des  pôles 
et  admettant  des  périodes  qui  peuvent  toutes  être  composées 
par  addition  et  soustraction  avec  une  seule  période  primitive  iz. 
Mais  ces  propriétés  ne  caractérisent  pas  les  fonctions  trigonomé- 
triques  :  elles  appartiennent  par  exemple  à  e'"'^"  qui  n'est  pas  une 
de  ces  fonctions.  Pour  achever  de  caractériser  une  fonction  trigo- 
nomélrique,  il  faudrait  ajouter  cette  condition  qu'elle  possède  un 
théorème  d'addition  algébrique. 

Nous  définirons  d'une  façon  analogue  les  fonctions  elliptiques 
par  les  propriétés  suivantes,  qui  les  caractérisent  complètement  : 

On  appelle  fonction  elliptique  une  fonction  uniforme 
n^ayant,  à  distance  finie,  d^ autres  singularités  que  des  pôles 
et  admettant  des  périodes  qui  peuvent  toutes  être  composées 
par  addition  et  soustraction  avec  àew^ périodes  primitives  2w 
et  2  0)'. 

La  fonction  admet  donc  les  deux  périodes  203  et  20)' ;  on  dit 
qu'elle  est  doublement  périodique,  tandis  que  les  fonctions  tri- 
^onomélYÏqviQssoni  simplement  périodiques.  Elle  vérifie  les  rela- 
tions 

(11)  f{ll-\-'Hxi)=f{u),  f[u^2lù')=f{ll), 

d'où  l'on  conclut 

(12)  f{u-\- 9.moi -h  2noj')  =  /(u), 

m  et  n  désignant  des  entiers  positifs,  négatifs  ou  nuls. 


GÉNÉRALITÉS    SUR     LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  19 

Nous  admettrons  que  le  rapport  —  est  imaginaire;  s'il  était 

réel,  la  fonction  se  réduirait  aune  fonction  simplement  périodique 
ou  à  une  constante.  C'est  là  un  fait  dont  on  trouvera  la  démonstra- 
tion dans  la  Note  I  et  que  l'on  peut  admettre  pour  ne  pas  inter- 
rompre l'exposition. 

Les  fonctions  elliptiques  sont  ainsi  définies  in  absLracto.  Nous 
allons  définir,  par  des  séries,  les  éléments  analytiques  à  l'aide 
desquels  on  peut  exprimer  toutes  les  fonctions  elliptiques.  Nous 
indiquerons  en  même  temps  leurs  principales  propriétés,  parmi 
lesquelles  nous  signalerons  dès  à  présent  l'existence  d'un  théorème 
d'addition  algébrique  et  l'existence  d'une  relation  algébrique  entre 
deux  fonctions  elliptiques  aux  mêmes  périodes. 

Une  première  propriété,  résultant  immédiatement  de  la  défini- 
tion même,  est  celle-ci  :  La  déj^vée  d' une  fonction  elliptique  est 
encore  une  fonction  elliptique.  En  efîet,  les  relations  (i  i)  ajant 
lieu  quel  que  soit  u  donnent  par  différentiation 

f{U-\-1Ui)    =f{ll), 

f'(ii^:îOj')=f'(u). 

La  dérivée /'(  w)  admet  donc  les  périodes  20)  et  20)';  elle  est  uni- 
forme commey*(;^)  et  ses  seuls  points  singuliers  à  distance  finie 
sont  des  pôles,  car  si  f(u)  est  régulière  en  un  point  il  en  est  de 
même  de  f'{u),  et  si  f{u)  a  un  pôle  en  un  point  il  en  est  de 
même  def'(u). 

18.  Parallélogrammes  des  périodes.  —  La  double  périodicité 
peut  se  représenter  géométriquement  comme  il  suit.  Soit  Uq  une 
quantité  imaginaire  constante,  choisie  au  hasard;  considérons 
dans  le  plan  représentatif  les  points  représentant  les  quantités 

et,  en  général, 

Uo  -r-  1  nnii  -T-  1  n  co', 

oîi  m  et  n  sont  des  entiers  quelconques  positifs,  négatifs  ou  nuls; 
ces  points  forment  les  sommets  d'un  réseau  de  parallélogrammes 
tous    égaux    au    parallélogramme    P,    qui    a    pour   sommets   les 


20  CHAPITRE    II. 

points 

et  recouvrant  tout  le  plan. 

Si  w  est  un  point  quelconque  du  plan,  il  se  trouve  dans  un  de 
ces  parallélogrammes,  le  parallélogramme  P',  par  exemple;  le 
point  W  +  2CJ  est  dans  un  parallélogramme  voisin  dans  lequel  il 


occupe  la  même  position  que  u  dans  P';  en  général,  les  points 
;^  +  2 m w H- 2 n (o'  sont  tous  dans  des  parallélogrammes  différents; 
ils  occupent  dans  chacun  d'eux  la  même  place  que  u  dans  P';  nous 
avons  figuré  quelques-uns  de  ces  points.  On  dit,  pour  abréger, 
que  ces  points  sont  des  points  homologues  ou  congruents  du 
réseau  des  parallélogrammes.  L'un  quelconque  de  ces  parallélo- 
grammes s'appelle  parallélogramme  des  périodes  ou  parallé- 
logramme élémentaire. 

Les  relations  (ii)  expriment  que  la  fonction  f{u)  reprend  la 
même  valeur  en  tous  les  points  homologues.  Il  suffît  donc  de 
connaître  la  fonction  f{u)  dans  un  des  parallélogrammes,  P  par 
exemple,  pour  la  connaître  dans  tout  le  plan. 

* 

19.  Théorème  fondamental.  Une  fonction  elliptique  devient  né- 
cessairement infinie  dans  un  parallélogramme  élémentaire,  sinon 
elle  se  réduit  à  nne  constante.  —  En  effet,  si  une  fonction  ellip- 
tique était  finie,  dans  un  parallélogramme  élémentaire,  elle  serait 
finie,  en  tous  les  points  à  distance  finie  ou  infinie,  à  cause  de  la 
double  périodicité;  ce  serait  donc  une  constante  (n°  6). 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  21 

20.  Une  fonction  elliptique  a  un  nombre  limité  de  pôles  dans  un 
parallélogramme  élémentaire.  —  Le  ihéorème  précédent  montre 
qu'une  fonction  elliptique  a  au  moins  un  pôle  dans  un  parallélo- 
gramme; nous  voulons  montrer  qu'elle  en  a  un  nombre  limité.  En 
effet,  supposons  que,  dans  P,  une  fonction /(«)  ait  une  infinité 
de  pôles;  divisons  le  parallélogramme  en  quatre  en  joignant  les 


milieux  des  côtés;  dans  un  de  ces  quatre  parallélogrammes  au 
moins  il  j  a  une  infinité  de  pôles.  Divisons-le  encore  en  quatre  en 
joignant  les  milieux  des  côtés;  dans  un  des  nouveaux  parallélo- 
grammes au  moins,  il  v  a  une  infinité  de  pôles.  En  continuant 
ainsi,  on  obtient  une  suite  de  parallélogrammes  tendant  vers  un 
point  a  du  plan  et  contenant  tous  une  infinité  de  pôles.  En  ce 
point  a  la  fonction  n'est  évidem.nrientpas  régulière  :  le  point  a  est 
donc  un  point  singulier;  mais  il  Ot'^peut  pas  être  un  pôle,  car  un 
pôle  est  nécessairement  isolé  et  n)n^  venons  de  voir  que,  dans  une 
aire  aussi  petite  qu'on  le  veut  autca/r  de  a^  il  existe  une  infinité  de 
pôles.  Ce  point  est  donc  un  point  singulier  essentiel  de  la  fonc- 
tion, ce  qui  est  impossible,  puisqu'une  fonction  elh'ptique,  par 
définition,  n^a  d' autres  points  singuliers  que  des  pôles  dans 
un  parallélogramme. 

Le  théorème  que  nous  venons  de  démontrer  est  d'ailleurs  une 
conséquence  immédiate  de  la  proposition  générale  du  n°  7. 

Ainsi,  une  fonction  elliptique  a  un  nombre  limité  de  pôles 
dans  un  parallélogramme  élémentaire,  tout  comme  une  fraction 
rationnelle  en  a  un  nombre  limité  dans  tout  le  plan. 

Nous  allons  donner  une  première  expression  analytique  des 
fonctions  elliptiques  mettant  en  évidence  ces  pôles  et  leurs  parties 
principales-,  cette  expression  jouera  le  même  rôle  que  la  formule 
de  décomposition  des  fractions  rationnelles  en  fractions  simples. 


22  CHAPITRE    II. 

Voici  comment  on  forme  la  fonction  qui  joue  dans  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques  le   même   rôle   que  la  fraction   simple 

dans  la  théorie  des  fractions  rationnelles. 


u  —  a 


21.  Fonctions  a',  t,  p,  Z,  H.  —  Nous  avons  rappelé  précédem- 
ment le  développement  en  produit  de  sinw 


n 


u 


mettant  en  évidence  les  zéros  :  o,  dzTr,  dz  2  7u  de  cette  fonction. 

Par  analogie  nous  allons  former  avec  M.  Weierstrass  une  fonc- 
tion régulière,  comme  le  sinus,  en  tous  les  points  à  distance  finie 
et  admettant  comme  zéros  le  point  ?/  =  o  et  tous  les  points 

/m  =  o.  ±  I,  =fc  2,  . . . 

\  /i  =  o,  ±  I,  ±:  2,  ... 

homologues  de  l'origine  dans  le  réseau  des   parallélogrammes. 
Posons,  pour  abréger, 

wp  =  2mw  -f-  inoi' , 
et  considérons  la  fonction  défîj?.(e  par  la  formule 

^^  (     m  =  O,    ±  I,    zfc  2.    .  .  .  ,    Zh  00    ■ 

(.3)  -»=«n'('-^)''^^"'''''^' 


Al  =  o,  rt=  I,  zîz  2,  .  .  .,  =t=  00 

W  =  '2  7?2  0)  -f-  2  71  to' 

(V  =  o  exclus 


dans  laquelle  il  faut,  pour  former  le  produit  infini,  attribuer  à 
la  quantité  w  toutes  les  valeurs  contenues  dans  l'expression 
2mto  +  2Aico',  à  l'exception  de  la  seule  valeur  o  qui  correspond  à 
m  =  /^  =  o. 

Quand  cette  exception  doit  être  observée  dans  un  produit  infini 
ou  dans  une  somme  infinie,  nous  le  rappelons  en  faisant  suivre 
d'un  accent  la  caractéristique  II  ou  S  du  produit  ou  de  la  somme. 
Actuellement,  nous  admettons  la  convergence  du  produit  (i3);  on 
en  trouvera  une  démonstration  dans  la  Note  II. 

La  fonction  <iu  ainsi  définie  s'annule  seulement  aux  points 
uz=.o  et  w  =  (ip  =:  2 /T^i (0 -h  2  7Z to' ;  cllcne  devient  jamais  infinie 


GÉNÉRALITÉS   SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  23 

pour  des  valeurs  finies  de  ii.  On  voit  que  cette  fonction  a  un 
zéro  simple  et  un  seul  dans  chaque  parallélogramme  élémentaire. 
Tous  ces  zéros  sont  des  points  homologues  du  réseau  de  parallé- 
logrammes. 

Cette  fonction  a"  est  impaire  comme  un  sinus 

3'( —  u)  =  —  j  ?«; 

en  effet,  comme  m  et  n  prennent  toutes  les  valeurs  de  — oc  à  +30, 
on  peut,  dans  l'expression  du  produit,  changer  m  et  n  de  signes 
sans  changer  ce  produit;  on  a  donc  aussi 


ni    II- 


n 


Mais  alors,  en  changeant  u  en  —  u  et  comparant  au  produit  (i  3), 
on  voit  que  a'( —  «)  =  — -iu. 

Enfin,  il  résulte  du  produit  infini  que  le  rapport  - —  tend  vers  i 

quand  u  tend  vers  zéro. 

De  même  que  l'on  déduit  la  fonction  colu  de  sin?^,  en  prenant 
la  dérivée  logarithmique,  nous  considérerons  la  fonction  obtenue 
en  prenant  la  dérivée  logarithmique  de  :ju 

(i4)        tu=  ■ — 7^ —  =  —  =  -  +> \ h  —    . 

^     '  du  :;  u        u      jmà  Lw — w        w        w- \ 

Nous  désignerons  pour  abréger  cette  nouvelle  fonction  par 
^(z^)  ou  ^u.  La  série  qui  définit  ^^u  est  analogue  à  celle  qui  dé- 
finit cotw.  Elle  montre  que  la  fonction  Ç^^  a  pour  pôles  simples 
tous  les  points  u  •=  o ^  u  ^  iiiKSi  ^  17Hù\  avec  le  résidu  4-  i .  En 
effet,  la  différence 


où  m  et  n  sont  des  entiers  déterminés,  est  régulière  au  point 
uz=  ijuLù  -\-  iniù'.  La  fonction  ^  a  donc  un  pôle  simple  de  ré- 
sidu 4-  i  dans  chaque  parallélogramme  élémentaire.  Il  en  est  de 
même  de  la  fonction  X^[u  —  «),  où  a  est  une  constante;  cette 
fonction  a  comme  seuls  points  singuliers  les  points  u  :=  a  et 
u^=  a-\-  2  77i(x>  -h  2/10)',  qui  sont  des  pôles  du  premier  ordre  de 


•24  CHAPITRE    H. 

résidu  -h  i  ;  il  j  a  un  de  ces  pôles  et  un  seul  dans  chaque  parallé- 
logramme. Ainsi  11=^  «est  un  pôle  et  la  différence  'C{u  —  a) 

est  régulière  au  point  u  =z  a. 

La  fonction  ^u  est  impaire  comme  la  cotangente;  on  peut  le 
vérifier  directement  ou  le  conclure  de  ce  que  du  étant  impaire,  sa 

dérivée  d' u  est  paire  et  le  quotient  ^  impair. 

Pour  étudier  les  propriétés  de  cette  fonction  prenons-en  la  dé- 
rivée et  appelons  pu  cette  dérivée  changée  de  signe 


(i5) 


cette  fonction  étant  la  dérivée  d'une  fonction  impaire  est  paire  : 
elle  a  pour  pôles  doubles  les  points  ?^  =  o,  w  =  2  /n  w  +  2  /i  w'  ;  la 

partie  principale  relative  à  l'un  de  ces  pôles  est r—  -, 

le  résidu   correspondant  est  ?iul.    Cette    fonction   pu   est  donc 

analoe^ue  à  la  fonction     .  ^     donnée  par 


d-  loir  sin  u 


sin2  u  dii^ 


La  fonction  p(u  —  a),  où  ?^  est  constant,  a  pour  pôles  doubles 
les  points  a  et  a  +  2mcL)  +  2/i(o';  la  partie  principale  relative  à 

un  de  ces  pôles  est —-.;  il  y  a  un  de  ces  pôles 

^  {u — a  —  'imixi — i/iM  y-         -^  i 

et  un  seul  dans  chaque  parallélogramme  élémentaire. 

Périodicité  de  pu.   —  La  fonction  pu  admet   les  deux  pé- 
riodes 2  0)  et  2  0)'. 

En  effet,  si  l'on  forme  la  différence  p  {u  -\-  2(x>)  —  pu^  on  a 

p(u-i-2bi)  —  pu=   , ;  -H  >       7 7, -„ 

_yj I \ )^ 

OÙ  la  dernière  somme  est  étendue  à  toutes  les  valeurs  de  m  et  n 
sans  exception.  Cette  dernière  somme  est  évidemment  nulle,  car, 
en  considérant  les  termes  qui  correspondent  à  une  même  valeur 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  25 

de  /?,  on  voit  qu'ils  se  détruisent  deux  à  deux.  On  a  donc 

(i6)  p{u-i-i(ii)  =  pu; 

de  même,  on  trouverait 

(l6')  p(u  ^  2(ij')  =p  II. 

Effet  de  V addition  des  périodes  à  l'argument  de  Zu.  —  In- 
tégrons ces  deux  dernières  relations  en  nous  rappelant  que  Tinté- 

grale  de  pu  est  —  - —  ou  —  ^u.  nous  aurons 

I   Ziu-h  ito')  =  lu  — 2r/. 

OÙ  7,  et  r/  désignent  deux  constantes  introduites  par  l'intégration. 
En  faisant  dans  ces  relations  u  ^=  —  w,  puis  u  ^=  —  to'.  on  a 

^(w)  =  ^( —  to)-T-2T,.  ^(^to'|  =  ^( —  to'  I  -(- 2r/, 

d'où  il  résulte,  puisque  Z  est  impaire, 

Vi8)  -^.  =  r(co),         r/=^((o'); 

ces  constantes  r,  et  r,'  sont  ainsi   exprimées  par  des  séries  con- 
vergentes. 

Notation  de  Jacobi  et  de  M.  Hermite.  —  Dans  la  notation  de 

M.  Weierstrass  c'est  celle  fonction  ^  ou  'l  qui  joue  le  même  rôle 

que  -  dans  la  théorie  des  fractions  rationnelles.  Dans  la  notation 

de  Jacobi,  légèrement  modifiée  par  M.  Hermite  {^Crelle,  t.  84), 
ce  rôle  est  joué  par  la  fonction  impaire 

(19)  Z(zo  =  r«— ^«, 

qui  ne  diffère  de  ^  que  par  un  terme  linéaire  en   u  choisi  de  telle 
façon  que  T-{u)  admette  la  période  2(0.  On  a,  en  effet, 

Z(z<-T-2to)  —  Z(m)=  Z.{u  -\-  ItM)  —  tu  —  2T,  =0, 
Z(M-r-2a))  =  Z(tt); 

puis 

Z ( w  -f-  2 co'  )  —  Z{u)  =  t{u  -\-  hm' )  —  tu '- —  > 


Z(z^ -i- 2w')  =  Z(w) —  -(t.co' — wt/). 


26  CHAPITRE    II. 

Dans  la  notation  de  M.  Weierstrass  les  deux  périodes  jouent 
donc  un  rôle  symétrique,  tandis  que  dans  celle  de  Jacobi  une  des 
périodes  joue  un  rôle  spécial. 

Nous  verrons  plus  loin   que  la  constante  r^o)' — wr/  n'est  pas 

nulle;  elle  a  pour  valeur  dz  —  où  il  faut  prendre  le  même  signe 

que  le  signe  du  coefficient  de  i  dans  le  rapport  —  • 
Pour  le  moment  nous  poserons 

(20)  r^w'—  wr/=  0. 

Alors  7j(u)  vérifie  les  deux  relations 

/   Z(z«  -h  ao))  —Z{u), 

^^'^  i  Z(u-{-'iio')  =  Z{ii)-  — . 

f  10 

La  fonction  'L(u),  ne  différant  de  ^u  que  par  un  terme  linéaire 
en  II,  a  les  mêmes  points  singuliers  et  les  mêmes  parties  princi- 
pales. 

Ainsi,  cette  fonction  7j(u)  a  pour  pôles  simples  de  résidus  +  i 
tous  les  points  w  =  o,  a  =  2  m io  -\-  2 tim' ',  il  y  a  un  de  ces  pôles 
dans  chaque  parallélogramme;  ils  sont  tous  homologues  de  l'ori- 
gine u:=  o  dans  le  réseau  des  parallélogrammes. 

La  fonction  7j(u  —  a)  a  pour  pôles  simples  de  résidu  +1  les 
points  a  =  a  et  u  =:  a -i- 2  m  (.0 -\- 2  ntû' ,  homologues  du  pointa 
dans  le  réseau  des  parallélogrammes.  Par  exemple,  dans  le  voisi- 
nage de  u  =  a,on  a  :  Z(^u — a) égale  fonction  régulière. 

Effet  de  V addition  des  périodes  à  V argument  de  <^u  et 
de  H(w).    —   Si  l'on  intègre  de  nouveau  les  formules  (17)  où 

^  '^' u 

Lu=  -—-•)  on  a 

IogG'(M-|-2w)   =z  \0^(j  U  A-   2Y)WH-l0gC, 

log  Cj{  w  4-  '2a»')  =  logo' a  -j-  317]' w  +  loge', 

loge  et  loge'  désignant  des  constantes  d'intégration.  En  passant 
des  logarithmes  aux  nombres,  il  vient 

c'  (  w  -h  •?.  w  )  =  ce2-/]"  j' it^ 
^{u  -\-  2to')  =  c' e'^'')! '^ ^ u . 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  27 

Dans  la  première  de  ces  formules  faisons  u=z  —  w  et  rappelons- 
nous  que,  (iii  étant  impaire,  on  a  a'( — 10)  =  —  dio.  Nous  trouverons 

La  seconde  relation  donne  de  même 

c'  =  —  e-n'^'. 
La  fonction  3*  vérifie  donc  les  deux  relations 


(22) 


(    3'(W  +  20J)    =— e2r,("+to}3'j<, 
(    3'(i^  +  2w')  =  — e2r/(«-^co')3'if. 

On  conclut  de  là,  par  l'application  répétée  de  ces  formules,  la 
valeur  de  d{u  -}-  2/?ito  -f-  2rnx>')  en  fonction  de  du,  m  et  n  dési- 
gnant des  entiers  positifs,  négatifs  ou  nuls.  Cherchons  d'abord 
l'expression  de  a'(w-|- aw -|- 2(0').  Changeant,  dans  la  seconde 
des  formules  ci-dessus,  u  en  ^^  +  20;  et  tenant  compte  de  la 
première,  on  a 

Mais,  comme  r,co' —  tor/  =  iii  —  ?  on  a 

(23)  3'(W  -f-  -2  10  +  OW')  =  —  e2(-rj+r/)«+W+a)';r;'ïf. 

On  vérifiera  de  même  que,  m  et  /i  étant  deux  entiers  quel- 
conques positifs  ou  négatifs,  on  a 

(24)  cr(«  -h  imto  +  2nco')  =  (_i)w«+w+«e2{mr,+«r/)Ui+mw+«a)')cr'i^. 

Dans  la  notation  de  Jacobi  on  remplace  la  fonction  (S*,  dont  la 

dérivée  logarithmique  est  'Cu,  par  une  fonction  H(?/)  {Jiétade  u)^ 

également  impaire,  ayant  pour  dérivée  logarithmique  Z(«)  [zêta 

de  II) 

H'di)       „.    ,        d'à       7] 
-77- — ■  —  Z  (  w  )  = ^  "• 


On  a  donc,  en  intégrant. 

log  ll(ii)  =  logdu —  w2-f-logp, 


'1 

2  tO 


logp  désignant  une  constante  d'intégration,  et,  par  suite, 
(25)  U(u)  =  pe   2to     ^u. 


28  CHAPITRE     II. 

Pour  déterminer   p,  divisons  les    deux    membres    de   la  rela- 
tion (25)  par  u  et  faisons  tendre  u  vers  zéro;   —  tend  vers  i 


— ^  vers  la  valeur  H'(o)  de  la  dérivée  -^  pour  u:=o.  On  a 
ainsi  p  =  H'(o)^  et  la  formule  (26)  devient  : 

H'(o)-" 

La  fonction  H|(?/)  admet  les  mêmes  zéros   que  du.  Elle  vérifie 
les  deux  relations 

(  \l{u-\-iL^')  =--  —  e    ">  n(w), 

où  8  désigne  comme  plus  haut  la  quantité  ïico' —  wTi'.  Ces  relations 
se  tirent,  soit  des  relations  que  vérifie  a*,  soit,  par  l'intégration,  de 
celles  que  vérifie  Z. 

En  effet,  intégrant  les  relations  (21),  on  a,  puisque  'L{u)  =  . , .   .  > 

logH(î*  +  2w)  =  log  H(«)  +  lop:c, 


log  H (  ?^  -4-  2  w' )  =  log  \l{u)  —  —u-\-  loge', 

OÙ  c  et  c'  sont  des  constantes.  On  en  déduit 

lliu-\-  110)  =  cï\{a), 

ll{ii-+-  iLù')  =  c'e     ">"ll(w). 

Faisant  dans  la  première  11  =  —  w,  on  a,  comme  H  est  impaire, 
c  =  —  1;    de    même,    faisant   dans    la    seconde    11  =  —  to',   on   a 

2  06)' 

c'  =  —  e     ^  .  On  a  bien  ainsi  les  formules  (26). 

22.  Remarque.  —  On  a  des  à  présent  des  exemples  de  fonctions 
elliptiques.  Ainsi  la  fonction  pu^  qui  n'a  que  des  pôles  à  distance 
finie  et  qui  admet  les  deux  périodes  2w  et  2w',  est  une  fonction 
elliptique;  il  en  est  de  même  de  ses  dérivées  p' u^  p" u,  .... 

Les  fonctions  a".  H,  Ç,  Z  ne  sont  pas  elliptiques,  car  elles  n'ad- 
mettent pas  les  deux  périodes  2to  et  20)'. 

Nous  allons  montrer  comment,  avec  les  seuls  éléments  analy- 


GÉNÉRALITKS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  29 

tiques  nouveaux  que  nous  venons  de  définir  et  qui  se  déduisent 
tous  de  du,  on  peut  exprimer  toutes  les  fonctions  elliptiques. 

23.  Cas  de  dégénérescence.  —  Lorsqu'une  des  périodes  aw 
ou  2co'  devient  infinie  les  fonctions  i  et  p  se  réduisent  à  des  fonc- 
tions connues.  Supposons,  par  exemple  to',  infini  et  prenons  la 
fonction  p.  Dans  la  série  qui  définit  p?/,  w  est  infini  dans  tous 
les  termes  où  figure  w',  c'est-à-dire  où  n  est  difl'érent  de  zéro. 
Tous  ces  termes  sont  donc  nuls  et  p{u)  se  réduit  à  la  fonction 

P  (  M,  <o'  =  X  )  =  — r  -t-    ^         ■ TT  —   ~' ^ — ^>      ' 

la  somme  S'  étant  étendue  aux  valeurs  positives  et  négatives  de 
l'entier  m,  zéro  exclu.  Comme  la  série  ^  -^  est  convergente  et 
a  pour  somme  '-^■>  on  a 

Mais  alors,  en  comparant  à  la  formule 

I         _      I  ^'  T 

sin2-  ~  T^~^  2d  {z  —  /n-y^' 


on  a  ^ 


il-  iz- 

(27)  p(«,co=x)  = 7  -i"  7 — ô 


11=  TT-^      1__ 

-a 
SU1-  — 


En  intéorrant  et  chan2:eant  les  signes,  on  a 


Ï3^" ^-^    ^'O' 


-  Zi 


(•28)  ;(«,c.j'=x)=  :,  ?i-f-  — cet  — , 

^         ''  ^>v      '  I2U)-  2W  2  0) 

sans  ajouter  de  constante,  car  'C,  est  impaire. 

Enfin,  intégrons   de  nouveau  et  passons  des   logarithmes  aux 

nombres;  il  vient 

-.^  "'   •    ~  ^' 
:f(ii,{0=yo)=ce'-*'^       sin > 

OÙ  c  est  une  constante  d'intégration.  Pour  la  déterminer,  divisons 
par  f^  et  faisons  tendre  u  vers  zéro,  en  nous  rappelant  que  —  tend 


30  CHAPITRE    II. 

vers  I .  On  a  alors  c  —  =  i  et  enfin 


20) 


On  voit  ainsi  que  l'analogie  avec  les  fonctions  trigonométriqiies 
devient  l'identité  quand  une  des  périodes  est  infinie. 

Supposons  que  les  périodes  soient  infinies  toutes  les  deux. 
Alors  dans  la  série  J3(w)  tous  les  ternies  sont  nuls,  sauf  le  pre- 
mier, et  l'on  a 

intégrant  et  changeant  les  signes,  on  a 

a"  _    i 

puis 


On  voit,  d'après  cela,  que  la  théorie  que  nous  allons  développer 
donnera,  comme  cas  particuliers,  les  formules  relatives  aux  fonc- 
tions trigonométriques  ou  aux  fonctions  rationnelles,  suivant  que 
l'on  j  supposera  une  période  infinie  ou  les  deux  périodes  infinies. 

II.  —    Premièriî    expression   des    fonctions    elliptiques.   Décomposition 

EN   ÉLÉMENTS   SIMPLES.    CONSÉQUENCES. 

24.  Cas  des  pôles  simples.  —  Soit/(;^)  une  fonction  elliptique 
ayant  les  pôles  a,  ^,  c,  .. .,  /  dans  un  parallélogramme  élémen- 
taire P,  ces  pôles  étant  d'abord  supposés  simples  et  les  résidus 
correspondants  étant  A,  B,   ...,  L.  Alors,  dans  le  voisinage  du 

point  a,  on  a 

A 

f(u)—  — h  fonction  résrulière, 

dans  le  voisinagre  de  b 


ige 


B 


f(ii)= ■+-  fonction  réerulière, 

•^  ^  Il  —  b  °  ' 


Formons  la  fonction 

'i'(u)  =  /iii)— 1^1(11  — a)— BZ{u  —  b)  —  ...-LZ{u  —  l). 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  3l 

Cette  fonctioQ  est  régulière  dans  le  parallélogramme  des  pé- 
riodes P,  car  dans  le  voisinage  de  u  =  «,  par  exemple,  on  a 

f(u)=  — 1- fonctiou  résruliére, 

''  ^    '       u  —  a 

2,(u  —  a)=  — --+- fonction  régulière, 

^  u  —  a  ° 

donc 

f{u) —  \Z{u  —  «)=  fonction  régulière, 

et,  de  plus,  toutes  les  autres  expressions  Z(f/  —  ^),  . ..,  Z(w  —  /) 
sont  régulières  au  point  a. 

D'ailleurs, /(w)  admettant  les  périodes  2  to  et  2co',  on  a,  d'après 
les  propriétés  de  Z(z/)  (éq.  21), 

D'après  ces  équations,  la  fonction  ^{u)  est  régulière  dans  tout 
le  plan  à  distance  finie,"  car  elle  est  régulière  dans  le  parallélo- 
gramme P,  et,  dans  les  autres  parallélogrammes,  elle  prend  des 
valeurs  qui  ne  diffèrent  que  par  une  constante  de  celles  qu'elle 
prend  dans  P. 

Nous  allons  démontrer  que  ^(w)  se  réduit  nécessairement  à  une 
constante.  En  effet,  la  dérivée  ^' {u)  est  régulière  dans  tout  le 
parallélogramme  P,  car  la  dérivée  d'une  fonction  régulière  est  une 
fonction  régulière;  de  plus  elle  admet  évidemment  les  deux  pé- 
riodes 2(0  et  2co',  comme  on  le  voit  en  différentiant  les  for- 
mules (3o). 

Cette  dérivée  ^' {u)  est  donc  constante,  comme  étant  une  fonc- 
tion régulière  avec  deux  périodes  (n"  19) 

*'(«)=  Ci; 
donc 

«ï>(«)=  Gi«  -h  Go, 

C,  et  Go  désignant  deux  constantes.  Mais,  comme  4>(z<  +  2to) 
doit  être  égal  à  ^{u)^  C,  doit  être  nul  et  <ï>(w)  se  réduit  à  une 
constante  Cq.  Ainsi  la  différence  appelée  ^(w)  est  constante.  On 
a  donc  la  formule 

(3i)       /(zO=Go-+-AZ(s-«j-h  BZ^^-6.)  +  ...-f-LZ(;;  — /), 


32  CHAPITRE     II. 

due  à  M.  Hermite  et  appelée  formule  de  décomposition  en  élé- 
ments simples.  Cette  formule  est  analogue  à  la  formule  de  dé- 
composition d'une  fraction  rationnelle  en  fractions  simples. 

2o.  La  somme  des  résidus  d'une  fonction  elliptique  en  tous  les 
pôles  situés  dans  un  parallélogramme  des  périodes  est  nulle.  —  En 
effet,  nous  venons  d'appeler  A,  B,  ...,  L  les  résidus  relatifs  aux 
pôles  situés  dans  un  parallélogramme  des  périodes;  nous  avons 
trouvé  que  ^{u)  est  une  constante  :  alors  on  a  évidemment 
^(^u-{-  2Lù') — <I>(;^)=o.  On  a  donc  d'après  la  deuxième  for- 
mule (3o),  puisque  o  est  différent  de  zéro, 

(32)  A-t-B +...+ L  =  o. 

Le  théorème  est  donc  démontré. 

Ainsi,  toute  fonction  elliptique  n'ayant  que  des  pôles  simples 
peut  se  mettre  sous  la  forme  (3i),  où  les  constantes  A,  B,  . .  .,  L 
ont  une  somme  nulle. 

Inversement  toute  fonction  définie  par  une  expression  de  la 
forme  (3i),  où  les  constantes  A,  B,  ...,  L  ont  une  somme  nulle,  est 
une  fonction  elliptique  :  en  effet,  cette  fonction  n'a  d'autres  sin- 
gularités à  distance  finie  que  des  pôles  simples  et,  d'après  les  pro- 
priétés de  la  fonction  Z,  on  a 


f^u-i-2iM)—f(a) 


20 


/{a  +  20)')— /(?0  = (A  4-  B  -I-.  .  .+  L) 


w 


26.  Formule  de  décomposition  en  éléments  simples  dans  le  cas 
où  certains  pôles  sont  multiples.  —  Nous  avons,  pour  plus  de  sim- 
plicité, supposé  d'abord  que  la  fonction  elliptique  considérée 
n'avait  dans  un  parallélogramme  élémentaire  que  des  pôles 
simples.  Le  cas  où  la  fonction  posséderait  des  pôles  multiples 
peut  être  regardé  comme  un  cas  limite  du  précédent  :  il  suffit  de 
supposer  que  plusieurs  des  pôles  simples  viennent  à  coïncider. 

Mais  nous  traiterons  ce  cas  directement,  par  la  même  méthode 
que  le  précédent.  Nous  obtiendrons  ainsi  l'expression  la  plus  gé- 
nérale des  fonctions  elliptiques  et  cela  encore  avec  le  seul  élément 
analytique  7j(u)  et  ses  dérivées. 


GENERALITES    SLR     LES     FONCTIONS     ELLIPTIQUES.  33 

Soient  «,  6,  . .  .,  /  les  pôles  de  la  fonction  /(w)  dans  un  paral- 
lélogramme élémentaire  et 

9l(.W)~ r- H -i-  _u  -^     ' 

,    .  B  Bi  B3-1 

u-b         (u  —  b)^  {U  —  b)? 


les  parties  principales  correspondantes.  La  différence 

^{u)=/{u)-\kZ{u  -  a)-  X,2.'  {it  -  a  )-^  ^^.Z"  {u  —  a)-^ 

-\^Z{u-b)~^a'{ii-b)+  ~Z"iu^b)-^     . 
L  1.2 

-f-(_  ,  ,?-!  ~^'4 Z^^-v^u  -  h  .1 

I  .  -2  .  .  .  jj  —  I  ^  J 


est  encore  une  constante;   en  effet,   dans  le  voisina^^e  de  u^=a 
par  exemple,  on  a 

Z{u  —  a)=  — — —  H- fonction  régulière, 
Z'{u  —  <7 )  =:  —  - — — — -  4-  fonction  régulière, 
Z"{u  —  a)=       ' -h  fonction  régulière, 

Z^-i^(m_«)=  (_  ,)a-i  ''^^y^^^~"  +  fonction  régulière. 

Donc 

AZ(u  —  a)  —  Ai  'L'iu  —  a)-^  ~^Z"{u  —  a)-h .  .. 

1.2  ^ 

"^  i.2...a  —  1  ^^~'' ("  —  «)=  ?i(w)  4- fonction  régulière. 

Gomme  dans  le  voisinage  de  u  =  a,  on  a  aussi,  par  hypothèse, 

f(^u)=  oi(u)^  fonction  régulière, 

on  voit  que  ^{ii)  est  régulière  au  point  a;  il  en  est  de   même  des 
A.  ET  L.  3 


34  CHAPITRE    II. 

autres  pôles.  D'ailleurs  on  a,  d'après  les  propriétés  des  fonctions  Z. 


car  les  fonctions  Z'{u),  TJ' {u)  sont  doublement  périodiques.  On 
verra,  comme  plus  haut,  que  la  fonction  régulière  ^  est  constante 
et  que,  par  suite,  la  somme  des  résidus  A  +  B  + . .  .  +  L  e5^  nulle. 
L'expression  générale  d'une  fonction  elliptique  est  donc 

H -Z  {u  —  a)'r-... 


1  .'2 


_4_(_  i)a-i :^Z' Z(a-i'  (  u  —  a  )] 

^        ^         I  .:>....  a  —  I  J 


la  somme  S  étant  étendue  à  tous  les  pôles  situés  dans  un  parallé- 
logramme, avec  la  condition 
(32)  A  +  B  +  ...+  L  =  o. 

Ainsi,  de  même  que  toute  fonction  rationnelle  est  une  combinaison 
linéaire  à  coefficients  constants  de  termes  de  la  forme 

T  T  1 


a  —  a        {u  —  ay^  (u  —  a)^ 

avec  la  convention  que  u  —  œ=  -,  toute  fonction  elliptique  est, 
à  une  constante  additive  près,  une  combinaison  linéaire,  à  coef- 
ficients constants  de  termes  de  la  forme 

Z{ii  —  a),     Z'{u  —  a),      ...,     Z(ûi-i'(?i  — a), 

avec  la  condition  que  la  somme  des  résidus  [coefficients  des  termes 

tels  que  Z(«  —  a)]  est  nulle. 

Inversement  toute  fonction /(?^),  définie  par  une  expression  de 

la  forme  (33),  où 

A  +  B+.-.-f-L  =  0, 

est  une  fonction  elliptique,  car  on  vérifie  immédiatement  les  re- 
lations 

f{u^1(xj)  —f(u)=0, 

■\ 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  35 

!27.  Formule  de  décomposition  en  éléments  simples  avec  les 
notations  de  M.  Weierstrass.  —  La  formule  (33)  que  nous  venons 
d'établir  peut  s'écrire  comme  il  suit.  Nous  avons  posé 

T 

Z(  u)  =  tu u. 

Donc,  en  différentiant  et  se  reportant  à  la  définition  de  pu 
comme  la  dérivée  changée  de  signe  de  ^ 

Z'(u)  =  —  pu -f 

Z' (u)  =  —  p'  u, 

Faisant  ce  changement  de  notations,  on  a  la  formule 

^  /(?«)  =  Do+^    A^(z«  — «)  -h  .\ip(u  —  a)—j^p'{u  —  a)—... 

(  ^^--)^"i...:.iâ-.)^""^^^-"T 

OÙ  Do  désigne  une  nouvelle  constante  et  où  la  somme  2  est  encore 
étendue  à  tous  les  pôles  situés  dans  un  même  parallélogramme 
des  périodes.  Les  termes  linéaires  en  u  qui  semblent  s'introduire 

quand  on  remplace  'Zj(ii)  par  ^ii '  u,   disparaissent,   car  leur 

coefficient  est  —  -  (  V-i-  B  +.  .  .  +  L),  c'est-à-dire  o. 


28.  Remarques.  —  Dans  ces  formules  de  décomposition  nous 
avons  supposé  les  pôles  a,  b,  .  .  .[  l  situés  dans  un  même  parallé- 
logramme. Cette  restriction  est  inutile  en  ce  sens  qu'on  peut 
toujours  remplacer  chacun  des  pôles  par  un  point  homologue. 

Ainsi  soit 

rt'  =  a  -^  innù  -^  in co' 

un  point  homologue  de  a,  on  a 

Z ( w  —  a )  =  Ziu  —  a'-i-  -2 «uo  -h  •>. n  w'), 
=^Z(u  —  a  )  —  n 


36  CHAPITRE    II. 

Remplaçant  Z(î/  —  a)  par  cette  valeur,  on  voit  que  la  formule 
reste  la  même.  La  seule  valeur  de  la  constante  Go  est  modifiée. 

Une  autre  remarque  est  celle-ci.  Quand  on  fait  choix  d'un 
parallélogramme  élémentaire  P  de  sommets 

Uq^       «0+210,        ?/o+2Co',        Wq-H  2W  -h  20/, 

il  peut  arriver  qu'il  y  ait  des  pôles  tels  que  a,  par  exemple,  sur 
un  côté  et,  par  suite,  d'autres  pôles  tels  que  a  +  2to'  sur  le  côté 
opposé.  On  peut  être  embarrassé  pour  savoir  quels  sont  ceux  de 
ces  pôles  qu'il  faut  regarder  comme  étant  dans  le  parallélogramme. 
Alors  on  remplacera  le  parallélogramme  P  par  un  autre  tracé  en 

Fig.  3. 


pointillé,  obtenu  en  déplaçant  infiniment  peu  le  point  u^  en  Vq  de 
façon  à  éviter  qu'il  y  ait  des  pôles  sur  les  côtés.  La  même  re- 
marque sera  utile  plus  loin  pour  le  cas  où  il  y  aurait  des  zéros  sur 
des  côtés. 

29.  Règle  pratique  pour  la  décomposition  d'une  fonction  ellip- 
tique/(w)  en  éléments  simples.  —  Il  faut  tout  d'abord  déterminer 
les  pôles  de  cette  fonction  dans  un  parallélogramme  des  périodes, 
arbitrairement  choisi  d'ailleurs;  soient  a,  ^,  .  .  .,  /  ces  points. 

Il  faut  ensuite  déterminer  la  partie  principale  de  f{u)  relative 
à  chacun  de  ces  pôles.  Supposons,  par  exemple,  que  le  pôle  u^=^a 
soit  d'ordre  a  :  alors  le  produit 

est  régulier  et  différent  de  zéro  pour  u  =  a.  Si  donc  on  déve- 
loppe ce  produit,  par  la  formule  de  Taylor,  dans  le  voisinage 
de  w  =  a, 

^{u)  =  Aa-i  +  Aa-o (?/  —  «)  +  Aa-3(^^  —  «)--!-.  .  . 
g{u)  étant  une  série  entière  en  [u  —  a),  on  a,  en  égalant  ce  dé- 


GÉXKRALITÉS     SUR     LES     FONCTIONS     ELLIPTIQUES.  87 

veloppement  à  (a  —  a)^/(u)  et  divisant  par  (u  —  a)^,  le  déve- 
loppement 

qui  met  en  évidence  la  partie  principale  cherchée.  On  peut  alors 
écrire  la  formule  de  décomposition,  quand  on  a  fait  ce  calcul  pour 
chacun  des  pôles  situés  dans  le  parallélogramme  choisi.  D'après 
une  remarque  que  nous  avons  faite,  on  peut,  dans  ces  calculs 
comme  dans  la  formule  finale  de  décomposition,  remplacer  chacun 
des  pôles  tels  que  a  par  un  point  homologue  a  -]-  2m<x>  -\-  ithù'. 
La  principale  difficulté  pour  la  décomposition  en  éléments 
simples  est  la  détermination  des  pôles  a^  b,  .  .  .,  /,  de  même  que 
pour  la  décomposition  d'une  fraction  rationnelle,  la  principale 
difficulté  est  de  trouver  les  racines  du  dénominateur.  Nous  re- 
viendrons sur  ce  point  au  n''  oO. 

30.  Il  ne  peut  pas  exister  de  fonctions  elliptiques  ayant  dans  un 
parallélogramme  un  seul  pôle,  si  ce  pôle  est  du  premier  ordre.  — 
En  effet,  si  la  fonction  f{u)  n'avait  qu'un  pôle  simple  a  de  ré- 
sidu A,  la  formule  précédente  (3i)  donnant/(w)  ne  contiendrait 
qu'un  terme  XTj[ii  —  a).  Mais  la  somme  des  résidus  étant  nulle, 
on  aurait  A  =  o  et  f{u)  =  Cq.  La  fonction  serait  donc  une  con- 
stante et  n'aurait  pas  de  pôle. 

Mais  il  existe  des  fonctions  elliptiques  ayant  dans  un  parallélo- 
gramme deux  pôles  seulement,  simples  tous  deux,  u  =  a  elu  =  b. 
En  effet,  dans  cette  hypothèse,  la  formule  (3i)  comprend  deux 
termes  et  l'on  a  A  -h  B  =  o  ;  la  fonction  f{u)  est  alors 

f{ii)  =  Co-h  A.[Z(ii  —  a)  —  Z{ii  —  b )]. 

Il  existe  aussi  des  fonctions  elliptiques  ayant  dans  un  parallélo- 
gramme élémentaire  un  seul  pôle,  pourvu  qu'il  soit  d'ordre  supé- 
rieur au  premier;  le  résidu  relatif  à  ce  pôle  est  nul.  C'est  ce  qui 
a  lieu,  par  exemple,  pour  pu  qui  admet  l'origine  et  les  points 
homologues  comme  pôles  doubles  de  résidus  nuls. 

D'une  manière  générale,  les  dérivées  et  les  puissances  positives 
de  pu  sont  des  fonctions  elliptiques  ayant  dans  chaque  parallélo- 


38  CHAPITRE    II. 

gramme  un  seul  pôle  homologae  du  point  u  =  o',  ce  pôle  est 
d'ordre  supérieur  à  i  et  le  résidu  correspondant  est  nul. 

31.   Exemple.  Décomposition  de  p^u  en  éléments  simples.  —  La 
série  qui  définit  pu  montre  que,  dans  le  voisinage  de  w=  o,  on  a 

G(u)  étant  une  fonction  régulière  au  point  o  définie  par  la  série 

Gomme  G{u)  est  paire  et  s'annule  manifestement  pour  u  =  o^ 
on  a,  en  développant  cette  fonction  en  série  de  puissances  dans  le 
voisinage  de  u  =  o, 

G(ii)  =  ^u^-^^u'^-i-..., 


OÙ,  conformément  aux  notations  de  M.  Weierstrass,  nous  appe- 
lons —  et  ^  les  deux  premiers  coefficients 
20       28  ^ 

(36)  ^^=3y'A.    ^'  =  5y'-i-r 

^      ^  20  .^  w*  28  .^  w^ 


Ces  expressions  de  g2  et  ^3  s'obtiennent  immédiatement  en 
développant  chaque  terme  de  la  série  (35)  suivant  les  puissances 
ascendantes  de  11^  par  la  formule 

T  T         2  w       3  m'2       4  u^       5  u'* 

{u — w  y^         w^         w^  w'*  w°  w^ 

puis  en  ordonnant  la  somme  par  rapport  aux  puissances  ascen- 
dantes de  u. 

On  a  donc,  dans  le  voisinage  de  u  =  o, 

37)  p?i=    ---4-   ^'w2+^j^i_^.. 

^  ^  "^  W2  20  28 


et  en  élevant  au  carré 


u*        10        14 


Considérons   un   parallélogramme  des   périodes    entourant   le 


GÉNÉRALITÉS    SI  H     LES    FONCTIONS     ELLIPTIQUES.  89 

point  ;^  =  o;  dans  ce  parallélogramme  p- u  a,  comme  seul  pôle, 
uz=zo'^  ce  pôle  est  d'ordre  4  et  la  partie  principale  correspon- 
dante est  —  1  d'après  le  développement  ci-dessiis.  Dans  la  formule 

de  décomposition  en  éléments  simples  (34)  il  faudrait  donc 
prendre  un  seul  pôle  a  =  o.  puis  a  =  4,  A  =  A,  =  Ao  =  o, 
A3=  I .  On  a  alors 

Dq  désignant  une  constante. 

Il  est   d'ailleurs  aisé   de   vérifier   directement    cette   formule. 
D'après  le  développement  de  pu  on  a,  en  dilTérentiant, 


Donc  la  différence 


est  régulière  au    point  ;/ =:  o,   car,   dans  le  second  membre  les 

termes  en  -  disparaissent.  La  fonction  ^{u)  est  donc  régulière 

dans  tout  le  parallélogramme  élémentaire  considéré  (contenant 
l'origine),  et,  comme  elle  admet  les  deux  périodes  2to  et  2w',  elle 
est  égale  à  une  constante  Dq. 

La  formule  (38)  est  ainsi  vérifiée.  Pour  déterminer  la  constante, 
on  donnera  à  u  une  valeur  particulière.  D'après  les  développe- 
ments de  p-  et  de  p",  on  a,  dans  le  voisinage  de  u  =  o, 

Do  =  P^«-^p"«  =  f^+..., 
d'où  en  faisant  u  =  o,  Do=  — •  On  a  ainsi  la  formule 

12 

(39)  p-w=  ^P""~^  7^* 

On  formera  de  même,  à  titre  d'exercice,  les  expressions  de 
p^  Uj  p"*  «,   ...  en  fonctions  linéaires  de  p,  p',  J^'^  .  .  .  par  la  for- 


11^            lO 

7 

^  ^    Sj. 
u'*     '       10 

7 

*(w)  =  p2z/ 

-s^"« 

40  CHAPITRE    II. 

mule  de  décomposition  en  éléments  simples.  Ces  expressions  se 
tirent  aussi  des  formules  obtenues  en  différentiant  la  relation  (Sg) 
un  nombre  quelconque  de  fois  et  tenant  compte  de  la  relation  que 
nous  allons  établir  entre  p  et  p'. 

32.  Relation  algébrique  entre  pu  et  sa  dérivée  p'u.  —  Multi- 
plions les  deux  membres  de  la  relation  (Sg)  par  p'  u  et  intégrons 
par  rapport  à  u,  nous  obtiendrons  une  formule  qu'on  peut  écrire 

où  G  désigne  une  constante. 

Pour  déterminer  cette  constante,  on  remplacera  encore  p,  p' 
par  leurs  développements  en  série  donnés  plus  haut  :  on  vérifiera 

que  les  termes  en  -  disparaissent,  et  en  faisant  ensuite  u  =  o,  on 

trouvera  G  =  —  ^3.  On  a  donc  la  relation 

(40)  p'2=4j33—    -2p  — ^^3, 

algébrique  en  p  et  p' . 

Cette  formule  donne  la  dérivée  de  la  fonction  inverse  de  pu. 

Faisons 

p{u)  =  z, 

d'où  l'on  tire,  en  imaginant  l'équation  résolue  par  rapport  à  u, 

u  =  argp^, 

c'est-à-dire  u  égale  l'argument  dont  le  p  est  ::;.  La  formule  (4o) 
donne  alors 

(5-3'  =  ^"'-^^^-^- 

du  _  I 

dz  sl\z^—  g,z  —  g-i 

La  dérivée  de  u  par  rapport  à  z  est  donc  algébrique  en  :?,  tout 
comme  la  dérivée  de  arc  sin^. 

Comme  z  est  infini  quand  u  est  nul,  on  a 


(40  u=±. 


/^*  dz 

J^      sj\z-^~g._z- 

formule  permettant  de  calculer  u  en  fonction  de  z. 


GENERALITES    SIR     LES     FONCTIONS     ELLIPTIQUES.  4I 

33.  Développements  en  séries  de  puissances  de  pu,  ^u,  -iu.  — 
Les  constantes  «-o  et  g^  s'appellent  les  deux  invariants.  Ces 
constantes  étant  connues,  on  a,  comme  il  suit,  les  développements 
en  séries  de  jd,  "Ç,  ^. 

Faisons,  dans  le  voisinage  de  u  =  o, 

(42)  pz*  =    —   —  ^  -h  C.U'-^  C^U'*-^..  .-^CXW2).-2_^. 

'  U- 

Les  deux  premiers  coefficients  sont 

Les  suivants  se  calculent  facilement  par  voie  récurrente  en 
substituant  le  développement  de  J3  dans  l'équation 


et  identifiant  les  deux  membres.  On  trouve  ainsi,  pour  X  plus  grand 
que  3,  la  formule  récurrente 

(44)      ^^=,,x  +  oa-^)Z"-''-^       (v  =  2.3,...,X-.), 

qui  montre  que  tous  les  coefficients  sont  des  polynômes  en  g.^  ^^g-^- 
Ainsi 

Le  développement  de  '^ji  pour  de  petites  valeurs  de  u  se 
tire  immédiatement  du  précédent  par  une  intégration,  puisque 
'^,u^=-  —  /  J3  u  du  ;  on  a  donc 

(46)  lll=-^^—\^C.lL^—-^CiU-^..., 

sans  ajouter  de  constante,  car  Çw  est  une  fonction  impaire.  Les 
coefficients  de  ce  développement  sont  aussi  des  polynômes  en  g-i 

et  ^3. 

Les  deux  développements  de  p  et  i^  convergent  dans  le  cercle 
avant  pour  centre  l'origine  et  ne  contenant  dans  son  intérieur 
aucun  point  homologue  de  l'origine. 


42  CHAPITRE    II. 

Du  développement  de  Ç  on  déduit  celui  de  d  puisque 

=   LU. 

^u         ^ 

Intégrant  et  passant  des  logarithmes  aux  nombres,  on  a 

sans  mettre  de  constante  en  facteur,  car  —  tend  vers  i  quand  u 

tend  vers  zéro.  Il  ne  reste  plus  qu'à  développer  l'exponentielle  en 
série  et  l'on  a  le  développement  de  du.  On  voit  que  les  coeffi- 
cients de  ce  développement  sont  aussi  des  polynômes  entiers 
en  g2  et  ^-3.  Voici  les  premiers  termes  du  développement 

(47)    ^u  =  u^-       ^'-''"  ^■'"'  ^'^'  -"-^^"'' 


-2^3.5       '2'^  3.5.7       29.32.5.7       '27.3-'2.52.7.ii 

On  trouvera  ce  développement  poussé  jusqu'à  «^^  dans  les 
feuilles  de  M.  Schwarz  {^Formules  et  propositions  pour  V emploi 
des  fonctions  elliptiques).  Puisque  du  est  une  fonction  entière 
comme  sinj^,  régulière  dans  tout  le  plan,  ce  développement  de  du 
est  convergent  pour  toutes  les  valeurs  de  u.  Ce  développement  est 
commode  pour  le  calcul  des  valeurs  numériques  de  du^  d' u.^  d"  u 
et,  par  suite,  de  Ç  et  p  qui  s'expriment  rationnellement  à  l'aide 
des  dérivées  de  d 

^  cf'  Il  ^,  a"*-  a  —  a'ii  j'"  u 

LU  = 1  pu  =  —  l  U  =  ■ — ■ ^ • 

34.  Inversion  dans  les  notations  de  M.  Weierstrass.  —  D'après 
ces  propriétés,  si  l'on  a  une  équation  de  la  forme 

(48)  u  =  r  --=j' 

où  g2  et  ^3  sont  des  constantes  données,  on  en  conclut 


^  =  p  W  = 


c^-^u 


z  est  donc  exprimé  en  fonction  uniforme  de  w,  et  l'on  peut,  à  l'aide 
des  séries  précédentes,  calculer  la  valeur  de  z  correspondant  à  une 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  4^ 

valeur  de  «;  mais  ces  séries  ont  le  défaut  de  ne  mettre  aucune  pé- 
riodicité en  évidence.  On  a  ainsi  une  solution  du  problème  de 
l'inversion  de  l'intégrale  (48)-  Les  constantes  g2  et  g^  peuvent 
avoir  des  valeurs  quelconques,  car  l'équation 

est  vérifiée  identiquement  par  les  développements  en  série  ci- 
dessus,  quels  que  soient  g^  et  «-3. 

Nous  verrons  plus  loin  comment,  gn  et  ^3   étant  donnés,  on 
peut  calculer  un  couple  de  périodes  aw  et  aw'. 

35.   Intégration  d'une  fonction  elliptique.  —  Pour  calculer  l'in- 
tégrale 

I  /(u)  du 

d'une  fonction  elliptique  f{u),  on  fait  comme  pour  les  fonctions 
rationnelles  :  on  décompose  /(«)  en  éléments  simples  et  l'on  in- 
lègre  terme  à  terme.  Ainsi,  dans  les  notations  de  M.  Weierslrass, 
f{u)  peut  se  mettre  sous  la  forme  (34).  En  intégrant,  on  a 

I  f{u)du=  const.  4-  Dow-f-^    A.  Ioga'(«A  —  a)  —  Al  ^(w  —  a) 

p{u  —  «)+... 


-(-I) 


a-i 


:ï^^t^'^'^-^'(»-^ 


Par  exemple,  la  formule  de  décomposition  établie   pour  p- 1/ 
(n«  31)  donne 

(49)  j  p^udu  =  -p' ii-i- —u-^coml. 

36.  Homogénéité.  —  Pour  indiquer  les  valeurs  des  périodes  ou 
des  invariants,  M.  Weierstrass  emploie  les  notations  suivantes 

c^u  =  ■:f{u\M,  w')  =  ^{u;  ^2,  ^3), 
pu  =  p{u\oj,  w')  =  p{u;  g2,  ^3). 

D'après  le  produit  qui  définit  du,  il  est  évident  que  si  Ton 
multiplie  w,  co'  et  u  par  un  même  facteur  tx,  —  ne  change  pas  et 


44  CHAPITRE    II. 

l'on  a 

(5o)  cfdjLulixM,  ixm')  =  ixa'(u\oi^  lo'). 

DifTérentiant  par  rapport  à  u^  on  a 

(5i)  a''([t.u[iioj,  ixiû')  =  (^'{uloj.ijj'). 

Donc 

(52)  Ç([awl[aw,  [j.co')  =  -Ç(w]to,  w'). 

DifTérentiant  encore  par  rapport  à  u 

(53)  p(ixii\ixM,  ixoi')  =  -lp(î^l6),  o/), 

ce  qu'on  vérifie  d'ailleurs  immédiatement  sur  Ja  série  donnant  p. 
D'après  les   expressions   de  g2   et   ^3  par  des  séries  doubles 

(n«31) 

quand  on  remplace  to  et  to'  par  |jl(i)  et  [jlw',  çv  est  remplacé  par  aw 
et  ^2  et  0-3  par  ^  et  ^-  On  a  donc  aussi 

(54)  '      ^         ^      '    ^ 

0.3 
L'expression  ^  est  une  fonction  de  w  et  to'  qui  ne  change  pas 

quand  on  multiplie  w  et  to'  par  un  même  facteur  arbitraire  [jl;  c'est 
une  fonction  du  seul  rapport  des  périodes. 

37.   Cas  de  dégénérescence.  —  Quand  une  des  périodes  est  in- 
finie, iù'  par  exemple,  on  a 

^2=22.3.5  V     ,    \     ,>         ^3=  22.5.7  V     ,\çy 

et  comme  on  a  (n°  15) 

'^'  I    _    7:^  V'   *    _    '^'^^ 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  45 

il  vient 

I    /    7r2    \2  I     /    Tr2    N  3 

Donc  on  a,  dans  ce  cas, 

^2  —  ^7^5  =  0. 

Le  polynôme  4^^  — ^2^  — ^3  a  alors  une  racine  double,  et 
l'intégrale 

J  y/4  ^3  _  ^,  3  _  ^3 

peut  s'exprimer  par  des  fonctions  circulaires,  comme  il  était 
prévu  d'après  les  formules  du  n°  23.  En  calculant  cette  intégrale 
élémentaire,  on  retrouverait  ainsi  d'une  autre  manière  les  for- 
mules du  n*'  23  (voyez  l'exercice  1,  p.  62). 

Quand  les  deux  périodes  to  et  to'  sont  infinies,  on  a  ^\,=  0.3=3  o 
et  le  pohnome  sous  le  radical  a  une  racine  triple.  L'intégrale 
devient  alors 

qui  donne  immédiatement 


III.  —  Deuxième  forme  des  fonctions  elliptiques.  Décomposition 
EN  facteurs.  Conséquences. 

38.  Décomposition  en  facteurs.  —  Nous  allons  indiquer  main- 
tenant une  deuxième  forme  sous  laquelle  on  peut  mettre  toute 
fonction  elliptique y*(w)  et  qui  est  analogue  à  la  forme  d'une  frac- 
tion rationnelle  dont  le  numérateur  et  le  dénominateur  seraient 
décomposés  en  facteurs  du  premier  degré. 

Cette  nouvelle  forme  résulte  immédiatement  des  théorèmes  pré- 
cédents appliqués  à  la  fonction  ^ — -• 

Remarquons  d'abord  qu'une  fonction  elliptique  a  nécessaire- 
ment un  nombre  limité  de  zéros  dans  un  parallélogramme  des  pé- 
riodes. Car,  si  elle  en  avait  une  infinité,  il  existerait  à  l'intérieur 
du  parallélogramme  au  moins  un  point  a  dans  le  voisinage  duquel 


46  CIlAPITRIi:    II. 

il  y  aurait  une  infinité  de  zéros;  c'est  ce  qu'on  verrait  comme  on 
l'a  fait  au  n°  20  pour  les  pôles.  Mais  cela  est  impossible,  car,  la 
fonction /(m)  n'ayant  à  distance  finie  d'autres  singularités  que  des 
pôles,  ses  zéros  sont  nécessairement  isolés  (n°  7). 

Gela  posé,  soit  une  fonction  elliptique  f{u)  ayant,  dans  un  pa- 
rallélogramme des  périodes,  les  pôles  ou  infinis  simples  «i, 
«25  •  •  •  j  <^r  au  nombre  de  r  et  les  zéros  simples  b^^  b^-,  .  .  .  ^  bs  au 

nombre  de  s.  La  fonction  -^- — ^  est  une  fonction  elliptique  régu- 

lière  partout  où/(w)  n'est  ni  nul  ni  infini.  Un  zéro  simple  àe  f(ii) 

est  pour  ^.- — ?  un  pôle   simple  de  résidu   i,   et  un  pôle  simple 

de  f{u)  est  pour  •— — -  un  pôle  simple  de  résidu  —  i  (n"  3). 

On  a  donc,  d'après  la  formule  de  décomposition  en  éléments 
simples, 

(55)  (   -^ 

1  a'  C7'  a' 

—  —  {u  —  a^)  —  ~-  {u  —  a^)  — .  :  .  —  —  {u—  a,.), 

OÙ  —  est  la  fonction  'C.  En  outre,  la  somme  des  résidus  de  ^-t- — -  re- 
latifs  à  tous  les  pôles  devant  être  nulle,  on  a 

s  —  /■  =  o. 

Donc  :  Dans  un  parallélogramme  élémentaire  le  nombre 
des  zéros  d' une  fonction  elliptique  est  égal  au  nombre  des  in- 
finis. Ce  nombre  se  nomme  ordre  de  la  fonction  elliptique; 
nous  reviendrons  plus  loin  sur  cette  définition  de  l'ordre. 

D'après  ce  théorème,  faisons  s=^  r  dans  la  formule  (55)  et  in- 
tégrons terme  à  terme,  puis  passons  des  logarithmes  aux  nombres; 
nous  aurons  la  formule  cherchée 

(56)  /(„)  =  „,.„*<«-*.)^(«-ft0...a'(»-i.) 


(^{11  —  Cil)  (^ {il  —  a^).  .  .a'{u  —  Ur) 


où  a  est  une  nouvelle  constante.  Cette  formule  met  en  évidence 
les  zéros  et  les  infinis  de  f[u). 

Si  la  fonction /(?^)  a  des  zéros  ou  des  pôles  multiples,  la  même 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  47 

formule  s'applique;  il  suffît  de  supposer  que  plusieurs  des  points 
^,,60,  ...  sont  confondus  en  un  seul,  ou  plusieurs  despoinls  a,, 

«2, 

Dans  la  démonstration  nous  avons  supposé  que  les  points  a,, 
«27  •  •  •  ;  cir\  ^15  ^i-i  '  '  •  f  br  sont  situés  dans  un  même  parallélo- 
gramme. En  modifiant  convenablement  les  valeurs  des  con- 
stantes c  et  a  on  peut  remplacer  un  ou  plusieurs  points  a^  ou  b^ 
par  des  points  homologues.  Par  exemple,  considérons  le  point 


a,  =  (2|  -r-  20», 


homologue  de  «,.   En   remplaçant  dans  la  formule  (22)  a,  par 
a\  —  2(jj,  on  a 

a'(u  —  ai)  =  a'di  ~a\-]-  210)  =  —  e2r,(M-a;-f-œ)  a'{u  —  a\), 
et,  par  suite 

/(u)  =  a'ec-u  ^(t^-br)^(^^-b,)...^(u  —  br) 
avec 


c' =1  c  —  2T,,         a'=  —  ae2rj(a',-w). 

39.  Théorème  de  Liouville.  —  Si  Von  considère  les  zéros  et 
les  infinis  d^une  fonction  elliptique  situés  dans  un  parallélo- 
gramme des  périodes,  la  somme  des  zéros  ne  diffère  de  la 
somme  des  infinis  cjue  par  des  multiples  des  périodes. 

On  démontre  immédiatement  ce  théorème  en  écrivant  que  la 
fonction  f{u)  sous  la  forme  (56)  admet  les  deux  périodes  2(o 
et  2co'.  Gomme  on  a 

^'(fi—  a^  210)  =  —  eSr.lK-a+o))  j'(m  — a), 
on  voit  que  le  rapport  - — -. — —  est  égal  a 

g2cto-!-2r/a,+a3+...+ar— A,— /'j— ...— 6r.\ 

Ce  rapport  devant  être  l'unité,  on  a 

(5-)        •ICW  -I-  2Tj(rti-J-  «,  +  •  .  --r-  «/• —  bi—  b-i  —  .  .  .—  ^,.)  —  IJlTzi, 
.•  T^        •  1  V  f(U-^  2C0') 

OU  n  est  un  entier.  Ecrivant  de  même  que : =  i ,  on  a 

(37')       2Cto'-i-  2T/(f7i-h  «2-^--  •  .-^  «r—  ^1"  ^2  —  •  •  •—  ^r)  = —  27?l-i. 


48  CIIAlMTRIi:     II. 

Éliminant  c  entre  ces  deux  équations  on  a,  en  vertu  de  la  rela- 
tion r.w' —  lût! ^=:^  —  q^ie  nous  établirons  plus  loin, 

(  58 )         «1  +  a.2  H-  .  . .  H-  «,.  —  61  —  ^2  —  •  •  •  —  ^r  =  '^-  /'i  co  +  2  ;i  w'  ; 

ce  qui  démontre  le  théorème. 

La  valeur  de  la  constante  c  est  alors  donnée  par  Tune  ou  l'autre 
des  formules  (5-)  ou(57'). 

Mais  on  peut  simplifier  un  peu  la  formule  en  mettant  à  profit 

une  remarque  faite  plus  haut.  Remplaçons  le  point  a^  par  le  point 

homologue 

«'j  =  ai  —  2  m  to  —  2  Al  10'. 

La  formule  donnant /(?<)  prendra  la  forme 

f(ii)=  A  e^"  —^ -, — » 

•^  "■    ^  C3'(i^  —  aj  )  a:^  a  —  Ui)  . . .  :i{u  —  a,.) 

où  l'on  a 

(59)  a'i -h  a.2-1-.  ..+  «/•=  61+  6.2  +  -  •  •+  bi- 

Mais  alors,  en  exprimant  que  /{li)  admet  les  périodes  2  w  et  2to', 
on  a,  par  un  calcul  analogue  à  celui  que  nous  venons  de  faire, 

2Cw  =  2N'7rf,  2Gco'  =  —  iMTzi, 

M  et  N  désignant  des  entiers.  On  en  conclut 

G(Mco^-Nw')=o. 

Le  facteur  Mwh-Nco'  ne  peut  pas  être  nul,  car  le  rapport  — 

N 
M 


est  imaginaire  et  ne  peut  pas  être  égal  a  —  ^-  Donc 


C  =  o. 

On  peut  donc  toujours  mettre  une  fonction  elliptique  sous  la 
forme 

(60)         /(»)^A^<"-^;'^<"-^-'---:<"-'->, 

^      '  ./  V    /  (^{u  — a\):f{it  —  a.i) .  .  .:^{u-- a,.) 

avec  la  condition  (Sg).  On  pourrait  de  même  remplacer  d'autres 
zéros  et  infinis  par  des  points  homologues  :  la  formule  resterait  la 
même  pourvu  que  la  somme  des  zéros  choisis  égale  celle  des  in- 
finis. 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LKS    FONCTIONS    ELLIPTIQUES  {9 

iO.  Notations  de  Jacobi.  —  La  formule  de  décomposition  en 
facteurs  s'écrit  comme  il  suit  dans  les  notations  de  Jacobi.  La 
fonction  H  de  Jacobi  est  liée  à  la  fonction  i  par  la  relation 

H(w)=H'(o)e     -'""'j-a, 
d'où 

I     jl«« 

H  (G)  ^   ' 

Remplaçant  alors  -ia  par  cette  expression  dans  la  formule  (60)  et 
tenant  compte  de 

«1  -h  «2-T-. .  .-f-  a,.^=^  ^1  H-  62  +  . .  .-h  6^, 
il  vient 

SI  désignant  une  constante.  On  a  donc,  en  définitive,  la  même 
formule  fondamentale  dans  les  deux  systèmes  de  notations. 

iL  Deux  fonctions  elliptiques  ayant  les  mêmes  zéros  et  les 
mêmes  infinis  ne  diffèrent  que  par  un  facteur  constant.  —  Cela 
résulte  des  formules  précédentes  où  le  facteur  A  seul  est  arbi- 
traire, une  fois  les  zéros  et  les  infinis  donnés. 

4^2.  Ordre  d'une  fonction  elliptique.  —  On  appelle  ordre  d'une 
fonction  elliptique  le  nombre  de  pôles  qu'elle  possède  dans  un 
parallélogramme  élémentaire,  chacun  d'eux  étant  compté  avec 
son  degré  de  multiplicité.  Cl;  nombre  est  aussi  égal  au  nombre  des 
zéros  situés  dans  un  parallélogramme  (n°  38)  : 

Ainsi  j3^^  est  du  second  ordre,  ji'w  du  troisième. 

La  fonction  elliptique /(;^)  étant  d'ordre  /',  la  fonction  f{ii) — C, 
011  C  est  une  constante  quelconque,  est  aussi  d'ordre  /*,  car  les 
pôles  dey*(w)  Glf(^u) —  G  sont  évidemment  les  mêmes.  La  fonc- 
tion/(«) —  C  a  donc,  dans  un  pirallélogramme,  /'  zéros  quel  que 
soit  G.  Ainsi  l'équation 

a  toujours  /•  racines  dans    un  parallélogramme.    La  valeur  ?ni- 

A.  ET  L.  4 


5o  CHAPITRE    II. 

nimum  que  puisse   prendre    /'   est  2,   car   d'après   le   théorème 
du  n°  30  il  n'existe  pas  de  fonction  elliptique  du  premier  ordre. 

Exemple.  —  La  fonction  pu  est  du  second  ordre.  Dans  un  pa- 
rallélogramme des  périodes  il  existe  deux  valeurs  de  u  telles  que 
p?/=:G.  L'une  d'elles  étant  a,  Tautre  est  homologue  du  point  —  a, 
car  pu  est  paire.  Ces  deux  racines  sont  distinctes  tant  que  les 
deux  points  a  et  — a  ne  sont  pas  homologues,  c'est-à-dire   tant 

que  l'on  n'a  pas 

a  =  —  a  -j-  2  /«  w  4-  2  /î  co' , 

a  =  m  w  -4-  /ko', 

et  G  =  J3 ( m (1)  -j-  /2  w' ) . 

Si  les  entiers  m  et  Ji  sont  pairs  tous  deux,  cette  valeur  de  G  est 
infinie  :  effectivement,  l'équation  p/^  =  00  a  dans  chaque  parallé- 
logramme une  racine  double. 

Si  un  des  entiers  m  ou  n  est  impair,  ou  si  tous  deux  le  sont, 
G  est  fini  :  on  trouve  ainsi,  à  cause  de  la  périodicité  de  p,  trois 
valeurs  différentes  de  G  pour  lesquelles  l'équation  pu  —  G  =  o  a, 
dans  chaque  parallélogramme,  une  racine  double.  Ges  valeurs  sont 
les  suivantes  : 

m  impair,  n  pair,  G  =  ))03. 
m  pair,  n  impair,  G  =  j3(o'. 
/?i  et  n  impairs,  G  =  j3((o -h  w'). 


La  racine  double  àe  pu  —  G  =  o  est,  dans  le  premier  cas,  con- 
grue à  co,  dans  le  second  à  to',  dans  le  troisième  à  co  -j-  to'.  Ges 
trois  valeurs  annulent  la  dérivée  p' u  :  les  valeurs  correspondantes 
de  G  sont  les  trois  racines  du  polynôme 

comme  nous  le  montrons  plus  loin  (n°  46). 

IV.  —  Exemples  de  décomposition   ex  facteurs  et  ex  éléments  simples. 
Formule  d'addition  algébrique  pour  pw.  Conséquences. 

43.  Décomposer  en  facteurs  la  fonction  doublement  périodique 
OÙ  V  est  une  constante.  —  Dans  un  parallélogramme   des  périodes 


GÉNÉRVLITKS    SLR     LES     FONCTIONS     ELLIPTIQUES.  5l 

pu  admet  o  comme  infini  double.  Donc  la  fonction  admet  deux 
zéros  dans  un  parallélogramme  des  périodes;  on  voit  que  ce  sont 
les  homologues  des  points  u=  v  ei  u  ^  —  ç  puisque  j3  est  paire. 
On  a  donc 

pu  p  P  =  A ; > 

A  désignant  une  constante. 

Cette  constante  se  détermine  en  multipliant  les  deux  membres 
par  U'  et  en  faisant  ensuite  tendre  ii  vers  zéro.  Il  vient 

i  =  —  Xa"-i'. 
La  décomposition  est  donc  donnée  par  la  formule 

(62)  p«  — pp= —  —  • 

44-.  Formule  d'addition  pour  ^w.  —  Si  l'on  prend  les  dérivées 
logarithmiques  des  deux  membres  de  l'égalité  précédente,  par  rap- 
port à  iij  il  vient 

(63)  ]7^7^,  ='(«-^)-'("-'-)--^^"; 
puis,  en  échangeant  u  et  v, 

(64)  j^^=^=^(a  +  i^)-C(..-cv--2^p; 

enfin,  en  ajoutant  membre  à  membre  les  deux  égalités  précé- 
dentes, 

(65)  IP'''-P''  =  :^a  +  .)-Uc->:., 
'ipu  —  pv' 

formule  que  Ton  obtiendrait  également  en  décomposant  en  élé- 
ments simples  les  fonctions  elliptiques  de  u  qui  figurent  dans  les 
premiers  membres.  La  formule  (65)  peut  être  considérée  comme 
une  formule  d'addition  pour  la  fonction  î^w  :  seulement  ce  n'est 
pas  une  formule  d'addition  algébrique,  car  ^(«-ht^)  n'est  pas 
une  fonction  algébrique  de  "Çu  et  "Cv. 

Ad.  Formule  d'addition  de  la  fonction  pu.  —  Si  l'on  difi'érentie 
par  rapport  à  u  les  deux  membres  de   l'égalité   précédente,  on 


Sa  CHVPITRK    H. 

trouve 

c'est  une  formule  d'addition  algébrique  pour  pw.  En  y  remplaçant, 
après  la  dérivation,  ^'  u  par  sa  valeur  6 j3-?^  —  —  (éq.  89),  on  ob- 
tient j3(i^  -h  v)  en  fonction  rationnelle  àepu^  pv^  p' u  et  pV.  Si, 
ensuite,  on  j  remplace  p' u  et  p' v  par  leurs  valeurs  respectives  en 
fonction  de  pu  et  pç 

on  obtient  p(u-\-  v)  en  fonction  algébrique  de  pu  el  pç. 

Autre  forme  de  la  formule  d'addition.  —  On  a,  en  effectuant 
la  différentiation  {Q6)', 

I        p"ii  1    {p'a  —  p'v)p'u^ 

pu  —  p(u-uç)= —  —      — ; — -  ; 

permutant  u  et  p  on  a  de  même 

PV  —  p(u  -^  V)  — \ ; r^—  • 

^  ^^  '  ipU  —  pV  •>,         (pi^  —  pp)2 

Ajoutons  membre  à  membre  et  remarquons  que 

p"i^_p"(.  =  G(p-^?^  — p2p), 
d'après  l'équation  (Sg),  il  vient 

T  I  p'  n  —  pV\2 

(67)  p("-^'')=  4(7^1^)  ~''"~^''' 

qui  donne  p{^u-\-  p)  par  une  formule  où  la  symétrie,  par  rapport 
aux  deux  lettres  u  et  ç',  est  en  évidence. 

En    différentiant    par    rapport    à    u    et    remplaçant    pl^  u    par 

6j3-« —  -  «2j  on  a  de  même  une  formule  d'addition  pourp'(«/  -h  t^), 

exprimant  cette  fonction  en  fonction  rationnelle  de  pu^  p' u^  pç^ 
p'{>.  \]ne  nouvelle  différentiation  donnera  une  formule  d'addition 
pour  p" ]  etc. 

46.  Décomposition  de  pu  en  facteurs.   —  La  fonction  p' u  a, 


GENERALITES    SLR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES. 


53 


dans  un  parallélogramme  élémentaire,  un  pôle  triple  qui  est  le 
point  u^  o,  ou  un  point  homologue.  Cette  fonction  est  donc  de 
troisième  ordre.  Elle  a,  dans  un  parallélogramme,  trois  zéros  que 
nous  allons  déterminer.  Pour  cela,  partons  des  relations 

p'(z<  4-  20J)  =  p'w,  p'(m  -+-  2W')=  p'zf, 

p'{ll  -h  2  O)  -f-  -2  to' )  =  -p'  U. 

Faisant  dans  la  première  de  ces  formules  u^=  — ^  co,  on  a 

P'(w)=p'(— w); 
comme  d'autre  part  p'  est  impaire, 

P'(w)  =  — p'(— (o), 

Donc  J3'(cd)  =  o.  De  même  j3'(to')=  o. 

Enfin,  en  faisant  dans  la  troisième  formule  ;/  =  —  to  —  to',  on  voit 
que  p'(co  +  to')=:  o.    Prenons    un   parallélogramme  élémentaire 


Fig.  4- 


•2Cl.+^C»j' 


très  voisin  de  celui  dont  les  sommets  sont  o,  2w,  2  0)',  2to  +  2a)' 
et  contenant  o  dans  son  intérieur.  Alors,  dans  ce  parallélogramme 
tracé  en  traits  pleins,  la  fonction  a  le  pôle  triple  o  et  trois  zéros 
nécessairement  simples  co,  w',  w-f-  lo'.  La  somme  des  zéros  2  0jH-2to' 
ne  didere  de  la  somme  des  infinis  qui  est  o  que  par  des  multiples 
de  périodes. 

Remplaçons  le  zéro  to  +  w'  par  son  homologue  —  to  —  to';  alors 
la  somme  des  trois  zéros  to,  w',  —  to  —  (o'  est  égale  à  la  somme 
des  trois  infinis  qui  est  nulle  et  l'on  a 


^(ii 


O))  1j(  It   (.)'  )  1j(  U  -h   M  -h  to'  ) 


Pour  déterminer  A,  on  peut  multiplier  les  deux  membres  par  u^ 


54  CHAPITRE    II. 

puis  faire  tendre  u  vers  o.  Gomme  dans  le  voisinage  de  o  on  a 

p  w  =  —  —  -4-  fonction  régulière, 

le  premier  membre  devient  —  2;   comme  —  tend  vers  i,  le  se- 
cond membre  devient 

A  3'w  o'to'  ^(to  H-  w') 
et  l'on  a 

,                  c;'(w  —  a))a'(?/,  —  a)')a'('M-+-(jL)-i-(.o') 
P  ii=  —  1 -, — ; -, — • 

Voici   quelques   conséquences  des  résultats  précédents.  Nous 
avons  établi  la  relation 


Appelons  e^^  e^^  e^  les   racines  du  polynôme  ^z^  —  g2Z  —  ^3, 
alors 

(68)  lp'"'U  =  4(pw  — ei)(pî^-e2)(pw  — 63). 

Gomme  p' u  s'annule  pour  u=to,  u  =  M-\-iii'y  u  =  ii)'^  les 
quantités  e^ ,  62-,  e^  sont  égales  à  pw,  p(io  -h  co'),  p^', 

(69)  ei  =  p(M,         e2=p(wH-w'),         es=pui'. 

Il  est  évident,  d'après  la  formule  (68)  qui  donne  p'-^u^  que  le 
second  membre  de  cette  formule  est  le  carré  d'une  fonction  uni- 
forme :  nous  vérifions  plus  loin  (n°  48)  que  chacune  des  diffé- 
rences pii  —  Ci^  pu  — 62,  pu  — 63  est  le  carré  d'une  fonction 
uniforme. 

47.  Effet  de  l'addition  d'une  demi-période  à  l'argument  de  pu. 
—  Dans  la  formule  d'addition  (67)  faisons  ç=  to,  en  remarquant 
que  pco  =  61,  p'w  =0  et  en  tenant  compte  de  l'expression  (68) 
de  p'^.  Nous  obtenons 

/  ,  N  (^1  ^2)(ei 63) 

p(M-t-to)— ei=  ^  ^^    ^. 

pu  —  ei 

De  même,  en  faisant  dans  la  formule  d'addition  (^  =  w  +  to'  ou 


GÉNÉRALITÉS    SLR    LES    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  55 

ç  =r  co',  on  trouve 

(e.2—ei)(eî—e:i) 


p  u  —  eo 
pu  —  e^ 


48.   Expressions  de  p  u  —  e\.  Fonctions  :fi,  :f-2,  ^s-  —  Dans  la  for- 
mule (62)  établie  plus  haut 

faisons  r  =  to,  nous  aurons 

r>u  —  p  co  = — — —, } 

mais,  d'après  les  propriétés  de  la  fonction  3",  on  a 

a'(  it  H- U) )  =  —  e-2^i"  J'( ït  —  w  ), 

comme  on  le  voit  en  changeant  dans  la  première  des  formules  (22) 
u  en  u  —  co.  On  a  donc 

-i-iu  —  (o) 

(70)  p"-p^^  =  ^'"'"l^^-:.^• 

On  trouve  de  même 


(70)'  pu  —  p^  =  e 


—  fiir,  u 


Enfin,  dans  la  relation  (62)  faisons  (^  =  co  h-  co' ;  il  vient 

a'( z< -+- co -+- w')  J'( ï/ —  co  —  to') 
XiU  —  p((oH-co  )= —z — -— \ r- i 

OU  d'après  la  formule  (23),  dans  laquelle  on  change  u  en  u — co— co', 

„    ^"^(zi  — to  —  10') 

Les  trois  différences  considérées  sont  donc  bien  les  carrés  de 
fonctions    uniformes.     M.    Weierstrass    emploie    une    notation 


56  CHAPITRE    II. 

spéciale  pour  désigner  ces  trois  fonctions.  Il  fait 


eA"  c^(io  —  u) 
a'iu  = 


(72)  /     Cf.2ll 

f    O'.-îW 


. , 

^'o'w  a'(  m' —  i() 


Avec  ces  notations,  on  a 


o\  /^l"\-  /^iff\'^  /^:i'i\^ 

73)      p„_«,=  (^_j,       j,„_,,=  (^_j,       ,,„_,,=  (_j, 


u 


P^"   =   ^  ^B 


(74)  ,P"=-^. ^^ ; 

le  signe  à  prendre  en  extrayant  la  racine  est  — ,  comme  on  le  voit 
en  multipliant  les  deux  membres  par  u^  et  faisant  tendre  u  vers 
zéro.  On  retrouve  ainsi,  aux  notations  près,  la  formule  établie 
directement  dans  le  numéro  précédent  pour  la  décomposition  de 
p'  u  en  facteurs. 

49.  Toute  fonction  elliptique  ./(?*)  aux  périodes  ^w  et  -km'  est  une 
fonction  rationnelle  de  pu  et  p' u.  —  Nous  établirons  ce  théorème 
comme  une  conséquence  du  théorème  d'addition  et  de  la  formule 
de  décomposition  en  éléments  simples 

/(  ^0  =  Do -i-^    A  r (  zi  —  rt  )  -4-  A,  j) ( M  —  rt )  —  -^  p'(  «  —  a)  — . . . 

la  somme  étant  étendue  à  tous  les  pôles.  Tout  d'abord  la  formule 
d'addition  pour  pu  (n°  45)  montre  que  p{u  —  a)  est  une  fonc- 
tion rationnelle  de  pu  et  p'u.  En  différentiant  cette  formule  on 
voit  que  p'(u  —  a)  est  une  fonction  rationnelle  de  pu,  p'u  et 
p" u;  mais,  comme 

p"u  =  6p^u—^y 


GÉNÉRALITÉS    SUR    LES    FONCTIONS    K  L  L  1  PT  IQ  L' ES.  5; 

p'(i/  —  a)  est  une  fonction  rationnelle  de  pu  et  p' u.  On  voit  de 
même,  en  différentiant  de  proche  en  proche,  que  p"(u  — a),  .  .  ., 
p(y--2)(^if  —  ^^  sont  des  fonctions  rationnelles  de  pu  et  p'  u.  Restent 
les  termes  tels  que  ^(u  —  a).  La  formule  d'addition  pour  la  fonc- 
tion ^  (n"  44)  dans  laquelle  on  remplace  r  par  —  a  donne 

t(u  —  a)  =  tu  —  !:«-! —  i ; 

1    pu  —  pa 

on  a  de  même  s(''  —  b),  .  .  .,  '^{u —  /).  Si  l'on  porte  ces  valeurs 
dans  la  formule  de  décomposition  en  éléments  simples,  on  voit 
que,  dans  la  somme 

(75)  Ar(?/  — «)-+-B^(;^  — 6  )-!-... -T-L^( //  —  /), 

étendue  à  tous  les  pôles,  le  terme  en  ^u  disparaît  à  cause  de  hi 
relation  A  -|-  B  +  .  .  .  +  L  =  o  et  la  somme  (70)  est  une  fonction 
rationnelle  de  pu  et  p'  u. 

Le  théorème  est  donc  démontré. 

Remarque.  —  Comme  on  a 


on  peut,  dans  une  expression  rationnelle  enjD  et  p',  éliminer  toutes 
les  puissances  de  p'  supérieures  à  la  première  en  remplaçant  toutes 
les  puissances  paires  de  p'  par  des  polynômes  en  p.  On  met  ainsi 
toute  fonction  rationnelle  de  p  et  p'  sous  la  forme 

P(p)  +  p'Q(.p) 

Pl(p)-r-p'Ql(p/ 

où  p,  Q,  P,,  Qi  sont  des  polynômes  entiers  en  p. 

Multipliant  et  divisant  cette  expression  par  ^^{p)  —  p'Q«(p) 
et  remplaçant  p'-  par  sa  valeur  en  fonction  de  p,  on  voit  que  toute 
fonction  rationnelle  de  p  et  p'^  c'est-à-dire  toute  fonction  elliptique 
peut  se  mettre  sous  la  forme 

/(«)  =  H(p)  +  p'Ri(p). 
R  et  Rj  étant  des  fonctions  rationnelles.  Il  en  résulte 

f(-u)  =  R{p)-p'R,(p), 
car  p'  est  impair. 


58  CHAPITRK    II. 

En  particulier,  si  f{u)  est  une  fonction  paire,  /( —  u)  doit  être 
égal  kf(u)  et  R,  (p)  identiquement  nul.  Alors 

f(u)=R(p). 

Si  f{u)  est  impaire,  /( —  u)  doit  être  égal  à  — /(^O  ^^  ^(p) 
identiquement  nul.  Alors 

f(ii)  =  p'Rap)- 

Ainsi  une  fonction  elliptique  paire  est  une  fonction  rationnelle 
de  pu;  et  une  fonction  elliptique  impaire  est  égale  à  une  fonction 
rationnelle  de  pu  multipliée  par  p' u. 

Par  exemple,  p{2u)^  p{3  u),  . . . ,  p{nu)  (n  entier)  s'expriment 
rationnellement  en  fonction  de  pu.  On  a  ainsi  des  formules  ana- 
logues à  celles  de  la  multiplication  des  arcs  en  Trigonométrie,  que 
le  lecteur  établira  sans  peine  par  l'application  répétée  de  la  for- 
mule d'addition. 

De  même  p'  (nu)  est  égal  à  p'  u  multiplié  par  une  fonction  ra- 
tionnelle de  pu. 

50.  Remarque  sur  rintégration  d'une  fonction  elliptique  sup- 
posée mise  sous  la  forme  d'une  fonction  rationnelle  de  p  et  p'.  — 
Soit  la  fonction 

f{u)  =  i\(pu)-hp'uni(pu), 

où,  comme  précédemment,  R  el  R,  désignent  des  fonctions  ra- 
tionnelles de  pu.  On  aura 

I  f{u)  du  =  I  R(pi^)  du  -^  I  p'u  Ri{pu)du. 

La  deuxième  intégrale  du  second  membre  se  ramène  immédia- 
tement à  l'intégrale  d'une  fonction  rationnelle,  car  si  l'on  fait 
pu  =  z  elle  devient 

\{z)dz 


/' 


on  sait  calculer  cette  intégrale.  Pour  obtenir  la  première  intégrale 
du  second  membre,  on  commencera  par  décomposer  la  fonction 
rationnelle  R  de  pu  en  fractions    simples,   en    considérant  pu 


GÉXKRALITÉS    SUR     LKS    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  Sg 

comme  la  variable 

A  A,  A,  B 


pu -7.        {pu  — 7.)^        ^j)f^_a)3    ■  pw— p 

Cq,  Ci^  .  .  . ,  Cv,  A,  A,,  Ao,  .  .  . ,  B,  .  .  . ,  a,  J^,  ...  étant  des  con- 
stantes. L'intégrale  de  la  partie  entière  en  pu  s'obtient  aisément, 
car  on  sait  (n°  31)  exprimer  J3- w,  p^  u.  .  •  . ,  p^  u  en  fonctions  li- 
néaires à  coefficients  constants  de  pu  et  de  ses  dérivées  p'Uj 
p"  Uj  .  .  . ,  de  sorte  que  cette  partie  entière  s'écrit 

Co+  Cip u  -T-  C-2p' u  -{-  C-ip" u  -i- .  . .; 

son  intégrale  est  immédiatement 

CoU  —  CiZ,u-\-  C2PU-+-  Czp' u  -i-. .  .. 

Les  intégrales  des  termes  suivants  s'obtiennent  aussi  en  décom- 
posant ces  termes  en  éléments  simples.  Pour  cela  on  détermine 
d'abord  des  constantes  a,  b^  . .  .  telles  que 

pa  =  a.         pb  =  '^, 
Nous  avons  donné  (n°  44,  formule  64)  la  décomposition  en  élé- 
ments simples  de  — ■;  nous  écrirons  cette  formule 

^  P  "  —  .P  ^ 


On  en  conclut,  en  changeant  ^  en  a, 

/"       du  I     r,       (7(u—a)  1 

J   Pii  —  pa       pal    -  c^{u-+-a)  J 


const. 


Différentiant  ensuite  la  formule  (76)  par  rapport  à  ç  et  divisant 
par  p'ç,  on  en  tire  la   formule  de   décomposition   en  éléments 

simples  pour -;  différentiant  cette  nouvelle  formule  par 

^       ^         {pu  —  pv)'-'  ^ 

rapport  à  v  on  en  lire  de  même  la  décomposition  en  éléments 

simples  de ->  •  •  •  et  ainsi  de  suite.  Dans  ces  formules  on 

^  (P"  — P^)=^ 

fera    ç  =  a    et    l'on    en    déduira    immédiatement   les    intégrales 

/du  r         du 

(pu  —  pay-'J   {pu  —  pa)^'  "" 


6o  CHAPITRE    II. 

51.  Entre  deux  fonctions  elliptiques  f{u)  et  /i(m)  aux  mêmes 
périodes  existe  une  relation  algébrique.  —  En  efl'et,  si  l'on  lait 

X  et  Y  sont,  d'après  le  théorème  du  n"*  49,  des  fonctions  ration- 
nelles 

(77)-  X  =  R(p,p'),         Y=R,(p,p'), 

des  quantités  pu  et  p' u  liées  par  la  relation 

(78)  P"^  u  =  4  p3  u  —  é-2p  U  —  g;. 

L'élimination  de  p  et  jd'  entre  les  relations  (77)  et  (78)  donne 
évidemment  une  relation  algébrique  entre  X  et  Y 

F(X,  Y)  =  o. 

La  courbe  (G)  définie  par  cette  équation  est,  en  général,  àiW pre- 
mier genre.  C'est  ainsi  que  si  l'on  fait 

on  a  entre  x  ely  la  relation 

définissant  une  cubique  (c)  sans  point  double,  sauf  dans  le  cas 
de  dégénérescence.  Les  coordonnées  X  et  Y  d'un  point  de  la 
courbe  (G)  sont  des  fonctions  rationnelles  des  coordonnées  ûo  ely 
d'un  point  de  la  cubique  (c). 

On  peut,  en  général,  indiquer  le  degré  de  la  relation  entre  X 
et  Y.  Si  f{ii)  est  d'ordre  /•  et  f\{u)  d'ordre  r^^  la  relation 
F(X,  Y)  =  o  est  de  degré  r^  en  X  et  de  degré  r  en  Y. 

En  effet,  X  étant  donné,  la  formule 

donne,  pour  u^  r  valeurs  dans  un  [)arallélogramme  ;  à  chacune  de 
ces  r  valeurs,  la  formule 


GÉNÉRALITÉS    SLR    L 13  S    FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  Gl 

fait  correspondre  une  seule  valeur  de  Y.  Donc  à  une  valeur  de  X 

correspondent  r  valeurs  de  Y  et  l'équation  F(X,  Y)  =  o  est  de 
degré  /•  en  Y.  On  voit  de  même  qu'elle  est  de  degré  r,  en  X. 

Par  exemple  ^u  est  du  second  ordre,  p'«  du  troisième;  aussi 
la  relation  algébrique  entre  ces  deux  fonctions  est  du  second 
degré  en  p'  et  du  troisième  en  p. 

o^ .  Toute  fonction  elliptique  /(  u  )  admet  un  théorème  d'addition 
algébrique.  —  En  effet  f{u)  est  une  fonction  rationnelle  de  jj« 
et  j3'^/ 

/(")  =  R(p",  p'")- 

De  même 

Formant  ensuite  J\u  H-  v)  qui  est  une  fonction  rationnelle  de 
j3(m  h-  ^')  et  J3'(  u  -\-  ('),  et  exprimant  J3(f<  -f-  v')  et  ^ {^u  -\-  v)  en 
fonction  de  J3W,  jjp,  p' u,  p'r  par  les  formules  d'addition,  on  voit 
qiie/(w-|-^^)  est  une  fonction  rationnelle  de  pw,  J3i',  p'//,  p'r 


fin  ^v)=  Ri(pz<,  i^v,  p'u,  p'v). 

D'ailleurs 

p'-'  w  =  4 p'  a  —  gip  u  —  ,A'-3, 

p'n'  =  4pH'  —  ^2P^^  —^3. 

L'élimination  de  pu,  pv^  pu.  p' v  entre  les  cinq  équations  pré- 
cédentes fournira  une  relation  algébrique  entre  f{u  -f-  r),  f{u) 

La  réciproque  de  ce  théorème  est  vraie  en  ce  sens  que  : 
Toute  fonction  analytique  uniforme  transcendante  qui  a  un 
théorème  d'addition  algébrique  est  nécessairement  une  fonction 
simplement  ou  doublement  périodique.  Nous  nous  bornons  à 
énoncer  cette  proposition,  dont  la  démonstration  nous  entraînerait 
en  dehors  du  cadre  de  cet  Ouvrage. 


62  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    II. 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  IL 


1.  Démontrer  les  formules  suivantes  que  nous  empruntons  aux  Formules 
et  propositions  pour  l'emploi  des  fonctions  elliptiques,  d'après  les  Le- 
çons de  Weierstrass,  rédigées  par  M.  Schwarz,  traduites  par  M.  Padé. 

Dégénérescence .  —  Quand  w'=  oo,  to  étant  (îni  et  différent  de  zéro,  on  a 
-_  =  —  cot—  +  -    —      u, 

lu  2W  2W  3\2W/ 

-      r—  )     2  OJ      . 


2  T.  (0   = 
Ci  U  2W  2  10  3V20L)/         '  G 


,(-)   20.    .     ur. 


2  CO 


On  le  démontrera  en  rapprochant  les  formules  des  n°*  23  et  37. 

Formules  d'addition  pour  pu  et  conséquences. 

i    d    /p'uqzp'v\  i     â   /p'  uzii  p'v\ 

(i)  p(u±v)=pu—  -  —l^ =t-!_    =p(._  -  _(  'i =t^i—    ., 

^  ^  ^  ^  '       "  '2  du  \  pu  —  pi>  /  1  àv  \  pu  —  pç  I 

(6;p2  u  —  \,  gi){pv~  p  w)+  4,p3  u  —  g,p  u  —  g-^-zç.  p'u  p' v 

(2)  ^pU^ = 


(3)  =P<^  + 


(4)  p{u±.v)^ 


(  6  P^  t^  —  i  ,^2  K .])  u  —  p  P  )  -I-  4  P^  t>  —  ^-2  p  (.'  —  ^3  1^  jy  f^  p'  C 
2  (  p  ?<  p  P  —  i  ^ 2  )  (  P  W  +  P  t^  )  -  ^3  =F  P  '  ^^  P  '  i^ 


.2(pw  —  p(.) 


(5) 
(6) 


I  r  p';/:  ZlZ  p'i^l  2 

=         t ±-^i—       — pw-pr. 

4  Lp"-P^  J 

2(p  w  p  P  —  i  ^2)  (p  w  +  p  p)  —  ^3  ±  p'  w  p'(' 


p(wd-  ^^)  i{pupv^\g,^Y-^igi{pu-^pv) 


(7)  p(,,  +  .)  +  p(«-.)= i^pu-p.y ' 

(8)  ='?pw— ;^los(P"  — P^)=2pt'- j^log(p?<  — pp 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    II. 


63 


(9) 

(10) 

(lO 

(1-2) 

(i3) 
(i4) 
(i5) 


p{u-^v)  —  p{u  —  i>)  = 


p  II  p  V 

{pu  -pvf  ~ 


du  ôv 


\o^{pu  —  pv), 


(  p  u  p  r  -h  f-  fr-i  )-  -4-  ^3  (  puj^-pv) 

p{U-r-v)p{u-v)        =    \^^[Zr^^  ' 

4[p(")+P(OHHp(..  +  c)]  =  (^^^^^^3^j    =l_p(^H-.)-p(.)J    ' 
p'u  —  p'v  _  —  p'(z/  -t- t-')— pï(^) 

7^r=^  ~   p{u-^v)-p{v) 


i  pu  p  u 

I  pv  p'v 

I     p(«^  +  (')     —p'{u-^v) 


p(iu)=  — - — — - — 


1  d^ 


pu  —  -  -tt'OcP'"- 
''  4  du-     "^ 


Par  l'intéorration  on  déduit  de  la  dernière  formule 


(i6) 


tf'(2?0  _  ^  3;j^        ]_  p  u 
:f{uu)  ~      :fu        1  pu 


a'(iu) 


—  P  «, 


3'(>z0=-^'^^^^^-|^|^   =2^«(3"«)3-33'-^^/3"^/  j"'i^-i-3'3«3""M. 


2.  Le  déterminant 


I  pu  pu 
i  pv  p'v 
I     P  tt^     p'  "' 


oîi  M,  t',  IV  sont  trois  variables  indépendantes,  a  pour  valeur 


a-  (  c'  —  (r  W  (  tf  —  u):f{u  —  c  )  3"  (  ?/ 
(3'a  jC  a'(p)^ 


(•  -u  (ï^) 


I 


Pour  le  démontrer  remarquons  que  ce  déterminant,  considéré  comme 
une  fonction  de  u,  est  une  fonction  elliptique  d'ordre  3  ayant  le  pôle  triple 
w  =  G  et  les  points  homologues.  Cette  fonction  a  manifestement  les  zéros 
V  et  w,  car  si  l'on  fait  u  =  v  ou  u  =  w  deux  lignes  sont  identiques.  Le 
troisième  zéro  de  la  fonction  est  donc  homologue  du  point —(p  H- (v),  car 
la  somme  des  zéros  ne  diffère  de  la  somme  des  infinis,  qui  est  nulle,  que 


64  EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  II. 

par  des  multiples  des  périodes.  On  a  donc 

^{u  —  v):ï{iL—w):f{u^v-A-w) 
A  =  v_j 


G  désignant  une  constante  indépendante  de  u.  Pour  la  déterminer  on  mul- 
tipliera par  lû  et  l'on  fera  u  =  o.  Le  produit  a^  A  tend  alors  vers  i{j>v  —  p  iv), 
et  le  second  membre  tend  vers 

Donc 


C  =  i 


:jV<:iw:^{i>-\-w) 


Décomposant  alors  pp  —  pw  en  facteurs  (n°  43)  on  a  la  valeur  de  G  et 
l'on  obtient  la  formule  indiquée  (i). 


3.  Fonctions  cr„  r^,  :r^.  —  Les  équations 

a'  a  ^  u  a' 


définissent  les  trois  racines  carrées  en  fonctions  uniformes  de  u.  Si  l'on 
donne  successivement  à  la  variable  u  les  valeurs 

toi  =  to,  W.2  =  oj  -}-  co'  =  (o",  W,j  =  w', 

on  obtient  les  équations 

(2)     \  \/ei— e^  =  -—-p  =  —  - — -— ^,         v/^'2— ^-3= -r^ 

par  lesquelles  sont  déterminées  sans  ambiguïté  les  valeurs  des  six  racines 
carrées.  Dans  l'hypothèse  que  le  coefficient  de  i  dans  —  est  positif,  on  a, 
entre  ces  radicaux,  les  relations 

ye-i  —  ^2  =  —  i'  \l  ^1  —  ^3j 


e--^/'^3'to" 

o'co 

"o'oj 

o'to' 

gY]"W 

(3)  <    y/e3_  ei  =  _  i/ej— ^3, 


v/e2 —  <i\^=  —  i  V  6i  —  <?2. 


(')  Foj'e^,  pour  des  formules  de  ce  genre,  Hermite,  Journal  de  Crelle,  t.  84. 


EXERCICES    SUR     LE    CHAPITRE     II.  65 

Relations  entre  les  carrés  des  fonctions  3^,  3'i,  3^2,  :^z   —  Les  relations 

pu  —  ei=  (A  =  1,2,  3) 

j  '  Il 

donnent,  par  l'élimination  de  pu,  les  formules 

a'I  u —  3*1  w  H- ( 62 —  ez):!-it  =  o, 
7|  ;<  —  O'ï  W  -h(e:j —  é'i)3'2«  =  o, 
G'f  Z<  —  J"!  «  -i-  (  Cj  —  62  )  J*-  ii  =  o,, 

(62—  ^3)  ^1  «  -^(^3—  ei)  J'I  i<  -+-(ei—  62)  J*!  //  =  o. 
Dijdérentiations  des  quotients  de  fonctions  3'.  —  L'équation 


(0                             p'"  =- 

_2 ^ 

donne  pour  les  fonctions 

^IJL  "                      3'),  ^/ 

les  équations  différentielles  suivantes 


(3)       ' 


f/       j*  «             ^u 

U 

3'v  ?/ 

c/f/   o'),  z/:         j>. 

U 

-a" 

,  o')  //    c?'  u 

d 

^).  " 

^'J.  '^ 

3'v/^ 



du 

-^  u 

■^  u 

J*// 

Exemples  de  décompositions  en  éléments  simples. 

I        p'  fz  ^)  '^         j''  //  r/  , 

''  —  -    =  --r-lO! 


'2  p  u  —  e\        3'x  u  j'  ;<;         <:/«  a'  « 

(e,j^-  e^.)p'u  :f'<j.u        zi\,u. 


IV- 
,     ^^ ' 

2  {pu  —  e^){^pu  —  e^i)        '^'^u        :^-jU        du      "^  :f^^u 

(  ei—  eu.) ( ei—  e., )  d    - ^  u         d'-  . 

'■ e\  =  —, = lo2-7)  u. 

pu  —  e\  du  a'iu       au-     ^    ' 

4.  Soit  cp(M)  une  fonction  elliptique  du  second  ordre  aux  périodes  2cu 
et  2w'.  Si  cette  fonction  admet,  dans  un  parallélogramme  des  périodes,  un 

seul  pôle  double   u  =  a  avec   la    partie  principale    ; '- »  sa   dérivée 

^  ^  {u  —  a)- 

'/(u)  admet  dans  un  parallélogramme  les  trois  zéros  oc  =  a  -+-  oi,  ^  =  a-+-v)', 
Y  =  rt  -t-  w  -f-  co'  et  l'on  a 

^(^)'  =  [r('0-?(^)][r(")-?(3)J[r(")-r(v)J- 

A.   ET  L.  5 


66  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    II. 

Ces  théorèmes  se  démontrent  soit  en  exprimant  o{u)  à  l'aide  de  pw 

cp  (  ^^  )  =  A  p  (  ?f  —  a  )  +  B , 
soit  en  remarquant  que 

d'oij,  en  différentiant, 

(^'  (  2  a  —  u)  =  —  9  '  (  «<  )  ; 

relation  qui  montre  que  <p'(w)  s'annule  pour  u  =  a,  u  =  p,  u  =  Yj  ^^''  ^^'^ 
donne,  par  exemple,  ç'(a)  =  — '^'X^')- 

Si  cp(w)  a,  dans  un  parallélogramme,  deux  pôles  simples  a  et  b  de  résidus 
A  et  — A,  cp'(w)  admet  dans  un  parallélogramme  quatre  zéros 

a  -r-  b 


X 


n  -\- 

^ 

-+- 

to, 

0) 

. 

•2 

a  -t- 
2 

b 

-1- 

w' 

et  l'on  a 


On  le  démontrera  en  établissant  la  relation 

cp  (  a  ■+-  b  —  u)—  <J^{ii) 
et,  par  diiïérentiation, 

o'{a  -\-  b  —  u)  =  —  'f'(?0- 

5.  Démontrer  que  l'on  a,  quels  que  soient  les  arguments  a,  b,  c,  d,  la 

relation 

c^{a  -t-  b)  -^{a  —  b)  j'(c-f-  d)  -ï {c  —  d) 

—  -j  {a  -^-  c)  Ci  {a  —  c)  z(b  4-  d)  a'{b  —  d) 
-\-  ^{a-\-  d):f{a  — d)  -^{b -h  c)  a'{b  —  c), 

désignée  quelquefois  sous  le  nom  d'équation  à  trois  termes.  —  Elle  ré- 
sulte de  l'identité 

(A  — B)(G-D)-(A  — G)(B  — D)4-(A-D)(B  — G)=o, 

où  l'on  fait 

A  =  pa,         B  =  p^,         G=pc,         Ti  =  pd 

et  de  la  formule 

(:i(u-^v):f{u  —  v) 

G.  Démontrer  qu'il  existe   une  relation  linéaire  et  homogène  entre  les 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    H.  67 

fonctions 

:^{u  -^a)':f{u  —  a),         :f(u -h  b)  ::'(u  —  b),         :f(u-{-c):f{u  —  c). 

l.a  fonction 

P  :r(u-^b):f(if  —  b)  -^q:f(ii-^c)  :r(u  —  c) 
:fiu-i-a)a'{u  —  a) 

est  une  fonction  doublement  périodique  ayant  deux  pôles  dans  un  parallé- 
logramme des  périodes;  on  peut  déterminer  le  rapport  des  constantes  P 
et  Q  de  façon  que  le  numérateur  s'annule  pour  ii  =  a  :  P  et  Q  étant  ainsi 
déterminés,  la  fonction  se  réduit  à  une  constante. 
On  retrouve  ainsi  la  relation  précédente. 


i 


CHAPITRE  III. 

ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pu  LORSQUE  w  EST  RÉEL 
ET  w'  PUREMENT  IMAGINAIRE.  APPLICATIONS. 


51.  Dans  la  théorie  générale  que  nous  venons  d'exposer,  les 
périodes  2to  et  2w'  sont  des  constantes  imaginaires  quelconques, 
assujetties  à  la  seule  condition  que  leur  rapport  soit  imaginaire. 
Un  cas  particulier  des  plus  importants,  qui  se  présente  fréquem- 
ment dans  les  applications,  est  le  cas  où  l'une  des  périodes  2  to 
est  réelle  et  l'autre  20)'  purement  imaginaire,  c'est-à-dire  égale  au 
produit  de  i  par  un  nombre  réel.  Comme  on  peut  toujours 
changer  le  signe  des  périodes,  on  peut  prendre  20)  positif,  alors  2w' 

étant  suppose  purement  imagmaire,   — .-  sera   positii   aussi,  car 

nous  avons  fait  la  convention  que,  dans  le  rapport  —,  le  coefficient 

de  i  est  positif. 

C'est  ce  cas  que  nous  allons  examiner  en  détail,  pour  faire 
ensuite  quelques  applications  géométriques  et  mécaniques.  Pour 
que  ce  cas  se  présente,  il  faut  et  il  suffît  que  les  racines  (?i,  ^o,  e-^ 
soient  réelles. 


I.  —  Valeurs  réelles  de  pu  quand  w  et  -r-  sont  réels  et  posith^s. 


52.   Les  invariants  g 2  et  ^3  sont  alors  réels.  —  Si  l'on  suppose 
et  ^  réels  et  posilifs,  les  invariants 


(,  U.=  .^3.52\'.  .3  =  .....2~ 


w  =  2  m  to  -f-  'i  n  M  , 


sont  réels.  En  effet,  à  toute  valeur  imaginaire  de  iv  correspond 
pour  (V  une  valeur  imaginaire  conjuguée,  puisqu'en  changeant  le 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  p  U.  69 

signe  de  7i  on  change  le  signe  du  coefficient  de  i.  Dans  chacune 
des  séries  précédentes,  les  termes  qui  correspondent  à  deux  valeurs 
imaginaires  conjuguées  de  w  ont  une  somme  réelle  :  on  en  conclut 
que  «o  et  ^3  sont  réels. 

o3.   Valeurs  réelles  de  l'argument.  —  En  raisonnant  de  même 
pour  chacune  des  séries 


pu 


\'\ 


H-  ^^    L(  Z^  Wf 


,  p  '  W  = 2    > 


OÙ  Ton  suppose  u  réel,  on  reconnaît  que  pu  et  pu  sont  réelles 
quand  l'argument  u  est  réel. 

Les  valeurs  de  u  qui  rendent  la  dérivée  nulle  ou  infinie  sont  de 
la  forme 

/??,  et  /?,  étant  des  nombres  entiers. 

1°  Lorsque  u  croît  de  o  à  w  par  valeurs  réelles,  p' u  varie  d'une 

manière  continue  et  ne  change  pas  de  signe;  pour  u  positif  et  très 

petit  p' u  est  très  grande,  en  valeur  absolue,  et  négative  puisque  sa 

valeur  principale  est 

1 

pour  u  =  co,  p' u  s'annule. 

Donc,  quand  u  croît  de  o  à  to,  la  dérivée  est  constamment  né- 
gative, et  elle  passe  par  toute  valeur  négative;  la  fonction  pu 
décroît  constamment  depuis  H-cc  jusqu'à  j3(i)  =  e, .  Cette  valeur  ^, 
est  réelle. 

L'équation 

p'2  W  =  4  p3  W  —  ^2  P  U  —  ^3 

montre  alors  que  u  croissant  de  o  à  w,  c'est-à-dire  pu  décroissant 
de  oc  à  e, ,  le  pol}'nome  4p^  ^^  —  ^2  pi^  —  §^3  ^^  s'annule  que  pour 
u  =  Lu  c'est-à-dire  pour  pu  =  Ci.  Le  polynôme  /\x'^  —  g^^r  —  ^^ 
n'a  donc  pas  de  racine  réelle  supérieure  à  ^i  :  la  plus  grande 
racine  de  ce  polynôme  est  la  valeur  que  prend  pu^  quand  u  égale 
la  demi-période  réelle. 

L'argument  u  variant  toujours  de  o  à  co,  p' u  est  négatif,  et  l'on  a. 


70  CHAPITRE  m. 

en  extrayant  la  racine, 

OU,  en  posant  x^=  pu^ 

dx 


du  = 


\J\x^—  g^_x  — 


^3 


Comme  ^  décroît  de  ce  à  Cj  quand  u  croît  de  o  à  to,  on  a,  en 

intégrant  par  rapport  à  ;^  de  o  à  w  et  par  rapport  à  ^  de  00  à  e,, 

par  valeurs  réelles, 

_   r" ^r 

2°  Supposons  maintenant  que  u  est  réel  mais  n'est  plus  compris 
entre  o  et  cj.  Les  égalités 

p(— ^0  =  ,P".       p'(— w)=  — p'" 

montrent  d'abord  que,  quand  u  varie  entre  —  w  et  o,  j3f^  est  réel 
et  plus  grande  que  e, ,  p^  u  est  positive  et  prend  toutes  les  valeurs 
positives. 

On  peut  toujours  ramener  un  argument  réel  à  être  compris 
entre  —  w  et  w,  en  retranchant  de  cet  argument  un  multiple  de  la 
période  aw;  les  résultats  précédents  s'énoncent  ainsi  : 

Quand  i^  argument  u  est  réel  la  fonction  pu  et  sa  dérivée  p  u 
sont  réelles.  La  valeur  de  pu  est  plus  grande  que  e^  et  le  signe 
de  p' u  est  celui  de  ( —  1)'"+*,  si  l'on  a 

moi  <  zi  <  ( /?i  +  I ) w, 
ni  étant  un  nombre  entier. 

54.  Argument  purement  imaginaire.  —  Quand  l'argument  u  est 
purement  imaginaire,  la  fonction  pu  est  réelle  et  p' u  purement 
imaginaire.  C'est  ce  qu'on  voit  immédiatement  en  se  reportant 
aux  séries.  En  effet,  si  Ton  fait  u  =  iV,  en  supposant  i^  réel,  la 
série  pu  donne 

p(,V|o,,  «■)  =  -!  +;^  [(77:j77iJ)î  -  ^] 


KTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  yï 

Dans  cette  dernière  série  ùv  =^  2  uii (xi -}- i  m' i lo' ;  elle  définit 
donc,  au  signe  près,  la  fonction  p(^')  construite  avec  les  périodes 
itû'  et  lix),  ou  avec  les  périodes  —  «to'  et  ito,  car  on  peut  changer 
le  signe  d'une  des  périodes.  On  a  donc 


(2)  p{iv\iù,  to')=  —  p(v 


co'      .    \ 


La   fonction  j3(/p|(o,  w'),  où  l'argument  est  purement  imagi- 
naire, est  ainsi  ramenée  à  une  autre  fonction  j3  à  argument  réel  p, 

construite  avec  les  périodes  —  et  ito  dont  la  première  est  encore 

réelle  et  la  seconde  purement  imaginaire  avec  un  coefficient  de  i 
positif.  Donc,  quand  u  est  purement  imaginaire,  p{ii)  est  réelle. 
Cette  formule  (2)  est  un  cas  particulier  des  formules  d'homogé- 
néité établies  au  n°  36  :  on  l'obtiendrait  en  prenant  tx  =  i. 

Les  nouveaux  invariants  relatifs  aux  nouvelles  périodes  —  et  ;w 

^  i 

se  déduisent  des  expressions  (i)  en  y  remplaçant  \v  par  /(v;  ils  sont 

donc  égaux  à  g.2,  et  à  — g-^.  On  peut  donc  écrire  aussi 

(3)  p{iv;  g.,  §^3)  =  —  p(v;  g.,  —gz)' 

Si  Ton  prend  les  dérivées  par  rapport  à  v  dans  les  relations  (2) 

et  (3)  on  a 

•     /   iw'        \ 

p  ( ?('  [  w.  tu' )  =  ip  (  ^'  —  '  ^ to  1 , 

p'(*^';  ^2,  ^3)=  ip'{v\  gî^  —^3). 

Donc,   quand  ;/  est  purement  imaginaire,  p'{u)  est  purement 
imaginaire. 

La  fonction  1^  =:  jD^r  A-^  to  j=j3(r^  Oo,  — g.^)  vérifie  Téquation 

le  polynôme  en  j^  qui  est  dans  le  second  membre  admet  pour  ra- 
cines —  6',,  — <?o,  —  (?3.  D'après  ce  que  nous  avons  vu  dans  le 
numéro  précédent,    quand   r  varie  par  valeurs  réelles  de    o  à  la 

demi-période  réelle  -V,  la  nouvelle  fonction  j3(p)  décroît  constam- 
ment par  valeurs  réelles  de  00  à  j3(  ^  ^5  ?  to  j  qui  est  la  plus  grande 


7-2  CHAPITRE     III. 

racine  — e-^  du  poljnome  4j'^  —  g2X  +  g's-  L'on  a  de  plus 

Donc,  quand  w  =  i^;^  varie  par  valeurs  purement  imaginaires 

de  G  à  oj',  la  fonction  ^=p(z^]a),  to'),  qui  est  égale  à — pl^^  —  >  /(o  j, 

c/'o^^  constamment   par    valeurs  réelles   de  —  oo  à  p(t)L)'|a),  w'), 
c'est-à-dire    de    — co    à    la    plus   petite   racine   e-^    du  polynôme 

D'une  façon  générale,  en  appliquant  à  la  fonction  p  i  v  -.-  >  to  j  et 

à  sa  dérivée  ce  que  nous  avons  vu  dans  le  numéro  précédent,  pour 
un  argument  réel,  on  a  le  résultat  suivant  : 

Quand  [^argument  a  est  purement  imaginaire,  la  fonc- 
tion pu  est  réelle  et  p' u  est  purement  imaginaire,  la  valeur  de 

la  fonction  pu  est  négative  et  toujours  inférieure  à  e^\  -.p{u) 
a  le  signe  de  ( —  i)»^+<  si  Von  a 

<ji'  Il  ,  ,   Oj' 

m-  <  -T  <  (  /?i  -I-  I  )  —  > 
Il  i 

m  étant  un  nombre  entier. 

55.  Racines  ei,  ^2,  e-^.  —  Parmi  les  racines  du  poljnome 
4.r^  —  g.jX  —  «3  la  plus  grande  et  la  plus  petite  sont  donc 

é?i  =  p((0|w,    0)'),  t^3=p(cu'|w,    co'j. 

Ces  deux  racines  étant  réelles  et  les  invariants  g^  et  ^3  étant 
réels,  la  troisième  racine  Co  est  réelle  aussi  :  elle  est  comprise  entre 
les  deux  précédentes  et  a  pour  valeurs 

^2  =  p  (  to  +  a»'  I  00 ,  to'  ). 

Ainsi,  en  désignant,  comme  nous  l'avons  fait,  par  e^,  <?2j  <?3  les 
racines  qui  correspondent  aux  demi-périodes  co,  w  H-  to',  w',  on  a 

56.  Autres  valeurs  de  u  rendant  pu  réelle.  —  Nous  trouverons 
d'autres  valeurs  de  l'argument  faisant  prendre  à  la  fonction  des 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pil.  7$ 

valeurs  réelles  en  considérant  les  développements  de  p(u -\- ii't') 
et  de  J3(î^  -H  to). 

1°  Argument  ;/ -i- w',  u  étant  réel.  —  D'après  la  définition 
même  de  pz/,  on  a 

^^  '  '  .^|_(«  —   IJLW   —  VtO    j2  ({JIOJ  -f-  VCD   )2j 

•J.=         O,        ±2,        ±4,         ..., 

V  =±:  I,      ±3,      dr  5,      

Lorsque  u  est  réel,  si  Ton  change  v  en  —  v  dans  un  terme  ima- 
ginaire de  la  série,  on  obtient  un  autre  terme  imaginaire  conjugué 
du  précédent  et  la  somme  de  ces  deux  termes  est  réelle.  Donc 
p(^u-\-iù')  est  réel  quand  u  est  réel.  On  voit,  de  même,  que  la 
dérivée 

est  réelle. 

Quand  u  croît  par  valeurs  réelles  de  o  à  w,  u  -h  to'  varie  de  co' 
à  (j)  -{-  iù'  et  p'{it  -h  ^')  ne  devient  ni  nul,  ni  infini,  sauf  pour  les 
valeurs  extrêmes  qui  annulent  toutes  deux  p'(u  -\-  to').  Ainsi 
p'(u  -\-  to')  garde  un  signe  constant  :  p{u-\-ti)')  varie  toujours 
dans  le  même  sens.  Or,  la  valeur  de  cette  fonction  pour  u  z=  o 
est^a;  pour  u  =  (û,  elle  est  <?2>^3-  Donc  p(ii-h(j)')  croît  constam- 
ment de  ^3  3l  e-2- 

D'après  cela,  le  signe  constant  de  la  dérivée  est  le  signe  +. 
Gomme  cette  dérivée  part  de  zéro  pour  revenir  à  zéro  et  reste  finie 
elle  a  un  maximum. 

Ainsi,  quand  u  croît  de  o  à  co,  p(u  -h  to')  est  réel  et  croit 
de  e^à  62',  la  dérivée  p'(u-^io')  est  réelle,  positive  et  inférieure 
à  un  certain  maximum. 

On  en  conclut  une  seconde  expression  de  la  période  réelle  20). 
En  effet,  en  faisant 

on  a 

dx 


du 


b.       et  quand   u  varie  de  o  à  o),  x  varie  de  e-i  à  Co  par  valeurs  réelles; 


74  CHAPITRE    III. 


on  a  donc,  en  intégrant  par  rapport  k  u  de  o  à  m,  et  par  rapport 
à  ^  de  e-i  à  <?.,, 


^  l\X'^ —  g-lX  — 


S^ 


2«  Argument  it~iù,  t  étant  réel.  —  Considérons  enfin  un 
argument  de  la  forme  —  oj  +  it,  ^  étant  réel.  Dans  la  formule 

faisons  w  =  —  to  -{-  /^, 

p(—  W  -f-  fVjoj,  w')  =  — jW  /  -+-  tôt   -^j    iWJ. 

la  ibnction  qui  est  dans  le  second  membre  rentre,  à  un  change- 
ment de  notation  près,  dans  le  cas  précédent. 

Quand  t  varie  de  o  à  ^  cette  fonction  varie  constamment  dans 

le  même  sens  :  il  en  est  de  même  de  la  fonction  j3(—(o  +  i7|w,  co'); 
or,  cette  fonction  part  de  e^  pour  arriver  à  ^^o  ;  elle  décroît  donc 
constamment.  Sa  dérivée  prise  par  rapport  à  ^,  ^  j3'(— co  + fV|w,  w') 
est  négative  et,  comme  elle  part  de  zéro  pour  arriver  à  zéro,  elle 
reste  supérieure  à  un  certain  minimum. 


Ainsi,  quand  t  varie  de  o  à -r  ,  p{ — to  +  it)  décroit  dee^à  e^', 

^ p\—  ^0  -i-  it)  est  négative  et  reste  supérieure  à    un  certain 
minimum. 

Comme 

p  (  CO  -{-  fV  I  tO,  Lu'  )  =  p  ( to  -1-  iV  I  OJ,  O/), 

le  même  résultat  s'applique  aux  fonctions 

p{b)-{-it)     et     ip'(M  -h  it). 

Remarque.  —  Nous  venons  de  trouver  des  valeurs  de  u  pour 
lesquelles  la  valeur  de  la  fonction  pu  est  réelle  et  nous  avons  déjà 

reconnu  que,   dans    le   cas  actuel  où  les  quantités   w  et  ^  sont 

réelles,  la  fonction  pu  peut  prendre  une  valeur  réelle  quelconque. 
Les  autres  valeurs  de  l'argument,  pour  lesquelles  la  fonction 


ÉTUDE  DES  VALEURS  REELLES  DE  pU.  J J 

prend  des  valeurs  réelles,  peuvent  se  déduire  des  précédentes,  en 
remarquant  que  l'équation 

pu  —  pv  =  o 
entraîne  (n°  43) 

à  des  multiples  près  des  périodes. 

o7.  Résumé.  —  Considérons  le  rectangle  de  sommets  o,  w, 
w  -1-  0)',  w'.  Quand  l'argument  u  décrit  le  contour  de  ce  rectangle 
dans  le  sens  o,  w,  to+co',  w',  o,  la  fonction  pu  est  réelle  et 
diminue  constamment  de  -t-  x  à  —  x  : 

1°  Quand  u  va  de  o  au  sommet  to,  pu  est  réelle  et  décroît  de  x 
à  e,  ;  p' u  est  négative. 

2.^  Quand  u  va  de  co  à  o/,  pu  décroît  de  c,  à  ^o,  jd'?<  est  pure- 
ment imaginaire  positive. 

^^  La  variable  u  allant  de  co  +  w'  à  lo\  pu  décroît  de  <?2  à  <?;$, 
p'u  est  réelle  et  positive. 

4"^  Enfin  ?/  revenant  de  to'  à  o,  J3?^  décroît  de  e-^  à  —  x;  p'w  est 
purement  imaginaire  négative. 

En  tout  point  pris  dans  le  rectangle  pu  est  imaginaire. 
II.  —  Étude  de  la  cubique  définie  par  les  équations  x  =  pu.y  =p'u. 

LEMNISCATE. 

58.   Cas  général.  —  Considérons  la  cubique  ayant  pour  équation 

où  g.2  et  ^3  désignent  des  constantes  données  quelconques.  On 
démontre,  en  Géométrie  analytique,  que  l'on  peut,  par  une  pro- 
jection centrale  ou  perspective,  ramener  l'équation  de  toute 
courbe  du  troisième  ordre  à  cette  forme. 

Construisons  la  fonction  p{u'^  «o,  g^);  nous  pourrons  exprimer 
les  coordonnées  d'un  point  de  la  courbe  (i)  en  fonction  d'un 
paramètre  w,  en  posant 

(2)  x  =  pu,         y  =  p'u. 

Al  chaque  valeur  de  u  répond  alors  un  point  de  la  courbe,  car 


76  CHAPITRE    III. 

les  fonctions  p  et  p'  sont  uniformes  :  ce  point  reste  le  même 
quand  on  ajoute  à  u  des  multiples  des  périodes  20)  et  2w'.  Réci- 
proquement, à  chaque  point  {00,  y)  de  la  courbe  répond,  dans  un 
parallélogramme  des  périodes,  u/ie  seule  valeur  de  u.  En  effet,  x 
étant  donné  seul,  l'équation 

donne,  pour  u,  deux  valeurs  u^  et  —  Ui  et  toutes  les  valeurs 
homologues  :  comme  la  fonction  p' u  est  impaire,  à  ces  deux 
systèmes  de  valeurs  de  u^  correspondent  deux  valeurs  de  y  égales 
et  de  signes  contraires  ;  ce  sont  les  deux  valeurs  que  l'on  tirerait  de 
l'équation  (i).  Si  l'on  fait  choix  d'une  de  ces  valeurs  de  y,  il  lui 
correspond  donc  une  seule  valeur  de  u,  U\  par  exemple,  et  les  va- 
leurs homologues.  La  proposition  est  établie. 

On  a  ainsi  une  représentation  paramétrique  parfaite  de  la 
courbe. 

59.  Condition  pour  que  trois  points  soient  en  ligne  droite.  — 
Soient  M<,  Mo,  M3  les  trois  points  où  une  droite  quelconque 

y  —  ax  —  b  —  o 

coupe  la  courbe.  Les  valeurs  u^,  Wo,  u^,  situées  dans  un  parallélo- 
gramme élémentaire  et  correspondant  à  ces  trois  points,  sont  ra- 
cines de  l'équation 

Y>'  u  —  a-pu  —  b  =  0. 

Le  premier  membre  de  cette  équation  est  une  fonction  ellip- 
tique d'ordre  3  :  elle  a,  dans  un  parallélogramme  élémentaire, 
trois  zéros  u^,  u^^  u^  et  un  infini  triple  homologue  du  point 
u^  o\  d'après  le  théorème  de  Liouville,  on  a  donc 

(  3  )  Wi  -h  Ui  -h  Us  =  9.  ;z  w  -t-  2  n'  w', 

n  et  n'  étant  des  entiers. 

Cette  condition  qui  est  nécessaire  pour  que  les  trois  points 
correspondant  à  ?/< ,  u^^  u^  soient  en  ligne  droite,  est  suffisante. 
En  effet,  soient  Mi,  M2,  M3  les  trois  points  correspondant  aux 
trois  valeurs  w< ,  «o?  ^^3-  Joignons  les  deux  premiers  par  une 
droite  et  appelons  M3  le  point  où  cette  droite  coupe  la  cubique 


É  T  L  D  E  DES  VALEURS  REELLES  DE  pil.  77 

et  «3  le  paramètre  correspondant.  Les  trois  points  M,,  Mo,  M', 
étant  en  ligne  droite,  on  a 

Kl  -h  U2-+-  H'i  =  *2/?ÎOJ  H-  Ifu'lM'. 

m  et  m'  entiers.  En  comparant  à  la  relation  (3)  supposée  vérifiée, 
on  voit  que  u'^  ne  diffère  de  ^^3  que  par  des  multiples  des  périodes; 
donc  M3  coïncide  avec  M3  et  les  trois  points  considérés  sont  en 
ligne  droite. 

60.  Formule  d'addition.  —  La  relation  (3)  permet  de  retrouver 
la  formule  d'addition  de  pu.  Si  l'on  appelle  u  et  ('  les  paramètres 
de  deux  points  de  la  courbe,  le  point  en  ligne  droite  avec  les 
deux  premiers  correspond  à  la  valeur  —  («4-r)  du  paramètre. 

D'après  cela,  les  abscisses  des  trois  points  d'intersection  de  la 
cubique  avec  une  droite  peuvent  être  représentées  par 

jn-,     pu,     piii^v); 
et  les  ordonnées  par 

p'ç,      p'l(.      —p'{lf-^v). 

L'équation  aux  x  des  points  d'intersection  est 

F{x)  ^^  ix^ —  ff.,^  —  i^3  —  { a X  -\-  b)-  =  o. 

On  voit  d'abord  que  la  somme  des  racines  est  —>  ce  qui  donne 
la  relation 

pu  -hpc'-f-p(«-4-  v)=  —y 

à  laquelle  il  faut  joindre  Tune  des  suivantes 

p' u  —  p' V  _  —  p'{u  -^  «- )  —  p'('  _  —  p' {n  -+-  t^)  —  p' Il 

~     pU  —  p^^     ~         p{u-:-\')  —  pV        "         pi^a-^y^)—^^u 

obtenues  en   déterminant  le  coefficient  angulaire  de  la  droite  au 
moyen  des  coordonnées  de  deux  de  ses  points. 
En  éliminant  a  on  trouve  le  théorème  d'addition 

I   fp'u  —  p'v\'^ 
^  J  ^  ^  '       \  \pu—pi>  I 

On   peut  déduire  de  la  même  équation  F(x)  =  o   une   autre 


/o  CHAPITRE    III. 

formule  d'addilion  donnant  une  expression  du  produit 

(p  U  -  pç)[pi^U  -^  ç)  —  p  V], 

qui  est  très  souvent  utile.  Posons 

Xi  =  pç,         xo=pu,         X3=:  p(a^v); 
nous  aurons  l'identité 

4 a:^—  ff-2^  —  g's—iax^  by-^fi(x  —  xi)(x  —  x^^)(x  —  a-^V 

Prenons  les  dérivées  des  deux  membres  puis  faisons  x  =  Xi, 
nous  trouverons 

i->-^i  —  ^2—  9.a{axi-i-  b)  =  _'{(x2—cri){x:i  —  xi), 

OU,  en  introduisant  les  valeurs  de  la  fonction  p  et  se  rappelant  que 

p"^^  =  6p'-^v---^o.^ 

■^■(Pl^  —  P^  )[P(«  H-  <')  -  P^]  =  P"<^  —  «P'<', 

P  "  —  ,P  ^ 
En  particulier,  si  a  =  o,  on  a  l'égalité 

p"ç  =  (.r,  —  .^,)  (3-3— ri), 

qui  donne  une  interprétation  géométrique  delà  seconde  dérivée  p"  v 
et  permet  de  trouver  son  signe  quand  elle  est  réelle. 

Addition  d'une  demi-période.  —  Ces  considérations  donnent 
une  signification  géométrique  simple  aux  formules  d'addilion 
d'une  demi-période  établies  dans  le  n°  47.  On  les  obtient  en  cou- 
pant la  courbe  par  une  sécante  passant  par  un  des  points  où  elle 
rencontre  l'axe  Ox.  Ces  points  A,,  Ao,  A3  ont  pour  coordonnées 
j^  =  o  avec 

X  =  ei,         X  =  e^,         X  —  e;{. 

Ils  correspondent  aux  valeurs  to,  to  -j-  (o',  oV  de  l'argument  i/. 
Si  donc  on  coupe  par  une  sécante  joignant  le  point 

Ai{y=o^x  =  ei) 

correspondant  à  la  valeur  to  du  paramètre  à  un  point  M'  de  la 


I 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  79 

courbe  correspondant  à  la  valeur  u  du  paramètre,  cette  sécante 
coupe  la  courbe  en  un  troisième  point  M''  correspondant  à  une 
valeur  u"  telle  que 

iù  -\-  u  -h  u"  =  1/i  vj  -h  2  n'  0)', 

et,  en  négligeant  des  multiples  de  périodes,  on  peut  prendre 
11":=  —  (u  -f  co).  Ainsi  les  abscisses  des  points  M'  et  M'  sont 

x'  =  pu,  X"  =  p  (  W  H-  O)  ). 

D'autre  part,  en  coupant  la  courbe 

y''-  =  \{x  —  e^){x  ~  e.){x  —  e^) 
par  une  sécante  issue  du  point  A, 

y  =  jn{x  —  e^), 
on  a,  pour  déterminer  les  abscisses  x'  et  .r",  l'équation 

m-ix  —  ei)  =  4(:r  —  ei){x  —  63). 

Si  dans  cette  équation  on  considère  x  —  e^  comme  l'inconnue, 
le  produit  des  racines  {x  —  e^){x"  —  e^)  a  pour  valeur 

{x—  ex){x—  ei)  =  (ei—e.2){ei—e-i). 

On  a  donc,  d'après  les  valeurs  de  x'  et  x", 

[pu^ei][p{u-i-oi)  —  ei]  =  (ei—e2)(ei  —  e3), 

ce  qui  est  une  des  formules  établies  dans  le  n^47.  On  obtiendrait 
de  même  les  deux  autres  en  coupant  par  une  sécante  passant  par 
l'un  des  points  Ao  ou  A3. 

61.  Tangentes  menées  d'un  point  de  la  courbe,  —  Menons  la 
tangente  à  la  courbe  au  point  dont  le  paramètre  est  u^  cette  tan- 
gente rencontre  encore  la  courbe  en  un  point;  soit  ç  le  paramètre 
de  ce  point.  On  a,  d'après  la  condition  qui  exprime  que  trois 
points  sont  en  ligne  droite, 

V  -^  2  u  =  1  ntii  -\-  2  n'  Lo'. 
On  en  déduit 

_        v         ■?.  n  M  -r~  2  n'  m' 


8o  CHAPITRE     m. 

Dans  cette  formule,  on  peut  donner  à  n  et  ii!  toutes  les  valeurs 
entières;  mais  deux  valeurs  de  u  qui  diffèrent  par  des  multiples 
de  2  to  et  2(o'  donnent  le  même  point  de  la  courbe;  il  suffit  donc 
de  donner  à  n  et  n!  les  valeurs  o  et  i  associées  de  toutes  les  ma- 
nières possibles.  On  a  ainsi  les  quatre  valeurs  de  u 


-  1       — f-w, hco, 

2  2  2 


Donc,  par  un  point  pris  sur  la  courbe,  on  peut  lui  mener,  en 
général,  quatre  tangentes  distinctes  de  la  tangente  au  point  con- 
sidéré. 

Points  dHnjiexion.  —  Gomme  autre  application,  cherchons 
les  points  d'inflexion.  Si  u  est  le  paramètre  d'un  point  d'inflexion, 
la  tangente  d'inflexion  coupe  la  courbe  en  trois  points  con- 
fondus avec  celui-là;  il  faudra  donc  faire  dans  (i),  à  des  mul- 
tiples près  des  périodes, 

Uy  =  lu  =  U3=  u; 
d'où 

1/10}  H-  9.7l'  tii' 

U  —  -■ 


Dans  cette  formule,  on  peut  donner  à  n  et  n  toutes  les  valeurs 
entières;  mais  deux  valeurs  de  u  qui  diffèrent  par  des  multiples 
de  2(1)  et  2  w'  donnent  le  même  point  d'inflexion.  Il  suffit  donc  de 
donner  à  n  et  Ji'  les  valeurs  o,  i  et  2  associées  de  toutes  les  ma- 
nières possibles.  On  trouve  ainsi  neuf  ^o'inis  d'inflexion  dont  les 
paramètres  sont  donnés  par  le  Tableau  suivant,  où  Un^n'  désigne 
la  valeur  de  u  correspondant  à  un  choix  déterminé  des  entiers  n 


et  n'  : 

«0,0  =  0, 

7.  m' 
«0,1=       3     ? 

4(0 

"0,2  =   -TT-' 

2(0  -1-  2(o' 

9  (0  -4-  4  w' 

«1,1                       .,              ' 

Ih,.-                 3 

1(2,0=    -Y' 

4  (0  -h  2  (o' 

4  (0  -H-  4  <j^' 

'"              3 

Ces  points  sont  trois  à  trois  en  ligne  droite  ;  la  droite,  qui  joint 
deux  quelconques  d'entre  eux,  passe  par  un  troisième;  on  a,  par 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  p  M.  8l 

exemple, 

^'0,0+  "1,1+  "2,2  =  2W  -i-  2(1)'. 

Le  premier  point  Uq^q  est  rejeté  à  Tinfini  dans  la  direction 
de  Oy. 

6!2.  Condition  pour  que  3n  points  de  la  cubique  soient  sur  une 
courbe  d'ordre  n.  —  Cherchons  d'abord  la  condition  pour  que  six 
points  de  la  cubique  soient  sur  une  conique. 

Si  l'on  coupe  la  cubique  par  une  conique 

Xx^-h  iBxy  -\-  GjK--h  2Da7  -^  2Ej'  -h  F  =  o, 

l'équation  qui  détermine  les  paramètres  des  points  d'intersection 
s'obtiendra  en  remplaçant  x  ei  y  par  pu  et  par  pu.  Le  premier 
membre  de  cette  équation  est  une  fonction  doublement  périodique 
qui,  dans  un  parallélogramme  élémentaire  comprenant  l'origine, 
admet  zéro  comme  pôle  d'ordre  6  et  n'admet  pas  d'autre  pôle; 
l'équation  admet  donc  six  racines  (n^^  38  et  39)  et  la  somme  de  ces 
racines  est  nulle,  à  des  multiples  près  des  périodes. 

Ainsi  la  condition  nécessaire  pour  que  six  points  de  la  cubique 
soient  sur  une  conique  est  que  les  paramètres  de  ces  six  points  vé- 
rifient l'égalité 

«1-^  «2  M-  «3 -H  "v-f-  U'^-r-  «6  =  2/i  w  -i-  into'. 

La  condition  est  suffisante  car  si  elle  est  remplie,  la  conique, 
passant  par  les  cinq  premiers  points,  coupe  la  cubique  en  un 
sixième  point  dont  le  paramètre  u'^  doit  être  congruent  à  Uq. 

On  obtiendrait,  de  même,  la  condition  pour  que  Z/i  points  de 
la  cubique  soient  sur  une  courbe  d'ordre  n.  Cette  condition  est 

Par  exemple,  une  autre  cubique  coupe  la  cubique  donnée  en 
neuf  points  qui  doivent  être  assujettis  à  une  condition,  puisque, 
par  neuf  points  donnés,  il  ne  passe,  en  général,  qu'une  seule 
cubique.  Le  théorème  précédent  exprime  cette  condition  de  la 
façon  la  plus  simple. 

Ce  théorème  a  de  très  nombreuses  applications  géométriques, 
nous  en  donnerons  seulement  quelques  exemples. 

A.  ET  I-.  6 


82  CHAPITRE    III. 

Applications.  —  i'^  Lorsque  six  des  neufs  points  d'intersection 
de  deux  cubiques  appartiennent  à  une  même  conique  les  trois 
autres  points  sont  en  ligne  droite. 

En  effet,  soient  u^^  u^^  •  . .,  ih  les  paramètres  des  neuf  points 
suivant  lesquels  la  cubique  donnée  est  coupée  par  une  autre 
cubique,  on  a  la  condition 

OÙ,  comme  dans  tout  ce  qui  suit,  le  signe  =  indique  que  l'égalité  a 
lieu  à  des  multiples  de  périodes  près.  Supposons  que  les  six 
premiers  points  appartiennent  à  une  même  conique,  on  aura  cette 
autre  condition 

et  l'on  déduit  de  ces  deux  conditions  l'égalité 

qui  exprime  bien  que  les  trois  derniers  points  sont  en  ligne  droite. 
Le  théorème  est  donc  démontré. 

2°  Si  l'on  considère  une  conique  variable  passant  par  quatre 
points  fixes  pris  sur  une  cubique,  la  droite  qui  joint  les  deux 
points  d'intersection  mobiles  passe  par  un  point  fixe  de  la  cubique. 

Soient  u^^  lu^  ih,  u.\,  Uô,  iH  les  paramètres  des  six  points  d'in- 
tersection, les  quatre   premiers   se  rapportant  aux  points    fixes. 

Posons 

Ui^  u-i-\-  uz-^  "4=  <^; 

V  est  une  constante.  La  relation  qui  exprime  que  les  six  points 
considérés  de  la  cubique  sont  sur  une  conique  devient 

p  -H  Ms  -+-  if  6  =  o  ; 

elle  exprime  que  les  points  dont  les  paramètres  sont  u-^,  u&  et  t' 
sont  en  ligne  droite.  Gomme  ç  est  le  paramètre  d'un  point  fixe,  la 
proposition  se  trouve  démontrée. 

Courbes  de  contact.  —  Les  applications  suivantes  sont  relatives 
à  des  courbes  de  contact,  c'est-à-dire  à  des  courbes  qui  ont  avec  la 
cubique  plusieurs  points  d'intersection  confondus. 

3°  Considérons  d'abord  des  coniques  trois  fois  tangentes  à  la 


ETUDE  DES  VALEURS  REELLES  DE  pil.  83 

cubique;  si  l'on  désigne  les  paramètres  des  points  de  contact  par 
Ui,  Uo,  U3  on  doit  avoir 

ou  bien 

u  i  -\-  Ui  -î~  Uj  =  n  (M  -r-  /l'oj'; 

il  suffit  de  donner  à  chacun  des  nombres  entiers  n  et  //les  valeurs 
de  o  et  I . 

Si  l'on  prend 

n  =  o,         n'  =  o, 

l'égalité  exprime  que  les  trois  points  sont  en  ligne  droite.  C'est 
le  cas  où  la  conique  se  réduit  à  une  droite  double  ;  écartons  ce  cas  ; 
il  reste  trois  familles  de  coniques  correspondant  aux  relations 

Ul  -+-  U.2-T-  U:i^  W, 
M|  -f-  U2-r-  ^3^=  10'. 
Iti  -h  «2  H-  ?/3  SS  tu  -i-  w'. 

On  peut  donc  choisir  arbitrairement  deux  des  points  de  contact 
pour  chaque  conique  d'une  famille.  Prenons  une  conique,  de  la 
première  famille  par  exemple;  si  l'on  fait  passer  une  conique  par 
les  trois  points  de  contact  u^,  ii.,^  W3,  elle  rencontrera  encore  la 
cubique  en  trois  points  u\,  u[-^,  u.^  et  l'on  aura 


U\-^  i(i-\-  lis  -^  Il  i  -^  if .,  ^  u.^  =  2  n(ji  -h  î/i'to'. 

De  cette  relation  et  de  la  condition  déjà  vérifiée  par  //,,  ;/o,  ?/;$, 
on  déduit 

//',   -h    «2   -+-    U'^   EES    tO, 

et  l'on  voit  que  les  trois  nouveaux  points  sont  aussi  les  points  de 
contact  d'une  conique  trois  fois  tangente  à  la  cubique  appartenant 
à  la  même  famille. 

4*^  Cherchons  encore  les  points  de  la  cubique  où  la  conique  oscu- 
lalrice  a  un  contact  du  cinquième  ordre,  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  les  coniques  qui  rencontrent  la  cubique  en  six  points  con- 
fondus. 

On  doit  avoir  pour  le  paramètre  du  point  de  contact 

6  u  ^^  -m  to  -h  1  n'  to', 


84  CHAPITRE    III. 

OU  bien 

n  n'       , 

M=    --20)+-—  20). 

6  6 

Chacun  des  nombres  entiers  n  et  n'  peut  prendre  toutes  les  va- 
leurs de  o  à  5,  ce  qui  donne  6^=  36  points. 

On  trouve  parmi  ces  points  les  neuf  points  d'inflexion  qu'on 
obtient  en  considérant  les  tangentes  d'inflexion  comme  des  droites 

doubles,  puis 

62—32=  27 

points  de  contact  de  véritables  coniques  surosculatrices.  Ces 
points  sont  six  par  six  sur  des  coniques. 

63.  Cas   particulier  où  w  et  —  sont  réels.  Forme  de  la  courbe. 

Nature  de  l'argument  donnant  des  points  réels.  —  Nous  allons 

maintenant  examiner  le  cas  particulier  où  co  et  —  sont  réels,  de 

façon  à  avoir  une  représentation  géométrique  des  résultats  du 
paragraphe  précédent.  Dans  ce  cas,  la  courbe  a  pour  équation 

OÙ  e<,  <?25  ^3  sont  réels  et  rangés  par  ordre  de  grandeur  dé- 
croissante. Pour  que  jv"  soit  réel  il  faut  que  x  soit  compris  entre  e-^ 
et  e-j.  ou  plus  grand  que  e^.  On  voit  immédiatement  que  la  courbe 
est  formée  d'une  ovale  A3  A2  et  d'une  branche  infinie  K^  de  nature 
parabolique,  sur  laquelle  la  tangente  tend  à  devenir  parallèle  à  Oy 

{f'g-  S)- 

Cherchons  quelles  valeurs  il  faut  donner  à  u  pour  obtenir  les 

point  réels  de  la  courbe.  D'abord,  pour  obtenir  les  points  de  la 

branche  infinie,  il  faut  donner  à  u  des  valeurs  faisant  varier  x  de 

e^  à  -f- 00,  c'est-à-dire  des  valeurs  réelles.  Puis,  pour  obtenir  les 

points  de  l'ovale,  il  faut  donner  à  u  des  valeurs  faisant  varier  x 

de  ^3  à  e2^  c'est-à-dire  des  valeurs  de  la  forme  u  -\-  to',  u  étant  réel. 

On  peut  facilement  suivre  sur  la  courbe  la  marche  du  point 
{x^y)  quand  l'argument  prend  ces  deux  systèmes  de  valeurs. 

Supposons  d'abord  u  réel;  il  suffit,  à  cause  de  la  périodicité,  de 
le  faire  varier  de  —  to  à  -|-  to,  en  remarquant  que  des  valeurs  de  u 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  85 

égales  et  de  signes  contraires  donnent  des  points  de  la  courbe  sy- 
métriques par  rapport  à  O^r.  Quand  u  croît  de  o  à  to,  :r  décroît 
de  +  30  à  e, ,  j^  croît  de  —  go  à  o  :  on  a  donc  la  branche  infinie  de 
courbe  située  au-dessous  de  O^  et  venant  aboutir  au  point  A, 
dont  les  coordonnées  sont  e,  et  o.  Au  point  A,  la  tangente  est  pa- 
rallèle à  Oy  puisque  -r-  =z  p'  u  s'annule  pour  u  =  lù  ei  que  -r-  ne 


» 


s'annule  pas  pour  celte  valeur.  Quand  u  varie  de  o  à  —  w,  on  ob- 
tient la  branche  de  courbe  symétrique  de  la  précédente  par 
rapport  à  O^.  Nous  avons  ainsi  construit  la  partie  de  la  courbe 
donnée  par  des  valeurs  réelles  de  l'argument. 

Supposons  maintenant  l'argument  de  la  forme  u  H-  w^  et  faisons 
varier  w,  par  valeurs  réelles,  de  o  à  (o;  ;r  croît  de  e^  à  eo;  ^  est 
positif,  varie  d'une  manière  continue  et  part  de  zéro  pour  revenir 
à  zéro.  On  a  donc  la  branche  de  courbe  située  au-dessus  de  Ox 
et  allant  du  point  A3(e3,o)  au  point  A2(e2,o);  les  tangentes 
en  A3  et  Ao  sont  parallèles  à  Oy.  L'argument  étant  toujours  de 
la  forme  ii-{-bi',  en  faisant  varier  m  par  valeurs  réelles  de  o  à  — w, 
on  obtient  le  deuxième  arc  de  l'ovale  symétrique  du  premier  par 
rapport  à  0;r.  Nous  avons  ainsi  construit  la  partie  de  la  courbe 
(ovale)  correspondant  aux  valeurs  de  la  forme  u-h  ^',  u  réel. 


86  CHAPITRE    III. 

Tangentes  parallèles  à  Ox.  Signe  de  p"u.  —  Gomme  on  a 
y  =:  p'  u^  les  valeurs  de  u  correspondant  aux  points  où  la  tangente 

est  parallèle  àO^  sont  racines  de  l'équation  -^  =o  ou  p"  u=^o.  La 

fonctionp'^w,  qui  est  paire  et  d'ordre  4,  a,  dans  un  parallélogramme, 
quatre  zéros  deux  à  deux  égaux  et  de  signes  contraires.  Il  y  a  donc 
sur  la  courbe  quatre  points  où  la  tangente  est  parallèle  à  O^. 
Deux  points,   les  points  B,  et  B2,  sont  seuls  réels  :  en  effet  les 

abscisses  de  ces  points  sont  racines  de  l'équation  -^  =  o  ou,  d'a- 
près l'équation  de  la  courbe,  12^2 —  o-^rzz  o.  Cette  équation,  dont 
le  premier  membre  est  la  dérivée  du  polynôme  4^^  —  g2^  —  ^3^ 
a  une  racine  a  entre  (?<  et  ^2  et  une  autre  ^  entre  eo  et  e^',  cette 
dernière  seule  donne  des  points  réels  84  et  B2. 

L'identité  2p''z/=  12^2^^  —  ^^__j2-2^2  —  ^2  donne  le  signe  de 
p"u.  Sur  la  branche  infinie,  ^>  a,  p" a  est  positif.  Pour  l'ovale, 
sur  l'arc  Bi  A2B2,  p'^  u  est  négatif,  car  x  est  alors  compris  entre  les 
deux  racines  a  et  p  de  12^-  —  g2',  sur  l'arc  Bi  A3B2,  p'^ u  est  po- 
sitif, car  ^  est  inférieur  à  j3. 

Tangentes  menées  par  un  point  de  paramètre  v.  —  Nous 
avons  vu  que  les  quatre  points  de  contact  correspondent  aux  va- 
leurs du  paramètre 


V 

V 

\> 

} 

h  to, 

h  to', 

— 

'2 

•1 

2 

On  peut  donc,  par  un  point  P  pris  sur  la  courbe,  mener  quatre 
tangentes,  en  général  distinctes  de  la  tangente  au  point  considéré. 
Lorsque  v  est  réel,  pour  deux  des  points  de  contact,  l'argument 
est  réel;  pour  les  deux  autres  il  est  de  la  forme  w'-f-  u^^  u^  étant 
réel.  Donc,  lorsque  le  point  P  est  pris  sur  la  branche  infinie,  les 
quatre  tangentes  sont  réelles  :  deux  des  points  de  contact  sont  sur 
l'ovale  et  les  deux  autres  sur  la  branche  infinie.  Lorsque  v  est  de 
I9  forme  co'-|-  Cj,  V\  étant  réel,  on  a 

p  _  to'         Pi 
'111 

Les  arguments  des  points  de  contact  ne  sont  ni  réels,  ni  de  la 
forme  to'-f-  Wi,  u^  étant  réel  (à  des  périodes  près).  Par  un  point  P 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  87 

pris  sur  l'ovale  on  ne  peut  pas  mener  à  la  courbe  une  tangente 


réelle. 


Points  d'inflexion.  —  Nous  avons  trouvé  plus  haut  neuf  va- 
leurs du  paramètre  donnant  les  neuf  points  d'inflexion.  Dans  le  cas 
particulier  que  nous  examinons  ici,  trois  de  ces  valeurs 


20)  4^' 


sont  réelles;  elles  donnent  trois  points  d'inflexion  réels  situés  sur 
la  branche  infinie,  le  premier  à  l'infini,  les  deux  autres  aux  points 
I,  et  lo  symétriques  par  rapport  à  O^.  Ces  trois  points  sont  en 
ligne  droite. 

64.  Dégénérescence.  Cas  d'un  point  double.  —  Supposons  le 
discriminant  gl —  27  O3  nul.  La  cubique  a  alors  un  point  double. 
Une  des  périodes  203'  est  infinie  (n°'23  et  37)  et  pu  se  réduit  à 


X  =  pu  = +  7—1 

^  120)2  ^to2 


20> 


d'où 

„       COS 

,  r3  2  w 

X  =  p  ii=-  —     .      ^^a 

sin3  — 


La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  les  trois  points 
correspondant  aux  valeurs  z^,,  Uo.  ih  du  paramètre  soient  en 
ligne  droite  est  alors 

WiH-  U2-\-  113=  2/lW, 

où  n  est  un  entier.  C'est  ce  qu'il  est  aisé  de  vérifier.  En  eff'et  les 
valeurs  de  u  correspondant  aux  trois  points  d'intersection  de  la 
cubique  avec  la  droite  A.^  +  Bj  +  C  =  o  sont  alors  racines  de  l'é- 
quation 

kpu  -^Bp' u-i-  C  =  0, 

ou,  en  désignant  par  a,  6,  c  d'autres  constantes, 

-u 

COS 

I  ,  20) 

a -7-  b h  c  =  o, 

sin2  —  sin3 


88  CHAPITRE    III. 

équation  du  troisième  degré  en 


t  —  cot  —  ; 

20) 


a(r -I-  ^2)  4- 6  ^(i -f-  ^2)  _|_  c  =  o. 

La  somme  des  produits  des  racines  deux  à  deux  étant  i  on  a, 
d'après  la  formule  donnant  la  cotangente  d'une  somme, 


d'où 


cot {Uy-^-  U^-^  U^)=  20, 


2  00 


ce  qui  est  bien  la  relation  indiquée.  Actuellement  il  n'y  a  plus  que 
trois  points  d'inflexion;  car  en  faisant  U\  =  i^2=  ?^3=  u-,  on  a 


0  i^  =  2  7iW, 

d'où  trois  valeurs  donnant  des  points  distincts 

,  „        2W  ,„       4oj 

U  =  O,  U    =   —,  Il     =   -—' 

Ces  points  sont  en  ligne  droite  car 

U'-+-  u"-\-  U"'=  2  0). 

Cas  d'un  point  de  rebroussement.  —  Si  ^2  =  ^'3=0  la  cu- 
bique devient 

elle  a  un  rebroussement.  Alors  les  deux  périodes  w  et  w'  sont  in- 
finies; on  a  (n°  23)  : 

Les  trois  valeurs  de  u  correspondant  à  trois  points  en  ligne 
droite  vérifient  alors  la  relation 

wi  4-  ^2  -i-  W3  =  o  ; 

en  effet,  elles  sont  racines  d'une  équation  de  la  forme 

—  4-  —  -h  6  =  o, 

qui,  rendue  entière,  ne  contient  pas  de  terme  en  u-. 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  89 

Il  n'j  a  plus  qu'un  point  d'inflexion,  car  en  faisant 


on  a 


«1=   "2=   '^3=   U, 
3  M  =  O. 


Ce  point  d'inflexion  est  d'ailleurs  rejeté  à  l'infini. 

60.   Rectification  de  la  lemniscate.  —  Soit  une  lemniscate  ayant 
pour  équation  en  coordonnées  polaires 


L'arc  OM  =  s  {fig-  6),  compté  à  partir  du  point  double  où 
est  nul,  est  donné  par  les  formules 

1  dr 


ds=/dr-2^r-^M-^  = 


/T 


=  f 


2  dr 


■0     A  —  r" 
Faisons  le  changement  de  variable 


il  vient 


on  a  donc  une  intégrale  de  la  forme 

dz 


f  — 


avec 


0-3  =zr  o.  On  en  conclut 


()0  CHAPITRE    III. 

On   a    ainsi    une   représentation  géométrique    de  la  fonction 
p{s;  I,  o)  pour  les  valeurs  réelles  de  l'argument. 

Actuellement  les  racines  e^,   e^.  e^  sont  -?  o  et Les  ex- 

pressions 


c  est-a-dire 


ou  encore 


v/2  —  7-2 

I 

\/i  sin6 

} 

r 

I 

-  y 
r 

y/â  cos6 

sont  des  fonctions  uniformes  de  s  exprimées  par  les  quotients 

0^1(5)        tfaC^)        0^3(0. 

On  a  ainsi  une  représentation  géométrique  de  ces  trois  fonctions 
pour  le  cas  ^2  =  I ,  ^3  =  o. 

La  demi-période  réelle  est  donnée  par 

Elle  est  égale  au  quart  de  la  longueur  totale  de  la  lemniscate,  car 
en  revenant  à  la  variable  r,  on  a 

rv'^     idr 
^=    /         n r' 

ce  qui  est  la  longueur  de  l'arc  OA. 

III.  —  Pendule  sphérique.  Corps  pesant  de  révolution. 
Élastique  gauche. 

66.  Pendule  sphérique.  —  Le  pendule  sphérique  est  constitué 
par  un  point  pesant  mobile  sans  frottement  sur  une  sphère  fixe. 
Prenons  pour  origine  le  centre  de  la  sphère  et  pour  axe  des  z  une 
verticale  dirigée  vers  le  haut.  En  coordonnées  semipolaires  l'équa- 
tion de  la  sphère  est 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pu.  9I 

en  désignant  par  /  la  longueur  du  pendule.  Le  mobile  est  soumis 
à  l'action  de  deux  forces,  son  poids  et  la  réaction  normale  de  la 
sphère;  le  théorème  des  forces  vives  donne  donc 


De  plus,  les  deux  forces  étant  dans  un  même  plan  avec  l'axe 
des  Zj  on  peut  appliquer  le  principe  des  aires  à  la  projection  du 
mouvement  sur  le  plan  xOy  : 

/'2  d'I  =  Cdt. 

'h  désignant  l'angle  polaire.  Ces  trois  équations  déterminent  Zj  r 
et  à  en  fonction  de  t. 

Cherchons  d'abord  à  déterminer  z  :  il  faudra  pour  cela  éli- 
miner /'  et  ^.  L'équation  des  forces  vives  peut  s'écrire 


De  l'équation  de  la  sphère,  on  tire  r^=^l'-  —  z-;  d'autre  part, 
l'équation  des  aires  donne 

Cdt  Cdt 


d'}^  = 


/^~ 


Portant  ces  expressions  dans  l'équation  des  forces  vives,  on  a 
une  équation  de  la  forme 

où  ^{z)  désigne  le  polynôme  du  troisième  degré 

On  en  déduit  le  temps  t  et  l'angle  à  en  fonction  de  z  par  des 
intégrales  elliptiques. 

Pour  que  -^  soit  réel,  il  faut  que  cp(^)  soit  positif.  Ce  polynôme 

a  ses  racines  réelles  :  en  effet,  appelons  ^o  la  valeur  initiale  de  z 
et  substituons  dans  cp(^)la  suite  des  nombres  +00,  /,  ^07  —  ^j  nous 
trouverons,  pour  les  résultats  des  substitutions,  les  signes  +,  — 5 
H-,  — ,  car  Zq  rend  évidemment  ^{zq)  positif,  la  valeur  initiale 


9>'  CHAPITRE    III. 

dz 
de -jT  étant  réelle.  Il  j  a  donc  une  racine  z^  de  ^(^)  entre  +  co 

et  /,  une  autre  Z2  entre  /  et  z^^  une  troisième  z^  entre  ^0  et  —  /. 
Ainsi  les  nombres  de  la  suite 

•^li        '1       -^2'        -So,        ^3,        l 

sont  rangés  par  ordre  de  grandeur  décroissante.  La  variable  z  par- 
tant de  Zq  ne  peut  varier  que  dans  l'intervalle  Z2  z^. 

Calcul  de  z.  —  La  coordonnée  z  est  donnée  en  fonction  d(>  t 

par  l'équation  (i)  d'après  laquelle  i^(-f-)   est  égal  à  un  polynôme 

cp(^)  du  troisième  degré  en  z.  Pour  en  tirer  z  par  une  fonction 
elliptique  de  t,  nous  commencerons  par  faire  un  changement  li- 
néaire de  variable  de  la  forme 

(2)  ^  =  M5-f-N, 

où  s  désigne  la  nouvelle  inconnue  et  M  et  N  deux  constantes  telles 
que  l'équation  (i)  prenne  la  forme 

(3)  (|)'  =  4^3- #',.-«•,. 
Par  la  substitution  (2)  l'équation  (i)  devient 

^^^  \dt)    ~  ÏVP-/2  -  '     M2/2 

Pour  identifier  avec  la  forme  (3),  il  faut  égalera  4  le  coeffi- 
cient de  5^  et  à  G  celui  de  s^  dans  le  deuxième  membre.  On  a  ainsi 

(5)  M  =  — ,         ^=~' 

g  ^g 

L'équation  prend  alors  la  forme  (3)  à  condition  d'attribuer  aux 
constantes  g^  et  g^  des  valeurs  convenablement  choisies. 

Gomme  le  polynôme  0(5)  a  trois  racines  réelles  iJi  >  ^2  !>  ^3? 
le  polynôme  transformé 

cp(M5  +  N)        ,   , 


ETUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pil. 

a  trois  racines  réelles  g,,  eo,  e-^ 


93 


(6) 


^1— N 


£2— N 


^3  = 


-33— N 


et  l'on  a  e,  >  (?2>  ^3,  car  M  est  positif. 

Construisons  alors  la  fonction  pu  avec  les  invariants  g.2  et  g^; 
celte  fonction  vérifie  l'équation 

'•>          /    ,                                   o(Mpïf-hN) 
p^a  =  4p3«-  -2pz^-^3=   -^     ^^^^^^ ^. 

Si  donc  on  pose 

s  =  pu,         z  =:Mpu  -i-N, 

u  étant  regardé  comme  fonction  du  temps  t,  l'équation  (4)  devient 


d'où 


du  \  2 
dl)    =•' 


du 
dt 


±1. 


On  peut  toujours  prendre  le  signe  H-,  car  pu  étant  paire,  on 
peut  changer  le  signe  de  u.  On  a  alors 

z/  =  ?  H-  const. 

Cherchons  maintenant  de  quelle  forme  est  la  constante.  Comme 
la  valeur  trouvée  pour  M  est  positive,  la  relation 

z  =  Mp^^4-N 

montre  que  s^=^pu  varie  dans  le  même  sens  que  z.  Donc  quand  z 
décroit  de  ^2  à  ^3,  pu  décroît  de  e-^  à  63,  u  —  to'  est  donc  réel  et 
Ton  a 

si  l'on  compte  le  temps  à  partir  de  l'instant  où  ^  =  ^^3. 

La  demi-période  réelle  to  est  le  temps  que  met  z  à  varier  de  z-. 


Calcul  de  'b.  —  L'angle  -i;  est  défini  par  l'équation  différentielle 

Cdt 


d'h  = 


l-^—z.i 


94  CHAPITRE     III. 

que  nous  écrirons_,  en  remarquant  que  dt  =:  dii^ 

Dans  cette  équation,  il  faut  remplacer  z  par  sa  valeur 

z  =  Mpu-h  N; 

le  coefficient  de  du  est  alors  une  fonction  elliptique  de  u  que 
nous  allons  décomposer  en  éléments  simples,  de  façon  à  pouvoir 
intégrer. 

Considérons  deux  arguments  a  et  b  définis  par  les  relations 

(7)  /  =  Mj3a-f-N,         -/  =  Mp6  +  N, 

ces  arguments  sont  définis  aux  signes  près;  nous  verrons  plus  loin 
comment  il  convient  de  choisir  leurs  signes.  Alors  l'expression 
de  dà  devient 

-,        C  du. 


•1 M  l  \      pu  —  p  a        pif'  -  p  b 

G 
où  il  reste  à  donner  une  forme  simple  au  coefficient  -irr-/* 

Pour  cela  remarquons  que  le  poljnome 

^(z)  _  o(^]pu-i-N) 

se  réduit  à  —  ivïiTi  V^^^  z=^  l  et  :;  =  —  /,  c'est-à-dire  pour  u  =  a 
et  H  =^  b;  comme  on  a  identiquement 

o{Mpu-+-N} 

on  trouve,  en  faisant  successivement  u  =z  a  et  u  =z  b. 
Nous  prendrons,  en  extrayant  les  racines, 


ce 


qu'on  peut  toujours  faire,  car  jusqu'à  présent  les  signes  de  a 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pu.  gS 

et  b  n'étaient  pas  déterminés;  nous  les  déterminons  par  le  choix 
de  signes  que  nous  venons  de  faire  pour  p' a  et  p' b. 
On  peut  donc  écrire 


.  d^  p'  b  p'  a 

1l-ir-  = 


du        pu  —  p  b        pu  —  pa 

La  décomposition  du  second  membre  en  éléments  simples  se 
fait  en  appliquant  deux  fois  la  formule  (64)  du  n'*  44 

2  1-7^  =       tiU'-^a)  —  "^{u  —  «)  —  'i-X>(^i 
—  t{u  4-  6)  -+-  tiu—  b)  ^  2tb. 

En  intégrant  et  en  remontant  des  logarithmes  aux  nombres  ou 

trouve 

„.,  ^^^Ciu-^  a)  :f(u  —  b)    „   ,y,   „  . 

cf^u  —  a)  a'(u  ^  b) 

La  constante  d'intégration  —  E^  se  détermine  par  les  condi- 
tions initiales. 

L'angle  à  est  ainsi  exprimé  en  fonction  du  temps. 

Expressions  de  x  et  y.  —  On  a 

er.\=  ^+^>  =  _  E-^  ^^'^^^^^  ^iu-b)  ^,„(.,_^^,^ 
X  —  iy  ':i {^u  —  a )  :i {u  ^  b ) 

D'autre  part,  d'après  l'équation  de  la  sphère, 

yx  -^  iy){x  —  iy)=^  {l  —  z){l  ^  z)=  —  ^r'{pu~pa){pu—pb), 
cf{u-r-a):t{u  —  a)  :f(u-\-b):f(u  —  b) 


(^+i»(;r-i»  =  -M2 


:^^uz^'-b 


En  multipliant  membre  à    membre   les  égalités  qui   donnent 

et  (^  H-  iy){x  —  iy)  on  obtient  [x  +  iy)-^ 


IV 


ly 


^^^  cf(u  ^  a)  a'(u— b)      ,y,   y. 
•^  :ia:ib:i-u 


on  en  conclut 

\  ^^  'iiu  —  a^  :i{u  -^-  b)        ,y.    y  , 

"^  V.  <  n  '■i  h  ~fi  II 


'^  a  :j  b  :^'^  u 


Enfin,  remplaçons  M  par  sa  valeur  en   fonction  des  éléments 
elliptiques,  valeur  qui  peut  s'obtenir  en    retranchant  membre  à 


96  CHAPITRE    III. 

membre  les  égalités 

—  /  =  Mp a  4-  N,         —  /  =  Mp 6  H-  N 
M  =  r  =  —  'il 


pa  —  pb  '^    (j{a-t-b)a'{a  —  b  ) 

9.cfa:fb  c^(u-ha)a'(u  —  b)      ,y,    y  , 

x-h  IV  =—  /E j- — ; ^ \    ^ _Ze«(^/^-^«\ 

•^  a'i^a  -{-  b)  a'ia  —  b)  a'-ii 

h  (^ {a -+-  b)  r^ {a  —  b)  a'^ii 

Oii  a  ainsi  ^,  y,  z  exprimés  en  fonctions  uniformes  de  t. 
Quand  t  augmente  de  203,  z  reprend  la  même  valeur,  l'angle  po- 
laire ^  augmente  d'une  certaine  constante. 

67.  Corps  pesant  de  révolution  suspendu  par  un  point  de  son 
axe.  —  Prenons  pour  origine  le  point  de  suspension  O,  pour  axes 
liés  au  corps  l'axe  de  révolution  O^  et  deux  axes  perpendicu- 
laires, pour  axes  fixes  la  verticale  ascendante  Oz^  et  deux  axes 
perpendiculaires.  On  démontre  en  Mécanique  (^)  que  les  angles 
d'Euler  0,  cp,  tj;,  qui  définissent  la  position  des  axes  liés  au  corps 
par  rapport  aux  axes  fixes,  sont  donnés  en  fonction  du  temps  par 
les  formules  suivantes.  D'abord,  en  posant  cosQ  =  3,  on  a 

(.)  (^^^y  ^  (a  -  mz){x-z^)-{^  -  nz.Y=J\z\ 

OÙ  m,  /?,  a,  p  désignent  des  constantes,  dont  la  première  m  est 
positive,  de  sorte  que  f{z)  est  un  polynôme  du  troisième  degré. 
On  a  ensuite 

^^^  dt  i  —  z^   ' 


f/cû  cF^ 


o 


/'o  désignant  une  autre  constante. 

Il  s'agit  de  tirer  de  ces  équations  B,  '^,  tj;  en  fonction  du  temps. 
Les  calculs,  comme  on  va  le  voir,  présentent  une  grande  analogie 
avec  ceux  que  nous  venons  de  faire  pour  le  pendule  sphérique. 


(')  Voir  Appell,  Traité  de  Mécanique,  t.  II,  n°  402. 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    p  U.  97 

Celle  analot^ie  peut  aller  jusqu'à  l'identité,  car,  dans  le  cas  parti- 
culier où  le  corps  pesant  de  révolution  se  réduit  à  un  seul  point 
matériel,  il  constitue  un  pendule  spliérique. 

Le  polynôme /(:?)  est  négatif  pour  les  valeurs  —  x,  —  i  et  -f-  i 
de  Zf  tandis  qu'il  est  positif  pour  la  valeur  initiale  Zq  de  z  qui 

rend  nécessairement-^  réel  et  pour  +  oo.  Il  a  donc  ses  trois  ra- 
cines Zij  Z2,  Z3  réelles  et  comprises  respectivement  dans  les  inter- 
valles (+x,  +  i),  (+1,  Zo)  et  (::c,  —1). 

Calcul  de  z.  —  Commençons  par  faire  un  changement  linéaire 
de  variable 

où  M  el  N  sont  des  constantes  choisies  de  telle  façon  que  l'équa- 
tion en  s  prenne  la  forme 

(4)  [j^)      =,.3_.,,_.3. 

Par  ce  changement  l'équation  (i)  devient 


(.-,)  (^'Y  -  /(M5^\) 


dt)  M  2 


On  déterminera  les  coefficients  M  et  N  de  façon  à  rendre  égal 
à  4  le  coefficient  de  5^  et  à  o  celui  de  s-;  après  cette  détermina- 
tion, qui  donne  pour  M  la  valeur  positive  M  =  -i,  on  pourra 
écrire 

(^)  ' y^:, =453-^^25  —  ^^3, 

à   condition   de  donner  aux  invariants  go   et  g^  les  valeurs  qui 
rendent  le  premier  membre  identique  au  deuxième. 

Les  racines  du  polynôme /*(:?)  étant,  par  ordre  de  grandeurs  dé- 
croissantes Zij  Z2^  z^^  celles  du  polynôme  transformé  en  s  seront 

^1=-^^.      ^■^=-yr-'      '^=—1— 

Pour  que  /(z)  soit  positif  il  faut  que  z  partant  de  ^0  varie 
entre  z.2  et  ^3;  donc  s  devra  varier  entre  Co  et  e^. 

Si  l'on  construit  la  fonction  pu  aux  invariants  §2  ^^  qs^  cette 

A.  ET  L.  7 


98  CHAPITRE    III. 

fonction  vérifiera  l'équation 

(7)  P^^^=  ^^ ^, =  \p^u  —  f^^.pu  —  g:i. 

Nous  poserons  alors  s^=^pu  en  regardant  a  comme  une  fonction 
de  t^  et  l'équation  (5)  deviendra 


c'est-à-dire 


/ du\         ,    ^ 


/ du \ 2  _  du 

\dt )  ~^'      m 


OÙ  nous  prenons  -j-i,   car,  pu  étant   paire,   on   peut    toujours 
changer  u  de  signe.  On  a  alors 

u  z=:  t  -\-  const., 

et,  comme  s  =::  pu  doit  rester  compris  entre  Co  et  63,  u  —  in'  doit 
être  réel.  Nous  ferons 

(8)  U^t-^Lù'] 

alors  pour  ^  =  o,  w  =  to',  j:>^/  =  e^,  :;  =:  z-:^. 

Le  temps  est  donc  compté  à  partir  d'un  instant  oi!i  .-  =  ^3. 

En  résumé^  nous   avons  exprimé  z    en  fonction  uniforme  du 
temps  par  la  formule 

^  —  Mj3  U  -\-  N,         u  =  t  -^  io'. 

La  demi-période  co  est  le  temps  que  met  z  à  varier  de  z^  à  ^2  et 
inversement. 


Calcul  de^.  —  On  a 

V-  +  I 

Remplaçant,  dans  cette  expression,  z  par  sa  valeur 

z  —  Mpi^  +  N, 

et  dt  par  du^  on  est  ramené,  pour  avoir  h^  à  intégrer  une  fonction 
elliptique.  Pour  faire  cette  intégration  il  faut  décomposer  la  fonc- 
tion elliptique  du  second  membre   en    éléments   simples.   Pour 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  pU.  99 

cela,  déterminons  deux  arguments  constants  a  el  b  par  les  condi- 
tions que  pour  u  =  a,  z  devienne  égal  à  i  et  pour  uz=  b^  z  de- 
vienne égal  à  —  I 

^^^  j  Mp6-f-N=  — I. 

Ces  arguments  sont  déterminés  aux  signes  près  par  ces  deux 
équations^  si  l'on  regarde  comme  équivalentes  deux  valeurs  de  a 
ou  deux  valeurs  de  b  ne  différant  que  par  des  multiples  des  pé- 
riodes. On  aura  alors 


du 


u  ~  2.M  \pu  —  pô        pu  —  paj 


Les  rapports  ^-^Tj-^j  ^-^. —  s'expriment  d'une  manière  simple  à 

l'aide  de  a  et  b.  Remarquons  pour  cela  que  le  polynôme  f{z)  se 
réduit  à  —  (,3  —  n)-  pour  ^  =  i  et  à  —  ([j  +  /?)-  pour  ^  =  —  i . 
Donc  la  fonction  /(M  J3  u  +  N)  sç  réduit  à  —  ([^  —  /?)-  pour  u=z  a 
et  à  —  (?  +  fi)'  pour  u  =  b.  Mais  comme  on  a  identiquement 

on  a,  en  faisant  successivement  u  =:  a  el  u  =:  b^ 

p-a= ■ — —- }  p2^r= —TTZ 

En  extrayant  les  racines,  nous  prendrons 

"■  —  "  .3-4-/1 


p'a=  i'-y^'  P'^   =   ^■'      ^y 


en  choisissant  convenablement  les  signes  de  a  et  ^  qui  jusqu'ici 
étaient  restés  indéterminés.  Nous  aurons  alors 

.d'b  p' h  p'a 

du       pu  —  pb        pu  —  pa 

L'intégration  s'effectue  comme  dans  le  cas  du  pendule  sphé- 
rique. 

Si  l'on  appelle  a",  ^3",  ^Mes  cosinus  des  angles  que  fait  l'axe  Oz 


lOO  CHAPITRE    III. 

du  corps  avec  les  axes  fixes  O^r,,  Oyi,  O^i,  on  a 

de  plus  a!'  et  '^'^  sont  les  coordonnées  Xi  et  jr<  du  point  situé  sur 
Taxe  du  corps  à  une  distance  i  du  point  O;  en  appliquant  une 
méthode  identique  à  celle  que  nous  avons  suivie  pour  calculer  ^ 
et  y  dans  le  pendule  sphérique,  avec  ce  seul  changement  que, 
actuellement,  /  se  trouve  remplacé  par  i,  on  trouve 


(^{a-h  b)c^{a  —  b)  cf^u 

o.-ja^b  !^{a  —  «)<3'( 

\i  Cj  {a -\- b )  :f  {a  —  b)  a"^u 


/3"  ==      L  o-^(i^h  ^{a-a)^{u^b)  ^_„(^^_ç^, 


avec 

Il  =  t  -\-  0)'. 


Calcul  de  cp.  —  On  a 


d^  B  —  nz 


-7:-  =  /'o  —  -^  -77  =■  ''0  —  z 
dt  dt  1 


Décomposant  le  second  membre  en  fractions  simples,  il  vieni 


d'^j  I  /  j3  -f-  /î       S  —  n 

dt  '2 


Remplaçons  ^  par  M j3?^  H- N  et  introduisant  comme  tout  à  l'heure 
les  arguments  a  et  ^,  on  a 


do 

5^  =  '-»- 

i 

'2  1 

(         P'^             1              P'^         ' 

V. 

[pu—pa        pu  —  pb, 

1' 

d'où,  en  décomposant  en  éléments  simples, 

iH-  tiii  —  a)  —  t{u 
-hl{ii  —  b)  —  t(u^b)-ho.t,b, 


2  j  ~,  '-  —  Q.i(7'o  —  /z  )  +  t(ii  —  a)  —  il(u-i-a)-i-2ta 
du  /       -  /       - 


et  en  intégrant 


(^{u  -i-  a)  (j'{u  -T-  b) 

la  constante  G  se  détermine   en   écrivant,  par  exemple,  que  ©  est 
nul  pour  ^  =  o,  c'est-à-dire  u  =  to'. 


KTLDE     DKS    VALEURS    RKELLLS    DE    pil.  lOI 

68.  La  courbe  élastique  gauche  (').  —  Il  s'agit  de  trouver  la 
figure  d'équilibre  d'une  tige  flexible  dont  la  section  est  circulaire 
et  qui  est  soumise  à  l'action  de  forces  appliquées  seulement  à  ses 
extrémités. 

Si  l'on  choisit  convenablement  les  axes  de  coordonnées,  on 
Irouve  pour  définir  la  courbe  cherchée  les  équations  dillérentielles 


(0 


y^'- 

—  z 

y"  = 

OLX' 

-h 

?r, 

z'  x'  ■ 

—  X 

~>r  

^y 

— 

?^, 

x'y". 

-y 

x"  = 

OLZ' 

-^ 

V. 

dans  lesquelles  x\  )',  z\  x" ,  y,  z"  désignent  les  dérivées  par 
rapport  à  l'arc  s  des  coordonnées  x^  y,  z  et  a,  3,  v  des  constantes 
dont  les  deux  premières  sont  essentiellement  positives. 

Ajoutons  membre  à  membre  les  équations  précédentes  après 
avoir  multiplié  les  deux  membres  de  chacune  d'elles  respective- 
ment par  x',  j>'',  ^';  en  tenant  compte  de  la  relation 

nous  trouvons 

(•2)  a+ 3(jV— j-y)-f- Y;;'  =  o 

et  en  difl*érentiant  le  premier  membre  par  rapport  à  s 

(3)  ^^{yx"-xy)---^iz"=o. 

Multiplions  maintenant  par  x  les  deux  membres  de  la  première 
équation  difl'érentielle,  paroles  deux  membres  de  la  deuxième  et 
ajoutons,  il  vient 

z"  {^y  -y^')—  z'i^y —y^")=  "^i^^'  -^  yy')^ 

et  si  l'on  remplace  xy  —  yx'  et  xy"  —  yx"  par  leurs  valeurs 
en  fonction  de  z'  et  de  z"  tirées  des  équations  (2)  et  (3). 

z" {  OL  -^  ^'^  z')—  z  'iz"  =^  CL  '^{xx  -^ yy'), 

ou  encore 

^{xx'-^yy')^z\ 


(  »  )  Voir  Hermite,  Sur  quelques  applications  des  fonctions  elliptiques,  p.  gS  : 
et  une  Note  de  M.  J.  Bertrand  dans  la  Mécanique  analytique  de  Lagrange 
(édition  publiée  par  M.  Darbouv,  t.  I,  p.  460). 


102       CHAPITRE    III.   —    ETUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    pu. 

En  intégrant  et  en  désignant  par  8  une  nouvelle  constante 

Ainsi,  des  équations   dififérentielles   données  (i),  nous  pouvons 
déduire  le  système  suivant 

P  (  xx'  -+■  yy'  )  =  z" 

Servons-nous  maintenant  de  l'identité 

{xx' ^ yy' y- -^ iyx'  —  xy' Y  =^  {x^ -^ y'^){x"^ ^ y'^), 

nous  obtiendrons,  pour  déterminer  5',  l'équation  différentielle 

Dans  le  cas  particulier  oLiy=o,  cette  équation  différentielle 
a,  au  signe  de  z'  près,  la  même  forme  que  celle  qui  s'est  présentée 
à  propos  du  pendule  sphérique  et  s'intègre  de   la  même  manière. 

Si  y  ^  o,  l'équation  différentielle  ne  diffère  de  celle  qui  donne 
z  =  cos9,Mans  le  mouvement  d'un  corps  grave  de  révolution,  que 
par  le  signe  de  z' -^  la  méthode  suivie  dans  ce  dernier  cas  s'applique 
donc  sans  difficulté  au  cas  de  l'élastique  gauche  et  l'on  pourrait 
d'ailleurs  mettre  les  problèmes  en  équation  de  manière  à  aboutir  à 
des  équationsMifférentielles  identiques. 

D'après  [un  théorème  dû  à  Rirchhoff,  l'axe  d'un  pendule  sphé- 
rique ou  d'une^toupie  dont  la  pointe  est  fixe  reste  toujours  parallèle 
à  la  tangente  à  une  courbe  élastique  gauche,  le  point  de  contact 
de  la  tangente  décrivant  la  courbe  avec  une  vitesse  constante  ('  ). 


(')  Voir  Greenhill,  Fonctions  elliptiques,  p.  820  et  824,  Poincaré,  Leçons 
sur  la  Théorie  de  l'Élasticité,  p.  201. 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    III. 


io3 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  III. 


i.  Déterminer  les  paramètres  des  points  de  contact  des  tangentes 
menées  à  la  cubique  x  =  pu,  y  =  p' ii  par  le  sommet  Ai  de  la  branche 
infinie  (co  et  w'  réels). 

En  conclure  que,  Ox  étant  supposé  horizontal, 'si  l'on  considère  le  point 
le  plus  haut  de  l'ovale  on  peut  prendre  pour  paramètre  de  ce  point  une 
quantité  de  la  forme  «  H-  to',  a  étant  une  quantité  réelle  comprise  entre  o 


et  - 
'1 


11  suffit  pour  le  voir  de  prendre  un  argument  u 


de  faire  varier 


de  o  à  —  et  de  remarquer  que h  tu'  correspond  à  une  tangente  menée  du 

sommet  Ai. 

2.  Le  rapport  anharmonique  des  quatre  tangentes  menées  à  la  cubique 
par  un  point  P  pris  sur  la  courbe  reste  constant  quand  le  point  P  se  dé- 
place sur  la  cubique. 

On  peut  obtenir  ce  rapport  anharmonique  en  fonction  des  coordonnées 
du  point  P  et  des  coordonnées  des  quatre  points  de  contact.  On  exprime 
ensuite  ces  coordonnées  à  l'aide  des  paramètres  elliptiques  correspondants 
et  l'on  applique  la  formule  de  l'exemple  2,  page  63. 

3.  Si  l'on  appelle  points  correspondants  d'une  cubique  deux  points  tels 
que  les  tangentes  en  ces  points  vont  se  couper  sur  la  courbe,  il  y  a  trois 
points  correspondants  d'un  point  donné  et,  en  désignant  par  ii  le  paramètre 
du  point  donné,  on  peut  prendre  comme  paramètres  des  points  correspon- 
dants 

li  -^  to,     u  -7-  to',     Il  H-  w  -T-  co'; 

chacune  des  demi-périodes  définit  un  des  trois  systèmes  de  correspondance. 
Si  l'on  considère  deux  couples  de  points  correspondants  du  même  sys- 
tème :  A,  A'  d'une  part,  B,  B'  d'autre  part,  les  droites  qui  joignent  les  points 
non  correspondants  AB.  A'B'  ou  AB',  BA'  se  coupent  sur  la  courbe  et  les 
deux  nouveaux  points  sont  des  points  correspondants  dans  le  même  sys- 
tème. 

4.  Sur  la  cubique  définie  par  les  équations 

^  =  pu,         r  =  p'u, 

on  prend  deux  points  dont  les  paramètres  diffèrent  d'une  constante  p;  la 
droite  qui  joint  ces  deux  points  enveloppe  une  courbe  de  sixième  classe. 
Dans  le  cas  particulier  où  p  a  l'une  des  valeurs 


I04  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    III. 

l'enveloppe  est  une  courbe  de  troisième  classe  (qui  se  présente  ici  comme 
comptée  deux  fois). 

Dans  l'équation  de  la  droite  joignant  les  deux  points  on  remplace  les 
coordonnées  courantes  par  les  coordonnées  a^o  ,^o  d'un  point  Pq,  l'équation 
en  u  ainsi  obtenue  a  six  racines  dans  un  parallélogramme  élémentaire. 
Dans  le  cas  particulier  ou  p  =  w  par  exemple,  l'équation  en  u  ne  change 
pas  quand  on  change  u  en  u  -\-  to. 

Remarque.  —  La  cubique  donnée  peut  être  regardée  comme  la  hessienne 
d'une  autre  cubique  G  et  cela  de  trois  manières  différentes;  les  courbes 
de  troisième  classe  qui  viennent  d'être  définies  sont  les  cayleyennes  des 
trois  cubiques  G  (^). 

5.  Si  deux  systèmes  de  trois  droites  ont  huit  de  leurs  neuf  points  d'in- 
tersection sur  une  cubique,  le  neuvième  point  d'intersection  est  aussi  sur 
la  cubique. 

Gette  proposition  peut  se  vérifier  directement  à  l'aide  de  la  condition 
pour  que  trois  points  soient  en  ligne  droite;  elle  peut  aussi  se  déduire  d'un 
théorème  démontré  n°  62. 

Si  l'on  appelle  tangentiel  d'un  point  m  d'une  cubique  le  point  où  la  tan- 
gente en  m  rencontre  encore  la  cubique,  les  tangentiels  de  trois  points  en 
ligne  droite  sont  en  ligne  droite. 

La  droite  qui  joint  deux  points  d'inflexion  va  passer  par  un  troisième 
point  d'inflexion  ;  on  remarque  qu'un  point  d'inflexion  se  confond  avec  son 
tangentiel. 

6.  Déterminer  les  points  d'inflexion  de  la  cubique 

en  étudiant  la  variation  du  coefficient  angulaire  de  la  tangente. 
On  trouve  pour  les  déterminer  l'équation 

p'ap"'u-{p"uY=o, 

ou  en  posant  ;r  =  p  ^^,  l'équation 

f(^x)=x'*—]^giX-^  —  g^x—^(^^-gA    =0, 
dont  la  dérivée  est 

J'(X)  =  4^73—  ^2^  —  ,^3  =  O. 

Si  g2  et  gs  sont  réels,  cette  équation  a  deux  racines  réelles  et  deux  racines 
imaginaires  conjuguées.  Ces  racines  sont 

2C0  2  w'  /2  a)  2W    \  /2W  2  Ci) 


p^.  p—>  n^s-^x;-  p  "3"--3-'' 


{")  Voir  Clebsch  (Lindemann),  Leçons  sur  la  Géométrie,  t.  II,  p.  38i. 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    III.  io5 

si  on  les  désigne  par  «,  b,  c,  d  elles  vérifient  la  relation 

2  S  =z(a  —  b)-[c  —  d)--^{a  —  c)(a  —  d)(b  —  c)(b  —  d)=  o^ 

qui  s'obtient  en  appliquant  les  formules  (7)  et  (9)  page  G2  (S  est  un  inva- 
riant de  l'équation). 

7.  Étant  donnés  trois  points  P,  Q,  R  sur  une  cubique,  déterminer  un 
triangle  ABC  dont  les  sommets  soient  sur  la  courbe  et  dont  les  côtés 
passent  respectivement  par  les  points  donnés  P,  Q,  R. 

Il  y  a  quatre  solutions.  Si  les  trois  points  P,  Q,  R  sont  en  ligne  droite, 
les  sommets  de  l'un  des  triangles  sont  en  ligne  droite  :  il  reste  seulement 
trois  triangles  proprement  dits. 

8.  Si  Ton  considère  une  conique  ayant  deux  fois  un  contact  du  deuxième 
ordre  (trois  points  confondus)  avec  une  cubique,  la  droite  qui  joint  les 
points  de  contact  va  passer  par  un  point  d'inflexion. 

9.  Si  l'on  considère  l'une  des  trois  tangentes  menées  d'un  point  d'in- 
flexion le  point  de  contact  est  tel  qu'il  existe  une  conique  ayant  en  ce 
|)oint  avec  la  cubique  un  contact  du  cinquième  ordre  (six  points  confondus). 
Retrouver  que  le  nombre  de  ces  coniques  est  27. 

10.  On  mène  la  tangente  à  une  cubique  en  un  point  Po  ;  soit  Pi  le  point 
où  cette  tangente  rencontre  de  nouveau  la  courbe.  On  mène  la  tangente 
en  Pi,  soit  Pj  le  point  où  cette  tangente  rencontre  de  nouveau  la  courbe. 
On  détermine  ainsi  une  suite  de  points 

Poj       Pi>        •  •  •>       Pr> 

dont  chacun  est  le  tangentiel  du  précédent.  Trouver  la  condition  pour  que 
le  contour  ayant  ces  points  pour  sommets  successifs  se  ferme  et  forme  un 
polygone  de  r  côtés. 

On  écrit  la  relation  qui  existe  entre  les  paramétres  de  deux  sommets 
consécutifs  et  l'on  exprime  que  P^  coïncide  avec  Pq;  on  trouve  que  le  para- 
mètre de  Po  doit  satisfaire  à  la  condition 

•?.  m  tO  -\-  2  71  <o' 
U,i—  : y 


mais  il  faut  encore  examiner  si  le   polygone  correspondant  à  une  solution 
a  bien  /-  côtés. 

Par  exemple,  pour  r  =  3  on  trouve  parmi  les  solutions  les  tangentes 
d'inflexion  comptées  trois  fois. 


CHAPITRE  IV. 

ÉTUDE  SPÉCIALE  DES  NOTATIONS  DE  JACOBI. 


I.  —  Fonctions  de  Jacobi. 

69.  Objet  du  Chapitre.  —  Les  séries  et  produits  à  double  entrée 
employés  pour  définir  les  éléments  a*,  Ç,  p,  Z,  H  à  l'aide  desquels 
on  peut  exprimer  toutes  les  fonctions  elliptiques,  peuvent  être 
remplacés,  aussi  bien  dans  la  notation  de  M.  Weierstrass  que  dans 
celle  de  Jacobi,  par  des  séries  à  simple  entrée  beaucoup  plus  ra- 
pidement convergentes. 

Nous  allons  exposer  ici  les  notations  de  Jacobi  :  nous  avons 
d'ailleurs  montré  comment  on  passe  d'un  système  de  notations  à 
l'autre,  en  donnant  la  relation  entre  les  fonctions  H  et  a*  (n°  40). 


70.   Périodes.  —  Nous  avons  déjà  dit  que  le  rapport  —  des  deux 

périodes  doit  être  imaginaire,  sans  quoi  le  réseau  des  parallélo- 
grammes n'existerait  pas.  On  peut  toujours  changer  le  signe  de  m 
ou  de  Cl)',  car  une  fonction  admettant  pour  périodes  2  co  et  2m' 
admet  aussi  pour  périodes  — 2(x>  et  2  to'  par  exemple.  Nous  pou- 
vons donc  choisir  les  sigaes  des  périodes  de  façon  que  dans  le 

rapport—  le  coefficient  de   i  soit  positif;  c'est  là  ce   que  nous 

supposerons  toujours.  Jacobi  désigne  les  périodes  par  2  K  et  2  ^*K'  ; 

dans  le  cas  particulier  oii  K  et  K'  sont  réels,  le  rapport  -7^  doit 

être  positif.  Nous  pourrons  employer  tantôt  l'une  tantôt  l'autre 
manière  de  désigner  les  périodes  :  on  se  rappellera  que 

0)  =  K,        oi'  =  iK' . 
Si,  dans  le  cas  général,  on  pose 

a  =  e  ^   =  e      ^  , 


ÉTUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS     DE    JACOBI.  IO7 

le  nombre  </  a  un  module  plus  petit  que  V unité,  car  la  partie 
réelle  de  l'exposant  - —  est  négative. 


71 .  Développement  en  série  simple  de  la  fonction  Z  u.  Valeur  de  o. 
—  La  fonction 

construite,  comme  nous  l'avons  expliqué,  avec  les  périodes  2  0j 
et  2  0)',  a  pour  pôles  simples  de  résidu  -\-  i  tous  les  points 

u  =  1  m  (x>  -\-  1  n  i}i\ 

où  jn  et  n  prennent  toutes  les  valeurs  entières  positives,  négatives 
et  nulles. 

Nous  allons  construire  cette  fonction  d'une  autre  manière,  en 
formant,  à  l'aide  d'une  série  de  cotangentes,  une  fonction  ayant 
les  mêmes  pôles  et  les  mêmes  résidus  que  Z.  Le  point  de  départ  de 
la  méthode  réside  dans  ce  fait  que  la  fonction 

-^  cet  -^{u  —  int'j')-^  const., 

où  n  est  un  entier  déterminé,  a  pour  pôles  simples  de  résidu  -l-i 

tous  les  points 

u  —  ijim'  —  Q.moj, 
ou 

u  =  imtM  -+-  in  m',         (/?i  =  g,  =h  i,  ±  2,  .  . .,  di  ^o). 

Considérons  la  fonction 

U„  =  -^    cot-^(u  —  into') —  /  L 

2W  L  iCO  J 

où  n  désigne  un  entier  positif;  elle  admet  comme  pôles  simples, 
avec  le  résidu  -f- 1,  tous  les  points 

Il  =  0. n oi' -{- 2 ?7i oi  (m  =  G,  dz  I,  ±  2,  . . .). 

Cette  fonction  peut  s'écrire 

cos^^  (u  —  inai') —  i  sin— ^(«  —  2/ico') 
U   _ — , 

2(1>  '  "^      /  'N 

sin  —  (u  —  2AIC0  ) 

2C0 


f08  CHAPITRE     IV. 


TlM'l 


ou  en  introduisant  la  quantité  q  =  e  ^^  , 


TZia  Tiiii 


_  /Tc  e     2w  qri  _  ^^       e      ^  q^"^ 


I  —  e      ^^  ^2/i 
(]ette  forme  de  U/^  montre  que  la  série 


^v, 


est  convergente,  à  la  façon  d'une  progression  géométrique  dont  la 
raison  serait  q'-. 

Considérons  de  même,  en  supposant  maintenant  n  entier  et  né- 
gatif, la  fonction 

V/i  =  ~     cot  -^  (u  —  2  /i  w'  )  +  H  ; 
:>.  iû  L         2  tu  ^  '         ] 

elle  admet  comme  pôles,  avec  le  résidu  +  i,  tous  les  points 

Il  =  iniù' -\- 177HO,         m  =z  o,±i ,  ±2,  . . .: 
on  peut  l'écrire 


e  f>  q 
et  l'on  voit  que  la  série 


2^'" 


est  convergente. 

Nous  allons  vérifier  que  la  fonction 


00 

- ,        "      Tzu     v^  '^  r     '^  /  ,s- 

f\Uu)=    cot  -  -4-       > COt^ (U  —  '2/100   ) —  l 

2  W  2  W  ,^mà     2  (.0   [  2  W 

n  —  l 

—  oo 

-4-      >      —      COt-^(z^  —  2  11 
jàml    2  W   L  2  tu 


W    )  -f  -   l 


est  identique  à  Z(w). 

D'abord  cette  fonction  <ï>(w)  est  impaire  comme  Z(w);  on  le  vé- 
rifie immédiatement  en  écrivant  la  série  qui  donne  $( —  u)  :  cette 
série  est  égale  à  —  ^(ii).  La  fonction  <!>(  u)  a  les  mêmes  pôles  et 


E  T  l  D  K    S  !>  E  C  I  A  L  E    DES    NOTATIONS    DE    J  A  C  0  B  1 .  1 09 

les  mêmes  résidus  que  Z(u).  Elle  satisfait  aux  relations 

^(u  -h  "210')=  ^( u) -- 

La  première  de  ces  relations  est  évidente,  car  chaque  cotangenle 
admet  la  période  2(o;  la  deuxième  se  trouve  en  formant  la  diffé- 
rence 

^(  n  -f-  2  to' )  —  't*{ii  ) 

et  remarquant  que,  dans  la  différence  des  deux  séries,  les  termes 
se  détruisent  deux  à  deux  sauf  deux  termes  — ^  • 

2t'J 

Considérons  alors  la  fonction 

(^etle  fonction  est  régulière  en  tous  les  points  à  distance  finie,  car, 
dans  le  voisinage  d'un  point 

K  =  2  /ti  tu  H-  -2  n  to', 
un  a 


fU  (  //  '.  — 

* 

-^  fonction  régulière 

^^"'-  u- 

■>.  m  co  — 

2  II  OJ  ' 

7  i  I»    \  

I 

—  fonction  régulière 

V       /  — 

1 

u  —  1  m  M  —  1  n  co 

cl,  en  retranchant,  on  voit  que  ^\ii)  est  régulière  au  point  con- 
sidéré. En  outre,  d'après  les  relations  que  vérifient  ^[u)  et  Z(u), 
on  a 

W{U  4-  'l(.u)   =  W(u), 

■\ 
W (u -h  'lio' )  =  ^\u) -. -' 

En  répétant  un  raisonnement  qui  a  déjà  été  fait  (n*^  2i)  on  voit 
(jue  la  fonction  T(?/)  est  une  constante  et  de  plus  que  l'on  a 

i- 

0  =  - — 
2 

Ainsi 

<i>(z/)=  Z{u)-\-  const. 

Cette  constante  est  nulle  puisque  ^{u)  et  Z(?/)  sont  impaires 
toutes  les  deux. 


IIO  CHAPITRE    IV. 

En  définitive,  on  a  obtenu  pour  Z(?^)  le  développement 

00 

L(u)=    COt h       >      col (il  —  2710)) Il 

9AÙ  '2  W  j^^     31 W    [_  2  OJ  J 

n-i 

—  00 

■+-     7     — ^    col  —  (u  —  2nM' )-i-  i\. 

De  plus,  en  se  rappelant  que   l'on  a  posé  o 
voit  que  l'on  a  démontré  la  relation  suivante 


i- 


72.  Fonction  H.  —  Nous  avons  déjà  défini  la  fonction  H  comme 
une  fonction  dont  la  dérivée  logarithmique  est  Z.  L'expression 
simple  que  nous  venons  de  trouver  pour  Z  va  nous  donner,  par 
intégration,  un  produit  très  convergent  servant  à  définir  H.  Le 
problème  se  pose  comme  il  suit  : 

Trouver  la  fonction  dont  la  dérivée  logarithmique  est 

„  ,  -         t:  ?^       v^   -  r        TT   ,  f  X       n 

L{U)—    COt h    > COt  {U  +  2  11  (0  )  -f-  ï 

2  OJ  •>.  (0  AU  2  (0  L  2  OJ  J 

/;  =  1 

00 

-f-  >   —     COt  -^  (  a  —  2  iito  )  —  i\. 

j^2lù[  2  OJ  ^  ^  J 

Pour   écrire    le    second    membre,   nous    avons,   dans   une   des 
sommes  qui  figurent  dans  Z?/,  changé  n  en  —  /^. 
Si  l'on  intègre  entre  o  et  u  le  terme 


on  trouve 


—     COt  -^  (  u  -h  2  11  w'  )  4-  i     , 
2  co  [         y.  w  J 


sin  --'—  (u  -\-  2  fiiù  ) 

2  Lu  ir.u 

Loii- , \ 


.      n  TCO)  2  w 

sin 


puis  en  remontant  des  logarithmes  aux  nombres 


sin  (  /i  +  2  11  M   )     /,ci 

■ -, e-'^ 

.       Il  ~M 

Sin 


ETUDE     SPECIALE    DES    NOTATIONS    UE    JACOBI.  III 


OU  bien 


- — {u  +  în(ù'j  — - — iu-h2niù')\    

n  (o  II  o)' 

/  t: —it: 

e       ^  —  e         ^ 


ou  enfin,  en  effecluant  au  numérateur  puis  en  multipliant  les  deux 

n 

termes  par  e     ^  , 

iTZii 

I  —  <7-«e~w~ 
I  —  (j^"- 


l-^-^-n^ 


On  a  donc 

7  -^\  cot-^(  Il -\-  in  oj')-{-  L 

Jmd  1 0J  L  '-*  <'J 

On  voit  de  même  que 

V    ~    r         ~                     fx        1        d  ^       T-ri  — 7*"e      ^ 
>   —    cet  —  (  Il  —  ?.no/)  —  i\=  --  Log  I  I  ^- 

n—l'  rt  =  1 

Nous  avons  ainsi  les  expressions  des  deux  sommes  qui  entrant 
dans  Z(u). 
D'ailleurs 


TT  d     ^  .TU 

cet Il  ^  -j-  Lo2;  sin 

>oj  du       °        2o> 


Donc  on  peut  écrire 


Z(u)=^^H(u), 


en  posant 


\l{ii)  =  G  sin  ^  JTii  -  q-''e~^)[i 


q-  '  e 


iT.u 
la  Cl) 


OÙ  G  désigne  un  facteur  constant.  On  trouve  enfin,  en  effectuant 
le  produit  des  deux  facteurs  du  terme  général, 

H(z«)  =  G  sin—  I   I  (  I  —  iq'^n  cos  —  +  q'*" 

n  —  l 

73.  Développement  de  H(zi)  en  série  trigonométrique.  —   Le 
produit  n   qui  figure  dans  l'expression  ci-dessus    de  H(w)  peut 


I  I.i  CHAPITRE    IV. 

élre  ordonné  suivant  les  puissances  positives  de  cos-^  :  comme 
une  puissance  positive  de  cos-  est  égale  à  une  somme  de  cosinus 
des  multiples  de  -^j  on  voit  que  le  produit  fl  peut  être  développé 


11  =  CqH-  Cl  COS h  c-i  cos 


Pour  avoir  H(w)  il  faut  multiplier  par  A  sin —  ;  on  peut,  dans 
le  produit  obtenu,  remplacer  chaque  terme  de  la  forme 


.    'Ku         mz  II 

m  —  cos 

'2  M  LO 


par  une  différence  de  sinus.  On  est  ainsi  conduit  pour  H(;/)  à  un 
développement  de  la  forme  suivante,  où,  d'après  les  notations  de 
Jacobi,  nous  faisons  to  =  K ,  co'=  i'K'  : 

Tj/      X  .      T.U  .       StZU  .      ^  T.  Il 

n{u)  =  «0  sin  — 7  +  «1  SIM  — -- — h. .  .+  «/i  s\n(iii  +  i  i  -,,  -i-. .  ., 

'2  K  2  K  '2  Iv 

OU  bien,  en  remplaçant  les  sinus  par  des  exponentielles 

Il(w.)=        Ao^-'^     +   Aie  2K      ^_  A.e  aK-^....^,  A,,e"~~'2K 
—  A^e     2K    _  Aie      ^K~_,,_ 
Pour  déterminer  Ao,  A, ,    .  .  . ,  on  se  sert  de  la  formule  (26)  du 
n"  21  où  l'on  remplace  0  par  sa  valeur  — 


On  a  ^ 


H(wH-2«K')=         Ao^e2»v     4_     Ai^3e  2K      _;_     Aa^^e  2iv     _|_._ 
D'autre  part 


ITIU  SiTlll  aiTXll 

Ao-e     '-^'^   _Ai— e"~^ir  -  A. —^  e      ^^  -.... 
q  q^  '  q- 


1 

'1 

e 

2K 

H( 

u) 

= 

Ao 

e 

iTZll 
2K 

+ 

.          iTlll 

9 

-i- 

A2 

9 

3/71// 

e  2K 

— 

A_o 

e 

3  /  7r  /< 

~2ir 

— 

9 

5iTZIl 
2  k 

— 

... 

• 

ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOB  I.  l  l3 

Identifiant  ces  deux  séries,  on  a  les  relations  compatibles 


_A,=-,Ao,        -A.  =  -,3A, 


A«=-5r2/e-lA„_,,  ... 


Ao  — 5  -^1 5       -  '^1  — 3  Ao,       .  .  .  ,       —  A„_i  = 


q  q-  q 

qui  se  réduisent  à 

Ai  =  — 7-Ao,        A2  =  — ^*Â,,         ...,         A;,  =  — ^2«\^^_,^ 
d'où,  en  multipliant  membre  à  membre, 

On  a  donc 

(  2  n  +  1  )  — —  _  (  -2  «  4- 1  )  ——■ 


A«, 


ll{u)=  B^{—\)'iq'n+\)s\n{in-\-i) 


2K 


=  B  (  sin  ^  —  ^2  sin  -^'  ^...^(_  i).v^«(«+i)  sin(2/i  H-  i)  —  -i-. . .. 

Le    coefficient   B  peut   être   choisi    arbitrairement,    car    jus- 
qu'ici H(w)  n'a  été    défini  qu'à   un  facteur  constant  près.    On 

prend  B  =  2//'^  et  l'on  a  pour  H(z^)  le  développement 


.     o-?i 


H(ï<)  =  27^  sin  --   ~'iq*  sin  — — -  -f-  27  *  sin 

^  2lv  ^  2  k  ^ 


Tk" 


4«--|-4n  -t-1 


{-\Yiq 


2l\ 


OU  encore 


^         2  k  ^  2  k  ^  2  k 


H-  ( —  i)"2  V  7'-""^^''  sin(2/i  -h  I)  -^  • 

2k 

Cette  série  converge  très  rapidement,  plus  rapidement  qu'une 

progression  géométrique,  car  les  exposants  de  </*  croissent  comme 
les  carrés  des  nombres  entiers. 

Quand  il  sera  nécessaire  d'indiquer  les  périodes  avec  lesquelles 
est  construite  la  fonction  H(;^)  nous  écrirons  cette  fonction 
H(mjK,  ïK'),  notation  analogue  à  celle  que  nous  avons  employée 
pour  du  en  écrivant  a'(?^|co,  to'). 

A.  ET  L.  g 


Il4  CHAPITRE    IV. 

74.  Fonctions  H,  Hi,  0,  0i  de  Jacobi.  —  Nous  avons  vu  que  du 
et  H(z/)  sont  analogues  à-^— sin — -  tandis  que  pu  est  analogue  à 


- — ^  ^--  En  Trigonométrie  on  introduit,  en  même  temps  que 


ces  fonctions,  celles  qu'on  en  déduit  en  ajoutant  à  l'argument  u 
une  constante  w  égale  à  la  moitié  de  la  période  20),  et  l'on  pose 

IZll  .71, 

cos  —  =  sin  —  (m  +  w). 

De  même,  à  côté  de  la  fonction  ]A.[u)  construite  avec  Jes  pé- 
riodes 2  K  et  2iK^,  on  considère  les  fonctions  obtenues  en  ajou- 
tant successivement  à  l'argument  u  les  demi-périodes  K,  K'  et 
K-h  i¥J ^  ou  du  moins  des  fonctions  qui  ne  diffèrent  de  celles-là 
que  par  des  facteurs  exponentiels  simples. 

En  désignant  par  \  l'exponentielle 

linéaire  en  w,  on  définit  les  fonctions  Hi,  0,  6i  par  les  égalités 

0(^0    =l-ll{ii^iK'\ 

(1)  \  ik 

0i(a)  =  ^H(w-t-K-HfK'); 

les  deux  dernières  montrent  immédiatement  que 

(2)  0i(tO  =  0(«^-t-K), 

car,  si  l'on  ajoute  K  à  ?/,  X  se  reproduit  multiplié  par  —  i. 

Voici  quelques  détails  sur  les  expressions  de  ces  fonctions  par 
des  séries. 

Tout  d'abord  la  formule 

Hi(tO  =  H(w-hK) 
donne,  pour  définir  Hi(z^),  la  série 

4/-        ^u         4/-^        3t?^  ,      4/   ,o„^i,3        {in-h\)T.u 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  Il5 

OU  en  remplaçant  les  cosinus  par  des  exponentielles  et  en  re- 
marquant que  —  (2/?  -h  i)  =  2( — n  —  i)  -h  i 

On  peut  encore  donner  une  autre  forme  à  cette  série  en  consi- 
dérant l'exposant  de  e  qui  est  du  second  degré  en  (2/1  +  1), 
comme  formé  par  les  deux  derniers  termes  du  développement  de 


4KK 

On  a  ainsi 


Passons  maintenant  à  la  fonction  0, .  On  a  par  définition 


Oi 


nz= —  00 

Dans  la  nouvelle  série  le  nombre  pair  (2/2-1-2)  prend  toutes 
les  valeurs  de  — 00  à  4- 00;  on  peut  le  remplacer  par  2/1,  on  trouve 
alors 


e,(u)  =  e  •^^^'  2 


série  analogue  à  celle  qui  définit  H,(z/),  mais  où  figure,  dans  le 

terme  général,  un  nombre  pair  2n  à  la  place  de  (2/1  -h  i). 

Quand  on  augmente  u  de  i'K'  les  sommes  qui  figurent  dans  les 

expressions  de  H,  (u)  et6,(w)  s'échangent  l'une  dans  l'autre.  lien 

est  donc  de  même  pour  H,  (u)  et  0,  (u)^  à  un  facteur  près  prove- 

—  JUll 
nant  de  l'accroissement  de  l'exposant  de  e   ''^*^ .  On  vérifie  ainsi 

les  égalités  suivantes  qui  résultent  aussi  des  équations  (i) 
Hi(w  -h  iK')  =  r^K*'"^'^'  e,{u)  =  l  ei(w). 


Il6  CHAPITRE    IV. 

La  série  qui  définit  la  fonction  0,  (w)  peut  s'écrire  en  effectuant 
la  multiplication  de  chaque  terme  du  second  membre  par  e  *'''' 


ou,  en  associant  les  termes  qui  correspondent  à  deux  valeurs  de  n 
égales  et  de  signes  contraires 

^.,                             7ÎU             ,         ir^u                         ,         jitlU 
0i(w)  =  1  +  27  cos— — h  'iq'*  cos  —  ; h.  .  .+  iq'^'  cos  — r; h 

Enfin,  la  quatrième  fonction  0(z/)  peut  se  définir  au  moyen  de 

l'égalité 

0(w)=:ei(w  +  K); 
on  a  donc 

0(m)  =  I  —  2^  COS-iT h  2(7*  COS  -— h.  .  .-4-  (—  l)'^7""C0S  — ^^ h .  .  .  . 

Il  résulte  de  ces  développements  que,  la  fonction  H(w)  seule 
est  impaire,  les  trois  autres  sont  paires 

H(-  u)  =  -ll{u),         Hi(-  u)  =  H,(u), 

75.  Zéros  des  fonctions  H,  Hi,  0,  0i.  —  Les  zéros  de  ii{u)  sont 
connus.  Ceux  des  trois  autres  fonctions  s'en  déduisent  immédia- 
tement d'après  les  égalités  (i)  qui  définissent  ces  fonctions  à 
l'aide  de  H(w). 

Les  résultats  sont  donnés  par  le  Tableau  suivant  dans  lequel  on 
a  inscrit,  en  face  de  chaque  fonction,  l'expression  générale  de  ses 
zéros  et  où  m  et  ai  désignent  des  nombres  entiers 

H(m),  1  jnK -\- iniK' , 

Hi(m),  (2m  h-  i)K  4-  2/liK', 

0(w),  2mK-h  {2n-+-])iK', 

0i(w),         {2m-\-i)K-\-{in-i-i)iK'. 

76.  Formules  relatives  à  l'addition  d'une  période  ou  d'une  demi- 
période.  —  Considérons,  en  premier  lieu,  la  période  2K  et  sup- 


ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  II7 

posons  qu'on  ajoute  cette  période  à  l'argument,  on  a  d'abord 

H(z^-h2K)=— H(m), 

comme  cela  résulte  des  développements  de  H;^  en  série  simple  ou 
en  produit  simplement  infini,  développements  qui  ne  dépendent 

que  des  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  -^« 

Les  égalités  qui  définissent,  à  l'aide  de  H,  les  trois  autres  fonc- 
tions donnent  le  résultat  correspondant  pour  ces  fonctions;  on 
trouve  ainsi 

Hi(m-|-2K)==—  Hi(m), 

e(M-h2K)   =     e(w.), 
Siiu-hiK)  =     ei(M). 

Si  Ton  ajoute  seulement  la  demi-période  R  on  a  d'abord  par 
définition 

H(ï^-hK)  =  Hi(u),        e(u-^K)  =  81(11), 

et,  en  tenant  compte  des  résultats  précédents,  on  trouve 

Hi(«-+-K)=  — H(m),         Siiu-i-K)  =  e(u). 

Réunissons  ces  formules 

H(M-hK)   =      Hi(m), 
Hi(m  +  K)  =  — H(m), 

e(ii-hK)  =     Siiu), 
ei(M  +  K)=     e{u). 

Considérons  maintenant  la  période  2iK'.  Les  résultats  s'ob- 
tiennent aisément  pour  01  et  H,  en  se  servant  des  développements 


e, 

i(") 

= 

e 

4KK' 

S 

e' 

KK 

n~ 

30 

H, 

(a) 

= 

e 

4KK 

1 

e' 

71 

rtvk' 

[  //  +  (  2  n  4-  1  )  i 

fK' 

j' 

Si  l'on  augmente  de  2  îK' l'argument,  chacune  des  fonctions  0,, 
H,    se   reproduit   multipliée   par  le   même   facteur   que   l'expo- 


Il8  CHAPITRE    IV. 

nentielle 

Désignons  par  [a  ce  multiplicateur,  c'est-à-dire  posons 

nous  aurons 

Qi{u-h  ■2iK')=  ii^i(u),         lli(u  +  2tK')  =  }jiHi(w). 

Pour  passer  de  là  aux  fonctions  0  et  H,  il  suffit  de  diminuer  l'ar- 
gument de  K  dans  les  formules  précédentes  :  ©<  (w)  et  Hi  (u)  de- 
viennent respectivement  S{u)  et  +H(w),  [jl  se  reproduit  mul- 
tiplié par  e'^,  c'est-à-dire  —  i ,  et  il  vient 

e(u-^iiK')  =—  ixe{u),         H(M^-2tK')=— |jlHi(m). 

Réunissons  ces  formules 

&i(u-i--iiK')  =      Il  ei{u). 

Hi(w  +  2tK')=      ixUi{ii),  -i^^u+iK') 

Q{u  -h  2iK')    =  —  IX  6 (u)^ 

R(u-^iiK')   = — ixll{u), 

Si  l'on  ajoute  la  demi-période  i'K',  nous  avons  vu  (n*'  74)  que 
les  fonctions  Oi,  Hi  s'échangent  à  un  facteur  près  X  défini  par 

71         , 

X  est  le  multiplicateur  de  l'exponentielle  e  *^^^'     correspondant  à 
l'accroissement  iK.'  de  l'argument  u. 

Si,  dans  les  formules  ainsi  obtenues,  on  retranche  K  de  l'argu- 
ment, et  si  l'on  remarque  que  \  se  reproduit  multiplié  par  î,  on 
trouve  les  formules  correspondantes  pour  0  et  H.  On  a  ainsi 

0i(w  +  iK')  =   XHi(w), 

Hi(«-+-tK')=   X0,(w),        ^         _i5(.2»^.iv') 
e{u-h  iK')  =  iXH(w), 


H(M  +  tK')=  A  0(^0 


Enfin,  si  l'on  veut  ajouter  la  demi-période  K -f- i'K',  il  suffît 
dans  les  formules  précédentes  d'ajouter  K  à  l'argument,  ce  qui 


ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  II9 

donne 

ei(w-f-K-htK')=      AH(m), 

Hi(ii-h  K  +  iK')  =— tX  e(a).  ^         _i5(2j/4-/K') 

e(u-\-K-^  iK')  =       XHi(m), 

77.  Addition  d'un  nombre  entier  de  périodes.  —  Supposons 
d'abord  que  l'on  ajoute  2/iK  à  l'argument;  cela  revient  à  ajouter 
n  fois  successivement  2K  et,  comme  le  signe  de  la  fonction  peut 
seul  changer,  le  résultat  se  déduit  immédiatement  des  formules 
relatives  à  l'addition  de  2K. 

Supposons  maintenant  qu'on  ajoute  2miK.'j  on  pourrait  encore 
ajouter  successivement  m  fois  2  i  K';  mais  on  peut  obtenir  de  suite 
le  résultat  en  remarquant  que  chacune  des  fonctions  0,  et  Hi  est 
égale  (n°  74)  à  une  fonction  admettant  la  période  2iK'  multipliée 
par  l'exponentielle 


D'après  cela 


ni{u-\-2miK)  =  e      *^  Hi(w), 

mi-TZ 

en  remplaçant  dans  ces  formules  u  par  u  —  K,  on  trouve 

miTZ 

0(zi  +  2mfK')  =  (-i)'«e"    K   <"-^""    'e(iO- 
Enfin,  on  démontrerait  de  même 

(  2  m -4- 1  )  j"  7:  .  „ 
TT    r  /  \  -frt-t rc- iiii-{-[1m-h\)ih.'\ 

Hi[a-f-(2m-i-i)tK']  =  e         *h.  6i(m), 

/^     r  /  \    -T-ri TT 2îi+    2/71-f-l    iK'l      _     ,       ^ 

[1m-{-\)iT^,  ,„  ...  , 

TT  r  /  \   'TT-n  /  N        • Ti 2ff4-   2/n  +  l)zK']   ^,      , 

H[w-f-(2/?i-M)fK']  =(— i)'«je  ii^  e(w). 

Q[u-^{im-^i)iK']  =  {—iynie  '*^  ]\{u). 

78.   Développements  de  H,,  e,  81  en  produits  infinis  simples.  — 
Ces   développements  se  déduisent  du  développement  de  H(^^) 


CHAPITRE    IV. 


obtenu  plus  haut  par  l'intégration  de  la  série  de  cotangentes  qui 
donne  Z{u).  Nous  avons  trouvé  (n**  72) 


«r=l 


Cherchons  d'abord  le  développement  de  la  fonction 


1    4 


i%u 

Quand  on  ajoute  i¥J  à  l'argument  u^  l'exponentielle  e  ^     se 
reproduit  multipliée  par  q]  le  facteur 

i  Tlii  iiz  II 

.    71  M.        e2"ir_g~Tir 


devient 

(,. 

ï         (   ^,^  2K' 

i'Kii\ 

et  l'on  obtient 

•'■■'-.y. 

lis/q 

iizu          \     *     / 

-)(. 


^7r^/ 


Si  l'on  fait  entrer  dans  le  produit  le  premier  facteur,  on  voit 
que  les  facteurs  contenant  e  '^    sont  de  la  forme   \  —  q-'^^^e  ^ 

illii 

OÙ  71  varie  de  o  à  oo,  et  les  facteurs  contenant  e     ^  de  la  forme 


l  71» 


I  —  q-"+^  e     ^'  ,  où  /i  varie  également  de  o  à  oo.  On  a  donc,  en 

C  • 

posant  pour  abréger  — — z  =  A. 


0(w)  =  ATTVi—  ^2«  +  lg    Iv    J^^_^2«+le 
/i=0 

=  An  —  2^  cos-^  +^72  W  i_  2^3cos~  H-^eV  . ., 

Les  développements  en  produit  de  H<  et  de  6|  s'obtiennent 
immédiatement  en  changeant  u  enii^K  dans  les  développements 
ci-dessus  de  H  et  de  0. 


ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    3AC0BI.  121 

Le  facteur  A  n'est  pas  arbitraire  puisque,  dans  les  développe- 
ments en  séries  trigonométriques  des  fonctions  H,  H,,  0,  0,,  les 
coefficients  sont  complètement  déterminés.  Ainsi,  en  identifiant 
les  développements  de  0,  en  produit  et  en  série,  on  doit  avoir, 
quelque  soit  œ, 

A(n-  2^^  cos2T-^q^){i-\-  iq^  cosix  -h  q^).  . . 
=  \-\-iq  ces 2 37  H-  iq^  0.0% ^x  -\-  iq^  cos6rc-H 

On  aurait  une  première  expression  de  A  en  faisant  x  =^  o  dans 
cette  identité.  Jacobi  a  montré  que  l'expression  ainsi  obtenue 
peut  être  remplacée  par  la  suivante  : 

Nous  admettrons  ici  ce  résultat.  On  verra,  dans  une  Note  placée 
à  la  fin  du  Volume,  comment  on  peut  transformer  le  produit  infini 
pour  obtenir  la  série  trigonométrique  et  comment  se  présente, 
dans  ce  calcul,  l'expression  de  A  donnée  par  Jacobi. 

Nous  réunissons  ici  les  développements  en  produits  simplement 
infinis  des  quatre  fonctions.  En  posant 

H  (  — z~  )  =  A.2V/5'  sini<(i  —  2<7'-  C0S2W  -h  q'*){i  —iq'*cos-2U  -h  q^)..  ., 

Hi  (  ^;:^  j  =  A-î^/q  cosu{i  -\-  2.q-  C0S2W  +  ^*)(l  H-  2^*  ces 2  a -t-  q^ ) 

/'îKu\        . 
t>l  — :^  )  =  A(i  —  -iq  cosiu-h  q-)(i  —  'iq^  C0S2U-^  q^) 

/  2  K  u  \ 
^1  (  — :r~"  )  —  A(i  +  2q  C0S9.U  -T-  q^){i  -r-  iq^  cos'iu  -i-  q^) 

9  K 
79-.   Relation  -^  H'io)  =  Hi{o)e {0)61(0).  —  Cette  relation,  sur 

laquelle  nous  aurons  à  nous  appuyer,  se  vérifie  très  simplement  à 
l'aide  des  développements  en  produits  infinis  qui  précèdent,  en 
suivant  une  méthode  donnée  par  M.  Hermite  (voir  Note  sur  les 
fonctions  elliptiques,  à  la  fin  de  l'Analyse  de  Serret,  p.  791 
et  798). 

On  a  immédiatement 

Hi(o)  =  2v/^AP2, 
e(o)  =  AQ2, 
e,(o)  =  AR2, 


122  CHAPITRE    IV. 

en  posant  pour  abréger 

Q=(I-^)    (l_^3)(,_^5)..., 
R  =  (H-^)    (l4-5r3)(i^_^5)..,. 

D'après  la  relation  suivante  due  à  Euler 

(.H-.K,H-.^),-..3,..^(.-^)(;-.:;(;-.;), 


on  voit  que  1  on  a 

OU  bien 

PQR  =  i. 
D'après  cela 

H,(o)0(o)0i(o)  =  2v/?A3. 

Calculons  maintenant  H'(o)  en  regardant  H(  ^ — -j  comme  un 
produit  de  deux  facteurs  dont  l'un  serait  sin?^,  nous  trouverons 

—  H'(0)  =  A2v/^(l— ^2)2(i_^V)2(i_^6)2...=  2v/^A3. 

On  a  donc  bien  l'égalité  qu'il  s'agissait  de  démontrer 

—  H'(o)  =  HUo)0(o)0i(o). 

Remarque.  —  Les  expressions  précédentes  de  H<(o),  ©i(o), 

0(o)  montrent  que  \/k  et  \/k'^  définies  plus  loin  (n°  83),  sont  des 

V 
fonctions  uniformes  de  la  variable  t  =  ~,  et  la  relation  PQR=  i 

permet  de  montrer  que  ce   sont  des  fonctions  de  q  régulières 
pour  toutes  les  valeurs  de  q  dont  le  module  est  moindre  que  i. 

80.  Formules  relatives  à  rechange  de  K  et  K'.  —  Dans  la  nota- 
tion de  Weierstrass  nous  avons  vu  que  les  fonctions  (i(iu\(ù,  w'), 
p{iu  I  w,  iù')  peuvent  s'exprimer  à  l'aide  des  fonctions 


/       to'       .     \  /       O)'       .     \ 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  123 

Gomme  actuellement  nous  posons 

to  =  K,         txi'  =  îK', 
on  a 

-^  =  K',        iui  =  i'K; 

on  passe  donc  des  premières  fonctions  aux  deuxièmes  en  permu- 
tant K  et  K'.  Nous  allons  établir  des  formules  du  même  genre  pour 
les  fonctions  de  Jacobi. 

Convenons  de  désigner  par  H  (w|K,  i'R')  la  fonction  H  construite 
comme  plus  haut  avec  les  deux  périodes  2K  et  2^K^  Cette  fonc- 
tion s'exprime  d'une  manière  simple  à  l'aide  de  la  fonction  H 
construite  avec  les  périodes  2K'  et  liK,  îl(u\¥J,  iK).  Comme 

K' 

on  a  supposé  la  partie  réelle  de   ^  positive,  il  en  est  de  même  de 

la  partie  réelle  de  rr,;  la  quantité 

qo=e    '^^' 

a    donc    un    module    plus    petit    que    l'unité,    et    la    fonction 

H(?^|K',  ;K)est 

H(wIK',  i'K)  =  2\/qo  sin  -^  —  "^V^  sin  — ^  -+- 

Cette  dernière  fonction  vérifie  les  deux  relations 

H{u-h  2K'|K',  iK)=—l{{u\K',  f'K), 
U{u-{-iiK\K\iK)=—e~'^^"^'^^E{u\K',iK), 

obtenues  en  échangeant  K  et  K'  dans  les  formules  relatives  à 
l'addition  d'une  période,  vérifiées  par  la  fonction  îi(u)  ou 
H(«|K,iK'). 

Ceci  posé,  dans  le  produit 

analogue  à  ceux  que  nous  avons  considérés  déjà  à  propos  de  H, 
et  de  0,  remplaçons  u  par  n^;  soit/(z/)  la  fonction  ainsi  obtenue 

f{u)  =  e     *^^'H(iu\K,iK'). 


124  CHAPITRE    IV. 

On  vérifie  aisément  les  deux  égalités  suivantes,  conséquences 
des  relations  fondamentales  de  la  fonction  H, 


(4) 


f{ll-h    2K')  =—f(u), 


Ces  relations  sont  identiques  à  celles  que  vérifie  H(w|K',  jK). 
En  outre,  les  deux  fonctions  /(u)  et  H(w|K',  îK)  ont  les  mêmes 
zéros,  savoir  les  valeurs  de  u  données  par  la  formule 

ia  —  2  m  K  -4-  2  nili', 
ou  bien 

Il  =  —  2  mili  -+-  2  71 K', 

m  et  n  désignant  des  nombres  entiers. 
D'après  cela^  le  rapport 


lI{u\K',  iK) 

est  une  fonction  doublement  périodique  aux  périodes  aR  et  2îK' 
et,  d'autre  part,  cette  fonction  est  partout  finie  :  elle  se  réduit 
donc  à  une  constante.  Désignons  cette  constante  par  Ai.  Nous 
avons  l'identité 

e    '*^^'  E(m\K,  iK')  ^  AiH{u\K',  IK); 
on  en  déduit  les  suivantes  : 


e    ^i^ii'  Q(m\K,  iK')  =  AEi{u\K' ,  iK), 
e~4KK'  0^  ( iu\K,  tK')  =  A    01  ( M I K',  iK), 
e~ی'Hi(mlK,  tK')  =  A  0(m|K',  i'K). 

Il  suffit  pour  cela  de  remplacer  dans  la  première  de  ces  identités  u 
par  u  -\-  K',  dans  la  deuxième  u  par  u  -\-  iK,  dans  la  troisième  u 
par  u  H-  K',  en  se  reportant  aux  formules  du  n''  76  et  à  celles 
qu'on  en  déduit  par  l'échange  de  K  et  R'. 

81.  Diverses  notations  usitées  pour  les  fonctions  de  Jacobi.  — 
M.  Weierstrass  emploie  les  notations  suivantes  reproduites  dans 


ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  120 

le  Traité  des  fonctions  elliptiques  de  Halphen 

27i(p)  =  i\/q  sinrt^  —  n^ q^  sin37:p-h  ly/q^^  sin5-^" — .  .  . , 

ETo ( (^ )  =  2  v^^^  cosTt^-f-  i\/q^  005  3-7:^  + 2  v/^25  cos57:i^-t-. . ., 
"^^{v)  =Li-Jr  iq  cosiT,v-^iq*  Q.os\-v  H-  2^3  cosS-irp-f-..  . , 
2ro(ç'j  =  I  —  -iq  cos2-ç>  -h-iq*  cos4~t^  —  2(79  cos6-t^  — . . ., 

OU 

tu' 

q  =  e''^',  T  =  —  . 

10 

On  a  seulement  conservé  ici  la  lettre  q  au  lieu  de  la  lettre  h 
qu'emploie  M.  Weierstrass  pour  désigner  e'^*^. 

La  correspondance  entre  les  deux  notations  est  donnée  par 

Jacobi,  dans  ses  Leçons  {Jacobins  gesammelte   Werke,    t.   1, 
p.  497))  met   ^y,{Ujq)    où    l'on  mettrait,    avec   la   notation    de 

M.  Weierstrass,  ^A-)  et  supprime  l'indice  o.  Briot  et  Bouquet 

désignent  les  périodes  2K  et  ii¥J  par  cj  et  co';  ils  emploient 
d'autres  notations  reliées  à  celles  der  Jacobi  et  à  celles  de 
Weierstrass  par  les  formules 


^u)   =-o(^)=  e(^^). 


'l26  CHAPITRE    IV. 

82.  Relations  entre  les  a'  et  les  Sr.  —  Ces  relations  sont 


tfCco)  Hi(o) 


ou  bien 


e     2(0       c'W=  2  co  ^     ^^        , 

^    ^       2r9(o)  2  0) 

La  première  de  ces  relations  a  été  démontrée  (n"  21).  Les 
autres  s'en  déduisent  en  tenant  compte  des  formules  relatives  à 
l'addition  d'une  demi-période,  et  en  remarquant  que  es*!,  0*2,  ^3 
deviennent  égales  à  i  pour  u  =  o. 

II.  —  Fonctions  snw,  en  m,  ônu. 

83.  Définitions.  —  Si  l'on  compare  les  multiplicateurs  des 
fonctions  H(^^)  et©(w)  qui  correspondent  à  la  période  2K,  puis  à 
la  période  2iK',  on  voit  que  les  premiers  sont  égaux  et  de  signe 
contraire,  les  derniers  égaux  et  de  même  signe;  il  en  résulte  que 

le  quotient  7- — ^  admet  pour  les  mêmes   périodes  les  multipli- 
cateurs —  I  et  4-  I. 

Jacobi  a  été  conduit  à  considérer  les  quotients  des  fonctions  H, 
H|,  0|  par  la  fonction  0.  Posons 

sn  w  =  A  -—-^  5 
6  {II) 

cnw  :=  B      /    S 
0(m) 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBl.  I'27 

(On  lit  les  premiers  membres  s,  n,  u  puis  c,  n^  u  puis  enfin 
d^  /?,  u  en  énonçant  successivement  les  trois  lettres.)  Détermi- 
nons les  facteurs  constants  A,  B,  C,  de  manière  que  les  trois 
fonctions  prennent  la  valeur  i  la  première  pour  u  =  K,  les  deux 
autres  pour  u  =:  o;  nous  aurons  les  égalités  suivantes  de  définition 

I     H(?0 


sn  u  = 


en  w  = 


/f^  U.ju)  /-  ^  H(K)  ^  Hi(o) 

y   k   ^{u)  '        ^        e(K)       61(0)  ' 

dn  u  =  \Jk     ';  / ,  Jk  =  ^  \      • 

e(w)  '  ^         e,(o) 

La  fonction  snu  est  seule  impaire,  les  deux  autres  sont  paires 

sn( — z/")  = — snzz,         cn( — u)  =  Qnu,         cln( — u)=^ài\u. 

Gela  résulte  de  ce  que  H(?^)  seule  est  impaire,  n°  74. 

84.  Addition  d'une  période  ou  d'une  demi-période.  —  Les  for- 
mules relatives  aux  fonctions  H,  H, ,  0,  6,  donnent  immédiatement 

sn(M-+-2K)=  —  snu,         sn(z/ -h  2iK')  =      sn?/, 
cn{u  -h  2K)  =  —  cn«,        cn(z/  -h  2tK')  =  —  en  w, 


puis 


dn(?i4-2K)=       dnîf,        dn(?/H-2tK')= — dnw, 


sn(i*  -h  K)  =  -j —  »  sn(?<  -H  fK  )  = 


dn  w  /:  sn  M 

—  A' sn  M  ,  .^.,,  dn?/ 


en(?/  +  K)  =  — -— ^ — ,  cn(u^iK')—   ., 

dn  u  ik  sn 

j    /          T-x          ^^'  1    /            T/x         cnw 

dn(i/ -{- K)  =  ^ ,  dn(?/-hiK) 


u 


sn(?/.  +  K  H-  ?K') 
en(?/  H-  K  +  i¥J) 
àwl^u  -r-  K  -r-  iK') 


t  sna 
dn  u 


kcnu' 

k' 

ik 

cnu 

ik' 

'  sn  u 

eau 


80.  Construction,  à  l'aide  des  fonctions  sn,  en,  dn  des  fonctions 
elliptiques  aux  périodes  200  et  210'  ou  2K  et  liK',  —  Les  fonctions 
sn^^,  cnw,  dnz^  n'admettent  pas  les  deux  périodes  2K  et  2iK!;  par 


l'iS  CHAPITRE    IV. 

exemple  snu  change  de  signe  quand  u  augmente  de  2K.  Mais  il 
est  aisé  de  construire  avec  ces  fonctions  des  fonctions  elliptiques 
admettant  ces  deux  périodes  :  telles  sont,  par  exemple,  les  deux 

fonctions 

sn^u,     snu  cnu  diiu, 

et,  en  général,  toute  fonction  rationnelle  de  ces  deux  fonctions. 

Inversement,  nous  verrons  plus  loin  que  toute  fonction  ellip- 
tique aux  périodes  2K  et  liK.'  peut  s'exprimer  rationnellement  à 
l'aide  de  ces  deux  fonctions. 

Avec  les  fonctions  de  Jacobi  on  peut  donc,  tout  comme  avec 
les  fonctions  p  et  p'^  construire  toutes  les  fonctions  elliptiques 
aux  périodes  2R  et  2/K'. 

86.  Périodicité;  zéros;  pôles  des  fonctions  sn,  en,  dn.  —  Les  pé- 
riodes des  trois  fonctions  se  déduisent  immédiatement  des  rela- 
tions (i) 

snu  admet  les  deux  période?.  ......     4  K  et  liK', 

cnu  »  »        4K  et  2K-1- 2iK', 

dnu  ))  »        2Ket4'I^'- 

Les  zéros  de  ces  fonctions  sont  respectivement  ceux  de  H(u)^ 
Hi  (  u)j  ©1  (u)  à  savoir 

Zéros  de  sn  ?^ 2  7?i  K  h-  2  niK', 

»         cnu {i?n -^  i)K-+- inili', 

»         t\nu ( '2 /u  -h  1  )  K  -h  ( '2  Ai  +  [ )  Hv'  : 

ce  sont  tous  des  zéros  simples. 

Les  pôles  des  trois  fonctions  sont  les  mêmes  :  ce  sont  les  zéros 
du  dénominateur  commun  S(u). 

Pôles  de  sn  w,  cnu  et  dn  w. . .     2mK  -t-(2Ai-}-  i)i¥J . 

Ces  pôles  sont  simples. 

Si  l'on  construit  le  réseau  des  parallélogrammes  ayant  pour 
sommets  les  points 

Wo  -f-  2  m  K  4-  iniK' , 


liacune  des  trois  fonctions  a  un  pôle  et  un  zéro  dans  chaque  pa- 


rallélogramme. 


ÉTUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  129 

87.  Formule  d'addition  préliminaire.  —  Nous  obtiendrons 
immédiatement  les  formules  que  nous  avons  en  vue,  en  appli- 
quant les  théorèmes  géaéraux,  sur  les  fonctions  elliptiques,  précé- 
demment établis. 

Considérons  les  deux  fonctions 

(5)  snusn(ii  —  a),     cnii  en  (11  —  y.)  —  en  a, 

où  a  désigne  une  constante.  Ces  deux  fonctions  sont  doublement 
périodiques  aux  périodes  2K  et  2«K'.  Elles  sont  chacune  du 
second  ordre,  car  elles  admettent  dans  un  parallélogramme  des 
périodes  deux  pôles  simples,  à  savoir  les  zéros  du  produit 

e{ii)e{ii  —  y.), 

dont  chaque  facteur  a  un  seul  zéro  dans  un  parallélogramme.  Les 
fonctions  (5)  ont  donc  dans  un  parallélogramme  des  périodes 
deux  zéros  :  ces  deux  zéros  s'aperçoivent  immédiatement;  ce  sont 
les  points  homologues  de  u  =  o,  et  11  =  a.  En  effet,  chacune  des 
deux  fonctions  s'annule  pour  ces  valeurs  de  u. 

Les  deux  fonctions  doublement  périodiques  (5)  ayant  mêmes 
zéros  et  mêmes  infinis  ne  différent  que  par  un  facteur  constant; 
on  a  donc 

en  i^  en  (m  —  a)  —  cnx  =  Asnu  sn(ic  —  a), 

A  désignant  un  facteur  constant.  Ce  facteur  se  détermine  en  fai- 
sant ?/  r=  K;  il  vient  alors 

en  a 
—  ena  =  A-r— j  A=  —  clna. 

an  a 

En  remplaçant  A  par  cette  valeur  dans  l'identité  précédente,  on 
obtient  la  formule  suivante  d'où  nous  déduirons  toutes  les  autres 
formules  d'addition 

(6)  cnoi.  =  cnu  cn(u  —  2^)  -^-  snw  sn{ii  —  a)  dna. 

88.  Relations  entre  les  fonctions  snu,  cnu,  dnu.  —  En  faisant, 
dans  la  formule  ci-dessus  (6),  a  =  o,  on  trouve 

sn-a  -T-  en-  u  =  i. 
Dans  cette  formule  remplaçons  u  par  u  -4-  îK'.  En  tenant  compte 

A.  ET  L.  9 


'3o  CHAPITRE    IV. 

des  égalités 

^       Asau  ^  ^  iksnii 

il  vient 

I àn^u     _ 

A'2sn2a  ~~  Â2  sn2 w  ~*' 
ou  enfin 

dn^MH- A2sin2a  =  i. 

Ainsi  deux  des  trois  fonctions  sn-u,  en- u^  dn- u  peuvent  s'ex- 
primer linéairement  en  fonction  de  la  troisième.  On  a,  par 
exemple, 

cn2M  =  i — sn^u, 

dn^u  =  i~  k^  sn^  II. 

89.  Module.  Module  complémentaire.  —  Dans  la  relation 

dn^u-hk^'  sn^'U  =  i, 
faisons  u  =  K;  on  a  d'abord  snK  =  i,  puis  la  relation 

dn(w4-K)=  ~ 
dnu 

donne  dnK  =  //  et  l'on  est  conduit  à  cette  conséquence 

le  nombre  k  s'appelle  le  module,  le  nombre  k'  module  complé- 
mentaire. 

90.  Formules  d'addition  pour  su  u  et  en  u.  —  Dans  la  formule  (6) 
posons  a  =  —  v  puis,  dans  le  résultat  ainsi  obtenu,  échangeons  v 
et  u  ;  nous  trouvons 

l  cnît  cn(a  -H  (^)h-  ?>nu  dnv  'sn{u  -\-  v)  =z  cnp, 
l  V  ) 

(    cnv  cn(«  -\-  v)-\-  ?,nv  dnu'sn{u-\-  v)  =  cnu. 

Ces  deux  égalités  vont  nous  donner  sn{u-\-ç)  et  cn(«4-  ç)  ex- 
primés à  l'aide  de  fonctions  dont  l'argument  est  u  ou  v. 
En  les  résolvant  par  rapport  à  sn(u  +  ç),  il  vient 

/  N  cn'^u  —  cn2(; 

(8)  sn{ii  -h  ç) 


sn  (^  en  a  dn  w  —  sn  w  en  p  dn 


ETUDE    SPECIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  i3t 

On  a  ainsi  une  formule  d'addition  algébrique  pour  la  fonction  sni/. 
On  l'écrit  ordinairement  sous  une  autre  forme.  Dans  le  second 
membre  le  numérateur  s'obtient  de  suite  en  fonction  de  snu  et 
de  sn(^  en  remplaçant  cn-u  et  cn^r  par  i  —  sn- u  et  i — sn^p; 
le  dénominateur  est  une  fonction  irrationnelle  de  ces  mêmes 
quantités.  Si  nous  multiplions  les  deux  termes  par  la  quantité 
conjuguée  du  dénominateur,  nous  trouvons 

(sn^r  —  sn'^ii)  •  snrcn«  ânii  -{-  snu  cnp dnp  • 

sn (u  -\-i')=  î z ■  « 

sn^ç^  cn^z^  dn^u  —  snSwcn-fdn^p 

Le  dénominateur  est  une  fonction  entière  de  sn- it  et  sn-r  qui 
s'annule  pour  ?/  =  (•;  il  doit  donc  contenir  en  facteur  sn-  u  —  sn^  c. 
On  a  en  effet 

sii^p-  cn-«  dn2«  ~  sn^z^cn-c  dn^t?  =  (sn^p  —  sn^u){i  —  /{^sn^u  sn^r); 

alors  le  facteur  sn-  r  —  sn-  a  disparaît  et  il  reste 

sn  u  en  ('  dn  c  -+-  sn  c  en  a  dn  u 


(9)  sn(u-^i') 


I  —  A"-  sn-z^  sn'-i' 


On  obtient  de  même  cn(?/  +  p),  en  éliminant  sn(u  -{-  v)  entre 
les  deu\  équations  (7).  Effectuons  le  calcul  :  nous  trouvons  suc- 
cessivement 

sn  ç  en  v  dn  u  —  sn  u  en  u  dn  p 


cn(«  +p) 


sn  p  en  u  dn  u  —  sn  u  en  c  dn  (^ 


snpcnt^  dn  u  —  sn  u  cnu  dnp|    snt»  cnzz  dn  «-f-sn  u  enr  dn 


'.  sii  y  i^ii  V  uii  II  —  sii  u  Lii  u  uiiv   /  j 


cn(w  -h  Ç)  =  ; 

sn"- ('  en-  u  dn-  u  —  sn^ a  en- c  dn^  r 

Dans  le  second  membre  le  numérateur  développé  est 

I  sn^t'  dn^f^  —  sn-  u  dn^pj  cnu  cn^-  —  sn  u  snr  dnu  dn^'(cn-  u  —  cn^p)^ 

ou 

(sn^p  —  sn-u)    cnu  cnç^  —  snu  snç^  dn  u  dnvi; 

le  dénominateur,  on  l'a  vu,  peut  s'écrire 

(snSt'  — sn2zO(i  —  k-2  sn^- u  sn^-v). 

On  a  donc  enfin 

en  u  cnp  —  snu  sn  v  dn  u  dnc 


(lo)  en(«  +  r)  = 


I  —  k-  sn'^u  sn^^j 


l3'2  CHAPITRE    IV. 

Formules  d\iddition  pour  dnw.  —  La  formule  (6) 

cna  =  en  w  cn(?/  —  a)-h  sn  w  sn(  w  —  a)  dna 

devient,  en  posant  a  =  ?^  -i-  (^, 

cn(i*  +  p)=  criM  cnç^  —  snw  snp  dn(i^  +  t^). 

Cette  relation  donne  dn(?^  -i-  v^  en  fonction  de  cn(t^  +  c^)  :  en  y 
remplaçant  en (z^  H- (^)  par  l'expression  (lo)  que  nous  venons  de 
trouver,  elle  donne,  après  des  réductions  évidentes, 

,     ,  ,    .  .        dni^dnp  —  /c^  sn  ï«  sn  p  en  ?<  en p 

(il)  dn  (  t^  +  p  )  = 

^     '  ^  '  I  —  A-a  sn2  u  sn2  v 

On  a  ainsi  les  formules  d'addition  pour  les  trois  fonctions  sn, 
en,  dn. 

Autres  formules.  —  Changeant  dans  ces  formules  v  en  — ^, 
on  en  déduit  les  expressions  de  sn(z^  —  v\  cn(u  —  (^),  dn(u  —  r). 
On  a,  par  exemple, 

snwcnpdnt'  —  snv  cnu  ânii 

d'où,  en  retranchant  de  sn  (  «  +  (^), 

"îsrw  cnu  ânu 

(12)  sn{u-h  i^)  —  sn{u  —  v)= j-^ —, 

formule  qui  va  nous  servir  à  trouver  la  dérivée  de  sn;^. 

91.  Dérivées  des  fonctions  snu,  cnw,  dnw.  Multiplicateur.  — 
Pour   avoir   la   dérivée    de    snu,   il   faut    chercher   la    limite    de 

— -j-^ pour  11=20.  Four  cela  transformons  le  numéra- 
teur comme  on  le  fait  dans  la  recherche  de  la  dérivée  du  sinus, 
en  nous  servant  de  la  formule  (12).  Dans  cette  formule  rempla- 
çons u  par  u  -^ —  et  (^  par  -,  cela  donne 

,  .  sn  -    en  (  ?^  H )  dn  (  u 

sn  (  îi  -h  h  )  —  snit  1         \  1 


h                         h                        h         /          h\ 
—      1  —  /f2  sn2  -  sn2    ti  H 

•2  2      v        2/ 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  l33 

Appelons  g  la  limite  du  rapport  ^^ —  quand  u  tend  vers  zéro  : 

h 
sn  - 

alors  -y—  tend  vers  ^,  et  on  trouve,  pour  A  =  o, 

•A 

cl  sn  u  , 

du 

Le  nombre  g  se  nomme  muUiplicateur. 

92.  Expression  du  multiplicateur  en  fonction  des  périodes.  Choix 
de  périodes  2K   et   liYJ  telles  que  le  multiplicateur  soit  égal   à 


l'unité.  —  Nous  avons  à  chercher  la  limite  de  - —  quand  u  tend 
vers  zéro.  D'après  la  définition  de  sn  z/,  on  a 

H(^) 
snz«         Bi(o)         u 


u  Hi(o)    e(w) 

et  nous  sommes  ramenés  à  chercher  la  limite  de  — '^ — -;  celte  limite 

u 

peut  se  déterminer  à  Taide  du  produit  simplement  infini  qui  re- 
présente H(w);  elle  est  égale  à  H'(o)  et  nous  avons  démontré 
(n*^  79)  la  relation 

—  H'(o)=Hi(o)e(o)ei(o). 


L'expression  de  g^  savoir 

ei(o)  H'(o: 


g  = 


Hi(o)    6(0) 


se  simplifie,  si  l'on  remplace  H'(o)  par  sa  valeur  tirée  de  la  rela- 
tion que  nous  venons  de  rappeler  :  g  est  alors  donné  par  l'égalité 

^  =  eHo). 

Jusqu'ici  les  périodes  2K  et  liYJ  ont  été  prises  arbitrairement 
et  avec  le  même  degré  de  généralité  que  2(o  et  ato'.  Dans  ce 
qui  suit,  à  moins  de  spécifier  le  contraire,  nous  supposerons  K 
et  K'  choisis  de  façon  que  g  soit  égal  à  i ,  c'est-à-dire  nous^  sup- 


l34  CHAPITRE    IV. 

poserons  remplie  la  condition 


/^ 


0j(o)=I-h2^  +  2^*4-2^^-f- 


En  tenant  compte  de  cette  condition,  ^==1,  l'équation  qui 
donne  la  dérivée  de  snu  devient 

d  . 

——  sait  =  cnu  an  u. 
du 

Ainsi,  à  l'avenir,  K  et  ¥J  ne  seront  plus  des  quantités  indépen- 
dantes :  elles  seront  assujetties  à  vérifier  la  condition  ci-dessus. 

93.  Dérivées  successives.  —  En  différentiant  les  expressions 
de  cn^  11^  dn- u,  savoir 

cn^u  —  I  —  sn2  w, 
dn2  w  =  1  — /:2sn2w, 

on  trouvera  les  dérivées  de  cnii^  ànu. 

Les  dérivées  des  trois  fonctions  sont  données  par  les  formules 

—j-  (sn  ti)=  cnu  an  u, 
du^        ^ 

^  /         ^  1 

-j- {cnu)  =  —  sn i^  fin  u, 

-7-  (dnu)  —  —  k^  snu  en  u. 
du 

On  peut  aisément,  en  partant  de  ces  formules,  calculer  les  dé- 
rivées successives  de  l'une  des  trois  fonctions.  On  trouvera  par 
exemple,  pour  les  dérivées  de  snu,  des  expressions  de  la  forme 

-y— ^ — ^  (snu)  =  (ao  H-  «1  sn-  u  -+-  a^  sn'* u  -\- . .  .^  ap  sn'^-Pu)  cnu  dnM, 
-J— (snî^)  =  (Ao  + Aisn^ii  +  Aasn^w-h. .  .4-  kpsn''-Pu)snu^ 

les  coefficients  étant  des  fonctions  entières  de  k. 

94.  Développements  en  séries  entières.  —  En  appliquant  la  for- 
mule de  iMaclaurin  aux  trois  fonctions  sn  a^  en  u^  dn  u  et  en  faisant 


i'-^î) 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  l35 

on  trouve 


snu  =  a-ik^  -^^  +  4^-2(^2-1-3)  — ^^-—  —  8 A-3 («^  +  33 a)  — h.. 

1.2.3  1.2.3.4.3  ^  1.2. ..7  ' 

cn^^=  I—  —  -|-(i-^4A-2^ — ^^  _(!_!_  44  A-2-f-i6A-^) — ^^ -._..., 
1.2  1.2.3.4  1 . 2 ...  6 

(In;^^  ,_:^_4-A-2(4-+-/,2) — '^_A-2(T6-i-44/^-+'^-*) — ^^  +  ..., 
1.2  1.2.3.4  1.2. ..6 

et  l'on  démontre  que  ces  développements  sont  valables  quand  le 
module  de  u  est  moindre  que  la  distance  de  l'origine  à  celui  des 
zéros  de  B(if)  qui  en  est  le  plus  rapproché.  On  voit  qu'en  né- 
gligeant u'* ,  cnu  peut  être  remplacé  par  cos?^  et  dnu  par  cosA^w; 
de  plus,  en  négligeant  u^,  on  peut  remplacer  snz^  par 


9o.  Dérivées  des  fonctions  inverses.  Première  idée  de  l'inver- 
sion à  l'aide  des  fonctions  de  Jacobi.  —  De  même  qu'en  Trigono- 
métrie les  dérivées  de  sin^^  et  cosu  conduisent  à  celles  des  fonc- 
tions inverses  arcsin^  et  arccos.r,  les  résultats  précédents  nous 
fournissent  les  dérivées  des  fonctions  inverses  de  snu,  en?/,  dnu. 

Soit  par  exemple 

(i3)  a;  =  STiu] 

cette  équation  résolue  par  rapport  à  u  donne,  pour  m,  deux  va- 
leurs dans  un  parallélogramme  construit  avec  les  périodes  4^. 
et  *2«K',  car  sn;^  est  une  fonction  elliptique  admettant  ces  deux 
périodes  et  admettant  deux  pôles  simples  dans  ce  parallélogramme. 
L'une  de  ces  valeurs  étant  appelée  i/^  l'autre  est  2K —  w,  car 

sn(2K  —  u)=  sn  11 . 

Les  racines  de  l'équation  (i3)  forment  donc  une  double  suite  de 
valeurs 

a  -h  \ niK  -^  1  /it'K',         2K  —  u  -\-  ^mK-\-  iniK\ 

m  et  n  désio^nant  des  entiers. 

Nous  appellerons  plus  spécialement  u  celle  de  ces  valeurs  qui, 


l36  CHAPITRE    IV. 

suivie  par  continuité,  s'annule  avec  x  et  nous  l'appellerons 
(i4)  u  =^  arg  sn^r 

(l'égalité  précédente  s'énonce  :  u  égale  argument  sn:r). 

du 
dx 


Nous  voulons  calculer -p.  Or  (i3)  donne 


-r-  —  ç,xiu  dn  u  =  v/(i  —  ^2)(i  —  k^x'^). 

Donc 

.   ..  du  I 

dx        y/(i_^2^(i_X:2^2^ 

Telle  est  la  dérivée  deargsn^;  elle  est  algébrique  comme  celle  d< 
arcsin^.  Gomme  u  et  x  s'annulent  en  même  temps,  l'équa 
tion  (i5)  donne  par  l'intégration 


(i6; 


/•"  dx 


Inversement,  si  l'on  est  en  présence  d'une  équation  de  cette 
forme,  on  en  conclura 

u  =  argsnx,         x  =  snu. 

C'est  ce  qu'on  appelle  faire  l'inversion  de  l'intégrale  (i6). 
On  trouve  de  même 

dargcnx  i 

^^  ~    ±V/(I  —  ^2)(X-'2_|_/:2^2)' 

d  arff  dna?  i 


dx 


/(I  —  a72)(a;2—  /,'2^ 


L'intégrale  (i6)  est  appelée  une  intégrale  elliptique  de  pre- 
mière espèce,  sous  la  forme  normale  de  Legendre. 

96.  Dégénérescence.  —  Les  fonctions  sn,  en,  dn  se  réduisent  à 
des  fonctions  circulaires  ou  exponentielles  lorsque  k-  est  égal  à  o 
ou  à  I . 


«  A2=  o.  L'équation  (i6)  devient  alors 

/"^      dx 
u  =    /  > 

Jo      i/i  —  x^- 


ÉTUDK    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  187 

la  fonction  x  ^  snu  devient  donc  x  =  sin  u.  Les  fonctions 
cnM  =  /i  —  in- a,  dnii  =  \^i  —  k-sn^  u 

deviennent 

cnu  =  cosu,         dn  II  =  i. 

On  peut  vérifier  qu'alors  les  formules  d'addition  (9)  et  (10)  se 
réduisent  aux  formules  donnant  s\n(u  -\-  ç),  cos(if  +  r). 
2^  A-2  _-  ,  ^  Alors  on  a  d'après  (16) 


-/.Té 


dx  T  ^        T  -H  rr 

=  -  Los:  : 


x'-        2  I  —  X 


d'où 
puis 


e"  —  e- 

X  —  %WIL=. 


u  =  dn  u  =  Y 


I  —  sn-ii  = 


e"+e-« 


97.  Relation  entre  pu  et  snu.  —  La  fonction  snu  que  nous  vou- 
lons comparer  sl  pu  est  celle  dont  le  multiplicateur  est  égal  à 
l' unité,  de  sorte  que,  si  l'on  pose 


z  satisfait  à  l'équation  différentielle 

Alors  les  périodes  2K  et  2iK'  de  la  fonction  sn*w  ne  sont  pas  ar- 
bitraires. Elles  doivent  satisfaire  à  la  condition 


1/ 


Au  contraire  les  périodes  2  w  et  2  to'  de  jd  w  sont  prises  arbitraire- 
ment. (On  suppose  seulement  que  dans  le  rapport-^  la  partie  réelle 

est  positive.  \ 

Considérons  la  fonction    sn^  y  ^^   ^'  ^^^  "'^^  constante;  cette 
fonction  admet  comme  périodes  2K).  et  2iK'l.   On  peut  déter- 


l38  CHAPITRE    IV. 

miner  X,  K,  K'  de  façon  que  les  périodes  de  sn^  r-  aient  des  valeurs 
données  à  l'avance  2to  et  2to'.  Si  l'on  prend 

K'  _  w' 
K        iix> 

la  quantité^  est  connue  et  la  relation  entre  K  et  K'  déterminera  K. 
Au  moyen  de  l'indéterminée  X  on  pourra  satisfaire  à  la  condition 

2  K  X  =  2  O) 

K' 

et,  en  se  reportant  à  la  valeur  de  -rr-y  on  trouvera 

liK'l  —  2  0)'. 

Prenons  alors  la  fonction  pu  construite  avec  les  deux  périodes 
2to  et  2(x>',  et  comparons-la  à j  qui  admet  les  mêmes  périodes. 

Dans  un  parallélogramme  de  périodes  contenant  le  point  o,  ces 
deux  fonctions  ont  un  seul  pôle,  le  point  ;^  =  o,  qui  est  un 
pôle  double.  On  a,  de  plus,  quand  u  tend  vers  zéro, 

,.9 

\ïmii-p  w  =  I,  lim  — 


X^sn^f 


Les  deux  fonctions  ont  donc  même  partie  principale  dans  le  voi- 
sinage de  ?^  =  o  et  la  différence 


pa  — 


X^s^^l 


est  une  fonction  doublement  périodique  aux  périodes  2to,  2to^  qui 
reste  finie  dans  un  parallélogramme  des  périodes.  Elle  se  réduit 
donc  à  une  constante  G  et  l'on  a 

pu ^=G. 

Pour  déterminer  la  constante  G,  développons  en  série  le  premier 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  1 39 

membre  dans  le  voisinage  de  ?/  =  o.  On  a  (n°  94) 

Sn  II  =  It ;; —  a^-{-. .  ., 

o 

l  1  I  I      ,     I-4-A-2         ^,^,   _ 


(' — —"'-^■■■) 

et,  d'autre  part, 


Donc 

Faisant  w  =  o,  onaG  = tt-;-^  d'où  la  relation  cherchée 

3  A- 

I  -i-  *2      ,     I 

On  sait  que  j  =  pu  satisfait  à  l'équation  différentielle 

avec  les  conditions 

Calculons  e,,  eo,   63  en  fonction  de  k-  et  de).;  pour  11  =  co, 
--  =  K,  sdK  =  I, 

A 

T  -!-  /.-î  I 

pour  ^^  =  oj',  V-  =::-  i'K',  sn(i'K')^cc 

I  +  A-2 


^3  =  — 


3X2 


pour  f/  =  (o  -I-  to',  ^  =  K  -i-  i'K',  sn  (  y  )  = 


^2  =  /?(w  +  aj')  = 


IJ-  k 


X2  À-^ 


ï4o  CHAPITRE    IV. 

Après  des  réductions  évidentes,  on  trouve  les  égalités 

>^2ei= ,  À2e2=   r; J  A2e3  = ^ , 

5  0  o 

et  on  en  déduit 

«1  —  ^3  61—63  ei—e^ 

Dans  le  cas  particulier  où  l'on  considère  la  fonction  pu  con- 
struite avec  les  périodes  2K  et  2iK'  elles-mêmes,  on  a  X==  i  et 
la  relation  entre  p  et  sn  devient 

98.  Théorème.  —  Toute  fonction  elliptique  aux  périodes 
2K  et  2iK'  est  une  fonction  rationnelle  de  sn^u  et  de  sa  dé- 
rivée 2  sn  u  cnu  ànu. 

En  efFet  nous  avons  démontré  (n^  49)  que  toute  fonction  ellip- 
tique est  une  fonction  rationnelle  de  pu  elp'u.  Gomme  la  rela- 
tion ci-dessus  donne 

2  snu  en  udn  II 


p  ii-=  — 


sn-^  u 


on  voit  que  la  fonction  considérée,  exprimée  rationnellement  en 
pu  et  p' Uy  se  transforme  immédiatement  en  une  fonction  ration- 
nelle de  sn-u  et  de  sa  dérivée. 

Si  l'on  considère  en  général  une  fonction  elliptique  avec  des 
périodes  quelconques  2to  et  2to^,  elle  est  une  fonction  rationnelle 

de  jd;^  et  p'u,  c'est-à-dire  de  sn-^  et  de  sa  dérivée. 

99.  Développements  der^  et  dev]'en  série.  —  Pour  avoir  un  dé- 
veloppement de  r^  en  série,  nous  partirons  de  la  relation  entre  Ç;^ 
et  Zu  démontrée  Chapitre  II,  n°  21  [équation  (19)]  et  que  nous 
récrivons  ici 


to 


w  =  Ç  w  —  Zu. 


En  prenant  les  dérivées  des  deux  membres  et  en  faisant  ensuite 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBl.  14! 

u  =  co',  nous  trouvons 

1]  rj, 

co 
puis 

—    = —  <?3 Z  tu  . 

Z'w'  peut  s'obtenir  en  faisant  k  ^=  o  dans 


Z'(w.  -f-  tu') 


du 


[H(?^-^to')  J  ~  du  [siu)} 


Or,  du  développement  en  produit  infini  de  S(u)   obtenu  au 
n°  78,  savoir 

e{u)  =  xli  —  -iq  cos-^^^ ^  ^'){^  —  2q^  cos- q^j.  . ., 

on  déduit  successivement 

e'(tf)_2-     .     -u    ' q q^ , 


6(u)         co  co  -u  ,^  Q         "^'^  fi 

^   ^  \   I  —  2^  ces \- g-        I  —  -iq^  cos -q^ 

\  ^  oi         ^  ^  co         ^ 

du  6(w)  co 

+  / ? ^ î^ ^..A^eos^' 

I  T.U  ^  „  T.U  .  )     CO-  tJJ 

\i  — -i^COS h  q-         1  —  Q.q^COS q^  f 

P  désignant  une  fonction  de  u  qui  reste  finie  pour  u  =^  o.  Donc 

2"-  V[i  q"^ 

et,  par  suite, 

r  2-2  \^         q"^  tTT^ 

/i  =  I,  3,  5,   .... 

Pour  avoir  le  développement  de  r/,  dans  l'égalité  précédente, 

remplaçons  w  et  to'  par  co'  et  —  to;  g  =  e     ^  devient  qo=^  e 
de  plus  ^3  =  p(cl)')  devient  e,  =  j3(tL)).  et  nous  obtenons 

V  _^  ^  _  _  ^  V ^1 

n  =  i.  3,   5,    ... 


—  /Il  — 


14*  CHAPITRE    IV. 

100.  Exemples  de  décomposition  en  éléments  simples  et  d'inté 
gration.  —  i°  Prenons  d'abord  la  fonction 


sn^a  —  sn2, 


où  a  est  une  constante  qui  n'est  pas  de  la  forme  o.mK  +  2niK'. 
Cette  fonction  est  du  second  ordre;  elle  admet,  dans  un  parallélo- 
gramme des  périodes  2K  et  2/K',  deux  pôles  simples  homologues 
respectivement  des  points  +  a  et  —  a.  Le  résidu  A  relatif  au  pôle 
u:=  a  est 

A  =  lim 


sn^u  —  sn^a 


pour  u  =  a.  La  limite  de  ce  rapport  s'obtient  immédiatement  en 
prenant  la  limite  du  rapport  des  dérivées 


A 


1  sna  en  a  dna 


Le  résidu  relatif  à  l'autre  pôle  u  = —  a  est  —  A.  On  a  donc,  en 
appelant  B  une  constante, 

ou,  en  remplaçant  A  par  sa  valeur, 

isna  cna  dna       „,  ,       „.  ^       ^ 

r z —  =  Z  (  î/  —  a)  —  Z (  w  +  « )  +  G, 

G  désignant  une  autre  constante.  Nous  déterminons  G  en  faisant 
u  =  o,  ce  qui  donne 

1  en  a  an  a  „  ^    . 

G  = h  2Z(a). 

Gette  valeur  de  G  se  simplifie  si  l'on  se  reporte  à  la  définition 

de  sn  u^ 

I     H(w) 

qui   donne,    en    prenant   les    dérivées   logarithmiques   des    deux 

membres, 

.cnuànu  _  &  {u) 


ÉTUDE    SPÉCIALE    DES    NOTATIONS    DE    JACOBI.  l43 

on  a  donc  en  changeant  u  en  a 

G  =  2— -y  h 

0(a) 
d'où  la  formule  définitive 

i8) —  =Z(u  —  a)~Z{u-^  a)-h  1— — -• 

Cette  même  formule  s'obtiendrait  en  regardant  le  premier 
membre  comme  une  fonction  de  a  et  le  décomposant  en  éléments 
simples. 

En  intégrant  les  deux  membres  par  rapport  à  u^  on  a 


/ 


2sn«cnadna    ,         ^       \{(u  —  a)  Q'(a) 

—  du  =  Log  rj- +  iu    - — -  —  const. 


De  même  en  intégrant  les  deux  membres  de  la  formule  (i8) 
par  rapport  à  a  et  remarquant  que  2sn<2cnadn«  est  la  dérivée 
de  sn-a,  on  a 


Log(sn2rt  —  sii2«)  =  LogH(«  —  it)-h  LogH(a4-  u)  —  -i  Log6(«)-h  I-ogG, 

désignant  une  * 
On  en  conclut 


C  désignant  une  constante  relativement  à  a. 


^H(a-u)U(a-^if) 
sn-«-sn--..  =  G ^^^ 

et,  en  faisant  a  =  o, 

D'où  la  formule  définitive 

e2(o)  U(a  —  u)U(a^u) 
sn^a  —  sn2  u  =  — ) — - — ^-—^ — ^ , 

mettant  en  évidence  les  zéros  et  les  pôles  du  premier  membre. 

2°  Proposons-nous   maintenant   de    décomposer   en    éléments 
simples  la  fonction 


(|ui  admelj  dans  un  parallélogramme  des  périodes,  un  pôle  double 
homologue  du  point  z/  =  o.   Comme,   dans  le   domaine  du  point 


[44  CHAPITRE    IV.  —    ETUDE   SPECIALE   DES   NOTATIONS   DE   JACOBI. 


u=zo,  on  a 

1      _    I 


7 

1  T 

fonction  récrulière, 


on  aura 

(.9)  ^=-Z'(«)  +  D, 

D  désignant  une  constanle  que  nous  allons  déterminer.  Aupara- 
vant, nous  changerons  dans  la  formule  (19)  u  en  u  +  iK',  en  nous 
rappelant  les  relations  suivantes 

sn(u-{-  iK')  =  -, 5 

^  ^       k  sn  a 

dont  la  seconde  donne,  en  prenant  les  dérivées  logarithmiques, 


Z'(w+iK')  = 


2K        &{u) 
d    Q'(ii) 
du   %(yu) 


D'après  cela,  la  relation  (19)  devient,  par  changement  de    u 
en  u  +  ?R', 

du   6(u) 

Faisant,  dans  cette  dernière  formule,  u  ==:  o  et  remarquant  que 
0'(o)=  o,  car  (d(u)  est  paire,  on  a 

0(0) 

D'où  les  deux  formules 

'      -       Z'(u)-^  ®"^^^ 

^^""^  ;,         ,  d     &'(U)  e"(0) 

/i2  sn^u  = ) — f  H -y — - . 

du   Q{u)         e(o) 

On  en  déduit  par  l'intégration 


r  du  ^,    ^    _      0"(o) 

J   sn^-u  e(o) 

e^(to        07  o) 
e{u)  "^^  6(0} 


const. 


A:2    /   sn^  u  du  = — -~ — -  -\~  u  ^  ;     ■  -+-  const. 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    IV.  1^5 

Remarque,  —  La  première  des  formules  (20)  peut  se  déduire 
aussi  comme  cas  limite  de  la  formule  (18).  Il  suffît  pour  cela  de 
diviser  les  deux  membres  de  cette  formule  par  ia  et  de  faire 
tendre  a  vers  zéro. 

101.  Notations  d'Abel.  —  Dans  son  premier  Mémoire,  Abel  a 
désigné  par  cp,  /,  F  les  fonctions  sn,  en,  dn.  Plus  tard,  il  a  em- 
ployé la  lettre  \  pour  la  fonction  sn.  Cette  notation  a  été  adoptée 
par  Briot  et  Bouquet,  qui  désignent  les  trois  fonctions  sn,  en,  dn 
par  À,  a,  V. 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  IV. 


1.  Démontrer  les  formules  suivantes,  qui  sont  des  conséquences  des  for- 
mules d'additions  : 

/         ,  ,  .  ,  ,  ,         isnacub  dnb 

I    sn(<2 -h  6) -h  sn(a  —  t>) 


(i)  /    cn(a -h  ô) -h  cn(rt  —  6)  = 


1  —  A- sn^a  sn2  6 
1  cna  cnb 


A    /  u\       j    /  7\  2dnadn6 

dn(a-4-6)-han(a  —  b)  =  -, -, 

^  ^  ^  ^        1  — A-2sn2asn2^' 

.  ,,       ,  ,,  sn-a  —  sx\-b 

sn(a  -+-  b)  sn(«  —  b) 


I  —  k'^  sn'~a  sn'-b 


(.)  {   cn(a  +  6)cn(«-è)=^^--^^_,_-^, 

^  ^       ^  ^  I  — A2sn2asn2  6 

2  sna  cn<7  dn^ 


(3)     sn(rt-h6)cn(rt  —  ^)-+-sn(rt— 6)cn(a-f-6)  = 


I  — A2  sn2asn2  6 

dn(a  —  b)  ~  cn(a  —  b)  _  dnacn^  —  cnadn^ 

sn(a— 6)  ~  sna-hsn6 

(4)  < 

I  -h  dn(a  —  b)  _      sna  cn^  -4-  sn6  cna 
—  A." 


A-sn(a  —  b)  dnb  —  dna 

A.  ET  L. 


l46  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    IV. 

2.  Duplication  de   Targument.    —   Faisant    ç  =  u  dans    les   formules 
d'addition  et  écrivant  s,  c,  d  à  la  place  de  sn  ii,  en  ii,  dn  u,  il  vient 

2scd 


i  —  k^s'^ 


dn2w  = 


j —ik^s^-^k^s'-       A-'2_2/c'2<i2_^^4 


I_/:2  5*  __A:'2+2^2_^4 

En  posant  S  =  sn2i«,  G  =  cn2W,  D  =  dn2M,  ces  formules  s'écrivent 

I  —  G  _  s^d^  1  — D_A-2^2c2  D  — G_y;'2  52^ 

n-G"-^'  1  +  D  "      d-^     '  D  +  G  "  c^^' 


s^  = 


C2  = 


d-^  = 


i  +  D 

d^ 

i-G 

I 

i_ 

-D 

T  +  D    ~ 

k'^ 

I  -r 

-G 

D  +  G 
i  +  D  ~ 

k'^ 
k^ 

D- 

-D 

-G 

Dh-G 

k'^ 

I  — 

-G 

n-G  D  —G 


Faisons  ?i  =  -  K,  alors  S  =  i,  G  =  o,  D  =  /t';  donc 

K       ,  /~~^  K       ^  /~^F~  ^    K        /- 

sn  —  =  I  / 7-,  i  en  —  =  4  / =-, ,  dn  —  =  \J K . 

2        V    1  +  /:'  2        \     \-^k'  2        '^ 

3.  Démontrer  la  formule  de  décomposition  en  éléments  simples 

A-2sna  cnadna  sn^i^        0'(a) 


I  — Â:2sn2asn2M  0( 


a)        ly^i^u  —  a)         0(?^  +  a)J 


Gette  formule  peut  se  déduire  de  celle  du  n"  100  en  y  remplaçant  u  par 

4.  Vérifier  que  l'on  a 

—  k  j  sniidii  =  LoQ{dnii  ^  k  cnii). 

Montrer  qu'on  peut  de  même  déterminer  les  constantes  a,  b,  a',  b'  de 
façon  que 

a  j  en  u  du  =  Log(snw  -+-  a'  dna), 


b  j  dnudu=  Log(cni^  h-  b'  snii). 


Il  suffit  de  différentier  et  d'identifier. 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  IV.  l/^y 

o.  Un  cas  particulier  des  surfaces  minima.  —  Un  exercice  intéressant 
pour  appliquer  la  différentiation  des  fonctions  elliptiques  consiste  à  vérifier 
que  la  surface  découverte  par  Schwarz  {Gesammelte  mathematische 
Ahhandlungen,  vol.  I,  p.  77) 

cn^  -\-  cnjK  -!-  en  :3  -h  cvlx  cn^  cn^  =  o, 

avec  le  module  k=  -,  est  une  surface  minimum  dont  la  courbure  totale 

2 

en  chaque  point  est  nulle,  satisfaisant,  par  conséquent,  à  la  condition 
(i  -f-  cf-)r  —  -2pqs  -{-  (i  -\-p-)t  =  o, 

/?,  q,  /',  5,  t  ayant  leurs  significations  ordinaires  de  dérivées  partielles  de  z 
par  rapport  à  x,  y.  Schwarz  montre  que  cette  condition  équivaut  à  la 
suivante 


I      ,      I    _(t-t-^-)/'  —  ipqs -h(i-r-p-)t 
?i         ?-2  ~  '  —p'--\-  q"^ 

pi  et  C2  sont  les  rayons  de  courbure  principaux  de  la  surface,  et  l'on  pose 


/ -. -o  fà\        dX\ 


S/n-^2_t.^2  ^i^pi^q-2 

Le  lecteur  trouvera  le  détail  du  calcul  de  vérification  dans  l'Ouvrage  de 
Greenhill  sur  les  Fonctions  elliptiques,  p.  35;  Carré,  1895. 

6.  Démontrer  les  relations 

e-2(o)  H(i^-4-a)   H(«  — «)=  e2(a)H2(zf)— H2(a)  Q^{u), 
62(0)  e(w-t-a)    e(«  — «)  =  e2(a)  e2(w)— H2(a)  H2(zO, 

=  Q\{a)Q\{u)-YL\{a)n\{u), 
02(0)  Q(u-^a)  e(z/.  — a)  =  e2(a)  e2(w)-^H2(a)Hf(M), 
H2(o)Hi(w-r-«)Hi(i^  — a)=.e?(«)e2  (zO—  02(a)   ^"-{u), 

Hi(o)ei(a)ei(zOHi(ï^  — rt)  —  ei(o)Hi(a)Hi(î^)0i(w  — a) 
=  e(o)H(a)H(M)e(w  — a), 

H,(a)e(a)H,(w)e(w)^H(a)ei(a)H(iO©i(") 
=  e(o)Hi(o)Hi(î«  — a)e(î^-l-a), 

Il  suffit  de  vérifier  que,  dans  chacune  de  ces  formules,  le  quotient  d'un 
des  membres  par  l'autre  est  une  fonction  de  u  admettant  les  périodes  2K 
et  2tK'  et  l'estant  finie  quel  que  soit  u.  Ce  quotient  est  alors  une  con- 
stante que  l'on  détermine  en  donnant  à  u  une  valeur  particulière. 


CHAPITRE  V. 

ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE   sn^^,   cnw,   dnu,   QUAND  K  ET  K' 
SONT  RÉELS.  APPLICATIONS. 


Nous  nous  proposons,  en  vue  des  applications,  de  faire,  pour 
les  fonctions  de  Jacobi,  une  étude  analogue  à  celle  que  nous  avons 
faite  pour  pu  dans  le  Chapitre  III.  Nous  supposerons,  comme 

dans  ce  Chapitre,   que  (o   et  -7-  sont  réels,  ce  qui  revient  à  sup- 
poser K  et  K'  réels. 


I.  —    K   ET   K'   RÉELS. 

102.  Le  module  est  réel  et  moindre  que  i.  —  La  série  qui  dé- 
finit k  et  k'  montre  que,  K  et  K'  étant  réels,  k  et  k'  le  sont  aussi. 
Comme  on  a 

le  module  k  et  le  module  complémentaire  k'  sont  réels  et  plus 
petits  que  i. 

103.  Argument  réel.  —  Considérons  d'abord  la  fonction 

I    n(u) 
z  =  sn  ï^  =  -—  -— — ^ . 

Quand  u  varie  en  restant  réel  de  o  à  K,  ^  est  réel  puisque, 
dans  les  développements  en  série  trigonométrique  de  H(«)  et0(w), 
tout  est  réel;  dans  cet  intervalle  .z  varie  d'une  manière  continue, 

puisque  S(u)  a  pour  racines  2/?zK -[- (2/i  +  i)iK'.  De  plus,  la 

dérivée 

dz  , 

-y-  =  cnu  dnu 
du 

garde  un  signe  constant,  puisque  les  fonctions   H,(«),    0,(f/), 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sïlll,    CtlU,     dnu.  l49 

S{u)  ne  s'annulent  pour  aucune  valeur  comprise  entre  o  et  K  ; 
cette  dérivée  est  égalé  à  i  pour  m  =  o;  donc  elle  est  constamment 
positive  entre  o  et  K.  La  fonction  snu  est  croissante  :  elle  est 
nulle  pour  u  =  o  et  égale  à  i  pour  u  =  K. 

De  la  variation  de  snu,  on  déduit  celle  de  cnu  et  dnw,  quand  u 
varie  de  o  à  K.  En  effet 

en  u  =  y  i  —  sn^  u 
varie  de  i  à  o,  et 

dnu  =  \/ 1  —  k-sn-u 
varie  de  i  à  A'. 

On  conclut  de  là  les  variations  des  trois  fonctions  dans  tout  in- 
tervalle réel  en  se  rappelant  que  snu  est  impaire,  que  en  ;^  et  dn;^ 
sont  paires,  et  que  l'on  a 

sq{u-{-  iK)  =  —  snu, 
cn{u-i- iK)  =  — cnu, 
ân{u-i-iK)=      dnu. 

104.  Argument  de  la  forme  v  -i-  iK',  v  réel.  —  L'égalité 

sn(p  H-  tK  )  = 


k  snp 

donne  immédiatement  la  variation  de  sn^^  quand 

w  =  p  -h  t'K' 

et  que  v  varie  de  o  à  K.  Gomme  snt^  croît  de  o  à  i,  sn(p  +  z'R') 
décroît  de  +  oo  à  T- 
Les  fonctions 


en  u  =  yj\  —  sn2 u,         dnu  =  sj \  —  k-  sn^ u 
sont  purement  imaginaires  pour  ces  valeurs  de  u. 

lOo.  Argument  purement  imaginaire.  —  Les  séries  trigono- 
métriques  définissant  H,  0,  H,,  0,  montrent  immédiatement  que, 
u  étant  réel,  H(fw)  est  purement  imaginaire;  0(^V^),  H<(iw)  et 
0,(fw)  sont  réels.  Donc,  sniu  est  purement  imaginaire;  cnm  et 
dniw  sont  réels. 


l5o  CHAPITRE    V. 

Pour  étudier  les  variations  de  ces  fonctions  et  mettre  ces  pro- 
priétés en  évidence,  nous  nous  servirons  des  formules  du  n°  80, 
relatives  à  l'échange  de  K  et  K'. 

Ces  formules  permettent  de  ramener  les  fonctions  sniu^  en iii^ 
dniu^  construites  avec  les  périodes  2R  et  2iK',  à  d'autres  fonc- 
tions snu^  cnw,  dnu,  construites  avec  les  périodes  2K'  et  at'K» 

On  a  par  définition 

0i(o)        H(u)  0(0)  Hi(u) 

Hi(o)        Q{u)  Hi(o)         &{u) 

Transformons  snài  en  nous  servant  des  formules  suivantes  dé- 
montrées n*^  80 

e   '^KK'0(j^^[K,  fK')  =  A  Hi(wIK',  IK); 
nous  avons  d'abord 

H(m|K,  JK')  _  .  U(ii\K',  iK) 
Q{iu\K,  iK')  ~  ^Hi(w|K',  iK)' 

puis,  d'une  manière  analogue, 

ei(o[K,  JK')  _  0l(o^K^  JK) 
Hi(olK,  IK')  ~   0(olK',  iK)' 

et  nous  déduisons  de  là 

.    ,        .  .sn(M|K',  iK) 

sn{ui\K,  iK')  =  i      )    \  S 

cn{u\K  ,  iK) 

en  désignant  par  sn(w]K,  i¥sJ)  la  fonction  snu  construite  avec  les 
périodes  2K  et  2/K'  et  par  sn(;^|K',  i'K)  celle  qui  s'en  déduit  en 
échangeant  K  et  K^ 

En  raisonnant  de  même  et  en  employant  des  notations  analogues 
on  démontrerait  les  deux  autres  formules 


cn(mlK,  iK')  =  — -, —  , 

'        cn(ii|K,  iK) 

dn   m  K,  iK:)=       ]     '    /  .^[. 
cn(ajK,  iK) 

Ainsi,  quand  11  est  réel,  la  fonction  sniu  prend  des  valeurs 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  M,    CIIU.     dnu.  l5l 

purement  imaginaires,  tandis  que  cniii  et  dn?;^  sont  réels.  Il  serait 
facile  de  suivre  les  variations  de  ces  dernières  fonctions  :  il  suffi- 
rait pour  cela  d'étudier  leurs  variations  quand  u  varie  de  o  à  K'. 
Ainsi  la  fonction  cn(w|K',  îK)  varie  de  i  à  o,  d'après  ce  qu'on  a 
vu  pour  les  arguments  réels;  donc  cn(m|K,  IK')  croît  de  i  à  H-x. 

106.  Argument  de  la  forme  K+  m,  u  réel.  —  Prenons  mainte- 
nant un  argument  de  la  forme  K-^-^V^  en  supposant  que  u  est  réel 
et  croît  de  o  à  K.  On  a  d'abord 

.  cn(m) 

sn(K  +  m)  =    ,    ;  .  \; 
dn(m) 

puis,  en  se  servant  des  formules  précédentes  et  mettant  les  périodes 
en  évidence,  on  trouve 

sn(K  -h  iu\K,  iK')  = 


dn(i<|K',  iK) 

La  fonction  est  donc  réelle  et  varie  d'une  manière  continue 
quand  u  varie  de  o  à  K^,  c'est-à-dire  de  o  à  la  demi-période  réelle 
de  la  fonction  dn  qui  figure  au  dénominateur.  Appelons  pour  un 
instant  A",  le  module  des  fonctions  elliptiques  sn(?^|K',  îK), 
cn(w|K',  i'K),  dn(«|K',  iK)  :  nous  avons  vu  que,  quand  u  varie 
de  o  à  la  demi-période  réelle  K',  sn(?^|K',  i'K)  croît  de  o  à  i, 
dn(w|K',  iK)  décroît  constamment  de  i  à  y/i  —  /:[.  Donc,  quand  u 
croît  de  o  à  K^,  la  fonction 

sn(K-^mIK,  iK') 

croît  constamment  de  i  à    , 

v/i  -  kj 

On  peut  trouver  directement  les  valeurs  extrêmes  de  la  fonc- 
tion :  pour  u  =  o,  elle  est  égale  à    i   puisque  snK  =  i;   quand 

u  =  R',  elle  devient  égale  à  75  comme  le  montre  la  formule 

sn(p  -h  iK')  = , 

dans  laquelle  on  fait  (>  =  R.  On  doit  donc  avoir 


I52 


CHAPITRE    V. 


Le  module  des  fonctions  nouvelles  sn(w|K',  i'K),  ...  est 
donc  k'. 

107.  Résumé.  —  Les  résultats  précédents  peuvent  se  résumer 
ainsi.  Soient  O^,  Oy  deux  axes  rectangulaires  :  prenons  sur  O^ 
0A=  K,  sur  Oy,  OB  =  K'  et  soit  G  le  quatrième  sommet  du  rec- 
tangle construit  sur  OA  et  sur  OB. 

Lorsque  le  point  dont  l'affîxe  est  u  décrit  successivement  les 

côtés  OA,  AG,  GB,  la  valeur  de  snu  varie  de  o  à  i,  de  i  à  -7  >  puis 
de  7^  à  +  00 


0 


sn  u 


On  formerait  de  même  pour  cnwet  ànu  les  Tableaux  suivants, 
en  supposant  toujours  que  le  point  mobile  parcourt  les  côtés  du 
rectangle  OAGB  : 


u 

..     A 

0 

B 

cnw. . . . 

0 

1 

00 

u 

..     G 

A 

0 

B 

ànu.. .  . 

0 

k' 

I 

oc 

Fig.   7. 


A      a; 


108.  Expression  des  périodes  par  des  intégrales  définies. 

fonction 

z  =  snu 


-  La 


satisfait  à  l'équation  différentielle 
qui  peut  s'écrire 


dz  , 

-—  =  en  w  an  u, 
du 


du  =  -—=. 


dz 


^(i-z^)ii-k^z^) 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    SUU,    CÏIU,     dnu.  l53 

Quand  u  varie  de  o  à  K,  -3  est  réel  et  croît  constamment  de  o 
à  I  (n°  103);  on  a  donc 

D'autre  part,  si  l'on  pose 

u  =  K-r-  it 

et  si  l'on  fait  varier  ^  de  o  à  K',  sn^^  croît  constamment  de  o  à  t; 
on  en  déduit 

~k  dz 


Or,  en  faisant  le  changement  de  variable 


l'intégrale  devient 


■[': 


'o     v/(i-^ï)(i->t'^^f)' 
K'  est  donc  déterminé  par  l'égalité 

On  voit  que  R'  est  défini  à  l'aide  du  module  complémentaire  k' 
comme  K  est  défini  à  l'aide  du  module  k;  par  suite,  quand  on 
remplace  k  par  k\  on  échange  par  là  même  K  et  K^  C'est,  sous 
une  autre  forme,  le  résultat  que  nous  avons  déjà  trouvé,  quand 
nous  avons  vu  que  le  module  des  fonctions  sn(«jK',  «K),  ...  est 
égal  à  A-'. 

109.  Relations  entre  K,  K'  et  k.  —  Les  deux  quantités  K  et  K', 
exprimées  sous  forme  d'intégrales  définies 

(i)      K=  /       .  K'=  /  - 

J^       V/(I-^2)(,_X.2.2)  j^       ^H-Z^-Kl-k'-^Z^ 

où 

/:'2=i  — A-2 


l54  CHAPITRE    V. 


apparaissent  comme  des  fonctions  de  la  seule  quantité  k.  Elles 
sont  donc  liées  par  une  relation  et  ne  sont  pas  indépendantes. 
Cette  relation  est  celle  que  Ton  a  établie,  entre  K  et  K',  pour 
rendre  le  multiplicateur 

,.     sn  w 
^  =  lim ,  pour         u  —  o, 

égal  à  I.  Cette  relation  peut  s'écrire  (n"  92) 

Ainsi  les  fonctions  K  et  K'  de  /c,  définies  par  les  relations  (i), 
vérifient  cette  relation. 

Les  fonctions  sn,  en,  dn,  construites  avec  R  et  iK',  sont  donc 
déterminées  dès  qu'on  connaît  k.  Aussi,  au  lieu  de  les  écrire 
sn(w|K,  /K'),  les  écrit-on  plus  simplement  sn(M,  k),  cn(u,  k), 
dn(w,  k).  Par  le  changement  de  k  en  A-',  K  et  K'  s'échangent. 

Les  fonctions  sn(u\K',  i'K),  ...  s'écriront  donc  sn(w,  A-'), 
cn{u,  k'),  dn(u,  k').  Avec  ces  notations,  les  formules  établies 
plus  haut  pour  l'argument  purement  imaginaire  s'écrivent 

sn{iu,  k)  =  i — ^ yj{, 

cn(M,  A:  ) 

en  (m,  A) 
dn(m,  / j 


cn( w,  k' ) 
dn(u,  k') 
en  (a,  k' ) 


Par  exemple,  si  l'on  se  place  dans  un  cas  de  dégénérescence 
(n°  96),  A'  =  o,  on  a  A':=  i,  et  la  deuxième  formule  donne 


COS  lU  = 


Le  module  A  peut  prendre  une  valeur  réelle  quelconque  com- 
prise entre  o  et  i.  En  eff'et,  dans  la  théorie  que  nous  venons  de 
développer,  nous  avons  vu  que,  les  deux  quantités  réelles  et 
positives  K  et  K'  étant  choisies  de  façon  à  vérifier  l'équation  (2), 
le  multiplicateur  est  égal  à  i,  et  le  module  A  donné  par 


ÉTUDE    DES    VALEURS    REELLES    DE    Snil,    CI\U,     dnu.  l55 

nous  avons  démontré  ensuite  que  le  module  complémentaire  k' 
s'obtient  en  permutant  K  et  K',  ce  qui  donne 


9o 


Quand  le  rapport  jr,  est  nul,  q  =  o.  A"  =  o  ;  quand  ce  rapport 

K 

est  infini,  go=  o,  k' =  o,  A=  i.  Donc,  le  rapport  jr-,  variant  de  o 

à  oc,  k  varie  de  o  à  i  ^  il  passe  par  toutes  les  valeurs  inférieures  à  i . 
D'après  la  théorie  que  nous  avons  développée,  les  déterminations 
de  K  et  K^  qui  font  acquérir  à  k  une  de  ces  valeurs  sont  données 
parles  intégrales  définies  (i). 


110.   Inversion.  —  Supposons  que,  A  étant  un  nombre  moindre 
que  I,  on  ait  trouvé  entre  u  et  z  une  relation  de  la  forme 


u  =   I  — 


'''  "='     -=^      A..^) 


On  calculera  les  demi-périodes  K  et  îK^  par  les  intégrales  dé- 
finies (i).  On  construira  ensuite  les  fonctions  H,  0,  Hi,  0|, 
sn(?/,  A),  cn(w.  A"),  dn{u,  A)  correspondantes,  et  l'on  aura 

u  =  arg  snz,  z  =  sn  u, 

v/i  —  z'^  =  en  u,  v^i  —  k'-z-  =  dn  u. 

On  aura  ainsi  réalisé  ce  qu'on  appelle  V inversion  de  l'inté- 
grale (3). 

111.  Expression  de  K  par  une  série  hypergéométrique.  —  Dans 
la  formule  qui  définit  K  par  une  intégrale  définie,  faisons 
c  =  sincp  :  on  aura 

K  =    r  "  ( I  —  A2  siii2  o )"  2  do. 
Développons,  par  la  formule  du  binôme,  la  quantité  sous  le 


l56  CHAPITRE    V. 

signe  d'intégration 


1 .3.5. .  .2/1  —  r 


(i  — A-2sm2cp)     2^1+    >     -_ ^2«sin2«C0. 

^  '  ^^       '2  . 4 .  6  .  .  .  2  /l 

n  =  i 

D'après  une  formule  due  à  Wallis  et  facile  à  vérifier,  on  a 


/ 


2  TT  1.3.5. .  .in  — 


sin2«cp  df  =  - 


•?.       2 . 4 . 6 . . .  2  /i 
Donc  enfin 


La  série  ainsi  obtenue  est  un  cas  particulier  de  la  série  hjper- 
géométrique  de  Gauss 

F(a,  p,  Y,  37)  =  !+  -X  _  +  -^ -r-^-^ h.... 


On  a,  en  efi'et, 


K=.^-¥il,l,uk-. 


2        \  2      2 


112.  Valeurs  réelles  de  pw,  dans  le  cas  où  œ  et  —  sont  réels,  ratta- 
chées à  celles  de  sn^-u.  —  Supposons  que  la  fonction  pu  soit  con- 
struite avec  deux  périodes  2  w  et  2  w'  telles  que  w  et  -r  soient  réels. 

Nous  avons  étudié  ce  cas  en  détail.  Nous  pouvons,  à  titre  d'exer- 
cice, rattacher  les  résultats  que  nous  avons  obtenus  à  ceux  du 
présent  paragraphe,  en  nous  servant  de  la  relation  entre  les  fonc- 
tions p  et  sn.  Nous  avons  trouvé  en  général 


avec 


I  +  )^2                     , 

3X2                     u 

2KX  =  2W,            llK'!  =^  Ibi', 

'     ,       e--''--'\      k'^-"- 

-62 

X2  = 

61—63  61—63  61—   63 

Dans  le  cas  actuel,  le  polynôme 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  SU  U ,    CDU,    dn  M.      I JJ 

a  ses  racines  réelles  5  le  discriminant 

est  positif.  De  plus,  ^i  >  e^  >  e^.  Alors  À->  o;  la  valeur  de  A^ 
est  réelle  et  comprise  entre  o  et  i;  les  périodes  2K  et  2iK'  de  la 
fonction  sn- u  sont,  la  première  réelle,  la  seconde  purement  ima- 
ginaire. D'après  cela  quand  u  est  réel,  pu  est  évidemment  réel. 
Nous  avons  vu  (n°  o4)  que,  l'argument  u  étant  purement  ima- 
ginaire, pu  est  encore  réel;  cela  résulte  de  la  formule 

p(«'";i?"2,  ^3)=  — p(";^2,  —^3). 

Nous  allons  vérifier  cette  formule  en  nous  servant  de  l'égalité  qui 
ramène  pu  kla.  fonction  sn-  u.  Cherchons  l'expression  de 

p(«;^2,  —  ^3)- 

Quand  on  change  ^3  en  —  ^-3,  dans  l'équation 

47^—^2^—^3=0, 

on  change  les  signes  des  trois  racines  <?,,  ^o,  e^  ou,  en  précisant, 
si  6^,,  e.2j  ^3  sont  les  racines  de  l'équation  précédente  rangées  par 
ordre  de  grandeur  décroissante,  les  racines  de  l'équation 

47^—  ^2jK-^^3=0, 

rangées  aussi  par  ordre  de  grandeur  décroissante,  seront 

e[=—e3,         e'^=  —  e2,         e'j  =  —  ei  ; 
le  carré  du  module  de  J3(w,  g2  —  gs)  est  égal  à 

e'.y  —  e'^  _  ei  —  e^ 

On  voit  que  c'est  le  carré  du  complément  du  module  de  la  fonc- 
tion piu]  g2T  gd)',  le  multiplicateur  de  p{u;  g..^  —  gs)  est 

e^  —  e.^        61—63 

il  est  le  même  que  pour  la  fonction  p{u;  g2,  gs)- 

En  résumé,  changer  g^  en  —  ^3  revient  à  changer  A'  en  A',  et 


l58  CHAPITRE    V. 

l'on  a 


'"il''' 

et  la  formule  à  vérifier 

équivaut  à  celle-ci 

iH-  /<:2         I  I  1 4-  ^'2        I 


3X2  X2  /iu      ,\  3X2  X2  /n         N  ' 

ou,  en  tenant  compte  de  la  relation  k-  +  k'-  =:z  i  et  en  posant  ~  = 


sn2(iV, /c)        sn^-{v,/c')         ' 

or  cette  égalité  résulte  immédiatement  de  la  formule  suivante,  dé- 
montrée au  n"  105 

isn(ç,  k') 


sn(ïV,  yt)=: 


cn(p,  k') 


Variation  des  valeurs  réelles  de  pu.  —  Partons  de  la  for- 
mule 


ex  —  63 

Quand  y  croît  de  o  à  K,  sn  y  croît  de  o  à  i  ;  en  même  temps  u 
croît  de  o  à  w  et  p?^  décroît  de  -\-co  k  e\. 

Si  l'on  pose  y  =  K  +  iY  et  si  l'on  fait  varier  ^  de  o  à  K',  sn-  -'- 

varie  de  1  a  -,-  = ;  en  même  temps,  on  a 

ii  =  w  +  i7i  ; 

^1  croissant  par  valeurs  réelles  de  o  à  co',  pu  va  constamment  en 
décroissant  depuis  e^  jusqu'à  e^. 

Si  l'on  pose  y  —  iK'4-  t  et  si  l'on  fait  croître  ^  de  o  à  K,  sn^  ^ 
décroît  de  00  à  T7;  en  même  temps,  on  a 

if  =  w'h-  ^1  ; 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  Snu,    CRU,    dnu.  iSg 

ti  croissant  par  valeurs  réelles  de  o  à  to,  pu  croît  constamment  de 
<?3  à  e-j. 

Enfin  posons  u  =  it,  faisons  croître  ^  de  o  à  -r-  et  servons-nous 
de  la  formule 

p(i'^;^2,i?3)  =  —  p(^;  ^2,-^3). 

Les  périodes  de  la  fonction  écrite  au  second  membre  sont  — r- 
et  2fto,  puisqu'en  changeant  le  signe  de  0^3  on  change  A'  en  A',  par 
suite  R  en  K^,  par  suite  co  et  w'  en  —  et  «w.  D'après  cela,  quand  t 
varie  de  oà  — :>  nous  sommes  dans  un  cas  déjà  étudié;  p{u;  g.2,  — ^3) 
■décroît  de  J'infîni  à  la  plus  grande  des  racines  de  l'équation 

47^—  ^2j-i-^3=0, 


c'est-à-dire  —  ^3.  Ainsi,  t  variant  de  o  à  —y  p(t;  goj  — os)  décroît 

de  -t-x  à  —  ^3  et  par  suite  p{ii',  g2^  gz)  croît  de  —  ce  à  63. 
En  résumé  : 

i"  Quand  u  croît  par  valeurs  réelles  de  o  à  co,  pu  décroît  de 
+  00  à  e,  ; 

1^  Quand  on  a  u  ^=  (ji  ^  it.  et  que   t  croît  par  valeurs  réelles 

de  o  à  -^:»  jD^^  décroît  de  e,  à  e^; 

3°  Quand  on  a   u  =z  lu' -^  t  et  que  t  croît  par  valeurs   réelles 
de  o  à  to,  jD?/  croît  de  63  à  Co  ; 

4°  Quand  on  a  u  ^^  it  et  que  t  croît  par   valeurs  réelles  de  o 

a  — ,  pu  croit  de  —  oc  a  63 . 


Cette  discussion  a  été  résumée  au  n°  o7.  Nous  pouvons  d'abord 
en  tirer  cette  conclusion  que  pu  passe  par  toute  valeur  réelle. 
D'ailleurs  l'équation 

n'a  que  deux  racines  dans  un  parallélogramme  des  périodes, 
puisque  le  premier  membre  est  une  fonction  doublement  pério- 
dique admettant  zéro  comme  pôle  double  et  n'admettant  pas 
d'autres  pôles  dans  un  parallélogramme  des  périodes  qui  contient 


l60  CHAPITRE    V. 

zéro.  Les  deux  racines  sont  évidemment,  à  des  multiples  près 
des  périodes,  égales  k  -{-  ç  et  —  ç. 

Nous  avons  ainsi  défini  toutes  les  valeurs  de  u  pour  lesquelles 
la  fonction  pu  est  réelle. 

Étude  de  la  dérivée  pour  les  valeurs  qui  rendent  la  fonction 
réelle.  —  D'après  l'équation 

p'2  î^  =  4  ( p  i^  —  ei  )  ( p  M  —  e,  )  (p  i*  —  «3  ), 

la  dérivée  p'w  est  réelle  quand  pw  est  supérieure  à  e^  ou  comprise 
entre  e^  et  ^3  ;  elle  est  purement  imaginaire  dans  les  autres  cas. 
Voyons,  avec  plus  de  détails,  comment  se  comporte  la  dérivée  dans 
les  cas  examinés  dans  le  paragraphe  précédent  : 

i'*  Quand  u  croît  de  o  àci),pz^  décroît  constamment;  la  dérivée 
est  réelle  et  négative; 

2°  Quand  on  2.  u  ^=^  iù  -^  it  ç,\  que  t  croît  de  o  à  -^,  pu  décroît 
constamment,  pi  u  est  purement  imaginaire,  la  dérivée  de  pu  par 
rapport  à  t  est  négative;  cette  dérivée  est  iplu^  ainsi  ^  est 
positive  ; 

3"  Quand  on  a  w  =  w'-}-  ^  et  que  t  croît  de  o  à  w,  pw  croît 
constamment,  pi  u  est  réelle  et  positive. 

Dans  chacun  des  cas  précédents  on  a  examiné  seulement  un  in- 
tervalle correspondant  à  une  demi-période.  En  se  servant  de  ce 
que  la  fonction  pu  est  paire  et  admet  les  périodes  aw,  20)',  on 
vérifiera  sans  peine  le  résultat  suivant,  se  rapportant  aux  cas  où  p  u 
est  réelle  : 

La  dérivée  change  de  signe  quand  la  partie  réelle  de  u  passe 
par  un  multiple  de  co  ou  quand  le  coefficient  de  i  passe  par  un 

multiple  de  —  . 


II.  —  BiQUADRATIQUE  GAUCHE.  SuRFACE  DES  ONDES. 

113.  Équations  de  la  biquadratique.  —  La  courbe  définie  par 

les  équations 

I    ^  =  sn  u, 

(l)  }y  =  ç,nu, 

(   3  =  dn  u, 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    SÏÏU,    Cnu,    dn  M.  l6l 

dans  lesquelles  u  désigne  un  paramètre  variable,  est  l'intersection 
de  deux  surfaces  du  second  degré,  puisque  l'on  a  entre  x,  y,  z  les 
deux  relations 

/=      if2     +jk2  — I  =  0, 

o~k^'X^-^z^'  —1  =  0 

et,  d'autre  part,  on  peut  toujours,  par  une  transformation  homo- 
graphique,  ramener  à  cette  forme  les  équations  d'une  biquadra- 
lique  gauche.  Nous  allons  indiquer  les  propriétés  les  plus  simples 
de  cette  courbe,  en  nous  servant  de  la  représentation  paramétrique 
précédente. 

Pour  tous  les  raisonnements  qui  suivent,  il  importe  de  faire  choix 
d'un  système  de  périodes  qui  appartiennent  à  la  fois  aux  trois 
fonctions  snw,  en?/,  dnii.  Or  ces  trois  fonctions  admettent  toutes 
les  trois  les  deux  périodes  4K.  et  ^ÎK'.  Envisagées  à  ce  point  de 
vue,  ce  sont  des  fonctions  elliptiques  que  l'on  pourrait  exprimer 
rationnellement  à  l'aide  de  la  fonction  p(u\2.Ky  2iK'),  construite 
avec  ces  mêmes  périodes,  et  de  la  dérivée  de  cette  fonction. 

Soit  P  un  parallélogramme  des  périodes  4K.  et  iils^'  construit 
sur  les  deux  périodes  communes  à  snz/,  cnu,  ânu.  Nous  allons 
montrer  d'abord  qu'à  chaque  point  M  de  la  biquadratique,  les  re- 
lations (i)  font  correspondre  une  seule  valeur  de  u  dans  le  parallé- 
logramme P.  En  effet,  coupons  la  biquadratique  par  un  plan 

X  =  Xi; 

nous  obtiendrons  quatre  points  M<,  Mo,  M3,  M4,  en  associant  à 
^  =  ^, ,  les  quatre  systèmes  de  valeurs 

7  =  — \/j  —  J^h        ^  ==1/1  —  A-^ï- 

D'autre  part,  l'équation  x  =  Xt  donne 

sn  u  —  Xi  =  o, 

la  fonction  elliptique  sn^^  —  Xt  ayant  dans  le  parallélogramme  P 
des  périodes  4K.  et  4^K^  quatre  pôles  simples,  à  savoir  les  pôles 
de  snw,  y  possède  quatre  zéros  w, ,  Ui,  W3,  iti.  Si  l'on  prend  suc- 
cessivement ces  quatre  valeurs  de  u^  à  chacune  d'elles  correspond 
un  point  de  la  courbe  dans  le  plan  x  =  Xi.  On  obtient  ainsi  d'une 
autre  manière  les  quatre  points  M,,  Mo,  M3,  M4.  Si  alors  on  fait 

A.   ET  L.  Il 


16^'  CHAPITRE    V. 

choix  d'un  de  ces  points,  le  point  Mj,  par  exemple,  il  lui  corres- 
pond dans  le  parallélogramme  P  une  seule  valeur  de  u^  la  valeur 
u=Ui.  Donc  à  un  point  Mi  de  la  biquadratique  correspond, 
dans  P,  une  seule  valeur  Ut  de  u  :  dans  le  plan  tout  entier  sur 
lequel  on  figure  la  variable  u,  il  correspond  au  point  Mj  une 
infinité  de  valeurs  de  u  données  par  la  formule 

u  =  iii  -+-  4  wK  -4-  4  niK', 

m  et  n  entiers.  On  a  donc  une  représentation  paramétrique  par- 
faite de  la  courbe. 

Remaj^que.  —  Si  l'on  se  donne  la  valeur  de  ^,  ^  =  ^,,  et  si 
l'on  appelle  w,  l'une  des  racines  de  l'équation  sn  ?^  —  :r<  =  odansP, 
les  autres  11,2,  W3,  U\  sont  données  par 

sn  u  —  sn  i«i  =  o  ; 
elles  sont  homologues  des  points 

114.  Forme  de  la  courbe.  —  On  aperçoit  immédiatement  la 
forme  de  la  courbe,  en  remarquant  qu'elle  est  symétrique  par  rap- 
port aux  plans  de  coordonnées,  et  qu'elle  se  projette  sur  xOy 
suivant  un  cercle,  sur  xOz  suivant  une  ellipse,  sur  y  0-3  suivant 
une  hyperbole. 

Mais  voyons  comment  il  faut  faire  varier  l'argument  pour  ob- 
tenir tous  les  points  réels  de  la  courbe  ',  x  ei  y  étant  supposés  réels, 
la  relation 

montre  que  chacune  des  quantités  sn-  u^  en-  u  est  plus  petite  que  i 
et  l'on  en  conclut  que  u  est  réel,  à  des  multiples  près  des  quantités 
2K  et  ^i¥J. 

Les  formules  relatives  à  la  périodicité  des  fonctions  sn,  en,  dn 
font  voir  que  les  points  u  et  u  -f-  2  K  sont  symétriques  par  rapport 
à  l'axe  O^;  les  points  u  et  u  +  liYsJ  sont  symétriques  par  rapport 
à  Taxe  Ox. 

Il  suffit  donc  déjà  de  faire  varier  ?^  de  o  à  2K.  De  plus  les  for- 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    STÏU,    cn  W,    dnu.  l63 

mules 

sn(2K  —  u)=  snu, 

cn(2K  —  «)=  —  cnu, 
dn(2K  —  u)  =  dna 

montrent  que  les  points  u  et  2K —  a  sont  symétriques  par  rap- 
port au  plan  des  zx.  Nous  ferons  donc  varier  u  seulement  depuis  o 
jusqu'à  K.  Nous  obtenons  ainsi  un  arc  BA  de  la  courbe  situé  au- 
dessus  du  plan  des  xj,  allant  d'un  sommet  situé  dans  le  plan 
desyz  à  un  sommet  situé  dans  le  plan  des  zx.  Il  reste  ensuite  à 
compléter  la  courbe  en  se  servant  des  symétries  indiquées. 

115.  Condition  pour  que  quatre  points  de  la  courbe  soient  dans 
un  même  plan.  —  L'équation  que  détermine  les  paramètres  des 
points  d'intersection  de  la  courbe  avec  le  plan 

est 

(2)  A  sn  z/  —  B  en  «  -I-  G  dn  z/  -h  D  =  o. 

Le  premier  membre  est  une  fonction  doublement  périodique  aux. 
périodes  4K  et  4^K'  admettant  dans  un  parallélogramme  des  pé- 
riodes quatre  infinis  qui  sont  les  zéros  de  S(u),  par  exemple  les 

points 

iK',     iK'-i-2K,     —  iK\     —iK'-^iK. 

La  fonction  (2)  a  donc  dans  un  parallélogramme  quatre  zéros 
Wj,  «27  ^S)  i^\  correspondant  aux  quatre  points  d'intersection  du 
plan  avec  la  courbe.  La  somme  des  zéros  ne  diffère  de  la  somme 
des  infinis  que  par  des  multiples  des  périodes  4K.  et  4i^'  •  on  a 
donc 

(3)  ui-^  W2-+-  "3  -^  if*  =  \mK-h  ^  niK\ 

m  et  n  entiers.  Cette  condition  nécessaire  pour  que  quatre  points 
soient  dans  un  plan  est  suffisante.  On  le  voit  comme  pour  trois 
points  en  ligne  droite  sur  une  cubique  plane  (n°  o9). 

Plans  bitangents  menés  par  une  tangente  donnée.  —  Soit  u^ 
le  paramètre  du  point  de  contact  M,  de  la  tangente  donnée  et  u  le 


ï64  CHAPITRE    V. 

paramètre  du  deuxième  point  de  contact  M,  on  a 

1 1l  -T-  2  Ui  =  ^  niK  -+-  ^niK' , 
Il  =  —  iii-h  i/JîK  -i-  1  ni  K'. 

Comme  deux  valeurs  de  u  qui  ne  diffèrent  que  par  des  multiples 
de  4  K  et  4  i'K' donnent  le  même  point,  il  suffît  de  donnera  chacun 
des  nombres  entiers  m  et  n  les  valeurs  o  et  i  et,  par  suite  de 
considérer  quatre  valeurs  de  u,  savoir 

—  Ui,     — 111-+-Q.K,     — iii-\-2iK',     — ui-\- iK -i- 2iK'. 

U  y  a  donc  quatre  plans  bitangents  qui  passent  par  la  tangente 
en  Mi  ;  les  points  de  contact  sont  les  symétriques  du  point  Mi  par 
rapport  aux  trois  plans  de  coordonnées  et  par  rapport  à  Torigine. 
On  voit  de  plus  que  les  quatre  plans  bi tangents  menés  par  la 
tangente  en  M,  sont  les  plans  tangents  aux  quatre  cônes  du  second 
ordre  passant  par  la  biquadratique  (trois  de  ces  cônes  se  réduisent 
ici  à  des  cylindres). 

Il  est  facile  de  déduire  de  là  que  le  rapport  anharmo nique 
des  quatre  plans  bitangents  menés  par  la  tangente  en  M,  reste 
fixe  quand  le  point  M<  se  déplace  sur  la  courbe.  En  effet,  les 
équations  des  quatre  cônes  sont 


/- 

=    ;r2 

+  J'"- 

-  1 

=  0 

?^ 

^k^x' 

!+^2_ 

I 

—  0, 

?  - 

-AV 

=  0, 

, 

?  ~ 

-    / 

=  0. 

Les  équations  des  plans  tangents  au  point  M,  sont  de  la  forme 

p  =  o,        Q  — A2p  =  o, 
Q  =  o,        Q_P:=o; 

le  rapport  anharmonique  de  ces  quatre  plans  est  égal  à  k'^.  11  est 
constant  et  l'on  voit  que  sa  valeur  donne  le  carré  du  module  des 
fonctions  elliptiques  qui  ont  servi  à  la  représentation  paramé- 
trique. 

Si  l'on  prend  la  perspective  de  la  biquadratique,  le  point  de  vue 
étant  au  point  M,  de  la  courbe,  on  obtient  une  cubique  qui  passe 
par  la  trace  ni^  de  la  tangente  en  M^  ;  les  plans  que  l'on   peut 


ÉTUDE    DES    VALEURS    REELLES    DE    SUU,    Cn  W,    dna.  l65 

mener  par  cette  tangente  et  les  tangentes  à  la  courbe  de  l'espace 
ont  pour  traces  les  tangentes  à  la  cubique  menées  par  le  point  m,. 
D'où  ce  théorème  : 

D'un  point  pris  sur  une  cubique  on  peut  encore  mener  quatre 
tangentes  à  la  cubique  et  le  rapport  anharmonique  de  ces 
quatre  tangentes  est  constant. 

Points   de  rencontre   de   deux   tangentes  à  la  biquadra- 

tique.  —  D'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  si  deux  tangentes 

sont  dans  un  même  plan  et  ne  sont  pas  parallèles,  leur  point  de 

rencontre  est  situé  dans  l'un  des  plans  de  coordonnées.  Pour  avoir 

le  lieu  de  ceux  de  ces  points  qui  sont  situés  dans  le  plan  x=:  o, 

par  exemple,  il  suffit  de  chercher  la  courbe  décrite  dans  ce  plan 

par  la  trace  de  la  tangente  en  un  point  variable  de  la  biquadratique. 

On  trouve  sans  peine   que  ce  lieu  peut  être  représenté  par  les 

équations 

_      T  I 

"    ~  en  w'  dnw 

et  qu'il  est  du  quatrième  degré. 

Celte  ligne  et  les  lignes  analogues  situées  dans  les  autres  plans 
de  coordonnées  et  le  plan  de  l'infini  sont  les  lignes  doubles  de  la 
surface  du  huitième  ordre  engendrée  par  les  tangentes  à  la  biqua- 
dratique. 

J 16.  Plans  osculateurs  menés  à  la  courbe  par  un  point  de  la 
courbe.  —  Supposons  que  trois  des  quatre  points  d'intersection 
de  la  courbe  avec  un  plan  soient  confondus.  La  relation  entre  les 
paramètres  de  ces  quatre  points  devient 

ou  bien 

^^1  '^^      ,Tr  '^      ,      -Tri 

U  = 7^ i :;-4lv-i-  —  4tK. 

Il  suffit  de  donner  à  chacun  des  nombres  entiers  m  et  n  les  valeurs 
o,  1 ,  2.  Il  y  a  donc  neuf  plans  osculateurs  menés  à  la  courbe,  par 
le  point  M,.  Quand  on  projette  la  courbe,  le  point  de  vue  étant 
en  M,,  les  traces  de  ces  plans  deviennent  les  tangentes  d'inflexion 
de  la  cubique. 


l66  CHAPITRE    V. 

Plans  surosculateurs.  —  Si  les  quatre  points  d'intersection 
de  la  courbe  avec  un  plan  viennent  se  confondre,  la  relation  entre 
les  paramètres  de  ces  quatre  points  devient 

4  w  =  4  mK  -f-  4^iK' 
ou  bien 

u  =  t?iK-+-  niK'. 


Chacun  des  entiers  m  et  n  pouvant  prendre  quatre  valeurs  o,  i, 
2,  3,  on  trouve  i6  points.  Ces  points  sont  les  sommets  de  la 
courbe  :  un  des  plans  correspondants  est  la  limite  d'un  plan  bi- 
tangent  dont  les  deux  points  de  contact  sont  venus  se  confondre. 

117.  Détermination  des  surfaces  du  second  ordre  passant  par  la 
biquadratique.  —  Considérons  une  corde  joignant  deux  points 
quelconques  Ml,  Mo  de  la  biquadratique  ;  il  existe  une  surface  du 
second  ordre  S  passant  par  la  courbe  gauche  et  admettant  Mi  Mo 
comme  génératrice  rectiligne.  Si  l'on  mène  un  plan  par  la  corde 
Ml  Mo  et  si  M'^ ,  M^  sont  les  deux  nouveaux  points  d'intersection 
de  la  courbe  par  ce  plan,  la  droite  M'^  M^  est  une  génératrice  de 
la  surface  S  et  une  génératrice  du  second  système,  en  appelant 
premier  système  celui  auquel  appartient  la  droite  MiMs-  En 
tenant  compte  de  la  relation  qui  exprime  que  les  quatre  points 
Mi  y  M2,  M'^,  M^  sont  dans  un  même  plan 

Ui  -+-  112  -+-  ii'i  -i-  u'2=  ^niK-^  ^n  i K', 

on  voit  qu'wAîe  génératrice  d^ un  système  déterminé  de  S  ren- 
contre la  biquadratique  en  deux  points  dont  les  arguments 
ont  une  somme  constante. 

La  valeur  de  la  constante  change  seulement  de  signe  quand  on 
passe  d'un  système  de  génératrices  à  l'autre  pour  une  même  surface 
du  second  ordre;  elle  est  égale  à  une  demi-période  o,  2K,  2îK', 
ou  2K4-2iK^  quand  la  surface  est  l'un  des  quatre  cônes  du 
second  ordre  qui  passent  parla  biquadratique. 

Comme  application,  nous  allons  considérer  des  polygones  dont 
les  côtés  sont  des  génératrices  d'une  surface  S  passant  par  la  bi- 
quadratique et  dont  les  sommets  sont  sur  la  courbe,  et  nous  cher- 
cherons la  condition  pour  qu'un  polygone  ainsi  défini  se  ferme. 

Les  arguments  de  deux  sommets  consécutifs  sont  liés  par  les 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Snu,    CÏIU,    dnu.  167 

relations  suivantes,  dont  les  deux  formes  correspondent  aux  deux 
systèmes  de  génératrices, 

ui  -f-  112  ^  G, 

—  {Uo-r-  113)=  G, 

U3-h  U'^     =  G, 

—  ("4-^  "5)=  G, 


le  signe  de  congruence  ^^  signifiant  que  l'égalité  a  lieu  à  des  mul- 
tiples près  des  périodes  4K  et  4^K^  Si  l'on  veut,  par  exemple, 
avoir  un  quadrilatère,  on  exprimera  que  u^  ne  diffère  de  w,  que 
par  des  multiples  des  périodes  4K  et  iiYJ.  En  ajoutant  membre 
à  membre  les  équations  précédentes  on  trouve 

4  G  =  4  "i  K  -^  4  niK\ 

G  doit  être  un  quart  de  période.  Les  quadrilatères  ne  se  ferment 
que  si  la  surface  considérée  correspond  à  une  telle  détermination 
de  G  et  ils  se  ferment  toujours  pour  une  surface  ainsi  définie. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  qu'une  surface  du  second  ordre 
passant  par  la  biquadratique  est  caractérisée  par  un  argument 
elliptique  défini  au  signe  près. 

118.  Équation  de  la  surface  des  ondes.  —  Gette  surface  peut 
être  définie  de  la  façon  suivante.  Etant  donné  un  ellipsoïde  qui, 
rapporté  à  trois  axes  rectangulaires,  a  pour  équation 

x^        v2       ^2 

on  le  coupe  par  un  plan  variable  passant  par  le  centre 
Ax  -h  By  -r-  G^  =  o 

et,  sur  la  normale  au  plan  menée  par  le  centre,  on  porte  à  partir  de 
ce  point  des  longueurs  égales  aux  axes  de  la  section. 

L'équation  qui  donne  les  longueurs  des  axes  de  la  section  est 

a2A2  32  B2  Y-C2 


l68  CHAPITRE    V. 

Pour  l'un  des  j^oints  x^  r,  z  correspondant  au  plan  A,  B,  G  on  a 
de  sorte  que  l'équation  de  la  surface  est    - 

a2^2  p2^2  .^2^2 


En  chassant  les  dénominateurs  et  en  supprimant  le  facteur 
^- +JK- +  i;- on  obtient 

(^2  4.j2_t_^2)(a2a72+  pj2_j_^2^2) 

_  (  [^2  _^_  ,^2)  3e2^2  _  (.^2  _|_  a2)  p2_^2_  (  a2  +  p2  ).^2^2  +  a2  p  y2  ^  O, 

La  trace  de  la  surface  sur  chacun  des  plans  de  coordonnées  se 
décompose  en  deux  coniques.  Il  est  facile  de  le  voir  en  se  reportant 
à  la  définition  géométrique  des  points  du  lieu.  Si  l'on  coupe  l'ellip- 
soïde par  un  plan  tournant  autour  de  l'un  des  axes,  Oy  par 
exemple,  l'un  des  axes  de  la  section  est  constamment  égal  à  l'axe 
moyen  p,  l'autre  est  un  diamètre  de  l'ellipse  principale  située 
dans  le  plan  zOx.  Les  points  correspondants  du  lieu  sont  dans 
le  plan  zOx  et  ils  sont  situés  sur  un  cercle  de  centre  O  et  de 
rayon  ^  et  sur  l'ellipse  que  l'on  obtient  en  faisant  tourner  d'un 
angle  droit  l'ellipse  principale.  La  trace  de  la  surface  est  donc  re- 
présentée par  l'ensemble  des  deux  équations 

JK  =0,         (2^2-1- .52—  p2)(a2:r2-|-Y^-2^—  a2Y2)=o; 
on  trouverait  de  même  pour  les  autres  traces 

z  =  o,         (a;2H-jK-— 72;(a2^2_|_p2j^2_a2p2),3=o, 

X=0,  (j24_52_a2)((32j>.2_,_^252_p^2)=^0. 


Ceci  conduit  à  mettre  l'équation  de  la  surface  sous  la  forme 
(0 


(a72+j^2_}_  -2_  p2)(a2^2_|_  02^2  _|_  ^2^2  _  ^2^2  ) 

4-([i2_a2)(^2_.^2)^2^0. 


C'est  cette  forme  dont  nous  aurons  surtout  à  nous  servir.  Il  est 
évident  que  l'on  aurait  une  forme  analogue  correspondant  à 
chacun  des  autres  plans  de  coordonnées. 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  SU  W,  Cnu,    dmi.  169 

119.  Expression  des  coordonnées  d'un  point  de  la  surface  en 
fonction  de  deux  paramètres  elliptiques.  —  On  peut  exprimer  les 
coordonnées  d'un  point  variable  de  la  surface  en  fonction  de  deux 
paramètres  elliptiques  au  moyen  des  formules 

5  =  a  dn(  w,  A)  sn(p,  /), 

le  module  A"  des  fonctions  de  l'argument  u  et  le  module  /  des  fonc- 
tions de  l'argument  ç  étant  définis  par  les  égalités 

^-:^¥z:^'      ^--zrzr^.'      ^--f2T^rr^2' 

où  l'on  suppose 

«  <  H  <  Y- 

Nous  écrirons  les  formules  précédentes  sous  la  forme  abrégée 

a?  =  3  scli , 
y  =  ^cci, 
s  =  a  dsi, 

en  attribuant  l'indice  i  aux  fonctions  de  l'argument  ç. 

Vérifions  d'abord  que  les  valeurs  de  ^,  y,  z  données  par  ces 
égalités  satisfont  à  l'équation  de  la  surface  quels  que  soient  u  et  r. 

En  élevant  au  carré  les  deux  membres  de  chaque  égalité  et  en 
exprimant  les  fonctions  elliptiques  de  chaque  argument  à  l'aide 
du  sinus  amplitude  correspondant,  on  trouve  successivement 

^2==:  3252  _  ^2/25252^ 

y-—  a2  =  — «-252— a25ï-4-a2525f, 

^2=  3£2  5f  —  a2A2  52  5f. 

On  en  déduit 

X^-\-y'^-h  ^2_   ^2^(02_a2)(52_i)^ 
a2:r2+^2^2+v2-2_^2v2=a2(Y2_^2)(^2_i)^ 

et  comme  on  a  posé 


170  CHAPITRE    V. 

on  voit  que  l'on  a  bien,  quels  que  soient  5  et  5,, 

(^2_+_^2_|_^2_p2)(a2^2_|_  p2^2_|..^2^2_a-2Y2)  =  (82—  a2)(Y2_p2)j2. 

120.  Intervalles  dans  lesquels  il  suffit  de  faire  varier  la  partie 
réelle  et  le  coefficient  de  i  de  chacun  des  arguments  pour  avoir 
toute  la  surface.  —  Les  trois  fonctions  snw,  cnu^  ànu  admettent 
comme  périodes  4K  et4^K';  de  même,  les  trois  fonctions  snt', 
cnç^,  ànv  admettent  les  périodes  /\h  et  /\i\J  (en  supposant  que  L 
et  \J  correspondent  à  /  comme  K  et  R'  à  k).  Mais  les  formules 

sn(w  +  2K)  = —  sn  M,  dn(p  -+-  2fL')  =  —  ànv. 

cn(ïiH-  2K)  =  —  en  w,  cn(p  --h  at  L')  =  —  ont', 

dn(w-)-2K)=       dnw,  sn(p  4- 21L')  —        sn^^, 

montrent  que  les  arguments 

îi  -t-  2K,         p  H-  2  ih' 

donnent  le  même  point  que  les  arguments 

u,     ç. 
On  verrait  de  même  que 

Il  H-  2tK',      p  +  2L 

donnent  le  même  point  que 


et  l'on  peut  conclure  de  là  qu'il  suffît  de  faire  varier  la  partie  ima- 
ginaire de  u  entre  deux  valeurs  différant  de  ^liK!  et  la  partie  ima- 
ginaire de  (^  entre  deux  valeurs  différant  de  2.ih'. 

121 .  Les  lignes  paramétriques  sont  orthogonales.  —  Les  lignes 
obtenues  en  faisant  varier  un  seul  des  paramètres  u  et  (^  sont  des 
biquadratiques  (voir  n°  113).  Nous  allons  démontrer  que  les  deux 
familles  de  lignes  ainsi  définies  sont  orthogonales. 

Les  cosinus  directeurs  de  la  tangente  sont  proportionnels  à  ^^^, 
y'iii  ^'u  pour  un  point  de  la  ligne  obtenue  en  faisant  varier  le  para- 
mètre u  ;  les  quantités  correspondantes  sont  proportionnelles  à  œ^, 
yl,  ^J,  pour  l'autre  ligne;  nous  avons  donc  à  vérifier  que  l'on  a, 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Snu,     CXIU,    dnu. 

pour  un  système  quelconque  de  valeurs  de  a  et  de  c, 

^'u  K + fuyl  +  -«  ^;.  =  o. 

Calculons  ces  dérivées  : 


=  —  7.k-scsi,  z'^,=  T.dcid]^. 


Dans  chacun  des  produits  ^'„^[,,  y„yi,j  ^'u^'v^  ^^^  trouve  en 
facteur 

scdsiCydij 

et  l'égalité  à  vérifier  se  réduit  à  l'identité 

évidente,  si  l'on  se  rappelle  que  /-=  0^  A'^  (n"  119). 

122.  Points  singuliers.  —  Nous  avons  vu  que  la  trace  de  la 
surface  sur  l'un  des  plans  de  coordonnées  se  décompose  en  deux 
coniques;  les  quatre  points  communs  à  ces  deux  coniques  sont 
des  points  coniques  de  la  surface.  Considérons,  en  particulier,  la 
trace  sur  le  plan  ^O^.  On  doit  avoir 

y  =  o,         cnî^  cnp  =  o. 
Pour  en  w  =  o,  on  a  5-  =:  I ,  et  l'équation  (n''  119), 

montre  que  les  points  correspondants  du  lieu  sont  les  points  du 
cercle 

Pour  en  (^'  =  o,  on  a  s]=z  i^  et  l'équation 

a2  072+  ^2^2^. ^2^2  __  5(2^2=^  ^2(72—  .32  )(5f—  1) 

montre  que  les  points  correspondants  du  lieu  sont  les  points  de 
l'ellipse 

a2^2_^_  v2^2=  a2Y2. 

L'un  des  points  d'intersection  du  cercle  et  de  l'ellipse  est  donné 


17^  CHAPITRE    V. 

par  les  valeurs  des  paramètres  ii  et  v  telles  que  l'on  a  à  la  fois 
cnw  =  0,         cnp  =  o. 


Mais  chacune  des  trois  dérivées 


^ui  yu-) 


■>'„  contient  en  facteur 


ou  C\  et  il  en  est  de  même  pour  x'^^  y^,^  z^.  Donc,  les  développe- 
ments ài^x^y^z^  suivant  les  puissances  des  accroissements  Am,  Aç^ 
donnés  aux  paramètres  à  partir  du  point  considéré,  commencent 
par  des  termes  du  second  degré;  le  point  est  point  conique  de  la 
surface.  On  vérifie  sans  peine  que  ses  coordonnées  annulent  les 
trois  dérivées  /^,  /^',  /,'  du  premier  membre  de  l'équation  de  la 
surface. 

Nous  avons  ainsi  quatre  points  doubles  réels  dans  le  plan^O^. 
On  les  obtient  comme  points  du  lieu  lorsqu'on  coupe  l'ellipsoïde  E 
par  un  plan  passant  par  l'axe  moyen  et  donnant  comme  section 

un  cercle. 

Fig.  8. 

X/ 


On  trouverait  de  même  quatre  points  coniques  de  la  surface 
dans  chacun  des  autres  plans  de  coordonnées  et  il  résulte  de  la 
définition  géométrique  des  points  du  lieu  qu'il  n'y  a  pas  d'autres 
points  coniques  à  distance  finie.  La  forme  de  l'équation  de  la  sur- 
face conduit  à  considérer  comme  points  coniques  les  points  à  l'in- 
fini sur  les  quatre  génératrices  communes  aux  deux  cônes 


y 


^2^2. 


^^  Z-  =  O. 


On  a  donc  en  tout  seize  points  singuliers;  quatre  de  ces  points 
seulement  sont  réels  :  ce  sont  les  quatre  points  coniques  situés 
dans  le  plan  zOy, 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  II,    CnU,    i\nu.  IjS 

123.  Plans  tangents  singuliers.  —  Un  plan  perpendiculaire  à 
un  plan  principal,  et  dont  la  trace  sur  ce  plan  est  une  tangente 
commune  aux  deux  coniques  en  lesquelles  se  décompose  la  sec- 
tion principale  correspondante,  est  un  plan  tangent  singulier  :  il 
touche  la  surface  en  une  infinité  de  points  situés  sur  un  cercle. 
Considérons,  en  particulier,  la  trace  de  la  surface  sur  le  plan 
des  œz 


^2^-2_32_0,,  ^ 


—  I  =  O. 


a- 


et  cherchons  d'abord  les  tangentes  communes  à  ces  deux  coniques. 

Si  une  droite 

ux  -h  wz  -r-  i  =  o 

est  tangente  à  chacune  de  ces  coniques,  on  a 

P2  u^  _u  ^2  tp2  ^  I  ^  v2  ii'i-X-OLUv'-=l. 

En  résolvant  ces  deux  équations,  on  obtient 

32—  a"2 

t 

L'une  de  ces  tangentes  a  donc  pour  équation 

kx  4-  k'z —  3  =  o. 

Coupons  la  surface  par  le  plan  perpendiculaire  à  ^O^r  et  ayant 
pour  trace  cette  tangente  commune.  En  remplaçant  dans  l'équa- 
tion du  plan  ^  et  -S  par  leurs  valeurs  en  fonction  des  paramètres 
elliptiques,  nous  avons,  entre  les  paramètres  d'un  point  de  la  sec- 
tion, la  relation 

k '^sdi-^  k'y.  dsi  —  ,3  =  o, 

et,  comme  on  a  A'^  = /,  cette  relation  peut  s'écrire 

ksdi  -+-  Idsi  —  1  =  0. 

Pour  vérifier  que  la  ligne  définie  par  cette  relation  est  une 
conique  comptée  deux  fois,  nous  allons  la  couper  par  une  surface 

V  =  consl. 


174  CHAPITRE    V. 

et  montrer  que  les  points  d'intersection  sont  deux  à  deux  con- 
fondus. Les  valeurs  de  5  et  de  <^  correspondant  aux  points  d'inter- 
section sont  données  par  les  deux  équations 

ksdi  -h  Idsi  =  I, 
7-252 _|_   d'-  =\. 

Or,  l'équation  du  second  degré  qui  donne  les  valeurs  de  5  a  ses 
deux  racines  égales  ;  tandis  que  si  l'on  avait  coupé  la  surface  par  un 
plan  quelconque  parallèle  à  Oy,  le  même  calcul  aurait  conduit  à 
deux  valeurs  distinctes  de  s.  Donc  le  plan 

coupe  la  surface  suivant  une  conique  comptée  deux  fois  et,  comme 
il  n'y  a  pas  de  ligne  double  sur  la  surface,  il  est  langent  tout  le 
long  de  cette  conique. 

On  peut  vérifier  le  résultat  précédent  au  moyen  d'un  calcul 
plus  symétrique,  en  formant  une  combinaison  homogène  des  deux 
équations  précédentes  en  s  et  d^  savoir 

{^kïs-'^d'^^l^lis^-^dD—iksd^^dls^y-^o. 

Cette  équation  donne  les  valeurs  de  '-.'  Or,  en  transformant  le 
premier  membre  d'après  l'identité 

(A2-f-  B2)(A'2+  B'2)  _  (AB'+  BA')^  =  (AA'—  BB')2, 

on  voit  qu'il  se  réduit  à 

{klssi  —  ddi)\ 

et  l'on  retrouve  que  les  points  d'intersection  sont  deux  à  deux 
confondus.  Mais  on  peut,  en  outre,  déduire  de  ce  calcul  une 
forme  de  l'équation  de  la  surface  mettant  en  évidence  les  plans 
tangents  singuliers  perpendiculaires  au  plan  ^O.^.  Nous  avons 
remarqué  qu'on  a  l'identité 

1  —{ksdi  +  dlsiy'~{klssi—ddiY, 

en  supposant  s  et  cl  d'une  part,  St  et  d^  d'autre  part,  liés  par  les 
relations 


ÉTUDE    DES    VALEURS    REELLES    DE    Sn  W,     Cnil,     dl\  Il .  IjS 

Cette  identité  peut  s'écrire 

—  {Icsdi  ■+-  dlsi  —  i){ksdi  -f-  dis  y  -h  i)  =  {klssi  —  ddi  y-, 
et,  en  j  changeant  Si  en  —  5, ,  on  en  déduit 

—  (  ksdi  —  dis  Y  —  f  )  (  ksdx  —  dls^  -f-  i  )  =  (  klss^  -h  dd^  )-. 

Multiplions  membre  à  membre  ces  deux  identités  et  désignons 
les  parenthèses  situées  dans  les  premiers  membres  par  ^,,  ^o» 
^3,  ^/,,  nous  obtenons  la  nouvelle  identité 

qig,qiq,^{kU'-s'-s\  —  d^d\y-, 

qui  peut  encore  s'écrire 

qiqiqzq:=(k-^s'--i-  l''s\  —  iy, 

et  qui  donne  la  forme  cherchée  de  l'équation  delà  surface;  il 
suffît  d'y  remplacer  5,  d,  5|,  di  en  fonction  des  coordonnées  x, 
y,  z  du  point  correspondant  de  la  surface; 

q  1  ^=  ksdi  -r-  Isid  —  I 

devient 

q.2,  ^3,  Çi  se  transforment  d'une  façon  analogue.  D'autre  part 

lis1-hk-'s'-—i 

devient  (n*^  119),  en  désignant  par  ).  et  ti.  des  constantes, 

o{x,x,  z)~l^-{oL'-x^--\-  ;5272_  v2^2_a2^32)  4-  tj.2 ( ^^^  +  ^^ -^ -"  —  ^-)  — ï, 
et  l'on  obtient  pour  la  surface  l'équation 

QiQ2Q3Q-,  =  ?-. 

Cette  équation  montre  d'abord  que  la  section  de  la  surface  des 
ondes  par  le  plan  Q,  =  o  est  la  conique  section  de  la  surface  o 
par  le  même  plan,  comptée  deux  fois.  Cette  conique  est  un  cercle, 
car  en  cherchant  les  plans  réels  qui  donnent  des  sections  cir- 
culaires dans  la  surface  cp,  on  trouve  que  ces  plans  sont  parallèles 
aux  deux  plans 


176 

ou  bien 


CHAPITRE    V. 

{kx  -^k'z){kx  —  k'z)=^o. 


Nous  avons  trouvé  quatre  plans  tangents  singuliers  correspon- 
dant au  plan  ^O^;  on  en  trouverait  de  même  quatre  autres  corres- 
pondant aux  deux  autres  plans  de  coordonnées,  et  quatre  autres 
qu'on  peut  définir  comme  les  plans  tangents  communs  aux  deux 
cônes 

^2_^^2_4_52=  O,  a2:r2+   p2^2_|_Y2^2::^  O. 

On  a  ainsi  seize  plans  tangents  singuliers  dont  chacun  touche  Ja 
surface  tout  le  long  d'une  conique. 

124.  Forme  de  la  surface.  Distribution  des  valeurs  des  para- 
mètres. —  La.  Jig\  8  (^)  indique  les  sections  de  la  surface  par  les 
trois  plans  de  coordonnées.  La  surface  se  compose  de  deux 
nappes  réunies  par  quatre  points  coniques  et  dont  l'une  est  tout 
entière  située  à  l'intérieur  de  l'autre. 

Elle   est  représentée,  en  perspective,   dans  la  Jig.   9   :   on  a 


ménagé  une  ouverture  qui  permet  de  voir  la  nappe  intérieure. 


(■)  Ces  figures  sont  empruntées  au    Traité  de  Géométrie  de  MM.  Rouché  et 
de  Comberousse;  Gauthier-Villars. 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  Snw,  CHU,     duu.  1 77 

On  a  représenté  (Jig'.  lo)  le  corps  solide  ou  noyau  qui  serait  le- 


Fig.  10. 


couvert  par  la  nappe  intérieure  seule,  ei{fig.   ii)  la  section  de 
la  surface  par  un  plan  passant  par  les  quatre  points  coniques. 


Fis:. 


Cherchons  entre  quelles  limites  varient  5  et  5,.  D'après  la 
relation 

X-^  4-72  _^   -2  _  ^2  ^  (  02  _  ^2  )^2^ 

si  nous  coupons  la  surface  par  une  sphère  concentrique,  tout  le 
long  de  l'intersection  s  reste  constant,  x,  y,  z  sont  à  des  facteurs 
constants  près  égaux  kd^,  c< ,  5,;  l'intersection  est  une  biquadra- 
tique.  Le  carré  du  rayon  de  la  sphère  peut  êlre  représenté  par 

Pour  que  la  sphère  rencontre  la  surface,  il  faut  que  p-  soit 
positif  et  compris  entre  a^  et  y2  :  52  JqJ^  donc  être  positif  et  com- 
pris entre  o  et  t^ 


k^ 


A.   ET  L. 


13 


178  CHAPITRE    V. 

Quand  s-  varie  de  o  à  i ,  la  biquadratique  formée  de  deux  ovales 
séparées  par  le  plan  yOz  décrit  la  nappe  intérieure  de  la  surface. 

Quand  s"^  varie  de  i  à  7;^  la  biquadratique  formée  de  deux  ovales 

séparées  par  le  plan  x  Oy  décrit  la  nappe  extérieure. 
De  même,  d'après  la  relation 

a2^2_|_  [32^2  _|_  .^2^2  _  ^2  p2  =  a2(Y2_  ^2)5?^ 


on  voit  que  5^^  varie  entre  o  et  ^.  A   une  valeur  donnée  de  s^ 

correspondent  des  points  situés  sur  une  biquadratique;  quand  5J 
varie  de  o  à  i  la  biquadratique  formée  de  deux  ovales  séparées 

par  œOy  décrit  la  nappe  intérieure;  quand  5^  varie  de  i  à  -r^  la 

biquadratique  formée  de  deux  ovales  séparées  par  yOz  décrit  la 
nappe  extérieure. 

On  déduit  aisément  de  ce  qui  précède  le  moyen  de  déterminer 
la  nature  des  arguments  qui  correspondent  à  un  point  pris  sur 
l'une  des  nappes  de  la  surface  et  la  position  du  chemin  décrit  par 
le  point  M  d'arguments  u  et  Çj  quand  on  fait  varier  un  seul  de  ces 


arguments. 


Prenons,  par  exemple,  un  point  Mq  sur  la  nappe  intérieure  et 
dans  le  trièdre  des  coordonnées  positives;  l'un  des  systèmes  d'ar- 
guments correspondants  sera  formé  de  deux  valeurs  réelles  Uq,  {^q 
telles  que  l'on  ait 

o<uo<K,        o<(^o<L- 

Nous  avons  déjà  remarqué  que  le  même  point  est  donné  par  les 
valeurs 

(2K—  Mo,    lh  —  Çq) 

des  arguments,  et  il  est  évident  qu'on  peut  partir  de  Mq  avec  le 
système  Uq,  Çq  et  revenir  au  même  point  avec  le  système 
(2K  —  Wo,  2L  —  (^0)  en  faisant  varier  successivement  un  seul  des 
arguments. 

Voyons,  en  détail,  comment  se  déplace  le  point  M  d'argu- 
ment u,  i>,  quand,  z^  restant  égal  à  Wq,  ^  varie  de  Çq  à  2L  —  Çq 
puis,  quand,  ç  restant  égal  à  2L  —  Çq,  u  varie  de  Uq  à  2K —  Uq. 
Pour  u  =  z/o,  on  a  une  biquadratique  formée  de  deux  ovales  que 
sépare  le  plan  des  yz.  Comme  nous  ne  considérons  que  des  va- 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    SÏIU,    Cnu,    dnu.  I79 

leurs  positives  de  r,  le  point  M  restera  sur  Tovale  de  droite; 
soil  G»,  cette  ovale.  De  même,  pour  ç  =  Çq,  on  a  une  biquadratique 
formée  de  deux  ovales  séparées  par  le  plan  des  œy.  Le  point  M 
restera  sur  l'ovale  située  au-dessus  de  ce  plan;  soit  C^  cette  ovale. 
Gela  posé,  quand  ç  varie  de  Çq  à  L,  puis  de  L  à  2L  —  Çq^  le 
point  M  se  déplace  sur  C^,  depuis  Mo  jusqu'au  point  le  plus  haut 
de  l'ovale,  traverse  le  plan  des  z-x  et  vient  en  MJ,,  symétrique 
de  Mo  par  rapport  à  ce  plan.  Quand  ensuite  a  varie  de  Uq  à  K, 
puis  de  K  à  2  K —  Uq,  le  point  M  se  déplace  sur  G„  depuis  M'^  jus- 
qu'au point  de  la  courbe  G„  située  dans  le  plan  zOx  et  dont  Vx 
est  positive,  traverse  le  plan  zOx  et  revient  en  Mo  {Jig-  12). 

Fig.  12. 


Remarquons  encore  que  les  points  de  C„  où  la  tangente  est  pa- 
rallèle à  Oy  sont  sur  le  cercle 

^"+J'--  ?"  =  o, 

ou  plus  exactement  sur  l'un  des  deux  arcs  de  ce  cercle  qui  appar- 
tiennent à  la  trace  de  la  nappe  intérieure;  les  points  de  Gç,  où  la 
tangente  est  parallèle  à  Oy  sont  sur  l'ellipse 


ou  mieux  sur  l'un  des  deux  arcs  de  cette  ellipse,  qui  appartiennent 
à  la  trace  de  la  nappe  intérieure. 

Pour  un  point  de  la  nappe  extérieure  l'un  des  systèmes  de  va- 
leurs de  u,  V  est  de  la  forme 

a  =  K  -i-  ia  ,         V  =  h  -r-  ih' , 


l8o  CHAPITRE    V. 

d  et  h'  étant  réels;  l'autre  système  est  alors  formé  des  valeurs  con- 
juguées 


2K— ^^=:K 


2L- 


L  -  ib'. 


On  verra,  comme  dans  le  cas  précédent,  comment  on  peut 
passer  d'une  manière  continue  du  premier  système  au  second. 

Remarque.  —  Le  fait  qu'à  un  point  donné  correspondent 
deux  systèmes  distincts  de  valeurs  de  u  et  v^  donne  lieu  à  une 
complication  analogue,  d'une  certaine  façon,  à  celle  qu'on  ren- 
contre dans  l'étude  des  fonctions  algébriques.  La  discussion  pré- 
cédente montre  comment  on  pourrait  faire  disparaître,  en  partie, 
cette  complication,  en  considérant  la  surface  des  ondes  comme 
formée  de  deux  feuillets  réunis  suivant  des  lignes  joignant  deux 
des  points  coniques. 

III.  —  Pendule  simple.  Élastique  plane.  Corde  a  sauter. 
Mouvement  a  la  Poinsot. 

125.  Pendule  simple.  —  Quoique  la  théorie  du  pendule  simple 
se  déduise  comme  cas  particulier  de  celle  du  pendule  sphérique 
que  nous  avons  traitée  à  l'aide  des  fonctions  jd  et  a*,  nous  la 
reprenons  ici  à  titre  d'application  des  fonctions  sn,  en,  dn. 


Prenons  un  axe  O^  vertical  et  dirigé  vers  le  haut,  l'origine 
étant  au  point  de  suspension  du  pendule,  et  supposons  le  mobile 
lancé  du  point  le  plus  bas  Mo(s:= —  /)  avec  une  vitesse  initiale  Vç^'-, 


ÉTLDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  M,    Cnu,    dïïU.  l8l 

le  théorème  des  forces  vives  donne 

ci 

v'''—ig(a — z)         avec         a= — l -\ "- • 

1°  Supposons  d'abord  que  la  droite  !!(:;  =  a)  coupe  le  cercle 
en  A,  A',  c'est-à-dire  que  l'on  ait  «  <<  /,  ou  Vq<,  i\/lg'  Le  mou- 
vement consistera  alors  en  oscillations  isochrones  entre  A  et  A'. 
Prenons  pour  variable  l'angle  MoOM  =  8.  Nous  avons 

-a=— /cos9,         a= — /cosa, 

en  appelant  a  l'angle  d'écart  maximum  MoOA.  L'expression  de  la 

vitesse  est 

_ds  _  Id^ 
~  ~dt~    dt 

et  l'équation  des  forces  vives  devient 


/VA  ' 
/-(-y-)    =  2^/(cos6  —  cosa), 


qu'on  peut  écrire 


^  (  ^  )    =  4  ^  (  sin2 sin2  -  j  , 


{S'=«( 


d'où 

^9 


I  /  sin2 sin- 

V  2 


Nous  prendrons  le  signe  +  en  supposant  que  le  mobile  monte. 
En  comptant  le  temps  à  partir  du  moment  où  le  mobile  part 
de  Mo  et  en  posant 


.0  .a 

sin-  =  M  sin  -  j 
2  a 

on  a 

y       l  J         t/M  —  7/2Wt  —  /-iz/S^  V  2 


'o     ^{i-u-^){i-kUi^-) 


On  est  ainsi  ramené  à  une  intégrale  elliptique  et  l'équation  ci- 
dessus  résolue  par  rapport  à  u  peut  s'écrire 


u  =  sn(t^). 


iSa  CHAPITRE    V. 

c'est-à-dire 


sin  -  =  sin  -  sn  ^ 


i/f 


cos- 

2 


=  0_/c^sn^yf  =  d"(yf); 


on  obtient  ainsi  les  coordonnées  /sinO  et  /cosO  du  mobile  en 
fonction  uniforme  du  temps. 

Pour  avoir  le  temps  T  que  met  le  mobile  à  aller  de  Mq  en  A,  il 
faut  faire  varier  9  de  o  à  a,  c'est-à-dire  z^  de  o  à  i  ;  donc,  en  posant 

on  aura  pour  T  la  valeur  Ki /—  et  la  durée  de  l'oscillation  simple 

sera  2K4 /-•   Si  l'on  ajoute  cette  quantité  à  ï,  le  mobile  doit 

prendre  la  position  M'  symétrique  de  M  et  sinB  doit  changer  de 
signe,  ce  qui  fournit  une  vérification  de  la  formule 

sn(:r  -{-  2K)  =  —  sn^. 

2°  Il  nous  faut  maintenant  considérer  le  cas  où  la  droite  II  ne 
rencontre  pas  le  cercle,  c'est-à-dire  où  l'on  a  a  >  /.  L'équation 
des  forces  vives  v^=:  ig{a  —  z)  peut  s'écrire 

/2  /        j    =  2^(cn- Zcos6)  =  2^(  a -h  /  —  2/sin2  -  J 


ou 


I  — Â:2sin2-  ), 


il 


en  posant  k^=^ y,  k'^  est  plus  petit  que  i  puisque  a  est  plus 

grand  que  /.  En  résolvant  par  rapport  à  dt^  posant 

2  l 

fi 
et  prenant  u  =  sin  -  comme  nouvelle  variable,  il  vient 

r"  du 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  M,     cnu,    dllW.  l83 

d'où,  en  résolvant  par  rapport  à   ii,  c'est-à-dire  en  faisant  l'in- 
version 


M  =  sn(X^),  sin-=sn(X^). 


On  en  déduit 


cos 


-  =  /i  —  sn-{lt  )  =  cn{lt). 


Le  temps  T  que  met  le  mobile  à  arriver  au  point  le  plus  haut 
s'obtient  en  faisant  varier  0  de  o  à  t:,  c'est-à-dire  w  de  o  à  i  ;  il  est 

donc  y 

3°  Il  reste  enfin  à  traiter  le  cas  intermédiaire  où  la  droite  II 
serait  tangente  à  ]a  circonférence  donnée  :  a  =z  l.  On  peut  alors 
effectuer  les  intégrations  à  l'aide  de  fonctions  exponentielles  (cas 
de  dégénérescence),  car  le  module  k  des  fonctions  elliptiques 
précédentes  devient  égal  à  t.  Revenons,  en  effet,  à  l'équation 
des  forces  vives  ^-=^  2  «(«  —  z),  nous  l'écrirons 


/2  (  ^ y  =  2^(Z  -T-  /  cos6)  =  l^gl  cos2 


et,  en  intégrant, 


v/î 


1?  =  logtansf  T  + 


La  constante  d'intégration  est  nulle  puisque  t  doit  s'annuler 
avec  8.  Lorsque  t  croît  indéfiniment,  8  tend  en  croissant  vers  la 
limite  t:;  le  mobile  s'approche  indéfiniment  du  point  le  plus  haut 
sans  jamais  l'atteindre.  On  a  alors 


.    6        é>'t—e->t  e  2 

sin  -  =  -r^ —.•)  cos-  = 


X  étant  égal  à  1/ y- 

Remarque  sur  l'interprétation  de  la  période  imaginaire 
2îK'.  —  Plaçons-nous,  pour  simplifier,  dans  le  premier  cas  (1°), 
où  le  pendule  oscille  entre  les  points  A  et  A'.  Supposons  que  la 
pesanteur  change  de  sens  et  que  le  pendule  oscille  sur  l'arc  supé- 
rieur A^  A',  entre  les  mêmes  points  A  et  A'.  Pour  avoir  les  for- 


l84  CHAPITRE    V. 

mules  relatives  à  ce  nouveau  mouvement,   il  suffît  de  changer, 
dans  les  formules  du  premier  cas  (i°),  a  en  tu- —  a  et,  par  suite,  de 

remplacer  le  module  k  =  sin  -  par  son  complémentaire  k' =  cos-  • 

Les  fonctions  elliptiques   qui   donnent  le   nouveau    mouvement 
sont  donc  construites  avec  le  module  complémentaire  de  k  et,  en 

particulier,  la  durée  de  la  nouvelle  oscillation  simple  est  2R'4 /  — 
(Comptes  rendus,  t.  LX XXVII,  p.  1074). 

126.  Élastique  plane  sans  pression.  —  Nous  avons  déjà  vu 
(n°68)  que  le  problème  de  l'élastique  gauche  conduit  aux  mêmes 
équations  que  l'étude  du  mouvement  d'un  corps  pesant  de  révo- 
lution, suspendu  par  un  point  de  son  axe. 

En  particulier,  le  problème  de  l'élastique  plane  sans  pression 
conduit  aux  mêmes  équations  que  l'étude  du  mouvement  d'un 
pendule  simple.  C'est  ce  que  nous  allons  montrer  rapidement. 

Imaginons  une  tige  élastique  dont  la  fibre  moyenne  affecte  à 
l'état  naturel,  la  forme  d'une  courbe  plane  connue  Cq  et  soit  po 

Fig.  14. 


M,i 


^ 


II. 

B 

0 

ce 

^\ 

\ 

1/ 

■< 

T2 

/ 

Ni, 

— *T, 

_A 

^^N 

7^ 

/^^\ 

r( 

==Y-_ 

^^=r 

^ 

B' 

J/ 

V 

B 

la  valeur  du  rayon  de  courbure  en  un  point  M  de  cette  courbe. 
Supposons  ensuite  qu'on  déforme  la  tige  en  faisant  agir  sur  elle 
des  forces  quelconques,  mais  de  telle  façon  que  la  fibre  moyenne 
reste  plane  et  prenne  une  nouvelle  forme  C.  Le  rayon  de  courbure 
en  M  devient  alors  p.  Dans  cette  position  d'équilibre  contraint, 
les  forces  élastiques  sont  déterminées  d'après  les  lois  suivantes  : 
Si  l'on  coupait  la  tige  en  M,  pour  maintenir  l'équilibre  il 
faudrait  appliquer  à  la  section  en  M  une  force  T  dans  le  plan  de 
la  courbe  G  et  un  couple  dont  l'axe  est  perpendiculaire  à  ce  plan 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  Sn  W,  cnu,    Ônu.  l85 

et  dont  le  moment  N  est  proportionnel  à  la  variation  de  la  cour- 

1  ï         I 

bure : 


N  =  B 


\?        Po/ 


B  désignant  un  coefficient  constant  qui  dépend  de  la  nature  de 
la  tige. 

Nous  traiterons  ici  le  cas  simple  où  la  lige  est  primitivement 

rectiligne,  —  =  o,  et  où  l'on  fait  agir  seulement  sur  ses  extré- 

mités  M4  et  Mo  deux  forces  Tj  et  To  situées  dans  le  plan  de  la 
courbe  d'équilibre  et  deux  couples  N,  et  No  ajant  leurs  axes  nor- 
maux à  ce  plan.  Les  deux  forces  T,  et  To  sont  égales  et  opposées j 
car  les  seules  forces  extérieures  appliquées  à  la  tige  en  équilibre 
étant  les  forces  T,  et  To  et  les  couples  N,  et  No,  la  somme  des 
projections  de  ces  forces  sur  un  axe  quelconque  doit  être  nulle. 
Les  forces  T<  et  To  forment  alors  un  couple  qui  fait  équilibre 
aux  couples  N,  et  No. 

Prenons  pour  axe  Ox  une  droite  parallèle  à  Ti  et  To.  Soit  M 
un  point  quelconque  de  la  fibre  moyenne  :  si  la  tige  était  coupée 
en  M  la  partie  M,  M  serait  en  équilibre  sous  l'action  des  forces 
extérieures  suivantes  :  i°  la  force  T<  et  le  couple  N,  agissant  sur 
l'extrémité  M,;  2°  une  force  T  et  un  couple  N  agissant  sur  M;  le 
couple  N  a  pour  moment 

P 

puisque  nous  supposons  —  =  o. 

po 

Ces  forces  extérieures  appliquées  à  l'arc  M<  M  se  font  équilibre. 
Donc,  T  est  égal  et  opposé  à  Ti.  En  outre,  la  somme  des  mo- 
ments de  toutes  les  forces  extérieures,  par  rapport  à  un  point  du 
plan  doit  être  nulle.  En  prenant  la  somme  des  moments  par 
rapport  à  O,  nous  avons 

Tiji-Tj'-Ni-i-N^o, 

T> 

d'où,  en  remplaçant  T  par  T,  et  N  par  -  ?  une  équation  de  la  forme 

p        c-   -^ 


l86  CHAPITRE    V. 


c^  désignant  une  constante  positive  et  b  une  autre  constante.  On 
peut  toujours  déplacer  l'axe  des  x  parallèlement  à  lui-même  de 
façon  à  faire  disparaître  cette  dernière  constante  et  à  ramener 
ainsi  l'équation  de  la  courbe  à  la  forme 


Nous  allons  montrer  que,  lorsqu'un  point  décrit  la  courbe  élas- 
tique avec  une  vitesse  constante,  la  normale  en  ce  point  oscille 
comme  un  pendule  autour  de  la  perpendiculaire  abaissée  de  ce 
point  sur  la  ligne  d'action  des  forces  T,  c'est-à-dire  sur  O^  (^  ). 

Soit,  en  effet,  8  l'angle  de  la  normale  en  M  avec  cette  perpendi- 
culaire ;  si  le  point  mobile  se  déplace  de  ds  la  normale  tourne  de 
l'angle  d^  et  l'on  a 


dO 
ds 

I 
~    P    ~ 

-, 
c- 

d'où. 

par 

diffère] 

Qtiation, 

(0 

c/2  6 

T 

dy 
ds 

I 

sin 

Si  l'on  pose  -  =i/jt,  on  retrouve  l'équation  du  mouvement 
pendulaire 


7m  =-7''''^- 


Pour  intégrer  l'équation  (i),  multiplions   les   deux  membres 
dO 
ds 


par  -T-  et  intégrons  :  il  vient 


_j  =_(cose-+-t.), 


p.  désignant  une  constante  arbitraire.  On  a  alors 


C2  dO 


Trois  cas  sont  à  distinguer,  correspondant  aux  trois  cas  ren- 
contrés dans  le  pendule  simple,  suivant  que  [a  est  compris  entre 
—  I  et  -I-  I ,  supérieur  à  i ,  ou  égal  à  i . 

(')  Comparer  à  Greenhill,  Fonctions  elliptiques. 


ÉTUDE    DES    VALEURS    REELLES    DE    Snu,    cnil,    dnu.  187 

Premier  cas.  —  Dans  le  premier  cas  on  peut  poser 

[x.  =  —  cosa. 

L'angle  8  varie  de  — a  à  -j-a;  la  courbure  et  l'ordonnée  y 
s'annulent  pour  8  =  a. 

On  a  ainsi  la  forme  de  la  courbe  (Jig-  14:  I)-  Les  points  cor- 
respondant à  8=±:a  sont  les  points  B  et  B'.  Cette  forme  de 
courbe  correspond  au  mouvement  oscillatoire  du  pendule. 

On  a  trouvé  dans  ce  cas,  pour  le  pendule, 


sin  -  =  A-  sn  ^  f  /  ^ 


avec  A-  =  sin--  On  a  donc  actuellement  par  le  même  calcul,  en 
faisant  ^  =  ^l/f> 

.  e     ,     s  ^     A  ^ 

sin  -  =  A  sn  -  j  cos  -  =  an  -  > 

2.  c  1  c 


.6        ik       s 
sin2-  =  —  en-  , 
2         c        c 


c-  ,  s 

y  =z  —  =  2  Ac  en  - 


Calculons  enfin  œ  en  fonction  de  s,  on  a 

dcr  ^  .   ,  6  7,      .5 

-T-  =  COS  6  =  1  —  2  sm^  -  =1  —  2  A^  sn 

ds  1  c 

D'où,  en  intégrant  de  o  à  5  et  se  rappelant  la  formule  du  n°  100 

s: 

X  =  S\   I  —  2-— — -  -  .      . 

Deuxième  cas.  —  Si  l'on  a  [x  >  i,  8  peut  varier  de  o  à  27:  :^ 
et  -  ne  s'annulent  jamais;  la  courbe  a  la  forme  II  de  \afig.  i4- 


l88  CHAPITRE    V. 

Ce  cas  correspond  au  mouvement  révolutif  du  pendule.  On 
achèverait  le  calcul  comme  dans  le  cas  précédent,  en  employant 
les  mêmes  transformations  que  pour  le  mouvement  révolutif  du 
pendule  simple. 

Troisième  cas.  —  Si  [i.  =  i,  on  se  trouve  dans  un  cas  de  dégé- 
nérescence. On  a  alors 

as  2  -5  T  /O  7T 

COS  -  \^  4 

1 

e         4^ 

y  =  ic  COS-  =  j 

e''  -+-  e    ^ 

dx  =  COS ^  ds  =  i  2  cos2 i]  ds  =  2C  COS ds, 

2  '2     2 


.0  e^'  —  e 

a?  =  2 c  sin s  =  2C 

2  £ 


La  courbe  est  alors  asymptote  à  l'axe  O^,  comme  on  le  voit  en 
faisant  tendre  B  vers  zb  tu,  et  5  vers  dz  oc. 

127.  Corde  à  sauter.  —  Imaginons  une  corde  homogène  dont 
on  tient  les  deux  extrémités  et  qu'on  fait  tourner  très  vite  autour 
de  la  droite  joignant  ces  deux  extrémités.  On  peut  alors  négliger 
l'action  de  la  pesanteur  sur  les  divers  éléments  de  la  corde  et 
chercher  la  figure  permanente  que  prend  la  corde  dans  son  mou- 
vement. Par  rapport  à  un  système  d'axes  tournant  avec  la  corde, 
cette  figure  permanente  est  une  position  d'équilibre  relatif. 
D'après  la  théorie  de  l'équilibre  relatif,  on  doit  exprimer  qu'il  y 
a  équilibre  entre  les  forces  agissant  réellement  sur  chaque  élé- 
ment de  la  corde  et  les  forces  centrifuges. 

La  force  centrifuge  agissant  sur  un  élément  de  masse  m  est 
perpendiculaire  à  l'axe  de  rotation  et  répulsive;  elle  a  pour  inten- 


ÉTUDE  DES  VALEURS  RÉELLES  DE  Snw,  cn  W,  dnu.  £89 

site  miù-r^  to  désignant  la  vitesse  angulaire  constante  de  la  rota- 
tion et  r  la  distance  de  l'élément  m  à  l'axe. 

En  prenant  l'axe  de  rotation  pour  axe  O^,  on  est  donc  ramené 
à  un  problème  sur  l'équilibre  des  fils  que  l'on  peut  énoncer  ainsi  : 

Un  fil  est  attaché  en  deux  points  de  i^ axe  O x  et  chaque 
élément  du  fil  est  repoussé  par  V  axe  proportionnellement  à  sa 
longueur  et  à  sa  distance  à  l'axe. 

Toutes  les  forces  qui  agissent  sur  le  fil  rencontrant  l'axe  Ox^  le 
moment  de  la  tension  par  rapport  à  cet  axe  est  constant  tout  le 
long  du  fil;  mais,  comme  le  fil  est  attaché  en  deux  points  de  l'axe, 
le  moment  de  la  tension  aux  extrémités  est  nul;  ce  moment  est 
donc  constamment  nul  et  l'on  a 

d'où 

dv        dz 

m  étant  une  constante.  La  figure  d'équilibre  est  donc  dans  un  plan 
passant  par  l'axe  Ox.  Prenons  ce  plan  pour  plan  des  xy^  la  force 
agissant  sur  l'élément  ds  est  perpendiculaire  k  Ox,  répulsive  et 
proportionnelle  à  l'ordonnée  y 

Y  ds  =  ixy  ds. 
Les  équations  d'équilibre  sont  donc 

dx 
la  première  donne  T -y-  ==  A,  où  l'on  peut  toujours  supposer  A 

positif  en  comptant  les  arcs  s  dans  un  sens  tel  que  x  croisse 
avec  s;  en  portant  celte  valeur  de  T  dans  la  deuxième  équation  et 
posant 


-~  =  y',         ij  =  — ,  ds  =  dx)/i-^y'^=     ^^^^^ 
dx       -^              A        a-  y         J  y 

on  a  l'équation 

y  dy'  _^  oydy  ^  ^ 


igo 

et  en  intégrant 


CHAPITRE    V. 


v'--y'+^ 


y 


^2 


h'^  désignant  une  constante  nécessairement  positive  puisque  le 
premier  membre  est  positif.  Isolant  le  radical,  élevant  au  carré  et 

remettant  pour  y'  sa  valeur  -j- ,  on  a 


dx=± 


a'^  dr 


\/{b'-y^T 


a'* 


Gomme  le  fil  est  attaché  à  l'axe  O x,  l'équation  doit  donner  une 
valeur  réelle  pour  y'  quand  jk  =  o,  donc  b^'^a'^.  En  désignant 
par  ^(y),  le  polynôme  bicarré  placé  sous  le  radical,  on  a 


jK  partant  de  zéro  ne  peut  varier  qu'entre  — y/6^ — a-  et  +y/6'^  —  a^\ 
Construisons  la  courbe.  Supposons  que  le  fil  soit  attaché  en  O 
{Jig.   i5)  et  qu'il  soit  situé  dans  l'angle  yOx   :   alors  x  croît 

Fig.  i5. 


2      A, 


dx 


d'abord  avec  y^  -7-  est  positif,  et  l'on  a 
(G)  .=  r-^; 


y  croissant,  x  croît,  jusqu'à  ce  que  y  =  ^b-  —  a'^^  ;  x  atteint  alors 
la  valeur 

'    Jo         v/?(7)' 


on  a  ainsi  la  branche  OAj  ;  la  tangente  en  A,  est  horizontale.  A 
partir  de  cette  valeur,  y  décroît  et,  pour  que  x  continue  à  croître, 
il  faut  prendre  le  signe  —  devant  s/^{y)  :  on  a  ainsi  une  nouvelle 
branche  A,  M<  Oi  symétrique  de  la  première  OMAi  par  rapport  a 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    STIU,    cnu,     dnu.  19I 

l'ordonnée  Al  Bi,  car  à  des  variations  égales  de  y  correspondent 
des  variations  égales  de  x.  Pour  jk=o  on  obtient  le  point  O, 
d'abscisse  2^;  puis,  y  devenant  négatif  peut  décroître  jusqu'à  la 
valeur  — s/à' — a-,  l'abscisse  croît  toujours  jusqu'à  la  valeur  3E, 
ce  qui  donne  le  point  Ao,  où  la  tangente  est  horizontale.  Ensuite  y 
augmente  de  nouveau  de  — ^^b- —  a-  à  +y/^-  —  a^  ;  il  faut  prendre, 
à  partir  de  Ao,  le  signe  -h  devant  le  radical,  et  l'on  obtient 
l'arc  A2O0A3  coupant  l'axe  au  point  Oo  d'abscisse  4??  etc.  Les 
branches  de  courbe  ainsi  obtenues  successivement  sont  toutes 
égales  à  la  première.  La  courbe  est  donc  analogue  à  une  5/- 
nusoïde. 

Intégrons  les  équations  par  les  fonctions  elliptiques.   Faisons 
dans  l'équation  (C)  de  la  courbe 

(i)     y=t^b-—a^,         ^-=71 z<h  i-/:2=  A'2=:  — -; 

^  ^     -^  ^  l,i -^  a^  b--^  a^' 

elle  prend  la  forme  suivante  : 


xs/ 
ak 


d'où 

xJl  /y- :  X\ll 

ak  "^  ak 

Ainsi  la  courbe  donne  la  représentation  graphique  de  la  varia- 
tion de  la  fonction  sn. 

La  différentielle  ds  de  l'arc  de  courbe  est 


.    /         (dxy-  ,  {b-^  —  y^')dY 

en  faisant  dans  cette  formule  la  substitution  (i)  ci-dessus,  on 
trouve  pour  l'abscisse  ç  du  point  Ai  et  la  longueur  X  de  l'arc  OA, 
les  deux  expressions 

ak'    r^  dt  ak\. 


'      ^~J,   v/o^ 


(2) 

''       ikH^-)dt 

7 


\       "  k's/lj,     ^{i-t^-){i^kH 


) 
car  le  point  A,  s'obtient  en  faisant  ^  =  i . 


192  CHAPITRE    V. 

Quand  X  et  ç  sont  donnés  Çk  étant  supérieur  à  \,  car  l'arc  OA, 
est  supérieur  à  sa  projection  0B<),  les  constantes  a  et  k^  ont  un 
seul  système  de  valeurs,  sous  la  condition  k-<ii.  En  effet,  en 
calculant  X  —  Ç  et  X  +  Ç,  on  trouve 


W^- 


X_?  J,     V    i  —  kH-^ 


fy^ 


dt 


Pour  k-=  o,  le  rapport  du  second  membre  est  nul;  A^-  augmen- 
tant, le  numérateur  augmente  évidemment  et  le  dénominateur 
diminue,  donc  le  rapport  augmente  et  pour  k^=:i  le  rapport 
est  I .  Ce  rapport  passe  donc  une  fois  et  une  seule  fois  par  la  va- 
leur donnée  ^ z-  La  constante  k'^  a   donc  une  valeur  et  une 

seule;  l'expression  (2)   de   ?  donne  alors   pour  a  une  seule  va- 

Kk' 


leur  ^^ 


Détermination  des  constantes.  —  Le  fil  ayant  une  longueur 
donnée  /  et  étant  attaché  au  point  O  et  au  point  O'  de  Taxe  Ox 
d'abscisse  a,  il  y  a  une  infinité  de  cas  possibles. 

i*^  Le  fil  n'a  qu'une  seule  onde  entre  O  et  O'  {/ig-  16).  Alors  ^ 

Fig.  16. 


est  la  moitié  de  a,  X  la  moitié  de   /.  Les  quantités  ^  et  A  étant 
connues,  la  constante  k^  a  une  seule  valeur  donnée  par  l'équa- 

tion(3);  puisa= -j^. 

2°  Le  fil  a  deux  ondes  entre  O  et  O'.  Alors  ^  =  -,  X  =  -;  A^  a 

4  4 

la  même  valeur  que  dans  le  cas  précédent,  car  ^ 1  est  le  même 

l  —  a  .  ai/2 

-: ;  ensuite  a  =  ..-./,?  •  •  •• 


ÉTUDE     DES    VALEURS    RÉELLES    DE    SUll,    CÏÏU,    dnil.  I<)3 

„  / 

En  général,  si  le  fil  a  n  ondes  entre  O  et  O',  c  =  — ,  a  i=  -    , 
^  in  m 

A-  a  toujours  la  même  valeur,  mais  a  =  — 1777 • 

!2  /i  iV  A" 

Il  j  a  donc  une  infinité  de  positions  d'équilibre  qui  sont  toutes 
homothétiques  de  la   première    par  rapport  à   O,    les   rapports 
I     I  I 

•2     3  n 


dhomothétie  étant  -  j  -■, 


128.  Mouvements  à  la  Poinsot.  —  Étudions  le  mouvement 
d'un  solide  autour  d'un  point  fixe  O,  dans  le  cas  où  les  forces  ont 
une  résultante  unique  passant  par  le  point  O. 

En  prenant  pour  axes  liés  au  corps  les  trois  axes  principaux 
d'inertie  relatifs  au  point  O,  Oxyz.,  on  a,  pour  déterminer  les 
composantes/?,  q,  r  de  la  rotation  instantanée  suivant  ces  axes, 
les  trois  équations  suivantes,  dans  lesquelles  A,  B,  G  sont  les 
moments  d'inertie  principaux  (A>B>C),  D  et  u.  des  con- 
stantes arbitraires  (•), 

/     A/?2—  Bq^  -^  Cr'-  =  D  ;jl^ 
,.  )    A2/?2-^-B2^2^G2/-2=D2;a2, 

Jb^^(A-C);„-=o. 

Nous  tirerons  p  et  /*  des  deux  premières  équations  et,  en  les 
portant  dans  la  troisième,  nous  aurons  une  équation  différentielle 
du  premier  ordre  en  q.  L'élimination  de  r  entre  les  deux  pre- 
mières équations  donne 

A/?2(  A  —  G) -h  Bçr2(B  -  C)  =  D(  D  —  C);r2. 

D'après  les  grandeurs  relatives  de  A,  B,  C,  on  voit  que  la  diffé- 
rence D  —  G  est  essentiellement  positive  :  elle  ne  pourrait  être 
nulle  que  si  les  valeurs  initiales  /?o  et  q^  de  p  el  q  étaient  nulles. 
De  l'équation  ci-dessus  l'on  tire 


B(B-G) 


en  posant 

-^         '     B(B-G)' 


(')  Voir  AvPELL,  Traité  de  Mécanique,  t.  II,  p.  19g. 

A.  ET  !..  ,3 


194  ClIAPlTRli     V. 

on  aui'ait  par  un  calcul  semblable 

,       B(A  — B),    „         „,  „  D(A— D) 

le  binôme  A —  D  étant  essentiellement  positif  et  ne  pouvant  êlre 
nul  que  si  Çq  et  /'o  sont  nuls. 

Pour  que  p  et  r  restent  réels,  il  faut  que  q-  reste  inférieur  à  la 
plus  petite  des  deux  quantités  f-  et  g^;  pour  reconnaître  cette 
quantité,  formons  la  différence  g-  —  /-  : 

^^        ^         '      B(B  — C)(A  — B)' 

Le  si<;ne  de  g'- — /-  est  donc  celui  de  B  —  D,  signe  connu  par 
les  conditions  initiales. 

Pour  fixer  les  idées,  nous  supposerons 

B  — D>o,         ff'>f'- 

La  variable  q  doit  alors  varier  entre  — /  ^l  ~\- f  :  donc  /'  ne 
s'annule  jamais  et  conserve  toujours  le  même  signe,  signe  connu 
par  la  valeur  initiale  ;'o  :  nous  supposerons  /•  >>  o.  Au  contraire, 

/)  s'annule  toutes  les  fois  que  q  =  —/',  quand  q  augmente,  —~  ^^^ 

positif,  la  troisièuie  des  équations  (i)  montre  que  p  est  alors 
négatif;  quand  q  diminue, />>  est  positif.  Ces  considérations  fixent 
à  chaque  instant  les  signes  à  prendre  devant  les  radicaux  qui 
donnent  p  et  /•  en  fonction  de  q. 

En  portant  ces  valeurs  de  p  et  /•  dans  la  troisième  des  équa- 
tions (i),  on  trouve 


OÙ  le  radical  est  pris  positivement  tant  que  q  augmente,  jusqu'au 
moment  où  q  atteint  la  valeur  -i-f;  puis,  q  décroissant  de  +/  à 
—  y,  le  radical  doit  être  pris  négativement,  et  ainsi  de  suite. 

On  voit  que  t  est  donné  en  fonction  de  q  par  une  intégrale  que 
nous  ramènerons  à  la  forme  considérée  dans  le  Chapitre  pré- 
cédent, en  posant 

,,,_/^        (A-B)(D-C) 


9  =fs^ 


g-        (B-C)(A-D) 


ÉTUDt:    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  M,     Cn  W,     dllU.  IQ^ 

Nous  aurons  ainsi,  en  résolvant  par  rapporta  dt  et  intégrant, 


•  îi  n  désigne  la  constante  positive 


/D(A  — D)(B  — G) 
^  =  'H/  ÂBG 

et  t^i  une  nouvelle  constante  arbitraire,  représentant  répoquc 
oii  q  s'annule  en  croissant.  Le  module  k-  est  moindre  que  i 
puisque  g-^f'-\  il  est  égal  au  rapport  anharmonique  de  A,  B, 
D,  G. 

Ces  formules  donnent/?,  q.  r  en  fonctions  uniformes  du  temps. 
En  efifet,  en  posant,  pour  abréger, 

l'inversion  de  l'intégrale  elliptique  donne 


5  =  sn  -:  ; 


^  =fs 


^  /D(D-G) 


,.,^      :  ^      /B(B-C)    / ^  ,         /D(D-C) 


/B(A-B)/ j,r—^        „     ^  /D(A-D)^,^ 

où  a  est  positif  et  où  s',  z"  sont  égaux  à  ih  i . 

D'après  les  propriétés  des  fonctions  sn,  en,  dn,  ces  formules 
montrent  que/?  et  ^  s'annulent  périodiquement,  tandis  que  r  ne 
s'annule  jamais. 

Si  nous  supposons  ro>o.  /•  reste  constamment  positif  et  il  faut 
prendre   £'^=-^i.   Alors,    d'après  la  troisième    équation  (i),   on 

voit  immédiatement  que  -j-  et/?  doivent  être  de  signes  contraires, 

ce  qui,  d'après  la  formule 

d  ?n-  , 

— , —  =  cnt  clnT, 
d- 

montre  que  £'=  —  i . 

Les  valeurs  de  /?,  q,  r  sont  des  fonctions  périodiques  de  l  cl 


196  CHAPITRE    V. 

admettent  la  période 

ds 


s'i){i  —  k^~s^) 


Quand  le  temps  augmente  de  cette  quantité,  p,  q,  r  reprennent 
les  mêmes  valeurs;  l'axe  instantané  de  rotation  reprend  alors  sa 
position  primitive  dans  le  corps,  mais  non  dans  l'espace,  comme 
nous  le  verrons  plus  loin. 

Il  faut  maintenant  calculer  les  trois  angles  d'Euler  en  fonction 
du  temps.  Pour  simplifier  le  calcul,  nous  supposerons  qu'on   ait 

Fig.  17. 


pris  pour  axe  des  ^,  la  direction  invariable  de  l'axe  Oo-  du  mo- 
ment résultant  des  quantités  de  mouvement.  Ecrivons  que  les 
projections  du  segment  Oa-=i  /  sur  les  axes  mobiles  sont  respec- 
tivement Ap,  B^,  Cr,  nous  aurons 

!l  sinO  sincp  =  A/>, 
/  sinG  coscp  =  Bq, 
l  cosO  =  Gr; 

car  les  cosinus  y,  y',  y''  des  angles  de  O^,  O.y^  Oz  avec  O^,  sont 
sinQsincp,  sinB  coscp  et  cosQ.  Ces  équations  donnent,  sans  inté- 
j^ration,  B  et  o  en  fonction  de  />,  ^,  /•  et,  par  suite,  en  fonction 
de  t. 

Calcul  de  V angle  de  précession  '];.  —  On  a,  d'après  les  équa- 
tions du  mouvement, 

d^  __  A/?2_|-  B^2 

dt  ~  ^     AV+B2^2* 

Remplaçons,  dans  cette  expression,  p  ei  q  par  leurs  valeurs  (3) 


ÉTUDE     DES    VALEURS     RÉELLES    DE     SU  W,     CDU,     dn  M.  I97 

et  en- T  par  i  —  sii-t;  nous  avons 

rf-  ~  ^  A(B  — C)—  G(B  — A)sn2^' 
ce  qu'on  peut  encore  écrire,  en  efl'ecluant  la  division, 

^  _  |xD        ti^  (G  — A)(B  — G) 

7h  ^  jrC~^  nC  A(B  — Gj  — G(B  — A)sn2T* 

Pour  mettre  en  évidence  les  pôles  de  la  fonction  doublement 
périodique  du  second  membre,  déterminons  un  argument  con- 
stant ic  vérifiant  la  relation 

ACB— G) 


<3) 


G(B-A;' 


comme  A  >  B,  la  valeur  de  sn  ic  est  purement  imaginaire  :  on 
peut  donc  prendre,  pour  l'argument  ic,  une  valeur  purement  ima- 
ginaire, et,  par  suite,  pour  c,  une  valeur  réelle.  Nous  pourrons 
alors  écrire 

d'b        'jlD        aD  (G  — AVB  — G)  i 


ch         nC        nC         C{B  —  A  j         sn-  /c  —  sn-  t 

« 

D'après  les  relations  élémentaires  qui  lient  les  fonctions  sn,  en, 
dn  d'un  même  argument,  on  tire  de  (5) 

B(A  — G)  ,   ,.         D(A-G) 

G(A  —  B)  Li^A  —  D; 

Extradant  les  racines  carrées  et  tenant  compte  de  la  valeur  de  /?, 

on  trouve 

.       .        .    ,    .         uD  (G  — A)rB  —  G) 

unie  cnic  dn ic  =  - — ^  ,^    „    — r- • 

71  L,  G  (  B  —  A  ) 

Il  faudrait  mettre  un  double  signe  devant  le  deuxième  membre, 
mais,  comme  on  peut  changer  le  signe  de  ic  sans  que  les  relations 
antérieures  soient  changées,  on  peut  toujours  prendre  le  signe  -+- 

d'b 
devant  le  second  membre.  L'équation  qui  donne  -j^  s'écrit  alors 

d^        a  D         i  sn  ic  en  ic  dn  ic 


<6) 


dz         71 C  sn^ic  —  sn2' 


Cette  expression  est  maintenant  aisée  à  intégrer  :  il  suffit  pour 
cela  de  décomposer  le  second  membre  en  éléments  simples.  Or, 


198  CHAPITRE    V. 

nous  avons  établi,  dans  le  n^  100,  la  formule 

isnacnadna        ^.  .,        „^  ^  Q'(a) 

:,—   =  Z{ii  —  a )  —  Z(u  -i-  a)  -}-  -2  ----) — -  - 

snuc  —  sn-a  ^  ^  €)(«) 

On  a  donc,  en  faisant  a  =  icj  u  =  'Zj  et  désignant  par  À  la 
constante  réelle  ^  —  i  — —--  •, 

dz     ~  2     II  (  iC  —  T  )  2      H  (  iC  +  T  )  * 

Intégrant  et  supposant  les  axes  choisis  de  telle  façon  que  -S 
s'annule  avec  t,  on  a  enfin 

Les  trois  angles  9,  cp,  à  sont  ainsi  exprimés  en  fonction  du 
temps,  et  l'on  peut  déterminer  la  position  du  corps  à  un  instant 
quelconque.  Les  sinus  et  cosinus  de  ces  trois  angles  s'expriment 
par  des  fonctions  du  temps  qui  sont  ou  uniformes  ou  racines 
carrées  de  fonctions  uniformes.  Mais  il  est  très  remarquable^ 
comme  l'a  montré  Jacobi,  que  les  neuf  cosinus  a,  [3,  y,  a',  (3',  y\ 
x\  ^'^,  y'^  sont  des  fonctions  uniformes  du  temps.  Ce  résultat  peut 
s'établir  comme  il  suit.  Les  formules  (4)  donnent  déjà  y,  y',  y" 
en  fonction  uniforme  de  t.  On  en  conclut 

sinQ=  A-^/>-^+B^^2 
ou,  en  remplaçant /?2  et  q-  par  leurs  valeurs. 


V  D(A-G)(B-G)V/  G(ii-A) 

D'après  l'expression  du  module  A 2  et  les  formules  définissant 
sn-fc,  en- ic,  dn'-ic,  on  peut  écrire 

sinO  =    ,  \    i/sn^T  —  sivHc. 
dnic 

Mais  on  a  obtenu  la  formule  (n°  100) 

02(o)  U(a  —  u)lî(a-}~ii) 


sn^a  —  sn-  u 


e-{a)  e-{u) 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Snil,     Cnil^    dllW.  1 99 

en  y  remplaçant  a  par  t  et  u  par  ic,  et  remarquant  que,  par  défi- 

,     .  e(o)    Sidc)  i-r         H,(o) 


H,(o> 


(8)  ^-«=êûi)ëF)^"'^-"^"^^^"*- 

Diantre  part,  l'expression  (7)  donne 


don( 


.,  .    .,     ,     /H(T  —  «c) 


e'-^  sine  =       :^-fW       \,    X       g^^-^ 


e-'"^  sinO  = 


A  Faide  de  ces  expressions  on  forme  facilement  les  valeurs  des 
cosinus  a,  a',  a'',  [3,  [:>',  ,3'',  en  fonctions  du  temps.  Il  suffit  de 
partir  des  formules  donnant  ces  cosinus  en  fonction  des  angles 
d'Euler  et  d'y  remplacer  ensuite  les  angles  d'Euler  par  leurs  va- 
leurs en  fonction  de  t. 

Nous  trouverons  plus  loin  ces  mêmes  cosinus  par  une  autre 
voie. 

Cas  de  dégénérescence.  —  La  valeur  du  module  est  donnée  par 

,^(A-BUD-C) 
"-(B-C)(A-D)* 

Ce  module  est  nul  quand  A  =  B,  c'est-à-dire  quand  l'ellipsoïde 
d'inertie  est  de  révolution.  Les  fonctions  elliptiques  deviennent 
alors  des  fonctions  circulaires. 

Le  module  est  égal  à  V unité  quand  D  =  B  :  dans  ce  cas  les 
anales  9,  co,  'h  et  les  neuf  cosinus  s'expriment  comme  il  suit  :  la 

fonction  5=sn-:  devient  ^^^^^ — l  ou  — i  tano^iT,  et  les  fonctions  cnT 


-X  """O  "  ") 


et  duT  se  réduisent  à  v   i  —  s-  ou  à En  introduisant  un  ar- 

^  COSfT 

gument  purement  imaginaire  ic  défini  par  la  relation  (5),  c  est- 
à-dire 

ArB-G)  1       _B(A  — G) 


tanii^c 


G(A  — B)  cos2c        G(A  — B) 


'-^OO  (;iIAi»ITRE     V. 

on  remplacera  la  formule  (6)  par 

d'\>  _  [jlB        lange  i 

ch         nC        cos^c  langue — lang^iz' 

qui  donne,  en  intégrant  et  désignant  par),  la  constante  ^  ~}-tangc, 

,        -v  if        sin(6*  --  i-z) 

'2  "Sin(6' LZ) 

On  déduit  de  là  les  expressions  des  neuf  cosinus. 

129.  Herpolhodie.  —  Dans  la  représentation  du  mouvement, 
d'après  Poinsot,  la  polhodle  est  une  conrbe  algébrique  ;  cherchons 
les  équations  de  Vherpolliodie  ou  lieu  du  pôle  tn  sur  le  plan 
fixe  ('). 

En  appelant  x,  y,  z  les  coordonnées  du  pôle  m  par  rapport  aux 

axes  principaux  d'inertie  Oxyz.  on  a,  puisque  le  rapport  7=^  est 
_  ^  ^         ^  ^  ^         O  m 

constant  et  égal  à  y7i  ou  |jl  \^/]d, 

Comme/?,  q,  r  sont  des  fonctions  elliptiques  de  t,  il  en  est  de 
même  de  x,  y,  z.  Les  équations  d'Euler,  dans  lesquelles  on  rem- 
place/?, q,  r  par  ^  txy/D,  j)'aY/D,  ^uy/D,  donnent 

('o)     A^  +  jav/D(G-B)7..  =  0,     B^4-|VD(A-G):;^==o,     .... 

Appelons  P  la  projection  du  point  O  sur  le  plan  fixe  II,  qui 
contient  l'herpolhodie,  et  désignons  par  0  et  -/_  les  coordonnées 
polaires  d'un  point  m  de  la  courbe  rapportée  au  point  P.  Gomme 

on  a  les  équations  suivantes 

(II)  •' 

'   A   .r^  ^  B  ^-2  -^^  G  ^2  ^  I , 

A2x2-f-B2j^2_G-^^-2^  D, 


(')   Voir  Ai'i'Ei.L,  Mécanique,  l.  II,  p.   u  >  et  suivantes. 


ÉTUDE     DES     VALEURS     REELLES     DE    Sn  II,     cnit .     Ônil. 


•201 


dont  la  première  exprime  que  O  m  =Pr7i  -i- OP  ,  et  dont  le^ 
dernières  sont  les  équations  de  la  polliodie.  Résolvant  ces  équa- 
tions par  rapport  à  x'-^y'-^  z-,  on  a,  en  posant 


A  =  (A-B)(B-G)(G-A) 


et 


(B-D)(G-D) 


BGD 


ù  = 


(G-D)(A  — D) 


GAD 


(A-D)(B-D) 


BG(G  — B) 


ABD 


ip^-a),        y^-  = 


GA(A  — G) 


if'-b). 


{il) 


AB(B  — A 


A 

Fiç.  iS. 


-K?'--c). 


Nous  avons  supposé  A];^>B>>C  et  D  compris  entre  Bet  C;  alors  A 
est  négatif,  et  Ton  a  a]>  o,  b^o,  c<Co.  Donc  -3^  est  essentielle- 
ment positif  et  ne  s'annule  jamais,  ce  qui  est  d'accord  avec  le  fait 
que  /•  ne  s'annule  jamais.  Pour  que  x-  eiy-  soient  positifs,  il  faut 
que  p-  —  a  soit  positif  et  p- — h  négatif  :  p-  oscille  donc  entre  a 
et  b.  Ainsi  le  ravon  vecteur  de  l'herpolhodie  oscille  entre  un  mi- 
nimum y/rt  et  un  maximum  \^'b.  En  différentiant  la  première  des 
équations  (i  i),  on  a 


dp           dx           dv 

dz 

di  ^^'dt'^-^'dl  ~ 

dt 

ou,  en  tenant  compte  des  équations  (lo), 

G       G 


9tt=?-s/^^y^{^ 


B 


\  _  A— ^ 

"        G 


li-Av/D^-r^  ^ 

âbg"^^ 


'^.02  CHAPITRE    V. 

cette  équation  donne  enfin,  en  remplaçant  x,  y^  z  par  leurs  va- 
leurs (12), 

(i3)  p-^  =  [a/D/-(,p2-a)(p2-6)(p2-c), 

équation  qui  permettrait  de  retrouver  p^  en  fonction  de  t  par  une 
l'onction  elliptique;  cette  expression  de  p-  en  fonction  de  ^  nous 
est  déjà  connue,  puisque  x,  y,  z  sont  des  fonctions  elliptiques 
de  t. 

En  appelant  y  l'angle  polaire  que  fait  le  rayon  V  m  de  Therpol- 
liodie  avec  une  direction  fixe,  on  obtient  ensuite  l'équation 

(^4)  p^-^^=.ia(p2+E), 

où  E  désigne  la  constante  — -= —  aBGD  ^^->  c'est-cà-dire 
—  y/ —  abcD. 

Les  deux  relations  (i3)  et  (i4)  donnent  p  et  y  en  fonction  du 
temps.  L'élimination  de  dt  fournit  Téquation  différentielle  de 
rherpolhodie 


(i5)  dj^=-. 


p\/i^\/—{p-'~a){p-^-b){p'^—c)' 


[ui  donne  y  par  une  quadrature. 
Ceci  posé,  nous  allons  vérifier  que 


pe^X=  p  cos^  -+-  ip  siny, 

s'exprime  en  fonction  uniforme  du  temps.  On  a  d'abord  immé- 
diatement p-  en  remplaçant,  dans  l'équation  (12), 

y-  par  sa  valeur  en  fonction  du  temps 


On  trouve  ainsi 


2  =  Si    -      D  — G         , 
^         [JL2D  ~  i3(B-Gj  '"""• 


(D-G)(A-D)       (A-B)(D-C) 
P  CAD  ABC  ^"^  ^' 


ÉTUDE    DES    VALEURS    REELLES    DE    Sn  M,     Cn  II,     ÔïlU.  'lo'i 

OU  bien 

(A-BVD-C).     , 
p^  = ÂBC (sn^^-sn^O, 

en  posant 

(A-D)B 

Les  relations 

cn2p  =  i_sn2p,         (ln2c.  =  i-A-2sn2r,         A-2  =  -^"!!'^^~  ^'^ 

(B  — G)(A-D) 

donnent  car  et  dnr.  Rapprochons  les  trois  résultats  suivants 

B(A-D)  ,  A(B  — D)  ,   ,  C(B-D) 

Pour  obtenir  y  nous  partirons  de  l'égalité  (i4)  qui  donne 
dy  _  jjlE 


et,  en  remplaçant  c-  par  sa  valeur  en  fonction  de  t  et  dt  par  —  (^t 

^X  _  !f    ,    If       (A  — D)(B  —  D  )  I 


dz        II        n  D(A  —  B)         su--:  —  sn-p 

Décomposons  le  second  membre  en  éléments  simples  en  nous 
servant  de  la  formule 


sn-^p— sn-T    ~  Q{v)     '    H(p  — -:)     '     H(p-T-'rj' 

Nous  déduirons  d'abord  des  valeurs  de  snp',  cnc,  dn(^  et /i  la 
relation 

/i2  L        D(A  —  B)        J 


et  nous  pourrons  ensuite  écrire 

dy  u        I   snccnpdnp 

dz  ri        i   sn--:  —  sn-v 
puis 

.^X  _      -if  _^  e'(t^)  _^  H'C-r  —  r)  _  H'J^T^-^) 


204  CHAPITRE    V. 

On  déduit  de  là 

0(.)        nj  n(z-v) 

V  désignant  nne  constante  arbitraire. 
D'autre  part,  on  a 

ou,  d'après  une  formule  déjà  rappelée, 

2  =  _  (-^-  B)(D-  G  )  02_(  o)  HOc  —  P  )_H(  T  ^^v) 

^'  'abc  /i  02(p)e2(T)     " 

On  voit  alors  que  p-e-^'X  est  le  carré  d'une  fonction  uniforme  et 
l'on  obtient 

e(T) 
en  posant 

jvj.^       (A-B)(D-G)    0^(0)    ^       A--^^2    e^(o)   ^ 

' 'abc  /:e2(p)         Dix^  ke^vy 

la  quantité  y^A-  B(o)  est  égale  à  H'(o),  comme  il  résulte  de  ce  que 
la  limite  de est  i  pour  w  =  o  :  on  a  donc 

de    sorte    que,   en  définitive,  l'Iierpolhodie  est  définie  par  l'équa- 
tion 


m_   H'(o)  H(t-p)^^|  V  +  'e^l 
(JLV/D    0(0'       0(0 


P^'"'^  =  —7=   -^7:.T        ^^/-x     ■  ^ 


En   se  reportant  aux  valeurs  de  sn^^;,  cn-c,  dn^ç;  en  fonction 
des  données,  on  voit  que  l'on  a 

I<sn2(;<  -l. 

D'après  cela  v  —  R  est  purement  imaginaire.   Cette  remarque 
nous  conduit  à  poser 

i>  -K  =  a. 


ÉTUDE    DES    VALEURS    RÉELLES    DE    Snil,     CïlU,     dn  M.  20 J 

et  à  remplacer  t»  par  cette  valeur  dans  l'équation  de  l'herpolhodie. 
Cette  équation  devient 


pe 


fi         6i(a) 

rt  est  purement  imaginaire  et  A  est  réel,  v  est  une  constante  arbi- 
traire réelle. 

130.  Vitesses  de  rotation  autour  des  axes  fixes.  —  Un  point  m 
de  rherpolhoïde  et  l'extrémité  w  de  la  rotation  instantanée  sont 
en  ligne  droite  avec  le  point  fixe  O  et  l'on  a  vu  qu'on  a 

lù  =  O  m^Ti,         où         /7i  =  ;jLv^, 

Si  donc,  on  appelle  /),  et  ^,  les  projections  de  la  vitesse  angu- 
laire sur  les  axes  fixes  0.r,,  Oj^o  on  aura 

Pi  -+-  içi=  [^  /J5  p  e^'^, 
ou  bien 

.    H'(o)    H^i-z  —  a)    .,,       , 

C'est  à  un  changement  de  notation  près  la  formule  donnée  par 
M.  Hermite  (Sur  quelques  applications  des  fonctions  ellip- 
tiques, p.  35).  L'argument  to  qui  figure  dans  la  formule  de 
M.  Hermite  et  l'argument  a  employé  ici  sont  liés  par  la  relation 

rt  =  co  -^  îK' . 

131.  Les  neuf  cosinus  déduits  de  réquation  de  rherpolhodie. 
—  Comme  on  fa  déjà  remarqué  (n°  128),  A/?,  B^,  Cr  sont  les 
projections  du  segment  0(7=  /=  D|jl  sur  les  axes  mobiles.  On  a 
donc 

^  =  ^  =.  ^'^  =  D  a 

ï  v'  f 


d'où 


p  = 

_     /A(D- 
-V    D(A- 

-G) 
-G)' 

Q  = 

/B(D- 

~y  D(B- 

-G) 

-G)' 

Y  =  P  cn-r, 


'^06  CHAPITRK     V. 

Nous  allons  d'abord  exprimer  P,  Q  et  R  en  fonction  de  l'argu- 
ment V  qui  figure  dans  l'équation  de  l'IierpoUiodie.  On  a 

B(A-D)        (A  — B)(D-C)  ^ 

^'~  D(A  — B)  ^  (B-G)(A— D)  -'^-^"^'^^ 

j^uis  l'identité 

P2  cn2x  +  Q2  sn^T  +  R2  dn^'T  =  r, 

où  l'on  fait  successivement  cn-T=o  et  dn-T^^o,  fait  connaître  R 
et  P;  on  tronve  ainsi 


H<^                           ,       ,                           ,,           d  n  p  , 
Y  =  —  77  en  ç  criT,  y  =  A:  snv  sriT,         y   = —  dnx, 


ou  bien 


0( 

et,  en  posant 


'^  '     Q{v)Q{z)    '  ^^         0(p)0(t)'  "^^^  0(^)0(0:)" 


V  —  K  =  a, 
de  sorte  que  (n"  129)  a  est  purement  imaginaire 

^       '0i(a)0('r)'  '         0r(a)0(T)'  '''  "        0i(a)0(T)' 

l^our  calculer  les    autres   cosinus   nous   prendrons   comme   in- 
connues 

a  4-  t'p,  a'-T-  ïp',  a"+  i9j". 

Entre  ces  inconnues,  on  a  les  équations  linéaires 

(a  4-  ^3)Y  +  (a'+  /p')V4-  (a"+  i^/)Y'=o, 
Y'(a"+  ^-JB")  -  Y"(a'-h  l^')  =  -  j(a  +  i'^), 

des  deux  premières,  on  déduit 

Y"  —  I 

a" H-  t'i^"  =  (a  -+-  /,3)  ''^''^"^  '^^^ 
Y        I 

et,  en  portant  ces  valeurs  dans  la  dernière  équation. 


ÉTUDE    DES     VALEURS    RÉELLES    DE    Sn  M,     Cn  M,     (In  M.  207 

Si  l'on  lient  compte  des  égalités 

kp  —  h(,  Bq  —  /v',  G/'  =  IY\ 


^p-T-^i  q  -^  7  r=ix^  ^, 


CD  peut  écrire  cette  équation 


Il  reste  à  exprimer  en  fonction  de  a  les  quantités 


"Ù-X)'    '   5-B 


on  peut  Je  faire  en  se  servant  des  relations  suivantes 


[     \D        A/VC        b)       1 


i   /  -i  -  - 

V  D     _A  _       QR  _        .snpdnp 

/"i         r  ~        P     ""  ciip 

V  C  -  B 

__  .}î(v)e,(v)  __  .H,(a)e(a), 

~    '   *Hi(p)e(ç^)  ~       *H(a)e,(a)' 

on  a  ainsi 

,/i  t\  .     Ui(a)e(a) 

M  V7 .-      ^  —  ifl  vrr 


D        A/     '  H(a)ei(a) 

/^_^\  .    H(a)e,(a) 

VC        b)~       '''Hi(a)e(a)' 

__     Hi((7)era)H,fT)e(T)-HH(«)ei(a)H(T)e,(T) 

'^  eK«)eH-)-^-HH«)Hf(T) 

Si  Ton  divise  les  deux  termes  de  cette  fraction  par  0-(a)0-(T) 
et  si  Ton  y  introduit  les  fonctions  sn,  en,  dn,  elle  devient,  à  un 
facteur  constant  près,  égale  à  cn(T  —  a)  :  sa  valeur  exacte  est 

e(o)Hi(o)Hi(^-(7) 


•208  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    V. 

et  l'égalité  qui  définit  a  -f-  ip  peut  s'écrire 

.         .^  e(o)Hi(o)ni(^-a)  .  .    H'(o)   Hi(t  — a)     ,,       , 

■^    ef(o)e(T  — «)        '^      ^^  <d,{a)     0(t) 

En    supprimant    les    facteurs    communs,    et    remarquant    que 


H'(0)  IIl(o)  1  •       .  .  1  ^  /T  /^ 

--7-^  et  77-7-^  sont  deux  quantités  escales  a  \,'h-    on  a  entin 

0(0)         ©1(0)  '  o  V     7 

et  l'on  en  déduit  a' ^  /fii',  a"+  i  [^'^ 

Réunissons  les  valeurs  des  neuf  cosinns 

Hj(a)H(.)  ,,^.3,^     0(o)0,(x-a)      ,^^^^ 

^  0,(a)e(T)'  '  ei(a)0(T) 

^  0i(«)0(-)'  '    ^  ei(«)0(T) 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  V, 


I.  Lignes  géodésiques  de  la  caténoïde  (surface  engendrée  par  la  révolu- 
tion d'une  chaînette  autour  de  sa  base). 

L'axe  de  révolution  étant  pris  pour  axe  Oz  et  /'  désignant  le  rayon  d'un 
parallèle  on  a,  pour  l'équation  de  la  surface, 


r  = 

'1 


'^Q'  +  e'^). 


On  trouve  que  la  projection   des  lignes  géodésiques  sur  le  plan  des  xy 
a  pour  équation  en  coordonnées  polaires 


i 


hdr 


h  désignant  une  constante  arbitraire  et  l'angle  0  étant  compté  à  partir  de 
la  direction  asymptotique. 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    V.  209 

1°  Soit  by  a.  En  posant 


b 

-  =  u, 

r 

on  a 


du 


Donc 

a  =  sn6,         r  =  — ^ 
sno 

Telle  est  l'équation  de  la  courbe. 
2°  Soit  ^  <  a.  En  posant 


on  a 


Donc 


a 

fA' 

k-^ 

v/(i  — t^^Hi  — ^■"^-) 

a 

6                       a 
sn-r 

k 

3°  Si  6  =  a,  on  est  dans  un  cas  de  dégénérescence,  A"  =  i 

e9+e-9  (1) 


r  =  a 


2.  Les  neuf  cosinus  qui  servent  à  définir  la  position  relative  de  deux 
trièdres  trirectangles  peuvent  s'exprimer  en  fonction  de  trois  paramètres  a, 
M,  X  au  moyen  des  formules  suivantes 

_        .H(a)H(.)  ,^-o      _-ei(o)e,(.-a) 

ei(a)e,(i*)'  t"  ei(a)ei(«) 

Hi(«)Hi(?^)  e(o)e(^  — ^)   .^ 

dans  lesquelles  on  suppose  u  et  X  réels  et  a  purement  imaginaire. 
Il  suffit  de  vérifier 

(a  H-  tP)2-f-     (a'+  i^')2  _}-      (a"-i-  i|3'')2  =  o. 


(')  Greenhill,  Fonctions  elliptiques,  p.  i38. 

A.  ET  L.  i4 


ilô  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    V. 

Gela  résulte  des  identités  suivantes 

ef(a)ef(w)  — Hf(«)H2(w)  --- 02(a)  62(^0  — H2(a)H2(w), 

5 

lli{o)Ui(u  —  a)ei(a)@i{u)  —  ei{o)ei{u  —  a)Ui{a)  Hi(w) 

=  e{o)&{a  —  a)H{a)ll{u), 
e|(o)  0i(?f  — a)  0i(M-+-a)  =  02 (a)  02(^0  +  Hf  (a)  Hf  (w), 
02(o)    e{ii  —  a)    0(i^-i-a)  =  02(a)02(a)~Hf(a)H2(w), 
H2(o)Hi(i6  — rt)Hl(^^^-a)  =  0?  (a)  0?  (^^)  -  02(a)  02(^0, 

et  d'une  autre  identité  qui  se  déduit  de  la  première  de  celles-ci  en  y  rem- 
plaçant a  par  o  et  m  par  u  —  a. 

3.  Vérifier  que  les  valeurs  précédentes  des  neuf  cosinus   satisfont  aux 
relations 

(a"-fP")(a+i*?)  =-T"T+^'r, 
(a  — t'P)  (ce'  ^i<^')=—  yy'  -^if, 

équivalentes  au  système  suivant 

a'a"-+-  P'P"+  y'y"=  o,  Y  =  a'^"—  ^'a", 

a"a  -4-  P"|3  +  y"T  =  0'  ï'  =  ^'"P  —  P"a^ 

aa'H-  p^' +  YY'  =0,  y"=«?'  — P«'- 

(D'après  cela  les  deux  trièdres  dont  la  position  relative  est   définie  à 
J'aide  de  ces  cosinus  ont  même  disposition.) 


CHAPITRE  VI. 

FONCTION  p  A  PÉRIODES  IMAGINAIRES  CONJUGUÉES. 
DISCRIMLNANT  NÉGATIF. 


I.  —  Le  discriminant  est  négatif.  Valeurs  réelles  de  pu  et  de  p' u. 

132.  Objet  de  ce  paragraphe.  —  Supposons  qu'on  ait  pris  pour 
périodes  primitives  d'une  fonction  pu  les  quantités  imaginaires 
conjuguées 

2(i)i=:W2 Wj,  20)3=0)2+102, 

Wo  désignant  une  quantité  réelle  et  co',  une  quantité  purement 
imaginaire;  nous  allons  montrer  que  les  invariants  sont  réels,  que 
la  valeur  de  la  fonction  est  réelle  quand  l'argument  est  réel  ou 
purement  imaginaire  et  nous  en  déduirons  que  le  discriminant 
27  «3  est  négatif. 


0-3 

o  2 


133.  Les  invariants  sont  réels.  —  Les  invariants  sont  donnés 
par  les  égalités 


-s'-^y^ ' ^■.>  ^o^^='Lz^ 


60  Jmd    (2mO)i-T-  2/10)3)^  140  X^    (2 /?l  0)i -T-  2/10)3)6 

Comme  les  quantités 

2  m  0)1 -h  2/10)3^  2/72  0)3+2/10)1 

sont  imaginaires  conjuguées,  on  peut,  dans  chacune  des  séries 
précédentes,  associer  deux  à  deux  les  termes  de  façon  que  leur 
somme  soit  réelle.  Donc  les  invariants  «"o  et  ^3  sont  réels. 

134.  Arguments  réels,  purement  imaginaires,  imaginaires  con- 
jugués. —  Arguments  réels.  —  De  même  dans  la  série 


■ 

u'- 

^jLi 

L(" 

— 

w)-^ 

w 

= 

2//l0)i 

+  2/1 

W3, 

m  ) 
n  ] 

= 

0, 

zh  I 

,±2, 

± 

3,1 

w 

= 

0 

excl 

US. 

CHAPITRE    V 


si  l'on  suppose  u  réel,  on  peut  associer  deux  à  deux  les  termes  de 
façon  que  leur  somme  soit  réelle.  Donc,  pour  un  argument  réel, 
la  valeur  de  la  fonction  jdw  est  réelle. 
On  voit  de  même  que  la  dérivée 


)  u= —  2  >, 

U^  ^mk    {  U  — 


wy 


est  réelle  quand  u  est  réel;  elle  garde  un  signe  constant  quand  u 
varie  de  o  à  t02,  puisqu'elle  ne  devient  ni  nulle  ni  infinie  dans  cet 
intervalle,  et  comme  elle  est  négative  pour  u  positif  et  très  petit, 
elle  est  constamment  négative  quand  u  varie  de  o  à  too  ;  pu  va 
constamment  en  décroissant  depuis  +  co  jusqu'à  pwo. 

Argument  purement  imaginaire.  —  Pour  voir  si  la  fonction 
p{iu)  est  réelle  quand  u  est  réel,  remarquons  que  l'on  change 
seulement  le  signe  de  la  fonction  pu  quand  on  multiplie  par  i 
l'argument  et  les  deux  périodes.  On  a  donc 

p{iu\ix)i,  (03)  =  — p(m1  ioji,  twg), 
où 

twi  = \ 1 ,  toj3  =  — 1  ; 

2  2t  2  11 

puis,  comme  on  peut  toujours  changer  le  signe  d'une  période, 

p(iu\(ûi,  oj^)  =  —  p{u\iMi,  —  10)3). 

Pour  la  fonction  du  second  membre  les  deux  périodes  sont  ima- 
ginaires conjuguées.  Si  donc  u  est  réel  on  est  ramené  au  cas 
déjà  étudié. 

En  prenant  les  dérivées  des  deux  membres  de  la  relation  que 
nous  venons  d'obtenir,  on  trouve 

fp'(m|  0)1,  103)  =  — p'(m|  twi,  —  ^ftoa). 

Les  deux  égalités  précédentes  montrent  que  si  u  est  réel 
p(iu\ix>i,  (1)3)  est  réel  etp'(m|tOi,  tog)  purement  imaginaire. 

Ces  égalités  peuvent  s'écrire,  en  mettant  en  évidence  les  inva- 
riants g2  et  gs  au  lieu  des  périodes  to<  et  io^, 

P{if^;  ^2,  gs)  =  —  p(u;  ^2,  —.^3), 
ip'{iu:  gi,  gz)  =  —  p'{u\  ^2,  —^3); 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUÉES.  2[3 

ces  formules  résultent  de  ce  que,  si  l'on  remplace 
par 

dans  les  séries  qui  donnent  «o  et  «-3,  «"o  ne  change  pas  et   0-3  se 
reproduit  multiplié  par  —  i . 

Arguments  imaginaires  conjugués.  — A  deux  valeurs  u  et  Uq 
imaginaires  conjuguées  de  l'argument  correspondent,  pour  la  fonc- 
tion, deux  valeurs  toiaginaires  conjuguées.  En  effet,  on  a 


Il  s'agit  de  montrer  que,  si  Ton  change  i  en  —  i  dans  l'expression 
de  puo^  cette  expression  se  change  en  pu. 

Si  l'on  change  i  en  —  i  dans  la  deuxième  série  on  trouve,  en  dé- 
signant par  iVo  la  quantité  imaginaire  conjuguée  de  (V, 

il  reste  donc  à  vérifier  que  l'on  a 

2d  \_{a  —  wy-  ~~  "^ J  ^  2d  1{u  —  wqY  ~  "^J  * 
cela  résulte  de  ce  que  la  quantité  imaginaire  conjuguée  de 

est  la  quantité 

M^O  =  2  771  CO3 -f-  2 /î  COi , 

et  que,  dans  chacune  des  sommes  précédentes,  m  et  n  prennent 
toutes  les  valeurs  entières  ((v  =:  o  exclus).  On  peut  donc  passer  de 
la  valeur  àe  puk  la  valeur  de  jdWq  en  changeant  «  en  — /;  ces  deux 
valeurs  sont  imaginaires  conjuguées.  C'est  ce  que  nous  voulions 
vérifier. 

13o.  Parmi  les  racines  ei,  eo,  e^,  l'une  e^  est  réelle  et  les  deux 
autres  imaginaires  conjuguées.  Le  discriminant  est  négatif.  —  Nous 


aï4  CHAPITRE    VI. 

pouvons  maintenant  vérifier  que  les  racines  du  polynôme  en  pu 

sont  l'une  réelle  et  les  deux  autres  imaginaires  conjuguées.  Ce  po- 
lynôme étant  égal  à  {p' uY^  ses  racines  sont 

ou  bien 

(0)2  (On  \  /  0)9  W»  \ 

On  voit  déjà  que  la  dernière  est  réelle,  puisque  coo  est  réel;  la 
première  racine  peut  s'obtenir  en  prenant  la  formule  d'addition 

et  en  y  faisant 


a>2 
u  =  — )  V  = 

2 


pu  et  p'u  sont  réelles;  pç  est  réelle  et  p'ç  purement  imaginaire. 
Donc  e^=pil)^  est  imaginaire.  La  même  formule  montre  que 
<?3=pw3  est  la  quantité  imaginaire  conjuguée  de  €{  (ce  qui  devait 
être  puisque  toi  et  CO3  sont  des  quantités  imaginaires  conjuguées.) 
Puisque,  sur  les  trois  racines  e^,  (?2,  <23,  il  y  en  a  une  réelle  et 
deux  imaginaires  conjuguées,  le  discriminant  gl —  ^1  g'I  ^^t  né- 
gatif. 

Distinction  des  racines  imaginaires  par  le  signe  du  coeffi- 
cient de  l.  —  Nous  pouvons  distinguer  les  deux  racines  imagi- 
naires en  considérant,  dans  chacune  d'elles,  le  signe  du  coefficient 
de  l. 

La  racine  <?<  s'obtient  en  faisant  u  =  —y  p  = dans  la  va- 

1  1 

leur  précédente  de  j>(w  +  ç')  ;  le  coefficient  de  l  dans  le  résultat  a 
le  signe  de  —  -.-  p'  up'ç,  et,  comme  p' u  est  négatif  pour  ?^  =  — , 
le  signe  à  considérer  est  celui  de 

I     ,  I     ,  /       a>;  \  I     ,  /  W2  \        .    ,  /  w 2  \ 


FONCTION    p    A     PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUÉES.  2l5 

comme  Targument  —  est  purement  imaginaire,  servons-nous  de 

la  formule 

ip'iiu;  gi,  gi)  =  —  p\u\  gi,  —gs); 

nous  trouverons 

Or  le  signe  du  second  membre  est  le  signe  4-,  puisque,  quand  u 
varie  en  restant  réel  de  o  k~j  p'(u;g2i  — ^3)  est  constamment 
négatif. 

Donc,  pour  la  racine  e^,  le  coefficient  de  i  a  le  signe  +  ;  pour  la 
racine  ^3,  le  coefficient  de  i  a  le  signe  — . 

Remarque.  —  On  a,  quel  que  soit  u^ 
En  effet,  la  période  20)^  étant  égale  à  coo —  w^,  on  peut  écrire 

p  (  i^  4-  W2  )  =  J3  (  Z<  -t-  CO'2  -^  2  0)1  )  =  p  (  Zf  -f-  W,  ). 

136.  Valeurs  de  u  pour  lesquelles  pu  et  p'u  sont  réelles  toutes 
les  deux.  —  Nous  avons  vu  que,  quand  u  croît  de  zéro  à  too,  pu 
et  p' u  sont  réelles  toutes  les  deux  :  p'u  varie  d'une  manière  con- 
tinue de  — 00  à  zéro,  pu  décroit  constamment  de  -i- 00  jusqu'à 
62  =  p(ii2'  Nous  voulons  maintenant  définir  toutes  les  valeurs  de  u 
qui  rendent  réelles  pu  et  p' u.  (Considérons  la  relation 

p'2(w)  =  4(p;^_ei)(pz<  —  e2)(p«  — 63); 

si  pu  est  réel,  le  premier  et  le  troisième  facteur  sont  imaginaires 
conjugués,  leur  produit  est  positif  :  pour  que  p' u  soit  réel  il  faut 
que  l'on  ait 

pu^  e-2. 

Soit  a  une  valeur  réelle  plus  grande  que  Co  ;  il  J  a  un  argument 
réel  ç,  compris  entre  o  et  tos,  pour  lequel  on  a 

pu  =  a; 

toutes  les  autres  solutions  de  cette  équation  sont  données  par  la 


'2l6  CHAPITRE    VI. 

formule 

u  ~±  ç  -h  imoii^  2/10)3, 

m  et  n  étant  des  nombres  entiers. 

On  conclut  de  là  que,  si  un  argument  11  rend  réelles  la  fonc- 
tion pi^  et  sa  dérivée  p'  u,  on  peut  toujours,  en  ajoutant  des  pé- 
riodes, le  ramener  à  être  réel  et  compris  entre  —  Wo  et  -h  coo. 

II.  —  Expression  des  périodes  par  des  intégrales  définies  de  la  forme 

NORMALE   DE    LeGENDRE,    DANS    LE   CAS    DU    DISCRIMINANT   NÉGATIF. 

137.  Expression  des  périodes  en  fonction  des  invariants.  —  Les 
périodes  étant,  comme  plus  haut,  définies  par  les  égalités 

2  0)1  =  102  —  Wg,  20)3  =  0)2+  (.O2, 

on  a  vu  que,  si  u  croît  de  o  à  (02,  pu  décroît  constamment  de  +  00 

à  62.  L'équation  différentielle  à  laquelle  satisfait  la  fonction  x  =  pii 

étant  mise  sous  la  forme 

,  dx 

au 


on  obtient,  en  faisant  croître  z/  de  o  à  Wo,  l'égalité 

r"  dx 


0)2 

^3 


qui  donne  l'expression  de  Wo  en  fonction  de  g-i  et  de  ^3. 

Pour  avoir  l'expression  correspondante  de  -4-  remarquons  que 
si  l'on  remplace  les  périodes  2w,  et  20)3  par  les  suivantes 

^2             .                                     .                  0),  . 

2f0)i=-^ htO)2,  —  2f0)3=-^   fO)2, 

il  faut  remplacer 

^2,       ^2,        g3,       Ci 

par 

to; 

-fy     ^2,      —  gz,     —  ^2. 

L'égalité  précédente  devient,  par  ce  changement, 

dx 


■i^f 


sj  ^x^  —  gtx 


FONCTION    p    A    PERIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUEES.  217 

138.  Les  intégrales  donnant  les  valeurs  de  w,  et  -^  ramenées  à 

la  forme  canonique  de  Legendre.  —  L'intégrale  qui  donne  la  va- 
leur de  coo  peut  s'écrire 

«2=      /  :• 

Faisons  le  changement  de  variable 

or  —  6-2  =  z-, 

l'intégrale  devient 

dz 
W2 


^f. 


Les  quantités  e-j —  e,  et  e.2  —  63  sont  imaginaires  conjuguées.  Po- 
sons 

e.2 — 63  —  p(cos^j^ -T- j  siinl)         ?  >  o, 

e, — ■  ei  =  p{cos^  —  fsintl»)         o  <  ^|^  <  tt. 

Ayant  pris  0  positif,  nous  pouvons  choisir  à  en  Ire  o  et  -, 
puisque  e^  désigne  la  racine  imaginaire  pour  laquelle  le  coefficient 
de  i  est  positif.  Le  polynôme  bicarré  qui  se  trouve  sous  le  radical 
peut  alors  s'écrire 

z'*^  iz-p  cos<]^  -h  p2  — (^^2_|_  p)2_  ^z-psin"^-, 

de  sorte  qu'en  posant 

/-  i> 

z  =  iy/p,  sin2  ^  =  A-f , 


on  a 


le   coefficient   différentiel   de  la  nouvelle    intégrale   ne   fait   que 
changer  de  signe  quand  on  pose 


I 


et  que  l'on  néglige  ensuite  l'accent.  On  en  déduit 

dt 


r^ dt^ /" 


^{t^-^^y-^k\t^ 


2l8 

puis 


CHAPITRE 

VI. 

Wo  v/p  = 

^r' 

dt 

j,  •(««+1)2- 

/ik\t^ 

r 

idt 

14-  t^ 

et  il  n'y  a  plus  qu'à  poser 


,        =  sino  ou  ^:=tanff- 

I  -i-  £■*  *  ®  o 


pour  obtenir  l'égalité 

J,     /i-/rfsm2cp 

dans   laquelle  l'intégrale  est  de  la  forme  normale  de  Legendre 
(voir  n^  111). 

Transformons  de  même  l'intéarrale 


dx 


2/(37  +  ei)(a7  +  e2)(a7  4-e3) 
En  faisant  le  changement  de  variable 

il  vient 

t^         /^  °°  dz 

i 


e2)(22+  63—62) 

puis,  en  introduisant,  comme  dans  ce  qui  précède,  le  module  et 
l'argument  des  quantités  imaginaires  conjuguées  e^  —  e^^,  e^—  ^2, 


'or  ^ 

Posons 

2 
nous  trouverons 


z  =  t\/ç>,        cos2  X  =  A';% 


<^^ 


Y~^k\^t^ 


FONCTION    p    A    PERIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUEES.  219 

et,  en  tenant  compte  de  l'égalité 


7C 


/" dt _   r^  d^ 


nous  obtenons  pour  -4  une  expression  de  la  forme  cherchée. 
Réunissons  les  deux  formules  qui  viennent  d'être  démontrées 


71 

2  do 


a>2\/p  =  /  "^J  *  Af  =  sin2j, 


2 


2  «^O  ,,„  „   6 


k\^  =  C0S2  ^ 

'o     VI  — '^"rsin2cp  ^- 

p  et  ({;  étant  définis  par  les  égalités 

^2 — ^3=  p(cos4' -+- isiin];),         p  >  o, 
^2— ei  =  p(cost];  —  tsim^;),         o  <  <];  <  t^- 

Ces  dernières  intégrales,  dans  lesquelles  on  fait 

sincp  =  ;5, 

prennent  la  forme  des  intégrales  qui  donnent  R  et   K'  dans  le 
n« 108. 

139.  Variation  du  rapport — ^«  —  Des  égalités  précédentes  on 
déduit 


"^2 

A           do 

Ùj02 

Jq     v/i  — >^i  sin2<p 

Oj', 

71 
^2                   do 

J,     v/i-A-'i2sin2<p 

et  l'on  voit  que  le  rapport  — ^  augmente  constamment  quand  k'^ 

croît  de  o  à  i ,  car  le  numérateur  augmente  et  le  dénominateur 
diminue.  Ce  rapport  est  égal  à  zéro  pour  k-^  =  o,  il  est  égal  à  +oc 
pour  k'-^  =  1',  il  passe  donc  une  fois  et  une  fois  seulement  par  une 
valeur  positive  donnée  quand  A^J  croît  de  o  à  i . 

On  peut  alors  vérifier,  en  se  servant  des  seules  intégrales  ci- 


220  CHAPITRE    VI. 

dessus,  que,  si  les  valeurs  de  CO2  et  de  ~  sont  données,  chacune 
des  racines  ei,  eo,  e^  a  une  valeur  unique.  En  effet  — ~  ayant  une 

valeur  positive  donnée,  k'\  a  une  valeur  unique  comprise  entre  o 
et  i;  ^J  étant  ainsi  déterminé,  l'égalité  qui  définit  (02,  par  exemple, 
montre  que  y/p  a  une  valeur  unique,  le  radical  étant  pris  avec  le 
signe  +.  Pour  passer  de  là  aux  valeurs  de  e\^  Co-,  e^  remarquons 
que  cos^  et  sin^,  définis  par 

cos 4^  =  k'^  —  Af ,         sin  4^  =  2  k^  k\^         o  <  4^  <  tt, 
sont  déterminés  sans  ambiguïté.  Alors  les  égalités 

61  +  ^2+  ^3  =  Oj         ^2 —  63  =  p(cos4^  +  t  sint];), 
62 —  ei  =  p(cos4'  —  f  siinj^) 

déterminent  une  valeur  unique  pour  chacune  des  racines  e< ,  Co,  63. 


III.  —  Retour  a  la  fonction  p  a  discriminant  positif.  Expressions 

DES   périodes   sous   LA   FORME   CANONIQUE   DE   LeGENDRE. 

140.  Les  intégrales  qui  définissent  les  périodes  ramenées  à  la 
forme  canonique  de  Legendre.  —  Nous  allons  ramener  à  la  forme 

canonique   de  Legendre  les  intégrales  qui  définissent    to   et  —  j 
dans  le  cas  où  e^^  eo,  e^  sont  réelles.  {Voit'  n°^  53  et  o4). 
On  a  d'abord 


_  r'^'"  dx  _  r"^" dx     

J^^       \J\x'  —  g^_x  —  g-i      J^^        i\/(x~ei){x  —  e2){x  —  e^) 
Dans  cette  intégrale,  faisons  le  changement  de  variable 

37  =  63  +  ^ ,  dx  = ^ — , 

g   étant   une    constante    indéterminée;    l'élément    de    l'intégrale 

devient 

.  .  -.dz 


V 


e\—  63  _,\  /  .        62 — ^3 


Dans  le  produit  qui  figure  sous  le  radical  le  premier  facteur  se 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUEES-  221 

réduira  à  i  —  z-,  si  nous  posons 

et  le  second  facteur  deviendra  alors  (i  —  A-^-)  en  posant 

e.2  —  e^ 


A2 


ei  —  63 


A-  est  un  nombre  positif  et  plus  petit  que  un  :  le  coefficient  dif- 
férentiel a  donc  la  forme  cherchée.  En  mettant  maintenant  les 
nouvelles  limites  de  Tintégrale,  nous  trouvons 


^0 


dx 


s/^i-z-^)yi- k^z-^) 


Transformons  de  même  l'intégrale 


ce  qui  est  la  forme  cherchée, 
asformons  de  même  Fi 

r^"  dx  _   r^^ 


to  /  dx  r  dx 

l  I  k.1  't  nr /y, -7- _4-  .o„  /  ^  ^1  {  nn -^  p.'^{^x  -r-  e-i)(^X -\-  e-j,) 


en  faisant  le  changement  de  variable 


X  =  —  e^^  —-i  dx=  —  'ig--—: 


l'élément  de  l'intégrale  devient 


-dz 


sous  le  radical,  le  second  facteur  devient  égal  à  i  —  :;-  si  nous 
posons 

et  le  premier  facteur  devient  alors  i  —  A'-^-  en  posant 

ei—e-i 
A'-  est  positif  et  plus  petit  que  i .  Nous  avons  donc 


«^0 


co  /■  dz 

^^i-z-^)(i-/c'-^z-^) 


•222  CHAPITRE    VI. 


Réunissons  les  deux  résultats  précédents,  en  faisant  dans  les 
intégrales  le  changement  de  variable  z  =  sincp,  nous  avons 


Uig-    : 

i    ^~- 

do             ^ 

—  k^  sin2cp 

71 

do 

> 

—  k'^  sin2cp 

6-2 

—  «3 

.,,_e,-e, 

^  =  ^e,-e„        k^^--^-^,         >t'2=^i:=:^,  A-2+A-2=i. 

On  nomme  g  le  multiplicateur-,  /:  est  le  module,  //  le  module 
complémentaire. 

141.  Variation  du  rapport  -r--  —  Considérons,  maintenant,  le 
rapport 


71 

(o' 

Jp     v/i  —  /<:'2sin2cp 

iCi) 

71 

r  2        f/cp 

Jy     V^i  — /:2  sin2cp 

En  raisonnant  comme  au  n°  139  on  reconnaît  que,  si  A-  croît  de  o 

à  I ,  le  rapport  ^-  décroît  constamment  de  -H  go  à  o. 

D'après  cela,   on   peut  encore  vérifier  qu'il  n'y   a  qu'un  seul 
système  de  valeurs  de  k'^  et  de  g  pour  lequel  les  intégrales   to 

et  —  prennent  des  valeurs  données,  si  l'on  suppose  g  positif  et  k'^ 
pris  entre  o  et  i.  En  effet,  le  rapport  -r-  ayant  une  valeur  donnée, 

il  n'y  a  pour  k-  qu'une  seule  valeur  comprise  entre  o  et  i  ;  Z:^  étant 
déterminé,  l'égalité  qui  donne  la  valeur  de  «-co,  par  exemple, 
donnera  pour  g  une  valeur  unique. 

Les  quantités  k"^  et  g  étant  déterminées,  on  a  immédiatement 


61—^3,  62  —  63. 


La  somme  de  ces  quantités  donne  — 3^3,  puis  des  différences 
connues  e^  —  ^3,  62  —  e^  on  déduit  ex  et  62. 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUÉES.  223 

IV.  —  Cas  du  discriminant  négatif.  Application  géométrique. 

142.  Étude  de  la  courbe  x  =pu,  y  =  p'u,y^=  t^x"^  —  g^_x  —  g^.  — 
Nous  insisterons  seulement  sur  les  différences  que  le  cas  de  à<<o 
présente  avec  le  cas  déjà  étudié  de  A  ;>  o. 

Si  ^  et  y  sont  tous  deux  réels,  on  peut  toujours,  en  ajoutant 
des  périodes,  ramener  Targument  à  être  réel  et  compris  entre 
—  too  et  -f-  0)2  (n*^  136).  Quand  on  change  u  en  — w,  ^  ne  change 
pas,  y  change  de  signe;  la  courbe  est  donc  symétrique  par  rap- 
port à  Ox  et  il  suffit  de  faire  varier  w  de  o  à  too- 

Quand  u  croît  de  o  à  too,  y  est  négatif,  x  décroît  constamment 
de  -h  00  à  e-2-  La  tangente  au  point  situé  sur  Ox  est  parallèle 
à  Ojk;  la  direction  asymptotique  est  celle  de  Oy.  On  a  donc  la 
forme  de  courbe  indiquée  par  \d,fig.  19. 

Fig-  19- 


La  courbe  n'a  pas  de  points  en  dehors  de  la  branche  infinie, 
comme  cela  se  présentait  dans  le  cas  du  discriminant  positif. 

Tangentes  parallèles  à  Ox.  —  Les  points  où  la  tangente  est 
parallèle  à  O^  sont  donnés  par  l'équation 


224  CHAPITRE    VI. 

Quand  g2  est  négatif,  il  n'y  a  pas  de  points  où  la  tangente  soit 
parallèle  à  O^. 

Quand  ^2  est  positif,  les  deux  valeurs  de  x  qui  annulent  p" u 
sont  réelles;  mais  pour  qu'à  une  valeur  réelle  de  x  corresponde 
une  valeur  réelle  de  jk,  il  faut  que  l'on  ait 

X  >  62. 

Nous  avons  donc  à  chercher,  en  supposant  g^  >>  o,  combien 
l'équation 

■p"  ^^  =  Çix^ ^2=  f> 

a  de  racines  plus  grandes  que  e.y  et  nous  sommes  ainsi  conduits  à 
substituer  62  à  la  place  de  x  dans  le  polynôme  entier  en  x  qui 
donne  la  valeur  de  pi'  u. 

Ce  poljnome  se  présente  sous  une  forme  plus  commode,  si  l'on 
dérive  par  rapport  à  u  les  deux  membres  de  l'identité 

p'2ii  =  ^{x  —  e^){x  —  ei){x  —  e^),         x  =  pu. 
On  trouve,  après  avoir  supprimé  le  facteur  commun  p'  u., 

-p"u  =  (x  —  e.2){x  —  e3)  -i-(x  —  ei)(x—  e^)  -h  (x  —  ei){x  —  62), 

et  la  valeur  du  poljnome  pour  ^  =  ^2  est 

(62—  ei)(e2— ^3); 

comme  les  deux  facteurs  <?2  —  ^1,  62  —  e^  sont  imaginaires  con- 
jugués, le  résultat  de  la  substitution  est  positif.  Donc  62  est  supé- 
rieur à  la  plus  grande  racine  ou  inférieur  à  la  plus  petite,  et  comme 
ces  deux  racines  sont  de  signes  contraires,  c'est  le  premier  cas 
qui  se  présente  quand  62  est  positif  et  le  second  quand  62  est  né- 
gatif. Le  signe  de  62  est  le  même  que  celui  de  g^  puisque  l'on  a 

§■3=616362. 

En  définitive,  pour  qu'il  existe  sur  la  courbe  des  points  où  la 
tangente  est  parallèle  à  Ox,  il  faut  et  il  suffît  que  l'on  ait 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUÉES.  223 

Dans  le  cas  contraire  la  courbe  présente  la  forme  de  \2i  fig,  19. 

Tangentes  menées  dUin  point  P.  —  Si  le  point  P  a  pour  pa- 
ramètre (^,  les  points  de  contact  ont  pour  paramètres 

ll0  = }  Ui= r-Wi,  11-2  —  —    --f-C0i-i-0J3,  «3  =  —  _    -^  103. 

Gomme  v  est  réel  et  que  to,  et  CO3  sont  imaginaires  conjugués, 
Uo  et  iio  sont  réels,  W|  et  ^^3  imaginaires  conjugués. 

Ainsi,  par  un  point  de  la  courbe,  on  ne  peut  mener  que  deux 
tangentes  réelles  à  la  courbe. 

V.  —  Discriminant  négatif;  application  au  mouvement  d'un  projectile 

DANS    UN    milieu    DONT    LA    RESISTANCE    EST    PROPORTIONNELLE    AU   CUBE   DE 
LA   VITESSE   (1). 

143.  Équations  différentielles  et  intégrales  premières.  —  Pre- 
nons pour  origine  O  la  position  initiale  du  projectile,  pour  direc- 
tion de  Taxe  des  x,  la  direction  de  la  vitesse  initiale,  pour  axe 
des  y  la  verticale  descendante.  Soit  a  l'angle  de  Ox  avec  l'hori- 
zontale, a  étant  regardé  comme  positif  quand  Ox  est  au-dessus 

de  l'horizon  :  l'angle  des  axes  est  alors  -  4-  a.  La  résistance  de 
^  2 

l'air  est  une  force  dirigée  en  sens  inverse  de  la  vitesse,  et  égale  à 

Ci^'^,  i^  désignant  la  vitesse,  et  c  une  constante. 

En  désignant  par  .r  et  y  les  coordonnées  du  mobile,   et  par  s 

l'arc  décrit  sur  la  trajectoire  à  partir  d'une  origine  fixe,  la  force 

due  à  la  résistance  du  milieu  a    pour  projections  sur   les  axes 

Ox,  Of 

[dsydx  /dsydv 

-'[di)  -dS'     -'\dt)  -is' 

ou  bien 

[ds\-  dx  l^^X'  d'Y 

"""[jt)    Tt'         ~''\d't)    ti' 

et  les  équations  du  mouvement  sont 

d'-x  f  ds\-  dx 

d'Y  f  ds\^  dy 

(')  Voir  Greenhill,  Fonctions  elliptiques,  traduction  de  Griess,  p.  3^5. 
A.  ET  L.  i5 


220  CHAPITRE    VI. 

Éliminons  entre  les  équations  (i)  et  (2)  les  termes  qui  pro- 
viennent de  la  résistance^  il  vient 

dx  d'^y       dy  d'^x  dx 

'di  ~dF  ~  dt   'dr-   ~  ^di' 

1  •  ^  dy 

OU  bien,  en  posant  p.  =  -^  , 

du.  dx 

D'autre  part,  en  remplaçant,  dans  l'équation  (1),  ds  par  sa  va- 
leur tirée  de 

^52  =  dyi  —  idy  dx  sin  a  h-  dx"^, 

nous  trouvons 


d'^x 
dt-^ 


(dx\^ 


puis,  en  tenant  compte  de  l'équation  (3), 

g-  (  dx\-'*  d'^x        .    .  .  du. 

Les  deux  membres  de  l'équation  (4)  sont  les  dérivées  de  fonc- 
tions qui  s'obtiennent  immédiatement.  Intégrons  de  o  à  ^,  il  vient 


3  c    l\dt)  [dt)o   J  ""  3^' 


[j.^  sin  a  -f  [JL, 


en  remarquant  que,  d'après  le  choix  des  axes,  [x  =:  o  pour  t  =^  o. 
Nous  supposerons  la  vitesse  initiale  très  grande,  et  nous  néglige- 

j     o-    /  dx\  — ^  £'' 

rons  le  terme  0  -  (  37  )      de  sorte  que,  en  posant  -  =  iv^  et 

P  =  jjt.3 —  3  JJ.2  gin  a  +  3[Ji, 
on  a 

dx  -i 

(5)  §  =  -P'- 

L'équation  (3)  donne  alors 

^dt  =  P''^dix, 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUEES-  .227 

et,  en  intégrant, 


I      V    ^  dix=  j       '- 


D'autre  part,  en  remarquant  que  l'équation  (3)  peut  s'écrire 

dx\dt)         ^' 
et  en  j  remplaçant  -j-  par  sa  valeur  tirée  de  (0)7  on  trouve 

^dx  =  V~^  du., 
puis 

-^  c(y  =  UL  P    ^  dij,, 

et  enfin,  en  intégrant, 

(8)        &y=     v-^ 'd^=     ■ ^-^ 1- 


Les  équations  (7)  et  (8)  définissent  la  trajectoire  au  mojen  de 
la  variable  auxiliaire  [jl  et  l'équation  (6)  donne  la  valeur  de  t  pour 
chaque  position  du  mobile.   On  voit  de  suite  que  le  poljnome 

P  =  [jl(ix2—  3{xsina  —  3) 

n'a  d'autres  racines  réelles  que  zéro,  et  l'on  en  conclut  aisément 
que,  quand  [x  croît  de  o  à  +cc,  t  el  y  deviennent  infinis,  et  x 
tend  vers  une  limite  :  nous  désignerons  cette  limite  par  a.  Il  est, 
en  outre,  facile  de  voir  que  la  vitesse  tend  vers  une  valeur  limite 
el  que  iv  est  la  valeur  de  cette  limite.  En  effet,  l'équation  (5) 
montre  que,  pour  [a  =  oo,  on  a 

,.        dx 
c^  =  limf.  — , 

et  l'égalité 

dsY       fdary.    ,  .  - 


•riS  CHAPITRE    VI. 

montre  ensuite  que,  l^-jr  ayant  une  limite,  -j-  a  une  limite  qui  est 
la  même. 

Ainsi,  la  trajectoire  admet  une  asymptote  verticale,  la  droite 
.X  =  a,  et  lorsque  le  mobile  descend  indéfiniment  sur  la  branche 
de  courbe  asymptote  à  cette  droite,  la  vitesse  tend  vers  une 
valeur  limite  w. 

144.  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques.  —  On  peut  ra- 
mener l'intégrale  qui   donne  la  valeur  de  ^  (équation  7)  à  une 

intégrale  elliptique  ayant  la  forme  canonique  de  M.  Weierstrass. 
Pour  cela,  faisons  la  substitution 

w2P3  ^2— 3[jisina +  3 

Z  =:  j  z^=m'^' ■ 5 

(X  {J.2 

m  étant  un  facteur  constant  arbitraire.  Nous  pourrons  déterminer 
g^  de  façon  que,  dans  l'expression 

{^m^  —  ^3)!^^ — I2,m6  fjt.  sina  H- i2m.6 

le  trinôme  du  second  degré  en  [i.  soit  carré   parfait;   il  suffit  de 

poser 

^?n^  —  ^3  =  3  m^  sin2  a, 
d'où 

^3  =  m6(4  —  3sin2a). 
Il  vient  alors 

/^~ „    /T7  ^  —  fJ-  sina 


V  4*» ^3  —  "1^-' 

^^     ^    ^ 

et,  en  diflférentiant. 

(Sz'-dz 

1  Jïi^  s/^  d\i. 

v/4^3-^-3 

Cette  équation  peut  s'écrire 

dz          _       m3  v/3  d\y.  _ 

d^ 

m  v/3  P  3 

I 

^/^z^-g,            ^v-'^'^ 

m/ 3 

dx 


en  prenant  /n-  =  ^,  on  a  donc,  en  définitive. 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJUGUEES.  2'IQ 

On  en  conclut 

(9)  ^  =  p(f^'«'^0' 

puis,  d'après  l'expression  de  dz, 

,  / g'x\         |JL  ?in  a  —  -2 


^  \   (p2  /  3  a 


Quand  ^  est  égal  à  l'abscisse  a  de  l'asvmptote  verticale,  u.  =  x,  on  a 

,(ga\        sina  ^/»«\         ^ 

et,  par  suite, 


D'après  cette  dernière  équation,  on  a 


2 

dy  3 


^p^-m 


y 


C'est  l'équation  de  la  trajectoire. 

Écrivons   u  et  v  au  lieu  de  ^  et  de  ^'  l'équation  prend  la 
forme 

(II) 


gy  ^  r"_6pu^^ 


et  nous  allons  pouvoir  Fintégrer  en  appliquant  la  règle  du  n°  50. 
Pour  rendre  le  dénominateur  rationnel,  multiplions  paTp'v-\-p'u 
les   deux  termes  de  la  fraction  sous  le  signe  somme    et   tenons 
compte  de  ce  que,  ^o  étant  nul,  on  a 

=  4(P^—  P")(SP^— P")(^^P^  — P")' 

£  et  £*  étant  les  racines  cubiques  imaginaires  de  l'unité 
-i-;V3  ,       -i-/v/3 


33o  CHAPITRE    VI. 

En  opérant  la  décomposition  en  fractions  simples,  on  a 

('^    P^— P"  2%p(;  —  pM        '2        E2p(;  — pi^ 

^    1    p'v-^p'u  I  ^p^(£P)+p^?^     ,     1  £2  Plf!ji_)jJlPli^  . 

apt^-p?^         '      2^    P(£Ç^)—  P?^    ^îi    ^       p(£2(;)_p^^^ 

car  si  dans  la  formule  d'homogénéité 

p('^;  {^'^2,  i^V3J  =  .^2p(j,;  ^2^  ^3^^ 

on  fait  ^0  =  0  et  a=^£  puis  [Ar=:£2^  et  si  l'on  remarque  que  -  =£-, 
on  trouve 

P(M£2;  o,   ^3)  =  £2p(^.    q^  ^^^^ 
p(ii£;  O,  ^3)  =  £p(?^;  O,  ^3), 

puis,  en  prenant  les  dérivées 

p'(w£2;  o,  ^3)  =  p'(ii;  o,  ^3), 
p'(us;  o,  ê'3)  =  p'(u;  o,  ^3). 

Des  équations  (i  i)  et  (12),  on  conclut 

(,3)      gZ  -   f" (LF^^^P'^''    :   -'   p'zv-^p'u    ,    ^^r  p^£2p^p^^\ 

"^'       e/o      \2    pt'  — p?^     '    ^2    psp  — pw   "^"  2    p£2p_p^y'^"- 

Mais,  si  dans  la  formule  d'addition  pour  Ç?/[n«44,  éq.  (65)], 
on  change  ^  en  —  ç,  il  vient 

I  p'?i  -j-  pV 

•1    pu  ~  pv         ^ ^  ^        ^  ^ 

Dans  cette  égalité  changeons  ç  en  st^puis  en  z'^ç  et  remarquons 
que,- d'après  la  formule  d'homogénéité  (n°  36),  'C,{tv)  =  zKv  et 
Ç(£2ç;)  ~  £>^p^  nous  obtenons 

I  p' u^p'zv 

1     pu  —  p£P  ^^  '  ^  ^-"^ 

I    p'i^-4-p'£2p 

D'après  cela  l'équation  (i3)  peut  s'écrire,  en  tenant  compte  de 


FONCTION    p    A    PÉRIODES    IMAGINAIRES    CONJrGUÉES-  23 1 

ce  que  i  -{-  s  -j-  =-  est  nul, 

et  l'on  obtient  enfin 

L'expression  du  temps  t  se  trouve  au  moyen  de  l'équation  (6) 
qui  donne,  par  un  calcul  analogue, 

Jo      V^    P^'  —  Pif-         2'     psi^  — pi*     ■    2"'p£2p  — pa/ 


d'où 


5-  =  —  Log  ^ —  £2  Log  — ^ —  £  Log  ^ 


145.  Développement  de  j  et  de  /  en  séries  entières  ordonnées 
suivant  les  puissances  de  f/  =  ^  —  •  —  Lorsqu'on  se  propose  de  dé- 
velopper jK  et  ^  suivant  les  puissances  entières  de  u,  il  est 
commode  d'employer  la  fonction 

^(^  —  ")       y 


qui  est  égale  à  i  pour  ;/  =  o.  Il  vient  alors 

or  Y 

"-^  =  —  Log6(?<,  v) —  zLog^(u,  £p)  —  z^Lo§^{ii,  t'^v)., 
—  =  —  Lo§^{u,  v)  —  z^Lo§^{ii,  £p) —  ELog'l'Cw,  £2^;). 

Prenons  les  dérivées  logarithmiques  et  développons  suivant  les 
puissances  de  u  par  la  formule  de  Taylor  : 


23^  CHAPITRE    VII. 

en  intégrant  de  nouveau,  on  obtient 

(i8)  Logt|;(w,  p)=— —  pç;-!-  ^pV— -ypV-l-.... 

Donc,  en  remarquant  que  ^0  =  0  etj3£P  =  £j3ç^ 

(19)  L0g4^(?f,    £P)     =—     —  £pp+  p'(,_  £2p''p.,.^ 


2, 


4 


(20)  L0g4>(i^,   £2^;)=—  ^£2pp+  |_p'p-  ^epV.... 

On  en  conclut 

Dans  ces  formules,  on  doit  poser 

"=fj'         5^2=0,         ^3=  ^(4_3sm2a), 
P^  =  3'  pV  =  -sina,         p"p=|,         p"'p=isina, 

Le  discriminant  étant  négatif,  les  périodes  de  p  s'expriment  à 
l'aide  des  formules  des  n°'  137  et  suivants. 

Les  dérivées  p"v,  p^^p,  ...  se  calculent  par  voie  récurrente,  en 
dérivant  un  nombre  quelconque  de  fois  la  relation 

et  faisant  ensuite  u  =  v. 


CHAPITRE  VIL 


INTÉGRALES  ELLIPTIQUES.  RÉDLXTION  A  LA  FORME  NORMALE 
DE  LEGENDRE  ET  DE  JACOBI.  INVERSION. 


I.  —  Intégrales  elliptiques. 

146.  Exemple  élémentaire  de  la  méthode  employée  pour  cal- 
culer les  intégrales  elliptiques.  —  On  démontre,  dans  les  éléments 
du  Calcul  intégral,  que  l'intégrale  d'une  fonction  rationnelle  de  œ 
et  de  la  racine  carrée  d'un  trinôme  du  second  degré  y'ax'-'h^bx-^c 
peut  être  ramenée,  par  un  changement  de  variable,  à  l'intégrale 
d'une  fonction  rationnelle  ou  à  l'intégrale  d'une  fonction  trigono- 
m  étriqué. 

Plaçons-nous  à  ce  dernier  point  de  vue,  pour  rattacher  à  des 
notions  élémentaires  le  problème  que  nous  traitons  dans  ce 
Chapitre.  Soit 


(0 


JK{x,y)dx 


une  intégrale  où  R(.r,  y)  désigne  une  fonction  rationnelle  de  x 
et  j>',  y  étant  lié  à  x  par  l'équation 


(2)  y  =  \/ ax'^-v  ibx -r- c.    • 

Si  l'on  fait  im  changement  de  variable,  en  prenant  comme  nou- 
velle variable  u  l'intégrale 


(3) 


r   dx 


l'intégrale  proposée  (i)  devient  l'intégrale  d'une  fonction  trigo- 
nométrique.  Pour  le  vérifier,  écrivons 


y  —  ..       -  .    /        '  -   .  b'-—  ac 


"v/^FF 


-234 

et  posons 

h 
a 

CHAPITRE    VII. 

\/ô-^—ac 

=  z ,             1 

a 

il  vient,  en  choisissant  pour  ûOq  la  valeur qui  annule  z, 

.        r'    dz 

Au—  I     ■         ■ — ,  z  =  smAu, 

Jo     s/^  —  z-' 

(  r\  ^        \Jb'^—ac    .    .  X    /-,- . 

(4)  ^~ H sinÀzi,  v=  - 'J b^  —  accosÀt^, 

a  a  -^        a 

dx  =:  y  du. 

Avec  cette  nouvelle  variable  ?^,  l'intégrale  (e)  devient  l'intégrale 
d'une  fonction  rationnelle  de  s'\n\u  et  cos)w<,  intégrale  que  l'on 
sait  calculer. 

En  employant  un  langage  géométrique,  on  peut  dire  que  l'équa- 
tion (2)  représente  une  conique,  et  que  les  formules  (4)  ex- 
priment les  coordonnées  d'un  point  de  cette  conique  en  fonctions 
uniformes  de  u. 

147.  Intégrales  elliptiques.  —  Considérons  une  intégrale  de  la 
forme 


(5) 


I  R(x,y)  dx, 


où  R(jr,  y)  est  une  fonction  rationnelle  des  deux  variables  x  ety 
liées  par  la  relation 

(6)  y  =  ^aox'*-^  4<^i  ^^+  6a2X'^-\-  4 «3^  -t-  <^4, 

dans  laquelle  le  polynôme  sous  le  radical  est  du  quatrième  ou  du 
troisième  degré.  Une  intégrale  de  ce  genre  s'appelle  une  intégrale 
elliptique.  Les  intégrales  elliptiques  ont  fait  l'objet  des  recherches 
de  Legendre,  avant  la  découverte  des  fonctions  elliptiques  par 
Abel.  Pour  les  calculer,  on  peut  faire  un  changement  de  variable 
en  prenant  comme  nouvelle  variable  u  l'intégrale 

Les  quantités  œ  el  y  deviennent  alors,  comme  nous  le  mon- 
trerons, des  fonctions  elliptiques  de  u  et  le  calcul  de  l'intégrale  (5) 


INTÉGRALES    ELLIPTIQUES.  235 

est  ramené  au  calcul  de  l'intégrale  d'une  fonction  elliptique,  calcul 
que  l'on  sait  faire  à  l'aide  de  la  décomposition  en  éléments  simples. 
En  employant  un  langage  géométrique,  on  peut  dire  que  les 
coordonnées  œ  et  y  d'un  point  de  la  courbe  (6)  s'expriment  par 
des  fonctions  elliptiques  de  la  variable  u,  ce  qui  permet  de  trans- 
former l'intégrale  (5)  en  l'intégrale  d'une  fonction  elliptique. 

148.  Premières  réductions  de  l'intégrale  elliptique.  —  Dans  la 
fonction  rationnelle  R{x,  y)  on  peut  toujours  remplacer  les  puis- 
sances paires  dey  par  les  puissances  du  polynôme 

/2=  aijX'*-^  ^aiX^-{-  GaoX--r-  ^a^x  -i-  «4, 

et  ramener  cette  fonction  à  la  forme 

Pi-Qiy' 

P,  Q,  P,,  Q,  désignant  des  polynômes  en  x.  Si  l'on  multiplie  et 
divise  par  P|  — Q«y  en  remplaçant  encore  y-  par  sa  valeur,  on 
obtient  une  expression  de  la  forme 

R{x)-r-yR,(x), 

où  R(^)  et  R|(j:')  sont  des  fonctions  rationnelles  de  x.  L'inté- 
grale I  se  partage  alors  en  deux  parties 


I  =  fR{x)  dx  -T-  Çy  Ri  {x)  dx, 


dont  la  première  s'obtient  immédiatement,  comme  l'intégrale 
d'une  fonction  rationnelle.  Quant  à  la  seconde  nous  récrirons,  en 
multipliant  et  divisant  l'élément  différentiel  par  y^ 

'S{x) 


p 


dx, 


y 

S[x)  étant  une  fonction  rationnelle  de  x 

II.  —  Forme  normale  de  Legendre,  Intégrales  de  Jacobi. 

149.   Forme  normale  de  Legendre.  —  On  dit  qu'une  intégrale 
elliptique  est  ramenée  à  la  forme  normale  de  Legendre  quand  la 


236  CHAPITRE    VII. 

racine  Carrée  y  est  de  la  forme 

y  =  v/(i  — ic^)(i  —  k^x'^), 

OÙ  A  désigne  une  constante  appelée  le  module.  Dans  les  re- 
cherches théoriques,  cette  constante  k  a  une  valeur  quelconque 
réelle  ou  imaginaire;  dans  les  applications  à  la  Géométrie,  à  la 
Physique,  à  la  Mécanique,  on  peut,  comme  nous  le  verrons,  la 
supposer  réelle  et  moindre  que  l'unité. 

La  racine  carrée  j^  ajant  cette  forme,  voyons  comment  on  peut 
calculer  une  intégrale  de  la  forme 


=/ 


y 


à  laquelle  on  peut  réduire  toute  intégrale  elliptique,  d'après  le 
paragraphe  précédent.  Actuellement  on  peut  encore,  par  des  pro- 
cédés algébriques,  simplifier  cette  intégrale,  en  profitant  de  ce 
que  y  est  la  racine  carrée  d'un  polynôme  bicarré.  La  fonction 
rationnelle  S(.^)  peut  toujours  s'écrire 

où  S\.  et  ^1  sont  des  fonctions  rationnelles   de   x-.   L'intégrale 

s'écrit  alors 

rSi(cp^)dx        rxSl^(x'^)dx 

J       y         J  '       T 

La  deuxième  intégrale  se  ramène  immédiatement  à  une  intégrale 
élémentaire  par  la  substitution 

qui  donne  l'expression 


/: 


s/{i-z){x-k^z) 


où  le  polynôme  sous  le  radical  n'est  plus  que  du  second  degré  en  ::. 
Finalement,  on  est  donc  ramené  à  l'intégrale 


/ 


Sl{x^)dx 


y  =  ^{i  —  x'^){\  —  k'^x^). 


INTÉGRALES    ELLIPTIQUES.  ll'J 

Si  l'on  j  fait  le  changement  de  variable 
r""  dx       r"-'  dx 

u—   \      —  —   \  —  ■>  a?  =  sn(^^,  A:), 

elle  devient 

i  Si(sn^u)du, 

intégrale  d'une  fonction  elliptique  aux  périodes  2K  et  2iK'.  Pour 
la  calculer,  il  faut  décomposer  la  fonction  elliptique  en  éléments 
simples,  en  procédant  comme  nous  avons  fait  au  n°  50  dans  une 
question  qui,  au  fond,  est  identique  à  la  question  actuelle.  On 
décomposera  d'abord  la  fonction  rationnelle  de  ^-,  éi(jC')^  en 
fractions  simples 

Si(x-)=  Co-\-  CiX--h.  .  . 

A 


11 


'                    X- 

Al 

x'*        '  "        X- 

(x2-a)2 

{^''—^)r\ 

où  nous  mettons  à  part  les  termes  en  ^  et  en  -  quand  ils  existent; 

la  somme  I  est  alors  relative  aux  racines  a  qui  sont  différentes  de 
zéro. 

Faisant  ensuite  œ^=snu^  on  sera  ramené  à  calculer  les  inté- 
grales des  types  suivants 

(8)        /  sn-udu,       1   sn'nidu,      ...,       /  ^-^r"'      •*''       /  ^n-'^udu, 
où  fi  est  un  entier  positif  ou  négatif, 

r     du  r       du  r dii 

^^^  J   sn-u  —  oi'     J   {sn-u  —  oi)-'  '     J   (sn'-w 


^) 


OÙ  a  est  différent  de  zéro.  Ces  intégrales  sont  faciles  à  obtenir  par 
la  décomposition  en  éléments  simples. 

On  peut,  par  voie  récurrente,  ramener  toutes  les  intégrales  du 
type  (8)  à  la  première  de  ce  type.  Quant  aux  intégrales  du 
type  (9),  elles  se  déduisent  de  la  première  en  la  différentiant  par 
rapport  à  a.  De  là  l'importance  particulière  des  premières  inté- 
grales de  chaque  type.  Nous  allons  les  calculer. 


238  CHAPITRE    Vil. 

150.  Intégrales  de  première,  deuxième  et  troisième  espèce,  d'a- 
près Legendre  et  Jacobi.  —  i°  On  appelle  intégrale  de  première 
espèce  l'intégrale 


_  Ç   dx_  ^    r 


dx 

.0      ^v-       x^){x-k^x^) 


2°  On  appelle  intégrale  de  deuxième  espèce,  l'intégrale 


k^ 


y 

qui  devient,  quand  on  y  fait  ^  =  sn  u^ 

A2    /     %x)r-udu. 

Cette  intégrale,  que  Jacobi  désigne  parZ(«),  a  pour  valeur  (n°  100) 

0"(o)        0'(iO 

^^  e(o)  "  0(w)  * 

Quand  u  augmente  de  2K  ou  de  2iK'  l'expression  que  nous 
venons  de  trouver  pour  l'intégrale  de  deuxième  espèce  éprouve 
des  accroissements  constants 


^J  =  ^^0(^'  '^^ 


—  [^-^] 


que   l'on   appelle   modules    de  périodicité    de    V intégrale   de 
deuxième  espèce.  On  en  déduit  la  relation 

KJ'— JK'=  -. 

3°  On  appelle  intégrale  de  troisième  espèce  l'intégrale 

r^       dx 

qui  devient,  quand  on  j  fait  x  =  snu, 

r"     du 

J^      sn^u  —  oi' 
OÙ  a  est  différent  de  zéro.  Pour  la  calculer,  déterminons  un  argu^ 


INTÉGRALES    ELLIPTIQUES.  '239 

ment  a  par  la  condition 


sn-a  —  a. 


nous  aurons  à  calculer  rinté£:rale 


r"  du 

J      sïi^  Il  —  sn^a 


qui  est  donnée  par  la  formule  suivante  établie  au  n°  100 

^na  cna  âna  _  i   H'(z^  —  a)        i   H'(w-»-«)        B'(rt) 
sn^u  —  sn-a  ~  2   li{ii—a)        i   H(w-Ha)         6(a)  ' 

d'où 

'"  sn«  cn«  dn<7  <y«        i^       Y{{a  —  u)  6'(a) 


r    sn  «  en  «  dn  <7  du        i  H  (  «  —  u) 

J^         Sï\^u—sr\'^a  •!       '^H(a-T-w) 


e(a) 


Si,  dans  la  formule  de  décomposition  (lo)  on  change  z^  en  ?^-f-iK', 
elle  devient,  d'après  la  relation 


sn(«  -4-  iK')  = 


A"  sn  u 

et  la  formule  donnant  H(«  -f-  îR')  en  fonction  de  0(«), 

A-^  sn«  cna  dn«  sn2  w  _   i   ^' {u  —  a^        i   e'(z^  — a)        6'Ca) 

Pour   désigner   l'intégrale  du   premier  membre  prise  de  o  à   m, 
Jacobi  emploie  la  notation  !!(  f^,  <:/)  : 

-  /•"  sn^udu 

U(u,a)==k-snacnadna    /      j- — r ;— 

^    '     -'  Jq      ^  —  ^  sn2  a  sn2  z/ 

_  1  e(a-  u)  e'(a) 

4°  Formule  récurrente  pour  le  calcul  de  j  sn-"udu.  —  En 
calculant  l'expression 

-J-  ïsn^'^-'^u  cnudnu], 
du  "^ 

et  désignant,  pour  abréger,  par  5  la  fonction  snu^  on  trouve 


240  CHAPITRE    VII. 

OU  en  ordonnant 

(•in  —  3)52«-4  — (2/2  —  2)(l  +  A^2J52«-2  4_(2/l— l)y^2  52«. 

En  intégrant  on  a 
sn2«-3  u  en  u  dn  u  =  (in  —  3)   1  ^2/i-4  ^^^ 

—  ('in  — 2)(i-f-/:2)   C s^''-^du-\-{o.n—i)k^   f  s^^  du, 

formule  qui  permet  de  calculer  toutes  les  intégrales    /  5-"  du  (que 

/i  soit  positif  ou  négatif)  en  fonction  des  deux  premières  corres- 
pondant à  /i  =  o,  et  n  =^  I . 

III.  —  RÉDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  LeGENDRE. 

151.   Cas  d'un  polynôme  bicarré.  —  Soit  l'intégrale  elliptique 

/ 


y 


où  S(^)  est  une  fonction  rationnelle  de  x^  et  y  la  racine  carrée 
d'un  polynôme  bicarré 


y  =  \J Kx'*-T-  -zB^y^-i-  G. 
On  peut  encore  écrire,  comme  dans  le  paragraphe  précédent, 

S(^)=<R(^2)4_^  <H.j(^2)^ 

oiictFl  et<R,  sont  des  fonctions  rationnelles  de^i;-.  L'intégrale  prend 
alors  la  forme 

ca(^2)  rxS^^ix'^^ 


j^a.^j 


dx. 


y 


La  deuxième  intégrale  devient  une  intégrale  élémentaire  par  la 
substitution 

11  reste  donc  à  calculer  l'intégrale 

_    rS^{x''-)dx 


INTEGRALES  ELLIPTIQUES.  lU 

Si  l'on  ne  s'astreint  pas  à  n'introduire  que  des  éléments  réels,  cette 
intégrale  se  ramène  immédiatement  à  la  forme  normale  de  Le- 
gendre.  On  a,  en  effet,  en  décomposant  le  polynôme  bicarré  en 
facteurs 

y  =  /a  /(  %'-  —  x'^)  (  [i-'  —  X-  ), 

a  et  p  pouvant  être  imaginaires.  Si  Ton  fait  ensuite 


on  a 

et  l'intégrale  devient 

_       I         r  cU(a2^2)r/3 

elle  est  réduite  à  la  forme  normale  de  Legendre  et  on  la  calcule, 
comme  dans  le  paragraphe  précédent,  en  faisant 

z  =  sn{u,  A). 
Alors  on  a 


t/^ 


a  en  u, 


y  =  a3  /a  en  u  dn  ii, 


I  =  :— ^    /  A  (a-  siv^ii)  du. 


I 


lo'^.  Réduction  à  la  forme  normale  en  quantités  réelles,  dans  le 
cas  d'un  polynôme  bicarré  de  la  forme  A(x2-i-  a)(r2  4-  3);  A,  a  et  3 
étant  réels.  —  Supposons  que  Ton  ait 

y  =  /a  x^  -h  -1 B  X'  -+-  C , 
A,  B,  C  étant  réels  et  B-  —  AG  positif  :  on  peut  alors  écrire 

y  =  y/A^x-H-  a)(j7--t-  3), 

a  et  ^  étant  réels.  Plusieurs  cas  sont  à  distinguer  suivant  les  signes 
des  quantités  A,  a  et  p.  Comme  on  peut  toujours,  devant  le  ra- 
dical, mettre  \  liz  A  en  facteur,  on  a  pour  y  les  types  suivants  où  a 
A.  ET  L.  i6 


■^42  CHAPITRE    VII. 

et  b  désignent  des  quantités  réelles 

(  I  )  y  =  ^{a^  —  x-^){b^~~x-^), 

(II)  y  =/(a2_^2)(^2_è2)^ 


(IN)  y  =\/{a^  —  x^-){x^--^  b^), 

(IV)  y  =  \/(x-i—a'^){x'^^b'-), 

(  V  )  J^  =  /(ip2_4_^;^2)(^2_j_62). 

Voici,  pour  chacun  de  ces  types,  une  substitution  réelle  propre  à 
ramener  l'intégrale 

'<R(a72) 


f 


dx 


y 

à  la  forme  canonique  de  Legendre. 
Type  1 .  —  Soit 


y  =  \/{a-^—x-^){b-^~x-^},  a^->  bK 

La  quantité  jK  devant  être  réelle,  œ-  est  extérieur  à  l'intervalle 
rt-,  b'\  Deux  cas  sont  à  distinguer  suivant  que  x-  est  inférieur  à  h- 
ou  supérieur  à  a-. 

Premier  cas  :  x-  <  h'-.  —  On  fait  x  =  bz;  et  l'on  a 

7   9 

j^ab^H  —  z'-){i  —  k^z-i),  A-i=  -^  <i. 

Le  radical  est  donc  ramené  à  la  forme  demandée  avec  un  module 
réel  moindre  que  l'unité.  Faisant  ensuite 

z  =  sn  u. 
on  a 

x  =  bsnu,         \l b'^  —  x'^=bcnu,         \/a'' — x-=  a  ânu, 
y  =  ab  cnu  dn  Uj 


I  =  -    fsi{b^sn'-u)du. 
Deuxième  cas  :  x-^  a'-.  —  Posons 


nous  avons 


a    .  .         b^ 


y=-A^-^'K^-f^'^')^        dx  =  -'-^^dz,        1^^'=-' 


INTÉGRALES    ELLIPTIQUES.  243 

Le  radical  est  encore  ramené  à  la  forme  demandée,  et  en  posant 


sn  u,  on  a 


te  /     :;  ^  V,  Il  ti/ 

.r  = j  wa:'-  —  a-  =  a 

snw  snu 


x-  —  />  -  =  a 


dn 


X  =  a- 


cnM  dn  u 


Type  II.  —  Soit 

y  =  s/  ^a^  —  x-^){x-^  —  b-^),         rt2>^2. 

Pour  quejK  soit  réel,  il  faut  que.r-  soit  compris  entre  a-  et  b-.  il 
suffit  de  faire 

a- — :r2=::r'-,         x'-<^a- — 6', 

pour  ramener  l'intégrale 


à  l'intégrale 


r  êl{x^')  dx 

j    s/{a'  —  x-^){x'-—b'- 


JC-) 


r  ôlia^  —  x'^')dx 

J    y/\a^—x"^){a^—b^- 

qui  rentre  dans  le  tjpe  I. 
Type  111.  —  L'intégrale 

/      ,  dx,     x'-  <  «^ 

J    \/{a-^—x-^){x-^-T-b^) 

se  ramène  de  même  au  type  I  par  la  substitution 
qui  donne  l'intégrale 


a-  —  X-  =  X  ^, 


/: 


^Jl(a'.  —  x'-^) 


dx' . 


v/(  «2  —.x'-^)i^a^-\-b-^—  x'-^  ) 
Type  IV.  —  L'intégrale 

/  ,      dx,     x'->(r-, 

J    ^{x^—a^){x''-^b-2) 


244  CHAPITRE    VII. 

pouvant  s'écrire 

_^        r Sl{x'-)  dx 

ah      I         //_i_  _  ^\f  J_        TY  ^'  ' 

est  du  type  III  si  l'on  y  considère  -  comme  la  variable.  On  la  ra- 

X 

mènera  donc  au  type  I  par  la  substitution 


I  , 


Type  V.  —  Enfin  l'intégrale 

Sl{x^) 


/; 


dx,       «2^  b'' 


se  ramène  également  au  type  I  par  la  substitution 

qui  la  transforme  en 

Sl(x''-—a'^)dx' 


f 


\/{x''^ —  a'^){x''^ —  a'^-~  ù') 


x'-y-  a-. 


153.  Réduction  à  la  forme  canonique  de  Legendre  en  quantités 
réelles  quand  y  est  la  racine  carrée  d'un  polynôme  du  quatrième 
degré.  —  Nous  allons  montrer  que  l'on  peut  toujours,  par  une 
substitution  réelle,  transformer  un  polynôme  du  quatrième  degré 
à  coefficients  réels  en  un  polynôme  bicarré  de  la  forme 

A,  a  et  p  étant  réels.  On  sera  alors  ramené  au  cas  précédent. 

On  sait  qu'un  polynôme  du  quatrième  degré,  à  coefficients  réels, 
peut  être  décomposé,  au  moins  d'une  manière,  en  un  produit  de 
facteurs  réels  du  second  degré.  On  peut  donc  supposer 

y  =  \/G{x-^  '2/nx  -^  n){x'^-h-  iixx-i-  v), 

(',  m,  n,  [J.,  V  étant  réels.  Faisons  œ  =  ^  ~^  ^^ ^  t  étant  la  nouvelle 

variable,  p  ei  q  deux  constantes.  En  substituant  dans  y  et  rédui- 
sant au  même  dénominateur,   nous  aurons  sous  le  radical  le  pro- 


INTÉGRALES    ELLIPTIQUES.  245 

diiit  de  deux,  trinômes  en  t.  Déterminons  yo  et  ^  de  façon  que  ces 
trinômes  ne  contiennent  pas  de  termes  du  premier  degré  en  t  : 
nous  aurons  les  deux  équations 

I  py-h   î^(/?-l-^)  +  v   =o, 

qui  donnent 

n  — y  m  v  —  /i  a 

p-\-q=  ,  pq  =  !-. 

|jt.  —  ni  ^  IX  —  m 

Les  quantités  p  et  q  sont  donc  racines  d'une  équation  du 
second  degré;  pour  qu'elles  soient  réelles,  il  faut  et  il  suffit  que 
la  quantité 

A  =  (n  —  V )2  —  4 (  jjL  —  ni){ni't  —  /i  a ) 

soit  positive.  Nous  allons  vérifier  que,  si  le  polynôme  du  qua- 
trième degré  en  x  n'est  décomposable  que  d'une  façon  en  fac- 
teurs réels  du  second  degré  A,  esl  positif  ;  et  que  si  cette  décom- 
position est  possible  de  plusieurs  façons,  on  peut  toujours  la  faire 
de  telle  manière  que  A  soit  positif.  En  effet,  appelons  «,  b,  c,  d 
les  quatre  racines  de  ce  polynôme,  a  et  b  étant  les  racines  de 
^- -h  2 /?? X  4-  /? ,  c  et  <:/  celles  de  ^--j-  2  <j.x  ■+-  v.  On  a 

im  —  —  {a -{- b),         n  =  ab,         2  ;jl  =  —  (c -\- d),         ^t  —  cd. 
Substituant  dans  A,  on  trouve 

A  =  ( a  —  c){  a  —  d){b  —  c){b  —  d). 

Si  «,  ^,  c,  d  sont  imaginaires,  a  et  b  sont  conjugués,  c  et  d  aussi; 
A  est  positif. 

Si  a  et  b  sont  réels,  c  el  d  imaginaires  conjugués,  A  est  positif. 

Si  les  quatre  racines  sont  réelles,  on  peut  décomposer  le  poly- 
nôme du  quatrième  degré  en  x  de  trois  façons  différentes  en  deux, 
facteurs  réels  du  second  degré  :  supposons  qu'on  ait  fait  la  décom- 
position de  façon  que  «  >>  ^  ]>  c  >>  c/;  alors  A  est  positif. 

xVinsi,  dans  tous  les  cas,  après  l'introduction  de  la  nouvelle  va- 
riable t,  y  prend  la  forme 


r=- — ^ ^-^- ^  (A,  a,  3  étant  réels); 


246  CllAlTTRE    VII.  —    INTÉGRALES    ELLIPTIQUES. 

rs(.T) 


et  l'intégrale 


devient 


dx 

y 


s  {^^^) 


{q—p)    I  dt. 

'     y/A(^2+a)(^2  4_(j) 

On   la   ramènera   à  la  forme  canonique  de  Legendre  par  une  des 
transformations  indiquées  dans  le  numéro  précédent. 

Remarque.  —  Si  l'on  considère  x  comme  l'abscisse  d'un  point 
sur  une  droite,  la  détermination  des  valeurs  de  p  et  q  revient  à  la 
recherche  des  abscisses  des  points  qui  divisent  harmoniquement 
les  deux  couples  de  points  ayant  pour  abscisses  les  racines  des 
deux  trinômes 

x'^-^-'imx  -\-  n,     x'^ -^- '1  [x X -\- V . 

154.  Cas  où  le  polynôme  sous  le  radical  est  du  troisième  degré. 
—  Si  l'on  a  une  intégrale  elliptique 

'^{x)dx 


f 


y 

avec 


y  =  sj ax'^ -^  Zhx-  -\-'^cx  -\-  d, 

on  peut  encore,  par  une  substitution  réelle,  ramener  cette  inté- 
grale à  la  forme  canonique  de  Legendre.  Le  polynôme  sous  le  ra- 
dical ayant  toujours  une  racine  réelle  a,  il  suffit  de  faire 


pour  être  ramené  à   une  intégrale   dans  laquelle   figure    la  racine 
carrée  d'un  polynôme  bicarré  en  t. 

Mais,  dans  ce  cas,  il  est  plus  simple  d'employer  la  forme  nor- 
male de  M.  Weierstrass,  comme  on  le  verra  dans  le  Chapitre  sui- 
vant. 


CHAPITRE  VIII. 

RÉDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  M.  WEIERSTRASS.  LNVERSION 


L   —    Le   POLYNOME   sous   LE   RADICAL   EST   DU 


-rRois^^KVÉ"    o^CtRê 


455.  Réduction  à  la  forme  normale.  —  Soil  à  calculer  rintégraie 
— -— —  >  ou  A  est  un  polynôme  du  troisième  degré 


Si  nous  effectuons  dans  X  la  substitution 

X  =  m  z  -h  /t, 

nous  pourrons  disposer  des  constantes  m   et   n  de  façon   que  le 
polynôme  Z  transformé  de  X  soit  de  la  forme 


»  2  -•         r, 


^•2  et  ^3  désignant  des  coefficients  constants.  On  reconnaît  immé- 
diatement qu'il  suffit  de  poser 

b 


n  = 

a 


et 

a/n^  =  4- 

On  voit  alors  que  Ton  est  ramené  à  considérer  une  intégrale 

Si  z.)dz. 


_  r       Siz)dz 

J    \/.\z^ — ^^z 


I     ,    ^ 

^3 


S(z)  désignant  une  fonction  rationnelle  de  :?.  On  dit  qu'une  in- 
tégrale de  cette  forme  est  de  la  forme  canonique  de  M.  Weier- 
strass. 


248  CHAPITRE     VIII. 

Si  l'on  pose  ensuite 

dz 


-I 


\J(\Z^—  g%z—  g^ 


on  en  tire,  en  faisant  Finversion, 

et  l'intégrale  elliptique  I  devient 

]  z=z  j  S{pu)  du, 

S(j3i^)  étant  une  fonction  rationnelle  de  pu.  On  calculera  cette 
intégrale  par  la  méthode  de  décomposition  en  éléments  simples, 
comme  on  l'a  expliqué  au  n"  50. 

Les  périodes  de  la  fonction  pu  se  calculent  d'après  les  formules 
du  Chapitre  VI. 

156.  Remarques  sur  Pinversion.  —  Nous  avons  vu,  dès  le  début 
de  cet  Ouvrage^  que,  si  l'on  construit  la  fonction  pu  avec  deux 
périodes  arbitraires  2(0  et  2iù'  de  rapport  imaginaire,  cette  fonc- 
tion z  =  pu  vérifie  une  équation  de  la  forme 


(Êr-^- 


é3» 


^2  et  ^3  étant  des  constantes  définies  en  fonctio  n  des  périodes 
par  certaines  séries.  Inversement,  étant  donnée  une  équation  de 
cette  forme  oii  g\  et  g^  ont  des  valeurs  déterminées  choisies 
arbitrairement,  on  peut  toujours  construire  une  fonction 
p{u]  g2^  gs  vérifiant  cette  équation.  Gela  résulte,  comme  nous 
Tavons  dé  à  remarqué  au  n°  34,  de  ce  que  la  fonction  du  est  re- 
présentée par  une  série  entière  en  u^  g^^  g^  convergente  quelles 
que  soient  ces  quantités  et  que  la  fonction 


z  =pu 


vérifie    'é  quation  (i)  quels  que  soient  g^  et  g^. 

Nous     allons  rappeler  comment,  g2  et    «3    ayant   des   valeurs 
réelles  quelconques,  on     eut  calculer  une  paire  de  périodes  pri- 


RÉDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  M.  WEIERSTRASS.   ?.][) 

mitives  de  pu  et  vérifier  que  la  fonction  pu,  construite  avec  ces 
périodes,  satisfait  bien  à  l'équation  (i). 

Premier  cas  :   Discriminant  positij.  —  Supposons  que  dans 
l'équation 

g2  et  g2  soient  réels  et  que  le  discriminant  du  second  membre 
\z=  gl  —  27^3  soit  positif.  Les  racines  <?, ,  e.j^  e^  sont  réelles. 
Déterminons  les  valeurs  co  et  w'  par  les  égalités 


(•^) 


(3) 


f 


^\z'  —  giZ—gz 


OJ 


de  sorte  que  w  et  4- sont  des   quantités  réelles  et  positives,   et 
construisons  la  fonction  pu  qui  admet  pour  périodes  primitives 

2t0,    2  0)'. 

Cette  fonction  pu  satisfait  à  une  équation  différentielle 


du'    -^^       -^      ^^' 

dans  laquelle  Go  et  G3  ont  des  valeurs  réelles  rendant  le  discri- 
minant GJ  —  27  G"^  positif.  Il  s'agit  de  démontrer  que  l'on  a 

Pour  cela,  rappelons  que  les  demi-périodes  to  et  to'  de  la  fonction 
pu  peuvent  se  déduire  des  coefficients  de  l'équation  différentielle 
vérifiée  par  cette  fonction  au  moyen  des  égalités 


(■ 


dz 


co  /        '  dz 


Go^-f-G, 


en  désignant  par  E^  la   plus  grande   et  par  E3  la  plus  petite  des 
racines  du  polynôme    4:;3_Q^;_G3.    En  comparant  ces  ex- 


25o  CHAPITRE    VIII. 


pressions  de  w  el  de  -r-  aux  intégrales  (2)  et  (3)  qui  ont  servi  de 
définition  à  ces  quantités,  on  est  conduit  aux  égalités 


r"^"  dz  _   Z-^"  dz 

Je,       sflz^—  giz  —  g-i      Je,       \//iz^—G^z  —  G3' 

r^" dz^ _  r^"^  dz 

Mais,  d'après  le  raisonnement  fait  au  n"  141,  les  égalités  pré- 
cédentes exigent  que  l'on  ait 

Ei=ei,         E2=e2,         E3  =  63, 
et,  par  suite, 

G2=^2,  G3=^3. 

Donc  l'équation   différentielle  donnée  est  vérifiée  par  la  fonc- 
tion pu  qui  admet  pour  périodes  primitives  203  et  2(0',  w  et -7-  se 

déduisant  des  coefficients  de  l'équation  donnée  à  l'aide  des  inté- 
grales (2)  et  (3). 

Deuxième  CAS  :  Discriminant  négatif.  —  ^I-awI  donnée  l'équa- 
tion différentielle 

d: 


du'    -4^^- ^2^— ^3. 
dans  laquelle  g.;,  et  «•;(  sont  réels,  et  teJs  que  l'on  ait 

A  =  ^l-27^1<o, 

nous  allons  construire  une  fonction  pu   vérifiant  cette  équation 
différentielle. 

Soient  e-2  la  racine  réelle,  e^,  e^  les  deux  racines  imaginaires 
conjuguées  de  4  ^'^  —  g-2^  ~  g-^  =  o  ;  posons 


r^"  dz 

'J,,        sj^z^—g^z  —  s-i 
(4   _    r"^"  dz 

^  J-e.      s/^Z'-^—g^Z 


gi 

puis 

W,  Cl)',  tOg  +  Wf, 

0)1=     -,  OJ3  =    -^ =•  , 


IlÉDUCTION    A    LA    FORME    NORMALE    DE     M.     WEIERSTRASS.       '25l 

et  construisons  la  fon  ction  p  a  qui  admet  pour  périodes  primitives 
Cette  fonction  pu  satisfait  à  une  équation   différentielle 

les  périodes  2  03,,  2 W3  étant  imaginaires  conjuguées,  on  sait  que 
Ga  et  G3  sont  réels  et  que  le  polynôme  4^^ —  ^2'-  —  ^i  admet 
une  seule  racine  réelle  :  soient  Eo  la  racine  réelle,  E,,  E3  les  ra- 
cines imaginaires  conjuguées  de  ce  polynôme;  de  plus,  on  a 


Jf.      /4  -^ 


dz. 


■G,z-G, 

Il  s'agit  de  démontrer  que  Go  et  G3  sont  égaux  respectivement 
à  «2  et  ^3. 

D'après  ce  qui  précède,  on  doit  avoir 

J,^       \/{z—e,  ){z  -  e,,{z  -  e,)      Je,       /(-  -  ^i  ){-■  —  ^2  ){^-  —  ^^  > 
et 

dz  r"-^  dz 


E._   vA  :^  —  E 1  )  (  ^  —  i-:2  )  (  ^  -t-  113  ) 

Mais  nous  avons  vu  (n°  139)  que  ces  égalités  ne  peuvent  avoir 
lieu  que  si  Eo,  E,,  E3  sont  égaux  respectivement  à  <?o,  ^,,  ^3  et 
par  suite  si  l'on  a 

G2=,^2,  G3=-3. 

Donc  la  fonction  p?^  que  nous  avons    construite   avec    les    pé- 
riodes 2C0,,  2t03  satisfait  à  l'équation  dilFéren  tielle  donnée. 

n.    _    L,.     POLYNOME    sous     LE    RADICAL    EST    DU    QUATRIÈME    DEGRÉ.      PREMIER 
MODE    DE    RÉDUCTION    OU    l'oN    NE    SE    PREOCCUPE    PAS    DE    LA   RÉALITÉ. 

On  a  déjà  donné  n«  lo2  une  méthode  pour  faire  l'inversion  de 
rintéffrale    Ç  en  se  servant  des  fonctions    de  Jacobi.  Mais, 


^) 

= 

1 

•2 

-i 

Ou  \ 

V  f  ■ 

— 

■P 

V 

.  P" 

■  P 

ç 

1 

i£ 

U 

-,P' 

V 

252  CHAPITRE     VF  II. 

pour  appliquer  cette  méthode  dans  le  cas  général,  il  faut  décom- 
poser F(^)  en  un  produit  de  deux  facteurs  du  second  degré,  ce 
qui  conduit  à  résoudre  une  équation  du  troisième  degré.  H  j  a 
intérêt  à  éviter  cette  question  auxiliaire,  surtout  lorsque  le  poly- 
nôme du  quatrième  degré  F(;)  n'a  pas  ses  coefficients  numé- 
riques et  contient  des  constantes  arbitraires,  comme  cela  se  pré- 
sente souvent  dans  les  problèmes  de  Mécanique.  Cette  difficulté 
se  trouve  écartée  quand  on  fait  l'inversion  en  se  servant  des  fonc- 
tions de  M.  Weierstrass. 

lo7.  Cas  particulier.  —  Parmi  les  formes  diverses  que  peut 
prendre  la  formule  d'addition  de  la  fonction  pw,  nous  avons  ob- 
tenu la  suivante  (n°  45) 

pu  —  J)(  u 

Si  donc  on  pose 

(•) 

2     piC  —  pÇ 

en  regardant  t»  comme  une  constante  et  t  comme  une  fonction  de  u^ 
cette  fonction  vérifie  l'équation  différentielle 

Nous  allons  exprimer  le  second  membre  en  fonction  de  t  et  vé- 
l'ifier  qu'il  est  un  polynôme  du  quatrième  degré  en  t. 

Dans  tout  ce  qui  suit  nous  rendrons  les  résultats  plus  faciles  à 
retenir  en  employant  une  représentation  géométrique. 

Considérons  la  cubique 

décrite  par  le  point  de  coordonnées 

X  =  p  u,         y  —  p'  u, 

cubique  étudiée  aux  n"^  o8  et  suivants.  Coupons  celte  courbe  par 
une  sécante  passant  par  un  point  fixe  P  de  paramètre  (^  et  un 
point  variable  de  paramètre  u;  le  coefficient  angulaire  de  la  sé- 
cante est 

p'  u  —  pV 
pu-  pv 


REDUCTION    A     LA     F  0  R  M  P:    N  0  R  M  A  L  K     DE     M.     \V  E  I  E  R  S  T  R  A  S  S.        253 

elle  troisième  point  d'intersection  a  pour  paramètre  — (w  +  r) 
(n°60).  jNous  avons  obtenu  dans  le  n"  60  des  formules  qu'on  peut 
écrire,  en  y  remplaçant  a  par  2/, 

[p  a  —  pv][p{u  +  v)  —  p(ç)]  =  ^{p"ç  —  '2tp'ç): 

ces  identités  montrent  que  pu — pç  el  pÇu  -\-  {-)  —  pç  sont  ra- 
cines d'une  équation  du  second  degré  ayant  pour  coefficients  des 
polynômes  en  t.  En  élevant  la  première  au  carré  et  en  en  retran- 
chant le  quadruple  de  la  seconde,  on  a 

[pu  —  piii  -^  i' )V  =  (t'-—  ^pv y^—  l(p'\'  —  2tp' ç),' 


et  l'équalion  difTérenlielle  que  vérifie  t  peut  s'écrire 
en  posant 


Èï-A'^- 


/(0  =  (^^-3pry2-2fp"('-20Vp). 

Les  racines  de  ce  polynomey(^)  sont  les  moitiés  des  coeffîcienls 
angulaires  des  tangentes  menées  du  point  P  à  la  cubique;  en  effet, 
si  t  devient  égal  à  une  de  ces  racines,  on  a  puz=  p(^u  -{-  c),  et 
la  sécante  de  coefficient  angulaire  2t  coupe  la  cubique  en  deux 
points  confondus. 

En  résumé,  si  t  est  défini  en  fonction  de  u  par  l'équation 

au  =      , y 

t  peut  s'exprimer  en  fonction  uniforme  doublement  périodique 
de  a  par  la  formule  (1)  et  il  en  est  de  même  de  \'f[t),  qui  est 
égale  à  -^  •  On  exprime  ce  résultat  en  disant  qu'on  a  résolu  le  pro- 
blème de  l'inversion  pour  le  polynôme  /{t)-  Ce  polynôme  du 
quatrième  degré  en  t  ne  renferme  pas  de  terme  en  t^  et  contient 
trois  constantes  arbitraires,  qui  sont  l'argument  c  et  les  deux  inva- 
riants  «o  et  ^3  de  la  fonction  p. 

Nous  allons  voir  que,  si  le  polynôme  sous  le  radical  est  un  po- 
lynôme du  quatrième  degré  quelconque,  on  peut  toujours,  après 
en  avoir  fait  disparaître  le  terme  en  ^^,  l'identifier  avec  /{f)-  Le 


CHAPITRK     Vm. 


cas  particulier  que  nous  venons  de  traiter  nous  donnera  donc  la 
solution  du  problème  de  l'inversion  pour  nn  poljnome  du  qua- 
trième degré  quelconque. 

158.   Le  cas   général  ramené  au  cas  particulier  précédent.  — 
Soit  un  poljnome  donné  du  quatrième  degré 


débarrassé  du  terme  en  t^.  En  Fidentifiant  avec  le  poljnome /"(/)  d 
numéro  précédent,  on   trouve,  en  vertu  de  2p'V  =  i2j3-p  —  g._ 


La  dernière  de  ces  égalités  peut  être  remplacée  par  la  suivante 

et  l'on  voit  que  les  trois  constantes  pç,  p' i^  et  g^  se  trouvent  dé- 
terminées. La  valeur  de  g^  peut  se  déduire  de  l'équation 

p'2ç;  =  4p3p_^,pp_    0-3; 

elle  est  ég:ale  à 


On  a  donc,  pour  identifier  les  deux  poljnomes,  les  relations 
concordantes 


Ces  relations  définissent  les  deux  invariants  g-y  et  g^  et  l'argu- 
ment constant  ç. 

Si  le  poljnome  donné  est  un  poljnome  F(^z)  renfermant  ui 
terme  du  troisième  degré 

on  fera  disparaître  le  second  terme  en  posant 

Cl] 

z  =  t !; 

on  a  alors 


REDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  M.  WEIERSTRASS.  2Î)5 
OÙ 

"=~^ï^'      ""= ST^ ' 

On  trouve  enfin,  pour  «-o  et  «-3,  les  expressions  suivantes 

o    ,  s 

«0 

T 

^3=  aoai— a2— ai=:  _. , 

en  posant 

S  =  ao«4  —  4«i  «3+  3«|, 

T  =  «o<^if2«4+  •irtiaoaa —  a'j  —  «o^^l —  <^i  «4. 

Remarque.  —  S  et  T  sont  les  invariants  du  poljnome 

Œq z'* -\r-  ^ ay  z'^  +  Ç> a^  Z' -r-  \a^z  -^  Q'^. 

Si  l'on  calcule  les  valeurs  particulières  de  S  et  de  T  pour  le  po- 
lynôme 

f{t)  =  t'^-isr-pv  -^  ^tp'v  -^  g.-'^p'^v, 

on  trouve  i^^o  et   «o. 

On  obtiendrait  donc  immédiatement  les  relations  donnant  «?., 
et  «3  en  égalant  les  valeurs  des  invariants  des  deux  polvnomes 
que  l'on  veut  identifier. 

Les  expressions  dep^  et  de  p' v  en  fonction  de  Gq^  a,,  «o,  «3, 
«4  s'obtiennent  de  même  en  remplaçant  ao,  ag,  âj,  par  leurs  va- 
leurs; on  peut  alors  énoncer  la  règle  suivante  : 

lo9.  Règle.  —  Soit  F  (3)  un  poljnome  du  quatrième  degré 
quelconque 

F (3)  =  «o-^-T-  4^1  :;3+  6«2-^+  4<^3-  -+-  «4, 

et  soient  S  et  T  les  fonctions  suivantes  des  coefficients  de  ce  po- 
ljnome 

S  =  «o«i—  4«i«3-i-  3a^, 

T  =  a^a^Œ'^-ir-  la^a^Œo —  a\  —  a^al  —  al  ai,. 


9.56  CHAPITRE     VIII. 

Si  l'on  prend  les  fonciions  elliptiques  ayant  pour  invariants 

S  T 

Uq  (.1   ^) 

et  un  argument  constant  ç  défini  par  les  égalités 

ar  —  a^a^               ,          a-^al — 'iaQa\a^-\- la^, 
P^=-^i '  ^^=  ^^ ' 

et  si  l'on  pose 

^  =  —  ^  +  1  ^'^  —  ^'^ , 

on  a 

puis 

T      ,  dz  u  r    dz 

—^_  du  — 


\Ui^ 


u    _  r   d. 


/F(^)  Va,      J   /l^~(z) 


ce  qui  donne  la  solution  du  problème  de  l'inversion  pour  le  poly- 
nôme du  quatrième  degré  F(^). 

A  un  point  de  vue  géométrique,  ces  formules  peuvent  aussi 
s'interpréter  comme  il  suit  : 

Si  l'on  considère  la  courbe  du  quatrième  ordre 


les  coordonnées  Z  et  ^  d'un  point  de  cette  courbe  peuvent  s'ex- 
primer en  fonctions  uniformes  du  paramètre  u  par  les  formules 


z  = 

«1        i  p  II  —  p  P 
cio        1    pii  —  pv 

Z  = 

Spâ<){pu  —  p{u-^  v)\. 

III.  —  Inversion  Ex\  quantités  réelles.  Discriminant  positif. 

160.  Expression  elliptique  des  racines  d'un  polynôme  du  qua- 
trième degré.  —  D'après  ce  qui  précède,  étant  donné  un  polynôme 
du  quatrième  degré 

F(  s)  =  ao-5^-1-  4  «1-5^+  6  «2  5^-1-  4^3  2  -f-  «4, 

si  l'on  pose 

^  =_  ^  _i_  1  P' ^'^  —  P'^ ^ 

«0  2     p«— pfr'   ' 


RÉDUCTION    A    LA    FORME    NORMALE    DE    M.      WEIERSTRASS.       257 

les  invarianls  des  fonctions  elliptiques  et  l'argument  constant  ç 
étant  convenablement  choisis,  le  polynôme  F(s)  prend  la  forme 

F(-)  =  «o[p«  —  p{u-i-v)y. 

Cette  forme  permet  de  trouver  simplement  les  valeurs  de  l'ar- 
gument u  qui  correspondent  aux  racines  de  F(^).  Pour  l'une  de 
ces  valeurs,  on  doit  avoir 

pu  —  p{u  -^  ç)  =  o^ 
ou  bien 

Il  -T-  t-  =  —  Il  -h  2  771  (Jù  -h  2  71  (o'j 

m  et  fi  étant  des  nombres  entiers.  On  ne  doit  pas  prendre  le 
signe  -h,  puisque  ('  n'est  pas  un  multiple  des  périodes.  En  prenant 
le  signe  — ,  on  trouve 

«  = 77ltO  -+-  71  W  , 

et  il  suffit  de  considérer  les  quatre  valeurs  suivantes  de  u  : 

^^0  — y  if-i  — h  w,  «2  = -h  co  -f-  to  ,  ^^3  = 1-  to'. 


161.  Discussion  relative  à  la  réalité  des  racines.  Cas  où  le  dis- 
criminant est  positif.  —  Nous  supposerons  dans  ce  qui  suit  que 
les  coefficients  de  F(^)  sont  réels,  de  sorte  que,  lorsqu'on  fait 
l'inversion,  g2  et  g^  sont  réels.  De  plus,  nous  nous  limitons  pour 
le  moment  au  cas  où  le  discriminant  est  positif.  La  courbe 

se  compose  d'une  ovale  et  d'une  branche  infinie.  Les  valeurs 
de  pi^  et  p'v  étant  réelles,  p  est  le  paramètre  d'un  point  réel  de  la 
courbe.  L'une  des  périodes  w  est  réelle,  l'autre  co'  purement  ima- 
ginaire. 

Les  arguments  Uq,  «,,  11-2,  U3  sont  les  paramètres  des  points  de 
contact  des  tangentes  menées  à  la  cubique  x  ^^  pu,  y  z=  p' u  par 
le  point  de  paramètre  v;  les  valeurs  correspondantes  de 

^^  1  p'u  —  p'v 

2     pu  —  pv 

sont  les  demi-coefficients  angulaires  des  quatre  tangentes,  et  l'on 

A.    ET   L.  T- 


258  CHAPITRE    VIII. 

\oit,  en  se  reportant  à  l'expression  de  z  en  fonction  de  u,  que  le 
nombre  des  racines  réelles  de  F(^)  est  égal  au  nombre  des  tan- 
gentes réelles  qu'on  peut  mener  à  la  cubique  par  le  point  de  para- 
mètre i^. 

Nous  avons  vu  (n°  63)  que  les  quatre  tangentes  sont  ou  toutes 
réelles,  ou  toutes  imaginaires  suivant  que  le  point  ç  appartient  à 
la  branche  infinie  ou  à  l'ovale,  c'est-à-dire  (n°  63)  suivant  qu'on 

a  à  la  fois 

pv>o,         p"('>o, 

ou  que  l'une  au  moins  de  ces  inégalités  n'est  pas  vérifiée. 

D'après  la  valeur  de  jd^^  en  fonction  des  coefficients  du  poly- 
nôme, on  peut  énoncer  ce  résultat  ainsi  : 

Dans  le  cas  du  discriminant  positif,  le  polynôme  Y (^z)  a  ses 
quatre  racines  réelles^  si  Von  a  à  la  fois 

Si  Vune  de  ces  inégalités  n^ est  pas  vérifiée,  le  polynôme  a  ses 
quatre  racines  imaginaires. 

Les  quatre  racines  rangées  par  ordre  de  grandeur.  —  Dé- 
signons par 

Zq,       ^1,       Z.2^       ^3, 

les  valeurs  de  z  et  par 

^0,      ^1,      ^2j      t-i 

les  valeurs  de  t  qui  correspondent  aux  arguments 

i/o,       Uu      «2,       iH- 

Dans  le  cas  où  les  quatre  racines  sont  réelles,  les  quatre  valeurs 
de  z  sont  rangées  dans  le  même  ordre  que  les  valeurs  correspon- 
dantes de  t. 

Or  on  peut  voir  sur  la  figure  {fig-  20)  dans  quel  ordre  sont 
rangés  les  coefficients  angulaires  des  quatre  tangentes  menées  du 
point  P  de  paramètre  (^,  en  remarquant  que  chacune  de  ces  tan- 
gentes n'a  d'autre  point  sur  la  courbe  que  le  point  P  et  son  point 
de  contact.  En  supposant 

on  voit  (fig-  20)  que  les  valeurs  de  t  sont  rangées  dans  l'ordre 


RÉDUCTION    A    LA    FORME    NORMALE    DE    M.    WEIERSTRASS.        l5g 

suivant 

etj  par  suite,  on  a 


162.  Inversion  en  quantités  réelles.  —  Supposons  que  Ton  ait 


fait  l'inversion  de  l'intégrale 


/ 


dz 


V/F(^) 


par  la  méthode  des  n^^  158  et  159.  Cherchons  quelles  valeurs  de  u 
l'on  doit  prendre  pour  que  z  et  y  F(^)  soient  réels  tous  les  deux. 

1°  Cas  où  les  quatre  racines  sont  imaginaires.  —  Alors  F(:;) 
est  toujours  du  signe  de  Gq.  Si  donc  a^  est  négatif,  v/F(^)  n'est 
jamais  réel  en  même  temps  que  ;:;.  Si  Gq  est  positif,  il  suffit  que  :: 
soit  réel  pour  que  v/F(^)  le  soit,  c'est-à-dire  que 

1   pu  —  pv 
soit  réel.   Or,   puisque  les  quatre   racines    sont   imaginaires,   le 


26o  CHAPITRE    VIII. 

point  P,  de  paramètre  ^,  appartient  à  l'ovale.  Si  nous  menons  par 
ce  point  P  une  sécante  de  coefficient  angulaire  it^  cette  sécante 
rencontre  toujours,  quel  que  soit  t,  la  courbe  en  un  autre  point 
appartenant  à  l'ovale  et  en  un  point  appartenant  à  la  branche  in- 
finie. En  d'autres  termes,  à  une  valeur  réelle  de  t  correspondent 
pour  II  une  valeur  réelle  et  une  valeur  de  la  forme  a  +  to',  a  étant 
réel. 

Ainsi,  quand  les  quatre  racines  sont  imaginaires,  il  ny  a 
de  solution  que  si  «o  est  positif;  on  doit  prendre  alors  u  réel 
ou  u  —  to'  réel. 

2"  Cas  oit  les  quatre  racines  sont  réelles.  —  Le  point  de 
paramètre  v  est  alors  sur  la  branche  infinie  de  la  cubique,  comme 
dans  Idifig.  20. 

L'argument  v  peut  alors  être  supposé  réel  et  compris  entre  —  (o 
et  (0  (n«63). 

Nous  ferons  la  discussion  en  supposant 

o  <  p  <  w, 

ce  qui  est  d'accord  avec  la  figure,  et  nous  écrirons 

¥{z)^a,{z-z,){z-z,){z-z,){z-zO, 

les  racines  se  succédant  dans  le  produit  suivant  l'ordre  de  grandeur 
décroissante. 

Soit  d'abord   a^'^o.    Gomme  ;:  est    supposé    réel,    pour  que 

sj¥ (^z)  le  soit,  il  faut  que  z  vérifie  l'une  des  inégalités  suivantes  : 

ou  bien  que  t  vérifie  l'une  des  suivantes 

^>^o,        t^>tyt^,        t<ti. 

Or  le  point  P  se  trouve  maintenant  sur  la  branche  infinie.  Si  nous 
menons  par  P  une  sécante  de  coefficient  angulaire  t  et  si  l'on  a 

t  y-  to  ou  /  <  ^1, 

les  deux  points  variables  d'intersection  appartiennent  à  la  branche 
infinie  :  les  valeurs  correspondantes  de  u  sont  réelles.  Si  l'on  a 

^3>  ^>  i-2j 


RÉDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  M.  W  E  I  E  RST  R  AS  S.   26 1 

]es  deux  points  variables  d'intersection  apparliennent  à  Tovale  et, 
pour  chacun  d'eux,  «  —  oj'  est  réel.  Ainsi,  quand  ciq  est  positif  ^ 
on  doit  prendre  u  réel  ou  bien  u  —  w'  réel. 
Soit  maintenant  «o^  o,  on  doit  avoir 

^0>/>^3  OU  ^2>^>^1. 

Si  l'une  ou  l'autre  de  ces  inégalités  est  vérifiée,  la  sécante 
menée  par  P  et  dont  le  coefficient  angulaire  est  2  ^  ne  rencontre  plus 
la  courbe;  les  abscisses  des  deux  points  variables  d'intersection 

doivent  être  imaginaires  conjuguées.  Or,  si  nous  posons  u=a-\-bi^ 
a  el  b  étant  réels,  la  formule  d'addition  montre  que  p(a-t-bi) 
et  p(a  —  bi)  sont  imaginaires  conjugués;  il  faut  donc  que  l'on  ait 

p(i-  -^  a  -h  bi)=  p{a  —  bi) 
ou  bien 

i'  ^  a  -\-  bi  =  —(a  —  bi)-^-  amto  -h  2 nui', 

m  et  n  étant  des  nombres  entiers.  On  ne  peut  pas  prendre  le 
signe  -h,  car,  en  égalant  les  parties  réelles,  on  trouverait 


ce  qui  n'a  pas  lieu;  on  doit  donc  prendre  le  signe  —  et  l'on  a,  par 

suite, 

V  -{-  2  a  —  -irruxi  -\-  o_7Hù'  \ 

li  doit  être  nul,  puisque  v  et  a  sont  supposés  réels,  et  l'égalité 
peut  s'écrire 

V 

rt  — r-  mii), 

•1 

où  il  suffit  de  considérer  pour  m  les  valeurs  o  et  i . 

Nous  trouvons  donc,  comme  condition  nécessaire,  que  u  doit 
être  de  l'une  des  formes  suivantes 

i/  —  —      +  ^6.  w  = \-  <S)  -\-  ib, 

2  2 

b  étant  réel.  Nous  allons  vérifier  que  cette  condition  est  suffisante. 
On  voit  d'abord  que,  si  u  a  l'une  des  formes  précédentes,  l  est 


l62  CHAPITRE    V 


^_^   pu 

—  pui 

1   pu 

-pui 

u.=- 

Ul  =  - 

-(î+* 

réel.  En   effet,   on  a,  d'après  l'interprétation  géométrique  de  t, 
comme  demi-coefficient  angulaire  de  la  sécante, 


i^l  =  —  {u  -{-  v). 


2 

u  et  «,  sont  imaginaires  conjugués;  il  en  est  de  même  de  j3f/  et 
de  p?^t,  puis  de  ^'  u  et  de  p^ u,,  :  donc  t  est  réel.  Si 

^  -7 

\-  Oi  -h  lO 

2 

^  -7 

•1 

Donc  pu  et  pUf  d'une  part,  p' a  et  p'  Ui,  d'autre  part,  sont  ima- 
ginaires conjugués,  t  est  encore  réel.  Dans  les  deux  cas,  la  sécanle 
de  coefficient  angulaire  2/,  menée  par  P,  rencontre  la  cubique  en 
deux  points  imaginaires.  Il  faut  donc  que  l'on  ait 

to>t>t3  OU  t.2>t>ti. 

Donc  enfin,  pour  une  \'aleLir  de  u  de  l'une  des  deux  formes  consi- 
dérées, jz  et  y/F(^)  sont  réels  tous  les  deux. 

Ainsi,  dans  le  cas  oit  les  quatre  racines  sont  réelles  et  oit  «o 
est  négatif,  on  doit  prendre   u  -\ —  ou  bien  u  + iù  pure- 


La  démonstration  a  été  faite  en  supposant  o  <<  (^  <  w.  Le  résultat 
est  encore  vrai  si  v  est  compris  entre  o  et  —  w. 

163.  Résumé.  —  Le  discriminant  étant  positif,  si  l'on  veut  que 
z  et  ^F(s)  soient  réels  tous  les  deux,  la  forme  de  l'argument  u 
est  donnée  par  la  règle  suivante  : 

i*^  Les  quatre  racines  de  F (5)  sont  imaginaires,  —  Si  a^  est 


RÉDUCTION    A    L\    FORME    NORMALE    DE    M.    WEIERSTRASS.      263 

positif,  on  doit  prendre  u  réel  ou  bien  u  —  to'  réel;  si  Qq  est  né- 
gatif il  n'y  a  pas  de  solution. 

2°  Les  quatre  racines  de  F (3)  sont  réelles.  —  Si  a^  est  po- 
sitif, on  doit  prendre  u  réel  ou  bien  u  —  w'  réel.  Si  a^  est  négatif, 

on  doit  prendre  u  -, —  ou  bien  w  4-  ; w  purement  imaginaire. 


Ces  cas  i"  et  1^  sont  les  seuls  qui  peuvent  se  présenter  quand 
le  discriminant  est  positif. 

IV.  —  Inversion  en  quantités  réelles.  Discriminant  négatif. 

164.  Racines  de  F(^).  —  Soit,  comme  précédemment,  le  poly- 
nôme du  quatrième  degré  à  coefficients  réels 

F(:;)=  rto^^4-  4rti^3_^  6rt2---î-  4^3-  -^  «4- 

Les  quantités  ^2  et  ^3  étant  calculées  comme  plus  haut  en  fonction 
des  coefficients  de  ce  polynôme,  nous  supposons  maintenant  le 
discriminant  g\  —  27^3  négatif. 

Nous  désignerons,  comme  au  n°  132,  par  to,  et  C03  un  couple  de 
périodes  primitives  de  la  fonction  jd,  périodes  que  l'on  peut  sup- 
poser actuellement  imaginaires  conjuguées 

2  tO  1  =  (X)-i CO',  ,  2  CO3  =  COo  -î-  W,  , 

(Oo  désignant  une  quantité  réelle  et  co',  une  quantité  purement 
imaginaire. 

On  voit  immédiatement,  comme  au  n"  160,  que,  si  Ton  pose 

«0         2    p  a  —  p  V  ' 

les  invariants  de  la  fonction  p  et  l'argument  constant  ç  étant  con- 
venablement choisis,  les  racines  du  polynôme  F(^)  correspondent 
aux  arguments 

z/o  = y         Ui  = h  Wi,         112  = H  toj  +  0)3,          113=  —  -  -\-(Ji3' 

222  a 

Nous  supposons  que  les  coefficients  de  F(::)  sont  réels;  alors 
les  quantités  qui  ont  servi  à  définir  j3r  et  p' <^^  sont  réelles,  et  Ton 
peut  toujours  supposer  v  réel  et  compris  entre  —  0)2  et  CO2. 


264  CHAPITRE    VIII. 

On  voit  donc  que  F(^)  a  deux  racines  réelles  correspondant 
aux  arguments 

Uo=—-)  112  = 7+^2, 

et  deux  racines  imaginaires  conjuguées  correspondant  aux  argu- 
ments 

—  V  -h  to.-,  —  w',  —  p  -4-  to.>  +  to', 

Ui=    ~ -,  Ui=    -^ -* 

Si  l'on  considère  la  courbe 

a;  =  pi(,         y  =  p'ii^ 

précédemment  étudiée  (n°  142),  on  sait  que  cette  courbe  n'a  pas 
de  points  réels  en  dehors  de  la  branche  infinie  représentée  sur 
idifig.  19.  Le  point  P  de  paramètre  v  est  un  point  de  cette  branche. 
Par  ce  point  on  peut  mener  à  la  courbe  deux  tangentes  réelles. 
Les  demi-coefficients  angulaires  de  ces  tangentes  sont  les  valeurs 
que  prend  le  rapport 

^^  l  P'^  — P'<^^ 
1   pu  —  pv' 

pour  u  =  Uq  et  u  =  Uof  valeurs  que  nous  désignerons  par  ^0  et  '2- 
Dans  la  discussion  qui  va  suivre  nous  supposerons 

o  <  p  <  (0,  ; 
on  voit  alors  sur  la  Jig.  19  que  l'on  a 

to>t2 

et  l'on  en  conclut 

165.  Inversion  en  quantités  réelles.  —  Cherchons  quelles  va- 
leurs de  u  il  faut  prendre  pour  que  z  et  y/F  (^)  soient  réels  tous  les 
deux.  Gomme  on  a 

F(z)=  ao{z  —  z^){z  —  Z2){z  —  zi)(z  —  zs), 

et  que  Zt  et  Z3  sont  imaginaires  conjugués,  il  suffit,  si  z  est  déjà 
réel,  que  l'on  ait 

«o(.S  —  Zo){z~Z2)>0. 

i^  Supposons  d'abord  que  aQ  est  positif  :  il  faut  que  z  vérifie 


RÉDUCTION    A     LA    FORME    NORMALE    DE    M.     WEIERSTRASS.       265 

l'une  des  inégalités 

Z  y-  Zq  ou  Z  <C  Zi 

et  par  suite  que  t  vérifie  l'une  des  inégalités 

/  >  ?o      ou       ^  <  ^2  ; 

une  sécante,  menée  par  P  et  dont  le  coefficient  angulaire  est  égal 
d  2t,  rencontre  alors  la  courbe  en  deux  points  réels. 

Donc  si  ciq  est  positif ,  on  doit  prendre  u  réel. 

i""  Supposons  maintenant  que  a^  est  négatif;  t  doit  vérifier  la 

double  inégalité 

t.<t<t^; 

la  sécante,  menée  par  P  et  dont  le  coefficient  angulaire  est  égal 
à  2^,  ne  rencontre  plus  la  courbe.  Les  abscisses  des  points  va- 
riables d'intersection 

doivent  être  imaginaires  conjuguées.  C'est  cette  condition  qui, 
dans  le  cas  actuel,  va  nous  déterminer  la  forme  de  u. 

Posons  z^  =a  -h  bi^  a  el  b  étant  réels  p{a  -|-  bi)  et  p{a  —  bi) 
sont  des  quantités  imaginaires  conjuguées  :  on  le  vérifie  à  l'aide  de 
la  formule  d'addition.  On  doit  donc  avoir 

p(^'-^a-^  bi)='p{a  —  bi) 
et,  par  suite, 

^'  H-  a  -r-  bi  =  ±{a  —  bi)-i-  2mwi+  inoj^. 

Prenons  d'abord  le  signe  — ;  l'égalité  devient 
2a  -\-  ç  =  2mcoi+2/ia)3 

Comme  a  et  v  sont  réels,  on  doit  avoir  n  =  m,  et  l'égalité  résolue 
par  rapport  à  a  devient 

V 

a  = -h  7?i  Wo  ; 

2 

il  suffit  de  donner  à  m  les  valeurs  o  et  i .  Pour  ni  =  o,  w  +  -  est 
purement  imaginaire.  Pour  ni=  i ,  u-\ —  est  égal  à  une  quantité 


266  CHAPITRE    VIII. 

purement  imaginaire  augmentée  de  Wg.  Mais  ce  cas  rentre  dans  le 
précédent  si  l'on  remarque  que  (n°  135) 

Réciproquement  il  est  facile  de  vérifier  que,  pour  un  argument  u 
de  la  forme 

^       •/ 

Il  =^ h  lO, 

1 


OÙ  b  désigne  un  nombre  réel,  t  est  réel  et  compris  entre  Iq  et  to. 
En  effet,  puisque  2  ^  est  le  coefficient  angulaire  de  la  sécante  allant 
du  point  P  dont  le  paramètre  est  ç'  au  point  dont  le  paramètre  est  «, 

on  a  , 

I  p'u—p'ui 


2     pU  —  pUi, 


lly  =  —(U-{-   Ç). 


Si  l'on  prend 


on  a 


—  -r-  W, 


u>  =  -'{l-^ib)^-~l-ib. 


et  l'on  voit  que  pu  et  pu^  d'une  part,  p' u  et  p' U\  d'autre  part, 
sont  des  quantités  imaginaires  conjuguées.  Donc  t  est  réel.  De 
plus  la  sécante  menée  par  P  et  de  coefficient  angulaire  2  ^,  rencon- 
trant encore  la  courbe  en  deux  points  dont  les  abscisses  sont  des 
quantités  imaginaires,  t  est  nécessairement  compris  entre  ^o  6t  ^o. 
Donc  à  une  valeur  de  u  de  la  forme  considérée  correspondent 
des  valeurs  réelles  de  z  et  de  ^'¥[z). 

Nous  avons  choisi  le  signe  —  dans  l'égalité  exprimant  que  pu 
etp(w  +  p)  sont  imaginaires  conjuguées.  En  choisissant  le  signe  + 
dans  la  même  égalité,  on  serait  conduit  à  des  arguments  pour  les- 
quels p^^  et  p{u^v)  seraient  bien  encore  des  quantités  imagi- 
naires conjuguées,  mais  ne  rendant  pas  réels  z  et  y/F(^). 

Ainsi,  quand  a^  est  négatij,  il  faut  prendre  u  -\ — purement 
imaginaire. 


RÉDUCTION  A  LA  FORME  NORMALE  DE  M.  WEIERSTRASS.   267 


166.  Résumé.  —  Pour  que  z  et  \^F{z)  soient  réels  tous  les 
deux  : 

Quand  Œq  est  positif,  il  faut  prendre  u  réel  ; 

Quand  «o  est  négatif,  il  faut  prendre  «  H-  ^  purement  imagi- 
naire. 

V.   —    MÉTHODE    DE   M.    HeRMITE. 

167.  Méthode  générale.  —  M.  Hermite  a  donné  le  moyen  de 
ramener  à  la  forme  canonique  adoptée  par  M.  Weierstrass  une  in- 
tégrale   /  -^  dans  laquelle  X  désigne   un   polynôme  général  du 

quatrième  degré.  Nous  indiquerons,  à  titre  d'exercice,  cette  mé- 
thode dont  nous  n'aurons  pas  à  faire  usage.  Soit 

un  polynôme  et  H  le  liessien  de  ce  polynôme, 

H  =(rto«2 «f  )a7*4-  2(«o«3 —  «(«a)-^^ 

-h(ao«i-^  iciicts —  3al)x--^  2(^1  «4 —  rt2«3)^ -^  <^2«4—  «1- 
Si  l'on  pose 


on  aura 


r  dx  _   r  d\ 

J  V^      J  /4F=^ 


S  et  T  désignant  les  invariants  du  polynôme  X 

S  =  rto«4 —  4«i«3-t-  3a|, 

T   =  «0^2  «4 -h  2  «1  «2^3 «1  —  rto«|—  af  «4î 

Pour  s'en  assurer,  il  suffît  de  substituer  ^  dans  l'intégrale  du 
deuxième  membre  et  d'admettre  l'identité  suivante,  facile  à  vérifier 
quand  le  poljnome  X  est  bicarré, 

-['(-5)'-K- ;)-]-* 

en  désignant  par  4  J  le  jacobien  des  polynômes  X  et  H 
^  dx  dx 


•268      CHAPITRE    IX.    —    RÉDUCTION    A    LA    FORME    NORMALE.    ETC. 

Cas  particulier.  —  Ainsi  on  vérifiera  aisément  que  l'on  a 
dx  r  dl 


J    /^^ 


en  posant 


^mx^-\-  \ 


a-^ni)U- 


){'- 


m  -hi 

2 


m(^*_-h  I  ) -H  (  I  —  3  7^2  )  372 


Gela  résulte  des  identités 


(H  -  mX)  (  H  -f-  -f^x)  (n  +  "'^±1  X 


4 


[  37(372 +l)(^2_,)]2^ 


)C 


4  \      dx 


dH        „dX\       om2_i 


CHAPITRE  IX. 


APPLICATIONS  DIVERSES  TRAITÉES  AVEC  LA  NOTATION 
DE  M.  WEIER STRASS. 


I.  _  Courbe  élastique  plane  et  sans  pression. 

168.  Mise  en  équations.  —  Nous  avons  déjà  traité  cette  question 
au  n°  126  à  l'aide  des  fonctions  de  J.acobi  ;  nous  allons  la  reprendre 
en  nous  servant  des  fonctions  de  M.  Weierstrass  et  nous  en  pré- 
parerons l'application  au  cas  du  prisme  droit  chargé  debout.  On 
pourra,  de  cette  façon,  comparer  les  deux  systèmes  de  notations 
en  les  appliquant  à  un  même  exemple. 

L'équation  qui  donne  la  forme  de  la  courbe  élastique  dans  la 
position  d'équilibre  contraint  et  qui  a  été  obtenue  au  n«  126  peut 
s'écrire  avec  un  changement  de  notation 

C  désignant  un  coefficient  positif  et  a  la  mesure  d'une  longueur 
que  nous  laisserons  arbitraire.  Ces  constantes  sont  liées  à  la  con- 
stante c  employée  au  n"  126  par  la  relation 


On  trouvera,  à  la  page  suivante,  un  Tableau  de  formules  que 
l'on  passera  à  une  première  lecture  :  ce  Tableau  donne  le  résumé 
des  formules  établies  dans  ce  paragraphe. 


270  CHAPITRE    IX. 

Tableau  de  formules.  {Courbe  élastique  plane  et  sans  pression.) 

(0  ^  =  ^cl- 

p  a' 

d'-x  (M  I    .    „ 

(.)  ^=c4+D, 

as  «2  ' 


^^>  (^r='-i.^i^-^- 


(i) 


dy  \  "-2  /      1/2  \  2 


a  1  pu  —  62 

(5)  (P«-e2)[p("  +  W2)— e2]  =  (ri— e2)(e3— 62), 

(6)  (pw  — e2)-h[p(«-i-a)2)— 6,]=  '-^  —3^2, 

^7)      (^-3e2y-4Ce2-ei)(e2-e3)  =  [p(«  +  to2)-pw]2=i^(^^y', 


(8) 


"2        G  y*         C-^  ~       G2  (  ^ 


(9)  adu  =  Cids, 

^^2)                       -  =  i[tu  +  Ç(w  +  W2)+  2^62]+  const., 
(13)  u  = :  H-  i/ 

'2  ' 

(i4)  adt=Cds, 


(16) 


(•7) 


P(^-  — -  +jn  — poj2 


r-ro      I 


,  0), 

p  -- 


p{lt)-p-^ 


APPLICATIONS    DIVERSES.  27I 

169.  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques.  —  La  relation  (i) 
peut  être  considérée  comme  une  équation  différentielle  du  second 
ordre  de  la  courbe.  Nous  allons  intégrer  cette  équation.  En  dé- 
signant par  s  Tare  de  la  courbe  compté  à  partir  d'une  origine  fixe 
et  par  8  l'angle  de  Ox  avec  la  tangente  supposée  menée  dans  le 
sens  qui  correspond  aux  arcs  croissants  {fig-  i4j  P-  184),  on  a 

dx  n  ^y  -A 

-,-  =  cosô,  -^=  — sin6. 

cls  as 

De  la  première  égalité  l'on  déduit,  par  différentiation, 

d'-x  _      ^-    A^ 
ds-   ~       "        ds^ 

puis,  en  remplaçant  sinQ  et  -r-  =  -  par  leurs  valeurs, 


dKv 
ds-^ 

C 

dy 

ds' 

le 

dx 
ds 

a- 

-D, 

Intégrons,  ce  qui  donne 
(^) 

D  désignant  une  nouvelle  constante,  et  portons  Texpression  ainsi 

dx 
obtenue  de  -j-  dans  la  relation 
ds 

[dyy  fdxy 

■  \d^)  -'~[d^)  ' 

il  vient 

170.  Inversion.  —  En  remarquant  que  le  poljnome  du  qua- 
trième degré  dont  on  veut  faire  l'inversion  est  bicarré,  on  est  con- 
duit à  appliquer  delà  façon  suivante  la  méthode  donnée  au  n°  157. 

Posons,  en  adoptant  les  notations  du  Ghap.  VI,  §  1, 

y  i        r>'  u 

(4)  -= — ; 

^^'  a  2  pu  —  e^ 

on  sait  que  l'on  a 

(5)  {pu  —  e2)[p{u-^oj2)—e2]  =  {e.2—ei){e.2  —  e3), 

(6)  {p  u  -  e.2)-^[piu  -^  oyo)—  6.]=  ^  -  3e^ 


•^7^  CHAPITRE    VI 

et,  par  suite, 


^^^     (ë-3^2)'-4(e2-ei)(e2-e3)-[p(^^  +  œ,)-pa]2=-l(^)'. 


a^\du  I 


Pour  identifier  le  polynôme  du  quatrième  degré  qui  forme  le 
premier  membre  de  cette  égalité  avec  le  second  membre  de  l'éga- 
lité (3),  nous  mettrons  cette  égalité  (3)  sous  la  forme 


^«>  ,  Itî 


G/        C2~       G-^W^ 


et  il  nous  suffira  ensuite  de  poser 

—  =  4(^2— ei)(e2— 63), 
D  . 

Q-  —  ~  ^^62=  ei—  6-2^  63—  62- 

On  voit  que  <?,  —  Co  et  <?3  —  e-i  sont  les  racines  d'une  équation  du 
second  degré  dont  le  discriminant  est 

Nous  nous  bornerons  dans  tout  ce  qui  suit  au  cas  de  D2<[  i.  On 
reconnaît  aisément  que  cette  inégalité  doit  être  vérifiée  si  la  courbe 
présente  un  point  d'inflexion,  comme  cela  a  lieu  pour  le  prisme 
droit  chargé  debout  :  en  efî'et,  pour  que  p  puisse  devenir  infini,  il 

faut  que  y  puisse  s'annuler  sans  que  -^  devienne  imaginaire, 
c'est-à-dire,  d'après  (8),  queD^—  i  soit  négatif.  Cette  hypothèse 
correspond  au  premier  cas  du  n"  126.  Alors,  e-,  étant  réel,  Ci  ele^ 
sont  imaginaires  conjugués;  on  peut  prendre,  comme  périodes  pri- 
mitives de  la  fonction  p;^,  deux  quantités  imaginaires  conjuguées  : 
nous  les  désignons  par  w,  et  tOg  et  nous  conservons  les  notations 
du  §  I,  Ghap.  VI. 

Ayant  ainsi  identifié  les  premiers   membres   des   égalités  (7) 
et  (8),  nous  avons 

et  par  suite 

(9)  adu  —  Gids, 


APPLICATIONS    DIVERSES.  27^ 

en  supposant  convenablement  choisi  le  sens  dans  lequel  Tare  s 
est  compté. 

Dans  l'égalité  (2)  remplaçons  ds  par  ^.da  et  -^  par  sa  valeur 

—  3^2,  il  vient 

/      X  ^  dr         v2 

(10)  _  =  Z^  _3e 

a  au        a- 

et,  en  tenant  compte  de  la  relation  (6), 

/    \  i  dx  ,  , 

(11)  -^_=.p,,  +  p(^  +  ,,.,)_2e,. 

On  a  immédiatement  l'intégrale  du  second  membre  et  l'on  trouve 

oc 

(12)  -  =  i[>iu  -^  ^(î^  -+-  ^2)4-  2^62]  +  const. 

171.   Nature  de  l'argument.  —  Voyons  comment  doit  varier  u 
pour  que  j'  et  4/  i  —  (C  ^  +  D  j"  soient  tous  les  deux  réels. 
La  relation  déjà  établie 

a  du  =  Cl  ds 

montre  que  u  est  nécessairement  imaginaire.  Posons 

u  =  h  -h  it, 

h  et  t  désignant  des  quantités  réelles. 
On  a  trouvé,  en  faisant  l'inversion, 

et  il  en  résulte 


\/^-(G'^-Dj'=,-G[p(/.-i-iO-p(a)2-/*-.7)]. 

D'après  cela,  p(^M..,-\-  h  ^  it)  doit  être  la  quantité  imaginaire 
conjuguée  de  p{h  +  it),  on  doit  donc  avoir 

p ( C02 -T-  h-~  it)=z  p(^h  —  it) 
et  par  suite 

iM-i-r-  h  -\-  it  =±i{h  —  it ) 4-  2  m coi  -i-  2 ^  w^, 
A.  ET  L.  ,8 


5174  CHAPITRE    IX. 

m  et  n  désignant  des  nombres  entiers.  Si  l'on  prenait  le  signe  +, 
h  disparaîtrait  et  t  ne  pourrait  varier  d'une  manière  continue.  En 
prenant  le  signe  — ,  l'égalité  devient 

•?.h  H-  0^2=  m(o)2 —  ^2)-+-  n{(ii2-i-  ojj); 

le  premier  membre  étant  réel,  il  faut  que  n  =  m  et  Ton  trouve 
alors 

Il  suffit  de  donner  à  m  les  valeurs  o  et  1 .  Pour  m  =  o,  w  +  — 

.••T\  '^•^'îi.l  l 

est  purement  imaginaire.  Pour  m  =  i,  u-\ =  n  est  plus  purement 

imaginaire  ;  mais  ce  cas  se  ramène  au  précédent,  à  cause  de  la  for- 
mule 

On  aura  donc,  en  résumé,  à  prendre  pour  u  des  valeurs  de  la 
forme 

(i3)  u  =  —  —  -r-it, 

t  étant  une  variable  réelle. 

Remarquons  de  suite  que  l'égalité 

a  du  =  Cl ds 
devient 
/i^\  a  dt  =^  C  ds. 

172.  Expressions  de  ^  et  de  jK.  —  Remplaçons  u  par  sa  valeur 
en  fonction  de  t  dans  les  relations  (12)  et  (4);  il  vient 


(i3) 


l- '-K^^-^Kt -'■')]— - 


en  supposant  Taxe  des  y  choisi  de  façon  que  ^  —  o  pour  t  ^  o, 
puis 

^'^>  a-~      /      C.2        .A 

Cette  valeur  de  y  peut  s'écrire  successivement  en  se  servant  des 


APPLICATIONS    DIVERSES.  ^76 

relations  (65)  et  (64)  du  n°  44 


^  =  ,(.-^)-:(.-.^)-.A, 


^'^^  -^—--7: ^^ 

A,  j^'o  désignant  des  constantes  et  j^o  étant  la  valeur  que  prend  y 
pour  t  =:  o. 

173.  Intervalle  dans  lequel  il  suffit  de  faire  varier  t.  —  En 
tenant  compte  de  la  périodicité  des  fonctions  de  t  qui  figurent 
dans  les  expressions  de  x  et  de  y,  cherchons  dans  quel  intervalle 
il  suffît  de  faire  varier  la  variable  réelle  t. 

Quand  on  change  t  en  t -^  ~~^*y  ^^  change  pas,  ^augmente 

de  la  quantité  constante  /\h  définie  par  l'égalité 

(18)  —  =  i{r/^-^ei(o\)=  i(T^3—  r^i-h  e^oj'j), 

OÙ  Ton  a  posé 

Il  suffit  de  faire  varier  ^  de  /©  à  to-\-  ^-^'  Si  Ton  change  t  en 
—  t.  y  ne  change  pas,  x  change  de  signe.  Donc  si  l'on  faisait 
varier  tàe 4  à  h ^^  la  branche  de  courbe  ainsi  obtenue  serait 


svmétrique  par  rapport  à  Oy,  il  suffit  de  faire  varier  i  de  o  à  -4» 
On  peut  encore  restreindre  cet  intervalle;  soient  t^  et  t,  deux 
valeurs  de  t  avant  pour  demi-somme  -A 

fi=  — 4  H-T,  /,=  — I  — -; 

7.1  '  IL 

soient  x^ ,  y^  et  Xo,  y  y  les  coordonnées  des  points  correspondants, 

on  a 


276  CHAPITRE    IX. 

h  étant  la  constante  définie  par  l'égalité  (18).  Donc,  si  l'on  faisait 
varier  ^  de  o  à  -4,  la  branche  de  courbe  ainsi  obtenue  aurait  pour 
cenlre  le  point  j^=  o,  ^=  /i  :  il  suffit  de  faire  varier  ^  de  o  à  — .  • 
Considérons  les  points  de  la  courbe  qui  correspondent  aux  va- 
leurs extrêmes  de  cet  intervalle  f  o,  —.]'  Pour  ^=^on  a  y  =  o 

\   ^  Il  /  Il  "^ 

d'après  la  formule  (16)  et 

ou  h  - 

—  —  i{Z,ois —  b^^i-H  ^2^2)  =  — j 

d'après  la  formule  (i5).  Ce  point jk  =  o^  œ  =  h  est  le  centre  dont 
nous  venons  de  constater  l'existence.  Ce  point  est  en  même  temps 
un  point  d'inflexion,  comme  cela  résulte  de  la  formule 

T  _     Cy 

Pour  ^  =  0,  on  a  ^  =  0  el  y  =yQ.  Cherchons  la  tangente  au 

point  correspondant  de  la  courbe.  Si  l'on  fait  11  = +  ù  dans 

les  égalités  (7)  et  (i  i),  elles  deviennent 


,'  i  dv       .r    /a).>       .  \ 


-^   -^-   It 


I  d.v 


I  a.v  /       W2        .  \  /  w,        .  \  „      „ 


On  voit  que,  pour  t^=o,  -j-  est  nul  et  -y--  est  égal  à  2  (  j3-^  — J3t02 

quantité  plus  grande  que  zéro.  Donc  la  tangente  est  parallèle  à  Ox, 
c'est-à-dire  à  la  direction  de  la  force  élastique  ;  de  plus,  comme  Oy 
est  un  axe  de  symétrie,  le  point  correspondant  à  ^=  o  est  un 
sommet. 

174.   Construction  de  la  courbe.  —  Supposons  maintenant  que  t 
croît  de  o  à  — 7  •  A  cause  de  l'éealité 


9_l 


C  ds  =  a  dt. 


APPLICATIONS    DIVERSES. 

S  va  constamment  en  croissant.  L'égalité 


277 


y—.ro 


p{^t)—p 


montre  que  y  va  sans  cesse  en  décroissant;  nous  avons  déjà  re- 
marqué que  y  pari  de  yo  pour  arriver  à  zéro;  il  en  résulte  que  yo 
est  positif  et  que  la  valeur  absolue  de  j  décroît  constamment. 
Pour  voir  comment  varie  x  reportons-nous  à  l'égalité  (20)  qui 


dx 


donne  la  valeur  de  -j--  Puisque  la  valeur  absolue  de  y  va  sans 


dt 


dx 


cesse  en  décroissant,  il  en  est  de  même  de  -^-  Pour  ^  =  0,  Ja  va- 


dx 


leur  de  -j-  est  positive;  pour  t  =  ^,  y 


étant  nul,  -j-  est  égal 


dx 


à  —  3^2.  Donc  si  l'on  a  e2<o,  ^-  est  constamment  positive,  si 
l'on  a  c'.>>  o,  —  décroît  constamment  depuis  une  valeur  positive 
jusqu'à  une  valeur  négative  et  change  une  fois  de  signe  dans  l'in- 
tervalle (o,  — .  )•  En  faisant  varier  t  au  dehors  de  cet  intervalle, 
on  a  des  arcs  de  courbes  se  déduisant  du  précédent  par  symétrie 
par  rapport  à  Oy  et  par  rapport  à  des  centres  situés  sur  O^  ayant 
pour  abscisses  d=  /i,  dz  2/i,  .  .  . ,  ±  nh- 

Nous  pouvons  maintenant  reconnaître  la  forme  de  la  courbe  en 
supposant  successivement  que  e-,  est  négatif,  nul  ou  positif. 

Fis.  21.  Fig.  22.  Fig.  23. 


Ces  trois  cas  conduisent  aux  formes  des  ^^.  21,  22  et  28.  Dans 


278  CHAPITRE    IX. 

\dijig,  i4  (I),  p.  184,  on  a  représenté  seulement  nn  arc  tel  que 
Tare  a\  ba^  de  X-àfig.  21.  Dans  ces  nouvelles  figures  nous  suppo- 
sons l'axe  OjK  horizontal. 

II.  —  Prisme  droit  chargé  debout. 

175.  Énoncé  de  la  question.  —  Une  verge  élastique  droite,  dans 
son  état  naturel,  est  encastrée  verticalement  à  l'une  de  ses  extré- 
mités Mq.  L'autre  extrémité  M<  supporte  un  poids  P.  On  demande 
la  forme  de  la  verge  élastique  dans  la  position  d'équilibre. 

Ce  problème  est  un  cas  particulier  du  précédent.  Dans  le  cas 
actuel,  il  n'y  a  pas  de  couple  appliqué  en  M,  :  le  moment  fléchissant 

en  ce  point,  -  est  donc  nul,  p  est  infini;  le  point  M,  est  un  point 

d'inflexion.  Au  même  point  Mi  la  force  élastique  est  directement 
opposée  au  poids  P  :  elle  est  donc  verticale  et  dirigée  de  bas  en 
haut.  En  Mo,  d'après  la  façon  dont  la  tige  est  supposée  encastrée, 
la  tangente  est  verticale,  et  par  suite  parallèle  à  la  force  élastique. 
D'après  ce  que  nous  avons  vu  n°  173,  le  point  Mo  est  un  sommet 
tel  que  a  {fig'  21,  22,  28). 

On  pourra  donc  prendre  les  valeurs  suivantes  du  paramètre  t  : 

t  =  o,  pour  le  point  Mo, 

t  =  {2n-\-i) — =■}       pour  le  point  Mj, 

n  désignant  un  nombre  entier  et  positif.  Soit  l  la  longueur  de 
l'arc  MqMi;  puisque  ds 

(I) 

Écrivons  maintenant  que  la  force  élastique  est  égale  et  direc- 
tement opposée  au  poids  P  et  rappelons-nous  que,  en  mettant  le 
problème  en  équation,  nous  avons  posé  (n^  126) 

j^  _  2G  _  T 
c2  ~  «2  —  B  • 

Nous  trouvons  comme  nouvelle  condition 


— 

Cl 

G 

dt, 

,  on 

devra 

avoir 

/ 

2n  -h  i 

w'. 

a 

"" 

G 

2  i 

APPLICATIONS    DIVERSES.  279 

carT,  qui  est  constant  tout  le  long  de  la  fibre  moyenne  du  prisme, 
est  ici  égale  à  P. 

176.  Nombre  de  solutions.  —  Entre  les  deux  égalités  (i)  et  (2) 
éliminons  a  et  remplaçons  G  par  sa  valeur 

-=  •2/(6,-61  )(e2— 63), 
nous  trouvons  la  condition 

(3)  P/2  =  (2/1-Vi)'^B/'y    )V(<?2-^l)(e2-^3) 

qui  ne  dépend  plus  que  des  éléments  elliptiques  et  des  données 
numériques  qui  définissent  l'expérience.  La  discussion   de  cette 
égalité  nous  conduira  au  nombre  des  solutions  du  problème. 
Cette  égalité  peut  s'écrire 

Or,  nous  avons  vu  (n*^  J38)  que  l'on  a 


k\  étant  une  quantité  réelle  comprise  entre  o  et  i ,  et  p  ayant  pour 
valeur 

p  =  y/(e2  —  e,)(e, —  63  ), 

comme  on  le  voit  en  multipliant  membre  à  membre  les  expressions 
de  <^o  —  (?,  et  e-i  —  ^3  du  n°  138.  Le  deuxième  membre  de  Téqua- 
lion  (4)  est  donc  le  carré  de  l'expression 


i 


d'o 


qui  est  supérieure  à  1,  car  elle  croît  constamment  de  i  à  oc 
quand  A,"  croît  de  o  à  i .  D'après  cela,  l'équation  de  condition  (4) 
donne  pour  A','  une  seule  valeur  comprise  entre  o  et  i  si  l'on  a 


•280  CHAPITRE    IX. 

OU  bien 

o/         /P 

>(2AlH-l). 


7t      V      ^ 


'Xl         /P 

Si  donc   —i/o  est  compris  entre  (2vH-i)   el  (2V  +  3),   en 
faisant  successivement 


on  aura  v  équations  en  A*',"  admettant  chacune  une  racine  comprise 
entre  o  et  i  et,  par  suite,  il  j  aura  v  positions  d'équilibre.  Si 
l'on  a 


il  n'existe  plus  de  valeur  de  k'^  comprise  entre  o  et  i;  il  n'y  a  plus 
de  forme  d'équilibre  autre  que  la  ligne  droite.  Dans  ce  cas,  le 
prisme  droit  chargé  debout  est  en  équilibre  stable. 

II.  —  Courbe  élastique  plane  sous  pression  normale  uniforme. 

177.  Énoncé  et  mise  en  équation.  —  Il  s'agit  de  trouver  la 
figure  d'équilibre  d'une  verge  élastique  qui  dans  son  état  naturel 
était  de  forme  rectiligne  ou  circulaire  et  qui  est  soumise  à  l'action 
de  forces  définies  de  la  façon  suivante  :  A  chacune  des  extrémités 
de  l'élastique  agissent  une  force  et  un  couple^  en  outre,  sur 
chaque  élément  de  l'arc  agit  une  pression  normale  à  l'élément, 
contenue  dans  le  plan  de  la  fibre  moyenne  et  proportionnelle  à  la 
longueur  de  l'élément.  Pour  se  représenter  ces  données,  on  peut 
considérer  une  chaudière  cylindrique  et  la  verge  découpée  dans  la 
surface  de  cette  chaudière  par  deux  plans  perpendiculaires  aux 
génératrices  du  cylindre  et  très  voisins  l'un  de  l'autre.  Ce  pro- 
blème a  été  résolu  par  M.  Maurice  Lévy. 

Soient  Fq  et  Mo  la  force  et  le  moment  du  couple  qui  agissent 
sur  la  verge  à  l'une  de  ses  extrémités  Aq.  Si  l'on  coupait  l'élastique 
en  l'un  de  ses  points  A  il  faudrait,  pour  maintenir  l'équilibre,  intro- 
duire une  force  et  un  couple.  Soient  F  la  force  et  M  le  moment 
du  couple.  Pour  définir  avec  précision  la  pression  sur  un  élément 
d'arc,  comptons  sur  la  courbe  l'arc  s  à  partir  d'une  origine  fixe 
dans  un  sens  déterminé  et  rapportons  la  courbe  à  deux  axes  rectan- 


APPLICATIONS    DIVERSES.  281 

gulaires  Oj;  et  Oy.  Soient  5,  l'arc  qui  correspond  à  un  point  A, 
de  la  courbe,  ds^  un  élément  d'arc  compté  à  partir  de  ce  point, 
a,  l'angle  que  fait  Ox  avec  la  tangente  en  A,,  cette  tangente  étant 
menée  dans  le  sens  où  l'arc  va  en  croissant. 

La  pression  qui  s'exerce  sur  l'élément  dSi  a  pour  intensité  p  ds^ , 
p  désignant  une  constante  :  nous  la  regarderons  comme  positive 

lorsqu'elle  s'exerce  dans  le  sens  a,  -+- -  de  sorte  que  ses  projec- 
tions sur  les  deux  axes  sont 


ou  bien 
ou  bien 


p  dsi  cos  (  ai  H-  -  1  )  /?  <^5i  sin  (  ai  H-  -  j 

—  p  dsisinii,     /?  <r/5i  cosai, 
— P  dyi,     p  clxi. 


Exprimons  que  les  forces  agissant  sur  l'élément  AqA  se  font 
équilibre. 

Nous  écrirons  d'abord  que  la  somme  des  projections  des  forces 
sur  chacun  des  deux  axes  est  nulle.  Nous  avons,  en  désignant 
par  X,  Y  les  projections  de  F,  par  Xq,  Y©  celles  de  Fq, 


X-^Xo—     pdyi  =  o, 
Y  -i-  Yo  --     p  dxy  =  o. 


Ces  égalités  peuvent  s'écrire 

(  Y  =—p{x  —a), 

en  désignant  par  ^,  y  les  coordonnées  du  point  A  et  par  a  et  6 
des  constantes.  Elles  expriment  que  la  perpendiculaire  menée  en  A 
à  la  direction  de  la  force  va  passer  par  un  point  O'  de  coordonnées 
a  et  Z>,  qui  reste  fixe  quand  on  fait  varier  la  position  du  point  A. 
Ce  point  se  nomme  centre  des  forces  élastiques. 

Nous  prendrons  ce  point  O'  comme  nouvelle  origine  en  trans- 
portant les  axes  parallèlement  à  eux-mêmes.  Alors  les  projections 
de  F  deviennent 

X=py,        Y=^-px, 


28?.  CHAPITRE    IX. 

et  son  moment  par  rapport  au  point  O'  est 

on  a  ainsi  l'intensité  et  le  sens  de  la  force  F. 

Nous  allons  écrire  maintenant  que  la  somme  des  moments  par 
rapport  au  point  O'  est  nulle.  D'après  la  théorie  de  l'élasticité,  le 
moment  M  du  couple  qu'il  faut  joindre  à  la  force  F  pour  avoir 
l'action  exercée  en  A  sur  l'arc  AqA  est  donné  par  la  formule 

(2)  M:=ml-  -    ' 


Po, 

m  désignant  un  facteur  constant  et  positif,  p  le  rayon  de  courbure 
en  A  dans  la  position  d'équilibre  considérée,  c'est-à-dire  —,  Oq  le 
rayon  de  courbure  au  point  A  dans  la  position  naturelle. 

D'autre   part,    le  moment  de  la  pression  s'exerçant  sur  l'élé- 
ment <i5),  ayant  pour  coordonnées  ^i,  jki,  est 

p(xi  dxi-i-yi  dyi)  =p^-^; 

les  moments  de  la  force  et  du  couple  correspondant  au  point  Aq 
sont  des  constantes.  On  a  donc,  en  écrivant  que  la  somme  des 
moments  des  forces  appliquées  à  l'arc  AqA  est  nulle, 

771 1 \—pr^^R    /      dr^  =  const., 

\?         po/       ^  ij,,^  ^ 

ou,  en  modifiant  la  valeur  de  la  constante, 

(3  )  m( )  —  /?/-2  +  £— -  —  const. 

\  P  po  /  2 

L'égalité  résolue  par  rapport  à  -  est  de  la  forme 

(4)  -=4Ar2+4B, 

A  et  B  désignant  des  constantes.  En  particulier  A  =  — .  de  sorte 
°  '^2  ni 

que  A  est  positif;  B  peut  avoir  un  signe  quelconque;  les  coefficients 

numériques  ont  été  mis  pour  simplifier  l'écriture  dans  les  calculs 

suivants. 

Cette  égalité  peut  être  considérée  comme  une  équation  difl'é- 

rentielle  définissant  la  courbe  élastique 


APPLICATIONS  DIVERSES.  283 


178.  Tableau  de  formules.  {Courbe  élastique  sous  pression  normale 

constante.) 

I 


(4)  -3=4A/-^-+-4B, 

(5) 


.    ^i:^^ 


0  /•  dr 


(6)  ______-:  2  A  r2-l-2B, 

(n\  r-^—  =  Ar*-f-2Br2-+-C,  ds'- ^  dr-^ -\-  r^  d^'- 

'  '  ds 

(8)  1  (^)'  =  ,-2_  (Ar^+  2B;-^-  G)2, 

^6        Ar^-^2B/-2+G 


(9) 

(lO) 

(II) 


ds  /•- 

I  p'u-p'v 


1    pu  —  pv 
p"v  —  izip'v  =  i[pu  —  pv][]i{u-\-v)--pv], 

(12)         Z  ^-  {z'^--ipvy--i{p"v  —  -izp'v)  =  {pu  —  p{u-^v)]\ 
(i3)  2(p"r-2.-p'p')  =  r2. 


B  .  B^-AC 


(i4)  P"^"=T6Â'        P"^^-^'        ^P'  A      ' 

on  supposera  o  <ii>  <i  M,         pv-y-ei,         pV  <  o,         p"i- >  o. 

(i5)      /•^-(A/--Br2--G)23=-[p«-p(«-^p)]2  =  -(^i^ 

i  ds 
(i6)  fl^î*  =  — r-' 

•2p  P 

(17)  Ar'-i-2B/-2-^C  =  [p?<  — pp]-f-[p(«  -i-P)  — pp]. 

.  o?0  p'p  p'p 


(.8) 


du        pu  —  pv        p{u^i^)  —  pi^ 


(19)  —ii-—^       yja^ç)     _  r(;^,  _  (;)  _  2^r 

(21)  if  =— -^  -  tV, 

(22)  r^-  =  [p(l^  '>)  -  P^]  [P  (-'  -  ^■^)  -  P^ 


^84  CHAPITRE    IX. 

179.  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques.  —  Nous  allons 
d'abord  établir  une  formule  donnant  le  rajon  de  courbure  d'une 
courbe  définie  eu  coordonnées  polaires 


.  4-S) 


p  r  dr 

On  a,  en  effet,  en  désignant  par  a  l'angle  de  la  tangente  avec 
O^  : 

/•2  d^  ■=,  X  dy  —  y  dx, 

r-  -^  =■  X  sin  a  — y  cos  a, 

d   /dQ\        ^  .       ,  c/a        /     d.v  dy\    i  dr        i 

ds  ['■ds)  =  (^cos.+^sm.)-^  =  ^._  +^-^j  -  =,._  X  -, 

ou  enfin 

dira- 
is) '-.        ^      ''' 


p  r  dr 

D'après  cette  formule,   l'équation    différentielle  de   la  courbe 
peut  s'écrire 

(6)  _A___|i4-  =  .2A/''^+2B. 

En  intégrant  et  en  désignant  par  G  une  nouvelle  constante 

(7)  r^^  =Ari-+-2Br2+C. 

ds 

En    élevant  au  carré  les  deux  membres  de  cette  égalité  (7)  et 
en  nous  servant  de  la  formule 


ds^=^  dr^- -^  r^- dO^- 


nous  pourrons  éliminer  d^.  Nous  trouverons  ainsi  l'équation 


T    /  //r2  ^  '2 

(8)  --(_^j=,.,_(A,.-..B.^+C)^ 

qui  définit  r^  comme  fonction  elliptique  de  l'arc  s.  L'angle  8  est 
ensuite  déterminé  par  la  formule 

(9)  _  =  ___^_^ 


APPLICATIONS    DIVERSES.  285 

On  définit  ainsi  les  coordonnées  polaires  /'  et  9  d'un  point  de  la 
courbe  en  fonction  de  la  variable  s.  Le  calcul  effectif  est  dû  à 
Halphen. 

180.  Inversion.  —  On  a  vu,  en  étudiant  l'inversion  (n"  1^7), 
que  si  l'on  pose 

(,o)  .^'-SU^^Pll, 

2     pU  —  pV 

on  a 

\    p"v  ~'2Zp'v  =  Q.[pu  —  pv][p(u-^v)-pi,]^ 

I      z'-—3pv=(pu  —  pç)-h[p{u^v)-pi^], 
de  sorte  que 

(12)  Z  ={Z'-  —  3  pvy—  l{p"  V  —  2Zp'  ç)  =  [p  U  —  p(u  -\-  ç')]2, 

et  par  suite  :?  et  y/Z  s'expriment  en  fonction  uniforme  de  u. 
Si  l'on  pose 

(13)  2(p"fr.'  —  2^pV)=/-2, 

le  polynôme  Z  se  ramène  à  la  forme 

et   pour   identifier    ce    polynôme    en    /-    avec    celui   qui    donne 
—  -  (  —7-  j    (éq.  8)  il  suffît  de  poser 

A'=A,        B'=B,         G'=G. 
Le  calcul  n'offre  aucune  diffîculté  et  l'on  trouve 


lôp'^r  Sp'-^ç  \2p'r 

ou,  en  résolvant  par  rapport  à  pt^,  p' v,  p" ç^ 

^^4)  ^-^'=76Â'         P^=-^'  ^^"■  =  — A 

Si,  dans  les  relations  qui  existent  entre  pc,  p'  ç  et  j3"r,  on  rem 
place  ces  quantités  parleurs  valeurs  tirées  de  (i4)  on  aura  g. 2  et  « 
Nous  supposerons  les  données  choisies  de  façon  que  le  discrimi- 
nant soit  positif;  les  valeurs  de  pv  et  de  p' i'  sont  réelles  puisque  A 
est  positif  et  l'on  peut  arbitrairement  choisir  le  signe  de  p' v.  Nous 


3- 


'i86  CHAPITRE    IX. 

examinerons  seulemenl  le  cas  où  v  satisfait  à  la  condition 

O  <  P<  w, 

de  sorte  que  l'on  a 

P^>ei,        p't'<o,        p'V>o. 

Les  éléments  elliptiques  étant  ainsi  fixés,  on  a,  en  tenant  compte 
des  égalités  (i2),(i3)et(io), 

(l5)  /•2__(A/'i-|-2Br2  4-C)^-=:-[p?<-p(a-r-(^)]2. 

11  en  résulte 

Mais  le  premier  membre  est  égal  à  -  (-4-)  d'après  l'équation  dif- 
férentielle de  la  courbe  (éq.  8)  :  le  second  membre,  d'après  la  re- 
lation (  i3),  est  éeral  à  —  f  -r-  )     ,.    ,.    ;  on  a  donc 

(i6)  du        ^'^^ 


:>.p  V 


Cette  égalité  montre  comment  est  liée  à  l'arc  s  la  variable  u  que 

nous  allons  garder  comme  v^ariable  indépendante. 

INous  avons  déjàr-  en  fonction  de  ^^  au  moyen  des  relations  (i3) 

et  (il);  pour  avoir   9  il  suffit  de  remplacer/--  par  sa  valeur  en 

fonction  de  u  dans  le  second  membre  de  l'équation  (9),  c'est-à-dire 

dans 

Ar4-|-.>B/-2-4-C 
ri 

On  a  d'abord,  en  tenant  compte  des  relations  (i3)  et  (i4)i 

puis,  en  se  servant  de  l'une  des  relations  (11), 

(17)  ArV-i- '2  6^2-4- G  =(p^^_pp)  +  [p(^^-f.p)_p^;]. 

U  est  facile  maintenant  d'obtenir  en  fonction  de  u  l'expression 


APPLICATIONS    DIVERSES.  287 

de  -^;  on  trouve  successivement 
au 

21    d^  _  (pii  —  pi>)-h\p(u-^v)—pi'] 
p'v  du~     {pu  —  pv)[p{u^v)-pv] 

.  c?6             p' V                       p' V 
(18)  2t--,-= ^- h— , 

du        pu  —  pv        p ( w  -^  t' }—  pv 

OU,  d'après  la  formule  du  n^  44 

([9)      —Qi-j-  =  ^(if-i-t')— ^(z«—  ^')— 2^p  +  ^(wH-2(')—  ^?^  —  '2^r. 

Nous  avons  ainsi  /•-  et  Q  en  fonction  de   u.  Réunissons  ici  les 
deux  équations  correspondantes,  en  appelant  E  une  constante  : 

ri=  \{pu  —pv)[p{u-^v)—pv], 


,  j  i  ds 

( ^-o )     {     „ -^fi  fi  ^       X.      ,   y  'iu::(u  —  v)  du  =  — -  . 

[  ::'{u  -r-  V)  ij{u  -i-  -jn') 

181.  Nature  des  arguments.  —  L'expression  (16)  de  du  en 
fonction  de  <^<>  montre  que  u  est  certainement  imaginaire.  D'autre 
part,  pour  que  /•-  soit  réel,  il  faut  que  les  deux  facteurs  dont  le 
produit  donne  r-  soient  ou  tous  deux  réels  ou  tous  deux  ima- 
ginaires conjugués;  voyons  s'ils  peuvent  être  réels.  Si  une  valeur 
imaginaire  de  u  rend  pu  réel,  elle  est,  à  des  périodes  près,  de  la 
forme  ix  ou  w  +  ix^  x  étant  une  valeur  réelle  ;  mais  les  valeurs  de 
cette  forme  ne  rendent  pas  réel  p{u  -h  v)  ;  elles  sont  donc  à  rejeter. 
Il  reste  à  exprimer  que  J3W  et  j3(«  +  v)  sont  imaginaires  conjugués. 
Soit  u^  a-\-bi.  D'après  la  formule  d'addition  donnée  (n*^  4o) 
pour  la  fonction  jdw,  les  deux  valeurs  j3(«  4-  hi)  et  j3(rt  —  hi) 
sont  imaginaires  conjuguées  :  il  faut  donc  que  l'on  ait 

u  -^  V  =  dz (  a  —  bi^  -i-  2  ni  to  -7-  2  n  w', 

m  et  11  désignant  des  nombres  entiers,  et  en  égalant  les  parties 
réelles  dans  les  deux  membres 


On  ne  peut  pas  prendre  le  signe  -f-  puisque  v  n'est  pas  un  multiple 
de  2(o;  il  faut  donc  que  l'on  ait 


'288  CHAPITRE    IX. 

ce  qui  donne 

a  =  —  -  ou  a  = h  w. 

2  2 

Nous  examinerons  seulement  le  premier  cas  et  nous  poserons 

(21)  w  = it, 

t  étant  une  variable  réelle;  de  sorte  que  l'on  aura 

du  =  —  i  dt^ 

et  comme  on  a  trouvé  (éq.  16) 

,  i  ds 

du  =  — ,    , 

on  a  aussi 

dt  ^= —  ds, 

^ V  étant  négatif,  dt  a  le  même  signe  que  ds. 

182.   Intervalle  dans  lequel  il  suffit  de  faire  varier  t.   —  La 
première  des  formules  (20)  montre  que  r-  ne  change  pas  quand 

on  change  u  en  u-^-iiù^  ou  bien  ^  en  ^  -j-  ^  .  D'autre  part  -^  est 

i  ^         du 

une  fonction  rationnelle  de  i-\  il  en  est  de  même  pour  —  •  Il  en 
résulte  que,  pour  une  valeur  donnée  de  dt^  la  valeur  de  d^  ne 
change  pas  quand  on  change  ^  en  ^  +  '-^r-  et,  par  suite,  que  l'ac- 
croissement de  9  est  le  même  quand  on  fait  varier  ^  de  o  à  ^,  ou 
bien  de  — r-  à  ^ — h  ^<  •  Si  donc  on  a  construit  la  branche  de  courbe 


obtenue  en  faisant  varier  ^  de  o  à  ^^  et  si  on  la  fait  tourner  d'un 

i 

angle  égal  à  l'angle  des  rayons  extrêmes,  on  aura  la  branche  de  la 
courbe  décrite  quand  t  varie  de  -—  à  — .— • 

^  L  l 

D'après  cela,  il  suffit  de  faire  varier  ^  de  o  à  ^-;  mais  on  peut 
restreindre   cet   intervalle    En  faisant   u=.  —  ~-^it   dans   l'ex- 


APPLICATIONS    DIVERSES.  289 

pression  de  /-  oq  trouve 

(22)       T  "  K^  ""  '')  ~  ^"'l  [^  [l  ~  '0  "^""l' 

et  l'on  vérifie  aisément  que  /-   prend  les  mêmes  valeurs   pour 

co'  ,  to'  , 

^,  =  —  4-  Ai  et  pour  t■^  =  --  —  h. 

D'autre  part,  pour  un  même  accroissement  dh  les  accroisse- 
ments dt^  et  dt2  sont  de  signes  contraires;  les  accroissements 
correspondants   d^^    et   c^Qo  sont  égaux  et  de    signes   contraires 

puisque  ^^r  ne  dépend  de  t  que  par  l'intermédiaire  de  r-.  Donc 


dt 

to'   ,  to' 

-:-  a  — 

L  i 


les  accroissements  que  prend  9,  quand  on  fait  varier  ^  de  —  à  ^  +  A 

j      to'    ,    to'  ,  ,  ,         .  .  ^  , 

puis  de  —  a  —  —  li,  sont  égaux  et  de  signes  contraires,  i.a  courbe 
est  symétrique  par  rapport  au  rayon  qui  correspond  à  t  z=^,  et  il 
suffit  de  faire  varier  ^  de  o  à 


to 

i 
,   to 


entre  r'^  et  ^,  on  a 


183.  Variation  de /-s .  —  En  tenant  compte  de  la  relation  (i3) 

i 

.    ,     dz  cl   /  i  p'ii  —  p'p\ 


du 
ou  bien 


et,  comme  on  a  posé  u=^ it 

dr-i 


dt    -^ 


^^y4p(i-^'0-K^~^'0]' 


Cherchons  les  valeurs  de  t  qui  annulent  le  second  membre.  Pour 
l'une  de  ces  valeurs,  on  doit  avoir,  à  des  périodes  près, 


5 -^''^^(i -'■')' 


Le  signe  —  est  à  rejeter,  puisque  r  n'est  pas  un  multiple  des 
périodes,  et  par  suite 

•2  it  =  2  m  oj  -^  Q.  n  to', 

A.    ET    L.  ig 


290  CHAPITRE    IX. 

m  el  n  désignant  des  nombres  entiers.  Gomme  it  est  purement 
imaginaire 

it  =  nix)'  ; 

les  seules  valeurs  de  t  appartenant  à  l'intervalle  (o,  -^j  qui  an- 

nulent  —7-  sont  donc  les  valeurs  extrêmes. 
dt 

Pour  reconnaître  celle  de  ces  valeurs  qui  correspond  à  un  maxi- 
mum, prenons  la  dérivée  seconde 


^''■'=_4pv[p'(^  +  ,7).-p'(^-,.)]. 


dt'^ 


Pour  ^  =  o,  le  second  membre  se  réduit  à  —  Sp' vp  -;  il  est  négatif 

puisque  ç  et  -  étant  compris  entre  o  et  w,  p  ç  et  p  -  sont  tous  les 
deux  négatifs;  c'est  donc  1  =  0  qui  correspond  au  maximum. 
/*-  décroît  constamment  quand  avarie  de  o  à  —  •  Nous  désignerons 
par  ri  et  r^  les  valeurs  de  ;--  qui  correspondent  à^=:oetà^=— • 


184.  Variation  de  l'angle  polaire.  —  Dans  la  formule 

ds 
remplaçons  ds  par  —  2p'çdt,  elle  devient 

L_  A.2^^  =  A/-i+2Br2-l-C; 

2pv\      dt/ 

le  trinôme  A/''*+  ^B/'^-i-  G  a  ses  racines  réelles,  puisque,  d'après 
l'une  des  relations  (14)5  AG  —  B-  est  du  signe  depç^  et  que  pç 
est  positif.  Voyons  d'abord  combien  ce  trinôme  a  de  racines  com- 
prises entre  i^l  et  /-J. 

L'égalité  (17),  où  l'on  remplace  11  par h  it,  devient 


k  r'*  -^  2B  r"^  -^  C  =  p  I-  -h  itj  -\-  p  ( it\ 


2pp. 


APPLICATIONS    DIVERSES.  291 

En  V  faisant  successivement  t  =  o  puis  t  =  -.-  on  trouve 

^    r  \ 

La  différence  p p^^  est  positive,  puisque  pu  décroît,  quand 

Il  croit  de  o  à  to;    la   différence  p( — r  ^j  —  p^'    est  négative, 
puisque  pi — h  to'j  est  compris  entre  e^  et  e^  et  que  pi^  est  plus 

grand  que  ei.   Donc  r^  et  r]  comprennent  une  seule  racine  du 
trinôme. 

Quand  t  varie  de  o  à  —  >  /--  décroît  constamment  de  /-J  à   r";', 

-y-  change  une  seule  fois  de  signe.  Gomme  A  est  positif  et  p' ç  né- 
gatif, on  voit  que  l'on  a 


en 


désignant  par  f -7- j   et  ( -7- j   les  valeurs  de -y- qui  correspondent 


a^  =  oeta^=  — 
i 


I80.  Angle  des  rayons  allant  à  deux  sommets  consécutifs.  —  Il 
nous  sera  utile,  pour  étudier  la  forme  de  la  courbe,  de  <:onnaître 
Tangle  des  rayons  correspondant  aux  valeurs  extrêmes  de  l'inter- 
valle (o,  —1  dans  lequel  nous  faisons  varier  t;  cet  angle  est  la 
moitié  de  l'accroissement  que  prend  8  quand  t  varie  de  o  à 


2C0 

i 

2(t)' 

i 


Nous  allons  faire  le  calcul  en  supposant  que  t  varie  de  ^0  à  ^0  4-  - 
Dans    la    formule    (19)    qui    donne  -r-»    faisons    ?/ rz= it 

et  dii^  —  idt;  nous  obtenons,  en  tenant  compte  de  ce  que  "^u 
est  une  fonction  impaire 


(23) 


292  CHAPITRE     IX. 


Faisons  mainlenant  varier  ^  de  ^o  à  ^o  +  ~^  et  désignons  par  2  '| 
l'accroissement  de  9,  nous  aurons 


Le  second  membre  se  simplifie  beaucoup,  si  l'on  se  sert  d'une 
formule  à  laquelle  nous  serons  conduits  en  cherchant  à  évaluer 
une  intégrale  de  la  forme 


7o      '""' 


I  <;{a-hit)di, 


■1  étant  une  quantité  réelle  lelle  que  l'on  ait 

o  <  a  <  2a>. 
i  î  fonction  sous  le  signe  somme  est  la  dérivée  de 


intégrale  définie  est 


-  Lor 


i  a'  (  a  -h  f^o  ) 

D'après  la  relation  (22)  du  n"  21  on  a 


el,  par  suite, 


=  —  Qi-f]'{a-hit^-i-(x>') 


^'^S        o'Ia  +  .-T;;!-"  =  27)  (a  +  .^0+  to  )  +  (.n  +  .)  .r, 

/i  étant  un  nombre  entier  qui  n'est  pas  déterminé   par  le  calcu 
précédent.  On  en  conclut 

(25)  /  i:(«-|-  i'O^^  =    — ^-«  +(2«  +  1)71  -f-  ^(i7o+  W'). 


APPLICATIONS    DIVERSES.  298 

Dans  cette  égalité  cliangeons  i  en  —  i  en  remarquant  que  — 

el  Ar  sont  réels,  il  vient 
i 

^        2tO' 

r        '    Ç(a  —  i7)<^^  =  ^«-+-(2/1  ^i)~— ^(tVo-h  w'), 

puis  ajoutons  membre  à  membre  les  égalités  (20)  et  (26),  nous 
obtenons  la  formule  qu'il  s'agissait  d'établir 

(27)      -    f        '    [Z(a-hit)-i-l{a  —  it)]dt  =  ^a-^(in-r-\)^. 

Mais  il  reste  à  déterminer  le  nombre  entier  n.  Cette  détermina- 
tion est  facile  quand  a  =  w.  En  effet  la  fonction  sous  le  signe 
somme  est  égale  à 


p{a)~p{it) 


pour  <7  =  co,  elle  se  réduit  à  2^03,  c'est-à-dire  à  2r,  ;  l'égalité  précé- 
dente devient 


<2, 

-7  (t,w' —  wt/)  =  (2/l  H-  i)7r, 


et  l'on  en  conclut  /?  =  o.  Mais  quand  a  varie  d'une  manière  con- 
tinue entre  o  et  2to,  le  second  membre  de  l'égalité  (27)  varie 
d'une  manière  continue,  ii  ne  peut  changer.  Donc  n  =  o  pour 
toute  valeur  de  a  comprise  entre  o  et  2(0,  et  par  suite  l'on  a 


(28) 


1  'oH » 

{  o  <  a  <  2w. 


En  a})pliquant  la  formule  précédente  à  chacune  des  deux  inté- 
grales qui  figurent  dans  l'expression  de  d»,  nous  trouverons  enfin 


<|/  =  "TT :  (oj'îIC  ^"'i')- 


Cette  égalité  va  nous  permettre  de  trouver  le  signe  de  ^. 

Remarquons  que,  pour  ç  =  w,  'l  est  nul  à  cause  de  la  relation 


294  CHAPITRE    IX. 

Tjto'^  toT/=:  —  ;  puis  cherchons  comment  varie  'h  quand  ç  croît 
de  o  à  to.  On  a 

cette  dérivée  décroît  constamment  quand  ç  croît  de  o  à  co;  pour 
ç  =  li^  elle  est  égale  à 

^(ei(0   -4-  Y)   ). 

Or  nous  avons  trouvé  (n°  99) 


2-^  V'        g: 


■<7l 


/i  =  1,  3,  5,  ..., 
et  l'on  voit  que  l'on  a 

.  (ei  to'+ 7]')>  o. 

Donc  Y~  est  positive  pour  ç?  =  to  et  comme  c'est  une  fonction 

décroissante  dans  l'intervalle  (o,  oj),  elle  est  constamment  positive 
dans  cet  intervalle.  Il  en  résulte  que  <];  croît  quand  ^  croît  de  o 
à  (jl),  et  comme  ^  s'annule  pour  ç  =  tû^  on  a. 

tj;  <  o,  quand         o  <  p  <  to. 

Si  nous  comparons  maintenant  le  signe  de  'h  et  celui  de  ( -j-)» 

nous  voyons  que,  quand  t  croît  de  o  à  — — ?  l'angle  G  commence  par 

croître   mais   que  sa  variation    totale    est  négative.    Nous    avons 

trouvé  d'autre  part  que -7-  s'annule  en  changeant  de  signe  pour 

une  valeur  et  une  seule  de  l'intervalle  (o,  ^):  soit  ^' cette  valeur; 

la  discussion  peut  se  résumer  ainsi  : 

t  croissant  de  o  à  t' ^  0  va  constamment  en  croissant;  pour  t=t' 

le  rayon  vecteur  est  tangent  à  la  courbe;   t  croissant  de  t'  à^? 

l'angle  ô  décroît  plus  qu'il  ne  s'était  accru  quant  t  variait  de  o  à  t'. 


186.   Signe  du  rayon  de  courbure.  —  On  a  trouvé  en  commen- 


APPLICATIONS    DIVERSES.  ^gS 

çant  (éq.  4)  l'égalité 

i=4Ar2-f-4B, 

P 

le  second  membre  est  égal  à  deux  fois  la  dérivée  prise  par  rapport 
à  r'  du  trinôme  A/*' -H  2Br2_^  C,  et  d'autre  part  il  résulte  des 
calculs  faits  pour  l'inversion  [formules  (i3),(i7)  et(ii)]  que  l'on 
a  en  même  temps 

et 

Ar--\-iBr'~-\-  G  =  z'-—  3pv. 

Dérivons  par  rapport  à  /'-  les  deux  membres  de  la  dernière  égalité 

On  en  déduit,  en  remplaçant  :;  par  sa  valeur  (lo)  en  fonction 
de  u, 

I  1        p'  Il  —  p'  V 

p  ~'~  -^pV    pu  —  pv 

Voyons  comment  varie  le  signe  de  -  quand  t  varie  de  o  à  2  w'. 
/•2  va  sans  cesse  en  décroissant,  kr-  +  B  ne  peut  s'annuler  qu'une 
fois;  il  nous  suffira  donc  d'avoir  les  signes  des  valeurs  de  -  pour 

^  =  o  et  pour  t  =:  '^'^;  nous  désignerons  ces  valeurs  par  —  et  —  ; 
pour  ^  =:r  o 

p  — T-  p  V 
u— j  —  =  X  — —  > 

2  po  ^  2p   P 

pour   t  :—   -r 

"  2  ^'  ?l  [V  ,\  2p> 

Les  valeurs  de  —  et  de  —  peuvent  se  simplifier  si  l'on  se   sert 

de  la  relation 

VU\  ^  p' u\^  p'^iux) ^ 

p'Wl  P«l  —  P(2t<l)' 


296  CHAPITRE    IX. 

que  Ton  déduit  de  la  formule  d'addition 

pu—pui  pu—p{u^Ui)^ 

en  y  faisant  tendre  u  vers  Wi.  A  l'aide  de  cette  relation,  on  obtient 


(29) 


.'•(0 


pi 

'         2 


;^^:7(f:^^'('""> 


(^  étant  compris  entre  o  et  to,  pV  et  p'  -  sont  négatifs,  p"  -  positif; 
donc  on  a  déjà 


Po 


D'autre  part,  p'(^  +  w'j  étant  positif,  -  est  de  signe  contraire 


P[  ^  -f-w). 


Cette  quantité  peut  s'obtenir  en  substituant  p(-  -+-  to')  dans  1< 
polynôme  du  second  degré  en  pu 

et  l'on  trouve  aisément  que  l'on  aura 

p"(-Va.')<o, 
si  ç  satisfait  à  l'inégalité 

Mais  on  peut  poser 


/f  =P(« 


I 


a  étant  une  quantité  réelle  comprise  entre  o  et -(i;o;;' p.  io3,  n"  1 
l'inégalité  (3o)  peut  alors  s'écrire 


(^  +^'j>P(«  +  w'), 


APPLICATIONS    DIVERSES.  1*97 

et  comme  p(u  -+-  to')  croît  constamment  quand  u  croît  de  o  à  to, 
elle  peut  être  remplacée  par  la  condition 


v 

-  >  a. 

1 


Il  faut  donc,  quand  on  étudie  le  signe  de  la  courbure,  distinguer 
les  deux  cas  suivants,  en  remarquant  que  («  +  w')  désigne 
Fabscisse  du  point  le  plus  haut  de  l'ovale  dans  la  cubique  x  =z  pu^ 


o  <  P  <  2« 


St«  <  P  <  to 


I 

po 

>  0, 

<o, 

I 

?0 

>o, 

I 

>o. 

pi 


Il  se  produit  une  inflexion  de  la  figure  d'équilibre  quand  ^'  passe 
en  décroissant  par  la  valeur  2 a  et  il  est  facile  de  voir  que  l'in- 
flexion se  produit  au  point  donné  par  à  t  =  —-  En  eff'et,  la  va- 
leur correspondante  de  u  est 


to  =  —  a  —  0) 

•2 


et  la  valeur  correspondante  de  la  fonction  jd,  savoir 

p(a-f-co'), 

est,  d'après  la  définition  même  de  a,  racine  de  p"{u):  de  sorte 
que  —  est  égal  à  zéro,  dans  le  cas  particulier  v  =  ia. 

187.  Forme  de  la  courbe.  —  Nous  avons  supposé  que  v  satis- 
faite la  condition  o<r<<(0  et,  dans  l'étude  de  la  courbure,  nous 
avons  été  conduits  à  distinguer  deux  cas  suivant  que  l'on  a 

t^  <  2a        ou        ('  >  2a. 
Dans  les  deux  cas,  t  croissant  de  o  à  —  ?  l'arc  s  va  constamment 


298  CHAPITRE    IX. 

en  croissant,  le  rajon  vecleiir  va  constamment  en  décroissant  et 
les  rajons  extrêmes  correspondent  le  premier  à  un  maximum  et  le 
second  à  un  minimum  ;  l'angle  9  commence  par  croître  jusqu'à  une 
valeur  t' ^  pour  laquelle  le  rayon  vecteur  est  tangent  à.  la  courbe, 
puis  décroît  jusqu'à  une  valeur  initiale. 

Pour  ce  qui  regarde  la  courbure,  si  (^  >>  2<2  la  courbure  -^  est 

constamment  positive,  l'angle  a  correspond  au  sens  dans  lequel  s 
croît;  c'est  précisément  le  sens  dans  lequel  l'arc  de  courbe   est 

décrit  quand  t  varie  de  o  à  -^;  le  rayon  de  courbure  est  compté  à 
partir  de  la  courbe  dans  le  sens  a  -f-  -  • 

Si  (^<<  2 a  il  y  a  une  inflexion  et  si   ^'  diffère  peu   de  ia   le 
point  d'inflexion  est  dans  le  voisinage  du  sommet  qui  correspond 

a  ^  =  -7-- 
i 

On  a  alors  les  deux  formes  de  la  courbe,  représentées  par  les 

fîg.  24  et  20,  dont  la  première  correspond  à  t^>>2a  et  la  deuxième 

à   v<^ia.   On    a  représenté  par   un   trait   plus  fort  l'arc  décrit 

quand  t  varie  de  o  à  —  5  on  a  marqué  par  une  grande  flèche  le  sens 

de  la  pression  normale,  et  l'on  a  tracé  aux  points  a  et  b  des  flèches 
dont  le  sens  indique  la  direction  de  la  réaction  exercée  par  la 
verge.  Ce  sens  est  opposé  à  celui  de  la  force  extérieure  qu'il  fau- 
drait appliquer  pour  maintenir  l'équilibre  (Halphejv,  [).  220). 


Fig.  24. 


Fis:.  25. 


Sens  de  la  pression  normale.  —  En  mettant  le  problème  en 
équation  nous  avons  supposé  la  pression  comptée  dans  le  sens 

ot  +  -;  elle  est  donc  du  côté  de  la  convexité  dans  le  voisinage  du 


APPLICATIONS    DIVERSES.  299 

rajon  maximum  et,  s'il  y  a  inflexion,  du  côté  de  la  concavité  dans 
le  voisinage  du  rajon  minimum. 

IV.  —  Surfaces  homofocales.  Coordonnées  elliptiques. 

188.  Surfaces  homofocales  à  un  ellipsoïde  et  passant  par  un 
point  donné.  —  Étant  donnés  trois  axes  rectangulaires  Ox^  Oy^ 
Oz,  on  appelle  surfaces  homofocales  à  un  ellipsoïde 

X-       y-       Z'         _ 
les  surfaces  représentées  par  l'équation 


'A — s        b' — s 


dans  laquelle  s  désigne  un  paramètre  variable. 

Si  l'on  considère  celles  de  ces  surfaces  qui  passent  par  un  point 
donné  P(.ro,  jKoj  ^o)  on  a,  pour  déterminer  les  valeurs  correspon- 
dantes du  paramètre  5,  l'équation 


y'. 


Les  racines  de  cette  équation  se  séparent  aisément  en  substi- 
tuant dans  le  premier  membre  des  nombres  voisins  de  a-,  b'^^  c- 
et  des  nombres  très  grands  en  valeur  absolue.  Les  signes  des  ré- 
sultats de  la  substitution  et  les  places  des  racines  sont  indiqués 
par  le  Tableau  suivant,  dans  lequel  £  désigne  un  nombre  positif  et 
très  petit  : 

«■-<  b-<  cS 


Signes  . 
Racines, 


«2—  £       a'-^Z        :         62—  £        62 +£ 


Il  y  a  donc  trois  surfaces  homofocales  à  l'ellipsoïde  et  passant 
par  le  point  P.  La  racine  X  donne  un  ellipsoïde  réel,  la  racine  a 
un  hyperboloïde  à  une  nappe,  la  racine  v  un  hyperboloïde  à  deux 
nappes. 


3oo  CHAPITRE 


Les  trois  surfaces  bomofocales  à  rellipsoïde  qui  passent  par  un 
point  donné  se  coupent  ortliogonalement  en  ce  point. 

Soit  P(^,  r.  z)  le  point  donné,  les  normales  aux  deux  sur- 
faces X  et  [i.  qui  passent  par  ce  point  ont  des  cosinus  directeurs 
proporlionnels  à 


r 

r 
y 

z 

«  -  —  X  ' 

z 

a-^-li 

C^-fX 

La  condition  pour  que  ces  normales  soient  perpendiculaires  est 

^2  y-l  ^2  ^ 

Or,  en  retranchant  membre  à  membre  les  deux  égalités 

^2  r2  z'- 

a^—  A        ù'—A         C'—A 


x''-  y' 


a^ — fi.        b- — (j.        c- — |jt. 


o, 


et  en  supprimant  le  facteur  \ — pi,  on  trouve  la  condition  qu'il 
s'agissait  de  vérifier.  Donc  les  deux  surfaces  X  et  [jl  se  coupent 
orthogonalement  au  point  P.  On  peut  répéter  le  même  raisonne- 
ment pour  les  surfaces  X  et  v,  ou  |ji  et  v. 
Là  proposition  est  donc  démontrée. 

189.  Coordonnées  elliptiques.  —  On  peut  déterminer  un  point  P 
de  Tespace  en  se  donnant  les  valeurs  "k,  ut,  v  des  paramètres  des 
trois  surfaces  qui  sont  bomofocales  à  l'ellipsoïde  donné  et  qui 
passent  par  ce  point;  X,  [jl,  v  se  nomment  les  coordonnées  ellip- 
tiques du  point  P.  Nous  avons  déjà  vu  comment  s'obtient  l'équa- 
tion qui  donne  X,  [jl,  v  quand  ^,  y,  z  sont  donnés.  Calculons 
maintenant  x^  y,  z  en  supposant  X,  [Ji,  v  donnés. 

Dans  l'identité 

X"'  ,         JK"  --  _      (s  —  1){S  —  \i.){s  —  ^i) 

a'*- — s    '    b^ — s        c- — s  (a- — s){b'^  —  s){c'-  —  5)' 

chassons  les  dénominateurs  et  faisons   tendre  s  successivement 


APPLICATIONS    DIVERSES.  3o  1 

vers  a^,  h-,  c-  :  nous  Iroiiverons 

,  _  (6^-X)(62-Ht)(6^-v) 

.,_  (c"-X)(c-^-pi)(c^-v) 
(C-— a"-)(^c- — 6-) 

190.   Longueur  d'un  arc  infiniment  petit.  —  Prenons  les  dérivées 
logarithmiques  des  deux  membres  des  formules  ci-dessus 

dx  d\  du.  rfv 

"  X  A  —  a-         [x  —  rt-        V  —  a- 

dv  d\  d'x  d'i 

y 
dz 


\  —  b-    '    \L—  b-    '    V  —  62 
dk  d'x  rfv 


'      Z  A  —  C'  [J.  —  6'^  V  —  C- 

et  portons  les  valeurs  de  dx,  dy,  dz  ainsi  obtenues  dans  la  formule 

ds'-=  dx"- -^  dy''- -^  dz"- , 
nous  obtiendrons  l'expression  de  ds-  en  coordonnées  elliptiques 

ds"-  =  L2  dV'  -i-  M-2  d'j.-^  -\-  N2  ^v2, 
L-,  par  exemple,  étant  définie  par  l'égalité 


4L' 


.r* 


r* 


(a2— X)2        {b^'  —  ly        (c^— X) 


/  ^2 


La  valeur  de  4L-  s'obtient  en  prenant  les  dérivées  par  rapport 
à  5  des  deux  membres  de  l'identité 

X"'  ,     _J-_2_  z"'        _     ^     (s  —  l)(s  —  ll)(s  —  ^0 

a^ — s  ~^  b" — s        C'—s         ~~  {a^ — s){b- — s)(c-  — 5/ 
et  en  faisant  ensuite  5  =  X;  on  trouve  ainsi 
..._  (X-.u)(X-v) 

On  a  donc  la  formule 

-X) 

Cv  — X)Cv-  u) 


^5-2  = 


(a^—  X)(62— Xj(c-2— X) 
(u.-X)(;ji-v) 


d'X 


-—  \x}(b- — 'x){^c-— [x)     '  («2— v)(6-—  v;^c- — v; 


d/K 


302  CHAPITRE     IX. 

191 .  Les  coordonnées  X,  [x,  v  remplacées  par  des  arguments  ellip- 
tiques. Les  coordonnées  cartésiennes  s'expriment  par  des  fonctions 
uniformes  de  ces  arguments.  —  Les  valeurs  de  x^  y^  z  en  fonc- 
tion de  X,  |j,,  V  contiennent  des  quantités  irrationnelles  par  rapport 
à  X,  [JL,  v;  ce  sont  les  valeurs  que  prennent  les  radicaux 

y/a^ — s,     sj  b~ — 5,     y/c- — 5, 

quand  on  y  remplace  s  par  1,  a  ou  v.  Mais  nous  savons  que,  si  l'on 
considère  une  fonction  "pu  et  les  quantités  e<,  e^^  e-^  correspon- 
dantes, chacun  des  radicaux 


v/p  w  —  Cl ,     y/p  w  —  ^2,     V^P  u 


ez 


peut  être  remplacé  par  une  fonction  uniforme.  Nous  sommes  ainsi 
conduits  à  faire  le  changement  de  variable 


—  s  =  Apu  -f-  B, 

ce  qui  donne 

«-—«==  A(pu  — ei), 

b^—s  =  A(pu  — 62), 

c2— s  =  A(p'j  — es), 

en  posant 

a2_+-B  =— Aei, 

62_|_B  r=— Ae,, 

c2+B  ==  — Aeai 

en  ajoutant  membre  à  membre  ces  dernières  égalités  on  trouve 
l'égalité  suivante  qui  détermine  B 

a- -+-  b^ -{-  c- -^.-  3B  —  o ; 

B  étant  connu,  64,  6-2,  e-s  sont  déterminés,  à  un  facteur  près  de 
proportionnalité  et  les  valeurs  des  invariants  g2  et  g-^  en  résultent. 
A  reste  indéterminé;  nous  supposerons  A  positif  et  nous  le  rem- 
placerons par  p-  pour  que  l'écriture  soit  simplifiée  quand  nous 
extrairons  les  racines. 

En  définitive,  les  invariants  de  la  fonction  pu  résultant  des  éga- 
lités 


3 

«2h- 

-^2_a_c2 

3 

61'-+ 

-b^-i-c-^ 

si  l'on  pose 


APPLICATIONS    DIVERSES.  3o3 


a'-  -^  62  —  c5 

p-p^  = ^ ^' 


on  a 

«2—  S  =    p2(p'J  —  Cl), 

b'^—s  =  p2(p-j  — ea), 

C2—  «?  =   p2(pu  —  ^3). 

Remarquons  de  suite  que  <?,,  ^07  ^3  étant  réels  nous  sommes 
dans  le  cas  du  discriminant  positif. 

Soient  w,  t^,  w  des  arguments  tels  que  pu^  pv^  pw  soient  les 
valeurs  de  J3U  quand  s  égale  )v,  a,  v;  comme  les  signes  de 

P'-»  —  ^1,  P'->  —  ^2,  P'J—  «3 

se  déduisent  immédiatement  des  signes  de 

a- — s,     b- — 5,     c- — 5, 
on  trouve  aisément  que  les  nombres 

pw,     eu     pt',     ^2,     p(v,     ^3  ' 

sont  rangés  par  ordre  de  grandeur  décroissante.  D'après  cela  u 
et  w  —  w'  sont  réels,  v  —  co  est  purement  imaginaire. 

Ce  sont  ces  arguments  w,  (',  w  que  nous  voulons  considérer  à 
la  place  de  A,  [x,  v. 

Transformons  les  formules  qui  donnent  x-^  y-^  z-  en  intro- 
duisant ces  arguments  elliptiques  :  elles  deviennent 

o'^x''-=  ^^^^~^i)'^P^'~~^')'^P"'~^t) 

(ei  — e.,)(ei— es) 
,,    o^  {pit  —  eo){^v  —  e,){pw  —  e.) 
^ -^  {e2-ei){ei—es) 

;?^^^  (P^^  — g3)(pt^  — g3)(p«'  — ^3) 
^  "  (es— «i)(e3— eaj 

On  peut  maintenant  extraire  les  racines  en  se  servant  des  for- 
mules du  n*'  48  :  on  trouve 


X  =^  A- — ,  A.  =  e 


CJO), 


.0  3  =  G-2 


1  „    „ 


0^10 


0^  w  3^  w  J^  (V  co    ==  co  -h  w 

Ca  w  3'3  p  c^'s  (V 


3o4  CHAPITRE    IX. 

Quand  on  change  le  signe  de  l'un  des  arguments  u,  v^  \v  les 
trois  coordonnées  x^  y,  z  changent  de  signe,  le  point  P  est  rem- 
placé par  son  symétrique  par  rapport  à  l'origine. 

Les  formules  {voir  n°  48) 

a'  (  w  -h-  '2  wx  )  ^  u  X    I 

a'x(^-T-acoix)  _  _  o'x^  [Ji  )  "^    '    '    ' 

où  l'on  suppose 

montrent  que,  quand  on  ajoute  une  période  à  l'un  des  arguments, 
on  remplace  le  point  P  par  son  symétrique  par  rapport  à  l'un 
des  axes. 

^  V.  —  Application  a  la  théorie  de  la  chaleur. 

192.  Les  surfaces  homofocales  à  un  ellipsoïde  sont  des  surfaces 
isothermes.  Chacun  des  arguments  u,  p,  w  est  un  paramètre  ther- 
mométrique. —  Si  l'on  considère  les  points  d'un  espace  en  équi- 
libre de  température,  pour  chaque  point  la  température  T  est  une 
fonction  des  coordonnées  de  ce  point  et  l'on  démontre  que  cette 
fonction  vérifie  l'équation  différentielle 

AT  -  ^—       ^-T    ^    t)2T  _ 

On  dit  que  les  surfaces  d'une  famille  sont  des  surfaces  iso- 
thermes si  la  température  est  la  même  en  tous  les  points  de  Tune 
de  ces  surfaces  et  ne  dépend,  par  conséquent,  que  du  paramètre 
qui  détermine  cette  surface. 

Il  est  facile  de  trouver  la  condition  pour  qu'une  famille  de 
surfaces  représentées  par  l'équation 

dans  laquelle  A  désigne  un  paramètre  variable,  soit  composée  de 
surfaces  isothermes.  En  effet,  si  cela  a  lieu,  la  température  T  ne 
dépend  des  coordonnées  x^  y^  z  que  par  l'intermédiaire  de  \, 


APPLICATIONS    DIVERSES.  3o5 

Calculons  d'après  cette  remarque  les  dérivées  de  T  pour  les  porter 
dans  l'équation  AT  =  o 

dx  ~~  d\    dx 

dx  j  d\    dx-  ' 


dx^  ~   dA'-   V 

'^Vl-^  —  ( 

dx'    '    dy-    '    dz-  J 

Gomme  AT=  o,  on  doit  avoir 


^     d^T  V fdiY     fd\Y     (d\y^     dT  /dn     d^-i     d^-x 


(0 


à^       an.       d^  d^ 

dx^  ~^  dv'-'^  dz^-  'd}J 


[d^)    -^[dJ^J      '    [d-zj  d-k 


Ainsi  la  combinaison  des  dérivées  de  ).  qui  est  dans  le  premier 
membre  doit  être  une  fonction  de  X  que  nous  appellerons  '^(a). 

Si  cette  condition  est  satisfaite,  pour  calculer  T  il  suffira  d'in- 
tégrer l'équation 

Appliquons  ce  qui  précède  aux  surfaces 
x^  v^  z~ 

Nous  poserons 


*(5)=- 


a- — s        6"2  —  s        c- — s 

Calculons  d'abord  (^)  V  (|-)  V  (^_y. 

En  différentiant  par  rapport  à  ^  la  relation   (3)  qui  définit  A 
en  fonction  de  x,  y,  z^  on  trouve 

r         x'-  JK^ -J ]   àl  IX _  ^ 

(^)  [(«._X)2-+-(6-^-X)2    •    ^c-^-\y-\  dx'^  a^-\        ""' 

A.    ET   L.  20 


3o6  CHAPITRE    IX. 

OU  bien 


et  de  même 


On  lire  de  là 


-<«ê 

'IX 

♦v.i 

9.y 

-'ȣ 

2Z 
~    C2_X 

(!)■- 

©■=- 

a) 


Pour  avoir  —7  différentions  par  rapport  à  ;r  la  relation  (4)  qui 

définit  -^:  nous  trouverons 

dx 

^,,..d'-l  kx         d\        .„,..(à\ 


(^ip2        (a2_x^2  ()^  V    '  \dx j         a^—\ 

ou,  en  remplaçant  y-  par  sa  valeur, 


et  de  même 


^^^^_^_^i^_^'VX)^^V 


*'(>0  T-,  +  77:^.-^.  ^TTY-.  -  *"(>^) 


C>X2   ^   (^2—  X)3    4»'(>0  ^  \clr/  62—/ 

(^2X  8^2  I  ^„,,,/()X\2  2 


^^^^di;2    ^(c2-X)3    cJ,'(X)  ^^U^/ 


di;2  ^  (c2— X)3  cJ>'(X)  ^      \àz]         c2  — X 

Si   nous  ajoutons  membre  à  membre   ces  trois  identités,   les 
termes  du  milieu  disparaissent  et  il  vient 

et  comme  nous  avons  déjà  trouvé 

'•■<'..[{i)--{i)'-(i)']=-. 

on  a  en  définitive 

^2X     d^i     dn 

/C)X\2  /dX\2  /(^X\2"2/(X     ' 


APPLICATIONS    DIVERSES.  3o7 

le  second  membre  est  une  fonction  de  X;  les  surfaces 

1  =  const. 

sont  des  surfaces  isothermes. 

On  peut  alors  déterminer  une  fonction  de  X 

de  telle  façon  que  ^.u  =  o.  Pour  avoir  cette  fonction  u,  que  Lamé 
appelle  le  paramètre  thermométrique,  nous  avons  à  intégrer 
l'équation 

_^^_ /W. 

du  2  /(  X  ) 

^X 

En  intégrant  une  première  fois  et  en  passant  des  logarithmes 
aux  nombres,  on  trouve 

du  i        p 

(8)  Zr-  =     ,  -' 

en   désignant  le  facteur  constant  du  second  membre  par  -  pour 

simplifier  l'écriture  dans  ce  qui  suit.  Remplaçons /(  A)  par  le  pro- 
duit de  facteurs  linéaires  correspondants  et  intégrons  entre  —  x 
et  A,  nous  avons 

^_P   r\ dl . 

À  est  donc  une  fonction  elliptique  de  u.  Faisons  comme  au 
n*'  191  le  changement  de  variable  et  de  notations 

«-— X  =  f-ip'ù  —  ei), 
^2— X  =  p2(pu  —  62), 

C-—  X  =   p2(p.j_e3), 

la  relation  devient 

.u 
rt'J. 


On  voit  qu'elle  est  satisfaite  en  posant 

u  =  m; 


3o8  CHAPITRE    IX. 

X  est  donc  donné  en  fonction  de  u  par  l'égalité 

«2  _f_  l)-2  _4_  c2 

=  — 3 ?^p"• 

On  fera  correspondre  de  la  même  manière  un  des  arguments  ^ 
et  «-•  aux  coordonnées  u  et  v. 

Les  surfaces  représentées  par  les  équations 

dans  lesquelles  Uq^  Vq^  Wq   désignent  des  constantes,  se  coupent 
orthogonalement,  puisque  supposer,  par  exemple,  que  u  a  une  va- 
leur déterminée  revient  à  fixer  une  valeur  de  \. 
On  doit  donc  avoir 

du  dv        du   dv        du  dv  _ 

dx  dx        dy  dy       dz   dz 

et  deux  relations  analogues. 

Expression  duds'^  en  fonction   des  arguments  u,  r,  w.   — 
Dans  la  formule   trouvée  au  n°  190 

'  ^'  -  (a2-X)(62-X)(c-^-X)  "^^ 

(^  — X)([i.-v)  ^,^,    ^  (v-X)(v-,a) ^^^, 


(«2—  [JL)(62-fJl)(c2—  ;jl)       '  (a2_v)(>2_v),^c2-v) 

introduisons  les  éléments  elliptiques  :  elle  devient 

4<is2=  (pW— p(^)(pW— pCV)0?w2 

+  (p  P  —  p  W)(pp  —  p  tP)  <ip24_  (p  t^  _  p  j^)(p  ^^  __  p  p)  ^^2, 

493.  Équation  de  la  chaleur  quand  les  variables  sont  les  argu- 
ments u^  V,  w.  —  Lorsque  dans  l'équation 

()2T        ()2T        a'-T 

^^==c^:^^-j^  +  dz^  ==" 

on  fait  le  changement  de  variables 

u  =cp(.r,  7,  s), 
V  =  4>(.r,  JK,  z), 
^v^y^{x,y,  z), 


APPLICATIONS    DIVERSES.  SoQ 

si  les  fonctions  o,  à,  y  sont  telles  que  les  surfaces  obtenues  en 
donnant  à  ii,  ç,  w  des  valeurs  constantes  sont  orthogonales  et  si 

l'on  a 

Ao  =  o,        l'b  ~  o,        A/_  =  o, 

l'équation  transformée  est 

I    ()2T         I     (^sT         i    d^-T  _ 

L,  M,  N  étant  définis  par  cette  condition  que  la  formule  défi- 
nissant ds-  est 

Admettons,  pour  un  instant,  ce  résultat  et  appliquons-le  au  cas  où 
les  nouvelles  coordonnées  sont  les  arguments  elliptiques  w,  v^  w. 
Nous  trouverons  pour  l'équation  transformée 

I  d'-T 


{pu  —pv){pu  —  pw)  du^ 

I  â'-T  I  d'-T 


{pv  —  puj^pi'  —  pw)    dç^2         ^pw  ^~pu){pw  —  pv)  dW^ 
OU  bien 

Vérifions  le  résultat  que  nous  venons  d'admettre  :  on  a 
dT        dT  du        dT  dv        dT  dw 
puis 


o 


ùx 

'  du 

ôx    '     di>   dx    '    dw   dx  ' 

> 

d2T 

dx-^ 

d'^'T 
~  dliJ 

/du\ 
\dxj 

u. 

d'-T    du  dv 

.  .  -h  2 h  .  . 

du  dv  dx  dx 

dT  d'-u 
'       Ou  dx^' 

d^T 

d^T 

/du^ 

\'^ 

d'-T    du  dv 

dT  d^u 

dy^ 

du^ 

w, 

)  +• 

du  dv  dy  dy 

du  dy^ 

d'-T 
dz-i 

d^T 
~  'du-^ 

/du^ 
\dz, 

r-- 

d'-T    du  dv 

.  .-\- 1 h. . 

du  dv  dz   dz 

dT  d'^u 
du    dz^ 

En  ajoutant  membre  à  membre  ces  trois  égalités,  en  se  rappelant 
que  les  surfaces 

u  =  const.,         ç  =  const.,         w  =  const. 


3lO  CHAPITRE    IX. 

sont  orthogonales  et  que  l'on  a 

Aw  =  o,         At^  =  o,         ^.w  =  o, 


on  obtient 

AT  = 

âu-i  [[âx)    "^ 

m- 

/du\n 

d^T  r/  âi'Y 

(!)■ 

/di>\n 

"^  dw^  l\àx  )   ^ 

-©1 

11  reste  à 

vérifier  que 

/àuy      /du\ 

2          /du 

)' 

et  les  deux  expressions  analogues  se  déduisent,  comme  on  l'a 
annoncé,  des  coefficients  du  ds'^  exprimés  en  fonction  de  «,  ç,  w. 
Or 

/àuy       /duY  .    /duY      /duY[/dlY      /àlV      / àl 


(m 


\dx /         \ày J         \àz  /         \dA  /    \^\dx /         \ày J         \àz 

OU  en  remplaçant  les  deux  facteurs   du   second  membre  par  les 
expressions  (5)  et  (8)  trouvées  au  n°  192 

(àuy    /àuy    /àuy___p^ i 

\dx/   ~^\àj^)   "^VÂ/    ~  *'(X)  (X  — a2)(À  — 62)(X  — c2)* 
Mais,  comme 


on  a 

4>'(X)(X  — a2)(X— 62)(X  — c2)  =  (X  — {Ji)(X  — v). 
Donc 

/àuy    /àuy    /à_uy_   ^ i . 

\àxj        \dyj        \àzj    "  ^   (p  u  —  pç)(pu  —  pw  )' 

le  facteur  p^  se  retrouve  dans  les  coefficients  de  — -r-  et  — -r--  On  a 
'  dv^         àw^ 

donc  bien  la  forme  annoncée. 

Ainsi,  quand  on  prend  pour  nouvelles  coordonnées  d'un  point 

les  arguments  elliptiques  u,  v,  tv,  l'équation 

d2T        à^       d^T  _ 

~  àx^  ^  dy^  ~^  dz^   ~^ 


APPLICATIONS    DIVERSES.  3ll 

devient 

(P^-P«^)^^  +(P«'-P")-^  -+-(P"-P^),^  =^- 

194.   Solutions  dépendant  d'une  équation  de  Lamé.  —  Essayons 
de  satisfaire  à  l'équation  précédente  en  posant 

T  =  F(îOF(^)F(m'), 

F  désignant  une  fonction  pour  le  moment  inconnue  ;  il  vient 

Or  si  nous  supposons  que  F('j)  est  une  intégrale  de  l'équation  dif- 
férentielle 

-^  =(Ap-j-i-B)2, 

où  x\  et  B  sont  des  constantes,  nous  avons 

^-=(Ap«+B)F(«), 
^^!|i^=(Ap.  +BXF(.), 

et  l'équation  (9)  se  réduit  à  l'identité 

o=F(MjF(p)F(w)[(pç^  — pw')(Apîf-+-B) 

+  (P»'  — P")(Ap^-^B)  +  (pM  — p(')(ApwH-B)l; 
par  suite 

AT  =  o. 

Ainsi  on  peut  construire  une  fonction  T  vérifiant  l'équation 
Aï  =  o,  chaque  fois  que  l'on  connaît  une  intégrale  de  l'équation 

S=(Ap.  +  B)., 

B|       où  A  et  B  sont  deux  constantes  arbitraires.  Lamé  a  démontré  qu'en 
donnant  à  A  une  valeur  de  la  forme  n{^n  -^  i),  n  entier,  on  peut 


3l2  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    IX. 

intégrer  l'équation  au  moyen  des  fonctions  elliptiques  pour  des 
déterminations  convenables  de  B.  Il  obtient  ainsi,  pour  chaque 
valeur  de  l'entier  n,  des  solutions  particulières  de  l'équation 
AT  =  o,  à  l'aide  desquelles  il  forme  la  solution  générale  de  cette 
équation  pour  le  problème  que  nous  venons  de  traiter. 

L'équation  obtenue  en  faisant  A  =  «(/i  H-  i)  s'appelle  équation 
de  Lamé.  Nous  reviendrons  sur  cette  équation  dans  le  Chapitre  XI. 


EXERCICE. 

Quadrilatère  articulé.  —  Soit  un  quadrilatère  plan  articulé  dont  les 
côtés  ont  pour  longueurs  a,  è,  c.  d\  appelons  a,  [ii,  y  les  angles  des  côtés 
a.  è,  c,  parcourus  dans  un  même  sens  de  circulation,  avec  le  côté  d.  En 
projetant  le  contour  du  quadrilatère  sur  le  côté  d  et  sur  une  perpendicu- 
laire à  ce  côté,  on  a  deux  relations  que  l'on  peut  écrire 


i  ax  -\-  by  -\-  cz  -\-  d 

(0 

\     a         b         c 

\     1 -\-    -  -^  d 

\     X        y         z 

où  l'on  pose 

X  =  e^S        y  =  e?%         z  =  eyi. 

En  regardant  37,  r,  z  comme  des  coordonnées  courantes,  on  voit  que  la 
première  des  équations  (i)  représente  un  plan  et  la  deuxième  une  surface 
du  troisième  ordre;  leur  ensemble  représente  donc  une  cubique  plane.  Les 
coordonnées  d'un  point  de  cette  cubique  pourront  s'exprimer  par  des  fonc- 
tions elliptiques  d'un  paramètre  m; 

ey-i^f{u),         e^i=o{u),         e'!i=^{u). 

En  faisant  varier  u,  on  pourra  étudier  la  déformation  du  quadrilatère. 

Si  le  plan  et  la  surface  (i)  sont  tangents,  la  cubique  devient  unicursale 
et  les  fonctions/,  cp,  6  peuvent  être  remplacées  par  des  fonctions  ration- 
nelles. (Darboux.  Bulletin  des  Sciences  mathématiques.) 


CHAPITRE  X. 

TRANSFORMATION  DE  LANDEN. 


195.  Division  par  deux  de  la  période  iw.   —  Considérons  les 
fonctions  de  Jacob i 

H(tt),     Hi(a),     e(w)>     ei("), 

construites  avec  les  deux  périodes  aw,  2to',  et  en  même  temps  les 
fonctions 

H(m    -,ti)'),      Hifw!-,co'),      elu\—-,oj'],     Silu    -j  w'), 

construites  avec  les  deux  périodes  to  et  2oj'.  On  a  entre  ces  fonc- 
tions les  relations  suivantes,  dans  lesquelles  A  désigne  un  facteur 
constant, 


(I) 


Hf  M   -,  (o'l  =  AH(m)H,(m), 

«.(H?-')=-^«'("-^)«-("-ï> 


La  première  de  ces  relations  se  démontre  en  remarquant  que  les 
fonctions 


h(u  ^,  oi'\     et     H(m)H,(w 


ont  relativement  aux  périodes  co  et  2co'les  multiplicateurs  déGnis 
par  les  égalités 


— ■  («  +  («)') 


f{u-^2o,')=-e      ^  '/{il) 


3l4  CHAPITRE    X. 

et  admettent  les  mêmes  zéros  dans  un  parallélogramme  des  pé- 
riodes :  le  rapport  de  ces  deux  fonctions  est  donc  une  constante. 
Les   trois    autres    relations   se    déduisent    de   celle    qui   donne 


H  h^ 


->  (JL)M  en  j  changeant  successivement  u  en 


196.  Relation  entre  les  modules  et  entre  les  multiplicateurs.  — 

Soient  A"  et  ^  le  module  et  le  multiplicateur  correspondant  aux 
périodes  aw,  2w';  et  soient  A'(i),  ^(t)  le  module  et  le  multiplica- 
teur correspondant  aux  périodes  w,  2to'. 

On  a,  d'après  la  définition  du  module  et  en  tenant  compte  des 
relations  (i), 

'2 


_       H,(o 

v/>^(i)  = 


01  fo 


CD  ,\  ^„   /  W  \ 


Mais  si,  dans  les  formules  du  n*^  75,  relatives  à  l'addition  de  la  demi- 
période  w,  on  fait  w  = >  on  trouve 


.,:?..;.    ..,  ? 


"(?)^ 


on  déduit  de  là  successivement 


O)  i-ry  (.0  /-pr  tO  CD 


dn  —  =  \Jk\  Cil  —  =  yZ/c'  sn 


sn 


'^  2  îi  2  y/n-/c' 


D'après  cela 

V/>^(1)  = 

k 

_    A 

I  - 

(2) 

/i  - 

-X:' 

l^k'    ' 

^  I- 

^A:' 

Cette  relation  peut  encore  s'écrire 

(2')  ^^k^^^^ 


i-\-k' 


TRANSFORMATION    DE    LANDEN.  3l5 

D'après  la  définition  même  du  multiplicateur  (n''  92),  on  a 

H'(o) 


^ 


ê^ii)  = 


A\ 


')  e 


La  valeur  de  g^\)  peut  s'écrire  successivement 

I      H'(o)Hi(o) 


^(1)  = 


^(i)  =  g 


1~.   e(o)ei(o) 
k 

Ad) 


et,  en  remplaçant  A-(,)  par  sa  valeur  tirée  de  (2),  on  trouve  entre 
les  multiplicateurs  g  et  ^(,)  la  relation  suivante 

(3)  g^)  =  ff{^-^f^')' 

A   partir    de    maintenant   nous    supposerons    les    quantités   w 

et  —  réelles. 

i 

197.   Relation  entre  les  intégrales  K  et  Kji^ 

J^     /i  — /:-sin2cp'  '^      J^      V^i  — Afi,siii2cp(i) 


K 


Nous  avons  déjà  remarqué  que  do  l'équation  différentielle  vé- 
rifiée par  z=^sn[u]  k,  g) 


on  déduit 


du 


giii 


=  g^ii-z-^)U-kKz^), 


i     /(ï 


dz 


ou  bien 

On  obtiendrait  de  même 


■^){i-k^-z-^) 


é-d)-  =  K(,, 


3l6  CHAPITRE    X. 

et  on  divisant  membre  à  membre  ces  deux  égalités  on  trouve 


^  =.^-  = 


puis,  en  se  reportant  à  la  relation  (2')  entre  les  modules, 

198.  Calcul  de  K  quand  k  est  donné.  —  Concevons  qu'on  ap- 
plique plusieurs  fois  la  transformation  précédente,  on  trouvera 
successivement 


puis,  en  multipliant  membre  à  membre  toutes  ces  égalités, 

K  =  K(„)(i  -4-  A-(i))(i  +  /C(2)). .  .(i  ■+■  A-(„)), 


comme  on  a 


J,     v/i-/<:5„sin=.f       J„ 
on  a  aussi,  quel  que  soit  /2, 

^  (I  +  A:(i))(  I  4-  A>)) . . .  (i  +  k^n))  <  K  ; 


k,i  est  toujours  positif;  le  produit  qui  est  dans  le  premier  membre 
va  donc  constamment  en  croissant  quand  n  croît,  et  comme  il  est 
constamment  inférieur  à  K,  il  tend  vers  une  limite  quand  n  aug- 
mente indéfiniment.  Il  en  résulte  que  k^,i^  tend  vers  zéro  et  par 

suite  que  K(„)  a  pour  limite    ■•  On  a  donc 


^  (1  +  Â:(i))(i  -H  A-(2)). .  .(i  -H  ^(«))-  •  • 


Cette  formule  est  utile  lorsque  l'on  veut  calculer  la  valeur  numé- 
rique de  K,  en  supposant  k  donné.  On  la  met  sous  une  forme  plus 
commode  pour  les  calculs  numériques  en  posant 


k  =  sini 


TRANSFORMATION    DE    LANDEN. 

ce  qui  donne,  en  se  reportant  à  la  formule  (2), 


3.7 


X:,i,=  tang2-         et         i-i-k 


C0S2  - 


puis 


k,i)  =  tang2  _  3=  sin  6(i),  k^^)  =  tang^  -^  =  sin  G,, 


on  en  déduit 


cos2-e 
2 


H-  ^-(2)  = 


cos^-6(i) 


1  +  ^ 


(3) 


'(2) 


et  par  suite 


-'      =  C0S2  -  6  CCS-  -  6(1,  C0S2  -  6,2) 

2K  2  2     ^  2     '  ' 


(  Voir  DuRÈGE,  Théorie  der  elliptischen  Functîonen,  p.  i  77  .) 
Prenons  comme  exemple  /r2=  i,  Q  ==:  45°. 

Dans  ce  Tableau  de  calcul,  on  a  séparé  par  plusieurs  points  le 
nombre  de  son  logarithme  de  sorte  que  l'on  a  mis 


N au  lieu  de     LogN  =. 


De  plus  les  logarithmes  à  caractéristique  négative  sont  augmentés 
de  10. 


6  =  45"   o'o",oo 


^  6  =  •22°3o'o",oo 


ang  -  6 9,617  2243 


os     6 9;965  6ij3 


■ÎM. 


M)  / 


6(,)=9"J2'43%4I 

0(1)=  4°  36' 22",  70 


tan 


ces  - 

2 


8,g3G  65o4-5 
9,998  3840.1 


tang-^-0(,) 
sin  6, -71 


9,234  44S6  1         ^   2    -v.    .    7,873  3009.0 


^2)=  0^2 5' 40",  74 


tan<r  -  6,01 


COS  -0/0) 
2     ^'' 


572    2761 


9,999  9970-0 


tang2-6(.,) 

2        }.  .  .    o,  144    )523.4 


0^3)=o"o'3",         cosi 


'(3)- 


sin  6(3) 
OjOOo  0000, 


3l8  CHAPITRE    X. 

On  a  donc 

cossie 9,93t  23o6.o 

cos^^e^i^ 9,996  7680.2 

cos2-0(2) 9,999  9940.0 


^ 9,927    9926.2 

TT 
2 


0,196    II98.7 


K. 0,268  1272.6 

K  =  1,854  0747. 


199.   Calcul  de  la  valeur  de  l'intégrale 

i  7ï 


quand  /-  et  cp  sont  donnés.  —  Soit  z  =  sn(u  ;  A,  ^),  on  a 

r"  dz 

ou  en  posant 


^  =  SlIKf 


J„      v/i-/.2sm' 


'0      V  ■        -    -•"   ? 

de  sorte  que,  w  et  cp  étant  liés  par  la  relation  précédente,  on  a 

sn(w;  /c,  g)^  sincp; 
on  s'assure  aisément  que 

cn(a;  A:,  ^)=  cosip. 


et 


dn(w;  /:,  ^)=  y/i  —  A^  sin 


?• 


Considérons  en  même  temps  i;<  =  sn(w;  A^ij,  ^"(n)  en  posant 
^0        /*  — Afi)Sin2cp(t) 


TRANSFORMATION    DE    LANDEN.  SlQ 

on  aura 

Si  maintenant  A'  et  g  correspondent  aux  périodes  2w,  2to'  et  si 
A"(,;  et  ^(,)  correspondent  de  même  aux  périodes  co,  2  w',  on  aura, 
comme  nous  l'avons  vu, 

Alors  en  prenant  le  rapport  des  intégrales  dont  les  limites  supé- 
rieures sont  cp  et  !p,4),  on  trouve 


(1) 


et  l'intégrale  dont  la  limite  supérieure  est  cp  se  trouvera  ramenée  à 
l'intégrale  dont  la  limite  supérieure  est  cp(<j,  quand  nous  aurons  ob- 
tenu une  relation  finie  entre  C5  et  '^(<). 

Cette  relation,  que  Ton  peut  obtenir  par  des  considérations  géo- 
métriques, nous  sera  utile  sous  la  forme 

tang(cp(i)— ç)=  A-'tangç 

ou  bien 

tan£^o,,^ — tances 

^-^^ ^-^  =A-'tano:o 

1 -f- tangç  tangç/(i)  ^' 

ou  encore 

(r  -+-  A-')  tanço 

Pour  vérifier  cette  dernière  égalité  il  suffit  de  remarquer  que 

_  sn  «  1      H(?<) 

et  de  se  reporter  aux  formules  (i)  du  n°  195  donnant  H(«  -jcoM 

TT       /         1  W  A  .  . 

et  Ji<  f  ;^  —  ^  co'  i  ;  on  trouve  ainsi 

Transformons   le  dénominateur    du    second    membre    d'après 


320  CHAPITRE    X. 

ridentité,  facile  à  vérifier, 


HÎ(o)H(«  +  ^)H(„-f)  =  Hï(^)Hn«)-H^(f)HU« 


nous  pourrons  écrire 


l-n-,  H(M)H,(w)Hf(o) 

II'W-)Hf(^)-H|(^     H^(«) 


ou  en  divisant  les  deux  termes  du  second  membre  par  H^  (  —  j  H  J  [ii) 

^  tanffo 

langcp(i)=C 


^       *^KW    Hn^) 


CO  \     H  f  (  M  ) 


G  désignant  un  facteur  constant;  ce  facteur  se  détermine  en  divi- 
sant les  deux  membres  par  u  et  faisant  ensuite  tendre  u  vers  zéro, 
ce  qui  donne 

C  =  ^  -  1  +  /c'. 

En  tenant  compte  enfin  de  la  formule 


en-  — 

sn2- 

2 

on  a  bien 

(i  H-  Â:')  tanî^cp 
*-'^^        1  — A:'tang2cp 

ou  encore 

tang(?(n— ?)=  A-'tangcp, 

comme  nous  voulions  le  vérifier. 

Gela  posé,  concevons  qu'on  applique  plusieurs  fois  de  suite  la 
même  transformation  en  posant  pour  abréger,  d'après  Legendre, 


do 


^     S^x-k^û^^'^ 


TRANSFORMATION    DE    LAN  D  EN. 

nous  aurons  successivement 


F(o,  A-)  = 


i-A-, 


F(?(i),  A-(i)), 


F(?(i^^(i))=-^^'F(?(2),^('-)), 


321 


F(?(rt-i))  ^"(/i-i))  = 


I  ^  ^'r«) 


F(?(n)»  ^(«))j 


et  en  multipliant  membre  à  membre  ces  égalités 


F(ç,A')  = 


2'* 


F(?.«)?^(«))- 


Supposons  maintenant  que    n    augmente   indéfiniment,    nous 
avons  vu  que  k,i  tend  vers  zéro  et  l'on  en  conclut 

lim  F(o.„i,  A-(„))  =  iimcp(„j. 

Gomme  d'autre  part  on  a  trouvé 


on  voit  que,  en  définitive 

t:  2" 

Pour  calculer  successivement  les  angles '^(,),  cp^o),  •  .  .,  '^{n)^ 
nous  aurons  les  formules 


tang(o(,)— o)         =X-'tang'^, 
tang(cp(2)— O(i0      =  /.[ntangçd), 


;  y 


^(.) 


>^-:, 


^(1 


(1) 


I-A-; 


Quand  n  est  très  grand  k^n)  est  très  petit,  comme  nous  l'avons 
vu;  alors  k'^^_^.  est  très  voisin  de  l'unité  et  l'on  a  sensiblement 


ou  bien 


?(«)=  2  ©/„_!); 


A.    ET  L. 


322 

alors 


CHAPITRE    X. 


^(n)    _  ?rn-l) 


Donc  à  partir  d'une  valeur  suffisamment  grande  de  n,  ^^  reste 

sensiblement  constante  et  l'on  aperçoit  ainsi  que  -^  tend  vers 
une  limite  quand  n  augmente  indéfiniment. 

Exemple  numérique.  —  (Nous  l'empruntons  à  la  Théorie  des 
fonctions  elliptiques  de  Durège,  p.  178.) 
Soient 

A-2  =  -^  o  =  3o" 

les  valeurs  données  de  k'^  et  de  cp. 

Il  résulte  d'un  calcul  précédent  que  l'on  a 


2K 


A-'  =  cosO. 


k\  =  cosOi 
k\  —  cosO 
k'.^  =  cosO, 

Voici  maintenant  le  calcul  des  angles  cp<,  cpa,  03  : 


0,072  0078.8, 

9,849  485o, 
9,993  5ii8, 

9,999  9878-9, 
I ,000  0000.0, 


cp  =  3o° 

:ango 9,761  4394 

/•:' 9,849  485o 

iang(cpi— g)..     9,610  9244 

cpi  —  cp  =  22°  12'27",  59 

oi  =  02*"  12' 27",  56 


cp,  r=  52"  12' 27", 56 

tangcpi o,  no   4374-9 

k\ 9,993    5ii8 

tang(cpo — oj).     o,io3   9492.0 

çp2— cpi=    5i°47'32",58 

Cp2  =   I04"     o'     o",  l4 


Cp,  =  io4°o'o",  14 

tango, o,6o3  227 

^^4 9,999  987 

tang((p3  — ^2)-     o,6o3  2i5 

cp3  —  cp-2  =  io4"o'i",  40 

Cp3  n=  208"0'  l",40 


On  prendra  ici  comme  valeur  approchée  delim-^le  rapport 

C?o  I 


2^  8 


(208^0' l"  54)  =  98600",  19. 


Pour  exprimer  cet  angle   en    parties   de  rayons  on   divise   le 


EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    X.  323 

nombre  de  secondes  par  206  264,8 

Log  93  600",  19  =  4,971   2767.9 
Log2o6  264",8    =5,3i4  4^51.3 


9,656  85i5.7 


T         2K 

Log —  =0,072  0073. 


Log  F(cp,A-|)  =  9,728  8589.5 
F(o,  A)  =  0,535  6221         pour         o  =  3o°         et         ^'=./ 

Remarque.  —  Lorsque  le  module  est  devenu  très  petit  le 
calcul  des  modules  suivants  peut  se  simplifier.  (  Voir  Bertrand, 
Calcul  intégral,  ip.  661.) 


EXERCICES  SUR  LE  CHAPITRE  X. 


Division  de  la  période  2to  par  un  nombre  impair  n.  —  En  posant  avec 

/  2  K  r  \ 
Jacobi  ^(jt)  =  0    ^     vérifier  l'identité 


où  l'on  suppose  que,  2r(a7)  correspondant  aux  périodes  2to  et  2co',  2r(a:',  q") 
correspond  aux  périodes  — ,  210',  et  où  G  désigne  un  facteur  constant. 

On  peut  remarquer  que  le  premier  membre  d'une  part  et  ^(xx,  q'^) 
d'autre  part  sont  deux  fonctions  qui  admettent  les  mêmes  multiplicateurs 
pour  les  périodes  2w,  2w'  et  qui  ont  les  mêmes  zéros  dans  un  parallélo- 
gramme des  périodes. 

On  a  une  vérification  intéressante  de  l'identité  précédente  en  considérant 
le  produit  infini  qui  donne  ?j{nx,  q'^),  savoir 

G2r(^a7,  q")  =  Ci—  2^«  cos'inx  -^  q^-'') 

X  (l—  2^3rt  cOS2/ia7-i-  ^6/2)(i_2^5/JcOS2/ia7-i-^10").  .  ., 

et  décomposant  chaque  facteur  de  ce  produit  d'après  l'identité  suivante 


3.24  EXERCICES    SUR    LE    CHAPITRE    X. 

(théorème  de  Cotes) 

^  —  iq^  cos 2/107+  ^2«  —  I   I     I  —  r^q  cqs2  [x^ )  +  ^^ 

r 

pour 

r  ==  o,  I,  2,  .  .  .,  n  — I, 

ou,  ce  qui  revient  au  même  puisque  n  est  impair, 
-  =  o,  I,  2,  ...,  n  — 1. 

D'après  cette  vérification  l'identité  résulte  de  ce  que,  dans  un  produit 
infini  absolument  convergent,  on  peut  remplacer  plusieurs  facteurs  par 
leur  produit  effectué  et  réciproquement. 

Vérifier  la  formule 

n  —  1  ,  V  p  -j 

(— i)^~^i(:r)2ri(^+^V..^iLr-4-  (/i  -  i)  ^    =  G'^i(/ia;,  g«)^ 

où  2?!  {x)  désigne  la  fonction  H  ( \ ,  G'  une  constante  et  n  un  nombre 

impair;  de  plus  3"i(a7)  correspondant  aux  périodes  20)  et  2a)',  ^i(nx,  g"') 

correspond  aux  périodes  — y  2a)'. 

Des  formules  des  deux  exercices  précédents  déduire  la  suivante 

/2AiK(«'a7     ,,   A       ^        2K  2K  /  27r\  2K  r         ^  27r1 

s:i    j  a:^«^    =C  sn a7sn  —  (  x-{ ••  •  sn x-i-(n  —  i)  —    , 

\7C  /  71  T.     \  n  I  '^L  ^  \ 

2  O) 

OÙ   l'on  suppose   que  k'^^   et   K^'^^   correspondent  aux   périodes  - — >   2a)' 
comme  A'  et  K  correspondent  à  2a)  et  20)'  et  où  G  a  la  valeur  constante 


n  —  \ 


G  =  (-0   ^    ./    ,„ 


t/— 
V   /cl") 


CHAPITRE  XI. 

FONCTIONS  A  MULTIPLICATEURS  CONSTANTS  OU  FONCTIONS 
DOUBLEMENT  PÉRIODIQUES  DE  SECONDE  ESPÈCE. 


200.  Définitions.  —  Dans  plusieurs  questions  de  Mécanique  el 
de  Physique  mathématique,  on  est  conduit  à  étudier  des  fonctions 
uniformes  de  u^  n'admettant  à  distance  finie  d'autres  singularités 
que  des  pôles  et  se  reproduisant  multipliées  par  des  constantes  a 
ou  a'  quand  on  ajoute  à  u  l'une  ou  l'autre  des  périodes  2to  et  203'. 
L'une  quelconque  de  ces  fonctions  F(^^)  vérifie  donc  deux  rela- 
tions de  la  forme 

¥{u  -+-2C0)  =  \j.¥{li),         ¥{u  +  2to')  =  'j!  ¥{u). 

M.  Hermite,  qui  a  fait  l'étude  des  fonctions  de  cette  nature 
{Sur  quelques  applications  des  fonctions  elliptiques,  Gauthier- 
Villars,  i885),  leur  a  donné  le  nom  àe  fonctions  doublement  pé- 
riodiques de  deuxième  espèce;  ces  fonctions  se  réduisent  aux 
fonctions  doublement  périodiques  ordinaires  ou  fonctions  ellip- 
tiques, quand  les  deux  multiplicateurs  constants  u.  et  [x'  se  ré- 
duisent à  l'unité.  Quand  les  multiplicateurs  [x  et  a' seront  donnés, 
nous  appellerons  les  fonctions  telles  que  F(î^),  fonctions  aux 
multiplicateurs  constants  [jl  e^  [jl';  les  fonctions  elliptiques  sont 
alors  des  fonctions  aux  multiplicateurs  i  et  i. 

Les  relations 

F(ï«  +  20))    =  ;jt.F(?Oj 
F (  if  H-  Si co' )  =  <j.'  ¥  {il) 

entraînent  évidemment  la  suivante  où  m  et  n  sont  des  entiers  po- 
sitifs, négatifs  ou  nuls  : 

¥  {u  -^  1  ntiù  -\-  in  (Xi')  =  tx'"  u.''^  F(zf  ). 
11  en  résulte  que,  si  la  fonction  F(z^)  admet  un  pôle  u  =  a,  elle 


326 


CHAPITRE    XI. 


admet   comme  pôles,   au  même  degré    de  multiplicité,  tous  les 
points  homologues 


a  -{-  1  lïnù  -\-  1  niû 


Si  le  résidu  relatif  au  pôle  a  est  A,  le  résida  relatif  au  pôle  am,,i 
est  [A'^p,^^  A.  De  même,  si  la  fonction  ^{u)  admet  un  zéro  u  —  />, 
elle  admet  comme  zéros,  avec  le  même  ordre  de  multiplicité, 
tous  les  points  homologues. 

Exemple.  —  Voici  quelques  exemples  de  ces  nouvelles  fonc- 
tions. Soient  A,  a  et  ).  des  constantes,  la  fonction 

est  une  fonction  aux  multiplicateurs 

^-i  , 1-2/(0' 

En  effet,  les  relations  fondamentales 

H(W  +  2CL))    =—ll{u), 

H(w-h  2  0)')  =  —  li{u)e~'^^''^^  ^ 
donnent  les  suivantes  : 

r,  ,.  /.,        , 1-2/60' 

La  théorie  du  pendule  sphérique  nous  fournit  un  autre  exemple 
de  ce  genre  de  fonctions.  Nous  avons  trouvé,  en  effet,  pour  x-\-iy 
une  expression  de  la  forme  suivante  (p.  gS) 

A,  a,  b^  1  désignant  des  constantes.  Or,  d'après  les  relations  fon- 
damentales 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  827 

cette  fonction  o  vérifie  les  relations 

cp (  M  -f- 2  W )   =  e20^«-*)+2XfO  ç ( i^)^ 

c'est  donc  une  fonction  aux  multiplicateurs  constants 

ix'  =  e2r,'(a— A)+2Àco', 

Dans  la  théorie  que  nous  allons  développer,  nous  supposerons 
les  multiplicateurs  a  et  ix'  donnés  et  nous  formerons  les  expres- 
sions analytiques  des  fonctions  qui  admettent  ces  multiplicateurs. 
M.  Hermite  a  indiqué,  pour  ces  fonctions,  deux  formes  principales 
correspondant  aux  deux  formes  fondamentales  des  fonctions 
elliptiques. 

L'une  de  ces  formes  donne  la  fonction  comme  le  quotient  de 
deux  produits  de  fonctions  H  ou  3*  :  elle  met  en  évidence  les  zéros 
et  les  pôles  de  la  fonction.  L'autre  forme  est  analogue  à  la  for- 
mule de  décomposition  en  éléments  simples;  elle  met  en  évidence 
les  pôles  et  les  parties  principales  correspondantes. 

Les  seuls  éléments  analytiques  nécessaires  pour  cette  théorie 
sont  les  fonctions  H  ou  d. 

I.  —   DÉCOMPOSITION   EN  FACTEURS.    CONSÉQUENCES. 

20L  Expression  générale  des  fonctions  à  multiplicateurs  con- 
stants. —  Soit  F(;^)  une  fonction  aux  multiplicateurs  constants 
donnés  a  et  ix'.  Par  hypothèse  cette  fonction  n'a  d'autres  points 
singuliers  que  des  pôles  à  distance  finie  et  vérifie  les  deux 
équations 

F(u  -h  loi)  =  •j.F{u), 


i  ¥{u-h  2co')  =  [Jl'F(w). 

Pour  obtenir  une  première  expression  de  la  fonction  F(u),  re- 
marquons que  la  fonction  particulière 


(2)  /(")  =  A 


328  CHAPITRE    XI. 

considérée  dans  le  numéro  précédent,  \erifie  les  relations 

OÙ 

^  , t-2),a)' 

(4)  |jL  =  e2).a)^         ii'=e^ 

On  peut  toujours  disposer  des  constantes  "k  elcn  de  façon  à  faire 
prendre  à  ces  multiplicateurs  des  valeurs  données  à  l'avance.  En 
effet,  [JL  et  a'  étant  donnés,  on  a 

m 

Log[i.  ayant  la  même  détermination  dans  les  deux  équations. 

Avec  ce  choix  des  constantes  X  et  a,  on  a,  par  la  formule  (2), 
une  fonction  particulière /"(f^)  aux  multiplicateurs  donnés  [a  et  u'. 
Mais  alors,  si  l'on  revient  à  la  fonction  générale  F(w)  aux  mêmes 
multiplicateurs,  le  quotient 

(6)  *(^)  =  7(^ 

est  une  fonction  elliptique  aux  périodes  20)  et  20)'.  En  effet, 
quand  u  augmente  de  l'une  de  ces  périodes,  F  ety  se  reproduisent 
multipliées  par  le  même  facteur  et  ^{u)  ne  change  pas. 

On  obtient  ainsi  une  première  expression  générale  des  fonctions 
aux  multiplicateurs  constants  [jl  et  jjl',  en  prenant 

-r-i/      N  L     ^      n(u  —  ol)   ^  ,     . 

F{a)  =  Ae^^^-^^^~^^(u), 

les  constantes  X  et  a  étant  déterminées  par  les  relations  (5)  et  ^{u) 
désignant  une  fonction  elliptique  aux  périodes  203  et  2to'. 

202.  Décomposition  en  facteurs.  —  La  formule  de  décompo- 
sition en  facteurs  se  déduit  immédiatement  de  ce  résultat.  En  effet, 
la  fonction  elliptique  ^(w)  peut  se  mettre  sous  la  forme  suivante 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  SlQ 

(n°  40) 

^^      ,  ^,U(U—  b,)B(u-b.)..  .11(11  — br) 

^  ll{u  —  ai)ll{u  —  a.2;...H(«  —  «r) 

avec  la  condition 

(7)  ^1+  ^2-+-- •  •+  ^r=  «1-^  <^2H--  •  •+  <^/-- 

La  fonction  aux  multiplicateurs  constants  a  et  '^'  peut  donc 
s'écrire 

Telle  est  la  formule  de  décomposition  en  facteurs.  Elle  conduit 
aux  conséquences  suivantes  : 

i''  Une  fonction  à  multiplicateurs  constants  possède,  dans 
un  parallélogramme  des  périodes,  autant  de  zéros  que  d'in- 
finis. Gela  résulte  de  ce  que,  dans  la  formule  (8)  ci-dessus,  il 
entre  autant  de  fonctions  H  au  numérateur  qu'au  dénominateur. 

2°  Si  Von  considère,  d'une  part,  les  zéros,  d'autre  part  les 
infinis  que  possède  une  fonction  aux  multiplicateurs  ;jl  et  ui' 
dans  un  parallélogramme  des  périodes,  la  différence  entre  la 
somme  de  ces  zéros  et  la  somme  de  ces  infinis  est  égale  à 

-— (wLog;-x' — co'Loga), 

à  des  multiples  des  périodes  près. 

En  effet,  la  fonction  F(;/)  définie  par  la  formule  (8)  a,  dans  un 
parallélogramme  des  périodes,  des  infinis  homologues  des  points 


et  des  zéros  homologues  des  points 

a,    b^     60,     ...,     b,.. 

La  différence  entre  la  somme  des  zéros  et  celle  des  infinis  est 
donc 

(9)      3c  -h  èi-h  60^-.  .  .-h  è/.—  (ai+  a2-r--  ••+  «/■)  +  2mw  -h  2/iw'; 


33o  CHAPITRE    XI. 

si  l'on  tient  compte  de  la  relation 

^1+  62  +  .  .  .-h  6,.=  «i-h  «2-h..  -H-  «r> 

et  de  la  valeur  (5)  de  a,  on  voit  que  la  différence  considérée  (9)  est 

-:;—  (co  Log  jjt.' —  w'  Logfji)  +  2mw  +  -miji', 

ce  qui  démontre  le  théorème. 

Changer  les  déterminations  choisies  pour  Log  pi'  et  Log[jL  re- 
vient à  modifier  les  entiers  m  et  /i.  On  pourrait,  par  exemple, 
choisir  les  déterminations  des  deux  logarithmes  de  façon  à 
annuler  m  et  n. 

Remarque.  —  Il  est  évident  que  la  fonction  F(u)  donnée  par 
la  formule  (8)  n'admet  pas  nécessairement,  d'une  manière  effective, 
le  pôle  u  =  o  :  car  un  des  zéros  bi^  0.2,  .  .  .  ^  hr  peut  être  égal  à  o 
ou  homologue  de  o.  De  même,  cette  fonction  n'admet  pas  néces- 
sairement le  zéro  a. 

Les  deux  théorèmes  que  nous  venons  d'énoncer  admettent  la 
réciproque  suivante  : 

3°  Si  Von  considère  une  expression  de  la  forme 

n{a  —  b)}\{u  ~  b^).  .  .R{u—  br) 


¥{u)  =  Be^» 


\\{u  —  a)  H(w  —  ai).  .  .\\{u  —  «,.) 


dans  laquelle  les  constantes  X,  a,  <7i ,  .  .  . ,  a,.,  b,  bi,  .  .  . ,  br  vé- 
rifient les  deux  relations 

(10) 

b  -\-bi^...-^br —  (a  -+-ai-4-...-l-  a,-)  =  -^  (w  Log  a' —  co'  Logu.), 

cette  expression  F(w)  définit  une  fonction  aux  multiplica- 
teurs [Ji  et  ]sl .  C'est  ce  qu'on  vérifie  immédiatement  en  partant  des 
relations  fondamentales 

H(w  +  2w)  =  — H(a), 

n(w  +  2(o')  =  — rj(M)e  «^ 

Quand  les  multiplicateurs  \x  et  u.'  sont  égaux  à  i,  la  fonction 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  33l 

F(?/)  devient  une  fonction  elliptique,    et  la  deuxième  des  rela- 
tions (lo)  exprime  alors  le  théorème  de  Liouville  (n°  39). 

203.  Nombre  minimum  de  pôles  d'une  fonction  à  multiplica- 
teurs constants.  —  Nous  avons  vu  qu'une  fonction  elliptique  a,  au 
moins,  deux  pôles  simples  ou  un  pôle  double  dans  un  parallélo- 
gramme des  périodes.  Il  en  est  autrement  pour  les  fonctions  à 
multiplicateurs  constants. 

Quand  les  multiplicateurs  [ji  et  [jl'  sont  quelconques  et  ne 
vérifient  pas  la  relation 

(il)  -.— (to  Log(jL' — to'Logu)  =  o, 

tir 

pour  des  déterminations  convenables  des  logarithmes,  toute 
fonction  aux  multiplicateurs  a  et  a'  admet  au  moins  un  pôle 
s'mple  dans  un  parallélogramme  des  périodes. 

En  effet,  si  la  fonction  F(f/)  donnée  par  la  formule  générale  (8) 
n'avait  pas  de  pôles,  elle  n'aurait  pas  de  zéros,  et  cette  fonction 
se  réduirait  à  la  fonction 

dont  les  multiplicateurs 

vérifient  la  relation  (i  i)  que  nous  avons  écartée. 

Il  y  a  donc  au  moins  un  pôle.  D'ailleurs,  il  existe  des  fonctions 
avec  un  seul  pôle  dans  un  parallélogramme  des  périodes.  Telle  est, 
par  exemple,  la  fonction  déjà  considérée 

.,    ,        ,  H(m  —  a)    . 

où  \  et  a  sont  déterminés  par  les  équations  (5).  Cette  fonction 
a,  comme  pôles,  le  point  w=  o  et  les  points  homologues.  Telle 
est  encore  la  fonction 

/(  u  —  ('  )  =  ^  — TTT T-^  eX(«-i') 

•^  ^  '  H(i^  — p)  ' 


332 


CHAPITRE    XI. 


OÙ  V  est  une  constante  quelconque;  cette  fonction  admet,  comme 
pôles,  le  point  u^=  v  ei  les  points  homologues. 

204.  Fonctions  à  multiplicateurs  spéciaux.  —  Nous  dirons  que 
les  multiplicateurs  \x  et  [j.'  sont  spéciaux  quand  ils  vérifient  une 
relation  de  la  forme 

w  LogîJi' —  w'  Log  [Jt,  =  o, 

pour  une  détermination  convenable  des  logarithmes.  Dans  ce  cas, 
il  existe  une  fonction  par  tout  finie  dans  un  parallélogramme  des 
périodes  et  admettant  les  deux  multiplicateurs  :  cette  fonction  est 

\  étant  déterminé  par  les  deux  relations  compatibles 


'2  CD 


La  fonction  la  plus  générale  F (?^)  aux  multiplicateurs  spéciaux  a 
et  a'  est  alors 

F(m)  =  Ae>-"*î>(w), 

^{u)  désignant  une /o/2C^/o/i  elliptique.  Une  fonction  elliptique, 
non  réduite  à  une  constante,  a  au  moins  deux  pôles  simples  ou  un 
pôle  double  dans  un  parallélogramme;  donc,  si  la  fonction  F(;/) 
ne  se  réduit  pas  à  une  simple  exponentielle  Ae^",  elle  admet  dans 
un  parallélogramme  au  moins  deux  pôles  simples  ou  un  pôle 
double.  Telles  sont  les  fonctions 

e>-«sn2M,     e>^"[Z(?i  —  a)  —  Z{u~h)\ 

II.  —   DÉCOMPOSITION   EN   ÉLÉMENTS   SIMPLES. 

205.   Élément  simple.  —  Reprenons  la  fonction 

les  constantes  );  et  a  étant  déterminées  par  les  équations 

X  =  — -  Lofira, 

a  =  ^-  (o)  Lojr  a' —  o)'  Log^  a). 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  333 

Ecartons  le  cas  des  multiplicateurs  spéciaux  étudié  dans  le  dernier 
numéro.  Alors  a  n'est  pas  homologue  de  zéro  et  la  fonction  f{u) 
devient  effectivement  infinie  au  point  w  =  o  et  aux  points  homo- 
logues. Déterminons  la  constante  A  de  telle  façon  que  le  résidu 
de /(î^)  relatif  au  pôle  u  =  o  soit  égal  à  i.  Pour  cela,  il  suffit 
d'écrire  que  le  produit  u /(u)  est  égal  à  i  pour  u  =  o.  On  a  ainsi 

AH(a)  ^__  H'(o) 

H'(o)   '  ^  ll^a) 

et  la  fonction  f(ii)  devient 

Cette  fonction  f{u)  constitue  l'élément  simple  introduit  par 
M.  Hermite  pour  obtenir  la  deuxième  expression  générale  des 
fonctions  aux  multiplicateurs  [jl  et  <j.'.  Elle  vérifie  les  deux  relations 

(Ij)  \ 

elle  admet  comme  pôle  simple  le  point  u=z  o  et  les  points  homo- 
logues. Au  point  w  =  o  son  résidu  est  i  ;  au  point  z/ =  2  m  w -h  a/iw', 
met  n  étant  des  entiers  quelconques,  son  résidu  est  ijl'^jjl'^',  comme 
il  résulte  de  l'équation 

conséquence  immédiate  des  relations  (i3).  Si  dans  ces  relations  on 
change  u  en  u  —  ^,  ç  désignant  une  quantité  quelconque  indé- 
pendante de  u,  on  a  aussi 

(  /("  — ^'  +  2w)  =  a  /(w  —  ç'), 
I  /{u—  v-^iiM  )=  ^  f{u  —  v). 

La  fonction 

regardée  comme  fonction  de  u,  a  donc  les  mêmes  multiplicateurs  |x 
et  a'  que/(z^)  :  elle  admet  comme  pôles  simples  le  point  u=z  ç  el 
les  points  homologues,  le  point  u  =  c  avec  le  résidu  -j-  i  • 


334  CHAPITRE    XI. 

Il  est  intéressant  de  voir  quelles  sont  les  propriétés  de  cette 
même  fonction  y*(w  —  i^)  considérée  comme  fonction  de  i^.  Si  dans 
les  relations  (i4)  on  change  a  en  u  —  2(o  on  obtient  deux  nou- 
velles relations  que  nous  écrirons  comme  il  suit 

Ces  relations  montrent  quey*(«  —  v)  considéré  comme  fonction 

de  ç  est  une  fonction  aux  multiplicateurs  inverses  -  et  — ;•  Cette 

fonction  de  ç  admet  comme  pôles  simples  le  point  ç  =z  u  el  les 
points  homologues,  le  point  ç  =  u  avec  le  résidu  —  i .  On  vérifie, 
en  efifet,  immédiatement,  que  le  produit  (^ — u)  f{u  —  v)  Xenà 
vers  —  I  quand  p  tend  vers  u. 

206.  Formule  de  décomposition.  Cas  des  pôles  simples.  —  Soit 
une  fonction  F(«)  aux  multiplicateurs  non  spéciaux  ijl  et  |jt.'.  Sup- 
posons d'abord  que  cette  fonction  n'ait  que  des  pôles  simples  ho- 
mologues respectivement  de  certains  points 

u  —  a^     u  =^  b,      .  .  . ,     a  —  l, 
et  soient 

A,     J3,     ...,     L 

les  résidus  de  F(z/)  aux  points  a^  h,    ...,/. 
Considérons  la  différence 

\F(a)=  ¥  {u)-  \  f{u  -  a)-  B  f{ii  —  b)  — .  .  .-  Lf(u~l). 

Nous  allons  montrer  que  cette  différence  est  identiquement  nulle. 
En  effet,  '^^{u)  est  une  fonction  aux  multiplicateurs  li.  et  p.'^  car 
elle  est  une  somme  de  fonctions  F(u),  — A/'(?/  —  a),  .  .  .  ad- 
mettant séparément  ces  multiplicateurs.  En  outre,  cette  fonction 
W(u)  est  finie  pour  toutes  les  valeurs  de  u,  car,  dans  le  voisinage 
de  u  =  a,  par  exemple,  on  a,  par  hypothèse, 

A 

F  (u)  = +  fonction  régulière; 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  335 

de  plus,  d'après  les  propriétés  de  la  fonction y(z^  —  r),  on  a,  dans 
le  voisinage  de  u  =  a, 

f{^u)= h  fonction  régulière; 


enfin  les  autres  termes  f{u  —  b).  .  .f{u  —  /)  sont  des  fonctions 
régulières  au  point  u  =■  a.  Dans  la  combinaison  qui  donne  ^^{u) 

les  termes  en disparaissent  et  '^^(u)  est  finie  pour  a  =  a.  11 

II  —  a        ^  ^    ^  ^ 

en  est  de  même  des  autres  points  u  =  b,  .  .  . ,  u  =  l  et  des  poinls 
homologues. 

Ainsi  ^(w)  est  une  fonction  aux  multiplicateurs  non  spéciaux 
p.  et  a',  n! admettant  plus  aucun  pôle  à  dislance  finie.  Mais  une 
telle  fonction  ne  peut  pas  exister  (n"  203)  :  donc  ^ i^u)  est  iden- 
tiquement nulle.  On  a  alors  la  formule 

(i6)  F(«)=  A/(i^  — a)+B/(i^  — è)^...M-L/(«  — /). 

C'est  la  formule  de  décomposition  en  éléments  simples,  mettant 
en  évidence  les  pôles  non  homologues  a,  6,  .  .  . ,  /  et  les  résidus 
correspondants.  Chaque  terme  de  cette  formule  est  une  fonction 
de  u  aux  multiplicateurs  ix  et  ^  admettant  clans  un  parallélo- 
gramme un  seul  pôle  simple. 

Inversement  toute  expression  de  la  forme  (i6)  dans  laquelle  «, 
6,  ...,  /  sont  des  points  non  homologues  deux  à  deux  et  A,  B,  ...,  L 
des  constantes  quelconques,  est  une  fonction  aux  multiplicateurs 
|x  et  (i.',  ayant  comme  pôles  les  points  «,  6,  .  .  . ,  /  et  leurs  homo- 
logues, les  résidus  relatifs  aux  points  <7,  6,  .  .  . ,  /  étant  A,  B,  .  .  . ,  L. 

D'après  cela,  on  peut  choisir  arbitrairement  les  résidus  A, 
B,  .  .  . ,  L  :  il  n'existe  entre  eux  aucune  relation  nécessaire.  Il  j  a 
donc  là  une  diff'érence  avec  les  fonctions  elliptiques  pour  lesquelles 
la  somme  des  résidus  est  nulle. 

Exemple  de  décomposition.  —  Soit 


<i7)  F(z/) 


\\{^u  —  a  )^\{^u  ~  b) 


a  el  b  étant  deux  constantes  non   homologues  entre  elles  et  non 


336  CHAPITRE    XI. 

homologues  de  o.  Cette  fonction  admet  les  multiplicateurs 


Cl) 


comme  il  résulte  des  propriétés  fondamentales  de  la  fonction  H; 
elle  admet  comme  pôles  les  points  a  et  6  et  les  points  homologues. 
Construisons  l'élément  simple  correspondant 

ll'(o)U(u—  a)    -^ 
•^^"^~  H(a)H(w)      ^'"' 

en  choisissant  1  et  a  de  façon  que  cette  fonction  admette  les  mêmes 
multiplicateurs  pi  et  tj.'.  11  suffit  de  prendre 

>,  =  o,         a= — (a-i-^); 
l'élément  simple  est  donc 

Les  résidus  de  la  fonction  à  décomposer  F(w),  relatifs  aux  deux 
pôles  non  homologues  a  et  b,  sont 


ir(o)H(a-^)  ll'(o)H(^  — a)' 

pour  les  obtenir,  il  suffit  de  chercher  les  limites  des  deux  produits 
(;/  —  a)F{u)  et  (u  —  b)F(u)  pour  u  =z  a  el  u  =^  h. 
La  formule  de  décomposition  est  donc 

F(w)=  A/(w  — a)-i-B/(M  — 6), 
ou,  en  écrivant  tous  les  termes  explicitement 

l{{u  —  a)\\{u-b) 

~  H{a-hb)ll(a  —  b)  [       H{u  —  a)  U{u  -  b)       J  ' 

207.  Cas  des  pôles  multiples.  —  Le  même  raisonnement  nous 
donnera  la  formule  dans  le  cas  des  pôles  multiples.  Supposons  que 
la  fonction  F(u)  aux  multiplicateurs  non  spéciaux  p.  et  |j.'  ad- 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  337 

mette  comme  pôles  les  points  «,  b^  ...,  /non  homologues;  et 
supposons  que  les  parties  principales  relatives  à  ces  pôles  soient 
respectivement 

A  A|  A,  Aa-i 


?i(") 


(p,(w) 


u  —  a        {Il  —  a)'    '    {a  —  a y^       '  '  '       {u  —  a)' 
B  B,  B,  B3-1 


II  — h        {u  —  bf    '    {u  —  b)'^    '"'       {u  —  b)'^ 


Si  l'on  désigne  par/^,/'^,  ...  les  dérivées  successives  de /(;<),  la 
différence 

^V{u)=¥  {it)-\k  f{u  -  a)-  k,  f  {a  -  a)-^  ^f'iu  -  a) 
-^B  f^u  -  b  )  -B,  f{a  ~  b)  ^  ^^/"{u  -  b) 


est  encore  identiquement  nulle  :  en  effet,  dans  le  voisinage  de 
u  =^  a  par  exemple,  on  a 

fiu  —  «)=         H- fonction  régulière, 

fin  —  «)  = -T-  fonction  réofulièrc, 

1 . 1 
f"(u  —  a)  =       ■ — — -  —  fonction  réf?ulière, 


fi<x-\)(u  —  a)=:(— i)^--^-  — h  fonction  réiçulière. 


Donc 


Afin-  a)- Al  f'{u  -a)-h  -^^/"{u  —  a)-^.., 

-h  ^^ = — f^^-^\u  —  a)=  cp,(ff  )-i-  fonction  régulière. 

A.    ET    L.  22 


338  CHAPITRE    XI. 

Gomme  dans  le  voisinage  de  ?^=  a^  on  a  aussi,  par  hypothèse, 

F(«)=  cpi(w)+ fonction  régulière; 

on  voit  que  ^(«)  est  régulière  au  point  «;  il  en  est  de  même  des 
autres  points  h^  .  .  .,  /et  des  points  homologues.  Cette  différence 
^(^li)  est  donc  une  fonction  aux  multiplicateurs  non  spéciaux  p. 
et  y^  n^  ayant  plus  aucun  pôle  à  distance  finie.  Gomme  une  telle 
fonction  ne  peut  pas  exister  (n°  203),  W(w)  est  identiquement 
nulle  et  l'on  a  la  formule  de  décomposition 


I'(")  =  2[a/("-^)-^i/'(^^-« 


1 . 2 . . .  a  —  i  -^  ^  ^  J  ' 

la  somme  étant  étendue  à  tous  les  pôles  non  homologues. 

Réciproquement,  toute  expression  de  cette  forme,  dans  laquelle 
les  coefficients  A,  A, , . . . ,  Aa_, ,  . . .  sont  choisis  arbitrairement,  est 
une  fonction  aux  multiplicateurs  ]x  et  ^ . 

On  voit  l'analogie  de  cette  formule  avec  celle  que  M.  Hermite  a 
donnée  pour  les  fonctions  elliptiques  et  que  nous  avons  établie 
au  n°  26  par  un  raisonnement  presque  identique. 

Exemple,  —  Prenons,  par  exemple,  la  fonction  (17)  de  la 
page  335,  en  y  faisant  h  ^^  a^ 

Cette  fonction  admet  les  multiplicateurs 

fi,  =  I ,  [jt.'  =  e       ^    ; 

elle  a  comme  unique  pôle  double  le  point  u=^a  et  les  points  ho- 
mologues. Dans  le  voisinage  du  point  u  =  a,  on  a,  par  la  formule 
de  Tajlor, 

ll{u)=  ll(a)-+-(u  —  a)  ir (a)^ . . . , 

U{u-a)  =  {u-a)U'(o)-h  ^  ""  ~  ^^' H'7o)-4- . . . , 

^  ^         ^  1.2.3  '     ^ 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  SSq 

car  H(w)  étant  impaire,  H(o),  H'^(o)  sont  nulles.  Donc 

Uju)      _  I  U(a)-h(u  —  a)  H'{a)-\-... 

H{u  —  a)  ~  {u  —  a)H'{o)        ,    {u  —  ay-  H'"(o) 

^^         6  H'(o)"^*** 

[H(a)-i-(w-a)H'(«)-h...]. 


(w  — a)U'(o) 
En  élevant  au  carré,  on  a  enfin 

UHu)       _  I  llHa)  2         U(a)U'(a) 

m{u  —  a)~{u  —  ay^H'Ho)'^{u  —  a)        H'2(o)       ^•••' 

les  termes  non  écrits  formant  une  fonction  régulière  au  point  a. 
On  a  ainsi  mis  en  évidence  la  partie  principale  de  F(w)  au  pôle  a. 
L'élément  simple  avec  les  multiplicateurs  ui  et  ik  est  actuellement 

La  formule  de  décomposition  est  enfin 

„.    ^       2H(a)H'(«)    -^  .         H-^(a)  ., . 

208.  Méthode  de  M.  Hermite.  —  Pour  établir  la  formule  de  dé- 
composition, nous  avons  suivi  une  marche  analogue  à  celle  que 
nous  avons  employée  pour  les  fonctions  elliptiques  (n°^  24  et  26). 
M.  Hermite  établit  cette  formule  par  la  méthode  suivante,  que  nous 
indiquons  à  titre  d'exercice  : 

Soit  ^ {u)  une  fonction  aux  multiplicateurs  non  spéciaux  a 
et  [x';  désignons  par  v  une  variable  auxiliaire  et  considérons  la 
fonction  de  v 

*(.)=F(0/(w-0- 

Cette  fonction  est  doublement  périodique  :  car,  si  l'on  augmente  r 
de  l'une  des  périodes,  F((')  se  reproduit  multiplié  par  ii.  ou  jjl'  et 

f{u  —  (')  multiplié  par  -  ou  — ,;  donc  le  produit  ^(r)  ne  change 

pas.  La  fonction  ^{v)  est  donc  une  fonction  elliptique.  En  écrivant 
que  la  somme  des  résidus  de  ^{v)  relatifs  aux  pôles  situés  dans  un 
parallélogramme  ou,  ce  qui  revient  au  même,  relatifs  aux  pôles 
non  homologues,  est  nulle  (n""  2o),  on  obtiendra  la  formule 
cherchée. 


340  CHAPITRE    XI. 

Les  infinis  de  ^{^^)  sont  les  infinis  des  deux  facteurs  F(p) 
elf{u  —  ç)  :  les  infinis  de  F(ç)  sont  homolog^ues  des  poinls 

a,     b,     . . . ,     /; 

ceux  de  f(n  —  ç)  sont  homologues  du  point  u.  Supposons,  pour 
simplifier,  les  pôles  de  F{ç)  simples  et  soient  A,  B,  .  .  . ,  L  les  ré- 
sidus de  F  correspondant  aux  pôles  a,  b,  ...,/.  Les  résidus  de 
<ï>(ç^),  relatifs  à  ces  pôles,  sont 

A/(a-a),     Bf{u-b),     ...,     Lf(u-l). 

Le  résidu  de  ^{v)  relatif  au  pôle  v  =  a  est 

-F(u). 

Écrivant  que  la  somme  de  ces  résidus  est  nulle,  ou  a  bien  la 
formule  cherchée. 

Nous  laissons  au  lecteur  le  soin  d'appliquer  la  même  méthode 
au  cas  des  pôles  multiples. 

209.  Multiplicateurs  spéciaux.  —  Dans  ce  qui  précède,  nous 
avons  écarté  le  cas  où  les  multiplicateurs  ix  et  u.'  vérifieraient,  pour 
des  déterminations  convenables  de  Logu.  et  Logji.',  la  relation 

oj  Log  [jl'  —  o)'  Log  [J.  =  (). 

Supposons  maintenant  cette  relation  remplie  :  il  existe  alors  une 
exponentielle  de  la  forme 

(.lu 

admettant  ces  deux  multiplicateurs,  car  les  deux  équations 

donnent  pour  X  des  valeurs  compatibles.  Cette  fonction 

est  une  fonction  n'ayant  aucun  pôle  à  distance  finie.  L'élément 
simple  appelé /(m)  n'existe  plus  dans  ce  cas,  car  la  constante  a  est 
homologue  du  point  o.  Donc  les  formules  de  décomposition  gé- 
nérale ne  s'appliquent  pas  à  ce  cas. 

Mais,   actuellement,    toute  fonction  F(u)   aux   multiplicateurs 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  34l 

Spéciaux  u.  et  u.'  peut  s'écrire 

4)(f^)  étant  une  fonction  elliptique.  Il  suffira  de  décomposer  cette 

fonction  <E>(«)  en   éléments   simples  par  les  formules  des  n°'  24 

et  26,  et  il  en  résultera  une  formule  donnant  F(z^).  Par  exemple, 

supposons  que  F(w)  ait  seulement  des  pôles  simples  homologues 

des  points 

a,     b,     ...,     l, 

les  résidus  relatifs  aux  points  a,  6,  .  .  .  ,  /  étant 

A,     H,     ...,    L. 
La  fonction  elliptique 

admet  les  mêmes  pôles  avec  les  résidus 

On  a  donc,  d'après  la  formule  (3i)  du  n°  24, 

4>(M)  =  Co-T-e->-«AZ(a-  a) -i- e->^^B  Z(a  —  è) +. . .+ e->>a  Z( w  — /); 

en  outre,  la  somme  des  résidus  de  la  fonction  elliptique  <ï>  étant 
nulle,  on  a,  entre  les  pôles  et  les  résidus  de  F,  la  relation 

(  19  )  A e-^>«  +  B e-^>* h-  . . .  -f-  L e-^-'  =  o. 

Revenant  à  la  fonction  donnée  F  par  la  formule 

F(m)=  e>^"*(«), 
on  a  enfin  la  formule 

F(a)  =  Goe>-"+  Ae>>("-«)  Z(  w  —  a) 

_l_  Be>^^"-6^  Z(z^  —  6)  +  . .  .-4-  Le>^^"-/^  Z{u  —  l). 

On  pourrait  donc  prendre  actuellement  comme  élément  simple  la 

fonction 

o(w)=e)>«Z(a) 
et  écrire 

F(w)=  Goe>'"-i- Acp(M  — a)-hBcp(w  — 6)-+-..  .-h  Lç(w  —  /). 


k 


34a  CHAPITRE    XI. 

Il  est  important  de  remarquer  que,  si  les  multiplicateurs  sont 
spéciaux,  les  résidas  ne  peuvent  plus  être  choisis  arbitrairement  : 
ils  sont  liés  aux  pôles  correspondants  par  une  relation,  qui  a  la 
forme  (19)  quand  tous  les  pôles  sont  simples. 

m.  —  Équation  de  Lamé.  Équations  de  M.  Picard. 

210.  Équation  de  Lamé.  —  Une  application  des  plus  impor- 
tantes des  fonctions  doublement  périodiques  de  seconde  espèce, 
ou  fonctions  à  multiplicateurs  constants,  est  l'intégration  d'une 
classe  d'équations  différentielles  linéaires  et  homogènes  ayant 
pour  coefficients  des  fonctions  elliptiques. 

La  première  équation  de  ce  genre  a  été  considérée  par  Lamé  à 
propos  de  l'équilibre  des  températures  dans  un  ellipsoïde  homo- 
gène. Cette  équation,  appelée  équation  de  Lamé,  a  d'abord  été 
prise  par  Lamé  sous  la  forme 

_^  =[n{n  +  \)k^in^x  +  h-\y, 

k  étant  le  module,  n  un  entier  et  h  une  constante.  Lamé  s'est 
borné  à  intégrer  cette  équation  pour  des  valeurs  particulières 
de  h  choisies  de  telle  façon  que  l'équation  admette  une  solution 
qui  soit  un  poljnome  entier  en  sn^,  ou  un  polynôme  entier  en  sn^ 
multiplié  par  l'un  des  trois  facteurs  cn.r,  dn^  ou  cn;rdnx. 
Par  exemple,  quand  /z  =  i ,  l'équation 

admet  la  solution 

pour  /i  =  —  (i  +  A"-),  et  la  solution 

y  =  cn57, 
pour  h  = —  1 . 

M.  Hermite,  se  plaçant  dans  le  cas  général  où  h  est  quelconque, 

a  montré  que  l'équation  de  Lamé  peut  toujours  être  intégrée  et 

que  son  intégrale  générale  est  de  la  forme 

j/  =  GF(^)-i-G'F(— ;r), 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  343 

F(^)  étant  une  fonction  à  multiplicateurs  constants,  G  et  G'  deux 
constantes  arbitraires. 

21 1 .  Forme  de  l'équation  de  Lamé  dans  les  notations  de  M.  Weier- 
strass.  —  Si  dans  l'équation 

1  ^  =  n(n-\-  i)A-2  sn2ar  -r-  h, 
y  dx- 

on  fait  le  changement  de  variable 

.T   =    y    -h   tK', 

a  désignant  la  nouvelle  variable  et  a  une  constante,  et  si  Ton  se 


reporte  à  la  formule 
r  équation  devient 


u 


1    d^r        n(n-\-i)        , 

A 

Introduisons  maintenant  la  fonction  pu  par  la  formule  (n°  97) 

nous  obtenons  l'équation 

oii  l  est  une  constante.  G'est  là  la  forme  de  l'équation  de  Lamé 
dans  la  notation  de  M.  Weierstrass,  telle  que  nous  Tavons  ren- 
contrée au  n°  194. 

212.  Intégration  de  Téquation  de  Lamé  pour  n  =  i.  —  Nous 
allons  exposer  la  méthode  de  M.  Hermite  pour  le  cas  de  /z  =  i, 
qui,  d'après  les  recherches  de  M.  Hermite,  se  présente  dans  l'étude 
des  mouvements  à  la  Poinsot.  Nous  rattacherons  ensuite  le  cas 
où  n  est  un  entier  quelconque  à  un  théorème  de  M.  Picard. 


3î4  CHAPITRE    XI. 

L'équation  de  Lamé,  pour  /i  =  i ,  peut  s'écrire 
Essayons  de  la  vérifier  par  la  fonction  à  multiplicateurs  constants 


(ï{u  -\-  a) 


\u 


a  et  \  désignant  des  constantes.  Nous  avons,  en  prenant  les  dé- 
rivées logarithmiques  des  deux  membres 

yx    du  ^  /       -=  7 

et  en  dérivant  de  nouveau 

Mais  d'après  la  formule  d'addition  pour  X^u  (n°  M)  la  valeur  de 

7—  peut  s  écrire 

JKi    du   ^ 

— ■  -7—  =  Ç  a  -f-  A  -f — ! 

yx    du  ipu  —  pa' 

puis,  d'après  la  deuxième  formule  d'addition  pour  pu  (n'  45), 

on  a 

.             .        I  /p'm  — p'a\2 
■p{u^  a)==  -y['^ ^ —      —^u  —  -pa. 

On  a  donc  enfin 

yx    du^  ^         ^  4  Vpi^  — P«  / 

[^  -,         I  p'm  — p'a\2 

V  2    pw-pa  / 

Pour  que  le  second  membre  devienne  égal  à  2p?/+/,   on  voit 
qu'il  suffît  de  faire 

pa  =  /,        X  =  —  t,a. 

Ainsi  l'équation  (20)  admet  la  solution 

diu  -{-  a^        y 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  345 

à  condition  que  la  constante  a  soit  déterminée  par  l'équation 

(21)  jia  =  l. 

Comme  l'équation  différentielle  ne  change  pas  quand  on  change 
u  en  —  u,  elle  admet  également  la  deuxième  solution 

o  li 

qui  s'obtient  aussi  en  changeant  le  signe  de  a,  ce  qui  est  évident 
d'après  l'équation  (21)  dont  le  premier  membre  est  une  fonction 
paire  de  a. 

L'équation  de  Lamé  pour  n  =  i  admet  donc  l'intégrale  générale 


=  Cl  -^^ e-<^  +  G2     '  ^^_ — - e"^« 


a'  (  <^  —  a  ) 
c'a 


C,  et  Co  désignant  deux  constantes  arbitraires. 

213.  Équations  de  M.  Picard.  —  L'équation  de  Lamé  rentre 
dans  une  classe  d'équations  différentielles  linéaires  et  homogènes 
qui  peuvent  être  intégrées  à  l'aide  des  fonctions  à  multiplicateurs 
constants,  comme  l'a  montré  M.  Picard  (^Comptes  rendus,  1880, 
i^*"  semestre. 

Soit  une  équation  linéaire  d'ordre  ii  de  la  forme 

dont  les  coefficients/,  (j;),  y2(-^) 7  .  .  . , //^(^)  sont  des  fonctions 
elliptiques  aux  mêmes  périodes  ato  et  2co';  supposons  en  outre 
que  l'on  sache  que  l'intégrale  générale  est  uniforme  en  x  et  n'ad- 
mette pas  d'autres  singularités  que  des  pôles  à  distance  finie. 

Dans  ces  conditions,  l'équation  est  intégrable  à  l'aide  de  fonc- 
tions à  multiplicateurs  constants. 

Pour  le  démontrer,  supposons  l'équation  du  troisième  ordre 

Le  raisonnement  que  nous  allons  employer  s'appliquera  à  une 
équation  d'un  ordre  quelconque. 


346  CHAPITRE    XI. 

Le  point  de  départ  est  dans  ce  fait  que  quatre  solutions  quel- 
conques jKi,  jr2»  ^3?  JK/,  de  l'équation  du  troisième  ordre  (22)  sont 
liées  par  une  relation  linéaire  et  homogène  à  coefficients  constants 
de  la  forme 

GiJKi4-  C2JK2+  C3JK3+  G4jK4=  O. 

Soit  alors 

une  intégrale  de  l'équation  :  par  hypothèse,  c'est  une  fonction 
uniforme  de  x.  Gomme  l'équation  différentielle  ne  change  pas 
quand  on  change  œ  en  œ  -h  2(xi,  elle  admet  aussi  les  intégrales 

JK2=  ç(a7H-  2W),  J3=  Cp(^-|-  4w),  JK4=  cp(a7  +  6(0). 

Entre  ces  quatre  fonctions  a  lieu,  quel  que  soit  ^,  une  relation 
de  la  forme 

(•23)     Cl  cp(ip)-+-  C2  cp(a7-H  '210)-+-  G3  cp(a-'-f-  4w)h-  G4  o(a^4-  6w)=  o. 
En  supposant  G4  différent  de  zéro  et  divisant  par  C4,  on  a 

(24)  cp(^-i-  Gto)=  c'i  cp(^)-f-  C2  <ç(iP  -1-2  0))+  C3  çp(^-f-  4a)), 

c,,  C2,  C3  désignant  des  constantes  déterminées.  Considérons  alors 
la  fonction 

(25)  J^(^)=  Xi  9(57)+  X2  cp(^  +  2a>)-f-  X3  9(;r  -I-  4ca), 

OLiX,,  X2J  ^^3  sont  des  constantes  arbitraires.  Cette  fonction  est 
une  intégrale  de  l'équation  :  nous  allons  montrer  que  l'on  peut 
déterminer  les  rapports  de  ces  constantes  X  de  telle  façon  que 

(26)  4^(37  -h  2(1))=   [X  t];(57), 

[X  étant  une  constante  convenablement  choisie.  En  effet  cette  der- 
nière relation  s'écrit,  en  vertu  des  précédentes  (24)  et  (26) 

Xi  Cp(a7  -+-  2(0)-h  X2  o{,X  -h  4  W)+  X3[Ci  o{x)-h-  C2  ^{X  -+-  2  0)) -f-  C3  (^  (x  -f-  4  (o)] 

=  {ji[Xicp(a7)-i-X2(p(:r-}-2to)-t-X3cp(;r  +  4a))]; 
d'où,  en  égalant  les  coefficients  de  cp(^),  cp(^  -+-  210),  cp(^  -|-  4w), 

[     [ili  —01X3=0, 

(27)  <  — Xi-i- (J.X2— C2X3  =  o, 

(    —  X2-t-([A  — C3.)X3=  O. 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  347 

L'élimination  de  À,,  Ao,  )^3  entre  ces  équations  donne,  pour  dé- 
terminer ut.,  Téquation  du  troisième  degré 

(28)  JJl3—  C3IJL2— C2a  —  Ci=  o. 

Après  que  l'on  aura  pris  pour  ul  une  racine  de  cette  équation, 
on  tirera  des  équations  (27)  devenues  compatibles  les  rapports  de 
deux  des  quantités  À,,  )w,  A3  à  la  troisième,  et  l'on  aura  ainsi  une 
intégrale  '}(^)  telle  que 

En  partant  maintenant  de  cette  intégrale,  comme  nous  sommes 
partis  de  'f  (jc),  on  montrera  que  l'on  peut  déterminer  des  coeffi- 
cients constants  )/, ,  a!,,  A3  de  telle  façon  que  l'intégrale 

F(X)=  l\^(x)-^  X;  ^{X-^  2to')-h  X'3  6(37  4-4^') 

vérifie  une  relation  de  la  forme 

F(.r-i-2a>';=  ^'F{x). 
D'ailleurs  cette  fonction  F(x)  vérifie  évidemment  la  relation 

F(x  -f-  2w)=  !JL  F(rr), 

puisqu'elle  est  une  somme  de  trois  fonctions  6  qui  la  vérifient  sé- 
parément. 

On  a  donc  démontré  que  l'équation  possède  au  moins  une 
intégrale  F{x)  admettant  deux  multiplicateurs  constants.  Suppo- 
sons cette  intégrale  trouvée  :  alors,  conformément  à  la  théorie  gé- 
nérale des  équations  linéaires,  on  fera  le  changement  de  fonction 


r 


=  F(.,/...,  -^(i^): 


z  étant  la  nouvelle  fonction  inconnue.  Cette  fonction  z  vérifie  une 
équation  du  second  ordre 

dont  les  coefCicienis  sont  doublement  périodiques^  comme  formés 
rationnellement  avec   les  fonctions  /,  (jc), /2(^)  qui  sont  dou- 


348  CHAPITRE    XI. 

blement  périodiques  et  les  quotients 

F'(x)       F"(x) 
F(x)'      F{x)* 

qui  le  sont  également.  En  outre,  l'intégrale  générale  jk  de  l'équa- 
tion donnée  étant  supposée  être  uniforme  et  n'avoir  que  des  pôles 
à  dislance  finie,  la  nouvelle  fonction 


possède  les  mêmes  propriétés.  L'équation  différentielle  en  z 
possède  donc  les  propriétés  caractéristiques  des  équations  de 
M.  Picard  :  elle  admet  au  moins  une  intégrale  qui  est  une  fonc- 
tion à  multiplicateurs  constants.  On  l'abaissera  par  le  même  pro- 
cédé à  une  équation  du  premier  ordre  qui  s'intégrera  par  une 
fonction  à  multiplicateurs  constants. 

Remarque.  —  Nous  avons  supposé,  dans  notre  raisonnement, 
G/,  différent  de  zéro.  Si  G4  était  nul  (équation  23),  on  aurait 

Gicp(^)H-G2cp(a7  +  2w)+G3ç(iPH-4a))=o. 

Alors  on  supposerait  G3  différent  de  zéro  et  l'on  aurait 

cp (a?  H- 4  (o)  =  Cl  cp (37) -h  C2  ^  (^  H- 2  w  )  ; 
on  poserait 

et  on  déterminerait  le  rapport  y^  par  la  condition 

^{CC  -h  2t0)  =   [Jt.  '^'(X), 

|j.  désignant  une  constante.  Les  conclusions  sont  donc  les  mêmes. 
Le  cadre  de  cet  Ouvrage  ne  nous  permet  pas  d'entrer  dans  le 
détail  des  divers  cas  qui  peuvent  se  présenter.  Nous  renverrons  le 
lecteur  aux  Mémoires  de  M.  Picard  (Jou/'nal  de  Crelle,  t.  90)  et 
de  M.  Floquet  {Annales  de  V École  Normale,  3^  série,  1. 1,  i 


214.  Retour  à  Téquation  de  Lamé.  —  Prenons  comme  exemple 
l'équation  de  Lamé 

I    d^y 

y  du^  \  y  <r  7 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS.  349 

OÙ  n  est  un  entier  que  Ton  peut  toujours  supposer  positif,  car 
l'équation  ne  change  pas  par  le  changement  de  ii  en  ( —  n  —  i).  Il 
résulte  des  théorèmes  sur  les  équations  linéaires  établis  par 
M.  Fuchs  (')  que  cette  équation  a,  quel  que  soit  /,  une  intégrale 
générale  uniforme  ne  possédant  d'autres  singularités  que  des  pôles 
à  distance  finie.  On  peut  donc  affirmer,  d'après  le  théorème  de 
M.  Picard,  que  cette  équation  est  intégrable  à  l'aide  des  fonctions 
à  multiplicateurs  constants.  Vovons  quels  seront  les  pôles  de  ces 
fonctions  et  leur  ordre  de  multiplicité. 

Soit  ?/  =  rt  un  pôle,  d'ordre  a,  d'une  intégrale  y\  on  a,  dans  le 
voisinage  de  ce  point, 

C,  A,,  Ao  désignant  des  constantes.  On  en  conclut 

I    dy  _  OL  Ai-f- 2A2(m  —  a)-f-.  . . 

y  du  II  — a  i-r-A,(M  —  «)-i-... 

ou,  en  développant  le  second  rapport  suivant  les  puissances  de 
a  —  a, 

-  ~f  = ^-^Ai-f-Bi(;.-a)-f-... 

y  du  u  —  a  ^  ' 

Différentions  par  rapport  à  ;<  ;  il  vient 

I    d'^y       (i    dy^^  g  ^  ^ 

y  du-        \y  duj         {u  —  a)'^  i      •••» 

et,  en  remplaçant  -  ~-  par  sa  valeur, 

i    d^y  _   a(a-hi)  2aA, 

y  du-        {U  —  a)'^        u  —  a 

D'après  l'équation  de  Lamé,  ceci  doit  être  égal  à 

n(n  —  i)pu  ~  I. 

Comme  les  seuls  pôles  de  pu  sont  o  et  les  points  homologues, 
a  doit  être  égal  à  o  ou  homologue  de  o.  Comme  la  partie  prin- 

(')  Journal  de  C  relie,  t.  66,  p.  121. 


35o       CHAPITRE    XI.    —    FACTEURS    A    MULTIPLICATEURS    CONSTANTS. 

cipale  de  pu  dans  le  voisinage  d'un  de  ses  pôles  est 

I 

{u  —  ay' 
on  doit  avoir 

a(a -+■[)= /i(/i -f- 1),         aAj  =  o. 

La  première  relation  exige,  puisque  a  et  w  sont  positifs, 

a.  =  n 
et  la  seconde 

Ai  =  o.  ' 

Ainsi  une  intégrale  quelconque  de  l'équation  de  Lamé  admet, 
comme  seuls  pôles,  les  points  homologues  de  o  :  tous  ces  pôles 
sont  d'ordre  /?.  Nous  savons  d'autre  part  que  l'équation  de  Lamé 
admet  au  moins  une  intégrale  j'<  qui  est  une  fonction  à  multipli- 
cateurs constants.  D'après  la  formule  (8)  du  n°  202,  qui  donne 
une  fonction  à  multiplicateurs  constants  comme  le  quotient  de 
deux  produits  de  fonctions  H  mettant  en  évidence  les  pôles  et 
les  zéros,  cette  intégrale  yi  est  nécessairement  de  la  forme 

.     .     U(cc  ^  ai)  lî(x  -h  a-i).  ..ll(x  -h  a„) 

ou,  avec  les  notations  de  M.  Weierstrass, 

*^^  <^"{x) 

Il  reste  à  déterminer  les  constantes 

«1 ,      «2,       .  .  . ,      an,      A, 

de  façon  que  cette  fonction  vérifie  l'équalion  de  Lamé;  c'est  ce 
que  l'on  fera  par  un  calcul  analogue  à  celui  que  nous  avons  dé- 
veloppé (n"  212)  pour  le  cas  simple  de  /?  =  i . 

L'équation  admettra  une  deuxième  intégrale,  JK2  déduite  de  yi 
par  le  changement  de  .r  en  —  x.  On  retrouve  ainsi  les  résultats 
de  M.  Hermite. 


CHAPITRE  XII. 

FONCTIONS  A  MULTIPLICATEURS  EXPONENTIELS  OU  FONCTIONS 
DOUBLEMENT  PÉRIODIQUES  DE  TROISIÈME  ESPÈCE. 


2lo.  Définition.  —  M.  Hermite  a  di^^eXé  fonction  doublement 
périodique  de  troisième  espèce  une  fonction  uniforme  n'ad- 
mettant d'autres  singularités  que  des  pôles  à  distance  finie  et 
vérifiant  deux  équations  de  la  forme 

0{X-^  20)')=  e^'-^^*    0(37), 

rt,  6,  a\  b'  désignant  des  constantes.  Les  facteurs  e^^'^^  et  e^'-^'^^\ 
par  lesquels  la  fonction  est  multipliée  quand  l'argument  croît 
d'une  période,  sont  les  multiplicateurs  de  la  fonction  :  ces  mul- 
tiplicateurs sont  actuellement  des  exponentielles  linéaires  en  x. 
L'étude  de  ces  fonctions  a  été  faite  par  M.  Hermite  {Comptes 
rendus,  i86i  et  1862;  Journal  de  Crelle,  t.  100);  par  M.  Biehler 
{Thèse  de  Doctorat,  1879)  et  par  AL  Appell  {Annales  de  V École 
Normale,  ?>^  série,  t.  I,  II,  III  et  V).  Des  exemples  simples  de  ce 
genre  de  fonctions  sont  fournis  immédiatement  par  les  fonctions 
a",  H,  0,  ....  D'une  manière  générale,  la  fonction 

(2)  cp(^.rj_Ae         .     Yi{x-a,)n{x-a.)...\\{x-a^y 

OÙ  le  nombre  p  des  fonctions  H  au  numérateur  est  différent  du 
nombre^  des  mêmes  fonctions  au  dénominateur,  est  une  fonction 
doublement  périodique  de  troisième  espèce.  Nous  verrons  plus 
loin  que,  réciproquement,  toute  fonction  doublement  périodique 
de  troisième  espèce  peut  être  mise  sous  cette  forme.  Nous  donne- 
rons encore  deux  expressions  principales  de  ces  fonctions  :  l'une, 
par  un   quotient  tel  que    (2)  de  deux  produits  de   fonction  H, 


352  CHAPITRE    XII. 

mettant  en  évidence  les  zéros  et  les  pôles;  l'autre,  par  une  somme 
d'éléments  simples,  mettant  en  évidence  les  pôles  et  les  parties 
principales  correspondantes. 

216.   Simplification  des  relations  que  vérifie  une  fonction  à  mul- 
tiplicateurs exponentiels.  —  Soit  une  fonction  cp(^)  telle  que 

(p(a7  -h  20))  =  e^^^^o{x), 
o{x-\-  -2  10')=  e«''^+^'cp(a7). 

Posons,  en  désignant  par  X  et  [i,  des  constantes, 

On  peut  toujours  déterminer  X  et  a  de  façon  que  f(x)  admette  la 
période  2  0),  c'est-à-dire  ne  change  pas  de  valeur  quand  x  croît 
de  2to.  En  effet  on  a 

Cl  pour  rendre  cette  exponentielle  égale  à  i ,  il  suffit  de  déter- 
miner A  et  [J.  par  les  deux  équations  du  premier  degré 

(3)  4^w  =  —  a,        \\tii'^-^i\xui  =  — b. 

La  fonction  f{x)  vérifie  alors  deux  relations  de  la  forme 

S   /(^+2a))  =f{x), 
^'^^  \   /{x-^ioi')=e^^^'+^f{x), 

A  et  B  désignant  deux  constantes  dont  la  première  a  pour  valeur 

.     ,         ,       tùa' — a  m' 
A  =  4  ^^^  -h  a  = • 


Comme  la  fonction /'(o:)  admet  la  période  2  w,  les  deux  membres 
de  la  seconde  relation  (4)  ue  doivent  pas  changer  quand  x  croît 
de  2  03  :  on  a  donc 

g2A0)^j^  '2AW=  —  2N7Ii, 

N  désignant  un   entier  positif  ou  négatif.  Les  relations  (4)  s'é- 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  353 

crlvent  alors 

/(^-T-2w)  ==/(.r), 

_  ^"'^  ^ 
/(x-i-2w')=e        ^     ^   f{x). 

Si  l'entier  N  était  nul  la  fonction  f{x)  serait  une  fonction  aux 
multiplicateurs  constants  i  et  e^ ^  fonctions  que  nous  venons  d'é- 
tudier. Nous  supposerons  donc  N  différent  de  zéro.  Dans  cette 
hypothèse,  on  peut  encore  simplifier  un  peu  les  relations  ci- 
dessus,  en  prenant  comme  nouvelle  variable 

Bo) 

u  =  X  —  -— - 

et  posant 

Cette  fonction  F(«)  vérifie  alors  les  deux  relations 

(  F(a-T-2co)  =¥{u), 
(5)  _N^ 

C  est  à  cette  forme  simple  que  nous  supposerons  toujours  que  Ton 
ait  ramené  les  deux  relations  vérifiées  par  une  fonction  double- 
ment périodique  de  troisième  espèce. 


217.   Exemple  du  cas  N  =  r.  —  La  fond 


ion 


•IZHl 


(6)  E(?0=T7=e2^  Hi(wj:=—  -^,^e^^  H(ii— to) 

\i  Vq 

est  une  fonction  régulière  en  tous  les  points  à  distance  finie  ou 
ce  que  l'on  appelle  encore  une  fonction  entière  de  u,  car  elle  se 
comporte  comme  un  poljnome  en  tous  les  points  à  distance  finie. 
D'après  les  propriétés  de  la  fonction  H,,  on  a 

Hi(îi-f-2co)  =_Hi(w), 

Hi(ï«-l-2cu')-e~^'"'^'''^Hi(w); 

ce  sont  les  formules  du  n^  76,  où  nous  écrivons  2(o  et  2(o'  au  lieu 
de  2 K  et  ii^ .  Il  en  résulte  que  la  fonction  E(?^)  vérifie  les  rela- 

A.    ET   L.  .-3 


354  CHAPITRE  XII. 

lions 


(7) 


E(w  +  2co)  =  E(iO, 

iTZll 


e       "^        , 


relations  de  la  forme  (5)  où  N=  i.  Cette  fonction  entière  E(u) 
est  partout  finie;  elle  a  les  mêmes  zéros  que  H,  (u),  à  savoir  :  le 
point  II  =:  (ù  el  les  points  liomologues  ;  il  y  a  un  et  un  seul  de  ces 
zéros  dans  chaque  parallélogramme  des  périodes. 

Nous  avons  donné  pour  H,  (u)  la  série  suivante  (p.  ii5) 

Ui{u)=     V     q       ^        e        2  0) 

«=    —    00 

La  fonction  E{u)  est  donc  donnée  par  la  série 

«=r —  00 

OU  encore,  en  changeant  n  en  n  —  i, 

E{u)=     "V     7«'^«-i'e    ^   . 


I.  —    DÉCOMPOSITION    EN   FACTEURS.    CONSÉQUENCES. 

218.  Première  expression  d'une  fonction  doublement  périodique 
de  troisième  espèce.  —  Soit  une  fonction  F(w)  vérifiant  les  rela- 
tions 

(8)  N  i  -JT  n 

(  F{u-+-'20j')=e       ^     E{u), 

où  N  est  un  entier  positif  ou  négatif.  Si  nous  élevons  à  la  puis- 
sance N  la  fonction  E(?/)  du  numéro  précédent,  nous  obtiendrons 
une  fonction 

vérifiant  les  deux  relations 

E^iii-i-iio')^  e       ^     E^{u). 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  355 

D'après  cela  le  quotient 

«i>(w)=  -— — 

est  une  fonction  elliptique.  On  a  en  efTet 

Celte  fonction  elliptique  4>  a,  dans  un  parallélogramme  des  pé- 
riodes, autant  de  zéros  que  de  pôles;  on  peut  Técrire  (n"  40) 

H(?^  -h,)'^{u-h.)..,^\{u-h,) 
^^^  ^"^  H(,a-ai)H(a-a.)...H(w  — a^)' 

sous  la  condition 

De  celte  première    expression    de    la   fonction    F(«)    sous    la 
foiine 

F(w)=  E^'(ïO*i>(«)» 


on  conclut  immédiatement  les  résultats  suivants.  Nous  distinirue- 
rons  deux  cas  :  i''  l'entier  N  est  positif;  2"  l'entier  N  est  négatif. 


âU).  Cas  de  X  positif.  —  Si  nous  posons  N  =  m,  m  positif,  le 
facteurE'^*(zf)est  une  fonction  ne  devenant  pas  infinie  et  admettant 
comme  zéros  d'ordre  m  le  point  co  et  les  points  homologues.  On 
a  alors,  en  remplaçant  E(«)  j)ar  son  expression  (6), 

(II)       YKu)-^e  H(..-«0H(./-«2)...H(«-«,) 

Il  peut  se  faire,  dans  cette  expression,  que  certains  des  points  a,, 
<^o,  ...  coïncident  avec  w  ou  soient  homologues  de  co  :  il  y  aurait 
alors  des  réductions  évidentes.  Mais,  dans  tous  les  cas,  en 
comptant  chaque  zéro  et  chaque  pôle  avec  son  degré  de  multipli- 
cité, on  a  le  théorème  suivant  : 

Sl^  est  égal  à  un  entier  positif  /«,  la  fonction  ¥  {u)  a,  dans 
un  parallélogramme  des  périodes ^  m  zéros  de  plus  que  de 
pôles.  La  somme  de  ees  zéros,  diminuée  de  la  somme  de  ces 
infinis,  est  congrue  à  mtû.  La  première  partie  de  ce  théorème 
est  évidente  d'après  la   formule  (11);    quant  à  la   deuxième,  la 


356  CHAPITRE    XII. 

somme  des  zéros,  diminuée  de  la  somme  des  infinis,  est  congrue  à 

mw  -h  ^1  -f-  ^2  +  .  .  .  -i-  b,. —  <2i  —  «2  —  •  •  •  —  «r? 

c'est-à-dire  à  mto  d'après  la  relation  (lo). 

Réciproquement,  soient  a,,  ao,  .  .  .,  a^;  jBj,  [^2?  -  '  ^^  pr+m  des 
constantes  vérifiant  la  relation 

t^i  -^  p2H----+  p,.+m— ai  — a2  — ...— a,.=  mw, 

la  fonction 


777  71  7<i 


.„    H(»-MH(»       PO       H(»       p,.^„.) 
est  une  fonction  vérifiant  les  relations 

m  TT  ni 

comme  il  résulte  des  propriétés  de  la  fonction  H. 


777  u  m 
0) 


J^onctions  entières  admettant  les  multiplicateurs  i  ete 
—  Quand  N  est  égal  à  un  entier  positif  /??,  nous  venons  de  voir 
que  la  fonction  F  a  m  zéros  de  plus  que  de  pôles  :  il  peut  se  faire 
qu'elle  n'ait  pas  de  pôles  du  tout  :  alors  c'est  une  fonction  entière 
(E(w)  ajant  dans  un  parallélogramme  m  zéros 

ces  fonctions  particulières  ont  pour  expressions 


e(w)=Be  20)    U(u  —  i^,)ll(ii  —  i^,)... 11(11-  p,„), 

avec  la  condition 

pi+?2-t-----H  (3,71  =  rnui. 

On  voit  que  la  fonction  entière  la  plus  générale,  vérifiant  les  deux 
relations 

/    (è(u  -T-  '2  eu)    =  ^(U), 
(12)  I  _  777  71  i/i 

[   iB(u-i-'20i')=  e     ~'~^~e{u), 

dépend  de  m  constantes  arbitraires  B,  [j,,  ^2,  •■•,  pm-i  •  elle  est 
déterminée,  à  un  facteur  constant  près  B,  quand  on  connaît  (/?2  —  i) 
de  ces  zéros.  Nous  allons  montrer  que  la  fonction  entière  la  plus 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  SSj 

générale  vérifiant  les  relations  (12)  peut  s'exprimer  en  fonction 
linéaire  et  homogène  de  m  fonctions  spéciales  vérifiant  les  mêmes 
relations.  Pour  cela,  remarquons  que  toute  fonction  entière  ad- 
mettant la  période  2  oj  peut  être  représentée  par  une  série  de  la 
forme 


(i3)  €(^0=  y  A, 


n  iZiii 

e   ^    , 


dont  chaque  terme  admet  la  période  2Cl).  En  désignant  toujours 

TZM'  i 

par  q  la  quantité  e  ^  ,  on  a 

n  TT  Jti 

_  m  T.  ni  ^^^^  I 


In  —  m)  7:  i/i 


D'après  la  seconde  des  relations  (12)  ces  deux  séries  doivent  être 

identiques.  En  égalant  dans  ces  séries  les  coefficients  des  mêmes 

7:1^ 
puissances  de  c  '^  ,  on  a 

(14)  A„+„,=  A„^27i^         {n  =  o,  =j,  :^i,  ...). 

D'après  cette  relation  unique  entre  les  coefficients,  on  voit  que 
l'on  peut  prendre  arhitrairement  Ao,  A,,  . . .,  ^^m-i  et  déterminer 
ensuite  tous  les  coefficients. 

Ainsi  en  faisant  successivement  /^  =  o,  n  =  m,  n  =  2  m,   .  .  . , 

A,„  =  Ao,  Ao,n  =  Arn  q'"',  .  .  .  ,  Av,„  =  A(v-i)m  ^2^v-l)m, 

d'où,  en  multipliant, 

(15)  Av;„-    Ao^V(V-l)m; 

en  faisant  de  même,  dans  (i4)î  ^=  —  ^^t  ^= — 2 m,  ..., 
n  = —  am  et  multipliant,  on  vérifiera  que  la  formule  (i5)  subsiste 
pour  V  négatif.  Tous  les  coefficients  Aym  sont  ainsi  exprimés  à 
l'aide  de  Aq.  Par  un  calcul  semblable  on  exprime  tous  les  coeffi- 
cients Av,«_^i  en  fonction  de  Ai,  Av/7i4.2  en  fonction  de  Ao,  ,.., 


358  CHAPITRE     XII. 

Avw+w_i  en  fonction  de  Am-\'  On  trouve 


Av,„+p=  A2ryviv-i)/«+2pv, 


V{V— l)//i4-2  (/«—!}  V 


En  portant  ces  valeurs  dans  le  développement  de  la  fonction  en- 
tière (iÊ(?^),  on  trouve  qu'il  prend  la  forme  suivante 

©(^0=  AoEo(i^)+  Al  Ei(ï/)-H...-{- ApEp(w)  +  ..  .-^A,n-i  E,„^i{u)y 
où  Eo,  E,,  ...  désignent  les  fonctions  entières  suivantes 


(i6) 


^  muni 


rV(v— l)/«+2V  zj       0) 


pTT  ni 

Ea{ii)=e~^ 


y       ^v(v— l)m+2pvg      to 


Ainsi,  comme  nous  l'avons  dit,  la  fonction  entière  la  plus  géné- 


rale admettant  les  multiplicateurs  i  et  e  ^  est  une  fonction 
linéaire  et  homogène  de  m  fonctions  spéciales  Eo,  E, ,  ...,  ^m-t- 
L'expression  de  cette  fonction  contient  ??i  constantes  arbitraires 
Aq,  Ai,  . . .,  Am-i  dont  on  peut  déterminer  les  rapports  de  façon 
que  la  fonction  ^{u)  admette  m  —  i  zéros  p,,  po,  ...,  ^m-i 
donnés  à  l'avance.  Ces  fonctions  Ep  s'expriment  toutes  à  l'aide  de 
la  première  :  on  a  évidemment 


puni 

Eo(u)=  e'^^Eo  lu 


2pw 


D'ailleurs   la  fonction  Eo  s'exprime  aisément    par   une   fonction 
de  Jacobi.  En  effet,  reprenons  la  fonction  E(?^)  construite  plus 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  359 

haut  (n^  217)  avec  les  périodes  2w  et  2w' 


TZiii 


=  T^e2w  Hi(?f  |(o,  co'), 

vq 
où  nous  mettons  en  évidence  les  périodes  ayant  servi  à  construire 

TZM'  i 

Ja  fonction  H,.  Si  dans  cette  formule  on  change  w  en  —  ?  cj  =  e  ^ 

se  change  en  cj"'^  et  la  série  du  second  membre  devient  précisé- 
ment Eo(^^).  On  a  donc 

(I  \  m  7:  ni  ,      I 

1  m         )        y^m  \     I  m 

220.   Cas  de  N  négatif.  —  Supposons  maintenant  N  négatif,  et 

posons 

N=— w, 

où  m  est  un  entier  positif.  Les  fonctions  à  étudier  sont  alors  telles 

que 

¥{u  -}-  210)  =  F(fi), 


F(t^H-2CL>')=  e    ^     F{u). 

On  conclut  immédiatement  de  ces  relations 
I  _      I 

F(ll-r~'20j)   ~   F{U)' 


VI TT  ni 


=  e 


L'inverse  t— — -  de  la  fonction  à  étudier  est  donc  une  fonction 

m  TT  ni 

aux  multiplicateurs   i   et  e       ^     [m  positif),  c'est-à-dire  une  des 

onctions  du  numéro  précédent.  L'inverse  ^^. — r  peut  donc  s'écrire 
^  F(?0 


Jn  7C  iii 


V(u)  H(!(  — ot,)---H(«  — J,) 


36o  CHAPITRE    XII. 

avec  la  condition 

La  fonction  F(w)  a  donc  pour  expression  générale 

^  H(..-(i,)...H(^-p,^,,) 

Elle  a,  dans  nn  parallélogramme  des  périodes,  m  pôles  de  plus 
que  de  zéros,  et  la  différence  entre  la  somme  de  ces  pôles  et  de  ces 
zéros  est  congrue  à  iniD. 

Il  ne  peut  donc  pas  exister  de  fonctions  aux  multiplicateurs  i 

7nTCiii 

et  e  "^  ,  n'ayant  pas  de  pôles.  Mais  il  en  existe  qui  n'ont  pas  de 
zéros;  ce  sont  les  inverses  -^-^  des  fonctions  sans  pôles  du  nu- 
méro  précédent. 

IL   —   DÉCOMPvOSITION   EN   ELEMENTS    SIMPLES. 

221.  Étude  de  rélément  simple.  —  Désignons  par  x  et  y  deux 
variables  indépendantes,  par  m  un  entier  positif,  et  considérons 
la  fonction  de  ^  et  jk  définie  par  la  série 

«  =  4-00 

-«-^  innizyi 

2  0)      J^  ^  2  W  "^  ' 

n=- —  00 

ou  bien 

W  =  -4-  OO 

mn'K'yi 


('8)       X'^(^'^)=^  ^  ^  "^    q 


mnin—l) 


TK-T-y)! 

e      ^ 

-+-  q^'i 

Tl{^--y]i 

e      ^ 

ûr2rt 

Celte  série  est  convergente  pour  toutes. les  valeurs  de  ^  et  y  à 
l'exception  de  celles  qui  vérifient  la  condition 


■y  =  'iJHù  -+-  2  7i'w'         {n  et  n'  entiers), 


et  pour  lesquelles  un  des  termes  de  la  série  devient  infini. 

Si  l'on  considère  x  comme  une  constante  et  y  comme  variable, 
la  fonction  '//«(^j  y)  est  une  fonction  uniforme  de  j  n'ayant  à 
distance  finie  d'autres  points  singuliers  que  des  pôles  du  premier 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  36l 

ordre,  à  savoir  les  points 

y  —  X  —  'inoi  —  -2  /i'  w  '  ; 

le  résidu  relatif  au  pôle  y  =  j;  est  — i,  car  le  seul  terme  de  la 
série  qui  devient  infini  pourjK  =  ^  est 

-^  cot-^  (x  —  y). 

•2C0  -ILO^  -^  ' 

Cette  fonction  vérifie  les  deux  relations  suivantes,  qui  s'établissent 

aisément  : 

(  lm{x,  y  -i-  2ai)  1=  x,«(.r,  y), 

(19)  I  _  fi  TZyi 

(  Zm(a7,  r^2to')=  e       ^    yjn{oc,y). 
Cette  fonction  y„i  de  la  variable  jk  admet  donc  les  multiplicateurs 


I  et  (?      ^     :  elle  a  dans  un  parallélogramme  (m  -f-  i)  zéros  et  un 
pôle  homologue  de  x. 

Si  l'on  considère,  au  contraire,  y  comme  une  constante  et  x 
comme  variable,  il  se  présente  des  circonstances  entièrement 
différentes.  La  fonction  '/mi^oc^y^  est  alors  une  fonction  uniforme 
de  X  n'ajant  à  distance  finie  d'autres  points  singuliers  que  des 
pôles  du  premier  ordre,  à  savoir  les  points 

37  =  j^  H-  2  n  0)  -i-  2  ^l' w'  ; 

le  résidu  de  cette  fonction  relatif  au  pôle  x-=^y  est  égal  à  +  i. 
Elle  vérifie  d'abord  la  relation  évidente 


(20) 

puis  l'équation 


Xm(^  -f-  2  0),  Jk)  =  X/«(^,  7), 


X/n(^-H2CD',  j)=e     ^      Jm{x,y) 


(21) 


^i  1 

T  - 

m  TT  ri 

-e    ^ 

2(.0 

Tzi 

m 

-DTT.W 

60                E 

to 

(w 

-p)'K.Ti 

Eo(r) 


Ey{y)-... 


Ep(r) 


^  E, 


iyh 


362  CHAPITRE    XII. 

où  les  m  fonctions  Eq,  E,,  .  .  .,  ^m-\  sont  celles  qui  ont  été  dé- 
finies plus  haut  (n°  219). 

Pour  démontrer  cette  relation  fondamentale  (21),  remarquons 
que  la  série  (18)  nous  donne 

Xm(^  +  2w',jK)=   ; — •       7]      e      «^       qmn[n-\) 
n  = —  00 

OU,  en  changeant  11  en  n  -h  i , 

n=-u«  .  'K(x—y)i 


7r( 

.r  — 

■.r)j 

-X- 

^2(n- 

e 

w 

-1) 

!L1 
e 

.r  — 

0) 

-y)i 

'_ 

^2(«- 

-1) 

yjn{x^'>-^',  y)=  —  21   ^       ^       ^""^ 


TTI.r  —  r)i 


n  =  — 00  g        O)  . —  q%ii 

Si  nous  formons  alors  la  différence 


nous  obtenons  une  série  qui  peut  s'écrire 


;;z  (  «  -+- 1 1 7C  \i 

(2.)  "•    ^^ 


-71 1     v^       — ,     ,At  -^  u){u"i—t>'i) 

y       e  ^  qmnin—l)  1 Ll i  , 


en  posant,  pour  un  moment, 

Tli.y  —  Y)  i 

(23)  e       ^^>        =  ^,  q'^'i=u. 

En  effectuant  la  division,  on  a 

t  —  11^ 

et  en  substituant  dans  la  série  (22)  on  voit  que  cette  série  se  par- 
tage en  (/?z  -I-  i)  séries. 

La  première  de  ces  séries  est 


t"^ 


c'est-à-dire,  d'après  la  valeur  de  t^ 

_     .  n  =  -i-  00 
20)  >^  ^ 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  363 

OU  enfin 

^  .     m  TZ  .ri 
•2(0 

La  deuxième  de  ces  séries  est  de  même 


co 
c'est-à-dire 


.  7ri  I  n  -^Wt:  ri 

_   ^    g  uti  (ymn{n—l)(/n—lii 


OU  enfin 

•     {m  —  DTZrri 
-  l 


.     (OT  — p)TCx/     ÇtTZyi  mn'KYi 

t:  i  ~  " 


to 
OU 


co  ^    (X) 


e       ^         E,(j). 

to 

.\insi  de  suite.  La  (p  -i-  i)^^""*^  de  ces  séries  est 

mn'KYi 
^     Q       to        <7/rt«(«— l)-t-2«p 

.     (  w/  —  p  i  TT  ri 

La  dernière  ou  (m  -\-  i)''^^™'^  de  ces  séries  est 

7nn7:yi 
X    g      o)       qmtiKn—D-^'î.nm 

c'est-à-dire 

^    .  777  (  rt  -f-l  )  TTj/ 

ou  enfin 

comme  on  le  voit  en  changeant,  dans  la  dernière  ^,  n  en  n  —  i. 
Ce  calcul  démontre  la  formule  (21). 

On  a  ainsi  les  propriétés  fondamentales  de  l'élément  simple 

■/m(^,  y)' 

222.   Décomposition  en  éléments  simples  dans  le  cas  où  N  est  né- 
gatif, ^  =  —  /?i.  —  Soit  F{u)  nne  fonction  aux  multiplicateurs  1 

et  e   ^    ,  /?i  étant  positif.  Une  telle  fonction  possède  au  moins  m 


364  CHAPITRE    XII. 

pôles  dans  un  parallélogramme  clés  périodes.  Supposons  qu'elle 
ait  r  pôles  simples  (r'^m)  homologues  des  points 

a,     b,     ...,     l 

et  que  les  résidus  aux  points  a^  b,  .  .  .^  l  soient 

A,     B,     ...,    L. 

Ces  pôles  et  les  résidus  correspondants  sont  liés  par  m  relations 
qu'il  est  aisé  de  former. 

Relations  entre  les  pôles  et  les  résidus.  —  Considérons  une 
des  m  fonctions  entières  Ep(?^)  du  n°  219  qui  admettent  les  mul- 

tiplicateurs  i  et  e       P    .  Le  produit 

est  une  fonction  elliptique  aux  périodes  2w  et  aw'.  En  effet,  les 
deux  facteurs  admettent  séparément  la  période  2w  et,  quand  u 

m  71  là 

croît  de  'a  w',  le  premier  facteur  est  multiplié  par  e   "^    ,  le  deuxième 

?n  TU  ni 

par  e  ^  et  le  produit  ne  change  pas.  Cette  fonction  elliptique 
a  les  mêmes  pôles  que  F(w),  carie  facteur  Ep(i^)  n'a  pas  de  pôles. 
Le  résidu  ùq^^u)  au  pôle  u  =  a  est  AEp(a),  car  on  a,  au  voisi- 
nage de  «  =  «, 

A 

Y{u)= h  fonction  réi^ulière, 

Ep(i^)=Ep(a)-f-(w  — «)Ep(a)-f-..., 

d'où,  en  multipliant, 

AEp(a) 

4>(M)r= h  fonction  réî?uliôre. 

u  —  a  ^ 

Les  résidus  de  ^{u)  relatifs  aux  autres  pôles  sont  de  même 
BEp(^),  . . .,  LEp(/).  La  somme  des  résidus  d'une  fonction  ellip- 
tique étant  nulle,  on  a  la  relation 

^^4)  AEp(a)-+-BEp(6)H-...+  LEp(0z=o. 

En  attribuant  à  l'indice  p  les  m  valeurs  o,   i ,  2,   .  .  . ,  m  —  i 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  365 

{n°  219),  on  obtient  ainsi  m  relations  nécessaires  entre  les  pôles 
et  les  résidus  de  F(;^). 

Décomposition  en  éléments  simples.  —  Considérons  la  diffé- 
rence 

(25)       W(u)=Fiu)-Ay,„(u,a)-By,n(ii,à)  —  ...-Ly^,n{u,l): 

nous  allons  montrer  que  cette  différence  W  est  identiquement 
nulle.  Tout  d'abord  la  fonction  ^ i^u)  ainsi  construite  admet  les 


multiplicateurs  i  et  e   '^     :  on  a  évidemment 

T(i^  +  2co)=  ^^'(^^), 

car  chaque  terme  du  second  membre  admet  la  période  203;  voyons 
ce  que  devient  le  second  membre  quand  u  croît  de  2  co'  :  on  a 
d'abord 


F(?«-^2a)')— e    ^     F(w)=o, 
puis 


'/m  (  w  ^  2  w',  «  )  —  e    ^     y„i  {il,  a) 

•  [  m  TT  ni  \  .     I  /n  —  1  '  7:  ni  .     T.ui 

rriTZiii 

X>n  (  «  -f-  2  co',  6  )  —  e    "     x„,  (  ?^,  ^  ) 

.    /  /7i  TT  ?//  \  .     I  m  —  1  )  TT  ni  ,     TT  /// 

jÎ  (Ju  eu  tO 


comme  il  résulte  de  la  relation  fondamentale  (21)  dans  laquelle 
on  remplace  x  par  u  et  y  par  a.  ou  b,  . .  .,  ou  /.  D'après  cela  la 
différence 

}n  TT  ni 

peut  s'écrire 


_^(, 


?W  TT?/; 


_^^  ,         e    ^    y[AEo(a)+BEo(6)4-...4-LEo(/)], 

^  •     (  w  —  1  )  7:711 

-^e       ^o        [AE,(a)-BE,(6)  +  ...^LEi(0], 


-^e^  [AE,,_aa)-i-BE,,,_u/.)-^...-i-LE,„_u/;]; 


366  CHAPITRE    XII. 

cette  différence  est  donc  nulle,  puisque  cfiacune  des  sommes  entre 
crochets  est  nulle  en  vertu  des  relations  (24)  entre  les  pôles  et  les 
résidus.  Ainsi  la  fonction  ^I^^^^)  vérifie  les  deux  relations 

(26)  j  w  7:  ni 

De  plus  cette  fonction  W  est  finie  en  tous  les  points  à  distance 
finie;  elle  n'a  plus  de  pôles.  Par  exemple,  dans  le  voisinage  de 
a  z=z  a,  on  a 

F(u)= h  fonction  régulière, 

7,«(w,  rt)= h  fonction  réiruiiôre, 

'"  Il  —a  o  ' 

et  les  autres  fonctions  y^m{ih  ^)y  •  •  •  1  yjn{ff,  l)  sont  régulières  au 

point  a  :   dans  la  combinaison  donnant  W(^u),   disparaît, 

et  ^'(^^)  ^^^  régulière  au  point  a.  Elle  l'est  également  aux  points 
^,  ...,  /  et  aux  points  homologues.  En  résumé,  ^ {u)  estune  fonc- 
tion sans  pôles  vérifiant  les  relations  (26).  Mais  nous  avons  vu 
qu'il  n'existe  pas  de  fonctions  sans  pôles  vérifiant  ces  rela- 
tions (n°  220)  :  donc  ^'(?/)  est  identiquement  nulle  et  l'on  a  la 
formule 

(27)  Y {u)  ^-  kyjn{u,  a)  -^  \^  yjn{u,  b)-\- .  .  .-\-^.y,n{u,  l), 

qui  est  la  formule  de  décomposition  cherchée,  mettant  en  évidence 
les  ])ôles  de  F(z/),  a,  b,  .  . .,  /et  les  résidus  A,  B,  . . .,  L. 

Réciproquement,  si  a^  b,  . . .,  /  sont  des  points  arbitraires,  non 
homologues  deux  à  deux,  et  A,  B,  .  . .,  L  des  constantes  vérifiant 
les  relations    (24),    l'expression   (27)  définit   une   fonction  aux 

?n  71  tif. 

multiplicateurs  i  et  <?  ^  admettant  comme  pôles  simples  les 
points  a,  b,  ...^  l  avec  les  résidus  A,  B,  ....  L,  et  leurs  homologues. 

Remarque.  —  On  obtiendrait  cette  même  formule  de  décom- 
position en  considérant  le  produit 

n(^)=F(p)x(w,p), 

comme  une  fonction  de  v.  Ce  produit  n((')  est  une  fonction  ellip- 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  SGj 

lique  aux  périodes  2w  et  2(o',  car  les  fonctions  de  i',  F((^)  et 
'/,n{it,  r)  ont  des  multiplicateurs  inverses;  cette  fonction  !!((') 
admet  comme  pôles  les  points  homologues  de 

ç  =  a^         ç  =  b,         ....         V  =  l,         V  =  a, 

avec  les  résidus  respectifs 

Ay,n(u,a),     Byjn{u,b),     ...,     hy,n{ii,l),     —  F(m); 

l'expression  du  dernier  de  ces  résidus  résulte  de  ce  que  ym{Uj  v)^ 
regardé  comme  fonction  de  r,  admet  le  pôle  simple  r  =  u  avec  le 
résidu  —  i  (n°  2'^!).  En  écrivant  que  la  somme  des  résidus  de  la 
fonction  elliptique,  relatifs  aux  pôles  non  homologues,  est  nulle, 
on  a  immédiatement  la  formule  de  décomposition  (27). 

Cas  des  pôles  multiples.  —  INous  avons  écrit  la  formule  de 
décomposition  et  les  relations  entre,  les  pôles  elles  résidus  dans 
le  cas  des  pôles  simples.  Si  les  pôles  sont  multiples  ces  formules 
3e  généralisent,  comme  celles  que  nous  avons  données  (n*^*  26 
et  207)  pour  les  fonctions  elliptiques  et  les  fonctions  à  multiplica- 
teurs constants.  Bornons-nous  à  écrire  ces  formules.   Supposons 


que  la  fonction  F  (m)  aux  multiplicateurs    i    et  e    '^     admette  les 


,   ....  t  avc^^  JC3  jjcii  Lie:?  |>i  1  ij 

A        ,          .Y, 

A^_, 

U  —  a        {u  —  a)' 
B                 B, 

u  —  b        {  i(  —  b )- 

(u  —  b)? 

on  aura  la  formule 


d  y  m  (tt,  a)         A  2    d-  y„i  (  it.  a) 
da  1.2  da- 


d^-^y,n{u,a) 


la  somme  étant  étendue  à  tous  les  pôles.  En  outre,  les  relations 


368  CHAPITRE    XII. 

entre  les  pôles  et  les  coefficients  des  parties  principales  sont 

"^  i.2...(a-i)        da^-^      J~^' 
où  l'on  fait  successivement  p  =  o,  1,2,  ...,  (m  —  i). 
223.  Exemple.  —  Soit 


Cette  fonction  vérifie  les  relations 

cp(a7 -h  20)')  —  e  ^    V  '^  ) ':i{x). 

Si  donc  on  fait,  pour  un  momentj 

,      to 

X  -i-  co =  M, 

2 

(p(  w  —  co'+  —  j  =  F(w), 

cette  fonction  F  vérifie  les  deux,  équations 

F(?^  +  2w)  =  F(w),         F(i«-f-2o/)=  e~f»>^F(ï^). 

Pour  cette  fonction  F  le  nombre  entier  désigné  par  m  est  donc  2. 
La  fonction  o(^)   admet  dans  un   parallélogramme  des  périodes 

les  deux  pôles  simples  o  et  w  avec  les  résidus  respectifs  ,-77 rr-, — 

et  — -rj,,      Ti  / Comme   u  est  égal  à  ^  H- w' ,  la  fonction 

F(?^)  admet  les  deux  pôles 


2  2 


avec  les  mêmes  résidus 


A  =  ,^^_^^— ,         B  = 


H'(o)Hi(o)  H'(o)Hi(o) 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  869 

On  a  donc  la  formule  de  décomposition 

F{ii)  =  A  1-2(11,  a)-h  B  y^iii,  b), 

d'où,   en  revenant  à  la  variable  x  et  remplaçant  A,  B,  a,  b  par 
leurs  valeurs 

H^(o)Hi(g)  /       ,        ,        O)         ,        0)\  /  ,        co         ,        co\ 

Si  Ton  met  pour  ces  fonctions  y. 2  les  séries  servant  de  définition, 
on  a 

H7o)H,(o) 
U(x)Hi{2;) 

=  -^     V    (—i)"q-'^'\cot~{x  —  2n(jii')—cot-^(x  —  to  —  2niû')\. 

2 10      Jmi  L  2  tO  2  U>  "^  J 

/j^ —  00 

La  seconde  cotan^ente  est  éiîale  à  —  tano-^{'j?;  ~  2 nii)');  on  â 

o  ^  200  ^  '  ' 

donc  enfin,  en  réduisant, 

H'(o)Hi(o) 


in  —  (x  —  2/1  oj') 


On  établira  de  même,  à  litre  d'exercice,  la  formule 


H'(o)Hi(o)       -i 
Q{x)  Qi{x) 


=  —   y^{—V"q      -       cot-[x—(in  —  i)(jù']. 


M.  Hermite  a  montré  l'importance  que  présentent  les  développe- 
ments de  ce  genre  pour  les  applications  à  l'Arithmétique. 

221.  Formule  de  décomposition  dans  le  cas  de  N  positif.  N  =  m. 

m  7ï  ui 

—  Soit  F(u)  une  fonction  aux  multiplicateurs  i  et  e  '^.  Sup- 
posons que  cette  fonction  admette  les  pôles  simples  a,  b,  ...^  l 
non  deux  à  deux  homologues,  avec  les  résidus  A,  B,  . . .,  L.  L'ex- 
pression 

est  une  fonction  aux  mêmes  multiplicateurs,  mais  n'ayant  plus 

A.    ET   L.  o-i 


370  CHAPITRE    XII. 

de  pôles.  En  effet,  chacune  des  fonctions  F(w),  ym{^j  ")»  •••? 


Xm{l,  u)  admet  les  multiplicateurs  i  et  e       ^     (n^  221).  En  outre, 
dans  le  voisinage  de  «  =  a  par  exemple,  on  a 


F(m)= h  fonction  régulière, 


^,„(a,  u)  = h  fonction  régulière, 

et  les  autres  fonctions  '/w(^,  u),  ••.,  '/m{l^  u)  sont  régulières. 
Dans  la  combinaison  donnant  W ,  — —  disparaît.  Le  même  fait  se 
produit  en  tous  les  pôles  de  ¥[ii).  La  fonction  W[u)^  admettant 


les  multiplicateurs  i  et  e  '^  et  étant  partout  finie,  est  une  des 
fonctions  entières  C(?^)  étudiées  au  n°  219.  Elle  est  donc  de  la 
forme 

OÙ  Xq,  X,,  ...,  \n-\  sont  des  constantes  déterminées.  On  a  alors 
la  formule 

\¥{u)=^  —  kyj,,{a,u)—l^yjn{b,u)~...—  Lyjn{l,u) 

\  -f-XoEo(M)+Xi  Ei(w)  +  ...+  )w„_iE,;,_i(w). 

On  pourra  déterminer  les  coefficients  Xq,  Xi,  ...,  \rn-\  en  attri- 
buant ni  valeurs  numériques  à  la  variable  u.  Pour  une  étude 
plus  détaillée  de  ce  point,  nous  renverrons  aux  Mémoires  de 
M.  Appell. 

Dans  le  cas  des  pôles  multiples,  chaque  terme  de  cette  formule 
doit  être  remplacé  par  une  somme  telle  que 

.  .         ^       .     dy„i(a,u)        A,    d^y„i(a,u) 

Apt-i  d^-^yrn{a,  u)  ^ 

i.'i.  ..{oL  —  ij  da^-^ 

Dans  ces  formules  il  n'y  a  aucune  relation  nécessaire  entre  les 
pôles  et  les  parties  principales  correspondantes.  A.insi,  quels  que 
soient  les  points  a,  ^,  ...,  /et  les  constantes  A,  B,  ...,  L,  Xq,  )m5  •••? 


FONCTIONS    A    MULTIPLICATEURS    EXPONENTIELS.  Sjl 

la  fonction  définie  par  la  formule  (28)  admet  les  multiplica- 


m  7T  m 

leurs  I  et  r'      "^ 


22o.  Résumé.  —  On  voit  que  le  même  élément  simple  '/^^(jc,  y) 
peut  être  employé  pour  la  décomposition  des  fonctions  F(;^)  à 

N  TT  iii 

multiplicateurs  i  et  e  ^  ,  que  N  soit  positif  ou  négatif.  Quand  N 
est  négatif,  N  =—  jn,  c'est  x  qui  est  la  variable  u  et  y  qui  coïn- 
cide successivement  avec  les  pôles.  Quand  N  est  positif,  N  =  /?i, 
c'estjK  qui  est  la  variable  a  et  x  qui  coïncide  successivement  avec 
les  pôles. 


CHAPITRE  XIII. 

PÉRIODES  ÉQUIVALENTES.  NOTIONS  SUR  LES  FONCTIONS  MODULAIRES. 


L   —    GÉNÉRALITÉS. 

226.  Périodes  équivalentes.  —  Soient  203  et  2to'  une  paire  de 
périodes  primitives  d'une  fonction  elliptique.  Posons 

(  oj'.  =  aoj'  -h  biù, 

(1)  )  '       ^ 

a,  b^  c,  ci  désignant  quatre  nombres  entiers  positifs,  négatifs  ou 
nuls,  tels  que 

ad  —  bc  =^àzi. 

En  résolvant  alors  les  équations  (i)  par  rapport  à  to  et  co',  on 
trouve  pour  w  et  m'  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  à  coeffi- 
cients entiers  de  w^  et  ù)\  :  par  exemple,  si  ad  —  ^c  =  i,  on  a 

(2)  ) 

On  dit  que  2co  et  awM'une  part,  2t0i  et  20)'^  d'autre  part  sont  des 
systèmes  de  périodes  équivalentes.  Une  fonction  admettant  les 
périodes  203  et  i(s^  admet  également  les  périodes  2  0l)i  et  2to'^  et 
réciproquement.  En  effet,  si  une  fonction  F(z^)  admet  les  pé- 
riodes 2(0  et  2(JL)',  on  a 

F(M-}-2aw'-H26w)=  F(m), 
F  (  ^^ -h  2  c  w' H- 2 <ia> )  =  F  (  M )  ; 

donc 

F  (  w  -1-  2  w'i  )  =  F  (  M  ), 

F(m4-2Wi)  =  F(m) 

et  la  fonction  admet  les  périodes  2t0i  et  2to'^.  La  réciproque  se  dé- 
montre de  la  même  façon  en  partant  des  relations  teJles  que  (2). 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  373 

Si  une  fonction  F (u)  admet  les  périodes  sto,  et  203',  on  a 


donc 


F  {u  -^  idoj\  —  26101)=  F(m). 
¥(it  —  2cc0j  -f-  aacoi)  =  F(w): 

F(u-i-Q.(M')=  F{u), 

F{u-^20i)  =  F{u). 


227.  Rapport  des  périodes.  —  Nous  avons  supposé  que,  dans  le 
rapport  des  périodes 


le  coefficient  de  i  est  positif.  Nous  allons  démontrer  que,  dans  le 
rapport 


des  périodes  équivalentes,  le  coefficient  de  i  est  encore  positif  si 

ad  —  6c  —  -h  i; 
il  serait  au  contraire  négatif  si  l'on  prenait 

ad —  6c  =  —  I. 


En  effet,  soit 


on  a 


a>'=  a'-f-  P'f  ; 

0/  _  (a'-^  B'0(a  —  8  0 
to 


a2-|-^2 


le  coefficient  de  i  est  donc  du  signe  de 


Soient  maintenant 


a?'-?a'. 


-^^li,         to;  =  aj-t- p;i; 


les  relations  (i)  donnent 


On  voit  que 


a  1  :=  <2 a'  -I-  6 a,  oci=  col'  -i-  da, 

'S\  =  a^'-hb^,         Pi=c^'-+-c?p. 

ai^;— 3,a;=(a3'— îîa')fat/— 6c), 


374  CHAPITRE    XIII. 

et  si  l'on  prend  ad  —  bc  ^=\^ 
donc  le  coefficient  de  ?,  dans 


\        aixi' -\- bi.ù  __  ai -\- b 


a  également  le  signe  +. 

Si  l'on  avait  ad —  èc  =  —  i,  le  coefficient  de  i  dans  t,  serait 
négatif. 

228.  Réseaux  de  parallélogrammes  formés  avec  les  périodes 
équivalentes.  —  Prenons  les  expressions 

dans  lesquelles  ni  et  ^^,  m^  et  n^  prennent  toutes  les  valeurs  en- 
tières positives,  négatives  ou  nulles.  Les  points  w  forment  les 
sommets  du  réseau  des  parallélogrammes  construits  avec  les  pé- 
riodes 2(0  et  2to';  les  points  tVi,  les  sommets  du  réseau  analogue 
construit  avec  itt)^  et  2(o'^.  Nous  allons  montrer  que  ces  deux 
réseaux  ont  les  mêmes  sommets,  c'est-à-dire  que  les  quantités  w^ 
sont,  à  l'ordre  près,  identiques  aux  quantités  w. 

En  effet,  chacune  des  quantités  w^  fait  partie  de  la  suite  des 
quantités  tv,  comme  on  le  voit,  en  remplaçant,  dans  W\,  co,  et  to', 
par  leurs  valeurs  (i)  en  fonction  de  co  et  w'.  Inversement,  comme 
ad —  bc  =dz  i  chacune  des  quantités  w  fait  partie  de  la  suite  des 
quantités  W\^  comme  on  le  voit,  en  remplaçant,  dans  w,  to  et  to' 
par  leurs  valeurs  (2).  Donc,  si  l'on  suppose  ad — 6c  =±  i  les 
quantités  w  sont,  à  l'ordre  près,  les  mêmes  que  les  quantités  {v^. 
Les  deux  réseaux  ont  les  mêmes  sommets. 

On  peut  remarquer,  en  outre,  que  les  parallélogrammes  du 
premier  réseau  (ato,  2to')  sont  équivalents  en  surface  à  ceux  du 
second  (2to,,  2to'J.  En  effet,  les  trois  points 

O,        20),        2to' 

sont  les  sommets  d'un  triangle  qui  est  la  moitié  d'un  parallélo- 
gramme des  périodes  2to  et  2to'.  Si  l'on  fait 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  o7^ 

la  moitié  de  l'aire  de  ce  triangle  est 
Si  l'on  fait  de  même 

la  moitié  de  l'aire  dn  triangle  de  sommets 

O,       2Wi,       2(jo\ 

est 

±(ai?;-3ia;). 


Or  nous  venons  de  voir  (n''  227)  que  ces  deux  quantités  a^'—  ,3a' 
et  a^'^—  ,3a',  ont  même  valeur  absolue.  Le  théorème  est  donc  dé- 
montré. 

II.  —  Notation  de  Weierstrass. 

229.  Formes  en  nombre  infini  de  la  fonction  a".  —  Considérons 
le  produit  doublement  infini  à  l'aide  duquel  nous  avons  défini  la 
fonction  c^ii 


n 


H  1     II- 

r l   pW  2     tV- 


,  fil    = 

w  =  2 m (ji  -^  2 nui  ,  }  o,  zïzi,  lïz  2,  .  . . 

et  soient  2  to, ,  2  w',  des  périodes  équivalentes  à  2  to,  2  w'  ;  les  quan- 
tités 

/il  —  ) 

sont  les  mêmes,  à  l'ordre  près,  que  les  quantités  iv;  le  produit 

n 


//         1    n* 


e'^'i 


est  donc  composé  des  mêmes  facteurs  que  le  produit  précédent; 
ou,  en  précisant,  tout  facteur  de  l'un  des  produits  est  aussi  un 
facteur  de  l'autre  produit.  On  sait  que  l'ordre  des  facteurs  n'inter- 
vient pas;  on  a  donc 


j|'(.-^)e^-'-  =  «n'('-l;) 


k 


376  CHAPITRE    XIII. 

OU,  en  désignant  par  a'(w  |  to,  w'),  la  fonction  a*  dont  les  zéros  sont 

iniiù  +  in  w', 

SOUS  la  seule  condition  que  les  périodes  20),,  iiù\  sont  équiva- 
lentes aux  périodes  ato  et  20/. 

Ainsi  la  fonction  d  ne  change  pas  quand  on  remplace  la  paire 
de  périodes  primitives,  qui  a  servi  à  la  construire,  par  toute  autre 
paire  de  périodes  équivalentes.  Jl  en  est  de  même,  évidemment, 
des  fonctions  Ç  et  J3  qui  se  déduisent  de  d  par  des  dilTérentiations. 
C'est  ce  que  l'on  voit  aussi  en  partant  des  séries  qui  définissent 
Ç(?/|(o,  (1)')  et  p(z^  I  (0,  i.ù').  Quand,  dans  ces  séries,  on  remplace 
2to  et  2co'  par  les  périodes  équivalentes  20)1  et  203'^,  elles  ne 
changent  pas,  car  les  termes  qui  les  composent  ne  font  que 
changer  de  places. 

230.   Invariants.  Invariant  absolu  J.  —  Les  invariants 

ne  changent  pas  de  valeurs  quand  on  remplace  les  périodes  20) 
et  2w'  par  des  périodes  équivalentes  2  (o^  et  2(o'^ .  Ce  fait  est  évident, 
d'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  car  la  substitution  de  Wi 
et  0)',  à  o)  et  to',  dans  les  deux  séries,  ne  fait  que  changer  l'ordre 
des  termes. 

La  cfuantité  g^  est  homogène  et  du  degré  —  4  par  rapport  à  w 
et  o)';  ^3,  homogène  et  du  degré  — 6  par  rapport  à  w  et  w'.  On 
peut  mettre  ce  fait  en  évidence,  en  écrivant 


(V  =  a)(2m  H- 2/it),         t=  — 

0) 


Alors 


^.^.=  .3.5^2û 


^3=2^5.7-1:2 


{•un   1-  inx)'*' 

I 


Le  discriminant 

est  homogène  et  du  degré  —  12  par  rapport  à  w  et  iù' . 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  877 

Nous  allons  former  une  combinaison  de  g.y  et  g^  homogène  et 
de  degré  o  en  to  et  to'  :  cette  combinaison  ne  dépendra  plus  que 
du  rapport  des  périodes  t.  Pour  cela  considérons,  avec  M.  Klein, 
la  quantité 


Cette  quantité  J,  étant  le  quotient  de  deux  fonctions  homogènes 
de  degrés  —  12  de  co  et  to^,  est  du  degré  o.  Elle  ne  dépend  plus 
que  du  rapport  t  des  périodes.  Nous  mettrons  en  évidence  cette 
variable  unique  t  dont  dépend  J,  en  écrivant  cette  quantité  J  sous 
la  forme 

J(T). 

On  peut  appeler  cette  fonction  J(-:)  V invariant  absolu  àes  fonc- 
tions elliptiques  aux  périodes   2(o  et  itù' .  Nous  avons  déjà  re- 

marqué  au  n"  36  que  ^  est   une   fonction   du   seul   rapport  des 

périodes  :  avec  la  notation  de  M.  Klein,  on  a 

III.  —  Fonction  modulaire.  Groupe  modulaire. 

231.  Propriété  fondamentale  de  la  fonction  J(t).  —  Comme  les 
invariants  g.2  et  g^  ne  changent  pas  quand  on  remplace  20)  et  2a>' 
par  deux  périodes  équivalentes  quelconques 

(x>\  =  a  oi'  -^  b  bi  ^ 

0)1  =  cw'  -f-  c?w,         ad —  6c  =  ziz  I, 

il  en  est  de  même  de  J.  Or,  quand  on  fait  cette  substitution,  le 
rapport 


T  =    — 
10 


devient 

On  a  donc 
ou  encore 

(4)  ^(f^)  =  ^(^)' 


coi         c-z  -^  d 

J(^i)=J(^), 


378  CHAPITRE    XIII. 

(2,  b^  c,  d  désignant  quatre  entiers  quelconques  tels  que 

ad  —  bc  =±  I. 

La  fonction  J(t)  présente  donc  cette  propriété  remarquable 
de  ne  pas  changer  de  valeur,  quand  on  remplace  t  par -,»  «, 


6,  c,  û?  étant  des  entiers  assujettis  à  la  seule  condition 

ad —  bc  =±  I. 

C'est  la  plus  simple  des  fonctions  modulaires.  Elle  nous  offre  le 
tjpe  d'un  nouveau  genre  de  fonctions,  comprenant  les  fonctions 
modulaires,  dont  le  premier  exemple  a  été  donné  par  M.  Hermite, 
à  propos  de  ses  recherches  sur  la  résolution  de  l'équation  du 
cinquième  degré,  et  dont  les  propriétés  générales  ont  été  princi- 
palement étudiées  par  M.  Klein  (Voyez  Vorlesungen  ilber  die 
Théorie  der  elliptischen  Modulfunctionen,  ausgearbeitet  von 
D''  Robert  Fricke,  Leipzig,  Teubner;  1890).  Ces  fonctions  sont 
d'ailleurs  un  cas  très  particulier  des  fonctions  fuchsiennes  et 
kleinéennes  dont  la  théorie  a  été  créée  par  M.  Poincaré  (Acta 
Mathematica^  t.  I). 

232.  La  fonction  J  est  paire.  —  Dans  la  relation  fondamen- 
tale (4),  on  peut  prendre  par  exemple  <2  =  i ,  «?  = — i,  6  =  0, 
c  =  o.  On  a  alors 

J(-T)=J(T). 

Cela  résulte  d'ailleurs  évidemment  de  ce  que  les  invariant  g2  ^^  gw 
ne  changent  pas,  quand  on  change  l'une  des  périodes  co  ou  to',  de 
signe. 

D'après  cette  propriété,  on  peut  toujours  supposer  que  les 
quatre  entiers  vérifient  la  relation 

ad  —  èc  =  -h  I, 
car  on  a 

Vc^  +  ^Z  V    c-z-^d    )' 

on  peut  donc  toujours  changer  à  volonté  le  signe  des  entiers  a  etb 
et  par  conséquent  celui  de  ad —  bc.  Dans  tout  ce  qui  suit  nous 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  879 

nous  limiterons  en  conséquence  au  cas  de 

nd—bc=^-^i. 

Nous  supposerons  la  partie  imaginaire  de  -z  positive  :  celle  de 

_  a-z  ^  b 
'^'~  c-z-r-d 

est  alors  également  positive  (n°  227). 

233.  Remarques  sur  les  substitutions  linéaires.  —  Soit 

_a'z-b 

on  dit  que  l'on  obtient  Ti  en  faisant  sur  t  la  substitution  linéaire 

Substitution  inverse.  —  En  résolvant  par  rapport  à  t  la  rela- 
tion (5),  on  a  une  autre  substitution 

—  dzi-+-b 

CTi — a 

que  l'on  appelle  substitution  inverse  de  S  et  que  l'on  désigne  pour 
cette  raison  par  S~'.  On  a  alors 

7  =  5-1-:,. 

Produit  de  deux  ou  plusieurs  substitutions.  —  Soit  S'  une 

autre  substitution  formée  avec  d'autres  coefficients  a',  6',  c',  d' . 

Posons 

a'  li  -;-  b' 


•  2  —   i3    1-1 


c'-i  -h  d' 


et  cherchons  la  relation  entre  To  et  t;  nous  aurons,  en  remplaçant 
T|  par  sa  valeur  St, 

a' { a-z  -^  b) -^  b' {c z  -\-  d) 


T,=   S'S' 


(aT  +  6)-T-  d\cz'+-  d) 


Cette  nouvelle  substitution  linéaire  to  =  7.^ ^j  dont  les  coeffi- 

Cx  -4-  D 


38o 

CHAPITRE    XIII. 

cients  sont 

(7) 

k^aa'-^cb',         ^^ha!-^db\ 

G  =  ac'  +  cd\         D  =  ôc'h-  dd , 

s'appelle  le  produit  de  S  par  S';  on  la  désigne  par  S' S.  On  a  iden- 
tiquement 

AD  —  BG  =.{a!d—  b' c'){ad— bc). 

La  substitution  SS'  est  de  même  le  produit  de  S' par  S  :  on 
l'obtient  en  faisant  d'abord  la  substitution  S',  puis  sur  le  résultat 
la  substitutions.  Cette  substitution  SS'  est,  en  général,  différente 
de  la  substitution  S'S.  Dans  cette  notation  symbolique  des  sub- 
stitutions, il  n'est  donc  pas  permis  d'intervertir  l'ordre  des  facteurs. 
On  peut  maintenant  imaginer  trois  substitutions  consécutives  S, 
S^  S'^  :  la  substitution  linéaire  obtenue  en  faisant  d'abord  la  sub- 
stitution S,  sur  le  résultat  la  substitution  S',  sur  le  nouveau  résultat 
la  substitution  S'^,  est  désignée  par 

S"  S' S, 
et  ainsi  de  suite. 

Quand  deux  ou  plusieurs  substitutions  consécutives  sont  les 

mêmes,  au  lieu  d'écrire  SS,  SSS,  .  .  . ,  on  emploie  la  notation  des 

exposants  et  l'on  écrit  S-,  S^,  .... 

Remarque.  —  Le  produit  de  la  substitution  par  son  inverse 
est  la  substitution  identique 

que  l'on  désigne  symboliquement  par  i.  On  a,  en  effet, 

Tl  =  Sx, 

T  =  S-iTi; 
donc,  en  éliminant  t,, 

t  =  S-iSt, 

ce  que  l'on  exprime  en  écrivant 

S-iS  =  i; 
on  a  aussi 

SS-i  =  i. 

Si  l'on  répète  deux,  trois  fois  de  suite,  la  substitution  inverse 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  38l 

S~*,  au  lieu  d'écrire  S~^  îS"',  S~'  S~*  S~'.  . . . ,  on  emploie  des  ex- 
posants négatifs  et  l'on  écrit  S~-,  S~^,  .... 

234.   Groupe  de  substitutions.    —   Une    suite   de  substitutions 
données  S,,  So,  .  • .,  Sv,  .  . .,  en  nombre  fini  ou  infini, 


CvT  -h  â?v 


forme  un  groupe,  si  l'inverse  d'une  quelconque  de  ces  substitu- 
tions et  le  produit  de  deux  quelconques  de  ces  substitutions  sont 
encore  des  substitutions  de  la  suite. 

235.   Groupe  modulaire.  —  D'après  cette  définition,  toutes  les 
substitutions  en  nombre  infini 

az  —  h 

OT  —   -j, 

c-z  -T-  a 

où  a,  b,  c,  d  sont  des  entiers  assujettis  à  la  seule  condition 

ad —  6c  =  I, 

forment  un  groupe.  En  effet  la  substitution  inverse  de  S. 

—  d-  —  b        a^z-^bx 
CI  —  a  Cil -r- di 

est  encore  formée  avec  quatre  entiers  a,,  6,,  Cj,  di  tels  que 

aidi—  6iCi  =  ad —  bc  =  i. 

Le  produit  S'S  de  deux  des  substitutions  considérées  est  une 

substitution 

At-i-B 


dont  les  coefficients  sont  entiers  d'après  les  formules  (")  et  véri- 
fient la  relation  AD  —  BC  =  i ,  car  on  a 

AD—BC={a'd'—b'c')(ad—bc) 

et  les  deux  facteurs  du  second  membre  sont  égaux  à  i  par  hypo- 
thèse. 

Le  groupe  ainsi  défini  est  le  groupe  modulaire,  et  l'on  peut  dire 


k 


38'2  CHAPITRE    XIII. 

que  la  fonction  J(':)  est  laissée  invariable  par  toutes  les  substitu- 
tions de  ce  groupe. 

236.  Substitutions  fondamentales  du  groupe  modulaire.  —  Tou  tes 
les  substitutions  du  groupe  modulaire  peuvent  être  engendrées 
par  les  produits  des  puissances  positives  et  négatives  des  deux 
substitutions 

Sx  =  x-i-i,         («  =  ij6  =  i,c  =  o,      d  =  i), 

T'c  = }  (a  —  o,b  =  i,c  =  —  i^d  =  o), 

que  l'on  appelle  pour  cette  raison  les  substitutions  fondamentales 
du  groupe. 

L'inverse  de  St  est 

S-iT==T_i; 

l'inverse  de  Tt  est 

T-.x=-i, 

elle  est  égale  à  Tt.  Nous  ne  nous  arrêterons  pas  à  démontrer  que 
toute  substitution  à  coefficients  entiers 

az  -^  b 
c'z-\-  d^ 

telle  que  ad —  6c  =  i ,  peut  être  obtenue  en  multipliant  ces 
substitutions  fondamentales  et  leurs  inverses  dans  un  ordre  quel- 
conque, chaque  facteur  pouvant  être  répété  un  nombre  quelconque 
de  fois.  INous  admettrons  ce  point  dont  on  trouvera  la  démon- 
stration dans  le  Livre  de  M.  Klein  sur  les  fonctions  modulaires. 

Bornons-nous  à  remarquer  que  le  fait,  que  toutes  les  substitu- 
tions du  groupe  modulaire  peuvent  être  obtenues  par  la  multipli- 
cation de  deux  substitutions  fondamentales  et  de  leurs  inverses, 
a  déjà  son  analogue  dans  la  théorie  des  fonctions  doublement  pé- 
riodiques. Si  l'on  appelle  203  et  2  to'  les  deux  périodes,  une  fonc- 
tion doublement  périodique  F(w)  ne  change  pas  de  valeur  quand 
on  fait  sur  u  toutes  les  substitutions  contenues  dans  la  formule 

w  -t-  2mco  -t-  2/ico', 

m  et  n  étant  deux  entiers  quelconques.  Ces  substitutions  forment 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  383 

un  groupe  qui  admet  comme  substitutions  fondamentales  les  deux 
substitutions 

S  W  =  M  -h  2(0, 

Tw  =  «  -7-  2to', 

dont  les  inverses  sont 

S-l  IL  =.  U  —  2W, 
T-1  W  =  U  —  2W'. 

Tl  est  évident  que  par  la  multiplication  de  ces  substitutions  on 
obtient  toutes  les  substitutions  de  la  forme  u  -{-  iJiK^i  -{-  2/1(1)' . 

237.  Interprétation  géométrique.  —  Pour  représenter  géomé- 
triquement la  double  périodicité,  nous  avons  divisé  le  plan  en 
cases  qui  sont  des  parallélogrammes  tous  égaux,  et  nous  avons 
remarqué  que  la  fonction  reprend  les  mêmes  valeurs  aux  points 
homologues  de  toutes  ces  cases.  L'une  de  ces  cases  étant  choisie 
comme  case  fondamentale,  quand  le  point  u  décrit  celte  case,  les 
points  homologues,  u  -f-  2/?zw  -f-  2Aiw',  décrivent  chacun  une  des 
autres  cases. 

On  peut  opérer  de  même  pour  la  fonction  modulaire  J(t). 
Gomme  nous  supposons  la  partie  imaginaire  de  t  positive,  le  point 
représentatif  de  t  est  dans  le  demi-plan  situé  au-dessus  de  l'axe 
des  quantités  réelles.  On  peut  alors  décomposer  ce  demi-plan  en 
cases  telles  que  l'une  de  ces  cases  étant  choisie  comme  case  fon- 
damentale, quand  le  point  t  décrit  cette  case,  les  points 

C-Z  -r-  d 

a,  b,  c,  d  entiers  tels  que  ad  —  6c  =  i ,  décrivent  chacun  une  des 
autres  cases.  La  fonction  J(t)  prend  alors  la  même  valeur  aux 
points  correspondants  de  toutes  les  cases  et  il  suffît  de  la  connaître 
dans  la  case  fondamentale,  pour  la  connaître  dans  tout  le  demi- 
plan. 

Cette  division  du  demi-plan  en  cases  peut  se  faire  d'une  infi- 
nité de  façons.  La  plus  simple  est  celle  que  l'on  réalise  avec  des 
arcs  de  cercle  ayant  leurs  centres  sur  l'axe  des  quantités  réelles. 
Le  point  de  départ  de  cette  division  est  dans  l'interprétation  géo- 
métrique des  substitutions  linéaires,  à  coefficients  réels,  à  l'aide  de 
la  combinaison  de  deux  transformations  successives  par  rajons 


384  CHAPITRE     XIII. 

vecteurs     réciproques,     telle    qu'elle    résulte    des    travaux    de 
MM.  Klein,  Schwarz  et  Poincaré. 


IV.  —  Notation  de  Jacobi. 

238.  Expression  de  J  (t)  en  fonction  du  module  k.  —  Nous  avons 
indiqué  (n"  97)  la  relation  qui  lie  la  fonction  pu  aux  périodes  itù 
et  2to'  à  la  fonction  snw  aux  périodes  2K  et  ii\sJ .  Nous  avons  vu 
que  le  rapport  des  périodes  est  le  même 

"  o)  K  ' 

et,  en  désignant  par  ).  une  constante  auxiliaire,  nous  avons  trouvé 
pour  les  racines  (?i,  ^2,  e^  les  valeurs 

3>2ei=  2— /f2,         3X2^2  rr.  2A2  —  1,         3  X^  ^3  =  —  i  — /:2  ; 

on  en  déduit  les  différences  des  racines  deux  à  deux  et  l'on  en 
conclut  en  multipliant  ces  trois  différences 

\^{e,-  e.){e.,-  e^){e^~  e,)^  —  k^{A  -  k'-). 

On  sait  que,  dans  un  poljnome 

dont  les  racines  sont  e^,  ^2,  e^  le  discriminant 

A  =  ^1—27^1, 

est  donné  par  la  formule 

à  =  16(^1—62)2(^2—^3)^^3- ^i)"^. 
On  a  donc 

_  i&k'*{\-k-^Y 
X12 

D'autre  part,  le  produit  des  racines  étant  ^  on  a 

_  /^(o.  —  k^)(l-lk^)(l-^k'') 

^3-  :^, 

L'expression  de  J  en  fonction  du  module  s'obtient  alors  facile- 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  385 

ment.  On  a  en  effet 

donc 

^^^  ^-'  = ^yk^ii-k^)'^ 

D'après  cette  relation,  quand  J  est  donné,  A-  a  six  valeurs.  Mais  on 
vérifie  immédiatement  que,  si 

est  une  racine  de  l'équation  (8)  en  k-,  les  autres  racines  sont 

I  U.  I  IX  I 

-,     I  — i^,     ~ ,     — ^ — .     • 

IX  \X  IX  II  {Jt. 

Il   suffît  de  constater  que   le  deuxième   membre  ne   change    pas 
quand  on  remplace  A  -  par  l'une  de  ces  six  quantités. 

Le  carré  du  module  k-  est  une  fonction  du  rapport  des  pé- 
riodes T.  Quand  on  remplace  t  par  ,,  a,  b^  c,  cl  étant  quatre 

entiers    tels    que  ad — bc  =  i ,  J  ne  change  pas;  on  en   conclut 
que  A-  ou  bien  ne  change  pas,  ou  bien  prend  l'une  des  nouvelles 

valeurs 

I  A^-i  A-2 

B'     '-^'^    ~k^'    W^i'    T-^n^-' 

Pour  que  A'-  reste  invariable  il  faut  assujettir  les  entiers  «,  6, 
c,  d  ai  des  conditions  supplémentaires  dans  le  détail  desquelles 
nous  ne  pouvons  pas  entrer.  Les  substitutions  spéciales  du  groupe 
modulaire  qui  n'altèrent  pas  A-  forment  ce  que  l'on  appelle  un 
sous-groupe. 

Nous  indiquerons,  en  terminant,  quel  est,  pour  la  fonction  H 
de  Jacobi,  l'elTet  du  remplacement  des  deux  périodes,  qui  ont 
servi  à  la  construire,  par  deux  périodes  équivalentes. 

239 .   Formes  en  nombre  infini  des  fonctions  de  Jacobi.  Fonction 

H(ï<).  —  Considérons  la  fonction 

H,                            4/—     .      '^U              4/— r     .      StZU 
{Uj  q)=  i\  q  sin i  \J  q^  sin h .  . . , 

2  tO  2  CO 

q  =  e  ^    =  e^'^T^ 

A.   ET  L.  25 


386  CHAPITRE   XIII. 

et  en  même  temps  la  fonction  H(w,  Q)  dont  le  développement  se 
déduit  du  précédent  en  y  remplaçant  2co  et  2w'  par  les  périodes 
équivalentes  2a)<  et  2  0j,,  Q  étant  ce  que  devient  q  par  suite  de 
cette  substitution 

H(i/,  Q)='2t/Qsin^-2t/Q^sin^^+.... 

Nous  allons  démontrer  que  les  fonctions  H(i'^,  Q)  et  H(?/,  ^)  sont 
identiques,  à  un  facteur  exponentiel  près  de  la  forme  A e^"'',  a  dé- 
signant une  constante.  Cela  résulte  de  l'égalité  ^ 

^(w  1  Wi,  w\)=  ^(w  I  0),  co'); 

car,  si  l'on  j  remplace  chaque  fonction  d  par  la  fonction  H  corres- 
pondante (n^  21),  on  obtient  cette  autre  égalité 

pie^'i«'H(M,  Q)=  pe/'"'H(M,  q), 

dans  laquelle  p,  pi,  h  et  h^  sont  des  constantes  convenablement 
choisies.  On  en  déduit  immédiatement 

H(m,  Q)=  Ae^"Ml(M,  q), 

A  et  a  désignant  des  constantes.  Nous  allons  déterminer  a. 

Revenons  aux  notations  habituelles  des  périodes  pour  les  fonc- 
tions de  Jacobi,  en  posant 

o>  —  K,  to'  =  ïK', 

K'  1/ 

\     L  =  ctK'  H-  ^K, 


avec 


(9) 


a,  6,  c,  6/  étant  des  entiers  tels  que 

(lo)  ad  —  hc  —  \.     , 

Ces  quatre  entiers  ne  peuvent  pas  être  pairs  tous  les  quatre  ni 
impairs  tous  les  quatre.  Si  h  est  pair,  a  Ql  d  sont  impairs;  si  a  est 
pair,  ^  et  c  sont  impairs. 


PÉRIODES    ÉQUIVALENTES.  387 

Pour  déterminer  a  remarquons  que  l'on  a 

H(w-+-2L,  Q)  =  — H(m,  Q), 


\\{u-r- idK^ -iciK  ^  q)—  te      ^  li{u,  q), 

£  étant  égal  à  +  i  ou  à  —  i  suivant  la  parité  des  entiers  ci  etc.  On 

a  en  efFet 

H{u~2dK,  q)  =  (— 1)^11(11,  q): 

changeant,  dans  les  deux  membres,  w  en  z^  -h  2  ciJL'  et  se  rappelant 
la  formule  (n"  77) 

H(M-T-2CfK',  q)  =  {-i)ce'"^""^"^'^  H(a,  q), 
on  a  la  seconde  des  formules  (11)  où 

La  relation 

lî(u,q)  =  Ae^"--U{u,q) 

donne  alors,  en  changeant  u  en  ?/  +  2  L  dans  le  premier  membre 
et  u  eu  la  quantité  équivalente  u  -h  odK  -f-  2ci}L'  dans  le  second, 

U{u-^iL,  Q)=  Ae^'"  +  2L)^-H(w^>«fK  — iCiK',  q). 

Divisant  membre  à  membre  ces  deux  dernières  relations  en  tenant 
compte  des  équations  (i  i)  nous  trouverons 

ci  TT 
X{u  +  2L}-—'Xu- -—{ii-hciK') 

(12)  —  i  =  te  *^ 

Cette  relation  ayant  lieu  quel  que  soit  u^  les  termes  en  u  doivent 
disparaître  dans  l'exponentielle,  d'où  la  valeur  de  a 

ci- 
"^^  4KL* 

Comme  vérification,  remplaçons  a  par  sa  valeur  dans  la  for- 
mule (12)  et  réduisons  en  remplaçant  L  par  dK  -\~  ciK!,  nous  ob- 
tenons 

—  I  =  £(—  O'^C 

ou,  d'après  la  valeur  de  £, 

/ iyd-\-i){c+i)  —  i^ 

relation  évidente,  car  <i  et  c  ne  peuvent  être  pairs  tous  deux. 


388  CHAPITRE    XIII.  —   PÉRIODES    ÉQUIVALENTES. 

On  a  donc,  en  définitive,  l'égalité  fondamentale 

ri  TXn- 

(i3)  Hiu,  q)=Ae~'^ll{u,q), 

OÙ  A  est  une  constante  qu'il  reste  à  déterminer.  Nous  ne  nous 
occuperons  pas  ici  de  ce  calcul. 

On  voit  que,  au  point  de  vue  où  nous  nous  plaçons  ici,  la  fonc- 
tion H  de  Jacobi  se  comporte  d'une  façon  moins  simple  que  la 
fonction  a',  puisque  d  ne  change  pas  quand  on  remplace  les  pé- 
riodes par  des  périodes  équivalentes,  tandis  que  H  se  reproduit 
multipliée  par  une  exponentielle. 

Cette  relation  étant  obtenue,  on  en  déduit  aisément  des  relations 
analogues  entre  les  fonctions  0,  0i,  H,  construites  d'une  part  avec 
K  et  iK',  d'autre  part  avec  L  et  iU.  Il  suffit  dans  la  formule  (i3) 
de  remplacer,  dans  le  premier  membre,  u  par  u  -\-  L,  ou  u  +  ih', 
ou  u-\-h-]-ih',  et  dans  le  second  membre,  ;^par  les  valeurs  égales 
u-\-dK-i-ciK',  ou  u-hbK-i-aiK'  ou  u-{-{b-\-d)K-i-{a^c)i}L' . 
Tenant  alors  compte  des  relations  du  n°  77,  on  aura  les  relations 
demandées.  Ces  relations  prennent  des  formes  différentes  suivant 
les  parités  des  nombres  a,  6,  c,  d.  Elles  permettent  d'exprimer  le 
module  des  nouvelles  fonctions  elliptiques  en  fonction  de  k. 

Nous  ne  les  écrirons  pas,  et  nous  renverrons  le  lecteur  au  Cours 
de  M.  Hermite  à  la  Faculté  des  Sciences,  où  les  calculs  sont 
poussés  jusqu'au  bout  dans  une  hypothèse  particulière  sur  les 
quatre  entiers. 


NOTES 


NOTE  I. 

IMPOSSIBILITÉ  DE  L'EXISTENCE  D'UNE  FONCTION  CONTINUE 
AVEC  DEUX  PÉRIODES  DONT  LE  RAPPORT  EST  RÉEL. 


Soit  F{u)  une  fonction   d'une  variable  imaginaire  avec  deux  périodes 

to'  et  o)  dont  le  rapport  est  réel 

co'  _  h 

co        a 
a  et  b  étant  réels.  Si  l'on  fait 

quand  z  augmente  de  a,  u  augmente  de  w,  et  quand  z  augmente  de  b,  u 
augmente  de  co'.  La  fonction 

admet  les  àeny. périodes  réelles  a  et  b.  Nous  allons  démontrer  la  propo- 
sition suivante  : 

Ou  bien  les  périodes  a  et  6  se  réduisent  à  une;  on  bien  la  fonction /(;;) 
est  constante. 

En  effet,  la  fonction  admettant  les  deux  périodes  a  et  b  admet  égale- 
ment toutes  les  périodes 

Ma-f-N6, 

où  M  et  N  désignent  deux  entiers  quelconques  positifs  négatifs  ou  nuls. 

Considérons  un  axe  Ox  et  prenons  sur  cet  axe  un  segment  OA  égal  à  a. 
Si  l'on  prend,  sur  cet  axe,  un  point  x  d'abscisse  x,  on  peut  toujours  choisir 
un  entier  m  positif  ou  négatif  de  telle  façon  que  le  point 

^  =  X  -^  ma 
soit  à  l'origine  ou  sur  le  segment  OA  :  appelons  ce  point  le  point  homo- 


■)90  NOTE    I. 

logue  de  x.  Alors  considérons  les  points  d'abscisses 

6,     ih,     3b,      . .  . ,     nb 

et  leurs  homologues 

Xi  =  b  -^m^a.         xc^=  ib -\- m^a,         ...,         Xa=  nb  ~h  m^a, 

tous  situés  sur  OA.  Toutes  les  quantités  x^^  ^25  ...,  ^/i  et  toutes  leurs 
différences  x^J— x^  sont  des  périodes  àe  f{z),  car  elles  sont  toutes  de  la 
forme  Ma  -1-  N6,  M  et  N  étant  entiers. 

Fi  g.  26. 

•— ^^ H-H H-^ . , . 

Si  tous  les  points  x^,  x^,  .  . .,  x,i  sont  distincts,  il  en  est  au  moins  deux 

Xy  et  Xij,  dont  la  distance  soit  au  plus  égale  à  

^  °  ;i  —  I 

en  effet,  si  l'on  divise  le  segment  OA  en  ii  —  \  parties  égales,  il  existe  né- 
cessairement une  de  ces  divisions  qui  contient  au  moins  deux  des  points. 
La  fonction  admet  alors  la  période 


'^  Il  —  I 

et  l'on  a 

/(^  +  co„)=/(5). 

Faisons  croître  maintenant  n  indéfiniment.  Deux  cas  sont  à  distinguer  : 

1°  Quelque  grand   que   soit  n  les  points  X]^,  x^,  ...,  x,i  sont  distincts  : 
alors   la  fonction   admet  une   période  w,i   différente  de  zéro  mais   aussi 

petite  que  l'on  veut,  car  elle  est  au  plus  égale  à -•  La  fonction  est  une 

constante  :  en  effet,  on  a 


quel  que  soit  n.  Quand  n  augmente  indéfiniment,  w„  tend  vers  zéro;  le 
rapport  figurant  dans  le  premier  membre  tend  vers  la  dérivée  f'(z)  et 
l'on  trouve 

/'(-)=  o,        f(z)=  const.; 

2"  Il  existe  une  valeur  de   n   telle   que  deux  des  points  Xi,  x^,  ...,  Xff 
soient  confondus 

X\^  —  37  (j^  =  o. 


NOTE    I.  391 

On  a  alors 

relation  de  la  forme 

(i)  pa  —  qb  =  G, 

p  el  q  étant  deux  entiers  que  l'on  peut  toujours  supposer  premiers  entre 
eux,  car  on  peut  toujours,  dans  la  relation  (i),  diviser  les  deux  membres 
par  les  facteurs  communs  kp  el  q.  Dans  ce  cas,  les  périodes  a  et  6  se  ré- 
duisent à  une.  En  effet,  p  et  q  étant  premiers  entre  eux,  il  existe  deux 
autres  entiers />'  et  q'  tels  que 

i-î)  pq'—qp'^"^' 

Désignons  alors  par  c  la  quantité 

(3)  p'a  —  q'b=^c: 

c  est  évidemment  une  période  de/(^);  d'autre  part,  en  résolvant  les  rela- 
tions (i)  et  (3)  par  rapport  à  a  et  6,  on  a,  d'après  (2), 

a  =  —  qc,         b  =pc; 
les  périodes  a  et  b  sont  donc  des  multiples  d'une  période  unique  c. 


ADDITION  X  LÀ  NOTE  I. 

IMPOSSIBILITÉ    DUNE   FONCTION    UNIFORME    ET   CONTINUE   AVEC   TROIS   PÉRIODES. 

Imaginons  une  fonction /(^)  d'une  variable  imaginaire  z  avec  trois  pé- 
riodes a,  p,  Y  dont  les  rapports  sont  imaginaires.  Nous  allons  montrer  ou 
que  la  fonction  est  constante,  ou  que  les  périodes  se  réduisent  à  deux. 

Remarquons  d'abord  que  la  fonction  admet  comme  périodes  toutes  les 
quantités 

(,)  Ma--N3-i-PY, 

M,  N,  P  étant  des  entiers  positifs,  négatifs  ou  nuls.  Construisons  ensuite, 
dans  le  plan  représentatif  des  imaginaires,  le  parallélogramme  des  périodes 
a  et  p,  OABG,  ayant  pour  sommets  les  points 

o,     a,     ^,     a-^^. 
Un    point   quelconque  z  du  plan  a,  dans  ce  parallélogramme,  un  homo- 


392 
logue  l, 


NOTE    I. 


Ç  =  ^  4-  /a  -H  7?ip, 
/  et  m  étant  des  entiers,  convenablement  choisis. 

Fig.  .7. 


Considérons  alors  les  n'^  points 

Y,     2  Y,     3  Y,     ...,     n^Y, 
oii  n  est  un  entier  et  leurs  homologues 

zi=      Y  ^~  ^1  ^  +  '^1  p3 

La  fonction  admet  comme  périodes  toutes  les  quantités  ^1,  z^^  ,..,  Zn^ 
et  les  différences  de  ces  quantités  deux  à  deux,  car  ces  quantités  et  leurs 
différences  sont  de  la  forme  (i). 

Appelons  \  la  longueur  de  la  plus  grande  diagonale  du  parallélogramme 
OABG.  Si  tous  les  points 


(^) 


Zi,       Z2, 


sont  distincts,  il  en  est  au  moins  deux  z^^  et  z^  dont  la  distance  est  moindre 

que  ■ -•  En  effet,  divisons  les  côtés  OA  et  OB  en  {n —  i)  parties  égales 

et  menons  par  les  points  de  division  des  parallèles  aux  côtés  du   parallé- 
logramme OABG  :  nous  diviserons  ce  parallélogramme  en  {n  —  i)^  cases 

égales  entre  elles  ayant  pour  grande  diagonale ;  sur  les  n"^  points  ('2), 

il  en  est  forcément  deux,  au  moins,  z^,  et  Zn^  dans  une  de  ces  cases.  Leur 

distance  est  alors  moindre  que Analytiquement  le  module  de  z^ —  z^ 

est  moindre  que •  La  fonction  admet  donc  la  période 


'V-' 


393 


dont  le  module  est  moindre  que 

l-«l<-_7- 

Deux  cas  sont  à  distinguer  : 

1°  Quelque  grand  que  soit  n  les  points  (2)  sont  toujours  distincts.  La 
fonction  admet  alors  une  période  non  nulle  w^  dont  le  module  peut  devenir 
aussi  petit  que  l'on  veut.  Elle  est  constante,  car 

fiz^LMn)—f{z)   ^^ 


donne,  pour  n  infini, 

•î**  Pour  une  certaine  valeur  de  /i,  deux  des  points  (2),  Zy  et  z^.  coïn- 
cident. On  a  alors 

vy  -i-  /va  -f-  /?iv  3  =  [J^Y  -I-  /jj- a  -^  ni^'^, 

relation  de  la  forme 

(3)  /?a-f-^3-^rY  =  0, 

Pj  q,  /-étant  trois  entiers  qu'on  peut  toujours  rendre  premiers  entre  eux 
en  divisant  (3)  par  les  facteurs  communs  à/?,  q,  r.  Les  périodes  se  ré- 
duisent alors  à  deux. 

En  effet,  appelons  5  le  plus  grand  commun  diviseur  de  /»  et  ^  :  on  peut 
déterminer  deux  entiers/»'  et  q'  tels  que 

(4)  pq'—  qp'  "=  s- 

Posons 

(5)  .  5'  ' 

a  et  b  sont  des  périodes  de  la  fonction,  car  —  et  —  sont  entiers.  Les  équa- 
tions (5),  résolues  par  rapport  à  a  et  p,  donnent 

(6)  < 

et  la  relation  (3)  devient 

(7)  5a-i-rY  =  o, 


394  NOTE    I. 

s  et  r  étant  des  entiers  premiers  entre  eux.  On  peut  choisir  deux  entiers 
r'  et  s'  tels  que 

rs'  —  s/^'  =  I 
et  en  posant 

(8)  s'a  -+-  t'y  =  c, 

c  est  une  période.  On  tire  de  (7)  et  (8) 

a  =  rc,         Y  =  —  ^^1 


d'où  enfin,  d'après  (6), 


a  —       q  j^c  —  -  6, 


P  =  _^Vc-+-^6, 


Y  —  —  se. 

Les  trois  périodes  se  réduisent  donc  aux  deux  b  et  c.  Cette  démonstra- 
tion est  empruntée  à  Riemann  {OE Livres  complètes,  p.  276). 


NOTE  IL 

CONVERGENCE  DU  PRODUIT  DOUBLEMENT  INFINI  QUI  SERT 
A  LA  DÉFINITION  DE  a'u. 


Pour  définir  o'm  nous  avons  considéré  le  produit  doublement  infini 

/  W  =:  2/;ia)  -h  2/10)', 

'       w  =  o  exclus, 

et  nous  avons  admis  que  ce  produit  est  convergent.  Pour  le  démontrer, 
nous  établirons  la  convergence  de  la  série  obtenue  en  prenant  les  loga- 
rithmes des  facteurs 


21 


Si  l'on  choisit  pour  détermination  du  logarithme  de  [i )  celle  qu 


w 

tend  vers  zéro  quand  w  devient  infini,  le  terme  général  peut  s'écrire,  en 
développant  le  logarithme  en  série  : 

_        lû  / 1         i    u        I    u- 

W^   \o  ci    w  3     w 

et  l'on  voit  que  le  rapport 

I    lû 
3  w^ 

tend  vers  i  quand  w  devient  infini.  D'après  cela  il  nous  suffit  de  considérer 
la  somme 

V^'       I    lû  u^  v^'    I 


3   w 


îl 


O    Jkaà    W 


ou  encore  de  démontrer  la  proposition  suivante 
La  séj^ie 


m 


\  [m  —  o,  n  —  o  exclus) 
est  une  série  convergente. 


396  NOTE    II. 

Nous  reproduirons  une  démonstration  de  ce  théorème  due  à  Eisenstein, 
telle  qu'elle  est  exposée  par  M.  Hermite  {Cours  de  la  Faculté  des 
Sciences^  3*  édition,  p.  21 3). 

Soient  x  el  y  les  coordonnées  cartésiennes  d'un  point,  envisageons  l'el- 
lipse donnée  par  l'équation 

mod2  (2  0)37-4-  2w'jk)=  I 

où  le  premier  membre  est  le  carré  du  module  de  itax  -+-  it^'y,  et  désignons 
par  A  son  grand  axe.  Pour  toutes  les  valeurs  de  a?  et  de  jk  qui  représentent 
un  point  de  la  courbe,  on  a  donc 

OU  bien,  comme  en  ce  point  mod2(2w^  4-  'Hù' y)=  1, 
x^-v- y-<i  A2  mod2(2wa7  -f-  2w'jk). 

Cette  relation  étant  homogène  par  rapport  aux  variables  x  cl  y  subsiste 
si  l'on  y  remplace  x  e.1  y  par  "kx  et  Xjk,  X  étant  une  quantité  quelconque; 
elle  a  donc  lieu  quelles  que  soient  les  valeurs  de  x  et  de  y.  Nous  la 
mettrons  sous  la  forme 

I A 

m.o(\{'i(jix -^ 'H^J' y)        J QQ% _,_  y\ 

Une  limite   supérieure   du   module   de  la   somme   considérée  est   donc 
et  il  suffit  de  démontrer  la  convergence  de  cette  série 


-E 


(m2  4-/i2)2 

qui  est  d'une  forme  plus  simple. 

A  cet  effet,  partageons  le  plan  en  carrés  par  des  parallèles  aux  axes  Oy 
et  Ox  dont  les  abscisses  et  les  ordonnées  représentent  tous  les  nombres 
entiers.  Les  sommets  de  ces  carrés,  l'origine  étant  mise  à  part,  ont  ainsi 
pour  coordonnées  tous  les  nombres  entiers  et  correspondent  aux  divers 
termes  de  la  série 


1 

(/?l2H-/i2)2 


Considérons  d'abord  la  suite  formée  par  la  somme  des  termes  corres- 
pondant aux  sommets  situés  sur  la  bissectrice  O^  de  l'angle  des  coor- 
données xOy\  pour  ces  points  on  a  /ti  =  /i:  la  somme  envisagée  est  donc 
égale,  à  un  facteur  numérique  près,  à  la  série  simple 


[3  .^:i  33 

elle  est  par  suite  convergente. 


NOTE     II.  397 

Prenons  maintenant  la  somme  des  termes  pris  sur  Oa?  et  dans  l'angle  xOz: 
il  suffira  évidemment  d'établir  sa  convergence  pour  démontrer  notre  pro- 
position. 

Soit,  pour  abréger  l'écriture, 


et  posons 


3=(m,  /i) 

(m2-i-7l2)2 

tt,  =  (l,  o), 
M2=(2,   o)   -h(2,   l), 

U3  =  {3,  o)  H-(3,  i)  —(3.  2), 

W/M  =  ('^^  o)-f-(m,  i)-^. .  .-h{m,  ni  -—  i), 
la  série  simple  à  laquelle  nous  sommes  amenés,  savoir 

Ml  -f-  «2  -T-  W3  ^- . . .  -i-  w,„  -T- . . . , 
est  manifestement  convergente.  En  effet,  chacun  des  m  termes  qui  com- 
posent u,n  est  plus  petit  que  le  premier  (m,  o)  qui  est  égal  à  — •  On  a 
donc 

Ainsi  la  série  ^^Um  a  pour  limite  supérieure  \  — ^  dont  lu  valeur  est 

finie. 

La  série  proposée  est  donc  convergente  et  a  une  somme  indépendante 
de  l'ordre  de  ses  termes;  comme  nous  l'avons  dit  en  commençant,  on  en 
déduit  la  convergence  du  produit  doublement  infini  qui  sert  à  définir  :fu. 


NOTE  m. 

SUR  LE  DÉVELOPPEMENT  DES  FONCTIONS  0  EN  FACTEURS. 


Nous  avons  à  la  page  121,  en  identifiant  l'expression  de  61  sous  forme 
de  produit  avec  l'expression  de  0i  sous  forme  de  série,  obtenu  l'identité 

(   K{i  +  iq  co?>ix  -\-  q~){i  -h  -îq^  C0S2^  -i-  q^).  .  . 
{        =  i  -h  iq  cosT.x  -\-  iq'*  co?>/\x  -\-  ... . 

Nous  avons  réservé  à  ce  moment  la  détermination  de  la  constante  A.  Voici 
la  méthode  que  M.  Biehier  a  donnée  pour  déterminer  A,  méthode  que 
nous  empruntons  à  une  Note  de  M.  Hermite  placée  à  la  fin  de  la  dernière 
édition  de  VAnaljse  de  Serret. 

Considérons  le  produit  composé  d'un  nombre  fini  de  facteurs, 

f^z)  =  {i-^qz){i-^q^z)...(i^q'^'^-^z) 

x(-|)(-Ï)-(-^'> 

le  développement  suivant  les  puissances  positives  et  négatives  de  z  sera  de 
la  forme 

f(z)=  Ao+  Al  (^^  +  -^)  +.  . .+  A„  (^z--^  ^ 

Gela  étant,  l'identité  suivante,  qui  se  vérifie  immédiatement, 

fiq^^z){q^--i~qz)=f(z){i-^q^^-^^z), 
donne  entre  deux  coefficients  consécutifs,  A^-  et  A/_i,  la  relation 

A,-(l  -  ^2«+2/)  =  A,-_i  (  ^2.--l  -  ^2,.4-l  ). 

Nous  en  tirons  successivement 

A    -  \    9('-r-") 


NOTE    III.  399 

et,  par  conséquent, 

Tous  les  coefficients  du  développement  s'obtiennent  donc  au  moyen  du 
premier  Ao,  dont  voici  la  détermination. 

Supposons  1=  n  et  remarquons  que  dans  f{^)  le  terme  en  z"  ayant 
pour  coefficient  ^i-^3+...h-2/ï-i^  on  a  immédiatement  A„=^«',  d'où,  par 
conséquent, 

^  °(l  — ^2«+2)(i_^2«+4)._(i_^4«j' 

et  enfin  la  valeur  cherchée  que  j'écris  ainsi 

.     _  (i—  q^-"+^)(î  —  q^-"  +  '-^).  .  .(i  —  q^n) 

0-  (l_^2)(i_^4)...(,_^2«^ 

Gela  étant,  faisons  croître  indéfiniment  le  nombre  n,  cette  expression  nous 
donne 

I 


(i-^'Hi-7'}(i-5'')- 


et  la  relation  entre  Ai  et  Ao  devenant  simplement  A/=  Aq^'',  on  est  con- 
duit à  l'égalité 

(i_^2),i_^;)(i_^6)... 
Il  suffit  maintenant  de  poser  z  =  e-'^  pour  en  conclure 

(1  -+-  2^  COS2a7  -h  ^-)(l  -î-  2^3  cOS2a7  -^  q^)  .  .  . 

_  i-f- 2^  cos2a? -f- 29*  cos4a7 -!-. .  . 

"  (,-g2)(i_^4)(i_^6)...  • 

La  valeur  de  la  constante  A  qui  figure  dans  la  formule  (i)  est  donc 

k={l~q'^-){x-q'^){v-q^){l-q^).... 


RÉSUMÉ  DES  PRINCIPALES  FORMULES. 


FONCTIONS  DE  M.  WEIERSTRASS. 


Développements  en  produits  et  séries  infinis. 


otw  = 1-7 

u         Aà 


Il  —  m  71        nx-K 
I 


((V  =   2/72  0)  -f-  2/1 0)'), 


Il  1     H^ 

Il  \     — 


I e 


,W         2   IV 


a'  M  =  /«  I  I 

^  ïz  =  i  +  y  (  — ^ 


I         II 


—  -  p  " 


E 


2    "^  .^(l^—  ^'P)3 

Développements  en  sé/^ies  entières 


o-M-   !*-+-•        .^^.3.5  23.3.5.7        29.32.5.7 


l^u 

= 

1 

u 

+ 

^ 

<<?'2 

7/ S 

^3 

11^ 

^1 

1(1 

22.3.5 

•^2.5.7 

2^.3.52.7 

^ 

"^ 

+ 

• 

-+- 

^2 
22.5 

1^2  + 

^3 
22.7 

u'-^ 

gl 

u^ 

pu 

2*.  3.52 

g1 

= 

60  2': 

i-^' 

^3  = 

=  140^ 

RESUME    DES    PRINCIPALES    FORMULES.  4oi 

Relations  entre  pu  et  ses  dérivées. 
p''M  =  6p2i,_i^,, 

p"'u  =  i2pup'u. 

Homogénéité. 

Ç(|XW|    {AW,    |Xw'):r^    -r(«|w,  W'), 

p  (  «X  ïf  I  jaw,  {i(o')  =  —  p  (  f«  [  w,  w'  ;. 

^3([XW,   [aw')=    -i-^3(oj,  0)'). 


P«=-j 


Dégénérescence. 

—    \  2  /    —    \  2 


V2CU/ 

j    --  ?  ^1  =  7  eo  ^  e-j  — ^ 


J 

^2-27^3=0. 


\   •> 


pu 

= 

Z4- 

;  i 

Uc 

= 

T 
U 

ei  = 

e. 

= 

^3 

= 

0, 

^ 

y     2 

^.u=  —  cotang ^      (  -11-  )    u. 

1  fr,n\'- 
^u  =  e^\^)  ^\.in^. 

-  2  0) 

2°  co  =  OC,  w'=  X  : 


1ÏU  =  u, 
^3  =  o. 
Périodicité  et  formules  cV addition. 

p(u~  2(û  )  =^  pu, 
p(u  —  2to')  =  pu, 

Ç(a+ 2w)  =  ^i^-i- 2r,.  V)  =  Çw, 

^(^-+-2  0)')=  ^Z£-r-'2r/,  •0'=bW': 

A.    ET  L. 


26 


402  RÉSUMÉ    DES    PRINCIPALES    FORMULES. 

C7'(M-|-2to)  r=  —  e2^i("^w)a'M, 

(ï  {  U  -~  V)  (J  (  Il  —  V) 
pu DP    —  —   — ~ ^^ , 

=    Ç(ï^H-t^)  —  ^(W  —  P)  -2^P, 

T     d    (p'u  —  p'v' 


pu 

~pv 

— 

-pV 

pu 

—  pv 

I 

p'u- 

-p'v 

'2 

pu 

-ps> 

pU—p{U^V)    r=    _    --   . ,  , 

1  du\pu  —  pv 
,  ,         1   fp'u  —  p'v 

P(^  -  c)  -  e,  ^  i^i^^^^i:::-^). 

pu^ei 

je^—ei)  (6.2—63) 

pu  —  62 

(g3— gi)(e3— e,)^ 
pu  — es 


p(^^  — co')  — 63^^: 


Racines  ei,  e^,  e^-    -  Fonctions  3'i,  a'2,  Gi'3.  ' 

ei  =  pto,         62  =  P(w-f- w'),         e3=pw', 
a'(îi  —  ui)  a'(u  —  to')a'(i^--to-!-to') 


p  u^  —  1 


a'(ci>  —  m) 


a'co 


,  ,,      O'i  W  +  0)   —  w  ) 

(^(to  H-  w  ) 
(ïsu=  eV^    \    ,       ; 


/CtW\2  /tf2W\2  f^-^Uy- 

,  2  O'i  î^  a'2  U  0*3  M 

P"= -^ 

Les  fonctions  tfj,  a'2,  0*3  sont  paires. 


RESUME    DES    PRINCIPALES    FORMULES. 


4o3 


Valeurs  réelles  de  pu  quand  m  et  -^  sont  réelles. 


Considérons  le  rectangle  de  sommets  o,  w,  w  -^  w',  to'.  Quand  l'argu- 
ment u  décrit  le  contour  de  ce  rectangle  dans  le  sens  o,  to,  co  -h  w',  (û\  o, 
la  fonction  pu  diminue  constamment  de  -hoc  à  — a;  : 

1°  Quand  u  va  de  o  au  sommet  co,  pu  est  réel  et  décroît  de  ao  à  ei;  p' u 
est  négatif. 

2''  Quand  u  va  de  tu  à  w  —  to',  pu  décroît  de  ei  à  ^2,  p' u  est  purement 
imaginaire  positive. 

3"  La  variable  u  allant  de  to  --  w'  à  to',  pu  décroît  de  eo  à  63,  p' u  est 
réelle  et  positive. 

4"  Enfin  it  revenant  de  to'  à  o,  pa  décroît  de  63  à  — -^'.  p'u  est  purement 
imaginaire  négative. 

En  tout  point  pris  dans  le  rectangle,  pu  est  imaginaire. 


FONCTIONS  DE  JACOBI. 


Séries  trigonométriques. 


q  =  e 


TZU 


H(«)  =  1^'q  sinç'  —  2  y/^sinSp  -h^y/^^o  ginS^;  _ .  . ., 
Ui{u)  =  i^/q  cos  ç—  1  v/y  9  cos  3  (^  —  2  v^^  cos  5  p  -^ . . . , 

8(W)  ==  I  —  2^COS2P-4-2<7*COS4p  —  2^9cos6p  -h.  .  ., 
€)i{u)  =  1  -^iq  cos-îv  -+-  2q'*  cos^ç  -h  2^9cos6t^  -t- .  .  . . 


1  =  e    *^  , 

Hi{u)=  H{u^K), 


e(u)  =  -r^}i(u  —  IK'), 


ei(w)  =  ^  H(i«--K+fK'), 


Zéros  de  H  (u) 
H^iu) 

»        e(zO 

»         61  (m) 


2mK-h  2/ifK', 
(2m-f-  i)K-^  iniK'. 

2mK  —  (2^-f-i)fcK', 
(2mH-  i)K  —  (2/14-  i)£K'. 


4o4  RÉSUMÉ    DES    PRINCIPALES    FORMULES. 

Produits  infinis. 

2lV 

H  (m)  =  A2v/^  Sinp(l  — 2^2  coS2P-T-g^)(l  — 2^*C0S2C^  +  ^8).  . 

Hi(m)  =  A2v/^  COSP(H-2^2  C0S2P4-  ^*)([-H  2^*C0S2P  +  ^8).  . 

0i(u)  =  A(l-^  iq  C0S1V  -h  q^){l-h  iq^  C0S1V  -h  q^) 

Addition  d'une  demi-période  ou  d'une  période. 

h(m4-k)=     Hi(w),  n(wH-fK')==     iie(u], 

lU{u-{-K)^-  —  ïî(u),  Hl(^^^-^■K')=       X0i(w). 

0i(wH-K)=      0(iO.  0i(w  +  j:K')=r      XHi(w). 

H(ït-4-K+tK')=       >^©i(ïO,  H(ïi  +  2tK')==-  -  {j.H(w), 

e(i^_i-KH-jK')=      >^H.i(?0,  0(w-t-2iK')=r— [Jie(M), 

Hi(it-t- K-+-i:K')  =  — îXe(w),  Hi(w  +  2fK')=       ixlîi{u), 

0i(M-f-K+iK')=      AH(m),  0i(i^  +  2tK')=       |j.0i(w). 

Relations  entre  les  tf  e;f  les  S". 


-^    ^  a'(co-Hw)  0i(o) 


RÉSUMÉ    DES    PRINCIPALES    FORMULES.  4o5 

FONCTIONS  snu,  cnu,  dnu. 


I  H(w) 
y/A-  ^(") 
^  /Â'  Hi(i.>  /v       H(K)       H,(o) 


Addition  d'une  demi-période  ou  d'une  période. 


^              ^            dnti  A- sa  a 

A'snw  ,           .,.,.             .  dn/* 

cn(z<-^K)  = ;^ ^,  cn(ii-^  tK  )  =— t-.— -- 

^                           dni^  A  sn  w 

A'  ,    ,          .^r,              .en M 

^            àwu  sna 

dn  ?« 


sn  (  M  —  K  —  t  K'  )  =  -, > 

cn(a--K-r-tK')  = 


A  en  u 

nîK 

A  en  u 


dn(z^-r-K  — «K')=  a-'^^S 
^  en  w 

sn(i«  — 2K)  =— snii,  sn(ït  — '2iK'}  =:       sn?^, 

cn(i<  —  2K)  =  —  cnz^,         en(ïi  —  2iK')  =  —  cnu, 
àn{u-^iK)=      dnw,         dn(M -^  21K' j  =  —  dn  m. 


Argument  purement  imaginaire.  —  Relation  entre  pu  et  sn  î*. 

/  •    I  iz    -iz'x       .sn(?^lK',  t'K) 

sn(  iw   K,  tK  )  =  i — ; — , ,.,    .t^,? 

cn(mK,  iK')=z — - —         ^       ,  p^^=Ê•3-: ^ ^ ^' 

A    r'    ^u    'V'^       àn(u\K',iK^ 
^      '     '        ^       cn(M|K',  iK) 


4o6 


RESUME    DES    PRINCIPALES    FORMULES. 


Valeurs  réelles  de  snw,  cnw,  àx\u  quand  K  et  K'  sont  r^éels  {fig.  28). 
OA  =  K,         OB  =  K', 

0        A        G         B 


u 

A 

0 

B 

en  u 

0 

I 

GO 

u 

G 

A 

0 

B 

ànu 

0 

Fig 

k' 

28 

I 

GO 

A     X 


Formules  d'addition. 


cna  —  en  wcn(w  —  «)-[-  snw  sn(t^  —  a)  dna. 
sn^u  -\~  cn^u  =  i, 
k^sn^u-\-àn^u  =  \,  ' 

sn  M  en  p  dn  p  +  sn  p  en  u  dn  u 


sn(M-l-  p)  = 

Cn(M  -ir  V)  = 

dn(M  H-  p)  = 


I  — X:2sn2asn2p  ' 

en  u  cnv  —  sn  u  snp  dnw  dnp 
1  —  Â:^  sn^  u  sn^p 

dn  w  dn  p  —  k^  sn  z^  sn  p  en  t^  en  p 
I  —  k^  sn^M  sn^p 


Dérivées. 


d  snu 
du 


ff  cnu  dn  w. 


/i^  =  e.(o). 


RÉSUMÉ    DES    PRINCIPALES    FORMULES.  4^7 

Si  l'on  suppose  K  et  K'  liées  par  la  condition 


on  a 


=  \^  iq  ^  iq'* -^  iq^ ~ .  .  . 


d(snu) 

=       en  II  dnii^ 


du 
d(  en  II) 

du 
d(  dn  u  ) 

du 


=  —  sn  udnUj 
=  —  A-2  sn  u  en  u. 


Développements  en  séries  entières. 


=;(- 


u^ 
sn  u  =  u  —  Q-fcoc  ■ -j  —  4  A-2 (a2  —  3  ) 


1.2.3  I .2.3.4-0 


8A-3(a3-^33a) 


u 


I .  -2 .  J .  4 . 3 .  G .  7 

en  i^  =  I  -  —  +(1  ^  4A:2)  -  '^,  -  (i  --  44  A-^  -  16A-) f,   ,   ,  -.... 

1.2  M. 2. 3. 4  1.2.3.4-5.6 

dn  «A  =  I  —  A- :-  A-(  4  -^  A- ) ;^ — - 

1.2  1.2.3.4 

-A'Hi6-44A-2-^A-^)--^^^^--.... 
1.2.3.4.3.0 


FIN. 


ERRATA. 


Page  3i,  formule  (3i),  remplacer  z  par  u. 

Page  367,  formule  du  bas  de  la  page  et  page  368,  première  formule,  mettre 
partout  des  signes  -h. 


TABLE   DES   MATIÈRES, 


CHAPITRE  I. 

Notions  préliminaires. 


I.    —   GÉNÉRALITÉS    SUR   LES   FONCTIONS    UNIFORMES. 

Pages. 

1 .  F'onction  régulière  en  un  point.  Zéro i 

2.  Points  singuliers.  Pôles.  Résidus.  Points  singuliers  essentiels 2 

3.  Remarque  sur  les  zéros  et  les  pôles 3 

4.  Point  à  l'infini 3 

5.  Remarque  sur  la  convergence  des  séries 4 

6.  Une  fonction  uniforme  régulière  en  tous  les  points  à  distance  finie  et 

infinie  est  une  constante 5 

7.  Les  zéros  et  les  pôles  d'une  fonction  uniforme,  n'ayant  d'autres  singu- 

larités que  des  pôles  à  distance  finie,  sont  nécessairement  isolés  les 
uns  des  autres 5 

II.  —  Fractions  r.a.tionnelles. 

8.  Objet  de  ce  paragraphe 6 

9.  Fraction  i-ationnelle  particulière n 

10.  Cas  général.  Pôles  et  zéros.  Ordre 8 

1 1 .  Formes  analytiques  principales  des  fractions  rationnelles 8 

1°  Première  forme  mettant  en  évidence  les  pôles  et  les  parties  prin- 
cipales correspondantes.  Décomposition  en  fractions  simples 9 

2°  Deuxième  forme  mettant  en  évidence  les  zéros  et  les  infinis. 10 

12.  Remarque „ 

13.  Relation  algébrique  entre  deux  fractions  rationnelles.  Théorème  d'ad- 

dition algébrique 1 1 

III.  —  Fonctions  trigonométriques. 

14.  Objet  de  ce  paragraphe n 

15.  Fonction  sin^^;  sa  définition  par  un  produit  infini.  Fonctions  cotw  et 

I 
— •-^—  ;  leurs  expressions  par  des  séries 11 


4lO  TABLE    DES    MATIERES. 

Pages. 

Périodicité i  o 

Développements  en  séries  de  puissances i4 

Exercice i5 

16.     Fonctions  trigonomctriques  en  général 16 

Relation  algébrique 16 

Théorème  d'addition  algébrique 16 


CHAPITRE  II. 

Généralités  sur  les  fonctions  elliptiques. 


I.    —    TllÉORliMES    GÉNÉRAUX. 

17.  Définition 18 

18.  Parallélogrammes  des  périodes 19 

19.  Théorème  fondamental.  Une  fonction  elliptique  devient  nécessairement 

infinie  dans  un  parallélogramme  élémentaire  ;  sinon  elle  se  réduit  à 

une  constante 20 

20.  Une  fonction  elliptique  a  un  nombre  limité  de  pôles  dans  un  parallélo- 

gramme élémentaire 21 

•  21.     Fonctions  (f,  Ç,  p,  Z,  H 22 

Périodicité  de  p  a 24 

Effet  de  l'addition  des  périodes  à  l'argument  de  t^u 25 

Notation  de  Jacobi  et  de  M.  Hermite 2.5 

Effet  de  l'addition  des  périodes  à  l'argument  de  a'u  cl  de  Uu 26 

22.  Remarque 28 

23 .  Cas  de  dégénérescence 29 

II.  —  Premières  expressions  des  fonctions  elliptiques. 

DÉCOMPOSITION   EN   ÉLÉMENTS  SIMPLES.    CONSÉQUENCES. 

24.  Cas  des  pôles  simples 3o 

25.  La  somme  des  résidus  d'une  fonction  elliptique  en  tous  les  pôles  situés 

dans  un  parallélogramme  des  périodes  est  nulle Sa 

26.  Formule  de  décomposition  en  éléments  simples  dans  le  cas  où  certains 

pôles  sont  multiples 82 

"27.     Formule  de  décomposition   en  éléments  simples  avec  la  notation  de 

M.  Weierstrass 35 

28.  Remarques 35 

29.  Règle  pratique  pour  la  décomposition  d'une  fonction  elliptique /(  m) 

en  éléments  simples 36 

30.  Il  ne  peut  pas  exister  de  fonction  elliptique  ayant,  dans  un  parallélo- 

gramme, un  seul  pôle,  si  ce  pôle  est  de  premier  ordre 87 

31 .  Exemple.  Décomposition  de  p^u  en  éléments  simples 38 

32.  Relation  algébrique  entre  p  u  et  sa  dérivée  p'  u l{0 

33.  Développements  en  séries  de  puissances  de  pu,  'C,u,  a'u 4^ 

34.  Inversion  dans  les  notations  de  M.  Weierstrass 42 


TABLE    DES    MATIERES.  4ll 

Pages. 

35.  Intégration  d'une  fonction  elliptique 4^ 

36.  Homogénéité 43 

37 .  Cas  de  dégénérescence 44 

III.  —  Deuxième  forme  des  fonctions  elliptiques. 

DÉCOMPOSITION   EN   FACTEURS.    CONSÉQUENCES. 

38 .  Décomposition  en  facteurs 45 

39.  Théorème  de  Liouville.  Si  l'on  considère  les  zéros  et  les  infinis  d'une 

fonction  elliptique  situés  dans  un  parallélogramme  des  périodes,  la 
somme  des  zéros  ne  diffère  de  la  somme  des  infinis  que  par  des  mul- 
tiples de  périodes 4? 

40.  Notations  de  Jacobi 49 

41.  Deux  fonctions  elliptiques  ayant  les  mêmes  zéros  et  les  mêmes  infinis 

ne  diffèrent  que  par  un  facteur  constant 49 

42.  Ordre  d'une  fonction  elliptique 49 

Exemple 5o 

IV.  —  Exemples  de  décomposition  en  facteurs  et  en  éléments  simples. 
Formule  d'addition  algébrique  poi:r  pu.  Conséquences. 

43 .  Décomposer  en  facteurs  la  fonction  f{u)  —  pu  —  pv 5o 

44 .  Formule  d'addition  pour  t,u 5i 

45.  Formule  d'addition  pour  pu 5i 

Autre  forme  de  la  formule  d'addition Sa 

46 .  Décomposition  de  p'  u  en  facteurs 62 

47.  Effet  de  l'addition  d'une  demi-période  à  l'argument  de  pi^ 54 

48.  Expressions  de  pu  —  e-^.  Fonctions  ar^,  3',,  ^3 55 

49.  Toute  fonction  elliptique  aux  périodes  2to  et  20)'  est  une  fonction  ra- 

tionnelle de  pu  et  p'  u 56 

Remarque 57 

50.  Remarque  sur   l'intégration   d'une    fonction  elliptique  supposée  mise 

sous  forme  d'une  fonction  rationnelle  de  p  et  p' 58 

51.  Entre    deux    fonctions  elliptiques  aux  mêmes   périodes  il  existe  une 

relation  algébrique 60 

51".   Toute  fonction  elliptique  admet  un  théorème  d'addition  algébrique...  61 

Exercices  sur  le  Chapitre  II 62 


CHAPITRE  III. 

Étude  des  valeurs  réelles  de  p  w,  lorsque  w  est  réel  et  w'  purement 
imaginaire.  Applications. 


Valeurs  réelles  de  pu  quand  w  et  -r  sont  réels  et  positifs. 


0; 


68 

53 .     V  aleurs  réelles  de  l'argument 69 


4l2  TABLE     DES    MATIÈRES. 

Pages, 

54.  Argument  purement  imaginaire -yo 

55 .  Racines  e, ,  e^,  e^ -^2 

56 .  Autres  valeurs  de  u  rendant  p  u  réel 72 

i"  Argument  u  -{-  w',  a  réel ^3 

2°  Argument  it  —  w,  i  réel 74 

57.  Résumé 75 

IL  —  Étude  de  la  cubique  définie  par  les  équations  a;  =  pM,  y  —  -p'  u. 

Lemniscate. 

58 .  Cas  général 75 

59.  Condition  pour  que  trois  points  soient  en  ligne  droite 76 

60.  Formule  d'addition 77 

Addition  d'une  demi-période 78 

61 .  Tangentes  menées  par  un  point  de  la  courbe 79 

Points  d'inflexion 80 

62.  Condition    pour  que  on  points  de  la  cubique  soient  sur  une  courbe 

d'ordre  n 81 

Applications 82 

Courbes  de  contact 82 

63.  Cas  particulier  où  to  et  -r  sont  réels.  Forme  de  la  courbe.  Nature  de 

l'argument  donnant  des  points  réels 84 

Tangentes  menées  par  un  point  P  de  paramètre  v 86 

Points  d'inflexion 87 

64.  Dégénérescence 87 

65.  Rectification  de  la  lemniscate 89 

m.  —  Pendule  sphérique.  Corps  pesant  de  révolution.  Élastique  gauche. 

66.  Pendule  sphérique 90 

Calcul  de  ^ 92 

Calcul  de  ^ 98 

67.  Corps  pesant  de  révolution  mobile  autour  d'un  point  de  son  axe 96 

Calcul  de  <| 98 

Calcul  de  cp 100 

68 .  Courbe  élastique  gauche loi 

Exercices  sur  le  Chapitre  III io3 


CHAPITRE  IV. 

Étude  spéciale  des  notations  de  Jacobi. 


I.  —  Fonctions  de  Jacobi. 

69.  Objet  du  Chapitre 106 

70.  Périodes 106 


TABLE    DES    MATIÈRES.  4'3 

Pages. 

71 .  Développement  en  série  simple  de  la  fonction  Z m 107 

72.  Fonction  H 110 

73.  Développement  de  H  (m)  en  série  trigonométrique m 

74.  Fonctions  H,  H,,  e,  e,  de  Jacobi ii4 

75.  Zéros  des  fonctions  H,  H,,  6,  B, 116 

76.  Formules  relatives  à  l'addition  d'une  période  ou  d'une  demi-période..  116 

77.  Addition  d'un  nombre  entier  de  périodes 119 

78.  Développements  de  H,,  6,  6,  en  produits  infinis  simples 119 

79.  Relation^  H'(o)=H,(  0)0 (0)6,(0) 121 

Remarque 122 

80.  Formules  relatives  à  l'échange  de  K  et  de  K' 122 

81 .  Diverses  notations  usitées  pour  les  fonctions  de  Jacobi 124 

82.  Relations  entre  les  3*  et  les  S: 126 


II.  —  Fonctions  snu,  ciiii,  dnu. 

83 .  Définition 1 26 

84 .  Addition  d'une  période  ou  d'une  demi-période 1 127 

85.  Construction,  à  l'aide  des  fonctions  snu.  cnw,  dnu,  des  fonctions  ellip- 

tiques aux  périodes  20)  et  aw'  ou  2K  et  2iK' ...  127 

86.  Périodicité,  zéros,  pôles  des  fonctions  sn,  en.  dn 12S 

87.  Formule  d'addition  préliminaire 129 

88.  Relations  entre  les  fonctions  snu,  en  m,  dnu 129 

89.  Module.  Module  complémentaire i3o 

90.  Formule  d'addition  pour  snz^  et  en  ?/ i3o 

Formule  d'addition  pour  dnu i32 

Autres  formules i32 

91.  Dérivées  des  fonctions  snu,  en  m,  dnu i32 

Multiplicateur 1 33 

92.  Expression  du  multiplicateur  en  fonction  des  périodes.  Choix  de  pé- 

riodes telles  que  le  multiplicateur  devienne  l'unité i33 

93.  Dérivées  successives i34 

94.  Développements  en  séries  entières i34 

95.  Dérivées  des  fonctions  inverses.  Première  idée  de  l'inversion  à  l'aide  des 

fonctions  de  Jacobi i35 

96.  Dégénérescence i36 

1°  A-^  —  o i36 

■2°  k'  =  I i37 

97.  Relation  entre  p  a  et  sn  ît 137 

98.  Théorème.  Toute  fonction  elliptique  aux  périodes  2K  et  2iK'est  une 

fonction  rationnelle  de  sn^u  et  sa  dérivée i4o 

99.  Développements  de  t,  et  de  t/  en  séries i4o 

100.  Exemples  de  décomposition  en  éléments  simples  et  d'intégration 142 

Remarque i45 

101 .  Notations  d'Abel i45 


Exercices  sur  le  Chapitre  IV i45 


l4  TABLE     DES    MATIÈRES. 


CHAPITRE  V. 


Etude  des  valeurs  réelles  de  snw,  cn^^,  dnu  quand  K  et  K'  sont  réels. 

Applications. 


I.   —    K    ET    K'  RÉELS. 

rages 

102.  Le  module  est  réel  et  moindre  que  i i48 

103.  Argument  réel i48 

104.  Argument  de  la  forme  v  +  ÎK',  v  réel 1^9 

105.  Argument  purement  imaginaire ]/l9 

106.  Argument  de  la  forme  K  +  m,  u  réel i5i 

107.  Résumé 162 

108.  Expressions  des  périodes  par  des  intégrales  définies 162 

109.  Relations  entre  K,  K'  et  A- i53 

110.  Inversion i55 

111 .  Expression  de  K  par  une  série  hypergéométrique i55 

112.  Valeurs  réelles  de  pu,  dans  le  cas  où  co  et  -7-  sont  réels,   rattachées  à 

celles  de  sn^ î^ i56 

II.    —  BiQUADRATIQUE    GAUCHE  ;   SURFACE    DES   ONDES. 

113.  Équation  de  la  biquadratique t6o 

114.  Forme  de  la  courbe 162 

115.  Condition  pour  que  quatre  points  de  la  courbe  soient  dans  un   même 

plan i63 

116.  Plans  osculateurs  menés  à  la  courbe  par  un  point  de  la  courbe i65 

117.  Détermination  des  surfaces  du  second  ordre  passant  parla  biquadratique.  1G6 

118.  Équation  de  la  surface  des  ondes 167 

119.  Expression  des  coordonnées  d'un  point  de  la  surface  en  fonction  de  deux 

paramètres  elliptiques 169 

120.  Intervalles  dans  lesquels  il  suffit  de  faire  varier  la  partie  réelle  et  le 

coefficient  de  i  de  chaque  argument  pour  obtenir  toute  la  surface  . .  170 

121 .  Les  lignes  paramétriques  sont  orthogonales 170 

122.  Points  singuliers 171 

123.  Plans  tangents  singuliers 178 

124.  Forme  de  la  surface.  Distribution  des  valeurs  des  paramètres 176 

III.  —  Pendule  simple.  Élastique  plane.  Corde  a  sauter. 
Mouvement  a  la  Poinsot. 

125.  Pendule  simple 180 

126.  Élastique  plane 184 

127.  Corde  à  sauter 188 

128.  Mouvement  à  la  Poinsot 198 

Cas  de  dégénérescence 199 


TABLE    DKS    MATIÈRES.  4l6 

Pages. 

129 .  Herpolhodie 200 

130.  Vitesses  de  rotation  autour  des  axes  fixes 2o5 

131 .  Les  neuf  cosinus  déduits  de  l'équation  de  l'herpolliodie 2o5 

Exercices  sur  le  Chapitre  V 208 


CHAPITRE  VI. 

Fonction  p  à  périodes  imaginaires  conjuguées.  Discriminant  négatif. 


I.  — -Le  discriminant  est  négatif.  Valeurs  réelles  de  pu  et  de  p' u. 

132.  Objet  de  ce  paragraphe 211 

133.  Les  invariants  sont  réels 211 

134.  Arguments  réels,  purement  imaginaires,  imaginaires  conjugués 211 

135.  Les  racines  e^,  e,,e,  sont  l'une  réelle  et  les  deux  autres  imaginaires  con- 

juguées        2l3 

136.  Valeurs  de  u  pour  lesquelles  pu  et  p' u  sont  réelles  toutes  les  deux. .       210 

II.  —  Expression  des  périodes  de  p  par  des  intégrales  définies  de  la  forme 

NORMALE    DE   LeGENDRE,    DANS   LE    CAS  DU    DISCRIMINANT  NÉGATIF. 

137.  Expression  des  périodes  en  fonction  des  invariants 216 

138.  Les  intégrales  donnant  les  valeurs  de  w^  et  wl  ramenées  à  la  forme  ca- 

nonique de  Legendre 21- 

139.  Variation  du  rapport -r^- 219 

III.  —  Retour  a  la  fonction  p  a  discriminant  positif.  Expression  des  périodes 

sous  la  forme  de  Legendre. 

140.  Les  intégrales  qui  définissent  les  périodes  ramenées  à  la  forme  cano- 

nique de  Legendre 220 

,,,,...         ,  w' 

141.  \  ariation  du  rapport  -r— 222 

IV.  —  Cas  du  discriminant  négatif.  Application  géométrique. 

142.  Étude  de  la  courbe  x  =  p  u,  y  =  p'  u 223 

V.  —  Discriminant  négatif;  application  au  mouvement  d'un  projectile  dans 
UN  milieu  dont  la  résistance  est  proportionnelle  au  cube  de  la  vitesse. 

143 .  Équations  différentielles  et  intégrales  premières 225 

144 .  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques 228 

145.  Développements  dey  et  de  t  en  séries  entières  ordonnées  suivant  les 

o"  X 

puissances  de  u  --  - — 23i 

w 


4l6  TABLE    DES    MATIERES. 


CHAPITRE  VII. 

Intégrales  elliptiques.  Réduction  à  la   forme    normale    de  Legendre 
et  de  Jacobi.  Inversion. 


I.   —  IXTÉGRALKS   ELLIPTIQUES. 

Pages. 

146.  Exemple  élémentaire  de  la  méthode  employée  pour  calculer  les  inté- 

grales elliptiques 233 

147.  Intégrales  elliptiques 234 

148.  Première  réduction  de  l'intégrale  elliptique 235 

II.  —  Forme  normale  de  Legendre.  Intégrales  de  Jacobi. 

149.  Forme  normale  de  Legendre 235 

150.  Intégrales  de  première,  seconde  et  troisième  espèce,  d'après  Legendre 

et  Jacobi 238 

Formule  récurrente  pour  le  calcul  de  /  sn^"u  du 239 

ni.    —    RÉDUCTION   A    LA    FORME    NORMALE    DE    LeGENDRE. 

151.  Cas  d'un  polynôme  bicarré 240 

152.  Réduction  à  la  forme  normale,  en  quantités  réelles,  dans  le  cas  d'un 

polynôme    bicarré  de   la  forme  A  { x^ -{-  ce)  { x'^ -]-  '^  ) ,  A,  a  et   [â  étant 

réels 241 

Type  l 242 

Type  II 2^ 

Type  III 243 

Type  IV 243 

Type  V •    ...  244 

153.  Réduction    à    la    forme    canonique   de    Legendre  en   quantités   réelles, 

quand  y  est  la  racine  carrée  d'un  polynôme  du  quatrième  degré. . . .  244 

154.  Cas  où  le  polynôme  sous  le  radical  est  du  troisième  degré 2^6 


CHAPITRE  VIII. 

Réduction  à  la  forme  normale  de  M.  Weierstrass.  Inversion. 


I.    —  Le    POLYNOME    SOUS   LE  RADICAL   EST   DU    TROISIÈME    DEGRÉ, 

155.  Réduction  à  la  forme  normale 247 

156.  Remarques  sur  l'inversion 248 

Premier  cas.  Discriminant  positif 249 

Deuxième  cas.  Discriminant  négatif 25o 


TABLE    DES    MATIERES. 


II.  —  Le    POLYNOME  SOUS   LE    RADICAL   EST  DU   QUATRIÈME  DEGRÉ.  PREMIER  MODE    DE 
RÉDUCTION  OÙ   l'on    NE    SE  PRÉOCCUPE   PAS   DE   LA  RÉALITÉ. 

Pages. 

157-  Cas  particulier 262 

158.  Le  cas  général  se  ramène  au  cas  particulier  précédent 254 

159 .  Règle 255 

III.  —  Inversion  en  quantités  réelles.  Discriminant  positif. 

160.  Expi'ession  elliptique  des  racines  d'un  poljnôme  du  quatrième  degré..  256 

161.  Discussion  relative  à  la  réalité  des  racines.  Cas  où  le  discriminant  est 

positif 257 

Les  quatre  racines  rangées  par  ordre  de  grandeur 258 

162.  Inversion  en  quantités  réelles 259 

1°  Cas  où  les  quatre  racines  sont  imaginaires 259 

2°  Cas  où  les  quatre  racines  sont  réelles 260 

163    Résumé 262 

IV.  —  Inversion  en  quantités  réelles.  Discriminant  négatif. 

164.  Racines  de  F{z) 268 

165.  Inversion  en  quantités  l'éelles 264 

166 .  Résumé 267 

V.  --  Méthode  de  M.  Hermite. 

167.  Méthode  générale 267 

Cas  particulier , 268 


CHAPITRE  IX. 

Applications  diverses  traitées  avec  la  notation  de  M.  Weierstrass. 


I.  —  Courbe  élastique  plane  et  sans  pression. 

168 .  Énoncé 269 

Tableau  de  formules 270 

169.  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques 271 

170.  Inversion 271 

171 .  Nature  de  l'argument 278 

172.  Expression  des  coordonnées  d'un  point  de  la  courbe 274 

173.  Intervalle  dans  lequel  il  suffit  de  faire  varier  t 275 

174 .  Forme  de  la  courbe 276 

II.  —  Prisme  droit  chargé  debout. 

175 .  Énoncé  de  la  question 278 

176.  Nombre  de  solutions 279 

A.  ET  L.  27 


4l8  TABLE  DES  MATIÈRES. 

III.  —  Courbe  élastique  plane  sous  pression  normale  uniforme. 

Pages. 

177.  Énoncé  et  mise  en  équation  du  problème 280 

178.  Tableau  de  formules 288 

179.  Intégration  par  les  fonctions  elliptiques 284 

180.  Inversion 285 

181 .  Nature  des  arguments 287 

182.  Intervalle  dans  lequel  il  suffit  de  faire  varier  t 288 

183.  Variation  de  r^ 289 

184 .  Variation  de  l'angle  polaire 290 

185.  Angle  des  rayons  allant  à  deux  sommets  consécutifs 291 

186.  Signe  du  rayon  de  courbure 294 

187.  Forme  de  la  courbe 297 

IV.  —  Surfaces  homofogales.  Coordonnées  elliptiques. 

188.  Surfaces  homofocales  à  un  ellipsoïde  et  passant  par  un  point  donné..  .  299 

189.  Coordonnées  elliptiques 3oo 

190.  Longueur  d'un  arc  infiniment  petit Soi 

191.  Les  coordonnées  X,  [i,  v  remplacées  par  trois  arguments  elliptiques  u, 

V,  w.  Les  coordonnées  cartésiennes  exprimées  par  des  fonctions  uni- 
formes de  M,  V,  w  . . .    3o2 

V.  —  Application  a  la  théorie  de  la  chaleur. 

192.  Les  surfaces  homofocales  à  un  ellipsoïde  donné  sont  des  surfaces  iso- 

thermes. Chacun  des  arguments  m,  v,  w  est  un  paramètre  thermomé- 
trique    3o4 

193.  Equation  de  la  chaleur  quand  les  variables  sont  les  arguments  ellip- 

tiques M,  V,  w 3o8 

194.  Solution  dépendant  d'une  équation  de  Lamé 3ii 


CHAPITRE  X. 

Transformation  de  Landen. 


195.  Division  par  deux  de  la  période  2 w 3i3 

196.  Relations  entre  les  modules  k,  k^-^,  entre  les  multiplicateurs  g,  gu).--  3i4 

197.  Relation  entre  K  et  K, 3i5 

198.  Calcul  de  K  quand  k  est  donné 3i6 

Exemple  numérique 817 

r^  do 

199.  Calcul  de  la  valeur  numérique  d'une  intégrale  /  '     — 3i8 

-^o    v^i  — A-^sincp 

Exemple  numérique 322 

Exercice.  —  Division  par  un  nombre  impair  de  la  période  2w.  Iden- 
tité entre  les  fonctions  H  déduite  du  théorème  de  Cotes 323 


TABLE    DES    MATIÈRES.  419 


CHAPITRE  XI. 

Fonctions  à  multiplicateurs  constants,  ou  fonctions  doublement 
périodiques  de  seconde  espèce. 

Pages. 

200.  Définitions 325 

Exemples 826 

I.    —    DÉCOMPOSITION    EN    FACTEURS.   CONSÉQUENCES. 

201.  Expression  générale  des  fonctions  à  multiplicateurs  constants 827 

202.  Décomposition  en  facteurs 828 

203.  Nombre  minimum  de  pôles  d'une  fonction  à  multiplicateurs  constants.  33i 

204.  Fonctions  à  multiplicateurs  spéciaux .  882 

II.   —    DÉCOMPOSITION  EN   ÉLÉMENTS    SIMPLES. 

205.  Élément  simple 882 

206.  Formules  de  décomposition.  Cas  des  pôles  simples 884 

Exemple 885 

207.  Cas  des  pôles  multiples 886 

Exemple 888 

208.  Méthode  de  .M.  Hermite 889 

209.  Multiplicateurs  spéciaux 84o 

III.  —  Équation  de  Lamé.  Équations  de  M.  Picard. 

210.  Équation  de  Lamé 342 

211.  Forme  de  l'équation  de  Lamé  dans  les  notations  de  M.  Weierstrass  . . .  343 

212.  Intégration  de  l'équation  de  Lamé  pour  n  =  1 34? 

213 .  Équations  de  M.  Picard 345 

Remarque 348 

214.  Retour  à  l'équation  de  Lamé 348 


CHAPITRE  XII. 

Fonctions  à  multiplicateurs  exponentiels,   ou   fonctions   doublement 
périodiques  de  troisième  espèce. 

215.  Définition 35i 

216.  Simplification  des  relations  que  vérifie  une  fonction  à  multiplicateurs 

exponentiels 352 

217.  Exemple  du  cas  de  N  =  1 353 

I.  —    DÉCOMPOSITION   EN    FACTEURS.    CONSÉQUENCES'. 

218.  Première  expression   d'une   fonction  doublement  périodique  de  troi- 

sième espèce 354 


4'20  TABLE    DES    MATIERES, 

Pages. 

219.  Cas  de  N  positif 355 

mTZiii 

Inondions  entières  admettant  les  multiplicateurs   i   et  e       f«^     356 

220.  Cas  de  N  négatif 359 


II.    —    DÉCOMPOSITION    EN   ÉLÉMENTS    SIMPLES. 

221 .  Étude  de  l'élément  simple 36o 

222.  Décomposition  en  éléments  simples  dans  le  cas  de  N  négatif 363 

Relations  entre  les  pôles  et  les  résidus  ... 364 

Décomposition  en  éléments  simples 365 

Remarque 366 

Cas  des  pôles  multiples 367 

223.  Exemple 368 

224.  Formule  de  décomposition  dans  le  cas  de  N  positif 369 

225.  Résumé 371 


CHAPITRE  XIII. 

Périodes  équivalentes.  Notions  sur  les  fonctions  modulaires. 


I.   —    GÉNÉRALITÉS. 

226.  Périodes  équivalentes 372 

227.  Rapport  des  périodes 373 

228.  Réseaux  de  parallélogrammes  formés  avec  les  périodes  équivalentes. . .  374 

II.  —  Notations  de  M.  Weierstrass. 

229.  Formes  en  nombre  infini  de  la  fonction  r 376 

230.  Invariants.  Invariant  absolu  J 376 

III.  —  Fonction  modulaire.  Groupe  modulaire. 

231.  Propriété  fondamentale  de  la  fonction  J  (x) 877 

232 .  La  fonction  J  est  paire 378 

233.  Remarques  sur  les  substitutions  linéaires 379 

Substitution  inverse 379 

Produit  de  deux  ou  plusieurs  substitutions 379  / 

Remarque 38o  ' 

234.  Groupe  de  substitutions 38j 

235.  Groupe  modulaire 38i 

236.  Substitutions  fondamentales  du  groupe  modulaire 382 

237.  Interprétation  géométrique 383 


TABLE    DES    MATIERES.  4^1 

IV.  —  Notations  de  Jacobi. 

Pages. 

238.  Expression  de  J(t)  en  fonction  du  module  A' 384 

239.  Formes  en  nombre  infini  des  fonctions  de  Jacobi.  Fonction  H 385 


NOTES. 

Note     I.  —  Impossibilité  de  l'existence  d'une  fonction  uniforme  et  continue 

avec  deux  périodes  dont  le  rapport  est  réel SSg 

Addition  à  la  Note  I.  —  Impossibilité  d'une  fonction  uniforme  et  continue 

avec  trois  périodes 391 

Note    II.  —  Convergence  du  produit  définissant  :tu 396 

Note  III.  —  Détermination  du  coefficient  A,  qui  figure  dans  les  formules  de 

décomposition  des  fonctions  0  en  produits  infinis 398 

RÉSUMÉ  des  principales  formules 4oo 

Errata 4^8 


FIN    DE    LA   TARLE    DES    MATIERES. 


23089     Paris.  —  Imprimerie  GAUTHIER-YILLAUS  ET  FILS,  quai  des  Grands-Auguslins. 


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